Capitulo 2. Estática de Fluidos
Fundamentos de Mecánica de Fluidos Carlos Joel Perilla Perilla
Contenido Estática de Fluidos 2.1. Introducción 2.2. Presión en un punto 2.3. Variación de la Presión 2.4. Fluidos en Reposo 2.4.1. Presión en líquidos. 2.4.2. Presión en la atmósfera. 2.4.3. Manómetros 2.4.4. Principio de Pascal 2.4.5. Flotación 2.5. Recipientes linealmente acelerados 2.6. Recipientes rotatorios
Contenido Estática de Fluidos 2.1. Introducción 2.2. Presión en un punto 2.3. Variación de la Presión 2.4. Fluidos en Reposo 2.4.1. Presión en líquidos. 2.4.2. Presión en la atmósfera. 2.4.3. Manómetros 2.4.4. Principio de Pascal 2.4.5. Flotación 2.5. Recipientes linealmente acelerados 2.6. Recipientes rotatorios
Introducción Estudio de los fluidos que no tienen movimiento relativo entre sus partículas. No hay esfuerzo cortante. Solo esfuerzo normal presión
Unidades de medida de la presión En los Estados Unidos comúnmente se utilizan unidades de libras por pulgada cuadrada (psi). En la mayoría del resto del mundo, el sistema métrico utiliza kilogramos por metro cuadrado (kg/m2). La presión también puede expresarse en términos de altura de una columna de líquido. Si se vertiera una libra de agua en un tubo de vidrio con un área de una pulgada cuadrada, el peso del agua sobre esa área al fondo del tubo es una libra —y por lo tanto la presión es una psi. A 3.85°C, la columna de agua tendría una altura de 72,84 cm. Si reemplazamos el agua con un líquido más pesado, la presión que se genera aumenta. Por ejemplo, solamente se requieren 5.17 cm de mercurio (Hg) para generar 1 psi vs. 72,84 cm de agua debido a que el mercurio es tan pesado. Una psi equivale a 5.17 cm Hg. Evangelista Torricelli realizó una gran parte de los primeros trabajos acerca de la medición de presión e inventó el barómetro. En su honor, un mmHg ha sido designado como un Torr. El pascal lleva ese nombre por Blaise Pascal, otro matemático antiguo quien descubrió que la presión de aire disminuye con la altitud y que la presión de un fluido es igual en todas las direcciones. Otras unidades de medida de presión son la Atmósfera y el Bar, las cuales son básicamente equivalentes a la presión atmosférica al nivel del mar en un
Variación de la presión
F x ma x
p x dydz pdsdz sin
F y ma y
dy
p y dxdz pdsdz cos g
ds sin
dx
dxdydz
dxdydz 2
2
a x
dxdydz
ds cos
2
a y
p x p y
p p
2
2
a x dx
a
y
g dy
Las cantidades del lado derecho de las ecuaciones son infinitesimales y se pueden despreciar
p x
p y
p
La presión en un punto es igual en todas las direcciones
Si asumimos que el fluido tiene aceleración mientras la posición relativa entre sus elementos permanece igual. Se presume que existe una presión p debido a la aceleración.
p dx dydz dxdydza x dx p pdydx p dz dxdy dxdydzg dxdydza z z p pdxdz p dy dxdz dxdydza y y pdydz p
p x
a x
p y
a y
p z
a z g
El diferencial de presión se puede entonces escribir como:
dp
p x
dx
p y
dy
p z
dz [ 2.1]
a z g dz
a x dx a y dy
Así, mediante integración directa se puede hallar la variación de presión entre dos puntos en el fluido. Esta expresión será útil para casos particulares que se desarrollaran mas adelante.
