1.2
8
EQUILIBRIO DE UN CUERPO DEFORMABLE
Cargas combinadas
405
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO Este capítulo sirve como un repaso de los análisis del esfuerzo que se han desarrollado en los capítulos anteriores sobre carga axial, torsión, flexión y fuerza cortante. Se analizará la solución de problemas en los que varias de estas cargas internas ocurren simultáneamente sobre la sección transversal de un elemento. Sin Si n embargo, antes de hacer esto el capítulo comienza con un estudio del esfuerzo desarrollado en recipientes a presión de pared delgada.
8.1 Recipientes a presión de pared delgada
Con frecuencia, en la industria se usan recipientes cilíndricos o esféricos para servir como calderas o tanques. Cuando está bajo presión, el m aterial del que están hechos se somete a una carga en todas direcciones. Aunque éste sea el caso, el recipiente puede analizarse de manera sencilla siempre y cuando tenga una pared delgada. En general, “ pared delgada” se refiere
a un recipiente que tiene una relación del radio interior sobre el grosor de la pared con un valor de 10 o más ( r >t Ú 10). En específico, cuando r >t = 10 los resultados de un análisis de pared delgada predicen un esfuerzo que es aproximadamente 4 por ciento menor que que el esfuerzo máximo real en el recipiente. Para relaciones r >t mayores, mayores, este error será aún menor menor.. Siempre que la pared del recipiente sea “delgada”, la distribución de esfuerzos en todo su grosor no variará significativamente, por lo que se supone que es uniforme o constante. Considerando este supuesto, ahora se analizará el estado de esfuerzo en recipientes a presión cilíndricos y esféricos de pared delgada. En ambos casos, la presión en el recipiente se entiende como la presión manométrica, es decir, mide la presión por encima de la presión atmosférica, ya que se supone que la presión atmosférica existe tanto dentro como fuera de la pared del recipiente antes de presurizarlo.
Los recipientes cilíndricos a presión, como este tanque de gas, tienen tapas semiesféricas en vez de planas a fin de reducir el esfuerzo en el tanque.
405
1
2
406
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
Recipientes cilíndricos.
z
1
la figura 8-1a tiene un grosor de pared t , un radio interior r y y está sometido
t
s1
2
r y
s2
x
3
b
c
a
(a)
Considere que el recipiente cilíndrico de
a una presión manométrica p que se genera en el recipiente por el gas que contiene. Debido a esta carga, un pequeño elemento del recipiente que está suficientemente alejado de los extremos y orientado como se muestra en la figura 8-1a, se encuentra sometido a esfuerzos normales s1 en la dirección circunferencial o anular, y s2 en la dirección longitudinal o axial . El esfuerzo anular puede determinarse considerando que el recipiente está seccionado por los planos a, b y c. En la figura 8-1 b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento posterior junto con el gas contenido. Aquí sólo se muestran las cargas en la dirección x. Estas cargas se desarrollan por el esfuerzo anular uniforme s1, que actúa sobre la pared del recipiente y la presión que actúa sobre la cara vertical del gas. Para el equilibrio en la dirección x, se requiere
4 © Fx =
5
0;
1 2
2[s1 t dy ]
-
dy
s1 =
t s1
6
7
p
=
pr t
0
(8-1)
El esfuerzo longitudinal puede determinarse considerando la porción izquierda de la sección b del cilindro, figura 8-1 a. Como se muestra en la figura 8-1c, s2 actúa de manera uniforme en toda la pared y p actúa en la sección del gas contenido. Como el radio medio es aproximadamente igual al del radio interior del recipiente, el equilibrio en la dirección y requiere
2 r
s1
1 2
p 2r dy
t
(b)
© Fy =
0;
8
1 2 1 2
s2 2prt - p pr2 = 0
s2 =
pr 2t
(8-2)
t
9
s2
En las ecuaciones anteriores, r
s1, s2 =
10
p
11
(c)
Figura 8-1
p= r = t =
el esfuerzo normal en las direcciones anular y longitudinal, longitudinal, respectivamente. Se supone que cada uno es constante en toda la pared del cilindro, y cada uno somete al material a tensión la presión manométrica interna generada por el gas contenido el radio radio interior interior del del cilindro cilindro el grosor de la pared (r >t Ú 10)
406
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
Recipientes cilíndricos.
z
1
la figura 8-1a tiene un grosor de pared t , un radio interior r y y está sometido
t
s1
2
r y
s2
x
3
b
c
a
(a)
Considere que el recipiente cilíndrico de
a una presión manométrica p que se genera en el recipiente por el gas que contiene. Debido a esta carga, un pequeño elemento del recipiente que está suficientemente alejado de los extremos y orientado como se muestra en la figura 8-1a, se encuentra sometido a esfuerzos normales s1 en la dirección circunferencial o anular, y s2 en la dirección longitudinal o axial . El esfuerzo anular puede determinarse considerando que el recipiente está seccionado por los planos a, b y c. En la figura 8-1 b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento posterior junto con el gas contenido. Aquí sólo se muestran las cargas en la dirección x. Estas cargas se desarrollan por el esfuerzo anular uniforme s1, que actúa sobre la pared del recipiente y la presión que actúa sobre la cara vertical del gas. Para el equilibrio en la dirección x, se requiere
4 © Fx =
5
0;
1 2
2[s1 t dy ]
-
dy
s1 =
t s1
6
7
p
=
pr t
0
(8-1)
El esfuerzo longitudinal puede determinarse considerando la porción izquierda de la sección b del cilindro, figura 8-1 a. Como se muestra en la figura 8-1c, s2 actúa de manera uniforme en toda la pared y p actúa en la sección del gas contenido. Como el radio medio es aproximadamente igual al del radio interior del recipiente, el equilibrio en la dirección y requiere
2 r
s1
1 2
p 2r dy
t
(b)
© Fy =
0;
8
1 2 1 2
s2 2prt - p pr2 = 0
s2 =
pr 2t
(8-2)
t
9
s2
En las ecuaciones anteriores, r
s1, s2 =
10
p
11
(c)
Figura 8-1
p= r = t =
el esfuerzo normal en las direcciones anular y longitudinal, longitudinal, respectivamente. Se supone que cada uno es constante en toda la pared del cilindro, y cada uno somete al material a tensión la presión manométrica interna generada por el gas contenido el radio radio interior interior del del cilindro cilindro el grosor de la pared (r >t Ú 10)
8.1
407
RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA
En comparación, tenga en cuenta que el esfuerzo anular o circunferencial es dos veces mayor que el esfuerzo longitudinal o axial. En consecuencia, cuando se fabrican recipientes cilíndricos a presión a partir de placas laminadas, las juntas longitudinales deben estar diseñadas para soportar el doble del esfuerzo que las juntas circunferenciales.
1
2
Recipientes esféricos.
Un recipiente esférico a presión puede analizarse de una manera similar. Para hacer esto, considere que el recipiente tiene un grosor de pared t , radio interior r y y se encuentra sometido a una presión manométrica interior p, figura 8-2a. Si el recipiente se secciona por
la mitad, el diagrama de cuerpo libre resultante es el mostrado en la figura 8-2b. Al igual que un cilindro, el equilibrio en la dirección y requiere
Esta foto muestra el cañón de una escopeta que se tapó con residuos justo antes de disparar. La presión del gas debida a la carga incrementó de tal forma el esfuerzo circunferencial dentro del barril, que se produjo la ruptura.
3
4 © Fy =
0;
1 2
s2(2prt) - p pr2
=
0
z
5
s2 =
pr 2t
s2
(8-3)
s2
y
r
6
x t
Este es el mismo resultado que el obtenido para el esfuerzo longitudinal en el recipiente cilíndrico a presión. Además, con base en el análisis, este esfuerzo será el mismo sin importar la la orientación del diagrama de cuerpo libre hemisférico. En consecuencia, un pequeño elemento del material está sometido al estado de esfuerzo mostrado en la figura 8-2 a. El análisis anterior indica que un elemento de material tomado de un recipiente a presión con forma cilíndrica o esférica está sometido a esfuer zo biaxial , es decir, al esfuerzo normal existente en sólo dos direcciones. En realidad, la presión también somete al material a un esfuerzo radial , s3, que actúa a lo largo de una línea radial. Este esfuerzo tiene un valor máximo igual a la presión p en el interior de la pared y disminuye a través de ésta hasta un valor de cero en la superficie exterior del recipiente, debido a que ahí la presión manométrica es nula. Sin embargo, para los recipientes de pared delgada no se tomará en cuenta este componente radial del esfuerzo, debido a que el supuesto limitante de r >t = 10 resulta en que s2 y s1 deben ser, respectivamente, 5 y 10 veces mayores que el esfuerzo radial máximo (s3)máx = p. Por último, si el recipiente está sometido a una presión externa, el esfuerzo de compresión desarrollado dentro de la pared delgada puede hacer que el recipiente se vuelva inestable, y es posible que se produzca un colapso por pandeo en vez de una fractura del material.
