Libro- Cálculo Integral (Fuenlabrada)

Contenido Capítulo 1.

Diferenciales l. 2. 3. 4. 5.

Consideraciones generales Diferenciales Interpretación geométrica de la diferencial. Fórmulas de diferenciación. . . . . . . . . . . . Diferenciación implícita. . . . . . . . . . . . . . . 6. Diferenciales sucesivas de una función. . .

Capítulo 2.

. . . .

. . . .

..... ..... ..... .....

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . ..

Anttderívada 10 Integral indefinida '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 Fórmulas de derivación ',' ' 12 Conceptos básicos de la integración . . .. 14

Integración de una función compuesta l. Sustitución por cambio de variable 2. Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma

J tan x dx, J cot x dx, J sec x dx, J csc x dx Capítulo 4.

Capítulo 5.

18

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

22

l. Cálculo del valor numérico de la constante C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Significado geométrico de la constante de integración

29 33

Constante de integración

Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas l. Recordatorio de trigonometría 2. Fórmulas de integración de las funciones trígonométrícas directas. 3. Algunos procedimientos de integración de las funciones trtgonométrtcas directas

Capítulo 6.

8

Antiderivadas. Integración indefinida l. 2. 3. 4.

Capítulo 3.

... .... .... ....

1 2 4 6 7

..

35 36 37

Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas inversas l. Fórmulas de integración de funciones trígonométrtcas inversas 2. Algunos procedimientos de integración de las funciones trtgonométrtcas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. El integrando se expresa como la suma de dos cocientes 4. El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el denominador es de la forma ax2 + bx + e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

55 55 57 58

VI

CONTENIDO

Capítulo 7.

Capítulo 8.

Integrales inmediatas. Funciones expeneneíales 'y IO,garítmicas l. Fórmulas de integración exponencial

71

2. Fórmulas de integración Iogarftmíca . '. . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . ..

79

Métodos de integración. Integración de funciones lri,gonometricas Introducción 2. Algunos procedimientos de solución l.

f sen=u cos'tu du Integración de la forma f tan=u sec=u du Integración de la forma f cot=u csc?u du Integración de la forma f sen mu cos nu du

3. Integración de la forma 4. 5. 6.

Capítulo 9.

94

95 95 100 101 103

Métodos de integración. Integración por partes l. Fórmula de integración por partes 2. Procedimiento de integración por partes

111 1i 2

Capítulo 10. Métodos de integración. Integración por 'Sustitución trigonométrica ..Ja2 - X2 = a cos () Desarrollo de la expresión ..Ja2 + X2 = a sec ()

1. Desarrollo de la expresión 2.

3. Desarrollo de la expresión

4. 5. 6. 7.

128 129

..Jx2 - a2 = a

tan () 130 Procedimiento para resolver una integral por sustitución trígonométríca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 El integrando incluye una expresión de la forma ..Ja2 - X2 132 El integrando incluye una expresión de la forma ..Ja2 + X2 133 2 2 El integrando incluye una expresión de la forma ..Jx - a •......... 135

Capítulo 11. Métodos de integración. Integración por fracciones parciales l. Definición 141 2. Caso 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos 143 3. Caso 11. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... 146 4. Caso III. Todos los factores cuadráticos (írreducíbles) del denominador son distintos 148 5. Caso V.Algunos factores cuadrátícos (irreducibles) del denominador se repiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

CONTENIDO

VII

Capítulo 12. Métodos de integración. Integración por raclonallzacíén l. Racíonalízacíón de expresiones que incluyen potencias fraccíonarías p

r .

de a + bx, como (a + bxFi. (a + bx)T 165 2. Racíonalízacíón de expresiones que únicamente incluyen una potencia fraccionaría de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 3. Racíonalízacíón de expresiones que incluyen diferentes potencias a

e

fraccíonarías, como xb. Xd.... . 4. Racíonalízacíón de expresiones queíncluyen una potencia

167.

a

fraccionaria del tipo (ax + b)b 5. Racionalización de expresiones que incluyen funciones racionales de sen u y cos u en el denominador

169 170

Capítulo 13. Integración definida l. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Antecedentes históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Suma de Riemann 184 Propiedades de la suma de Riemann 186 Fórmulas de la suma de Riemann 186 Sumas de Riemann con notación sígma 187 Áreas. (Interpretación íntuítíva) 189 Integración definida como el límite de una suma. (Interpretación intuitiva) 190 Suma de Riemann (continuación) 192 La integración definida como un límite de sumas de Riemann 196 Procedimiento para calcular una integral definida 196 Propiedades de la integral definida 198 Integrales definidas por cambio de variable (cálculo de nuevos extremos) 200

Capítulo 14. La integral definida en el cálculo de áreas l. Teorema fundamental del cálculo 2. Áreas 3. Áreas entre dos curvas en un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . .

206 206 213

Capítulo 15. La integral definida en el cálculo de volúmenes l. Sólido de revolución 2. Método del disco para calcular el volumen 3. El sólido de revolución con un agujero. El método de las arandelas 4. Volumen de un sólido cuando el eje de revolución es paralelo al eje de las x o de las y

223 223 229 231

Capítulo 16. La integral definida Longitud de un arco (curva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233

Diferenciales

1 1. Consideraciones generales El cálculo diferencial nos proporciona una regla general de derivación conocida como la Regla de los cuatro pasos para obtener la derivada de una función sencilla. Con ella, se obtuvieron las fórmulas para derivar todo tipo de funciones. En el cálculo integral no hay una regla general que pueda aplicarse para integrar las diferenciales. En la práctica cada caso necesita un trato especial. La integración es un proceso esencialmente de ensayos, por ello, se darán varias fórmulas y métodos para facilitar su estudio. Los científicos y los matemáticos que usan integrales en su trabajo con frecuencia utilizan tablas de integrales. Muchas de las fórmulas que aparecen en ellas se han obtenido con los métodos de integración que habremos de estudiar. El estudiante no debe usar este tipo de tablas hasta que haya desarrollado suficiente experiencia en los métodos de integración normales. Se aconseja al alumno que no trate simplemente de "mecanizar" los métodos sino que procure entenderlos dentro de la estructura general del cálculo. Es conveniente que resuelva sólo los ejercicios propuestos y los que le señale su profesor. Si tiene dificultad con alguno, insista en obtener la solución; revise la parte teórica y los ejemplos desarrollados para aclarar y afirmar su conocimiento. Consideramos oportuno citar algunos conceptos de René Descartes, quien en uno de sus libros señala: "Separar y jerarquizar las dificultades procediendo mayor cuando se aborda un tema nuevo (...)."

de la menor a la

Efectivamente es recomendable que la enseñanza se haga de lo sencillo a lo complicado; hay profesores que con el deseo de impresionar tratan de enseñar de lo dificil a lo complicado. "Conviene dirigir toda la fuerza del espíritu a las cosas más sencillas

y fáciles de entender y detenerse en ellas largo tiempo hasta acostumbrarse a intuir la verdad con claridad y distinción." Se acepta fácilmente que una vez que se ha entendido un conocimiento o la solución completa de un problema, debe uno practicarlo, trabajando con ese conocimiento el tiempo que sea necesario para dominarlo con claridad; sólo entonces, se podrán resolver otros problemas semejantes un poco más complicados.

1

2

CAPíTULO 1.

Diferenciales

Es conveniente agregar que si el alumno no comprende el desarrollo de un problema y sólo lo repite. caerá en la mecanización que no reporta ningún beneficio. pues por sí sola. la repetición causa entorpecimiento. El estudio de la parte teórica y de los ejercicios de este libro facilitará la solución de los que dicte el profesor y que seguramente propondrá para el examen correspondiente. En el cálculo diferencial una línea. un área. un volumen o cualquier otro cuerpo multidimensional representado por una ecuación, los dividimos infinitesimalmente, es decir, hacemos las divisiones cada vez más pequeñas; en cambio, en el cálculo integral la suma total de éstas se acerca cada vez más al resultado que se desea: una distancia, un área. un volumen o cualquier otro parámetro. El cálculo es una disciplina sencilla en sus conceptos fundamentales pero dificil y compleja en su aplicación. En el libro Matemáticas rv. Cálculo Diferencial. el autor define el concepto de la derivada como: "La derivada de una función con respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable. cuando el incremento de la variable tiende a cero." Se expresa: derivada

= dy =

dx

lím L1 y ó.x->oL1X

cuando el límite de la razón existe, se dice que la función tiene derivada."

I

2. Diferenciales 2.1 Definición La diferencial de unaJunción es el producto de la derivada de laJunción por el incremento de la variable independiente.

Para expresar la diferencial de una función usamos la letra d colocada antes de la función. Ejemplos: l. Sea la función y = x4 Su primera derivada es y' = 4x3 Su diferencial se expresa dy = 4x3 Llx 2. Calcular la diferencial de la función

y = 3x2 para x = 4 Yel Sx = 0.2 yl

I

Fuenlabrada.

=

Sol. 4.8

6x

Samuel. Matemáticas N. Cálculo Diferencial McGraw-Hfll, México. 1995. pág. 52.

3

Diferenciales

Sustituyendo

=

d(3x2)

6(4)(0.2)

=

4.8

'2.2 P,ara expresar la derlvada de .una función podemos utilizar 'Cualquiera de 'las formas siguientes: DJ(x)

Caucny

]'(x)

Lagrange

y'

Lagrange Leíbnítz. (Se lee "derivada de y con respecto a

x".)

Por lo tanto: derivada: dy dx

lím

=

~y

= DJ(x) = j'(x)

= y'

!1x~O~x

Sea la función y

= J(x)

La primera derivada se expresa dy =j'(x) dx

Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos: dy =j'(x)

dx

Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta se lee: .la diferencial de una funciori es igual al producto .de la derivada por la diferenc"ial de 'la variable tndependletiie. Ejemplos:

= 5x3 - x + 2

1. Calcular la diferencial de y

=

y

5x3

=

y'

-

15x2

d(5x3

-

X

X

+2

-

1

+

2)

=

2. Calcular la diferencial de y

=

y

Y d

,

Sol. (15x2

(l5x2

= .J 1 -

-

1) dx

1) dx

3x Sol. _

.Jl - 3x

= -

-

3dx 2.Jl - 3x

3 2.Jl - 3x

(-V 1 - 3x) = _

3dx 2.Jl - 3x

Observa: Una vez señalada la función de la que hay que obtener su diferencial, inicialmente se debe calcular su primera derivada.

4

CAPíTULO 1.

Diferenciales

3. Interpretación geométrica de la diferencial B

::- -ld~ a

,~y ,

~- - -:6 - - ,, I

I

I I

,

I

I

I

, I

I

x

En la gráfica de la función y

CD

=

'E

Sx

'F x + t.x

= f(x) observamos:

t!.y

En el triángulo rectángulo ADB tan a

BD

=-

AD

BD

=

AD tan a

=

t!.xf(x)

(1)

Al considerar la definición inicial de la diferencial, tenemos dy

= j'(x)

dy

= BD

~

de donde en (1)

CONCLUSIÓN:

La diferencial de una función y = flx) en un punto es el incremento de la tangente a la curva en ese punto. En consecuencia, observando la figura anterior tenemos: t!.y

=

CD; dy

pequeño.

= BD serán aproximadamente iguales cuando

Sx

=

AD sea muy

Interpretación

geométrica

de la diferencial

5

Ejemplo: Calcular la diferencial de la función y y

=

5x2 para x

= 4 Yel Sx = 0.2

5x2

=

y'

=

Sol. 8.0

10x

Sustituyendo

= 10(4)(0.2) = 8.0

d(5x2)

3.1 Problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función Ejemplos: 1. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5 m,

si éste recibe un aumento de 0.002 m. Fórmula del área de un cuadrado

Sol. 0.020 m2

1\ = 12

ó.1 = 0.002 m dA

=

2/· di

dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2

Incremento

= 0.020 m2

2. Obtener el valor aproximado del incremento del volumen de un cubo de lado de 2 m al aumentar el lado 0.003 m. Fórmula del volumen de un cubo v

Sol.

= 13

1= 2

m

ó.1 = 0.003 m dv

= 3/2

dv

=

3(2)2 (0.003)

Incremento

=

0.036 dm"

= 0.036 dm"

0.036 dm"

6

CAPíTULO 1. Diferenciales

= 6, calcular el valor aproximado de ~38

3. Si ~36

FUnción y

= rx

Sol. 6.166

= 38 - 36 = 2

fue

= rx

y

= 2~ = 2~

dy

=

i=

0.166

.J38 = 6 + 0.166 = 6.166

4. Fórmulas de diferenciación Considerando que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente aceptamos que a cada fórmula de derivación desarrollada en el curso de cálculo diferencial le corresponde una diferenciación, que citamos enseguida. En las fórmulas que siguen u y v son funciones de x, .c~s. una constante, . .

y n un número natural.

1. d(c)

=

O (dx)

=

O

2. d(x)

=

1 (dx)

=

dx

3. d(u

+ v -

=

du

w)

4. d(cu)

=

e du

5. d(uv)

=

udv

6. d(un)

=

nun-1 du

7. d(~)

=

vdu- udv v2

v

+ dv - dw

+ vdu

8. d(sen u)

= cos

9. d(cos u)

= - sen

u du

10. d(tan u)

= sec-

11. d(cot u)

= - ese-

12. d(sec u)

= tan

u du

u du U

du

u sec u du

Diferenciación

13. d(csc u)

= - cot u ese u

14. d(arc sen u)

=

implícita

7

du

du ,,1 - u2

--;_I=~~

En igual forma para cada una de las demás fórmulas deducidas en el curso citado. Ejemplo: Calcular d( 5X2 - 2x + 4) d(5x2 - 2x

+

4)

=

d(5x2) - d(2x)

+

d(4)

Sol. (lOx - 2) dx

= 10x dx - 2 dx

=

(lOx - 2) dx

5. Diferenciación implícita Hecha la derivación se despeja dy Ejemplo: Diferenciar x - 5y2

=

dx Sol. --10y + 2

2y

x - 5y2 - 2y

=

O

d

(x - 5y2 - 2y) dx

d(O) = -dx

1 - 10y dy - 2 dy dx

dx

= O

dy -(-10y-2)=-1 dx

~

Como 1(dx)

(lOy

=

+

2)

=

1

dx dx dy =--lOy + 2

8

CAPíTULO 1.

Diferenciales

6. Diferenciales sucesivas de una función La segunda diferencial de una función es la diferencial de la primera diferencial. considerando para dx un valor fijo. dy =fix) d2y

= f'(x)

dx d2x

La tercera diferencial resulta igual a la diferencial de la segunda diferencial (si dx es constante) y así. sucesivamente.

Ejemplo: Calcular la tercera diferencial de y

=

4.0 - 5x2 -

d(4.0

- 5X2 -

1)

=

(20.0 -

lOx) dx

d2(4.0

- 5X2 -

1)

=

d[(20.0

-

= (80.03 d3(4x5

-

5x2 -

1)

=

1

10x) dx]

10) dx

d[(80.03 -

10) d2x]

Ejercicio 1 Expresar una de las definiciones de diferencial. Calcular las diferenciales de las funciones siguientes: l.

Y

=

5X2

2. y

=

3x4

3. Y

= "3 -

4. y=

Sol. 10x dx 5x3

-

5x

~(x - 4)2

+ 4x - 1

Sol. (12x3 - 15x2 + 4) dx Sol. Sol.

5dx

2"3 - 5x 2dx

3 ~x-

5. y = sen-

3 x

7. y = cos-

=

Sol. Sol. (2 sec- 2x) dx

6. y=tan2x

8. fix)

4

3 x 3x

F=x

3 (3 sen -) dx

Sol. Sol.

x x2

3(2 - x) dx 2...J(1- X)3

Diferenciales

9.

de una función

Sol. (secéx - 2) dx

y=tanx-2x x a

10.

y

=

are sen-

11.

y

=

are cot X2

12.

y

= -attg- cos -

arl:.

sucesivas

x 3

13. Calcular el valor aproximado de

Sol.

dx ..Ja2- x2

Sol.

2xdx ----

Sol.

-

1+.0

dx ..J9-x2

..J39 si -J36 = 6

14. Obtener el valor aproximado de 4129 si 4125

=

Sol. 6.25

5

Sol. 5.053

15. Calcular el incremento del área de un cuadrado de lado 7 m al aumentar el lado 3 mm.

Sol. 0.042

16. Calcular el incremento aproximado del volumen de un cubo de lado 5.3 m al aumentar el lado 0.007 m.

Sol. 0.589 m

17. Obtener el valor aproXimado en el aumento que tendrá el área de una esfera de 8 cm de radio cuando el radio aumenta 3 cm.

Sol. 6.02 cm

.-

, v

S

9

2

Antiderivadas. Integración indefinida

1. Antiderivada La adición y la sustracción son operaciones inversas al igual que la división y la multiplicación y lo mismo puede decirse de elevar una potencia y extraer la raíz correspondiente. En el cálculo diferencial se estudia el problema para obtener la derivadaj'(x) de una funciónf(x). Ahora nos ocuparemos del problema inverso, es decir, dada la derivadaf'(x) buscaremos obtener la función f(x).

1.1 Definición A una función F se le llama antiderivada de una funciónf, en un intervalo 1, si F(x) = f(x) para todo valor de x en el intervalo. Por comodidad este concepto se expresa con la frase "F(x) es una antíderívada def(x)". Las expresiones "integral indefinida" y "functori primitiva" son sinónimos de la palabra

"antiderivada".

Ejemplos: Integrar 1. 3x2 dx es la diferencial de x3 x3 es la antídíferencíal de 3x2 dx

2. - sen x dx es la diferencial de cos x cos x es la antídíferencíal de - sen x dx

Derivar 3. j(x) F'(x)

4.

j(x)

F'(x)

= .0

=

4x3

= .0 - 6 =

4x3

10

11

Integral indefinida

5. j(x) F'(x)

= .0 + -4

5

= 4,03

Las funciones (3, 4 Y5) representadas porJ(x) = .0 + e donde constante (un número real no especificado) tienen por derivada F'(x)

e es una = 4,03.

2. Integral indefinida

A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama integración y se denota con el símbolo

f que es la inicial de la palabra

suma.

Si F(x) es una función primitiva deJ(x) se expresa:

Iy

=

=

fJ(x) dx

F(x)

+ e

I

si y sólo si F'(x) + e

= j(x)

La expresión f J(x) dx es la antiderivada de F(x).

f

es el signo de integración, se lee "integral de". j(x)

Integrando

dx

Diferencial de la variable

x

Variable de integración

F(x)

Función primitiva

e


2.1 Si en la expresión y

=

=

f j(x) dx

F(x)

+

e

(1)

y como en la definición de la antiderivada señalamos que F'(x)

mos en la expresión anterior f F'(x) dx

=

F(x)

+e

queda

f

d dx [ J(x) dxl j(x)

=

d dx [F(x)

=

F'(x)

+ el

= j(x),

sustitui-

Fórmulas de derivación.

Fórmulas de integración

13

Trtgonométrtcas d - sen u dx

= cos u -du dx

f cos u du

= sen u + e

f sen u du

= - cos u + e

f sec- u du

= tan u + e

f ese-

= -

La derivada del seno de una función u es el coseno de la función u multiplicado por la derivada de la función u respecto a x d

dx cos u

= - sen u

du

dx

La derivada del coseno de una función u es igual a menos el seno de la función u multiplicado por la derivada de la función u con respecto a x

-

d

dx

tan u

du

= sec- u -dx

La derivada de la tangente de una función u es igual al cuadrado de la secante de la función u. multiplicada por la derivada de la función u con respecto a x

-

d

dx

cot u

=

ese-

du

U -

dx

U

du

cot u +

e

La derivada de la cotangente de una función u es igual a menos la cosecante cuadrada de la función u. multiplicada por la derivada de la función u respecto a x d

dx sec u

= sec u tan u

du

dx

f sec u tan u du = sec u + e

La derivada de la secante de una función u es igual a la secante de la función u por la tangente de la función u. multiplicada por la derivada de la función u respecto a x

f tan u du = L I sec I + e f cot u du = L I sen u I + e U

f sec u du f ese u du

= L I sec u + tan u I + e + L I ese u - cot u I +

e

14

CAPíTULO 2.

Antiderivadas.

Integración

indefinida

Las cuatro fórmulas de integración anteriores se deducen al final del apartado número tres. Algunas de las fórmulas de integración citadas, pueden estar multiplicadas por una constante. d (uv) dx

=

dv udx

du dx

+ v-

Las derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera

Se usará para deducir el método de integración por partes.

4. Conceptos básicos de la integración 4.1 La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de las funciones. f lfix)

+ g(x) - h(x)] dx

= fj(x)

dx

+ f g(x) dx - f h(x) dx

Ejemplos: 1. f (5x2

+ 7x - 2) dx = 5f

X2

dx

+ 7f x dx - 2f dx

5 7 = -.0 + -x2 3

2

4

2. f (x

-

3x x

+4

\v = f

r-

=

X2

-

2

dx _ 3f

x

fx3dx

x - 3fxdx

1 4 3 x - - x2 4 2

= -

X2

2x + dx

e

f

+ 4 dx x

+ 4f~

+ 4 L [x] +

e

A cada integral habría que sumarle una constante e pero solamente se escribe la del final porque la suma de varias constantes es otra constante.

En los párrafos que siguen se explica y justifica lo que en los ejemplos anteriores se hizo en cada integral.

4.2 La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. Si k es una constante que está como factor en el integrando se puede poner como factor de la integral, como ya se hizo en los dos ejemplos anteriores. f kf(x)

=

kf j(x)

Conceptos básicos de la integración

15

Ejemplos: 1.

f 7.0 dx = 7f.0 dx =2.x5+C 5

2.

f~

x3 dx

=~

f

=~

(.0) + C

x3 dx

5 4

=_1.0+C

10

4.3 La integral de una función u de una variable x elevada a un exponente es igual a la función elevada al exponente original más uno, todo dividido entre el exponente original más uno.

f un (x) du(x)

=

[u(x)ln+!

..:........0'---'...:_

n+1

con n ~ -1 Ya señalamos que u es una función de x, por ello, esta notación puede abrevíarse de la forma siguiente:

f undu Si n

=

un+!

=--

n+l

con n ~ -1

-1

f u-! du = f 1.u du = f du u = In [u] +

C

=Llul+C Se expresa: la integral de la diferencial de una función es igual al logaritmo natural de la función.

dividida

entre la

función

Ejemplos:

dx=;

1.

fX2

2.

f dxx

+C

= In [x] + C = L

(x)

+C

Se toma el valor absoluto de x debido a que no hay logarttmos de los números negativos, por eso se pone In [x]. También puede expresarse con la notación L [x] que usaremos con mayor frecuencia. En algunos casos por comodidad en lugar de poner el símbolo de valor absoluto II se pone. por ejemplo, L (x). Se debe usar como lo sugiera el profesor. Para no complicar el desarrollo de una integral al aplicar los signos de agrupación y del valor absoluto, se pone éste en el resultado final.

16

CAPíTULO 2.

Antiderivadas.

Integración

indefinida

4.4 Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando. Ejemplo:

J

X

(x2

1)3 dx

-

=

J (x

1)3X dx

2 -

4.5 Por ningún motivo se puede "sacar" la variable de integración del signo de integración. Ejemplo:

J

X2

dx

;;é

x

J x dx

Este desarrollo no es correcto porque "salió" la variable de integración x fuera del signo de integral.

4.6 En algunos casos la integración se facilita si se efectúan previamente las operaciones indicadas (productos o cocientes de polinomios). Ejemplos: 1.

J (2x + l)(x

- 3) dx

=

=

J (2x

J (2x

2 -

+

6x

2 -

x' - 3) dx

Sx - 3) dx

=2Jx2dx-sJxdx-3Jdx

= ~ x3 - ~ 3

2

X2

-

3x

+e

x2+2x+4

x-21x3-1 -x3

+

2x2 2x2

-

1 4x 4x - 1 -4x + 8

+

-2x2

7 3

-1 Jx--x-2

dx

=

J (x

=

J

2

X2

1

+ dx

+ 4 + --)7

2x

x-2

+2

ix

dx

J x dx + 4 J dx + 7 J .ss: x-2

2

= '3 x3 + T +

4x

+ 7 L [x - 21 + e

Conceptos

básicos de la integración

17

4.7 Otras integrales se pueden resolver sumando y restando al integrando una misma cantidad. Ejemplo:

f

xdx (x+ 5)2

=

Para su solución se procede en la forma siguiente: del denominador, en la expresión (x + 5)2 tomamos el 5, mismo que se suma y se resta al numerador; la integral obtenida se descompone en dos integrales.

f

x dx (x+ 5)2

=

f (x + 5 - 5) dx (x+ 5)2

= =f

f

(x + 5) dx (x+ 5)2 dx -5f (x+ 5)

x du (x

+ 5)2

-5 dx (x+ 5)2

dx (x+ 5)2 u(x)

=

x

du(x)

=

dx

f

=

L (x

=

L (x

+ 5) - -=1

=

L [x

+ 51 + _5_ + X + 5

+ 5) - 5 ,

f

f

+

+ 5

u-2 du

5u-2+1

+

e e

3

Integración de una función compuesta

1. Sustitución por cambio de variable Existen varias técnicas para aplicar una sustitución pero el propósito de todas es identificar en el integrando unajunción que esté multiplicada por la diferencial de esajunción, y así, poder aplicar una fórmula de integración. En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, se escoge una literal. En nuestro caso se eligió la u, que se iguala a la función que incluye el integrando, por ello es necesario señalar que está en función de la variable de dicha función. Ejemplos: Integrar (únicamente identificar la función y su diferencial). 1.

7x f sen ~u(x)

(7) dx

Sol. 7x es la función 7dx su diferencial

'---v--'

du(x)

Señalamos u u(x) du(x)

2.

f cos !?JL u(y)

= = =

7x 7x 7dx

dy du(y)

Sol. 5y es la función dy la diferencial (incompleta)

'--V---'

Señalamos u u(y) du(y)

= =

=

5y 5y 5dy

Observa que la variable de la función es y, así como que la diferencial en el integrando está incompleta. En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuación señalamos u(x) indicando con ello que u está en función de x en seguida con du(x) calculamos su diferencial. Algunos autores y profesores por costumbre y comodidad proceden en la forma siguiente.

18

Sustitución

19

por cambio de variable

Integrar 7x (7) dx J sen'-v--'~ u du Señalan u = 7x du = 7dx Desde luego que el procedimiento está bien. Tú debes actuar como lo señale y aplique el profesor pero sin olvidar que la variable u en el primer ejemplo está en función de x, y en el segundo de y; este concepto es de utilidad en cursos superiores. Para identificar en el integrando la función y su diferencial, haremos uso de varios ejemplos.

Ejemplo:

J (x

2

+

3)2 (2x) dx

Hay dos maneras de resolver este ejemplo. La primera aplicando la sustitución por cambio de variable y la otra, desarrollando la operación como se indicó en el párrafo 4.6 del apartado 2.

J~2~= u(x)

Sol.

du(x)

u u(x) du(x)

(x2 + 3)3 3

+ C

= x2 + 3 = X2 + 3 = 2x dx

El integrando está completo pues incluye laJunción multiplicada por su diferencial, en consecuencia se puede aplicar la fórmula de integración de la potencia de una función. Sustituyendo =

J

u2 du

Integrando u3 3

=-

+ C

Con el valor de u queda

Otra solución se encuentra

J (x

2

+

3)2 (2x) dx

desarrollando

la operación 1 Sol. - x6 3

en el integrando.

+ 3.0 +

9X2

+ C

20

CAPíTULO3.


El integrando es un polínomío, por ello, podemos desarrollar su producto e integrar término a término.

f (x2 +

=

3)2 (2x) dx

f (x4 + 6x2 +

f (2x = 2fx =

5

+

5

dx

12x3

+

9) (2x) dx

+

12

=~x6+~x4+~X2+C

6

4

1 6 x 3

=-

18x) dx

fx

3

dx

+

18

f x dx

2

+ 3x4 + 9x2 +

e

Los dos resultados están bien ya que si desarrollamos el primero de ellos se tiene: (x2 + 3)3 3

+

e _ xB + 9x4 + 27x2 + 27 -

3

= 1. x6 + 3

3x4

La constante en el primer desarrollo es 9 equivalentes.

+

e

+ 9x2 + 9 +

e

+ e, la del segundo es e, que son

Ejemplo:

f cos 5x dx f

Para poder aplicar la fórmula cos u du es necesario determinar (la función y su diferencial).

si está o no

completo el integrando

f cos 5x dx =

Sol.

u u(x) du(x)

= = =

"51 sen

5x

+

e

5x 5x 5dx

En este ejemplo para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir entre 5; lo cual no altera el valor del integrando porque, de hecho, se está multiplicando por uno.

f

= 1. cos 5

5x (5) dx u(x) du(x)

f

u du

Sustituyendo

= 1. cos 5

Sustitución

por cambio de variable

21

Integrando 1 5

= - sen u + C Con el valor de u queda 1

="5

sen 5x + C

Ejemplo:

f '-'3x -

f (3x -

=

1 dx

l)~ dx

Para poder aplicar la fórmula cular su diferencial du(x).

f (3x

-

l)~ dx

f un

=

du

es necesario identificar

Sol.

"92 '-'(3x -

u(x)

1)3

y cal-

+ C

Se observa que falta un 3 en el diferencial de la función. Se completa multiplicando y dividiendo por 3.

f

= !

1

(3x - 1).2 (3) dx

3

u(x)

du (x)

Se sustituye

f

= -1 u2

1

du

3

Se integra 1

1

1 u 2+2 =---

3

3 2

+

C

Con el valor de u queda 2

1

= "9

(3x -

= -2

'-'(3x - 1)3

9

1)2

+ +

C

C

Los dos resultados están bien. Se debe poner el que pida el profesor. Como se observa en los dos ejemplos anteriores, para completar el integrando fue necesario multiplicar y dividir por una cantidad. Justificado el desarrollo, por comodidad se acostumbra proceder como se indica a continuación.

22

CAPíTULO 3.

Integración

de una función compuesta

Ejemplos: 1.

f sen 7x dx = f sen ~u(x) ~du(x) 1

-7

u

u(x) du(x)

2.

= = =

= ! cos 7

7x

+ C

7x 7x 7dx

f 3 cos 3x dx = sen 3x + C

Con la práctica y como en este ejemplo, el reconocimiento de la fórmula por aplicar se hizo mentalmente, sin necesidad de incluir todo el proceso señalado para la integración por sustitución.

CONCLUSiÓN: Para poder aplicar una fórmula de integración, es necesario que en el integrando esté la derivada de una función, lo cual significa que debe incluir la función u(x) y su diferencial du(x). Se cometen muchos errores en el desarrollo de la integración por no saber identificar enjorma correcta. En ocasiones la diferencial de la función

no está completa; le falta algún factor numérico por lo cual se deben hacer las operaciones necesarias para completarla. Al igual que en este apartado, en los demás se incluyen conceptos y ejemplos que permiten entender con facilidad los ejercicios de cada tema. Sin embargo, se deben estudiar cuidadosamente los conceptos expuestos por el profesor, pues estamos convencidos de que él los considera necesarios y de que se incluirán en el examen correspondiente.

2. Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma

f tan x dx, f cot x dx, f sec x dx, f ese x dx. Como ya hemos estudiado la sustitución por cambio de variable podemos aplicarla para deducir las fórmulas de derivación de la

f sec x dx, y f ese x dx. 2.1 Para

f tan x dx Demostramos en trigonometría que: tanx=--

senx cosx

f tan x dx, f cot x dx,

Deducción

de fórmulas

para derivar integrales de la forma

f tan x dx, f cot x dx, f sec x dx, f ese x dx

de donde

f tan x dx = f sencosx x dx u

=

u(x) du(x)

=

cos x cos x - sen x dx

=

multiplicamos por (- 1) dos veces en el integrando y sustituyendo

=

f - (- sen x dx) cosx

_ f du u

integrando

= -

+

L (u)

e

con el valor de u queda = -

L (cos

x)

+e

Además - L (cos x)

= - In (_I_J

secx

- (In - In sec - In I

x)

+ In sec x

como L (1)

=

O

se tiene que - L (cos x)

= L sec

x

por lo tanto,

f tan x dx = L I sec x] + e

f

2.2 Para col x dx Demostramos en trigonometría que cotx

cosx =-senx

23

24

CAPíTULO 3.

Integración


de donde

S cot x

d.x

cos

x d.x

= S senx u u(x) du(x)

= sen x = sen x = cos x

d.x

Sustituimos

Integramos

=

L (u)

+e


+e

=

L (sen x)

=

L I sen x]

por lo tanto,

S cot x 2.3 Para

f sec x dx multiplicamos

d.x

+

e

y dividimos el integrando por (sen x + tan x) sec

S sec x d.x = S

x

(sec x + tan x) sec x + tan x

d.x

S

(sec2 x + sec x tan x) sec x + tan x

u

= sec x + tan x = sec x + tan x = (sec x tan x + sec-

u(x) du(x)

Sustituimos

integramos

=

L (u)

+

e


= L (sec x + tan

x)

+e

Por lo tanto,

S sec x

dx

=

L I sec

x

+ tan x] +

e

d.x

x) d.x

Deducción

de fórmulas

para derivar integrales de la forma

J tan x dx, J cot x dx, J sec x dx, J ese x dx

25

f

2.4 Para csc x dx se calcula en forma semejante a la sec x dx. Multiplicamos y dividimos el integrando por (csc x - cot x). (ese x - eot x) dx f ese x dx .= f ese x ese x - eot x = f (esc2 x - ese x eot x) dx ese x- eotx u u(x) du(x)

= ese x - eot x = ese x - eot x = ese- x - ese x eot

x dx

Sustituyendo

integrando

+

=

L (u)

=

L (ese

C

x -

eot

x)

+C

Por lo tanto,

f ese x dx

=

L I ese x - eot x]

+C

Ejercicio 2 Calcular las integrales siguientes. 1.

f dx

Sol. x

2.

fdx

Sol. L [x]

"". ..6.

x

+

4

C

f x~ dx

Sol.

f 5x3 dx

5 Sol. -x4 4

f 2bx3 dx f (x

4

-

X2

!..

