Señales y Sist Sistemas emas 1. DESCRIPCIÓN MATEMÁ MATEMÁTICA TICA DE SEÑALES 2. ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 3. ANÁL ANÁLISIS ISIS DE SISTEMAS SISTEMAS LINEAL LINEALES ES ESTACI ESTACIONAR ONARIOS IOS MEDIANTE MEDIANTE LA TRANSFOR TRANSFORMAD MADA A DE FOURIER 4. ANÁL ANÁLISIS ISIS DE SISTEMAS SISTEMAS LINEALES LINEALES ESTACIO ESTACIONARI NARIOS OS MEDIANTE MEDIANTE LA TRANSFORM TRANSFORMADA ADA DE LAPLACE 5. CO CORR RRELA ELACIÓ CIÓN N Y ESP ESPEC ECTR TRO O DE DE SEÑAL SEÑALES ES 6. AN ANAL ALIS ISIS IS DE SIS SISTE TEMA MASS NO LINEALES Y VARIANTES
Señales y Sist Sistemas emas CAPITULO 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS ESTACIONARIOS 2.1. .1. Características Características de los sistemas. 2.2 Clasificación de los sistemas 2.3. Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo ( LTI). TI). 2.4. La integral de Convolución. 2.5. Simulación con Diagramas de Bloque de ecuaciones diferenciales.
Señales y Sist Sistemas emas CAPITULO 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS ESTACIONARIOS 2.1. .1. Características Características de los sistemas. 2.2 Clasificación de los sistemas 2.3. Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo ( LTI). TI). 2.4. La integral de Convolución. 2.5. Simulación con Diagramas de Bloque de ecuaciones diferenciales.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS ESTACIONARIOS 2.1. Características Características de los lo s Sistemas 2.1.1 Introducción
Señales y Sistemas
Descripción Matemática de las Señales
Conjunto de dispositivos que realizan un proceso sobre las señales de entrada y devuelven una seña se ñall de sa salilida da
Los sistemas pueden ser: Naturales._ Por evolución y crecimiento de la civilización Artificiales._ Creado por ingenieros • •
Eléctrico, Mecánico, Biológico Económico, Político, Etc.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS ESTACIONARIOS 2.1. Características Características de los lo s Sistemas 2.1.2 Diagramas de Bloque y Terminología de Sistemas en TC Para analizar los sistemas necesitamos Herramientas Matemáticas
x(t)
Señal de entrada (Excitación)
in
Sistema Artificial Planta
y(t) out
Señal de salida (Respuesta)
La representación en TD es muy similar al T C con algunos cambios conceptuales: x[n] (Excitación)
Sistema
y[n] (Respuesta)
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.2 Diagramas de Bloque y Terminología de Sistemas en TC Los sistemas se pueden clasificar por su numero de entradas y salidas a) SISO:
Single Input – Single Output
y(t) x(t) y(t) = {x(t)}
x(t) (Excitación)
y(t) (Respuesta)
y 1 (t)
y (t) y (t), y (t) x (t), x (t), x (t) y (t), y (t) = {x (t), x (t), x (t)} 1
2
2
(Respuestas)
1
3
1
2
1
2
es un Operador
Forma Funcional
x 1(t)
(Excitaciones)
donde:
Forma Relacional
b) MIMO: Multiple Input – Multiple Output x 2(t) x 3(t)
Diagrama de Bloque
2
3
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.2 Diagramas de Bloque y Terminología de Sistemas en TC
El proceso de describir un sistema y analizarlo sin construirlo se llama MODELADO Tarea fundamental del ingeniero
Con el modelo se puede: Predecir el comportamiento (matemático), sin construirlo ni probarlo en una planta. Reducir errores de producción, Etc.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.2 Diagramas de Bloque y Terminología de Sistemas en TC En “Señales y Sistemas” nos referiremos a dos tipos de sistemas:
Sistemas de Lazo Abierto
x(t)
(Entrada)
o Filtro
Sistemas de Lazo Cerrado (o Realimentado)
y(t)
x(t)
(Salida)
(Entrada)
+
∑
-
o Filtro
y(t)
(Salida)
Todo proceso de medida es una sistema de lazo abierto
El procesamiento de señales a menudo se le llama también FILTRO. Las ecuaciones que describen los procesos en TC son las Ecuaciones Diferenciales. Las ecuaciones que describen los procesos en TD son las Ecuaciones de Diferencias.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC a. HOMOGENEIDAD Un sistema es Homogéneo cuando cumple que:
Si para
1
1
x 1(t)
y 1 (t)
Entonces una nueva entrada
1 Produce una salida
1 k 1 k 1 2
x 1(t)
k
1
1 2
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC a. HOMOGENEIDAD (Ejemplo)
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC a. HOMOGENEIDAD (Ejercicios) Indicar si las siguientes operaciones sobre la señal de entrada son homogéneas:
Cos () ()
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC b. ADITIVIDAD Un sistema es Aditivo cuando cumple que: Si para Y para
1 1 2
x 1(t) x 2(t)
2
y 1 (t) y 2 (t)
Entonces una nueva entrada
1 2 +
Produce una salida
1 1 + 2 1 + 3
+
•
x 3(t) ∑
y 3(t) =
1 + 2
2
2
•
x 1(t)
x 2(t)