7
a
(a)
8 t s2
9
r
10
p
(b)
Figura 8-2
11
408 1
2
3
CAPÍTULO 8
EJEMPLO
CARGAS COMBINADAS
8.1 Un recipiente cilíndrico a presión tiene un diámetro interior de 4 pies y un grosor de 1¬2 pulg. Determine la presión interna máxima que puede soportar de modo que sus componentes de esfuerzo circunferencial y longitudinal no excedan las 20 ksi. En las mismas condiciones, ¿cuál es la presión interna máxima que un recipiente esférico de tamaño similar puede soportar?
SOLUCIÓN
Recipiente cilíndrico a presión.
El esfuerzo máximo se produce en la dirección circunferencial. De la ecuación 8-1, se tiene
4 s1 =
pr ; t
>
20 kip pulg 2
=
p
=
5
6
7
1
2
p 24 pulg 1 2
pulg
417 psi
Resp.
Observe que cuando se alcanza esta presión, con base en la ecuación 8-2, el esfuerzo en la dirección longitudinal será s2 = 1¬2(20 ksi) = 10 ksi. Por otra parte, el esfuerzo máximo en la dirección radial se produce en el material sobre la pared interior del recipiente y es ( s3)máx = p = 417 psi. Este valor es 48 veces menor que el esfuerzo circunferencial (20 ksi) y, como se dijo antes, sus efectos no se tomarán en cuenta.
Recipiente esférico. 8
Aquí, el esfuerzo máximo ocurre en cualquiera de las dos direcciones perpendiculares sobre un elemento del
recipiente, figura 8-2a. A partir de la ecuación 8-3, se tiene
9 s2 =
pr ; 2t
>
20 kip pulg 2
=
p
=
1
2
p 24 pulg
2 A 12 pulg B 833 psi
Resp.
10
11
NOTA: Aunque es más difícil de fabricar, el recipiente esférico a presión soportará el doble de la presión interna que un recipiente cilíndrico.
8.1
RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA
409
PROBLEMAS
1
8-1. Un tanque esférico de gas tiene un radio interior de r = 1.5 m. Si se somete a una presión interna de p = 300 kPa, determine el grosor requerido si el esfuerzo normal máximo no debe superar 12 MPa. 8-2. Un tanque esférico a presión se fabricará con acero de 0.5 pulg de grosor. Si se somete a una presión interna de p = 200 psi, determine su radio exterior si el esfuerzo normal máximo no debe exceder 15 ksi. 8-3. El cilindro de pared delgada puede apoyarse en alguna de las dos formas mostradas en la figura. Determine el
estado de esfuerzo en la pared del cilindro para ambos casos si el pistón P genera una presión interna de 65 psi. La pared tiene un grosor de 0.25 pulg y el diámetro interior del cilindro es de 8 pulg.
El tanque esférico para gas se fabrica empernando dos corazas semiesféricas delgadas con grosor de 30 mm. Si el gas contenido en el depósito está bajo una presión manométrica de 2 MPa, determine el esfuerzo normal desarrollado en la pared del tanque y en cada uno de los pernos. El tanque tiene un diámetro interior de 8 m y está sellado con 900 pernos de 25 mm de diámetro cada uno. 8-6. El tanque esférico para gas se fabrica empernando dos corazas semiesféricas delgadas. Si el tanque con diámetro interior de 8 m se diseñará para soportar una presión manométrica de 2 MPa, determine el grosor mínimo de la pared del tanque y el número mínimo de pernos con 25 mm de diámetro que deben utilizarse para sellarlo. El tanque y los pernos están hechos de materiales que tienen esfuerzos normales permisibles de 150 y 250 MPa, respectivamente. •8-5.
2
3
4
5 P
P
8 pulg
8 pulg
(a)
(b)
6
Prob. 8-3
El tanque del compresor de aire está sometido a una presión interna de 90 psi. Si el diámetro interior del tanque es de 22 pulg y el grosor de su pared es de 0.25 pulg, determine las componentes del esfuerzo que actúan en el punto A. Dibuje un elemento de volumen del material en este punto y muestre los resultados sobre dicho elemento.
7
*8-4.
Probs. 8-5/6
Una caldera está construida a partir de placas de acero con 8 mm de grosor, las cuales se sujetan en sus extremos usando una junta a tope reforzada con dos placas de 8 mm y remaches que tienen un diámetro de 10 mm, y que están espaciados cada 50 mm, como se muestra en la figura. Si la presión del vapor en la caldera es de 1.35 MPa, determine (a) el esfuerzo circunferencial en la placa de la caldera, lejos de la costura, (b) el esfuerzo circunferencial en la placa de refuerzo exterior a lo largo de la línea de remaches a-a y (c) el esfuerzo cortante en los remaches. 8-7.
8
9
A a
10 8 mm
50 mm
Prob. 8-4
0.75 m a
11 Prob. 8-7
410 1
2
3
4
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
*8-8. El tanque para almacenamiento de gas se fabrica empernando dos corazas semicilíndricas de pared delgada y dos corazas hemisféricas como se muestra en la figura. Si el
tanque está diseñado para soportar una presión de 3 MPa, determine el grosor mínimo requerido de las corazas semicilíndricas y hemisféricas, y el número mínimo requerido de pernos longitudinales por metro de longitud en cada lado de la coraza cilíndrica. El tanque y los pernos de 25 mm de diámetro están hechos de un material que tiene un esfuerzo normal permisible de 150 y 250 MPa, respectivamente. El tanque tiene un diámetro interior de 4 m. •8-9. El tanque para almacenamiento de gas se fabrica empernando dos corazas semicilíndricas de pared delgada y dos corazas hemisféricas como se muestra en la figura. Si el tanque está diseñado para soportar una presión de 3 MPa, determine el grosor mínimo requerido de las corazas semicilíndricas y hemisféricas, y el número mínimo requerido de pernos para cada tapa semiesférica. El tanque y los pernos de 25 mm de diámetro están hechos de un material que tiene un esfuerzo normal permisible de 150 y 250 MPa, respectivamente. El tanque tiene un diámetro interior de 4 m.
Las duelas o elementos verticales del tanque de madera se mantienen unidos mediante aros semicirculares que tienen un grosor de 0.5 pulg y una anchura de 2 pulg. Determine el esfuerzo normal en el aro AB si el tanque se somete a una presión manométrica interna de 2 psi y esta carga se transmite directamente a los aros. Además, si se usan pernos de 0.25 pulg de diámetro para mantener unido cada aro, determine el esfuerzo de tensión sobre cada perno ubicado en A y B. Suponga que el aro AB soporta la carga de presión en una longitud de 12 pulg del tanque, como se muestra en la figura. 8-11.
18 pulg
6 pulg 6 pulg
12 pulg A
B
12 pulg
5
Prob. 8-11
6
Dos hemisferios que tienen un radio interior de 2 pies y un grosor de pared de 0.25 pulg se ajustan entre sí, y la presión manométrica en el interior se reduce a -10 psi. Si el coeficiente de fricción estática es ms = 0.5 entre los hemisferios, determine (a) el par de torsión T necesario para iniciar la rotación del hemisferio superior con respecto al inferior, (b) la fuerza vertical necesaria para separar el hemisferio superior del inferior y (c) la fuerza horizontal necesaria para deslizar el hemisferio superior sobre el inferior. *8-12.
