Cálculo Integral, 3ra Edición - Samuel Fuenlabrada

Cálculo integral Tercera edición

S a m u e l F u e n la b ra d a de la V e g a T ru c ío s Instituto Politécnico Nacional

R evisora técnica Irma Fuenlabrada Velázquez D epartam ento de Investigaciones Educativas C entro de investigación y de estudios avanzados Instituto Politécnico N acional

México • Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa • Madrid • Nueva York • San Juan • Santiago • Auckland • Londres • Milán • Montreal • Nueva Delhi • San Francisco • Singapur • St, Louts • Sydney • Toronto

Publisher de la división escolar: Jorge Rodríguez Hernández Director editorial: Ricardo Martín Del Campo Editora de desarrollo: Talia Delgadillo Santoyo Supervisól a de producción: Jacqueline Brieño Alvarez Diseño de portada e interiores: Código X, S.C. Formación tipográfica: Overprint, S.A. de C.V.

Cálculo integral Tercera edición

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. The First Printing : Februray, 2007

DERECHOS RESERVADOS © 2007, respecto a la primera edición por: McGRAW-HILL / INTERAMERICANA EDITORES S.A DE C.V

A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015 Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Alvaro Obregón C.P. 01376, México D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN-13: 978-970-10-6195-4 ISBN-10: 970-10-6195-0 (ISBN 970-10-4706-0 Segunda edición)

1234567890

09875432106

Impreso en Korea Doosan Printing 475-1, Mongnae-dong, Danwon-gu Ansan-si, Gyeonggi-do, 425-100, Korea

Printed in Corea

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Uno de los valores agregados de esta nueva edición es el CD que acompaña a tu libro de texto. En este disco podrás encontrar evaluaciones, ejercicios adicionales, formularios y glosarios. Te recomendamos revisar el apartado de Extras, en donde podrás leer artículos de interés relacionados con tu futuro profesional y la práctica de las matemáticas

Todos estos recursos harán que la práctica de las matemáticas sea más dinámica y atractiva. No necesitas tener instalado ningún programa en particular porque el software es autoejecutable y eres tú el que decide qué capítulos revisar y sobre todo, qué actividades realizar.

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Toda la información está catalogada por capítulos y tienes la opción de imprimir tus evaluaciones para que puedas consultar con tu profesor cualquier duda.

Conoce tu libro Organización Para esta nueva edición, hemos mejorado la presentación de los temas para mejor referencia de profesores y alumnos. Este nuevo formato te permitirá ubicar con mayor facilidad las partes y secciones en las que se divide tu libro.

C a p itu lo 1 D ife re n c ia le s Introducción

Consideraciones generales

3

Conceptos clave En cada entrada de capítulo podrás ubicar los términos más importantes que se analizarán y que es importante memorices para continuar con tu progreso de aprendizaje. Estos términos representan la base que te permitirá adquirir conocimientos más complejos y que además se mencionarán en cursos más avanzados.

Secciones de apoyo A lo largo de cada capítulo, identificarás notas y comentarios que te ayudarán a comprender mejor el desarrollo de los temas. En la sección ¡Anótalo! podrás encontrar fórmulas que te facilitarán la resolución de ejercicios y problemas. La sección ¡Recuerda! es una referencia a conceptos expuestos previamente y que es importante vuelvas a aplicar para entender un nuevo tema. SufanamiliHt*0*1%I' ■

¡Aplícate! Nueva sección de ejercicios que aparece después de haber estudiado un tema de extensión y complejidad considerable. Si tienes la capacidad de resolver los ejercicios ahí sugeridos, significa que tienes la capacidad para continuar con el resto de los temas del capítulo.

**¡¡£5

Ejercicios de repaso Con esta sección de ejercicios concluyes el estudio de un capítulo. Los problemas que se incluyen en este apartado incluyen aplicaciones de todos los temas analizados. Sirve como una herramienta de autoevaluación y guía de estudio.

F o rm u la rio

Form ulario Al final de tu libro encontrarás un formulario que te ayudará a identificar las operaciones básicas de cálculo integral. Consúltalo cada vez que tengas que resolver los ejercicios de las secciones ¡Aplícate! y Ejercicios de repaso.

Contenido C a p ítu lo 1

D iferen ciales

1

C o n sid e ra c io n e s g e n e ra le s

1

D ifere n ciales

2

In terp retació n g eo m é trica d e la d ife ren cial

3

F ó rm u las d e d ife ren ciació n

6

D ifere n ciació n im p lícita

7

D ifere n ciales su ce siv a s d e una fu n ció n

8

E je rcicio s d e rep a so

8

C a p ítu lo 2

A n tid erivad as. In tegració n indefinida

11

A n tid e riv a d a

11

In teg ral ind efin id a

12

F ó rm u las d e d eriv a ció n . F ó rm u las d e in te g ració n

12

C o n ce p to s b ásico s d e la in teg ració n

14

E je rcicio s d e rep aso

19

C a p ítu lo 3

Integración de una fu n ció n co m p u esta

21

S u stitu ció n p o r ca m b io de v a ria b le

21

D e d u cció n d e fó rm u las para d eriv ar in te g rale s d e la form a

J tan* dx, |

cotx dx,

J secx dx, J cscx dx

25


C a p ítu lo 4

29

C o n stan te de in teg ració n

33

C á lc u lo d el v alo r n u m érico d e la co n sta n te C

33

Sig n ificad o g eo m é trico de la co n sta n te d e in te g ració n

36

C a p ítu lo 5

Integ rales in m ed iatas. F u n cio n es trig o n o m étricas

d irectas

Reco rd ato rio d e trig o n o m e tría

39 39

Fó rm u las d e in te g ració n d e las fu n cio n e s trig o n o m é trica s d ire ctas

40

A lg u n o s p ro ce d im ien to s d e in teg ració n d e las fu n cio n e s trig o n o m é tricas d ire ctas

40


56

C a p ítu lo 6

Integ rales in m ed iatas. F u n cio n es trig o n o m étricas

in versas

61

Fó rm u las d e in te g ració n d e fu n cio n e s trig o n o m é tricas in v e rsa s

61

A lg u n o s p ro ce d im ien to s d e in teg ració n d e las fu n cio n e s trig o n o m é trica s in v e rsa s

61

El in te g ran d o se e x p re sa co m o la su m a d e d o s co cie n te s

63


76

C a p ítu lo 7

Integ rales in m ed iatas. Fu n cio n es e x p o n e n ciale s y

logarítm icas

79

Fó rm u las d e in te g ració n e x p o n e n cial

79

Fó rm u las d e in te g ració n log arítm ica

87


98

R esu m en d e las in te g rale s in m ed iatas

C a p ítu lo 8

101

M étodos de in teg ración . Integración de fu n cio n es trig o n o m étricas

A lg u n o s p ro ce d im ien to s d e so lu ció n

*

103 103

In teg ració n d e la form a

J serTw cos”« du

104


J tan"’u sec"u du

108


J cof'w esc"u du J sen mu eos nu du

110


112


C a p ítu lo 9

113

M étodos de in teg ración . Integración por partes

119

Fórm u la d e in te g ració n p o r p artes

119

P ro ce d im ien to d e in te g ració n por p arte s

119


132

C a p ítu lo 10

M étodos de in teg ración . Integración por su stitu ció n trig o n o m étrica

D e sarro llo d e la e xp resió n

yja2- x 2= ac os 0

D e sarro llo d e la e x p resió n >la 2+ x 2 = D e sarro llo de la e x p resió n V * 2-

135 136

a sec 6

136

a = a tan 0

137

P ro ce d im ien to p ara reso lv e r u na in te g ral por su stitu ció n trig o n o m é trica

138

El in te g ran d o in clu ye una ex p resió n d e la form a

\la 2- x 2

139

El in te g ran d o in clu ye una e xp resió n d e la form a

yja2+ x 2

142

El in te g ran d o in clu ye una ex p resió n d e la form a

yjx2 —a 2

E je rcicio s de rep a so

C a p ítu lo 11

145 147

M étodos de in teg ración . Integración por fraccio n es p arciales

D efin ición

149 149

El resu ltad o d e la in te g ració n d e una fu n ció n racio nal im p rop ia se p u ed e e x p re sa r co m o la sum a d e un p o lin o m io y d e u n a fu n ció n racio n al prop ia

149

C a so 1. T o d o s los facto re s lin e a le s d el d e n o m in a d o r son d istin to s

151

C a so 2. A lg u n o s d e los facto re s lin e a le s d e d e n o m in a d o r se rep iten

154

C a so 3. T o d o s los facto re s cu ad rático s (irredu cib les) del d e n o m in a d o r son d istin to s

156

C a so 4 . A lg u n o s facto re s cu ad rático s(irre d u cib le s) d el d e n o m in a d o r se rep iten

158


175

C a p ítu lo 12

M étodos de in teg ración . Integración por racio n alizació n

177

R acio n alizació n d e e x p re sio n e s q u e in clu ye n p o te n cia s fra ccio n a rias p

i_

d e a + bx, co m o (a+bx)q, ( a+ bx )' R a cio n alizació n d e e x p re sio n e s q u e ú n ica m e n te in clu ye n una p o te n cia fra ccio n a ria d e x

177 179

R a cio n alizació n d e e x p re sio n e s q u e in clu yen d ife ren tes p o te n cia s fra ccio n a rias a

d e x, co m o

c

x h, x d

181

R a cio n alizació n d e e x p re sio n e s q ue in clu ye n una p o tencia fraccio n aria

m

t

del tip o ( a+ bx )"

185

R a cio n alizació n d e e x p re sio n e s q ue in clu ye n fu n cio n e s racio n a le s de sen

C a p ítu lo 13

uy

d e eos

u en

el d e n o m in a d o r

188

Integral definida

195

A n te c e d e n te s h istó rico s

195

Su m a d e R iem an n

197

P ro p ie d a d e s d e la su m a d e R iem an n

198

F ó rm u las d e la su m a d e R iem an n

198

Su m as d e R iem an n co n n o tació n sig m a

199

Á reas (in terp retació n intuitiva)

201

In teg ració n d efin id a co m o el lím ite d e u n a sum a (in terp retació n intuitiva)

202

Su m a d e R iem an n (con tin u ació n)

203

La in teg ral d efin id a co m o lím ite d e su m a s de R iem an n

206

P ro ce d im ien to p ara ca lcu lar una in teg ral d efin id a

207

P ro p ie d a d e s d e la integral d efin id a

209

In teg rale s d efin id as p o r ca m b io d e v a ria b le (cálcu lo d e n u e v o s extrem o s)

211


C a p ítu lo 14

214

La integ ral definida en el cálcu lo de áre a s

217

T e o re m a fu n d a m e n ta l del cá lcu lo

217

Á re a s

217

Á re a s d e d o s cu rva s en un in te rv a lo

224


232

C a p ítu lo 15

La in teg ración definida en el cálcu lo de vo lú m e n e s

233

Só lid o d e rev o lu ció n

233

M étodo d el d isco p ara ca lcu lar el v o lu m e n

233

El sólido d e revo lu ció n con un ag u je ro . El m é to d o d e las a ra n d e la s

238

V o lu m en d e un só lid o cu an d o el e je d e revo lu ció n e s p aralelo al e je d e las

x o al

d e las y .

240

Lo n g itu d d e un a rco (curva)

241


243

F o rm u la rio

245

Capítulo 1 Diferenciales Introducción En este capítulo analizaremos la diferencial de una función. Para resolver integrales es necesario aplicar un procedimiento llamado cambio de variable o método de sustitución, en el cual se requiere calcular la diferencial de la expresión seleccionada para así realizar el cambio de variable. La integral J eos 2 xdx se resuelve por cambio de variable.

Consideraciones generales En cálculo diferencial aplicamos una regla general de derivación conocida como reg la d e los cu atro p aso s. Con esta regla podemos obtener las fórmulas para derivar todo tipo de funciones. En cálculo integral, sin embargo, no existe una regla general que se pueda aplicar para integrar las diferenciales. En realidad, cada caso requiere un trato especial. La in te g ració n es un proceso de ensayos; por esa razón, en este libro te presentaremos diversas fórmulas y métodos para facilitar su estudio. Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo utilizan con frecuencia las ta b la s d e in te g rale s. Sin embargo, muchas de las fórmulas que aparecen en ellas se obtuvieron a partir de los métodos de integración que analizaremos en este texto. Por eso te recomendamos no utilizar estas tablas hasta que hayas desarrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Además, te sugerimos no mecanizar los métodos, sino que trates de entenderlos dentro de la estructura general del cálculo. Es conveniente que resuelvas sólo los ejercicios propuestos y los que señale tu profesor. Si tienes dificultad con algunos, insiste en obtener la solución; revisa la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar y afirmar tu conocimiento. Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien en uno de sus libros señala: "Separar y jerarquizar las dificultades procediendo de la menor a la mayor cuando se aborda un tema nuevo (...) ”. En efecto, es recomendable que la enseñanza se plantee bajo un esquema gradual de dificultad. Hay profesores que por impresionar a sus alumnos empiezan por los temas más difíciles y dejan hasta el último los temas más sencillos. "Conviene dirigir toda la fu erza del espíritu a las cosas más sencillas y fáciles de entender y detenerse en ellas largo tiempo hasta acostumbrarse a intuir la verdad con claridad y distinción ”. Una vez que tienes un conocimiento firme o eres capaz de manejar los métodos para resolver un problema, debes practicar y trabajar con ese conocimiento el tiempo que sea necesario para dominarlo. Sólo hasta entonces serás capaz de resolver otros problemas semejantes e incluso de m ayor complejidad.

Conceptos clave Regla de los cuatro pasos Integración Tablas de integrales Diferencial de una función

2

Si no comprendes el desarrollo de un problema y sólo lo repites, caerás en una mecanización que no te brindará ningún beneficio, pues por sí sola, la repetición causa entorpecimiento. El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro te facilitará la solución de los problemas que tu profesor te dicte y que seguramente propondrá para el examen. En cálculo diferencial dividimos infinitesimalmente una línea, un área, un volumen o cualquier otro cuerpo multidimensional representado por una ecuación; es decir, hacemos divisiones cada vez más pequeñas. En cálculo integral, por el contrario, la suma total de estas divisiones se acerca cada vez más al resultado que se desea: una distancia, un área, un volumen o cualquier otro parámetro. El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales, pero difícil y compleja en su aplicación. En el libro Cálculo diferencial, el autor establece: “La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable cuando el incremento de la variable tiende a cero. Se expresa:

, A derivada = — = lím — dx a*-»0 A x

Cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene una derivada” .

Diferenciales Definición La d ife ren cial d e una fu n ció n es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.

¡A n ó ta lo !

Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la función. E je m p lo s:

i

— x n = nx"-' dx

■ 1. Sea la función y = x 4 Su primera derivada es y ' = 4x4-1 = 4x' Su diferencial se expresa dy = 4xJAx ■ 2. Calcula la diferencial de !a función y = 3x2 para x = 4 y el Ax = 0.2 y ' = 3(2x) = 6x dy = 6xAx Sustituyendo: d{ 3x2) = 6(4)(0.2) = 4.8 Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas siguientes:

Capítulo 1 Diferenciales

D f(x)

Cauchy

f (x)

Lagrange

y'

Lagrange

— dx

Leibnitz (Se lee “derivada de y con respecto a x”)

Por lo tanto: derivada: — = lím — = D f(x ) = f \ x ) = y ' dx Ax Sea la función y = f(x ) La primera derivada se expresa así: £ = /- w dx Si multiplicamos ambos miembros por í /x , tenemos: dy =f'{x )d x la cual aceptamos como otra definición de la diferencial de una función y se lee: la diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente.

¡ A n ó ta lo , _ x=j dx' ^ — c —0 dx

E je m p lo s :

■ 1. Calcula la diferencialde y = 5x3 - x + 2 S o lu ció n :

y = 5x3 - x + 2 / = 15x2 - 1 d{ 5x3 - x + 2) = (15x2 - 1)dx ■ 2. Calcula la diferencial de y = V l- 3 x S o lu ció n :

y = -s /l- 3 x 0 y ,( r,—T ~ \ _ '

3¿/x 2 V l- 3 x

Interpretación geom étrica de la diferencial En la gráfica de la función y = /(x ) observamos:

CD = Ay

d

2 V l- 3 x

Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial, debemos calcular su primera derivada.

A D = Ax

¡ A n ó ta lo !

d r .= dxU ^

2Vw

3

B C A

a

X

a Ax

E

dy

Ay D

Ax _ £ _____ > x+ A x

En el triángulo rectángulo ADB BD ta n a = = AD BD = ^ D ta n a = Ax f \ x ) Al considerar la definición inicial de la diferencial tenemos: dy = f'{ x ) A x de donde en (1) dy = ~BD La diferencial de una función y = f(x ) en un punto es el incremento de la tangente a la curva en ese punto. Entonces, de acuerdo con la gráfica anterior: Ay = CD\ dy = BD serán aproximada mente iguales cuando Ax = AD sea muy pequeño. E je m p lo :

■ 1. Calcula la diferencial de la función y = 5x2 para x = 4 y el Ax = 0.2 So lu ció n :

y = 5x2 y '= lOx Sustituyendo: dy = /'(*)A x d(5x2)= 10(4)(0.2) = 8.0

Problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función E je m p lo s:

■ 1. Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado, cuyo lado mide 5 m, si éste recibe un aumento de 0.002 m.


S o lu ció n :

Fórmula del área de un cuadrado: A = l2 /= 5 m A/ = 0.002 m El área del cuadrado depende de la magnitud del lado, por lo que decimos que el área es función del lado A = / ( / ) = l2 A '= f \ l ) = 2l dA = / '( / ) = di dA = 2 l- di dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m 2 Incremento = 0.020 m 2 ■ 2. Determina el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo, cuyo lado mide 2 m, al aumentar el lado 0.003 m. S o lu ció n :

Fórmula del volumen de un cubo v=P

d v = f\l)d l

1= 2 m

dv = 3/2 • di

A l = 0.003 m

dv = 3(2)2 (0.003) = 0.036 m3

v '= / ( / ) = 3 /2

Incremento =

■ 3. Si V36 = 6 , calcula el valor aproximado de y¡3S S o lu ció n :

Función:

y = Vx yÍ36= 6 Ax = 3 8 - 3 6 = 2 y =4x / = / '< * ) =

1 2 Vx

dy = f \ x ) d x

fy

* = 2 = i = 0 . 166 2Vx 2V36 6

V38 = 6 + 0.166 = 6.166

0.036 m3

5

6

Cálculo integral

Fórmulas de diferenciación Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, aceptamos que a cada fónnula de derivación desarrollada en el curso de cálculo diferencial le corresponde una diferenciación, la cual citamos a continuación: En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, C es una constante y n un número natural. 1. d(C ) = 0 (dx) = 0

12. d(sec u) = tan u sec u du

.

2 d(x) = 1 (dx) = dx

13. d(esc u) = cot u esc u du

3. d(u + v —w) = du + dv - dw

14. £/(arcsenw) =

du Vi - u2

4. d(Cu) = C du

du

15. d i are eos w

V l- w 2 5. d(uv) = udv + vdu

16. ¿/(are tan «

du 1+ u2

6. d(un) = nu"~x du

7.

, u\

du

17. ¿/(arccotw

1+ u2

vdu - udv

du

18. d ( are sec u

uyju2 - 1 8 . ¿/(sen u) = eos « ¿/w

du

19. ¿/(arccscw

uyju2 - 1 9. ¿/(eos u) = - sen w du

10. ¿/(tan m) = sec2 u du

20. d ( ln u ) = — v ’ u 2 1 . ¿ /(lo g a )— - du

v

11. d(cot w) = - esc2 u du

’ u

22. ¿/(ewj = e"du

E je m p lo :

■ 1. Calcula d(5x2 - 2x + 4) S o lu ció n :

Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer y segundo términos apli camos las fórmulas 4 y 6. Para el último término aplicamos la fórmula 1. d(5x2- 2x + 4) = d(5x2) - d(2x) + d(4) = lOx dx - 2dx


Factorizando dx: = ( 1 0 x - 2 )dx E je m p lo :

x ■ 1. Calcula d x + sen — 2 S o lu ció n :

Primero aplicamos la fórmula 3; para el primer término aplicamos la fórmula 2 y para el segundo término aplicamos la fórmula 8. x x x + sen— = d (x) + d sen — 2 2 x d_ = 1dx + eos— dx 2 dx v 2 , x = dx + eos— dx 2 vL factorizando dx: 1 x^\ 1+ —eos— dx

2 ,

2

Diferenciación im plícita Hecha la derivación se despeja dy. E je m p lo :

■ 1. Diferenciar x —5y 2 = 2 y

S o lu ció n :

x - 5y 2 - 2 y = 0

d (x )

d (5 y 2)

d (2 y )

dx

dx

dx

-=

0

l - \ O y — —2 — = 0 dx dx dy ( lOjv 2 ) = 1 dx - S ( ' 0 ^ 2 )= ->

M ultiplicando por -1 f ( ‘o , + 2 H

d y ( \0 y + 2} = l(c/x)

8

Cálculo integral

\(dx) = dx

Como

* = ---------* dy 10j> + 2

D iferenciales sucesivas de una función La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera, considerando para dx un valor fijo. dy = f \ x ) d x d 2y = f " ( x ) d 2x La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda (si dx es constante) y así sucesivamente. E je m p lo :

■ 1. Calcula la tercera diferencial de y = 4x5 - 5x2 -1 d(4x5 - 5 x 2- \ ) = (20x4 - 10x)dx S o lu ció n :

d 2(4x5 - 5 x 2- \ ) = í / [ ( 2 0 x 4 - \0x)dx] = (80x3 - 10) d \ 4 x s - 5x2 - 1) = ¿/[(80x3 - 10)d 2x] =240x 2d ix

Ejercicios de repaso

I. Calcula las diferenciales de las siguientes funciones: 1. y = 5x2

Sol.

2. y = 3x4 - 5x3+ 4x - 1

Sol. ^ 12xJ —15x2+ 4 j dx

3. y = J l - 5 x

Sol. -

lOx dx

5dx 2 V 3 -5 x

4. y = ¡ j ( x - 4)

Sol.

2 dx 3yfx^-4

5. y = \¡sen*

Sol.

cosx dx 2 (s e n x )2

6. y = tan 2x

Sol. ^2 sec2 2xjc/x

C apítulo 1 Diferenciales

, 3 3 sen — dx >>= cos:

So/.

3x 8. / ( * ) = yjl —X

So/.

9. y = tan x - 2 x

Sol. ^sec2 x —2 \d x

7.

3^2 —xjt/x

2 f-* r

10. y = are sen tí

Sol.

11. y = arcco tx

Sol.

dx y/a2- x 2 2 xdx \+x4 dx

12. y = are eos— 3

Sol. —

13.y = (3xi -1 )

Sol. 9 x2 dx

14. y = 2 sen— 2

Sol. eos —dx 2

15. y = \n x 2

Sol. — dx x

16. y = are eos 2x

Sol.

y¡9 —X2

-2 dx Vi —4 jc2

17. Calcula el valor aproximado de \¡39 si y¡36= 6

Sol. 6.25

18.Determina el valor aproximado de t]\2 9 si yl125 = 5

So/.

5.053

19. Calcula el incremento del área de un cuadrado de lado 7 m al aumentar el lado 3 mm Sol. 0.042 m 2 20. Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 5.3 m al aumentar el lado

0.007 m. Sol. 0.589 m3 21. Determina el valor aproximado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8 cm de radio

cuando el radio aumenta 3 cm. Sol. 6.02 cm2

10

Cálculo integral

II.

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. dy 1. La expresión — = f \ x ) representa la diferencial de la función f ( x ) dx 2. dy =f (x)dx es igual a d y = f (x)Aj

3. Para calcular la diferencial de una función no es necesaria la derivada de la función.

4. Es imposible calcular la diferencial de funciones implícitas.

Sol. 1. Falsa 2. Verdadera 3. Falsa 4. Falsa III.

Resuelve aplicando diferenciales 1. Calcula el valor aproximado de V27

Sol. 5.2

2. Calcula el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 60 cm, si éste recibe un aumento de 0.5 cm. Sol. 30 cm2

Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida Introducción Para estudiar el crecimiento de las poblaciones, los expertos utilizan la fórmula

dy

— - k y . Si la población (y) crece cuando aumenta el tiempo (f), se aplica la ley

dt

de crecimiento natural. Si la población disminuye mientras transcurre el tiempo, se aplica la ley de decrecimiento natural. La fórmula que se utiliza para estos cálculos es una derivada y para encontrar la función que pueda aplicarse a un determinado problema, necesitamos expresarla primero como una ecuación

dy

diferencial — = kdt y después integrar cada miembro de la igualdad, quedando de la siguiente manera:

J— = J kdt-

Antiderivada La adición y la sustracción son operaciones inversas, al igual que la división y la multiplicación; lo mismo se puede decir de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente. En cálculo diferencial estudiamos el problema para obtener la derivada /'( x ) de una función /(x ). Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada la derivada f'(x ) trataremos de obtener la función /(x ).

Definición A una función F se le llama antiderivada de una función f en un intervalo /, si F '(x) = / ( x ) para todo valor de x en el intervalo. Por comodidad, este concepto se expresa con la frase “-F(x) es una antiderivada de /( * ) ” Las expresiones

in teg ral in d e fin id a

y

fu n ció n p rim itiva

an tid e riv ad a.

Ejem plos: a)

Integra las siguientes expresiones: 1. 3x2 dx es la diferencial de x3 x3 es la antidiferencial de 3x2 dx 2. -se n x dx es la diferencial de eos x eos x es la antidiferencial de -se n x dx

b) Deriva las siguientes expresiones:

son sinónimos de la palabra

Conceptos clave Integral indefinida Función primitiva Antiderivada Método de integración

Cálculo integral

! • /( * ) = * 4 F'(x) = 4X3 2 ./ ( x ) = x 4- 6 F (x ) = 4x3 3. / ( x ) = x 4+ - í F'(x) = 4X3 Las funciones (1 ,2 y 3) representadas por f ( x ) = jc4 + C, donde C es una constante (un número real no especificado) tienen por derivada F'(x) = Ax3.

Integral indefinida A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama integración y se denota con el símbolo J , que es la inicial de la palabra suma. Si F(x) es una función primitiva def( x ) se expresa: y = J f ( x ) dx = F (x ) + C si y sólo si F'(x) + C =f( x ) La expresión J f ( x ) dx es la antiderivada de f( x ) | es el signo de integración y se lee “integral de” f( x )

Integrando

dx

Diferencial de la variable

x

Variable de integración

F(x)

Función primitiva

C

Constante de integración

si en la expresión (1)

y = j f ( x ) d x = F (x ) + C

y como en la definición de la antiderivada señalamos que F'(x) = /(* ), sustituimos en la expresión anterior: ]> (*)£/* = F (x ) + C queda:

f ( x ) = F \x ) Dado que la derivación y la integración son operaciones inversas, podemos obtener las fórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación.

Fórm ulas de derivación. Fórm ulas de integración ^

dx

=0

Capítulo 2 Antiderivadas. Integración indefinida

• La derivada de una constante respecto a x es cero.

J k dx = kx + C

— -k x = k d x dx

• La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función. -^-(x ) = l dx • La derivada de una variable con respecto a sí misma es igual a la unidad. De suma o diferencia

• La derivada con respecto a x de la suma o diferencia de un número finito de funciones es igual a la suma o diferencia de sus derivadas. De potencia

A partir de aquí consideraremos a u como cualquier función de la variable x.

con n j t —l • La derivada de una función u elevada a un exponente entero positivo es igual al producto del exponente por la función u elevada a ese exponente disminuida en uno, por la derivada de la función u. Si n = —1

L \u + C T rig o n o m é trica s

d_ dx

dx

• La derivada del seno de una función u es el coseno de la función u multiplicado por la derivada de la función u respecto a x.

14

Cálculo integral

d du — cosw = -s e n w — dx dx

e senw¿/w = -co sw + C J

• La derivada del coseno de una función u es igual a menos el seno de la función u, multiplicado por la derivada de la función u con respecto a x. d 2 du — tanzz = s e c z/— dx dx

r 2 , ^ s e c u du = tan u + C J

• La derivada de la tangente de una función u es igual al cuadrado de la secante de la función u, multiplicada por la derivada de la función u con respecto a x. d 2 du — cotzz —esc" u — dx dx

J

f 2 » ^ esc” u du = —cot u + C

• La derivada de la cotangente de una función u es igual a menos la cosecante cuadrada de la función u, multiplicada por la derivada de la función u respecto a x. d du — seczz = secz/tanz/— dx dx

r J

secz/tanw du = secw + C

• La derivada de la secante de una función u es igual a la secante de la función u por la tangente de la función u, multiplicada por la derivada de la función u respecto a x.

J tan u du = l \sec z/| + C | c o tu du = L | sen z/j + C | SQCudu = Z-|secz/ + tanw| + C J esc u du = L | esc u - cot u | + C Algunas de las fórmulas de integración citadas pueden estar multiplicadas por una constante. d / x dv du — (uv) = u — + v — dx dx dx • Las derivadas de un producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera. Se usará para deducir el

m éto d o d e in te g ració n p o r partes.

Conceptos básicos de la integración La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de las funciones

/[/(*) +g(*)~h(x)~\dx = j f(x)dx + J g(x)dx- J h(x)dx Ejemplos:

■ 1. \ [ 5 x 2+ l x - 2 ^ d x


Solución:

En este ejemplo f ( x ) = 5x2, g ( x ) = l x , h(x) = 2 , por lo tanto: J^5x2 + 1 x - 2 ^ d x = 5\ x 2dx + l \ x d x - i j d x = - x 3+ - x 2 - 2 3 2 ■2

•

J

x

+C

x - 3x + 4 c/x x V

Solución:

Primero separamos el integrando en tres fracciones y después aplicamos la fórmula. x 4 - 3x2 + 4

dx = j V

X

X

+ X

dx

= r * l
J x

J x

Jx

= J xV x - 3J x¿/x + 4 J — = —x4 - —x2 + 4 L Ix| + C 4 2 11 A cada integral habría que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del final porque la suma de varias constantes es otra constante. A continuación analizaremos con detalle los procesos que seguimos para resolver cada integral presentada en los ejemplos anteriores. La integral del p ro d u cto d e una co n sta n te por una fu n ció n e s igual a la co n sta n te por la integral d e la fu n ció n .

Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede poner como factor de la integral, como ya lo hicimos en los dos ejemplos anteriores. ¡ k f(x )d x = k j f(x )d x E je m p lo s:

■1 .

\lx * d x = l\x * d x S o lu ció n :

■2.

„ = —x 5+ C 5

\ - x 3dx = - \ x 3dx J 5 5 Solución:

+C 4

La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente original más uno. , [ « « r [ un(x) du(x) = -----------J n+ 1

Dado que u es una función de x, esta notación puede abreviarse de la forma siguiente:

f u ndu , = -----11

J

n+1

con n & -1

S in = - \ í u ]du = f —du J Ju

_ ^ ddu u u = lnlwl + C = L\u\ + C Esta fórmula se lee: “La integral de la diferencial de una función dividida entre la función es igual al logaritmo natural de la función”. E je m p lo s: f 2. * 2+1 *3 =------1. J x ddxx= hc = — + c 2+ 1 3

En este ejemplo n = 2 ■2 .

f• dx ax

.¡ i _ I — = ln x + C x = Z,(x) + C

Se toma el valor absoluto de x porque no hay logaritmos de números negativos, por eso se escribe l n |x |. También puede expresarse con la notación L |x |, la cual usaremos con mayor frecuencia. En algunos casos, por comodidad, en lugar de poner el símbolo de valor absoluto | | se escribe, por ejemplo, L (x). Se debe usar como lo sugiera el profesor. Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos de agrupación y del valor absoluto, éste se coloca en el resultado final.


En el ejemplo 3, el radical se expresó como exponente fraccionario aplicando la siguiente ley de los radicales: / — yjam = a " , en este caso m = 1 y n = 2 Para resolver el ejemplo 4 primero pasamos x3 al numerador de la fracción aplicando la siguiente ley de los exponentes: — =a m am Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando. E je m p lo :

| x(x2 - 1)3£¿c = J (x2 - 1)3x dx Por ningún motivo la variable de integración puede quedar fuera del signo de integración. E je m p lo :

J x 2dx * x jx c /x Este desarrollo no es correcto porque la variable de integración x quedó fuera del signo de integral. En algunos casos la integración se facilita si primero se realizan las operaciones indicadas (productos o cocientes de polinomios). E je m p lo s: ■ 1.

J ( 2 x + 1 ) ( x - 3 ) í /x =

S o lu ció n :

Primero realizamos la multiplicación de los binomios. El producto que resulte será el integrando. (2x + l)(x - 3) = 2x(x - 3) + l(x - 3) = 2 x 2 - 6x + x - 3 = 2x2 —5x —3

J (2x + l)(x -

3)dx = J (2x2 —5x —3)dx -

J 2x 2dx -

1 5xdx -

J 3dx

= 2 J x 2dx —5 J xdx - 3J dx =

2

-5 v 3 .

x^

2

-3 x + C

= —x3 - —x2 - 3x + C 3 2 j = ■ 2. r * - 1 dx J x -2

17

18

Cálculo integral

S o lu ció n :

Primero realizamos la división. El cociente que se obtenga será el inte grando. x 2+ 2 x +4 x —2 | x 3 —1 - x 3+ 2 x 2 2x2— 1

- 2 x 2 + 4x 4 x —\ ~4 jc+ 8 7 . A 7 = x + 2 x + 4 + -----x -2 x -2

x 3- 1

x 2 + 2x + 4 + x -2

dx

= J x2dx + J 2xt¿c + J 4c/x +1 = | x 2dx + 2 J xé /x + 4

j ¿/x

Id x x -2 dx

+ 7J

x -2

En la última integral u = x - 2; du = dx / o\ x•'2 • dw =—+2 4x + 7 — 1 3 u/ = - x3 + x2 + 4x + 7 LI m| + C 3 1 1 = - x3+ x2 + 4 x + 7Z,|x - 2 |

3

1

+C 1

Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma cantidad. E je m p lo :

• xdx x+5

S o lu ció n :

Para resolver este ejemplo debemos tomar el número 5 de la expresión x + 5. Este número se suma y se resta al numerador; la integral que resulte se descompone en dos integrales, r xdx _ r x + 5 - 5 x+5

x+5

dx

= f í ± 5 & + p L dx x+5 x+5 dx = J d x - 5J x+5


Para resolver la segunda integral, al denominador le llamaremos u y dado que la integral estará en función de u, necesitaremos obtener la diferencial de u. u =x + 5

du

= 1 (dx)

= dx

Ahora realizaremos el cambio de variable en las dos integrales: = [ d x —5 \ — J

J

U

= x —51n|w| + C Sustituimos el valor de u : f — = x - 5 1 n |x + 5| + C x+5 1 1 Recuerda que la diferencial de una función es dy = f'(x )d x, donde/'(x) es la derivada de la función. La derivada de x + 5 es 1 porque — x = 1 y — 5 = 0 . dx dx


I. Calcula las siguientes integrales 1

1

Sol. x + C

J 3 dy

Sol. 3y + C

r dx J

Sol. L |x | + C

X 3

J x~Adx

4 1 Sol. —x 4 + C 7

J 5 x 3dx

Sol. —x 4 + C 4

J 2 bx3dx

Sol. —x 4 + C 2

f —x* dx J4

Sol. —x-n/x + C 2

f dy

S o l . ---- ]- + C 2y

y3

1* dx

10. CÍ 4 V

.

11 J yfxdx

Sol. - x i + C 3 2

x5

1

x x )

*

x3

1

T _ T _ 27 4 i— Sol. - xVx + C

Cálculo integral

12. | Vx7 dx

Sol. - x V x 2"+ C 5

r dx ax 13- 177=5 x1

So/. 3vx

2

1 4. J

5 Sol. — j = - 5 y x + C Vx

15. j*5\¡5xdx 16. J

S o / .- ( 5 x ) - + C

(x - 3)dx So/. x - 6 Z - |x + 3| + C

x+ 3 — dx 17. 1 — x+1

So/.

x 2 - 3x + 5 •1

~

x

+ l |x

+ i| + c

2 2 .! So/. —x : - 2x2 + 1 0 x 2 + C 5

dx

i r

x 'd x • 1x -\

X'

X-

I

I

So/. —- + — + x + L x - l + C 3 2 1 1

20. j ( y + 2 ) ( y - \ ) d y 2 , So/. 32Vx — - xVx + —x 2Vx + C 3 5

21. J-( 4 - ^ -dx rx II.

Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. 1.

