CEF - MATEMÁTICA - 2 - 2012

– MATEMÁTICA (TÉC. BANCÁRIO) 15-2-2012 CEF –

APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos De acordo com os dados do problema, temos: 25% em 1ano  125% (25 . 5) em 5 anos 125 12 5

125% = JUROS SIMPLES

Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo prazo de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 24 000,00 de juros.

•

O preço de uma televisão, a vista, é R$ 4.000,00. Se eu comprar essa mesma televisão em 10 pr estações, vou pagar por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou pagar R$750,00 de juros.

Calcular 125% de R$ 720 000,00. Dai: x = 125% de 720 000 = 1,25 . 720 000 = 900 000. Resposta: Os juros produzidos são de R$ 900.000,00 2.° exempl exemplo: o: Apliquei um capital de R$ lo 000,00 a uma taxa de 1,8% ao mês, durante 6 meses. Quanto esse capital me renderá de juros?

No 1.° fato, R$ 24 000,00 é uma compensação em em dinheiro que se recebe por emprestar uma quantia por determinado tempo.

1,8% em 1 mês  6 . 1,8% = 10,8% em 6 meses

No 2.°fato, R$ 750,00 é uma compensação em dinheiro que se paga quando se compra uma mercadoria a prazo.

10,8% =

x = 0,108 . 10 000 = 1080

Quando depositamos ou emprestamos certa quantia por determinado tempo, recebemos uma compensação em dinheiro.



Quando pedimos emprestada certa quantia por determinado tempo, pagamos uma compensação em dinheiro.



Quando compramos uma mercadoria a prazo, pagamos uma compensação em dinheiro.

10,8 = 0,108 100 10 0

Dai:

Assim: 

= 1,25

Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema:

Consideremos os seguintes fatos: •

100 10 0

Resposta: Renderá juros de R$ 1 080,00. 3.° exemplo exemplo:: Tomei emprestada certa quantia durante 6 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês, e devo pagar R$ 3 600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada? De acordo com os dados do problema: 1,2% em 1 mês  6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses

Pelas considerações feitas na introdução, podemos dizer que :

7,2% =

Juro é uma compensação em dinheiro di nheiro que se recebe ou que se paga.

7,2 100 10 0

= 0,072

Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema:

Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomina-se capital.

3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x. Dai:

O porcentual denomina-se taxa e representa o juro recebido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano.

3600 = 0,072 . x  0,072x = 3 600 

O período de depósito ou de empréstimo denomina-se tempo.

x=

A compensação em dinheiro denomina-se juro.

x = 50 000

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES

Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00.

Vejamos alguns exemplos:

4.°exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado durante 6 meses, rendeu rendeu juros de R$ 4 800,00. Qual Qual foi a taxa (em %) ao mês?

1.°exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, dura nte 5 anos.

Matemática

3600 0,072 07 2

De acordo com os dados do problema:

1

A Opção Certa Para a Sua Realização


APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos

x% em 1 mês  (6x)% em 6 meses m eses

R$ 109 600,00

Devemos, então, resolver o seguinte problema:

2,5%

4 800 representam quantos % de 80 000?

JUROS COMPOSTOS

Dai:

1. Introdução

4 800 = 6x . 80 000  480 000 x = 4 800 x=

O dinheiro e o tempo são dois fatores que se encontram estreitamente ligados com a vida das pessoas e dos negócios. Quando são gerados excedentes de fundos, as pessoas ou as empresas, aplicam-no a fim de ganhar juros que aumentem o capital original disponível; em em outras ocasiões, pelo contrário, tem-se a necessidade de recursos financeiros durante um período de tempo e deve-se pagar juros pelo seu uso.

48 4 800  x=  x = 0,01 4 800 80 0 480 000

0,01 =

1 100 10 0

=1%

Em período de curto-prazo utiliza-se, geralmente, como já se viu, os juros simples. Já em períodos de longo-prazo, utiliza-se, quase que exclusivamente, exclusivamente, os juros j uros compostos.

Resposta: A taxa foi de 1% ao mês. Resolva os problemas: -

Uma pessoa pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, anos, à taxa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada?

-

Um capital capital de R$ R$ 200 000,00 foi aplicado aplicado durante 1 ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. No final desse tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acumulado (capital aplicado + juros)?

-

Um aparelho aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Como vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará juros simples de 1,6% ao mês. Quanto vou pagar por esse aparelho.

-

A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6 meses, rendeu juros de R$ 31 000,00. Qual foi a taxa (%) mensal da aplicação

-

-

2. Conceitos Básicos

Emprestando R$ R$ 50 000,00 à taxa taxa de 1,1% ao mês, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros?

No regime dos juros simples, o capital inicial sobre o qual calculam-se os juros, permanece sem variação alguma durante todo o tempo que dura a operação. No regime dos juros compostos, por sua vez, os juros que vão sendo gerados, vão sendo acrescentados ao capital inicial, em períodos determinados e, que por sua vez, irão gerar um novo juro adicional para o período seguinte. Diz-se, então, que os juros capitalizam-se e que se está na presença de uma operação de juros compostos. Nestas operações, o capital não é constante através do tempo; pois aumenta ao final de cada período pela adição dos juros ganhos de acordo com a taxa acordada. Esta diferença pode ser observada através do seguinte exemplo: Exemplo 1: 1: Suponha um capital inicial de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 30.0 % a.a. por um período de 3 anos a juros simples e compostos. Qual será o total de juros ao final dos 3 anos sob cada um dos r earmes de juros?

Uma geladeira geladeira custa custa R$ R$ 1 000,00. Como Como vou compra-la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobrara juros simples de 1,5% ao mês. Quanto pagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se todas elas são iguais.

Pelo regime de juros j uros simples: J = c . i . t = R$ 1.000,00 (0,3) (3) = R$ 900,00

Comprei um um aparelho de som som no prazo de 8 meses. O preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros simples cobrados pela firma foram de R$ 160,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobrados?

Pelo regime de juros j uros compostos: n J  Co 1  i  1 =  

Respostas

J  R$1.000,00

R$ 4 400,00 R$ 70 000,00

Demonstrando agora, em detalhes, o que se passou com os cálculos, temos:

R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00 00 0,00

Ano Juros simples

R$ 5 220,00 1,1% R$ 1 075,00 e R$ 215,00

Matemática

1,33  1  R$1.197,00

2

Juros Compostos

1 R$ 1.000,00(0, 3) = R$ 300,00 R$ 1.000,00(0, 3) =

R$ 300,00

2 R$ 1.000,00(0, 3) = R$ 300,00 R$ 1.300,00(0,3) 1.300,00(0, 3) =

R$ 390,00



APOSTILAS OPÇÃO 3 R$ 1.000,00(0, 3) = R$ 300,00 R$ 1.690,00(0,3) 1.690,00(0, 3) = R$ 900,00

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Anos

R$ 507,00

0

1

2

3

4

Montante a

R$1.197,00

1000 1200 1400 1600 1800

Vamos dar outro exemplo exemplo de d e juros compostos:

Juros simples

Suponhamos que você coloque na poupança R$ 100,00 e os juros são de 10% ao mês.

Montante a 1000 1200 1440 1780 2073,6 Juros compostos

Decorrido o primeiro mês você terá em sua poupança: 100,00 + 10,00 = 110,00

Representando graficamente, temos:

No segundo mês você terá:110,00 + 11,00 =111,00 No terceiro mês você terá: 111,00 + 11,10 = 111,10 E assim por diante. Para se fazer o cálculo é fácil: basta calcular os juros de cada mês e adicionar ao montante do mês anterior.

Pode-se verificar, pelo gráfico acima, que, para n 1, n 1, os juros compostos e os juros simples são iguais; para n < n < 1, os juros simples são maiores que os juros compostos e, para n > 1, > 1, os juros compostos sempre excedem os juros simples.

JUROS COMPOSTOS Conceito Juros compostos, acumulados ou capitalizados, são os que, no fim de cada período, são somados ao capital constituído no início, para produzirem novos juros no período seguinte.

CÁLCULO DO MONTANTE (C N N ) No problema anterior, calculou-se o montante do capital de 1.000, em 4 anos, a 20% a.a., resolvendo quatro problemas de juros simples, ou seja, calculando os juros em cada ano a partir do montante constituído no ano anterior. Pode-se, entretanto, deduzir uma fórmula para o cálculo do montante em função do capital inicial, da taxa do juro e do tempo de aplicação.

Seja, por exemplo, um capital de 1.000 unidades monetárias colocado a 20% a.a. durante 4 anos. No fim do primeiro ano o juro é igual a 200, que é capitalizado, isto é, é somado ao capital 1000 para, assim, o novo capital, 1200, produzir juros no segundo ano. Ao final deste, o juro será de 240, ou seja, 20% de 1200. O capital a produzir juro no terceiro ano é de 1.440 (1.200 + 240). O juro será 288. No quarto ano o juro será de 20% sobre o capital 1.728 (1.440 + 288), ou seja, 345,60. Dessa forma, o montante no fim do quarto ano será de 2.073,60 unidades de capital.

Os juros foram calculados, em cada ano, aplicando-se a fórmula j fórmula j = = Ci (n = (n = 1) e os resultados obtidos estio resumidos no quadro abaixo:

O gráfico abaixo mostra os juros calculados no fim de cada período e os respectivos montantes. montantes.

Capital

Juros

Montante

1°ano

1000

200

1200

2°ano

1200

240

1440

3°ano

1440

288

1728

4°ano

1780

345,6

2073,6

Representando literalmente os valores do quadro acima, temos: Comparando os juros compostos com os juros simples, verifica-se que os primeiros crescem em progressão geométrica, enquanto os juros simples são constantes em todos os períodos, pois são calculados sempre sobre o capital inicial. No problema citado, os juros simples são iguais a 200 unidades monetárias em todos os anos. Assim, o montante do capital de 1.000, a juros simples de 20% a.a., cresce numa progressão aritmética de razão 200, enquanto o montante a juros compostos cresce em progressão geométrica de razão 1,2. O quadro abaixo apresenta a evolução dos montantes a juros simples e compostos.

Matemática

Capital

Juros

Montante

n =1

C

j1

C1

n =2

C 1

J 2 2

C 2 2

n =3

C 2 2

j 3 3

C 3 3

n =4

C 3 3

j 4 4

C 4 4

Seja C N N, o montante do capital C, à taxa i, no fim de n

3



APOSTILAS OPÇÃO


períodos. Resolvendo literalmente o problema anterior, temos: •

•

•

n = n = 24 (meses) 24 24 C 24 24 = 3.000(1 +0,02) = 3.000x 1,02

para n =1 C 1 = C+ j 1 como j como j 1 = Ci

O valor de 1,0224 é fornecido por tábua financeira (Tábua 1) e é igual a 1,608437.

C 1 =C + Ci = C (1+i (1+i )

C 24 24 = 3.000 x 1,608437

para n = 2  C 2 2 = Ci + j 2 2

C 24 24 = 4.825,31

C 2 2 = C 1 +C 1i = C 1 (1+i) (1+i) = C (1+ C (1+i i ) (1+i (1+i ) =C (1 +i )2

TÁBUAS FINANCEIRAS Na aplicação da fórmula do montante deve-se calcular n o valor da potência (1 + j) + j) . Por isso, foi colocada no fim deste livro (apêndice) a Tábua financeira 1, que fornece os valores da expressão (1 + i)n para vários valores de i e i e n.

para n = 3  C 3 3 = C 2 2+j + j 3 3 C 3 3 = C 2 2 + C 2 2i = C 2 2 (1+i (1+i ) = C (1 +i )2 (1+ i ) = C(1 +j)3

•

para n=4 C 4 4 = C 3 3+j +j 4 4 3

C 4 4 = C 3 3 +C 3 3 i = C 3 3 (1 +i) = C(1+i ) (1 +i) = C (1+j)

Para localizar, na Tábua 1, determinado valor, procurase na primeira linha a taxa centesimal correspondente a / e, na primeira coluna, o valor de n. É na intersecção da linha dos períodos com a coluna da taxa que ele se encontra. Convém recordar aqui que se estiver tomando uma taxa anual, n estará n estará representando o número de anos; se a taxa for trimestral, trim estral, n será n será o número núm ero de trimestres etc.

4

Analogamente: C 5 5 =C (1 + i)5 C 6 6 = C (1+i)6

EXEMPLOS:

Finalmente, para n qualquer, n qualquer, Cn = C ( 1+i 1+i )

1. Se o problema envolve uma taxa mensal de 2% por um um ano e 6 meses m eses,, então:

n

(1 +i +i )n =(1 + 0,02)18

Obs.: Nessa Obs.: Nessa fórmula, como em todas as demais da m atemática financeira, a taxa unitária i e i e o número de períodos n devem n devem referir-se d mesma unidade de tempo. Assim, se i é taxa anual, n deverá n deverá expressar número de anos; se lã taxa lã taxa semestral. n será n será número de semestres etc.

1,428246

2. Para taxa trimestral de 5% em 2 anos, anos, temos: temos: (1 +i +i )n =(1 + 0,05)8

EXEMPLOS 1. Calcular o montante do capital de 10.000 unidades monetárias, a 10% a.a., em 3 anos.

1,477455

CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS

C = C = C(1+i)N

Na constituição do montante, os juros podem ser calculados no fim de cada ano, semestre, trimestre ou mês. Assim, os juros podem ser capitalizados anualmente, semestralmente, trimestralmente trimestralmente ou mensalmente.

C = C = 10.000 C = C = 0,1 (10%a.a.)

Geralmente, com referência ao período de capitalização, a taxa de juros é a nual.

n = n = 3(anos)

EXEMPLOS

C 3 3 = 10.000(1+0,1)3 C 3 3 = 10.000 x 1,13

1. Juros de 18% á.a. á.a. capitalizados capitalizados semestralmente. semestralmente.

C 3 3 = 10.000 = 10.000 x 1,331

2. Juros de 20% a.a. a.a. capitalizados capitalizados trimestralmente. trimestralmente.

C 3 3 = 13.310 = 13.310

3. Juros de 12% a.a.‘capitalizados mensa lmente. Nesses casos, ao calcular o valor da expressão (1 + i)n emprega-se a taxa proporcional, ou seja: no exemplo 1, a taxa semestral proporcional a 18% a.a. é de 9%; no exemplo 2 a taxa proporcional é de 5% ao trimestre; e, no exemplo 3, a taxa a ser utilizada é de 1% ao mês. Entretanto, às vezes, usa-se a taxa equivalente, conforme se verá mais à frente.

2. Determinar o montante montante de 3.000 unidades monetárias, a 2% ao mês, no fim de 2 anos. C n n = C (1 +i)

n

C = C = 3.000 i = 0,02 (2% ao mês)

Matemática

4


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APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos tábua, pode-se achar o valor dessa expressão com auxílio de logaritmos ou fazendo interpolação dos valores tabelados. Obviamente, se se dispuser de uma calculadora que faça potenciação, o cálculo será bem simplificado.

EXEMPLOS 1. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., no fim de 2 anos, com juros de 24% a.a. capitalizados trimestralmente?

Cálculo de (1 +i )n com emprego de logaritmos

C n = C (1 +i)n

Fazendo:

i = 0,06 (6% ao trimestre)

x = (1 +i )n

n = 8 (trimestres) C 8 = 500 (1 +0,06)

Log x = log (1 +i)n

8

(1 + 0,06)8

Log x = n log(1 +i) x = antilog [n log (1+i )]

1,593848 EXEMPLOS

C 8 = 500 x 1,593848 1. Se a taxa é de 5,5% ao trimestre e o prazo de aplicação é de 2 anos, entro:

C 8 = 796.92 u.m.

(1 +i )n =(1 + 0,055)8

2. O capital de 120 u.m. foi colocado a juros de 20% a.a capitalizados semestralmente. Qual o montante no fim de 2 anos e 6 meses?

Por hipótese, a tabela não fornece a taxa de 5,5%, pode-se calcular o valor de (1 + 0,055)8 com auxílio de logaritmos. Assim:

C n = C (1 +i)n

x = (1 + 0,055)8

i = 0,1 (10% ao semestre) n = 5 (semestres)

log x = log(1 + 0,055)8

C 5 = 120 (1 +0,1)5

log x = 8log 1,055

(1 + 0,1)5

log x = 8 x 0,0232525

1,610510

log x = 0,18602 C 5 = 120 x 1,610510

x = antilog 0,18602

C 5 = 193,26 u.m.

x = 1,534687 Portanto, (1 + 0,055)8 = 1,534687 (veja Tábua 1)

Em meses: C n = C (1 +i)

2. Admita-se que um capital é colocado por 2 anos e 2 meses a juros de 20% a.a. capitalizados semestralmente. Neste problema, a taxa é de 10% ao semestre e n é igual a 4 2/6 = 4 1/3 (semestres). Então:

n

i = 0,02 (2% ao mês) n = 20 (meses)

( 1  i)

n

 ( 1 0,1)

4

1 3

13

 ( 1 0,1) 3

C 20 = 3.000 (1 +0,02)20 13

(1 + 0,02)20

x  ( 1 0,1)

1,485947

3

13

C 20 = 3.000 x 1,485947

log x  log( 1 0,1)

3

C 20 = 4.457,84 u.m. CÁLCULO DO VALOR DE (1 + i) n NÃO TABELADO

log x 

Quando o valor da expressão (1 + i)n não for fornecido diretamente pela tábua financeira, isto 6, a tábua não tiver a taxa do problema ou n for um número que não conste na

log x 

Matemática

5

13 3 13 3

log1,1

 0,413927



APOSTILAS OPÇÃO


log x = 0,1793683 x = antilog 0,1793683 x = 1,511361 portanto ( 1 0,1)

4

1 3

 1,511361

INTERPOLAÇÃO DE VALORES TABELADOS Nos dois exemplos anteriores, os valores da expressão (1 + 1)” podem também ser calculados fazendo-se interpolação linear dos valores aproximados, fornecidos pela tábua financeira.

Neste exemplo, verifica-se que o valor calculado para (1 + 0,055)8 com auxílio de logaritmos, 1,534687 (valor real), é menor que 1,535651, calculado por interpolação linear. Assim, sempre que o cálculo exigir precisão deve-se evitar a interpolação linear.

Para o cálculo do valor de (1 + 0,055)8, procuram-se na tábua as taxas mais próximas de 5,5%, que são 5% e 6%. Na linha correspondente a 8 períodos, os valores da função (1 + i)n , para estas taxas, são 1,477455 e 1,593848, respectivamente. Estabelecendo uma regra de três calculase o valor da função para a taxa de 5,5%.

No segundo exemplo, onde

n

4

1 3

e a taxa é de 10%,

interpolando os valores tabelados, temos: 5%

6%

1,477455

1,593848

Acréscimo no n 8

Acréscimo da função

1 Para um acréscimo da taxa de 1% (6% — 5%), a função tem um acréscimo de 0,116393 (1,593848 — 1,477455); então, um acréscimo de 0,5% (5,5% — 5%) corresponde a um acréscimo de x no valor da função. Portanto: 1%

1

x

3

x=

0,116393

0,5%

0,149510(1,610510 – 1,461000)

1 3

x 0,149510

x = 0,049836

x 4

1 0,5



Portanto: ( 1 0,1)

0,116393

1 3

= 1,510836

x

x = 0,5 x 0,116393

Comparando este valor com aquele obtido com auxílio de logaritmos (1,511361) verifica-se que a interpolação linear subestima o valor real de (1 +i)n Isto ocorre pois,

x = 0,058196

como foi visto anteriormente, em

1 3

de período os juros

simples (interpolação linear) são maiores que os juros compostos (exponencial). Este tipo de interpolação não será empregado, pois, nesses casos, o cálculo do montante é feito através do sistema de capitalização mista.

Somando-se esse valor ao da função correspondente à taxa de 5% e 8 períodos, tem-se o valor da expressão (1 + 0,055)8. Dessa forma: (1+0,055)8 = 1,535651(1,477455+0,058196)

CAPITALIZAÇÃO MISTA n

Entretanto, deve-se observar que os valores de (1 + i ) obtidos por interpolação linear da taxa serão sempre um pouco maiores que os valores reais, pois estes crescem na forma exponencial e, pela interpolação linear considera-se um segmento de reta entre dois pontos da exponencial.

Como vimos, quando n < 1 os juros simples são maiores que os compostos, por isso, sendo n um número misto, na prática, calcula-se o montante a juros compostos na parte inteira de n e, em seguida, calculam-se os juros simples desse montante na parte fracionária de n. Esse sistema de cálculo denomina-se capitalização mista.

n

Podemos observar melhor a superestimação de (1+ i) , pela interpolação linear, através da representação gráfica abaixo.

EXEMPLO Determinar o montante de 900 unidades monetárias, a 24% a.a. capitalizados semestralmente, em 2 anos e 2 meses. C i = C (1+i )

n

i = 0,12(12% ao mestre)

Matemática

6



APOSTILAS OPÇÃO n 

4

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos C 4 1 = 1.472,81

1 (semestre) 3

3

SISTEMA PRICE

Pela capitalização mista, calcula-se o montante a juros compostos em 4 penodose, em seguida, calcula-se os juros simples desse montante em 2 m eses.

Quando um capital é colocado a juros compostos capitalizados mensalmente a uma taxa anual, convencionou-se chamar esse sistema de capitalização de Price, e as tabuas financeiras, que fornecem taxas anuais de juros e o número de períodos de capitalização em meses, de tabelas Price.

C 4= 900 (1+ 0,12)4 (1+ 0,12)4

1,573519

No apêndice, apresenta-se uma amostragem das tabelas Price (Tábuas VI a X).

C 4= 900 . 1,573519

EXEMPLO

C 4= 1.416,17

1. Calcular o montante do capital de 1.000 unidades monetárias, por 2 anos, a 12% a.a. capitalizados mensalmente.

Aplicando agora a fórmula do montante a jur os simples, C n = C(l + i n), onde: C= 1.416,17

k

i = (1 + i k ) – 1

i = 0,02(2% ao mês) i k = 0,005

n = 2 (meses)

k = 12

C 2 = 1.416,17(1+0,02x2)

i = (1 + 0,005)12 – 1

C 2 = 1.472,81 Portanto, o montante pela capitalização mista é de 1.472,81 unidades monetárias. Esse mesmo resultado é obtido se resolvermos o problema fazendo a interpolação linear para o cálculo do valor de (1 + i )n. Vejamos:

(1 + 0,005)12

1,061678

i = 1,061678 – 1

C n = C (1+i )n

i = 0,06167 ou 6,167% a.a.

C = 900 i = 0,12(12% ao mestre) JUROS COMPOSTOS CONTÍNUOS 1 n  4 (semestre) 3

Os juros compostos são denominados contínuos quando o número de capitalizações tende para infinito. 4

C 4 1 = 900(1+0,12)

1

Considere-se o seguinte problema: calcular o montante de 1.000 unidades monetárias, por 3 anos, a 10% a.a. capitalizados:

3

3

n 12%

a) anualmente

4 1,573519

b) semestralmente

5 1,762341

c) trimestralmente, e d) mensalmente

1

0,188822(1,762341 – 1,573519)

1

x

3

x =

3 a) C 3  1000( 1 0,1)  1000  1,331000  1,331 6 b) C 3  1000( 1 0,5)  1000  1,340095  1.340,10 12  1000  1,344889  1.344,89 c) C 3  1000( 1 0,025) 36  1000  1,348181  1.348,18 d) C 3  1000( 1 0,00833)

1 3

x 0,188822

x = 0,062941

Matemática

Verifica-se, através desse problema, que, à medida que aumenta o número de capitalizações. o montante também

7



APOSTILAS OPÇÃO


aumenta. Quando n tende para infinito, os juros compostos são contínuos.

Sendo C n e C constantes; lim C n  C n k '

CÁLCULO DO MONTANTE O problema de juros compostos contínuos consiste em calcular o limite para o qual tende o montante quando o número de capitalizações tende para infinito.

lim C  C k '

A expressão lim(1+

Pode-se verificar, no exemplo anterior, que o montante não cresce proporcionalmente ao número de capitalizações. Dessa forma, a curva correspondente aos montantes de um certo capital, a uma determinada taxa, em função do número de capitalizações, num tempo constante, tem concavidade para baixo, conforme o gr áfico seguinte:

k i

k

) ’ é um dos limites fundamentais

da álgebra e é igual a e = 2,718. Portanto: K’ 

in

C n= C e

Cn é o limite para o qual tende o montante quando n tende para infinito

in

Obs: O valor da expressão e terá de ser calculado com calculadora eletrônica ou com o auxílio de logaritmos. EXEMPLO Calcular o montante do capital de 1.000 unidades monetárias, em 3 anos, com juros de 10% a.a. capitalizados continuamente. C n = C .e

in

C = 1000 e = 2,718 Seja k   o número de capitalizações em 1 ano, e n o número de anos.

i = 0,1 n = 3

Teremos a fórmula geral do montante: C n = C (1+i )

C 3 = 1000 x 2,7180,1 x 3

n

C 3 = 1000 x 2,7180,3

Substituindo i por 1

C n  C (1 

k

1 k

:

Fazendo x = 2,7180,3 e calculando com auxílio de logaritmos, logx = log2,7180,3

)kn

logx = 0,3log2,718 Dividindo 2 termos da fração por i: C n

1

 C (1 

k

logx = 0,3 x 0,432495

)kn

logx = 0,13027485

i

Seja k’ =

k i

x = antilog 0,13027485 x = 1,34981

;portanto, k = k’i

C 3 = 1,34981 C n

 C (1 

i k 'in k '

)

C 3 = 1000 x 1,34981

Calculando o limite quando k’  ,

C 3 = 1,349,81

1 lim C n  lim C (1  )k 'i n k ' k' k'

Taxa instantânea

1   lim C n  lim C   lim (1  )k '  k ' k' k' k' 

Matemática

A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamente é denominada taxa instantânea.

'i n

Taxa anual equivalente à taxa instantânea

8



APOSTILAS OPÇÃO


Seja i a taxa anual e i i a taxa instantânea equivalente. Então, um capital C, em n anos, produzirá o mesmo montante à taxa i e à taxa i i . Os montantes são:

i i

2,3028 log(1  i )

i  0,1

n

C n = C (1 + i) (capitalização anual) in

C n = C . e i (capitalização contínua) n



i i



2,3028 log(1  0,1)

i i



2,3028  0,0413927

i i



0,0953ou 9,53%

PROBLEMAS RESOVIDOS

i

C(1+i) = C x e i

1. Calcular os juros do capital de 1000 unidades monetárias, colocado por 4 anos, a 20% a.a. capitalizados semestralmente.

i

1+ i = e i Dessa igualdade, pode-se deduzir i em função de i i e em função de i. No primeiro caso, temos: i

i  e i

J = C n - C C n = C (1+i )n

1

J = C (1+i )n – C

Para deduzir a expressão do valor de i i em função de i aplicam-se logaritmos à igualdade.

J = C [(1+i )n – 1]

1  i  e i i

i = 0,1 (10% ao semestre)

log(1  i )  log e i i

n = 8 (semestre)

log(1  i )  i i log e i i

1   log(1  i ) log e

i i



J = 1.000 [(1 + 0,1)8 – 1] (1 + 0,1)8

1  log(1  i ) 0,4342495

2,143588 (Tábua I)

J = 1.000 [2,143588 – 1]

i i = 2,3028 log (1+i )

J = 1.000 x 1,143588 J = 1.143,59

EXEMPLO

2. Qual o montante do capital equivalente a 500 u.m., a 10% a.a. capitalizados mensalmente, em 2 anos?

1. Qual a taxa anual equivalente á taxa instantânea de 10%?

C n = C (1 + i)n i  eii



1

e



2,718

ii



0,1

i = 0,00833... (0,833... % ao mês) n = 24 (meses) C 24 = 500 (1 + 0,00833...)24

0,1 i  2,718 1

(1 + 0,00833...)24

0,1 x  2,718 logx



0,1log2,718

C 24 = 500 x 1,220390

logx



0,1  0,4342495

C 24 = 610,20

logx



0,04342495

x



3. Um empréstimo de 2000 unidades monetárias deverá ser resgatado no fim de 3 anos com juros de 15% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual o valor do resgate?

1,1051

i  1,10551  1

Cn  C(1  i)n

i  0,10551ou 10,51% a.a

i  0,0375 (3,75% ao trimestre) n  12 (trimestres)

2. Qual a taxa de instantânea equivalente a 10% a.a?

Matemática

1,220390 (Tábua VI)

C12  2000(1  0,0375)12

9



APOSTILAS OPÇÃO


Interpolados os valores da Tábua I, correspondente a n (1+i ) para3,5% e 4%, temos:

log(1+i ) = 2,32633586 – 2,17318627 24 6. O capital de 1.000 unidades monetárias produziu o montante de 1.70P unidades monetárias em 1 ano e 9 meses. Qual foi a taxa trimestral dos juros? C n = C (1+i)n

12 1,511069 1,601032

C n = 1700 0,5%

0,089963

C = 1000

0,25%

x

n = 7(trimestralmente) 1700 = 1000 (1+i )7

0,25 x0,089963 x 0,5

(1+i )7 = 1700

Portanto:

1000

(1+0,0375)12 = 1,511069+0,044982 = 1,556051

(1+i )7 =1,7

C 12 = 2000 x 1,556051

Implementando:

C 12 = 3.122,10

7%

4. Calcular a taxa nominal correspondente a 2% ao mês.

e a

efetiva anual

7 1,605781

8% 1,713824

O valor de (1 + i)7 = 1,7 está na tábua entre as taxas de 7% e 8%.

Taxa nominal = 2% x 12 = 24% a.a. Taxa efetiva:

0,108043

1%

i =(1 +í k ) -1

0,094219

x

i k = 0,02

x = 0,094219

k

k = 12

0,108043

i = (1+0,02)12 -1

x = 0,87%

i = 1,268242-1

x = 7,87% ao trimestre

i = 0,268242 ou 26,824%a.a.

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS

5. Com relação ao ano-base de 1964,o índice de preços no ano de 1966 foi de 149, passando para 212 em 1968. Considerando os Índices referidos ao mês de dezembro, calcular a taxa mensal média de inflação nesse período de 24 meses.

Def.: Dois capitais são ditos diferidos se têm vencimentos em datas diferentes. Def.: Dois ou mais capitais são ditos equivalentes se, em certa época, seus valores atuais forem iguais.

Log(1+i ) = log P n- log P

Problemas de equivalência de capitais diferidos têm uma importância muito grande pois permitem a substituição de títulos que vencem em datas diferentes.

n P n = 212

Mas, para resolver problemas assim, devemos:

P = 149

1º) Estabelecer uma data de comparação. No caso de juros simples, esta deve ser a data em que a dívida foi contraída (data zero).

n = 24

2º) Calcular o Valor Atual de todos os títulos envolvidos no problema na data de comparação.

log(1+i ) = log212 – log149 24

Matemática

10



APOSTILAS OPÇÃO


3º) Comparar os valores calculados. Se o resultado for uma igualdade, esses capitais diferidos são equivalentes podendo, portanto, ser trocados.

04- 4,5% ao 12- 5,11% ao trimestre. trimestre. 05- 3 anos, 11 13- 19,56% a.a. meses e 6 dias. 14- 1,532% ao mês. 06- 1.934,671 u.m. 15- 5% ao trimestre. 07- 17,52% a.a.

PROBLEMAS PROPOSTOS 01. Calcular o montante de 1.000 u.m. no fim de 3 anos, a 16% a.a. capitalizados semestralmente. 02. Qual o juro de 2.000 u.m. no fim de 2 anos e meio, a 20% a.a. capitalizados trimestralmente? . 03. O capital de 1.500 u.m. foi colocado a 12% a.a. durante 4 anos. Qual o tante?

08- 2 anos. EXERCÍCIO RESOVIDOS – MATEMÁTICA

04. O capital de 1.000 u.m. produziu o montante de 1.695,881 u.m. em 3 anos. Qual a taxa trimestral do juro?

01. Quanto é 13% de 200? Solução:

05. Em quanto tempo um capital dobrará de valor a 18% a.a. capitalizados trimestralmente?

Taxa = 13% =

06. Determinar o montante de 1.200 u.m. no fim de 4 anos, a 12% a.a. capitalizados mensalmente.

Principal = 200

07. Qual a taxa anual de juros que, capitalizados semestralmente, faz com que o capital de 2.500 u.m. produza 2.000 u.m. de juros em 3 anos e 6 meses?

Porcentagem = taxa  principal Porcentagem = 0,13  200 = 26

08 Durante quanto tempo 2.500 u.m. produzem 1.484,621 u.m. de juros, a 24% a.a. capitalizados trimestralmente?

Resposta: 13% de 200 é 26.

09 O capital de 4.000 u.m. é colocado a 20% a.a. capitalizados trimestralmente e o de 7.000 u.m. é colocado a 10% a.a. capitalizados semestralmente. No fim de quanto tempo os montantes serão iguais?

02. Calcular 250% de 32. Solução:

10 Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. capitalizados trimestral-mente e o restante, a 20% a.a. capitalizados semestralmente. No fim de 2 anos e 6

Taxa = 250% =

‗meses retirou o montante de 2.061,877 u.m. Qual foi o

Porcentagem = taxa  principal

11 Uma instituição financeira paga juros de 24% a.a. capitalizados trimestral-mente. Qual a taxa efetiva?

Porcentagem = 2,5  32 = 80

12. Qual a taxa trimestral de juro equivalente a 22% a.a.?

Resposta: 250% de 32 é 80.

13. Um capital foi aplicado a 1,5% ao mês. Qual a taxa anual equivalente?

03. Obter 3,5% de $4 500,00.

14. Qual a taxa mensal de juro equivalente a 20% a.a.?

Solução:

15. O capital de 1.000 u.m. foi aplicado durante 1 ano e 3 meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse de 2% ao mês os juros seriam maiores em 69,58 7 u.m. Qual a taxa de aplicação?

Taxa = 3,5% =

03- 2.360,279 u.m.

Matemática

3,5 100

= 0,035

Principal 4 500

Respostas:

02- 1.257,79 u.m.

250 = 2,5 100

Principal = 32

capital aplicado?

01- 1.586,874 u.m.

0,13 100

Porcentagem = taxa  principal 09- 5 anos, 8 meses e 23 dias.

Porcentagem = 0,035  4 500 = 157,5 Resposta: 3,5% de $4 500,00 é $ 157,50.

10- 1.323,07 u.m.

04. Qual é o principal que à taxa de 20% resulta uma porcentagem de 36?

11- 26,24%a.a.

Solução

11



APOSTILAS OPÇÃO Taxa =

20 100

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Valor líquido 5 000 • 0,95 • 0,92

= 0,2

Valor líquido 5 000 • 0,8740

Porcentagem = 36

Valor Líquido 4 370

Porcentagem = taxa  principal

Resposta: A fatura será liquidada por $ 4370,00.

36 = 0,2  principal Principal =

36 0,2

09. Na venda de um objeto ganhou-se 5% sobre o preço de venda, ou seja, $200,00. Qual foi o preço de custo?

= 180

Resposta: O principal é 180. Solução:

05. Qual é a taxa que, aplicada num capital de $720 000,00, resulta uma porcentagem de $21 600,00?

Se foram ganhos 5% sobre a venda, podemos dizer que o custo corresponde a 95%, pois:

Solução

95% +

5% =

100%

custo

lucro

venda

Principal = 720 000 Porcentagem = 21 600

Numa regra de três, teremos:

Porcentagem = taxa  principal 21 600 = taxa  720 000 21600 3 Taxa = 21600 = 0,3 = = 3% 720000 100

Então:x =

Resposta: A taxa é de 3%.

5%

200

95%

x

95  200 =3 800 5

Resposta: O objeto foi comprado por $3 800,00.

06. Por quanto devo vender um carro que comprei por $ 40 000,00 se desejo lucrar 5% sobre a compra?

10. Certo comerciante vendeu mercadorias compradas por $1800,00 com o lucro de 10% sobre a venda. Quanto ganhou?

Solução Preço de venda = (1 + 0,05) • 40000

Solução:

Preço de venda = 1,05 • 40000

Já que o lucro foi de 10% sobre a venda, o preço de custo corresponde a 90%. pois 90% + 10% = 100%.

Preço de venda = 42 000

Numa regra de três, teremos:

Resposta: Devo vender por $ 42 000,00. 07. A quanto devo vender um objeto que comprei por $ 1900,00 para lucrar 5% sobre a venda? Solução: Preço de venda:

x= 1900 (1  0,05)

Preço de venda =

90%

1 800

10%

x

10 1800 = 200 90

Resposta: O comerciante ganhou $ 200,00 na transação.

1900 0,95

11. Qual é o juro simples que um capital de $ 30000,00 produz, quando aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m. (lê-se ―ao mês‖)?

Resposta: O preço de venda será de $ 2000,00.

Solução:

08. Uma fatura de $ 5000,00 sofrerá descontos sucessivos de 5% e mais 8%. Por quanto será liquidada?

J = C • i • n  J = 30000 • 0,035 • 5

Solução:

J = 5 • 250

Valor líquido = 5000 • (1 - 0,05) • (1 - 0,08)

Resposta: O juro é de $ 5250,00.

Matemática

12



APOSTILAS OPÇÃO


12. Qual é o juro simples que um capital de $ 2500,00 rende quando aplicado durante um ano, à taxa mensal de 2%?

J = C • i • n  2000 = C • 0,005 • 50

Solução:

2000 C 0,005 50

J = C • i • n • J = 2500 • 0,02 • 12

C = 8000

J = 600

Resposta: O capital inicial é de $ 8 000,00.

•

16. Qual taxa mensal de juros simples deve incidir num capital para que ele duplique de valor em um ano?

Resposta: O juro é de $ 600,00. 13. Um capital de $ 10000,00, investido a juros simples de 63% ao ano, foi sacado após três meses e dez dias, a contar da data do investimento. Qual foi o juro?

Solução: Neste caso, o juro é igual ao próprio capital.

Solução:

J = C • i • n  C = C • i • 12

Na resolução desse problema é importante tomar cuidado com as unidades de tempo. Assim:

C 1 ii  0,0833... C 12 12 •

3 meses e 10 dias = 100 dias J = C • i • n • J = 10000 • 0,63 •

A taxa, portanto, será de 8,33% ao mês. 100 360

Esta mesma taxa, se calculada anualmente, se tornaria, evidentemente, 100% (afinal, o capital dobrou!). Portanto:

Observe que o período n foi reduzido a anos, uma vez que dividimos o número de dias por 360, que é o ano comercial.

8,33% a.m. 100% a.a. 17. Qual é o montante resultante de uma aplicação de $ 29800,00 à taxa de 12% a.m. durante 6 meses?

J = 10000 • 0,63 • 360

J = 1750

Solução:

Resposta: O juro é de $1750,00.

Como o capital aplicado é de $ 29 800,00 precisamos saber os juros.

