Capítulo CD 6 _(1 - 20_)

Estadística y muestreo, 12ª.ed. (Segunda reimpresión) – CD Ciro Martínez Bencardino – Ecoe Ediciones Actualizado en diciembre de 2007

Cap.6 Distribucio Distribuciones nes de probabilida probabilidad d

6 Distribuciones de de probabilidad Distribución binomial – de Poisson – Hipergeométrica Hipergeométrica y normal

EJERCICIOS RESUELTOS Se presenta el desarrollo de los 210 ejercicios que tiene este capítulo

1. Solución:

2

4 1   1  P( x = 2 ) = C 2       2   2 

4− 2

=

6 16

=

n=4 p = 1 2 q =1 2 X = 2

0,375 = 37,5%

P( x = 2 ) = 37,5%

(exactamente dos caras)

2. Solución: 3

4 P( x =3) = C 3

1 1        2   2 

1

n=4 P( x

= =3 )

 4!   1   1   1  4       = 4   =  16  16  3! 1!   2   2 

=

0,25

=

25%

p = 1 2 q =1 2 X = 3

(exactamente 3 caras)

P( x =3) = 25,0%


Cap.6 Distribucio Distribuciones nes de probabilida probabilidad d

3. Solución: 2

P( x = 2 ) = C 24

1 5        6   6 

2

=

 4!   1   25       2 ! 2 !   36   36  n=4

P( x = 2 )

=

 4 ⋅ 3   25      2   1.296 

=

 25    1.296 

6

=

150 1.296

=

0,1157

=

11,57%

p = 1 6 q=5 6 X =

P( x = 2 ) = 11,57%

2

(exactamente dos cincos)

4. Solución:

P = 0,8 ( ganar )

a) n = 8 P( x = 2 ) =

( ) (0,8)

2

X =

(0,2)6 = 0,001146 = 0,1146 %

P = 0,2 ( perder )

b) n = 8 P( x = 2 ) =

2

8 2

q = 0,2

P( x = 2 )

q = 0,8

X =

P = 0,2 ( perder )

P( x = 2 )

P( x≥2 ) = P( 2 ) + P(3) + P(4 ) + P(5) + P( 6) + P( 7 ) + P( 8)

[( ) (0,2) 8 0

0

0,1146%

=

29,36%

q = 0,8 P( x≥ 2 ) = ?

x = mínimo ( 2) dos = 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8

P( x≥2 ) = 1 −

=

P( x = 2 ) = ?

2

(82 ) (0,2)2 (0,8)6 = 0,2936 = 29,36%

c) n = 8

P( x = 2 ) = ?

=

1 − [P( 0)

+

P(1) ]

(0,8)8 + (18 ) (0,2)1 (0,8)7 ]

P( x ≥ 2 ) = 1− [0,1678 + 0,3355] = 1 − 0,5033 = 0,4967

=

49,67%

P( x ≥ 2 ) = 49,67%

2


P = 0,8 (ganar )

d) n = 8 P( x≤6)

q = 0,2

P( x≤6 ) = 1 −

[ ( ) (0,8) 8 7

7

p = 0,2 ( perder )

e) n = 8

1 − [ P( 7)

=

+

2, 3, 4, 5, y 6

P( x ≤ 6 ) = ?

P(8) ]

(0,2)1 + ( 88 ) (0,8)8 + (0,2)0 ]

P( x ≤ 6 ) = 1 − [ 0,3355 + 0,1678 ] = 1 − 0,5033

P( x =6 ) =

X = 0, 1,

P(0 ) + P(1) + P( 2) + P(3) + P( 4) + P( 5) + P( 6)

=

Cap.6 Distribuciones de probabilidad

(86 ) (0,2)6 (0,8)2

=

=

0,4967

q = 0,8

0,001147

=

=

49,67%

P( x ≤ 6 ) = 49,67%

X = 6

P( x = 6 )

0,1147 %

Observemos que decir: seis pierdan es lo mismo que dos ganen p = 0,8 (ganar )

n =8

P( x = 2 )

=

( ) (0,8)

2

8 2

(0,2)6

=

q = 0,2

0,001147

=

X =

P( x = 2 )

2

0,1147%

P( x = 2 )

=

0,1147%

P( x = 4 )

=

23,44%

5. Solución:

P = C xn p x q n

− x

p =

4

a)

6 P( x = 4 ) = C 4

P( x = 4 )

=

1 1        2   2 

6 × 5  1    2  64 

2

=

=

1 = 0,5 2

q=

6!  1    2! 4!  16 

 1    64 

15 

=

1 = 0,5 2

n=6

1     4 

15 64

=

0,2344

=

23,44%

(exactamente 4 caras)

