4. Prueba Directa
Es hora de probar algunos teoremas. Hay varias estrategias para hacer esto; Ahora Aho ra examin examinamo amoss el enfoqu enfoquee más direct directo, o, una técnic técnicaa llamad llamadaa prueba prueba directa. Al comenar, es importante tener en cuenta los significados de tres términos clave! "eorema, prueba y definici#n. $n teorema es una afirmaci#n matemática que es verdadera y puede ser %y ha sido sido&& ve veri rifi fica cada da co como mo ve verd rdad ader era. a. $n $naa prue prueba ba de un teor teorem emaa es un unaa veri ve rifi fica caci ci#n #n escri escrita ta qu quee de demu mues estr traa qu quee el teor teorem emaa es de defi fini niti tiva vame ment ntee e inequ'vocamente cierto. $na prueba debe ser comprensible y convincente para cualquier persona que tenga los antecedentes y conocimientos necesarios. Este conocimiento incluye una comprensi#n de los significados de las palabras matemáticas, frases y s'mbolos que ocurren en el teorema y su prueba. Es crucial que tanto el escritor de la prueba como los lectores de la prueba estén de acuerdo en el significado exacto de todas las palabras, pues de lo contrario hay un nivel intolerable de ambig(edad. $na definici#n es una explicaci#n exacta y sin ambig(edades del significado de una palabra o frase matemática. )amos a elaborar los términos teorema y definici#n en las dos secciones siguientes, y finalmente estaremos listos para comenar a escribir pruebas. 4.1 Te Teoremas oremas
$n teorema es una afirmaci#n que es verdadera y que ha demostrado ser verd ve rdad adeera. ra. $ste $stedd ha en enccon onttrad rado much muchos os teo eore rem mas en su ed educ ucaaci# ci#n matemática. Aqu' están algunos teoremas tomados de un texto del cálculo del estudiante. Ellos le serán familiares, aunque usted no puede haber le'do todas las pruebas. Teorema! *ea f diferenciable diferenciable en un intervalo abierto I y y sea
es el valor máximo o m'nimo de f en en I , entonces ∞
Teorema! *i
a ∑ =
k
k 1
converge, entonces
Teorema! *upongamos que f es continua continua en integrable en [a, b]. Teorema! +ada serie
. *i
f ( ( c )
f ( c )=0.
lim ak =0
k →∞
c ∈ I
'
.
el intervalo intervalo [a, b]. Entonces f es
absolutamente convergente converge. converge.
bserve que cada uno de estos teoremas tiene la forma condicional "Si P, entonces Q" , o puede ser puesto en esa forma. El primer teorema tiene una oraci#n inicial "Sea f sea diferenciable en un intervalo abierto I, y sea c ∈ I" , lo que establece alguna notaci#n, pero una sentencia condicional la sigue. El tercer teorema tiene la forma "Supongamos P. Entonces Q", pero esto significa lo mismo que "Si P, entonces Q." El -ltimo teorema puede ser reexpresado como "Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente." $n teorema de la forma "Si P, entonces Q" puede considerarse como un dispositivo que produce nueva informaci#n de /. +uando se trata de una situaci#n en la que / es verdadera, entonces el teorema garantia que, además, 0 es verdadero. 1ado que este tipo de expansi#n de la informaci#n es -til, los teoremas de la forma "Si P, entonces Q" , son muy comunes. /ero no todo teorema es una afirmaci#n condicional. Algunos tienen la forma de la bicondicional / ⇔ 0, pero, como sabemos, se puede expresar como dos declaraciones condicionales. tros teoremas simplemente indican hechos sobre cosas espec'ficas. /or e2emplo, aqu' hay otro teorema de su estudio del cálculo. Teorema! 3a serie
1+
1 1 1 1 + + + +… 2 3 4 5
diverge.
*er'a dif'cil %o al menos inc#modo& reafirmar esto como una declaraci#n condicional. *in embargo, es cierto que la mayor'a de los teoremas son declaraciones condicionales, parte de este libro se concentrará en ese tipo de teorema. Es importante tener en cuenta que hay un n-mero de palabras que significan esencialmente lo mismo que la palabra 4teorema4, pero se usan de formas ligeramente diferentes. En general, la palabra 4teorema4 está reservada para una declaraci#n que se considera importante o significativa %el teorema de /itágoras, por e2emplo&. $na afirmaci#n que es verdadera pero no tan significativa a veces se llama proposición. $n lema es un teorema cuyo prop#sito principal es ayudar a probar otro teorema. $n corolario es un resultado que es una consecuencia inmediata de un teorema o proposici#n. 5o es importante que recuerdes todas estas palabras ahora, porque sus significados serán claros con el uso.
