UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA
UNIDAD 8: Dinámica y Energía de Rotación La causa para que un objeto rote respecto de un eje fijo que pasa por el sólido es el momento de ⃗ =𝒓 ⃗ ⊗ ⃗𝑭) fuerza, torque o girógeno (𝝉 Suponemos que un cuerpo sólido rígido puede girar con respecto a un eje perpendicular al plano de ⃗ 𝒊 una fuerza aplicada a la partícula de masa 𝒎𝒊 : la figura y 𝑭
𝑹𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏
⃗⃗ 𝑭
𝜽
𝒎
⃗ 𝒓
𝑭𝒊∥ = 𝑭𝒊 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝑨 𝟎
Referencias:
𝟎: Eje fijo de rotación, 𝑨: Partícula de masa m del sólido en la que se aplica la fuerza. ⃗ : Radio de giro 𝒓 ⃗𝑭: Fuerza aplicada 𝑭𝒊∥ : Componente de la fuerza paralela al radio de giro, no provoca movimiento. 𝑭𝒊⊥ : Componente de la fuerza perpendicular al radio de giro, provoca movimiento. En las condiciones graficadas el sólido rígido rotará en sentido antihorario: Aplicando el segundo principio de Newton, en dirección tangencial tenemos:
𝑭𝒊⊥ = 𝑭𝒊 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝒊 𝒂𝒊 , 𝑭𝒊⊥ = 𝑭𝒊 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝜶,
𝒂𝒊 = 𝒓𝒊 𝜶, 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍
𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒂𝒎𝒃𝒐𝒔 𝒎𝒊𝒆𝒎𝒃𝒓𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 (𝒓𝒊 ),
𝒓𝒊 𝑭𝒊 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒓𝒊 𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝜶,
𝒓𝒊 𝑭𝒊 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒓𝟐𝒊 𝒎𝒊 𝜶,
Como 𝒓𝒊 𝑭𝒊 𝒔𝒆𝒏𝜽, es el momento de fuerza, torque o girógeno (𝝉𝒊 ) de la fuerza 𝑭𝒊 con respecto al eje que pasa por (0), tenemos:
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 𝒓𝒊 𝑭𝒊 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝝉𝒊 = 𝒓𝟐𝒊 𝒎𝒊 𝜶 Para todas las partículas del cuerpo sólido rígido se tiene: 𝒏
𝒏
∑ 𝝉𝒊 = 𝜶 ∑ 𝒓𝟐𝒊 𝒎𝒊 , 𝒊=𝟏
𝜶: 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠
𝒊=𝟏 𝒏
∑ 𝝉𝒊 = 𝝉𝟎 , 𝑡𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑂 𝒊=𝟏 𝒏
∑ 𝒓𝟐𝒊 𝒎𝒊 : 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜𝑎 (0) 𝒊=𝟏 𝒏
∑ 𝒓𝟐𝒊 𝒎𝒊 = 𝑰 𝒊=𝟏
𝑰: 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑟í𝑔𝑖𝑑𝑜 Unidad del factor de inercia: 𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑰)𝑺𝑰 = 𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅 (𝒓𝟐 )𝑺𝑰 . 𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝒎)𝑺𝑰 𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑰)𝑺𝑰 = 𝒌𝒈𝒎𝟐
La dimensión es: [𝑰] ≡ 𝑴𝑳𝟐 Del modelo de cálculo del factor de inercia:
𝒏
∑ 𝒓𝟐𝒊 𝒎𝒊 = 𝑰 𝒊=𝟏
Se puede determinar el radio de giro 𝒓𝑮 : 𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
∑ 𝒓𝟐𝒊 ∑ 𝒎𝒊 = 𝑰,
∑ 𝒎𝒊 = 𝒎, 𝒚
∑ 𝒓𝟐𝒊 = 𝒓𝟐
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏
𝒊=𝟏
𝒓𝟐 =
𝑰
, ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒎𝒊
𝑰 𝒓𝑮 = √ ∑ 𝒎𝒊
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA La expresión 𝒏
𝒏
∑ 𝝉𝒊 = 𝜶 ∑ 𝒓𝟐𝒊 𝒎𝒊 , 𝒊=𝟏
𝝉𝟎 = 𝑰𝜶
𝒊=𝟏
La expresión corresponde al segundo principio de Newton de la rotación donde se puede considerar la siguiente analogía con la traslación:
2do principio de Newton Causa Sujeto Efecto
Traslación
Rotación
𝑭 = 𝒎𝒂 𝝉𝟎 = 𝑰𝜶 𝑭 𝝉 𝒎 𝑰 𝒂 𝜶 𝝉𝟎 : es análogo a 𝑭, 𝑰: es análogo a 𝒎, 𝜶:es análogo a 𝒂
Factores de inercia para algunos sistemas:
Factores de inercia: Sistemas de masa discontinua 𝒏
𝑦
∑ 𝒓𝟐𝒊 𝒎𝒊 = 𝑰,
𝒎𝟏
𝒎𝟐
𝒊=𝟏
𝑰 = 𝒓𝟐𝟏 𝒎𝟏 + 𝒓𝟐𝟐 𝒎𝟐 + ⋯ + 𝒓𝟐𝒏 𝒎𝒏
⃗𝟏 𝒓
⃗𝟐 𝒓
𝒓𝒊 = √𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒊 + 𝒛𝟐𝒊
𝑥
0 ⃗𝟑 𝒓 𝑧 𝒎𝟑
Factores de inercia: Sistemas de masa continua
Anillo delgado: 𝑰𝒂𝟏 = 𝑰𝑪𝑮 + 𝑴𝑹𝟐 𝑎
𝑰𝒂 = 𝑴𝑹𝟐 ,
𝑴
𝒓
𝑎1
𝑹
𝑰𝒂𝟏 = 𝟐𝑴𝑹𝟐
Anillo grueso: 𝑰𝒂 = 𝑴(𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 ),
𝑰𝒂𝟏 = 𝑴(𝑹𝟐 + 𝒓𝟐 ) + 𝟐𝑴𝑹𝟐
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA Esfera solida:
𝑎
𝑰𝒂 = 𝑴 𝑹
𝑎1
𝟐 𝑴𝑹𝟐 , 𝟓
𝑰𝒂𝟏 =
𝟐 𝑴𝑹𝟐 + 𝑴𝑹𝟐 𝟓
𝑰𝒂𝟏 =
𝟐 𝑴𝑹𝟐 + 𝑴𝑹𝟐 𝟑
Esfera Hueca:
𝑰𝒂 =
𝟐 𝑴𝑹𝟐 , 𝟑
Cilindro macizo:
𝑎2
𝑎3
𝑴
𝑎
𝑰𝒂 =
𝟏 𝑴𝑹𝟐∗ , 𝟐
𝑹 𝑎1
𝑰𝒂𝟏 =
𝑰𝒂𝟐 =
𝑳 𝑰𝒂𝟑 =
𝟏 𝑴𝑹𝟐 + 𝑴𝑹𝟐 𝟐
𝟏 𝑴(𝑳𝟐 + 𝑹𝟐 ), 𝟏𝟐
𝟏 𝑳 𝑴(𝑳𝟐 + 𝑹𝟐 ) + 𝑴( )𝟐 𝟏𝟐 𝟐
Varilla delgada:
𝑎1
𝑎 𝑰𝒂 =
𝑴
𝟏 𝑴(𝑳)𝟐 , 𝟏𝟐
𝑰𝒂𝟏 =
𝟏 𝑳 𝑴(𝑳)𝟐 + 𝑴( )𝟐 𝟏𝟐 𝟐
𝑳 Lámina delgada:
𝑎 𝑏
𝑰𝒂 =
𝟏 𝑴(𝑳𝟐 + 𝒃𝟐 ), 𝟏𝟐
𝑀
𝐿
Por analogía con la traslación es posible escribir los modelos de cálculo para el trabajo, potencia, energía y cantidad de movimiento angular, se indica en el siguiente cuadro: Magnitud física Trabajo mecánico
Potencia mecánica
Traslación ⃗ ⊙ ∆𝒓 ⃗ 𝑾=𝑭 𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑾)𝑺𝑰 = 𝑱 Potencia media: 𝑷=
𝑾 ∆𝒕
Rotación ⃗ ⃗ ⊙ ∆𝜽 𝑾𝑹 = 𝝉 𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑾)𝑺𝑰 = 𝑱 Potencia media: 𝑷𝑹 =
𝑾𝑹 ∆𝒕
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA
Energía cinética:
Impulso mecánico
Potencia instantánea
Potencia instantánea
⃗ ⊙𝒗 ⃗ 𝑷=𝑭
⃗ ⊙𝝎 ⃗⃗⃗ 𝑷𝑹 = 𝝉
𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑷)𝑺𝑰 = 𝑾 𝟏 𝑬𝒄 = 𝒎. 𝒗𝟐 𝟐
𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑷)𝑺𝑰 = 𝑾 𝟏 𝑬𝒄𝑹 = 𝑰. 𝝎𝟐 𝟐
𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑬𝒄)𝑺𝑰 = 𝑱 𝑰 = ⃗𝑭. ∆𝒕
𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑬𝒄 )𝑺𝑰 = 𝑱 ⃗ . ∆𝒕 𝑰𝑹 = 𝝉
𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑰)𝑺𝑰 = 𝑵. 𝒔 Momentum lineal
Cantidad de movimiento
𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑰𝑹 )𝑺𝑰 = 𝑵. 𝒔 Momentum angular
⃗ = 𝒎. 𝒗 ⃗ 𝒑
⃗𝑳 = 𝑰. 𝝎 ⃗⃗⃗ .
𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝒑)𝑺𝑰 = 𝒌𝒈. 𝒎. 𝒔−𝟏
𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅(𝑳)𝑺𝑰 = 𝒌𝒈. 𝒎. 𝒔−𝟏
Ejercicios:
1. En los vértices una estructura metálica muy liviana en forma cuadrada de lado L se colocan masas m iguales. Determinar el factor de inercia y el radio de giro respecto a: a) Un eje perpendicular al plano de la figura que pase por la intersección de las diagonales. b) Un eje perpendicular a plano de la figura que pase por un vértice. c) Un eje perpendicular a plano de la figura que pase por el punto medio de un lado d) Un eje que coincida con un lado. e) Un eje que coincida con una diagonal.
m
m1
m m2
O
m
B
m
A m m 3 Solución 4 a) Un eje perpendicular al plano de la figura que pase por la intersección de las diagonales. 𝟏 En este caso todos los radios 𝒓 , son iguales a la mitad de la diagonal 𝒓 = 𝟐 𝒅, la diagonal en el cuadrado es: 𝟏 𝟏 𝒅 = √𝑳𝟐 +𝑳𝟐 ; 𝒅 = √𝟐𝑳𝟐 , 𝒅 = 𝑳√𝟐, El radio es: 𝒓 = 𝟐 𝒅, 𝒓 = 𝟐 𝑳√𝟐, Como las masas y los radios son iguales se tiene:
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 𝟏 𝑰𝟎 = ∑ 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 = 𝒎𝟏 𝒓𝟐𝟏 + 𝒎𝟐 𝒓𝟐𝟐 + 𝒎𝟑 𝒓𝟐𝟑 + 𝒎𝟒 𝒓𝟐𝟒 = 𝟒𝒎𝒓𝟐 = 𝟒𝒎( 𝑳√𝟐)𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝑰𝟎 = 𝟒𝒎 ( 𝑳 𝟐) = 𝟐𝒎𝑳𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) 𝟒 𝑰𝟎 = 𝟐𝒎𝑳𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) El radio de giro es: 𝑰𝟎 𝟐𝒎𝑳𝟐 𝑳 𝒓𝟎 = √ =√ = √𝟐(𝒎) ∑ 𝒎𝒊 𝟒𝒎 𝟐 𝑳 𝒓𝟎 = √𝟐(𝒎) 𝟐 b) Un eje perpendicular a plano de la figura que pase por un vértice. Considerando el vértice A: el radio de la masa 𝒎𝟐 y la masa 𝒎𝟒 son iguales al lado, 𝒓𝟐 = 𝒓𝟒 = 𝑳, el radio de la masa 𝒎𝟏 es igual a la diagonal 𝒓𝟏 = 𝑳√𝟐 , el factor de inercia es: 𝑰𝑨 = ∑ 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 = 𝒎𝟏 𝒓𝟐𝟏 + 𝒎𝟐 𝒓𝟐𝟐 + 𝒎𝟒 𝒓𝟐𝟒 = 𝒎𝑳𝟐 + 𝒎(𝑳√𝟐)𝟐 + 𝒎𝑳𝟐 = 𝟐𝒎𝑳𝟐 + 𝒎𝑳𝟐 𝟐 𝑰𝑨 = 𝟒𝒎𝑳𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) El radio de giro es: 𝑰𝑨 𝟒𝒎𝑳𝟐 𝒓𝑨 = √ =√ = 𝑳(𝒎) ∑ 𝒎𝒊 𝟒𝒎 𝒓𝑨 = 𝑳(𝒎) c) Un eje perpendicular a plano de la figura que pase por el punto medio de un lado 𝑳
𝟓
En este caso los radios de 𝒎𝟏 y 𝒎𝟒 son iguales a: 𝒓𝟏 = 𝒓𝟒 = √𝑳𝟐 + (𝟐)𝟐 = √𝟒 𝑳𝟐 = 𝑳 𝟐
√𝟓 𝑳
Los radios de 𝒎𝟐 y 𝒎𝟑 son iguales a: 𝒓𝟐 = 𝒓𝟑 = 𝟐
m
m1
m m2
B
m
m
m4 El factor de inercia es:
m3
𝑳 𝑳 𝑰𝑩 = ∑ 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 = 𝒎𝟏 𝒓𝟐𝟏 + 𝒎𝟐 𝒓𝟐𝟐 + 𝒎𝟑 𝒓𝟐𝟑 + 𝒎𝟒 𝒓𝟐𝟒 = 𝟐𝒎( )𝟐 + 𝟐𝒎( √𝟓)𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟓 𝑰𝑩 = 𝒎𝑳𝟐 + 𝒎𝑳𝟐 = 𝟑𝒎𝑳𝟐 𝟐 𝟐 𝑰𝑩 = 𝟑𝒎𝑳𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 )
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA El radio de giro es: 𝒓𝑩 = √
𝑰𝑩 𝟑𝒎𝑳𝟐 𝑳 =√ = √𝟑(𝒎) ∑ 𝒎𝒊 𝟒𝒎 𝟐 𝑳 𝒓𝑨 = √𝟑(𝒎) 𝟐
d) Un eje que coincida con un lado.
m
m1
m m2
B
m
m
m3 m4 En este caso se ha considerado un eje que pase por el lado en las que se encuentran las masas 𝒎𝟏 y 𝒎𝟐 , estas masas no intervienen en el cálculo del factor de inercia porque se encuentran ubicadas en el eje de giro, las masas 𝒎𝟑 y 𝒎𝟒 tienen igual radio de giro 𝒓𝟑 = 𝒓𝟒 = 𝑳 El factor de inercia es: 𝑰𝟏𝟐 = ∑ 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 = 𝒎𝟑 𝒓𝟐𝟑 + 𝒎𝟒 𝒓𝟐𝟒 = 𝟐𝒎𝑳𝟐 𝑰𝟏𝟐 = 𝟐𝒎𝑳𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) El radio de giro es: 𝑰𝟏𝟐 𝟐𝒎𝑳𝟐 𝑳 𝒓𝟏𝟐 = √ =√ = √𝟐(𝒎) ∑ 𝒎𝒊 𝟒𝒎 𝟐 𝑳 𝒓𝑨 = √𝟐(𝒎) 𝟐 e) Un eje que coincida con una diagonal. m
m1
m m2
B
m
m
m4
m3
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA En este caso se ha considerado un eje que coincida con la diagonal en las que se encuentran las masas 𝒎𝟒 y 𝒎𝟐 , estas masas no intervienen en el cálculo del factor de inercia porque se encuentran ubicadas en el eje de giro, las masas 𝒎𝟏 y 𝒎𝟑 tienen 𝟏 igual radio de giro 𝒓𝟏 = 𝒓𝟑 = 𝑳√𝟐 𝟐
El factor de inercia es: 𝑳 𝑰𝟐𝟒 = ∑ 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 = 𝒎𝟑 𝒓𝟐𝟑 + 𝒎𝟏 𝒓𝟐𝟏 = 𝟐𝒎( √𝟐)𝟐 𝟐 𝑰𝟏𝟐 = 𝒎𝑳𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) El radio de giro es: 𝑰𝟐𝟒 𝒎𝑳𝟐 𝑳 𝒓𝟐𝟒 = √ =√ = (𝒎) ∑ 𝒎𝒊 𝟒𝒎 𝟐 𝑳 𝒓𝑨 = (𝒎) 𝟐 2. En el sistema de la figura las masas son iguales y están sujetas por una varilla muy delgada, determinar: El factor de inercia y sus radios de giro respecto al eje AA’ y al eje BB’
.
