Cálculo diferencial
I
Cálculo diferencial
II
Dirección y realización del proyecto L.C.C. Gabriel Barragán Casares Director General del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán Planeación y coordinación Lic. Alejandro de Jesús Salazar Ortega Director Académico Lic. Lorenzo Escalante Pérez Metodología y estrategia didáctica, y jefe del Departamento de Servicios Académicos Coordinación de la asignatura primera edición LM. Davy Alejandro Pérez Chan
1ª Edición Julio 2011
Impreso en México
DERECHOS RESERVADOS Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra, bajo cualquier forma electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
LA REFORMA INTEGRAL DE LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser atendidos VyORVLHVWHQLYHOHGXFDWLYRVHGHVDUUROODFRQXQDLGHQWLGDGGHÀQLGDTXHSHUPLWDDVXVGLVWLQWRVDFWRUHVDYDQ]DURUGHQDGDPHQWHKDFLDORVREMHWLYRVSURSXHVWRV(VLPSRUWDQWHVDEHU TXHOD(06HQHOSDtVHVWiFRPSXHVWDSRUXQDVHULHGHVXEVLVWHPDVTXHRSHUDQGHPDQHUD LQGHSHQGLHQWHVLQFRUUHVSRQGHQFLDDXQSDQRUDPDJHQHUDODUWLFXODGR\VLQTXHH[LVWDVXÀFLHQWHFRPXQLFDFLyQHQWUHHOORV(OUHWRHVHQFRQWUDUORVREMHWLYRVFRPXQHVGHHVRVVXEVLVWHPDVSDUDSRWHQFLDUVXVDOFDQFHV\GHHVWDPDQHUDORJUDUHQWUHWRGRVUHJODVFODUDVGH RSHUDFLyQ(VLPSRUWDQWHSDUDHOGHVDUUROORGHOD(06TXHXVWHGHVGRFHQWHV\HVWXGLDQWHV FRQR]FDQORVHMHVTXHODUHJXODQFRPRRSHUD\ORVUHWRVTXHHQIUHQWDHQODDFWXDOLGDGSDUD DVXPLUDSDUWLUGHGLFKRFRQRFLPLHQWRXQDDFWLWXGGLIHUHQWHTXHQRVSHUPLWDFRDG\XYDUHQ HVWHHVIXHU]R /RVGLIHUHQWHVVXEVLVWHPDVGHOD(06KDQUHDOL]DGRFDPELRVHQVXVHVWUXFWXUDV ORVFXDOHVSUHWHQGLHURQGDUODSHUWLQHQFLDHÀFDFLD\FDOLGDGQHFHVDULDVSDUDTXHODSREODFLyQDODTXHDWLHQGH MyYHQHVHQWUHORV\DxRVDSUR[LPDGDPHQWH DGTXLULHUDFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHVTXHOHVSHUPLWDQGHVDUUROODUVHGHPDQHUDVDWLVIDFWRULD\DVHDHQ VXVHVWXGLRVVXSHULRUHVRHQHOWUDEDMR\GHPDQHUDPiVJHQHUDOHQODYLGD(QHVWDPLVPD OtQHDQRVHGHEHSHUGHUGHYLVWDHOFRQWH[WRVRFLDOGHOD(06GHHOODHJUHVDQLQGLYLGXRVHQ HGDGGHHMHUFHUVXVGHUHFKRV\REOLJDFLRQHVFRPRFLXGDGDQRV\FRPRWDOHVGHEHQUHXQLU HQDGLFLyQDORVFRQRFLPLHQWRV\KDELOLGDGHVTXHGHÀQLUiQVXGHVDUUROORSHUVRQDOXQDVHULH GHDFWLWXGHV\YDORUHVTXHWHQJDQXQLPSDFWRSRVLWLYRHQVXFRPXQLGDG\HQHOSDtVHQVX FRQMXQWR (V HQ HVWH FRQWH[WR TXH ODV DXWRULGDGHV HGXFDWLYDV GHO SDtV KDQ SURSXHVWR OD 5HIRUPD,QWHJUDOGHOD(GXFDFLyQ0HGLD6XSHULRU5,(06 FX\RVREMHWLYRVFRQVLVWHQHQGDU LGHQWLGDGFDOLGDGHTXLGDG\SHUWLQHQFLDDOD(06DWUDYpVGHPHFDQLVPRVTXHSHUPLWDQ DUWLFXODUORVGLIHUHQWHVDFWRUHVGHODPLVPDHQXQ6LVWHPD1DFLRQDOGH%DFKLOOHUDWRGHQWUR GHOFXDOVHSXHGDJDUDQWL]DUDGHPiVGHORDQWHULRUWUiQVLWRGHHVWXGLDQWHVLQWHUFDPELRGH H[SHULHQFLDVGHDSUHQGL]DMH\ODFHUWLÀFDFLyQGHORVPLVPRV /RDQWHULRUVHUiSRVLEOHDSDUWLUGHOGHQRPLQDGR0DUFR&XUULFXODU&RP~Q0&& GHOD5,(06HOFXDOVHGHVDUUROODFRQVLGHUDQGRHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDV\TXHLQFOX\H &RPSHWHQFLDV*HQpULFDV&RPSHWHQFLDV'LVFLSOLQDUHVEiVLFDV\H[WHQGLGDV \&RPSHWHQFLDV3URIHVLRQDOHVEiVLFDV\H[WHQGLGDV (VWDHVWUXFWXUDSHUPLWHREVHUYDUGHPDQHUDFODUDORVFRPSRQHQWHVFRPXQHVHQWUHORVGLYHUVRVVXEVLVWHPDVDVtFRPRDTXHOORVTXHVRQ SURSLRVGHFDGDXQR\TXHSRUFRQVLJXLHQWHORVKDFHGLVWLQWRV/RDQWHULRUPXHVWUDFRPR OD5,(06UHVSHWDODGLYHUVLGDGGHOQLYHOHGXFDWLYRGHOSDtVSHURKDFHSRVLEOHHO6LVWHPD1DFLRQDOGHO%DFKLOOHUDWRFRQIRUPDGRSRUODVGLVWLQWDVLQVWLWXFLRQHV\VXEVLVWHPDVTXHRSHUDQ HQQXHVWURSDtV 8QD FRPSHWHQFLD HV OD LQWHJUDFLyQ GH KDELOLGDGHV FRQRFLPLHQWRV \ DFWLWXGHV HQXQFRQWH[WRHVSHFtÀFR(VWDHVWUXFWXUDUHRUGHQD\HQULTXHFHORVSODQHV\SURJUDPDVGH HVWXGLRH[LVWHQWHV\VHDGDSWDDVXVREMHWLYRVQREXVFDUHHPSOD]DUORVVLQRFRPSOHPHQWDUORV\HVSHFLÀFDUORV'HÀQHHVWiQGDUHVFRPSDUWLGRVTXHKDFHQPiVÁH[LEOH\SHUWLQHQWH HOFXUUtFXORGHOD(06 1XHVWUR VXEVLVWHPD SHUWHQHFH DO FRQMXQWR GH ORV TXH RIUHFHQ EDFKLOOHUDWR JHQHUDO HO FXDO HQ OD GHÀQLFLyQ GHO 0&& GH OD UHIRUPD LQWHJUDO GHEHUi GHVDUUROODU HQ ORV HVWXGLDQWHVFDSDFLGDGHVTXHOHVSHUPLWDQDGTXLULUFRPSHWHQFLDVJHQpULFDVFRPSHWHQFLDV GLVFLSOLQDUHVEiVLFDV\H[WHQGLGDVDGHPiVGHFRPSHWHQFLDVSURIHVLRQDOHVEiVLFDV /DV FRPSHWHQFLDV JHQpULFDV VRQ ODV TXH WRGRV ORV EDFKLOOHUHV GHEHQ HVWDU HQ FDSDFLGDGGHGHVHPSHxDUODVTXHOHVSHUPLWHQFRPSUHQGHUHOPXQGRHLQÁXLUHQpOOHV FDSDFLWDQSDUDFRQWLQXDUDSUHQGLHQGRGHIRUPDDXWyQRPDDORODUJRGHVXVYLGDV\SDUD GHVDUUROODUUHODFLRQHVDUPyQLFDVFRQTXLHQHVOHVURGHDQDVtFRPRSDUWLFLSDUHÀFD]PHQWH HQORViPELWRVVRFLDOSURIHVLRQDO\SROtWLFR'DGDVXLPSRUWDQFLDGLFKDVFRPSHWHQFLDVVH LGHQWLÀFDQWDPELpQFRPRFRPSHWHQFLDVFODYH\FRQVWLWX\HQHOSHUÀOGHOHJUHVDGRGHO6LVWHPD1DFLRQDOGH%DFKLOOHUDWR$FRQWLQXDFLyQVHOLVWDQODVRQFHFRPSHWHQFLDVJHQpULFDV DJUXSDGDVHQVXVFDWHJRUtDVFRUUHVSRQGLHQWHV
III
Se autodetermina y cuida de sí 1. 6HFRQRFH\YDORUDDVtPLVPR\DERUGDSUREOHPDV\UHWRVWHQLHQGRHQFXHQWDORVREMHWLYRVTXHSHUVLJXH
IV
2. (VVHQVLEOHDODUWH\SDUWLFLSDHQODDSUHFLDFLyQHLQWHUSUHWDFLyQGHVXVH[SUHVLRQHVHQ GLVWLQWRVJpQHURV 3. (OLJH\SUDFWLFDHVWLORVGHYLGDVDOXGDEOHV Se expresa y comunica 4. (VFXFKD LQWHUSUHWD \ HPLWH PHQVDMHV SHUWLQHQWHV HQ GLVWLQWRV FRQWH[WRV PHGLDQWH OD XWLOL]DFLyQGHPHGLRVFyGLJRV\KHUUDPLHQWDVDSURSLDGRV 3LHQVDFUtWLFD\UHÁH[LYDPHQWH 5. 'HVDUUROODLQQRYDFLRQHV\SURSRQHVROXFLRQHVDSUREOHPDVDSDUWLUGHPpWRGRVHVWDEOHFLGRV 6. 6XVWHQWDXQDSRVWXUDSHUVRQDOVREUHWHPDVGHLQWHUpV\UHOHYDQFLDJHQHUDOFRQVLGHUDQGRRWURVSXQWRVGHYLVWDGHPDQHUDFUtWLFD\UHÁH[LYD Aprende de forma autónoma 7. $SUHQGHSRULQLFLDWLYDHLQWHUpVSURSLRDORODUJRGHODYLGD 7UDEDMDHQIRUPDFRODERUDWLYD 8. 3DUWLFLSD\FRODERUDGHPDQHUDHIHFWLYDHQHTXLSRVGLYHUVRV Participa con responsabilidad en la sociedad 9. 3DUWLFLSDFRQXQDFRQFLHQFLDFtYLFD\pWLFDHQODYLGDGHVXFRPXQLGDGUHJLyQ0p[LFR \HOPXQGR 10. 0DQWLHQHXQDDFWLWXGUHVSHWXRVDKDFLDODLQWHUFXOWXUDOLGDG\ODGLYHUVLGDGGHFUHHQFLDV YDORUHVLGHDV\SUiFWLFDVVRFLDOHV 11. &RQWULEX\HDOGHVDUUROORVXVWHQWDEOHGHPDQHUDFUtWLFDFRQDFFLRQHVUHVSRQVDEOHV /DVFRPSHWHQFLDVGLVFLSOLQDUHVVRQODVQRFLRQHVTXHH[SUHVDQFRQRFLPLHQWRVKDELOLGDGHV \DFWLWXGHVTXHFRQVLGHUDQORVPtQLPRVQHFHVDULRVGHFDGDFDPSRGLVFLSOLQDUSDUDTXHORV HVWXGLDQWHVVHGHVDUUROOHQGHPDQHUDHÀFD]HQGLIHUHQWHVFRQWH[WRV\VLWXDFLRQHVDORODUJR GHODYLGD/DVFRPSHWHQFLDVGLVFLSOLQDUHVSXHGHQVHUEiVLFDVRH[WHQGLGDV /DV FRPSHWHQFLDV GLVFLSOLQDUHV EiVLFDV SURFXUDQ H[SUHVDU ODV FDSDFLGDGHV TXH WRGRV ORV HVWXGLDQWHV GHEHQ DGTXLULU LQGHSHQGLHQWHPHQWH GHO SODQ \ SURJUDPDV GH HVWXGLRTXHFXUVHQ\ODWUD\HFWRULDDFDGpPLFDRODERUDOTXHHOLMDQDOWHUPLQDUVXVHVWXGLRV GHEDFKLOOHUDWR/DVFRPSHWHQFLDVGLVFLSOLQDUHVEiVLFDVGDQVXVWHQWRDODIRUPDFLyQGHORV HVWXGLDQWHV HQ ODV FRPSHWHQFLDV JHQpULFDV TXH LQWHJUDQ HO SHUÀO GH HJUHVR GH OD (06 \ SXHGHQDSOLFDUVHHQGLVWLQWRVHQIRTXHVHGXFDWLYRVFRQWHQLGRV\HVWUXFWXUDVFXUULFXODUHV VHRUJDQL]DQHQORVFDPSRVGLVFLSOLQDUHVVLJXLHQWHV0DWHPiWLFDV&LHQFLDV([SHULPHQWDOHV )tVLFD4XtPLFD%LRORJtD\(FRORJtD &LHQFLDV6RFLDOHV\+XPDQLGDGHV+LVWRULD6RFLRORJtD 3ROtWLFD(FRQRPtD$GPLQLVWUDFLyQ/yJLFDeWLFD)LORVRItD\(VWpWLFD \&RPXQLFDFLyQ/HFWXUD\([SUHVLyQRUDO\HVFULWD/LWHUDWXUD/HQJXDH[WUDQMHUDH,QIRUPiWLFD /DVFRPSHWHQFLDVGLVFLSOLQDUHVH[WHQGLGDVGDQVXVWHQWRDODVFRPSHWHQFLDVJHQpULFDVGHOSHUÀOGHOHJUHVDGRGHOEDFKLOOHUDWRDGHPiVGHTXHWLHQHQFRPRSURSyVLWRSUHSDUDUDOHVWXGLDQWHSDUDHOQLYHOVXSHULRUGHHVWXGLRVHVSHFLÀFDQGRHQORVHOHPHQWRVGLVFLSOLQDUHVFRUUHVSRQGLHQWHV\HQVXFDVRLQFUHPHQWDQGRODFRPSOHMLGDGGHODFRPSHWHQFLDD GHVDUUROODU$OLJXDOTXHODVGLVFLSOLQDUHVEiVLFDVGHDJUXSDQHQORVFDPSRVGHFRQRFLPLHQWR GHO%DFKLOOHUDWR*HQHUDO
Competencias disciplinares extendidas del campo de Matemáticas 1. &RQVWUX\HHLQWHUSUHWDPRGHORVPDWHPiWLFRVPHGLDQWHODDSOLFDFLyQGHSURFHGLPLHQWRV DULWPpWLFRVDOJHEUDLFRVJHRPpWULFRV\YDULDFLRQDOHVSDUDODFRPSUHQVLyQ\DQiOLVLVGH VLWXDFLRQHVUHDOHVKLSRWpWLFDVRIRUPDOHV 2. )RUPXOD\UHVXHOYHSUREOHPDVPDWHPiWLFRVDSOLFDQGRGLIHUHQWHVHQIRTXHV 3. ([SOLFDHLQWHUSUHWDORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVPHGLDQWHSURFHGLPLHQWRVPDWHPiWLFRV\ ORVFRQWUDVWDFRQPRGHORVHVWDEOHFLGRVRVLWXDFLRQHVUHDOHV 4. $UJXPHQWD OD VROXFLyQ REWHQLGD GH XQ SUREOHPD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUiÀFRV DQDOtWLFRVRYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHOOHQJXDMHYHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGHODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\ODFRPXQLFDFLyQ 5. $QDOL]DODVUHODFLRQHVHQWUHGRVRPiVYDULDEOHVGHXQSURFHVRVRFLDORQDWXUDOSDUDGHWHUPLQDURHVWLPDUVXFRPSRUWDPLHQWR 6. &XDQWLÀFDUHSUHVHQWD\FRQWUDVWDH[SHULPHQWDORPDWHPiWLFDPHQWHODVPDJQLWXGHVGHO HVSDFLR\ODVSURSLHGDGHVItVLFDVGHORVREMHWRVTXHORURGHDQ 7. (OLJHXQHQIRTXHGHWHUPLQLVWDRXQRDOHDWRULRSDUDHOHVWXGLRGHXQSURFHVRRIHQyPHQR\DUJXPHQWDVXSHUWLQHQFLD 8. ,QWHUSUHWDWDEODVJUiÀFDVPDSDVGLDJUDPDV\WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV\FLHQWtÀFRV ESTRATEGIA DIDÁCTICA 3DUD FRQWULEXLU DO GHVDUUROOR GH ODV VHVLRQHV GH DSUHQGL]DMH HQ HO DXOD VH HVWDEOHFLy XQD HVWUDWHJLDTXHSHUPLWDLQWHJUDUORVHOHPHQWRVGHOSURJUDPDGHODDVLJQDWXUDFRQORVPDWHULDOHVGHDSR\R\ODDFWLYLGDGGHGRFHQWHV\HVWXGLDQWHV 6HOHGHQRPLQDHVWUDWHJLDHQHOVHQWLGRGHVXÁH[LELOLGDG\DTXHQRSUHWHQGH VHUXQDOJRULWPRTXHHOGRFHQWHGHEDVHJXLUDOSLHGHODOHWUDVLQRTXHGHEHDGDSWDUORD ODVFDUDFWHUtVWLFDVSURSLDVGHOFRQWH[WRHQHOTXHVHGHVDUUROODQODVVHVLRQHVGHDSUHQGL]DMH /DHVWUDWHJLDFRQVWDGHVLHWHSDVRVRHWDSDVPLVPDVTXHGHEHUiQFRQRFHUVHHQ ODVSULPHUDVVHVLRQHVSDUDXQPHMRUGHVDUUROORGHODVPLVPDV/RVSDVRVVHOLVWDQ\GHVFULEHQDFRQWLQXDFLyQ h 'LQDPL]DFLyQ h &RQWH[WXDOL]DFLyQ h 3UREOHPDWL]DFLyQ h )RUPDFLyQ$GTXLVLFLyQ'HVDUUROOR\&RQVWUXFFLyQGH&RPSHWHQFLDV h 6tQWHVLV h 5HDOLPHQWDFLyQ h (YDOXDFLyQGHODFRPSHWHQFLD Dinamización (QHOSURFHVRGHFRQVWUXFFLyQGHODSUHQGL]DMHHVLQGLVSHQVDEOHSDUDHOIDFLOLWDGRUWHQHUHYLGHQFLDGHORVDSUHQGL]DMHVSUHYLRVTXHHODOXPQRKDDGTXLULGR\FRQVLGHUDUTXHHVDSDUWLU GHORVPLVPRVTXHVHGHVDUUROODUiQORVQXHYRVPRWLYDQGRDODFRODERUDFLyQGHOHVWXGLDQWH HQHOPLVPRSURFHVR 9,
V
Contextualización
VI
(QHOGHVDUUROORGHFRPSHWHQFLDVVHKDFHQHFHVDULRHODSUHQGL]DMHFRQWH[WXDOHVGHFLUSUHVHQWDU HOHPHQWRV D WUDYpV GH HVFHQDULRV TXH OH VHDQ VLJQLÀFDWLYRV D ORV HVWXGLDQWHV /D FRQWH[WXDOL]DFLyQ GHEHUi UHDOL]DUVH DO LQLFLR GH FDGD EORTXH HQ ORV TXH VH RUJDQL]DQ ORV FRQWHQLGRVHQORVSURJUDPDVGHHVWXGLR Problematización (QHOPRGHORGHFRPSHWHQFLDVTXHOD5,(06HVWDEOHFHHOFRQWHQLGRWRPDXQVLJQLÀFDGR SULPRUGLDODODFHUFDUQRVDpODWUDYpVGHVXDSOLFDFLyQHQODYLGDFRWLGLDQDSRUWDQWROD SUREOHPDWL]DFLyQGHEHHVWDUSUHVHQWHDORODUJRGHWRGDODHVWUDWHJLDHQHODXOD Formación, Adquisición, Desarrollo y Construcción de Competencias (WDSD HQ OD FXDO HO IDFLOLWDGRU D SDUWLU GH GLYHUVDV H[SHULHQFLDV GH DSUHQGL]DMH IDFLOLWD HO TXHKDFHUGHOHVWXGLDQWHSDUDORJUDUODVFRPSHWHQFLDV(QHVWDHWDSDGHODHVWUDWHJLDHVWXGLDQWHV\GRFHQWHVGHEHQHVWDUSHQGLHQWHVGHOSURFHVRGHDVLPLODFLyQ*DOSHULQORGHVFULEH FRPRXQSURFHVRGHHWDSDV\QRFRPRXQIHQyPHQRLQPHGLDWR /DVGLVWLQWDVHWDSDVGHOSURFHVRGHDVLPLODFLyQTXHHODOXPQRH[SHULPHQWDSDUD GHVDUUROODUHODSUHQGL]DMHVRQODHWDSDGHPRWLYDFLyQODFXDOGHEHIRPHQWDUVH\PDQWHQHUVH GXUDQWHWRGRHOFXUVRUHFRUGHPRVTXHVLXQDOXPQRQRHVWiPRWLYDGRGLItFLOPHQWHDSUHQGHUi/DVHJXQGDHWDSDGHHVWHSURFHVRHVODIRUPDFLyQGHOD%2$HVWDLQFOX\HODIRUPD TXHHOIDFLOLWDGRUXWLOL]DSDUDTXHHODOXPQRGHVDUUROOHXQDFRPSHWHQFLD/D5,(06VXJLHUH ODFUHDWLYLGDGFRPRPpWRGRRIRUPDGHHQVHxDQ]DSDUDFXPSOLUWDOHVÀQHV /D%2$SXHGHOOHYDUVHDFDERGHYDULDVIRUPDVFXEULHQGRWUHVDVSHFWRVLPSRUWDQWHVODRULHQWDFLyQDODOXPQRTXHFRPR\DGLMLPRVGHEHHVWDUSUHFHGLGDSRUXQDEXHQD FDUJDGHPRWLYDFLyQGLFKDRULHQWDFLyQSXHGHVHUGHGRVWLSRVFRPSOHWDHQODTXHHOPDHVWUROHSURSRUFLRQDDODOXPQRWRGRVORVDVSHFWRVGHXQFRQWHQLGRHLQFRPSOHWDHQODFXDO VHGHMDQFLHUWRVDVSHFWRVGHXQFRQWHQLGRSDUDTXHHODOXPQRSXHGDGHVFXEULURLQYHVWLJDU SRUVtPLVPR/DJHQHUDOLGDGHVRWURDVSHFWRLPSRUWDQWHHQODFRQVWLWXFLyQGHO%2$TXH SXHGHVHUFRQFUHWDRJHQHUDOL]DGDHVGHFLUHOGRFHQWHSXHGHPRVWUDUKHFKRVFRQFUHWRV UHODWLYRVDDOJ~QFRQWHQLGRRSXHGHDEDUFDUHOPLVPRFRQWHQLGRSHURSRUPHGLRGHKHFKRV JHQHUDOHVTXHWHQJDQDOJXQDUHODFLyQFRQHOFRQFHSWRTXHVHH[SRQHDODOXPQR (OPRGRGHREWHQFLyQHVHO~OWLPRGHORVDVSHFWRVTXHLQFOX\HOD%2$(VWHVH SUHVHQWDGHGRVIRUPDVSUHHODERUDGDHLQGHSHQGLHQWH(QHOSULPHURHODOXPQROOHJDD REWHQHUHODSUHQGL]DMHGHPDQHUDFRQMXQWDFRQHOIDFLOLWDGRU\HQODVHJXQGDORVDOXPQRV DGTXLHUHQHOFRQRFLPLHQWRHQIRUPDLQGHSHQGLHQWH Síntesis $FWLYLGDG TXH SHUPLWH LQWHJUDU ORV DSUHQGL]DMHV GHO HVWXGLDQWH D WUDYpV GH HYLGHQFLDV GH FRQRFLPLHQWRGHVHPSHxRSURGXFWR\DFWLWXGGHPDQHUDTXHHOGRFHQWHFXHQWHFRQHVWUDWHJLDV SDUD OD HYDOXDFLyQ IRUPDWLYD ORJUDQGR LQYROXFUDU DO HVWXGLDQWH HQ SURFHVRV GH FRHYDOXDFLyQ (YDOXDFLyQGHODFRPSHWHQFLD 3DUDOOHYDUDFDERODHYDOXDFLyQVXPDWLYDGHODVFRPSHWHQFLDVTXHVHLQGLFDQHQORVSURJUDPDVGHHVWXGLRVHFRQWHPSODHVWDHWDSDODFXDOGHEHYHUVHFRPRSDUWHGHOSURFHVRHV GHFLUQRGHEHHQQLQJ~QPRPHQWRVHSDUDUVHGHODIRUPDWLYD/DPHMRUIRUPDGHORJUDUHVWD XQLGDGVHUiLQWHJUDQGRXQSRUWDIROLRGHHYLGHQFLDVGHDSUHQGL]DMH
VII
1. Dinamización y motivación
2.Contextualización
3.Desarrollo de criterios
4.Síntesis
5. Realimentación
6. Evaluación de la competencia
7. Problematización
8. Formación, adquisición, construcción y desarrollo de las competencias
Contenido VIII
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo meGLDQWHHODQiOLVLVGHVXHYROXFLyQVXVPRGHORV matemáticos y su relación con hechos reales 2 Sesión 1: Origen y evolución del Cálculo
5
Orígenes
6
Ideas y conceptos
7
Unificación de los conceptos
8
Desarrollo
10
Sesión 2: Modelos matemáticos: un acercamiento a máximos y mínimos
11
Mi proyecto del bloque
23
Rúbrica del bloque
28
%ORTXH,,5HVXHOYHVSUREOHPDVGHOtPLWHVGH FDUiFWHUHFRQyPLFRDGPLQLVWUDWLYRQDWXUDO\ social 32 Sesión 1: Definición y representación de límite de funciones
34
Representación gráfica de límite
39
Definición de límite
44
Sesión 2: Cálculo de límites de funciones
50
Teoremas sobre límites
51
Límites laterales
55
Límites infinitos
58
Límites al infinito
62
Sesión 3: Continuidad de funciones
67
Continuidad en un punto
68
Continuidad en un intervalo
72
Continuidad de funciones trigonométricas
74
Mi proyecto del bloque
77
Rúbrica del bloque
82
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, HFRQyPLFRV\DGPLQLVWUDWLYRV Sesión 1: Razón de cambio; la derivada como razón de cambio
88
Interpretación geométrica de la derivada
92
Relación entre diferenciabilidad y continuidad
96
Sesión 2: Fórmulas de derivación. Tangentes y normales
99
Teoremas de derivación de funciones algebraicas
101
Teoremas de derivación de funciones trigonométricas
105
Teorema de regla de la cadena
107
Teoremas de derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
110
Derivadas implícitas
111
Ecuación de la recta tangente y normal
113
Otras aplicaciones directas
116
Sesión 3: Razones de cambio (tasas de variación) relacionadas; variación de un fenómeno
119
Mi proyecto del bloque
127
Rúbrica del bloque
134
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
138
Sesión 1: Valores máximos y mínimos de funciones
140
Máximos y mínimos
142
Funciones crecientes y decrecientes
149
Sesión 2: Criterios para cálculo de máximos y mínimos
151
Criterio de la primera derivada
152
Criterio de la segunda derivada
162
Sesión 3: Aplicaciones de máximos y mínimos
171
Mi proyecto del bloque
186
Rúbrica del bloque
192
IX
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales
Objetos de aprendizaje h 2ULJHQ\HYROXFLyQGHO&iOFXOR h 0RGHORVPDWHPiWLFRVXQDFHUFDPLHQWRDPi[LPRV\PtQLPRV Desempeños del estudiante h ,GHQWLÀFDODVGLIHUHQWHVIXHQWHV\DXWRUHVTXHGLHURQRULJHQDO&iOFXOR h 5HFRQRFHHOFDPSRGHHVWXGLRGHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOGHVWDFDQGRVXLPSRUWDQFLDHQODVROXFLyQGHPRGHORVPDWHPiWLFRVDSOLFDGRVDVLWXDFLRQHVKLSRWpWLFDVR UHDOHV Competencias disciplinares extendidas 4. $UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWRGRVQXPpULFRVJUiÀFRVDQDOtWLFRVYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHOOHQJXDMHYHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGH ODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\FRPXQLFDFLyQ 8. ,QWHUSUHWDWDEODVJUiÀFDVPDSDVGLDJUDPDV\WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV \FLHQWtÀFRV Atributos de las competencias genéricas 5.6.8WLOL]DODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\FRPXQLFDFLyQSDUDSURFHVDUHLQWHUSUHWDULQIRUPDFLyQ 6.1.(OLJHODVIXHQWHVGHLQIRUPDFLyQPiVUHOHYDQWHVSDUDXQSURSyVLWRHVSHFtÀFR\ GLVFULPLQDHQWUHHOODVGHDFXHUGRDVXUHOHYDQFLD\FRQÀDELOLGDG 8.3.$SRUWDSXQWRVGHYLVWDFRQDSHUWXUD\FRQVLGHUDORVGHRWUDVSHUVRQDVGHPDQHUDUHÁH[LYD 9.1.3ULYLOHJLDHOGLiORJRFRPRPHFDQLVPRSDUDODVROXFLyQGHFRQÁLFWRV
Cálculo Diferencial
'LQDPL]DFLyQ\PRWLYDFLyQ 4
&RPRSDUWHGHWXIRUPDFLyQHQODHVSHFLDOL]DFLyQ)tVLFRPDWHPiWLFRHQHVWDPDWHULDVHWHSURSRUFLRQDUiQDEXQGDQWHVKHUUDPLHQWDVTXHFRPSOHPHQWHQWXSHUÀOGH HJUHVDGR &RPR KDV HOHJLGR HVWD HVSHFLDOL]DFLyQ HV SUREDEOH TXH WHQJDV LQWHUpV HQ FRQWLQXDU WXV HVWXGLRV HQ FDUUHUDV UHODFLRQDGDV FRQ ODV LQJHQLHUtDV OD )tVLFD OD $UTXLWHFWXUDHVWXGLRVWpFQLFRVRTXL]iWDPELpQELROyJLFRV\VRFLDOHVSDUDORVTXH QHFHVLWDUiVXQDEDVHPDWHPiWLFD3HURQRWHSUHRFXSHVHVWDEDVH\DVHKDHVWDGR FRQVWUX\HQGRDORODUJRGHORVFXDWURVHPHVWUHVGH0DWHPiWLFDV3RGHPRVRUJDQL]DU ODVXQLGDGHVDFDGpPLFDVFXUULFXODUHV8$& RPDWHULDVYLVWDVHQODVLJXLHQWHWDEOD Semestre/UAC
Contenido general de la UAC
UR0DWHPiWLFDV,
ÉOJHEUD
GR0DWHPiWLFDV,,
*HRPHWUtD3ODQD\7ULJRQRPHWUtD
UR0DWHPiWLFDV,,,
*HRPHWUtD$QDOtWLFD
WR0DWHPiWLFDV,9
Pre-cálculo (teoría de funciones)
6LORFRQVLGHUDVSHUWLQHQWHOOHYDDFDERORPiVSURQWRSRVLEOHXQUHSDVR GHODVWHPiWLFDVWUDWDGDVHQHVWDVPDWHULDV\GHVHUSRVLEOHXQIRUPXODULRGHORTXH KDVDQDOL]DGRHQHVWRVFXDWURVHPHVWUHV1RGXGHVHQSHGLURULHQWDFLyQDWXGRFHQWH El estudio del &iOFXORVHSXHGHGLYLGLUHQGRVJUDQGHVUDPDVGHHVWXGLR
Cálculo
Diferencial
Integral
(QHVWHVHPHVWUHHVWXGLDUHPRVHOCálculo Diferencial DSDUWLUGHVXPpWRdo principal, la diferenciación. 0XFKRV SHUVRQDMHV KDQ GDGR RULJHQ DO &iOFXOR \ KDQ SDUWLFLSDGR HQ VX HYROXFLyQUD]yQSRUODFXDOHQODSULPHUDVHVLyQQRVGHGLFDUHPRVDREWHQHUGDWRV LPSRUWDQWHV\IXQGDPHQWDOHVVREUHHVWDPDWHULD(QODVHVLyQGRVQRVHQIRFDUHPRV HQXQDDSOLFDFLyQSUHYLDHLQIRUPDOGHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOHQODTXHREVHUYDUHPRV ORVPRGHORVPDWHPiWLFRVTXHUHVXHOYHQSUREOHPiWLFDVUHDOHV3RUHMHPSOR¢SRUTXp ODVODWDVGHDW~Q\ODVFDMDVGHOHFKH7HWUD3DFNWLHQHQHVDIRUPD" (O&iOFXORWLHQHPXFKDVDSOLFDFLRQHVDSUREOHPiWLFDVGHOHQWRUQRTXHQR VyOR FRQFLHUQHQ D FLHQWtÀFRV LQJHQLHURV R ELyORJRV PHGLDQWH HO HVWXGLR GH HVWD UDPDGHODV0DWHPiWLFDVSRGHPRVYLVXDOL]DUHOLQPHQVRPDUGHSRVLELOLGDGHVTXH QRVRIUHFHQ\TXHHVWiQDQXHVWUDGLVSRVLFLyQ3RUORWDQWRVHDFXDOVHDWXRULHQWDFLyQKDFLDORVHVWXGLRVVXSHULRUHVHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOWHRIUHFHUiXQDPDQHUD GLIHUHQWHGHYHU\XWLOL]DUODV0DWHPiWLFDV
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales
6HVLyQ2ULJHQ\HYROXFLyQGHO &iOFXOR Criterios: h 'HÀQRORVRUtJHQHV\HYROXFLyQGHO&iOFXORTXHOOHYDURQDOGHVDUUROORGHO&iOFXOR ,QÀQLWHVLPDO h (VWDEOH]FRODVFLUFXQVWDQFLDV\FRQWH[WRVTXHOOHYDURQDORVGLIHUHQWHVDXWRUHVGHO &iOFXORDXWLOL]DURGHVFXEULUORVHOHPHQWRVSURSLRVGHpVWH h 5HODFLRQRODVGLYHUVDVLGHRORJtDV\OHQJXDMHPDWHPiWLFRTXHXVDURQORVGLIHUHQWHVH[SRVLWRUHVGHO&iOFXORWRPDQGRFRPRUHIHUHQFLDVXVHVFULWRV\DOJXQDVGH VXVREUDVFRQHOÀQGHFRPSUHQGHUHORULJHQ\HOWUDWDGRGHO&iOFXOR h 8WLOL]RODV7,&SDUDWHQHUXQSDQRUDPDDPSOLRGHODHYROXFLyQGHO&iOFXOR h 3URPXHYRHOHVWXGLR\DSOLFDFLyQGHO&iOFXORSDUDUHVROYHUGLIHUHQWHVVLWXDFLRQHV KLSRWpWLFDVRUHDOHV h (PSOHRHOGLiORJRHQHOTXHFRQVLGHURORVGLIHUHQWHVSXQWRVGHYLVWDSDUDUHIRU]DUODVROXFLyQDSUREOHPiWLFDVVXUJLGDV
&ontextualización ,JXDOTXHPXFKDVGHODVJUDQGHVFLHQFLDVHO&iOFXORKDHYROXFLRQDGRFRQODLQWHUYHQFLyQGHGLIHUHQWHVFDPSRVVRFLDOHVSURFHGLPHQWDOHVpSRFDVSHUVRQDMHVHWFpWHUD(QFXUVRVGH&iOFXORH+LVWRULDVHWRPDQFRPRSHUVRQDMHVSULQFLSDOHVGHHVWD JUDQGLRVDUDPDDOLQJOpVSir Isaac Newton\DODOHPiQGottfried Wilhelm Leibniz VLQ HPEDUJR WDPELpQ H[LVWLHURQ DSRUWDFLRQHV FRPSOHPHQWDULDV R HVODERQDGDV GH RWURVKRPEUHVTXHFRQWULEX\HURQTXL]iVLQVDEHUORDODFRQVROLGDFLyQGHO&iOFXOR 0LLQWHQFLyQQRHVVLQHPEDUJRH[SRQHU~QLFDPHQWHHOFRQWH[WRKLVWyULFR TXHURGHDDHVWDUDPDVLQRGHVFULELUFyPRHOVHUKXPDQRHVFDSD]GHFRPSUHQGHU FDGDYH]PiVSURIXQGDPHQWHVXHQWRUQR\WUDQVIRUPDUOR3RUORWDQWRGHVHRTXHDO FRPSUHQGHUHVWRVKHFKRVSXHGDVFRQFHELUORTXHODPHQWHKXPDQDSXHGHORJUDU FRQSHUVHYHUDQFLD\VHGGHFRQRFHUORVSURFHVRVQDWXUDOHV\PDWHPiWLFRV
PUREOHPDWL]DFLyQ /DVDSOLFDFLRQHVGHO&iOFXORHVWiQUHODFLRQDGDVFRQODVGLIHUHQWHVUDPDVGHODV0DWHPiWLFDVODV&LHQFLDV1DWXUDOHV\ODVWHFQROyJLFDV\DTXHpVWDVKDQFRQWULEXLGRDVX UHÀQDPLHQWR3RUVXSDUWHWDPELpQHO&iOFXORKDFRQWULEXLGRDODYDQFHGHOD)tVLFD\ OD0DWHPiWLFD (ORULJHQGHHVWDUDPDHVWiHQGLYHUVDVLQTXLHWXGHVTXHVHGHVHDEDQVDWLVIDFHUGHIRUPDPDWHPiWLFDDOJXQDVGHODVFXDOHVVHUHPRQWDQDODDQWLJXD*UHFLD (QWUHHOODVGHVWDFDQ h 'HWHUPLQDUODUHFWDWDQJHQWHHQXQSXQWRHVSHFtÀFRGHXQDFXUYDFRQRFLGD h +DOODUHOYDORUPi[LPRRPtQLPRGHXQDFXUYD h 2EWHQHUODORQJLWXGGHXQVHJPHQWRGHXQDFXUYD h (QFRQWUDUHOYDORUGHOiUHDFRQWHQLGDHQXQDUHJLyQ
5
Cálculo Diferencial h 'HWHUPLQDUHOYROXPHQGHXQVyOLGR h 2EWHQHUODYHORFLGDG\DFHOHUDFLyQHQXQWLHPSRHVSHFtÀFRTXHWHQGUiXQFXHUSR TXHVHPXHYHHQXQDWUD\HFWRULDHVWDEOHFLGD
6 Es importante que recuerdes el térmiQR´LQÀQLWRµVHJ~Q el curso anterior de Matemáticas IV, para que en consenso grupal lleguen a una GHÀQLFLyQ~QLFD\ satisfactoria.