Un sistema Aditivo permite que la señal sea descompuesta en señales más simples y luego juntar todas las salidas para formar la salida total. Implica que el sistema responde de igual manera a una señal compuesta que a señales simples que se desprenden de la original.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC b. ADITIVIDAD (Ejemplo)
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC b. ADITIVIDAD (Ejercicios) Indicar si las siguientes operaciones sobre la señal de entrada son aditivas:
Cos () ()
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC c. SUPERPOSICIÓN Las características de Homogeneidad y Aditivita juntas dan el principio de Superposición. Si un sistema tiene esta característica, se dice que es LINEAL
1
α1
Si para
α
Y para
2
α x (t)
α y (t)
x (t)
y (t)
1
2
2
1
2
Entonces una nueva entrada
α1 + 2 Produce una salida
α1 + α1 +2 α1 + 3
α x (t) 1
x 3(t) ∑
y 3(t) =
α1 + 2
2
2
x (t) 2
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC c. SUPERPOSICIÓN Otra forma equivalente de representar en diagramas de bloque es:
1 +2
α
1 +
α
2
α1 +2 α1 + x (t) y (t) =
3
2
= 3
x 1(t)
α x (t) 1
x 3(t) ∑
y 3(t) =
x (t)
y 1 (t)
α
3
∑
x 2(t)
y (t) 2
x (t) 2
Si se cumple, se dice que el sistema es LINEAL
α1 + 2
y 3(t) =
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC d. INVARIANZA EN EL TIEMPO Un sistema es Invariante en el tiempo, si cumple que:
Si para
Y para
1 1 1 0 1 0
x 1(t)
0
x 1(t- )
x 1(t)
0
x 1(t- ) Retardo
y 1 (t)
y 1 (t- )
y 1 (t- )
0
0
Si un sistema cumple con la Superposición (Homogeneidad + Aditividad) y además es Invariante en el Tiempo, se dice que es un Sistema LTI LTI = SISTEMA LINEAL INVARIANTE EN EL TIEMPO
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC d.
INVARIANZA EN EL TIEMPO (Ejemplo)
La salida del sistema depende de la forma de la entrada y no del tiempo en el que se aplica. A esto se le llama un Sistema Estacionario
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC e. ESTABILIDAD Una señal es acotada si sus valores están determinados para cualquier valor de t , es decir:
() < ∞
∞ < < ∞
Un sistema puede tener las siguientes combinaciones de sus señales : a. Entrada Acotada (EA) o Bonded Input (BI) b. Salida Acotada (SA) o Bonded Output (BO) Se dice que un Sistema es ESTABLE si cumple que para una entrada acotada, produce una salida acotada. ESTABLE = Sistema EASA o BIBO
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC e. ESTABILIDAD La estabilidad de un sistema se puede clasificar en:
Sistema ESTABLE
Sistema INDIFERENTE
Sistema INESTABLE
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC f. CAUSALIDAD Si la respuesta de un sistema ocurre sólo durante o después del tiempo en el que se aplica una excitación, el sistema es CAUSAL. Causal – Efecto La respuesta no puede aparecer antes de que se presente la entrada. No Causal Anticipar el futuro. Los sistemas reales son causales. También se puede usar esta idea para categorizar una señal en: Señales causales, y; Señales no causales.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC g. MEMORIA
Si la respuesta del sistema depende solo de los valores presentes en la entrada, decimos que es un Sistema SIN MEMORIA o ESTÁTICO. Si la salida de un sistema depende de valores presentes y pasados se dice que tiene MEMORIA o es DINÁMICO.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC h. INVERTIBILIDAD
Si un sistema para una entrada única produce una salida única se dice que es INVERTIBLE Invertible significa que a partir de la salida se puede determinar la entrada sin ningún tipo de ambigüedades.
Señales y Sistemas CAPITULO 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los sistemas. 2.2. Clasificación de los sistemas 2.3. Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo ( LTI). 2.4. La integral de Convolución. 2.5. Simulación con Diagramas de Bloque de ecuaciones diferenciales.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) Los Sistemas en TC (Sistemas Analógicos) se modelan mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la salida y(t) con la entrada x (t) a través de los parámetros del sistema y la variable independiente t . Usando la notación:
()
La forma general de una ecuación diferencial es:
() (−) ... () (−) ... ()
se refiere al orden mas alto de la derivada de la salida y(t) se refiere al orden mas alto de la derivada de la entrada x(t) Los coeficientes y pueden ser constantes o funciones de , (), y/o , con ≡ 1 Usando el Operador Derivada: El orden El orden
La forma general de una ecuación diferencial queda:
− ...− − ...− () Veamos como influye estos coeficientes en el comportamiento del sistema !
