Capitulo i Flujo Permanente y Uniforme en Canales 2010_doc

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA CIVIL CURSO: MECANICA DE FLUIDOS II CAPITULO I: FLUJO PERMANENTE Y UNIFORME EN CANALES

CAPITULO I FLUJO PERMANENTE Y UNIFORME EN CANALES 1.1 GENERA GENERALIDA LIDADES. DES.

El flujo de agua en un conducto puede ser flujo en canal abierto o flujo en tubería. Estas dos clases de flujo son similares similares en muchos aspectos pero se diferencian en un aspecto importante. El flujo en un canal debe tener una superficie libre, en tanto que el flujo en tubería no la tiene, debido a que en este caso el agua debe llenar completament completamentee el conducto. Una superficie superficie libre está está sometida a la presión atmosférica. El flujo en tubería, al estar confinado en un conducto cerrado, no está sometido a la presión atmosférica de manera directa, si no solo a la presión hidráulica. 1.2 FLUJO EN CANALES CANALES Y TUBERIAS. TUBERIAS.

Las principales diferencias entre canales y tuberías son las siguientes: 

En el canal el líquido líquido tiene una superfici superficiee libre que está está en contacto contacto con la atmósfera; atmósfera; en la tubería el liquido está confinado y sometido a una cierta presión (a veces esta presión es negativa).



En el canal el conducto puede ser abierto o cerrado; en la tubería el conducto es siempre cerrado.



En el canal el líquido escurre por gravedad; en la tubería el líquido escurre porque hay un gradiente de energía.

Cuando se dice “tubería” queda queda entendido que el conducto es circular. Las Formas más comunes de canales son la trapezoidal, la rectangular, la triangular y la circular.

FIG. 1.1 EJEMPLOS DE CANALES

DOCENTE: DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA PAUCARMAYTA

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL CURSO: MECANICA DE FLUIDOS II CAPITULO I: FLUJO PERMANENTE Y UNIFORME EN CANALES

FIG. 1.2 EJEMPLOS DE TUBERÍAS

Comparación entre el flujo en una tubería y el flujo en un canal: So Sw Sf

: Pendiente del fondo. : Pendiente de la superficie libre el agua. : Pendiente de la línea de energía.

FIG. 1.3 FLUJO EN TUBERIAS Y CANALES

1.3 TIPOS DE FLUJOS EN CANALES. FLUJO PERMANENTE Y FLUJO NO PERMANENTE:

Cuando el flujo es de tipo permanente, en una sección del canal permanecen constantes con respecto al tiempo las características hidráulicas del flujo (caudal, velocidad media, tirante, etc.)

FIG. 1.4 FLUJO PERMANENTE

DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

2


∂V = 0 ∂t

( Ec. 1.1)

Cuando el flujo es de tipo no permanente, en una sección del canal no permanecen constantes con respecto al tiempo las características hidráulicas del flujo (caudal, velocidad media, tirantes, etc.)

FIG. 1.5 FLUJO NO PERMANENTE

∂V ≠ 0 ∂t

( Ec. 1.2)

FLUJO UNIFORME Y FLUJO VARIADO :

El flujo permanente puede ser uniforme o variado. En el flujo uniforme, a lo largo del canal permanecen constantes las características hidráulicas del flujo.

FIG. 1.6 FLUJO UNIFORME

∂V = 0 ( Ec. 1.3) ∂s En el flujo variado, a lo largo del canal no permanecen constantes las características Hidráulicas del flujo.


3


FIG. 1.7 FLUJO VARIADO

∂V ≠ 0 ∂s

( Ec. 1.4)

En el flujo variado la variación puede ser gradual o brusca, dando lugar al flujo gradualmente variado y al flujo rápidamente variado, respectivamente, como puede apreciarse en el esquema que sigue,

FIG. 1.8 FLUJO VARIADO

NOTA: En, el flujo no permanente también se presentan los flujos gradualmente variado y rápidamente variado. FLUJO LAMINAR, TURBULENTO Y TRANSICIONAL:

Similar a lo que ocurre en las tuberías, en los canales el flujo es de uno de estos tres tipos. El flujo laminar tiene lugar si predominan las fuerzas viscosas sobre las de inercia. Se presenta muy raramente, cuando la velocidad del agua en el canal es extremadamente pequeña. El número de Reynolds (Re) referido al radio hidráulico resulta menor que 500. El flujo turbulento tiene lugar si predominan las fuerzas de inercia sobre las viscosas. El valor del Re a partir del cual el flujo es decididamente turbulento no tiene un valor definido, pero si se toma como referencia el valor 4.000 que rige para tuberías el valor correspondiente en canales resulta 1.000.