(VWDV LQTXLHWXGHV IXHURQ WUDEDMDGDV GXUDQWH PXFKRV DxRV UD]yQ SRU OD FXDOODVWpFQLFDVTXHSHUPLWtDQVXDQiOLVLVVHIXHURQSHUIHFFLRQDQGRWDPELpQVHIXHURQDxDGLHQGRODVQXHYDVWHRUtDVPDWHPiWLFDV\ItVLFDVGHVFXELHUWDVKDVWDTXHODV LQTXLHWXGHVIXHURQVDWLVIHFKDV&RQVLGHUDQGRHVWDVEDVHV\QRFLRQHVFRPHQ]DUHPRV QXHVWURUHFRUULGRSRUHOPDUDYLOORVRFDPSRGHDSOLFDFLyQGHOFiOFXOR
FRUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\ GHVDUUROORGHODVFRPSHWHQFLDV (OWpUPLQR&iOFXOR,QÀQLWHVLPDO,TXHFRPR\DVHxDOpSRVHHGRVJUDQGHVUDPDVHO 'LIHUHQFLDO\HO,QWHJUDO YLHQHGHOWpUPLQR´LQÀQLWRµTXHVHHPSOHDSDUDUHSUHVHQWDUXQDFDQWLGDGLQFRQPHQVXUDEOHPHQWHJUDQGHRLQFRQPHQVXUDEOHPHQWHSHTXHxD /RVJULHJRVOHWHQtDQFLHUWRUHVSHWRDOLQÀQLWR\HPSOHDEDQHVWDQRFLyQSDUDGHWHUPLQDUHOiUHDGHXQDFLUFXQIHUHQFLD 3DUDHVWXGLDUORVKHFKRVTXHRULJLQDURQ\SHUPLWLHURQGHVDUUROODUHO&iOFXOR RUGHQDGDPHQWHORVDQDOL]DUHPRVGHPDQHUDFURQROyJLFD
2UtJHQHV
FIGURA 1.1 Zenón de (OHD
&RPRUHODWpHQOtQHDVDQWHULRUHVORVJULHJRVWXYLHURQ FLHUWDV QRFLRQHV GHO &iOFXOR SXHV FRQRFtDQ HO LQÀQLWR3DUDGHWHUPLQDUHOiUHDGHXQDFLUFXQIHUHQFLDDOLQHDEDQXQDVHULHGHWULiQJXORVUHVSHFWRDVX UDGLR\FDOFXODEDQVXViUHDVODVFXDOHVVXPDGDVVH DFHUFDEDQDOiUHDUHDOGHOFtUFXOR0LHQWUDVPiVHVWUHFKDVHUDQODVEDVHVGHOWULiQJXORHOYDORUGHVXV iUHDV VXPDGDV VH DFHUFDED PiV DO iUHD UHDO GH OD FLUFXQIHUHQFLD FRQVLGHUDGD (VWH SURFHGLPLHQWR LQYROXFUDEDLPSOtFLWDPHQWHODQRFLyQGHLQÀQLWRSXHV UHTXHUtDGHLQÀQLWRVWULiQJXORV 3HUR ¢FyPR HV SRVLEOH VXPDU XQD FDQWLGDG LQÀQLWD GH HVWDV VHFFLRQHV KDVWD FXEULU FRPSOHWDPHQWHHOiUHDGHODFLUFXQIHUHQFLD"(QUHDOLGDG la idea de estos pensadores era operativa, es decir, DQDOtWLFDPHQWH LPSRVLEOH GH GHPRVWUDU DSDUWH GH TXHWDPELpQREHGHFtDFULWHULRVÀORVyÀFRV
FIGURA 1.2 &XDQGR OD EDVH GH ORVWULiQJXORVHVFDGDYH]PHQRU VXDOWXUDVHDSUR[LPDDOYDORUGHO UDGLR \ OD VXPD GH VXV EDVHV VH DFHUFD DO YDORU GHO SHUtPHWUR GH OD FLUFXQIHUHQFLD VyOR VH YXHOYHQ LJXDOHV FXDQGR VH WLHQH XQD FDQWLGDGLQÀQLWDGHWULiQJXORVGH HVWHWLSR
EVWDLGHDIDVFLQyDPiVGHXQRHQWUHpVWRV VHHQFRQWUDEDZenón D& HOFXDORSLQDEDTXHODFLHQFLDQRSRGtDGHPRVWUDUODH[LVWHQFLDGHOLQÀQLWR3RUVXSDUWHAristótelesD& WUDWyGHUHVROYHU HOSUREOHPDGHOLQÀQLWRDOVHQFLOODPHQWHSURKLELUORHVFULELHQGR´QRHVSRVLEOHTXH HOLQÀQLWRH[LVWDFRPRVHURFRPRVXVWDQFLDµSHURREVHUYyTXHDOOOHJDUDHVWDDÀUPDFLyQÀORVyÀFDVHJHQHUDEDQFRQVHFXHQFLDVLPSRVLEOHVGHIRUPDTXHHOLQÀQLWR ´H[LVWHSRWHQFLDOPHQWH>¬@SRUDGLFLyQRGLYLVLyQµ FIGURA 1.3 $ULVWyWHOHV
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales EudoxioD& DVWUyQRPR\PDWHPiWLFRJULHJRFRQWHPSRUiQHR GH$ULVWyWHOHVUHWRPyHOFDVR\GHPRVWUyHOSUREOHPDGHOiUHDGHOFtUFXORDOXWLOL]DU VXSRVWXODGRTXHLQGLFDEDTXH´WRGDPDJQLWXGÀQLWDSXHGH DJRWDUVHPHGLDQWHODVXVWUDFFLyQGHXQDFDQWLGDGGHWHUPLQDGDµ&RQHVWRVWUDEDMRVSUHYLRVArquímedesD& ORJUy FDOFXODU HO YROXPHQ GH XQD HVIHUD \ SRU PHGLR GH OD WpFQLFDGHORVDQWLJXRVJULHJRVUHDOL]yFRUWHVLQÀQLWDPHQWH SHTXHxRVSDUDGHPRVWUDUTXHHOYROXPHQGHXQFLOLQGURH[FHGHHQXQDPLWDGDOGHODHVIHUDLQVFULWDHQpO
7
'HELGRDTXH$UTXtPHGHVQRDFDWyODSURKLELFLyQ GHOXVRGHOLQÀQLWRFRPRUHFRPHQGDEDODÀORVRItDDULVWRWpOLFDVHOHFRQVLGHUDXQSUHFXUVRUGHO&iOFXOR/HVREUHYLYHQ VLHWHGHVXVREUDVDXQTXHLQFRPSOHWDV5HVDOWDQEl método, Equilibrios en los planos, Sobre la esfera y el cilindro, Medida del círculo, Stomachion\Líneas espirales
,GHDV\FRQFHSWRs
FIGURA 1.4 Eudoxio de &QLGR
/DPHQWDEOHPHQWHORVHVFULWRVGHHVRVSHQVDGRUHV\ÀOyVRIRV GH OD $QWLJHGDGVRQ HVFDVRV HQ OD DFWXDOLGDG\D TXH PXFKRVGHORVSHUJDPLQRVTXHFRQWHQtDQVXVREUDVRFRSLDV GH HOODV KDEtDQ VLGR UHXWLOL]DGRV R VLPSOHPHQWH GHVWUXLGRV 3DVDURQ YDULRV VLJORV VLQ TXH HVWRV FRQRFLPLHQWRV HYROXFLRQDUDQ\DTXHVHGHVFRQRFtDQ /OHJDQGRDOVLJOR;9,,VHFRQWDEDQFRQYDULRVSHUJDPLQRV\ODFXULRVLGDGGHFRQRFHU\FRPSUHQGHUODVREUDV GHORVDQWLJXRVJULHJRVOOHYyDXQDQiOLVLVPiVGHWDOODGRDVt FRPRDODE~VTXHGDGHXQDMXVWLÀFDFLyQRGHPRVWUDFLyQGH ORTXHVHDÀUPDEDHQHOORV
FIGURA 1.5 $UTXtPHGHV GH6LUDFXVD
/RV FiOFXORV TXH VH OOHYDEDQ D FDER SDUD UHDOL]DU GHPRVWUDFLRQHVJHRPpWULFDVFRPRODVWDQJHQWHVRFXUYDV HUDQHQJRUURVRV\WHGLRVRVKDFtDIDOWDXQPpWRGRPDWHPiWLFRTXHSXGLHUDVLPSOLÀFDUODV(VDTXtGRQGHHQWUDQXHVWUR FIGURA 1.6 René VLJXLHQWH SHUVRQDMH HQ HO HVODEyQ GHO &iOFXOR 6H WUDWD GH 'HVFDUWHV René Descartes TXLHQLQÁX\yHQODLQYHQFLyQ GHOVLVWHPDGHFRRUGHQDGDVFDUWHVLDQDVHQKRQRUDVXQRPEUH PHGLDQWHHOFXDOHVSRVLEOHUHDOL]DUXQDUHSUHVHQWDFLyQ JUiÀFD GH PHFDQLVPRV DQDOtWLFRV 'H PDQHUD TXH ORV SURFHVRVJUiÀFRVVHSRGUtDQWUDEDMDUGHIRUPDDQDOtWLFDFRQHO OHQJXDMHPDWHPiWLFRDSURSLDGRTXHHVWDEDFREUDQGRDXJH HQ HVDV pSRFDV (VWD KHUUDPLHQWD DQDOtWLFD IXH IRUWDOHFLGD FDVL VLPXOWiQHDPHQWH SRU Pierre de Fermat TXLHQ SXEOLFy XQD REUD WLWXODGD Métodos para determinar máximos y mínimos y tangentes a líneas curvas &HUFDGHHVWHPLVPRSHULRGRPDWHPiWLFRVFRPR %RQDYHQWXUD )UDQFHVR &DYDOLHUL WRPDURQ OD LQLFLDWLYD GH WUDEDMDU FRQ HO LQÀQLWR &RQVLGHUy ORV DYDQFHV GHVHFFLRQDUiUHDV\YRO~PHQHVGH$UTXtPHGHVSHURHQXQ SODQRPiVDQDOtWLFRGHPDQHUDTXHLQWHQWyFUHDUXQDWHRUtD FIGURA 1.7 5HQp 5REHUW &DYDOLHUL
FIGURA 1.8 Pierre de )HUPDW
Cálculo Diferencial TXHOHSHUPLWLHUDGHPRVWUDUORVUHVXOWDGRVREWHQLGRVVLQHPSOHDUHOLQÀQLWR3HVHD VXDUGXDODERUQRSXGRORJUDUOR\DTXHpVWHDSDUHFtDGXUDQWHVXVSURFHVRVGHFiOFXOR\GHPRVWUDFLRQHV
8
John Wallis PDWHPiWLFRLQJOpVQDFLGRHQ$VKIRUGLQWURGXMR HOVtPEROR f SDUDHOLQÀQLWR(GLWyODVREUDVGH$UTXtPHGHV\FRQVLQWLySDUFLDOPHQWHHOXVRLQLFLDOGHOFRQFHSWRGHOtPLWH7DPELpQSXGRHQFRQWUDUHOYDORUGHOiUHDGH SDUiERODVXVDQGRVXLQWXLFLyQ\HOPpWRGRDULWPpWLFRDGHPiVGHXQDIyUPXODSDUD GHWHUPLQDUHOYDORUGH S Isaac Barrow IXHHOSULPHURHQREVHUYDUTXHHOSUREOHPDGH GHWHUPLQDUODUHFWDWDQJHQWHHQXQSXQWRGHXQDFXUYDVHUHODFLRQDEDHVWUHFKDPHQWH FRQODSHQGLHQWHGHODFXUYDHQHOSXQWRGHFRQWDFWR6RUSUHQGHQWHPHQWHWDPELpQ YLVXDOL]yTXHODFXHVWLyQGHKDOODUHOiUHDTXHWLHQHGHOLPLWDGDXQDFXUYDFRPRHO FDVRGHODFLUFXQIHUHQFLDHVWDEDUHODFLRQDGDFRQORTXHOODPDPRVDKRUDLQWHJUDFLyQ GHXQiUHDEDMRXQDFXUYD'HVJUDFLDGDPHQWHQROHGHGLFyPXFKRHVIXHU]RDVHJXLU HVWRVHVWXGLRV(VPX\SUREDEOHTXHFRPSDUWLHUDHVWRVFRQFHSWRVFRQXQRGHVXV GLVFtSXORV,VDDF1HZWRQ
UQLÀFDFLyQGHORVFRQFHSWRV FIGURA 1.9 -RKQ:DOOLV
FIGURA 1.10 ,VDDF%DUURZ
0iV WDUGH FXDQGR ORV FRQFHSWRV \ WHRUtDV REWHQLGDV D OR ODUJRGHORVDxRVHVWDEDQFRQVROLGiQGRVH\FRPHQ]DEDQD YHUVH VXV DSOLFDFLRQHV FRPR HO FDVR GHO VLVWHPD FDUWHVLDQR GHVWDFDURQ GRV SHUVRQDMHV TXH UHDOL]DURQ VXV HVWXGLRV HQIRUPDFDVLVLPXOWiQHD\HQGLVWLQWRVFRQWH[WRVHOORVHQFDXVDURQ WRGRV ORV FRQFHSWRV \ WHRUtDV SDUD GDU RULJHQ DO &iOFXOR (O SULPHUR GH HOORV VLQ TXLWDU PpULWR DO VHJXQGR es Sir Isaac Newton PDWHPiWLFR\ItVLFREULWiQLFRFX\RVWUDEDMRVRFXSDQHQHGLFLRQHVPRGHUQDVPiV GHFLQFRPLOSiJLQDVDSHVDUGHTXHVHPRVWUDEDUHVHUYDGR \UHDFLRDSXEOLFDUVXVHVFULWRV(QHVFULEHXQWUDWDGR VREUHÁX[LRQHV\HQODREUDDe Analysi0iVWDUGHUHDOL]DXQWUDWDGRVREUHVHULHVLQÀQLWDVHQ\RWURVREUHOD cuadratura de las curvas en De Quadratura Curvarum $O GHVDWDUVH OD SHVWH EXEyQLFD 1HZWRQ VH UHIXJLyHQVXFDVDQDWDO\IXHDKt GRQGHGHVFXEULy FIGURA 1.11 ,VDDF 1HZWRQ HOWHRUHPDGHOELQRPLRHO&iOFXOR,QÀQLWHVLPDOODOH\GHOD JUDYLWDFLyQXQLYHUVDO\ODWHRUtDGHORVFRORUHVeVWRVIXHURQVXDxRVPiVSUROtÀFRV &RQHOÀQGHVHxDODUODLPSRUWDQFLD\SRWHQFLDGHO&iOFXORGHGLFyXQRVHVFULWRVD UHVROYHUWRGRVORVSUREOHPDVGHWDQJHQWHV\iUHDVTXHSUHRFXSDEDQDODFRPXQLGDG FLHQWtÀFD(QHVFULELyVXREUDPiVIDPRVDPrincipia, donde detalla su teoría de ODJUDYLWDFLyQXQLYHUVDOFRQDUJXPHQWRVJHRPpWULFRVTXHGHÀHQGHYDOLpQGRVHGHO FiOFXORLQÀQLWHVLPDO Por su parte, Gottfried Wilhelm Leibniz GHRULJHQDOHPiQ WXYRXQDIRUPDFLyQLQLFLDOGH)LORVRItD'HUHFKR\/HQJXDV&OiVLFDV&KULVWLDDQ+X\JHQV DVWUyQRPRPDWHPiWLFR\ItVLFRKRODQGpVOHSURSXVRXQSUREOHPD PDWHPiWLFRTXHKL]RFUHFHUVXLQWHUpVSRUHVWDFLHQFLD\OHKL]RUHFRPHQGDFLRQHVELEOLRJUiÀFDVODYHUVLyQHQODWtQGHLa GéométrieGH'HVFDUWHV\ORVWUDEDMRVGH3DVFDO 6XGHGLFDFLyQWXYRVXUHFRPSHQVDFXDQGRHQGHVFXEULyHO&iOFXOR'HVSXpV SXEOLFyGRVDUWtFXORVGHVSXpVGHHQHO$FWD(UXGLWRUXPXQDUHYLVWDGHFRUWH FLHQWtÀFRÀORVyÀFRHOSULPHURVREUH&iOFXOR'LIHUHQFLDO\HOVHJXQGRVREUH&iOFXOR
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales
³
,QWHJUDO6REUHORVFRQFHSWRVTXHXWLOL]yHVWiQOD d GHGLIHUHQFLDO\OD GHLQWHJUDO TXHUHÁHMDQHOGHVHRGHUHSUHVHQWDUJUiÀFDPHQWHFRQFHSWRVLQLFLDOPHQWHÀORVyÀFRV 'HVSXpVGHDOJXQRVDxRVFRPHQ]yHOGHEDWHVREUHTXLpQGHORVGRVKDEtD VLGR HO YHUGDGHUR FUHDGRU GHO &iOFXOR 1HZWRQ SRVSXVR OD SXEOLFDFLyQ GH VXV WUDEDMRVSRUQRVDEHUFyPRVHUtDQUHFLELGRVSRUODFUtWLFD/HLEQL]VLQHPEDUJRKL]R S~EOLFRVVXVGHVFXEULPLHQWRVGHLQPHGLDWR/RVVHJXLGRUHVGHDPERVHPSH]DURQOD GHIHQVDGHODRULJLQDOLGDGXQDSROpPLFDTXHWRPyWLQWHVQDFLRQDOLVWDVHQWUHEULWiQLFRV\DOHPDQHV
9
EVQHFHVDULRSUHFLVDUTXHVXVWUDEDMRVGLVWLQWRVHQQDWXUDOH]DOOHJDQDODV PLVPDVFRQFOXVLRQHV1HZWRQSDUWHGHOD)tVLFDDQDOL]DHOWLHPSRTXHGHPRUDQORV FXHUSRVHQUHFRUUHUXQDWUD\HFWRULDGHWHUPLQDGD0LHQWUDVTXH/HLEQL]SDUWHGHSUREOHPDVÀORVyÀFRVDOWUDWDUGHEXVFDUXQRVHOHPHQWRVOODPDGRVLQÀQLWHVLPDOHV, razón SRUODFXDOVXWUDEDMRWLHQHFRPRIXQGDPHQWRODVVXPDVLQÀQLWHVLPDOHVRVXPDGH FDQWLGDGHVLQÀQLWDPHQWHSHTXHxDV 1HZWRQHQFRQWUDVWHFRQ/HLEQL]QRWHQtDXQD SUHRFXSDFLyQSRUHVFULELUVXVUHVXOWDGRVGHIRUPDJHQHUDOVLQRTXHOHEDVWDEDQYDULRVHMHPSORV PaUDUHÀQDUORVDYDQFHVGHHVWRVGRVSHUVRQDMHVJohan Bernoulli SURSXVRXQDQWLJXRSUREOHPDHQODUHYLVWD$FWDV(URGLWRUXPTXHWRGDYtDQR HVWDEDUHVXHOWR\TXHHOPLVPR*DOLOHR*DOLOHLQRSXGRVROXFLRQDUVDWLVIDFWRULDPHQWH HQVXWLHPSR\DTXHQHFHVLWDEDGHO&iOFXORSDUDORJUDUOR6HWUDWDEDGHOSUREOHPD GHODEUDTXLVWyFURQD, el cual SHGtDGHWHUPLQDUODFXUYDSRUODTXHXQFXHUSRGHVFLHQGH GH IRUPD PiV UiSLGD HQWUH GRV SXQWRV TXH QR HVWpQ QL HQ SRVLFLyQ YHUWLFDO QL KRUL]RQWDO'LRXQSOD]RGHXQDxRSDUDUHVSRQGHUFRQHOREMHWRGHTXHORVHXURSHRV GHPRVWUDUDQ VX DYDQFH SHUR VyOR OOHJDURQ VHLV VROXFLRQHV XQD DQyQLPD XQD GH /HLEQL]XQDGHOPLVPR%HUQRXOOLRWUDGHVXKHUPDQRJakob Bernoulli XQD GH :DOWHU YRQ 7VFKLUQKDXV \ XQD GHO 0DUTXpV GH /·+{SLWDO (VWD ~OWLPD HUD OD ~QLFDHUUyQHDWRGDVODVGHPiVGDEDQODUHVSXHVWDFRUUHFWDODFXUYDHUDODFLFORLGH /D VROXFLyQ GHO DQyQLPR FRQVWDED GH SDODEUDV VRODPHQWH PiV WDUGH %HUQRXOOL UHFRQRFLyFODUDPHQWHTXHHUDREUDGH1HZWRQFRQORFXDOTXHGyGHPRVWUDGRTXH HO FiOFXOR GH 1HZWRQ HUD WDQ SRGHURVR FRPR HO GH /HLEQL] SDUD UHVROYHU HVWH SUREOHPD /DVREULQDGH1HZWRQFRPHQWy TXH HO UHWR OH OOHJy D pO D ODV FXDWUR GHODWDUGHWUDVUHJUHVDUFDQVDGRGHOWUDEDMRVLQHPEDUJRGRFHKRUDVPiVWDUGH \DWHQtDODVROXFLyQ/RTXHODVREULQDQR FRQWHPSODEDHUDTXHVXWtR\DKDEtDUD]RQDGRHQHVHSUREOHPDDxRVDWUiVFRQ lo cual al enterarse del reto sólo tuvo que KDFHUPHPRULD¢3RUTXpQRKL]RS~EOLFR VXGHVFXEULPLHQWR"&RPRGLMRAugusto de Morgan ´FDGD GHVFXEULPLHQWR GH 1HZWRQWHQtDGRVDVSHFWRV1HZWRQWXYR TXHKDFHUOR\OXHJRORVGHPiVWHQtDPRV FIGURA 1.13 -RKDQ %HUQRXOOL TXHGHVFXEULUTXHpOORKDEtDKHFKRµ
FIGURA 1.14 -DNRE %HUQRXOOL
FIGURA 1.12 *RWWIULHG:LOKHOP/HLEQL]
Cálculo Diferencial
'esarrollo 10
7UDVHVWRVPDJQtÀFRVWUDEDMRVQDFLyHO&iOFXORVLQHPEDUJRKDFtDIDOWDHVWDEOHFHU GHIRUPDRUGHQDGD\PHWyGLFDVXVIXQGDPHQWRV$TXtHQWUDQHQMXHJRGLIHUHQWHV DXWRUHV Leonhard Euler UHDOL]y FRQWULEXFLRQHV HQ YDULDV UDPDV GH OD 0DWHPiWLFD SXUD \ OD )tVLFD 5HVDOWDQ VXV REUDV GH F&iOFXOR ,QWURGXFWLR LQ $QDO\VLV LQÀQLtorum HQ Institutiones Calculo Differentialis HQ e Institutiones Calculo IntegralisHVFULWDHQWUH\ 7DPELpQ GLR XQD GHÀQLFLyQ FRPSOHWD GH IXQFLyQ SDVDQGR GHODVIXQFLRQHVSDUWLFXODUHVFRQRFLGDVDODQRFLyQJHQHUDO GHIXQFLyQODFRQFHEtDFRPRXQDH[SUHVLyQDQDOtWLFDHQOD TXHVHLQYROXFUDEDQYDULDEOHV\DOJXQDVFRQVWDQWHV 2WURPDWHPiWLFRFRQWHPSRUiQHRGH(XOHUHVJoseph L. Lagrange TXHGHÀQLyODIXQFLyQFRPR FXDOTXLHUH[SUHVLyQ~WLOSDUDGHWHUPLQDUFiOFXORVGRQGHGH DOJXQDPDQHUDXRWUDLQWHUYLHQHQODVYDULDEOHV (O&iOFXORVXIULyXQDHYROXFLyQPiVDEVWUDFWDDPH- FIGURA 1.15 /HRQKDUG GLGDTXHORVGHPiVSHQVDGRUHVFRQWULEX\HURQDDOLPHQWDUOD (XOHU resaltan Bernhard Bolzano Agustin L. Cauchy Karl Weierstrass Georg Friedrich Riemann Richard Dedekin HQWUHPXFKRVRWURVFX\DVFRQWULEXFLRQHVQRSXHGHQ GHWDOODUVHHQHOHVSDFLRGHHVWDREUD
FIGURA 1.16 -RVHSK/ /DJUDQJH
(QQXHVWURVWLHPSRVODFRPSXWDGRUDSURJUDPDEOHKDKHFKRTXHHODQiOLVLV QXPpULFRODV0DWHPiWLFDVLQÀQLWDVODWHRUtDGHQ~PHURVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV\HOiOJHEUDDEVWUDFWDWXYLHUDQXQJUDQDOLDGR\VHGLHUDRULJHQDQXHYDViUHDVGH LQYHVWLJDFLyQFRPRHOHVWXGLRGHORVDOJRULWPRV$XQTXHPXFKRVSUREOHPDVGHOD $QWLJHGDGVHKDQUHVXHOWRRWURVVHKDQDxDGLGRODPHQWHKXPDQDVLHPSUHHVWDUi RFXSDGDWUDWDQGRGHDQDOL]DUHVWXGLDU\FRPSUHQGHUVXHQWRUQR
$FWLYLGDG /HVSURSRQJRDJUXSDUVHHQHTXLSRVGHRLQWHJUDQWHVEDMRHOYLVWREXHQRGHVX GRFHQWH/RVLJXLHQWHHVTXHFRQVLGHUDQGRODVDSRUWDFLRQHVTXHUHDOL]DURQGLIHUHQWHVFRODERUDGRUHVTXHGLHURQRULJHQDO&iOFXORUHDOLFHQXQWUtSWLFRTXHFRQWHQJDOR HVHQFLDOGHFDGDXQR6XGRFHQWHOHVRIUHFHUiODVSDXWDVTXHGHEHUiVHJXLUVXWUtSWLFRDVtFRPRODVFRQGLFLRQHVGHHQWUHJD
Síntesis $FRQWLQXDFLyQWHSUHVHQWRXQDVHULHGHSUREOHPiWLFDVTXHGDUiQXQDDSUR[LPDFLyQ JHQHUDODODVFRPSHWHQFLDVGHHVWDVHVLyQ 1. 5HDOL]DXQDLQYHVWLJDFLyQHQGLIHUHQWHVIXHQWHVGHLQIRUPDFLyQQRROYLGDQGRGDU DFRQRFHUODVFLWDVELEOLRJUiÀFDVRSiJLQDVZHE VREUHHOPDUFRSROtWLFRVRFLDOR FLUFXQVWDQFLDOHQHOTXHORVSHUVRQDMHVGHWDOODGRVHQHVWDVHVLyQOOHYDURQDFDER VXVGHVFXEULPLHQWRV
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 2. (QWHUFLDVHODERUHQXQPDSDFRQFHSWXDOVREUHORTXHFDGDXQRGHORVPDWHPiWLFRVGHVFULWRVHQHVWDVHVLyQKDDSRUWDGRDO&iOFXOR(VWHPDSDVHUiUHDOL]DGRHQ SDSHOERQGRGLDSRVLWLYDVGH3RZHU3RLQW\SUHVHQWDGRDOUHVWRGHWXVFRPSDxHURVGHFODVH
6HVLyQ0RGHORVPDWHPiWLFRV XQ DFHUFDPLHQWR D Pi[LPRV \ PtQLPRV
11
Criterios: h ,GHQWLÀFRTXpHVXQPRGHORPDWHPiWLFR\ORVHOHPHQWRVTXHOHGDQRULJHQGH IRUPDTXHSXHGRGLVFHUQLUVXXWLOL]DFLyQHQHOFDPSRGHO&iOFXOR h 5HFRQR]FRODVYDULDEOHVTXHLQWHUDFW~DQDOPRPHQWRGHSUHVHQWDUXQDVLWXDFLyQ TXHUHTXLHUDGHPRGHODMHPDWHPiWLFR h &DUDFWHUL]RODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDGHPRGHODMHPDWHPiWLFRPHGLDQWHORVPpWRGRVGLVSRQLEOHVFRPRORVJUiÀFRVDQDOtWLFRVOHQJXDMHYHUEDOR HOXVRGHODV7,& h $VRFLRODVGLIHUHQWHVYDULDEOHVGHOPRGHORPDWHPiWLFRFRQHOÀQGHSURYHHUXQD UHODFLyQPDWHPiWLFDDODVROXFLyQGHODVLWXDFLyQGDGD h $SRUWRSXQWRVGHYLVWDSDUDUHVROYHUODVGLYHUVDVVLWXDFLRQHVSUHVHQWDGDVGHPDQHUDTXHVHFUHHXQDPELHQWHySWLPR\UHODMDGR h &RQVLGHURODVDFWLWXGHV\UD]RQDPLHQWRVGHPLVFRPSDxHURVGHPDQHUDUHÁH[LYD SDUDOOHJDUDXQFRQVHQVRUHVSHFWRDODVROXFLyQGHFRQÁLFWRV
&ontextualización El modelaje matemáticoHVXQDGHODVKHUUDPLHQWDVIXQGDPHQWDOHVTXHXQPDWHPiWLFRSXHGHSRVHHU6HWUDWDSULPRUGLDOPHQWHGHXQVLVWHPDSDUDUHSUHVHQWDUDOJHEUDLFDPHQWHSRUPHGLRGHIXQFLRQHVOHQJXDMHRVLPERORJtDPDWHPiWLFDGLYHUVRV SUREOHPDVTXHSURYLHQHQGHVLWXDFLRQHVTXHVHSUHVHQWDQHQODYLGDUHDORKLSRWpWLFDHVWRFRQHOÀQGHTXHVHSXHGDOOHJDUDXQDVROXFLyQXRSWLPL]DFLyQUHTXHULGD TXHWLHQHFRPREDVHODVLWXDFLyQUHDORKLSRWpWLFDDWUDYpVGHPpWRGRVPDWHPiWLFRV ItVLFRVTXtPLFRVDQDOtWLFRVHWFpWHUDQHFHVDULRV 6LUYDGHHMHPSORODVLJXLHQWHVLWXDFLyQ /XLV\3DFRWLHQHQGLIHUHQWHFDQWLGDGHQSHVRV6HVDEHTXH/XLVWLHQHPiV TXH3DFR\TXHODVXPDGHDPEDVFDQWLGDGHVGD\ODUHVWD¢&XiQWR SRVHHFDGDXQRGHHOORV" &DEHVHxDODUTXHODLGHQWLÀFDFLyQGHYDULDEOHV\GHSODQWHDPLHQWRVPDWHPiWLFRVVHKDHVWDGRDQDOL]DQGRGHVGHFXUVRVDQWHULRUHVGH0DWHPiWLFDV (Q HVWH FDVR ODV YDULDEOHV VRQ GRV OD FDQWLGDG GH GLQHUR GH /XLV \ OD GH 3DFRTXHODVUHSUHVHQWDUHPRVFRPRL\PUHVSHFWLYDPHQWH'HPDQHUDTXHHOPRGHORPDWHPiWLFRTXHUHSUHVHQWDDHVWDVYDULDEOHV\DODVLWXDFLyQHQWHUDHV
Te recomiendo realices un repaso del contenido relacionado a modelaje matemático en los bloques V a X de Matemáticas I.
Cálculo Diferencial
L P 2000 L P 400
12
$OUHVROYHUHVWHVLVWHPDGHHFXDFLRQHVFRQORVSURFHGLPLHQWRVDOJHEUDLFRV DGHFXDGRVVHREWLHQHL=\P=HVGHFLU/XLVWLHQH\3DFR 'HIRUPDVLPLODUHOPRGHODMHPDWHPiWLFRHVDSOLFDEOHQRVyORDOÉOJHEUD VLQRDODVGHPiVFLHQFLDVUD]yQSRUODFXDOHOFiOFXORFREUDPXFKRSRWHQFLDO9HDPRV XQSULPHUDFHUFDPLHQWRDODDSOLFDFLyQGHOFiOFXORPHGLDQWHHOXVRGHORVPRGHORV PDWHPiWLFRVDOJHEUDLFRVRItVLFRV
PUREOHPDWL]DFLyQ 6XSRQJDPRV TXH WUDEDMDV HQ XQD HPSUHVD TXH VH GHGLFD D FRQIHFFLRQDUFDMDV GH FDUWyQSDUDGLIHUHQWHVFRQWHQLGRV8QFOLHQWHGHVHDTXHOHHODERUHQFDMDVSHTXHxDV VLQWDSDFRQHOPD\RUYROXPHQSRVLEOHDSDUWLUGHXQFDUWyQUHFWDQJXODUFRQEDVH GHFP\DOWXUDGHFPLJXDODODVGLPHQVLRQHVGHXQDKRMDWDPDxRFDUWD 7XMHIHGHSURGXFFLyQWHSLGHTXHHQFXHQWUHVHOYDORUGHOFRUWHFXDGUDGRTXHKDGH UHDOL]DUVHHQFDGDHVTXLQDGHOFDUWyQUHFWDQJXODUSDUDFXEULUODSHWLFLyQGHOFOLHQWH EXVFD
2EVHUYD ODV ÀJXUDV SDUD TXH WHQJDV XQD QRFLyQ PiV FODUD GH OR TXH VH
28.2 cm
21.8 cm
$FWLYLGDG 2UJDQL]DGRV HQ HTXLSRV UHVSRQGDQ FRQ DUJXPHQWRVORVLJXLHQWH¢FyPRVHUiSRVLEOHUHDOL]DUHVWDWDUHDFRQORVFRQRFLPLHQWRVTXHWLHQHVHQHVWRVPRPHQWRV" (Q SULPHU OXJDU GHGLTXHQ XQRV PLQXWRV D UD]RQDU HQ HVWD VLWXDFLyQ UHDO GHPDQHUDTXHDOÀQDOL]DUHOWLHPSRGDGR por su docente realicen una lluvia de ideas FIGURA 1.17 &RUWHV GHO FDUWRQFLOOR UHFWDQJXODU SDUDIRUPDUXQDFDMDUHFWDQJXODUVLQWDSD VREUHODVIRUPDVGHSODQWHDUOD\UHVROYHUOD
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 6XJHUHQFLDVREWHQLGDV
13
5HFXHUGDTXHDOSHJDUODVRULOODVGHODFDMDVHGHEHREWHQHUHOiUHDPi[LPD SRVLEOH3XHGHQXWLOL]DUFLQWDDGKHVLYDSDUDSHJDUORVERUGHVGHODVFDMDV\DUHQDSDUD PHGLUVXFDSDFLGDG 5HDOLFHQODVFRPSDUDFLRQHVGHVXVPRGHORVFRQODDUHQDWUDVKDEHUORVFRQFOXLGR¢'HFXiQWRVFHQWUtPHWURVIXHHOFRUWHPiVySWLPRSDUDKDOODUHOiUHDPi[LPD"
FoUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\ GHVDUUROORGHODVFRPSHWHQFLDV /R DQWHULRU IXH XQ SULPHU DFHUFDPLHQWR DO PRGHODMH PDWHPiWLFR \ GH Pi[LPRV \ PtQLPRVTXHVHFRQVLGHUDUiFRQGHWHQLPLHQWRHQHO%ORTXH,90LLQWHQFLyQHUDTXH QRWDUDVTXHH[LVWHQSUREOHPiWLFDVUHDOHVTXHUHTXLHUHQGHXQDVROXFLyQPiVULJXURVDTXHHOOODPDGR´WDQWHR\HUURUµ\HQODTXHLQWHUYLHQHQHOPRGHODMHPDWHPiWLFR GH OD VLWXDFLyQ \ HO FiOFXOR /D H[DFWLWXG HVXQÀQFRQVWDQWHHQODPD\RUtDGHODV FLHQFLDVHQ$VWURQRPtDSRUHMHPSORXQ ´SHTXHxRµHUURUVHWUDGXFLUtDHQHOIUDFDVR GH XQD PLVLyQ \ HQ $UTXLWHFWXUD XQ SXHQWH SRGUtD YHQLUVH DEDMR FREUDQGR LQFOXVRYLGDVKXPDQDV 'H HVWD PDQHUD FRPHQFHPRV FRQ XQ UHSDVR GLUHFWR GH PRGHODMH PDWHPiWLFR FRQ XQ OHYH DFHUFDPLHQWR D OD optimizaciónYLVWDHQ&iOFXOR'LIHUHQFLDO TXHHVQXHVWURREMHWRGHHVWXGLRHQHVWH VHPHVWUH
FIGURA 1.18 En distancias estelares, un error de FiOFXORSXHGHFRQYHUWLUVHSRWHQFLDOPHQWHHQXQ DOHMDPLHQWRNLORPpWULFRTXHSRGUtDSRUHMHPSOR H[WUDYLDUXQDVRQGDHVSDFLDO
(V LPSRUWDQWH LQGLFDU GHVGH HO LQLFLR TXH SDUD UHDOL]DU XQ PRGHOR GH HVWHWLSRQRH[LVWHXQPpWRGRHVSHFtÀFR \ULJXURVRDVHJXLUSHURVtH[LVWHQFLHUWDV UHJODV ~WLOHV DO PRPHQWR GH WUDEDMDU FRQ VLWXDFLRQHVGHRSWLPL]DFLyQ6XEUD\RTXH ORVSUREOHPDVGHRSWLPL]DFLyQVHUiQDERUGDGRVHQHO%ORTXH,9SHURHVLPSRUWDQWH TXHGHVGHDKRUDWHQJDVODVKHUUDPLHQWDV SDUD SODQWHDU ODV VLWXDFLRQHV UHDOHV R KLFIGURA 1.19 ,PDJLQD OD FDQWLGDG GH SHUVRQDV potéticas (no olvides todas estas pautas que podrían sufrir un accidente si un puente no GXUDQWHORVVLJXLHQWHVEORTXHV HVWXYLHUDFRQVWUXLGRFRQSUHFLVLyQ
Cálculo Diferencial /DVSDXWDVDVHJXLUSDUDFUHDUXQPRGHORPDWHPiWLFRVRQ
14
1. &RPSUHQGHROHHELHQODVLWXDFLyQSUHVHQWDGD(V~WLOUHSUHVHQWDUODVLWXDFLyQ HQXQGLDJUDPD5HFRQRFHTXpHVORTXHVHGHVHDVDEHU 2. ,GHQWLÀFDORVGDWRVFRQRFLGRV\ORVTXHKDVGHREWHQHUpVWRVUHSUHVHQWDUiQ ODVYDULDEOHVTXHHQWUDUiQHQMXHJRHQHOPRGHOR(VLPSRUWDQWtVLPRTXHFRPSUHQGDVFXiOHVODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH\FXiOVHUiODGHSHQGLHQWHDGHPiV GHTXHVHSDVFyPRVHUHODFLRQDQHVWDVYDULDEOHV3XHGHVXVDUODVOLWHUDOHVTXH GHVHHVSDUDUHSUHVHQWDUODVHQHOGLDJUDPDGHODSDXWDDQWHULRU 3. &RQORVGDWRVUHFDEDGRV\ODVUHODFLRQHVHQWUHODVYDULDEOHVIRUPXODODVH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVTXHVHDQSRVLEOHVGHPDQHUDTXHODYDULDEOHGHSHQGLHQWH TXHGHHQWpUPLQRVGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH(VWDUHODFLyQVHUiHOPRGHOR PDWHPiWLFRGHODVLWXDFLyQ 4. 'HWHUPLQDORVYDORUHVTXHVDWLVIDFHQODVLWXDFLyQSODQWHDGD\HVFULEHWXUHVSXHVWDHQWpUPLQRVGHODSUREOHPiWLFDRULJLQDO $ ÀQ GH TXH FRPSUHQGDV \ UHODFLRQHV HVWDV DÀUPDFLRQHV FRQ ODV KHUUDPLHQWDVTXHKDVREWHQLGRDORODUJRGHWXFDUUHUDHVWXGLDQWLO0DWHPiWLFDV,0DWHPiWLFDV,9 SUHVHQWRWUHVHMHPSORVDGLFLRQDOHVDOGHODDFWLYLGDGGH3UREOHPDWL]DFLyQ1RROYLGHVTXHPLHQWUDVDYDQFHPRVHQHOGHVDUUROORGHFDGDHMHPSORDQDOLFHV FyPRFDGDXQDGHODVFXDWURSDXWDVDQWHULRUHVVHYDDGDSWDQGRDODVLWXDFLyQSUHVHQWDGD Ejemplo 1 &RQVLGHUDTXHXQDPDUFDFKRFRODWHUDGHVHDYHQGHUVXVSURGXFWRVHQXQDFDMDGH EDVHFXDGUDGDVLQWDSD\TXHSRVHHHQH[LVWHQFLDFDUWRQFLOORVFXDGUDGRVGHFPGH ODGRSDUDWDOSURSyVLWR(OJHUHQWHGHSURGXFFLyQSURSRQHTXHFRQHVRVFDUWRQFLOORV VHFRQVWUX\DQODVFDMLWDVGHPDQHUDTXHFRQWHQJDQXQYROXPHQPD\RUSRVLEOH3DUD WDOSURSyVLWRVHFRUWDUiXQFXDGUDGLWRGHORQJLWXGGHVFRQRFLGDHQFDGDHVTXLQDGH ORVFDUWRQFLOORVSDUDOXHJRGREODU\SHJDUORVODGRVUHVXOWDQWHVFRQFLQWDVGHFRUDWLYDV HVSHFLDOHVIRUPDQGRDVtHOHPSDTXHGHORVFKRFRODWHVVHGHVSUHFLDHOJURVRUGHO FDUWRQFLOOR Solución $YDQFHPRVHQODUHVROXFLyQGHHVWDVLWXDFLyQUHDO SRUPHGLRGHODVFXDWURSDXWDVGDGDVDQWHULRUPHQWH 1. 6HGHVHDFRQVWUXLUXQDFDMLWDVLQWDSDPHGLDQWH XQ FRUWH GH ORQJLWXG GHVFRQRFLGD SDUD ORJUDU XQYROXPHQPi[LPRHVGHFLUKHPRVGHKDOODU ODORQJLWXGGHFDGDFXDGUDGLWRGHIRUPDTXHOD FDMDWHQJDXQYROXPHQPD\RU 2. (QHVWHFDVRHQWUDQHQMXHJRVyORGRVYDULDEOHV FIGURA 1.20 &KRFRODWHV ODGHODORQJLWXGGHFRUWHTXHHVODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH\HOYROXPHQDPD[LPL]DUTXHVHUiODYDULDEOHGHSHQGLHQWHSXHV GHSHQGLHQGRGHOFRUWHUHDOL]DGRYDULDUiQODVGLPHQVLRQHVGHODFDMD\SRUHQGH YDULDUiWDPELpQVXYROXPHQ 5HSUHVHQWDUHPRVODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHFRPRx, \ODLQGHSHQGLHQWHFRPRVHVGHFLU
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales x ORQJLWXGGHFRUWH V YROXPHQGHODFDMD (OGLDJUDPDVHUtDXQRVLPLODUDODVLJXLHQWHÀJXUD
15
15 cm x
15-2x
x
x 15 cm 15-2x
15-2x
FIGURA 1.21 5HSUHVHQWDFLyQGHODVLWXDFLyQGHOHMHPSOR
3. 'HVHDPRVREWHQHUXQPD\RUYROXPHQGHODFDMDFRQVLGHUDQGRHOFRUWHGHORQJLtud x. $TXtHVGRQGHHQWUDQHQMXHJRQXHVWURVFRQRFLPLHQWRVDGTXLULGRVGXUDQWH ORVSDVDGRVVHPHVWUHV 2EVHUYDQGRELHQODVÀJXUDVDQWHULRUHVSRGHPRVGLVFHUQLUTXHDOUHDOL]DU los cortes de cuadritos de lado xSRGHPRVGREODUHOFDUWRQFLOOR\IRUPDUODFDMLWDTXH WHQGUiXQYROXPHQV(VWHYROXPHQSDUDXQSULVPDFXDGUDQJXODUHVV = (área de la EDVH DOWXUD GHPDQHUDTXHREWHQHPRV V = (15 −2 x ) (15 −2 x ) x = x (15 − 2 x )2
3HURFRPRVHWUDWDGHXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHQRWHQHPRVSUREOHPDHQUHSUHVHQWDUHOYROXPHQYDULDEOHGHSHQGLHQWH HQWpUPLQRVGHODYDULDEOH independiente x V ( x ) = x (15 − 2 x )2
(VWHVHUiHOPRGHORPDWHPiWLFRGHQXHVWUDVLWXDFLyQ 4. $~QQRVIDOWDGHWHUPLQDUHOYDORUGHxSDUDREWHQHUXQYROXPHQVPD\RU3DUDHOOR UHFXUULPRVDODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ 3RUPHGLRGHXQDFDOFXODGRUDFLHQWtÀFDYHUHPRVTXpVXFHGHFRQFLHUWRV valores de x&RQVLGHUHPRVTXHUHDOL]DPRVORVFRUWHVDOFDUWRQFLOORFRQXQDORQJLWXG GHFPHQWRQFHVHOPRGHORPDWHPiWLFRQRVGDUiHOYROXPHQJHQHUDGRDOVXVWLWXLU el valor x = HQODUHODFLyQV ( x ) = x (15 − 2 x )2 GHPDQHUDTXHHOYROXPHQVHUi
(
V (1 ) = (1 ) 15 −2(1 )
)
2
2
= (15 − 2 )
= 169
Cálculo Diferencial (VWRLQGLFDTXHFRQXQFRUWHGHFPVHREWLHQHXQDFDMLWDGHYROXPHQGH FP3/DSUHJXQWDREOLJDGDHV¢VHWUDWDGHOYROXPHQPi[LPRSRVLEOH" 3DUDDYHULJXDUORFRQVLGHUHPRVGLIHUHQWHVYDORUHVGHx\ORVVXVWLWXLUHPRV en VSDUDGHWHUPLQDUVLKD\YDORUHVPD\RUHVRQR&RORFDUHPRVORVUHVXOWDGRVHQOD VLJXLHQWHWDEOD
16 x (cm)
1
2
3
4
5
6
7
V (cm )
169
242
243
196
125
54
7
3
¢&yPRHVSRVLEOHHVWR"&XDQGRUHDOL]DPRVXQFRUWHGHFPHOYROXPHQ VHUiGHFP3FXDQGRHOFRUWHHVGHFPREWHQHPRVFP3FRQVHWLHQHQ YDHQDXPHQWRSHURFXDQGRSDVDPRVGHFPHQDGHODQWHHOYDORUGHOYROXPHQGHOD FDMLWDYDGHFUHFLHQGR¢&XiOHVHOYDORUHQWRQFHVTXHPD[LPL]DHOYROXPHQ" 8WLOL]DPRVRWUDKHUUDPLHQWDTXHQRVVHUYLUiSDUDUHVSRQGHUHVWDSUHJXQWD SRUXQDDSUR[LPDFLyQ6HWUDWDGHXQJUDÀFDGRUGHIXQFLRQHV7DOFRPRUHDOL]DVWHHQ 0DWHPiWLFDV,9XQDJUiÀFDHVXQDUHSUHVHQWDFLyQGHXQDIXQFLyQ\FRQHOODSRGUHPRVREVHUYDUVXFRPSRUWDPLHQWR(QQXHVWURFDVRODIXQFLyQHVODGHOYROXPHQV(x). 7UDVXVDUXQDJUDÀFDGRUDGHEROVLOORXQsoftwareJUDÀFDGRURPHGLDQWHODVWpFQLFDV GHJUDÀFDFLyQTXHKD\DVDQDOL]DGRSUHYLDPHQWHODUHSUHVHQWDFLyQGHOPRGHORPDWHPiWLFRGHOYROXPHQGHODFDMLWDHVODVLJXLHQWH y 250
(2.5, 250) 200
V(x)=x(15-2x)2 150
100
50
x -1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
FIGURA 1.22 5HSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHOPRGHORPDWHPiWLFRGHODFDMDGHFKRFRODWHV
1RWDTXHVyORWLHQHXQYDORUPD\RUHQHOLQWHUYDOR>@PiVDGHODQWH YHUHPRVSRUTXpKD\TXHFRQVLGHUDULQWHUYDORV \HVHYDORUPD\RURDOWXUDPi[LPD HQHVHLQWHUYDORHVGHFXDQGRHOYDORUGHxHVH[DFWDPHQWHLJXDOD 3RUHOORFRQFOXLPRVTXHFXDQGRUHDOL]DPRVFRUWHVGHFXDGULWRVGHFP GHODGRHQFDGDHVTXLQDGHOFDUWRQFLOORFXDGUDGRTXHPLGHFPHQWRQFHVVRORDVt REWHQGUHPRVXQDFDMLWDVLQWDSDFX\RYROXPHQHVGHFP3(VHHVHOPD\RUYROXPHQSRVLEOHFRQODVFRQGLFLRQHVGDGDVSRUHOJHUHQWH
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales -XQWRFRQWXGRFHQWH\FRPSDxHURVOOHJXHQDXQDFXHUGRVREUHODXWLlización de un softwareLQIRUPiWLFRUHODFLRQDGRFRQODJUDÀFDFLyQGHIXQFLRQHV 3XHGHQXWLOL]DUSRUHMHPSORORVSURJUDPDVJUDWXLWRV*UDSK*UDSKPDWLFDHWFpWHUDRHQVXGHIHFWR0DWHPiWLFDVGH0LFURVRIW +DVWDDTXtHOHMHPSOR&RQVLGHUHPRVFRPRVHJXQGRHMHPSORODVLWXDFLyQ SODQWHDGDDOLQLFLRHQODVHFFLyQ3UREOHPDWL]DFLyQWRPDQGRHQFXHQWDTXHRPLWLUp DOJXQRVSDVRVSRUTXH\DGHEHVSRGHUUHDOL]DUORVFRQWXH[SHULHQFLD,GHQWLÀFDODV FXDWURSDXWDVSDUDOOHYDUDFDERHVWHPRGHOR$GHODQWH Ejemplo 2 'HWHUPLQDUODORQJLWXGGHOFRUWHFXDGUDdo en cada una de las esquinas de la siWXDFLyQGDGDHQOD3UREOHPDWL]DFLyQGH HVWDVHVLyQ Solución En este caso se trata de un cartoncillo UHFWDQJXODU YHU ÀJXUD 4XHUHPRV DYHULJXDUODORQJLWXGGHOFRUWHFXDGUDGR HQFDGDHVTXLQDSDUDTXHHOYROXPHQGH ODFDMLWDIRUPDGDVHDPi[LPR &RQVLGHUDUHPRV D OD YDULDEOH independiente x, que representa la lonJLWXG GHO FRUWH \ FRPR OD YDULDEOH GHSHQGLHQWHDOYROXPHQVGHODFDMLWD8Q ERVTXHMRVHUiFRPRHOVLJXLHQWH
FIGURA 1.23 'LYHUVDVFDMDV VLQWDSD
x
21.8-2x 28.2-2x FIGURA 1.24 5HSUHVHQWDFLyQGHODFDMDGHOHMHPSOR
(OYROXPHQGHHVWDÀJXUDHVWiGDGDSRU
17
Cálculo Diferencial
18
(VWH HV HO PRGHOR PDWHPiWLFR GH HVWD VLWXDFLyQ )LQDOPHQWH SDUD GHWHUPLQDUHOYDORUxTXHSXHGDGDUQRVHOYROXPHQPD\RUGHODFDMLWDSURFHGHUHPRVD UHDOL]DU OD JUiÀFD FRUUHVSRQGLHQWH FRQ XQD JUDÀFDGRUD R VRIWZDUH JUDÀFDGRU (VWD TXHGDGHODVLJXLHQWHPDQHUD
y (4.065,1115.26) 1000
V(x)=(x)(28.2-2x)(21.8-2x) 800
600
400
200
x -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
FIGURA 1.25 *UiÀFDGHODIXQFLyQ
