CÁLCULOS
Se trata de diseñar un aerogenerador eólico que, tomando en consideración que las condiciones en las que opere el dispositivo son las siguientes: Velocidad del viento en la locación ( ) Densidad del aire (
)
Viscosidad dinámica del aire a 15 °C ( Viscosidad cinemática del aire a 15 °C (
) )
COEFICIENTE DE POTENCIA (CP) Y RELACIÓN DE VELOCIDADES (λ) El coeficiente de potencia Cp permite representar las principales características de las hélices, en combinación con otro importante parámetro adimensional λ. Este último, establece la relación entre la velocidad de la punta de la pala y la velocidad del viento.
Donde:
es la velocidad angular expresada en
y R es el radio de la
hélice en m. Para determinar de forma correcta la relación de velocidades
en función
del coeficiente de potencia CP se debe considerar el tipo de aerogenerador
que se pretende diseñar, luego, haciendo uso del la Figura 1 se determinará de forma aproximada ambos valores.
Figura 1. Rendimientos de hélices de molinos y turbinas de viento. Bastianón, R (2008)
En 1937, Glauert (1937) comenzó el estudio del rendimiento de las hélices para turbinas eólicas en función de λ . Posteriormente, este estudio fue completado por diversos autores y en la Figura 1 se han representado los resultados de estos trabajos. Se puede observar que el molino multipala y el Savonius
alcanzan
su
máxima
eficiencia
para
un
valor
de
λ
aproximadamente igual a 1 mientras que la hélice de 2 palas o la Darrieus
alcanzan su máximo para valores de λ = 5. Puede notarse en la Figura 1, que los máximos valores de CP para turbinas rápidas con elevado λ, son mayores que las de bajo valor de λ. Los valores de CP(Máx) representan el rendimiento aerodinámico máximo de la hélice. Los altos valores de λ con los que se obtienen mayores rendimientos, se hacen significativos cuando se debe generar electricidad, ya que por la característica propia de las máquinas eléctricas, requieren elevada velocidad de giro (Hütter, U. 1961). En el caso particular del aerogenerador a diseñar, se considerará que éste constará de 3 palas y un radio de la hélice de 0.8 m por lo que, de acuerdo a la Figura 1, una buena elección del valor de la relación de velocidades puede fijarse en 5. Mediante el valor establecido para la relación de velocidades calcular la velocidad angular expresada en
se puede
(rpm) de acuerdo a la
siguiente relación:
Sustituyendo los valores conocidos se tiene que:
Para expresar este último resultado en siguiente relación:
(rpm) se hace uso de la
Sustituyendo los valores conocidos, se obtiene:
CÁLCULO DE LA SOLIDEZ (S)
Para una hélice dada, se denomina solidez a la relación entre la superficie proyectada por las palas sobre el disco de la hélice y la superficie frontal barrida por la hélice, es decir:
Donde:
es la superficie proyectada de las palas y viene dada por la
siguiente relación:
∫
Para
(número de palas) igual a 3,
(Cuerda del perfil de la hélice) igual
a 0,08 m y el radio de la hélice (R) igual a 0.8 metros, se tiene que:
Además, relación:
(área frontal barrida) pude determinarse a partir de la
Donde:
.
Sustituyendo los valores conocidos para (
se obtiene:
)
Con los valores obtenidos para la superficie proyectada de las palas ( y el área frontal barrida (
)
) se puede establecer la solidez del
aerogenerador de la siguiente manera:
Los aparatos de elevada solidez poseen un fuerte momento de arranque y giran a baja velocidad. Estas máquinas se adaptan bien para el bombeo de agua pues en el arranque pueden necesitar desplazar un importante volumen de fluido y además es preferible la circulación del líquido por las cañerías a baja velocidad, para disminuir las pérdidas. A medida que disminuye la solidez, la hélice puede girar a mayor velocidad. Esta característica es importante pues para la generación de electricidad se requiere alta velocidad de rotación, con lo cual la máquina eléctrica disminuye sus dimensiones, su peso y consecuentemente su precio. Al disminuir la solidez de la hélice, deberá tenerse en cuenta que el momento de arranque también se reduce. Éste no deberá descender por debajo del mínimo que permita arrancar, si bien es cierto que en algunos casos se puede recurrir a otros elementos adicionales que ayudan a la puesta en marcha.
