Capitulo 3 Introducción a La Probabilidad de Eventos

Capí tulo tulo 3 Introducción a la probabilidad de eventos

526. Se

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

echan al aire dos dados. Indique la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos sea

igual a tres si se sabe que en el primer dado Salió uno. 527. Se

juegan dos dados. Demuestre la probabilidad de que la suma de puntos obtenidos obtenidos sea igual a cuatro si se sabe que el valor ab soluto soluto de la diferencia de los números obtenidos es igual a dos. 528. Antes

de las elecciones, las probabilidades de triunfo de cada uno de los cuatro candidatos eran las siguientes: que ganara X: 0.4; que lo hiciera Y: 0.2; que fuera Z: 0.3, y que venciera T: 0.1. Determine la probabilidad de triunfo de cada uno de los candidatos, si se sabe qué Y no ganará. 529. De

una baraja de 52 cartas se sacan dos sin reemplazo. Desarrolle la probabilidad para que la segunda sea as, si se sabe que la primera es menor a ocho. 530. Se

lanzan tres dados. Calcule la probabilidad de que la suma de números obtenidos sea mayor que 10, si se sabe que la suma en los dos primeros dados es cinco. 531. En

una urna hay b bolas blancas y c negras. De la u rna se sacan dos bolas, una por una, sin reemplazo. ¿Qué probabilidades hay que en la segunda ocasión salga la bola negra, si se sabe que la primera fue blanca? 532. En

una urna hay 20 bolas; 12 son blancas y ocho negras. Se sacan, dos veces, dos bolas sin reemplazo. ¿Cuántas probabilidades hay de que la segunda vez sean dos bolas del mismo color, si se sabe que en la primera ocasión salieron dos de colores diferentes? 1 533. si

c

P(A ) =

3

1

(A ∩ B) =

2

, P(A U B) =

4

3

, calcule

a) P(B) c

b) P(A ∩ B ) c) p (B – A) 1 534. Si

c

P(A ) =

3

5

, P( A UB) =

6

1 c

, P(B ) =

2

determine

a) P(A ∩ B) b) P(A ∩ Bc) c) P( B – A) 1 535. Si

a) P(B) b) P(Ac

P(A – B) = P (B – A), P(A

∩ B)

UB)

=

2

1

, P(A ∩ B) =

4

, demuestre:

Capí tulo 3 Introducción a la probabilidad de eventos

1 536. Si

se sabe que: P(Ac ∩ Bc) =

2


2

; P(Ac) =

3

1

, P(A ∩ B) =

4

calcule:

a) P(B) b) P(Ac ∩ B) 1 537. Si

P(A)

3

= , P(B) =

4

4

, A ∩ B = Ø demuestre:

a) P(A UB) b) P(Ac U B) c) P(A U Bc) 1 538. Si:

P(A

UB)

= P(B)

2

1

= , P(A ∩ B) =

4

determine:

a) P(A) b) P(Ac) c) P(B) 1 539. Si:

P(Ac) =

4

1

P(B|A) =

1 540. Si:

c

P(A ) =

3

P(A) =

4

, calcule P(A ∩ B).

1

, P(B) =

2

1 541. Si

2

1

, P(A|B) =

, P(B|A) =

que: P(A|B) =

4

, demuestre P(A ∩ Bc).

( − A ) . P ( B )

P B

3

, indique 1

543. Conociendo

, calcule P(A UB).

1

1 542. Dado

2

que: P(A)=

3

1

, P(A|B) =

5

1

, P(B|A) =

2

, demuestre P(B).

4 544. Si

c

c

se sabe que: P(B) = P(B ), P(A|B ) + P(A|B) =

5

, determine P(A).

1 545. Con

c

los datos: P(B) = 3P(B ), P(A|B) =

3

1 c

, P(A|B ) =

1 c

, determine P(A).

1

546. Si

A y B son independientes y P(A ) =

547. Si

A y B son independientes y P(A) > 0, P(A) = 3 P (A

2

2

, P(A

∩

B) = ∩

5

, determine P(B).

