REP
ÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD ALEJANDRO HUMBOLDT Materia: Análisis de Estados Financieros I Profesor: Núñez, Ricardo
CAPÍTULO 5 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Integrantes: Salazar, Pedro V-17.919.272 Colina, Kathleen V-20.631.393 Algarín, Dorcarí V-22.447.099 Garanito, Veruska V-19.927.997 Sección 0602
Caracas, Noviembre de 2015
CAPÍTULO 5. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.
1. Preguntas de repaso: 5.1. El papel del valor del tiempo en las finanzas. 5.1 ¿Cuál es la diferencia entre valor futuro y valor presente? ¿Qué método prefieren generalmente los gerentes financieros? ¿Por qué? R=
La diferencia que existe entre valor futuro y valor presente ,
es que, como su palabra lo indica, el valor futuro será el efectivo que usted recibirá en un tiempo o años después y el valor presente, es el valor del dinero actual. Los administradores necesitan un modo de comparar el efectivo de hoy con el efectivo del futuro, ellos prefieren usar el método o enfoque de valor presente, esto para poder tomar decisiones de inversión, si es factible o no una determinada inversión. 5.2. Montos Únicos. 5.2 Defina y explique las diferencias de los tres patrones básicos del flujo de efectivos: 1. Mono único, 2. Anualidad y 3. Ingreso mixto. El flujo de efectivo de una empresa se describe por medio de su patrón general. Se define como un monto único, una anualidad o un ingreso mixto. Monto único: es la cantidad global que se tiene actualmente o que se espera tener en una fecha futura. Como ejemplo; $1,000 actual y $650 que se recibirán al cabo de 10 años.
Anualidad: es el nivel de serie periódica de flujo de efectivos. Para nuestros propósitos, trabajaremos principalmente con los flujos de efectivo anuales. Un ejemplo; es pagar o recibir $800 al final de cada uno de los 7 años siguientes. Ingreso mixto: es una serie de flujos de efectivo que no es una anualidad; un ingreso de flujos de efectivo periódicos y desiguales que no reflejan algún patrón específico.
5.3 ¿Cómo se relaciona el proceso de capitalización con el pago de intereses sobre los ahorros? ¿Cuál es la ecuación general para calcular el valor futuro?
La capitalización se relaciona con el pago de intereses sobre los ahorros , ya que es un proceso que determina el valor futuro de una renta actual o de una serie de rentas periódicas al tipo de interés que se desea aplicar. Entonces, hablamos de interés compuesto para indicar que el monto del interés ganado en un depósito específico se vuelve parte del principal al final de un periodo determinado y el término principal se refiere al monto de dinero sobre el que se pagan intereses. La capitalización es la más común.
La ecuación general para calcular el valor futuro al final del periodo n es: VFn = VP x (1+ i)n
5.4 ¿Qué efecto produciría una disminución de la tasa de interés en el valor futuro de un depósito? ¿Qué efecto produciría en el valor futuro un aumento en el periodo que se mantiene un depósito?
Cuanto mayor sea la tasa de interés, mayor será el valor futuro, en este caso si se disminuye la tasa pasaría lo contrario, para cualquier tasa de interés mayor que cero, el valor futuro es mayor que el valor presente. Si hay un aumento en el periodo, se aumentara su valor futuro.
5.5 ¿Qué significa “valor presente de un monto futuro”? ¿Cuál es la ecuación general para calcular el valor presente?
El valor presente es el valor actual en bs o $ de un monto futuro; es decir, la cantidad de dinero que debería invertirse hoy a una tasa de interés determinada, durante un periodo especifico, para igualar el monto futuro. La ecuación es VP = VFn/(1 + i)n
5.6 ¿Qué efecto produce el aumento del rendimiento requerido en el valor presente de un monto futuro? ¿Por qué?
El efecto que causa es que el valor presente sea menor, porque a mayor tasa de rendimiento menor será el valor presente de un monto futuro.
