CÁLCULO VECTORIAL APLICADO A LA INGENIERÍA CIVIL
En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones aplicaciones del cálculo vectorial se encuentra en la rama del diseño de vías y carreteras, más específicamente, específicamente, en la curvatura de estas construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las curvas de transición y la curva como tal.
En las rectas, la curvatura es igual a cero; en las curvas de transición, la curvatura es variable y en la curva como tal, la curvatura es constante. En este blog, se intentara eplicar y hacer un especial !nfasis en las curvas de transición, es decir, con curvatura variable. "entro de las aplicaciones del cálculo vectorial a la ingeniería civil, es posible encontrar numerosos e#emplos en $atinoam!rica, en especial en la parte geom!trica. % manera manera de e#emplo, e#emplo, se puede nombrar nombrar la optimi&ación optimi&ación del área agrícola agrícola en los los andenes incas, donde se presenta claramente un e#emplo de curvas de contorno y de maimi&ación del área. 'ambi!n se puede nombrar el establecimiento de poblaciones en valles y la construcción de caminos a trav!s de pasos de montañas, aquí se puede ver una clara influencia y utili&ación de los mínimos locales y de puntos de ensilladura. Es bueno e importante saber y tener en cuenta que las matemáticas son una creación de la humanidad y por lo tanto sus usos están completamente dirigidos al provecho de la humanidad. % manera manera de e#emplo, e#emplo, podemos recalcar recalcar la importancia importancia que tuvo la matemática en la la civili&ación egipcia para la construcción de inmensos e imponentes monumentos. En el continente americano, especialmente en las culturas prehispánicas utili&aron la geometría en gran cantidad por e#emplo en la construcción o creación de los andenes incas o las pirámides mayas. En la realidad de nuestra cotidianidad las matemáticas en general tienen innumerables aplicaciones pero el problema radica en que en las cátedras donde se enseñan las matemáticas, se hace desde una realidad muy le#ana de la local. %un así como en todo no se debe generali&ar en ning(n momento y hay numerosos e#emplos de educadores que hacen un muy gran esfuer&o por aterri&ar al educando a una realidad muy cercana a !l. )omo e#emplo, los estudiantes que se encuentran ubicados en las &onas rurales deben aprender sobre aplicaciones relativas a su realidad, como por e#emplo, aprender a medir la tierra o aproimar el volumen de troncos cortados. Estos e#emplos no deben ser eclusivos de localidades como estas sino que deben hacer parte de un n(cleo general de aplicaciones que deben hacer parte de la enseñan&a de las matemáticas en cualquier lugar del mundo. $as matemáticas que son impartidas en $atinoam!rica están muy influenciadas por bibliografías bibliografías etran#eras, ale#ando de esta manera al estudiante de la realidad que debería interesarle. Estos paradigmas se deben romper con el fin de que el estudiante
pueda sentirse cada ve& más motivado hacia el estudio de las matemáticas y que así pueda desempeñarse mucho me#or en las asignaturas correspondientes. Es muy com(n encontrar en varios tetos de enseñan&a de las matemáticas, que los enunciados de la mayoría de los e#ercicios, hacen referencia a una realidad a veces muy le#ana como naves espaciales o maimi&ación de lucros en grandes empresas. *bviamente, los tetos no se deben hacer a un lado e ignorar la revolución científico+ tecnológica que ha tenido lugar en la ra&a humana, pero los temas que se deben tratar, deben enfrentar al estudiante con problemas de su propia realidad, y deben tratar temas desde los más simples hasta los más comple#os. El cálculo vectorial puede llegar a ser muy atractivo para un estudiante al cual se le presenten una serie de problemas relacionados con su cotidianidad. "entro de los numerosos e#emplos del uso del cálculo vectorial en $atinoam!rica, podemos destacar los andenes incas, que fueron una serie de terra&as que sirvieron para me#orar considerablemente la agricultura de la cultura inca en !pocas prehispánicas. $a catedral de aringa en -rasil y su forma cónica son otro gran e#emplo del uso del cálculo y de la geometría en la realidad latinoamericana. 'ambi!n podemos encontrar aplicaciones al cálculo vectorial en las montañas, cumbres, lagos y en general en toda la parte de la orografía que sirvió de mucha ayuda a todas las civili&aciones para tomar decisiones críticas a la hora de construir sus creaciones. $a aproimación de los espe#os de una bahía nos ofrece otra gran muestra de aplicaciones del cálculo vectorial. En las siguientes imágenes podemos observar diversas aplicaciones de la curvatura en la vida real .