B), demuestre P(B).



1 548. Si

A, B y C son independientes y P(A

∩ B)

549. Si

A, B y C son independientes y P(A

∩

=

3

, P(Cc) = , calcule P(A ∩B ∩ C ). 1

2 550. Si

c

P(B ) =

5

B ∩ C) =

8

, P(A) = 2P(B) = 4P(C), halle P(C c).

1

, P(A UB) =

2

, P(Ac UBc) = calcule.

a) P(Ac) b) P[B-(A ∩ Bc)] 551. Si

A y B son independientes y P(A) > 0, 2P(A) = 5P(A

∩

B), encuentre P(Bc). 1

552. Si

se sabe que los eventos A, B, C, y D son independientes y P(A ∩ B ∩ C) =

24

, P(A) = 2P(B)

= 3P(C) = 4P(D), calcule P(D). 553. ¿Cu ál

es una condición necesaria y suficiente para que los eventos A y A U B sean independientes? 554. ¿Una condición necesaria y suficiente para que los eventos A y A ∩ B sean independientes es? 555. Demuestre 556. Calcule

que si P(A) + P(B) > 1, entonces A ∩ B = Ø

que P(A – B) ≥ P(A) – P(B).

557. Determine

si C ɔ A ∩ B, entonces P(C) ≥ P(A) + P(B) -1,

558. Demuestre

que si P(B) > 0 y A es un evento cualquiera entonces: c

( ) P ( B )

P A

P(A|B) ≥ 1

559. Halle

que si P(A) > 0, P(B) > 0, P(A|B) > P(A), entonces P(B|A) > P(B).

560. Encuentre

que para los eventos A, B y C, tales que P(A ∩ B) > 0, se cumple que P(A ∩ B ∩ C ) = P(A) * P(B|A) * P(C|A ∩ B) 561. Demuestre

que si 0 < P(A) < 1,0 < P(B) <1, y a A

∩B=

Ø, entonces los eventos A y B son

dependientes. 562. Demuestre que si 0 < P(A), P(B) < 1, A c B, entonces los eventos A y B son dependientes. 563. Calcule 564.

que si P(B|A) = P(B|A c), entonces los eventos A y B son independientes.

Demuestre que si A, B, c Ω, P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, entonces P(A|B) ≥ 0.2.

565. Determine

que si A y B son eventos independientes entonces:

a) Ac y Bc son independientes. b) Ac y B son independientes. c) A y Bc son eventos independientes. [Nota: Ac = (Ac ∩ B) U (Ac ∩ Bc); B= (Ac ∩ B) U (A ∩ B).].



Halle que para cualquier evento A Ω los pares de eventos: a) A y Ø son independientes. b) A y Ω son independientes. 567. Determine si cada una de las siguientes implicaciones es verdadera o falsa: 566.

a) P(A) < P(A U B) => P(A

∩

B) < P(B)

b) P(A) < P(A U B) => P(A ∩ B) > 0 c) ∀ C c Ω, P(A) < P(B) => P(A C) P(B C). 568. Diga si cada una de las siguientes expresiones es verdadera o falsa para los eventos A y B, tales que P(B) > 0: a) P(A|B) ≥ P(A) b) P(A|B) = 0 => P(A) = 0 569.

¿Cuál de las siguientes desigualdades es verdadera para cualesquiera eventos A y B tales que P(A) >

O?

a) P(B| A) ≥ P(B)

b) P(B| A)≤ P(B) 570. ¿Pueden 571. ¿Son

572. Se

ser mutuamente excluyentes los eventos A y B, si P(A) = 0.6291 y P(B) = 0.2173?

extraños los eventos A y B, si P(A) = 0.54781 y P (B) = 0.49719?

lanza un dado. Sea A: {el número de puntos obtenidos se divide entre 3}.

¿Cuáles son los eventos independientes de A? 1

1 573. De

5

,log

π

una caja que contiene siete tarjetas numeradas: log 3

y log3

81

log √ 125

1

1 1

(3 √3), Iog √2 0.25, log0.2 √ 5 3

, log4

√ 2 , se sacan tres tarjetas sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que dos 3

tengan números negativos?