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Como consecuencia, el flujo es transicional si tiene lugar con valores Re comprendidos entre 500 y 1,000. FLUJO SUBCRITICO, CRÍTICO Y SUPERCRÍTICO:

El efecto de la gravedad en los canales viene indicando por el valor que toma el número de Froude (Fr) referido a la profundidad hidráulica. F r 

V gD

( Ec. 1.5)

D (profundidad hidráulica) = Área mojada Ancho superficial

= A T

El flujo se denomina crítico si tiene lugar con un Fr = 1, subcrítico con un valor Fr < 1 y supercrítico con un valor Fr > 1, En el flujo subcrítico la gravedad juega un rol más importante que en los otros estados de flujo. El estudio de las características físicas del flujo en los tres estados indicados no corresponde hacerlo ahora. Estos conceptos serán recién en el capítulo 3. 1.4 TIPOS DE CANALES. NATURALES Y ARTIFICIALES.- Atendiendo a su origen los canales pueden ser naturales y

artificiales. Los canales naturales incluyen todos los cursos de agua de la superficie terrestre, en toda su amplia gama de tamaños; es decir desde los arroyos más pequeños hasta los ríos más grandes. Su estudio corresponde a la rama de la hidráulica aplicada conocida como hidráulica de ríos o Ingeniería de ríos. Las canales artificiales son todos aquellos construidos por el hombre comprenden principalmente: 

Los canales de conducción en los proyectos de irrigación, de centrales hidroeléctricas, de abastecimiento de agua , etc.;



Los canales de navegación.



Los canales de alcantarillado y de drenaje ( urbano, vial y agrícola);



Los canales de corriente construidos con fines de estudio experimental en laboratorios.

ABIERTOS Y CERRADOS: Son canales cerrados: 

Los canales de alcantarillado;



Los canales de drenaje urbano y algunos de drenaje agrícola;



Los tramos de los canales de conducción en túnel;



Algunos tramos de los canales de conducción con fines de protección. Todos los demás canales son descubiertos. DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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CANAL PRISMÁTICO Y NO PRISMÁTICOS: Se llama canal prismático a aquél construido con

sección transversal constante y pendiente de fondo también constante. De no ser así, el canal es no prismático. A menos que se especifique lo contrario, los canales estudiados en este texto son canales prismáticos. 1.5 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE LA SECCION TRANSVERSAL DE UN CANAL.

Se llama “sección del canal” a la lección tomada normalmente a la dirección del flujo y “sección vertical” del canal a la sección vertical que pasa por el fondo de la sección del canal. Las secciones de los canales naturales son en general muy irregulares. Las secciones de los canales artificiales son de forma geométrica regular, siendo las formas geométricas más utilizadas las siguientes: 

Trapezoidal, en los canales de conducción excavados (por razones de estabilidad de las paredes).



Rectangular, en los canales de concreto o de madera. También en los canales pequeños excavados en roca o revestidos de concreto o de albañilería de piedra.



Triangular, en los pequeños canales de drenaje vial (cunetas).



Circular, en los canales de alcantarillado y de drenaje urbano y agrícola de tamaño pequeño y mediano. También en los canales en túnel.



Ovoide, de herradura y similares, en los canales de alcantarillado de tamaño grande a fin de permitir el ingreso de un hombre.

FIG. 1.9 SECCIONES FRECUENTES

La geometría de la sección del canal queda definida por varios elementos. La descripción será referida a la sección vertical de un canal trapezoidal.