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.1 Linealidad Un sistema lineal es aquel que cumple con la superposición, e implica tres restricciones: 1. El sistema de ecuaciones debe incluir solo operadores lineales. 2. El sistema de ecuaciones no debe contener fuentes internas independientes. 3. El sistema de ecuaciones debe ser relajado (condiciones iniciales iguales a cero). Sabemos que un sistema LINEAL cumple con: a) La Homogeneidad: Si la entrada se escala, la salida se escala en igual valor, y si la entrada se hace cero, la salida también. Por tanto la relación Entrada vs Salida será una recta que cruza por el origen.
− ...− () − ...− Siempre esta normalizado = 1,
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.1 Linealidad Un sistema lineal es aquel que cumple con la superposición, e implica tres restricciones: 1. El sistema de ecuaciones debe incluir solo operadores lineales. 2. El sistema de ecuaciones no debe contener fuentes internas independientes. 3. El sistema de ecuaciones debe ser relajado (condiciones iniciales iguales a cero). Sabemos que un sistema LINEAL cumple con: b) La Aditividad: Las fuentes independientes son de valor constante, y NO pasan por el origen, por tanto vuelven al sistema No Lineal. Sin embargo gracias al principio de ADITIVIDAD es posible tratar a las fuentes independientes y a las condiciones iniciales como entradas adicionales, y analizar el sistema como de MULTIPLES entradas. La salida es entonces la SUPERPOSICIÓN de las salidas individuales. Como resultado, la respuesta total puede escribirse como la suma de: Respuesta TOTAL = Respuesta de ENTRADA CERO + Respuesta de ESTADO CERO Debido solo a las condiciones iniciales
Esto se llama Principio de Descomposición
Debido solo a la entrada
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.1 Linealidad (ejemplo) Se muestran las relaciones entrada-salida para cuatro sistemas. ¿Cuál de los siguientes sistemas son LINEALES?
a)
b)
c)
LINEAL Su relación pasa por el origen.
NO LINEAL Típico de un rectificador de media onda
NO LINEAL Describe el comportamiento de una fuente interna
d) NO LINEAL Describe el comportamient o de un amplificador Operacional
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.2 Invariante en el Tiempo
También llamada Invariante al desplazamiento implica que la forma de la salida depende solo de la forma de la entrada y no del tiempo en el que se aplica. En otras palabras el sistema no cambia con el tiempo, y se le denomina Estacionario o Fijo.
()
Cada elemento de un sistema invariante en el tiempo debe en si mismo invariante en el tiempo con un valor que es constante respecto al tiempo. a) Si el valor del elemento depende de la entrada o de la salida, esto provoca que el sistema sea NO Lineal. Un termino constante provoca el mismo efecto. b) Los coeficientes de las ecuaciones diferenciales de un sistema (que están relacionados con los valores de los elementos) no deben mostrar dependencia del tiempo, caso contrario provocan que el sistema sea Variante en el Tiempo. (ejemplo una resistencia variable con el tiempo). c) Las entradas escaladas en tiempo tales como en el Tiempo.
α
también hacen a un sistema variante
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.2 Invariante en el Tiempo (ejemplos)
= ´() b) = c) = α d) = e) = a)
No Lineal, pero invariante en el tiempo Lineal, pero variante en el tiempo Lineal, pero variante en el tiempo Lineal, e invariante en el tiempo (LTI) No Lineal, e invariante en el tiempo
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.3 Resumen de Sistemas Lineales e Invariante en el Tiempo LTI Un sistema LTI se describe por medio de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes (EDLCC).
• •
() (−) ... () (−) ... () Todos los términos contienen una o una () Todos los coeficientes son constantes (no son funciones de ,
Que hace a un sistema de ecuaciones diferenciales No Lineal o Invariante en el Tiempo?
.
1. Es No lineal si cualquier término es una constante o una función No lineal de o 2. Es Variante en el Tiempo si el coeficiente de cualquier término en o es una función explicita de t.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.3 Resumen de Sistemas Lineales e Invariante en el Tiempo LTI Ejemplos: Encuentre las ecuaciones diferenciales de cada uno de los sistemas y determine si son Lineales e Invariantes en el Tiempo.
Ω
32() +
3 +
3
+
() ()
2H
-
2 () 3 2´ 3 () (23) () Es LTI: Todos los valores de los elementos son constantes
3
+
() () 2H -
(a)
Ω
() () -
(b)
2 () 32 2´ 32 () Es NO Lineal, pero invariante en el tiempo: Tiene un elemento No lineal
+
-
4V
() () 2H +
(c)
2H (d)
2 () 3 4 2 () 3 2´ 3 4 () 2´ 3 () Es No Lineal, pero Invariante en el Tiempo: Tiene un término constante debido a la fuente de 4V
Es Lineal, pero Variante en el tiempo: Debido a que un elemento es dependiente del tiempo
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.3 Resumen de Sistemas Lineales e Invariante en el Tiempo LTI Tratamiento de la señal de entrada
En un sistema LTI, si una señal de entrada se somete a una operación lineal, su salida estará sujeta a la misma operación lineal. (ejemplo la derivada)
La propiedad de SUPERPOSICIÓN hace mas simple el análisis de los sistemas lineales, ya que permite descomponer una señal en sus componentes mas simples y analizar sus respuestas por separado, para luego hallar la respuesta total por superposición. Esta aproximación (descomposición y superposición) es la base para varios métodos de análisis de sistemas: 1. La representación de como la suma ponderada de impulsos es la base del método de Convolución. 2. La representación de una señal como una combinación lineal de señales armónicas es la base de las Series de Fourier . 3. La representación de una señal como una serie ponderada de exponenciales complejas es la base para las transformadas de Fourier y Laplace.
