Ù
Ö
×
Ó
Ð
Å
Ù
Ô
Ö
Ð
Ø
Ù
Ó
Ó
Ð
Ó
º
È
Í
Ò
º
Ø
Ñ
Ö
Ö
Ð
Ð
Î
Ö
Ú
Ð
Ù
Ö
×
Ó
Ð
È
Å
È
È
Ö
Í
Ó
Ò
Ú
Ô
Ö
Ö
×
×
Ó
Ø
Í
Ò
Ú
Ö
×
×
Ø
Ê
Ò
Ô
×
×
Ó
Ù
Ø
Ó
Ö
Þ
×
Ñ
Ò
Ö
Ö
Ò
Ó
×
Ö
»
¹
¼
Ð
Ö
Ú
Ð
Â
Ò
Ð
Â
Ö
Ó
×
Ø
Ô
Ñ
Í
Ø
Ö
¼
Ó
½
Ù
Ê
Ø
Ø
Ð
Ó
Ñ
Ó
¾
Ú
Ó
Ö
Å
Î
Ø
Ó
Ý
Ñ
Ê
Ø
Ó
Ø
Ð
Ð
Ñ
×
Ó
Å
Ù
Ø
Å
Â
Ú
Ù
Ö
Í
º
Ø
Ò
Ú
Ó
Â
Ò
Ø
Ø
Í
Ù
Ó
Ö
×
Ó
Ø
È
Ò
Ø
Ò
Ó
Ó
Ñ
Ò
Ñ
Ð
Ó
Ö
Ò
×
Ù
Ö
Ö
Ð
Ò
Ö
Ó
Ù
Ò
Ó
×
×
Ó
Ø
Ö
Ð
Ó
Ó
Ò
×
Ù
Ð
Ø
Ó
×
Ñ Û
Û
Û
º
Ð
Ñ
º
Ù
Ö
º
Ö
»
Ñ
Ö
Ð
»
Ð
Ú
Ö
Ó
×
Ó
Ù
Ò
Ø
Ö
Ñ
Ó
Ò
º
Ø
µ
Ù
Ö
Ó
Ø
µ
Ö
Ø
Ø
Ó
Ó
Ñ
Ó
Ù
Ø
Ó
Ö
Ñ
Ø
Ô
Ó
Ö
Ð
×
Ó
Í
´
Ò
Ô
Ø
Ó
Ø
Ö
Ø
Ö
µ
Ð
Í
º
È
Ù
Ð
Ò
Ú
Ó
Ö
×
Ö
Ñ
Ø
Ø
Ø
Ð
Ù
Ò
×
Ô
Ö
Ð
Ö
Ö
Ò
Ô
Ö
Ö
Ó
¼
Ó
Ø
×
Ó
Ø
º
Ø
Ø
Ú
Ù
Æ
×
´
Ó
Ð
Ú
×
Ö
Ó
Ø
Ö
Ô
Ø
Ð
Ñ
Õ
Ù
×
Ø
Ö
Ö
Ú
Ó
Ù
Ù
Ø
Ö
Ó
×
Ñ
×
×
Ô
Ù
Ö
Å
Ö
×
Ø
Ð
Ó
¸
Å
Ñ
Ö
Ø
Ð
¸
Ò
Ò
×
Ñ
Ó
º
×
Ô
Ú
Ö
Ò
Ò
Ñ
¸
Ó
Ó
×
»
½
Ö
Ø
Ð
¸
Ø
Ð
Ñ
Ò
Ø
Ó
Ô
Ð
Ø
Ñ
Ú
×
Ñ
Ó
Ñ
Ä
Ñ
Ó
Ò
Ò
×
´
Ø
Ë
Ö
Ù
¾
È
Ð
¼
º
Ó
¼
Ù
µ
¿
½
Ò
Ë
×
×
Ó
»
Ò
Ý
Ë
¹
Ø
Ò
Ö
¹
Ø
×
¸
»
Ë
¿
Ù
º
Ø
¼
»
¿
¼
Ö
¼
»
º
¹
¼
¸
Ë
Ò
Ö
Ò
Ó
Ó
Ö
×
×
Ö
Ñ
×
Ö
Ø
×
Ó
Ô
Ó
Ù
Ð
Ø
Ö
Ö
Ó
×
Ò
Ø
Ù
Ö
Ñ
×
Ó
Ò
×
Ø
Ö
×
Ñ
Ó
Ù
Ñ
×
Ö
Ñ
Ö
×
Ø
Ð
Ó
×
¸
Ö
Ò
Ó
×
Ò
Ø
¸
Ñ
Ò
Ó
Ø
Ù
Ò
×
Ó
×
Õ
Ó
Ù
Ó
Ñ
Ù
Ñ
Ø
Ö
×
Ö
Ð
º
Ø
Ð
Ó
Ö
Í
Ñ
Î
Ö
Ú
Ð
»
Å
Ö
Ó
Ö
Ð
¹
Ê
Ó
Â
Ò
Ö
Ó
Ò
×
Ø
Ø
Ù
Ø
Ó
½
º
Ð
Ù
Ð
Ó
Ì
Æ
¹
¹
¹
Ù
½
Ë
Ø
½
Ð
Ó
¾
º
¿
Ù
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ó
Ó
Ä
Ñ
µ
Ó
Ñ
Ó
¸
Ñ
Ö
º
×
Ò
Ó
Ö
Ñ
Ö
Ö
Ò
Ë
Ô
Ö
¹
»
Ñ
»
Í
Ô
Ö
Ù
Ø
¸
Ù
Ö
Ð
Ó
Ö
Ô
Ø
Ø
Æ
Ú
Ø
½
Ó
×
Ó
Ñ
×
Ó
Ó
×
Ò
¸
Ñ
Ë
Ù
Á
Ñ
Ò
Ø
Ö
½
¾
Ì
¿
Ê
Ó
½
Ò
Ó
Ö
Ø
Ì
Ó
Ñ
Ö
Ò
×
×
Á
Ò
Ù
Ñ
×
Ò
Ô
Ö
Ø
×
Ñ
Ô
Ö
Ö
Ò
×
Ð
Ø
Ò
½
Ò
Ø
Ö
Ó
Ô
Ó
Ö
¾
Ò
Ø
Ö
Ó
Ô
Ó
Ö
Ø
Ü
Ö
Ö
Ó
½
¾
È
¿
Ô
Ó
×
Ø
Ò
Ø
º
×
Ö
Ð
Ü
Ö
¾
È
¿
Ð
Ö
×
È
Ð
Ö
Ó
Ü
Ø
Ð
Ö
×
Ö
Ó
Ð
Á
Ð
Ø
Ø
Ù
Ð
×
Ó
´
Ì
×
µ
Ó
Ø
Ù
Ó
×
Ö
×
º
Ó
º
º
º
º
º
º
Ö
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
Ó
Ô
º
Ó
º
º
º
º
º
Ö
º
Ö
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
×
È
º
º
º
º
Ö
º
º
º
º
º
º
×
º
º
µ
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
×
º
º
Ü
º
º
Á
Ò
º
Ö
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
Ó
º
º
Ø
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
Ó
º
º
º
Ô
Ó
º
º
º
º
º
Ö
º
Ö
º
º
º
º
º
º
º
º
º
×
º
º
º
È
º
º
º
Ö
º
º
º
º
º
º
×
µ
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
º
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
´
º
º
º
º
Ó
Ü
Ø
º
×
Ö
º
Ò
º
×
È
º
º
Ñ
º
´
×
×
º
Ö
Ù
º
º
Ö
Ó
×
º
×
Ñ
×
È
º
Ó
Ô
Ð
º
Ó
Ë
º
º
×
Ö
×
Ó
Ñ
×
Ø
º
È
×
º
Ö
×
Ü
Ö
Ó
º
º
Ü
Ó
Ñ
Ó
Ö
×
Ö
Ø
×
⋆
Ø
Ö
Ò
Ö
Ó
Ü
Ó
º
½
Ô
Ó
Ó
×
⋆
Ö
×
Ò
È
⋆
×
Ð
Ò
Ö
½
½
½
½
½
½
¾
½
½
½
Ú
Á
Ô
Ò
Ç
Ø
Ø
• • • •
Ó
Ô
• Ç
Ö
Ö
Ô
Ö
Ø
Ø
Ö
Ð
Ö
Ø
Ø
×
µ
Ð
Ð
Ø
×
Ø
Ò
×
×
Ó
Ð
×
Ö
Ù
Ð
Ð
Å
¸
Ø
Ó
×
µ
Þ
Ò
Ø
Ö
Ð
Ó
Ò
Ú
Ö
×
Ó
Ó
Ù
Õ
Ð
×
Ö
Ó
Ð
Ò
Ò
Ø
Ò
Ù
Ù
Ò
Ö
Õ
×
Ø
×
Ó
Ö
×
Ñ
Ð
Ø
Ó
Ù
Ó
Ù
×
Ó
Ñ
Ò
Ñ
Ò
Ö
Ò
Ö
Ó
Ó
Ó
´
Ù
Ó
Ó
Ð
Õ
Ö
Ñ
Ø
Ö
Ð
Ò
Ò
Ù
Ñ
Ó
Ù
Ò
Õ
Ñ
Ò
×
Ñ
Ö
Ó
×
Ô
×
Ø
Ñ
Ò
Ð
Ó
×
Ô
Ù
Ù
Ö
Õ
Ö
×
×
Ö
Ñ
Ö
Ö
Ó
Ø
Ô
Ò
Ò
Ò
Ó
Ó
Ò
Ö
Ñ
Ó
Ò
Ó
Ö
Ì
Ô
Ó
Ô
Ø
Ø
Ó
Ö
Ð
Ó
Ó
¸
Ó
Ö
Ö
Ö
Ô
Ø
Ö
Ò
Ø
×
Ò
Ð
Ø
Ø
Ò
Ó
Ú
Ù
Ò
Ò
×
Ù
Ö
Õ
×
Ö
Ô
Ø
Ó
Ò
Ö
Ð
Ö
×
Ú
Ù
Ú
Ø
×
Ö
Ü
¾
Ú
Ù
Ô
×
Ø
Ö
Ò
Ó
´
Ó
Ô
Ô
Ö
Ó
Ú
×
Ø
Ù
Ø
Ó
Ó
Ò
¸
Ô
Ö
Ó
Ó
Ú
×
´
Ñ
×
Ô
Ú
Ù
Ó
Ð
×
Ñ
Ø
×
¹
Ò
µ
Ø
º
¸
½
Ù
×
Ø
Ó
Ü
Ó
Ñ
Ø
Õ
Ó
Ù
Ó
Ø
Ó
Ú
Ó
Ö
Ð
Õ
Ù
Ù
Ð
Ñ
Ó
×
Ö
Ó
Ñ
×
Ó
Ù
Ú
Ó
Ð
Ñ
Ù
Ñ
Ó
×
×
×
Ù
×
Ù
Ö
Ö
Ò
×
Ó
×
Ñ
×
Ö
Ó
Ò
Ò
Ú
Ø
Ó
Ð
Ö
Ú
×
Ó
Ö
Ù
Ö
Ú
×
×
º
Ñ
Ó
Ø
Ú
º
Î
Ó
×
Ò
×
Ö
Ò
Ø
Ø
Ñ
½
Ö
Ñ
Ö
Ò
Ð
Ñ
×
Ö
½
Ø
Ö
Ó
¹
Ö
Ò
Ø
Ó
×
Ö
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ó
Ð
Ò
Ó
Ê
Ø
Ð
Ó
Ð
Ð
Ó
Ù
Ò
µ
×
Ø
Ù
Ð
Þ
Ò
Ó
Ö
Ñ
Ö
Ù
Ô
Ó
È
Ö
Ó
µ
Ò
Ö
Ó
Ð
È
Ñ
Ø
Ù
Ò
Ö
Ò
Ð
Ö
´
Ö
Ø
Ñ
Ö
Ö
Ò
Ñ
Ò
Ò
Ö
Ø
Ò
×
×
Á
Ò
Ó
Ó
Ò
Ö
¸
Ö
Ó
Ù
Ñ
Ñ
Ò
Õ
Ó
Ó
Ö
Ó
Ó
Ó
Ò
Ñ
Ó
Ö
Ø
Ó
Ò
Ò
Ù
Ò
Ò
Ð
º
Ú
Ð
Ó
Ò
Ó
Ö
Ò
×
Ò
Ñ
Ø
×
Ó
Ò
Ø
Ö
Ð
f (x) dx
Ó
Ñ
Ó
Ö
Ó
Ñ
×
Ò
Ð
Ò
Ø
Ö
Ó
Ö
Ó
Ö
Ó
Ù
Ü
℄
º
Ó
Ô
×
Ö
Ñ
Ò
Ø
Ø
Ú
Ú
´
Ñ
Ò
Ø
Ó
Ù
×
Ø
Ú
µ
Ò
Ö
Ó
f : [a, b]
Å
→R ¸
b
¿
Ô
Ó
¾
f
Ó
Ü
Ó
x
ý
Ö
Ò
Ñ
Ó
×
×
Ñ
Ù
Ó
a
Ü
Ó
Ó
Ò
×
Ö
Ô
Ó
×
Ú
¸
Ü
Ó
Ò
Ø
Ú
º
¼
½
º
Ù
Ò
º
¾
¼
½
¼
⋆
½
Ö
Õ
Ù
Ñ
×
¾
º
º
¸
Ë
Ö
Ù
×
¸
Á
Ø
¾
Ó
Ö
Ö
Ö
Ö
Ò
Ö
¿
Â
Ò
×
Ø
Ó
Ò
Ö
Ó
Ù
Ü
⋆
Ê
½
»
Ñ
¼
Ò
»
Ò
½
Ð
⋆ ¾
½
¸
¹
Æ
»
†
¼
Ñ
¾
½
»
×
¾
½
¸
¾
Ö
º
½
¸
Ò
º
¸
Ë
Ö
¹
×
†
Ö
Ð
¾
Ù
Ò
¿
×
Þ
»
¸
¼
¸
Á
¾
Ð
»
Ø
Ð
Ñ
½
½
º
Ò
¸
È
¹
Ö
† ×
¸
¾
¼
»
Ö
¼
Ò
»
½
º
¸
Ë
Ð
×
¸
Á
Ø
Ð
º
½
Ç
×
×
Ò
º
Ó
Ü
Ò
Ø
Ö
Ö
Ð
½
Þ
Ð
Ù
×
Ó
Ó
Ð
×
Ù
Ó
Ó
7 dx
Õ
Ó
Ó
Ó
×
×
Ð
Ó
Ò
×
Ð
×
Ö
Ó
´
Ú
Ö
Ò
Ü
Ó
Ö
Ñ
Ñ
Ù
Ø
Ò
Ò
Ö
dx
×
Ò
´
µ
x dx
Ó
Ù
Ð
Ü
Ñ
Ù
Ô
Ö
Ð
Ó
½
Ú
Ð
Ö
Ö
Ñ
Ó
×
Ù
´
µ
Ø
Ò
Ø
Ò
Ö
Ð
Ø
×
Ò
Ù
Ø
×
Õ
Ó
Ó
¸
Ö
×
Ö
Ú
º
×
Ó
Ö
Ó
Ö
Ö
´
Ó
Õ
×
Ö
×
Ù
Ò
Þ
Í
Ö
Ç
Ú
Ä
¸
Ô
Ì
Ð
Ñ
Ö
Æ
Ú
f (x)
Ó
Ö
Ð
Ô
Ó
Ñ
Ú
Ü
º
Ù
Ê
Ò
dx
Ö
Ó
Ì
Ñ
´
Ô
Ó
Ä
Ó
Ð
Ó
º
dt
Ù
2
(x + 1) dx
Ô
Ä
×
Ö
Ñ
Ò
µ
Ó
È
−3
Ò
Ñ
dx
Ó
Ñ
Ð
Ð
×
Ó
Ó
´
µ
x dx º
−5
Ö
Ó
Ó
Ð
Ñ
Ù
Ó
Ñ
×
0
Ö
Ó
2
Ë
×
Ö
×
Ô
2
µ
Ø
8
´
Ð
Ò
Ù
Ò
Ö
Ù
Õ
Ù
Õ
Ö
Õ
Ó
×
½
º
Ó
Ø
Ó
Ñ
×
Ó
Ô
Ó
Ñ
Ñ
Ñ
Ù
Î
Ó
×
µ
Ø
Ú
Ó
Ù
Ö
−5
Ó
Ñ
×
Ò
Ð
µ
Ù
Ð
Ñ
Ù
Ð
Ó
×
º
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
×
Ò
×
Ð
Ù
Ð
Ö
Ô
Ö
8
´
´
´
2
Ò
µ
µ
Ð
µ
Ù
Ð
Ð
Ð
Ù
Ò
Ð
Ù
Ð
Ò
Ó
Ò
Ó
Ó
Ö
µ
Ø
Ú
º
×
×
Ñ
¸
Ó
Ö
−3 + 1 = −2 −
´
Ö
Ó
Ø
Ö
Ó
Ö
Ó
Ñ
Ö
Ó
×
Ò
Ò
Ô
Õ
Ù
Ù
Ù
Ð
Ð
Þ
×
µ
Ó
×
Ó
Ó
Ó
Ó
Ö
Ó
Ñ
Ù
Ð
×
×
(x + 1) dx =
Ó
Ó
×
Ö
Ú
Õ
×
8
3
−2 =6
Ð
Ù
Ö
3
Ó
Ø
Ó
Ñ
Ó
Ñ
Ó
2(4 + 2)/2 = 6
×
Õ
Ù
7 dx = 42
º
2 3
−3 − (−5) = 2
7
3
×
Õ
Ð
Ó
Ù
Ñ
Ù
Ö
Ó
×
x dx = 9/2
0
4
×
´
º
−5 + 1 = −4
Ü
Ó
Ó
Ü
Ó
µ
−6 º
−5
´
Ó
Ù
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
×
Ó
Ñ
Ö
×
Ö
×
Ó
Ñ
×
Ò
Ð
Ó
×
Ö
Ò
Ù
Ð
Ó
×
º
2
Î
Ñ
Ó
×
Ó
Ö
x dx =
−8 + 2 = −6.
