LOS DISTINTOS USOS DE LOS VECTORES
ÍNDICE
1. DEDICATORIA 2. INTRODUCCION 3. MARCO TERORICO 4. OBJETIVOS DIARIA 5. APLICACIONES DE LOS VECTORES EN LA VIDA DIARIA LOS VECTORES EN LA INGENIERÍA INGENIERÍA 6. APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS 6.1 APLICACIÓN DE VECTORES EN LA ING. SISTEMAS
6.2 APLICACIÓN DE VECTORES EN LA ING., INDUSTRIAL 6.3 APLICACIÓN DE VECTORES EN LA ING. CIVIL 7. CONCLUSIONES.
1. DEDICATORIA Le dedico primeramente mi trabajo a Dios fue el creador de todas las cosas, el que me ha dado fortaleza para continuar cuando a punto de caer he estado; por ello, con toda la humildad que de mi corazón puede emanar. De igual forma, a mis Padres, a quien le debo toda mi vida, les agradezco el cariño y su comprensión, a ustedes quienes han sabido formarme con buenos sentimientos, hábitos y valores, lo cual me ha ayudado a salir adelante buscando siempre el mejor camino. A mis maestros, gracias por su tiempo, por su apoyo apoyo así así como por la sabiduría sabiduría que que me transmitieron en el desarrollo de mi formación.
2. INTRODUCCIÓN: El asunto fundamental de este trabajo es hablar de la aplicación de los vectores en laIngeniería y la vida diaria o cotidiana aunque si uno se refiere a la vida diaria. Pues no muchas personas se ponen a ver cuántos grados al norte o al sur han caminado... y mucho menos se ponen a contar los pasos para luego calcular entonces, el mundo real es vectorial, y no podemos expresarlo sin recurrir a vectores es por ello que en la Ingeniería es aplicable, Pero antes daremos unas referencias a este tema con esta introducción para definir un vector.
3. MARCO TEÓRICO
Definición Un vector fijo
es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Elementos de un vector Dirección de un vector La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.
Sentido de un vector El sentido del vector
es el que va desde el origen A al extremo
B.
Módulo de un vector El módulo del vector
es la longitud
del segmento AB, se representa por
.
El módulo de un vector es un número siempre
positivo o cero. Módulo
de
partir de
un
vector
sus componentes
Módulo a partir de las coordenadas de los puntos
Coordenadas de un vector
a
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del vector
son las coordenadas del extremo menos las
coordenadas del origen.
Clases de vectores Vectores equipolentes
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido .
Vectores libres
El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los
vectores libres tienen el mismo módulo , dirección y sentido.
Vectores fijos Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen e l mismo módulo , dirección,
sentido y origen.
Vectores opuestos
Los vectores opuestos tienen el mismo módulo ,
dirección, y distinto sentido.
Vectores unitarios Los vectores untario tienen de módulo , la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.
Vector de posición
El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.
Vectores ortogonales
Dos
vectores
son
ortogonales
perpendiculares si su producto escalar es cero.
Vectores ortonormales
Dos vectores son ortonormales si:
1.
Son perpendiculares entre sí
2.
Los dos vectores son unitarios.
Operaciones con vectores Suma de vectores Para sumar dos vectores libres
y
se escogen como
representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
o
Regla del paralelogramo: Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos componentes.
vectores
se
suman sus
respectivas
Resta de vectores Para restar dos vectores libres opuesto de
y
se suma
con el
.
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Producto de un número por un vector El producto de un número k por un vector De igual dirección que el vector Del mismo sentido que el vector
es otro vector:
.
si k es positivo.
De sentido contrario del vector
si k es negativo.
De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Combinación lineal de vectores Dados dos vectores:
y
, y dos números: a y b, el vector se
dice
que es una combinación lineal de Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.
Cualquier vector se puede poner como
combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.
Esta combinación lineal es única.
Ejemplos:
Dados los vectores
, hallar el
Vector
Combinación
lineal
¿Se puede expresar como combinación lineal
El vector, de
los vectores ?
Vectores linealmente dependientes e independientes
Vectores linealmente dependientes Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, con todos los coeficientes de la combinación lineal distintos de cero..
Propiedades 1.
