Capitulo 6. Dimensionamiento de Las Redes de Telecomunicaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CUSO: 208022-TELETRAFICO

CAPÍTULO 6. DIMENSIONAMIENTO DE LAS REDES DE TELECOMUNICACIONES Lec ci ón 26: Matri ces de tr áfic o

La planificación de redes abarca el diseño, la optimización y el funcionamiento de las redes de telecomunicaciones. La matriz de tráfico contiene la información básica necesaria para seleccionar la topología y el encaminamiento del tráfico. También se analiza el cálculo aproximado de las probabilidades de bloqueo de extremo a extremo y se describe el método de Erlang del punto fijo (método de carga reducida). En el se generaliza el algoritmo de convolución presentado en el Capítulo 4 a redes con cálculo exacto de bloqueo de extremo a extremo en redes con conmutación de circuitos virtuales y encaminamiento directo. El modelo permite el tráfico BPP multisegmento con asignación mínima y máxima. El mismo modelo puede aplicarse a las redes jerárquicas celulares inalámbricas con células superpuestas y a las redes ópticas con multiplexación por división de longitud de onda (WDM). Así mismo se examinan los mecanismos de protección del servicio. Por último, se analiza la optimización de las redes de telecomunicación mediante la aplicación del principio de Moe.

26.1 Introducción a las Matrices de tráfico Para especificar la demanda de tráfico en una zona con centrales K se deben conocer los valores de tráfico de K 2 Aij (i , j = 1, . . ., K ), ), como se indica en el siguiente esquema que se denomina m atr iz d e t ráfic o .

149



A ij A ii O (i ) T j ()

es el tráfico de i a j . es el tráfico interno en la central i . es el tráfico de salida total originado en i . es el tráfico de entrada entrada (terminación) total a j .

La matriz de tráfico supone que se conoce la ubicación de las centrales. Conociendo la matriz de tráfico la tarea es:

1. decidir la topología de la red (¿qué centrales deben estar interconectadas?) 2. decidir el encaminamiento de tráfico (¿cómo se puede aprovechar una topología dada? Las dos tareas son interdependientes. 26.1.1 Método de factor doble de Kruithof Supóngase que se conoce la matriz de tráfico real y que se tiene una previsión para las sumas de las filas O(i ) y las sumas de las columnas T (i ) y futuras, es decir el tráfico de entrada y salida total para cada central. Este pronóstico de tráfico se puede obtener de las previsiones de abonado para cada una de las centrales. Por medio del método de factor doble (Kruithof, 1937 [70]) se puede estimar cada valor futuro Aij de la matriz de tráfico. El procedimiento es ajustar cada valor Aij , de modo tal que concuerden con las nuevas sumas de fila/columna:

donde S0 es la suma real y S1 es la nueva suma de la fila/columna considerada. Si se comienza ajustando Aij con respecto a la nueva suma de fila Si , las sumas de las filas estarán de acuerdo pero las sumas de las columnas pueden no concordar con los valores deseados. Por tanto, el próximo paso es ajustar los valores obtenidos Aij con respecto a las sumas de columnas de modo que éstas concuerden, pero esto implica que las sumas de filas ya no estarán de acuerdo. Mediante el ajuste alternativo de las sumas de filas y columnas los valores obtenidos convergirán, luego de algunas iteraciones, hacia valores únicos. El procedimiento se ilustra mejor con el ejemplo dado a continuación.

Ejemplo 11.1.1: Aplicación del método de factor doble de Kruithof. Se examina una red de telecomunicación que tiene dos centrales. La presente matriz de tráfico está dada como: 1

2

Suma

1

10

20

30

2

30

40

70

Suma

40

60

100

150



El pronóstico de tráfico de origen de terminación total para cada central es: 1

2

Suma

1

45

2

105

Suma

50

100

100

La tarea es entonces estimar cada valor de la matriz mediante el método de factor doble. la s filas. Se multiplica la primera la primera fila por (45/30) y la segunda fila Iteración 1: Ajustar las sumas de las por (105/70) y se obtiene: 1

2

Suma

1

15

30

45

2

45

60

105

Suma

60

90

150

Las sumas de las filas son ahora correctas, pero las sumas de las columnas no lo son. colu mnas: Iteración 2: Ajustar las sumas de las columnas: 1

2

Suma

1

12,50

33,33

45,83

2

37,50

66,67

104,17

50,00

100

150,00

Suma

Tenemos ahora las sumas correctas de las columnas, mientras que las sumas de las filas presentan valores algo desviados. Se continúa ajustando alternativamente las sumas de filas y columnas:

Iteración 3: 1

2

Suma

1

12,27

32,73

45,00

2

37,80

67,20

105,00

Suma

50,07

99,93

150,00

151



Iteración 4: 1

2

Suma

1

12,25

32,75

45,00

2

37,75

67,25

105,00

Suma

50,00

100,00

150,00

Después de cuatro iteraciones las sumas de las filas y de las columnas concuerdan con dos decimales. Existen otros métodos para estimar los valores de tráfico individuales futuros Aij , pero el método de factor doble de Kruithof tiene propiedades importantes (Bear, 1988 [5]):

Unicidad. Para una determinada previsión hay una sola solución. Reversibilidad. La matriz resultante se puede invertir a la matriz inicial con el mismo procedimiento. Transitividad. La matriz resultante es la misma independientemente si fue obtenida en un paso o a través de una serie de transformaciones intermedias, (por ejemplo una previsión de cinco años o cinco previsiones de un año). Invarianza con referencia a la numeración de las centrales. Se puede cambiar la numeración de las centrales sin influencia en el resultado. Fraccionamiento. Las centrales se pueden dividir en subcentrales o se pueden añadir a centrales más grandes sin influenciar el resultado. Esta propiedad no se satisface exactamente con el método de factor doble de Kruithof, pero las desviaciones son pequeñas. 26.2

Topologías

En el Capítulo 1 se han descrito las topologías básicas como red en estrella, red poligonal, red en anillo, red jerárquica y red no jerárquica.

