Capítulo 7 Muestreo Aceptación Por Variables

Muestreo de aceptación por variables Capítulo 7 Control Integral de Calidad

Muestreo de aceptación por variables Se utiliza cuando se dispone de datos de mediciones.

•

Ventajas: •

Se puede obtener la misma curva OC con un tamaño de la muestra mas pequeño del que se necesitaría para un plan de muestreo por atributos. –

Es decir brindan el mismo nivel de protección que el muestreo por atributos con un tamaño de muestra mas pequeño.

–

Útil ante ensayos destructivos.

•

Los datos de las mediciones por lo general proporcionan más información acerca del proceso de manufactura.

•

Permite estimación de % dentro y fuera de L.E.

•

Ventajas significativas cuando cuando el NCA (AQL) es muy pequeño.

Control Integral de Calidad

ú r e P l e d a c i l ó t a C d a d i s r e v i n U a i c i f i t n o P ©

Muestreo de aceptación por variables Se utiliza cuando se dispone de datos de mediciones.

•

Ventajas: •

Se puede obtener la misma curva OC con un tamaño de la muestra mas pequeño del que se necesitaría para un plan de muestreo por atributos. –

Es decir brindan el mismo nivel de protección que el muestreo por atributos con un tamaño de muestra mas pequeño.

–

Útil ante ensayos destructivos.

•

Los datos de las mediciones por lo general proporcionan más información acerca del proceso de manufactura.

•

Permite estimación de % dentro y fuera de L.E.

•

Ventajas significativas cuando cuando el NCA (AQL) es muy pequeño.



Muestreo de aceptación por variables Desventajas:: Desventajas •

Es necesario conocer la distribución de la característica de la calidad. –

• •

Se asume que es normal.

Se debe emplear un plan de muestreo para cada característica de la calidad que se esta inspeccionando. Es posible rechazar un lote aun cuando la muestra real inspeccionada no contenga artículos defectuosos. –

Esto produce malestar en el proveedor y el consumidor.



Tipos de planes de muestreo: Dos tipos generales: •

•

Tipo 1: Planes de muestreo que controlan la fracción defectuosa o fracción disconforme del lote. Tipo 2: Planes de muestreo que controlan un parámetro del lote o proceso . •

Por ejemplo: La media.



Tipo 1: Planes de muestreo que controlan la fracción defectuosa •

•

Hay dos procedimientos: ♦

Procedimiento 1: k

♦

Procedimiento 2: M

Considere un plan de muestreo por variables con las siguientes caracteristicas: ♦

La característica de la calidad x tine una distribución normal, con media u y desviación estándar σ del lote o proceso.

♦

p: fracción defectuosa del lote

♦

Los valores aceptables del parámetro se definen por los límites de especificación.




Hay tres casos posibles:

L = límite de especificación inferior (LEI o LSL) U = límite de especificación superior ( LES o USL) Control Integral de Calidad


Tipo 1: Planes de muestreo que controlan la fracción defectuosa 

Procedimiento 1: “distancia k” o “método k” ♦

Se toma una muestra aleatoria de n artículos del lote y se obtiene el promedio muestral (x barra).

♦

Calcule el estadístico ZLSL o ZUSL: –

Caso: límite de control inferior:

Z LSL 

x  LSL 

ZLSL es la distancia entre el promedio muestral (x barra) y el limite inferior de la especificacion (LSL) en unidades de desviacion estandar.

–

Caso: límite de control superior: Z USL 

♦

Si σ se desconoce, se usa S


USL  x 



Procedimiento 1: (Continuación) •

“distancia

k”

o

“método

k ”

Si hay un valor de p crítico de interés que no deberá excederse con una probabilidad especificada, entonces ese valor p puede traducirse a una distancia crítica k

Z LSL 


x  LSL 



Procedimiento 1: “distancia k” o “método k” (Continuación) –

Dictaminación de lote: – Caso:

limíte de control inferior:

•

Si ZLSL >= k, se acepta el lote

•

Si ZLSL < k se rechaza el lote

– Caso: • •

x  LSL 

limíte de control superior:

Si ZUSL >=k, se acepta el lote Si ZUSL

Z LSL 

Z USL 

USL  x 


Tipo 1: Planes de muestreo que controlan la fracción defectuosa No se evaluará

•

Procedimiento 2:“método M” (Continuación) •

Se toma una muestra aleatoria de n artículos

•

Se calcula ZLSL (igual que el procedimiento 1)

•

Se usa ZLSL para estimar la fracción defectuosa p del lote o proceso:

•

M: valor máximo especificado de la fracción disconforme p

•

Dictaminación del lote:

ˆ

– –

Si p > M, se rechaza el lote Si p <= M, se acepta el lote ˆ

ˆ



Tipo 1: Planes de muestreo que controlan la fracción defectuosa No se evaluará

•

Procedimiento 2: “método M” (Continuación) •

Se puede usar cuando hay LSL o USL o cuando ambos estan presentes

•

Se consigue una mejor estimación de la fracción defectuosa del lote o proceso ( p ) con la siguiente formula: ˆ

Q LSL  Z LSL


n n 1


Tipo 2: Planes de muestreo que controlan un parámetro del lote o proceso •

Se busca dar seguridad respecto de la calidad promedio de un material.

•

Se emplea un enfoque de la prueba estadística de hipótesis.

•

Usos frecuentes: –

Muestreo de material a granel (en sacos u otros contenedores)

–

Perdida de energía en trasformadores de potencia.



Tipo 2: Planes de muestreo que controlan un parámetro del lote o proceso 

Ejemplo:

Un fabricante de productos hechos de madera compra la materia prima T300 a un proveedor del extranjero. El fabricante hace el muestreo de la materia prima para determinar el nivel de emisión de formaldehido. Mientras que el nivel medio de emisión sea menor que LES ppm, el lote es satisfactorio. Se pide diseñar un procedimiento de muestreo por variables que dará: • A los lotes que tienen un nivel de emisión de 0.3 ppm una probabilidad de aceptación de 0.95 • A los lotes que tienen un nivel de emisión de 0.4 ppm una probabilidad de aceptación de 0.1. Se sabe que sigma = 0.1 ppm. Control Integral de Calidad


Tipo 2: Planes de muestreo que controlan un parámetro del lote o proceso •

Solucion:

•

Sea: n y x A

el valor promedio muestral de aceptación

P(x
x A  0.3 x A  0.3   1.645  0.1 n

n

x A  0.4 x A  0.4   1.282 0.1  n


n

Resolviendo: n=9 x A = 0.356 ú r e P l e d a c i l ó t a C d a d i s r e v i n U a i c i f i t n o P ©

Riesgo de Productor y el consumidor La distancia k es una medición indirecta:





Entonces, si:

se acepta el lote

se acepta el lote







Ejercicio 1: Hallando los riesgos del productor y del consumidor Antes de que el cemento sea despachado a una obra civil, un número de pequeñas probetas son fabricadas a partir del cemento. Cinco son escogidas aleatoriamente y se mide la resistencia a la compresión (medida en N.m ‐2x109 ). Esta variable se distribuye normalmente con una desviación estándar de 5.5. El lote de cemento es aceptado para despacho si el promedio de la resistencia a la compresión de las 5 probetas es mayor a 51. a) Dibuje la curva OC del plan. b) Se ha decidido revisar el plan y rediseñarlo de ser necesario. El cliente requiere que la probabilidad de aceptación del lote con una media de resistencia de 47 o menos sea menor que 0.1. El productor requiere que la probabilidad de rechazo del lote con una media de resistencia de 52.5 o más sea menor que 0.05. Consultando la curva de operación, cual de estos criterios es satisfecho por el plan actual. c) Si n es el tamaño de muestra, encuentre el mínimo valor de esta variable que satisfaga el requerimiento del productor. d) Si el límite cambia de 51 a 49.4 encuentre el mínimo valor de n que satisfaga los requerimientos del consumidor. Verifique que utilizando este valor de n las condiciones del productor son cumplidas también. Control Integral de Calidad