574.

En un grupo de 600 alumnos, 300 estudian francés, 200 alemán, 150 inglés, 30 ingl és y francés, 40 alemán e

inglés, 30 alemán y francés, y 20 todos los idiomas. Si se escoge un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que: a) estudie francés; b) estudie francés y no estudie ingl és, si se sabe que estudia alemán. 575. En

una ciudad se publican tres periódicos: A, B y C. Suponga que 60% de las familias est án suscritas al A,

50% al B y 50% al C. También, que 30% de las familias lo est án en A y 8, 20% en B y C, 30% en A y C, y 10% en los tres. Calcule la probabilidad de que una familia escogida al azar.

a) Esté suscrita al periódico A, si se sabe que no lo está en B.



b) Esté suscrita al periódico A, si se sabe que lo está en por lo menos dos periódicos. c) no esté suscrita al periódico A, si se sa be que lo está en cuando más un periódico. 576. Del conjunto A = { x:x E Z (enteros) y log(X 1)- log ( x + 1) < l A x < 9} se extraen dos

-

elementos y se forma un número de dos cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) el número sea par? b) sea divisible entre tres? 577.

De una urna, en la cual se encuentran a bolas numeradas de 1 hasta a, se sacan dos sin reemplazo. La

probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia de los n ú meros obtenidos sea igual a tres, 14

es

9a

Calcule el número de bolas que hay en la urna. 578. Sean

P1 = P(A) y P2 = P(A ∩ 8). Halle P (AC ∩ BC) si A y B son independientes.

579. Dado

que P(A) = y P(B) = , demuestre que: 2

a) P(A U B) ≥ 5 1

b)

8

3 ≤

580. Cierta

P(A ∩ B)

≤

8

noche, el señor Godí nez miraba por televisi ón el sorteo de la loterí a, donde sacarí an al azar la primera

de una urna con 44 esferas numeradas del 1 al 44. Su esposa le preguntó: "¿Por qué miras eso, acaso has comprado algún boleto?". "No -repuso el marido-, pero siento curiosidad por ver si el n úmero premiado resulta ser divisible entre tres o entre cuatro." La esposa le apostó a que eso no ocurrirí a. b) Muestre que la probabilidad no cambiarí a si en vez de 44 esferas fuesen e) ¿Entonces será siempre la misma probabilidad, no importa cu ántas esferas sean? ¡Compruebe que no! d) ¿Cuál serí a la probabilidad de que el número de la esfera extraí da se dividiera entre tres o entre cuatro, si hubiese una infinidad de esferas numeradas en la urna? En análisis, se dice que para dos puntos arbitrarios P1 , P2 , ya sea en un plano o en el espacio (de la dimensi ón que sea}, una función real d (P1 , P2) es una distancia (o métrica) si satisface las siguientes propiedades: i) d (P1 , P2) ≥ 0 y d (P1 , P2) = O <==> P1 = P2 - propiedad de no negatividad ii) d (P1 , P2) = d (P2 , P1) -propiedad de simetrí a iii) d (P1 , P2) + d(P2 , P3)

≥

d(P1 , P3)

-desigualdad del triángulo ▷

8) = P [(A B) U (B - A)] (la probabilidad de la -diferencia simétrica de conjuntos}, demuestre que, entonces, d(A, B) satisface las tres propiedades mencionadas de una métrica o distancia. Si para dos conjunto s cualesquiera A y B, se hace d(A, 8) = P(A

-



[Nota: para probar las condiciones i) y ii), apóyese en las propiedades de la diferencia sim étrica, que se expusieron en los problemas 56 y 58 (cap í tulo 1). Para el inciso iii), observe los conjuntos W = (A

∩ C)

-ByV =

B - (A UC) en la figura (obviamente, son ajenos). Desarrolle P (W UV); luego, P(A ▷ 8) + P (8 ▷ C) - P(A ▷ C), con el hecho de que P(A ▷B) = P(A) + P {B) - 2 P(A de la anterior, es decir, 2 P (W

U V),

∩ B),

etc. Hallará que esta última probabilidad es el doble

lo cual por supuesto, no es una cantidad negativa. Use una notación

simplificada; por ejemplo, abrevie la intersección A ∩ B como AB, etcétera.]

