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DI NAMICA DE L OS FLUIDOS. CA PITULO : 18 .
~
R
o BL E U AS
1.- Una manguera de jardln que tiene un 0.019 m (0.75 plg . ) se
que consiste simplemente en una uno ce 0.0013 m(0.05
ó~ámetro
interior d e
conecta con un aspersor de cesped plgl de
caj~
con 24 ag u jeros cada
di~metro.
Si el agua en
la
manguera tiene una velocidad de 0.91 m/seg () pies/ segl, ¿A qué velocidad sale de ~:
0 .
los aguje r os del aspersor?
0 . 75 plg (d i ámetro de l a manguera) .
d • 0.05 plg (diámetro de c a d a uno de los 24 a g u jeros q ue h a y en el a s perso r ). vI •
J pies/ seg (veloc i d ad del ag u a en cada agu j e rol
Soluci 6 n: Por la ecuaci6n de conti n ui dad tenemos : AIV l - a v
- --- -- --- ( 1 )
donde :
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,
.. 2"'0 . 05 /4
•
15) 2
(
Luego :
• - - -=''--'- ''
•
24
28.125 pies/ seq .
(0.05)2
JI:
Rpta : .v -
28.125 pies/seg _
2 . - A veces se prueban loa modelos de los torpedos por un tubo e n e l que fluy e ag u.. en forma muy semejante
~
l~
prueba
d e model os de aviones en tdneles de viento_ ConsidArese un tu-
bo c ircu l a r de di &metro interi or 10 plg_ y un model o de torpedo a li ne a do seg an al e j e del tubo con un dilmetro de 2 plg_
El
a l ineado se va a probar con agua pasando a 8 pie s/
to~edo
5e9 .
(a) Con
qu~
velocidad tendrA que pasar el agua e n la p a r-
te de l tubo no reducida?
(b) ¿Cual s erá la diferencia de pre-
s i one s de la parte del tubo reducida y la no reduc ida? SoluciÓn: (a) La vel ocidad con qua tendr! que pasar e l a gua por la par te del tubo no reducida .ara: Au .. av u •
av ¡.. (d 2vl/D 2 ..
2
2
JI:
8/10
2
• 0.32 .. 0.32 piea / seg.
lb ) La diferencia de pre .i6n
se obtiene apl i c a ndo la e cuaci6n de Sernoulli .
(p ,
p,'
'p •
•,
,, = , - ,,, ,,
(p, - P2)
.u
. -, 1
(v - u
)p
v
O- lO
--+
L
• li9.f. (8 2 _ 0 . 32 2 ) bp
z
52.15 l b / P i e
2
Rpta : (a' v .. 0. ) 2 p i e s/seg (b' bp .. 52 .15 l b / pie s
,
).- ¿Cuánto t r abajo ha ce l a p r esi6n a l for z a r 50 pi e s po r u n tubo de 0.5 plq si la
,
dif~rencia
J
de agu a
d e presi6n ent re
l os dos e xtremo s del tubo es de 15 lb/p1g . ~ : V .. SO Pies 3 (volwww.GRATIS2.com ume n de f l ur do que www.1fisica.blogspot.com pasa por el t ubo) www.librospdf1.blogspot.com
-423-
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0.5 plg (di&metro del tubo). 2 15 lb/plg (dif~rcncia de presión) .
'p •
•
Soluci6n: El trabajo nelo hecho sobre el sistema viene
w ------
P2);
(P1
por:
(1)
. ] v • ~ • 50 ples y
pero:
P
(P1 - P2) .. Ib/plg2. 2,160 1b/Pies Reempla~ando
w~
d~d o
valores en ( 1)
2.160 x 10
2
tenemos:
3
x 50: 1.08 x 10 5 pies/lb. Rpta: W • 1.08 x 105 pies/lb.
4.- El agua que desciende de u na altur a de 60 pies a ra~ón de 3 500 pies /min impulsa una turbina d e agua, ¿CuAl es la máxima potencia qu e se puede obtener con esta turbina? SoluciÓn: El trabajo neto producido p or l a calda de agua se obtiene de la ecuaciÓn d e Bernoulli . W - mg(h
1
- h ) - Vpg h 2
----- -
(1)
La potencia que producirá es te trabaj o en la turbina ser! :
~ •
pero:
t
w Vpqh ------ (2 ) p • t · t 3 500 pies /min . 8.3 3 Pies 3 /seg.
