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Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.8 Prueba de hipótesis y límites de confianza

8 Prueba de hipótesis y límites de confianza confianza EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES (muestras grandes) 1. Solución: x

= 82

σ = 15

1) H 0 : µ = 86

2)

∝=

n = 25

3)

0,05

σ = 15

H a : µ ≠ 86

4) Z = 82 − 86 = 15 25

(5) = − 20 = −1,33

−4

15

15

Aceptamos que µ = 86 ya que zona de aceptación.

− 1,33 se

ubica en la



2. Solución: x

= 82

s = 15

1) H 0 : µ = 86

2)

n = 100

∝=

3) s = 15

0,05

H a : µ ≠ 86

4) Z = 82 − 86 =

−4

15 100

(10) = − 40 = −2,67

15

15

Rechazamos la hipótesis de que µ = 86 ; por lo tanto aceptamos que µ ≠ 86 ; al nivel del 5%.

3. Solución: µ = 64

σ = 8

1) H 0 : µ = 64

n = 64

2)

∝=

0,05

x

3)

=

68

σ = 8

H a : µ > 64

4) Z = 68 − 64 = 8

64

4(8) =4 8

Z = 4 Se ubica en la zona de rechazo (4 > 1,64) por lo tanto puede tenerse la certeza, con un nivel de significación del 5%, que los estudiantes de esta ciudad son superiores en inglés.

4. Solución: n = 100

x

=

1) H 0 : µ = 25

27,3

2)

s = 6,1 ∝=

0,05

∝=

0,05

µ =

25

3) s = 2,1

H a : µ ≠ 25

4) Z =

27,3 − 25 6,1 100

=

23 = 3,77 6,1

La distancia media requerida es diferente a 25 metros, al nivel del 5%.

2


Cap.8 Pruebas de hipótesis y límites de confianza


x

= 86

s = 16

1) H 0 : µ = 80

2)

∝=

0,05

n = 100

∝=

0,05

3) s = 16

H a : µ ≠ 80

4) Z = 86 − 80 16

=

100

60 16

= 3,75

Se rechaza la hipótesis de que µ = 80 y se acepta la alternativa de que µ ≠ 80 .

6. Solución: x

= 76

s = 16

1) H 0 : µ = 74

n = 400

2)

∝=

0,01

3) s = 16

H a : µ ≠ 74

4) Z = 76 − 74 16

=

400

2(20) = 2,5 16

Se ubica en la zona de aceptación; aceptamos que µ = 74 , al nivel del 1%

7. Solución: x

=

23,5

σ = 3,2

1) H 0 : µ = 22

n = 25

2)

∝=

0,05

3)

σ = 3,2

H a : µ ≠ 22

4) Z =

23,5 − 22 3,2 25

=

7,5 3,2

=

2,34

3



Rechazamos la hipótesis de que µ = 22 y aceptamos de que µ ≠ 22 , al nivel del 5%.


x

= 12.500

1) H 0 : µ = 12.000

2)

s = 2.400 ∝=

3) s = 2.400

0,05

H a : µ > 12.000

4) Z = 12.500 − 12.000 = 2,083 2.400

100

Rechazamos la hipótesis de que µ = 12.000 , luego aceptamos que los autos se condujeron en un promedio superior durante ese año, al nivel del 5%.


µ = 1,28

1) H 0 : µ = 1,28

x

= 1,08

2)

∝=

s = 0,5

3) s = 0,5

0,05

H a : µ < 1,28 − − 4) Z = 1,08 1,28 = 0,20 40

0,5

0,5

40

=

6,32(− 0,20) = −2,528 0,5

Rechazamos que µ = 1,28 : Si hay razón para sostener que la disminución de la vida media de los zapatos se debe al uso en el desierto, al nivel 5%.