582.

En una reunión hay siete personas, cada una con 28 a ños de edad. Nadie se acuerda en qu é dí a de la

semana nació (lunes, martes, miércoles , etc.), pero un matem ático que está entre ellos asegura que cualquiera que haya nacido entre 1901 y 2071 celebra su cumpleaños número 28 el mismo dí a de la semana en que nació, lo que per mite a los siete averiguar con rapidez qu é dí a nacieron. Calcule la probabilidad de que entre esas siete personas: a) todas hayan nacido en dí as diferentes; b) por lo menos dos hayan nacido el mismo d í a; c) dos hayan nacido en domingo y dos en martes. 583. La

educadora de un jard í n de niños tiene 2n niños y 2n niñas en su clase. Los divide al azar en

dos grupos iguales para realizar un juego. ¿Cuál es la probabilidad de que cada grupo se forme con el mismo número de niños que de niñas? 584. Una

caja contiene r bolas rojas y a amarillas; además, cerca de la caja hay un montón grande de bolas las amarillas. Se sacan dos al azar, sin reposición; si resultan del mismo color, entonces se toma una amarilla del mont ón y se mete a la caja, pero, si son diferentes, se regresa la roja a la caja. Este procedimiento se repite muchas veces hasta que hayan salido las últimas dos bolas y se meta una última. ¿Cuál es la probabilidad de que esa última sea roja?

585. Un

maestro de matem áticas de secundaria iba a preparar una tarea de ejercicios sobre ecuaciones de segundo grado para sus alumnos. Sólo debí a poner números, en lugar de los coeficientes a, b y e en la ecuación ax 2 + bx + e = 0, por lo que para cada ecuaci ón decidió lanzar un dado tres veces y usar como coeficientes los números que salieran. Una vez que tuvo cinco ecuaciones, fue a sacar copias de la



tarea; mientras tanto, se le ocurrió que en algunas de esas ecuaciones podrí a no haber raí ces reales, además de recordar que aún no habí a enseñado los números complejos. Para una ecuación cualquiera de esa tarea: a) Calcule la probabilidad de que las dos raí ces sean reales. b) Determine la probabilidad de que todas las ecuaciones de la tarea tengan sólo raí ces reales.

c) Sin necesidad de hacer cálculos, ¿cuál es la probabilidad de que en al menos una de las ecuaciones salga una raí z real y otra imaginaria? 586. El

director de una escuela tení a n cartas dirigidas a n profesores. Le encargó a su secretaria que rotulara n sobres para meter las respectivas misivas y enviarlas; sin embargo, después de anotar los datos, la secretaria, en forma negligente, metió las hojas a los sobres al azar, creyendo que eran todas iguales y sin percatarse que cada una traí a anotado el nombre del destinatario especí fico. Las cartas fueron enviadas.a) Determine la probabilidad de que por lo menos uno de los profesores hubiese recibido la que iba dirigida a él. b) ¿Qué valor recibe esa probabilidad a medida que n tiende a infinito? 587. En

una oficina de productos para computadora trabajan cinco empleados. En ví speras de fin de año deciden hacerse regalos unos a otros de la siguiente manera: cada quien comprará un presente, de no m ás de 400 pesos, que sirva tanto a un hombre como a una mujer, lo empacará y lo pondrá al pie del árbol de Navidad; luego, se le pegar á a cada regalo una peque ña etiqueta con un n úmero del 1 al 5, y en un frasco se meterán cinco papeles doblados, cada uno marcado del 1 al 5. Los empleados sacarán al azar un papel del frasco y se llevarán el regalo que les corresponda con ese n úmero. a) Determine la probabilidad de que ninguno de los cinco reciba el regalo que le tocó comprar. b) Calcule la misma probabilidad, si en, vez de cinco empleados fuesen ocho. e) Halle la misma probabilidad si fuese un número grande de empleados; por ejemplo, 25 o 30. 588. Cuatro