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FIG. 1.10 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE LA SECCION TRANSVERSAL DE UN CANAL

y H d b

: Profundidad de flujo. : Profundidad total del canal. : Profundidad de la sección. Se verifica d = y cos θ ; d = y en los canales de pequeña pendiente. Cota de la S.L. = cota del fondo + y : Ancho del fondo.

z

: Talud = cotg α =

T A

: Ancho superficial = b+2 zy : Área mojada = by + zy2

P

: Perímetro mojado = b+ 2 y 1  z 2

R

: Radio hidráulico =

 H V

A P

D

: Profundidad hidráulica =

A T

f Be B j

: Freeboard o margen libre (H-y) : Ancho de la banqueta exterior. : Ancho de la banqueta interior.

El freeboard es la distancia vertical medida entre la superficie libre del agua y el borde del canal. Las banquetas se construyen para facilitar las labores de operación y mantenimiento de los canales. 1.6 RELACIONES DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES MÁS FRECUENTES.

A continuación se determinan las relaciones geométricas correspondientes al área hidráulica (A), perímetro mojado (P), espejo de agua (T) y radio hidráulico (R), de las secciones transversales más frecuentes. SECCION TRAPEZOIDAL:


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FIG. 1.11 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION TRAPEZOIDAL

T  b  2 zy

( Ec. 1.6)

2 P  b  2 y 1  z

( Ec. 1.7)

A  by  zy 2

( Ec. 1.8)

R 

A

( Ec. 1.9)

P

SECCION RECTANGULAR:

FIG. 1.12 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION RECTANGULAR

T  b

( Ec. 1.10)

P  b  2 y

( Ec. 1.11)

A  by

( Ec. 1.12)

R 

A

( Ec. 1.13)

P

SECCION TRIANGULAR:

FIG. 1.13 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION TRIANGULAR

T  2 zy

( Ec. 1.14) DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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P  2 y 1  z 2 A 

T . y

R 

A

( Ec. 1.15) ( Ec. 1.16)

2

( Ec. 1.17)

P

SECCION CIRCULAR:

FIG. 1.14 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION CIRCULAR

Calculo de T: De la figura se tiene: T  2r . xSen

 2

 DxSen



( Ec. 1.18)

2

Pero:     2

Reemplazando valores: T  DxSen

 2

Calculo de A: A = Área circulo-Área arco circular+2Areas de triangulo Área de círculo: A  

D 2 4

Área de arco circular: A 

 .r 2 . 2

2



.r . 2



D 2 . 8

Área de triangulo: 1     r D Sen  2.r .Sen xr .Cos   Sen  2  2 2  2 8 2

A 

2

( Ec. 1.19)

Siendo: θ +α =2 DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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Reemplazando valores se tiene: A 

1

  Sen  D 2

8

Calculo del perímetro mojado: P   .r 

1 2

( Ec. 1.20)

 . D

Calculo del radio hidráulico: R 

1  Sen  1   D 2   

( Ec. 1.21)

Generalmente para conductos circulares, para el cálculo de: A,P y R se emplea tablas tabuladas en función a la relación y/D. SECCION PARABOLICO:

FIG. 1.15 ELEMENTOS GEOMETRICOS DE UNA SECCION TRAPEZOIDAL

T  2 x  x 

T

( Ec. 1.22)

2

Calculo del área hidráulica: De la figura seleccionamos una sección diferencial de profundidad dy: aA1  xdy

Por la ecuación general de la parábola se conoce: x 2  2ky  2 xdx  2kdy 

x k

dx  dy

Reemplazando en la ecuación inicial tenemos: aA1  x

x k

dx

Integrando tenemos: A



0

dA 

A1 

1



x

0

x 2 k

dx

x 3 3k DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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La sección total de la parábola es 2A1; por consiguiente se tiene:

A 

2 3

( Ec. 1.23)

T . y

Calculo del perímetro:

FIG. 1.16 PERIMETRO DE LA SECCION PARABOLICA

Aplicando el teorema de Pitágoras:

 dx  2   dy  2

dL 

Factorizamos dx: dL  1   dy / dx  dx 2

L 



x

1   dy / dx  dx 2

0

Si: x 2  2ky

 2 xdx  2kdy  dt / dx  x / k k  x 2 / 2 y

Realizando combinaciones se tiene:



2 xy



2 y

dy dx dy dx

x 2



x

4 y

T

Haciendo: dy dx

x



k



4 y

T

 u  dx  kdu

Reemplazando en el valor de L, tenemos: L 



u

1  u kdu 2

0



L  k

u

0

1  u du 2

En la figura se observa que el perímetro es: P=2L DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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