−4
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
¾
2
´
µ
Ð
Ù
Ð
×
×
Ó
Ð
×
Ù
Ó
Ó
x3 dx
Ð
×
Ü
Õ
Ñ
Ô
Ð
×
Ò
Ó
Ù
Ð
Ü
Ñ
´
Ó
Ô
¿
Ó
Ô
Ö
¸
×
Ñ
Ù
Ö
Ó
×
Ò
µ
Ð
×
Ð
Ò
x
Ó
Ð
×
Ù
Ó
´
Ó
Ö
Õ
µ
Ù
Þ
Ò
Ö
×
º
Ð
Ü
Ò
Ù
Ó
Ö
Ø
´
Ò
Ò
×
Ö
×
Ò
Ó
Ö
Ó
Ñ
×
√
Ò
Ó
Ö
Ð
×
×
Ð
Ò
Ù
Ú
Ð
Ð
µ
Ö
Ù
Ð
Ñ
Þ
Ö
´
µ
Ô
Ð
Ó
Ó
¿
Ö
Ú
Ö
×
Ó
Ú
Ó
Ö
Ñ
Ó
Ó
Ö
×
Ö
Ù
x2
−
Õ
Ñ
Ù
Ö
Ð
Ó
Ô
º
Ó
×
º
Ö
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
×
Ò
×
Ð
Ù
Ð
Ö
Ô
Ö
x>0
x<0
¸
Ð
×
×
Ó
Ù
×
−√ − 3
r2
0
Ñ
Ö
Ó
×
Ù
r
4 dx
Ó
Ó
0
Ë
Ñ
Ó
Ö
×
Ó
×
×
Ó
Ó
Ö
Ñ
Ä
Ù
¾
Ú
×
Ó
Ñ
Ó
Ð
| − |
µ
×
sen(x) dx
5
´
−π
Ö
Ñ
Ó
È
Ù
π
−2
Ë
´
µ
x2 dx
9
º
−3
´
dx
Ó
Ó
Ñ
Ñ
×
Ó
×
Ò
Õ
Ð
Ù
µ
×
Ù
Ó
Ð
Ñ
Ù
Ñ
Ð
Ö
Ó
×
º
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
×
Ò
×
Ð
Ù
Ð
Ö
Ô
Ö
Ö
¾
Ö
Ò
Ù
Ð
Ó
×
¸
Ù
Ñ
Ó
Ñ
×
6
3
Ð
Ø
Ù
´
Ö
Ö
Ð
Ó
3
µ
Ù
Ö
Ó
º
r Ä
Ó
Ù
Ö
Ò
Ø
Ö
Ó
Õ
Ù
Ó
Ó
Ñ
Ô
Ò
√
Ó
Ö
×
Ö
r
Ó
Ó
¸
r2
0
2
2
−x
Ñ
Ö
Õ
Ð
Ù
Ù
Ö
×
×
2
×
Ñ
1 dx = πr 2 4
º
Ò
Ñ
x
√r − x 1
2
f (x) =
×
| − |
Ø
Ö
Ð
4 dx = 3(3)/2 + 2(2)/2 = 13/2
º
2
0
Ó
Ö
r
Ó
Ó
Ö
Ö
Ô
×
Ô
Ó
Ö
Ò
Ñ
1/4
Ó
Ö
Ö
Ù
Ð
Ó
Ó
´
µ
Æ
Õ
Á
Ù
Ò
Ç
Ó
Õ
Æ
Ù
Ì
Ô
Ê
Ö
Ä
È
Ê
Ç
Ü
È
Ê
Ó
Á
Ó
Ö
Ù
Ð
Ë
Ó
½
Ö
Ó
3
−√ − 3
1/2
Ö
Ó
Ö
Ù
Ð
Ó
Ó
Ñ
×
Ò
Ð
Ò
Ø
Ú
Ó
º
Ä
Ó
Ó
¸
Ò
Ø
Ö
Ó
−3
Î
Õ
Ù
Ñ
Ó
Ò
×
Ú
Ò
Ó
Ö
Ø
Ð
Ò
Ñ
Ó
Ô
Ö
Ð
Ó
×
Ó
P ¸
Ö
I (f ; P ) =
Ö
Ú
Ó
Ø
Ð
Ñ
×
Ó
Ò
Ó
Ö
Ò
Ð
[a, b] [a, b] Ó
Ó
Ö
Ð
Ö
Ô
Ó
Ò
Ô
Ù
Ó
µ
Ó
Ö
Ò
Ö
Ñ
Ñ
Ó
Ø
Ó
Ó
Ñ
Ö
Ñ
×
×
Ñ
º
Ò
P = x0 , . . . , xn
{
Ó
Ò
Ó
Ñ
Ò
Ñ
−x−
i 1
Ó
×
×
Æ
Ó
Ó
Ô
Ö
Ø
Ó
¸
Ò
Ø
Ö
Ú
Ð
a = x0 I i = [xi−1 , xi ]
}
Ó
×
Õ
Ù
Ó
≤
Ñ
∆xi = b
Ó
Ñ
×
Ù
Ô
Ö
Ó
Ö
Ò
Ö
Ó
Ö
º
−a º
i=1
f
Ó
Ñ
n
n
min(f (x))∆xi x∈I
S (f ; P ) =
i
i=1
×
Ó
n
∆xi = xi
Ö
Ó
¸
Ñ
Ô
Ö
Ø
Ø
Ù
Ú
º
I i
Ò
Ö
Ö
Ó
Ò
Ñ
Ú
Ó
Ö
Ó
Ö
Ø
Ø
Ö
Ô
Ó
Ò
×
Ö
Ó
Ò
Ô
Ñ
Ô
Ñ
Ô
Ö
Ù
×
Ó
Ó
Ò
Ö
Ñ
×
Ñ
Ó
Ú
Ö
Ñ
Ó
Ø
Ñ
×
Ò
¿
Ñ
Ó
Ó
Ó
Ñ
×
= b
Ó
Ö
Ù
¾
n
Ó
Ö
Ó
·· · ≤ x
Ò
− 9π2
x2 dx =
9
max(f (x))∆xi . x∈I i
i=1
sup inf
Ç
×
Ò
Ø
×
Ö
Ò
Ø
Ó
×
Ù
Ô
Î
Ñ
Ñ
Ò
Ø
Ó
Ö
Ó
Ò
Ø
Ö
Ô
Ö
Ò
Ô
Ø
Ç
Ù
×
Ö
Ø
Ç
Ù
Ó
Ö
×
Ö
Ö
Ø
Ó
×
×
Ñ
Ö
Ó
Ò
Ó
×
Ð
Ó
Ò
Ó
Ñ
½
Ø
Ö
Ö
Ò
Ø
Ù
Ö
º
½
Ò
Õ
Ù
Ñ
Ò
Ø
Ó
Õ
S (f ; P )
Ö
Ò
Ð
º
º
º
È
Ö
Ù
Ó
Ò
Ò
Ú
Ó
×
×
Ù
Ñ
Ô
Ö
Ó
Ü
×
Ñ
×
Ó
Ó
Ö
Ó
Ñ
Ù
Ò
Ó
Ò
Ñ
Ó
×
Ù
º
Ð
Î
Ñ
Ï
Ó
×
Ô
Ò
Ó
S (f ; P )
Ò
Þ
Ô
Ö
´
Ö
Ù
×
Ñ
Ù
Ó
Ò
Ù
Ò
Ó
f
Ó
µ
Ó
Ó
Ò
Ö
Ø
Ö
×
Ò
Ù
Ô
Ó
Ò
Ô
Ó
×
×
Ø
Ó
Ú
Ñ
I (f ; P ) º
Ó
×
Ö
Ò
≤ S (f ; P )
Ù
Ó
Õ
Ö
Ø
Ö
Ô
Ö
Ø
Ö
I (f ; P )
Ù
Ð
Ñ
Ö
Ø
×
×
Ó
Ö
Ô
Ô
×
Ö
Ð
Ó
Ó
Ü
Ñ
Ö
×
Ö
Ø
Ó
Ö
×
Ó
×
Ò
Ó
Ô
Ó
Ô
Ó
Ø
Ò
Ö
f ¸
Ü
Ó
Ò
×
×
Ó
×
Ü
Ó
Ó
Ö
Ñ
Ô
x ¸
Ò
Ó
Ö
Ò
Ö
Þ
Ö
Ø
Ö
Ð
¸
Ó
Ø
¸
Ö
×
Ô
x=a
Ö
Ø
Ò
Ø
Ó
Ú
Ö
Ó
¹
Ø
Ø
Ó
º
x1
xi−1
···
a
Ú
Ö
I (f ; P )
Ô
x= 0
Ó
Ö
Ñ
º
Ù
Ó
Ñ
Ó
Ú
×
Ö
Õ
×
Ù
Ó
x=b I (f ; P ) Õ
Ö
S (f ; P )
¸
¾
Ü
×
Ó
Ò
Ö
×
Ó
Ú
xi
xi+1
xn−1 xn
···
=
b
Ó
Ó
Ñ
Ø
Ö
S (f ; P )
I (f ; P )
Ô
Ö
f
Ó
Ò
Ø
Ò
Ù
Ô
Ó
×
Ø
Ú
º
½
Ò
Ó
Ö
Ó
Ö
Ó
×
Ò
Ø
Ö
Ð
µ
Ó
Ò
×
Ö
f : [a, b]
→R
Ë
È
Ì
Í
Ä
Ç
Æ
Ì
Ê
Ä
lim S (f ; P ) = lim I (f ; P ), ∆x →0
∆xi →0
×
Ó
Ô
¸
×
Ö
×
Ó
Ó
Ñ
P
Ú
×
Ù
Ô
Ô
Ö
Ö
Ó
Ö
Þ
Ö
Ó
Ó
Ò
¸
Ú
Þ
Ö
Ñ
i
Ö
Ô
Ó
×
Ö
Õ
Ù
×
Ó
Ñ
Ò
Ø
Ò
Ö
Ö
Ð
Ó
´
Ö
Õ
Ù
Ê
Ò
Ñ
Ó
Ó
Ò
Ò
µ
Ñ
Ü
Ò
×
Ó
Ö
Ô
Ö
×
Ò
Ø
Ò
Ø
Ñ
Ö
Ó
Ú
×
Ð
Ó
×
b
Ú
Ð
Ó
Ö
Ô
Ó
Ö
f (x) dx
Ò
Ó
Ö
Ñ
Ð
Ñ
Ò
Ø
´
Ñ
×
Ñ
Ù
Ó
Ù
Ø
Ð
Þ
Ó
Ñ
Ù
×
Ò
Ó
¹
Ö
Ó
Ö
Ó
×
×
×
a
Ò
×
¸
Ò
Ò
Ò
Ö
Ò
Ó
×
Ð
Ú
Ö
Ó
×
Ð
Ù
Ð
Ó
¸
Ò
Ñ
Ô
Ð
Ó
Ó
Ò
×
Ö
i
0; x = 1; 3; x = 1
f (x) =
Ù
×
f (x) dx = lim ∆x →0
a
Ü
Ð
Ú
Ò
×
µ
n
b
´
f (xi )∆xi .
i=1
Ù
Ò
Ó
Ú
Ð
Þ
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ó
×
Ó
×
Ô
Ó
Ò
Ø
Ó
×
Ñ
Ò
Ó
×
4
x=1
Ñ
¸
Ó
Ò
Ú
Ð
3
Ð
Ù
Ð
f (x) dx
º
0
Ë
Ó
Ð
Ñ
Ù
Ò
Ó
Ó
×
Ó
Ó
Õ
Ù
Ü
Ó
Ñ
Ô
Ò
Ð
Ó
Ñ
Ó
Ô
É
Ó
Ù
Ò
Ó
Ò
×
Ó
Ú
Ô
Ö
Þ
Ö
Ó
¸
Ð
Ó
Ó
¸
Ó
Ð
x=1
4
Ù
Ð
×
×
Ö
Ñ
Ó
Ñ
×
Ó
Ø
Ö
n i=1 f (x)∆xi
Ñ
Ó
×
Ó
Ó
×
Ó
×
f (1)∆xi = 3∆xi
Ö
Ñ
É
Ó
Ù
×
Ò
×
Ó
Ö
Ó
Þ
∆xi
Ö
Ó
→0
f (x) dx = 0 º
0
Æ
×
Ò
Ø
Ø
Ö
Ñ
Ø
x Ú
×
Ö
Ç
Ö
×
Ò
Ú
×
Ö
Ù
Ù
Ú
Ñ
Ó
Ø
Ñ
×
Ø
Ö
Ö
Ö
Ó
Ò
È
¿
×
º
Ø
Ó
Ó
Ò
Ó
Ó
Ó
Ö
×
×
Ö
Ö
Ò
Ð
×
×
Ó
Õ
Ñ
×
Ó
Ó
×
Ò
Ó
Ú
Ô
Ù
Ó
Ñ
Õ
×
Ó
Ö
Ñ
Ù
Ð
Ò
Ø
Ó
Ô
Ù
Ó
Ó
Ö
Ñ
Ò
×
Ó
Ö
Ì
Ù
Ù
×
Ö
Ø
Ö
Ò
Ò
Ò
Ó
Ñ
f
×
Ó
Ò
Ñ
Ñ
Ó
Ù
Ð
Ó
×
Ñ
Ù
Ó
Ù
×
Ò
Ø
Ð
Ó
Ø
Ö
Ò
Ò
Ø
Ô
Ð
Ó
Ø
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ú
×
Ñ
Ö
Ö
Ó
×
Ø
Ò
Ù
×
Ñ
g(x) = 3
Ò
Ó
Ò
Ø
Ó
Ñ
Ó
Ù
Ò
Ä
×
Ö
Ø
Ò
Ò
Ö
Ó
Ô
Ó
Ð
Ó
Ó
Ê
Ô
Ñ
Ñ
Ó
Ô
Ñ
Ú
Ù
Ö
Ó
Ð
Ø
Ó
Ò
Ø
Ö
Ö
Ö
Ó
Ö
Ô
Ð
×
Ö
Ù
Ô
º
Ò
Ö
Ó
Ñ
×
×
×
µ
È
Ö
Ó
Ø
Ó
Ó
Ò
Ñ
´
Ë
Ö
Ø
Ð
×
Ù
×
Ô
×
Ð
Ó
×
µ
Ú
Ó
Ó
Ñ
×
Ô
Ð
Ñ
×
Ü
Ó
Þ
´
×
Ó
Ô
Ò
Ó
Ð
×
×
Ò
Ð
Ö
Õ
×
×
Ö
Ù
Ó
¸
0
Ó
¸
Ö
Ò
×
Ó
Ð
Ù
Ó
Ù
×
Ù
Ñ
Ò
Ö
Ö
×
Ó
Ù
Ó
Ó
×
Ó
Ñ
Ñ
Ñ
Ó
Æ
Ò
Ù
Ò
Ö
Ö
Ó
Ö
Ò
Ù
Ð
Ó
¸
Ñ
×
×
Ó
×
Ñ
Ñ
Ö
Ó
Ù
Ð
×
Ô
Ó
¸
Ò
×
Ù
Ð
Ñ
Ù
Ö
Ò
Ó
Ö
Ö
Ù
Ú
Ò
Ù
Ö
Ñ
Þ
Ò
Ö
Ó
Ù
Ò
Ð
Ó
Ù
Ò
Ó
Ð
Ó
Ö
Ó
Ö
Ñ
Ó
×
º
Ö
Ð
Ö
Ö
Ù
Ò
Ö
Ò
×
Ñ
Ó
Ö
Ù
Ð
Ó
4
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
Ð
Ù
Ð
I Q (x) dx ¸
Ó
Ò
I Q
Ù
Ò
Ó
Ò
Ó
Ö
Ó
×
Ö
Ó
Ò
×
º
0
max(I Q ) = 1 min(I Q) = 0 I (I Q; P ) = 0 4 = 0 S (I Q; P ) = 1 4 = 4 ∆xi 0
Ë
Ó
Ò
Ø
Ô
Ô
×
Ð
Ö
Ö
Ö
Ù
Ú
Ð
º
Ó
Ù
Ó
Ú
Ó
Ó
Ù
Ô
Ð
Ó
×
¸
Ö
º
Ó
×
Ò
º
×
º
×
Ü
Ñ
µ
Ó
º
Ñ
Ô
Ñ
Ó
º
×
Ù
×
Ó
Ð
Ñ
Ð
Ó
Ñ
Ñ
×
Ó
Ò
Õ
×
Õ
Ö
Ù
Ô
Ù
Ó
Ö
Ó
Ò
Ó
Ó
×
Ö
Ú
Ù
Ó
Ö
Ñ
Ó
·
→
Õ
×
Ö
·
Ó
Ð
×
Ò
Ø
Ò
Ø
Ó
Ö
×
Ð
Ü
×
Ò
Ø
´
Ô
Ö
Ó
Ð
Ò
Ñ
Ó
Ó
×
Ü
Ò
Ò
×
Ñ
Õ
Ô
Ó
Ò
Å
×
Ù
Ò
×
Ö
Ð
Ø
Ò
Õ
Ð
Ù
Ó
Ð
×
Ù
Ö
Ö
Ü
Ë
Ñ
Ó
Ð
Ô
Ù
Ð
Æ
Ó
Á
Ó
Ç
Ó
Ó
Ò
×
Ü
Æ
Ñ
Ö
Ô
Ì
Ê
Ä
Ó
Ñ
f (x) =
Ð
Õ
Ù
È
Ê
Ç
È
Ê
Á
≤
×
Ó
Ó
×
Ë
½
7
2; x 3; 5; x > 3
Ð
Ù
Ð
f (x) dx º
0
Ò
Ø
Ö
Ú
Ð
Ó
×
Ù
Ò
Ó
×
Ö
Ó
Ò
×
Ò
Ø
¸
Ó
Ñ
min(f (x)) = x∈I
i
max(f (x)) x∈I min f (x) = 2 x∈I Ç
Ò
Ó
Ó
Ò
×
Ó
Ò
Ó
Ó
Ó
Ö
Ö
¸
Ñ
Ó
×
I k
Ó
Õ
Ù
Ó
Ò
Ñ
Ó
x=3
×
×
Ñ
¸
Õ
Ù
i
max x
Ó
Ó
∈ I f (x) = 5 k
k
lim (S (f ; P )
×
×
Ù
Ñ
¸
Ð
Õ
Ù
Ò
Ò
Ó
Ó
Ö
∆xk
Ö
×
→0
Ô
Ó
Ò
Ø
Ú
×
Ñ
Ó
×
Ó
Ö
Õ
Ù
Ñ
Ó
→ I (f ; P )
f (x) dx = 2(3) + 4(5) = 26
= 3∆xk .
k
x I k
S (f ; P )
7
x I k
Ó
×
f (x) − min f (x))∆x − I (f ; P )) = (max ∈ ∈
∆xi →0
×
×
Ñ
Ò
Ø
Ö
Ð
Ü
×
×
Ö
º
0
Ä
Ì
Ô
Ö
×
Ó
Ö
×
Ù
Ç
×
Ñ
×
Æ
Õ
Ì
Ç
Ð
Ó
È
Ò
Ò
Ë
Ó
Ö
×
Ó
Ö
Ú
Ò
Ò
Ø
Ó
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
Ø
Ö
Ð
Ö
Ö
×
Ö
Ñ
Ò
×
×
Ö
Ó
Ö
Ò
Ñ
Ó
Ó
[a, b]
Ó
Ò
Ö
Ø
Ù
Ñ
Ó
´
Ì
Ó
Õ
Ó
Ò
Ó
Ø
×
Ö
Ð
Ó
Ó
Ó
Ø
Ú
Ó
×
Ó
Ö
Ù
¸
Ô
×
Ñ
Ù
Ó
Ò
×
Ò
Ó
Ø
¸
Ê
Ù
µ
¸
Ò
×
Ø
×
Ô
Ù
Ó
Ñ
×
Ø
Ñ
Ó
Ò
Ó
Ö
Ñ
Ò
Ò
Ò
Ó
Ø
Ò
Ð
Ø
Ñ
Ù
Ð
Ö
Ó
Ì
Ó
Ö
Ñ
Ô
Ú
Ö
º
×
Ó
Ñ
Ö
×
[a, b]
Ó
Ò
×
Ó
Ò
Ø
Ò
Ù
º
Ó
Ô
Ó
Ò
Ø
Ó
×
Ð
×
º
Ò
Ú
Ò
Ó
Ö
×
Ø
Ù
Ò
Ð
Ò
Ú
Ù
Ò
×
Ò
Ø
Ù
×
Ò
Ù
Ó
Ò
Ö
Ò
Ø
Ñ
Ñ
Ñ
Ó
Ö
Ö
×
Ú
Ú
Ð
Ð
Ò
Ä
º
Ø
Ó
Ò
×
Ñ
Ù
Ö
Ó
µ
Æ
Ô
Ó
Ø
Ó
Ò
Ø
Õ
Ù
Ó
×
I Q
×
Ó
×
Ò
Ó
Ø
Ò
Ò
Ø
Ù
Ò
Ù
Ñ
Ö
Ð
Ñ
Ù
Ñ
Ò
Ø
Ö
Ú
Ð
Ó
Õ
Ù
Ð
Õ
Ù
Ö
¸
Ò
Ð
Ù
Ò
Ó
¸
Ô
Ó
Ö
5
Ò
Ó
2
×
È
Ñ
Ó
×
Ò
Ò
Ù
Ò
Ó
×
Ó
×
Ñ
Ö
×
Ó
Ñ
Ó
Ò
Ù
×
Ó
×
Þ
Ô
Ò
Ó
Ò
Ò
×
Ú
Ö
Ù
×
¸
Ó
Ù
Ô
Ù
Ó
Ø
Ö
´
Ó
Ô
Ö
Ó
Ó
Ñ
Ì
Ù
Ò
Ø
Ç
Ò
×
½
Ò
Ö
Ù
Ú
Ó
Ù
Ö
Ó
Ø
Õ
[a, b]
Ñ
Ò
(. . .)
Ó
Ù
2
(. . .) º
7
a
Ò
Ó
Ò
Ñ
Ó
×
f (x) dx = 0
a a
Ë
b>a
¸
Ò
Ñ
Ó
×
º
b
f (x) dx =
b
−
f (x) dx º
a
2
×
×
Ñ
¸
Ô
Ó
Ö
Ò
Ó
¸
Ô
Ó
Ö
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
5
(. . .) = 0 ¸
2
Ä
Ñ
½
Ô
Ö
Ó
Ô
Ö
×
µ
b
´
µ
Ò
Ø
Ö
Ð
µ
f, g
Ù
Ò
(f (x) + kg(x)) dx =
f (x)
µ
≤ g(x)
c
´
µ
f (x) dx =
a
Ò
Ö
Ó
Ñ
Ô
Ð
b
a
µ
º
Õ
Ù
Ò
Ö
Ú
º
5
≤
×
×
Ó
Ú
Ð
×
g(x) dx
Ô
Ö
Ó
Ó
k
∈R
a
´
Ä
Ò
Ö
b
f (x) dx
a
f (x) dx +
f (x) dx + k
b
´
×
(. . .)
b
a
(. . .) =
7
b
a
×
7
−
c
b
g(x) dx
´
Ñ
Ó
Ò
Ó
Ø
Ó
Ò
Ò
Ø
Ö
Ð
µ
a
f (x) dx
Ô
Ö
Ó
Ó
a,b,c
∈R
´
Õ
Ù
Ö
Ó
Ò
Ø
Ö
Ú
Ð
Ó
½
¼
È
Ö
Ó
Ú
´
Ö
Ö
µ
´
Ó
µ
Ó
Ó
Ö
Ñ
´
Ö
Ù
µ
Ñ
Æ
Ó
Ö
Ó
Ö
Ò
Ø
Ñ
Õ
Ó
Ù
Ó
Ö
Ò
Ö
Ó
Ö
Ø
Ó
Ð
Ò
Ø
Ø
Ñ
¾
Ó
a
a
´
µ
∈R
Õ
Ù
Ð
Õ
Ù
Ö
¸
Ö
Ö
Ó
Ú
×
Ù
Ð
Ø
Ò
Ø
Ö
Ð
x dx = a /2
µ
È
È
Ø
Ò
Ó
º
Ì
Í
Ä
Ç
Æ
Ì
Ê
Ä
Ó
Ô
Ö
Ó
Ù
Ø
Ó
Ò
Ó
Ó
Ô
Ö
Ó
È
Ù
Ó
´
µ
Ø
Ó
¹
×
×
Ô
Ö
Ò
Ø
Ó
Ú
Ö
¹
Ð
×
º
Ô
Ó
Ö
Ò
Ù
Ó
º
x2 dx = a3 /3 º
Ö
Ö
a > 0
a<0
Ô
Ö
¸
Ð
Ù
Ð
Ò
Ó
Ö
Ó
Ø
Ö
Ò
Ù
Ð
Ó
a
Ñ
Ö
Ó
×
Ö
Ú
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
2
x dx =
−a /2
a
Ô
Ó
×
Ö
×
Ø
Ü
Ó
×
a
0
−
x dx =
0
a2 /2
Ð
º
0
º
a
0
È
2
´
Ó
Ñ
1 i2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
0
È
½
Ö
i=1
Ä
º
Ô
n Ì
Ñ
Ü
Ó
x
×
×
Ð
x dx
a
Ó
Ø
Ù
Î
Ö
a
Ñ
Ó
×
Ó
Ó
Ø
Ø
Ñ
Ö
Õ
a
Ñ
¸
Ó
×
Ù
Ó
2
x dx =
−(−a /2) =
0
º
´
Ú
i
´
µ
Ú
Ò
Õ
Þ
Ù
Ó
Ô
Ó
×
Ó
Ø
Ö
Ò
Ø
Ö
Ñ
×
Ú
Ò
(xi )2 a/n =
i=1 Ñ
Ø
a
Ó
×
Ö
Ó
[0, a]
Ó
Ö
Ö
Ö
n
Ñ
Ò
Ø
Ô
Ö
Ö
Ú
Õ
Ù
Ò
Ó
Ð
Ó
Ø
Ñ
Ó
×
Õ
×
Ó
Ù
Ó
¸
Ô
Ù
µ
×
Ó
×
×
×
Ñ
¸
×
Ö
×
Ó
Ò
Ñ
Ø
¸
Ö
∆xi = a/n
x0 = 0
Ö
Ð
Ö
Ú
Ñ
Ó
Î
Ö
i2 .
Ô
Ð
Ò
Ó
Ö
Ñ
Ù
Ð
Ô
Ö
¸
×
×
Ö
Ó
Ð
Ö
´
½
µ
a, b
∈R x dx = b /2 − a /2
Ó
b
Ó
×
Ó
Ú
×
Ø
b
×
f (x) dx =
Ø
Ð
Þ
Ö
×
b
´
µ
x2 dx = b3 /3
Ì
Ð
Ù
Ð
Ö
f (xi )∆xi =
i2
Ø
Ó
Ñ
Ò
Ó
Ó
3
º
a
Ò
Ö
Ú
Ó
Ð
Ó
Ò
Ö
f (x) dx
Ö
Ó
Ô
Ö
×
Ò
Ø
Ö
Ð
×
×
Ñ
¸
0
Ó
Ö
Ñ
Ù
Ò
Ó
f (x) dx =
a
−
f (x) dx +
a
f (x) dx.