í x 2dx = —— l-C J -3

2. [ ^ - d x = — y 7 + C J 2 14 3 . j 5 x _l¿/x = Z,|x| + C

Sol. 1. Falsa

2. Verdadera

3. Falsa

III. Calcula las siguientes integrales.

1.

J Vx (2x2+ x - 3)dx x 2 + 3x + 2 x+2

3

r (x -l)¿ /x J

x+1

dx

Sol. —V 7 + —V 7 - 2 Vx7 + C 7 5 So/. —x 2+ x + C ? So/. x - 2 ¿ | x + l| + C

Capítulo 3 Integración de una función compuesta Introducción La probabilidad y la estadística son herram ientas q u e se utilizan en diversas disciplinas. En probabilidad m anejam os el co ncep to de

matemática, que

valor esperado o esperanza

en el caso d e una variable aleatoria continua se calcula con la

oo

x f(x )d x .

siguiente integral: J

O b serva q ue en el integrando se tiene el producto

—oo

Método de sustitución

d e x por una función tam b ién en térm inos d e x.

Cambio de variable

D ebido a q ue en cálculo integral no te n e m o s una fórm ula directa para resolver esta integral, d eb em o s realizar la m ultiplicación y d esp u és hacer la integración, proceso q ue p u ed e resultar com plicado. Otra alternativa es aplicar el m étodo co no cid o com o

sustitución o cambio de variable, el

Conceptos clave

cual resulta m ás sencillo.

Sustitución por cam bio de variable A pesar de que existen varias técnicas para realizar una sustitución, el propósito de todas es identificar en el integrando una función que esté multiplicada por la diferencial de esa función y así poder aplicar una fórmula de integración. En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, se escoge una literal. En nuestro caso, se eligió la u, que se iguala a la función que incluye el integrando. E je m p lo s :

Identifica en las siguientes integrales su función y su diferencial. ■ 1 . | sen I x ('l)dx du(x)

Solución:

Señalamos: u = Ix u(x) —I x Ahora calcularemos la diferencial aplicando la fórmula dy = f\x ) d x . En este caso como tenemos u(x) = Ix , la fónnula será du(x) = f'(x )d x , con f \ x ) =~ l x = l. dx du(x) = Id x I x es la función y Id x su diferencial.

22

Cálculo integral

■2. | eos 5y dx u(y) Ju 0 0

Solución:

Señalamos: u = 5y u (y) = 5y Como en el ejemplo anterior, calculamos la diferencial; en este caso como la variable es y , u(y) = 5 y y du(y ) = f(y )d y con f '{ y ) = — 5y dy du(y) = 5dy 5y es la función y dy la diferencial (incompleta). Observa que la variable de la función es y, así que la diferencial en el integrando está incompleta porque dy no se multiplica por 5, como en la diferencial que calculamos. En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación señalamos w(x) indicando con ello que u está en función de x, en seguida con du(x) calculamos su diferencial. Algunos autores y profesores, por costumbre y comodidad, proceden de la siguiente forma cuando piden integrar una expresión como la que se muestra a continuación:

J sen

I x {l)dx "

du

u = lx du = 1 dx Desde luego que este procedimiento es correcto, pero no debes olvidar que la variable u en el primer ejemplo está en función de x y en el segundo de y. Esta aclaración te será de gran ayuda en cursos superiores. Para que puedas identificar en el integrando la función y su diferencial, analizaremos varios ejemplos. Ejemplo: B l-

J (x 2 + 3): (2 * )dx = Solución:

Existen dos formas de resolver este ejemplo. La primera es a partir de la sustitución por cambio de variable y la otra es desarrollando la operación que se indicó en la página 27, del capítulo 2. Primero lo resolveremos por cambio de variable:

J (x2 + 3)2

(2x)dx--

u(x)

u = x2+ 3 u(x) = x 2 + 3 dit(x) = 2x dx

du(x)

Capítulo 3 Integración de una fundón compuesta

En este ejemplo du = f(x )d x , donde f \ x ) = — (x2 +3)2x. dx El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por su diferencial. Por lo tanto, se puede aplicar la fórmula de integración de la potencia de una función. Sustituyendo:

= J u 2du Integrando: 3 Con el valor de w, queda: (x2 + 3)3

+C

Otra solución se encuentra desarrollando la operación en el integrando: J ( x 2+ 3 )2(2x)d x =

El integrando es un polinomio, por eso podemos desarrollar su producto e integrar término a término. J (x2+3)2(2 x )d x= J (x4 + 6x2 +9)(2 x)dx

¡A n ó ta lo ! ¡ u " d u = " -+ c n +\

= J (2x5 + 12.x3+18 x)dx

j

= 2 J x 5d x + 12 x 3dx + \S J xdx 2

6

12 4

18

2

r-

= - x b+ — x + — x + C 6 4 2 = - x 6+3 x 4+9 x 2 + C 3

Los dos resultados son correctos porque si desarrollamos el primero de ellos tenemos: (x2+3)3 „ x6 + 9 x 4 + 2 7 x 2 + 27 ^ - + C = ----------------------------+ C

¡Anótalo! = - x 6 + 3x4 + 9x2 + 9+ C J kf(x)dx = k \ f(x)dx La constante en el prim er desarrollo es 9 + C, la del segundo es C, que son equivalentes. E je m p lo :

■1• J eos 5x dx Para poder aplicar la fórmula J eos u du es necesario determinar si el integrando está completo o no; es decir si cuenta con su función y su diferencial.

k es una constante

24

Cálculo integral

u = 5x u(x) = 5x é/«(x) = 5dx Para completar la diferencial en este ejemplo se tiene que multiplicar y dividir entre 5; lo cual no altera el valor del integrando porque, de hecho, se está multiplicando por uno.

= - J cos5x (5)dx ^

"(* )

du(x)

Sustituyendo:

= —í eos udu 5

Integrando: = - senw + C 5

¡A n ó ta lo !

Con el valor de u, queda:

cosudu = senu+C = -s e n 5 x + C 5 E je m p lo :

■1* J y j3 x - \d x = J(3x —1y d x S o lu ció n :

Para poder aplicar la fórmula calcular su diferencial du(x).

J u"du

es necesario identificar u(x) y

J (3 x -1 )~2dx u = 3x —1 u(x) = 3x - 1 du{x) = 3dx Aquí observamos que falta un 3 en el diferencial de la función. Se completa multiplicando y dividiendo por 3. f 1

~

J - i 3* " 1)2 (3)
du(X )

Se sustituye:

= - J u 2 du Se integra: 1 2

1 u 2+1

3 3 2 Con el valor de u, queda:

+C

C apítulo 3 Integración de una función compuesta

=-(3x-\ y + c 9

= - J (3 x -i y+ c 9

¡Anótalo! Los dos resultados son correctos. Como puedes observar del desarrollo de los dos ejemplos anteriores, para completar el integrando fue necesario multiplicar y dividir por una cantidad. Justificado el desarrollo, y por comodidad, se acostumbra proceder como se indica a continuación: E je m p lo s:

■ 1. Jsen7x£/x = — J sen7x (J)dx = —cos7x+C u = lx u(x) = I x du(x ) = Id x

■2 . J*3cos3x£/x = sen3x + C Como pudiste notar en este ejemplo, la selección de la fórmula correcta se hizo mentalmente y no tuvimos que desarrollar el proceso señalado para la integración por sustitución. Para poder aplicar una fórmula de integración es necesario que en el integrando esté la derivada de una función, lo cual significa que debe incluir la función u{x) y su diferencial du(x). Es común que se cometan errores en el desarrollo de la integración por no saber identificar en forma correcta la función y su diferencial. En ocasiones, sucede que a la diferencial de la función le falta algún factor numérico y tenemos que hacer las operaciones necesarias para completarla. Al igual que en este apartado, en el resto del texto se incluyen conceptos y ejemplos que permiten entender con facilidad los ejercicios de cada tema.

D educción de fórm ulas para derivar integrales de la form a J tan xdx, J cot xdx, j s e c xdx, J esc xdx Como ya estudiamos el método de sustitución por cambio de variable, podemos aplicarlo para deducir las fórmulas de derivación de la J tan xd x , j*cot xdx, J*sec xdx,

J esc x d x . Para J tan x d x Por trigonometría demostramos que: senx tanx = -----cosx

2

1= — 2

i

26

Cálculo integral

de donde:

J tanxcbc= J senxc/x co sx

u = eos x u(x)= co sx du(pc) = -s e n x dx Si multiplicamos dos veces por (—1) en el integrando y además sustituimos, tenemos: -(senxí/x)

- í _

cosx j du u

Por integración: = -L (u) + C Con el valor de u, tenemos: = -L (cos x) + C además: -L (c o sx ) = ln

1

secx V

/

= - ( l n l - l n secx) = - l n l + lnsecx como -L ( 1) = 0 se tiene que - L (eos x) = L sec x Por lo tanto:

J tanx£/x = Z,|secx| + C Para J c o t x d x Demostramos en trigonometría que: cosx cotx = -----senx de donde:

J cotx d x - j

eos x d x senx

u = sen x m(x) = sen x du(x) = eos x dx Si sustituimos: _ j du u

Capítulo 3 Integración de una función compuesta

y luego integramos: = L (u ) + C con el valor de «, queda: = L (sen x) + C por lo tanto: J cotx£/x = Z-|senx| + C

Para Jsec x d x Multiplicamos y dividimos el integrando por (sen x + tan x) sec xdx = secx-i-ianx _ j (sec2 x+secxtanx)¿/x secx + tanx u = sec x + tan x w(x) = sec x + tan x du{x) = (sec x tan x + sec2x) dx Si sustituimos:

_ f du u y luego integramos: = L (u ) + C Con el valor de u, tenemos: = L (sec x + tan x) + C por lo tanto:

J secx£/x = Z-|secx+tanx| + C

Se calcula en forma semejante a la por (esc x - cot x)

J sec x dx. Multiplicamos y dividimos el integrando

csc x(csc x - cot x)dx CSC x - c o t x

_ J (esc2 x-cscxcotx)¿/x esex —cotx U = CSC X — cot X w (x ) = CSC x

—cot X

du{x) = esc2 x - csc x cot x dx

27

28

Cálculo integral

Si sustituimos tenemos: _ j du u luego integramos: = L (u ) + C =L (esc x - cot x) + C por lo tanto:

J cscx£/x = Z ,|c sc x -c o tx | + C

¡Aplícate! I. Contesta las siguientes preguntas: 1.

¿Qué elementos debe tener el integrando de cualquier integral para poder aplicar una fórmula de integración?

2.

¿Cuál es el objetivo de aplicar el método de sustitución o cambio de variable?

3.

¿Qué debes hacer si al calcular la diferencial de una función ésta no se encuentra completa en el integrando de una determinada integral?

II. Calcula las siguientes integrales: 1.

(x 2- 6 )4x d x

S oI . - ( x 2- 6 ) 5 + C 10

2.

2xd x

So l.~ ^ 4 + 3 x 2 + C 3

\¡4+ 3x2 2

3.

(x3+ 3x2) 3(x2 + 2x) dx

Sol. —(xJ + 3x2y + c

4.

-se n {a y + \)d y

Sol. —c o s ( étf + 1 ) + C a

5.

2sen(6x)t/x

Sol. - —co s(6 x) + C

cos(3x+2)¿&

Sol. - cos(3x+ 2 ) + C

f \ -ta n — dy

S o l . - 2 L sec- + C

6

.

7.

2 /

Capítulo 3 Integración d e una función compuesta

( 8. | - sen

X

\ dx

Sol. a eos

a V

iV

9. J ( 2 x - 5 x 2)(2 -1 0 x )d x

Sol. —(2x - 5x )2 + C 2

10. J 5V5x d x

Sol. —(5x)2 + C

11 - J (4jc3 —2jc)(jc4 —jc2 —5f d x

Sol. I

i

12. J 4x 3dx

13 r

So/. L 1 + 2x + C

l+ 2 x ' x+2

So/. x + / J x + l + C

-dx

15 .1 -

r x 3 dx

16.

~ 5^ + c

Sol.L 1+ x4 + C

1+ x

J x —1

17.. J (x+2)(x-1) í/x

S o / . - x 2 - 2 2 + 10.x2 + C 5 So/. — + — + x + ¿ | x - l | 3 2 1 1 S 0 I. — + - — 2 x + C 3 2

Ejercicios de repaso I.

+c

Calcula las siguientes integrales: S o l.x + C

dx

1.

j*

2.

| dx

S o l.L \x\ + C I 1

X

3.

4.

5.

r

3

J

x 4

j

4 \

dx

S o / . —

í 5x 3dx

S o / . —

| 2 bx'dx

x 4

_ +C

7

4

x4 + C

S o / . - x 4

0

+C

30

Cálculo integral

I

4

2

1

1

X3

X2

x - x + --------- dx

_ , x5

x3

1

3

2x2

1 _

S o / .----------------- + - + C

5

7. J 5(5jc—l)3

Sol. —(5x - 1)4 + C 4

3 . J yfx dx

So/. - y f 7 + C

x

dx

i.

10.

J- ( x - i y

Sol. —

J

Sol. - x 3+C

-+c 4 ( x - l) 4

yjx2dx

5

11. J

12

7=r - 1 5 V x + C

S o /. vx2

í —x 2dx

' J 4

So/. —x V x + C

2

f dx

13

14

X3

x3

— +C 2x2

S o /.

f c/x •

15.

j

J

-2

(x+1)2

So/. - x 3+ C

1

-+ C (x+1)

So/.

dx 16. J

17 •

18

So/. 3lfx + C

J (x -2 )4

1

Sol.

-+ C

3 (x -2 )3

J (x-3)c/x

(x + 3)

19. J (x3- 5x)5(3x2 - 5) dx

Sol. x —6 ¿ x + 3 + C

Sol. —(x3 - 5 x ) 6 + C

6

20.

J

>/x —2 d x

So/, - ( x - 2 ) 2 + C 3

21. J 3 ¿ x

Sol. 3x + C

22. J 2 x(x2 - 3 ) 2dx

Sol. - ( x 2- 3 ) 3+ C 3

Capítulo 3 Integración de una función compuesta

23.

3x2(x3- l ) 3cft

Sol. —(x3 - l ) 4 + C 4

24.

(3x + 4)2dx

Sol. ^ (3x + 4)3+ C

25.

W x 2 + 4 dx

Sol. - ( x 2+ 4 )2 + C

26.

x 2dx

Sol. - - / J x 3 - 2 I+ C

x 3- 2 27.

$ydy

Sol. - J 2 / + 3 + C

V V + 3

28.

29.

3

(5x - 1)3dx 6 x 2dx

2

Sol. — (5 x -1 )4 + C 20 Sol. 2 L x 3- l \+C

x3- l 30.

xdx

Sol. L x + 2 ---------+ C (x + 2 )

(x + 2)2 31.

32.

Xy](5

—X 2) dx

3x2

Sol. — (5- x 2y + C 3 Sol. — V 3 - 4 x3 + C

V 3 -4 x 33.

34.

35.

36.

(x+ 2)

c/x

x 2+ 4 x

So/. —L x" + 4 x + C 2 1

(x3 + l)2x 2¿/x

So/. ~ ( x 3+ 1)2 + C

5x3

- dx

,d x

Sol. — -+ C 8(x4 - 1)2 Sol. —(x3 - l ) 4 + C

9

37.

2 x \¡ 3 - 2 x 2dx

So/. — ( 3 - 2 x 2) 2 + C 3

38.

x ^ 3 —x 2dx

Sol. — ( 3 - x 2) 3 + C

31

Capítulo 4 Constante de integración Introducción En tu cu rso d e g eom etría analítica aprendiste a identificar las cu rvas que representan a ciertas e cu acio nes. Por ejem plo, recordarás q u e y

= x2+ 3 es

la

ecu ación d e una parábola vertical q ue abre hacia arriba y cu yo vértice está en el punto (0,3). Si calculam os la diferencial d e esta m ism a ecu ación obtenem os

dy = 2xdx. En

este ejem plo realizam os la operación inversa, e s decir, integram os y

o b tenem o s y

= x2+ C, q ue

no e s exactam en te la expresión q ue derivam os. En este

capítulo ap rend erás a calcular el valor de C para así o b tener la ecu ación exacta de la parábola.

Al integrar la diferencial 2x dx se obtiene la función y: y = 1 2 x dx = x 2 + C donde C es la constante de integración. Por cada valor de C,, C2, C3,... de C, se obtiene una función primitiva x2 + C,, x 2 + C2, x2 + C3,... De hecho, la expresión y = x 2 + C representa una familia de parábolas paralelas con el mismo valor de la pendiente para cada punto.

Cálculo del valor num érico de la constante C Para calcular el valor de la constante de integración es necesario tener la expresión diferencial que se va a integrar y algunos otros datos, procedimiento que ilustraremos en los siguientes ejemplos. Ejemplos:

■ 1. Determina la función y =f(x ), tal que f ( x ) = 9x1 - 6 x + 1 cuando / ( l ) = 5. S o lu ció n :

Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (1 ,5 ) Como y = /(x ) dx

pero

entonces

dx

dx dy 2 ~7~ = ^ x “ dx

+1

34

Cálculo integral

dy = (9x2 - 6x + 1)dx Integrando: J dy = (9x2 - 6x + 1) dx

= 9 J x 2dx - 6 J x dx + 1 dx =

9x'

6x2

3

2

_

+x + C

y = 3x3 —3x2 + x + C Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 5 p a r a /( l) / ( l ) = 3(1)3 - 3(1)2 + 1 + C = 3 - 3 + 1 +C condición que señala el problema: /( 1 ) = 5 5= 1+ C 5 -1 =C C=4 al sustituir el valor de C: y = / ( x ) = 3x3 - 3 x 2 + x + C y = 3x3 - 3x2 + x + 4 2.

Calcula el valor de la constante de integración cuya f { x ) = x2 + x - 2 cuando/( 1 ) = 6. Determina también la función. S o lu ció n :

Es una función que se cumple en el punto (1 ,6 ) como y = /(x ) .

se tiene que:

dy

d f(x )

— =-

dx d f(x) p ero,

dx

entonces:

dx =x' + x - 2

dy 2 — = x +x- 2 dx dy = (x2 + x - 2) dx

In teg ran do :

J dy = J (x2 + x —2) dx = j*x 2dx + J x dx —2 J dx x2 1-------2x *2 y = ---+C 3 2

Capítulo 4 Constante d e integración

Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 6 p a r a /(l) /( 1 ) = ~

+ Í y 1- 2 ( 1 ) + C

= - + —- 2 + C 3 2 2 + 3 -1 2 ^ = ------------- + C

6

= - —+ C

6

condición que señala el problema: / ( 1) = 6

6=

6

+C

6 + —= C 6

6 sustituyendo el valor de C: y =

v 3

V 2

3

2

/ ( * ) =_ +

2X + C

x3 x2 „ 43 y = — l-------- 2x H----3 2 6 Esta expresión no se simplifica porque es una función y no una ecuación. ■ 3 . Determina la función cuya f'{ x ) = x2 - 2x + x=2

4

tenga el valor de 6 cuando

Solución:

Es una función que se cumple en el punto (2, 6) como y = f ( x ) . dy

d f{x)

se tiene que: — = J dx

dx

pero,

dJf{x) v = x 2 - 2ox + 4„ dx

entonces:

- ^ =x2 - 2 x + 4 dx

dy = (x2 - 2x + 4)dx

35

Integrando: \ d y = ¡ ( x 2- 2 x + 4 ) d x

J x 2d x - 2 J x

=

dx+ 4

J dx

2X~+ 4 Ax + C r y =X 3 2 x3 Calculamos el valor de C cuando y = x 2+ 4 x + C tenga el valor de 6 cuando x = 2 2

/ ( 2 ) = ^ - ( 2 ) 2+ 4(2) + C = — 4+8+C 3 8 -1 2 + 2 4 ^ = +C

3 Condición que señala el problema: / ( 2) = 6 ~

6 = — +C

. j 3i J c=-"

3

Comprobación:

Sustituyendo el valor de C: y = / ( x ) = — —x 2 + 4 x + C ?3

?

3

3

6 = ------ 22 + 4 ( 2 ) - —

6= --4 + 8 - — 3

,

3

8 -1 2 + 2 4 -2

6 = -------------------

6= 6 Significado geom étrico de la constante de integración x2 es una de las funciones primitivas de la función 2x cuando la constante de integración vale cero; es decir, 2x es la derivada de una función y = /(x ).

Capítulo 4 Constante de integración

Si de /'( x ) = 2x se quiere obtener la familia de las funciones f(pc) que tienen como derivada a 2x, se tiene entonces:

dy = f \ x ) d x Integrando:

J dy = J 2 x

dx (1 )

,y y = x2+ C

i y =x

donde C es la constante de integración. Si asignamos a C varios valores, por ejemplo 3, 0, - 2 se tiene de la ecuación (1) las siguientes expresiones:

y =x

y = x2 + 3

r

cuyos lugares geométricos son parábolas que intersecan al eje de las y a distancias del origen de 3, 0, - 2 , respectivamente. dy Todas estas parábolas tienen el mismo valor — , es decir, tienen la misma pendiente dx 2x para el mismo valor de x. Además, la diferencia de sus ordenadas permanece igual para todos los valores de x, el valor de C no afecta la pendiente de ninguna de estas parábolas.

y

y = x2-

Si establecemos la condición de que la curva de la parábola de nuestro ejemplo pase por el punto (1 ,3 ), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la expresión y = x2 + C, de donde: y = x 2+ C 3 = (i y + c C = 3 -1 C -2 Por lo tanto, la ecuación de la parábola que se pide es y = x2 + 2 Tabulando y = x 2 + 2 y = x 2+ 2 X

0

1

2

y

2

3

6

/( x ) = x2 + 2 /(O ) = 0 + 2 = 2

/( l) = O)2+ 2 = 3 /( 2 ) = (2)2 + 2 = 6

/ (1* 3)

Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas Introducción En el capítulo 3 analizamos el método de sustitución para resolver una integral. En una gran cantidad de integrales no es tan obvio el cambio por realizar, ya que en otras es necesario realizar algún procedimiento previo a la sustitución. En este capítulo aprenderás algunos de los procedimientos más comunes para resolver una integral donde intervienen las funciones trigonométricas directas por el método de sustitución o método de cambio de variable.

Recordatorio de trigonom etría En tu curso de geometría y trigonometría comprobaste las funciones e identidades siguientes: 1 n ;— eos* sen x = ------ = -v/l —eos x = tan x eos x = ------cot x cot x 1

r

o—

sen*

cosx = ------= V I -s e n x = cot xsenx = ------sec x

1 i 2 7 senx tanx = ------ = Vsec x - l = -------cot x eos x 1 i 2 7 cosx co tx = ------ = V esc x —1 = ------tanx senx sec x - —!— = -y/l+tan2 x cosx cscx = —!— = -y/l+cot2 x secx Fu n cio n e s trig o n o m é trica s recíp ro cas

senx esc = 1 1 sen x = -----esex cosx secx = 1 1

c o s x = ------

secx

tan x

Conceptos clave In teg rale s in m ed iatas Id en tid ad p itag ó rica Id en tid ad trig o n o m é trica recíp ro ca

40

Cálculo integral

secx = ------cosx tan x cot x = 1

1

tan x = -----C O tX

1

cot X = -----tanx Id e n tid a d e s trig o n o m é tricas d el teo rem a d e Pitágo ras

sen2 x + eos2 x = 1 sen2 x = 1 - eos2 x eos2 x = 1 - sen2 x sec2 x - tan2 x = 1 tan2 x = sec2 x - 1 sec2 x = 1 + tan2 x esc2 x - cot2 x = 1 esc2 x = 1 + cot2 x cot2 x = esc2 x - 1

Fórm ulas de integración de las funciones trigonom étricas directas

Algunos procedim ientos de integración de las funciones trigonom étricas directas El integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por su diferencial Ejemplo:

Solución:

Capítulo 5 Ir :egrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas

En el integrando tenemos dos funciones: una elevada a un exponente dife rente de uno y la otra elevada a la potencia uno. Como primera opción elegi mos u = senx porque es la función que está al cuadrado y podríamos usar la f

fórmula J u"du =

un+l

l-C, siempre y cuando en el integrando esté la du.

n+ 1 u = sen x u(x) = sen x du(x) = eos x dx Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando, se tiene: = 3 J u2du Integrando: = 3— + C 3 Con el valor de u queda: = sen3 x + C

Sustitución del integrando por una identidad pitagórica E je m p lo :

■ 1 . J ta n 27x£/x S o lu ció n :

Dado que en las fórmulas de integración de funciones trigonométricas directas sólo las funciones secante y cosecante están al cuadrado, aplicamos una identidad trigonométrica para expresar la tan2 Ix en términos de una de estas funciones. Como tan2x = sec2 x - 1 Sustituyendo en el integrado: = J (sec27x-l)£& ; u = lx w(x) = 7x du(x) = 1 dx Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7: = - f (sec27 x - 1)7 dx 1 = ~ \ (sec27x(7) dx —\ j \ l d x Integrando: = —tan7x —x + C 7

42

Cálculo integral

Sustitución del integrando por una identidad trigonométrica recíproca E je m p lo s:

■1• I

- 3 dx sen2 x

S o lu ció n :

Como en el caso anterior, tenemos que expresar sen2x en función de la secante o la cosecante, que son las funciones que están al cuadrado en las fórmulas de integración. Como esc x ——-— sen x Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos:

1

CSC" X = -

sen x Si sustituimos en el integrando: = -3

J

csc2x dx

Integrando: = —3 (-co t x) + C = 3 c o tx + C

■2•

J

dx eos2 xV tan x + 2

S o lu ció n :

Como secx = — —

¡Anótalo! (+)(+) = +

< + )(-)= <-)<+)—

cosx Al elevar al cuadrado ambos miembros, tenemos:

^ , sec2* = — — Si sustituimos en el integrando: _ j*

sec2 x dx v tan x + 2

_ j*

sec2 x dx (ta n x + 2 )2

Si la función es: u = tan x + 2 u(x) = tan x + 2 du (x) = sec2 x dx Se sustituye en el integrando: = J u 2 du

C apítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas

Integrando:

1

= 2 u 2 +C Con el valor de u, queda:

■3

•i

= 2 (tan x + 2 ) 2 +C

¡a = a-

= 2> /tanx+ 2 + C

=a

sen3x

-dx =

( l-c o s 3 x )

= J(1 - eos 3x) "3 sen 3x dx Solución:

Si la función es: u = 1 - eos 3x w(x) = 1 - eos 3x du{x) = sen 3x(3) dx Completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 3: = i J (1 - eos 3x)~3 sen 3x(3) dx Si sustituimos en el integrando: = — í u~3du 3J Integrando:

-2 -6

+C

-+ C 1

■+c

6u2

Con el valor de u, queda: 1 -+ C 6(1 —eos 3x)2

Multiplicación del integrando por su conjugado Ejemplo: ■ 1.

J

¡Anótalo!

dx 2 + 2 co sx

43

44

Cálculo integral

Solución:

Como el conjugado de (2 + 2cosx) es (2 - 2cosx), multiplicamos el numerador y el denominador del integrando por dicho conjugado. f \ 2 -2 c o sx f 1 dx 2 + 2 c o s x ^2 - 2 c o s x / El producto de un binomio conjugado es igual a la diferencia de sus cuadrados. f 2 -2 c o sx = I -------------------------------dx (2 + 2 eos x)(2 —2 eos x)

Factorizando: f 2 -2 c o sx , = J ----------- — dx 4 -4 c o s x = J 2(1~ C0S,X) ¿V 4 ( l- c o s “ x) 2 1 Reduciendo —= — y extrayéndola del símbolo de integración, tenemos: ¡A n ó ta lo !

J

(a + b) {a - b) = a2 - b2

f l ~ cosx dx

=I

2 1—eos2 x Como sen2 x = 1 - eos2 x Sustituyendo: 1 f 1 -c o s x = 1 f 1- cf x dx

=I J — O 2 * sen 2x Como esex =

2O

^ L d x sen 2x

1 senx cosx cot x = ------- ; esc x : senx secx

A l sustituir en los integrandos tenemos: = — í csc2x ¿ A - — íco tx cscx ¿/x 2 J 2 J Integrando: 1 sc x + C = —1 c o tx + —c 2 2

Multiplicación y división del integrando por una misma cantidad Ejemplo:

■1. J tan2xV sec2x dx Si multiplicamos y dividimos el integrando por V sec2x, tenernos:

C apítulo 5 integrales inmediatas. Fundones trigonométricas directas

Solución:

= | tan 2 x Vsec 2x

V sec 2x

dx

vsec 2x

=

í

tan 2x sec 2x

dx

Vsec2x

= | (sec2x) 2 tan2xsec2x¿/x Si la función es: u = sec 2x w(x) = sec 2x du(x) = tan 2x sec 2x(2) dx Sustituyendo el integrando y multiplicando y dividiendo por 2 para completar la diferencial:

1 r = —J (sec 2x)2 2 tan 2x sec 2x dx 1 f -1

= — u 2du 2 J

Integrando:

=I^ + C 2 1 2 = w2 + C Si sustituimos el valor de u, queda: = Vsec2x + C

Descomposición de una parte del integrando en sus factores Ejemplo:

f sen x d x

Bl- J

—

eos X

Solución:

46

Cálculo integral

sen x Como tan x = ------- ; sec x = ------- , tenem os: cosx cosx

J tan x sec x dx

=

Integrando: = sec x + C

Desarrollo de algunas operaciones algebraicas en el integrando E je m p lo :

■1 .

J (secx + tan x )2 = S o lu ció n :

Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto, tenemos: =

J (sec2x + 2 s e c x ta n x + ta n 2 x)d x

=

J sec2x dx + 2 j

sec x tan x d x +

J tan2x d x

Como tan2 x = sec2x - 1 Integrando la primera y la segunda integral, y sustituyendo la identidad en la última: = tan x + 2 se c x +

J (sec2x - l) ¿ /x

= tan x + 2 s e c x + J* sec2x d x -

J dx

Integrando: = tan x + 2 sec x + tan x - x + C = 2 tan x + 2 sec x - x + C = 2 tan x + 2 sec x - x + C E je m p lo s :

Integrar las siguientes expresiones: ■1 .

J 3cos (3 x -l)c /x = S o lu ció n :

u = 3x — 1 u(pc) = 3x - 1 dii(x) = 3 dx = ~ J eos (3x- 1)(3) dx Sustituyendo: =

J eos u du

Capítulo 5 Ir tegrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas

Integrando:

= sen u + C Si sustituimos el valor de u, tenemos: = sen (3x - 1) + C

2.

f

J

2

sen —x dx = 3

S o lu c ió n :

2 u = —x

du(x) = —dx M ultiplicamos y dividimos el integrando por — : f 1 f 2 3 f 2 dx = — sen udu sen—x 2 3 ? ) 2 J 3 Integrando: 3 = — eos u+ C 2

Si sustituimos el valor de u, obtenemos: 3 2 = — eo s—x + C 2 3 3.

J

sen3x dx =

S o lu c ió n :

u = 3x u(x) = 3x du{x) = 3 dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 3: = - í sen3x(3)dx 3J = - í sen udu 3J Integrando: = — cosw + C 3 Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = --c o s3 x + C 3

48

Cálculo integral

■ 4.

sen2x co sx t/x = S o lu ció n :

u = sen x u(x) = sen x du(x) = —eos x dx

Integrando: 3 Si sustituimos el valor de u, tenemos: = - - s e n 3x + C 3

S o lu ció n :

W= X u(x) = X2 du{x) = 2x dx Multiplicamos y dividimos el integrando por 2:

n+ 1 = — sen u du 2 J Integrando: = ——eos u du 2 Si sustituimos el valor de u, queda: = - —cosx2 + C En el curso de cálculo diferencial se estableció que: sen2x = (sen x)2 Estas expresiones son diferentes a sen x2, pero todas ellas tienen validez, como pudiste observar en los ejemplos anteriores.

S o lu ció n :

Como cot2y = esc2y - 1

Capítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas

Sustituyendo en el integrando: =

J (esc2 y -1 ) dy

-

j*esc2 y dy - J dy

Integrando: = -c o t y - y + C dx sec(3x -1 ) S o lu c ió n :

Como cosx = —-— secx Sustituyendo en el integrando: = J cos(3x - 1 ) dx u = 3x —1 u(x) = 3x — 1 du(x) = 3 dx M ultiplicamos y dividimos el integrando entre 3: =i

J cos(3x -

1)(3) dx

= — í eos u du 3J Integrando: = - sen u + C 3 Si sustituimos el valor de u, tenemos: = i sen(3x - 1 ) + C

_ f eos 3x , f _2, a 8. J — d x= J sen 3x eos 3x dx sen2 3x S o lu c ió n :

u = sen 3x u(x) = sen 3x du(x) = eos 3x (3) dx M ultiplicamos y dividimos el integrando entre 3: = ~ I se n 23xcos3x(3)dx = — í u~2du 3J

Integrando:

+C

-1

-3 =

3u

+C

Si sustituimos el valor de u, tenemos: 1

-+ C 3sen3x f - 3 dx J 2^ sen 2x S o lu ció n :

1 Como cscx = senx Elevamos al cuadrado ambos miembros: 1

CSC" X = -

sen x Sustituimos en el integrando: = J - 3 esc2 2x d x u = 2x u(x) = 2x du(x) = 2 dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2:

=~~ J

csc2 2x(2)dx

= - — í csc2 u du 2 J

Integrando: = — (—cotw) + C

2

3 = —cot u+ C 2

Si sustituimos el valor de u, obtenemos: 3 = —cot2x + C 2


no,• i

tan 5x dx _ eos2 5x

Solución: Como sec x = — — cosx Elevamos al cuadrado ambos miembros: 1 eos2 X Si sustituimos en el integrando, obtenemos: = | tan 5x sec2 5x dx u = tan 5x u(x) = tan 5x du(x) = sec2 5x (5) dx M ultiplicamos y dividimos el integrando entre 5:

=i J

tan 5x sec2 5x(5) dx

= — í u du 5J Integrando: = I ^ +C 5 2 Si sustituimos el valor de w, tenemos: 1 (tan5x)2 -+ C = — tan2 5 x + C 10

■ 11

dx

•

J 5+ 5 co sx Solución:

Multiplicamos el integrando por el conjugado del denominador: /

\ 1

= 1

_ |

^5+5cosx

5 -5 c o sx

f 5 -5 c o s x . J --------------— dx 2 5 - 2 5 eos x

dx

5 -5 c o sx

(5+5 eos x)(5 - 5 eos x) =

\

5 -5 c o sx

^

51

52

Cálculo integral

Factorizando:

f 5(1- eos x) =J — dx 25(1 - eos2 x) Como sen2 x = 1 - eos2 x Sustituimos en el integrando y reducimos — : 25 1, f ,1 -c o s x ,

-— x* = 75 J - -sen

Separamos en dos integrales: =1J

1

5

sen' x

5

sen2 x ( \ f cosx 1

- a íJ — 2 ■ 5 sen x

dx

senx senx y

^ ' -) 1 cosx 1 Como esc x = ---- — ; cot x = ------- ; esc x = -----sen2 x senx senx Sustituimos en los integrandos: = —Í 5J

c s c 2 x é /x

íc o tx c sc x í/x 5J

- -

Integrando: = - ^ c o t x —^ ( - c s c x ) + C = —• c o tx + -1c s c x + C 5 5 5dx 12 • 1 — eos2 xV tanx+1 S o lu ció n :

Como sec x = —— cosx Elevamos al cuadrado ambos miembros: 1 sec" x = eos2 x Sustituimos en el integrando:

= s | ,sec2*

dx

Vtanx + 1 = 5j

m iy (tanx+ 1)2

= 5 1 (tan x + 1) 2 sec2 x dx

Capítulo 5 I ntegrales inmediatas. Fundones trigonométricas directas

u = tan x + 1 u(x) = tan x + 1 du(x) = sec2 x dx = 5 J u '-du Integrando: = 5— +C 1 2

Sustituyendo el valor de u, queda: = 1Os/tan x+1 + C 13. J sec4 x d x = S o lu ció n :

Como sec4 x = sec2 x sec2 x = | sec2 x sec2 x d x Además, sec2 x = 1 + tan2x Sustituimos en el integrando: = J (1 + tan2 x) sec2 x dx =

J (sec2 x + tan2 x sec2 x) dx

=

J sec2 x d x + J tan2 xsec2 x d x

u - tan x w(x) = tan x du(x) = sec2 x dx Integramos la primera integral y realizamos el cambio de variable en la segunda: = ta n x + | u2du Integrando: w3 = tan x H----- l-C 3 Si sustituimos el valor de u, tenemos: = ta n x + - ta n 3x + C 3 14- J s e n 3x d x = J s e n x s e n 2x d x S o lu ció n :

Como sen2x = 1 —eos2 x

54

Cálculo integral

Sustituimos en el integrando: = | sen x(l - eos2 x) dx = J sen x - sen x eos2 x dx = J sen x d x — \ sen x eos2 x dx u = eos x u(x) = eos x du(x) = - sen x dx Integramos la primera integral y hacemos el cambio de variable en la segunda integral: = -c o sx

“ (—J* u2du^

= -COSX+ | u2du Integrando: ——COSXH— u + C 3 Si sustituimos el valor de u, obtenemos: 1

3

= - COSX+ -COS X+ C 3 ■ 15. Jcsc5xcot5x£/x = S o lu ció n :

u = 5x u{x) —5x du(x) = 5 dx M ultiplicamos y dividimos el integrando entre 5 1 = - | esc 5x cot 5x(5) dx = - í esc u cot u du 5J Integrando: = --c s c u +C 5 Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = --c sc 5 x + C 5 16.