5.7 ¿Cómo se relacionan los cálculos del valor presente y el valor futuro? La relación que existe es que ambos valores dependen en gran medida de la tasa de interés y del momento en que se recibirá el monto. 5.3. Anualidades 5.8 ¿Cuál es la diferencia entre una anualidad ordinaria y una anualidad anticipada? ¿Cuál es más rentable? ¿Por qué? La diferencia entre la anualidad ordinaria y anualidad anticipada radica en que la anualidad del flujo de efectivo ocurre. La anualidad ordinaria ocurre al final de cada periodo y la anualidad anticipada ocurre al inicio de cada periodo. Los dos planes de anualidades difieren únicamente en el momento en que ocurren sus flujos de efectivo: los flujos de efectivo se reciben más rápidamente con la anualidad anticipada que con la anualidad ordinaria. La anualidad anticipada sería la más rentable ya que tendría un valor futuro más alto que la anualidad ordinaria porque cada uno de sus flujos de efectivo anuales puede ganar intereses durante un año más que cada uno de los flujos de efectivo de la anualidad ordinaria.
5.9 ¿Cuáles son las formas más eficientes de calcular el valor presente de una anualidad ordinaria? La forma más eficiente seria de calcular el valor presente de cada flujo de efectivo en la anualidad y luego sumar esos valores presentes. Alternativamente, el atajo algebraico para obtener el valor presente de una anualidad ordinaria que hace un pago anual de FE en n años. 5.10 ¿Cómo se puede modificar la fórmula del valor futuro de una anualidad
para
calcular
el
valor
futuro
de
una
anualidad
anticipada? Las dos ecuaciones son casi idénticas, pero la ecuación para calcular el valor futuro de una anualidad anticipada se modifica teniendo al final un término adicional, (1 + i). En otras palabras, el valor que se obtiene con la ecuación para calcular el valor futuro de una anualidad anticipada es (1 + i) veces más grande que el valor de la ecuación de una anualidad ordinaria si las otras entradas (FE y n) se mantienen iguales, y esto tiene sentido porque todos los pagos de la anualidad anticipada tienen una ganancia de interés de un año adicional en comparación con la anualidad ordinaria. 5.11 ¿Cómo se puede modificar la fórmula del valor presente de una anualidad ordinaria para calcular el valor presente de una anualidad anticipada? R= la ecuación para la obtención del valor presente de una anualidad anticipada se puede modificar añadiendo a un término adicional al final, (1 + i). La razón de este término adicional es la misma que cuando se calculó el valor futuro de la anualidad anticipada. En la anualidad anticipada, cada pago llega un año antes (en comparación con la anualidad ordinaria), de modo que
cada pago genera un poco más de ganancia (un año más de interés).
5.12 ¿Qué es una perpetuidad? ¿Por qué el valor presente de una perpetuidad es igual a un pago anual de efectivo dividido entre la tasa de interés? Una perpetuidad es una anualidad con una vida infinita, en otras palabras, es una anualidad que nunca termina, garantizando a su tenedor un flujo de efectivo al final de cada año (por ejemplo, el derecho a recibir $500 al final de cada año para siempre). El valor presente de una perpetuidad es igual a un pago anual de efectivo dividido entre la tasa de interés, porque al hacer esta división nos arroja un monto, el cual nos indica que para generar el flujo de efectivo o el pago anual de efectivo se necesita o requieren lo que dará por resultado. 5.4. Ingresos Mixtos 5.13 ¿Cómo se calcula el valor futuro de un ingreso mixto de flujos de efectivo? ¿Cómo se calcula el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo? Para calcular el valor futuro de un ingreso mixto de flujos de efectivo se tiene que determinar el valor futuro de cada flujo de efectivo en la fecha futura especificada y después sumamos todos los valores futuros individuales para calcular el valor futuro total. Y para calcular el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo el cálculo del valor presente de un ingreso mixto de flujos
de efectivo es similar al cálculo del valor futuro de un ingreso mixto. Determinamos el valor presente de cada monto futuro y después sumamos todos los valores presentes individuales para obtener el valor presente total. 5.5 Capitalizacion
de intereses con una frecuencia mayor
que la anual. 5.14 ¿ Que efecto produce el interes compuesto a una frecuencia mayor que la anual en a) el valor futuro y b) la tasa efectiva anual (TEA)? ¿Por qué? a)En el valor futuro: el efecto producido es mayor monto de dinero acumulado. b)Tasa efectiva anual: el efecto producido es el aumento de la misma al incrementar la frecuencia de capitalizacion. 5.15 ¿Como se compara el valor futuro de un deposito sujeto a una capitalizacion continua con el valor obtenido por medio de una capitalizacion anual? Se podria comparar usando estas dos formulas: 1) 2) 5.16 Distinga entre una tasa nominal anual y una tasa efectiva anual. Defina la Tasa de porcentuaje anual y el rendimiento porcentual anual. La diferencia entre la “tasa nominal anual y la tasa efectiva anual”, es que, la primera es la tasa de interes anual contractual, es decir, establecida, que cobra el prestamista o promete pagar el prestatario
y
refleja
los
efectos
de
la
frecuencia
de
la
capitalizacion; y la segunda es la tasa de interes anual que realmente se gana o paga.
