Capitulo 4 Ok

HORMIGON PRESFORZADO 2012

4. RESISTENCIA A LA FLEXION DE VIGAS V IGAS ISOSTATICAS 4.1. CARACTERÍSTICAS DE LA SECCIÓN, SOLICITACIONES, ESFUERZOS Como se estudio en el capítulo 2, en la ecuación 2.1, para el cálculo de la fuerzo de presfuerzo, se requiere encontrar las características geométricas de la sección transversal del elemento estructural que se va a presforzar, así se tiene para una sección cualquiera: G: yt: yb: h: I: A:

Baricentro Distancia desde desde el baricentro de la la fibra fibra extrema extrema superior Distancia desde el baricentro de la fibra extrema inferior Altura de la sección Momento de inercia baricéntrico Área de la sección

yt eo (-)

 

Radio de giro = I A P: Fuerza de presfuerzo (resultante de compresión interna) T: Fuerza de tensado de cables de presfuerzo eo: Excentricidad de la fuerza P Mp: Momento de presfuerzo = P eo g: Cargas permanentes o carga muerta s: Sobrecarga o carga viva Mg: Momento por carga muerta Ms: Momento por por carga viva viva Mt: Momento total = Mg + Ms i:

h

G eo (+) yb

Los esfuerzos producidos por la fuerza de presfuerzo son: P

ft o =

+

Mp

yt =

P

+

P eo

yt =

P



1+



eo yt

A I A i2 P P eo P eo yb fbo = + yb = + yb = 1+ 2 A I A I A i A P

I Mp





Ec.4.1 Ec. Ec. 4.2 4.2

Los esfuerzos producidos por el momento por carga muerta se determinan por: Mg yt

ftg = fbg =

I Mg yb I

Ec.4.3 Ec. Ec. 4.4 4.4

Los esfuerzos producidos por el momento por carga viva se determinan por: fts = fbs =

Ms yt I Ms yb I

Ec.4.5 Ec. Ec. 4.6 4.6

La convención de signos fue definida en el capítulo 2.2: Esfuerzos de tracción + Esfuerzos de compresión Momento positivo si se produce tracciones en la fibra inferior En flexión positiva: Distancias bajo G + Distancias sobre G Si se tiene el caso de una sección rectangular, se tiene lo siguiente: A=bh

ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO

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Página 4.1


yt = yb = h/2 I = b h 3 / 12 i2 = I / A = (b h3/12) / (bh) = h 2/12

b

   

Mg h 2 6Mg fg=± 3 =± bh bh2 12 h Ms 6Ms fs=± 3 2 = ± 2 bh bh 12

   

yt h eo yb

eo h 2 P 6 eo f o = 1± 2 = 1± h bh bh h 12 P



Esfuerzos de flexión En una viga que está siendo sometida a cargas gravitacionales, debido al momento flector se generan esfuerzos internos. Dichos esfuerzos de flexión en una viga, en estado de cargas de servicio, como se definió en el capítulo 2, se determinan según las ecuaciones 4.3 a 4.6. El diagrama de esfuerzos es una variación lineal; para la sección central de una viga simplemente apoyada, se tiene: ft

C

compresión

compresión z tracción

tracción

T

fb

Figura 4.1. Diagrama de esfuerzos y fuerzas internas por flexión

En el diagrama lineal del lado derecho, aparentemente se tiene una mayor área de tracción, pero las resultantes de tracción y compresión son iguales. El volumen formado tanto para compresión como tracción se reparten en la figura (sección lado izquierdo). El eje baricéntrico es el punto que cambio de compresión a tracción. 4.2. FUERZAS INTERNAS. RESISTENCIA A LA FLEXIÓN DE UNA VIGA DE HORMIGÓN PRESFORZADO En el sistema autoequilibrado mostrado en la Figura 4.2, de un elemento de hormigón presforzado con un cable curvo, el equilibrio se tiene según: El equilibro del cable se satisface por la acción de las fuerzas interna (P A y PB) en el tensado y por las suma de las fuerzas de desvío f. El equilibro en el hormigón se establece por las reacciones a las fuerzas del cable, P’ A en el anclaje A, f’ en el cable, la fuerza P’ B en las sección BB’, esta última que produce flexocompresión en la sección . En toda sección presforzada, la acción de cada cable equivale a una fuerza de compresión dirigida según la tangente al eje del cable en el sitio de cruce con la sección donde está aplicada y tiene una intensidad igual a la tensión del cable en ese punto.