10. Solución: µ = 15,9

σ = 2,3

1) H 0 : µ = 15,9

n = 64

2)

∝=

0,05

x

3)

σ =

= 15

s = 2,2

2,3

H a : µ < 15,9

4) Z =

15 − 15,9 2,3 64

=

(8)

− 0,9

2,3

= −3,13

(Se trabaja con σ en vez de s)

4



Se ubica en la región de rechazo; por lo tanto aceptamos que el nuevo proceso tiene un efecto significativamente negativo, respecto a la resistencia de las cuerdas, al nivel del 5%.


n = 35

1) H 0 : µ = 5,5

x

2)

∝=

= 5,65

s = 0,35

∝= 1%

3) s = 0,35

0,01

H a : µ ≠ 5,5

4) Z = 5,65 − 5,5 0,35

=

35

0,15(5,92) = 2,54 0,35

No debe dudarse de lo sustentado por la compañía, al nivel de significación del 1%.

12. Solución: µ = 23.200

σ = 2.500

1) H 0 : µ = 23.200

2)

n = 40 ∝=

3)

0,01

x

σ =

=

22.200

2.500

H a : µ < 23.200

4) Z = 22.200 − 23.200 2.500

=

− 1.000(6,33)

2.500

40

=

− 6.330

2.500

= −2,53

Se ubica en la región de rechazo, por lo tanto, se puede acusar a la compañía de pagar salarios inferiores, al nivel del 1%.

13. Solución: µ = 81.000

n = 100

1) H 0 : µ = 81.000

2)

x ∝=

=

80.600

0,05

s

= 1.100

3) s = 1.100

H a : µ ≠ 81.000

4) Z = 80.600 − 81.000 = 1.100

100

( )

− 400 10

1.100

= −3,64

5



Se rechaza la hipótesis de que µ = 81.000 , es decir, que no podemos aceptar lo que dice el investigador, al nivel del 5%.


σ = 1,5

1) H 0 : µ = 8

n = 36

2)

∝=

x

3)

0,05

= 8,33

σ = 1,5

H a : µ ≠ 8

4) Z =

8,33 − 8 1,5 36

=

0,33(6) 1,98 = 1,5 1,50

= 1,32

Aceptamos que el fabricante tiene razón, al nivel del 5%.


n = 25

1) H 0 : µ = 14

x

2)

∝=

= 13,83

0,05

3)

σ = 0,5

∝=

0,05

σ = 0,5

H a : µ ≠ 14

4) Z =

x

− µ

=

σ

13,83 − 14 0,5

n

=

−

0,17(5) = −1,7 0,5

25

Al nivel del 5%, se puede aceptar lo ofrecido por la empresa de que el envase contiene 14 onzas de camarón.

16. Solución: µ = 1.000

σ = 100

1) H 0 : µ = 1.000

2)

∝=

∝=

0,05

0,05

3)

n = 100

x

= 985

σ = 100

H a : µ < 1.000

4) Z =

x − µ σ

n

=

985 − 1.000 = −1,5 100 100

6



Se puede adquirir la bombilla de la nueva marca, ya que al nivel de 5% no se demuestra que su duración sea inferior a la marca anterior.


n = 36

1) H 0 : µ = 40

x

2)

∝=

=

46

0,05

σ = 9

39

σ = 9

H a : µ > 40

4) Z =

x − µ

=

σ

n

46 − 40 9 36

=

6(6) = 4,0 9

Sí es posible que se compren las lámparas, pues al nivel del 5%, se acepta que tiene una duración superior a las 40 horas.


n = 60

1) H 0 : µ = 12

x

2)

∝=

= 15

0,01

s =5

3) s = 5

H a : µ > 12

4) Z =

x − µ 15 − 12 = s 5 60 n

=

3(7,75) = 4,65 5

Se puede concluir que la solución aumenta la productividad, al nivel del 1%.


1) H 0 : µ = 20

x

=

20,8

2)

s = 1,5 ∝=

0,01

n = 36

∝= 1%

3) s = 1,5

H a : µ ≠ 20

7


4) Z =

x − µ 20,8 − 20 = 1,5 s n 36

=


4,8 = 3, 2 1,5

Se ubica en la región crítica y se rechaza la hipótesis nula de que µ = 20 , es decir, que el fusible no cumple con las especificaciones. Al nivel del 1%.


x

= 395

1) H 0 : µ = 400

s = 20

2)

∝=

n = 64

∝=

0,05

3) s = 20

0,05

H a : µ ≠ 400

4) Z =

x

− µ

=

s

395 − 400 20

=

40 20

−

= −2

64

n

El proveedor no sostiene las especificaciones acordadas, al nivel del 5%.