0
Æ
Ô
Ø
Õ
Ù
Ò
Ø
Ò
Ö
Æ
Ð
¸
Ç
Ò
×
Ó
×
Ñ
Ó
Ñ
Ó
×
×
Ó
Ò
Ñ
Ø
Ó
Ö
Ò
Ø
Ö
Ô
Ö
Ó
Ð
Ö
Ò
x3 , x4 , . . .
Ñ
Ó
×
Î
Ñ
Ó
×
Ñ
Ò
Ø
Ð
Ó
Ð
Ù
Ð
Ó
Ô
Ö
Ô
Ö
Ò
Ö
Ò
Ø
Ö
Ö
x
Ô
Ö
Ù
Ñ
Ó
Ñ
xi = ia/n
− a /3
N
Ó
i=1
a
0
×
×
2
b
Ù
0
Ç
¸
b
Ö
Ó
Ó
¸
2
a
È
Ñ
i=1
i=1
º
n
n
xn = a
Ù
n
a n3
i=1
¸
3
→ +∞
Ø
(ia/n)2 a/n =
n
Ò
2
0
Ó
a3 1 a3 a3 a3 x dx = lim 3 n(n +1)(2n + 1) = lim 1(1+1/n)(2+1/n) = 1(1)(2) = . n→+∞ n 6 n→+∞ 6 6 3
Ð
Ó
n
Ñ
n
Ð
Ö
N
×
Õ
Ù
Õ
Ù
Ó
¸
Ð
Ñ
Õ
Ù
Ù
×
Ñ
Ö
Ö
º
Ó
Ö
¾
Ì
Ç
×
×
Ñ
Ú
´
Ð
Þ
Ù
Ú
Ò
Å
Ö
Ó
Õ
Ó
Ö
µ
Ó
Ê
×
Ô
×
Ç
Ö
Ô
Ò
Ñ
Ñ
Æ
Í
x2 dx
Ù
Ë
Ó
Ð
Ø
Ò
Ä
Ó
Æ
Å
´
È
Ù
×
Ñ
Ì
Ö
Ö
Ò
Á
µ
Ô
Þ
º
Ö
Ö
Ç
È
×
Ë
¾
Ó
Ó
Ñ
Û
Æ
Ð
½
Ð
Ö
¼
ý
Ú
µ
Ó
×
Í
Ð
Ø
Ò
Ø
´
Ó
Ö
Ç
Æ
×
Ñ
Ô
Ä
Ö
n=3
Ä
Ö
Ð
Ò
½
Ø
Ó
×
Ö
Ó
µ
Ñ
Ë
Ô
Ù
Ö
Ø
Õ
Ò
×
Ì
º
Ð
Ö
Ð
Ù
Ð
Ð
´
Ö
Ò
Ô
Ó
Ö
i4
¸
Ø
º
Ó
Ö
Ö
×
Ó
Þ
Ð
Ó
Ó
Ö
Ò
Ñ
Ó
Ó
Ì
Ö
Õ
Ù
Ò
Ð
Ù
Ð
Þ
Ù
Ñ
Ö
Ò
Ò
Ø
Ò
Ó
Ô
Ò
Ø
Ð
Ö
´
Ù
Ñ
Ô
Ô
Ò
Ð
Ö
Ø
Ñ
Ô
Ö
n
Ù
Ñ
Ó
Ò
Ø
Ö
Ö
Ó
n
i3
¸
Ô
Ö
n=4
Ñ
Ö
Ð
Ö
Ñ
Ø
Ó
Ù
Ó
Ö
Ò
Ø
Ó
Õ
Ð
Ò
Ø
Ù
Ò
Ð
Ó
¸
Ò
Ò
Ô
º
Ó
Ø
Ö
×
℄
Ñ
´
×
Ö
Ó
Ð
Ð
Ù
Ð
Ô
Ò
¸
Ù
Ù
Ö
¸
Ñ
×
Ø
Ð
Ö
Ó
Ó
Ò
Ó
Ó
Ø
Ù
Ô
Ñ
f
Ó
Ò
Ë
Ñ
Ó
Ó
µ
Ö
Ò
Ö
Ó
´
Ó
×
Ç
×
Ú
Ö
´
µ
¸
Ñ
×
Ò
Ñ
Ù
Ó
Ó
º
Ì
Ù
º
Ì
Ó
Ø
Ó
Ó
Ð
Í
×
Ò
Å
Ø
Ö
Ð
Ò
×
¸
sen(x) dx
Ó
Ñ
Ö
Ñ
Ó
×
Ø
×
Ð
Ö
Ö
Ñ
×
Ø
Ù
Ñ
Ñ
Ö
Ø
Ö
Ò
Ú
Ô
Ù
µ
Ð
Ó
Ù
Ñ
Ñ
Ù
Ð
Ö
Õ
Ò
Ò
Ó
×
Ù
×
Ä
×
Ò
Ñ
Ñ
×
×
Ò
Ó
Ó
¾
Ô
Ö
Ö
Ø
Ó
Ó
Ñ
Û
Ò
×
Ñ
Ó
Ú
Ð
Ó
Ó
Ö
Æ
Ì
×
´
Ô
Ó
Ñ
Ô
Ô
Ó
Ù
Ö
Ç
Ó
Ù
Ó
×
Ì
Õ
Ì
¾
Ð
Ì
Ð
Ó
Ñ
Ö
×
Ô
º
¹
i=1
È
Ø
½
i=1
Ò
xn dx
n
Ó
µ
Ì
Ò
Ô
Ð
Ð
µ
Ó
Ù
×
º
Ð
º
º
¸
[a, b]
Ó
´
µ
Ò
Ì
Ö
Ó
µ
¸
º
Ó
Ó
Õ
Ñ
Ó
Ù
Ó
Ó
Ò
Ø
Ó
F : [a, b]
→R
x
F (x) =
f (s) ds
a
È
Ö
Ö
Ó
Ú
Ú
Ú
Ð
Ñ
(a, b)
F ′ (x) = f (x)
Ô
Ö
Ó
Ó
x
∈ (a, b) º
F (x + h) h
x+h
x
− F (x) = 1
h
f (s)ds
a
x+h
1 f (s)ds = h
− a
f (s)ds.
x
x+h
Ô
Ö
Ó
Ü
Ñ
Ò
Ó
Ò
Ø
Ö
Ð
f (s)ds
Ô
Ð
Ö
Ó
Ö
Ø
Ò
Ù
Ð
Ó
×
h
Ð
Ø
Ù
Ö
f (x)
Ó
Ø
Ñ
Ó
×
x
Õ
Ù
F (x + h) h
− F (x) ≈ 1 hf (x) = f (x). h
F ′ (x) = f (x) º
×
×
Ñ
¸
x2 +1
Ò
Ü
Ñ
Ó
Ô
Ô
Ó
Ò
Ð
Ø
Ó
Ó
Ö
√ x= π
Ñ
Ò
Õ
Ù
Ó
Ö
Ò
Ò
Ø
Ó
Ð
Ù
Ó
√
Ó
Ü
Ñ
Ó
f (x) =
√
sen( s2 + 4) ds
º
Ô
√
Ð
Ó
È
0 f ′ ( π) = sen( π + 4)
Ò
π+1
√ f ′ (x) = sen( x
2
Ë
Ù
Ð
Ó
Ì
¸
π+1
+ 4)
Æ
Ó
Ø
√ f ( π) = (· · · ) = √ √ y = sen( π + 4)(x − π) Õ
Ù
π+1
º
×
×
Ñ
¸
Õ
Ù
Ó
Ö
Ò
Ò
Ø
½
¾
È
Ì
Í
Ä
Ç
Æ
Ì
Ê
Ä
e
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
Ð
Ù
Ð
Ö
Ú
f (x) =
log(4 + sen s) ds
º
2
x
Ë
Ó
Ð
Ù
Ó
Ó
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
Ò
Ø
×
Ô
Ð
Ö
Ó
Ì
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
Ö
Ó
Ö
Ó
×
Ð
Ñ
×
Ò
Ø
Ö
Ó
x2
Ô
Ö
Õ
Ù
¹
Ð
Ó
Ó
Ó
Ö
Ñ
º
×
×
Ñ
¸
−
f (x) =
Ó
Ñ
Ô
Ó
×
Ó
Õ
Ö
Ù
Ó
Ð
−
−
Ö
log(4 + sen s) ds e h′ (g(x))g ′(x)
f ′ (x) = log(4 + sen(x2))2x
¸
f ′ (x) =
Ð
Ñ
×
×
Ó
Ò
Ñ
Ó
×
È
Ð
Ó
Ì
×
×
Ñ
¸
f (x) =
−h(g(x))
h′ (y) = log(4 + sen y)
¸
È
Ð
Ö
Ú
g ′(x) = 2x
×
×
Ñ
¸
º
Ó
¾
Ì
f (x) = F ′ (x)
h(y) =
e
y
g(x) = x2
log(4 + sen s) ds
Ò
Ø
Ñ
Ô
Ö
Ö
Ð
Ó
Ó
x
Ö
Ú
∈ (c, d)
µ
¸
Ë
Ò
f
Ø
Ó
¸
Ô
Ó
Ö
Ò
Ø
Ò
Ó
Ù
[c, d] a, b (c, d)
Ó
Ñ
∈
×
Ü
×
Ù
Ñ
F
Ð
¸
b
f (x) dx = F (b)
− F (a).
a
x
È
Ö
Ó
Ú
−
h(x) = F (x) F (a) f (s) ds a h′ (x) = F ′ (x) f (x) = f (x) f (x) = 0
Ò
−
− − h(a) = F (a) − F (a) − f (s) ds = 0 h(b) = 0 = F (b) − F (a) − f (s) ds ´
Ì
µ
¸
Ô
Ô
Ö
Ö
Ø
Ó
Ó
Ó
Ñ
Ó
h(x) = 0
¸
x
a
x
∈ [c, d]
∈ [c, d]
Ô
Ö
Ø
Ó
Ä
Ó
Ó
È
Ó
x
b
Ð
h
Ó
Ì
∈ [c, d]
a
º
a
Ú
Ó
×
Ø
Ö
×
Ù
Ð
Ø
Ó
Ó
Ñ
Ù
Ñ
Ò
Ó
Ø
Ó
F ba = F (b)
f (x) dx =
F = F (b)
a
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
1
´
µ
Ð
Ù
Ð
×
Ò
Ó
Ð
Ù
Ó
Ö
×
x dx
´
µ
2
cos(x) dx
´
Ó
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
´
µ
µ
Ó
Ñ
Ó
(x5 /5)′ = x4
¸
1
1
x5 15 4 x dx = = 5 5 −1 −1
µ
Ó
Ñ
Ó
(sen x)′ = cos x ¸
Ô
Ð
π/2
−π/2
´
µ
Ó
Ñ
Ó
2
1
´
¸
Ò
Ó
Ó
Ì
Ó
Ô
Ö
µ
¸
Ô
Ð
Ò
1 dx = log x 21 = log 2 x
|
Ð
Ò
Ó
Ó
Ì
Ó
Ñ
Ó
×
− −
π/2
x>0
Ô
( 1)5 2 = . 5 5
cos(x) dx = sen x −π/2 = sen(π/2)
(log x)′ = 1/x
Ñ
º
1
´
1 dx x
0
×
π/2
4
×
− F (a).
a
0
Ë
b
b
− F (a)
|
Ñ
Ó
×
− sen(−π/2) = 1 − (−1) = 2. Ó
Ó
Ì
Ó
Ø
Ñ
Ó
− log 1 = log 2.
×
Ó
Ó
Ö
Ò
×
Ñ
Ø
×
¾
Ò
×
Ø
Ñ
º
¸
¾
Ì
Ö
Ö
Ó
Ç
Ê
Ó
Ñ
Å
Ù
Ñ
Ë
Í
Æ
Ô
Ð
Å
Ö
Ó
Æ
Ì
Ì
Á
×
Ë
Ñ
Ç
Ø
Ó
Ñ
ý
Ä
Ö
Í
Ù
Ä
Ç
´
Ì
Ó
È
Ó
Ë
Ö
µ
Ü
½
Ñ
Ô
Ð
Ó
¸
Ó
Ñ
Ó
×
Ö
Ú
Ò
Ù
Ó
×
x
Ü
Ð
Ø
×
Ò
Õ
Ë
Ø
Ù
Ô
Ø
×
×
| | − log | − 2| = 0.
Ó
Ì
Ó
Ö
Ñ
¾
F
Ú
Ù
Ó
Ñ
Ó
Ö
Ó
Ñ
Ü
Ù
Ò
Ó
Ó
Ö
Ð
Ò
Ò
Ö
Ú
Ó
Ú
Ò
Ñ
Ð
Ó
Ñ
F ′ = f f [a, b] ¸
Ñ
Ö
Ì
Ó
Ò
Ø
Ô
Ö
Ð
Ö
Õ
Ö
Ü
Ö
×
×
Ë
Ö
´
Ð
Ñ
Ö
Ö
Ú
Ö
Ô
Ø
Î
Ö
Ö
×
Ù
Ò
Ó
×
Ù
×
Õ
Ø
Ò
µ
Ò
Ñ
Ó
×
Ö
Ô
Ð
Ó
Ó
´
×
Ö
Ô
Ó
Ò
Ô
Ð
Ó
½
¼
Ø
√
Ó
Ð
(9 x5
µ
Ù
Ó
Ó
Ö
µ
Í
Ò
Ø
Ù
Ò
Ø
Ö
Ó
Ð
Þ
Ö
Ò
Õ
Ü
Ö
Ó
Ð
Ò
Ò
½
´
Ì
µ
Ö
µ
Ö
Ó
Æ
Õ
Ö
Ù
Ð
1 x
Ò
Ó
¸
Ó
Ò
Ó
Ø
Ò
Ø
Ö
Ò
Ù
Ò
Ó
Ö
Þ
Ú
Ñ
Ó
Ñ
×
Ó
×
Õ
¸
Ù
×
F
Ñ
¸
Ó
Ù
Ð
Ó
Ñ
Ö
Ð
Ô
Ö
Ñ
Ñ
Ø
×
Ú
Ò
Ø
Ò
Ø
Ö
¹
Ó
¸
Ñ
Ô
Ð
Ó
½
¼
´
Õ
Ð
Ù
Ð
º
Ö
Ò
Ô
Ó
Ö
Ð
Ò
Ñ
µ
Ó
Ó
Ó
Ë
Ù
Ò
Ø
¸
Ö
¿
Ö
×
Õ
Ö
Ó
Ô
×
×
Ò
Ñ
Ù
Ù
Ù
¸
Ù
Ò
Ò
½
Ù
º
Ò
Ñ
Ô
Ó
Ò
Ð
Ô
×
×
Ø
Ö
℄
Ø
×
×
F (x)
sen, cos
´
¸
Ú
Ü
Ô
Ö
¸
×
×
= Ø
º
Ô
µ
º
Ó
Ö
Ü
Ñ
º
Ö
Ö
Ö
Ô
º
Ó
Ø
¼
Ò
Ù
½
Ò
Ö
Ô
Ñ
Ó
Ù
Ñ
Ó
Ù
Ó
Ð
Ô
Ù
Ò
´
×
Ò
Ø
Ä
Ö
Ð
µ
º
Ø
Ð
F (x) xn+1 n+1 log x cos x sen x ex
n=
−1
||
−
arctan x arcsen x
´
Ó
º
µ
√ 4
(9
µ
xπ+1 3 . π +1
f (x) dx
x
Ó
− 5 Ke − 3cos x + x
Ù
Ñ
− 3x ) dx
xπ+1 3 = 4x9/4 π +1 ´
Ò
π
4
Ë
½
Ó
×
Ñ
×
f (x)
´
º
Ò
×
Ó
Ù
Ò
Ñ
Ú
Ù
Ó
√ − Ñ
Ø
Ö
Õ
Ö
Ó
Ñ
Ô
Ñ
Ó
sen x cos x ex 1 x2 + 1 1 1 x2
Ò
Ñ
xn x−1
Ü
Ô
x=0
F ′ (x)
Ç
º
exp( s2 ) ds
¸
f = F
Ö
×
Ö
||
−
Ñ
×
Ù
0
dx 2 = log x −2 = log 2 −2 x
´
Ó
Ó
Ç
Ù
||
º
Ò
Ú
Õ
Õ
−
1/x
Ö
[ 2, 2]
Ñ
Ö
¿
(log x )′ = 1/x
2
Ç
Ò
−
π
− 3x ) dx =
dx
5/4
(9x
x5/4+1 3x ) dx = 9 5/4 + 1 π
−
−
dx = Kex + 3 sen x + 5 log x .
||
Ø
x5
Kex
5 3cos x + x
×
Ö
Ö
Ú
Ð
Ó
Õ
Ä
Ù
Ñ
Æ
½
Ç
×
Ô
º
Ñ
½
Ó
×
Ò
Ó
Ø
Ò
Ð
Ö
Ù
Ö
Ñ
¸
Ó
Ô
×
Ó
Õ
Ö
Ù
Ü
Ñ
Ó
Ô
Ö
Ð
Ó
×
¸
Õ
Ù
Ñ
Ð
Õ
Ó
Ù
×
Ö
½
Æ
Õ
Ù
×
×
Ô
Ð
Ø
Ó
Õ
×
Ò
Ö
Ñ
Ø
Ç
Ù
Ù
º
Î
Ó
Ò
Ó
×
Ò
Ù
×
Ò
Ø
Ó
Ó
+∞
Ö
Ñ
Ò
×
c
Ò
Ø
Ò
Ü
Ñ
Ö
Ó
Ó
×
Ó
Ò
Ø
Ó
Ø
×
Ù
×
¸
Ú
Ô
Ö
Ò
×
Ó
Ö
Ø
Ó
×
Ð
Ù
Ó
½
´
Ó
−
lim a→+∞ µ
2
lim a→0+
Ò
Ò
a
Ø
º
Ò
Ø
Ó
Ö
½
Ó
¸
Ö
Ü
Ó
Ó
Ð
Ò
Ú
Ù
Ð
Ð
Ø
Ó
Ó
Ö
Ó
Ö
´
µ
Ô
Ñ
×
Ð
Ò
Ó
Ü
Ö
Ñ
Ò
Ó
Ñ
Ð
¹
º
¸
×
Ò
f
Ñ
Ô
Ó
Ö
Õ
Ø
Ó
Ç
Æ
F + C
¸
Þ
Ò
Ä
Ù
Ñ
Ó
×
Õ
×
×
Ù
Ö
Ñ
Ó
¸
×
Õ
Ì
Ó
Ê
Ä
C
∈
Ñ
Ù
R
f = F
cos x dx = sen x ¸
Ñ
×
Ò
Ó
Ò
∈R º
+C
Í
(sen x)′ = cos x
C
Ö
×
Ó
Ñ
Ù
Ì
Ò
×
Ö
×
Ô
Ó
×
Ø
×
×
Ò
Ø
Ö
×
Ò
¹
Ó
Ò
Ð
Ó
Ñ
Ó
Õ
Ù
¸
Õ
Ó
Ó
Ð
Ø
Ò
×
¸
×
Ó
Ó
Ó
¸
Ö
Ø
Ð
Ø
Ð
×
Ù
Ô
×
Ô
Ñ
Ó
Ó
Ø
Ñ
Ô
Ø
Ö
Ò
Ò
Ø
Ö
Ö
Ó
Ò
Ö
Ò
×
Ô
Ö
¸
Ò
Ø
Ó
Ó
Ð
¸
Ñ
Ó
Õ
Ù
Ö
×
Ù
Ñ
Ò
Ô
+C
Ö
Ö
Ó
Ø
Ø
Ù
Ö
×
Ô
Ö
×
×
Ö
×
Ñ
Ñ
Ò
Ô
Ö
Ú
Ò
Ò
º
Ó
×
Ù
Ò
+C
Ö
Ø
Ò
Ö
×
Ø
µ
Ñ
Ù
×
Ù
Ð
Ó
Ð
Ô
Ð
Þ
Ò
Ó
Ò
Ò
×
Ø
Ø
Ö
Ó
Ø
Ð
Ó
Ë
Ð
º
Ó
Ò
Ú
Ñ
Ö
×
Ó
Ø
º
×
Ð
Ñ
Ø
Ñ
Ó
×
´
×
Ò
Ò
Ø
Ò
Ó
×
Ø
µ
Ö
Õ
Ù
×
Ò
Ñ
Ó
Ó
Ô
Ö
Ô
Ò
Ö
Ø
¹
×
Ñ
Ò
Ø
Ö
Ú
Ð
Ó
×
b
f (x) dx
Ð
Ñ
Ó
×
×
Ó
Ò
×
Ð
Ó
+∞
Ù
Ð
Ò
Ò
Ø
Ó
×
µ
lim f (x) = +
´
|
|
k
f (x) dx
Ô
Ò
Ð
Ë
Ù
Ô
Ó
∞
Ò
Õ
Ò
dx x3
µ
Ó
½
=
Ù
Ñ
Ó
Ù
f
×
Ñ
b
Ð
Ñ
a
∈R
Õ
Ù
×
Ð
Ó
Ñ
Õ
Ù
Ò
Ö
Ø
º
Ô
Ö
Ü
Ñ
x =
f (x) dx = lim− k →c 0
´
½
´
f (x) dx º
k
1 2
Æ
Ó
Ø
Õ
µ
Ð
Ó
Ó
x
e dx
dx = x3
Ù
Ñ
1 1 + 2 8 2a
´
Ñ
Ó
Ö
−
a
1 2x2 Ö
Ò
Ø
Ö
Ó
Ö
¸
= +
∞
µ
Ó
×
×
Ò
− ×
Ó
¸
dx −∞ x2 + 1
Ò
¸
×
Ù
Ö
Ó
Ö
Ó
Ö
dx = x3
1
Ò
º
2
1 1 + 2(22 ) 2a2
º
+∞
1 1 + . 2a2 2(12)
−
dx = x3
Æ
=
1
a
−
+∞
−∞
µ
2
dx = lim a→0+ x3
Ö
b
c
1
b
a
0
Ñ
Ô
f (x) dx
f (x) dx
b
×
f (x) dx = lim a→−∞ −∞
f (x) dx +
b
a
2
1 1 + 2a2 2
Ð
Ñ
Ñ
Ó
Ù
Ö
¸
×
Õ
×
Ñ
Ö
¸
Ñ
×
Ô
Ó
Ö
Õ
dx x3
cos x
Ö
a
Ó
È
Ñ
Ü
Ñ
x→c
1
Ë
Ù
µ
Ú
−∞
+∞
´
×
Á
f (x) dx = lim+ k →c Ð
Ò
Ò
Ú
f (x) dx =
Ô
Ñ
Ó
Ù
Ù
c
µ
Ö
b
¸
a
Ú
f (x) dx = lim b→+∞
∈ (a, b)
Ø
b
+∞
Ð
Ò
−∞
Ö
Ñ
×
´
Ð
×
Ó
Ð
Ú
Ó
(F +C )′ = F ′ = f
Ô
×
Ö
Ö
Ò
Ñ
È
º
Ø
×
f = F + C
Ð
Ö
cos x dx = sen x + C
Ñ
Ù
µ
Ñ
a
Ð
Ö
Ó
Ñ
Ó
×
Ò
Ó
Ò
Ô
Ó
Ó
µ
Ø
Ù
Ú
Ó
Ø
Ò
×
Ô
Ñ
Ð
´
Ù
Ñ
Ù
¸
×
Ø
Ö
Ñ
×
Ó
Ó
×
×
Ñ
Ó
Ù
Õ
Ø
Ó
Ó
×
Á
Ñ
Ö
Ì
Ò
Ò
¿
Ñ
sen x
Ó
F
Ù
Ü
×
Ò
×
Ù
º
Ú
×
Ñ
Ø
Õ
Ö
Ñ
Ò
Ò
Ñ
Ú
Õ
Ö
×
Ø
×
Ù
¸
Ó
Ö
Õ
Ù
È
Ò
Ù
Ø
×
×
Ñ
¸
dx = x3
0
Ò
Ò
×
Ù
Ö
Ì
Æ
0
´
Ò
Ò
Ë
ý
Ë
Á
Ë
Ñ
×
Ö
Æ
0
x
e dx = lim a→−∞ −∞
µ
Ò
º
Ì
Ê
Ç
½
ex dx = lim (e0 a→−∞
a
a
−e ) = 1−0 = 1
Æ
Ó
Ú
Ñ
Ò
Ø
¸
Ö
Ó
b
´
µ
Æ
Ó
Ø
arctan(a)
Ò
Æ
Ó
Ð
Ñ
Ò
Ñ
Ø
´
Ú
Ñ
Õ
Ù
Ô
Ó
Ö
Õ
Ù
µ
b
Ò
Ø
Ö
Ð
a
Æ
Ó
Ú
É
Ñ
Ù
Ó
Ö
Ó
Ó
Ó
Ò
Ø
Ö
Ó
Ø
Ô
Ð
¸
dx −∞ x2 + 1
Ð
¸
Ö
Ó
Ñ
×
×
Ù
Ò
Ø
Ö
×
Ô
º
´
½
Ô
¿
Ó
Ö
µ
Õ
Õ
Ù
Ù
dx = arctan(b) 2 a x +1 lim arctan(a) = π/2 a→−∞
−
− a → −∞ b → +∞
µ
×
Ö
Ò
Ø
Ö
Ó
Ò
Ó
Ù
Ò
Ö
Ð
º
Ö
Ù
Ó
×
Ä
Ð
Ó
Ñ
Ó
×
Õ
Ú
Ð
Ù
Ó
Ò
Ö
Ó
Ò
Ø
Ö
Ð
π/2
− (−π/2) = π
º
Ñ
Ô
Ú
Ù
º
Ð
Ñ
Ó
Ó
Ö
Ö
×
Ü
Ô
Ó
Ø
Ò
Ò
Ö
Ø
Ø
Ô
Ñ
Ó
Ó
Ò
Ù
Ñ
Ñ
Ù
Ö
Ó
Ö
Ò
Ó
×
Ø
2
x
Ò
º
Î
Ö
y = 1/(x + 1)
Ñ
Ó
Ó
×
Ô
×
Ò
Ø
Ø
Ö
Ö
×
Ô
Ó
Ö
Ó
º
Ø
×
Ø
×
Ñ
´
Ó
×
µ
Ô
Ø
Ó
µ
Ç
×
Ö
×
Ú
Ð
Ó
º
×
Ø
Ù
×
Ø
´
Ø
Ó
×
Ò
×
Ñ
Ñ
Ó
Ô
Ò
Ô
Ð
×
×
Ø
Ø
∞
Ó
+
Õ
Ø
×
− arctan(a)
×
Ò
Ð
Ò
Ñ
Ó
Ñ
º
Ó
Ö
Ø
Ö
Ù
Ô
Ò
Ó
Ò
Ó
Ð
×
Ñ
Ü
Ô
Ú
Ò
Ò
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ó
×
Ô
Ñ
Ü
×
Ñ
Ó
Ó
Ö
Ø
Ù
Ö
Ò
Ú
Ò
Ñ
Ö
Ö
Ù
Ô
×
Ñ
¸
Ô
Ó
Õ
Ö
Ó
´
Ô
Ø
Ó
Ñ
Ç
Ø
Ø
Ô
Ñ
×
Ò
Ó
×
Ñ
×
Ð
b→+∞
dx = arctan(b) x2 + 1
×
lim arctan(b) = π/2
+∞
´
Ñ
Å
Ñ
Ø
Ð
+∞
Ñ
Ù
Ð
Ø
Ó
´
Ò
Ø
Ó
Ö
Ö
Ñ
×
Ñ
Ö
Ð
Ð
µ
Ô
Ð
Å
×
Í
µ
×
Ì
Ö
Ç
Ñ
Ô
Ñ
Ó
Ó
Ö
Ò
×
Ø
Ò
Ö
Ó
√π.
