Cálculo Diferencial ACastilloN

secretaría de educación pública subsecretaría de educación media superior

dirección general de educación tecnológica industrial

CÁLCULO DIFERENCIAL ing. armando castillo nieves

componente de formación básica academia de matemáticas loreto, zacatecas. enero de 2009

Ing. Armando Castillo Nieves

contenido 1. pre-cálculo. 1.1. antecedentes históricos. 1.2. números reales. 1.3. sistema de coordenadas lineales y rectangulares. 1.4. desigualdades. 1.5. intervalos. 2. funciones. 2.1. domino y contradomino 2.2. clasificación. 2.3. operaciones. 2.4. comportamiento. 3. límites. 3.1. límite de una función. 3.2. propiedades. 3.3. continuidad de una función. 4. derivada. 4.1. razón de cambio promedio e interpretación geométrica. 4.2. derivación de funciones. 4.3. fórmulas de derivación. 4.4. derivadas sucesivas. 4.5. comportamiento.

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1. pre-cálculo. 1.1. antecedentes históricos. de cómo se gestó y vino al mundo el cálculo infinitesimal newton

( 1 642 - 1 727 )

leibniz

( 1 646 - 1 716 )

del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. el cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que arquímedes realizó en el siglo iii a.c. aunque hubo que esperar mucho tiempo, hasta el siglo xvii, ¡2000 años!, para que apareciera -o mejor, como platón afirmaría, para que se descubriera- el cálculo. varias son las causas de semejante retraso. entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado -en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. todo ello ocurrió principalmente en el siglo xvii. ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. ya se vislumbra de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal del cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa Cálculo Diferencial

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paradoja de zenón sobre aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. ese alguien fue aristóteles. lo que hizo fue prohibir el infinito en acto "no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio", escribió, pero añadió "es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles" de manera que el infinito "existe potencialmente [...] es por adición o división". así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. fue eudoxio, discípulo de platón y contemporáneo de aristóteles quien hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas. eudoxio postuló que "toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada". es el famoso principio de arquímedes que éste toma prestado a eudoxio y que sirvió a aquél para superar la primera crisis de las matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-. no obstante, fue arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 ... la genial idea del siracusano fue considerar las áreas como una colección necesariamente infinita- de segmentos. habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. de hecho leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de pascal donde éste usaba un método semejante. la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de arquímedes tuvo gran influencia en el nacimiento del cálculo. -ya en el siglo xvii se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas. también ayudó al surgimiento del cálculo los cambios de actitudes en la matemática del siglo xvii quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todos tipos -geográficos, científicos, médicos y tecnológicos- que fue el interés de los matemáticos por descubrir más que por dar pruebas rigurosas. ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas. y finalmente, el descubrimiento de la geometría analítica de descartes y fermat. la primera parte del siglo xvii vio el nacimiento de la geometría analítica de fermat y descartes. la importancia de este descubrimiento consiste Cálculo Diferencial

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en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. de esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos, y específicos para cada curva, procedimientos geométricos. como ya mencionamos, en el siglo xvii los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos que los griegos les habían tenido: kepler y cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. el primer paso importante se debe a cavalieri -discípulo de galileo-. cavalieri considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mecánico -y desconocido en aquella épocade arquímedes. cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no consiguió ya que el infinito en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-. las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rápidamente superados por torricelli, fermat, pascal, wallis y roberval. otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, grégoire de saint-vicent, jesuita discípulo de clavius. sus principales aportaciones las publicó en su opus geometricum. en ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de zenón sobre aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que zenón no consideró en la persecución de aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. una de las aportaciones más valiosas de saintvicent consistió en su hallazgo de que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos. nuestro próximo personaje es john wallis, miembro fundador de la royal society de londres y editor de obras de arquímedes que además escribió una gramática inglesa. wallis aritmetizó los indivisibles de cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso de límite haciendo además un uso "descarado" del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado ( ∞)-. es curiosa la opinión que él mismo Cálculo Diferencial

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profesaba de sus métodos: "este procedimiento es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido método de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce náuseas al lector. cualquier ducho en la materia puede realizar la prueba", escribió en su arithmetica infinitorum. usando su método aritmético, la inducción incompleta, y su intuición llegó a calcular el área de todas las parábolas generalizadas   con r racional excluyendo al −1, además de una bellísima fórmula para calcular  = . el trabajo de wallis influyó enormemente en newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo se originaron en su estudio del libro de wallis en la época de estudiante en cambridge. el mismo wallis propone una genealogía del cálculo: método de exhausión (arquímedes) método de los indivisibles (cavalieri) aritmética de los infinitos (wallis) métodos de las series infinitas (newton) dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas constituyeron la base del cálculo. en la parte central del siglo xvii, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo xviii, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. como hemos mencionado saint vincent, pascal, wallis, ... siguieron los pasos de kepler y cavalieri; además de los infinitésimos cada vez se usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. si isaac barrow, el maestro de newton en cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. en efecto, la geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes. uno de ellos fue el método de adigualdades de pierre fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor a un puesto de honor como precursor del cálculo. newton, en una carta descubierta en 1934, escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: "la indicación me la dio el método de fermat para las tangentes. aplicándolo a las ecuaciones abstractas directa e inversamente, yo lo hice general".


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relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del siglo xvii el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. el primero en plantear un problema de este tipo fue florimond de beaune, discípulo de descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. el propio descartes lo intentó sin éxito siendo leibniz el primero en resolverlo en la primera publicación de la "historia sobre el cálculo infinitesimal". de hecho un elemento esencial para el descubrimiento del cálculo fue el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos; es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy llamamos teorema fundamental del cálculo. newton en su célebre frase "si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí en hombros de gigantes" se refiere entre otros a su maestro y mentor isaac barrow. barrow fue probablemente el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marchó de su cátedra en cambridge, cediéndosela a newton para continuar sus estudios teológicos-. en la lección x de su obra letiones opticae & geometricae barrow demuestra su versión geométrica del teorema fundamental del cálculo. en el último cuarto del siglo xvii, newton y leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación- y mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo infinitesimal. para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc. que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo. el primero en descubrirlo fue newton, pero su fobia por publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba inglaterra. de hecho su primera obra sobre el cálculo, de analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro barrowfue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. la segunda obra de newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 después de escrita!. se trata de de methodis serierum et fluxionum. Cálculo Diferencial

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en ella newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencionado teorema fundamental del cálculo-. para demostrar la potencia de su cálculo newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores. una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente es ¿por qué newton tardó tanto en publicar sus resultados? a parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus contemporáneos, newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. este temor también está patente en su obra cumbre: los principia, donde optó por un lenguaje geométrico más riguroso -y oscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única mención del mismo en el lema ii de la sección ii del libro ii: la regla para derivar productos-. leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. su descubrimiento fue posterior al de newton, aunque leibniz fue el primero en publicar el invento. lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas, el acta eroditorum, que el mismo había ayudado a fundar eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos científicos-. durante una estancia en parís -ya que era un afamado diplomático- leibniz conoce a huygens quien le induce a estudiar matemáticas. en 1673, luego de estudiar los tratados de pascal, leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de newton si lo publica en las mencionadas actas con el título "un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". en este artículo de 6 páginas e incomprensible como él mismo luego reconoce- leibniz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su cálculo Cálculo Diferencial

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diferencial -"un enigma más que una explicación" dijeron de él los hermanos bernoulli. también leibniz resuelve el ya mencionado problema de de beaune encontrando que la solución era el logaritmo. el siguiente artículo de leibniz se llamó "sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las actas eroditorum en 1686. en él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos -en el primero introduce la notación "dx " para la diferencial-. como colofón a estas páginas dedicaremos unas líneas a tratar la mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo. las suspicacias entre newton y leibniz y sus respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los mismos. newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que leibniz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. si el de newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite, el de leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del análisis no estándard de abrahan robinson. la polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo xvii: por un lado leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de newton -que el mismo newton le había indicado que existía en sus epistolae : expistola prior y posterior, sendas cartas dirigidas a leibniz. en ambas newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema del binomio- su método de cálculo.- además en holanda -como le aseguró wallis a newton- se atribuía el cálculo a leibniz, eso sin contar que los discípulos de leibniz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el analyse des infiniment petits que redactó el marquéz de l'hospital a partir de las clases particulares que le dio juan bernoulli. la respuesta de los seguidores de newton no se hace esperar. primero el propio newton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas de wallis la correspondencia cursada con leibniz, las epistolas prior y posterior donde éste pedía a newton le enviase Cálculo Diferencial

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resultados sobre series, luego fatio de duillier, amigo de newton, acusa a leibniz de haber plagiado a newton y como no, en su ya mencionada de quadratura curvarum, newton alega "en una carta escrita al sr. leibniz en 1676 y publicada por wallis, mencionaba un método por el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilíneas [...] hace años presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión". la respuesta de leibniz no se hizo esperar. en una reseña del de quadratura curvarum, publicada anónimamente aunque era fácil reconocer a su autor: leibniz - en 1705 en las actas se dice "para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. los elementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el dr. gottfried wilhelm leibniz en estas actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y por los drs. y hermanos bernoulli y por el dr. marquéz de l'hospital. en vez de las diferencias leibnizianas, el dr. newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones". esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra leibniz desde las philosophical transactions firmado por john keill quien acusa abiertamente a leibniz de plagio. tras la protesta de leibniz la royal society nombra una comisión que resultó estar plagada de amigos de newton - que luego de varias deliberaciones dictaminó que newton fue el primero y no acusó a leibniz - aunque tampoco rectificó las duras palabras de keill-. esta absurda guerra duró hasta principios del siglo xix cuando finalmente los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación leibniziana, que hasta el momento habían ignorado. como apéndice a nuestra exposición vamos a relatar, a modo de realzar la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por newton y leibniz: el problema de la braquistocrona. el problema consistía en determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal. este problema ya interesó en su día a galileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para ello se precisaba del cálculo-. la historia es como sigue. en el número de junio de 1696 de las actas eroditorum, juan bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del mundo. en realidad era un reto encubierto a newton. al cabo del año -el plazo original fue de seis meses pero a petición de leibniz se amplió para Cálculo Diferencial

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que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde- aparecieron cinco soluciones: una de leibniz, una del mismo juan bernoulli, otra de su hermano jacobo bernoulli, una del marquéz de l'hospital y una anónima. todas, excepto la de l'hospital daban con la solución: la cicloide. ¿quién era ese autor anónimo que escogió las philosophical transactions para publicar su genial solución que sólo contenía 67 palabras?. un vistazo a la solución fue suficiente para que juan bernoulli exclamara "tanquam ex ungue leonen", algo así como "¡reconozco al león por sus garras!" pues claro está que era newton. años más tarde se aclaró toda la historia. como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. además, en una carta de leibniz a juan bernoulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo -newton entre ellos claro está-. como no podía ser de otra forma el reto llegó a newton aunque por aquel entonces ya no "hacía ciencia" sino que trabajaba en la casa de la moneda inglesa. según cuenta la sobrina de newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la casa de la moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que newton ya había pensado en ese problema unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la memoria ese día-. nuevamente aparece la misma pregunta: si newton ya había resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dió augusto de morgan "cada descubrimiento de newton tenía dos aspectos. newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho".


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“el crucigrama de la vida” complete el siguiente crucigrama, llenando los espacios en claro a partir de la respuesta correcta de las aseveraciones verticales y horizontales, iniciando en el punto señalado en cada una de ellas. a

b

c

d

e

f

g

h

i

j

k

l

m n

o

p

q

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 verticales. 2-a. se le debe la definición moderna de limite. 1-l. introdujo la notación y f  x  . 2-n. establece la idea de representar los puntos del plano por pares de números reales y las curvas en el plano por ecuaciones. 9-l. concibió el método de las fluxiones y considera a la curva como un punto en movimiento 10-d. junto con newton contribuyo en forma decisiva en los inicios del calculo. 

horizontales. 2-c. es conocido por sus contribuciones a diversas áreas de las matemáticas, anticipo muchos resultados relevantes. 4-e. prueba el teorema del valor medio. 6-a. introduce el concepto de función continua, donde establecía que cambios infinitamente pequeños en y eran el resultado de cambios infinitamente pequeños en x


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7-k. su contribución inicial fue en la representación de funciones por series de potencias. 8-a. fue el primero en utilizar la palabra función, para denotar cualquier cantidad relacionada con una curva. junto con newton son considerados los creadores del calculo. 9-f. sus principales contribuciones fueron en ecuaciones diferenciales, uno de sus principios mencionan que al crecer n la longitud del subintervalo más grande tiende a cero, hecho clave en el desarrollo de las integrales definidas. 11-c. se le atribuye la introducción del símbolo , utilizado para denotar al infinito. 12-g. se le atribuye el teorema “los extremos relativos solo ocurren en los números críticos”. 14-o. el método de descomposición en fracciones simples para la aplicación de las formulas básicas de integración. en caso de requerir mayor información, consulta otras fuentes para completar tu crucigrama. investiga la bibliografía de los siguientes personajes:

 rene descartes (1596-1650), _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  gottfried wilhelm leibniz (1946-1716) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  leonhard euler (1707-1783) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________


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 leonhard euler (1707-1783) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  peter gustav dirichlet (1805-1859) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  augustin louis cauchy (1789-1857) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ____________________________________ _____________________ ________________  isaac newton (1642-1727) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  isaac barrow (1630-1677) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  pierre de fermat (1601-1665) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _______________


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 joseph-louis lagrange (1736-1813) ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ________________________________________

 georg friedrich bernhard riemann (1826-1886). _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  blaise pascal (1623-1662) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  john wallis (1616-1703) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  john bernoulli (1667-1748) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________  joseph fourier (1768-1830) _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________


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1.2. números reales. la matemática es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo. la matemática es como un juego, y para entender un juego hay que conocer las reglas del mismo. como es muy antigua, por lo tanto, se ha tenido muchísimo tiempo para armar "las instrucciones de cómo jugarla". si existen reglas, es lógico pensar que existen elementos, cosas, que obedecen esos mandatos. dichos elementos se conocen con el nombre de conceptos primitivos, conceptos que no podemos decir qué son, sino qué se hace con ellos. la matemática puede describirse como una construcción edilicia cuyos cimientos están representados por axiomas, afirmaciones que aceptamos sin discusión. por ejemplo, el punto y la recta son conceptos primitivos, indicando que "por un punto pasan infinitas rectas" estamos enunciando un axioma. en base a los axiomas se pueden "construir" propiedades, a las que denominamos teoremas, afirmaciones cuya validez puede probarse, deducirse lógicamente. de estas propiedades se deducen otras, y así sucesivamente hasta quedar armada una intrincada red. de la misma manera que no se puede entender una película a la que empezamos a ver por la mitad, no podemos entender (apreciar ni disfrutar) del poder de las matemáticas. así que comencemos por lo básico. Conjuntos los conjuntos son conceptos primitivos, podemos imaginar lo que son; una totalidad, una reunión de cosas. ¿qué hacemos con ellos? comencemos por conocer la reglamentación básica: a todo conjunto se le da un nombre que siempre es una letra mayúscula. los elementos que lo forman se representan mediante letras minúsculas. podemos dibujarlo o escribirlo. para dibujarlo utilizamos una línea cerrada, que llamamos diagrama de venn. para escribirlo empleamos un par de llaves "{" entre las cuales indicamos los elementos que pertenecen al conjunto separándolos, uno de otro, con ";".


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hasta este momento sólo hemos nombrado los elementos que componen al conjunto, lo hemos definido por extensión. pero podemos indicar "la característica" de esos elementos, buscar en dos o tres palabras, como máximo, lo que distingue a ese conjunto de elementos, de esa manera estamos definiendo al conjunto por comprensión. pongamos un ejemplo: si definimos por extensión escribimos: a = {a; e; i; o; u} por comprensión se escribe: a = { x / x es una letra vocal} este conjunto está compuesto por letras, cada una de éstas tienen una característica en común, cada elemento es una vocal. es importante distinguir que como nos referimos a cada elemento que compone el conjunto, hablamos en singular. conviene, entonces, utilizar una letra a manera de "nombre" para no tener que estar indicando (escribiendo a cada momento) "que el elemento del conjunto es..." utilizamos una letra para que represente a cualquier tipo de elemento, esa letra siempre es la " x ". al escribir " x/x " (se lee x tal que x ) indicamos lo que es x , lo que es "cada" elemento que compone al conjunto. demos otros ejemplos: b = { x / x es una nota musical } b = {do; re; mi; fa; sol; la; si} c = { x/x es un número de una sola cifra} c = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} tamaño o cardinal de un conjunto intuitivamente podemos darnos cuenta que dos conjuntos no tienen la misma cantidad de elementos. por ejemplo, el conjunto a = { x/x es una vocal} está compuesto por cinco elementos mientras que el conjunto b = { x/x es una nota musical} está compuesto por siete.


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estamos listos para definir una nueva propiedad matemática para los conjuntos, el cardinal. así pues, el cardinal es el número que determina el tamaño del conjunto, la cantidad de elementos que contiene. aclaremos que cuando se indica que cierta propiedad "determina", se está diciendo que existe y es única. volviendo al cardinal, hay varias formas de representar esta propiedad. algunos autores suelen asignarle un símbolo (#), otros encierran al número entre barras. de esta manera el conjunto d = { x / x es un mes del año} tiene por cardinal a 12 y se le puede designar: #12 ó |12|. conjunto vacío: si el conjunto no tuviera elementos, se le denomina vacío, y se le designa con el símbolo ∅ ó {}. en este caso su cardinal es cero. conjunto infinito: cuando no podemos indicar la cantidad de elementos que compone a un conjunto, por que son tantos que no existe un cardinal que pueda determinar su tamaño, decimos que el conjunto es infinito. infinito, cuyo símbolo es ∞, no es un número, indica que el conjunto crece o decrece sin final. por ejemplo, el conjunto de las estrellas que vemos en el cielo es infinito, así mismo los siguientes conjuntos que trataremos, los conjuntos numéricos, también lo son. volveremos al tema del "infinito" más adelante... conjunto numérico cuando un niño descubre a los números se maravilla, se sorprende. los números parecieran ser elementos mágicos por que le permiten conocer cuantos caramelos puede comer; comparar y decidir si tiene más o menos bolitas que su amiguito, etc. esa misma fascinación pudo haberla sentido el hombre primitivo al aprender a contar; justamente, los primeros números que naturalmente aprendemos son los números naturales como el 1, el 2, el 3, el 4, el 10, el 23, el 120, etc. los números naturales forman un conjunto, el conjunto de los números naturales que se representa con la letra n. conjuntamente con el descubrimiento del número, incluso sin darnos cuenta, empezamos a sumar. hasta parece tonto aclarar que si se suman dos números naturales obtenemos otro número natural "n + n = n", pero en matemática lo obvio hay que dejarlo bien claro.


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de la suma surge, por contraposición, la resta y a partir de ella nos encontramos con un pequeño problema: al restar dos números naturales no siempre obtendremos otro natural. pongamos un ejemplo: 2 – 5 = – 3 (el resultado no es natural) evidentemente se necesita un nuevo conjunto de números, los números negativos, para poder solucionar este tipo de operaciones. aquí nos encontramos con números positivos y negativos, pero todos ellos enteros; nos hemos topado, por lo tanto, con un nuevo conjunto, el conjunto de los números enteros y ellos se representan mediante la letra "z". aunque parezca redundante, el sumar o restar números enteros nos da como resultado otro número entero. z+z=z

z – z = z

si sumamos "5 + 5 + 5 + 5" estamos sumando cuatro veces cinco, lo podemos indicar como: 4(5) en ambos casos el resultado es el mismo, 20. "la suma da origen a otra operación matemática, la multiplicación".

vimos como de la suma surge, como contraposición, la resta y con ella los números negativos. de esa misma manera de la multiplicación emerge la división, el resultado de esta operación expresada como fracción se denomina razón, por lo tanto, todo número obtenido de este modo lo llamaremos racional (q) y los números racionales también forman un conjunto, el conjunto de los números racionales. todas las fracciones son divisiones de números enteros cuyos resultados son decimales periódicos. ojo, está mal dicho números fraccionarios o quebrados, los números se denominan racionales. la fracción ba representa la división entre dos números enteros    si el decimal no es periódico, entonces, no puede obtenerse mediante la división de dos números enteros, por lo tanto, ese número se le llamará Cálculo Diferencial

19

CBTis 215


número irracional. todos ellos forman el conjunto de los números irracionales. el prestigioso

√ 2, √ 3, √ 11,.

 es

un irracional muy conocido, pero también lo son:

a todos estos números que hemos visto hasta ahora se los denomina números reales; al conjunto de los números reales se lo representa con la letra "r".

pertenencia e inclusión cuando hablamos de un elemento, decimos que este pertenece a un conjunto. cuando un conjunto tiene todos los elementos del otro y más, decimos que el primer conjunto está incluido. cuando un conjunto está incluido en otro más grande se le denomina subconjunto. por ejemplo n (naturales) es un subconjunto de z (enteros). los elementos pertenecen a un conjunto

un conjunto está incluido en otro conjunto

el signo de pertenencia es "∈", por ejemplo: 2 conjunto de los naturales) el signo de inclusión es " ⊂", por ejemplo: n incluidos en los reales)

⊂

∈

n (2 pertenece al

r (los naturales están

variables suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "n" es un número cualquiera, sólo necesitamos indicar a que conjunto pertenece.