-X4

7

b

Sol. -x4 2

+ ~3 x

-~2)

X

dx

Sol.

x5 5

-----

+C +C +C +C

x3 3

1

1

2x2

+- +C X

".,

:Jr.

J 5 (5x -

1)3 dx

1 4

Sol. - (5x-

1)4

+C

26

CAPíTULO 3.


/s:frx

4 Sol. rxs + C

dx

5

dx

9

(x - 1)5

:~)dx 1

4

dx

13. Jdx

?

Jdx X-2

J

dx (x+ 1)2

J~ 1"

3-JX2

Sol. --{X-4

J (x - 3) dx x+3

15

rx

+ C

Sol. "21x-{X+C Sol. --+C1 2x2 1 Sol. -x3+C 3

1 +C (x + 1)

Sol.

Sol. 31x+C 1

Sol. 18.

+ C

5

-r" J (~~

1

4 (x - 1)4

33 ~ Sol. -x + C

1 . f~dx

2. J3-x2

Sol.

3 (x - 2)3

+ C

Sol. x-6Llx+31+C

19. J (x3 - 5X)5 (3x2 - 5) dx

1 Sol. "6 (x3 - 5X)6 + C

20. J .Jx - 2 dx

Sol. - (x - 2)2 + C

21. J (2x - 5x2) (2 - 10x) dx

Sol. -1 (2x - 5X2)2 + C

22. J 5..J5X dx

~ Sol. -2 (5X)2 + C

23. J (4x3 - 2x) (x4 - x2 - 5)3 dx

Sol.

J 4x3 dx 1 +x4

cS. 26.

J

2 dx 1 + 2x

J (x + 2) dx x+1

2 3

. ~

2

3

(x4 - X2 - 5) 4

+C

Sol. L 11 + x41 + C Sol. L 11 + 2xl + C Sol. x + L [x + 11 + C

Deducción de fórmulas para derivar integrales de la forma

27.

...fX fX2_3x+S

28.

f x3dx x-l f

. 29.

f tan x dx, f cot x dx, f sec x dx, f ese x dx 2

s

x3

Sol.

(x -- 2) (x -- 1) dx

~

Sol. - x

dx

2

x2

3 +2 +

.!.

+ 10 2 +

2

e

+ L 1x -- 11 +

x

e

X2

x3

Sol.

~ 2x

--

27

3 + 2 --2x + e

Ejercicio 3 l.

J 3 dx

Sol. 3x

2

j 2x

Sol.

3"1 (x2

Sol.

"""5 + e

Sol.

¡1 (x3

(x2 -- 3)2 dx

__ª,.J 2.0 dx M3x2

(x3 -- 1)3 dx

5.

fdxx

6.

f (3x

+

4)2 dx

f X ;/X2 + 4 dx -.NiI-o-f X2 dx2 x3 -

-9-:-f

Sy dy

• 10. \

;/2y2

+3

f (Sx -f 6x dx

1)3 dx

2

x3 12.

f

xdx (x

f x ;/(5 - x

2)

f f

/14.;/

16.

f

dx

3x2 u"l

3 - 4A-

dx

(x + 2) dx X2+ 4x (x3

+

1 2x

l)~ dx

e

+

-2

Sol.

i

Sol.

3"

Sol.

3"1 L Ix3

Sol.

2"s ;/2y2 + 3 + e

1

(x

(x2

e

+ "::l,J3 + +

3

4)2

--

e

+

21 + e

1 Sol. 20 (Sx -- 1)4

Sol. L 1x

+ 2)2

e

+

+e

-- 1)4

Sol. 2 L 1x3

1

-

-- 3)3

2x5

Sol. --

3

+e

1

+

--

+

2 + (~+2) 3

+

e

+

e

+ 4x) +

e

3"

Sol.

--

2"1 ;/3 -

Sol.

2"

Sol.

% (x3 +

(S -- x2)2

L (x2

e

11 + e

21

Sol. --

1

+

4x3

l)~

+

e

e

28

CAPíTULO 3.

Integración


17.

S

18.

S

19.

S

20.

Sx

~3 - X2 dx

21.

S

X)2 ...¡x dx

5.03 dx (.0 - 1)3

X2 4;/.03_ 1 dx

2x ;/3 - 2x2 dx

(4 -

5

Sol.

8(.0-1)2

4

Sol.

"9 (.03 -

Sol.

-"3

Sol.

-"8

Sol. 32...¡x -

1

3

1)4

+e +

e 3

(3 -

3

2X2)2 4

(3 - X2)3

136 x...¡x

+e

+e

+ ~X2...¡x

+

e

4

Constante de Integración

Al integrar la diferencial 2x dx se obtiene la función y.

donde C es la constante de integración. Por cada valor de Ci. C2. C3•... de C se obtiene una función primitiva X2 + Cj , X2 + C2. x3 + C3•... De hecho. la expresión y = x2 + C representa una familia de parábolas paralelas con el mismo valor de la pendiente para cada punto. dy -= dx

2x

1. Cálculo del valor numérico de la constante C Para calcular el valor de la constante de integración es necesario tener la expresión diferencial que se ha de integrar y algunos otros datos. procedimiento que ilustramos con los ejemplos siguientes. Ejemplos: 1. Obtener la función y

= J(x) tal

quef'(x)=

9x2 - 6x

+ 1 cuandoJ( 1) = 5.

Sol. 3x3 - 3x2

+

X

+ 4

Es una función en forma de ecuación que se cumple en el punto (l. 5) Como y =j(x) dy dx

se tiene que pero entonces

dJ(x)

= -- dx

dJ(x) dx

=

9X2 - 6x .

+ 1

dy dx

=

9x2 _ 6x

+ 1

dy

=

(9x2 - 6x

+

29

1) dx

30

CAPíTULO 4. Constante de integración

Integrando

J dy = J (9x2 -

6x + 1)dx

=9Jx2dx-6Jxdx+Jdx 9x3 6x2 =---+x+C 3 2

y

= 3x3

3x2 +

-

X

+ C

Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 5 para f( 1) J(1)

=

3(1)3 -

3(1)2

+

1

+

C

=t-t+l+C Condición que señala el problema

= 5

J(ll

5 -

5

=

1

1

=

C

+ C

C=4 Al sustituir el valor de C y = J(x) = 3x3

-

3x2 +

X

+ C

= 3x3

-

3x2 +

X

+ 4

y

2. Calcular el valor de la constante de integración cuyaf'(x) cuandoJ(1) = 6. Así como la función. So.1

C

=

= x2 +

43

6

x3

X2

3

2

y=-+--2x+C Es una función que se cumple en el punto (1, 6) como y =J(x) se tiene que dy dx pero

dJ(x) dx

= dJ(x) dx

=

X2

+X

-

2

X

-

2

Cálculo del valor numérico

de la constante

31

C

entonces dy

=

(x2

f dy = f

integrando

+X

-

+

X

(x2

x3

dx

2)

-

2) dx

X2

y=-+--2x+C 3 2 Calculamos el valor de la constante C, que considerando las condiciones del problema, este resultado debe ser igual a 6 parajt 1) J(1)

=

(1)3

+

(1)2 _ 2(1)

3

+

C

2

1

1

="3+2"-2+C

=

2

+ 3 - 12 + C 6

7

=--+C 6

Condición que señala el problema J(1)

=

6 7 6

6=--+C 7 6

6+-=C C

=

43 6

Sustituyendo el valor de C x3

y

X2

= J(x) = -3 + -2 x3

2x

+C 43

X2

y=-+--2x+326 NOTA:

Esta expresión no se simplifica porque es una función y no una ecuación.

3. Determinar la función cuyaJ'(x) x=2

=

X2

-

2x

+ 4, tenga el valor de 6 cuando x3

Sol. J(x)

= 3 - X2 +

C=

2 3

4x

+C

32

CAPíTULO4.


Es una función que se cumple en el punto (2. 6) Como y =J(x) se tiene que pero entonces dy

integrando

=

(X2

f dy = f (x

2x

2 -

=

f

X2

+ 4) dx

2x

-

+ 4) dx

dx - 2

i

x3

f x dx

+ 4

f dx

X2

y=---+4x+C

i

3

x3

Calculamos el valor de C cuando y cuando x = 2 J(2)

=

(2:t - (2)2

+

= 3-

4(2)

8 3

=--4+8+C

=

8 - 12

+ 24 + C

3 20

=-+C 3

Condícíón que señala el problema J(2)

=

6 20

6 =3+ 6 - 20

3

=

C

C=--

2 3

C

+

C

x2 + 4x + C tenga el valor de 6

Significado geométrico de la constante de integración

33

COMPROBACiÓN: Sustituyendo el valor de C x3

= J(x) = 3 - X2 +

y

6

23

=-

3

-

+

22

8 6=--4+8--

=

6

= 6

+

C

2

4(2) - 3

2

3

6

4x

3

8 - 12 + 24 - 2 3

2. Significado geométrico de la constante de integración es una de las funciones primitivas de la función 2x cuando la constante de integración vale cero; es decir, 2x es la derivada de una función y = j(x). Si dej'(x) = 2x se quiere obtener la familia de las funcionesj(x) que tienen como derivada a 2x, se tiene entonces.

X2

dy dx

=

dJ(x) dx

dy =j'(x)

= j'(x) dx

integrando

f dy = f 2x dx y=-

í)c2

í

+C (1)

donde C es la constante de integración. Si asignamos a C varios valores, por ejemplo 3, 0, -2 se tiene de (1) las expresiones: y

y =

X2

+ 3;

Y =

X2;

y =

X2

-

cuyos lugares geométricos son parábolas que intersecan al eje de las y a distancias del origen de 3, 0, -2, respectivamente.

2

34

CAPíTULO 4.


Todas estas parábolas tienen el mismo valor ~

, es decir, tienen la misma

pendiente 2x para el mismo valor de x. Además, la diferencia de sus ordenadas permanece la misma para todos los valores de x, el valor de C no afecta la pendiente de ninguna de estas parábolas. Si ponemos la condición de que la curva de la parábola de nuestro ejemplo pase por el punto (L, 3), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la expresión y = x2 + C de donde: y

=

X2

3

=

(1)2

+

C

=

3 -

1

+

C C

C=2 Por lo tanto, la ecuación de la parábola que se pide pase por el punto (1, 3) es y=x2+2 Gráfica Tabulando

y

y=x2+2 ~ ~ f(x)

=

X2

feO)

=

O

+2

f( 1) = (1)2 f(2)

=

----+----x

+2 = 2

(2)2

+ 2

= 3

+

=

2

6

5

Integrales inmediatas. Funciones trigonométricas directas

1. Recordatorio de trigonometría En el libro de Matemáticas 11. Geometría y trigonometría prueban las funciones e identidades siguientes: 1 1 cot x

= 1/ 1 - cos-

1 secx

= 1/ 1 - sen- x = cot x sen x = --

sen x

= --

eos x

= --

tan x

= --

cotx

X

del autor. se com-

cos x cotx

= tan x cos x = --

sen x tan x

1

=

-'¡sec2x - 1

= --

=

I/csc2x-l

see x

= -- 1

= -,¡1 + tan- x

esc x

= --

cotx

1 tanx cosx 1

=

senx

senx cosx cos x senx

=--

-,¡1 + cot2 x

Funciones trígonométrtcas recíprocas

1

sen x ese x

=

1

sen x

=

1 cscx

ese x

= senx

1

cos x sec x

=

1

cos x

=

1 seex

sec x

=

1 cosx

Fuenlabrada, Samuel. Matemáticas lI. Geometría y trigonometría. McGraw-Hill. México, 1995. págs. 77. 79 Y 119.

35

36

CAPíTULO5.


tan x cot x

=

tan x

=

cot x

=

1 1

cotx 1

tan x

Identidades trtgonométrtcas del Teorema de Pitágoras (Pítagórtcas). sen- x + cos-

X

= 1

sen? x

= 1

- cos-

X

cos- x = 1 - sen- x

sec- x - tan? x

= 1

tan- x

=

sec- x - 1

sec- x

= 1

ese- x - cot- x

= 1

ese- x

= 1

cot- x

=

+ tan- x

+ cot- x

ese- x - 1

2. Fórmulas de integración de las funciones trigonométricas directas

f sen u du

= - cos u + e

feos u du

= sen u + e

f sec u tan u du f sec- u du

= tan u + e

f ese u eot u du f ese- u du

= see u + e

= -

ese u

= - cot u + e

+e

37

Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas

3. Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas directas 3.1 El integrando es el producto de la potencia de una función trigonométrica por su diferencial. Ejemplo:

=

3 sen- x cos x dx

Sol. sen" x

+e

Si la función es u u(x) du(x)

= sen x = sen x = cos x

dx

Sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando. se tiene

fu

=

3

=

3-+ 3

2

du

integrando u3

e

con el valor de u queda

= sen '

x

+e

3.2 Sustituyendo el integrando por una identidad pitagórica. Ejemplo:

f tan-

7x dx

como tan- x

1 Sol. - tan Zx:> 7

=

= sec- x - 1

Sustituyendo en el integrando

=

f (sec- 7x -

1) dx

completamos la diferencial multiplicando y dividiendo por 7.

= ..!. 7

=

f

tf

(sec? 7x -

sec- 7x

1) 7 dx

(7) dx -

integrando 1

= "7

tan 7x - x

+e

tf

7 dx

+

e

38

CAPíTULO5.


3.3 El integrando se sustituye por una identidad trigonométrica recíproca. Ejemplos: 1.

Sol. 3 cot x

como csc x

= --

+

e

1

senx

al elevar al cuadrado ambos miembros csc- x

= --- 1

sen- x

y sustituyendo en el integrando

=

-3

J ese- x dx

integrando

= 3 cot x + e 2.

J cos- x ..Jtan dx x +2 como

sec x

= --

-

Sol. 2 ..Jtanx

-

1

cosx

al elevar al cuadrado ambos miembros sec- x

= --- 1

cos?

X

se sustituye en el integrando

_J -

=

sec2 x dx ..Jtanx+ 2

J (tan x + 2 f ~sec- x dx Si la función es u=tanx+2 uíx) du (x)


= tan x + 2 =

sec- x dx

+2 +

e

Algunos

procedimientos

de integración

de las funciones

trigonométricas

directas

39

1

+ C

integrando 1

u2 1 2 1

=

2 u2


3.

f

1

=

2(tan

=

2 ...Jtanx + 2

sen 3x dx (1 - cos 3X)3

x +

2)2

+C

=

Sol.

=f

-

6(1 - eos 3x)2

(1 - eos 3X)-3 sen 3x dx Si la función es u u(x) du (x)

=

1 - cos 3x

= 1 - eos 3x! = sen 3x (3) dx

I ,,~ ,

;<

Completamos la diferencial. multiplicando y dívídíendo por 3.

=~

f (1 -

cos 3X)-3 sen 3x (3) dx


=l

3

f u-3 du

integrando 1 u-2 3 -2

=--+C


=

1

6( 1 - cos 3x)2

+ C

3.4 Multiplicando el integrando por su conjugado. V;jemPlo:

f

dx 2 + 2 cos x

=

1 Sol. - - cot x

2

1

+ - cse x + C 2

40

CAPíTULO 5.


_ f 2 + 2 1cos x (22 -- 22 cos x) dx cos x El producto de un bínomío conjugado es igual a la diferencia de sus cuadrados.

=f

2 - 2 cos x dx 4 - 4 cos-

X

factorizando

= 1.. f

1 - cos x dx 1 - cos- X

2 como

sen- x

=

1 - cos-

X

sustituyendo

= 1..

f

1 - cos x dx sen- x

2

como

csc x

1 senx

= --

;

sen- x cot x

=

sen x sen x ; cosx

= --'

sen x '

csc x

= --

1

senx

Al sustituir en los integrandos

=~

f ese- X dx

- ~

f cot x ese x dx

integrando 1

- - cot x

2

1

+ - csc x + e 2

3.5 Multiplicando y dividiendo el integrando por una misma cantidad. Ejemplo:

f tan 2x ..Jsec2x dx

=

Sol. ..Jse~2x +

Multiplicando y dividiendo el integrando por ..Jsec 2x

=

2X) ..J f tan 2x ..Jsec2x (..Jsec sec 2x

dx

e


=

41

J tan 2x sec 2x dx -Ysec2x

=

J (sec 2xri tan 2xsec

2x dx

Si la función es

= =

u u(x)

sec 2x sec 2x

= tan 2x sec 2x (2) dx

du(x)

Sustituyendo el integrando; multiplicando y dívídíendo por 2 para completar la diferencial.

J

1

=-

2

.!. U-2

du

integrando I

1 u-'i =--+C

2

=

1 2

I

u'i

+ C

sustituyendo el valor de u queda

=

-Ysec2x

+C

3.6 Parte del integrando se descompone en sus factores. Ejemplo:

f senx

dx cos- x

cos? X

=

Sol. sec x

= cos x cos x

=f =

senx dx cos x cos x

f sen x _1_

dx

cosx cosx

como

tan x

senx cosx

= --

=

;

secx

=--

f tan x sec x dx

integrando

= sec x + C

1

cosx

+C

42

CAPíTULO5.


3.7 En el integrando se desarrollan algunas operaciones algebraicas. Ejemplo:

J (sec x + tan Al desarrollar

X)2

=

Sol. 2 tan x

+ 2 sec x - x + C

el bínornío cuadrado perfecto

J (sec x + 2 sec x tan x + tan'' x) dx = J sec- x dx + 2 J sec x tan x dx + J tan- x dx

=

Como

tan- x

=

2

sec- x - 1

sustituyendo e integrando

=

tan x + 2 sec x +

J (sec? x -

=

tan x + 2 sec x +

J sec- x dx - J dx

=

2 tan x + 2 sec x - x + C

1) dx

integrando

Ejemplos: Integrar 1.

J 3 cos (3x -

1) dx

3x -

1

u(x)

= =

3x -

1

du(x)

=

3 dx

u

=

Sol. sen (3x -

=

~J cos (3x -

=

J cos u du

=

sen u + C

1) (3) dx

Sustituyendo

integrando

Sustituyendo el valor de u, queda

=

sen (3x - 1) + C

1) + C


2.

f sen ~3 x. dx

=

Sol. -

3

43

2

'2 cos '3 x + e

2 3

u =-x

2

u(x)

=

'3x

du(x)

=

'3dx

2

Multiplicando y dividiendo el integrando por ~

=

_1 2 ·3

f sen ~x3

(~)dx 3

integrando

= - -3 cos 2

u

+e


2 = - -3 cos -x + e 2 3 3.

f sen 3x dx

1 Sol. - - cos 3x 3

=

u

=

3x

u(x)

=

3x

du(x)

=

3 dx

Multiplicando y dividiendo el integrando por 3

=

tf

= 1. 3

sen 3x (3) dx

f sen u du

integrando

= - -31 cos

u

+e

sustituyendo el valor de u queda 1

= - '3 cos

3x

+e

+e

44

CAPíTULO 5.

Integrales inmediatas.

4.

Funciones trigonométricas

J sen- x cos x dx u u(x) du(x)

= sen

directas

.

=

Sol.

- ~ sen" x

+C

x

= sen x = - cos x

dx

J u2 du

= integrando

u3 --+C 3

sustituyendo el valor de u queda 1 - - sen'' x 3

5.

J x sen X2 dx u u(x) du(x)

= = =

+

C

=

Sol.

1 - - cos X2

2

+C

X2 x2 2x dx


= 1. J x 2

sen x2

= 1. J sen 2

(2) dx

u du

integrando 1

- - cos u du 2 sustituyendo el valor de u queda

= - -21 cos X2 + En el libro de Matemáticas

C

IV; Cálculo diferencial

del autor, se díce.s

sen-' x = (sen X)2. Estas expresiones son diferentes asen X2 pero todas ellas tienen validez; como se observa en los ejemplos anteriores. 6.

J cot- y dy

=

Como cot- y 2

Fuenlabrada. tado 1.2.

Sol.

- cot y - y

+ C

= ese- y - 1

Samuel. Matemáticas

N. Cálculo diferencial.

McGraw-Hill. México. p. 87. apar-

Algunos

procedimientos

de integración

de las funciones

trigonométricas

directas

45

sustituyendo en el integrando

=

J (ese- y -

=

J ese- y dy - J dy

1) dy

integrando - cot y - y

7.

dx J sec (3x -

+C

=

Sol.

1)

Como cos x

"31 sen

(3x - 1)

+C

1

+C

1 sec x

= --


=

J cos (3x -

1) dx

u=3x-l u(x) du(x)

= =

3x - 1

3 dx

multiplicando y dividiendo el integrando por 3

= .!.. f cos

(3x -

= .!.. J cos

u du

1) (3) dx

3

3

integrando 1

= - sen 3

u

+C

sustituyendo el valor de u, queda 1

= "3 sen 8.

(3x -

cos 3x J 23 dx = sen= J sen x u u(x) du(x)

1)

+C

3x cos 3x dx

=

sen 3x

= sen = cos

3x 3x (3) dx

Sol. -

3 sen 3x

46

CAPíTULO 5.



directas


tf

=

sen-2 3x cos 3x (3) dx

= .!. f

u-2 du

3

integrando

= .!.

f

+

u-!

3

C

-1

1 = --+C 3u sustituyendo el valor de u. queda 1 3 sen 3x 9.

+C

-3 dx = f sen 2x

Sol.

2

= -- 1

Como csc x

senx

elevando al cuadrado ambos miembros

= --- 1

cscé x

sen+x


=f

-

3 ese- 2x dx u u(x)

du(x)

= = =

2x 2x

2 dx

multiplicando y dividiendo el integrando por 2

f ese- 2x ~ f ese- du 2

= - ~

(2) dx

2

= -

U

integrando 3 = - cot u

2

+C


= -32 cot

2x

+C

"23 cot 2x + C

47


10

.

J

tan 5x dx cos2 5x

Como sec x

=

1 Sol. tan2 5x 10

+

C

1 cosx

= --

elevando al cuadrado ambos miembros secs x

1 = --cos+ x


=

J tan

5x sec- 5x dx

u u(x) du(x)

= =

tan 5x tan 5x

= sec-'

5x (5) dx

multiplicando y dívtdíendo el integrando por 5

=

!J

tan 5x sec- 5x

(5) dx

=! J u du 5 integrando 1 u2

=--+

C

5 2


= ! (tan 5

= 11.

5 5 + 5dxcosx

5X)2

+C

2

_1_ tan- 5x

la

+

C

=

Sol.

Multiplicando el integrando por su conjugado

_ J (5 + 5 =5

(5 - 5 x)

1 ) cos cosx 5 - 5 cos x

5-5cosx 25 - 25 cos-

dx

x

factorizando

=

5

5 (1 - cos x) dx 25 (1 - cos- x)

dx

-"5

1

cot x

1

+ "5 ese

x

+C

48

CAPíTULO5.


como sen-' x = 1 - cos-

X

sustituyendo en el integrando =

1. f

1 - cos x dx sené x

5

común denominador

f serf1 x dx _1.5 f sen cosx (_l_Jdx x sen x

_1.

- 5

1

cosx ; senx

como csc2 x = --::-sen- x •

cot x = --

1 senx

ese x =--

sustituyendo en los integrandos =

kf

csc2

X

kf

dx -

cot x ese x dx

integrando 1

= - 5 cot x +

12.

1

"5 ese

x +

e

f cos- x 5dx ..ftanx + 1 como sec x = --

Sol.

1

cosx

elevando al cuadrado ambos miembros sec2x

= --- 1 cos-

X

sustituyendo en el integrando = 5

=

J ..ftan sec x dx x+ 1 2

J (tan x + ni

sec- x dx

u=tanx+l u(x) = tan x + 1 du(x)

=

5

=

sec- x dx

J u -~ du

10 ..ftan x + 1 +

e

Algunos

procedimientos

de integración

de las funciones

trigonométricas

49

directas

integrando

sustituyendo el valor de u, queda

= 13.

f

sec+ x dx

10 "tan x + 1

+C

=

Sol. tan x

=

Como sec+ x

1

+ "3 tan" x + C

sec- x sec- x

=f

sec- x sec? x dx

y además, sec- x

=

1

+ tan- x


f + tan- x) x dx = f (sec- x + tan- x sec- x) dx = f sec- x dx + f tan- x sec- x dx

=

(1

sec?

u=tanx u(x)

=

= tan

x

du(x)

=

sec- x dx

tan x

+

fu

2

du

integrando =tanx+-+C

u3 3


= 14.

tan x

1

+ - tan" x + C 3

f sen" x dx = f sen x sen- x dx Como sen- x

= 1 - cos-

X


=f

sen x (1 - cos- x) dx

Sol. - cos x

1

+ "3 cos''

X

+ C

50

CAPíTULO 5.

Integrales

inmediatas.


=

f (sen x -

=f

directas

sen x eos2 x) dx

sen x dx -

f sen x cos- x dx u = cos x u(x) = cos x du(x)

= - eos x +

fu

2

- sen x dx

du

integrando 1 3

- eos x + - u3 + C sustituyendo el valor de u queda 1 3

= - eos x + - cos-' x + C

15.

f ese 5x cot 5x dx u

=

5x

u(x)

= =

5x

du(x)

=

Sol.

-

5"1 ese

5x

5dx

Multiplicando y dividiendo el integrado por 5

if =if

=

ese 5x eot 5x (5) dx

ese u cot u du

integrando 1

=--cseu+C 5 sustituyendo el valor de u queda 1 = - - csc 5x + C 5 16.

f (tan

2

3x - sec- 5x) dx

= =f

Sol.

1

"3

tan 3x - x -

tan-' 3x dx -

Como tan- x = sec- x - 1 entonces tan- 3x = sec- 3x - 1

1

5"

tan 5x + C

f sec- 5x dx

+ C

Algunos

procedimientos

de integración

de las funciones

trigonométricas

directas

51

sustituyendo en el primer integrando =

f (sec

2

3x -

1) dx -

f sec- 5x dx u

=

5x

u(x)

= =

5x

du(x)

5 dx

multiplicando y dividiendo el último de los integrandos por 5 =

f sec- 3x dx - f dx - .!..5 f sec- 5x

(5) dx

integrando

= .!.. tan

3x - x -

3

.!.. f

sec- u du

5

1 1 =-tan3x-x--tanu+C

3

5


= - tan 3

17.

1 3x - x - - tan 5x

ftan6xdx= cos 6x

+ C

Sol. -

2

Como sec x

5

1

12

= -- 1

cosx

=

entonces sec 6x

1 6 cos x

elevando al cuadrado ambos miembros sec2--6x

= __

1 __ cos+Bx

sustituyendo en el integrando =

f tan 6x sec- 6x dx u=tan6x u(x) du(x)

=

tan 6x

= sec-

6x (6)" dx

multiplicando y dividiendo por 6 =

.

if

= .!.. f 6

tan 6x sec- 6x (6) dx u du -

tan2 6x

+C

52

CAPíTULO 5.



directas

integrando 1 u2 6 2

=--+C


=-

12

18.

J (sec x -

tan- 6x

+C

=

tan xl2 dx

Sol. 2 (tan x - sec x) - x

+ C

Al desarrollar el binomio cuadrado perfecto

J (sec'' x -

= como tan- x

=

2 sec x tan x

+ tan- x) dx

sec- x - 1


=

J (sec

=

J (2 sec- x -

=

2

=

2 (tan x - sec x) - x + C

2

x - 2 sec x tan x + sec- x - 1) dx 2 sec x tan x - 1) dx

J sec- x dx - 2 J sec x tan x dx - J dx

integrando

19. J_dx __

Sol. tan x - sec x

1 + sen x Multiplicando el integrando por su conjugado

= =

J

J

1 -sen x

dx

(l + sen x) (1 - sen x) 1 - sen x dx 1 - sen- x

como 1 - sen- x

= cos-

X


=

J 1 - senx

dx

cos- x

=

J _1 _ cos-

X

Como sec x

1 = --cosx ;

dx _

J cossen x

dx

X

cos-

X

=

cos x cos x

+C

Algunos

procedimientos

de integración

de las funciones

trigonométricas

directas

53

Sustituyendo en los integrandos

=

J sec- x dx - J sen x (_1_) dx cosx cosx

=

tan x· '

senx como -cosx

sec x

= --

1

cosx

sustituyendo el segundo de los integrandos

=f

sec- x dx -

f tan x sec x dx

integrando

= tan x - sec x + C Ejercicio 4 Calcular las siguientes integrales. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas. l.

f sen" y cos y dy

2.

.,¡¡j f sec2.,¡¡j

3.

6dx J X3/

Sol. -

4.

J cos-

Sol. -

5.

J 3x sen

6.

J 7 tan-

7.

J (3~yy)5

2

./'

d

5y sen 5y d!j/° X2

9.

11.

J sec- 2x dx

12.

J 3y 42y

13.

J cos+ 3y

x

3

-2 X

+

C

C

1 15 cos-'

+ C

5y

+C

X2

Sol. 7 tan x - 7x + C

JX

~f?'2)(

J dx3

+

Sol. - - cos 2

x dx

10.

y + C

3

dx -:

J cos 4 \ <® J x-t dx ;

1

"5 sen"

Sol. tan.,¡¡j

Y

..LlAr¡

8.

Sol.

1

Sol.

-:--c::-----c-:-

,

X

/ ----L .tV Jy

4 (3 + y)4

+

------C

Sol. 41 sen 4x + C Sol. -3 2

.3", +

'l/X2

C

1

/

Sol. - 2x2 + C

2 -

",.....

8 dy

./

sen 3y dy )

Sol.

"21 tan

Sol.

16 (2y2

+C

2x

9

Sol. -

4

-

1 15 cos"

8)3

+ C

3y

+ C

54

CAPíTULO 5.


Funciones trigo no métricas directas

14. f sen-' y eos y dy /

Sol. -1 sen+ y + C

15. f (2 - y3)2 dy

Sol. 4y - y4 + -

16. f 5 tan- y dy,

Sol. 5 tan y - 5y + C

4

y7 + C 7

.:

17. f tan- (3x - 1) dx

Sol. -1 tan (3x - 1) - x + C 3

4

Sol. y+1L+1L+C

18. f (1 + y3)2 dy 19. f

x3

2

/

eos x4 dx

Sol.

¡1 sen

x4

7

7

+ C

20. f sen? 3x eos 3x dx /

Sol. -1 sen" 3x + C

21. f tan" 2x sec- 2x dx ~

Sol.

9

tf

22. f

5dx cos- x ...Jtanx- 2

I

Sol. tany-y+C

25. f (1 - x)2 26.

j

f tan+ x dx

rx

2X)6 + C

Sol. 10 (tan x - 2)2 + C

")l

23. f tan- 2y dy . -24.

1 12 (tan

I

..J-l, ( )

dx

!.

v

0

Sol. -1 tan" x - tan x + x + C 3

\

Sol. -2 x..¡x - -4 3

X2

5

1 Sol. ----+C

f2+xdx x3

X2

..¡x + -2 x3 ..¡x + C 7 1 x

27. f sec- 5x dx ,.

Sol. "51 tan 5x + C

28. f ese- (3 + 5x) dx '

Sol. - "5 eot (3 + 5x) + C

29.

f

Sol. - -2 eot 5y + C

2dy sen25y

5

30. f (sen? 2y eos 2y) dy 31.

J (tan

2

/

3x - sec- ~x) dx

32. f 3 - eosx dx / sen+ x

33. f

1

1 sen- y

3 x eot ¡ 3 x dx 34. f ese ¡

Sol. "81 (sen 2y)4 + C Sol. -x+C Sol. - 3 eot x + ese x + C Sol. - eot y + C Sol. - -4 ese -3 x + C 3

4

Integrales inmediatas (continuación)

6

Funciones trigonométricas inversas

1. Fórmulas de integración de funciones trigonométricas inversas

f .J a du 2

-u

du f ---,,-~ a +u 2

-

arc sen a

= -1 arc a

2

f u "'¡udu-a

-----¡==;;===;;:: 2

u

=

2

2

u a

tan -

= -a1 arc

+e +e u a

sec -

+e

2. 'Algunos procedimientos de integración de las funciones trigonométricas inversas Ejemplo: Integrar. 1.

f~~ -x.

Sol. are sen

2

f

Para aplicar la fórmula

i'f~= Cen

:::¡a~~

identificar los valores de a2, a, u2, u

y calcular

~

x

3" + e

+ e es necesario

u(x) y d~

a2 = 9 a=3

u=x u(x) du(x)

=x =

/

El integrando está completo pues incluye laJunción multiplicada por su diferencial, en consecuencia podemos aplicar la fórmula de integración citada.

f .Jgdx-

,

X2

-

f .Ja du u 2 -

2

integrando

=

u arc sen a

55

+e

56

CAPíTULO 6.

Integrales inmediatas (continuación). Funciones trigonométricas inversas

Al sustituir los valores de a y de u

= 2.

are sen ~

3

+C

=

f 3 + 4x dx

Sol.