σ = 6

1) H 0 : µ = 78

n = 16

2)

∝=

x

3)

0,01

=

74

∝=

0,01

σ = 6

H a : µ < 78

4) Z =

x − µ

=

σ

n

74 − 78 = − 16 6 6 16

= −2,67

Sí se puede afirmar que este grupo fue inferior, ya que rechazamos la hipótesis nula, al nivel del 1%.


µ = 3,6

1) H 0 : µ = 3,6

x

2)

∝=

= 3,62

0,05

3) s = 0,21

H a : µ ≠ 3,6

8


4) Z =

x − µ s

=

n

3,62 − 3,6 0,21 200


= 1,35

Z = 1,35 se ubica en la zona de aceptación, por lo tanto se puede afirmar que el resultado de la muestra se ajusta a las especificaciones de producción, al nivel del 5%.

23. Solución: µ = 1 libra = 16

n = 36

onzas

a) 1) H 0 : µ = 16

2)

∝=

x

= 13

onzas

s = 8 onzas

∝=

0,05

3) s = 8

0.05

H a : µ < 16

4) Z =

x − µ s

=

n

13 − 16 8 36

= −2, 25

A(0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65

en la región crítica, por lo tanto, al nivel del 5% se puede afirmar que se está vendiendo un producto por debajo del peso, ya que aceptamos H a .

Z =

− 2, 25 Cae

b) Se está rechazando algo verdadero, por lo tanto se comete un error de tipo I y no de tipo II (aceptar algo falso).

24. Solución: 2

µ = 53 Minutos

σ = 1,35 Horas

n = 128 Artículos

x

a) 1) H 0 : µ = 53

2)

2

⇒ σ = 1,35 = 1,16 Horas × 0,6 = 70 Minutos

= 56 Minutos

∝=

0,05

3)

σ = 0,70

H a : µ > 53

4) Z = 56 − 53 70

128

=

0,48

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el producto requiere de un tiempo mayor de fabricación. Observar que Z = 0,48 cae en la ZA, con lo cual aceptamos H 0 . Unilateral derecha.

9



b) Si el trabajo real es de 50 minutos, estamos cometiendo un error de tipo II, ya que estamos aceptando a µ = 53


Kilos

1) H 0 : µ = 4,6

n = 34

x

2)

3) s = 1,8

∝= 1%

=

4,1

s = 1,8 Kilos

H a : µ < 4,6

4) Z =

4,1 − 4,6 1,8 34

= −1,62

− 1,62 cae

en la región de aceptación. Al nivel del 1%, no se debe creer lo anunciado por el gimnasio. Unilateral izquierda.

26. Solución: µ = 50 Kmts.

n = 35

1) H 0 : µ = 50

2)

x ∝=

=

0,02

s = 15

43,8

3) s = 15

H a : µ < 50

4) Z = 43,8 − 50 = −2,4 15

35

cae en la RC, por lo tanto aceptamos H a , es decir se puede afirmar que el concesionario ha exagerado, al nivel del 2%. Unilateral izquierda. − 2, 4


x

=

24 años

1) H 0 : µ = 22

2)

∝=

µ = 22

0,05

3)

σ = 8

años

σ = 8

H a : µ > 22

4) Z = 24 − 22 = 1,94 8

60

10



Como 1,94 cae en la RC , al nivel del 5%, se puede aceptar H a , es decir, se acepta la afirmación del ejecutivo. Unilateral derecha.


horas

n = 20

σ = 1

hora y 45 min utos = 1,75 horas

1) H 0 : µ = 8

x

2)

∝=

=8

0,05

horas y media = 8,5 horas

3)