20

CBTis 215


ejemplo: n ∈ z ( n pertenece al conjunto de los números enteros, o sea "es" un número entero) reemplazar al "número" por una letra nos ayuda a generalizar propiedades. para que una propiedad sea verdadera debe darse en todos los casos, absolutamente en todos, sin ninguna excepción. veamos un ejemplo: "el siguiente de un número entero". el siguiente de 2 es 3, el siguiente de 7 es 8, el siguiente de 12 es 13 ... ¿qué se hace para encontrar al siguiente de un número? sencillamente se le "suma 1" así que podemos designar al siguiente de un número entero, al consecutivo de n como: "n + 1". de la misma manera "n – 1" representa al número anterior de un entero. ahora piensa cuidadosamente tu respuesta. entre un entero y su consecutivo, ¿cuántos enteros hay? el conjunto de los números enteros es infinito pero entre dos números enteros consecutivos no existe ningún número (entero). sigamos pensando. tomemos dos números enteros consecutivos, por ejemplo 4 y 5, y busquemos un número real entre ellos. 4... 5 (podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5) 4... 4,5... 5 ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,5 4... 4,5 (podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5) 4... 4,3... 4,5 ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,3 4... 4,3 (podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3) 4... 4,1... 4,3 ahora busquemos un número intermedio entre 4 y 4,1 4... 4,1 (podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1)


21

CBTis 215


4... 4,08... 4,1 podemos seguir así eternamente. siempre podremos poner otro número por que entre dos números reales hay infinitos números. razonemos... ¿cuántos números hay en el conjunto de los enteros?, infinitos. ¿cuantos números hay en el conjunto de los reales?, infinitos. pero el conjunto de los números enteros (z) está incluido en el conjunto de los números reales, entonces (r) ¿existirán infinitos más grandes que otros?!!!! entonces cabe preguntarnos, ¿qué quiere decir infinito?. como ya se dijo, "infinito" no es un número, es una tendencia, indica que sigue creciendo o que sigue achicándose eternamente, sin fin. tenemos dos nociones para infinito. a) el que crece indefinidamente, por ejemplo, contar las estrellas que hay en el cielo. b) el que disminuye por siempre; podríamos ejemplificarlo con un extraño sueño en el cual quieres tocar una pared, te acercas, te das cuenta de que estás más cerca, pero nunca llegas, se lo denomina infinitécimo.

el conjunto de los números enteros es infinito el conjunto de los números reales es infinito en ambas direcciones, positivos y negativos, además también crece infinitécimamente (por que entre dos números reales hay infinitos números también), por eso se le denomina conjunto denso. otro conjunto denso es la recta, ya que entre dos puntos cualesquiera existen infinitos puntos y crece indefinidamente en ambos sentidos (depende de la dirección que la pongamos). por lo tanto, la recta y los números reales son equivalentes.


22

CBTis 215


"podemos representar a los números reales sobre una recta"

representación de números reales en la recta numérica ya vimos que uno de los conceptos fundamentales de la matemática es el número, junto al concepto de conjunto nos permitirá desarrollar el tema. todos los números, positivos y negativos, se llaman racionales si pueden representarse como fracciones (divisiones cuyo resultado es un decimal periódico). los decimales no periódicos se denominan números irracionales y todos ellos (racionales e irracionales) forman el conjunto de los números reales. éstos se ordenan, según su magnitud, de menor a mayor. tomemos dos números reales cualesquiera a y b, démosle un valor: a = ... b = ... en realidad al asignarle un valor a cada uno tenemos sólo tres opciones que a sea mayor que b, que sea menor o que sea igual. a>b a=b a

23

CBTis 215


separemos la recta en unidades de igual longitud cada una, coloquemos cuatro números enteros consecutivos de cada lado (positivo y negativo)

magnitudes. estuvimos hablando de los números pero no dijimos para que sirven. los números son entes abstractos que por sí solos no representan nada. esa es su mayor virtud, pues podemos asignarle el significado que queramos. un simple tres, según la ocasión, puede ser una cantidad de dinero, una mala nota, lo que sea ... todo lo que podemos medir puede ser representado por un número. todo lo medible se llamará, entonces, magnitud. si bien las magnitudes pueden dividirse en dos subgrupos: magnitudes vectoriales y escalares, por ahora nos ocuparemos de las últimas, las que pueden subdividirse en magnitudes constantes o absolutas (cuyo valor numérico no varía, como el número ) y las magnitudes variables (que pueden tomar diversos valores, representadas generalmente por las letras " x " e "y ").

según el problema que se considere, el conjunto de estos valores puede ser diferente. por ejemplo, la temperatura del agua líquida varía desde 0 ºc hasta 100 ºc (aunque no podemos tomar los valores extremos dentro de ese conjunto); mientras que el alcohol común se mantiene líquido entre los 0º c y los 80 ºc aproximadamente (excluyendo los extremos del conjunto). estos conjuntos, subconjuntos del conjunto de los números reales, se denominan intervalos. los intervalos pueden ser abiertos, si sus extremos no pertenecen al conjunto (como las temperaturas antes descriptas), o intervalos cerrados , cuando sí pertenecen. tomemos un intervalo cualquiera, el que se encuentra entre los números 3 y 5, por ejemplo. escribiremos como [3,5] al intervalo cerrado, (siempre comenzando desde el más pequeño) y como (3,5) al intervalo Cálculo Diferencial

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CBTis 215


abierto. por supuesto que tenemos los intervalos donde un extremo pertenece al intervalo y el otro no, lo llamaremos intervalo semiabierto ó intervalo semicerrado. ¿cómo te parece que se escribirá este tipo de intervalo? (los dos casos posibles) los intervalos pueden representarse sobre la recta numérica. pongamos un ejemplo: (-4, 3] ____________(-4________________0________________3]____ como ya se dijo, suele ser de gran utilidad representar al número con una letra, así "x", magnitud variable, nos permite generalizar la noción de número y expresar al intervalo de otra manera. así, (3,5) puede escribirse como: 3 < x < 5, donde x puede tomar cualquier valor entre 3 y 5. [3, 5] podemos anotarlos como: 3 < x < 5 volvamos con las operaciones... raíz cuadrada ya hablamos de la suma, la resta, la multiplicación y la división. luego le tocó el turno a la potencia y ahora es tiempo de desarrollar a su alterno, la radicación. aunque no sea necesario, (en mi extrema inocencia presupongo que ya lo sabes) definámosla. sean a, b y c números reales, entonces: de ella, en estos momentos, sólo nos detendremos en la raíz cuadrada. la raíz cuadrada es la inversa de la potencia al cuadrado. no es nada nuevo. tampoco lo es el hecho que todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor positivo. si elevamos al cuadrado una raíz cuadrada ¿qué sucede? en realidad, la respuesta no es tan sencilla. no es lo mismo elevar un número negativo al cuadrado y luego sacarle la raíz que a la inversa. si tenemos

nos encontramos con un gran problema.


25

CBTis 215


¿por qué no podemos resolver la raíz y luego elevar al cuadrado el resultado? sencillamente por que la raíz de un número negativo no tiene respuesta en el conjunto de los números reales. tanto (- a)2 como a 2 tienen resultado positivo (todo número elevado a una potencia par da como resultado un número positivo). así que √ − no tiene solución (reitero, sólo en el conjunto de los reales). para facilitar la maniobra transformemos la raíz en potencia, resolvamos la operación

−

así que: (√ −) si tenemos





− al

 

[− ]



y

simplificar las potencias nos queda:

= −

 − la solución es completamente diferente.

cuidado, el cuadrado de un número siempre dará un resultado positivo; así que nos encontramos con un acontecimiento completamente diferente al anterior.  − = √ esta igualdad es verdadera pues dentro de la raíz ambos son positivos ¿cómo expresar que la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo?. aquí aparece el módulo:  − = || el módulo resuelve el problema del resultado de la raíz, que puede ser tanto positivo como negativo. el valor del módulo siempre es mayor que cero, siempre es positivo. ejemplo: √ 9 = √ 3 = |±3| = 3 el resultado de la raíz puede ser negativo: módulo el resultado es positivo).

|−3| = 3 (al

aplicarle el

no existe un módulo que sea negativo, el resultado siempre es positivo. ejemplo: |3| = − 3 no existe. el módulo tiene resultado positivo. dentro del módulo el número puede ser positivo o negativo ejemplo: | − 5 | = | 5 | = 5 Cálculo Diferencial

26

CBTis 215


si tenemos ecuaciones con módulo debemos tener en cuenta que la x puede tener ambos signos dentro del módulo pero el resultado será siempre positivo: || > , | − | > 0 ahora si sacamos el módulo, debemos calcular el valor de x teniendo en cuenta ambos signos: ||=3, al sacar el módulo tenemos  = 3 ó –  =

3≠=−3

aquí hemos planteado una ecuación con una incógnita. la igualdad sólo nos permite que el resultado sean dos números. si relacionamos al módulo con una inecuación el resultado será un intervalo. observemos el siguiente ejemplo: ||<3, al sacar el módulo tenemos  < 3 ó –  < 3 , no nos conviene la "" negativa, así que intercambiemos los – 3 <  (observa que si la dejamos del mismo lado debe invertirse el sentido del símbolo quedando: – 3 <  =  > −3) representemos  < 3 y >–3 en una recta numérica. ___________________(–3 vemos que la solución de

0

3)_____________

||<3 es – 3,3

intervalo de una cuadrática  + 5  – 6 > 0)

 – 1  + 6 > 0

(el hecho de ser mayor de cero nos indica que buscamos resultados positivos en una multiplicación. tenemos dos opciones, ambos son positivos o negativos). si ambos son positivos: ( x – 1) > 0 → x > 1 ( x + 6) > 0 → x > – 6 si  es mayor que 1, evidentemente es mayor que – 6, por lo que nos quedamos con el primer resultado. los valores de  van desde 1 a  infinito 1, ∞ si ambos son negativos:


27

CBTis 215


( x – 1) < 0 → x < 1 ( x + 6) < 0 → x < – 6 si  es menor que – 6, evidentemente es menor que 1, por lo que nos quedamos con el segundo resultado. los valores de  van desde menos infinito hasta – 6, −∞,−6 el resultado de esta inecuación serán ambos resultados: −∞,−6.


28

1, ∞



CBTis 215

y


1.3. sistema de coordenadas lineales y rectangulares. representar una palabra, es simbolizar una imagen que describa perfectamente su concepto. en tal situación es necesario tener claridad en la comprensión de su definición, para la correcta representación de la información que se encuentra involucrada en ella. por ejemplo, la representación gráfica de conejo es: para árbol es: para balón es: de igual manera en este curso, es necesario esquematizar algunos conceptos, llevándolos de su forma analítica (ecuación o concepto) a su forma gráfica. para ello, anterior a este momento has aprendido que es fundamental tener presente los elementos o características fundamentales de la recta y las cónicas. representación gráfica de la recta. en la recta los elementos básicos a considerar para su representación son: A  pendiente: m , la cual se obtiene directamente de 



B

la ecuación en su forma común y general.  angulo de inclinación:  tan , extractado del valor de la pendiente, la cual a su vez proviene directamente de la ecuación en su forma común y general.  intersección con el eje de las “y”: C b   , en el punto 0, b  , el cual se obtiene directamente 1





m

B

de la ecuación en su forma común y general.  intersección con el eje de las “x”: C a    en el punto a,0 , el cual se obtiene directamente A

de la ecuación en su forma general.  un punto cualquiera  x y  .  ecuación de la recta en su forma general, canónica y x y   1, común Ax  By  C  0 , y  mx  b , pudiendo ,

a

b

pasar de una a otra por procedimientos algebraicos. junto con tus compañeros de equipo localiza -_y de ser necesario genera_- los elementos antes listados y la ecuación de la recta con base en la gráfica del siguiente sistema de coordenadas. Cálculo Diferencial

29

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    

pendiente: ________ ángulo de inclinación: ______________ abscisa al origen: _____________ ordenada al origen: ______________ ecuación en su forma canónica, común y general:

para trazar una recta se requiere: 1.- dos puntos: 2.- un punto y su ángulo de inclinación o su pendiente: 3.- su intersección con los ejes coordenados: representación gráfica de la circunferencia. en la circunferencia los elementos básicos a considerar en su representación son: centro: C  0,0 , C  h, k  en el origen y fuera del origen, donde h y k son las coordenadas del centro en el plano. radio.  x, y  un punto cualquiera de la circunferencia. ecuación de la circunferencia x  y  Dx  Ey  F  0 , en su forma general donde:  D 2h ,  E  2k , 2 2 2  F  h  k  r , 2 2 x 2  y 2  r 2 ,  x  h   y  k   r 2 , con centro en el origen y fuera del origen. o

o o

r





2

o

2

 

o


30

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en coordinación con tus compañeros de equipo, localiza los elementos y la ecuación de las circunferencias en el siguiente gráfico.

representación gráfica de la parábola. en la parábola:  V 0,0 , V h, k   vértice en el origen y fuera del origen de una parábola.  p distancia del vértice al foco o distancia focal de una parábola.  LR 4 p lado recto de cualquier parábola.   x, y  , un punto cualquiera de la parábola. 









de la parábola con centro en el origen y fuera del origen que abre hacia la derecha. F  p,0 , F h  p k   coordenadas del foco. x p , x  h  p  ecuación de la directriz. y  0 , y  k  ecuación del eje focal. y 2



4 px ,  y  k 

2



4 p( x  h)  ecuación

o

,

o

 

o



ecuación de la parábola con centro en el origen y fuera del origen que abre hacia la izquierda. F  p,0 , F h p k  coordenadas del foco. x p , x  h  p  ecuación de la directriz. y  0 , y  k  ecuación del eje focal. y 2

4 px ,  y  k 

2

 

o o

 4 p ( x  h) 



,





o


31

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

,  x  h2  4 p( y  k )  ecuación de la parábola con centro en el origen y fuera del origen que abre hacia arriba. F 0, p  , F h k  p   coordenadas del foco. y   p , y  k  p  ecuación de la directriz. x 0 , x  h  ecuación del eje focal. x 2



4 py

o

,

o o





ecuación de la parábola con centro en el origen y fuera del origen que abre hacia abajo. F 0, p  , F h k  p   coordenadas del foco. y p , y  k  p  ecuación de la directriz. x 0 , x h ecuación del eje focal. x 2

4 py ,  x  h 

2

 

 4 p ( y  k ) 

o

,

o



o







en coordinación con tus compañeros de equipo, localiza los elementos y la ecuación _de ser posible_ de las parábolas en los siguientes gráficos.

representación gráfica de la elipse.

  

C  0,0  , C  h, k   centro

en el origen y fuera del origen. c  distancia del centro a cualquiera de los dos focos. distancia del centro a cualquiera de los dos vértices. el eje mayor es la distancia que existe de vértice a vértice y es conocido también como el eje focal, el cual es igual a 2 . a



a



x 2 a2



y 2 b2

 1,

 x  h  a2

2

 y  k 

2




b2

 1,

ecuación de la elipse. 32

CBTis 215


o

o

o

 a,0, V a,0 , V ' h  a, k , V h  a, k   vértices para horizontal con centro en el origen y fuera del origen. F ' h  c, k , F h  c, k   focos F '  c,0, F c,0 , para horizontal con centro en el origen y fuera del origen V '

2a 2



b

o

o

o

o

entre el eje focal. de a 2  b 2  c 2 resulta que b a a c es la distancia del centro a cualquiera de los dos extremos del eje menor, el cual es igual a 2b . 2



V ' 0, a , V 0, a  ,



para elipse vertical con centro en el origen y fuera del origen. F ' 0, c , F 0, c  , F ' h, k  c , F h, k  c   focos para elipse vertical con centro en el origen y fuera del origen 

V ' h, k  a , V h, k  a   vértices



2b

2 

ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por uno

de los focos perpendicular al eje mayor. c excentricidad, como el cociente de la distancia focal, b

o

ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por uno



a

o

elipse

de los focos perpendicular al eje mayor. c excentricidad, como el cociente de la distancia focal, a

o

elipse



entre el eje focal. de b 2  a 2  c 2 resulta que a b c es la distancia del centro a cualquiera de los dos extremos del eje menor, el cual es igual a 2a . 

2



2

 radios vectores. son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipse y los focos. la suma de los radios vectores correspondientes a un mismo punto es igual a 2a.  circunferencia principal. es la que tiene su centro en el centro de la elipse y radio igual al semieje mayor.  circunferencias focales. son las circunferencias con centro en los focos y radio igual a 2a. en coordinación con tus compañeros de equipo, localiza los elementos y la ecuación _de ser posible_ de la elipse en el siguiente gráfico.


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representación gráfica de la hipérbola.

  

0,0  , C h k  centro en el origen y fuera del origen. distancia del centro a cualquiera de los dos focos. distancia del centro a cualquiera de los dos vértices. el transverso o real es la distancia que existe de vértice a vértice y es conocido también como el eje focal, el cual es igual a 2 .  de c 2  a 2  b 2 resulta que b c 2 a 2 es la distancia del centro a cualquiera de los dos extremos del eje conjugado, no focal o imaginario, el cual es igual a 2b . V '  a,0, V a,0  , y V ' h  a, k , V h  a, k   vértices en el origen y fuera del origen de una hipérbola horizontal. F '  c,0, F c,0  , F ' h  c, k , F h  c, k   focos para hipérbola horizontal con centro en el origen y fuera del origen  x h   y k  x y 1 , ecuación de la hipérbola.   1, C c

a







,





a





o

o

2

2



o

a2



b2 2a 2 b



a2



2





b2

2



ancho focal, o lado recto, o la cuerda trazada por

uno de los focos perpendicular al eje focal.  excentricidad, como el cociente de la distancia c

a

o

focal, entre el eje focal. V ' 0,a , V 0, a  , y V ' h, k  a , V h, k  a   vértices en el origen y fuera del origen de una hipérbola vertical.


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o

F ' 0, c , F 0, c  ,

para hipérbola vertical con centro en el origen y fuera del origen  y  k 2  x  h 2 y x   1 , ecuación de la hipérbola. 1, 2 2 

2

o

b2

F ' h, k  c , F h, k  c   focos

2





a2



2a

2

b



b

 ancho

a

focal, o lado recto, o la cuerda trazada por

uno de los focos perpendicular al eje focal. c excentricidad, como el cociente de la distancia b



focal, entre el eje focal. identifica con tus compañeros todos los elementos de la hipérbola en la siguiente figura.

ecuaciones de segundo grado. toda ecuación del tipo Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 , donde a, b, c, d, e y f son constates, es considerada la ecuación general de las cónicas. si carece del término xy , es una circunferencia o una las cónicas restantes, pero con ejes de simetría paralelos al plano cartesiano.

   

, la ecuación representa una circunferencia. A  0 , o bien C  0 , es la ecuación de una parábola. A y C son del mismo signo, es la ecuación de una elipse. A y C son de signos contrarios, es la ecuación de una hipérbola. A



C


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despejando “y” se obtiene: y  

B

2

B

2

B

2

Bx  E 2C



 B

2



 4 AC x

2



2( BE  2CD) x  E 2

 4CF

2C

, es del género de las parábolas  4 AC  0 , es del género de las elipses.  4 AC  0 , es del género de las hipérbolas. 

4 AC  0

en coordinación con tu asesor, define para ecuaciones que encuentres en tus textos o propuestas por el grupo, a cual de las cónicas pertenece, de acuerdo a los lineamientos planteados. representación gráfica de la intersección de cónicas y la recta. como una forma de demostrar lo aprendido hasta el momento, pide a tu facilitador que te proporcione algunas situaciones en donde se presente intersección de cónicas, como el caso del cruce de la recta de la tijera de una bicicleta con la rueda delantera, pero representado en el plano cartesiano.


36

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1.4. desigualdades.


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propiedades de las desigualdades


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40

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1.5. intervalos. un intervalo es un conjunto de valores comprendidos entre dos de ellos llamados extremos o límites del intervalo. sean a y b dos números reales de tal manera que a < b. los intervalos se clasifican en:

Recordar que el mínimo de jugadores de un equipo de Básquet –bol es de 5 y el máximo de 12.

 intervalo abierto. este intervalo no incluye a sus extremos. a < x < b. ejemplo: el número de integrantes de un equipo de básquet bol 4 < x < 13. intervalo cerrado. este intervalo incluye a sus extremos. a  x  b. ejemplo: el número de integrantes de un equipo de básquet bol 5  x  12.  intervalo semiabierto. este intervalo contiene a uno de sus extremos. a  x < b, a < x  b ejemplo: el número de espectadores de un juego de fut-bol del américa contra pumas en el estadio azteca. 0 < x  110,000.  intervalo infinito. este intervalo esta formado por todos los números, tales que x < a, x  a; también x > a, x  a ejemplo: el número de bacterias en un cultivo de escherichia colli . 0 < x  ∞. podrías formular al menos 5 ejemplos de intervalo de uso cotidiano para cada uno de los diferentes tipos que se revisaron, y redacta su interpretación. abierto.

cerrado.


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semiabierto.

infinito.

se dice que una función f  x  está definida en un intervalo, si está definida para cualquier punto dentro de este intervalo. investiga la representación gráfica, por inecuaciones, paréntesis y corchetes y por conjuntos de cada uno de los diferentes tipos de intervalo.

abierto.

cerrado.

semiabierto.

infinito.


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repaso:

 cuando te invitan a salir y te dicen “nos vemos entre 5 y 6 de la tarde”, ¿de qué tipo de intervalo se trata?. y como se representa. anótalos. _______________________________________  cuando pides $200 a tu padre y te responde con la frase “no puedo darte más que $100” ¿dentro de que intervalo lo considerarías? anótalos. _______________________________________  cuando lanzas un dados, ¿cuál es el intervalo de valores posibles en el resultado? anótalos. _______________________________________  cuando lanzas dos dados, ¿cuál es el intervalo de la suma de valores posibles en el resultado? anótalos. _______________________________________  cuando tomas tres fichas de dominó al azar ¿cuál es el intervalo de valores máximos que puedes obtener? y ¿cuál es el intervalo de valores mínimos que puedes obtener? anótalos. ________________________________________

como te habrás dado cuenta hasta el momento, los intervalos pueden aplicarse tanto al dominio de una función o variable independiente, como al contradominio o variable dependiente. por lo cual deberás tener siempre presente que se te podrá pedir el intervalo para una u otra.

es importante de igual manera, poder interpretar y darle significado a los valores que forman el intervalo, pues si esto no se entiende, estos valores carecen de sentido.