Reemplazando valores en (2) obtenemos: p -
8.33 x 1.9 4 x J2 x 60 •
31,040 pie-lb/seg
Rpta: p - 3 1 ,040 pie-l b /s eg . 5 . - Aplicando la ecuaciÓn d e Bernoulli y la ecuac iÓ n d e c ont ! nuidad a los puntos 1 y 2 de la F i g.
18-6 , demostrar q ue l a
velocidad de flujo a la entra d a es: v •
a
j
2(p ' 2
p)g h
p("
a)
2
SoluciÓn: Aplicando la ecu a ción de Ber noulli:
2 1 2 - - ---- (1) • P2 + 2 pV 2 l El término que con tie n e h desaparece s i e l PI +
21
pV
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tubo es
h o ri~ont a l .
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- 4 24www.GRATIS2.com
' Como el flujo es estable: AV
I
• aV
2
:,
-- -- (2)
Puesto que v 2 ) vI' P 2
<.
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PI
Las presiones en C son igu!
h
les en ambos ramales de tubo o se a: P
e
• P
1
.. pgh •
Pe • P .. P 'gh 2 de las dos ecuaciones obtenemos:
PI - P2 ., hg(p ' - p)
de las eC'laciones (I),
------
(3)
(2) Y (3J obtenernos:
6.- Un medidor de Venturi tiene un diámetro de tubo de la plg.
y un d1 4metro en el cuello de 5.0 plg . Si la presi6n del agua en el tubo es de 8.0 lb/plg
2
Y en el c uello de 6.0 lb/
2
3
plg , calcular el gasto del agua en pies /s eg (flujo de volu men). ~~;
O • 10 plg (diámetro de tubo ) d
w
PI -
,.
~ plg (di 4me t r o de la ga r ganta , . 2 2 (ver fig. d el problema B l b / p lg , P2 • 6 lb/ p lg a n te r ior ) -3 3 1 . 94 x 10 slug/p i e
SoluciOo: Sabemos que e l g a s t o e s : pero
O - VA
- - - - --- - -
(1)
v • •
, s i e n do A
Luego: O - aA Re~ ~pJazando
Ú •
••
valo r es s e o b tie ne :
3 13,500 plg /s eg
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~
3 0.2 2 m I seg
www.GRATIS2.com 3 www.1fisica.blogspot.com Rpta: 0 - 0 . 2 1 m /5eg.
- 4 25www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1fisica.blogspot.com 7. - Cons i d~ r es e el tubo de Venturi de la f igura d~ l p r o blema S sin el man6metr <.l.
Se il A igual
si6n en A. es 2 a tm . par~
a. necesarios
Sa.
Sup6ng il Sf' que la
q ue l a p resi6 n p ' en a se a i g ual a ce r o.
Calc61ese e l g a s t o c o r res p ondiente si el
cm.
p r~
Calc(¡le s e los v alore s de v en " }' v ' en
El fen6me n o que ocu r n:
r o se llama gravitaci6n.
di ~ met r o
en A es 5,0
z cu ar.d o p ' se reduce casi a ce
",JI
El agua se v a po l' i za en pequeii3s bur -
Es te f en 6 nteno es de g r an interés teórico y prácti co .
buj a s.
Sol uc i ón:
1
n
p' ,
(p
pero p '
(a 1 Apl i. can d o la e c u a c i 6 n d e Bp.c n oull i :
., '2
p o
m(v' )
,
1
,
- '2
- - - - - -- -
mv
(11,
O 1 p[ {v ' J2_
P
,
v']
2
Por la ec u aci6n de continuidad s abemos:
Av -
av ' ------ -
(2)
5 a v • av', de donde 5v • v· de la ecuación v' •
------ (3)
(3) obtenemo s : 5 x 4.1 1 -
20.5 5 m/seg .
4.11 m/seg se obtuvo de la ecu ación (2):
el valor de v •
1
'2
P -
,
pv (25 -
•
v •
1)
--x--2--X--'-.-O' -)-X--'-O~S' jr'-'-"'--'-"--=~lr-"'--'-'-.
4 . 11 m/ s eg
2 4 x 10
=.
,
(b' Cuan ao el di,\metro en A 2 es S 2 3 2 A • 11 0 /4 .(5 x 1 0- )2 / 4 1. 96 x 10- m
.
.
El gasto es: 3 O ., Av ., 1. 96 x 10- x 4. 11 (a) v -
Rpta :
{ (b) O •
4.11 m/seg, v' •
8 x 10
-)
• , x
10
-)
)
m /s eg .
20. 55 m/seg .