Tasa de porcentuaje anual: tasa nominal anual de interes que se obtiene multiplicando la tasa periodica por el numero de periodos en un año, y que debe informarse a los consumidores de tarjetas de credito y prestamos como resultados de las “leyes de veracidad en los prestamos”. Rendimiento porcentual anual: es la tasa efectiva anual de interes que los bancos deben revelar a los consumidores de sus productos de ahorro com resultado de las “leyes de veracidad en los ahorros”. 5.6 Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo. 5.17
¿Cómo se determina el monto de los depositos anuales e
iguales, de final de periodo, que se requiere para acumular cierta suma al termino de un periodo especifico, a una tasa de interes anual determinada? Se determina con la siguiente formula: 1+i (¿) [ ¿¿ n−1 ] / i ¿ FE=VF ÷ ¿ 5.18 Describa el procedimiento para amortizar un prestamo en una serie de pagos periodicos e iguales. El proceso de amortizacion del prestamo implica efectuar el calculo de los pagos futuros durante el plazo del prestamo, cuyo valor presente a la tasa de interes estipulada equivale al monto del principal inicial prestado.
5.19 ¿Cómo se determina el numero de periodo desconocidos cuando se conocen los valores presente y futuro, de un monto unico o una anualidad, y la tasa de interes aplicable? Se determina con la siguiente formula: T=
log ( VF )−log(VP) log ( 1+i)
2. Problemas de autoevaluación. AE5.1 Valores futuros para diversas frecuencias de capitalización, Delia Martin tiene $10,000 que puede depositar en alguna de tres cuentas de ahorro durante un periodo de 3 años. El banco A capitaliza los intereses anualmente, el banco B capitaliza los intereses dos veces al año, y el banco C capitaliza los intereses cada trimestre. Los tres bancos tienen una tasa de interés anual establecida del 4%. a) ¿Qué monto tendría Delia Martin en cada banco al término del tercer año si mantiene en depósito todos los intereses pagados? Banco A VF= 10,000 $ x (1+ 0.04)3= tendría 11,248.64 $ al final de los 3 años Banco B VF= 10,000 $ x (1+(0.04/2))3.2= 11,261.62 $ tendría al final de los 3 años Banco C VF= 10,000 $ x (1+(0.04/4))3.4= tendría 11,268.25 $ al final de los 3 años b) ¿Qué tasa efectiva anual (TEA) ganaría en cada uno de los bancos? TEA = (1 + 0.04/m)m - 1 = 0. x 100 Banco A= 4% Banco B= 4.04 %
Banco C= 4.06 % c) De acuerdo con los resultados que obtuvo en los incisos a) y b), ¿con qué banco debe hacer negocios Delia Martin? ¿Por qué? Debería quedarse con el banco c, ya que este capitaliza los intereses trimestralmente, por lo que su ganancia o el cobro de los intereses se obtienen más rápido y su inversión será mayor. d) Si un cuarto banco (banco D), que ofrece también una tasa de interés establecida del 4%, capitaliza el interés continuamente, ¿cuánto tendría Delia Martin al término del tercer año? ¿Esta alternativa altera la recomendación que dio en el inciso c)? Explique por qué. Banco D VF= 10,000 $ x (1+(0.04/12))3.12= 11,272.72 $ tendría al final de los 3 años Claro que altera la respuesta anterior, ya que el valor futuro es mayor y el cobro de los intereses se obtienen en menor tiempo. AE5.2 Valores futuros de anualidades, Ramesh Abdul desea elegir el mejor de dos ingresos de flujo de efectivo que tienen el mismo costo: la anualidad X y la anualidad Y. La anualidad X es una anualidad anticipada con una entrada de efectivo de $9,000 en cada uno de los próximos 6 años. La anualidad Y es una anualidad ordinaria con una entrada de efectivo de $10,000 en cada uno de los próximos 6 años. Suponga que Ramesh puede ganar el 15% sobre sus inversiones.