EQHVWDJUiÀFDQRWDPRVTXHHOYDORUGHFRUWHQHFHVDULRSDUDGHWHUPLQDUXQ PD\RUYROXPHQHVGHFPFRQORFXDOREWHQGUtDPRVXQYROXPHQGH FP3¤,PSRVLEOHGHGHVDUUROODUSRUWDQWHR\HUURU $TXtQRWDUiVODXWLOLGDGGHODVJUDÀFDGRUDVSDUDUHSUHVHQWDUORVPRGHORV DGHPiVGHODQHFHVDULDLQWURGXFFLyQDO&iOFXORSDUDUHVROYHUHVWH\PXFKRVWLSRVGH SUREOHPDVTXHSXHGDQVXUJLUDORODUJRGHWXYLGDHVFRODUSURGXFWLYDRLQFOXVLYH FRWLGLDQD 3DVDPRVSRU~OWLPRDOHMHPSORTXHFRQWHQGUiXQUHWRD~QPD\RU Ejemplo 3 8QDHPSUHVDTXHVHGHGLFDDHQODWDUFKLOHVMDODSHxRVHQHVFDEHFKHGHVHDPHMRUDU ODFDOLGDG\DSDULHQFLDGHVXVODWLWDV6HVDEHTXHVRQGHIRUPDFLOtQGULFDDGHPiVGH TXHWLHQHQTXHFRQWHQHUXQYROXPHQGHFP3(VWDHPSUHVDODQ]DHOUHWRDVXV JHVWRUHVGHUHFXUVRV¢TXpGLPHQVLRQHVKDGHWHQHUHVWDQXHYDSUHVHQWDFLyQFRQHO ÀQGHTXHODFDQWLGDGGHPDWHULDSULPDVHDODPHQRU" FIGURA 1.26 Lata cilíndriFDGHFKLOHV
Solución 6H WUDWD SRU VXSXHVWR GH XQD VLWXDFLyQ TXH UHTXLHUH GH XQ PRGHOR PDWHPiWLFR SDUDVHUDQDOL]DGRKDVWDDKRUDFRQHOsoftwareJUDÀFDGRUFRPRKHUUDPLHQWDEiVLFD (OUHWRFRQVLVWHHQGHWHUPLQDUHOYDORUGHOUDGLR\DOWXUDGHOFLOLQGURGHPDQHUDTXH
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales FRQWHQJDORVFP3\VHXVHHOPHQRUPDWHULDOSRVLEOH$TXtHQWUDQWUHVYDULDEOHV el radio r, la altura h \HOPHQRUPDWHULDOSDUDXVDUTXHOODPDUHPRVA. 1RWDODÀJXUD VLJXLHQWH
19 r
h
FIGURA 1.27 'LPHQVLRQHVGHXQDODWD
6HJ~QORVGDWRVSURSRUFLRQDGRVVHVDEHTXHHOYROXPHQÀMRDFRQWHQHUHV GHFP3pVWHHVXQGDWRTXHPHGLDQWHHOXVRGHODIyUPXODGHOYROXPHQGHXQ 2 FLOLQGURSRGHPRVH[SUHVDUFRPRV = r h 3HURFRPRV = VHWLHQHTXH
S
7DPELpQHVLPSRUWDQWHREVHUYDUTXHHOPDWHULDOQHFHVDULRSDUDFRQVWUXLU HVWDODWLWDFRQWDSDHVHTXLYDOHQWHDOiUHDTXHFRQIRUPDVXVEDVHV\VXiUHDODWHUDO 'HPDQHUDTXHVL´GHVEDUDWDPRVµODODWLWDGHODÀJXUDSDUDREVHUYDUVXViUHDV TXHGDUiXQDÀJXUDSODQDFRPRODVLJXLHQWH
Tapa
Lateral
FIGURA 1.28 0DWHULDOUHTXHULGRSDUDHODERUDUHOFLOLQGUR
Cálculo Diferencial 'HHVWDIRUPDHVPiVVHQFLOORREVHUYDUHOiUHDRPDWHULDOQHFHVDULRFXDQGR VHWLHQHQORVYDORUHVGHOUDGLR\ODDOWXUD3RUORWDQWRHOiUHDWRWDOGHHVWDÀJXUDHV iUHDGHODEDVHiUHDGHODWDSDiUHDGHOODWHUDO
20
0DWHPiWLFDPHQWH A = r
2
+ r
2
+ 2 rh = 2 r
2
+ 2 rh
1RWDTXHODEDVHGHOiUHDGHOODWHUDOHV S r TXHHTXLYDOHDOSHUtPHWURGHO FtUFXORSXHVGHEHFXEULUORH[DFWDPHQWH /DSUREOHPiWLFDHVpVWDVHWLHQHXQDUHODFLyQGRQGHDSDUHFHQGRVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVr\hMXQWRFRQODYDULDEOHGHSHQGLHQWHA,GHOiUHD(QWRQFHVHV QHFHVDULRUHSUHVHQWDUODIyUPXODGHOiUHDPHGLDQWHXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH ¢&yPRORJUDUHPRVHVWHFRPHWLGR" 2
7HQHPRVODUHODFLyQDX[LOLDUGHOYROXPHQREWHQLGDDOLQLFLR200 = r h 'H HVWDUHODFLyQSRGUHPRVGHVSHMDUXQDGHODVGRVYDULDEOHV\VXVWLWXLUODHQODUHODFLyQ GHOiUHD&RQHVWHKHFKRSURFHGHPRVDGHVSHMDUODLQFyJQLWDPHQRV´SUREOHPiWLFDµ la hGHPRGRTXH h=
200
r
2
6XVWLWX\HQGR A r 2 r
2
200 400 2 r 2 2 r 2 r r
4XHHTXLYDOHD A (r ) =
3
2 r + 400 r
(VWDHVODH[SUHVLyQGHOPRGHORGHOPDWHULDOXWLOL]DGRSDUDODODWLWD$KRUD SDUDREWHQHUHOYDORUGHOUDGLRGHPDQHUDTXHVHORJUHXQiUHDRPDWHULDOPHQRUOR GHWHUPLQDUHPRVSRUPHGLRGHOJUiÀFRGHHVWDIXQFLyQSXHVVHJXUDPHQWHUHVXOWDUi HQGHFLPDOHV y 400 350
2 400
300 250 200
3.169,189.32
150 100 50
xr -4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-50
FIGURA 1.29 5HSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHOPRGHORGHOiUHDGHODODWD
4.5
5
5.5
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 8QDYH]TXHVHKDGHWHUPLQDGRHOYDORUGHOUDGLRSURFHGHPRVDKDOODUOD 200 DOWXUD(VWRVDOHGHODUHODFLyQLQLFLDOGHOYROXPHQh = 2 r 6XVWLWXLPRVHOYDORUGHOUDGLRREWHQLGR3DUDPD\RUFRPRGLGDGFRQGRV GHFLPDOHV h=
200 2
(3.16 )
= 6.37
)LQDOPHQWHFRQFOXLPRVTXHSDUDREWHQHUXQYROXPHQGHFP3\XQD FDQWLGDGGHPDWHULDOPHQRUiUHDPtQLPD ORVJHVWRUHVGHFDOLGDGGHEHQSURSRQHU ODVGLPHQVLRQHVGHODODWLWDFRQFPGHUDGLR\FPGHDOWXUD 7H KDEUiV GDGR FXHQWD GH OD LPSRUWDQFLD GHO PRGHODMH DO PRPHQWR GH UHVROYHUSUREOHPiWLFDV3RUHOORWHLQYLWRDTXHFRQWLQ~HVFRQWXDQiOLVLVGHO&iOFXOR SDUDDYDQ]DUHQWXVFRQRFLPLHQWRVKDELOLGDGHV\DFWLWXGHV
$FWLYLGDG &RPRSDUWHGHWXSUHSDUDFLyQHQHVWDVHVLyQWHSUHVHQWRGRVSUREOHPiWLFDVDVtTXH SXHGHVUHDOL]DUOLEUHPHQWHODVLQYHVWLJDFLRQHVSHUWLQHQWHVSDUDHOSODQWHDPLHQWRGH VXVPRGHORV\UHVROXFLyQGHFDGDXQDGHHOODV6LWXGRFHQWHORFRQVLGHUDSHUWLQHQWHDJU~SDWHHQHTXLSRV\H[SRQJDQVXVUHVXOWDGRVDOUHVWRGHOJUXSRFRQHOÀQGH GHVFXEULUVXVIRUWDOH]DV\SRVLEOHVGHELOLGDGHV8WLOLFHQXQJUDÀFDGRUSDUDDSUR[LPDU VXVVROXFLRQHV a) 8QDIiEULFDGHFRQRVGHVHFKDEOHVSDUDEHEHUDJXDGHVHDREWHQHUODVGLPHQVLRQHVGHVXUDGLR\DOWXUDSDUDTXHFRQWHQJDQXQYROXPHQGHOtTXLGRPi[LPRGH FP3¢&XiOHVVHUiQODVGLPHQVLRQHVDSURSLDGDVSDUDTXHHVWDIiEULFDORJUH VXREMHWLYR" b) 6HYDDFHUFDUXQWHUUHQRUHFWDQJXODUFRQORVPGHDODPEUHGLVSRQLEOHV'HWHUPLQDODVGLPHQVLRQHVGHOWHUUHQRSDUDTXHVHORJUHREWHQHUXQiUHDPD\RU 3DUDÀQDOL]DUHVWDVHFFLyQSURFHGHUiVGHPDQHUDLQGLYLGXDODUHVROYHUXQ SUREOHPDGH&iOFXOR'LIHUHQFLDOSDUDRWURFDPSRHQHVWHFDVRDOD0HGLFLQD
$FWLYLGDG 1XHVWURVLVWHPDFDUGLRYDVFXODUFRQVWDGHXQDFRPSOHMD\FRPSOHWDUHGGHDUWHULDV FDSLODUHV \ YHQDV FX\D IXQFLyQ HV OOHYDU OD VDQJUH D ORV yUJDQRV GHO FXHUSR (VWH VLVWHPDGHEHIXQFLRQDUGHIRUPDWDOTXHODHQHUJtDGHERPEHRGHOFRUD]yQVHDOD PHQRUSRVLEOH7DPELpQHVVDELGRTXHDPHQRUUHVLVWHQFLDGHODVDQJUHPHQRUVHUi ODHQHUJtDUHTXHULGDGHOFRUD]yQSDUDUHJDUDWRGRVORVyUJDQRVGHHVWHYLWDOÁXLGR 6LVHWLHQHXQYDVRVDQJXtQHRSULQFLSDOFRQXQUDGLRr1\pVWHVHUDPLÀFDHQ XQYDVRPHQRUGHUDGLRr2HQXQiQJXOR T HQWRQFHVXQDGHODVOH\HVGH3RLVHXLOOH indica que la resistencia RGHODVDQJUHTXHVLJXHODWUD\HFWRULDABCHVWiGDGDSRU T T
'RQGHC es una constante positiva de acuerdo con la viscosidad de la sanJUH(VWRHVFRQEDVHHQODVLJXLHQWHÀJXUD
21
Cálculo Diferencial
22
B
FIGURA 1.30 5HSUHVHQWDFLyQGHXQYDVRFDSLODUSULQFLSDO\VHFXQGDULR
/DUHVLVWHQFLDHVPHQRUFXDQGR T
&RQHVWRHQPHQWHGHWHUPLQDHO
YDORU GHO iQJXOR UHTXHULGR FXDQGR HO UDGLR GHO YDVR PHQRU r2) es dos tercios del UDGLR GHO YDVR PD\RU r1 ([SyQ WX UHVXOWDGR \ FRPSiUDOR FRQ ORV GH WXV GHPiV FRPSDxHURV
$FWLYLGDG 5HDOL]DXQDLQYHVWLJDFLyQGDQGRVLHPSUHWXVIXHQWHVELEOLRJUiÀFDVVREUHORVXVRV TXHWLHQHHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOHQGLIHUHQWHViUHDVGHOVDEHU6LHVSRVLEOHSUHVHQWD XQRRGRVHMHPSORVGHFDGDXQDGHHVWDVDSOLFDFLRQHVGHPDQHUDTXHSXHGDVHU UHSUHVHQWDGDDWXGRFHQWHGHIRUPDGHUHSRUWH
Síntesis /OHJyHOPRPHQWRGHUHDOL]DUXQDVHULHGHVLWXDFLRQHVTXHFRQGHQVDUiQORREWHQLGR \GHVDUUROODGRDORODUJRGHHVWDVHVLyQ3XHGHVDSR\DUWHHQORVUHFXUVRVYLVWRVSDUD FDGDSODQWHDPLHQWR\REWHQFLyQGHODVROXFLyQ1RROYLGHVHVFULELUWRGRVORVSURFHVRVQHFHVDULRVDVtFRPRXQsoftwareLQIRUPiWLFRSDUDGHWHUPLQDUODVROXFLyQDFDGD VLWXDFLyQ 1. (QXQMDUGtQGHIRUPDUHFWDQJXODU0DULRGLVSRQHGHPGHDODPEUDGRGHS~DV SDUDFHUFDUOR6LGHVHDREWHQHUXQDPD\RUiUHDFHUFDGD¢TXpGLPHQVLRQHVKDGH WHQHUHVHWHUUHQR" 2. &RQVLGHUDODVLWXDFLyQGHVFULWDHQHOHMHUFLFLRDQWHULRUVyORTXHHQHVWHFDVRHO WHUUHQRWLHQHXQODGRFHUFDGHXQGHVÀODGHURTXHQRUHTXLHUHVHUFHUFDGR 3. 'LYLGLUHOQ~PHURHQGRVSDUWHVGHPDQHUDTXHHVDVGRVSDUWHVWHQJDQXQ SURGXFWRPD\RU
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales
0LSUR\HFWRGHOEORTXH (VPRPHQWRGHWUDEDMDUHOSUR\HFWRVHSUHVHQWDXQDVLWXDFLyQTXHWHUHVXOWDUiGH D\XGDSDUDIRUPDU\GHVDUUROODUODVFRPSHWHQFLDVGHOSUHVHQWHEORTXH7DPELpQWH D\XGDUiFRQODLQWHUDFFLyQGHODV7,& Proyecto:
0RGHODMHPDWHPiWLFR
Problema:
0RGHODU\REWHQHUHOYROXPHQPD\RUGHXQFLOLQGURFLUFXODUUHFWR
Duración:
'RVGtDV
Puntuación: Competencias:
SXQWRV $UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWRGRV QXPpULFRVJUiÀFRVDQDOtWLFRVYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHOOHQJXDMH YHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGHODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\ FRPXQLFDFLyQ &RPRSDUWHGHVXVKRZXQPDJRGHVHDRFXOWDUGHQWURGHXQ JRUULWRLQIDQWLOHQIRUPDGHFRQRXQFLOLQGURFLUFXODUUHFWRTXH FRQWHQGUiODPD\RUFDQWLGDGGHFRQIHWLeOVDEHTXHHOJRUULWRTXH XVDUiWLHQHXQUDGLRGHFPGHUDGLR\FPGHDOWXUD/DODERU FRQVLVWHHQTXHKDOOHVHOYDORUGHOUDGLRr\DOWXUDh del cilindro, de WDOPDQHUDTXHTXHGHH[DFWDPHQWHGHQWURGHOFRQR\TXHFRQWHQJDHOPD\RUYROXPHQ/DVLJXLHQWHUHSUHVHQWDFLyQWHVHUYLUiSDUD FRPSUHQGHUWXODERU
10 cm h
$FWLYLGDGHV
r
5 cm
$OJRTXHWHD\XGDUiDRUJDQL]DUWHHVODVLJXLHQWHVHFXHQFLD 2UJDQt]DWHHQHTXLSRVTXHWXGRFHQWHGHWHUPLQH 'HOpJXHQVHUHVSRQVDELOLGDGHVSDUDWHUPLQDUGHIRUPDFRUUHFWD HOSUR\HFWR +DOOHQHOPRGHORPDWHPiWLFRGHODVLWXDFLyQGHWHUPLQDQGRFODUDPHQWHFXiOHVVHUiQODVYDULDEOHVHQMXHJRDVtFRPRVXUHODFLyQ *UDÀTXHQ FRQ DOJ~Q software LQIRUPiWLFR OD IyUPXOD REWHQLGD HQHOPRGHOR\GHWHUPLQHQGHHVWHPRGRORVYDORUHVGHOUDGLR\ DOWXUDTXHFRQVROLGDQXQFLOLQGURGHPD\RUYROXPHQGHQWURGHO JRUULWR 3UHVHQWHQVXSUR\HFWRSRUHOPHGLRTXHWXGRFHQWHVXJLHUD
Recursos:
/LEURGHWH[WR3&softwareLQIRUPiWLFRGHJUDÀFDFLyQKRMDVHQ EODQFRLPSUHVRUDOLEURVGHFRQVXOWDHQODELEOLRWHFD
23
Cálculo Diferencial
6HSUHVHQWDUiHQODIHFKDLQGLFDGDSRUHOGRFHQWHeOGHWHUPLQDUi ODVFXHVWLRQHVQRSUHYLVWDVVHJ~QVXEXHQMXLFLR
Normas:
7RGRVHQHOHTXLSRSDUWLFLSDUiQ\SUHVHQWDUiQHOSUR\HFWRGHO PRGRTXHVXGRFHQWHVHxDOH
24
RHDOLPHQWDFLyQ )LQDOPHQWHWHSURSRUFLRQRDFWLYLGDGHVTXHWHVHUYLUiQGHWUDPSROtQÀQDOHQHOGHVDUUROORGHODVFRPSHWHQFLDVFRUUHVSRQGLHQWHV I. /RVJULHJRVDFRVWXPEUDEDQGHVDUUROODUUHWRVJHRPpWULFRVFRQHOXVR~QLFDPHQWH GHXQDUHJODQRJUDGXDGD\FRPSiV(QWUHHVWRVUHVDOWDQHOGHFXDGUDWXUDVGHSROtJRQRVUHJXODUHVORVFXDOHVFRQVLVWtDQHQGLYLGLUFRQWUD]RVXQSROtJRQRUHJXODU SDUDTXHDOFRUWDUORIRUPHXQDFXDGUDGRFRPRVLVHWUDWDVHGHXQURPSHFDEH]DV&RPRHMHPSORFRQVLGHUDODFXDGUDWXUDGHXQWULiQJXOR/RVSDVRVVRQORV VLJXLHQWHVWRPDQGRFRPREDVHODÀJXUDGHOWULiQJXORHTXLOiWHUR$%&VtJXHORV GHIRUPDGHWDOODGD H B
F E D
G M L
A
J
K
C
FIGURA 1.31 3URFHGLPLHQWR SDUD OD FXDGUDWXUD GHOWULiQJXOR
'LEXMDUXQWULiQJXORHTXLOiWHUR$%& 2EWHQHUORVSXQWRVPHGLRVGHORVODGRV$%\%&OODPiQGRORV'\(UHVSHFWLYDPHQWH 3URORQJDU$(KDVWD)GHPRGRTXH() (% +DOODUHOSXQWRPHGLRGH$)GHQRPLQiQGROR* &RQFHQWURHQ*GLEXMDUHODUFR$+) 3URORQJDU(%KDVWDFRUWDUHODUFRREWHQLHQGRHOSXQWR+ &RQFHQWURHQ(GLEXMDUXQDUFRGHUDGLR(+/ODPDU-DOSXQWRHQTXHFRUWH DOODGR$&
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 7UD]DUHOVHJPHQWR-( 6REUHODEDVH$&GHOWULiQJXORPDUFDU.GHIRUPDTXH-. %( 'LEXMDODVSHUSHQGLFXODUHVVREUH(-GHVGH'\.REWHQLHQGRORVSXQWRV/\ 0UHVSHFWLYDPHQWH $VtHOWULiQJXORTXHGDGLYLGLGRHQSDUWHVHOWULiQJXOR-0.\ORVFXDGULOiWHURV %(/' (&.0 \ '/-$ 3RGHPRV UHRUGHQDU HVWDV SDUWHV \ IRUPDU XQ FXDGUDGR
FIGURA 1.32 /DFXDGUDWXUDGHOWULiQJXORHQLPiJHQHV
'LVHxHQXQPpWRGRSDUDODFXDGUDWXUDGHXQSHQWiJRQR\UHDOtFHQORHQFDUWRQFLOOR RSDSHOFDVFDUyQ II. 3ODQWHDHQIRUPDGHPRGHORPDWHPiWLFRFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVVLWXDFLRQHV\ DSR\iQGRWHGHXQsoftwareGHWHUPLQDODVROXFLyQDFDGDSUREOHPiWLFD a) ¢3DUD TXp YDORU GH x UHVXOWDUi PiV SHTXHxD OD VXPD GH ODV GLVWDQFLDV GHO SXQWR$x DORVSXQWRV% \& " b) ¢&XiOHVHOUDGLRPHQRUGHXQDFLUFXQIHUHQFLDTXHSXHGHFLUFXQVFULELUVHHQ XQWULiQJXORUHFWiQJXORGHSHUtPHWURFP" c) 'HWHUPLQDODDOWXUDGHXQFRQRFLUFXQVFULWRDXQDHVIHUDGHUDGLRFPGH PDQHUDTXHHOYROXPHQGHOFRQRVHDHOPHQRUSRVLEOH
25
Cálculo Diferencial
EYDOXDFLyQGHODFRPSHWHQFLD 26
7HSUHVHQWRODU~EULFDFRUUHVSRQGLHQWHDOSUR\HFWRSDUDTXHORDQDOLFHVMXQWRFRQWX GRFHQWH\SUHYHQJDQORTXHKDVGHFXPSOLU 5~EULFDGHOSUR\HFWR Producto, logro o desempeño
Conocimientos
1LYHOGHORJURRGHVHPSHxR 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
Reconozco en todo WLHPSRODV YDULDEOHVTXH entran en MXHJRHQOD situación del SUR\HFWR
Reconozco ODPD\RU parte del WLHPSRODV YDULDEOHVTXH entran en MXHJRHQOD situación del SUR\HFWR
Reconozco sólo en pocas ocasiones las YDULDEOHVTXH entran en MXHJRHQOD situación del SUR\HFWR
Reconozco GLItFLOPHQWH una de las YDULDEOHVTXH entran en MXHJRHQOD situación del SUR\HFWR
Reconozco GLItFLOPHQWH ODVYDULDEOHV que entran HQMXHJRHQ la situación GHOSUR\HFWR
,GHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPitica inicial dándole un VLJQLÀFDGR
Planteo el PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV
Habilidades
Represento con un software el PRGHORREtenido dándole toques GLVWLQWLYRV 'HWHUPLQR la solución DOSUREOHPD de acuerdo DORVGDWRV Presento acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR
,GHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPitica inicial dándole un VLJQLÀFDGR
Planteo el PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV Represento con un software HOPRGHOR REWHQLGR 'HWHUPLQR la solución DOSUREOHPD de acuerdo DORVGDWRV 1RSUHVHQWR acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR
,GHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPiWLFDLQLFLDO Planteo el PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV 1RUHSUHsento con un software HOPRGHOR REWHQLGR dándole toques disWLQWLYRV 'HWHUPLQR sólo con D\XGDOD solución al SUREOHPD de acuerdo DORVGDWRV 1RSUHVHQWR acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR
1RLGHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPiWLFDLQLFLDO
Planteo parte del PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV 1RUHSUHsento con un software HOPRGHOR REWHQLGR 'HWHUPLQR la solución DOSUREOHPD de acuerdo DORVGDWRV 1RSUHVHQWR acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR
1RLGHQWLÀFR la solución REWHQLGDHQ WpUPLQRVGH ODSUREOHPiWLFDLQLFLDO
Planteo parte del PRGHORGH acuerdo a ORVGDWRV 1RUHSUHsento con un software HOPRGHOR REWHQLGR dándole toques disWLQWLYRV 1RGHWHUPLQROD solución al SUREOHPD 1RSUHVHQWR acorde a lo convenido PLVUHVXOtados del SUR\HFWR
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales 0DQWHQJR continuaPHQWHXQD actitud positiva ante el reto SODQWHDGR
Actitudes
Puntaje
3URPXHYR HOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRGDQdo respeto DORVGHPiV en todo WLHPSR
0DQWHQJR continuaPHQWHXQD actitud positiva ante el reto SODQWHDGR 1RSURPXHYRHOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRSHUR PDQWHQJR respeto a ORVGHPiV en todo WLHPSR
7UDEDMRFRQWLQXDPHQWH aportando puntos de YLVWDLPSRUWDQWHV
7UDEDMRHQ continuaPHQWHSHUR no aporto puntos de YLVWDLPSRUWDQWHV
15
12
0DQWHQJR una actitud neutral ante el reto planWHDGR 1RSURPXHYRHOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRSHUR respeto la PD\RUtDGHO WLHPSRDORV GHPiV 7UDEDMR continuaPHQWHSHUR no aporto puntos de YLVWDLPSRUWDQWHV
9
0DQWHQJR continuaPHQWHXQD actitud neutral ante el reto planWHDGR 1RSURPXHYRHOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRSHUR respeto ocasionalPHQWHDORV GHPiV
0DQWHQJR continuaPHQWHXQD actitud QHJDWLYD ante el reto SODQWHDGR 1RSURPXHYRHOWUDEDMR FRODERUDWLYR en el pro\HFWRSHUR respeto ocasionalPHQWHDORV GHPiV
7UDEDMRSDUFLDOPHQWH\ no aporto puntos de YLVWD
7UDEDMR ocasionalPHQWHSHUR no aporto puntos de YLVWD
6
3
27
Cálculo Diferencial
5~EULFDGHOEORTXH 7HSURSRUFLRQRODU~EULFDGHHVWHSULPHUEORTXHFRQHOÀQGHTXHQRROYLGHVFXiOHV VRQORVREMHWLYRVDFRQVLGHUDUGXUDQWHHOPLVPR
28
5~EULFDSDUDODHYDOXDFLyQGHOEORTXH Producto, logro o desempeño
1LYHOGHORJURRGHVHPSHxR 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
'HÀQRORVRUtJHnes o evolución GHO&iOFXORTXH llevan al desaUUROORGHO&iOFXOR,QÀQLWHVLPDO
'HÀQRYDJDPHQWHDOJXQRV GHORVRUtJHnes o evoluFLyQGHO&iOFXlo que llevan al desarrollo GHO&iOFXOR ,QÀQLWHVLPDO
'HÀQRORVRUtJHQHV\HYROXFLyQ GHO&iOFXORTXH llevan al desarrollo GHO&iOFXOR,QÀQLWHVLPDODSRUWDQGR FRQFHSWRV
Conocimientos
,GHQWLÀFRTXp HVXQPRGHOR PDWHPiWLFR\ORV HOHPHQWRVTXH OHGDQRULJHQGH IRUPDTXHSXHGR discernir su utilizaFLyQHQHOFDPSR GHO&iOFXOR Reconozco todas ODVYDULDEOHVTXH LQWHUDFW~DQDO PRPHQWRGH presentar una situación que requiera de PRGHODMH PDWHPiWLFR
'HÀQRORVRUtJHQHV\HYROXFLyQ GHO&iOFXORTXH llevan al desaUUROORGHO&iOFXOR ,QÀQLWHVLPDO ,GHQWLÀFRTXp HVXQPRGHOR PDWHPiWLFR\ORV HOHPHQWRVTXH OHGDQRULJHQ GHIRUPDTXH puedo discernir su utilización HQHOFDPSRGHO &iOFXOR
,GHQWLÀFRYDJDPHQWHTXpHVXQ PRGHORPDWHPiWLFR\ORV HOHPHQWRVTXH OHGDQRULJHQ
Reconozco DOJXQDVGHODV YDULDEOHVTXH 5HFRQR]FRDOJXLQWHUDFW~DQDO nas de las variaPRPHQWRGH EOHVTXHLQWHUDFpresentar una W~DQDOPRPHQWR situación que de presentar UHTXLHUDGHPRuna situación GHODMHPDWHPique requiera de WLFR PRGHODMHPDWHPiWLFR
,GHQWLÀFR YDJDPHQWH qué es un PRGHORPDWHPiWLFR\ORV HOHPHQWRVTXH OHGDQRULJHQ Reconozco FRQPXFKDGLÀFXOWDGDOPHnos una de las YDULDEOHVTXH LQWHUDFW~DQ DOPRPHQWR de presentar una situación que requiera GHPRGHODMH PDWHPiWLFR
'HÀQRVyOR DOJXQRVGHORV RUtJHQHVRHYROXFLyQGHO&iOculo que llevan al desarrollo del &iOFXOR,QÀQLWHVLPDO ,GHQWLÀFRTXp HVXQPRGHOR PDWHPiWLFR pero no los HOHPHQWRVTXH ORFRPSRQHQ 1RUHFRQR]FR ODVYDULDEOHVTXH LQWHUDFW~DQDO PRPHQWRGH presentar una situación que requiera de PRGHODMHPDWHPiWLFR
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales
Relaciono las diversas ideoloJtDV\OHQJXDMH PDWHPiWLFRTXH usaron los diferentes expositores del &iOFXORWRPDQGR FRPRUHIHUHQFLD VXVHVFULWRV\ DOJXQDVREUDVFRQ HOÀQGHFRPSUHQGHUHORULJHQ\HO tratado del cálculo DSRUWDQGRPLV FRQFOXVLRQHV
Habilidades
Relaciono las diversas ideoloJtDV\OHQJXDMH PDWHPiWLFRTXH usaron los diferentes expositoUHVGHO&iOFXOR WRPDQGRFRPR referencia sus esFULWRV\DOJXQDV REUDVFRQHOÀQ GHFRPSUHQGHU HORULJHQ\HOWUDWDGRGHOFiOFXOR 0DQHMRSDUFLDOPHQWHODVIXHQWHVGHLQIRUPDFLyQLQFOX\HQGR ODV7,&SDUDWHQHU XQSDQRUDPD DPSOLRGHOD evolución del &iOFXOR
0DQHMRGLIHrentes fuentes GHLQIRUPDFLyQ LQFOX\HQGRODV 7,&SDUDWHQHUXQ SDQRUDPDDPSOLR de la evolución del &iOFXORHLQYHVWLJR &DUDFWHUL]ROD RWURVFRQFHSWRV VROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOH&DUDFWHUL]ROD VROXFLyQREWHQLGD PDGHPRGHODMH PDWHPiWLFR GHXQSUREOHPD PHGLDQWHORV GHPRGHODMHPDPpWRGRVGLVSRWHPiWLFRPHGLDQQLEOHVFRPROR WHORVPpWRGRV GLVSRQLEOHVFRPR VRQORVJUiÀFRV JUiÀFRVDQDOtWLFRV analíticos, lenJXDMHYHUEDORHO OHQJXDMHYHUEDOR XVRGHODV7,& HOXVRGHODV7,& $VRFLRODVGLIHUHQWHVYDULDEOHVGHO PRGHORPDWHPiWLFRFRQHOÀQGH proveer una relaFLyQPDWHPiWLFD a la solución de la VLWXDFLyQGDGD
$VRFLRODVGLIHUHQWHVYDULDEOHV GHOPRGHOR PDWHPiWLFRSHUR no proveo de la UHODFLyQPDWHPitica a la solución de la situación GDGD
Relaciono parFLDOPHQWHODV diversas ideoloJtDVROHQJXDMH PDWHPiWLFRTXH usaron los diferentes expositoUHVGHO&iOFXOR WRPDQGRFRPR referencia sus HVFULWRVRDOJXQDVREUDVFRQHO ÀQGHFRPSUHQGHUHORULJHQ\ el tratado del FiOFXOR 0DQHMRSDUFLDOPHQWHGLIHUHQtes fuentes de LQIRUPDFLyQ LQFOX\HQGRODV 7,&SDUDWHQHU XQSDQRUDPD JHQHUDOGHOD evolución del &iOFXOR &DUDFWHUL]RFRQ D\XGDODVROXFLyQREWHQLGD GHXQSUREOHPD GHPRGHODMH PDWHPiWLFRPHGLDQWHORVPpWRGRVGLVSRQLEOHV FRPRJUiÀFRV analíticos, lenJXDMHYHUEDORHO XVRGHODV7,& 1RDVRFLRODV diferentes variaEOHVGHOPRGHOR PDWHPiWLFR
Relaciono las diversas LGHRORJtDV \OHQJXDMH PDWHPiWLFR que usaron los diferentes expositores GHO&iOFXOR WRPDQGR FRPRUHIHUHQcia sus escriWRV\DOJXQDV REUDVFRQHO ÀQGHFRPprender parte GHORULJHQGHO FiOFXOR 0DQHMRXQD fuente de LQIRUPDFLyQ LQFOX\HQGR ODV7,&SDUD tener un paQRUDPDGHOD evolución del FiOFXOR &DUDFWHUL]R con lecturas la solución REWHQLGDGH XQSUREOHPD GHPRGHODMH 1RDVRFLR las diferentes YDULDEOHVGHO PRGHORPDWHPiWLFR
1RSXHGR relacionar las diversas ideoloJtDV\HOOHQJXDMHPDWHPiWLFR que usaron los diferentes expositores del &iOFXORWRPDQGRFRPR referencia sus HVFULWRV\DOJXQDVREUDVFRQ HOÀQGHFRPprender el oriJHQ\HOWUDWDGR GHO&iOFXOR 0DQHMRODV7,& para tener un SDQRUDPDGHOD evolución del &iOFXOR 1RFDUDFWHULzo la solución REWHQLGDGHXQ SUREOHPDGH PRGHODMHPDWHPiWLFRPHGLDQWHORVPpWRGRV GLVSRQLEOHV FRPRORVRQORV JUiÀFRVDQDOtWLFRVOHQJXDMH YHUEDORHOXVR GHODV7,& 1RDVRFLRODV diferentes variaEOHVGHOPRGHOR PDWHPiWLFR
29
Cálculo Diferencial
30
Actitudes
Puntaje
3URPXHYRHO PD\RUWLHPSRHO 3URPXHYRVLHPSUH HVWXGLR\DSOLFDHOHVWXGLR\DSOLFLyQGHO&iOFXOR FDFLyQGHO&iOFXOR para resolver dipara resolver ferentes situaciodiferentes situaQHVKLSRWpWLFDVR FLRQHVKLSRWpWLFDV UHDOHV RUHDOHV $SRUWRSXQWRV $SRUWREXHQRV de vista para repuntos de vista solver las diverpara resolver las sas situaciones diversas situaciopresentadas, de nes presentadas, PDQHUDTXHVH GHPDQHUDTXHVH FUHHXQDPELHQWH FUHHXQDPELHQWH ySWLPR\UHODySWLPR\UHODMDGR MDGR &RQVLGHURODV &RQVLGHURDOJXDFWLWXGHV\UD]Rnas de las actiQDPLHQWRVGHPLV tudes o razonaFRPSDxHURVGH PLHQWRVGHPLV PDQHUDUHÁH[LYD FRPSDxHURVGH SDUDOOHJDUDXQ PDQHUDUHÁH[LYD consenso respecto SDUDOOHJDUDXQ a la solución de consenso respecVLWXDFLRQHV to a la solución GHVLWXDFLRQHV
15
12
3URPXHYR RFDVLRQDOPHQWHHOHVWXGLR\ aplicación del &iOFXORSDUD resolver diferentes situaciones KLSRWpWLFDVR UHDOHV
3URPXHYR YDJDPHQWH HOHVWXGLR\ aplicación del &iOFXORSDUD UHVROYHUDOJXnas situacioQHVKLSRWpWLFDV RUHDOHV
1RSURPXHYR el estudio ni la aplicación del &iOFXORSDUD resolver situaFLRQHV
$SRUWRHQRFDsiones, puntos de vista para resolver las diversas situaciones presentadas GHPDQHUDTXH VHFUHHXQDPELHQWHySWLPR\ UHODMDGR
$SRUWRHQ ocasiones, puntos de vista para resolYHUDOJXQDVGH las situaciones presentadas, GHPDQHUD que se cree un DPELHQWHySWLPR\UHODMDGR
$SRUWRXQ punto de vista para resolver una situación presentada, de PDQHUDTXHVH FUHHXQDPELHQWHySWLPR\ UHODMDGR
9
6
3
1RFRQVLGHUR ODVDFWLWXGHV\ &RQVLGHUR UD]RQDPLHQWRV 1RFRQVLGHUR DOJXQDVGH ODVDFWLWXGHV\ GHPLVFRPSDODVDFWLWXGHV\ UD]RQDPLHQWRV xHURVGHPDQHUD]RQDPLHQWRV UDUHÁH[LYDSDUD GHPLVFRPGHPLVFRPSDOOHJDUDXQFRQSDxHURVGH xHURVGHPDQHUD PDQHUDUHÁH[L- senso respecto UHÁH[LYDSDUD YDSDUDOOHJDU a la solución de OOHJDUDXQFRQa un consenso VLWXDFLRQHV senso respecto respecto a la a la solución de solución de VLWXDFLRQHV VLWXDFLRQHV
Bloque I: Argumentas el estudio del Cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales
127$6 31
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social
Objetos de aprendizaje h 'HÀQLFLyQ\UHSUHVHQWDFLyQGHOtPLWHVGHIXQFLRQHV h &iOFXORGHOtPLWHVGHIXQFLRQHV h &RQWLQXLGDGGHIXQFLRQHV Desempeños del estudiante h 5HSUHVHQWD\GHVFULEHHOFRQFHSWRGHOtPLWHDSDUWLUGHODHODERUDFLyQGHWDEODV QXPpULFDV\JUiÀFDVGiQGROHODLQWHUSUHWDFLyQFRUUHFWD h &DOFXODOtPLWHVDOJHEUDLFRVPHGLDQWHHOXVRGHODGHÀQLFLyQpSVLORQGHOWDGHOt PLWH h $SOLFDORVWHRUHPDVUHODFLRQDGRVDOtPLWHVDVLWXDFLRQHVKLSRWpWLFDVRUHDOHVSDUD REWHQHUORVYDORUHVGHOtPLWHVUHDOHVODWHUDOHVLQÀQLWRV\DOLQÀQLWRDVtFRPRODV WpFQLFDVDSURSLDGDVSDUDREWHQHUORV h 'HWHUPLQD FXiQGR XQD IXQFLyQ HV FRQWLQXD \ HQ TXp LQWHUYDOR GH VX GRPLQLR DGHPiVGHUHDOL]DUDSOLFDFLRQHVGHpVWDVHQGLYHUVDViUHDV Competencias disciplinares extendidas 1. &RQVWUX\HHLQWHUSUHWDPRGHORVPDWHPiWLFRVPHGLDQWHODDSOLFDFLyQGHSURFHGL PLHQWRVDULWPpWLFRVDOJHEUDLFRVJHRPpWULFRV\YDULDFLRQDOHVSDUDODFRPSUHQ VLyQ\DQiOLVLVGHVLWXDFLRQHVUHDOHVKLSRWpWLFDV\IRUPDOHV 2. )RUPXOD\UHVXHOYHSUREOHPDVPDWHPiWLFRVDSOLFDQGRGLIHUHQWHVHQIRTXHV 4. $UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWRGRVQXPpULFRVJUiÀ FRVDQDOtWLFRVYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHOOHQJXDMHYHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGH ODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\FRPXQLFDFLyQ 8. ,QWHUSUHWDWDEODVJUiÀFDVPDSDVGLDJUDPDV\WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV \FLHQWtÀFRV Atributos de las competencias genéricas 4.5 0DQHMDODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\FRPXQLFDFLyQSDUDREWHQHU LQIRUPDFLyQ\H[SUHVDULGHDV 5.1 6LJXHLQVWUXFFLRQHV\SURFHGLPLHQWRVGHPDQHUDUHÁH[LYDFRPSUHQGLHQGR FyPRFDGDXQRGHVXVSDVRVFRQWULEX\HDODOFDQFHGHXQREMHWLYR 6.2 (YDO~DDUJXPHQWRV\RSLQLRQHVHLGHQWLÀFDSUHMXLFLRV\IDODFLDV 7.3 $UWLFXODVDEHUHVGHGLYHUVRVFDPSRV\HVWDEOHFHUHODFLRQHVHQWUHHOORV\VX YLGDVXFRWLGLDQD 8.1 3URSRQHPDQHUDVGHVROXFLRQDUXQSUREOHPDRGHVDUUROODUXQSUR\HFWRHQ HTXLSRGHÀQLHQGRXQFXUVRGHDFFLyQFRQSDVRVHVSHFtÀFRV
8.3 $VXPHXQDDFWLWXGFRQVWUXFWLYDFRQJUXHQWHFRQORVFRQRFLPLHQWRV\ KDELOLGDGHVFRQORVTXHFXHQWDGHQWURGHGLVWLQWRVHTXLSRVGHWUDEDMR 9.1 3ULYLOHJLDHOGLiORJRFRPRPHFDQLVPRSDUDODVROXFLyQGHFRQÁLFWRV
Cálculo Diferencial
DLQDPL]DFLyQ\PRWLYDFLyQ ´¤(VWiVOOHJDQGRDOOtPLWHGHPLSDFLHQFLDµ
34
´(VWHHVWDFLRQDPLHQWRKDOOHJDGRDVXOtPLWHORVHQWLPRVQRKD\PiVOXJDUµ ´¤0LSRGHUQRWLHQHOtPLWHVµ ¢&XiOHVGHHVDVIUDVHVKDVHVFXFKDGR\DVHDHQWXYLGDSHUVRQDODWXDOUHGHGRUR LQFOXVRHQÀOPHVGH+ROO\ZRRG" 6HJXUDPHQWHDOPHQRVXQDYH]HQWXYLGDVHWHKDSUHVHQWDGRHVWDSDODEUDOtPLWH ¢4Xp VLJQLÀFDGR OH GDV D FDGD XQD GH ODV H[SUHVLRQHV DQWHULRUHV" ¢TXp UHODFLyQ JXDUGDODGHÀQLFLyQGHOtPLWH"¢XQOtPLWHVHWUDWDGHXQDFDQWLGDGPX\JUDQGHPX\ SHTXHxDRLQLPDJLQDEOH" (QHVWHEORTXHHVWXGLDUiVODGHÀQLFLyQ\DSOLFDFLyQGHOtPLWHFODURGHVGH XQSXQWRGHYLVWDPDWHPiWLFR 3RURWURODGRFXDQGRWHWRSDVFRQXQDVHxDOGHWUiQVLWRTXHLQGLFD´&RQ WLQ~DFRQSUHFDXFLyQµRFXDQGRWHLQWHUUXPSHQHQXQDDFFLyQ\WHGLFHQ´FRQWL Q~Dµ¢TXpWLHQHQHQFRP~QHVWDVIUDVHV"HVGHFLUODSUHJXQWDREOLJDGDHV¢TXp HQWLHQGHV SRU HO WpUPLQR FRQWLQXLGDG" 6LQ GXGD DOJXQD VDEUiV H[SOLFDU FRQ WXV SURSLDVSDODEUDVHVWDVUHVSXHVWDVSHURHQ0DWHPiWLFDVTXL]iVWHVXUMDQPiVSUH JXQWDVTXHVROXFLRQHV
6HVLyQ 'HÀQLFLyQ \ UHSUHVHQ WDFLyQGHOtPLWHGHIXQFLRQHV Criterios: h 'LVWLQJRODUHODFLyQJUiÀFDDOJHEUDLFD\FRQFHSWXDOGHOtPLWHGHXQDIXQFLyQ h 'HVFULERORVHOHPHQWRV\ODGHÀQLFLyQpSVLORQGHOWDGHXQOtPLWH h (VWDEOH]FRODUHODFLyQHQWUHORVFRQFHSWRVDOJHEUDLFR\JUiÀFRGHOtPLWH h 8WLOL]RXQSURJUDPDLQIRUPiWLFRSDUDUHSUHVHQWDUHOFRPSRUWDPLHQWRGHXQOt PLWH h 5HÁH[LRQRVREUHODDSOLFDFLyQGHORVOtPLWHVHQGLYHUVDViUHDVGHODVFLHQFLDVDVt FRPRVREUHVXXWLOLGDGHQHOODV
CRQWH[WXDOL]DFLyQ &RPRSDUWHSULQFLSDOGHO&iOFXORLQLFLDUiVFRQHOHVWXGLRGHORVOtPLWHVGHIXQFLRQHV eVWRVKDFHQSUHVHQFLDHQPXFKDVFLHQFLDVWDOHVFRPROD)tVLFD(FRQRPtD%LRORJtD 6RFLRORJtDHWFpWHUD<QRVyORHVWiQSUHVHQWHVSRUTXHVtVLQRSRUVXYDOLRVDXWLOLGDG DOPRPHQWRGHGHWHUPLQDUORVFRPSRUWDPLHQWRVGHGLYHUVRVIHQyPHQRV 7RPHPRV XQR GH ORV HMHPSORV GH OD $QWLJHGDG OD GH OD REWHQFLyQ GHO iUHDGHXQFtUFXORPHGLDQWHODLQVFULSFLyQGHSROtJRQRVUHJXODUHVDXQFtUFXORGH UDGLR GHÀQLGR SUHWHQGtDQ REWHQHU HO iUHD GHO PLVPR DO DFUHFHQWDU HO Q~PHUR GH ODGRVGHXQSROtJRQRGHPDQHUDTXHLQWXLWLYDPHQWHODIRUPDGHOSROtJRQRVHDFHU FDEDFDGDYH]PiVDODIRUPDGHODFLUFXQIHUHQFLDTXHORFLUFXQVFULEtD1RWDHVWRHQ ODVLJXLHQWHWDEOD
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social Polígono inscrito
Representación del área del polígono
35 A3
A4
A5
A
A
AQ 'HPDQHUDWDOTXHDODXPHQWDUODFDQWLGDGGHODGRVGHOSROtJRQRUHJXODU LQVFULWRGHPDQHUDLQÀQLWDHVGHFLUFXDQGRnVHDFHUTXHDOLQÀQLWR f VHSRGUiFRQ FOXLUTXHHVDiUHDHVODGHOFtUFXOR
Cálculo Diferencial (QRWUDVSDODEUDVHOOtPLWHGHODVXFHVLyQA3 A4¬AnHVSUHFLVDPHQWHHO iUHDGHOFtUFXORFRQODFRQGLFLyQGHTXHnVHDFHUTXHDOLQÀQLWR
36
3UREOHPDWL]DFLyQ ,PDJLQDTXHWLHQHVXQWULiQJXORHTXLOiWHURGHiUHDLJXDODXQRA FRPRHOVL JXLHQWH
FIGURA 2.1 7ULiQJXORHTXLOiWHURGHiUHD A= (VWDÀJXUDODGHQRPLQDPRVa.