26.3

Principios de encaminamiento

Este es un tema extenso que incluye entre otros el encaminamiento de tráfico alternativo, repartición de las cargas, etc. En (Ash, 1998 [3]) figura una descripción detallada sobre este tema.

26.4 Métodos de cálculo de extremo a extremo aproximados Si se supone que los enlaces de una red son independientes, es fácil entonces calcular la probabilidad de bloqueo de extremo a extremo. Por medio de las fórmulas clásicas se calcula la probabilidad de bloqueo de cada enlace. Si la probabilidad de bloqueo del enlace i se simboliza por E i se obtiene entonces la probabilidad de bloqueo de extremo a extremo para una tentativa de llamada sobre la ruta j como sigue: 152



donde R es el conjunto de enlaces incluido en la ruta de la llamada. Este valor será el caso más desfavorable pues el tráfico está regularizado por el bloqueo de cada enlace y, por tanto, experimenta menos congestión en el último vínculo de una ruta.

26.4.1 Método del punto fijo Una llamada ocupa generalmente canales en más enlaces y en general el tráfico estará correlacionado con cada uno de los enlaces de una red. La probabilidad de bloqueo experimentada por una tentativa de llamada en cada uno de los enlaces también estará correlacionada. El método Erlang del punto fijo es una tentativa para tomar esto en cuenta. 26.5

Métodos de cálculo exactos de extremo a extremo

Las redes de telecomunicación con conmutación de circuitos y encaminamiento directo tienen la misma complejidad que las redes de fila de espera con muchas cadenas (el cuadro 14.3). Es necesario contabilizar el número de canales ocupados en cada enlace. Por tanto, el número de estados máximo resulta:

Cuadro 11.1 – En una red de telecomunicación con conmutación de circuitos y encaminamiento directo d x y representa el tamaño del segmento (demanda de ancho de banda) de la ruta x por el vínculo Ruta

Enlace 1 2 1 2

...

Número de canales

N

C 11

C 21

...

C N 1

n 1

C 12

C 22

...

C N 2

n 2

.

.

.

.

...

...

...

...

.

.

. …

.

K

C 1k

C 2k

. ...

C NK

. n K

153



26.5.1 Algoritmo de convolución El algoritmo de convolución descrito en el Capítulo 5 se puede aplicar a redes con encaminamiento directo pues hay una forma de producto entre las rutas. La convolución se hace multidimensional, siendo la dimensión el número de enlaces en la red. La interrupción del espacio de estado se hace más compleja y el número de estados aumenta considerablemente.

Lección 27:

Contro l de carga y pro tección de servicio

En una red de telecomunicación con muchos usuarios que compiten por los mismos recursos (acceso múltiple) es importante especificar las demandas de los servicios de los usuarios y asegurar que el GoS se cumple en condiciones normales de servicio. En la mayoría de los sistemas se puede asegurar que los abonados preferenciales (policía, servicios médicos, etc.) tienen mayor prioridad que los abonados comunes cuando efectúan tentativas de llamada. Durante las condiciones normales de tráfico se debe garantizar que todos los abonados para todo tipo de llamadas (locales, nacionales, internacionales) tienen aproximadamente el mismo nivel de servicio, por ejemplo el 1 % de bloqueo. Durante situaciones de sobrecarga las tentativas de llamada de algunos grupos de abonados no debe estar completamente bloqueada mientras que al mismo tiempo otros grupos experimenten bajos porcentajes de bloqueo. Históricamente, esto se ha satisfecho debido a la estructura descentralizada y la aplicación de accesibilidad limitada (distribución del tráfico), que desde el punto de vista de protección del servicio son aún aplicables y útiles. Los sistemas y redes digitales tienen una complejidad creciente y sin medidas preventivas el tráfico transportado en función del tráfico ofrecido tendrá típicamente una forma similar a las del sistema Aloha (véase la figura 6.4). Para asegurar que un sistema continúe funcionando a máxima capacidad durante sobrecarga se aplican diversas estrategias. En sistemas (centrales) se puede introducir separación entre llamadas y asignar prioridades a las tareas (véase el Capítulo 5). En redes de telecomunicación son comunes dos estrategias: reservas de líneas de enlace y protección virtual de canales.

154



Figura 11.1 − Encaminamiento de tráfico alternativo (véase el ejemplo 11.6.2). El tráfico de A a B se transporta en parte por la ruta directa (ruta primaria = ruta de explotación intensa), y parte por la ruta secundaria a través de la central de tránsito T.

27.1 Reserva de líneas de enlace En redes de telecomunicación jerárquica con encaminamiento alternativo se desea proteger el tráfico primario frente al tráfico de desbordamiento. Si se considera parte de una red (véase la figura 11.1), el tráfico directo AT competirá con el tráfico de desbordamiento de AB para canales desocupados en el grupo de enlace AT . Como el tráfico AB tiene ya una ruta directa, se desea dar al tráfico AT prioridad a los canales en el enlace AT . Esto se puede efectuar introduciendo una reserva de líneas de enlace (canales). Se permite al tráfico AB tener acceso a los canales AT sólo si hay más de r canales desocupados en AT (r = parámetro de reserva). De esta manera, el tráfico AT tendrá mayor prioridad a los canales en el enlace AT . Si todas las llamadas tienen el mismo tiempo medio de ocupación ( μ1 = μ2 = μ) y tráfico PCT-I con tráfico de segmento único, se puede establecer fácilmente un diagrama de transición de estado y calcular la probabilidad de bloqueo. Si cada flujo de tráfico tiene tiempos medios de ocupación diferentes, o si se considera el tráfico binomial y Pascal, se tendrá que establecer entonces un diagrama de transición de estado de N dimensiones que no será reversible. De esta manera no se pueden aplicar los algoritmos formulados en el Capítulo 5. Un inconveniente esencial en las reservas de línea de enlace es que se trata de una estrategia local, que sólo considera un grupo de enlace troncal, y no la totalidad de conexión de extremo a extremo. Asimismo, es un mecanismo unidireccional que protege un flujo de tráfico frente a otro, pero no el caso contrario. Por consiguiente, esto se puede aplicar para la protección mutua de conexiones y servicios en redes RDSI-BA.