J (tan2 3x - sec2 5x) dx =

= J tan2 3 x d x -

|

sec2 5x d x


S o lu ció n :

Como tan2 x = sec2x - \ , entonces tan2 3x = sec2 3x - 1 Sustituimos en el primer integrando:

J (sec2 3x -

=

1) dx -

u = 3x

J sec2 5x dx

w=x

u{x) = 3x

w(x) = 5x

du(x) = 3dx

dw(x) = 5dx

Multiplicamos y dividimos el primer integrando entre 3 y el último entre 5: =

^ J sec2 3x(3) dx - J dx -

^

J sec2 5x(5) dx

Hacemos los cambios de variable: =— [se c 2 u d u - j[ d x —— [se c 2 wdw 3 j 5 j Integramos: = -1 tan u —x —1 tan w+C 3 5 Sustituimos el valor de u y el valor de w para obtener: = - tan 3x - x - - tan 5x+ C 3 5 f tan 6x , ■ 17. J dx — eos2 6x S o lu ció n :

1 1 Como sec x = ------- , entonces sec 6x = cosx cosóx Elevamos al cuadrado ambos miembros: a =- 1 sec 2 6x cos2 6x Sustituimos en el integrando: = j* tan 6x sec2 6x dx u = tan 6x w(x) = tan 6x du(x) = sec2 6x (6) dx M ultiplicamos y dividimos entre 6: = — | tan 6x sec2 6x(6)dx 6

= — \ u du 6 J Integrando: = I^ 1 + C

6 2

55

Cálculo integral

Si sustituimos el valor de «, obtenemos: = — tan2 6 x + C 12

S o lu ció n :

Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto:

= J (sec2 x -

2 sec x tan x + tan2 x) dx

Como tan2 x = sec2 x - 1 Sustituimos en el integrando:

Integrando: = 2 tan x - 2 sec x - x + C Factorizamos el número 2 en el primer y segundo términos: = 2 (tan x - sec x) - x + C

i ■+■sen x S o lu ció n :

M ultiplicamos el integrando por su conjugando del denominador: / \ X v il J 11 1- osen xV J -----------í 1+ s e n x ^ l- s e n x dx

(l+ s e n x )(l-s e n x )

i - sen- x Como 1 - sen2 x = eos2 x Sustituimos en el integrando:

eos x

Como sec x = ------- ; eos" x = cosxcosx cosx


Sustituimos en los integrandos:

= J sec2 x d x LO ino

senx

senx

\

cosx \ cosx /

dx

1 sec x = -----cosx

= tan x;

cosx

Sustituimos el segundo de los integrandos:

= J sec2 x d x -

^ ta n x s e c x dx

Integrando: =

tan x - sec x

+

C

tan x - sec x + C

f

E je r c i c i o s d e r e p a s o

I. Calcula las siguientes integrales. Se 1.

J sen4 y eos y dy

2.

J

3.

f sec2 J y

r-

2J y

dy

f 6 dx

Sol. - sen3 y + C 5 Sol. tan J y + C

S o l. X

*> hC

4.

J eos2 5ysen 5 yd y

Sol. — —eos3 5 v + C 15

5.

J 3 x senx2¿/x

Sol. — c o sx ' +C 2

6.

7.

J 7 tan2 x dx dy

f

(3 + ^ )5

8.

J cos4x<7x

9.

J x 3dx

Sol. 7 t a n x - 7 x + C

Sol.

1

-+ C 4(3+ y )4

Sol. —sen 4x + C

_i

10.

f dx

J

~3

Sol. - V ? + C

Sol. — +C 2x2

57

Cálculo integral

1 1 . | sec2 2x dx

Sol. —tan 2.x+ C

1 2 . ¡ 3 y l¡ 2 y 2- * d y

Sol. — ( 2 / - 8 ) 3+ C 16

13.

J eos4 3y sen 3^ dy

14. J sen3y c o s y d y

15. J ( 2

16.

- y 3f d y

J 5 tan2 y

dy

2

S o l.

15

cos53 v + C

Sol. —sen4 y + C 4 Sol. 4y - y 4 + — + C Sol. S ta n ^ - S y + C

17. J tan2(3x - 1 ) dx

Sol. -tan (3 x —1) —x + C 3

18 . J

Sol. v + ---- + —---hC 2 7

4

(1 + y 3)2dy

7

19. J x 3 eos x 4dx

Sol. —senx4 + C 4

20. J sen2 3.xeos 3x d x

Sol. —sen 3x + C 9

21. | tan5 2 x sec2 2x dx

Sol. — (tan2x)6 + C 12

(tan 2x)6 = tan6 2x

22

5 dx

Sol. 1 0 (ta n x -2 )2 + C

^ eos2 x >]tan x - 2 Sol. —tan 2 y —y + C ? '

24. | tan4 x dx

Sol. - t a n J x —ta n x + x + C 3

25. J ( i - x f y f ^ c d x

So/. ± x 4 ~ x - * x í 4~x +

26. j l ± l dx x3

Sol. — x~

3

5

hC x

-J I (O

23. J t a n 2 2y d y

C ap ítulo 5 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas

27.

sec 5x d x

Sol. -ta n 5 x + C 5

28.

csc (3+5x)dx

Sol. -~ c o t(3 + 5 x )+ C

2 dy

29.

30.

sen 5y

Sol. — c o t5 v + C 5

(sen3 2 y c o s 2 y )d y

Sol. - ( s e n 2y f + C 8

31.

(tan2 3x - sec2 3x) dx 3 -c o sx

32.

-dx

Sol. - x + C Sol. -3 c o tx + c s c x + C

sen2x 1

33.

dy

Sol. -c o t v + C

sen2^ 3 cot*— 3 x dx ^ csc—x 4 4

34.

4 3 Sol. — csc —x + C 3 4

II. Para cada una de las siguientes integrales indica cuál de los procedimientos vistos en el capítulo aplicarías para resolverla. 1. | tan2 axdx Sol. Sustituir el integrando por una identidad pitagórica..

-

í

dy sen y —3 Sol. Multiplicar el integrando por su conjugado.

3. j* - e o s 2 3x sen 3x dx Sol. El integrando es el producto de una potencia trigonométrica por su diferencial. dx

J -eos- ax Sol. El integrando se sustituye por una identidad trigonométrica recíproca. 5- j* sec2 yyJtany+ 5 dy Sol. El integrando es el producto de una potencia trigonométrica por su diferencial.

60 1

:

Cálculo Integral

III. Calcula las siguientes integrales:

4 1. J sen 5x eos3 5x d x

3 Sol. — cos35 x + C 35

2.

j 2 tan2 5x d x

2 Sol. —tan 5 x - 2 x + C 5

3.

f

Sol. —cot by+ C b

dy sen2 by

f tan x , 4. J -------- / — “x eos xV s e c x - 1

5.

f 2 dx _____33..x J secasen

Sol. 2 > /se c x -l +C

Sol.

1 .. +1Vc_' __2 sen2 x

Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas Introducción En este capítulo an alizarem os las últim as fórm ulas básicas d e integración. Con esto d arem os por term inado el estudio de las integrales inm ediatas.

Fórm ulas de integración de funciones trigonom étricas inversas f

■■■

du

u „ = are sen — hC a

f du 1 u J— - = —are tan — f- C a +u~ a a f du 1 u _ J — 7 = = = = = —are sec—+ C uyju2 - a 2 a a

Algunos procedim ientos de integración de las funciones trigonom étricas inversas E je m p lo s:

■ 1. Integrar: r

dx s l9 -x 2 ~

S o lu ció n :

r du u Para aplicar la fórmula J - y ^ = are sen —+ C , es necesario identifiVa 2 - w2 a car los valores de a2, a, w2, u y calcular u{x) y du{x).

Cálculo integral

El integrando está completo porque incluye la función multiplicada por su diferencial. De este modo, podemos aplicar la fórmula de integración citada. du r — —— = f 1 s ¡ 9 - x 2 J y¡a%- u 2 Integramos: u _ = are sen—+ C a Al sustituir los valores de a y de u: = are sen—+ C 3 ■2

dx •1

3+ 4 x

S o lu ció n :

Para aplicar la fórmula

í ——— = —are tan —+ C se identifican los a 2 + u2 a a

valores de a2, a, u2, u y se calculan u(x) y du(x) a2= 3

u2 = 4x2

a = y] 3

u — 2x u(x) = 2x du(x) = 2 dx

Para com pletar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir entre 2. Con este procedim iento no se altera el valor del integrando porque se está m ultiplicando por 1: .

¡A n ó ta lo !

2 dx

ac \d

bd

2

3+4x2

Sustituimos en el integrando: du 412 J a 2+u2 1 f

Integramos: are tan—+ C a Con los valores de a y de u, tenemos:

C apítulo 6 ! itegrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas

■ 3. í dx = J x +2 Solución:

Identificamos a2, a, u2, u y calculamos w(x), y du(x) a2 = 2

u2 = x 2

a = y/2

u =x

u(x) = x du(x) = dx Sustituimos en el integrando: = 3 f ——— ^ u2 -Va2 Integramos: 6 =3

'O

are tan —+ C a

Con los valores de a y u, tenemos: are tan —¡= + C •J2

=3

3 x ^ = —¡= are tan—-¡=+ C v2 -v/2 Estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa las fórmulas de integración. En el segundo de ellos únicamente fue necesario completar su diferencial. En otros casos, es necesario aplicar alguno de los procedimientos que se citan a continuación.

El integrando se expresa com o la sum a de dos cocientes Ejemplo: ■ 1.

f ,x + 4 dj x J Solución:

Separamos en dos integrales: ¡n J = d x + \ JJ T x 2 J u = 9 - x2 u{x) = 9 —x 2 du(x) = —2x dx

-dx

M ultiplicamos y dividimos entre (-2 ) la primera integral: 1 ^ d = — í x ( 9 - x 2) 2{—2)dx + 4 f . 2J 9 -x 2 Para el resultado de la segunda integral, tomamos el del primer ejemplo de este apartado: | u 2du + 4 are sen —+ C Integramos: =

1 M2

2 1

X

.

^

b 4 are sen — h C 3

Con el valor de u, tenemos: = - ( 9 - x 3)2 + 4 a r c s e n - + C 3 Este resultado se puede expresar en la forma siguiente: = - y ¡ 9 - x 2 + 4 a rc se n —+ C 3 El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el denominador es de la forma ax2 + bx + C, esté dentro o fuera de un radical de índice 2. Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 + bx. La integral resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes:

yju2 + a 2 •

du a 2 —u2 du

r du u2 Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidad cuando el integrando incluye funciones cuadráticas. En el curso de aritmética y álgebra aprendiste que para completar un cuadrado debes sumar a la expresión el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. x 2 + bx + c = x 2 + bx +

V ,2 j

2

V ,2,

Observa que para conservar la igualdad hemos sumado y restado f >L2 \ 2/

Capítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas

E je m p lo :

il

6dx

■ hx - 4x + 8 S o lu ció n :

Al completar el cuadrado del denominador, se tiene:

¡Anótalo!

x 2 - 4x+ 8 = (x2 - 4x + 4) - 4 + 8 = (x - 2 f + 4 '4 '2

= 22 = 4. v2, Recuerda que la factorización del trinomio cuadrado perfecto es un binomio formado por la raíz del prim er término, el signo del segundo y la raíz del tercero, elevado al cuadrado. El tercer término del trinomio se obtuvo con la mitad de b al cuadrado

dx = 6 J :( x - 2 ) 2 + 4

u2 = ( x - 2)2

¿^ = 4

u =x - 2

a —2

u(x) = x - 2 du(x) = dx Sustituimos en el integrando: u + ü~ Integramos: =6

'i '

are tan—+ C a

Con los valores de a y u, tenemos: x -2 are tan-+ C

=6 v2y

6 x -2 _ = —are tan +C

2

2

= 3 are tan

x -2

„ hC

Cómo com pletar el cuadrado cuando el coeficiente de x 2 es negativo E je m p lo :

■1

dx •J

y j3 x~ :

65

66

Cálculo integral

S o lu ció n :

Si se completa el cuadrado del denominador tenemos: 3 x - x 2 = - (x2 - 3x) f _\ 2

f ~ 2

3 x 2 - 3 x + í-1 _ ,2 ,

\2

3 x— 2

Observa el signo menos que precede a los corchetes. 2

3^2 x— 2

\2

3 x—

2 3 a = í— 2 \ 3 a= 2

2

u=x —

2

u(x) = x - ~ du(x) = dx Al sustituir en el integrando: _ j dx 2 í x —31 í - l 2 du u Integramos: u , „ = are sen —+C a Con los valores de a y u, tenemos: 3 x— 2 = are sen —+C 3 2

2 x -3 = are sen— - — + C 3

\2


= are sen

2(2 x - 3 ) ( c 2(3)

= are sen 3

Cómo com pletar el cuadrado cuando el coeficiente de x 2 no es la unidad E je m p lo :

S o lu ció n :

Factorizamos la expresión 2x2 - Sx antes de completar el cuadrado. 2 x 2 - 8 x + 9 = 2(x2 - 4 x ) + 9 = 2(x2 - 4 x + 4 - 4 ) + 9 Observa que el factor 2 afecta toda la expresión que está entre paréntesis: = 2(x2 - 4 x + 4 ) - 2 ( 4 ) + 9 Factorizamos el trinomio y sumamos: = 2 ( * - 2 ) 2+ l Sustituimos en el integrando: dx 2 ( x - 2 ) 2+ 1 u2 = 2 { x - 2 f u = y j2 (x —2)

a =\ a=1

u(x) = * J 2 (x -2 ) du{x) = y¡2dx M ultiplicamos y dividimos en el integrando entre y¡2

Sustituimos: \

f

du

Integramos:

68

Cálculo integral

Con el valor de u y con el de a, tenemos: \) t S (x -2 )_ ^ - | are ta n +C 1 O

1

1

are tan s [ 2 ( x - 2 ) + C

"Ti E je m p lo s:

Integra: dx

1• 1

-1\ 6 x y¡9 — S o lu ció n :

u2 = \6 x 2

a2 = 9 a =3

u = 4x u(x) = 4x du(x) = 4dx

Multiplicamos y dividimos el integrando entre 4: 4dx

■ j/

V9~- 16.x:

Sustituimos: ¿/w [~2 2~ ya - u Integramos: 1 4 jc ^ = —are s e n 1- C 4 3 Con los valores de a y u, tenemos: 1 4x „ = — are sen — + C 4 3

■2

dy

■J

y j y 2 - 16

S o lu ció n :

a 2 = 16

u2= y 2

¿7= 4

u =y u (y )= y du(y) = ¿/y


Sustituimos: r du

J u dr~ u 2- a 2 Al integrar: 1 are sec — u+C =— a a

Con los valores de a y u, tenemos: 1 y = — are sec —+ C 4 4

■3

dx •J 2 5 -4 / S o lu ció n :

a2 = 25

u2 = 4 /

a=5

u = 2y u(y) = 2 dy du(y) = 2 dy

M ultiplicamos y dividimos el integrando entre 2: 2 dx

A 2 lJ. 25 + 4 / Sustituimos: du 2 J a* + u ¿ Integramos: are tan —+ C a■ Con los valores de a y u, tenemos: \

2v _ are tan — + C 5

1 2y „ = — are tan 1- C 10 5

_

■4.

J 5+ 2 / S o lu ció n :

a 2= 5 a =A5

w2 = 2 / w —7 2 / w(y) = 7 2 / ¿/«(y) = 2 V 2 y ¿/y

70

Cálculo integral

Multiplicamos y dividimos el integrando entre 2\¡2 1

r 2 V 2 ydy

2-s/2

5+ 2 /

Al sustituir: 1

du

r

2>/2 * a2 + u 2

¡Anótalo!

Se integra: \_

yfab = yfayfb

2 V2 [ a

are tan —+ C a

Con los valores de a y u, tenemos: 1

y¡2y2 are tan +C

2J 2 { J 5

1 >/2 2 „ — are tan—= y + C 2V10 v5

■5

eos y d y •J

4 + sen2 y

S o lu ció n :

a2 = 4

u2 = sen2y

a =2

u = sen y u(y) = sen y du(x) = eos y dy

Se sustituye: _ (• du ^ a2 + u 2 Se integra: 1 u = —are tan —+ C 2 a Con los valores a y u, tenemos: 1 ( sen y ] _ = —are tan +C

2

■ 6.

l 2

dy

J

V9-CV +1)2 S o lu ció n :

a2 = 9 a =3

u2 = (y + l) 2 u = y+ 1

Capítulo 6 Irtegrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas

u (y )= y + 1 du(y) = ¿y Sustituimos: du = 1 n y a —u 2* Se integra: u _ = are sen—+C a Con los valores de ¿7 y w, tenemos: - are sen. -y + 1-+ C

■7 .

sec2 y dy

J

yj 1 - 9 tan2 >> S o lu ció n :

u2 = 9 tan2

a2= l

u = 3 tan _y

a= 1

w(y) = 3 tan j ¿/«(y) = 3 sec2y dy M ultiplicamos y dividimos el integrando entre 3: f 1 sec2 y(3)dy 3 A /l-9 ta n 2 y Sustituyendo: du

_ 1 f ^3

V JT v

1 W = - are sen —+C 3 a Con los valores de a y u, tenemos: = ^ are sen(3 tan y )+ C

dx ¡■•i

\ +(x -2 )

Solución: a2 = 1

u2 = ( x - 2)2

a= 1

u = (x - 2 ) u(x) = ( x - 2 ) du(x) = dx

71

72

Cálculo integral

Al sustituir: du = /■ Se integra: 1 u_ = —are tan — YC a a Con los valores de a y u, tenemos: = a rc ta n (x -2 ) + C .

f are tan 2x . I --------- - d x = 1+ 4 x 2 S o lu ció n :

u = are tan 2x u(x) = are tan 2x ¿ /- ^ = 2 d x du{x)

l + 4x2 M ultiplicamos y dividimos el integrando entre 2: _ 1 f are tan 2x(2) dx ~2

\ + 4x2

Sustituimos: = — J u du 2 J Integramos: =i ^ +C

2 2

Con el valor de u, tenemos: = —are tan2 2 x + C 4

10' •

árceos” 3x d x i

V l + 9x2

S o lu ció n :

u = are eos 3x u(x) = are eos 3x , , V 3c/x du{x) = — V I-9 x 2 M ultiplicamos y dividimos el integrando entre -3 :

I

1 f árceos2 3 x(-3 )d x = -

3

Vi —9x2

C ap ítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas

Sustituimos: = —— í u1du 3J Integramos: ----- + C 3 3 Con el valor de u, tenemos: = — árceos 3x + C 9

S o lu ció n :

Separamos en dos integrales:

j y ( l - y 2y d y + 3 j - f É = u = 1- y 2 u(y) = 1 - / du(y) = - 2y dy Se hace el cambio de variable en la primera integral, la segunda es directa y así se realiza la integral:

2 J

Al integrar:

2 1 2

Con el valor de u, tenemos: = - (1 - y 2) 2 + 3 arc se n + C

S o lu ció n :

Se completa el cuadrado:

73

74

Cálculo integral

2x - x 2 = - (x2 - 2x) = - ( x 2 - 2 x + 1 - 1) = - [ ( * - l ) 2- l ] = l - ( * - l )2 dx

r

dx

dx

u2 = ( x - \y a= 1

u = x -1 u(x) = x - 1 du{x) —dx

Se sustituye:

Integramos: u = are sen—+ C a Con el valor de u y de a, tenemos: = a r c s e n ( x - l) + C Nota: Al inicio de este capítulo se indica el procedimiento para completar el trinomio cuadrado perfecto.

S o lu ció n :

En este caso, el denominador es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que tenemos que factorizar el trinomio.

u =x - 1 u(x) = x —1 du(x) = dx

Cap ítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas

Sustituimos: = J u 2du Integramos: =^+ C -1

= - —+ c u

Con el valor de u, tenemos: 1

-+ C x —1 14

•1

y L

dy y —6 y —16

S o lu ció n :

y 2 —6y - 16 = (y2 —67 + 9) - 9 - 1 6 = ( y - 3)2- 2 5 dy

f

=

y 2 —6 y —16 dy = 1

( y - 3)2- 2 5

u2 = ( y - 3 )2

a2 = 25

m= 7 —3

a =5

du = dy Sustituimos:

= J. dy ( y - 3 )2 Para realizar esta integral aplicaremos la fórmula u —a í du - 1 I +C u+a J u2- a 2 2a u —a =—L +C 10 u + a

= 1

Con los valores de a y u, tenemos: =— L 10

=— L 10

j-3 -5

+C

7 -3 + 5 7 -t 7 - 2

+C

dy { y - 3)2 - 2 5

7

76

Cálculo integral

■ 15. f

— -------=

x 2 + 4 x+ 4 S o lu ció n :

dx

f

(x+ 2 )2 = | (x+ 2 )~2dx = J u" du Integramos: = ^ +C -1

= --+ c u

Con el valor de u, tenemos: = — — +C x+ 2


I.

Calcula las siguientes integrales. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas. i.J

dx 9 x +16

„ , 1 3x _ Sol. — are tan — + C 12 4

2. J ^ J L =

Sol. are sen —+ C 4

3. | y¡5x dx

Sol. — (5x )3+ C

4 .Í ^ T ( y - 2)3

-+ C Sol. — 2(3^ 2 )

5. J sen 3 y eos y dy

Sol. —sen 4 y + C

20

1

2 x 2dx x 3y/x6 - 9 dy y ^ jy 2 - 1 6

2 x3 Sol. —are sen l- C 9 3

_, 1

y n

Sol. —are sec—+C 4 4

C apítulo 6 Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas

8.

„ , 1 y2 „ Sol. —arctan-— + C 2 5

f 5 y dy — —— J y * +25

. [ x ~2 - 3 , 9. I ---- — dx x2 10.

f (jc-2 —JC-5 —JC-4) ,

-d x

x

J

1 3 -+ -+ C 3x *

S o l.

.

1

1

1

Calcula las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas. 1

1.

f 3x , sen — dx J 4 sen y dy

_ , 4 3x Sol. — eos— + C 3 4 Sol. + are sen

eos y yf$

-y/5-cos2_y 3.

f

± --------

-

f

5.

6

*

í ——— J l + 7x 2

f

7.

soL l a r c t a n ^ í + C

y 2- 8^+20

„ f sec y tan y 4- I 16+sec2 jy

, ^ 'j —y 2 —6 y + l

2

Sol.

1

-a rc ta n 4

2

sec y - +C 4

So/, —aresec —+ C 2 2 So/. —?= are tan s/7.y + C V7 So/. a r c s e n ^ + C 4

8 . J ——^ _y2 + 8,y+25

Sol. - a r c t a n Ü Í + C 3 3

dx ----------------x2+ 2 x + 1 0

_ . 1 x+l ^ Sol. - a r c ta n +C 3 3

_

f

1 o.

-

9.

f— 4 x 2 + 8x + 5

So/. - are tan(2x+ 2 ) + C 2

n

f 2y dy _

S o /.-a re s e c — + C 9

12 .

f I

8 ¿/y

y 2+ 4 y + l

_

S o l .------- r + ----- + — -+ C 3x 6xb 5x5

3

8 y+ 2 sol. —= are tan —p r-+ C V3 V3

78

Cálculo integral

f dx 13. J , = V4 + 6 x - x 2 14.

15.

, x —3 Sol. a r c s e n - = + C V13

f -4 x d x .

. , . x2 _ S o /.- 2 are sen — + C 3

f

1 V _ So/. —aresen —+ C 2 2

dv —. yJT 7*

f sec y tan y ¿/y 16. J 7 -^ 5 + 4 sec y

1 2 secv _ Sol. — f=are ta n — p - ^ + C 2v5 V5

Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas Fórm ulas de integración exponencial

/

E je m p lo s:

Integra

S o lu ció n :

u = 5x u(x) = 5x du{x) = 5dx M ultiplicamos y dividimos en el integrando entre 5: = ~ | é 1du(5)dx Sustituimos: = — í e" du 5J Integramos: = - e u+ C 5 Con el valor de u, tenemos: = - e5x+ C 5

S o lu ció n :

u = x2+ 3 u(x) = x 2 + 3 du(x) = 2x dx

J

Cálculo integral

M ultiplicamos y dividimos en el integrando entre 2: = — í ex2+'(2 ) x d x 2 J Luego sustituimos: = — í eudu 2 j Integramos:

=L*+c 2

Con el valor de u, tenemos: 1 —

BX

2+3 . /-i

+ C

2

■ 3. | exnx eos x d x = S o lu ció n :

u = sen x w(x) = sen x du(x) = eos x dx Sustituimos: = \ e u du Integramos: = eu + C Con el valor de u, queda: = exnx+ C

■4 .

\ x e 6xldx = S o lu ció n :

u = - 6x 2 u(x) = - 6x 2 du(x) = - 12 x dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre -12: - — — í x e ’6í ( - 1 2 )d x 12 J

Sustituimos: = — — f e" du 12 J Integramos: = - — e“+ C 12

Capítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas

Con el valor de u, tenemos: = - — e 6x2+ C 12

■5.

J (7x —e2x)d x = S o lu ció n :

= 7Jxdx-

J e2xdx

u = 2x u{x) = 2x du(x) = 2 dx Multiplicamos y dividimos la segunda integral entre 2: = 7 j x c / x - i J V X(2 )¿& = 7 |x ¿ / x - ^ - J eudu Integramos: = —x 2

2

2

e" + C

Con el valor de u, tenemos: = - x 2- —e2x+C

2

2

■ 6 . J (e3x - 4 ) 2dx = S o lu ció n :

Primero desarrollamos el binomio al cuadrado = j ( e 6x- 8 e 3x + l6 )d x =

j e6xd x - 8 J e3xd x + 16 J dx u = 6x

v = 3x

u{x) - 6x

v(x) = 3x

du{x) = 6 dx

dv(x) = 3 dx

M ultiplicamos y dividimos entre 6 y entre 3 la primera y la segunda de las integrales, respectivamente: = - ¡ e6x( 6 ) d x - ~ 6 3 Sustituimos:

J e3x(3)dx+ 16¡ dx

= — J e“d u ~ - í evd v + 16 í dx 6 J 3J J

82

Cálculo integral

e integramos: = 1 eu- - e v + l6 x + C 6 3 Con los valores de u y de v, tenemos: = - e6x- - e 3x+ l6 x + C 6 3

l7. f _ 6 ^ J

e2 ,

= _ 6 f , - 2Vx J

S o lu ció n :

u = -2 x u(x) = —2x du(x) =—2 dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre -2 : = 3 J e 2x (-2 ) dx Hacemos la sustitución: = 3 J eudu y la integración: = 3 e“ + C Con el valor de u, tenemos: ¡A n ó t a l o ! I . ^

— =
=3e- + C 3 = ^ +C

8. ¡ ^

e

=9 ¡ e ^

S o lu ció n :

u = —Ax u(x) = —Ax du(x) = - 4 dx Al multiplicar y dividir el integrando entre - 4 queda: =- - J e - * \- 4 ) d x Sustituimos: = —— f eudu AJ Integramos: 9 = - - e u+ C

Capítulo 7 Integrales Inmediatas. Fundones exponendales y logarítmicas

Con el valor de u, tenemos: 9

•+ C

4e

■9.

14=W S o lu c ió n :

u = —3x u(x) = -3 x í/m(x) = - 3 Multiplicamos y dividimos el integrando entre -3 : =~ ~

1 e-3'(.-3 )d x

Sustituimos: =

-

\ e ud u

-

3J Integramos: = --e "+ C 3 Con el valor de u, tenemos: = - - e ~ 3x+ C 3 ■+ C 3e

■ 10 .

dx

J ^ =3J

¡A n ó ta lo !

■x \ 2

v

(e*)

(amy = a"'"

= 3 J e * dx S o lu c ió n :

x u=—

2

u(x) = -

x

du(x) = — dx 2

Multiplicamos y dividimos el integrando entre —— /

2

\ dx

J. 2

v 2y

83

Cálculo integral

Sustituimos: =

- 6

e" d u

J

Integramos: = - 6 e u+ C Con el valor de

u,

tenemos:

X

= - 6 e *+ C

X

e2

■ 1 1 .

fe ~ xdx =

S o lu ció n : u = -x u (x ) = - x d u (x )

=

—d x

Consideramos el signo “menos” de la diferencial: =

' e~x ( - d x )

- J

Sustituimos: =

-

J

e ud u

e integramos: = - e “+ C Con el valor de = -e~x+ C

■ 1 2 .

j l xdx =

S o lu ció n : u = x u (x )

=

X

du

=

dx

a —2

Sustituimos:

= J a 11d u Integramos:

u,

tenemos:


/

1

\ a “+ C

v ln¿7y Con los valores de a y u, tenemos: 1

-2 X+ C

ln 2

13.

J 3 x e X~dx = S o lu ció n :

u = -x2 u(x) = - x z du(x) = —2x dx Al multiplicar y dividir el integrando entre - 2 resulta: = ~ ~ í x (—2)e~x dx Luego sustituimos: = - - \ e udu 2 J Integramos: 3 = - - e u+ C 2 Con el valor de w, tenemos: = - - e x2+ C 2

14.. í ^ d x X

S o lu ció n :

1

u =— X

u(x) = X

du(x) = — —dx Se considera el signo “menos” de la diferencial:

-J. Sustituimos:

1

dx

86

Cálculo integral

Integramos: = —e“+ C Con el valor de u, tenemos: = —e x + C

■ 15. |s e n x e C0sx£¿c = S o lu ció n :

u = eos x u(x) = eos x du(x) = - sen x dx Se considera el signo menos de la diferencial: =-

J ecosx ( - sen x dx)

Sustituimos: =-

J eudu

Enseguida integramos: = - e u+ C Con el valor de u, tenemos:

= - e cosx+ C

■ 16.

J esen6x eos 6x dx S o lu ció n :

u = sen 6x u(x) = sen 6x du(x) = 6 eos 6^: dx Multiplicamos y dividimos el integrando entre 6 : = — f esen6*6 cos 6x£¿c 6 J Luego sustituimos: = — J eudu

6 J Integramos: = —eudu 6 Con el valor de u, tenemos: = - esen6x+ C 6

C apítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas

1 17. ¡ 9 Xdx = S o lu ció n :

u =x u(x) =

X

du{x) = dx a=9 Hacemos la sustitución:

= j* a udu y la integración: 1

a u+ C vl n “ y =— +C ln a Con los valores de a y u, tenemos: 9X -+ C ln9

Fórm ulas de integración logarítm ica du u

Ti i _ =¿M+C 1 1

tan u du = L |sec u |+ C cot u d u = ¿ |se n w |+ C secwí/w = z|secw + tan w |+ C cscu d u = Z, esch —cotM +C +U u2 - a 2 du

2a

u +a

_ 1 ^ a+ u

du 7 —

L u+ yju2- a 2 + C

4 7 -a 2 E je m p lo s:

Integra: 9 -\

+C

a -u

a —u

f dx _ 1 f dx ’ •’ 5x ~ 5 J x

87

Solución:

u -x u(x) = X du(x) = dx Sustituimos: _ 1 f du _ 5 u Integramos: = -L (u )+ C Con el valor de u, queda: = -L (x ) +C 5 Aplicamos la siguiente propiedad de los logaritmos: log A" = n \o g A = L (x)5 +C

S o lu ció n :

u = 2 + 3x u(pc) = 2 + 3jc du(pc) = 3 dx Multiplicamos y dividimos entre 3: _ 5 r 3 dx 3 ^ 2 + 3x Sustituimos: j u Integramos: = -L ( u ) + C 3 Con el valor de u, tenemos: = ^ L \2 + 3 x \ + C

S o lu ció n :


u = x 2 —x - 6 u(x) = x 2 - x - 6 du(x) = (2x - 1 ) dx Sustituimos: f dii u Integramos: = L{u) + C Con el valor de u, tenemos: = l \x 2 —jc -ó l + C

Solución: u = 3x4- 5 u(x) = 3x4 - 5 du{x) = 12 x 3 dx M ultiplicamos y dividimos entre 12: _ J _ f 1 2 x 3dx ~ 12 J 3x4- 5 Sustituimos: 1 f du

~ 12

u

Integramos: = — L (u)+ C 12

Con el valor de u, tenemos: = — l |3 x 4- 5 |+ C 12 I I

\^ ± ld x = J x+ 2 Solución: Dado que el grado del numerador es igual al grado del denominador, podemos realizar la división. Recuerda que el grado lo da el mayor exponente de la variable. x + 2 |x + 3 -x -2 1

89

90

Cálculo integral

El resultado de la división es 1+ Sustituimos en la integral:

Separando en dos integrales: = í dx + í —!— dx J J x+ 2 u=x +2 w(x) = x + 2 du{x) = dx Sustituimos: u Integramos: = x + L{ü) + C Con el valor de u, tenemos: = x+ Z /|a:+ 2 | + C

j cos|y

sen (x + 2 )

S o lu ció n :

u = sen (x + 2 ) u{x) = sen (x + 2 ) du(x) = eos (x + 2 ) dx

u Integramos: = L{u) + C Con el valor de u, tenemos:

S o lu ció n :

u = 5x —1 u(x) = 5x - 1 du{x) = 5dx

1

x+2


91

M ultiplicamos y dividimos entre 5: = i J 5 tan (5 x -l)¿/x Hacemos la sustitución: = - í 5 tan u du 5J Integramos: = iz ,(se c « ) + C Con el valor de u, tenemos: = -Z ,|sec(5x—1)|+C

lnx x S o lu ció n :

u = lnx w(x) = ln x

i

¡Anótalo!

du(x) = —dx Hacemos la sustitución:

= J udu Integramos: = ^ +c 2 Con el valor de u, queda: ln 2 Ixl = — LJ + C

í

V

■9.

• J Í-M H

dx = /

S o lu ció n :

Desarrollamos el binomio al cuadrado: = 1 —- 4 + x U

= 4 J — - 4 j* dx + J xt/x x u =x u(x) = x du(x) = c/x

(a + b)2 = a2 + lab + b2

i |

92

Cálculo integral

Sustituimos en la primera integral: = 4 Í — - 4 f dx+ ¡ x d x u Integramos: x2 = 4 L {u )-4 x + — + C 2 Con el valor de u, tenemos: Y2 = 4L x \ - 4 x + — + C 1 1

■ 10.