Ejercicio 1: Hallando los riesgos del productor y del consumidor a) Dibuje la curva OC del plan. Datos del problema: n=5 σ = 5.5 Limite de especificación inferior del lote = desconocido Limite de especificación inferior de la muestra = 51

P a  P  x  51  1  P x  51

     51    P a  1  P Z  5.5     5   Control Integral de Calidad


Ejercicio 1: Hallando los riesgos del productor y del consumidor a) Dibuje la curva OC del plan. Datos del problema: n = 5, σ = 5.5 Limite de especificación inferior del lote = desconocido Limite de especificación inferior de la muestra = 51

Por ejemplo si u = 44:



    51  44   P ( Z  2.846)  0.002 P a  1  P  Z  5 . 5     5  

De la misma manera podemos calcular la probabilidad de aceptación para diferentes valores de la media de los lotes de entrada, esto nos permite graficar la curva OC. ú r e P l e d a c i l ó t a C d a d i s r e v i n U a i c i f i t n o P ©


Ejercicio 1: Hallando los riesgos del productor y del consumidor

b) A partir del gráfico se puede concluir que solo se esta cumpliendo la condición del consumidor.



Ejercicio 1: Hallando los riesgos del productor y del consumidor c) En el gráfico anterior vemos que para una media de 52.5 la probabilidad de rechazo es de 1‐0.73 = 0.27, sin embargo el productor desea que sea 0.05 o menos, la única opción que tenemos para poder obtener tal resultado es aumentando el valor de n, ya que con mayor valor de n menor será el error tipo I y tipo II.

P r  P x  51 |   52.5,  x  5.5 / n  0.05     51  52.5   0.05 P r  P  Z  5.5     n  

 0.2727 n  1.645 Control Integral de Calidad

n



36.4


Ejercicio 1: Hallando los riesgos del productor y del consumidor

d) Para satisfacer el requerimiento del consumidor: P a  P x  49.4 |   47,  x  5.5 / n  0.1

Resolviendo: n> 8.63 Confirmaremos si con este valor de n cumpliremos las condiciones del productor:

P r  P x  49.4 |   52.5,  x  5.5 / 9  0.045 Dado que la probabilidad de rechazo es menor a 0.05 entonces cumple con las condiciones del productor. Control Integral de Calidad


Métodos para hallar k y n: 

Fórmula General



El método gráfico



Minitab



Normas MIL-STD-414 ú r e P l e d a c i l ó t a C d a d i s r e v i n U a i c i f i t n o P ©


Método 1: Fórmula General

 Z 1 AQL . Z 1   Z 1 . Z 1 LQL   k     Z Z  1 1    k  2  Z 1  Z 1  2

n

2

2

   Z  Z   1 AQL 1 LQL 

Estos dos valores definen un plan de muestreo en el caso del muestreo de aceptación por variables



Ejercicio 2 Una empresa embotelladora de gaseosas compra botellas no retornables a un proveedor. El embotellador ha establecido una especificación inferior de 225 psi para la resistencia a la presión interna de las botellas. Si el 1% o menos pueden romperse por debajo de este límite, la empresa pretende aceptar el lote con una probabilidad de 0.95 (p1=0.01,1‐α=0.95), mientras que si 6% o mas botellas revientan a un valor por debajo de ese limite, rechazara el lote con una probabilidad de 0.90 en la escala de la probabilidad de aceptación. a) Halle el valor de k a utilizarse en el muestreo por variables, asimismo indique el valor del tamaño de la muestra. Control Integral de Calidad


Ejercicio 2 - Solución  Z 1 AQL . Z 1   Z 1 . Z 1 LQL   k     Z Z    1  1   

n

2 k  2  Z 1  Z 1  

2

   Z  Z   1 AQL 1 LQL 

El resultado es: k= 1.9 y n=40 Control Integral de Calidad

2


Método2: El método grafico 

Nomograma para diseñar planes de muestero por variables



Para el procedimiento 1: metodo k •

Sea p1, 1-α

•

Sea p2, β

•

Se encuentra en el nomograma el valor de n y k

•

Hay valores para sigma conocida y desconocida.


k= 1.9 n=40


Método 3: Minitab No se evaluará



Método 3: Minitab No se evaluará



Metodo 4: Normas MIL-STD-414 

El estandar MIL-STD-414 es un plan de muestreo de aceptación lote por lote por variables.