CAPITULO 4

Página 4.2


P A B f f' f f' A P' A

f

f'

f

f'

f

f'

f

f'

f

f'

P'B

PB B'

Figura 4.2. Acciones y reacciones cable-hormigón Resistencia a la flexión: Se tiene una viga presforzada simplemente apoyada con un cable curvo (Figura 4.3.a), donde las fuerzas que equilibran al hormigón, que se muestran en la Figura 4.3.b, serían: La fuerza F del cable actuando sobre el hormigón en el anclaje, Las fuerzas N que el cable ejerce sobre el hormigón debido a su curvatura, y La fuerza P, resultante de los esfuerzos normales de compresión que actúan en esa sección. Se tendría un sistema de autoequilibrio debido al polígono cerrado formado por las fuerzas F, P y N, (Figura 4.3.c). Esto indica que cuando sólo actúa el presfuerzo en una viga estáticamente determinada, las reacciones externas son nulas. En la figura 4.3.d, se representa la tensión T del cable (resultante de las fuerzas F y N), que tiene la misma magnitud pero opuesto sentido de la fuerza P. Ambas fuerzas T y P actúan en el centroide del cable. Para una viga con cable curvo, la resultante de los esfuerzos de compresión en cualquier sección, es tangente a la dirección del cable en esa sección, con su componente horizontal igual a la suma de los esfuerzos normales y su componente vertical igual a la suma de los esfuerzos de corte. Al actuar una carga uniformemente distribuida q, se genera una reacción en cada apoyo R = qL/2. Cuando se aplica la carga q gradualmente, la fuerza de presfuerzo P permanece esencialmente constante en magnitud y posición. Los esfuerzos de flexión crecientes al aumentar q, se superponen a los debidos al presfuerzo, lo que trae como consecuencia que la resultante P, de todos los esfuerzos de compresión, se mueva hacia arriba generando así un momento interno resistente que equilibra exactamente al momento exterior, con fuerzas iguales y de sentido contrario P, T, separadas por un brazo de palanca z. La diferencia con una viga de hormigón armado convencional radica en que al incrementar gradualmente la carga externa q, la distancia z permanece básicamente constante y el momento resistente se incrementa al aumentar las fuerzas internas. En el caso de una viga de hormigón presforzado, el momento resistente aumenta al ampliarse el brazo de palanca z, cuando se desplaza hacia arriba la resultante de los esfuerzos de compresión (las fuerzas internas permanecen constantes).


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Página 4.3


CL

Centroide del hormigón

yt e Centroide del acero

yb (a)

F

ft P

N P

N

F fb

(b)

(c)

P

(F+N) = T

(d) q ft P z T fb (e) R = ql / 2

Figura 4.3. Fuerzas que actúan en una viga de hormigón presforzada típica

4.3. NÚCLEO CENTRAL DE INERCIA. CENTRO DE PRESIÓN. 4.3.1. Núcleo Central de inercia. Los esfuerzos que se generen en un elemento de hormigón presforzado dependen de la magnitud y ubicación de la fuerza P (Figura 4.3). El núcleo central de inercia de la sección es el área alrededor del centro de gravedad en la que se puede ubicar la resultante P, sin que se produzcan esfuerzos de tracción en el hormigón. Las posiciones extremas superior e inferior al centro de gravedad definen esfuerzos nulos en las fibras extremas inferior y superior respectivamente. Para la sección rectangular de la Figura 4.4, los límites kt y kb definen diagramas de esfuerzos a compresión con tracciones nulas. Caso fb = 0, donde el esfuerzo en la fibra extrema inferior es nulo se logra cuando P está ubicado en el límite superior del núcleo y la excentricidad respecto al centro de gravedad es kt, el mismo que se define: fbo =

P A



1+



kt yb i2

=0

kt = - i 2/yb


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Página 4.4


Caso ft = 0, donde el esfuerzo nulo se da en la fibra extrema superior debido a que P se encuentra ubicado en el límite inferior del núcleo y su excentricidad es kb, el mismo que sería: ft o =

P A



1+



kb yt i2

=0

kb = - i 2/yt ft = 0

b

ft

Nucleo Central de Inercia P kt

kt

h

kb

kb

P

fb

fb = 0

Figura 4.4. Esfuerzos y excentricidades del núcleo central de inercia, para una sección rectangular Si la fuerza P se aplica más abajo del límite kb se producirían tracciones en la fibra extrema superior y de manera análoga, si se aplica P más arriba de kt se tendría tracciones en la fibra extrema inferior. En el caso de la sección rectangular, los límites serían: I = bh3/12

A = bh i2 = h2/12 kt = - h/6

kb = h/6

En la Figura 4.5 se tiene secciones típicas de vigas metálicas y de hormigón presforzado, donde se aprecia que los límites del núcleo central de inercia son mayores. Esto se debe a que la sección, por sus características geométricas tiene mayor rendimiento. Se observa que mientras más alejado del centroide se en encuentren las concentraciones de masa, mas altura tendría el núcleo.

kt

kt kb

kb

(a)

(b)

Figura 4.5. Núcleos límites en secciones de vigas metálicas y de hormigón presforzado La altura del núcleo esta dado por: kt + kb =

i2 kb

+

i2 kt

= i2



1

kb

+

1

 

kt

= i2



kb+kt kb kt

= i2

h kt kb

Donde el rendimiento geométrico de la sección, que es una medida de lo efectiva que es la viga, sería: 2 ρ = i / (kt kb) Altura del núcleo: ρ h En vigas de sección T, I o cajón, el valor del rendimiento geométrico es mayor que secciones rectangulares, es por su geometría.