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2. funciones. 2.1. domino y contradomino funciones. “parejas o disparejas” -se desea asignar a cada hombre solo una mujeractividad grupal. 1° cada equipo de divide en dos conjuntos, por un lado hombres y por otro mujeres. 2° de uno por uno, los hombres escogen una de las mujeres, en caso de estar ya seleccionada se acomoda a la misma altura de ella, en fila india, a la izquierda el conjunto de los hombres y a la derecha el conjunto de las mujeres. los diagramas que representan las agrupaciones posibles son: figura 1.

a b c d . .

a b c d e f

más mujeres

a b c d e f

a b c d . .

a b c d e f

más hombres

a b c d e f

igual hombres y mujeres

como el hombre fue quien escogió, entonces él representa a la variable independiente (x), la mujer, como fue seleccionada, representa a la variable dependiente (y). –esto es, la pareja la define el hombre, mientras que la mujer depende de quien la seleccione para integrarse como pareja–.


50

CBTis 215


a a b b c c d d e e f f figura 2.


Si es función

Si es función



No es función

No es función

a b c d e f

a b c d e f

figura 6. Si es función

¿cuál es el caso de tu equipo y del resto del grupo ? _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _______________________


51

CBTis 215


¿podrías explicar el porqué de las afirmaciones en las figuras anteriores? _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________ como te habrás dado cuenta, la actividad anterior se refiere a los conceptos de función y relación, en donde: función.- si tenemos dos conjuntos

y

,

y

una

correspondencia que asocie a todo elemento del conjunto un elemento del conjunto función f definida en

, uno y solo

. figura 7.

relación.- si tenemos dos conjuntos

del conjunto

de

, entonces decimos que tenemos una

con valores en

elementos del conjunto

regla

y

, a todos o algunos

se les puede asignar uno o más elementos

. figuras 4 y 5.

una función consta de tres partes:

 dominio (variable independiente = x ), representado por “d” .  contradominio o rango (variable dependiente = y ), representado por “r”. estos, pueden ser expresados como un intervalo (concepto que se revisará mas adelante).  regla de correspondencia (esta puede ser representada por un diagrama, una ecuación, una tabla de valores y una gráfica)


52

CBTis 215


figura 7.

Dominio de la función “D“

a b c d e f

Contradominio de la función “R”

a b c d e f

Regla de correspondencia

la regla de correspondencia debe tener las siguientes propiedades:

 1° ningún elemento del dominio puede quedar sin asociado en el contradominio.  2° ningún elemento del dominio puede tener mas de un asociado en el contradominio. esto no excluye que varios elementos del dominio tengan al mismo asociado en el contradominio. figuras 3, 4 y 5. si x es un elemento del dominio, formado por el conjunto

, entonces el

elemento del contradominio o rango del conjunto de asociado a x por medio de la regla de correspondencia, se expresa en la forma siguiente: f( ); que se lee

“f de

”

le llama la imagen de

en función de ser elegida por un hombre y se

bajo f.

como y = f(x) al citar una función podemos usar indistintamente cualquiera de las notaciones. ejemplos: y  3 x 2



f ( x)  3x 2

4, 2

y   25  x ,




4

f ( x)   25  x

53

2

CBTis 215


y  x 3 A





r 2 ,



3 x 2



f ( x)  x 3

3 x  1, f (r )





3 x 2



3x  1

r 2



si una regla de correspondencia esta dada como una ecuación y no se define el dominio, entonces suponemos que el dominio esta integrado por todos los números reales para los cuales la ecuación tiene sentido. para generar una función en donde su regla de correspondencia pueda ser visualizada de distintas maneras, se propone la siguiente actividad

construir una caja sin tapa con una hoja de cartulina cuadrada de 20 cm de lado, donde la altura de la caja la definiremos por x (longitud que cortarás en las esquinas, doblando hacia arriba las pestañas así generadas) y el volumen lo definiremos por y.

¿cuál es la medida del área de la base (b2) en la caja que construiste? _________________________________________________________ ¿cuál es la dimensión de la altura (h) de la caja que construiste? _________________________________________________________ ¿cuál es el volumen de tu caja? ________________________________________________________ ¿tiene algún parecido con las de tus compañeros? _________________ ¿en qué? _____________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _____________ ¿a qué se debe esta diferencia o semejanza?____________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________________________________________ ¿cuáles son los valores posibles de x en esta actividad? _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________________________________________ esta actividad te plantea la incógnita ¿cuál es el valor para x y que representa? entonces la regla de correspondencia que asocia la variable altura de la caja (x) con la variable volumen (y) estará dada por: Cálculo Diferencial

54

CBTis 215


como recordarás el volumen de un cubo esta dado por la fórmula: 2

V  b h

b



, donde:

ecuación 1

longitud de la hoja menos longitud a cortar en las esquinas para realizar el doblez. b 20 2 x

base





h





=longitud a cortar en las esquinas para realizar el doblez hacia arriba. h x

altura



sustituyendo estos valores en la ecuación 1 2

V  b h 2 V  20  2 x  x  (400  80 x  4 x ) x , 2

desarrollándola resulta

V  400 x  80 x 2  4 x 3

ecuación 2

físicamente la caja quedaría como se ilustra a continuación Desperdicio

x

20

x

20 cm

figura 8. si damos valores a x en esta ecuación ( V  4 x 3  80 x 2  400x ) se obtiene la siguiente tabla de valores, la cual también es una forma de expresar la regla de correspondencia.


55

CBTis 215


Altura (X) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Volumen (Y) 0 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0

Tabla de valores

figura 9. si los valores de la tabla anterior los plasmamos en un sistema de coordenadas rectangulares, resulta el siguiente gráfico, el cual también es una forma de expresar la regla de correspondencia. GRÁFICO DE VOLUMEN

700 600 N E M U L O V

500 400 300 200 100 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ALTURA

figura 10. o simplemente podemos expresar los valores de la tabla como dos conjuntos relacionados entre sí, como se muestra a continuación.


56

CBTis 215


Altura (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Volumen (y) 0 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0

Diagrama.

figura 11. ¿crees poder formular ejemplos similares en donde puedas reconocer las diferentes partes de una función y representar la regla de correspondencia como se hizo en el ejemplo anterior? si la respuesta es si , entonces desarrolla tu ejemplo y al término del mismo compártelo en exposición con el resto del grupo.


57

CBTis 215


2.2. clasificación. clasificación de funciones “organiza tus instrumentos ...

de escritura”

pide a tus compañeros de equipo que depositen sus lápices y plumas en un lugar donde todos los puedan observar y posteriormente procedan a su clasificación –para ello expongan su criterio de clasificación y defínanse por uno –. al termino de la actividad exponga ante el grupo su criterio y establezcan uno grupal. ¿porqué se decidieron en su equipo por ese criterio y no por otro? _________________________________________________________ _________________________________________________________ ___________________________________________________ ¿qué coincidencias tuvieron con respecto al resto del grupo? _________________________________________________________ _________________________________________________________ ___________________________________________________ ¿consideras que la clasificación hecha sea la más correcta? _____________________ ¿porqué? ___________________________ _________________________________________________________ _______________________________________ trata de clasificar las siguientes funciones, de acuerdo al criterio que el equipo defina para tal efecto.

y y





2 x

2

2 x

2

 5x  7

x

y  x 3

5 x

 2





7

____________________

____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________

5

 9x 1

____________________

y  cos x

y  2 X y  log x y  3x  2 2 y  3x  2  0 2 x  3 y  2z  0


58

CBTis 215


2 x



2 z



0

____________________

¿qué tan válido es el criterio que estableció tu equipo en la clasificación de estas funciones? ____________________ ¿porqué? ____________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ las funciones al igual que cualquier conjunto de objetos, también es sujeto de clasificación, en general las funciones se clasifican en: A. explicitas e implícitas. B. de una variable y de mas de una variable. C. algebraicas y trascendentes. a.- si en una función están indicadas las operaciones a realizar con la variable independiente para obtener la dependiente, se dice que es una función explicita. en caso contrario es una función implícita .la cual esta igualada a cero.

ejemplo: y  2 x  3 Función explicita

2 x  y  3  0

Función implícita

¿podrías dar al menos cinco ejemplos de cada una de ellas? funciones implícitas

funciones explicitas

b.- si el valor de una función, depende de una sola variable, se dice que es una función de una variable. si son más de una las variables involucradas en la definición del valor de la función, decimos que es una función de más de una variable.


59

CBTis 215


ejemplo: A   r 2 y  x 2



A  b h  f b, h 

f r 



y  3 x  4 z  5  f  x, z 

8 x 1  f  x

Función de una variable

Función de más de una variable

¿podrías dar al menos cinco ejemplos de cada una de ellas? funciones de una variable

funciones de mas de una variable

c1.- si el valor de la función se obtiene por medio de un numero determinado de operaciones, entre las cuales no intervienen las relaciones trigonométricas, expresiones logarítmicas o exponenciales, es una función algebraica; estas funciones según

las operaciones a las que son sometidas las variables, pueden ser: enteras. racionales.

y  2 x 3  3x  5 x  3 y  2 x  1

irracionales.

y



3

x

2

 3x  5

¿podrías dar al menos cinco ejemplos de cada una de ellas? funciones enteras

funciones racionales


60

funciones racionales

CBTis 215


c2.-una función es trascendente cuando en ella intervienen las relaciones trigonométricas, expresiones logarítmicas o exponenciales.

trigonométricas. logarítmicas. exponenciales.

y



cos x

y  log x y



x

2

¿podrías dar al menos cinco ejemplos de cada una de ellas? funciones trigonométricas

funciones logarítmicas

funciones exponenciales

llena los espacios del siguiente cuadro en donde ubicarás a las anteriores funciones de acuerdo a la clasificación previamente hecha. investiga la clasificación de las funciones y refuerce los conocimientos adquiridos hasta el momento.


61

CBTis 215


análisis grafico de las funciones

“lo que se ve ... no se discute” pregunta a tus compañeros sobre el número de integrantes de su familia con los dato recabados llena el cuadro de abajo, pide esta información al resto de los equipos, anota además el numero de compañeros que tengan los mismos integrantes y colócalos en orden ascendente. nº de alumnos integrantes por familia

lleva los datos que te resultaron de la tabulación al plano cartesiano y traza la curva correspondiente.


62

CBTis 215


¿qué datos te llaman la atención? _____________________________ _________________________________________________________ ¿porqué te llaman la atención, estos datos en particular? ___________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _____________ ¿qué relaciones puedes establecer entre estos datos? _____________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _______________________ ¿cuál es el espacio de valores para la fila de integrantes por familia? _________________________________________________________ ¿cuál es el espacio de valores para la columna de número de alumnos? ______ _________________________________________________________ ___ ¿qué puedes concluir sobre la tabla de valores y su respectivo gráfico? _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ________________________ como te habrás dado cuenta existen conjuntos de valores para los cuales no es fácil establecer una regla de correspondencia como Cálculo Diferencial

63

CBTis 215


ecuación, por lo cual deberás tenerlo presente para cuando se te presenten este tipo de situaciones mas delante. para estudiar una función y  f  x  , es necesario conocer los valores que podemos asignar a la variable independiente y que puede ser cualquiera del conjunto de los números reales. si f  x  es una función de x y a es un valor que esta en su dominio, la expresión f a  significa el valor numérico que se obtiene al sustituir x por a en f  x  ; o sea, el valor que toma f  x  cuando x = a. ejemplo f  x   3 x  2, el valor de f  x , cuando x  2, será f 2  32  2  6  2  8

Si

por lo que podemos afirmar que: Si f  x   3 x  2 cuando x  2 la función toma el valor de f 2  8 encuentra el valor de las funciones dadas para los respectivos valores de la variable independiente. a. si f  x b. si f  x  c. si



x 2 ; encontrar f 0 _______, f  5 ________ y f 5 _______ 

1 

2 x

;







encontrar f  8 ______, f 0 _______ y f 8 ______ 







1

; encontrar f  4 ______, f 4  ______ y f 8  ______ x 4 y  2 x 2  4x; encontrar f 1  ______, f 0  _______ y f 1  _______

y













d. si e. si f a  a 3  3a  6;

encontrar f  2  _____, f 0  _____ y f 2  ____

¿te interesaría saber cual es el comportamiento de las graficas de las funciones anteriores?. _______________ bueno, pues cuestiónate ¿qué elementos te hacen falta para entender tal situación? ________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ______________________


64

CBTis 215


grafica las funciones de los incisos b) y c). y

y

1 



2 x

1 x  4

como te habrás dado cuenta en los incisos b) y c), cuando los valores de x sean x = 0 y x = 4 respectivamente, no existe un valor definido para la variable dependiente, situación a la cual le llamaremos una indeterminación, concepto que revisarás ampliamente en el tema de límites. al analizar los gráficos que obtuviste anteriormente, observaste que existe un hueco en la curva, lo que indica que estas funciones son discontinuas a diferencia de las de los incisos a), d) y e) que son funciones continuas.


65

CBTis 215


sin duda llegaste a la conclusión de que te hace falta conocer más sobre el tema intervalo de una variable. Aplicaciones Practicas de las Funciones Función lineal Como representaría el dueño de una pizzería el total a pagar de un cliente que come cierto numero de pedazos de pizzas sabiendo que cada pedazo cuesta 15 pesos. Total a pagar = (Precio del taco) (Numero de tacos que consumió) Y también esto se podría representar de la siguiente manera Y=15X Y= total a pagar consumió

X= Numero de pedazos de pizzas que

Función cuadrática Un señor tiene un terreno cuadrado con medidas “X”, donde siembra frijol, aun lado hay un lote baldío que esta en venta, el se interesa en el terreno y decide comprarlo ya que así aumentará sus ganancias. Si el terreno mide 20 metros más de los lados horizontales. ¿Como representaría el área del nuevo terreno?

X X

20

Área total = Longitud de un lado del terreno propio (Longitud de un lado del terreno propio + Longitud horizontal del terreno baldío) Y esto también se podría representar de la siguiente manera Y = X (X + 20)

Y = 2 +

Y = Área total del terreno terreno propio


20

X = Longitud de un lado del 20 = Longitud horizontal del terreno baldío 66

CBTis 215


Función cubica Un albañil necesita saber cual es el volumen de una cisterna cúbica que construyó en la secundaria de su comunidad, para el abasto de la escuela. Como podría representar el volumen total de la cisterna. X

X

X

Volumen total = (Longitud del lado del cubo) (Longitud del lado del cubo) (Longitud del lado del cubo) Volumen total = (Longitud del lado del cubo) 3 Y esto podría ser también Y = Volumen total del terreno del cubo Y = (x) (x) (x)

X = Longitud de un lado

Y = (X)3

Función racional fraccionaria Un gran político acaba de morir y dejo escrito en su testamento que su herencia que era un terreno que estaba en Acapulco se lo repartieran entre sus X número de hijos. Como lo podíamos representar. Pedazo de terreno que le toca a cada hijo = 1/Numero de hijos Y esto se puede representar como Y = Pedazo de terreno que le toca a cada hijo X = Numero de hijos Y= Función Trigonométrica Cual es el ángulo de inclinación que debe haber entre la base de una casa que mide 2.50 m de alto y una escalera que tiene 4 m para poder hacender al techo de la casa.


67

CBTis 215


a 2.5 m

c

a = cateto adyacente b = cateto opuesto c = hipotenusa

4m

b Como sabemos las funciones trigonométricas se definen como una función en un ángulo A en triangulo rectángulo. Y la función que complace a este ángulo es Coseno que es cateto adyacente / hipotenusa. Función exponencial Como podemos mostrar el crecimiento o división de las bacterias de la gripa. Sabiendo que cada minuto cada bacteria reproduce 5 bacterias. Total de bacterias de gripa producidas = 5numero de minutos Y se podría poner también así Y = total de bacterias de gripa producidas X = Numero de minutos X Y=5 Función Logarítmica En una fábrica de Calzado crearon 27 modelos diferentes, sabiendo que en cada proceso había 3 opciones para cada uno. ¿Cuál es el número de procesos que se realizaron sabiendo que en cada proceso hubo 3 opciones para elegir partiendo de que solo trabajaron botas, guaraches y zapatillas? Cierre Cintas Broche Cierre Cintas Broche Cierre Cintas Broche Cierre Cintas Broche Cierre Cintas Broche Cierre Cintas Broche

Blanco Negro

Botas

Rojo Café Verde

Guaraches

Azul


68

CBTis 215


Cierre Cintas Broche Cierre Cintas Broche Cierre Cintas Broche

Amarillo Rosa

Zapatillas

Gris

Ya Que nos dieron el total de salidas, entonces ¿cual es el número de procesos que se realizaron? El número de procesos es 3 como se ve en el diagrama o lo podemos demostrar de la siguiente manera: Log a X = Y a = numero de opciones en cada proceso X = numero de modelos realizados Y = numero de procesos Log 3 27 = 3


69

CBTis 215


2.3. operaciones. operaciones con funciones.

“sin estar enfermas ... requieren operaciones” pedro, que es el encargado de administrar los negocios de su tío juan, se pregunta cual será el resultado de sumar las ganancias de las zapaterías “la luciérnaga” y “la luz”, si para ello sabe que los zapatos los vende al doble de como los compra, pero a un precio promedio, y que en la zapatería “la luciérnaga”, cobra 15 pesos por venta por cliente c liente para pagar a sus empleadas y en “la luz”, como las ventas son fuertes, realiza un descuento de 15 pesos por compra. por lo que las expresiones que representan la predicción de ingresos son: para “la luciérnaga” para “la luz”

y1



2 x  15 ,

y 2



2 x  15

y

.

lo más sencillo sería solicitar que el importe de las ventas de ambas zapatería se sumara y se obtuviera el monto que representa estas ventas; mas sin embargo, pedro quiere evitar el trabajo de realizar el recorrido diario de “la luciérnaga” a “la luz” y hacer esta predicción por semana, por lo que supone que hay otra forma de obtener dicho valor. y cree que de la siguiente forma sería correcto. si suma y1  y 2



y1



2x



15

y

y 2



2 x  15

aritméticamente, el resultado es:

2 x 15  2 x  15  2 x  15  2 x  15  4 x , por lo que la suma quedaría

como: yT



4 x

si te das cuenta, el dominio de y 1 (valores posibles de x) es la totalidad de los números reales y su contradominio o rango (valores posibles de y) es igualmente la totalidad de los reales, por lo que el dominio y rango de esta función son: d f 1 =  x є  -        r f 1 =  x є  -        de igual manera, el dominio de y 2 (valores posibles de x) es la totalidad de los números reales y su contradominio o rango (valores posibles de


70

CBTis 215


y) es igualmente la totalidad de los reales, por lo que el dominio y rango de esta función son: d f 2 =  x є  -        r f 2 =  x є  -        el dominio de yt por definición es la intersección de los dominios de y 1 y y2, siendo este resultado el que se muestra a continuación. d f t =  x є  -        por lo tanto, podremos decir que pedro puede emplear la función yT 4 x , resultado de la suma de funciones, en la realización de las predicciones del ingreso semanal por ventas en las zapaterías de su tío. 

de igual manera el dominio de la multiplicación de dos funciones es igual a la intersección de sus dominios.


71

CBTis 215


2.4. comportamiento. valor absoluto el concepto de valor absoluto tiene muchas aplicaciones en el estudio del cálculo. el valor absoluto de un , escrito pude ser definido en una variedad de formas. sobre la recta de los números reales, el valor absoluto de un número es la distancia, independientemente de su dirección, que el número representa desde cero. esta definición establece que el valor absoluto de un número debe ser siempre no negativo-que es ,  0 . x

x

x

una definición algebraica común de valor absoluto es a menudo establecida en tres partes, de la siguiente manera:

x

 x, x  0   0, x  0  x, x  0 

otra definición que es aplicada algunas veces a problemas de cálculo es: x



x

2

o la raíz cuadrada principal de x 2 . cada una de estas definiciones solo implica que el valor absoluto de un número debe ser no negativo. funciones una función es definida como un conjunto de pares ordenados  x y  , donde para cada primer elemento x, le corresponde uno y solo un segundo elemento y. el conjunto de los primeros elementos es llamado el dominio de la función, por lo que el conjunto de los segundos elementos es llamado el rango de la función. la variable del dominio es siempre referida como la variable independiente, y la variable del rango es referida como la variable dependiente. la notación f  x  es a menudo empleada en lugar de y para indicar el valor de la función f para un valor específico de , y se lee “ f de ” o “ f a ”. ,

x

x

x

geométricamente, la grafica de un conjunto de pares ordenados  x y  ,

representa una función si cualquier línea vertical intersecta la grafica en no más de un punto. si una línea vertical intersecta la grafica en más de


72

CBTis 215


dos puntos, un valor de corresponde a dos o más valores de y , con lo cual claramente contradice la definición de una función. muchos de los principales conceptos y teoremas de cálculo están directamente relacionados con las funciones. x

ejemplo 1 los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones que son funciones

 y





y



 y



f  x   3x  1

f  x x 2 

f  x   x

5


73

CBTis 215




y  f x   3



y  f  x  

 y



x  3 x 2

f  x   3

4

2x  9


74

CBTis 215


 y





y





y



f  x  

f  x 

f  x 

6

x



tan x



cos 2 x


75

CBTis 215


ejemplo 2 las siguientes son algunas ecuaciones que no son funciones; cada una tiene un ejemplo que ilustra porque no es una función. 2

 x  y

, si

 x





x

 



x 2  y 2

y

3

5

x

, si

, si



x

4



x



25 ,

, entonces



5



si

2

y

, entonces

, entonces

x





0

y

2

y

y

5

 

 2

o

y

1

 

puede ser cualquier numero real.