2

,

f

de

a2, a, u2, u

a2 = 3 a

1

du

u

2 2 = - are tan a +u a a y se calculan u(x) y du(x)

Para aplicar la formula

=

u2

=..f3

1 2x . r;:;- arc tan .r;:;- + C 2'13 '13

+ C se identifican los valores

4x2

u-= 2x u(xp=- 2x

= 2

du(x)

dx

En este ejemplo para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir por 2. Con ello no se altera el valor del integrando porque de hecho se está multiplicando por uno.

=1..f

2dx 23+4x2


= 1.. f

du

2

a2 + u2

integrando

=

1.. (1..) are 2 a

tan u a

con los valores de a y de u queda 1

2x

= --2-5arc tan --5 + C 3.

f-3 2

-dx

X2+

=

Sol.

Identificamos a2, a,

u2, u

a2 = 2 a =..J2

y calculamos

u=x -

u(x)

.du(x)

= =

sustituimos en el integrando

=

3

f u +a du

2

2

x

dx

u(x),

y du(x)

3

x

..J2 are tan ..J2 + C

)

El integrando

se expresa como la suma de dos cocientes

57

integramos

=

3

(!)

+C

are tan ~

Con los valores de a y u queda

x

3 = -arc ..f2

tan- ..f2+ C

De hecho. estos ejemplos se han resuelto aplicando en forma directa las fórmulas de integración. En el segundo de ellos únicamente fue necesario completar su diferencial. En otros casos, es necesario aplicar alguno de los procedimientos que se citan aconttnuactón.

3. El integrando se expresa como la suma de dos cocientes Ejemplo: Sol. - "';9-

X2

+ 4 are sen

i+ C

Común denominador

u

=

9 -

u(x)

=

9 -

a

X2

= -

du(x)

a2

X2

=9 = 3

u=x

2x dx

u(x) du(x)

multiplicando y dividiendo por

= - -1 J x

(-2)

2

x dx

la primera integral

2 _1.

(9 - x )

= =

2

(-2) dx

+

4

J -- dx

9 -x2

Para el resultado de la segunda integral. tomamos el del ejercícío número uno de este apartado 1

= - -2 U

_1. 2

du

x 3

+ 4 arc sen - + C

integrando I

= -

1 u2 2" -1-

x

+ 4 are sen "3 + e

2 con el valor de u queda

= -

1

(9 -

X2)2

X

+ 4 are sen 3" + C

58

CAPíTULO6.


Este resultado se puede expresar en la forma siguiente

= - ...J9-

x2

+ 4 are sen ~ + C

4. El integrando es una fracción donde el numerador es dx y el denominador es de la forma ax2 + bx + c. Éste dentro o fuera de un radical de índice dos Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 La integral resultante 'puede ser de cualquiera de las formas siguientes:

+ bx.

J ...Ju du± a J du 2

a2

J

-

2

u2

du u2 ±a2

Completar el cuadrado es un procedimiento que resulta de gran utilidad cuando el integrando incluyeJunciones cuadráticas. En el curso de Aritmética y Álgebra se indicó que para completar el cuadrado se suma a la expresión el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.

x' + bx + c ~ x' + bx +

(%

J~(~J

+c

Observa que para conservar la Igualdad hemos sumado y restado

(%

J

Ejemplo: }

x-2 Sol. 3 are tan -2-

6dx dx= x2 - 4x+ 8

Al completar el cuadrado del denominador, se tiene X2

-

4x

+ 8 = (x2

=

-

(x -

=6}

4x 2)2

+ 4) - 4 + 8

+

4

dx (x - 2)2 u2

=

+4 (x - 2)2

u=x-2 u(x) du(x)

= =

x - 2 dx

a2

=

a=2

4

+ C

El integrando

es una fracción

59


integrando

Con los valores de a y u queda 6

=-

2

x- 2

arc tan --

2

x-2 2

= 3 are tan --

+C +C

4.1 Completar el cuadrado cuando el coeficiente de X2 es negativo. Ejemplo:

f 3xdx-x

= 2

Sol. are sen

(2x - 3)

_

Si se completa el cuadrado del denominador se tiene 3x -

X2

= -

(x2

-

3x)

-(~n

- [X'-3X+(~)'

~ _ [(x _~)' _(~ )'] Observa el signo menos que precede al paréntesis rectangular.

~(~J+-~J (~J +-~J u'

a' ~

a=-

3 2 u(x)

=

x --

du(x)

=

dx

3 2

3

+ C

60

CAPíTULO 6.


Al sustituir en el integrando

-- f ...}a du u 2 -

2

integrando

=

u are sen -

+C

a

Con los valores de a y u queda 3

=

x-2"

+C

are sen .-- 3 2

=

are sen

2x-3 -2

=

+C

3

2

=

are sen ~ (2x - 3)

=

are sen

j. (3)

(2x - 3) 3

+C

+C

/

4.2 Completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad Ejemplo:

f 2x -8x+9 dx

=

Sol.

2

Se factortza la expresión 2x2 2x2

-

8x

+9= ==

-

tan

...J2 (x

- 2)

+C

8x antes de completar el cuadrado.

2(x~ - 4x)

+9

2(X~ -

+ 4)- ,4) + 9

.4x

1 ...J2 are

r

Observa que el factor 2 afecta a toda la expresión que está entre paréntesis.

=

2(x2

4x

+

4) - 2 (~)

=

2(x - 2)2

+

1

-

+

9

El integrando

es una fracción

61


=J

dx 2(x - 2)2

+l

r

= 2(x - 2)2 U = V2 (x - 2) u(x) = V2 (x - 2) du(x) = V2 dx

a2 = l

u2

a = 1

multiplicando y dividiendo en el integrando por __ 1

J

__ 1

J

V2

V2dx - --J2 [V2 (x - 2»)2 + 1 sustituyendo

- V2

du u2 + a2

integrando

=

_1_

(lJ

V2a

are tan u

+e

con el valor de u queda 1

= -v2 are

tan

-v2 (x

-

2)

+e

Ejemplos: Integrar. 1.

J ...)9_dx16x2 d2

=

1 4x Sol. - are sen 4 3

u2

9

a=3

U

u(x) du(x)

=

16x2

= = =

4x 4x

4 dx

Se multiplica y divide el integrando por 4

_lJ - 4

4dx

"9 - 16x2

sustituyendo

-lf -

4

"a

du 2-

u2

integrando 1

= -4

u a

are sen -

+e

+

e

62

CAPíTULO 6.


Con los valores de a y u queda 1 4

4x 3

+C

= - are sen -

2.

J Y "'¡y2dy a2

=

16

1 Y Sol. - are sen 4 4

=

+C

16

a=4

u=y u(y)

=

y

du(y)

=

dy

Sustituyendo

Al integrar 1

= -a are see

u -+é a


= .!. are 4

3.

J 25 dy+ 4y2 a2

=

see Ji. 4

+C

=

Sol. u2

25

a=5

U

u(y)

=

4y2

= =

2y 2y

= 2

du(y)

dy


= .!. J 2

dy 25

+ 4y2

sustituyendo

= .!. J 2

du a2 + u2

integrando

1(1)

=- -

2 a

are tan -u a

+C

1

10are

tan

2y

5 +

C

El integrando

63

es una fracción


1(1)

="2 "5 = -la1 4.

f 5ydy + 2y

4

2y are tan 5" 2y

are tan -

+e

+e

5

1 Sol. 2 "';10 are tan

=

a2 = 5 a =..f5

= 2y4 = ..J2 y2

u2 U

= ..J2 y2

u(y) du(y)

='~dy

Se multiplica y divide el integrando por __ 1_

- 2..J2

..J2 ..f5 y2 + e

2..J2

f 2 ..J2 y dy 5 + 2y4

al sustituir

_-l-f - 2..J2

du

a2+ u2

se integra

1 (1)

= --2..J2 -a

u are tan -a

+e

Con los valores de a y u, queda

1 (1)

= 2..J2 ~ 1

= --2 (fO are 5.

f 4cos+ sen y ~y y a2

=

are tan

..J2 y2

..f5 + e

..J2 tan -

-s y2

+e Sol. -21are tan se ny

=

2

4

a = 2

u2

=

sen- y

u

= = =

sen y

u(y) du(x)

Se sustituye

=f

du

a2+u2

sen y eos y dy

+

e

64

CAPíTULO 6.


Se integra

= a-1 are

u

+C

tan a

Con los valores de a y u. queda 1 = -2 are 6.

seny tan --

+C

2

J v9 - dy(y + 1)2 = a2

=

y+l

Sol. are sen -3u2

9

a=3

U

u(y) du(y)

= = = =

(y

+

Y

+ 1 + 1

y

+C

1)2

dy

sustituyendo

-- J -Ja du u

I

!

2 -

~

2

se integra u

= are sen - + C a

Con los valores de a y u. queda

...

= 7.

J -J 1-9tan sec y d~ y 2

a2 = 1 a = 1

y+l are sen -3

+C

=

Sol.

u2

=

9 tan- y

u=3tany u(y) du(y)

= =

3 tan y 3 see2 y dy


_ 1. J - 3

sec2 y (3) dy

-J 1 -

9 tan2 y

sustituyendo

= -31 are

u sen a

+C

3'1 are

sen

(3

tan

y)

+ C

El integrando

es una fracción

65

Con los valores de a y u. queda 1

= 3" are 8.

f

dx 1 + (x - 2)2

a2

=

a

= 1

sen (3 tan

y)

+ C

=

Sol. are tan (x - 2)

= = = =

u2

1

U

u(x) du(x)

(x -

2)2

(x -

2)

+ C

(x - 2) dx

Al sustituir

=f

du

a2+ u2

se integra

= -a1 are

u

tan a

+C


= are tan 9.

(x -

2) + C

f are1 +tan4x2x =

1 4

Sol. - are tan- 2x

2

u

= are tan

2x

u(x)

=

are tan 2x

du(x)

=

1 + 4x2

2dx


= 1.

f are tan 2x (2) dx 1 + 4x2

2 se sustituye

= 1. 2

f u du

integrando 1 u2 =--+C

2 2


= -41 are

tan- 2x

+C

+C

66

CAPíTULO6.


3x dx f are.y¡eos+ 9X2

_ -

2

10.

1 Sol. - - are cos" 3x 9

u

= are eos

3x

u(x)

= are eos

3x

3dx

du(x)

= - .y¡ _ 9x2

Se multiplica y divide el integrando por -3

f

= _ 1. are eos2 3x (-3) 3 .y¡ - 9x2

dx

se sustituye

_1.

3

f u2 du

integrando 3 = - --31 u3 + e


= - "9 are 11.

f (y.yl+ - y2dy 3)

cos'' 3x +

e

+ 3 are sen y + e

Sol. - ~

Común denominador:

=f =f

+

y dy

.yl-y2

f ~ 3 dy

y(l - y2¡-~ dy

u = 1 - y2

=

u(y) du(y)

3

f ~l-y

a2 = 1

1 - y2

= -

+

u2 = y2

a=l

u=y

2y dy

u(y) du(y)

se sustituye e integra la segunda integral 1

= -"2

fu

_.!. 2

du

+ 3 are sen

y

al integrar 1

1 u:2

= - -2 - 1 + 3 2

are sen y

+e

+e

= =

y dy

+e

El integrando

67

es una fracción


12.

f "2xdx_

1

= - (1 -

y2)2

= - " 1-

y2

+ 3 are sen

+ C are sen

y

y

+C

X2

+C

Sol. are sen (x -

-

1) +

e

Se completa el cuadrado 2x -

X2

=

(x2

= -

2x)

-

+

(x2

-

2x

[(x

-

1)2 -

1 - (x -

-f

1 -

1)

1]

1)2

dx " 1 - (x - 1)2

-

a2

=

a

u2

= 1

= (x -

u(x)

= =

du(x)

=

1

U

X

-

1)2 1

x - 1 dx

se sustituye

-f

- "a

du 2-

u2

integrando

= are sen u + C Con el valor de u queda

= are sen 13.

f

X2 -

dx 2x + 1

(x -

1) + C

=

Sol.

Factorizamos

=f

(x ~1)2

=f

(x -

1)-2 dx

u=x-l u(x) du(x)

=

x -

=

dx

1

1 - -x-l

+

C

68

CAPíTULO 6.

Integrales inmediatas

(continuación).


mversas

sustituimos =

J u-

2

du

integramos u-1 =-+C -1


= __

14.

J y2 -

+

C

=

dy 6y - 16

y2 - 6y -

1_ x-l

Sol.

= =

16

(y2 - 6y (y -

+

3)2 -

9) - 9 -

1 L 10

Iy-+ SI + 2

C

1 - -x-l

+ C

Y

16

25

=f

dy . (y - 3)2 -25

=

u2

a2 = 25

(y -3)2

u=y-3 du

=

a=5

dy

sustituimos .

=

f u dua 2 -

2

integramos

=_I_Llu-al 2a u+a

+C


- 1~ =_1 10

15.

f x2-2x+1 dx

LI~=~::I LIY-SI y+2

= =

+C +C

Sol.

f

dx (x - 1)2

f (x - 1)-2 dx = f u- du =

2

El integrando

69

es una fracción

integramos u-I =-+C

-1

)


= _

+C

1 (x - 1)

Ejercicio 5 Calcular las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas.

J 9X~ 16 J -v16-dy y2 ....------.3.

,

J %xdx J

I

I

7.

S

8.

S

9.

S --dx X2-

2x2 dx

x3-JX6

13.

S

14.

S

1 2(y - 2)2

+C

3 Sol. -2 arc sec -x + C

- 9

3

3

dy y-vy2-16

1 JL Sol. ...J5 are sec ...J5 + C

5ydy y4+25

Sol. - arc tan-

\

1

y2

2

5

+ C

1 1 Sol. --+-+C x x3

3

(.x-2 - .x-5 - .x-4)

x

S

e

20/

4

X2

12.

i

Sol. -,--(5x)~ +

Sol. -1 sen+ y + C

S

S

3

+ C

¡+ C

sen" y cos y dy

6.

1lo

Sol. are sen

3x

4

tan

Sol.

S

S

,

1

12 arc

dy (y - 2)3

5.

10.

Sol.

2

dx

111 Sol. - 3x3 + 6x6 + 5x5 + C

4 3

3x

3x sen--¡-dx

Sol. - - cos-

seny dy -V5 - cos- y

Sol. - are sen eosy ...J5

dy y2 - 8y + 20

Sol. 2" are tan -2- +

sec y tan y dy 16 + sec- y

Sol. - are tan --

4

+ C

1

y-4

1

see y + C 4

4

e

70

CAPíTULO 6.


(continuación).

15.

dy J y ..Jy2-

16.

f y2 -

2l.

inversas

1 2

dy 8y + 20

f 1 +dx7x2 dy 18. f ..J- y2 - 6y + 7

20.

trigonométricas

y 2

Sol. - are see - + C

4

17.

19.

Funciones

y - 4 Sol. -1 are tan -+ C 2

2

1 Sol. f7 are tan f7 x + C \

Sol.

y+3 are sen -4-

+ C

f y2 + 8ydy + 25

y+4 Sol. -1 are tan --

f X2 + 2xdx + 10 f dx

x+ 1 Sol. -1 are tan -+ C

4x2 +8x+

5

3

••

3

3

+ C

3

Sol. "21 are tan (2x + 2) + C

22.

y2 dy f y 2..Jy69

Sol. ~ are see ~ + C

23.

f y2 +8dy4y + 7

y+2 Sol. - 8 are tan -+ C -J3 -J3

24.

dx ..J4+6x-x2

Sol. are sen {f3 + C

25.

f -..J94xdx -.0

26. 27.

x-3

Sol. - 2 are sen

-

dy f y ..Jy24 f see y tan y dy 5 +4

see2

y

X2

:3 +

C

Sol. ~ are see .~ + C 1 2 see y Sol. 2 {5 are tan {5 +C

7

Integrales inmediatas (continuación) Funciones exponenciales y logarítmicas

1. Fórmulas de integración exponencial

Je

U

Ja

U

du

= e +e

du

=

U

(_l_J ln a

+e

aU

Ejemplos: Integra. 1.

f

e5x dx

=

u

=

5x

u(x)

=

5x

du(x)

Sol.

= 5 dx

Multiplicamos y dividimos en el integrando por 5

f

= ! __ e _5

(5) . dx_

5x

sustituimos

=! Ie 5

U

du

e integramos 1

=- e + 5

U

e

Con el valor de u queda 1 5

= - e5x + e

71

1

"5

e5x

+

e

72

CAPíTULO 7.


2.

J ~+3

(continuación).

X

dx

Funciones

exponenciales

y logarítmicas

=

So.l

.!. ..» + 3 + C 2 e"

u=x2+3 u(x)

=

x2

+3

du(x) = 2x dx

Multiplicamos y dividimos en el integrando por 2

= 1.. 2

J-

~+3

(2)

x dx

--

luego sustituimos

= -21

Je

U

du

e integramos 1 = -e 2

U

+C

Con el valor de u queda = 1..~+3

+

C

2 3.

J esenx cos x dx u u(x) du(x)

= = =

=

Sol. esen x +

e

sen x sen x cos x dx

Sustituimos

integramos

"

Con el valor de u queda =esenx+c

4.

J x e-62 u u(x) du(x)

= = =

dx

=

Sol. -

-6x2 -6x2 -12x

dx

1 12 e-62 + e

Fórmulas de integración exponencial

73

Multiplicamos y diVidimos el integrando por -12

= -

f

_1_ x e-~ 12

(-12) d.x

Sustituimos

= __

feu . du

1

12

enseguida integramos

=-

1 -e 12

+

U

C

Con el valor de u queda 1 12

=--e-~+C

5.

f (7x -

e2x) d.x

=

7 2

Sol.

u u(x) du(x)

= = =

-

X2

-

1 2x e + C 2

-

2x 2x

2 d.x

Multiplicamos y diVidimos la segunda integral por 2.

=

7

f x d.x -; ~ f e

U

(2) du

integramos 7 2 = -x

2

-

1 -e

-

-

U

2

+C


= -7 X2 2

6.

f

(e3x -

4)2 d.x

1

2

e2x

+

C 1 Sol . -6 e6x

=

Primero desarrollamos el producto

=f

(e6x

-

8e3x

+

16) d.x

6x

u

=

3x

u(x)

= =

6x

u(x)

=

3x

du(x)

=

6 d.x

du(x)

=

3 d.x

u

-

8 3x 3e

-

+ 16x + C

74

CAPíTULO 7.

Integrales

inmediatas

(continuación).

Funciones

y

exponenciales

logarítmicas

Multiplicamos y dividimos por 6 y por 3 la primera y la s~nda integrales. respectivamente.

fe 6

= 1.

(6) dx - 8 3

6x

fe

3x

(3) dx

+

16

de las \

f dx'

sustituimos

fe

= 1.

du - ~ 3

U

6

fe

U

du

+

16

f dx (.

e integramos

= -61 e

U

8 -

-

3

e

U

+

16x

+

C

Con los valores de u queda 1

8

= -6 e6x

-

-

3

e3x

+

16x

+

C

Sol.

=

u u(x)

3 e

-2x

+

C

-2x -2x

=

du(x)

-2 dx

Multiplicamos y dívídímos el integrando por -2

=

3

f e-

2x

(-2) dx

Realizamos la sustitución

=

3

fe

du

U

y la integración

=

3 eU

+

C


=

+

3 e-2x

C

3 e

=-+C 2x

Sol. u u(x) du(x)

= =

-4x -4x

= -4 dx

-

9

-4-

4eX

+ C


75

exponencial

Al multiplicar y dividir el integrando por -4 queda

~f e4

= -

(-4) dx

4x

sustituimos

= - ~

4

fe

U

du

integramos

= - -94 e + U

C

Con' el valor de u queda 9 4x = --e+C 4

9 =---+C 4 e4x

9.

f eXdx = f e-

3x

dx

u

=

-3x

u(x)

=

-3x

du(x)

=

-3 dx

3

Sol. -

1

3"e3X +

C

Multiplicamos y dividimos el integrando por -3 =

_1.

3

f e-

3x (-3)

dx

sustituimos =

_1. f

e du U

3

integrando 1 3

=--eu+C Con el valor de u queda 1 = - 3

10.

e-3x + C

f 3,¡exdx = 3 J =

3

dx

1

(ex) 2

f e-~ dx

Sol. -

6 -x

e2

+ C

\ 76

CAPíTULO 7.


(continuación).

Funciones exponenciales

du(x)

logarítmicas

x

u= u(x)

y

2

x

=

2 1

= - 2 dx

Multiplicamos y dividimos el integrando por -

21

f e _!: ( -21) dx

3

= _l

I

2

2

sustituimos

integramos 6"

= --+ e

C

U

>.


=----y+C e2 11.

J e-X dx = u u(x) du(x)

= =

. 1 Sol. - ex

-x -x -dx

Consideramos el signo "menos" de la diferencial

= -

f e-X (-dx)

sustituimos

= -

Je

du

e-U

+

U

e integramos

= -

C


--+ ex

C

+C


12.

f2

1 Sol. -2x ln 2

=

dx

X

77

exponencial

+ C

u=x u(x)

=

x

du

=

dx

a=2

Sustituimos

=f

a du U

integramos

(_1 Jau + C

=

ln a

Con los valores de a y u queda 1 =--2x+C ln 2 13.

f 3~dx

=

u

=

-x2

u(x)

=

-x2

du(x)

=

-2x dx

Sol. -

2"3 e-x2 +

C

Al multiplicar y dividir el integrando por -2 resulta

= - ~

2

f x (-2)e-

x2

dx

luego sustituimos

= - ~

2

fe

U

du

integramos 3

= - -2

e

U

+

C


= - -3 e-x2 + 2

'.

14.

f

ex

C

I I

Sol.

-dx= x2

u=u(x) du(x)

1

x

= -1 x

=-

1 2 dx

x

-e; + C

78

CAPíTULO 7.


(continuación).


y

logarítmicas

Se considera el signo "menos" de la diferencial I

sustttuímos

Je

= -

U

du

integramos =-eU+C Con el valor de u queda I

= - ex + 15.

J sen u u(x) du(x)

x

eCOS

X

dx

= cos x = cos x = - sen

C

=

Sol. - eCOSX + C

x dx

Se considera el signo menos de la diferencial

= -

J

= -

Je

eCOS X

(-

sen x dx)

sustituimos U

du

enseguida integramos =-eU+C Con el valor de u queda =_eCOSX+C

16.

Je

sen 6x

u u(x) du(x)

= = =

cos 6x dx

1 Sol. - esen 6

=

sen 6x sen 6x 6 cos 6x dx

Multiplicamos y dividimos el integrando por 6

= 1. 6

Je

sen 6x

6 cos 6x dx

6x

+

C

79

Fórmulas de integración y logarítmica

luego sustituimos

integramos 1

=6

e du U


=

1 _esen6x 6

+

gx

17. Jgxdx=

Sol., ln 9

u=x

= =

u(x) du(x)

a=9 x dx


=

Ja

U

du

y la integración

aU

=--+C lna Con los valores de a y u queda gx

=--+C ln 9

2. Fórmulas de integración y logarítmica \

Jdu-=Llul+C u

J tan u du = L I sec u J +
J

du

u2 -a2

C

=

= L I ese u - cot u I + C

I u+a I + C

_1 L u - a 2a

+

C

80

CAPíTULO 7.

Integrales

inmediatas

J a duu 2 -

2

f ""u~u-a

(continuación).

=

exponenciales

y logarítmicas

I aa-+ uu I + C

_1 L

2a

=

2

Funciones

+

L 1u

""u2

-

a2

1

+C

Ejemplos: Integra. dx=l.Jd.x 1 J . 5x , 5

(

I

Sol. L 1 (x)SI

x

+

C

u=x u(x) '-= x

=

du(x)

dx

Sustituimos

integramos

= -1 L 5

+C

(u)


=- L 5

(x)

'

+C

Se considera la propiedad de los logarttmos

= 2.

J

I

L 1 (x)SI

5 dx

= 5

2+ 3x

J

+

C

dx 2+3x

Sol.

u=2+3x u(x) du(x)

= 2+

=

3x

3 dx

Multiplicamos y dividimos por 3

=~ 3 Sustituimos

J

3 dx 2+3x

3"5 L 12 +

3x 1

+C

e Fórmulas

de integración

y

81

logarítmica

integramos 5 L (u) 3

=-

+

C


3.

f (2x X2 -

u u(x) du(x)

= 3"

L

1) dx 6

=

12 + 3x 1 + C Sol. L

X -

= = =

X2

-

X

-

6

X2

-

X

-

6

(2x -

1X2

X

-

61 + C

13x4

-

51

-

1) dx

sustituimos

integramos

=

L (u)

+ C


=

f 3x4-5

4. &dx

L

1~2

-

X

-,61 +

C

=

Sol.

u=3x4-5 u(x) du(x)

= =

3x4 - 5

12x3 dx

multiplicamos y dividimos por 12

=

_1

f

_1

f du

12x3dx 123x4-5

sustituimos

=

12

u

integramos

=-

1

12

L (u)

+

C


= J

_1 L 13x4 - 51

12

+

C

1 12 L

+

C

82

CAPíTULO 7.

Integrales

inmediatas

5.

(continuación).

Funciones

f x+2 x + 3 = f (1 + _1_) x+2

exponenciales

y logarítmicas

dx

Sol. x

+ L [x + 21 + C

Dividimos 1 x+21

x+3

-x - 2 1

=

fdx+

f_1_x+2

dx

u=x+2 u(x) du(x)

= =

+ 2

x

dx

sustituimos

integramos

=x +

L (u)

+ C

Con el valor de u queda =x+Llx+21+C

6.

f sen cos (x+ 2) .dx = + 2) -

Sol. L [sen (x

(x

u = sen (x

+

2) 2)

u(x)

=

sen (x +

du(x)

=

c~

(x

+

+ 2)1 + C

2) dx

=f

~u u

integramos

=

L.(u)

+

\

C

Con el valor de u, queda

7.

f tan (5x u u(x) du(x)

= = =

=

L

1) dx

=

5x -

1

5x -

1

5 dx

1 sen (x

+ 2) 1 + C 1 Sol. S.L [sec (5x -

1)1

+ C


y

83

logarítmica


=

.g f 5 tan (5x -

1) dx


f

= 1. tan 5

u du

integramos 1

= "5

L (sec u)

+C

Con el 'valor de u queda

= 1. L Isec 5

,8.

J lnx x ~ u

.,.1"

=

=

'ln x

u(x) =ln

(5x -

1) I

+C S o. l ln22Ixl

+ C

x

J

du(x) =-'dx . .x


=

f u du

Integramos

Con el valor de u 'queda = ln21xl

+

C

2 Sol. 4 L [x] - 4x Desarrollamos el bínomío cuadrado perfecto

dx =4f -4fdx+fxdx x u u(x)

du(x)

= = =

x: x

dx

X2

+2+

C

84

CAPíTULO 7.


(continuación).

y


logarítmicas

sustituimos en la primera integral

integramos

=

X2

4 L (u) - 4x

+2+ C


= 10.

f cos- . 6 dxtan X

Como sec x

X2

+2+C

4 L [x] - 4x

Sol.

(x - 3)

= --

1

cosx

elevamos al cuadrado ambos miembros queda sec- x

1 = --coss

x

sustituimos

=

f

sec2 x dx 6 tan (x - 3) u

= 6 tan

(x -

3)

u(x)

=

6 tan (x - 3)

du(x)

=

6 sec- x dx

multiplicamos y dividimos por 6

= 1.

f

6

6 sec2 x dx 6 tan (x - 3)

nuevamente sustituimos

integramos

= -61 L

(u)

+C


= (3 L 16 tan

(x -

3) I

+C

(31 L 16 tan

(x - 3) I

+C


1l. f~=

Sol.

x2-9 u2

=

a2

x~

(x)

du(x)

=

=

85

1. L 1x - 31 + C x+3

6

u=x r

y logarítmica

9

a=3 x

= dx

sustituimos

=

f

du u2

-a2

integramos

Con el valor de a y u queda

12.

f (eX + sec

2

x) dx

=

Sol. L I eX

eX+tanx

+ tan x] + C

u=eX+tanx u(x) du(x)

= =

+ tan x (eX + sec- x)

eX

dx

sustituimos

integramos

=

L (u)

+

C


= 13.

f exeX +-

L IeX + tan x] + C

=

e-X dx e-X

u

=

eX

+

e-X

u(x)

=

eX

+

e-X

du(x)

=

(eX - e-X) dx

Sol. LleX

+ e-xl + C

86

CAPíTULO 7.


(continuación).


y logarítmicas

sustituimos

integramos

=

L

+ C

(u)


=

L leX

+ e-xI +

C

Sol. u

=

u(x) du(x)

-3x2

1

-"6

( 1) .

2-3¿ L 2 + C

a=2

-3x2

=

-6x dx

Multiplicamos y dividimos por -6

J 2-~

= - l

6

(-6) x dx

sustituimos

= _l6 J a

U

du

integramos

(_1_) aU + C

= _ l

6 La

Con el valor de a y u queda

= _ l

6

15.

2-3¿ (_1_) +C L2

x-s cos x dx = J sen cosx

Sol. L I sec x]

Común denominador

=

J sen x dx + J cos x dx cosx cosx

=Jtanxdx+Jdx

integramos

=

L I sec x]

+x +C

+x + C


16.

f tan 2x dx u u(x) du(x)

=

Sol.

y 1

87

logarítmica

L [sec 2xl

+

e

-vx + tan -vxl

+

e

+ tan x +

e

2"

= 2x

= =

2x

2 dx


= ~

f tan 2x

= 1..

f tan u du

2

(2) dx

integramos 1

= 2"

+e

L (sec u)

sustituimos el valor de u queda 1

= 2"

17. f sec -vx ~ U

u(x)

= =

I +e

=

Sol. -2 L [sec

1

x2 1

x2

1

du(x)

L I sec 2x

= - ~

2

_.!. X

2

dx

=

__ l_dx

2-vx

Multiplicamos y dividimos por -2

=

-2

f (-

=

-2

f sec u du

=

-2 L (sec u

Ir sec

2'1x

1x dx

integramos

+ tan

u)

+e

luego sustituimos el valor de u queda

= 18.

f

(1

+ tan

X)2

-2 L [sec

dx

=

-vx + tan -vxl

+e Sol. 2 L I sec x]

Desarrollamos el bínomío cuadrado perfecto

=

f (1 + 2 tan x + tan- x) dx

88

CAPíTULO 7.

Integrales

inmediatas

(continuación).

=

como tan- x


y

logarítmicas

sec- x - 1


J (l' + 2 tan x + sec- x - l') dx = J (2 tan x + sec- x) dx =

J tan x dx + J sec- x dx

=

2

=

2 L 1 sec x]

integramos

19.

J 5x3-3 x2+2

=

+ tan x + C 5x 2: -5L 1 2

Sol.

X2

x

+ 21 - 3 are tan --f2 + C

Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. se divide

X2

+

5x 5x3 - 3 -5x3 - IOx

21

-

lOx - 3

entonces 5x3-3 X2 + 2

---

=

5x

-lOx-3 X2 + 2

+ ----

sustituimos

+ 3)dx x2+ 2

lOx

=5 f xdx.

-'-dxflOx X2 + 2

integramos la segunda integral f~dx= x2+ 2 u=x2+2 u(x) du(x)

=

x2

+2

= 2x dx

sustituimos

a2 a

= 2 = --f2

f --dx 3 X2

+2


89

y logarítmica

integramos

=

5 L (u)

+ C


=

5 L Ix2

+

21

+ C

Integramos la tercera integral J_3_dx= x2+2

a2 a

u=x du(x)

=

=

2

=.J2

2x dx

sustituimos

I

=

3

=

3

J u du +a 2

2

integramos

(!)

are tan ~

+C

Con los valores de a y u queda 3 x = -{2 are tan .J2 + C Teníamos que:

J 5x

3

x2

-

3 dx

+2

=

5

J x dx _ J lOx dx _ J X2

+2

3 dx +2

X2

/

Si calculamos la primera integral y sustituimos cada uno de los resultados de las integrales segunda y tercera nos queda ,

'"

5~

x

3

= 2 - 5 L 1X2 + 21 - .J2 are tan -{2 + C

\.

Ejercicio 6 ,', )

Calcular las integrales siguientes. Se incluyen ejercicios de otras integrales inmediatas.

l. 1. Jé>:dx

Sol. Sol.

.\

3 .

f

dx

3x2 + 25

\

.,[3

L-

SO~5~BrC

tan

5x

+ C

90

CAPíTULO 7.


4. S

(continuación).

..J4 -

dx 16x2

exponenciales

y

logarítmicas

Sol.

¡1 are

sen x + C

1

5. S dy

Sol. 7Llyl+C

7y

1 3

2

6. S ln y dy

Sol. -Vlyl+C

y

S

Funciones

1 9

dy

Sol. - L 15 - 9yl +C

5 - 9yS 3x2

-

5>Jx dx

3 2

1O>Jx+ C

Sol.

-x2

Sol.

'3

10. S ecot 2x

Sol.

1 - - ecot 2x + C 2

1l. S y3 ey4 dy

Sol. .~ ey4 + C

8.

x

9. S ..J5 + 2y dy

12.

S (e 2x

-

x

e -2) dx

13. S (e2x + 3)2 dx 14.

S 3x2dx

la - 4x3

S In (x - 3) dx 15. x-3

16.

17.

S ese- x dx 3-8eotx S (x2 + 3) dx x+1

18. S 9 e3x dx 19.

S e5x + e-4x

e2x

1

-

~ (5 + 2y)2 + C

~x

Sol.

x

2(e2+e-2)+C

1 4

Sol. - e4x + 3e2x + 9x + C

Sol.