σ = 1,75

H a : µ > 8

A(0,4500) ⇒ Z = 1,64 o 1,65

Z =

8,5 − 8,0 1,75 20

= 1, 28

Cae (1,28) en la zona de aceptación. Se acepta H 0 , es decir, que al nivel del 5%, no se acepta la aseveración. Unilateral derecha.


n = 40

libras

x

=

700 libras

s

2

  S 2  1) H 0 : µ = 650

∝=

0,01

⇒ s = 113,84 2  = 12.960 libras  

= 12.960

3) s = 113,84

H a : µ > 650

4) Z =

700 − 650 113,84 40

=

2,78

Observemos que 2,78 cae en la RC , por lo tanto, al nivel del 1%, estamos aceptando H a , es decir, que la solución aumenta la producción de nitrato. Unilateral derecha.

11




x

=

4.000 100

a) 1) H 0 : µ = 43

2)

=

40

∝=

s

0,05

2

=

9.900 100

=

99 ⇒ s = 9,95

  S 2 

=

99 años

 

2

3) s = 9,95

H a: µ ≠ 43

4) Z =

40 − 43 9,95 100

= −3,02

El valor de − 3,02 cae en la RC ; por lo tanto al nivel del 5% se puede afirmar que la edad promedio de los profesores es diferente a 43 años. Prueba unilateral. b) Si el promedio verdadero, se conoce (39 años), no se comete ERROR, pues estamos rechazando que sea de 43 años, (rechazamos algo falso).


n = 35

1) H 0 : µ = 78

x

2)

∝=

0,01

= 82

s = 21

3) s = 21

H a : µ > 78

4) A(0,4900) ⇒ Z = 2,33 Z =

82 − 78 21 35

= 1,13

Observamos que 1,13 cae en la región de aceptación, es decir, aceptamos H 0 : µ = 78 , con lo cual al nivel del 1% no podemos concluir que sea un curso superior. Unilateral derecha.

12



DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES 32. Solución: p = 48

P = 0,14

s p

=

360

(0,13)(0,87 )

=

360

1) H 0 : P = 0,14

= 0,13

0,1131 360

2)

= 1 − 0,13 = 0,87

0,00031 = 0,0177

=

∝=

q

0,05

3) s p

=

0,0177

H a : P < 0,14

4) Z =

0,13 − 0,14 0,0177

=

− 0,01

0,0177

= −0,56

Se acepta P = 0,14 , el proveedor no tiene razón, es decir, que el nuevo producto no reduce la fracción de defectuosos, al nivel del 5%.

33. Solución: P = µ p

=

0,50

n = 400

1) H 0 : P = 0,50 ó

p − P pq n

=

2)

µ p = 0,50

H a : P ≠ 0,50 ó µ p

4) Z =

p =

≠

180 400

∝=

=

0,45

0,05

∝=

3) s p

=

0,05

pq n

0,50

0,45 − 0,50 (0,45)(0,55) 400

=

− 0,05

0,025

= −2,00

No es correcta la estimación hecha por el fabricante, al nivel del 5%.

13



34. Solución: µ p = P = 0,80

n = 400

1) H 0 : P = 0,80

2)

∝=

p = 300

400

= 0,75

∝=

0,01

0,01

H a : P < 0,80

4) z =

p − P

=

pq n

0,75 − 0,80 (0,75)(0,25) 400

=

− 0,05

0,022

= −2, 27

Este resultado sí puede ser considerado como evidencia de que la prueba estuvo bien elaborada, al nivel del 1%.

35. Solución: µ p = P = 0,10

1) H 0 : µ p H a : µ p

4) z =

=

p =

0,10

2)

3 40

∝=

=

0,075

0,05

∝=

3) s p

=

0,05

n = 40

pq n

< 0,10

p − P pq n

=

0,075 − 0,10 (0,075)(0,925) 40

=

− 0,025 0,04164

= −0,60

Se puede comprar la máquina, ya que aceptamos la hipótesis nula ( P = 0,10 ), al nivel del 5%.