3



b) Como máximo 4 caras 0

1 1        2   2 

6 P( x ≤ 4 ) = C 0

1 P( x ≤ 4 ) = 1(1)    64  1

P( x ≤ 4 ) =

64

6

+

64

+

+

6

1

6 + C 1

1 1        2   2 

1 1 6        2   32 

+

15

15

20

+

64

64

+

5

2

6 + C 2

1 1        2   2 

1 1 15        4   16 

=

64

57 64

=

+

4

3

6 + C 3

1 1  20        8   8 

0,8906

1 1        2   2 

+

3

4

6 + C 4

2

1 1 15        16   4 

89,06%

=

1 1        2   2 

P( x≤ 4 )

=

89,06%

P( x≤ 4 )

=

89,06%

También se puede resolver de la siguiente forma:

 6  1 5  1 1 P( x ≤ 4 ) =1 − C 5       2   2  1 6 +   64 64 

P( x ≤ 4 ) = 1 − 

6 + C 6

64

=

64

−

6 0 1   1          2   2  

7 64

=

57 64

=

0,8906 = 89,06%

(máximo 4 caras)

6. Solución:

Aparición de un cinco, la probabilidad es 1/6; Aparición de un seis, la probabilidad es 1/6 p

=

1 6

+

1 6

=

2 6

=

 7   1   2   4       3   3 

=

1 3 4

a) P( x =4)

1− p

=

3 3

1 3

=

2 3

8  35     2.187 

=

280 2.187

=

0,1280

q 3

=

7 !  1   8     4 ! 3!  81   27 

=

=

−

0

b) P( x ≤ 4 )

1 2        3   3 

128  1(1)     2.187 

P( x ≤ 4 )

=

P( x≤4 )

=

128 2.187

=

0,9547

+

=

7

1

7 + C 1

+

448 2.187

1 2        3   3 

1 64  7        3   729  +

95,47%

672 2.187

+

12,80%

P( x =4 )

(cuatro éxitos)

7 = C 0

=

6

+

4

+

..............

C 47

1 32  21        9   243 

560 2.187

+

280 2.187

(máximo 4 éxitos)

=

1 2        3   3 

+

12,80%

3

1 16 35        27   81 

2.088 2.187

=

+

1 8 35        81   27 

=

P( x ≤ 4 )

=

95,47%

4



También puede resolverse así:

P( x

≤4

) =

1−

 7   1  5  2  2  5         3   3 

 1   4  1 − 21    243   9 

P( x ≤ 4 )

=

P( x≤ 4 )

=

1−

=

0,9547

84

 2.187 =

+

6

+

1  7    729  

+

14 2.187

7  1   2          6   3   3 

1  2.187 

+

1

7 0  1   2   7   +        7   3   3  

2 1  (1)    + 1    3 2 . 187     

=

1−

99 2.187

=

1 − 0,0453

95,47%

P( x ≤ 4 )

=

95,47%

7. Solución:

n=4

p = 0,10 0

q = 0,90

(0,9 )4 = 1 (1) (0,6561) = 0,6561 = 65,61%

a) P( x = 0 )

=

C 04 (0,1)

b) P( x =1)

=

C 14 (0,1) (0,9)

c) P( x = 2 )

=

C 24 (0,1)

d) P( x ≤ 2 )

=

C 04 (0,1)

P( x ≤ 2 )

=

0,6561 + 0,2916

P( x =0)

=

65,61%

29,16%

P( x =1)

=

29,16%

2

(0,9)2 = 6 (0,01) (0,81) = 0,0486 = 4,86%

P( x = 2)

=

4,86%

0

(0,9)4

P( x ≤ 2 )

=

99,36%

P( x= 2 )

=

34,56%

1

3

=

4 (0,1) (0,729)

+

1

=

3

C 14 (0,1) (0,9)

+

0,0486

=

0,2916

+

=

C 24 ( 0,1)

2

(0,9) 2

0,9963 = 99,63%

(no más de dos defectuosos)

8. Solución:

a) p = 0,40 P( x = 2 )

=

q = 0,60 2

C 2 (0,4) 5

(0,6)3

=

10 (0,16) (0,216)

n =5 =

0,3456

X = 2

=

34,56%

5


0

(0,6)5

1

(0,6) 4

b) P( x≤1)

=

C 05 (0,4)

P( x ≤1)

=

5! 5! (1) (0,07776) + (0,4) (0,1296) 0 ! 5! 1!4 !