5uestra tarea principal es aprender a probar los teoremas. +omo lo sugieren los e2emplos anteriores, probar teoremas requiere una comprensi#n clara del significado de la declaraci#n condicional, y esa es la ra#n principal por la que lo estudiamos tan ampliamente en el +ap'tulo 6. Además, también es crucial entender el papel de las definiciones. 4.2 Definiciones
$na prueba de un teorema debe ser absolutamente convincente. *e debe evitar la ambig(edad. "odo el mundo debe ponerse de acuerdo sobre el significado exacto de cada término matemático. En el cap'tulo 7 definimos los significados de los con2untos N , Z , R , Q y ∅ , as' como los significados de los s'mbolos ∈ y ⊆, y haremos uso frecuente de estas cosas. Aqu' hay otra definici#n que usamos con frecuencia. Definición 4.1 $n entero n es par si n = a para alg-n entero
a ∈ Z
.
As', por e2emplo, 78 es par porque 10 = 2 ∙ 5 . Además, seg-n la definici#n, 9 no es par porque no hay un entero a para el cual 7= 2 a . *i bien no habr'a nada malo en definir un n-mero entero impar por no ser par, la siguiente definici#n es más concreta. Definición 4.2 $n entero n es impar si n =2 a + 1
para alg-n entero
a ∈ Z
.
As', 7 es impar porque 7= 2 · 3 +1. $tiliaremos estas definiciones siempre que sur2a el concepto de n-meros pares o impares. *i en una prueba un cierto n-mero resulta ser par, la definici#n nos permite escribirlo como 2 a para un entero apropiado a. *i alguna cantidad tiene forma 2 b +1 donde b es un entero, entonces la definici#n nos dice que la cantidad es impar. Definición 4.3 1os
enteros tienen la misma paridad si ambos son pares o ambos son impares. 1e lo contrario, tienen paridad opuesta. As', : y 79 tienen la misma paridad, as' como y 8; /ero < y = tienen paridad opuesta. 1os puntos sobre las definiciones están en orden. En primer lugar, en este libro la palabra o término que se define aparece en negrita. En segundo lugar,
es com-n expresar definiciones como declaraciones condicionales aunque el bicondicional transmita más apropiadamente el significado. +onsidere la definici#n de un entero par. $sted entiende muy bien que si n es par entonces n =2 a %para a ∈ Z &, y si n =2 a , entonces n es par. /or lo tanto, técnicamente la definici#n deber'a decir "!n entero n es par si y slo si n =2 a para algunos a ∈ Z ." *in embargo, es una convenci#n casi universal que las definiciones se expresan en la forma condicional, a pesar de que se interpretan como en la forma bicondicional. >ealmente no hay una buena ra#n para esto, aparte de la econom'a de las palabras. Es la forma estándar de escribir definiciones, y tenemos que acostumbrarnos a ella. Aqu' hay otra definici#n que usaremos con frecuencia. Definición 4.4 *upongamos
que a y b son enteros. 1ecimos que a divide b, escrito a ∨b , si b =ac para algunos c ∈ Z . En este caso también decimos que a es un divisor de b, y que b es un múltiplo de a. /or e2emplo, : divide 7: porque 15=5 · 3 . Escribimos esto como 5∨15 . *imilarmente 8 ∨32 porque 32=8 · 4 y −6 ∨6 porque 6 =−6 · −1. *in embargo, ? no divide @ porque no hay un entero c para el que 9 =6 ·c . Expresamos esto como 6 ∤ 9 , que leemos como "# no divide $." "enga cuidado con su interpretaci#n de los s'mbolos. Hay una gran diferencia entre las expresiones a ∨b y a / b . 3a expresi#n a ∨b es una afirmacin, mientras que a / b es una fracci#n. /or e2emplo, 8 ∨16 es verdadero y 8 ∨20 es falso. /or el contrario, 8 / 16 =0,5 y 8 / 20 =0,4 son n-meros, no declaraciones. "enga cuidado de no escribir uno cuando se refiere a la otra. +ada entero tiene un con2unto de n-meros enteros que lo dividen. /or e2emplo, el con2unto de divisores de ? es { a ∈ Z : a|6 }={−6,−3,−2, −1,1,2,3,6 } . El con2unto de divisores de : es {−1, −1,1,5 } . El con2unto de divisores de 0 es Z
. Esto nos lleva a la siguiente definici#n, con la que ya está familiariado. $n n-mero natural n es primo si tiene exactamente dos divisores positivos, 7 y n. Definición 4.5
/or e2emplo, 6 es primo, como son : y 79. 3a definici#n implica que 7 no es primo, ya que s#lo tiene uno %no dos& divisor positivo, es decir, 7. $n entero n es compuesto si es de la forma n =ab donde a , b >1 . Definición 4.6 El máimo común divisor de los n-meros enteros a y b, denotado gcd% a, b &, es el mayor entero que divide tanto a como b. El m'nimo com-n m-ltiplo de los n-meros enteros no cero a y b, denotado lcm% a, b&, es el más pequeo n-mero entero positivo que es un m-ltiplo de a y b.