a) De manera completamente subjetiva, ¿qué anualidad considera que es la más atractiva? ¿Por qué? La anualidad anticipada, porque tendría un valor futuro más alto que la anualidad ordinaria porque cada uno de sus flujos de efectivo anuales puede ganar intereses durante un año más que cada uno de los flujos de efectivo de la anualidad ordinaria. b) Calcule el valor futuro al término del año 6 de ambas anualidades. Anualidad X VF = $ 9,000 x (((1+0.15)6-1)/0.15) x (1+0.15) = 90,601.19 $ Anualidad Y VF = ($ 10,000/0.15) x (1-(1/(1+0.15)6)) x (1+0.15) = 43,521.55 $ c) Utilice los resultados que obtuvo en el inciso b) para indicar qué anualidad es la más atractiva. ¿Por qué? Compare sus resultados con la respuesta subjetiva que dio en el inciso a). Mi respuesta seria la que di en el inciso a), ya que al obtener los resultados en el inciso b) podemos constatar que el valor futuro de la anualidad es mayor
AE5.3 Valores presentes de montos únicos e ingresos, Usted tiene la opción de aceptar uno de dos ingresos de flujos de efectivo
durante 5 años o montos únicos. Un ingreso de flujos de efectivo es una anualidad ordinaria, y el otro es un ingreso mixto. Usted puede aceptar la alternativa A o B, ya sea como un ingreso de flujos de efectivo o como un monto único. Considerando el ingreso de flujos de efectivo y los montos únicos relacionados con cada opción (véase la siguiente tabla), y suponiendo un costo de oportunidad del 9%, ¿qué alternativa preferiría (A o B) y en qué forma (ingreso de flujos de efectivo o monto único)?
A: Flujos de efectivo: V P5 = $700/0.09 x (1 - 1/(1 + 0.09)5) = $700/0.09 x 0.350 = $2,722.76 Monto único: $2,825
B: Flujos de efectivo: Año (n)
calculo del valor
valor present
presente 1,100/
e $
1
(1+0,09) = 1,009.17 900/
2
(1+0,09)2 = $ 757.51 700/
3
(1+0,09)3 = $ 540.53 500/
4
(1+0,09)4 = $ 354.21 300/
5
(1+0,09)5 = $ 194.98 $ valor 2,856,4 presente
0
Monto único: $ 2,800 La opción o alternativa B es preferible, porque su valor presente es de $ 2,856.40 es mayor que los otros valores. AE5.4 Depósitos necesarios para acumular una suma futura Judi Janson desea acumular $8,000 al término de 5 años realizando depósitos anuales e iguales a fin de año durante los próximos 5 años. Si Judi puede ganar el 7% sobre sus inversiones, ¿cuánto debe depositar al final de cada año para lograr su objetivo? FE = $ 8,000 / (((1 + 0.07)5 - 1)/0.07) FE = $ 1,391.13 Judi debe depositar $ 1,391.13 al final de cada uno de, para lograr su objetivo de acumular $ 8,000 al término del último año.
