CÁLCULO INTEGRAL TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
CHRISTIAN DAVID PULLA MERCHÁN
ING. IVÁN FERNÁNDEZ DE CÓRDOVA
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, ARQUITECTURA Y DISEÑO CUENCA 2013
CÁLCULO INTEGRAL La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma: 1. Se escoge una función f ( x) y un intervalo [a, b]. 2. Se halla una anti derivada de f , es decir, una función F tal que F' = f . 3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integración,
4. Por tanto, el valor de la integral es F (b) − F (a).
Wikipedia (2013, mayo). Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n
Teorema Fundamental del Cálculo El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
Primer Teorema
Dada una función f integrable sobre el intervalo definimos F sobre
por
entonces F es derivable en
. Si f es continua en [a,b] y
.
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
,
Segundo Teorema
El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función. Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces:
Wikipedia (2013, junio). Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN A continuación se indican algunas técnicas de Integración que nos permitirán encontrar las integrales de una clase muy amplia de funciones.
Integración por Cambio de Variable
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Ejemplo: Suponiendo que la integral a resolver es:
En la integral se reemplaza
con
Ahora se necesita sustituir también Se tiene que despeja
Simplificando:
:
para que la integral quede sólo en función de .
por tanto derivando se obtiene y se agrega donde corresponde en:
. A continuación se
Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno. Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites de integración. Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo. En este caso, como se hizo
: (límite inferior) (límite superior)
Tras de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
Wikipedia (2013, junio). Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_cambio_de_variable#M.C3.A9todo_de_integrac i.C3.B3n_por_sustituci.C3.B3n
Integración por Partes
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema: Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca menos flaca (menos integral) Vestida De Uniforme". Eligiendo adecuadamente los valores de
y
, puede simplificarse mucho la resolución de la integral.
. Un buen orden para escoger la u según la función es este: 1. Trigonométrica Inversa 2. Logarítmica 3. Algebraica o polinómica 4. Trigonométrica 5. Exponencial.
Wikipedia (2013, junio). Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_partes#M.C3.A9todo_de_integraci.C3.B3n_por _partes
Integración por Sustitución Trigonométrica
La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma ,
y
Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas. En el caso general la integral a resolver es:
Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, primeramente sacaremos operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.
De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:
1.
Λ
es decir:
2.
Λ
es decir:
3.
Λ
es decir:
teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con
Estos son los cambios que hay que realizar según la situación: 1. 2. 3.
factor común, y
La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en , se resuelve y se deshace el cambio.
Wikipedia (2012, noviembre). Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_por_sustituci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica
Integración de Funciones Trigonométricas
Con carácter general un cambio que resulta muchas veces útil expresar las potencias funciones trigonométricas mediante funciones de ángulos múltiples, eso puede lograrse gracias a las siguientes identidades:
Por ejemplo las dos fórmulas anteriores permiten substituir potencias complejas de la función coseno por el coseno de ángulos múltiplo:
Integral que contiene potencias de senos y cosenos En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno). La identidad y coseno. Existen 3 casos:
permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno
Cuando n es impar Cuando identidad
,
podemos
apartar
un
factor
del
seno
y
sustituirlo
por
para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:
la
Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo ,
. Como en la expresión no tenemos un
por
y nos queda la expresión
multiplicamos ambos lados
que ya podemos sustituir:
Cuando m es impar Cuando
,
podemos
emplear
de
la
misma
manera
apartar
un
factor
de
para poder expresar los factores restantes en términos del
al hacer
y
coseno
y
:
tendríamos
Cuando m y n son pares Cuando dichas potencias son pares a la vez mitad de ángulo:
algunas veces es útil usar la identidad:
sería igual a:
y
, podemos aplicar las identidades de la
Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes Se puede usar una estrategia similar a la anterior. Puesto que:
, se puede separar un factor la
secante
en
una
expresión
identidad
relacionada
y convertir la potencia restante (par) de con
la
tangente
por
medio
de
la
.
O bien, puesto que:
, se puede separar un factor
y convertir la potencia restante
(par) de tangente a secante. Existen 3 casos:
Cuando n es par separar un factor de factores restantes en términos de
de esta manera podemos hacer
y utilice
para lograr expresar los
:
y
y el integral quedaría así:
Cuando m es impar apartar un factor de expresar los factores que restan en términos de
y emplear :
para poder
de esta manera se puede hacer
y
, con lo que queda
La tangente tiene potencia par
La Secante tiene potencia impar En este caso se procede a integrar por partes.
Wikipedia (2013, junio). Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integraci%C3%B3n#Integrales_de_funciones_trigo nom.C3.A9tricas
Integración de Fracciones Parciales
El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador. Para mayor claridad, sea:
en donde: la forma:
. Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función
o
de
Casos Factores Lineales Distintos Donde ningún par de factores es idéntico.
Donde
son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Factores lineales repetidos Donde los pares de factores son idénticos.
Donde
son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Factores cuadráticos distintos Donde ningún par de factores es idéntico.
Donde denominador se anula.
son constantes a determinar, y ningún
Factores cuadráticos repetidos
Donde denominador se anula.
son constantes a determinar, y ningún
Wikipedia (2013, mayo). Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_parcial
Integración de Funciones Racionales
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del denominador, si no fuera así se dividiría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador, descomponemos el denominador en factores. Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de integrales racionales :
Integrales racionales con raíces reales simples
La fracción
puede escribirse así:
Los coeficientes A, B y C son números que que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes o dando valores a x.
Integrales racionales con raíces reales múltiples La fracción
puede escribirse así:
Vitutor. Disponible en:
http://www.vitutor.com/integrales/metodos/integrales_racionales.html
a)
Integración de Funciones Irracionales
donde R es una función racional.
Se reduce a la integral de una función racional mediante el cambio x = t k , donde "k" es el mínimo común múltiplo de los denominadores (n, ...,s).
b)
donde R es una función racional.
Se reduce a la integral de una función racional mediante el cambio,
donde "μ" es el mínimo común múltiplo de los denominadores (n, q, ...,v).
c)
donde R es una función racional.
c.1) Si a > 0, el cambio a realizar es
c.2) Si c > 0, el cambio a realizar es
c.3) Si a < 0 y c < 0, el cambio a realizar es
, con ax2 + bx + c = a(x-α)(x-β)
Integración de Funciones Exponenciales
La siguiente es una lista de integrales de funciones exponenciales.
Wikipedia (2013, marzo). Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Lista_de_integrales_de_funciones_exponenciales
Integración de Funciones Logarítmicas
La función logaritmo natural es l a f unc ió n de fi ni da po r
De esta definición resulta inmediato, como consecuencia del Teorema Fundamental del Cálculo, que
De acuerdo con lo anterior, tenemos las dos importantes integrales siguientes:
Scribd, Marco Alfaro C. (2011, julio). Disponible en:
http://es.scribd.com/doc/57299982/integrales