/or tanto
gcd ( 18,24 )=6
,
gcd ( 5,5)= 5
y
gcd ( 32,−8 )=8
. "ambién
gcd ( 50,18)= 2
, pero gcd (50,9)= 1 . 5ota 0ue gcd ( 0,6 )=6 , porque, aunque cada entero divide 8, el divisor más grande de ? es ?. 3a expresi#n gcd %8,8& es problemática. +ada entero divide 8, por lo que la -nica conclusi#n es que gcd (0,0 )=∞ . Eludimos esta irregularidad simplemente aceptando considerar gcd% a, b& s#lo cuando a y b no son ambos cero. +ontinuando con nuestros e2emplos, lcm ( 4,6)= 12 , y lcm (7,7 )=7 . /or supuesto que no todos los términos pueden ser definidos. *i se definiera cada palabra en una definici#n, habr'a definiciones separadas para las palabras que aparecieran en esas definiciones, y as' sucesivamente, hasta que la cadena de términos definidos se volviera circular. /or lo tanto, aceptamos algunas ideas como tan intuitivamente claras que no requieren definiciones ni verificaciones. /or e2emplo, no encontraremos que sea necesario definir lo que es un entero %o un n-mero real&. "ampoco definiremos adici#n, multiplicaci#n, sustracci#n y divisi#n, aunque usaremos estas operaciones libremente. Aceptamos y usamos cosas tales como las propiedades distributivas y conmutativas de la adici#n y la multiplicaci#n, as' como otras propiedades estándar de la aritmética y el álgebra. +omo se menciona en la secci#n 7.@, aceptamos como hecho el ordenamiento natural de los elementos de 5, B, 0 y >, de modo que %por e2emplo& declaraciones tales como 4 5 <7 ,4 y 4 x < yimplica − x > y ,4 no necesitan ser 2ustificados. Además, aceptamos el siguiente hecho sin 2ustificaci#n o prueba. !ec"o 4.1 *upongamos que a y b
C
a + b ∈ Z
son enteros. Entonces!
C
a −b ∈ Z
C
ab ∈ Z
Estas tres afirmaciones pueden ser combinadas. /or e2emplo, vemos que si a, b y c son enteros, entonces a b −ca + b es también un entero. 2
"ambién aceptaremos como obvio el hecho de que cualquier entero a puede ser dividido por un entero b no cero, resultando en un cociente -nico q y residuo r. /or e2emplo, b =3 entra en a =17 q =5 veces con el residuo r =2 . En s'mbolos, 17=5 · 3 + 2 o a =qb +r . Este hecho, llamado algoritmo de divisin , se mencion# en la página 6@. %#l $l%oritmo de División & 1ado los enteros a y b con -nicos % y r para los cuales a =qb +r y 0 ≤ r < b .