En todos los planes y procedimientos de muestreo del estándar se supone que la característica de la calidad de interés tiene distribución normal.



Con esta metodología basta conocer el valor del tamaño del lote y el AQL. Se utilizan las tablas establecidas por la Mlt‐Std‐414 para conocer los valores de n y k. Control Integral de Calidad


Metodo 4: Normas MIL-STD-414 •

Hay tres casos:

CASO 1: Solo límite de especificación inferior L. En este caso nos

interesa aceptar solo aquellos lotes en los que la característica de la calidad analizada (por ejemplo, el nivel de líquido en un envase) esté por encima de un valor dado. CASO 2: Solo límite de especificación superior U. En este caso nos

interesa aceptar solo aquellos lotes en los que la característica de la calidad analizada (por ejemplo, la fuerza necesaria para abrir la tapa de un envase) esté por debajo de un valor dado. CASO 3: Límites de especificación superior e inferior. En este caso nos

interesa aceptar solo aquellos lotes en los que la característica de la calidad analizada (por ejemplo el contenido de alcohol en una mezcla) esté dentro de ciertos niveles dados. Control Integral de Calidad


Metodo 4: Normas MIL-STD-414 Uso de las tablas: 

Vamos a definir una variable “k” que nos va a servir para definir si debemos aceptar o rechazar el lote. El procedimiento general que vamos a seguir es el siguiente:



Se toma la muestra, se calcula x barra.



Según el caso, se acepta el lote si se cumple la siguiente(s) condicion(es): ú r e P l e d a c i l ó t a C d a d i s r e v i n U a i c i f i t n o P ©


Metodo 4: Normas MIL-STD-414 Uso de las tablas: 

El valor MSSD esta referido a la máxima desviación estándar posible , y se calcula como:



En resumen: • Procedimiento: Halle n, k y f s de las tablas. • Tome la muestra “n”, realice la inspección y el calculo de x barra y s. • Calcule los estadísticos (diapositiva previa)



Tabla de letras clave (extracto de la norma ISO 3951)



Tabla de parámetros para inspección NORMAL El AQL en la tabla esta en %, es decir:AQL=0.01



Tabla de parámetros para inspección RIGUROSA



Tabla de parámetros para inspección REDUCIDA



Tabla de valores f s

El valor MSSD indica el máximo valor permitido para la desviación estándar de la muestra cuando se usa un plan de muestreo con doble límite de especificación y variabilidad desconocida . Si la desviación estándar de la muestra es menor que el MSSD existe la posibilidad , pero no la certeza, de que el lote vaya a ser aprobado. Control Integral de Calidad


Ejemplo 3 

Para una característica de resistencia a tracción se exige que debe ser mayor que 20,000 lb/pg2 en los ensayos a la fluencia.



Para este producto y característica de interés tenemos un “limite de especificación única”.



Se considera un AQL = 2.5%, inspección normal y lotes de 300 unidades.



•

•

Solo interesa sobrepasar el LEI para que el PI sea menor que el 2.5%. Los valores menores que el LEI implican pérdidas (desperdicios o mermas).



Norma ISO 3951 La lógica del método

Como se trata de una distribución normal , a partir de una muestra , se puede estimar la “dist” (µ-LEI) para comparar con lo requerido o especificado ( a mayor “dist” mejor) Control Integral de Calidad


Ejemplo 3 (continuación) LEI(L) = 20 ,000 lb/pg2  AQL = 2.5%  N = 300 und.  No hay datos previos ni antecedentes. 