2

dx

J

_

eos 2 x 6 tan(x—3) Solución: Dado que sec x = —-— , elevamos al cuadrado ambos miembros. Así, cosx queda: sec 2 = — í— eos 2 x Sustituimos: f sec 2 x dx ~ J 6 ta n (x -3 ) u = 6 tan (x - 3) w(x) = 6 tan (x - 3) du(x) = 6 sec 2 x dx Multiplicamos y dividimos entre 6 : _ 1 f 6 sec2 x d x 6

6 tan(x - 3)

Sustituimos nuevamente: _ 1 f du 6

u Integramos: = -L (u ) +C 6 Con el valor de u, tenemos: = i ¿ |6 t a n ( x - 3 ) |+ C

■11.

f dx ^ x 2 - 9n _ Solución: u2 = x 2 u=x


u(x) = X

du(x) = dx a2 = 9 a

=3

Sustituimos: du = 1 Integramos: u -a =— I +C 2a u+a Con el valor de a y w, tenemos: =Í£

6

■ 12 .

x -3

+C

x+3

(e* + sec" x)

dx =

e + tanx S o lu ció n :

u = e* + tan x w(x) = ex + tan x du(x) = {e* + sec 2 x) dx Sustituimos: _ j du u Integramos: = L (u ) + C Con el valor de u, tenemos: = L (e x+ tanx) + C

■ 13.

I 1— — dx = J ex +e~x S o lu ció n :

u = e* + e~x u(x) = ex + e~x du(x) = (ec— e~x) dx Sustituimos:

Integramos: = L{ü) + C Con el valor de u, tenemos: = L \e x + e x \+ C

■ 14.

J x(2~3*2) dx S o lu ció n :

u = -3 x 2 u(x) = - 3 x 2 du(pc) ——6x dx a =2 M ultiplicamos y dividimos entre -6 : = —— j* 2" ' (-6 )x d x 6 Sustituimos: = - — í a"du 6 J Integramos: , f a u+C \ Laj Con el valor de u, tenemos: / 1 = - I 2- 2 4-C 6 \ y Nota: El logaritmo natural se representa por ln o por L, por lo que ln2 y L2 representan lo mismo.

■ 15.

J se n x + c o sx

dx =

cosx S o lu ció n :

Separamos en dos integrales y aplicamos la siguiente identidad sen ,4 trigonométrica: tanyí = cos A f senx . f eos* = J— — J eos* dx cosx

= J tan x d x + J dx Integramos: = L secx + x + C


■ 16.

J tan 2 x d x S o lu ció n :

u = 2x u(x) = 2x du(x) = 2 dx M ultiplicamos y dividimos entre 2: = — í tan2x(2 )dx 2 J

= — í tan u du 2 J

Integramos: = ^ L (sec u)+ C Si sustituimos el valor de u,tenemos: = —Z ,|sec2x|+C

2

1

1

dx

■ 17. J sec>Jx

T* S o lu ció n :

i U = y fx = X 2

u(x) = x 2 1 -1 du(x) = - x 2 dx = — = d x 2 2dx Multiplicamos y dividimos entre 2: 1 =2j

rsec yjx dx

^ y fx

= 2 1 sec u du Integramos: = 2 L (sec u + tan u) + C Luego sustituimos el valor de u y obtenemos: = 2L sec Vx + tan V i +C

1 8 . j*(l + ta n x )2í/x =

S o lu c ió n :

Desarrollamos el binomio al cuadrado: = J (1 + 2 tan x + ta n 2 x )d x Dado que tan2 x = sec2 x —1, sustituimos en el integrando: = | ( /+ 2 ta n x + s e c 2 x - í ) d x = | (2 tan x + sec2 x) dx = 2 J tanx£¿c+ J sec2 x dx Integramos: = 2Z,|secx| + ta n x + C

f 5x 3 - 3

>19. I —

.

dx-

J x +2

Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, se divide 5 x ______ x + 2 |5 x J- 3 - 5 x 3-lO x -1 0 x -3 Entonces: 5x3 - 3 x

r -1 0 x -3 = 5 x + -----------

2+ 2

x

2+ 2

Sustituimos: 5x - -

-J

10x + 3 ^ x

dx

2+ 2

= 5 í xc/x - í _ _ ñ _ d x - \ —-— dx x

2+ 2

x2+

Integramos la segunda integral:

i

^

=

J x +2

u = x2+ 2 u{x) = x2 + 2 du(x) = 2x dx _

f 2x dx x 2+ 2

Sustituimos:

2

Capítulo 7 Integrales Inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas

=5 ¡ ^ u Integramos: = 5 L(u) + C Con el valor de u, tenemos: = 5 ¿ | x 2+ 2 | + C Integramos la tercera integral:

í

~ r — dx x

=

2+ 2

u2 = x2.

a2 = 2

u= x

a = J2

du(x) = dx Sustituimos: du

= 3Í

2

2

u +a Integramos: A 1i =3 are tan —+ C a Con los valores de a y u, tenemos: 3 x _ = —= are tan —= + C V2 y¡2 Teníamos que: f’ 5x 5x3 —3 ,.

^f

,

ndx=5J x d x - ] +2

J 2 x

x tfx fflO 1Ox dx x +2

f 6 dx x +2

Si calculamos la primera integral y sustituimos cada uno de los resultados de las integrales segunda y tercera, obtenemos: =

5x2 2

i i 3 x 5L x 2 + 2 — = are ta n —¿=+C I I V2 4l

¡Aplícate!

I.

Calcula las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas. 1.

j e 6xdx

2.

Jf e-5 dx

Sol. —e + C 6 Sol. - e 5 +C 3

97

98

Cálculo integral

dx

f

Sol. — are tan —- x + C 5y¡3 5

3x2 +25

dx

f

Sol. —are sen 2x+ C 4

y]4 —16x2 f dy

Sol. — l \ v | + C • 7 1- 1

j 7y

So/. - IS v \+C 3 11

5.

y dy 7.

í

B.

J 3x2 - 5 \ í x

9.

j*y jj+ 2 y dx

S o l .- - L \ 5 - 9 y \ + C

5 -9 y dx

Sol. —x 2 -10>/x + C 2 Sol. -{ 5 + 2 v)2 + C 3

10. je™ '2* esc2 2 x d x

S o l .- —ecot2x + C

11. j*y 3ey4dy

Sol. - e y*+ C

12’ í ( e * - e~*)dx

Sol. 2 e2 + e 2 + C

13. \ ( e 2x+ 3 fd x

Sol. —e4x + 3e2x + 9 x+ C

14.

Sol. — L 1 0 - 4 x 3\+C 4 I I

10- a x 2 f ln ( x - 3 )dx 15* ■*

x -3

Sol. —ln2|x —3¡ + C 2 1 1


Calcula las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas. 1.

1* esc2 x dx

3 - 8 c o tx (x2 + 3) dx > •!

x+ 1

Sol. - ¿ |3 - 8 c o t x |' 8 1 1 Sol. :

x + 4 L x+1 \+C 2

1

1


3.

4.

5.

9 e3xdx ^ x + e 4x

S o l. 3e

+C

C—l ^ ,3i‘ — ^ e— 6.V+C . y-i 3 6

S o l. - e

dx

dx

S o l. - - + C

ex

ex

6.

eseny eos y dy

S o l. e T y + C

7.

102xdx

Sol.

10 '

21n 10

8

.

9.

35y dy

3

S ol.

51n3 e 2 dy

+C

+C

S o l. 2e 2 + C

r 10.

32x

S o l. —— + C

32xdx

21n3 3x

+C e’- + 7 3 ln~7

11 .

(e3x+73x)d x

S o l. -

12 .

x3xl dx

S o l.

3A"

+C

2In3 dx

13.

S o l. - L 3 x + \Í9 x2 - l \ + C

3

V 9x 2- 2 f c/x 14- J — ;— 4x - 9

.

15. í ta n 5 x -c o t —x

l 16.

2 y dx

cos5x 17.

8x d x

1 r 2 x -3 +C 12 2 x + 3

S o l. — L

dx

2

S o l. -Z (se c 5 x )-- - L sen —x + C

S o l. - L sec5x + tan5x + C

5 1

tan 2x dx

1

S o l. — Z 3 —ex

e

3—ex 18.

3

3

5

+C

1

S o l. —Z sec2x + C

2

1

1

99

100

Cálculo integral

19.

| sec 5x tan 5x dx

Sol. - s e c 5x + C 5

20.

J csc2 5x dx

Sol. — co t5 x + C 5

21. J x 3 sec2 x Adx

Sol. —tan x4 + C 4

f Jx 22. 1 --------- 16 - 4x

4+2x Sol. ~ L +C 16 4 - 2 x

dx ■I

( x - 3 ) 2+ 4 dx

•i

x -3

So/.

L x - 2 +C

So /.

—L senx“ + C 7 I I

So /.

Z, secx + x + C

+C

x -2

25.

j" x c o tx 2 dx

26.

J -------------- dx

27

Sol. -a re ta n 2

f sen x eos x , cosx

sen yfx dx ■1

Sol. - 2 c o s yfx + C

jx

28.

J 2 sec 4y dy

Sol. —£ se c 4 v + ta n 4 v + C 9 I I

29.

J x co t x 2dx

Sol. —L senx" + C 2 I I

30.

J

f sec2 4 v , -d y tan 4 y

Sol. —Z |tan 4 v | + C

31. J*

—

-2 y - y 32. J

dx 5 -9 x 2

33

dx ■1

x 2 + 16

Sol. - L 9

v+ 2

+C

\¡5 + 3x Sol. — -=L +C 6V 5 V 5 -3 x y

S o /.

—arctan —+ C 4 4

C apítulo 7 Integrales inmediatas. Funciones exponenciales y logarítmicas

Resumen de las integrales inmediatas A continuación se presentan las integrales inmediatas que hemos aplicado en este capítulo. Aparecen de acuerdo al orden en que se analizaron.

k dx = kx + C k f(x ) = k \f(x )+ C [ f ( x ) ± g ( x ) \ d x = J f ( x ) d x ± J g {x )d x

u"du = - — + C n+ \ du = \ — = lnlwl + C = Z,|í/| + C u sen u du = —eos u + C coswcft/ = sen u + C sec u tan a du = sec u + C sec2 u du = tan u+ C esc u cot u d u = —esc u+ C esc2u du = - c o t u+ C du ^ /íw ^

= are sen—+ C a

du

1 u ^ : = —arctan —+ C y/a2 + u 2 a du

1 u r = —are sec— l-C 4’ \]u2 - a 2 a e “du = eu + C

a" du =

a u+ C vln f l /

tanudu = L \ s q c u \ + C = - L co tu d u = L sen u\ + C

co sw

\+ C

102

Cálculo integral

secu d u = L secM+tanw\+ C escu d u = L cscw -cotw \+C = - L cscw+cotw + C

du . = ± L u2- a 2 2a du a2- u 2 du

u -a

_ 1 ^ a+ u 2a

+C

u +a

a -u

+C

: = L u + yju2— a 2 + C

9

Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas Introducción C u an d o se trata d e o btener la solución d e una integral es probable q ue ésta no se incluya en los form ularios q ue p resentan los libros d e texto. Sin em bargo, los m étodos de integración q ue a continuación an alizarem os te ayudarán a transform ar esas integrales en otras q ue p u ed en resolverse con la ayuda d e los form ularios co m u nes. En la solución d e las integrales d irectas e inversas se aplicaron las fórm ulas de integración co rrespondientes y, en alg un o s casos, fue necesario realizar algunas sustituciones para o btener el resultado. A hora co nsid erarem o s las integrales trigonom étricas d e la forma:

j* sen"' ucos" u du J tan"* u sec” u du

J cot'” u esc" u du J sen

mu e os nu du

Tales com o:

J eos2 4x d x; j* sen2(3x+2)cos(3x+2)¿/x;

J tan4 3x dx; J tan4 x sec4 x dx;

Algunos procedimientos de solución Para integrar estas expresiones aplicamos los procedimientos que ya estudiamos; además aplicaremos, donde sea necesario, las fórmulas que se conocen como del ángulo medio y que fueron demostradas en el curso de Geometría y trigonometría. A continuación, las volvemos a presentar para que tengas una mejor referencia: lcCU os2x 2 l— sen x = ------2 2 l+ c o s2 x eos x = -----------2

104

Cálculo integral

Integración de la forma J senmu co snudu Se presentan dos casos: Primer caso:

m y n son pares y positivos, o alguno de ellos es nulo. Se aplican las fórmulas del ángulo medio para bajar el grado de la expresión. Ejemplos:

■ 1. J sen2 xcos2 x d x con m = 2 n =2 Como: 2 l- c o s 2 x sen" x = -----------2

eos

2

X

=

l+ co s2 x --------------------

2 ¡A n ó t a lo ! i

I

( a - b)(a + b) = a2- b 2

M ultiplicamos miembro a miembro las dos igualdades anteriores, Recordemos que el producto binomio conjugado es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. sen xcos x =

1—cos2x { l+ co s2 x 2

V

V 'V

2

/

( l- c o s 2 x ) [l+ c o s2 x j

= - ( l - c o s 2 2x) 4' Sustituimos en el integrando: | sen2 x eos2 x dx = j* i (1 - eos2 2x)dx = — J dx - —J eos2 2x dx 4 J 4J Aplicamos a la segunda integral la identidad: 2 1+ eos 2x eos x = -----------2 Al aplicar la identidad obtenemos el coseno del doble del ángulo. En este caso será cos2(2x) = eos 4x. Entonces: ->_ l + cos4x eos" 2x = -----------2 Calculamos la primera integral y en la segunda sustituimos la identidad. x 1 f 2 i = eos" 2x dx 4 4

C apítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas

_ X

I í 1 + cos4x

~ 4

4

\ dx

Separando en dos integrales: x

1

4

4

-ÍJ ± * + J

eos 4x

dx

=——— \ d x —— \ eos 4x dx 4 8J 8 Integramos: f x x 1 4

8

\ J 4 eos 4 x d x

8

x x 1 = -------------- sen4x 4 8 32 = —— —sen 4 x + C 8 32

■2 .

j*eos2 4x dx = con m = 0 n=2 Como: 1+ cos2x eos" x = Entonces: eos2 4x =

1 + eos 8x

Sustituimos en el integrando: = | ^(1 + cos8x)¿/x = — í dx + — í eos 8x dx 2J 2 Integramos y complementamos la segunda integral: 1

=- + ~

2

2

1 8 eos 8x d x

v

x 1 „ ^ = —+ — sen 8x + C 2 16 ■ 3. J sen4 x dx = con m = 4 n =0

106

Cálculo integral

Factorizam os:

= J (sen2 x )2dx Como: 2 l-c o s 2 x sen- x = ------------Entonces: =

í

1 - eos 2x

dx

Desarrollamos el binomio al cuadrado: 1 - 2 eos 2x + eos2 2x = 1-

dx

Separamos en tres integrales:

¡A n ó ta lo !

j|

{a - b f = a2- lab + b2

=

1

1 2 4

4

„ 1 eos 2x + —eos' 2x dx 4

\ c o s2 x d x + — \ eos2 2 x d x 4 J 4J

= í— J 4

Aplicamos la identidad a la última integral: 2 1 + cos2x eos x = -------------

Obtenemos: l + cos4x eos2 2x = 2

=J— 4

2

j*c o s 2 x J x +1- Jf 1 + cos4x

dx

Resolvemos la primera integral, complementamos la segunda y separamos la tercera: \ 1 f dx 1 f eos 4x dx ■£ _ I I í 2cos2 x d x + — \ — H— f • 4 2 2 J 4 2 4 2 Resolvemos la primera y segunda integral y completamos la tercera: =

x 4

1

. 1 \ sen2x+ — +J 4cos4x¿/x 4 4 v2 4 -2 \1-4

Integramos: x 1 _ x 1 . _ = ------ sen2x H— l------ sen4x + C 4 4 8 32 3x 1 1 . „ = --------sen2x H------ sen4x + C 8 4 32


N ota:

Para realizar la suma ^ +

» expresamos la primera fracción en

octavos, para lo que multiplicamos el numerador y denominador por 2: 2x + x _ 3x 8

8

8

S e g u n d o ca so :

m o n son impar y positivo. Si m es impar y positivo, se factoriza la función sen x dx y se aplica la identidad pitagórica sen2x = 1 —eos2 x. Si n es impar y positivo, se factoriza la función eos x dx y se aplica la identidad pitagórica eos2 x = 1 - sen2x. E je m p lo s:

eos X com o

m=

3, es im par y positivo

Como: sen3x = sen2x sen x Sustituimos: = | sen2x cos-5 xsenx¿/x Con: sen2x = 1 -c o s 2 x Sustituimos:

M ultiplicamos y separamos en dos integrales:

u = eos x w(x) = eos x du{x) = -se n x dx

¡A n ó ta lo !

*

Sustituimos y afectamos las integrales por el signo (-); por tanto, los signos de las integrales cambiarán:

Integramos:

a

a

108

Cálculo integral

Con el valor de u, queda: 1 4 eos4*

1

+C

2 eos2*

■ 2. J*sen4* eos3x dx =

=J«eos * sen x dx como n = 3, es impar y positivo Como: eos3 x = eos2 x eos x Sustituimos: = J eos2 x sen4 x eos x dx Con: eos2 x = 1- sen2 x Sustituimos: = J (1 -s e n 2 x )sen4 x eos x d x M ultiplicamos y separamos en dos integrales: = J* sen4 x eos x d x - \ sen6 x eos x dx u = sen x u(x) = sen x du(x) = eos x dx = j* iiAdu - | u6du Integramos: = “ +c 5 7 Con el valor de u, queda: sen3 x sen7 x = ------------------- +C 5 7

Integración de la forma J tanmusec"

udu

También se presentan dos casos. P rim e r ca so :

m es impar y positivo. Para integrar estas expresiones se factoriza sec x tan x dx. A continuación aplicamos la identidad pitagórica tan2 x = sec2 x -1 . E je m p lo s :

Capítulo 8 Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas

■ 1• | tan3 x sec5 x d x = como m = 3 es impar y positivo, tan3 x = tan2 x tanx sec5 x = sec4 x sec x Sustituimos: = J sec4 x tan2 x(sec x tan x) dx Como: tan2 x = sec2 x - 1 Sustituimos: = | sec4 x(sec2 x - l)(sec x tan x) dx = J (sec6 x - sec4 x)(sec x tan x) dx = | (sec6 x)(sec x tan x) dx - J sec4 x(sec x tan x) dx u = sec x u{x) = sec x du(x) = sec x tan x dx = J u6du - J uAdu Integramos: = ^ - u- + c 7 5 Con el valor de w, queda: sec7 x sec5x _ --------------------+ C 7 5 N ota:

Este procedimiento también es válido para integrales de la forma

J cot"' u csc" u du con m impar y positivo. S e g u n d o ca so :

n es par y positivo

*

Para integrar estas expresiones se factoriza sec x dx. A continuación se aplica la identidad pitagórica sec2 x = 1 + tan2x. E je m p lo s:

■ 1. | tan2 x sec4 x dx = como n = 4, es par y positivo, sec4 x = sec2 x sec2 x Sustituimos: = J tan2 x sec2 x sec2x d x

109

110

Cálculo integral

Como: sec2x = 1 + tan2x Sustituimos: = J (tan2 x+ tan4 x)sec2 xdx = j* tan2 xsec2 xdx+ J tan4 x sec2 xd x u = tan x u{x) = tan x du{x) = sec2 x dx = J u2du+ j* u4du Integramos: m3 u5 = — +— +C 3 5 Con el valor de u, queda: tan3x tan5x _ = ------- + + C 3 5

Integración de la forma j c o t m u esc" u

du

Para integrar estas expresiones se factoriza cot x dx. A continuación se aplica la identidad pitagórica cot2x = esc2x - 1. Si se factoriza esc x dx se aplica la identidad pitagórica esc2x = 1 + cot2x E je m p lo s:

■ 1. J cot5x dx = con m = 5 n=O cot5x = cot3x cot2x Sustituimos: = | cot3x cot2 x dx Como: cot2x = esc2x - 1 Sustituimos: = | cot3x(csc2 x - 1) dx = J* (cot3x esc2 x - cot3x) dx = J cot3x esc2 x dx - J cot3x dx = j* cot3x esc2 x dx - J cot2x cot x dx


Realizamos la sustitución: = J cot3 x csc2 x dx - 1 (csc2 x —1) cot x dx = J cot3 x csc2 x d x - J co tx csc2 x d x + J cot x d x u = cot x w(x) = cot X du(x) = -c s c 2 x dx Realizamos el cambio de variable y multiplicamos por ( -) la primera y la segunda integrales. La tercera es directa porque tenemos una fórmula para integrarla. = - J u3d u - ( - \ udu^+ | cot xdx = —J u3du+ J udu+ J cotxdx; Integramos: 4

2

= —— + ——hZ,(senx)+C 4 2 Con el valor de u, tenemos: cot4 x cot2 X _ I I _ = ---------- + -------- + Llsenxl + C

■ 2. | cot2 xcsc4 x d x = con m = 2 n=4 CSC4 X = CSC2 X CSC2 X

*

Sustituimos: — J cot2 x(csc2 x csc2 x )d x Como: csc2x = l+ c o t2x Sustituimos: = J cot2x (1 + cot2x) csc2 x dx = J (cot2 x csc2 x + cot4 x csc2 x) dx = | cot2 x csc2x dx + J* cot4x csc2 x dx u —cot x m(x) = cot X

du(x) = —csc2 x dx

Cálculo integral

Debemos multiplicar por (-) ambas integrales al realizar el cambio de variable. = - J u2d u - \ uAdu Integramos:

= -u- - u- + c 3

5

Con el valor de u, tenemos: cot3 X

co tJ

-+ C

Integración de la forma J senmucosnudu Para integrar estas expresiones se aplican las fórmulas de productos de senos y cosenos eos u eos v = i[c o s (w + v ) + cos(« - v)~\ sen u sen v = —[cos(w—v ) —eos (w+ 1>)] E je m p lo : b1*

J* c o s 5 x c o s 2 x c /x

=

Aplicamos la primera de las identidades señaladas en el párrafo anterior: cos5xcos2x = i[cos(5x + 2x) + cos(5x-2x)] = i(c o s 7 x + c o s 3 x )

Sustituimos en el integrando y se tiene: j* eos 5x eos 2x dx =

J" (cos7x + cos3x)¿/x f c o s 7 x é /x + — f eos 3x d x 2 J 2J

= —

u = 7x

w = 3x

u(x) = 7x

w(x) = 3x

du(x) = Idx

dw{x) = 3 dx

Jcos7x(7)t/x+ — 2v

Integramos: = — se n 7 x + —sen 3 x + C 14 6

Jcos3x(3)¿/x y

,


¡Aplícate!

I.

Para que puedas entender mejor la diferencia con las integrales trigonométricas directas, completa el desarrollo que falta en los ejercicios siguientes: 1. J c o s ( 3 + 2 x ) é/x =

Sol. —sen (3+ 2 x) + C 2

u = 3 + 2x

w(x) = 3 + 2x du(x) = 2 dx 2. J tan2( x - 2 ) d x =

Sol. tan( x - 2 )- x + C

tan2 x = sec2 x - 1 II.

Integra. Se incluyen algunas integrales trigonométricas directas.

1. J*3cos25xdx

3 3 Sol. —x + — senlO x+ C

2

20

2. J tan4 3x dx

Sol. —tan3 3 x— tan 3x+ x + C 9 3

3. J sen32x d x

Sol. — eos 2 x + —eos 2x + C 2

4. J sen4 2x eos 2 x dx sen2x

*■/ l - c o s 2 x

dx

6

Sol. — sen^ 2x + C 10 S o l.—L 1 -c o s 2 x + C 2 1 1


I.

Para que puedas entender mejor la diferencia con las integrales trigonométricas directas, completa el desarrollo que falta en los ejercicios siguientes: 1. J x c s c 2(x2 - 3 ) d x =

Sol. - —cot(x2- 3) + C 2

u = x2 - 3 u{x) = x2 - 3 du(x) = 2x dx 2. J tan52x sec2 2x dx =

Sol. — tan6 2x + C 12

u = tan 2x w(x) = tan 2x du(x) = 2 sec2 2x dx

113

114

Cálculo integral

3 f ta n 2 x ^ _ eos2 2x 1 secx = cosx

S o /.- ta n : 2 x + C 4

4. | tan 3x-s/sec 3x t/x

So/. ^ Vsec 3x + C

Multiplicamos y dividimos el integrando por Vsec3x II. Integra las siguientes expresiones. Se incluyen algunas integrales trigonométricas directas. S o / .- x — !-sen6x + — se n l2 x + C 8 12 96

1. ís e n 4 3x¿/x J f ~> cos2xdx J III. Analiza los siguientes ejemplos resueltos: 2.

1.

J tan4 x dx = Factorizamos : = J tan2 x ta n 2 x d x Como: tan2 x = sec2 x - 1 Sustituimos: = J* (sec2 x - 1 ) tan2 x dx = J (tan2 xsec2 x - tan2 x) dx = | tan2 xsec2 x d x - J tan2x d x =

J tan2x sec2 x dx -

j* (sec2 x -1 ) dx

u = tan x w(x) = tan x du(x) = sec2 x dx = J u 2d u - J sec2x í/x + J dx Integramos: w3 = ta n x + x + C

Con el valor de u, tenemos: = - t a n 3x - t a n x + x + C 3

x 1 So/.—+ - s e n 2 x + C 2 4


2. J 5sen2 x c o s x d x = u = sen x u{x) = sen x du(x) = eos x dx Sustituimos: = 5 j* u2du Integramos: = 5— +C 3 Con el valor de u, tenemos: = —sen3 x + C 3 3.

J sec4 3x dx = Factorizamos: = J sec2 3xsec2 3x d x Como: sec2 3x = 1 + tan2 3x Sustituimos: = J (1 + tan2 3x) sec2 3x dx = J sec2 3x d x + J* tan2 3xsec2 3x d x u = tan 3x w(x) = tan 3x du(x) = 3 sec2 3x dx = j* sec2 3 x d x + ^ J u2du Integramos: = - ta n 3 x + - — + C 3 33 Con el valor de u, obtenemos: = ^ ta n 3 x + —tan3 3 x + C 3 9

4. J esc4 3x dx = Factorizamos: = | esc2 3xcsc2 3x d x

115

116

Cálculo integral

Como: csc2 3x = 1 + cot2 3x Sustituimos: = | (1 + cot2 3x)csc2 3x d x = j* (csc2 3 x + co t2 3xcsc2 3x )d x

= J csc2 3x d x + \

cot23xcsc2 3x d x

u = cot 3x u(x) = cot 3x du(x) = - 3 csc2 3x dx = ——cot 3 x - - í u2du 3 3J Integramos: = —- c o t3 x - - — + C 3 3 3 Con el valor de u, obtenemos: = - - cot 3x - —cot23 x + C 3 9 5. | sen57xcos7x¿/x = u = sen 7x w(x) = sen 7x du(x) = 7 eos 7x dx = — í u5du 1 J Integramos: = I ^ +C 7 6 Con el valor de u, tenemos: = — sen6 7 x + C 42 g f sen4x¿/x _ 2 -c o s4 x u = 2 - eos 4x u(x) = 2 - eos 4x du(x) = 4 sen 4x dx _ 1 f du ~ 4

u


Integram os:

= -L (u )+ C 4 Con el valor de u, obtenemos: = —L (2 —eos 4x) + C 4 7.

J tan4 a:sec4 x d x = Factorizamos: = j* tan4 x(sec2xsec2 x )d x Como: sec2 x = 1 + tan2 x Sustituimos: = J tan4 x(l + tan2x)sec2 x d x =

J (tan4 x sec2 x + tan6 x sec2x) dx

u = tan x u(x) = tan x du(x) = sec2 x dx Integramos u5 u1 = — + — +C 5 7 Con el valor de u, tenemos: tan5 x tan7 x „ +C = --------+ 5 7 8. | sen 5x sen 3x dx = Como: sen u sen v = —\eo s Cu - v) - cos(w + v)"| 2 J Sustituimos: = j* ~(cos 2x - eos 8x) dx = — í cos2 x d x - — í cos8 x Jx 2 J 2J Integramos: = —sen 2x — —sen 8 x + C 4 16

117

118

Cálculo integral

^ f sec4 a; dx 9- J t V tanx = “= = | tan 2*sec4 x d x Factorizamos: = | tan 2xsec2 x sec 2 x d x Como: sec2x = 1 + tan2 x Sustituimos: = | tan 2 x (l+ ta n 2 x )sec2 x d x f

-1

-

= J (tan 2 x sec2 x + ta n 2xsec2 x)d x = J tan 2x sec2 x é/x + J tan2 xsec2 x dx u = tan x u{x) = tan x du(x) = sec2 x dx = J u 2du+ J u 2du Integramos: ^

5

u2 u2 _ =— +— + C 1 1 2 2

= 2\fü +—yfi/ +C 5

Con el valor de u, tenemos: 2 / = 2-\/tan x + —-y/tan5 x + C 5

Capítulo 9 M étodos de in teg ració n. Integración por partes Fórmula de integración por partes El objeto de la integración por partes es calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de la misma variable. Se basa en la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones: d(u v) = u dv + v du Integrando ambos miembros resulta: uv =

J u d v+ J v du

Se despeja la primera de las dos integrales: uv -

j* v du =

J u dv

Se obtiene la fórmula de integración por partes: ^udv = u v -^ v d u Se usa para integrar gran número de integrales no inmediatas que se plantean como producto de funciones algebraicas, producto de funciones logarítmicas y producto de funciones trigonométricas inversas, como: J x eos xd x; J ln xd x; J x sjx —3dx; J sen2 xd x; J arctanx¿¿c

Procedimiento de integración por partes Para aplicar la fórmula procedemos en la forma siguiente: E je m p lo s :

Integra ■ i . J x co sx'd x Se descompone el integrando en dos factores: uyv De la expresión del integrando que se iguala a u, se calcula su diferencial: u =x du = dx La función, en apariencia, más complicada y que contiene a dx se iguala a dv: dv = eos x dx Para obtener el valor de v se integra la expresión que se igualó a dv:

120

Cálculo integral

v — j" eos x d x v = sen x La expresión del integrando que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable. Nota: Al integrar J eos x d x no consideramos en la solución la constante C, la cual se considerará cuando se realice la integral que aparece en la fórmula de integración por partes. Los valores obtenidos de w, du y de v, se sustituyen en la fórmula, para proceder a integrar. J u dv = uv - J v du J xcos x dx== x sen x —J sen xdx_ Integramos:

(- c

= x sen x - (-eo s x) + C = x sen x + c o sx + C La elección de cuál expresión es u y cuál dv del integrando es arbitraria y es la acertada cuando la integral del segundo miembro resulta más sencilla que la función inicial. De no ser así, habrá que hacer una nueva elección. 1 2.

| Asen x dx)= u =x du = dx dv = senx dx v = | sen x dx = -c o sx Sustituimos en la fórmula:

J u d v = uv - j* vdu J xsenx¿/x = x (-c o sx ) - J (-cosx)íix: = - x c o s x + j cosx dx Integramos: = —x eos x + sen x + C = sen x - x eos x + C La expresión resultante fue m ás fácil de integrar que la original. Para continuar con el mismo ejercicio, analiza lo que sucede si elegimos a u y a dv de manera diferente: | x sen x t/x =

Capítulo 9 Métodos de integración. Integración por partes

u = sen x du = eos x dx dv = x d x v = \ xdx 2 Sustituimos en la fórmula:

J u dv = uv —J v du x 22senx senx

f xx 2 cosx

2

2

dx

Resulta evidente que la integral del segundo miembro es más complicada que la expresión inicial; por tanto, la elección que ahora hicimos no es la más conveniente. Es muy importante seleccionar del integrando la parte que sea u y dv. Al calcular v a partir de dv se debía haber sumado la constante C, pero al calcular la segunda integral aparece otra constante. Dado que la suma de dos constantes es otra constante, ésta se agrega al final. En algunos casos, será necesario aplicar este método de integración a una misma función varias veces y en forma sucesiva.

u = x2 du = 2x dx dv = eos x dx v = J eos x dx v = sen x Sustituimos en la fórmula: J u d v = uv —j* v du

Es necesario realizar una segunda interacción por partes en:

- j 2x sen x d x = Debes tener cuidado de seleccionar el mismo tipo de función como u y dv, es decir si en la primera selección dv es la función trigonométrica (eos x), en la segunda ocasión, será la función trigonométrica. u = 2x du = 2 dx dv = sen x dx

121

122

Cálculo integral

v=

J senxt/x

v ——eos x Sustituimos en la fórmula: = - 2 x (-c o s x ) - J-c o sx (2 )¿ /x Por tanto,

J x 2 eo sx d x = x 2senx - 2 x ( —cosx) - J—2cosx£¿t M ultiplicamos signos: = xx"2 ssenx = e n x + 2 x c o s x + 2 J* eos xdx Integramos: = x 2s e n x + 2 x c o s x + 2 s e n x + C

du = dx dv = e2* dx Por cambio de variable tenemos: w = 2x; dw = 2dx Tenemos que multiplicar y dividir entre 2: 2

j e 2’ 2 dx

- —e 2 v = —e • 2 Sustituimos en la fórmula:

Integramos: = - x e 2x- - e 2x + C 2 4

(

Capítulo 9 Métodos d e integración. Integración por partes

u =x du = dx dv = eos 3x v = | cos3 x d x = i J eos 3x(3) dx 1 , v = - s e n 3a: 3 Sustituimos en la fórmula: l

=x

V3 ,

sen 3 a: — í sen 3x dx 3J

= —sen 3 a: — - í sen 3x(3Wx 3 3 3J Integramos: a:

1

= —sen 3 x — í-c o s 3 x W C 3 9[ ’ x 1 = —sen 3 a: H— eos 3x + C 3 9

6.

J a: sec2 x d x = U —X

du = dx dv = sec2 x dx v=

J sec2x

dx

v = tanx Sustituimos en la fórmula: = x ta n x -

J tan x d x

Integramos = x tan x - L(sec x) + C

7.

J ln x dx = En el formulario de integrales inmediatas no existe una que se pueda emplear para integrar ln x, pero sí se puede derivar, por tanto:

Sustituimos en la fórmula: = ln x ( x ) -

f ÍO J* jj

= x ln x —\ d x Integramos: = x ln \x\ —x + C

8.

J x 2exdx = u = x2 du = 2xdx dv = exdx v = | exdx v = ex Sustituimos en la fórmula: = x 2ex — f ex (2x) dx = x 2ex — J 2x e xdx Se realiza una segunda integración por partes en donde dv debe ser la misma función que en el paso anterior (ex): J 2x exdx = 2 1 xexdx u =x du = dx dv = exdx v = | exdx v = exm Sustituimos en la fórmula de integración por partes: = 2^xex —J exdxJ = 2(xex - e x ) Por tanto, J x 2exdx = x V - 2(xex - e x)+ C Observa que se puede factorizar = ex(xz - 2 x + 2 ) + C

9.

J are tan x d x = Como en el caso del ln x, para el are tan x, tampoco tenemos una fórmula para integrarlo pero sí se puede derivar, por tanto:


u —are tan x dx \+ x 2 dv = dx v = J dx v =x Sustituimos en la fórmula: = are tan x(x) - J — u = 1+ x 2 w(x) = 1+x du{x) = 2 dx Integramos: 1 i ,i = x a rc ta n x — L 1+ x + C 2 1 ■10.

j x ln x dx = « = ln x . dx du = — x dv = x dx v=

j*x dx

v= Sustituimos en la fórmula: = — lnx-J-

-dx

= — ln x - \- d x 2 J 2 Integramos: x 2 il nI x I x 2 l-C ^ =— 2 11 4 ■ 11.

J x-s/x-3 dx = U—X

du —dx dv = ( x - 3)2 dx v = J (x - 3Y dx

dx

126

Cálculo integral

_ (x - 3 ) 2 3 2 2

-

v = —( x - 3 )2 3

Sustituimos en la fórmula: O

^

O /•

=— ( x - 3 y - - \ ( x - 3 ydx 3 3J Integramos: = — ( x - 3 )2 - - (* 3)2+C 3 3 5 2x - 4 = — (x - 3 )2 - — ( x - 3 )2+C 3 15 J* x 2 ln x ¿/x = u = lnx , ¿/x du = — x dv = x 2dx

v=

J x 2dx

v =-x 3

3

Sustituimos en la fórmula: = lnx -1 x 3

1 i dx

3

= - x 3l n x - - í x 2dx 3 3J Integramos: 1 3, l *3 ^ = - x ln x --------- 1- C

3

3 3

= - x 3l n l x l - — + C

3

■ 13.