Ejemplo 11.6.1. En un sistema de comunicación móvil celular se puede asegurar menor 155



probabilidad de bloqueo para el traspaso de llamadas que el observado por nuevas tentativas de llamada mediante la reserva del último canal desocupado (denominado canal de guarda) para traspasar llamadas.

27.2 Protección del canal virtual En un sistema de servicios integrados es necesario proteger mutuamente todos los servicios y garantizar un determinado grado de servicio. Esto se puede obtener por a) una determinada asignación de anchura de banda mínima que asegura un determinado servicio mínimo, y b) una atribución máxima que permite aprovechar las ventajas de la multiplexión estadística y asegura que no predomina un solo servicio. Esta estrategia tiene la forma de producto básica y las probabilidades de estado son insensibles a la distribución del tiempo de servicio. Además, el GoS está garantizado no sólo sobre la base de un enlace, sino de extremo a extremo.

27.3 Principio de Moe Teorema 11.1 Principio de Moe: la asignación del recurso óptimo se obtiene por el equilibrio simultáneo de ingresos marginales y costos marginales sobre todo los sectores.

En esta sección se presentan los principios básicos publicados por Moe en 1924. Se considera un sistema con algunos sectores que consumen recursos (equipos) para elementos de producción (tráfico). El problema se puede dividir en dos partes:

a) b)

Dado que se dispone de una cantidad limitada de recursos, ¿cómo se deben distribuir estos recursos entre los sectores? ¿Cuántos recursos se deben asignar en total?

Los principios se aplican en general para toda clase de producciones. En este caso los recursos corresponden a cables y equipos de conmutación y la producción comprende tráfico transportado. Un sector puede ser un enlace a una central. El problema puede ser el dimensionamiento de enlaces entre una determinada central y sus centrales vecinas en las cuales hay conexiones directas. El problema es, entonces:

a) ¿Cuánto tráfico se puede conducir en cada enlace cuando se transporta una cantidad de tráfico fija total? b) ¿Cuánto tráfico se debe transportar en total? Se pueden efectuar deducciones similares para variables discretas correspondientes a un número de canales (Principio de Moe, (Jensen, 1950 [50])).

27.4 Equilibrio de los costos marginales de equilibrado Supóngase tener conexiones directas de una determinada central a otras k centrales. El costo de 156



una conexión a una central i se supone que es una función lineal de número de canales:

El costo total de cables resulta entonces:

donde C 0 es una constante. El tráfico transportado total es una función del número de canales:

Como siempre se opera con recursos limitados se tendrá:

En un sistema de pérdidas puro D il corresponde a la función mejora, que siempre es positiva para un número finito de canales en razón de la convexidad de la fórmula B de Erlang. Se desea minimizar C para un determinado tráfico transportado total Y :

Por aplicación del multiplicador de Lagrange equivalente a:

ϑ,

. donde se introduce G = C –ϑ f , esto es

Una condición necesaria para la solución mínima es:

o

Una condición necesaria para la solución óptima es que el incremento marginal del tráfico transportado cuando aumenta el número de canales (función mejora) dividido por el costo para un canal debe ser idéntico para todos los grupos de enlace (7.31). Por medio de derivadas de segundo orden es posible determinar un conjunto de condiciones necesarias para establecer condiciones suficientes que está dado en el Principio de Moe (Jensen, 157



1950 [50]). Las funciones de mejora que se tratan cumplen siempre estas condiciones. Si también hay diferentes ingresos g i para cada grupo de enlace (direcciones), se debe incluir entonces un factor de ponderación adicional, y en los resultados de la ecuación (11.12) se debe reemplazar c i por c /i g i .

27.5 Tráfico transportado óptimo Supóngase el caso en que el tráfico transportado, que es una función del número de canales (11.7), es Y . Si los ingresos se simbolizan con R (Y ) y los costos con C (Y ) (11.6), los beneficios resultan entonces:

Una condición necesaria para el beneficio óptimo es:

es decir el ingreso marginal debe ser igual al costo marginal. Empleando:

se obtiene la solución óptima para:

que mediante la utilización de la ecuación (11.12) resulta:

El factor ϑ dado por la ecuación (11.12) es el cociente entre el costo de un canal y el tráfico que se puede transportar adicionalmente si el enlace se extiende por un canal. Así, se agregarán canales al enlace hasta que el ingreso marginal sea igual al costo marginal ϑ (7.33).

Ejemplo 11.7.1: Asignación de la capacidad óptima. Se consideran dos enlaces (grupos de enlace) donde el tráfico ofrecido es 3 erlang y 15 erlang, respectivamente. Los canales para los dos sistemas tienen el mismo costo y hay un total de 25 canales disponibles. ¿Cómo se deben distribuir los 25 canales entre los dos enlaces?

De la ecuación (11.12) se observa que las funciones de mejora deben tener los mismos valores 158



para los dos sentidos. Por tanto, se prosigue utilizando una tabla: A 1 = 3 erlang

A 2 = 15 erlang

n 1

F 1,n (A1)

n 2

F 1,n ( A 2)

3

0,4201

17

0,4048

4

0,2882

18

0,3371

5

0,1737

19

0,2715

6

0,0909

20

0,2108

7

0,0412

21

0,1573

Para n1 = 5 y n2 = 20 se utilizan los 25 canales. Esto produce una congestión del 11,0%, y 4,6%, respectivamente, es decir alta congestión para el grupo de enlace más pequeño.