, entonces


o

y  5 o y  5 76

CBTis 215




y  



x 2  y 2  9 ,

x4

, si x

si

x





5

, entonces

5



, entonces

y

 3

o

y

 3

y  4 o y  4

ecuaciones lineales una ecuación lineal es cualquier ecuación que puede ser expresada en la forma ax  by  c , donde y b no pueden ser ambos igual a cero. mas sin embargo una ecuación lineal puede no ser expresada inicialmente en esta forma, esta puede ser manipulada algebraicamente hasta esta a


77

CBTis 215


forma. la pendiente de una recta indica si esta se dirige hacia arriba o abajo, o si es horizontal o vertical. la pendiente es denotada usualmente por la letra y es definida en un número de formas: m



m 

elevación avance

   



m m



m

m

m





cambio  vertical cambio  horizontal cambio en el valor de y cambio en el valor de x  y  x y 2



y1

x 2



x1

y1



y 2

x1



x 2

note que para una recta vertical, el valor de x será constante, y el cambio horizontal será cero; luego, se puede decir que una recta vertical no tiene pendiente o no existe o es indefinida. todas las rectas no verticales tienen una pendiente numérica positiva, que indica que la recta se eleva hacia la derecha o una pendiente negativa que indica que una recta desciende a la derecha, y una pendiente de cero indica una recta horizontal. ejemplo 3 encontrar la pendiente de la recta que pasa por el punto (5,4) y (-1,-3) m



m 

y 2



y1

x 2



x1

( 3)  ( 4) (1)  ( 5) 7

m  

4

la recta, entonces, tiene una pendiente de


78

m

7 4

.

CBTis 215


algunas formas de expresar ecuaciones lineales toman nombres especiales, que se identifican por como son escritas. note que estas formas se derivan de otra diferente, ellas pueden ser algebraicamente manipuladas y presentarse de forma equivalente. algunas rectas no verticales son paralelas si tienen la misma pendiente, y recíprocamente, rectas con igual pendiente son paralelas. si las pendientes de dos rectas l1 y l2 son m1 y m2, respectivamente, entonces l1 es paralela a l2 si y solo si . dos rectas no verticales, no horizontales son perpendiculares si el producto de sus pendientes es –1, y recíprocamente si el producto de sus pendientes es –1, las rectas son perpendiculares. si las pendientes de dos rectas l1 y l2 son m1 y m2, 1 respectivamente, entonces l1 es perpendicular a l2 si y solo si * . usted puede notar que dos rectas verticales cualesquiera son paralelas y una recta horizontal y una recta vertical son siempre perpendiculares. m

1



m

2

m

1

m

2

 

la forma estándar o general de una ecuación lineal es ax  by  c , donde a y b no pueden ser ambos igual a cero. si b=0, la ecuación toma la forma constante y representa una recta vertical. si a=0, la ecuación toma la forma y  constante y representa un a recta horizontal. x




79

CBTis 215


ejemplo 4 los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones lineales expresadas en forma general. 2 x  5 y  10

x  4 y  0


80

CBTis 215


x

3

 

y  6

la forma punto-pendiente de una ecuación lineal es y y1 m( x cuando la recta pasa por el punto  x1 , y1  y tiene una pendiente m. 


81





x1 )

CBTis 215


ejemplo 5 encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,4) 2 con pendiente  3

m( x  x1 ) 2 y  4   ( x  3) 3 y  y1

y  4

y  



2  

3 2 3

x2

x6

3 y  2x  18 2 x  3 y  18 forma

general de la recta.

la forma pendiente-ordenada al origen de una ecuación lineal es y  mx  b cuando la recta tiene una intercepción (0,b) y pendiente m. ejemplo 6 encuentre la ecuación de la recta de pendiente

4 3

y se cruza

con el eje de las y en –5. y  mx  b 4 y  x  (5) 3 3 y  4 x  15 4 x  3 y  15 forma

general de la recta


82

CBTis 215


la forma ordenada y abscisa al origen de una ecuación lineal es

x a



y b

1

cuando la recta tiene una intercepción en x (a,0) y una intercepción en y (0,b). ejemplo 7 encontrar la ecuación de la recta que cruza al eje x en –2 y al eje y en 3. x a



x 



2

y b 

1

y

3

1

3 x  2 y  6 forma

general de la ecuación de la recta.


83

CBTis 215


funciones trigonometricas en trigonometría, la medida del ángulo es expresada en una o dos unidades: grados o radianes. la relación entre estas dos medidas puede ser expresada como sigue: 180º  radianes. para convertir grados a 

radianes, la relación de equivalencia es

1º

 

180

radianes, es usada y al

dar el numero de grados, son multiplicados por



180

, para convertir la

medida a radianes. similarmente, la ecuación 1 radian = 180º/π es empleada para cambiar radianes a grados por multiplicación de la medida de radianes por 180º/π para obtener la medida en grados. las seis funciones trigonométricas básicas pueden ser definidas utilizando un círculo de ecuación x  y  r y un ángulo θ en posición estándar con su vértice en el centro de la circunferencia y su lado inicial a lo largo de la parte positiva del eje de las x (figura 1). 2


2

84

2

CBTis 215


figura 1 1.

sen 

2.

cos 

3.

tan  

4.

cot 

5. 6.

r

x r





sen

y x 2  y 2

x x 2  y 2 

cos  sen

1 cos 

x 

x



1 

sen

y x

cos  

sec  csc

y



r x r y





x 2



y 2

x x

2

 y

2

y

es esencial que usted se familiarice con los valores de estas funciones para los múltiplos de 30º, 45º, 60º, 90º y 180º (o en radianes, π/6, π/4, π/3, π/2 y π), (tabla 1). puede usted familiarizarse con la grafica de las seis funciones trigonométricas. algunas de las identidades trigonométricas más comunes que son utilizadas en el estudio del cálculo son las siguientes:


85

CBTis 215


1. sen2  cos2   1 2. tan 2   1  sec2  3. 1  cot 2   csc2  4. (  )  5. cos(  ) cos 6. tan(  ) tan  7. sen(  2 )  sen 8. cos(  2 )  cos 9. tan(   )  tan  10. sen( A  B)  senAcos B  cos AsenB 11. sen( A  B)  senAcos B  cos AsenB 12. cos( A  B)  cos A cos B  senAsenB 13. cos( A  B)  cos A cos B  senAsenB sen

sen



 







 

14.

tan( A  B) 

15.

tan( A  B) 

16. 17. 18. 19.

sen2



tan A  tan B 1  tan A tan B tan A  tan B 1  tan A tan B

2sen cos 2

2

cos 2  cos   sen 

20.

sen

21.

cos

2

1 2

2

1 2



2 cos2  1



1  2sen2





 

1  cos  2 1  cos 2

la relación entre los ángulos y los lados de un triangulo pueden ser expresadas usando la ley de senos o la ley de cosenos (figura 2)


86

CBTis 215


figura 2 senA

ley de senos o

a a

b2





a2

2





c2

c

c

senB

a

senC 

b

b

senA

ley de cosenos

senB 



b

2

senC c

2

 2bc cos A

ac cos B

2

c 2  a 2  b 2  2ab cos C

tabla 1

valores de múltiplos de 30º, 45º, 60º, 90º y 180º 4,/3, /2  . de las funciones trigonométricas medida de x medida de x seno de x en grados en radianes 0 0 0 30 π/6 ½

coseno de x

tangente de x

1

0 3

2


87

  ,/6,/

3 3

CBTis 215


45

π/4

2

2

2

60

π/3

90 120

π/2 2π/3

1/2

3 2

1

0 -1/2

3 2

135

3 π/4

2

2

-

2

150

5 π/6

1

2

3

indefinido -

3

-1

2

½

3

-

3

-

2

180 210 225 240 270 300

π 7 π/6 5 π/4 4 π/3 3 π/2 5 π/3

0 -1/2

2 2

7 π/4

-1/2

3

0 ½

3

2

indefinido 2

2

330

11 π/6

3

2

-1 -

1

2

2

315

3 3

-

2

0 3

-

2

-

-1

3

-1

2

-1/2

3

-

2

360

2π


3

0

1

88

3 3

0

CBTis 215


3. límites. 3.1. límite de una función. introducción al concepto de límite. en nuestra vida cotidiana encontramos con cierta frecuencia la palabra “límite” , ejemplos de esto es que cuando vamos en una carretera encontramos límite de velocidad o velocidad máxima 80 km/hr. otro ejemplo es el límite de carga en los vehículos que dicen capacidad para 5 personas, o bien, 750 kg. u otras capacidades según el tamaño del vehículo, en computación los discos que utilizamos tienen una cierta capacidad de almacenamiento, en física nos proporcionan prácticas de resistencia de materiales con resortes o con hilos de estaño, donde tenemos que analizar el límite elástico de los materiales, en ésta observamos cual es la máxima carga que puede soportar el resorte o el hilo de estaño sin deformarse, en óptica los telescopios tienen un máximo alcance, que si queremos ver más lejos no podremos, lo mismo sucede con nuestro organismo que tiene una cierta capacidad para digerir alimentos, así como estos ejemplos ¿puedes comentarle a tu profesor o profesora al menos cinco ejemplos diferentes?. escribe en este espacio los cinco ejemplo de límites de uso cotidiano para ti y discútelo con tus compañeros, externándolo con tu profesor o profesora: 1.- ______________________________________________________ 2.- ______________________________________________________ 3.- ______________________________________________________ 4.- ______________________________________________________ 5.- ______________________________________________________ limites el concepto de límite de una función es esencial en el estudio del cálculo. este es usado en la definición de algunos de los más importantes conceptos en calculo—continuidad, la derivada de una función, en la integral definida de una función—.


89

CBTis 215


definición intuitiva el límite de una función f  x  describe el comportamiento de la función para un valor particular de x. este no tiene necesariamente el valor de la función para un valor determinado de x. se escribe como lim f  x  L x c , y se interpreta como, cuando x se tiende a c, la función f  x  tiende al numero real l (figura 3). 

figura 3 en otras palabras, cuando la variable independiente x tiende a c, el valor de la función f  x  tiende a l. note que esto no implica que f (c) L ; en conclusión, la función puede no existir para c (figura 4), o puede presentar un valor diferente en l para c (figura 5). 

si la función no tiende a un numero real l cuando x tiende a c, el limite no existe; por esta razón, se escribe lim f ( x) NE (no existe). muchas x  c

situaciones diferentes pueden ocurrir en la determinación del límite de una función cuando este no existe al tender x a algún valor.


90

CBTis 215


figura 4

figura 5

Capacidad máxima 5 personas Máximo cupo de pasajeros 14 personas

Capacidad máxima 20 Toneladas

80 Km/Hr.

Máxima

Límite de velocidad

Nuestra alimentación tiene límite

La capacidad del disco duro es de 10 GB

estos son algunos de los ejemplos de límites que se nos presentan cotidianamente. llevando al límite la velocidad de natación: es necesario revisar las marcas establecidas en diferentes deportes durante el siglo pasado, lo


91

CBTis 215


cual muestra que los humanos continúan corriendo más rápido, saltando más alto y lanzando más lejos cada vez. ¿debido a qué? uno de los factores es el entrenamiento. los psicólogos están trabajando para identificar los sistemas del cuerpo humano que limitan el rendimiento y crear técnicas de entrenamiento que desarrollen esos sistemas. del mismo modo, los psicólogos del deporte trabajan con individuos y miembros de equipos para ayudarles a desarrollar el “flujo” mental que les permita alcanzar el rendimiento óptimo. los entrenadores han ideado mecanismos para controlar los cuerpos de los atletas y proporcionarles mucha más información sobre su propio rendimiento que la que era disponible hace apenas veinte años. el equipamiento también se ha perfeccionado notablemente a lo largo de los años. en algunos deportes el avance es evidente. las bicicletas son más ligeras y aerodinámicas que nunca. la mejora de pistas ha elevado la velocidad de los corredores, y las pértigas de aluminio han incrementado drásticamente la altura de los saltos. incluso deportes como la natación, sin equipamiento aparente, se ha beneficiado de la tecnología. el afeitado del vello corporal recortó en un segundo las marcas de los nadadores de 100 metros libres masculinos, y se espera que los nuevos tipos de trajes de baño reduzcan el rozamiento y mejoren aún más las marcas. ¿qué es el cálculo? es la matemática de los cambios, como son velocidades y aceleraciones. también son objeto de cálculo las rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y una gran variedad de conceptos que han hecho a los científicos, ingenieros y economistas de crear modelos para las situaciones de la vida real. aunque las matemáticas previas al cálculo también tratan las velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., existe una diferencia fundamental entre ellas y el cálculo. mientras que las primeras son estáticas, el cálculo es más dinámico. algunos ejemplos de esto son los siguientes:



en la aritmética y geometría euclidiana que es previa al cálculo permite describir el área de un rectángulo, en cambio para describir el área bajo la curva en general es necesario el cálculo.


92

CBTis 215




en geometría analítica se puede describir una recta tangente a un círculo, en cambio para describir la recta tangente a una gráfica en general es necesario el cálculo.  en geometría analítica se puede describir la pendiente de una recta, en cambio para describir la pendiente de una curva es necesario el cálculo.  para un objeto que se mueve con velocidad constante basta la aritmética y geometría euclidiana que es previa al cálculo, sin embargo si esta tiene movimientos acelerados será necesario el cálculo. estas situaciones involucra una estrategia general –la reformulación de las matemáticas que son antecesores al cálculo a través de un proceso de límite– de esta manera sí queremos responder la pregunta ¿qué es el cálculo?, sólo responderemos que es una “máquina de hacer límites”, considerando que se requieren tres estadios.

  

el primero son las matemáticas previas al cálculo, con conocimientos de pendiente de una recta o el área de un rectángulo. el segundo es el proceso del límite. el tercero es la formulación propia del cálculo.

para asegurar el entendimiento de la pregunta cuestiónese ¿cuáles son los datos? ¿qué se le pide hallar? luego piense en un plan de ataque del problema haciendo un esquema, resolviendo un problema más sencillo, trabajar hacia atrás, dibujar un diagrama, usar recursos tecnológicos, y otros más. ya hecho lo anterior, ejecute el plan. debe asegurar que responde a la pregunta. enuncie su respuesta en palabras y vea estimando si tiene sentido lo que encontró. luego piense si hay algún otro procedimiento que reduzca el esfuerzo para encontrar la respuesta a preguntas similares. algunas veces queremos aprender cálculo como si fuera un conjunto de fórmulas, esto nos ocasionará perder gran cantidad de comprensión, autoconfianza y satisfacción. la paradoja de zenón (el movimiento es imposible)


93

CBTis 215


para ir de un punto “p” a otro “q” hemos de recorrer primero la mitad de la distancia de p a q, después la mitad de la que queda, después la mitad de la que entonces queda, después la mitad del resto, y así sucesivamente. el “así sucesivamente”, implica que se puede repetir el proceso, y que hay que repetirlo un número infinito de veces. y por muy pequeñas que sean las distancias sucesivas, el recorrerlas, exige indudablemente un periodo finito de tiempo. y, como decía zenón, la suma de un número infinito de intervalos finitos de tiempo, es infinita. por lo tanto, nunca podremos ir de p a q por muy cerca que estén los dos puntos. se han puesto muchas posibles soluciones para esta paradoja. la que hemos de examinar atribuye el sofisma a la afirmación de que “la suma de un número infinito de intervalos finitos de tiempo, es infinita”. una de estas soluciones la tomaremos de la siguiente forma: supongamos que la distancia de p a q es de 100 metros, y que la recorremos a una velocidad de 100 metros por minuto. P

Q

100 metros

entonces el tiempo que se necesita para recorrer la primera etapa de nuestro viaje, la mitad de p a q es ½ minuto; el que se necesita para la mitad de la distancia que queda, ¼ minutos; para la mitad de la distancia que queda, 1/8 minutos; para la mitad de la distancia que queda entonces, 1/16 minutos y así sucesivamente. dicho de otro modo, el tiempo en minutos que tarda para ir de p a q es la suma de la serie infinita como la mostrada a continuación: 1 2

1 

4

1 

8

1 

16

1 

32

1 

64

1 

128

1 

256

1 

512

1 

1024



.

con esto podrás contestar la siguiente pregunta: ¿es infinita la suma de esta serie? justifica tu pregunta:_______________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ ____________________________ posiblemente te cueste un poco de trabajo comprender esta parte, pero te otorgamos una pequeña ayuda mediante gráficos, esto te


94

CBTis 215


permitirá ver si se aproxima a algún número finito y deducirás la pregunta anterior. 1

1 2

1 2



1 2

4

1 

1 

1 2

4

1 

1 2

1

4

1 

1 

4

8

8

1 

1 

8

16

1 

16

viendo la figura anterior nos muestra intuitivamente, que la suma se aproxima cada vez más a un límite, puedes anotar cual es el límite:__________________________ este es uno, pero nunca lo supera. en términos más precisos, se puede decir que sin más que tomar un número de términos suficientemente grande, se puede hacer que la diferencia entre nuestra suma y uno, sea menor que un número finito cualquiera, por muy pequeño que sea. por consiguiente el tiempo que se necesita para recorrer los 100 metros que hay de p a q, no es infinito, sino 1 minuto. podemos pues quedarnos tranquilos, ya que el movimiento no es imposible. es decir Cálculo Diferencial

95

CBTis 215


que las matemáticas vienen a corroborar, lo que tenemos que aprender cada día. de

acuerdo a lo anterior te ponemos como ejemplo la paradoja de aquiles y la tortuga para que lo desarrolles, el cual indica lo siguiente: aquiles le da 100 metros de ventaja a la tortuga, la velocidad de aquiles y la tortuga son de 10 metros por segundo y 1 metro por segundo respectivamente. ¿cuál será el límite de esta paradoja? para esto te sugerimos que te apoyes en gráficos y las pautas que te hemos proporcionado al inicio de este tema. espacio para el desarrollo del problema propuesto:

ahora bien vayamos a un problema real que fue tratado en el tema de funciones, en este tema se te propuso la construcción de una caja a partir de una cartulina cuadrada de 20 cm. de lado, donde tenias que recortar cuadros en las esquinas, esta actividad tiene un límite debido a la cantidad de material del que dispones, este límite es cuando no puedes construir la caja y los volúmenes se vuelven negativos. ¿cuál es el intervalo en el cual la caja existe?__ ________________________________________________________ ¿cuál es el límite de la construcción de la caja? __________________


96

CBTis 215


_________________________________________________________ _________________________________________________________ __________________ justifique su respuesta:_____________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ __________________ límite de una sucesión numérica. como una breve introducción presentamos un pequeño problema de células ideales, resuelto afortunadamente. el cual dice lo siguiente: demostrar que al año habrá 122 células, sabiendo que estas se reproducen a partir de una y tienen de una en una, gestan durante un mes y maduran para tener otra en otro mes. utilizaremos la siguiente simbología:

 

célula recién nacida. célula madura.

mes gráfica de la reproducción

conteo de células 1°  1 2°  1 3°   2 4°    3 5°      5 6°         8 7°              13 8°                      21 9°                                   34 10°                     55  le invitamos a que en base a su observación coloque en las filas 11º y 12º las células y el número de ellas. 11º 12º


97

CBTis 215


si lograste observar el comportamiento de los números, basta sumar dos números consecutivos para obtener el tercero, esta sucesión de números los matemáticos le llaman “serie de fibonaci” . la cual está formada por los siguientes números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ... , etc. sí esta serie de números te quedó clara, escribe los cinco números consecutivos de la serie anotada en el párrafo anterior, en esta línea: ________________________________________________________ ¿cuál será el último número?, comenta en tu equipo, a tu profesor o profesora cual es este y anótalo en este espacio: ______________ lo anterior quiere decir que haz definido el límite de la serie de fibonaci. bueno... esta serie de números guarda otro límite, el cual lo vamos a descubrir mediante el llenado de la siguiente tabla, este limite lo ocupan mucho los profesionales del arte y construcción, la prueba está que la proporción la encontramos hasta en la naturaleza. división del último resultado del cociente número por el anterior 1 1 1 2 1

2

3

1.5 2

1. 6

5 3

1.6

8 5

1.625

13 8

21 13

1.615384

34

1.619047

21 55 34 89 55

1.61764705882352941 1.618


98

CBTis 215


1.6179775280898876404494382022472

144 89 233 144

1.6180 5

377

1.6180257510729613733905579399142 233

1.6180371352785145888594164456233

610 377

1.6180327868852459016393442622951

987 610

1.6180344478216818642350557244174

1597 987

1.618033813400125234815278647464

2584 1597 4181 2584

1.6180340557275541795665634674923 1.6180339631667065295383879454676

6765 4181

tal parece que si seguimos construyendo esta tabla jamás tendremos definido el límite de esta sucesión, porque aparecen números cada vez más raros, sin embargo vamos a obtener dicho límite por proporciones a continuación: sea el segmento de recta que a continuación se muestra, la parta más gruesa “1” y la más delgada “x” y el total del largo del segmento es “1 + x”, nos queda: X

1

sí las partes son proporcionales la razón quedará: (1 + x)  1 1 x escrito de otra forma queda: 1  X 1



1 X

haciendo los productos cruzados es:

 X 1  X   11 Cálculo Diferencial

99

CBTis 215


X 2  X  1 X

2

 X  1 

0

resolviendo esta expresión por la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, siendo a = 1; b = 1; c = - 1 y la fórmula general es: X 

b

2

b  4ac 2a

sustituyendo dichos valores queda la expresión: X 

X 

1 

1

2

  

 4 1 1



21

1 

2

5

las soluciones son X 1

aproximadamente



1 2



5 2

y

X 2

1  

2

5 

2

.

x1 = 0.61803398874989484820458683436564

x2 = -1.61803398874989484820458683436564 por lo cual el límite de los cocientes de los números de fibonaci es aproximadamente: 1.61803398874989484820458683436564 debido a que 1 + x = 1 + x1, sustituyendo el valor encontrado queda: 1 + x1 = 1 + 0.61803398874989484820458683436564 1.61803398874989484820458683436564