b>0
, existen enteros
tro hecho que aceptaremos sin prueba %al menos por ahora& es que cada n-mero natural mayor que 7 tiene una factoriaci#n -nica en primos. /or e2emplo, el n-mero 779? puede ser factoriado en primos como 1176 =2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 7 =2 · 3 · 7 . /or &nico entendemos que cual%uier factoriaci#n de 779? en primos tendrá exactamente los mismos factores %es decir, tres 6, un < y dos 9&. As', por e2emplo, no hay una factoriaci#n válida de 779? que tenga un factor de :. $sted puede estar tan acostumbrado a factoriar n-meros en primos que parece obvio que no puede haber diferentes factoriaciones primas del mismo n-mero, pero de hecho esto es $n resultado fundamental cuya prueba no es transparente. *in embargo, nos contentaremos con asumir que cada n-mero natural mayor que 7 tiene una factoriaci#n -nica en primos. %)olveremos a examinar la cuesti#n de una prueba en la *ecci#n 78.6.& 2
2
Dntroduciremos otros hechos aceptados, as' como definiciones, seg-n sea necesario. 4.3 Prueba Directa
Esta secci#n explica una manera simple de probar teoremas o proposiciones que tienen la forma de declaraciones condicionales. 3a técnica se denomina prueba directa. /ara simplificar la discusi#n, nuestros primeros e2emplos implicarán la demostraci#n de declaraciones que son casi obviamente ciertas.
/or lo tanto vamos a llamar a las declaraciones proposiciones en lugar de teoremas. %>ecuerde, una proposici#n es una afirmaci#n que, aunque es verdadera, no es tan significativa como un teorema.& /ara entender c#mo funciona la técnica de la prueba directa, supongamos que tenemos alguna proposici#n de la siguiente forma. Proposición *i /, entonces 0.
Esta proposici#n es una declaraci#n condicional de la forma ⇒ Q . 5uestro ob2etivo es mostrar que esta afirmaci#n condicional es verdadera. /ara ver c#mo proceder, mira la tabla de verdad.
3a tabla muestra que si P es falso, la sentencia P ⇒ Q es automáticamente verdadera. Esto significa que si nos interesa mostrar P ⇒ Q es verdadera, no tenemos que preocuparnos por las situaciones donde P es falso %como en las dos -ltimas l'neas de la tabla& porque la sentencia P ⇒ Q será automáticamente verdadera En esos casos. /ero debemos tener mucho cuidado con las situaciones en las que P es verdadero %como en las dos primeras l'neas de la tabla&. 1ebemos demostrar que la condici#n de P es verdadera lo que fuera a que Q sea verdad también, esto significa que la segunda l'nea de la tabla no puede suceder. Esto da un esquema fundamental para demostrar las declaraciones de la forma P ⇒ Q. +omiena suponiendo que P es verdadera %recuerda, no necesitamos preocuparnos de que P sea falso& y demostrar que esto obliga a Q a ser verdad. >esumimos esto como sigue. #s&uema para la prueba directa Proposición *i /, entonces 0.
/rueba. *upongamos que /. ⋮
/or lo tanto, 0.
As' que la configuraci#n para la prueba directa es muy simple. 3a primera l'nea de la prueba es la frase 4*upongamos /.4 3a -ltima l'nea es la oraci#n 4/or lo tanto, /.4 Entre la primera y la -ltima l'nea usamos la l#gica, las definiciones y los hechos matemáticos estándar para transformar la sentencia / en el enunciado 0. Es com-n usar la palabra 4/rueba4 para indicar el comieno de una prueba, y el s'mbolo ! para indicar el final. +omo nuestro primer e2emplo, probemos que si ' es impar entonces
x
2
"ambién es impar. %/or supuesto, esto no es un resultado muy impresionante, pero vamos a pasar a cosas más importantes en su debido tiempo.& El primer paso en la prueba es rellenar el esquema para la prueba directa. Esto es muy parecido a pintar un cuadro, donde la estructura básica es esboada adentro primero. 1e2amos un poco de espacio entre la primera y la -ltima l'nea de la prueba. 3a siguiente serie de cuadros indica los pasos que puede tomar para llenar este espacio con una cadena l#gica de raonamiento. Proposición *i ' es
impar, entonces Prueba. *upongamos que ' es impar.
/or lo tanto
x
2
x
2
es impar.
es impar.
Ahora que hemos escrito la primera y la -ltima l'nea, necesitamos rellenar el espacio con una cadena de raonamiento que muestre que ' siendo impares fuera a que x sea impar. 2
Al hacerlo, siempre es aconse2able utiliar las definiciones que se apliquen. 3a primera l'nea dice que x es impar, y por la 1efinici#n =.6 debe ser que x =2 a +1 para algunos a ∈ Z , as' que escribimos esto como nuestra segunda l'nea. Proposición *i ' es impar, entonces x
2
es impar.
Prueba. *upongamos que ' es impar. Entonces x =2 a +1 para algunos a ∈ Z
, por definici#n de un n-mero
impar.
