9
ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
9.1 ANÁLISIS SÍSMICO Para lograr el objetivo del diseño estructural asísmico o antisísmico es indispensable atravesar la etapa del análisis. vez, posterior a la de estructuración y análisis. Esta es, a su vez, poste rior a determinación de las características elásticas y geométricas de la estructura, incluyendo la distribución distribución de sus masas. masas. En generalel general el análisis estructural consiste en la determinación de los efectos que la solicitación aplicada demande de la estructura. En el caso de los sism los sismos hablamos del análisis sísmico. os hablamos sísmico. En este caso la solicitación o carga sísmica está caracterizada por la norma local correspondiente y viene expresada en términos de un espectro de diseño. diseño. Los efectos que efectos que se desean determinar consisten las en fuer en fuerzas y deformaciones resultantes Por fuerzas se entiende zas y deformaciones resultantes de la carga sísmica. Por fuerz as se de modo general, tanto fuerzas de distinto tipo: axiales, cortantes, como también momentos flectores. Por deformaciones se deformaciones se entiende principalmente desplazamientos y rotaciones de los entrepisos así como distorsiones relativas entre piso y piso. La práctica actual mundialmente aceptada del aceptada del diseño antisísmico considera que las solicitaciones sísmicas sobre la estructura se determinan por medio de un análisis elástico. Si bien la tendencia moderna incorpora criterios criterios de comportamiento herramientas de disipación disipación de energía, energía, el análisis se hace sobre la inelástico inelástico como herramientas base de que la estructur estructuraa y sus elementos elementos no exceden exceden su resistenc resistencia ia y mantiene mantienen n su forma inicial, hipótesis implícitas en el análisis análisis estructural en elrango elrango elástico. elástico. Desde este punto de vista entonces, entonces, se cuenta con dos caminos contemplados contemplados en los códigos de diseño: análisis estático o análisis dinámico. dinámico.
8
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
Al sustituir las Ecs. (9.20), (9.21) y (9.22) en (9.19), es decir, sustituyendo este vector U y sus derivadas
& y U && , U
&&i (t ) + a
expresadas en función de las formas modales X i ,
las ecuaciones de movimiento que obtendríamos serían:
⎛ n ⎝ i =1
⎞ ⎠
⎛ n ⎝ i =1
⎞ ⎠
⎛ n ⎝ i =1
9
SECC. 9.4.2: DESCOMPOSICIÓN MODAL CONSIDERANDO AMORTIGUAMIENTO
C ie M ie
a& i (t ) +
K ie M ie
a i (t ) =
F i e M ie
f (t )
(9.29)
Como podrá observarse, a la Ec. (9.29), que representa las “ n ” ecuaciones modales del movimiento, se le puede hacer una analogía para el caso en el que solo se tiene 1 GDL. Entonces tendríamos lo siguiente:
⎞ ⎠
M ⎜ ∑ a &&i (t ) X i ⎟ + C ⎜ ∑ a & i (t ) X i ⎟ + K ⎜ ∑ a i (t ) X i ⎟ = F f (t )
β i (%) =
n
∑ [M X i a&&i (t ) + C X i a& i (t ) + K X i a i (t ) ] = F f (t ) i=1
Luego al premultiplicar esta última ecuación por el vector X jT ( para j = 1 ,2 ,K , n ), el cual es independiente de “ i ” , obtendríamos:
⇒
e i e i ( crítico )
C
=
C
C e M e
=
C ie 2 M ieω i
X iT C X i T i
X M X i
β (%) =
es equivalent e a
= 2 β iω i
∴ 2 β iω i =
c ccrítico
=
c 2mω
X iT C X i
(9.30)
T i
X M X i
También, recordando que se demostró en la sección anterior :