Ejemplo 11.7.2: Optimización del triángulo. Esta es una optimización clásica de una red en triángulo que utiliza encaminamiento de tráfico alternativo (véase la figura 11.1). De A a B se tiene una demanda de tráfico igual a A erlang. El tráfico es transportado parcialmente por la ruta directa (ruta primaria) de A a B, y parcialmente por la ruta alternativa (ruta secundaria) A → T → B, donde T es una central de tránsito. No hay otras posibilidades de encaminamiento. El costo de una conexión directa es c d, y para una conexión secundaria c t .¿Qué cantidad de tráfico se debe transportar en cada una de las dos direcciones? La ruta A → T → B transporta ya tráfico hacia y desde otros destinos, y la utilización marginal para un canal en esta ruta se simboliza por a. Se supone que es independiente del tráfico adicional que está bloqueado de A → B. Conforme a la ecuación (11.12), las condiciones mínimas resultan:

Donde n es aquí el número de canales en la ruta primaria. Esto significa que los costos deben ser los mismos cuando se encamina una llamada "adicional" a través de una ruta directa y a través de la ruta alternativa. Si una ruta fuera menos costosa que la otra se encaminaría entonces más tráfico en la dirección más económica. Como los valores de tráfico aplicados como base para el dimensionamiento se obtienen por mediciones de tráfico, presentan falta de fiabilidad debido a una muestra limitada, periodo de medición limitado, principio de medición, etc. Como se muestra en el Capítulo 15 la falta de fiabilidad es aproximadamente proporcional al volumen de tráfico medido. Con la medición del mismo periodo de tiempo en todos los enlaces, se obtiene el grado más alto de incertidumbre para pequeños enlaces (grupos de enlace), que están parcialmente compensados por la 159



sensibilidad de sobrecarga mencionada anteriormente, que es la menor para pequeños grupos de enlace. Como valor representativo se elige típicamente el valor medio más la desviación estándar multiplicada por una constante, por ejemplo 1.0. Para asegurarse, se deberá destacar aún más que se dimensiona la red para el tráfico que será transportado 1-2 años desde ahora. El valor utilizado para dimensionamiento es así afectado adicionalmente por una incertidumbre de previsión. No se ha incluido el hecho de que parte del equipo puede estar fuera de operación debido a errores técnicos. El UIT-T recomienda que el tráfico se mida durante todas las horas cargadas del año, y que el valor de n se seleccione de modo tal que utilizando el valor medio de las 30 observaciones (5 observaciones) más grande, se obtienen las siguientes probabilidades de bloqueo:

Los criterios de servicio precedentes se pueden aplicar directamente a cada grupo de enlace. En la práctica, se propone una probabilidad de bloqueo del abonado A al abonado B que sea la misma para todo tipo de llamadas. Con las centrales controladas por programa almacenado la tendencia es una supervisión continua del tráfico en todas las rutas costosas e internacionales. En conclusión, se puede decir que el valor del tráfico utilizado para dimensionamiento está afectado por incertidumbre. En grandes grupos de enlace la aplicación de un valor de tráfico no representativo puede producir serias consecuencias para el nivel de grado de servicio. Durante los últimos años ha habido un interés creciente para el encaminamiento controlado del tráfico adaptable (gestión de la red de tráfico), que puede ser introducido en sistemas digitales de control por programa almacenado. Mediante esta tecnología se puede seleccionar en principio la estrategia óptima para el encaminamiento de tráfico durante cualquier escenario de tráfico.

Lecc ión 28: Medic ion es de t ráfico

Se realizan mediciones de tráfico con el fin de obtener información cuantitativa sobre la carga de un sistema y así poder dimensionarlo. Por mediciones de tráfico se entiende cualquier tipo de compilación de datos sobre la carga de tráfico de un sistema. El sistema examinado puede ser un sistema físico, por ejemplo una computadora, un sistema telefónico, o el laboratorio central de un hospital. También puede ser un sistema ficticio. La compilación de datos de un modelo informático 160



de simulación corresponde a las medidas de tráfico. La tarificación de las llamadas telefónicas corresponde también a las mediciones de tráfico cuando la unidad de medición utilizada es una suma de dinero. La extensión y el tipo de mediciones, así como los parámetros (características de tráfico) medidos en cada caso se han de elegir de conformidad con las demandas, y de tal manera que un mínimo de esfuerzos técnicos y administrativos procure un máximo de información y de beneficios. Según la naturaleza del tráfico, una medición efectuada durante un intervalo de tiempo limitado corresponde a un registro de determinada realización del proceso de tráfico. Así pues, la medición es una muestra de una o más variables estocásticas. Al repetir la medición, se suele obtener un valor diferente y, por lo general, sólo se puede afirmar que el parámetro desconocido (el parámetro de población, por ejemplo el valor medio del tráfico cursado), con una probabilidad determinada, se encuentra dentro de un determinado intervalo, denominado intervalo de confianza. La información es igual a la función de distribución del parámetro. Por razones prácticas es, en general, suficiente conocer el valor medio y la varianza, es decir, la distribución en sí no reviste gran importancia. Esta lección se centrará en las bases estadísticas para estimar la fiabilidad de una medición, y en menor grado se examinarán los antecedentes técnicos. Los siguientes análisis suponen sólo conocimientos elementales de la teoría de las probabilidades. Como se mencionó anteriormente, la teoría también se aplica a los modelos estocásticos de simulación informática.