P( x≤1)

=

1 (1) (0,07776) + 5 (0,4) (0,1296) = 0,07776

=

0,3369

=

+

C 15 (0,4)


33,69%

+

0,2592

(menos de 2 golpes)

P( x ≤1)

=

33,69%

P( x ≤ 5 )

=

85,54%

P( x ≤ 5 )

=

85,54%

P( x ≤ 2 )

=

99,78%

9. Solución:

n =8 P( x ≤ 5 )

p = 0,5 =

0

C 0 (0,5) 8

+

(0,5)8 4

C 4 (0,5) 8

q = 0,5 +

X = 0, 1,

1

C 1 (0,5) (0,5)

(0,5)4

8

+

5

C 5 (0,5) 8

7

+

(0,5)3

C 2 ( 0,5) 8

=

2

2, 3, 4, 5,

(0,5) 6

+

C 3 ( 0,5) 8

3

( 0,5) 5

0,85543 = 85,54%

Es posible resolverlos de la siguiente forma:

[C

8 6

(0,5)6 (0,5)2

C 7 (0,5) 8

7

(0,5)1

C 8 (0,5) 8

8

P( x≤5 )

=1−

P( x ≤ 5 )

=

1 − [28 (0,015625) (0,25)

+

P( x ≤ 5 )

=

1 − [0,10937 + 0,03124

0,00396] = 1 − 0,14457

+

+

+

8 (0,00781) (0,5)

+

( 0,5) 0 ]

1 ( 0,00396) (1) ] =

0,85543 = 85,54%

(menos de 6 caras)

10. Solución:

p = 0,05 P( x≤2 )

=

P( x ≤ 2 )

=

P( x ≤ 2 )

=

q = 0,95 0

C 06 (0,05)

(0,95)6

n =6 +

X = 0, 1, 1

C 16 (0,05)

(0,95)5

+

2,

C 26 (0,05)

2

( 0,95) 4

1 (1) (0,735091) + 6 (0,05) (0,773780) + 15 (0,0025) ( 0,814506) 0,735091 + 0,232134

+

0,030543 = 0,997768

=

99,78%

6



11. Solución:

p = 0,10

q = 0,90

n =5

0

5

3

2

a) P( x =0 )

=

C 05 (0,1) (0,9)

b) P( x≥3)

=

C 35 (0,1) (0,9)

= 0,00810 +

X = 0 5

=

C 55 (0,9) (0,1)

+

C 45 (0,1)

4

0

=1

(1) ( 0,5905) = 0,5905 = 59,05%

=

0,00810

=

59,05%

(0,9)1 + C 55 (0,1) 5 ( 0,9) 0

0,00045 + 0,00001 = 0,00856

3 2 c) P( x = 3) = C 35 (0,1) (0,9)

P( x =0 )

P( x ≥ 3)

=

0,856%

P( x = 3)

=

0,81%

= 40,96%

P( x =1)

=

40,96%

40,96%

P( x = 0 )

=

40,96%

P( x ≤ 2 )

=

97,28%

P( x = 0 )

=

7,78%

= 0,81%

(exactamente 3 mueran)

12. Solución: p = 0,2

q = 0,8

n =4

a) P( x =1) = C 14 (0,2)1 (0,8)3 0

4

=

4 (0,2) (0,512)

=

b) P( x = 0 ) = C 04 (0,2) (0,8 )

=

1(1) (0,4096)

0 4 c) P( x ≤ 2 ) = C 04 (0,2) (0,8)

+

C 14 (0,2) (0,8)

P( x ≤ 2 )

=

0,4096

+

0,4096

1

+

0,1536

=

=

0,4096

0,4096

3

+

0,9728

=

C 24 (0,2) =

2

( 0,8) 2

97,28%

(no más de dos cerrojos sean defectuosos)

13. Solución:

p = 0,4

q = 0,6

n =5

a) Que ninguno se gradué: P( x = 0 )

=

0

C 0 (0,4) (0,6) 5

5

=

0,0778

= 7,78%

b) Que se gradué uno:

7


P( x =1)

=

1

C 15 (0,4) (0,6)

4

=

0,2592


25,92%

=

P( x =1)

=

25,92%

P( x ≥1)

=

99,22%

c) Que se gradúe al menos uno: P( x ≥1)

=1−

0

5

C 0 (0,4 ) (0,6 ) 5

=

1 − 0,0778 = 0,9222

=

92,22%

14. Solución:

p = 1 6

q =5 6

n =5

1

a)

5 P( x =1) = C 1

 1   5       6   6 

4

2

3

1 5 b) P( x = 2 ) = C 25       6    6  3

c)