Probs. 8-8/9
7
Un tubo de madera con un diámetro interior de 3 pies se mantiene unido mediante aros de acero, cada uno con un área transversal de 0.2 pulg 2. Si el esfuerzo permisible para los aros es sperm = 12 ksi, determine su separación máxima 8 s a lo largo de la sección del tubo, de modo que éste pueda resistir una presión interna de 4 psi. Suponga que cada aro soporta la carga de presión que actúa a lo largo de la longitud s del tubo. 8-10.
9
0.25 pulg 2 pies
s
4 psi
4 psi
10
11
s
s
Prob. 8-10
Prob. 8-12
8.1
•8-13. En un inicio, la banda de acero inoxidable 304 se ajusta perfectamente alrededor del cilindro rígido y liso. Si la banda se somete después a un descenso de temperatura no lineal de ¢T = 20 sen2 u °F, donde u está en radianes, determine el esfuerzo circunferencial en la banda.
1 64
411
RECIPIENTES A PRESIÓN DE PARED DELGADA
El tanque cilíndrico se fabrica soldando una tira de placa delgada en forma helicoidal, la cual forma un ángulo u con el eje longitudinal del tanque. Si la tira tiene una anchura w y un grosor t , y el gas dentro del tanque de diámetro d está presurizado hasta p, demuestre que el esfuerzo normal desarrollado a lo largo de la tira está dado por su = ( pd>8t ) (3 - cos 2u). *8-16.
1
2
pulg
10 pulg
3
1 pulg u w
4
u
Prob. 8-13 Prob. 8-16 8-14. El anillo, que tiene las dimensiones mostradas en la
figura, está colocado sobre una membrana flexible que se bombea con una presión p. Determine el cambio en el radio interno del anillo después de que se aplica esta presión. El módulo de elasticidad para el anillo es E.
5
Con el fin de aumentar la resistencia del recipiente a presión, se enrolla un devanado de filamentos del mismo material alrededor de la circunferencia del recipiente, como se muestra en la figura. Si la tensión previa en el filamento es T y el recipiente se encuentra sometido a una presión interna p, determine los esfuerzos anulares en el filamento y en la pared del recipiente. Use el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura, y suponga que el devanado de filamentos tiene un grosor t ¿ y una anchura w para una longitud correspondiente a la del recipiente. 8-17.
r o r i w p
Prob. 8-14
El anillo interno A tiene un radio interior r 1 y un radio exterior r 2. Antes de ser calentado, el anillo externo B tiene un radio interior r 3 y un radio exterior r 4, y r 2 7 r 3. Si el anillo externo se calienta y luego se coloca sobre el anillo interno, determine la presión entre los dos anillos cuando el anillo B alcanza la temperatura del anillo interno. El material tiene un módulo de elasticidad de E y un coeficiente de expansión térmica de a.
6
7
8
8-15.
9 L w t ¿
s1
T
10
r 4
r 2 r 1 A
p r 3 B
Prob. 8-15
t s1
T
Prob. 8-17
11
412
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
8.2 Estado de esfuerzo causado
1
por cargas combinadas
En los capítulos anteriores se desarrollaron métodos para la determinación de las distribuciones de esfuerzo en un elemento sometido a una fuerza axial interna, una fuerza cortante, un momento flexionante o un
2
momento de torsión. Sin embargo, con frecuencia la sección transversal de un elemento está sometida a varias de esas cargas de manera simultánea. Cuando esto ocurre, se puede usar el método de superposición para determinar la distribución del esfuerzo resultante. De la sección 4.3, es posible recordar que el principio de superposición puede emplearse con este propósito siempre que exista una relación lineal entre el esfuerzo y las cargas. Además, la geometría de los elementos no debe haber sufrido un cambio significativo al aplicarles la carga. Estas condiciones son necesarias para garantizar que el esfuerzo producido por una carga no esté relacionado con el esfuerzo producido por alguna otra carga.
3
4
5
6
7
Esta chimenea está sometida a la carga combinada del viento y de su peso. Es importante investigar el esfuerzo de tensión en la chimenea puesto que las construcciones de ladrillo son débiles en tensión.
Procedimiento de análisis El siguiente procedimiento proporciona un medio general para establecer las componentes del esfuerzo normal y cortante en un punto sobre un elemento cuando éste se encuentra sometido a diferentes tipos de cargas de manera simultánea. Se supone que el material es homogéneo y se comporta en forma elástica lineal. Además, el principio de Saint-Venant requiere que el punto donde se determinará el esfuerzo esté muy alejado de las discontinuidades en la sección transversal o de los puntos donde se aplica la carga.
Cargas internas. Seccione el elemento en forma perpendicular a su eje en el punto donde se determinará el esfuerzo y obtenga las componentes resultantes de la fuerza normal interna y la fuerza cortante, así como las componentes de los momentos flexionante y de torsión. Las componentes de fuerza deben actuar a través del centroide de la sección transversal y las componentes de momento se deben calcular respecto a los ejes centroidales, que representan los ejes principales de inercia para la sección transversal. Componentes de esfuerzo. Determine la componente de esfuerzo asociada con cada carga interna. Para cada caso, represente el efecto ya sea como una distribución del esfuerzo que actúa sobre toda la superficie de la sección, o muestre el esfuerzo sobre un elemento del material ubicado en un punto específico sobre la sección transversal. •
8
•
9
•
10
11
Fuerza normal. La fuerza normal interna se desarrolla mediante una distribución uniforme del esfuerzo normal, determinada a partir de s = P > A. •
8.2
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
Fuerza cortante. La fuerza cortante interna en un elemento se desarrolla mediante una distribución del esfuerzo cortante, determinada a partir de la fórmula del esfuerzo cortante, t = VQ> It . Sin embargo, debe tenerse un cuidado especial al aplicar esta ecuación, como se señaló en la sección 7.2.
413 1
•
Momento flexionante. Para los elementos rectos el momento flexionante interno se desarrolla mediante una distribución del esfuerzo normal que varía linealmente desde cero en el eje neutro hasta un máximo en el límite exterior del elemento. Esta distribución del esfuerzo se determina a partir de la fórmula de la flexión, s = My> I . Si el elemento es curvo, la distribución del esfuerzo es no lineal y se determina a partir de s = My>[ Ae(R - y)]. Momento de torsión. Para los ejes circulares y tubos el momento de torsión interno se desarrolla mediante una distribución del esfuerzo cortante que varía linealmente desde el eje central del eje hasta un máximo en el límite exterior del eje. Esta distribución del esfuerzo se determina a partir de la fórmula de la torsión, t = T r> J . Recipientes a presión de pared delgada. Si el recipiente es un cilindro de pared delgada, la presión interna p causará un estado biaxial de esfuerzo en el material, de modo que la componente de esfuerzo circunferencial o anular sea s1 = pr >t y la componente del esfuerzo longitudinal sea s2 = pr >2t . Si el recipiente es una esfera de pared delgada, entonces el estado de esfuerzo biaxial se representa por dos componentes equivalentes, cada una con una magnitud de s2 = pr >2t .
2
•
3
4
•
•
Superposición. Una vez que se han calculado las componentes de esfuerzo normal y cortante para cada carga, utilice el principio de superposición y determine las componentes resultantes del esfuerzo normal y cortante. Represente los resultados sobre un elemento de material que se encuentre en el punto, o muestre los resultados como una distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal del elemento. •
5
6
7
8
•
Los problemas en esta sección, que implican cargas combinadas, sirven como una revisión básica de la aplicación de las ecuaciones de esfuerzo mencionadas anteriormente. Es necesario tener una comprensión profunda de cómo se aplican estas ecuaciones, como se indica en los capítulos anteriores, a fin de resolver con éxito los problemas al final de esta sección.
Los siguientes ejemplos deben estudiarse cuidadosamente antes de resolver los problemas.
9
10
11
414 1
CAPÍTULO 8
EJEMPLO
CARGAS COMBINADAS
8.2 Una fuerza de 150 lb se aplica al borde del elemento mostrado en la
150 lb 5 pulg 5 pulg
figura 8-3a. No tome en cuenta el peso del elemento y determine el estado de esfuerzo en los puntos B y C .
2 pulg 2 pulg
2
SOLUCIÓN
Cargas internas. El elemento se secciona a través de B y C . Para el
C
equilibrio en la sección debe haber una fuerza axial de 150 lb que actúe a través del centroide y un momento flexionante de 750 lb pulg respecto al eje centroidal o principal, figura 8-3 b.