28.1 Principios y métodos de medición Las posibilidades técnicas de medición son decisivas para determinar qué se mide y cómo se efectúan las mediciones. El primer equipo de medición por programa controlado fue elaborado en la Universidad técnica de Dinamarca, y se describe en (Andersen y Hansen e Iversen, 1971 [2]. Se puede, en principio, efectuar cualquier medición de tráfico conforme a un proceso de tráfico, cuyo estado es discreto y el tiempo es continuo, combinando dos operaciones fundamentales:

1. Número de eventos : esto puede ser, por ejemplo el número de errores, número de tentativas de llamada, número de errores en un programa, cantidad de tareas que ejecutará un centro de computación, etc. 2. Intervalos de tiempo: por ejemplo, tiempos de conversación, tiempo de ejecución de tareas en una computadora, tiempo de espera, etc. Por medio de la combinación de esas dos operaciones se puede obtener cualquier característica de un proceso de tráfico. La característica más importante es el volumen de tráfico (transportado), es decir la adición de todos los (intervalos de) tiempos de ocupación en un determinado periodo de medición. 161



Desde un punto de vista funcional todos los métodos de medición de tráfico se pueden dividir en las dos clases siguientes: 1. Mé to d o s de medición continuos. 2. Métodos de medición discretos.

28.2 Mediciones continuas En este caso el punto de medida activa al equipo de medición en el instante del evento. Aun cuando el método de medición sea continuo el resultado puede ser discreto.

Ejemplo 15.1.1: Equipo de medición: tiempo continuo. Los equipos que funcionan conforme al principio continuo pueden ser, por ejemplo, los siguientes: a) Contadores electromecánicos cuyo conteo se aumenta en uno en el instante de un evento. b) Trazadores x−y de registros conectados a un punto que se activa durante una conexión. c) Medidores de amperios/hora, que integran el consumo de potencia durante un periodo de medición. Cuando se aplica en antiguas centrales electromecánicas para mediciones del volumen de tráfico, cada línea de enlace se conecta a través de un resistor de 9,6 kΩ, el cual durante la ocupación se conecta entre −48V y tierra y consume 5 mA.

d) Contadores del caudal de agua que miden el consumo de agua de un hogar. 28.3 Mediciones discretas En este caso el punto de medición es pasivo y el equipo de medición debe probar (determinar) por sí mismo si se han producido cambios en los puntos de medición (normalmente binarios, activadodesactivados). Este procedimiento se denomina método de exploración, cuyo barrido se hace generalmente en instantes regulares (constante = intervalos de tiempos determinísticos). Todos los eventos que se han producido entre dos instantes de exploración consecutivos están referidos en los que hace al tiempo al instante del último barrido, y se consideran como producidos en este instante.

Ejemplo 15.1.2: Equipo de medición: tiempo discreto. Los equipos que funcionan conforme al principio de tiempo discreto pueden ser, por ejemplo, los siguientes: a) Tarificación de llamada conforme al principio de Karlsson , donde los impulsos de tasación se emiten en tiempos regulares (la distancia depende del costo por unidad de tiempo) al medidor del abonado que ha iniciado la llamada. Cada unidad registrada (intervalo) corresponde a una determinada cantidad de dinero. Si se mide la duración de una llamada 162



por su costo, se observa entonces una distribución discreta (0, 1, 2, . . . unidades). El método lleva el nombre en honor al matemático finlandés S.A. Karlsson (Karlsson, 1937 [57]. En comparación con la mayoría de los otros métodos, requiere un mínimo de administración.

b) El tráfico transportado por un grupo de líneas de enlace de una central electromecánica se mide en la práctica conforme al principio de exploración. Durante una hora se observa 100 veces (cada 36 segundos) el número de líneas de enlace ocupadas y este número se añade a un contador mecánico que indica así el tráfico medio transportado con dos decimales. Contando asimismo la cantidad de llamadas se puede estimar el tiempo medio de ocupación. c) El principio de exploración es particularmente apropiado para su aplicación en sistemas digitales. Por ejemplo, el equipo controlado por procesador elaborado en 1969 en la Universidad Técnica de Dinamarca tenía la capacidad de probar 1024 puntos de medida (por ejemplo, relés en una central electromecánica, líneas de enlace o canales) en un tiempo de 5ms. Los estados de cada punto de medición (desocupado/ocupado o desactivado/activado) en los dos últimos barridos se almacenan en la memoria de una computadora y, por comparación de las lecturas, se pueden detectar los cambios de estado. Un cambio de estado 0 → 1 corresponde al inicio de una ocupación y 1 → 0 al término de ocupación ( principio de última observación ). Las exploraciones están controladas por un reloj. Por tanto, se puede supervisar cada canal durante un tiempo y medir sus intervalos, observándose así las distribuciones en el tiempo. Mientras que el equipo clásico (medidores de erlangs) mencionado anteriormente observa el proceso de tráfico en el espacio de estado (vertical, representación del número), el equipo de programa controlado observa el proceso de tráfico en el espacio de tiempo (horizontal, representación del intervalo), en tiempo discreto. La cantidad de información es casi independiente del intervalo de exploración pues sólo se almacenan los cambios de estado (el tiempo de un barrido se mide en un número entero de intervalos de exploración). Los métodos de medición han tenido influencia decisiva en la manera de pensar y en el modo de formular y analizar los problemas estadísticos. El equipo clásico que funciona en el espacio de estado ha indicado que los análisis estadísticos se han basado en probabilidades de estado, es decir básicamente en procesos de renovación. Desde el punto de vista matemático estos modelos han sido bastante complejos ( mediciones verticales). Los siguientes cálculos son, en comparación muy elementales y aún más generales, y se basan en el funcionamiento en espacio temporal del equipo de programa controlado. (Iversen, 1976 [38]) (mediciones horizontales ). 163



Lec ci ón 29: Teor ía del m u est reo

Supóngase que se tiene una muestra de n observaciones independiente e idénticamente distribuidas { X 1, X 2,. . . , Xn} de una variable estocástica con el valor finito medio desconocido m1 y varianza finita .... σ2 (parámetros de población). El valor medio y la varianza de la muestra se definen como sigue:

Los parámetros Ẋ y s2 son funciones de una variable estocástica y, por lo tanto, son también variables estocásticas definidas por una distribución denominada distribución de muestreo . El parámetro Ẋ es un estimador central del valor medio de población desconocido m1, es decir: Asimismo, s 2/n es un estimador central de la varianza desconocida del valor medio de la muestra Ẋ , es decir: Se describe la exactitud de la estimación de un parámetro de muestreo por medio de un intervalo de confianza, con al cual una determinada probabilidad especifica cómo la estimación se ubica en relación con el valor teórico desconocido. En este caso el intervalo de confianza del valor medio resulta:

donde: tn-1,1−α/2 es el percentil (1−α/2) superior de la distribución t con n−1 grados de libertad. La probabilidad de que el intervalo de confianza incluya el valor medio teórico desconocido es igual a (1 −α) y se denomina nivel de confianza . En el cuadro 15.1 figuran algunos valores de la distribución t . Cuando n se hace grande, la distribución t converge a la distribución normal y se puede utilizar el percentil de esta distribución. La hipótesis de independencia se satisface para mediciones tomadas en diferentes días pero no, por ejemplo, para mediciones sucesivas por el método de exploración en un intervalo de tiempo limitado, pues la cantidad de canales ocupados en un instante dado estará correlacionada con el número de circuitos ocupados en la exploración previa y en la siguiente. En las secciones próximas se calculará el valor medio y la varianza de las mediciones de tráfico durante, por ejemplo, una hora. Este valor agregado para un determinado día puede ser utilizado entonces como simple observación en las fórmulas precedentes, donde la 164



cantidad de observaciones será típicamente el número de días que se mide.

Figura 15.1 – Observación de un proceso de tráfico por un método de medición continua y por el método de exploración con intervalos de barrido regulares. El método de exploración es suficiente para observar los cambios de estado. Cuadro 15.1 – Percentiles de la distribución t con n grados de libertad. Un valor específico de α corresponde a una masa de probabilidad α/2 en ambos extremos de la distribución t . Cuando n es grande, se pueden utilizar los percentiles de la distribución normal n 1 2 5 10 20 40 ∞

α = 10% α = 5%

6,314 2,920 2,015 1,812 1,725 1,684 1,645

12,706 4,303 2,571 2,228 2,086 2,021 1,960

α = 1%

63,657 9,925 4,032 3,169 2,845 2,704 2,576 165



Ejemplo 15.2.1: Intervalo de confianza para congestión de llamadas. En un grupo troncal de 30 líneas de enlace (canales) se observa el resultado de 500 tentativas de llamada. Esta medición se repite 11 veces y se obtienen los siguientes valores de congestión de llamadas (en porcentaje): 9,2; 3,6; 3,6; 2,0; 7,4; 2,2; 5,2; 5,4; 3,4; 2,0; 1,4 La suma total de las observaciones es 45,4 y el total de los cuadrados de las observaciones es 247,88. Aplicando la ecuación (15.1) X = 4,1273 % y con la ecuación (15.2) s 2 = 6,0502 (%) 2 2. Al nivel de 95% el intervalo de confianza resulta, utilizando los valores t del cuadro 15.1: (2,47−5,78). Cabe señalar que las observaciones se obtienen simulando un tráfico PCT−I de 25 erlang, que se

ofrece a 30 canales. Conforme a la fórmula B de Erlang la probabilidad teórica de bloqueo es de 5,2603 %. Este valor se encuentra dentro del intervalo de confianza. Si se desea reducir el intervalo de confianza en un factor de 10, se deberán efectuar 100 observaciones veces más (véase la fórmula 15.5), es decir 50 000 por mediciones (subejecución). Se lleva a cabo esta simulación y se observa una congestión de llamadas igual a 5,245 % y un intervalo de confianza (5,093 - 5,398). Esta simulación requiere unos 10 segundos en un puesto de trabajo.

29.1 Mediciones continuas en un periodo ilimitado Las mediciones de intervalos de tiempo a través de métodos de medida continuos sin interrupciones son fáciles de efectuar mediante la teoría de muestreo. Para la medición del volumen de tráfico o de la intensidad de tráfico se pueden aplicar las fórmulas (3.46) y (3.48) para una suma estocástica. Esto es en términos generales, siendo la única restricción la independencia estocástica entre X y N . En la práctica, esto significa que los sistemas no deben tener congestión. En general se tendrán bajos porcentajes de congestión y aun en el caso más desfavorable puede suponer independencia. Sin duda, el caso más importante es un proceso de llegada de Poisson con intensidad λ. Se tendrá entonces una suma estocástica . Para el proceso de llegada de Poisson, cuando se considera un intervalo de tiempo T , se tendrá:

y, por tanto, resulta:

donde m2,t es el segundo momento (no central) de la distribución de tiempo de ocupación, y εt es el factor de forma de Palm de la misma distribución: 166



Figura 15.2 – Casos de mediciones de trafico. Cuando se analizan las mediciones de tráfico se pueden distinguir dos casos: a) Mediciones en un periodo de tiempo ilimitado. Toda llamada iniciada durante el periodo de medición contribuye con su duración total. b) Mediciones en un periodo de tiempo limitado. Cada llamada contribuye con su tiempo de ocupación que puede estar establecido dentro del periodo de medición. Los segmentos que identifican los tiempos de ocupación que contribuyen con las mediciones se indican en la figura en línea llena La distribución de ST será en este caso una distribución de Poisson compuesta (Feller, 1950 [29]). La fórmula corresponde a un volumen de tráfico (por ejemplo, erlang-horas). Para muchas aplicaciones, tales como dimensionamiento, es importante determinar la cantidad media de canales ocupados, es decir intensidad (régimen) de tráfico = tráfico por unidad de tiempo ( m1,t = 1, λ = A), cuando se establece el tiempo medio de ocupación como unidad de tiempo: 167



Estas ecuaciones son válidas para distribuciones arbitrarias del tiempo de ocupación. Las ecuaciones (15.8) y (15.9) fueron deducidas originalmente por C. Palm (1941 [80]). En (Rabe, 1949 [88]) se publicaron las fórmulas para los casos especiales

εt =

1 (tiempo de ocupación

constante) y εt = 2 (tiempo de ocupación distribuidos exponencialmente). Las ecuaciones anteriores se utilizan para todas las llamadas que llegan dentro de intervalo T cuando se mide la duración total de todos los tiempos de ocupación sin importar el tiempo de permanencia (véase la figura 15.2a).