3. Ejercicios de preparación. E5.1 Suponga que una empresa realiza un depósito de $2,500 en su cuenta de mercado de dinero. Si esta cuenta paga actualmente el 0.7% (sí, es correcto, ¡menos del 1%!), ¿cuál será el saldo de la cuenta después de un año? El saldo después de un año será de $ 2,517.5 VFn = VP x (1+ i)n E5.2 Si
Bob
y
Judy
combinan
sus
ahorros
de
$1,260
y
$975,
respectivamente, y depositan este monto en una cuenta que paga el 2% de interés anual, capitalizado mensualmente, ¿cuál será el saldo de la cuenta después de 4 años? El saldo será al final de 4 años de $ 2,420.98 VFn = VP x (1+ (i/m))n.m E5.3 Gabrielle acaba de ganar $2.5 millones en la lotería estatal. Le dan la opción de recibir un total de $1.3 millones ahora o un pago de $100,000 al final de cada año durante los próximos 25 años. Si Gabrielle puede ganar el 5% anual sobre sus inversiones, desde un punto de vista estrictamente económico, ¿por qué opción debe inclinarse? Formula del valor presente de una anualidad ordinaria: VPn = (FE/i) * (1-(1/(1+i) ^n))
VPn = (100000/0.05)*(1-(1/(1+0.05) ^25)) VPn = 1.409.394,457 $ R = Debería inclinarse por la anualidad ordinaria, es decir de recibir 100000 $ al final de cada año durante los próximos 25 años siguientes. E5.4 Su empresa tiene la opción de realizar una inversión en un nuevo software que cuesta $130,000 actuales y que, según los cálculos, generará los ahorros indicados en la siguiente tabla durante su vida de 5 años: OA 4 OA 3 OA 2 OA 5 OA 2 Año Ahorros estimados 1 $35,000 2 50,000 3 45,000 4 25,000 5 15,000 ¿La empresa debería realizar esta inversión si requiere un rendimiento anual mínimo del 9% sobre todas sus inversiones? LINEA DE TIEMPO FIN DE AÑOS
Formula del valor presente VP =
VFn
( 1 + i )^n VP = (35000/(1+0.09) ^1) = 32.110,09 $
VP = (50000/(1+0.09) ^2) = 49.598,25 $ VP = (45000/(1+0.09) ^3) = 34.748,26 $ VP = (25000/(1+0.09) ^4) = 17.710,63 $ VP = (15000/(1+0.09) ^5) = 9.748,97 $ 143.916.2 $ E5.5 Joseph es su amigo.Tiene
mucho dinero,pero poco conocimiento
financiero.El recibio un regalo de $ 12.000 por su graduacion y esta buscando un banco para depositar los fondos, partner`s Savings Bank ofrece una cuenta con una tasa de interes anual del 3% compuesta semestralmente, en tanto que Selwin`s ofrece una cuenta con una tasa de interes anual del 2.75%
compuesta de manera continua.
Calcule el valor de las dos cuentas al termino de un año y recomiende a Joseph la cuenta que debe elegir. Capitalizacion continua: e ¿ VF=( VP ) ×(¿ x ¿¿i∗n) ¿ ¿
2.7183 ¿ ) ¿ VF=(12000)× ¿ VF=12000× 1.030454534 VF= $12365.45
Capitalizacion semestral:
VF=12000× ( 1+ 0.015 )
2
VF=12000 x 1.030225 VF=$12362.70 Se le recomienda a Joseph elegir la cuenta de capitalizacion continua, ya que se obtiene un valor futuro mayor que el obtenido con cualquier otra frecuencia de capitalizacion.
E5.6 Jack y Jill acaban de tener a su primer hijo.Si se espera a que la universidad cueste $ 150.000 anuales dentro de 18 años, ¿Cuánto deberian empezar a depositar anualmente, al fin de cada año, con el proposito de acumular suficientes fondos para pagar los costos del primer año de estudios al inicio del año 19? Suponga que puedan ganar una tasa del rendimiento anual del 6% sobre su inversion. FE=VF ÷(
[ ( 1+i )n−1 ] )
FE=150000 ÷(
FE=150000 ÷(
FE=150000 ÷(
i
[ ( 1+ 0.06 )19−1 ] ) 0.06
[ 3.025−1 ] 0.06
2.025 ) 0.06
)
FE=150000÷33.75 FE= $ 4444.44 Deberia empezar a depositar $ 4444.44 al fin de cada año a una tasa anual del 6% para acumular fondos suficientes para pagar los costos del primer año de estudio al inicio del año 19.
4. Problemas. P5.1 Uso de una línea de tiempo El administrador financiero de Starbuck Industries evalúa realizar una inversión que requiere un desembolso inicial de $25,000 y de la cual espera obtener entradas de efectivo de $3,000 al final del año 1, $6,000, al final de los años 2 y 3, $10,000 al final del año 4, $8,000 al final del año 5, y $7,000 al final del año 6. a) Dibuje y describa una línea de tiempo que represente los flujos de efectivo relacionados
con la inversión propuesta de Starbuck
Industries. b) Utilice flechas para demostrar, en la línea de tiempo del inciso a), cómo la capitalización para calcular el valor futuro puede utilizarse
con la finalidad de medir todos los flujos de efectivo al término del año 6. c) Utilice flechas para demostrar, en la línea de tiempo del inciso b), cómo el descuento para calcular el valor presente puede utilizarse con la finalidad de medir todos los flujos de efectivo en el tiempo cero. d) ¿En cuál de los métodos (valor futuro o valor presente) se basan con mayor frecuencia los gerentes financieros para tomar decisiones? ¿Por qué? a,b,c
Los gerentes financieros se basan más en el valor presente que en el valor futuro, ya que suelen hacer decisiones ante el inicio de un proyecto, en el momento cero, como lo hace el cálculo del valor actual. P5.2 Cálculo del valor futuro, Sin consultar la función preprogramada de su calculadora financiera, use la fórmula básica del valor futuro, junto con la tasa de interés, i, y el número de periodos indicados, n, para
calcular el valor futuro de $1 en cada uno de los casos mostrados en la siguiente tabla.