A
B
m
m
m1 A’
m
m2 2a
B’
m
m3 a
m4 a
Respecto al eje AA’: 𝑰𝑨𝑨′ = ∑ 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 = 𝒎𝟏 𝒓𝟐𝟏 + 𝒎𝟐 𝒓𝟐𝟐 + 𝒎𝟑 𝒓𝟐𝟑 + 𝒎𝟒 𝒓𝟐𝟒 𝒓𝟏 = 𝟎, 𝒓𝟐 = 𝟐𝒂, 𝒓𝟑 = 𝟑𝒂, 𝒓𝟒 = 𝟒𝒂 𝟐 𝟐 𝑰𝑨𝑨′ = 𝒎𝟎 + 𝒎(𝟐𝒂) + 𝒎(𝟑𝒂)𝟐 + 𝒎(𝟒𝒂)𝟐 𝑰𝑨𝑨′ = 𝟎 + 𝟒𝒎(𝒂)𝟐 + 𝟗𝒎(𝒂)𝟐 + 𝟏𝟔𝒎(𝒂)𝟐 = 𝟐𝟗𝒎𝒂𝟐 𝑰𝑨𝑨′ = 𝟐𝟗𝒎𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) El radio de giro es: 𝑰𝑨𝑨′ 𝟐𝟗𝒎𝒂𝟐 𝒂 𝒓𝑨𝑨′ = √ =√ = √𝟐𝟗(𝒎) ∑ 𝒎𝒊 𝟒𝒎 𝟐 𝒓𝑨𝑨′ = Respecto al eje BB’:
𝒂 √𝟐𝟗(𝒎) 𝟐
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 𝑰𝑩𝑩′ = ∑ 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 = 𝒎𝟏 𝒓𝟐𝟏 + 𝒎𝟐 𝒓𝟐𝟐 + 𝒎𝟑 𝒓𝟐𝟑 + 𝒎𝟒 𝒓𝟐𝟒 𝒓𝟏 = 𝟐𝒂, 𝒓𝟐 = 𝟎, 𝒓𝟑 = 𝒂, 𝒓𝟒 = 𝟐𝒂 𝟐 𝟐 𝑰𝑩𝑩′ = 𝒎(𝟐𝒂) + 𝒎(𝟎) + 𝒎(𝒂)𝟐 + 𝒎(𝟐𝒂)𝟐 𝑰𝑩𝑩′ = 𝟒𝒎(𝒂)𝟐 + 𝟎 + 𝒎(𝒂)𝟐 + 𝟒𝒎(𝒂)𝟐 = 𝟗𝒎𝒂𝟐 𝑰𝑩𝑩′ = 𝟗𝒎𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) El radio de giro es: 𝑰𝑩𝑩′ 𝟗𝒎𝒂𝟐 𝟑 𝒓𝑩𝑩′ = √ =√ = 𝒂(𝒎) ∑ 𝒎𝒊 𝟒𝒎 𝟐 𝟑 𝒓𝑨𝑨′ = 𝒂(𝒎) 𝟐 3. El factor de inercia de un disco sólido de masa M y de radio a respecto a un eje que pase 𝟏 por su centro es: 𝑰𝑫 = 𝟐 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) determinar el factor de inercia respecto a un eje AA’ perpendicular al círculo y que pase a la cuarta parte del radio medido desde la periferia, y de un eje BB’ que pase por la periferia, como se indica en la figura. A B
a
A ’a/4 B ’
M
Respecto al eje AA’, está dado por el teorema de los ejes paralelos: 𝑰 = 𝑰𝑪𝑮 + 𝒎𝒍𝟐 ,
𝑰 = 𝑰𝑫 + 𝒎𝒍𝟐
Dónde: 𝑰𝑫 =
𝟏 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ), 𝒍 = 𝑹 = 𝒂 𝟐
𝑰𝑨𝑨′ = 𝑰𝑫 + 𝑴𝒂𝟐 = 𝑰𝑨𝑨′
𝟏 𝟑 𝑴𝒂𝟐 + 𝑴𝒂𝟐 = 𝑴𝒂𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 = 𝑴𝒂𝟐 𝟐
El radio de giro es: 𝒓𝑨𝑨′
𝟑 𝑰𝑨𝑨′ √𝟐 𝑴𝒂𝟐 𝟑 =√ = = 𝒂√ (𝒎) 𝑴 𝑴 𝟐 𝟑 𝒓𝑨𝑨′ = 𝒂√ (𝒎) 𝟐
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA Respecto al eje BB’: 𝑰𝑩𝑩′ = ∑ 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 = 𝒎𝟏 𝒓𝟐𝟏 + 𝒎𝟐 𝒓𝟐𝟐 + 𝒎𝟑 𝒓𝟐𝟑 + 𝒎𝟒 𝒓𝟐𝟒 𝒓𝟏 = 𝟐𝒂, 𝒓𝟐 = 𝟎, 𝒓𝟑 = 𝒂, 𝒓𝟒 = 𝟐𝒂 𝟐 𝟐 𝑰𝑩𝑩′ = 𝒎(𝟐𝒂) + 𝒎(𝟎) + 𝒎(𝒂)𝟐 + 𝒎(𝟐𝒂)𝟐 𝑰𝑩𝑩′ = 𝟒𝒎(𝒂)𝟐 + 𝟎 + 𝒎(𝒂)𝟐 + 𝟒𝒎(𝒂)𝟐 = 𝟗𝒎𝒂𝟐 𝑰𝑩𝑩′ = 𝟗𝒎𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) El radio de giro es: 𝒓𝑩𝑩′
=√
𝑰𝑩𝑩′ 𝟗𝑴𝒂𝟐 √ = = 𝟑𝒂(𝒎) 𝑴 𝑴 𝒓𝑩𝑩′ = 𝟑𝒂(𝒎)
4. El factor de inercia de un disco sólido de masa M y de radio a respecto a un eje que pase 𝟏 por su centro es: 𝑰𝑫 = 𝟐 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) determinar el factor de inercia respecto a un eje AA’ perpendicular al círculo en el dispositivo que se indica a continuación:
a A
A’
M M/4
a/2 Respecto al eje AA’, está dado por el teorema de los ejes paralelos: 𝑰 = 𝑰𝑪𝑮 + 𝒎𝒍𝟐 , 𝑰 = 𝑰𝑫 + 𝒎𝒍𝟐 Dónde: para el cilindro grande el factor de inercia es: 𝟏 𝑰𝑫 = 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ), 𝟐 Para el cilindro pequeño el factor de inercia es: 𝑰𝑨𝑨′ = 𝑰𝑫 +
𝑴 𝒂 𝟐 𝟏𝑴 𝒂 𝟐 𝑴 𝒂 𝟐 𝟑 ( ) = ( ) + ( ) = 𝑴𝒂𝟐 𝟒 𝟐 𝟐𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟑𝟐 𝟑 𝑰𝑨𝑨′ = 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) 𝟑𝟐
El Factor de inercia total del dispositivo respecto al eje AA’ es la suma de los factores de inercia. 𝑰𝑫 Del cilindro grande más 𝑰𝑨𝑨′ del cilindro pequeño: 𝑰 = 𝑰𝑫 + 𝑰𝑨𝑨′ 𝟏 𝟑 𝑰 = 𝑴𝒂𝟐 + 𝑴𝒂𝟐 𝟐 𝟑𝟐 𝟏𝟗 𝑰= 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) 𝟐
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 5. El factor de inercia de un aro sólido de masa M y de radio a respecto a un eje que pase por su centro es: 𝑰𝑨 = 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) determinar el factor de inercia respecto a un eje AA’ perpendicular al círculo en el dispositivo que se indica a continuación. (Masa del cilindro 𝑴 interior ) 𝟏𝟔
a M a/2 A A ’ Para los dos aros el factor de inercia respecto al eje AA’, está dado por el teorema de los ejes paralelos: Factor de inercia para el aro externo e interno respecto al eje AA’ está dado por: 𝑰𝑨𝑨′ = 𝑰𝑪𝑮 + 𝒎𝒍𝟐 ,