1 - - Lila 4

'\

1 2

Sol. -ln2

Sol.

Ix-31

+C

1 8 L 13 - 8 eot x] + C X2

Sol. -

Sol.

- 4x31 + C

2

3

- x + 4L [x + 11 +

e

r

e3x + C

1 3

Sol. - e3x - 6 e- 6x + C

20. Sdx eX

Sol.

1 --+eX

2l. S eseny eos y dy

Sol.

eseny + C

22. S 102x dx

Sol.

C >.

102x

21n la + C

Sol.

23. f 35y dy

91

y logarítmica


35y 5In 3 + C

I I

24. f eY2 ~y y2

Sol. 2 eY2 + C

25. f 32x dx

Sol.

26. f (e3x + 73x) dx

Sol. -1 (e3x+-- 7 ) + C 3 In 7

27. fx3~dx

Sol.

~ 2In3

28. f -.J9::- 2

Sol.

"31 L

32x 2In3

+ C 3X

,

+ C 13x + -.J9x2- 2

I

+C

/

Sol. -L 1 12

29. f4x~9 30. f (tan 5x - eot ~ x) dx 3l.

32.

. ""

f eo~x f 8xdx 3-ex2

Sol.

1

"5

2X 3 - 13 2x+

L (see 5x) -

Sol.

1

"5

+ C

1

2

"3

3 L I sen"2 x] +C

L [sec 5x + tan 5xl +C

4 Sol. - L 13 - ex2 e

+ C

1

33. f tan 2x dx

1 Sol. "2 L I see 2x

34. f see 5x tan 5x dx

Sol.

"5

35. f ese- 5x dx

Sol.

1 - - eot 5x + C 5

36 . f x3 see2 x4 dx

1 Sol. ¡tan.0+C

37. f

dx 16 - 4x2

Sol.

dx (x - 3)2 + 4

Sol. "2 1 are tan (X-3) -2-

38.

f

39. f~

1

1

I

+ C

see 5x + C

16L

/4+2XI 4-2x

+C

+ C

Sol. Llx-21+C

x-2

40. f x eot X2 dx

Sol. L [sen x21 + C

41. f sen x + eos x dx

Sol. L I see x] + x + C

eosx

92

CAPíTULO 7.


42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.

(continuación).

f sen


rx dx rx

f 2 sec 4y

y

logarítmicas

Sol. -2 cos

rx

+ C

1 Sol. "2 L [sec 4y + tan 4yl +C

dy

f x cot x2 dx f sec4y d tan 4y Y

1 Sol. "2 L 1sen x21 + C

f -2y dy- y2 f dx

1 Sol. - -L

1 Sol. ¡ L 1tan 4y 1 + C

2

Sol.

5-9x2

f X2 dx+ 16

y+2

1--1y

+ C

I~

3x

1 L ~ + 6...f5 -3x l 1

X2

8

4

Sol. - arc tan -

+C

+ C

Resumen de las integrales inmediatas Se citan en el orden en que se han aplicado, y al igual que su número pueden ser modificadas según las indicaciones que al respecto señale el profesor. 1. fkdx=kx+C

2. f kf(xl

= k f (xl + C

3. f l!(x)

± g(x)] = f J(x)

4.

f

Un

un+ du = --

1

n+l

dx + f g(x) dx

+ C

con n

:#

5. f u-1 du = f du = In lul+C=Llul u

6. 7.

f sen u du = - cos u + C f cos u du = sen u + C

8. f sec u tan u du = sec u + C 9.

S sec-

u du = tan u + C

10.

S ese u cot u du

11.

S ese-

= - ese u + C

u du = - cot u + C

-1 +C

Resumen de las integrales inmediatas

12.

f

13.

du f --;;---;;a +u

14.

f u "Vudu a

du 2

_1

'la -u 2

2

U

=

2

a,

= -1 are a

2-

e

are sen -..r

.u

tan a

= -a1 are

2

+e u

see a

/

+e

f e du = e + e 16. f a du = (_1 ) a + e In a 17. f tan u du = L I see u I + e = - L I eos u I + e 18. f eot u du = L I sen u I + e 19. f see u du = L I see u + tan u I + e 20. f ese u du = L I ese u - eot u I + e = - L I ese u + eot u I + e du __ 1 L I u - al + e 21. f u a 2a u+ a 15.

U

U

U

2 -

U

2 -

22.

f a duu

23.

f ...¡u~u-a

2 -

__ 1 L 2

-

2

2a

=

L Iu

Ia + u I

+e

a- u

+

"'¡u2

-

a2

I+e

93

8

Métodos de integración. Integración de funciones trigonométricas

1. Introducción Cuando se trata de obtener la solución de una integral es probable que ésta no esté considerada con alguna de las fórmulas de las tablas de integrales que incluyen los textos. Sin embargo. los métodos de integración que a continuación se desarrollan ayudan a transformar esas integrales en otras que se resuelven con las fórmulas de referencia. En la solución de las integrales directas e inversas se aplicaron las fórmulas de integración correspondientes y. en algunos casos, fue necesario realizar algunas sustituciones para obtener el resultado. Ahora procedemos a considerar las integrales trígonornétrtcas de la forma:

f sen'" u cos" u du f tan?' u sec" u du f cot'"

u ese" u du

f sen mu cos nu du tales como:

f cos- 4x dx; f sen- (3x +

2)

cos (3x

f tan+ 3x dx; f tan? x sec" x dx;

94

+

2) dx;

Integración

de la forma

f senm u cos? u du

95

2. Algunos procedimientos de solución Para integrar estas expresiones se aplican los procedimientos ya estudiados; además, donde proceda S~ usan las fórmulas que se conocen como "del ángulo medio" y que fueron demostradas en el libro Matemáticas 11. Geometría y trigonometría citado en el apartado 5.1 Y se transcriben a continuación: 1 1 - cos 2x 2

sen- x

= ----

cos- x

= ----

3. Integración de la forma

1 + cos 2x 2

f sen" u cos" u du

Se presentan dos casos:

Primer caso: m y n son pares y positivos, o alguno.de ellos es nulo. Se aplican las fórmulas del ángulo medio para bajar el grado-de la expresión. Ejemplos: Integra 1.

f sen- x cos- x dx = con m

x 1 Sol. - - sen 4x 8 32

+

e

= 2

n=2

como 1 - cos 2x 2

sen- x

= ----

cos- x

1 + cos = ----

2x

2

Multíplícamos miembro a miembro las dos igualdades anteriores. Recordamos que el producto del bínomío conjugado es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. sen2 x cos- x

= -1 (1

- cos 2x)(1

= -1 (1

-

4

4

1 Véase.

Fuenlabrada, 1995. pág. 126.

+ cos 2x)

cos- 2x)

Samuel. Matemáticas 11. Geometría y trigonometría.

McGraw-Hill. México.

96

CAPíTULO8.


Sustituimos en el integrando.

J sen-

J¡

=

x cos- x d.x

cos- 2x) dx

(1 -

=!

4

J d.x - !4 J cos- 2x d.x

aplicamos a la segunda integral la identidad. cos+ x

1 + cos = ----

2x

2

entonces. cos- 2x

1 + cos = ----

4x

2

Calculamos la primera integral y sustituimos

= ~ - ! J cos4

=

4

2x d.x

s. _ ! J (1 + cos 4x) d.x 4/

4

x -18" 1 =¡

2

J d.x - '8l-J ¡cos 4x d.x

L integramos

=

x _ ~ _

4

! (!)f

884

= -x - -x - - 1 4

8

1 = -x8 - -32

2.

f cos-

4x d.x

con m

=

=

sen 4x

sen 4x

+e

Sol.

O

n~ 2 como 1 + cos 2x cos2x = ---2

entonces cos- 4x

32

4 cos 4x d.x

1 + cos = ---2

8x

x

1

'2 + 16

sen 8x

+e

Integración

de la forma

f senm u cos/'

u du

97


=f

~ (1 + cos 8x) dx = 1- f dx + 1- f cos 8x dx 2 2

integramos. y complementamos la segunda integral

=~ + 2

1-2 (1-) f 8 cos 8x dx 8

x 1 = - + - sen 2

3.

16

f sen+ x dx = con m

8x

+

e 3x 1 Sol. - - sen 2x 8 4

= 4

n=O Factorizamos

=

f (sen- x)2 dx

como sen+ x

1 - cos 2x 2

= ----

entonces

Desarrollamos el bínomío cuadrado perfecto

=

f

=

f dx444- ~ f cos 2x dx + 1- f cos- 2x dx

1 - 2 cos 2x + cos2 2x dx 4

Aplicamos a la última integral, la identidad cos+ x

1 + cos 2x = ---2

queda cos- 2x

1 + cos 4x = ---2

f

= -dx - -2 4

4

f cos 2x dx + -1 f 4

1 + cos 4x d x 2

1 sen 4x 32

+-

+

e

98

CAPíTULO 8.

Métodos de integración.

Integración

de funciones

trigonométricas

Resolvemos las tres primeras integrales

l (l) f l f l (l) f =~ - l l (~) l (l)(l) f

=~ -

2 cos 2x dx +

422

sen 2x

44

+

42424

dx 4242

+

+

cos 4x dx

4 cos 4x dx

integramos

x

1

4

4

= - - - sen 3x

=-

8

1

2x

- - sen 4

x 1 + - + - sen 4x + e

2x

8

32

+-

1

32

sen 4x +

e

Segundo caso: m o n son impares y positivos. Si m es impar y positivo. se factoriza la función sen x dx y se aplica la identidad pítagórtca sen- x = 1 - cos- x Si n es impar y positivo. se factoriza la función cos x dx y se aplica la identidad pítagórtca cos- x = 1 - sen- x

Ejemplos: l.

f sen x dx = cos> 3

1 Sol. 4 cos+ x

X

como m = 3. es impar y positivo

f

= sen"

x cos=" x dx

como sen" x

=

sen- x sen x

sustituimos

=f

sen- x cos=" x sen x dx

con sen? x

=

1 - cos-

X

sustituimos

f cos- x) cos- x sen x dx = f cos:" x sen x dx - f cos=" x sen x dx

=

5

(1 -

u u(x) du(x)

= =

cos x cos x

= - sen

x dx

1

2 cogZ x

+

e

Integración

de la forma

f senm u cos? u du

99

sustituimos

- f u-

du

5

+

f u-

3

du

integramos

= - - 1 u-4 + - 1 u-2 + -4

-2

C

Con el valor de u queda 1 4 cos+

2.

f serr' x cos'' x dx

1 ---+C 2 cos- X

X

= =

Sol.

sen5 x _ sen 7 x + C 5

f cos-' x sen+ x dx

Como n = 3. es impar y positivo como cos-' X

=

cos-

X

cos

X

sustituimos

=f

cos- x sen+ x cos x dx

con cos-

X

=

1 - sen- x

sustituimos

f (1 - sen- x) sen+ x cos x dx ~ f sen+ x cos x dx - f sen" x cos x dx

=

u u(x) du(x)

=f

sen x

=

sen x

= cos

u4 du -

x dx

fu

B

du

integramos u5

u7

=---+C 5 7 Con el valor de u queda

sen- x sen? x =-----+C 5 '1

7

100

CAPíTULO 8.



Integración

f tan

m

de funciones trigonométricas

u sec" u du

También se presentan dos casos.

Primer caso: m es impar y positivo. Para integrar estas expresiones se factortza sec x tan x dx. A continuación aplicamos la identidad pítagórtca tan- x = sec- x - l.

3.

f tan'' x sec" x dx =

S o.l

sec7 x _ sec5 x 7 5

+ C

como m = 3 es impar y posítívo, tan'' x

= tan-

sec'' x

=

x tan x

sec+ x sec x

sustituimos

=

f sec+ x tan- x (sec x tan x) dx

como tan-

x

=

SeQ.2 X

-

1

sustituimos

f sec+ x (sec- x - II (sec x tan x) dx = f (sec" x - sec+ x) (sec x tan x) dx = f (sec" x) (sec x tan x) dx - f sec+ x (sec x tan x) dx

=

u uíx) duíx)

=

= = =

fu

du -

u7 7

u5 5

6

sec x sec x sec x tan x dx

fu

4

du

integramos =---+C


=

sec7 x _ sec5 x

7

5

+

C

Integración

de la forma

f cotm u ese? u du

101

Segundo caso: m es par y posítívo. Para integrar estas expresiones se factoriza sec x dx. A continuación se aplica la identidad pítagórtca sec- x = 1 + tan- x 4.

f tan-

x sec+ x dx

tan> x Sol. -3-

=

tan- x

+ -5-

+C

como m = 2, es par y positivo, sec+ x

=

sec- x sec- x

sustituimos

=f

tan- x sec- x sec- x dx

ese

PIUPAI?ATO/;>IA 'G>.'Al fN/;>IOUE RAMtlnr INCOIIPOIlAOA A lA UN/VI w')IUAD ""eHOACANA ()E :'4N NI("Ot~s ()f HlnAIGO CO LAZAAO CAiotN4S. M/CM

como sec- x

=

1

+ tan-' x

sustituimos

f tan- x + tan- x) sec- x dx = f tan- x sec- e dx + f tan+ x sec- x dx

=

(1

u=tanx

= tan

uíx)

=

du(xl

=

sec- x dx

fu

du +

u3

u5

3

5

2

x

fu

4

du

integramos =-+-+C Con el valor de u queda tan'' x =--+--+C

3


f

tan> x

5

cotm u ese" u du

Para integrar estas expresiones se factoriza cot x dx. A continuación se aplica la identidad pttagóríca cot- x = ese- X - l. Si se factor iza ese x dx se aplica la identidad pítagórtca ese- x = 1 + cot- x.

102

CAPíTULO 8.


Integración

de funciones

trigonométricas

Ejemplos: 1.

f cot''

X

dx

cot+ x cot- x Sol. - -+ -+ L I sen x] + C 4. 2

=

con m = 5 n=O cot''

X

= cot'' x cot- x

sustituimos

f

= cot" ,o'

x cot- x dx

como cot- x

= ese-

X

1

-

sustituimos • \ln.

'!'I...,

,1)

-,.v¡ ~I,

f cot'' (ese? = f (cot-' x ese- x -

11<

'

-\s ..., :., ~. ~lt,"~ Q.t.C:- .• ,'.! 4~1 ~·.I:" .l.'~.~'" t,

=

J ••.••••• '"

1 ¿'~~1u ~,_ •.

')

I~

t·" ) ~

X

J cot" = f cot.3

=

X

-

1) dx

cot'' x) dx

X

dx -

f cot"

X CS¿2 X

dx -

f cot- x cot x dx

ese-

X

X

dx


f

= cot3 X ese=

J cot"

X

dx -

X

dx -

= cot x = cot x = - ese-

u u(x) du(x)

= -

ese-

X

fu

3

du +

X

f (ese- 1) cot x dx f cot ese- x dx + f cot x dx X -

X

dx

f u du + f cot x dx

integramos u4

-4

+

u2

2

+ L (sen

x)

+

e


cor' x

= ---+--+L 4

cot- x 2

[sen x] +C ..

Integración

2.

f cot-

ese"

X

dx

X

de la forma

=

S o.l

f sen mu cos nu du _

cot3 3

X

_

cot5 5

103 X

+C

= 2

con m

n=4 ese+

X

=

ese?

X

ese-

X

sustituimos

=

f cot? x (ese- x ese- x) dx

como ese-

X

=

1

+ cot? x

sustituimos

f

= cot-

x (1

+ cot-' x) ese-

x dx

f (cot- x ese- x + cot+ ese- x) dx = f ccot ese- x dx + f cot+ ese- dx =

X

2X

X

X

u= cot x

= cot x

[¡{(x)

ese- x dx

du'(xj=-

= -

J

u2 du -

J

u4 dú

integramos


= _

cot3

3


X

_

cot5

X

+C

5

f sen mu cos nu du

Para integrar estas expresiones se aplican las fórmulas de productos de senos y cosenos 1

cos u cos

v

= "2

sen

v

= "2 [cos

u

sen

1

[cos

(u

+ v l + cos

(u -

u) - cos

(u -

(u

v l]

+ ul]

104

CAPíTULO 8.

Métodos

de integración.

Integración

de funciones

trigonométricas

Ejemplo:

f cos 5x cos 2x dx =

Sol.

1

14

sen 7x +

1

"6 sen

3x

+

e

Aplicamos la primera de las identidades antes señaladas en el párrafo anterior. 1

= "2

cos 5x cos 2x

1

= "2

[cos (5x

+

(cos 7x

+ cos

+ cos

2x)

(5x - 2x)]

3x)

sustituimos en el integrando y se tiene 5x cos 2x dx

feos

= ~

f (cos 7x

=~

feos

7x dx u

u(x) du(x)

=~

(t)

+ cos

= =

3x) dx

+ ~ feos 3x dx

7x

u

=

3x

7x

u(x)

=

3x

du(x)

=

3 dx

= 7 dx

feos

7x (7) dx

+~

(i)

f cos 3x (3) dx

integramos 1

= 14

sen 7x +

1

"6 sen

3x

+

e

Ejercicio 7 A efecto de notar la diferencia con las integrales trígonornétrtcas directas, completa el desarrollo que falta en los ejemplos siguientes: 1.

f cos (3 + 2x) dx

"21 sen

=

Sol.

=

Sol. tan (x - 2) - x

(3

+ 2x) +

e

u=3+2x

du(x)

= =

f tan-

(x -

tan 2

= sec- x - 1

u(x)

2.

3.

f

X

3

+

2x

2 dx 2) dx

3) dx

ese? (x2

-

u

=

x2

-

3

u(x)

=

X2

-

3

du(x)

=

2x dx

X

=

Sol.

-"21 cot

(x2

-

+

e

3) +

e

Integración

f tan'' 2x sec- 2x dx =

4.

f sen mu cos nu du

de la forma

Sol. -

1

12

105

+

tan" 2x

C

u=tan2x u(x) du(x)

=

tan 2x

= 2 sec2 2x

@

dx

.f

tan2X = cos2 2x

1 Sol. - tan- 2x 4

+

C

"32 "'¡sec3x +

C

1

secx =-cosx

6.

f tan 3x "'¡sec3x dx

Sol.

Multiplicamos y dividimos el integrando por "'¡sec3x Integra. Se incluyen algunas integrales trígonométrtcas

directas.

3

3 + 20 sen 10x + C

1 9

1 3

7.

S 3 cos-'

8.

S tan+

3x dx

Sol. - tan" 3x - - tan 3x + x + C

9.

S sen>

2x dx

Sol. - - cos 2x + - cos" 2x

10.

S sen+

2x cos 2x dx

Sol. - -

1l.

S

12.

J sen+ 3x dx

13.

J cos- x dx

Sol.

S tan+ x dx

1 Sol. - tan" x - tan x + x + C 3

Sol.

5x dx

"2 x

1 2

1 6

+C

1 cos 2x + C 10

sen 2x dx 1 - cos 2x

Sol.

Sol.

3

'8 x

-

!L 11 2

1

12 sen x

"2

+

1

cos 2x1 +C 1

6x + 96 sen 12x

¡ sen

+C

2x + C

, 14.

=

Factorizamos

=S

tan- x fun2 x dx

como tan- x

= sec- x - 1

106

CAPíTULO8.


sustituimos

=f

tsec-

=f

(tan- x sec- x - tan- x)

x - 1) tan- x

d.x

d.x

f tan-' x sec- x d.x - f tan- x d.x = f tan- x sec- x d.x - f (sec- x -

=

1)

d.x

u=tanx u(x) = tan x du(x)

=f

=

sec- x

d.x

f sec- x + f d.x

u2 du -

integramos

u3

=--tanx+x+C 3


= - tan" x - tan x + x + C 3 15.

f 5 sen- x cos x

d.x

5

Sol. - sen" x 3

=

+

C

u = sen x u(x) = sen x du(x) = cos x d.x

Sustituimos

fu

=

5

=

5-+

2

du

integramos

u3 3

C


= -3 sen'' x + 16.

f

sec+ 3x d.x

C

1

=

Factorízamos

=

1

Sol. - tan 3x + - tan'' 3x + C 3 9

f secé 3x sec- 3x d.x

Integración

de la forma

J sen mu cos nu du

107

como sec- 3x

= 1 + tan-

3x

sustituimos

=

J

=

J sec- 3x dx + J tan- 3x sec

(1

+ tan-

3x) sec- 3x dx 2

u

= tan

= =

u(x) du(x)

=

J sec

2

3x dx

3x

tan 3x 3 sec- 3x dx

J

+ .! u2 du

3x dx

3

integramos

= -31 tan

3x

1 u3

+- -

3 3

+C


= -31 tan 17.

J

ese? 3x dx

3x

=

1

+ - tan'' 9

3x

+e 1

Factorizando

=

J csc

2

3x ese- 3x dx

como ese- 3x

= 1 + cot2

3x

sustituimos

J + cot- 3x) ese- 3x dx = J (ese- 3x + cot 3x ese- 3x) dx = J csc 3x dx + J cot- 3x ese- 3x dx

=

(1

2

2

= - .! cot 3·

3x -

1

Sol. - - cot 3x - - cot" 3x 3 9

•

u

=

cot 3x

u(x)

=

cot 3x

du(x)

=

3 ese- 3x dx

.! J u2 du 3

+C

108

CAPíTULO8.


integrando 1 u3 3x - - -

1 = - -333 cot

+ C


= - -31 cot 18.

f sen" 7x cos 7x dx

+ C

=

sen 7x

u(x)

= =

du(x)

=

7 cos 7x dx

u

1 3x - - cot'' 3x 9

Sol. -

1

42

sen" 7x + C

sen 7x

= l. 7

fu

5

du

Integramos 1 u6 =--+C 7 6

Con el valor de u queda 1 = -42 sen"

19.

4xdx f 2sen- cos4x u u(x) du(x)

+

C

=

Sol.

= 2 - cos

= =

7x

¡1 L 12 -

cos 4x 1 + C

4x

2 - cos 4x 4 sen 4x dx

integramos

= -1 L 4

(u)

+ C


= ¡ L 12 - cos 20.

f tan+ x sec+ x dx

4x 1

+ C tan'' x

=

Sol. -5-

Factorizamos

=f

tan+ x (sec? x sec- x) dx

/

tan? x

+ -7- +

C

Integración

de la forma

f sen mu cos nu du

109

como

=

sec- x

1 + tan- x

sustituimos

f tan+ x (1 + tan- x) sec- x dx = f (tan+ x sec- x dx + tan" x sec- x) dx =

u=tanx

du(x)

= tan x = sec- x

u5

u7

u(x)

dx

integramos =-+-+C 5 7 Con el valor de u queda tan" x tan? x =--+--+C 5 7 21.

f sen 5x sen 3x dx

=

Sol.

¡1 sen

2x -

1 16 sen

8x

+ C

Como sen u sen

v

1

= 2"

[cos (u -

cos (u +

v) -

v)

l

sustituimos =

f ~ (cos 2x -

=~

cos 8x) dx

f cos 2x dx

- ~

f cos 8x dx

integramos 1

= ¡ sen 22.

x dx f sec4 '>/tanx-

2x -

1

16 sen

_

Sol. 2 -Ytanx

=f

tan ~ x sec+ x dx

Factorizamos =

f tan -~ x sec- x sec- x dx

como sec- x

8x -: C

= 1 + tan- x

+ ~ '>/tan5x + C

110

CAPíTULO 8.


Integración

de funciones

trigonométricas

sustituimos

=

J tan -~ x (1 + tan- x) sec- x dx

=

J (tan -2 x sec- x + tan 2 x sec- x) dx

=

J tan -~ x sec- x dx +' J tan % x sec- x dx

I

3

u=tanx uíx) duíx)

= =

tan x sec- x dx

integramos I

5

u2 u2 =-+-+C 1 5

-

2

-

2 2 5

=2~+-M+C Con el valor de u queda

=

2 ...Jtanx

2 ...Jtan5x + C + "5

9

Métodos de integración Integración por partes

1. Fórmula de integración por partes

La integración por partes tiene por objeto calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de la misma variable. Se basa en la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones. misma que se demostró en el ya citado libro de Matemáticas Ni. que se escribe a continuación. d(u v)

=u

dv

+

v du

Integrando ambos miembros resulta uv

= Ju

dv

+

Jv du

se despeja la primera de las dos integrales: uv -

Jv du = Ju dv

Se obtiene la fórmula de integración por partes

Ju dv = u v - Jv du Se usa para integrar gran número de integrales no inmediatas que se plantean como producto de funciones algebraicas. logarítmicas y trigonométricas inversas tales como:

Jx cos x dx; JIn x dx; Jx "'¡x - 3 dx; Jsen

1 Véase

2

x dx;

Jarc tan x dx.

FUenlabrada. Samuel. Matemáticas N. Op. Cit.. p. 60.

111

112

CAPíTULO 9.

Métodos de integración. Integración por partes

2. Procedimiento de integración por partes Para aplicar la fórmula procedemos en la forma siguiente:

Ejemplos: Integra 1.

Jx cos x dx

Sol. x sen x

+ cos x +

e

Se descompone el integrando en dos factores. uyv

De la expresión del integrando que se iguala a u , se calcula su diferencial. u=x

du

= dx

Lafunción en apariencia más complicada y que contiene a dx se iguala a du . du

= cos x

dx

Para obtener el valor de u se integra la expresión que se igualó a du. u

v

= Jcos x = sen 'x

du

La expresión del integrando que se iguala a du debe serfácilmente integrable.

Los valores obtenidos de u, du y de u, se sustituyen en la fórmula, para proceder a integrar.

Ju du = uu - Ju du

Jx cos x dx = x sen x - Jsen x dx Integrando

=x =x

sen x - (- cos x) + sen x + cos x +

e

e

La elección de cuál expresión es u y cuál dv del integrando es arbitraria y es la acertada cuando la integral del segundo miembro resulta más sencilla que la función inicial. De no ser así, habrá que hacer una nueva elección.

Procedimiento de integración por partes

2.

Jx sen x dx =

Sol. sen x - x cos x

u=x du

dv

= dx

v

= sen x

113 +C

dx

Jsen x dx

=

=-

cos x

Sustituimos en la fórmula

Ju dv = uv - Jv du Jx sen x dx = x(- cos xl - J(- cos xl dx = -x cos x + Jcos x dx integramos

= -x cos x + sen x + C = sen x - x cos x + C La expresión resultante fue más fácil de integrar que la original. Para continuar con el mismo ejercicio vamos a observar lo que sucede si elegimos a u y a dv de manera diferente :

Jx sen x dx = u du

=

sen x

= cos x

dv v

dx

=x

dx

= Jx

dx

X2 V =-

2


Ju dv = uv - Jv du = X2 sen x 2

_

J

X2

cos x dx

2

Resulta eVidente que la integral del segundo miembro es más complicada que la expresión inicial. por lo tanto, la elección que ahora hicimos no es la más conveniente . Es muy importante seleccionar del integrando la parte que sea u y cuál dv .

Al calcular v a partir de dv se debía haber sumado la constante C, pero al calcular la segunda integral aparece otra constante . Como la suma d e dos constantes es una constante, ésta se agrega al final. En algunos casos, este método de integración será necesario aplicarlo a una misma función varias veces, en forma sucesiva.

114

CAPíTULO 9.


3.

SX2 COS x

dx

=

Sol. x2 sen x + 2x cos x + 2 sen x +

u = X2 du

=

= cos x

dv

dx

= Scos x

v

2x dx

e

dx

= sen x

v


S u dv = uv - S v du = X2

sen x -

Ssen x

= X2

sen x -

S 2x sen x

(2x) dx

dx

Es necesario realizar una segunda integración por partes en:

S 2x sen x u du

=

dx

= =

dv

2x

= 2dx

sen x dx

= S sen x dx = - cos x

v v

sustituyendo en la fórmula

=-

2x (- cos xl -

S-

cos x (2) dx

Por lo tanto,

SX2 COS x

=

dx

x2 sen x - 2x (- cos xl -

S-

2 cos x dx

integramos

= X2 4.

sen x + 2x cos x + 2 sen x +

1 2

Sx e 2x dx =

Sol. x - e 2x

u=x du

=

= e 2x dx

dv dx

v

= l S e 2x dx

v

=

2 -1 e 2x 2


=x l

2

e 2x

-

Sl

2

e 2x dx

= x l e 2x - l Se 2x 2

2

(2) dx

integramos

=x

e

1

1

2

4

- e 2x - - e 2x

+

e

1 2x e + 4

- -

e


5.

f x cos 3x dx =

Sol.

u=x

=

du

1

3" sen 3x + 9" cos 3x + e

= cos 3x

dv

=

v

dx

x

115

v

feos 3x dx

=~

feos 3x (3) dx

= -1

sen 3x

3


=x

(~) sen 3x - ~ 5sen 3x dx

x sen 3x - 9"15 sen = 3"

3x (3) dx

integramos

x = 3" sen 6.

5x sec

2

x dx

=

l

9" cos 3x + e Sol. x tan x - L Isec

=

u=x du

3x +

dv

v v

dx

=

sec 2 x dx

= 5sec 2 x =

xl + e

dx

tan x


= xtanx-5 tanxdx integramos

=x 7.

tan x - L (sec x) +

5In x dx = u du

Sol. x In

= In x = -1 x

e

dv

=

dx

v = 5dx v=x

dx


= In xlxl ~ f i =x

In x -

(7)dx

5dx

integramos

=x

In

Ixl - x + e

Ixl -

x +

e

116

CAPíTULO 9.

Métodos de integración . Integración por partes

8.

f X2 eX dx =

Sol. eX (x 2 - 2x

u

=

X2

du

=

2x dx

dv

=

+

2)

+

e

eX dx

v=feXdx v = eX

Sustituimos en la fórmula = x2 eX - f eX (2x) dx = X2 eX - f 2x eX dx

Se realiza una segunda integración por partes en: f 2xeXdx= 2fxeXdx u=x du

=

dv

=

eX dx

v=feXdx v = eX

dx


=2 =2

[x eX - f eX dx) (x eX - eX)

Por lo tanto, f x2 eX dx

= x2 eX -

2 (x eX - eX)

+e

Observa que se puede factorizar eX; debe o no hacerse según lo pida el profesor.

= eX 9.

(x 2

-

2x

+

2)

+

e

'"

f are tan x dx =

Sol. x are tan x -

u = are tan x

dv

= dx

dx d u = - -2 1 +x Sustituimos en la fórmula

=

are tan x(x) -

f _x_ dx 1 +x 2

u=l+x2 u(x) = 1 + X2 du(x) = 2 dx

integramos

=x

are tan x -

"21 L 11

+ x2 1 +

e

"21 L 11 + x 2 + e 1


10.

f x In x dx =

X2

Sol.

u = In x

dv

dx

du=-

=

x dx

v=fxdx

x

X2

V =-

2


f

X2 = -lnx-x2d x 2

2x

X2

X2

integramos

= -In Ixl - -4 + e 2 11.

f x"'¡x-3 dx = dv

u=x du

= dx

v

= (x -

I

3) "2 dx

= J(x -

3) ~ dx 3

= v

(x - 3) "2

3 2

2

= "3 (x -

~

3) 2


= -2x (x 3

3)

~

2 -

2J (x -

-

3

3)

~ 2

dx

integramos 5

2x

=-

3

2x

=-

3

(x - 3)

~

2 (x - 3) "2

2 -

-

3

4

~

(x - 3) 2

-

-

15

5 2

+e

~

(x - 3) 2

+e

117 X2

2" In Ixl -"4 + e

118

CAPíTULO 9.


12.

f X2 In x dx = u

Sol.

= In x

dv

dx

du=-

x

x3

3

L

x3

Ixl -"9 + e

= x2 dx

v

= f x2 dx

v

1 3 = -x 3

Sustituimos en la fórmula 1 =-x3lnx3

f -l x2 dx

1

3

integramos l 1 x3 = -x31nx--- + 3 3 3

1

= -3 13.

x31n

x3

Ix l - -9 + e

f are tan 3x dx = u du

Sol. x are tan 3x -

= are tan 3x =

e

dv

= dx

1

"6 L 11 +

9x2 1 +

•

3 dx 1 +9x2

v=x

Sustituimos en la fórmula xcix

f 1 + 9x2

= x are tan 3x - 3

U

u(x) du(x)

14.

f x e-

2x

dx

u=x du

=

dx

= 1 + 9X2 = 1 + 9x2 = 18x dx

= x are tan 3x -

3 18 L (1 +

= x are tan 3x -

"6 L 11 +

1

=

9x 2) +

e

9x2 1 +

e

Sol. -

dv

= e- 2x

v

= f e- 2x dx

v

= _1- f e-2x (-2)

v

= - -l

2

2

e- 2x

dx

x

1

"2 e- 2x + ¡

e- 2x

+

e

e


119


= - 1. x 2

f - 1.2 e- dx + 1. f e- (-2) dx 4

e-2x

= - ~ e-2x 2

2x

-

2x

integramos

= - -x e-2x + -1 e-2x + e 2

15.

4

f eX cos x dx = u du

= eX

Sol. dv

= eX dx

=

eX (sen x

cos x dx

f

v = cos x dx v = sen x


= eX sen x

-

f eX sen x dx.