14



36. Solución: µ p = P = 0,20

p =

1) H 0 : P = 0,20

2)

9 50

∝=

=

0,18

0,05

n = 50

3) s p

=

0,18(0,82) 50

∝=

=

0,05

0,054

H a : P < 0,20

4) z =

p − P s p

=

0,18 − 0,20 0,054

=

− 0,02

0,054

= −0,37

Al nivel del 5%, no se puede concluir que la nueva técnica es mejor y que disminuye la mortalidad postoperatoria.

37. Solución: P = 0,80

p = 300

n = 400

1) H O : P = 0,80

400

2)

∝=

0,01

= 0,75

3) s p

=

pq

H a : P < 0,80

4) z =

0,75 − 0,80 0,75(0,25) 400

= −2,31

El − 2,31 cae en la ZA, al nivel del 1%, se puede afirmar que el tratamiento si estuvo bien administrado. Unilateral izquierda.

15




p =

1) H 0 : P = 0,12

5 50

=

0,10

2)

∝=

P = 12%

0,05

3) s p

=

pq

H a : P < 0,12

4) z =

0,10 − 0,12 0,1(0,9) 50

= −0,47

Vemos que − 0,47 cae en la ZA. Aceptamos H 0 al nivel del 5%. El gerente no exagera el porcentaje. Unilateral izquierda.

39. Solución: P=

7 50

=

0,14

1) H 0 : P = 0,14

n = 100

p = 10

2)

3) s p

∝=

0,05

100 =

= 10%

pq

H a : P < 0,14

4) Z =

0,10 − 0,14 0,1(0,9) 100

= −1,33

Como − 1,33 cae en la ZA, al nivel del 5% aceptamos H 0 , por lo tanto el número de compradores al medio día no es inferior al anotado por el gerente. Unilateral izquierda.

16




p =

25 = 0,11 225

1) H 0 : P = 0,15

2)

∝=

P = 0,15

0,05

3) s p

=

∝=

0,05

pq

H a : P < 0,15

4) Z =

0,11 − 0,15 0,11(0,89) 225

= −1,92

A = (0,5000) − 0,0500 = 0,4500 ⇒ 1,64 ó 1,65

Como − 1,92 cae en la Región Crítica H a , es decir, que al nivel del 5% se puede concluir, que menos del 15% de las familias tenían perro.


n = 400

1) H 0 : P = 0,02

p

2)

∝=

=

0,05

15 400

≅

0,04

3) s p

=

pq

H a : P〉 0,02

4) Z =

0,04 − 0,02 0,04(0,96) 400

=

2,04

Se tiene que 2,04 cae en la Región Crítica, estamos aceptando H a , y rechazamos la afirmación del proveedor, al nivel del 5%. Prueba unilateral derecha.

17




P = 0,25

1) H 0 : P = 0,25

p = 8

=

0,05

3) s p

36

2)

∝ =

0,22

∝ = 0,05

pq

=

A(0,4500) ⇒ z = 1,64 ó 1,65

H a : P < 0,25

4) Z =

0,22 − 0,25 0,22(0,78) 36

= −0, 43

Se observa que − 0,43 cae en la Región de Aceptación. Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el porcentaje es inferior. Unilateral izquierdo.


n = 650

1) H 0 : P = 0,90

p =

2)

∝ =

0,01

570 650

=

P = 99% ⇒

0,88

3) s p

=

∝ =

1%

pq

H a : P < 0,90

4) Z =

0,88 − 0,90 0,88(0,12) 650

= −1,57

Al nivel del 1%, no se puede concluir que la popularidad del proyecto ha sido exagerada. Unilateral izquierda.

18



44. Solución: P = 52%

n = 100

1) H 0 : P = 0,52

p =

2)

∝ =

0,10

48 100

=

0,48

3) s p

=

∝ =

0,10

pq

H a : P < 0,52

4) Z =

0,48 − 0,52 0,48(0,52) 100

= −0,80

Observemos que Z = −1,28. Al nivel del 10%, es válida la afirmación. Unilateral izquierda.


n = 300

1) H 0 : P = 0,15

p =

2)

∝ = 1%

54 300

= 0,18

3) s p

=

pq

H a : P ≠ 0,15 − 4) Z = 0,18 0,15 0,18(0,82)

= 1,35

300

Al nivel del 1%, es válida la afirmación. Prueba bilateral.