amigos (Alberto, Beatriz, Carmen y Dante) se sientan alrededor de una mesa a jugar. Cada uno de ellos lanzará un dado, por tumos; el primero que saque el número uno ganará el juego y se llevará de premio una fina vajilla para té importada de China, que fue donada por la mam á de uno de ellos. Alberto tira primero, luego Beatriz, etc. Note que, en teorí a, el juego podrí a durar indefinidamente, pero eso es inverosí mil. Calcule las respectivas probabilidades de cada uno de los cuatro amigos para ganar. Suponga que los maestros A y B son los mejores ajedrecistas del mundo y que la fuerza en tomo a ese juego es tan equilibrada que, en un enfrentamiento, cualquiera tiene la misma probabilidad de ganar una partida (o 'de perderla). Supongamos que A y B disputan una serie de partidas (o match); el primero que gane seis, sin contar las tablas, se lleva 100% del premio. Si por alguna razón el match se tuvo que dar por terminado luego de gran número de partidas, con ambos maestros exhaustos y con el tanteador 5-3 en favor de A: 589.

a) ¿Cuál de las siguientes opciones serí a la más justa para repartir monto del premio?


5

i)

3

del premio para A y

8 2

ii)

3

8

para B

8 1

del premio para A y

7

iii)


3

para B

1

del premio para A y

8

para B

iv) Ninguna de las anteriores b) En general, si d enfrentamiento entre A y B se suspendiera en el momento en que A necesita n victorias y B de m para ganar, ¿cuál serí a la proporción justa para repartir el monto del premio? [Nota: este interesante problema con jugadores en general, no con ajedrecistas fue planteado y resuelto en distintas épocas por varios de los más ilustres matemáticos de la historia. desde Cardano y Tartaglia, hasta Pascal, Fermat y Huygens. Curiosamente, los primeros llegaron a respuestas diferentes -¡ambas incorrecta!, pero los últimos tres sugirieron otro enfoque, que hoy se considera matemáticamente correcto. Fuente: Székely: Paradoxes in Probability Theory and Mathematical Statistics, p.10 . D. Reidel Publishing Company, 1987.] 590. En

una tarde frí a y lluviosa, n amigos entraron a un bar a tomar unas copas. Todos traí an gabardina y bufanda, que dejaron a la encargada del guardarropa, quien los guardó en un casillero. Algunas horas después, salieron y cada uno tomó una gabardina y una bufanda al azar del casillero mencionado. Halle la probabilidad de que: a) Por lo menos uno se hubiese llevado la gabardina correcta (sin tomar en cuenta la bufanda). b) r de ellos (l ≤ r ≤ n) se hubiesen llevado la bufanda correcta (sin tomar en cuenta la gabardina). c) r de ellos se hubiesen llevado la gabardina y la bufanda correctas. d) Ninguno de ellos se hubiese llevado ambas prendas correctas. e) Ninguno de ellos se hubiese llevado la gabardina ni la bufanda correcta. 591. Con

referencia al problema 590, encuentre los respectivos lí mites a los que tienden las probabilidades de los incisos a) al e), a medida que n tiende a infinito (en el inciso b), además, suponga que n >> r).