100

CBTis 215

=


sí graficamos los cambios de los cocientes veremos una gráfica como la que se muestra a continuación:

1.5

1

1.6

1.7

1.8

1.9

2

si observa solo pudimos graficar hasta 13/8, si puede grafique hasta la última fracción de la tabla, pero como sabemos que ni el lápiz con la punta más aguzada logrará graficar todos los cocientes de los números de fibonaci pues le invitamos a que lo intente.



sugerimos para visualizar mejor este ejemplo: que vean la película de donald en el país de las matemagicas de walt disney.

en esta película se observa como los profesionales del arte, arquitectos, dentistas, musicos, etc., y en la naturaleza como presenta la sección aurea o dorada. sin embargo en esto último vemos que se puede visualizar tambien el concepto del límite. como actividad de estudio es conveniente que sepas cual es la bacteria que nos produce la enfermedad comúnmente llamada faringitis, esta es el staphylococus aureus, esta bacteria se duplica cada 3 horas, siguiendo la misma pauta del desarrollo de los números de fibonaci, haz Cálculo Diferencial

101

CBTis 215


un diagrama de árbol, determina la sucesión de números, determina la ley matemática con la cual se reproducen y determina el límite de la sucesión. como observó, para llegar a este concepto debemos situarlo sobre una escala numérica los puntos correspondientes a los términos de la sucesión, te invitamos a que hagas la gráfica de la siguiente serie de números y determines lo que se te pide. 1, 3 , 5 , 7 , 9 , ..., 2 - 1 , ... 2 3 4 5 n

si hacemos una tabulación dándole valores a n podremos ver con mayor facilidad la aproximación al límite de esta sucesión. n

2 1

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 3/2 5/3

el cálculo para 2 1 1

n=1

queda:

1

para n = 2 queda: 2



1 2



4 2



1 2



3 2

para 2



1 3




6 3



1 3

n = 3 queda: 

5 3

102

CBTis 215


calcule el límite de las sucesiones siguientes, utilizando la metodología antes usada: a) b) c) d) e) f)

1, ½, 1/3, ¼, 1/5, ... 1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25, ... 2, 5/2, 8/3, 11/4, 14/5, ... 5, 4, 11/3, 7/2, 17/5, ... ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, ... 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ... determina los valores que se indican en la tabla desde n = 4 hasta n = 20 en el siguiente espacio: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2 1

n

1 3/2 = 1.5 5/3 = 1.6

si anotas sus equivalencias en decimales ocupando una calculadora, ¿cuál es el límite de esta sucesión? ______________


103

CBTis 215


sin tener que hacer todo esto que hemos hecho, ¿podrás indicar los límites de las siguientes sucesiones de números indicadas en la tabla?: sucesión 3

5

límite

1 n

1 n

6 6

1

n

1 n



4

1 n

de la tabla indicada con números nos da por límite “2”, si “x” es una variable cuyo campo de variación es la sucesión 2  1 se dice que “x” se aproxima al límite 2, o bien que “x” tiende a 2, y se representa 2. n

x

la sucesión 2  1 no contiene a su límite 2, sin embargo, la sucesión 1, ½, 1, 5/6, 1, ..., en la que todos los términos impares son iguales a 1. por tanto, una sucesión puede o no contener a su propio límite. sin embargo, como veremos más adelante, decir que  a implica  a, esto es, se sobrentenderá que cualquier sucesión dada no contiene a su límite como término. n

x

x

4.5. límite de una función. si

x  2

según la sucesión

9/4, 25/9, 49/16, ..., ahora bien, si ; ...

2 1 10

2



2 1

n

,

f  x   x 2  4 según

la sucesión 1,

 , ... 2

1 n

x  2

según la sucesión 2.1; 2.01; 2.001; ...;

n

x 2  4 según

la sucesión 4.41; 4.0401; 4.004001; ...,

2 1 10

2 n

;

... parece razonable esperar que x 2 tiende a 4 siempre que tienda a 2. Cálculo Diferencial

104

CBTis 215


en estas condiciones se establece que “ el límite de x 2 cuando x tiende a 2 es igual a 4”, y se representa por el simbolismo lím x  4 . 2

x 2

determine el límite de y  X  2 , siendo “x” los términos de cada una de las sucesiones a) 1, ½, 1/3, ¼, 1/5, ...,

1

, ...

n

b) 1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25, ...,

1

n2

c) 2, 5/2, 8/3, 11/4, 14/5, ...,

, ...

5

1

, ...

n

d) 5, 4, 11/3, 7/2, 17/5, ...,

5

2

, ...

n

e) ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, ..., 2 

1 2

n

, ...

f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, ...,

3

1 10

n

, ...

4.6. límites por la derecha y por la izquierda. cuando x  2 según la sucesión 1, 3 2 , 53 , 7 4 , 9 5 , ..., 2 - 1n , ... , cada término es siempre menor que 2. se expresa diciendo que x tiende a 2 por la izquierda, y se representa por x  2 . análogamente, cuando ; ..., cada x  2 según la sucesión 2.1; 2.01; 2.001; ...; 2  1 

10

n

término es siempre mayor que 2. se expresa diciendo que x tiende a 2 por la derecha y se representa por x  2 . es evidente que la existencia f  x  implica la del límite por la izquierda lím f  x  y la del del lím x a x a 





límite por la derecha



lím f  x  , y que por ambos son iguales. sin

x a 

embargo, la existencia del límite por la izquierda (derecha). ejemplo: sea la función f  x   9  x 2 . el dominio de definición es el intervalo – 3  x  3. si a es un número cualquiera del lím 9  x intervalo abierto – 3  x  3, existe y es igual a x a 2



9  a 2 . considérese ahora que a  3 . si x tiende a 3 por la izquierda,


105

CBTis 215


lím

9  x

2





x 3

0,

9 x y si x tiende a 3 por la derecha, lím x 

3

existe, puesto que para x  3,

9 x

2

2

no

es un número imaginario. por

2

tanto, no existe lím 9  x . x3

2

análogamente, lím 9  x existe y es igual a 0; sin embargo, no 

x3

existen ni

lím 

x 3

9  x

2



0 ni lím


9 x

2

x 3

106

.

CBTis 215


3.2. propiedades. teoremas sobre límites. si f  x 

I.

c , constante, tendremos lím f  x   c .



xa

f  x   A y lím g  x   B , resulta: si lím x a x a 



II.

lím k  f  x   kA , siendo k una constante.

III.

lím f  x   g  x   lím f  x   lím g  x   A  B .

IV.

lím f  x   g  x   lím f  x   lím g  x   A  B

xa

xa

xa

lím

V.

xa

VI.

xa

xa

xa

f  x  g  x 

lím f  x  

xa

lím g  x  xa



xa

A B

, siempre que B  0.

lím n f  x   n lím f  x   n A , siempre que n A sea x a x a 

un



número real. estos teoremas de límites se ven un poco áridos, sin embargo son herramientas que debemos aprender para poder abordar la fórmula general de la derivada o derivada por definición o derivada por los cuatro pasos, que también es otra herramienta fuerte para resolver problemas sin tener que hacer algunas veces el uso de gráficos, tablas y algunos otros recursos. límite de una función. en la función definida por: f(x) = x 2. donde el dominio de la función (valores de x ), contenga todos los números reales. el límite de f(x) cuando “ x “se aproxima por ejemplo al valor de 10, será 100. lo cuál se presenta: lím f  x   lím x x 10

x10

2

lím10

2



 100

x 10


107

CBTis 215


y se lee “el límite de la función f(x) es 100 cuándo el valor de la variable x tiende al valor de 10”. existen diferentes casos para poder calcular el límite de una función, que son: caso I : si la función dada está simplificada, basta sustituir

directamente el valor a que tiende la variable independiente y realizar las operaciones indicadas, el resultado será el valor del límite buscado.

ejemplo 1: calcula el límite de la función: y = 2x + 6 cuando x  3 sustituimos el valor de “ x ” por 3 y realizamos las operaciones indicadas, y tenemos: lím f  x   lím2 x  6  23  6  6  6  12 x 3

x 3

“el límite de función y = 2x + 6 es igual a 12 cuando “ x ” tiende a 3” anota en tu cuaderno la función siguiente y obtén el límite sabiendo que:

y



x

2

 6 x  12

x  2

cuando

x 

2

¿qué resultado obtuviste?, coméntalo con tus compañeros y maestro. cálculo de expresiones indeterminadas. en ocasiones obtenemos expresiones indeterminadas cuando no se conoce su valor, por ejemplo: cuando se presenta el cociente 0/0. veamos unos resultados referente a esto: 3

1

3



 

0

1



2.7

0 3

2.7

0

?

0

0 

0

0



2.7

- 4.35

0

0 

?

0

según la primera lista el resultado da uno, ya que el numerador y el denominador son iguales. según la segunda lista el resultado es cero, ya que el numerador es cero.


108

CBTis 215




si lo hacemos con la calculadora esta marca error.



para calcular límites indeterminados con ayuda de la derivada, se deriva el numerado y denominador donde se sustituye en esta nueva fracción el límite.

Caso II : se da cuando es necesario primero simplificar la función

dada, antes de sustituir directamente el valor de la variable independiente, por que de lo contrario puede dar lugar a la forma indeterminada 0/0. la simplificación generalmente se obtiene factorizando las partes o expresiones que sean posibles de la función dada. 2

ejemplo 2: calcula el límite de la función y

X 

X





9

3

cuando

x 

3.

si sustituimos directamente el valor a que tiende la variable independiente, tenemos: lím f  x   lím x 3

x 3

x 2  9



x  3

32  9 33



99



33

0

(forma indetermin ada)

0

por lo tanto, será necesario primero factorizar la expresión; en éste caso el numerador y posteriormente habrá que reducir la expresión, luego sustituir el valor de la variable independiente:  x  3 x  3 x  9 lím f  x   lím  lím  lím x  3  3  3  6 x x x x x  3 x  3 2

3

3

3

anota en tu cuaderno la función:

3

y

x

2 



x

cuando “ x ” tiende a 8.

3x

2 



40

64

y calcula su límite

para esto tendrás que factorizar tanto el denominador como el numerador. caso III : este caso se da cuándo en la función dada es necesario

simplificar por medio de la racionalización de su numerador o denominador, antes de sustituir directamente el valor a que tiende la variable independiente de la función, por que si no, da lugar a la indeterminación 0/0. este caso se puede identificar fácilmente porque en la función aparece el signo radical.  


109

CBTis 215


x  1 1

ejemplo 3: calcula el límite de función f  x  

x

x  0 .

cuando

sustituimos directamente el valor de la variable independiente por 0, y tenemos: lím f  x   lím x0

x0

x  1  1

0  1 1 

1 1 

x

11 

0

0 

0

0

0

entonces será necesario primero racionalizar la expresión, antes de sustituir el valor de la variable independiente en la función: x  1  1

lím x 0

x

x

x  1  1  x  1  1 

x



  lím   x  1  1  x x

 

x

0

x  1  1

lím x 0

   lím   

0

 x  1  1

  lím  x  1  1  x x

   lím  x  1  1  x

x

1

x  1  1

0

0





x  1  1



después, sustituyendo “ x ” por 0 tenemos: 1 

0 1 1

1 

1 1

1 

11

1 

2

escribe en tu cuaderno la función: f  x   límite cuando x 2 .

3

x

2

4  x

5 2

y calcule su

para esto necesitarás primero racionalizar la expresión

límite de funciones con tendencia a infinito. si el límite de una función es infinito cuando su valor aumenta o disminuye infinitamente cuando x  c . es decir: lím f  x    x c


110

CBTis 215


o si una función tiende hacia el límite “l”, cuando la variable independiente “ x ” tiende al infinito, es decir: lím f  x   1 xc

podemos deducir que existen ciertos límites que se presentan generalmente, cuando la variable independiente “ x ” tiene el valor de cero ó infinito: a) lím x

c x

 0;

lím

b)

x 

x c



en esta situación se nos presenta el: caso IV: cuando en una función se obtiene la indeterminación / . ∞

∞

si la variable independiente tiende al infinito y se requiere encontrar el límite de una función expresada como un cociente de polinomios, será necesario dividir primero, el numerador y el denominador por la variable con mayor exponente que exista en cual quiera de ambos, antes de sustituir en la expresión el valor a que tiende la variable independiente.

5 x  3 x  8 4

ejemplo 4: obtén el límite de la función: tiende a infinito

y



3

8  3 x  6 x 2

4

cuando x

si sustituimos directamente, tenemos: lím x

5 x

4

 3 x  8

5

3

4

 3  8 3



8  3 x

2

 6 x

4

 

8  3

2

 6

4



por lo que será necesario dividir primero el numerador y denominador por x 4 , que es la variable que hay con el mayor exponente o término de mayor grado:


111

CBTis 215


5 x

lím x 

5 x

4



8  3 x

5 

 3 x  8 3

2



3

8 4

x 

 3 x  8

5 x

3

x 8  3 x

4

x

4

 6 x

2



4

x 8

lím x 

x

4

3 x

4



x 3 x

4

8

3



4



x

4



x

4

3 

4

x 6 x

2

5 

x 

4

x

4

4

x x 3 6

1 8

lím

8 



x

2





1

8 





6 x

4

lím

4



3  

2

4



6

500 006

5 

6

1.- escribe en tu cuaderno la función f  x   el límite, cuando “ x ” tiende a infinito.

x

4



8

3 x  2 x

4

y encuentra

2.- obtén el limite cundo x tiende a 6 de la función f  x  3.- encuentra el limite:

4.- encuentra el limite: lím x 3

x



2 

6 36

x  1

lím x 1

x 

1

3 x

3

2  x

x

2

x

2

2

x  3

8

2

comenta con tus compañeros y maestro los resultados que obtengas. evaluacion de límites los límites de las funciones son evaluados usando muy diferentes técnicas así como patrones de reconocimiento, sustitución simple, o simplificación algebraica. algunas de estas técnicas son ilustradas en los siguientes ejemplos. ejemplo 1: encontrar el límite de la secuencia:

1 2 3 4 5 6 , , , , , , 2 3 4 5 6 7

la razón de que el valor de la fracción incremente lentamente para cada término, es debido a que el numerador es siempre más pequeño que el


112

CBTis 215


denominador, la fracción tomará valores cada vez más cercanos a 1; por lo que, el limite de la secuencia es 1. ejemplo 2: evaluar lim (3 x  1) . 2 x 

cuando x es reemplazado por 2, 3x tiende a 6, y 3x-1 tiende a 5; por lo que, lim (3 x  1)  5 . x

2



ejemplo 3: evaluar lim x 3  

x 2

9

x3

.

sustituyendo –3 por x produce

0 0

, lo cual es una indeterminación.

primero factorizando y simplificando después, se encuentra que: lim x  3

x

2

9

x

3

= lim x  

( x  3)( x  3) ( x  3)

3

= lim (

x 

x  

3)

3

= 6 la grafica de el punto

x 2



9

puede ser la misma que la función lineal

x  3 (3,6) removido

y x 3 con 



de ella (figura 6).


113

CBTis 215


3

x



ejemplo 4 evaluar

lim x 

x 

2

5

x  3

3

.

sustituyendo 3 por x resulta

0 0

, lo cual es una indeterminación,

simplificando la fracción compleja, se encuentra que: x



lim x 

3

x 

2

x 

3 5

3

x

=



3

2 x  6 5  5( x  2) = lim 5 x  3( x  2) = lim 5( x  2) x  3 5( x  2)( x  3) x  3 5( x  2)( x  3) x  3

x 

= lim3 x 

2

2( x  3) 5( x  2)( x  3)

= xlim3 

2 5( x  2)

=

2 25

de otra forma: 3

x

x



lim x 

3

x 

2



5

x  3

= lim3 x 

x 

2

3 5 x  3( x  2) 5( x  2) 5 

3

x 

x 

3)

2 x  6

5 x  3 x  6)

= lim3 x 

5( x  2) x 

= lim3

3

x 

5( x  2) ( x  3)

2( x  3)

= lim3 5(

2) ( x  3) x 

x 

= lim3 x



2( x  3) 5( x  2)( x  3)

= xlim3 

2 5( x  2)

1

si reemplazamos a x por 3, resulta, = ejemplo 5: evaluar

lim x

x

 0 x

5

2 25

.

sustituyendo 0 por x resulta 0/5=0, por lo que,

lim x 

ejemplo 6: evaluar

lim

x



0

x  5 x

0 x

x



0

5

.

sustituyendo 0 por x resulta 5/0, lo cual es una indeterminación; por lo x  5 que xlim0 ne. (recuerde, el infinito no es un numero real). 

x

limites por un lado


114

CBTis 215


para algunas funciones, es apropiado observar el comportamiento de los límites por un lado solamente. si x tiende a c por la derecha solamente, se escribe

lim f ( x) x



c

o si x tiende a c por la izquierda solamente, se escribe

lim f ( x)

x  c 

esto es, luego, igual que

lim f ( x)

x  c

sí y solo sí

lim f ( x)  lim f ( x)

x  c



x  c



ejemplo 7: evaluar

x

lim x

 0



.

cuando x tiende a 0 por la derecha, este siempre es positivo; es tomado tan pero tan pequeño, que lim  0 . por lo que sustituyendo 0 x

x

x 

0



por x se puede obtener el mismo resultado, el siguiente ejemplo ilustra porque este método no siempre es apropiado. ejemplo 8: evaluar

lim x  0



x

.

cuando x tiende a 0 por la izquierda, este siempre es negativo, y no existe, en esta situación, lim ne. así, note que xlim x ne porque x

x

x  0

lim x 

0



x 

0  lim x 

0



x





0

ne.

ejemplo 9: evaluar


115

CBTis 215


1.

x  2

lim

2

2.



2

lim

2

3.





x  2 x  2

2

lim

2

x  2 x  2

2

x  2

1.- como x tiende a 2 por la izquierda, x-2 es negativo , y x  2  ( x  2) ; por lo tanto, recordar que el valor absoluto se define como x

 x, si x es negativo y   x, si x es positivo x 

lim

22



x 

2

(

 x  

2

2)

1

 

( x  2)

2.- como x tiende a 2 por la derecha, x-2 es positivo, y lo tanto, lim

22

3.- como

x

2

x

2

x 

lim

2  2 x 

2 2



( x  2) x

2



2



x



2

: por

1

x 

1  lim

x

 

2  2 x 

2 2



1,

por lo tanto

lim

2  2

x  2 x  2

ne.

limites infinitos algunas funciones desaparecen en la dirección positiva o negativa (incrementa o disminuye sin limite) para ciertos valores de la variable independiente. cuando esto ocurre, se dice que la función tiene un limite infinito; el cual se escribe; xlimc f ( x)   o xlimc f ( x)   . note también 

que la función tiene una asíntota en es verdad.



x



c

si uno de los limites anteriores

en general, una función fraccionaria puede tener un límite infinito si el límite del denominador es cero y el límite del numerador es diferente de cero. el indicador de un limite infinito esta determinado por el indicador del cociente del numerador y el denominador para valores cercanos al número al que la variable independiente tiende.


116

CBTis 215


ejemplo 10: evaluar

1

lim

x

x  0

2

como x tiende a 0, el numerador es siempre positivo y el denominador tiende a 0 y es siempre positivo; por lo que , la función incrementa sin limite y

lim x



0

1 x

2

 

. la función tiene una asíntota vertical en

x



0

(figura

7).

ejemplo 11: evaluar

lim x

 2



x

3

x

2

.

como x tiende a 2 por la izquierda, el numerador tiende a 5, y el denominador tiende a 0 desde valores negativos, por lo tanto, la función 3 decrece sin limite y lim   . la función presenta una asíntota en x

x 

x



2

2



x

2

.


117

CBTis 215


ejemplo 12: evaluar

x

1 reescribiendo   2 

 x

igual a

  1 x

x

3

1   1   . 3  0   x 2 x 

lim

1 

 como

x  3

una expresión fraccionaria equivalente es

, el numerador tiende a –1, y el denominador tiende a 0

desde valores positivos cuando x tiende a 0 por la derecha; por lo tanto, la función decrece sin limite y

1   1     . 2 3 x   x

lim 

x

0

la función presenta una

asíntota vertical en x  0 . una palabra de cuidado: no evaluar los limites individualmente ni restar porque   no es un número real.