)
m /seg .
8.- En u n o l eod ucto h o r izonta l, d e sección tran sve rsal tt!.
consta~
la p re si6n dis mi nuy e en t re dos pu n tos se pa ra d os 1000
pies en 5 lb/ p lg2.
¿Cu Al e s l a pérdida de e ne rgía por pie c(¡-
bice de petrOleo por u nidad de d i s tancia ? Sol uci60: www.librospdf1.blogspot.com
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pérdida de ene r gía es igual al t raba j o neto que se
re~liz a.
o
www.librospdf1.blogspot.com se,,: ' P1
- 426 -
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P2 ) ~ • W - pérdida de ene rgía
pv .. W6
pero
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e.'!. Lw ..------L
2 51 lb/plg V - 1 pieJ L • 1000 pies.
p -
721 lb/ Pi e
•
fl)
(2)
2
Reemplazando valores en la ecuaci6n (2) tenemos: 720 x ~ 1000 1 _ 0.720 pie-lb pie L Rpta: 0.720 pie-lb/pie 9.- La Fi9. 18-17 muestra el líquido
que está saliendo por un orificio en un 9ran tanque a una profundidad h ba jo el nivel del agu/l. (a) Aplique la ecuaciÓn de Bernoul'U a la u: nea da corriente que une los puntos 1, 2 Y J, Y demuestre que la velocidad de salida es v _ 12gh.
Esta ecuaciÓn ae conoce como ley de TorrLeelli. (b) Si el orificio estuviera encorvado directa.ente hacia arriba, ¿hasta qu' altura se elevarla la corriente del líquido? (e) ¿CÓ.o afectaría la viscosidad o la turbulencia los resultados del problellh'1 SoluciÓn: (al Aplicando el teorema de aernoulli /1 un punto 1 que esta en la la superficie y a un punto J que esta «1e1 orificio situado a u na profundidad h bajo el nivel del agua. 1
2
Pl+Ipv l + pgh l - PJ + pero:
21
2
pV J + pqh)
PI - PJ • Po (presiÓn atmosf'rieal
hJ • O Y h l • h (esto porque tom. .oe como plano de referencia un plano que pa-
www.librospdf1.blogspot.com sa ~o r JI.
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. 4 2 7-
www.librospdf1.blogspot.com O .
VI -
www.GRATIS2.com v
J
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~ V
Re e mplazand o es t os v al o re s o btenemo s:
V =
12g h
(b) Si el ori fi cio s e do bl ara apunt a ndo d ire ctame n t •e hacia arri ba, el c horro líqu ido
14 velocida d v
4
m
s~
~ le v a rí a
hasta un p unto 4 en el cual
O.
Aplicando e l teo rema de Be rn o u 11i para l os pu n t os) y 4,
+ donde:
p) •
1
'2
2 pv 4
P 4 (p r e s ión a tmosféri c a).
Reemp laz ando es t os valore s e n l a ecuaciÓn ante rior. h4 •
h
Rpta :
(a)
v
-
lb) h4 •
,
f2gii' h
10. Sup6nga s e que dos tanques, cada uno con una gran abertura
en su parte superior, conti enen diferentes líquidos. Se hace un agujero pequeño en la pared de cada tanque a l a misma profundi dad h bajo la superf icie del tiene una
~rea
líqui~o
pero un agujero
doble de la de l otro (a) ¿Cuil es la relación
de las densid ades de los fluídos si se observa que el flujo de
masa es el mismo para ambos agujeros ? lb) de flujo
(~asto)
¿Podrían
h~cerse
¿C6mo es la rapidez
de un agujero comparado con la del otro? ( e) iguales los dos gastos? ¿C6mo?
SoluciOo: ( a) Sabemos que 4 111 - P A v 6t 1 1 1 1 tr.~ '"
P 2 A 2 v 2 tr.t
Igualando (l) y (2) por dato:
"',
xt ~
"
-
p1A1v 1
-----
(1)
v P2 A2 2
-----
(2)
P1l'l¡v¡ '" P2 A 2 v 2
.,
-~ Alv
(3 )
1
",
(dato)
(demostrado en elwww.1fisica.blogspot.com problema 9) v = I2gh www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com
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-·42Bwww.GRATIS2.com
VI ., v
2
reemplaza ndn estos datos en (3)
-,
PI --P, PI -
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., o _ , ..:J..