Puente Juscelino Kubitschek, Brasilia (Brasil). Aquí se puede observar una calada con curvas consecutivas muy complicadas, donde su diseo tuvo que haber tenido en cuenta las numerosas curvaturas en la cal!ada de tal manera que no se e"cedan los valores m#"imos planteados por la re$lamentaci%n.
&as altas velocidades de los autom%viles, unidas a unas curvaturas en las carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto ries$o de accidentalidad en estos tra!ados.
'onstrucci%n de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una carretera, es necesario que se lleven a cabo una $ran cantidad de estudios que conllevaran posteriormente a un diseo preliminar. n este diseo la curvatura ue$a un papel muy importante para $aranti!ar la su*ciente se$uridad al conductor.
Andenes incas ubicados de +orma circular donde se puede observar el estudio $eomtrico que debi% tener lu$ar durante su diseo y construcci%n.
En este caso se ve un claro ejemplo e curvatura en una carretera !esta es la carretera e Covaon"a # mollepata u$%caa en nuestra c%ua&
Esta curva es conocida como clotoide la cual es fundamental para el diseño de carreteras y sus aplicaciones
Cloto%e' la curva (ue r%"e la se"ur%a en carreteras ) *errocarr%les $os primeros tra&ados de carreteras y vías f!rreas encadenaban tramos rectos con arcos de circunferencia. ero, cuando coches y trenes alcan&aron velocidades más altas, se producía una incómoda y peligrosa sacudida al entrar en la curva. $os ingenieros comen&aron a buscar una solución, y la encontraron en las matemáticas y la física. /maginemos que se tiene que diseñar una autovía o una vía f!rrea de alta velocidad . 0eguro que se intentará que haya todas las rectas posibles, pero tambi!n se tendrá que hacer alguna curva. 1 como la más sencilla de todas es la circunferencia, lo más fácil es ir empalmando tramos rectos con arcos de circunferencia. %lgo parecido a una cinta transportadora.
arece que así fueron los primeros tra&ados y, como los primeros carros y trenes no iban a mucha velocidad, todo iba como la seda. ero la cosa cambió cuando los vehículos fueron capaces de alcan&ar velocidades mayores. %l entrar en la curva, en las uniones entre tramos, se notaba una s(bita sacudida. %sí que los ingenieros comen&aron a estudiar qu! pasaba y cómo se podía solucionar. $a respuesta es fácil de entender y sólo se necesita dos componentes. El primero viene de la geometría y es el ra%o e curvatura , un concepto bastante intuitivo. ara una circunferencia, el radio de curvatura es simplemente el radio de la circunferencia. ara una recta puedes pensar que !sta es una circunferencia muy grande, de radio infinito. %sí el radio de curvatura de una recta será infinito. El segundo componente viene de la física y es la *uer+a centr,*u"a , cuyo significado es a(n más intuitivo. %demás se sabe que la fuer&a es 2masa por aceleración2 y, simplificando un poco, la fuer&a centrífuga resulta ser lo siguiente: 34m-v56r "onde m es la masa, v es la velocidad y r es el radio de curvatura. or un lado tienes la masa y la velocidad, que en la fórmula aparecen multiplicando. %sí que cuanto más grandes sean, mayor será la fuer&a centrífuga. $o cual tiene lógica; puesto que si se va más deprisa, la fuer&a centrífuga será mayor, lo mismo que si se tiene mayor masa. or otro lado se tiene el radio de curvatura, que en la fórmula aparece dividiendo. %sí que cuanto más grande sea, menor será la fuer&a centrífuga. 'iene lógica; en una recta el radio de curvatura es infinito, así que 72dividiendo entre infinito28 en una recta la fuer&a centrífuga es cero. 'ambi!n se sabe que, a igual velocidad, la fuer&a centrífuga es menor en una curva 2más abierta2 7con mayor radio8 que en otra 2más cerrada2.
