UNIDAD 2: CAMPO ELÉCTRICO 2.1 El campo eléctrico Se dice que en la región del espacio que rodea un objeto cargado existe un campo eléctrico. La carga fuente. Cuando un objeto cargado (la carga de prueba) entra en este campo eléctrico, una fuerza eléctrica actúa sobre sobre el.
Definición: El vector E del campo eléctrico en un punto en el espacio, como la fuerza eléctrica
Fe
que actúa sobre una carga de prueba positiva q 0 colocada en ese punto. Dividida entre la carga de prueba. E
F e
S.I. [N/C]
q0
Decimos que: en un punto existe un campo eléctrico, si una carga de prueba en dicho punto experimenta una fuerza eléctrica. El campo eléctrico es un vector que toma la dirección de la fuerza eléctrica.
¿Por que se utiliza una carga de prueba para medir el campo eléctrico sobre ella? R/ La carga de prueba prueba deberá ser lo suficientemente pequeña para que no afecte a la distribución de de carga responsable del campo eléctrico
E
lim q
F e o
0
q0
2.2 Campo eléctrico producido por una carga puntual
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO APARICIO
1
q +
E = E = E
E
q0 *
r
F e q0 q q0
1
4 0 q 0 r 2
1 4
q 0
2
r
2.3 Campo eléctrico debido a un sistema de cargas puntuales E3 r 1
+ q1
E2
q0
*
r 2
E3
+
r 3
q2
+ q3 n
1 E 2 E 3............ E n=∑ E i Principio de superposición E neto = E i =1
2.4 Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga Una colección de un gran numero de cargas elementales (e = 1.60x10 -19 C) puede considerarse como una distribución continua. El campo establecido por la distribución de carga continua puede calcula calcularse rse al dividi dividirr la distri distribuc bución ión en element elementos os infinit infinitesim esimales ales dq
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO APARICIO
cada cada element elemento o de carga carga
2
establece un campo dE en dE en un punto P punto P y y el campo resultante en P en P se se determina a partir del principio de superposición.
∫ dE
E =
E x =∫ dE x , E y =∫ dE y , E z =∫ dE z
A menudo podemos simplificar el calculo argumentando sobre la base de simetría, que una o dos de las integrales se hacen cero o que las dos de ellas tienen valores idénticos.
dq
1
dE
4
2
0
r
r: es la distancia desde el elemento de carga dq al punto P punto P..
Ilustraremos este tipo de calculo con varios ejemplos, en los cuales suponemos que la carga esta distribuida de manera uniforme a lo largo de una linea , sobre una superficie, o en el interior de un volumen. Cuando se hacen estos cálculos, es conveniente usar el concepto de densidad de carga.
Distribución Lineal Si una carga Q esta distribuida de manera uniforme a lo largo de una linea de longitud l.
=
Q l
= densidad densidad de carga lineal [ C / m ] dQ = ds o
dQ =
Q ds l
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3
Distribución Superficial Si una carga Q esta distribuida de manera uniforme sobre una superficie de área A área A..
=
Q A
= densidad decarga superficial [ C / m2 ] dQ = dA
o
dQ =
Q dA A
Distribución Volumetrica Si una carga Q se encuentra distribuida de manera uniforme en un volumen V.
=
Q V
= densidad densidad de carga volumetrica volumetrica [ C / m 3 ] dQ = dV o
dQ =
Q dV V
2.5 Calculo del campo eléctrico producido por: a) Un alambre cargado uniformemente. b) Un anillo cargado uniformemente. c) Un disco cargado uniformemente. d) Un dipolo.
a) Linea (varilla) de carga infinita z
z dz
x
+ + + + + + + + + + + + +
dEz
y θ
* P
dE θ
dEy
y
r dq
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4
y = pequeña comparada con la longitud de la linea
¿Cual es el campo E campo E aa una distancia y de la linea? dE =
1
dq
4 0
r
2
dz 4 0 y 2 z 2 1
dE =
el campo eléctrico en el punto P tiene dos componentes: dE z =dE sen
dE y = dE cos dE cos y
∫ dE
E y =
∫ dE
E z =
y
y
= z =
∫
E y =
z
= z =
dEcos
E z =
y
z =− =−
∫
dEsen
z =− =−
E = E y E z = z =
E =
∫
= z =
dEcos
z =− =−
∫
dEsen
z =− =−
Por simetría z = =
E = 2
∫
z = =
dEcos
z =− =−
∫
dEsen
z =− =−
z = =
E = 2
∫
cos dE
z =0
z = =
E = 2
∫
cos
z =0
E = 2 0
dz 4 0 y 2 z 2 1
= z =
∫
z =0
cos
dz 2
2
y z
,
tan =
z , z = y tan , y
2
dz = y sec d
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5
E = 2 0
E = 2 0
=/ 2
∫
=0
=/ 2
∫
E = 2 0 y
E
2
cos
=0
E = 2 0 y
E =
2
y sec sec d cos 2 2 2 y y tan
y sec d 2
y 1 tan
=/ 2
∫
2
, sec 2 =1 tan 2
2
sec d
cos
=0
2
sec
=/ 2
∫
cos d
=0
[ sen − sen 0 ] 2 0 y 2
2
0
y
El problema tiene una simetría cilíndrica con respecto al eje z . En todos los puntos del plano xy a una distancia r de r de la linea de carga. E
2
0
r
(Linea infinita)
b) El anillo de carga
z dE dEcosθ
θ
dEsenθ
*P θ z
r
+ +
ds +
+
+
+
R
+ +
y
+
x
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6
¿Cual es el campo eléctrico en un punto P punto P aa una distancia z distancia z del del plano del anillo a lo largo de su eje central?