/ODPpPRVOH D HVWD ÀJXUD a $KRUD YDPRV D FDOFXODU ORV SXQWRV PHGLRV GHFDGDXQRGHVXVWUHVODGRV\DWUD]DUHOWULiQJXORUHVXOWDQWHGHQRPLQHPRVHVWD ÀJXUDFRPRaVHUHVWDDOiUHDWRWDOGHOWULiQJXORRULJLQDO(OiUHDGHHVWHWULiQJXOR LQWHUPHGLRHVXQiUHD A
FIGURA 2.2 )LJXUDaFRQiUHDA
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social 'LYLGLPRVFDGDXQRGHORVWUHVWULiQJXORVFRORUHDGRVFRQiUHD GHIRUPD TXH REWHQHPRV WUHV WULiQJXORV SHTXHxRV \ HTXLOiWHURV $Vt FUHDPRV OD ÀJXUD a2 FX\DiUHDVRPEUHDGDVHUiA
37
FIGURA 2.3 )LJXUDa2FRQiUHDA
6LSURVHJXLPRVFRQHVWDVHULHGHGLYLVLRQHV\UHVWDGHiUHDVGHWULiQJXORV SDUDORVSDVRV\REWHQGUHPRVODVÀJXUDVa3\a4FRQiUHDVUHVSHFWLYDVGHA3\A4
FIGURAS 2.4 y 2.5 a3 \a4.
PRGHPRVVHJXLUGLYLGLHQGRHVWDVÀJXUDVGHOPLVPRPRGRKDVWDFUHDUOD ÀJXUDan FX\DiUHDVHUiAn. 7RPDQGRFRPREDVHHVWHSURFHVRUH~QHWHHQHTXLSRV\FRQWHVWHQODVVL JXLHQWHVSUHJXQWDVFRQDUJXPHQWRVFRQYLQFHQWHV 1. 6LnVHDFHUFDDOLQÀQLWR f ¢FXiQWRYDOGUiHOiUHDAn"
Recuerda que: a a 0 y que 0
, y 0i no están GHÀQLGRV
Cálculo Diferencial 2. ¢$TXpYDORUVHDSUR[LPDODGLIHUHQFLDA – An"
38
(OFRQFHSWRGHOtPLWHHVWiGHPRVWUDGRDODSUR[LPDUHOiUHDAn nTXHWLHQGH DOLQÀQLWRSRUORTXHHOOtPLWHGHOYDORUAnHVXQWpUPLQRGHWHUPLQDGR 8QDVHJXQGDDSUR[LPDFLyQDOFRQFHSWRGHOtPLWHHVXQDGHODVFXDWURSD UDGRMDVGH=HQyQGH(OHDÀOyVRIRJULHJRGHOVLJOR9D&(VWDVSDUDGRMDVWHQtDQOD LQWHQFLyQGHQHJDUODH[LVWHQFLDGHOPRYLPLHQWR,QWHQWyGHPRVWUDUTXHHOHVSDFLR VHFRQIRUPDGHHOHPHQWRVGLVFRQWLQXRV3DUDHOORXWLOL]yXQDGHVXVPiVIDPRVDV SDUDGRMDV$TXtWHSUHVHQWRXQDGHHOODVODFXDOHVGHORVSULPHURVLQWHQWRVGHOUD]R QDPLHQWRLQÀQLWHVLPDOTXHPiVDGHODQWH1HZWRQ\/HLEQL]GHVDUUROODURQ /HH\PHGLWDFRQFXLGDGRODVHJXQGDSDUDGRMDGH=HQyQ'LVF~WHODFRQWXV FRPSDxHURVVREUHORVUHVXOWDGRVDORVTXHOOHJXHV\DOÀQDOHQSOHQDULDGHWHUPLQHQ XQDFRQFOXVLyQ
$TXLOHV\ODWRUWXJD (O KpURH JULHJR $TXLOHV \ XQD WRUWXJD SDUWLFLSDQ HQ XQ GXHOR XQD FDUUHUD GH PDQHUDTXHVHOHFRQFHGHFLHUWDYHQWDMDDODWRUWXJD(ODUJXPHQWRGH=HQyQHV TXH$TXLOHVQXQFDDOFDQ]DUiDODWRUWXJD\DTXHDODYDQ]DUODGLVWDQFLDGRQGH HVWDEDODWRUWXJDpVWD\DKDEUiDYDQ]DGRXQDSHTXHxDFDQWLGDG$OUHFRUUHUHVD GLVWDQFLD$TXLOHVQRWDTXHODWRUWXJD\DVHKDPRYLGRRWUDSHTXHxDFDQWLGDG\ DVtVXFHVLYDPHQWH'HPDQHUDTXH=HQyQDÀUPDTXHODWRUWXJDVLHPSUHHVWDUi GHODQWHGH$TXLOHV\SRUWDQWRHOODJDQDUiODFDUUHUD Aquiles
A1
A2
A3
A4
A5...
T1
T2
T3
T4
Tortuga
T5...
FIGURA 2.6 5HSUHVHQWDFLyQGHODVHJXQGDSDUDGRMDGH=HQyQ
/DGLIHUHQFLDLQLFLDOHQWUH$TXLOHV\ODWRUWXJDHVT ࢼADPHGLGDTXH$TXL OHVFRUUHKDVWDOOHJDUDA2TXHHVGRQGHHVWDEDODWRUWXJDHQT ODWRUWXJDHVWDUi HQT2SRUORTXHODGLIHUHQFLDVHUiGHT2ࢼ$\DVtVXFHVLYDPHQWHGHPDQHUDTXHOD GLVWDQFLDGHODWRUWXJDHVLQÀQLWDPHQWHPD\RUDODGH$TXLOHVSRUORTXHQRSRGUi DOFDQ]DUODSRUPiVTXHFRUUD
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social 1. (VFULEHWXVREVHUYDFLRQHV
39 2. (VFULEHODVFRQFOXVLRQHVJUXSDOHV
3. ¢'yQGHHQWUDODLGHDGHOtPLWH"
FRUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\ GHVDUUROORGHFRPSHWHQFLDV $O SODQWHDU HO SUREOHPD JULHJR GH OD REWHQFLyQ GHO iUHD GHO FtUFXOR UHFXHUGD TXH XWLOL]DPRVAn FRPRODUHSUHVHQWDFLyQGHOiUHDGHOSROtJRQRFLUFXQVFULWRHQODFLUFXQ IHUHQFLD,QWXLWLYDPHQWHFRQVLGHUDPRVTXHVLHOiUHDGHOFtUFXORHVA\VLnVHDFHUFD RWLHQGHDOYDORULQÀQLWR f ORFXDOGHQRWDUHPRVFRPR n
(QWRQFHVHOOtPLWHGHOiUHDAnHVSUHFLVDPHQWHHOiUHDGHOFtUFXOR(VWROR GHQRWDPRVFRPR
6HOHH´(OOtPLWHGHAnFXDQGRnWLHQGHDOLQÀQLWRHVAµ &RQVLGHUHPRVHQSULPHUOXJDUODUHSUHVHQWDFLyQGHOOtPLWHSDUDFRPSUHQ GHUPHMRUVXGHÀQLFLyQ
5HSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHOtPLWH (QHVWHFDVRDQDOL]DPRVORVOtPLWHVGHODVIXQFLRQHVSRUHOORWRPDPRVFRPRSULPHU HMHPSORLOXVWUDWLYRODIXQFLyQ
'LFKDIXQFLyQQRHVWiGHÀQLGDSDUDHOYDORUx SXHVWRTXHQRHVSHUPL VLEOHODGLYLVLyQHQWUHHVGHFLUf QRHVWiGHÀQLGR
Cálculo Diferencial 2EVHUYDORVYDORUHVFHUFDQRVDHQHVWDIXQFLyQWDQWRSRUHOODGRL]TXLHU GRFRPRSRUHOODGRGHUHFKR$SR\pPRQRVHQODVLJXLHQWHWDEOD
40
x
f(x)
2
No GHÀQLGR
/DUHSUHVHQWDFLyQJUiÀFDHV y 8 7
f(x)=(x2+2x-8)/(x-2)
6 5 4 3 2 1
x -4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1
Figura 2.7 *UiÀFDGHODIXQFLyQ
3.5
4
4.5
5
5.5
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social (QHOSXQWR[ QRKD\YDORUHQODJUiÀFDSRUHOORVHFRORFDHOHVSDFLRHQ EODQFR(OYDORUDOFXDOVHDSUR[LPDODIXQFLyQFDGDYH]TXHWRPDPRVYDORUHV[PiV FHUFDQRVWDQWRSRUODGHUHFKDHL]TXLHUGDGHOSXQWR[ HV 'H HVWH PRGR ORV YDORUHV GH I[ VH WRUQDQ PX\ FHUFDQRV D FXDQWR VH TXLHUDFODURFRQODFRQGLFLyQGHWRPDUYDORUHVGH[DSURSLDGRV\PX\FHUFDQRVDO SXQWR[ &RQVLGHUDQGRORVYDORUHVDEVROXWRVWHQHPRVTXHFXDQGRWRPDPRVYD ORUHVGH[WDOHVTXH x 2 HVORVXÀFLHQWHPHQWHSHTXHxRHQWRQFHV 6 SXHGHKD FHUVHWDQSHTXHxRFRPRVHGHVHH3RUHMHPSORVLTXHUHPRVKDFHUTXH HQWRQFHVEDVWDUtDWRPDUYDORUHVGH x UQDPDQHUDPiVIRUPDOGHUHSUHVHQWDUHVWHKHFKRHVPHGLDQWHORVVtPER ORVJULHJRVpSVLORQ H \GHOWD G ORVFXDOHVUHSUHVHQWDUiQHQQXHVWURFDVRFDQWL GDGHVLQÀQLWDPHQWHSHTXHxDV(OWpUPLQR H VHDVRFLDDODGLIHUHQFLD 6 PLHQWUDV TXHHOWpUPLQR G DODGLIHUHQFLDSHTXHxDGH x 2 FRPRYHUHPRVPiVDGHODQWHHQ ODJUiÀFD3DUDFXDOTXLHUQ~PHURSRVLWLYR H VLHPSUHH[LVWHXQYDORUSRVLWLYR G GH PDQHUDWDOTXHVL x 2 G HQWRQFHVVHWHQGUiTXH 6 H (VGHVXPDLPSRUWDQFLD UHFRUGDUTXHxQXQFDWRPDUiHOYDORUGHSXHVHVLQGHÀQLGRSDUDODIXQFLyQHQHVH SXQWRGHIRUPDTXH[ࢼHVGLIHUHQWHGHFHUR(QWRQFHVODUHODFLyQTXHGDUiDVt 3DUDFXDOTXLHUYDORUGH G ! WDOTXH 6 H VLHPSUHH[LVWLUiXQYDORU 3ULPHURVHHVFRJHHOYDORUGH H \GHVSXpVHOGH G HVWR LPSOLFDQHFHVDULDPHQWHTXH G GHSHQGHGHOYDORUGH H G ! WDOTXH x G
5HJUHVDQGRDQXHVWUDIXQFLyQODUHODFLyQ SDUDHOHMH;ORVYDORUHVTXH HVWiQFRPSUHQGLGRVHQWUHࢼG \G SHURVLQWRFDUDOYDORUHVWRLPSOLFDHOYDORU DEVROXWR x G OHVFRUUHVSRQGHQORVYDORUHVGHfx HQHOHMH<FRPSUHQGLGRV HQWHࢼ H \ H HVWRLPSOLFD 6 H (QODVLJXLHQWHUHSUHVHQWDFLyQJUiÀFDREVHUYDUiVODUHODFLyQpSVLORQGHOWD DGHPiVGHODORFDOL]DFLyQGHOOtPLWHGHODIXQFLyQ3DUDHVWRWRPDPRVXQYDORUGH G FRQHOSURSyVLWRGHTXHQXHVWUDVGLIHUHQFLDVFRQpSVLORQUHVXOWHQPHQRUHVD HVGHFLU H HVFDVXDOLGDGTXHUHVXOWDUDQFDQWLGDGHVLJXDOHV y
Ȝ
}
Ȝ
}
Ȝ
6
Ȝ
5
4
3
2
1
} }
x
-1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
FIGURA 2.8 5HSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHOOtPLWHGHODIXQFLyQ
2.2
2.4
41 5HSDVDUHOVLJQL¿FDGR JUi¿FRGHODVGHVLJXDOGDGHVGHOWLSR x − a < , FXDQGRa y
VRQ¿MRV.
Cálculo Diferencial
42
$TXtVHWLHQHTXHVL x HQWRQFHV &RPRSDUD FXDOTXLHUpSVLORQSRVLWLYDH[LVWHXQYDORUGHOWDSRVLWLYRSDUDTXHODSURSRVLFLyQDQWH ULRUVHFXPSODHQWRQFHVVHxDODTXHODIXQFLyQI[ WLHQHXQOtPLWHTXHYDOHFXDQGR [VHDSUR[LPDD'HDKRUDHQDGHODQWHXVDUHPRVODQRWDFLyQGHOtPLWHFRPRVLJXH
'HPDQHUDHVWULFWD x x x x
6HOHH´(OOtPLWHGHODIXQFLyQfx FXDQGRxVHDSUR[LPDDHVµ )XQGDPHQWDOPHQWH HO VLJQR GH LJXDO HQ OD QRWDFLyQ DQWHULRU WLHQH XQD FRQQRWDFLyQGHDSUR[LPDFLyQ\DTXHQLQJ~QYDORUGHxKDUiTXHODIXQFLyQfx WHQJD HOYDORUGH/DIXQFLyQQRHVWiGHÀQLGDHQSHURVXOtPLWHHQVtH[LVWHSXHVFRPR GHPRVWUDUHPRVPiVGHODQWHGHIRUPDDQDOtWLFDVtFXPSOHFRQODFRQGLFLyQpSVLORQ GHOWD$TXtVHGLIHUHQFLDODHYDOXDFLyQGHXQDIXQFLyQHQWUHXQSXQWRGHVXOtPLWH\ HQHVHPLVPRSXQWR &RQVLGHUHPRVGRVHMHPSORVPiVVREUHODFRPSUHQVLyQGHOOtPLWH\GHVX UHSUHVHQWDFLyQJUiÀFD Ejemplo 1 (PSOHDJUiÀFRV\DUJXPHQWRVGHODUHODFLyQpSVLORQGHOWDSDUDGHWHUPLQDUORVOtPL WHVGHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVHQORVSXQWRVVHxDODGRV a)
en el punto x = 2
b) en el punto x =
Solución a) /DUHSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHODIXQFLyQgx HVWiGDGDDWUR]RV y 8 7 6 5
g(x)
4 3 2 1
x -4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
-1
Figura 2.9. 5HSUHVHQWDFLyQGHODIXQFLyQgx
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social 'HVDUUROODPRVXQDSHTXHxDWDEODFHUFDGHOSXQWRx VLPLODUPHQWHDOR UHDOL]DGRDQWHULRUPHQWH x
g(x)
2
3
43
&RQEDVHHQHVWDWDEODQRWDPRVTXHHVSRVLEOHWRPDUFXDOTXLHUYDORUH ! GHIRUPDTXHVLHPSUHH[LVWLUiXQ G ! 6L x G HQWRQFHV 5 H (VGHFLUHQWpUPLQRVIRUPDOPHQWHPDWHPiWLFRV
(VGLJQRQRWDUTXHg HVWRWDOPHQWHGLIHUHQWHDOOtPLWHHQx = DXQ TXHDPERVH[LVWHQ a) ([LVWHXQDGLIHUHQFLDHQWUHHVWDJUiÀFD\ODVGRVDQWHULRUHV y 5 4 3 2 1
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1 -2 -3 -4 -5
FIGURA 2.10 *UiÀFDGHODIXQFLyQhx
3.5
4
4.5
5
5.5
x
Cálculo Diferencial /DGLIHUHQFLDHVTXHQRSRVHH´DJXMHURVµRSXQWRVYDFtRVVREUHODFXUYD (VWRVHDQDOL]DUiHQODVHVLyQTXHWUDWDGHODFRQWLQXLGDGGHIXQFLRQHV
44
$OFRWHMDUFRQHOHMHPSORDQWHULRU\YHULÀFDUFRQXQDWDEODGHYDORUHVQR WDUiVTXH
(VWRVHxDODTXHHOYDORUGHOOtPLWHHQࢼFRLQFLGHFRQHOYDORUGHODIXQFLyQ HQHVHPLVPRSXQWR0X\GLIHUHQWHDORVFDVRVSUHYLDPHQWHYLVWRV&RQFOXLGRVHVWRV FRQFHSWRVJHRPpWULFRVHVWLHPSRGHUHDOL]DUXQDDFWLYLGDGGHUHSDVR
$FWLYLGDG 'HWHUPLQDGHIRUPDJUiÀFD\WDEXODUORVOtPLWHVGHFDGDXQDGHODVIXQFLRQHVGDGDV GHPRGRTXHUHSUHVHQWHVORVLQWHUYDORVpSVLORQGHOWDHQODVJUiÀFDV(VLPSRUWDQWH TXHPDQHMHVXQsoftwareSDUDUHDOL]DUHVWDDFWLYLGDGWHUHFRPHQGDPRV:LQGRZVR ([FHOHVWRSRUVXIiFLOHPSOHR HQx 2. HQx ࢼ 3. HQx
1.
4. HQx 5. HQx ȷ
'HÀQLFLyQGHOtPLWH 8WLOL]DPRVODUHODFLyQ SDUDUHSUHVHQWDUXQOtPLWHWUDWDUHPRVDKRUDGH GHÀQLUHOOtPLWHGHXQDIXQFLyQ 'HÀQLFLyQ6HDfXQDIXQFLyQTXHHVWiGHÀQLGDHQXQLQWHUYDORDELHUWR TXHFRQWHQJDDOYDORUaH[FHSWRSRVLEOHPHQWHHQHVHYDORU(QWRQFHV
6 6L
(VWDHVODWHUPLQRORJtDPDWHPiWLFDSDUDOtPLWH\VHOHHGHODVLJXLHQWHIRU PD´(OOtPLWHGHf(x)FXDQGRxVHDFHUFDRWLHQGH KDFLDaHVLVL\VyORVLSDUDWRGR H SRVLWLYRH[LVWHXQ G SRVLWLYRWDOTXHVL G HQWRQFHV H µ /RVVtPERORVPDWHPiWLFRVQXHYRVSDUDWLORVHQOLVWRDFRQWLQXDFLyQFRQVX VLJQLÀFDGRUHVSHFWLYR
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social Símbolo
6LJQLÀFDGR /tPLWH
45
7LHQGHD¬
o
6HDSUR[LPDD¬
6L\VyORVL,QGLFDTXHODUHODFLyQGHUHFKDVHFXPSOHVyORVLOD L]TXLHUGDHVYHUGDGHUD\YLFHYHUVD
3DUDWRGRSDUDWRGD
([LVWH
7DOTXH¬GHIRUPDTXH¬ (QWRQFHV¬,QGLFDTXHODUHODFLyQGHUHFKDVHFXPSOHVyORVLOD L]TXLHUGDHVYHUGDGHUD
(VWDGHÀQLFLyQLPSOLFDORVLJXLHQWH a) 6LHOOtPLWHGHODIXQFLyQH[LVWH\YDOHLHQWRQFHVSDUDWRGDpSVLORQSRVLWLYD H[LVWH OD GHOWD SRVLWLYD GH PDQHUD TXH VL x VH DFHUFD D a FRQ XQD GLVWDQFLD PHQRUDGHOWDHQWRQFHVODGLVWDQFLDHQWUHf(x)\HOOtPLWHLHVPHQRUDpSVLORQ b) 5HFtSURFDPHQWHVLSDUDWRGDpSVLORQSRVLWLYDH[LVWHODGHOWDSRVLWLYDGHPDQH UDTXHVLxVHDFHUFDDa FRQXQDGLVWDQFLDPHQRUDGHOWDHQWRQFHVODGLVWDQFLD HQWUHf(x)\HOOtPLWHLHVPHQRUDpSVLORQHOOtPLWHGHODIXQFLyQH[LVWH\YDOHL 8QDUHSUHVHQWDFLyQJUiÀFDHVWiGDGDDVt y
L+ Ȝ }
L
L- Ȝ
f(x)
ð
ð x
} }
Ȝ
}
Ȝ
a a-ð
FIGURA 2.11 /tPLWHLGHf(x)FXDQGRxVHDFHUFDKDFLDa
a+ð
De ahora en adelante cuando se pida que traces la representaFLyQJUiÀFDGHXQD función, nos referiremos a que se debe utilizar el software necesario, una calcuODGRUDFRQJUDÀFDGRU u otro medio tecnológico para realizar el trabajo, que en su mayoría de las veces requiere exactitud. Por otro lado, cuando se pida que dibujes o reSUHVHQWHVODJUiÀFDGH una función, nos referiremos a que deberás realizarla a mano, quizás con la ayuda de una calculadora QRUPDORFLHQWtÀFD
Cálculo Diferencial 2EVHUYDTXHHQODGHÀQLFLyQQRVHLQGLFDTXHODIXQFLyQH[LVWDHQHOYDORU GHa5HFXHUGDTXHXQDIXQFLyQSXHGHQRHVWDUGHÀQLGDHQaDXQTXHHOOtPLWHGHOD IXQFLyQVtH[LVWDHQa&RQVLGHUHPRVODDSOLFDFLyQGHHVWDGHÀQLFLyQ
46
Ejemplo 2 8WLOL]DODGHÀQLFLyQGHOtPLWHSDUDGHPRVWUDUTXHHIHFWLYDPHQWH x x
Demostración
/D GHÀQLFLyQ VROLFLWD TXH OD IXQFLyQ [ ࢼ HVWp GHÀQLGD HQ XQ LQWHUYDOR DELHUWRGHSHURFRPRHVWDIXQFLyQHVWiGHÀQLGDSDUDWRGRVORVUHDOHVQRWHQGUH PRVSUREOHPD$KRUDHQQXHVWURFDVRa = f(x) = 5[ࢼ\L 'HPRVWUDUHPRVTXHHOOtPLWHH[LVWHFRQWLQXDQGRFRQODOtQHDGLVFXWLGDHQ HOLQFLVREGHODGHÀQLFLyQHVGHFLUGHEHPRVVHxDODUTXHSDUDFXDOTXLHUYDORUGH H ! H[LVWHXQ G ! GHPDQHUDTXHVL x x
2EVHUYDGHWHQLGDPHQWHODVÁHFKDVGHLPSOLFDFLyQ x x x x x x
x x Recuerda que delta depende de épsilon.
PRUORTXHVLWRPDPRVFRPRİ ՠRXQYDORUPHQRUSRGUHPRVREVHUYDU TXHVHFXPSOHODFRQGLFLyQGHODGHÀQLFLyQ'HPDQHUDTXHVL x
x H x H x H
x H
3RUORWDQWRKHPRVGHPRVWUDGRTXHVHFXPSOHHODUJXPHQWRGHODGHÀQL FLyQGHOtPLWHDOVHxDODUTXHSDUDFXDOTXLHU H ! H[LVWHXQ G ! GHPDQHUDTXHVL x x
(VGHFLU x ଶ x
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social ¿3RUTXpODVGHPRVWUDFLRQHV"3RUODUD]yQGHTXHGHVDUUROODUiVODFRPSH WHQFLDFX\DÀQDOLGDGHVODDUJXPHQWDFLyQPDWHPiWLFDDGHPiVGHGHVDUUROODUODFD SDFLGDGGHUD]RQDPLHQWRGHGXFWLYR(VWRHVXQHOHPHQWRLQGLVSHQVDEOHHQFDUUHUDV DÀQHVDODVFLHQFLDV 9DXQVHJXQGRHMHPSORGHGHPRVWUDFLyQGHOtPLWHSHURDQWHVWHGHMRXQD UHVHxDVREUHGHVLJXDOGDGHVTXHWHVHUiGHXWLOLGDG
'HVLJXDOGDGHV x t
d £ £ Si y £ £ Si a a a
Ejemplo 3 'HPRVWUDUHOOtPLWHGDGRHQHOLQFLVREGHOHMHPSOR Demostración (OOtPLWHHV x 7HQHPRVTXHKDOODUXQGHOWDDSURSLDGRGHPDQHUDTXH x SDUDWRGR H ! \ G ! HQWRQFHV
x x
2VHDVL x x 2EVHUYDTXHVHWLHQH x x x x x H
(QHVWHFDVRDSDUHFHHOIDFWRU x \FRQHOÀQGHTXHODGHVLJXDOGDG SRUFRPSUREDUORFRQWHQJDHVSUHFLVRWRPDUXQDUHVWULFFLyQGHOYDORUGH G &RPR SRGHPRVWRPDUXQLQWHUYDORDELHUWRSHTXHxRHQODFHUFDQtDGHOSXQWRa QRV EDVWDUiFRQVLGHUDUXQRPHQRUDODXQLGDGHVGHFLUWRPDPRV G
&RQORTXHVL x G x x
El símbolo Ł representa que una demosWUDFLyQKDÀQDOL]DGR También se escribe c.s.q.d. (como se quería demostrar).
47
Cálculo Diferencial
x x
48
x x
x
$VtTXHFXDQGRWRPDPRV G VHFXPSOHTXH G x x G
6HWRPDUi 3 RHTXLYDOHQWHPHQWH
3DUDDVHJXUDUTXHVHFXPSODQDPEDVUHVWULFFLRQHVGH G y HVQHFHVDULRWRPDUHOPiVSHTXHxRGHDPERV(VWRORKDFHPRVDOFRQVLGHUDUORPD WHPiWLFDPHQWHFRPR
)LQDOPHQWHWRPDQGRHVWHYDORUGHGHOWD\VHFRQFOX\HODGHPRVWUDFLyQVL x G
H H x x H
x x H
(VWRLQGLFDTXHSDUDFXDOTXLHUpSVLORQDOWRPDU TXH x x \HVORPLVPRTXH
VHFXPSOH
x ଶ
x
7HSURSRQJRDQDOL]DUFRQPXFKRGHWHQLPLHQWRORVSDVRVGDGRVHQHVWRV HMHPSORV&RQFOXLPRVHVWDVHFFLyQFRQXQHMHPSORGHPD\RUGLÀFXOWDG Ejemplo 4 'HPXHVWUDTXHHOVLJXLHQWHOtPLWHHVYHUGDGHUR x x x x
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social Demostración 3DUDORJUDUXQDGHPRVWUDFLyQVHJXUDFRQVLGHUDPRVGHQXHYRXQGHOWDPHQRUDODXQL GDG+HPRVGHFRQVLGHUDUTXHVL x
x x x 3ULPHURREVHUYDTXH
x x x x x x x x x G G G G G G G
6HWRPDUi RHTXLYDOHQWHPHQWH
3DUDDVHJXUDUTXHVHFXPSODQDPEDVUHVWULFFLRQHVGH G y
'HPDQHUDTXHVL x G
G G G
x x x
(VWRVHxDODTXH x x x ଶ x
StQWHVLV (QFDGDXQDGHORVLQFLVRVGHPXHVWUDHOOtPLWHGHDFXHUGRDODGHÀQLFLyQpSVLORQ GHOWD8WLOL]DUD]RQDPLHQWRVFRUUHFWRVDVtFRPRODVSURSLHGDGHVGHODGHVLJXDOGDG QHFHVDULDV x 1. x
2. x x
3. x S S x
4. x x x
49
Cálculo Diferencial
50
6HVLyQ &iOFXOR GH OtPLWHV GH IXQFLRQHV Criterios &RPSUHQGRORVSURFHGLPLHQWRVQHFHVDULRVSDUDHOFiOFXORGHORVGLIHUHQWHV WLSRVGHOtPLWHV ,GHQWLÀFRODVDSOLFDFLRQHVRWRUJDGDVDORVOtPLWHVDGLYHUVDViUHDVGHHVWXGLR VRFLDO\FLHQWtÀFR 0DQHMRODGHÀQLFLyQpSVLORQGHOWDGHOtPLWHSDUDGHPRVWUDUORVYDORUHVGH OtPLWHVGHIXQFLRQHVDOJHEUDLFDV (PSOHRORVSURFHVRV\WHRUHPDVUHODFLRQDGRVDOtPLWHVGHPDQHUDDSUR SLDGD 5HDOL]ROHFWXUDVGRQGHSXHGDH[WUDHULQIRUPDFLyQVREUHODVGLYHUVDVDSOLFD FLRQHVGHORVOtPLWHVGHIXQFLRQHV 0DQWHQJRXQDDFWLWXGSHUVHYHUDQWHIUHQWHDOPDQHMRGHODGHÀQLFLyQpSVL ORQGHOWDGHOOtPLWHGHXQDIXQFLyQ &RODERURGHPDQHUDDFWLYDFRQPLVFRPSDxHURV\GRFHQWHHQHOGHVDUUROOR GHODVDFWLYLGDGHVSURSXHVWDV
CRQWH[WXDOL]DFLyQ Un teorema es una DÀUPDFLyQTXHSXHGH ser demostrada formalmente con el contexto en que se basa. Por ejemplo: el teorema de Pitágoras.
+DVWDDKRUDVyORKHPRVDWHUUL]DGRHOFRQFHSWRGHOtPLWHFXDQGRHOYDORUGHa HVXQ HQWHURUDFLRQDORLUUDFLRQDO([LVWHXQDYDULHGDGGHWLSRVGHOtPLWHVODWHUDOHVLQÀQL WRVDOLQÀQLWR 6HxDODUHPRVHQHVWDVHVLyQFDGDXQRGHHVWRVFDVRV 3DUDGHWHUPLQDUOtPLWHVGHPDQHUDGLUHFWD\VLQSURIXQGL]DUHQVXVLJQLÀFD GRJHRPpWULFRHV~WLOSRVHHUGLIHUHQWHVWHRUHPDVTXHGLFWDQHOFRPSRUWDPLHQWRGH ORVOtPLWHVEDMRFLHUWDVFLUFXQVWDQFLDV (QHVWDVHVLyQWHGHGLFDUiVDFDOFXODUORVGLIHUHQWHVWLSRVGHOtPLWHVFRQHO XVRGHORVWHRUHPDV$OJXQRVGHHVWRV~OWLPRVVHWHSURSRUFLRQDUiQFRQVXUHVSHF WLYDGHPRVWUDFLyQ3RUORWDQWRHVQHFHVDULRTXHWHQJDVXQDYLVLyQIRUPDO\PDWH PiWLFDGHORVOtPLWHV
PUREOHPDWL]DFLyQ /RVOtPLWHVWLHQHQGLIHUHQWHVFDPSRVGHDSOLFDFLyQSHURSDUDSRGHUXVDUHVWHSRWHQ FLDOHVQHFHVDULRVDEHUFDOFXODUORV3RUHMHPSORUHFXHUGDODSDUDGRMDGH=HQyQGHV FULWDDOLQLFLRGHOEORTXH¢FyPRSRGUtDVGHPRVWUDUVXIDOVHGDGGHPRGRWRWDOPHQWH PDWHPiWLFR" (QELQDVGHVDUUROOHQFDGDXQRGHORVLQFLVRVUHVSHFWLYRVDXQSUREOHPDGH HFRQRPtD 8QDIXQFLyQGHFRVWRHQPLOHVGHSHVRV GHSURGXFFLyQCGHFLHUWRDUWtFXOR GHFRQVXPREiVLFRTXHGDHVWLSXODGDSRUODUHODFLyQ HQGRQGHxHV ODFDQWLGDGGHDUWtFXORVSURGXFLGRV\ x z 5 +DOOHQHLQWHUSUHWHQORVVLJXLHQWHVOtPLWHV
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social a) o b) o c) o
&RORTXHQPiVDEDMRVXVGHGXFFLRQHVREWHQLGDVVREUHHOFiOFXORGHOtPLWHV
FRUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\ GHVDUUROORGHODVFRPSHWHQFLDV 3DUDUHVSRQGHUGHPDQHUDH[DFWDDFDGDXQRGHORVOtPLWHVGHODDFWLYLGDG DQWHULRUHVQHFHVDULRFRQWDUFRQODVSURSLHGDGHVGHORVOtPLWHVGDGRVHQIRUPDGH WHRUHPDV\VXGHPRVWUDFLyQ$OJXQDVODVUHDOL]DUiVFRQWXGRFHQWHFRQWXVFRPSD xHURVRGHPDQHUDLQGLYLGXDOFRQHOÀQGHTXHHPSLHFHVDGHVDUUROODUHO´LQVWLQWRµ 0DQRV\SHQVDPLHQWRDODREUD
7HRUHPDVVREUHOtPLWHV &RPRVHVHxDOyHVWRVWHRUHPDVVHUYLUiQSDUDUHDOL]DUFiOFXORVPiVHVSHFtÀFRVGH OtPLWHV (Q SULPHU OXJDU VH VHxDODQ \ SRVWHULRUPHQWH VH GDUi OD GHPRVWUDFLyQ GH DOJXQRVGHHOORV Teorema 2.16Lm\bVRQFRQVWDQWHVFXDOHVTXLHUDHQWRQFHV
Teorema 226LcHVXQDFRQVWDQWHHQWRQFHVSDUDFXDOTXLHUYDORUa
Teorema 2.33DUDFXDOTXLHUYDORUa
Teorema 2.46L HQWRQFHV
HQWRQFHV Teorema 2.56L
" "
Teorema 2.66L HQWRQFHV
51
Cálculo Diferencial
Teorema 2.7 6L " HQWRQFHV
" "
52
Teorema 2.86L \nHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHV
Teorema 2.9 6L HQWRQFHV
6LHPSUH\FXDQGR M z Teorema 2.106L \nHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHV
Teorema 2.113DUDFXDOTXLHU a z VHWLHQHTXH
Teorema 2.123DUD ! HQWHURSRVLWLYRRSDUD d HQWHUR LPSDUVHWLHQHTXH
'HPRVWUHPRV WUHV GH HVWRV WHRUHPDV FRQ HO ÀQ GH WHQHU XQD JXtD HQ OD REWHQFLyQGHXQGHOWDDSURSLDGRHQFDGDFDVR
'HPRVWUDFLyQGHOWHRUHPD Demostración 6HKDGHREWHQHUXQDGHOWDDSURSLDGDSDUDTXHGDGDWRGD H ! HVD G ! SRUWDQWR VL
6HSUHVHQWDQGRVFDVRV 6L m z HQWRQFHV H &RQORTXHVHREVHUYDTXHWRPDQGRXQD
m
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social 'HIRUPDTXHVL
53
6Lm HQWRQFHV FRQORTXHFRQFXDOTXLHUYDORU G ! VHVDWLVIDFHHODUJXPHQWRGHODGHÀQLFLyQGHOtPLWHଶ
'HPRVWUDFLyQGHOWHRUHPD Demostración &RQVLGHURVyORHOFDVRHQTXHVHUHDOL]DODVXPD+HPRVGHREWHQHUXQDGHOWDGH PDQHUDTXHSDUDWRGD H ! HVD G ! VDWLVIDFHVL
H ! H[LVWHXQD G ! \TXH H SDUD ! H[LVWHXQD G ! GHPDQHUDTXHVL \VL 6HFRQVLGHUDXQDGHOWDPiVSHTXHxDHQWUHDPEDVSDUDTXHVHFXPSODQODV GRVFRQGLFLRQHVGHPDQHUDTXHVL
6HVDEHSDUDf\gTXHUHVSHFWLYDPHQWHSDUD
G
G G $VtVL
\VL SRUORTXH
H H H
ଶ
DHPRVWUDFLyQGHOWHRUHPD Demostración 'DGR H ! VHKDGHKDOODUXQ G ! WDOTXHVL
6HWLHQHTXHVL \VL
7RPHPRV G
G G
6HLQWX\HTXHVL \VL
Analiza algunos de los pasos realizados en cuestión de las desigualdades.