B
3
Componentes de esfuerzo. Fuerza normal. En la figura 8-3c se muestra la distribución uniforme del esfuerzo normal debida a la fuerza normal. Aquí
(a)
4
s =
Figura 8-3
P A
150 lb 10 pulg 4 pulg
1
=
21
=
3.75 psi
Momento flexionante. En la figura 8-3d se muestra la distribu-
150 lb
ción del esfuerzo normal debida al momento flexionante. El esfuerzo máximo es
5
smáx =
C B
6
Mc I
=
1
2 14 pulg2110 pulg2
750 lb # pulg 5 pulg 1 12
3
=
11.25 psi
Superposición. Si las distribuciones de esfuerzo normal anteriores
750 lb�pulg 150 lb (b)
se suman algebraicamente, la distribución del esfuerzo resultante será como se muestra en la figura 8-3 e. Aunque no se requiere aquí, la ubicación de la línea de cero esfuerzo puede determinarse mediante triángulos semejantes; es decir,
7
7.5 psi x
=
15 psi 10 pulg - x
1
x
=
3.33 pulg
2
Los elementos de material en B y C están sometidos sólo a esfuerzo uniaxial o normal, como se muestra en las figuras 8-3 f y 8-3 g. Por lo tanto,
8
sB = 7.5 psi sC = 15 psi
9
�
10
C B
3.75 psi
11
2
Fuerza normal (c)
3.75 psi
1tensión2 1compresión2
Resp. Resp.
B
11.25 psi
C
11.25 psi
Momento flexionante (d)
C B
B 7.5 psi
C
15 psi x (10 pulg � x)
Carga combinada (e)
7.5 psi
15 psi
(f)
(g)
8.2
415
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
8.3
EJEMPLO
1
El tanque de la figura 8-4a tiene un radio interior de 24 pulg y un grosor
de 0.5 pulg. Está lleno hasta el tope con agua, la cual tiene un peso específico de gw = 62.4 lb>pie3. Si el tanque está fabricado de acero con un peso específico de gac = 490 lb>pie3, determine el estado de esfuerzo en el punto A. El tanque está abierto en la parte superior.
t
0.5 pulg
�
r 24 pulg �
2 3 pies
SOLUCIÓN
A
Cargas internas. En la figura 8-4b se muestra el diagrama de cuer-
3
po libre de la sección del tanque y el agua por encima del punto A. Observe que el peso del agua está sostenido por la superficie del agua justo debajo de la sección, no por las paredes del tanque. En la dirección vertical, las paredes sólo sostienen el peso del tanque. Este peso es
> 2 B a 24.5 piesb 12
1
Wac = gacVac = 490 lb pie3
a 2412 piesb R 13 pies2
2
2
-
p
p
777.7 lb
=
5
El esfuerzo en la dirección circunferencial se desarrolla mediante la presión del agua al nivel A. Para obtener esta presión debe utilizarse la ley de Pascal , que establece que la presión en un punto situado a una profundidad z en el agua es p = gwz. En consecuencia, la presión sobre el tanque en el nivel A es p
=
4
(a)
1
> 21 2
W w � W ac
6
>
gwz = 62.4 lb pie3 3 pies = 187.2 lb pie 2 = 1.30 psi
Componentes de esfuerzo. Esfuerzo circunferencial. Como r >t = 24 pulg>0.5 pulg = 48 7 10, el tanque es un recipiente de pared delgada. Al aplicar la ecuación 8-1, y utilizando el radio interior r = 24 pulg, se tiene s1 =
pr t
=
>
1
2
1.30 lb pulg 2 24 pulg 0.5 pulg
3 pies
7 A p
s2
(b) =
62.4 psi
Resp.
8
Esfuerzo longitudinal. Como el peso del tanque está sostenido uniformemente por las paredes, se tiene s2 =
ac
Aac
=
9
777.7 lb p[ 24.5 pulg 2 - 24 pulg 2]
1
2 1
2
=
10.2 psi
Resp.
NOTA: La ecuación 8-2, s2 = pr >2t , no se aplica aquí porque el tanque está abierto en la parte superior y, por lo tanto, como se dijo anteriormente, el agua no puede desarrollar una carga sobre las paredes en la dirección longitudinal. Por consiguiente, el punto A está sometido al esfuerzo biaxial mostrado en la figura 8-4 c.
10.2 psi
62.4 psi
10
A
(c)
Figura 8-4
11
416 1
CAPÍTULO 8
EJEMPLO
CARGAS COMBINADAS
8.4 El elemento mostrado en la figura 8-5a tiene una sección transversal
rectangular. Determine el estado de esfuerzo que produce la carga en el punto C . 2 1.5 m
C
C
2.5 m
250 mm
A
3
125 mm 1.5 m
50 mm
50 kN/ m B
4
2m
4m (a)
4m
5
125 kN
16.45 kN
5
4 3
21.93 kN
1.25 m
6
1.25 m 5
4 3
97.59 kN
(b)
7 1.5 m C
V
16.45 kN
N M
8
21.93 kN (c)
Figura 8-5
9
SOLUCIÓN
Cargas internas. Se han determinado las reacciones en los apoyos 10
del elemento, las cuales se muestran en la figura 8-5 b. Si se considera el segmento izquierdo AC del elemento, figura 8-5 c, las cargas internas resultantes en la sección consisten en una fuerza normal, una fuerza cortante y un momento flexionante. Si se resuelve, N
11
=
16.45 kN
V
=
21.93 kN
M
=
32.89 kN # m
8.2
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
417 1
sC
1.32 MPa
tC 0
�
sC
�
C
63.16 MPa
�
C
C
�
�
2
Fuerza normal
Fuerza cortante
Momento flexionante
(d)
(e)
(f)
3
Figura 8-5 (cont.)
Componentes de esfuerzo. Fuerza normal. La distribución uniforme del esfuerzo normal que
4
actúa sobre la sección transversal se produce mediante la fuerza nor-
mal, figura 8-5d. En el punto C ,
sC =
P A
=
16.45(103) N 0.050 m 0.250 m
1
21
2
=
5
1.32 MPa
Fuerza cortante. Aquí el área A¿ = 0, ya que el punto C se ubica en la parte superior del elemento. Por lo tanto, Q = y ¿ A¿ = 0 y para C , figura 8-5e, el esfuerzo cortante
6
tC = 0
7
Momento flexionante. El punto C se ubica en y = c = 0.125 m desde el eje neutro, por lo que el esfuerzo normal en C , figura 8-5 f , es
sC =
Mc I
=
1
21
32.89(10 ) N # m 0.125 m 3
C 121
10.050 m210.250 m2 D 3
2
8 =
63.16 MPa
9
Superposición. El esfuerzo cortante es cero. Al sumar los esfuerzos normales determinados anteriormente se obtiene un esfuerzo de compresión en C con un valor de sC = 1.32 MPa + 63.16 MPa = 64.5 MPa
10 Resp.
Este resultado, que actúa sobre un elemento en C , se muestra en la figura 8-5 g.
64.5 MPa (g)
11
418 1
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
8.5
EJEMPLO
El bloque rectangular de peso insignificante que se muestra en la figu-
40 kN
ra 8-6a, está sometido a una fuerza vertical de 40 kN, el cual se aplica a su esquina. Determine el mayor esfuerzo normal que actúa sobre una sección a través de ABCD.
0.8 m
2
D
0.4 m
SOLUCIÓN
C
Cargas internas. Si se considera el equilibrio del segmento inferior
A
3
del bloque, figura 8-6 b, se observa que la fuerza de 40 kN debe actuar a través del centroide de la sección transversal y dos componentes de momento flexionante también deben actuar respecto a los ejes centroidales o principales de inercia para la sección. Verifique estos resultados.