2 e−x dx =
−∞
È
Ó
º
Î
×
Ô
Ó
×
×
Ö
Ó
Ú
Ì
Ñ
Ð
¹
×
Ü
Ó
Ö
Ö
Ô
Ó
×
Ñ
Ò
Ò
Ó
Ó
Ø
Ö
Ö
Ö
Ò
×
Ù
Ò
Ø
×
×
Ö
Ö
Ó
Ô
Ò
Ø
Ô
Ó
Ñ
Ò
Ó
Ö
Ö
Ø
Ö
Ô
×
Ñ
Ø
×
×
Ø
Ö
µ
Ø
´
×
Ö
Ú
Ú
Ñ
Ø
×
Ö
×
Ú
Ô
Ù
×
×
Ð
Ð
Ó
´
×
Ö
Ö
Ô
℄
Á
Ú
Ë
Ó
Ð
Ò
Ù
Ô
Ø
Ð
Ó
Ö
Ó
Ü
Ö
Ó
Ñ
Ô
Ò
Ø
Ô
Ñ
Ó
Ð
×
µ
Ñ
Ö
Ø
Ó
Ó
×
Ô
×
Ó
Ó
×
Ö
Ô
Ó
Ó
Ø
Ð
Û
Ó
Ð
Ö
×
Ó
Ú
Ö
Ó
Ù
Ó
Ö
Ó
Ö
Ú
×
×
Ø
Ú
Ù
Ó
Õ
Ö
Ñ
Ó
Ò
×
×
Ø
Ó
Ö
Ø
Ò
Ø
Ñ
Ö
Ø
Ô
Ü
×
×
×
Ö
Ö
µ
Ö
Ø
Ó
Ó
Ó
Ò
Ù
´
Ô
È
Ö
Ð
Ñ
Ø
Ö
Ó
×
Ô
×
Ñ
Ñ
Ú
×
Ö
Ð
Ó
Ñ
×
×
Ø
Ø
¸
Ø
Ð
×
Ø
Ô
Ó
Ù
Ó
Ô
Ò
×
×
Ù
Ó
Ó
Ñ
Ô
Ð
Ó
º
Ø
Ø
Ø
Ó
Ù
Ó
Ó
Ñ
Ó
Ô
Ñ
Ó
Ó
×
Ö
Ø
Ô
Ö
Ö
Ø
Ø
×
º
Ð
Ô
Ö
Ö
Ð
¸
Ó
Ð
Ñ
Ù
Ö
×
Ø
Ö
Ó
Ø
Ù
Ó
Ó
Ò
Ú
Ó
Ô
Ó
Ò
Ë
Ð
Ú
´
Ó
Ù
×
Ô
Õ
×
Ë
µ
×
Ô
Ó
×
Ù
Ó
Ñ
Ó
Ó
Ë
×
Ó
Ñ
Ô
Ó
Ù
Ó
Ø
Ö
Ñ
Ð
Ø
Ò
Ö
Ë
Ý
×
Ø
Ñ
Ò
µ
Ø
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ó
Ó
Ñ
Ø
Ò
Ø
Ü
Ñ
×
Ø
Ó
×
Ö
Ù
Ò
Ó
Ö
Ø
Ð
Ó
×
Ñ
Ó
Ó
Ñ
Ù
Ò
Ù
Ó
Ø
Ø
Ö
Ø
Ö
Ú
Ó
Ô
Ô
Ð
Ö
Ù
Ó
Ö
Ò
Ò
Ô
×
Ø
Ö
Ö
Ö
Ø
×
Å
Ù
Õ
×
Ù
×
×
Ó
Ñ
×
Ó
Ò
×
Ó
×
Ò
Ñ
×
¸
×
Ø
Ó
Ñ
Ò
Ó
Ë
Ô
×
Ñ
¸
Ó
Ô
º
×
Ù
Ø
¿
Ò
Ö
½
Ñ
Ñ
℄
×
Ô
º
Ð
×
Ø
Ó
Ô
×
Ó
Ö
Ö
×
Ø
×
×
Ö
Þ
Ò
Ó
Ø
Ð
Ò
Ù
Ò
Ó
Ó
Ö
È
Ö
Ö
Ò
Ö
Ô
´
Ó
Ô
×
×
×
×
Ø
×
×
Ò
Ò
Ö
Ñ
Ô
×
Ø
Ò
Ö
×
Ø
Ø
º
Ù
º
×
Ö
Ò
Ó
Ó
×
Ñ
Ø
Ø
Ñ
Ñ
Ù
Ö
Ø
Ò
µ
Ó
Ô
Ö
Ó
Ó
×
Ô
Ù
Ñ
Ø
Ù
×
Ù
Ñ
Ö
Õ
Ø
Ð
Ô
Ó
¸
Ô
Ó
Ö
Å
Ñ
Ó
Ô
Ô
Ò
Ù
Ñ
Ó
Ó
Ñ ×
Ù
Ö
Ô
Ñ
Ó
Ò
Ð
×
Ò
Ò
Ù
Ø
Ò
×
×
´
Ü
Ñ
Ô
Ò
Ø
Ð
Ó
¹
×
¸
Ü
Ó
×
½
×
Ø
º
×
Ò
Ö
×
Ø
Þ
Ä
Ó
Ù
×
Ó
Ò
Ó
Ò
f
×
×
Ó
Ò
Ö
Ø
Ù
Ø
Ð
Þ
Ö
Ò
Ø
×
Ø
Ö
Ø
Ö
Ò
Ó
Ù
Ó
Ø
Ñ
Ñ
Ð
Ö
Ð
Ø
Ú
Ó
Ü
Ò
Ø
Ú
×
Ñ
Ö
Ó
´
du = g ′ (x) dx Ö
Ó
Ó
Ø
È
Ö
Ö
Ó
Ñ
Ó
×
Ó
Ú
Ð
×
Ñ
Ó
Ö
Ø
Ó
Ö
×
Ó
×
×
Ù
Ð
Ñ
Ø
Ö
Ò
×
Ù
Ö
Ì
×
Ó
Ó
×
Ñ
Ñ
Ø
Ø
Ù
Ñ
Ó
Ó
Ò
µ
Ò
Ø
Ë
Ù
Ö
Ô
Ó
Ø
Ö
Ó
º
É
Ó
È
Ö
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ú
Ð
Ò
Ó
Ó
Ì
Ó
Ð
Ó
¸
Ø
Ð
Ó
Ù
Ø
℄
Ó
Ò
×
Ö
F
Ù
Ò
Ñ
Ó
Ó
Ö
×
Ú
Ó
º
×
Ö
Ñ
×
Ö
Ø
Ò
Ô
Ñ
Ù
Ò
Ó
Ð
Ó
¸
Ø
Õ
Ù
Ô
Ó
g
Ö
Æ
Ô
Ð
Ò
Ü
Ð
Ø
Ö
Ú
µ
Ð
Ö
×
Ô
Ö
Ñ
Ò
Ø
Ð
Ó
Ó
Ø
Ð
Õ
Ù
Ð
Þ
×
Ò
Ñ
Ò
Ù
Ó
Ò
Ì
Ö
Ê
×
Ô
Ä
Ö
×
Ø
Ö
Æ
Ó
Ò
Ø
¸
×
Ô
Ù
Ó
×
Ó
Ó
Õ
Ø
Ø
Ù
Ó
×
×
º
×
Ø
Ø
×
Ò
Ó
Ø
Ö
Ù
Ó
Ø
Ø
Ô
Ó
Ô
Ó
Ù
Ó
Ö
Ð
¸
Ö
Ñ
Ó
Ð
Ñ
¹
Ó
Ö
Ø
Ô
Ø
Ð
×
Þ
×
Ø
Ñ
Ö
Ó
Ö
µ
Ú
¸
Ò
Ø
Ó
g
Ò
Ö
Ú
Ð
Ò
Ó
Ò
Ö
Ú
Ð
Ó
Ø
Ó
Ö
Ò
Ò
Ó
×
Ø
Ó
Ö
Ñ
Ó
Ñ
Ä
du = g ′ (x) dx f (u)du
Ò
Þ
¸
Ó
Ö
Ø
Ñ
×
Ó
×
×
x = b u = g(b)
Ñ
¸
Õ
Ù
¸
Õ
Ù
Ò
Ó
×
×
Ñ
Ø
Ú
f
×
Ø
Ó
¸
Ù
h(x) = F (g(x))
F ′ = f h′ (x) = º
¸
Ñ
È
Ð
Ù
Ê
Ò
Ö
Ó
Ø
Ð
Õ
Ù
¸
Ø
×
Ø
Ñ
Ñ
Ñ
Ô
Ð
Ó
Ì
Ó
×
Ü
Ø
Ñ
Ò
Ø
Ó
Ò
Ø
Ó
½
Ù
Ð
Ð
¾
Ð
Ö
Þ
Ð
sen(b
Ò
Þ
Ó
Ø
º
Ö
×
Ö
Ó
Ñ
Ø
Ñ
Ð
Ò
Ó
Ó
Ð
Ó
×
Õ
Ù
Ö
Ó
h′ (x) dx = h(b)
a
¸
− h(a).
g(b)
F ′ (u) du =
F g(a) =
g(a)
f (u) du.
g(a)
×
Ó
Ó
Ø
´
Ñ
Ø
Ö
b
− h(a) = F g(b)
du
Ô
Ø
×
Ø
Ð
Ò
Ù
Ó
Ô
Ó
Ñ
Ñ
´
Ø
Ö
Ù
Ù
Ö
Ø
Ó
×
Æ
f (u) du.
−
h(b)
×
Ñ
g(b)
Ø
Ò
×
Ö
g′
Ò
Ø
Ó
Ó
Ù
Ô
×
Â
x = a u = g(a)
µ
Æ
Ö
Ö
[a, b]
a
Ö
F (x) =
Í
f g(x) g ′(x) dx =
Ó
Ö
Ç
g(a)
b
È
Ø
Ä
0
¸
Ù
f (s) ds F ′ g(x) g ′(x) = f g(x) g ′ (x) Ô
Ö
Ñ
Ú
Ó
f g(x) g ′(x) dx
x
´
Ñ
Í
g(b)
u = g(x)
º
Ö
Ó
Ñ
℄
×
a
Ø
Ó
dy dx
Ø
×
Ó
f g(x) g ′ (x) dx =
Ó
Ò
Ô
Ò
Þ
Ù
Ö
Ñ
b
Ö
Ó
Ì
Ó
Ñ
Ú
Ó
Ò
×
Ó
Ä
Ù
Ö
Ó
Ù
Ø
Ú
Ú
×
Ö
Ó
Ä
Ë
È
Ô
Ù
Ö
Ö
Ö
×
º
Ð
Ò
Ó
Ó
Ó
Ù
Ö
Ð
Õ
Ó
Ö
Ó
Ó
Ô
Ô
Ñ
Ö
Ó
×
Ñ
Ò
Ñ
Ó
Ö
Ô
Ü
Ù
Ø
Ö
Ó
Ò
Ó
×
Ñ
¿
×
Ö
Ó
Ú
Ó
Ó
Ù
Ó
×
Õ
Ö
Ó
Ô
[a, b]
Ø
Ó
¸
Ñ
Ò
Ù
Ó
Ø
Ø
º
Ñ
Ô
Õ
Ò
Ø
Ù
½
Ö
È
º
Ø
Ù
Ø
º
×
×
×
− aθ) dθ
Ò
×
×
Ð
Ò
Ò
Ù
Ø
Ó
×
´
Ú
Ò
µ
Ô
Ø
Ö
Ø
Ù
×
Ó
Ó
Ð
Ó
(t/a
Ó
Ò
Ñ
Ô
×
¸
Ú
µ
Ú
×
Ö
Ö
º
Ö
½
Ô
×
×
¿
− b)
Ö
º
Ò
Ö
Ó
Ö
Ò
Ð
100
º
Æ
Ö
Ó
Ó
Ó
Ò
Ñ
Ø
Ð
Ö
Ñ
Ó
Ð
×
×
Ô
Ó
Ñ
Þ
Ö
Ø
Ñ
×
Ó
×
×
Ó
Ñ
Ò
Ô
Ð
×
Ù
Ø
×
Ö
¸
×
Ø
Ò
Ø
Ö
Ù
Ó
Ø
Ñ
Ó
Ò
Ô
Ó
dt
Ò
×
Ò
×
a, b
∈ R a = 0 ¸
Ø
Ö
Ñ
Ò
u
Ø
Ö
¸
º
Ë
Ì
Ó
Ð
×
Ù
×
Ñ
Æ
Ó
¸
Ó
u
Ü
µ
Ì
100
Ñ
Ñ
Ü
×
ý
Ë
Ñ
Ð
Ó
Ð
Ó
Ë
½
¾
´
Æ
µ
Ì
Ì
Ó
Ñ
−
− aθ) dθ =
Þ
Ò
Ó
×
Ù
u = t/a b
½
¿
µ
Á
Ô
−
u101 a du = a 101
1
Ê
Ç
u=b
½
− aθ
Ò
Ø
Ó
¸
du =
−a dθ
sen(u) du/a = ( 1/a)
Ä
Ó
Ó
dθ =
¸
−du/a
º
sen u du = (−1/a)(− cos u) = − cos(b − aθ)/a du = (1/a) dt dt = a du (t/a − b) dt = (at − b) a º
Ó
Ô
´
Ë
sen(b
cos(u)/a ´
´
Ò
Ø
e−2x dx
Ö
×
×
Ò
´
Ù
Ø
Ó
Ó
Ó
Ø
Ñ
Ó
×
Ä
Ó
Ó
¸
×
×
Ñ
¸
101
×
Þ
Ò
√
Ò
×
×
µ
Ù
×
Ø
Ö
Ù
Ñ
Ò
Ó
Ó
Ø
Ñ
Ó
×
101
º
2
xe3x dx º
−1
2
µ
Ó
100
0
dx = du/2 x= 1 u=2 dx −6 3 u −6 6 2 − e e e 1 e−2x dx = eu ( 1/2) du = = ( ) = (e2 e−6 ) 2 2 2 2 2 −1 2 eu − 2x u e dx = e ( 1/2) du = = 2 3 3 e−2x e−2x 1 2x − e dx = = (e2 e−6 ) 2 2 −1 2 −1 u = 3x2 du = 6x dx x dx = du/6 x = 0 u = x = 2 u = 6 dx √ 0 6 2 6 eu e6 1 3x2 u xe dx = e du/6 = = . 6 0 6 6 0 0 2 eu e3x 3x2 u xe dx = e du/6 = = . 6 6 √ √ 2 2 2 3x e e6 1 2 xe3x dx = = . 6 6 6 0 Ë
Ó
Ð
É
Ù
Ù
Ò
Ò
Ó
Ó
Ö
Ù
Ó
Ø
Ó
Ö
¸
Ñ
µ
Ó
Ì
Ó
Ó
Õ
Ü
Ö
Ñ
Ñ
Ó
Ç
´
Ó
Ô
Ó
´
µ
u = 2x x=3 u= 6
Ì
Ó
Ñ
Ö
×
Ñ
Õ
Ù
Ð
Ö
Ò
Ó
Ù
√
Ð
du =
Ù
Ð
Ð
Ó
Ð
Ó
Ô
Ù
½
Ö
Ö
Ó
½
Ó
Ô
Ó
Ð
¼
Ö
Ö
Æ
Ñ
− −
Ó
Ð
Ò
Ö
Ò
Ø
Ö
Ö
Ô
Ö
Ò
Ó
Ä
Ö
Ó
Ò
Ó
Ò
Ò
Ä
Ó
Ø
Ó
Ó
¸
Ö
Õ
Ù
Ò
Ò
Ó
Ó
Ú
Ó
Ò
¸
du =
¸
Ö
Ó
Ò
−2 dx
Ó
−
Ö
È
Ö
×
Ð
Ñ
Ñ
Ø
Ö
Ó
×
Ö
Ó
Ü
¸
Õ
Ñ
Ù
Ñ
Ú
Ø
Ò
Ø
2 4
Ö
Ñ
− 3x )
Ó
×
Ó
¸
−
¸
Ð
Ñ
−
º
×
º
−
º
¸
Ó
Ò
¸
Ø
É
Ö
Ò
Ó
¸
Ð
Ñ
Ù
×
Ò
Ó
Ò
Ø
Ö
Ó
¸
Ö
Ô
Ö
Ñ
Ú
Ö
Ð
−
Á
Æ
´
Ó
Ñ
Ð
Ñ
×
Ò
Ø
Ö
Ó
µ
Ñ
Ó
×
Ù
×
½
×
Ö
Ð
Ö
Æ
Ó
´
Æ
Ó
Õ
Ù
Ú
Ñ
Ó
Ô
×
Ó
×
Þ
×
Ù
Ö
×
Ò
Ó
Ø
Ö
Ù
Ñ
Ö
Ð
Ò
Ñ
Ó
×
Ò
Ð
Ø
Ñ
µ
º
¹
×
Þ
Ò
×
Ò
Ø
Ö
Ó
µ
Ù
´
×
µ
Ù
tan x dx
Ö
×
Ñ
Ó
Ð
Ó
´
Õ
Ö
Ù
µ
Ñ
Ó
Ú
sen x cos6 x dx
º
Ù
Ò
x dx
×
Ó
Ò
×
Ö
Ñ
Ú
Ö
Ñ
Ó
Ó
×
Ó
Ó
Ñ
Ö
Ö
u = 2 3x2 du 1 = = 6u5 24u4
−
−
Ô
Ó
×
º
Ó
Ö
´
Ó
Ò
Ð
Ò
Ô
−
−6x dx
Ó
Ò
Ó
−
1
24(2
−
Ó
Ø
Ó
−−
Ó
Ò
Ä
−
Ö
Ø
0
Ø
Ä
¸
Ø
Ñ
Ó
− −
−
Ó
x dx (2 3x2 )5
µ
Ù
Ô
Ó
Ñ
Ó
Ø
Ð
Ö
×
Ì
´
Ë
¿
¸
Ò
Ñ
Ú
×
µ
Ó
Ö
µ
Ö
Ü
Ø
×
Ô
´
Ù
Ö
Ó
½
Ç
Ó
Ð
Ô
¸
Ó
Ù
−
Ó
−
´
Ç
Ñ
Ó
Ú
Ö
×
u = x2 Ù
×
Ù
Ô
Ó
Ó
×
du = 2x dx
v=2
− 3u
¸
Ñ
×
dv =
Ú
Ñ
Ó
×
−4 du
Ó
¸
º
Ø
º
º
Ö
du 2(2 3u)5
−
×
×
Ñ
Ô
Ö
×
¹
½
sen x tan x = u = cos x du = cos x sen x du = log u = log cos x dx = cos x u u = sen x du = cos x dx
µ
Ó
Ñ
Ó
¸
−
Ó
Ñ
− || − |
|
È
Ì
Í
− sen x dx
¸
´
Ä
Ç
×
×
Ñ
Æ
Ì
Ê
Ä
tan x dx =
º
¸
×
Ó
Ó
Ñ
¹
×
u = sen x du = cos x dx
Ò
Ó
×
¸
´
µ
Ì
Ó
Ñ
u = cos x du =
Õ
Ù
Ç
µ
Ð
Ö
º
×
Ó
Ö
Ú
Ñ
Ó
×
Ó
Ù
×
Ø
Ö
Ó
Ö
×
Õ
Ö
Ñ
Ò
Ö
Ö
u
Ó
Ú
Ö
Ö
Õ
Ò
Ú
Ö
½
Ñ
Ñ
¸
Ò
Ô
Ó
×
×
Ò
Ë
Ò
Ù
Ö
×
Ð
Ñ
Ù
Ø
×
Ò
Ò
Ù
Ò
Õ
Ó
×
Ó
Ø
×
×
Ö
Ø
Ù
º
È
Ü
Ó
Ñ
Ô
Ð
Ó
Ö
Ó
Ü
Ð
Ó
Ó
Ó
×
¸
×
Ù
Ô
Ñ
Ó
Ñ
Ð
Ô
Ð
Ø
Ö
Ø
Ö
Ó
×
¸
Ô
Ð
Ú
Ò
Ò
Ó
×
du = 2x dx
Õ
Ú
Ø
×
Ö
Ú
Ø
Ö
Ö
Ò
Ó
Ó
Ó
Ô
Ô
Ó
Ö
Þ
Ö
×
Ó
×
×
Ú
Ð
Ù
Þ
×
Ø
Ù
Ó
´
×
Ù
×
Ö
Õ
Ù
Ó
Ó
Ö
×
Ñ
Ñ
Ç
Ó
Ú
µ
º
Ù
7
u sen x = 7 7
u6 du =
Ö
Ú
7
Ó
´
Ú
Ö
º
¹
Ó
Ö
Ó
Ò
Ø
Ð
Õ
Ð
Ö
Ù
Ù
Ñ
Ö
Ñ
Ð
Ó
Ú
Ò
Þ
Þ
Ö
Ó
º
Ö
Ó
Ô
Ô
Ð
Ö
Ä
Ò
Ø
Ø
Ù
Ú
Ó
×
Ú
Ð
Ö
Ù
Ð
−
Ó
Ù
Ó
Ò
Ó
Ó
Õ
×
Ó
Ó
Ö
Ö
Ô
È
Ö
Ø
Ö
×
Ø
µ
×
×
×
×
Ñ
×
¸
×
Ù
Ò
Ø
×
Ø
Ó
Ø
¸
Ù
Ö
´
Ê
Ê
Ç
.