2
Ahora salta a la -ltima l'nea, que dice x es impar. /iense en lo que la l'nea inmediatamente por encima de ella tendr'a que estar en orden para que podamos concluir que x es impar. /or la definici#n de un n-mero impar, 2
2 Proposición *i ' es impar, entonces x
Prueba. *upongamos que ' es impar. Entonces x =2 a +1 para algunos a ∈ Z
es impar.
, por definici#n de un n-mero
impar. As'
2
x =2 b + 1
para un entero b. 2
tendr'amos que tener x =2 a +1 para algunos a ∈ Z . *in embargo, el s'mbolo a ahora aparece en un principio de la prueba en un contexto diferente, por lo que debemos utiliar un s'mbolo diferente, digamos b.
Estamos casi all'. /odemos cerrar la brecha de la siguiente manera. Proposición *i ' es impar, entonces x
2
es impar.
Prueba. *upongamos que ' es impar. Entonces x =2 a +1 para algunos a ∈ Z
, por definici#n de un n-mero
impar. As' x =(2 a +1 ) = 4 a + 4 a +1 =2 ( 2 a + 2 a )+ 1. 2
As' que As'
2
2
x =2 b + 1
2
x =2 b + 1
2
2
donde b es el entero
2
b =2 a + 2 a.
para un entero b.
inalmente, podemos desear limpiar nuestro traba2o y escribir la prueba en forma de párrafo. Aqu' está nuestra versi#n final. Proposición *i ' es impar, entonces
x
2
es impar.
Prueba. *upongamos que ' es impar. Entonces x =2 a + 1
para algunos
a ∈ Z
, por definici#n de un n-mero impar. As' 2 a + 1 ¿ = 4 a + 4 a + 1= 2 ( 2 a + 2 a ) + 1 , entonces x6 F 6b G7 donde b F 6a6 G 6a x =¿ /or lo menos inicialmente, generalmente es una buena idea escribir la primera y -ltima l'nea de su prueba primero, y luego rellenar la brecha, a veces saltando alternativamente entre la parte superior e inferior hasta encontrarse en el medio, como lo hicimos anteriormente. 1e esta manera se le recuerda constantemente que está apuntando a la declaraci#n en la parte inferior. A veces de2a mucho espacio, a veces no es suficiente. A veces se quedará atascado antes de averiguar qué hacer. Esto es normal. 3os matemáticos hacen rasguar el traba2o apenas como hacen los artistas bosque2os para sus pinturas. 2
2
2
2
Aqu' hay otro e2emplo. +onsidere probar la siguiente proposici#n. Proposición *ea a, b a ∨c .
y c n-meros enteros. *i
a ∨b
y
b ∨c
, entonces
)amos a aplicar el esquema básico para la prueba directa. /ara aclarar el procedimiento, volveremos a escribir la prueba en etapas. Proposición *ea a, b y c n-meros enteros. *i a ∨b a ∨c .
Prueba. *upongamos que a ∨b
y
b ∨c
y
b ∨c
, entonces
.
5uestro primer paso es aplicar la 1efinici#n =.= a la primera l'nea. 3a definici#n dice a ∨b significa b =ac para alg-n entero c, pero como c aparece ya en un contexto diferente en la primera l'nea, debemos usar una letra diferente, digamos d . 1el mismo modo que vamos a utiliar una nueva letra e en la definici#n de b ∨c .
Proposición *ea a, b y c n-meros enteros. *i a ∨b a ∨c .
Prueba. *upongamos que a ∨b
y
b ∨c
y
b ∨c
, entonces
.
Por definicin (.(, sabemos %ue a ) b significa %ue *ay un entero d con b = ad. +simismo, b ) c significa %ue *ay un entero e para el cual c = be.
+asi hemos superado la brecha. 3a l'nea inmediatamente por encima de la -ltima l'nea debe mostrar que a ∨c . 1e acuerdo con la 1efinici#n =.=, esta l'nea debe decir que c = ax para cierto entero '. /odemos obtener esta ecuaci#n de las l'neas en la parte superior, como sigue. Proposición *ea a, b y c n-meros enteros. *i a ∨b a ∨c
y
b ∨c
, entonces
. Prueba. *upongamos que a ∨b y b ∨c . /or definici#n =.=, sabemos que a ∨b significa que hay un entero d con b =ad . Asimismo, b ∨c significa que hay un entero e para el cual c =be
El siguiente e2emplo se presenta de una ve y no en etapas. Proposición *i ' es un entero
par, entonces
Prueba. *upongamos que ' es un entero
Entonces As'
x =2 a
2
para algunos 2
a∈Z ,
x
2
−6 x + 5 es impar
par. por definici#n de un entero par.