Si varios
vectores son linealmente dependientes, entonces al menos
uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2.
Dos vectores del plano son
linealmente dependientes si, y sólo si, son
paralelos. 3.Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.
Vectores linealmente independientes Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
a1 = a2 = ··· = a n = 0 Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus
componentes no son proporcionales.
Ejemplo Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.:
= (3, 1) y
= (2, 3)
son linealmente independientes
Base Dos vectores y
con distinta
dirección forman una base, porque cualquier vector del plano se puede poner
como
combinación lineal de ellos.
Las coordenadas de un vector respecto de una base son los coeficientes que permiten expresar el vector como combinación lineal de los vectores de la base:
Ejemplos
Ejemplo Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
Base ortogonal Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí.
Los dos vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.
Esta base formada por los vectores
y
Base ortonormal
se denomina base canónica.
Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se está trabajando en esa base.
Ejercicios Qué pares de los siguientes vectores forman una base:
Sean los vectores libres
1.
= (2, 1),
y
Si forman una base
= (1, 4) y
= (5, 6). Determinar:
.
Al ser linealmente independientes constituyen una base.
2.
Expresar
3.
Calcular las coordenadas de C respecto a la base.
como combinación lineal de los vectores de la base
Las coordenadas de
respecto a la base son: (2, 1)
Un vector tiene de coordenadas (3, 5) en la base canónica. ¿Qué coordenadas tendrá referido a la base = (1, 2), = (2, 1)? (3, 5) = a (1, 2) + b (2, 1)
3 = a + 2b a = 3 - 2b a = 7/3
5 = 2a + b 5 = 2 (3 - 2b) + b b = 1/3
Las coordenadas del vector
en la base B son (7/3, 1/3).
Sistema de referencia En el plano, un sistema de refere ncia está
constituido por un punto O del plano y una base (
, ).
El punto O del sistema de referencia se llama origen.
Ortogonal Los vectores base son perpendiculares y tienen distinto módulo .
Ortonormal Los vectores de la base son perpendiculares, iguales y unitarios, es decir, de módulo 1.
Se representan por las letras
.
Las rectas OX, OY se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.
Producto escalar El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al
multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo
Expresión analítica del producto escalar
Ejemplo
Expresión analítica del módulo de un vector
Ejemplo
Ángulo formado por dos vectores Es el menor de los ángulos que det erminan entre sí. Utilizando la expresión analítica del producto escalar tenemos:
Ejemplo
Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores Dos vectores no nulos son perpendiculares si su producto es calar es cero
Ejemplo
Interpretación geométrica del producto escalar El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
Ejemplo Hallar la proyección del vector
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Asociativa
= (2, 1) sobre el vector
= (−3, 4).
3 Distributiva
4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.
4. OBJETIVOS -Conocer la aplicación de los vectores en la vida diaria -Conocer su aplicación en la ingeniería -Saber su importancia en la tecnología -Conocer un poco mas sobre el tema ya tratado.
5. APLICACIONES DE LOS VECTORES EN LA VIDA DIARIA El mundo real es tridimensional (sin entrar en consideraciones relativistas), así que gran cantidad de magnitudes del mundo real son vectoriales, y los vectores son absolutamente necesarios para poder modelar matemáticamente la realidad. La mayor parte de la física es vectorial desde el momento que el desplazamiento es vectorial, la mayor parte de magnitudes derivadas de él los son: velocidad, aceleración, fuerzas... De esta forma mediante vectores podemos explicar cosas como: 1ºCINEMATICA Simplemente conociendo movimientos de una sola dirección y haciendo combinaciones de ellos mediante vectores, podemos entender movimientos en dos y tres dimensiones como el tiro parabólico, fácilmente entendible haciendo una composición de movimientos en dos dimensiones mediante vectores. 2ºDINAMICA Las fuerzas son vectoriales, de forma que la acción de un conjunto de fuerzas