𝑰 = 𝑰𝑨 + 𝒎𝒍𝟐
Dónde: para el aro externo el factor de inercia es: 𝒂 𝟐 𝑰𝑨𝑨′ = 𝑴𝒂𝟐 + 𝑴 ( ) , 𝟐 𝟓 𝑰𝑨𝑨′ = 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ), 𝟒 Para el aro pequeño interno el factor de inercia es: 𝑰𝑨𝑨′ = 𝑰𝑨 +
𝑴 𝒂 𝟐 𝑴 𝒂 𝟐 𝑴 𝒂 𝟐 𝟏 ( ) = ( ) + ( ) = 𝑴𝒂𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 𝟐 𝟑𝟐 𝟏 𝑰𝑨𝑨′ = 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) 𝟑𝟐
El factor de inercia total del dispositivo es: 𝑰 = 𝑰𝑨𝑨′ + 𝑰𝑨𝑨′ 𝟓 𝟏 𝑰 = 𝑴𝒂𝟐 + 𝑴𝒂𝟐 𝟒 𝟑𝟐 𝟒𝟏 𝑰= 𝑴𝒂𝟐 (𝒌𝒈𝒎𝟐 ) 𝟑𝟐 6. Una polea tiene un momento de inercia de 10kgm2 y se encuentra girando a 1800rpm. La polea es frenada uniformemente deteniéndose luego de 10s, determinar: a) La aceleración angular de la rueda. b) El valor del torque aplicado para frenar la polea. Solución: Como la rueda es frenada uniformemente desde 1800rpm hasta 0rad/s, se tiene: 𝝎 = 𝝎𝟎 + 𝜶∆𝒕 𝝎𝟎 = 𝟏𝟖𝟎𝒓𝒑𝒎 =
𝟏𝟖𝟎𝟎 𝒓𝒂𝒅 (𝟐𝝅)𝒓𝒂𝒅 = 𝟔𝟎𝝅( ) 𝟔𝟎𝒔 𝒔
𝟎 = 𝟔𝟎𝝅 + 𝟐𝜶(𝟏𝟎)
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 𝟔𝟎𝝅 = −𝟑𝝅𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐 𝟐𝟎 Cálculo del torque, momento de fuerza o girógeno: 𝝉 = 𝑰𝜶 𝝉 = 𝟏𝟎(−𝟑𝝅) = −𝟑𝟎𝝅 𝜶=−
𝝉 = −𝟑𝟎𝝅(𝒎. 𝑵)𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒂𝒓𝒊𝒐𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒇𝒓𝒆𝒏𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒐𝒍𝒆𝒂
7. Una polea en forma de disco homogéneo de 50cm de radio y 8kg de masa está montada sobre un eje horizontal sin fricción. Se suspende mediante una cuerda enrollada en su borde un bloque de 750g, y al soltarle desde el reposo el bloque desciende 180cm en 2s, determinar: a) La aceleración del bloque, b) La tensión de la cuerda. c) El radio de giro de la polea
Solución: 𝟏 𝟏 Para el bloque: ∆𝒚 = 𝒗𝟎 𝒕 + 𝟐 𝒂𝒕𝟐 = −𝟏, 𝟖 = 𝟐 𝒂(𝟐)𝟐 ; 𝒂 = −𝟎, 𝟗𝒎/𝒔𝟐
𝒂 = 𝒓𝜶 = −𝟎, 𝟗
𝒎 , 𝒔𝟐
𝒎 −𝟎, 𝟗 𝟐 𝒔 𝜶= , 𝒓
0,75kg
𝜶=−
𝟎, 𝟗 𝒓
La tensión de la cuerda es: 𝑻 − 𝒎𝒈 = 𝒎(−𝒂), 𝑻 = 𝟎, 𝟕𝟓(𝟗, 𝟖) − 𝟎, 𝟕𝟓(𝟎, 𝟗), 𝑻 = 𝟔, 𝟔𝟕𝟓𝑵
El radio de giro de la polea: 𝝉 = −𝑰𝜶 = 𝒓𝑻 = −𝑰𝜶; 𝑰 = 𝑴𝒓𝟐𝑮 𝝉 = −𝑰𝜶; 𝒓𝑻 = −𝑴𝒓𝟐𝑮 𝜶; 𝒓𝑻 𝒓(𝟔, 𝟔𝟕𝟓) 𝟔, 𝟔𝟕𝟓 = −𝒓𝟐𝑮 ; 𝒓𝟐𝑮 = − ; 𝒓𝟐𝑮 = 𝒓𝟐 ( ) = 𝟎, 𝟗𝟑𝒓𝟐 𝟎, 𝟗 ( )( ) 𝑴𝜶 𝟖 𝟎, 𝟗 𝟖 (− 𝒓 ) 𝒓𝟐𝑮 = 𝟎, 𝟗𝟑𝒓𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟑(𝟎, 𝟓)𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟑𝒎 𝒓𝑮 = √𝟎, 𝟐𝟑𝒎, 𝒓𝑮 = 𝟎, 𝟒𝟖𝒎 8. Un bloque de 12kg se encuentra sobre un plano inclinado de la figura. El bloque está atado a una cuerda delgada que esta enrollada en un cilindro homogéneo de 5kg de masa y 20cm de radio. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es µ = 0,2 y el sistema parte de reposo, calcular la aceleración del bloque, la tensión en la cuerda, y la distancia que se desplaza el bloque en 2s.
30°
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA Solución: Para el bloque en el sentido del movimiento: La tensión de la cuerda es: 𝒎𝒈𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° − 𝑻 − 𝝁𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° = 𝒎𝒂, 𝑻 = 𝟏𝟐(𝟗, 𝟖)(𝟎, 𝟓) − 𝟎, 𝟐(𝟏𝟐)(𝟗, 𝟖)(𝟎, 𝟓√𝟑) − 𝟏𝟐(𝒂) 𝑻 = 𝟓𝟖, 𝟖 − 𝟐𝟎, 𝟑𝟕 − 𝟏𝟐(𝒂) 𝑻 = 𝟑𝟖, 𝟒𝟑 − 𝟏𝟐(𝒂) En la polea: 𝟏 𝝉 = 𝑰𝜶 = 𝒓𝑻 = 𝑰𝜶; 𝑰 = 𝑴𝒓𝟐 𝟐 𝟏 𝒂 𝟏 𝒂 𝟏 𝒂 𝟐 𝟐 𝝉 = 𝑴𝒓 ( ) ; 𝒓𝑻 = 𝑴𝒓 ; 𝑻 = 𝑴𝒓𝟐 𝟐 , 𝟐 𝒓 𝟐 𝒓 𝟐 𝒓 𝟏 𝟏 𝑻 = 𝑴𝒂, 𝑻 = (𝟒)𝒂, 𝑻 = 𝟐𝒂 𝟐 𝟐 Igualamos las ecuaciones subrayadas con verde: T = T 𝟐𝒂 = 𝟑𝟖, 𝟒𝟑 − 𝟏𝟐(𝒂) 𝟏𝟒𝒂 = 𝟑𝟖, 𝟒𝟑,
𝒂=
𝟑𝟖, 𝟒𝟑 , 𝒂 = 𝟐, 𝟕𝟒𝟓𝒎/𝒔𝟐 𝟏𝟒
El cálculo de la tensión de la cuerda en el caso del bloque: 𝑻 = 𝟑𝟖, 𝟒𝟑 − 𝟏𝟐(𝒂) 𝑻 = 𝟑𝟖, 𝟒𝟑 − 𝟏𝟐(𝟐, 𝟕𝟒𝟓), 𝑻 = 𝟓, 𝟒𝟗𝑵
El cálculo de la tensión de la cuerda en el caso del cilindro homogéneo: 𝑻 = 𝟐𝒂 𝑻 = 𝟐𝒂, 𝑻 = 𝟐(𝟐, 𝟕𝟒𝟓) 𝑻 = 𝟓, 𝟒𝟗𝑵
La distancia que alcanza el bloque en 2s 𝟏 𝟏 ∆𝒚 = 𝒗𝟎 𝒕 + 𝒂𝒕𝟐 = (𝟐, 𝟕𝟒𝟓)(𝟐)𝟐 ; 𝟐 𝟐 ∆𝒚 = 𝟓, 𝟒𝟗𝒎
∆𝒚 = 𝟓, 𝟒𝟗𝒎
La velocidad que lograría partiendo del reposo es: 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕,