Adicionalmente, al disminuir la solidez, las palas se hacen cada vez más delgadas, con valores de cuerda reducidos y por lo tanto más frágiles. A partir de un cierto punto, por razones de resistencia estructural, la pala no puede hacerse más delgada y su forma se aparta de la configuración óptima.
NÚMERO DE PALAS (N)
Las hélices de elevada solidez son multipalas, pudiendo llegar a tener unas 25, mientras que las de baja solidez son de una, dos o tres palas. Entre las de baja solidez debe mencionarse que si bien, el rendimiento aerodinámico aumenta al aumentar el número de palas, este incremento se hace poco significativo para hélices con más de tres palas según se aprecia en la Figura 2.
Figura 2. Rendimiento Aerodinámico (Cp) vs. λ , para diferente número de palas. Bastianón, R (2008)
Hélice de una pala: Estas hélices requieren un contrapeso que compense a la pala y el balanceo debe realizarse con mucho cuidado y precisión debido a la extremada sensibilidad que tienen a las vibraciones. Resultan atractivas económicamente por necesitar sólo una pala, que es un elemento costoso pero las dificultades producidas por las vibraciones, las hacen poco prácticas. Hélice de dos palas: Son más económicas que las de 3 palas pero son más sensibles que éstas a las vibraciones. En turbinas de baja potencia, con hélice de 2 palas y de paso fijo, la hélice puede construirse entera con un solo larguero pasante, mientras que si es de paso variable esto ya no es posible pero todo el mecanismo de cambio de paso resulta más simple que en una de mayor número de palas. Hélices de tres palas: Su característica principal es su mayor suavidad de funcionamiento y ésta es una importante cualidad.
Por todo lo que antecede, para hélices rápidas, de alta velocidad de giro, son recomendables las hélices de dos o tres palas.
TAMAÑO DE LA HÉLICE
Para determinar el tamaño de la hélice es necesario conocer la potencia eléctrica requerida por el usuario y los rendimientos de los distintos elementos que integran la turbina. El generador eléctrico para máquinas de más de 10 Kw tiene un rendimiento del 92 % pero para potencias menores, en el mercado nacional puede llegar a valores tan bajos como el 50 %. Estos generadores eléctricos de poca potencia provienen de la industria automotor y sus rendimientos son normalmente bajos. Como para la generación eléctrica es necesario alcanzar un alto número de revoluciones suele ser necesario incorporar un multiplicador de
velocidades. Si éste es una caja de engranajes el rendimiento puede alcanzar el 90 %. Por su parte, la hélice de eje horizontal adecuadamente diseñada puede captar hasta un 42 % de la potencia disponible en el viento mientras que hélices calculadas y realizadas con poco cuidado pueden bajar su rendimiento hasta un 10 %. El rendimiento global de la turbina será:
El rendimiento eléctrico
puede estimarse con cierto grado de
aproximación en un 60%. El rendimiento mecánico debido a una caja de engranaje se estima en un 90%. Para calcular el CP (Coeficiente de potencia) máximo se puede emplear la siguiente relación debida a Wilson (1976)
(
)
[
(
)
]
Para poder emplear esta fórmula es necesario primeramente, elegir el perfil aerodinámico más adecuado a las necesidades. La elección del perfil aerodinámico para hélices de aerogeneradores, se inicia seleccionando aquellos que poseen un elevado coeficiente de sustentación (CL) y simultáneamente un bajo coeficiente de resistencia (CD). Esto normalmente se obtiene tomando aquellos perfiles que poseen altos valores de la relación sustentación sobre resistencia, CL/CD y luego, se deberá considerar otras propiedades relacionadas con la forma en que CL y CD varían con el ángulo de ataque. Para las turbinas eólicas se sugieren aquellos perfiles en los cuales el coeficiente CL alcanza su valor máximo en forma suave, evitando los que tienen picos agudos de CL en función de α, en los cuales la abrupta caída de la sustentación pueden producir fuertes vibraciones.