2
2
2
x −6 x + 5=( 2 a ) − 6 (2 a )+ 5 = 4 a −12 a + 5 =4 a −12 a + 4 +1 =2 ( 2 a −6 a + 2)+ 1.
/or lo tanto tenemos +onsecuentemente
2
x −6 x + 5=2 b + 1 2
x −6 x + 5
, donde
2
b =2 a −6 a + 2 ∈ Z
.
es impar, por definici#n de un n-mero impar. !
$no normalmente no usa una l'nea separada para cada oraci#n en una prueba, pero para mayor claridad lo haremos a menudo en los primeros cap'tulos de este libro. 5uestro siguiente e2emplo ilustra una técnica estándar para mostrar que dos cantidades son iguales. *i podemos demostrar m≤ n y n ≤ m entonces se sigue que m=n . En general, el raonamiento implicado en mostrar m≤ n puede ser muy diferente del de mostrar n ≤ m . >ecordemos 1efinici#n =.? de un m'nimo com-n m-ltiplo en la página @8. Proposición *i a , b , c ∈ N
Prueba. *upongamos que n =c·lcm ( a , b ) . ostraremos
m-ltiplo de a y b, por lo que esto vemos que m=lcm ( ca,cb )
a , b , c ∈ N m=n
.
*ea
. /or definici#n,
lcm ( a , b )= ax =by
n =c·lcm ( a , b )= cax =cby
m =lcm ( ca,cb ) lcm ( a , b )
para algunos
m=lcm ( ca,cb )
para algunos
x , y ∈ Z
y
es un
x , y ∈ Z
. 1e
es un m-ltiplo de ca y cb. /ero
es el m-ltiplo más pequeo de ambos ca y cb. As',
/or otro lado, como m=cax =cby
lcm ( ca,cb )= c·lcm ( a ,b ) .
, entonces
m≤ n
.
es un m-ltiplo de ca y cb, tenemos . Entonces
1
c
m =ax = by
es un m-ltiplo
de ambos a y b. /or lo tanto,
1
lcm ( a , b ) ≤ m c
c·lcm ( a ,b ) ≤ m
, entonces
, es
decir, n I m. Hemos demostrado completa.
m≤ n
n≤m
y
, por lo que
m =n
. 3a prueba está
!
3os e2emplos que hemos visto hasta ahora han sido pruebas de declaraciones sobre n-meros enteros. En nuestro pr#ximo e2emplo, vamos a probar que si x e y son n-meros reales positivos para los cuales x ≤ y , entonces √ x ≤ √ y . $sted puede sentir que la prueba no es tan 4automática4 como las pruebas que hemos hecho hasta ahora. Encontrar los pasos correctos en una prueba puede ser un reto, y eso es parte de la diversi#n. Proposición *ea ' e y n-meros positivos. *i x ≤ y
Prueba. *upongamos que x ≤ y
Esto se puede escribir como
, entonces
√ x ≤ √ y
. *ustrayendo y de ambos lados da 2
.
x − y ≤ 0
2
√ x " √ y ≤ 0.
actor de esto para obtener (√ x −√ y )( √ x +√ y ) ≤ 0 . 1ividiendo ambos lados por el n-mero positivo √ x −√ y ≤ 0 . Aadir √ y a ambos lados da √ x ≤ √ y .
√ x + √ y
produce
!
Esta proposici#n nos dice que siempre que cuadrada de ambos lados y estar seguros de que como veremos en nuestra pr#xima proposici#n.