Cas
Tasa de
o A
interés, 12%
Número de periodos, n
Valor futuro
2_____________(1 + 0.12)2 =
B
6
$1.25 3_____________(1 + 0.06)3 =
C
9
$1.19 2_____________(1 + 0.09)2 =
D
3
$1.19 4_____________(1 + 0.03)4 = $1.13
P5.3 Valor futuro, Usted tiene $100 para invertir. Si usted puede ganar el 12% de interés, ¿cuánto tiempo aproximadamente tardará su inversión de $100 para convertirse en $200? Ahora suponga que la tasa de interés es exactamente la mitad: 6%. Con la mitad de la tasa de interés, ¿el hecho de duplicar su dinero tardará el doble de tiempo? ¿Por qué? ¿Cuánto tiempo tardará?
Caso A:
I = 12 %, VP = - $ 100; VF = $ 200 N= 6.12 años Caso B: I = 6 %, VP = - $ 100; VF = $ 200 N = 11.90 años
Se tarda poco menos de dos veces más que el doble de su valor. Una de las razones para que sea más corta es que en el caso B hay más períodos durante los que se produce la capitalización.
SE puede utilizar la " regla del 72 " para completar el problema. Basta con dividir 72 por la tasa de interés para obtener el número de años que se tardaría en duplicar un saldo inicial.
Caso A: 72 / 12 = 6 años Caso B: 72 / 6 = 12 años P5.4 Valores futuros, En cada uno de los casos mostrados en la siguiente tabla, calcule el valor futuro del flujo de efectivo único, depositado el día de hoy, al término del periodo de depósito si el interés se capitaliza anualmente a la tasa especificada.
Valor futuro = Valor Futuro (1 + Interés Compuesto) Numero de periodos A = Valor Futuro = $200 (1 + 5%) 20
B = Valor Futuro = $4,500
(1 + 8%)7 Valor Futuro = $200 (1+0.05)20
Valor Futuro = $4,500
(1+.08)7 Valor Futuro = $200 (1+1.05)20
Valor Futuro = $4,500
(1.08)7 Valor Futuro = $200 x 2,6532
Valor Futuro = $4,500 x
1,7138 Valor Futuro = $530,659.54
Valor Futuro =
$7,712.21 C = Valor Futuro = $10,000 (1 + 9%) 10 D =
Valor Futuro =
$25,000 (1 + 10%) 12 Valor Futuro = $10,000 (1+.09)10
Valor Futuro =
$25,000 (1+0.10)12 Valor Futuro = $10,000 (1.09)10
Valor Futuro =
$25,000 (1.10)12 Valor Futuro = $10,000 x 2,3673 3.1384
Valor Futuro = $25,000 x
Valor Futuro = $23,673.74
Valor Futuro =
$78,460.71
E = V F = $37,000 (1 + 11) 5 V F = $10,000 (1+.011)5
F = V F = $40,000 (1 +12%)9 V F = $40,000 (1+.012)9
V F = $37,000 (1.10)5
V F = $40,000 (1.20)9
V F = $37,000 x 1,6051
V F = $40,000 x 5,159780352
Valor Futuro = $59,588.87 Valor Futuro = $306,391.21
P5.5 Valor en el tiempo, Usted cuenta con $1,500 para invertir hoy al 7% de interés compuesto anualmente. a) Calcule cuánto habrá acumulado en la cuenta al término de: 1. 3 años, 2. 6 años, y 3. 9 años.