19



DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES 46. Solución: n1 = 100

n2

1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

≠ µ y

= 90

x

2)

∝ =

y = 103

= 107

3) s x − y

0,05

=

s x

289 256 + 100 90

=

= 17

2,89 + 2,84

s y

=

= 16

2,3947

4) Z = 107 − 103 = 1,67 2,3947

Al nivel del 5%, no existe diferencia significativa entre las medias de los dos productos.

47. Solución: 46

n1

=

n2

= 64

= 1.070

s x

2

=

21.000 46

=

y = 1.041

s y

2

=

23.200 64

2 = 362,5 horas

x

1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

≠ µ y

3) s x − y

=

2)

456,52 362,5 + 46 64

∝ =

3,9482

3,95

0,01

15,58 = 3,9482

=

4) Z = 1.070 − 1.041 = 29

2

456,52 horas

=

7,34

Rechazamos la hipótesis de que µ x

= µ y ;

se acepta que la diferencia es significativa, al

nivel del 1%.

20



48. Solución: 1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

< µ y

2)

∝ =

4) Z = 818.000 − 842.000 32.000 2 46

+

41.000 2 60

3) s x − y

0,01

=

s x2 n1

+

s 2y n2

= −3,38

Sí existe una diferencia significativa, que permite concluir que los salarios en B son superiores a los de A, al nivel del 1%.

49. Solución: 44

n1

=

n2

= 36

= 15,6

s x2

=

167,52 44

= 3,80 cms

y = 14,1

s y2

=

159,89 36

=

x

1) H 0 : µ x

2)

= µ y

H a : µ x

∝ =

2

2

4,44 cms

0,05

≠ µ y

3,8 4,44 + 44 36

3) s x − y

=

4) Z =

15,6 − 14,1 1,5 = 0,4579 0,4579

=

0,4579

= 3,28

Rechazamos la hipótesis de que µ x

= µ y ;

aceptamos que existe diferencia entre ambas

medias, al nivel del 5%.

21



50. Solución: x1

= 5.000

x2

=

490.000 100

=

4.900 (cientos de $)

s12

=

2.500.200.000 2 − 5.000 100

s22

=

24.011.000 − 4.9002

yi

=

20 + 0,2(5.000) = 20 + 1.000 = $1.020 (cientos de $)

y2

= 520 + 0,1(4.900) =

s y21

=

0,04(s12 ) = 0,04(2.000) = 80 (cientos de pesos )

2

=

0.01(1.000) = 10 (cientos de pesos )

s y2

=

25.002.000 − 25.000.000 = 2.000

=

24.011.000 − 24.010.000 = 1.000

520 + 490 = 1.010 (cientos de $) 2

2

1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

> µ y

3) s x − y

=

2)

80 10 + 100 100

=

4) Z = 1.020 − 1.010 = 0,9487

Se rechaza que µ x

∝ =

0,05

0,9487

10 0,9487

= µ y ;

= 10,54

por lo tanto, se puede aceptar, con un nivel de significación del

5%, que el ahorro promedio de la Cía. A es mayor que el de la Cía. B.

22



PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES

51. Solución: σ y = 0,86

σ x = 0,70

n1

=

20

n2

1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

< µ y

=

x

= 3,32

∝ =

5%

3,32 ; x2 = 3,50 ; x1

=

0,70 = 0,86

σ 1 = σ 2

y = 3,50

28

2)

∝ =

3)

0,05

σ y = 0,86 σ x = 0,70

A = (0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65

4) Z =

3,32 − 3,50 0,7 2 20

0,86 2 + 28

= −0,80

Al nivel del 5%, no se debe aceptar lo que generalmente se dice, que el rendimiento de A es inferior a B. Unilateral izquierdo. * Se trabaja con n1 y n2

≤ 30, dado

que se dan las desviaciones típicas poblacionales.