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Página 4.5


4.3.2. Centro de presión. Como se estudio en el 4.2, para una sección de una viga sometida a una fuerza de precompresión, debido a la aplicación de fuerzas externas se genera una distribución de esfuerzos internos de compresión en el hormigón, cuya resultante P, que es igual en magnitud a la fuerza de tensión del cable (Fuerza de presfuerzo) T, se desplaza verticalmente respecto al cable una distancia z = M/T. este desplazamiento permite generar el par interno y el respectivo momento resistente. Cabe indicar que para que la fuerza de compresión P se desplace según el momento debido a las cargas externas, la sección de la viga es no agrietada y el trabajo de la misma es en su rango elástico. El centro de presión se define como el lugar geométrico del punto de aplicación de la resultante de compresión en la sección del elemento estructural. Si se considera una viga de hormigón presforzado, con una fuerza de tensión del cable T aplicada con una excentricidad eo (Figura 4.6), en el momento de la transferencia de dicha fuerza se tendría la Fuerza de compresión P en el hormigón, de manera simultánea e inmediata actúa el peso propio y la fuerza P se desplaza hacia arriba una distancia Mpp/P, como se muestra en la Figura 4.6.b. Cuando se construya los elementos adicionales (losas, vigas secundarias, aceras, aceras, barandas, sobrepisos, etc.) estos incluyen una carga muerta adicional (g) y un momento flector Mg, por lo que el centro de presión se desplaza una distancia Mg/P. Una vez la viga entra en servicio, se aplica la carga viva (s), con un desplazamiento del centro de presiones de Ms/P. Las distancias que se desplaza la excentricidad inicial son: d1 = Mpp/P d2 = Mpp/P + Mg/P = (Mpp+Mg)/P = M D/P d3 = Mpp/P + Mg/P + M S/P = (Mpp+Mg+M S)/P = MT/P Donde: Mpp: Momento por peso propio Mg: Momento por carga muerta sobreimpuesta MS: Momento por carga viva MD: Momento por carga muerta MT: Momento total ft = 0

ft

ft

P

P centroide viga

kt kb

P P

P

P

eo

d2

d1

centroide cable

d3

T fb (a)

fb (b)

fb=0 ( c)

(d)

Figura 4.6. Desplazamiento del centro de presión


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Página 4.6


Se debe procurar que los desplazamientos que sufre el centro de presiones no exceda los límites del núcleo central, de esta manera se controla que no se generen esfuerzos de tracción en el hormigón. Cuando se tiene esta condición se estaría en el caso de vigas completamente presforzadas. Para el caso de que la viga esté sometida a la carga de servicio, Figura 4.6.d, el brazo de palanca entre la fuerza de tensión de T y la fuerza de compresión P, es igual a la suma de las excentricidades de cada una de estas fuerzas del centro de gravedad de la sección, así: Z = eo + kt = eo + i2/yb Además, los momentos internos y externos deben ser iguales en magnitud y opuestos en cada sección de la viga. Por lo tanto, el momento externo total que la viga resiste en la sección considerada para esfuerzos fb = 0, sería: MT = MD + MS = P Z = P (e o + i2/yb) La sucesión de los centros de presión definen las líneas y huso de presiones, tal como se muestra en la Figura 4.7. Línea de presión para momento máximo

Huso de presión

Línea de presión para mínimo momento

Cable

Figura 4.7. Huso de presión El cable considerado en el análisis es teórico, el mismo que representa la suma o resultante de cables reales que se tiene en la viga. En el caso de vigas pretensadas (Figura 4.8.a) el cable teórico se ubica en el centroide de la resultante de los torones distribuidos en la l a sección, mientras que para el postensado, debido a que los torones se concentran en los ductos, el cable teórico se ubicaría en la resultante de los ductos.

eo

eo

(a)

(b)

Figura 4.8. Cables resultantes en vigas pretensadas y postensadas


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Página 4.7


EL “cable” que representa la a plicación de la fuerza de presfuerzo, debido a que la flexión en vigas

simplemente apoyadas varía a cero en los apoyos, cambia su posición o se reduce su magnitud a lo largo de la viga. En el caso de vigas postensadas, el cable cambia de posición con el desvío de los ductos que llevan los torones; para reducir la magnitud de la fuerza estos ductos se anclan antes de llegar a los extremos, tal como se muestra en la Figura 4.9a. En la Figura 4.9.b se tiene el cable teórico que resulta de anclar los ductos de la viga postensada. Para vigas pretensadas, se logra reducir la magnitud de la fuerza aislando los torones antes de llegar a los extremos. De esta manera se evita la transferencia de los torones aislados. ai slados. CL

Ductos

Cable teórico

(a)

(b)

(c)

Figura 4.9. Cambio de posición del cable en vigas pretensadas y postensadas.