O mesmo efeito seria obtido se fizéssemos:

J = C • i • n  29800 • 0,12 • 6

1 3 J = 10000 • 0,63 • 3 12

J = 21 456 Como os juros são de $ 21456,00, o montante é de:

Veja que, nesse caso, utilizamos o tempo em meses, pois 3 meses e 10 dias = 3

$29 800,00 + $21 456,00 = $51 256,00

1 meses. 3

Poderíamos também resolver esse problema, usando a fórmula:

14. Qual é a taxa mensal de juros simples que deve incidir sobre um capital de $ 5000,00 para que este em quatro meses e meio, renda $ 720,00?

M = C • (1+ i • n)

Assim, temos:

Solução:

M = 29 800 (1 + 0,12 • 6)

J = C • i • n  720 = 5000 • i • 4,5

M = 29800 • 1,72

720 =i 5000 4,5

Resposta: De qualquer maneira que se resolva esse problema, o montante será de $ 51 256,00.

•

Resposta: A taxa deverá ser de 3,2% ao mês.

18. Coloquei uma certa quantia em um banco a 120% a.a. e retirei, depois de 4 anos, $ 928000,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples?

15. Que capital inicial, em cinqüenta dias, a uma taxa simples de 0,5% a.d. (lê- se ―ao dia‖) rende $ 2000,00?

Solução:

Solução

Matemática

13



APOSTILAS OPÇÃO


Temos neste problema:

20. Um título no valor de $ 1200, 00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a $ 900.00. Qual foi a taxa mensal usada?

M = 928000, i = 1,2 e n = 4 Como J = C • i • n, então:

Solução:

J = C • 1,2 • 4

N = 1200

J = 4,8C

L = 900

Mas, como M = C + J, então:

Vamos resolver este problema de dois modos.

928 000 C + 4,8C

Primeiro modo : usando o cálculo de desconto

928 000 = 5,8C

D=N•j•n

n = 5 meses

D = N - L = 1200 - 900 = 300

928000 C 5,8

300 = 1200 • 5 .

C = 160 000

i=

O capital investido foi, portanto, de $ 160 000,00.

300  0,05 1200 5 •

A taxa aplicada foi, portanto, de 5% ao mês.

Para achar os juros, basta subtrair o montante do capital:

Segundo modo : usando a fórmula do valor líquido

M=C+JJ=M-C

L = N (1 - in)

J = 928000 - 160000

900 000 = 1200000 • (1 – i • 5)

J = 768 000 900 900  1  5i  5i  1  1200 1200 300 5i  1200 300  0,05 ou 5%a.m. i 6000

Poderíamos também resolver o problema usando as fórmulas M = C (1 + i • n) ou C 

M 1  1,2 4 •

Nessas fórmulas, substituindo as letras pelos valores, temos:

Resposta: A taxa mensal foi de 5%.

928000 1  1,2 4 928000 C 5,8 C  160000 C



21. Resgatei, em 16 de abril, uma nota promissória cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de $4400,00, calculado com uma taxa mensal de 6%. Qual era o valor nominal da promissória?

•

Resposta: De qualquer maneira, os juros serão de $768 000,00, pois M = C + J  J = M - C = 928 000 - 160 000.

Solução D = 4400

19. Qual o desconto, a 5% a.m., sobre um título de $ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento?

i = 0,06

Consultando a tabela 1, obtemos a informação:

Solução N = 750, n = 2 meses e 10 dias = 70dias i = 0,05 D = N • 1 • n  D = 750 •

0,05 70  87,50 30 •

Resposta: O desconto foi, portanto, de $ 87, 50.

Matemática

14



APOSTILAS OPÇÃO


Resposta: O valor nominal da promissória era de $40000,00.

seguinte maneira: De 17.3 a 17.6 ...... 90 dias (3 meses)



JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES



CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA



DESCONTO E TAXAS DE DESCONTO

De 17.6 a 25.6 ...... 8 dias 98 dias Representando por n o número de dias de corridos entre as duas datas e, calculando pelo processo acima temos que, um capital C aplicado à taxa i durante esse prazo, é obtido calculando n/360 na fórmula (1), resultando em J = C . i . n/360 (2)

Por definição, juro simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial, ou principal, sendo diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que este é aplicado. Pelo regime de capitalização simples o fator de proporcionalidade é a taxa de juros por período, i.

Denominaremos o juro, assim calculado, de juro simples ordinário ou usual.

JURO SIMPLES ORDINÁRIO

Como há tabelas que fornecem diretamente o número exato de dias decorridos entre duas datas, na prática bancária, onde as operações, raramente, são realiza das a prazo superior a 120 dias, usa-se, freqüentemente, a fórmula (2), tomando-se, contudo, para n, o número exato de dias.

Como o período financeiro mais comum é o ano, e pelo costume vigente, as operações com prazos superiores a um ano são, na maior parte das vezes, avaliadas pelo regime de capitalização composta, resulta que a fórmula do juro simples:

Fórmulas Derivadas

J = C . i . n (1)

Considerando a fórmula básica (1) para o cálculo do juro em regime simples de capitalização, podemos, por simples transformação algébrica, encontrar o quarto termo ou valor da fórmula, desde que sejam dados os outros três, assim:

Onde C = capital inicial ou principal; i = taxa de juros do período e

a) Para calcular o capital inicial: C = J / i . n

n = prazo de aplicação (é a mais utilizada para períodos n menores do que um ano)

b) Para calcular a taxa de juros: i = J/C . n

Nessa hipótese, deve-se observar duas normas financeiras comuns:

c) Para calcular o prazo: OBSERVAÇÕES:

O ANO CIVIL - considera-se o ano civil como base de cálculo, isto é, o ano com 365 dias ou 366 dias, conforme seja bissexto ou não. Desse modo, um dia eqüivale, conforme o caso, à fração 1/365 ou 1/366 do ano.

Supõe-se que o juro e o principal são devidos apenas no fim do prazo de aplicação, a não ser que haja mudança de convenção.

O ANO COMERCIAL - considera-se o ano comercial como base de cálculo, isto é, o ano de 360 dias, subdividido em 12 meses de 30 dias cada. Assim, um dia equivale à fração 1/360 do ano e um mês equivale à fração 1/ 12 do ano.

O prazo de aplicação (n) deve estar expresso na mesma unidade de tempo, na fórmula, a que se refere a taxa (i) considerada. Exemplo 1 - Caso uma aplicação seja por 2 anos mas, a taxa de juros seja expressa em semestre, devemos converter o prazo para semestres.

JURO SIMPLES EXATO Considerando-se o ano civil para o cálculo do juro, devese contar o tempo em seu número exato de dias.

2. Taxa Percentual e Taxa Unitária

Exemplo: O juro de um capital aplicado de 17.3.19XI a 25.6.19XI, é calculado sobre 100 dias, número exato de dias decorridos entre as duas datas.

FORMA PERCENTUAL - Neste caso, a taxa diz-se aplicada a centos do capital, ou seja, ao que se obtém após dividir-se o capital por 100. A fórmula (1) tomaria, então, as seguintes formas:

Sendo n o número exato de dias durante os quais um capital C é colocado a juros simples, à taxa i, obtém-se o juro calculando n/365, na fórmula (1) : J = C . i . n/365 ou J = C . i . n/366.

J = C . i/100.n

O juro assim calculado, é chamado de juro simples exato. JURO SIMPLES COMERCIAL

ou

J = C/100 . i . n

ou

J = C . i . n/100

ou

o que é o mesmo que:

Adotando-se a convenção do ano comercial, deve-se computar o prazo de acordo com a mesma convenção, isto e, considerando-se cada mês como tendo 30 dias. Assim, por exemplo, de 17.3.Xl a 25.6.Xl deve-se contar 98 dias, da

Matemática

n = J/C . i

J = C . i . n/100

(3)

a partir da qual chega-se à expressão do montante ou va-

15



APOSTILAS OPÇÃO


lor futuro, como soma do capital e juros:

c) 18% a.a. capitalizados semestralmente. No mercado financeiro, encontramos a taxa nominal sendo muito utilizada como referência, mas não sendo usada nos cálculos, por não representar uma taxa efetiva. Esta, por estar embutida na taxa nominal, é a taxa que realmente interessa, pois ela é que será efetivamente aplicada em cada período de capitalização.

M = C + C . i . n/100 Exemplo 1 - Calcular o juro que rende um capital de $10.000 aplicado por um ano à taxa de juros de 10% a.a. Resolução: Utilizando a fórmula (3), temos:

Exemplo 2 - Aproveitando os mesmos dados do Exemplo 1 vamos demonstrar como se calcula as taxas efetivas decorrentes das taxas nominais:

10.000 x10 x1  $1.000 J 100 b) FORMA UNITÀRIA Agora a taxa refere-se à unidade do capital, isto é, calculase o que rende a aplicação de uma unidade de capital no intervalo de tempo a uma dada taxa. Exemplo 2 - Se tivermos uma taxa de 0,24% a.a., então a aplicação de $1,00 por ano, gera um juro de $0,24. Exemplo 3 - No exemplo 1, com a taxa na forma unitária (0,10% a.a.). Resolução:

J = 10.000 x 0,10 x 1 =



6% a.a., capitalizados trimestralmente, significa uma taxa efetiva de:



6% a.a./4 trimestres =1,5% a.t.



30% a.a., capitalizados mensalmente, significa uma taxa efetiva de:



30% a.a./12 meses = 2,5 a.m.



18% a.a., capitalizados semestralmente, significa uma taxa efetiva de: 18% a.a./2 semestres = 9% a.s.

Uma vez encontradas as taxas efetivas, devemos abandonar as taxas nominais e efetuar todos os cálculos com as taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1,5% a.t., 2,5% a.m. e 9% a.s.

J = $1.000,00 Pode-se observar que para transformar a forma percentual em unitária, basta dividir a taxa expressa na forma percentual por 100. E, o inverso, transformar a forma unitária em percentual, basta apenas multiplicar a forma unitária por 100.

Devemos ter em mente que a obtenção da taxa efetiva contida na taxa nominal é feita no regime de juros simples, e que, neste regime, as taxas nominais serão sempre taxas efetivas. Ainda, por convenção, a taxa efetiva, que é aquela a ser considerada na aplicação de fórmulas, correspondente a uma dada taxa nominal é a taxa que, relativa ao período de capitalização mencionado, lhe seja proporcional.

OBSERVAÇÃO: A fim de diferenciar, simbolicamente, a taxa de juro percentual da taxa de juro decimal ou unitária, podemos convencionar que:

Concluíndo, podemos definir taxa efetiva ou real como sendo aquela em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Considerando o exemplo 2 , dizemos 1,5% a,t., simplesmente, ao invés de dizermos, 1,5% a.t., capitalizados trimestraImente .

A notação r signifique a taxa de juros efetiva em cada período de capitalização, dada em porcentagem, e sempre mencionando a unidade de tempo considerada. Exemplo: r = 15% ao ano. A notação i signifique a taxa de juros efetiva em cada período, dada em fração decimal. Exemplo:

4. Taxas Proporcionais Pelo regime de juros simples, duas ou mais taxas de juros são consideradas proporcionais quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, produzirem um mesmo montante acumulado, ao final daquele período. Donde se conclui que, o conceito de taxas proporcionais, está estritamente vinculado ao regime de juros simples.

i = r/100 = 0,15 a.a. A taxa i será usada no desenvolvimento de todas as fórmulas, enquanto, r será usada na fixação os juros. 3. Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Exemplo 1- Calcular o montante acumulado (VF), no final de três anos, considerando um capital inicial (VP) de $1.000,00, pelo regime de juros simples, para cada uma das seguintes taxas de juros: a) 36% ano ano; b) 18% ao semestre; c) 9% ao trimestre; d) 3% ao mês; e, e ) 0,1% ao dia.

Por definição, a taxa nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere, ou seja, é aquela em que a unidade de referência de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal, normalmente, é dada em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser diários, mensais, trimestrais, ou semestrais.

Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i . n)

Exemplo 1 - São exemplos de taxas nominais:

a) VP= $1.000,00; ia = 0,36; n= 3 anos; VF = ?

a) 6% a.a. capitalizados trimestralmente;

VF= 1.000 (1 + 0,36 x 3) = 1.000(1 + 1,08) =

b) 30% a.a. capitalizados mensalmente;

Matemática

16



APOSTILAS OPÇÃO


VF= 1.000 (2,08) = 2.080

VF= 41.600

b) VP= $1.000; is= 0,18; n= 6 semestres; VF=

b) VP= $20.000,00; im= 0,03 ao mês; n= 36 meses; VF = ?

VF= 1.000(1 + 0,18 x 6) = 1.000(1 + 1,08) =

VF= 20.000(1 + 0,03 x 36) = 20.000(2,08) =

VF= 1.000(2,08) = 2.080

VF= 41.600 Através desse exemplo, certificamos que, o montante acumulado (VF) é igual nas duas hipóteses e, dessa maneira, constatamos que a taxa de 3% a.m. é equivalente à taxa de 36% a.a.

c) VP= $1.000,00; it= 0,09; n= 12 trimestres; VF = ? VF= 1.000(1 + 0,09 x 12) = 1.000(1+1,08) =

Podemos, então, concluir que, pelo regime de juros simples, as taxas proporcionais de juros são igualmente equivalentes, e que tanto faz, falarmos que duas taxas de juros são proporcionais ou são equivalentes.

VF= 1.000(2,08) = 2.080

d) VP= $1.000,00; im= 0,03; n= 36 meses; VF=?

6. Prazo, Taxa e Capital Médios

VF= 1.000(1 + 0,03 x 36) = 1.000(1+1,08) =

Quando os prazos de diversos capitais não são os mesmos e as taxas de juros diferem entre si, recorremos ao expediente de calcular a média para cada caso. Vamos utilizar exemplos ilustrativos como a forma mais objetiva de expor os conceitos:

VF= 1.000(2,08) = 2.080

e) VP= $1.000,00;id= 0,001; n= 1.080 dias

PRAZO MÉDIO DE VENCIMENTO DE DIVERSOS CAPITAIS

VF= 1.000(1 + 0,001 x 1.080) =

CASO 1 - TAXAS IGUAIS

VF= 1.000(1 + 1,08) - 1.000(2,08) = 2.080

Pode-se determinar o prazo médio de vencimento de diversos capitais empregados a tempos diferentes. O critério é considerar os capitais como pesos. A fórmula será, pois, chamando n1, n2, n3 :. os tempos dados, supostas as taxas iguais:

Podemos concluir que, as taxas 36% a.a.;18%a.s.; 9% a.t.; 3% a.m.; e, 0,1% a.d., são proporcionais, porque aplicadas sobre um mesmo capital inicial e um mesmo prazo total, resultaram em um mesmo montante acumulado. Se considerarmos o ano comercial, ou seja, o ano com 360 dias, as fórmulas, a seguir, conduzem ao cálculo dessas taxas proporcionais:

Prazo médio (PMe) =

ia  is  2  it  4  im  12  id  360

C1n1  C2n2  C3 n3 ... C1  C2  C3 ...

Exemplo: O Sr. Elesbão deve a um terceiro, os seguintes capitais a 10% a.a.; $2.000 a 45dias; $5.000 a 60 dias e $1.000 a 30 dias. Quando poderá pagar tudo de uma só vez, de modo que desta unificação de vencimentos não advenha prejuízo nem para o devedor nem para o credor?

5. Taxas Equivalentes Pelo regime de juros simples, duas taxas são consideradas equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo capital inicial, durante um mesmo prazo, ambas gerarem o mesmo montante acumulado no final daquele prazo.

Resolução: Aplicando a fórmula acima, temos:

Exemplo 1 - Seja um capital inicial de $20.000,00 que pode ser aplicado, alternativamente, à taxa de 3% a.m. ou de 36% a.a.

PMe 

Considerando um prazo de aplicação de 3 anos, certificar se as taxas são equivalentes.

PMe 

Resolução: Utilizando a fórmula VF = VP (1 + i . n), temos: a) VP= $ 20 .000; ia = 0,36 ao ano; n= 3 anos;

. x30 2.000 x45  5.000x60  1000 2.000  5.000  1000 . 420.000  52,5 dias 8000 .

Ao fim deste prazo, a contar da data da operação, pode ser feito o pagamento integral dos capitais devidos, disso não resultando, prejuízo algum, nem para o devedor nem para o credor.

VF = ? VF= 20.000(1 + 0,36 x 3) = 20.000(2,08) =

Matemática

17



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos juros capaz de substituir várias outras relativas a capitais empregados. É uma aplicação da média ponderada.

CASO 2 - TAXAS DIFERENTES Quando isto acontece, o critério a adotar-se é o mesmo do caso dos, tempos diferentes para a taxa média, escrevendose

PMe 

CASO 1 - TEMPOS IGUAIS Para a dedução da fórmula, consideremos os capitais C1, C2, C3, ...colocados respectivamente, às taxas i 1, i2, i3, ...anuais e todos pelo mesmo prazo. Tomando-se os capitas como pesos, pode-se escrever:

C1i1n1  C 2 i2 n 2  C 3 i3 n3 . . . C1i1  C 2 i 2  C 3 i 3 . . .

funcionando agora, como pesos, os produtos dos capitais pelas respectivas taxas.

Taxa Média = TMe 

Exemplo: Calcular o prazo médio de vencimento, para pagamento de uma só vez dos seguintes capitais: $ 20.000 por 6 meses a 6% a.a. e $ 50.000 por 4 meses a 12% a.a.

Exemplo: Um comerciante deve os seguintes capitais: $1.500 a 10% a.a.; e, $5.000 a 12% a.a. Calcular a taxa média de juros anuais.

Resolução: utilizando a fórmula acima, temos:

PMe 

C11 i  C2i2  C3i3 ... C1  C2  C3 ...

Resolução:

 6   4    50.0 0012   12  12  20.000 6   50.00012

Multiplicando-se os capitais pelas respectivas taxas e dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais, obtémse:

20.000 6

TMe 

260.000 PMe   0,36 do ano ou 4 meses e 9 720.000 dias.

. x0,10   5.000 x0,12 1500

 5.000 1500 .

 0115 ,

ou seja, na base percentual, 11,5%

OBSERVAÇÃO:

OBSERVAÇÃO: Se os capitais fossem iguais, a solução do problema recairia sobre o princípio da média aritmética simples, bastando que se calculasse a média das taxas.

Quando os capitais forem iguais, deve-se tomar, como pesos, as taxas dadas, vindo pois:

CASO 2 - TEMPOS DIFERENTES

i n  i n  i n ... PMe  1 1 2 2 3 3 i1  i 2  i 3 ...

O método a ser adotado é o da média ponderada, porém, funcionando como pesos, os produtos dos capitais pelos respectivos tempos. Temos assim:

b) JUROS DE DIVERSOS CAPITAIS

TMe 

CASO 1 - TAXA ÚNICA Quando vários capitais são empregados em tempos diferentes e todos a uma só taxa, o total dos juros produzidos é dado, a partir da fórmula: J = C . i . n, pela soma;

Exemplo: Sinfrônio e sua noiva contraíram as seguintes dívidas para poderem realizar o casamento deles: $ 2.000 a 12% a.a. por 2 meses;

Juros Totais = C1in1 + C2in2 + C3in3 + ... na qual i é a taxa única, C1 , C2, C3 . . . os capitais dados e n 1, n2, n3 ... os tempos correspondentes.

$ 5.000 a 8% a.a. por 3 meses; e, $10.000 a 10% a.a. por 1 mês.

Exemplo: A Sra. Pancrácia da Silva deve os seguintes capitais, a 12% a.a.; $1.500 em 30 d; $5.000 em 90 d; $2.400 em 60 d. Calcular o total dos juros devidos.

Calcular a taxa média anual. Resolução:

Resolução:

Utilizando a fórmula anterior, temos:

Exprimindo-se os tempos em frações do ano comercial, tem-se, de acordo com a fórmula acima: JT = (2.400x60/360)]

2   . x012 , x  2000    12  Tme  2    2.000 x   12 

0,12[(1.500x30/360)+(5.000x90/360)+

JT = $ 213,00

TMe 

c) TAXA MÉDIA

3  1   . x01 , x  5.0 00 x0,0 8 x    10000    12  12  3  1   . x   5.000 x    10000    12  12 

223,33  0092 , ou 9,2 a.a. 241666 . ,

7. Equivalência de Capitais

É a operação que tem por objetivo determinar uma taxa de

Matemática

C11 i n1  C2i2n2  C3i3n3 ... C1n1  C2n2  C3n3 ...

18



APOSTILAS OPÇÃO


A necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras, é muito frequente. Às vezes, precisamos substituir um título por outro ou um título por vários. Podemos, também, ter vários títulos que precisamos substituir por um único. Tais situações dizem respeito, geralmente, à equivalência de valores distintos relacionadas com datas distintas.

deseja-se saber o montante M do qual se disporá ao final de um período n, basta apenas agregar-lhe o juros J ganho. Assim:

Dois capitais são equivalentes numa certa época, se, nessa época seus valores presentes são iguais. O problema de equivalência de capitais diferidos aplica-se quando existe a substituição de um título por outro(s), com data(s) diferente ( s ).

M = C (1 + i)

M = C + J, porém J = C . i . t, quando t = 1, J = C . i, assim M = C + C . i que fatorando:

Como pode-se ver, o montante de um capital ao final de um período se obtém multiplicando este pelo fator ( 1 + i ) . Desta maneira, ao final do segundo período, temos:

Seja VN o valor nominal de um título para n dias. O problema consiste em encontrar um valor VN' de um outro título, equivalente ao primeiro, com vencimento para n' dias.

D

VN  n 

M = C ( 1 + i ) ( 1 + i ) = C ( 1 + i )2 Ao final do terceiro período, temos: M = C ( 1 + i )2 ( 1 + i ) = C ( 1 + i )3

Obs.: VN = VF = valor do Resgate do

Título

e assim sucessivamente. Esta sucessão de montantes forma uma progressão geométrica cujo n-ésimo termo é igual a:

Seja VP o valor presente do 1.º título e VP' o do 2.º; temos:

VP  VF 

M=C(1+i)n

VF'n' VF  n e VP'  VF'  

Esta equação é conhecida como a fórmula do montante pelo regime de juros compostos.

Como VP = VP', vem:

VF 

VF  n VF'n'  VF'  

ΔVF 

VF  n  ΔVF'n'  VF Δ  n 

VF'  Δ  n'   VF' 

Exemplo 1 - Um investidor aplica a prazo fixo, em um banco, a quantia de $500.000,00 à taxa de 48,0% a.a. capitalizável mensalmente. Qual será o montante acumulado em 2 anos? Resolução: M = C ( 1 + i ) n Como já observamos, o período de cálculo deve ser o mesmo para i e para n. Assim, para calcular a taxa de juros mensal, divide-se a taxa anual entre a frequência de conversão:

VF Δ  n Δ

n

Exemplo 1 - Um Comerciante deseja trocar um título de $10.000, vencível em 3 meses, por outro com vencimento de 5 meses. Considerando a taxa de juros contratada de 3% a.m. para esta transação, calcular o valor nominal do novo titulo.

i =

Para determinar n, multiplica-se o lapso em anos pela frequência de conversão:

Resolução:

n = 2 (12) = 24 assim M = 500.000 ( 1 + 0,04 )24 ou M = 500.000 ( FVFPU )

VF = 10.000; n = 90 dias; n'= 150 dias;



Fator de Valor Futuro de Pagamento Único (FVFPU )

36.000  1000 . 36

FVFPU = (1 + 0,04)24

Utilizando a fórmula anterior, temos:

VF' 

10.0001000 .  90

 150 1000 .

Neste momento surge a pergunta: como calcular? Existem quatro alternativas :

 $10.705,80

Utilizar papel e lápis e realizar a operação 24 vezes. Resolver a equação utilizando logaritmos.

O valor nominal do 2.º título ($10.705,80) é equivalente ao valor nominal do 1.º ($10.000).

Utilizar de tabelas financeiras existentes nos livros de finanças.

8. Montante

Empregar calculadoras financeiras. Este é o meio mais prático.

O montante composto é o resultado que se obtém ao incrementar o capital inicial com o valor dos juros compostos. Se se dispõe de um capital C e aplica-se em um banco e

Matemática

taxa de juros anual 18 = = 0,04 ou i = 4,0 % a.m. frequencia de conversao 12

FVFPU = (1, 04)24 = 2,5633

19



APOSTILAS OPÇÃO


M = 500.000 ( 2,5633 ) = 1.281.650

Exemplo 2 - José Elesbão deseja adquirir uma casa pelo valor de $15.000.000,00. O vendedor pediu-lhe 50,0% de entrada e 50,0% em um ano e meio, quando do término da construção da casa e entrega do imóvel. Quanto Elesbão deve depositar num banco hoje para poder garantir a liquidação de sua dívida, se a taxa de juros vigente é de 7,0% a.m.?

Em dois anos, a aplicação de $500.000 transformar-se-á em um montante de $1.281.650,00 pela geração de um juro composto de $781.650,00. Exemplo 2 - Um indivíduo obtém um empréstimo bancário de $1.500.000 a ser pago dentro de um ano e com juros de 52,0% conversível trimestralmente. Qual é o montante que deverá ser liquidado?

Resolução: José Elesbão paga neste momento $7.500.000,00 (50.0% na operação e, deve pagar outro tanto daqui a 18 meses).

Resolução: Primeiramente, determina-se a taxa de juros por período de conversão: 1 = .54/2 = .13

Para calcular a quantidade de dinheiro que deve depositar hoje, vamos a fórmula do valor atual :

n = 12 / 3 = 4 M=C(1+i)

M = C ( 1 + i ) n = 1.500.000 ( 1,13 )4 =



 = 18    1,07  

M = 1.500.000 ( 1,6305 ) = 2.445.750

7.500.000

A quantia a ser liquidada será de 52.445.750

 1   = 2.218.979,37  3,3799 

O valor atual, presente ou principal de um pagamento simples, ou único, é o valor de um mon tante a ser pago ou recebido daqui a n anos, descontado a uma taxa que determine o seu valor hoje, no momento zero.

A fim de garantir o pagamento de sua dívida, Elesbão deve depositar $2.218.979,37 já para ter os $7.500.000,00 restantes daqui a um ano e meio. Como se pode ver nestes exemplos, C é o valor presente, atual ou principal de M. Isto é, pode-se considerar que o capital C e o montante M são dois valores equivalentes de uma determinada taxa de juros i e um período determinado n.

Para calcula-lo, vamos utilizar a fórmula do montante ou valor futuro: M=C(1+i)n Como C indica o capital no momento zero, temos:

M

M

1

7.500.000

8. Valor Atual, Valor Presente ou Principal

C=

n

Exemplo 3 - A Cia de Modas Messeder, planeja realizar um investimento de $2.000.000,00 para produzir um artigo de moda do qual espera uma receita total de $5.000.000 dentro de dois anos. Considerando uma inflação média anual de 50,0%, e que os juros real i, seja igual a 5.0% a.a., convém à C.M.M, investir?

n n = M  1 + i =

 1+ i 

 1   n  = M ( FVAPU) 1 + i    

Resolução: Comparam-se os $2.000.000,00 que se devem investir no momento zero com $5.000.000,00 que se espera receber em 2 anos. Para fazer essa comparação, é necessário que ambas as quantidades de dinheiro sejam equivalentes.

FVAPU = Fator de Valor Atual de Pagamento Único Generalizando, podemos dizer que conhecendo 3 das 4 variáveis envolvidas: M, C, n, i, podemos calcular a quarta. Exemplo 1 – Quanto se deve depositar em um banco se desejar obter um montante de $ 5.000.00 dentro de 3 anos a uma taxa de juros de 20,0% a.a., capitalizável semestralmente?

Em primeiro lugar, devemos calcular a taxa nominal de juros: i = taxa nominal; r = taxa real de juros; d = taxa de inflação. i = (1+r) (i + d) -1

Resolução:

i = ( 1,05 ) ( 1,50 ) - 1 = 0,575 ou 57,5% a.a.

Pela fórmula: M = C ( 1 + i ) n , temos: M = 5.000.000; i = 10.0% a.s.; n = 6 semestres

 C = M  

Calculando o FVAPU = 1/(1,10)6 = 1 / 1,7716 6

 1   = 5.000.000    = 2  2,4806  1,575  1



C = 5.000.000 / (1,10) = C = 2.015.641,38

5.000.000 / 1,7716 = C = 2.822.307,52

Conforme apuramos, $2.015.641,38 é maior que $2.000.000,00. Portanto, a C.M.M, deve investir, por que

Deve-se depositar $2.822,307,52

Matemática

20



APOSTILAS OPÇÃO


além de descontar a inflação de 50,0% a.a., a empresa será remunerada à taxa de 5,0% a.a., que é a taxa de mercado e, ainda vão sobrar $ 15.641,38

investimento inicial necessário para sua exploração ($350.000.000,). Portanto, a companhia não deve explorar a jazida, a menos que o preço do metal se eleve e com ele, elevem-se as entradas de caixa.

Exemplo 4 - Uma companhia de mineração descobriu uma jazida de manganês e deve decidir sobre a conveniência ou não de sua exploração. A fim de poder beneficiar o mineral, é necessário realizar uma inversão de $350.000.000,00 Seus analistas financeiros estimam que a jazida tem minério suficiente para 3 anos de exploração e, de acordo com os preços vigentes do metal, as entradas de caixa seriam os seguintes:

9. Desconto Racional Composto É o desconto obtido pela diferença entre o VALOR NOMINAL e o VALOR PRESENTE de um compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento, calculando o valor presente à taxa de desconto. Sendo :

Ano 1 = $100.000.000,00; Ano 2 = $200.000.000,00;



N = valor nominal ou montante do compromisso em sua data de vencimento.



n = número de períodos compreendido entre a data de desconto e a data de vencimento.



i = taxa de juros utilizada na operação.



Dr= desconto racional composto



Vr= valor descontado racional composto na data de desconto, calculado à taxa de desconto.

Ano 3 = $300.000.000,00; Estimando que a taxa de inflação, em média, seja de 30.0% a.a. e que a taxa de juros real desejada pela empresa seja de 10,0% a.a., deve a companhia aprovar o projeto? Resolução:

A fórmula utilizada, é:

C = $350.000.000,00 Entradas de Caixa

  1  Vr = N   1 + i n    

= Ecx1 = $100.000.000,00

= Ecx2 = $200.000.000,00

Podemos reparar que, essa fórmula do valor descontado, é a mesma do valor presente calculado no regime de juros compostos, onde:

= Ecx3 = $300.000.000,00 d = 30,0% a. a. ;

r =10,0% a.a.;

i=?

Vr = C

i = (1 + d) (1 + r) - 1 = (1,3) (1,1) - 1 =

Dr = N - Vr  N -

Valor Presente das Entradas de Caixa = VPECx

VPECx1 =

VPECx 3 =

ECx2

1

n

+ i

ECx1



1 + i

n

+ i

=



n

200.000.000 = 97.804.294,*  1,43 2

100.000.000





ECx 2

1

=

=

1,43

1

3

= 69.930.070,*

1

+ i

n



 = N 1  

  n 1 + i   1



Resolução: N = 100.000; i = 2,0% a.m.;

= 102.591.916 *

n = 6 meses

Utilizando a fórmula, temos:

* (centavos arredondados)



N

Exemplo 2 - Um título no valor de $100.000,00 foi saldado seis meses antes do vencimento. O possuidor do título obteve uma taxa de desconto de 2,0% a.m. Calcular o desconto racional e a quantia recebida.



300.000.000

 1,43 

N =M

O desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor descontado:

i = 1,43 - 1 = 0,43 = 43,0% a.a.

VPECx2 =

e

   1  = 100.0001 Dr  N 1 n    1+ i  

VPECx = somatório das ECx descontadas =

  6 1,02   1



VPECx1 + VPECx2 + VPECx3



VPECx = 69.930.070 + 97.804.294, + 102.591.916, = VPECx = 270.326.280,

Dr = 100.000 0,1121 = 11.210

Observamos que, o total do valor presente das entradas de caixa ($270.326.280) é menor que o

Matemática

21



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Resolução:

E a quantia recebida:

Vr = 10.000; Dr = 1.401,75; n = 6 meses; i = ?

Vr = N – Dr = 100.000 - 11.210 = 88.790

Vendo Vr = N - Dr deduzimos que, N = Vr + Dr

 N = 10.000 + 1.401,75 = 11.401,75 Observe que, se aplicarmos o valor descontado (Vr) por 6 meses à taxa de juros compostos de 2,0% a.m., obteremos: N = C6 ;

Vr = C0

Utilizando a fórmula, vem: Vr = N ( i + 1 )

 C6 = C0 ( 1 + i )6 =

N = 88.790 (1,02)6 = 88.790 ( 1,1262 )



100.000

N = Vr ( i + 1 )

n

= 11.401,75 (1+i)-6 / 12 (considerando-se i

10.000 anual) 6 12

J6 = C 6  C0 = 100.000 - 88.790 = 11.210  J 6 = D r

1

Fica evidenciado que o desconto racional composto é igual ao juro devido no período de antecipação, desde que seja calculado à taxa de desconto.



Exemplo 3 - Um título de valor nominal de $ 30.000,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento, à taxa de 5,0% a.m. Calcule o desconto racional concedido.

i = 0,30

Resolução:

+ i

1+ i

1 2



11.401,75

=

2

10.000,00



= 1,140175

i

=

12

+ 1

= 1,140175

2 = 1 + i = 1,30

ou

30,0 % a. a.

Exemplo 5 - O Sr. Cristiano José descontou um título no valor nominal de $6.500,00 e o desconto concedido foi de $835,63. Considerando que a taxa de juros de mercado era de 3,5%a.m. Calcular o prazo de antecipação.

Para simplificar a notação, passaremos a indicar:

 1 + i n

ou

Substituindo os termos, temos:

E os juros devidos são dados por:

1

-n

-n

por ( 1 + i ) , assim a fórmula fica: Resolução: -n

Dr = N [ 1 - (1 + i) ] N = 30.000; 1 = 5.0% a.m.; n = 4 meses; Dr =?

N = 6.500;

Dr= 835,63;

Dr = 30.000 [1- (1,05)4 ] =30.000 ( 1-0,8227 )

i = 3,5% a,m.;

n=?

Dr = 30.000 (0,1773)  5.319

Utilizando a fórmula: D r = N [ 1 - (1 + i) ] , temos:

-n

Exemplo 4 - A Financeira Desconta Tudo informou, ao descontar uma Nota Promissória no valor de $10.000,00 que, sua taxa de desconto racional era de 36,0% a.a.. Se o desconto fosse realizado 3 meses antes do vencimento, qual se ria o valor do resgate (valor líquido) a ser recebido pelo possuidor do título?

835,63 = 6.500 [ 1 - (1,035) ] 835,63 = 1 6500 .

 1,035   n



-n

0,128558 = 1 -

 1,035   n

n 1  0,128558   1,035   0,871442=

Resolução: N = 10.000; i = 36.0% a.a.;

1

n = 3 meses; Vr = ?

Vr = N (1+ 1)-n = 10.000 [ ( 1,36 ) 1 / 12 ] -3 = Vr = 10.000 [ 1,0259 ]-3 = 10.000 [ 0,9262 ] = Vr = $ 9.261,58

n=

1

 1,035

0,871442

1,147524 =

 1,035 



n  1,035



n

As opções para encontrar n são três:

Exemplo 4 - O Sr. Leôncio Armando, numa operação de desconto recebeu $ 10.000,00 como valor de resgate. Sabendo-se que a antecipação fora de 6 meses e o desconto de $ 1.401,75, calcule a taxa de juros anual utilizada na operação.

1) utilizar uma máquina calculadora de boa qualidade; 2) procurar em tabelas financeiras para i = 3,5%; e 3) empregar logaritmos.

Matemática

22



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos a taxa de juros i, forem iguais; ou seja, esses capitais serão equivalentes se:

Vamos utilizar a opção prática de demonstrar os cálculos, que é através de logaritmos:

C1



log 1,147524 = n log 1,035

 n =

0,059762 0,01494

Esses

N = 5Dr

Sendo N = 5 Dr , temos: N / D r = 5

1 - 0,20 =  1 + i  8 = 0,80 =  1 + i  8

dois

capitais

serão

equivalentes

33.335,22

3970275 . ,

 1 + i 6

 1 + i 9

se:

Depois de haver demonstrado que, dois ou mais capitais são equivalentes em determinada data focal, para determinada taxa, esses mesmos capitais, serão equivalentes em qualquer data tomada como focal, à mesma taxa de juros ou de desconto racional composto. Porém, se considerarmos qualquer outra taxa, a equivalência não se verificará.

i  2,83 a. m.

substituindo a taxa encontrada na fórmula:

Exemplo 2 - A fim de comprovar o que foi afirmado acima vamos desenvolver, com os dados acima, os cálculos do valor dos dois capitais no final de 12 meses, a partir de hoje.

8

N = Vr ( 1 + i ) , vem: N = 1.740 (1,028286) 

n



Portanto, esses dois capitais são equivalentes.

1 0,80 =  1 + i  8 = 1,25 =  1 + i  8

N = 1.740 ( 1,25 )

+ i

3970275 . , = 23.500 168948 .

D r N = 1 -  1 + i  n  0,20  1   1 + i  8

n

1

33.335,22 = 23.500 168948 ,

Utilizando a fórmula Dr = N [ 1 - ( i + 1 )-n ], vem:

ou



Efetuando os cálculos, temos:

e

Dr / N = 1/ 5 = 0,20

i  0,028286



Cn

= . .. =

t 1 + i3

Resolução:

Resolução: n = 8;

+ i

C3

=

Exemplo 1 - Dados dois capitais $ 33.335,22 vencível de hoje a 6 meses e $ 39.702,75 vencível daqui a 9 meses, verificar se são equivalentes, na data de hoje, à taxa de juros de 6.0% a.m.

= 4 meses

Exemplo 6 - Caso a antecipação seja de 8 meses, o valor de um compromisso é de 5 vezes o desconto racional. Qual é o seu valor nominal, sabendo-se que o valor líquido (valor de resgate) é de $1.740,00?

Vr = 1.740;

1

t2

em que 1 é a taxa periódica de juros (mensal, trimestral, anual) e t é prazo (em meses, trimestres, anos) .

procurando na tabela de logaritmos, encontramos: 0,059762 = n  0,1494

C2

=

t 1 + i 1

N = $ 2,175

Resolução: Para determinar o valor do capital de $ 33.335,22, no final de 12 meses, basta capitalizá-lo por mais 6 meses, a uma taxa de 6% a.m. E para o capital de $ 39.702,75, capitaliza-lo por mais 3 m eses, à mesma taxa.

CAPITAIS EQUIVALENTES Como já foi visto neste trabalho, o dinheiro tem um valor diferente no tempo; não é a mesma coisa ter $1.000,00 neste momento e dentro de um ano depois, dependendo da taxa de inflação vigente, este verá reduzido seu valor em maior ou menor grau.