µ
cos(u) = 2
Ó
−
f = F
Ð
Ô
cos(x2 ) 2
Ó
×
Ô
Ó
Ö
×
Ú
´
Ç
Ö
Ê
Ò
Ê
Ø
Å
Í
Ì
Ö
Ì
Ç
Ö
Ç
.
µ
Ú
Ñ
Ö
Õ
×
Ù
×
Ð
Ó
Ë
Ñ
f
g
Ù
Ò
×
Ö
Ú
Ú
×
Ñ
[a, b]
Ó
f ′
Ñ
Ö
Þ
Ù
Ö
℄
¸
Ö
Ó
Ñ
Ó
−
− f (a)g(a)
×
×
Ñ
¸
×
g′
b
µ
Ó
Ñ
º
x sen(x2 ) dx
x2 x dx = sen(u) 2
f (x)g ′ (x) dx = f (b)g(b)
Ñ
u
Ì
È
sen(u) du/2 =
F ′ = f
¸
f ′ (x)g(x) dx.
a
(uv)′ = vu ′ + uv ′ (uv)′ dx = uv = vu ′ dx + uv ′ dx. du = u′ du = u′ dx dv = v ′ dx dx uv = v du + udv. u = f (x) dv = g ′(x) dx du = f ′(x) dx dv = v = g ′(x) dx = g(x) v = g(x) Ó
Ó
Ð
x sen(u) dx = sen(u)
a
Ò
cos x sen6x dx =
b
Ö
Ú
Ö
Ô
Ó
È
Ø
º
¾
º
Ò
×
Ø
Ù
Ö
Ð
Ö
Ó
Þ
Ú
Ù
Ó
x sen(x ) dx =
Ö
Ú
Ú
Ó
Ö
Ó
2
Æ
Ô
×
Ú
Ö
Ò
Ó
Ç
x sen(x ) dx =
¾
Ñ
Ò
Ø
2
Ö
Ò
º
½
Ó
×
Ò
Ó
Ú
Ð
Ñ
Ó
Ø
Ó
Ù
¸
º
Ä
Ù
×
×
½
Ç
¹
Ó
×
Ó
u = x2
Ç
Ñ
×
Ö
Ù
Ö
Ñ
×
×
− sen x dx
¸
Ù
Ó
Ð
Ö
Ø
℄
Ë
f ′ (x)g(x) + f (x)g ′(x)
Ó
×
Ù
Ø
×
Ñ
Ó
×
×
Ñ
Ø
Ñ
Ó
Ó
Ö
Ñ
×
Õ
Ù
Ò
Ð
Ó
È
´
Ò
Ó
Ø
Ö
Ð
Ñ
Ó
Ò
×
Ó
º
Ø
Ù
Ò
Ó
Ó
×
Ð
Ñ
Ø
×
h(x) = f (x)g(x)
×
×
È
¸
Ò
Ø
Ö
Ò
Ó
Ó
È
×
Ó
Ð
Ò
Ø
×
Ö
Ð
Ö
Ö
Ó
×
Ó
º
Ö
Ú
x=a
Ø
Ó
Ô
Ö
Ó
x=b
Ù
Ø
Ó
Ù
¸
Ø
h′ (x) =
Ð
Þ
Ò
Ó
Ó
Ì
Ì
Ø
Æ
Ñ
Ó
×
Õ
Ë
Ù
ý
Ë
Á
Ë
Æ
Ì
Ê
Ç
½
b
h′ (x) dx = h(b)
Ö
Ü
Ö
Ù
Ñ
Ñ
Ô
Ð
Ò
Ó
Ó
½
Ó
µ
Ø
log2
´
×
Ö
Ø
Ñ
Ó
Ö
×
Ñ
Ó
Ò
Ø
ex x dx
Ñ
Ó
Ä
Ð
Ó
Ù
Ó
¸
Ó
log2
Ó
Ü
Ñ
´
Ô
Ð
µ
×
Ó
µ
Ì
Ö
Ö
g
×
Ú
Ò
Ó
Ø
Ü
Ð
µ
½
Ð
Ó
Ù
Ð
Ø
Ó
º
a
´
x cos x dx º
µ
Ì
Ó
Ñ
u = x
dv = ex dx
ex dx = xex
u = ex
×
×
Ñ
¸
Ó
Ä
Ð
Ó
Ù
Ó
¸
Ó
dv = x dx
2
x x e dx 2
×
Ñ
Ö
Ô
Ð
Ö
×
×
Ù
Ö
Ó
¸
Ù
Ñ
Ò
´
Ø
Ò
Ð
Ò
Ø
f
×
Ö
×
Ð
Ñ
¸
Ó
Ö
Ù
Ò
Ö
Ñ
Ó
Ø
Ñ
×
Ð
Þ
Ñ
Ó
×
Ó
×
Ð
Ó
du = ex dx
×
du = dx
Ó
×
Ü
Ñ
Æ
Ú
Ó
Ð
Ó
Ó
Ñ
Ô
´
Ù
×
Ò
Ù
×
Ö
Ø
Ó
Ñ
Ô
Ð
Ñ
×
Ò
Ø
Ö
v = x2 /2
Ê
v = sen x
Ä
Ó
Ó
×
¸
Ó
Ö
µ
Ì
Ñ
Ü
√1 −7 49x Ú
Ñ
Ó
×
Ö
×
Ó
Ð
µ
Ú
Ñ
Ô
Ð
Ó
½
v=x
Ö
Ò
Ø
Â
Ù
Ò
Ø
Ò
Ó
×
×
×
Ó
º
Ñ
¸
º
º
x cos x dx =
Ø
Ó
Ò
Ù
×
Ð
Ô
Ñ
Ñ
Ö
Ó
Ò
Ñ
Ó
Ø
Ó
Ð
Ó
Ò
×
¸
Ø
Õ
Ù
Ò
Ù
Ñ
Ø
Ô
Ó
Ó
Ñ
Ó
Ù
Õ
Ù
Ö
Ù
Ù
Ù
Ò
Ó
Ñ
´
fg
Ô
g
Ø
Ø
Ó
Ô
Ð
Ó
Ò
Ö
Ö
Ó
Ò
Ù
Ó
Ö
Ä
Ð
º
Ö
Ù
Õ
Ù
Ø
Ó
Ñ
Ö
u = f
Ñ
Ü
Ù
´
µ
Ì
Ó
Ñ
−
u = log x dv = dx
x(dx/x) = x log x
Ó
Ø
Ó
Ñ
Ó
¸
Ò
7
Ø
Ñ
Ó
Ñ
Ô
Ð
Ó
¸
dv = 1 dx
·
Ò
−
×
×
Ñ
¸
du = dx/x
dx = x log x
v = x
º
−x º
Ó
×
×
Ñ
¸
´
Ù
Ó
Ó
Ñ
arcsen(7x) dx = x arcsen(7x)
z = 1 49x2 dz =
−
¸
−(2)49x dx
Ö
Ó
×
¸
Ö
Ä
Ó
Ó
¸
√1 − 49x 7
µ
du =
2
arcsen(7x) dx = x arcsen(7x) +
− − √ −
.
7x dx 1 49x2 7x dx = 1 49x2
− √
2
Ó
º
√1 − 49x
√
dz z = = 14 z 7
√
Ó
arcsen(7x) dx
u = arcsen(7x) dv = dx
dx
2
log x dx = x log x Ó
×
¸
´
º
Ó
Ü
Ô
º
Ö
Ñ
Ò
Ñ
Ù
Ö
×
Ò
Ó
Ú
Ñ
Ö
Ç
×
Ô
g
Ò
Õ
g
Ó
f
×
Ó
Ù
Ñ
Ô
Õ
Ò
Ù
Ñ
Ù
Õ
Ó
×
Ó
Ó
Ó
Ù
Ð
Õ
×
×
Ô
Ó
Ó
×
Î
Ñ
Ñ
×
Ð
Ò
Ò
Ô
Ü
Ñ
¸
Ø
Ø
Ù
Ó
×
Ô
Õ
×
Ò
Ó
Ð
Ñ
×
Ù
log x dx
v = ex
x
¸
Ë
du = dx
º
dv = cos x dx
Ø
¸
Ó
g
×
Ô
−
−
Ñ
Î
Ó
Ñ
Ó
µ
×
f (x)g ′(x) dx.
º
f
a
sen x dx = x sen x + cos x
µ
Ö
x log2 0
u=x
Ò
Ñ
Ô
Ó
Ñ
´
Ò
Ö
Ö
Ó
x e 2
Ó
2 x
Ò
Ò
Ô
f ′
Ö
×
Ü
Ñ
Ø
Ñ
Ó
Ù
Ø
Ë
Ø
Ò
×
−
x sen x
ex x dx = ´
Ú
Ó
−e − e | = 2 log(2) − 1
ex x dx = xex
½
xex dx = xex
0
Ó
×
f ′ (x)g(x) dx +
0
Ë
Ó
b
− h(a) = f (b)g(b) − f (a)g(a) =
a
Ê
b
.
Ó
Ö
½
¼
Í
Ñ
Î
Ó
Ü
Ó
Ø
Ó
Ð
Ö
Ð
Ü
Ö
Ó
Ù
Ó
Õ
Ñ
Ù
Ô
½
µ
Ù
Ø
Ô
Ó
×
Ñ
´
Ë
Ù
Ð
Ó
×
×
Ø
Ò
Ø
Ö
Ù
Ñ
Ö
Ò
Ø
Ò
Ó
Ü
Ñ
Ð
Ó
Ó
º
Ö
Ô
Ö
Ø
×
Ù
×
Ú
Ü
Ô
Ö
Ñ
Ò
Ø
º
º
º
µ
×
−
( cos x)ex dx =
Ä
Ó
Ó
¸
´
×
Ó
Ö
×
Ñ
Ò
Ð
Ó
×
½
Ñ
µ
¸
x
−e
´
cos2 x dx
µ
Ì
Ó
Ñ
´
−
Ó
Ñ
Ò
¸
x
K =
x
−
µ
Ì
Ö
(1
Ó
Ñ
×
´
Ñ
Ò
Ø
− cos
×
Ñ
µ
¸
Ì
2
µ
Ó
Ù
Ò
Ø
Ó
Ù
×
Ñ
u = log x
Ó
Ö
Ò
Ò
Ø
Ó
¸
Ö
Ð
Ó
Ø
Ö
º
Ó
Ñ
Ó
Ä
cos2 x dx
Ó
Ô
×
Ó
Ò
Ó
Ù
´
Ô
×
Ó
Ö
Ö
Ü
Ë
Ó
Ð
Ó
Ø
Õ
Ù
Ù
Ð
Ø
Ó
Ó
Ø
Ó
½
Õ
Ö
Ð
Ù
Ø
Î
Ó
Ö
Ó
µ
Ð
Ö
Ô
Ø
Ù
Ñ
Ù
Ù
Ò
Ó
Ó
Ó
º
Ð
Ñ
×
Ò
Ó
×
Ü
Ô
Ù
Ù
Ñ
Ü
Ø
Ä
Ó
Ö
√
Ò
Ø
Ö
Ò
R
R2
0
2
−x
dx º
Ö
Ñ
×
Ñ
Ä
Ç
Ù
Ò
Æ
Ó
Ò
Ó
Ì
Ú
Ñ
Ê
Ò
Ø
Ä
º
×
Ø
Ø
Ñ
Ö
Ö
Ô
Ð
º
dv = sen x dx
Ä
Ó
Ó
K =
¸
´
Ô
Ó
Ö
×
Ö
Ó
Ó
Ò
Ø
x
Ö
Ö
Ó
¸
ex sen x dx =
−e
du = ex dx
v = sen x
cos x
−
º
¸
×
×
Ñ
¸
− K 2K = −e cos x + e
Ù
º
º
x
sen x
Ä
Ó
Ó
¸
K =
Ó
¸
×
×
Ó
Ö
Ñ
Ó
¸
du =
¹
Ò
×
Ó
Ñ
Ò
Ø
Ø
Ö
Ó
Ò
Ô
Ù
Ö
Ó
Ó
K =
Ë
Ü
Ó
Ð
Ó
×
×
Ó
Ó
¸
Ó
Ú
×
×
Ð
Õ
Ù
K =
Ñ
Ò
Ø
Ó
Ñ
Ó
Ò
Ó
×
×
Ñ
Ñ
´
¸
µ
cos2 x dx = cos x sen x +
º
K =
¸
Ù
Ò
Ò
Ñ
¸
Ó
Ö
Ñ
Ø
Ò
Ø
Ö
Ø
Ó
×
Ó
Ó
Ñ
×
Ö
− cos
Ñ
Ó
Ñ
Ø
2
Ö
Ö
Ò
Ñ
Ó
Ò
Ø
Ô
Ö
×
Ñ
¸
Ö
×
Ó
º
Ñ
Ù
Ñ
Ö
Ñ
Ù
Ð
×
Ù
Ù
Ð
Ó
Ó
√1 + x ×
Ø
Ü
Ð
Ñ
×
Ô
×
Ð
Ó
Ó
Ø
Ô
Ö
Ö
Ô
Ö
Ó
Ô
Ó
×
Ö
Ð
Ñ
Ó
Ù
Ð
×
Ö
Ó
Ò
Ó
¹
Ä
º
Ñ
Ó
Ó
¸
º
Ò
Ó
Ñ
x = tan x
Ñ
Ñ
2
Ø
−
Ø
x cos(2x) = 2 cos2 x 1 x sen(2x) cos2 x dx = + 2 4
Õ
√1 − x
Ñ
×
¸
×
Ó
2
×
º
Ø
− K
log2 x (1/x)log x dx = 2
×
¸
Ö
cos x sen x + x 2 du = dx/x v = log x
x sen2 x = 1
Ó
cos2 x dx =
Ñ
Ö
v = sen x
− K = cos x sen x + x − K.