11 9

J are tan 3x dx = u = are tan 3x 3dx du = l + 9x


dv = dx v = J dx v =x Sustituimos en la fórmula: 3dx = (are ta n 3 x )x - J x \ +9 x2 x dx

= x are tan 3jc-3 J

l + 9x2 w = 1 + 9x2 w(x) = 1 + 9X2 dw{x) = 1 8 xdx M ultiplicamos y dividimos entre 18: 3 f 18xdx = x are tan 3 x — — | 18 J l+ 9 x 2 3 f dw = x are tan 3x — — J 18 J w Reducimos la fracción e integramos: = x are tan 3x - —L Iw\ + C 6

1 1

= x are tan 3x — L l + 9x2 + C 6 I I ■ 14. J xe 2xdx =

u =x du = dx dv = e~2x v = J é~2xdx Integramos por cambio de variable: v =~

¡e~ 2x(-2 )d x

v =— e 2

Sustituimos en la fórmula: = - - x e ~ 2x- \ - - e - 2xdx 2 J 2

Integramos: = - - e 2x- - e 2x + C 2 4

128

Cálculo integral

15. | ex cosx dx = u = ex du = exdx dv = cosx dx v=

J eos x dx

v = senx Sustituimos en la fórmula: = ex s e n x -

J ex senx¿/x

Realizamos una segunda integración por partes en: j* ex sen x d x = u =e du = exdx dv = sen x dx v = J sen x dx v = -c o sx Por tanto, = é sen x - (~ex eos x - J —eos xexdx | Recuerda que en el miembro izquierdo de la igualdad tenemos J ex eos x d x : | ex eos x d x = ex senx + e* c o sx —J ex eos x d x Sumamos

J ex eos x d x

a ambos miembros de la igualdad:

J ex eos x d x + J ex eos x d x = ex senx+e* c o sx —J ex c o s x é /x + J ex eos x d x 2 1 ex eos x d x = ex se n x + ^ x cosx 2 J ex eosx d x = ex ^sen x + co sx j Despejamos: f . , ex(sen x + co sx ) _ e eos x d x = — -----------------+ C J 2 Por tanto, f ^ , ex(senx+ cosx) e eos x d x = — -----------------+ C 2

J

■ 16. J - 7 x 3eAr2¿/x = En este caso se debe tomar dv = e*2 dx. Para integrar esta expresión es necesario tener a x multiplicando a dx. Como x3 = x2 (x)


= —7 j* x 2ex {x)dx U —X

du = 2x dx dv = ex x dx v = | e*2x dx Integrando por cambio de variable: 1 = —]*£'* (2x) dx 1 2 v = —ex 2 Sustituimos en la fórmula: 2 1 ,2 f l ,2, = - 7 x —ex - J —ex 2x d x

= ——x 2ex + 7 í —(2x)ex dx 2 J 2 7 2x2 7 f „2 = — x e + —l e 2x d x 2

2J

= - - x 2ex2 + - e x2 + C 2 2 ■ 17. | sen2x dx = Aplicamos la fórmula de reducción del seno y del coseno

J sen” x d x = -

sen” x co sx

n —1 + —— | sen" 2 x d x

f 2 » sen x c o sx 2 - 1 f 2-2 , sen x d x = --------------------H------- sen x d x J 2 2 J Toda cantidad elevada a la cero potencia es igual a uno sen x eos x

1 f , + - dx

2

2J

Resolvemos la integral y ordenamos los términos: 1 2X

sen x co sx -+ C

18i. j* x a xdx

=

u =x

>= f a x dx

du = dx dv = axdx

v=ln a

129

130

Cálculo integral

Sustituimos en la fórmula: =x

- f — dx ln a

ln¿/

ln a J a

ln a a*x ln a axx ln a ■ 19.

1

V

ln a Vln a

+C

ax

-+ C ln2 a

J sec3 x d x = = | sec x sec2 x dx u = sec x du = sec x tan x dx dv = sec2 x dx v

- í - sec'x

dx

v = tan x Sustituimos en la fórmula: = sec x tan x -

=

J tan x sec x tan x dx

sec x tan x —j* tan2 x sec x dx

Como tan2 x = sec2 x — 1: = sec x tan x -

J (sec2 x -1 ) sec x dx

= secx tan x - J sec3 x dx+ J sec x d x Sumando

J sec3x dx

en ambos miembros de la igualdad

J sec3x¿/x+ | sec3x dx = secx ta n x —J sec3x d x + J secx d x + J sec3 x d x 2 J sec3 x d x = secx tan x + J sec x d x Dividimos entre 2 ambos miembros:

i sec3x dx = —sec x tan x +

sec x dx

Integramos: = —secx tan x + —zJsec x + ta n x| + C 2

■20.

2

sen x dx

= | sen x(e X)dx

1

1


u = sen x du = eos x dx dv = é~xdx Integrando por cambio de variable: v = J e~xdx v = (-1) j" é f* (-l )d x v =- e x Sustituimos en la fórmula: = -e~x s e n x - J - e x eosx d x Realizamos una segunda integración por partes en J - e x eos x d x , con: u = eosx, du = -s e n x d x y dv= -e~x , v = e~x | -e~x eos x d x = e~x eos x - | e~x ( - sen x) dx = e~x eo sx +

j e~x senx d x

Por tanto, f senxrft: f , , J — —— = J senx(e )dx

= -e~x sen x

eos x + J sen x(e~x) d x j

| senx(e~x)d x = -e~x sen x -e~x e o s x - j* senx(e~x) dx Sumamos J* sen x(e~x) a ambos miembros de la igualdad: 2 J sen x(e~x )d x = -e~x sen x - e~x eos x Despejamos: r _ -e~x (s e n x + cosx) J senx(e"x)¿¿r = 2 sen x + c o sx

+C

2ex sen x ¿/x _ ”

se n x + c o sx

+C

2ex

En algunos casos, la integración por partes se puede usar para obtener fórmulas de reducción de integrales, mismas que se usan para expresar una integral en términos en las que se obtienen potencias menores a la expresión inicial. Como ejemplos citamos las fórmulas de reducción del seno y del coseno. -rt— 1 f „ , sen" x c o sx n - 1 f „_2 , J s e n x a x = ----------------------H----- J sen x d x n n f „ , cos"-1x sen x n - 1 f J eos x d x =+------------------ + ----- J eos

„_ 2

,

xdx

131

132

Cálculo integral

E je m p lo s:

■ 1. Integra:

J sen6 x dx f

J

con la fórmula de reducción del

J sen” x dx

f. , sen x co sx 5 f 4 sen x d x = ------------------+ — sen x d x

6

6J

Se aplica nuevamente la fórmula de reducción: sen5 x c o sx

5 1—

6

sen3 x eos x 4

6

sen3 x eos x 6

3 + — í sen2 x dx 4 J

5

3 5 f 2 sen xcosxH— sen x d x 24 8 J

sen x c o sx 5 ----------------------- sen x c o sx + 6 24 5 H—

sen x eos x

1

Integramos:

6

24

sen x c o s x ------ se n x c o sx + — x + C 16 16


I.

Completa el desarrollo que falta en los siguientes ejercicios, se incluyen algunas integrales inmediatas. 1.

f

J

|

u =x

|

i

Sol. —ta n 3 x + —¿ s e c 3 x + C 3 9 1

x sec23xí/x, dv = sec2 3x dx

du = dx

v = I sec2 3x dx v = - tan 3x 3

2.

X

í x s e n — dx

J

u =x du = dx

X

Sol. —2 x c o s— h4sen— h C 2 2

2

dv = sen —dx 2 v = i sen —dx J 2 x v = - 2 eos — 2


, f eos 2x 3. 1------------ dx l + sen2x

1 L, 1l, + sen2x - 1 Sol. — 2 1 1

u = 1 + sen 2x u(x) = 1+ sen 2x du(x) = eos 2x(2) dx 4. \ é ^ d x

Sol. - i e * x + C 6

5. J r fy d y

Sol. - y * + C

e . \ y ¿y y+ 1

Sol. 1 - - V + C 2

4'

y 2- \ = ( y + l ) ( y - l ) Sol. -e ~ x( x - \ ) + C

7. J xe~xdx u —x du - dx

dv= e~xdx v = | e~xdx v = -e ~ x S o l.- x 2 c o sx + 2 x se n x + 2 c o s x + C

8. f x 2 sen x d x u =x2 du —2 x dx

dv = sen x dx v = | sen x dx v = - eos x X

u=x du = dx

X

Sol. 2x sen—+ 4 c o s — l-C

9. í x eos —dx J 2 dv = eos —dx 2 v = í eos —dx J 2 x v = 2 sen — 2 10 • í

11

xdx

S o l .~ ( ] - x 2y: +C

V l-x 2 dx

•í

16x -1 3 u2 = 16x2 u = 4x u{x) = 4x

du{x) = 4 dx

4 x - y ji3

Sol. 8-\/l3 a 2 = 13 a = J \3

4x+ V Í3

+C

133

Cálculo integral

J x csc2 x dx

So/. - x c o t x + ¿ |se n x | + C

u=X

é/ v

=X

v

= J csc2 x dx

v

= —cotx

m(x

)

du(x) = dx

= csc2 x c/x

j* x sen 5x dx u=

Sol.——x eos 5x H——sen 5x + C 5 25 dv = szn 5xdx

X

du = dx

v

= J sen5xc/x

v

1 < = — eos 5x 5

J x ln 3x dx u = ln 3x du = 3—

Sol. —x 2 ln 13x 1——x 2 +C 2 1 1 4 dv = x d x v

= | xdx

X

v =- x 2 2 1 ■>Sol. x are sen x + —(1 - x 2) 2 + C 4

J are sen x t/x « = arcsenx í /x

ll

du = - j = f V1 -x 2

*

.

dv = dx

ll 1 22 Sol. x a rc c o s x -----( 1 - x - )2 + C 4

| arccosxí/x

du =

-d x

ll

w = arccosx

’= j dx

n/ Í ^ P

v =x 17. J -d x J x+3

S o l.- — 3x + C 2

x 2 - 9 = (x + 3 )(x -3 ) 1 8. j* cot2 x dx

cot X = CSC x —1

S o / .- c o t x - x + C

Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica Si un integrando contiene expresiones del tipo 'Ja2 + x' ~ J a 2- x \ J x 2 -a * , donde a > 0 y otras como (jc2 + a2)2, (x2 + a2)n semejantes a las citadas; inicialmente deben tratarse de resolver por su stitu ció n a lg e b ra ica , como en el siguiente ejemplo. _i f . dx = í x Í4 + x 2) 2 dx

J V47 7

'

J v

u = 4 + x2 u(x) = 4 + x 2 du(x) = 2x dx M ultiplicamos y dividimos entre 2: = — j x ( 4 + x 2) 2(2)d x = — í u 2du

2J

Integramos: 1u 2 „ = ------- + C 2 i

2 1

= u 2 +C Si sustituimos el valor de u, obtenemos: = \l 4 + x 2 + C Si este procedimiento de sustitución algebraica no se puede aplicar, en algunos casos es posible realizar la integración transformando la integral en una integral trig o n o m é trica, aplicando las sustituciones siguientes: yja2 —x 2 = acosG se sustituye x con la expresión trigonométrica x = a sen 0 >Ja2 + x 2 = a sec 6

se sustituye x con la expresión trigonométrica x = a tan 0

yjx2 - a 2 = a tan 6

se sustituye x con la expresión trigonométrica x = a sec 0

Demostración de los resultados que se obtienen hechas las sustituciones propuestas.

Conceptos clave Sustitución algebraica Integral trigonométrica

136

Cálculo integral

Desarrollo de la expresión V a 2-

x2 = a eos#

Se sustituye x con a sen 0 para obtener la expresión trigonométrica a eos 6 de la expresión algebraica y¡a2 - x 2 . Por el teorema de Pitágoras

c2 = a 2 - x 2 (1)

c = 'Ja2 —x 2 f~2—; : = yja

Función trigonométrica que relaciona a x y a a: x sen /O 6 =— a x = a sen 6 Se elevan al cuadrado ambos miembros: x2 = a2 sen2 6 Se sustituye en (1) el valor de x2: c = 'Ja2- a 2 sen2 6 Se factoriza a2: c = y¡a2( 1 -s e n 2 6) c = ü y /l-s e n 2G Como eos2 0 = 1 - sen2 0 c —«Veos2 0 c = a eos 0 Queda en (1): 'Ja 2—x 2 = acosO Hecha la sustitución trigonométrica, cancelamos el radical al introducir 0 como una nueva variable.

Desarrollo de la expresión

\]a 2+ x2 = asecd

Sustituimos x con a tan 0 para obtener la expresión trigonométrica a sec 0 de la expresión algebraica V«2+ x 2 . Por el teorema de Pitágoras: h2 = a2 + x2 h = yja 2+ x 2 Función trigonométrica que relaciona a x y a a :

(O

Capítulo 10 Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica

„

137

X

tan 0 = — a x = tftan # Elevamos al cuadrado ambos miembros: x 2 = a2 tan2 0 Sustituimos en (1) el valor de x2: h = >]a2 + a 2 tan2 6 Factorizamos a2: h = >]a2( 1+tan2 9) h = o-y/l + tan2 6 Como sec26 = 1 + tan2 6: h = a\J sec2 6 h = asQcO Queda en (1): Va2+ x 2 = a sec 6 Hecha la sustitución trigonométrica, cancelamos el radical al introducir 6 como una nueva variable.

Desarrollo de la expresión V x 2-

a2 = a ta n #

Sustituimos x con a sec 6 para obtener la expresión trigonométrica a tan 6 de la expresión algebraica yjx2- a 2 Por el teorema de Pitágoras: x2 = a 2 + c2 c2 = x 2 + a 2 c = yjx2- a2 Función trigonométrica que relaciona a x y a a: sec 6 = — a x = a sec 6 Elevamos al cuadrado ambos miembros: x2 = a2 sec2 0 Sustituimos en (1) el valor de x2: c —\/a 2 sec2 6 - a2 Factorizamos a2: c = sja2(sec2 0 - 1 )

?= vr~2 x - ai

Como tan29 = sec2 9 - 1: c = ayjtan2 6 c = a tan 6 Queda en (1): yjx2—a 2 = a tan 6 Hecha la sustitución trigonométrica cancelamos el radical al introducir 0 como una nueva variable.

Procedimiento para resolver una integral por sustitución trigonométrica Una vez que se calculan los valores de a, x y de dx, se realizan las sustituciones. En el desarrollo de las operaciones se pueden aplicar, según proceda, alguna de las siguientes identidades trigonométricas: De las pitagóricas: sen2 6 = 1 - eos2 0 eos2 0 = 1 - sen2 9 tan2 9 = sec2 9 - 1 cot2 9 = esc2 9 - 1 sec2 9 = 1 + tan2 9 esc2 9 = 1 + cot2 9 Del ángulo medio: 2 ^ 1- eos 20 sen 6 = 2

eos 0 =

1+eos 26 2

Del doble de un ángulo: sen 2 9 = 2 sen 9 eos 9 Trazaremos uno o dos triángulos rectángulos para calcular el resultado a partir del teorema de Pitágoras. En otros casos, para calcular el resultado será necesario aplicar alguna función trigonométrica inversa donde, por ejemplo: u = sen 9 Entonces 9 = ángulo cuyo seno es u. Estas dos igualdades expresan la misma relación entre u y 9. La primera en forma directa y la segunda a la inversa. “Angulo cuyo seno es «” se expresa “are sen w” y se lee arco seno de u.


Algunos autores en lugar de la palabra arco, usan ángulo: “ang sen w”, que se lee: “seno inverso de w” o “ángulo seno w” . Para las funciones inversas de las otras funciones se usa una notación semejante. E je m p lo :

1 , 1 arcco t— es un ángulo cuya cotangente es ~ 2 2

El integrando incluye una expresión de la forma

y]a2- x2 E je m p lo s:

dx

dx

f

, 1 So l.—

V ( 9 - * 2)3

( 9 - x 2) a2 = 9

x = a sen 9

a =3

x = 3 sen 9

2

+c

(1)

dx = 3 eos 9 d 9 Por comodidad, y antes de realizar la integración, se hace por separado la transformación trigonométrica de la expresión cuadrática. ( 9 - x 2)2 = ^ [ 9 - ( 3 s e n 0 ) 2] 3 = .J [ 9 -(9 s e n 20)]3 Se factoriza el 9: = ^ 9 ( 1 - s e n 2 0 )]3 Como eos2 0 = 1 —sen2 0 = ^ [ 9 ( cos2 0 ) J

= ^ ( 3¿ eos 0 = V36 eos6 0 = 33 eos3 0 Sustituimos en el integrando: f

dx

_ f 3cosQdG

V ( 9 - x 2)3 " - f

33 eos3 0

de

~ J 32 eos2 0

139

140

Cálculo integral

1 Con sec G = eos 6 1 = — í sec2 GdG 9 J Integram os:

J - = ¿ = = Ita n 0 + C J V (9 T ? 7 9 1 Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de —ta n 0 + C en función de la variable x original. Despejando en (1): x= 3 sen O sen 6 = — 3 Con el teorema de Pitágoras podemos calcular el valor del cateto adyacente, el cual identificaremos con b. tan 6 =

3 2 = *2 + ¿>2

y ¡9 -x2

b2 = 32 - x 2 ¿ W 32- * 2 Por tanto, | -~ ¿ =

= —tan 0 + C

Sustituimos: i +C

~ 9 V í-j Es decir: dx

í

J

1

+c

dx = y ¡4 -x 2 a2 = 4

x = a sen tí

a =2

x = 2 sen O dx = 2 eos tí d 9

y ¡ 4 - x 2 = V 4 - 4 s e n 2l Factorizamos el 4: = J 4 Í 1 -sen

( 1)


Como eos2 0 = 1 —sen2 6: = 2>/cos2 6 = 2cos 6 Sustituimos en el integrando:

x2

I*

^

I i

4 se n 2 0 ( 2 c o s 0 ¿ /0 )

dx — I

2 co se

J V 4 -x 2

= \ 4 sen2 6 d6 = 4 J* sen2 OdQ De la expresión del ángulo medio: 2 n l- c o s 2 0 sen 6 = -----------2

Sustituimos en el integrando: 1- eos 20

= 4 J 1 Z c o s 2 0_dQ

2 = 4 \ - d 0 - 4 í —cos20¿/0 J 2

J 2

Integramos: = 2 0 - 2 J* cos2OdO Integramos por cambio de variable:

J cos 2 0 (2 ) dO

=2

= 2 0 —sen 2 6 + C Función trigonométrica inversa, en (1) Si x = 2 sen 6 —= sen 0 2 Entonces: * = 6/i are sen — 2 X

20 = 2 are sen—

2

Sustituimos: —= ¿ = dx = 2 are sen —- sen 20 + C V W 2 X

Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de 2 are sen — sen 2 0 + C, despejando en (1): ^

142

Cálculo integral

x = 2 sen 6 sen 6 = — 2 Calculamos el cateto adyacente a: Para expresar sen2# en función de los datos del triángulo, es necesario aplicar una identidad trigonométrica porque los datos están en función de 6 y no de 26. 22 = x 2+ a 2 a = yjl2 —:

y ¡ 4 -i cosU = -

a2= 2 - x a = y¡4 -x 2 Por lo tanto: C

,

x2

J

x dx = 2 are sen — se n 2 0 + C 2

Como sen 2 6 = 2 sen 6 eos 6: = 2 are sen — 2 sen#cosí 2 = 2 are sen —- 2 2 V2

V 4 -; /

= - —y ¡ 4 - x 2 + 2 arcsen —+C 2

2

A medida que te familiarices con el desarrollo de este tipo de integrales, iremos eliminando algunas anotaciones.

El integrando incluye una expresión de la forma V a 2+ x 2 E je m p lo s:

■ 1. J xy jx 2+ 4 dx =

Sol.2-yl(x2+ 4 )3 + C

Este ejemplo se puede resolver por cambio de variable, pero lo resolveremos por sustitución trigonométrica para que puedas analizar el procedimiento: a2 = 4 a =2 x = a tan 6 x = 2 tan 6 dx = 2sec2 6 d d

(l )


Si x = 2 tan 6, x 2 = (2 tan O)2 = 4 tan2 6. Por tanto: yjx2+ 4 = yj4 ta n 2 6+ 4 Factorizamos el 4: = ^4 (ta n 2G+\) Como sec2 6 = tan2 + 1 = 2>/sec2 6 = 2 sec 6 Sustituimos en el integrando: J xy¡x2+ 4 dx = \ (2tan0)(2sec0)(2sec2 QdQ) = 8 | sec2 OsQcOtanO d6 u = sec 6 u{6) = sec 6 du{6) = sec 0 tan G dG

= 8 j* u2du Integramos: = 8— + C 3 í x>lx2 + 4dx = - s e c 3 G+C J 3

g Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de - s e c 3G+C en la función de la variable x original, despejando en (1) tenemos: x = 2 tan 0 tan G = — 2 Calculamos la hipotenusa h: h2 = x 2 + 22

sec G =

h = >Jx2 + 22 Por tanto: í x->Jx2 + 4 dx = —sec3 G+C J 3 Sustituimos: ( i

Y +c

143

Cálculo integral

(x2+ 4 )2

=—

3(8)

+C

(x2+4y + c

Es decir:

J x s l x 2 + 4 dx =

~ \l(x 2

+4 ) 3 + C

dx =

■2 VfT+x^ a2= 9

x = úf tan #

¿7= 3

x = 3 tan 61

( 1)

dx = 3 sec2 6 dO y¡9+x2 = > /9+9tan20 Factorizamos el 9: = ^ 9 ( l + tan26>) Como sec2 6 = 1 + tan2 0: = y¡9sec2 6 = 3 sec 6 Sustituimos en el integrando:

J

*2

(fx _ J 9 tan2 03 sec2 6 d6 3sec0

4 9 +x

= J 9 tan 20 sec 0 dO Con tan2 6 = sec2 6 - 1 : = 9 J ^sec2 0 - l j s e c 0 d 0 = 9 J sec30 d O - 9 J secOdO La integral de

J sec2 OdO

se integra por partes como se desarrolló

anteriormente. Al integrar queda: 9 9 = —secutan 6-\— Z ,(s e c 0 + ta n 0 )-9 L (s e c 0 + ta n 0 )+ C


Simplificamos: 9 9 = —se c u ta n # — Z -(sec0+ tan0) + C 2 2 1 ’ Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de 9 9 / \ —s e c u ta n 0 - —L [ s e c 0 + tan Gj + C en la función de la variable x original, al despejar en (1). x = 3 tan 0 „ x tan 9 = — V*2+ 9 sec U = -

h2 = x 2 + 32 h = yjx2 + 3 2 Por tanto:

x2 9 9 —.— _ dx = —s e c flta n fl- —Z ,(secfl+tanfl) + C )+x‘ 2

f

J

Sustituimos: 9 a/ x + 9

x

\ l x 2 +9

x

3

3

2 xy¡x2 +9 ■

2

+C

9 T >Jx2 + 9 + x L +C

2

El integrando incluye una expresión de la forma V x 2- a 2 Ejemplos:

-■J

r¿/x = ■n/ x 2

-9

a2 = 9 a=3 x = a sec 0 x = 3 sec 0 dx = 3 tan 0 sec 0 d 0 Si x = 3 sec

x2 = (3 sec 0)2 = 9 sec2 0. Por tanto:

■v/x2 - 9 = \l9sec2 0 - 9 Factorizamos el 9: = a/ 9(sec2 0 - 1 ) Como tan2 0 = sec2 # - 1

( 1)

145

146

Cálculo integral

= V9tan2 0 = 3tan 0 Sustituimos en el integrando: x2

, -dx = Vx2- 9

9 sec2 e s t a ñ e sec 0 d6 — ;3tafí0

= 9 J sec3 OdG sec 0 tan 0 1 _ x .. = 9 ------------- + —L(sec 0 + tan 0) + C 2

2

La integral J sec3 0 dO se integra por partes, como se desarrolló anteriormente. .,2

J

.* dx = 9 í sec3 0 d6 d x 2- 9 se c 0 ta n 0 1 „ = 9 -------------- 1— Z/(sec 0 + tan 0) + C 2

2

= ^ [sec 0 tan 0 + Z,(sec 0 + tan 0)] + C Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de — [sec 0 tan 0 + L {sec 0 + tan 0)] + C en la función de la variable x original, despejando en (1): x = 3 sec 0

a =s í 7 ^ ¥

sec 0 = — 3 Calculamos el cateto opuesto a: x

tan0

2 = 3 2 + í 72

=

V a:2 - 9

a2 = x 2- 3 2 a =y [ 7 ^ ¥ Por tanto: .2

í * dx = —[(s e c 0 ta n 0 ) + Z ( s e c 0 + ta n 0 )l+ C J V ?79 2 L' ' 1 'J Sustituimos: / +Z,

rV x2 - 9

x

V a:2 - 9

3

3

x + Vx2 - 9 2

+C

+C


147

Es decir: í }

dx = - i x s l x 2 - 9 ) + - L 2\ J 2

. *2

x+>Jx2 - 9

+C


Aplica el m étodo de sustitución trigonométrica para resolver las siguientes integrales: 1. | xy¡3+x2dx

Sol. —J ( 3 + x 2)2 + C 3 Sol. 3are senx + C

dy

dx

f

Sol. y]y2 + 16 + C

S o l . - L 2x +y j4x 2 - 1 +C 2

4 -

dy

Sol. L y —\ + y¡\ +(y —l)2 + C

5‘ J /

V I+ (y -i)2

f 6- J

dx 7 Cx2+ 9 y x 2dx

8. \ y ( 4 - y 2) 2dy

\^ ±

+C 9y¡X2 + 9

Sol . —are sen -^=——x\j5 —x~ + C 2 V5 2

■Js —j

9.

Sol.

dx

S o l . ~ ( 4 - y 2) 2 +C

Sol. \ l x 2 - 9 - 3 are eos—+ C

X

1

7

10. J *(1+ x 2) 2dx

So/. — ( l + x 2) 2 + C

11 .

So/.

J y/x2 + 9dx

—y J y 2 + 9 + —L 2 2

yJy2 + 9 + y

+C

Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales Definición Una fu n ció n racio nal es aquella en que tanto el numerador como el denominador son expresiones en donde la variable tiene solamente exponentes enteros y positivos. f(x) =

P(x)

es una función racional, donde P y Q son polinomios.

Si el grado de P es m enor al grado de Q, entonces /( x ) es una fracció n en caso contrario, es im p rop ia.

Conceptos clave racio nal p ro p ia;

El resultado de la integración de una función racional impropia puede expresarse como la suma de un polinomio y de una función racional propia En secciones anteriores hemos integrado funciones racionales como las siguientes. E je m p lo s:

■ 1.

r x 2 + 4x - 5 , ------- t------dx =

J

y

dx

=

r dx r dx „ r dx h + 4 h ~ 5h

Integramos: = Z,(x) + 4 J x~2dx - 5 J x~2dx 4x_l 5x-2 =LW+_r_ _ +c i i —¿ X 11

2.

4 x

5

1----- 7 + C

2x“

f± Z * d x = J x+3

Función racional Fracción racional propia Fracción racional impropia

150

Cálculo Integral

________ x 2 - 3 x + 9 x + 3 1x3 —2 - x 3- 3 x 2 - 3x2 - 2 3x2 + 9 x 9x-2 - 9x - 27 -29 ■x 3 - 2 29 í - d x = í x 2 —3 x + 9 dx J x +3 J x+3 =

J x 2dx - 3 J xdx + 9 J dx -

29

j xdx+ 3

Integramos: x 3 3x2 ------------ + 9 x - 29Z,|x + 3| + C 3 2 1 1 N ota: N o olvides que ln y L son símbolos que se utilizan para representar la función logaritmo natural.

De ser posible, se factoriza el denominador Q como un producto de factores lineales o cuadráticos. Las fracciones racionales propias se pueden expresar como una suma de fracciones simples. P(x) U na vez hecha la factorización, la integral ^ ^ se expresa como una suma de funciones racionales más simples y cada una se integra aplicando la

integ ració n

inm ed iata.

Para que puedas aplicar este método de integración, es importante que recuerdes los siguientes puntos: • La factorización. • Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales. • La solución de integrales inmediatas. • Las propiedades de los logaritmos de cualquier base (reglas). \ogbAB = \ogbA + \ogh B logb- = \ogb A - l o g t B log6A ” = n \ogh A ,o g i^ = ^ h n Una vez que Q{x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las fracciones parciales depende de la naturaleza de los factores lineales y cuadráticos. El número de constantes por determinar es igual al grado del denominador. Se pueden presentar cuatro casos.

Capítulo 11 Métodos d e integración. Integración por fracciones parciales

Caso 1. Todos los factores lineales del denom inador son distintos E je m p lo :

Factorizamos el denominador: x3—x2 —2x = x (x2 - x —2) = x(x —2)(x + 1) A cada factor lineal ax + b que aparezca en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción simple de la forma QX + ^ , donde A es una constante cuyo valor tendremos que calcular. En el ejemplo, descomponemos la fracción en tres fracciones cuyos numeradores serán A, B y C. Observa que el grado del denominador es tres y éste es el mismo número de constantes por determinar.

Factorizamos el denominador: 3 x -2

3 x -2

x 3- x 2 - 2 x

x ( x - 2 ) ( x + l) A B C —— l---------1-------x x-2 x+l

11\

Reducimos a una sola fracción y aplicamos el mcm, que en este caso es: mcm = x(x - 2) (x + 1) 3 x -2 _ A(x - 2)(x +1) + Bx(x +1) + Cx(x - 2) x 3 —x 2 - 2 x x( x —2)( x + 1) Dado que los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por tanto: 3x - 2 = A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2)

(2)

Para calcular los valores de las constantes A , B y C obtenemos las raíces de x(x -2 ) ( x + l ) , que son: x+0

x -2 = 0 x=2

x + 1= 0 x = -1

Evaluando las raíces en (2) 3x - 2 = A(x - 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2) Para x = 0: 3(0) - 2 = A ( 0 - 2)(0 + 1) + 5(0)(0 + 1) + C (0)(0 - 2)

151

152

Cálculo integral

- 2 = A (- 2 ) ( \ ) + 5 (0 ) + C(0) -2 = -2 4 A= 1 P arax = 2: 3(2) - 2 = A(2 - 2)(2 + 1) + £(2)(2 + 1) + C(2)(2 - 2) 4 = ¿í(0) + 6 £ + C(0) 4 = 65 B=

± 3

P a ra x = -1 : 3 ( - l) - 2 = ¿ ( - 1 - 2 ) ( - l + 1) + 5 ( - l ) ( - l + 1) + C (-1 )(-1 - 2) - 5 =.4(0) + 5 (0 ) + C(3) - 5 = 3C

c =- 3 3

Sustituimos los valores obtenidos de A, B y C en (1) 3 x -2 x 3 - x 2 - 2x

2 3 x -2

1 x

5 3 x+ 1

Ahora integramos:

í 13x, 2 j v3- r 2-

1 3 3 d x = f ~ + ^ — + — dx J x x - 2 x+1

_ r dx

2 r dx

5 r dx

3 J x - 2 ~ 3 J x+ T = L x + — L x —2 —— L x + 1 + C

Por la propiedad de los logaritmos el resultado queda: 2

5

= ¿ |x | + l ( x - 2 ) 3 - Z ( x + l) 3 + C = ¿

x(x - 2)

+C

(x + 1) Otro procedimiento para resolver la integral antes citada es el siguiente: j

3 3* : 2 * = x —x —2x

Factorizamos el denominador:

Capítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales

x3- x 2 - 2x = x (x2 —x - 2) = x ( x - 2)(x + 1) Reducimos a una sola fracción aplicando el mcm, que en este caso es: A(x - 2)(x +1) + Bx(x +1) + Cx(x - 2)

3 x -2 3

x -x

2

o

x ( x - 2)(x + l)

- 2x

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por tanto: 3x —2 = A(x —2)(x + 1) + Bx(pc + 1) + Cx(x —2) Si efectuamos las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupamos los coeficientes de x2, x y del término independiente, obtenemos: 3x - 2 = A(x2 —x - 2) + Bx2 + Bx + Cx2 - 2Cx = Ax2 - A x - 2 A + Bx2 + Bx + Cx2 - 2Cx Ordenando de acuerdo al grado de la variable, tenemos: =Ax2 + Bx2 + Cx2 —Ax + Bx - 2 Cx - 2A = ( A + B + C)x2 + ( - A + B - 2 C ) x - 2 A Hasta este punto hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x. A continuación estableceremos un sistema de ecuaciones: Para estructurar la ecuación (1) se consideraron los coeficientes de x2, que en el miembro derecho de la igualdad son A, B y C. En el miembro izquierdo no tenemos x2, por esa razón igualamos la ecuación a cero. Para la estructura de la ecuación (2), los coeficientes de x, que en el miembro derecho son - A , B y -2 C , se igualaron a 3, que es el coeficiente de x en el izquierdo. La ecuación (3) se forma al igualar los términos independientes. A + B + C =O

(1)

-A + B - 2 C = 3

(2 )

-2 A = -2

(3)

De la ecuación (3) despejamos A: -2A = -2 A ------2 A= 1 Sustituimos en (1) y en (2): 1+B + C = 0 -1 + B - 2 C = 3 Despejamos y obtenemos las ecuaciones (4) y (5) B + C =- 1 B -2C = 4

(4) (5)

154

Cálculo integral

M ultiplicamos la ecuación (5) por (-1 ) y sumamos con la ecuación (4) B +C =-\ - B + 2C = - 4 3C = - 5 c = -5 3 Calculamos B sustituyendo el valor de C en la ecuación (4)

3 ü

= -i4

3

3 Sustituimos los valores de A, B y C:

3x-2 _J_ + _ 3 _ + _ 3 x 3- x 2 - 2 x x x-2 x+1

f

, 3 't 7 2

x - x -2x

dx=

f

x

x -2

x+ 1

dx

- [dx "J

2 r dx

5 r dx 3J

II

2 r dx

5 r dx

Integramos: = Z'lJtl + 3 t a ~ 3 J 7 M Por la propiedad de los logaritmos, el resultado queda así:

= Z,|x| + L ( x —2 ^ —Z,(x + l p + C = L

x (x -2 )3 (x + 1)

Caso 2. Algunos de los factores lineales del denom inador se repiten E je m p lo :

p 3x + 5 I 1. —r dx = J X -x -x + 1

+C

C apítulo 11 Métodos de integración. Integración por fracciones parciales

Factorizamos el denominador: x 3 - x 2 - x + l = x 2 ( * - 1 ) -1 ( x - 1) = ( x -l)(x 2- l) = ( x - 1 ) ( x ~ l) ( x + l) = ( x - 1 ) 2 ( x + l) 3x + 5

_

x 3- x 2 —x + l

3x + 5 (x + l ) ( x - l ) 2

El factor repetido es (x - l) 2, se escribe la fracción con el denominador (x - l) 2 y todas las potencias inferiores. En este caso con denominador (x - 1). 3x + 5 x3- x 2 - x + l

A

B C • + --------r + ■ x + l ^x _ | j 2 X

—

1

Reducimos a una sola fracción aplicando el mcm. mcm = (x + 1) (x - l) 2 3x + 5

A(x —l)2 + B(x +1) + C (x + l)(x —1)

x3- x 2 - x + l

(x + l)(x —l)2

Dado que los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales. Por tanto: 3x +5 =A( x - 1)2 + B(x + 1) + C (x + l)(x —1) Si realizamos las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupamos los coeficientes de x2, x y del término independiente, obtenemos: 3x + 5 = A(x2 - 2 x + \) + Bx + B + Cx2 - C = Ax2 —2zíx + A + Bx + B + Cx2 —C = (A + C)x2 + (B - 2A )x + (A + B - Q Hasta este punto hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x, a continuación estableceremos un sistema de ecuaciones: A +C=0

(1 )

-2A + B = 3

(2)

A + B —C = 5

(3)

Con (2) y (3), multiplicando en (3) por - 1 , tenemos: -2A+B = 3 -A-B + C =- 5 -3 A + C = -2 Con (1) y (4), multiplicando en ( l ) p o r - l -A -C =0 -3A + C = -2 - 4A

= -2

(4)

155

156

Cálculo integral

A -2 Sustituimos en (1): —+ C = 0 2 C =— 2 Sustituimos en (2): +5 =3 5 =4 Sustituimos los valores de A, 5 y C: 1 1 2 4 2 -+ r +(x + 1) ( x - 1 ) 2 (Jf-1)

3x + 5 jc3 —je2 —jc +1

I

dx = \

, 3X + S

J x

—X

- X

\_ 2

+

1

J

1 2

(x + l)

(x -l)2

dx

(^ -l)

1 r dx . r dx 1 r dx = - ---------+ 4 -------- — -------2 J (x + l) j (x-lf 2 J (x-\) Integramos: 1

i

i

= —L x + 1 2 1 1x - \

=L

4

(x + i y (x-\y

x -l

1

i

i

m -1 + C 2 1 1

-+ C

Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles) del denom inador son distintos Por cada factor de la forma ax2 + be + c, que es un polinomio cuadrático y que Ax + B .S i además ax' + bx + c resultan factores lineales repetidos, éstos se resuelven como en los casos 1 y 2.

resulta de la factorización <2(x), queda un sumando del tipo

E je m p lo :

1

2x2+ x dx • J x4 + 3x3 + 4x2 + 3x +1


Factorizamos el denominador:

=

2x2 + x

2x2+ x

x 4 + 3x3 + 4 x 2 + 3x +1

(x + 1)2( x 2 + x +1)

A (x + 1)

rH

B Cx + D H --------x+1 x +x+l

Reducimos a una sola fracción aplicando el mcm, que en este caso es: mcm = (x + l ) 2 (x2 + x + 1) 2x2 + x

A(x~ + x +1) + B( x + l)(x 2 + x +1) + (Cx + 0 ) ( x + 1)2

x4 + 3x3+ 4 x 2+ 3x + 1

(x + l)2(x2 + x + l)

Dado que los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por tanto, 2x2 + x = A(x2 —x + 1) + B(x + 1)(x2 + x + 1) + (Cx + 0 )(x + 1)2 Al efectuar las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupar los coeficientes de x2, x y del término independiente, obtenemos: 2x2 + x = A(x2 - x + 1) + B(x + lXx2 + x + 1) + (Cx + D)(x + l) 2 = Ax2- A x + A + B ( x 3 + 2x2 + 2 x + l ) + Cx3 + 2 Cx2+ Cx + Dx2+ 2Dx+ D = Ax2 - A x + A + Bx3 + 2Bx2 + 2Bx + B + Cx3 + 2 Cx2+ Cx + Dx2+ 2Dx + D = (B + C)x3 + (A +2B +2 C + D ) x 2 + ( A + 2 B + C + 2D)x + ( A + B + D) Hasta este punto hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x, a continuación estableceremos un sistema de ecuaciones: B +C=0

(1)

A+2B + 2C+D = 2

(2)

A + 2B + C + 2 D = \

(3)

A+B

(4)

+ D=0

En la ecuación (1): B + C= 0 B =- C

(5)

Sustituimos en las ecuaciones (2), (3) y (4): A + 2 ( - Q + 2C + D = 2

(2)

A + 2 (-C ) + C +2D = 1

(3)

A+ (-Q

(4)

A

+0 =0 +0 =2

A

-C

+20=1

A

-C

+0=0

(2) .