Señales y Sistemas CAPITULO 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los sistemas. 2.2. Clasificación de los sistemas 2.3. Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). 2.4. La integral de Convolución. 2.5. Simulación con Diagramas de Bloque de ecuaciones diferenciales.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.1 Introducción Existes tres modelos para analizar los sistemas LTI en el dominio del tiempo: 1. La representación con Ecuaciones Diferenciales a) Aplicable a sistemas incluso a sistemas No Lineales y Variantes en el tiempo. b) Es posible resolver sistemas LTI con condiciones iniciales usando la superposición. c) Su complejidad aumenta conforme aumenta el orden de las ED. (desventaja)
2. La representación de Variables de Estado. (este tema no se desarrolla en esta materia)
a) Describe un sistema ED de orden , con ecuaciones simultaneas de primer orden llamadas Ecuaciones de Estado, con variables de estado. b) Es muy útil para sistemas No Lineales complejos y del tipo MIMO. c) Para el caso de Sistemas Lineales las ecuaciones de estado pueden resolverse con métodos matriciales.
3. La representación de Respuesta al Impulso.
()
a) Describe un sistema LTI relajado mediante su respuesta al impulso . b) La respuesta del sistema aparece implícita en la ecuación gobernante llamada Integral de Convolución. c) Es un puente entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia (Transformadas de Fourier y Laplace).
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC
Consideremos que:
condiciones iniciales (CI) 0 , 0 ,.. . ,− 0 La solución resultante es valida para ≫ 0
1. Una ecuación diferencial de orden , requiere 2.
3. Una técnica válida para resolver las EDLCC es el método de los coeficientes y la indeterminados, cuya respuesta total es la suma de la respuesta natural respuesta forzada
() También conocidas como: Respuesta Particular Respuesta Homogénea
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC
CASO DE UNA SOLA ENTRADA (SISO)
, con una sola entrada cuyo () (−) . ..−1 () (−) ... () (−) ...− 1 () − ...− () − ...− =0 Ecuación (o polinomio) característica
Iniciamos el análisis con una Ecuación Diferencial de orden coeficiente es la unidad.
La forma de la respuesta Natural depende solo de los detalles del sistema y es independiente de la forma de la entrada. La respuesta Natural es la suma de exponenciales cuyos exponentes son las raíces reales o complejas de la ecuación característica.
...
Donde los siguen siendo constantes indeterminadas, que se evalúan con las condiciones iniciales dadas, pero solo después que se haya establecido la respuesta total.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC
CASO DE UNA SOLA ENTRADA (SISO) La respuesta Forzada es el resultado de la interacción del sistema con la entrada, por lo tanto depende de la naturaleza del sistema como de la forma de la entrada. Las constantes de la respuesta forzada pueden encontrarse de manera única e independiente de la respuesta natural o de las condiciones iniciales, cumpliendo simplemente con la ecuación diferencial dada. La respuesta Total se obtiene simplemente añadiendo ( primero) las respuesta forzada y natural y evaluando luego las constantes indeterminadas (en la componente natural) , usando las condiciones iniciales dadas. OBSERVACIÓN : Para sistemas estable, la respuesta natural recibe también el nombre de respuesta Transitoria, ya que decae a cero con el tiempo. Para ellos se requiere que las raíces de la ecuación característica tenga raíces negativas. Para sistemas con entradas armónicas conmutadas, la respuesta forzada es también un armónico a la frecuencia de la entrada y se denomina la Respuesta de Estado E stacionario.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC
FORMAS DE LA RESPUESTA NATURAL
Entrada
Raíz de la ecuación característica
1
Real y distinta: r
2
Conjugada compleja:
3
Real, repetida: r p+1
4
Complejas, repetidas: (
± j ± j )
p+1
Forma de la respuesta natural
[Cos Sen ] ( 22...) Cos ( 22...) + Sen ( 22...)
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC
FORMAS DE LA RESPUESTA FORZADA Entrada 1 2 3 4
Función forzada (RHS)
Forma de la función forzada
C0 (constante)
Cos Cos
(vea la nota abajo)
(vea la nota abajo)
1 (otra constante) 1 2 ( ) [1 2 ]
5
t
C 0 + C 1t
6
t p
C 0 + C 1 t + C 2 t 2 + . . . + C p t p
7
t
(vea la nota abajo)
8
p
(vea la nota abajo)
9
t t Cos
(C + C t) (C + C t + C t + . . . + C t (C + C t) (C + C t) 0
0
1
NOTA: Si el lado derecho RHS es donde respuesta forzada debe multiplicarse por t r .