B
Componentes de esfuerzo. Fuerza normal. En la figura 8-6c se muestra la distribución unifor-
(a)
4
me del esfuerzo normal. Se tiene z
5 16 kN�m
x
y
smáx =
=
125 kPa
Mxcy
=
Ix
1 2 10.8 m210.4 m2 D
8(103) N # m 0.2 m
C 121
3
=
375 kPa
Del mismo modo, para el momento de 16 kN m, figura 8-6e, el esfuerzo normal máximo es
(b)
7
1 21 2
para el momento de 8 kN m se muestra en la figura 8-6 d. El esfuerzo máximo es
8 kN�m B
=
40(103) N 0.8 m 0.4 m
Momentos flexionantes. La distribución del esfuerzo normal
C
A
6
s =
40 kN D
P A
Figura 8-6
smáx =
My cx Iy
=
1 2 10.4 m210.8 m2 D
16(103) N # m 0.4 m
C
1 12
3
=
375 kPa
Superposición. Por inspección, el esfuerzo normal en el punto C es el más grande, puesto que en ese punto cada carga genera un esfuerzo de compresión. Por lo tanto,
8
sC = - 125 kPa - 375 kPa - 375 kPa = - 875 kPa 375 kPa
9
D
125 kPa
A
D
C
� A B
375 kPa
D
C
Resp.
C
� A B
375 kPa
B
375 kPa
10
11
Fuerza normal (40 kN)
Momento flexionante (8 kN�m)
Momento flexionante (16 kN�m)
(c)
(d)
(e)
8.2
EJEMPLO
419
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
8.6
1
Un bloque rectangular, tiene un peso insignificante y se somete a una fuerza vertical P, figura 8-7a. (a) Determine el rango de valores para la
z P
excentricidad e y de la carga a lo largo del eje y, de manera que no cause ningún esfuerzo de tensión en el bloque. (b) Especifique la región en la sección transversal en la que P puede aplicarse sin causar un esfuerzo de tensión en el bloque.
y
2
h y e y
SOLUCIÓN
b
x
3
Parte (a). Cuando P se mueve al centroide de la sección transversal, figura 8-7b, es necesario añadir un momento M x = Pe y, a fin de mantener una carga estáticamente equivalente. El esfuerzo normal combinado, en cualquier ubicación coordenada y sobre la sección transversal, causado por estas dos cargas es s = -
P A
-
1Pe 2y y
Ix
= -
¢
P 1 A
+
Aeyy Ix
≤
Aquí, el signo negativo indica un esfuerzo de compresión. Para una e y positiva, figura 8-7a, el menor esfuerzo de compresión se producirá a lo largo del borde AB, donde y = -h>2, figura 8-7b. (Por inspección, P ocasiona compresión en ese punto, pero M x causa tensión.) Por lo tanto, smín =
¢
P 1 A
-
Aey h 2Ix
M x
�
Como A
=
bh e Ix
7
1 = 12
1
y
Pe y
4
�
P
C
D
A B
y
�
h 2
5 x P
y G
E
≤
A
(b)
Este esfuerzo se mantendrá negativo, es decir, en compresión, siempre que el término entre paréntesis sea positivo; es decir, 1
(a)
b 6
H
F b 6
h 6
6
h 6 x
7
Aey h (c)
2Ix Figura 8-7
bh3, entonces 7
6ey
h
1 1 - ¬6 h … e y … ¬6 h,
o ey
6
1 h 6
8
Resp.
En otras palabras, si el esfuerzo en el bloque a lo largo del borde AB o CD será cero o permanecerá en compresión. NOTA: En ocasiones, esto se conoce como la “regla del tercio medio”. Es muy importante tener en cuenta esta regla cuando las columnas o arcos cargados tienen una sección transversal rectangular y están hechos de materiales como la piedra o el concreto, que pueden soportar poco, o incluso nulo, esfuerzo de tensión. Este análisis se puede extender de la misma manera mediante la colocación de P a lo largo del eje x en la figura 8-7. El resultado producirá un paralelogramo como el que se muestra de color gris oscuro en la figura 8-7 c. Esta región se conoce como el núcleo o kern de la sección. Cuando P se aplica en el núcleo, el esfuerzo normal en las esquinas de la sección transversal será de compresión.
9
10
Éste es un ejemplo donde puede ocurrir la combinación de esfuerzos axial y flexionante.
11
420 1
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
8.7
EJEMPLO
La barra sólida de la figura 8-8a tiene un radio de 0.75 pulg. Si está
2
sometida a la fuerza de 500 lb, determine el estado de esfuerzo en el punto A. SOLUCIÓN
z
Cargas internas. La barra se secciona a 3
C
8 pulg
4
10 pulg
A
x
y
14 pulg
través del punto A. Usando el diagrama de cuerpo libre del segmento AB, figura 8-8b, las cargas internas resultantes se determinan con base en las ecuaciones de equilibrio. Verifique estos resultados. Con el fin de “visualizar” de mejor manera las distribuciones de esfuerzo debidas a estas cargas, es posible considerar las resultantes iguales pero opuestas que actúan sobre el segmento AC , figura 8-8c.
B
5
Componentes de esfuerzo. Fuerza normal. En la figura 8-8d se
500 lb (a)
muestra la distribución del esfuerzo normal. Para el punto A, se tiene
z
6
500 lb
(sA)y 10 pulg
x
7
500 lb (14 pulg)
8
=
0.283 ksi
(sA)y
y
7000 lb # pulg(0.75 pulg)
=
Mc I
=
21,126 psi
=
3
1 4 p(0.75
=
pulg)4
4
21.13 ksi
se observa que un elemento de material en A está sometido al esfuerzo normal (sA)y
7000 lb�pulg
=
9
283 psi
=
Superposición. Cuando los resultados anteriores se superponen,
(b)
�
A
A
500 lb
11
500 lb p(0.75 pulg)2
por lo que el esfuerzo normal en el punto A, figura 8-8e, es
500 lb
0.283 ksi
(c)
=
14 pulg
10
P A
Momento flexionante. Para el momento, c = 0.75 pulg,
7000 lb pulg
�
=
21.13 ksi
Fuerza normal (500 lb)
Momento flexionante (7000 lb �pulg)
(d)
(e)
Figura 8-8
0.283 ksi
+
21.13 ksi
=
21.4 ksi
Resp.
8.2
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
421
8.8
EJEMPLO
1
La barra sólida de la figura 8-9a tiene un radio de 0.75 pulg. Si está
sometida a la fuerza de 800 lb, determine el estado de esfuerzo en el punto A.
2
z
SOLUCIÓN
Cargas internas. La barra se secciona a través del punto A. Usando el diagrama de cuerpo libre del segmento AB, figura 8-9b, las cargas internas resultantes se determinan a partir de las seis ecuaciones C de equilibrio. Verifique estos resultados. Las resultantes iguales pero opuestas actúan sobre el segmento AC como se muestra en la figura 8-9 c.
3 8 pulg
Componentes de esfuerzo. Fuerza cortante. En la figura 8-9d se mues-
y¿A¿
=
=
1
2 c 1 10.75 pulg2 d 3 2 800 lb10.2813 pulg 2 10.75 pulg2 D 210.75 pulg2
4 0.75 pulg p
de modo que (tyz)A
=
=
VQ It
2
p
=
14 pulg
=
C
1 4p
4
0.604 ksi
=
Momento flexionante. Como el punto A se
0.2813 pulg 3
z
6 800 lb (14 pulg) 800 lb (10 pulg)
8000 lb pulg
�
=
=
1
10.75 pulg2 D
C 12 p
4
2
=
10 pulg
7
x
800 lb
Momento de torsión. En el punto A, r A = c = 0.75 pulg, figura 11 200 lb # pulg 0.75 pulg
800 lb
11 200 lb pulg
�
sA = 0
(tyz)A
5 (a)
encuentra sobre el eje neutro, figura 8-9 e, el esfuerzo normal es 8-9 f . Por lo que el esfuerzo cortante es
16 901 psi
y
14 pulg
8
16.90 ksi
=
(b)
Superposición. Aquí, el elemento de material en A está sometido
Figura 8-9
sólo a un componente de esfuerzo cortante, donde (tyz)A
=
0.604 ksi
+
16.90 ksi
8000 lb�pulg
17.5 ksi
�
A
A
�
A
10
11 200 lb �pulg
16.90 ksi
0.604 ksi
(c)
9
Resp.
A¿
800 lb
=
y
B
3
604 psi
Tc J
4
800 lb
tra la distribución del esfuerzo cortante. Para el punto A, Q se determina a partir del área semicircular superior en gris oscuro. Si se emplea la tabla que se encuentra (al reverso de la contraportada de este libro), se tiene Q
10 pulg
A
x
Esfuerzo cortante (800 lb)
Momento flexionante (8000 lb�pulg)
Momento de torsión (11 200 lb �pulg)
(d)
(e)
(f)
11
422 1
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
PROBLEMAS FUNDAMENTALES F8-1. Determine el esfuerzo normal desarrollado en las esquinas A y B de la columna.