4.4. EL NÚCLEO LÍMITE EN UNA VIGA PRESFORZADA. Como se estudió anteriormente, el núcleo central de inercia controla que no se generen esfuerzos de tracción en el hormigón bajo las cargas de servicio, pero no se puede controlar excesos de compresiones que superen la resistencia del hormigón. El núcleo límite controla tanto las tracciones como las compresiones excesivas en la sección de una viga de hormigón presforzado. Generalmente el hormigón usado es de alta resistencia, con esfuerzos de rotura a la compresión de una probeta ensayada a los 28 días de f’c ≥ 300 kg/cm2, de esta manera se logra aplicar grandes fuerzas de presfuerzo.


CAPITULO 4

Página 4.8


Por otro lado, debido al acortamiento elástico que sufre el hormigón al momento de la transferencia, los cables de presfuerzo sufren una pérdida de tensión y en consecuencia una pérdida de la fuerza de presfuerzo. Hormigones de alta resistencia ayudan a reducir este efecto ya que el modulo elástico del hormigón es proporcional a la resistencia a la compresión, Ec = 15100 , y la deformación unitaria está determinada por ε = σ / E, por lo tanto a mayor resistencia, mayor módulo de elasticidad y menores deformaciones en el hormigón.

f′c

El esfuerzo de trabajo del hormigón (esfuerzo admisible) es aquel que limita el esfuerzo de compresión en un elemento de hormigón presforzado y esta dado como una fracción de la resistencia del hormigón a la rotura. En el capítulo 6 se estudiará los esfuerzos límites dados por los reglamentos. Se puede considerar el esfuerzo de compresión admisible como: fc = 0.40 f’c Se tendría por tanto cuatro límites para los esfuerzos en una sección de una viga de hormigón presforzado, en la Figura 4.9.a se tienen los esfuerzos limites en el estado de vacío (cargas muertas) y en la Figura 4.9.b se aprecia los límites en el estado de servicio (carga de servicio). Rt1 = ft > 0

Donde se debe cumplir:

Rt2 = ft = fc

Rt1 ≤ ft ≤ Rt2 Rb1 ≥ ft ≥ Rb2

P

P

Rb1 = fb = fc (a)

Rb2 = fb > 0 (b)

Figura 4.9. Límites L ímites de esfuerzos. Las ecuaciones 3.1 y 3.2 se las puede reescribir: ft o = fbo =

P A P

 

A

1+ 1+

   

eo yt

i2 eo yb i2

= f G 1 +



eo yt

= f G 1 +

i2 eo yb i2



Donde f G es el esfuerzo baricéntrico debido al presfuerzo. El núcleo límite estará determinado por las excentricidades at y ab, que controlan que los esfuerzos en las fibras extremas superior e inferior estén dentro del rango de trabajo, tanto en estado de vacío como en estado de servicio, las excentricidades límites serían: Para el estado de vacío: ft = Rt1

La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema superior se igual al límite Rt1 (ft = Rt1), a1 es:



Rt1 = fG 1 + P a1

a1 =

Rt1

i2

f G

 − Rt1 f G



a1 yt

1

i2 yt

= 1+

a1 yt i2

Ec. Ec. 4.7 4.7

fb


CAPITULO 4

Página 4.9


ft

La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema inferior se igual al límite Rt1 (fb = Rb1), a2 es:



P a2

a2 =

i2

 − Rb1 f G



a2 yb

Rb1 = fG 1 +

1

i2

Ec.4.8

yb

fb = Rb1

Para el estado de servicio: ft = Rt2

La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema superior se igual al límite Rt2 (ft = Rt2), a3 es:



P a3

Rt2 = fG 1 +

a3 =

i2

 − Rt2 f G



a3 yt

1

i2

Ec. Ec. 4.9 4.9

yt

fb

La excentricidad de la fuerza de presfuerzo que hace que el esfuerzo en la fibra extrema inferior se igual al límite Rt2 (fb = Rb2), a4 es:

ft

P a4



Rb2 = fG 1 +

a4 =

 − Rb2 f G



a4 yb

1

i2 i2 yb

Ec. 4.10 4.10

fb = Rb2

at

a3 G a1

ab

a4

Las excentricidades a1 y a2 definen límites inferiores para el centro de presión, mientras que las a3 y a4 son los límites superiores. Estas excentricidades varían en función de la fuerza de presfuerzo y de la geometría de la sección por lo que pueden variar por cada caso.

a2

EL núcleo límite, por tanto, estaría definido por las excentricidades más cercanas al centroide de la sección. Excentricidades fuera de este rango podría producir tracciones o compresiones excesivas en las fibras extremas exterior o inferior. El límite superior, at, sería el menor valor entre a1 y a2. El límite inferior, ab, sería el menor valor entre a3 y a4. Se debe tener cuidado, ya por la convención de signos, las excentricidades medidas sobre el centroide son negativos y los medidos bajo este son positivos. El núcleo límite se definiría como la zona de la sección de una viga presforzada, dentro de la cual debe permanecer el centro de presiones, para que en cualquier condición de ca rga, los esfuerzos en las fibras extremas (superior e inferior) cumplan con los esfuerzos límites establecidos en cada caso. ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO

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Página 4.10


El Huso Límite es la sucesión de los núcleos centrales en la longitud de la viga (Figura 4 .10) Límite superior

at

a3

a4

G a1

Huso Límite ab

a2

Límite inferior

Figura 4.10. Huso Límite. Ejemplo 4.1. En una viga simplemente apoyada de sección rectangular de 30x80 cm, sometida a una fuerza de presfuerzo efectiva de 200 t con un cable a 10 cm por debajo del centroide, definir el núcleo límite. El 2 hormigón usado para la viga es de f’c = 300 kg/cm ; el esfuerzo límite de compresión es de 0.4f’c y el mínimo esfuerzo 5 kg/cm2. b = 30 cm h = 80 cm yt = - h/2 = - 40 cm yb = h/2 = 40 cm e = 10 cm P = - T = - 200 t A = b h = 30 x 80 = 2400 cm 2 I = b h 3 / 12 = 30 x 80 3 / 12 = 1280000 cm4 i2 = I / A = 533.33 cm2 2 f G = P/A = - 200000 / 2400 = - 83.33 kg/cm 30

fc = 0.4 x 300 = 120 kg/cm2 Los límites de esfuerzos serían: - 120 ≤ ft ≤ - 5 - 120 ≤ fb ≤ - 5 a1 = a2 = a3 = a4 =

− − −− −− − −

5

83.33 120 83.33 120 83.33 5 83.33

−− − −− − − − 1 1 1 1

533.33 40 533.33 40 533.33 40 533.33 40

-12.53

= 12.5 12.53 3 cm cm

80

= 5.87 5.87 cm =

5.87 cm

=

12.53 cm

5.87

-5.87 12.53

eo

Los límites que definen el núcleo límite son: at = - 5.87 cm ab = 5.87 cm


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4.5. DETERMINACIÓN DEL NÚCLEO DE PASO Y HUSO DE PASO. En el diseño de una viga presforzada se debe procurar que el centro de presiones este siempre ubicado dentro del núcleo límite, así se garantiza que los esfuerzos producidos sean admisibles. De tal manera que la ubicación inicial del cable de presfuerzo es muy importante, ya que al someter el elemento a flexión el centro de presión se desplaza. La posición inferior en la que debe estar ubicado el cable de presfuerzo estaría determinado por: Mmin/P, mientras que la posición superior en la que debe estar ubicado el cable sería: M max/P (ver Figura 4.11)., donde: Mmin = Mg Mmax = Mg + Ms El núcleo de paso, por tanto, se define como el espacio entre la posición inferior y la posición superior en la que debe ubicarse el cable de presfuerzo para, cuando el elemento esté sometido a flexión, el centro de presiones se ubique dentro del núcleo límite.

at

M F e'o ab

eo

M F

nucleo de paso

Figura 4.11. Núcleo de paso. La distancia inferior del cable desde el baricentro estaría determinado por: ab = eo – Mg/P eo = ab + Mg/P Ec. 4.11 → La distancia superior del cable desde el baricentro estaría determinado por: at = e’o – (Mg+Ms)/P Ec. 4.12 → e’o = at + (Mg+Ms)/P El núcleo de paso sería: e o + e’o En una viga simplemente apoyada, los límites del el núcleo de paso en la sección central (máximos momentos) están más cerca, mientras que en los extremos (momento cero) el Núcleo de paso coincide con el huso límite, tal como se aprecia en la Figura 4.12. Huso límite

Huso de paso

Figura 4.12. Huso de paso. ING. LUIS VILLAVICENCIO CAVERO

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Página 4.12


Para la determinación del trazado del cable de presfuerzo, el diseñador deberá colocar el cable dentro del huso de paso, de esta manera garantiza que no se generen esfuerzos fuera de rango. rango . Ejemplo 4.2. De la viga del ejemplo 4.1, con una sobrecarga de 1000 kg/m, trazar el huso de paso. Considerar que la viga tiene una luz de apoyo de 12.00 m. Los límites del núcleo límite son: at = - 5.87 cm ab = 5.87 cm Peso propio: 0.30 x 0.80 x 2400 = 576.00 kg/m En el centro de la viga: Mmin = Mg = 576.00 x 12 2 / 8 = 10368.00 kg-m = 1036800 kg-cm MS = 1000.00 x 122 / 8 = 18000 kg-m = 1800000 kg-cm Mmax = Mmin + MS = 10368.00 + 18000 = 28368.00 kg-m = 2836800 kg-cm Los límites están dados por las ecuaciones 4.11 y 4.12: eo = ab + Mmin/F = 5.87 + 1036800 / 200000 = 5.87 + 5.18 = 11.05 cm eo’ = at + Mmax/F = - 5.87 + 2836800 / 200000 = - 5.87 + 14.18 = 8.31 cm En L/4 = 3.00 m: Rg = 576.00 x 12 / 2 = 3456.00 kg Mmin = Mg = 3456.00 x 3 - 576.00 x 3.002 / 2 = 7776.00 kg-m = 777600 kg-cm RS = 1000.00 x 12 / 2 = 6000.00 kg MS = 6000.00 x 3 - 1000.00 x 3.002 / 8 = 13500.00 kg-m = 1350000 kg-cm Mmax = Mmin + MS = 7776.00 + 13500.00 = 21276.00 kg-m = 2127600 kg-cm eo = ab + Mmin/F = 5.87 + 777600 / 200000 = 5.87 + 3.89 = 9.76 cm eo’ = at + Mmax/F = - 5.87 + 2127600 / 200000 = - 5.87 + 10.64 = 4.77 cm En los apoyos, debido a que los momentos son nulos, el huso de paso coincide con los límites del núcleo límite. eo = ab = 5.87 cm eo’ = at = - 5.87 cm L/2=6.00