2
1
1
2
2
p
3
p )
4
es también una raíz de la ecuación característica repetida r veces, la
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC
RESUMEN: Respuesta Total = Respuesta Natural + Respuesta Forzada
() •
•
•
Las raíces de la ecuación característica determinan sólo la forma de la respuesta natural. Los términos de entrada RHS de la ecuación diferencial determinan completamente la respuesta forzada. Las condiciones iniciales satisfacen la respuesta total para dar las constantes en la respuesta natural.
EJEMPLOS Realizar los ejercicios del 4.2 al 4.9 pagina 89 Ambardar
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.3 Respuesta de estado cero y la respuesta de entrada cero
()
A veces se requiere expresar la respuesta total de un sistema LTI como la suma de respuesta de estado cero (suponiendo condiciones iniciales cero) mas su respuesta de entrada cero (suponiendo la entrada igual a cero).
()
()
Respuesta Total = Respuesta de entrada cero + Respuesta estado cero
•
• •
() () + () () Cada componente () o obedece a la superposición, y tienen sus propias partes natural y forzada. Cada componente se encuentra por el método de coeficientes indeterminados. Nótese que las componentes no corresponden a la respectivamente.
y
()
y
()
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.3 Respuesta de estado cero y la respuesta de entrada cero
3′ 2 () 0 3 0 4
Ejemplo 4.7 Ambardard. Considere: ,y y sus condiciones iniciales
con
4−
Encuentre su respuesta de entrada cero y de estado cero.
3 2 0 10 1 2 0 − −
La ecuación características es:
La respuesta natural:
2 0
se obtiene de y las condiciones iniciales dadas, haciendo: 0 0 3 0 4 F() 3 2 0
1. La respuesta de entrada cero
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.3 Respuesta de estado cero y la respuesta de entrada cero
Este tema se desarrollo en la pizarra
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.3 Respuesta de estado cero y la respuesta de entrada cero
Este tema se desarrollo en la pizarra
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.4 Respuesta al impulso como método de solución de los sistemas LTI u(t)
s(t)
δ(t)
relajado
h(t)
() ℎ () δ
LTI relajado
→ ≡ 0
RESPUESTA DE ESTADO CERO
− δ() න−ℎ() u
La respuesta al impulso es un método poderos para evaluar la respuesta de estado cero de un sistema LTI a entradas arbitrarias, usando superposición. La respuesta al impulso esta relacionada con la Función de Transferencia en el dominio de la Frecuencia (Transformada de Fourier y Laplace) La respuesta al impulso h(t) y la respuesta al escalón s(t) se emplean frecuentemente para caracterizar el desempeño de sistemas y filtros en el dominio del tiempo. La respuesta al impulso es la derivada de la respuesta al escalón
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.4 Respuesta al impulso como método de solución de los sistemas LTI u(t)
s(t)
δ(t)
relajado
h(t)
Ejemplo.
Este tema se desarrollo en la pizarra
LTI relajado
→ ≡ 0
RESPUESTA DE ESTADO CERO
Señales y Sist Sistemas emas CAPITULO 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS ESTACIONARIOS 2.1. .1. Características Características de los sistemas. 2.2. Clasificación de los sistemas 2.3. Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). 2.4. La integral de Convolución. 2.5. Simulación con Diagramas de Bloque de ecuaciones diferenciales.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución El méto método do de la Con Convolu voluci ción ón se apli aplica ca solo solo a sist sistem emas as LTI. TI. Nos Nos perm permit itee enco encont ntra rarr la resp respue uest staa de esta estado do cero cero . Se asum asumee que que el sist sistem emaa est esta repr epresen esenttado ado por por la Respu espues estta al Impu Impuls lso o
()
δ(t)
ℎ().