𝒗 = 𝟎 + 𝟐, 𝟕𝟒𝟓(𝟐)
𝒗 = 𝟓, 𝟒𝟗𝒎/𝒔
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 9. Máquina de Atwood En la máquina de George Atwood (inglés octubre 1745 – 11 de julio de1807) la masa M>m, la polea tiene masa mP y radio r. Solución: Las ecuaciones dinámicas para los bloques m y m son: Bloque (M) desciende 𝑻𝟏 − 𝑴𝒈 = 𝑴(−𝒂) 𝑻𝟏 = 𝑴𝒈 − 𝑴𝒂 Bloque (m) asciende 𝑻𝟐 − 𝒎𝒈 = 𝒎𝒂 𝑻𝟐 = 𝒎𝒈 + 𝒎𝒂 Para la polea:
m
r M>m
M
m
∑ 𝝉 = 𝑰𝜶 𝟐𝒅𝒐 𝑷𝑵𝑹 𝝉𝟏 −𝝉𝟐 = 𝑰𝜶
𝒓𝑻𝟏 − 𝒓𝑻𝟐 = 𝑰𝜶 𝑰 𝒂 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 = 𝜶, 𝜶= 𝒓 𝒓 𝑰 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 = 𝟐 𝒂, 𝒓 Reemplazando T1 y T2 en la ecuación anterior: 𝑰 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 = 𝟐 𝒂, 𝒓
𝑰 𝑴𝒈 − 𝑴𝒂 − 𝒎𝒈 − 𝒎𝒂 = 𝟐 𝒂 𝒓
𝑴𝒈 − 𝒎𝒈 =
𝑰 𝒂 + 𝑴𝒂 + 𝒎𝒂, 𝒓𝟐
Cálculo de T1: 𝑻𝟏 = 𝑴𝒈 − 𝑴𝒂,
𝑻𝟏 = 𝑴𝒈 − 𝑴
(𝑴 − 𝒎)𝒈 𝑰 (𝑴 + 𝒎 + 𝟐 ) 𝒓
𝑰 𝟐) 𝒓 𝑻𝟏 = 𝑰 (𝑴 + 𝒎 + 𝟐 ) 𝒓 𝑴𝒈 (𝟐𝒎 +
(𝑴 − 𝒎)𝒈 𝑰 (𝑴 + 𝒎 + 𝟐 ) 𝒓 𝑰 𝒎𝒈 (𝟐𝑴 + 𝟐 ) 𝒓 𝑻𝟏 = 𝑰 (𝑴 + 𝒎 + 𝟐 ) 𝒓
𝑻𝟏 = 𝒎𝒈 + 𝒎𝒂,
𝑻𝟏 = 𝒎𝒈 + 𝒎
r
T T
(𝑴 − 𝒎)𝒈 = (𝑴 + 𝒎 +
(𝑴 − 𝒎)𝒈 =𝒂 𝑰 (𝑴 + 𝒎 + 𝟐 ) 𝒓
Cálculo de T2:
m
𝑰 𝑴𝒈 − 𝑴𝒂 − (𝒎𝒈 + 𝒎𝒂) = 𝟐 𝒂 𝒓
𝑰 )𝒂 𝒓𝟐
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 10. Un yo –yo está compuesto por dos discos homogéneos de masa M y de radio R unidos por un eje muy liviano de radio r, en el que se enrolla una cuerda. A partir del reposos se suelta el Yo – YO, considerando que la cuerda queda vertical, determinar: a) La aceleración de traslación del yo – yo. b) La tensión en la cuerda c) la velocidad de traslación del Yo - Yo cuando ha descendido una altura H. Solución: La ecuación para la traslación del Yo – YO: 𝑻 − 𝟐𝒎𝒈 = −𝟐𝒎𝒂,
𝑻 = 𝟐𝒎𝒈 − 𝟐𝒎𝒂 T
La ecuación para la rotación de la polea en sentido antihorario: 𝝉 = 𝑰𝜶,
𝒂 𝒓𝑻 = 𝑰 , 𝒓
𝑻=
𝑰 𝒂, 𝒓𝟐
r R
𝟏
La inercia 𝑰 corresponde a la de dos discos: 𝑰 = 𝟐 (𝟐 𝒎𝑹𝟐 ) , 𝑰 = 𝒎𝑹𝟐
P=2mg
Reemplazando en la ecuación de la tensión en la polea:
𝑰 𝑻 = 𝟐 𝒂, 𝒓 𝟐𝒎𝒈 =
𝒎𝑹𝟐 𝟐𝒎𝒈 − 𝟐𝒎𝒂 = 𝟐 𝒂 𝒓
𝒎𝑹𝟐 𝒂 + 𝟐𝒎𝒂, 𝒓𝟐
𝟐𝒈 = (
𝑹𝟐 + 𝟐) 𝒂 𝒓𝟐
𝟐𝒈𝒓𝟐 =𝒂 𝑹𝟐 + 𝟐𝒓𝟐 Cálculo de la tensión con la ecuación del Bloque: 𝑻 = 𝟐𝒎𝒈 − 𝟐𝒎𝒂,
𝑻 = 𝟐𝒎(𝒈 − 𝒂),
𝟐𝒈𝒓𝟐 𝑻 = 𝟐𝒎 (𝒈 − 𝟐 ). 𝑹 + 𝟐𝒓𝟐
𝑹𝟐 + 𝟐𝒓𝟐 − 𝟐𝒓𝟐 𝟐𝒎𝒈𝑹𝟐 ) = ( ) 𝑹𝟐 + 𝟐𝒓𝟐 𝑹𝟐 + 𝟐𝒓𝟐 𝟐𝒎𝒈𝑹𝟐 𝑻=( 𝟐 ) 𝑹 + 𝟐𝒓𝟐 Cálculo de la tensión con la ecuación de la Polea: 𝑻 = 𝟐𝒎𝒈 (
𝑰 𝑻 = 𝟐 𝒂, 𝒓
𝑰 𝟐𝒈𝒓𝟐 𝒎𝑹𝟐 𝟐𝒈𝒓𝟐 𝑻= 𝟐 ( 𝟐 ), 𝑻 = ( 𝟐 ) 𝒓 𝑹 + 𝟐𝒓𝟐 𝒓𝟐 𝑹 + 𝟐𝒓𝟐
𝑻= (
𝟐𝒈𝒎𝑹𝟐 ) 𝑹𝟐 + 𝟐𝒓𝟐
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA Calculo de la velocidad cuando ha descendido una altura H: 𝒗𝟐 = 𝒗𝟐𝟎 + 𝟐𝒂∆𝒚 𝟐𝒈𝒓𝟐 𝒗𝟐 = 𝟎 + 𝟐 𝟐 𝑯 𝑹 + 𝟐𝒓𝟐 𝒈𝑯 𝒎 𝒗 = 𝟐𝒓√ 𝟐 .( ) 𝟐 𝑹 + 𝟐𝒓 𝒔 11. Sobre un plano inclinado de 30° rueda sin deslizarse a partir del reposo un cilindro y una esfera sólida, ambos cuerpos tiene igual masa M y radio R. El eje del cilindro se coloca a una distancia 3R delante de la esfera, determinar: a) ¿Cuáles son las aceleraciones de los cuerpos? b) ¿Después de cuánto tiempo se chocan? ESFERA
3R R
CILINDRO
R
30° Solución: Aplicando el principio de conservación de la energía para Cada móvil. 𝟏 𝟏 𝟏 Cilindro: 𝑬𝑴𝟎 = 𝑬𝑴 , 𝑴𝒈𝒀 = 𝟐 𝑴𝒗𝟐 + 𝟐 𝑰𝝎𝟐 , 𝑰𝑪 = 𝟐 𝑴𝑹𝟐 𝑴𝒈𝒀 = 𝑴𝒈𝒀 =
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 𝟏
𝒗
𝒗
𝑴𝒗𝟐 + 𝟐 (𝟐 𝑴𝑹𝟐 )(𝑹)𝟐 , 𝟏
𝑴𝒗𝟐 + 𝟒 (𝑴)(𝒗)𝟐 ,
𝝎 = 𝑹,
𝒈𝒀 =
𝟑 𝟒
𝒈𝒀
𝒗𝟐 , 𝒗 = 𝟐√ 𝟑
𝒈𝒀 𝒎 𝒗𝑪 = 𝟐√ ( ) 𝟑 𝒔 Esfera Sólida: 𝑬𝑴𝟎 = 𝑬𝑴 , 𝑴𝒈𝒀 = 𝑴𝒈𝒀 =
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
𝑴𝒈𝒀 =
𝟏 𝟐
𝒗
𝟏
𝟏
𝟐
𝑰𝑬 = 𝟓 𝑴𝑹𝟐
𝒗
𝑴𝒗𝟐 + 𝟐 (𝟓 𝑴𝑹𝟐 )(𝑹)𝟐 ,
𝑴𝒗𝟐 + 𝟓 (𝑴)(𝒗)𝟐 ,
𝟏
𝑴𝒗𝟐 + 𝟐 𝑰𝝎𝟐 , 𝟐 𝝎 = 𝑹,
𝒈𝒀 =
𝟕 𝟏𝟎
𝒗𝟐 , 𝒗 = √
𝟏𝟎𝒈𝒀 𝟕
𝟏𝟎𝒈𝒀 𝒎 𝒗𝑬 = √ ( ) 𝟕 𝒔 Los resultados de las velocidades indican que la esfera desarrolla mayor velocidad que el cilindro por tanto si le choca: 𝒗𝑬 > 𝒗𝑪 Para calcular la aceleración considerando que los dos móviles descienden hasta la parte inferior del plano inclinado, tenemos:
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 𝒗𝟐 = 𝒗𝟐𝟎 + 𝟐𝒂𝒅, 𝒅: 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒄𝒍𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 𝒀 𝒗𝟐 = 𝟎 + 𝟐𝒂𝒅, 𝒅 = = 𝟐𝒀 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° 𝒗𝟐 𝒗𝟐 = 𝟒𝒂𝒀, 𝒂 = , 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒎ó𝒗𝒊𝒍 𝟒𝒀 Para el Cilindro: 𝟒𝒈𝒀 𝒗𝟐 𝒈 𝒂𝑪 = , 𝒂𝑪 = 𝟑 = , 𝟒𝒀 𝟒𝒀 𝟑 𝒈 𝒎 𝒂𝑪 = ( 𝟐 ), 𝟑 𝒔 Para la Esfera: 𝟏𝟎𝒈𝒀 𝒗𝟐 𝟓𝒈 𝒂𝑬 = , 𝒂𝑬 = 𝟕 = , 𝟒𝒀 𝟒𝒀 𝟏𝟒 𝟓𝒈 𝒎 𝒂𝑬 = ( ), 𝟏𝟒 𝒔𝟐 Los resultados de las aceleraciones de los móviles indican que la esfera tiene mayor aceleración que el cilindro confirmando que si existe el choque, Calculo del instante en que chocan. La distancia que debe trasladarse la esfera para chocarle al cilindro es R, por tanto en la ecuación: 𝟏 ∆𝒅 = 𝒗𝟎 𝒕 + 𝒂𝒕𝟐 , 𝒗𝟎 = 𝟎𝒎/𝒔 𝟐 La aceleración es la aceleración relativa de la esfera respecto del cilindro: 𝟓𝒈 𝒈 𝟏 𝒂 = 𝒂𝑬 − 𝒂𝑪 , 𝒂 = − , 𝒂= 𝒈, 𝟏𝟒 𝟑 𝟒𝟐 Reemplazando la aceleración relativa en la ecuación del desplazamiento se tiene: 𝟏 𝟏 𝑹 = + ( 𝒈) 𝒕𝟐 , 𝟐 𝟒𝟐
𝟖𝟒 𝒕 = √ 𝑹, 𝒈
𝒕 = 𝟐, 𝟗𝟑√𝑹(𝒔)
𝒕 = 𝟐, 𝟗𝟑√𝑹(𝒔)
12. Una rueda de 4kg y de radio de giro 20 cm está rotando a 360 RPM. El torque debido a la fuerza de fricción es de 0,12 N.m. Determine el tiempo necesario para llevar la rueda hasta el reposo Datos: Solución M = 4kg 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 Wo = 360 rpm = 360. 60𝑠 = 12𝜋𝑟𝑎𝑑/𝑠 rg= 20 cm = 0,2 m wo = 360 rpm 𝑊 = 𝑊𝑜 + ∝ 𝑡 Incógnita 0 = 12𝜋+∝ 𝑡 t = ?; W = 0 rad/s 𝜏=𝐼∝ 𝜏 − = ∝ ; 𝐼 = 𝑀𝑟𝑔2 𝐼 0,12 ∝= − 𝑚𝑟𝑔2
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 0,12 4. (0,2)2 ∝= −0,75 𝑟𝑎𝑑/𝑠 2 −0,12𝜋 = −0,75 𝑡 0,12𝜋 𝑡= 0,75 𝑡 = 16 𝜋𝑠 ∝= −
Calcular el ángulo girado (desplazamiento angular Δθ) ∆𝜃 =? 2 𝑊 = 𝑊𝑜2 + 2𝑎∆𝜃 𝑊 2 − 𝑊𝑜2 = ∆𝜃 2𝑎 02 − 0,12𝜋 2 ∆𝜃 = ; ∆𝜃 = 96𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 ( ) 2 −0,75 El número de vueltas efectuadas por la rueda n ∆𝜃𝑟𝑎𝑑 96𝜋 2 𝑛= ;𝑛 = ; 𝑛 = 48𝜋 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 2𝜋 2𝜋 𝑛 = 150,8 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 Si la rueda se desplaza sobre un plano horizontal, determina la distancia recorrida d 𝑑 = 𝑅∆𝜃; 𝑑 = 0,2 (96𝜋 2 𝑟𝑎𝑑) 𝑑 = 189,50 𝑚
13. Una diminuta esfera sólida rueda sin resbalar sobre la superficie interior de una semiesfera, como muestra en la figura. Si se deja caer en el punto A, con qué rapidez se moverá cuando pase por el punto. a) B b) C Datos: 50cm A ESFERA SÓLIDA 2 𝐼𝐸 = 3 𝑚𝑟 2 ; 40° 𝑉𝑜 = 𝑜 𝑚/𝑠 Incógnitas 𝑎)𝑉𝐵 =? C 𝑏) 𝑉𝐶 =? B 𝑓 = 0𝑁 𝐸𝑀 = 𝑐𝑡𝑒 𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐶 = 𝐸𝑀𝐵 = 𝑐𝑡𝑒 𝐸𝑔𝐴 = 𝐸𝑀𝐶 + 𝐸𝐶𝑟 𝐵 1 1 2 𝑉 𝑚𝑔𝑌𝐴 = 𝑚𝑉𝐵2 + 𝐼𝑊𝐵2 ; 𝑌𝐴 = 0,5 𝑚 ; 𝐼 = 𝑚𝑟 2 ; 𝑊 = 2 2 5 𝑅 1 1 2 𝑉 2 𝑚𝑔(0,5) = 𝑚𝑉𝐵 + ( 𝑚𝑟 2 ) ( ) 2 2 2 5 𝑅
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 𝑉𝐵2 𝑉𝐵2 𝑔(0,5) = + 2 5 𝑔 7 2 = 𝑉 2 10 𝐵 5 𝑚 𝑚 𝑉𝐵 = √ 𝑔 = 2,65 7 𝑠 𝑠 𝑚 𝑉𝐵 = 2,65 𝑠 𝑏)𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐶 1 1 𝑚𝑔𝑌𝐴 = 𝑚𝑔𝑌𝐶 + 𝑚𝑉𝐶2 + 𝐼𝑊𝐶2 2 2 1 1 2 𝑉𝐶 𝑚𝑔𝑌𝐴 = 𝑚𝑔𝑌𝐶 + 𝑚𝑉𝐶2 + ( 𝑚𝑟 2 ) 2 2 2 5 𝑟 𝑉𝐶2 7 𝑔(𝑌𝐴 − 𝑌𝐶 ) = ( ) 2 5 10 𝑉𝐶 = √ 𝑔(𝑌𝐴 − 𝑌𝐶 ) 7 𝑉𝐶 = √
10 10 𝑔(𝑙 − 𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠40)) = √ 𝑔(𝑙𝑐𝑜𝑠40) 7 7 𝑚 𝑉𝐶 = 2,32 𝑠 (𝑙 − 𝑌𝐶 ) 𝐶𝑜𝑠40 = 𝑙 𝑙𝑐𝑜𝑠40 = 𝑙 − 𝑌𝐶 𝑌𝐶 = 𝑙 (1 − 𝑐𝑜𝑠40) 𝑌𝐴 = 𝑙
14. la varilla OA es una regla de un metro está articulada en el punto O de tal manera que puede dar vueltas en un plano vertical, se sostiene horizontalmente y después se suelta. Calcúlese la rapidez angular de la varilla y la rapidez lineal de su extremo libre, cuando pasa a través de la posición que se muestra en la figura. Datos 0 Varilla 1 60° 𝐼𝑉 = 2 𝑀𝐿2 A 𝐿 = 1𝑚 INCÓGNITAS C 𝑎) 𝜔 =? X G 𝑏)𝑉𝐵 =? SOLUCIÓN 𝐸𝑀 = 𝑐𝑡𝑒 B 𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐵 1 1 𝑚𝑔𝑌𝐴 = 𝑚𝑉 2 + 𝐼𝜔2 ; 𝑉 = 𝑟𝜔 2 2 Cálculo del factor de Inercia de la varilla con respecto al eje de giro O,