u = sen x
Ð
2
Ó
Ö
− sen
Ø
×
− sen x dx
Ó
×
Ö
Ó
Ù
Ð
Ô
Ó
Ø
(1/x)log x dx
Ó
È
Ð
Ó
Ö
½
Ó
Ö
Ù
Ð
Ó
Ö
Ù
Ò
Ó
Ó
R>0
√ y(x) = R − x
Õ
Ù
Ó
Ó
2
µ
1 dx
K =
¸
¸
Ø
Ó
Ò
Ñ
(1/x)log x dx = log2 x
cos(2x) = cos2 x 1 + cos(2x) cos2 (x) = 2 sen(2x) = 2 cos x sen x
Ó
Í
x
− K
−
2K = log x
sen xex dx = ex sen x
dv = dx/x
2
È
Ò
x) dx = cos x sen x +
(1/x)log x dx = log2 x
Ö
dv = cos x dx
sen2 x dx
2K = cos x sen x + x
Ó
Ì
º
cos2 x dx = cos x sen x + Ô
Ó
Ô
´
×
− cos x
e (sen x cos x) 2 u = cos x dv = cos x dx
ex sen x dx =
Ü
Ñ
u = ex
cos x + ex sen x
−e
cos xex dx
Ó
cos xex dx = ex sen x
Ñ
u = ex
du = ex dx v =
cos x +
¸
Þ
È
´
Ô
Ô
×
Ö
ex sen x dx
Ö
Ù
Ð
Ó
2 Ô
Ö
Ð
Ô
×
Ù
Ó
×
x2 + y 2 = R2 x [0, R]
∈
×
Ñ
È
×
×
Ó
Ñ
Ü
Ó
Ñ
Ú
Ó
Ñ
×
×
×
Ó
×
Ó
Ð
a, b > 0 Ù
Ð
Ö
Ö
Ñ
º
1/4
Ò
Ö
º
⋆
È
Æ
Ö
Ì
×
Ê
Ó
Ú
Ñ
Ó
Ç
×
È
Ü
Ô
Ñ
Ñ
Ó
×
Ð
Ó
È
√
Ê
Ö
Ö
Ó
Ó
¸
Ö
Ð
Ö
2
×
Õ
Ù
Ó
Ö
0
Ë
Ñ
È
Ö
x
¸
Ö
Ó
Ö
¸
Ó
Ò
Ð
Ù
Ñ
Ó
Á
Á
Ó
Ò
Ó
Ñ
×
Õ
Ù
Ó
Ö
Ò
Ö
Ø
Ø
Ö
2
Ó
Ñ
½
µ
1/4
Ø
Õ
Ö
Ù
Ò
Ó
Ø
Ö
Ò
Ð
Ô
×
Ó
Ó
Ö
Ù
Ñ
Ò
Ö
Ñ
Ò
Ö
×
Ò
Ñ
Ó
Ó
¸
Ò
−
Ø
Æ
Ó
Ù
Ð
Ò
Ø
Ö
Ó
Ó
dx = a dz
√ −
Ð
z 2 dz
1
0
Ú
Ð
π/4
Ä
Ð
Ó
|
Ð
Ñ
×
×
Ñ
×
Ó
Ó
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
Ò
º
¹
√
−
R
¸
|
cos(π/2) sen(π/2) + (π/2) 2
cos2 θ dθ =
Ó
4
Ú
Þ
×
Ó
Ú
Ð
Ó
Ö
Ò
Ø
Ö
Ð
R2
2
−x
0
dx =
º
Ó
Ñ
Ó
Ò
Ü
Ó
Ú
×
(x/a)2 + (y/b)2 = 1 (x/a)2 x [0, a]
×
È
−
Þ
Ö
Ô
Ö
Ó
Ñ
∈
Ó
×
×
×
Ð
Ñ
Ú
Ù
Ð
Ñ
Ö
Ó
×
z = x/a dz = dx/a
Ø
Ù
Ó
Ò
Ó
Ú
Ó
¸
Ø
Ó
Ñ
º
a
Ñ
×
×
Ó
Ó
Ñ
Ó
x
∈ [0, a] z ∈ [0, 1]
×
Ò
Ø
Ö
Ð
Ù
Ñ
− b
¸
1
ab
cos2 θ dθ =
0
Ä
Ú
|
×
0
Ö
¸
×
π/2
0
Ð
|
π/2
Ä
½
sen2 θ +cos2 θ = 1 sen2 θ) = R cos θ cos θ = cos θ
R2(1
a b y(x) = b 1
(x/a)2 dx
b 1
Ù
a
−
∈ [0, π/2]
´
=
θ
R cos θ(R cos θ) dθ = R2
Ó
Ë
0
È
Ê
[0, R]
cos x sen x + x cos2 x dx = 2 cos0 sen 0 + 0 = π/4 2 R2 π/4 πR 2 Ø
√R − x
Ó
∈
dx =
−x
π/2
R2
R
Ä
Ê
2
x = R sen θ dx = R cos θ dθ Ó
Ç
Õ
Ù
Ö
Ó
Ö
Ó
Ö
×
×
Ñ
¸
(x/a)2 dx
1
º
0
Ù
Ð
Ó
Ö
Ó
½
¸
Õ
Ù
Ô
Ð
Ó
Ñ
´
µ
a
Ó
Ó
− b
(x/a)2 dx = abπ/4
1
Ö
Ð
Ô
×
Ú
Þ
×
×
Ó
πab
º
0
Æ
Ó
Ò
Ø
Ò
Ø
Ò
Õ
Ò
Õ
×
º
Ö
Ø
×
Ö
Ó
×
Ø
¼
Ö
℄
Ö
Ó
Ò
×
Ù
×
Õ
Ö
Ó
×
Ð
Ø
Ñ
Ö
Ö
Ò
Ò
Ô
Ó
Ð
×
Ù
Ð
×
Ó
Ó
Ó
Ò
¸
Ø
Ò
Ñ
Ò
×
Ú
Ð
×
×
Ö
Ñ
Ó
Ó
Ö
Ø
Ô
×
Ó
Ø
Ò
×
Ö
¸
Ö
×
Ø
Ø
Ú
Ó
Ó
Ù
Ò
×
Ò
Ö
Ø
Õ
Ù
Ò
Ù
Ò
Ø
Ò
Ñ
Ø
Ö
Ñ
Ñ
Ø
Ò
Ó
Ó
Ò
Ó
Ó
º
Ø
Ø
Ó
Ð
×
Ö
Ô
Ú
Ø
Ó
Ö
Ù
Ø
Ñ
×
×
×
º
Ñ
Ó
×
Ù
Ó
Ó
Ó
Ö
Ô
Ö
Ö
Ö
Ó
Ö
Ù
Ò
×
Ô
Ö
Ó
Ö
Ö
Ó
×
Ò
×
È
×
p(x) q(x)
Ð
Ö
¸
Ò
Ó
Ò
×
Ù
p, q
×
×
Ò
Ø
×
Ó
Ô
Õ
Ó
Ð
Ù
Ò
Ò
Ñ
Ó
×
Ó
Ñ
×
Ó
Ó
Ò
×
Ò
Ø
¹
×
•
×
×
Ù
´
Ñ
×
Ø
Ú
Ö
Ñ
×
Ó
Ø
×
Ó
Õ
Ñ
Ù
Ò
Ô
Ø
Ó
Ó
µ
Ð
Õ
Ò
Ù
Ö
Ù
Ñ
Ó
Ó
×
Ö
Ô
q
Ù
•
Ç
Ô
Ö
Ó
Ð
Ù
Ò
Ñ
Ó
×
Ó
q(x)
Ó
Ñ
Ö
Ô
Ó
Þ
×
×
p1
Ó
Ñ
Ó
q
Ø
Ó
Ö
p p(x) = q(x)k(x) + r(x)
Ö
Õ
×
×
Ñ
Ô
Ð
Ü
Ó
Ñ
×
p2
Ô
Ò
Ó
Ó
×
Ó
Ù
´
Ô
Ö
Ö
×
×
×
Ù
Ö
Ô
Ö
Ö
Õ
Ù
−
Ó
×
´
Ô
Ù
Ó
Ñ
Ð
Ò
Ø
Ø
¹
Ö
Ó
Ó
Ñ
×
Ó
´
2
Ó
†
Ð
Ø
Ù
Ö
×
Ø
×
Ó
Ó
Ô
Ó
Ò
Ð
º
Ñ
Ö
Ó
Ì
Ó
×
ý
Ð
Ù
Ù
Ò
Ö
Ó
¸
Ó
p3
Ô
Ó
×
×
Ó
Ó
Ó
Ò
Ø
Ñ
Ö
Ö
Ö
Ó
Ù
×
Ø
r
Ñ
Þ
Ò
Ö
Ó
Ö
Ó
Ö
Ö
Ò
Ö
Ó
Ñ
···
Ô
Ù
Ø
Ò
Ó
Ù
Ò
Ó
Ô
Ô
Ó
Ñ
Ð
×
Ù
Ù
Ð
Ó
Ö
µ
Ò
Ø
¸
Ô
Ñ
Ð
ak
¸
×
Ð
Ò
∈N
Ó
pk
Ñ
Ù
Ó
Ó
r(x) dx. q(x)
k(x) dx +
q(x) = C (x a1 ) (x a2 ) (x +b3 x+c3)
−
Ö
p(x) dx = q(x)
Ö
Ñ
Ö
¼
Ô
Ø
Ù
Ó
Ø
Õ
×
Ù
º
Ø
Ñ
Ò
Ó
Ö
Ù
¾
Ö
Ñ
Ù
¿
Ò
Õ
Ö
º
Ð
Ô
Ó
Ó
¹
Ò
Ô
¸
Ø
Ô
Ò
Ñ
×
Ë
Ö
Ò
Ù
Ø
Õ
Ö
Ö
Ñ
Ù
Ó
Ð
Ù
Á
Ð
⋆
Ö
Ó
Ö
Ø
×
Ö
Ñ
Ø
Ù
º
Ø
Ö
Ð
Ò
Ö
Ó
Ó
×
Ö
Ñ
ý
∈R
Þ
×
Ð
Ö
Ö
(bk )
Ó
×
×
µ
2
×
Ñ
Ó
×
− 4c
k
Ö
Ù
µ
È
Ù
Ð
Ú
Ì
Ö
×
Ù
Ñ
<0 Ó
Ö
p(x) q(x)
½
¾
È
Ì
Í
B1 B2 B3 (x ak ) (x ak )2 (x ak )3 C 1x + D1 C 2 x + D2 C k x + Dk (x2 + bk x + ck ) (x2 + bk x + ck )2 (x2 + bk x + ck ) p Ó
Ñ
Ó
×
Ó
Ñ
Ø
Ó
Ö
×
Ó
Ø
Ô
Ó
−
−
¸
−
¸
Ä
Ç
¸
Æ
¸
Ì
Ê
Ä
Bk (x ak ) p
−
Ó
Ù
k
¸
¸
º
º
º
¸
È
Ó
Ö
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
¸
k
x2 + 2x + 5 = x2 (x 1)
− x7 − x5
2
−
Ô Ó
Ù
´
Ñ
Ó
×
x2 5 (x2 + 2) 2(x
−
Ó
Ô
Ñ
Ö
×
Ø
Õ
Ó
Ù
Ö
Ð
Õ
Ð
Ù
Ë
É
Ù
¾
Ñ
Ó
Ò
Ó
Ø
×
Ö
Ó
Ñ
Ö
×
Ð
Þ
Ó
×
Ó
Ð
Ø
Ö
Ó
Ó
Ñ
Ò
Ó
Ö
Ø
Ö
Ó
Ô
Ö
Ó
Ð
Ò
Ø
Ö
Ö
Ó
Å
Ü
Ñ
µ
− 27(x13− 1) + 27(x22− 1) − 9(x −4 1) . 2
p(x) dx q(x)
−1
−
Ñ
x
´
Ù
Ò
×
Ö
Ô
dx; m 1
Ù
Ð
×
Ü
Ò
×
Ø
Ò
Ö
Ó
¹
Ö
1 dx; (x2 + bx + c)m
dx
m
− a)
(x
×
¸
´
Ô
×
Õ
Ù
Ó
´
2
Ð
Þ
Ñ
Ö
Ó
Ñ
×
Ó
×
×
Ô
Ó
Ó
Ö
×
Ñ
Ö
Ø
Ô
Ð
Ù
µ
Ø
Ø
º
Ñ
Ö
Ú
•
´
Ú
•
Ò
Ö
Ø
Ò
×
Ò
Ô
Ø
Ö
Ó
µ
Ð
×
Ø
Ö
×
Ð
º
Ø
µ
Ò
Ó
Ó
Ö
×
Ø
Ó
Ñ
Ð
Õ
Ñ
Ù
Ö
Ù
Ò
Ô
Ó
×
Ö
1 (y 2 + 1)m
Ô
Ó
×
Ö
Ð
Ù
Ð
Ò
Ø
Ó
Ó
Ø
Ø
Ö
Ñ
È
Ó
Ö
Ø
Ö
Ð
Ø
×
Ô
Ú
Ñ
Ó
×
Ö
Ð
Ó
Ó
I m =
Æ
Ö
Ó
Ö
Ö
µ
Ó
Ô
Ó
Ð
Ò
Ñ
Ò
Ó
Ð
µ
Ó
Ö
Ñ
Õ
Ù
Ù
Ð
Ö
¸
Ö
Ù
x +bx+c =
Ñ
×
Ø
Ó
Ô
Ó
Ñ
Ò
Ó
Ð
Ù
Ó
×
Ö
√
Ù
Ó
Þ
Ð
Ó
Ö
×
Ò
Ó
Ò
Ø
Ö
em
×
Ñ
º
Ð
Ð
Ñ
Ò
Ø
Ó
Ð
Ó
Ò
Ó
z = y2 + 1
Ô
Ö
Ñ
Ö
Ó
−
×
Ö
Ú
Ò
Ó
Õ
Ù
´
Õ
Ù
Ð
y2 . (y 2 + 1) m f (y) = y g ′ (y) =
Ó
Ö
×
Ó
Ö
Ù
Ö
Ò
Ò
Ø
Ø
Ø
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
Ö
Ó
Ö
Ö
Ò
Ö
Ó
I m =
×
y (y 2 + 1)m ×
2
R
y dy (y 2 + 1)m
1 1 = (y 2 + 1)m (y 2 + 1)m−1 Ç
Ò
2
−
Ó
Ó
x dx. (x2 + bx + c)m
(x + d) + e d = b/2 e = c b /4 > 0 1 x y = (x + d)/ e ((x + d)2 + e)m ((x + d)2 + e)m 1 y dy dy (y 2 + 1) m (y 2 + 1)m
3
×
Ñ
Ó
∈N
Ö
Ñ
−
×
− a)
Ó
13x 9 7x 35 + 27(x2 + 2) 27(x2 + 2)2
=
3
Ñ
(x
Ù
×
1
Ù
m
Ó
Ð
Þ
• •
Ù
− 1)
Ù
8
+
¸
Ó
Ô
Ô
º
¾
Ó
¾
Ö
Ô
℄
Ö
Ë
Ø
×
−
I 1 =
Ó
Ð
Ó
Ò
Ó
dy , (y 2 + 1)m
y 2m + 1)(y 2 + 1)m−1 2(m
2(m
dy = arctan y (y 2 + 1)
º
− 3 I − . − 1) m 1
º
Ë
Ñ
Ô
×
×
Ö
Ò
• Ù
Ó
Ö
Ñ
Ü
Ë
Ó
Ð
Ë
×
Ó
Ù
Ñ
Ö
Ô
Ù
Ð
Ð
Ó
Ù
×
È
¸
×
Ö
Ö
Ê
È
q
×
Ô
Ê
Ç
×
Ø
½
´
Ò
Ù
Ö
Ñ
Ò
Ó
Ó
Ô
q(x) = (x
− a) (x − b)
×
Ó
×
½
Ó
Ò
Ø
Ü
Ö
Ø
Ù
Ð
Ñ
×
Ó
Ó
Ê
Ñ
Ù
×
Ò
×
Ñ
×
Ø
Ù
Ø
Ø
Ö
Ø
Ó
Ð
Ó
Ô
Ð
º
Ò
Ð
Á
Ë
½
Ö
Ð
Ñ
Ú
Ö
Ó
Ó
p
×
Æ
¸
×
Ù
Ö
Ú
Ô
Ó
Ö
Ò
Ù
×
¾
Ó
Ø
Ò
Õ
µ
Ù
Ø
Ö
Ó
Ö
Ø
¿
Ò
µ
Ó
×
Ò
Ñ
Ô
Ó
Ñ
Ð
Ò
Ó
Ó
Ó
Ñ
×
Ó
Ó
Ø
Ö
Ô
Ð
Ó
Ö
Ì
q(x)
Ô
Ó
Ó
Ö
×
×
Ù
−
−
×
Ñ
Ó
−
−
p(x) A B C = + + q(x) x a (x a)2 x b
¸
Ò
−
Ó
×
´
p(x) A B = + q(x) x a x b
−
È
Á
Ù
×
−
½
Ó
x2 + 2x + 5 dx x2 (x 1)
Ô
p(x) A B = + q(x) x a (x a)2
¸
Ð
Ø
2
Ñ
Ò
Ó
¸
È
Ñ
2
Ë
Ù
− a)
×
Õ
q(x) = (x
¸
Ö
− a)(x − b)
Ó
Ó
Ö
Ö
Ö
Ç
q(x) = (x
Ú
Ö
Ø
Ó
Ó
Ô
×
Ë
Ê
Ò
Ù
Ë
Õ
Ø
•
Ø
•
×
Ñ
Ì
Ñ
Ó
Æ
Ð
Ù
×
⋆
Ô
Ö
×
−
×
Ò
Ø
Ø
Ó
Ö
Ñ
Ò
Ó
Ø
×
Ö
Ó
Ñ
Ö
Ñ
Ô
Ð
Ò
×
º
Ø
Ñ
×
º
×
Ö
×
Ô
Ö
×
¸
x2 + 2x + 5 a b c = + + x2 (x 1) x x2 x 1
−
È
Ö
Ð
Ù
Ð
Ö
a,b,c
Ó
Ð
Ó
Ñ
Ó
×
Ó
Ð
Ó
x2 + 2x + 5 ax(x = x2 (x 1)
−
Ö
Ó
Ó
Ñ
Ð
Ò
Ó
Ó
×
Ó
Ò
Ø
×
×
Ò
Ø
Ö
Ö
Ù
Ñ
´
Ü
Ë
Ó
Ð
Ñ
Ô
Ù
Ð
Ó
¾
Ó
¼
Ó
Ü
Ð
Ù
Ð
Ñ
Ô
Ð
Ó
Ó
¾
Ò
Ó
Ñ
Ò
Ó
Ö
¸
µ
×
Ö
Ñ
Ó
×
Ö
−
Ó
2
x2 + 2x + 5 dx = x2 (x 1)
Ñ
2
− x7 − x5
Ô
Ö
Ó
Ó
Ø
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
8
+
2
−
×
2
x2 + 2x + 5 = x2 (x 1)
2
¸
Ù
Ñ
− 1) + b(x − 1) + cx = (a + c)x + (b − a)x − b . x (x − 1) x (x − 1) a + c = 1 b − a = 2 −b = 5
−
Ó
− 1.
x
Ö
Õ
Ù
−7log |x| + x5 + 8 log |x − 1|.
x 5 dx x(x2 + x + 1)2
−
¼
È
Ð
º
Ó
Ö
×
Ö
×
Ô
Ö
×
¸
x 5 a bx + c dx + e = + + . x(x2 + x + 1)2 x x2 + x + 1 x2 + x + 1
−
´
Ó
Ð
Ó
Ö
Ò
Ó
Ó
Ó
Ð
Ó
Å
Ó
Ü
Ñ
Ö
Ó
Ò
Ó
Ú
Ó
Ñ
Ñ
Ó
Ñ
Ò
Ø
µ
×
Ñ
Ó
Ò
Ó
Ñ
Ò
Ó
Ö
Ù
Ð
Ò
Ó
Ó
×
Ö
Ñ
x 5 5x+5 5x+6 = + x(x2 + x + 1)2 x2 + x + 1 (x2 + x + 1)2
−
− x5
Ó
×
Ú
Ñ
Ó
×
Ó
Ö
Õ
Ù
½
Ç
Ð
Ñ
Ó
Ö
Ñ
Ó
Ð
Ñ
Ò
Ø
2
Ò
Ø
Ö
2
Ú
Ð
−5log |x|
É
Ù
Ò
Ø
Ó
È
Ó
×
Ì
Í
Ó
Ä
Ç
×
Ô
Ö
Æ
Ñ
Ö
Ó
Ù
Ó
Ò
×
Ô
Ö
Ò
Ø
Ñ
Ö
Ö
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
Ö
×
Ó
Ò
Ð
Ñ
Ò
Ø
Ô
Ö
Ó
Ù
Ò
Ø
Ò
Ó
Ó
Ú
Ö
Ù
×
Ñ
Ù
×
×
y dy , y2 + 1
Ù
Õ
Ù
Ò
Ø
Ö
×
Ó
Ò
Ù
Ø
Ö
Ñ
Ö
Ö
Ö
×
Ù
Ò
Ö
Ñ
Ó
×
Ó
Ó
×
Ö
Ð
Ð
Ú
Ó
Ô
Ù
Ñ
×
Ñ
Ü
Ò
Ó
Ñ
Ó
Ú
Ö
Ò
Ù
Ú
×
Ó
Ð
º
Ò
Ó
Ó
Ø
Ñ
Ô
Ó
Ö
Ñ
Ó
¸
Ù
Ø
Ð
Õ
º
×
Ñ
Ó
×
´
Ù
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ö
Ø
Ñ
Ô
Ð
Ó
½
´
Ô
Ó
Ò
Ü
Ó
Ù
Ø
℄
Ñ
Ú
Þ
Ð
Ø
Ö
Ò
Ó
º
Ö
Ð
Ô
Ñ
½
Ô
Ñ
Ò
Ó
¿
Ë
×
Ô
×
Ö
Ð
µ
Ë
Ò
dz = 2z 2
µ
Ë
×
×
¿
½
º
Ù
Ò
º
¾
¼
½
¼
Ò
Ø
Ö
×
×
×
Ñ
Ó
Ñ
Ò
Ó
Ñ
×
Ó
Ø
Ò
Ó
Ö
|
2
Ó
Ö
Ö
Ò
Ô
Ö
I m
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
Ó
Ö
Ò
¸
Ù
Ø
Ð
Þ
Ò
Ó
Ó
Å
Ó
Ò
Ø
´
Ñ
Ö
Ù
Ò
µ
Ö
Ò
Ö
Ø
×
º
Î
¸
Ò
×
Ø
Ó
Ô
Ó
×
Ö
×
Ó
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ô
Ó
Ô
Ù
Ð
Ó
Ò
Ó
Ö
Ò
Ò
Ð
Ò
Ü
Ö
Î
×
Ø
Ô
Ö
Ö
Ù
Ð
×
Ø
Ú
×
È
Ó
Ö
Ó
Ö
Ð
Ô
Ö
Ø
Ó
Ó
Ñ
µ
− 5log |x| + 3 x 7+x 3−x4+ 3 . 2
Ø
×
´
×
Ô
Ô
Ô
Ó
Ö
Ö
Ö
Ö
Ð
Ñ
×
℄
Ô
×
Ö
Ô
Ò
Ø
Ó
Ú
Ö
´
Ú
Ö
×
Ð
Ñ
µ
Ó
Ò
Ø
Ù
Ò
Ñ
Ó
×
×
Ó
µ
Ó
Ñ
Ð
Ñ
Ô
Ø
Ø
Ó
x
Ó
µ
¹
×
Ó
Ò
×
Ú
Ó
×
×
×
Þ
Ö
¹
Ö
Ö
Ö
×
×
Ù
Ø
Ð
Ø
Ò
Ô
Ù
Ö
Ñ
Ò
Ô
Ð
Ç
Ô
Ð
Ù
Ó
Ó
´
Ô
Ö
Ó
Ú
Ò
Ó
f (x) = 0
Ô
Ö
Ø
Ó
b
≤0
Á
Ü
Ø
×
Ó
Ö
×
f (x) dx = 0
f (x)
Ú
− 2z1 = − 2(y 1+ 1) .
a
´
×
z = y 2 + 1 dz = 2dy
Ö
Ñ
Ø
Ú
µ
Ó
b
´
Ö
y dy . (y 2 + 1)2
Ö
Ô
Ô
×
Ò
Ó
Ó
×
Ó
Ó
Ó
Ò
Ñ
Ö
Ö
Ø
Ù
Ø
Ö
Õ
Ö
Ö
º
Ü
Ó
µ
Ó
Ó
Ü
½
Ö
|
|
Ó
¸
Ð
Ó
Ù
Ô
Ô
Ñ
Ò
Ë
Ñ
Ò
Õ
×
Ä
||
y dy = (y 2 + 1) 2
Ù
×
Ø
º
Ô
Ó
Ó
Ó
Ü
Ü
º
×
Ó
Ù
Ö
log z log y 2 + 1 dz = = , 2z 2 2
y dy dy = y2 + 1
Ó
Û ×
Ö
dy , (y 2 + 1)2
|
Ó
Ø
Ó
Í
Ò
×
Ö
Ô
Ó
Ê
¸
È
−
Ì
Ù
×
x+1 29 arctan 2 √ (x 5)dx 5log x2 + x + 1 3 = + x(x2 + x + 1)2 2 33/2
¸
dy y I 1 y arctan y = I = + = + . 2 (y 2 + 1) 2 2(y 2 + 1) 2 2(y 2 + 1) 2
Â
Ð
dy , y2 + 1
arctan y
√
×
2
x + x + 1 = (x + 1/2) + 3/4 = 3/4((x/ 3/4 + 1/2/ 3/4) + 1 y = (x + 1/2)/ 3/4 = (2x + 1)/ 3 Õ
Ì
∈ [a, b]
¸
Ò
Ø
Ó
a
∈ [a, b] f (x) dx ≤ 0 Ó
x
º
º
Ù
Ð
×
Ó
´
Ò
Ó
Ù
Ñ
Ó
Ò
Ø
Ö
¹
Ê
Á
Ç
Ë
Æ
Ì
Ê
Ä
½
3
´
µ
Ë
h(x) dx = 9
Ñ
Ù
Ö
Ñ
Ó
×
Ó
Ú
Ð
Ó
Ö
Ù
Ò
Ó
Ñ
x=1
x=2
Ñ
¸
Ò
Ø
Ö
Ð
0
Ú
Ñ
Ü
Ù
Ö
Ö
Ó
Ú
¾
º
Ð
×
Ó
Ö
Ø
º
Ù
Ò
2
Ë
Ò
Ó
Õ
´
µ
µ
f (x) dx
´
µ
µ
f (x) dx
´
Ü
Ö
Ó
¿
º
Ó
Ò
×
×
½
Ó
Ä
Ñ
½
µ
Ö
g(x) dx =
Ù
Ò
−3
0
Ô
º
½
Ö
×
Ó
Ð
Ú
º
f (x) dx = 7,
−1
1
´
µ
Ð
Ù
Ð
g(sen(x2 )) dx
1
f (s)g(t) ds
−1
dt º
f (x); x = 1; 5; x = 1.