h(t)
x(t)
(1) t
δ(t-t 0 )
y(t) t
h(t-t 0 )
(1) t
t0
δ(t-2t 0 )
h(t-2t 0 )
(1) t
2t0
δ(t-3t 0 )
t
t0
h(t-3t 0 )
(1) t
3t0
t
2t0
3t0
t
y(t) x(t)
(1) t
δ(t−kt ) =−
0
h(t−kt ) =−
0
t
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución x(t)
y(t) x(t)
(1) t
y(t) t
¿Qu ¿Que pasa pasa si x(t) es de altu ltura diferente de 1? y 2(t)
x 2(t) x(t)
(1) t
0 δ(t−kt ) 2
=−
y(t)
0
0 h(t−kt ) 2
K = Constante para cada t 0
donde
t
0, ±1, ±2, ±3,…±∞
=−
0
K = Constante para cada t 0
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución ¿Qu ¿Que pasa pasa si x(t) es de altu ltura varia ariabl blee en TC? x 3(t)
y 3(t)
x(t)
(1)
y(t)
t
t
t 0
Ahora
3
será aproximada por la suma de rectángulos construidos construidos en
0 δ(t−kt ) 3
=−
t 0
0
K = Constante para cada t 0
→ λλ →
0
0 h(t−kt ) 3
=−
t 0
0
K = Constante para cada t 0
λ
En el limite cuando t 0 0, kt 0 describe la variable continua , y por tanto podemos representar en la forma llamada Integral de Convolución: Convolución:
3
න− λ δ(t−λ ) ) λ
3
න− λ h(t−λ ) ) λ
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución
න− λ δ(t−λ ) λ
න− λ h(t−λ ) λ
*h(t)
*δ(t)
En general, la Integral de Convolución para dos señales cualesquiera f(t) y g(t) será:
z
g(t)
න− λ g(t−λ ) λ
Propiedad Conmutativa: La convolución puede ejecutarse en cualquier orden
z
f(t)
න− λ f(t−λ ) λ
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución
න− λ δ(t−λ ) λ
න− λ h(t−λ ) λ
*h(t)
*δ(t)
En general, la Integral de Convolución para dos señales cualesquiera f(t) y g(t) será:
z
g(t)
න− λ g(t−λ ) λ
Propiedad Conmutativa: La convolución puede ejecutarse en cualquier orden
z
f(t)
න− λ f(t−λ ) λ
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución (Relación con los sistemas LTI)
න− λ δ(t−λ ) λ
*δ(t)
න− λ h(t−λ ) λ
*h(t)
Analizando los resultados encontrados reescribiéndoles como un operador:
δ(t)
La Convolución de una señal con un pulso de Dirac, da como resultado la misma señal
h(t)
La respuesta de un sistema a cualquier señal de entrada es la Convolución de esta señal con la Respuesta al Impulso. Esta es la base para la resolución de la ED por el método de la Respuesta al Impulso. Esto sugiere que debo resolver la ecuación diferencial del sistema UNA SOLA VEZ para encontrar la Respuesta al Impulso.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.2 La Integral de Convolución (Interpretación Gráfica)
න− λ δ(t−λ ) λ
*δ(t)
δ(t)
න− λ h(t−λ ) λ
*h(t)
h(t)
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica
Encontrar
: ∗ℎ
2 3 1 -5
-4
-3
-2
-1
3
3
2
2
1
1 0
1
2
3
4
ℎ 1 ( 1) -3
-2
-1
t
5
2
2
1
1 0
1
2
t
-3
-2
-1
-5
-4
-3
-2
-1
ℎ
න− h(t− )
0
1
2
3
4
5
4
5
ℎ
2 1
0
1
2
-3
-2
-1
0
1
2
ℎ
3
2 1 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica
Encontrar
: ∗ℎ
Proceso: 4
-5
-4
-3
-2
3
3
2
2
1
1
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
න− h(t− )
1
2
3
4
5
2
3
4
5
Área=Base x Altura Base Común Altura: Producto instantáneo de los valores de h(t− )
-5
-4
-3
-2
4
3
3
2
2
1
1
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica
Encontrar
: ∗ℎ
Proceso: 4
-5
-4
-3
-2
3
3
2
2
1
1
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
3
3
2
2
1
1
0 1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
4
-4 -3 -2 -1
0
1
0
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica Resumiendo:
2 3 1
3
PROPIEDADES
2
1.
1 -5
-4
-3
-2
-1
0
2
1
2
3
4
5
t
ℎ 1 ( 1)
Los puntos de cambio (PC) en las abscisas de se obtienen con la suma dos a dos, que se obtiene listando los puntos de cambio de cada señal y operándolos (suma algebraica) con cada uno de los puntos de cambio de la otra señal:
1 -3
-2
-1
: PCℎ : PC
0
1
t
2
∗ℎ
4
: PC : PC
3 2
-4
-3
-2
-1
-1 , 1
-3 + (-1), -3 + (1), 1 + (-1), 1 + ( 1 ) -4,
-2 ,
0,
2
Si es necesario hay que ordenar y eliminar los valores repetidos
1 -5
-3 , 1
0
1
2
3
4
5
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución PROPIEDADES
2.4.3 Convolución Gráfica
2.
Resumiendo:
2 3 1
3
•
2
•
1
3. -5
-4
-3
-2
-1
0
2
1
2
3
4
5
t
ℎ 1 ( 1)
•
1 -3
-2
-1
0
4
1
t
2
• •
3
5.
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
ℎ ℎ
es y
ℎ
El área total bajo la curva es igual al producto del área total de cada curva y : A =A A A = 8 2=16
ℎ
1
La duración de total de la función igual a la suma de la duración de : D =D +D D =4+2=6
ℎ
∗ℎ
El punto final de la señal , se obtienen sumando algebraicamente los puntos finales de con los de : Pfinal = Pfinal + Pfinal Pfinal =1+1=2 •
4.
ℎ ℎ
El puntos inicial de la señal , se obtienen sumando algebraicamente los puntos iniciales de con los de : Pinicial = Pinicial + Pinicial Pinicial =-3+(-1)=-4
• •
∙ ℎ ∙
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica Ahora expresemos matemáticamente el resultado:
4
∗ℎ
3 2 1 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.4 Convolución con impulsos Recordemos que la convolución de una señal con un impulso, reproduce la misma señal
*δ(t)
δ(t)
Si desplazamos el impulso tendremos la función original desplazada igual cantidad.