A los 3 primeros años �=7%=0.07 �=3 �ñ�� ��=$1,500 ��3 =$1,500 � 1+0,07 3 ��3 =$1,500 � 1.225 ��3 =$1,837.56
2) A los 6 años �=7%=0.07 �=6 �ñ�� ��=$1,500 ��6 =$1,500 � 1+0,07 6 ��6 =$1,500 � 1.2501 ��6 =$2,251.10
3) A los 9 años �=7%=0.07 �=9 �ñ�� ��=$1,500 ��9 =$1,500 � 1+0,07 9 ��9 =$1,500 � 1.838 ��9 =$2,757.69
c) Utilice los resultados que obtuvo en el inciso a) para calcular el monto del interés ganado en: 1. los 3 primeros años (años 1 a 3), 2. los 3 años siguientes (años 4 a 6), y 3. los últimos 3 años (años 7 a 9).
1) Interés ganado a los 3 primeros años: ��3 −��=$1,837.56−$1,500=$337.56 2) Interés ganado a los 3 años siguientes (años 4 a 6): ��6 −��=$2,251.10−$1,500=$413.54 3) Interés ganado a los últimos 3 años (años 7 a 9): ��9 −��=$2,757.69−$1,500=$506.59
c) Compare los resultados que obtuvo en el inciso b). Explique por qué el monto del interés ganado aumenta en cada periodo sucesivo de 3 años.
Mientras el período de inversión sea mayor, también será mayor la cantidad total de intereses cobrados, no es algo inesperado y se debe a la mayor cantidad de tiempo que la suma principal de $ 1,500 es invertida. El punto más importante es que el interés adicional obtenido por
3 años
del período aumenta
en cada
período
subsiguiente de 3 años. El interés total para los 3 primeros años es $ 337.56, sin embargo, para el segundo período de 3 años (de 3 a 6 años) el interés adicional del trabajo es $ 413.54. Para el tercer período de 3 años (de 6 a 9 años), el interés incremental es $ 506.59.
Este creciente cambio en los intereses ganados se debe a la composición, la obtención de intereses sobre los intereses ganados anteriores. Cuanto mayor es el interés previo ganado, mayor será el impacto del interés compuesto.
P5.12 Concepto del valor presente, Conteste cada una de las siguientes preguntas. a) ¿Qué inversión única realizada el día de hoy, ganando el 12% de interés anual, valdrá $6,000 al término de 6 años?
��= �� /(1+ �) � ��= 6,000 /(1+ 0.12) 6 ��= 6,000 /( 1.12) 6 ��= 6,000/1.973822 V�=$3,039.79 b) ¿Cuál es el valor presente de los $6,000 que se recibirán al término de 6 años si la tasa de descuento es del 12%? ��= ��/ (1+ �) � ��= 6,000/(1+ 0.12) ��= 6,000/( 1.12) 6 ��= 6000/1.973822 ��=$3,039.78
6
c) ¿Cuál es el monto más alto que pagaría hoy a cambio de la promesa de pago de $6,000 al término de los 6 años si su costo de oportunidad es del 12%? ��= ��= ��= ��=
��/ (1+ �) � 6,000/(1+ 0.12) 6,000/( 1.12) 6 6000/1.973822
6
��=$3,039.78 d) Compare y analice los resultados obtenidos en los incisos a) a c). Las respuestas de las partes son las mismas, en cada caso se pide las mismas preguntas pero de una manera diferente
P5.19 Valor futuro de una anualidad, Para cada uno de los casos de la tabla que se presenta a continuación, conteste las preguntas planteadas.
a) Calcule el valor futuro de la anualidad suponiendo que es 1. Una anualidad ordinaria.
CASO A: VF10 = 2,500* ((1+0.08)10 – 1/0.08) = 36,216.41 CASO B: VF6 = 500 * ((1+0.12)6 – 1/0.12) = 4,057.59 CASO C: VF5 = 30,000 * ((1+0.2)5 – 1/0.2) = 223,248.00 CASO D:
VF8 = 11,500 * ((1+0.09)8 – 1/0.09) = 126,827.45 CASO E: VF30 = 11,500 * ((1+0.14)30 – 1/0.14) = 2,140,721.08
2. Una anualidad anticipada.
$36,216.41 x 1.08 = $39,113.72 $4,057.59 x 1.12 = $4,544.51 $223,248 x 1.20 = $267,897.60 $126,827.47 x 1.09 = $138,241.92 $2,140,721.08 x 1.14 = $2,440,442.03
b) Compare los cálculos realizados en las dos opciones del inciso a). Si todo lo demás permanece idéntico, ¿qué tipo de anualidad (ordinaria o adelantada) es preferible? Explique por qué.