Aplicando a fórmula do valor futuro: M = C ( 1 + i )n, temos:

Conceitualmente, dois ou mais valores nominais, referentes a datas de vencimentos determinadas, se dizem equivalentes quando seus valores, descontados para uma mesma data, à mesma taxa em condições idênticas, produzirem valores iguais. Isto pode ser demonstrado de forma simbólica, assim:

33.335,22 (1,06)6 =33.335,22 (1,41852) = 47.286,68

Os capitais C1, C2, C3..., Cn‘ , com vencimentos nas datas t1, t2, t3,...,t n‘, respectivamente, considerados a partir da data de referência t0, são ditos equivalentes se os seus respectivos valores presentes na data focal t 0, considerada

Nos cálculos acima, incluímos o capital inicial de $23.500,00, para ratificarmos o que foi dito sobre equivalência de capital.

Matemática

39.702,75 (1,06)3 = 39.702,75 (1,19102) =47.386,61 23.500,00 (1,06)12 = 23.500,00 (2,01220) = 47.286,62

23



APOSTILAS OPÇÃO


Exemplo 3 - O Sr. João das Bottas trocou um título com o valor nominal de $10.200,00, com vencimento para 5 meses, por outro de $ 8.992,92, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 6,5 % a.m., houve vantagem? Resolução: A nossa tarefa é comparar esses dois capitais para verificar se são equivalentes ou não. A equivalência será feita através da taxa de juros. V '3 =

C5

1 + i

=

2

10.200

 1,065 

2

=

10.200 1.13423

= $ 8.992,92

Constatamos que V3‘ = C3 = $ 8.992,92 b) Data focal cinco:

Como os capitais encontram-se em momentos diferentes de tempo, devemos compara-los numa mesma data focal.

A fim de reforçar as características que conduzem à equivalência, vamos considerar três datas focais: zero, t rês e cinco.

a) Data focal zero:

2

2

V5 ' = C3  1 + i



V5 ' = 8.992,92

 1,1423  = $ 10.200,00

= 8.992,92

 1,065 

=

Exemplo 4 - A Casa Kreira Ltda lançou uma campanha promocional vendendo tudo a prazo, em três vezes sem acréscimo. Sendo o preço a vista dividido por 3 e a primeira parcela é dada como entrada. Considerando que a taxa da loja é de 11,5% a.m., calcule o desconto sobre o preço a vista de uma mercadoria que é de $600,00. Primeiramente, vamos calcular o valor das parcelas: $600,00 / 3 = $200,00 A seguir, devemos esboçar o diagrama do tempo e dinheiro: V3 

V5 =

C3

1

+ i



C5

1

+ i



=

3

2

8.992,92

 1,065 

=

3

10.200

 1,065 

5

=

=

10.200 = $ 7.444,79 1,20795

10.200 1.37009

= $ 7.444,79

Como V3 = V5 = $ 7.444,79, constatamos que não houve vantagem alguma na troca dos títulos. a) Data focal três: A terceira etapa é encontrar X = preço a vista da

Matemática

24



APOSTILAS OPÇÃO


mercadoria, ou seja, o valor presente das parcelas, ou ainda, o preço com desconto: X = 200 +

Santos quer receber a dívida 2 meses antes da data proposta na promissória. Do mesmo modo que no valor nominal da nota incluem-se os juros pela postergação do pagamento, podemos aceitar o fato de que o adiantamento do mesmo também deverá vir acompanhado de juros, mas agora no sentido contrário, ou seja, descontados do valor nominal.

200 200 +  1,115   1,115  2

X = 200 + 179,37 + 160,87 X

= 200 +

200

 1,115 

+

Supondo uma taxa de 1,4% a.m. para o desconto, em dois meses de adiantamento, teremos sobre os $ 100 000,00 o seguinte cálculo:

200 1,24323

Desconto = 100 000 . 0,014 . 2

X = $ 540,24

Desconto = 2 800 Marcelo dos Santos deverá receber, então:

DESCONTOS

$100 000,00 — $ 2 800,00 = $ 97 200,00 Chamemos, então, de desconto de título ao abatimento dado sobre o valor nominal, pela antecipação do pagamento.

WalterSpinelli 1. Introdução

O desconto bancário é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor nominal.

Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é muito comum o devedor oferecer ao credor um documento denominado titulo, que é o comprovante dessa operação.

O desconto bancário é também conhecido como comercial ou por fora.

De posse do titulo, que é usado para formalizar uma dívida que não será paga imediatamente, mas dentro de um prazo estipulado, o credor poderá negociar o pagamento antecipado da dívida através de um banco. Vamos tratar, neste capítulo, desse tipo de operação bancária.

As fórmulas que utilizaremos para calcular o desconto bancário são bem semelhantes às de j uros simples.

2. Títulos

Chamando:

Há três tipos de títulos bastante usados: nota promissória, duplicata e letra de câmbio.

D = desconto N = valor nominal

Nota promissória — Pode ser usada entre pessoas físicas, ou ainda entre pessoas físicas e instituições financeiras. Trata-se de um título de crédito, que corresponde a uma promessa de pagamento, em que vão especificados: valor nominal ou quantia a ser paga (que é a dívida inicial, normalmente acrescida de juros), data de vencimento do título (em que a dívida deve ser paga), nome e assinatura do devedor, nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga.

L = valor líquido recebido após o desconto I = taxa n = período de tempo, teremos: D = N .i . n

Duplicata — E usada por pessoa jurídica contra um cliente (que pode ser pessoa física ou jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro (segundo contrato). Na duplicata deve constar o aceite do cliente, o valor nominal, a data de vencimento, o nome de quem deverá pagar e o nome da pessoa a quem deverá pagar. Uma duplicata só é legal se for feita tendo por base da nota fiscal.

L = N — D ou L = N — N . i . n, então: L = N . (1 —in)

1. Qual o desconto, a 5% a.m., sobre um título de $ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento?

Letra de câmbio — É um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. Uma letra de câmbio tem especificados: valor de resgate (que é o valor nominal acrescido de juros), data de vencimento do título e quem deve pagar.

Solução: N=750, n=2 meses e 10 dias=70 dias i = 0,05 D=N.i.n=  D=750.

O credor Marcelo dos Santos de posse da nota promissória, conforme o modelo apresentado na página 96, deseja resgatar a dívida em 01/01/88.

0,05 30

.70=87,50

Resposta: O desconto foi, portanto, de $ 87 ,50.

Você deve ter notado que, na verdade, Marcelo dos

Matemática

25



APOSTILAS OPÇÃO


2. Um título no valor de $ 1.200,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a $ 900.00. Qual foi a taxa mensal usada?

Resposta: O valor nominal da promissória era de $40 000,00. DESCONTO RACIONAL

Solução: N = 1200

n = 5 meses

O desconto racional é também conhecido como desconto por dentro. Trata-se, nesse caso, de usar uma taxa sobre um valor não conhecido, situação semelhante à analisada em lucros sobre a venda.

L = 900

Vamos resolver este problema de dois modos.

O desconto racional é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor líquido.

Primeiro modo: usando o cálculo de desconto D=Nin

O desconto racional, Dr, calculado sobre o líquido, é dado por:

D = N — L = 1 200 — 900 = 300

Dr = L . i . n

300 = 1.200 • 5. i

i=

Mas, também, é fato que:

300 = 0,05 1200  5

L + Dr = N

A taxa aplicada foi, portanto, de 5% ao mês.

Podemos, pois, calcular o líquido fazendo:

Segundo modo: usando a fórmula do valor líquido

L + L . i . n= N

L = N (1 — in)

L (1 + i . n) = N

900.000 = 1.200.000 . (1 — i . 5) L 900 900 = 1 – 5i =1 — 1.200 1.200

5i = i=

No caso de querermos o desconto diretamente, substituiremos L por

300 1.200

N na expressão Dr = L . i . n. 1  in

Ficaremos com:

300 =0,05 ou 5% a.m. 6.000

Dr = L . i . n =

Resposta: A taxa mensal foi de 5%. Dr 

3. Resgatei, em 16 de abril, uma nota promissória cujo vencimento estava marcado para 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de $4 400,00, calculado com uma taxa mensal de 6%. Qual era o valor nominal da promissória?

N 1  in

.i.n

Nin 1  in

1 Exercícios Resolvidos 1. Calcular o desconto por dentro de um título de $ 6 864,00, à taxa de 12% ao mês, 1 mês e 6 dias antes do vencimento.

Solução D = 4400

N 1  in

i = 0,06

Solução:

Consultando a tabela 1, obtemos a i nformação:

N = 6864

i = 0,12

n = 1 mês e 6 dias = 36 dias N 1  in

L=

6864 = 6000 1  0,144

161 — 106 = 55 = n D=N.i.n 4.400 = N 

0,06 4.400  30  55  N= 30 0,06  55

=

O desconto foi, portanto, de: $6864,00 —$ 6000,00 = $ 864,00

N = 40 000

Matemática

6864 0,12 1  36 30

L=

26



APOSTILAS OPÇÃO


O mesmo problema pode ser resolvido aplicando diretamente a fórmula do desconto: Nin = Dr  1  in

fora, à taxa de 6% a.m., dá $ 600,00 de desconto? 4. Encontrar o valor nominal de um título que, descontado por fora, à taxa de 4% a.m., três meses e meio antes do seu vencimento, teve um desconto de $ 28000,00.

0,12  36 30 0,12 1  36 30

6864 

5. Um título, com vencimento em 15 de agosto, foi descontado por fora em 13 de junho precedente, a uma taxa de 6% a.m. Se o valor nominal do título era de $ 3 600,00, qual ficou sendo o seu valor atual?

Dr = $ 864,00 Resposta: O desconto foi de $ 864,00.

6. Um título, no valor de $ 1 800,00, ficou reduzido a $1 200,00 quando descontado por fora 3 meses antes de seu vencimento. Qual foi a taxa mensal do desconto?

2. Um título com valor nominal de $ 2.000.000,00, à taxa de 9% ao mês, vai ser descontado 8 meses antes do vencimento. Calcular a diferença entre os descontos bancário e racional.

7. A que taxa anual uma nota promissória de $ 420,00, em um mês e meio, dá $ 5,25 de desconto por fora?

Solução Desconto bancário

Desconto racional

D=N.i.n

Dr 

Nin 1  in

Dr 

2.000.000  0,09  8 1  0,09  8

D = 2.000.000 . 0,09 . 8 D = 1.440.000

8. Determinar o desconto por fora sofrido por uma letra de $ 2 400,00, à taxa de 4,5% a.m., 6 meses antes de seu vencimento. 9. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio que, descontada por fora, 3 meses e 10 dias antes de seu vencimento, à taxa de 10% a.m., produziu o desconto de $ 400,00. 10. Uma letra de câmbio pagável em 19 de agosto, descontada por fora à taxa de 12% a.m. no dia 3 de maio precedente, produziu $ 20 726,00 de líquido. Qual é o valor nominal dessa letra?

Dr = 837.209,30 Diferença: D — Dr = 602.790,70

11. Determinar o desconto por dentro sofrido por uma letra de 1 1 000,00, descontada à taxa de 3% a.m., 6 meses antes de seu vencimento.

Por esse problema, percebe-se que o desconto bancário não é apropriado para prazos muito longos.

12. Uma letra de $ 900,00, descontada por dentro, 20 dias antes de seu vencimento, sofreu um desconto de $ 100,00. Qual foi a taxa mensal usada na operação?

Resposta: A diferença é de $ 602 790,70. 3. Calcular a taxa a ser aplicada, por dentro, numa duplicata de $ 1 800,00, para qu e ela, dois meses e meio antes do vencimento, se reduza a $ 1 000,00.

13. Determinar o líquido produzido por uma letra que, descontada por dentro, 60 dias antes do seu vencimento, à taxa de 9% a.m., produziu $ 140,00 de desconto.

Solução N = 1.800.000 L=

L=1000

n = 2,5 m

14. Uma pessoa vai a um banco e desconta por fora uma nota promissória 85 dias antes do vencimento, à taxa de 6% a.m. Sabendo-se que o líquido para a pessoa foi de $ 1 992,00, qual era o valor da promissória?

1800 N 1.000 = 1  i  2,5 1  in

1000(1+ 2,5i) = 1800 1+2,5i =

15. Determinar a diferença entre os descontos por fora e por dentro de uma nota promissória de $ 2 000,00 quando descontada 1 mês e 10 dias antes do vencimento, à taxa mensal de 9%.

1800 1000

1 +2,5i = 1,8  2,5i= 1,8 —1  i=

0,8 2,5

16. Calcular o desconto por dentro de uma letra com vencimento para daqui a 8 anos, no valor nominal de $ 1 000,00, se descontada hoje à taxa anual de 20%. O valor encontrado é razoável? Repita o cálculo, verificando o desconto por fora.

i = 0,32 Resposta: A taxa deve ser, portanto, de 32% a.m.

17. Duas letras, uma de $ 15 000,00, pagável em 6 meses, e outra de $ 14 700,00, pagável em 30 dias, foram apresentadas a desconto por fora, r ecebendo o portador da primeira $ 313,75 a mais do q ue o portador da segunda. Qual foi a taxa anual usada nas operações?

1. Determinar o desconto bancário sofrido por uma promissória de $ 1 000,00, à taxa de 8% a.m., 3 m eses antes do seu vencimento. 2. A que taxa anual, uma duplicata de $ 3 000,00, em 6 meses, dá $ 600,00 de desconto por fora? 3. Em que prazo um título de $ 2 500,00, descontado por

Matemática

27



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Um segundo problema seria o de determinar o prazo médio no caso de termos taxas iguais, mas valores nominais diferentes.

PRAZO MÉDIO Um banco deseja resgatar 3 títulos de $ 10 000,00 cada, de um mesmo devedor, todos à mesma taxa de 6% a.m., com vencimentos para 30, 60 e 90 dias.

Vamos fazer o cálculo desse prazo para três títulos, nas seguintes condições:

Caso seja do interesse do banco e do devedor, esses 3 títulos poderão ser substituídos por um único que não cause ônus a nenhuma das partes.

Título Nominal ($)

Esse título único terá de, num determinado prazo, à mesma taxa, oferecer o mesmo desconto que a soma dos descontos produzidos pelos 3 títulos. Esse prazo é chamado de prazo médio.

1

1000,00

10% a.m.

40

2

2000,00

10% a.m.

50

3

3000,00

10% a.m.

60

Título

Em primeiro lugar, faremos o cálculo dos descontos em separado: Desconto

30 dias = 1 mês

10000 . 0,06 . 1

60 dias = 2 meses

10000 . 0,06 . 2

90 dias = 3 meses

10000 . 0,06 . 3

(Lembre-se de que D = N . i . n para o desconto bancário.)

Desconto

1

1000 

0,1  40 30

2

2000 

0,1  50 30

3

3000 

0,1  60 30

Lembre-se de que D = N h n. O desconto será, portanto:

Portanto, o desconto total é de: 3

Vencimento (dias)

Vamos, primeiramente, fazer o cálculo dos descontos individuais:

Vamos ver como se faz para encontrar esse prazo.

Tempo

Taxa

D = 10000 • 0,06 • 1 + 10000 • 0,06 • 2 + 10000 • 0,06 •

D  1000 

D = 10000 • 0.06(1 + 2 + 3)

D

Vamos, agora, encontrar o tempo T, que produziria, no total dos 3 títulos, à m esma taxa, o mesmo desconto.

0,1 0,1 0,1  40  2000   50  3000   60 30 30 30

0,1 (1000  40  2 000  50  3 000  60) 30

Agora vamos calcular o desconto produzido num título único, à mesma taxa, num prazo T, no valor que é a soma dos valores nominais de cada um dos 3 outros títulos.

D = 30 000 • 0,06 • T

Comparando-se os descontos, vem: D  (1000  2000  3000)

10000 • 0,06(1 + 2 + 3)= 30000 • 0,06 • T

Comparando os dois cálculos dos descontos, vem:

10000 0,06(1  2  3) T 30000  0,06

(1000  2000  3000)  1 2  3  T ou T = 2 meses 3

0,1 0,1 (1000  40  2 000  T  30 30

50  3 000  60)

Deste modo, um título único de $ 30 000,00 produzirá em 2 meses, à mesma taxa de 6%, o mesmo desconto que a soma dos descontos dos 3 títulos.

T

1000  40  2 000  50  3 000  60 = 53 dias 1000  2000  3000

(aproximadamente) O prazo médio seria, nessa situação, 53 dias. Perceba que ele foi obtido calculando a média ponderada dos três prazos e utilizando os respectivos valores nominais como pesos. Generalizando, temos:

O prazo médio T = 2 meses, como se pode perceber, foi obtido através da média aritmética dos prazos dos 3 títulos. Generalizando. teremos:

Quando os valores nominais forem diferentes e as taxas iguais, o prazo médio será a média ponderada dos prazos, com os respectivos valores nominais como pesos.

Quando os valores nominais forem iguais, e as taxas também, o prazo médio será a média aritmética dos prazos.

Matemática

0,1 T 30

28



APOSTILAS OPÇÃO


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

250  20  350  40  400  25  250  350  400 5000  14000  10000  29 1000 T

1. Tenho três letras iguais de $ 480,00, a prazos de 20, 25 e 35 dias, respectivamente. Como a taxa de desconto é de 1,2% a.m., qual é o prazo médio de vencimento das três letras?

O prazo médio é de 29 dias.

Solução

Vamos fazer a verificação, lembrando-nos de que i = 0,08.

Como temos o mesmo valor nominal e a mesma taxa para as três letras, podemos considerar o prazo médio como média aritmética dos 3 prazos. Assim: T

Tempo (dias)

20  25  35 80  3 3

ou aproximadamente 27 dias.

Desconto ($)

20

250 

20 400  0,08  30 30

40

350 

20 1120  0,08  30 30

25

400 

Vamos verificar a validade dessa resposta, lembrandose de que D = N • i • n e i = 0,012. Tempo (dias)

Desconto ($)

20

480 

20 1152  0,012   3,84 30 30

25

480 

25 1440  0,012   4,80 30 30

35

480 

Então, desconto total =

400 1120 800 2320    30 30 30 30

ou, aproximadamente, $ 77,33. Considerando N = 250 + 350 + 400 = 1.000 ou N = $ 1.000,00, vamos calcular o desconto com prazo médio calculado anteriormente.

35 2016  0,012   6,72 30 30

D  1000 

Então: desconto total = 3,84 + 4,80 + 6,72 =15,36 ou $ 15,36. Considerando N = 3 • $ 480,00 = $ 1440,00, vamos calcular D, usando o prazo médio calculado. D  1440 

25 800  0,08  30 30

0,08 T 30

Nessa expressão, T = 29 (que é o prazo médio).

0,012 T 30

D  1 000 

0,08 2320 ou $ 77,33,  29  30 30

aproximadamente. 80 Nesta expressão, T  (prazo médio calculado). 3

Portanto, está correto o prazo médio.

Dessa forma, temos:

Resposta: O prazo médio é de 29 dias.

D  1440 

TAXA MÉDIA

0,012 80 1382,40    15,36 30 3 90

O problema agora é substituir vários títulos, com taxas diferentes, por um único que, quando descontado, não cause ao credor ou ao devedor nenhum ônus.

ou $ 15,36. Portanto, o prazo médio está correto. Resposta: O prazo médio é de 27 dias.

Vamos estudar três desses casos. Em todos eles, desejaremos sempre encontrar uma taxa média.

2. Uma pessoa tinha três títulos a receber: um de $ 250,00 com prazo de 20 dias, outro de $ 350,00 com prazo de 40 dias e outro de $ 400,00 com prazo de 25 dias. A taxa era de 8% a.m., para todos os títulos. Qual seria, então, o tempo em que a soma desses valores nominais, à mesma taxa, daria os m esmos descontos?

Primeiro caso: Valores nominais e prazos iguais Taxa Titulo (a.m.)

Solução Como agora, à mesma taxa, há uma variação dos valores nominais e dos prazos, sabemos que o prazo médio deverá ser feito com uso da média ponderada.

Valor Desconto Prazos Nominal($) ($)

1

2%

1000

4

1000 • 0,02•4

2

3%

1000

4

1000 • 0,03•4

Assim:

Matemática

29



APOSTILAS OPÇÃO


O desconto total será:

Quando os valores nominais forem diferentes mas os prazos iguais, a taxa média será a média ponderada das taxas, utilizando-se os respectivos valores nominais como pesos.

D = 1000 • 0,02 • 4 + 1000 • 0,03 • 4 D = 1000 • 4 • (0,02 + 0,03)

Terceiro caso: Valores nominais diferentes e prazos diferentes

Calculando agora o desconto sobre um título único, no mesmo prazo, temos:

Titulo Taxa(a.m.) Valor Nominal ($) Prazo (m) Desconto ($)

D = 2 000 • i • 4

Comparando os dois descontos, obtemos: 2 000 • i • 4 = 1000 • 4 • (0,02 + 0,03) i

i

1

3%

1200

2

1200•2•0,03

2

5%

1500

4

1500•4•0,05


1000  4  (0,02  0,03) 2000  4

D = 1200 •2 • 0,03 + 1500 • 4 • 0,05

0,02  0,03  0,025 2

Calculando o desconto sobre um título único, no mesmo prazo, e com uma só taxa i, obtemos:

A taxa média será, portanto, a média aritmética das taxas dos dois títulos.

D = 1200 • 2 • i + 1 500 • 4 • i = (1200 • 2 + 1500 • 4)i

Comparando os dois descontos: Quando os valores nominais e os prazos forem iguais, a taxa média será a média aritmética das taxas.

i

Segundo caso: Valores nominais diferentes e prazos iguais Taxa Título (a.m.)

Valor Nominal($)

Então: i 

Prazo (meses) Desconto ($)

1

2%

1000

4

1000•0,02•4

2

3%

2000

4

2000•0,03•4

A taxa média i é aproximadamente 0,0442 ou 4,42% a.m. Este valor foi obtido calculando-se a m édia ponderada das taxas e utilizando-se o produto dos valores nominais pelos respectivos prazos como pesos. Generalizando: Quando os valores nominais e os prazos forem diferentes, a taxa média será a média ponderada das taxas, utilizando-se como pesos, os respectivos dos valores nominais pelos prazos.

D = 1000 • 0,02 • 4 + 2000 • 0,03 • 4

Agora, calcularemos o desconto sobre um título ú nico, no mesmo prazo, a uma taxa média i.

Observação importante: Taxas e prazos médios poderão ser calculados não só em descontos, mas também em juros.

D = (1 000 + 2000) • i • 4

Comparando os dois descontos:

1. Dois capitais iguais de $ 800,00 foram colocados a render juros durante três meses, à taxa de 10% a.m. e 12% a.m. Qual é a taxa média de juros?

(1 000 + 2000) • i • 4 = 1000 • 0,02 • 4 + 2000 • 0,03 • 4

i

1200  2  0,03  1500  4  0,05 372   1200  2  1500  4 8400

 i  0,0442


i

1200 • 2 • 0,03 + 1500 • 4 • 0,05 = (1200 • 2 + 1500 • 4)

Solução

(1000  0,02  2000  0,03)  4 (1000  2 000)  4

Como temos capitais iguais, colocados a render juros no mesmo prazo, a taxa média poderá ser calculada pela média aritmética das taxas.

1000  0,02  2000  0,03 = 0,0266 1000  2 000

Assim:

A taxa média i = 0,0267, ou 2,67% a.m., aproximadamente, foi obtida calculando-se a média ponderada das taxas, utilizando-se os respectivos valores nominais como pesos. Generalizando:

i

0,10  0,12 - 0,11 ou 11% a.m. 2

Vamos fazer a verificação:

Matemática

30



APOSTILAS OPÇÃO


800

10%

3

800• 0,1• 3 = 240

a.m.; o segundo, de $ 5 000,00, tem prazo de 4 meses à taxa de 15% a.m., e o terceiro, de $ 8 000,00, tem prazo de 3 meses a 12% a.m. Qual a taxa média para os descontos?

800

12%

3

800• 0,12•3 = 288

Solução

Capital ($) Taxa (a.m.) Prazo (m)

Juros ($)

Juro total = 240 + 288 = 528 ou $ 528,00

J = 2 • 800 • 3 • 0,11= 528 ou $ 528,00

Como temos, agora, valores nominais diferentes e prazos diferentes, vamos calcular a taxa média, utilizando a média ponderada das taxas, com pesos determinados pelos produtos dos valores nominais pelos respectivos prazos.

Portanto, a taxa média está correta.

Assim:

Resposta: A taxa média é de 11% a.m.

i

Calculando o juro com a taxa média obtida, temos:

2. Três capitais iguais a $ 1200,00 são colocados a render juros; o primeiro a 4% a.m., durante 2 meses; o segundo a 6% a.m., durante 3 meses e o terceiro, a 8% a.m., durante 4 meses. Calcular a taxa média de juros.



6000  3  0,1  5000  4  0,15  8000  3  0,12 6000  3  5000  4  8000  3

1800  3000  2880 7680   0,1239 18000  20000  24000 62000

ou 12,39%a.m.

Solução

Resposta: A taxa média dos descontos é de 12,39% a.m.

Como temos o mesmo capital, com prazos variáveis, a taxa média deverá ser calculada pela média ponderada das taxas, usando os prazos como pesos. Assim:

Deixaremos a verificação como exercício para você resolver.

0,04  2  0,06  3  0,08.  4 0,58 i   0,064 234 9

18. Devo $ 60 000,00. Tenho de pagar a metade desse valor à vista, a terça parte em 6 meses e o restante, em 1 ano. Em que prazo poderei liquidar a dívida toda?

Então, a taxa média é, aproximadamente, 0,064 ou 6,4% a.m.

19. Qual o prazo médio de três letras de $ 200,00 cada uma, emitidas a 60 dias 120 dias e 180 dias de prazo, à taxa de 5% a.m.?

Vamos fazer a verificação: Taxa Capital ($) (a.m.)

Prazo (m)

Juros(S)

1200

4%

2

1200 • 0,04 • 2 = 96

1200

6%

3

1200 • 0,06 • 3 = 216

1200

8%

4

1200 • 0,08 • 4 = 384

20. Tenho cinco letras de $ 500,00 cada uma, para pagar em prazos de 60, 80, 25, 60 e 50 dias, à taxa comum de 10% a.m. O credor propôs trocar as cinco letras por um único título de $ 2 500,00 num pr azo de 45 dias. O prazo proposto é conveniente, comparado com o prazo médio das 5 letras que tenho? 21. Determine o prazo médio das letras: $ 200,00 a 30 dias, $ 120,00 a 45 dias e $ 400,00 a 60 dias, numa taxa comum de 5% a.m.

Juro total 96 + 216 + 384 = 696 ou $696,00

22. Qual a data de vencimento de uma letra destinada a substituir, em 6 de junho, duas letras: uma de $ 1 000,00, com vencimento em 3 de agosto, e outra, de 1 600,00, com vencimento em 15 de julho do mesmo ano, à taxa de 15% a.m.?

Calculando o juro com a taxa média obtida, temos: J = 1200 • i • 2 + 1200 • i • 3 + 1200 • i • 4= = 1200 • i • (2 + 3 + 4) = 1 200 • i • 9

Como i =

23. Uma letra de $ 50 000,00 vence em 30 di as, e outra, de $ 75 000,00, vence em prazo desconhecido. Sabendose que o prazo médio delas é de 32 dias, qual é o prazo da segunda letra?

0,58 ,temos então: 9

J = 1200 •

24. Determinar a taxa média de três letras de $ 1 000,00 cada, à taxa de 5% a.a., 6% a.a. e 7% a.a., todas com um prazo de 3 meses.

0,58 • 9 = 696 ou $ 696,00, o que confirma 9

o valor da taxa média. Resposta: A taxa média é de, aproximadamente, 6,4% a.m.

25. Qual a taxa média de duas letras: uma de $ 2 000,00 à taxa de 5% a.m. e outra de $ 2 500,00 à taxa de 4% a.m. em 20 dias?

3. Tenho três títulos a resgatar: o primeiro, de $ 6 000,00, tem prazo de vencimento de 3 meses à taxa de 10%

26. Qual a taxa média das seguintes letras: uma de $ 400,00 em 50 dias, a 6% a.m., outra de $ 2 00,00 em 30

Matemática

31



APOSTILAS OPÇÃO


dias, a 3% a.m., e finalmente uma de $ 300,00 em 45 dias, à taxa de 5% a.m.?

21. 49 dias 22. 51 dias. A data é 27 de julho.

27. Qual a taxa média de quatro letras de $ 1 200,00 cada uma, à taxa de 3% a.m., 4% a.m., 5% a.m. e 6% a.m., todas durante 25 dias?

23. 33 dias 24. 6%a.a.

28. Determinar a taxa média das seguintes letras: $ 500,00 a 12% a.m., $ 600,00 a 8% a.m. e $ 2 000,00 a 6% a.m., todas no prazo de 40 dias.

25. 4,4% a.m. 26. 5,2% a.m.

29. Emprestei uma quantia á taxa de 12% a.a. Depois de 10 meses, baixei a taxa para 8% a.a., e depois de 6 meses recebi $ 12 500,00 de capital e juros. Usando a taxa média, qual foi o capital emprestado?

27. 4,5% a.m. 28. 7,35% a.m.

30. Tenho três letras de $ 6 000,00, $ 8 000,00 e $ 5 000,00, emitidas em prazos de 40 dias, 15 dias e 20 dias, respectivamente. A primeira e a segunda letras estão a 8% e a 10% a.m., respectivamente, e a taxa média é de 10% a.m. Qual a taxa da terceira letra?

29. $ 10 964,91 30. 0,148 ou 14,8%

Respostas dos exercícios propostos 1.

$ 240,00

2.

i = 0,4 ou 40%

DESCONTO COMPOSTO 1. INTRODUÇÃO Ao fazermos o estudo de descontos simples, diferenciamos o desconto bancário do racional. No primeiro, as taxas incidiam sobre o valor nominal, enquanto, no segundo, o cálculo do desconto era feito com taxas incidindo sobre o valor líquido.

3. 4 meses 4. $200.000,00 5.

$ 3146,40

O desconto composto é calculado sempre com taxas sobre o valor nominal.

6. 11,11 %a.m. 7.

10% a.a.

8.

$ 648,00

9.

$ 1200,00

2. VALOR ATUAL Suponha um título, cujo valor nominal N é de $ 10 000,00, resgatável depois de 6 meses, à taxa mensal de juros compostos de 10% a.m. Qual é o capital que aplicado a essa taxa, durante o mesmo período, resultaria N?

10. $ 36 489,44

O cálculo que devemos fazer é o do montante para juros compostos.

11. $ 152,54

Como M = C (1 +i) n, então N = C (1 +i) n. Mas como N = 10000, i = 10% ou 0,1 e n = 6 meses, então:

12. 18,75% a.m 13. $ 777,78

10 000 = C(1 + 0,1)6  C =

14. $ 2400,00 15. $ 25,66

C

16. Dr = $ 615,38

=

10000 (1  0,1)6

10000  5644,74 1,771561

O capital é de $ 5 644,74, que é chamado de valor atual do título.

D = $ 1600,00 Não é razoável.

Valor atual (Va) de um título de valor nominal N, resgatável após um período n à taxa i de juros compostos, é aquele que aplicado durante o período n, à taxa i, se transforma em N.

17. 5%a.a. 18. 4 meses e meio

Podemos escrever isso usando as fórmulas: 19. 120 dias 20. Não convém aceitar a proposta.

Matemática

32



APOSTILAS OPÇÃO N = Va(1+ i )

n

 Va 

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Solução

N

Como Va = N • vn e N = 12000, n = 8 e i = 9% ou 0,09, podemos escrever:

(1  i) n

Nessas fórmulas:

12 000

Va: valor atual Va 

N: valor nominal n: período

12000 (1 0,09)8

= 12000 • 0,5018663  6022,40

Resposta: O valor atual é de $ 6022,40.

i: taxa a juros compostos

2. Calcule os três tipos de descontos possíveis, para um título de $ 9 000,00, à taxa de 5% a.m., resgatado 5 meses antes do vencimento.

Podemos escrever também:

V a = N • vn Nessa fórmula, v =

Solução Vamos ver primeiro os descontos feitos a jur os simples.

1 1  i

a. Desconto bancário:

Obs.: O símbolo v representa um valor tabelado. (Consulte a tabela 6 no final do livro.)

Sabemos que D = N • i • n. Como N = 9 000, i = 0,05 e n = 5, temos:

3. DESCONTO COMPOSTO

D = 9 000 • 0,05 • 5 = 2 250

Qual será o desconto que um título de 1 8 000,00, à taxa de 8% a.m., sofre ao ser descontado dois meses antes do seu vencimento?

O desconto bancário é de $ 2 250,00. b. Desconto racional:

Sabemos que N = 8 000. Vamos fazer então o cálculo do valor atual para o resgate: Va  N  vn  8000 

Sabemos que Dr = L • i • n. Nessa fórmula, L é o valor líquido do título (Nominal — Desconto).

1  (1 0,08)

Dr 

N  i  n 9000  0,05  5 2250 =   1800 1  0,05  5 1,25 1  in

8000 • 0,8573388  6858,72 Como o valor do título era de $ 8000,00 e o valor atual é de $ 6868,72, então o desconto é de $ 1141,28.

O desconto racional é de $ 1 800,00. Agora faremos o cálculo do desconto composto:

Para calcular o desconto composto (Dc), basta apenas determinar a diferença entre o valor nominal e o valor a tual.

Dc = N • (1 - vn) e vn 

Assim: Dc = N - Va

(1 0,05)5

= 0,7835262

Dc = 9 000 • (1 — 0,7835262) = 9 000 • 0,2164738

Nessa fórmula, N é o valor nominal do título e Va é o valor atual.

Dc  1 948,26 O desconto composto é de, aproximadamente, $ 1 948,26.

É útil escrever a fórmula de desconto composto de outra maneira. Veja:

Resposta: O desconto bancário foi de $ 2 250,00, o desconto racional, de $ 1 800,00 e o desconto composto, de $ 1 948,26.

Dc = N - Va Mas como Va = N • vn, então Dc = N - N • vn = N • (1 v ). Temos então: n

Obs.: Você deve ter notado que o desconto bancário é o maior que existe, enquanto o racional é o menor, e o desconto composto está entre os dois, desde que seja usada a mesma taxa.

Dc = N • (1 - vn) EXERCICIOS RESOLVIDOS

3. Uma duplicata, no valor de $ 120.000,00, com vencimento em 4 anos, por quanto será paga hoje, se sofrer um desconto composto de 84% a.a.?

1. Calcule o valor atual de um título de $ 12000,00 à taxa de 9% a.m. disponível em 8 meses.

Matemática

1

33



APOSTILAS OPÇÃO


Solução

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Sabendo que Va 

N (1  i) n

1. Devo pagar uma duplicata de $ 150000,00 com vencimento em 3 anos Quanto pagarei hoje, com um desconto composto de 90% a.a.?

e que N = 120.000, n = 4 e

i = 0,84 temos: Va 

2. A que taxa foi descontada, a juros compostos, uma dívida de $ 70 000,00 que, paga 4 meses antes do vencimento, reduziu seu valor para $ 50 000,00?

120000 (1  0,84)8

3. Qual foi o desconto composto obtido ao saldar uma dívida de $ 80 000,00 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 12% a.m.?

Usando logaritmos, vem: Log Va log

120000 4

(1,84)

= log 120000 - log(1,84)4 =

4. Calcular o valor atual de uma duplicata de $ 250 000,00 com prazo de 6 meses de vencimento, à taxa de 10% a.m.

log 120000 – 4 log 1,84 = 5,079181 - 4 • 0,2648178   log

5. Calcular o valor atual de um título de $ 125 000,00 a 8% a.m. pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento.

Va= 5,079181 - 1,0592713 - 4,0199097 

 Va 

10469,00

6. Uma letra paga 3 meses antes do vencimento, se reduziu à metade. Que taxa de desconto composto foi aplicada?

Resposta: A duplicata será paga por $ 10469,00. 4. Que taxa de desconto composto sofreu um título de $ 20 000,00 que, pago 5 meses antes do prazo, se reduziu a $ 14 950,00?

7. Uma letra paga 4 meses antes do vencimento, com um desconto composto de 9% a.m., se reduziu a $ 75600,00. Qual era o valor da letra?

Solução

8. Um título disponível ao fim de 8 meses foi descontado a juros compostos de 11%a.m. e se reduziu a $ 12700,00. Qual o valor do título?

O valor nominal, o atual e o período nós conhecemos. Devemos apenas calcular a taxa. Sabendo que Va 

N (1  i) n

9. Qual o desconto composto obtido no resgate de um título de $ 85000,00, 5 meses antes do vencimento, a 8% a.m.?

e que Va = 14950, N =

20000 e n = 5, temos: 14950 

20000 (1  i)5

 (1  i)5 

10. Em quanto tempo foi antecipado o pagamento de $ 35000,00, sabendo que descontado a juros compostos de 7% a.m. seu valor se reduziu a $ 14000,00?

2000  1,3378  1,34 14950

11. Devia pagar um título em 23 de junho, mas resolvi fazêlo em 16 de abril. Seu valor nominal era de $ 70 000,00 e obtive um desconto composto de 8% a.m. Quanto tive que desembolsar?

Usando logaritmo, vem: log (1 +i)5 = log 1,34

5 log(1 +i) = log 1,34 log(1 +i) = Como log (1 + i) 0,0599



12. De posse de algumas letras no valor de $ 80 000,00 com vencimento em 7 meses, quero resgatá-las hoje. Para efetuar tal operação, tive três ofertas:

0,127105 = 0,02541 5

0,02542, então 1 + i



1,06



i

a. desconto bancário com taxa de 10%;



b. desconto racional com taxa de 13%; c. desconto composto com taxa de 11 ,5%.

Resposta: A taxa é de, aproximadamente, 5,99% a.m.

Qual será a operação mais vantajosa?

Obs.: (1 + i)5 = 1,3378 tem i  5,99%, o que pode ser achado lendo a tabela 5 e fazendo uma aproximação.

sários:

Resolver um problema por meio de logaritmos ou da tabela é uma escolha que deve ser definida a partir dos valores obtidos. Para isso, você deve ver qual das tabelas (tabela 4, de logaritmos, ou tabela 5, de (1 + j)fl) dá a melhor aproximação. No caso de ser necessária uma melhor aproximação, use o artifício da interpolação.

Matemática

13.

Valor nominal ($) 12000,00 16000,00 15000,00

34

Complete a tabela com os valores necesTaxa (%a.m.) 12 10 8 10

Período (meses) 3 2 ....... 4

Desconto composto ($) ........ ........ 12000,00 15000,00



APOSTILAS OPÇÃO 20000,00

.......

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 5

quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver.

16000,00

14. Um titulo de $ 25 000,00, descontado 5 meses antes do prazo a 7% a.m., deu o mesmo desconto que outro, descontado 4 meses antes do prazo de vencimento a 9% a.m. Qual o valor do segundo título?

O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. O governo quando quer diminuir o consumo, tentando com isso conter a inflação, diminue a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos. Assim, a remuneração deste empréstimo fica muito alta para quem paga, desmotivando-o a consumir imediatamente e atraente para quem tem o dinheiro, estimulando-o a poupar.