1 *δ(t−1) 1 δ(t) 1
4
-1
4 3
2
*
1 -2
(t−1) 1
3
2
-3
δ(t−1)
ℎ
4
3
δ
1
2
3
-3
-2
-1
2
= (1)
1 0
1
0
1
1 2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.4 Convolución con impulsos Veamos como podemos usar el principio de superposición para resolver el siguiente problema de convolución con un tren de pulsos.
4
Sean y *h(t) , b) su producto
ℎ δ(t+1) + δ(t−1), grafique: a) su convolución ∙ h(t) y encuentre sus áreas en cada caso.
4 3
3
2
2 (1)
1 -3
-2
-1
0
1
ℎ
4
2
3
-3
-2
(1)
1 -1
0
1
2
3
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.4 Convolución con impulsos a) Convolución:
Usando el principio de superposición, dado que es un sistema LTI,
*h(t) *[δ(t+1) + δ(t−1)] *δ(t+1) + δ(t−1)
4 3
*
1 -2
-1
0
1
2
3
+
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
+
-1
0
1
2
3
-3
1
2
3
-3
-2
-1
-2
-1
2
3
0
1
2
3
3
=
2 1
1 0
(1)
4
2
1 -1
-2
3
2
-2
2 1
1
4
3
-3
*
1
1
4
3
2
1
1
δ
4
3
2
(1)
4
3
2
-3
1
δ
4
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
Área = 16
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.4 Convolución con impulsos b) Producto:
Usando la propiedad distributiva del producto,
∙ h(t) ∙ [δ(t+1) + δ(t−1)] ∙ δ(t+1) + ∙ δ(t−1)
4 3
∙
1 -2
-1
0
1
2
3
+
-3
-2
2δ
4
1 -1
1 0
1
2
3
-3
1 +
2
-2
-1
0
1
2
3
1
1
2
3
-3
-2
-1
(1)
1 -3
-2
-1
2
3
0
1
2
3
4
(2)
(2)
=
(2)
2 1
1 0
2
3
2
1 -3
-1
3
3
(2)
2δ
4
-2
3
∙
2
1
δ
4
3
2
(1)
4
3
2
-3
1
δ
4
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
Área = 4
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución (La convolución en la resolución de sistemas LTI) Ejemplo 1: En el circuito de salida RL encontrar la corriente de salida para los siguientes voltajes de entradas:
() R
+
()
()
L
-
´ () Lo que haríamos al usar el método de los coeficientes indeterminados es resolver 3
veces la ecuación diferencial con cada una de las entradas dadas, lo que define la forma de la respuesta forzada, y según eso determinar los coeficientes faltantes haciendo cumplir las condiciones iniciales dadas.
) 1 10 ) 2 5 c) 3 127 cos(2)
න− λ h(t−λ ) λ *h(t)
h(t)
El método de la respuesta al impulso plantea: Resolver una sola vez la ecuación diferencial para obtener la respuesta al impulso, y esta convolucionar con cada una de las entradas. Así: Luego:
Τ
ℎ 1 1()∗ℎ 2 2()∗ℎ 3 3()∗ℎ
corriente en el inductor debido a un pulso de tensión en la entrada.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Del ejemplo anterior tenemos que:
ℎ Τ
1/L
A
Graficas de las dos curvas en tres momentos diferentes
ℎ
t
t
1/L
A
ℎ
1/L A
1/L
ℎ
t t
t
1/L A
1/L
t
ℎ
t
Área común entre el producto de las dos curvas
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Del ejemplo anterior tenemos que:
Τ
ℎ
ℎ
1/L
A=10
t
න− h(t− ) න− Τ() Τ − න− Τ
La variable de integración es , y t
es una constante que sale integral.
de
la
∀ >0 >0 = 1 ∀ < , =1
Τ Τ − න−0 න Τ Τ − ൨ −Τ Τ −Τ () Garantiza la existencia de solo para t > 0
corriente en el inductor debido a una de tensión en . la entrada
Nótese la influencia de los escalones de la entrada y la del sistema
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Resumiendo:
න− λ h(t−λ ) λ
*h(t) h(t)
R +
()
()
L
-
*
A
t
•
•
−Τ ()
ℎ Τ
1/L
ℎ
= t
A/R
t
La convolución de dos señales laterales derechas da como resultado una señal lateral derecha, o dicho de otra manera, la convolución de señales causales es causal. La convolución de dos señales laterales izquierdas es también lateral izquierda.
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Resolver el mismo problema para las entradas:
න− λ h(t−λ ) λ
R
) 2 5 c) 3 127 cos(2)
*h(t) h(t)
+
()
()
L
Se verá mas adelante convolución con funciones periódicas
?