52. Solución: n1

= 36

n2

=

x

40

$

y = 110 mil $

1) H 0 : µ x − µ y H a : µ x

4) Z =

= 95 mil

=

0

− µ y ≠

0

95 − 110 152 36

182 + 40

2)

∝ =

0,05

s x

= 15 mil

$

s y

= 18 mil

$

∝ = 5%

3) s x = 15 s y

95 ; S 1 x 2 = 110 ; S 2 x1

=

= 15 = 18

= 18

= −3,96

Al nivel del 5%, se puede afirmar que existen diferencias en el comportamiento de estos planes. Prueba bilateral.

23



* Se trabaja con las desviaciones típicas muestrales, dado que n1 y n 2

>

30

53. Solución: n1

= 80

x

= 94,3

s x

= 14

n2

= 60

y = 89,7

s y

= 17

1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

> µ y

2)

∝ =

∝ =

0,05

H 0

= µ 1 = µ 2

H 1

= µ 1

〉

µ 2

3) s x = 14

0,05

s y

= 17

A (0,4500) ⇒ 1,64 ó 1,65

4) Z =

94,3 − 89,7 2

14 80

2

+

= 1,71

17 60

Al nivel del 5%, se puede afirmar un mayor rendimiento en el turno diurno. Unilateral derecha.

54. Solución: n1 = 40 n2

= 310

s x

=

20

y = 292

s y

=

26

x

= 34

1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

> µ y

4) Z =

2)

310 − 292 2

20 40

2

+

∝ =

0,10

∝ =

3) s x

=

20

s y

=

26

0,10

= 3,29

26 34

Al nivel del 10%, se puede aceptar el aumento en las ventas. Unilateral derecha.

24




= 86.000

s x

=

6.200

y = 80.000

s y

=

4.800

x

= 32

1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

> µ y

4) Z =

2)

86.000 − 80.000 6.200 36

2

+

4.800 32

2

∝ = 1%

=

∝ = 1%

3) s x

=

6.200

s y

=

4.800

4,49

Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmación del mayor precio al que se vende el producto conocido con respecto a la nueva marca. Unilateral derecha.

56. Solución: 46

n1

=

n2

= 35

= 10

s x

=

y = 12

s y

= 3,0

x

1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

≠ µ y

4) Z =

10 − 12 2,42 46

3,0 2 + 35

2)

∝ =

0,05

2,4

∝ =

3) s x s y

=

0,05

2,4

= 3,0

= −3,23

Al nivel del 5%, se puede decir que si hay una diferencia significativa, en los resultados. Prueba bilateral.

57. Solución:

25


n1 = 82

n2

=

x

41

=

y =

1) H 0 : µ x

= µ y

H a : µ x

< µ y

4.100 82

= 50

2.225 = 54,27 41

2)

∝ =

0,05

s x2

=

s y2

=


282.210 2 − 50 82 213.284 41

= 941,59

− 54, 27

2

=

2.256,82

3) s x2 = 941,59 s y2

=

2.256,82

A(0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65

50 − 54,27

4) Z =

941,59 82

+

2.256,82 41

= −0,52

Al nivel del 5%, no se puede concluir que la segunda variable, sea superior a la primera. Unilateral izquierda.

DISTRIBUCIÓN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES MUESTRALES 58. Solución: p1 =

30 40

=

0,75

1) H 0 : P1 = P2 H a : P1

4) Z =

>

22 40

p2

=

2)

∝ =

=

0,55

0,05

P2

p1 − p2 p1q1 n1

p2 q2 + n2

=

0,75 − 0,55 0,75(0,25) 0,55(0,45) + 40 40

= 1,92

Z = 1,92 se ubica en la región crítica, luego rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa. Se dirá que, al nivel del 5%, se puede aceptar la información de que el equipo debe ganar más partidos cuando juega de local y no como visitante.

26



59. Solución: 128 200 106 p2 = 150

n1 = 200 n2

p1

= 150

=

1) H 0 : P1 = P2 H a : P1

4) Z =

≠

=

0,64

∝ =

0,05

= 0,71

2)

∝ =

0,05

3) s p1

=

p1q1

s p2

=

p2 q2

P2

0,64 − 0,71 0,64(0,36) 0,71(0,29) + 200 150

Z =

p1 − p2 p1q1 n1

+

p2 q2 n2

= −1,39

Al nivel del 5%, se puede concluir que no hay diferencia en cuanto a los hábitos de tomar café. Prueba bilateral.