118

CBTis 215


usando este ejemplo, 1  1 1  1  3   lim 2  lim 3         2 x  0 x  x x  x  0 x

lim 

x  0

lo cual es una indeterminación. limites al infinito los límites al infinito son empleados para describir el comportamiento de funciones donde la variable independiente incrementa o disminuye sin límite. si una función tiende a un valor numérico l en cualquiera de las situaciones anteriores, se escribe x

lim f ( x)  L o lim f ( x)  L x   

 

y f ( x) se dice que presenta una asíntota horizontal en y = l. una función puede tener diferentes asíntotas horizontales en cada dirección, tiene una asíntota horizontal en una dirección solamente, o no tener asíntotas horizontales. ejemplo 13: evaluar

3 . x    x  5 x  1 2 x

lim

2

2

el término con mayor exponente en x en el numerador y denominador, se toma como factor común en numerador y denominador para cada término. y se encuentra que (recordar que

n 

0, donde

n es cualquier número



real) 2 x

lim x   

x

2

2



x

3

 5 x  1

=

2

(2 

3 x

lim x   

x

2

(1 

5



x

como y



3  2, x    x 2  5 x  1 lim

2 x

) 2 1 x

2

2

= )

x

lim x   

3

1

5

2

1 

x

x

= xlim

 

20 1 0  0

= xlim

 

2 1



2

2

2

la función presenta una asíntota horizontal en

2


119

CBTis 215


ejemplo 14: evaluar

x

lim x  

5 x 4



3



2

3 x 3



2 x

.

tomamos a x 3 como factor común en el numerador y a denominador, con lo cual nos resulta:

lim

x

x  

5 x 4

= 0 



3



x

2

3 x 3  2 x

=

3

(1 

2 x

lim x   

x

4

(5 

3

3

) 2



x

x

3

2

=

) 3

2

(1 

x

lim x   

x

(5 

3 x

3



1

) 2 x

x

) 3

=

4

en el

2

3  1  x     x   5  3  2

lim x

x

x

3

1 0

  1   = 0   0  5  0  0   5 

por lo tanto, como horizontal en

x

lim x

 

5 x

4

 3 x

3

 

2 x

0

, la función presenta una asíntota

y  0


120

CBTis 215


ejemplo 15: evaluar

lim x  

9 x

2

x  2

.

tomamos a x 2 como el factor común en el numerador y a denominador, resultando:

x

en el

      9 x 9  9 x  =   9  =  9 =   . lim lim x = = lim    x 2 2  x  2  (1  0)  ) x (1   (1  )  x  x  2

2

 

x   

x

puesto que este limite no se aproxima a ningún valor real, la función no presenta ninguna asíntota horizontal cuando x tiende a   .

ejemplo 16: evaluar

lim x  

x 3  x 2

x

3

.

considerando a   como el factor común de la función, resulta:


121

CBTis 215


lim x   

=



x

lim

3

x

 x

3

2

 3 x

=

lim x 3 (1 

x  

(1) =  por

1



x

lo tanto

x   

1

x

) = lim x 3 lim (1  2

lim x   

x  



x

3

 x

2

x 

1

x



1

x

2

) = lim

x

3

(1  0  0)

x   

 3 x  

como en el ejemplo previo, esta función no tiene una asíntota horizontal cuando x disminuye hasta .  

limites que involucran funciones trigonometricas las funciones trigonométricas seno y coseno tienen cuatro importantes propiedades de limites lim sen x  sen c

x



c

lim cos x  cos c

x



c

lim x 

0

lim x



0

sen x

1

x

1  cos x



0

x

estas propiedades pueden ser utilizadas para evaluar muchos problemas que involucran las 6 funciones trigonométricas básicas. ejemplo 17: evaluar

lim x



0

cos x

sen x  3

.

sustituyendo 0 por x, usted encuentra que cos x se aproxima a 1 (por lim  )y sen x-3 se aproxima a –3 (por xlimc cos x  cos c ); por lo sen x

sen c

x  c



tanto: Cálculo Diferencial

122

CBTis 215


lim

x



0

cos x

 

sen x  3

ejemplo 18: evaluar cot x 

cos x

3

lim cot x x 

dado que

1

0

.

, entonces el problema se traduce en

lim x 

sen x

cos x

0  sen x

. el

numerador tiende a 1 y el denominador tiende a 0 para valores positivos porque el acercamiento a 0 esta definido para el cuadrante i; por lo que, la función incrementa sin limite y lim cot   , y la función presenta x

x 

una asíntota vertical en

x



0


0

.

123

CBTis 215


ejemplo 19: evaluar

lim x 

0

sen

4 x

.

x

multiplicando el numerador y denominador por 4 resulta lim x 

0

sen

4 x

 lim

4 sen 4 x

x  0

x

4 x

sen 4 x sen x    4   lim por la propiedad 1 lim  lim x 0   0   0 4 x x x

4

lim x 

0

sen



x

1



4 x 

4

x


124

CBTis 215


ejemplo 20: evaluar dado que

sec x

1 

cos x

lim x

x 

0

sec x 1



lim x 

x

.

1  cos x

1

cos x

0

x

0

, se encuentra que

1

lim



sec x  1

=  lim x

x



cos x x

0

que reduciendo

1 

lim x 

0

1  cos x x

cos x





1

con   como factor común (factorizando) cos 

x



 1  1  cos x      0  cos x      x   1  cos x  1  cos x 1      lim   lim lim por la propiedad  x 0 x x    0 cos x    0 

lim

x

x

1

lim

x



0

x

0

0



sec x 1





x



0


125

CBTis 215


3.3. continuidad de una función. continuidad una función f ( x) se dice que es continua en un punto (c, f(x)), si todas y cada una de las siguientes condiciones son satisfechas: 1. 2.

f (c) existe

(c esta en el dominio de f). lim f ( x) existe y x c 

3.

lim f ( x)  f (c) .

x  c

geométricamente, este lugar no es un espacio en blanco, una división, o una ausencia de punto para f ( x) en c y un lápiz puede moverse a lo largo de la grafica de f ( x) hasta (c, f(c)) sin levantarlo y hasta el final de la grafica. si esto ocurre se dice que la grafica es continua en (c, f(c)) por la derecha si xlimc f ( x)  f (c) y continua en (c, f(c)) por la izquierda si 

lim f ( x)  f (c) .

x



c



muchas de nuestras funciones comunes como la lineal,

cuadrática y otras funciones polinomiales: racionales, y trigonométricas son continuas para cada punto de su dominio. una función especial que es usada a menudo para ilustrar limites por un lado es la función parte entera. la función parte entera, [x], es definida como aquella que es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda en cada entero. algunos valores de [x] para valores específicos de x son: [2] = 2 [5.8] = 5 1 [-3 ] = -4 3

[0.46] = 0


126

CBTis 215


la función parte entera es continua para cualquier entero n por la derecha solamente porque f (n)  n  n

y

lim f ( x)  n

x  n 

pero

lim f ( x)  n 1 ,

x



n

por lo que,

y

lim f ( x)  f n 

x  n 

f ( x)

no es

continua para n por la izquierda. note que la función parte entera es continua por la derecha y por la izquierda para cualquier valor decimal de x. ejemplo 21: discutir la continuidad de f  x   2 x  3 en cuando la definición de continuidad es aplicada a encuentra que 1. 2. 3.

x

4

 

f ( x)

. en

x

4

, se

f ( x)

es

 

f  4   5 lim x  4

lim

x  4

f  x  



  5

lim 2 x  3

x  4

f  x   f  4  ,

continua para

x

por lo tanto podemos asegurar que 4

 

.


127

CBTis 215


ejemplo 22: discutir la continuidad de f  x  

x

2



4

x  2

en

x



2

.

cuando la definición de continuidad es aplicada a f ( x) en 2 , se encuentra que f 2 no existe; por lo que, f ( x) es discontinua para 2. x



x

 x 2  4 ejemplo 23: discutir la continuidad de f  x    x  2 , x  2 en  4, x  2

cuando la definición de continuidad es aplicada a encuentra que


128

f ( x)

x

en



2

x



.



2

, se

CBTis 215


1.

f 2 



4

 x 2  4   x 2 x  2   lim  f  x   lim  2. lim  lim  x  2   lim f  x   4 2 x x x 2 x  2   x  2   2

3.

lim

x  2

x 2



x

2

f  x   f 2 

por lo tanto

f ( x) es

continua en

x



2

.

ejemplo 24: discutir la continuidad de f  x 



x en

x



0

cuando la definición de continuidad es aplicada a encuentra que 1. 2. 3.

.

f ( x)

en

x



0

, se

f 0  0 lim f  x   lim x

x 0

lim x 0 

x 0

NE ,

por que

lim x  0 ,

x 0 

pero

lim

x

NE

x  0 

f  x   f 0 

por lo tanto,

f ( x) es

continua para


x 

0

por la derecha solamente.

129

CBTis 215


5  2 x, x  3 en 2 x  x   2 , 3 

ejemplo 25: discutir la continuidad de f  x   

cuando la definición de continuidad es aplicada a encuentra que a. b.

f  3   3 lim x3

f  x  

lim x  3



2

lim x 3

por lo que c.

2

f ( x)

x

en

3

 

x

. 3

 

, se

 11

5  2 x   11 y para

lim x 3

lim f ( x)  11 porque

f  x   lim

x3

x  3 

lim x 3

f  x  

x 2  2 lim

x  3

 11

f  x 

f  x   f  3

por lo tanto,

f ( x) es

continua para

x

3

 

.

muchos teoremas en cálculo requieren que las funciones sean continuas en intervalos de números reales. una función f ( x) se dice que es Cálculo Diferencial

130

CBTis 215


continua en un intervalo abierto (a, b) si f ( x) es continua para cada punto c  a, b  . una función f ( x) se dice que es continua en un intervalo cerrado a, b si f ( x) es continua en cada punto c  a, b y si f ( x) es continua para por la derecha y continua para b por la izquierda. a

ejemplo 26: a. f ( x)  2x  3 es continua en    porque cualquier punto c   , . ,

b.

f ( x ) 

x  3 x  4

f ( x ) 

x  3 x  4

continua para

es continua en  ,4 y  4, porque

continua para cualquier punto

c.

f ( x) es

no es continua en

continua para

4

c   ,4 y

(,4]

o

f ( x)

 4, .

[4,) porque f ( x) no

por la izquierda o por la derecha.


131

es

CBTis 215

es


d.

f ( x )  x

es continua en [0,) porque f ( x) es continua para cualquier punto  0, y es continua para 0 por la derecha. c

e.

continua en  , porque cualquier punto     .

f ( x)



cos x es

c


f ( x) es

continua para

,

132

CBTis 215


f.

f ( x)  tan x es

continua en   0,   porque 

2 

f ( x) es

continua para

cualquier punto c    0,  . 

 2 

g.

f ( x)  tan x no

para

 2

 es continua en   0,  porque

 2 

f ( x) no

es continua

por la izquierda.


133

CBTis 215


h.

f ( x)  tan x es

continua en   0,  porque 



2 

f ( x) es

continua para

cualquier punto c    0,  y es continua para 0 por la derecha. 

 2 

i.

f ( x) 

2 x x

2



5

es continua en  , porque

cualquier punto

f ( x) es

continua para

c   , .


134

CBTis 215


j.

x 2 

es continua en  ,2 y 2,  porque  x 2 para cualquier punto   ,2 y  2,  . f ( x)





f ( x) es

continua



c

k.

c

x  2

no es continua en (,2] o [2,) porque  x  2 continua para 2 por la izquierda o por la derecha. f ( x ) 


135

f ( x) no

CBTis 215

es


continuidad de una función. una función será continua para cierto intervalo de “ x ” si su gráfica no presenta ningún vacío o salto, sino, es una función discontinua:

función continua

función discontinua

para que una función “f(x)” sea continua para un valor de x = c , se deben de cumplir las tres condiciones siguientes: 1.- f(c) esté definida. f  x  exista. 2.- lím x c 

f  x   f c  3.- lím x c 


136

CBTis 215


ejemplo: determinar si la función f(x)=x 2+3 es continua en x=5 1º. si f(x) = x 2 + 3 para f(5) = (5)2 + 3 = 25 + 3 = 28 sí f(5) = 28, por lo tanto, la función sí está definida. 2º.



lím x x5

2



3  5

2



3  25  3  28

f  x   28 , por lo tanto, el límite existe. sí lím x 5 

f  x   f c  3º.- lím x c

28 = 28, por lo tanto, la función sí



es continua. en x = 5 porque se satisfacen las tres condiciones dadas. determina si la función y = 5x 2 + 3x es continua en x = - 2 vi. funciones con discontinuidad evitable. existen situaciones en donde la discontinuidad de una función puede ser “evitable” esto resulta cuando la discontinuidad se presenta para un valor determinado de la variable independiente (un punto vacío). ejemplo: determina si la función

x

y



x

1º si f  x 



x x



2 

4 16

es continua en x=4

4



2



16

para f(4) = f 4 

44 4

2



16



0 16  16



0 0

esto resulta en una indeterminación y al no estar definida f(4), la función es discontinua en el punto x = 4. sin embargo, la discontinuidad de la función en x = 4 es evitable si la función se puede hacer continua volviendo a definir la función en x = 4. para lo cual se factoriza la expresión del denominador; tenemos:


137

CBTis 215


f  x 

x 

x

4



2



16

=

x

4

de

( x  4)( x  4)

lo

cual

resulta

1

 

g x

x



4

comprobamos ahora si la función es continua: 1º.- f(x)= f  x  g 4 

1 44

2º. lím x 4

si x = lím f  x   x 4

1 

x x

2

8 



x x



2



4 16



 

g x

1 x  4

por lo tanto, si queda definida

4

 16

por tabulación obtenemos:

3 3.5 3.9 3.99 4 4.01 4.1 4.5 5 0.1 0.1 1.12 0.125 0.125= 0.124 0.12 0.1 0.11 4 3 6 1 1/8 8 3 2

por lo tanto, el límite a que tiende la función es igual a 0.125=1/8, cuando “ x ” tiende a 4 y sí existe. f  x  3º. f c   lím x c 

1/8=1/8; por lo tanto, la discontinuidad de la función, si fue evitable para x = 4.

determine si la función

y

x

2 



x



49 7

es continua para x = 7

si es discontinua, determina si su discontinuidad es evitable:


138

CBTis 215


4. derivada. 4.1. razón de cambio promedio e interpretación geométrica. la derivada Una de las aplicaciones más importantes de límites es el concepto de la derivada de una función. En cálculo, la derivada es utilizada en una gran diversidad de problemas, y su entendimiento es esencial para su aplicación en algunos problemas. definición La derivada de una función como lim

 x 

0

y  f ( x) en

un punto

( x, f ( x)) es

definida

f ( x   x)  f ( x)  x

Si este límite existe. La derivada es denotada por f ( x) , que se lee “ f prima de ” o “ f prima en ,” y se dice que f es diferenciable en si este limite existe (Figura 9). x

x

x

( x   x), f ( x  x)

f ( x  x)

 f ( x   x)  f ( x)  x

f ( x)

 x, f ( x) ( x  x)

x

Si una función es diferenciable en , luego esta puede ser continua en pero lo inverso no necesariamente es verdad. Esto es, una función puede ser continua en un punto, pero la derivada en este punto puede x


x

139

CBTis 215


1

no existir. Por ejemplo, la función f  x  x es continua en la totalidad de su dominio para los números reales, pero esta derivada no existe para 3



x



0

. (para

x



0

es

d

1

x 3

dx

1 

3

3 x

1 2



NE

0

, lo cual claramente deja ver que

no existe) Otro ejemplo es la función f  x   x  2 , la cual es continua en la totalidad de su dominio para los números reales pero no es diferenciable para x  2 . Lo cual es visible en el siguiente gráfico.

La relación entre la continuidad y diferenciabilidad puede ser resumida de la siguiente manera: Diferenciabilidad implica continuidad, pero continuidad no implica diferenciabilidad. Ejemplo 1: Encontrar la derivada de f ( x   x)  f ( x)  x




( x   x) 2

f  x  x 2

 5  x

2



5 en

el punto 2, 1 .

5

 x

140

CBTis 215








x 2

2

 5  x



2 x   x

 2 x x   x

2

5

 x

2 x x   x

2

 x  x( 2 x   x )  x

f  x   x   f  x   x

f  x  

lim  x  0

2 x   x  2 x

f 2  2  2  4

Por lo tanto, la derivada de f  x



x 2



5

en el punto 2, 1 es 4.

Una interpretación de la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en este punto. La derivada puede ser también entendida como el límite de la pendiente de la recta secante que tiende a un punto fijo sobre la curva hasta llegar a convertirse en tangente de la curva en este punto. Si este limite existe, este es definido como la pendiente de la recta tangente en un punto fijo ( x, f ( x)) sobre la grafica de y  f ( x) . Otra interpretación de la derivada es la velocidad instantánea de una función que representa la posición de una partícula a lo largo de una recta en un tiempo t , donde y st  . La derivada puede ser entendida como el límite de la velocidad promedio entre un tiempo fijo y otro tiempo que tiende a ese tiempo fijo. Si este límite existe, este es definido como la velocidad instantánea en un tiempo t para la función y  st  . 

Una tercera interpretación de la derivada es la tasa de cambio instantánea de una función en un punto. La derivada puede considerarse como el límite de las tasas de cambio promedio entre un punto fijo y otro punto de la curva que se acerca más y más al punto fijo. Si este límite existe, este puede ser definido como la tasa de cambio instantáneo en el punto fijo ( x, f ( x)) sobre la gráfica de y  f ( x) . Ejemplo 2: Encontrar la velocidad instantánea de st   t  3 .


141

1 t  2

en el tiempo

CBTis 215








s t  t  s t

t

1 

t  t  2



1 t  2

t  2  t  t  2  t  t  2t  2   t

t

1



t  2  t  t  2 t t  2t  t  2





 t t t  2t  t  2





s t 



t  2  t  t  2 t  2  t  t  2  t t  2 t  t  2  t t  2 t  t  2  1

t  2t  t  2

1

lim

t  2t  t  2

t  0

1

t  2 , y sustituyendo el valor de t en ella nos resulta 2



s  3 

1

t  2

2



1

5

2



1

25

Por lo tanto, la velocidad instantánea de st  

1

para

es 

1

. La 25 t  2 velocidad negativa indica que la partícula se esta moviendo en la dirección negativa. t  3

Varias notaciones diferentes se emplean para representar la derivada de una función y  f ( x) con f  x  como la representación más común. dy df df  x  Algunas otras son y , , , , D x x f , y D x f  x  , y usted estará en 

dx

dx

dx

posibilidad de utilizar cualquiera de estas en problemas selectos. la derivada


142

CBTis 215


4.2. derivación de funciones. Regla de los cuatro pasos de derivación.

Para realizar de una manera más óptima la determinación de la recta tangente en un punto determinado, se efectúa mediante los siguientes pasos: 1. Se adicionan los incrementos de ambas variables, efectuando las operaciones que se indiquen. 2. A la expresión anterior se le resta la función inicial, para obtener la razón de incremento únicamente. 3. Posteriormente a la diferencia se divide entre el incremento de x dando en el primer término la condición de derivada. 4. Finalmente si aún quedaran términos de incremento en el segundo término se determina el límite del incremento de x cuando tiende a cero.

y



f ( x)  x 2

 5 x  8

1er . paso, y   y



 x   x 2  5 x   x   8  y   y  x 2  2 x x   x 2  5 x  5 x  8

a) 2do. paso, y  y   y  x 3er , paso,

4to, paso,

 y



2

2

 x  2 x x   x  5 x  5 x  5 x  8  8 

2 x x   x 2  5 x

 x



 x

lim  x 

2

0

2 x   x  5 


 y  x

 y  x





2 x x   x 2  5 x

2 x   x  5

2 x  5

143

CBTis 215


Derivación de funciones por la regla general: dadas las funciones y



4x  3

1er. Paso

y   y 

4( x   x )  3

y   y 

4 x  4 x  3

 y  4 x  3

2do. Paso

 y 

 y

3er. paso

 x

 y  x





4 x 4 x  x

4

Hallar las coordenadas del vértice de la parábola

y



x 2  4 x  1 usando

hecho de que el vértice de su tangente es cero.

X

Parábola

Y -8

97

-6

61

-4 -2

37 13

0

1

2

-3

4

1

6

13

8

33

120 100 y e d s e r o l a v


80 60 40 20 0 -10

-5

0

5

10

-20 valor de x

144

CBTis 215

el


Aplicando los conceptos de la regla de derivación, se obtiene: 1er . Paso y   y   x   x   4 x   x  1;  y   y  x  2 x x   x  4 x  4 x  4 x  1  1 2

2

2

2

2

2

2

2do. Paso y  y   y  x  x  2 x x   x  1  1   y  2 x x   x  4 x  y

3er . Paso

2



2 x x   x  4 x

 x

 x

lim

4to. Paso



 x 

0

 y  x

2 x   x  4 

 y  x





2 x   x  4

2 x  4

Si la pendiente es igual a cero se resuelve la ecuación 2x - 4 = 0, resultando que

4 x





2

2

Posteriormente para encontrar el valor de la ordenada se substituye la abscisa en la ecuación de la parábola

 

2

y  x  4 x  1  2

2



   1  4  8  1  3 .

4 2

Vértice con coordenadas (2,-3) Realice las siguientes derivadas por medio de la regla general: 1) y = 8 x – 5

sol. 8

2) s = t2 – 3 t + 6

sol. 2 t – 3

a

3) y =

sol.

x  a

4)

y



5)

y



x2



1

sol. x

sol.

6) y = ( m + m x ) 2


1 x

x

a

( x  a )2

4

2

x



2

sol. 2 m2 + 2 m2 x 145

CBTis 215


7)

8)

y

y

x 5



2 

sol.

sol.

sol.

x

9)

y

3 

ax

10) y = 2x ( a2 – x2 )

1 2

x

5

1 x x

1 33 ( ax ) 2

sol. 2 a2 – 6 x2

En la vida cotidiana las rectas tangentes a una curva u objeto podrán observar de muy diferentes maneras, como son el punto de contacto de la rueda de un automóvil, patineta.


146

CBTis 215


El deslizamiento de un tobogán de Acuapolis, tiene la forma de un arco de hipérbola de ecuación

y

8 

x  2

como se puede apreciar en las figuras

siguientes: Calcula la pendiente del tobogán a los 3, 4, 5 y 6 m de la vertical del lanzamiento. Solución: en primer lugar se obtiene la derivada de la expresión, siendo: y ,

8 ( x  2) 2 



Para x = 3 resulta

y

,



Para x = 4 resulta

y ,

Para x = 5 resulta

y

Para x = 6 resulta

y

,

,

m3

 

25 

m4





m5





m6





8

8

36 

8

49 

8

64

De acuerdo a los resultados de las pendientes, determina el ángulo de inclinación para cada caso:


147

CBTis 215


Tobogan 4.5 4 3.5 3 a r u t l a

2.5 2 1.5 1 0.5 0 1

2

3

4

5

6

7

despazamiento horizontal

En base a los datos anteriores como explicarías la finalidad de este tipo de diseño, en relación a la velocidad de desplazamiento. Un cable de suspensión de un puente está sostenido por dos pilares (soportes) que distan 250 pies.