ℎ Τ
1/L
*
? t
ℎ
= t
? t
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución
y tienen escalones desplazados del origen? Sea: _____ , y _____ ¿Que pasa si las señales
Cambia el limite superior de la integral Cambia el limite inferior de la integral
− න h(t− )
=___
( (+ ))
ℎ =___
1
x
1
t
=___ 1
: = +
1
1
t
ℎ =___ Vale 1, Para >0 <
Vale 1, Para
>
La integral va desde
1
h
1
1
ℎ
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Ejemplo 6.2 Ambardar. a) Sea
y ℎ , encontrar la salida del sistema
1
1
t
1
ℎ −(−)
ℎ
1
t
ℎ −(−+) 1
1
t
t
1,∀ > 0 1,∀ < t
− −(−+) *h(t) න න − −(−+) − − − න −(1−) − − , ∀ > 0 (−−)
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Ejemplo 6.2 Ambardar. b) Sea
3
-3
ℎ 1 , encontrar la salida del sistema
3 t
-3
ℎ −(−) 1
ℎ 1
y
ℎ −(−+) 1 1
t
-1
1
t-1 t
t-1 t
3 1,∀ > -3 1 1,∀ < t-1
*h(t) න − −(−+) 3 1 න− − −(−−+) − − − − න− −( 1 ( )−
3 ) ( )−
: = + x
h
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución
a) Duración._ El tiempo de inicio de es la suma de los tiempos de inicio de y h(t) El tiempo final de es la suma de los tiempos finales de y h(t).
b) Área._ El área de
es igual al producto de las áreas de
න−
y h(t)
න− න− λ h(t−λ ) λ න− න− h(t−λ ) λ λ
න− h(t) න−
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución c) Propiedades basadas en la linealidad._ recordemos que la derivación y la integración son procesos lineales, por tanto la convolución es un proceso lineal. Entonces se cumple que: Derivadas:
() () ∗ ℎ ()∗ ℎ() () () () () () ∗ ℎ() () () (+)
Integrales: La integral de una señal de entrada produce la integral de su salida. Ejemplo:
h(t)
=
ℎ
x(t)
∗ ()∗() () ∗ න− න− ∗() න−
Propiedad Conmutativa
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución
d) Propiedades basadas en la invariante en el tiempo._ Si se desplaza una entrada en , lo mismo ocurre con su salida
( ) ∗ ℎ ()* ℎ ( ) Si el desplazamiento esta en ambas señales, tenemos:
( )∗ ℎ ( ( ))
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución e) Propiedad de escalamiento en el tiempo._ solo si las dos señales tienen el mismo escalamiento en el tiempo en , se cumple que:
()∗ℎ () Note que si 1 ambas señales se refleja y también su convolución Caso Especial
() SIMETRIA: • •
•
La convolución de una señal simétrica impar y una señal simétrica par es una señal impar. La convolución de dos señales simétricas pares o dos impares resulta una señal simétrica par. La convolución de una señal con su versión reflejada se llama AUTOCORRELACION
() ∗
()
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución Ejemplo 6.3 La respuesta al impulso de una filtro pasa-bajas RC es
ℎ −().
a) Encuentre la respuesta al escalón
h(t)
ℎ
− න− h( λ ) λ න− (λ)λ
(1 − )() 1
Si la nueva entrada es la integral de la anterior, la nueva salida es la integral de la salida anterior
t
. න s( λ ) λ න 1 − λ (1 − )()
b) Usando la linealidad, encontrar la salida del sistema anterior a una rampa
h(t)
t
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución
ℎ −().
Ejemplo 6.3 La respuesta al impulso de una filtro pasa-bajas RC es c) Usando desplazamiento y superposición, encontrar la respuesta
( 2)
1
h(t)
1
(1 −)() t
t
-
2
1
a la entrada
1
2 (1 −(−) )( )
2
1
2
t
( 2)
=
1
t
1 − (1 −(−))( )
= 2
t
2
4
t
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución Ejemplo 6.3 La respuesta al impulso de una filtro pasa-bajas RC es d) Usando la propiedad del área, encontrar en área bajo la curva
( 2)
න 1
=
2 t
ℎ −().
, debido a una entrada
h(t)
න () ( 2) 1
× 1
x
2 2
න ℎ() ℎ − (). 1 t
t
Para comprobar se podría evaluar analíticamente el área bajo la curva
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución Ejemplo 6.3 La respuesta al impulso de una filtro pasa-bajas RC es e) Usando
Este tema se desarrollo en la pizarra
ℎ −().
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.7 Algunas resultados útiles de la convolución
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución
Resolver los problemas 6.6, 6.7, y 6.8 sobre las propiedades de la convolución y prepararse para la evaluación la siguiente clase
CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.7 Respuesta al impulso de sistemas LTI en Cascada y en Paralelo CASCADA (Sin efectos de carga)
1 2 2 2 2 2
h1(t)
1()∗ ℎ1() 2 2()∗ ℎ2() 1()∗ℎ2() [1()∗ℎ1()]∗ℎ2() 1()∗ [ℎ1()∗ℎ2()] 1()∗ ()
() h (t) 1
h2(t)
hN (t)
h2(t)
En general
()
h1(t) h2(t) hN(t)