60. Solución: 12 = 0,20 60 10 = 0,17 p2 = 60

n1 = 60 n2

p1

= 60

1) H 0 : P1 = P2

=

2)

∝ =

∝ =

0,05

H a : P1 ≠ P2

4) Z =

0,20 − 0,17 0,2(0,8) 0,17(0,83) + 60 60

=

0,05

3) s p1

=

p1q1

s p2

=

p2 q2

0,42

Al nivel del 5%, se puede concluir que el estado civil no influye en el rendimiento. Prueba bilateral.

27



61. Solución: 7 = 0,18 40 12 = 0,24 p2 = 50

40

n1

=

n2

= 50

p1

∝ = 10%

=

1) H 0 : P1 = P2

2)

∝ = 0,10

3) s p1

=

p1q1

s p2

=

p2 q2

H a : P1 < P2

4) Z =

0,18 − 0,24 0,18(0,82) 0,24(0,76) + 40 50

= −0,70

Los anteriores resultados no le dan la razón al jefe de personal, al nivel del 10%. Unilateral izquierda.

62. Solución: 38 = 0,76 50 50 p2 = = 0,71 70

n1 = 50 n2

p1

= 70

1) H 0 : P1 = P2 H a : P1

4) Z =

>

=

2)

∝ =

∝ =

0,05

P2

0,76 − 0,71 0,76(0,24) 0,71(0,29) + 50 70

=

0,05

3) s p1

=

p1q1

s p2

=

p2 q2

0,62

Estos resultados, al nivel del 5%, no confirman la afirmación del distribuidor. Unilateral derecha.

28



63. Solución: n1

=

40

n2

=

40

26 = 0,65 40 30 = 0,75 p2 = 40 p1

=

1) H 0 : P1 = P2

2)

∝ =

∝ =

0,05

3) s p1

=

p1q1

s p2

=

p2 q2

H a : P1 ≠ P2

4) Z =

0.65 − 0,75 0,65(0,35) 0,75(0,25) + 40 40

0,05

= −0.98

Al nivel del 5%, se puede concluir que la proporción de aceptación es igual sin importar el sexo. Prueba bilateral.

64. Solución: 375 = 0,75 500 325 p2 = = 0,65 500

n1 = 500 n2

p1

= 500

1) H 0 : P1 = P2 H a : P1

>

=

2)

∝ =

∝ =

0,05

P2

0,05

3) s p1

=

p1q1

s p2

=

p2 q2

A = (0,4500) ⇒ Z = 1,64 ó 1,65

4) Z =

0,75 − 0,65 0,75(0,25) 0,65(0,35) + 500 500

= 3,47

Al nivel del 5%, si puede concluir que la aplicación de la droga A es mejor que la B. Unilateral derecha.

29




p1 = 64%

= 100

p2

∝ = 1%

= 70%

1) H 0 : P1 = P2

2)

∝ =

0,01

3) s p1

=

p1q1

s p2

=

p2 q2

H a : P1 < P2

4) Z =

0,64 − 0,70 0,64(0,36) 0,7(0,3) + 100 100

= −0,90

No hay efectividad en las reformas introducidas al nivel del 1%. Unilateral izquierda.

66. Solución: n1

= 100

n2

= 100

8 = 8% 100 6 = 6% p2 = 100 p1

1) H 0 : P1 = P2

=

2)

∝ =

∝ =

0,05

3) s p1

=

p1q1

s p2

=

p2 q2

H a : P1 ≠ P2

4) Z =

0,08 − 0,06 0,08(0,92) 0,06(0,94) + 100 100

=

0,05

0,55

Al nivel del 5%, se puede decir que no hay ninguna diferencia. Prueba bilateral.

30

cap¡tulo cd 8 _(1 - 31_).pdf

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