592. (Problema

de la aguja de Buffon.) Considere una aguja de tejer (puede ser también un clavo



grande) de longitud a, la cual se arroja al azar sobre un piso de rayas para lelas, separadas entre sí una distancia b > a. Calcule la probabilidad de que la aguja toque o atraviese alguna de las rayas del piso. (Problema propuesto por el naturalista francés Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, en 1777.) [Sugerencia: defina el extremo inicial de la aguja de tejer como aquel punto que está más hacia el sur (más hacia abajo de la página); en caso de que caiga paralela a las rayas, el extremo inicial es el punto más hacia el occidente. Defina el parámetro y, que significa la distancia desde el extremo inicial de la aguja hasta la raya más cercana hacia el norte; por obviedad, tenemos que O ≤ y < b, puesto que si el extremo inicial está sobre una raya, entonces la raya m ás cercana seria esa misma, así que y = 0. Defina también el parámetro Ø, que representa el ángulo de inclinación medido en radianes de la aguja, en el sentido de la geometrí a analí tica plana (vea la figura). Ciertamente, 0 < Ø ≤ π. Encuentre una condición necesaria y suficiente para que la aguja toque o atraviese alguna raya, guiándose por la figura. Por último, considere el problema de arrojar la aguja como equivalente a elegir un punto al azar en un rectángulo de b X π. Haga un croquis de ese rectángulo y determine qué porción es el área favorable, es decir, el área que corresponde al conjunto de puntos en los que la aguja toca o atraviesa una raya.]

593. Considere que se han tomado al azar dos números reales x y y, tales que O < x

≤

2, 0 < y

≤

2.

Encuentre la probabilidad de que el producto xy no sea mayor que 1 y que el cociente ylx no sea mayor que 2. [Fuente: V. E. Gmurman: Rukavódstvo k Resheniu Zadach po Teorii Beroi átnostei i Matemat íc heskoi Statistike (en ruso), Moscú, 1975.]

594. Suponga que un disco de radio r (tal vez, la tapadera circular de un frasco o una mone da grande,

por ejemplo) se deja caer al azar sobre un piso de mosaicos cuadriculados, siendo el lado de cada uno de los cuadrados igual a a > 2r. Halle la probabilidad de que el disco no toque ninguno de los la dos de los mosaicos. 595. En

cada una de las siguientes figuras planas se escoge un punto al azar. Determine en cada caso la

probabilidad de que el punto pertenezca a la regi ón más oscura. Suponga qué la probabilidad de que un punto al azar caiga sobre la figura plana es proporcional al área de la figura y que no de pende de su ubicación especí fica.



[Nota: las figuras a) y b) requieren de algunos conocimientos de geometrí a por parte del lector.] 596. Un

tirador apunta con su rifle, desde una distancia razonable, al cuadrado de la figura siguiente, cuyo lado mide un metro y en el cual hay una estrella oscura en el centro y partes oscuras en las esquinas. Piense que la probabilidad de que el disparo haga impacto en cualquier parte del cuadrado es la misma. Determine si es más o menos probable que el disparo haga impacto en la parte clara o en la oscura (la estrella, más las esquinas).

[Nota: para llegar a la solución de este problema se requiere de algunos conocimientos de

geometrí a y/o

trigonometrí a por parte del lector.] 597.

Suponga que en la cárcel de alta seguridad Almoloya hay tres reclusos A, B y C, que han sido

condenados a purgar cadena perpetua y están incomunicados entre sí , sin embargo, el juez ha decidido qué dos serán indultados y puestos en libertad, en , tanto que el restante se quedar á para siempre encerrado, lo cual es notificado por separado a los tres. Ninguno sabe quién se quedará en la 2

cárcel. A está consciente " de que la probabilidad de que sea él uno de los que saldrán libres es 3

.

Entonces, A le pregunta al guardia que los custodia si le · darí a información más especí fica sobre si

será él o no uno de los beneficiados, a lo. Qué c ontesta: estoy autorizado a revelar los nombres de los quedarán libres; lo más que te diré es que uno de tus compañeros, B o C, ciertamente saldrá libre". Al escuchar la respuesta, A ·queda pensativo y razona así : "Antes de preguntar al guardia ya sabí a 2

qué la probabilidad de que fuese yo uno de los dos perdonados era

3

. Pero ahora sé que uno de mis

compañeros saldrá libre, por lo tanto entre el otro y yo escoger án al restante para dejarlo en libertad, así 2

que la probabilidad de que sea el afortunado se ha reducido de

3

1

.a

2

.pesar de todo, el guardia no

me reveló ninguna informaci ón que no supiera ya." ¿Cómo se explica est á aparente paradoja? 598. En

un grupo de n personas (2 ≤ n < 365) determine la probabilidad de que por lo menos dos tengan la misma fecha de cumpleaños (mes y dí a), considerando sólo años de 365 dí as. Suponga que todos los dí as del año son igualmente probables para el nacimiento de un bebé y que aquellos nacidos el 29 de



febrero celebran su cumpleaños el 28 de febrero. Si hay un grupo de n personas (n

599.