5 P( x = 3) = C 3

1 5        6   6 

2

4

1

0

e)

 1   625  5    6   1.296 

=

1 10    36  

=

1 5 d) P( x = 4 ) = C 45       6    6  5 P( x = 0 ) = C 0

=

1 5        6   6 

3.125 7.776

125  1.250   =  216  7.776

10  

1   25     216   36 

=

1  5    1 . 296  

=

3.125  1(1)     7.776 

5

=

=

250 7.776

25 5    =  6  7.776

= 0, 4019 =

= 0, 4019 =

40,19%

P( x =1)

=

40,19%

= 0,1608 =

16,08%

P( x = 2)

=

16,08%

= 0,0321 =

3,21%

P( x =3)

=

3,21%

0,32%

P( x = 4 )

=

0,32%

P( x = 0 )

=

40,19%

P( x =0 )

=

65,61%

= 0,0032 =

40,19% (ninguna vez)

15. Solución:

p = 0,10

q = 0,90 0

n =4 4

a) P( x = 0 ) = C 04 (0,1) (0,9)

=

0,6561 = 65,61%

b) P( x ≥1) = 1 − C 04 (0,1)0 (0,9)4 c) P( x ≤1) =

=

0

C 04 (0,1) (0,9)

0,6561 + 0,2916

=

4

+

=

0,3439

= 34,39%

1

C 14 (0,1) (0,9)

0,9477

=

94,77%

P( x ≥1)

=

34,39%

P( x ≤1)

=

94,77%

3

16. Solución:

8


p = 0,2

q = 0,8

n =10

2 8 a) P( x = 2) = C 210 (0,2) (0,8)

b)

P( x ≥3)

=1−

[C

) =

1 − [0,1074

)=

C 6

P( x

≥3

c) P( x

≥6

10

+

0,2684

(0,2)6 (0,8)4

0,0055

=

0,3020

=

(0,2)0 (0,8)10

10 0

+


0,0008

+

10

30,2%

(0,2)1 (0,8)9

10

C 1

+

0,3020] = 1 − 0,6778 = 0,3222

(0,2)7 (0,8)3

0,0000

+

+

10

C 8

0,0000

=

+

C 2

P( x = 2 )

=

30,2%

P( x ≥ 3)

=

32,22%

(0,2) 2 (0,8)8 ]

+

10

C 7

+

=

(0,2)8 ( 0,8) 2

=

32,22% 10

C 9

+

( 0,2) 9 ( 0,8)1

0,0063

+

C 10 ( 0,2) 10

10

( 0,8) 0

P( x≥6 )

=

0,63%

P( x = 0 )

=

10,74%

(Se usó la tabla para el cálculo) 0

10

d) P( x = 0 ) = C 010 (0,2) (0,8)

=

0,1074

=

10,74%

17. Solución:

p = 0,5 P( x ≤ 3)

q = 0,5 10

n =10

(0,5)3 (0,5)7

=

C 3

=

0,1172

+

0,0439

10

(0,5)2 (0,5)8

+

C 2

+

0,0098

+

X = 3,

+

0,0010

10

C 1

=

2, 1, 0

(0,5)1 (0,5) 9

0,1719

=

+

10

C 0

( 0,5) 0 ( 0,5)10

17,19%

P( x ≤ 3)

= 17,19%

E = 100 (0,1719 ) ≅ 18 personas de 100

E = np

18. Solución:

p = 0,5

q 10

=

0,5

(0,5)7 (0,5)3

n =10 10

(0,5)8 (0,5) 2 + C 910 (0,5) 9 (0,5)1 + C 1010 (0,5)10 (0,5) 0

P( x

≥7

) =

C 7

P( x

≥7

) =

0,1172 + 0,0439 + 0,0098 + 0,0010 = 10,1719 = 17,19%

+

C 8

X = 7, 8, 9 y 10

P( x

≥7

) =

17,19%

19. Solución:

9


n =15

p = 0,10

q = 0,90

5 10 a) P( x = 5) = C 515 (0,1) (0,9)

10

5

15 b) P( x ≥10 ) = C 10 (0,1) (0,9)

13

15 C 13 (0,1)

(0,9)2

+


=

0,0105

1,05%

=

15

11

(0,9)4

(0,9)1

+

15 C 15 (0,1)

C 11 (0,1) 14

+

15 C 14 (0,1)

P( x =5) 12

C 12 ( 0,1) 15

+

15

( 0,9)3

=

1,05%

+

( 0,9)0 = 0,0000

P( x ≥10 )

=

0

(Como se trabaja con cuatro decimales, aproximamos a cero) (Se utilizó la tabla) A partir de x > 8 la probabilidad obtenida es demasiado pequeña, casi cero.