Las exigencias para lograr coeficientes aerodinámicos óptimos, conducen a perfiles muy delgados pero como éstos por lo general no son lo suficientemente resistentes como para soportar los considerables esfuerzos a que serán sometidos, se deberá realizar un compromiso entre la aerodinámica y la resistencia estructural. Un cuidadoso análisis es requerido en este punto pues la resistencia estructural está íntimamente asociada con el diseño de la pala y con los materiales empleados en su construcción. Se requiere un proceso iterativo comenzando con la aerodinámica. Luego se calculan los esfuerzos sobre la pala para las condiciones de mayor exigencia posible durante la vida útil y se establece el diseño adecuado, por ejemplo, de largueros y costillas que resistan estos esfuerzos con los materiales seleccionados. Si estos requerimientos no son satisfechos habrá que optar por un perfil aerodinámico más resistente y rehacer nuevamente el proceso. El costo de fabricación también debe ser considerado. En la siguiente Tabla se muestran los distintos valores para las cuerdas en función del diámetro de las paletas del aerogenerador. Estos valores son obtenidos de la evidencia experimental que muestra que el ancho promedio del perfil de la paleta es del orden del 5% del diámetro de las paletas en conjunto.
Cuerda (en mm)
Diámetro de las paletas (en metros) 1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
Tabla 1. Diámetros y cuerdas para hélices.
El perfil elegido es el perfil aerodinámico NACA 4412. Este perfil presenta las ventajas de su fácil fabricación y considerable resistencia debido a los esfuerzos durante la vida útil del dispositivo. Una muestra del perfil elegido es mostrada a continuación en la Figura 3.
Figura 3. Perfil NACA 4412
Mediante la utilización del software Javafoil se obtienen las principales características del citado perfil como se muestra a continuación:
Tabla 2. Valores característicos para el perfil NACA 4412. Re=24000
Se observa en la Tabla 1 que los valores de CL y CD son 1,352 y 0,04190 respectivamente. Con estos valores, se puede calcular el valor de C P (Máx). Sustituyendo se obtiene:
(
)
[
( ) (( )
( ) )
(
)
( )
]
CÁLCULO DE LOS FACTORES DE VELOCIDAD ANGULAR a y a’
El factor de velocidad angular a viene dado por la siguiente expresión:
(
)(
)
√
Sustituyendo el valor de la relación de velocidades
ya determinado se
tiene que:
(
)(
)
√
Resolviendo la ecuación planteada, se obtienen las raíces para este polinomio cuyos valores son:
El segundo valor del factor de velocidad angular ( ) viene dado por: (
)
De las raíces obtenidas para a, se considerará únicamente la que tiene el valor de 0,332367 debido a que la otra raíz anularía el valor del segundo factor de velocidad angular. Sustituyendo los valores ya conocidos, se tiene que:
(
)(
)
Cuyas raíces son:
CÁLCULO DEL ÁNGULO DE ATAQUE
Para determinar el valor del ángulo de ataque
se hace uso de la
siguiente relación: ( (
) )
Sustituyendo los valores conocidos se obtiene: ( (
) )
√
Con los valores obtenidos para los factores de velocidad angular y el ángulo de ataque, se procede a calcular los valores de la velocidad axial (V)
y la velocidad de rotación del aire rotativa (Vtr). Para ello, se debe observar la Figura 4
Figura 4. Ángulos y componentes de la velocidad sobre un perfil aerodinámico
CÁLCULO DE LA VELOCIDAD AXIAL (V) (
)
Sustituyendo los valores conocidos para la velocidad del viento en la locación (
) y el valor del factor de velocidad angular (
) se obtiene:
(
)
CÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE ROTACIÓN DEL AIRE ROTATIVA (Vtr). (
)
Sustituyendo los valores conocidos se tiene que:
(
)
CÁLCULO DE LA VELOCIDAD RELATIVA (Vr)
√
Sustituyendo valores
√(
)
(
)
CÁLCULO DEL NÚMERO DE REYNOLDS (Re)
Sustituyendo valores se obtiene:
Con este valor obtenido para el número de Reynolds, se replantean los valores mostrado en la Tabla 2 usando la Tabla 3
Tabla 3. Valores característicos para el perfil NACA 4412 para Reynolds 28425,8
CÁLCULO DEL ESFUERZO AXIAL O EMPUJE (FA)
(
)
Sustituyendo valores se obtiene:
(
) (
( )
( ))
CÁLCULO DEL ESFUERZO TANGENCIAL (FT)
(
( )
( ))
Sustituyendo valores se obtiene:
) (
(
( )
( ))
CÁLCULO DEL TORQUE (T0)
(
( )
( ))
Sustituyendo valores se obtiene:
(
)
(
( )
( ))
(
)
CÁLCULO DE LA POTENCIA DISPONIBLE POR EL AEROGENERADOR (Pd)
Sustituyendo valores:
(
)
CÁLCULO DE LA POTENCIA CAPTADA POR EL AEROGENERADOR (Pc)
Sustituyendo valores:
(
)