Respostas: 1. $ 21 869,07 2. i = 8,77% 3. $16 204,08

Na época de inflação alta, quando a caderneta de poupança pagava até 30% ao mês, alguns tinham a falsa impressão de que logo ficariam ricos, com os altos juros pagos pelo banco. O que não percebiam é que, dependendo do desejo de consumo, ele poderia ficar cada vez mais distante, subindo de preço numa proporção maior que os 30% recebidos.

4. Va = $ 141 118,48 5. Va = $ 104 453,08 6. i = 26% a.m. 7. N = $ 106 779,66

A taxa de juros que o banco cobra e paga inclui, além de ítens como o risco e o tempo de empréstimo, a expectativa de inflação para período.

8. N = $ 29 267,63 9. $ 27200,00

Esta taxa, quando vem expressa por um período que não coincide com o prazo de formação dos juros (capitalizações), é chamada de taxa nominal. Ex.: 15% ao ano, cujos juros são pagos mensalmente. Nestes casos precisamos calcular a taxa efetiva, que será a taxa nominal dividida pelo número de capitalizações que inclui, acumulada pelo prazo de transação.

10. n 13 meses e 16 dias. 11. $ 58 945,64 12. a) $ 56000,00

A remuneração real, ou taxa real de uma aplicação será calculada excluindo-se o percentual de inflação que a taxa efetiva embute.

b) $ 38115,18 c) $ 42640,00

Taxa Efetiva. É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade d e tempo dos períodos de capitalização. É a taxa utilizada nas calculadoras financeiras, como a HP-12C. Uma taxa de 10 % ao ano, capitalizados anualmente, é uma taxa efetiva.

d) Logo, o desconto bancário oferece mais vantagem. 13. Valor nominal ($)

Taxa (%a.m.)

Período (meses)

Desconto composto ($) 3458,63 2776,85

Taxas proporcionais. São taxas de juros dadas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal (capital) durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

20 meses e 27 dias

Taxas equivalentes. São taxas de juros dadas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.

47318.61 37,97

14. $ 24 573,11

Taxa nominal. É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários.

TAXAS TAXAS DE JUROS

A taxa nominal, mesmo sendo bastante usada no mercado, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos. No entanto, toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita. Por exemplo: uma taxa nominal de 12% ao ano capitalizados

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a

Matemática

35



APOSTILAS OPÇÃO


mensalmente corresponde a uma taxa efetiva de 12% : 12 = 1% ao mës.

períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo.

A taxa aparente (chamada de nominal nas transações financeiras e comercial) é aquela que vigora nas operações correntes.

Por exemplo, a taxa de 1,39% ao mês é equivalente à taxa de 18% ao ano, pois um capital colocado a 1,39% ao mês produz o mesmo montante que produz quando colocado a 18% ao ano.

A taxa real é calculada depois de serem expurgados os efeitos inflacionários.

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA

As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:

Quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim de um an o são maiores do que a taxa oferecida.

onde i = taxa aparente i r = taxa real

Por exemplo, se um capital de 100 for colocado a 20% a.a. capitalizado semestralmente por um ano, temos:

I = taxa da inflação (1+i)=(1+it)×(1+I)

100

A Taxa Interna de Retorno (IRR) de um fluxo de caixa é um objeto matemático que fornece a taxa real de juros em uma operação financeira, conhecidos os lançamentos nos seus devidos momentos de realização.

110

121

10%

10%

0

TAXA DO JURO E TAXA DO DESCONTO Se, por exemplo, o capital de 100 unidades monetárias for emprestado a uma taxa de 2% ao mês, por 5 meses, o montante será de 110, se, entretanto, o credor do título recebido pelo em préstimo o descontar imediatamente, à mesma taxa, o valor atual do título será igual a 99 unidades monetárias, conforme os cálculos abaixo.

1

2 sem

J = 10

J = 11

Assim, os juros realmente pagos no ano são de 21%. A taxa de 20% a.a. é denominada nominal e a de 21% é a taxa efetiva dos juros. TAXA INSTANTÂNEA

Cn=C(1+i.n)

A taxa anual cujos juros são capitalizados continuamente é denominada taxa instantânea.

C5 = 100 ( 1 + 0,02 x 5 ) = 110 A5 = N ( 1 - i . n )

TAXA DE DESCONTO REAL E BANCÁRIO

A5 = 110 ( 1 - 0,02 x 5 ) = 99

Comparando os fatores de atualização de um capital:

Através desse exemplo, verifica-se que o capital emprestado e o valor atual do título recebido como garantia não são iguais, pois uma pessoa está emprestando 100 e recebendo em troca um título que vale 99. Isso ocorre porque as taxas do juro e do desconto são iguais, mas calculadas sobre valores diferentes - o juro é calculado sobre o capital inicial (100) e o desconto, sobre o valor nominal do título (110).

( 1 + i )n

e

( 1 – i )n

com os descontos real e bancário, verifica-se que, para um determinado valor de i e de n, a expressão (i + 1)n é maior que ( i - 1 )n, e, portanto, o desconto real é menor que o bancário. Para que os descontos real e bancário de um título para n períodos sejam iguais é necessário que as taxas sejam diferentes (taxa do desconto real maior que a taxa do desconto bancário) .

Obviamente, o desconto é maior do que o juro quando emprega a mesma taxa para esse tipo de operação. Para que haja igualdade entre o capital emprestado e o valor atual do título é necessário que a taxa do juro seja maior que a taxa do desconto. Pode-se então estabelecer uma relação de correspondência entre a taxa do juro e a taxa do desconto comercial que satisfaça essa condição.

TAXA DE ATRATIVIDADE A taxa de atratividade de um investimento é a taxa mínima de juros por que convém o investidor optar em determinado projeto de investimento.

Quando entre duas taxas existe a mesma relação dos períodos de tempo a que se referem, elas são proporcionais.

Corresponde, na prática, à taxa oferecida pelo mercado para uma aplicação de capital, como a caderneta de poupança. Open market, depósitos a prazo fixo etc. Assim, se um investimento propiciar uma rentabilidade abaixo do rendimento dessas formas de aplicação de capital, ele não será atrativo ao investidor.

TAXAS EQUIVALENTES

MÉTODO DA TAXA DE RETORNO

TAXAS PROPORCIONAIS

Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a

Matemática

A taxa de retorno de um investimento é a taxa de juros

36



APOSTILAS OPÇÃO


que anula a diferença entre os valores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Numa análise de investimentos, a escolha recai na alternativa de maior taxa de retorno.

do primeiro pagamento se dá no fim de n + 1 período e, tendo a renda n períodos, o vencimento do último se dará no fim de m + n períodos. Isto quer dizer que os depósitos ou os pagamentos começarão a se efetuar depois de decorridos m períodos. m períodos.

Uma alternativa de investimento é considerada, vantajosa quando a taxa de retorno é maior que a taxa mínima de atratividade.

CAPITALIZAÇÃO (S n )

m an

RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS

= am +n - am

O montante de uma renda unitária e temporária é a soma dos montantes de cada termo, constituído durante o tempo decorrido do seu vencimento ao vencimento do último termo.

Rendas são um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma divida. Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósitos constituem os termos (T) da renda. Denomina-se n o número de termos (pagamentos) e 1 a taxa unitária dos juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital será o montante da renda; se, entretanto, seu objetivo for amortizar uma divida, o valor dessa divida será o valor atual (ou valor presente da renda).

Sn =

un - 1 i

Tal valor é encontrado na Tabela III. AMORTIZAÇÃO (a)

As rendas podem ser certas ou aleatórias. Rendas certas são aquelas em que o número de termos, os vencimento dos termos e seus respectivos valores podem ser previamente fixados. Quando pelo menos um desses elementos não puder ser determinado com antecedência, a renda é chamada aleatória.

Para o valor atual de uma renda periódica e temporária de termos constantes e iguais a a , teríamos: 1) antecipada:

A grande maioria das rendas são certas; é o caso do conjunto das prestações para pagar uma mercadoria comprada a prazo, onde o valor das prestações, os seus respectivos vencimentos e número são previamente conhecidos. O exemplo mais típico de renda aleatória ê o conjunto dos pagamentos de prêmios de um seguro de vida, pois o número de pagamentos não pode ser fixado antecipadamente.

a



1

a 

iun - 1

un - 1 iun

a



un - 1 ium + n

Se S n e o montante de n termos unitários, o montante de rendas constantes e temporárias será, sendo a o a o termo: a . Sn ou, representando por M o montante:

Uma renda é antecipada se, tendo a renda n termos, o vencimento do último último termo se dá no fim de n-1 períodos. Isto e, os depósitos ou os pagamentos se realizam no principio de cada período.

un - 1 M = a  i

un - 1

CÁLCULO DO TERMO, DO NÚMERO DE TERMOS E DA TAXA

iu n - 1

Para o cálculo de cada um desses elementos, no problema de rendas, precisamos considerar se ela é antecipada, postecipada ou diferida. Resolveremos problemas considerando cada caso.

RENDAS POSTECIPADAS OU IMEDIATAS (a n ) Uma renda denomina-se postecipada ou imediata quando os depósitos ou os pagamentos se efetuam no fim de cada período e, por tanto, o vencimento do último termo, tende a renda n termos, ocorre no fim de n períodos.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Após essa breve pincelada teórica sobre rendas, passamos a resolver problemas. Em cada um deles daremos a fórmula a ser usada.

un - 1 an = iun

Podemos resolver tais problemas usando Tábuas Financeiras ou logaritmos. Usaremos os dois sistemas, aplicando sempre o que f or mais conveniente.

Para tal cálculo usamos a tabela V

EXERCÍCIO 1

RENDAS DIFERIDAS (mla n )

Depositando anualmente R$ 2.000,00 em um banco; a juros compostos de 5% a.a., que capital teremos no fim de

A renda é dita diferida de m períodos se o vencimento

Matemática

un

3) diferida:

CÁLCULO DO MONTANTE

RENDAS ANTECIPADAS (a n )

an =



2) postecipada:

37



APOSTILAS OPÇÃO


8 anos?

Portanto: 19.636,30 = a . 9,818.147.4

Solução: Pela tábua III:

a =

19.636,30 = R$ 2.0 2.000 00,0 ,00 0 9.818.147.4

un - 1 M = a  i

aproximadamente

105 , 8 - 1 = 9,549 9,549.10 .108.9 8.9 0,05

EXERCICIO 4 Calcular o valor atual de uma renda anual de 18 (os iguais a R$ 800,00, diferida de 7 termos, a 5%.

M = 2000 x 9,549,108.9 M = R$ 19.098,20

Solução: Pela tábua V teremos:

Por logaritmos, teremos:

m an

8

log 1,05 = 8 x log 1,05 = 8 x 0,0021 . 2 = 0,169.6

= am +n

- am

7/a18 = a25 – a7 = 14,093.944.6 - 5.786.373.4

1,058 = 1,478

7/a18 = 8.307.571.2 8

2,05  1 = 0,05

M = 2000 2000 x

V = 800 x 8,307.571.2 V = R$ 6.646,00

= 2.000 x 9,560 M = 19. 129,00

VALOR ATUAL DAS RENDAS IMEDIATAS

EXERCÍCIO 2

Sendo T o termo de uma renda renda imediata imediata e A n| i seu valor atual , temos:

Calcular o valor atual de uma renda anual imediata de 20 termos iguais a R$ 2.000,00, a 8% a.a.

A n|i = T . an |i

Solução Usamos a tabua V:

EXERCICIO 5

un - 1

v = a 

Calcular o valor atual de uma renda mensal de 1000 unidades monetárias, de 12 termos, a 1% ao mês.

iu n

108 , 20 - 1

Solução: A n|i = T . an |i

= 9,818. 9,818.147. 147.4 4

0,08 x 1,0820

T = 1.000

v = 2000 x 9.818.147.4 v = R$ 19.636,00 EXERCÍCIO 3 Qual a prestação anual que se deve pagar para, a 8% a.a., saldar a divida de R$ 19.636,30, em 20 anos? Solução:

v = a

Pela tábua V temos:



un - 1

A 12 | 0,01 = 1.000 x 11,255077

iun

A 12 | 0,01 = 11.255,77 u.m.

a 8%, em 20 anos, a tábua V nos fornece 9,818.147.

Matemática

38



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos sn | i =

EXERCÍCIO 6 Que divida pode ser amortizada com 20 prestações semestrais de 5.000 u.m, com juros de 20% a.a.?

S12 | 1 =

Sn | i T

7.732.016

T = 500 Solução:

An | i = T . a n | i

7.732.016 500

s 12 | 1 

T = 5.000 A20 | 0,1 = 5.000 5.000 x 8.513.563

s12 | 1 = 15.464032

A20 | 0,1 = 42.567.815 u.m.

Na tábua III, o valor 15.464032, para 12 períodos corresponde à taxa de 4,5%, portanto a taxa de aplicação é de 4,5% ao trimestre.

MONTANTE DE RENDAS IMEDIATAS T = termo de uma renda imediata: im ediata:

EXERCÍCIO 9

Sn | i = seu montante

Qual a prestação trimestral antecipada necessária para amortizar, com 12 pagamentos, um financiamento de 10.000 u.m. com juros de 5% ao trimestre?

Sn | i = T . sn | i

Solução:

EXERCICIO 7 Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada se mestre, a importância de 1.000 u,m., a 20% a.a. Quanto terá no fim de 4 anos?

A n|i = T . a n |i

Solução:

T =

Sn | i = T . sn | i

An | i an | i

A 12 | 0,05  10.000 000

T = 1.000

a12 | 0,05 0,05  1 + a11 | 0,05 1 + 8.306414 8.306414 = 9,306.414 (T.V)

T

10.000 9,306414

T = 1.074,528 u.m.

S8 | 0,1 = 1.000 x 11,435888 = 11.435.888 u.m.

MONTANTE DAS RENDAS ANTECIPADAS

Sn | i = T . s n | i

EXERCÍCIO 8

Sendo T = o termo de uma renda antecipada e Sn | i seu montante.

Realizando depósitos trimestrais imediatos de 500 u.m., obteve-se no fim de 3 anos, o montante de 7.732,01 u.m. Qual a taxa do juro?

EXERCÍCIO 10

Solução:

Calcular o montante de uma renda antecipada de 18 termos mensais de 1.000 unidades monetárias, à taxa de 1% o mês.

Sn | i = T . sn | i

Matemática

39



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos an = 1 + a 14 = 1 + 9,294.983.9 =

solução: Sn | i = T . s n | i

= 10,294.983.9

T = 1.000

v = 30 x 10,294.983.9

S18 | 0,01  s18 | 0,01  1 =

v = R$ 308,85

20,810895 – 1 = 19,810895

S18 | 0,01  1.000 x 19,810895

S18 | 0,01 0,01

EXERCÍCIO 13 Qual a anuidade capaz de, a 6% a.a., e 15 prestações anuais, saldar a divida de R$ 30.884,95, sendo a primeira prestação paga no ato do empréstimo?

19.810.895 u.m.



VALOR ATUAL DAS RENDAS DIFERIDAS

m An | i  T  m an | i

Solução:

T = termo de uma renda renda diferida e m/An | i o seu valor atual.

v =

un  1 iun -1

EXERCÍCIO 11

Pela tábua v:

Calcular o valor atual de uma renda de 10 termos trimestrais de 200 u.m, com 9 meses de carência, à taxa de 5% ao trimestre.

un  1 iun - 1

Solução :

= 1 + 9,294 9,294.4 .483 83.9 .9 =

= 10,294.483.9

m An | i  T  m an | i

30.884,95 = a . 10,294.483.9 T = 200

30.884,95 10,294.483.9

3 a10 | 0,05  a13 | 0,05 - a 3 | 0,05

a =

= 9,393573 - 2,723248 = 6,670325

a = R$ 3.000,00 aproximadamente aproximadamente EXERCÍCIO 14

3 A 10 | 0,05 = = 200 x 6,670325

Qual o capital constituído com depósitos semestrais de R$ 25,00, a 6% a.a. capitalizados semestralmente, durante 20 anos?

= 1.334,065 u.m.

Solução: Aplicando a tábua III:

EXERCÍCIO 12

1,03 40 - 1 M = 25 x 0,03

Calcular o valor de uma renda anual antecipada de termos iguais a R$ 30,00 a 6% a.a. Solução:

v =

A taxa semestral proporcional a 6% a.a., em 20 anos será 3% em 40 semestres.

un  1

M = 2.500 x 47,575.42 = 11,463.88

iun - 1

= R$ 13.637,62

un  1 = an iun - 1

Por não constar em nossas tábuas o tempo de 40 anos lançamos mão de dois números: 47,575.42, correspondente a 30 anos, e 11,463.88, correspondente a 10 anos. E calculamos em 5 decimais, apenas.

an  1 + an - 1

EXERCÍCIO 15

Pela tábua V:

Matemática

40



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos log 1,0614 = 14 . log 1,06 =

Para resgatar uma divida de 26.930,98 u.m. serão necessários 8 pagamentos trimestrais de 4.000 u.m. Qual a taxa de juros? Solução :

14 . 0,025.3 = ú,35Í 1,0614 = 2,260

An | i = T . a n | i

an | i 

1,0615 = 2,395.6

An | i T

v = 3.000 x

A8 | i = 26.930,98 T = 4.000

a8 | i 

1,06 15  1

v = 3.000 x

26.930,98 4.000

0,06 x 1,06 14 1395 , .6 0,06 x 2,26

v = R$ 30.876,00

a 8 | i = 6,732745 Na Tábua V, o valor 6,732745, para 8 períodos, corresponde à taxa de 4% a.a. Portanto, a taxa do problema e de 4% ao trimestre.

EXERCÍCIO 18 Que divida poderia ser amortizada com 20 prestações iguais a R$ 2.000,00 à taxa de 8% a.a.?

EXERCICIO 16

Solução: Vamos usar novamente logaritmos:

Um empréstimo de 100.000 u.m. vai ser amortizado com 12 prestações trimestrais em 2 anos de carência. Calcular o valor das prestações à taxa de 4,5% ao trimestre.

v = a 

Solução:

iun - 1

log 1,0820 = 20 . log 1,08 =

m A n | i  T  m an | i

20 . 0,033.4 = 0,668. 1,0820 = 4,656

m An | i T = m an | i

1,08 20 - 1

v = 2.000 

8/a12 | 0,045 = a20 | 0,045 = a8 | 0,045 =

v = 2.000 x 9,815.3

= 13,007936 - 6,595886 = 6,412050

v = R$ 19.631,00

100.000 6,412.050

v = 2000 .

0,08 x 1,08 20

8 /A12 | 0,045 = 100.000

T =

un  1

EXERCÍCIO 19 Calcular o valor do montante da aplicação de R$ 150,00 por 10 meses, a uma taxa mensal de 1%.

T = 15.595.636 u.m. EXERCÍCIO 17

Solução:

Que divida se amortizaria, pagando-se no principio de cada ano a prestação de R$ 3.000,00, durante 15 anos a 6% a.a.?

C = 150,

n = 10,

i = 1%

M=C.Sn|i

Solução:

M = 150 . S10 | 10

Vamos resolver este exercício por logaritmos.

Pela tabela:

v = a 

Matemática

un  1

S10 | = 10,46222125

iun - 1

Portanto:

41



APOSTILAS OPÇÃO


M = 150 . 10,4622125 . M = R$ 1.569,33

EXERCÍCIO 22 Calcular o montante produzido por 12 prestações de R$ 1.000,00 colocados mensalmente a juros de 3% a.m. sendo a primeira parcela antecipada.

EXERCICIO 20

Solução:

Calcular o valor das prestações mensais que, aplicado por 1 ano, à taxa de 2% a.m., dá um total capitalizado de R$ 50.000,00.

C = 1.000

Solução:

M = C antecipado . ( 1 + i ) . S n | i

M = 50.000, n = 12, M = C . Sn | i

i = 2%

C =

M =1.000 . (1+ 0,03) . S12 | 3 M =1.000 . 1,03 . 14,1920296

M Sn | i

M = 14 617,79 Resposta: R$ 14.617,79

50.000 C = S12 | 2 Procurando 13,4120897

na

tabela

C =

encontramos

o

EXERCÍCIO 23

número

Pagando 20 prestações de R$ 300,00 num financiamento feito a base de 6% a.m., que divida estarei amortizando?

50.000 13,4120987

Solução:

Resposta: As parcelas mensais deverão ser iguais a R$ 3.727,98.

C = 300

i = 6% n = 20

M = C . a n | i = 300 . a 20 | 6

EXERCÍCIO 21

Procurando a20 |6 11,469921. Portanto:

Na porta de um banco lê-se a propaganda de um investimento que diz:

na tabela, encontramos o valor

M = 300 . 11,469921 = 3.440,97

"Deposite mensalmente R$ 100,00 e, em 24 meses, retire R$ 3.442,65". Qual é a taxa mensal de juro composto do investimento?

Resposta: a quantia total amortizada é de R$ 3.440,97 EXERCÍCIO 24

Solução: M = 3.442,65

n = 12 1 = 3%

C = 100

Em quantas prestações de R$ 796,80 quitarei uma divida de R$ 10.000,00, se o financiamento foi feito à base de 4% a.m.?

n = 24

M = C . Sn | i 3.442,65 = 100 . S24 | i

Solução:

3.442,65 100

= S 24 | i

M = 10.000

C = 796,80 i = 4%

Como M = C . a n | i

3.442,65 = S24 | i

temos

10.000 = 796,80 . a n | 4

10.000 796,80

Recorrendo à tabela Sn | i, para n = 24, encontraremos em i = 3% o valor 34,4264702, que, nesse caso, é o próximo.

Procurando i = 4 na tabela de an | i encontraremos em n = 18 o fator 12,659270, que aceitaremos como o mais

Resposta: A taxa é de, aproximadamente, 3% ao mês.

Matemática

= a n | 4  a n | 4  12,550201

42



APOSTILAS OPÇÃO


próximo. Portanto, devera ser 18 o número de prestações mensais iguais.

M = 860 . 14,519604 M = 12 486,86

Resposta: A divida será quitada em 18 prestações.

Resposta: 0 financiamento é de, aproximadamente, R$ 12.486,86.

EXERCÍCIO 25 Calcular o valor atual de uma divida de 8 termos iguais a R$ 800,00, sendo a taxa no período de 2%.

EXERCICIO 28

Solução: C = 800

i=2

Calcular o valor atual de uma renda mensal de 12 termos iguais a R$ 2.000,00 com carência de 4 meses, sendo 5% a.m. a taxa de juros.

n=8

O valor atual é o total da divida (M). M=C.an|i

Solução: C = 2000

M = 800 . a 8 | 2

i=5

M = 800 . 7,3254814

n = 12

M = 5.860,38

carência = 4

Resposta: O valor atual e de R$ 5.860,38.

M = C . (a16 | 5 – a4 | 5) M = 2000 . (10,8377696 - 3,5459505)

EXERCICIO 26

M = 2000 . 7,291819

Qual é o valor atual de uma renda antecipada de 9 às 19uais a R$ 1.200,00 com taxa, no período, de 2,6%.

M = 14.583,65 Resposta: o valor atual é de R$ 14.583,64.

Solução: C = 1200

i = 2,6

n= 9 PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTO

O valor atual é o total da divida (M) M = (1 + i ) . C . a n | i

1. INTRODUÇÃO

M = (1 + 0,026) . 1200 . a9 | 2,6

Os empréstimos de grandes quantias por parte das financeiras para compra de imóveis vêm, em geral, acompanhados de prazos dilatados para o pagamento. São os empréstimos a longo prazo.

M = 1,026 . 1200 . 7,7334088 = 9 767,61

No caso deste tipo de empréstimo é importante estudarmos as maneiras mais comuns de quitação da dívida. São os chamados sistemas de amortização. Trataremos aqui dos sistemas em que a taxa de juros é constante e calculada sempre sobre o saldo devedor.

Resposta: O valor atual é de R$ 9.767,61.

EXERCÍCIO 27

O que difere um sistema de amortização do outro é, basicamente, a maneira como são obtidas as parcelas. Elas podem ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo compostas sempre por duas partes: juros e amortização propriamente dita.

Uma amortização constante de 20 parcelas mensais de R$ 860,00 tem carência de 6 meses e taxa mensal de 2%. Qual o valor do financiamento na ocasião do contrato? Solução: C = 860 i = 2% carência = 6

2. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO n = 20

Nesse sistema, as prestações são sempre fixas. O que varia é a sua composição, ou seja, variam a parte correspondente aos juros e a parte correspondente à amortização da dívida inicial. Normalmente, os juros vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo, ao inverso da amortização, que vai aumentando,

M = C . (a26 | 2 - a6 | 2) Consultando a tabela, temos: M = 860 . (20,12103576 - 5,60143089)

Matemática

43



APOSTILAS OPÇÃO


Vejamos, por exemplo, como poderiam ser algumas parcelas de um financiamento desse tipo ;

que amortiza a dívida é: Amortização = 1 547,22 - 500,00

Parcela

Juros

Amortização

Prestação

10.ª

792,00

3 049,40

3 841,40

11.ª

548,00

3 293,30

3 841,40

12.ª

284,60

3 556,80

3 841,40

Amortização = 1 047,22 O saldo devedor passa agora a ser : Saldo = 10.000,00 - 1 047,22 Saldo = 8 952,78 O gráfico apresentado a seguir esclarece melhor esta situação:

Ao final do primeiro período, teremos então o seguinte:

Período

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

1

8.952,78

1.047,22

500,00

1.547,22

O processo se repete agora para o segundo período : Juros

= 0,05 . 8 952,78

= 447,64

Amortização = 1 547,22 - 447,64

= 1 099,58

Saldo devedor = 8 952,78 - 1 099,58

= 7 853,20

Teremos, então, ao final do segundo período a seguinte situação: Observe que a prestação fixa é obtida adicionando-se juros e amortização, que variam na ordem inversa. Ou seja, os juros vão diminuindo e a amortização vai aumentando. Este sistema pode ser também acompanhado de prazo de carência. Nesse caso, os juros podem ser pagos durante o prazo de carência ou capitalizados no saldo devedor.

Período

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

2

7.853,20

1.099,58

477,64

1.547,22

Repetindo o processo até a quitação total da dívida, obteremos um plano completo, apresentado na tabela que segue: Período

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

Consideremos, como exemplo, um empréstimo de $ 10.000,00 a ser pago, sem carência, em 8 parcelas à base de 5% a.m. de juros.

0

10.000,00

-

-

-

1

8.952,78

1.047,22

500,00

1.547,22

A parcela constante nesse caso pode ser o btida através da fórmula:

2

7.853,20

1.099,58

447,64

1.547,22

3

6.698,64

1.154,56

392,66

1.547,22

4

5.486,35

1.212,29

334,93

1.547,22

5

4.213,45

1.272,90

274,32

1.547,22

6

2.876,90

1.336,55

210,67

1.547,22

7

1.473,53

1.403,37

143,85

1.547,22

8

-

1.473,53

73,66

1.547,22

TOTAL

10.000,00

2.377,73

12.377,76

2.1. Sistema Francês sem Prazo de Carência

M 

1000 

1 a85

1 ani



C

 C  C  1547,22

Que parte corresponde aos juros? Que parte amortiza a dívida? Incidindo a taxa de 5% sobre o saldo devedor inicial, teremos: Juros = 0,05 X 10.000 = 500

Podemos observar pela linha total, salvo aproximação, que :

A parte referente aos juros na primeira prestação será de $ 500,00. Como a prestação total é de $ 1547,22 o valor

Matemática

Amortização + Juros = Total das prestações

44



APOSTILAS OPÇÃO


2.2. Sistema Francês com prazo de carência e pagamento dos juros

2.3. Sistema Francês com Carência e Capitalização de Juros

Neste caso, é dado ao credor um prazo durante o qual ele pagará apenas os juros da dívida, sem, no entanto, amortizá-la durante essa carência.

Neste caso, durante o período de carência, o devedor não paga os juros da dívida, que são capitalizados no saldo devedor.

Tomemos o exemplo de um financiamento de $ 10.000,00 a 5% a.m. durante 8 meses, com carência de 3 meses. Os juros sobre o saldo devedor inicial serão de : Juros = 10.000,00 . 0,05 = 500

Vamos considerar o mesmo exemplo do financiamento de $ 10.000,00, em 8 parcelas mensais, carência de 3 meses, taxa mensal de juros de 5% e capitalização dos juros no saldo devedor.

Este valor será pago nos três primeiros períodos. Desse modo, ficaremos com o seguinte esquema:

Os três primeiros períodos podem ser observados no quadro abaixo:

Período

Saldo Devedor

Amortização

Juros

Prestação

0

10.000,00

-

-

-

1

10.000,00

-

500,00

500,00

2

10.000,00

-

500,00

500,00

Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação



M 

c  10.000 

1

C

a8 5

Saldo Devedor

-

-

1

10.500,00

-

-

-

2

11.025,00

-

-

-



M 

1 ani

 C  1547 . ,22

Amortizaçã o

Juros

Prestação

 C  11025 . 

1 a85

 C  170581 . ,

Os juros de 5% no primeiro período serão calculados sobre $11 025,00.

Os juros e as amortizações serão, daqui para a frente, calculados do mesmo modo que o já mostrado no caso sem carência. O plano completo será, então, o seguinte: Períod o

-

A partir do período seguinte começam a ser cobradas as parcelas referentes à amortização e aos juros. Da soma dessas parcelas resultará a prestação que, agora, deverá ser calculada a partir do saldo devedor atual ($ 11 025,00).

a ni 1

10.000,00

Perceba que ao saldo devedor foram sendo acrescentados os juros não pagos.

A partir do mês seguinte, inicia-se a amortização. A prestação fixa será dada agora por :

C

0

Juros = 11.025 . 0,05 = 551,25 Amortização = Prestação - Juros Amortização = 1 705,81 - 551,25 = 1.154,56

0

10.000,00

-

-

-

1

10.000,00

- 500,00

500,00

Saldo devedor = Saldo devedor anterior - Amortização

2

10.000,00

- 500,00

500,00

Saldo devedor = 11.025,00 – 1.154,56 = 9.870,44

3

8.952,78

1.047,22 500,00

1.547,22

4

7.853,20

1.099,58 447,64

1.547,22

5

6.698,64

1.154,56 392,66

1.547,22

6

5.486,35

1.212,29 334,93

1.547,22

7

4.213,45

1.272,90 274,32

1.547,22

8

2.876,90

1.336,55 210,67

1.547,22

9

1.473,53

1.403,37 143,85

1.547,22

10

-

1.473,53

73,66

1547,22

10.000,00 .377,73

13.377,76

TOTAL

O esquema, agora, fica assim: Período Saldo Devedor Amortizaçã Juros o

Prestação

0

10.000,00

-

-

-

1

10.500,00

-

-

-

2

11.025,00

-

-

-

3

9.870,44

1.154,56

551,25

1.705,8 1

Para o próximo período, os juros de 5% serão calculados sobre o saldo devedor de $ 9.870,44. Juros = 9 870,44 . 0,05 = 493,52

Matemática

45



APOSTILAS OPÇÃO


Amortização = 1 705,81 - 493,52 = 1 212,29

2.000 8

Saldo devedor = 9 870,44 - 1 212,29 = 8 658,15 O plano completo de amortização nesse caso ficará: Período Saldo Devedor Amortização Juros

A parcela de juros vai variar em função do saldo devedor, tomado no período anterior.

Prestação

0

10.000,00

-

-

-

1

10.500,00

-

-

-

2

11.025,00

-

-

-

3

9.870,44

1.154,56 551,25 1.705,81

4

8.658,15

1.212,29 493,52 1.705,81

5

7.385,25

1.272,90 432,91 1.705,81

6

6.048,70

1.336,55 369,26 1.705,81

7

4.645,33

1.403,37 302,44 1.705,81

8

3.171,79

1.473,54 232,27 1.705,81

9

1.624,57

1.547,22 158,59 1.705,81

-

TOTAL

11.025,00 2.621,47 13.646,48

 250

Vamos fazer os cálculos referentes à primeira parcela: Saldo devedor = 2 000 Juros = 2 000 . 0,03 = 60 Amortização = 250 Prestação = 250 + 60 = 310 Então, no final do período, teremos: Período Saldo Devedor

1

Amortização Juros

1.750,00

250,00

Prestação

60,00

310,00

Agora, vamos fazer os cálculos referentes à segunda parcela:

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) OU SISTEMA HAMBURGUÊS

Saldo devedor

= 1 750

Juros

= 1 750 . 0,03 = 52,50

Amortização = 250 Prestação

Nesse caso, as prestações são variáveis, a amortização é fixa e os juros, em geral, vão diminuindo à medida que os períodos vão decorrendo.

= 250 + 52,50 = 302,50

Então, no final do período teremos: Período

O gráfico apresentado a seguir, esclarece melhor esta situação:

2

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

1.500,00

250,00

52,50

302,50

Repetindo esse processo até a quitação total da dívida, teremos o seguinte plano: Período Saldo Devedor

Observe que a amortização é fixa e que os juros decrescem juntamente com a prestação. SAC - Sem Prazo de Carência Vamos supor um financiamento de $ 2.000,00 à taxa de 3% a.m., com um prazo de 8 meses.

A parcela fixa da amortização é obtida dividindo o valor financiado ($ 2.000,00) pelo número de prestações. No financiamento que tomamos como exemplo, o número de prestações é 8.

Matemática

2.000,00

1

1.750,00

250,00

60,00

310,00

2

1.500,00

250,00

52,50

302,50

3

1.250,00

250,00

45,00

295,00

4

1.000,00

250,00

37,50

287,50

5

750,00

250,00

30,00

280,00

6

500,00

250,00

22,50

272,50

7

250,00

250,00

15,00

265,00

250,00

7,50

257,50

-

-

-

Prestação

0

8

46

Amortização Juros

-



APOSTILAS OPÇÃO TOTAL


2.000,00

270,00

Saldo1 = 2 000 . 1,03 = 2 060

2.270,00

Depois de dois períodos, temos: Saldo2 = 2 060 . 1,03 = 2 121,80

Obs.: Os juros e as prestações são funções de 1.º grau: J = 0,03 . (2 000 - 250 . n)

Para calcular a parcela fixa de amortização é necessário dividir 2.121,80 por 8.

Nessa expressão, n é o período e J os juros.

212180 . ,

P = J + 250 = 0,03 . (2 000 - 250 . n) + 250

8

Nessa expressão, P é a prestação do período.

Daqui para a frente, o processo é o mesmo. A tabela com todo o plano fica assim:

SAC com Prazo de Carência e Pagamento de Juros Neste caso, durante o período de carência é feito apenas o pagamento dos juros, não havendo nenhuma amortização.

Período Saldo Devedor

Vejamos um exemplo : Consideremos um financiamento de $ 2 000,00, à taxa de 8% a.m., com um período de carência de 3 meses. O plano de amortização fica como mostra a tabela: Período Saldo Devedor

Amortização Juros

Prestação

0

2.000,00

-

-

-

1

2.000,00

-

60,00

60,00

2

2.000,00

-

60,00

60,00

3

1.750,00

250,00

60,00

310,00

4

1.500,00

250,00

52,50

302,50

5

1.250,00

250,00

45,00

295,00

6

1.000,00

250,00

37,50

287,50

7

750,00

250,00

30,00

280,00

8

500,00

250,00

22,55

272,50

9

250,00

250,00

15,00

265,00

10

-

250,00

7,50

257,50

2.000,00 390,00

2.390,00

TOTAL

 265,23

Amortização Juros

Prestação

0

2.000,00

-

-

-

1

2.060,00

-

-

-

2

2.121,80

-

-

-

3

1.856,57

265,23

63,65

328,88

4

1.591,34

265,23

55,70

320,93

5

1.326,11

265,23

47,74

312,97

6

1.060,88

265,23

39,78

305,01

7

795,65

265,23

31,83

297,06

8

530,42

265,23

23,87

289,10

9

265,19

265,23

15,91

281,14

10

-

265,19

7,96

273,15

2.121,80 286,44

2.408,24

Total

Obs.: Comparando as tabelas dos planos de carência com pagamento ou não dos juros no período, você pode ver que usando o segundo sistema, paga-se mais. Isso ocorre porque o que deveria ser jur os passa a ser principal. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Este é um sistema mais moderno, que não apresenta nenhuma dificuldade teórica aos que já foram estudados, uma vez que ele é simplesmente a média aritmética entre o Sistema Francês de Amortização e o SAC. O gráfico ao lado compara a evolução das prestações nesses três sistemas.

SAC com Prazo de Carência e Juros Capitalizados no Saldo Neste caso, durante a carência, o devedor não paga absolutamente nada. Os juros desse período vão servir para aumentar o saldo devedor. Vejamos um exemplo : Para o financiamento de $ 2.000,00, a 3% a.m., durante 8 meses e com período de carência de 3 meses, podemos começar calculando o saldo capitalizado. Assim, depois de um período, temos:

Matemática

47



APOSTILAS OPÇÃO


Suponha dois planos de financiamento de $ 10.000,00 em 5 meses, à taxa de 5% a.m., primeiro pelo SAC e depois pelo Sistema Francês.

5

10.000,00

-

-

-

1

8.000,00

2.000,00

500,00

2.500,00

2

6.000,00

2.000,00

400,00

2.400,00

3

4.000,00

2.000,00

300,00

2.300,00

4

2.000,00

2.000,00

200,00

2.200,00

5

-

2.000,00

100,00

2.100,00

CÁLCULO FINANCEIRO CUSTO REAL E EFETIVO DE OPERAÇÕES DE FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO A Inflação e correção monetária A inflação caracteriza-se por aumentos persistentes e generalizados dos preços dos bens e servi ços à disposição da sociedade; quando ocorre o fenômeno inverso, tem-se a deflação. Com o objetivo de minimizar ou mesmo neutralizar as distorções causadas pela inflação na economia, foi institucionalizado no Brasil o princípio da correção monetária. Através desse princípio, os valores monetários (preços de bens e serviços, salários, empréstimos, financiamentos, aplicações financeiras, impostos etc.) poderiam ser reajustados com base na inflação ocorrida no período anterior, medida por um índice de preços calculado por uma entidade credenciada, normalmente pela FGV (Fundação Getúlio Vargas) ou pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).