F8-3. Determine el estado de esfuerzo en el punto A, ubicado sobre el área transversal de la viga, en la sección a-a.
2
z
3
500 kN
300 kN
30 kN
100 mm
100 mm
a
A
150 mm
4
100 mm 150 mm
50 mm 150 mm
B
150 mm
x
a
y
2m
0.5 m 0.5 m 100 mm
10 mm
50 mm
A
5
180 mm
10 mm 10 mm Sección a-a
F8-3
6
F8-1
7
F8-2. Determine el estado de esfuerzo en el punto A, ubicado sobre el área transversal, en la sección a-a de la viga en voladizo.
F8-4. Determine la magnitud de la carga P que producirá un esfuerzo normal máximo de smáx = 30 ksi sobre el eslabón, a lo largo de la sección a-a.
8 400 kN a
9 a
2 pulg 0.5 m
P a
10
300 mm
A
a
0.5 pulg 2 pulg P
100 mm
100 mm
11
Sección a-a
F8-2
F8-4
8.2
423
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
F8-5. La viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a la carga mostrada. Determine las componentes de esfuerzo s x, s y y t xy en el punto B.
F8-7. Determine el estado de esfuerzo en el punto A ubicado sobre el área transversal del tubo, en la sección a-a.
1
2 z y a
z
3
300 mm
x
400 lb
A
300 mm
B x
1 pulg
2 pulg
a
4 6 kN
50 mm
500 lb
2 pulg
10 pulg
y
A
1.5 pulg
40 mm 1.5 pulg
5 Sección a-a
F8-5
F8-7
6 F8-6. Determine el estado de esfuerzo en el punto A ubicado sobre el área transversal del ensamble de tubos, en la sección a-a.
F8-8. Determine el estado de esfuerzo en el punto A ubicado sobre el área transversal del eje, en la sección a-a.
7
8
z
z
300 mm
100 mm 400 mm
a
100 mm 200 mm A a x
a
9
600 mm
A
1500 N
400 mm
a
300 N
x
y
20 mm
1000 N
900 N 300 N
900 N
A
20 mm A Sección a-a
F8-6
10
25 mm
Sección a-a
y
100 mm
11 F8-8
424
CARGAS COMBINADAS
PROBLEMAS
1
2
CAPÍTULO 8
8-18. La fuerza vertical P actúa sobre la parte inferior de la placa que tiene un peso insignificante. Determine la distancia más corta d hasta el borde de la placa en la que se puede
aplicar la fuerza, de manera que no produzca esfuerzos de compresión sobre la placa en la sección a-a. La placa tiene un grosor de 10 mm y P actúa a lo largo de la línea central de este grosor.
La sierra caladora tiene una cuchilla ajustable que se ajusta con una tensión de 40 N. Determine el estado de esfuerzo en el marco sobre los puntos A y B. •8-21.
8 mm
3
75 mm
A
3 mm 8 mm
300 mm
4
a
3 mm B
100 mm
a
200 mm
50 mm
500 mm Prob. 8-21
5 d
La mordaza se forma con los elementos AB y AC , los cuales están articulados en A. Si se ejerce una fuerza de compresión en C y B de 180 N, determine el esfuerzo de compresión máximo sobre la mordaza en la sección a-a. El tornillo EF se somete sólo a una fuerza de tensión a lo largo de su eje. 8-23. La mordaza se forma con los elementos AB y AC , los cuales están articulados en A. Si se ejerce una fuerza de compresión en C y B de 180 N, determine la distribución del esfuerzo que actúa sobre la sección a-a. El tornillo EF se somete sólo a una fuerza de tensión a lo largo de su eje. 8-22.
P
6
Prob. 8-18
Determine el esfuerzo normal máximo y mínimo en la ménsula sobre la sección a-a, cuando la carga se aplica en x = 0. *8-20. Determine el esfuerzo normal máximo y mínimo en la ménsula sobre la sección a-a, cuando la carga se aplica en x = 300 mm. 8-19.
7
8 30 mm 40 mm 100 kN 15 mm x
9
F
15 mm 200 mm 150 mm
10
C
15 mm a
a
15 mm Sección a-a
a
a
B
A E
11 Probs. 8-19/20
Probs. 8-22/23
180 N 180 N
8.2
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
*8-24. El pasador de apoyo soporta la carga de 700 lb. Determine las componentes de esfuerzo en el elemento de apoyo en el punto A. El soporte tiene de 0.5 pulg de grosor.
*8-28. La junta está sometida a una fuerza de P = 80 lb y F = 0. Dibuje la distribución del esfuerzo normal que actúa sobre la sección a-a, si el elemento tiene un área transversal rectangular con una anchura de 2 pulg y un grosor de 0.5 pulg.
8-25. El pasador de apoyo soporta la carga de 700 lb. Determine las componentes de esfuerzo en el elemento de apoyo en el punto B. El soporte tiene 0.5 pulg de grosor. •
•8-29. La junta está sometida a una fuerza de P = 200 lb y F = 150 lb. Determine el estado de esfuerzo en los puntos A y B, y dibuje los resultados sobre los elementos diferenciales ubicados en estos puntos. El elemento tiene un área transversal rectangular con una anchura de 0.75 pulg y un grosor de 0.5 pulg.
0.75 pulg A
2 pulg 30
�
A B
B
425 1
2
3
0.5 pulg
3 pulg
4 A a a B
1.25 pulg
0.5 pulg
700 lb
2 pulg
5
Probs. 8-24/25 F
8-26. El eslabón descentrado soporta la carga de P = 30 kN. Determine su anchura w requerida si el esfuerzo normal permisible es sperm = 73 MPa. El eslabón tiene un grosor de 40 mm.
1.25 pulg
6
P
Probs. 8-28/29
8-27. El eslabón descentrado tiene una anchura de w = 200 mm y un grosor de 40 mm. Si el esfuerzo normal permisible es sperm = 75 MPa, determine la carga máxima P que puede aplicarse a los cables.
8-30. Si el hombre de 75 kg se encuentra en la posición mostrada en la figura, determine el estado de esfuerzo en el punto A del área transversal de la plancha en la sección a-a. El centro de gravedad del hombre está en G. Suponga que el punto de contacto en C es liso.
P
C
G
A
a
50 mm
1.5 m B
12.5 mm
30 a �
600 mm
300 mm
10
Sección a-a y b-b
P
Probs. 8-26/27
8
9
600 mm
w
50 mm
7
11 Prob. 8-30
426 1
2
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
8-31. Determine la menor distancia d hasta el borde de la placa en la que se puede aplicar la fuerza P de modo que no produzca esfuerzos de compresión sobre la placa en la sección a-a. La placa tiene un grosor de 20 mm y P actúa a lo largo de la línea central de este grosor.
La viga I de ala ancha está sometida a la carga mostrada en la figura. Determine las componentes de esfuerzo en los puntos A y B, y muestre los resultados en un elemento de volumen en cada uno de estos puntos. Use la fórmula del esfuerzo cortante para calcular el esfuerzo cortante. 8-35.
*8-32. La fuerza horizontal de P = 80 kN actúa en el extremo de la placa; ésta tiene un grosor de 10 mm y P actúa a lo largo de la línea central del grosor de forma que d = 50 mm. Grafique la distribución del esfuerzo normal que actúa a lo largo de la sección a-a.
3000 lb
2500 lb
500 lb
A
3
B
4 pies
2 pies 2 pies 2 pies
6 pies
A
a
4
0.5 pulg P
200 mm
0.5 pulg 4 pulg
B
d
2 pulg 4 pulg
0.5 pulg
300 mm
5
a
Prob. 8-35
Probs. 8-31/32
El taladro se hunde en la pared y se somete al par de torsión y a la fuerza mostrados en la figura. Determine el estado de esfuerzo en el punto A sobre el área transversal de la broca, en la sección a-a. •8-37. El taladro se hunde en la pared y se somete al par de torsión y a la fuerza mostrados en la figura. Determine el estado de esfuerzo en el punto B sobre el área transversal de la broca, en la sección a-a. *8-36.