Huso de paso L=12.00


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4.6. MOMENTO DE AGRIETAMIENTO: El momento de agrietamiento es aquel que produce las primeras grietas capilares en una viga presforzada, la misma que sería una medida de la suficiencia de la viga en cargas de servicio. Se supone que el agrietamiento comienza una vez la fibra extrema, para momentos positivos la fibra extrema inferior, alcance un valor de esfuerzo de tracción igual al módulo de ruptura del hormigón fr. El esfuerzo de agrietamiento fr, debido al presfuerzo y a las cargas de servicio está dado por: fr =

P A

   −   − −  − − − − 1+

Mcr = fr Mcr = fr Mcr = fr Mcr = fr

eo yb i2 P

A

+ Mcr

1+

yb

eo yb

I

i2

I

yb

I

PI

PI

yb I

A yb PI

A yb

yb I

A yb Pi2

yb

yb

yb

eo

i2

Peo

Peo

Ec. 4.13 4.13

Donde: Mcr: Momento de agrietamiento fr I/yb: Momento resistente debido al módulo de ruptura P i2/yb: Momento resistente resistente debido a la compresión directa del presfuerzo C eo: Momento resistente debido a la excentricidad del presfuerzo En el caso de que el centro de presión esté en el borde superior del núcleo límite, el esfuerzo en la fibra inferior es nulo, donde el momento resistente sería:



 

M 1 = T eo + kt = T eo +

i2



yb

Para que en la fibra inferior, que está con esfuerzos cero, se genere el esfuerzo fr es necesario un momento adicional M2, el mismo que se define: M2 = fr

I yb



Mcr = M1 + M2 = T eo + 2

Mcr = Teo + T

i

yb

+ fr

I yb

i2



yb

+ fr

I yb

Ec. 4.14 4.14

La ecuaciones 4.13 y 4.14 son equivalentes Ejemplo 4.3. De la viga del ejemplo 4.2, si se coloca el cable de presfuerzo 11 cm por debajo del centro de gravedad, determinar la carga uniforme total máxima que puede soportar la viga. Considerar 20 % de pérdidas de la fuerza de presfuerzo. La máxima carga que puede soportar una viga se da en la condición de tracciones nulas en la fibra extrema inferior, esto es cuando la resultante de compresión (línea de presión) está en el borde superior del núcleo límite de la sección (kt), donde:


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T = 200 t; Pe = 0.80 x (- 200) = - 160 t Te = - Pe = 160 t eo = 11 cm L = 12.00 m yt = - 40 cm yb = 40 cm A = 2400 cm2 I = 1280000 cm4 i2 = 533.33 cm2 kt = - i 2 / yb = -533.33 / 40 = - 13.33 cm kb = - i 2 / yt = - 533.33 / - 40 = 13.33 cm M1 = T (e o + kt) = 160000 (11 + 13.33) = 3892800.00 kg-cm = 38928.00 kg-m La carga, para la viga simplemente apoyada, debida al momento M1 se determina como: q1 = 8 M1/L2 = 8 x 38928.00 / 12.002 = 2162.67 kg/m Para que se dé el estado de agrietamiento en la fibra extrema inferior, el esfuerzo debe llegar a ser igual a fr, donde: M2 = fr I / yb = 37.42 x 1280000 / 40 = 1197440.00 kg-cm = 11974.40 kg-m Mcr = M1 + M2 = 38928.00 + 11974.40 = 50902.40 kg-m qcr = 8 Mcr / L 2 = 8 x 50902.40 / 12.002 = 2827.91 kg/m

4.7. MOMENTO DE AGOTAMIENTO: El mecanismo resistente de una viga de hormigón presforzado, en nivel de servicio, se debe al incremento del brazo del par interno de fuerzas cuando se incrementan las cargas, manteniéndose las fuerzas internas esencialmente constantes. Este comportamiento elástico se mantiene hasta que se alcance el momento de agrietamiento. Una vez se alcance el momento de agrietamiento, donde se comienza a evidenciar las primeras grietas, se genera un incremento súbito del esfuerzo del acero junto con un aumento en los esfuerzos de compresión del hormigón. Con incrementos de carga adicional la viga de hormigón presforzado presenta un comportamiento muy similar al de una viga de hormigón armado ordinario, donde el brazo de palanca permanece casi constante y se tiene incrementos de esfuerzos y deformaciones tanto en el acero como en el hormigón. A grandes deformaciones el hormigón sufre aplastamiento al llegar a su deformación última εu en la fibra extrema a compresión. Por tanto, el comportamiento a la falla de una viga de hormigón presforzado es muy similar a una de hormigón armado ordinario. Para cargas normales de uso, el momento de agotamiento de una viga es independiente de la historia de carga, es decir se romperá aproximadamente a la misma solicitación en ensayos de larga o corta duración. Esto es de fundamental importancia al evaluar estructuras existentes.