dq = ds Elemento diferencial del anillo
dE =
dE =
1
dq
4 0
r
2
ds 4 0 z 2 R 2 1
Notese que todos los elementos de carga que forman el anillo están a la misma distancia r del r del punto P Por simetría E y = E x = 0
E = E z
dE z =dEcos
dE z =
ds cos , 4 0 z R2
dE z =
ds z ajustando tenemos: 4 0 z R2 r
dE z =
1
2
2
z ds
1 4 0
2
z R2 3
/2
z ds
1
z 2 R 23 /2
0
E z =
z r
1
∫ 4
E z =
cos =
s = 2 R
z 2
4 0 z
2 3/ 2
R
∫
ds
s =0
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7
E z =
E z =
z 2
4 0 z
/
R2 3 2
[ 2 R− 0 ]
z 2 R 2
4 0 z
2 3/ 2
R
La carga total del anillo dq = ds q = = 2 R
E z
q z 2
4
0
z
R
2 3 2
(Anillo cargado)
En los los punt puntos os muy muy lejan lejanos os del del anill anillo o de modo modo que que
z ≫ R , pode podemo moss desp despre recia ciarr a R 2 en
comparación con z 2 E z =
E z =
E z =
E z
q z 2
2 3 /2
4 0 z 0
q z 2 3 /2
4 0 z
q z 3
4 0 z
1 4
q 2 0 z
z ≫ R
Si z lo z lo sustituimos por r por r , A distancias muy grandes, el anillo parecería como una carga puntual.
Si z = 0 , E = 0 Una carga de prueba en el centro del anillo seria empujado o jalado igualmente en todas las direcciones en el plano del anillo y no experimentaría ninguna fuerza neta.
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8
c) Un disco de carga
z
dE
*P
z
dw
w
y R
x
¿Cual es el campo eléctrico en el punto P punto P aa una distancia z distancia z del del disco a lo largo de su eje? Estrategia: Dividir al disco en anillos concentricos y calcular el campo eléctrico sumando (integrando) el anillo plano con radio w y anchura dw
dq = dA ,
dA= 2 w dw
dq = 2 w dw
dE z =
q z 2
2 3 /2
4 0 z R
campo eléctrico de un anillo
sustituyendo dq = q y R = w
dE z =
dE z =
dE z =
z dq 2
2 3/ 2
4 0 z w
z 2 w dw 2
4 0 z w
2 3 /2
z 2 z w 2 −3 /2 2w dw 4 0
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9
z
∫ 4
E z =
2 −3/ 2
2
z w
2w dw
0
R
z 2 2 −3/ 2 z w 2w dw E z = ∫ 4 0 0
sea
2
u = z w
2
du = 2wdw
R
z − 3/ 2 u du E z = ∫ 4 0 0
z u −3/ 21 E z = 0 − R 4 0 − 3 / 2 1
E z =
z −2 u −1/ 2 0− R 4 0
E z =
z −2 z 2 w2 −1/ 2 0− R 4 0
E z =
z −2 0− R Evaluando, tenemos: 4 0 z 2 w 2
−2 −2 − 2 2 2 2 z R z 0 z z
−2 2 factor común 2 2 z R z z
2
−1 2
z z R
2
1
z
ordenando
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10
2
1
−
z
1
z R z 2
2
E z =
z 1 1 2 − 2 2 4 0 z z z R
E z =
z z − 2 2 2 0 z z z R
E z
2
1 0
z 2
z
R
2
(disco cargado)
Ecuación valida para z > 0 si R ≫ z ; z 0 entonces:
E z
Para
2
0
(lamina infinita)
z 0 ; para tales puntos cercanos, el disco cargado se comporta realmente como si fuera
una extensión infinita.
d) El dipolo eléctrico z
+
q
θ
r
x
d
Eθ q
P Carga de prueba * θ θ E+
x
r E
-
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11
¿Cual es el campo eléctrico E en el punto punto P a una distancia x distancia x a lo largo de la bisectriz perpendicular a la linea que une a las cargas?
= E − − E E = E = 2Ecos
E = 2
E = 2
E =
E
1
q
4 0 r 2
cos
q d / 2 4 0 r 2 r 1
1
qd
4 0 r 3
qd
1 2
4
0
x
d
2
2 3 2
Campo eléctrico en P debido a un dipolo.