Cálculo Diferencial
$KRUDFRQVLGHUDPRV H H WDOHVTXH H
54
H H H VHFXPSOHQ
FRQODHOHFFLyQGDGDDQWHULRUPHQWHGHGHOWD 6HFRQFOX\HTXH
H H H H
H H H H ଶ
$FWLYLGDG (V~WLOTXHGHPXHVWUHVORVWHRUHPDV\FRQVLGHUDQGRHOFDVRSDUDODUHVWD HQHVWH~OWLPR7UDEDMDHQHTXLSRVIRUPDGRVSRUWXGRFHQWH\VHxDOHQDOJUXSRFyPR OOHJDURQDODFRQFOXVLyQGHODHOHFFLyQGHODVGHOWDVHQFDGDFDVR Ejemplo 5 (PSOHDORVWHRUHPDVGHOtPLWHVYLVWRVSDUDKDOODUHOOtPLWHVHxDODGRHQFDGD LQFLVRGHIRUPDDQDOtWLFD NotaVyORHQHVWRVSULPHURVHMHPSORVVHLQGLFDUiFDGDXQRGHORVWHRUH PDVXVDGRVFRQÀQHVGLGiFWLFRV3RUHMHPSORT2.4LQGLFDUiHOXVRGHOWHRUHPD x a) x
x x b) x c) t
t t t
s s s Solución
d)
x 3RU7 a) x x x x x Por T2.5 b) x x x x x Por T2.2 y T2.8 c) x
d) Por T2.8 t t t t t t t t Por T2.9, T2.4 t t t t t \7
e)
s f)
s s
s
s
s
s s
3RU77\7
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social (VWRV HMHPSORV LOXVWUDWLYRV WXYLHURQ OD ÀQDOLGDG GH TXH REVHUYHV \ FRP SUHQGDV HO XVR \ OD LPSRUWDQFLD GH ORV WHRUHPDV SUHYLDPHQWH GDGRV (V QHFHVDULR HVWXGLDUOtPLWHVGHUDFLRQDOHVGRQGHHOGHQRPLQDGRUHVFHUR Ejemplo 6
55
'HWHUPLQDHOYDORUGHFDGDOtPLWH a) x b) x
x x x x
x
F Si f(x)=2x, hallar
Solución
&DGDOtPLWHWLHQHSUREOHPDVHQHOGHQRPLQDGRUSXHVWRTXHVXYDORUWLHQGHDFHUR FRQIRUPHHOYDORUGHaVHDFHUFDDFDGDXQRGHORVUHVSHFWLYRVYDORUHV5D]yQSRUOD TXHSRUHOPRPHQWRQRSRGHPRVXVDUHOWHRUHPD(VPiVHOQXPHUDGRUWLHQGH DKDFHUVHDFHURFRQORTXHWHQHPRVODIRUPDLQGHWHUPLQDGDTXHQRHVWiGHÀ QLGD3DUDUHVROYHUHVWRVOtPLWHVVHUHTXLHUHXQWUDWDPLHQWRHVSHFLDOORFXDOFRQVLVWH HQIDFWRUL]DUHOQXPHUDGRU\GHQRPLQDGRU\GHVHUSRVLEOHVLPSOLÀFDUODH[SUHVLyQ IUDFFLRQDULDFDQFHODQGRORVIDFWRUHVFRPXQHV'HPDQHUDTXHHOGHQRPLQDGRUVH DFHUTXHDFHURFXDQGRHOYDORUGHaVHDFHUFDDFDGDXQRGHORVYDORUHVGDGRV2E VHUYDFDGDLQFLVRGHWHQLGDPHQWH\VLORFRQVLGHUDVQHFHVDULRUHDOL]DORVSDVRVTXH VHHQFXHQWUDQLPSOtFLWRV x x x x x
. Límite que se tabuló y x x x x x JUD¿FyDOLQLFLRGHOEORTXH
a)
E (QHVWHFDVRSURFHGHUHPRVDUDFLRQDOL]DUHOGHQRPLQDGRUDOPXOWLSOLFDUSRUHO FRQMXJDGRGH x 3 HOFXDOHV x 3 . x x x x x x x x d) 1RWDPRV SULPHUR TXH FRPR fx = 2x HQWRQFHV fx+h =x+h GH HVWD IRUPD
c)
x
x
x x
x
x
FDOFXODPRV
(VSHURTXHWHQJDVXQDDFWLWXGSHUVHYHUDQWHDOPRPHQWRGHWRSDUWHFRQ HVWH WLSR GH OtPLWHV DSDUHQWHPHQWH LQGHWHUPLQDGRV SXHVWR TXH UHTXLHUHV GH XQD YLVXDOL]DFLyQPDWHPiWLFDSDUDSRGHUUHVROYHUORV
/tPLWHVODWHUDOHV ([LVWHQFLHUWRVWLSRVGHIXQFLRQHVTXHQRHVWiQGHÀQLGDVHQFLHUWRVLQWHUYDORVSRU OR TXH QR HV SRVLEOH FDOFXODU VX OtPLWH HQWUH HVRV YDORUHV SRU HMHPSOR OD IXQFLyQ QRHVWiGHÀQLGDSDUDYDORUHVDQWHULRUHVD'HHVWHPRGRHOOtPLWH SDUDYDORUHVPHQRUHVDQRHVWDUtDGHÀQLGRDXQTXHVLVyORHVWiSDUDYDORUHVSRVWH ULRUHVD$VtTXHVHGDQODVVLJXLHQWHVGHÀQLFLRQHV
Cálculo Diferencial
'HÀQLFLRQHV6LfHVXQDIXQFLyQGHÀQLGDHQXQLQWHUYDORac HQWRQ FHVHOlímite lateral derechoGHa VHUHSUHVHQWDSRU
56
<VHFXPSOHVL 3RURWURODGRVLfHVXQDIXQFLyQGHÀQLGDHQXQLQWHUYDORd a ,HQWRQFHV HOlímite lateral izquierdoGHa VHUHSUHVHQWDSRU
<VHFXPSOHVL 6 /RVOtPLWHVODWHUDOHVFXPSOHQORVWHRUHPDVD /DFRQH[LyQHQWUH \ VHGDHQHOVL JXLHQWHWHRUHPD 7HRUHPD (QHVWHWHRUHPDORVOtPLWHVGHEHQH[LVWLU/DH[LVWHQFLDGHOOtPLWHODWHUDOGH UHFKRQRLPSOLFDODH[LVWHQFLDGHOL]TXLHUGR\YLFHYHUVD$GHPiVFXDQGRXQDIXQFLyQ HVORPLVPRTXHHO HVWpGHÀQLGDVyORSRUXQODGRGHOSXQWRDHQWRQFHV OtPLWHODWHUDOFRUUHVSRQGLHQWH3DUDQROOHYDUDFRQIXVLyQVHGHQRWDD FRPR HOOtPLWHELODWHUDO x x (VPHMRUFRQVLGHUDUXQHMHPSOR 'HHVWHPRGR x x GHODDSOLFDFLyQGHHVWHWHRUHPD
Ejemplo 7 'HWHUPLQDFDGDXQRGHORVOtPLWHVHQFDGDLQFLVR'LEXMDODJUiÀFDSDUDFRPSDUDU a) 6L KDOODU \
b) 6L KDOODU \ c)
Solución a) &DOFXODUFDGDXQRGHORVOtPLWHVODWHUDOHVVLJQLÀFDWRPDUSRUVHSDUDGRFDGDXQD GHODVSDUWHVGHHVWDIXQFLyQGHPDQHUDTXH
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social 3RUORWDQWRDOWHQHUORVOtPLWHVODWHUDOHVGLIHUHQWHVVHFRQFOX\HGHDFXHUGR DOWHRUHPDTXH
WRa =
QRH[LVWH
/DJUiÀFDHVODVLJXLHQWH2EVHUYDOD´UXSWXUDµTXHVHHQFXHQWUDHQHOSXQ
y 16
14
12
10
3x
8
6
4
2
x -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
FIGURA 2.12 *UiÀFDGHfx .
b) 3DUDODIXQFLyQg GR\SULPHURHOWUD]RGHHOOD y 10 8 6 4 2
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-2 -4
-6 -8 -10
FIGURA 2.13 *UiÀFDGHgx .
6
7
8
9
10
11
x
57
Cálculo Diferencial 1RWDTXHODVGRVSDUWHVGHHOODVH´FRQHFWDQµHQࢼ\DTXHDSHVDUGHTXH ODSDUWHGHUHFKDHVDELHUWDHQࢼODGHODGHUHFKDHVFHUUDGD\FRLQFLGHQHQHOYDORU GHࢼ$KRUDYHDPRVORVOtPLWHV
58
3RUORWDQWRDOWHQHUORVOtPLWHVODWHUDOHVLJXDOHVVHFRQFOX\HGHDFXHUGRDO WHRUHPDTXH
$FWLYLGDG 'LVFXWH\WUD]DODJUiÀFDSDUDGHWHUPLQDUODH[LVWHQFLDGHORVOtPLWHVODWHUDOHV\ELOD WHUDOHVHQORVSXQWRVࢼ\GHODIXQFLyQ
/tPLWHVLQÀQLWRV
&RQVLGHUDPRVDKRUDODVIXQFLRQHVFX\RVYDORUHVFUHFHQHQGHPDVtDKDFLDFDQWLGDGHV LQÀQLWDVFXDQGRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHWLHQGHKDFLDFLHUWRYDORU(VQHFHVDULRGDU ODVGHÀQLFLRQHVSHUWLQHQWHV 'HÀQLFLRQHV6HDfXQDIXQFLyQGHÀQLGDHQXQLQWHUYDORDELHUWRGHa SRVLEOHPHQWHH[FHSWRHQa&XDQGRxWLHQGHDaf(x)FUHFHVLQOtPLWHHVGHFLU
6L N G VL G 6LPLODUFXDQGRxWLHQGHDaf(x)GHFUHFHVLQOtPLWHHVGHFLU
6L N G VL G
Los símbolos
PiVLQÀQLWR\PHQRVLQÀQLWR representan cantidades inimaginablemente grandes y no son valores de los números reales. En estos casos el límite no existe.
CRPRHMHPSORFRQVLGHUDODJUiÀFDGHODIXQFLyQ
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social y 25 20
59
15
3x/(1-x)
10 5
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
x
-5 -10 -15 -20 -25
FIGURA 2.14 7UD]RGHODIXQFLyQ[ࢼ[
(VWDJUiÀFDVLJQLÀFDUiTXHWDPELpQVHSXHGHKDEODUGHOtPLWHVODWHUDOHVTXH OOHYDQDXQLQÀQLWR\DTXHHQHVWHHMHPSORGHODIXQFLyQfx VHREVHUYDTXHH[LVWH XQDDVtQWRWDYHUWLFDOHQࢼ&XiQGRQRVDSUR[LPDPRVSRUODL]TXLHUGDDࢼODIXQFLyQ WLHQGHDQ~PHURVSRVLWLYRVPX\DOWRV\FXDQGRWHQGHPRVSRUODGHUHFKDODIXQFLyQ WHQGUiQ~PHURVQHJDWLYRVFDGDYH]PiVJUDQGHVHVGHFLUPDWHPiWLFDPHQWH x x
x
x
x x
(VWDVDÀUPDFLRQHVVHVRVWLHQHQFRQORVVLJXLHQWHVWHRUHPDV Teorema 2.146LnHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHV
Teorema 2.156HFRQVLGHUDa\cQ~PHURVUHDOHVGHIRUPDTXHVL \ HQWRQFHV
1. 6Lc!\fx नFRQYDORUHVSRVLWLYRVGHfx ,HQWRQFHV
2. 6Lc!\fx नFRQYDORUHVQHJDWLYRVGHfx ,HQWRQFHV
Cálculo Diferencial
60
3. 6Lc\fx नFRQYDORUHVSRVLWLYRVGHfx ,HQWRQFHV
4. 6Lc\f[ नFRQYDORUHVQHJDWLYRVGHfx ,HQWRQFHV
7DPELpQFRQVLGHUDUHPRVODVVLJXLHQWHVSURSRVLFLRQHVUHVSHFWRDORVYDOR UHVLQÀQLWRV 6LcHVXQDFRQVWDQWHHQWRQFHV c c 6LDGHPiV c z HQWRQFHV SDUDc> c SDUDc> c SDUDc< c SDUDc< c 5HVSHFWRDORVOtPLWHVODWHUDOHVVHFRQÀUPDVXYDOLGH]SDUDHOWHRUHPD6HQWDGDV ODVEDVHVGHHVWRVWLSRVGHOtPLWHVHVQHFHVDULRFRQVLGHUDUDOJXQRVHMHPSORV Ejemplo 8 +DOODUORVYDORUHVGH \ VL Solución
1RHVSRVLEOHVLPSOLÀFDUODIUDFFLyQSXHVQRKD\IDFWRUHVFRPXQHV$ODFHUFDUVHSRU DPERVODGRVDOࢼHOQXPHUDGRUWLHQGHDYDORUHVQHJDWLYRV5HVSHFWRDOGHQRPLQD GRUpVWHWLHQGHDOFHURSHURFRQYDORUHVQHJDWLYRVVLVHWRPDQSRUODL]TXLHUGDGH ࢼSHURVHKDFHFHURFRQYDORUHVSRVLWLYRVVLVHWRPDQYDORUHVSRUODGHUHFKDGHࢼ 9HiPRVORFRQORVYDORUHVGHࢼ\ࢼ f
f
3RUORWDQWRVLJXLHQGRHOWHRUHPDFRQFOXLPRVTXH
x
x x x
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social
x
x x x
Ejemplo 9
61
\ VL +DOODUORVYDORUHVGH
Solución
5HVSHFWRDOOtPLWH QRWDPRVFODUDPHQWHTXHHVLQH[LVWHQWH\DTXHSDUDYDOR
UHVDODL]TXLHUGDGHHOGHQRPLQDGRUQRHVWiGHÀQLGR3DUDYDORUHVSRUODGHUHFKD GHHOQXPHUDGRUVtHVWiGHÀQLGR\VHDSUR[LPDDFHURFRQVLJQRVSRVLWLYRV6REUH HOGHQRPLQDGRUVHPDQWHQGUiQFRQVLJQRVSRVLWLYRVFHUFDQRVDFHUR3RUORWDQWR
x QRHVWiGHÀQLGR x
x x
x
x
Ejemplo 10 &DOFXOD x
Solución
x x < x x
x x x x x x x x x x x
(VWRSRUHOLQFLVRDQWHULRU\ODVSURSRVLFLRQHVGHORVLQÀQLWRV
6HWLHQHTXH
$FWLYLGDG 7UD]D OD JUiÀFD GH OD IXQFLyQ
\ GHWHUPLQD FDGD XQR GH
ORV OtPLWHV &RPSUXHED WXV UHVXOWDGRV GH IRUPD
DQDOtWLFDFRQHOXVRGHORVWHRUHPDVQHFHVDULRV'HWDOODODUHODFLyQGHHVWRVOtPLWHV FRQODVDVtQWRWDVYHUWLFDOHV
Cálculo Diferencial
/tPLWHVDOLQÀQLWR 62
2EVHUYD HO FRPSRUWDPLHQWR GH OD VLJXLHQWH JUiÀFD FXDQGR x FUHFH R GHFUHFH HQ GHPDVtD y 2.5 2 1.5
1 0.5
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
FIGURA 2.15 7UD]RGHODIXQFLyQfx = x2x
&XDQGRxWLHQGHDYDORUHVSRVLWLYRVFDGDYH]PiVJUDQGHVODGLVWDQFLDHQWUH HOOD\XQDDVtQWRWDKRUL]RQWDO HVPHQRUFXDQGRxWLHQGHDDOHMDUVHFRQYDORUHV QHJDWLYRVJUDQGHVODGLVWDQFLDHQWUHHOOD\ODDVtQWRWDHVFDGDYH]PHQRUWDPELpQ (VWRUHTXLHUHODVGHÀQLFLRQHV\WHRUHPDVLJXLHQWHV 'HÀQLFLRQHV6LIHVXQDIXQFLyQGHÀQLGDHQXQLQWHUYDORD HQ WRQFHVel límite L de f(x) cuando x crece sin límite VHUHSUHVHQWDSRU
<VHFXPSOHVL H H 3RURWURODGRVLfHVXQDIXQFLyQGHÀQLGDHQXQLQWHUYDOR( , a),HQ WRQFHVHOlímite L de f(x) cuando x decrece sin límite VHUHSUHVHQWDSRU
<VHFXPSOHVL H 6 H
Teorema 2.16 6LnHVXQHQWHURSRVLWLYRHQWRQFHV
\
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social (VWHWHRUHPDHVIXQGDPHQWDOSDUDORVOtPLWHVDOLQÀQLWRSRUHOORVHGDVX GHPRVWUDFLyQ Demostración HVWR LQGLFD TXH OD IXQFLyQ FRQVLGHUDGD HV \L = 0GHPDQHUDTXHVHGHEHPRVWUDUTXHSDUDWRGD H ! H[LVWHXQN > 0GHPDQHUDTXHVL &RQVLGHUHPRV
H
3HURGHHVWRVHH[WUDHTXH
H
H
H 'HHVWHPRGRVLFRQVLGHUDPRVD !
H
H
ORJUDUHPRVPRVWUDUTXHVL
H H H H
/DFRQVLGHUDFLyQGHODSDUWH
HVVLPLODUଶ
(OPpWRGRHPSOHDGRSDUDFDOFXODUHVWHWLSRGHOtPLWHVDOLQÀQLWRFRQVLVWH EiVLFDPHQWH HQ GLYLGLU DO QXPHUDGRU \ GHQRPLQDGRU FXDQGR VH WUDWH GH IXQFLyQ UDFLRQDO HQWUHHOYDORUGHODYDULDEOHFRQPD\RUSRWHQFLDVLPSOLÀFDUORQHFHVDULR\ XWLOL]DUHOWHRUHPD 2EVHUYDORVVLJXLHQWHVHMHPSORV Ejemplo 11 &RPSUXHEDDQDOtWLFDPHQWHORVYDORUHVGHFDGDOtPLWH x x x x x b) x x x S c) x x t d) t t t a)
x
63
Cálculo Diferencial
Solución
64
'LYLGLUHPRVFDGDWpUPLQRHQWUHODYDULDEOHGHPD\RUSRWHQFLD x x x x x x x x x x x x x x a) x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x b) x x x x x x S x x S x x c) x x x x x 2 d) 3DUDHVWHFDVRUHFXHUGDTXH x
t
t t t
t
t t t t t t
x
t t t
t
t t t t t
t
t
t t
'H DFXHUGR D ORV WUHV SULPHURV LQFLVRV DQWHULRUHV VH H[WUDH XQD YHUGDG LPSRUWDQWHTXHVHSUHVHQWDHQHOVLJXLHQWH Teorema 2.17 6L z HQWRQFHV
" "
GRQGH
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social
$FWLYLGDG 'HPXHVWUDMXQWRFRQWXVFRPSDxHURVHOWHRUHPD3LGHVXJHUHQFLDVDWXGRFHQWH \HVFULEHDFRQWLQXDFLyQWXVFRQFOXVLRQHV
StQWHVLV 8WLOL]DQGRORVWHRUHPDVVREUHOtPLWHVYLVWRVDVtFRPRVXJUDÀFDFLyQFXDQGRVHVR OLFLWH GHWHUPLQDORVOtPLWHVVHxDODGRV6LQRWHHVSRVLEOHWUD]DUODJUiÀFDHQWRQFHV UHSUHVpQWDODORPiVÀGHGLJQRSRVLEOH ¢3RUTXpQRH[LVWHf "0HGLDQWHFiOFXORV VtH[LVWH8VDORVWHRUHPDVSDUDGHPRVWUDUHO HQXQDWDEODPXHVWUDTXH o YDORUH[LVWHQWHGHHVWHOtPLWH'LEXMDODJUiÀFDGHODIXQFLyQFHUFDGHOSXQWRa
1. &RQVLGHUDODIXQFLyQ
2. &DOFXODORVOtPLWHVHQFDGDLQFLVRGHPDQHUDTXHLQGLTXHVORVWHRUHPDVXWLOL]DGRV x x x b) x x
a)
x
65
Cálculo Diferencial
x x x x d) x x c)
66
e) x f)
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
g) h) i) j) k)
l) x x x m) x x n) 3. (QFDGDLQFLVRKDOOD
a)
b) c) 4. &RPSUXHEDORVOtPLWHVGHOHMHUFLFLRPHGLDQWHODWUD]DODJUiÀFDGHODVIXQFLRQHV UHVSHFWLYDVTXHWXGRFHQWHUHTXLHUD 5. (QFDGDLQFLVRGHWHUPLQDORVOtPLWHV SDUDFDGDYDORU RYDORUHVGHa GDGR
D a)
b) a ࢼ
c) a \ࢼ
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social d) a \ࢼ
6. &RQHOXVRGHORVWHRUHPDVUHVSHFWLYRVHQFXHQWUDHOYDORUGHFDGDOtPLWH a a
a) a
b) b
b b c
c)
c c
c
d) d
e)
d d d
6HVLyQ&RQWLQXLGDGGHIXQFLRQHV Criterios 5HFRQR]FRORVHOHPHQWRVGHODGHÀQLFLyQGHFRQWLQXLGDGGHIXQFLRQHVDVt FRPRODUHODFLyQFRQORVOtPLWHV &ODVLÀFRODVIXQFLRQHVFRQWLQXDV\QRFRQWLQXDVGHDFXHUGRDODGHÀQLFLyQ GHFRQWLQXLGDG 'HWHUPLQRHOLQWHUYDORHQGRQGHXQDIXQFLyQHVFRQWLQXDRGLVFRQWLQXD 5HSUHVHQWRODFRQWLQXLGDGGHIXQFLRQHVPHGLDQWHXQsoftware JUDÀFDGRU 7UDEDMRGHPDQHUDFRODERUDWLYDHQGLYHUVRVHTXLSRVGHWUDEDMRHQORVTXH PHHQFXHQWUH 5HSUHVHQWRXQDIXHQWHGHHVWtPXORDOPRPHQWRGHUHVROYHUVLWXDFLRQHVSUH VHQWDGDV\DVHDQGHtQGROHKLSRWpWLFDRUHDO 5HVSHWR ODV RSLQLRQHV JHQHUDGDV SRU PLV FRPSDxHURV R GRFHQWH DQWH ODV VLWXDFLRQHVGHWUDEDMRTXHVXUMDQ
CRQWH[WXDOL]DFLyQ ¢4XpWHLQGLFDHOWpUPLQRFRQWLQXLGDG" 3RUHMHPSORODVH[SUHVLRQHV´VHIXHFDPLQDQGRGHFRQWLQXRµ´¤FRQWLQ~D FRQWXWDUHDµHWFpWHUDUHFDOFDQXQDYHUGDGLQGLVFXWLEOHTXHODFRQWLQXLGDGUHTXLHUH
67
Cálculo Diferencial HYLWDUODVSDXVDVSpUGLGDGHWLHPSRRHQWUHFRUWDUODVHULHGHSURFHVRVTXHVHOOHYDQ DFDER
68
'HPDQHUDVLPLODUVHDSOLFDDODVIXQFLRQHVFRQWLQXDVeVWDVWLHQHQSURSLH GDGHVLPSRUWDQWHVFRPRYHUHPRVTXHVXSHUDQDODVIXQFLRQHV GLVFRQWLQXDV /DLPSRUWDQFLDGHOHVWXGLRGHODVIXQFLRQHVFRQWLQXDVHVIXQGDPHQWDOHQOD FRPSUHQVLyQGHOFRPSRUWDPLHQWRGHODVIXQFLRQHV\GHOFiOFXOR
PUREOHPDWL]DFLyQ &RPHQ]DUHPRVHVWDVHFFLyQFRQXQDDFWLYLGDGQHFHVDULDSDUDODFRPSUHQVLyQGHOD FRQWLQXLGDGGHIXQFLRQHV &RQVLGHUDODVVLJXLHQWHVFXDWURIXQFLRQHVTXH\DVHKDQHVWXGLDGR\UHV SRQGHHQFDGDFDVRFXiORFXiOHVGHORVVLJXLHQWHVWUHVDVSHFWRVQRVRQYiOLGRV 1. HVWiGH¿QLGRRH[LVWH HVWiGH¿QLGRRH[LVWH 2. o
3.
,a=2 b) , a=2 , a c) d) a ࢼ
a)
&RQD\XGDGHODVJUiÀFDV\SURFHGLPLHQWRVGDGRVSDUDFDGDIXQFLyQSXH GHVUHVSRQGHUDODVLQWHUURJDQWHVHQFDGDLQFLVR(VLPSRUWDQWHTXHGHVDUJXPHQWRV HQFDGDXQRGHORVLQFLVRVGHOSRUTXpVt\GHOSRUTXpQRGHWXVDÀUPDFLRQHV
)RUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\ GHVDUUROORGHODVFRPSHWHQFLDV
CRQWLQXLGDGHQXQSXQWR /D3UREOHPDWL]DFLyQDQWHULRUQRVGDUiODSDXWDSDUDGHÀQLUODFRQWLQXLGDGGHIXQ FLRQHV,QWXLWLYDPHQWHREVHUYDUiVFRQHOORTXHXQDIXQFLyQHVFRQWLQXDHQHOSXQWR x = aFXDQGRpVWDQRSUHVHQWDXQ´DJXMHURµ´UXSWXUDµQL´VDOWRµHQHVHSXQWR'HHVWH PRGRVHGDODGHÀQLFLyQUHVSHFWLYD 'HÀQLFLRQHV8QDIXQFLyQ fHVFRQWLQXD HQHOSXQWRaVL\VyORVLVH FXPSOHQODVWUHVFRQGLFLRQHVVLJXLHQWHV i.
HVWiGHÀQLGRRH[LVWH
ii. HVWiGHÀQLGRRH[LVWH o
iii.
(QFDVRGHTXHXQDRPiVGHODVFRQGLFLRQHVDQWHULRUHVQRVHFXPSODQ HQWRQFHVODIXQFLyQHVdiscontinuaHQHOSXQWRa
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social 3DUDORVFXDWURFDVRVGHOD3UREOHPDWL]DFLyQQRWDUiVTXHHQFDGDLQFLVR XQRRPiVFULWHULRVGHFRQWLQXLGDGQRVHVDWLVIDFHQSRUORFXDOODVWUHVSULPHUDVIXQ FLRQHVUHVSHFWLYDVVRQGLVFRQWLQXDVHQORVSXQWRVVHxDODGRV/DVJUiÀFDVLQGLFDQTXH HQHOFDVRGHODSULPHUDWLHQHXQDJXMHURHQa ODVHJXQGDWLHQHXQVDOWRHQa \ODWHUFHUDQRHVWiGHÀQLGDHQa 6LQHPEDUJRODFXDUWDIXQFLyQQRWLHQHHVWH WLSRGHSUREOHPDVHQWRUQRDOSXQWRa ࢼSRUORWDQWRHVWD~OWLPDVtHVFRQWLQXD HQHVHSXQWR &RQVLGHUHPRVHMHPSORVGHODDSOLFDFLyQGHFRQWLQXLGDGGHIXQFLRQHV Ejemplo 12 ,QYHVWLJDUODFRQWLQXLGDGGHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVHQORVSXQWRVGDGRV , a
b) a ࢼ
a)
Solución 9HULÀFDUHPRVORVWUHVSXQWRVGHFRQWLQXLGDG a) i. &ODUDPHQWHf(-4)QRHVWiGHÀQLGRFRQORFXDOGHVGHDTXtVHDÀUPDTXHfQRHV FRQWLQXDHQHOSXQWRa ࢼ/DJUiÀFDSUHVHQWDUiXQ´DJXMHURµFRQDEVFLVDx ࢼ b) i. g(-4)HVWiGHÀQLGDSRUODVHJXQGDSDUWHGHHVWDIXQFLyQGDGDDWUR]RV ii. H[LVWHSXHV
iii.
3RGHPRVFRQFOXLUTXHODIXQFLyQ gHVFRQWLQXDHQHOSXQWRa ࢼ/DJUi ÀFDHVWiGDGDHQODÀJXUDVLJXLHQWH y 2.5 2 1.5 1 0.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-1 -2 -3
g(x)
-4 -5 -6 -7
x2 2x 8 x 4 x4 x 4 6
FIGURA 2.16 7UD]RGHODIXQFLyQ g x
2
2.5
3
3.5
4.5
x
69
Cálculo Diferencial
70
1RWDUiV OD VLPLOLWXG HQWUH OD IXQFLyQ fx \ gx ¢(Q TXp UDGLFD VX PD\RU GLIHUHQFLD"(QTXHHQgVHDxDGLyXQDUHVWULFFLyQgx ࢼ6 si x = ࢼ FRQODFXDOHO ´DJXMHURµTXHGHMDEDODIXQFLyQfVH´WDSyµUHVXOWDQGRGHHVWHPRGRTXHODJUiÀFD GHgVHDFRQWLQXD\VHDFRQWLQXDHQHOSXQWRa ࢼ$HVWHWLSRGHVLWXDFLRQHVVH OHGHQRPLQDdiscontinuidad evitableSRUTXHDOUHGHÀQLUODIXQFLyQFRQVLGHUDGDHV SRVLEOHKDFHUODFRQWLQXDHQHOSXQWRVROLFLWDGR(QFDVRGHQRVHUSRVLEOHVHGHQR PLQDdiscontinuidad esencial Ejemplo 13 VHD FRQWLQXD HQ HO +DOODU ORV YDORU GH k SDUD TXH OD IXQFLyQ
SXQWRx Solución hx GHEHFXPSOLUORVWUHVFULWHULRVGHFRQWLQXLGDGHQHOSXQWRx GHPDQHUDTXH FRQVLGHUHPRVXQRSRUXQR i. h HVWiGHÀQLGR existe \ H[LVWHQ (QWRQFHV VH GHEH VDWLVIDFHU LL o que:
k k k
3RUORWDQWRFXDQGRk ORVOtPLWHVODWHUDOHVH[LVWHQ\VRQLJXDOHVSRUOR TXH H[LVWH o
iii. &ODUDPHQWHDOWRPDUk VHWLHQHTXH
(QWRQFHVWRPDQGRk ODIXQFLyQhVHKDFHFRQWLQXDHQHOSXQWRx (VLPSRUWDQWHFRPSUHQGHUHOVLJQLÀFDGRGHORTXHDFDEDPRVGHKDFHUSRU HOORVXJLHURTXHPHGLWHVVREUHHOVLJQLÀFDGRGHORTXHORJUDHOYDORU k FRQDPEDV SDUWHVGHHVWDIXQFLyQGDGDDWUR]RV &RQVLGHUHPRVDKRUDWHRUHPDVGHDFXHUGRFRQODFRQWLQXLGDGHQXQSXQWR
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social Teorema 2.166Lf\gVRQIXQFLRQHVFRQWLQXDVHQHOSXQWRaHQWRQFHV VHFXPSOHTXHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVVRQFRQWLQXDVHQaIJIࢼJIJ\IJ (VWD~OWLPDVLgD Teorema 2.177RGDIXQFLyQSROLQyPLFDHVFRQWLQXDHQWRGRVORVUHDOHV GRPLQLR
Teorema 2.187RGDIXQFLyQUDFLRQDOHVFRQWLQXDHQWRGRYDORUGHVX
Teorema 2.196LnHVXQHQWHURSRVLWLYR\VL
HQWRQFHV
I. 6LnHVLPSDUHQWRQFHVfHVFRQWLQXDHQWRGRVORVUHDOHV II. 6LnHVSDUHQWRQFHVfHVFRQWLQXDHQWRGRYDORUSRVLWLYR 3RGHPRVGHPRVWUDUTXH Demostración del teorema 2.16 &RQVLGHUDUpODSDUWH,\,,GHXQDVRODYH]
i.
H[LVWHSXHVfa \ga H[LVWHQ
H[LVWHSXHVWRTXH \ ii. H[LVWHQ iii.
&RQHVWRVHSUXHEDTXHf + g\IࢼJVRQFRQWLQXDVHQHOSXQWRaଶ
$FWLYLGDG 'HPXHVWUDODVSDUWHV\GHOWHRUHPDDQWHULRU\HQSOHQDULDGLVFXWDQVXVUHVXOWDGRV Demostración del teorema 2.17 &RQVLGHUDODIXQFLyQ GRQGHnHVXQHQWHURSR VLWLYR$GHPiVFDGDWpUPLQR GRQGHi ¬ n GHOSROLQRPLRHVFRQWLQXDHQHO SXQWRa, HVGHFLUVL HQWRQFHV i.
H[LVWH
H[LVWH\ ii. o iii.
'HPDQHUDTXHDOVHUFRQWLQXDFDGDWpUPLQR HQHOSXQWRa\DSOLFDQGR HOWHRUHPDVHFRQFOX\HTXH i.
H[LVWH
H[LVWH\ ii. o iii.
'HPDQHUDTXHHOSROLQRPLRHVFRQWLQXRHQHOSXQWRDଶ
71
Cálculo Diferencial
$FWLYLGDG (QSDUHMDVGHPXHVWUDHOWHRUHPD
72
Ejemplo 14 ,GHQWLÀFDORVYDORUHVHQGRQGHFDGDIXQFLyQGDGDHVFRQWLQXD a) c)
6ROXFLyQ b)
a) $SOLFDQGRHOWHRUHPDQRWDPRVTXHHVFRQWLQXDHQWRGRVORVUHDOHVRVHD b) &RQHOQXPHUDGRUQRKD\SUREOHPDSXHVHVSROLQRPLQDO2EVHUYDUHPRVHOGHQR PLQDGRUGHHVWDIXQFLyQ\REWHQGUHPRVVXGRPLQLR3ULPHURQRWHPRVHQGyQGH VH DQXOD HV GHFLU SDUD TXp YDORUHV GH x GDQ FHUR R VHD x HQWRQFHV x 4 $Vt TXH ORV YDORUHV \ ࢼ KDFHQ FHUR HO GHQRPLQDGRU SRU OR TXH HO GRPLQLRGHODIXQFLyQHV 3RUORTXHVHFRQFOX\HTXHODIXQFLyQgHV FRQWLQXDHQWRGRVORVUHDOHVDH[FHSFLyQGHORVSXQWRV\ࢼ c) (VQRWDEOHTXHWDQWRxFRPRx3VRQFRQWLQXDVHQWRGRQ~PHURSRUHOWHRUHPD (QGRQGHSXHGHQH[LVWLUSUREOHPDVHVHQHOSXQWRGHVHSDUDFLyQHVGHFLU HQࢼ'LVFXWDPRVFDGDSDVRGHHVHYDORU i. h HVWiGHÀQLGD ii. &RPR Repasa los métodos para hallar el dominio de funciones racionales y radicales.
\
VH WLHQH TXH
SRUORTXH QRH[LVWH
AOIDOODU,,VHFRQFOX\HTXHhQRHVFRQWLQXDHQࢼ\DVtSRUORFRQWUDULRHV FRQWLQXDHQ
&RQWLQXLGDGHQXQLQWHUYDOR (QRFDVLRQHVHVQHFHVDULRFRQRFHUHOFRPSRUWDPLHQWRGHODIXQFLyQQRVyORHQXQ SXQWRVLQRHQXQLQWHUYDORVHDDELHUWRFHUUDGRRVHPLDELHUWR3RUHOORVHGLVSRQHQ GHODVVLJXLHQWHVGHÀQLFLRQHV
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social 'HÀQLFLRQHV8QDIXQFLyQHVcontinua en un intervalo abiertoVL\ VyORVLORHVHQFDGDSXQWRGHOLQWHUYDORDELHUWR /DIXQFLyQf HVcontinua por la derechaGHOYDORUaVLFXPSOHODVWUHV FRQGLFLRQHVVLJXLHQWHV i.
HVWiGHÀQLGRRH[LVWH
HVWiGHÀQLGRRH[LVWH ii.
iii.
/DIXQFLyQf HV continua por la izquierdaGHOYDORUa,VLFXPSOHODVWUHV FRQGLFLRQHVVLJXLHQWHV i.
HVWiGHÀQLGRRH[LVWH
ii. HVWiGHÀQLGRRH[LVWH
iii.