TOTAL 10.000,00 1.500,00 11.500,00

SISTEMA FRANCÊS Amortização Juros

Prestação

0

10.000,00

-

-

-

1

8.190,25

1.809,75

500,00

2.309,75

2

6.290,01

1.900,24

409,51

2.309,75

3

4.294,76

1.995,25

314,50

2.309,75

4

2.199,75

2.095,01

214,74

2.309,75

5

-

2.199,75

109,99

2.309,75

O que é um indexador lndexador, tal como usado pelo mercado financeiro, pode ser entendido como qualquer valor ou índice utilizado como parâmetro para atualizar o valor da unidade monetária, depreciado em função da elevação sistemática dos níveis gerais de preços. Construção de um indexador e sua utilização Para facilitar a compreensão do leitor, vamos tomar como exemplo o cálculo do valor do BTN, criado em fevereiro de 1989 e extinto em fevereiro de 1991. Esse indexador foi construído com base na variação mensal dos preços ao consumidor, calculado pelo IBGE. Para os cinco primeiros meses, de fevereiro até junho, essas variações foram, respectivamente, de 3,60%, 6,09%, 7,31%, 9,94% e 24,83%. Seu valor inicial, na data de 01-02-89, foi fixado em NCzS 1,00 (um cruzado novo). Para a obtenção do valor do mês seguinte, adicionou-se a variação de 3,60% do mês de fevereiro, obtendo-se NCzS 1,0360; o valor do BTN de abril foi obtido adicionando-se 6,09% ao valor do mês anterior e assim sucessivamente. Com esse procedimento, obtém-se os seguintes valores para os cinco primeiros meses de nosso exemplo, válidos para o primeiro dia de cada mês:

10.000,00 1.548,74 11.548,75 O mesmo plano calculado com base no SAM ficaria assim: SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTA (SAM) Período Saldo Devedor

0

10.000,00

1

8.095,20

2

Amortização Juros

Prestação

-

-

1.904,80

500,00

2.404,88

6.145,08

1.950,12

404,76

2.354,88

3

4.147,45

1.997,63

307,25

2.304,88

4

2.099,94

2.047,51

207,37

2.254,88

Matemática

2.204,88

Prestação

0

Perío Saldo do Devedor

105,00

Perceba tanto pelas prestações, como pelos juros ou pelo saldo devedor, que, em cada período, os valores no SAM são, com exceção da aproximação, a média aritmética entre o valor do SAC e o do Sistema Francês.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

Amortização Juros

2.099,94

10.000,00 1.524,38 11.524,40

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

Período Saldo Devedor

-

Mês Fevereiro/89 Março Abril

48

Variação mensal (%) 3,60 6,09 7,31

BTN 1 ,0000 1 ,0360 1 ,0991



APOSTILAS OPÇÃO Maio Junho

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 9,94 24,83

que enfrentamos para escrever este capitulo. Nos exercícios com rendas e encargos pós-fixados apresentados na primeira tiragem da quarta edição,, utilizamos a URV como principal indexador por entender que a TR, até então a mais utilizada para atualizar os valores das aplicações e dos empréstimos, fosse extinta pelo governo logo após a criação do REAL. Entretanto, isso não ocorreu! E embora o governo esteja propondo-se a desindexar a economia a partir do inicio deste ano de 1995 (época em que estamos revisando a quinta edição deste livro), não é provável que o faça tão cedo. Assim, não nos resta outra alternativa a não ser adotar essa taxa referencial como indexador, em que pese a todas as restrições que fazemos a ela. A TR é uma taxa mensal calculada e divulgada diariamente pelo Banco Central, sendo utilizada para corrigir valores monetários desde o dia a que se refere (dia em que é calculada) até igual dia do mês seguinte. Assim, a TR de 2,61% referente ao dia 19 de janeiro de 1995 corrige um empréstimo no valor de S 1.000,00, obtido nesse dia, para S 1.026, 1º no dia 19 de fevereiro.

1 ,1794 1 ,2966

O quadro mostra que o valor do BTN se constituía, na verdade, num índice de preços, como também se constituíam, no passado, a ORTN, a OTN e o fator acumulado da TR; atualmente, temos como exemplos a UFIR, a UPF (Unidade Padrão de Financiamento) e as Unidades Fiscais dos estados e municípios. A utilização de um índice de preços, isto é, de um indexador, é uma prática generalizada no Brasil. A partir de seus valores, obtém-se facilmente a variação dos preços ocorrida entre duas datas quaisquer, ou o valor atualizado de um empréstimo, de uma aplicação financeira ou de um bem ou serviço. Para a obtenção da variação, basta dividir o índice referente à data atual pelo índice corr espondente à data anterior (a partir da qual se pretende determinar a variação), e subtrair 1. Assim, no caso de nosso exemplo, a variação de 10 de março a 10 de junho é calculada como segue: variação =

APLICAÇÕES FINANCEIRAS COM RENDA FIXA

1,2966 - 1 = 0,2515444 ou 25,15444 % 1,0360

Vamos considerar como aplicações financeiras de renda fixa todas aquelas realizadas em títulos e valores mobiliários, inclusive cadernetas de poupança e fundos de investimentos. Denomina-se renda fixa por garantir ao aplicador determinado rendimento, fixado no dia da aplicação, isto é, o investidor seguramente receberá no vencimento um valor maior que o desembolsado, o que pode não acontecer com as aplicações em renda variável. As aplicações com renda fixa podem ser pré e pós-fixadas. É prefixada quando o valor de resgate é conhecido no dia da aplicação e pós quando esse valor somente é determinado no dia (ou alguns dias antes) do vencimento. As aplicações com renda pósfixada pagam juros calculados sobre o principal corrigido, ou seja, sobre o valor da a plicação adicionado da correção monetária do período. Os exemplos seguintes facilitarão o entendimento do leitor.

Essa variação corresponde às variações acumuladas dos meses de março, abril e maio. Para se corrigir monetariamente um valor, ou seja, incorporar ao preço inicial a variação correspondente à inflação do período, basta dividir esse valor pelo índice correspondente à data do inicio do período (a partir da qual se pretende corrigir) e multiplicar pelo índice referente à data do fim do período. No caso do exemplo anterior, um valor inicial de $ 100.000,00 seria corrigido como segue: Valor corrigido =

100.000,00 x 1,2966 = 125.154,44 1,0360

Aplicações com renda prefixada

A partir deste exemplo, podemos apresentar uma fórmula genérica para atualização monetária de valores e que será utilizada ao longo de todo este capítulo. Para tanto, vamos chamar de principal o preço inicial de uma mercadoria ou serviço, ou o valor inicial de um empréstimo ou de uma aplicação financeira, e de indexador qualquer índice utilizado com a finalidade de corrigir monetariamente um valor. A fórmula é a seguinte: Pc 

Vamos tratar de aplicações nos seguintes títulos e valores mobiliários: a) Certificados de Depósitos Bancários (CDB). São títulos emitidos pelos bancos comerciais, de investimentos ou desenvolvimento, e pelas caixas econômicas; é o instrumento mais utilizado para a captação de recursos normalmente destinados ao financiamento de capital fixo e de giro das empresas. O prazo mínimo de emissão tem variado muito nos últimos anos, sendo atualmente de 30 dias. O prazo máximo não é fixado.

P x Iv Io

em que Pc é o principal corrigido, P o principal inicial, l o o indexador correspondente à data inicial (data do contrato) e lv o indexador da data do vencimento, pagamento ou resgate.

b) Recibos de Depósitos Bancários (RDB). São recibos de depósito a prazo fixo, emitidos pelas mesmas instituições financeiras, com a mesma finalidade e com os mesmos prazos.

Nos casos em que somente a variação do indexador é conhecida, a atualização se fará como segue: P c= P x (1 + v1) x ( 1 + v 2) x ( 1 + v 3) x ..... x (1 + v n) em que v representa a variação (diária, mensal ou anual) do indexador e os índices 1, 2, 3, ....., n, o número de ordem do período unitário (dia, mês ou ano).

c) Letras de Câmbio (LC): são títulos emitidos pelas chamadas "Financeiras", as Sociedades de Crédito, Financiamento e Investimento, para captação de recursos destinados ao financiamento de bens e serviços, para pessoas físicas ou jurídicas, operação conhecida no mercado por "crédito direto ao consumidor". Os prazos de emissão são idênticos aos do CDB e RDB. Com a intensificação do processo de transformação de Financeiras em bancos múltiplos, o volume de emissão de Letras de Câmbio tem se reduzido muito nos últimos anos. A ten-

lndexador utilizado neste capítulo A parte final do breve histórico apresentado sobre a indexação no Brasil dá ao leitor uma idéia das dificuldades

Matemática

49



APOSTILAS OPÇÃO


dência natural é sua extinção a médio prazo. d) Bônus do Banco Central (BBC). São títulos de curto prazo emitidos pelo Banco Central do Brasil para a captação de recursos destinados ao atendimento das necessidades de caixa do Tesouro Nacional; pane substancial das emissões é adquirida pelas instituições financeiras para lastreamento das operações de open market e para compor as carteiras dos fundos de investimentos em renda fixa, variável e de commodities. São sempre emitidos numa quarta-feira e com vencimento também numa quarta, portanto, com prazos múltiplos de 7; atualmente são mais comuns os de 28, 35 e 42 dias. e) Letras do Tesouro Nacional (LTN). São títulos idênticos ao anterior. A única diferença é que são emitidos pelo Tesouro Nacional.



Pc = principal corrigido: valor da aplicação adicionado da correção monetária;



VR =valor de resgate: valor de resgate da aplicação ou do título antes do desconto do Imposto de Renda;



VRL = valor de resgate líquido: valor de resgate menos o Imposto de Renda;



TRB = taxa real bruta: dada pela divisão do rendimento real pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate pelo principal corrigido, menos 1);



TRL = taxa real líquida: dada pela divisão do rendimento real líquido pelo principal corrigido (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo principal corrigido, menos 1);



a = alíquota do Imposto de Renda,

(O exemplo para um tipo de aplicação é válido para todos, já que os três têm as mesmas características) A) Um investidor aplica S 36.000,00 num Certificado de Depósito Bancário (CDB), com 30 dias de pr azo. Sabendose que o Banco emitente paga uma taxa de 39% ao ano, determinar o valor de resgate, o valor do lmposto de Renda e o valor de resgate líquido dessa aplicação. Solução: a) Cálculo do valor de resgate

A fim de facilitar o entendimento dos exemplos apresentados a seguir, vamos estabelecer as seguintes convenções: P = principal ou valor aplicado: valor desembolsado pelo aplicador;

TEL = taxa efetiva líquida: dada pela divisão do rendimento líquido pelo valor da aplicação (ou pela divisão do valor de resgate líquido pelo valor da aplicação, menos 1);

Exemplos com CDB, RDB ou LC

Todas as aplicações financeiras estão sujeitas à incidência do Imposto de Renda na fonte. Até 31 de dezembro de 1994, o Imposto de Renda, descontado na fonte, incidia apenas sobre o chamado rendimento real (também chamado de ganho de capital), correspondente ao rendimento que excedesse ao valor da correção monetária calculada com base na UFJR (Unidade Fiscal de Referência), ou seja, sobre o valor que ultrapassasse ao principal corrigido por esse indexador. A partir de 1° de janeiro de 1995, o Imposto de Renda pago na fonte passou a ser cobrado a razão de 10% sobre o rendimento bruto, ou seja, sobre o rendimento total obtido, independentemente do prazo da aplicação.





VR = P ( 1  ia )

n

360

em que i a é a taxa anual e n o prazo em dias.

VR = 36.000,00 x (1 + 39%) 30/360 VR = 36.000,00 x (1,39) 30/360 = 37.001,59

b) Cálculo do valor do Imposto de Renda IR = a x RB



RB = rendimento total ou bruto: dado pela diferença entre o valor de resgate e o valor aplicado;



RL = rendimento líquido: é o valor do rendimento bruto menos o valor do Imposto de Renda;



n = prazo (normalmente em número de dias);

c) Cálculo do valor de resgate líquido



i = taxa utilizada pelo mercado para explicitar o rendimento bruto a ser pago, seja ele pré ou pósfixado; normalmente é informada para um período de 30 dias (taxa mensal) ou de 360 dias (taxa anual) ;

VRL = VR - IR = 37.001,59 - 100,16 =



RB = 37.001,59 - 36.000,00 = 1.001,59 IR =10% x 1.001,59 = 100,16

36.901,43 Exemplo com BBC e LTN

TEB = taxa efetiva bruta: dada pela divisão do rendimento bruto pelo valor da aplicação (ou pela divisão do valor de resgate pelo valor da aplicação, menos 1);

Matemática

Na negociação desses dois títulos, os agentes do mercado partem de um valor de resgate hipotético de $ 1.000,00. E, considerando o prazo e a taxa de juros, determinam seu valor de compra ou venda, denominado de PU (preço unitário). Embora o mercado brasileiro, no caso

50



APOSTILAS OPÇÃO


dessas operações, esteja atualmente trabalhando com o prazo representado por número de dias úteis, vamos considerar sempre dias corridos. Essa decisão deve-se ao fato de a utilização de dias corridos ser uma norma universal, e porque considero esse critério o m ais correto.

tenham sido de 2,21%, 1,96%, 2,13% e 2,37% respectivamente. Solução: a) Cálculo do valor de resgate

B. Em um leilão efetuado pelo Banco Central, um Banco adquire BBCS com prazos de 28 e 35 dias, ambas cotadas a uma taxa de juros de 37% ao ano. Calcular, para os dois prazos mencionados, o preço pago pelo Banco para cada $ 1.000,00 de resgate.

n

VR = Pc ( 1  ia )

Pc= 5.000,00 x 1,0221 x 1,0196 x 1,0213 x 1,0237

Solução:

= 5.447,78

a) para o prazo de 28 dias

120

VR = 5.447,78 x 1,16

A partir da fórmula do montante para juros compostos, tem-se que: P

P

VR  1  ia 

n

 1,37 

IR = 10% x RB = 0,10 x RB

RB = VR - P= 5.724,08 - 5.000,00 = 724,08

 975,81

360

IR = 0,10 x 724,08 = 72,41

c) Cálculo do valor de resgate líquido VRL = VR - IR = 5.724,08 - 72,41 = 5.651,67 Operações com Cadernetas de Poupança

b) para o prazo de 35 dias 1.000,00  1,37 

35

As cadernetas de poupança constituem a forma mais popular de aplicação de recursos no Brasil. Tradicionalmente, elas vêm rendendo correção monetária calculada com base num indexador, mais juros de 0,5% ao mês (equivalente a 6,168% ao ano) incidente sobre o valor do depósito acrescido da correção monetária; caso haja algum saque durante o mês, contado desde o dia do depósito até o dia anterior ao do crédito, valerá o menor saldo do mês para efeito de cálculo do rendimento. Nas aplicações feitas por pessoas físicas, o rendimento é creditado mensalmente no dia do chamado "aniversário" ou data-base, isto é, no dia do mês do crédito correspondente ao mesmo dia do mês em que foi aberta. Assim, se uma caderneta é aberta no dia 3 de janeiro, os rendimentos serão creditados no dia 3 dos meses subseqüentes. Entretanto, há exceções: se a conta for aberta nos dias 29, 30 ou 31, considerar-se-á aberta no dia 1°do mês seguinte.

 969,86

360

Aplicações com renda pós-fixada Neste subitem temos uma grande variedade de aplicações. Vamos tratar somente das mais importantes: cadernetas de poupança, CDBS, RDBS, Letras de Câmbio, Notas do Tesouro Nacional (NTN), Debêntures e os fundos de investimentos. A tributação é idêntica à das aplicações em renda prefixada mostrada no subitem anterior, ou seja, Imposto de Renda de 10% sobre o rendimento total. Vamos tratar inicialmente das aplicações em CDB, RDB e LC, cujas características já foram mencionadas no subitem anterior; as diferenças dessas aplicações em relação àquelas com rendimentos prefixados é que nestes casos o prazo mínimo de emissão dos títulos é atualmente de 120 dias e os rendimentos são calculados com base no principal corrigido pelo indexador adotado. E como já mencionamos no início deste capítulo, vamos adotar a TR (Taxa Referencial de Juros) como principal indexador.

No caso das aplicações feitas por pessoas jurídicas, os rendimentos são creditados trimestralmente, calculados à razão de 1,5% sobre o valor do depósito corrigido pelo indexador utilizado. Em caso de movimentação da conta durante o trimestre, os rendimentos serão calculados com base no menor saldo existente nesse trimestre. De acordo com a legislação atual, incide Imposto de Renda de 10% sobre o total dos rendimentos. Esse fato praticamente inviabiliza a caderneta de poupança para pessoas jurídicas.

Exemplo com CDB, RDB e LC C. Calcular o valor de resgate líquido já descontado o Imposto de Renda) de uma aplicação em CDB com renda pós-fixada no valor de $ 5.000,00, pelo prazo de 120 dias, sabendo-se que o Banco paga juros de 16% ao ano. A aplicação foi feita no dia 5 de janeiro para resgate no dia 5 de maio do mesmo ano. Admitir que as TR referentes aos dias 5 dos meses de janeiro, fevereiro, março e abril

Matemática

= 5.724,08

360

1.000,00 28

360

b) Cálculo do Imposto de Renda

O valor presente P = $ 975,81 constitui-se no chamado PU (preço unitário). Assim, no caso deste exemplo, o PU nada mais é do que o valor atual do título para cada $ 1.000,00 de resgate, A "unidade", que neste caso é igual a $ 1.000,00, poderia ser de $ 1,00, $ 10,00, $ 100,00 ou qualquer outro valor.

P

360

Considera-se mês, no caso das cadernetas de poupança, o período compreendido entre o dia do depósito e o dia do "aniversário" no mês seguinte. No momento em que estamos revisando este capítulo,

51



APOSTILAS OPÇÃO


o indexador oficial utilizado para corrigir os depósitos de poupança continua sendo a TR. E é esse que vamos utilizar. A correção monetária calculada com base nesse indexador é chamada também de atualização monetária.

seguir facilitarão o entendimento. Embora o governo não tenha colocado no mercado nenhum título corrigido pelo IGPM após a implantação do REAL, vamos apresentar exemplos envolvendo os três tipos.

D. O Sr. W. Vilan abriu uma caderneta de poupança no dia 13-09-94 com um depósito de $ 4.500,00. Sabendo-se que a TR desse dia foi de 2,57%, calcular os valores da correção monetária e dos juros creditados em 13- l 0-94. Como se sabe, a taxa de juros é de 0,5% ao mês.

Através de um leilão realizado pelo Banco Central, uma instituição financeira adquire NTNS cambiais emitidas em 01-11-93 e com vencimento em 01-02-94 (prazo de três meses). Sabendo-se que esse título paga juros de 6% ao ano, que foi adquirido com uma rentabilidade efetiva de 18% ao ano e que as cotações do dólar comercial de venda no dia anterior ao dia da emissão e ao dia do resgate foram respectivamente de CR$ 174,000 e CR$ 458,660, calcular:

Solução: 

a) o PU, ou seja, o preço pago para cada CR$ 1.000,00 de emissão;

Valor da correção monetária

CM = 2,57% x 4.500,00 = 11 5,65 

b) o valor de resgate (incluindo os juros).

Valor dos juros

Solução:

Juros = 0,5% x (4.500,00 + lis,65) = 23,08 

a) Cálculo do PU

Saldo da conta em 13-10-94 VR = 1.000,00 x (1,06)

Saldo = 4.500,00 + 115,65 + 23,08 = 4.638,73

4

= 1.014,673846

em que o número 4, do expoente 1/4, representa o número de trimestres contidos em 1 ano.

O saldo dessa conta poderia também ser obtido como segue:

PU 

Saldo = 4.500,00 x 1,0257 x 1,005 = 4.638,73 Caso o Sr. Vilan tivesse sacado $ 1.500,00 em qualquer dia entre o dia do depósito e o dia útil anterior à data do crédito, os valores da correção monetária e dos juros seriam calculados com base no saldo de $ 3.000,00.

1.014,673846 92

1,,18

 973,213807

365

em que 0,18 é taxa efetiva ao ano e 92 o número de dias decorridos entre o dia da compra e do resgate. b) Cálculo do valor de resgate (incluindo os juros)

Operações com Notas do Tesouro Nacional (NTN)

Pc  1.000,00 x

A NTN é um título emitido pelo Tesouro Nacional com características idênticas às do CDB pós-fixado. Atualmente tem prazo mínimo de emissão de 120 dias; até dezembro de 1994 esse prazo mínimo era de 90 dias. Existem três tipos: a NTN com correção cambial, a NTN corrigida com base na variação do IGPM (Índice Geral de Preços do Mercado) e a NTN corrigida com base na TR. No caso das duas primeiras, o Tesouro Nacional paga 6% ao ano sobre o principal corrigido, e no caso da última, o rendimento total acima da TR é dado via deságio.

458,660  2.635,977011 174,000

Taxa trimestral de juros = (1,06)

1

4

- 1 = 0,01467385 ou 1 ,467385%

Juros = 0,01467385 x 2.635,977011 = 38,679931

As NTNS são colocadas no mercado através de leilões periódicos (pelo menos um por mês) efetuados pelo Banco Central. Como regra geral, são emitidas com data do primeiro dia de cada mês, e vencimento também no primeiro dia do mês de resgate. Caso uma das datas (de emissão ou de resgate) ocorra em um dia não útil, a liquidação ocorrerá no dia útil subseqüente. No caso das NTNS cambiais, a correção é calculada tomando-se como base a cotação do dólar no dia imediatamente anterior ao dia da emissão e do resgate (ou do pagamento dos juros).

Valor de resgate = 2.635,977011 + 38,679931 = 2.674,656942 O valor de resgate também pode ser determinado atualizando-se monetariamente o valor de resgate obtido inicialmente, como segue: VR  1.014,673846 x

Os juros de 6% ao ano são pagos semestralmente, ou no vencimento do título, caso seu prazo seja de até seis meses. Para proporcionar uma rentabilidade superior a 6% ao ano, o Banco Central normalmente coloca esses títulos no mercado com deságio. Para efeito de negociação, o preço unitário do título - o chamado PU - é calculado com base num valor de emissão hipotético de S 1.000,00 e apresentado com seis casas decimais. Os exemplos a

Matemática

1

458,660  2.674,656942 174,000

Operações com Fundos de Investimentos em Renda Fixa Este Fundo de Investimentos tem uma carência de 28 dias para saques sem perda de rendimentos, contados desde o dia da aplicação ou desde o último dia em que se

52



APOSTILAS OPÇÃO


completou o ciclo de 28 dias. Trata-se de um fundo administrado por uma instituição financeira em que os recursos captados junto aos clientes são aplicados em títulos de renda fixa, pré ou pós-fixados. O investidor adquire cotas do fundo, cuja rentabilidade reflete a rentabilidade média dos títulos que compõem a carteira. Sobre o rendimento total obtido na aplicação, o investidor paga Imposto de Renda, correspon dente a 10%, calculado de forma idêntica aos cálculos já mostrados para os títulos de renda fixa.

Saldo em n°de cotas = 1.715,248 - 1.027,092 = 688,156 

= 688,156 x 3,602403 = 2.479,02 Operações com Fundos de Aplicações Financeiras (FAF)

Exemplo

As aplicações neste Fundo, também conhecido por "fundão", representam uma das únicas formas de aplicação de recursos no curto prazo. Funciona de maneira semelhante ao Fundo de Renda Fixa visto no item anterior. Os recursos captados pela instituição financeira que administra o Fundo são aplicados de forma bem diversificada, sendo uma parte superior a 20% obrigatoriamente depositado no Banco Central, uma fatia ainda maior aplicada títulos públicos federais, 10% em Títulos de Desenvolvimento Econômico (TDE) e 3% no Fundo de Desenvolvimento Social (FDS); apenas cerca de 42% dos recursos captados podem ser livremente utilizados pela instituição financeira para aplicação em outros títulos de renda fixa, públicos ou privados.

E. Um investidor aplica $ 6.000,00 num Fundo de Renda Fixa no dia 11-0l -95 e resgata $ 3.700,00 no dia 08-02-95, 28 dias depois. Sabendo-se que o valor da cota era de $ 3,498039 no dia da aplicação e de $ 3,602403 no dia do resgate, calcular: a) o número de cotas adquiridas; b) o número de cotas resgatadas; c) a valorização da cota no período; d) o valor do Imposto de Renda pago e o valor líquido creditado na conta do aplicador;

O rendimento proporcionado por este Fundo também paga 10% de Imposto de Renda na fonte.

e) o saldo em número de cotas e em S.

Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 no FAF e resgatou tudo no dia seguinte. Sabendo-se que o valor da cota subiu 0,116%, calcular o valor líquido resgatado.

Solução: a) Número de cotas adquiridas

Solução:

6.000,00  1.715,248 cotas n°de cotas = 3,498039

Valor do rendimento =

b) Número de cotas resgatadas nº de cotas =

0,116% x 50.000,00 = 58,00 Valor do IR =

3.700,00  1.027,092 cotas 3,602403

10% x 58,00 = 5,80

c) Valorização da cota no período Valorização =

Saldo em $

Valor líquido resgatado =

3,602403  1  0,0298 ou 2,984% 3,498039

50.000,00 + 58,00 - 5,80 = Valor líquido resgatado = 50.052,20

d) Valor do Imposto de Renda e valor líquido creditado 

Valor de aplicação das cotas resgatadas

AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

Valor = 1.027,092 x 3,498039 = 3.592,81 

Engenharia econômica é o estudo dos métodos e técnicas usados para a análise econômico-financeira de investimentos. Esses métodos e técnicas devem ser baseados cientificamente e encontram na matemática financeira as suas justificativas. A necessidade de an alisar investimentos propõe os problemas, a engenharia econômica apresenta as técnicas de solução e a matemática financeira justifica essas técnicas.

Valor do Imposto de Renda

Corresponde a10% sobre o rendimento obtido no período, ou seja, sobre o valor de resgate menos o valor de aplicação das cotas resgatadas, calculado como segue: IR = 10% x (3.700,00 - 3.592,81) = 10,72 

A análise de investimentos compreende não apenas as alternativas entre dois ou mais investimentos para escolha do melhor, mas também a análise de um único investimento com a finalidade de se julgar de seu interesse ou não.

Valor líquido creditado na conta do aplicador Valor líquido = 3.700,00 - 10,72 = 3.689,28



Saldo em número de cotas e em S

Na análise de investimentos só serão levados em conta

Matemática

53



APOSTILAS OPÇÃO


os fatores quantificáveis, isto é, que puderem ser expressos em unidades de capital. Se fatores não quantificáveis vão influir na tomada de decisão, essa análise n não poderá ser feita com um estudo matemático. Assim, na escolha entre dois equipamentos para aquisição de um deles, por exemplo, não teria sentido uma análise matemática que envolvesse preços, capacidade de produção, custos operacionais, durabilidade etc., se a pretensão é adquirir o mais estético ou o de menor porte.

NPV = 0



i = i a

NPV > 0  i > i a NPV < 0



i < i a

Quando vários investimentos estão sendo analisados, pode ocorrer que todos eles sejam interessantes ou que todos eles sejam desinteressantes ou que alguns sejam interessantes e outros não. Em qualquer dos casos, o investimento mais interessante é aquele que apresenta o maior NPV.

Também não tem sentido analisar investimentos que não apresentam viabilidade de escolha por falta de recursos financeiros ou de quaisquer outras condições.

É claro que, se o problema é comparar custos de empréstimos, serviços ou equipamentos, a melhor alternativa é aquela que apresenta o menor NPV, isto é, a que tem a menor taxa de custo.

Quando apenas um investimento é analisado para que se estude a sua rentabilidade, costuma-se fazer uma comparação entre a sua taxa de renda e uma taxa ideal, isto é, aquela que o investidor estabelece como sendo a taxa mínima de renda para que o investimento seja considerado atraente do ponto de vista financeiro. Essa taxa ideal se chama taxa mínima de atratividade ou apenas taxa de atratividade do investidor.É comum adotar como taxa de atratividade a taxa de mercado, isto é, a taxa à qual qualquer capital pode ser aplicado sem dificuldade.

Exemplo 1: Numa época em que a taxa de mercado é 6,2% a.m., qual é o melhor retorno para uma aplicação de R$ 500.000,00: receber R$ 700.000,00 no fim de seis meses, receber duas parcelas trimestrais de R$ 330.000,00, receber três parcelas bimestrais de R$ 210.000,00 ou receber seis parcelas mensais de R$ 100.000,00?

MÉTODOS EXATOS DE ANALISE DE INVESTIMENTOS

Solução:

Existem muitos métodos para análise de in vestimentos, mas apenas os chamados métodos exatos são dignos de credibilidade, pois apenas estes se baseiam nos princípios de equivalência de capitais. São eles: o método do valor presente líquido, o método do valor periódico uniforme e o método da taxa interna de cetorno.

1.ª alternativa:

Esses três métodos são equivalentes e, se forem aplicados com propriedade, conduzirão ao mesmo resultado. Dependendo do tipo de análise que se quer fazer, pode acontecer de um dos métodos ser mais apropriado do que os outros ou simplesmente mais cômodo por envolver menos cálculos. Algumas observações que serão feitas e a prática indicarão como fazer essa escolha.

NPV = 700.000 (1 +O,062)6 - 500.000 = - 12.077,39 2.ª alternativa:

Método do valor presente líquido O método do valor presente líquido, ou, simplesmente, método do valor presente, consiste em calcular o valor presente líquido NPV do fluxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do investimento que está sendo analisado, usando a taxa de atratividade do investidor. NPV = 330.000

Se o valor encontrado NPV for zero, significa que a taxa i de renda do investimento coincide exatamente com a taxa i a de atratividade que foi utilizada.

1 - 1,197772 - 500.000 = 5.532,57 0,19777

3.ª alternativa:

Se o valor encontrado NPV for positivo, esse valor representa o quanto a renda do investimento excede a renda esperada de taxa i a isto é, significa que a taxa de renda que o investimento proporciona ultrapassa a taxa de atratividade. Neste caso, o investimento analisado interessa ao investidor. Se o valor encontrado NPV for negativo, esse valor representa o quanto falta para que a renda do investimento atinja a renda desejada, isto é, significa que a taxa de renda que o investimento porporciona é menor que a taxa de atratividade. Neste caso, o investimento analisado não interessa ao investidor.

NPV = 210.000

1 - 1,127844-3 0,127844

- 500.000 = -

2.337,08 4.ª alternativa:

Resumindo:

Matemática

54



APOSTILAS OPÇÃO

NPV = 100.000


1 - 1,062-6 - 500.000 = - 11.342,41 0,062

NPV B = 271.653,04 - 211.078,33 = 60.574,71 Resposta: A segunda alternativa é melhor.

Resposta: A melhor alternativa é a segunda. (E a única em que a taxa de rendimento é maior que a taxa de atratividade.)

O método do valor presente pode ser aplicado à análise de investimentos cujos capitais iniciais são diferentes. O método é válido nesse caso, porque, se a diferença desses valores for considerada como um investimento adicional ou investimento incremental, e for aplicada à taxa de atratividade, seu valor presente líquido, calculado com essa mesma taxa, será nulo. Portanto, se esse investimento incremental for acrescentado ao investimento de menor capital inicial, em nada afetará o NPV desse investimento.

E preciso algum cuidado no uso desse método do valor presente, pois, quando as alternativas têm vidas diferentes, não se podem tirar conclusões sem antes analisar se essas alternativas podem ou não ser renovadas nas mesmas condições. Se isso for possível, os investimentos devem, então, ser repetidos, tomando-se, como vida de todos, um múltiplo comum do número de períodos das vidas de cada um. Veja-se o exemplo a seguir.

Exemplo 3: Considerar, no exemplo 2, um investimento incremental de R$ 30.000,00, para ser acrescentado à alternativa A, como se fosse um capital aplicado à taxa de atratividade de 5% a.m. e verificar se o valor presente líquido é o mesmo.

Exemplo 2: Uma empresa está estudando a compra de um equipamento e para isso está analisando dois tipos. O tipo A tem vida útil de dois anos, custa R$ 150.000,00 e dá um lucro mensal de ‗R$ 12.000,00. O tipo 6 tem vida útil de

Solução:

três anos, um custo de R$ 180.000,00 e dá um lucro de R$ 14.000,00. Ambos têm valor residual nulo. Qual o equipamento que deve ser adquirido se a taxa de atratividade é de 5% a.m.? Solução: Esses investimentos podem ser repetidos, pois se supre que, terminada a vida útil do equipamento, a empresa poderá adquirir um novo. Toma-se o menor múltiplo comum entre 2 e 3:6. Considera-se o equipamento A repetido três vezes e o equipamento B repetido duas vezes. Considerando a repetição, tem-se os diagramas:

Acrescentando esse investimento incremental à alternativa A, tem-se o seguinte diagrama:

NPV = 232.845,46 + 42.186,30 - 253.117,80 = 21.913,96 Resposta: Sim, é o mesmo. NPV A = 232.485,46 - 210.931,50 = 21.913,96

Método do valor periódico uniforme O método do valor periódico uniforme consiste em calcular o termo VPU da renda imediata que seja equivalente ao fluxo de caixa do investimento analisado, usando a taxa

Matemática

55



APOSTILAS OPÇÃO


de atratividade do investidor. Esse termo representa o custo periódico ou a receita periódica desse investimento e, quando são comparados vários investimentos, deve-se optar por aquele que apresenta o m enor custo periódico ou a maior receita periódica.

Resposta: É melhor comprar a máquina e fabricar a peça (o custo será menor). O método do valor periódico uniforme pode ser utilizado para comparar investimentos de vidas diferentes que podem ser repetidos, uma vez que a comparação não é feita pelo valor total, mas pelo valor periódico que, com repetição ou sem repetição, é o mesmo. Mas se os investimentos não podem ser repetidos, para a alternativa que apresenta a vida mais curta, deve-se considerar, no período incremental, os recursos aplicados à taxa de atratividade.

Esse custo periódico ou receita periódica calculados podem eventualmente ser o custo anual ou a r eceita anual. Daí o motivo de ser esse método conhecido também pelos nomes de método do valor anual uniforme ou método do custo anual uniforme, nomes que não se aplicam bem ao caso geral.

O método do valor periódico uniforme pode ser utilizado para analisar investimentos com capitais iniciais diferentes, pois, da mesma forma que ocorreu com o método do valor presente líquido, se for considerado um investimento incremental aplicado à taxa de atratividade, o valor periódico uniforme desse investimento será nulo.

Exemplo 4: Uma indústria de brinquedos costuma comprar certa peça de uma firma que a fornece. Vê, agora, possibilidade de adquirir uma máquina com a qual essa peça poderá ser fabricada na própria indústria. Deve, então, estudar as vantagens e desvantagens da aquisição e os dados para esse estudo são os seguintes: se continuar usando os serviços da firma que já os prestava, terá um gasto de R$ 5.800,00 por mês. Se adquirir a máquina, terá custo inicial de R$ 55.000,00 e gastos operacionais anuais de R$ 18.000,00. A vida útil da máquina é de três anos, no final da qual terá um valor residual de R$ 8.000,00. Qual deve ser a opção da indústria se a taxa de mercado está em torno de 7% a.m.?

Os exemplos a seguir esclarecem essas afirmações: Exemplo 5: Os diagramas a seguir representam dois investimentos, A e 6, para escolha de um investidor. Analisar qual é a melhor opção com a taxa de atratividade de 10% a.m., supondo que os investimentos possam ser repetidos. Solução:

Solução:

Alternativa A:

Alternativa A (comprar a peça):

Alternativa B: Alternativa B (fabricar a peça):

Resposta: A melhor opção é a alternativa A.

Exemplo 6: Mostrar que, se o investimento A do exemplo 5 for repetido para ter a mesma vida de quatro anos do investimento 8, o diagrama ficará alterado, mas o VPU será o mesmo.

Solução:

Matemática

56



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos é chamada taxa interna de retorno do investimento e é indicada por IRR.

Será atrativo o investimento cuja taxa interna de retorno é maior que ou igual à taxa de atratividade do investidor i a . VPU = 80.000 - 57.619,04 = 22.380,95

Se vários investimentos são comparados, o melhor é o que tem a maior taxa interna de retorno. Se são empréstimos que estão sendo analisados, o melhor é o que tem a menor taxa interna de retorno.

Exemplo 7: Considerar os mesmos investimentos do exemplo 5 e analisar qual o melhor com a mesma taxa de atratividade de 1 0% a.m. supondo, agora, que os investimentos não possam ser repetidos.

Exemplo 9: Um investidor aplicou um capital de R$ 650.000,00 e recebeu rendimentos parcelados conforme o diagrama a seguir:

Solução: Nesse caso, deve-se calcular o valor presente líquido NPV do investimento A e ―distribuí -lo‖ uniformemente pelos quatro anos (dois anos do investimento A e dois anos do investimento incremental) com a taxa de atratividade de 10% a.m. O investimento 6 não sofre alteração.

Qual a taxa interna de retorno desse investimento? Solução: A taxa i que anula o valor presente liquido desse fluxo de caixa é a taxa que torna verdadeira a igualdade: 160.000(1 + i )-3 + 160.000 (1 + i )-4 + 200.000(1 + i )- 6 + 490 000(1 + i )-9 = 650.000 e que não pode ser calculada algebricamente. Deve, então, ser calculada por ensaio e erro. Tenta-se uma taxa, se possível, com valor provável. A partir dela, fazem-se aproximações sucessivas até que se chegue a valores próximos. Finalmente, calcula-se a taxa por proporção, com o auxílio de uma regra de três: Resposta: A melhor opção é a alternativa B. Exemplo 8: Considerar, ainda, os mesmos investimentos do exemplo 5, acrescentar em A um investimento incrementa de R$ 50.000,00 aplicado à taxa de atratividade de 10% a.m., fazer o novo diagrama do investimento total e mostrar que o valor periódico uniforme não se altera. Solução:

O valor presente líquido positivo significa que a taxa do investimento é maior que 5% a.m. Tenta-se, então, uma taxa maior.

Método da taxa interna de retomo O método da taxa interna de retorno consiste em calcular a taxa que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do investimento que está sendo analisado. Essa taxa

Matemática

57



APOSTILAS OPÇÃO


A taxa de 6% a.m. ainda é baixa. Tenta-se 7% a.m. e obtém-se NPV = 2.466,86. O valor encontrado para NPV já está bem baixo em relação aos dados do problema; deve-se tentar taxas mais próximas, pois, quanto mais próximas as taxas, melhor será o resultado em sua aproximação. Tenta-se 7,1% e obtém-se NPV = - 1.330,12,0 que mostra que 7,1% já ultrapassa a taxa interna de retorno i. Relacionando os valores obtidos, calcula-se da seguinte forma: A análise feita sem levar em consideração o investimento incremental faria com que o investidor optasse pela primeira alternativa. No entanto, deve-se observar que, ao optar pela primeira alternativa, o investidor deixa de aplicar os R$ 50.000,00, diferença entre os dois investimentos, que serão aplicados à taxa de mercado de 8% a.m., com o seguinte retorno final:

Resposta: A taxa interna de retorno do investimento é 7,065% a.m. Quando se comparam, pelo método da taxa interna de retorno, dois investimentos com capitais iniciais diferentes, é necessário que se considere, para o investimento que tem o capital inicial menor, um investimento incremental aplicado à taxa de atratividade. A taxa interna de retorno do investimento total (original mais incremental) terá um valor intermediário entre a taxa de atratividade e a taxa interna de retorno do investimento original.

A seguir apresenta-se o investimento total (inicial mais incremental) representado em diagrama e o cálculo da sua taxa interna de retorno:

Exemplo 10. Um investidor tem duas alternativas para uma aplicação de capital durante um ano. A primeira requer um capital inicial de R$ 100.000,00 e tem retornos mensais de R$ 18.000,00 e a segunda requer um capital inicial de R$ 150.000,00 e tem retornos trimestrais de R$ 85.000,00. Qual a melhor aplicação numa época em que a taxa de mercado é 8% a.m.? Solução: Sem considerar o investimento incremental, tem-se:

Matemática

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APOSTILAS OPÇÃO


Resposta: O melhor investimento é o segundo, com taxa interna de retorno igual a 12,71% a.m.