%hora veremos qu! pasa en las uniones entre recta y circunferencia. En esos puntos el radio de curvatura r pasa de ser infinito a ser un n(mero más o menos pequeño 7el radio 9 de la circunferencia8. %sí que en el denominador de la fórmula había un descenso brusco y por eso se producía un aumento brusco de la fuer&a centrífuga. 9epasando la fórmula 34m-v56r se tiene: $a masa m, multiplicando. "isminuir !sta requeriría adelga&ar el vehículo y sus ocupantes y es algo que difícilmente puede ocurrir. $a velocidad v, multiplicando 7además al cuadrado8. 0e podría ir más despacio, pero entonces se tardarías más y eso es algo desfavorable. El radio de curvatura r, dividiendo. El de la recta es infinito, no se puede cambiar. 0e podría aumentar el radio de la circunferencia, pero entonces 7como en la imagen anterior8 las rectas serían más cortas y tampoco es favorable. or lo tanto se tiene que introducir una curva e trans%c%-n entre la recta y la circunferencia. %demás sería óptimo que, en esa transición, el radio de curvatura r fuera disminuyendo suavemente desde el infinito de la recta hasta el radio 9 de la circunferencia. 0eg(n la fórmula, eso haría que la fuer&a centrífuga cambiara de manera suave, en lugar de hacerlo bruscamente.
El radio de curvatura r y la distancia d recorrida son inversamente proporcionales. Eso significa que su producto siempre el mismo n(mero. usto esta propiedad es la que define a la curva cloto%e, donde su ecuación es precisamente d-r4)5 7donde ) es una constante, que se pone al cuadrado para facilitar el proceso del dibu#o8.
or eso en las carreteras y ferrocarriles las curvas suelen encadenar tramos de recta clotoide circunferencia clotoide recta. "e ese modo la fuer&a centrífuga va cambiando gradualmente y puedes girar el volante de forma progresiva, en ve& de tener que hacerlo bruscamente.
'eniendo en cuenta la carretera )ovadonga mollepata se podría calcular el radio de curvatura con datos suficientes asumidos además de que es clara aplicación de la mecánica vectorial en la ingeniería civil
A cont%nuac%-n se mostraran los pasos para anal%+ar el ra%o e curvatura en una carretera <. Eaminamos un e#emplo del mundo real relacionado con el radio de una curvatura 7en este caso la carretera )ovadonga + mollepata8. /maginamos que estamos conduciendo a trav!s de este camino curvo, for&ándonos a tomar el volante en una posición determinada. 0i en el punto % del camino se mantuviera el volante en una posición fi#a, el automóvil via#aría en círculo. "icho círculo es la curvatura de la función en el punto %, y su radio es el radio de la curvatura.
5. "erivar la ecuación del radio de una curvatura para una función f78. Esta ecuación debe derivarse con cálculo diferencial y está dada por
p!.& / !0 1 * 2!.& 34& 3 !564&6* 22!.& "onde es la coordenada de un punto en la curva, f =78 es la primera derivada de f78 y f == 78 es la segunda derivada de f78.