Se considera que tiene una forma

parabólica, con su punto más bajo de 50 pies por debajo de los puntos de suspensión. Hallar el ángulo entre el cable y el pilar. 250 pies

50 pies


148

CBTis 215


Solución: se considera al punto más bajo como el origen del vértice de la parábola V=(125,50) obteniéndose la ecuación de la parábola de 2 y



625

x

2

. Posteriormente se determina la derivada

dy dx



4 x 625

que

equivale a la pendiente. En el punto del vértice (125 , 50 ), se substituye dando como resultado 4(125)

500 

625  90o 



625

0.8 y el ángulo  es 38o 40´´ por lo tanto el ángulo requerido es :



 51o 20, 

Determinar las ecuaciones de la tangente y la normal de la expresión: y



 x 1 

3

3- x

, para los puntos:

A ( -1 , 0 ) B(2 ,3 ) C(3, 0 ) Se obtiene el valor de la derivada

8 - 4x

dy dx



3 3 3 - x 

2

La pendiente m que será válida resulta de sustituir el valor del punto dx

2

8 - 4(-1)

dy 

3 3 3 - (-1)

2



3

2

Posteriormente se subtituyen los valores en la ecuación de la recta: ( y - y1 )



m ( x - x1 )


149

CBTis 215


El punto A ( -1 , 0 ) resulta,

( y-0) 3

2 2

( x - (-1) )



ecuación de la tangente : y



3

4 ( x  1)

Para la ecuación de la normal solo se substituye la pendiente inversa.

( y-0)



3

2

2

( x - (-1) )



3

ecuación de la normal : y



-

2 2

( x  1)

Realice para los dos puntos restantes el proceso anterior: Para el punto B ( 2, 3 ) Para el punto C ( 3, 0 ) CONCEPTO DE VELOCIDAD

Suponiendo que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta de manera horizontal de acuerdo a la ecuación del movimiento s f (t ) 

donde (s) es el desplazamiento (distancia originada) del objeto respecto al origen, en el instante (t) . La función f se describe el movimiento, que se conoce como función de posición del objeto. En el intervalo ( t = a ) hasta ( t = a + h ) , el cambio de posición es f (a  h)  f (a) se representa dicho proceso a continuación.

Posición a t t=a

posición a t t(a+h)

S f(a)

f (a  h)  f (a) f(a+h)


150

CBTis 215


La velocidad promedio =

desplazami ento



f (a  h)  f (a )

tiempo

h

que es la secante.

Cuando calculamos la velocidad promedio sobre lapsos a, a  h más y más cortos. En otras palabras, hagamos que la (h) tienda a cero. Se obtiene la derivada: V (a) 

límite h



0



f (a  h)  f (a) h

Dando el significado que la velocidad en el

instante t = a es igual a la pendiente de la recta tangente. Ejemplo: Se registraron las lecturas en °C cada hora a partir de la media noche, en el mes de diciembre en el valle de Toluca. El tiempo ( x ) se mide en horas a partir de la media noche. Como se muestra en la siguiente tabla. t x(h) (ºC)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

6.5 6.1 5.6 4.9 4.2 4 4 4.8 6.1 8.3 10 12.1 14.3 16 17.3 18.2 18.8 17.6 16 14.1 11.5

GRAFICA DE TEMPERATURA

R

15

A

T

Cº 10 P

E

5

E

0

T

M

R

U

20

A

E

N


0

10

20

30

TIEMPO EN HORAS

151

CBTis 215


21 10.2 22 9 23 7.9 24 7 a) Encuentre la razón promedio de cambio de la temperatura con respecto al tiempo: 1. Desde el medio día hasta las 3 PM. La temperatura cambia desde 14.3 hasta 18.2 º C T  T (15)  T (12)  18.2  14.3 

3.9 en tanto que que el cambio de tiempo es x  3 h

Por consiguiente la ra`´on promedio de cambio de la temperatura con respecto al tiemp tie mpo o es

T x



3.9 3

 1.3 º C /

h.

Determina los siguientes intervalos tomando como ejemplo el inciso anterior. 2. Desde el medio día hasta las 2 PM. Sol. 1.5 ºC 3. desde el medio día hasta la 1 PM. Sol. 1.7 ºC b) Estime la razón instantánea de cambio a mediodía. Como se observa en la gráfica de la tabla de valores. Se traza la tangente en el punto P donde x = 12 y después de medir los lados del triángulo ABC, estimamos que la pendiente de la recta es: BC AC



10.3



5.5

1.9

por lo tanto la razón instantánea de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, al medio día es alrededor de 1.9 ºC / h. Se lanza una piedra hacia arriba, y la altura ( h ) expresa en metros ( m ), viene dada en una función con respecto al tiempo por h ( t ) = 2 + 20 t – 2 t2 , determina: a) La ecuación de la velocidad ( v / t ). Cálculo Diferencial

152

CBTis 215


b) La velocidad en que se lanzó la piedra. c) En que instante la velocidad es nula. d) A partir de que instante la velocidad es negativa. GRÁFICA DEL TIRO VERTICAL 60 50 ) m 40 ( A R 30 U T L A 20

10 0 0

5

10

15

TIEMPO TRASCURRIDO (seg)

Solución a) De h(t )

la 

2  20 t - 2 t 2

expresión

inicial

derivando, resulta : h(t´)  20 - 4t .

b) Al analizar el comportamiento del movimiento, ya que parte del reposo, la velocidad inicial es cero 0 .

c) Se substituye en la derivada, en el caso particular cuando alcanza su máxima altura su velocidad es cero, igualando la ecuación a dicho valor: 20 - 4 t  0


se despeja el valor de t 

153

- 20 -4

 5 seg.

CBTis 215


d) Considerando que se trata el mismo tiempo en subir y bajar. La velocidad es negativa a la caída del cuerpo es decir para tiempos mayores de 5 seg. En un embarcadero parten dos barcos en diferentes direcciones el primero de ellos con una velocidad de 30 Km. / h. En dirección al norte, el segundo con dirección al este con una velocidad de 40 Km. / h. Determine en que razón se van alejando. La representación grafica nos ayuda a tener una visión may clara del problema:

E

Como se observa se tendrá que determinar con el teorema de Pitágoras, siendo: D



2

N



2

E



(30)

2



(40)2  


2500  50 Km.

154

/ h.

CBTis 215


Ejercicios: 1. Dada la parábola de ecuación, halla el punto P donde la tangente es paralela al eje de abscisas.

2. Determine la ecuación de la tangente de la función y x 3 



3 en el punto T ( 2 , 5 )

3. Determine la ecuación de la tangente, normal, de la ecuación y = x3 + 3 x2 – 5 x + 3 en el punto ( 1, 2 ) 4. determine en que punto de la curva

y



2 x

4

 x

2

 x

la

recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. 5. Determine la ecuación de la tangente de la función y



x  5 x

en el punto M (5 , 2 )

6. Calcula los valores de a para que las tangentes a la curva y



3

ax



2

a x

2



7 x  18

en los puntos de abscisas x = 1 y x

= 2 sean paralelas.


155

CBTis 215


7. Calcula la recta tangente a la hipérbola x y = 1 en el punto de abscisa x = 3 8. Determine la ecuación de la tangente de la función y

1 

en el punto S (2 ,

x

1 2

)

9. Se da la curva de ecuación

y



1

x

.Comprueba que el

segmento de la tangente a dicha curva en el punto ( 3 , 1 3

), comprendido entre los ejes de coordenadas, esta

dividido en dos partes iguales por el punto de contacto. Soluciones: 1.- la derivada es y´= 2 x – 8, si la tangente es paralela al eje de las abscisas será 0 , igualando 2x – 8 = 0 donde x = 4 y el punto es ( 4, -4 ). 2. m = 3x2 m = 12 Ecuación (y – 5 ) = 12 ( x – 2 ) , y = 12 x - 19 3. La ecuación de la Tangente es 4 x – y – 2 = 0 La ecuación de la Normal es: x + 4 y – 9 = 0 4. x = 0 , x = 1 / 2 5. m = 5 / x2 = -1 / 5 Ecuación. De la tangente. 5 y + x = 15 6. a = 0 y a = -30 / 4 7. x – 9 y -3 = 0 8. m = -1/4 4y + x = 4 9. m = - 1 / 9 , x + 9 y – 6 = 0


156

CBTis 215


4.3. fórmulas de derivación. reglas de diferenciación Nos podemos provee de muchas reglas de diferenciación para emplear la definición de límite en la derivada y ser también usadas para encontrar las derivadas de funciones específicas y eliminar la necesidad de utilizar la definición formal para todas las aplicaciones de la derivada, algunas de las formulas más comunes se listan aquí: Si f ( x)  c , donde c es una constante, luego f x   0 . Si f ( x)  c  g  x  , luego f  x   c  g  x . Regla de la suma: Si f ( x)  g  x   h x  , luego f  x   g  x   h x  . Regla de la resta: Si f ( x)  g  x   h x  , luego f  x   g  x  h x  . Regla del producto: Si f ( x)  g  x  h x , luego f  x   g  x  h  x  h x   g  x . g  x  h x   0 , Regla del cociente: Si y luego f ( x)  h x  h x  g  x  g  x  h  x f ( x)  h x2 Regla de la potencia: Si f ( x)  x n , luego f  x  nx n . 1

Ejemplo 3: Encontrar f  x  si f  x  6 x 

f  x   3  6 x

2

1

5

x

2

9

.

2

 2  5 x  0  18 x  10x

Ejemplo 4: Encontrar y  si 

3







y   3 x  4 4 x  3  2 x

2

 12 x

2

 9 x  16 x  12  6 x

 18 x

2

 2 x  3

Ejemplo 5: Encontrar



y  3 x  4 2 x

2



.

3x  5

 

 3 x  5 3 2

 9 x  15

dy dx

si


y 

3 x  5 . 2 x  3

157

CBTis 215


dy dx 





2 x  3  3  3 x  52 2 x  3 2

6 x  9  6 x  10

2 x  3

2

 19

2 x  3

2


f  x  si f  x  x 5 

1



x 

8

x  3.

x 3

.

1

Como

f  x   x

5



f  x   5 x 

5 x

4



x 2

4

2

1



1

x




2 

x

x 

3

1 2

x

3

4

3

x 4

f 3 si f  x  x 2

f  x   2 x  8 f 3  23  8  2

Ejemplo 8: Si

y 

y  



para 2 , 1

4

x  2



, encontrar

y  para 2 , 1 .

   x  2

0 x  2  1 4 2

4

 x  2

y  

2

4 4 1   2 4 2  2 16

Ejemplo 9: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva y  12  3x en el punto  1 , 9 . 2

Dado que la pendiente de la recta tangente a la curva es la derivada, entonces y   6 x ; por lo que, para  1 , 9 , y   6 1 , por lo que la recta tangente presenta una pendiente de 6 en el punto  1,9 . Cálculo Diferencial

158

CBTis 215


diferenciación de las funciones trigonométricas Las seis funciones trigonométricas también tienen fórmulas de diferenciación que pueden usarse en problemas de aplicación de la derivada. Las reglas se resumen como sigue: 1. Si

f ( x)  sen x ,

luego

2. Si

f ( x)  cos x ,

luego f ´( x)

f ´( x)



cos x . sen x .

 

3. Si f ( x)  tan x , luego f ´( x)  sec2 x . 4. Si f ( x)  cot x , luego

f ´( x)

5. Si f ( x)  sec x , luego f ´( x) 6. Si f ( x)  csc x , luego f ´( x)

 



csc2 .

sec x tan x .

 

csc x cot x .

Note que las reglas (3) a (6) pueden demostrarse usando la regla del cociente junto con la función dada expresada en términos de las funciones seno y coseno, como se ilustra en el ejemplo siguiente. Ejemplo 10: Use la definición de la función tangente y la regla del cociente para demostrar si f ( x) tan x , luego f ´( x)  sec2 x . 

f  x   tan x 

sen x cos x



cos 2





cos x  cos x   sen x sen x

f  x  

cos x  sen cos

2

2

x

2

x

x

1



cos

Ejemplo 11: Encontrar 2

3

2

3

y  3 x cot x  x

2

 sec

x

y ´ si

y

2

x

3



x cot x

.

2

 csc x 2

 3 x cot x  x csc x


    si f  x   5 sen x  cos x .  4 

f 


159

CBTis 215


f  x   5 sen x  cos x f  x   5 cos x  sen x 0   sen x  5 cos x  sen x

            5 cos   sen    5   4   4   4  

f 



4 2 2

2

2  2

     

2  2

  

5 2 2



2 2

2

Ejemplo 13: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto  

  2  

y



sen x

,1 .

Porque la pendiente de la recta tangente a la curva es la derivada, usted encuentra que

y   cos x ;

luego, en  

  2  

,1 ,

y   cos

tangente tiene la pendiente 0 en el punto  



2

  2  



,1 .

0

y la recta

Note que la

interpretación geométrica de este resultado es que la recta tangente es horizontal en este punto de la gráfica de y  sen x . Funciones Exponencial y logarítmica.

Ida y Vuelta

Analicemos las siguientes situaciones: Al parce una persona ante un espejo, ¿Qué se espera que suceda ¿ Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba ¿ Qué se espera que suceda ¿ Al hacer un prestamo en dinero a un amigo ¿ Qué se espera que suceda Al jugar un partido de tenis y lanzar la pelota al adversario ¿ Qué se espera que suceda. Cuando dos funciones son inversas, sucede algo similar, a las actividades anteriores, si ésta cumplen con siertas condiciones: Cálculo Diferencial

160

CBTis 215


Dominio X

Dominio X

Rango

Rango Y

Y = f (x) Y es la imagen de x bajo la Funciòn f

Y

x = G (y) x es la imagen de Y bajo la función g

La funciòn “g” se llama función inversa de la función “f” y se denota por f 1 , 

como vemos la función “g” invierte la correspondencia dada por la

función “f”, esto siempre y cuando “f “ séa una función uno a uno (biunívoca) . Recordemos tambien que si una función continua es siempre creciente o siempre decreciente, indica que tiene función inversa. Una función expònencial está definida por y =

x

e

, en base ala definición

de logaritmo natural se transforma en x = ln y . las funciones

x

e

y ln y

tiene el comportamiento de funciones inversas, si permutamos “x” y “y” de la ecuación x = ln y resulta y = ln x , que se define como función logaritmica. Gráficamente las funciones exponencial f(x) = x=

f 1 quedan 

A I 200 C N 150 E N 100 O 50 P X 0 E 5

y logaritmica G(x) = ln

de la siguiente forma:

GRAFICA EXPONENCIAL

0

x

e

10

VALOR DE X Cálculo Diferencial

GRÁFICA LOGARITMICA

O 6 C I R M4 O T L I R A A 2 V G O L 0

161

0

100

VALOR DE X

200

CBTis 215


Análogamente si la función exponencial tiene como base a = 10 en lugar de “e” , basandose en la definicón de logaritmo comun, se transforma en x = log y . las funciones a x y log y , tienen el comportamiento de funciones inversas y si permutamos “ x “ y “ y _” de la ecuación x = log “ y “ , resilta y = log x , que se define como una función logarítmica su gràfica es identica a la anterior haciendo notar que en lugar de f(x) = e x queda f(x) = ax y en lugar de g(x) = ln x queda g(x) = log x = f -1 (x) FORMULAS DE DERIVACION PARA FUNCIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES.

Partiendo de la formula para derivar la funcion ln V , deduciremos las demas formulas : dv 1.

d ln v  dx

1 dv  dx 

.2. si v  x;

v v dx d (ln x ) 1



dx

x

 log v   log e  1 dv log v  3. Como ln  : entonces  d

log e

dx

4. Despe jandolog v : entonces 5. Si v  x entonces:

d log v  dx

v dx



log e v



dv dx

d log e x

6. Si y  a , tomando logaritmos de ambos miemros : Ln y  a v ; Ln y  v Ln a v

1 dy dy deriva ambos miembros con respecto a v : ( )  Ln a   y Ln a, y dv dv como

y  a , la v

dy dv

 a Ln a obteniendose la derivada v

d(a v ) dx

 a v Lna 

dv dx

¨ 7. Si v  x,

d(a x ) dx



a x Ln a


162

CBTis 215


8.

Si a

9.

d (e

 e, y Ln e  1 x

)

d(ex )

dv

 ex

dx

dx

x



dx

e

DERIVA LAS SIGUIENTE SFUNCIONES:

1.  Y  Ln (1  x ) solución

dy

:

2



dx

(ln(1  x 2 ))



dx

1 1  x

2



d (1  x 2 ) dx

2 x



1  x 2

2. y





Ln (3x  b ) solución , :

dy

3.

5.

6.

7.



y

y

y

dy dx



y



d(2Ln(3x  b))1 dx



2

1 3 x  b



d (3 x  b) dx

e

2 x

solución , :

7 solución ,

solución ,

2

dx

d(Ln(ax





2))

dx



1 ax  2



d (ax  2) dx

ax  2

nx

x

dy

a

e

8.

dx

Ln (ax  2 ) solución , :

Ln (2x ) solución , :

3 



n





dx



3 x  b

y

y



d(Ln(3x  b)2 )

6



dx

4.

dy

2

e x solución ,

dy

dy dx



dy dx

dx





dx

d(

dy

e2 x (2)



d(7nx )

dy

dx

dx

d(e2x )

dx

dx



d(Ln(2x n ))



e

3 e

x

)

dx x2

x

2





e  x

2

n



d (2 x n ) dx



dy dx



2nxn 2 x

1



n



n x

2e2 x

(0) 3e x

(2 x)  2 xex




7nx Ln7(n)

e 



1

nx n7 Ln7



3e x



e

2x

2

163

CBTis 215


9.-

y

10.



y

sen3t

e

solución ,

sen 2 x

e



solución ,

d (e sen3t )

dy dx



dy



dx

d(esen2x )

dx

dx



e sen37 (cos3t (3))





e sen2 x (cos2 x)(2)

3e sen3t cos 3t



2e sen2 x cos 2 x

HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES. 2x

1.

y  Ln

2.

y



3.

y



bec

4.

y



e

5.

y

 Ln

( x 2

 2 x  1)

sol. y,

6.

y



Ln

( x 2



4 x  4)

sol. y,

a

( x 2  a)

3x 2

2

x 2

cos x

sol. y,

y Ln sec2 x

8.

y

9.

y

10.



y

2 x 1  x





2 x)


2

2bx ec

x 2



- ecos x sen x 2x - 2



x 

sol. y

a

log ( x 2



sol. y,

164

2

2

x



4 x  4

2 tg x



,

 2 x  1

2x  4



sol. y,

arctg x



6x a 3x Ln a

sol. y,



log



sol. y,



x 2a 2

sol. y,

7.



sol. y, 



log e x (1  x)

a arctg x Ln a 1  x 2

(2x - 2)log e 

x2



2 x

CBTis 215


Analizando la tabla 1 y la gráfica 1, vemos que los valores de “x” crecen y los valores de “y” también crecen, por lo tanto la función y = x

es

CRECIENTE.

En el caso de la tabla 2 y la gráfica 1; vemos que los valores de “x” crecen y los valores de “y” decrecen, por lo tanto la función y = -x es DECRECIENTE.

En

ambos casos si se amplia el intervalo, las dos funciones siguen

siendo CRECIENTE y DECRECIENTE, respectivamente. FUNCIÓN CRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de “x” crecen y los valores de “y” también crecen. FUNCIÓN DECRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de “x” Ahora analizaremos un intervalo creciente de la función y = x². y

y = x²

(+) Δy x Δx (+) GRAFICA 3 Sabemos que si “x” crece, “y” crece y los incrementos al pasar del punto A al punto B, (Δx y Δy) tendrán el mismo signo y las tangentes por Cálculo Diferencial

165

CBTis 215


dichos puntos (A y B) forman ángulos agudos con el eje “x”, por lo tanto la pendiente de las tangentes es positiva (gráfica 3). y

(-) Δy x Δx (+) GRAFICA 4 De la misma manera en un intervalo decreciente, sabemos que si “x” crece, “y” decrece y los incrementos Δx y Δy al pasar de un punto A a un punto B tendrán signos opuestos y las tangentes por dichos puntos, forman ángulos obtusos con el eje “x”, por lo tanto su pendiente es negativa. (grafica 4) De aquí podemos afirmar que: Una función es CRECIENTE en un punto dado, si el valor de su primera derivada es POSITIVO. Una función es DECRECIENTE en un punto dado, si el valor de la primera derivada es NEGATIVO. Regresemos a las funciones y = x² y y = -x² y sustituyamos valores de “x” donde sabemos de antemano que la función es CRECIENTE

o

DECRECIENTE como x = -1 y x = 1 Sea la función: y = x²

y = -x² Cálculo Diferencial

166

CBTis 215


y’ = 2x para

y’ = -2x para

x = -1

y’ = 2 (-1)

x = -1

y’ = -2 (-1)

y’ = -2

y’ = +2

y’ es negativa

y’ es positiva

∴ y = x² es decreciente creciente

∴

y

=

es

x = -1

x = -1

en para

-x²

en

x=1

para

y’ = 2 (1)

x=1

y’ =-2 (1)

y’ = 2

y’ = -2

y’ es positiva

y’

es

-x²

es

negativa y = x² es creciente

y

decreciente x=1 para

=

x=1

para

En general: Una función es creciente en un intervalo, si para cualquier par de números x₁, x₂ del intervalo, x₁< x₂, implica ƒ(x₁) < ƒ (x₂). Una función es decreciente en un intervalo, si para cualquier par de números x₁, x₂ del intervalo, x₁ < x₂ implica ƒ (x₁) > ƒ (x₂).


167

CBTis 215


4.4. derivadas sucesivas. MÁXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS. ¡MAS ALTO, MAS BAJO! Algunas de las aplicaciones más importantes e interesantes del cálculo diferencial son aquellos problemas en los que se busca la optimización de las soluciones obtenidas, esto llena inherente los máximos y mínimos, porque al optimizar un resultado, es en algunos casos maximizar y en otros minimizar, por ejemplo en el procesamiento de un producto en una fábrica lo interesante es maximizar la producción o minimizar costos, o tiempos, o desperdicios del producto.