c) P( x

≥5

) =

1 − C 015 (0,1) 15

3

0

(0,9)15 12

C 3 (0,1) (0,9)

+

C 115 (0,1) (0,9) 1

+

4

15

14

11

C 4 (0,1) (0,9)

+

C 215 (0,1) (0,9) 2

13

+

]

Utilizando la tabla se tiene:

1 − [0,2059 + 0,3432 + 0.2669 + 0,1285 + 0,0428 = 0,9873 ]

P( x

≥5

) =

P( x

≥5

) = 1 − 0,9873 =

P( x≥5)

=

1,27%

0,0127 =1,27 %

20. Solución:

p = 0,25

n = 20

q = 0,75

a) P( x =15) = C 1520 (0,25)15 (0,75)5

=

0,0000............... = 0

b) P( x ≤ 4 ) = C 020 (0,25)0 (0,75)20

+

C 120 (0,25) (0,75)

=

0,0032

+

0,0211 + 0,0669

c) P( x ≥8) = C 820 (0,25)8 (0,75)12

1

+

+

0,1339

19

+ 0,1897 =

9

C 920 (0,25)

+

(ver tabla) ........... C 420 ( 0,25)

0,4148

=

41,48%

P( x =15 ) = 0 4

(0,75)16 P( x ≤ 4 )

=

41,48%

20 (0,75)11 + ........... C 20 (0,25) 20 (0,75) 0

Es más fácil resolverlo de la siguiente forma:

10


P( x ≥8 )


=1−

[C

= 1−

[0,0032 + 0,0211 + 0,0669 + 0,1339 + 0,1897 + 0,2023 + 0,1686 + 0,1124] =

=

20 0

(0,25)0 (0,75)20

+

1

19

C 120 (0,25) (0,75)

1 − 0,8981 = 10,19%

+

............C 720 (0,25)

7

( 0,75)13 ]

P( x ≥ 8 )

(por lo menos 8 defectuosas)

= 10,19%


n=4

q = 0,5

0 4 a) P( x ≥1) = 1 − C 04 (0,5) (0,5)

E = 2.000 (0,9375 )

b) P( x =2 )

=

C 24 (0,5) (0,5)

E = 2.000 (0,3750 )

c) P( x =0 )

=

P( x ≥1)

=

93,75%

2

=

0,3750

P( x = 2 )

=

37,50%

P( x = 0 )

=

6,25%

P( x ≤ 2 )

=

96,39%

familias = 750

0

C 04 (0,5) (0,5)

E = 2.000 (0,0625 )

0,0625 = 0,9375

1.875 familias

=

2

=1−

4

=

0,0625

familias = 125

(Se utilizaron las tablas)

22. Solución: P( x ≤ 2 )

0

15

=

C 015 (0,05) (0,95)

=

0,4633 + 0,3658 + 0,1348

+

1

14

C 115 (0,05) (0,95) =

+

2

13

C 215 (0,05) ( 0,95)

0,9639 = 96,39%

(Se utilizó la tabla)

23. Solución:

11


p = 0,40 P( x ≥11)

=


n = 20 11

20 (0,4) C 11

(0,6)9

+

12

20 (0,40) C 12

(0,6)8

+ ........ +

20 (0,4) C 20

20

( 0,6)0

Utilizando la tabla se tendrá que: P( x ≥11)

=

0,0710

+

=

0,1276

=

0,0355 + 0,0146 12,76%

+ 0,0049 +

0,0013 + 0,0003 + 0

+

0

+

0

+

0

=

P( x ≤11)

(mitad más uno)

=

12,76%

(Se utilizó la tabla para el cálculo)


P( x =8 )

=

q = 0,80 8

n = 18 10

C 818 (0,20) (0,80)

=

0,0120

=

X = 8

1,20%

P( x = 8 )

=

1,20%

25. Solución:

P(5 ≤ x ≤ 7 ) P(5 ≤ x

≤

=

7) =

10

C 5

(0,5)5 (0,5)5

+

10

C 6

(0,5)6 (0,5)4

0,2461 + 0,2051 + 0,1172

=

+

0,5684

10

C 7

=

(0,5)7 ( 0,5)3

56,84%

P(5 ≤ x

≤

7) =

56,84%

26. Solución:

n=5

P( x ≥ 3)

X = 3,

4, 5

p = 0,5

q = 0,5

12


P( x ≥ 3)

=

P( x = 3)

+

P( x = 4 )

+

P( x = 5 )

=

( ) (0,5)

(0,5) 2

+

( ) (0,5)