P  2k

u

1  u kdu 2

0

( Ec. 1.24)

Esta última ecuación resolvemos para: u  a. Para u 

4 y

2

T

1 y u 

4 y

T

1

1

T

1  u du

4 y

 (1  u 2 )1/2

 1  1   1  1 1 1 2   1    2  2   2   1 2  2  2      u6  4  1 u  u  2

1 x 2

1

1

1

2

8

16

 1 u 2  u4 

1 x 2 x3

u 6  ........

0 Luego si u ≤ 1, se tiene: 1

1 u  1 2

2

u2

Sustituyendo en la ecuación del perímetro:

 0 

1

u

P  2k 1 

2

 

u 2 du u

 1 u 3  P  2k  u    2 3  0  

P  2k  u 

u 3 



6 

Donde: T

2

x 2

k   4 2 y 2 y



Además: u 

4 y

8 y

P  T 

b. Para u

8 y

T

2

( Ec. 1.25)

3T





P  2k

T 2

u

0

4 y

T

>1

1

1 2

u 2 du

Se integra transformándose en la siguiente expresión: DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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1 u 2 2  P  2k  1  u  ln(u  1  u )  2 2 

Donde: x k

 u  k 

x u



T 2u

Realizando reemplazos y simplificaciones se tiene: P

T  2



1 u

2

1   ln(u  1  u 2 ) u 

( Ec. 1.26)

La cual es una expresión exacta de P para u=4y/T>1 Calculo del radio hidráulico: 2

R 

2T y 3T

2

( Ec. 1.27)

 8 y 2

En el Cuadro No 1.1 se muestra un resumen de las relaciones geométricas de las secciones transversales más frecuentes.

CUADRO No 1.1 RELACIONES GEOMETRICAS DE SECCIONES DE CANAL

1.7 ECUACIONES FUNDAMENTALES APLICADOS EN FLUJOS EN CANALES ABIERTOS. ECUACION DE CONTINUIDAD:

El caudal Q, o el volumen de fluido que circula por una sección en la unidad de tiempo, está dado por: DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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Q=v.A

( Ec. 1.28)

Donde v es la velocidad media de la sección normal al flujo de área transversal A.

FIG. 1.18 PERFIL LONGITUDINAL Y SECCION TRANSVERSAL DE UN CANAL

Cuando el caudal es constante en un tramo, la ecuación que gobierna el flujo desde el punto de vista de la conservación de la masa se llama ecuación de continuidad. Esta ecuación aplicada a las secciones 1, 2, ……, n se puede escribir: V1 A1 = V2 A2 =…….. = Vn An = cte ECUACION DE ENERGIA O ECUACION DE BERNOULLI

En cualquier línea de corriente que atraviesa una sección de un canal se define como energía total a la suma de las energías de posición más la de presión y mas la de velocidad, es decir: Energía total = Energía de posición + Energía de presión + Energía de velocidad.

FIG. 1.19 ENERGIA TOTAL EN UNA SECCION DE UN CANAL

Si la energía total es expresa por unidad de peso, se obtiene la forma más conocida de la ecuación de Bernoulli, la cual se representa como: E  Z 

P



 

v2 2g

 cte o E  Z  y  

v2 2g

 cte

Donde: E = Energía total en la sección Z = Energía de posición o elevación DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

( Ec. 1.29)

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y = Tirante en la sección v = Velocidad media que lleva el flujo en cada sección α = Coeficiente de Coriolis para la sección Estos parámetros se muestran en la Fig. 1.20

FIG. 1.20 ELEMENTOS DE LA ENERGIA POR UNIDAD DE PESO

Como la energía por unidad de peso  m  Kg / Kg  se expresa en unidades de longitud, entonces, los elementos de: E  Z  y  

v2

( Ec. 1.30)

2g

Se expresa de la siguiente forma: E = altura total de energía Z = altura de posición y = altura de presión 

2 2g

= altura de velocidad

Siendo: P = Z + y la altura piezometrica (ver Fig. No 1.21) En el caso de un fluido ideal, la energía E en 1 es igual a la energía en 2. Para el caso de un fluido real hay una pérdida de energía entre 1 y 2 en realidad no es energía perdida, sino transformada en calor debido a la fricción.