n
T X jT ∑ [M X i a &&i (t ) + C X i a & i (t ) + K X i a i (t ) ] = X j F f (t ) i=1
T
(9.23)
n
ω i2 =
∑ [X jT M X i a&&i (t ) + X jT C X i a& i (t ) + X jT K X i ai (t ) ] = X jT F f (t )
X i K X i
X iT M X i
(9.31)
i=1
y que además, el término que involucra a los modos y a las matrices F y M , llamado factor de participación estática “ Γ i ”, estaba dado por:
Aplicando las condiciones de ortogonalidad: X jT M X i = 0 para j ≠ i
pero si j = i
X jT CX i = 0 para j ≠ i pero si j = i
X iT MX i = 1
(9.24)
X iT C X i = 2 β i ω i
(9.25)
( Si C tiene una forma especial )
X K X i = 0 para j ≠ i pero X K X i = ωi T j
T i
T i
(9.26)
T i
T i
(9.27)
Escribiendo de otra manera la Ec. (9.27) se tiene: (9.28)
siendo M ie , C ie , K ie y F i e escalares, correspondientes a cada modo de vibración e i
“ i ”. Luego, al dividir la Ec. (9.28) entre M resulta :
X iT M X i
(9.32)
X iT M X i = 1 , las Ecs. (9.27), (9.30), (9.31) y (9.32) podrían reducirse, según ello
estas quedarían así:
X M X i a &&i (t ) + X C X i a & i (t ) + X K X i a i (t ) = X F f (t )
e e e M ie a &&i (t ) + C i a & i (t ) + K i a i (t ) = F i f (t )
X iT F
Y debido a que se normalizaron los modos respecto a la matriz de masas, o sea
2
en la Ec. (9.23), para “ j = i ”, ésta quedaría reducida así: T i
Γ i =
T T T &&i (t ) + X i C X i a & i (t ) + X i K X i a i (t ) = X i F f (t ) . a
(9.33)
2 β iω i = X iT C X i
(9.34)
ω i2 = X iT K X i
(9.35)
Γ i = X iT F
(9.36)
Entonces, finalmente de las Ecs. (9.34), (9.35) y (9.36) en (9.33) se obtiene: &&i (t) + 2 β i ω i a & i (t) + ω i a i (t) = Γ i f (t) a 2
(9.37)
14
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
⎧ y&&1 ⎫ && = Y ⎨ && ⎬ ⎩ y 2 ⎭
∆2 m2
0 ⎤
⎣0
m2 ⎦
⎥
y
⎡k 1 + k 2 ⎣ − k 2
K = ⎢
− k 2 ⎤ ⎥ k 2 ⎦
Una expresión más general , para el sistema forzado con amortiguamiento de 2 GDL dinámicos que se muestra a continuación:
P 1 f (t ) = −m1 u&&G (t )
P 2 f (t ) = −m2u&&G (t )
k 1∆1 = k 1 y1
k 1
⎧1⎫ I = ⎨ ⎬ ⎩1⎭
son la matriz masa y de rigidez respectivamente.
k 2∆2 = k 2 ( y2 − y1 ) m1
e
P 2 f (t ) = −m 2 u&&G (t )
k 2∆2 = k 2 ( y2 − y1 ) &&1 m1 y
⎡m1
M = ⎢
&&2 m 2 y
k 2
⎧ y1 ⎫ Y = ⎨ ⎬ ⎩ y 2 ⎭
,
Son los vectores aceleración y desplazamiento relativos a la base, y el vector columna 1 , en ese orden; además:
y 2 y1 ∆1
15
SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS
m2
c2
k 2
Fig. 9.3 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del sistema simplificado forzado sin amortiguamiento, expresado en desplazamientos relativos a la base “ y ”
P 1 f (t ) = −m1u&&G (t ) m1
Ordenando matricialmente las Ecs. ( 6.46) y ( 6.47 ) se tiene:
⎡m1 0 ⎤ ⎧ y&&1 ⎫ ⎡k 1 + k 2 ⎢ 0 m ⎥ ⎨ y&& ⎬ + ⎢ − k 2 ⎦⎩ 2 ⎭ 2 ⎣ ⎣
c1
− k 2 ⎤ ⎧ y1 ⎫ ⎧ −m1 u&&G (t ) ⎫ ⎬ ⎥⎨ ⎬ = ⎨ k 2 ⎦ ⎩ y 2 ⎭ ⎩−m 2 u&&G (t )⎭
k 1
La ecuación anterior se suele escribir de la siguiente manera:
⎡m1 ⎢0 ⎣
&&1 ⎫ ⎡ k 1 + k 2 0 ⎤ ⎧ y
⎥⎨
⎬+ ⎢
&&2 m 2 ⎦ ⎩ y ⎭ ⎣ − k 2
− k 2 ⎤ ⎧ y1 ⎫ ⎡m1 ⎥⎨ ⎬ = −⎢ 0 k 2 ⎦ ⎩ y 2 ⎭ ⎣
0 ⎤ ⎧1⎫ ⎥ ⎨ ⎬u&&G (t ) m 2 ⎦ ⎩1⎭
Fig. 9.4 Sistema forzado con amortiguamiento de 2 GDL dinámico (con fuerzas que dependen de las masas y de la acleración de la base), el cual es la equivalencia del problema original mostrado en la “ Fig. 9.2 ”(un sistema de vibración Libre de “ n ” GDL con amortiguamiento cuando está sometida a una aceleración en el suelo o la base).