Fluidos en reposo En un fluido en reposo, la aceleración es cero; así entonces:
dp
gdz
dz
[2.2]
Si la densidad es constante la presión se incrementa con la profundidad. ¡z es positivo hacia arriba! p z
p z cte
p
z cte
Fluidos en reposo Si el punto de interés fuera una distancia h por debajo de una superficie libre (una superficie que separa un gas de un líquido), entonces:
p
h
[2.3]
Con p=0 cuando h=0. Se convierte presión en una altura de un líquido equivalente. Esta ecuación es usada para convertir presión al peso equivalente de un líquido; la presión atmosférica se expresa en mm de mercurio (la presión en el fondo de una columna de 760 mm de mercurio es la misma que la presión en la superficie de la tierra debido a la atmósfera.
VASOS COMUNICANTES La presión hidrostática no depende de la forma del recipiente. Como la presión solo depende de y de h , la presión a cierto nivel de profundidad en cualquiera de los recipientes es la misma. 12
Presión Atmosférica La densidad depende de la altura = (z), tiempo y latitud. Para los cálculos se utiliza la atmósfera estándar que se ubica a 40° de latitud.
Presión Atmosférica Troposfera. Es la capa mas cercana a la tierra Variación lineal de la temperatura varía con la altura: T(z) = T 0 ̶ z (gradiente térmico vertical) = 0,0065 K/m
T 0 = 288 K .
Estratosfera. La temperatura varía entre -56 °C y 50°C.
Ionosfera y Exosfera. la densidad del aire es demasiado baja y la presión es muy pequeña.
Presión Atmosférica Para determinar la variación de presión en la troposfera, se utiliza la ley de gas ideal y la variación de la presión con la altura [2.2]:
p RT
dp gdz
dp p p
dp
patm
p
g
z
dz
0
T 0 z
R
dp g
RT
p RT pg RT
dz
ln
p patm
T z p patm T 0
0
dz
g
R
g
R
ln
T 0 z T 0
Presión Atmosférica Si se utilizan condiciones estándar, se ve que p/patm = 0,999 con z = 10 m. Es decir se pueden omitir los cambios en la presión del aire a menos que z sea relativamente grande. Si se asume que la variación de la temperatura es despreciable cuando la variación de la elevación es pequeña podemos escribir entonces: p
dp
pa tm
p
g
z
dz
0
T 0
R
ln
p patm
p patme
gz RT
g
R
z
Barómetro La presión atmosférica se mide con un barómetro; éste dispositivo, inventado por Evangelista Torricelli (16081647), consiste en un tubo cerrado en uno de sus extremos, con una longitud de un metro, el cual es llenado de mercurio y que posteriormente se invierte dentro de un depósito que también contiene mercurio.
A nivel del mar y a una temperatura de 0 oC la columna se equilibrará a 76cm, a esta cantidad se le denomina una atmósfera estándar, y es equivalente a 101.3 kPa.
Debe tomarse en cuenta que bajo diferentes condiciones la presión atmosférica varía, por ejemplo en la Ciudad de Bogotá la columna de mercurio se equilibra a 56 cm, lo que indica una presión atmosférica menor que al nivel del mar, esto significa que la presión atmosférica disminuye con la altitud.
Manómetro Es un tubo en U, que contiene mercurio en su interior, uno de sus extremos está abierto a la atmósfera y el otro se conecta al recipiente en donde se quiere medir la presión.
P
1
p2 Hg
p3
p1 1h p0 Hg H p1
p0 Hg H 1h
Si la densidad del medio 1 es pequeña ( 1 ≈ 0) llegamos a la expresión ya conocida:
pabs
p0 pman
Donde p 0 es la presión atmosférica, p abs se denomina presión absoluta, y p man se denomina presión manométrica
pman
gH
Principio de Pascal Una variación en la presión aplicada a un líquido encerrado, se transmite por igual a cada punto del liquido y a las paredes del recipiente que lo contiene.
PRENSA HIDRAULICA La ventaja que presentan los líquidos es que al transmitir Presiones, pueden multiplicar las Fuerzas aumentando el área sobre la cuál se ejerce.