I:"eemplazando dat.os anteriores
O,
Icl Si ajustando la s profundidades del líquido en l o s 2 tanques 11. Un tanque
lleno de agua hasta una altura H.
est~
Tiene un
orifi c i o en una de sus paredes a una profundidad h ba jo la superficie del agua (Fig. lB-lB). (al Encontrar la distancia x a partir de l pie de la pared
de
1. c ual el c ho rro llega al pi-
so.
(b) ¿ Podría ha cerse un o-
rificio a o tra profundidad de .anera qu e e ste segundo chorro tuviera e l mi s mo al can c e? Si es así, ¿a qué pro fundidad7 SOluciÓn; (al por el problema anterior sabemos que la velo cidad de sali da del liquido es: v - v
Xo
• 12gh , v
Yo
- O
Aplicando las ecuaciones del movimiento tenemos:
-------------------
x " v x t " 12qht 2 1 o y qt de estas do. ecuaciones obtenemos:
",
x
2
-
4hy,
x " 2/(H
pero
-
h)h
y
"
H
-
") (2)
h
--------
(3)
(b) Elevando al cuadrado la ecuaci6n (31 obtenemos una ecuaci6n
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que relaciona una altura cualquiera h
l
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con su alcance x.
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,
h, h,
-
IIh
1
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.
, x , - O ------
, H , / H' x , 1.1 x lb) h
141
•
pero x • 21 (11
ubte nemoc un nuevt) valor de h, (!ue Rpta:
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- 429-
21 (11 IH -
e.
h1 -
IH
-
-
hlh
hl
h)h h)
12. La super fi c ie libre del agua en un ta nque se encue ntra a una al tura H sobre el piso horizontal.
¿A qué profund idad
habr1a que hacer un pequeño orificio para que el c hor ro hori zontal de agua que saliera llegara al suelo a la máxima
d i sta~
cia de la base del tanque ? ¿Cuál serta esta di stancia máxima? SoluciOn: (a) Por el problema anterior sabemos que:
x - 21(11 h)h la prufuu<.lidad h pal:'lI que el alcance hOl:'i%on tal x Rea
~ximo
sera:
Lueqo:
11 - 2h
O
Y dicha pl:'ofundidad sera:
h .
11/2
(b) Calculemo s el alcance máximo (x
x
m" -
2/(11 - h)h - 2 Rpta:
(a)
máx
)
)ell (b)
h '" 11/2
xmb - H
13. Calcular l. ve locidad de salida de un lIquido de una abert~ ra en un tanque, tomando en cuenta la velocid ad de la SUpe! fi cie libre del Uquido, c~o sigue . (a) Demostra .r, mediante Bernoulli, la ecuación de que
v'o
, ,
'gh 1 -
v /v
u
siendo v la veloci d ad de la super fic ie libre.
(b) Cons i de r a r
después el conj un to c omo si fuera un g r an tubo de f lu jo y o btewww.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1fisica.blogspot.com ner v/v
o
de l a ecuación de continuidad , de manera q u e
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v
o siendo A la secci6n t ra~sversal del tubo en la :uperficie y A o la sccciOn transversal ~~l tubo en el orificio. (c) Demostrar s~
entonces que
el orificio es pequeño comparado con el
~rea
de la superficie, 1
+ ;: Soluci6n: (a) Aplicando la Dcuac ión Bernoulli a un punto O en la superficie libre del l íquido y a otro punto Q en el orificio, tenemos: p
+
o
•
pero:
P
ho •
1
+ '2 O,
2
pv
+
pg h
- ---
(1)
p . Po
Reemplazando va l ores en (1) obtenemos: V
2
o
•
(1)
(b) De la ecuac i 6 n de cont i n uidad: A
Jo,.
v
o o
- Av
6
=...E.
v V
A
o
Reemp lazando e ste valor en (1) y obtene mos:
¡
e~t ray endo
2gh /C1==lC=~ -
(A
o
--~--
la r aí z cuadrada (II)
/ A,) 2
(c) Si e l ori ficio Ao e s pe que ño compa rad o c o n A podemos d es p r eciar las poten cia s ma yo r es d e
(A / A)2 d e l a ecu ac i 6 n o
(II) t e n emos :
• l2gJi
} -1-_1--" • l2gJi [1 (.1\0 / .1\ )2
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por el binomi o de Ne wt o n t endre mos:
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1
~
+ ;- CAO /Al2 +
• l29h
[1 +
i
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(AO/ A ) " + - - --]
•
lAO/A)2]
14 . Un tubo de P1to t va montado en el ala de un .v16n para de-
t e rminar l,p '.rploc Jdad de l aviOn con relación al aire.