=

0,3125

0,15625

3

5 3

+

5 4

4

( ) (0,5)

(0,5)1

0,03125

+

5

5

+ 5

0,5000

=


=

(0,5)0

50%

P( x ≥ 3)

=

50%

27. Solución:

9 10

=

0,90 con caries

sin caries

a) Cuatro tengan caries P( x = 4 )

=

( ) (0,9)

4

5 4

=

0,10 = 10%

n =5

(0,1)1

=

p = 0,90

0,32805

=

=

P( x = 2 )

+

P( x = 3)

+

P( x = 4)

=1−

[P( x 0 ) + P( x 1) ]

=1−

[( ) (0,9)

=

=

+

=

0

(0,1)5

P( x =3)

=

1 − [P( x=0 )

=

1−

2, 3, 4, 5

( ) (0,9)

1

5

+ 1

(0,1)4 ]

=

1 − [0,59049

+

P( x = 4)

+

≅

99,95%

p = 0,10

X =

P( x ≥ 2 )

=

99,95%

P( x ≥ 2 )

=

8,15%

2, 3, 4, 5

P( x =5 )

P( x =1) ]

+

[( ) (0,1) 5 0

32,81%

P( x = 5 )

1 − [0,00001 + 0,00045 ] = 0,9995

+

X =

=

=

5 0

P( x = 2 )

4 P( x = 4 )

p = 0,90

c) Por lo menos 2 no tengan caries: P( x ≥ 2 )

X =

32,81%

b) Por lo menos dos tengan caries P( x ≥ 2 )

n=5

0

(0,9)5

+

( ) (0,1)

+ 0,32805

5 1

1

(0,9)4 ]

] = 1 − 0,9185 = 8,15%

13



d) Por lo menos una tenga caries

X = 1,

P( x ≥1)

=

1 − P( x = 0 )

=

1−

( ) (0,9)

0

5 0

(0,1)5

=

p = 0,90

1 − 0,00001 = 0,99999

=

2, 3, 4, 5

100%

P( x

≥1

) =

100%

28. Solución:

20% pierden el 1ª año

80% no lo pierden

a) Máximo 2 aprueben :

X =

P( x ≤ 2 )

=

P( x = 0 )

P( x =1)

P( x≤ 2 )

=

( ) (0,8)

=

0,000064

+

6 0

0

+

(0,2)6 +

=

( ) (0,8) 6 6

6

+

( ) (0,8)

( ) (0,8) 6

= 0

0

1

6 1

0,001536

p = 0 ,80

+

(0,2)5

0,01536

+

=

( ) (0,8) 6 2

0,01696

p = 0 ,80

2

(0,2)4

=

1,70% X =

p = 0 ,80

X =

P( x ≤ 2 )

=

1,70%

P( x = 6 )

=

26,21%

P( x =0 )

=

0,0064 %

6

(0,2)0 = 0,2621 = 26,21%

c) Ninguno apruebe P( x = 0 )

0 , 1, 2

P( x = 2)

b) Todos aprueben: P( x =6 )

n=6

0

(0,2)6 = 0,000064 = 0,0064%

29. Solución:

4.800 6.000

=

0,70 Transporte público

0,30

=

30% otro servicio

a) No más de 2 utilicen transporte público p = 0 ,7

X =

0, 1, 2

n =8

14


P( x ≤ 2 )

(8 ) (0,7)0 (0,3)8 + (18 ) (0,7)1 (0,3)7 + (82 ) (0,7)2 (0,3)6

= 0

=

0,0000656

=

0,0012247

+

0,01000

b) Por lo menos 3 no lo utilicen P( x ≥ 3)

=

P( x = 3)

P( x = 4 )

+

+

P( x = 5)

p +

[P( x 0 ) + P( x 1) + P( x 2) ]

=1−

[( ) (0,3)

=

=

0

8 0

1 − [0,0576

( ) (0,3) 8 2

2

(0,7)8

( ) (0,3)

=

( ) (0,7) 8 2

2

(0,3)6

=

1,13%

X =

P( x = 7 )

+

=

=

(0,7)7

+

P( x≤ 2 )

=

1,13%

P( x≥3 )

=

44,82%

P( x= 2 )

=

29,65%

P( x = 2 )

=

1%

4, 5, 6, 7, 8

P( x = 8)

( ) (0,3)

p

0,2965

=

0, 30

(0,7)6 ]

44, ,82%

X =

2

29,65%

=

p

0,0100

=

2

8 2

0,2965 ] = 0,4482

d) Exactamente 2 lo utilicen P( x = 2 )