Realizamos una segunda integración por partes en:

f eX sen x dx = u

=

eX

du

=

eX dx

dv

v v

= sen x

dx

= f sen x dx = - cos x

Por lo tanto,

f r cos x dx ~ eX sen x + ~ cos j - f ~ cos x dx sumamos f eX cos x dx a ambos miembros de la igualdad 2 f eX cos x dx = eX sen x + eX cos x = eX (sen x +

cos x)

despejamos

f eX cos x dx = eX (sen x2 + cos x) + e Por lo tanto,

f eX cos x dx = eX (sen x2 + cos X) + e

2

+ cos x)

+

e

120

CAPíTULO 9. Métodos de integración . Integración por partes

16.

f-

7 x3

Como

ex2 d.x =

x3 = X2

Sol. -

7

7

2 X2 ex2 + 2 ex2 + C

(xl

= -7 f x2 ex2 u du

(xl d.x

= X2

dv = ex2 x d.x v=fex2xd.x

= 2x d.x

= ~ f ex2

(2xl d.x

1 v=-ex2 2


= - 'i X2 ex2 + 2

7

f .!.. (2xl ex2 d.x 2

= _'ix2 ex2 + 'if ex2 2xd.x 2

2

2 ex2 + 'iex2 + = -'ix 2 2 17.

f sen

2

C

1 So'2 l

x d.x =

x-

sen x cos x C 2 +

Aplicamos la fórmula de reducción del seno y del coseno

f senn x d.x = - senn - n

1X

=-

cos x

n- 1

f

+ - - senn - 2 X n

sen x cos x 2

+21 f sen2 - 2 x

dx

d.x

Toda cantidad elevada a la cero potencia es igual a uno.

= _ sen x

cos x

2

+.!.. f d.x 2

= .!.. x _ sen x cos x + C 2 18.

fx a

X

d.x

aXx

=

u=x du

2

= d.x

aX

Sol. -1na - - -1n 2 a + C

dv = a

X

d.x

v = faxd.x aX v = -lna


121


f

x

X

-xa -)- -a- d x lna ( lna X

= xa --1-fax dx In a In a

aXx

aX

In a

ln a

= - - - - -2+ C 19.

Jsec

3

x dx

=

Sol.

J

= sec x sec2 x u du

= sec x =

dv

sec x tan x dx

v

"21 sec x

tan x +

"21 L Isec x

dx

= sec2 x =

Jsec

2

dx

x dx

v=tanx Sustituimos en la fórmula

Jtan x sec x tan x dx = sec x tan x - Jtan x sec x dx sec x tan x -

2

como tan2 x

= sec 2 x

- 1

J(sec x - 1) sec x dx = sec x tan x - Jsec x dx + Jsec x dx

= sec x

2

tan x -

3

2

pasamos -

Jsec

Jsec

= sec x

3

x dx

3

x dx al primer miembro tan x

J

+ sec x

dx

dividimos entre 2 a ambos miembros

Jsec

3

x dx

= ~ sec x

tan x +

~ Jsec x dx

integramos

= -21

1 sec x tan x + - L Isec x

2

+ tan xl + e

+ tan xl +

e

122

CAPíTULO 9.


20.

f sen~dx =

S 0l . -

O::C "

= f sen x u

= sen x

du

= cos x

senx + cosx

(e-X) dx

= e-X (-1) dx

dv

=

v

dx

f

(-1)

e -X (-1) dx

v = -e-X Sustituimos en la fórmula

= -e-X sen x

f

-

-e-X cos x dx

realizamos una segunda integración por partes en

f

-e-x

cos x dx

=

e-x

f

cos x -

e - x (-

sen x) dx

= -e-x cos x + f e-x sen x

dx

Por lo tanto,

sen~dx . = f sen x f --o::c-

(e-X) dx

= -e-X sen x

f sen x

(e-X) dx

sumamos 2f sen x

= -e- X sen x +

f sen x

(e-X) dx

(-e- X cos

-

(e- X)

e-X

cos x -

(e-X) dx

= -e-X sen x + e-X cos x

=

-

e-X

f sen x

f sen x

(e- X) dx)

(e-X) dx

a ambos miembros de la igualdad

despejamos

f sen x

x +

(sen x 2

-

cos x)

= _ sen x + cos x + C 2ex + cos x + e f senexx dx = _ sen x2ex

2ex

+C


123

En algunos casos, la integración por partes puede usarse para obtener fórmulas de reducción de integrales, mismas que se usan para expresar una integral en términos en las que se obtienen potencias menores a la expresión inicial. Como ejemplos citamos las fórmulas de reducción del seno y del coseno.

f senn x dx = - senn - n

1X

f cosn x dx = cosn

- .1 X

cosx

sen x

n

f

n- 1 + - - sen n - 2 n

f

n- 1 + - - cos n - 2 n

X

X

dx

dx

Ejemplos:

Integra

f sen

6

x dx con la fórmula de reducción del Sol. -

f sen

6

x dx

=-

f senn x dx

sen5 x cos x 5 3 5 5 6 - 24 sen x cos x - 16 sen x cos x + 16 + e

sen5 x cos x 5 + -6 6

f sen

4

x dx

Se aplica nuevamente la fórmula de reducción - _ sen xcosx ~[- sen1xcosx ~f 2 dx] 6 +6 4 + 4 sen x 5

5 = - sen x cos x - -5 sen3 x cos x + -5 f sen2 x dx

6

8

24

sen5 x cos x 5 6 - 24 sen3 x cos x -+-

f

[ sen x cos x 1.. +~ 8 2 + 2 seno x

.;

..

dx]

integramos sen5

x6 cos x_ª3 ~ ~ - 24 sen x cos x - 16 sen x cos x + 16 + e

124

CAPíTULO 9. Métodos de integración . Integración por partes

Ejercicio 8 Completa el desarrollo que falta en los ejercicios siguientes. se incluyen algunas integrales inmediatas.

1.

f sec

2

3x dx u=x

du

= dx

Sol. dv

v

'3x tan 3x + 9'1 L

1

sec 3x 1 + C

= sec2 3x dx = f sec 2

3x dx

1 v=-tan3x 3

2.

f x sen ~dx u=x du

3.

f

= dx

4 sen

'2x + C

=

sen - dx 2

v

=

f sen ~2 dx

v

x = -2 cos2 Sol.

~ L 11 + sen 2x 1 + C

= 1 + sen 2x = 1 + sen 2x = cos 2x (2) dx 1 Sol. - - e -a.: 6

4.

fe-a.: dx

5.

f

6.

-dy f -y+l

ry

'2x +

x

dv

cos 2x 1 + sen 2x u u(x) du(x)

+C

dy

y2 - 1

y2 _ 1

7.

Sol. -2x cos

2

Sol.

= (y +

Sol. -e-X (x - 1)

u=x

=

2

1) (y - 1)

f x e-X dx du

1L - y + C

dx

dv

=

+

C

e -X dx

= f e -X dx v = -ev

X

8.

f

X2

Sol. -x 2 cos x

sen x dx u du

= X2 =

2x dx

dv

= sen x

dx

v = sen x dx v = - cos x

+

2x sen x

+ 2 cos

x

+C

125


9.

JXCOs~

Sol. 2x sen dv

u=x du

=

v

dx

=

x

"2 +

4 cos

x

"2 + e

x

cos - dx 2

= Jcos ~2 dx

v = 2 sen ~ 2 10.

J'>/ xdx l-x

11

J16xdx

.

2 -

u2

u u(x) du(x)

12.

I

JX

Sol. - (1 - x2) "2 + e

2

Sol. _1_ L 8 ill

13

= = =

16x2

= 4dx

csc 2

X

dv

= csc 2 X

dx

u(x)

=

x

v

= Jcsc 2 X

du(x)

=

dx

v

=-

dx

cot x

Jx sen 5x dx du

Sol. dv

= dx

= In

dv

=x

dx

dx du=-

x

v

e

= - -51 cos 5x Sol.

3x

1

cos 5x + 25 sen 5x +

Jsen 5x dx

In 3x dx u

1

"5 x

= sen 5x dx

v = v

Jx

e

Sol. -x cot x + L Isen xl +

dx

u=x

14.

-{f3

4x

u=x

13.

4x+m

a 2 = 13 a =

4x

I 4x - -{f31 + e

1 2 = -x 2

1

"2 x2

In j3x I

1

-¡

X2

+

e

126

CAPíTULO 9.

Métodos de integración . Integración por partes

15.

f are sen x dx

Sol. x are sen x + (1 -

u

=

are sen x

du

=

"1 _

dv

=

I

X2) 2'

+e

dx

dx

X2

v=x

16.

f are eos x dx =

u

I

Sol. x are eos x - (1 - x2) 2' + e

are eos x

dv

=

dx

dx ~

= --===

du

v=x

17.

f x2 - 9 dx

X2

Sol.

x+3

18.

X2 -

9

f eot

2

eot2 x

=

(x

+

2" -

3x

+

e

3) (x - 3)

Sol. - eot x - x +

x dx

= ese 2 x

- 1

e

10

Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica Si un integrando contiene expresiones del tipo " a 2 + X 2. " a 2 - X 2 , " X 2 - a 2 , donde a > O; Y otras como (x 2 + a 2 )n, (x 2 - a 2 )n semejantes a las citadas ; inicialmente deben tratarse de resolver por sustitución algebráica, como en el siguiente ejemplo. Sol.

"4+

X2

+

e

u=4+x2 u(x) = 4 +

X2

du(x) = 2x dx Multiplicamos y dividimos por 2

="21 Jx( 4 + x)2 _1.2 (2) dx ="21 Ju _1. d U 2

integramos I

1 u2

= - -+C 2 1

2

sustituimos el valor de u queda

Si este procedimiento de sustitución algebráica no se puede aplicar, en algunos casos es posible realizar la integración transformando la integral en una integral trigonométrica aplicando las sustituciones siguientes: = a cos

e Se sustituye x

"a 2 + X2

=a

sec

e Se sustituye x con la expresión trigonométrica x

=

a tan e.

a2

=a

tan

e Se sustituye x con la expresión trigonométrica x

=

a sec e.

"a 2

- X2

"X2 -

127

con la expresión trigonométrica x = a sen

e.

128

CAPíTULO 10.

Métodos de integración. Integración por sustitución trigonométrica

Demostración de los resultados que se obtienen hechas las sustituciones propuestas.

1. Desarrollo de la expresión ...Ja 2 - x2 = a cas e Se sustituye x con a sen e para obtener la expresión trigonométrica a cos la expresión algebráica ..Ja2 - X2 .

e de

Por el teorema de Pitágoras e

c=~

e

= ..Ja2 -x2

(1)

Función trigonométrica que relaciona x y a sen

e =axx

=a

sen

e

Se eleva al cuadrado ambos miembros X2

= a 2 sen2 e

Se sustituye en (1) el valor de e

X2

= ..Ja2 - a2 sen2 e

Se factoriza a 2

e

= ..Ja2 (l

e

= a ..J 1 - sen2 e

como cos 2

- sen2 e)

e=

1 - sen2

e

= a ..Jcos2 e

e

=a

cos

e

e

queda en (1)

..Ja2 -

X2

=

a cos e

Hecha la sustitución trigonométrica se canceló el radical al introducir como una nueva variable.

e

Desarrollo de la expresión

~ = a sec e

129

2. Desarrollo de la expresión -Ja 2 + X2 = a sec e Sustituimos x con a tan e para obtener la expresión trigonométrica a sec la expresión algebráica ...Ja2 + X2 •

e de

Por el teorema de Pitágoras a

(1) a

función trigonométrica que relaciona x y a

tan8=x a

x=atane elevamos al cuadrado ambos miembros

sustituimos en h

(1)

el valor de

X2

= ...Ja2 + a 2 tan 2 e

factorizamos a 2 h

= ...Ja2 (1 + tan2 e)

como sec2

e=

l + tan 2

h

= a ...Jsec2 e

h

= a sec e

e

queda en (1)

...Ja2 + X2

=

a sec e


e

130

CAPíTULO 10.

Métodos de integración . Integración por sustitución trigonométrica

e

3. Desarrollo de la expresión --Jx2 - a2 = a tan

Sustituimos x con a sec e para obtener la expresión trigonométrica a tan la expresión algebráica "¡x 2 - a 2 .

~c

e de

Por el teorema de Pitágoras

a

~c=~

c

= "¡x2 -a 2 ·

(1)

a

función trigonométrica que relaciona x y a sec

e = -ax x

=a

sec

e

elevamos al cuadrado ambos miembros X2

= a 2 sec 2 e

sustituimos en (1) el valor de c

X2

= "¡a 2 sec2 e - a 2

factorizamos a 2 c

= "¡a2 (scc2 e -

como tan2 c

1)

e = sec 2 e -

1

= a "¡tan2 e

c=atane

queda en (1)

"¡x2

-

a2

=a tan e


e

Procedimiento para resolver una integral por sustitución trigonométrica

131

4. Procedimiento para resolver una integral por sustitución trigonométrica. Se calculan los valores de a, x y d'e dx . Se realizan las sustituciones. En el desarrollo de las operaciones, se pueden aplicar, según proceda , alguna de las identidades trigonométricas, siguientes : de las: pitagóricas

e = 1 - cos 2 e e = 1 - sen2 e 2 tan e = sec 2 e - 1 cot2 e = csc 2 e - 1 sec2 e = 1 + tan 2 e

sen2 cos 2

csc2

e, =

1

+ cot2 e

del ángulo medio sen2

e=

cos 2

e=

f se PREPARA IORIA °C;;-A\ [NRIOU¡ fU,M:~¡ fNí.OlJf'OI.iADt. A l/. IJNI\'ll,~IDAO Mle.lQ,ACANA (JI ~,;, N N.COLAS

r

1 - cos 2e ---,---2 1 + cos 2e ----2

ll! ,HI ..\\

':;0

CD lAlA~O CAIIOlI'IAS MICH

del doble de un ángulo sen

2e = 2 sen e cos e

Se trazarán uno o dos triángulos rectángulos para caleular en ellos el resultado , aplicando el teorema de Pitágoras. En otros casos, para calcular el resultado· es necesario. aplicar alguna función trigonométrica inversa donde, por ejemplo. si u

=

sen

entonces

e

e = ángulo cuyo seno es

u

Estas dos igualdades expresan la misma relación entre u y en forma directa y la segunda inversamente.

e;

la primera

''Ángulo cuyo seno es u" se expresa "are sen u", se lee arco seno de u . Algunos autores en lugar de la palabra arco, usan ángulo. "ang sen u" se lee, seno inverso de u o ángulo seno u. Para las funciones inversas de las otras funciones se usa una notación semejante .

Ejemplo: are cot

1/ 1 "2 es un angu1o cuya cotangente es "2

132

CAPíTULO 10.

Métodos de integración. Integración por sustituclun trigonométrica

5. El integrando incluye una expresión de la forma-la 2 - x Ejemplo:

f (9 :2) % = f (9 ~2)3 a2 = 9 a =3

x = a sen O x = 3 sen O dx = 3 cos O d O

(1)

Por comodidad. y antes de realizar la integración. se hace por separado la trigonométrica de la expresión cuadrática.

tr~sformación

Ejemplo: 3

(9 -

X2) 2

=

" [9 - (3 sen 0)2]3

= "[9 -

(9 sen2 0)j3

se factoriza el 9 ~.'

'".

= " [9 (l

- sen 2 0)]3

como cos 2 O = 1 - sen2 O

= "[9 (cos2 0)]3 = "(9 cos2 8)3

= " 3 6 cos> O


f ..,J(9 dx - X2)3

f...3..-oos-irdO 3 3 cos3 O

-

dO - f 3 cos O 1 f dO ="9 cos 8 2

2

2

1

con sec 0 = - cos 8

=

if

sec 2 O dO

integramos

f ..,J(9 dx -

X2)3

=ltan o+c 9

,

El integrando incluye una expresión de la forma ~

Ahora necesitamos calcular el valor algebraico de de la variable x original. despejando en (1)

!

133

tan e + C en función

x = 3 sen e x sen e =3

¿SÚx b

Con el teorema de Pitágoras se calcula el valor del cateto adyacente que identificaremos con b.

x tan e = ..J9 -x2

~x b=~

por lo tanto.

sustituimos - -1 ( +C - 9 ..Jg x-x2 )

es decir

Una vez que se domina el desarrollo de este tipo de integrales. por si solo se van suprimiendo algunas notaciones. ya que éstas se usan para éxplicar el desarrollo y sea más fácil el aprendizaje.

6. El integrando incluye una expresión de la forma ~a2 + X2 Ejemplo:

f

X

..Jx 2 + 4 dx

a2 = 4 a=2 ..Jx 2 + 4

=

Sol.

x=atane x=2tane . dx = 2 sec 2 e de

=

..J4 tan2 e + 4

(1)

¡1 ..J(x 2 + 4)3 + C

134

CAPíTULO 10.


Factorizamos el 4 = ";4 (tan2 e + 1) como sec 2 e = tan 2 e + 1 2 ";sec 2 e 2 sec e


f

X ";X 2

+ 4 dx =

f (2 tan e) (2 sec e) (2 sec 6 f sec e sec e tan e de

2

e de)

2

u

=

sec

e

u(e) = sec e du(e) = sec e tan e de

6

Ju

2

du

!integramos Li3 6-+C 3

f

X ";X2

+ 4 dx = 2 sec3 e +

e

Ahora se necesita calcular el valor algebraico de 2 sec3 e + de la variable x original. despejando en (1)

x=2tane x tane=2

~x 2

calculamos la hipotenusa h sec e =

por lo tanto,

f

X ";X2

+ 4 dx = 2 sec 3 e +

e

...fX2+4 2

e en la función

El integrando incluye una expresión de la forma "x2 - a2

135

sustituimos

2

=-

8

3

(x 2 + 4) 2 + e

es decir,

f

X

...Jx2 + 4

~. ...J(x2 + 4)3 + e

dx =

7. 'El integrando incluye una ,expresión de I,a forma

-/X2 -

a2

Ejemplos: x2

1.

j ...Jx2 -9

dx =

a2 = 9 a=3

x = a sec ,O x = 3 sec O dx = 3 tan O sec O de

...Jx2 -

9

= ...J9 sec2 O -

(1)

9

Factorizamos el 9

= ...J9 (sec2 e - 1) como tan2 O = sec 2 O - 1

= ...J9 tan2 O =3tanO sustituimos en el integrando

f ...Jx

X2 2 -

dx =

f 9 sec

2

e-3.-tani)-sec e de -3-tarr11

9

= 9

f sec

3

e de

= 9 [sec 9 tan 9 + ~ L (sec e + tan e)] + e 2

f

La integral sec3 e de se integra por partes como se desarrolló en el apartado 9 ejercicio 19, de ahí hemos tomado el resultado,

136

CAPíTULO 10. Métodos de integración . Integración por sustitución trigonométrica

f ka dx = 9 f sec x - 9

e de

3

= 9 [sec e tan e + ~ L (sec e + tan e)] + C 2

9

= "2 [(sec e + tan e + L (sec e + tan e)] + C Ahora se necesita calcular el valor algebraico de

"29 [(sec e + tan e +

+ L (sec e + tan el] + C en la función de la variable x original. despejando en (11

=3

x sec

sec

e

e = -x3

~a 3

Calculamos el cateto opuesto a

...Jx-- 9 e=2

tan

~a=~ 3

por lo tanto.

f . .Jx

x2 2

- 9

dx

9

= -2 [(sec e tan el - L (sec e + tan el) + C

sustituimos

es decir.

X2

2....J f 9+x2 a2

=

9

a=3

dx

= x=atane x=3tane

=3

sec2

e de

...J9 + X2 = ...J9 + 9

tan 2

e

dx

(1)

3

El integrando incluye una expresión de la forma

~

137

Factorizamos el 9

= "9 (1 + tan2 e) como sec2

e=

1 +

tan2 e

= "9 sec2 e

=3

sec

e


f "9+x

dx

X2

= f 9 tan2 e 3

sec 2 ~

2

e de

= f 9 tan2 e sec e de con

tan2 e = sec 2 e -

1

f (sec e - 1) sec e de = 9 f sec e de - 9 f sec e de La integral de f sec e de se integra por partes como se desarrolló en el =9

2

3

3

apartado 9 ejercicio 19. de ahí hemos tomado el resultado. Al integrar queda

9

9

9

9

= "2 sec e tan e + "2 L (sec e + tan e) -

9 L (sec

e + tan e) + e

simplificamos

= "2 sec e tan e - "2 L (sec e + tan e) + e Ahora se necesita calcular el valor algebraico de -

~

L (sec

e + tan e + e en la función de la variable x

9 "2 sec e tan e -

original. al despejar en (1) .

x=3tane x

tane=-3 sec

e=

" X2

+9

3

.

El integrando incluye una expresión de la forma

~

137

Factorizamos el 9

= ..J9 (1 + tan2 e) como sec 2 e = 1 + tan2 e

= ..J9 sec 2 e = 3 sec e sustituimos en el integrando

f ..J9 +

dx =

X2

f 9 tan

2

e 3 sec2 e de

..3--aec1r-

X2

=f 9

tan 2 e sec e de

con tan2 e = sec 2 e - 1

f (sec e - 1 l sec e de = 9 f sec e de - 9 f sec e de La integral de f sec e de se integra por partes como se desarrolló en el 2

= 9

3

3

apartado 9 ejercicio 19. de ahí hemos tomado el resultado. Al integrar queda =

'29 sec e tan e + '29 L (sec e + tan el -

=

'29 sec e tan e - '29 L (sec e + tan el + e

9 L (sec e + tan el +

e

sim plificamos

Ahora se necesita calcular el valor algebraico de -

~ L (sec e + tan e + e en la función de la variable x

'29 sec e

tan e -

origInal. al despejar en (1 l.

x=3tane x

tane=3 sec e =

..Jx2 +9 3

138

CAPíTULO 10.


por lo tanto,

J",,9 +

X2

x2

dx

9

= "2 sec e tan e -

9 2 L (sec e + tan e) - 9

Jsec e de

sustituimos

= ~ ,",x 3+ 9 2

(1) -~

(""x 3+ 9 + ~ ) 2

L

= x~ _~ L (""x +~9 2

+

9

Jsec e de

x)_9 Jsec e de

Con los datos del mismo triángulo resolvemos la integral - 9 - 9

3 dx Jsec e de = - 9 J1.X2+9 = - ~ J(x + 9) ~ (2) dx 2

3 2

=- 3

(x 2

3

+ 9)"2 + C

2

de donde

J",,9 +

X2 X2

dx

= x1.X2+9 _Q 1...fX2+9 +x 1_"" 2 9 3 C 2 2 L 3 (x + ) +

x2

3.

_r-;---z dx = J'14 x~

=4

x

a=2

x

a2

dx

=a =2 =2

sen

e

sen

e

(1)

cos e de

Factorizamos el 4 ~ ",,4 (1 -

como cos 2

e=

sen2

1 - sen2

= 2 ""coS2 e = 2 cos e

e

e)

Jsec e de

El integrando incluye una expresión de la forma ~

139

sustituimos en el integrando (~ces 6-dO) f ..J4x2- x2 dx = f 4 sen --2Oeos e= f 4 sen O dO = 4 f sen O d9 2

2

2

de la expresión del ángulo medio sen2 9

=

1 - cos 20 2

=

4

f ~ dO - 4 f ~ cos 29 d9

integramos

f cos 29 d9 = 29 - ~ f cos 29 (2) d9 29 - 2

= 29 -

sen 29 +

1}

\

(1

~""

/'\

e

función trigonométrica inversa, en (1) si x

x

=

- = 2

2 sen 9 sen 9

entonces

x

arc sen 2 29

=

9

=2

arc sen

x

2"

sustituimos ~ ~

x

_ dx = 2 arc sen -2 - sen 29 + e f ,,4 - x-

Ahora se necesita calcular el valor algebraico de 2 arc sen despejando en (1)

x = 2 sen 9 x

sen 9 = 2

a

2"x - sen 29 + e,

140

CAPíTULO 10.


Calculamos el cateto adyacente a cos

~x a

=

"4

_x2

a

=

"'4 -

"'4-- X2e =2

X2

por lo tanto, X2

_ J'14 -

~

como 29

x~

dx

=2

=2

sen

X

arc sen -2 - sen 29 + C

e cos e 2 arc sen

=2

arc sen

"2x -

'14 -

e cos e

~2 _ 2 (~) ..f4=X2 2 2

x_~

= - -2

2 sen

x2

+ 2 arc sen -x + C 2

11

Métodos de integración. Integración por fracciones parciales

1. Definición Se llama función racional aquella en que tanto el numerador como el denominador son expresiones en donde la varia:ble tiene solamente exponentes enteros y positivos . Sea.f(x)

. P(x)

= -Q(x)

es una función racional. donde P y Q son polinomios. Si el grado de P es menor al grado de Q. entonces J (xl es una fracción racional propia; en caso contrario. es impropia.

1.1 El resultado de la integración de una función racional impropia puede expresarse como la suma de un polinomio y de una función racional propia. En el desarrollo de algunos temas anteriores se han integrado funciones racionales como las siguientes. Ejemplos: 1.

f

X2

+ 4x - 5 dx =

Ixl - -x4 + -2x5 2 + e

Sol. L

x3

Integramos

= L (x) + 4 f X-2 dx =L

(x)

4x- 1

5

f x-

3

dx

5x- 2

+ --=1- -2 + e

= Llxl _i+ ~+C x

2x2

141 /

142

CAPíTULO 11 .

Métodos de integración. Integración por fracciones ¡parciales

2.

f x3x+3 - 2 cix =

x3 3x 2 So'L. -3 - - 2 + 9x - 29L Ix + 31+ e

x 2 -3x+9

x+31x3-2 -x3 - 3x2 - 3x2 - 2 3x2 + 9x 9x- 2 - 9x - 27

-29

x3 -2 cix = f [x2 - 3x + 9 - -29-) cix fx+3 x+3 =

f x 2cix - 3 f xcix + 9 f cix - 29 f ~ x+3

=

3 -2

integramos

x3

3x2

+ 9 x - 29 L Ix + 31 + e

De ser posible se factoriza el denominador Q como un producto de factores lineales o cuadráticos . Las fracciones racionales propias pueden expresarse como una suma de fracciones simples. ,

P(x)

Realizada la factorizacion. la integral - - se expresa como una suma de Q(x)

funciones racionales más simples. cada una de las cuales se integra aplicando la integración inmediata. Para aplicar este método de integración con cierta facilidad . es necesario recordar: • La factorización. • Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales. • La solución de integrales inmediatas . • Las propiedades de los logarítmos de cualquier base (regias) . lo~

lo~

AB A

B

lo~ An

lo~

n

= lo~ A + = lo~ A =n

10~A

B

- 10gb B

10~A

Tci = -n -

lo~

Caso 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos

143

Una vez que Q(x) se hajactorizado, el procedimiento para determinar las jracciones parciales depende de la naturaleza de los jac to res lineales y cuadráticos. El número de constantes por determinar es iguaL al grado del denominador. Se pueden presentar cuatro casos.

2. Caso 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos Ejemplo:

f

2

3x- 2 dx = x3-x 2 - 2x

Sol.

L 1 x(x - 2)31 5

L

1

(x

+ 1)3 1

+e

Factorizamos el denominador x3

2x

- X2 -

= x(x 2 = x(x -

X -

2)

2) (x

+ 1)

A cada factor lineal ax

+ b que esté una sola vez en el denominador de

una fracción racional propia, le corresponde una sola fracción simple de la forma

A donde A es una constante cuyo valor habrá que calcular. ax+b

En el ejemplo, descomponemos la fracción en tres fracciones cuyos numeradores serán A , B, Y C . Observa que el grado del denominador es tres yes el mismo número de constantes por determinar.

dx = f --::-_3_x_-_2_ -x -2x X3

2

Factorizamos el denominador 3x - 2

x3 -

X2 -

2x

3x - 2 2) (x + 1)

= x(x -

A B C -+--+-x

x-2

x+l

(1)

Reducimos a una sola fracción, aplicamos el mcm, que en este caso es : mcm

=x

(x - 2) (x

3x-2 x3

- X2-

2x

+

1)

A(x-2)(x+ 1) + Bx(x + 1)+Cx(x-2) x(x - 2) (x + 1)

144

CAPíTULO 11 .


Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador. entonces los numeradores también deben ser iguales. por lo tanto

= A(x -

3x - 2

2) (x

+

1)

+

Bx(x

+

1)

+

Cx(x - 2)

(2)

Para calcular los valores de las constantes A. B. Y C obtenemos las raíces de x (x - 2) (x + 1) que son:

x=O

x- 2

= O

x + 1 =O

x=2

x =-1

evaluando las raíces en (2) 3x - 2

para x

= A(x -

+

+

Bx(x

+ B(O) +

C(O)

2) (x

1)

+

1)

+

Cx(x - 2)

=O = A(-2) = -2A A = 1

-2

(1)

-2

para x

=

2 4 4

= A(O) +

6B

+

C(O)

= 6B

B=~ 3

para x

= -1 -5 -5 C

= A(O) + B(O) + C(3) = 3C =-~ 3

Sustituimos los valores obtenidos de A. B Y C en (1)

2 3x - 2 3 x - x2 - 2x

5

1 3 3 =-+--+-x x - 2 x +1

integramos

fx

3x-2

3 - X2 -

2x

dx-- fdxx +~f~ ~f~ 3 x - 2 - 3 x + 1

Por la propiedad de los logaritmos el resultado queda 2

L Ix(x - 2) 31

---'----'-s= --

L 1(x + 1) 31

+e

Caso 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos

145

2.1 Otro procedimiento para resolver la integral antes citada es el siguiente:

f

2

3x- 2 -x3-_-x--=2-_-2-x dx =

Sol.

L 1 X(X - 2)"31 5

L

1

(x

+ 1)"31

+e

Factorizamos el denominador x3 - 3x2

+

2x

= X (x2 - 3x + 2) = x (x - 2) (x + 1) A

B

C

x

x-2

x+l

=-+--+-Reducimos a una sola fracción. aplicando al mcm que en este caso es: mcm

=x

(x - 2) (x

+ 1)

_3-,--x_--,-,2_ = A(x - 2) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x - 2 ) x 3 -x2 - 2x x(x - 2) (x + 1)

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador. entonces los numeradores también deben ser iguales. por lo tanto 3x - 2

= A(x -

2) (x

+

1)

+

Bx(x

+

1)

+

Cx(x - 2)

Efectuando las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupando los coeficientes de X2. x y del término independiente. queda 3x - 2

= A(x2 -

X - 2) + Bx2 + Bx + CX2 - 2Cx = Ax2 - Ax - 2A + Bx2 + Bx + CX2 - 2Cx = (A + B + C) x2 + (-A + B - 2C) x - 2A

Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x. A continuación establecemos un sistema de ecuaciones A+B+C=O

(1)

-A + B - 2C = 3 -2A = -2

(2)

lA = 1 I sustituimos en (1) Y (2) l+B+C=O + B -2C = 3

-1

despejamos

B+ C B - 2C

3C

=

-1

=

4

= -5

Ic=-~I

(3)

146

CAPíTULO 11 .

Métodos de integración . Integración por fracciones parciales

calculamos B en (3)

~ = -1

B -

3

B

=

-1

5

+"3

lB = ~ I sustituimos los valores de A. B Y e 3x - 2 x3

-

1

X2 - 2x

2

5

3

3

=-+--+-x x - 2 x + 1

integramos

Por la propiedad de los logaritmos, el resultado queda 2

L I x (x - 2) 3"1 -----'------::5: :--

+C

L I(x+ 1) 31

3. Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten Ejemplo: I

f x3 - 3x+ 5 dx = x2 +1

1 S o.

X

L 1 (x + 1) 21

4 ---+ C (x - 1) ~ x - 1 I

L

1

factorizamo s el denominador

x3 -

3x + 5 3x+ 5 = - -- - - - = X2 - X + 1 (x + 1) (x - 1)2

El factor repetido es (x - 1)2, se escribe lajracción con el denominador (x - 1)2 Y todas las potencias injertores, en este caso con denominador (x - 1).