8QDIXQFLyQHVcontinua en un intervalo cerrado [a, b]VL\VyORVLOR HVHQFDGDSXQWRGHOLQWHUYDORDELHUWRa, b \WDPELpQHVFRQWLQXDSRUODGHUHFKD GHa\FRQWLQXDSRUODL]TXLHUGDGHb
Ejemplo 15
'HWHUPLQDHQGyQGHHVFRQWLQXDODIXQFLyQ Solución
(OGRPLQLRHVWiGHÀQLGRSDUD x z 3 \ x HVGHFLUSDUD>ࢼ @$KRUD FODUDPHQWHi(x)HVFRQWLQXDHQORVLQWHUYDORVDELHUWRVࢼ \ YHDPRVHOFDVR GHORVODWHUDOHV
(VGHFLUODFRQWLQXLGDGHQORVH[WUHPRVVHGDSRUHVWDUD]yQVHFRQFOX\H TXHix HVFRQWLQXDHQHOLQWHUYDOR>ࢼ @ ([LVWHQPiVDSOLFDFLRQHVGHFRQWLQXLGDGSHURHQYLVWDGHOWLHPSRPDUFDGR HVGLItFLODQDOL]DUORV7HVXJHULPRVTXHLQYHVWLJXHVVREUHel teorema del valor intermedio y sobre el teorema del cero intermedio
73
Cálculo Diferencial
74
&RQWLQXLGDGGHIXQFLRQHV WULJRQRPpWULFDV (QWUDPRVDOD~OWLPDSDUWHGHFRQWLQXLGDGODGHODVIXQFLRQHVWULJRQRPpWULFDV6X SRQGUHPRV TXH \D KDV WHQLGR XQ HQFXHQWUR FRQ HVWDV IXQFLRQHV DVt FRPR GH ODV OH\HV\UHJODVTXHULJHQVXHVWXGLR(PSH]DPRVFRQXQWHRUHPDOODPDGRteorema de estricción,TXHVHUYLUiSDUDGHPRVWUDURWURVPiVDGHODQWHHQHVWDREUD Teorema 2.206LODVIXQFLRQHVf, g\hHVWiQGHÀQLGDVHQXQLQWHUYDOR DELHUWR GH a DGHPiV SDUD WRGR YDORU x GHO LQWHUYDOR DELHUWR GRQGH z \VLORVOtPLWHVVLJXLHQWHVH[LVWHQGHIRUPDTXH
HQWRQFHVHOVLJXLHQWHOtPLWHH[LVWH
1RFRQVLGHUDUpODGHPRVWUDFLyQGHHVWHWHRUHPD$VXYH]GDUpHQFDPELR XQDDSOLFDFLyQ Ejemplo 16
8VDHOWHRUHPDGHHVWULFFLyQSDUDGHPRVWUDUTXH <
Solución
+DOODUGRVIXQFLRQHVTXHDFRWHQSRUODL]TXLHUGD\GHUHFKDDODIXQFLyQ
\
FX\RVOtPLWHVH[LVWDQ\FRLQFLGDQGHEHVHU /DJUiÀFDGHVHQA HVWiDFRWDGDSRU GHPDQHUDTXHVL x z VHWHQGUiTXH d
d
0XOWLSOLFDQGRSRU_x_VHFRQYLHUWHHQ
3HURFRPR x SRUHOWHRUHPDGHHVWULFFLyQVHFRQFOX\HTXH x
x
<
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social Teorema 2.21 Teorema 2.23/DVIXQFLRQHVVHQR\FRVHQRVRQFRQWLQXDVHQWRGRVORV
Teorema 2.22 UHDOHV
75
Teorema 2.24/DVIXQFLRQHVWDQJHQWHFRWDQJHQWHVHFDQWH\FRVHFDQ WHVRQFRQWLQXDVHQVXVGRPLQLRV
/DGHPRVWUDFLyQGHOWHRUHPDVHVLJXHDOFRPSUREDUODIXQFLyQ DFRWDGDGHODIRUPD Ejemplo 17
&RPSUXHEDDQDOtWLFDPHQWHFDGDXQRGHORVVLJXLHQWHVOtPLWHV b) c) Solución a)
8VDUHPRVORVWHRUHPDVDQWHULRUHV\DOJXQRVWUXFRVWULJRQRPpWULFRVYHULItFDORV b) c)
a)
(VFLHUWRTXHDSULPHUDYLVWDQRVHQRWDODDSOLFDFLyQDODYLGDUHDOSHURVLQGXGDVX XVRVHLQFOX\HHQGLIHUHQWHVFLHQFLDVHFRQyPLFDV0DWHPiWLFDVH,QJHQLHUtD
Cálculo Diferencial
$FWLYLGDG 76
'HVDUUROODODDFWLYLGDGHQWHUFLDVGHPDQHUDTXHUHSUHVHQWHQHQXQDSUHVHQWDFLyQ JUiÀFDRLQIRUPiWLFDVXVUHVXOWDGRV 6HVDEHTXHHOFRVWRHQPLOHVGHSHVRVSDUDSRGHUHOLPLQDUxGHODFRQ WDPLQDFLyQ GHO DJXD HQ FLHUWR ODJR VH GD SRU OD IyUPXOD SDUD d x d &RQHVWRVGDWRV a) +DOODUHOFRVWRGHHOLPLQDUODPLWDGGHODFRQWDPLQDFLyQGHHVHODJR b) ¢4XpSRUFHQWDMHGHODFRQWDPLQDFLyQHVSRVLEOHHOLPLQDUFRQ" c) 5HSUHVHQWDHOYDORUGH o
StQWHVLV 'DGRVORVHOHPHQWRVGHHVWDVHVLyQSUDFWLFD\UHÁH[LRQDVREUHHVWRVFRQFHSWRV\ DSOLFDFLRQHV 1. (QFDGDLQFLVRGHWHUPLQDORVYDORUHVGRQGHODIXQFLyQHVFRQWLQXD a)
b) c)
d) e) f)
g)
h)
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social 2. (QFDGDLQFLVRKDOODUORVYDORUHVFRQVWDQWHVSDUDTXHODIXQFLyQVHDFRQWLQXDHQ WRGRVORVUHDOHV
77
a) b) c) 3. 3DUDFDGDXQDGHODVIXQFLRQHVGHWHUPLQD o
a) b) c) d) e)
f)
0LSUR\HFWRGHOEORTXH (VPRPHQWRGHWUDEDMDUHOSUR\HFWR7HSUHVHQWRXQDVLWXDFLyQTXHWHUHVXOWDUiGH D\XGD SDUD IRUPDU \ GHVDUUROODU ODV FRPSHWHQFLDV GHO EORTXH 7DPELpQ WH D\XGDUi FRQODLQWHUDFFLyQGHODV7,& Proyecto
$SOLFDFLyQGHORVOtPLWHV
Problema
'HPRVWUDUODIDOVHGDGGHODVHJXQGDSDUDGRMDGH=HQyQ $TXLOHV\ODWRUWXJD FRQOtPLWHV
Duración
8QDVHPDQD
Puntuación
SXQWRV
Cálculo Diferencial
Competencias
78
$UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWR GRVQXPpULFRVJUiÀFRVDQDOtWLFRVYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHO OHQJXDMHYHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGHODVWHFQRORJtDVGHOD LQIRUPDFLyQ\ODRPXQLFDFLyQ (QHOWUDQVFXUVRGHHVWHEORTXHVHSUHVHQWDODVHJXQGDSD UDGRMDGH=HQyQ(OSURSyVLWRHVTXHXVHVDUJXPHQWRVWDOHV FRPRORVWHRUHPDVGHOtPLWHVDGHPiVGHXQDLQYHVWLJDFLyQ QHFHVDULDSDUDGHPRVWUDUDQDOtWLFDPHQWHTXHODSDUDGRMDGH =HQyQHVWRWDOPHQWHIDOVD
Actividades
/OHYDDFDERHVWHSUR\HFWRHQHTXLSRVGHVLJQDGRVSRUWX GRFHQWHGHPDQHUDTXHSXHGDQUHSRUWDUVXLQYHVWLJDFLyQGH IRUPDFODUD\VHQFLOOD 3UHVHQWHQVXWUDEDMRÀQDOHQSOHQDULD (QFDVRGHFRQVXOWDUIXHQWHVDMHQDVDODREUDHVQHFHVDULRGDU ODGLUHFFLyQRELEOLRJUDItD
Recursos
/LEURGHWH[WRSDSHOHUtDOLEURVGHFRQVXOWDHQODELEOLRWHFD LQWHUQHW
Normas
6HSUHVHQWDUiHQODIHFKDLQGLFDGDSRUWXGRFHQWHeOGHWHUPL QDUiODVFXHVWLRQHVQRSUHYLVWDVVHJ~QVXMXLFLR
RHDOLPHQWDFLyQ (VWLHPSRGHUHDOL]DUDOJXQDVDFWLYLGDGHVFRQORVWySLFRVYLVWRVDORODUJRGHOEORTXH 1. *UDÀFDFDGDXQDGHODVIXQFLRQHVHQHOSXQWROtPLWHSDUDGHWHUPLQDUHOYDORUGH VXOtPLWH a) x x x x x b) x x c) x x
x
2. 'HPXHVWUDORVVLJXLHQWHVOtPLWHVXVDQGRODGHÀQLFLyQpSVLORQGHOWD t t a) t b) s s
¢3RUTXpQRH[LVWHf "0HGLDQWHFiOFXORVGH XQDWDEODPXHVWUDTXH VtH[LVWH8VDORVWHRUHPDVSDUDGHPRVWUDUHOYDORU o H[LVWHQWHGHHVWHOtPLWH'LEXMDODJUiÀFDGHODIXQFLyQFHUFDGHOSXQWRa =
3. &RQVLGHUDODIXQFLyQ
4. 6LPHVHOSHVRGHXQFXHUSRFXDQGRVHKDOODDXQDGLVWDQFLDxGHODVXSHUÀFLH WHUUHVWUHHQWRQFHV
GRQGHRHVHOUDGLRGHODWLHUUD\PHVHOSHVR
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social GHOFXHUSRDQLYHOGHOPDU&RQHVWRGHWHUPLQDHOVLJQLÀFDGRGH ¢4XpVLJ
QLÀFDGROHGDUiVDHVWHUHVXOWDGR"5HDOL]DXQERVTXHMRGHODVLWXDFLyQ\H[SOtFDOR DWXJUXSR 5. 8VDQGRODGHÀQLFLyQGHOtPLWHELODWHUDOKDOODUHOYDORUGHk\sSDUDTXH
\ H[LVWDQ o
6. 8QDIiEULFDHPSOHDXQWRWDOGHlOiPSDUDVFX\RSURPHGLRGHYLGDHVGHtKRUDV 6LpHVHOFRVWRHQSHVRVGHUHQRYDUODVOiPSDUDVwVRQORVZDWWVGHSRWHQFLDGH FDGDOiPSDUDeHVHOFRVWRHQSHVRVGHODHQHUJtDSRUFDGDZDWWV\kHVXQD FRQVWDQWHGHHÀFLHQFLDFRPHUFLDOHQWRQFHVHOFRVWRCWRWDOSRUKRUDGHOX]HVWi GDGDSRUODIyUPXOD
&RQEDVHHQHVWDIyUPXODGHWHUPLQDGHIRUPDDQDOtWLFD
7. (LQVWHLQHQVXWHRUtDGHODUHODWLYLGDGGLFHTXHQLQJXQDSDUWtFXODGHPDVDSRVLWL YDSXHGHYLDMDUDPD\RUYHORFLGDGTXHODOX]6LODPDVDGHXQDSDUWtFXODUHODWLYD DXQVLVWHPDGHUHIHUHQFLDHVm0cHVODYHORFLGDGGHODOX]vODYHORFLGDGGHOD PDVDHQWRQFHVODPDVDGHODSDUWtFXODHVWiGDGDSRU
([SOLFDSRUTXpORVVLJXLHQWHVOtPLWHVQRH[LVWHQ
8. 8QWXERGHDJXDSRWDEOHWLHQHXQÁXMRGHOtTXLGRGDGDSRUODIyUPXOD
'RQGHrHVHOUDGLRGHOWXERHQt VHJXQGRV'HPXHVWUDTXHrt HVFRQWLQXDHQ
79
Cálculo Diferencial
(YDOXDFLyQGHODFRPSHWHQFLD 5~EULFDGHOSUR\HFWR
80
Producto, logro o desempeño
&RQRFLPLHQWRV
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
,GHQWLÀFR WRGRVORV FRQFHSWRVGH OtPLWHHQOD SDUDGRMDGH =HQyQ
,GHQWLÀFROD PD\RUtDGH ORVFRQFHSWRV GHOtPLWHHQ ODSDUDGRMD GH=HQyQ
,GHQWLÀFR DOPHQRV XQRGHORV FRQFHSWRVGH OtPLWHHQOD SDUDGRMDGH =HQyQ
,GHQWLÀFR DOPHQRV XQRGHORV FRQFHSWRVGH OtPLWHHQOD SDUDGRMDGH =HQyQ
1RLGHQWLÀFR ORVFRQFHSWRV GHOtPLWHHQ ODSDUDGRMD GH=HQyQ
5HFRQR]FR WRGRVORV WHRUHPDV GHOtPLWHV XVDGRVHQOD GHPRVWUD FLyQ
5HFRQR]FR DOJXQRVGH ORVWHRUHPDV GHOtPLWHV XVDGRVHQOD GHPRVWUD FLyQ
'HWHUPLQR FRQHOXVR GHOtPLWHVOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD (PSOHRVLQ D\XGDORV WHRUHPDVGH OtPLWHVUHOD FLRQDGRVFRQ ODSDUDGRMD +DELOLGDGHV
(QFXHQWUR ODPDQHUD LQJHQLRVDGH GHPRVWUDUOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD 5HDOL]RXQD LQYHVWLJDFLyQ RSRUWXQD \GHWDOODGD UHVSHFWRDOD GHPRVWUDFLyQ GHODSDUD GRMD
'HWHUPLQR FRQHOXVR GHOtPLWHVOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD
5HFRQR]FRDO PHQRVXQR GHORVWHRUH PDVGHOtPL WHVXVDGRVHQ ODGHPRVWUD FLyQ 1RGHWHUPLQR FRQHOXVR GHOtPLWHVOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD
(PSOHRFRQ D\XGDORV WHRUHPDVGH OtPLWHVUHOD FLRQDGRVFRQ ODSDUDGRMD
(PSOHRYDJD PHQWH\FRQ D\XGDORV OtPLWHVUHOD FLRQDGRVFRQ ODSDUDGRMD
(QFXHQWUROD PDQHUDGH GHPRVWUDUOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD
(QFXHQWUROD PDQHUDGH RWURDXWRUGH GHPRVWUDUOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD
5HDOL]RXQD LQYHVWLJDFLyQ RSRUWXQD UHVSHFWRDOD GHPRVWUDFLyQ GHODSDUD GRMD
5HDOL]RXQD LQYHVWLJDFLyQ RSRUWXQD UHVSHFWRDOD GHPRVWUDFLyQ GHODSDUD GRMD
1RUHFRQR]FR ORVWHRUHPDV GHOtPLWHV XVDGRVHQOD GHPRVWUD FLyQ 1RGHWHUPLQR FRQHOXVR GHOtPLWHVOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD (PSOHRGLIt FLOPHQWHORV OtPLWHVUHOD FLRQDGRVFRQ ODSDUDGRMD (QFXHQWUROD PDQHUDGH RWURDXWRUGH GHPRVWUDUOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD 5HDOL]RXQD LQYHVWLJD FLyQSREUH UHVSHFWRDOD GHPRVWUDFLyQ GHODSDUD GRMD
1RUHFRQR]FR ORVWHRUHPDV GHOtPLWHV XVDGRVHQOD GHPRVWUD FLyQ
1RGHWHUPLQR FRQHOXVRGH OtPLWHVQLGH RWUDIRUPDOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD
1RSXHGR HPSOHDUORV WHRUHPDVGH ORVOtPLWHV UHODFLRQDGRV FRQODSDUD GRMD 1RSXHGR GHPRVWUDUOD IDOVHGDGGHOD SDUDGRMD 5HDOL]RXQD LQYHVWLJD FLyQSREUH UHVSHFWRDOD GHPRVWUDFLyQ GHODSDUD GRMD
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social 0DQWHQJR FRQWLQXDPHQ WHXQDDFWLWXG SRVLWLYDDQWH HOUHWRGHOD SDUDGRMD
$FWLWXGHV
3URPXHYR VLHPSUH HOWUDEDMR FRODERUDWLYR HQHOSUR \HFWRGDQGR DSRUWDFLRQHV DOLQYHVWLJDU HQGLIHUHQWHV IXHQWHVGH LQIRUPDFLyQ $SRUWRSXQ WRVGHYLVWD VLJQLÀFDWLYRV GXUDQWHHO SUR\HFWR\OD H[SRVLFLyQ
3XQWDMH
0DQWHQJR XQDDFWLWXG SRVLWLYDDQWH HOUHWRGHOD SDUDGRMD 3URPXHYR HOWUDEDMR FRODERUDWLYR HQHOSUR \HFWRGDQGR DSRUWDFLRQHV DOLQYHVWLJDU HQGLIHUHQWHV IXHQWHVGH LQIRUPDFLyQ $SRUWRSXQ WRVGHYLVWD GXUDQWHHO SUR\HFWR\OD H[SRVLFLyQ
0DQWHQJR XQDDFWLWXG SRVLWLYDDQWH HOUHWRGHOD SDUDGRMD 3URPXHYRHO WUDEDMRFROD ERUDWLYRHQHO SUR\HFWR
0DQWHQJR XQDDFWLWXG QHXWUDODQWH HOUHWRGHOD SDUDGRMD 3URPXHYRHO WUDEDMRFROD ERUDWLYRHQHO SUR\HFWR
$SRUWRSXQ WRVGHYLVWD GXUDQWHHO SUR\HFWR\OD H[SRVLFLyQ
$SRUWR SXQWRVGH YLVWDFRQ SRFRYDORU ~WLOGXUDQWHHO SUR\HFWR\OD H[SRVLFLyQ
9
6
0DQWHQJR XQDDFWLWXG QHJDWLYDDQWH HOUHWRGHOD SDUDGRMD 1RSURPXHYR HOWUDEDMR FRODERUDWLYR HQHOSUR \HFWRQLGR\ DSRUWDFLRQHV DOLQYHVWLJDU HQGLIHUHQWHV IXHQWHVGH LQIRUPDFLyQ
1RDSRUWR SXQWRVGH YLVWDGXUDQWH HOSUR\HFWR\ ODH[SRVLFLyQ
3
81
Cálculo Diferencial
5~EULFDGHOEORTXH 82
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5 Estratégico
'LVWLQJRFR UUHFWDPHQWHOD UHODFLyQJUiÀFD DOJHEUDLFD\ FRQFHSWXDOGH OtPLWHGHXQD IXQFLyQ 'HVFULERORV HOHPHQWRV\ ODGHÀQLFLyQ pSVLORQGHOWD GHXQOtPLWH
&RQRFLPLHQWRV
4 Autónomo
3 Básico
'LVWLQJR FRUUHFWDPHQ WHODUHOD FLyQJUiÀFD DOJHEUDLFD\ FRQFHSWXDO GHOtPLWHGH XQDIXQFLyQ
'LVWLQJR YDJDPHQWHOD UHODFLyQJUiÀ FDDOJHEUDLFD \FRQFHSWXDO GHOtPLWHGH XQDIXQFLyQ
'HVFULEROD PD\RUtDGH ORVHOHPHQWRV \ODGHÀQLFLyQ pSVLORQGHOWD GHXQOtPLWH
&RPSUHQGR HQEXHQD IRUPDORV &RPSUHQGRORV SURFHGLPLHQ SURFHGLPLHQWRV WRVQHFHVD QHFHVDULRVSDUD ULRVSDUDHO HOFiOFXORGHORV FiOFXORGH GLIHUHQWHVWLSRV ORVGLIHUHQ GHOtPLWHV WHVWLSRVGH OtPLWHV ,GHQWLÀFRGLIH UHQWHVDSOLFD FLRQHVRWRUJD GDVDORVOtPLWHV DGLYHUVDViUHDV GHHVWXGLRVR FLDO\FLHQWtÀFR 5HFRQR]FRORV HOHPHQWRVGH ODGHÀQLFLyQ GHFRQWLQXLGDG GHIXQFLRQHV DVtFRPROD UHODFLyQFRQORV OtPLWHV
,GHQWLÀFR DOJXQDV DSOLFDFLRQHV RWRUJDGDVD ORVOtPLWHVD GLYHUVDViUHDV GHHVWXGLR VRFLDO\FLHQ WtÀFR 5HFRQR]FR ORVHOHPHQ WRVGHOD GHÀQLFLyQGH FRQWLQXLGDG GHIXQFLRQHV DVtFRPROD UHODFLyQFRQ ORVOtPLWHV
'HVFULER XQRGHORV HOHPHQWRV\ ODGHÀQLFLyQ pSVLORQGHOWD GHXQOtPLWH &RPSUHQGR FRQGLÀFXOWDG ORVSURFHGL PLHQWRVQH FHVDULRVSDUD HOFiOFXORGH ORVGLIHUHQ WHVWLSRVGH OtPLWHV 1RLGHQ WLÀFRODV DSOLFDFLRQHV RWRUJDGDVD ORVOtPLWHVD GLYHUVDViUHDV GHHVWXGLR VRFLDO\FLHQ WtÀFR
5HFRQR]FR DOJXQRVGH ORVHOHPHQ WRVGHOD GHÀQLFLyQGH FRQWLQXLGDG GHIXQFLRQHV DVtFRPROD UHODFLyQFRQ ORVOtPLWHV
2 Inicial
'LVWLQJRLQFR UUHFWDPHQWHOD UHODFLyQJUiÀFD DOJHEUDLFD\FRQ FHSWXDOGHOtPLWH GHXQDIXQFLyQ 1RGHVFULERORV HOHPHQWRVSHUR VtODGHÀQLFLyQ pSVLORQGHOWDGHXQ OtPLWH 1RFRPSUHQGRORV SURFHGLPLHQWRV QHFHVDULRVSDUD HOFiOFXORGHORV GLIHUHQWHVWLSRVGH OtPLWHV 1RLGHQWLÀFRODV DSOLFDFLRQHVRWRU JDGDVDORVOtPLWHV DGLYHUVDViUHDV GHHVWXGLRVRFLDO\ FLHQWtÀFR
5HFRQR]FRDOJXQRV GHORVHOHPHQWRV GHODGHÀQLFLyQ GHFRQWLQXLGDG GHIXQFLRQHVDVt FRPRODUHODFLyQ FRQORVOtPLWHV
1 Pre-formal
1RGLVWLQJROD UHODFLyQJUiÀFD DOJHEUDLFD\FRQ FHSWXDOGHOtPLWHGH XQDIXQFLyQ 1RGHVFULERORV HOHPHQWRVQLOD GHÀQLFLyQpSVLORQ GHOWDGHXQOtPLWH 1RFRPSUHQGRORV SURFHGLPLHQWRV QHFHVDULRVSDUD HOFiOFXORGHORV GLIHUHQWHVWLSRVGH OtPLWHV 1RLGHQWLÀFRODV DSOLFDFLRQHVRWRU JDGDVDORVOtPLWHV DGLYHUVDViUHDV GHHVWXGLRVRFLDO\ FLHQWtÀFR 5HFRQR]FRXQR GHORVHOHPHQWRV GHODGHÀQLFLyQ GHFRQWLQXLGDGGH IXQFLRQHVDVtFRPR ODUHODFLyQFRQORV OtPLWHV
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social
(VWDEOH]FR ODUHODFLyQ ELODWHUDOHQWUH ORVFRQFHSWRV DOJHEUDLFR \JUiÀFRGH OtPLWH 0DQHMRH[FH OHQWHODGHÀQL FLyQpSVLORQ GHOWDGHOtPLWH SDUDGHPRVWUDU ORVYDORUHV GHOtPLWHVGH IXQFLRQHVDOJH EUDLFDV (PSOHRFR UUHFWDPHQWH ORVSURFHVRV \WHRUHPDV UHODFLRQDGRVD OtPLWHV +DELOLGDGHV 5HDOL]ROHFWXUDV GRQGHSXHGD H[WUDHUEXHQD LQIRUPDFLyQVR EUHODVGLYHUVDV DSOLFDFLRQHVGH ORVOtPLWHVGH IXQFLRQHV &ODVLÀFRODV IXQFLRQHV FRQWLQXDV\QR FRQWLQXDVGH DFXHUGRDOD GHÀQLFLyQGH FRQWLQXLGDG 'HWHUPLQRFRQ SRFRVFiOFXORV HOLQWHUYDOR HQGRQGH XQDIXQFLyQ HVFRQWLQXDR GLVFRQWLQXD
(VWDEOH]FR ODUHODFLyQ ELODWHUDOHQWUH ORVFRQFHSWRV DOJHEUDLFR \JUiÀFRGH OtPLWH 0DQHMROD GHÀQLFLyQ pSVLORQGHOWD GHOtPLWHSDUD GHPRVWUDU ORVYDORUHV GHOtPLWHV GHIXQFLRQHV DOJHEUDLFDV (PSOHRWRGRV ORVSURFHVRV \WHRUHPDV UHODFLRQDGRV DOtPLWHV 5HDOL]ROHF WXUDVGRQGH SXHGDH[WUDHU LQIRUPDFLyQ VREUHODV GLYHUVDVDSOL FDFLRQHVGH ORVOtPLWHVGH IXQFLRQHV &ODVLÀFRODV IXQFLRQHV FRQWLQXDV\ QRFRQWLQXDV GHDFXHUGRD ODGHÀQLFLyQ GHFRQWLQXL GDG
'HWHUPLQRHO LQWHUYDORHQ GRQGHXQD IXQFLyQHV FRQWLQXDR GLVFRQWLQXD
(VWDEOH]FROD UHODFLyQGH XQVHQWLGR HQWUHORV FRQFHSWRV DOJHEUDLFR \JUiÀFRGH OtPLWH 0DQHMROD GHÀQLFLyQ pSVLORQGHOWD GHOtPLWH (PSOHR DOJXQRVGH ORVSURFHVRV \WHRUHPDV UHODFLRQDGRV DOtPLWHV 5HDOL]ROHF WXUDVGRQGH SXHGDH[WUDHU DOJXQDLQIRU PDFLyQVREUH ODVGLYHUVDV DSOLFDFLRQHV GHORVOtPLWHV GHIXQFLRQHV
&ODVLÀFRFRQ D\XGDODV IXQFLRQHV FRQWLQXDV\ QRFRQWLQXDV GHDFXHUGRD ODGHÀQLFLyQ GHFRQWLQXL GDG 'HWHUPLQR SRFDVYHFHV HOLQWHUYDOR HQGRQGH XQDIXQFLyQ HVFRQWLQXDR GLVFRQWLQXD
(VWDEOH]FRODUHOD FLyQGHXQVHQWLGR HQWUHORVFRQFHS WRVDOJHEUDLFR\ JUiÀFRGHOtPLWH 0DQHMRFRQ SUREOHPDVOD GHÀQLFLyQpSVLORQ GHOWDGHOtPLWH SDUDGHPRVWUDUORV YDORUHVGHOtPLWHV GHIXQFLRQHVDOJH EUDLFDV (PSOHRFRQD\XGD DOJXQRVGHORV SURFHVRV\WHRUH PDVUHODFLRQDGRVD OtPLWHV 5HDOL]RDOJXQDV OHFWXUDVGRQGH SXHGDH[WUDHUSDU WHGHLQIRUPDFLyQ VREUHODVGLYHUVDV DSOLFDFLRQHVGHORV OtPLWHVGHIXQFLR QHV
&ODVLÀFRGLItFLOPHQ WHDXQFRQD\XGD ODVIXQFLRQHVFRQWL QXDV\QRFRQWL QXDVGHDFXHUGR DODGHÀQLFLyQGH FRQWLQXLGDG 'HWHUPLQRFRQ FLHUWRVHUURUHV\HQ RFDVLRQHVHOLQWHU YDORHQGRQGHXQD IXQFLyQHVFRQWL QXDRGLVFRQWLQXD
83 1RHVWDEOH]FRODUH ODFLyQHQWUHORVFRQ FHSWRVDOJHEUDLFR\ JUiÀFRGHOtPLWH 1RPDQHMR H[FHOHQWHPHQWHOD GHÀQLFLyQpSVLORQ GHOWDGHOtPLWH SDUDGHPRVWUDUORV YDORUHVGHOtPLWHV GHIXQFLRQHVDOJH EUDLFDV 1RHPSOHRORV SURFHVRV\WHRUH PDVUHODFLRQDGRVD OtPLWHVGHPDQHUD DSURSLDGD
1RUHDOL]ROHFWX UDVGRQGHSXHGD H[WUDHULQIRUPDFLyQ VREUHODVGLYHUVDV DSOLFDFLRQHVGHORV OtPLWHVGHIXQFLRQHV &ODVLÀFRODVIXQ FLRQHVFRQWLQXDV\ QRFRQWLQXDVSHUR QRGHDFXHUGRDOD GHÀQLFLyQGHFRQWL QXLGDG 1RGHWHUPLQRHO LQWHUYDORHQGRQGH XQDIXQFLyQHVFRQ WLQXDRGLVFRQWLQXD
Cálculo Diferencial
5HÁH[LR QRVREUHOD DSOLFDFLyQGH ORVOtPLWHVHQ GLYHUVDViUHDV GHODVFLHQFLDV DVtFRPRGH VXXWLOLGDGHQ HOODV
84
$FWLWXGHV
&RODERUR GHPDQHUD DFWLYDFRQPLV FRPSDxHURV \GRFHQWHHQ HOGHVDUUROOR GHWRGDVODV DFWLYLGDGHV SURSXHVWDV 7UDEDMRGHPD QHUDFRODERUD WLYDHQGLYHUVRV HTXLSRVGHWUD EDMRHQORVTXH PHHQFXHQWUH 5HVSHWR VLHPSUHODVRSL QLRQHVJHQH UDGDVSRUPLV FRPSDxHURVR GRFHQWHDQWH ODVVLWXDFLRQHV GHWUDEDMRTXH VXUMDQ
3XQWDMH
5HÁH[LRQR VREUHOD DSOLFDFLyQGH ORVOtPLWHVHQ DOJXQDViUHDV GHODVFLHQ FLDVDVtFRPR GHVXXWLOLGDG HQHOODV
5HÁH[LRQR VREUHOD DSOLFDFLyQ GHORVOtPLWHV HQDOJXQDV iUHDVGHODV FLHQFLDV
&RODERUR GHPDQHUD &RODERUR DFWLYDFRQPLV GHPDQHUD FRPSDxHURV DFWLYDFRQPLV \GRFHQWHHQ FRPSDxHURV\ HOGHVDUUROOR GRFHQWHHQHO GHDOJXQDVGH GHVDUUROORGH ODVDFWLYLGD ODPD\RUtDODV GHVSURSXHV DFWLYLGDGHV WDV SURSXHVWDV 7UDEDMRGH PDQHUD FRODERUDWLYD HQGLYHUVRV HTXLSRVGH WUDEDMRHQ ORVTXHPH HQFXHQWUH 5HVSHWR VLHPSUHODV RSLQLRQHV JHQHUDGDV SRUPLVFRP SDxHURVRGR FHQWHDQWHODV VLWXDFLRQHV GHWUDEDMR TXHVXUMDQ
7UDEDMRGH PDQHUD FRODERUDWLYD HQGLYHUVRV HTXLSRVGH WUDEDMRHQ ORVTXHPH HQFXHQWUH 5HVSHWR JHQHUDOPHQWH ODVRSLQLRQHV JHQHUDGDV SRUPLVFRP SDxHURVRGR FHQWHDQWHODV VLWXDFLRQHV GHWUDEDMR TXHVXUMDQ 9
5HÁH[LRQRVREUH ODDSOLFDFLyQGHORV OtPLWHVHQDOJX QDViUHDVGHODV FLHQFLDV &RODERURGH PDQHUDSDVLYDFRQ PLVFRPSDxHURV \GRFHQWHHQHO GHVDUUROORGHWRGDV ODVDFWLYLGDGHV SURSXHVWDV 7UDEDMRGHPDQHUD SRFRFRODERUD WLYDHQGLYHUVRV HTXLSRVGHWUDEDMR HQORVTXHPH HQFXHQWUH 5HVSHWRDYHFHVODV RSLQLRQHVJHQHUD GDVSRUPLVFRP SDxHURVRGRFHQWH DQWHODVVLWXDFLRQHV GHWUDEDMRTXH VXUMDQ
6
1RUHÁH[LRQRVREUH ODDSOLFDFLyQGHORV OtPLWHVHQGLYHU VDViUHDVGHODV FLHQFLDVDVtFRPR WDPSRFRGHVX XWLOLGDGHQHOODV &RODERURGH PDQHUDSDVLYDFRQ PLVFRPSDxHURV\ GRFHQWHHQHOGH VDUUROORGHDOJXQDV GHODVDFWLYLGDGHV SURSXHVWDV 7UDEDMRGHPDQHUD SRFRFRODERUDWLYD HQGLYHUVRVHTXLSRV GHWUDEDMRHQORV TXHPHHQFXHQWUH 5HVSHWRtQÀPD PHQWHODVRSLQLRQHV JHQHUDGDVSRU PLVFRPSDxHURVR GRFHQWHDQWHODVVL WXDFLRQHVGHWUDEDMR TXHVXUMDQ
3
Bloque II: Resuelves problemas de límites de carácter económico, administrativo, natural y social
1RWDV 85
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
Objetos de aprendizaje h Razón de cambio; la derivada como razón de cambio. h Fórmulas de derivación. Tangentes y normales. h Razones de cambio (tasas de variación) relacionadas; variación de un fenómeno. Desempeños del estudiante h Comprende la relación entre diferenciabilidad y continuidad. h Analiza y resuelve problemas matemáticos que modelan razones de cambio después de transcurrir un tiempo. h (PSOHD\FRPSUHQGHDQDOtWLFDPHQWH\JUiÀFDPHQWHDODGHULYDGDFRPRXQDUDzón de cambio. h Emplea la fórmula de derivación numérica para intuir y demostrar otras fórmulas de derivación directas tanto algebraicas como trascendentes. h Argumenta el uso de las derivadas implícitas. h 5HVXHOYHDQDOtWLFDPHQWH\JUiÀFDPHQWHGHULYDGDVSDUDUHVROYHUSUREOHPDVGHGLversa índole. h Compara los diferentes procesos algebraicos que determinan una razón de cambio, mediante el análisis de casos relacionados con la producción agrícola, velocidad instantánea y la producción industrial que existen en el entorno. Competencias disciplinares extendidas 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas y formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 4. $UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWRGRVQXPpULFRVJUiÀcos, analíticos variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. 8. ,QWHUSUHWDWDEODVJUiÀFDVPDSDVGLDJUDPDV\WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV \FLHQWtÀFRV Atributos de las competencias genéricas 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, PDWHPiWLFDVRJUiÀFDV 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.4. Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. 9.1. 3ULYLOHJLDHOGLiORJRFRPRPHFDQLVPRSDUDODVROXFLyQGHFRQÁLFWRV
Cálculo Diferencial
Dinamización y motivación 88
Llegamos al tercer paso de esta obra para comprender el Cálculo Diferencial. Ya se ha analizado la historicidad y precedentes del Cálculo, la representación y cálculo de límites, así como de continuidad de funciones. Por ahora nos centraremos en la vaULDFLyQGHIXQFLRQHVHVGHFLUREVHUYDUHPRVFyPRpVWDVFDPELDQFXDQGRPRGLÀFDQ la variable independiente. Esto debido a que el problema fundamental del Cálculo Diferencial es el de establecer cómo se obtiene y cómo es una medida. Para conectar este bloque con el anterior notaremos la relación entre continuidad y diferenciabilidad o derivación de funciones. Abordaremos los principios GHODVYDULDFLRQHVRUD]RQHVGHFDPELRDVtFRPRVXLQWHUSUHWDFLyQJUiÀFD\PDWHmática. Esto dará paso a la herramienta inapreciable del Cálculo de este bloque, la obtención de las reglas de derivación de funciones, así como una pequeña porción de su aplicación a diferentes facetas de estudio. Así que una vez sentadas las bases de lo que se estará comprendiendo en este bloque y de su relación con lo visto en el anterior, sólo me queda darte la exhortación de que continúes con el uso de las TIC ya que serán de mucha utilidad en tu proyecto.
Sesión 1: Razón de cambio; la derivada como razón de cambio Criterios: 'HÀQRHOWpUPLQRGHUD]yQGHFDPELRHQGLIHUHQWHVFRQWH[WRV Interpreto modelos matemáticos relacionados a las razones de cambio. 5HFRQR]FRODGHULYDGDGHIRUPDJUiÀFD Comparo la relación entre la continuidad de una función y su diferenciabilidad en un intervalo. 5HSUHVHQWRGHIRUPDJUiÀFDODGHULYDGDFRPRXQDUD]yQGHFDPELRWDVDGH variación) mediante el uso de las TIC. (PSOHRODGHÀQLFLyQGHODGHULYDGDHQGLYHUVDVVLWXDFLRQHVTXHHPSOHDQOD razón de cambio. Utilizo el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.
Contextualización La derivación. Este concepto es uno de las bases fundamentales del Cálculo Diferencial, puesto que, mediante ella es posible observar el comportamiento, respecto a una o más variables, de diversos fenómenos que tengan su modelo matemático. Es aquí donde empiezan a embonarse las piezas del rompecabezas que teníamos al inicio. Los conceptos de límites, los teoremas, la continuidad, las aplicaciones, etcétera, son las bases principales para entender el Cálculo. Newton y Leibniz usaron en parte estos conceptos, aunque viéndolos en sus muy diferentes contextos, para lograr la fusión de todos los estudios y problemas dados en la Antigüedad y así descubrir el Cálculo por sí mismos.
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos En nuestro caso iniciamos con la comprensión de razón de cambio vista desde diferentes ángulos, lo cual nos introducirá al concepto de límite de una función junto con su interpretación geométrica clásica.
Problematización
89
Considera la función f(x) = x2. Tomemos como un valor inicial de abscisa x=1, esto lógicamente nos dará el valor inicial de la ordenada y = f(1) =1. Si x aumenta hasta, digamos x = 3, con lo que y aumenta hasta 9. Se tienen las coordenadas siguientes (1,1) y (3,9). Entonces la diferencia entre la abscisa inicial \ÀQDOHVGHࢼ SRURWURODGRODGLIHUHQFLDHQWUHODVRUGHQDGDVHVGHࢼ En parejas consideren lo contrario, es decir, tomando como base la coordenada (1,1) y la misma función, respondan lo que ocurre a continuación: La diferencia entre las abscisas y ordenadas si se tienen los puntos: I. x = 0 II. x ࢼ Es de: ______________________________________ ¿Ocurre lo mismo con la función g(x) = x3? Expliquen sus respuestas y comparen con sus compañeros.
Formación, adquisición, construcción y desarrollo de competencias Has iniciado con un leve acercamiento al concepto de derivación o diferenciación. Vamos paso a paso. 'HÀQLFLyQUn incremento de una variable que pasa por un valor nuPpULFRDRWURHVODGLIHUHQFLDREWHQLGDDOUHVWDUHOYDORULQLFLDOGHOÀQDO Tomando como base el ejemplo introductorio de la Problematización notarás que el incremento puede ser positivo o negativo (en este último caso suele llamarse decremento), según aumente o disminuya el valor de la variable. El incremento respecto a la variable x se representará por 'x . El incremento respecto a la variable se representará por 'y . El incremento 'y de la variable dependiente y = f(x) se basa en el incremento 'x de la variable independiente. El incremento 'y siempre ha de consideUDUVHGHVGHHOYDORULQLFLDOGHÀQLGRSRUHOYDORULQLFLDOGHx, desde el cual se mide el incremento 'x .
La letra griega Δ (delta) representará los incrementos. Es decir
Δx se leerá “delta x”.
Cálculo Diferencial En el ejemplo introductorio se observará que respecto a la función f(x) = x2, si tomamos como valor inicial x HQWRQFHVÀMDPRVHOYDORULQLFLDOy, el cuál será y = f = 4. Por lo tanto, si consideramos ahora que el valor x aumenta a x = 4, entonces x , así y aumenta a y = f(4) 6REUHHOPLVPRHMHPSORVHDÀUPDTXH cuando x aumenta también lo hace y; cuando x decrece y también decrece, por lo que 'x y 'y tendrán el mismo signo.
90
5HSUHVHQWDPRVHVWHKHFKRPHGLDQWHODVLJXLHQWHÀJXUD
y
16 14 12
10 8 6
4
2
xr -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
4
5
6
7
8
9
10
-2
FIGURA 3.1 Representación de
3
'x y 'y respecto a la función y = x.
Es posible que cuando x aumente y decrezca o todo lo contrario. Por lo que 'x y 'y tendrán diferentes signos. ¿Por qué estos incrementos en las variables? ¿Por qué hemos de estudiar su comportamiento uno respecto al otro? Recordemos que el estudio del Cálculo es el de establecer con precisión la medida de una variación. De este modo notemos la relación entre la razón ' '
Tomando como base a la función anterior y como punto inicial x FRQOR que se tiene el punto inicial de y, el cual es 4, es decir, el valor coordenado inicial será &RQVLGHUHPRVODVLJXLHQWHWDEODGHYDORUHVGRQGHODLQWHQFLyQHVGLVFHUQLUTXp ' cuando nos acercamos más y más al valor de inicio, es decir, cuando pasa con ' x 0 .
11
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos Inicio de x
Fin de x
Δx
Inicio de y
Fin de y
Δy
Δy Δx
3
1
4
9
5
1.6666
4
6.25
2.25
4.5
4
4.84
0.84
4.2
0.1
4
4.41
0.41
4.1
0.01
4
4.0401
0.0401
4.01
' sea ' tan próxima al valor de 4 conforme el incremento x 0 , es decir, nos aproximamos
Esta tabla nos sugiere que es posible, al tomar x TXHODUD]yQ
a GHÀQLUTXHSDUDy = x2:
(QODÀJXUDVHREVHUYDTXH x x y que ,
de manera que si consideramos a modo general la función f(x) y al punto de inicio x obtenemos el siguiente límite
'HHVWHPRGRHVWDPRVGHÀQLHQGRODGHULYDGDGHODIXQFLyQf(x). Describámoslo formalmente: 'HÀQLFLyQLa derivada de una función f es aquella función tal que su valor en el número x del dominio de fHVWiGHÀQLGDSRU
Si existe el límite. ¿De qué forma representaremos la derivada de una función y = f(x)? Se han adoptado diferentes simbolismos para representar la derivada de una función, entre los más utilizados: Derivada de y=f(x)
y,
' , y como si fuesen frac' ciones; sino como operadores diferenciales que nos están indicando una razón de cambio de una variable dependiente (en este caso y) con respecto de otra variable independiente (en este caso x).
No han de interpretarse los símbolos
91
Cálculo Diferencial De esta manera, si se tratase de la función y = g(t), entonces la derivada respecto a la variable dependiente t será: , o . Ejemplo 1
92
(VWDEOHFHUDQDOtWLFDPHQWHFRQODGHÀQLFLyQGHOtPLWHTXHVLy = x, entonces do x HVLJXDOD(VGHFLUPRVWUDUTXHf’
cuan
Solución 6HWLHQHSRUODGHÀQLFLyQ\SRUWHRUHPDVGHOtPLWHVTXH Continuando con las operaciones:
Δx
El incremento es un símbolo que no debe interpretarse como,
( ) ( x ) de modo que
x = (VWR FRQFXHUGD FRQ HO UHVXOWDGR GDGR SRU DSUR[LPDFLyQ LQÀQLWHVLPDO WDO como lo realizan algunos personajes de la antigüedad.
Por último, sustituyendo el valor x HQODGHULYDGDVHWLHQHTXH
Δx = ( Δx ) . 2
2
Interpretación geométrica de la derivada Se ha establecido la derivada de una función como la razón de cambio; sin embargo, podemos analizar el comportamiento geométrico de la misma. Para ello apoyémoQRVHQODVLJXLHQWHÀJXUD y
2
xr -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1 -2
2
3
4
5
6
FIGURA 3.2 Representación geométrica de la derivada.
7
8
9
10
11
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos Se trata de una función general y = f(x) en donde el punto de inicio es x con su respectiva imagen f(x), formando así el punto P. Se traza el incremento 'x y su respectivo incremento 'y , formando el punto Q. Se puede trazar la línea secante que pase por P y Q, de manera que si deseáramos determinar su ecuación, primero tendrías que hallar el valor de su pendiente. Por Geometría Analítica la pendiente de esta recta secante será:
93
6HFDOFXODHQWRQFHVODHFXDFLyQGHHVWDVHFDQWH\VHWUD]DHQODÀJXUD Ahora, considera que el punto Q se va acercando hacia el valor de P, es decir que independientemente de la orientación en la que se encuentre (hacia la derecha o hacia la izquierda de P), el valor del incremento será cada vez más próximo a cero, es decir, x 0 , de manera que lo que se está determinando con el límite
Es la derivada de la función en el punto P con abscisa x. Al acercarnos por medio del punto Q hacia el punto P, la recta tangente va acercando su punto de contacto Q hacia P, es decir, deja de ser secante y se “convierte” en una tangente en el punto P. Así que resulta en lo siguiente: 'HÀQLFLyQ La derivada de la función f desde el punto de vista geométrico representa la pendiente de la recta tangente a f en el punto P(x,y), o sea
Se detalla algo necesario: Cuando se determina en la función f(x) su derivada f´(x) con la variable x se está determinando la ecuación que representa geométricamente la pendiente de la recta tangente en el punto P(x, f(x)); mientras que si se determina f´(a), donde a es un valor conocido, entonces encontramos el valor numérico de la pendiente de la recta tangente en el punto P(a, f(a)). Consideremos un ejemplo para aclararlo. Ejemplo 2 De acuerdo a la función f(x) = 3xࢼGHWHUPLQD a) la derivada f’. b) HOYDORUGHODSHQGLHQWHHQHOSXQWRࢼ Solución
a) Primero determinemos
SRUGHÀQLFLyQVHWHQGUi
Recuerda que la pendiente de una recta se GHÀQHWDPELpQFRPROD tangente del ángulo que forma con el eje X, es decir m = tan , donde
es el ángulo formado con el eje X y la recta.
Cálculo Diferencial
b) Vamos a sustituir el valor x HQODGHULYDGDHVGHFLUf´ࢼ ࢼ ࢼ
94
eVWHHVHOYDORUGHODSHQGLHQWHGHODUHFWDWDQJHQWHHQHOSXQWRࢼ Se recalca que el punto ha de estar sobre la curva aunque sólo se necesita conocer el valor de la abscisa.
Actividad 1 Determina la derivada f’(x) de cada una de las funciones y halla el valor de f´(a), para el valor de aGDGR5HSUHVHQWDPHGLDQWHXQDJUiÀFDORVLQFUHPHQWRVGHFDGDYDULDEOH 1. en a 2. en a ࢼ 3. 3 en a = 3 /DVYDULDFLRQHVRUD]RQHVGHFDPELRQRVLJQLÀFDQSXUDPHQWHWDQJHQWHV sino que poseen variadas interpretaciones ajenas a la Geometría, por ejemplo, se aplica en Ingeniería o Economía; como la derivada mide cualquier cambio con respecto al tiempo, puede aplicarse también en la Física; o como veremos, a la rapidez en que actúa cierto medicamento en un paciente, la velocidad de reacción de elementos químicos. Veamos una de estas aplicaciones de las razones de cambio. La velocidad media de un cuerpo puede describirse como:
Donde representan las diferencias de los incrementos de la distancia s en un tiempo t. Si deseáramos obtener la velocidad v en un instante t dado de un cuerpo que se mueve en una trayectoria s(t) dada, entonces se estará por determinar la velocidad instantánea. Esta velocidad se calculará por una derivada la cual queda HVSHFLÀFDGDSRU
FIGURA 3.3 Cuerpos en movimiento.
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos Esto concluye que velocidad instantánea v de un cuerpo que sigue una trayectoria se representa por la derivada de su desplazamiento s con respecto al tiempo t.