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 𝐿 𝐼0 = 𝐼𝑐𝑔 + 𝑚𝑑 2 . 𝑑 = , 2
𝑚𝑔𝑌𝐴 =
𝐼0 =
1 𝐿 1 𝑚𝐿2 + 𝑚( )2 = 𝑚 𝐿2 12 2 3
1 1 1 𝐿 𝐿 𝑚𝑟 2 𝜔2 + ( 𝑚𝐿2 )(𝜔)2 , 𝑟 = , 𝑌𝐴 = √3 2 2 3 2 4 𝐿 1 𝐿 2 2 1 1 2 2 𝑔( √3) = ( ) 𝜔 + ( 𝐿 )(𝜔) 4 2 2 2 3 1 1 𝐿 2 1 𝐿 𝑔( √3) = ( )𝜔 + ( )(𝜔)2 4 2 4 2 9 1 13 2 𝑔( √3) = 𝜔 4 72 √𝑔(
18 √3) = 𝜔 13
𝝎 = 𝟒, 𝟖𝟓𝒓𝒂𝒅/𝒔 La velocidad del extremo B de la regla es: 𝑣𝐵 = 𝑅 𝜔,
𝑅 = 𝐿 = 1𝑚 4,85𝑟𝑎𝑑 𝑣𝐵 = 1𝑚( ) 𝑠 𝒎 𝒗𝑩 = 𝟒, 𝟖𝟓 𝒔
15. Una esfera sólida de masa M y un anillo delgado de igual masa que la esfera y de radios iguales a R ruedan sobre una superficie horizontal a 20m/s. Después ruedan hacia arriba sobre un plano inclinado 30° como se muestra en la figura, despreciando las pérdidas de energía debido a la fricción, determinar el valor de Y donde se detienen momentáneamente. SOLUCIÓN
B A
20m/s
Y
20m/s 30°
La energía cinética de traslación y rotación que tienen los cuerpos de prueba en el plano horizontal se transforma en energía potencial gravitacional en la posición más alta del plano inclinado 𝐸𝑀 = 𝑐𝑡𝑒 𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐵
1 1 𝑚𝑣 2 + 𝐼𝜔2 = 𝑚𝑔𝑌 ; 2 2 Factor de inercia del anillo: 𝑰𝑨 = 𝑴𝑹𝟐 ; 𝑴 Factor de inercia del anillo: 𝑰 𝑬 = 𝟐 𝑹𝟐 ; Aplicamos la ecuación de energía para el ANILLO:
𝒗 = 𝑹𝝎
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 1 1 𝑣 𝑀(20)2 + 𝑀𝑅2 ( )2 = 𝑀𝑔𝑌𝐴 ; 2 2 𝑅 ( 20)2 + (20)2 (20)2 + 𝑣 2 = 2𝑔𝑌𝐴 ; = 𝑌𝐴, 2𝑔 𝒀𝑨 = 𝟒𝟎, 𝟖𝟐𝒎 La altura a la que llega el ARO no depende de la masa del aro, ni del ángulo de inclinación del plano. Aplicamos la ecuación de energía para la ESFERA: 1 1 2 𝑣 𝑀(20)2 + ( )𝑀𝑅2 ( )2 = 𝑀𝑔𝑌𝐴 ; 2 2 5 𝑅 2 (20)2 + (20)2 2 2 5 2 (20) + 𝑣 = 2𝑔𝑌𝐴 ; = 𝑌𝐴, 5 2𝑔 𝒀𝑨 = 𝟐𝟖, 𝟓𝟕𝒎 La altura a la que llega la ESFERA no depende de la masa de la esfera, ni del ángulo de inclinación del plano. Explique por qué el aro alcanza mayor altura que la esfera.
16. Un disco homogéneo tiene un masa de 6,5kgy un diámetro de 80cm. Calcúlese el momento de inercia alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura que pase por el centro de gravedad (G) y a través de (A) SOLUCIÓN
22cm
G
A
Factor de inercia respecto al centro de gravedad: 𝑰𝑮 =
𝟏 𝒎𝑹𝟐 , 𝟐
𝑰𝑮 =
𝟏 (𝟔, 𝟓)(𝟎, 𝟒)𝟐 , 𝟐
𝒎 = 𝟔, 𝟓𝒌𝒈,
𝑹 = 𝟎, 𝟒𝒎,
𝑰𝑮 = 𝟎, 𝟓𝟐(𝒌𝒈𝒎𝟐 ),
Factor de inercia respecto al centro de giro en A: se aplica el teorema de los ejes paralelos 𝑰𝑨 = 𝑰𝑮 + 𝒎𝒅𝟐 ,
𝑰𝑮 =
𝟏 𝒎𝑹𝟐 , 𝟐 𝑰𝑨 =
𝑰𝑨 =
𝒎 = 𝟔, 𝟓𝒌𝒈,
𝑹 = 𝟎, 𝟒𝒎, 𝒅 = 𝟎, 𝟐𝟐𝒎
𝟏 𝒎𝑹𝟐 + 𝒎𝒅𝟐 𝟐
𝟏 (𝟔, 𝟓)(𝟎, 𝟒)𝟐 + 𝟔, 𝟓(𝟎, 𝟐𝟐)𝟐 , 𝟐
𝑰𝑨 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟓(𝒌𝒈𝒎𝟐 ),
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 17. una varilla delgada AB de masa M y de longitud L está sujeta por un pasador colocado en el piso en su extremo A, si inicialmente está en la posición vertical y comienza a caer hacia el piso como se muestra, ¿con qué rapidez angular llegará a golpear el piso?
0
C G
X
B
A
Cálculo del factor de Inercia de la varilla con respecto al eje de giro extremo A, 𝐿 𝐼𝐴 = 𝐼𝑐𝑔 + 𝑀𝑑 2 . 𝑑 = , 2
𝐼𝐴 =
1 𝐿 1 𝑀𝐿2 + 𝑀( )2 = 𝑀 𝐿2 12 2 3
Como la varilla cae al plano horizontal, el centro de gravedad CG donde se considera 𝐿 concentrada toda la masa de la varilla cae: 𝑌 = 2 , aplicando el principio de conservación de la energía de manera que en la posición vertical la energía mecánica es potencial gravitacional, y en la posición horizontal la energía es cinética de rotación: 𝐸𝑀𝑉 = 𝐸𝑀𝐻 1 2 𝐿 1 𝑀𝑔𝑌 = 𝐼𝜔 ; 𝑌 = , 𝐼 = 𝑀 𝐿2 2 2 3 1 1 2 2 𝑀𝑔𝑌 = (𝑀 𝐿 )𝜔 ; 2 3 𝜔2 =
3𝑔 ; 𝐿
3𝑔 𝑟𝑎𝑑 𝜔= √ ( ) 𝐿 𝑠
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 18. En el dispositivo de la figura construido de hierro (𝜌𝐹𝑒 = 7,8𝑔/𝑐𝑚3 ) determinar el factor de inercia respecto a los ejes 𝑋𝑋 𝐼 y 𝑍𝑍 𝐼 .