=

A (x

+ 1)

+

B (x - 1)2

-

e (x - 1)

Reducimos a una sola fracción , aplicando el mcm. mcm

= (x +

1) (x - 1)2

ex-

3x + 5 A (x - 1)2 + B(x + 1) + C(X + 1) 1) = ----------~---x3 - x2 - x + 1 (x + 1) (x - 1)2

Ceso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten

147

eomo los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, entonces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto 3x

+

5

= A(x -

1)2

+

B(x

+

1)

+

e(x

+

1) (x - 1)

Efectuando las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupando los coeficientes de x 2 , x y del término independiente queda 3x

+

5

= = =

A(x2 - 2x

+ 1) + Bx + B + CX2 Ax2 - 2Ax + A + Bx + B + Cx2 (A + e)x2 + (B - 2A)x + (A + B -

C

e e)

Hemos identificado los coeficienteS de las mismas potencias de x , a continuación establecemos un sistema de ecuaciones

A

+C=O

-2A + B =3 A+B-e=5

(1) (2) (3)

(con (2) Y '( 3), multiplicando (3} por -1 -'2.A

+B

-A - B -3A

+e

3 =-5

+e

=-2

.c on (1) y (-4), multiplicando (1) por-l

fe = o

-A -':3A

+

e = -2 = -=2

-4A

8] 1 2

A=-

sustituimos en (1) 1

_

-+C=O 2

~

~ sustituimos en (2)

-2(~) + B

=

3

1"B=ill

(4)

148

CAPíTULO 11.


sustituimos los valores de A. B Y C 1 1 3x+5 2 4 2 = + + .03 - x2 - X + 1 (x + 1) (x - 1)2 (x - 1)

-- 1.f dx +4f dx 1.f dx 2 (x + 1) (x - 1)2 - 2 (x - 1) integramos

= 1. L lx+ 2

11 _ _ 4 __ l.L lx_1 1 + C x- 1 2 1

=

L 1 (x + 1)"21 1

L 1 (x - 1)"2 I

4 ---+C

x- 1

4. Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles) del denominador son distintos. + bx + c, que es un polinomio cuadrático que

Por cada factor de la forma ax2

resulte de la factorización Q(x) , queda un sumando del tipo

-:x

+B .Si ax + bx+ c

además resultan factores lineales repetidos o no, se resuelven éstos como en los casos 1 y 2

Ejemplo:

f

2X2 -t x d x4 + 3.03 + 4x2 + 3x + 1 x

Sol. L

1

x2 + X + 1 (x+ 1)2

1 _

1_ x + 1

_

+C

Factorizamos el denominador 2x 2 +x 2x2 +x --------- = -------2 x4 + 3.03 + 4x + 3x + 1 (x + 1)2 (x 2 + X + 1) A (x + 1)2

B + 1

Cx+D x +X + 1

- - - + - - +2- - - X

Reducimos a una sola fracción , aplicando el mcm que en este caso es: mcm= (x

+

1)2 (x 2

+

X

+ 1)

_ _ _2x_2_+_X_ _ _ = A(x2 + X + 1) + B (x + 1) (x 2 + X + 1) + (Cx + D) ex x4 + 3.03 + 4x2 + 3x + 1 (x + 1)2 (x 2 + X + 1)

+ 1)2

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, en to nces los numeradores también deben ser iguales , por lo tanto , 2x 2

+

X

= A(x2 + X +

1)

+

B(x

+

1) (x 2

+

X

+

1)

+

(Cx

+

D) (x

+

1)2

Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles) del denominador son distintos

149

Al efectuar las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupar los coeficientes de x 2 , x y del término independiente, queda 2X2

+

X

= A(x2 +

X + 1) + B(x + 1) (x 2 + X + 1) + (ex + D) (x + 1)2 = Ax2 + Ax + A + B(x 3 + 2x 2 + 2x + 1) + ex3 + 2ex2 + ex + + Dx2 + 2Dx + D = Ax2 + Ax + A + Bx 3 + 2Bx2 + 2Bx + B + ex3 + 2ex2 + ex + + Dx2 + 2Dx + D = (B + e)x3 + (A + 2B + 2e + D)x2 + (A + 2B + e + 2D)x + + (A + B + D)

Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x, a continuación establecemos un sistema de ecuaciones B + e =o A + 2B .¡.. 2e + D = 2 A+2B+ e+2D= l A+ B + D=O

(1) (2) (3) (4)

En (1)

B+e=o B =-e

(5)

sustituimos en (2), (3) Y (4) A

+

2 (-e)

+

A + 2 (-e) + A + (-e)

A+

A A

2e

=2 =l =o

(2) (3) (4)

+ D =2 + 2D = l + D =o

(2) (3) (4)

+

e+

-e -e

D

2D + D

con (3) Y (4) multiplicando (4) por -1

A

-e

-A

+e

+ 2D = 1 -

D D

(3) (4)

=o =1

sustituimos

+ D =2 + 1=2

A A

A

=

1

1

sustituimos en (4)

A 1

+B +B

+ D =O +

1

=O

lB = -21

150

CAPíTULO 11.


sustituimos en (5)

=-e = -e 1 e = 21 B -2

sustituimos los valores de A, B, e, y D 2X2 + x 1 2 2x + 1 --------- = - -- + ---x 4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 (x + 1)2 X + 1 x2 + X + 1

-J dx 2J~+J 2x+1 dx (x + 1)2 X+ 1 x2 + X + 1 integramos

= - -1- x+1

2 L (x + 1) + L (x 2 + X + 1) + e

= - -1- + L x+1

(x 2

+ X + 1) - L (x + 1)2 + e

= - -x+-1 + L I X2 + X + 1 I + e 1 (x+ 1)2 =L

I

X2 + X + 1 1 (x+ 1)2

1_ + x+ 1

__

e

5. Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles) del denominador se repiten. Por cada factor de la forma (ax 2 + bx + c)n que resulte de la factorización de Q(x) le corresponde una suma de n fracciones de la forma: Ax+B ex+D + (ax 2 + bx + c)n (ax2 + bx + c)n -

1

+ ... +

Lx+M 2 (ax + bx + e)

De haber factores lineales repetidos o no, se resuelven éstos como el caso 1 y 2.

Ejemplos: 1.

J2x3+x+3

dx=

x4 + 2X2 + 1

Sol. L IX2 +

11

Factorizamos el denominador x 4 + 2x 2 + 1

2x3 + X + 3 (x 2 + 1)2

= (x2 +

1)2

= (x 2 +

1) (x2

=

+

1)

Ax + B ex + D + (x2 + 1)2 X2 + 1

+

21

2(x + 1)

3 [- 2x- - + arc tan x ) + e + -2 x +1

Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles) del denominador se repiten

151

Reducimos a una sola fracción, aplicamos el mcm que en este caso es mcm

=

+

(x 2

1)2

2x3 +x+3 (x 2

Ax+B+(Cx+D) (x 2 + 1)

+ 1)2 =

----(:-X-;;-2-+:-1:-:)"2---

Como los dos miembros de la igualdad tienen el mismo denominador, en to nces los numeradores también deben ser iguales, por lo tanto

2x3

.

+

X

+ 3 = Ax + B +

(Cx

+ D)

(x 2

+

1)

Al efectuar las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupar los coeficientes de x 2 , x y del término independiente, queda 2x3 + x + 3

= Ax + B + Cx3 + Cx + Dx2 + D = Cx3 + Dx 2 + (A + C) x + (B + D)

Hemos identificado los coeficientes de las mismas potencias de x . A continuación establecemos un sistema de ecuaciones (1)

C=2 D=O A+C=l B+D=3

(2) (3) (4)

sustituimos en (3) A+2=1

IA

=

-11

sustituimos en (4) B+0=3 B=3

Además:

1C = 21 1D

=

O

I

sustituimos los valores de A, B, C y D

2x3 + x + 3 -x + 3 ----- = x4 + 2x2 + 1 (x2 + 1)2

2x + O + ----=--X2 + 1

3 dx + J~ dx Jx42x3+ +2xx ++31 dx = J(x-x++ 1)2 +1 2

2

X2

152

CAPíTULO 11 .


Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado .

f - -2x+d1x = L(x + 1)+C 3 dx - f xdx + 3 f f (x-x++ 1)2 - - (x + 1)2 2

X2

2

_f

2

xdx = _ 1+ 1)2 2

(X

2

(X 2

=

(X2

dx + 1)2

+ 1)-1 + C -1

1 +C 2(x2 + 1)

Para resolver la integral que se cita a continuación se aplica una de las "fórmulas de reducción"

3

f (x dx+ 1) = ~2 (--f-lx + l + arc tanx) + C 2

2

Reunimos los resultados parciales. 3

dx = L I f xi2x+ +x+3 2x + 1 2

2.

f Sxdx+x

X2

2

+ 1I +

1 3(

2 + -2 - 2x - - + arc tan x ) + C 2 (x + 1) x + 1

Sol.

=

Factorizamos el denominador

,..

.....

l 1 ---=---

A

B

=-+-x x+S

\ l

= A(x + S) + Bx = Ax+SA+Bx = (A +B)x+ SA

Sistema de ecuaciones A+B=O SA = 1 En (2)

IA=il

(1) (2)

i

L I x: S

I+C

153


sustituimos en (1) A+B=O

l+B=O 5

lB = -i I sustituimos los valores de A y B

1 1 155 ---=---x(5 + x) x x+ 5

f x(5dx+ x) = 5'1 fdx 1 f dx ~ - 5' x + 5 integramos 1

1

= 5' L (x) - '5 L

(x + 5)

+

e

= lL I _x_1 + e 5

3.

f

X2

dx

-36

x+5

1 Sol. -12 L

=

Factorizamos el denominador 1 X2 -

1

36

= (x + 6) (x -

6)

A

B

x+6

x-6

= -- + - -

mcm

= (x + 6) (x - 6) 1 = A(x - 6) + B(x + 6) = Ax - 6A + Bx + 6B = (A

+ B)x - 6A + 6B

Sistema de ecuaciones A+B=O -6A + 6B = 1

Multiplicamos (1) por 6 6A+B=0 -6 + 6B = 1

12B

=

1

1B = 1121

(1) (2)

Ix- 6 - + e x+6 1

154

CAPíTULO 11.


sustituimos en (1) A+B=O

1 12

A+-= O

~

~ sustituimos los valores de A y B 1 1 12 12 =---+-X2 - 36 x +6 x - 6 1

1fdx f X2 dx- 36 = 121fdx x - 6 -12 x + 6 integramos

1 x- 6 =-LI--I+c 12

4.

f

2x - 1 x(x2 + 3x + 2)

x+ 6

dx =

Sol. L

I

..fX

(x + 1)3 -V(x + 2)5

I+c

Factorizamos el denominador x(x2 + 3x + 2)

= x(x

2x- 1 x(x 2

mcm

+

2) (x

B

A

+

1)

C

=-+--+-+ 3x + 2) x x + 2 x + 1

= x(x +

2) (x

2x - 1

+

1)

= A(x

+ 2) (x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x + 2) 2 = A(x + 3x + 2) + Bx2 + Bx + CX2 + 2Cx = Ax2 + 3Ax + 2A + Bx2 + Bx + CX2 + 2Cx = (A + B + C)x2 + (3A + B + 2C)x + 2A

Sistema de ecuaciones A+B+ C=O 3A + B + 2C = 2

2A en (3)

=

-1

(1) (2) (3)


Sustituimos en (1) y (2) 1

--+B+ 2

C=O

3

- - + B + 2C = 2 2

multiplicamos (1) por -1

-l-B2 3

- '2 + B +

C=O 2C

=

2

+ C =2

-1

1 C = 31 sustituimos en (1) 1 --+B+3 = O 2

lB = -% I sustituimos los valores de A, B Y C 1 5 2x-l 2 2 3 =-----+-x(x + 2) (x + 1) x x +2 x + 1

f

2x-l dX-3f~-lfdx-~f~ x(x+2)(x+l ) x+l 2 x 2 x+2

integramos

=-

1

L I (42" I + L

(x

+ 1)3 5

(x+ 2)'2 (x

+

1)3 5

(x+ 2)'2

=L

1

+c

X2

= L I ¡X + 1)3 5 I + c X2 (x + 2)'2 _ L

-

I

(x + 1)3

..JX .J (x + 2 )5

I+c

+C

155

156

CAPíTULO 11.


5.

f (x - 4)dx(x - 3) dx=

X-41 Sol. L I - +C x - 3

1 A B =--+-(x - 4) (x - 3) x - 4 x - 3

=

mcm

(x - 4) (x - 3)

= A(x -

1

= Ax = (A +

3) + B(x - 4) 3A + Bx - 4B B)x - 3A - 4B

Sistema de ecuaciones A + B -3A - 4B

= =

O 1

(1) (2)

Multiplicamos. (1) por 3 3A + 3B -3A - 4B

-B

=

= =

O 1 1

1B = -11 sustituimos en (1)

A-l=O IA =1I sustituimos los valores d e A y B 1 ----=---= (x - 4) (x - 3)

1 x - 4

-- - --

x - 3

f(x-4)(x-3) =f~ - f-lx-4 x - 3 dx

integramos

=L

(x - 4) - L (x - 3)

=L I

6.

f

X2

+ 3x + 4 dx = x-2 x+5

x - 2

I X2 + 3x + 4 -x2 + 2x 5x+ 4 -5x + 10 14

4 X-x-3

1

+C

+C X2

Sol.

"2 + 5x + 14 L 1x - 21

+C

157


Integramos X2

= 2 + 5x + 14 L 1x - 21+ e 7.J X2

x+16 d.x= +2x-8

Sol. L

Factorizamos el denominador

x2

x+16 x+16 =----+ 2x - 8 (x - 2) (x + 4)

A

B

x - 2

x+4

=--+-mcm

=

(x -

x

2) (x + 4)

+

16

= A(x + 4) + B(x - 2) = Ax + 4A + Bx - 2B = (A + B)x + 4A - 2B

Sistema de ecuaciones A

4A

+ B = + 2B =

(1) (2)

1 16

multiplicamos por (1) por 2 2A+2B=2 4A - 2B = 16 6A

=

18

1A = 31 sustituimos en (1) 3

+ B = 1

1B = -21 sustituimos los valores de A y B x+ 16 3 2 = -- - - (x - 2) (x + 4) x - 2 x + 4

J(x - x+16 d.x - 3J~ 2) (x + 4) x - 2 =

2J~ x

+4

3 L (x - 2) - 2 L (x + 4) +

= L 1(x - 2)31 + e (x

+ 4)2

e

1

(x - 2): (x+ 4)

1

+e

158

CAPíTULO 11 .


8.

f

2x3

+ 3x2 - 4

X2 - 4x+ 3

Sol. x2 + llx + L

dx=

2x+ 11 X2 - 4x + 3 2x3 + 3x2 -2x3 + 8x 2 -

l1x2 -llx2

-

I . .; (x -

3)17

"'; x-l

4 6x

6x - 4 33

+ 44x -

38x - 37

f 2xX2 -+ 4x 3x 4 dx = 2 f xdx + 11 f dx + f 38x - 37 dx +3 X2 - 4x + 3 3

2

-

Por comodidad, las integrantes señaladas se resuelven por separado

f xdx = X2 + e 11 f dx = llx + e

2

f

38x- 37 dx= X2 -4x+3

Factorizamos el denominador 38x - 37 --::---= X2 - 4x + 3

38x - 37 (x - 3) (x - 1)

A

= (x-3) mcm

= (x - 3) (x 38x - 37

+

B (x- 1)

1)

= A(x - 1) + B(x - 3) = Ax - A + Bx - 3B

= (A + B)x -

A - 3B

Sistema de ecuaciones A + B -A - 3B -2B

= = =

38

-37 1

lB = -~ I Sustituimos en (2) -A +

3(-~)= -37 3

-A+"2= -37

(1) (2)

I+e


-A

= -37 - ~

A

= 31 + ~ 74

3

2

2

A=-+-

IA=7 71 2 Sustituimos los valores de A y B

77 2

1 2 =--x 2 -4x+3 x-3 x-l

3& - 37

- 37 77 f dx 1 f dx f x38x 2 -4x+3 = 2 x-3 -'2 x- 1

= -77 L 2 =L

1 2

(x - 3) - - L (x - 1) 77

+C

I

(x - 3 ) '2 - L (x - 1) 2 + C "';(x- 3)77 _~

=L 1

'lX -

1

1

+C

reunimos los resultados parciales

+ 3x2 - 4 1"'; (X- 3)171 X2 _ 4x + 3 dx = X2 + llx + L ...rx=T + C f 2x3 2

9.

dx= f 4xX2 +3X-l (x- 1)

4x2 + 3x- 1 X2 (x- 1)

mcm 4x2

= X2 +

A B C =+-+-X x2 x- 1

(x - 1)

3x - 1

= A(x2 - x) + B(x - 1) + Cx2 = Ax2 - Ax + Bx - B + CX2 = (A + C)x2 + (-A + B)x - B

Sistema de ecuaciones A+C=4 -A + B = 3 -B =-1

B

=

1

(1) (2) (3)

159

160

CAPíTULO 11 .


Sustituimos en (2) -A

+

1 -A

=3 =2 =

lA -21 sustituimos en (1) -2

+e =4 1

e = 61

Sustituimos los valores de A, B Y e 4x2 +3x-l 21 6 -----= - -+-+-x2 (x - 1)

X

x2

X- 1

f 4xx22 +(x3x- 1)- 1 dx = -2 f dxX + f dx + 6 f . dx x2 X- 1 integramos

=

-2 L (x)

=-

+

f dx + 6 L X-2

(x - 1)

1 2 L (x) - - + 6 L (x - 1)

x

Sol. x \\

+L

I (x -

2)!}

(x - 1 )4

I+e

'\~

1 2 x -3x+2 IX2+2x+3 -x2 + 3x ~ 2 5x: - 1~

~

e

2x + 3dx _f [1 + 5x - 1 )dx f x2X2 +- 3x +2 X2 - 3x + 2 5x-1 d + x - fdx f X2 - 3x+ 2

Por comodidad, las integrales señaladas se resuelven por separado .

f dx = x dx-f 5x-1 dx f X2 5x-1 - 3x + 2 (x - 2) (x - 1) 5x-1 A B =--+-(x - 2) (x - 1) x - 2 x - 1


mcm

= (x -

161

2) (x - 1)

5x - 1

= A(x - 1) + B(x - 2) = Ax - A + Bx - 2B = (A + B) x - A - 2B

Sistema de ecuaciones A + B -A + 2B

=

(1)

5

= -1

(2)

-B = 4

1B = -41 Sustituimos en (1) A-4=5

~~

(

sustituimos los valores de A y B

- - - =x-9- -2 -x--4-1 x2 - 3x + 2 5x - 1

f X25x- 3x- +1 2 dx -- 9 f ~ 4 f~ x - 2 x - 1 integramos

=9

L (x - 2) - 4 L (x - 1)

+

e

Reunimos los resultados parciales 2

dx f xx 2 +2X+3 - 3x+ 2

+

x

~

=x +

=x

11.

9 L (x - 2) - 4 L (x - 1)

L (x -

+L

2)9 - L

1(x - 2)91 + e (x - 1)4

f x 2 +2x+l x dx =

1 Sol. L \ x + 1\ + - - + e x+1

factorizamos el denominador . 1

x (x

x + 1)2

A B = --+--.,.......". X

(x - 1)4

+1

(x

+ 1)2

162

CAPíTULO 11.


=

mcm

(x

+

1)2

x

= A(x + 1) + B =Ax+A+B

Sistema de ecuaciones (1) (2)

A+B=O A = 1 sustituimos en (1)

sustituimos los valores de A y B

x i i

----- - -- X2 + 2x + 1 x + 1 (x + 1)2

--~

f

x

X2

+ 2x + 1

=

f~ - J(x + 1)-2 dx x+1

integramos

= Llx+

1

11 +--+C x+l

Sol. L

Factorizamos el denominador 1 1 ----- = -----X2 + 3x + 2 (x + 2) (x + 1)

A x+2

B

=--+--

mcm

=

(x

+ 2) 1

(x

+

x+l

1)

= A(x + 1) + B(x + 2) = Ax + A + Bx + 2B = (A + B)x + A + 2B

Sistema de ecuaciones

+ B =O A+2B=1

A

multiplicamos (1) por -1 B = O A+2B=1

-A -

B

= 1\

(1) (2)

I x + 1 I+C x+2

163


sustituimos en (2) A+2=1

lA = -11 sustituimos los valores de A y B 1

f

X2

1 1 =---+-+ 3x + 2 x +2 x + 1

X2

+

~ + 2 = f x ~ 1 - f x ~2

integramos

13.

f (x +7x3) +(x1-

=

L (x

=

x+1 L -

+

1) - L (x

Ix+2

+

2)

+

C

I +C

=

Sol. L

1)

I

(x

+

3)2 (x - 1)5

7x+ 1 A B =--+-(x+3)(x-1) x+3 x-1

mcm

=

+ 3)

(x

7x

+

1

(x - 1)

= A(x - 1) + B(x + 3) = Ax - A + Bx + 3B = (A + B)x - A + 3B

Sistema de ecuaciones A

-A

+ B =7 + 3B = 1

(1) (2)

4A= 8

lA = 21 SustituimoS' en ( 1) 2+B=7

I B = 51 sustituimos los valores de A y B 7x+ 1 (x+3}(x-1)

f (x +7x3) +(x1-

2 5 =--+-x+3

- 2 1)

x-1

f~ + f dx x +3 x - 1

integramos

= =

2 L (x

L

I

(x

+ 3) + 5 L (x - 1) + + 3)2 (x - 1)5 I + C

C

I+

C

164

CAPíTULO 11 .


14.

Sol. L I (x - 2) ~x + 2)6 I + e

5X2 - 10x + 8

f x(x - 2) (x + 2) dx5X2 - lOx + 8

x

A

B

C

=-+--+-x(x - 2) (x + 2) x x - 2 x +2 mcm

= x(x -

2) (x + 2)

5x2 - lOx

+

8

2) (x + 2) + B(x 2 + 2x) + C(x 2 - 2x) 2 = A(x - 4) + Bx2 + 2Bx + CX2 - 2Cx = Ax2 - 4A + Bx 2 + 2Bx + CX2 - 2Cx = (A + B + C)x 2 + (2B - 2C)x - 4A

= A(x -

Sistema de ecuaciones

(1)

A+B+C=5

2B - 2C -4A

= =

-10

(2) (3)

8

Sustituimos en (1)

-2 + B + C

=5 (4)

B+C=7

Formamos un sistema de ecuaciones con (2) y (4), multiplicando la (4) por 2. 2B - 2C 2B + 2C 4B

= -10 = =

14 4

IB = 1 calculamos

e en (4) 1

+

C

=7

I C = 61 sustituimos los valores de A, B Y C 5X2 - 10x + 8 x(x - 2) (x

+ 2)

2

1

6

=--+--+-x x - 2 x +2

f x(x 5X2 - 10x + 8 dx = _ 2 f dx + f ~ + 6 f ~ - 2) (x + 2) x x - 2 x +2 integramos

=

-2 L (x) + L (x - 2) + 6 L (x + 2) + e I I + L I (x - 2) I + L I (x + 2)6 I +

= -L (X)2

=

L

1ex - 2~;X + 2)61 + e

e

12

Métodos de integración. Integración por racionalización El procedimiento de integrar unaJunción no racional sustituyendo la variable por una nueva variable de tal manera que el resultado sea una expresión racional, se llama integración por racionalización. Hecha la sustitución,' en la expresión resultante se despeja la variable x y se calcula su derivada.

1. Racionalización de expresiones que incluyen potencias fraccionarias de a + bx, como p

r

(a + bx)Ci, (a + bx)i.

Se transforman a forma racional con la sustitución a + bx = z n. Donde n es el mcm de los denominadores de los exponentes fraccionarios de las expresiones a + bx.

Ejemplos: 1.

f

dx

"x - 2 + ~ (x- 2 )3

Sol. 4 ~x - 2 - L I ( ~x - 2 + 1)4

=

=

dx ----~1-------3

(x - 2) 2 + (x - 2) 4'

1

El mcm d e los denominadores de -

2

mcm (2,4)

=

4

de donde,

x - 2 = X

dx

= =

Z4 Z4

+2

4z 3 dz

165

3

y -

4

es 4

I +e

166

CAPíTULO 12.

Métodos de integración. Integración por racionalización

sustituimos dx

f (x - 2) ~ + (x - 2) ~= 2

f

4

4z 3 dx I

3

(Z4) 2 + (Z4) 4

4f

Z3 Z2

dx

+ Z3

z3 dz

f z2(1+Z) 4 f z dz

4

1+z

dividimos 1

1+zrz-z - 1 - 1

4 f(1-_1 )dZ 1+z 4fdZ-4f~ 1+2

integramos = 4z - 4 L (1

Sustituimos el valor de

Z4

=

X -

+

z)

+

C

2

z = ~x - 2 4~x-2 -4L(~x-2 +1)+C 4 ~x-2 -L 1 (~x-2 + 1)41 +C

2. Racionalización de expresiones que únicamente incluyen una potencia fraccionaria de x. Se transforma a forma racional con la sustitución x denominador del exponente fraccionario de x. 2.

f -{Xdx = x - 1

Sol. 2-{X + L

-f~

-

I

x2- 1

z n donde n es el

1

(-{X - 1)2

1

+

e

167

Racionalización de expresiones que incluyen diferentes potencias fraccionarias dex

El denominador del exponente fraccionario es 2 de donde dx

=

2z

dz

Sustituimos

f

=f

dx

rx-l

=

2z dz z-1

2

f zz -dz1

dividimos 1

z - 1

Iz

-z + 1 1

=

2

f(1 +_1 JdZ z - 1

= 2fdz+2f~ z- 1

=

2z

+

2 L (z - 1)

+

e

rx = 2 rx + 2 L (rx - 1) + e = 2 rx + L I (rx - 1)21 + e

sustituimos el valor de z =

3. Racionalización de expresiones que incluyen diferentes potencias fraccionarias de a

X,

como Xi)

e

,XCi, ...

Se transforma a forma racional con la sustitución x = zn donde n es el mcm de los denominadores de los exponentes fraccionarios.

Ejemplo:

f

dx

rx--Yx

=

Sol. 2 dx

rx + 4 -Yx

+L

I (-Yx -

1)4

I+e

168

CAPíTULO 12. Métodos de integración. Integración por racionalización

1 1 El mcm de los denominadores de - y - es 4 2 4

=4

mcm (2. 4) de donde

z

=

dx

4z 3

=-rx

dz

sustituimos

f x"2dx- X - f (Z4)4z I

3

dz

1-

I

¡

"2 - (z4) ¡

J

= f 4z 3 dz Z2 - Z Z3

dz

f z(z - 1) = 4 f dz

-4

Z2

z - 1

dividimos z+1

z- 1

IZ2 _Z2

+z z -z + 1 1

=

4f (z 1 _1_)

=

4

f z d z + 4 f dz + 4 f ~ Z - 1

2

Z2

+

+

z- 1

dz

integramos

+

4z

+

Sustituimos el valor de z 2 (-rx)2 + 4

4 L (z - 1)

=-rx -rx

+4 L

(-rx - 1) + e

Racionalización de expresiones que incluyen una potencia fraccionaria del tipo (ax + b);

169

4. Racionalización de expresiones que incluyen una potencia fraccionaria del tipo a (ax + b)b a

Se transforma a forma racional con la sustitución (ax + b ) b = a denominador del exponente fraccionario b'

Zb

donde b es el

Ejemplo:

f ...J(l + 4X)5 dx--

1[

x2

Sol. 32 ...J 1 + 4x + ...J

=f

2

1 + 4x

2 ~ dx (l + 4x) 2 2

El denominador del exponente fraccionario es 2 de donde 1

+

4x

=

z = ...JI + 4x

Z2;

1

Z2 -

x=--

4

dx

z = -dz 2

(f dz - 2 f dz + f dZ)

=

_1 32

=

_1 (z + ~z __3z1_) + e 32

Z2

Z4

integramos 3

Sustituimos el valor de z

= ...J 1 + 4x

1( + + +2 = - 1[-.' 1 + 4x + 2 ~1 +

=-

32

32

...J I

4x

...J 1

4x

4x

-

1)+ e 1 )+ e + 3

3 (1 + 4x) 2'

3...J(l

4x)3

-

1 )

...J 3 +e 3 (1 + 4x)

170

CAPíTULO 12.


5. Racionalización de expresiones que incluyen funciones racionales de sen u y de cos u en el denominador.

Se transforman a forma racional con la sustitución de sen u

2z

= - - -2; l+z

1 - Z2 cosu = - 1+ 22

u

Estas relaciones se deducen de considerar la sustitución tan "2 = z en la func ión u trigonométrica de la tangente de la mitad de un ángulo tan 2 + -V 1 - c o s u 1 + cos u En la forma sigu iente: tan!:! = 2

-V

1 - c osu 1 + cos u

Se eleva al cuadrado los dos miembros

tan2 !:! = 1 - cos u 2 1 + cos u Se sustituye con tan ~ = z Z2

1 - cos U =--1 + cos u

y se despeja con u (1 + cos u) + Z 2 cos U cos U + cos u cos U (Z2 + 1)

Z2

Z2

Z2

I cos

U

= = = =

1 1 1 1

- cos - cos - Z2 - Z2

U U

1 - Z2 = T+Z2

Para calcular el valor de sen u, la relación del cos u s e expr esa en u n triángulo rectángulo .

, "t/l ~b 1 -

Z2

Con el teorema de Pitágoras calcula mos el valor d el cateto opuesto b. (1

+

Z 2 )2

b2 b2 b2 b

= (1 - Z 2 )2 + b 2 = (1 + 2 2 )2 - (1 - z2)2 = 1 + 2z 2 +zY-X+ 2 z 2-...z4" =

4z 2

= 2z

171

Racionalización de expresiones que incluyen funciones racionales de sen u y de cos u en el denominador

Calculando el valor de b para obtener sen u. ~

2tJ \.l<"

u

1 -

=

2z, en el triángulo se sustituye el valbr de b

2z sen u - 1 + Z2

2z

Z2

Señalamos que:

tan~=z 2

de donde

=

tan u

2z

de la cual su función inversa es:

2 arc tan z

u

En el mismo triángulo, se pueden deducir las funciones de tan u, cot u , sec u , csc u ya que estas cuatro funciones se pueden expresar racionalmente en términos de sen u o de cos u o de ambas por lo tanto, tan u

=

cot u

=

2z 1-

Z2

1-

Z2

2z 1 + Z2

sec u - 1 _ ese u '.

Z2

=

Ejemplos:

1.

f 3 +~sx = Ponemos u =x como

x

tan -= z 2

Sol. are tan

x)

..J2 (2 tan"2 + C

172

CAPíTULO 12.


y su función inversa es

x

=

2 arc tan z

dx

=

2dz 1 + Z2

y con 1-

Z2

cosx = - - 1 + Z2 sustituimos

f 3 + cos x dx

2dz

f

1 + Z2

1 - Z2 3+-1 + Z2 2dz ~

=

f 3 + 3z

2

+ 1-

Z2

~

= 2f a2

=

dz 4+ 2z 2 u2

4

=

2z 2

a=2

integramos 2

1 ..J2z "2 arc tan-2- + e

sustituimos el valor
arc tan

==

2.

are tan

f 11 +--IX rx dx

=

tan

x "2

'J2 tan ~l +e [ 2

x) + e

'J2 [2 tan 2" 1

1 +x 2"

f 1 - x 2" dx -----,-1

El mcm de los denominadores de los exponentes es 2. de donde X

dx

= =

1

Z2

2z dz

Z

= x 2"


173

Sustituimos 1

1 + x"2

f1-

---1

f 1 + (Z2) dx=

1

"2 1

dz

1 - (Z2) "2

x"2

= f 1+z

1-z

dz

dividimos -1

1-z

1+z 1-z 2

= f(-1

+_2

1-z

)dZ

integramos = -z - 2 L (l - z)

sustituimos el valor de z =

3

f

+

e

,¡x

Sol. 2"'¡x + 2 - L

dx

. 3 +"'¡x+ 2

-f -

dx 1 3 + (x + 2)"2

El denominador del exponente fraccionario es 2. de donde x

+2 = x = dx =

Z =

Z2 Z2 -

2

2z dz

sustituimos

f

dx = 3 + "'¡X + 2

f

2z dz 1 3 + (Z2) "2

=2fzdz 3+z

"'¡x + 2

I (3 + "'¡X + 2 )6 I + e

174

CAPíTULO 12. Métodos de integración . Integración por racionalización

dividimos 1

3+z ,-z--z - 3

-3 2f(I-_3JdZ 3+z

2fdz-6f~ 3+z

integramos

= 2z -

6 L (3

+

z)

+

e

sustituimos el valor de z = "'¡x + 2 2 "'¡X + 2 - 6 L (3 + "'¡X + 2 ) + e 2 "'¡X + 2 - L I (3 + "'¡X + 2 )6 I + e

4.

f3+~dx= x

Sol.

3"4 x ~

4 -

1

=

x4 ---1

dx

1 +x2"

El mem de los denominadores de

=

mem (2, 4)

4

de donde x

dx

= =

Z4; 4z 3 dz

sustituimos

Z

=

1

rx

= f(Z4)4(4Z3 ~Z) 1 + (Z4) 2"

4 4

f

Z

(Z)3 dz

1 + Z2 Z4 ---2

f l+z

dividimos Z2 -

1 + Z2

1

I Z4 _Z4 - Z2 - Z2

Z2

+ 1 1

dz

¡1 y "21 es

4

1.

4x 4 + 4 are tan x

1. 4

+e

175


1

f (Z2 -

4

1 + _ 1 dz 1 + Z2

integramos 4

= 3" Z3 -

4z + 4 arc tan z + C

sustituimos el valor de z = 4 3

= - X

5.

f

rx

~1.

1.

4 -

4

4x 4 + 4 arc tan x

xdx ~(2x + 3) 4

+C

Sol.

3

"8 (2x + 3)

~ 3

+

9 4 (2x

-f -

xdx 4 (2x + 3)"3

El denominador del exponente fraccionario es 3 de donde 2x

z = ~2x + 3

+3 x= dx

=

3

Z3 -

2 3 Z2 -2-

sustituimos xdx

Z3;3

f (2x + 3) "3 = f 4

3

= -4 3

¡

·(,;·' .~t

dz

4

(Z3) "3

f

(Z5 -

f

Z2

3z 2 )

dz

(z3 - 3)

dz

Z4

3 dz

Z2

= ~fz dz -~f~dZ 4

INC 0~"O I-i A[l¡. A LA UN I'.'f "SIOAD MIC"OAC:.tIA lIt 5AN NICOIAS Pt ·¡If)r., CO CD LAlAh'O C"I
z4

= ~ f Z3 4

Ese PIHPAlIAIORIA [tJRIOUf RAr..1HH ¡-

(3~2)

4

integramos 3 9 -Z2+-+C 8 4z

Z2

1.

+ 3) 3

+C

176

CAPíTULO 12.


Sustituimos el valor de z = {/2x + 3 ~

= -3

9

(2x + 3) 3 +

1

4 (2x + 3) "3

8

+e 1

6.

f

dx 1 = (x - 2) (x + 2) "2

Sol.

