ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS (EPE) CÁLCULO 1(CE13) EXAMEN FINAL CICLO 2013-2 MODA Coordinador: Rubén Alva Secciones : Todas Duración : 150 minutos. INDICACIONES • El orden y la claridad de los desarrollos serán considerados considerados en la calificación. • No se permite el el intercambio ni préstamo de materiales durante durante la práctica. • No se permite el uso de libros ni apuntes de clase. • Está permitido el uso de calculadoras programables y graficadoras.
1. Indique la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones justificando sus respuestas. 1
∫
a. El valor de la integral
ln x dx , da el área de la región limitada por la curva y= ln x y el eje x en el
1 / 2
intervalo [1 / 2 ; 1] .
(0,5 punto) Solución
Falso, El área limitada por la curva y= ln x y el eje x en el intervalo [1 / 2 ; 1] , está dada por 1
∫ ln x dx
−
1 / 2
b. Si a y b son números reales tal que 0 < b < a entonces
∫
−b
2
x dx = −a
∫
a 2
x dx
(0,5 punto)
b
Solución Verdadero, −b
∫
1 −b 1 3 x 2 dx = x 3 = a − b3 3 −a 3
(
)
−a
a
∫
(
1 a 1 x 2 dx = x 3 = a 3 − b 3 3 b 3
)
b
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1
2. Trace
la gráfica de la función f , siendo f ( x) = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 + 1 , indicando los puntos críticos, los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los valores extremos, los intervalos de concavidad y los (3,0 puntos) puntos de inflexión.
Solución f ′( x ) = 4 x 3 − 12 x 2 + 8 x
4 x 3 − 12 x 2 + 8 x = 0 → x = 0, x = 1, x = 2
f ′ < 0
f ′ > 0 0
f ′ < 0
f ′ > 0 2
1
En x= 0 y en x=2 hay mínimos. locales En x=1 hay un máx. local (0)=1, mín local f (0)=1, f (1)= (1)= 2, máx local (2)=1, mín local f (2)=1,
f ′′( x ) = 12 x 2 − 24 x + 8
12 x 2 − 24 x + 8 = 0 → x =, x = f ′′ > 0
f ′′ < 0
f ′′ > 0
0,42
1,58
En x= 0,42 y x=1,58
hay puntos de inflexión
(0,42; f (0,42)) (0,42)) (1,58; f (1,58)) (1,58)) Son puntos de inflexión 8y
7
6
5
4
3
2
1
x −2
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−1
1
2
3
4
5
6
7
2
3. Determine lo solicitado mostrando el procedimiento: a)
∫(
x 2 + 2 x 3
)
2
x + 3 x + 1
2
dx
(2,0 puntos c/u)
Solución 3 2 Haciendo el cambio u = x + 3x + 1
Se tiene: du = 3 x 2 + 2 x dx
∫
1
1 − du = − u 1 + c 3 3u 2
∫ ( x b)
∫
( x − e )e x
x
2 x + 2 x 3
+ 3 x
∫
4 x + 3 2 x + 3 x − 2
1 ( x 3 + 3 x 2 + 1) + c 3 −
1
Solución du = 1 − e x dx
dv = e x dx
2
+1
dx
u = x − e x
c)
)2
2
dx = −
v = e x
∫ (
∫
( x − e x ) dx = ( x − e x )e x −
∫
( x − e x ) dx = ( x − e x )e x − e x +
)
e x 1 − e x dx
1 2x e +c 2
dx
Solución 4 x + 3 2 x 2 + 3 x − 2
∫ 2 x =
=
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=
4 x + 3 2
2
∫ 2 x
−1
dx +
1
2 x − 1 x + 2 dx =
+ 3 x − 2
2
+
∫ x
∫
1 2 + dx 2 x − 1 x + 2
1 +2
dx
ln 2 x − 1 + ln x + 2 + c
3
4. a. Determine el área de la región sombreada, la cual se encuentra entre las curvas: (2,5 puntos)
y 4
3
y = x − 4 x
x
0
y = 4 − x
2
Solución Puntos de intersección de las curvas:
x 3 − 4 x = 4 − x 2 → x = −2; x = −1; x = 2
A =
−1
2
−2
−1
( x 3 − 4 x − (4 − x 2 ))dx + (4 − x 2 − ( x 3 − 4 x ))dx dx ∫ ∫
b. Obtenga (no calcule) la integral que permita calcular el volumen del sólido que se originan al girar la 2
2
región encerrada por las curvas c urvas y = x + 2 e y = 2 x + 1 , alrededor del eje x.
(2,0 puntos) Solución Por graficar la región 4y
3
2
1
x −2
−1
1
2
Puntos de intersección de las curvas:
x 2 + 2 = 2 x 2 + 1 → x = −1; x = 1 1
∫
( 2 )2 − (2 x 2 + 1)2 dx
A = π x + 2 −1
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4
5. La aceleración de una partícula que sigue una trayectoria rectilínea está dada por 2 a(t ) = 12t 2 − 2sen (2t ) m/s , determine la función de posición s( s(t ), ), si la velocidad en el punto inicial es (2,5 puntos) v(0) = 1 m/s y su posición al inicio es s(0) = 1 m.
Solución v(t ) =
( 12t 2 − 2 sen(2t ))dt = 4t 3 + cos(2t ) + c ∫
Como v(0)=1, entonces c=0 s(t ) =
1 ( 4t 3 + cos(2t ))dt = t 4 + sen (2t ) + k ∫ 2
Como s(0)=1, entonces k=1 Por tanto: 4
s(t ) = t +
1 2
sen (2t ) + 1
6. Dados los vectores u = (0 ; 2 ;−3) , v = (−2 ;1;0) determine el ángulo que forman los vectores (3,0 puntos) u + 2v y u × v . Solución u + 2 v = (−4;4;−3)
u xv
i
j
0
2
−2
1
=
k −3=
(3;6;4)
0
Sea
el ángulo que forman los vectores u + 2v y u × v .
Luego:
cos θ =
cos θ =
θ = 90
(− 4;4;−3) • (3;6;4 ) . (− 4;4;−3) ((3;6;4) ) − 12 + 24 − 12
(− 4;4;−3) ((3;6;4) )
=
0
0
Monterrico, 15 de octubre de 2013
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