USO DA CALCULADORA As calculadoras HP-12C, EL-533 e BA-54 têm teclas próprias para calcular o valor presente líquido (net present value) NPV e a taxa interna de retorno (interneI rate of return) IRR. São as seguintes:

O método da taxa interna de retorno deve ser usado com restrições quando o fluxo de caixa tem mais de uma inversão de sinal de entradas e saídas. Esses fluxos de caixa podem não ter solução para taxa interna de retorno ou ter múltiplas soluções. O exemplo seguinte mostra um fluxo de caixa que tem duas taxas internas de retorno: Exemplo 11: Mostre que o fluxo de caixa, representado a seguir, se anula para as taxas de 10% a.a. e 1.000% a.a.

Em qualquer das calculadoras, devem ser introduzidos o fluxo de caixa do investimento que se quer analisar e a taxa de atratividade do investidor; após isso, as teclas NPV e IRA fornecem, respectivamente, o valor presente líquido e a taxa interna de retorno do investimento. A introdução do fluxo de caixa nas calculadoras se faz da seguinte forma: HP —12C:

A taxa de atratividade é introduzida através da tecla i ; o valor que está no foco zero é introduzido através da tecla CFo e os demais valores são introduzidos, pela ordem, através da tecla CFj . Quando n valores sucessivos são iguais, basta introduzir o primeiro deles na tecla CFj e, em seguida, digitar n N j

EL -633:

A taxa de atratividade é introduzida através da tecla i e os valores são introduzidos, pela ordem, através da tecla CFi. Quando n valores sucessivos são iguais, basta digitar n N i e, em seguida, introduzir o primeiro deles através da tecla CFi .

BA-54:

A taxa de atratividade é introduzida através da tecla i ; o valor que está no foco zero é introduzido através da tecla PV e os m demais valores são introduzidos, pela ordem, nas memórias, através das teclas STO 1, STO 2, ..., STO m. Quando n valores sucessivos são iguais, basta introduzir o primeiro deles e, em seguida, digitar Frq n e introduzir na mesma memória em que foi introduzido o valor correspondente a essa freqüência.

Solução: A título de orientação sobre a escolha de que método usar em cada caso, são reproduzidas, no quadro a seguir, as restrições que cada método oferece, para que se escolha, sempre que possível, o método que não oferece restrições ao caso que se quer analisar: Solução:

CASOS

MÉTODOS 

NPV

VPU

lRR

repetíveis

REPETIR

-

-



vidas diferentes

não repetir

-

CONSIDERAR PERÍODO INCREMENTAL

capitais iniciais diferentes fluxo com mais de uma mudança de sinal

Matemática

-

-

-

-

Em todas essas calculadoras, quando os valores que compõem o fluxo de caixa são sardas, eles devem ser introduzidos com o sinal negativo e, para os períodos sem valor, devem ser introduzidos zeros. A taxa de atratividade só precisa ser introduzida quando se quer calcular NPV, não sendo necessária sua introdução para o cálculo de IRR.

-

CONSIDERAR INVESTIMENTOINCREMENTAL

Todas essas calculadoras têm limites para o núm ero de entradas de valores diferentes e também para a freqüência de valores iguais. Esses limites são os seguintes para cada uma delas:

PODE NÃO TER OU TER MAIS DE UMA SOLUÇÃO

HP-12C; 20 valores diferentes com freqüência até 99. EL -533: 20 valores diferentes com freqüência até 99.

59



APOSTILAS OPÇÃO


BA-54: 10 valores diferentes com freqüência até 999.

Exemplo 12: Calcular o NPV com taxa de 15% a.m. e a taxa interna de retorno do investimento cujo fluxo de caixa tem o seguinte diagrama:

Resposta: As taxas são 10% a.a. e 1.000% a.a. EXERCÍCIOS Solução:

01. Uma empresa está estudando a compra de um equipamento e deve escolher entre duas marcas com as seguintes características e previsões: Equipamento A

Equipamento B

Custo inicial

28.000.000

23.000.000

Valor venal após cinco anos de uso

12.000.000

3.000.000

Custo operacional anual

4.000.000

3.000.000

Receita adicional anual

12.000.000

10.000.000

Determine a melhor alternativa com taxa de atratividade de 20% a.a. Pelo método do valor presente líquido. Pelo método do valor anual uniforme. Pelo método da taxa interna de retorno (neste caso, deve ser considerado, na segunda alternativa, um investimento incremental de 5.000.000 colocado a 20% a.a.). Resposta: O valor presente líquido é 5.479,11 e a taxa interna de retorno é 17,72% a. m.

02. No início de 1985, uma pessoa fez um depósito de R$ 150.000,00 numa Caderneta de Poupança que pagou 0,5% a.m. de juros e atualizações monetárias mensais que atingiram no ano a taxa acumulada de 228%. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital e resgatasse mensalmente R$ 23.100,00 durante um ano?

Exemplo 13: Calcular as duas taxas internas de retorno do investimento do exemplo 11.

03. Qual a melhor forma de receber o retorno de um investimento de R$ 10 milhões, aplicado por um ano: um pagamento final de R$ 13.000.000,00, dois pagamentos semestrais de R$ 6.200.000,00 cada um ou doze pagamentos mensais de R$ 950.000,00 cada um? Justifique.

Solução: As taxas internas de retorno desse investimento podem ser calculadas com o auxílio da HP -12C. Quando se procede normalmente, introduzindo o fluxo de caixa nessa calculadora e solicitando a taxa interna de retorno, aparece no visor uma mensagem de erro. Introduz-se, então, uma taxa provável, que se supre próxima da resposta e, em seguida, digita-se RCL g R/S. Repetindo-se esse procedimento, é possível obter cada resposta:

04. Uma empresa paga R$ 600.000,00 por mês para uma companhia transportadora fazer as entregas de seus produtos. Está, agora, estudando a compra de um caminhão por R$ 15.000.000,00, calculando que daqui a cinco anos ele poderá ser vendido por R$ 2.000.000,00 e que seu dispêndio anual será de R$ 3.600.000,00. a)

Matemática

60

Usando a taxa de 15% a.a., estude, pelo método



APOSTILAS OPÇÃO


do valor presente, se será vantajoso a compra do caminhão ou se será melhor continuar usando os serviços da transportadora. b)

que pode ser produzida pela máquina A ou pela máquina B que estão sendo analisadas para compra por essa empresa. Foram obtidos os seguintes dados:

Calcule, com a mesma taxa de 15% a.a., os custos anuais de transporte em cada caso.

05. Fui comprar um aparelho de televisão cujo preço a vista é R$ 98.960,00. A loja exibe uma propaganda oferecendo esse aparelho com uma entrada de R$ 10.000,00 e 12 pagamentos mensais de R$ 9.160,00. Numa época em que as taxas giram em torno de 2% a.m., é mais vantajoso comprar essa IV a vista ou a prazo? 06. Uma pessoa tinha um capital de R$ 11.000.000,00 e o empregou na compra de um apartamento que ficou dois meses fechado, dando despesas de R$ 21.300,00 por mês. A partir do início do terceiro mês conseguiu alugá-lo por R$ 80.000,00 pagos no início de cada mês. Um ano após a compra, vendeu-o para o inquilino por R$ 30.000.000,00, quantia livre de despesas. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital durante esse ano a 8,8% a.m.? Justifique.

Máquina A

Máquina B

Custo inicial

80.000

120.000

Valor residual após cinco anos

20.000

35.000

Gasto anual de manutenção

6.000

8.000

Gasto anual de energia

1.000

800

Número de operadores

2

1

10

25

Preço/hora da mão-de-obra de cada operador Tempo de execução da peça

07. Calcule, com a taxa de 3% a.m., o custo mensal de um equipamento que foi adquirido por R$ 100.000,00, teve um custo operacional mensal de R$ 3.500,00 e foi avaliado em R$ 80.000,00 após um ano de uso.

60 mm.

40 mm.

Sabe-se, ainda, que cada peça tem um custo de 30 de matéria-prima e pode ser vendida a 70; as máquinas trabalharão 2.200 horas por ano, a taxa de atratividade do empresário é 30% a.a. e o Imposto de Renda (calculado sobre lucro menos depreciação) é de 30%, pago anualmente. Supondo que, no caso da compra da máquina A, o empresário investe os 40 mil restantes à taxa de 30% a.a., determine o melhor investimento por qualquer método.

08. Um capitalista investiu R$ 2.800.000,00 na instalação de uma pequena loja. Suas despesas mensais, durante um ano foram de R$ 180.000,00 de aluguel e R$ 120.000,00 para uma pessoa tomar conta do negócio. No final desse ano, passou o ponto para um comerciante interessado, tendo recebido R$ 3.000.000,00 pela transferência. Durante esse ano, sua receita líquida mensal foi de R$ 400.000,00 nos seis primeiros meses e R$ 600.000,00 nos seis últimos meses. Teria feito melhor negócio se aplicasse seu capital a 7% a.m., que era a taxa de mercado na época?

11. Uma pessoa está estudando a compra de um terreno para explorar um estacionamento de carros. Prevê uma renda mensal de R$ 1.200.000 e despesas anuais de R$ 2.500.000. Terá ainda uma despesa inicial de R$ 1.500.000 que serão gastos com equipamentos de valor residual nulo após três anos. Quanto o investidor estará disposto a pagar pelo terreno se sua taxa de atratividade é de 5% a.m. e se o terreno poderá ser vendido por R$ 50.000.000 no fim de três anos?

09. Uma máquina foi comprada com uma entrada de R$ 30.000,00 e três pagamentos de R$ 20.000,00 cada um, realizados no fim de três, quatro e circo meses, respectivamente. Calcule o custo anual dessa máquina à taxa de 20% a.a., sabendo que no fim de três anos ela poderá ser vendida por R$ 40.000,00.

12. Um motorista tem uma renda liquida mensal de R$ 250.000,00 com seu táxi e sabe que poderá vendê-lo daqui a um ano por R$ 1 .500.000,00. Poderá também vendê-lo já e aplicar o capital apurado a 8,9% a.m. durante um ano, com renda mensal. Um seu amigo deseja comprar o carro e tem capital suficiente empregado a 160% a.a. Qual o preço que poderá ser atrativo a ambos?

10. Uma firma adquiriu um novo equipamento por R$ 45.000.000, prevendo que seu valor residual após dois anos de uso será R$ 30.000.000. O uso desse equipamento vai aumentar de R$ 6.500.000 a receita mensal da firma e de R$ 1.500.000 o custo mensal. Represente essa situação com um diagrama de fluxo de caixa e calcule o valor mensal uniforme (lucro líquido mensal) com a taxa de 2% a.m., considerando ainda um imposto de renda de 25% calculado sobre lucro menos depreciação. Para efeito de IR, tanto o lucro quanto a depreciação são também calculados linearmente, isto é, La = 12 (65.000.000 - 1.500.000) e D a =

13. Uma estrada foi construída por R$ 8,6 milhões o km e requer um custo anual de manutenção de R$ 1,5 milhões por km. Para construir essa estrada, o Governo emitiu bônus que produzirão juros de 5% ao trimestre e a taxa de pedágio foi fixada em R$ 12 por km. Qual o número mínimo de veículos que deverão utilizar-se dessa estrada mensalmente para que o investimento se auto financie em um ano?

45.000.000- 30.000.000 2

Uma empresa fabrica e vende determinada peça

Matemática

61



APOSTILAS OPÇÃO


14. Um equipamento foi adquirido por uma indústria com três pagamentos semestrais antecipados de R$ 3.000.000,00. No fim de dois anos foi vendido por R$ 2.000.000,00. Durante esse tempo, o lucro da indústria teve um aumento mensal de R$ 450.000,00. a) b)

A taxa interna de retorno desse investimento é maior ou menor que 5% a.m.?

19. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo, determine:

Determine a taxa interna de retorno.

15. Usando a taxa de 10% a.a., calcule o valor de x para que o valor presente líquido do fluxo abaixo seja nulo:

16. Calcule o valor de x no diagrama abaixo, para que a taxa interna de retorno seja de 10% a.a.:

a)

Seu valor presente líquido com taxa de 8% a.s.

b)

Sua taxa interna de retorno.

RESPOSTAS 1.

a) Equipamento A, pois NPV A = 747.427,98 eNPVB - 860.082,30. b) Equipamento A, pois VPU A = 249.924,75 e VPU B - 287.594,06. c) Equipamento A, pois i A = 21,05% a.a. e = 18,83% a.a.

17. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo, calcule: a) b) c)

2.

O valor presente liquido, usando a taxa de 5% a.m.

Teria, pois a taxa da CP foi de 10,96% a.m. e a outra foi de 11% a.m.

3.

O valor mensal, com essa mesma taxa de 5% a.m.

Em dois pagamentos (as taxas mensais são 2,21%, 2,45% e 2,08%, respectivamente).

4.

a) É melhor continuar usando os serviços da transportadora, pois NPV T = 25.752.974,63 e NPV C = 26.073.404,88.

Se a taxa que anula o valor presente líquido é maior ou menor que 5% a.m.

b) VPU T = 7.682.512,85 e VPU C = 7.778.102,18

18. Dado o diagrama de fluxo de caixa abaixo: a)

Calcule seu valor presente líquido usando a taxa de 5,5% a.m.

b)

Sabendo que o valor presente líquido com a taxa de 6% a.m. é de - 1.126,59, calcule a taxa que o anula (taxa interna de retorno).

5.

É melhor comprar a vista, pois a taxa da loja é maior que 2% a.m. (i = 3,42% a.m.) (ou: as prestações seriam de R$ 8.412,02).

6.

Não, pois NPV = 342.213,82 com i = 8,8% a.m., o que indica taxa maior que 8,8% a.m. (ou: a taxa interna de retorno é de 9,08% a.m.).

7.

R$ 7.909,24

8.

Sim, pois NPV = - 38.466,16, negativo, o que indica taxa menor que 7% a.m. (ou: a taxa interna de retorno é de 6,85% a.m.).

9.

R$ 30.058,82

10. VPU = 2.628.338,84 11. A segunda alternativa é melhor. Pelo método do valor presente líquido, NPV A - 2.764,11 e NPV 6 = 18.122,02. Pelo método do valor periódico uniforme, VPU A —1.134,89 e VPU 8 7.440,57. Pelo mé-

Matemática

62



APOSTILAS OPÇÃO


todo da taxa interna de retorno, iA = 29,1% a.a. e iB 37,2% a.a.

-Construção de uma nova fabrica. -Lançamento de novos produtos.

12. R$ 24.390.185,92

-Ampliação de unidade de produção.

13. Ë o preço P, tal que 2.338.443,55 < P < 2.433.131,40.

-Implantação de programa de qualidade.

14. 75.787 carros

-Treinamento de pessoal.

15. a) Menor que 5% a.m., pois NPV = - 79.633,82 < 0

Cada decisão de investimento deve ser acompanhada por um projeto especifico, definindo todos os passos para implantação. O primeiro passo e mais importante, pois tem a finalidade de quantificar as necessidades de recursos, é a elaboração do fluxo de caixa, a determinação das entradas e saídas de recursos do projeto. Esta etapa é decisiva, pois uma projeção errada da entrada ou saída dos recursos, altera definitivamente a analise do pr ojeto.

b) 4,82% a.m. 16. x = 376,61 17. x = 214,36 18. a)

- 26.408,32

b)

- 3.420

c)

Menor

MONTAGEM DO FLUXO DE CAIXA. Na projeção do fluxo de caixa, deve-se considerar apenas as entradas e saídas de recursos relacionados especificamente com o projeto em observação, não podendo de forma alguma computar valores relacionados com outros projetos, isto alteraria positivamente ou negativamente as entradas ou saídas.

19. a) 785,37 b) 5,70% a.m.

As entradas e saídas não devem corresponder especificamente com os valores contábeis, muitos destes valores são apenas registros e não entrada ou saída de recursos.

20. a) - 22.112,19 b) 7,38% a.s.

O resultado por período deve ser considerado após o calculo do Imposto de Renda, pois o mesmo representa uma saída de recursos. Não se deve considerar as despesas financeiras, como pagamento de juros. Tais despesas são opcionais e não estão diretamente relacionadas como o projeto, a opção de financiamento é uma decisão pessoal e não uma necessidade do projeto.

AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVA DE INVESTIMENTO Toda e qualquer instituição tem como propósito crescer, ampliar seu raio de ação ou conquistar novos espaços. Para tanto necessita de investimentos, realizar ações que possibilite o crescimento. Mas como investir no mundo de incertezas e flutuações? São perguntas qu e necessitam de respostas precisas, pois nenhum centavo investido pode ser perdido, é a lógica da sociedade capitalista e do mundo empresarial.

TIPOS DE FLUXO DE CAIXA. 1- Despesas de investimento. Compreende os gastos que serão incorporados ao ativo fixo da empresa.(maquinas, equipamentos e etc.). 2- Despesas operacionais. Custos necessários ao funcionamento normal do que esteja previsto no projeto em cada período.

Mas o que se entende por investimento? Muitos consideram as aplicações financeiras como tal, outros não, consideram, as aplicações financeiras como apenas uma forma de poupança. Para os objetivos deste nosso estudo adotaremos como investimento, toda e qualquer ação da empresa que eleve sua capacidade produtiva. Desde a aquisição de novos equipamentos até um treinamento de pessoal, consideramos como alternativas de investimento.

3- Receitas Operacionais. Decorrentes das vendas de produtos ou serviços, da execução do projeto. 4- Receitas eventuais. Possível liquidação do investimento, ou seja, valor residual.

TIPOS DE INVESTIMENTO.

EXEMPLO DE PROJETO.

-Compra de novos equipamentos.

Uma empresa do ramo de calçados, resolve lançar um novo produto no mercado. Caso isto ocorra o novo produto terá vida útil de 5 anos, após o que será retirado de produção.

-Substituição de um equipamento por outro. -Campanha publicitária. -Informatização do controle de produção.

EFEITOS ORIGINADOS PELO LANÇAMENTO DO NOVO PRODUTO.

-Compra de patente sobre processo de produção.

Matemática

DESPESAS

63



APOSTILAS OPÇÃO


Elevação nos custos dos produtos vendidos pela empresa, incluindo R$ 150.000,00 depreciação de R$ 20.000,00 Despesas administrativas, incluindo atribuição de R$ 15.000,00 de outros produtos vendidos pela empresa e demais departamentos já existentes.

R$ 30.000,00

Terceiro ano

R$ 350.000,00

Quarto ano

R$ 270.000,00

Quinto ano

R$ 220.000,00

Valor Residual

R$ 85.000,00

Compra de maquinas e equipamen- R$ 200.000,00 tos Investimento adicional em contas a receber

R$ 25.000,00

Redução da margem de contribuição dos outros produtos.

R$ 5.000,00

FLUXO DE CAIXA ANO1

RECEITAS Primeiro ano

R$ 190.000,00

Segundo ano

R$ 230.000,00

Terceiro ano

R$ 350.000,00

Quarto ano

R$ 270.000,00

Quinto ano

R$ 220.000,00

MONTAGEM DO FLUXO DE CAIXA. Primeiro passo. Identificação das despesas e receitas do projeto. DESPESAS. Despesas de investimento. Compra de equipamentos

R$ 200.000,00

Investimento em contas a receber

R$ 25.000,00

ANO 3

ANO 4

ANO 5

Receita de vendas

190.000 230.000 350.000 270.000 220.000

Custos dos produtos vendidos

150.000 150.000 150.000 150.000 150.000

Despesas administrativas

OBS. Supõe-se que ao final do quinto ano, quando terminara a vida útil do produto, restara uma receita residual de R$ 85.000,00.

ANO 2

15.000

15.000

15.000

15.000

15.000

Redução da margem

5.000

5.000

5.000

5.000

5.000

Lucro Liquido Antes do I.R.

20.000

60.000 180.000 100.000

50.000

21.000

Imposto de Renda

7.000

63.000

35.000

17.500

Lucro liquido depois do Imposto de renda

13.000

39.000 117.000

65.000

32.500

Depreciação

20.000

20.000

20.000

20.000

20.000

Entrada Liquida

33.000

59.000 137.000

85.000

52.500

METODOS DE ANALISE 1) PAY-BACK. Período de recuperação do Investimento.

Despesas operacionais.

2) T.M.R. Taxa Média de Retorno. 3) Valor Presente Liquido.

R$ 150.000,00

Custos dos produtos vendidos

4) Taxa Interna de Retorno. Despesas administrativas.

R$ 15.000,00

Redução da margem.

R$

5) Índice de Rentabilidade. 5.000,00

Métodos de Fluxo de Caixa Descontado. 3, 4 e 5. Métodos de Fluxo de Caixa Não Descontado. 1 e 2.

RECEITAS

PAYBACK - Período de recuperação do investimento.

Primeiro ano

R$ 190.000,00

Segundo ano

R$ 230.000,00

Matemática

É talvez o método mais simples e fácil de avaliação, é definido como sendo o numero de meses ou anos em que o investimento inicial é recuperado. Em termos técnicos, é o espaço de tempo em que o fluxo de caixa acumulado

64



APOSTILAS OPÇÃO


torna-se positivo. Embora seja um método pratico e fácil, tem como deficiência, não levar em consideração o valor do dinheiro ao longo do tempo, sendo desta forma um método de fluxo não descontado.

3- O VALOR PRESENTE LIQUIDO - VPL V.P.L. = V.P.E – V.P.S. V.P.E. = Valor Presente das Entradas

Período Fluxo de Caixa no Fluxos AcumuPeríodo lados 0

-225.000,00

-225.000,00

1

+33.000,00

-192.000,00

2

+59.000,00

-133.000,00

3

+137.000,00

+4.000,00

4

+85.000,00

+89.000,00

5

+137.500,00

+226.500,00

V.P.S. = Valor Presente das Saídas.

V.P. = V.F./ (1 + i )

V.P.E. = VP1 + VP2 + VP 3 + VP4 + VP5 n VP1 = VF1/(1+ i) VP1 = 33.000 / 1.10 = 30.000

Podemos observar que a recuperação do investimento inicial, se dá no terceiro ano, mas em mês deste ano? O período exato pode ser calculado da seguinte forma:

Seguindo este modelo teremos:

Período = Fluxo acumulado anterior ao período que ocorre a recuperação x 12 / Fluxo de caixa do período que ocorre a recuperação.

VP3 = 102.930,12

Período = 133.000,00 x 12 / 137.000,00 = 11,64.

VP5 = 85.350,71

Vp2 = 48.760,33

VP4 = 58.060,10

Desta forma a recuperação se dá no 11 o mês do terceiro ano e o Payback em dois anos e onze meses. VPE = 325.123.28

Payback = 2.11

VPS = 225.000,00

2- A TAXA MÉDIA DE RETORNO - T.M.R.

VPL = 100.123.28

Este método também não leva em consideração o valor do dinheiro ao longo do tempo, fornece a recuperação média do capital investido.

A TAXA INTERNA DE RETORNO.

Etapas da T.M.R.

É a taxa que igual a o VPE ao VPS, tornando o VPL igual a zero.

Determinação do fluxo liquido médio, dividindo-se o fluxo liquido total pelo numero de períodos; Dividir o fluxo liquido médio pelo investimento inicial.

Por tentativa já que, a uma taxa de 10%, encontramos um VPL = 100.123.28, utilizando taxas maiores chegaremos a 23.07%, como sendo a taxa em que o VPE = VPS.

Fluxo total

Esta taxa deverá ser confrontada ao custo de capital da empresa, o projeto deverá ser aceito, enquanto a TIR superar o custo de capital.

liquido

Períodos Fluxo médio

451.500,00 5

Liquido

Investimento Inicial T.M.R

ÍNDICE DE RENTABILIDADE. Serve como comparação entre o VPE e o VPS.

90.300,00 I.R.= V.P.E / V.P.S. 225.000,00

SANVICENTE, Antonio Zoratto TAXA INTERNA DE RETORNO

0,4013 ( 40.13%)

A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return ), é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente)

Matemática

65



APOSTILAS OPÇÃO


com os seus respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de investimentos, significa a taxa de retorno de um projeto.

de uma folha de cálculo é possível obter o valor d a TIR. No caso do Excel, a fórmula para cálculo do TIR é IRR(gama de valores).

Utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto P uma Taxa Interna de Retorno de 15% ao ano. Esse projeto será atrativo se a empresa tiver umaTMA menor do que 15% ao ano. A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja "tentativa e erro", ou diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo.

A TIR não deve ser usada como parâmetro em uma análise de investimento porque muitas vezes os fluxos não são reinvestidor a uma taxa iguais a TIR efetiva. Quando a TIR calculada é superior à taxa efetiva de reinvestimento dos fluxos de caixa intermediários, pode sugir, às vezes de forma significativa, uma expectativa irreal de retorno anual equivalente ao do projeto de investimento.

A taxa interna de rentabilidade (TIR) é a taxa de actualização do projecto que dá o VAL nulo. A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada ano sobre os capitais que se mantêm investidos no projecto, enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente. A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows actuais mais do que os futuros, constitui com a VAL e o PAYBACK actualizado os três grandes critérios de avaliação de projectos. A TIR não é adequada à selecção de projectos de investimento, a não ser quando é determinada a partir do cash-flow relativo.

Exemplo Considerando-se que o fluxo de caixa é composto apenas de uma saída no período 0 de R$ 100,00 e uma entrada no período 1 de R$120,00, onde i corresponde à taxa de juros:

A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser: 

Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente atrativo.



Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de indiferença.



Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno.

Para VPL = 0 temos i = TIR = 0.2 = 20% Como uma ferramenta de decisão, a TIR é utilizada para avaliar investimentos alternativos. A alternativa de investimento com a TIR mais elevada é normalmente a preferida; também deve se levar em consideração de que colocar o investimento em um banco é sempre uma alternativa. Assim, se nenhuma das alternativas de investimento atingir a taxa de rendimento bancária ou a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), este investimento não deve ser realizado. Normalmente a TIR não pode ser resolvida analiticamente como demonstrado acima, e sim apenas através de iterações, ou seja, através de interpolações com diversas taxas de retorno até chegar àquela que apresente um VPL igual a zero; contudo as calculadoras financeiras e planilhas eletrônicas estão preparadas para encontrar rapidamente este valor.

Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros q ue torna o valor presente das entradas de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento. A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto.

Um defeito crítico do método de cálculo da TIR é que múltiplos valores podem ser encontrados se o fluxo anual de caixa mudar de sinal mais de uma vez (ir de negativo para positivo e para negativo novamente, ou vice-versa) durante o período de análise. Para os casos de alteração freqüente de sinal deve utilizar-se a (Taxa externa de retorno - TER).

Método Para encontrar o valor da Taxa Interna de Retorno, calcular a taxa que satisfaz a seguinte equação:

Apesar de uma forte preferência acadêmica pelo VPL, pesquisas indicam que executivos preferem a TIR ao invés do VPL. Aparentemente os gerentes acham intuitivamente mais atraente para avaliar investimentos em taxas percentuais ao invés dos valores monetários do VPL. Contudo, deve-se preferencialmente utilizar mais do que uma ferramenta de análise de investimento, e todas as alternativas devem ser consideradas em uma análise, pois qualquer alternativa pode parecer valer a pena se for comparada com as alternativas suficientemente ruins.

A TIR é obtida resolvendo a expressão em ordem a TIR e é geralmente comparada com a taxa de desconto. O valor do TIR é um valor relativo e o seu cálculo é realizado, recorrendo a computador ou a tabelas próprias Para se efectuar o cálculo da TIR, é analisada a série de valores obtida da seguinte forma: 1º valor: o investimento inicial (valor negativo) 2º valor: benefícios - custos do 1º período (valor positivo) 3º valor: benefícios - custos do 2º período (valor positivo) e assim sucessivamente, até ao último período a considerar. O período considerado pode ser um qualquer desde que seja regular (semana, mensal, trimestral, semestral, anual, etc.) Nota: recorrendo ao uso

Matemática

Deve-se ter em mente que o método da TIR considera que as entradas, ou seja, os vários retornos que o investimento trará, serão reinvestidos a uma taxa igual a taxa de atratividade informada.

66



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos dando de uma forma clara o impacto no negócio face às metas pré-definidas.

RETORNO SOBRE INVESTIMENTO Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Metodologias de cálculo

Em finanças, retorno sobre investimento (em inglês, return on investment ou ROI), também chamado taxa de retorno (em inglês, rate of return ou ROR),taxa de lucro ou simplesmente retorno, é a relação entre o dinheiro ganho ou perdido através de um investimento, e o montante de dinheiro i nvestido.

O cálculo do ROI possui diversas metodologias, algumas simples, outras nem tanto. Cada metodologia varia em função da finalidade ou do enfoque que se d eseja dar ao resultado. A seguir estão algumas das mais conhecidas e facilmente encontradas em livros de Contabilidade, Economia e Finanças.

Existem três formulações possíveis de taxa de retorno, são elas: 

retorno efectivo;



retorno exigido e;



retorno previsto.

ROI=(Lucro Líquido÷Vendas)×(Vendas÷Total de ativos) representa a relação entre a lucratividade e o giro dos estoques. ROI=Lucro líquido÷Total de ativos Representa o retorno que o ativo total empregado oferece. Utilizado geralmente para determinar o retorno que uma empresa dá.

O retorno efectivo serve como medida de avaliação do desempenho de um investimento, aferido a posteriori . O retorno previsto serve como medida ex ante do desempenho de um investimento; é a sua taxa implícita ou interna de retorno, aquela que iguala o valor do investimento do seu preço ou custo.

ROI=Lucro líquido÷Investimentos representa o retorno que determinado investimento oferece. Geralmente é utilizado para determinar o retorno de investimentos isolados. Invertendo-se a relação (ROI=Investimento÷Lucro Líquido), obtém-se o tempo necessário para se reaver o capital investido.

A taxa de retorno exigida é a que permite determinar o valor de um investimento. De facto, o valor de um investimento é o equivalente actual dos seus cash- flows futuros, sendo estes convertidos em equivalente actual (ou actualizados) justamente à taxa de retorno exigida. Assenta na ideia de que qualquer investimento deve proporcionar uma taxa de retorno igual a uma taxa sem risco acrescida de um prémio de risco função do grau de incerteza que afecta os cash-flows futuros do investimento.

Há também a Rentabilidade do Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Ativo Total Médio ou Taxa de Retorno sobre o Investimento Total Taxa=[(Lucro Líquido do Exercício)/(Vendas Líquidas)]*[(Vendas Líquidas)/ATM]*100=[(Lucro Líquido do Exercício)/ATM]*100

A taxa de retorno prevista é função do preço (ou custo) do investimento e do fluxo de cash-flows futuros atribuíveis ao investimento. Sendo incertos estes cash-flows , resulta que a taxa de retorno prevista é também incerta, apresentando-se mesmo como uma variável aleatória. Aqui reside o seu risco, que terá que ser medido, para ser tido em conta na estimação dos prémios de risco a incluir nas taxas de retorno exigidas.

ATM=Ativo Total Médio=(Ativo Inicial+Ativo Final)/2 Chamada ―Taxa de Retorno‖ Em matéria exibida pela Rede Globo nos programas

―Jornal hoje‖ e no ―Jornal Nacional‖, os consumidores f o-

ram alertados da prática ilegal de uma cobrança conhecida por poucos, a chamada ―Taxa de Retorno‖.

O montante de dinheiro ganho ou perdido pode ser referido como juros, lucros ou prejuízos, ganhos ou perdas ou ainda rendimento líquido ou perdas líquidas. O dinheiro investido pode ser referido como ativo, capital, principal ou custo básico do investimento. O ROI é geralmente expresso como percentagem

Essa taxa nada mais é do que uma ―comissão‖ que as instituições financeiras cobram e repassam às revendas, normalmente de veículos, que conseguem fechar o contrato de financiamento com o cliente. Tal prática consiste na ocultação da cobrança da comissão que é diluída nas parcelas do financiamento e o consumidor sequer toma conhecimento de sua existência e acaba sendo lesado ao beneficiar, sem saber, a revenda que acaba ―abocanhando‖ esse percentual.

A concretização das estratégias organizacionais de uma empresa está dependente da gestão adequada de projectos, programas e portfólios. Nesse sentido, a responsabilidade financeira aumenta permanentemente e a sua mensuração é obrigatória. Embora hoje, o uso desta ferramenta de análise seja generalizado a todo o tipo de investimentos, o cálculo do ROI não é contudo uma ―moda‖ recente. Já em 1920 a Harvard Business Review referia o ROI como a medida de análise essencial para conhecer o valor do resultado de investimento de capital. O seu conhecimento antecipado tem um impacto importante não só no seio da organização que gere o processo de investimento, como também junto de potenciais

Vários são os entendimentos de que o pagamento da Taxa de Retorno pelo consumidor configura prática abusiva, já que os contratos não deixam claro, nem poderiam, a inclusão da cobrança nas prestações dos financiamentos. O Código de Defesa do Consumidor dispõe em seu artigo 6º que são diretos básicos do consumidor:

investidores. Para além da ―venda‖ interna e externa do

I - ( ... )

projecto, é fundamental para o seu acompanhamento

Matemática

67



APOSTILAS OPÇÃO


II - ( ... )

Sem conseguir pagar as prestações do automóvel, Joana entrou na Justiça para rediscutir a dívida. Só então descobriu as taxas embutidas no valor do financiamento. ―Tem que ser tudo esclarecido a ntes de pagar. Porque daí

III – a informação adequada e clara sobre os diferentes produtos e serviços, com especificação correta de quantidade, características, composição, qualidade e preço, bem como sobre os riscos que apresentam.; (Negritei).

é certo que eu aceitei‖.

Nem sempre o cliente tem essa escolha. Com uma câmera escondida, visitamos num único dia dez revendas. Pedimos um financiamento de R$ 15 mil para a compra de um carro 2006 em 36 vezes.

Como visto acima a informação de preço esta plenamente amparada pelo Código de Defesa do Consumidor, valendo salientar que por ―preço‖ a de se entender pela composição discriminada de todos os valores que perfazem o importe da parcela a ser paga.

Numa, o vendedor informou o valor de cada pagamento. Em outra loja, o valor, com a mesma financeira, caiu R$ 49.

O Decreto nº 5.903, de 20 de setembro de 2006, que regulamentou a Lei nº 10.962 de 11/10/04, assim preceitua: Art. 3o O preço de produto ou serviço deverá ser informado discriminando-se o total à vista.

A diferença seria por causa da taxa de retorno, uma espécie de comissão que muitos bancos e financeiras oferecem às revendas como prêmio para quem fechar contratos.

Parágrafo único. No caso de outorga de crédito, como nas hipóteses de financiamento ou parcelamento, deverão ser também discriminados:

Mas o advogado Peri Fernandes Corrêa, especializado em finanças, explica que, sem saber, é o comprador quem paga o bônus. ―Não há nada errado em um banco c omissionar revenda para angariar financiamento para eles. O problema é que o banco repassa o custo deste comissionamento para o consumidor‖.

I - o valor total a ser pago com financiamento; II - o número, periodicidade e valor das prestações;

IV - os eventuais acréscimos e encargos que incidirem sobre o valor do financiamento ou parcelamento.

Um vendedor explica que a taxa de retorno é calculada pelos próprios funcionários, e fica para a loja. ―A financeir a dá uma possibilidade da loja ganhar uma comissão sobre o financiamento. Eu posso usar até 0,3%, 0,4% de retorno

Seguindo o preceito estabelecido na legislação acima citada, o consumidor deve, antes de firmar um contrato de financiamento, pesquisar de forma inequívoca, item a item, a composição do que perfaz o preço da parcela.

Sem a cobrança do ágio, a parcela seria de R$ 593. Ele calculou também a prestação com a maior taxa de retorno: R$ 672.

Nos dias atuais, com a crise financeira mundial que vem assolando diversos setores da economia, vale lembrar que a concorrência esta cada vez mais estimulada, oferecendo ao consumidor melhores opções de preços, inclusive de financiamentos, cabendo a ele pesquisar as melhores taxas (uma a uma) antes de fechar um negócio.

O comprador, que tivesse financiado R$ 15 mil , pagaria R$ 21.348 mil sem a taxa de retorno. Já com a cobrança da comissão, o total subiria para R$ 24.192.

III - os juros; e

para mim‖.

No final do contrato, o cliente pagaria R$ 2.844 a mais para a revenda. Muita gente só se dá conta desse abuso bem tempos depois, quando fica difícil manter em dia a prestação.

Consumidor, fique atento as cláusulas do contrato e demais condições, principalmente com relação à composição do valor total do financiamento para que futuramente não haja necessidade de exigir seus direitos na justiça.

Por isso, o Procon recomenda que o consumidor pesquise e exija que as revendas expliquem o que se está sendo cobrado em cada m ensalidade.

Leia abaixo a matéria exibida pela Rede Globo no Jornal Nacional de 24/04/09:

―Qualquer taxa de retorno para a empresa que vende o

carro é uma lesão ao consumidor, porque é um benefício que o consumidor está pagando que não é próprio, é para

Uma reportagem de muita utilidade para quem pretende comprar um carro. Preste atenção, porque o mesmíssimo carro, comprado com o mesmo prazo de financiamento, exatamente com a mesma financeira, pode ter preços diferentes, dependendo do vendedor que o atender. Quem explica são os repórteres Guacira Merlin e Giovani Grizotti.

a revenda‖, explicou Adriana Burguer, coordenadora do

Procon (RS).

Fonte: Jornal Nacional – Edição de 24/04/09 Autor : Bueno e Costanze Advogados

TABELAS TABELA 1 — CONTAGEM DOS DIAS Dia do Mês 1 2

Matemática

Jan.

Fev

Mar.

Abr.

Mai.

Jun.

Jul.

Ago.

Set.

Out.

Nov.

Dez.