1era vez

Nivel II

PLAN TIPO “H”



1era vez

Inspección NORMAL

n =20 K = 1.51 Control Integral de Calidad


Población (parámetros no conocidos). Muestra (conocida)

Interpretación:  Por lo menos, el promedio debe exceder los 20,000 en 1.51s (1.51veces s) Criterio de aceptación Control Integral de Calidad


Ejemplo 3 (Continuación) 

Se procede a tomar la muestra de 20 piezas y realizar las pruebas (inspección) registros de la carga a la fluencia:



Calculando los estadísticos de evaluación: X 



X i n

 X i  x   804.9 s   2

 21309.5

n 1

Y el índice:  X  LEI   21309.5  20000  1.627 s

804.9

Evaluando, con el criterio de aceptación: Como 1.627 > 1.51 entonces se acepta el lote Control Integral de Calidad


Ejemplo 4 LEI (L) = 3.2  AQL = 0.25%  N = 3600 und.  Se está aplicando nivel III e inspección rigurosa.  Se inspecciona un lote, obteniéndose la siguiente información de la muestra: x prom= 3.7 y s = 0.4 a) Halle el plan de muestreo y dictamine el lote. 



Ejemplo 4 - solución LEI (L) = 3.2  AQL = 0.25%  N = 3600 und.  Se está aplicando nivel III e inspección rigurosa. 



En tablas:



Plan tipo “M”



N = 100, k = 2.58



Si la muestra indicó: x prom= 3.7 y s = 0.4 (x – LEI ) / s = ( 3.7 – 3.2) / 0.4 = 1.25 Como 1.25 < 2.58 se rechaza el lote.

 



Ejemplo 5 LEI( L) = 3.2 LES (U) =4.2  AQL =0.25%  N= 3600 und.  Se está aplicando nivel III e inspección rigurosa  Si la muestra indico: xprom = 3.6 y s = 0.1 a) Halle el plan de muestreo y dictamine el lote. 



Ejemplo 5 - solución LEI( L) = 3.2 LES (U) =4.2  AQL =0.25%  N= 3600 und.  Se está aplicando nivel III e inspección rigurosa 



En tablas:



Plan tipo “M”



N= 100, K= 2.58



Si la muestra indico: xprom = 3.6 y s = 0.1



• • • •

(x – LEI ) / s = ( 3.6 – 3.2) / 0.1 = 4.00 Como 4.00 > 2.58 se cumple la 1era condición. (LES – X) / s = ( 4.2 – 3.6) / 0.1 = 6.00 Como 6.00 > 2.58 se cumple la 2da condición.

f s =

MSSD = 0.187 (4.2 – 3.2) = 0.187 Como s = 0.1 < 0.187 se cumple la 3era condición y se acepta el lote. Control Integral de Calidad

0.187 ú r e P l e d a c i l ó t a C d a d i s r e v i n U a i c i f i t n o P ©

Ejemplo 6 En una planta procesadora de arroz, se desea diseñar un plan de muestreo de aceptación de variables para evaluar el peso de las bolsas de arroz. El límite de especificación inferior es de 748 gramos. Si se conoce que la desviación estándar del proceso es de 0.5 gramos. a) Determinar el plan de muestreo si los valores de α, β, AQL y LQL son 5, 10, 2 y 8% respectivamente. b) Determinar si un lote cuyo promedio de las muestras recolectadas es 748.5 gramos debe ser aceptado o no.



Ejemplo 6 - solución a) Reemplazando los valores dados en las ecuaciones hallando el valor de los estadísticos Z, obtenemos que: 2

2

 Z 0.95  Z 0.90   1.645  1.29     n     20.38  Z 0.98  Z 0.92   2.06  1.41   Z 0.98 . Z 0.90  Z 0.95 . Z 0.92  2.06 *1.29  1.645 *1.41    1.695 k   Z 0.95  Z 0.90 1.645  1.29  

El plan de muestreo está determinado por un tamaño de muestra n=20 y un valor k=1.695 Control Integral de Calidad


Ejemplo 6 - solución b) El límite de especificación superior equivalente en los promedios será: LEI x

 LEI 

k   748  1.695 * 0.5  748.8475

Puesto que el valor límite hallado es mayor que el promedio de las muestras (748.5), se debe rechazar el lote.



Capítulo 7 Muestreo Aceptación Por Variables

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