El
tubo contiene alcohol e indica una diferencia de nivel de 0.12
••
¿eu!l es la velocid a d del av iOn en km/ h con relación al al
,.?
•
QA12I: h. 0.12 m. SoluciÓn: En el problema v es l a velo
b ii
cidad del avión co n r e l ac i ón al aire.
En e l
::' . ::"
•
t ubo de P1tot
""
la velocidad en b es cero y el el 9" e sta q u i e ~o en e5e pu~ to,
l..
En este tubo el aire pa-
s . por
aberturas a q u e
son par alel os a la dirección del flu j o y estln dispuestos d e ta l mane r a
q u~
la velocidad
y
la presiOn fuera de las abertur as t engan e l mismo valor que 108 valores de la corriente libre . Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos a y b: p
•+
1
'2
pv
2
----- -
(1)
------
(2)
En el man6me tro tend r e mos: Pa + dgh -
de las ecua c i o ne s
Pb
(l) y (2) obtenemos
j~
v •
p
don de : p'
E
0.8 1 x la
x la
)
)
kg/m
(dens ida d d e l al coho l) .
(den s i da d de l ai re)
P •
h •
)
0. 12
In.
v • j~2~ X~,~.~'~X~ O~www.GRATIS2.com .~1~2C2X~O~.~'~1-'X~lO"-) Luego: www.librospdf1.blogspot.com 1. 293
..,
' ka/h -www.1fisica.blogspot.com - x i l.. 7.eg m
-,
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.138.3 km/h.
Rpta:
138.3 km h.
v .
15. El aire fluye horizontalmente al encuentro de una ala d e viOn de Area ]6 pies
2
que
~sa
540 lb.
La
velocida~ ~n
~
la
parte superior del ala es de 200 Pies/~eg y bajo la superficie inferior es de 150 pies/ seg ¿CuAl es la fuerza ascensional s obre e l ala ?
¿ La fuerza neta s obre e l ala?
So lu c iOn: Aplicando el teorema de Bernoul l i a los puntos
1 y 2, Y c o nsiderando .
,
O, tenelllOs:
h 1
PI ... 2"
- - -
1 2 - p ) • - p (v 2 2 2
(1)
2 v ) 1
La di ferencia de presiones (PI - P 2) produce una fuerza ascensio nal por unidad de área. La fuerza ascensional es; F •
donde:
p -
2.51 x 10
-3
sluq/pie
3
(densidad del aire).
v
• 200 pies/seg, VI • 150 pies/seq . A 2 Re emplaza ndo valo r es en ( 2) se obtien e, F _
I
(2.51 x 1 0- 3 ) ( 2 00
2
-
]6 pies
2
2 1 50 ) (36) - 78 8 lbs
La fuer z a neta s erá l a difere ncia entre la fuerza a s censiona l y el peso de l ala . N - F - W - 78 8 - 5 4 0 - 2 4 8 lbs. Rpt a : F _ 78 8 lbs , N E 2 4 8 lbs.
16. Si la veloc i da d d e f lujo b ajo la s uperfic i e infe ri or de un a la es de 350 pies / seg.
¿ Qu é ve l oc idad de flujo sobre la
2 www.librospdf1.blogspot.com www.1fisica.blogspot.com super f icie s upe ri o r d a r á www.GRATIS2.com u n d f u e r za a scen sional de 2 0 l b/Pi e ? Rpt a :
v •
3 7 2 pi e s/s e g.
-4]3-
www.librospdf1.blogspot.com 17. ( a) Consid6rcse el www.GRATIS2.com aire imn6vil en el www.1fisica.blogspot.com bor de front.al de una ')la y @1 ai r ", que p.:)sa sobre la 5uper fi cie 1 c ella con una v'!!lociddd v.
r:ncuéntrcse ,,1 m5.xinlO valor posib le df! v para
tluj o ~e r6gimen e stable, suponiendo el m5x i mo ~a\ oL posi ble de v. p ardo flujo o régimen e stable . supon lendc que el a i re es incompre s ible y usando la e c uaci6n de n.t rl1cu !lJ. ,
'r6m.... ~ .... como
dens idad d e l aire. 1.2 x 10
-)
g/cm
)
So l ución: ~al
Aplicando la ecuación d e Bernou lli a l o s pun t os
1 y 2 tenelllOs:
1
... 2'
2 p vI " P2 ...