Ejemplo 15.3.1: Exactitud de una medición. Se hace notar que siempre se obtiene el valor medio correcto de la intensidad de tráfico (15.8). La varianza, sin embargo, es proporcional al factor de forma εt . Para algunos casos comunes de distribuciones del tiempo de ocupación se obtiene la siguiente varianza de la intensidad de tráfico medida. Constante: Distribución expon encial: Obs ervada (figur a 4.3):

Observando el tráfico telefónico, se encuentr a a menudo que ε t es considerablemente más grande que el valor 2 (distribución exponencial), que se presume que es válido en muchos modelos clásicos de teletráfico. Por tanto, la exactitud de una medición es menor que la que figura en muchos cuadros. Sin embargo, esto se compensa por la hipótesis que los sistemas son no bloqueantes. En un sistema con bloqueo la varianza resulta menor debido a la correlación negativa entre los tiempos de ocupación y el número de llamadas.

Ejemplo 15.3.2: Exactitud relativa de una medición. La exactitud relativa de una medición viene dada por la siguiente relación:

Coeficiente d e variación

De la misma se observa que si εt = 4, se deberá medir dos veces en un periodo para obtener la 168



misma fiabilidad de una medición como para el caso de tiempos de ocupación con distribución exponencial. Para un determinado intervalo de tiempo se observa que la exactitud de la intensidad de tráfico cuando se mide un pequeño grupo de enlace es mucho mayor que cuando se mide un grupo de enlace grande, en razón que la exactitud sólo depende de la intensidad de tráfico A. Cuando se dimensiona un pequeño grupo de enlace, un error en la estimación del tráfico del 10% tiene mucho menos influencia que el mismo porcentaje de error en un grupo de enlace grande. Por tanto, se medirá el mismo intervalo de tiempo en todos los grupos de enlace. En la figura 15.5 la exactitud relativa para una medición continua se indica con la recta h = 0.

29.2 Métodos de exploración en un periodo ilimitado En esta sección sólo se considerarán intervalos de exploración regulares (constantes). El método de exploración se aplica, por ejemplo, a mediciones de tráfico, tarificación de llamadas, simulaciones numéricas, y control de procesador. Por el método de exploración se observa una distribución de tiempo discreta para el tiempo de ocupación que, en tiempo real, es generalmente continuo. En la práctica, se determina por lo general una distancia constante h entre los instantes de exploración, y se encontrará la siguiente relación entre el intervalo observado y el tiempo real (véase la figura 15.3):

Se observa que hay una superposición entre los intervalos continuos, de modo tal que la distribución discreta no se puede obtener por la simple integración de un intervalo continuo sobre un intervalo fijo de longitud h. Si los tiempos reales de ocupación tienen una función de distribución F (t ), se observará la distribución discreta siguiente (Iversen, 1976 [38]): 169



Figura 15.3 – Con el método de exploración un intervalo continuo se transforma en un intervalo discreto. La transformación no es única.

Interpretación: Se supone que el tiempo de llegada de la llamada es independiente del proceso de exploración. Por tanto, la función de densidad del intervalo desde el instante de llegada de la llamada al tiempo de la primera exploración está distribuido uniformemente y es igual a (1/h). La probabilidad de observar instantes de barrido cero durante el tiempo de ocupación de la llamada se representa por p(0) y es igual a la probabilidad que la llamada termine antes del tiempo del barrido siguiente. Para un valor fijo del tiempo de ocupación t esta probabilidad es igual a F (t )/h, y para obtener la probabilidad total se integran todos los valores t posibles (0 ≤ t < h) y se aplica la ecuación (15.10). De manera similar se extrae p(k ) con la ecuación (15.11). Por integración parcial se puede determinar que para cualquier función de distribución F (t ) se observará siempre el valor medio correcto:

Cuando se utiliza la tarificación de Karlsson se llegará tasará siempre el monto correcto. Para -μt

intervalos de ocupación con distribución exponencial, F (t ) = 1−e

, se observará una distribución

discreta denominada distribución de Westerberg (Iversen, 1976 [38]):

170



Esta distribución puede tener el valor medio y el factor de forma siguientes:

El factor de forma ε es igual a uno más el cuadrado de la exactitud relativa de la medición. Para una medición continua el factor de forma es 2. La contribución principio de medición.

ε −2 es debida a la influencia del

El factor de forma es una medida de la exactitud de las mediciones. La figura 15.4 ilustra cómo depende el factor de forma del tiempo de ocupación con distribución exponencial observado en la duración del intervalo de exploración (15.16). Con mediciones continuas se obtiene una muestra ordinaria y por el método de exploración se obtiene una muestra de una muestra, de modo tal que hay incertidumbre en razón del método de medición así como del tamaño limitado de la muestra. La figura 5.2 muestra un ejemplo de la distribución de Westerberg. Es en particular la clase cero s que se aparta de lo que se podría esperar de una distribución exponencial continua. Si en la expresión para (15.9) se inserta el factor de forma, se obtiene entonces, fijando el tiempo medio de ocupación como unidad de tiempo m1,t = 1/μ = 1, las siguientes estimaciones de la intensidad de tráfico cuando se emplea el método de exploración: 27 Con el método de medición continuo la varianza es 2 A/T . Esto también se obtiene dejando h → 0. En La figura 15.5 se muestra la exactitud relativa del volumen de tráfico medido para una medición continua (15.8) y (15.9), así como para el método de exploración (15.17). La ecuación (15.17) fue formulada por (Palm, 1941 [80]), pero recién resultó conocida cuando fue divulgada por W.S. Hayward Jr. (1952 [35]).