1

"2 L 1

(x

+ 2)"2 - 2

(x

+ 2 )"2 + 2

1

1

+e

El denominador del exponente fraccionario es 2 de donde

+2 =

x

Z2;

Z

= Z2 - 2 = 2z dz

x dx

= ""x + 2

sustituimos

f

dx

1

(x - 2) (x

+ 2) "2

f

=

2z dz

I

(Z2 - 2 - 2) (z2 - 2

+ 2) "2

f (Z22i- 4)dz(i)

-

=2f~ Z2 - 4 Aplicando la fórmula de integración

f u dua 2 -

__1_ L 2 -

2a

1

u - a

1

u +a

+e

a2 = 4

a=2 2

f Z2d~ 4 = 2 [ 2(12 ) L (: : ~ )] + e = .l L 1 z

- 21 + e z +2

2

1

sustituyendo el valor de z = (x + 2) "2 1

= .l L

1

2

+ 2) ~ - 2 1 + e (z + 2)"2 + 2

(z

Sol. 2

=

= f1.2

dx

\Ix -

3

rx + 6 -rx - L 1 (x

1.

x +x 3

El mcm de los denominadores de

"21 y "31 es 6

1

6

+ 1)61 + e


mcm (2. 3)

=

6

de donde

dx

=

6z 5 dz

sustituimos dz

6Z5

- f (Z6) ~ + (Z6) ~ = f 6z dz + 5

Z3

f 6f 6

Z2

dz

Z5 Z2

(z

Z3

dz

+ 1)

z+1

dividimos Z2 - Z

z+1

+

1

I Z3 -z3 -

Z2

- Z2 Z2

+Z z -z-1 - 1 6

f (X2 -

6

f

Z2

Z

+

dz - 6

1-_1_) z+1

dz

f z dz + 6 f dz - 6 f ~ z+1

integramos Z3

z2

= 63 - 62

+ 6z - 6 L (z + 1) + C

Sustituimos el valor de z = {Ix I

I

I

1

2 (x 6)3 - 3 (x 6)2 + 6 (x 6) - 6 L 1

J

I

)

2x 2 -3x 3 +6x 6 -6LI x 6 +

1

x 6+ 11 +C

11+C

177

178

CAPíTULO 12.


8.

J

-IX dx

1+

Sol.

\fx3 1

_J

2

X

-

dx3

1+X 4

El mcm de los denominadores de

=

mcm (2. 4)

1

3

"2 y ¡

es 4

4

de donde

=

dx

4z 3 dz

sustituimos 1

1

JX2~= J(Z4)2(4Z3~Z) 1 + X4

1 + (Z4) 4

=

J4z

5

dz

1 + Z3

4

J

Z5

dz

1 + Z3

dividimos Z2

1+

Z3

I Z5 -z5 -

Z2

- Z2

= 4J(Z2_~)dZ 1 + Z3

integramos

=!

3

Z3 -

12 L \1 + Z3

\

+e

1

Sustituimos el valor de z = x 4 4

=-

3

1

(x 4)3 - 12 L

I

1

1 + (x 4)3 \ + e

~ \fx3 -

L \ (l +

\fx3 )12\ + e


9.

f tan x ~sen x como

x tan-=z 2

su función inversa es

x dx

= 2 are tan z

=

2dz 1 + Z2 2dz

tan x

=-1 - Z2

sen x

= ---

2z

1 + Z2

sustituimos 2dz

1+ f tan x dx+ sen x - f - 2z 2z --+--Z2

1-

1 + z2

Z2

~dz

=

f 2z(1 +~2Z(1 - z2) (1-Z2)(~

f

,2z(1 - Z2)

= ,zz(l+~ + 1 _~)

dz

integramos

= -1 L 2

Sustituimos el valor de z 1

=-

2

1

(z) - -

4

=

Z2

+e

tan

"2x

x Litan -2 I

- -41 tan2 -x2 + e

179

180

CAPíTULO 12.


10.

f 1 +~Sx =

x Sol. tan "2 + C

Como

x 2

tan-= z·

tan x = 2z

'

su función inversa es x

=

2 are tan z

dx

=

2 dz 1 + Z2

además 1-

Z2

f

1 + Z2

eosx = - - 1 + Z2 sustituimos

f

dx 1 + cos x

2 dz

1 - Z2 1 + Z2

1+--

integramos z+C Sustituimos el valor de z

=

x

tan "2

x

tan"2+ C

11.

f 2 +dxsen x Como

x

tan- = z; 2

tan x = 2z

su inversa es x

=

2 arc tan z

dx

=

2 dz 1 + Z2


Además sen x

2z

= --1 +z2

sustituimos dx

f 2 + cos x -

2dz

f

1 + Z2

2

2z

+--1 + Z2 2 dz

...l---t=ff 2 + 2z

f 2 + 2z

~

-

f

;Zdz

,2(1 + Z2 + z)

f

Z2

dz +z+ 1

Factorizamos completando el cuadrado

3

a 2 =4

u

E"

1

= z+-2

a=-

2

integramos 1

1]

z+2

= ~ arc tan ~ + e

[

x

Sustituimos el valor de z = tan 2

181

13

Integral definida

1. Antecedentes históricos El cálculo integral tiene como objetivo principal obtener el límite de la suma de un gran número de magnitudes cada una de las cuales tiende a cero.

Desde la antigüedad, los filósofos y matemáticos se plantearon la solución de los problemas siguientes: • Trazar la tangente a una curva en un punto determinado

• Obtener el área de una superficie de contornos curvos

El filósofo Brison, contemporáneo de Sócrates, trató de calcular el área de un círculo por medio de polígonos regulares inscritos y circunscritos al círculo. Aquel método se le conoce como proceso de reducció n porque a medida que aumenta el número de lados del polígono se va reduciendo la diferencia entre las áreas de éstos; el perímetro de los polígonos se aproxima cada vez más al valor del perímetro del círculo.

182

Antecedentes históricos

183

Arquímedes (287-212 a. de C.) aplicó este método utilizando polígonos regulares de 96 lados inscritos y circunscritos a un círculo de diámetro de una unidad. de cualquier medida. y logró aproximarse al número irracional n. El proceso que se aplica en cálculo para determinar el área de una región plana es simila~ al empleado por Arquímedes. La importancia de esta técnica la podemos observar si se plantea el problema siguiente: Calcular el área A de la superficie limitada por la parábola y rectas y = l. x-O. x = 4 (véase figura 1)

Figura 2

Figura 1

=

X2

+ 1 Y las

Figura 3

El área achurada de la parábola (figura 1) debe estar entre las áreas de los rectángulos. ABEF; 4(1) EFDC; 4( 17)

=4 = 68

de donde 4 < A < 68 Si se divide el segmento O a 4 en 4 partes iguales y se trazan dos series de rectángulos. unos que toquen la curva con su vértice inferior izquierdo. y los otros que la toquen con el vértice superior derecho (véase figura 2 y 3).

184

CAPíTULO 13.

Integral definida

La suma de las áreas de las dos series de rectángulos son: en la figura 2: El primer rectángulo tiene base 1 y altura 1 de donde 1(1)

1

1(2) 1(5) 1(10)

2 5 10 18

segundo tercero cuarto

id. id. id.

id. id. id.

id. id. id.

2 5 10

id. id. id.

suma en la figura 3: El primer rectángulo tiene base 1 y altura 2 de donde 1(2) segundo tercero cuarto

id. id . id.

id. id . id.

id. id. id.

5 10

17

id. id. id.

=

1(2) 1(5) 1( 10) suma

2 5 10 17 34

El área por obtener está entre 18 y 34 unidades cuadradas 18 < A < 34 Para una segunda aproximación se divide el segmento O a 4 en 8 partes iguales. cada una de 0.5 unidades. Se dibujan las dos series de rectángulos como en el caso anterior. Se trazan las gráficas y se obtienen las áreas. Se observará que el área de la región achurada quedará limitada entre las dos series y se aproxima cada vez más al área que se está calculando.

2. Suma de Riemann

La suma de n términos { al . a2. a 3. ... a n } se expresa n

L.

al = al

+

a2

+

a3

+ . . . an

l=m

en donde: el símbolo

L. es la letra sigma mayúscula del alfabeto griego que corresponde

a la letra s y se usa en matemáticas para i ndicar una suma.

al nym

se llama índice de la suma o variable de la suma. representa el n-ésimo término de la suma. indican los valores extremos. y son el extremo superior e inferior de la suma. respectivamente. donde m ~ n.

185

Suma de Riemann

Algunos autores usan la palabra límite en lugar de extremos; usaremos ésta última para evitar confusiones con la palabra límite que se aplicó en cálculo diferencial.

Ejemplos: 1. Calcula la suma indicada. 4

L.

(2i + 1)

Sol. 24

1= 1

En este ejemplo al = (2i + 1). Para calcular la suma indicada se sustituye la i sucesivamente por los enteros 1, 2, 3, 4 desde el 1 hasta el 4 que en el ejemplo son los extremos de la suma, luego se suman los términos así obtenidos. 4

I

(2i

1=1

+ 1) = [2(1) +

1) + [2(2) + 1) + [2(3) + 1) + [2(4) + 1) =3+5+7+9 = 24

Cualquier variable puede ser usada como índice de la suma . Se prefieren las letras i,j, k porque normalmente están asociadas a los enteros. El extremo inferior no tiene que ser necesariamente el número uno pues cualquier número entero menor o igual al extremo superior es válido. 7

L.

al = a4

+ as + as +

a7

1= 4

Este tipo de adiciones se les conoce como sumas de Riemann.

Calcula la suma indicada.

4

2.

L.

21 20 21 22 23 24 (i + 2) - (O + 2) + (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2)

1=0

1

2

4

8

16

= -+-+-+-+2 3 4 5 6 15 + 20 + 30 + 48 + 80 30

193

=30

193 Sol. 30

186

CAPíTULO 13. Integral definida

3. Propiedades de la suma de Riemann n

A.

L k a{ { =

n

=

k

1

L a{ 1

{ =

n

n

n

1

{ =

donde k es una constante

t= 1

{=

1

6

L 3i = 3(2) + 3(3) + 3(4) + 3(5) + 3(6)

3.

Sol. 60

{= 2

=6

+ 9 + 12 + 15 + 18

Por la propiedad A 6

6

{=2

{=2

L 3i = 3 L i =3 =3

(2 + 3 + 4 + 5 + 6) (20)

= 60

4. Fórmulas de la suma de Riemann

n

La suma de una constante k , n veces.

A. Lk=kn J =1 B

~ _ n (n + 1) . ~j2

La suma de los n-primeros números naturales .

J =1

c. D

~ '2 ~ J J =1 n

~

=

3 _

. ~j J =1

n(n+1)(2n+1)

La suma de los cuadrados de los n-primeros números naturales.

+ 1)2

La suma de los cubos de los n-primeros números naturales.

6

n 2 (n

4

Sumas de Riemann con notación sigma

187

5. Sumas de Riemann con notación sigma Ejemplos: Con la notación sigma expresa las sumas que se indican. 8

111 1 1.--+--+--+" .-2(1) 2(2) 2(3) 2(8)

~

Sol.

:¿

1

2t

1= 1

~) + 3] + ... + [2(~) + 3]

2. [ 2( ) + 3] + [ 2(

Sol.

k*J2[* 3] tJ~ [[t] 2] k~1 [(3:]' -(3:l]~

Sol.

I~ [>[1 ~n~

Sol.

a·[[tJ +2][t]++[[~J +2][t] 4. [[~J -~](~]+ +[(3nnJ -~][~] 5. [>[1 +~j' l(~]+. +[1 +5; ]'] [~l

+

2

Sol.

+

+

Calcula las sumas indicadas. 5

6. :¿(3J+ 1) = J=

1

= [3(1) + 1] + [3(2) + 1] + [3(3) + 1] + [3(4) + 1] + + [3(5) + 1] = 4 + 7 + 10 + 13 + 16

= 3

7.

:¿

Sol. 50

50

1 Sol.

i2 + 1 =

18

10

1=0

1

1

1

1

=--+-+ - - + - O + 1 12 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 1 1 1 = 1 +"2+"5+10 =

10+5+2+ 1 10 18 10

4

8.

:¿ k = 1= 1

=,k

Sol. 4k

+ k +v k + k

= 4k

4 veces

188

CAPíTULO 13. Integral definida 4

L [(j -

9.

1)2 + (j

+ 1)3) =

) =1

Sol. 238

= [(1-1)2 + (1 + 1)3) + [(2-1)2 + (2 + 1)3) + + [(3 - 1)2 + (3 + 1)3) + [(4 - 1)2 + (4 + 1 )3) = 8 + 28 + 68 + 134 = 238

5

L (3j -

10.

Sol. -5

10) =

)=1

= [3( 1) - 10) + [3(2) - 10) + [3(3) - 10) + [3(4) - 10) + [3(5) - 10)

= -7 = -5

+

4 - 1 + 2 + 5

Sol. 510 k=1

= 2 1 + 2 2 + 23 + 2 4 + 25 + 2 6 + 2 7 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 510

+ +

28 256

20

L t=

12.

Sol. 210

1= 1

= 1

+

2

+

3

+

4

+ ... +

20

Aplicando la fórmula B de la suma n

L

n(n+l) j = ---'------'-

2

) =1

I.

t = 20

(2~ + 1)

1= 1

20 (21)

2 =210 20

13.

L 2k=

Sol. 420

k=1

k=1

= 2 (1

+

2

+ ... +

20)

Aplicando la fórmula B de la suma

=

2 (20) (20

=420

2

+ 1)

189

Áreas (interpretación intuitiva)

6. Áreas (interpretación intuitiva) En la misma forma que se estudiaron las pendientes de las rectas tangentes para motivar la definición de la derivada, nos referimos a las áreas a fin de facilitar el estudio de la integral definida. Primero se dará una definición de la integral definida, posteriormente se citará otro, como un límite de las sumas de Riemann. Ejemplo:

Se quiere calcular el área acotada por las rectas verticales x = a , x = b que intersecan al eje x (véase figura 4), y por la gráfica de una función] que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a , b l. Nos referimos al área como la superficie de] entre las rectas a y b . (véanse figuras 5 y 6)

a

b

Figura 4

a

b

Figura 5

a

b

Figura 6

El área por calcular es mayor que la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 5 y menor que la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 6 (véase figura 7). Se repite este proceso y al hacerlo, el área de los rectángulos que es tán por "debajo" de la curva es casi igual al área de los rectángulos que están por "encima" de la curva (véase figura 8). En el límite, es decir, cuando la base de los rectángulos tiende a cero, la suma de las áreas de los rectángúlos que están por "debajo" de la curva es igual a la suma de los otros rectángulos, entonces se obtiene el área bajo la curva en el intervalo [a , bl .

i~~ I I

~~

I

I

~

t-'"t>o_¡

I

I

I

I

a

b

Figura 7

a

b

Figura 8

190

CAPíTULO 13.

Integral definida

Este proceso nos lleva a obtener el área como un límite; a éste límite se le llama integral de lajunción.

7. Integración definida como el límite de una suma (interpretación intuitiva) Seaj(x) una función cuya curva es JQ (véase figura 9) y j(x) dx = d F(x) , es decir, fj(x) dx

= F(x), concepto que se estudió en la integral indefinida.

Q

J

,a

jC1

X2

a =

X3

X4

Xn - 1

b =

Xo

b

Xn

Figura 9

Si se divide el intervalo la, bJ en n intervalos iguales entre sí, la amplitud de cada intervalo es: b-a

o también

--=~

n

Xl -

X2 -

a

= llx

Xl

= llx

b - Xn-l

=

llx

La suma del área de los rectángulos es una aproximación al área bajo la curva dej(x) limitada por las rectas X = a, X = b, Y = O Por lo tanto j(a)

(Xl - a)

+ j(x¡) (X2 - x¡) + ... + j(b) (b - x n -

¡)

= n

=J(a) ~

+ j(x¡) ~ + j(X2) ~ + .. . j(b) ~ =

L j(XI} ~ x=o

Esta es una suma infinita de áreas de rectángulos cuando n ~ y ~ ~ O la suma se aproxima más al área buscada, y en el límite es el área bajo la curva y también es su integral. 00

Integración definida como el límite de una suma (interpretación intuitiva)

n

lím

191

b

L f(x¡) Lix =a.:lím L f(x) Lix --+ o a

b

=f

f(x) dx

a

=F

(x) lb a

=F

(b) -

F (a)

Definición. La integral definida de una diferencial dada, calculada entre dos extremos de un intervalo cerrado, es el incremento de lafunción primitiva o antidiferencial propuesta cuando la variable pasa de un valor inicial a hacia un valor final b.

Se expresa

Jlx) dx

(

= F(b)

- F(a)

a

representa el área de la superficie limitada por la curva de una funciónf(x) cuyos extremos tienen como abscisas a y b. El resultado de una integral definida se expresa en unidades cuadradas de superficie. Si se invierte el valor de los límites de una integral definida, el nuevo valor es simétrico al primero Con (

Jlx) dx

= F(b)

- F(a)

a

Cambiando los extremos a

J

Jlx) dx

= F(a)

- F(b)

b

= -[F(b)

= -(

- F(a»)

f(x) dx

a

si el extremo inferior de integración es igual al extremo superior. a

J f(x) dx = O a

7.1 Conclusión La integral definida se obtiene con:

(

f(x) dx

= F(b)

- F(a)

donde el incremento está en función de los extremos a y b

192


Si se pone fijo el extremo inferior y variable el superior e igual a x se tiene

r

=

Jlx) dx F(x) - F(a) F(x) +

a

=

e

donde

= Constante

C = -F(a)

Esta integral indefinida entre un extremo fijo y otro variable, se ha convenido en expresar en la forma siguiente:

r

= F(x) +

Jlx) dx

C

a

Es decir, la integral indefinida es la antidiferencial; por lo cual, y desde este punto de vista, la integración es la operación inversa de la diferenciación.

8. Suma de Riemann (continuación) La integración definida ya había sido expuesta y aplicada mucho antes que Bernhard Riemann (1826-1866) generalizara el concepto para poder ser aplicado a funciones más complicadas. Las sumas resueltas en el párrafo 5 de este apartado son ejemplos de dichas operaciones. Con base en este conocimiento, es posible resolver funciones que incluyen las condiciones siguientes: A. La función puede ser discontinua en algunos puntos de [a, b]. B. Las longitudes de los sub intervalos pueden ser diferentes entre sí C.f(x) puede ser negativa para algún valor de x en [a, b]

D. El número

Wl

puede ser cualquier número en

[Xl-¡, x¡]

para i

= 1,2,3, ..., n

8.1 Si una función f está definida en un intervalo [a, b] no necesariamente continua, se puede hacer una partición arbitraria que identificaremos con el símbolo ~ a

=

Xo

<

X¡

<

X2

< ...

<

Xn

= b

La figura siguiente representa una partición del intervalo [a, b] "'-. ~1

~2

a =

Xo

~¡

~3

,~~ , ,~!

r--"---. , , X¡-l

X¡

Al mayor de los números Llx¡, Llx2' partición p; se le identifica con 11 ~ 1I .

Xn-l

Xn

= b

Llxn se le llama norma de la

Suma de Riemann (continuación)

193

Axl es la longitud del n-ésimo subintervalo XI

es cualquier punto del subintervalo n-ésimo

La suma de Riemann (que se expresa Rp) para la participación t:. se cita con la definición:

Sif es una función definida en un intervalo cerrado la, bl y t:. es una partición de la, bl una suma de Riemann de f para t:., es cualquier expresión Rp de la forma: n

Rp

=

L.. f= (W

I)

Axl

1= l

donde WI es un número en

[XI _ I,

xLI para i

=

1,2,3, .. . , n

En el libro de calculo diferencial apartado 1.2 al expresar el concepto de la derivada señalamos: "si a la variable independiente" x con un valor inicial a se le da un valor final b, a la diferencia b - a se le llama incremento de la variable ; esto se expresa usando la letra griega llamada delta (t:.) que se antepone a la variable:

Ax=b-a si se registra un aumento el incremento es positivo."

Ejemplo: Obtener el valor del incremento de la variable x, con valor inicial a final b = 9 Resolución

Ax

=9 =9 =5

= 4, valor

- (4)

- 4

Si hay disminución el valor del incremento es negativo.

Ejemplo: Obtener el valor del incremento de la variable x con valor inicial a final b = O Resolución

Ax

= 3, valor

= 0-(3) =- 3

Si no hay diferencia el incremento es nulo.

Ejemplo: Ax

=4 = =

- (4)

4 - 4 O

El concepto anterior se citó porque nos permitirá, en parte, resolver problemas que se plantean con la suma de Riemann.

194

CAPíTULO 13.

Integral definida

Observa la partición que se hizo en el intervalo [a, bl en subintervalos; cuando el número de éstos tiende a infinito la norma de partición tiende a cero. 11

L'l 11 ~ o implica n ~

00

8.2 Con la suma de Riemann se plantean problemas como el siguiente: Ejemplo:

= 10 - x 2 , calcular la suma de Riemann Rp deJ donde p es la partición

SiJ(x) de

(±, ¡) en cuatro subintervalos determinados por: 137

Xo

= 4'

Xl

=

1,

= 2'

x2

X3

9

= 4 y X4: = 4

si WI

157 2' W 2 = 4' W3 = 4 y W4

-

=

2

Son cuatro rectángulos cuyas áreas son los términos de la suma de Riemann. 4

Rp

= I. J = (WI )

L'lxl

1= l

S o I . 16 12 64

Resolución: Para expresar el segundo factor de cada término de la expresión anterior se debe recordar lo señalado en el parrafo 8.1 sobre "incremento de la variable" y de presentarse alguna dificultad los valores se expresan en la recta numérica Sustituimos los valores

Operaciones:

Con los valores de W I , W 2 , W 3 , W4 señalados y sustituyendo en:

J

(x)

=

10 -

X2

f(k)= 10 - (kJ f(%)= 10 - (%J f(~)= 10 - (~J J

(2)

=

10 - (2)2

39 4

=

135 16 111 16 6

195

Suma de Riemann (continuación)

Para calcular el área de la región entre la curva y el eje de las x, se sustituye en (1) 10

_ 117

-

135

..!...!l

16 + 32 + 64 +

3

468 + 270 + 111 + 192 64 1041 64 16 12 64 Cada segmento unidad de la gráfica se midió de dos centímetros para facilitar la localización de los puntos. Sobre el eje de las x se han marcado los valores 7 X2 = 4' X3 = 2

5

1

Xo

= 2' Xl

5

4'

Tabulando X

O

1

2

3

Y

10

9

6

1

Observa que sobre el eje de las X donde están los puntos Xo, Xl, X2, X3, X4. A partir de éstos se trazan las coordenadas con relación al eje de las y cuyos valores ya se calcularon y son:

J(1.)2

= 39 = 9

4

J(~)= 4

135 = 8

16

J(l)=..!...!l 4 16 Xo

w,

J(2)

=

~4

6

= 6

~ 16

~ 16

196


9. La integral definida como límite de sumas de Riemann A continuación se expresa otra definición de la integral definida, ahora como un límite de sumas de Riemann.

Sea f una función definida en un intervalo cerrado la. b] y si el límite de la suma de Riemann existe. entonces se dice que f es integrable en ese intervalo. se expresa. n

I 11--+0

lím

11&

f(W¡} ~¡ =

t= ¡

b

J j(x) dx a

El proceso de obtener el número representado por el límite señalado se le llama calcular la integral Si una función f es continua en un intervalo cerrado la . b] entonces siempref es integrable en la. b] Al usar el intervalo la. b] se acepta que a < b. De no ser así. ya> b queda b

J a

b

f(x) dx

= -J

j(x) dx

a

Si el extremo inferior de integración es igual al extremo superior.

f(x) dx = O

( a

10. Procedimiento para calcular una integral definida El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente: A. Integrar la expresión diferencial dada. B. Sustituir en el resultado obtenido (integral indefinida) inicialmente con el valor del extremo superior. a contInuación con el inferior, y se resta el

segundo resultado del primero. C. No es necesario tomar en cuenta la constante de integración pues siempre se cancela en la sustracción.

Procedimiento para calcular una integral definida

197

Ejemplos: 4

Sol. 15 u 2

1. f 2xdx= 1

4

= 2f

xdx 1

= X2 = X2

=

42

4 1

1

-

12

15 u 2

La expresión x 2 "rayita"

NOTA:

2.

r

X2

dx

1

4

1

es igual a

4 [X2 ] 1

=

4 [X 2 ] 1

usaremos la primera. la de la

=

1

x3

5

=-1 3 1

= 3.

r o

x 3 dx

125

1

3

3

124 u 2 3 Sol. 16 u 2

= 4 x4

2

=-1 4 o 16 - O

16 u 2

4.

Fo cosxdx =

Sol. 1 u 2

= sen x

= sen x I~ 1t

= sen - - sen O 2

=

1- O

198

CAPíTULO 13.

Integral definida

5.

r

sen x d.x

o

= = _ cos x

Sol. 2 u 2

= - cos x I~

== =

cos

1

=2 6.

fx

d.x

o

1t -

(-

cos O)

-(-1) - (-1)

+

1

u2

= =

Sol. 1 u 2 L(x) 1

= L(x) lo = L(l) - L(O) =

7.(

1- O 1 u2

~ d.x

-2

=

Sol.

={

6 .3fA "5 ,,4

u2

2

x 3 d.x

-2 5

x3 5 3

= ~x~ 10-2 5 =

O-

~ (-2) ~(-2)2

=~~ 5

u2

Las integrales definidas de funciones discontinuas para algunos valores en la, b] a veces existen y a veces no, dependiendo de la naturaleza de la discontinuidad.

11. Propiedades de la integral definida A. SiJ es integrable en la, b) y k es un número real cualquiera, entonces kJ es integrable en la, b)

r a

k J(x) d.x

=k

r

J(x) d.x

a

Si se cita, un factor constante en el integrando se puede "sacar" del signo de integral.

Propiedades de la integral definida

B. Si

r

(f{x))

± 9 (x)) dx

=

a

c.

r

J(x) dx ± 9

a

r

199

g(x) dx

a

SiJ y 9 son integrables en [a, b) YJ(x) ~ g(x) para toda x en el intervalo,

entonces

r

~

j(x) dx

a

r

g(x) dx

a

Observa en los ejemplos siguientes como se aplican las propiedades A y B antes señaladas. Ejemplos:

l.t

(-x 2

+

5x - 4) dx

=

t

1

=-

x2

t

+5

dx

Sol.

1

Xdx-4t

1

~ u2

dx

1

Integramos por separado cada integral. X2 dx

- (

5 (- x dx

JI

~ ~

==

-4 (- dx

JI

= -(~ - ~ ) = -

1

5 X2 3

1

2

1

=5

i

(4) - ~ = 10- ~ 2 2 2

= -4x 121 = -4(2 -

1)

=-

=~ 2

(8 - 4)

= -4

por lo tarlto,

t

(-x 2

+

5x - 4) dx

=-

1

t

X2 dx

+

5

1

t

x dx - 4

1

7

t

dx

1

15

=-"3+2- 4

= 3

2.

Jo

(3x 2 - 4x

+

1) dx

- 14 + 45 - 24 6 7 _u 2 6

=

Sol. 12 u 2 3

=3

Jo

3

3

X2 dx - 4

Jo

Xdx+lJ

Integramos por separado cada integral

fo 3

3

3

X2 dx

= x 3 1o = 27 -

O

= 27

u2

o

dx

200

CAPíTULO 13.

Integral definida

3

-4

X2 X dx = -4 -

S

3 1

2

O

3

1

So

dx

= -2 X2

O

3

= xl O =

3 1

O

= -18 - O = -18 u 2

3 u2

por lo tanto, 3

(3x 2

S

o

3

+

4x

+

1) dx

S

3

= =

(27 - 18 12 u 2

o

3

3

=

X2 dx - 4

+ 3)

S

o

xdx+

lSo

dx

u2

6

3.

S3

(x 2

-

Sol. 36 u 2

=

2x) dx

6

6

=S

S

X2 dx - 2

3

X dx

3

Integramos por separado cada integral 6

S3

X2 dx = x

3 1

3

S

X

dx

= -x2

3

3

3

6

-2

= 216 _ 2 7 = 72 _ 9 = 63 u 2

6

6 1

3

= -(36 - 9) = -27 u 2

3

por lo tanto 6

(x 2 - 2x) dx

S3

6

=S

6

x2 dx - 2

3

S

xdx

3

= 63 - 27 = 36 u 2

12. Integrales definidas por cambio de variable (cálculo ·de nuevos extremos)

Cuando una función u = g(x) tiene derivada continua en el intervalo [a , b] YJ tiene una integral indefinida sobre el recorrido de g, entonces

r

J[g(x)]

g' (x) dx

=

J

(b)

J(u) du

9 (a)

a

Ejemplos: Efectuar un cambio de variable en las integrales siguientes: 1.

fo

X

(x 2

+

1)3 dx

Sol. 78 u 2

Integrales definidas por cambio de variable (cálculo de nuevos extremos)

201

Si ponemos u du

= X2 +

1

= 2x dx

Cambiamos los extremos superior e inferior Extremo superior cuando x

=2

u=x2 +1 u

= 22 +

1

u=5 Extremo inferior cuando x

=O

u=x2 +1 u

u

= 02 + =1

1

y sustituimos

f

o

x (x 2

+

1)3 dx

= = 1. 2

r

Jo

= 1. f5 2

(x2

+

1)3 (2x) dx

u 3 du

1

=1.C u4) 15 2

4

= ~ (~4

=~

1

_¡) ~ (6~5 _¡) =

(6!4)

= 78

u2

3

2.

fo

(6x + 1) (2x 3 +

X)2

dx

Ponemos

u=2x3+x = (6x + 1) dx

du

cambiamos los extremos superior e inferior

Sol. 61731 u 2

202

CAPíTULO 13.

Integral definida

Extremo superior

=

cuando x u

3

u

= 2 (3)3 + = 54 + 3

u

=

3

57

Extremo inferior

=

cuando x

O

+

u = 2(0)3 u=O

O

sustituimos 3

5o

(6x

+

1) (2x3

+

X)2

dx = 57

=5

u 2 du

o

u3

57

=-1 3 o (57)3

O

= -3-- 3

=61731u 2

3. (-

Jo

(x+ 1) dx 2 ;/x2 + 2x

Sol. 2 {2 u 2

Ponemos u=x2 +2x du = (2x + 2) dx du = 2(x + 1) dx Cambiamos los extremos superior e inferior

Extremo superior cuando x u

= =

2 (2)2

+

2 (2)

u=4+4 u=8

Extremo inferior x=O

u

=

(0)2

u=O

+

2(0)

Integrales definidas por cambio de variable (cálculo de nuevos extremos)

1

3

26.

I, 1 + i =

Sol.

205

23

10

1=-1

75

27.

I,27=

Sol. 2025

J= I NOTA:

Se aplica la fórmula de la suma.

Con la notación sigma, expresa las sumas . 6

3 3 3 3 28. - - + - - + - - + . . . + - 1+1 1+2 1+3 1+6

Sol.

3

I ,1 +-i

1= I

Calcula la suma de Riemann. 30. Sij(x) = x3. Calcula la suma de Riemann Rp deJ(x) donde p es la partición de (-2, 4) en cuatro sub intervalos determinados por : Xo

=

-2,

Si W I

=

-1, W2

XI

=

O,

=

X2

=

1, W3

1,

=

X3

=

3 Y

2 Y W4

=

X4

=

4

Sol. 79 u 2

4

Son cuatro rectángulos cuyas áreas son los términos de la suma de Riemann 4

RJ

= I,

J(W) L\ Xl

1= 0

Sustituyendo los valores. (Es necesario recordar como se obtiene un "incremento de la variable" citado en el párrafo 8 . 1 de este apartado .) Rp =J(-l) [O - (- 2)]

+ j(1)

(1 - O)

+ J(2)

(3 - 1)

+ j(4)

(4 - 3)

(1)

Operaciones: Con los valores de W I , W2 , W3 , W4 señalados y sustituyendo en: J(x)

= x3

J(-1) = (_1)3 = -1 j( 1) = (1)3 = 1

j(2) = (2)3 = 8 j(3) = (4)3 = 64

Calculando el área de la región entre la curva y el eje de las X, se sustituye en (1).

PJ= (-1) (2) + 1(1) + 8(2) + 64(1) = -2 + 1 + 16 + 64 = 79 u 2

14

La integral definida en el cálculo de áreas

1. Teorema fundamental del cálculo Si unajunción es continua en un intervalo cerrado la, b) entonces siemprej es integrable en la, b).

El teorema fundamental del cálculo señala: si una funciónj es continua en el intervalo la, b), entonces

r

j(x) dx

= F(b) -

F(a)

a

donde F es cualquier función tal que F(x)

= j(x) para toda x en

la, b)

2. Áreas

r

Por el teorema fundamental del cálculo sabemos que si j es una función continua en el intervalo la, b) entonces existe la integral dejinida

j(x) dx.

a

El resultado de esta integral es igual al área bajo la curva j(x) representada en el plano. Ejemplos:

El segmento unidad en que se dividirán los ejes cartesianos para las gráficas de las áreas de los ejercicios siguientes es de 0 .5 cm, excepto que se indique lo contrario. 1. Calcula el área limitada por la gráfica de y = j(x) = -x 2 las x y las líneas verticales x = O Y x = 2, gráfica.