0,01129

0, 30

+

1

8

+ 1

+ 0,1977 +

(0,7 )6

=

=

c) Exactamente 2 no lo utilicen =

=

P( x = 6 )

=1−

=

P( x = 2 )


=

0, 70

X =

2

= 1%

30. Solución:

60% = 0,60 asisten

0,40 = 40% no asisten

n=8

a) Por lo menos 7 asistan

p

X =

=

0, 6

7, 8

15


P( x≥7 )

=

P( x=7 )

+

7

(0,4)1

0,0896

+

0,0168

8

=

P( x=8)

( ) (0,6)

= 7

( ) (0,6)

8

8

+ 8

=

0,1064

(0,4)0 =

b) Por lo menos 2 no asistan P( x ≥ 2 )

=

P( x = 2 )

+

P( x = 3)

+

[P( x 0 ) + P( x 1) ]

=1−

[( ) (0,4)

=

10,64%

=

10,64%

P( x≥ 2 )

=

89,36%

P( x≥ 2 )

=

66,30%

P( x ≥7 )

n=8

p

0, 40

=

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

X =

.................... + P( x =8 )

=1−

=


=

0

8 0

1 − [0,0168

(0,6)8

( ) (0,4)

1

8

+ 1

]

+ 0,0896 =1 −

(0,6)7 ]

0,1064

=

0,8936

=

89,36%

31. Solución:

800 2000

= 0,4

usan gafas

0,6

=

no usan gafas

a) Por lo menos 2 usan gafas p = 0,40 P( x ≥ 2 )

=

P( x = 2 )

+

P( x = 3)

+

P( x = 4)

=1−

[P( x 0) + P( x 1) ]

=1−

[( ) (0,4)

=

=

5 0

1 − [0,0778

+

n =5

X =

2, 3, 4, 5

P( x = 5 )

=

0

(0,6)5

( ) (0,4) 5

+ 1

]

+ 0, 2592 =1 −

b) Por lo menos 2 no usan gafas

1

(0,6)4 ]

0,3370

=

p = 0,60

0,6630

=

66,3%

X =

2, 3, 4, 5

16


P( x ≥ 2 )

=1−

P( x =0 )


P( x =1)

+

=1−

[( ) (0,6)

=1−

[0,01024 + 0,0768] =1 − 0,08704 = 0,91296 = 91,30%

0

5 0

(0,4)5

( ) (0,6)

1

5

+ 1

(0,4)4 ]

P( x ≥ 2 )

⇒

c) E = np

E = 2000 (0,60)

=

=

91,30%

1.200 alumnos, se espera no usen gafas

32. Solución:

1 3 = 0,33 son repitentes

0,67

=

a) No mas de dos sean repitentes P( x≤ 2 )

=

P( x =0 )

=

( ) (0,33)

+

P( x=1) 0

4 0

= 0, 2015 +

+

p

n=4

0,33

=

X =

0, 1, 2

P( x= 2 )

(0,67)4

0,3970

no repitentes

+

+

( ) (0,33)

1

4 1

(0,67)3

0,2933 = 0,8918

=

+

( ) (0,33) 4 2

2

(0,67)2

89,18%

Nota : Sí trabajamos con 1 3 y 2 3

b) Al menos 1 no sea repitente P( x ≥1)

=

P( x =1)

+ P( x = 2 ) +

P( x = 3)

p +

=

0,67

X = 1,

=

1 − P( x = 0 )

=

1−

( ) (0,67) 4 0

0

(0,33)4

=

=

88,18%

P( x ≤ 2 )

=

88,89%

P( x ≥1)

=

98,77%

P( x≥1)

=

98,81%

2, 3, 4

P( x = 4 )

Nota : Sí trabajamos con 1 3 y 2 3

P( x ≥1)

P( x≤ 2 )

1 − 0,0119

=

0,9881 = 98,81%

33. Solución:

17


n

=

P( x

16

≥10

p

) =

( ) (0,6) (0,4) 10

16 10

+

6

14

= 0,1983 +

X = 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

( ) (0,6) (0,4) 11

16 11

+

( ) (0,6) (0,4) 16 14

0,6

=

2

5

0

+

( ) (0,6) (0,4) 15

16 15

+


1

( ) (0,6) (0,4) 12

16 12

+

4

+

( ) (0,6) (0,4) 16

16 16

0

( ) (0,6) (0,4) 13

16 13

3

=

0,1623 + 0,1014 + 0,0468 + 0,0150

+ 0,0030 + 0,0003 =

52,71%

P( x ≥10 )

=

52,71%

(diez o más acontecimientos desfavorables)