Ejemplo 15.4.1: Principios de tarificación. Para la tarificación de llamadas se aplican varios principios. Además, el régimen de tasación varía, por lo general, durante las 24 horas para influenciar los hábitos del abonado. Entre los principios se puede mencionar: 171



a) Tasa fija por llamada. Este principio se aplica a menudo en sistemas manuales para llamadas locales (tarifa única) b) Tarificación de Karlsson. Esto corresponde al principio de medición que se trata en esta sección debido que el tiempo de ocupación se fija al azar conforme a los impulsos de tasación regulares. Este principio ha sido aplicado en Dinamarca en centrales de tipo de barras cruzadas. c) Tarificación de Karlsson modificada. Se puede, por ejemplo, añadir un impulso adicional al comienzo de la llamada. En sistemas digitales en Dinamarca se aplica una tasa fija por llamada además de una tasa proporcional a la duración de la llamada. d) El comienzo del tiempo de ocupación se sincroniza con el proceso de exploración. Esto se aplica, por ejemplo, para llamadas atendidas por operador y en teléfonos de alcancía.

Lecc ión 30:

Ejemp lo de m edici on es de tráfico s.

Para una medición específica se calcula m1,j i y . La desviación de la intensidad de tráfico observada con relación al valor teórico correcto tiene una distribución aproximadamente normal. Por tanto, el valor teórico medio desconocido estará dentro del 95% de los intervalos de confianza calculados: σ

La varianza es entonces decisiva para la exactitud de una medición. Para estudiar qué factores i son de mayor importancia se efectuarán cálculos numéricos de algunos ejemplos. Todas las fórmulas se pueden calcular fácilmente con un calculador de bolsillo. Ambos ejemplos suponen tráfico PCT−I, (es decir, proceso de llegada de Poisson y tiempos de ocupación con distribución exponencial), intensidad de tráfico = 10 erlang, y tiempo medio de ocupación = 180 segundos, que se fija como unidad de tiempo. 172



Ejemplo a: Corresponde a una medición de tráfico clásica: Periodo de medición = 3600 s = 20 unidades de tiempo = T. Intervalo de exploración = 36 s = 0,2 unidades de tiempo = h = 1/λs. (100 observaciones) Ejemplo b: En este caso sólo se explora una vez por tiempo de ocupación medio. Periodo de medición = 720 s = 4 unidades de tiempo = T. Intervalo de exploración = 180 s = 1 unidad de tiempo = h = 1/λs. (4 observaciones) Del cuadro 15.5 se pueden extraer algunas conclusiones generales: Por el método de exploración se obtiene muy poca información comparada con una medición continua ya que el intervalo de exploración es menor que el tiempo medio de ocupación (véase la figura 15.4). La medición continua se puede considerar como una referencia óptima para cualquier método discreto.

Figura 15.4 – Factor de forma para tiempos de ocupación con distribución exponencial. Observados por intervalos de exploración con distribución Erlang-k en un periodo de medición ilimitado. El caso k = ∞ corresponde a intervalos de exploración regulares (constantes) que transforman la distribución exponencial en distribución de Westerberg. El caso k = 1 corresponde a intervalos de exploración con distribución exponencial(véase el método de simulación de la ruleta). El caso h = 0 corresponde a una medición continua. Se 173



observa que con intervalos de exploración regulares casi no hay información si el intervalo de exploración es menor que el tiempo medio de ocupación (fijado como unidad de tiempo).

Figura 15.5 – Con una escala logarítmica doble se obtiene una relación lineal entre la exactitud relativa de la intensidad de tráfico A y el volumen de tráfico medido A . T cuando se efectúa en un periodo ilimitado. El intervalo de exploración h = 0 corresponde a una medición continua y h > 0 corresponde al método de exploración. La influencia de un método de medición limitado se representa en línea punteada para el caso A = 1 erlang y una medición continua teniendo en cuenta el intervalo de medición limitado. El intervalo T se mide en tiempos medios de ocupación El conocimiento que se obtiene en relación con un periodo de medición limitado produce más información para una medición breve (T <5), mientras que se obtiene muy poca información adicional para T >10. (En el proceso de tráfico hay correlación; la primera parte de un periodo de medición produce más información que las partes siguientes.) Utilizando el método de la ruleta se obtiene mayor información que con el método de exploración (Iversen 1976, [38], 1977 [39]). Todos los factores mencionados anteriormente tienen mucho menos influencia que el hecho que los tiempos de ocupación reales se desvían a menudo del esquema de distribución exponencial. En la práctica, se observa con frecuencia un factor de form a cercano a 4−6. La conclusión que se pueda hacer de los ejemplos anteriores es que para aplicaciones prácticas es más pertinente 174



aplicar la fórmula elemental (15.8) con un factor de forma correcto que tomara en cuenta el método y el periodo de medición.

Cuadro 15.2 – Comparación numérica de diversos principios de medición en diferentes intervalos de tiempo

La teoría anterior es exacta cuando se consideran tarificación de llamadas y medición de intervalos de tiempo. Para simulaciones estocásticas de computadora el proceso de tráfico es generalmente estacionario y la teoría se puede aplicar para estimación de la fiabilidad de los resultados. Sin embargo, los resultados son aproximados ya que las hipótesis teóricas acerca de sistemas libres y congestión pocas veces son de interés. En mediciones reales en sistemas de trabajo se tienen variaciones de tráfico durante el día, errores técnicos, errores de medición, etc. Algunos de estos factores se compensan mutuamente y los resultados que se han calculado dan una buena estimación de la fiabilidad, y constituyen una buena base para comparar medidas y principios de medición.

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Capitulo 6. Dimensionamiento de Las Redes de Telecomunicaciones

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