(9.48)
su notación matricial de una manera mas concisa sería: && + K Y = − M I u && (t ) M Y G
donde:
(9.49) 1
Se debe de tener bien claro, para lo concerniente al tema, que I es un vector columna cuyos elementos son todos unos. No debemos confundirlo con la matriz identidad.
26
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL vo
r i o
x
( xo , y o ) u i ' ' ui '
α i
T vo
θ o
r i
( xi , yi )
uo (1)
(9.90)
Luego de haber visto que es posible realizar el análisis considerando solo 3 GDL, los cuales definen el desplazamiento del diafragma, proseguiremos a definir el momento polar de inercia “ J ”, el cual representa una medida de inercia rotacional . Para efecto del análisis se descompondrá en la suma de momentos polares de inercia. Veamos primeramente la expresión general para una placa de masa “ M p ” situada en e plano xy (ver Fig. 9.9 ), luego veremos lo concerniente a nuestro caso.
ui
α i
α i
V i = k Li G i .u o
Para una explicación más detallada véase Ref. 11 y 13.
uo θ
( xi , yi )
27
alineamien to
( xo , y o ) y
SECC. 9.7: ANÁL ISIS DINÁMICO SEUDO TRIDIMENSIONAL
α i
(2)
J Mp = m p ( I x + I y )
u i ' ' '
J Mp = m p ( J )
n
(3)
r
Fig. 9.8.b Relación entre las coordenadas que describen el desplazamiento del diafragma y el desplazamiento ( u i ) del pórtico “ i ”.
Debido a que no importa el desplazamiento perpendicular a su plano sino mas bien el desplazamiento a lo largo de su alineamiento ( ui ) de la Fig. 9.8.b se tiene que: u i = u i ' +u i ' ' +u i ' ' ' u i = u o cos
i
y
dM p
(9.87)
J Mp = ∫ r 2
dM
p
Para nuestro caso, como se dijo , se obtendrá el momento polar de inercia sumando aquellos según como se muestra en la Fig. 9.10: y
De la Fig. 9.8.b.(3) usando relaciones vectoriales se tiene que:
dM p
(9.88)
La fuerza “ V i ” producida en el pórtico, función de su rigidez lateral (k Li) y de su desplazamiento (ui), tambien puede ser calculada en función de las coordenadas que definen el desplazamiento del diafragma.:
usando la Ec. (9.87):
( J )
Fig. 9.9 Esquema para el hallar la expresión del Momento Polar de Inercia de una Placa de masa “ M p ” situada en el plano xy.
(9.86)
⎧u o ⎫ ⎪ ⎪ u i = (cos α i , senα i , r i )⎨vo ⎬ = G i .u o ⎪θ ⎪ ⎩ o⎭
V i = k Li ui
A
x
La Ec. (9.86) escrita vectorialmente es:
r i = ( x i − xo ) senα i − ( y i − y o ) cos α i
M
Dicha expresión general correspondiente a la Fig. 9.9 es:
+ vo sen α i + θ o r i
r i = T .n = ( x i − xo , y i − yo )( . senα i ,− cos α i )
J Mp =
(9.89)
r
J Mp = ∫ r 2
x
=
dM p
=
J x
+
+
J y
Fig. 9.10 Esquema para el hallar la expresión del momento polar de inercia de una placa de masa “ M p ” situada en el plano xy.
30
CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL
SECC. 9.8: EJEMPLO DE APLICACIÓN
Fig. 9.11 Edificio de 4 pisos. Ejemplo de aplicación Fig. 9.11 Edificio de 4 pisos. Ejemplo de aplicación. (a) Planta
(b) Elevaciones
31