-- (1)
Cuando la presiOn en un punto aumenta la veloc ida d en é l dis_! nuye, luego cuando VI • O, la presión PI será m!x ima e i g ua l a
Po (presión
atmosf~rica l
y para que la velocidad s ea m! xi ma l a
presiOn debe anularse , o sea:
• v y p;¡ .. O valores la ecuaci6n (11 se reduce a: 1 2 v
Re~lazando
donde :
2
Po 2 2' pv ------ (2) S 2 p • 1.0lJ x 10 nt/,. o -J J J p _ 1.2x 10 g/cm .. 1,2 kg/m (densidad del aire)
m/seg.
Luego: Rp t a:
v - 41 0 m/seg.
18 . Un tubo hueco tiene un disco DO' fijo a su extremo.
Cuando
se sopla aire por el tubo, el disco atrae a la tarjeta CC' Sea A el !rea de la tarjeta y v la vel oc idad media del aire entre CC 'y OU (Fi g. 18-19); calcular la fuerz a resultante que obra sobre
CC ~
No tomar
e n c uenta el peso de lawww.GRATIS2.com tarjeta. www.librospdf1.blogspot.com
~C' www.1fisica.blogspot.com
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SOlyción:
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ñp l icando la ecuación d e 8ernoulli a los puntos 1 y 2 que se muestran en la figura
pero: Luego la
tene~s:
P,
1 pv 2 • 1
::>J
+
2"
P2
~
Po y v
fu er ~a
+
1
'2
• ,
pV
2
- - ----
(1)
~ O (a ire e6t ~ tico) . 2 ascensional por unidad de i rea
ser~:
LA fuerza resul tante ascensional seri: f
~
A(P
Rpt.a : 19. Antes que
o
- P I) • A 1
F ..
'2
~ewton
,
PV A
propusiera su teoría de la g ravi tación,
estaba en bog a un mode lo de movimiento plane tari o to por
Ren~
p~opues
De acuerdo con el aodelo de Descar tes,
Descartes.
los plane tas eran re tenidos y arrastrados por un remolino part!culas de éte r c entradas en torno del Sol.
de
New t o n demos -
trÓ q ue este mecanismo de vÓr tice era contrario a las o bservaciones , porque:
(al
La ve l ocidad de una partí cula de éter e n
el v6rtice varía en ra%On inve rsa a s u d i stancia al Sol.
(b)
El periodo de revoluciÓn de una partícula en eatas condiciones va ri a proporcionalmente al cuadrado de s u d istancia al Sol. (e) Este resultado es contrario a la te r cer a l e y de Kepler. De riostrar (a),
(b ) Y (e).
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Sol uc i 6o:
(A ) En efec t o l a cant idad de mo vi~ ie nt o de una pa r tícu l a se c onse rva al a c erc a rse al c p.ntro del vé rti ce {pu e s no e x iste un momen t o externo e n la d i r ecci60 de la ro taci6f\). rov r • IlP>Ir • C( cx::nst30te); v .. (v r )/r • C/r : o o o o (h) Sa bemos q ue e l periodo e s : T .. 2 J1 c
.. 211 r ..
~
c/r c (c ) La t e r ce ra ley de Kep l er dice que p ara 6rbi t as c i rcu l ares: v
T l.
2
,,2
-------
3 3 " GH r • kr
veloc i d ad v
••
v · -211T-r
•
(1)
ded u ce de : 2"
k
----- ( 2 )
.. r l / 2
donde: k' .. 2 11/1'k Como se o bs e rva (2) y ( l ) 00 están de acuerdo con (a ) y (b). 20 .
u n t u bo unifo rme e n U, con un d i a f ragma en su parte in f er ior y lle no con un l íquido & d i fe r entes . lturas e e n c ada rama (v~aac la Pig . 18-20) , imagin~se ahora que s e haCo n B i d ~ r e se
ce un peq ueño agu j e ro en el d iafragma de mane r a q ue e l l íquido f l uya de izquie rda (a) Demostrar a derec ha. que a l apl i car e l princip i o de 5ernoull i a los p un tos 1 y ) se llega a una contra (b) Expl ic ar por dicci6n . qué e l princ i pio d e Beroou111 00 es a p.lica bl e en este caso. (Sugerencia. ¿Ea el f l ujo de
Diafr .....
r~gimen
es t able ?)