sobre un cuerpo, no sólo va a depender del valor de las mismas, sino también de su punto de aplicación (una puerta se moverá de forma diferente si aplicas una fuerza cerca o lejos de su eje), dirección y sentido. Es decir hay que tener en cuenta el carácter vectorial de las fuerzas para poder saber el efecto que tendrán. 3ºCAMPOS Tanto el campo gravitatorio, como el eléctrico como el magnético tienen también carácter vectorial, con lo que la acción de varias cargas sobre otras, no sólo dependerá del valor de ellas, sino de cómo están colocadas respectivamente, lo que conlleva a considerar las direcciones entre ellas (carácter vectorial) 4º ELECTRICIDAD Gran parte del desarrollo matemático con señales eléctricas se hace con fasores y notación compleja. A efectos matemáticos un número complejo puede tratarse como un vector de dos dimensiones. Resumiendo, el mundo real es vectorial, y no podemos expresarlo sin recurrir a vectores. Hemos oído hablar de que los juegos de la computadora, las nuevas películas animadas, etc. Todas estas cosas están hechas con gráficos vectoriales, pero no sólo en la animación ni en éstos casos están presentes los vectores, estos también rigen el transporte aéreo, el desplazamiento de los barcos, y en general la física, Por ejemplo acá pongo 8 aplicaciones diríamos diarias sobre los vectores en la cual podría servir a gran parte dela gente, pero eso si aplicada sobre una base personal: 1. Para levantar un objeto pesado y no lastimarte la espalda 2. Para la navegación aérea 3. Para jugar billar 4. Para mejorar tu rendimiento en cualquier deporte que practiques 5. Para usar cualquier tipo de herramienta de la manera adecuada 6. Para mejorar los Radares 7. para la navegación marítima 8. Para entender cómo funciona toda la tecnología que usas (internet, móvil, PC, etc.) y así puedas encontrar las fallas cuando las tengas
Diseño de animaciones Interactivas Basadas en Vectores para web
Los vectores de Radar de navegación aérea para evitar situaciones de emergencia
Curso, derrota, Rumbo y marcación definido por vectores
6. APLICACIONES DEL VECTOR EN LA INGENIERÍA Mencionare tres ramas de la Ingeniería:
6.1. APLICACIÓN DE VECTORES EN ING. DE SISTEMAS Los vectores (llamados matrices en Ing. sistemas) se utilizan en el cálculo numérico, En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, De las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones Lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, Economía, informática, física, etc...
6.2. APLICACIÓN VECTORES EN LA ING. INDUSTRIAL Los vectores en la ingeniería industrial sirven para resolver problemas de estática (de composición de fuerzas, por ejemplo las fuerzas que actúan sobre un puente o un edificio o las fuerzas que actúan sobre los piñones de una rueda dentada, etc.
Muestra de un diagrama de bloques y vectores del lazo iterativo general de un circuito Térmico equivalente
6.3. APLICACIÓN VECTORES EN LA ING. CIVIL Los vectores dentro de la Ing. Civil se aplican por ejemplo si haces diseñar un techo de armadura, La base de una columna. Necesitas la descomposición para conocer el momento Falta mencionar cálculo antisísmico y una variedad de aplicaciones. Sin descomposición de vectores no hay estática y sin ella no hay ingeniería civil. Muestra de un diagramado bloques y vectores del lazo iterativo general de un circuito Térmico equivalente
7. CONCLUSIONES: Para concluir con la respuesta a cómo aplicar el vector a la vida diaria y a la Ingeniería en General diríamos que desde sus inicios haya por la Grecia antigua el matemático Geómetra Euclides postulo sus estudiosen una Geometría tridimensional. Dando origen según el programa relajen (programa de investigación publicado por Félix Klein En1872) en que la geometría euclidiana sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclidiano (espacio vectorial real de dimensión finita) dando el aserto a que su origen quizás, desapercibido tome etapas de evolución se diría hasta llegar a William R. Hamilton, matemático irlandés, cuyo mérito fue la creación del cálculo vectorial. Hoy por hoy su importancia y su implicancia en varias ramas de estudio y de Ingenierías, día a día abren a la Física, campos, electricidad Geografía, Cinemática, economía (Macro y micro), aeronáutica, navegación etc., etc. confirman con una respuesta contundente a la necesidad de su uso y aplicación.
8. BIBLIOGRAFIA -www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml - http://es.slideshare.net/lorena025/tipos-de-vectores - http://www.tiposde.org/ciencias-exactas/91-tipos-de-vectores/ - http://www.buenastareas.com/materias/monografia-vectores/0