área

f

==

f

o

(-x 2

o

+

2x

-x2 dx + 2

+ 3) dx

f

o

206

x dx + 3

+ 2x + 3 , el eje de

Sol.

t o

dx

22

3""" u 2

Áreas

207

Integramos por separado x3

2

-Jo

2 2 f o x dx 2

=

"zX2

2

.7

lO

03

23

2

3 lo

X2 dx = -

=

= 22 -

0

2

2

3f dx o

8

-3-3=-"3 u2

= 3xl o = 3(2) -

3(0)

=4

U

=6

2

u2

por lo tanto, 2

fo

(-x 2

+

2x

+ 3)

8

dx

= -"3+4+6 -8+ 12+ 18 3

Para trazar la gráfica se calculan los puntos de intersección de la curva con el eje de las x, haciendo y = O Y resolviendo para x. -x2 + 2x + 3 = O x 2 -2x-3=0

Se factoriza para obtener las raíces. X2 - 2x - 3 = (x - 3) (x (x - 3) (x + 1) = O x - 3 Xl

= =

+

1)

x + 1

O

=

O

X2 =-1

3

Los puntos de intersección son (3, O), (-1. O) La ecuación de la parábola cuando su eje es paralelo al eje de las y es: (x - h)2

= 4p

(y - k)

Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola -x2

+

2x

+ 3 =Y

Se disponen los términos dejando espacio para completar el cuadrado. -x2 + x2 X2 x2 -

2x + 3 2x - 3 2x 2x + 1 (x - 1)2

=Y

= -y = -y +

= -y + = -(y -

3 3

+

1

4)

Las coordenadas del vértice son (1 , 4)

208

CAPíTULO 14. La integral definida en el cálculo de áreas

Tabulamos y

= -x2 +

2x

+

3

y

I: I: I: I: I j(x) = -x2 + 2x + 3 j(0) = -(0)2 + 2(0) + 3 = 3 j( 1) = _(1)2 + 2( 1) + 3 = 4 j(2) = _(2)2 + 2(2) + 3 = 3

x

2. Calcula el área limitada por J(x) verticales x = 5 Y x = 2. Grafica.

=

4, el eje de las x y, las líneas

5

=f

área

Sol. 12 u 2

4 dx

2 5

y

dx

= 4J 2

5

= 4x I2 = 4(5) =

- 4(2)

12 u 2

La integral definida

r

4 dx corresponde al área del rectángulo que es una

2

figura geométrica sencilla, por ello podemos comprobar el resultado obtenido aplicando la fórmula de su área. A A

= bh =

=

3(4) 12 u 2

3. Obtener el área de la región comprendida entre y las líneas verticales x = O, x = 4. Grafica.

=x +

3 el eje de las x , y

4

área

=Jo =(o

(x

+

Sol. 20 u 2

3) dx 4

xdx+3J

dx

o integramos por separado x2

4

J

o x dx = 4

3J

o

2"

4

42

02

lo = 2: - 2: = 8 u 2 4

dx

= 3x Io = 3(4)

- 3(0)

=

12 u 2

Áreas

209

por lo tanto, 4

fo

+

(x

3) dx

=

+ 12

8

= 20

u2

Tabulamos

y=x+3

0TI ~

r

(x + 3) dx corresponde al área de la región de un o trapezoide de altura 4 y bases paralelas de longitudes 3 y 7. Fácilmente

La integral definida

podemos comprobar el resultado obtenido aplioando la fórmula de su área. A

1

= '2 h 1

= '2 =

(a

+

(4) (3

b)

+

7)

20 u 2

4. Calcula el área de la región comprendida por la gráfica de x = _y2 + Y + 12 con el eje de las x, a = O, b = 4; el intervalo la, b) está en el eje de las y .

fo 4

área

(_y2

+ Y + 12)

dy

Integramos por separado. 4

4

fo - y2 dy = -fo

fo 12 fo 4

y dy

= y2

1

=

yl =

2

4

dy

=-

y2 dy

=

4

o

4

2

lE 3

43

4

2

_

2

0 =8

u2

2

4

12

o

12(4} - 12(0}

= 48

por lo tanto,

fo 4

(_y2

+Y +

12) dy

03

64

= -3 + 8 + 48

=

-64+ 24+ 144

3

104 2 =--u

3

64

lo = - 3" - 3" = - 3 u2

u2

210

CAPíTULO 14. la integral definida en el cálculo de áreas

Para trazar la gráfica se calculan los puntos de intersección de la curva con el eje de las y, haciendo x = O Y resolviendo para y.

=

_y2 + Y + 12 y2 - Y - 12

O

=O

Factorizamos para obtener las raíces. y2 - Y - 12

=

(y - 4) (y + 3)

y-4=0 Yl

=

y+3=0 Y2 =-3

4

Los puntos de intersección son (O, 4) (O, -3). La ecuación de la parábola cuando su eje es paralelo al eje da las x es: (y - k)2 = 4p (x - h)

Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola _y2

+ Y + 12 = x

Se disponen los términos dejando espacio para completar el cuadrado. _y2 + Y + 12 y2 - Y - 12 y2 - Y y2 - Y +

=x = -x = -x +

¡1 = -x

12

+ 12 +

J +-~9l

¡1

(y - ~ ~

Las coordenadas del vértice son (~9, Tabulamos y

y

=-

y2 + Y + 12

Y

-2

-1

2

3

x

6

10

10

6

j(y) f(-2) f(-1)

= _y2 + Y + 12 = _(-2)2 - 2 + 12 = 6 = _(_1)2 - 1 + 12 = 10 = _(2)2 + 2 + 12 = 10

j(2) j(3) = _(3)2 + 3 + 12 = 6

~)

211

Áreas

5. Calcula el área de la región comprendida por la curva dej(y) y

3

= O, Y = "2'

= y 3 entre

Grafica.

3

área

=

yo

81

y3 dy

Sol. 64 u

2

3

4

=}L 2 1

4

o

~ [%J

O' 4

4

=

81 2 64- u

Tabulamos y

= y3

Gráfica. El segmento unidad es de un cm. y

= y3 =O

j(y) j(O)

j(l)=¡3=l

=

j(2)

23

=

--+---~--~----+---~----~--4----+----~--~ x

8

6. Calcula el área de la región comprendida por la gráfica dej(x) x = -3, x = -l. Grafica.

=x -

4 entre

-1

área

f =f =

Sol. 12 u 2

(x - 4) dx

-3 -1

-1

f

x dx- 4

-3

dx

-3

integramos por separado. 2 [1 xdx=x - 1=(-1)2 _(-3)2

2

-3 1

-4[

1

-3

dx = -4x

-3

2

2

=~-~=-4u2 2

-1 1

-3

= -4(-1) - [-4(-3))

2

=

4 - 12

=-

8 u2

por lo tanto, (x - 4) dx = -4 - 8

=

1-121 12 u 2

El resultado es negativo porque el área está abajo del eje de las x.

212


Tabulamos y

= x-

y

4

~ ~ J(x) = x - 4 J(O) = 0-4 = -4 J(2) = 2 - 4 = -2

7. Calcula el área de la región que se indica en la gráfica,

si y

=

9 -

Sol. 18 u 2

X2

3

=S

área

(9 -

X2)

dx

o

y

Integramos por separado 3

9

So

3

Io = 9(3) -

dx

=

dx

= 3x3 lo3 = 33 - (O '3 J= 9 u2

9x

9(0)

3

SO3 _--L.--'_'---+"-___"-"'--"-L_ _ x

X2

por lo tanto, 3

So

(9 - x2) dx

=

27 - 9

== 18 u 2

8. Calcula el área de la región que se indica en la gráfica,

Sol. 1 u 2

sij(x) == sen x y

, == area

S2 o

sen x dx

== - cos x 1t

== - cos- - (- cos O) 2

== 0+1 Gráfica. El segmento unidad es de un cm.

== 1 u 2

= 27

u2

213

Áreas entre dos curvas en un intervalo

9. Calcula el área de la región que se indica si

=

J(y)

(y - 2)2

Sol. J(y)

y

=

7 2 3" u

(y - 2)2

= y2

- 4y

+

4

=f

(y2 - 4y

={

y2 dy - 4 {

1

área

+ 4)

dy

o

--~~~~~~~X

o

o

Y dy

+4{

o

dy

Integramos por separado. y2 dy = y3

So I

3

I

1

=

o

~_ 3

3

0 =

3

~ u2 3

y2 I 4 (l)2 4 (0)2 -4fo1 Y dy = -4 -1 = -------2 u2 2 o 2 2 1

4S dy o

=

1

4y

1

o

=

4(1) - 4(0)

=

4 u2

por lo tanto, l

fo

(y2 - 4y

+

1

4) dy

= "3 -

2+4

1 - 6 + 12 3

7 2 = _u 3

3. Áreas entre dos curvas en un intervalo En general se procede en forma semejante a como ya se hizo al calcular el área bajo la curva en un intervalo. SiJlx) y g(x) son dos funciones continuas definidas para x en un intervalo

la, b] y aceptando que: Jlx)

~

g(x). y que los extremos del intervalo sean a ::; x ::; b .

214


El área de la región entre las rectas x dada por:

r

=

área

r

j(x) dx -

a

g(x) dx

r

=

a

= a,

x

=b

Y las dos curvas está

lf(x) - g(x)) dx

a

Gráfica y

I

~ Y = g{x)

1

:

-+--~----------~--~ X

O

X=B

x=b

Se presentan los casos siguientes.

A. Si una de las curvas está por encima del eje de las x y la otra está por abajo de dicho eje de las x.

r

j(x) dx es el área bajoj(x) y por encima del eje x,

a

-r

g(x) dx es el área entre el eje x y g(x) .

a

Se suman para obtener el área total de las curvas Ejemplos:

=

1. Obtener el área de la reglón limitada por las gráficas de YI

Y2

r

= -x + 1, con las líneas verticales x = 1 Y x = 2. +

(x 2

2) dx

=

I

r

X2

+

dx

2

I

r

d.x

I

integramos por separado

(2 x2 d.x

JI

2J

2 I

d.x

(2

JI

(x

2

=

x

3 2

3

= 2x +

1

I 2 1

I

2) d.x

=2

3 _

3

2..:. = 2. u2 3

=4- 2 =2 7

= "3 + 2 13

=3 u

2

3

u2

Sol.

29

6

u

2

X2

+ 2,


13 u 2 es el área limitada por la curva y 3

= x2 +

2; las rectas x

215

= 1 Yx = 2

Y el eje de las x. El signo positivo del área significa que la curva en el intervalo [1, 21 está arriba del eje de las x.

r

(-x

+

1) dx

1

=

r

-x dx

+

1

r

dx

1

Integramos por separado

por lo tanto,

f

2

(-x

+

3

1) dx

=- 2+

1

1

1 2 = --u

2

El signo negativo del área significa que la recta y x en el intervalo [1, 21 está abajo del eje de las x.

Para calcular el área entre la curvaj(x)

=

x2

= -x +

1 Y el eje de las

+ 2 Y la recta g(x) =

-x

+

y el eje de las x en el intervalo [1, 21 es necesario determinar cúal de ellas está

por arriba de la otra. Para ello podemos trazar las gráficas y observar o, aplicar las propiedades de la "desigualdad" y determinar sij(x) ~ g(x) en cualquier x del intervalo citado. Como se hará a continuación. X2 X2

x2

+2~- x + 1 + 2 +x - 1~O +X + 1~O

Si a la desigualdad resultante le asignamos cualquier valor a las x del intervalo [1, 2] el resultado es positivo; por ello aceptamos que efectivamente J(x) ~ g(x).

Por lo tanto, el área entre estas dos funciones en el intervalo es

r 1

J(x) dx -

r 1

g(x) dx

=

13 - (3

13

1

=""3+2 29

=(fU

2

~J

216


Cálculo de las gráficas Tabulamos y

y=x 2 +2

j(x)

= X2 +

j(1)= j(0) = j(l)= j(2) =

2 1 +2=3 O 1 +2=3 4 + 2 = 6

f

(x2 + 2) dx

1

Tabulando

y

= -x +

1 --------4---~~~~--~----~--~x

GIiliJ ~ g(x)

= -x +

1

g(O)

= 1 = -2 +

1

g(2)

= -1

Gráfica. El segmento unidad es de un cm.

Conclusión El problema principal para aplicar la fórmula para obtener el área de la región entre dos curvas consiste en verificar cuál de las dos es mayor que la otra en todo el intervalo. Para resolverlo podemos trazar previamente las gráficas de lasfunciones y decidir, o aplicar las propiedades de la "desigualdad" como se hizo en este ejemplo. Una vez que esto ha sido determinado se procede a aplicar el procedimiento señalado.

B. Área de una región situada entre dos curvas que se intersectan en dos puntos. 2. Obtener el área de la región limitada por las curvas y las líneas verticales x = O, Y x = 2

=

x2, y

Sol.

=

3x entre

10

"""3 u 2

Como ya se citó, para determinar que función está por encima de la otra trazamos sus gráficas, o bién, si suponemos de antemano que una de ellas es mayor o igual a la otra en el intervalo, procedemos a verificar si la desigualdad es cierta para todas las x del intervalo. Digamos que 3x

~ X2

en el intervalo [O. 2) .

Para comprobar la aseveración dividimos ambos miembros entrex que es una de las propiedades de la "desigualdad".

Áreas entre dos CUNas en un inteNalo

217

Podemos probar con cualquier valor de x en el intervalo [O, 21. por ejemplo, x==0~3~0

1 2

1 - 2

x==-~3>-

x==1~3~1 x==2~3~2

Concluimos señalando quej(x) == 3x está por encima de g(x) == necesario cambiar nuestra apreciación ni la función .

X2

y que no fue

Cálculo de las gráficas Tabulando

y

y == 3x

GEEJ ~

j(x) == 3x j(O) == 3(0) == O j(1) == 3(1) == 3

Tabulamos

y ==

X2

g(x) == g(O) == g(1) == g(2) == g(3) == g(4) ==

X2

______

O

1

~~--~~~~--------------~x

2 2 == 4 3 2 == 9 4 2 == 16

área ==

r

[[(x) - g(x)) dx

a

2

==f

(3x -

X2)

dx ==

O

f

3x dx -

í

X2

dx

O

O

Integramos por separado

(2

J_o

3xdx == 3

(2

J_o

xdx == 3

X2

2 _ 3(2)2 3(0)2 _ 6 2 -2---2-- u

-1 2 o

218


r

JO

2

X

3

dx

2 [0 ="38 3

X 2 =3 lO =3 - -3

2

)

u

2

por lo tanto,

r

L

(3x - x 2) dx

0

= 6 - -8

10 2 =u

33

3. Calcula el área de la región limitada por las curvas y 2 = 9x, y So l.

= 3x

"21 u 2

Para determinar el intervalo en que estas curvas se intersectan, es necesario establecer un sistema de ecuaciones. y2

y

=

9x

(1)

= 3x

por sustitución en (1) (3X)2 9X2 - 9x 9x (x - 1) Xl

X2

= = = = =

9x O O O 1

El intervalo es [O, 1]. Las coordenadas de los puntos de intersección son [O, O] Y [1 , 3 ]. Para determinar cuál de las dos curvas está por encima trazamos las gráficas . Tabulamos

y=±..JgX

~ ~ j(x) j(0) J(1)

= ±..JgX =O = ± -'9(1) = ± 3 -----+----~--~----~---- x

Tabulamos y

=

3x

~

GEEJ g(O)

= 3x =O

g(1)

= 3(1) = 3

g(x)

Gráfica. El segmento unidad es de un cm .


Como la curva y2

219

= 9x está por encima de la recta y = 3x en el intervalo [O.

1].

El área entre ellas es: b

=S

área

lf(x) - g(x)]

a I

(3 ..Jx - 3x) dx

=S

=S

O

I

I

3..Jxdx-S

O

3

X

dx

O

integramos por separado 3

I

So

3

3 x2

1

~

o

..Jx dx = - - = 2...fX3'

= [2(1) - O] = 2 u 2

2 3

JIo

X

dx

= 3x2 2

,1o = ~2 _ O = ~2 u2

por lo tanto.

fo I

(3..Jx - 3x) dx

=

3

1

2 - - = - u2 2 2

C. Área de una región de curvas que se intersecan en más de dos puntos. 4. Calcula el área de las regiones limitadas por la curva y y = 5x

= x3 - 4x y

la recta

Inicialmente es necesario determinar las regiones limitadas por las curvas resolviendo un sistema de ecuaciones. A continuación tabulamos para obtener algunos puntos para trazar las gráficas y poder determinar los intervalos donde una curva está por encima de la otra. finalmente se calculan las áreas y su suma será el resultado. Sistema de ecuaciones

y=x3-4x = 5x

y

Por sustitución en (1)

5x = x 3 - 4x x 3 - 9x = O calculamos las raíces x(x2

-

9)

=O

XI

=

O

x2-9=0

(1)

-----

220


=9 x=±-Y9 X2 = 3 X 3 = -3 X2

Las cC;)Qrdenadas de los puntos de intersección son para x en y

=O

= 5x =

5(0)

para X2 en y

=

3

y

=

5(3)

=

-3

=

5(-3)

y

=

O

=

15

[O, O)

= 5x

[3, 15)

para X 3 en y y

= 5(x) =

-15

[-3, -15)

Cálculo de las gráficas. Tabulamos y=x3-4x

x

-3

-2

-1

O

1

2

3

Y

-15

O

3

O

-3

O

15

= x3 -

4x

fix) fi-3) fi-2) fi -1) fiO) fi 1) fi2) fi3)

= (-3)3 - 4 (-3) = -27 + 12 = -15 = (-2)3 - 4 (-2) = -8 + 8 = O = (_1)3 - 4 (-1) = -1 + 4 = 3 =O = 13 - 4 (1) = 1 - 4 = -3 = 2 3 - 4 (2) = 8 - 8 = O

= 33 -

4 (3)

= 27

Tabulamos

y

= 5x

~ ~ J(x)

= 5x

J(-3) = 5 (-3) = -15 J(1)=5(1)=5

- 12

=

15

x


221

Observamos en la gráfica que hay dos regiones: una en el segundo cuadrante que designamos como R¡ en el intervalo [-3, O) Y otra R2 en el cuarto cuadrante en el intervalo [O, 3); sus áreas son A¡ y A 2 , respectivamente . En R¡ la curva y = x 3

=

Para R2 la curva y

4x está por encima de y = 5x.

-

= .x3 -

5x está por encima de y

El área total entre las dos curvas es

= Al + A2

Área total

Cálculo de las áreas .

= .x3 -

Área entre y

= 5x en

4x, y

el intervalo [-3 ,

O)

b

área¡

=f

lfix) - g(x)) dx

a

O

=f

[.x3 - 4x - (5x)) dx

-3 O

=f

(.x3 - 9x) dx

-3

integramos por separado O

=

O

f

.x3dx-9f

-3

xdx

-3

.x3 dx

= Xl 10 = 0 4 _ 4

X2

x dx = 9

Área entre y

=

2"

(-3)4 = _

-3 4 4

o

9(0)2

~

(-3)2

1-3 = -2- - 9 -2- = -

= x3

5x, y

-

u2

4

81

2 u2

4x en el intervalo [O, 3)

b

área2

=

f

lf(x)

= g(x))

dx

a

={

[5x - (.x3 - 4x)) dx

O

={

(9x - .x3) dx

O

integramos por separado 3

=

f

3

9x dx -

O

9f3 O

X

dx

f

x 3 dx

O

=9

X2

2

1

3

o

=

9 (3)2 _ 9(0)2 = ~ u 2 2 2 2

4x

222


Área total

= área 1 + 81

área2

81

162

=--¡-+--¡-=4 81

=T U

2

Ejercicio 10 Calcula las áreas de las regiones que se indican.

1. Y

= X2 . y = -x con las líneas verticales x

2.j(x)

3.

y2

= X2

= X2.

4. Y = X2 .

-

y

y

4x. g(x)

=

=O

= 1 Yx = 3

32

Sol.

'3" u

Sol.

9 2 2: u

9x

=X + 2

2

15

La integración definida en el cálculo de volúmenes

1. Sólido de revolución

Sea] una función no negativa en un intervalo cerrado la, b ). y y = f(x) -4--~----------~~ X

a

Si se gira esta región del plano alrededor de cualquiera de los ejes del plano cartesiano o de una recta del plano al sólido resultante es conocido como sólido de revolución y al eje citado como eje de revolución.

--+--:--+- Eje de revolución

El volumen de un sólido de revolución se puede calcular por el método del disco.

2. Método del disco para calcular el volumen El caso más sencillo de un sólido de revolución es aquel en que un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados. w

J

Uno de sus lados es el eje de revolución.

Rectángulo donde r es el radio y w es su ancho.

223

224

CAPíTULO 15. la integración definida en el cálculo de volúmenes

Cuando gira este rectángulo sobre su eje de revolución genera un disco cuyo volumen ves. w

Para calcular el volumen del sólido de revolución procedemos en forma semejante a la que aplicamos en el apartado 13.6 cuando nos referimos a la interpretación intuitiva del área.

y

y

w

w

Figura 2

Figura 1

Al girar los rectángulos que aparecen en la figura 1 alrededor del eje de las x, se obtienen cilindros cuyo volumen v es menor que el volumen del sólido de revolución V s ' Si se procede en forma análoga con los rectángulos de la figura 2, el volumen del sólido de revolución V s es menor al volumen de los cilindros V2 . Entonces

La diferencia entre V2 Y v 1 va tendiendo a cero y en el límite la suma de los volúmenes de los cilindros es igual al volumen del sólido de revolución generado por la funciónj(x) al girar alrededor del eje de las x, que se expresa: A. Cuando el eje de revolución es horizontal.

volumen

=

r

n[f(x))2 dx

y

a

((x_)-l'>-t----L--''---+--:--t-_x

Eje de revolución

225

Método del disco para calcular el volumen

B. Cuando el eje de revolución es vertical.

={

volumen

1t[f(y))2 dy

a

I ~ n( V

fly)2 dy

Eje de revolución y b

__a~______~__~x

Ejemplos: 1. Calcula el volumen del sólido de revolución al girar la superficie limitada 1

por la curva y = x 2, desde el eje de las y hasta la línea vertical x girar alrededor del eje de las x. Grafica.

v

= 1t{

j(X)2 dx

= 1tf

(X 2 )2 dx

= 1tf

xdx

Sol.

21t u

=

2 , al

3

a

1

O

O

1t

2

2 = -x 2

1t

=-

2

(2 2

21t u

=

1 O -

02)

3

Tabulamos

Y

=x

1 2

x

O

1

2

Y

O

1

1.4

y

--~+++-~~-+--x

rx

J(x) = J(O) = O J(1) = ,¡¡ =

j(2)

=€

1 = 1.4

y

Región plana

Sólido de revolución

226

CAPíTULO 15. La integración definida en el cálculo de volúmenes

Normalmente, para obtener de una integral el volumen de un sólido de revolución, resulta más útil la representación gráfica de la región plana que un dibujo del sólido porque es,.. más fácil localizar el radio en la región plana. En el ejemplo anterior el eje de revolución es horizontal en consecuencia se integra con respecto a x. En el siguiente ejemplo el eje de revolución es vertical por lo cual se integrará respecto a y.

2. Calcula el volumen de la región limitada por x Y = 3 si gira alrededor del eje de las y. Grafica.

=

~ y las rectas y

b

V

=f

9 So.l '21t

1t[f(y))2 dy

U

= OY

3

a 3

V

= 1tf

(~)2 dy

O

3

= 1tf

Y dy

O

1t 3 = _y2\

2

1t

=-

2

O

(3 2

-

02)

9 = -1t u3 2

Gráfica

Tabulamos

Y

o

x

O

y

y

x=~

.

1

2

4

1

1.4

3

fiy) fiO)

=~ =O

f(9)

= ..¡g =3

----+----,/-- Y = 3

-------~--------~x

x

fil) = { f = 1 f(2) = -.12 = 1.41 Región pana

3. Calcula el volumen de la región limitada por y si gira al rededor del eje de las x.

Sólido de revolución

=x +

2 Y la parábola y

Calculamos los puntos de intersección de estas curvas.

•

y = x2 y=x+2

(1)

72 3 Sol. 51t u

= x2

Método del disco para calcular el volumen

227

por igualación X2

=X +

2

2

x2 - X -

=

O

calculamos las raíces X2 -

2

X -

x- 2 XI

x + 1 X2

= (x =O =

+

2) (x

1)

2

=O =

-1

sustituimos en (1) y y

= X2

y y

= (2)2

= X2 = (_1)2

Y=

y=4

1

Las coordenadas de los puntos de intersección son (2,4), (-1, 1) Tabulamos

y=x+2

EE ~ fix)

fi-l) f(2)

=x + 2 = -1 + 2 = 1 =2 +2 =4

para y

y

= X2

x

O

-1

1.5

2

Y

O

1

2.25

4 ----~--~--------~x

fix) = fiO) = fi-1) = fi 1.5) = f(2) =

X2

O

1 (1.5)2 = 2.25 (2)2 = 4

Inicialmente calculamos el volumen del sólido generado por la recta y = x + 2 entre a = -1 Y b = 2 al girar alrededor del eje de las x que citaremos como VI.

228

CAPíTULO 15. la integración definida en el cálculo de volúmenes b

VI

=f

1t[ftX)]2 dx

a b

= 1tf

fiX)2 dx

a

2

= 1tf

+

(X

2)2 dx

-1

= -1t3

+

(X

2)3

1t

= "3 [( 2 +

= ~ [(64)

I-12

2)3 - (-1

+

2 )3]

- (l)]

1t = -63 3

=

21 1t u 3

A continuación, calculamos el volumen del sólido generado por la parábola y V2

= x 2 entre a = -1 Y b = 2 al girar alrededor del eje de las x , la citaremos como V2. =(

1tlf(X)]2 dx a

= 1t(

J(X)2 dx

r a

= 1t

(X2)2

dx

-1

= 1tJ

x4dx

-1

X5

2

= 1t-1 5 -1

_ (3~ +i)

= 1t [~5 (_~)5] =

1t

33

= -51 t u 3 VI

Para obtener el volumen de la región "achurada" en la gráfica, del volumen restamos el valor V2 .

volumen

=

VI -

V2

33 = 211t--1t 5 105- 33 1t 5 72 3 = -1tU 5

=

229

El sólido de revolución con un agujero . El método de las arandelas

3. El sólido de revolución con un agujero. El método de las arandelas Una arandela se obtiene haciendo girar un rectángulo alrededor de un eje. ów

,--.

w

,p~}"

HI---++---+-Eje de revolución

-'---"---L---Eje de revolución ( es el radio exterior (, es el radio interior

Arandela

Volumen de la arandela = 1t [(radia exterior)2 - (radia interior)2] multiplicado por el grueso; en la integración estará expresado por Llx o por ó.y . Por lo tanto, se debe restar del volumen de la región generada por la mayor de las regiones, la del volumen del sólido de la menor de las dos regiones.

Iu~~

n [{(xl'] dx -

~

n ]g(x]'] dx

I

Fórmula que se puede expresar en la forma siguiente:

I

u

~.~

{[{(xii' - [g(xll'J dx

Ejemplos: l. Calcula el volumen de la región limitada por las gráficas de y = x 2 + 2 con

y

= ~+

v

=

U

~ =

1t{ a

•

1, con x

O, x

=

1 si gira alrededor del eje de las x.

n

Hf(x)2 - [g(x)]2} dx

f: [(X, 1t(

=

[

~

+ 2)' - ( + 1

dx

x4 + 4x2 + 4 - ( : + x + 1)J d x

= 1t(

(x4 + 4x

= 1t(

(x4 + 145 x2 -

2

+ 4 -: X

X -

J

+3 dX

J

1 dX

79

Sol. 20

3

1t U

230

CAPíTULO 15. la integración definida en el cálculo de volúmenes

79

=-u 20

3

2. Calcula el volumen de la región limitada por y si gira alrededor del eje de las x.

= -IX y las rectas

y

= O, x = 4

b

V

=

nf

j(X)2 dx

Sol. 8n u 3

a 4

= nf

({X)2 dx

O

4

= nf

x dx

O

=

8n u 3

3. Calcula el volumen del sólido de revolución cuando la región limitada por y = 2 fu y las rectas x = 0, x = 4 gira alrededor del eje x . V

= nf

b

j(X)2 dx

a

= nf

4

(2\1sX")2 dx O 4

= nf

4(5x) dx

O 4

= nf

20x dx

O 4

= 20nf x O

160n u 3

dx

Sol. 160 n u 3

231

Volumen de un sólido cuando el eje de revolución es paralelo al eje de las x o o al de las y

4. Volumen de un sólido cuando el eje de revolución es paralelo al eje de las x o al de las y Ejemplo: Calcula el volumen del sólido de revolución cuando la región y limitada por x = O. x = 4 al girar alrededor de la recta y = 6 .

=

4x - x2 está

Tabulamos y

=

4x-x2

Sol.

14081t

15

u

3

I: I: I: I: I: I: I j(x) j(0) j( 1)

=

4x -

X2

=O = =

4(1) J(2) 4(2) j(3) = 4(3) j( 4) = 4(4)

-

12 = 22 = 32 = 42 =

3 4 3 O

Gráfica. El segmento unidad es de un centímetro. y h~"""""~""""",,,,,,,,,,,,,,-----;--t-

I

A'

Eje de rotación y = 6

D

--~-----------+ ~ ~~~--~x

óx

Prolongamos los lados del rectángulo ABCD hasta el eje de rotación EF. Cuando este rectángulo gira alrededor del eje de rotación resulta un cilindro cuyo volumen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos ABCD y BCEF al girar con respecto al mismo eje. Se obtiene la diferencia de los volúmenes y se procede como en los ejemplos anteriores .

232

CAPíTULO 15. La integración definida en el cálculo de volúmenes

Por lo cual, 4

V

= 1tf

[(6)2 - (6 - y)2) dx

O

4

= 1tf

[36 - (36 - 12y + y2)) dx

O

4

= 1tI

(1)

(12y - y2) dx

O

como y

=

4x - x2 sustituyendo en (1)

4

= 1tI

[12(4x - X2) - (4x - x2)2) dx

O

4

= 1tI

[48x - 12x2 - (16x 2 - 8x3

+

O

4

= 1tI

(48x - 28x 2

+

8x 3

x 4 ) dx

-

O

= 1t -48 x2 ( 2

28 x 3 3

-

= 1t(24(4)2 -

x5) I4

+ -8 x4 - 4

5

2 8 (4)3 + 2(4)4 3

o

(¿~t)

= 1t(384- 1 ~92 + 512- 1 ~24) =

(5760- 8960+ 7680- 30721 1t 14081t 3 15 u

15

)

x 4 )) dx

16

La integral definida. Longitud de un arco (curva)

Si un lugar geométrico está dado en la forma de una función y

= J(x) con

a :'S: x :'S: b Y siJ es continua en el intervalo [a, b J. entonces el lugar geométrico de J se llama arco.

y

b

--~----------------------x

La longitud del arco ab de una curva es por definición, el límite de la suma de las longitudes de las distintas cuerdas (segmentos) aQo, Q¡Q2, . .. , Qn - ¡ b que une los puntos del arco, cuando el número de éstos crece indefinidamente, de manera que la longitud de cada una de las cuerdas tiende a cero. Por el teorema de Pitágoras podemos obtener la distancia entre los puntos QoyQ¡.

Y4 01

00

e

--+-------------x

(1) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos. En consecuencia, podemos obtener la longitud de una curva sumando el conjunto de puntos cercanos entre sí, unidos por segmentos rectos cortos.

233

234

CAPíTULO 16. La integral definida. longitud de un arco (curva)

Si al incremento de una función que se cita en el concepto de la derivada: y

--r-----------~x

se sustituye en (1) queda Qo

e

e Q¡

por tlx o dx por dy

y la diferencial de la longitud de la curva por ds tenemos por el citado teorema de Pitágoras que d.s2

como dy ds 2 ds

= dX2 + dy2 = j'(x) =

{l

dx queda

+

[j'(X)]2} dx 2

= ;JI + [J'(x)J2

dx

La longitud L de una curva es igual a la suma de los segmentos rectos de longitud ds cuando ds tiende a cero. Se expresa

L d.s =L ;J¡l + [j'(X)]2 ) dx En el límite, ds tiende a cero. L

= lím L, ;JI + [J'(x)]2

dx

Por lo tanto, la longitud L de un arco de la curva y x = b se obtiene con : L

=

= j(x)

desde x

=a

r

;JI + [f'(X)]2 dx

a

Ejemplo: 3

Calcula la longitud del arco de la curva y

= x'2 entre

x

= O Y Y = 5. 335 Sol. 27

hasta

La integral definida. Longitud de un arco (curva)

Calculamos la derivada de 3

Y

=X2 3

.!.

j'(x)=2"x 2

L

=

r

...JI + [f(x)J2 dx

a

=

r -VI

+¡x dx

O

I

~~(I+!H' dx U

u(u)

du(x)

=

9 1 +-x 4 9

= 1 +¡X 9 = ¡dx I

=Jf>

O

4( 9)294

-I+-x 9 4

-dx

4 f> = - J u 2 du I

9

O

integramos


=

9 )2 lo

8 ( 27 1 +¡X

5

=~

~[l +~(5)]3 _~ ~[l +~(O)]3 4 27 4

=~

~ (_49)3_~-f13

27

27

4

27

235

236

CAPíTULO 16. La integral definida. longitud de un arco (curva)

= ~ (49)"49 _ ~ 27

4

4

8 J 27 l!)-

)t (49)(7

= 27 A' 343

8

27

27

=---

335

27

1

~

•

27

Libro- Cálculo Integral (Fuenlabrada)

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