x ≤ y
, podemos tomar la ra'
√ x ≤ √ y
. Esto puede ser -til,
Esta proposici#n se referirá a la expresi#n 2 √ x y ≤ x + y . bserve que cuando se sustituyen valores positivos aleatorios para las variables, la expresi#n es verdadera. /or e2emplo, para x =6 e y = 4 , el lado iquierdo es
= 4 √ 6 # 9.79 , que es menor que el lado derecho 6 + 4 =10 . JEs cierto 2 √ xy ≤ x + y para cualquier positivo ' e yK J+#mo podr'amos
2 √ 6 · 4
que demostrarloK
/ara ver c#mo, pongamos primero esto en la forma de una declaraci#n condicional! *i x e y son n-meros reales positivos, entonces 2 √ x y ≤ x + y . 3a prueba comiena con la suposici#n de que ' e y son positivos y termina con 2 √ x y ≤ x + y . Al traar una estrategia, puede ser -til traba2ar hacia atrás, traba2ando desde 2 √ x y ≤ x + y hasta algo que es obviamente cierto. A continuaci#n, los pasos se pueden invertir en la prueba. En este caso, la ra' de ambos lados de 2 √ x y ≤ x + y nos da 2
4 xy ≤ x
+2 xy + y 2
Ahora resta ('y de ambos lados y factor. 0≤x
2
0≤
−2 xy + y
2
2
( x − y )
L/ero esta -ltima l'nea es claramente verdadera, puesto que el cuadrado de x − y no puede ser negativoM Esto nos da una estrategia para la prueba, que sigue. Proposición *i ' e y son n-meros reales positivos, entonces
2 √ x y ≤ x + y
Prueba. *upongamos que ' e y son n-meros reales positivos.
Entonces
0≤
2
( x − y ) , esto es,
0≤x
3a adici#n de ('y a ambos lados da El factora2e produce
2
4 xy ≤ ( x + y )
2
2
−2 xy + y . 2
4 xy ≤ x
+ 2 xy + y 2 .
.
Anteriormente probamos que tal desigualdad sigue vigente después de tomar la ra' cuadrada de ambos lados; Haciendo esto produce 2 √ xy ≤ x + y . ∎
bserve que en el -ltimo paso de la demostraci#n tomamos la ra' cuadrada de ambos lados de 4 xy ≤ ( x + y ) y obtuvimos √ 4 xy ≤ √ ( x+ y ) y el hecho de que esto no invirti# el s'mbolo I *eguido de nuestra proposici#n anterior. Nste es un punto importante. A menudo la prueba de una proposici#n o teorema usa otra proposici#n o teorema %que ya ha sido probado&. 2
2
4.4 'so de casos
Al probar que una afirmaci#n es cierta, a veces tenemos que examinar varios casos antes de mostrar que la afirmaci#n es cierta en todos los escenarios posibles. Esta secci#n ilustra algunos e2emplos. n
5uestros e2emplos se referirán a la expresi#n 1 +(−1 ) ( 2 n −1 ) . Aqu' hay una tabla que muestra su valor para varios enteros para n. bserve que n 1 +(−1 ) ( 2 n −1 ) es un m-ltiplo de = en cada l'nea. n
1
+(−1 )n( 2 n −1 ) .
7 8 6 = < = = : ? 76 n JEs 1 +(−1 ) ( 2 n −1 ) .siempre un m-ltiplo de =K /robamos que la respuesta es 4s'4 en nuestro pr#ximo e2emplo. bserve, sin embargo, que la expresi#n n 1 +(−1 ) ( 2 n − 1 ) se comporta de manera diferente dependiendo de si n es par n
n
o impar, ya que en el primer caso (−1) =1 y en el segundo (−1) =−1. /or lo tanto, la prueba debe examinar estas dos posibilidades por separado. Proposición *i
n ∈ N
, entonces
n
1 + (−1 ) ( 2 n−1 )
es un m-ltiplo de =.
Prueba. *upongamos que n ∈ N . Entonces n es igual o impar. +onsideremos estos dos casos por separado.
n =2 k
(aso 1. *upongamos que n es par. Entonces (−1)n=1 .
para un cierto
k ∈ Z
,y
n
/or tanto, 1 +(−1 ) ( 2 n −1 )=1 +(1 )( 2 · 2 k −1)= 4 k , que es un m-ltiplo de =. (aso 2. *upongamos que n es impar. Entonces n =2 k + 1 para un cierto k ∈ Z , y (−1)n=−1 . As',
n
1 + (−1 ) ( 2 n −1)= 1−( 2 ( 2 k + 1 ) −1)=−4 k
Estos casos muestran que
n
1 + (−1 ) ( 2 n−1 )
, que es un m-ltiplo de =. es siempre un m-ltiplo de =.