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Tipos de falla en el agotamiento resistente a flexión: 1.- En vigas subreforzadas: Con grandes deformaciones en el acero se inicia la falla, seguida con el aplastamiento del hormigón cuando alcanza εu, en la fibra extrema. En este tipo de fallas se generan grandes deformaciones y agrietamientos que se propagan hacia el eje neutro. 2.- En vigas sobrerreforzadas: Cuando el hormigón alcanza la deformación unitaria última εcu, el acero está aún por debajo del esfuerzo de cedencia (fy). En esta condición el eje neutro se desplaza hacia abajo, debido a que el incremento casi lineal de esfuerzos en el acero debe equilibrarse con un aumento del área comprimida y con el incremento de los esfuerzos de compresión en el hormigón. Esta falla es súbita y con poca deformación. En las vigas de hormigón armado ordinario, que una viga sea subreforzadas o sobrerreforzadas depende de las propiedades de la curva esfuerzo-deformación (fs- εs) del acero y así como de la cuantía de refuerzo ρ = As/bd. En vigas de hormigón presforzado, ya sean subreforzadas o sobrerreforzadas, además de la cuantía de refuerzo y de la curva esfuerzo-deformación, depende del nivel de esfuerzos del acero de presfuerzo. Esto quiere decir que una viga sobrerreforzada puede ser transformada en una subreforzada al incrementar el nivel de presfuerzo en el acero, situándolo más cerca de la zona plástica y asegurando así un comportamiento subreforzado cuando las cargas externas se incrementen hasta la falla. En cuanto a la cuantía de acero de presfuerzo ρ, no hay un valor claro que señale el límite entre los dos tipos de falla. Hay una transición gradual a medida que se aumenta el ρ de presfuerzo. Sin embargo, para los materiales de uso corriente en la actualidad, uno puede considerar lo siguiente para las secciones que son resistentemente r esistentemente rectangulares: 0.3< ρ < 0.8% ; 0.15 < ω < 0.4 1.- Secciones subreforzadas: 2.- Secciones sobrereforzadas: ρ > 1% ; ω > 0.5 3.- Rotura de hilos ó torones: ρ < 0.15% ; ω< 0.08

Determinación del momento de agotamiento: 1.- Vigas subreforzadas: La resistencia a flexión de una sección de hormigón armado ó presforzado se establece a partir de las condiciones de equilibrio y de la hipótesis de que las secciones planas de una sección antes de la deformación, permanecen planas luego de su ocurrencia. Las condiciones de esfuerzo y deformación del hormigón en el agotamiento resistente se presentan en la Figura 4.13, tanto para secciones presforzadas como para las de hormigón armado ordinario.


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Figura 4.13. Condiciones de momento último para vigas de hormigón armado y presforzado. Las figuras ilustran que la importancia del presfuerzo es menor ya que apenas modifica el diagrama de deformaciones. Secciones rectangulares de hormigón presforzado con falla a tracción. Ecuaciones de equilibrio: T=C Aps fsu = β1 β3 f'c b c Mu = Aps fsu (d – β2 c)

Ec. 4.15 Ec. 4.16 Ec. 4.17

Compatibilidad de deformaciones:

ε ε ε ε ε − cu + su d

su =

=

cu(d

cu c c)

c

Ec. 4.18 4.18

Resolviendo (4.16) para c y sustituyendo en (4.17): Aps fsu = β1 β3 f'c b c c=

Aps fsu

ββ 1

3

′

f c b

Sean:

ρ

=

Aps bd


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ω ρf′c β β ′    βωβ  − ββ ωβ   − βββ ω ββ β fsu

=

Aps fsu

c=

1

3

d

f c b

d

Mu = Aps fs fsu d

d

=

2

d

1

3

1

1

3

2

Mu = Aps fsu fsu d 1 2

1

3

= 0.5 0.59

3

Mu = Aps fsu d [ 1 - 0.59 ω ]

Ec. 4.19

También: Mu = Mu =

 − ω ρ f′c f′c − ω Aps

b d2

bd fsu

fsu

′

f c

b d2

1

0.59

1

0.59

Mu = f'c b d 2 ω [ 1 - 0.59 ω]