SQluci 6n: En pri1ller hi.9 ar 0 0 se puede aplicar el principio Be r no u ll i a flu .I dos dii'e rentes; ~or cons i guiente entre l os puntos 1 y J del gráfico anterior no podemos aplicar Be rno ulli. Además por dato del proble ma cua ndo se hace un agujero al dialado s se recombioawww.1fisica.blogspot.com rá n forma ndo una f ragma el flu I do d e ambos www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com
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www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1fisica.blogspot.com \. " 1,1, Y en (~stas condiciones no es ap lil.;ablc Bernoulli, l ' . O....J'v,:;t rar que la constante en l a ecuac i 6n de Uernoulli
18-6\ I", '~
~ ,' S ~1
t _ ( 'H ~
~s
•
la misma para
¡tucas dO! co rrien
del fl ujo i -
"':
l ot .Ie.! .11'1" I de
b l c d o:
(ee.
r~9imen
esta
l a Fig_ 18-11 .
~;¿l.~!l:
kastará eun demost rar que el flujo es i rrotaeionDI porque el p11neip io de Bernoulli se demues t ra eons.iderand o una misma une" de cocl" tente. POJ
le. t.anto:
5 1 e s irro tac i o nal
V x y ,. O
k
L h
v • u i + vj + wk
V x
V • (l...!. _ .!.!.. ,¡ + 11 Y
,y 1k lX - !.!!.
'-j+('V
¡ %
pero además se sabe que:
.%
• • .!.t...
w . li..
'y
Q
12.
x V
.'·,I
(~, iyli"" 11 Y11 z V x V • O
,
+
'.
(di'dy'"
(a) Cons idf!rese una corriente de fluido de de n sidad una velocidad
vl~
j).
con
que pasa abruptamente de un tubo cil!n -
dri co de secci6n transversa l al a un tubo cii! ndrico m!s ancho de sección transversal al (vf!ase la Fig. 18-21).
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El chorro se
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www.librospdf1.blogspot.com se
me~c l ar~
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.
con el fluIdo que lo rodea y , despu6s de mezcla rs e
seg uirá fl uyendo c a si uni formemente con una velocidad media v Sin hacer refe renc ia a l os detalles del mezclado, aplicar la s
,
ideas de can tida d de movimiento para demostrar q ue el aumento de presi6n de bido al mez ciado e s a p r oximadamente
P2 - p¡ - pv 2 1v 1 - v 2 ) (b) Demostrar a partir del teorema de Bernou lli, q ue e n un t ubo que va ens anc hándose
qr adual~n t e
o bte nd r I aJDOs.
P2 - PI • 1/2 p l v
, ,
- v 2) l y e xp lic ar l a pérdida de presi6n [ la d i fere ncia es 1/2 p (v¡ - v ) debida al ensancha.iento a b rupto d e l tubo. 2 ¿Puede usted imaginar una analogía con l os choques elAsticos y los choques inelá sticos en la mecánica de las partí CUlas?
,J
Soluc i 6n.: Apl icando Ber noull i entr e los puntos ( 1 ) y (2) del grá fico.
V' . -,_+
v~
P,
'.
+"'"1g+ z2
y
- - - - --
(1)
Toman do como lInea de r efe renc ia la lI nea q ue une los pun tos (1) y ( 2); de t a l mane ra que %1 - %2 - O;
por l o ta n t o tend re
mas de la e c uaci 6 n l o s iguie n t e .
P,
v', '" - v',. v:
+
y
P, y
P, - P,
v:
y
'.
+
'.
,
.-1... P 2 - PI
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=19
(v I + v 21 ( v I - v 2 )
X . p www.GRATIS2.com
•
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+ v 2 ) IVl - v 2 )
(v t
2 3. Un campo de f uer ?:a
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a.
con servat ivo s i
P. .dS -
O.
El c!r
culo en el signo i~tegra1 aigh t tica que la integraciÓn debe hace r s e siguiendo una superficie cer rada (una vuelta tal en el campo.
compl~
Un flujo es flujo de potencial (y por consi-
guiente, es irrotacional ) si
~V.d. - O para
cualquier trayec-
to ria c errada que se 8iga en el c~o. Ap licando elO t e criterio, demostrar que 108 campos de las Figs.
1 8- 11 y 18-14 son campos de flujo de potencial.