6
Las pinzas están fabricadas con dos partes de acero articuladas entre sí en A. Si un perno liso se sostiene entre las quijadas y se aplica una fuerza de apriete de 10 lb a los mangos, determine el estado de esfuerzo desarrollado en las pinzas en los puntos B y C . Aquí la sección transversal es rectangular, con las dimensiones indicadas en la figura. 8-34. Resuelva el problema 8-33 para los puntos D y E. •8-33.
7
y
8
400 mm
0.18 pulg
9
10 lb
D
0.2 pulg
0.1 pulg E D
125 mm
A B
0.2 pulg 0.2 pulg
B
10
E
C C
1.75 pulg 2.5 pulg
x a
3 pulg
30
a 20 N· m
y
0.2 pulg
A z
5 mm
10 lb Probs. 8-33/34
5 4
150 N
B
4 pulg
11
3
Sección a-a
Probs. 8-36/37
8.2
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
8-38. Como el concreto puede soportar poca o nula tensión, este problema se puede evitar mediante el uso de alambres o varillas para pretensar al concreto una vez que está formado. Considere la viga simplemente apoyada que se muestra en la figura, la cual tiene una sección transversal rectangular
de 18 × 12 pulg. Si el concreto tiene un peso específico de 150 lb>pie3, determine la tensión necesaria en la barra AB que corre a través de la viga, para que no se desarrolle esfuerzo de tensión sobre el concreto en su sección central a-a. No tome en cuenta el tamaño de la barra y cualquier deflexión de la viga. 8-39. Resuelva el problema 8-38 si la barra tiene un diámetro de 0.5 pulg. Utilice el método del área transformada que se analizó en la sección 6.6. Eac = 29(103)ksi, Ec = 3.60(103) ksi.
427
La barra tiene un diámetro de 80 mm. Determine las componentes del esfuerzo que actúan en el punto A y muestre los resultados sobre un elemento de volumen situado en este punto. 8-43. La barra tiene un diámetro de 80 mm. Determine las componentes del esfuerzo que actúan en el punto B y muestre los resultados sobre un elemento de volumen situado en este punto. 8-42.
200 mm
1
2
3
300 mm B
A
4 3 5 4
a
16 pulg B 2 pulg
A a
4 pies
18 pulg g g l l u u p p 6 6
4 pies
Probs. 8-38/39
5 kN
5
Probs. 8-42/43
Determine el esfuerzo normal desarrollado en los puntos A y B. No tome en cuenta el peso del bloque. •8-45. Dibuje la distribución del esfuerzo normal que actúa sobre el área transversal en la sección a-a. No tome en cuenta el peso del bloque. *8-44.
6
6 kip
Determine el estado de esfuerzo en el punto A cuando la viga está sometida a una fuerza del cable de 4 kN. Indique el resultado como un elemento diferencial de volumen. •8-41. Determine el estado de esfuerzo en el punto B cuando la viga está sometida a una fuerza del cable de 4 kN. Indique el resultado como un elemento diferencial de volumen. *8-40.
3 pulg
12 kip
7
6 pulg a A
B a
8 Probs. 8-44/45
4 kN
250 mm G
375 mm A
D
2m
El soporte está sometido a la carga de compresión P. Determine el esfuerzo normal absoluto máximo y mínimo que actúa en el material. 8-46.
0.75 m
100 mm
B 1m
C
a — a — 2 2
9
P
20 mm A
15 mm
200 mm
10
a a — 2 — 2
B
150 mm
Probs. 8-40/41
20 mm
11 Prob. 8-46
428 1
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
8-47. El soporte está sometido a la carga de compresión P. Determine el esfuerzo normal máximo y mínimo que actúan en el material. Todas las secciones transversales horizontales son circulares.
•8-49. Si el bebé tiene una masa de 5 kg y su centro de masa está en G, determine el esfuerzo normal en los puntos A y B sobre el área transversal de la varilla en la sección a-a. Se tienen dos varillas, una a cada lado de la cuna. 500 mm
2 15
�
G
P
3
75 mm a
a
r
6 mm A
B
Sección a-a
Prob. 8-49
4
8-50. La mordaza en C aplica un esfuerzo de compresión de 80 psi sobre el bloque cilíndrico. Determine el esfuerzo normal máximo desarrollado en la mordaza.
1 pulg
5 Prob. 8-47
0.25 pulg
4 pulg
6 4.5 pulg
7
*8-48. El poste tiene una sección transversal circular de radio c. Determine el radio máximo e en el que se puede aplicar la carga, de modo que ninguna parte del poste experimente un esfuerzo de tensión. No tome en cuenta el peso del poste.
0.75 pulg Prob. 8-50
Un poste que tiene las dimensiones mostradas en la figura se somete a la carga de apoyo P. Especifique la región 8-51.
8
en la que se puede aplicar esta carga sin que se desarrollen esfuerzos de tensión en los puntos A, B, C y D. x
P
9
z c a
e
a
a P
A
10
B
D ez
e y C
11 Prob. 8-48
a
Prob. 8-51
a a
y
8.2
*8-52. El gancho se usa para levantar la carga de 600 lb. Determine los esfuerzos máximos de tensión y compresión en la sección a-a. El área transversal es circular y tiene un diámetro de 1 pulg. Use la fórmula de las viga curva para
calcular el esfuerzo flexionante.
300 lb
429
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
La barra tiene un diámetro de 40 mm. Si está sometida a las dos componentes de fuerza en uno de sus extremos, tal como se indica en la figura, determine el estado de esfuerzo en el punto A y muestre los resultados sobre un elemento diferencial de volumen situado en este punto. *8-56. Resuelva el problema 8-55 para el punto B. 8-55.
1
2
300 lb
3 x
100 mm
a
150 mm
2.5 pulg
a
z
1.5 pulg
4 A
B
500 N
y
300 N
600 lb
5
Probs. 8-55/56
Prob. 8-52
El pilar de ladrillos se somete a una carga 800 kN. Determine la ecuación de la línea y = f ( x) a lo largo de la cual puede colocarse la carga sin causar esfuerzos de tensión en el pilar. No tome en cuenta el peso de éste. 8-54. El pilar de ladrillos se somete a una carga 800 kN. Si x = 0.25 m y y = 0.5 m, determine el esfuerzo normal en cada esquina A, B, C , D (no mostrado en la figura) y grafique la distribución de esfuerzos sobre la sección transversal. No tome en cuenta el peso del pilar. 8-53.
•
La varilla de 2 pulg de diámetro está sometida a las cargas mostradas en la figura. Determine el estado de esfuerzo en el punto A y muestre los resultados en un elemento diferencial situado en ese punto. 8-58. La varilla de 2 pulg de diámetro está sometida a las cargas mostradas en la figura. Determine el estado de esfuerzo en el punto B y muestre los resultados en un elemento diferencial situado en ese punto. •8-57.
6
7
8 800 kN
z
1.5 m y 1.5 m
2.25 m 2.25 m
x
9
B
y
8 pulg
x A
x
y
600 lb
10
12 pulg
C
500 lb A B
Probs. 8-53/54
800 lb
Probs. 8-57/58
11
430 1
CAPÍTULO 8
CARGAS COMBINADAS
8-59. Si P = 60 kN, determine el esfuerzo normal máximo desarrollado en la sección transversal de la columna. *8-60. Determine la máxima fuerza P permisible si la columna está hecha de un material que tiene un esfuerzo normal permisible de sperm = 100 MPa.
2 2P
3
150 mm
P
150 mm 15 mm
4
15 mm 15 mm
La señal uniforme tiene un peso de 1500 lb y se sostiene mediante el tubo AB, que tiene un radio interior de 2.75 pulg y un radio exterior de 3.00 pulg. Si la cara de la señal se somete a una presión uniforme del viento de p = 150 lb>pie2, determine el estado de esfuerzo en los puntos C y D. Muestre los resultados en un elemento diferencial de volumen situado en cada uno de estos puntos. No tome en cuenta el grosor de la señal y suponga que está soportada en el borde externo del tubo. *8-64. Resuelva el problema 8-63 para los puntos E y F . 8-63.