(3) (4)

157

Con (3) y (4) multiplicando en (4) por -1 , tenemos: A

-C

+2D = 1

(3)

-A

+C

-D =0

(4)

D= 1 Sustituimos en (2): +D = 2

^ A

+1=2 A =1

Sustituimos en (4): ,4 + 5

+D = 0

1+5

+1=0 B --2

Sustituimos en (5): B =-C - 2 =-C C=2 Sustituimos los valores de A, B, C y D: 2x2+x

1

x 4 + 3x3 + 4 x 2 +3x + \

(x + 1)2

Z 2Xx 2 -t+ XX , rr —-----dx= J x +3x + 4 x +3x + \ r

2

a dx x

+

x

2x + l -+ + \ ;c2 + ;t + l rr 2 x + \ + j x + 1 ** X + X +

n rr

--2

ddx X

dx 1

Integramos: 1 x +1 1

- 2L(x +1) + L(x + x +1) + C

+ L(x2 + x +1) —L(x + 1)2 + C

X+ 1

1 x +x + l ■+ L +C x +1 (x + 1)2 =L

X2 + X + 1

(x + 1)2

1

-+ C x+ 1

Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles) del denom inador se repiten Por cada factor de la forma (ax2 + bx + c)n que resulte de la factorización de Q(x), le corresponde una suma de n fracciones de la forma:


Ax + B

Cx + D

(ax2+b x + c)n

(ax2 + bx + c)n~l

+

Lx + M

+

(ax2 +bx + c)

De haber factores lineales repetidos, éstos se resuelven como los casos 1 y 2. Ejemplos:

■

„ r 2 x J+ x + 3 , — — dx = J x4 + 2 x 2 + l Factorizamos el denominador: x4 + 2x2 + 1 = (x2 + l)2 = (x2+ 1 )( a:2+ 1 ) 2x3 + x + 3 _ Ax + B

Cx + D

(x2 + l)2 ~ ( x 2 + l)2 + x 2 + l Reducimos a una sola fracción y aplicamos el mcm, que en este caso es mcm = (x2 + l) 2: 2x3 + x + 3 _ Ax + B + (Cx + D) (x2 + 1) (x2 + l) 2 ”

(x2 + l)2

Dado que los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por tanto: 2x3 + x + 3 = A x + B + (Cx + D)(x2+ 1) Al efectuar las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupar los coeficientes de x2, x y del término independiente, tenemos: 2x3 + x + 3 = ^ x + i? + Cx3 + Cx + Dx2+ D = Cx3 + Dx2 + (A + Q x + (B + D) Hasta este punto hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x. A continuación estableceremos un sistema de ecuaciones: C=2

(1)

D=0

(2)

A + C= 1

(3)

B +D = 3

(4)

Sustituimos en (3) el valor de C que se obtiene de la ecuación (1): A + 2= 1 A =- 1 Sustituimos en (4) el valor de D que se obtiene de la ecuación (2): £ +0=3 B=3 Además: C=2 D =0

159

Cálculo integral

Sustituimos los valores de A, B, C y D : 2xJ+ x + 3 _ —x + 3 x4+ 2 x 2+ l

2x + 0 x 2+ \

(x2+ l ) 2

c 2x2+ x + 3 r —x + 3 r 2x — dx = — - d x + —— - ,d x x + 2x + 1 J (x-+1)2 x+1 Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado: f ~ T ~ d x = L ( x2+ 1) + C x + 1 r -x +3 , r X dx —:----- 7 dx = - \ ------------+ J (x2+ /'v2j . ln) 2 (x + 1)

x

l ( x 2 + l)-’

dx

-1 (x2 + l)2

2

-1

1

dx

3J (x2+ l ) 2

+C

+C

2(x2 +1) Las dos integrales anteriores se resolvieren aplicando el método de sustitución o cambio de variable. Para resolver la integral que se cita a continuación se aplica una de las f ó r m u la s d e r e d u c c ió n . dx

3 J (x2 + l)2

2 x+1

\ • + are tan x + C

Reunimos ahora los resultados parciales r 2 ZX x 3+ + x X + + j3

—

,,

dx

_,i| ,, =¿ x

J x 4 + 2 x 2 + 1

■2

j

J

+

+ 1

1

1

1 2(x2 +1)

3

- + arc tanx + C

2 x+1

dx

• J 5x + x 2 Factorizamos el denominador: 1

1

5x + x 2

x (5 + x)

Los factores del denominador son lineales y distintos, en el caso 1. _A + B x

x+5

mem = x(5 + x) 1

^ ( 5 + x ) + 5x

x (5 + x )

x(5 + x)

Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales.


161

1 = A(x + 5) + Bx = Ax + 5 A + B x = (A + B)x + 5A Sistema de ecuaciones: A+B =0 5A

(1)

=1

(2)

De (2): A - 15 Sustituimos en (1): A+B =0 - +5 =0 5 5 sustituimos los valores de A y B 1 1 1 _ 5 ____5 _ x(5 + x) x x + 5 f dx ax _ \ r dx 1 r dx J x(5 + x ) “ 5 - I T ” ! J x + 5 Integramos y aplicamos las leyes de los logaritmos: = ^ ¿ ( x ) - i ¿ ( x + 5) + C

¡A n ó ta lo !

a2 + b2= (a + b)(a - b ) =-L +C 5 x+5

■3

■ hx

dx —36

Factorizamos el denominador: _J x 2- 3

1 6

(x + 6 ) ( x - 6 )

A B -+ x+6 x -6 mcm = (x + 6) (x + 6) 1 x 2-

36

A ^ x - 6 ^ + 5 ( x + ó) (x + 6 ) ( x - ó )

^

62

Cálculo integral

Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales. 1 = A(x —6) + B{x — 6) = A(x —6) + B(x + 6) = Ax - 6A + Bx + 6B = (A + B)x - 6A + 6B Sistema de ecuaciones: A +B =0

(1)

-6A+6B= 1

(2)

Multiplicamos en (1) por 6: 6A+6B = 0 -6 A + 65 = 1 125= 1

12 Sustituimos en (1): A+B =0 A +— = 0 12

. = --1

12

Sustituimos los valores de A y B: _1_

1

12

x 2—36

x+6

dx

|

J_ +

_ 1 J dx

x ~—36

12 x - 6

12 x —6 1 | 12 x + 6

Integramos y aplicamos las leyes de los logaritmos: = — L(x - 6) — —L ( x + 6)

12

12

2 x -l x

( x 2+ 3 x + 2 )


F actorizam os el denom inador:

x(x2 + 3x + 2) = x(x + 2)(x + 1) 2 x -1 x(x2+ 3 x + 2)

A B C -= —+ +x x +2 x + 1

mcm = x(x + 2) (x + 1) 2x —1

Al[x + 2^(x + 1 ) + Bx |( , + i)!+ Cx|(x + 2 )

x\ [x + 2 ^ x + 1j

x|(x + 2)|

Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales: 2x - 1 = A(x + 2)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x + 2) = A(x2 + 3x + 2) + Bx2+Bx + Cx2+2Cx = Ax2 + 3Ax + 2A + Bx2+ Bx + Cx2+ 2Cx = (A + B + Q x 2+ (3A + B + 2 Q x + 2A Sistema de ecuaciones: A + B + C= 0

(1)

3A-\- B + 2C = 2

(2)

2A = - l De (3): A = -± 2 Sustituimos en (1) y en (2): --+ fí+ C = 0 2 - —+ B + 2C = 2 2 M ultiplicamos en (1) por -1 : — B - C =0 2 - —+ ¿? + 2C = 2 2 -1

+ C= 2

C=3 Sustituimos en la ecuación (1): --+ 5 + 3 = 0 2

2

(3)

163

164

Cálculo integral

Sustituimos los valores de A, B y C:

2 x -l x(x + 2)(x + l)

x

5 2 x+2

x+ 1

„ r dx 1 r dx 5 e dx dx = 3 ----------- ----------- --x(x + 2)(x + l) JJ xx++ 11 22 JJ xx 22 JJ x. + 2 2 x -1

Integramos y aplicamos las leyes de los logaritmos: = 3Z,|x + ll — lJ x | — l | x + 2| + C I l 2 l l 2 1 1 i 5 / \3 = L (x + 1) - L X2 - L (x + 2 )2 + C

/ , \3 5 (x + l)/ / \— \ L L i (x+2)2 + C X2

=L

(x + 1)3

+C

x 2(x + 2 )2

=L

(x + 1)3

+C

Vx-7(x + 2) 1 ■ 5.

(x -4 )(x -3 )

dx =

En este ejemplo, el denominador ya está factorizado, por lo que no hay necesidad de factorizarlo de nuevo. 1 (x - 4)(x - 3 )

A B -+ x - 4 x -3

mcm (x - 4)(x - 3) 1

(x -4 )(x -3 )

¿(x -3 )+ 5 (x -4 ) (x

4 )(x -3 )

1 = A(x - 3) + B(x - 4) = Ax - 3A + Bx - 4B = (A + B)x - 3 A —4B Sistema de ecuaciones: A+B =0

(1)

-3 A - 4 5 = 1

(2)


M ultiplicamos la ecuación (1) por 3: 3A + 3B = 0 -3 A - 4 B = 1 -B= 1 B =- 1 Sustituimos en la ecuación (1) A -1=0 A= 1 Sustituimos los valores de A y B: 1 (x -4 )(x -3 )

1 x —4

1_ x-3

r dx _ r dx c dx J (x -4 )(x -3 )“ ' x -4 ~ J x^3 Integramos: = L ( x - 4) - L(x - 3) + C = L

x -4 x -3

■ 6.

px

+C

+ 3x + 4

-------------- dx = J x -2 El grado del numerador es mayor que el grado del denominador; por tanto, primero realizamos la división. x+5 x - 2

|x2 + 3 x + 4 - x 2 + 2x 5x + 4 - 5 x + 10 14

El resultado de la división es queda: •x

+ 3x + 4

* = J

14

x + 5+ —

x - 2

14

x + 5H

x ~^ dx

x - 2

=

dx

J xdx + 5 J dx + 14 J —x - 2

Integramos: = ----l-5x + 14Z, x —2 + C 2 1 1

. Si sustituimos en la integral

Cálculo integral

x + 16

’- hx ¿ + 2 x - S -dx Factorizamos el denominador:

hx

x + 16 + 2 x -8 x + 16

A

B

( * - 2 ) ( x + 4)

x -2

x +4

mcm = (x - 2)(x + 4) A{x + 4)+B\

x + 16 ( * - 2 ) ( * + 4)

(* - ■2 ) ( , + 4) ( * - 2 )<

x + \ 6 = A(x + 4) + B ( x - 2 ) = Ax + 4 A + B x - 2 B = (A + B)x + 4 A - 2 B Sistema de ecuaciones: A+B= 1

(1)

4 A - 2 B = 16

(2)

M ultiplicamos la ecuación (1) por 2: 2A+2B = 2 4 A - 2 B - 16 6A

=18

A =3 Sustituimos en la ecuación (1): 3+B=l B =- 2 Sustituimos los valores de A y B: x + 16

3

2

( x - 2 ) ( x + 4)

x-2

x +4

r _ * ± i 6 . . .
(x-2 f (x + 4)2

+C


r2x-+3x--4 , — ;------------- dx = J x -4 x +3 2x + l l x 2— 4x + 3 j2 x 3 + 3x2 —4 —2 x 3 + 8x2 - 6x llx " —6x —4 - 1 lx 2+ 44x - 33 3 8 x -3 7 El resultado de la división es: „ 3 8 x -3 7 . . 2x + 1 1h-----------------Si sustituimos en la integral, tenemos: x 2 - 4x + 3 r 2x3 + 3x2 - 4 , -------------------d x =

J x _—4x Av -+L '3J

3 8 x -3 7 2x +11 + — dx x‘ - 4 x + 3

J \1

= 2 í xdx +11 í dx + í — —— dx J J J x 2- 4 x + 3 Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado: 2 J xdx = x 2 + C llfd x = llx +C r 38x-37 , —:----------- dx = J x — 4x + 3 Factorizamos el denominador: 3 8 x -3 7 _ x2- 4x + 3

3 8 x -3 7 (x - 3)(x - 1 ) A

B

(x -3 )

(x -1 )

mcm = (x - 3)(x - 1)

'TT i

3 8 x -3 7 l

■8.

4 x - l )1+ SI(* - - 3) (x -3 )(.v - -1 ) 1

Dado que los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales: 38x - 37 = A(x - 1) + B(x - 3) = A x - A + Bx - 3B = (A + B)x - A - 3B

167

168

Cálculo integral

Sistema de ecuaciones: A + £ = 38

(1)

- A - 3 5 = - 37

(2)

-2 5 = 1 * = -! 2 Sustituimos en la ecuación (2) —A —3

4

l=- 37

- A-l— = -3 7 2 - ¿ = -3 7 — 2 ¿ = 37 + — 2 74 + — 3 ¿, = — 2 2 ¿ =

77

Sustituimos los valores de A y 5: 77 ^ 3 8 x - 3 7 = _ 2 _____ 2 x 2 - 4x + 3 x —3 x —1 r 3 8 x - 3 7 _ 77 rr ¿x dx ~ 2 J x -3 x 24x + 3

I1 rf ádx 2 Jx -1

= — L(x —3) —^ L(x - 1 ) + C 77

_1_

= L ( x - 3 )2 - Z ,( x - 1 ) 2 + C

=5

V ( * - 3 ) 7'

+C

V x -1 Reunimos los resultados parciales: ■2x + 3x" - 4

dx = x 2 —\ \ x + L

x 2 - 4x + 3

J

4x + 3x - 1 x 2( x - 1)

dx =

V (* -3 )r

+c


Como x2 = xx, corresponde al caso 2: 4x2 + 3x - 1 A B C 7 = 1— ~ H------x (x -1 ) x x x —1 mcm = x2 (x - 1) ^ x ( x - l ] 1+ B [ x - • 0 l+ Cx2

4 x 2 + 3x - 1 x 2 (x - 1 ]

x 2|¡

X - 1 )1

Dado que los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales: 4x2 + 3x - 1 = A(x? - x ) + B(x - 1) + Cx2 = Ax2- A x + B x - B + Cx2 = ( A+C) x2 + (- A + B ) x - B Sistema de ecuaciones: A +C=4

(1)

-A + B = 3

(2)

-B =- 1

(3)

Para obtener el valor de B, multiplicamos la ecuación (3) por (-1): B= 1 Sustituimos en la ecuación (2): - A + 1=3 -A =2 A =-2 Sustituimos en la ecuación (1): -2 +C = 4 C=6 Sustituimos los valores de A, B y C: 4 x 2 + 3 x - 1 _ _ 2 + _1_+

x (x —1)

J x '( x - l )

X

x2

6

x -1

r dx r dx , r dx í— + - +6J J X •H 1x 2 J

Integramos: = - 2 L ( x ) + 1 x~2dx + 6 L(x —1)

= - 2 L ( x ) - - + 6 L(x - 1 ) + C

hL

= X

(x -1 )6

+c

Cálculo integral

10

x + 2x +1 x 2- 3x + 2

dx =

Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, se puede realizar la división: 1 x 2- 3x + 2 | x 2+ 2x +1 - x 2+ 3x - 2 5 x -l 5 x -1 El resultado de la división es 1+ . Si sustituimos en la integral x 2—3x + 2 queda: r £ + 2 * +1 d x = \ \ ! J x - 3x + 2

5x—1 x 1— 3x + 2

=\ dx+hx

5 x -1 —3x + 2

dx

dx

Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado: j*c/x = x 5 x -l

J x2-

dx = j"

3x + 2

5 x -1

-dx ( x - 2 ) ( x - 1)

mcm = (x - 2)(x - 1)

i

"rT" 1 X

4 x - 1 ) \+B\ b - ■2)

5 x -l

i

->)1

Dado que los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales. 5x —1 = A(x — l) + B ( x - 2 ) =A x - A + B x-2 B =(A+ B )x-A -2B Formamos el sistema de ecuaciones y la sumamos para encontrar el valor de B: A+B =5 - A - 2 B = -1 -B= 4 B = -4 Sustituimos en (1): A —4 = 5 A =9

(1) (2)


Sustituimos los valores de A y B: 9_____ 4 _

5 x -1 x2- 3x + 2

x

-2

x -1

r 5x - 1 , dx í— dx = 9 \ J x - 3x + 2 J x- 2

r dx 4 í -----x —1

Integramos: = 9 L ( x - 2) - 4L(x - 1) + C Reunimos los resultados parciales: í —----- ^ dx = x + 9 L(x - 2) - 4L(x - 1 ) + C x - 3x + 2 = x + L{x—2)9 - L(x - 1f + C |( x - 2 ) 9 = x + L\

+c

1 11. í —— --------dx — J x +2x + 1

Factorizamos el denominador: x

x

x 2 + 2x + 1

(x + 1)2 A

B

x+1

(x + 1)2

mcm = (x + l) 2 x

/l(x + lj + 5

Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales x = A ( x + l) + 5 - A x +A + B Sistema de ecuaciones A +B =0

(1)

A=1

(2)

De la ecuación (2) sabemos que el valor de A es 1, sustituimos este valor en la ecuación (1) y despejamos B: B =- 1

171

Sustituimos los valores de A y B: x

1

1

jc2+ 2jc h- 1

x +\

(x + 1)2

* 'x + 2 x + l

x+ 1

Integramos: = L\X + l| H---------h C 1

1

X + 1

12 x 2+ 3x + 2

Factorizamos el denominador: 1 x2

_

+ 3x + 2

1 ( x + 2 ) ( x + 1)

A

-+ -

x + 2

mcm =

B

x+1

( x + 2 ) ( x + 1)

1

4 x + l) + 5 |(x + 2)

(x + 2)| ( , + l)i

(x + 2)|(* + i)

Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales: 1 = A(x + 1) + B(x +

2)

= Ax + A + Bx + 2 B = (A + B)x + A + 2 B Sistema de ecuaciones: A+B =0 A+ 2B=\ Multiplicamos la ecuación (1) por -1 : -A - B = 0 A + 2B = 1 B =1 Sustituimos en la ecuación (2): ,4 + 2 = 1

A=- 1 Sustituimos los valores de A y B:

(1) (2)


1

1

1 -+ x +2 x + 1

x 2 + 3x + 2

_ r dx

dx

r dx J x +2

x 2 +3x + 2 - J x + 1 Integramos:

= L(x+ \ ) - L ( x + 2) + C

=L

■ 13.

x+ 1 x+2

+C

7x + 1 J (x + 3 ) ( x - 1) 7x + 1 (x + 3 ) ( x - l )

=

A x+3

B 1------x —1

mcm = (x + 3)(x - 1) | + 5 ( x + 3) - A (x - l ) (x + 3 )(x —l) (x + 3 ) ( x - lj 7x + l

Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales. 7 x + 1 = A ( x - l) + 5(x + 3) = A x - A + Bx + 3B = ( A + B ) x - A + 3B Sistema de ecuaciones: A+B =l -A + 3 B = \

(2)

45 = 8 5 =2 Sustituimos en la ecuación (1 ): ^ +2 = 7 A =5 Sustituimos los valores de A y 5: 7x + l

5 2 — 1------(x + 3)(x —1) x + 3 x —1 i*

7x + l

^ ( x + 3 ) ( x - l)

_

r dx ^ ^x+ 3

r dx x -1

174

Cálculo integral

Integramos: = 5L(x+ 3) + 2L(x - 1) + C = L (x + 3)5( x - l )2\ + C

■ 14.

r

5x2- 1 0 x + 8 , ------------------- dx = x ( x - 2 ) ( x + 2)

A B C -= —+ +x(x - 2)(x + 2) x x - 2 x+ 2 5x2 - 1 0 x + 8

mcm = x(x —2)(x + 2) A 1[ x - 2 j ( x + 2jl+ 5x|(* + 2¡\ + Cx\¡.Y -2 ) x x - 2 )(x + 2)

* ( * - 2 ) ( ,V + 2 )

Como los denominadores son iguales, entonces los numeradores también son iguales. 5x2 - 1Ox + 8 = A(x - 2)(x + 2) + 5(x2 + 2x) + C(x2 - 2x) = A(x2 - 4) + Bx2 + 2Bx+ Cx2 - 2 Cx = Ax2 - 4 A + Bx2 + 2Bx+ Cx2 - 2 Cx = ( A + B + Q x 2 + (2 B - 2 Q x - 4A Sistema de ecuaciones A + B + C =5

(1)

2B - 2 C = -1 0

(2)

-4A = S

(3)

Despejamos A de la ecuación (3) y obtenemos: A = -2 Sustituimos en la ecuación ( I ): -2 +B + C =5 B + C=7

(4)

Formamos un sistema de ecuaciones con (2) y (4), multiplicando la ecuación (4) por 2: 2B - 2 C = -1 0 2B + 2 C = 14 45 = 4 B= 1 Ahora calculamos C en la ecuación (4): 1+ C = 7 C= 6


Sustituimos los valores de A, B y C 5x2 - 1 0 x + 8 x(x - 2)(x + 2)

2 x

1 x-2 dx

5x2- 10x + 8

J x ( x - 2 ) ( x + 2) dx = - 2 ¡ —

6 x +2 r dx ax r dx +¡— + 6¡ x-2 x+ 2

Integramos: = - 2 L(x)+ L(x —2) + 6L(x + 2) + C = - ¿ |( x ) 2| + Z ,|(x -2 )| + ¿ = L

( x - 2 ) ( x + 2)6

|( x

+ 2)6| + C

+C

Ejercicios de repaso 1.

Calcula las siguientes integrales aplicando el método de fracciones parciales. f 2x + 3 j X

2.

3.

Sol. L

(-O 5+C

X

x -1 f t dx J (x + l) ( x + 4)

Sol. L

c x _ + 5x + 4 ----------- — dx

S o /.

J

( , + 2 )2

x -1

J x -2 x + 1

f 2 ax J x + 2 x -1 5

f

2x w \ dx J x -(x -l)

+c

(x + l)í

So/, ¿

4.

(* + 4)>

x —3 Sol. L * -----Vx + 5

Sol. L

"x -1

{ X J

x+2

x -1

+c

+c

1- ¿ |x + 2[ + C

•+ C

175

176

Cálculo integral

-) Sol. - + L

(x + 4)dx

X

x 3—2x2

f 2-3x J 8. í — ; dx * x + x —2x

ce 1 H 1 \/ \ dx 9- J / , (x + l) ( x + 4)

.

r J + 2 l +l

,

-----------------dx

J x4+ 6 x 2+ 9

Sol. L

+c

i *

j

(*+2); + c x (x-lf

.i .i Sol. ¿Jx 1 + 41

, ,

Sol.

x- 3

4

x

3V3

V3

_

r + — 7= arctan—7= + C

3( x2+ 3 )

Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización Introducción El proceso d e integrar una función no racional sustituyendo la variable por una nueva, d e tal m anera q u e el resultado sea una expresión racional, se llama in te g ració n por ra cio n a liza ció n . Hecha la sustitución, en la expresión resultante se d esp eja la variable

x y se

calcula su derivada.

Racionalización de expresiones que incluyen potencias fraccionarias de o + bx, como p

f

(a+bx)q, (a+bxY

Se transforman a forma racional con la sustitución a + bx = z'\ Donde n es el mcm de los denominadores de los exponentes fraccionarios de las expresiones a + bx. E je m p lo :

il

dx

J

^ 2

+ V (* -2 )3 dx i 2 (x -2 )2+ (x -2 )4

_ |

En este ejemplo, x - 2 corresponde a a + bx; por tanto, a = -2 ; b = 1 1 3 El mcm de los denominadores de — y — es 4: 2 4 mcm (2, 4) = 4; de donde: x - 2 = z4 x = z4 + 2 dx —4z3dz Sustituimos: dx

f

i

4 z l dz

f

2

(x -2 )2+ (x -2 y

I

2

(z4y + ( z * y

= 4j-

z^dz

Conceptos clave In teg ració n por racio n a liza ció n

178

Cálculo integral

F actorizam os el denom inador y sim plificam os:

, 4J / *

z"(l + z) zdz

=4j

1+ z Dividimos: 1____ z+ 1z -1 1 El resultado de la división es 1-------- . Sustituyendo en la integral, tenemos: ^+ z

a J

dz

= 4 1 1—

¡A n ó ta lo !

1+Z

=

a

am ■= a a

=4 ¡ d z - 4 ¡

dz 1+z

Integramos: = 4z - 4¿ (1 + z) + C Sustituimos el valor de z4 = x - 2; z = y f x - 2

= 4>Jx^-2-4L(fJx-2 + \)+C =4 tlx-2 -L ( V ^ + l) 4 +C

■2 ■ I

( x -2 ) ( x + 2 y El denominador del exponente fraccionario es 2; de donde: x + 2 = z2

x = z 2- 2

z = y¡x+2

dx = 2z dz Sustituimos: dx

2 zdz

cx - 2 ) ( x + 2 y

(z2 - 2 —2)(z2) 2 2 / dz

-¡TÍ (z2- * ) ( / ) dz z1- 4

Capítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización

Aplicamos la fórmula de integración: 1

u-a

u2 - a 2

u+a

2a

+C

a2 = 4 ¿7 = 2 r

/ \ * -o 1 ¿ z -2 + C z 2 —4 • .2(2)

U + 2JJ

(z-2)

~ —L +C 2 (2 + 2 ) Sustituyendo el valor de z = (x + 2 ) 2 (x + 2 )2 - 2

= - L

2

+C

(x + 2 )2 +2

Racionalización de expresiones que únicamente incluyen una potencia fraccionaria de x Se convierte a forma racional con la sustitución x = zn, donde n es el denominador del exponente fraccionario de x. E je m p lo :

dx -Jx—\

1

=

dx r 2 _1

El denominador del exponente fraccionario es 2; por tanto, n = 2. x = z¿

: = y fx

dx = 2z dz Sustituimos: f J

dx

_ f 2z d z = =

2j

Dividimos: 1____ z -lE —z + 1 1

zdz z —1

179

180

Cálculo integral

El resultado de la división es lH

. Sustituyendo en la integral:

1+ ------ \dz z- 1 = 2 ¡ d z +2 j ^ J

J 2-1

= 2z + 2 L ( z - l) + C Sustituimos el valor de z = Vx = 2-Vx + 2 ¿ ( V x - l ) + C \2 = 2 \[x + L ( V í - i )

■2• I

1+ Vx

HVT

+c

dx

1

=

1+ x 2

¿/x

1 -x 2 El mcm de los denominadores de los exponentes es 2; de donde: X = Z 2

Z = V x

dx = 2z í/z Sustituimos:

ji± ix = ji± í4 J_*2

i - Í Z 2) 2 1+ Z

=

1 1—z

é/ z

Dividimos: -1 1—z 11+ z 1—z 2 =

1

-1 + 1—z

= - J c/z+2 J

¿fe ¿/z

1—z

Integramos: = - z - 2 L (1 - z ) + C

= x 2

C apítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización

Sustituimos el valor de z = Vx y aplicamos la siguiente propiedad de los logaritmos log, A" = n log, A : +C

= —y f x —L

Racionalización de expresiones que incluyen diferentes potencias fraccionarias d e x , como

xb, xd

Se transforma a forma racional con la sustitución x = z", donde n es el mcm de los denominadores de los exponentes fraccionarios. Ejemplo:

dx '• 1

yfx -yfx dx = Jx 1 —X

El mcm de los denominadores de — y — es 4: 2 4 mcm (2, 4) = 4; de donde: n =4 x = z4 dx —4z 3 dz Sustituimos: f

dx ^ i X2-X*

4 z dz

=1

(z4y - ( z 4y _ J 4 42z 3dz

z —z 3,

=4J : ± z(z-l) =4 j

z 2dz z-l

Dividimos:

z -l

z+1 z -z +z z -z + 1 1

Cálculo integral

El resultado de la división es z + 1 + tenemos: j r - 4 / Z+1 + z -1

. Sustituyendo en la integral,

dz

= 4 $ z d z + 4 ¡ dz + 4 ¡

dz z^l

Integramos: = 2z2 + 4z + 4L ( z - 1) Sustituimos el valor de z = yfx = 2 (V x )2 + 4 ^ + 4 L { t / x - \ ) + C

= 2 y [¡C

■ 2-J

+ 4 yfx + L (iTx + l í + C

dx = i+ V Í

-1 ^

dx

\+x2 El mcm de los denominadores de — y 4 : mcm (2, 4) = 4; de donde: x-z4

Z = y JX

dx = 4z3 dz Sustituimos:

=J

(z )4(4z dz) 1+ (z 4) 2 z(4z )

= 1 1+z

¿/z

4

¿/z

= 4j

1+z Dividimos: z2 - l z 2+ l [ 7 “

—Z" Z

+1

es 4


= 4 / z -1 + 1+z

ó/z í /z

= 4 j z~dz—4 J" ¿/z + 4 j

1+ z 2 Integramos: = —z J - 4 z + 4 a rc ta n z + C 3 Sustituimos el valor de z = t fx =—

- 4 Vx + 4 a r c t a n Vx + C

4 2 .1 i = —x 4 - 4 x 4 + 4 a rc ta n x 4 + C

dx Jx + dx = 1X2

+x3

El mcm de los denominadores de — y - es 6. 2 3 mcm (2, 3) = 6; de donde:

¿/x = 6z5¿/z

z = vx

Sustituimos: 6z 5dz

i -JxA+ r - l iTx

(z6)^ + (z6) 3 6 z 5dz

-\

z 3+ z 2

=6j

Z dz z 2(z + l)

=6/

z 3dz z+1

Dividimos: z 2—z+ 1 z + l |z 3 -z z —z —1 -1

= 6 J z -z + 1 -\dz z+1

= 6 J z 2d z - 6 J z d z + 6 j* d z - ó j

dz z+1

Integramos: = 6 - — 6 - —f-6 z- 6 LCz +1) + C 3 2 I Sustituimos el valor de z = Vx = x 6 : I I I = 2(x^)3 - 3 ( x 6)2 + 6 (x 6) - 6 ¿ x 6 +1 + C I I I = 2 x 2 - 3 x 3 + 6 x 6 - 6 L x 6 +1 + C

= 2 > / í - 3 Vx + ó V x -Z , (x6 +1)6 + C

■sfxdx

=j£x 2dx

3

1+ X 4

1 3 El mcm de los denominadores de — y — es 4. 2 4 mcm (2, 4) = 4; de donde: x = z4 z = vx

dx = 4z3¿/z Sustituimos: x 2dx

2(4 z 3¿/z )

3

3

1+ X 4

4\4 l + (z<)

4zV z

= 1 1+z3 z sdz -4 / Dividimos: _2

Z + 1

1+ z 3


Como el grado del residuo (-z 2) es menor que el grado del divisor (z3+ 1), ya no se puede continuar dividiendo; por tanto, el resultado de la división es

z 2-

. Sustituimos en la integral:

Z 1+ z

= 4 J z2 -

dz

Z 1+ z

= 4 í z 2dz - 4 í — — dz ] J 1+ z 3 Integramos: = - z 3- - l | l + z 3| + C Sustituimos el valor de z = x 4 : +C 3

3 3

4 4 —4 L r = —x

3

1+ X4

+C

3

= * & - L (1+ V 7 )

+c

3

Racionalización de expresiones que incluyen una m

potencia fraccionaria del tipo

(a + bx)n

Se convierte a forma racional con la sustitución a + bx = zn, donde n es el denominador del exponente fraccionario — . n E je m p lo :

«1. |

, x~

dx =

V (l+ 4x)5

dx = 1(1+4 x )2 El denominador del exponente fraccionario es 2; de donde: 1 + 4x = z2;

z = V l+ 4 x

Despejamos a x la elevamos al cuadrado porque en el numerador del integrando tenemos x2. También debemos calcular dx.

185

186

Cálculo integral

z —1

z —1

* 2=

X = -

Z

- 2 2 + 1 16

dx = —dz 2 Sustituimos: z4 - 2 z 2 +1

Yz

16

12

j V(1 J~~X - dx= J * +4 7

dz

x

Multiplicando los denominadores de las fracciones del numerador, tenemos , v

( l_ ) = — y dado que es una constante, queda multiplicando a la 2 j 6 ,v y

integral. 1 ~~ 32

í (z4

1 f* 4 ~ 32

■dz z _2

■dz dz

1

ff! ” 32 J z 4

.4

z' dz

z f dz

7 +h

32 Integramos:

2 1 z + --------- + C 32 Z 3 z3 Sustituimos el valor de z = Vf-t-4*

Vl + 4x32

+ C ^ 1+4*

3(>/l+4jc)3

dx

*■/ 3 + yjx + 2 =J 3 + (x + 2 )2 El denominador del exponente fraccionario es 2; de donde: x + 2 = z2

z = Vx + 2

Cap ítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización

x = z2- 2 dx = 2z dz Sustituimos: dx

f

3+V x+2

2 z ¿/z 3 + (z 2) 2 z dz

=2j

3+z

Dividimos: 1 z + 3 |z - z —3 -3

=2Í

1— 3+z

=2j d z - 6 j

dz dz

3+ z

Integramos: = 2 z - 6 L (3 + z) + C Sustituimos el valor de z = V x + 2 = 2 ^ 7 + 2 .- 6L (3 + V í+ 2 )■+ C = 2 - J x + 2 - L (3+ ^ 2 f

+C

1 3.