34. Solución:

25% se accidentan

75% no se accidentan

Por lo menos 3 se accidentan

n=7

P( x ≥ 3)

=

P( x = 3)

+ P( x = 4 ) +

P( x = 5)

+

P( x = 6 )

=1 −

[P( x 0 ) + P( x 1) + P( x 2) ]

=1−

[( ) (0,25)

=

=

=

0

7 0

1 − [0,1335

+

+

P( x = 7 )

=

(0,75)7

0,3115

( ) (0,25)

1

7

+ 1

]

+ 0,3115

=

(0,75)6

+

( ) (0,25)

1 − 0,7565

7 2

2

=

0,2435

(0,75)5 ] 24,35%

=

P( x ≥ 3 )

=

24,35%

35. Solución:

3% son defectuosos

97% Buenos

n=7

a) Por lo menos 3 sean buenos P( x ≥ 3)

=

P( x = 3 )

+ P( x = 4 ) +

=1−

[P(

=1−

[( ) (0,97)

x = 0 ) +

7 0

....... + P( x = 7 )

P( x =1) 0

+

P( x = 2 )

(0,03)7

]

( ) (0,97) 7

+ 1

1

(0,03)6

+

( ) (0,97) 7 2

2

(0,03)5 ]

18


=

1 − [0

+

0

+0

]


= se aproxima a 1 = 100%

P( x ≥ 3 )

=

100%

P( x ≥ 3)

=

0,09%

P( x = 2 )

=

0,097%

P( x ≥1)

=

4,9%

P( x ≥ 2 )

=

100%

b) Por lo menos 3 sean defectuosos P( x ≥3)

=1−

[P( x 0 ) + P( x 1) + P( x 2) ]

=1−

[( ) (0,03)

=1−

[0,8080 + 0,1749 + 0,0162]

=

=

=

(0,97)7

+ 1

0

7 0

( ) (0,03)

1

7

(0,97)6

=1 −

+

( ) (0,03)

2

7 2

0,9991 = 0,0009%

(0,97)5 ] =

0,09%

36. Solución:

p

a)

=

n

0,01 = enferman

X =

=

q = 0,99

5

=

no enferman

2 enfermos

P( x = 2 )

(5 ) (0,01)2 (0,99)3 = 0,00097 = 0,097%

= 2

b) Por lo menos uno enfermo P( x≥1)

=

1 − P( x =0 )

=

1−

X = 1,

( ) (0,01) 5 0

0

(0,99)5

c) Por lo menos 2 no enfermen P( x ≥ 2 )

=1−

[P( x 0 ) + P( x 1) ]

=1−

[( ) (0,99)

=1−

[0 + 0]

=

5 0

X =

2 , 3 , 4 , 5 =

1 − 0,9510

=

0,049

=

4,9%

2 , 3 , 4 , 5

=

0

(0,01)5

( ) (0,99) 5

+ 1

1

(0,01)4 ]

= se aproxima a 1 = 100%

37. Solución:

19



20% de mortalidad

80% de sobrevivir

a) Ninguno sobreviva

X =

P( x = 0 )

n

=

5

(equivale a x

0

(5 ) (0,8)0 (0,2)5 = (55 ) (0,2)5 (0,8)0 = 0,00032 = 0,032%

= 0

=

5, todos mueran) P( x = 0 )

=

0,032%

P( x = 5 )

=

32,77%

P( x ≥1)

=

99,97%

P( x ≥1)

=

67,23%

b) Todos sobrevivan P( x = 5 )

(5 ) (0,8)5 (0,2)0 = 0,3277 = 32,77%

= 5

c) Al menos 1 sobrevivan P( x ≥1)

X = 1 ,

(5 ) (0,8)0 (0,2)5 = 1− 0,00032 = 99,968% = 99,97%

= 1 − P( x = 0) = 1 − 0

d) Al menos 1 no sobrevivan P( x ≥1)

2 , 3 , 4 , 5

=

1 − P( x = 0 )

=

1−

X = 1 ,

( ) (0,2) 5 0

0

(0,8)5

=

2 , 3 , 4 , 5

1 − 0,32768 = 0,67232

=

67,23%

38. Solución:

5 25

=

0,20

=

20 25

20% científicos

a) Por lo menos 1 sea científica P( x ≥1)

=

1 − P( x = 0 )

=

1−

80% no científico

X = 1,

( ) (0,2) 4 0

=

0

(0,8)4

=

n

=

4

2, 3, 4

1 − 0,4096

=

0,5904

=

59,04%

P( x ≥1)

=

59,04%

20

Capítulo CD 6 _(1 - 20_)

Recommend Documents