75 mm
100 mm
12 pies B
100 mm 100 mm
150 lb/ pie2
6 pies
5
E
3 pies
F D C
Probs. 8-59/60 A
6
y
z
•8-61. El engrane cónico se somete a las cargas mostradas en la figura. Determine las componentes del esfuerzo que actúan sobre el eje en el punto A y muestre los resultados
7
8
en un elemento de volumen ubicado en ese punto. El eje tiene un diámetro de 1 pulg y está fijo a la pared en C . 8-62. El engrane cónico se somete a las cargas mostradas en la figura. Determine las componentes del esfuerzo que actúan sobre el eje en el punto B y muestre los resultados en un elemento de volumen ubicado en ese punto. El eje tiene un diámetro de 1 pulg y está fijo a la pared en C .
x
Probs. 8-63/64
Determine el estado de esfuerzo en el punto A sobre el área transversal del tubo, en la sección a-a. 8-66. Determine el estado de esfuerzo en el punto B sobre el área transversal del tubo, en la sección a-a. •8-65.
A
0.75 pulg B
z
50 lb
y
9
y A
200 lb
1 pulg Sección a-a
x
C
a
B
60°
z
a
10
x
8 pulg
11
3 pulg 75 lb
10 pulg
12 pulg
125 lb Probs. 8-61/62
Probs. 8-65/66
8.2
ESTADO DE ESFUERZO CAUSADO POR CARGAS COMBINADAS
431
El eje con 3¬4 de pulg de diámetro está sometido a la carga mostrada en la figura. Determine las componentes del esfuerzo que actúan en el punto A. Dibuje los resultados sobre un elemento de volumen situado en ese punto. La chumacera en C puede ejercer sólo componentes de fuerza C y y Cz sobre el eje y el cojinete de empuje en D puede ejercer componentes de fuerza D x, D y y Dz sobre el eje. 8-71. Resuelva el problema 8-70 para las componentes del esfuerzo en el punto B.
•8-67. La fuerza excéntrica P se aplica sobre el soporte de concreto mostrado en la figura, a una distancia e y de su centroide. Determine el intervalo a lo largo del eje y donde puede aplicarse P sobre la sección transversal, de modo que
8-70.
no se desarrollen esfuerzos de tensión en el material.
1
2
x
3 z
P
D
z 125 lb b 2
e y b 2
2h 3
2 pulg
8 pulg
4 125 lb
y
2 pulg 20 pulg A
h 3 C
8 pulg B
10 pulg
y
20 pulg
5
x
Prob. 8-67
Probs. 8-70/71
6
La barra tiene un diámetro de 40 mm. Si está sometida a una fuerza de 800 N como se muestra en la figura, determine las componentes del esfuerzo que actúan en el punto A y muestre los resultados sobre un elemento de volumen ubicado en ese punto. •8-69. Resuelva el problema 8-68 para el punto B. *8-68.
El gancho está sometido a la fuerza de 80 lb. Determine el estado de esfuerzo sobre el punto A en la sección a-a. La sección transversal es circular y tiene un diámetro de 0.5 pulg. Use la fórmula de la viga curva para calcular el esfuerzo flexionante. •8-73. El gancho está sometido a la fuerza de 80 lb. Determine el estado de esfuerzo sobre el punto B en la sección a-a. La sección transversal tiene un diámetro de 0.5 pulg. Use la fórmula de la viga curva para calcular el esfuerzo flexionante. *8-72.
7
8
9
150 mm 200 mm
80 lb
z 1.5 pulg
A
B
45 y
x
30
A B
�
800 N
Probs. 8-68/69
a A
10
�
B a
Probs. 8-72/73
11
432 1
2
CAPÍTULO 8
REPASO DE CAPÍTULO Se considera que un recipiente a presión tiene una pared delgada siempre que r >t Ú 10. Para un recipiente cilíndrico de pared delgada, el esfuerzo circunferencial o anular es s1
3
=
pr t
t
Este esfuerzo es dos veces mayor que el esfuerzo longitudinal, s2
4
CARGAS COMBINADAS
=
s1
pr 2t
r
s2
s2 s1
Los recipientes esféricos de pared delgada tienen el mismo esfuerzo dentro de sus paredes en todas direcciones. Esto es s1
=
s2
=
t
pr 2t
5
6
7
La superposición de componentes de esfuerzo puede utilizarse para determinar los esfuerzos normal y cortante en un punto de un elemento sometido a una carga combinada. Para ello, primero es necesario determinar las fuerzas resultantes axial y cortante, y los momentos internos resultantes de torsión y flexión en la sección donde se ubica el punto. Después, se determinan las componentes resultantes de los esfuerzos normal y cortante sumando algebraicamente las componentes del esfuerzo normal y cortante de cada carga.
P V
s s
�
P A
t
VQ �
It
8
9
10 T
M
smáx
tmáx t
11
r
s
My �
I
�
T r J
433
PROBLEMAS CONCEPTUALES
PR OBLE MAS CONCEPTUALES
1
2
B
3
A
4 P8-1
P8-3
P8-1. Explique por qué la falla en esta manguera de jardín ocurrió cerca de su extremo y por qué la rotura se produ jo en el sentido de su longitud. Use valores numéricos para explicar el resultado. Suponga que la presión del agua es de 30 psi.
P8-3. A diferencia del tensor en B, que está conectado a lo largo del eje de la varilla, el tensor en A ha sido soldado a los extremos de la varilla, por lo que estará sometido a un esfuerzo adicional. Use los mismos valores numéricos para la carga de tensión en cada varilla, así como para su diámetro, y compare el esfuerzo en cada una de las varillas.
5
6
7
8
9
P8-2
P8-4
P8-2. Este silo con un extremo abierto contiene material granular. Se construyó con tiras de madera unidas mediante bandas de acero. Explique, con valores numéricos, por qué las bandas no están uniformemente espaciadas a través de la altura del cilindro. Además, ¿cómo podría encontrar esta separación si cada banda estará sometida al mismo esfuerzo?
P8-4. Un viento constante que sopla contra un lado de esta chimenea ha causado deformaciones unitarias por erosión en las juntas de mortero, de tal manera que la chimenea tiene una deformación apreciable. Explique la forma de obtener la distribución de esfuerzos sobre una sección en la base de la chimenea, y dibuje esta distribución sobre la sección.
10
11
434
CAPÍTULO 8
PROBLEMA S DE REPASO
1
2
CARGAS COMBINADAS
8-74. El bloque está sometido a las tres cargas axiales mostradas en la figura. Determine el esfuerzo normal desarrollado en los puntos A y B. No tome en cuenta el peso del
bloque. 100 lb 250 lb 4 pulg 2 pulg
50 lb
3 5 pulg
La armella está sometida a la fuerza de 50 lb. Determine los esfuerzos máximos en tensión y en compresión sobre la sección a-a. La sección transversal es circular y tiene un diámetro de 0.25 pulg. Use la fórmula de la viga curva para calcular el esfuerzo flexionante. 8-78. Resuelva el problema 8-77 si la sección transversal es cuadrada, con dimensiones de 0.25 : 0.25 pulg. •8-77.
2 pulg
3 pulg
50 lb
5 pulg
4
0.25 pulg 1.25 pulg a
a
A B
5
Prob. 8-74
El tambor de 20 kg está suspendido de un gancho montado en el bastidor de madera. Determine el estado de esfuerzo en el punto E sobre el área transversal del bastidor en la sección a-a. Indique los resultados sobre un elemento. *8-76. El tambor de 20 kg está suspendido de un gancho montado en el bastidor de madera. Determine el estado de esfuerzo en el punto F sobre el área transversal del bastidor en la sección b-b. Indique los resultados sobre un elemento. 8-75.
6
7
0.5 m 0.5 m
25 mm
1m 2 pulg
B
E
75 lb
C
a
75 mm
9
Si el área transversal del fémur en la sección a-a puede aproximarse como un tubo circular como el mostrado en la figura, determine el esfuerzo normal máximo desarrollado sobre el área transversal en la sección a-a debido a la carga de 75 lb. 8-79.
a
50 mm
8
Probs. 8-77/78
1m 30
�
Sección a-a 1m
a b
b
75 mm
1 pulg
D
0.5 pulg
Sección a-a
1m
10
a
F
75 mm
A
25 mm
M
Sección b-b
11 Probs. 8-75/76
F
Prob. 8-79