# x -+ 3 )4

=1

X£& (2x + 3)3

El denominador del exponente fraccionario es 3; de donde: z = y¡2x + 3

2x+ 3 = z3 23 - 3 x=dx =

¿/z 2

Sustituimos:

187

188

Cálculo integral

Z -3 xdx

í-^ h = í

f

3z 2

2

¿Z

4 3

(2x+3 y

(zy

(z3 —3)3z2

= J

43(4) —

dz

(Z) 3 3 f (z5 - 3 z 2)

4 41

3 f z 2(z3 - 3) 4

dz

z

3 f z3 - 3

4 J

dz

z’

dz

£ __J_ 2

dz

_2

/ = - j z d z - - f — dz A A z Integramos: —

3 2 9 _ Z H h (3 8 4z

—

Sustituimos el valor de z - y¡2x+3 = -lll2 x+ 3 f+ ..9 . + C 8' ’ 4 ^ 2 Í+ 3 3 9 = - ( 2 x + 3 ) 3 + ------—

■+C

4(2x+ 3)3

Racionalización de expresiones que incluyen funciones racionales de sen u y de eos u en el denom inador Se convierte a forma racional con la sustitución de sen u = - - Z ; eos« = -—— 1+ z2 1+ z Estas relaciones se deducen de considerar la sustitución tan —= z en la función 2 , , , , . , , , u /1-cosw tngonom etnca de la tangente de la mitad de un ángulo tan —= ^ 2 Vl+cosw En la forma siguiente: u ll —eos u t a n - = ---------2 Vl+cosw

189

C apítulo 12 Métodos de integración. Integración por racionalización

Se elevan al cuadrado los dos miembros: 2 u 1-cosw tan —= ---------2 1+ cosw Se sustituye con tan —= z : 2 2 _ 1- eos u 1+cosw Y se despeja con eos u : z2( 1 + eos u) = 1 - eos u z2+ z 2 eos u = 1 - eos u z2 eos u + eos u = 1 - z2 eos u(z2 + 1) = 1 —z2 1—z eos u = 1+ z2 Para calcular el valor de sen «, la relación del eos u se expresa en un triángulo rectángulo. Con el teorema de Pitágoras calculamos el valor del cateto opuesto, b. (1 + z 2)2 = (1 - z 2)2 + 62 ¿>2 = ( l + z 2)2 - ( l - z 2)2 b2 = / + 2z2+ / - / + 2 z 2- / b2 = 4z2

1—z

b = 2z Calculado el valor de b = 2z, se sustituye en el triángulo el valor de b para obtener sen u. 2z sen u = 1 + z2 Señalamos que: ta n —= z ; de donde: 2 —= are tan z 2 de la cual su función inversa es: u - 2 are tan z du =

2 dz 1 + z2

En el mismo triángulo se pueden deducir las funciones tan u, cot u, sec u, esc u porque éstas se pueden expresar racionalmente en términos de sen u o de eos u o de ambas.

1- z

Por tanto, 2z tan u = ------1 -z 2 l-z2 cot u = 2z 1+ z2 sec u = 1 -z 2 1+ z2 esc u = 2z E je m p lo s:

dx

■J 3 + cosx Escribimos u =x X

Como tan —= z y su función inversa es: 2 x = 2 arctan z dx =

2 dz 2 1+ Z

V

Y con

1 -Z 2

c o s j c ----------

1+ z2 Sustituimos: J

dx

_ f

3 + co sx

2 dz i+z; ^+ l - z 2 1 + z2 2dz

= J 3+ 3z

+ l-z

= 2J - *

4+2z

a2 = 4 <3= 2

w2 = 2z2 u = y¡2z

Integramos: ,i t 4 iz ^ „ = 2 —are ta n 1- C 2 2 JC Sustituimos el valor de 2 = tan —


V ^ ta n *

2

= are tan

+C

y¡2 x = are tan — tan — + C

2

2

dx

■2•1

tanx + senx

Como: tan —= z 2 Su función inversa es: x = 2 are tan z 2 dz dx —1+ z 2 tan x = -

2 dz

\-7 2z senx = l+z2 Sustituimos: 2 dz

í

— ta n x + se n x =

1

l+z2 2z

2z

l-z2

l+z2

——— dz l+z2 =í 2 z ( l + z 2) + 2z(l —z ) ( l - z 2) ( l + z 2) Tenemos un cociente de fracciones, por lo que el producto de los extremos será el numerador de la nueva fracción y el producto de los medios el denominador.

=1

2 ( 1 - z 2)£Uk£25 ¿H -f2') [ 2 z ( l+ z 2)+2z(l - z 2)]

- z 2) dz = J 2z(l 2(1 + z 2 + l - z 2)

dz

191

Cálculo integral

-J (1 - z2z2)dz z~dz

= íJ 2z - - íJ 2z

_}_ j dz _ 1 f z 2dz 2 z 2 z Integramos: =- L 2

~ —z + C 4

Sustituimos el valor de z = tan —: 2 = - L tan — — tan — + C 2 2 4 2 dx 1+cosx Como tan —= z , su función inversa es: 2 x = 2arc tan z dx =

2 dz 1+ z 2

Además: 1 -z 2 cosx = ------1+ z2 Sustituimos: 2 dz

1 71+eos 7 X 7 X7 = 1

1+ z 2 ' 1 -z 2 1+ 1 + z2 2 dz

=1

1+ /

+ 1- /

N ota: Como los denominadores de las fracciones son iguales, se eliminan. Esto se debe a que al realizar la división, uno quedará multiplicando en el numerador y el otro en el denominador de la nueva fracción.

=1

ídz

í - \ dz


Integram os:

=z+ C X

Sustituimos el valor de z = tan —:

2

= tan —+ C

2

dx ■ 4.

2 + se n x Como tan —= z , su inversa es:

2

x = 2arc tan z 2 dz dx = ■ l + zAdemás: 2z se n x = ■ \+z¿ Sustituimos: 2 dz i 2j +rsen —x

l-

1+ z 2 2z

2+

1+ z 2 2 dz

=1

2 + 2z + 2z

/dz

-J

/ ( l + z 2 + z) dz

=í

z 2+ z + 1

Factorizamos completando el cuadrado: \2 Z +

Z +

1 =

1 z+— + i - I 2 4 3 z+ — + — 2 4

193

194

Cálculo integral

dz

=í 1^ 3 Z H--- + — 4 v 2/ u~ =

(

lv +—

2 = —3 4

cr

v

41 a= -

u = z +—

2

Integramos: /

\ 1 zH—

41

2

are tan

+C

2

2

Sustituimos el valor de z = tan — 2 x 1 ta n — 1- —

2

are tan v

2

2

+C

Capítulo 13 Integral definida A ntecedentes históricos El objetivo principal del cálculo integral es obtener el límite de la suma de un gran número de magnitudes, cada una de las cuales tiende a cero. Desde la Antigüedad, los filósofos y matemáticos se plantearon la solución de los problemas siguientes: • Trazar la tangente a una curva en un punto determinado.

Conceptos clave Proceso de reducción Sigma

• Obtener el área de una superficie de contornos curvos.

índice de la suma o variable de la suma q-ésimo término de la suma Valores extremos Integral de la función Integral definida Norma de la partición Proceso de cálculo de la integral

El filósofo Brison, contemporáneo de Sócrates, trató de calcular el área de un círculo por medio de polígonos regulares inscritos y circunscritos al círculo. Este legendario método se conoce como p ro ceso d e red u cció n porque a medida que el número de lados de un polígono aumenta, la diferencia entre las áreas de éstos se va reduciendo. El perímetro de los polígonos se aproxima cada vez más al valor del perímetro del círculo.

Arquímedes (287-212 a. de C.) aplicó este método utilizando polígonos regulares de 96 lados inscritos y circunscritos a un círculo de diámetro de una unidad, de cualquier medida, y logró aproximarse al número irracional n. El proceso que se aplica en cálculo para determinar el área de una región plana es similar al empleado por Arquímides. La importancia de esta técnica la podemos observar si se plantea el problema siguiente:

Calcular el área A de la superficie limitada por la parábola y = x 2 + 1 y las rectas y = 1, X = 0, X = 4.

1 2

Figura 13.1

3

4

Figura 13.2

El área achurada de la parábola (figura 13.1) debe estar entre las áreas de los rectángulos. ABEF;

4(1) = 4

EFDC;

4(17) = 68

De donde 4 < A <68 Si se divide el segmento 0 a 4 en partes iguales y se trazan dos series de rectángulos, unos tocarán la curva con su vértice superior izquierdo y los otros la tocarán con el vértice superior derecho (figuras 13.2 y 13.3). La suma de las áreas de las dos series de rectángulos se presenta a continuación. En la figura 13.2: El primer rectángulo tiene base 1 y altura 1, de donde 1(1) = 1 segundo

id.

id.

id.

2

id

1(2) = 2

tercero

id.

id.

id.

5

id.

1(5) = 5

cuarto

id.

id.

id.

10

id.

1(10)= 10 sum a

En la figura 13.3: El primer rectángulo tiene base 1 y altura 2, de donde 1(2) = 2

18

Capítulo 13 Integral definida

segundo

id.

id.

id.

5

id.

1(5) = 5

tercero

id.

id.

id.

10

id.

1(10)= 10

cuarto

id.

id.

id.

17

id.

1(17)= 17 suma

34

El área por obtener está entre 18 y 34 unidades cuadradas: 18< A <34 Para una segunda aproximación, dividimos el segmento 0 a 4 en 8 partes iguales, cada una de 0.5 unidades. Se marcan las dos series de rectángulos, como lo hicimos en el caso anterior. Se trazan además las gráficas y se obtienen las áreas. Podrás observar que el área de la región achurada quedará limitada entre las dos series y se aproxima cada vez más al área que se está calculando.

Suma de Riemann La suma de n términos {£/,, a2, av ... a } se expresa así: n V a.i = a,1 +2a, + a,3 + ...an / j

De donde: £ es la letra sigma mayúscula del alfabeto griego. En nuestro alfabeto corresponde a la letra s y en matemáticas se emplea para identificar una suma. i

es el índice de la suma o variable de la suma.

a

representa el g-ésimo término de la suma.

n y m indican los valores extremos y son el extremo superior e inferior de la suma, respectivamente, donde m < n . Algunos autores usan la palabra límite en lugar de extremos', sin embargo, en este texto evitaremos utilizar el ténnino límite, ya que éste se aplicó en cálculo diferencial. Ejemplos:

■ 1. Calcula la siguiente suma. ¿(2/4-1) 1=1

En este ejemplo, a. = (2i + 1). Para calcular la suma sustituimos la i sucesivamente por los enteros 1, 2, 3, 4 desde el 1 hasta el 4, que en el ejemplo son los extremos de la suma, luego se suman los términos así obtenidos. ¿ 2 í + 1 ) = [2(l) + l] + [ 2 ( 2 ) + l ] + [ 2 ( 3 ) + l ] + [ 2 ( 4 ) + l ] 1=1

= 3 + 5 + 7 + 9 = 24

Cualquier variable se puede usar como índice de la suma. Sin embargo, preferimos las letras i , j , k porque normalmente están asociadas con los enteros.

197

El extremo inferior no tiene que ser necesariamente el número 1, pues cualquier número entero menor o igual al extremo superior es válido. 7

E a. = a, + a. + ac + an i

4

5

6

7

i=4

Este tipo de condiciones se conoce como sumas de Riemann. m2. Calcula la siguiente suma. 2¡

A

2o

21

22

23

24

S 7 7 ^ : = 7 ^ 7 + 7 7 - 7 7 + 7T— : + 7 T ^ + ' S (i+ 2 ) (0 + 2) (1 + 2) (2 + 2) (3 + 2)

(4 + 2)

1 2 4 8 16 = -+ -+ -+ -+ — 2 34 5 6 La fracción - es equivalente a 4 1 1 2 1 8 16 = -+ -+ -+ -+ — 2 31 5 6 El mcm de los denominadores (2, 3, 1,5, 6) es 30, de donde: 15 + 20 + 30 + 48 + 80 30 193 ~ 30

Propiedades de la suma de Riemann n

n

A.

^ ka =

a., donde k es una constante

B.

' £ ( a¡± b ¡) = Y , ai ± H hi í=i 1=1 1=1

3.

¿ 3 i = 3(2) + 3(3) + 3(4) + 3(5) + 3(6)

n

n

1=2

= 6 + 9+12+15+18 = 60 Por la propiedad A : 6

6

Í> '=3 f=2

1=2

= 3(2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3 (20) = 60

Fórmulas de la suma de Riemann n

A.

^ k = kn

La suma de una constante k, n naturales.


La suma de los «-primeros números naturales.

B. ± j = nA~ 7=1

¿

^ ^ .2 n(n + \)(2n + \) c• L J = ;;---------

La suma de los cuadrados de los «-primeros números naturales.

7=1

O. I / =

«2(« + l )2

La suma de los cubos de los «-primeros números naturales.

Sum as de Riemann con notación sigma E je m p lo s:

■ 1. Expresa las sumas que se indican con la notación sigma. 1

1

1

1

L 2(1)+ 2 (2 )+ 2 (3 )+ " '2(8) V

2.

+3 + 2

J j

'O* 3.

+ 3 + ...+

2 í 7 ^+ 3

J )

2

k--

f * - + 3 v ^

+2 T

+2

y

+2

. \3

3 —

/

3

_

3

—

------«

-

\ + ...+

/ ~\ 3« ( 3 ' -----— — « V” ) /

.

3«

\3

2~ 5.

S o '- Í

v5y /

4.

V

+ ...+ 2 í i1 + — \ n) l n )

V i"

' 5'

n

S o /Z t =l

/-

3A:

/ . \ ( 3k |

\ 3

—

—

1 « ;

n í 5/1 Sol.'Z 2 1 + — /=1

52. Calcula ahora las sumas que se indican. 1 -Í(3 7 > 1 ) = 7=1

= [3 (l) + l ] + [3(2) + l ] + [3(3) + l ] + [3(4) + l ] + + [3(5) + l ] = 4 + 7+10+13+16 = 50 1 2 -1 . 1=0 i + 1 0+ 1

12 + 1

, 1 1 1 — 1H 1----- 1-----2 5 10

22 +1

32 + 1

—

1 » )

199

200

Cálculo Integral

10 + 5 + 2 + 1 10

18 10

=k+ k+ k+ k 4 veces

= 4k 4- X [ a - i ) 2 + a + i ) 3] = = ( l - l ) 2 + ( l + l ) 3 + ( 2 - l ) 2 + (2 + l)3 + ( 3 - l ) 2+ (3 + l)3 + ( 4 - l ) 2 + (4 + 1) = 8 + 28 + 6 8 + 134 = 238 5.

¿ (3 y -io ) =

/=i = [ 3 ( l ) - 1 0 ] + [ 3 ( 2 ) - 1 0 ] + [ 3 ( 3 ) - 10] + + [ 3 ( 4 ) —10] + [3 (5 ) —10] = - 7 - 4 - 1+ 2 + 5 = -5 6.

¿2* = = 2 1+ 22 + 23 + 24 + 25+ 26 + 27 + 28 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 6 4 + 128 + 256 = 510

7.

£ / = ... + 20 = 210

Aplicando la fórmula B de la suma de Riemann: " ¿ j J

7=1

n{n + \) ~

z

20(20 + l) 2— IJ ~

/■ >

201


20(2l) =

210

20

8- Y J2k = k =1 20

=2 k=1 20

=2 k =1

= 2( 1 + 2 + ... + 20) = 2(210) = 420 Aplicando la fórmula

B

de la suma de Riemann:

2 (2 0 .)(2 0 + l)

2 = 420

Área

Áreas (interpretación intuitiva) Así como estudiamos las pendientes de las rectas tangentes para motivar la definición de la derivada, a continuación analizaremos las áreas para facilitar el estudio de la integral definida.

Figura 13.4

Primero expondremos una definición de la integral definida, posteriormente se citará otra, como un límite de las sumas de Riemann. E je m p lo :

Se requiere calcular el área acotada por las rectas verticales x = a, x = b que intersecan al eje x (figura 13.4), y por la gráfica de una función/ que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b]. Nos referimos al área como la superficie de/ entre las rectas a y b (figura 13.4) El área por calcular es m ayor que la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 13.5 y menor que la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 13.6. Se repite este proceso y, al hacerlo, el área de los rectángulos que están por “debajo” de la curva (figura 13.7) es casi igual al área de los rectángulos que están por “encima” de la curva (figura 13.8). En el límite, es decir, cuando la base de los rectángulos tiende a cero, la suma de las áreas de los rectángulos que están por “debajo” de la curva es igual a la suma de los otros rectángulos, entonces se obtiene el área bajo la curva en el intervalo a, b. Este proceso nos lleva a obtener el área como un límite; a este límite se le conoce como integral de la función.

a

Figura 13.7

b

Figura 13.8

202

Cálculo integral

Integración definida como el límite de una suma (interpretación intuitiva) Sea /(x ) una función cuya curva es JQ (figura 13.9) y f ( x ) dx = d F(x), es decir,

j*f( x )

dx

=

Q

F(x) concepto que se estudió en la integral indefinida. Si se divide el intervalo [a, b] en n intervalos iguales entre sí, la amplitud de cada intervalo es: b —a n

Ax o también x —a = Ax x2 - Xj = Ax b - x n- .1= Ax

La suma del área de los rectángulos es una aproximación al área bajo la curva d e /(x ) limitada por las rectas x = a, x = b, y = 0 Figura 13.9

Por tanto, /(tf)(x, - a) + /(x ,)(x 2 - x,) + ... +f(b)(b - xn_,) = = / ( a ) A x + / ( x t ) A x + / ( x 2) A x + . . . / ( 6 ) A x = ¿ / ( x . ) A x x¡=0

Esta es una suma infinita de áreas de rectángulos cuando n—>°° y Ax—>0 la suma se aproxima más al área buscada y el límite es el área bajo la curva y también es su integral. lw1 £ f ( x l ) A x = l í m ± f ( x ) A x Ax->0 i=0

a

=¡ j(x )d x

= F (b)-F (a) Definición

La integral definida de una función dada, calculada entre dos extremos de un intervalo cerrado, es el incremento de la función primitiva o antidiferencial propuesta cuando la variable pasa de un valor inicial a un valor final b. Se expresa: \ jb( x ) d x = F ( h ) - F { a Representa el área de la superficie limitada por la curva de una función /(x ) cuyos extremos tienen como abscisas a y b. E l resultado de una integral definida se expresa en unidades cuadradas de superficie. Si se invierte el valor de los límites de una integral definida, el nuevo valor es simétrico al primero con: J /( x ) ¿ /x = F ( 6 ) - F ( < a í) Cambiando los extremos:

C apítulo 13 Integral definida

\ j{ x ) d x = F {a)-F {b ) = - [ F ( 6 ) - F ( fl)] = - \ b j{ x ) d x

Si el extremo inferior de integración es igual al extremo superior, entonces: f°f(x)cb c = 0.

Conclusión

La integral definida se obtiene con: l j ( x ) d x = F ( b )~ F (a ) donde el incremento está en función de los extremos a y b. Si se pone fijo el extremo inferior y variable el superior e igual a x, obtenemos: J 7 ( x ) d x = F ( x ) ~ F (a ) = F(x) + C Donde: C = -F {á ) = Constante Esta integral indefinida entre un extremo fijo y otro variable se ha convenido en expresar así: f( x jd x = f (x )+C Es decir, la integral indefinida es la antidiferencial; por lo cual, y desde este punto de vista, la integración es la operación inversa de la diferenciación.

Suma de Riemann (continuación) La integración definida ya había sido expuesta y aplicada antes de que Bemhard Riemann (1826-1866) generalizara el concepto para poder ser aplicado a funciones más complicadas. Con base en este conocimiento, es posible resolver funciones que incluyen las condiciones siguientes: A. La función puede ser discontinua en algunos puntos de [a, b] B.

Las longitudes de los subintervalos pueden ser diferentes entre sí.

C ./(x ) puede ser negativa para algún valor de x en [a, b]. D. El número w, puede ser cualquier número en [xM, x j para i = 1, 2, 3, . . n Si una función / está definida en un intervalo [a, b] no necesariamente continua, se puede hacer una participación arbitraria, que identificaremos con el símbolo A. a = xnO
Ax2 x,

Ax3 x2

Ax„

AXj x3

x ,._ i

X,.

203

204

Cálculo integral

Al mayor de los números Ax,, Ax,, ..., Axn se le llama le identifica con ||A||

norm a d e la p artició n

(p) y se

Ax.es la longitud del rt-ésimo subintervalo. x, es cualquier punto del subintervalo «-ésimo. La suma de Riemann, que se expresa Rp, para la participación A se cita con la definición: Si / e s una función definida en un intervalo cerrado [a, ó] y A es una partición del [a, b], una suma de Riemann de/ para A es cualquier expresión Rp de la forma:

donde w. es un número en [xM, x j para i = 1 , 2 ,

3 ,..

., n

Cuando expresamos el concepto de la derivada señalamos: “Si a la variable independiente x con un valor inicial a se le da un valor final b, a la diferencia b —a se le llama incremento de la variable; esto se expresa usando la letra griega delta (A) antepuesta a la variable: Ax = b - a Si se registra un aumento, el incremento es positivo” . E je m p lo :

Obtener el valor del incremento de la variable x, con valor inicial a = 4 y valor final b = 9 S o lu ció n :

Ax = 9 - (4) = 9 -4 =5 Si hay disminución, el valor del incremento es negativo. E je m p lo :

Obtener el valor del incremento de la variable x con valor inicial a = 3 y valor final b = 0 S o lu ció n

Ax = 0 - (3) = -3 Si no hay diferencia, el incremento es nulo. E je m p lo :

Ax = 4 - (4) = 4 - 4

=0

Cap ítulo 13 Integral definida

El concepto anterior se citó porque nos permitirá, en parte, resolver problemas que se plantean con la suma de Riemann. Observa la partición que se hizo en el intervalo [a, b\ en subintervalos; cuando el número de éstos tiende a infinito, la norma de partición tiende a cero. n—>©o O implica ||A||—>0 Con la suma de Riemann se plantean problemas como el siguiente: E je m p lo :

Si f ( x ) = 10 - x2, calcular la suma de Riemann Rp de/ donde p es la partición de

' 1 9 4 4 1

en cuatro subintervalos determinados por:

, 3 7 9 * = 1, x = - , x = - , x = -

SI W = -,W = -,W = -, W =2 1 2 2 4 3 4 4 Son cuatro rectángulos cuyas áreas son los términos de la suma de Riemann. Rp = i f = f ( ^ ) Ajc, = f ( W i)Axl+ f( W 2)Ax2+ f( W 3)Axi + f( W 4)Ax4 S o lu ció n :

Para expresar el segundo factor de cada término de la expresión anterior debes recordar lo que analizamos sobre incremento de la variable. En caso de que tengas algún problema, puedes expresar los valores en la recta numérica. Sustituimos los valores: A f c\ 1 -1 + / 1 -1 Rp = f 4 2 v2,

7_3 +/

4

2

O p e ra c io n e s:

Con los valores de w v w2, wy w4 señalados y sustituyendo en: /(x )= 1 0 -x 2 'i '

=

V2 y

/

5

39

10V2 y

\ =

135

10-

16

V4 y

111

= 10V4 y

4

V4 y

/ ( 2) = 10 - (2)2= 6

16

9_7 -/(2 )

4

4

(1)

205

206

Cálculo integral

Para calcular el área de la región entre la curva y el eje de las x se sustituye en (1): Rp =

' 39' Í 3 l — ,

+

4

117 16

( 135'l ----------v

1 6

—

+

—

—

+ 6 Í —O

12J

1 16 J

y

135 111 „ + -----+ — + 3 32 64

468 + 270 + 111 + 192 64 1041 64 = 16— 64 Cada segmento unidad de la gráfica en el eje * se hizo de dos centímetros para facilitar la localización de los puntos. 10

Sobre el eje de las x se marcaron los valores: 7 K = 2 - fV. = 4 ’^ ’4 ^ = 2 Para trazar la gráfica de f ( x ) = 10 - x 2, la evaluamos para x = 0, 1, 2, 3 Tabulación: X

0

1

2

3

y

10

9

6

1

Observa que los puntos w,, wr wv w4 están sobre el eje de las x. A partir de estos puntos se trazan las coordenadas con relación al eje de las y cuyos valores ya se calcularon: = 2 ? = 92 4 4 135

1 W2 X,

2 w.

v4y

16

,_z_ ' 16

( n\

111

6 15

V^ y

16 ”

16

*4

/(2 ) = 6

La integral definida como límite de sumas de Riemann A continuación se expresa otra definición de la integral definida, ahora como un límite de sumas de Riemann. Sea/ una función definida en un intervalo cerrado [a, b] y si el límite de la suma de Riemann existe, entonces se dice que/ es integrable en ese intervalo y se expresa así:


i f e S / ( ^ ) A xi = f j { x ) dx • ■ 1=1 El proceso de obtener el número representado por el límite señalado se le llama ca lcu lar la integral.

Si una función / e s continua en un intervalo cerrado [a, b] entonces / siempre es integrable en [a, b\ Al usar el intervalo [a, b] se acepta que a < b. De no ser así, a > b queda:

Si el extremo inferior de integración es igual al extremo superior, entonces:

Procedimiento para calcular una integral definida A. Integrar la expresión diferencial dada. B . Sustituir en el resultado obtenido (integral indefinida) inicialmente con el valor del extremo superior, a continuación con el inferior, y se resta el segundo resultado del primero.

C . No es necesario tomar en cuenta la constante de integración porque siempre se cancela en la sustracción. E je m p lo s :

■ 1. Jf ]4 2 x dx =

2I = 42 - l 2 = 15 u2 N ota: La expresión x 21* es igual [ x 2 ] . Nosotros usaremos la de la línea vertical.

■ 2. ^ x 2dx =

=

I5 3 I'

—

=^ - - X 3 3 125

1

3

3

207

I

Cálculo integral

124

■3 .

í x 3dx = Jo I2 4 '0

=—

~ 4

4

_ 16_0 ~ 4~4 = 4 u2

■4.

f 2cosxctx=

Jo

= senx

= sen

n

senO

2 =

1-0

= 1 u2

■5

fK sen xd x = Jo = -co sx

Io

= -e o s n - (-e o s 0)

= - ( l ) + (l) = 1+ 1 = 2 u2

■ 6.

re dx — = Jl V = L (x) = L ( e ) - L ( 1) = 1-0

= 1 u2

C ap ítulo IB Integral definida

i7. f tfx* tdx = J-2 f° ~

= j

2x 3dx

3/

2

0

= - x \ J x \_2

= 0 - f ( - 2 ) < / ( - 2 )-

Las integrales definidas de funciones discontinuas para algunos valores en [a, b] en ocasiones existen y en otras no. Todo depende de la naturaleza de la discontinuidad.

Propiedades de la integral definida A. Si / es integrable en [a, b] y k es un número real cualquiera, entonces k f es integrable en [a, b\ J kf[x}ckc = k ^ f ^ x ^ d x Si se cita, un factor constante en el integrando se puede extraer del signo de integral. B. La integral definida de una suma (o resta) de funciones es la suma (o resta) de las integrales definidas de las funciones. \ b[ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = \ jb ( x ) d x ± \ jb{ x ) d x C. Si / y g son integrables en [a, b] y f( x ) < g(x) para toda x en el intervalo, entonces: \ j ( x ) d x < \ ai g ( x ) d x Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades A y B antes señaladas. E je m p lo s : ■ 1*

( _ * 2 + 5x - 4 j

dx = (•2 _

j»2

<»2

= —J x dx + 5y x d x - A y dx Integramos por separado cada integral:

Cálculo integral

"4 0 r 3^1 f2 x 2 l2 x d x = 5 -— = 5 =5 J1 2 11 ,2 " 2 ;

15 2

- 4 J 2dx = -4jc| * = - 4 ( 2 - 1) = - 4 ( l ) = - 4 Por tanto, J ( - x 2 + 5 x -4 )¿ /x = - J x 2t/x + 5 j) x t/x - 4 ^ dx = - - +— -4 3 2 -1 4 + 4 5 - 2 4

7 2 = —«" 6 2. J ^3x2 - 4x +1 j dx = = 3 Í x 2¿ /x - 4 Í x d x + lf dx Jo

Jo

Jo

Integramos por separado cada integral: 3

Jo

X3

= x 3| = 2 7 - 0 = 27w2

II

„

II UJ

<•3

$

210

3

O

- 4 í x£¿c=—4 — I = —2x21 = - 1 8 - 0 = -1 8 « 2 Jo 2 'o 'o 1 í dx = x| = 3u2 Jo

lo

Por tanto, (3x2- 4x +1 )dx = 3 jo x 2dx - 4 ^ xdx +1

dx

= ( 2 7 - 1 8 + 3) u2 = 12 u2

■3 .

J ( x2_ 2*) dx = =

f ** 2 f ** x ' d x - 2J x¿/x

Integramos por separado cada integral: r« x 3|6 216 27 2 x dx = — = -------------= 7 2 - 9 = 63w J3 3 h 3 3 - 2 j 6xrfr = - x 2|‘ = - ( 3 6 - 9 ) = - 2 7 m2

C apítulo 13 Integral definida

Por tanto: J ( x 2- 2x^dx =

x 2d x - 2 J xdx

= 6 3 -2 7 = 36 u2

Integrales definidas por cam bio de variable (cálculo de nuevos extremos) Cuando una función u = g(x) tiene derivada continua en el intervalo [a, b] y /tie n e una integral indefinida sobre el recorrido de g, entonces:

De la fórmula anterior, obtenemos g(x) = u y g'(Y) dx = du. Por lo que para aplicarla debemos identificar u y calcular su diferencial. Ejemplos:

Efectuar un cambio de variable en las integrales siguientes:

Si escribimos: u = x 2+ 1 du = 2x dx Cambiamos los extremos superior e inferior Extremo superior: Cuando x = 2 U = X2 + 1 u = 22 + 1 u=5 Extremo inferior: Cuando x = 0 u = x2 + 1 u = O2 + 1 U— \

Y sustituimos: Jo2* ( v + i ) d x =

211

212

= — [ id du 2 J<

= l M |5 2 4 I' 1

_ 1 f 625

r

4/~ 2

2\ 4

1 " 624 ^ 2l“

J

= 78 u2 ■ 2. £ (6x + l)^3x2+ x ) dx Escribimos: u = 3x2+ x du = (6x +1 )dx Cambiamos los extremos superior e inferior: Extremo superior: Cuando x = 3 u = 3(3)2 + 3 u = 27 + 3 « = 30 Extremo inferior: Cuando x = 0 u = 3(0)2 + 0 u =0 Sustituimos: J( (óx + 1 ^ 2x J + x j dx = ¡•3°

=

Jo

u du

" T ío _ K _ o 3

3

= 9000 u2

C ap ítulo 13 Integral definida

»

2 (x + l)¿/x

■ 3.

2y¡x2 + 2x Escribimos: u = x 2+ 2x du = (2x +2 )dx du = 2(x + 1 )dx Cambiamos los extremos superior e inferior: Extremo superior: Cuando x = 2 u = (2)2 + 2(2) «=4+4 u=8 Extremo inferior: Cuando x = 0 u = (O)2 + 2(0) u=0 Sustituimos: /.

2 (x + l)¿ /x

^ 2Vx2 + 2 x 1 «22^X + lj t/x 2*'° 2\Jx2 + 2 x _ 1 i-» du ~ 2 '«2^7,

= \m = (V 8 -V o )/2 = VzM2 En algunos casos al tratar de resolver integrales definidas por sustitución, sucede que el extremo superior de la variable u resulta menor que el extremo inferior. Si esto llega a suceder, no se deben cambiar los extremos, únicamente se debe calcular la operación como en los ejemplos anteriores. N ota:

213

214

Cálculo integral


Calcula el valor de las integrales definidas. f3

1.

xdx

Sol. Ou

2.

xdx

S o l.

3.

(x 3 + x ^ d x

. 21 2 Sol.— u 4

4. | \ 3 x ( d x + v 3 )dx

Sol. $y¡3 + l 6u~

re ax dx 5- í ~

Sol. 1u~

6

. Sol.

j x ax

15 2 u~ 2

Sol.—<Í4u~ 5

8. J ^ v xdx

. 16 2 Sol.— u 3

9. Jn2cosxc/x

Sol. —u2 2

1 0.

II.

15 , ir i

J ^2x + 3) dx

13 , Sol. — 3

Calcula el valor de las sumas de Riemann i. v M 7=1

2.

2

==

X y+1=

So/. 65

2

Sol. 18

7=2

3‘ ¿ ( 3 ^ + 2 ) = k=2

S o l.

50

Capítulo 13 integral definida

III.

Expresa las siguientes sumas con notación sigma. 1.

2.

IV.

3 1+1

1-

+

3 1+2

+

3 1+3

+ ... + -

1-

3

Sol. X

1+ 6

+ ...+

1-

So/. X

+ /'

1-

Resuelve el siguiente problema: 1.

Si f ( x ) = x3, calcula la suma de Riemann Rp d e f ( x ) donde p es la partición de (-2 , 4) en cuatro subintervalos determinados por: x0 = - 2 ,x , = 0, x2= 1, x3= 3, x4= 4 Si la función toma valores en: Wt = - 1 , W2 = 1, W3 = 2, W4 = 4

Sol. 79 ir

Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas Teorema fundam ental del cálculo Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces / es siempre integrable en [a, b]: El teorema fundamental del cálculo establece que si una función/ es continua en el intervalo [a, tí], entonces:

Conceptos clave

^ f{x)d x = F [b )~ F [a )

Fu n ció n co ntinu a b

donde F es cualquier función tal que F (x ) = J f ( x ) d x para toda x en [a, b].

Áreas Por el teorema fundamental de cálculo sabemos que si / es una función continua en b

el intervalo [a, b], entonces existe la integral definida J f ( x ) d x . El resultado de esta integral es igual al área bajo la curva /( x ) representada en el plano. E je m p lo s :

El segmento unidad en que se dividirán los ejes cartesianos para las gráficas de las áreas de los ejercicios siguientes es de 0.5 cm, excepto que se indique una magnitud diferente. ■ 1. Calcula el área limitada por la gráfica d e y = /(x ) = - x2 + 2x + 3, el eje de las x y las líneas verticales x = 0 y x = 2. Traza además la gráfica. Área =

( - x 2 + 2 x + 3 )dx

= Ji o - x 2dx + 2 Jo [ xdx+3 Jo I dx Integramos por separado: 23 O3 — Jo

2 í xdx = J°

O 2

3 0= ' T +T = _ 3k 2x2

= 22 -O 2 = 4 u 2 o

2 3 í dx = 3x jo Por tanto:

= 3 (2 )-3 (0 ) = 6«2 o

o

x 2 + 2 x + 3 \ d x = ----- 1-4+6 ’ 3 -8 + 1 2 + 1 8 22

=—u 3

2

Para trazar las gráficas se calculan los puntos de intersección de la curva con el eje de las x, haciendo y = 0 y resolviendo para x: - x2 + 2x + 3 = 0 - 1 (- x2 + 2x + 3) = -1(0) x2 —2x —3 —0 Factorizamos para obtener las raíces: x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) ( x - 3 ) ( x + 1) = 0 x- 3=0 Xi = 3

x + 1= 0 x2 = - i

Los puntos de intersección son (3, 0), (-1 , 0) N ota: También puedes calcular las raíces de la ecuación utilizando la fórmula general.