I
~, I I ~ e Flg. l
F19. 2
SoluciOn: En efecto para l a t i g. 1 te nd r emos:
P
v.ds sobre el eleme nto
Fig. 3
integrando
cer r a do a b cd .
b
fV.dS - .[
---
v.ás
porq ue e l vec t or v es l a r a l ds . b
f•
v.ds
sav . as O
-J
Vdscos O· - vs
-5
vdscos
1 80~
(1)
perpendic~
"" - v s
Re emp lazando e s t o s v alor es e n ( 1 ) o bte ne mos : www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com www.1fisica.blogspot.com
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~v .dS " O
•
(b ) Para l a f ig ura 2, escogemos u n a t r ayectori a circu l a r de ra di o r . Se tendrá:
pv.
ds ,., 0, por que v e¡¡ pe.L·y",,,cl.i.c¡¡l
(c) Para la figura 3, igualmente qu e en caso anterior. pV.dS - 0, porque v es perpendicular a ds lueg o l o s camp os son potenciales.
24. En la Fig. 18-22 se muestra el llamado campo de flujo de Poi se Ville.
El
,
espaci~
miento de las líneas de corriente indica que aun
•
cua~
1•
do el movimiento es rectil! neo, hay un gradiente de
v~
locidad en dirección trans-
••
¡
ver s al . Demos trar que este flujo es rotacional. Solución: Tomemos una trayectoria cerrada como la mostrada en la figura e n dicho campo. En g e ne r al en ab habrá una v e locida d VI Y en cd una velocidad S a - __________ _,b
v,.
r
I n teg rando en la tr a y ecto r ia
,,
C>v
I
cerra da tenemos:
f v.as .. don'd e:
J:
S:
I
,
:____________ v2<:l I ..IC
d
V.Os
S\,.dS "S;'.JS '" b
e n- .lb :
V.as +
1
d
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0,
por ql,;. e
v
e~
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per p e nd icula r a dS.
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Reemplazando valores en (1)
~ v.as · l uego, ccmo
vls - v 2 s -
p~ra
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obtene~s,
•
(VI - v 2 )s
c Udlquier trayectoria cerrada:
P
v.ds # O el flujo no serA irrotacional, sino rotacio nal.
25. En flu jos en los cuales hay vueltas cerradas son aprecia bles los efectos centrIfugas .
Considérese un elemento de
f luído que se estA moviendo con velocidad v en una linea de cor r i ente de un flujo de gran curvatura en un plano horizontal I Piq . 18-23). (a' Demostrar que dp/dr - pv
2
,Ir.
de .anera que la prest6n aumen
ta una cantidad pv /r por u n i dad de distancia perpendieu lar a la línea de corriente, al pasar del lado cÓncavo al lado convexo de la línea de corriente. lb) Entonces
apl~que
la
ecu~
ei6n de Bernoulli y este re sultado demuestra que vr
es
iqual a una constante , de manera que las velocidades au e~ curvatura Por consig uiente, l as lí ne a s de
mentan h acia el centro de vatura.
corri~nte
que están u-
niformemente espaciadas en una tube ría recta estarán más cerradas hacia la pared interior de una tubería curva y muy espaci adas hacia la pared exterior. el Probo
Este problema debe compa r arse con
17.22 , en el cual el movi.iento
al hacer qirar u n receptlculo.
en curva se produce
En aquel caso , la veloc i dad va-
ciaha proporciona l me nte a c, pero en este caso, v a r ía en ra z6n inversa. (e ) Demostrar que este flujo es irrotacional. SoluciOn:
www.librospdf1.blogspot.com www.GRATIS2.com la) Para el e l e~e n to q ue se auestra en la www.1fisica.blogspot.com fiqura tene mos :
,
r
F
• m, r
r
F
pe r o:
,.
r
•
- 4 4 1··
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o -----
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(1)
(p + dpld zd s
pd zds
•
{dzds)dp
,. mv 2 / r
ma
r si endo m '" pdv • pd:t. dsd L· Reemplaz a ndo en (1 ) o b t ene rnos . (d z ds ) dp .
,...
de dond e:
., p ~
dr
r
de Bern o u l li es ,
L a ecu a c ión
(b '
p( dzds dr lv J./ r
2
2
v ,-
p + p
,...
d i fer e n ei !n do la
dv v
donde :
.-
dr
c ( c on stanttc'l
dv
dr •
+ v
O
6
p
v
2
r
+ v
dv
di -
O
•
dr r
Integrando tene mos:
Sv '1
In
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v
_t ~ .{. r
dv ..
v
+ In
vo
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r
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LuegO ve - voro - constante (e) TOJl'lel'll,.$ una t r ayectoria cerrada e .. ni
1 "Jo e
pero
v.ds
b
v.da • O
porque v y ds son perpendicul,re ""
fa
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S• v . , , Reemplazand(') ,'sttl :..
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