Con este

criterio, en muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresión matemática de la función cuyos valores máximos o mínimos se desean conocer. Un fabricante de camisas desea construir una caja abierta del mayor volumen posible para empacar su producto, dispone de hojas de cartón cuadradas de lado “a”. Tu ¿qué harías para resolver el problema? ¿Cuántas cajas podrías construir con una hoja de cartón cuadrada de lado “a”? ¿Si tienes diversas opciones, como obtendrías la de volumen máximo? De esa hoja de cartón ¿cuál será el desperdicio al lograr el volumen máximo? El desperdicio ¿podría ser nulo? Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso, los márgenes superiores e inferiores deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Se piden las dimensiones de la hoja, para que el gasto de papel sea mínimo.


168

CBTis 215


¿Qué propones para resolver este problema? ¿Cuál es la información de la que dispones? ¿Se puede establecer una función que nos de la solución? Problemas como los dos anteriores, que se resolverán más adelante, consisten en obtener el máximo o el mínimo; en el primero se desea el volumen máximo, en el segundo, que el gasto de papel sea mínimo. Como este existen gran variedad de problemas en los que se buscan maximizar o minimizar ár3eas, volúmenes, tiempos, costos, gastos, material, velocidades, etc. En este capitulo aprenderás cómo calcular el máximo o el mínimo de una función y en el siguiente resolverás problemas de aplicación como los dos planteados al inicio. Aplicando la derivada de una función, determinamos los intervalos en que la función es creciente o decreciente, ahora la utilizaremos para analizar los puntos en que la función para de creciente a decreciente o viceversa, generando los puntos máximos o mínimos de una función. Un máximo y un mínimo, no significa que sean el mayor o el menor valor de la función, por eso se especifica qué son máximos y mínimos locales o también máximos y mínimos relativos y no deben confundirse con los puntos cuya ordenada es la mayor o la menor de la gráfica completa. Los valores de “x” donde existe un máximo o un mínimo relativo de la función, se les define como valores críticos

y a los puntos

correspondientes se les define como puntos críticos.


169

CBTis 215


Para que exista un máximo relativo la función pasa de creciente a decreciente, es decir la derivada pasa de un valor positivo a un valor negativo. En un mínimo relativo, la función pasa de decreciente a creciente; la derivada pasa de un valor negativo a un valor positivo: (GRAFICA 1)

y

MAXIMO ABSOLUTO

MAXIMO RELATIVO m=0 m (+) x

m (-)

a

c

d (+)

b

0 m (-)

mínimo absoluto

m m=0

mínimo relativo

GRAFICA 1 Sea la función y = 2x³ – 9x² + 12x –3, analiza si tiene máximos y/o mínimos. ¿Qué vas a hacer? ¿Conoces su derivada? ¿Conoces sus puntos críticos? ¿Sabes si es creciente o decreciente? ¿En qué intervalos? Si hay un máximo, ¿en qué punto se localiza? ¿Conoces su gráfica? La gráfica de la función ¿te ayudaría a resolver el problema? Cálculo Diferencial

170

CBTis 215


¿Conoces algún procedimiento para resolver el problema? Con los conocimientos previos, escribe un plan de solución para tu problema, ordenándolos según prioridades.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:

① Se obtiene la primera derivada de la función. ② La primera derivada se iguala a cero y se calculan las raíces reales de la ecuación resultante, que son los valores críticos de la ecuación.

③ Se obtiene la segunda derivada de la función. ④ Se sustituye en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores críticos obtenidos; si el valor resultante es positivo, la función tiene un mínimo para el valor crítico considerado; si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para el valor crítico considerado, si el valor de la segunda derivada es cero, no podemos decir si habrá máximo o mínimo o posiblemente ni uno ni otro. El procedimiento de la segunda derivada, no es aplicable, si la segunda derivada es igual a CERO o no existe, en tal caso se aplica el procedimiento de la primera derivada. Para comprobar los ejemplos desarrollados con el criterio de la primera derivada, ahora los resolveremos con el criterio de la segunda derivada, haciendo notar que los pasos ① y ② de ambos criterios son iguales.


171

CBTis 215


Sea la función y = 2x³ - 9x² + 12x – 3, obtener sus máximos y los mínimos, aplicando el criterio de la segunda derivada. CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION PLATOS, ANTENAS PARABÓLICAS, FAROS DE LUZ Hasta

este

punto

hemos

manejado

términos

como

creciente,

decreciente, máximo, mínimo, crítico; que desde el punto de vista matemático hemos definido.

Los términos concavidad e inflexión,

presentan ahora y vamos a ver cómo se definen de acuerdo a un diccionario y compararlos con su definición matemática. 1) De un diccionario obtén la definición de las siguientes palabras: Creciente: Decreciente: Máximo: Mínimo: Crítico: Concavidad: Inflexión: 2) Busca en un diccionario de sinónimos y antónimos las siguientes palabras: Creciente: Decreciente: Máximo: Mínimo: Crítico: Concavidad: Inflexión: Cálculo Diferencial

172

CBTis 215


Deduce conclusiones de las actividades 1) y 2) y coméntalas con tus compañeros. Dada una curva definida por y = f (x) (gráfica) Y

C A B X

Sabemos que en el punto A la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda de A es positiva y a la derecha es negativa, por lo tanto la curva en el punto A es cóncava hacia abajo En el punto B, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda de A es negativa y a la derecha es positiva, por lo tanto la curva en el punto B es cóncava hacia arriba

+

.

En el punto C, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda es positiva y a la derecha también es positiva, es decir no cambia de signo, sólo cambia el sentido de concavidad, por lo tanto no existe ni máximo, mínimo, a este punto se le define como PUNTO DE INFLEXIÓN. Para calcular el sentido de concavidad de una función sigamos el proceso de la segunda derivada: 1) Calcular la primera y segunda derivada de la función.


173

CBTis 215


2) Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (puntos críticos) de la ecuación resultante. 3) Analizamos la segunda derivada; si para un valor menor que la raíz obtenemos un resultado NEGATIVO la curva es CÓNCAVA HACIA ABAJO . Si el resultado es POSITIVO, la curva es CÓNCAVA HACIA

-

ARRIBA. Dicho de otra manera: Si f” (x) > 0, es condición para que una curva sea CÓNCAVA HA CIA ARRIBA

+

Si f” (x) < 0; es condición para que una curva sea CÓNCAVA HACIA ABAJO Para determinar los puntos de inflexión de una CURVA se sigue el mismo proceso anterior, sólo que el punto tres tiene una variación: 1) Calcular la primera y segunda derivada de la función. 2) Igualar la segunda derivada a cero y obtener las raíces (punto crítico) de la ecuación resultante. 3) Analizamos la segunda derivada. Si para un valor menor que la raíz y para otro valor mayor que la raíz cambia de signo al sustituir los valores en la segunda derivada, entonces hay punto de inflexión en el punto crítico analizado.


174

CBTis 215


4.5. comportamiento de la derivada. APRENDIZAJE DE CONCEPTOS Y APLICACIÓNES DE LA DERIVADA En esta unidad hablaremos de la primera derivada para analizar el comportamiento de familias de funciones.

Se determinará a partir de los puntos críticos, los máximos y mínimos de una función, aplicando el método de la primera y segunda derivada y con ellos revolveremos problemas del campo de optimización. USO DE LA PRIMERA DERIVADA. ¿Porque es útil saber donde una función es creciente o decreciente? Cuando se grafica una función en una computadora o calculadora de gráficas, sólo se observa parte de la figura. En cambio la derivada, puede muchas veces dirigir nuestra atención a características importantes de la gráfica ya que con ella podemos trazar la grafica de una forma mas completa. PUNTOS CRITICOS. Para cualquier función f, un punto p en el dominio de f en donde f ‘(x)= 0 ó f ‘(x) no está definida se llama punto crítico de la función. Además, el Punto (x, f(x)) en la gráfica de f también se llama punto crítico. Un valor crítico de f es el valor f(x) de la función en un punto crítico p. ¿QUÉ INDICAN LOS PUNTOS CRITICOS? Geométricamente, en un punto crítico donde f ‘(x) = 0, la recta tangente a la gráfica de f en x es horizontal. En un punto crítico donde f ‘ (x) no está definido, no hay tangente horizontal a la gráfica, es decir, ó la tangente es vertical ó no existe en absoluto.


175

CBTis 215


Una función puede tener cualquier número de puntos críticos o ninguno (ver figuras)

Los

puntos

donde f ‘ (x) = 0 ( ó donde no está definida) dividen el dominio de f en intervalos en los que el signo de la derivada permanece igual, ya sea positivo o negativo. Por lo tanto, entre dos puntos críticos sucesivos la gráfica de una función no puede cambiar de dirección; ó sube ó baja. MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES. ¿Qué le pasa a una función cerca del punto crítico donde f ‘(x) = 0? Si f ’ tiene signos diferentes en cualquier lado de p entonces la gráfica cambia de dirección. ¿CÓMO SABER CUALES PUNTOS CRITICOS SON MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES? Cálculo Diferencial

176

CBTis 215


Prueba de la primera derivada para máximos y mínimos locales: 

Si p es un punto crítico en el dominio de f, y si f ‘ , cambia signo en un entorno de p, entonces f tiene ya sea un mínimo local o un máximo local en p. 

Si f ‘ es negativa a la izquierda de p y positiva a la derecha de p, entonces f tiene un mínimo local en p.



Si f ‘ es positiva a la izquierda de p y negativa a la derecha de p, entonces f tiene un máximo local en p.

EJEMPLO 1: Construcción de una caja de máximo volumen No olvides los pasos a seguir : 1. Lee el problema hasta comprender lo que se pide. 2. Realiza el dibujo. 3. Construye el modelo. 4. Calcula máximos y mínimos. Y analizar las siguientes cuestiones:

a) ¿ Qué es lo que te pide el problema?


177

CBTis 215


b) ¿Cuáles son las dimensiones de largo, ancho y alto de la caja?( puedes utilizar incógnitas) c) ¿Cuál es la ecuación de la que se va a obtener el máximo ó mínimo? d) Deriva la función del inciso anterior. ¿Cuáles son los puntos críticos? e) De acuerdo a los puntos críticos qué valor corresponde al máximo (de ser necesario utiliza el criterio de la segunda derivada). PONIENDO EN PRACTICA LOS CONOCIMIENTOS Usa los conceptos matemáticos aprendidos para efectuar una o todas las actividades siguientes:

Diseño de una caja de cartón de máximo volumen sin tapa. Cartulina de 20 cm. X 20 cm.

Materiales :

Tijeras Regla Escuadras Calculadora Hojas cuadriculadas o equipo de dibujo Cinta adhesiva (masking- tape) ENUNCIADO PROBLEMA

DEL

En esta actividad, examinamos la variación de volumen que se tiene al construir varias cajas, a pesar de que se cuente con el mismo tamaño del material. Hacemos una determinada cantidad de cajas

de

distintos

tamaños.

Después,

determinamos el volumen de cada caja.


178

CBTis 215


PROCEDIMIENTO :

a) Tomando la cartulina de 20 cm. X 20 cm.

Recorta cuadros en las esquinas como se muestra en la siguiente figura; después de que tu profesor asigne las medidas de “x” a cada equipo. b) Las medidas de “x” para los seis equipos

distintos, asignando una medida a cada equipo son: 2.5 cm., 2.8 cm., 3 cm., 3.3 cm., 3.5 cm., y 3.8 cm. c) Haga los dobleces necesarios para formar la

caja como lo muestra la siguiente figura: L

A h

d) Cada equipo que tome los siguientes datos de

las distintas cajas y que realice las operaciones pertinentes en su calculadora.

EQUIPO

L

A

h

AREA

VOL.

LXA

AREA X h

1 2 3 4 5 6


179

CBTis 215


CALCULOS :

a) Determina el área de la base como lo indica la

tabla en la columna 5 y anótalo. b) Determina

el volumen del paralelepípedo

como lo indica la columna 6 de la tabla y anótalo. c) ¿Cómo se comparan los datos de tu grupo con

los

datos

obtenidos

por

los

otros

grupos?(compara las áreas y volúmenes con la de los otros). d) Deriva la función del volumen

V = x (20 – 2x)2 e) Iguala

dv dx

con cero

f) Obtén el valor de “x” en

dv dx

= 0

g) ¿Qué valor de “x” en la tabla se aproxima más

con la “x” determinada en el inciso (f)? Coméntalo con tu grupo. h) Comenta con tus compañeros qué método

ocuparías si te asignan un trabajo similar al de la práctica. i) Al estar trabajando en una empresa que se

dedique al diseño de envases ¿Crees que te permitirían desperdiciar material? j) ¿Qué dimensiones tiene la caja de máximo

volumen? k) El valor que se debe aproximar más, es el de

la caja de x = 3.3 cm., puede pedir a los alumnos que verifiquen experimentalmente los volúmenes, reforzando las cajas con tela Cálculo Diferencial

180

CBTis 215


adhesiva para que no se deforme y midiendo el agua antes de llenar las cajas. l) Los métodos que hay son con: aritmética,

álgebra,

gráficamente

y

con

cálculo

diferencial, posiblemente se inclinen por el método de cálculo diferencial, debido a que se pierde menos tiempo y no se desperdicia material como en el ensayo de prueba y error. m)

En una empresa y en nuestra vida

cotidiana, a nadie le gusta desperdiciar, incluso ni en experimentos. 1

n) Altura = 3 cm 3



3.3 cm.

Largo = ancho = 13

1 3

cm. 13.3 cm. 

EJEMPLO 2 . Altura máxima alcanzada por una toronja Una toronja es lanzada en línea recta hacia arriba a una velocidad inicial de 100 pies/seg. Su altura en el tiempo t está dada por y = -16 t + 2

100 t + 6 ¿A qué altura llega antes de regresar al suelo?.

Si desea

llevar al máximo la altura de la toronja sobre el suelo. Ya sabes que usando la derivada se puede encontrar exactamente cuándo la toronja está en su punto más alto. Por sentido común, en la parte más alta la velocidad

dy dt

debe ser cero. Alternativamente se busca un máximo, así

que se tratan de encontrar puntos críticos donde y’ = 0. Se tiene:


181

CBTis 215


Altura máxima

LANZAMIENTO DE U NA TORONJA

200 150 A R U T 100 L A 50 0 0

2

4

6

8

TIEMPO

y = -16 t + 100 t + 6 2

dy dt

= -32t + 100 = 0

y así t = Por lo tanto,

100 32

= 3.125 seg.

se obtiene el tiempo en el que la altura es máxima; el

valor máximo de y es entonces:

y = -16 (3.125) + 100 (3.125) + 6 = 162.25 pies 2

¿Será necesario comprobar analíticamente que en el punto crítico hay un máximo?

OPTIMIZACION Dado que el mundo está lleno de problemas, tanto en la industria, la ingeniería, el comercio y cualquier otra área que requiera de poder calcular aquellos valores que les permitan determinar ganancias máximas o mínimos costos, menor cantidad de material para máximos volúmenes etc., es en donde se vuelven importantes los procesos de Cálculo Diferencial

182

CBTis 215


optimización y donde el calculo diferencial toma un papel relevante en la determinación de estos valores a partir de uno de sus

conceptos mas

importante que es el de la derivada en la obtención de máximos y mínimos a partir de una función. Pasos a seguir para resolver problemas de optimización: 

Lee el problema hasta comprender lo que se pide.



Realiza uno ó varios dibujos de la situación que muestre como se relacionan los elementos que varían.



Construye el modelo (ecuación) de la situación del problema, para lo cual consideras lo que se desea que sea máximo o mínimo,

como

pueden

ser

áreas,

volúmenes,

costos,

dimensiones, etc. y exprésalo en términos de una sola variable, utilizando los datos proporcionados. 

Calcula los máximos y mínimos por el método que desees y resuelve el problema.

EJEMPLO 1: Determinación de las dimensiones de una lata. ¿Cuáles son las dimensiones de una lata de aluminio con capacidad de 64 cm3 de jugo, que utilice el mínimo de material (es decir, aluminio)?. La lata es cilíndrica y con tapa en ambos extremos.

Este problema lo puedes resolver por medio de ensayo y error, pero otra manera de resolverlo es utilizando máximos y mínimos. Para realizar esto, es necesario elaborar un modelo matemático de la cantidad de material a usar (área de aluminio) Elaborando un dibujo de la situación, para calcular el área de aluminio se descompone la lata, considerando las tapas y el cuerpo del cilindro.


183

CBTis 215


A =  r 2

A = 2 r h

A =  r 2

El área de cada tapa es

r y la del cuerpo del cilindro es 2  r h 2



construyendo el modelo (ecuación). A

TOTAL

= área de las tapas + área cilindro

A TOTAL = 2  r + 2  r h 2

Dado que la ecuación está en términos de dos variables h (altura), r (radio) es necesario expresarla en términos de una sola variable, para lo cual es necesario recurrir al volumen dado del cilindro

V

CILINDRO

=



r h 2

Como conocemos que V = 64 cm sustituyendo en ecuación anterior: 3

64 =  r h 2

Despejamos la h (altura) resultando: h =

64 2

 r

Sustituyendo en A TOTAL queda: A TOTAL = 2



r + 2 2



64 r   2 

 r 

Simplificando términos


184

CBTis 215


A TOTAL = 2

Calculando d A

TOTAL



128

r + 2

r

obtenemos:

dr d A TOTAL = 4  R – 128 dr

r

2

Utilizando el criterio de la segunda derivada para obtener máximos y mínimos: Igualando la derivada derivada a cero se obtienen los valores críticos: 4



r – 128 = 0 r

2

Despejando r: r = 3

r  3

12 8 4

128

r = 2.16cm.

4

Calculando la segunda derivada A’’

TOTAL

= 4  +

25 6 2

r

Sustituyendo valor crítico r = 2.16 cm. A’’ TOTAL = 37.96 Como el signo de la segunda derivada es positivo el valor crítico es el mínimo. Cómo r = 2.16 cm. Sustituyendo en h =64/  (2.16) 2 h = 4.36 cm. Cálculo Diferencial

185

CBTis 215


Por lo tanto las dimensiones de la lata para tener la cantidad mínima de material son:

r = 2.16 cm. y h = 4.36 cm. EJEMPLO 2: Un problema económico Una fabrica contrata a una empresa de autobuses para el traslado de sus trabajadores, convienen en pagar $120.00 por trabajador, si hay un mínimo de 50 personas y se comprometen a disminuir $1.00 por cada persona que exceda de 50.

¿Cuál es el numero de trabajadores que

proporcionara el máximo ingreso a la empresa del transporte?

1. Si analizamos el enunciado del problema observaremos que por cada

unidad que se aumente a 50 que es el numero de trabajadores mínimo, se reducirá en $1.00 el costo del transporte por lo tanto la formula para calcular el Ingreso de la empresa seria: I = (50 + x) (120 – x) La cual representaría a nuestra función de ingreso 2. Aplicando la formula para derivar un producto y determinar los

valores críticos tenemos: I = (50 + x) (120 – x) I ‘ = (1) (120 – x) – x) + (50 + x) ( -1) I ‘ = 120 – x – x – 50 – x I ‘ = -2x + 70 Igualando la derivada a cero y despejando la variable para obtener el valor critico tenemos: -2x + 70 = 0 x 


 70 

2

186

CBTis 215


máximo)

x = 35 (valor critico critico que representa un

Sustituyendo en la derivada con valores menores y mayores tenemos:

f ’(34) =

f ’(36) = -

Con un valor menor (34): -2(34) + 70 = 2 -------- f ’(34) = + 34

Con un valor mayor (36):

35

36

-2(36) + 70 = - 2 ------ f ’(36) = -

3. Sustituyendo en la formula del ingreso tendríamos:

I = (50 + 35) (120 – 35) I = (85) (85) I = $7,225.00

Por lo tanto el numero máximo de trabajadores para que las ganancias sean máximas es de: 85 Para reforzar lo aprendido se te recomienda resolver los problemas que a continuación se plantean, verifica tus resultados con la respuesta incluida en cada uno de ellos.

1. Una hoja de papel debe contener 18 cm 2 de texto impreso, los

márgenes superior e inferior deben ser de 2cm cada uno y el izquierdo y derecho de 1cm. ¿Cuáles serán las dimensiones de la hoja para las que el gasto de papel sea mínimo?.


187

CBTis 215


R.- Ancho = 5 Largo = 10 2. Un propietario puede rentar sus 40 apartamentos a $5,000.00

mensuales cada uno, el dueño de los apartamentos observa que por cada $250.00 de aumento en la renta, se renta un apartamento menos. ¿Qué renta debe cobrar y cuantos apartamentos debe rentar para obtener máximas ganancias? R.- Debe rentar 30 apartamentos a un costo de $7,500.00 cada uno para

obtener máximas ganancias.

3. Dada

una

lamina

rectangular

de

longitudes

2

y

1

m,

respectivamente, calcula las dimensiones de la caja abierta que se puede formar con ella cortando en las cuatro esquinas un cuadro para que el volumen sea máximo. R.-

3

3

6

4. Una bala disparada verticalmente hacia arriba alcanza, al cabo de t

segundos la altura h = 500t – 5t2 metros.

¿Cuál será la altura

máxima que pueda alcanzar? R.- 12,500 mts 5. Un fabricante español de televisores observa que puede vender 50

televisores a 20,000.00 pts. cada uno y que por cada aparato que fabrique de mas el precio bajara 300.00 pts.

¿Cuántos televisores

debe fabricar para obtener el máximo ingreso? R.-

x = 8.3  8, Cálculo Diferencial

Televisores = 58 188

CBTis 215

Cálculo Diferencial ACastilloN

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