>. "eterminar las restricciones para f78. "ebe ser diferenciable, y su derivada tambi!n debe ser diferenciable. "ebido a que el denominador es f == 78, esta función tambi!n debe ser diferente de cero. ?. )alculamos el radio de la curvatura para una función específica. 0i f78 4 @5, entonces f =78 4 5 y f == 78 4 5. or lo tanto, 78 4 7< A f = 78 @58 @ 7>6586f == 78 4 7< A 758 @58 @ 7>65865 4 7< A ?@58 @ 7>65865. or lo tanto, el radio de la curvatura para la curva y 4 @5
Está dado por 4 7< A ?@58 @ 7>65865.
B. /nterpretamos la ecuación 4 7< A ?@58 @ 7>65865. En el punto 7C,C8, p 4 7< A ?@58 @ 7>65865 4 7< A C865 4 D. El radio de la curvatura de la función y 4 @5 en el punto 7C,C8 es D y su centro es 7C,58.
"e esta manera visuali&ando carreteras en la vida real se puede calcular el radio de curvatura que es parte del estudio en el cálculo vectorial que se aprecia en el curso, además teniendo esta ve& en cuenta como se generan estas carreteras a partir de una clotoide.
$as integrales dobles, triples, circulares, teoremas de 0toes y demás t ambi!n son parte de las aplicaciones que tiene el cálculo vectorial en la ingeniería civil. El teorema de 0toes es una generali&ación de teorema fundamental del )álculo para varias variables y se aplica principalmente en 3ísica, aparte de la ecánica de 3luidos tambi!n se puede aplicar en el campo el!ctrico, que viene a ser parte, especialmente la mecánica de fluidos de nuestra carrera en sí.
Otro claro ejemplo relac%onao con lo anter%or' %ma"%nemos una super*%c%e c%rcular (ue puee ser claramente la curvatura e una carretera o en 5 para la ela$orac%-n e una monta7a rusa o las m%smas carreteras en $ajaa ) su$%a cont%nua' entonces asum%eno atos sujetos a restr%cc%ones s%mples poemos ver%*%car el teorema e 8to9es en el c:lculo %nte"ral vector%al;
0i 3 4 7, y, &8 y 0 es la superficie & 4 F A yF, & G <.
arametri&amos la superficie 0 <: H 7u, v8 4 7u, v, C8, uF A vF G < )alculamos n: Hu 4 7<, C,C8 Hv 4 7C, <,C8 E< +E5 E> n 4 Hu Hv 4
<
C
C
C
<
C
n 4 7C, C,<8 n apunta hacia & I C. Jallamos el rot3:
rot 3 4
E<
+E5
E>
K6K
K6Ky
K6K&
y
&
rot 3 4 7Ky6Ky + K6K&,+ Ky6K A K&6K&, K6K A K&6Ky8 4 7< + C,+C A <,< + C8 rot 3 4 7<, <,<8 lanteamos la integral del segundo miembro:
<<0) rot 3.d0 4 <<0< rot 3.d0 4 <<" 7<, <,<8. 7C, C,<8.du.dv 4 <<" du.dv asando a sistema de coordenadas polares: u 4 r.cos L v 4 r.sen L
M NN 4 r M
<<" du.dv 4 <<"P r.dr.dL
CGrG< C G L G 5.O
ara el primer miembro parametri&amos la frontera de 0 <, es decir K0: ) 4 7cos t, sin t, <8, C G t G 5.O reparamos las partes de la integral: )P 4 7+sin t, cos t, C8 37) 7t88 4 7<, cos t, sin t8 lanteamos la integral del primer miembro:
)omo vemos el teorema de 0toes nos ayuda a calcular superficies en el espacio. Espacios que pueden variar en forma infinita.
Como aprec%amos el c:lculo vector%al es %n%spensa$le en la %n"en%er,a c%v%l )a (ue r%"e parte %mportante e la m%sma' centr:nose m:s en las apl%cac%ones en carreteras (ue por o$v%as ra+ones son las (ue m:s a$unanc%a t%ene en el campo e la construcc%-n re"%o por el c:lculo vector%al=