1 2

32 33

60 61

91 92

121 122

152 153

182 183

213 214

244 245

274 275

305 306

335 336

68

Dias do Mês 1 2



APOSTILAS OPÇÃO


3 4 5

3 4 5

34 35 36

62 63 64

93 94 95

123 124 125

154 155 156

184 185 186

215 216 217

246 247 248

275 277 278

307 308 309

337 338 339

3 4 5

6 7 8 9 10

6 7 8 9 10

37 38 39 40 41

65 66 67 68 69

96 97 98 99 100

126 127 128 129 130

157 158 159 160 161

187 188 189 190 191

218 219 220 221 222

249 250 251 252 253

279 280 281 282 283

310 311 312 313 314

340 341 342 343 344

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

11 12 13 14 15

42 43 44 45 46

70 71 72 73 74

101 102 103 104 105

131 132 133 134 135

162 163 164 165 166

192 193 194 195 196

223 224 225 226 227

254 255 256 257 258

284 285 286 287 288

315 316 317 318 319

345 346 347 348 349

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

16 17 18 19 20

47 48 49 50 51

75 76 77 78 79

106 107 108 109 110

136 137 138 139 140

167 168 169 170 171

197 198 199 200 201

228 229 230 231 232

259 260 261 262 263

289 290 291 292 293

320 321 322 323 324

350 351 352 353 354

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

21 22 23 24 25

52 53 54 55 56

80 81 82 83 84

111 112 113 114 115

141 142 143 144 145

172 173 174 175 176

202 203 204 205 206

233 234 235 236 237

264 265 266 267 268

294 295 296 297 298

325 326 327 328 329

355 356 357 358 359

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

26 27 28 29 30 31

57 58 59

85 86 87 88 89 90

116 117 118 119 120

146 147 148 149 150 151

177 178 179 180 181

207 208 209 210 211 212

238 239 240 241 242 243

269 270 271 272 273

299 300 301 302 303 304

330 331 332 333 334

360 361 362 363 364 365

26 27 28 29 30 31

— — —

—

—

—

—

TABELA 2— DIVISORES FIXOS (Valores da expressão Δ  Taxa (%) 5 10 15 20 25 30 35

Período diário 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Matemática

6% 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0120 0,0140 0,0160 0,0180 0,0200 0,0220 0,0240 0,0260 0,0280 0,0300 0,0320



7200 3600 2400 1800 1440 1 200 1 028,57

7% 0,0023 0,0047 0,0070 0,0093 0,0117 0,0140 0,0163 0.0187 0.0210 0,0233 0,0257 0,0280 0,0303 0,0327 0,0350 0,0373

360 i

Taxa(%) 40 45 50 55 60 65 70

ano comercial e taxa anual.) Taxa (%) 75 80 85 90 95 100 105



900 800 720 654,55 600 553,85 514,29

TABELA 3 — JUROS SIMPLES Taxa mensal 8% 9% 10% 0,0027 0,0030 0,0033 0,0053 0,0060 0,0067 0,0080 0,0090 0,0100 0,0107 0,0120 0,0133 0,0133 0,0150 0,0167 0,0159 0,0180 0,0200 0,0187 0.0210 0.0233 0,0213 0,0240 0,0267 0,0239 0,0270 0,0300 0,0266 0,0300 0,0333 0,0293 0.0330 0,0367 0,0319 0,0360 0,0400 0,0347 0,0390 0.0433 0,0373 0,0420 0,0467 0.0399 0,0450 0,0500 0,0427 0,0480 0,0533

69

11% 0,0037 0.0073 0.0110 0,0147 0,0183 0.0220 0,0257 0,0293 0,0330 0,0367 0,0403 0.0440 0,0477 0,0513 0,0550 0.0587



480 450 423,53 400 378,95 360 342,86

12% 0,0040 0.0080 0,0120 0,0160 0,0200 0,0240 0,0280 0,0320 0,0360 0,0400 0,0440 0,0480 0,0520 0,0560 0.0600 0,0640

13% 0,0043 0,0087 0,0130 0,0173 0,0217 0,0260 0,0303 0,0347 0.0390 0.0433 0,0477 0.0520 0.0563 0,0607 0,0650 0.0693



APOSTILAS OPÇÃO 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0,0340 0,0360 0,0380 0,0400 0,0420 0,0440 0.0460 0,0480 0,0500 0,0520 0,0540 0,0560 0,0580 0,0600

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 0,0397 0,0420 0,0443 0,0467 0.0490 0,0513 0.0537 0,0560 0.0583 0,0607 0.0630 0,0653 0,0677 0,0700

0,0453 0,0478 0.0507 0,0532 0,0561 0,0586 0,0613 0,0640 0,0666 0,0694 0,0720 0,0747 0,0773 0,0800

0.0510 0,0540 0,0570 0,0600 0,0630 0,0660 0,0690 0,0720 0,0750 0,0780 0,0810 0.0840 0,0870 0,0900

0,0567 0,0600 0,0633 0,0667 0,0700 0,0733 0,0767 0,0800 0,0833 0,0867 Q,0900 0.0933 0,0967 0,1000

0,0623 0,0660 0,0697 0,0733 0,0770 0.0807 0,0843 0,0880 0.0917 0,0953 0,0990 0,1027 0.1063 0,1100

TABELA — JUROS COMPOSTOS Valores de (1 + i ) n 3% 4% 5% 6% 1,0300000 1,0400000 1,0500000 1,0600000 1,0609000 1,0816000 1.1025000 1,1236000 1,0927270 1,1248640 1.1576250 1.1910160 1,1255088 1,1698586 1,2155063 1,2624770 1,1592741 1,2166529 1,2762816 1,3382256

n 1 2 3 4 5

1% 1,0100000 1,0201000 1,0303010 1,0406040 1,0510101

2% 1,0200000 1,0404000 1,0612080 1,0824322 1,1040808

6 7 8 9 10

1,0615202 1,0721354 1,0828567 1,0936853 1,1046221

1,1261624 1.1940523 1,1486857 1,2298739 1,1716594 1,2667701 1,1950926 1,3047732 1,2189944 1,3439164

11 12 13 14 15

1,1156684 1,1268250 1,1380933 1,1494742 1,1609690

1,2433743 1,2682418 1,2936066 1,3194788 1,3458683

16 17 18 19 20

1,1725786 1,1843044 1,1961475 1,2081090 1,2201900

21 22 23 24 25 26 27 28

0.0680 0.0720 0,0760 0.0800 0,0840 0,0880 0,0920 0,0960 0,1000 0,1040 0,1080 0,1120 0,1160 0,1200

0,0737 0,0780 0,0823 0,0867 0,0910 0,0953 0,0997 0.1040 0,1083 0,1127 0,1170 0,1213 0,1257 0,1300

7% 1,0700000 1,1449000 1.2250430 1.3107960 1,4025517

8% 1,0800000 1,1664000 1,2597120 1,3604890 1,4693281

1,2653190 1,3400956 1,3159318 1.4071004 1.3685691 1,4774554 1,4233118 1,5513282 1.4802443 1,6288946

1,4185191 1,5007304 1,5036303 1,6057815 1,5938481 1,7181862 1,6894790 1.8384592 1,7908477 1,9671514

1,5868743 1,7138243 1,8509302 1,9990046 2,1589250

1,3842339 1,4257609 1,4685337 1,5125897 1.5579674

1,5394541 1,6010322 1,6650735 1,7316765 1,8009435

1.7103394 1,7958563 1,8856491 1,9799316 2.0789282

1,8982986 2,0121965 2,1329283 2.2609040 2.3965582

2,1048520 2,2521916 2,4098450 2,5785342 2,7590315

2,3316390 2,5181701 2,7196237 2,9371936 3,1721691

1,3727857 1,4002414 1,4282463 1,4568112 1,4859474

1,6047064 1,6528476 1,7024331 1.7535061 1,8061112

1,8729813 1,9479005 2,0258165 2.1068492 2,1911231

2,1828746 2,2920183 2,4066192 2.5269502 2,6532977

2,5403517 2,6927728 2,8543392 3,0255995 3.2071355

2.9521638 3,1588152 3.3799323 3,6165275 3,8696845

3,4259426 3,7000181 3.9960195 4.3157011 4.6609571

1,2323919 1,2447159 1,2571630 1,2697347 1,2824320

1,5156663 1,5459797 1,5768993 1,6084373 1,6406060

1.8602946 1,9161034 1,9735865 2,0327941 2,0937779

2,2787681 2.3699188 2,4647155 2,5633042 2,6658363

2,7859626 2,9252607 3,0715238 3,2250999 3,3863549

3,3995636 3,6035374 3,8197497 4,0489346 4,2918707

4,1405624 4,4304017 4,7405299 5.0723670 5,4274326

5,0338337 5,4365404 5,8714637 6,3411807 6,8484752

1,2952563 1,3082089 1,3212910

1,6734181 1,7068865 1,7410242

2,1565913 2.2212890 2,2879277

2,7724698 2,8833686 2,9987033

3,5556727 3.7334563 3,9201291

4,5493830 4,8223459 5,1116867

5,8073529 6,2138676 6,6488384

7,3963532 7,9880615 8,6271064

Matemática

70



APOSTILAS OPÇÃO 29 30

1,3345039 1,3478489


1,7758447 1,8113616

2,3565655 2,4272625

3,1186515 4,1161356 3,2433975 4,3219424

5,4183879 7,1142571 5,7434912 7,6122550

9,317274 10,06265

TABELA AMORTIZAÇÃO Valores de 3% 1,0300000 0,5226108 0,3535304 0,2690271 0,2183546

i(1  i)n (1  i)n  1

n 1 2 3 4 5

1% 1,0100000 0,5075124 0,3400221 0,2562811 0,2060398

2% 1,0200000 0,5150495 0,3467547 0,2626238 0,2121584

4% 1,0400000 0,5301961 0,3603485 0,2754901 0,2246271

5% 1,0500000 0,5378049 0,3672086 0,2820118 0,2309748

6% 1,0600000 0,5454369 0,3741098 0,2885915 0,2373964

7% 1,0700000 0,5530918 0,3810517 0.2952281 0,2438907

8% 1,0800000 0,5607692 0,3880335 0,3019208 0,2504565

9% 1,0900000 0,5684689 0,3950548 0,3086687 0.2570925

10% 1,1000000 0,5761905 0,4021148 0,3154708 0.2637975:

6 7 8 9 10

0,1725484 0,1486283 0,1306903 0,1167404 0,1055821

0,1785258 .0,1845975 0,1907619 0,1545120 0,1605064 0,1666096 0,1366098 0,1424564 0,1485278 0,1225154 0,1284339 0,1344930 0,1113265 0,1172305 0,1232909

0,1970175 0,1728198 0,1547218 0,1406901 0,1295046

0,2033626 0,1791350 0,1610359 0,1470222 0,1358680

0,2097958 0,1855532 0,1674678 0,1534865 0.1423775

0,2163154 0,1920724 0,1740148 0,1600797 0,1490295

0,2229198 0,1986905 0.1906744 0,1667988 0,1558201

0,2296074 0,2054055 0,1874440 0,1736405. 0,1627454

11 12 13 14 15

0,0964541 0,0888488 0,0824148 0,0769012 0,0721238

0,1021779 0,0945596 0,0882404 0,0826020 0,0778255

0,1141490 0,1004621 0,0940295 0,0885263 0,0837666

0.1203889 0,1065522 0,1001437 0,0946690 0.0899411

0,1267929 0,1128254 0,1064558 0,1010240 0,0963423

0,1333569 0.1192770 0,1129601 0,1075849 0,1029628

0,1400763 0,1259020 0,1196509 0,1143449 0,1097946

0,1469467 0,1326950 0,1265218 0.1212969 0,1168295

0,1539631 0.1396507 0,1335666 0,1284332 0,1240589

0,1080775 0,1467633 0,1407785 0,1357462 0,1314738

16 17 18 19 20

0,0679446 0,0642581 0,0609821 0,0580518 0,0554153

0,0736601 0,0699698 0,0667021 0,0637818 0,0611567

0,0796109 0,0759525 0,0727087 0,0698139 0,0672157

0.0858200 0,0821985 0,0789933 0,0761386 0,0735818

0.0922699 0,0886991 0.0855462 0,0827450 0,0802426

0,0989521 0.0954448 0,0923565 0,0896209 0,0871846

0,1058577 0,1024252 0,0994126 0,9967530 0,0943929

0,1129769 0,1096294 0,1067021 0,1041276 0,1018522

0,1202999 0,1170463 0,1142123 0.1117304 0.1095465

0,1278166 0,1246641 0,1219302 0,1195469 0,1174596

21 22 23 24 25

0,0530308 0,0508637 0,0488858 0,0470735 0,0454068

0,0587848 0,0566314 0,0546681 0,0528711 0,0512204

0,0648718 0,0627474 0,0608139 0,0590474 0,0574279

0,0712801 0,0691988 0,0673091 0,0655868 0,0640120

0,0779961 0,0759705 0,0741368 0,0724709 0,0709525

0.0850046 0,0830456 0,0812785 0,0796790 0,0782267

0,0922890 0.0904058 0,0887139 0,0871890 0.0858105

0,0998323 0,0980321 0,0964222 0.0949780 0,0936788

0,1076166 0,1059050 0.1043819 0.1030226 0,1018063

0,1156244 0,1140051 0.1125718. 0,1112998 0.1101681

26 27 28 29 30

0,0438689 0,0424455 0,0411244 0,0398950 0,0387481

0,0496992 0,0482931 0,0469897 0,0457784 0,0446493

0,0559383 0,0545642 0,0532932 0,0521147 0,0510193

0,0625674 0,0612385 0,0600130 0,0588799 0,0578301

0,0695643 0.0682919 0,0671225 0.0660455 0,0650514

0,0769044 0,0756972 0,0745926 0,0735796 0,0726489

0,0845610 0,0834257 0,0823919 0,0814487 0.0805854

0,0925071 0.0914481 0,0904889 0,0896185 0,0888274

0,1007154 0,0997349 0.0988521 0.0980557 0,0973364

0,1091590 0,1082576 0,1074510 0,1067281 0,1060793

TÁBUA DE LOGARITMOS N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantissa N Mantiss a N Mantissa N Mantissa N Mantissa N M antissa N Mantissa 00 50807 100 00000 100 17009 200 20103 260 30794 300 47712 350 54407 400 00200 460 00021 1 00000 51 70757 101 00432 151 17898 201 30320 251 39967 301 47857 351 54531 401 60314 451 65418 2 30103 52 71600 102 00860 152 18184 202 30535 252 40140 302 48001 352 54654 402 60423 452 65514 3 47712 53 72428 103 01284 153 18469 203 30750 253 40312 303 48144 353 54777 403 60531 453 65610 4 60206 54 73239 104 01703 154 18752 204 30963 254 40483 304 48287 354 54900 404 60638 454 65706 5 69897 55 74036 105 02119 155 19033 205 31175 255 40654 305 48430 355 55023 405 60746 455 65801 6 77815 56 74819 106 02531 156 10312 206 31387 256 40824 306 48572 356 55145 406 60853 456 65896 7 84510 57 75587 107 02938 157 19590 207 31597 257 40993 307 48714 357 55267 407 60959 457 65992 8 90309 58 76343 108 03342 158 19866 208 31806 258 41162 308 48855 358 55388 408 61066 458 66087 9 95424 59 77085 109 03743 159 20140 209 32015 259 41330 309 48996 359 55509 409 61172 459 66181 10 00000 00 77515 110 04170 100 20412 210 32382 260 41407 310 49130 300 86530 410 61278 400 86276 11 04139 61 78533 111 04532 161 20683 211 32428 261 41664 311 49275 361 55751 411 61384 461 66370 12 07918 62 79239 112 04922 162 20952 212 32634 262 41830 312 49415 362 55871 412 61490 462 66464 13 11394 63 79934 113 05308 163 21219 213 32838 263 41996 313 49554 363 55991 413 61595 463 66558 14 14613 64 80618 114 05690 164 21484 214 33041 264 42160 314 49693 364 56110 414 61700 464 66652 15 17609 65 81291 115 06070 165 21748 215 33244 265 42325 315 49831 365 56229 415 61805 465 66745

Matemática

71



APOSTILAS OPÇÃO 16 17 18 19 20 21 22 23 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

20412 66 23045 67 25527 68 27875 69 30103 70 32222 71 34242 72 36173 73 56820 87 57978 88 99106 89 60206 90 61278 91 62325 92 63347 93 64345 94 65321 95 66276 96 67210 97 68124 98 69020 99 69897 100

81954 82607 83251 83885 85410 85126 85733 86332 93952 94448 94939 95424 95904 96379 96848 97313 97772 98227 98677 99123 99564 00000

116 117 118 119 120 121 122 123 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 06446 06819 07188 07555 07918 08279 08636 08991 13672 13988 14301 14613 14922 15229 15534 15836 16137 16435 16732 17026 17319 17600

166 167 168 169 170 171 172 173 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200

N Mantissa N Mantissa N Mantissa N 500 69907 550 74036 600 77815 650 501 69964 551 74115 1601 77887 651 502 70070 552 74194 602 77960 652 503 70157 553 74273 603 78032 653 504 70243 554 74351 604 78104 654 505 70329 555 74429 605 78176 655 506 70415 556 74507 606 78247 656 507 70501 557 74586 607 78319 657 508 70586 558 74663 608 78390 658 509 70672 559 74741 609 78462 659 510 70757 560 74819 610 79533 000 511 70842 561 74896 611 78604 661 512 70927 562 74974 612 78675 662 513 71012 563 75051 613 78746 663 514 71096 564 75128 614 78817 664 515 71181 565 75205 615 78888 665 516 71265 566 75282 616 78958 666 517 71349 567 75358 617 79029 667 518 71433 568 75435 618 79099 668 519 71517 569 75511 619 79169 669 520 71600 570 75587 620 79339 670 521 71684 571 75664 621 79309 671 522 71767 572 75740 622 79379 672 523 71850 573 75815 623 79449 673 524 71933 574 75891 624 79518 874 525 72016 575 76967 625 79588 675 526 72099 576 76042 626 79657 676 527 72181 577 76118 627 79727 677 528 72263 578 76193 628 79796 678 529 72346 579 76268 629 79865 679 530 72420 590 35343 530 79934 890 531 72509 581 76418 631 80003 681 532 72591 582 76492 632 80072 682 533 72673 583 76567 633 80140 683 534 72754 584 76641 634 80209 684 535 72835 585 76716 635 80277 685 536 72916 586 76790 636 80346 686 537 72997 587 76864 637 80414 687 538 73078 888 76938 638 90482 688 539 73159 589 77012 639 90550 689 540 73339 590 77096 640 80018 690 541 73320 591 77159 641 80686 691 542 73400 592 77232 642 80754 692 543 73480 593 77305 643 80821 693 544 73560 594 77379 644 90889 694 545 73640 595 77452 645 80956 695 546 73719 596 77525 646 81023 696 547 73799 597 77597 647 81090 697 548 73878 598 77870 648 81158 698 549 73957 599 77743 649 81224 699 550 74938 600 77015 650 81291 700

22011 22272 22531 22789 23045 23300 23553 23805 27184 27416 27646 37843 28103 28330 28556 28780 29003 29226 29447 29667 29885 30168

216 217 218 219 220 221 222 223 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250

Mantissa N 81291 700 81358 701 81425 702 81491 703 81558 704 81624 705 81690 706 81757 707 81823 708 81889 709 81954 710 82020 711 82086 712 82151 713 82217 714 82282 715 82347 716 82413 717 82478 718 82543 719 92607 720 82672 721 82737 722 82802 723 82866 724 82930 725 82995 726 83059 727 83123 728 83187 729 53251 730 83315 731 83378 732 83442 733 83506 734 83569 735 83632 736 83696 737 83759 738 83822 739 85398 740 83948 741 84011 742 84073 743 84136 744 84198 745 84261 746 84323 747 84386 748 84448 749 34510 750

33445 33646 33846 34044 34242 34439 34635 34830 37475 37658 37840 38021 38202 38382 38561 38739 38917 39094 39270 39445 39620 39704

266 267 268 269 270 271 272 273 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300

Mantissa N 84510 750 84572 751 84634 752 84696 753 84757 754 84819 755 84880 756 84942 757 85003 758 85065 759 85128 700 85187 761 85248 762 85309 763 85370 764 85431 765 85491 766 85552 767 85612 768 85673 769 85733 770 85794 771 85854 772 85914 773 85974 774 86034 775 86094 776 86153 777 86213 778 86273 779 86332 790 86392 781 86451 782 86510 783 86570 784 86629 785 86688 786 86747 787 86806 788 86864 789 58023 790 86982 791 87040 792 87099 793 87157 794 87216 795 87274 796 87332 797 87390 798 87448 799 07506 000

42488 42651 42813 42975 43136 43297 43457 43616 45788 45939 46090 46240 46389 46538 46687 46835 46982 47129 47276 47422 47567 47712

316 317 318 319 320 321 322 323 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350

Mantissa N 87506 800 87564 801 87622 802 87679 803 87737 804 87795 805 87852 806 87910 807 87967 808 88024 809 98081 810 88138 811 88195 812 88252 813 88309 814 88366 815 88423 816 88480 817 88536 818 88593 819 89049 020 88705 821 88762 822 88818 823 88874 824 88930 825 88986 826 89042 827 89098 828 89154 829 90209 830 89265 831 89321 832 89376 833 89432 834 89487 835 89542 836 89597 837 89653 838 89708 839 90703 840 89818 841 89873 842 89927 843 89982 844 90037 845 90091 846 90146 847 90200 848 90255 849 80309 850

49969 50106 50243 50379 50515 50651 50786 50920 52763 52892 53020 53148 53275 53403 53529 53656 53782 53908 54033 54158 54283 54407

366 367 368 369 370 371 372 373 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400

Mantissa N 90309 850 90363 851 90417 852 90472 853 90526 654 90580 855 90634 856 90687 857 90741 858 90795 859 90849 960 90902 861 90956 862 91009 863 91062 864 91116 885 91169 866 91222 867 91275 868 91328 869 91381 870 91434 671 91487 872 91540 873 91593 874 91645 875 91698 876 91751 877 91803 878 91855 879 91908 880 91960 881 92012 882 92065 883 92117 884 92169 885 92221 886 92273 887 92324 888 92378 889 92428 909 92480 891 95531 892 92583 893 92634 894 92686 895 92737 896 92788 897 92840 898 92891 899 92942 900

56348 56467 56585 56703 56820 56937 57054 57171 58771 58883 58995 00106 59218 59329 59439 59550 59660 59770 59879 59988 60097 60206

416 417 418 419 420 421 422 423 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450

Mantissa N 92942 900 92993 901 93044 902 93095 903 93146 .904 93197 905 93247 906 93298 907 93349 908 93399 909 93450 910 93500 911 93551 912 93601 913 93651 914 93702 915 93752 916 93802 917 93852 918 93902 919 93952 920 94002 921 94052 922 94101 923 94151 924 94201 925 94260 926 94300 927 94349 928 94399 929 94448 930 94498 931 94547 932 94596 933 94645 934 94694 935 94743 936 94792 937 94841 938 94890 939 94939 940 94988 941 95036 942 95085 943 95134 944 95182 945 95231 946 95279 947 95328 948 95376 949 98424 950

61909 62014 62118 62221 62325 62428 62531 62634 64048 64147 64248 64345 64444 64542 64640 64738 64836 64933 65031 65128 65225 65321

466 467 468 469 470 471 472 473 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500

Mantissa N 95424 950 95472 951 95521 952 95569 953 95617 954 95666 955 96713 956 95761 957 95809 958 95856 959 95904 960 95952 961 95999 962 96047 963 96095 964 96142 965 96190 966 96237 967 96284 968 96332 969 96379 970 96426 971 96473 972 96520 973 96567 974 96614 975 96661 976 96708 977 96755 978 96802 979 96848 990 96895 981 96942 982 96988 983 97035 984 97081 985 97128 986 97174 987 97220 988 97267 889 97313 990 97359 991 97405 992 97451 993 97497 994 97543 995 97589 996 97635 997 97681 998 97727 999 97772 1000

66839 66932 67025 67117 67210 67302 67394 67486 68753 68842 68931 69020 69108 69197 69285 69373 69461 69548 69636 69723 69810 69897 Mantissa 97772 97818 97864 97909 97955 98000 98046 98091 98137 98182 98227 98272 98318 98363 98408 98453 98498 98543 98588 98632 98677 98722 98767 98811 98856 98900 98945 98989 99034 99078 99123 99167 99211 99255 99300 99344 99388 99432 99476 99520 99564 99607 99651 99595 99739 99782 99826 99870 99913 99957 00000

TABELA 6— VALORES ATUAIS (DESCONTO COMPOSTO)

Matemática

72



APOSTILAS OPÇÃO

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Valores de

1 n

(1 i)

 vn

n 1 2 3 4 5

1% 0,9900990 0,9802961 0,9705902 0,9609803 0,9514657

2% 0,9803922 0,9611688 0,9423223 0,9238454 0,9057308

3% 0,9708738 0,9425959 0.9151417 0,888487 1 0.8626088

4% 0,9615385 0.9245562 0,8889964 0,8548042 0,8219271

5% 0,9523810 0,9070295 0,8638376 0,8227025 0,7835262

6% 0,9433962 0,8899964 0,8396193 0,7920937 0,7472582

7% 0,9345794 0.8734387 0,8162979 0,7628952 0,7129862

8% 0,9259259 0.8573388 0,7938322 0,7350299 0,6805832

6 7 8 9 10

0,9420452 0,9327181 0,9234832 0,9143398 0,9052870

0,8879714 0,8705602 0,8531904 0,8367553 0,8203483

0,8374843 0,8130915 0.7894092 0,7664167 0,7440939

0,7903145 0,7599178 0,7306902 0,7025867 0,6755642

0,7462154 0,7106813 0,6768391 0,6446089 0,6139133

0,7049605 0,6650571 0,6274124 0,5918985 0,5583948

0,6663422 0,6227497 0,5820091 0,5439337 0,5083493

0.6301696 0,5834904 0,5402689 0,5002490 0,4631935

11 12 13 14 15

0,8963237 0,8874492 0,8786626 0,8699630 0,8613495

0,8042630 0,7884932 0,7730325 0,7578750 0,7430147

0,7224213 0,7013799 0.6809513 0,6611178 0,6418620

0,6495809 0,6245971 0,6005741 0,5774751 0,5552645

0,5846793 0,5568374 0,5303214 0,5050680 0,4810171

0,5267875 0,4969694 0,4688390 0,4423010 0,4172651

0,4750928 0,4440120 0,4149645 0,3878172 0.3624460

0,4288829 0,3971138 0,3676979 0,3404610 0,3152417

16 17 18 19 20

0,8528213 0,8443775 0,8360173 0,8277399 0,8195445

0,7284458 0,7141626 0,7001594 0,6864308 0,6729713

0,6231669 0.6050165 0.5873946 0,5702860 0,5536758

0,5339082 0,5133733 04936281 0,4746424 0,4563870

0,4581115 0.4362967 0,4155207 0,3957340 0,3768895

0,3936463 0.3713644 0,3503438 0,3305130 0,3118047

0.3387346 0,3165644 0,2958639 0,2765083 0,2584190

0,2918905 0,2702690 0,2502490 0,2317121 0.2145482

21 22 23 24 25

0,8114302 0,8033962 0,7954418 0,7875661 0,7797684

0,6597758 0,6468390 0,6341559 0,6217215 0,6095309

0.5375493 0.5218925 0.5066918 0,4919337 0,4776056

0,4388336 0,4219554 0,4057263 0,3901215 0,3751168

0,3589424 0,3418499 0,3255713 0,3100679 0,2953028

0,2941554 0.2775051 0.2617973 0.2469786 0.2329986

0,2415131 0,2257132 0,2109469 0,1971466 0,1842492

0,1986558 0,1839405 0.1703153 0,1576993 0,1460179

26 27 28 29 30

0,7720480 0,7644039 0,7568356 0,7493421 0,7419229

0,5975793 0,5858620 0,5743746 0,5631123 0,5520709

0,4636947 0,4501891 0,4370768 0,4243464 0,41 19868

0,3606892 0,3468166 0,3334775 0,3206514 0,3088187

0,2812407 0,2678483 0,2550936 0,2429463 0,2313775

0,2198100 0,2073680 0,1956301 0,1845567 0.1741 101

0,1721955 0,1609304 0.1504022 0,1405628 0,1313641

0,1352018 0.1251868 0.1159137 0,1073275 0.0993773

6% 1.0000000 2,0600000 3,1836000 4.3746160 5,6370930

7% 1,0000000 2,0700000 3,2149000 4,4399430 5,7507390

8% 1.0000000 2,0800000 3,2464000 4,5061120 5.8666010

6 6,1520151 6,3081210 6,4684099 6,6329755 6,8019128 6.9753185 7,1532907 7 7,2135352 7,4342834 7,6624622 7,8982945 8,1420085 8,3938377 8,6540211 8 8,2856706 8,5829691 8,8923361 9,2142263 9,5491089 9,8974679 10,2598026 9 9,3685273 9,7546284 10,1591061 10,5827953 11,0265643 11,4913160 11,9779888 10 10,4622125 10,9497210 11,4638793 12,0061071 12,5778925 13,1807949 13,8164480

7,3359290 8,9228034 10.6366276 12,4875578 14.4865625

11 12 13 14 15

11,5668347 12,6825030 13,8093280 14,9474213 16,0968955

12,1687154 13,4120897 14,6803315 15,9739382 17,2934169

12,8077957 14,1920296 15,6177905 17,0863242 18,5989139

13,4863514 15,0258055 16,6268377 18,2919112 20.0235876

14,2067872 15,9171265 17,7129829 19,5986320 21,5785636

14,9716426 16,8699412 18,8821377 21,0150659 23,2759699

15,7835993 17,8884513 20,1406429 22,5504879 25,1290220

16.6454875 18,9771265 21,4952966 24.2149203 27,1521139

16 17 18 19 20

17,2578645 18,4304431 19,6147476 20,8108950 2Z0190040

18,6392853 20,0120710 21,4123124 22,8405587 24,2973698

20,1568813 21,7615877 23,4144354 25,1168684 26,8703745

21,8245311 23,6975124 25,6454129 27,6712294 29,7780786

23,6574918 25,8403664 28.1323847 30,5390039 33,0659541

25,6725281 28.2128798 30,9056526 33,7599917 36,7855912

27,8880536 30,8402173 33,9990325 37,3789648 40,9954923

30,3242830 33,7502257 37,4502437 41,4462632 45,7619643

TABELA 7 — CAPITALIZAÇ O

n 1 2 3 4 5

1% 1,0000000 2,0100000 3,0301000 4,0604010 5,1010050

Matemática

2% 1,0000000 2,0200000 3,0604000 4,1216080 5,2040402

Valores de 3% 4% 1,0000000 1,0000000 2,0300000 2,0400000 3,0909000 3,1216000 4.1836270 4,2464640 5,3091358 5,4163226

73

5% 1,0000000 2,0500000 3,1525000 4,3101250 5,5256313



APOSTILAS OPÇÃO


21 232391940 257833172 22 244715860 27:2989835 23 25>163018 28,8449632 24 26,9734649 30,4218625 25 28,2431995 32,0302997

28,6764857 30,5367803 32,4528837 34,4264702 36,4592643

31,9692017 34,2479698 36,6178886 39,0826041 41,6459083

35,7192518 38.5052144 41,4304751 44,5019989 47,7270988

39,9927267 43.3922903 46,9958277 50,8155774 54,8645120

44,8651768 49,0057392 53,4361409 58,1766708 63.2490377

26 27 28 29 30

38,5530423 40,7096335 42.9309225 45,2188502 47,5754157

44,3117446 47,0842144 49,9675830 52,9662863 56,0849378

51,1134538 54,6691265 58,4025828 62,3227119 66.4388475

59,1563827 63,7057657 68.5281116 73,6397983 79.0581862

68,6764704 79,9544152 74,4838232 87,3507684 80,6976909 95,3388298 87,3465293 103,9659362 94,4607863 113,2832111

29,5256315 30,8208878 32,1290967 33,4503877 34,7848915

33,6709057 35.3443238 37,0512103 38,7922345 40,5680793

50.4229214 55.4567552 60,8932956 66,7647592 73,1059400

TABELA 8 — VALORES ATUAIS (RENDAS CERTAS) Valores de

n 1 2 3 4 5

1% 0,9900990 1,9703951 2,9409852 3.9019656 4,8534312

2% 0,9803921 1,9415609 2,8838833 3,8077287 4,7134595

3% 0,9708738 1,9134697 2.8286114 3,7170984 4,5797072

4% 0,9615385 1,8860947 2,7750910 3,6298952 4,4518223

5% 0,9523810 1,8594104 2,7232480 3,5459505 4,3294767

6% 0,9433962 1,8333927 2,6730120 3,4651056 4,2123638

7% 0,9345794 1,8080182 2,6243160 3,3872113 4,1001974

8% 0.9259259 1,7832648 2,5770970 3,3121268 3,9927100

6 7 8 9 10

5,7954765 6,7281945 7,6516778 8,5660176 9,4713045

5,6011431 6,4719911 7,3254814 8,1622367 8,9825850

5,4171914 6,2302830 7,0196922 7.7861090 8,5302028

5,2421369 6,0020550 6,7327449 7,4353316 8,1108958

5,0756921 5;7863734 6,4632128 7,1078217 7,7217349

4,9173243 5,5823814 6,2097938 6.8016923 7,3600871

4,7665397 5,3892894 5,9712985 6,5152323 7,0235815

4,6228797 5,2063701 5,7466389 6,2468879 6,7100814

11 12 13 14 15

10,3676283 11,2550775 12,1337401 13,0037030 13,8650525

9,7868481 9,2526241 8,7604767 8,3064142 10,5753412 9,9540040 9,3850738 8,8632516 11,3483738 10,6349553 9,9856475 9,3935730 12,1062488 11,2960731 10,5631229 9,8986409 12,8492635 11,9379351 11,1183874 10,3796580

7,8868746 8,3838439 8,8526830 9,2949839 9,7122490

7,4986743 7,9426863 8,3576507 9,0138423 9,1079140

7,1389643 7,5360780 7,9037759 8,2442370 8,5594787

16 17 18 19 20

14,7178738 15,5622513 16,3982686 17,2260085 18.0455530

13,5777093 14,2918719 14,9920313 15,6784620 16,3514333

12,5611020 13,1661185 53,7535131 14,3237991 14,8774749

11,6522956 12,1656689 12,6592970 13,1339394 13,5903263

10,8377696 11,2740663 11,6895869 12,0853209 12,4622103

10,1058953 9,4466486 10,4772597 9,7632230 10,8276035 10,0590869 11,1581165 10,3355952 11,4699212 10,5940143

8.8513692 9,1216381 9,3718871 9,6035992 9,8181474

21 22 23 24 25

18,8569831 19,6603793 20,4558211 21,2433873 22,0231557

17,0112092 17,6580482 18,2922041 18,9139256 19,5234565

15,4150241 15,9369166 16,4436084 16,9355421 17,4131477

14,0291600 14,4511153 14,8568417 15,2469631 15,6220799

12,8211527 13,1630026 13,4885739 13,7986418 14,0939446

11,7640766 12,0415817 12,3033790 12,5503575 12,7833562

10,8355273 11,0612405 11,2721874 11,4693340 11,6535832

10,0168031 10,2007437 10,3710590 10,5287583 10,6747762

26 27 28 29 30

22,7952037 23,5596076 24,3164431 25,0657853 25,8077082

20,1210358 20,7068978 21,2812724 21,8443847 22,3964556

17,8768424 18,3270315 18,7641082 19,1884546 19,6004414

15,9827692 16,3295858 16,66~0632 16,9837146 17,2920333

14,3751853 14,6430336 14,8981273 15,1410736 15,3724510

13,0031662 13,2105341 13,4061643 13,5907210 13,7648312

11,8257787 10,8099780 11,9867090 10,9351648 12,1371113 11,0510785 12,2776471 11,1584060 12,4090412 11 ,2577833j

TABELA 9— AMORT IZAÇÃO Valores de

n 1 2 3 4 5

1% 1,0100000 0,5075124 0,3400221 0,2562811 0,2060398

2% 1,0200000 0,5150495 0,3467547 0,2626238 0,2121584

3% 1,0300000 0,5226108 0.3535304 0.2690271 0,2183546

4% 1,0400000 0,5301961 0,3603485 0.2754901 0,2246271

5% 1,0500000 0,5378049 0,3672086 0,2820118 0,2309748

6% 1,0600000 0,5454369 0,3741098 0,2885915 0,2373964

7% 1,0700000 0,5530918 0.3810517 0,2952281 0,2438907

8% 1,0800000 0,5607692 0,3880335 0,3019208 0.2504565

9% 1.0900000 0,5684689 0,3950548 0.3086687 0.2570925

10% 1,1000000 0,5761905 0,4021148 0,3154708 0,2637975

6 7 8 9

0,1725484 0,1486283 0,1306903 0,1167404

0,1785258 0,1545120 0,1365098 0,1225154

0,1845975 0,1605064 0,1424564 0,1284339

0,1907619 0,1666096 0,1485278 0,1344930

0.1970175 0,1728198 0,1547218 0.1406901

0,2033626 0.1791350 0,1610359 0,1470222

0,2097958 0,1855532 0,1674678 0,1534865

0.2163154 0,1920724 0,1740148 0,1600797

0.2229198 0,1986905 0.1906744 0.1667988

0,2296074 0,2054055 0,1874440 0.1736405

Matemática

74



APOSTILAS OPÇÃO


10 0,1055821 0,1113265 0,1172305 0,1232909 0,1295046 0.1358680 0,1423775 0,1490295 0,1558201 0,1627454

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

11 12 13 14 15

0,0964541 0,0888488 0,0824148 0,0769012 0,0721238

0,1021779 0,0945596 0,0882404 0,0826020 0,0778255

0,1080775 0,1004621 0.0940295 0,0885263 0,0837666

0,1141490 0,1065522 0,1001437 0.0946690 0.0899411

0,1203889 0,1128254 0,1064558 0.1010240 0,0963423

0.1267929 0.1192770 0,1129601 0,1075849 0,1029628

0,1333569 0,1259020 0,1196509 0,1143449 0,1097946

0,1400763 0.1326950 0,1265218 0,1212969 0,1168295

0.1469467 0,1396507 0,1335666 0,1284332 0,1240589

0,1539631 0,1467633 0,1407785 0,1357462 0,1314738

16 17 18 19 20

0,0679446 0,0642581 0,0609821 0,0580518 0,0554153

0,0736501 0,0699698 0,0667021 0,0637818 0,0611567

0.0796109 0,0759525 0,0727087 0.0698139 0,0672157

0,0858200 0,0821985 0,0789933 0,0761386 0,0735818

0.0922699 0,0886991 0,0855462 0.0827450 0,0802426

0.0989521 0,0954448 0,0923565 0,0896209 0,0871846

0,1058577 0,1024252 0,0994126 0,9967530 0,0943929

0,1129769 0,1096294 0,1067021 0,1041276 0,1018522

0,1202999 0,1170463 0,1142123 0,1117304 0,1095465

0,1278166 0,1246641 0,1219302 0,1195469 0,1174596

21 22 23 24 25

0,0530308 0,0508637 0,0488858 0,0470735 0,0454068

0,0587848 0,0566314 0,0546681 0,0528711 0,0512204

0,0648718 0,0627474 0,0608139 0,0590474 0,0574279

0,0712801 0,0691988 0,0673091 0,0655868 0,0640120

0,0779961 0,0759705 0,0741368 0,0724709 0.0709525

0,0850046 0,0830456 0.0812785 0,0796790 0,0782267

0,0922890 0,0904058 0,0887139 0,0871890 0,0858105

0,0998323 0,0980321 0,0964222 0,0949780 0,0936788

0,1076166 0,1059050 0,1043819 0,1030226 0,1018063

0,1156244 0.1140051 0,1125718 0,1112998 0,1101681

26 27 28 29 30

0,0438689 0.0424455 0,0411244 0,0398950 0,0387481

0,0496992 0,0482931 0,0469897 0,0457784 0,0446493

0,0559383 0,0545642 0,0532932 0,0521147 0,0510193

0.0625674 0,0612385 0,0600130 0,0588799 0,0578301

0,0695643 0,0682919 0,0671225 0,0660455 0.0650514

0,0769044 0.0756972 0.0745926 0,0735796 0,0726489

0,0845610 0,0834257 0,0823919 0,0814487 0,0805864

0,0925071 0,0914481 0,0904889 0.0896185 0,0888274

0,1007154 0,0997349 0,0988521 0,0980557 0,0973364

0,1091590 0,1082576 0,1074510 0,1067281 0,1060793

Resposta: S = R$11.643,97 10. O capital de R$6.000,00 foi aplicado à taxa de 12,0% ao semestre, pelo prazo de 3 anos. O montante constituído ao fim de cada semestre sofreu as seguintes correções monetárias: 0,8% , 0,9% , 0,8% , 1,0% , 0,9% e 1,0%. Qual o valor resgatado? Resposta: S = 12.496,99 11. Comprei um imóvel por R$80.000,00. Paguei 30,0% à vista e financiei o restante em 180 prestações mensais e consecutivas à taxa de 10,5% a.a. Quanto pagarei a cada mês? Resposta: R = R$602,68 12. Determine a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 32,38% ao ano, capitalizada semestralmente. Resposta: i = 35,00% a.a. 13. Apliquei hoje R$2.000,00 a 3,5% ao mês. No fim de 10 meses qual será a quantia resgatada? Resposta: S = R$2.821,20 14. Quatro promissórias de R$3.200,00 têm de ser pagas em 30, 60, 90 e 120 dias. O banco propõe um único pagamento hoje a uma taxa de desconto de 7,0% ao mês. Calcular o valor necessário para quitar as promissórias. Resposta: C = R$10.839,07 15. Calcule a taxa mensal equivalente a 36,10% ao ano. Resposta: i = 2,60% a.m. Calcular as seguintes incógnitas: 16. C = R$750,00 ; i = 10,0% am ; n = 13 meses; S=? R$2.589,20 17. S = R$1.800,00 ; i = 15,0% am ; n = 9 meses; C=? R$511,67 18. C = R$9.500,00 ; i = 7,8% am ; n = 7 meses ; R=? R$1.812,23 19. R = R$1.500,00 ; i = 6,0 % am ; n = 6 meses ; S= ? R$10.462,98 20. C = R$1.800,00 ; i = 4,0% am ; S = R$5.838,12 ; n=? 30 meses 21. R = R$3.000,00 ; i = 12,0% am ; n = 8 meses ; C=? R$14.902,92 22. Se pretendo poupar R$20.000,00 em um ano, qual o valor mensal que preciso depositar, sabendo que a rentabilidade é de 0,7% ao mês? Resposta: R = R$1.603,47 23. Uma empresa contraiu um empréstimo de R$25.000,00 para pagar em 5 anos. Sabendo que o

QUESTÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA I Qual a quantia que aplicada a 4,7% ao mês produz os mesmos juros simples que R$52.000,00 à taxa de 2,35% também ao mês, durante o m esmo prazo? Resposta: C = R$26.000,00 , para " n " = 1. O preço de um bem em janeiro era R$500,00. Calcular seu preço ao final de junho, sabendo-se que as correções monetárias mensais nesse período foram, respectivamente: 1,07% , 0,99% , 1,30% , 1,22% e 0,88% . Resposta: S = R$527,90 Se desejo ter poupado R$10.000,00 em um ano, qual a quantia inicial que preciso depositar, sabendo que a rentabilidade é de 0,5% ao mês? Resposta: C = R$9.419,05 Se o custo de oportunidade é de 14,47% a.a., qual a quantia mínima que você pode aceitar hoje para abrir mão de receber R$12.000,00 daqui a 3 anos? Resposta: C = R$8.000,30 A inflação em um determinado país atingiu, em janeiro, 25,83% no mês. Se essa taxa se repetir em todos os meses do ano, de quanto será a inflação acumulada no período? Resposta: i = 1.475,47% ao ano O preço atual de um bem é R$50.700,00. Deflacionar esse preço, sabendo-se que ele sofreu as seguintes correções monetárias: 1,5% , 2,2% , 1,8% e 1,6% . Resposta: C = R$47.255,19 Uma empresa constatou através de seus registros que vem obtendo, em média, uma lucratividade sobre o Patrimônio Líquido de 6,0% ao ano. Deseja-se saber em quantos anos conseguirá recuperar, integralmente, seu investimento próprio, caso seja mantida essa rentabilidade. Resposta: n = 11,9 anos Uma indústria orçou em termos anuais uma despesa de R$120.000,00 para aquisição de combustível. Supondo um consumo constante e um aumento de 4,0% ao mês no litro do produto, calcular os valores mensais a serem alocados nessa rubrica. Resposta: R1 = R$ 7.986,26 Uma pessoa deseja constituir uma poupança em 3 anos. Para isso, faz depósitos mensais antecipados de R$200,00 no 1o ano, R$300,00 no 2o ano e R$400,00 no 3o ano. Calcular o montante, sabendose que os juros são de 0,5% ao mês.