Variación: CASO A: ((39,113.72-36,216.41)/36,216.41)*100 =7% CASO B: ((4,544.51-4,057.59)/4,057.59)*100=11.99% =12% CASO C: ((267,897.6-223,248)/ 223,248)*100=20% CASO D: ((138,241.92-126,827.45)/126,827.45)*100=8.99%=9% CASO E: ((2,440,422.03-2,140,721.08)/2,140,721.08)*100=13.99% La anualidad anticipada resulta en un mayor valor futuro en cada caso. Al depositar el pago en el principio y no al final del año, tiene un año más de la capitalización. Comparando la diferencia porcentual entre el valor futuro anticipado y el valor futuro ordinario , tenemos el siguiente orden: caso C (20%) , Caso E ( 14% ) , Caso B ( 11.99%) , Caso D ( 8.99%) y finalmente el Caso A ( 7%) . En el cual vemos que la mejor inversión se hace en el caso C.
P5.26 Perpetuidades, Considere los datos de la siguiente tabla.
Caso
Ecuación
Valor
A
$20,000/0.08
$250,000
B
$100,000/0.10
$1,000,000
C
$3,000/0.06
$50,000
D
$60,000/0.05
$1,200,000
P5.27 Creación de una fundación, Al término de su curso de introducción a las finanzas, Marla Lee se sintió tan complacida con la cantidad de conocimientos útiles e interesantes, que convenció a sus padres, quienes son ex alumnos adinerados de la universidad a la que asiste, de que crearan una fundación. La fundación permitiría a tres alumnos de escasos recursos tomar el curso de introducción a las finanzas cada año, a perpetuidad. El costo anual asegurado de la colegiatura y los libros del curso es de $600 por estudiante. La fundación se creará realizando un pago único a la universidad. La universidad espera ganar exactamente el 6% anual sobre estos fondos.
a) ¿Qué tan grande debe ser el pago único inicial que los padres de Marla deben hacer a la universidad para financiar la fundación?
b) ¿Qué monto se necesitaría para financiar la fundación si la universidad pudiera ganar el 9% en vez del 6% anual sobre los fondos? a. 6% tasa de interes ($600 x 3)/ 0.06 = $30,000 b. 9% porcentaje de tasa de interes ($600 x 3)/ 0.09 = $20,000 P5–31 Valor presente: Ingresos mixtos, Considere los ingresos mixtos de flujos de efectivo que presenta la siguiente tabla.
a) Calcule el valor presente de cada ingreso usando una tasa de descuento del 15%.
CASO A:
Año 1:
Año 2:
Año 3:
VP=
$ 50,000 =$ 43,478.26 ( 1+ 0,15 )1
V P=
VP=
$ 40,000 =$ 30,245.75 (1+ 0,15 )2
$ 30,000 =$ 19,725.49 ( 1+ 0,15 )3
Año 4:
Año 5:
VP=
$ 20,000 =$ 11,435.06 ( 1+ 0,15 )4
VP=
$ 10,000 =$ 4,971.77 ( 1+ 0,15 )5
Total de valor presente = $109,856.33 CASO B:
Año 1:
VP=
$ 10,000 =$ 8,695.65 ( 1+ 0,15 )1
Año 2:
VP=
$ 20,000 =$ 15,122.87 ( 1+0,15 )2
Año 3:
VP=
$ 30,000 =$ 19,725.49 ( 1+ 0,15 )3
Año 4:
Año 5:
VP=
$ 40,000 =$ 22,870.13 ( 1+ 0,15 )4
VP=
$ 50,000 =$ 22,870.13 ( 1+ 0,15 )5
Total del valor presente = $91,272.98
b) Compare los valores presentes calculados y analícelos considerando el hecho de que los flujos de efectivo no descontados suman un total de $150,000 en cada caso.
El flujo de caja del caso A, con un valor actual de $ 109.890, es más alto que el flujo de caja del caso B que es de $ 91,290 debido a que los flujos de efectivo más grandes ocurren en los primeros años del A, cuando su valor actual es mayor, mientras que los flujos de efectivo más pequeños se reducen en el futuro. En el caso B es todo lo contrario, los montos mayores ocurren en los últimos años y su flujo de efectivo se incrementa a través de los años.