Recuerda que toda ecuación de segundo grado representa una parábola. En este caso como la variable que está al cuadrado es x, la parábola es vertical. La ecuación de la parábola cuando su eje es paralelo al eje de las

y es: (x —h)2 = 4p ( y - k) Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola: - x 2 + 2x + 3 = y Se disponen los términos dejando espacio para completar el cuadrado: - x 2 + 2x + 3 - y Multiplicamos la ecuación por (—1): x2 - 2x —3 = - y x2 —2x = —y + 3 x2- 2 x + l = - y + 3 + 1 Factorizamos los dos miembros de la ecuación: (x - l) 2 = - (y - 4) Las coordenadas del vértice son (1,4). Tabulamos: y = - x 2 + 2x + 3

C ap ítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas

X

0

i

2

y

3

4

3

f { x ) = - x 2 + 2x + 3 /(O ) = -(O)2 + 2(0) + 3 = 3 / ( l ) = - (1)2 + 2(1) + 3 = 4 / ( 2 ) = ~ (2)2 + 2(2) + 3 = 3 1 2.

Calcula el área limitada p o r/(x ) = 4, el eje x, y las líneas verticales x = 5 y x = 2. Traza además la gráfica. r5 Area = J 4 dx

=4 j > = 4x15 = 4 (5 )-4 (2 ) = 12u2 r5 La integral definida J 4 dx corresponde al área del rectángulo, que es una figura geométrica sencilla. Por ello, podemos comprobar el resultado obtenido aplicando la fórmula de su área. A = bh A = 3(4) = 12w2 ■ 3. Determina el área de la región comprendida entre y = x + 3, el eje de las

x, y las líneas verticales x = 0, x = 4. Traza además la gráfica. ' r Area = (x + 3Wx Jo

,4

4f

= 1 x dx + 3 1dx o Integramos por separado: ¡ 4x d x = ^ Jo 2

3 í dx = 3x jo

r_

(r

2

2

= 3(4)-3(0) = 12w2

Por tanto, J o4(x +3)¿& = 8+12 = 20 u2

219

220

Cálculo integral

Tabulamos: X

i

4

y

4

7

La integral definida

j" ^ ( x + 3 )¿ /x

corresponde al área de la región de un

trapezoide de altura 4 y bases paralelas de longitudes

3

y 7. Podemos

comprobar el resultado obtenido aplicando la fórmula de su área. A = —h(a+b) 2 = -(4 )(3 + 7 ) = 20 u2 4 . Calcula el área de la región comprendida por la gráfica de x = -y 2 + y + 12

con el eje de las y a = 0, b = 4. El intervalo [a, b\ está en el eje de las y. Área Jo ( - y 2 +y +12} dy Integramos por separado:

\ l - y 2< i y = - \y 2< i y = ~

2

12\\l
43 O3 = - ^ í u2 ________ 3 3 3

2

= 12(4)-12(0) = 48w2

Por lo tanto, 64 Jo4( - y 2+ y + 1 2 ) jy = - — + 8 + 4 8 3 -6 4 + 2 4 + 1 4 4 104 Para trazar la gráfica se calculan los puntos de intersección de la curva con el eje de las y haciendo x = 0 y resolviendo para y: - y 2 + y + 12 = 0 y 2- y - 1 2 = 0 Factorizamos para obtener las raíces: y2 - y - 12 = (y —4 )(y + 3) y- 4=0 y, = 4

y+3=0

y, = - 3

Cap ítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas

221

Los puntos de intersección son (0, 4) (0, -3 ). La ecuación de la parábola cuando su eje es paralelo al eje de las x es: (y - k)2 = 4p (x + h) Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola - y 2 + y +12 = x Se disponen los términos dejando espacio para completar el cuadrado: - y 2+ y + \ 2 = x y 2- y - 12 = - x y 2 - y = - x + 12 2 1 1 y 2 - y + - = - x + U +4 4 (

1

X—

49

y ~2 x = - y 1 + y + 12

49 1_

Las coordenadas del vértice son

4 ’2

Tabulamos: x = - y 2+ y + 12

y

-2

-1

2

3

X

6

10

10

6

f ( y ) = - f + y + 12 / ( - 2 ) = - ( - 2 ) 2 - 2 + 12 = 6 / ( - ! ) = - ( - l ) 2- 1 + 12= 10 / ( 2 ) = - (2 )2 + 2 + 1 2 = 1 0 / ( 3 ) = - (3 )2 + 3 + 12 = 6 ■ 5. Calcula el área de la región comprendida por la curva de f ( y ) = y 3 con el

3 eje de las y entre y = 0, y = — . Traza además la gráfica.

222

Cálculo integral

Tabulamos: x =y3

0 0

y X

2 8

1 1

El segmento unidad es de 0.8 cm x=y3

f(y )= y 3 / ( 0) = 0 / ( 1 ) = 1 3= 1 /( 2 ) = 23 = 8

■ 6. Calcula el área de la región comprendida por la gráfica de /( x ) = x - 4 con el eje de las x entre x = -3 , x = -1 . Traza además la gráfica. Área = J* 1( x - 4 )dx = f xdx-4 i J -3

J -3

dx

Integramos por separado: JJ -i " 'x d x = — o -4 J

2

2

2

2

dx = -4 x |" ‘ = —4(—1) —[ —4(—3)] = 4 - 1 2 = - S u 2

Por tanto, |

(x - 4) Jx = - 4 - 8 = | - 12| = 12 u2

El resultado es negativo porque el área está por debajo del eje de las x Tabulamos: y =x - 4 -►x

X

0

2

y

-4

-2

/( x ) = x - 4 /(O ) = 0 - 4 = - 4 /( 2 ) = 2 - 4 = - 2 ■ 7. Calcula el área de la región que se indica en la gráfica.

S iy = 9 - x 2


Como la variable independiente es x, los límites de la integral serán en x. Área = J 0 (9 - x 2)dx = 9 í

Jo

d x - V x 2dx Jo

Integramos por separado: 9 J 3dx = 9x I3 = 9(3) - 9(0) = 27 u2 '

0

lo

X3 - V , x~ax x 2dx-= - — J n 3

-~ 9 u V3 /

Por tanto, y { 9 - x 2)d x = 2 1 - 9 = 18w2 8. Calcula el área de la región que se indica en la gráfica. Si /(x ) = sen x Como la variable independiente es x los límites de la integral serán en x Área =

2 sen x dx

ji

= - cosx = -e o s

(-e o s 0) 2

=

0+1

= lw2 El segmento unidad es de 1 cm 9.

Calcula el área de la región que se indica. S i/(y ) = O - 2)2 Como la variable independiente e s^, los límites de la integral serán en y. f(y ) = ( y - 2 f —y ^ —4y + 4 Área

= J o' (y 2 - 4 y + 4 ) d y = ¡'„y2d y - 4 ¡ ' ¡y d y + 4¡'[idy

Integramos por separado:

223

224

Cálculo integral

4 j o14 ’ = 4 v [ = + 4 (l)-4 (0 ) = 4«2 Por tanto, J 0‘( / - 4 v + 4 ) A = 1 - 2 + 4 1- 6+ 12

7 2 = —u 3

Áreas entre dos curvas en un intervalo En general se procede en forma semejante a como se hizo al calcular el área bajo la curva en un intervalo. Si f ( x ) y g(x) son dos funciones continuas definidas para x en un intervalo [a, b] y aceptando que: /( x ) > g (x ) y que los extremos del intervalo sean a < x < b . El área de la región entre las rectas x = a, x = b las dos curvas están dadas por: Á rea = J V (x) d x - j * g{x) dx = J j / ( x ) - g ( x ) ] ¿ / x

y y=Ax)

Se presentan los casos siguientes: A.

y= g (x) 0

x=a

Si una de las curvas está por encima del eje de las x y otra está por debajo. j ^ f ( x ) dx es el área por debajo de f{ x ) y por encima del eje x.

x=

- j g(x) dx es el área entre el eje x y g(x). * a

Se suman para obtener el área de las curvas. E je m p lo :

■ 1. Determina el área de la región limitada por las gráficas de y, = x2 + 2, y 2 = - x + 1, con las líneas verticales x = 1 y x = 2. Primero calculamos las áreas generadas por y, y y 2 J | {x2 + 2 ) dx= \ ~x2 d x + l \ ~ d x Integramos por separado"3 2 \ 2x 2dx = —

23

l3

7'

3

3

3

2 2 J dx = 2x , = 4 - 2 = 2 u2 \ 2{x1+ 2 ) d x = -1+ 2 =1 —1u2' 3

C apítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas

13

— u es el área limitada por la cu rv a;’= x + 2; lasrectasx = 1 y x = 2 y el eje de lasx. El signo positivo del área significa que la curva en el intervalo [1,2] está por encima del eje de las x. (—x + \ ) d x =

—x dx + J | dx

Integramos por separado: + - =— u v

y

2

2

í dx = x| = 2 - 1 = lzr Ji h Por tanto,

2 —u 2 El signo negativo del área significa que la recta y = - x + 1 y el eje de las x en el intervalo [1,2] está por debajo de las x. Para calcular el área entre la cu rv a/(x ) = x2 + 2 y la recta g(x) = - x + 1 y el eje de las x en el intervalo [1, 2] es necesario determinar cuál de ellas está por encima de la otra. Para ello podem os trazar las gráficas y observar o aplicar las propiedades de la “desigualdad” y determinar si/(x ) > g (x ) en cualquier x del intervalo citado. Como se hará a continuación x2 + 2 > - x + 1 x2 + 2 + x - 1 > 0 x2 + x + 1 > 0 Si a la desigualdad resultante le asignamos cualquier valor a las x del intervalo [1,2], el resultado es positivo; por ello aceptamos que en efecto/(x) > g(x). Por tanto, el área entre estas dos funciones en el intervalo es: / \ 2x f { x ) d x - \ 2x g {x )d x = y 13

1

3

2

6 Trazo de las gráficas Tabulamos: y = x2 + 2

- i

225

226

Cálculo integral

y

-i

0

1

2

*■>

2

3

6

X

3

f ( x ) = x 2+ 2 /(l) = 1 + 2 = 3 /(O ) = 0 + 2 = 2 /( ! ) = 1+ 2 = 3 /( 2 ) = 4 + 2 = 6 Tabulando: v = —x + 1 -+ x

X

0

2

y

i

-1

g (x ) = - x + 1 g { 0 )= 1 &(2) = - 2 + 1 = - 1 C o n clu sió n

El problema principal para aplicar la fórmula para calcular el área de la región entre dos curvas consiste en verificar cuál de las dos es mayor que la otra en todo el intervalo. Para resolverlo, podemos trazar previamente las gráficas de las funciones y decidir aplicar o no las propiedades de la “desigualdad” , como se hizo en este ejemplo. Una vez que esto ha sido determinado, se procede a aplicar el procedimiento señalado. B. Área de una región situada entre dos curvas que se intersecan en dos puntos. E je m p lo :

■ 1. Determina el área de la región limitada por las curvas y = x 2, y = 3x entre las líneas verticales jc = 0 y x = 2 Como ya se citó, para determinar qué función está por encima de la otra trazamos sus gráficas, o bien, si suponemos de antemano que una de ellas es mayor o igual a la otra en el intervalo, procedemos a verificar si la desigualdad es cierta para todas las x del intervalo. Digamos que 3x > x 2 en el intervalo [0, 2]. Para comprobar la aseveración dividimos ambos miembros entre x que es una de las propiedades de la “desigualdad”

i

“7 |

3x > . r *4

x

x

3>x Podemos probar con cualquier valor de x en el intervalo [0, 2]; por ejemplo:

Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas

=>

3> 0

=>

3> — 2

x=1

=>

3> 1

x=2

=>

3> 2

x=0 1 X = —

2

Concluimos señalando que /( x ) = 3x está por encima de g(x) fue necesario cambiar nuestra apreciación ni la función. Trazo de las gráficas Tabulando: y = 3x X

0

i

y

0

3

f ( x ) = 3x /(O ) = 3(0) = 0 / ( l ) = 3(1) = 3 Tabulamos: y = x2 X

0

i

2

3

4

y

0

i

4

9

16

g (x ) = x2 g ( 0) = 0 g (l)= l g (2 ) = 22 = 4 g (3 ) = 32 = 9 g (4 ) = 42 = 16 Área

= /^ [/W -g íx )]^ = J o (3x - x 2) d x = J o 3x d x —


x 2dx

x2 que no

Cálculo integral

Por tanto, f 2

J°

10 2 ( 3 x - x 2 w)dx = a6 —^ = — u 3 3

■ 2. Calcula el área de la región limitada por las curvas y 2 = 9x y y = 3x Para determinar el intervalo en que estas curvas se intersecan, es necesario establecer un sistema de ecuaciones f = 9x

(1)

y = 3*

(2)

Para resolver el sistema de ecuaciones sustituimos (2) en (1): (3x)2 = 9x 9x2 - 9 x = 0 9x(x - 1) = 0 9x = 0

x - 1=0

0

,

X = —

X = 1

9 x =0 El intervalo es [0, 1] Las coordenadas de los puntos de intersección son [0, 0] y [1, 3]. Para determinar cuál de las curvas está por encima trazamos las gráficas. Tabulamos: y = ±J9x x

El segmento unidad es de 1 cm

0

1

0

±3

x

0

1

y

0

3

g(x) = 3x g (0 ) = 0 g ( l ) —3(1) = 3

Capítulo 14 La integral definida en el cálculo de áreas

Como la curva y 2 = 9x está por encima de la recta y = 3x en el intervalo [0, 1]. El área entre ellas es: Área =

J * [ / ( * ) - # ( * ) ] dx

= j*o|3 > /x -3 x j¿/x =

3-s/ xé/x -

J o3xdx


3 j o'Vxt/x = —

3x 3 f xdx = 0 2

= 2 V ?' =[2(l)-o] = 2w i o

=- - 0 =- u ¿ 2 2

Por tanto, J o ^3-n/ x —3xj¿¿c = 2 — = -^-m2

C. Área de una región de curvas que se intersecan en más de dos puntos. Ejemplo:

■ 1. Calcula el área de las regiones limitadas por la curva y = x3 - 4x y la recta y = 5x. Primero necesitamos determinar las regiones limitadas por las curvas a partir de un sistema de ecuaciones. A continuación, tabulamos para obtener algunos puntos, trazar las gráficas y así poder determinar los intervalos. Finalmente, se calculan las áreas y su suma será el resultado. Sistema de ecuaciones y = x3- 4 x

(1)

y = 5x

(2)

Para resolver el sistema de ecuaciones sustituimos (2 ) en (1): 5x —x3 - 4x x3 - 9x = 0 Calculamos las raíces: x(x2 - 9) = 0 X! = 0

x2 - 9 =0 x2 = 9 x = ±V9 x

2

=3

x

3

= -3

230

Cálculo integral

Las coordenadas de los puntos de intersección son: Para xi = O En y = 5x * = 5 (0 ) = 0 [O, 0]

Para x 2 = 3 En y = 5x

y 2= 5(3) = 15 [3, 15] Para x3 = - 3 En_y = 5(x) y 3= 5(—3) = -1 5 [- 3 ,- 1 5 ] Trazo de las gráficas: Tabulamos y = x3 - 4x X

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-1 5

0

3

0

-3

0

15

f{ x ) =x3 - 4x / ( - 3) = (-3 )3 - 4 (-3 ) = -2 7 + 12 = - 15 / ( —2) = (-2 )3 - 4 (-2 ) = - 8 + 8 = 0 / ( - l ) = ( - l ) 3- 4 ( - l ) = - 1 + 4 = 3 x

/ ( 0) = 0 / ( i) = i 3 - 4(1) = 1 - 4 = - 3 / ( 2 ) = 23 - 4(2) = 8 - 8 = 0 / ( 3 ) = 33 - 4(3) = 27 - 12 = 15 Tabulamos: = 5x X

-3

1

y

-1 5

5

/( x ) =5x / ( —3) = 5(—3) = - 1 5 / ( 1 ) = 5(1) = 5


Observamos en la gráfica que hay dos regiones: una en el segundo y tercer cuadrantes, que designamos como R { en el intervalo [-3 , 0] y otra R2 en el primer y cuarto cuadrantes en el intervalo [0, 3]. Sus áreas son y Av respectivamente. En R ] la curva y = x3 - 4x está por encima de y = 5x. Para R, la curva y = 5x está por encima de y = x 3 - 4x El área total entre las dos curvas es: Área total = A ¡ + A 2 Cálculo de las áreas: Área entre y = x 3 - 4x, y = 5x en el intervalo [-3, 0]

= J 3(x3 - 9 x )d x Integramos por separado:

Área

_

81

~

~4

í

8p

\

2 /) 4 4

81 | 81 _ -8 1 + 162 _ 81 —u 1— 2 ~ 4 ~ 4

Área entre y = 5x, y = x 3 - 4x en el intervalo [0, 3]


23

232

Cálculo integral

Área, = * I _ ! I = 1 ^ 1 = ^ " 2 4 4 4 Área total = Área! + Área, _ 81 ~ 4

81 _ 162 4 ~ 4


I.

Calcula las áreas de las regiones que se indican. 1.

y = x 2, y = - x con las líneas verticales x = 1 y x = 3

2.

f { x ) = x 2 - 4 * ,g ( x ) = 0

3

4.

II.

y = x 2, y = 9x

y = x 2, y = x + 2

38 Sol. — u2

Sol. — u1

Sc o.l. 243 u 2

9 o So l.—u~ 2

Resuelve los siguientes problemas: 1.

2 Calcula el área de la región limitada por y = — x 2 + 1 con el eje de la x y por las rectas verticales x = —2 y x = 2. ^

2. Calcula el área de la región limitada por la intersección de y = —x 2+ 2 ,y = x

c . 68 2 Sol. — u 9

Sol. — IT 6

Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes Sólido de revolución S ea/u n a función no negativa en un intervalo cerrado [a, b].

y =/(*)

Si se gira esta región del plano alrededor de cualquiera de los ejes del plano cartesiano o de una recta del plano, al sólido resultante se le conoce como só lid o d e rev o lu ció n y al eje citado como e je de

Conceptos clave Só lido d e revo lu ció n E je d e revo lució n A ran d ela A rco

revo lució n .

L o n g itu d d e un arco

e de revolución

El volumen de un sólido de revolución se puede calcular por el método del disco.

Método del disco para calcular el volumen El caso más sencillo de un sólido de revolución es aquel en que un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados.

Aw

Uno de sus lados es el eje de revolución. Rectángulo donde r es el radio y w es su ancho.

-a-

Cuando gira este rectángulo sobre su eje de revolución, genera un disco cuyo volumen v es: Av = 7tr2 Aw Para calcular el volumen del sólido de revolución procedemos de forma semejante a cuando nos referimos a la interpretación intuitiva del área. Al girar los rectángulos que aparecen en la figura 15.1 alrededor del eje de las x, se obtienen cilindros cuyo volumen v es menor que el volumen del sólido de revolución vs. Si se procede de la misma forma con los rectángulos de la figura 15.2, el volumen del sólido de revolución vs es m enor al volumen de los cilindros v2 Entonces:

v 1< vS< v*2

La diferencia entre v2 v va tendiendo a cero y en el límite, la suma de los volúmenes de los cilindros es igual al volumen del sólido de revolución generado por la función f ( x ) al girar alrededor del eje de las x, que se expresa: N ota: en las integrales de volumen se utiliza dx en lugar de Ax y dx en lugar de Ay.

y=A*)

Aw = Ax Figura 15.1

-+-x

234

Cálculo Integral

A. Cuando el eje de revolución es horizontal Volumen =

J^

tt[

/ ( x)]

dx

v = n \ bf ( x f d x a

x Eje de revolución

B. Cuando el eje de revolución es vertical Volumen = J 7 r[/(.y )] dy v = n \ Jb { y ) 2dy Eje de revolución E je m p lo s:

■ 1. Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la superficie limitada por la curva y = x 2 con el eje de las x, desde el eje de las y hasta la línea vertical x = 2, alrededor del eje de las x. Traza además la gráfica. v = 71 \ f (x)2dx J a

2 dx = n í 2xdx Jo 2

lo

= —(22 -O 2) 2 = 2n u2 Tabulamos: y =x2 X

0

1

2

y

0

1

1.4

f ( x ) = Vx f(x ) =0

/ ( i)=VT=i / ( 2 ) = n/2 = 1.4 Normalmente, para obtener de una integral el volumen de un sólido de revolución, resulta más útil la representación gráfica de la región plana que un dibujo del sólido porque es más fácil localizar el radio en la región plana.

Capítulo 15 La integración definida en el cálculo de volúmenes

235

En el ejemplo anterior el eje de revolución es horizontal, en consecuencia se integra con respecto a x. En el siguiente ejemplo el eje de revolución es vertical, por lo que se integra respecto a y. 2.

Calcula el volumen que genera la región limitada por x = yfy con el eje de las y, las rectas verticales y = 0 y y = 3 si gira alrededor del eje de las y. Traza además la gráfica. v = J n [f(y )]d y

v= i 0 ( J y ) 4 y = jr j y d y

= M 2 lo = —(32 -O 2) 2 9 3 = —TÍU 2 Tabulamos: ny

x =f y y

0

1

2

9

X

0

1

1.4

3

f ( y ) = y¡y

m=o

x

/ ( i) = VT = i / ( 2 ) = 7 2 = 1.41

Sólido de revolución

/ ( 9) = V 9 = 3 3.

Calcula el volumen que genera la región limitada por y = x + 2 y la parábola^ = x2 si gira alrededor del eje de las x. Calculamos los puntos de intersección de estas curvas y = x2 y =x + 2 Por igualación: x 2= x + 2 x 2- x - 2 = 0 Calculamos las raíces:

( 1)

236

Cálculo integral

x2 - x - 2 = (x - 2) (x + 1) x- 2=0 x. = 2 x + 1=0 x2 = - i Sustituimos en (1) y = x2

y = x2

y = {2)2

y = (-l)2

y =4

y =1

Las coordenadas de los puntos de intersección (2, 4), ( - 1, 1) Tabulamos: y =x +2 X

-1

2

T

1

4

/( x ) = x + 2 /(-1 ) = - 1 + 2 = 1 /(2 ) = 2 + 2 = 4 P aray = x2

*• x

X

0

-1

1 .5

2

T

0

1

2 .2 5

4

/( x ) = x2

/ ( 0) = 0 /(-1 )= 1 /(1 -5 ) = (1-5)2 = 2.25 / ( 2) = (2)2 = 4 Primero calculamos el volumen del sólido generado por la recta y = x + 2 entre <7 = -1 y 6 = 2 al girar alrededor del eje de las x que citaremos como v,.

v. = i , * [ / ( * ) ] * = 7 rí

J a

f ( x ) 2dx

= n \ ((x + 2 )2¿/x


= f ( * + 2 ) 3L = | [ ( 2 + 2 ) 3- ( - l + 2)3] = |[ ( 6 4 ) - ( 1 ) ] = —63 3 = 2 \k u 3

A continuación, calculamos el volumen del sólido generado por la parábola y = x2 entre a = -1 y b = 2 al girar alrededor del eje de las x, la citaremos

[ / ( * ) ] dx

v = J ¿

J a

f*

= K J / (x)2dx = k ¡ ^(x2)2dx = n J ^x^ dx X

5

=n— 5 -1 =K

25 5

(-1)5 5

32 1 = K — +5 5 33 3 = — KU 5 Para obtener el volumen de la región “achurada” en la gráfica, del volumen restamos el valor v2. Volumen =

—v2

238

Cálculo Integral

El sólido de revolución con un agujero. El método de las arandelas Una arandela se obtiene haciendo girar un rectángulo alrededor de un eje. Aw

Aw

Eje de revolución

r es el radio exterior r, es el radio interior Volumen de la arandela = 7t[(radio exterior)2 - (radio interior)2] multiplicado por el grueso. En la integración se expresará por Ax o por Ay. Por tanto, se debe restar del volumen generado por la región mayor el volumen que produce la menor de las regiones. v = \ [ n \ _ f ( x ) 2^\d x- \ ba ^ S { x f \ d x Fórmula que se puede expresar en la forma siguiente: v=

* { [/(* > ]“ [g ( * )] 2}¿& E je m p lo s :

■ 1. Calcula el volumen que genera la región limitada por las gráficas de y = x2+ 2 con y = —+ 1, con x = 0, x = 1 si gira alrededor del eje de las x.

v = 71í * { |> (*)] “ [ s ( x ) ] 2} dx

7= 7TJ ' (x2 + 2 )2J0

£+1 v2

dx

x + X+1 = K J ' x* +4x i + 4 J0 4 = 7T¡' J 0

dx

x4 + 4 x 2 + 4 -------- x —1 dx 4

= 7 lJ \ol x4 + — x2 - x + 3

dx


= n — + - x 3- - x 2+3x 5 4 2 = n I+ 1 -I+ 3 5 4 2

4 + 2 5 -1 0 + 6 0

=n

=

-0

20

79

3 KU

20 1 2.

Calcula el volumen que genera la región limitada por y = Vx , el eje de las x y las rectas x = 0, x = 4 si gira alrededor del eje x. v=n

j hf ( x ) 2dx

= n í xdx jo 71

=—X 2

2

= —(4 - 0 ) = 8ku3

1 3.

Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera cuando la región limitada por y = 2 V Jx, el eje de las x y las rectas x = 0, x = 4 gira alrededor del eje x. v= n

í b f (x)2dx

J a

= /rj* |2 V ó x j dx = n J o44(5x)Jx = n i 20x dx Jo = 20;r

í

Jn

xdx

= 107TX2

lo *2 = 10^(4 - 0a2)"i = 160;rw3

239

240

Cálculo integral

Volumen de un sólido cuando el eje de revolución es paralelo al eje de las x o al de las y E je m p lo :

Calcula el volumen del sólido de revolución que se genera cuando la región limitada por y = 4x - x2, el eje x y las rectas x = O, x = 4 gira alrededor de la recta y = 6. Tabulamos: y —4x —x2 X

0

1

2

3

4

y

0

3

4

3

0

/(x ) = 4x - x2

/ ( 0) = 0 / ( l ) = 4(1) - 1 2 = 3 / (2 ) = 4(2) - 2 2 = 4

/ ( 3 ) = 4(3) - 3 2 = 3 / ( 4 ) = 4(4) - 4 2 = O Nota: la región sombreada es la que al girar alrededor d e y = 6 genera el sólido de revolución. Prolongamos los dos lados del rectángulo ABCD hasta el eje de rotación EF. Cuando este rectángulo gira alrededor del eje de rotación, resulta un cilindro cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos A DEF y BCEF al girar con respecto al mismo eje. Se obtiene la diferencia de los volúmenes y se procede como en los ejemplos anteriores. De este modo: v = K \ l t(6)2 - (6 - y ) 2] dx = n J*o [36 —( 3 6 - 1 2 y + y 2)]dx = K V { \ 2 y - y 2)d x Como y = 4x - x2 y sustituyendo en (1): = 7T J J [ 1 2 ( 4 x - x 2 ) - ( 4 x - x 2 ) 2 ]£ / x

=n

[48x - 1 2x2 - (16x2 - 8x3 + x4)] dx

= n J o [48x - 28x2 + 8x3 - x 4] dx

(1)


= Tí

<+0 2 ¿o 3 O — x x + —: 2 3 4

oo = tí 24(4)2 — - (4)3 + V

X

5 4

4

5

/

0

J4 ) 5

( 1792 1024^ = n 3 8 4 - —— + 5 1 2 - — — 3 5 / \ =n

5 7 6 0 -8 9 6 0 + 7 6 8 0 -3 0 7 2

\

15 1408 tt :--------- l 15

Longitud de un arco (curva) Si un lugar geométrico está dado en la forma de una función y = f ( x ) con a < x < b y s i / e s continua en el intervalo [a, b], entonces el lugar geométrico de/ se llama arco . La longitud del arco ab de una curva es, por definición, el límite de la suma de las longitudes de las distintas cuerdas (segmentos) aQx, QXQ,, ..., Qn_{b que une los puntos del arco cuando al número de éstos crece indefinidamente, de manera que la longitud de cada cuerda tiende a cero. Por el teorema de Pitágoras podemos obtener la distancia entre los puntos

8 ,y Q r (Q & ) = W Í +{CQ Íf

O)

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. En consecuencia, podemos obtener la longitud de una curva sumando el conjunto de los puntos entre sí, unidos por segmentos rectos cortos. Si el incremento de una función que se cita en el concepto de la derivada: Se sustituye en (1) y queda: (Q0C) por Ax o dx (CQX) por dy Y la diferencia de la longitud de la curva por ds tenemos por el citado teorema de Pitágoras que ds2 = dx2 + dy2 Como dy =f'(x) dx, queda:

il.y

í Ax ------------------------►x

241

242

Cálculo integral

£/52 = | i + [ / ' ( a: ) ] 2 J ¿ / a:2

ds = ^l+[y*'(jc)] dx La longitud L de una curva es igual a la suma de los segmentos rectos de longitud ds cuando ds tiende a cero. Se expresa así:

E rfí=Z ^ {1+[/'w]"}‘íc En el límite, ds tiende a cero: L = l í m ^ l + [ / ' ( x )]2dx Por lo tanto, la longitud L de un arco de la curva y = /(x ) desde x = a hasta x = b se obtiene con:

Ejemplo:

Calcula la longitud del arco de la curva y = x 2 entre x = 0 y x = 5. Calculamos la derivada de 3

y —x 2 / = / 'w = |* 5 £ = j.y i+ [ /w r *

= í . /1 + —x dx Jo \ 4 9 ^2 = r

1+-X

dx

u = 1+ —x 4

u{x) = 1+ —X 4

du(x) = —dx 4 f

\

V

/

,5 4 L 9 I - 1+ - X Jo 9 4 1

4 f5 -9 JJ o w2 du

2>dx 4


Integram os:

V3 /

Con el valor de u, queda í 27

l+ £* 4 _\ 3

(\

9 1 J 1 + -5 4 27 3

8 1 9 ... 1 ------ J 1 + - 0 L 4 o 2 7 )l

5 y

49 27' v 4

27

49" ¡49 27

9 /V4 (^ \

49

27 vv 4 y, v 2 y, 27 343

8

’ 27

27

335 ’ 27


1.

Calcula el volumen que genera la región limitada por y = 2x - 2 con el eje de las x y las rectas x 1 y x = 4, al girar alrededor del eje x. Traza la gráfica.

Sol. nu 2 2.

Calcula el volumen que se genera al girar la región limitada por y = x2 con el eje x, desde a: = 0 hasta x = 3, alrededor del eje x. Traza la gráfica.

c , 2 4 3 Sol. — - m r3

5

243

244

Cálculo integral

3.

Calcula el volumen que se genera al girar la región limitada por x = y j 2 y - 2 con el eje y = 1, las rectas y = 3 y, alrededor del eje y . Traza la gráfica.

Sol. 47CW3 4.

Calcula el volumen que genera la región limitada por y = 2x y la parábola y = x2 al girar alrededor del eje x. Traza la gráfica.

S o l.^ T tU 3 15

5.

Calcula el volumen que genera la región limitada por las gráficas de y = x + 3 con y = x y las rectas x = l y x = 0a l girar alrededor del eje x. Traza la gráfica.

Sc o il. 4

0 3

m ri

15

6.

Calcula el volumen del sólido generado cuando la región limitada por y = x + 2, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2 giran alrededor de la recta y = 5. Traza la gráfica.

c f 124

Sol. — 3

7.

nu

3

Calcula la longitud del arco de la curva y = 2 x 2 en el intervalo [1,4].

Sol. 14.33 u

,

Formulario

Formulario Integrales

22.

1.

kdx = kx + C

2.

k f( x ) d x = k J f ( x ) + C

i J

7

*7

a '- ir du

23.

~

2a

1+ U

+C

a-u

r= L u+yju2 ±a~ + C

\lu 2 ± i 3.

[/(x)±g(x)]£/x = J f ( x ) d x ± J g{x)dx F ó rm u las d e red u cció n d e in te g rale s con p o te n cia s

4.

u"du = ------ + C , c o n « ^ - l n+ 1

de sen o y co se n o

J sen"x dx = 5.

u 'dx = | — = lh|«| + C = l|m | + C u 11 11

6.

senudu = - c o s u + C

7.

c osudu = SGnu + C

8.

sec u tan u d u = sec u + C sec2 ud u = tan u + C

10.

csc u cot u d u = - csc u + C

11 .

csc2 u du = - c o t u + C

12 .

du r = are sen—+ C l~2 yja —u :

du 1 u „ — , ----- = —are sen —+ C u\]u - a a

15. 16.

Área entre dos curvas

Volumen bajo una curva

du

F = /r } * [ /( * ) J dx •

Volumen entre dos curvas V = 71/ * { [ / ( * ) ! ~ [ s ( x )

eudu = e" + C f \ 1 a 11du = a u+ C ln a / v

•

tanw du = L|secw| + C = —Z.|cosw| + C

18.

co tu du = ¿|senw | + C

19.

sec u du = L | sec u + tan w| + C csc u du = L csc w -c o t w\ + C = - L cscw+cotw + C u —a

21.

u~ —a

u+a

J } dx

Diferencial de una función dy = f \ x ) dx

17.

20.

Area bajo una curva

\\f{x )-g {x )\d x •

14.

Integración por partes

\ bf ( x ) d x = F ( b ) - F ( á ) *a •

13.

n —1\ f „_2 , J sen x dx

| u dv = uv - J v du •

1 u = —are tan —+ C a +u a a

+

f _ . eos" x se n x n - 1 f „_2 , Icos x dx = ----------------- H------- J eos ' x d x n n •

9.

sen"- x eos x

Diferenciales 1.

í/(C)

= 0(¿/x ) = 0

2-

d(x) = \(dx) = dx

3-

d(u + v - w) = d{u)+d(y) —d{w)

4.

d{Cu) = C du

5.

d(uv) = u dv + v du

6.

d(u") = nun~l du

+C

245

246

7.

Cálculo Integral

d

v d u - u dv 3.

1

tan# =

cot# 8 . c/(sen«) = cosw du

4.

tan#

9. d (eos u) = - sen u du 10. d (tan u) = sec2 u du 11.

£/(cotw) = - c s c 2 u du

12 .

d(secu) = tanusecu du

13. d(cscu) = - c o t u c s c u du 14.

15.

¿/(arcsen«)=

^U V Tv du

d(arccosw) = -

y¡\-u 1 16.

1

cot# =

5.

1 sec# = eos#

6.

esc # =

1 sen#

7.

sen2 G = 1 -c o s 2 #

8.

eos2 G = 1 -s e n 2 #

9.

tan2 G = sec2 # - 1

10.

cot 2G = esc2 # —1

11.

sec2 G - 1 + tan2 #

1 2.

esc2 0 = l + cot2#

13.

sen

14.

eos

du

¿/(arctanw) =

1+ u 17.

du d(axccotu) = — 1+ u2

18.

t/(arcsecw) =

du

#=

2/1

1 -c o s 2#

2 l + cos2#

# = -------------

u 'ju 2 + 1 19.

d(arccscu) = -

du uylu2 + 1

Id e n tid a d e s trig o n o m é tricas

1.

sen# =

1

15.

2

sen 2# = 2 sen # eos #

P ro p ie d a d e s d e los log aritm os 1.

\oghAB = \ogb A + \ogb B

A 2■ logt - = \ogt A - \ o g b B

esc# 2.

eos 6 =

1

3.

\ogb A" = n\ogb A

4.

i o g M =^

sec#

En esta tercera edición de Cálculo integral se han incluido dos nuevas secciones de ejercicios: ¡Aplícate! y Ejercicios de repaso, en las cuales se invita al alumno a poner en práctica sus conocimientos teóricos para resolver problemas relacionados con las áreas de administración de proyectos, física, estadística y varias disciplinas más. Ahora incluye un CD en el que los alumnos podrán resolver ejercicios, consultar los términos más importantes de cada capítulo y evaluar su avance en el manejo de fórmulas y planteamientos matemáticos. Cuenta con un OLC (Online Learning Center) www.mhhe.com/bachillerato/ fuenlabradamat3e. En este sitio los estudiantes podrán encontrar un gran número de actividades, proyectos, lecturas y preguntas adicionales. Por su parte, el profesor encontrará la resolución, paso a paso, de todos los problemas de final de capítulo, un banco de reactivos,y presentaciones en PowerPoint. También está disponible un manual para el profesor con estrategias de enseñanza, evaluaciones y las respuestas a todos los problemas del libro. Conoce los títulos de esta serie: • Aritmética y álgebra • Geometría y trigonometría • Geometría analítica • Cálculo diferencial • Cálculo integral • Probabilidad y estadística

Cálculo Integral, 3ra Edición - Samuel Fuenlabrada

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