Matemática

75



APOSTILAS OPÇÃO


juro cobrado é de 17,00% ao ano, com capitalização mensal, qual a prestação a ser paga? Resposta: R = R$605,34 24. Daqui a 15 meses pretendo comprar um veículo de R$18.000,00. Atualmente já possuo R$7.500,00. Mantendo este recurso e os depósitos mensais que pretendo fazer aplicados à taxa constante de 0,9% ao mês, quanto preciso depositar m ensalmente? Resposta: R = R$589,45 25. Com uma prestação fixa de R$350,00, qual a quantia que posso financiar por 6 meses, consideranto uma taxa de juros de 3,5% ao mês? Resposta: C = R$1.864,99 26. Uma televisão custa R$1.200,00 . Para adquirí-la em 12 parcelas de R$100,00, à taxa de 4,0% ao mês, quanto precisarei dar de entrada? Resposta: C = R$261,49 27. Calcular o prazo necessário para triplicar, em termos reais, um valor depositado em caderneta de poupança (juros de 0,5% ao mês). Resposta: n = 220,3 meses 28. Se um banco trabalha com uma taxa de juros do cheque especial de 9,80% ao mês, qual a sua taxa bruta real, cobrada do cliente, se a inflação anual é de 8,5%? Resposta: i = 9,06% ao mês 29. Supondo que sua empresa empresta dinheiro, e sabendo que o Conselho de Política Monetária - COPOM fixou a Taxa Básica de Juros do Banco Central em 49% ao ano e que deseja um juro real de 2% ao mês nas suas operações financeiras, qual a taxa mensal de juros a ser praticada? Resposta: i = 5,45% ao mês 30. Qual o SPREAD de um banco que empresta dinheiro à taxa de 4,5% ao mês, considerando que seu custo de captação é de 45% ao ano? Resposta: i = 1,31% ao mês 31. Uma empresa tem como taxa de atratividade, em termos reais, 45% ao ano. Entretanto, é necessário para determinado negócio que seja estabelecida uma taxa pré-fixada. O gerente financeiro consulta dois bancos a respeito das taxas praticadas: Banco A Banco B => Pré-fixada: 70% ao ano 65% ao ano => Pós-fixada: 3,8% a.m. + TR 3,5% a.m. + TR Supondo que a variação da TR corresponda a inflação e que seria razoável trabalhar com a média da previsão da TR pelos dois bancos, qual seria a taxa de atratividade pré-fixada pela empresa? Resposta: 57,94% ao ano 32. O reajuste dos juros pelo Banco Central elevou o custo de captação do dinheiro para a sua empresa, que empresta dinheiro, para 4,47% ao mês. Sabendo que seus acionistas exigem rentabilidade anual de 15%, qual a taxa de juros mensal que sua empresa deve praticar, desprezando-se os demais custos? Resposta: i = 5,69% ao mês 33. Qual a taxa mensal mínima para aplicar em CDB que seria melhor do que a taxa da poupança, considerando TR de 13% ao ano? (2 pontos) Resposta: i = 1,53% a.m. 34. Qual o SPREAD mensal de um banco que empresta dinheiro em Hot Money à taxa de 2,50% ao mês e capta em CDB a 17,82% ao ano? Resposta: i = 1,11% a.m. 35. Qual o valor à vista de um imóvel anunciado sob as seguintes condições de pagamento: 30% de entrada; 180 prestações mensais de R$780,00 e 10 balões semestrais de R$5.000,00? Considere juros mensais de 1,2%. Resposta: C = R$131.219,71

Matemática

36. Considerando que a TR dos meses de janeiro a junho foi de 0,25%, 0,42%, 0,33%, 0,41%, 0,29% e 0,50%. Qual a taxa da Poupança acumulada no semestre? Resposta: i = 5,33% a.s. 37. Qual a taxa de desconto que uma loja deve oferecer nas suas vendas à vista, para que seja indiferente vender à vista ou a prazo, sabendo que o seu custo de oportunidade é de 4,5% ao mês e suas vendas a prazo acontecem na modalidade "1 + 4 vezes" ? Resposta: i = 8,25% 38. Qual a melhor opção de compra, considerando taxa de atratividade de 3% ao mês? a. à vista, com 10% de desconto; b. a prazo, com uma entrada de 30%, mais duas parcelas iguais; ou c. sem entrada, em dois pagamentos iguais. Resposta: à vista, pois vpl de a = 90 ; b = 96,97 ; c = 95,67 38. Qual a taxa mensal de juros, líquida, de uma loja que financia seus produtos ao consumidor à taxa de 80% ao ano, e desconta seus cheques pós-datados à taxa de 4,5% ao mês? Resposta: i = 0,50% a.m. 39. Qual a taxa de desconto a ser concedida na venda à vista de um produto que pode ser comprado a prazo com R$150,00 de entrada, mais 4 parcelas mensais de R$150,00. Considere que a loja tem um custo de oportunidade de 5% ao mês. Resposta: i = 9,08% EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA II 1.

a) b) c) d) e)

76

Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de $ 4.000, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de $ 10.000 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais $ 600 que o primeiro. A taxa é de: 8,0% a.a. 7,5% a.a. 7,1% a.a. 6,9% a.a. 6,2% a.a.

2.

Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento com juros simples, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em:

a) b) c) d) e)

20% 60% 40% 50% 70%

3.

Calcular o juro em $ e o montante em $ de uma aplicação de $ 1.000.000 durante 3 meses, à taxa de juros simples de 10% a.m.

a) b) c) d) e)

300.000 e 1.330.000 300.000 e 1.300.000 900,000 e 1.900.000 1.300.000 e 330.000 NDA

4.

Calcular os juros simples que um capital de $ 10.000 rende em um ano e meio, se aplicado à taxa de 6% a.a. Os juros em $ serão de:

a) b) c) d)

700 1.000 1.600 600



APOSTILAS OPÇÃO e)

900

5.

Duas pessoas fizeram aplicações em dinheiro na mesma data. Uma aplicou $ 192.000 à taxa de juros simples de 25% ao ano e a outra aplicou $ 240.000 à taxa de juros simples de 15% ao ano. Após quanto tempo os montantes das aplicações serão iguais?

A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $ 2.400 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro em $, na data da venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. a) b) c) d) e)

1.050.000 1.240.000 1.300.000 2.400,000 3.000.000

a) b) c) d) e)

48 meses 44 meses 38 meses 24 meses 18 meses

6.

Um produto é vendido por $ 600.000 à vista ou com uma entrada de 22% e mais um pagamento de $ 542.880 após 30 dias. Qual a taxa de juros simples mensal envolvida na operação?

a) b) c) d) e)

5% 12% 15% 16% 20%

7.

Em quanto tempo triplicará um capital aplicado à taxa de juros simples de 5% a.a. ?

a) b) b) c) d)

10 anos 20 anos 40 anos 60 anos 80 anos

8.

Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro a 25 % a.a. durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses e o terceiro a 20% a.a. durante 2 anos e 4 meses. Juntos, renderam juros de $ 27.591,80. Sabendo-se que o segundo capital é o dobro do primeiro, e que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital será de:

a) b) c) d) e)

30.210 10.070 20.140 15.105 05.035

14. A aplicação de um capital é feita à taxa anual simples de 60%, segundo dois processos para o cálculo d e taxa de juros diários e o volume de juros. Pode-se afirmar que, nesses dois processos utilizados (o primeiro usando juros comerciais e o segundo usando juros exatos):

9.

Um capital no valor de $ 50 aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% a.a., atinge, em 20 dias, um montante de:

a) b)

a) b) c) d) e)

51,00 51,20 52,00 53,60 68,00

12. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal de $ 700.000, que vence daqui a 4 meses, considerando o desconto racional simples a uma t axa de 36% a.a.? a) b) c) d) e)

13. O Sr. Haddad obteve um empréstimo de $ 1.090.000.000 à taxa de juros simples de 12% a.a. Algum tempo depois encontrou um amigo que poderia lhe emprestar $ 150.000.000 à taxa de juro simples de 11% a.a. Sendo assim, liquidou o empréstimo anterior e contraiu a nova dívida. Dezoito meses após ter contraído o primeiro empréstimo, saldou o segundo e observou que pagou, em juros, um total de $ 22.500.000. Sendo assim, qual foi o prazo do primeiro empréstimo ? a) b) c) d) e)

15. Qual o capital que acrescido dos seus juros simples durante 3 meses resulta em $ 1.300, e que acrescido aos seus juros simples durante 5 meses resulta em 1.500 ? a) b) c) d) e)


300 500 800 1.000 1.200

16. Um determinado capital produz um montante em 3 meses de $ 1.360 e um montante em 5 meses de $ 1.600. Qual a taxa simples aplicada sobre este capital ?

11. Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de vender este estoque por $ 3.000 a saca.

Matemática


taxa de juros exata diária é de 11,1% a relação entre os juros totais obtidos pelos dois processos para um mesmo prazo de aplicação é: juros exatos / juros ordinários = 73 / 72 c) a taxa de juros diária exata é de 0,11% d) para um mesmo prazo total de aplicação, os juros ordinários são aproximadamente 1,4% superiores aos juros exatos.

10. Se em 5 meses o capital de $ 250.000 rende $ 200 .000 de juros simples à taxa de 16% a.m., qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% a.a.? a) b) c) d) e)

700.000 625.000 600.000 525.000 500.000

77



APOSTILAS OPÇÃO a) b) c) d) e)


10% a.m. 12% a.m. 14% a.m. 20% a.m. 30% a.m.

a) b) c) d) e)

17. Uma pessoa conseguiu um empréstimo de $ 20.000 para ser devolvido em 2 anos. Sabendo-se que a financiadora cobra taxa nominal composta de 24% a.a. com capitalização trimestral, o montante a ser pago no vencimento será de: a) b) c) d) e)

23. Quanto se deve pagar por um título de valor nominal $ 600.000, que vence daqui a 2 meses, considerando o desconto comercial simples a uma taxa de 24% a.a.? a) b) c) d) e)

30.572 31.876 37.018 32.125 32.572

b) c) d) e)

José obteve 19.000 de rendimento a mais Paulo; Paulo obteve 19.000 de rendimento a mais José; José obteve 31.000 de rendimento a mais Paulo; Paulo obteve 31.000 de rendimento a mais José; Ambos obtiveram os mesmos rendimentos.

600.000 576.000 524.000 500.000 NDA

24. Utilizando-se desconto racional, o valor que deverei pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $ 29.500, e eu deseje ganhar 36% a.a., será de:

18. José aplicou $ 500.000 a juros compostos durante um ano, à taxa de 10% a.a. Paulo aplicou $ 450.000 a juros compostos durante um ano, à taxa de 18% a.a. Pode-se afirmar que: a)

748.563 729.000 750.000 751.314,80 700.000

a) b) c) d) e)

do que do que do que

24.000 25.000 27.500 18.880 24.190

25. O valor atual racional de um título é igual à metade de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado em 5 meses.

do que

19. Com referência à taxa de juros compostos de 10% a.a., pode-se dizer que o pagamento de $ 100.000 f eito daqui a um ano é equivalente financeiramente ao pagamento de:

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

26. O valor do desconto real ou racional composto de uma nota promissória, que vence em tr ês anos, é de $ 11.388,19. Admitindo-se que a taxa nominal de desconto utilizada na operação seja 24% a.a., com capitalização trimestral, o valor nominal do titulo será de:

89.000 na data atual 150.000 daqui a dois anos 146.410 daqui a cinco anos 82.640 na data atual NDA

20. Um investidor aplicou $ 2.000.000 no dia 06-jan-xx, a uma taxa composta de 22,5% a.m. Esse capital terá um montante de $ 2.195.000: a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

5 dias após sua aplicação após 130 dias de aplicação em 15-mai-xx em 19-jan-xx 52 dias após a aplicação

a) b) c) d) e)


28. Um título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa composta de 26% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de $ 18.266,67, qual seria seu valor nominal ?

146.798 202.612 146.925 146.985 147.895

a) b) c) d) e)

22. Uma nota promissória com valor de $ 1.000.000 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatada ho je. A uma taxa de Juros compostos de 10% a.a. o valor do resgate é $:

Matemática

22.420 22.500 22.630 22.907 NDA

27. O desconto racional composto de um título de $ 50.000 foi de $ 12.698,22. Sendo 5% a taxa de juros mensal cobrada, o prazo de antecipação foi de:

21. Um investidor depositou um quarto do seu capital à taxa de juros compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente, e o restante a 30% a.a., capitalizados semestralmente. Ao final de três anos retirou um montante de $ 331.192,29. Nessas condições, o capital empregado foi de aproximadamente: a) b) c) d) e)

200% a.a. 20% a.m. 25% a.m. 28% a.m. 220% a.a.

78

18.000 20.000 22.000 24.000 NDA



APOSTILAS OPÇÃO


29. Uma financeira deseja obter, uma taxa de juros efetiva de 40% a.a. em uma operação de 3 meses. Nessas condições, a empresa deve cobrar a taxa de juros anual de desconto comercial simples de: a) b) c) d) e)

35. Um equipamento é vendido em 6 prestações mensais iguais de $ 6.000.000, vencendo a primeira um mês após a compra. Se o vendedor opera com uma taxa de juros de 3% a.m., qual o preço à vista do equipamento?

38,06% a.a. 37,05% a,a. 38,50% a.a. 36,36% a.a. NDA

a) b) c) d) e)

30. Qual o valor pago pelo resgate de um título no valor de $ 13.600 dois meses antes do vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 3% a.m.? a) b) c) d) e)

36. Um equipamento é vendido por $ 1.000.000 a vista ou em 8 prestações mensais e iguais a $ 161.036 cada, vencendo a primeira prestação um mês após a compra. Qual a taxa efetiva de juros compostos nesse financiamento?

903,76 12.796,24 6.938,88 12.546,36 NDA

a) b) c) d) e)

31. Qual o valor nominal de um título, sabendo-se que o desconto racional composto é de $ 126.982,20, e que a taxa de desconto cobrada é 5% a.m., com uma antecipação de 6 meses ? a) b) c) d) e)

428.000 500.000 550.000 600.000 NDA

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

5 6 7 8 9

a) b) c) d) e)

20,32 19,61 19,20 18,17 18,00

424.291,65 574.291,65 600.000,00 598.671,65 599.761,65

40. Um imóvel é vendido em quatro parcelas iguais a $ 150.000.000, sendo que a primeira parcela vence um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros compostos é de 7% a.m., qual o valor à vista do imóvel ? a) b) c) d) e)

24.940,86 11.363,22 05.830,21 04.940,84 01.340,86

Matemática

5.309.140 5.340.410 5.468.410 5.680.410 6.000.000

39. Uma peça é vendida em quatro prestações iguais de $ 150.000 sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de juros composto é de 3% a.m., qual o preço à vista dessa peça ?

34. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de $ 20.000 no inicio do primeiro ano, um desembolso de $ 20.000 no fim do primeiro ano e dez entradas líquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano. a) b) c) d) e)

1.331.000 1.448.656 1.645.683 1.753.607 1.800.000

38. Qual será o montante final de uma aplicação de 5 pagamentos mensais de $ 1.000.000, sendo a taxa composta de 3% a.m., após o último pagamento?

33. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será igual ao capital inicial aplicado mais $: a) b) c) d) e)

3% 4% 5% 6% 7%

37. Qual o montante final de uma série de 10 pagamentos mensais iguais a $ 100.000 cada um, à taxa de juros compostos de 8% a.m.?

32. O preço de um produto à vista é $ 106.617,33. Sabendo-se que foi vendido em prestações mensais e iguais de $ 15.000, com a primeira prestação vencendo um mês após a compra, qual o número de prestações, se a taxa de juros compostas utilizada foi de 5% a.m.? a) b) c) d) e)

32.503.146 35.203.146 35.503.146 36.000.000 36.503.146

508.081.500 615.029.550 714.980.850 800.000.000 900.000.000

42. O preço à vista de um equipamento é $ 250.000. Uma pessoa o comprou com uma entrada de $ 50.000 e o saldo financiado em 5 prestações mensais, iguais e consecutivas de $ 48.779,14. Nessas condições, a taxa anual efetiva cobrada nesse financiamento foi de:

79





125,2% a.a. 151,8% a.a. 084,3% a.a. 101,2% a.a. 096,1% a.a.

a) b) c) d)

49. Qual o valor do título, vencível em 30 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: $ 400.000 em 60 dias, $ 600.000 em 75 dias, e $ 500.000 em 80 dias, se a taxa de desconto simples bancária é de 50% ao ano?

42. Um capital de $ 900.000, disponível em 40 dias, é equivalente a um outro capital, disponível em 100 dias, à taxa de 60% ao ano de desconto simples comercial. Qual o valor do outro capital? a) b) c) d)

403.836 520.546 390.500 391.720

1.008.000 1.010.000 1.240.000 1.320.000

a) b) c) d)

43. Qual o valor do capital, disponível em 80 dias, equivalente a $ 800.000, disponível em 60 dias à taxa de 50% a.a. de desconto simples comercial?

1.520.400 1.407.246 1.380.560 1.480.200

44. Qual o valor do capital disponível em 120 dias, equivalente a $ 600.000, disponível em 75 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional?

50. Um comerciante deveria efetuar os seguintes pagamentos: $ 400.000 em 60 dias, $ 670.000 em 90 dias e $ 300.000 em 120 dias. O comerciante pretende saldar seus débitos por meio de dois pagamentos iguais, o primeiro à vista e o segundo em 150 dias. Qual o valor de cada pagamento, se a taxa de desconto simples racional vigente é 60% ao ano?

a) b) c) d)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

780.000 845.200 825.000 860.500

680.200 651.428 705.800 701.000

45. Qual o valor do capital, vencível em 45 dias, equivalente a $ 840.000, vencível em 30 dias, à taxa de 80% a.a. de desconto simples racional? a) b) c) d)

51. A série de pagamentos: $ 300.000 em 30 dias, $ 600.000 em 90 dias e $ 200.000 em 150 dias, deverá ser substituída por uma outra com dois pagamentos iguais: o primeiro à vista e o segundo em 120 dias. Qual o valor de cada pagamento, se a taxa de desconto simples comercial vigente é 90% ao an o?

866.250 905.400 868.400 890.500

46. Um título de $ 1.000.000 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 85% ao ano, qual será o valor do novo titulo? a) b) c) d)

a) b) c) d)

a) b) c) d)

em 64 dias em 95 dias em 82 dias em 78 dias

53. Os capitais de $ 500.000 e de $ 700.000, com vencimentos respectivos em 90 e 360 dias, são equivalentes. Qual a taxa de desconto simples racional vigente?

1.025.000 1.125.000 1.240.000 1.105.000

a) b) c) d)

48. Qual o valor do pagamento, ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: $ 1.820.000 ao final de 60 dias, e $ 230.000 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 180% ao ano?

Matemática

510.294 580.325 560.115 602.400

52. O capital de $ 700.000, vencível em 40 dias, é equivalente ao capital de $ 800.000 à taxa de 75% ao ano, com desconto simples comercial. Quando o capital de $ 800.000 estará disponível?

890.700 945.200 780.204 910.503

47. Um comerciante deve pagar, ao final de 60 dias, uma conta de $ 900.000. Porém, ele somente poderá efetuar o pagamento ao final de 120 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é 100% ao ano, qual será o valor do novo pagamento? a) b) c) d)

764.580 802.580 746.234 664.580

70,50% a.a. 72,45% a.a. 80,72% a.a. 61,54% a.a.

54. O valor comercial de um título de $ 800.000 é hoje de $ 720.000. Daqui a 30 dias o valor atual comercial do

80



APOSTILAS OPÇÃO


mesmo título será de $ 760.000. Qual a taxa de desconto simples comercial? a) b) c) d)

de juros de mercado for de 3,5% ao mês, qual deverá ser o prazo da antecipação?

40% a.a. 52% a.a. 35% a.a. 60% a.a.

a) b) c) d)

55. Um título de $ 900.000 foi descontado 45 dias antes de seu vencimento. Se o título tivesse sido descontado 9 dias antes, o valor do desconto teria sido $ 250 maior. Calcular a taxa de desconto comercial simples aplicada. a) b) c) d)

62. Determinar o valor do título, vencivel em 30 dias, capaz de substituir $ 400.000 vencivel em 60 dias, $ 300.000 vencivel em 90 dias e $ 1.000.000 vencivel em 180 dias, à taxa de juros compostos de 6% ao mês.

75,0% a.a. 84,6% a.a. 89,5% a.a. 90,0% a.a.

a) b) c) d)

56. Um título descontado por dentro à taxa simples de 90% a.a. sofreu $ 90.000 de desconto. Se o desconto tivesse sido comercial seu valor seria $ 103.500. Qual o valor nominal do titulo? a) b) c) d)

820.000 710.000 690.000 580.400

a) b) c) d) e)

8,0% a.m. 4,0% a.m. 7,5% a.m. 3,5% a.m.

a) b) c) d) e)

72.328,50 65.482.73 61.459,50 94.600,00

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

180.215 172.326 155.510 150.520

20,324% 19,615% 19,196% 18,174% 18,000%

67. O pagamento de um empréstimo no valor de $ 1.000 será efetuado por Intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo. O valor da referida prestação será:

61. Em um título de valor nominal $ 6.500, o desconto racional composto sofrido foi de $ 835,63. Se a taxa

Matemática

751.314,80 750.000,00 748.573,00 729.000,00 700.000,00

66. Uma aplicação é realizada no primeiro dia de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais:

95.311 101.400 88.542 90.243

60. Uma nota promissória foi quitada 6 meses antes de seu vencimento à taxa de 4,5% ao mês de desconto composto. Sendo o valor nominal da promissória $ 670.000, qual o valor $ do desconto concedido? a) b) c) d)

406,2 352,5 325,0 300,0 285,0

65. Um "comercial paper" com valor de face de US$ 1.000.000 e vencimento daqui a três anos, deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros composto de 10 % ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor de resgate, em US$:

59. Quanto sofrerá de desconto um título de $ 700.000, 3 meses antes de seu vencimento, se for descontado a 5% ao mês de desconto racional composto? a) b) c) d)

51 51,2 52 53,6 68

64. A uma taxa de 25% por período, uma quantia de $ 100 no fim do período (t), mais uma quantia de $ 200 no fim do período (t+2), são equivalentes, no fim do período (t+1), a uma quantia de:

58. Uma empresa devedora de dois títulos de $ 30.000, vencíveis em 3 e 4 meses, deseja resgatar a divida com um único pagamento no fim de 5 meses. Calcular o valor desse pagamento, empregando a taxa simples comercial de 1,5% ao mês. a) b) c) d)

1.391.756 1.245.500 1.400.050 1.300,000

63. Um capital no valor de $ 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de:

57. Calcular a taxa de desconto comercial simples abatida de um titulo cujo valor atual é igual a quatro quintos do seu valor nominal. A antecipação do seu vencimento foi de 5 meses. a) b) c) d)

8 meses 4 meses 5 meses 6 meses

81





1.000 / 6 1.000 / 2,31306 1.000 / 3,784482 1.000 / 8,753738 1.000 / 2,31306

b) c) d) e)

74. Qual é o capital que, acrescido dos seus juros simples produzidos em 270 dias, à taxa de 4,5% a.a., se eleva para $ 450.715 ?

68. Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de $ 12.000 ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito no fim do primeiro mês? a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

12,000 / 15,025805 12.000 / (12 x 1,48) 12.000 / 9.385074 12.000 / (12 x 1,601032) 12.000 / 12

436.000 410.000 458.400 340.280 NDA

75. A que taxa simples mensal deveria estar aplicada a quantia de $ 250.000 para que acumulasse em um ano, 4 meses e 18 dias, um montante de $ 474.100 ?

69. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de $ 20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de $ 20.000 no fim do primeiro ano, e dez entradas liquidas anuais e consecutivas de $ 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% a.a., obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano. a) b) c) d) e)

25% superior ao do menor 30% superior ao do menor 05% superior ao do menor igual ao do menor

a) b) c) d) e)

25,2% 18,5% 15,6% 05,4% NDA

76. A uma taxa simples de 30% ao período, uma quantia de $ 50 no fim do período (t), e uma quantia de $ 160,55 no fim do período (t+3), são equivalentes, no fim do período (t+2), a uma quantia de:

24.940,86 11.363,22 05.830,21 04.940,86 01.340,86

70. O prazo de aplicação para que um capital, aplicado à taxa simples de 18% a.m., quadruplique o seu valor, é:

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

77. Um investidor aplicou três oitavos do seu dinheiro a 2% a.m., juros simples, e o restante a 9% ao trimestre, nas mesmas condições. Calcular o seu capital, sabendo-se que após um ano recebeu $ 151.200 de juros.

2 anos e 7 meses 1 ano, 7 meses e 25 dias 1 ano, 4 meses e 25 dias 1 ano e 6 meses NDA

190,5 196,6 240,6 250,4 NDA

71. Um capital foi aplicado a 75% a.a., juros simples, e, após 5 meses, acrescido de seus rendimentos, foi reaplicado a 81% a.a., juros simples. Ao final do nono mês de aplicação, o valor do capital acumulado era de $ 1.000.125. Qual o valor do capital aplicado?

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

78. Utilizando-se desconto simples racional, o valor que deverei pagar por um titulo com vencimento daqui a 84 dias, se o seu valor nominal for de $ 124.500, e eu desejar ganhar 54% ao ano, será de $:

540.142,50 385.200,00 610.194,30 600.000,00 NDA

a) b) c) d) e)

72. Dois capitais, um de $ 400.000 e outro de $ 250.000, estiveram aplicados durante 3 anos. Calcular a taxa mensal a que esteve aplicado o segundo capital, sabendo-se que o primeiro o foi à taxa de 45,6% a.a., e rendeu $ 259.200 a mais que o segundo. a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

185.000 202.400 210.000 252.500 NDA

80. Determinar o valor nominal de uma letra de câmbio que, descontada "por fora" 3 meses e 10 dias antes

15% superior ao do menor

Matemática

132.184,50 110.568,38 142.615,70 122.415,80 NDA

79. Um título, cujo resgate foi efetuado 145 dias antes do vencimento, foi negociado à taxa de 23% a.a. Qual era o valor nominal do título, uma vez que o valor atual racional simples recebido foi de $ 192.195?

38,4% a.m. 18,5% a.m. 03,2% a.m. 28,8% a.m. NDA

73. Dois capitais estão entre si assim como 5 está para 7. Se o menor for aplicado a uma taxa 40% superior à do maior, esses capitais produzirão juros simples iguais, quando o prazo de aplicação do maior for: a)

480.000 360.000 410.600 520.800 NDA

82



APOSTILAS OPÇÃO


de seu vencimento, à taxa simples de 10% a.m. produziu o desconto de $ 4.000. a) b) c) d) e)

e)

87. O montante gerado por um capital de $ 160.400, ao fim de 5 anos, com juros compostos de 40% a.a. capitalizados trimestralmente, é de:

24.600 18.500 20.080 12.000 NDA

a) b) c) d) e)

81. Um título de $ 600.000 foi resgatado antes do seu vencimento por $ 500.000. Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo que a taxa de desconto comercial simples foi de 42% ao ano. a) b) c) d) e)

8 meses e 10 dias 4 meses e 26 dias 5 meses e 15 dias 7 meses e 05 dias NDA

a) b) c) d) e)

45.000 48.600 54.000 65.000 NDA

a) b) c) d) e)

5,0% a.m. 7,5% a.m. 4,5% a.m. 6,5% a.m. NDA

a) b) c) d) e)

40 dias 50 dias 75 dias 80 dias NDA

a) b) c) d)

850.400,00 906.748,00 945.020,00 810.168,50 895.420,00

a) b) c) d) e)

64,19 72,19 75,35 76,35 68,58

93. Considerando-se a convenção linear, o montante gerado por um capital de $ 90.000 a 20% a.a. capitalizado semestralmente em 2 anos e 2 meses, desprezando-se os centavos, será de $:

2.850.200,00 3.055.128,50 3.542.748,82 3.745.506,34

Matemática

3 anos 4 anos e meio 3 anos e 5 meses 5 anos

92. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa composta de 3% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 19 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais $:

86. Calcular o montante de uma aplicação de $ 540.000 a juros compostos, aplicados à taxa de 4,5% ao mês, durante 3 anos e 8 meses. a) b) c) d)

3 anos 4 anos e meio 3 anos e 5 meses 5 anos 50 meses

91. Coloquei $ 780.000 aplicados a juros compostos de 8% a.m. e recebi $ 1.559.223,12. Logo o meu dinheiro ficou aplicado durante:

85. O montante produzido por um capital de $ 420.000 à taxa de juros compostos de 8% ao trimestre, durante 2 anos e meio, é de $: a) b) c) d) e)

1.320.460,08 1.032.860,25 1.125.600,18 0.998.945,70 1.245.712,70

90. O prazo para que uma aplicação de $ 140.000 à taxa composta de 32% a.a., produza um montante de $ 561.044,99 é de:

84. O valor atual de uma nota promissória é de $ 180,000 tendo sido adotada a taxa de 20% a.a.. Se o desconto racional for de $ 7.500 então o prazo de antecipação será de: a) b) c) d) e)


89. O capital de $ 340.000 foi aplicado a 5% a.m., juros compostos. Após 7 meses de aplicação a taxa de juros foi elevada para 8% a.m., juros compostos. Nestas condições, o valor do montante final, após 17 meses de aplicação, será de $:

83. Calcular a taxa de desconto comercial simples de um título cujo valor atual é igual a sete oitavos de seu valor nominal, sabendo-se que a antecipação foi de 2 meses e meio. a) b) c) d) e)

1.079.090,84 1.250.352,40 1.512.028,32 1.321.652,50 1.411.715,78

88. Durante quanto tempo $ 250.000 produzem $ 148.462,10 de juros compostos a 24% a.a. capitalizados trimestralmente?

82. O desconto comercial de um título, com vencimento em 06-set-xx, excede o desconto racional em $ 9. 000, caso esse título seja resgatado em 18-jul-xx. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 30% a.m., pode-se afirmar que o valor de face desse título é de: a) b) c) d) e)

2.956.432,50

a) b)

83

136.177 148.500



APOSTILAS OPÇÃO c) d) e)


162.340 175.100 158.345

a) b) c) d) e)

94. A diferença entre os montantes calculados pela convenção linear e exponencial, a partir d a aplicação de $ 600.000 por 126 dias à taxa de 4% a.m. é, aproximadamente, de $: (Dado: 1,04 x 45 = 19,007875 a) b) c) d) e)

100. Qual é o preço à vista de um equipamento cujas 1+11 prestações mensais, iguais e sucessivas, à taxa de juros compostos de 10% ao mês, são de $ 110.000 ?

42,35 55,82 70,19 69,25 81,40

a) b) c) d) e)

95. Uma letra de câmbio no valor nominal de $ 131.769 foi resgatada 3 meses antes de seu vencimento. Qual foi o valor do resgate, se a taxa de juros compostos de mercado foi de 10% a.m.? (Considerar desconto racional) a) b) c) d) e)

99.000 78.600 98.150 92.730 95.300

a) b) c) d) e)

60 dias 45 dias 120 dias 70 dias 80 dias

a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

850.425,80 984.830,39 902.100,00 1.125.020,00 915.632,70

3,5% 5,5% 7,0% 8,0% 9,0%

104. Uma amortização constante de 15 parcelas mensais de $ 110.000 tem carência de 4 meses e taxa mensal de 4,5%. Qual é o valor do financiamento, na ocasião do contrato? a) b) c) d) e)

53.078 62.420 58.030 49.340 50.385

1.105.000,02 1.350.315,75 920.618,35 890.500,00 990.634,48

105. A propaganda de uma loja de roupas anuncia: Compre tudo e pague em 12 meses. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses. Se a taxa de financiamento é de 5% a.m., qual é o valor da prestação de um blusão de couro cujo preço à vista é de $ 1.148?

99. O preço à vista de equipamento é de $ 500.000. O vendedor facilita a transação, propondo o seguinte esquema: $ 100.000 como entrada, mais duas parcelas semestrais de $ 200.000 a 3% a.m. Quando será o último pagamento?

Matemática

16 20 15 18 22

103. Uma empresa comprou um equipamento cujo preço à vista era de $ 1.389.970,05, pagando-o em 12 prestações mensais de $ 175.000. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?

98. Cláudio contraiu uma divida, comprometendo-se a saldá-la em dois pagamentos: o 1º de $ 25.000 e o 2º, 6 meses após o 1º, de $ 85.000. Não dispondo de dinheiro no vencimento da primeira parcela, Cláudio propôs o adiamento de sua divida, nas seguintes condições: faria um pagamento de $ 60.000 daí a 2 meses e o saldo em 10 meses. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 4 % a.a., qual o valor do saldo em $ ? a) b) c) d) e)

105.600,00 098.546,35 120.238,20 103.063,00 110.418,30

102. Em quantas prestações trimestrais de $ 185.500 poderei quitar uma dívida de $ 1.641.928,95, se o financiamento foi feito à base de 8 % ao trim estre ?

197. Um equipamento está a venda por $ 2.000.000 de entrada e $ 3.000.000 após 7 meses. Um comprador propõe pagar $ 5.000.000 como segunda parcela, o que somente será feito após 10 meses. Nestas condições, quanto deverá dar de entrada, se a taxa de juros compostos de mercado for de 4,5% a.m. ? a) b) c) d) e)

785.540,15 824.456,71 800.100,20 810.415,35 850.513,80

101. Uma loja vende uma mercadoria por $ 640.000 à vista ou financia em 8 meses, a juros compostos de 6% a.m. Se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após um mês, o valor da prestação mensal será de:

96. Para um título no valor nominal de $ 65.000, o desconto racional sofrido foi de $ 8.356,30. Se a taxa de juros compostos de mercado for de 3,5% ao mês, qual deverá ser o prazo da antecipação? a) b) c) d) e)

5 meses após a parcela 1 6 meses após a parcela 2 1 ano após a entrada 8 meses após a parcela 2 18 meses após a parcela 1

a) b) c) d) e)

84

150,77 130,25 142,80 125,47 148,33


CEF - MATEMÁTICA - 2 - 2012

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