Las presiones en los 2 émbolos son iguales: P2 F 2
A2
24
F 2
P1 F 1 A1
F 1
A2 A
PRENSA HIDRAULICA Lo que se gana en fuerza, se pierde en recorrido. Ej: si A1= 10 cm2, A2= 1000 cm2 y el recorrido por el pistón chico es de 5 cm: V=A1.d1=10 cm2.50 cm=500 cm3 d2=V/A2=500 cm3/1000 cm= 0.05 cm 25
Principio de Arquímedes "... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado por la fuerza a bañarse y perfumarse, solía trazar figuras geométricas en las cenizas del fuego y diagramas en los ungüentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupación y, en un muy cierto sentido, por una posesión divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco)
Cuenta la leyenda que el rey Herón II de Siracusa le había dado a un orfebre una cierta cantidad de oro para que le hiciera una corona de oro puro. Cuando se la entregaron, el rey tuvo la sensación de que no era nada más oro lo que había sido usado. Le planteó la duda a Arquímedes y éste se dio a la tarea de resolver el misterio...y llegó la hora del baño. Esa vez lo aceptó sin chistar, pues estaba sumido en el problema de la famosa corona... y cuando se metió a la tina que estaba llena hasta el tope, se dio cuenta de que la cantidad de agua derramada, estaba relacionada a la cantidad de su cuerpo sumergida en el agua. Con la cara iluminada por la alegría, salió de la tina y desnudo, se fue por las calles de la ciudad " Eureka! Eureka!''. Cómo acaba la historia? Arquímedes sumergió la misma cantidad de oro puro que el rey había entregado al artesano y descubrió que ésta pesaba más en el agua de lo que pesaba la corona también en el agua; con esto descubrió que el material falso de la corona tenía mas volúmen. El orfebre confesó que había quitado oro y agregado la misma cantidad de plata.
Al sumergir un objeto en un fluido, se observa una “disminución” de su peso. Esto es, hay una fuerza que se opone a la acción de la gravedad. La flotación B es la “fuerza de reacción del agua sobre el objeto”.
h1
B
F1 h2 Vf
F’
Wo
F2
B F 2 F 1 F ' h2 A h1 A V ' V f
B V f
h
2
h1 A V '
g f V f
m f g
Todo cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido, experimenta una fuerza de empuje hacia arriba igual al peso del volumen del fluido desalojado.
B f V f g
mo g
oV o g
mo a oV o a
Caso I: Objeto completamente sumergido.
V f V o
f V o g oV o g oV o a
f 1 g a o
Si f > o entonces a > 0 → el objeto asciende Si f < o entonces a > 0 → el objeto desciende
Caso II: Objeto parcialmente sumergido.
a f V f f o
0 oV o
V o V f
La fracción del volumen del objeto que esta bajo la superficie del fluido es igual a la relación entre la densidad del objeto y la del fluido
Recipientes linealmente acelerados Fluido en reposo con respecto a un marco de referencia acelerado linealmente. De la ecuación [2.1]:
dp a x a y a z
a
a x i
ˆ
a z k ˆ
dp a x a z
g
g
az ax 1 z1z2
2
x2x1
Si se integra sobre dos puntos arbitrarios p 1 y p2 se obtiene p2
p1 a x
x
2
x1
g
a z
z
2
z1
Si los puntos quedan sobre una líneas de presión constante, tal como la superficie, p 2 p1 = 0 y por consiguiente:
z1
z 2
x2
x1
a x
g
a z
a x
tan g
a
Recipientes rotatorios El recipiente rota sobre el eje z . Después de un tiempo, el líquido alcanza un equilibrio estático con respecto al recipiente y al marco de referencia rz rotatorio. dV r
La presión no depende de la coordenada q . Se aplica las ley de Newton con respecto a la dirección r a un elemento de volumen dV para obtener las ecuaciones de variación de presión.
p p r drrd q dz prd q dz pdrd q dz r dr d q dz rd q drdzr 2 d q pdrdz prd q dz 2 2
2
Simplificando y dividiendo la ecuación entre el volumen:
p r
2
r
Haciendo una analogía de la ecuación [2.1] para coordenadas cilíndricas, la diferencial de presión es por tanto (a z = 0):
dp
p r
dr 2
r
p z
dz
dr gdz