h(x) =
0
f (x) + 2g(x) dx
−1
h(x) dx
º
−1
2
−1
Ô
−1
2
0
´
2
2
f (x) dx = 5,
2
´
Ó
−1
−1
Ù
2
Ó
f (x)
Ö
Ô
Ö
×
Ò
Ø
Ò
Ù
Ö
Ü
Ó
º
y f (x)
2
x 1
Ò
F (x) =
3
4
5
−1
x
2
f (s) ds
Í
×
Ò
Ó
Õ
Ù
Ò
Ø
Ö
Ð
Ö
Ó
Ñ
×
Ò
Ð
Ö
×
Ô
Ó
Ò
0
Ó
×
×
´
µ
´
µ
´
Ù
Ò
Ø
Ø
×
Ö
Ø
Ø
Ñ
Ö
Ñ
Ò
Ò
×
º
F (0), F (1), F (2), F (3) F
Ò
Ó
×
Ò
Ø
Ö
Ú
Ð
Ó
×
Ó
Ò
º
Ö
×
Ö
×
º
F º
µ
Ø
Ö
Ñ
Ò
Ó
×
Ô
Ó
Ò
Ø
Ó
×
Ñ
Ü
Ñ
Ó
Ñ
Ò
Ñ
Ó
Ð
Ó
Ð
x
Ü
Ö
Ó
º
×
Ø
Ù
Ó
Ì
Ó
Ö
Ñ
¾
Ô
º
½
½
´
Ì
µ
º
Ó
Ò
×
Ö
h(x) =
(5 t)5 dt t4 + 6
−
2
Ñ
Ò
´
Ð
Ó
Ü
s
Ö
h(2)
µ
º
Ö
´
Ø
Ö
¹
´
µ
Ò
Ø
Ö
Ú
Ð
Ó
×
Ó
Ò
h
Ö
×
Ö
×
´
µ
Ô
Ó
Ò
Ø
Ó
×
Ñ
Ü
Ñ
Ó
Ñ
Ò
Ñ
Ó
µ
Ó
º
×
Ø
Ù
Ó
Ó
Ö
Ó
Ð
Ö
Õ
Ù
Ó
1
0
º
Ó
g(x) = Ke x + Bx
3
(2x
Ð
Ù
Ð
¾
Ô
º
½
− C ¸
Ø
− 3x
´
Ö
Ñ
1
+ 5) dx
Ì
µ
Ë
´
Ò
Ò
Ó
Õ
Ù
h(s) = g ′ (s)
Ô
Ö
Ø
Ó
h(s) ds
º
−1
2
¾
1
3
∈R Ü
Ð
µ
|
0
y
2
− 1| dy
´
µ
(3x + et
− 7x sen t) dt
º
Ó
½
Ü
Ö
Ü
Ó
¸
Ó
×
Ö
º
µ
×
Ú
5
´
Ø
Ù
Ë
Ù
Ñ
Ó
Ó
Ñ
Ü
Ö
Ó
2
e−s ds
´
µ
º
Ñ
Ù
Ü
Ö
f (t) dt = c
Ó
Ü
º
´
Ö
´
Ü
Ö
Ð
Ù
K
Ó
½
µ
¼
º
Ð
µ
½
1
´
µ
×
×
È
º
Ö
Ó
½
º
(3
Ñ
Ù
Ò
Ø
´
µ
Ö
Ó
Ð
Ñ
Ú
×
Ô
Ð
Ù
Ð
Ð
×
Ð
4
×
×
´
Ö
½
º
Ð
Ó
Ù
Ò
Ø
×
µ
µ
Ò
Ø
Ö
Ò
×
Ö
Ù
Ò
Ø
×
Ò
Ø
Ö
º
×
Ø
Ù
´
´
×
Ò
Ø
µ
Ö
Ö
Ö
Ð
Ô
Ô
Ö
Ö
Ô
Ö
0
Ô
Ö
Ó
Ú
Ö
Õ
Ù
µ
×
f (x)
Ä
6e
´
µ
≤ M ¸
Ò
Ø
Ó
Ð
Ñ
µ
µ
f (x
×
´
Ô
Ó
Ö
×
Ù
×
Ø
Ø
Ù
×
´
Ô
Ó
´
Ö
×
´
Ô
Ò
×
×
×
Ó
µ
Ö
Ø
×
µ
µ
×
0
´
º
Ó
Ò
×
Ö
Ñ
½
Ó
Ô
º
½
Ö
×
Ó
Ú
º
Ø
Ö
º
≤ M (b − a) + x)log x dx ≥ −20e
f (x) dx
º
g(x) =
0
sen(t2 ) dt
g ′(x) º
Ù
Ð
Ð
Ù
Ð
Ñ
Ö
µ
1
f (u) du
º
a
log2 (t) dt t
º
f (x) dx
Ð
Æ
cos x e5sen x dx
1
Ð
´
≤ 2, ≤ 4, ≤ 5.
µ
µ
5
f (x) dx
Ç
2
º
2x 1 5 x
Ä
Ì
×
Ò
Ø
Ê
Ö
Ä
− c) dx =
3
dθ
Ñ
1 ds s3
−−
µ
4 sen(ex + 5x2
¿
e2x
Ö
Ë
Í
a
e
È
µ
Ì
b
b
´
×
dy 1 + y4
µ
e−x/4 dx
f (x) =
Ó
Ô
´
Ñ
º
log3 +∞
Ø
×
´
2
¾
Ò
3
f (x) dx
È
arctan x dx
+∞
×
+∞
Ö
3x cos(x ) dx
dx
Ñ
1
Ó
Ñ
cos(θ)
´
Ù
Ø
sen(θ)
0
È
Ö
×
µ
´
3
´
Ù
2
− 2x)
Ö
Ò
a+c
2x2 dx
sen(2θ) dθ
È
Ð
π
¾
´
−
Ú
π/4
Ø
f (x) dx
Ó
b+c
2
´
x log x dx
3x dx
x 3
µ
√ − √ −
µ
Ñ
½
dx log(5 x2 )
º
a
4
´
ac
Ð
Ô
b
µ
Ò
Ó
0
bc
´
2
Ó
¿
−∞
º
Ò
dx x10
−1
º
×
È
Ö
Ó
Ð
Ê
Ñ
Á
º
Ç
Ë
Ø
Ö
Æ
Ñ
Ò
Ì
Ê
Õ
Ù
Ä
½
Ó
Ö
Ø
Ø
Ò
y(x) = log(2 + sen(x
È
Ó
Ô
Ö
Ó
Ó
Ò
´
Ð
Ø
Ó
º
×
Ð
Ù
Ð
y
g ′(8)
µ
f (y) =
Ö
Ó
Ð
Ñ
×
g(y) =
º
+∞
´
1
È
Ö
Ó
´
´
´
È
Ö
Ð
Ó
x
Ñ
º
µ
0
´
Ø
´
Ö
Ñ
Ò
Ô
Ö
1
´
µ
0
Ò
Ø
Ö
Ð
Ò
Õ
µ
º
´
Ò
´
Ö
Ò
µ
Ö
Ó
Ð
Ñ
µ
´
µ
µ
√ e 1+e x
x
º
2
µ
Ö
Ó
´
È
Ö
Ó
Ð
Ñ
Ð
½
Ñ
Ö
Ó
µ
Ð
Ò
Ø
Ö
Ð
Ñ
Ó
2 √ π cos(s ) ds
se−3s ds
½
| − 2| dx
¼
º
Ø
Ö
Ñ
´
½
¾
Ñ
Ñ
º
´
Á
Ò
Ø
º
Ò
Ø
Ö
×
´
´
´
´
Ò
Ù
µ
Ð
Ó
µ
Ö
×
Ñ
Ô
×
Ö
Ô
+∞
´
µ
e
Ø
Ö
Ñ
Ò
×
µ
Ó
Ò
Ø
×
º
x sen(3x + 1) dx
e2x cos x dx
ex dx 1 + e2x
º
´
dt dt t(log t)3 8 1 2 1 x
µ
Ò
´
log s ds
|
Ó
´
Ö
×
+∞
´
µ
µ
µ
Õ
µ
Ù
´
|
µ
es−1
º
º
dy 2 = xex +1 dx
y(1) = e2.
dx x log3 x
0
´
µ
ex dx x 3 2e −∞
−
1 dx x
1+
− 1| ds
−2
0
2
y(1) = 0
Ó
Ü
µ
x dx 1 + x2
|
µ
y(x)
µ
+∞
1/2
dx 4 x
½
Ó
e
1
dx
×
º
2
√ 0
È
√
16
´
dy 2x + 1 = dx x
µ
x x
0
È
´
dx
log( t) dt √ 3 s e ds
0
µ
3x dx 1 3 x2
0
log3
4
´
Ö
1
√ − √
2
xe−x dx
´
p > 0
×
´
Ð
0
È
º
µ
Ø
log(t3 + 1) dt
Ò
Ù
dx x p
sen(log x) dx
µ
1
´
√√ Ñ
Ó
− π)) +
8
cos x sen x dx
µ
Ð
cos( k) dk k
µ
dx x p
µ
cos(1 + s2 ) ds;
1
y
È
3
et dt
4 5
´
Ø
√
f ′ (1)
µ
Ò
( π, log 2).
Ñ
x
2
Ò
se−s/2 ds
½
x
2
´
´
lim e−x x→+∞
µ
µ
Ù
Ñ
Ù
Ò
Ó
Ì
Í
Ä
Ç
Æ
Ì
Ê
Ä
x
f
È
log(t9 + 3) dt
0
Ø
Ð
Õ
Ù
f (0) = 1
Õ
Ù
e−s f ′ (s) ds = 3x º
−π
º
º
¿
Ü
Ø
Ö
×
x
Ü
Ô
Ø
Ó
Ö
Ò
Ø
Ü
Ø
½
Ó
º
×
Ö
¾
Ø
Ñ
º
Ö
Ñ
Ü
Ø
Ò
Ñ
Ö
Ì
Ó
Ñ
Ð
Ò
Ó
h(x) = 7
µ
Ð
Ç
º
Ë
Ù
x
Ø
Ö
¿
º
Ë
Ð
s
Ó
Ö
Ü
Ø
Ö
Ñ
´
´
µ
Ó
µ
´
º
Ó
×
Ó
Ò
Ò
×
×
Ø
Ò
Ö
Ø
Ú
Ö
Ö
Ð
Ú
Ó
Ð
×
Ò
Ó
Ó
×
×
Ò
Õ
Ó
Ù
×
Ø
×
Ø
t2
Ò
Õ
Ù
Ô
Ò
Ó
Ü
Ø
Ò
Ø
Ü
Ø
µ
Ó
Ö
Ú
´
Ø
Ü
Ø
º
Ð
Õ
Ù
Ü
Ë
Ð
Ó
Ö
x
Ó
Ò
F
Ö
Ñ
Ö
Ø
Ò
º
Ë
Ô
Õ
Ó
Ù
Ö
º
Ù
Ó
Õ
Ü
Ø
Ö
Ò
Ù
Ø
Ö
|
Ò
º
´
Ò
Ù
Ò
Ó
Ë
(x) =
sen t dt t
0
×
Ó
Ö
Ó
Ó
Ô
Ó
Ò
Ö
Ø
Ó
Ó
x=1
Ô
Ó
×
×
Ù
Ù
Ò
Ó
Ò
Ó
Ô
Ó
Ò
Ø
Ó
Ò
Ó
º
Ø
Ö
Ñ
Ö
×
Ò
Ó
Ø
Ò
f ′ (s)
Ó
F
Ò
Ô
Ó
×
×
Ù
Ó
Ö
Ò
×
Ú
Ò
Ø
Ø
Ò
Ù
Ñ
Ñ
Ò
Ù
Ù
Ò
Ú
Õ
Ö
Ð
Ù
×
Ù
Ô
f (s) ds = 7
Ô
Ó
Ò
Ñ
Ó
Ô
Ø
Ó
Ó
Õ
×
Ò
Ù
Ø
Ó
Ñ
Ó
(x, y)
Ó
Ñ
y(θ)
Ð
Ö
Ü
Ó
Ó
Ò
Ô
Ö
Ó
Ð
Ó
Ú
Ð
Ó
Ö
Ó
Ò
Ù
Ð
− 3x + 2| dx
Ö
Ð
Ò
Ò
Ø
Ó
µ
Ð
f (s) ds = 3
×
Ó
¹
Ù
×
×
Õ
Ù
Ö
Ú
Ô
Ð
Ð
Ó
Ø
Ö
Ñ
dy 1 = dx 2x + 1
Ñ
Ñ
Ü
Ñ
Ó
µ
Ò
Ø
Ó
Ó
Ò
Ø
Ø
Ó
Ù
Ò
Ñ
Ò
Ø
(0, 1)
Ò
Ó
Ð
º
f (2x + 1) dx º
º
Ù
Ø
Ö
Ú
Ñ
Ò
y = f (x)
Ð
Ò
Ó
√x + 1 Ò
Ó
Ô
Ð
Ò
º
2
1 + x dx
Ð
y(0) = 3
Ó
Ö
Ô
−3
Ù
´
µ
µ
Ó
−1
´
Ú
Ô
Ò
Ò
0
y(π) = 5π
Ò
Ó
1
Ñ
Ó
Ñ
3
2
Ø
x
µ
0
Ñ
Ò
´
Ó
4
´
Ò
3
dy = cos(5θ) + 3 dθ
º
µ
Ó
Ø
Ö
Ó
º
−
Ø
x=2
t 1 dt 2 2 t +1 F
×
Ò
Ò
Ó
−1
∈R
Ö
Ó
3
x
Ò
dx
Ó
F (x) =
Ö
− 1)e
x 2
Ó
sen(t) dt t2
f (s) =
Ú
es ds s2 + 1
−
s2
Ü
×
Õ
2
Ó
log(et + t
1
´
f (x) =
µ
x
´
Ç
||
´
µ
−2
x x2
− 2x
dx
º
Ó
xy
´
´
Ü
Ø
Ö
Ê
µ
½
¼
º
´
Ò
Ø
µ
0
Ü
Ø
Ö
½
Ü
Ø
Ö
½
µ
½
´
º
¾
µ
Ë
´
Í
Ô
Á
Ò
Ø
Ø
Ù
Ó
×
×
Ó
º
´
´
×
µ
µ
×
Í
Ä
Ò
√
µ
´
µ
Ø
Ø
´
½
x log x dx
µ
√ log2
µ
3 sen(x)+4
e
´
Ø
×
×
Ö
Ù
Ô
Ü
Ò
⋆
×
Ø
µ
µ
√ √
sen x dx x
Ö
Ô
Ö
×
µ
´
´
µ
µ
µ
ex cos(ex + 3) dx º
√
´
µ
cos θ sen θ dθ
1
´
t dt t2 + 1
√
µ
0
º
´
Ó
Ô
µ
Ó
Ö
¸
dx −∞ (4 x)2
Ô
Ò
Ö
Ø
−
Ø
Ó
×
Ô
Ö
Ô
×
Ö
Ñ
Ù
Ð
J m =
×
Ó
m 1 Ö
º
Ú
I m = xm ex
Ö
Ö
Ù
Ö
×
Ö
Ñ
Ù
Ö
Ù
Ó
Ò
Ø
Ö
Ð
m 1
¸
Ô
− mI − .
xm cos x dx
Ó
Ð
Ö
Ð
Ù
Ð
Ò
Ó
Ø
Ó
Ò
m
I m =
Ø
Ö
È
Ø
Ö
Ò
Ø
−x
×
Î
cos x + mJ m−1
Ó
×
×
Ó
×
×
Ø
¸
Ð
Ö
Ó
Ô
Ó
Ö
dx (x2 + 1)m
Ô
¸
¸
Ö
Ñ
Ù
Ñ
Ð
Ò
Ø
×
º
×
senmx dx
×
Ó
×
Ö
Ò
Ø
Ò
Ø
Ø
×
Ö
Ô
Ö
Ó
Ð
Ñ
½
º
È
Ö
Ó
Ð
Ñ
¾
º
Ë
(x
−
Ù
Ð
Ô
Ù
Ó
Ð
Ò
dx a)(x
Ó
Ô
´
Á
Ò
Ø
Ö
Ó
Ô
Ó
dx −∞ x2 + bx + c
Õ
Ù
− b)
¸
Ú
Ö
×
Ö
Ñ
Ù
Ð
a=b
´
µ
Ö
−
Ù
Ó
Ò
Ø
Ö
Ð
Ö
Ð
Ö
Ð
Ù
×
Ð
b2
Ö
Ù
Ð
Ó
−
×
È
Ö
− 4c < 0.
dx x2(x a)
º
− −
−
Ò
Ø
Ó
−
Ù
I m =
Ó
Ô
2m 3 x + I m−1 2(m 1)(x2 + 1)m−1 2(m 1) 1 m 1 I m = senm−1 x cos x + I m−2 m m
Ó
Ö
×
µ
Ö
×
0
log2
(cos(2x))2 dx
ex dx ex + 4
π/2
log3
´
log x dx x
√ 1
xm sen x dx
Ó
Ñ
Ò
Ö
µ
´
2
Ø
È
cos(x) dx
π2
Ñ
x(log x)2 dx
4
+∞
´
3 x
4π 2
×
Ó
µ
1
Ñ
2
− mI − .
´
x e dx
xm ex dx
I m =
¸
Ð
Ò
I m =
×
Ó
Ö
º
Ë
Ò
½
Ë
Ê
Ó
log x dx x2
×
Ü
Ç
Ð
I m =
×
Ö
I m =
Ë
J m = xm sen x
º
µ
Ç
Ì
´
−
´
Æ
y2 dy 1 y
1
+∞
´
e1/x dx x2
1
Ë
√
µ
Ç
ex dx e2x + 2ex + 1
1/2
´
Á
1
´
x2 log x dx
µ
º
Ô
Ó
Ø
Ò
×
Ò
Ø
Ö
×
Ó
½
¼
È
Ì
Í
Ä
Ç
Æ
Ì
Ê
Ä
Ô
Ê
Ò
×
Ô
Ó
×
Ø
×
Ó
×
Ü
Ö
º
Ø
Á
Ü
º
Ú
Ö
½
Ò
Ò
Ø
Ù
Ó
Ü
½
Ñ
º
Ò
´
Ø
Ö
Ö
µ
Ú
Ö
Ð
Ð
Ó
Ð
×
Ó
Ó
×
×
×
Ñ
¸
Ó
×
º
Ò
Ø
Ù
Ò
Ú
Ó
Ó
Ü
Ô
Ñ
Ó
Ó
Ù
Ø
Ö
Ó
×
Ó
Ö
Ô
2
0
2
−1
−1
Ó
Ñ
×
Ó
¹
f (s)g(t) ds
dt =
= ( 3)7 =
−21.
−
Ó
(g(t)7) dt
−1
2π
Õ
Ù
0
Ñ
×
Ó
Ø
Ö
Ó
µ
Ò
Î
´
×
×
µ
Ö
Ð
×
Ò
Ó
Ó
Ò
Ð
Ñ
º
Ü
Ñ
Ô
Ð
Ó
sen x dx =
´
µ
Å
Ù
Ö
Ù
Ò
Ó
Ñ
Ù
Ñ
Ò
Ö
º
Ó
È
Þ
¸
Ò
Ó
Ö
Ô
Ø
Ó
Ð
Ö
Ñ
Ô
Ó
Ä
Ð
Ó
µ
×
Ö
º
Ø
Ñ
Ó
Ó
½
x
Ô
º
½
´
Ñ
Ó
¹
Ù
Ö
Ò
Ø
Ð
Ø
Ö
Ö
Ð
Ò
Ù
Ñ
Ò
¹
Ô
Ó
Ò
Ø
Ó
Æ
Ç
Ó
Ú
Ð
Ó
Ö
Ò
Ø
Ö
Ð
º
×
×
Ñ
2
f (x) dx = 5.
−1
h(x) dx =
−1
Ñ
Ó
2
º
0
sen(x)
×
´
Ò
F (0) = 0 F (1) = 2 F (2) = F (1)+1 = 3 F (3) = F (2) ¸
Ñ
Ö
Ó
Ò
Ø
Ó
Õ
Ù
Ó
Ú
Ð
Ó
Ö
Ò
Ø
Ö
Ð
×
Ö
Ñ
Ò
Ø
Ó
º
Ü
Ö
Ó
¿
º
´
µ
´
Ö
¸
Ö
Ø
Ò
Ù
Ð
Ó
µ
¸
1/2 = 5/2 F
Ó
−
º
Ü
Ö
Ó
¾
º
´
µ
È
Ð
Ò
Ó
Ô
º
½
¸
´
−1
2
−
f (x) dx =
2
´
6= Ñ
f (x) dx =
−5.
−1
Í
Ø
Ð
Þ
Ò
Ó
Ð
Ò
Ö
Ö
¸
5+2( 3) = 5
−
−
Ú
Ô
Ó
Ò
×
È
Ó
Ð
×
Ð
Ñ
Ø
Ò
×
Ó
Ò
Ø
Ö
Ô
º
½
Ó
µ
º
¸
Ò
Ø
µ
È
Ð
Ó
Ä
Ñ
½
2
Ô
º
½
¸
Ø
Ñ
0
(
)=
−1
Ù
µ
Ñ
Ü
Ô
Ô
Ö
Ò
Ø
Ó
Ñ
×
Ó
×
Ò
×
Ñ
f F
¸
Ô
Ö
Ó
×
×
Ø
Ú
Ñ
¸
Ô
Ó
×
(0, 2)
(2, 5) º
Ó
Ú
Ö
Ð
Ø
Ö
Ð
×
º
×
Ö
Ó
×
×
x=5
Å
Ó
Ö
Ð
¼
×
Ñ
Ö
×
Ñ
x=2
Ö
Ö
×
Ö
º
Ô
Ó
Ñ
Ò
Ó
×
Ò
×
Ñ
Ø
Ó
Ô
Ú
Ð
×
×
Ó
Ö
Ð
×
Ö
¹
Ñ
×
¹
2
´
µ
¸
Ü
Ö
)+
Ñ
¸
´
f (x) dx =
º
=5
µ
×
Ò
0
Æ
×
×
Ó
Ø
Ñ
¸
Õ
Ù
0
f (x) dx
−1
Ó
Ò
×
Ø
f (x) dx =
È
º
Ð
´
Ó
h′
h
Ò
Ø
Ò
Ó
h(2) =
µ
Ò
Ø
f (s)g(t) ds = g(t)
−1
Ì
Ù
¸
Ð
Ö
×
×
Ó
Ö
Ð
Ñ
Ù
Ò
º
Ü
¾
¼
½
¼
Ó
µ
Ñ
×
Ò
Ø
×
Ò
Ð
x +6 5 x
−
x<5 h x = 5
º
Ä
º
Ó
Ó
×
Ñ
Ô
Ó
Ó
Ð
Ó
×
Ø
Ð
Ú
º
Ñ
Ò
Ø
×
Ò
×
Ñ
Ó
h′ (x) > x>5
º
Ö
×
Ø
Ú
Ö
Ô
Ú
Ö
Ô
Ó
×
Þ
¸
Ö
Ó
º
x=5
Ü
Ö
Ó
º
È
Ð
Ó
Ó
− − −
Ö
Ó
Ð
Ö
Ó
¾
Ô
º
½
¾
¸
h(s) ds =
−1
Ü
Ö
Ó
− −
− −
º
º
´
µ
Ô
Ö
Ñ
Ø
Ú
x4 /2
9/2
− x3 + 5x
Ç
º
Ö
×
Ù
Ð
Ø
Ó
f (s) ds = g(t)7.
[0, 1] y 2 1 = 1 y2 2/3
−1
¸
´
−1
h′
(5 − x)5 ′ h (x) = 4
g(1) g( 1) = (Ke+B C ) (Ke−1 B C ) = K (e e−1 ) + 2B
y
¼
º
º
1
0
(. . .) = 0
µ
Ó
Ñ
Ñ
0
µ
Ð
´
−1
− 7 = −2.
g(t)
−
½
Ó
).