5𝑐𝑚 𝑌𝐼
𝑌
𝑋𝐼
𝑋
25𝑐𝑚
5𝑐𝑚 4𝑐𝑚 19. En el casillero de la derecha escriba la letra v si la proposición es verdadera y la letra F si la proposición es falsa Proposición VoF El torque o momento de fuerza es una magnitud vectorial. El torque se define como el producto vectorial entre la fuerza y el vector de posición. Cuanto menor es la distancia entre el punto de aplicación de una fuerza y el eje de rotación de un sólido, menor es el torque producido. El torque de la fuerza centrípeta en un movimiento circular es nulo. Las fuerzas paralelas a la línea que une el eje de rotación del sólido y el punto de aplicación sólo producen torque si se aplican en el eje de rotación. La inercia es la oposición que presenta un cuerpo para cambiar su velocidad angular Los cuerpos con mayor masa presentan menor inercia rotacional Una fuerza no genera torque cuando pasa por el eje de rotación. El torque es paralelo al plano formado por los vectores posición y fuerza aplicada. El torque es máximo si la fuerza aplicada es perpendicular al vector de posición y se aplica lo más lejana del eje de rotación. La inercia es una magnitud escalar que es directamente proporcional al cuadrado de la masa del sólido. El torque es directamente proporcional a la aceleración angular del sólido. La inercia depende de la distribución de la masa del sólido. Si la sumatoria de torques es igual a cero, significa que el sólido se encuentra en equilibrio de rotación. Si la sumatoria de todas las fuerzas aplicadas a un sólido es cero, este se encuentra en equilibrio. Un anillo, un disco sólido y una esfera sólida de igual masa y el mismo radio se sueltan al mismo tiempo de la parte superior de un plano inclinado de longitud (L) y ruedan sin resbalar, el primero en llegar a la parte inferior es el que menor inercia tiene. El brazo de palanca es la distancia perpendicular del eje a la línea de acción de la fuerza aplicada sobre un sólido
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 20. Un bloque de masa (𝒎), que se encuentra sobre un plano horizontal sin rozamiento, está unido, mediante una cuerda que pasa por una polea en forma de disco homogéneo de radio ( 𝒓 ) y de masa (𝟐𝒎), con un momento de inercia
𝒎𝒓𝟐 𝟐
a un
cuerpo suspendido de masa (𝒎), en reposo. La aceleración del bloque es: a) 𝒈/𝟒 b) 𝒈/𝟑 c) 𝒈/𝟐 d) 𝟑𝒈/𝟒 e) 𝒈 21. La velocidad del bloque del ejercicio anterior cuando ha bajado una altura (𝒉) es: a) √𝒈𝒉/𝟒 b) √𝒈𝒉/𝟐 c) √𝟑𝒈𝒉/𝟒 d) √𝟐𝒈𝒉/𝟑 e) √𝟐𝒈𝒉
22. La tensión del cable en su parte horizontal es: a) 𝒎𝒈/𝟒 b) 𝒎𝒈/𝟐 c) 𝟑𝒎𝒈/𝟒 d) 𝒎𝒈/𝟑 e) 𝒎𝒈
23. Un anillo, una esfera y un cilindro de igual masa y radio, se sueltan de la parte superior de un plano inclinado al mismo tiempo. Al llegar a la parte inferior: a) El anillo llega antes que los otros dos cuerpos b) La esfera llega primero c) El cilindro llega en primer lugar d) Los tres llegan al mismo tiempo e) No se puede saber a ciencia cierta con la información proporcionada
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 24. Sobre una rueda de radio 𝟎, 𝟓 𝒎 y de eje fijo sin rozamiento, está enrollada una cuerda que se desenrolla con el peso de un cuerpo de masa 𝟖 𝒌g. Partiendo del reposo, el cuerpo baja 𝟐𝟎 𝒎 en 𝟒 segundos. Calcule: a) la aceleración del cuerpo b) la velocidad al cabo de 𝟒 𝒔 c) la tensión de la cuerda d) El momento de inercia de la polea
25. Un bloque de masa (𝑴), que está sobre una mesa horizontal sin rozamiento, está unido, mediante una cuerda que pasa por una polea de igual masa (𝑴) y de radio (𝑹) y de momento de inercia (𝑴𝑹𝟐 ), a un bloque suspendido de igual masa (𝑴), en reposo. Calcular la velocidad de este último bloque cuando baja una altura (𝒉). 𝑹𝒆𝒔𝒑.√
𝟐𝒈𝒉 𝟑
26. Una rueda de 𝟎, 𝟓 𝒌𝒈 tiene un momento de inercia de 𝟎, 𝟎𝟏𝟓 𝒌𝒈. 𝒎𝟐 , se encuentra girando inicialmente a 𝟑𝟎 𝒓𝒆𝒗/𝒔. Alcanza el reposo después de 𝟏𝟔𝟑 𝒓𝒆𝒗. Determinar: a) La aceleración angular b) La magnitud del torque que le está frenando
27. Sobre una rueda de radio 𝟎, 𝟓 𝒎 está enrollada una cuerda que se desenrolla ejerciendo una fuerza de tracción constante 𝑭 = 𝟓𝟎 𝑵 como se indica en la figura. En 𝟐 𝒔 se han desenrollado 𝟒 𝒎. Calcular: a) La aceleración tangencial de un punto de la cuerda b) La aceleración angular de la rueda c) La velocidad lineal final de un punto de la cuerda d) La velocidad angular final e) La energía cinética final de la rueda e) La inercia de la rueda respecto a su eje de rotación
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 28. Dos masas, una de 𝟔 𝒌𝒈 y otra de 𝟑 𝒌𝒈, están unidas entre sí por un cordón delgado que está enrollado en una polea de 𝟎, 𝟔 𝒎 de diámetro. Cuando 𝒕 = 𝟎, la masa de 𝟔 𝒌𝒈 tiene una velocidad de 𝟑 𝒎/𝒔 y se mueve hacia arriba. Alcanza una altura máxima de 𝟐 𝒎 sobre su punto de partida. Calcule: a) El momento de inercia de la polea b) La tensión del cordón que sujeta la masa de 𝟑 𝒌𝒈 c) El instante en el que el sistema momentáneamente queda en reposo
𝟑𝒌𝒈
𝟔𝒌𝒈 29. Un cilindro hueco de masa (𝒎𝒉 ) y radio (𝑹𝒉 ), un cilindro macizo uniforme de masa (𝒎𝒄 ) y de radio (𝑹𝒄 ), y una esfera maciza de masa (𝒎𝒔 ) y radio (𝑹𝒔 ) se sueltan al mismo tiempo y a la misma altura en un plano inclinado. Los tres ruedan hacia abajo sin resbalar. ¿Llegarán al extremo del plano al mismo tiempo? Si no fuera así, ¿en qué orden llegarán?
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 30. Seis masas de 𝟎, 𝟒 𝒌𝒈 cada una se colocan en los vértices de un hexágono regular cuyos lados tienen cada uno 𝟎, 𝟑 𝒎 de longitud. ¿Cuáles son los momentos de inercia para la rotación sobre un eje que pase por el centro del hexágono y que sea perpendicular al plano, y sobre un eje que pase por dos vértices opuestos?
𝟎, 𝟑𝒎
31. En el sistema de la figura determine al factor de inercia y el radio de giro respecto a: a) Un eje perpendicular al plano de la figura y que pase por O. b) Un eje perpendicular al plano de la figura y que pase por A. c) Un eje perpendicular al plano de la figura y que pase por B
1,5kg
2kg
A
3kg
B
15cm
C
30cm
32. Determine la velocidad máxima que los carros de la montaña rusa pueden alcanzar a lo largo del tramo circular AB de la pista, si la componente normal de su aceleración no puede ser mayor de 3g.
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA 33. Un camión de 3 toneladas chocan perpendicularmente con un automóvil de una tonelada y al quedar unidos patinan sobre la carretera, cuando llega la policía los dos conductores se inculpan mutuamente. Yo iba a 30 y este automóvil de seguro corría a 70, dice el conductor del camión. Eso es falso, es todo lo contrario y si quieren pruebas vean las marcas del patinazo, dice el automovilista. El policía notó que las marcas del patinazo hacían un ángulo de 37𝑜 con la dirección que llevaba el camión y aplicando la conservación de la cantidad de movimiento afirmó que el automovilista no decía la verdad. ¿Por qué? Y U
CAMIÓN
V
37° v
Datos: 𝑀 = 3𝑡𝑛 = 3 ∗ 103 𝑚 = 1𝑡𝑛 = 103 𝑘𝑔 𝑒=0 𝜃𝑜 = 90𝑜 𝜃𝑐 = 37𝑜
Incógnitas: AUTO 𝑉𝑀 =? 𝑉𝑚 =?
1) 𝑚𝑉 = (𝑀 + 𝑚)𝜇𝑥 2) 𝑚𝑉 = (𝑀 + 𝑚)𝜇𝑦 1) 3𝑉 = (3 + 1)𝜇𝑐𝑜𝑠37𝑜 2) 1𝑉 = (3 + 1)𝜇𝑠𝑒𝑛37𝑜 4
4
1) 𝑉 = 3 𝜇 (5) 3
2) 𝑉 = 4𝜇 (5) 16 )𝜇 15 12 36 2) 𝑉 = ( ) 𝜇 = 𝜇 15 15 1)𝑉 = (
X