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FIG. 1.21 LINEA DE ALTURAS TOTALES, PIEZOMETRICAS Y HORIZONTE DE ENERGIA

En este caso, la ecuación de la energía para el tramo 1 y 2 se representa como:

FIG. 1.22 ENERGIA EN LAS SECCIONES 1 Y 2

Z1  y1  

12 2g

 Z 2  y2  

 22 2g

 h f 12

( Ec. 1.31)

O bien: E1  E2  h f 12

( Ec. 1.32)

Donde h f 1 2 es la disposición de energía entre las secciones 1 y 2 El coeficiente de Coriolis a que aparece en la expresión de la energía cinética 

2 2g

, representa la

relación que existe, para una sección dada, entre la energía real y la que se obtendrá considerando una distribución uniforme de velocidades. Su valor se calcula con la siguiente ecuación: V dA    3 h

V 3 A

( Ec. 1.33)

Donde: DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA


Vh dA V A

: Componente vertical de la velocidad a una profundidad h. : Diferencial del área correspondiente a la velocidad Vh. : Velocidad media. : Área total.

Los ensayos experimentados muestran que varía entre 1.03 y 1.36 para los canales prismáticos (canales con sección transversal y pendiente de solera constante). El uso del coeficiente de Coriolis α , depende de la exactitud con que se esté haciendo los cálculos, en muchos casos se justifica considerar: α = 1, en este caso, la ecuación de la energía, se expresa de la siguiente forma: Z 1  y1  

v12 2g

 Z 2  y 2  

v 22 2g

 h f  o 1 2

( Ec. 1.34)

Z 1  y1  hv1  Z 2  y 2  hv 2  h f 1 2

Donde: hv 

v2 2g

(Carga de velocidad).

ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTUM

En una sección de un canal, en la cual pasa un caudal Q con una velocidad v, la cantidad de movimiento en la cantidad de movimiento en la unidad de tiempo, se expresa por cantidad de movimiento. M   . .Q.v

( Ec. 1.35)

Donde:  : Coeficiente de la cantidad de movimiento o coeficiente de Boussines que permite el uso de la

velocidad media. V dA    2 h

V 2 A

( Ec. 1.36)

Siendo: Vh : Componente vertical de la velocidad a una profundidad h. dA : Diferencial del área correspondiente a la velocidad Vh. V : Velocidad media. A : Área total. : Densidad del fluido. Q : Caudal. Para canales prismáticos se tiene usualmente: 1.01<  <1.12 DOCENTE: Msc. ING. ABEL A. MUÑIZ PAUCARMAYTA

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Consideremos un tramo de un canal de sección transversal cualquiera, por ejemplo, donde se produce el resalto hidráulico y el volumen de control limitado por las secciones 1 y 2 (antes y después del resalto), por el piso del canal y por la superficie libre, como se muestra en la Fig.1.23.

FIG. 1.23 VOLUMEN DE CONTROL PARA EFINIR LA ECUACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La variación de la cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2 será: Variación de la cantidad de movimiento

=  .Q(  2 .v 2   1 .v1 )

( Ec. 1.37)

De acuerdo con la segunda ley de Newton: “La suma de las fuerzas exteriores es igual al cambio de la cantidad de movimiento”, aplicando este principio a las secciones 1 y 2 del canal, se tiene: ∑F Exteriores= Cambio cantidad de movimiento. ∑F Exteriores=  .Q(  2 .v 2   1 .v1 )

( Ec. 1.38)

Siendo: ∑F Exteriores= F P  F P 2  WSen  F f 1

( Ec. 1.39)

Donde: F P 1 , F P 2

= Fuerza de presión actuando en las dos secciones.

W

= Peso del fluido (W Sen , peso del fluido en el sentido del movimiento).

F f

= Fuerza externa total de resistencia que se opone al movimiento.

Luego:  .Q(  2 .v 2   1 .v1 )  F P  F P 2  WSen  F f 1

( Ec. 1.40)

Esta ecuación es conocida como la ecuación de cantidad de movimiento o momentum.


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