La velocidad instantánea puede ser positiva o negativa, dependiendo del sentido del movimiento del cuerpo; por su parte, la rapidez de un cuerpo en un tiempo arbitrario es el valor absoluto de la velocidad instantánea. Así que la rapidez indica solamente qué tan rápido se mueve el cuerpo y la velocidad instantánea indica, además, el sentido de su movimiento. Consideramos unos ejemplos más de la interpretación de la derivada. Ejemplo 3 Determina la velocidad instantánea de un cuerpo que cae del reposo en el instante t V¢&XiQWRWDUGDHQDOFDQ]DUXQDYHORFLGDGLQVWDQWiQHDGHPV" Solución Se conoce la fórmula de caída libre de un cuerpo cuando parte del reposo. Esta es , donde 9.8 m/s es la aceleración gravitacional y vf HVODYHORFLGDGÀQDO del cuerpo. Con ello determinamos:
Así que en el instante t ODYHORFLGDGVHUiv PV Respecto a la segunda parte, dado que se quiere que la velocidad instantánea anterior vVHDLJXDODPVGHODGHULYDGDVHWLHQHTXHv W \ despejamos la variable t, de manera que t V Por otro lado, en Economía, si se supone que C(x) representa el costo total para producir x unidades de cierto artículo, entonces en situaciones normales C(x) y x son positivos. De esta manera se utiliza al cociente: Considera el ejemplo a continuación: Ejemplo 4 Cierta empresa local sabe que al producir x kilogramos de jabón le produce un costo en pesos dado por C(x). &RQEDVHHQHVWHKHFKR¢FXiOVHUiHOVLJQLÀFDGRGHC’(x) y de C’ " Solución En este caso la variación es respecto al costo de producción de x kg de jabón. Esto se conoce en Economía como costo marginal (en caso de ser una utilidad se le denomina utilidad marginal). Por lo que C´(x) representa la razón de cambio instantánea
95
Cálculo Diferencial
96
del costo C(x) con respecto a la variable x, o sea, la cantidad de variación del costo de producción con respecto a la cantidad de kg de jabón elaborados. La unidad del costo marginal está en este caso dado en pesos por kg. Para la última parte, la expresión C´ LQGLFDTXHGHVSXpVGHHODERUDUNJGHMDEyQODYDULDFLyQSRU ODFXDODXPHQWDHOFRVWRGHSURGXFFLyQHVGHSHVRVSRUNJ La aplicación o, más bien, los contextos donde se puede emplear las razones de cambio son muchos, motivo por el cual nos detendremos por el momento. Es tiempo de llegar a la conexión entre derivación o diferenciación y continuidad de una función.
Relación entre diferenciabilidad y continuidad Se enunció el término diferenciación, pero no la acción que realiza. 'HÀQLFLyQ 'LIHUHQFLDU es el mecanismo para determinar la derivada de una función. Si una función tiene derivada en un punto x0, entonces se dice que es diferenciable en ese mismo punto. Es diferenciable en un intervalo abierto, si lo es en cada punto del intervalo. Si es diferenciable en todo su dominio se llama función diferenciable. La relación entre la diferenciación y la continuidad de una función queda establecida en el siguiente teorema con su respectiva demostración. Teorema 3.1 Si una función es diferenciable en un punto x0, entonces es continua en ese mismo punto. Demostración 9HULÀTXHPRVODVWUHVFRQGLFLRQHVGHODFRQWLQXLGDGGHXQDIXQFLyQf diferenciable en el punto x0. En primer lugar se sabe que existe , pues es diferenciable en ese punto, pero esto indica que el siguiente límite también existe.
Si se considera que x x x 0 se observa que:
Se concluye que al existir entonces: i.
existe, de lo contrario no existiría.
Continuando, nota que:
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos De donde, y desde aquí se obtiene que: i.
existe.
o
ii.
97
Así que f es continua en el punto x0. ଶ El recíproco de este teorema no es necesariamente cierto. Lo que sí es equivalente es que si una función no es continua en un punto, tampoco será diferenFLDEOHHQHVHPLVPRYDORU9HULÀTXpPRVORPHGLDQWHHMHPSORV Ejemplo 5 ¿Es continua la función
3
en cero? ¿Es diferenciable en ese mismo punto?
Solución Revisamos su continuidad i.
f 0 0 existe claramente.
existe y ii. iii.
Ahora, la diferenciabilidad en el punto 0, la estudiaremos mediante el siguiente límite:
Pero se nota en esta última parte que el límite
no existe, por lo cual x f tampoco existe, es decir, f(x) no es diferenciable en 0 aunque es continua en 0. x o
Ejemplo 6 ¿Es la función , continua y diferenciable en el valor cero? Marcador Solución
Se detalla que de manera que primero determinemos la
continuidad de la función: i. g H[LVWHSXHVHVWiGHÀQLGDSDUDHVHYDORU ii. existe, pues los límites laterales existen. o
iii.
Cálculo Diferencial De manera que g(x) es continua en cero. Para la diferenciabilidad en cero notamos que:
98
9HULÀFDQGRORVOtPLWHVODWHUDOHVREVHUYDPRV
x x x x x x
x x x x x x
x
x
x no existe y así g(x) no es diferenciable en cero. x Considerando estos ejemplos donde las funciones no son diferenciables en ciertos valores, es útil considerar las siguientes generalidades respecto a la derivación:
Por lo tanto x o
Si la función es discontinua en un punto x0, entonces no es diferenciable en ese punto. Si la función es continua en un punto x0, pero se tiene una tangente vertical en ese valor, entonces la función no es diferenciable en ese punto. Si la función es continua en un punto x0, pero no posee recta tangente en ese valor, entonces la función no es diferenciable en ese punto.
Síntesis Considero óptimo, a este paso, que con las competencias formadas y adquiridas, ODVGHVDUUROOHVWRPDQGRFRPREDVHORVVLJXLHQWHVHMHUFLFLRV8WLOL]DXQDJUDÀFDGRUD donde consideres necesario. 1. 0HGLDQWHHOXVRGHODGHÀQLFLyQGHGHULYDGDREWpQODGHULYDGD de cada función.
a) b)
c)
1
d) 1 2. Determina las pendientes de las tangentes a cada una de las curvas en el punto con abscisa señalado. a) , en x = 1 b) , en x
c)
, en t = 3
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos 3. Resuelve cada una de las siguientes situaciones aplicables a la derivada: a) Un cuerpo se mueve siguiendo una trayectoria de s metros respecto al tiempo t dado en segundos. Esta trayectoria está dada por s(t) t3 ࢼt+ 3t – . Determina su velocidad instantánea a los 3.9 seg. Representa la trayectoria mediante XQDJUiÀFD b) Cierta empresa obtiene U dólares cuando logra vender x cantidad de sus produc tos. Se sabe que . Halla la utilidad marginal cuando produce una FDQWLGDGGHDUWtFXORV
4. 7UD]DODVJUiÀFDVGHFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVHLQGLFDGyQGHVHUtDQ los puntos en donde no es diferenciable. Puedes usar zoom para observarlas meMRU,PSULPHWXVWUD]RV\MXVWLÀFDWXVUHVSXHVWDV a) b) c) d)
6HVLyQ)yUPXODVGHGHULYDFLyQ Tangentes y normales Criterios: Comprendo el origen de las diferentes fórmulas de derivación de acuerdo a ODGHÀQLFLyQGHODGHULYDGD Demuestro fórmulas de derivación usando el concepto de derivada por medio de un límite. Aplico el orden requerido para realizar la derivación de funciones, de manera que empleo las fórmulas de derivación de forma correcta. Empleo las fórmulas de derivación para hallar tangentes y otros problemas JUiÀFRVFLHQWtÀFRV\VRFLDOHV 0DQWHQJRXQDDFWLWXGSRVLWLYDIUHQWHDODVGLÀFXOWDGHVTXHVHSUHVHQWDQDO equipo o de forma individual. Soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de derivación de cualquier orden.
99
Cálculo Diferencial
Contextualización 100
Las operaciones de potenciación o radicación pueden considerarse como operadores de números reales, es decir, es un mecanismo que realiza una transformación al número real. Por ejemplo, si consideramos la potencia cuadrada y la raíz cúbica, formamos la siguiente tabla: Valor original
Operador
Valor obtenido
3
ମ3RWHQFLDମ
9
ମ3RWHQFLDମ
10
ମ5Dt]F~ELFDମ
ମ5Dt]F~ELFDମ
3
De modo similar se puede considerar a la diferenciación de una función f como un operador que nos dará su derivada f´, es decir: y=f(x)
Operador diferenciación d/dx
dy/dx, [df(x)]/dx y’, o f’
De este modo podemos observar este operador como un medio para obtener las derivadas de funciones. Esto es lo que estaremos realizando en esta sesión, obteniendo las derivadas de funciones bajo este operador, además de observar algunas de las primeras aplicaciones directas de la derivada.
Problematización Una vez que hemos aterrizado lo que obtendremos en esta sesión, es importante TXHUHÁH[LRQHPRVHQHOXVRGHODGLIHUHQFLDFLyQ3DUDHOORVHUiEHQHÀFLRVRTXHUHDlices junto con tus compañeros y docente la siguiente actividad. 'HPDQHUDJUXSDOUHDOLFHQXQDOOXYLDGHLGHDV\ÀQDOPHQWHXQFRQVHQVR sobre las siguientes situaciones: a) ¢&XiOVHUiODGHULYDGDGHFDGDXQDGHODVIXQFLRQHVVLVHUHDOL]DQSRUGHÀQLFLyQ" II.
I.
III. b) Si se tiene y = f(x), entonces su derivada será , ¿cómo se interpreta la siguiente relación ? (VFULEDQ DEDMR VXV UHÁH[LRQHV LQWXLFLRQHV \ GHGXFFLRQHV REWHQLGDV SDUD esta actividad:
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
Formación, adquisición, construcción y desarrollo de competencias Como observarás, el proceso de obtener la derivada de una función pudiera resultar WHGLRVRFXDQGRVHXVDODGHÀQLFLyQ\DTXHHOREMHWLYRFRQVLVWHEiVLFDPHQWHHQRUdenar el límite para conseguir cancelar el incremento 'x . Esta es una de las razones por la que a continuación se darán reglas de derivación que surgen con el uso de la GHÀQLFLyQGHGHULYDGD7HUHFRPLHQGRTXHREVHUYHVHOXVRGHODGHÀQLFLyQGHOtPLWH cuando se demuestren los teoremas respectivos. Utilizaremos la notación del opera dor para indicar la derivada respecto a la variable x.
Teoremas de derivación de funciones algebraicas Teorema 3.2 Si , donde c es contante, entonces:
0
Demostración 6HWLHQHGHODGHÀQLFLyQTXH ଶ Teorema 3.3 Si , entonces: 1
Teorema 3.4 Si es una constante y f es función de x, entonces:
Demostración de 3.4 ଶ
101
Cálculo Diferencial
entonces:
102
Teorema 3.5 Si f y g son funciones de x, y si
y existen,
Demostración Se tienen por la propiedad de los límites:
entonces:
ଶ
Teorema 3.6.Si } son funciones de x, y cada derivada existe,
entonces:
Teorema 3.7. Si f y g son funciones de x, y si
existen,
Demostración de 3.7. Se sabe que f y g son diferenciables, de manera que por el teorema 3.1 son continuas, por lo que SRUODSDUWH,,,GHODGHÀQLFLyQGHFRQWLQXLGDG
y &RQVLGHUDQGRHVWRREVHUYDHOPDQHMRDUWLÀFLRVRGHORVOtPLWHVVL
guientes:
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
ଶ
Teorema 3.8 Si f y g son funciones de x, z , entonces:
103
existen y
$FWLYLGDG En tercias demuestren el teorema 3.3 para n entero positivo (usa el teorema del bi nomio ) y el teorema 3.8; (usa la ley del sándwich y suma y resta el término f(x) g(x) en el numerador). Compartan con VXGRFHQWHVXVMXVWLÀFDFLRQHVHQFDGDSDVRTXHUHDOLFHQ Consideramos un ejemplo de cada uno de los teoremas. Ejemplo 7 Utiliza los teoremas de diferenciación para calcular las derivadas f´ siguientes: a) S 3 b) c)
d) e) f)
3 g)
Solución a)
SRU7
por T 3.3 b)
c)
por T 3.4
Cálculo Diferencial
SRU7 e)
d)
104
SRU7 f)
por T 3.8 g) Aquí estaremos derivando con el teorema 3.3, pero respecto a la variable t: 6HLGHQWLÀFDTXHHVWRVWHRUHPDVVHSXHGHQDSOLFDUDXQPLVPRHMHUFLFLRHV decir, podemos usar más de un teorema en un solo ejercicio. Si la función y = f(x) tiene derivada, la denotamos y la llamaremos la primera derivada de f. Es decir, es posible que exista más de una derivada en una misma función. Entonces, si la función obtenida f´ es diferenciable, podemos obtener la derivada de f´ que se llamará la segunda derivada de f. Ésta la denotaremos por f´´ (se lee f biprima). En caso de que f´´ sea diferenciable podemos calcular la tercera derivada de f, es decir f´´´. , la segunda A modo general la primera derivada la representamos por derivada por o por y la derivada n-ésima por ,
por o por . Estas derivadas se conocen como derivadas de orden superior. Apliquemos un ejemplo de esta aseveración. Ejemplo 8 Determina la cantidad de derivadas necesarias para que cada función sea igual a la constante cero. a) 4 b)
c) Solución , por lo y tanto en la tercera derivada se obtiene el resultado.
a) Notamos que ,
b)
, y , por lo tanto a partir de la quinta derivada se obtiene cero.
, ,
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos c) Para este caso no es necesario obtener todas las derivadas sucesivas para lograr el objetivo, basta observar que en los casos anteriores al tener grados de potencias enteras positivas n se requería hallar la derivada n + 1 para alcanzar la derivaGDFHURSRUHOORHQQXHVWURFDVRUHTXHULUHPRVUHDOL]DUODGHULYDGD o sea .
Teoremas de derivación de funciones trigonométricas Ya se han dado teoremas de continuidad de las funciones trigonométricas en sus respectivos dominios, ahora es tiempo de demostrar que también son diferenciables en sus dominios.
Teorema 3.9
Demostración Para
esta
demostración
usaremos
la
identidad
trigonométrica
DGHPiVGHORVWHRUHPDV\
ଶ
Teorema 3.10
Teorema 3.11
Demostración de 3.11 Ya se tienen los teoremas 3.9 y 3.10, por lo que podremos usarlos junto con el teorema 3.8 e identidades trigonométricas básicas:
ଶ
105
Cálculo Diferencial
Teorema 3.12
Teorema 3.13
106
Demostración de 3.13
Teorema 3.14.
ଶ
Actividad 3 En parejas demuestren los teoremas 3.10 (tip: usar la identidad:
<ORVWHRUHPDV\ XVDULGHQWLGDGHVWULJRQRPpWULFDV\WHRUHPDV\ 3.10) y 3.14. Señalen sus argumentos matemáticos para que el resto del grupo pueda coevaluar las demostraciones. Estas son las reglas de derivación más importantes de las funciones trigonométricas; sin embargo, te exhorto a que en una investigación más profunda puedas obtener las reglas o teoremas de derivación de las funciones trigonométricas inversas. Es oportuno dar ejemplos de aplicación de estos teoremas junto con los anteriores. Ejemplo 9 Derivar las siguientes funciones trigonométricas: a)
T T 1 c) 1 b) T
d)
Solución
a)
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos b) gT c) d)
T
T T T
T
T T
T
T
T T T T T T
Teorema de regla de la cadena Considera la composición de funciones dada por:
Se nota que tanto y como u son derivables, de manera que trataremos de derivar su composición señalada:
No parece tan complicado, pero si se te presentara una composición de y , donde , ni a
mí me complacería determinar y’ del modo anterior. De aquí la necesidad de nuestro próximo teorema.
Es posible llegar a la derivación de una función compuesta, de manera que se enuncia el siguiente teorema conocido como regla de la cadena. Omitiré su demostración pues nos basaremos primordialmente en su aplicación en la diferenciación de funciones.
Teorema 3.15 Si y=f(u) y
existe, y si u=g(x)y existe, entonces y
existe y está dada por: También se pueda dar a conocer la regla de la cadena como:
es una función de x y
Otra forma de ver la regla de la cadena es de la manera siguiente:
107
Cálculo Diferencial
108
Con esta nueva forma de derivación, tenemos a la mano una poderosa herramienta para poder derivar funciones compuestas que antes no sabíamos ni siquiera cómo empezar a derivar. Desenmascaremos su uso, en primer lugar, con las composiciones dadas anteriormente en el inicio de esta sección. Ejemplo 10 Usar la regla de la cadena para derivar las siguientes funciones compuestas: a) b)
Solución a) Tenemos y , entonces, aplicando la regla de la cadena:
Que es el mismo resultado hecho anteriormente. b) Aquí y , de modo que es sencillo derivar esta composición con la regla de la cadena: 2EVHUYDHVWRVHMHPSORVFRQXQJUDGRPD\RUGHGLÀFXOWDG
Ejemplo 11 Calcula con los teoremas, las derivadas respectivas. Aplicaremos los teoremas de forma directa. a)
hallar f´´
b) hallar f´´ c) hallar f´
d)
hallar f´
Solución a)
, entonces:
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos Ahora dispondremos de la segunda derivada:
b)
c) Equivale a , de donde:
d)
Aún nos falta ver algunos teoremas de derivación.
Teoremas de derivación de funciones exponenciales y logarítmicas
109
Cálculo Diferencial Considerando ahora la regla de la cadena, se pueden enunciar los siguientes teoremas respecto a las funciones exponenciales y logarítmicas. Teorema 3.16 Si y = au, donde u = f(x), es
110
Teorema 3.17 Si y = ex, donde u = f(x) entonces:
Teorema 3.18 Si y = logau, donde u = f(x) entonces:
Teorema 3.19 Si y = lnu, donde u = f(x) entonces: 1
Nuevamente, en vista del tiempo disponible para el curso, no ofreceré las demostraciones de estos teoremas; sin embargo, sí daré ejemplos de aplicación de ellos. Ejemplo 12 Determina las siguientes derivadas: a)
hallar f´
b) hallar f´
hallar f´ hallar f´ d)
c)
e) hallar f´
Solución a)
b) c) de donde:
Repasa las propiedades fundamentales de los logaritmos y exponentes.
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
opiedantales mos y
d)
e) ´
Derivadas implícitas Hasta el momento sólo hemos derivado funciones del tipo y = f(x), es decir, funciones en donde la variable dependiente está en términos de la variable independiente (función explícita), pero cómo atacaríamos el caso de las funciones del tipo: Donde se indica que ambas variables no están despejadas o resueltas. Esto quiere decir que la función queda de forma implícita. Por ejemplo, las funciones están de forma implícita. y El método a seguir es el siguiente: 1. Derivar con los teoremas vistos, término a término de la función considerando a y como función de x, de manera tal que cada vez que se derive la variable y, colocar el término
o y'
2. Por último, despejar
o y ' , según la notación usada.
Ejemplo 13 Derivar implícitamente las siguientes funciones: a) b)
Solución Usaré la notación y´. Calculamos la derivada miembro a miembro y término a término a)
111
Cálculo Diferencial
112
b)
También es posible obtener derivadas superiores con las funciones implícitas, consideremos un ejemplo sobre esto. Ejemplo 14 Calcular y’’ de la función Solución Ya se ha determinado la primera derivada, es decir, en el ejemplo anterior se determinó que:
Entonces calculemos la segunda derivada de forma implícita también:
Hasta este momento se tiene una expresión de la segunda derivada que aún contiene al término y´, por lo que se sustituirá ese valor conocido:
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
Actividad 4 Realiza una investigación en los medios que tu docente decida, para averiguar sobre cómo un software puede determinar las derivadas de funciones. Incluso hay algunos que pueden determinar la derivada implícita. Presenta reporte a tu docente y lleguen a un consenso grupal sobre el manejo de las TIC para el propósito perseguido en esta sección.
Ecuación de la recta tangente y normal Llegamos a la parte en la que se observará una aplicación más directa del cálculo, empezando con Geometría y después extendiéndose a diferentes y variadas ramas de estudio. Se señaló en la sesión 1 que la derivada en un punto de una curva representa geométricamente el valor de la pendiente en dicho punto. Con este hecho podemos calcular la ecuación de la recta tangente a curvas, así como también las ecuaciones de las rectas normales, en caso de que existan. La ecuación de una recta puede obtenerse mediante la relación
, donde m es la pendiente de la recta y el punto (x1, y1) es un punto
VREUHODJUiÀFDGHODIXQFLyQGDGD
Ya se ha determinado cómo obtener el valor de las pendientes de las rectas tangentes en puntos dados, sólo nos resta obtener así las ecuaciones de las pendientes y normales a las curvas solicitadas. Analiza con detenimiento cada ejemplo que propongo. Ejemplo 15 Obtén las ecuaciones tangente y normal a cada una de las curvas en sus respectivos valores dados. a) en x ࢼ5HSUHVHQWDJUiÀFDPHQWHWXVUHVXOWDGRV S b) en x = c) en el punto
Solución a) (OSXQWRHQFRQVLGHUDFLyQORREWHQHPRVDOVXVWLWXLUODDEVFLVDࢼFRQORFXDOOD RUGHQDGDVHUiHVGHFLUHOSXQWRGHFRQWDFWRHVࢼ /DGHULYDGDHV
Que al sustituir el valor de la abscisa nos dará el valor de la pendiente de la recta tangente.
La recta normal es perpendicular a la recta tangente en punto de contacto a una curva. Las pendientes perpendiculares cumplen que
113
mtan mnor = −1
Cálculo Diferencial 3RUORWDQWRODUHFWDGHODWDQJHQWHTXHGDUiGHÀQLGDSRU
114
Lo cual queda: (FXDFLyQGHODUHFWDWDQJHQWHHQࢼ .
Para la recta normal obtenemos que la pendiente perpendicular vale: , así que la ecuación de ésta será:
Que después de trabajar con ella queda de la siguiente forma: /DUHSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHWRGDVHVWDVDÀUPDFLRQHVHVWiHQODÀJXUD
(FXDFLyQGHODUHFWDQRUPDOHQࢼ y 8 7 6
mtan=15/4
5
y=x³-3x+1
4 3
Recta normal 4x+15y-207/8=0
2
(-3/2, 17/8) mnor=-4/15
1
x -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-1 -2
Recta tangente 15x-4y+31=0
-3 -4 -5
FIGURA 3.4 Tangente y normal de la curva HQHOSXQWRࢼ
b) Es importante recordar que estamos trabajando funciones trigonométricas, razón SRU OD FXDO PHQFLRQDPRV DKRUD ORV UDGLDQHV SXHGHV FRQÀJXUDUWX FDOFXODGRUD a modo RAD, para probar estas cantidades). Tendremos ´ , por lo que el
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos S S valor de la pendiente será: . S S El punto de contacto lo determinamos f , es decir, La pendiente de la recta normal es: Las ecuaciones respectivas quedan así después de usar la fórmula puntopendiente: S Ecuación de la recta tangente: S c) Para derivar esta función tiene que ser de forma implícita: Ecuación de la recta normal:
derivada:
Obteniendo la pendiente de la tangente al sustituir el punto en la
Por lo tanto la pendiente de la normal da como resultado: Las ecuaciones son:
Ecuación de la tangente en: : Ecuación de la normal en: :
$FWLYLGDG En parejas, investiguen el medio aritmético para determinar las soluciones a las si guientes cuestiones. Se tiene la función: . a) Hallen los valores de x en donde la pendiente de la tangente sea igual a cero. b) Determinen los valores de x en donde la pendiente de la tangente sea igual a uno. ,JXDODODGHULYDGDDYDORUHVHVSHFtÀFRV
115
Cálculo Diferencial
Otras aplicaciones directas 116
Apliquemos las reglas de derivación a problemáticas de diferentes ramas. En la sesión anterior se observó que la primera derivada puede asociarse a la velocidad instantánea de un cuerpo que tiene su movimiento con una ecuación. $KRUDHVSHFLÀFDPRVTXHODVHJXQGDGHULYDGDUHVSHFWRDODYHORFLGDGUHSUHVHQWDUi la aceleración instantánea de ese mismo cuerpo en determinado tiempo. De forma matemática: Si un cuerpo se mueve siguiendo una trayectoria s de acuerdo a una ecuación de la forma s = f(t), en donde t está en segundos, entonces la velocidad instantánea v y la aceleración instantánea quedan dadas por:
Apliquemos con ejemplos didácticos las aseveraciones: Ejemplo 16 Un cuerpo tiene un movimiento dado por la ecuación , donde s está en metros y t en segundos. Determina el tiempo en donde sean cero s, v y a. ¿Cuándo tendrá una velocidad de 3 m/s? Solución Hemos de igualar a cero cada una de esas funciones y despejaremos los valores de t TXHKDFHQSRVLEOHWDOHVDÀUPDFLRQHV De donde t
De donde t
Finalmente:
De lo cual t
1
Para responder a la interrogante proponemos igualar a 3 la velocidad obtenida mediante la primera derivada y despejamos de ahí el tiempo buscado: t t t
1
Es decir, al primer segundo el objeto tendrá una velocidad de 3 m/s.
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos Ejemplo 17 8QUHVRUWHKRUL]RQWDOVHHQFXHQWUDFRPRHQODÀJXUDVLJXLHQWH(VWDQGRHQUHSRVR VHOHDSOLFDXQDIXHU]DSRUODTXHVHHVWLUDKDFLDODGHUHFKDPGHVSXpVVHVXHOWD desde este estado en el tiempo t = 0 seg. La posición x de su extremo en el instante t queda dada por la relación . Determina la posición y velocidad en el tiempo
S .
Posición en equilibrio x 0
0.05
Posición al aplicar una fuerza externa
FIGURA 3.5 3RVLFLyQGHOUHVRUWHDQWHV\GHVSXpVGHVHUHVWLUDGRP
Solución La posición x se obtiene al sustituir en valor dado en la función: S S . La velocidad que adquiere la parte externa del resorte se obtiene la derivar y sustituir el tiempo dado:
S
S
Interpreta los signos de los resultados. Seguiremos considerando más ejemplos aplicativos de la derivada y la razón de cambio. Cabe señalar que no debes dejar de practicar la diferenciación de funciones que, aunque, repito, existen numerosos programas informáticos que realizan esta tarea, es útil que tengas este tipo de razonamiento sobre el uso de los teoremas, así como sus demostraciones y sus aplicaciones.
Síntesis 1. 8WLOL]DQGRORVWHRUHPDVYLVWRVVREUHGHULYDGDVDVtFRPRGHOXVRGHXQDJUDÀFDdora (cuando consideres necesario), determina las derivadas solicitadas. b) c) S
a)
117
Cálculo Diferencial
d)
118
1 1
e)
g) T h) T i)
f)
T T T T T k) T l) T T m) T n) o) 2. Determina con el uso de los teoremas de derivación las siguientes derivadas superiores. j)
b) c)
a)
T d) T T d2
e) d 2 (e sen(b )) f) 3. Halla las derivadas implícitas pedidas. a
a) Halla y´ puesto que b) Halla y´ e y´´ puesto que c) Halla y´ e y´´ puesto que 1 d) Halla y´ puesto que
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
4 4. Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada función en el punto RDEVFLVDGDGR7UD]DODUHSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHORVHOHPHQWRV
e) Halla y´ puesto que
a) en (4,–3) b) en x c)
1 en (1,–1)
5. En qué puntos coordenados de la curva tiene su tangente a) paralela a la recta x + 3y b) SHUSHQGLFXODUDODUHFWDxࢼy , en donde s está dada en metros y t en segundos. Encuentra el tiempo, distancia recorrida y velocidad cuando la aceleración instantánea del cuerpo es igual a cero.
6. Un cuerpo tiene un movimiento dado por la ecuación
, don de p está dada en dinas/cm y t en segundos. Esta relación de p da la diferencia entre la presión atmosférica y a presión del aire del tímpano del oído. Determina la variación de p respecto a tHQORVLQVWDQWHV\VHJ
7. Cierto sonido produce una onda dada por la ecuación
Sesión 3: Razones de cambio (tasas de variación) relacionadas; variación de un fenómeno Criterios: Describo las razones de cambio relacionadas aplicadas a situaciones hipotéticas o reales. Enuncio las variables que entran en juego, según sea el caso. Interpreto la razón de cambio relacionada mediante la aplicación de los procedimientos analíticos señalados. 3XHGRH[SUHVDUODVUHODFLRQHVGHYDULDFLyQGHPDQHUDJUiÀFD Propongo diferentes medios de solucionar una situación presentada al usar las razones de cambio relacionadas.
119
Cálculo Diferencial
Contextualización 120
Las situaciones donde se emplean las tasas de razón o variación relacionadas son las que involucran una o más variables en relación a otra. Generalmente esta otra variable es el tiempo. Para relacionar estas variables se emplea una ecuación dada mediante un modelo matemático, como los que estudiamos en el bloque uno. Para ampliar el horizonte de estas tasas de variación relacionadas, considera la siguiente situación dada en la problematización.
Problematización En estas razones de cambio se emplearán las fórmulas de derivación incluyendo la regla de la cadena y la derivación implícita. Recuerda que lo que se desea saber es qué tanto varía cierta cantidad respecto al tiempo. Tenemos un tanque de agua potable en forma de cono invertido, como el que VHPXHVWUDHQODÀJXUD
Vacío r
Cuando el agua sale del tanque en la parte inferior, tanto el volumen v, el radio r y la altura h de la cantidad de agua que resta dentro del tanque están relacionados respecto al tiempo t. La relación entre ellas es la ecuaAgua h S ción del volumen de agua restante: FIGURA 3.6 Tanque de agua en forma de cono invertido. Si derivamos implícitamente ambos miembros de esta relación respecto al tiempo, obtendremos lo siguiente: S S En esta última relación se tiene que la variación del volumen respecto al tiempo está relacionada a las variaciones de cambio de la altura y radio, es decir: es la variación a la cual cambia el volumen con respecto al tiempo. es la variación a la cual cambia el radio con respecto al tiempo. es la variación a la cual cambia la altura con respecto al tiempo. De este modo, sí se pueden tener razones de cambio positivas o negativas DVtTXHXQDUD]yQGHFDPELRSRVLWLYDVLJQLÀFDDXPHQWRRFUHFLPLHQWRPLHQWUDVTXH XQDUD]yQGHFDPELRQHJDWLYDVLJQLÀFDGLVPLQXFLyQRGHFUHFLPLHQWRGHODYDULDEOH respecto al tiempo.
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos Si, por ejemplo, se tiene que
entonces indica que el volumen 3 GHOOtTXLGRHVWiDXPHQWDQGRP cada segundo; mientras que si enWRQFHVLQGLFDTXHHOYROXPHQGHOOtTXLGRHVWiGLVPLQX\HQGRP3 cada segundo.
bloque.
Estás en tiempo de comenzar con el desarrollo de esta última sesión del
Formación, adquisición, construcción y desarrollo de competencias En esta sección plantearemos un procedimiento general de cómo obtener un modelo matemático (de ser necesario retómalo en el bloque uno), ya que también en el bloque cuatro nos hará falta esta destreza. Además requerimos una estrategia para determinar las razones de cambio de las variables que entran en juego respecto al tiempo. A continuación enlistamos un proceso general para lograrlo, cabe señalar que sólo es en general ya que cada situación de tasas de variación relacionadas es diferente. 1. Si es posible, trazar un diagrama que ilustre la situación planteada. 2. Representar con símbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar que varían respecto al tiempo t'HÀQLUSULPHURODYDULDEOHGHOWLHPSR y después las demás que dependan del tiempo. 3. Analizar el enunciado del problema y distinguir cuáles son las razones de cambio conocidas y cuál es la razón de cambio requerida. 4. Plantear una ecuación (modelo matemático) que relacione las variables cuyas razones de cambio estén dadas o han de determinarse. 5. Derivar implícitamente ambos miembros de la ecuación obtenida, con respecto al tiempo t, para obtener la ecuación de razones relacionadas. 6. Sustituir en la ecuación resultante del punto anterior, todos los valores conocidos de las variables y sus razones de cambio, para después despejar la razón de cambio requerida. Aquí se hacen las sustituciones de acuerdo con los datos de la situación. 3DUDYHULÀFDUHOXVRFRUUHFWRGHHVWRVSDVRVJHQHUDOHVDOPRPHQWRGHVRlucionar problemáticas que involucren tasas de variaciones relacionadas; te proponemos que analices junto con tus compañeros y docente estos tres ejemplos didácticos. Sólo en el primero de ellos te señalaré el uso de cada uno de los seis pasos señalados anteriormente. Ejemplo 18 8QWLQDFRHQIRUPDGHFRQRLQYHUWLGRWLHQHPGHUDGLR\PGHSURIXQGLGDG El agua entra al tinaco en la parte superior a una razón de 3 m3/min. Determina la razón de cambio de la altura del agua (qué tan rápido sube el nivel de agua) cuando ODDOWXUDOOHQDHVGHP
121
Cálculo Diferencial Solución Vamos paso a paso para no perdernos en el proceso de resolución de este problema.
122
1. La situación se puede representar de la forma siguiente:
1.5
r
3.5 h
FIGURA 3.7 Representación de la situación del tinaco cónico.
2. 'HÀQLPRVODVYDULDEOHVHQEDVHDODGHOWLHPSRt. Así que: t la cantidad de minutos que transcurren desde que el agua empezó a entrar al tinaco. h la cantidad de metros de altura del agua en el tinaco al pasar t minutos.
r ODFDQWLGDGGHPHWURVGHOUDGLRGHODVXSHUÀFLHGHDJXDDORVt minutos. V el volumen en m3 del agua en el tanque al pasar t minutos.
3. Se da como dato la rapidez con la que aumenta el volumen del agua respecto al tiempo, es decir (1) Se desea conocer la rapidez con la que sube el nivel del agua respecto al cuando h RGHRWUDIRUPD WLHPSRFXDQGRODDOWXUDHVGHPHVGHFLU
4. El modelo que relaciona las variables V, r y h es simplemente la del volumen ya que esta relación es la misma para cualquier tiempo t, S dado que es conocida así que Sin embargo, necesitamos despejar HQODUHODFLyQ KDGHFRQWHQHUVyORDODVYDULDEOHVV y h. Este modelo lo podemos construir mediante una sustitución de otra relación que involucre r y h. Esta se obtiene del teorema de Tales para la semejanza de triángulos:
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
TXHVXVWLWX\pQGRODHQ WHQHPRVODUHODFLyQGHOPRGH lo que involucra solo a V y h, como queríamos:
De donde
S S (3) 5. Lo siguiente es derivar implícitamente respecto a t la relación (3)
S
S (4)
6. Finalmente, como deseamos hallar la razón de la profundidad respecto al tiempo 3 , entonces sustituimos estos valores en el instante en que h GDGRTXH . en la relación (4) para despejar S S
S S
Esto señala que la razón de cambio de la altura del agua aumenta a una tasa PPLQFXDQGRHODJXDKDDOFDQ]DGRXQDSURIXQGLGDGGHP de S
Ejemplo 19 8QDELFLFOHWD%VHDOHMDGHXQHGLÀFLRGHPHWURVGHDOWXUDDXQDYHORFLGDGGH PV&LHUWDSHUVRQD$HQHOWHFKRGHHGLÀFLRODREVHUYDDOHMDUVH¢$TXpYHORFLGDG varía el ángulo de depresión del observador en la azotea hacia la bicicleta, cuando pVWDVHKDOODDPGHODEDVHGHOHGLÀFLR"
123
Cálculo Diferencial Solución 5HSUHVHQWDUHPRVODVLWXDFLyQFRQODVLJXLHQWHÀJXUD
124
A
20
B C
X
FIGURA 3.8 Representación de la situación del ciclista y el observador.
Consideremos como: t la cantidad de segundos que transcurren desde que el observador ve al FLFOLVWDDOHMDUVHGHODEDVHGHOHGLÀFLR
x la distancia recorrida en metros por el ciclista al pasar t segundos. T el valor en radianes del ángulo de depresión a los t segundos.
. Necesitamos determinar la variación del iQJXORUHVSHFWRDOWLHPSRFXDQGRHOFLFOLVWDDORVPGHODEDVHGHOHGLÀFLRHV T decir, 6HREVHUYDTXHHQHVWDÀJXUDKD\XQWULiQJXORUHFWiQJXOR\TXHHOiQJXOR de depresión es igual al de elevación, razón por la cual la relación entre las variables es la función trigonométrica tangente
La rapidez dada es
T
En este caso se relacionan directamente las variables x y T , de manera que no hay problema para determinar otra relación. Así que solo necesitamos derivar implícitamente T T T T T
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
De esta última relación sustituimos el valor de T T
Para acabar calculamos
T
, de donde
125
al considerar que si x
triángulo rectángulo se obtiene que T
T
HQWRQFHVGHO
y así:
Esto señala que la razón de cambio del ángulo de depresión del observa cuando el dor disminuye (pues es un valor negativo) a una velocidad de FLFOLVWDKDDOFDQ]DGRXQDGLVWDQFLDGHPGHODEDVHGHOHGLÀFLR Consideremos un último ejemplo. Ejemplo 20 Un controlador de vuelo localiza a dos aviones a la misma altitud. El avión A vuela KDFLDHOHVWHDXQDYHORFLGDGGHNPK\HODYLyQ%YLDMDKDFLDHOVXUDXQDYHORFLGDGGHNPKGHPDQHUDTXHVXVWUD\HFWRULDVFRLQFLGHQHQXQPLVPRSXQWR& ¢$TXpUD]yQFDPELDODGLVWDQFLDHQWUHORVDYLRQHVFXDQGR$\%HVWiQD\ km del punto de coincidencia, respectivamente? Solución La representación será como esta: A
Y
Z
A
X
C
FIGURA 3.9 Representación de la situación de los dos aviones.
Cálculo Diferencial Considera las variables de esta forma: t el número de horas transcurridas desde que los aviones se acercan hacia el punto de coincidencia C.
126
x es la distancia en hrs recorrida en km del avión B en el tiempo t. y es la distancia en hrs recorrida en km del avión A en el tiempo t.
z es la distancia en km existente entre A y B tras pasar t horas. Los datos siguientes son negativos ya que se están acercando al punto de coincidencia (o disminuye la distancia entre ellos y el punto de coincidencia): , .
Deseamos encontrar la variación de la distancia entre los dos aviones cuan do x = 100 y y HVGHFLU . La relación entre las variables es el teorema de Pitágoras , que derivándola implícitamente se tiene que
De manera que:
Calculando el valor de z cuando x = 100 y y GHOWHRUHPDGH3LWiJRUDV nos da: z
Ahora sustituimos los valores conocidos
\ z
, en esta última relación:
, ,x = 100, y
Por lo tanto, la distancia entre los dos aviones disminuye a razón de
$FWLYLGDG Propón cinco situaciones de la vida real en donde entren en juego tasas de variación relacionadas. Discutan con el resto del grupo si verdaderamente se tratan de tasas de variación relacionadas respecto al tiempo. En plenaria, comenta tu investigación y anota a continuación las cinco situaciones más interesantes:
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
127
Síntesis 5HVXHOYHFDGDXQDGHODVVLWXDFLRQHVVLJXLHQWHVGHPDQHUDTXHLGHQWLÀTXHVORV pasos para obtener la razón de cambio solicitada. 1. Al tirar una piedrita sobre un lago en reposo se observa que se producen ondas circulares concéntricas. El radio de la onda exterior crece a un ritmo constante de 1 m/s. ¿A qué razón está creciendo el área de la onda cuando su radio es de 4 m? 2. 8QDHVFDOHUDGHPGHORQJLWXGVHDSR\DVREUHXQPXURYHUWLFDO(VWDHVFDOHUD VHHVWiGHVOL]DQGRVREUHHOSLVRKRUL]RQWDODUD]yQGHPV¢$TXpYHORFLGDGVH desliza la parte superior de la escalera en el instante en que la base se encuentra DPGHODEDVHGHOPXUR" 3. 8QDSHORWDHVIpULFDHVOOHQDGDGHDLUHDUD]yQGHSXO3/min. Determina la razón de cambio del radio de esta pelota cuando éste es de 3 pul. 4. Un contenedor de harina en forma de cono tiene su base en el piso. Se sabe también que su altura mide lo mismo que su radio y que desde su vértice se le sumiQLVWUDODKDULQDODFXDOHQWUDDXQULWPRGHSXO3/s. ¿Cuál es la razón de cambio de la altura del volumen de harina cuando se ha llenado hasta 10 pies? 5. 8QJORERDHURVWiWLFRHVWiDXQDDOWLWXGGHSLHV\YXHODDSLHVVKDFLDHO (VWH8QREVHUYDGRUHQHOVXHORLGHQWLÀFDDOJORER¢$TXpUD]yQHVWiFDPELDQGR la distancia entre el globo y el observador cuando la distancia entre ellos es de 1 000 pies? 6. En el ejercicio anterior, ¿qué tan rápido gira el ángulo de elevación del globo FXDQGRpVWHVHKDOODDXQDGLVWDQFLDKRUL]RQWDOGHOREVHUYDGRUGHSLHV" 7. 8QDOiPSDUDHVWiDPGHDOWXUDVREUHHOSLVRKRUL]RQWDO\XQKRPEUHGHP se está alejando de ella a velocidad de 1 m/s. ¿Qué tan rápido crece su sombra sobre el piso?
Mi proyecto del bloque Es momento de trabajar el proyecto. Te presentamos una situación que te resultará de ayuda para formar y desarrollar las competencias del presente bloque. También te ayudará con la interacción de las TIC.
Cálculo Diferencial
128
Proyecto
Cálculo de tangentes y normales
Problema
Dada una ecuación y un punto de ella, determinar la ecuación de su tangente y/o recta normal
Duración
Dos semanas
Puntuación
Competencias
SXQWRV Argumenta la solución obtenida de un problema con métoGRV QXPpULFRV JUiÀFRV DQDOtWLFRV YDULDFLRQDOHV PHGLDQWH HO lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Utiliza las tecnologías de la información y la comunicación para procesar e interpretar información. En este proyecto utilizarás un software que te proporcionará tu docente, de manera que, mediante el uso de tal herramienta, puedas representar las tangentes y normales de una curva en un punto dado de ella.
Actividades
Escojan el software que será usado por cada uno de los equipos, organizados por tu docente. Él determinará sus rectas tangentes y normales. 7HQJDQSUHVHQWHHOXVRHÀFLHQWHGHOsoftware. Cada una de las rectas ha de trazarse junto con su tangente \QRUPDOFRORFDUOHUyWXORVSDUDFDGDHOHPHQWRGHODJUiÀFD impriman o presentan en diapositivas tal trazo y expongan cómo entra en juego la razón de cambio.
Recursos
Normas
Libro de texto, papelería, libros de consulta en la biblioteca, fuentes de información electrónica, software, cañón e impresora Se presentará en la fecha indicada por tu docente. Él determinará las cuestiones no previstas según su juicio. Todos en el equipo participarán y presentarán el proyecto del modo que su docente señale.