0
2
0
´
2
(
−1
2
2
(
´
ds
··· ··· ··· ×
×
x = 5
µ
Ñ
´
×
Ú
º
µ
´
−1 ´
´
µ
½
½
×
×
−
Ñ
µ
¸
Æ
Ó
Ò
Ø
y2
Ö
Ú
Ð
Ó
| − |
y 3 /3 º
−
º
Ä
º
Ç
Ö
×
Ù
Ð
Ø
Ó
Ó
Ó
¸
Ò
Ô
Ö
Ñ
Ø
Ø
Ú
Ú
Ó
º
º
Æ
´
Ì
µ
ý
Ö
Ê
Ä
Ó
Ö
½
Ø
Ò
Ù
Ð
Ó
´
Ó
Ñ
×
Ò
Ð
Ò
Ø
Ú
Ó
µ
−2
Ò
Ø
×
Ú
Ð
Ö
p
−1
º
´
Ó
Ö
µ
Ø
ý
Ò
º
È
Ö
Ó
Ù
Ä
Ð
1/2
Ö
Ð
Ó
Ó
Ñ
Ó
Ó
Ø
Ù
¾
º
´
Ö
Ð
Ò
Þ
Ø
Ô
¾
µ
Ñ
Ö
Ó
×
Ð
Ø
×
Ð
Ö
Ô
Ð
5/2
5/2
Ù
Ó
Ñ
Ò
Ó
×
Ö
Ø
Ö
Ò
Ù
Ð
Ó
Ù
Ð
Ò
Ø
Ö
Ð
µ
Ó
Ä
Ñ
Ó
×
Ö
´
Ñ
Ó
Ò
Ó
Ø
Ó
Ò
Ö
Ú
Ö
Õ
Ù
M
dx = M (b
Ò
´
µ
−1 º
Æ
Ó
Ò
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ò
Ø
¸
Ò
Ó
Ö
×
Ö
Ñ
Ñ
Ò
´
Ø
µ
Ô
¸
Ð
Ó
Ö
Õ
Ø
Ñ
Ø
×
Ó
Ù
Ò
×
Ö
Ð
Ú
Ò
− p
Ñ
Ô
Ð
Ø
Ð
sen(
Õ
¸
×
Ñ
Ù
Ù
Ñ
−4 º
×
Ù
Ð
Ò
Ò
Ó
Ñ
Õ
Ò
Ù
Ó
Ö
Ö
Ó
Ú
Ð
Ó
Ð
Ó
×
Ö
Ñ
)
Ø
Ñ
≥
Ø
Ö
Ó
Ð
Ö
Ô
Ñ
Ó
Ö
Ò
Ü
Ð
Ó
Ó
Ò
Ø
−
Ò
Õ
È
Ö
Ó
Ð
×
Ù
Ñ
Ö
Ó
Ú
º
Ð
´
×
Ö
Ö
Ø
Ú
Ö
Ñ
×
Ó
Ø
Ú
x1− p 1 p
º
×
×
Ö
×
Ñ
Þ
×
º
È
Ö
Ñ
Ø
Ó
¸
Ò
−
µ
µ
Ë
Ù
×
Ø
Ø
Ù
1 p
−
Ë
Ù
×
Ø
Ø
Ù
Ü
Ó
Ó
Ô
Ó
Ð
Ð
×
Ö
Ò
Ó
Ò
Õ
Ø
Ø
Ó
Ñ
Ø
¸
Ö
Ù
×
º
Ù
√k
u=
− 3 x2
u=1
Õ
Ä
− p > 0
C.
Ó
1
Ö
º
1
µ
C
Ó
º
Ð
p < 1
Ô
−
Ô
k 1− p +lim p k→0 1 p
Ö
Ô
1
´
Ú
´
Ñ
Ú
0
Ø
º
Ó
Ø
Ú
º
log log e = 1 m =
Ñ
[e, 5e]
Ó
Ø
M dx = 1
− a)
a
Ó
a
b
Æ
1 ×
µ
º
b
− 2 + 1/2 = 2
º
´
¿
1
p > 1
Ê
Ê
√
2sen( k)+
−√1 − 3 x2 +
u = 3x+1 z=x
º
´
m(6e È
Ö
Ó
− e) = 5em = −20e
Ð
Ñ
¿
º
Ò
Ò
Ó
x
h(x) =
sen(t2 ) dt
Ô
µ
Ó
×
Ù
Ñ
Ö
Ñ
Ó
×
Ø
Ö
Ñ
Ò
Ö
Ö
Ú
×
Ò
Ø
Ö
Ö
Í
Ø
Ð
Ó
Ð
Ì
Þ
Ó
Ö
Ò
Ñ
Ó
Ö
º
¾
Ö
Ô
º
½
½
´
Ì
¸
µ
¸
Ú
Ä
Ó
È
Ó
Ö
¸
Ó
Ð
º
Ñ
º
È
Ð
Ó
Ì
Ó
Ö
Ñ
º
¾
Ô
º
½
½
´
Ð
Ö
Ö
º
Ö
Ø
Ä
Ø
Ó
Ò
Ó
¸
¸
Ì
µ
Ø
Ò
Ø
Ò
Ø
µ
Ö
Ë
Ö
Ù
Ð
Ò
×
Ó
Ø
Ø
Ó
Ø
Ô
Ô
Ù
Ó
Ó
×
×
Ó
×
Ô
Ù
Ó
Ö
Ô
´
Ò
Ø
µ
Ö
Ë
Ù
Ð
×
Ó
Ø
Ø
Ø
Ô
Ñ
Õ
Ù
Ú
Ó
Ù
Ö
×
Ô
Ø
Ö
Ø
Ö
Ó
Ò
Ø
Ù
Ø
×
µ
Î
Ó
Ø
Ö
Ô
¸
Õ
Ù
Ø
Ó
Ò
Ó
Ó
Ñ
Ô
Ó
Ú
Ö
Ò
√ u = t
×
º
Ê
Ó
Ô
Ö
Ø
×
Ó
×
Ø
)e
º
Ù
Ê
Ü
Õ
º
3
Ö
Ö
Ö
Ó
Ô
Ñ
Ð
×
Ó
Ó
Ð
Ñ
Ú
x
Ó
Ú
+ C
Ö
Ø
Ò
Ö
×
x log(x) 2
Ô
×
Ù
º
√
9
¸
Ö
Ó
2(
Ø
×
√ 3 x−1
u log u du
º
´ Ó
Ò
ueu du
2 + sen(x
º
2x cos(x2 − π) ′ y (x) = + 2
Ò
´
− π) √ √ ′ 2 cos(x ) y ( π) = π √ √ y − log(2) = π(x − π) √ y = πx + log(2) − π Ô
Ø
− 3x cos(3x + 1) + C. 9 √ u=3 s
Ö
sen(3 x + 1)
R:
º
È
º
º
Ö
dw = sen(u)
0
Ù
¸
g(x) = h(e2x ) h′ (x) = sen(x2 ) g(x) = 2 ′ ′ ′ 2x 2x 2x 2 x h(e ) g (x) = h (e )(e ) = sen( e )2e2x . g′ (x) = sen(e4 x )2e2x Õ
Ú
Ô
Ù
Ö
Ö
Ñ
×
Ó
Ð
¹
− x + C º
Ò
½
¼
Ù
´
Ò
Ø
Ö
Ö
Ô
Ó
Ö
Ô
Ö
Ø
×
Ù
×
Ú
Þ
×
×
Ù
×
µ
º
º
y
È
Ö
Ó
Ð
Ñ
º
´
µ
Ò
H (y) =
3
et dt G(k) =
k
2
cos(1+s ) ds
º
Ó
Ö
Ô
Ð
Ó
Ì
´
¸
3 H ′ (y) = ey
4
º
×
×
Ñ
G(H (y)) f ′ (1) = G′ (H (1))H ′ (1) f ′ (1) = cos(1)e ¸
Ó
G′ (k) = cos(1 + k2 )
Ä
Ó
¸
Ô
Ð
Ö
Ö
¸
Ó
Ñ
Ó
Ó
Ñ
Ò
Ø
µ
Ì
Ó
Ö
Ð
Ó
Ò
Ö
Ô
Ó
Ñ
Ó
H (1) = 0
×
Ù
×
µ
µ
Ò
J (x) =
5
×
Ñ
¸
g(y) =
Ð
Ó
Ì
¸
¹
¸
eu sen(u) du º
Ò
½
¼
´
º
×
È
×
Ö
Ñ
Ó
¸
Ð
Ñ
º
´
Ä
Ó
Ó
¸
µ
Ë
Ù
×
Ø
Ø
Ù
Ô
1
Ð
Ó
Ò
Ø
Ñ
Ò
Ø
Õ
Ø
Ö
Ú
×
Ù
Ð
Ñ
Ð
p
Ò
log(t3 + 1) dt
Ò
Ò
Ø
Ø
Ö
Ö
Ð
Ò
Ó
Ø
Ó
Ô
Ô
Ó
Ó
1 p
−
Ô
Ð
Ó
´
Ú
Õ
Ò
Ù
Ö
Ñ
Ø
Ú
Ö
Ò
Ð
1
Ø
º
x1− p 1 p
º
Ä
Ó
Ó
Ú
− p
×
Ó
º
×
×
Ö
Ô
Ó
Ó
Ö
Ö
Ø
Ø
Ó
¸
Ö
Ò
Ô
Ø
Ò
Ó
Ö
Ø
Ø
Ñ
×
Ó
×
Ó
Ù
Õ
Ü
×
Ù
Ú
Ñ
¹
Þ
×
Ô
Ö
Ö
Ñ
×
Ø
×
º
Ê
È
Þ
×
Ö
Ñ
Ó
¸
Ò
Ö
µ
Ø
µ
Ë
Ù
×
Õ
Ó
Ù
Ü
Ó
Ô
Ø
Ø
Ù
u = ex
¹
Ö
Ö
Ó
Ð
Ñ
º
´
µ
È
Ö
´
´
µ
È
Ö
Ñ
Ø
Ú
¸
Ð
×
Ö
Ô
Ó
×
Ó
Õ
Ù
Ú
Ö
×
9
º
Î
Ó
Ø
Ö
arctan(ex ) + C
1 p < 0
−
Ø
Ö
Ù
Ö
Ö
×
Ó
Ð
Ñ
Ú
+C º
du = 1 + u2
º
Ê
Ó
√ √ 2 (3 s − 1) e3 s
¸
º
È
º
arctan u
−
1
º
N 1− p
N →+∞
×
Ø
ueu du
Ö
8
+ lim
−1
Ø
Ö
Ò
È
− √ u=3 s
´
µ
Î
Ó
º
Ä
º
´
º
y
−J (y) =
g′ (8) = 0
×
y
5
g′ (y) =
J (x) dx
y
Ô
º
− −
J (x) dx =
R:
log(t3 + 1) dt
8
º
º
x (sen (log (x)) cos (log (x))) + C 2
º
eu
¸
º
´
x=
Ñ
C du = dx/x
º
x
Ó
f (y) =
f ′ (y) = G′ (H (y))H ′ (y) Ô
¸
u = log x dx = eu du
1
Ê
2/5 e2 x cos(x) + 1/5 e2 x sen(x) +
µ
È
Ö
Ñ
Ø
Ú
− −
Ñ
Ø
Ú
−
e−x 2
2
1
Ê
(3s + 1)e−3s 9 1 1/2 2(log x)2 Ê
º
Ê
− 1/e 2 1 − 4e−3 9
º
º
½
È
Æ
−2 se−1/2 s − 4 e−1/2 s 4 √ 2(ex + 1)3/2 (16−4 2)/3. 3
´
µ
È
µ
Ö
È
Ö
Ñ
Ñ
Ø
Ø
Ú
Ú
Ê
´
È
Ö
Ó
µ
Ð
Ù
1 ds È
Ö
Ó
¸
Ú
Ø
º
Ê
Ó
Ö
Ø
Ñ
Ö
Ö
Ò
Ø
Ö
−
Ñ
¼
Ø
º
´
Ð
Ú
Ð
Á
Ø
Ö
Ð
Ê
Ð
Ø
Ø
½
−2
Ó
Ó
Ò
½
Ø
Ø
Ö
×
Ò
Ó
Ñ
Ó
Ó
Ó
Ø
Ñ
Ë
È
Ç
Ë
Ì
Ë
Ç
Ë
¸
Ò
Ø
Ö
Ò
Ó
¸
Ó
Ø
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
Ê
Á
Ç
Ë
−
¸
Ó
Ñ
Ó
−
º
Ä
Ó
Ó
¸
º
¿
Ñ
Ö
Ä
Ö
Ó
Ó
Ü
Ø
Ö
Þ
Ô
×
s−1
−
2
Ê
Ö
Ñ
Ó
×
Õ
ds
Ø
Ö
×
½
º
È
Ð
Ö
Ó
Ó
Ð
Ñ
Ó
Ì
¸
x = kπ
Ñ
Ð
Ø
Ù
Ò
Ñ
Ë
′ (x) = sen(x) x k ∈ Z∗ ′ (0) = 1
Ó
Ñ
Ò
´
Ø
Ð
¸
Ë
×
º
Ñ
Ó
µ
e
Ù
Ñ
Ü
Ñ
Ó
Ó
Ù
Ñ
Ò
Ñ
Ó
Ø
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
Þ
º
È
Ú
Ö
Ö
Ó
Ö
Ú
¸
Ô
×
Ó
×
Ö
Ö
0
Ú
Ú
Ñ
−
Ö
Ó
Ü
Ø
×
Ö
Ø
Ø
×
Ö
Ó
Ñ
Ô
Ó
Ü
×
Ñ
Ó
×
×
Ð
È
Ö
¾
º
´
µ
È
Ð
Ó
Ì
Ö
Ú
¸
×
Ô
Ó
×
Ò
Ñ
Ó
Ø
Ñ
Ó
×
Ø
Ö
Ó
×
×
º
Ö
È
Ó
×
Ò
Ö
Ñ
Ð
∈N
Ü
Ñ
Ó
×
º
Ô
Ø
Ó
x<0 x = 2kπ k º
Ñ
×
∈N
f ′(x) = log(ex + x
···− 1
2 1)ex
º
Ò
×
k
Ó
¸
Ô
x> x = 2kπ + π
Ð
s−1
e + e−3
×
Ó
1
Ü
−
1 e
−2
−s s − es−1 − s
Ò
Ø
º
×
º
−
Ê
º
Ê
×
×
√
−
√
µ
Ò
º
º
1
Ù
es−1
−
Ñ
Ò
Ê
½
Ø
Ù
Ô
Ô
×
Ú
Ë
Ò
Õ
×
−
µ
Ø
log(2)/2
2 2(1 + 1/x)3/2 3
¾
Ñ
Ú
´
Ô
º
Ù
Ð
Ó
Ö
×
Ú
Ô
Ñ
Æ
Ø
µ
Ø
Ø
−
Ñ
Ö
Ë
½
es−1
Ñ
µ
´
Ò
È
−
´
Ö
37 2. 24 0 2 2 x) 2 x (x 2) 24 1/2 log s log s (3log(2) 1)/2 y e 1 > 0 y > 0 1>0 s 1>0
µ
x2 (2
È
º
log(1 + x2 )
´
Ê
f (x) = 3ex + C f (0) = 1 = 3 + C C = 2 f (x) = 3ex 2
º
´
º
Ä
Ó
Ó
f ′ (1) = e
¸
º
Ó
Ñ
Ó
f (1) = 0
(
´
)=
1
0 y = e(x 1) 4x3/2 + 6 x y(x) = + C ex h′ (x) = 2 h′ (2) = 3 x +1 y(1) = 10/3 + C = 0 C = 10/3 2 e 3/2 4x + 6 x 10 h(2) = 7 y 7= y(x) = 5 3 3 e2 u = x2 + 1 (x 2) 2 5 x +1 e y y(x) = + C y(1) = sen(t) 2 h(y) = dt 2 2 2 x +1 t e2 e e 0 + C = e2 C = y(x) = + f (s) = h(s2 ) h(s) h′ (y) = 2 2 2 sen(y) e2 f ′(s) = 2 y 2 2 2 ′ (s2) h′ (s) = 2s sen(s ) sen(s ) 4x3/4 2sh 32/3 s4 s4 3 u = log x F ′ (x) = 1 x2 1 1/2 F ′ 2 2log2 x x +1 u = 3 2ex 3 2ex log3 F x > 1 x < 1 F 2 2 ( 1, 1) 4x ′′ (x) = F 0 (x2 + 1)2 2 x e x > 0 x<0 log(x9 + 3) 1 lim x→+∞ 2xex2 x=1 1 2x 9x8 x = 1 lim x→+∞ (x9 + 3)2xex2 u = 2x + 1 du = 2dx x=0 u=1 x= 1 u= µ
º
Ó
Ñ
Ó
Õ
Ù
Ö
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
¸
Ö
√
´
µ
Ë
Ù
×
Ø
Ø
Ù
−
º
Ó
×
Ñ
¸
Ø
Ò
Ò
Ø
−
º
µ
È
Ð
Ó
Ì
¸
º
Ä
Ó
Ó
¸
º
º
×
Ó
Ñ
Ó
¸
Ö
Ø
Ø
Ò
Ò
Ø
−
º
º
Ø
´
−
¸
Ñ
Ó
Õ
Ù
Ö
Î
Ñ
Ó
Ñ
×
Ó
Õ
Ù
×
Ó
Ø
Ö
−
º
Ü
Ø
Ö
¿
º
Ë
−
¸
º
×
×
Ñ
¸
º
×
×
´
Ñ
¸
Ô
Ô
Ð
Ó
Ö
Ö
Õ
º
Ù
Ö
µ
º
È
Ð
Ó
Æ
Ì
Ó
Ø
¸
º
Õ
Ù
º
−
º
È
Ö
Ó
Ð
´
Ñ
µ
Ì
½
Ó
½
Ñ
º
´
µ
Ô
Ö
Ñ
Ø
Ú
Ê
×
Ù
×
Ø
Ø
Ù
Ó
º
Ö
Ñ
Ø
´
Ô
Ö
Ú
µ
Ì
Ñ
Ó
Ø
−
Ñ
Ú
Ê
− −
Ü
Ö
Ó
Ð
Ñ
½
¾
º
´
µ
Ö
×
Ù
×
Ø
Ø
Ù
Ó
º
Ó
Ø
Ó
Õ
Ô
Ù
Ó
Ó
Ú
Ò
Ø
Þ
×
Ò
Ñ
Ò
Ö
³
À
Ó
×
Ô
Ø
Ð
º
Ö
Ú
Ø
Ø
Ò
Ð
Ç
Ó
Ì
×
Ò
Ó
Ö
Ð
Ñ
º
×
¾
Ö
Ô
º
Ø
½
½
Ö
´
Ñ
Ì
Ò
µ
Ó
Õ
Ù
Ø
Ö
Ø
¹
×
Ù
Ñ
Ð
Ñ
Ø
Ó
Ö
º
Ð
×
Ô
×
Ó
Ö
Ñ
¸
×
Ô
Ö
Ó
Ú
Ò
Ñ
Ó
Ó
×
Ó
Ô
Ñ
Ð
Ó
Ö
Ô
Ó
×
Ó
µ
Ö
×
Ò
Ó
Ö
×
Ó
Ò
Ø
Ö
Ð
Ó
Ñ
Ó
Ì
Ó
Ð
Ó
Ò
Ù
¹
Ñ
Ò
Ó
Ö
×
Ñ
Ô
Ö
Ô
Ó
Ò
Ø
Ñ
Ò
Ø
Ñ
−
×
Ø
−
Ú
Ó
º
º
µ
º
×
×
Ñ
Ó
Ò
Ú
¹
Ø
Ó
¸
Ô
Ö
Ä
Ó
º
´
Ò
Ø
È
º
Ê
Æ
º
´
−
È
Ø
º
−
º
Ô
−
¹
Ô
Ö
Ñ
Ñ
Ô
Ö
Ü
Ó
Ñ
º
´
µ
Ö
Ú
Þ
Ö
Ó
Ñ
±
º
Ñ
Ó
×
Õ
Ù
Ó
Ð
Ñ
Ø
Ù
Ð
Ó
Ð
Ñ
Ø
Ð
Ó
Ð
Ó
Ò
Ó
Ñ
Ú
Ò
Ô
Ð
Ò
Ó
Ä
³
À
Ó
×
Ô
Ø
Ð
Ó
Ð
Ñ
Ô
Ó
×
Ó
Ò
º
Ú
Å
×
Ó
Ñ
Ó
Ò
Ö
Ñ
Ó
Ô
Ö
Ñ
−
Ó
Ò
Ò
×
Ø
Ô
Ó
Ó
Ò
Ò
Ø
Ú
Ó
º
Ç
Ñ
Ü
Ô
Ö
Ñ
Ó
Ð
Ó
Ü
Ó
º
Ð
Ñ
º
Ñ
×
Ù
Ñ
Ú
Þ
Ú
Ñ
Ó
×
Ó
Ø
Ö
Ó
Ð
Ñ
Ø
º
Ó
Ö
Ó
Ñ
Ó
Ü
Ô
Ó
Ò
Ò
Ð
Ú
Ñ
×
Ö
Ô
Ó
Ô
Ö
Ò
¹
Ü
Ø
Ö
º
Ì
Ó
Ñ
º
Ò
Ø
Ó
−
¸
Ä
Ó
Ó
Õ
Ù
Ò
Ó
Õ
Ù
Ò
Ó
0
Ò
Ø
Ó
Õ
Ù
Ô
Ó
Ð
Ò
Ñ
Ó
´
Ó
Ù
Ô
Ð
Ò
Ó
Ä
³
À
Ó
×
Ô
Ø
Ð
Ù
Ñ
×
−1
º
Ú
Þ
´
Ó
Ø
Ñ
×
Ñ
µ
Ó
×
Õ
Ö
Ù
×
µ
Ú
¸
Ò
Ó
Ò
Ó
Ó
Ð
×
Ù
Ñ
Ó
Ó
×
×
Õ
Ð
Ù
e−x f ′(x) = 3
Ó
Ó
Ó
×
Ù
¸
Ð
Ù
Ø
Ñ
Ð
Þ
Ø
Ú
Ò
Ó
Ð
¼
Ó
f ′ (x) = 3ex
Ì
º
¸
×
¹
Ó
Ó
¸
f (2x + 1) dx =
−1
Ó
Ö
¸
Ô
Ð
×
Ô
Ö
Ó
Ô
Ö
×
Ò
Ø
Ö
Ð
¸
¸
f (u) du/2.
−1
º
Ä
1
1
3
3
− =
−1
−1
1
º