Ec. 4.20

En el ACI, las ecuaciones 4.19 y 4.20 van afectadas por el factor reductor de resistencia Ø = 0.9. Secciones "T" presforzadas fallando en tracción con el eje neutro en el nervio: B = Ancho total del ala b = Ancho del nervio t = Espesor del ala Fuerzas en el nervio: Cw = β1 β3 f'c b c; Fuerzas en las alas: Cf = 0.85 f'c (B-b) t;

Tw = Apsw fsu Tf = Apsf fsu

Área de acero que equilibra a las alas: Apsf = 0.85 f'c (B-b) t/fsu Área de acero que equilibra al nervio: Apsw = Aps – Apsf Determinación del eje neutro usando el nervio: Tw = Cw Apsw fsu = β1 β3 f'c b c c=

Apsw fsu

ββ 1

3

′

f c b

Considerando que ρw = Apsw / (b d), donde, ωw = ρw fsu / f'c, para incluir “d” en la ecuación anterior, se tiene: c=

ωβ β

wd

1

3

El momento último sería:

 −β  −  − β βωβ  −

Mu = Apsw psw fsu fsu d

2

c + Apsf Apsf fsu fsu d

Reemplazando c:

Mu = Apsw psw fsu fsu d

2

wd

1 3


t

2

+ Apsf Apsf fsu fsu d

t

2

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ββ β 2

= 0.5 0.59

1 3

− ω

Mu = Apsw Apsw fsu fsu d 1

0.59

− t

w + Apsf Apsf fsu fsu d

2

Ec. 4.21 4.21

Si, ωw ≤ 0.4, la sección es seguramente subreforzada y en ese caso, las ecuaciones 4.19 y 4.20 dan

valores del momento de agotamiento que se corresponden muy bien con los resultados experimentales. 2.- Vigas sobrerreforzadas: Para una viga de sección sobrerreforzada el Eje Neutro se encuentra profundo y la falla de compresión en el hormigón ocurrirá antes de que se desarrolle en el acero la resistencia a la ruptura. En este caso para determinar el esfuerzo en el acero a la falla de la sección fsu, se requiere conocer la deformación del acero εse, por el presfuerzo efectivo fse, es decir luego de todas las pérdidas. εse = fse/Es

fse = Pe/Asp Se requiere además tener las relaciones de deformación de la sección y la l a curva fs –εs del acero. Un proceso iterativo permite hallar la solución así: 1.- Suponer: fsu=fpu y calcule c =

Aps Aps fsu fsu

ββ ′ 1

3

f c b

2.- Con c, se calculan las deformaciones: εsu = εu (d - c)/c; donde εu = 0.003 3.- Se determina: εse = fse/Es 4.- Se determina: εstot = εsu + εse 5.- Con εstot se determina en el diagrama fs –εs el valor de fsu Si fsu está cerca de fpu, la sección no es sobrerreforzada y puede usarse en los cálculos fsu = fpu. Si fsu es apreciablemente menor que fpu, el valor real de fsu se establece repitiendo el proceso hasta que los valores supuestos y calculados de fsu concuerden.

Ecuaciones del ACI para el momento mo mento de agotamiento: Como alternativa a los procedimientos más exactos basados en la compatibilidad de deformaciones, el ACI permite determinar el valor del esfuerzo del acero a la falla de manera aproximada usando la expresión 18-3, siempre que los alambres o torones estén adheridos y además que: fse ≥ 0.5 fpu

 − γβ ρ f′c ω−ω′

f su = f pu 1

Donde:

ω ω′

= =

f pu

p

1

p

+

d

dp

ACI.Ec.18

−

3

ρ f′c ρ′ f′c fy

fy

ω y ω’ incluyen en la ecuación ACI 18 -3 la colaboración del acero de refuerzo oridinario.

γp es un factor que depende del tipo de acero de presfuerzo. EL tipo de acero estándar usado en la

actualidad es el acero de baja relajación y para este tipo de acero la relación de esfuerzos es: γp = 0.55 para fpy/fpu ≥ 0.8, γp = 0.40 para fpy/fpu ≥ 0.85, γp = 0.28 para fpy/fpu ≥ 0.90,


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2

2

2

β1 = 0.85 para f'c ≥ 280 kg/cm , disminuyendo 0.05 cada 7 kg/cm sobre 280 kg/cm , con un valor

mínimo de 0.65. La resistencia estándar del hormigón para elementos presforzados es de f'c = 350 a 420 kg/cm 2, por lo tanto. β1 = 0.8 a 0.75 γp/β1 = 0.35 a 0.37. Sin considerar el acero ordinario en la resistencia y para torones o alambres de acero de baja relajación y hormigón con f'c = 350 kg/cm 2, la ecuación ACI 18-3 quedaría:

 − ρ f′c 

f su = f pu 1

0.35

f pu

p

Sin considerar el acero ordinario en la resistencia y para torones o alambres de acero de baja relajación y hormigón de f'c = 420 kg/cm 2, la ecuación ACI 18-3 quedaría:

 − ρ ′ 

f su = f pu 1

0.37

f pu

p

f c


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Capitulo 4 Ok

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