∎
Ahora examinemos la otra cara de la pregunta. Acabamos de demostrar que n 1 + (−1 ) ( 2 n−1 ) es siempre un m-ltiplo de =, pero Jpodemos obtener cada m-ltiplo de = de esta maneraK 3a siguiente proposici#n y prueba dan una respuesta afirmativa. Proposición n ∈ N
+ada m-ltiplo de = es igual a
n
1 + (−1 ) ( 2 n−1 )
para algunos
.
Prueba. En forma condicional, la proposici#n es la siguiente! *i es un m-ltiplo de =, entonces hay una n ∈ N n 1 + (−1 ) ( 2 n−1 ) =k .
para el cual
3o que sigue es una prueba de esta declaraci#n condicional. *upongamos que es un m-ltiplo de =. Esto significa k =4 a para alg-n entero a. n 1ebemos producir un n ∈ N para el cual 1 +(−1 ) (2 n −1)= k . Esto se hace por casos, dependiendo de si a es cero, positivo o negativo. a =0 . n =1 . (aso 1. *upongamos que *ea Entonces n 1 +(−1 ) ( 2 n −1 )=1 +(−1 ) ( 2 −1)= 0= 4 · 0 = 4 a= k . (aso 2. *upongamos que a > 0. *ea n =2 a , que está en N porque a es (−1)n=1 . positivo. "ambién es par, as' que As', n 1
n
1 + (−1 ) ( 2 n−1 ) =1+( 2 n−1 )=2 n =2 ( 2 a )=4 a= k
.
(aso 3. *upongamos que
a <0
. *ea
n = 1−2 a
, que es un elemento de N positivo. "ambién n es impar, as' que
porque a es negativo, haciendo 1−2 a (−1)n=−1. As', 1 + (−1 )n (2 n −1)= 1−( 2 n −1 )=1−( 2 ( 1−2 a )−1 )= 4 a =k . 3os casos anteriores muestran que no importa si un m-ltiplo k =4 a de = es cero, positivo o negativo,
2 n−1 n
k =1+(−1) ¿
& para algunos
n ∈ N
.
!
4.5 Tratar casos similares
casionalmente, dos o más casos en una prueba serán tan similares que escribirlos por separado parecerá tedioso o innecesario. Aqu' hay un e2emplo. Proposición *i dos enteros tienen paridad opuesta, entonces su
suma es impar.
Prueba. *upongamos que m y n son dos enteros con paridad opuesta. "enemos que demostrar que m+ n es impar. Esto se hace en dos casos,
como
sigue.
*upongamos que m es par y n es impar. As', m=2 a y n =2 b + 1 para algunos enteros a y b. /or lo tanto, m+ n=2 a + 2 b + 1=2 ( a + b )+ 1 , que es impar %seg-n la definici#n =.6&. (aso 2. *upongamos que m es impar y n es par. As', m=2 a + 1 y n=2 b para algunos enteros a y b. /or lo tanto, m+ n=2 a + 1+ 2 b =2 (a + b )+ 1 , que es impar %por definici#n =.6&. En cualquier caso, m+ n es impar. (aso 1.
!
3os dos casos en esta prueba son completamente iguales, excepto por el orden en que se producen los términos pares e impares. Es totalmente apropiado hacer s#lo un caso e indicar que el otro caso es casi idéntico. 3a frase "sin p-rdida de generalidad..." es una forma com-n de sealar que la prueba es tratar s#lo uno de varios casos casi idénticos. Aqu' hay una segunda versi#n del e2emplo anterior. Proposición *i dos enteros tienen paridad opuesta, entonces su
suma es impar.
/rueba. *upongamos que m y n son dos enteros con paridad opuesta.
"enemos que demostrar que m+ n es impar. *in pérdida de generalidad, suponga que m es par y n es impar. As', m=2 a y n =2 b +1 para algunos enteros a y b. /or lo tanto m+ n=2 a + 2 b + 1=2 (a + b )+ 1 , que es impar %por la definici#n =.6&. !
Al leer pruebas en otros textos, a veces se puede ver la frase 4*in pérdida de generalidad4 abreviada como 4O3P4. *in embargo, en el interés de la transparencia evitaremos escribirlo de esta manera. En un esp'ritu similar, es aconse2able al menos hasta que tengas más experiencia en la escritura de pruebas que escribas todos los casos, sin importar lo similares que parecan ser. +omprende su comprensi#n haciendo los e2ercicios siguientes. 3os problemas con n-meros impares tienen pruebas completas en la secci#n *oluciones en la parte posterior del texto.