≥

6), calcule la probabilidad de que dos hayan nacido en 1

febrero, tres en julio

y una en septiembre (considere ahora el año astronómico de 365

dí as,

4

1

teniendo febrero 28

4

dí as). Suponga que cualquier dí a de cualquier mes es' igualmente probable

para el nacimiento de alguien. 600.

Tres personas, A, B y C (en ese orden), cortan en varias partes una baraja ordinaria, pero vuelven a

dejar las cartas después de cada acción, con la condición de que el primero que encuentre una carta de espadas ganará una cena gratis en el restaurante argentino Rincón Gaucho, pagada por los otros dos. Halle las probabilidades respectivas. 601. Si

sobre un tablero de ajedrez vac í o se colocan al azar una dama blanca y un caballo negro, ¿cu ál la

probabilidad de que cualquiera de las dos piezas quede en posición de capturar a la otra? 602.

Si se lanzan tres dados, ¿cuál es el valor de la suma de puntos con la mayor probabilidad de ocurrir?

Los niños Ricardo y Stephanie juegan por tumos a lanzar un conjunto de n dados (2

603.

≤

n

≤

3) y

apuestan a que la suma de los dados dará cierto número. La cantidad de dados varí a, pero el número al

que apuesta cada pequeño debe mantenerse fijo. Ricardo siempre le va al 9 y Stephanie al 10. Determine quién de los dos tiene la mayor probabilidad de vencer, si el n úmero de dados con que juegan es: a) dos; b) tres,

604. En

una urna hay un conjunto de 2n esferas numeradas desde O, 1, 2, … , hasta 2n

-

l. Se extraen al

azar dos esferas. Demuestre la probabilidad de que la suma de los n ú meros de ambas esferas sea 2n.

De un mazo ordinario de 52 naipes se reparten al azar 13 cartas a cada uno de cuatro jugadores .

605.

Encuentre la probabilidad de que: a) Un jugador especí fico no tenga ninguna carta de corazones. b) Haya un palo, del cual un jugador especí fico no reciba ninguna carta. 606.

Ubique la probabilidad de que una mano de póker obtenga las cinco cartas de diferente número. (Los "números" son A, 2, 3, ... ' 10, J, Q. K.)

607.

Suponga que hay un conjunto de n letras (n ≥ 2), del cual selecciona al azar r le tras (2 ≤ r

≤

n) y

éstas

se permutan también al azar. l Cuál es la probabilidad de que dos letras especí ficas de las n originales aparezcan j untas en .esa permutación? 608. En

una caja hay tres cartones pequeños marcados, respectivamente, con los números 1, 2 y 3. Se extrae un cartón al azar cuatro veces (con reemplazo), y se anota en 11na hoja de papel el número que salió en cada caso. Al final, se suman los cuatro números y se .obtiene la cantidad s. Determine la



probabilidad de que s sea un número par. 609. Se

lanzan n dados sobre la mesa (n > 6) y se suman los números de las caras que se muestran hacia arriba, con lo que se logra una cantidad s. ¿Cuál es el valor de s con la más alta: probabilidad de ocurrir? [G. Chrystal. Textbook of Algebra, vol. 2, p. 591, 7a. Edición Edinburgh, 1889 (!)] 610.

Suponga que tres personas, A, B y C, juegan al siguiente pasatiempo: A lanza seis dados simultáneamente y desea que en al menos uno salga el seis; B hace lo mismo con 12, al mismo tiempo, con la intención de obtener seis en al menos dos, y C arroja 18 al uní sono deseando sacar seis en al me-

Capitulo 3 Introducción a La Probabilidad de Eventos

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