E qd Esta esencial propiedad se llama momento dipolar eléctrico “P”
P qd El momento dipolar es una propiedad de las moléculas.
E
P
1 2
4
0
x
d
2
2 3 2
(Momento dipolar)
Si x ≫ d ; d 0
E =
E
1
P
4 0
[ x 0 / 2 2 ]3 /2
1 4
2
P 3 0 x
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12
2.6 Lineas de Fuerza
Características 1. Las lineas lineas de fuerza fuerza dan la dirección dirección del del campo campo eléctrico eléctrico en cualqu cualquier ier punto. punto. 2. Las lineas lineas de fuerza fuerza se originan originan en las cargas cargas positiv positivas as y terminan terminan en las cargas cargas negativa negativas. s. 3. Las lineas lineas de fuerza fuerza se trazan trazan de tal modo que que el numero numero de lineas lineas por unidad unidad de área área de sección transversal (perpendicular a las lineas) sea proporcional a la magnitud del campo.
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13
2.7 Carga puntual en un campo eléctrico uniforme
= F E q
= E q F
(Fuerza Constante)
=m a F
a=
∣ ∣ F m
Eq a= m
a
1 (q y E no cambian) m
1.
∑ F = ma
2. Ecuac Ecuacio ione ness de cin cinemá emáti tica. ca.
2.8 Un dipolo en un campo eléctrico uniforme.
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14
total = Fpositiva Fnegativa Pivote en el centro del dipolo
total = F
d 2
sen F
d 2
sen
total = F dsen
total = qE dsen total = qd Esen
total
P Esen
total
P x E E
P
Entrando en la pagina E
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15
Ejercicio #1: Una varilla de vidrio esta doblada en un semicírculo de radio r Una carga +q esta uniformemente distribuida a lo largo de la mitad superior, y una carga -q esta uniformemente
en P distribuida a lo largo de la mitad inferior (ver figura) ¿Determine el campo eléctrico E en P en en el centro del semicírculo?
+
+
ds
+
+
dθ
+ +
+ + + -
*P -
+
+
r -
-
-
+ -
*P -
-
r
θ θ
-
-
dE
-
dE
-
Por simetría
dE =2 dEcos
dE =2
E =
1
dq
4 0 r 2
1 2 0
dq
∫ r
2
cos
cos
pero s =r ds = rd dq = ds dq = rd
E = E =
1 2 0
∫
r d 2
r
cos
∫ d cos 2 0 r
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16
/2
E = ∫ cos d 2 0 r 0
E =
[ sen ] [ 0− / 2 ] 2 0 r
E =
[ sen − sen0 ] 2 0 r 2
E
2
0
r
pero: L =
r 2
q = L
=
q = , L
E =
2
,
=
2q r
2q / r 2 0 r
E = 2
E
q r
q 2
2
2 0 r
q 2
2
0 r
hacia abajo R/
Ejercicio #2 Un electrón que se mueve con una velocidad de 4.86x10 6 m/s se dispara en forma paralela a un campo eléctrico de 1030 N/C de intensidad dispuesto de tal modo que retarda su movimiento. a) ¿Que distancia recorrerá el electrón en el campo antes de llegar (momentáneamente) al reposo y b) b) Cuanto tiempo transcurrirá? c) Si el campo eléctrico termina abruptamente después
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17
de 7.88 mm, ¿que fracción de su energía cinética inicial perderá el electrón al atravesarlo?
Datos:
+ + + + + + +
6
v 0 =4.86x10 m / s E =1030 N 1030 N / C
d =?
a)
2
F
*
E
-
2
v =v 0 2 ad
−v 20=−2 ad
2
d =
v0
(1)
2a
pero, F =qE F =eE 2a Ley de Newton F =ma eE = ma
a=
eE (2) m
Sustituyendo 2 en 1 2
d =
v0 2eE
m 2
d =
v0 m 2eE
6
2
−31
4.86x10 m / s 9.11x10 kg d = −31 2 1.60x C 1030 N / C
ING. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO APARICIO
18
d
0.0653 m 6.53 cm R/
b) t = ?
v =v 0 at
t =
t =
t =
v0 a
v0 eE m
m v0 eE
−31
6
9.11x10 kg 4.86x10 m / s t = −19 1.60x10 C 1030 N / C
t
2.69x10 8 s 26.9 x10 9 s 26.9 ns R/
c) d = 7.88 mm después de que E = 0 ¿Fracción de energía cinética perdida? 2
2
v =v 0 2 ad
v = v 0− 2 ad 2
2
v = v 0−
2 eEd m
− 19
6
2
v = 4.86x10 m / s −
2 1.60x10
C 1030 N / C 0.00788 m
9.11x10−31 kg
v =4557259.5 m / s
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19
1 2 m v f K f 2 = K i 1 2 m vi 2
K f K i
2
=
v f 2
vi
4557259.5 m / s 2 = K i 4.86x10 6 m / s 2
K f
K f K i
=0.879
La energía perdida sera: 1−0.879 =0.121
R/
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20