Realimentación &RQVLGHUDLPSRUWDQWHVORVVLJXLHQWHVJUXSRVGHHMHUFLFLRVGRQGHUHÁH[LRQDUiVVREUH los contenidos antes vistos. I. +DOODODVGHULYDGDVVLJXLHQWHVSRUPHGLRGHODGHÀQLFLyQGHGHULYDGD S b)
a)
S
c)
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos II. Resuelve cada una de las siguientes situaciones aplicables a la derivada: 1. Si un objeto cae del reposo mediante la relación s(t) = 16t2, donde s está en pies y t en segundos, entonces determina: a) /DGLVWDQFLDUHFRUULGDHQWUH\VHJXQGRV b) La velocidad media en el intervalo d t d c) /DYHORFLGDGLQVWDQWiQHDHQHOVHJXQGR 2. Un biólogo analiza el crecimiento de un cultivo de bacterias que posee una masa total en gramos C en el tiempo en horas t dada por Con esto calcula: a) (OFUHFLPLHQWRGHODVEDFWHULDVHQHOSHUtRGRFRPSUHQGLGRHQWUH\KUV b) La razón de crecimiento instantáneo en el tiempo t III. Si h es una función continua en el punto x0 y gVHGHÀQHFRPRg(x) = ([ࢼD) h(x), entonces calcula g´(x0).
, donde h´(a) existe. Demuestra que IV. 6HGHÀQHODIXQFLyQ s es continua en a. V. Demuestra analíticamente que las ecuaciones de las rectas tangentes en el origen
de las curvas y son perpendiculares. VI. Para la elipse , demuestra que las ecuaciones de sus rectas tangentes de pendiente m están dadas por . VII. Para medir el porcentaje de oxigeno de un estanque, los biólogos utilizan la , donde t es el tiempo en semanas desde que se arroja relación deshecho en el estanque. Con estos datos ayuda a determinar a los biólogos la variación de la función o con respecto a t, cuando ha pasado medio mes. VIII. Una partícula se mueve a lo largo de una recta con la ecuación indicada, donde s está en metros desde el origen a los t segundos. Halla el tiempo en que su aceleración instantánea es cero y en ese instante determina también la distancia dirigida obtenida por el cuerpo desde el origen y la velocidad instantánea. a)
b)
IX. La fuerza electromotriz en un circuito eléctrico está dada por S , donde E está en volts y t en segundos. Hallar la variación de E respecto a t en los segundos 0.003 y 0.3. X. 6HHVWiLQÁDQGRXQJORERGHIRUPDHVIpULFDGHPDQHUDTXHVXYROXPHQVHLQFUH-
129
Cálculo Diferencial PHQWDDUD]yQGHSLHV3/min. Hallar la tasa en la que el radio aumenta cuando su GLiPHWURHVGHSLHV
130
XI. Cierta mujer camina horizontalmente hacia un muro vertical de manera que proyecta su sobra sobre este muro ya que detrás de ella se localiza una lámpara soEUHHOSLVRTXHVHKDOODDPGHOPXUR6LODPXMHUPLGHPGHDOWXUD\FDPLQD hacia el muro a una razón de 1 m/s, ¿qué tan rápido disminuye la sombra de la PXMHUFXDQGRpVWDVHHQFXHQWUDDPGHOPXUR" XII.Un tanque de gasolina tiene la forma de un cono invertido y se vacía a una razón GHP3PLQ/DDOWXUDGHHVWHWDQTXHHVGHP\VXUDGLRHVGHP+DOODU qué tan rápido disminuye el nivel de la gasolina contenida cuando ésta tiene una profundidad de 8 m.
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
Evaluación de la competencia Producto, logro o desempeño
Conocimientos
131
Nivel de logro o desempeño 5 Estratégico
4 Autónomo
,GHQWLÀFR muchas de las características del software.
,GHQWLÀFROD mayoría de las características del software.
Reconozco todos los elementos asociados a las tangentes y normales.
Reconozco varios de los elementos asociados a las tangentes y normales.
Visualizo en ODJUiÀFD todos los elementos de razón de cambio.
Visualizo en ODJUiÀFDOD mayoría de los elementos de razón de cambio.
3 Básico
2 Inicial
1 Pre-formal
,GHQWLÀFR pocas de las características del software.
1RLGHQWLÀFR muchas de las características del software.
Reconozco sólo los elementos importantes asociados a las tangentes y normales.
Reconozco uno o dos de los elementos asociados a las tangentes y normales.
No reconozco los elementos asociados a las tangentes y normales.
Visualizo en ODJUiÀFDDOgunos de los elementos de razón de cambio.
Visualizo en ODJUiÀFDDOgunos de los elementos de razón de cambio.
No visualizo HQODJUi¿FD los elementos de razón de cambio.
1RLGHQWLÀFR muchas de las características del software.
Cálculo Diferencial
Utilizo correctamente el software dando un trazo de la función.
132
Habilidades
Resalto todas las ecuaciones \JUiÀFDVGH las tangentes y normales de cada función. Expongo claramente el contenido de la presentación o impresiones de las JUiÀFDVGH manera que responda las dudas surgidas.
Utilizo el software dando un trazo de la función.
Resalto algunas de las ecuaciones \JUiÀFDVGH las tangentes y normales de cada función. Expongo claramente el contenido de la presentación o impresiones de las JUiÀFDVGH manera que responda a casi todas las dudas surgidas.
Utilizo parcialmente el software dando un trazo de la función.
Resalto algunas de las ecuaciones \JUiÀFDVGH las tangentes y normales de cada función. Expongo el contenido de la presentación o impresiones de las JUiÀFDV
Utilizo parcialmente el software dando un trazo de la función. No resalto las ecuaciones ni gráÀFDVGHODV tangentes ni normales de cada función. Expongo difícilmente el contenido de la presentación o impresiones de las JUiÀFDV
Utilizo con problemas el software dando un trazo de la función. No resalto las ecuaciones ni gráÀFDVGHODV tangentes ni normales de cada función. No expongo el contenido de la presentación o impresiones de las JUiÀFDV
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos Presento una actitud laboriosa y de equipo durante todo tiempo que llevo el proyecto.
Actitudes
Puntaje
Presento una actitud laboriosa y de equipo durante la mayoría del tiempo que llevo el proyecto.
Presento una actitud laboriosa y de equipo durante la mayoría del tiempo que llevo el proyecto.
Mantengo una actitud comprometida en el equipo de manera que aporte información importante para el cometido.
Mantengo una actitud comprometida en el equipo de manera que aporte información básica para el cometido.
Mantengo una actitud comprometida en el equipo de manera que aporte algún tipo de información necesaria para el cometido.
15
12
9
Presento una actitud laboriosa y de equipo solo algunas veces durante el proyecto.
No presento una actitud laboriosa y de equipo durante el tiempo que llevo el proyecto.
Mantengo una actitud comprometida en el equipo.
No mantengo una actitud comprometida en el equipo ni aporto información necesaria para el cometido.
6
3
133
Cálculo Diferencial
Rúbrica del bloque 134 Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
'HÀQRHOWpUPLQRGH razón de cambio en diferentes contextos. Interpreto modelos matemáticos relacionados a las razones de cambio. Reconozco la derivaGDGHIRUPDJUiÀFD Conocimientos Comprendo el origen de las diferentes fórmulas de derivación con base en la GHÀQLFLyQ Describo las razones de cambio relacionadas aplicadas a situaciones hipotéticas o reales.
'HÀQRHQEXHQD parte el término de razón de cambio en diferentes contextos. Interpreto algunos modelos matemáticos relacionados a las razones de cambio.
'HÀQRYDJDmente el término de razón de cambio en diferentes contextos. Interpreto algunos modelos matemáticos relacionados a las razones de cambio.
Reconozco la derivada de forma JUiÀFD
Reconozco la derivada de IRUPDJUiÀFD
Comprendo el origen de las diferentes fórmulas de derivación con EDVHHQODGHÀQLción.
Comprendo el origen de las fórmulas básicas de derivación con base en la GHÀQLFLyQ
Describo las razones de cambio relacionadas.
Describo las razones de cambio relacionadas.
'HÀQR vagamente el término de razón de cambio en diferentes contextos. Interpreto sólo un modelo matemático relacionado a las razones de cambio. No reconozco la derivada de forma JUiÀFD Comprendo el origen de las una fórmula de derivación con base en ODGHÀQLFLyQ Describo una o dos razones de cambio relacionadas.
1RGHÀQRHOWpUPLQR de razón de cambio en ningún contexto. No interpreto modelos matemáticos relacionados a las razones de cambio. No reconozco la deriYDGDGHIRUPDJUiÀFD No comprendo el origen de las diferentes fórmulas de derivación FRQEDVHHQODGHÀQLción. No describo las razones de cambio relacionadas aplicadas a situaciones hipotéticas o reales.
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos Comparo correctamente la relación entre la continuidad de una función y su diferencia en un intervalo. Represento de forma JUiÀFDODGHULYDGD como una razón de cambio (tasa de variación) mediante el uso de las TIC. (PSOHRODGHÀQLFLyQ de la derivada en diversas situaciones que emplean la razón de cambio.
Habilidades
Demuestro fórmulas de derivación por medio de un límite. Aplico el orden requerido para realizar la derivación de funciones, de manera que empleo las fórmulas de derivación correctamente. Empleo las fórmulas de derivación para hallar tangentes y otros problemas JUiÀFRVFLHQWtÀFRV y sociales de forma correcta. Puedo expresar las relaciones de variación de manera JUiÀFD\GR\GHWDlles de ello.
Comparo parcialmente la relación entre la continuidad de una función y su diferenciabilidad en un intervalo. Represento de IRUPDJUiÀFDOD derivada como una razón de cambio (tasa de variación). (PSOHRODGHÀQLción de la derivada en diversas situaciones que emplean la razón de cambio. Demuestro fórmulas de derivación usando por medio de un límite. Aplico el orden requerido para realizar la derivación de funciones, de manera que empleo las fórmulas de derivación correctamente. Empleo las fórmulas de derivación para hallar tangentes y otros SUREOHPDVJUiÀFRVFLHQWtÀFRV\ sociales. Puedo expresar las relaciones de variación de manera JUiÀFD
Comparo parcialmente la relación entre la continuidad de una función y su diferenciabilidad en un intervalo. Represento de IRUPDJUiÀFDOD derivada como una razón de cambio (tasa de variación). (PSOHRODGHÀnición de la derivada en algunas situaciones que emplean la razón de cambio. Demuestro algunas fórmulas de por medio de un límite.
Aplico el orden requerido para realizar la derivación de funciones. Empleo las fórmulas de derivación para hallar tangentes, u otros problePDVJUiÀFRV FLHQWtÀFRVR sociales. Puedo expresar las relaciones de variación de PDQHUDJUiÀFD
Comparo, con algunos errores, la relación entre la continuidad de una función y su diferenciabilidad en un intervalo. No represento de forma JUiÀFDODGHrivada como una razón de cambio (tasa de variación) por ningún medio. Empleo la GHÀQLFLyQGH la derivada en una o dos situaciones que emplean la razón de cambio. No demuestro ninguna fórmula de derivación. Aplico el orden requerido para realizar la derivación de funciones. Empleo las fórmulas de derivación para hallar tangentes. Puedo expresar algunas de las relaciones de variación de manera JUiÀFD
135
No comparo la relación entre la continuidad de una función y su diferenciabilidad en un intervalo. No represento de IRUPDJUiÀFDODGHULvada como una razón de cambio (tasa de variación) por ningún medio. 1RHPSOHRODGHÀQLción de la derivada en ninguna situación que emplee la razón de cambio. No demuestro ninguna fórmula de derivación. No aplico el orden requerido para realizar la derivación de funciones, de manera que tampoco empleo las fórmulas de derivación de forma correcta. Empleo las fórmulas de derivación para hallar tangentes, con ayuda. No puedo expresar las relaciones de variación GHPDQHUDJUiÀFD
Cálculo Diferencial
136
Utilizo de forma continua el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas.
Actitudes
Mantengo una actitud positiva frente DODVGLÀFXOWDGHV que se presentan al equipo o de forma individual. Soy perseverante al momento de emplear las fórmulas de derivación de cualquier orden. Propongo diferentes formas de dar solución a un problema.
Puntaje
15
Utilizo el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas. Mantengo una actitud neutral frente DODVGLÀFXOWDGHV que se presentan al equipo o de forma individual.
Empleo las fórmulas de derivación de cualquier orden. Propongo medios para poder solucionar un problema.
12
Utilizo pocas veces el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas. Mantengo una actitud neutral frente a las GLÀFXOWDGHVTXH se presentan al equipo o de forma individual.
Empleo las fórmulas de derivación de cualquier orden. Propongo algunos datos para solucionar un problema.
9
Utilizo pocas veces el diálogo entre mis compañeros y docente para resolver situaciones presentadas. Mantengo una actitud poco participativa frente DODVGLÀFXOtades que se presentan al equipo o de forma individual.
Empleo con GLÀFXOWDGODV fórmulas de derivación de cualquier orden.
No utilizo el diálogo entre mis compañeros y docente. Mantengo una actitud negativa frente a las GLÀFXOWDGHVTXHVH presentan al equipo o de forma individual. Empleo una o dos de las fórmulas de derivación de cualquier orden.
No propongo ningún medio para poder solucionar un problema.
No propongo medios para solucionar un problema. 6
3
Bloque III: Calculas, interpretas y analizas razones de cambio en fenómenos naturales, sociales, económicos y administrativos
NOTAS 137
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Objetos de aprendizaje h Valores máximos y mínimos de funciones. h Criterios para cálculo de máximos y mínimos. h Aplicaciones de máximos y mínimos. Desempeños del estudiante h &RPSUHQGHHLQWHUSUHWDJUiÀFDVTXHFRQWLHQHQLQWHUYDORVFUHFLHQWHVGHFUHFLHQWHVDVtFRPRYDORUHVPi[LPRV\PtQLPRV h 0HGLDQWHORVPpWRGRVGHODSULPHUD\VHJXQGDGHULYDGDHVWDEOHFHHQXQDIXQFLyQORVLQWHUYDORVGHFUHFLPLHQWRGHFUHFLPLHQWRSXQWRVFUtWLFRVSXQWRVGHLQÁH[LyQFRQFDYLGDGPi[LPRV\PtQLPRVDVtFRPRODUHSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGH estos elementos con la ayuda de un softwareJUDÀFDGRU h (VWDEOHFHPRGHORVPDWHPiWLFRV\UHSUHVHQWDFLRQHVJUiÀFDVGHGLYHUVDVVLWXDFLRQHVKLSRWpWLFDVRUHDOHVSDUDFDOFXODUVXVPi[LPRV\PtQLPRV\DVtHPLWLUMXLFLRV de optimización. Competencias disciplinares extendidas 2. )RUPXOD\UHVXHOYHSUREOHPDVPDWHPiWLFRVDSOLFDQGRGLIHUHQWHVHQIRTXHV 4. $UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWRGRVQXPpULFRVJUiÀFRVDQDOtWLFRVYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHOOHQJXDMHYHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGH las tecnologías de la información y comunicación. 8. ,QWHUSUHWDWDEODVJUiÀFDVPDSDVGLDJUDPDV\WH[WRVFRQVtPERORVPDWHPiWLFRV \FLHQWtÀFRV Atributos de las competencias genéricas 4.1. ([SUHVDLGHDV\FRQFHSWRVPHGLDQWHUHSUHVHQWDFLRQHVOLQJtVWLFDV PDWHPiWLFDVRJUiÀFDV 4.3. ,GHQWLÀFDODVLGHDVFODYHHQXQWH[WRRGLVFXUVRRUDOHLQÀHUHFRQFOXVLRQHV a partir de ellas. 7.3. $UWLFXODVDEHUHVGHGLYHUVRVFDPSRV\HVWDEOHFHUHODFLRQHVHQWUHHOORV\VX YLGDVXFRWLGLDQD 8.2 $SRUWDSXQWRVGHYLVWDFRQDSHUWXUD\FRQVLGHUDORVGHRWUDVSHUVRQDVGHPDQHUD UHÁH[LYD
Cálculo Diferencial
DLQDPL]DFLyQ\PRWLYDFLyQ 140
(VWDPRVSRUGDUHO~OWLPRSDVRGHOHVWXGLRHQHVWHVHPHVWUHGHO&iOFXOR'LIHUHQFLDO DXQTXHUHFDOFRTXHVRQD~QPiVDEXQGDQWHVORVFRQRFLPLHQWRVWHRUHPDV\DSOLFDFLRQHVTXHFRPSUHQGHHO&iOFXORSHURGHELGRDOWLHPSRTXHGLVSRQHVHQHVWD8$& HVGLItFLODEDUFDUPiVGHORGHVHDGRHQHVWHHVWXGLR (Q HVWH SUHVHQWH EORTXH HVWXGLDUiV ORV FRQFHSWRV UHIHUHQWHV D IXQFLRQHV FUHFLHQWHV \ GHFUHFLHQWHV DVt FRPR GH Pi[LPRV \ PtQLPRV DSOLFDGRV D GLIHUHQWHV UDPDVGHODVFLHQFLDVHLQJHQLHUtDV3DUDORJUDUHVWR~OWLPRUHTXHULUHPRVGHDOJXQDV WpFQLFDVSDUDRSWLPL]DUIXQFLRQHVHVWRPHGLDQWHODGHULYDFLyQGHODVPLVPDV +HVHxDODGRGHVGHHOLQLFLRGHHVWDREUDTXHHV~WLOGLVSRQHUGHXQsoftwareJUDÀFDGRU(VSHURTXH\DWHQJDVODKDELOLGDGQHFHVDULDHQHOPDQHMRGHOJUDÀFDGRUHOHFWRSDUDORJUDUORVREMHWLYRVSODQWHDGRVHQORVEORTXHVDQWHULRUHV(VGH VXPDLPSRUWDQFLDREVHUYDUHOFRPSRUWDPLHQWRJUiÀFRGHORVHOHPHQWRVPDWHPiWLFRVDQDOL]DGRVDTXtFRQHOÀQGHFRPSUHQGHUPHMRUHOPDQHMRTXHVHUHDOL]DGH IRUPDDQDOtWLFDFRQHVWRVHQWHVPDWHPiWLFRVDEVWUDFWRV 0DQRVDODREUDSXHVHVWDPRVFHUFDGHODPHWDGHHVWHVHPHVWUH
Sesión 1: Valores máximos y mínimos de funciones Criterios: 'HVFULERJUiÀFDPHQWH\DQDOtWLFDPHQWHHOLQWHUYDORGRQGHXQDIXQFLyQHV FUHFLHQWHGHFUHFLHQWHDVtFRPRORVYDORUHVGHPi[LPRV\PtQLPRV 'HWHUPLQRORVLQWHUYDORVHQGRQGHXQDIXQFLyQHVFUHFLHQWHRGHFUHFLHQWH DVtFRPRODREWHQFLyQJUiÀFDGHXQPi[LPRRPtQLPRUHODWLYR 9DORUR HO XVR GH ODV UHSUHVHQWDFLRQHV JUiÀFDV SDUD GHWHUPLQDU ORV YDORUHV máximos y mínimos de funciones.
Contextualización $OJXQRVGHORVSUREOHPDVUHODFLRQDGRVDO&iOFXORVHIXVLRQDQFRQODGHWHUPLQDFLyQ GHYDORUHVySWLPRVQHFHVDULRVSDUDUHDOL]DUFLHUWRVSURFHVRV\DVHDQSXUDPHQWHPDWHPiWLFRVRGHDSOLFDFLyQ&RQHOÀQGHFRPSUHQGHUPiVFODUDPHQWHHOXVRGHORV PHFDQLVPRVSDUDGHWHUPLQDUODREWHQFLyQGHORVYDORUHVySWLPRVKHPRVGHREVHUYDUSULPHURHOFRPSRUWDPLHQWRJUiÀFRGHODVIXQFLRQHVTXHWLHQHQXQYDORUPi[LPR RPtQLPRDVtFRPRORVLQWHUYDORVHQGRQGHHVFUHFLHQWHRGHFUHFLHQWH Algunas de las situaciones de optimización las analizamos de forma puraPHQWHJUiÀFDHQODVHVLyQGHOEORTXH9DPRVDFRQVLGHUDUXQDVLWXDFLyQSDUDDWHUUL]DUODVSULPHUDVLGHDVGHHVWHEORTXH\FRQHFWDUODVFRQODVGHORVGHPiVEORTXHV
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
PUREOHPDWL]DFLyn /D&RPLVLyQ1DFLRQDOGHO$JXD&21$*8$ OOHYDUHJLVWURVH[DFWRVGHODVSUHFLSLWDFLRQHVSOXYLDOHVHQWRGRHOSDtVWRGRVORVGtDVGHWRGRVORVPHVHV3RUGHVWDFDUXQD LQIRUPDFLyQWUDVFHQGHQWDOVREUHORVHYHQWRVGLDULRVGHSUHFLSLWDFLyQVXSHULRUHVDORV PPGtDOD&21$*8$SURSRUFLRQDODVLJXLHQWHWDEODUHIHUHQWHDOPHVGHDEULOGH Estado
Lugar
Mm
141
Día
Chiapas
)LQFD+DPEXUJR
3XHEOD
Zacapoaxtla
100
Veracruz
Misantla
16
DF
Aculco
Hidalgo
Tulancingo
7DEDVFR
Oxolotán
60
5
Oaxaca
+XDMXDSDQGH/HyQ
58.8
15
/DVGHPiVSREODFLRQHVUHJLVWUDURQSUHFLSLWDFLRQHVPHQRUHVDORVPP GtD6LGLVSRQHPRVGHXQDJUiÀFDGHHVWRVGDWRVHQGRQGHHOGtDGHOPHVTXHGD UHSUHVHQWDGDSRUHOHMH;\DODFDQWLGDGGH 250 SUHFLSLWDFLyQHQPPHQHOHMH<HQWRQFHVWHQGUHPRV XQD JUiÀFD FRPR OD TXH PXHVWUD OD ÀJXUD Reúnete con un compañero para UHVSRQGHUODVVLJXLHQWHVSUHJXQWDVFRQEDVH HQODWDEODDQWHULRU 1. (Q HVWH SHULRGR GHO DxR PHV GH DEULO ¢HQTXpOXJDUVHREWXYRXQPtQLPR de precipitación? 2. 5HODFLRQDGRDOLQFLVRDQWHULRU¢HQTXpOXJDUVHREWXYRXQDSUHFLSLWDFLyQPi[LPD" 3. ¢(V SRVLEOH GHWHUPLQDU GH DOJXQD IRUPD cuál es máximo o mínimo de precipitación en el mes de marzo o mayo? 4. Proporcionen sus conclusiones de cada XQDGHORVLQFLVRVDQWHULRUHV'HQFRQMHWXUDVFODUDVUHVSHFWRDODSUHJXQWD
200
150
100
50
0 4
5
14
15
16
17
25
FIGURA 4.1 'DWRVGHODVSUHFLSLWDFLRQHVHQORVGtDVGHOPHVGHDEULOGH HQHOSDtV\TXHVXSHUDURQORVPPGtD
Cálculo Diferencial
FRUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\ desarrollo de las competencias 142
¢3RUTXpGHFLGLPRVSUHVHQWDUWHHVWHHMHPSORFRQUHVSHFWRDODJXD"SRGUtDVSUHJXQWDUWH3XHVODUD]yQHQVHQFLOODLQYROXFUDHOXVRGHODVIXQFLRQHV$OJXQDVIXQFLRQHV SRVHHQJUiÀFDVTXHHQXQLQWHUYDORVHPHMDQWHDOLQWHUYDORGHWLHPSRGHOPHVGH DEULO GHVXGRPLQLRHVSRVLEOHTXHWHQJDQXQYDORUPi[LPRFRPRHOFDVRGHOD SUHFLSLWDFLyQPi[LPDUHJLVWUDGDHQHOPHVGHDEULOGH \XQYDORUPtQLPR 3RU HVWR OD UHVSXHVWD D OD SUHJXQWD WUHV GHO FXHVWLRQDULR TXH DFDEDV GH FRQWHVWDUHVIXQGDPHQWDO¢VHUiSRVLEOHFRQRFHUHOFRPSRUWDPLHQWRGHRWURVYDORUHV Pi[LPRV\PtQLPRVGHSUHFLSLWDFLyQHQRWURVPHVHVRGHIRUPDVHPHMDQWHHQXQD IXQFLyQVHUiSRVLEOHFRQRFHURWURVYDORUHVFRQXQPi[LPRRPtQLPRHQRWURLQWHUYDORGHVXGRPLQLR"<VLHVSRVLEOH¢FyPRREWHQHUHOPD\RUGHHVRVYDORUHVPi[LPRV RHOPHQRUGHHVRVYDORUHVPtQLPRV"$TXtHQWUDQORVFRQRFLPLHQWRVSUHYLRVGHO&iOFXORSHURWRGDYtDQRVKDFHQIDOWDDOJXQRVHOHPHQWRVEiVLFRVSDUDWUDEDMDUHQIRUPD &RQ HVWH EUHYH HMHPSOR GH XQD JUiÀFD TXH WLHQH XQ Pi[LPR \ PtQLPR FRPHQ]DPRVFRQODVGHÀQLFLRQHVSHUWLQHQWHVDHVWRVFRQFHSWRV
AFWLYLGDG 2EWpQ GDWRV HQ GLIHUHQWHV IXHQWHV GH FRQVXOWD YHUtGLFDV SDUD UHSUHVHQWDUODVJUiÀFDPHQWH\MXQWRFRQWXVFRPSDxHURVGHVDOyQGHWHUPLQHQORVYDORUHVHQ GRQGHVHKDOODQODVFDQWLGDGHVPD\RUHV\PHQRUHV¢FXiOHVHOVLJQLÀFDGRUHDO"
Máximos y mínimos y
'HÀQLFLRQHV8QDIXQFLyQf tiene un YDORUPi[LPRUHODWLYRRPi[LPRORFDO HQHOYDORUcVLH[LVWHXQLQWHUYDOR DELHUWRTXHFRQWLHQHDcGRQGHf está GHÀQLGD\ SDUDWRGRYDORU xGHHVHLQWHUYDOR
Máximo relativo
Similarmente fWLHQHXQYDORU PtQLPR UHODWLYRR PtQLPR ORFDO HQ HO YDORU F VL H[LVWH XQ LQWHUYDOR DELHUWRTXHFRQWLHQHDcGRQGHIHVWi
c
x
c
GHÀQLGD\ SDUDWRGRYDORU xGHHVHLQWHUYDOR 6LXQDIXQFLyQWLHQHXQYDORU Pi[LPR R YDORU PtQLPR UHODWLYR en c HQWRQFHV VH GLFH TXH WLHQH XQ H[WUHPRUHODWLYRHQc.
Mínimo relativo
En una representación como la VLJXLHQWHVHREVHUYDXQDIXQFLyQFRQXQ PtQLPR \ XQ Pi[LPR UHODWLYRV UHVSHFWLFIGURA 4.2 ([WUHPRVUHODWLYRVGHXQDIXQFLyQPi[LPR\PtQLYDPHQWHHQHOYDORUc. PRUHODWLYR
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
143
Teorema 4.1 Si una función fWLHQHXQH[WUHPRUHODWLYRHQc\VLf’(c H[LVWHHQWRQFHVf’(c Demostración 9HDPRV OD GHPRVWUDFLyQ SDUD XQ YDORU Pi[LPR UHODWLYR (QWRQFHV t para YDORUHVHQHOFRQWRUQRRLQWHUYDORTXHFRQWHQJDDc3RUORWDQWRSDUDh muy cercana a cero se tiene la relación:
De donde: 0
Tomando a hFRPRSRVLWLYRSRGHPRVDVHJXUDUTXH
Como hHVSRVLWLYRWRPDUHPRVHOOtPLWHSRUODGHUHFKDGH
'HELGRDTXHH[LVWHFRQFOXLPRVTXH
6LSRURWUDSDUWHFRQVLGHUDPRVhQHJDWLYDODVGHVLJXDOGDGHVFDPELDQ\ VHOOHJDDTXH
f´ c lim h0
f c h f (c) h
lim h 0
f c h f (c) h
0
Así como y RVHD VHFRQFOX\HTXH
/RPLVPRSRGHPRVFRQFOXLUVLWUDEDMDPRVFRQXQPtQLPRUHODWLYR 'HÀQLFLyQ(OYDORUc del dominio de una función fTXHVDWLVIDFHTXH o QRH[LVWHVHGHQRPLQDSXQWRRYDORUFUtWLFRGHf.
El recíproco del teorema anterior (conocido como el teorema de Fermat) QRHVYiOLGRHVGHFLUVL HVWRQRHVVXÀFLHQWHSDUDDVHJXUDUTXHKD\XQ mínimo o máximo en c.
Cálculo Diferencial
3RUHMHPSORODIXQFLyQ 3 FXPSOHTXH RVHDVL c
0
f SHURfQRWLHQHPtQLPRQLPi[LPRHQ2EVHUYDODÀJXUD
144 y 7 6 5 4 3
f(x)=x³ 2 1
x -4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
-1 -2
-3 -4 -5 -6 -7
FIGURA 4.3 Función
3 QRWLHQHPi[LPRVQLPtQLPRVUHODWLYRVHQ
'HPDQHUDVLPLODUODIXQFLyQ FXPSOHTXH f YDORUPtQLPRHQSHUR f no existe.
RVHDWLHQHXQ
(QWRQFHVJHRPpWULFDPHQWHHOWHRUHPDGH)HUPDWLQGLFDTXHVLODIXQFLyQ fWLHQHXQH[WUHPRUHODWLYRHQc\VL H[LVWHHQWRQFHVODJUiÀFDGHODIXQFLyQf GHEHWHQHUXQDUHFWDWDQJHQWH\KRUL]RQWDOHQHOSXQWR . (QUHVXPLGDVFXHQWDVVLfHVXQDIXQFLyQHQGLIHUHQFLDEOHORVYDORUHVFUtWLcos cVHREWLHQHQGHODUHODFLyQ . &RQVLGHUHPRVDOJXQRVHMHPSORVFRQVXVJUiÀFRVUHVSHFWLYRV Ejemplo 1 Hallar los puntos críticos y sus representaciones de: a)
b) c)
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización Solución &DOFXODPRVHQWRQFHVODGHULYDGDHLJXDODPRVDFHURHVDSDUDGHVSHMDUORVYDORUHVx, en donde (QWRQFHVHVWRVYDORUHVGHxVHUiQORVTXHOODPDUHPRVSXQWRV críticos c. a)
'H GRQGH VH WLHQH TXH x representación es la siguiente:
2 y x 3 . Estos son los puntos críticos. La y 7 6 5 4
f(x)=x³/3+x²/2-6x+10
3 2 1
x pto. crítico pto. crítico c=-3 -1 c=2 -2
-3
FIGURA 4.4 Representación de los puntos críticos de
.
b)
De donde x y así el único punto crítico es x /DJUiÀFDHVODTXHVHREVHUYDHQODÀJXUD
.
145
Cálculo Diferencial
y
146
f(x)=x3/5(3-x)
x -0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Punto crítico c=9/8
FIGURA 4.5 Representación del punto crítico de
.
c) 6HWLHQHSRUWULJRQRPHWUtDTXH HQWRQFHV
(VGHFLUORVYDORUHVTXHKDFHQFHURDFRVHQRVRQWRGRVORVTXHVHKDOODQHQ S los puntos 2 FDGDFLFORGHHVGHFLUHQORVYDORUHV S2 kS GRQGHk es un entero. Por ORWDQWRORVYDORUHVFUtWLFRVVHKDOODQHQ
S S
S S
x x/20
x/10
3x/20
x/3
x/4
3x/10
7x/20
2x/3
9x/20
x/2
11x/20
FIGURA 4.6 Representación de los puntos críticos de la función
3x/3
13x/20
.
7x/10
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización *HQHUDOPHQWH VH GHVHD VDEHU VL XQD IXQFLyQ SRVHH YDORUHV H[WUHPRV QR VyORHQXQLQWHUYDORVLQRHQWRGRVXGRPLQLRGHDKtODVLJXLHQWHGHÀQLFLyQ 'HÀQLFLRQHV8QDIXQFLyQfWLHQHXQYDORUPi[LPRDEVROXWRRPi[LPR JOREDO HQc si t para toda x en el dominio de f(OYDORUf(c VHOODPDYDORU máximo de f en su dominio. 6LPLODUPHQWH VL IXQFLyQ f WLHQH XQ YDORU PtQLPR DEVROXWR R PtQLPR JOREDO HQc si d para toda x en el dominio de f(OYDORUf(c VHOODPDYDORU mínimo de f en su dominio. 6LXQDIXQFLyQWLHQHXQYDORUPi[LPRDEVROXWRRYDORUPtQLPRDEVROXWRHQ cHQWRQFHVVHGLFHTXHWLHQHXQYDORUH[WUHPRHQc. /DFRQWLQXLGDGGHXQDIXQFLyQHQXQLQWHUYDORFHUUDGRHVQHFHVDULDSDUD JDUDQWL]DUTXHODIXQFLyQHQHVDSRUFLyQGHVXGRPLQLRSRVHHUiYDORUHVH[WUHPRV (VWR VH HVWDEOHFH HQ HO VLJXLHQWH WHRUHPD OODPDGR tHRUHPD GHO YDORU H[WUHPR. La demostración se da en estudios superiores del Cálculo. Teorema 4.2 Si una función fHVFRQWLQXDHQXQLQWHUYDORFHUUDGRHQtonces fWLHQHXQYDORUPi[LPRDEVROXWR\XQYDORUPtQLPRDEVROXWRHQHVHLQWHUYDOR 5HFDOFRTXHHOUHFtSURFRGHHVWHWHRUHPDQRHVYiOLGRSRUHMHPSORXQD IXQFLyQSXHGHWHQHUXQPi[LPR\PtQLPRDEVROXWRVHQXQLQWHUYDORFHUUDGRSHUROD IXQFLyQSXHGHVHUGLVFRQWLQXDHQHVHPLVPRLQWHUYDOR 3DUDGHWHUPLQDUORVYDORUHVPi[LPR\PtQLPRDEVROXWRVHQXQLQWHUYDOR cerrado , se puede seguir este procedimiento: i. +DOODUORVYDORUHVGHfHQORVSXQWRVFUtWLFRVGHOLQWHUYDORDELHUWR . ii. +DOODUORVYDORUHVGHfHQORVH[WUHPRVGHOLQWHUYDOR iii. (OYDORUPD\RU\PHQRUGHORVSXQWRVDQWHULRUHVVHUiQHOYDORUPi[LPR\YDORU PtQLPRUHVSHFWLYDPHQWHHQHVHLQWHUYDORFHUUDGR &RQVLGHUHPRVXQHMHPSORGHHVWHKHFKR Ejemplo 2 /D1$6$ODQ]DXQQXHYRVDWpOLWHDOHVSDFLRFRQHOÀQGHPHMRUDUHOVHUYLFLRGHLQWHUFRPXQLFDFLyQPXQGLDOGHODVUHGHV/RVFLHQWtÀFRVGHODDHURQiXWLFDHVWLPDQTXHHO PRGHORGHODYHORFLGDGGHOWUDQVERUGDGRUTXHFRQWLHQHDOVDWpOLWHGHVGHHOODQ]Dmiento t KDVWDODVHSDUDFLyQGHODVWXUELQDVGHDVFHQVR t está dado por:
En donde el tiempo t está en segundos y la distancia en pies. &RQHVWHPRGHORSURSRUFLRQDORVYDORUHVPi[LPR\PtQLPRGHODDFHOHUDFLyQGHOWUDQVERUGDGRUGHVGHVXGHVSHJXHKDVWDODVHSDUDFLyQGHODVWXUELQDVGH ascenso.
147
Cálculo Diferencial Solución
148
(VWDUHPRVORFDOL]DQGRSULPHURORVYDORUHV H[WUHPRVGHODDFHOHUDFLyQDVtTXHKHPRV GHREWHQHUODIXQFLyQGHODDFHOHUDFLyQOD FXDOFRPR\DYLPRVHQHOEORTXHDQWHULRU VHWUDWDGHODGHULYDGDGHODIXQFLyQYHORFLGDGHVGHFLU
2EWHQHPRVTXHODIXQFLyQ es FRQWLQXDHQHOLQWHUYDORUHTXHULGR DVtTXHDSOLFDPRVDHVWDIXQFLyQHOWHRUHPDGHOYDORUH[WUHPR\ORVSXQWRV anteriores. i.
de donde t YDORUHQ es:
FIGURA 4.7 7UDQVERUGDGRUHVSDFLDO
HVWH HV HO ~QLFR SXQWR FUtWLFR FX\R
a
ii. /RVYDORUHVHQORVH[WUHPRVGHOLQWHUYDORHQODIXQFLyQ son: a
y a
iii. 'HHVWHPRGRODDFHOHUDFLyQPi[LPDGHOWUDQVERUGDGRUHQHOLQWHUYDOR será de
y la menor aceleración será de
.
$FWLYLGDG
Con la función GHWHUPLQDVXYDORUPi[LPR\YDORUPtQLPRHQHOLQWHU S YDOR . Representa tus resultados con un trazo de la función. &RQHOÀQGHVHJXLUHOHVWXGLRGHODVIXQFLRQHVPHGLDQWHHOFiOFXORHV~WLO conocer el comportamiento de estas respecto a si están creciendo o decreciendo UHVSHFWRDOHMH;(VWRORGHWDOODUHPRVDFRQWLQXDFLyQ
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Funciones crecientes y decrecientes &RQVLGHUDODVLJXLHQWHJUiÀFDGHXQDIXQFLyQf.
149
y
A(x1,y1) x2
E(x4,y4) x3
x4
x x5
x1 c(x3,y3) B(x2,y2)
D(x3,y3)
FIGURA 4.8 )XQFLyQTXHWLHQHLQWHUYDORVGRQGHHVFUHFLHQWH\GRQGHHVGHFUHFLHQWH
1RWDUiV HQ HO LQWHUYDOR x x OD JUiÀFD GH OD IXQFLyQ VH ´GHVSOD]Dµ GHO SXQWR$DO%(QHOLQWHUYDOR x x VHWUDVODGDGHOSXQWR%DO&\DVtVXFHVLYDPHQWH SHURHOFDVRHVTXHGHOSXQWR $DO%ODIXQFLyQYDGHFUHFLHQGRHQORVYDORUHVGHy %DO&ODIXQFLyQYDFUHFLHQGRHQORVYDORUHVGHy &DO'ODIXQFLyQYDGHFUHFLHQGRHQORVYDORUHVGHy 'DO(ODIXQFLyQYDFUHFLHQGRHQORVYDORUHVGHy /RPLVPRSXHGHVGHWHUPLQDUGHPDQHUDJHQHUDOHQODÀJXUD'HPDQHUDTXHHVFRQYHQLHQWHGDUODVGHÀQLFLRQHVGHHVWRVKHFKRVJUiÀFRV\DQDOtWLFRV 'HÀQLFLRQHVLa función fGHÀQLGDHQXQLQWHUYDORVHOODPDFUHFLHQWHHQ HVHLQWHUYDORVL\VyORVLSDUD x1 y x 2 HQHVHLQWHUYDORFRQ x x VHFXPSOHTXH
'HPDQHUDVLPLODUVHOODPDGHFUHFLHQWHHQHVHLQWHUYDORVL\VyORVLSDUD x1 y xHQHVHLQWHUYDORFRQx1
6L OD IXQFLyQ HV FUHFLHQWH R GHFUHFLHQWH HQ HVH LQWHUYDOR VH OH OODPD PRQyWRQDHQHVHLQWHUYDOR
Cálculo Diferencial &RQHVWDGHÀQLFLyQVHQRWDHQODÀJXUDTXHODIXQFLyQHVFUHFLHQWHHQ
150
ORVLQWHUYDORV>xx@\>x x5@(VGHFUHFLHQWHHQORVLQWHUYDORV x x y x x . 5HFRUGHPRVTXHODGHULYDGDXQDIXQFLyQUHSUHVHQWDJHRPpWULFDPHQWHHO YDORUGHODSHQGLHQWHGHODWDQJHQWH\DGHPiVTXHFXDQGRXQDSHQGLHQWHHVSRVLWLYD ODIXQFLyQYDFUHFLHQGRSRUHOFRQWUDULRFXDQGRODSHQGLHQWHHVQHJDWLYDODIXQFLyQ YDGHFUHFLHQGR&XDQGRODSHQGLHQWHHVFHURHVWDPRVVREUHXQSRVLEOHSXQWRFUtWLco de una tangente horizontal. Todo esto se relaciona en el siguiente teorema cuya GHPRVWUDFLyQUHTXLHUHGHRWURWHRUHPDTXHQRYHUHPRVWHRUHPDGHOYDORUPHGLR Teorema 4.3 Si una función fHVFRQWLQXDHQHOLQWHUYDOR , y difeUHQFLDEOHHQ , HQWRQFHV I. Si es creciente en , II. Si
/DDSOLFDFLyQGLUHFWDGHHVWHWHRUHPDORHVWDUHPRVOOHYDQGRDFDERHQOD VLJXLHQWH VHVLyQ (V SRU HVWR TXH WHUPLQDPRV FRQ OD VHVLyQ VyOR HVSHUR TXH WH DSOLTXHVHQHOSUR\HFWR\TXHUHDOLFHVODVDFWLYLGDGHV\HMHUFLFLRVSURSXHVWRV+HDTXt algunos de ellos.
Síntesis 1. 'HWHUPLQDORVYDORUHVFUtWLFRVTXHSRVHDQGHFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHV PHGLDQWHFiOFXORVDQDOtWLFRVSXHGHVFRPSUREDUWXVUHVXOWDGRVGHIRUPDJUiÀFD a) 2 b)
c) d) e)
1 1
f)
h) i)
g)
j) 2. 0XHVWUD DQDOtWLFDPHQWH \ JUiÀFDPHQWH TXH OD IXQFLyQ no tiene máximos ni mínimos. 3. 'HPXHVWUDDQDOtWLFDPHQWHTXHODIXQFLyQ a) es creciente para todo x
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización b) es decreciente para todo x 4. +DOODORVYDORUHVPi[LPRV\PtQLPRVHQFDGDIXQFLyQGDGRHOLQWHUYDORFHUUDGR FRUUHVSRQGLHQWHDSy\DWHFRQUHFXUVRVWHFQROyJLFRV a) S ,S
b) c) d)
5. La temperatura TGHNJGHDJXDWLHQHHOYROXPHQHQFP GDGRSRUODUHODFLyQ . Halla la máxima temperatura del agua en la cual tiene máxima densidad en HOLQWHUYDOR .
6HVLyQ&ULWHULRVSDUDFiOFXORGH máximos y mínimos Criterios (QXQFLRORVYDORUHVHQGRQGHODJUiÀFDGHXQDIXQFLyQSRVHHSXQWRVFUtWLFRVSXQWRVGHLQÁH[LyQ\FRQFDYLGDG Explico las relaciones entre estos conceptos al realizar una representación JUiÀFDGHXQDIXQFLyQ (PSOHRORVFULWHULRVGHODSULPHUD\VHJXQGDGHULYDGDSDUDUHSUHVHQWDUORV Pi[LPRVRPtQLPRVGHIXQFLRQHVFRQFDYLGDG\SXQWRVGHLQÁH[LyQ 0DQWHQJR IUHQWH DO JUXSR XQD DFWLWXG SHUVHYHUDQWH DQWH OD UHVROXFLyQ GH situaciones de optimización.
Contextualización +DV HVWDGR SURJUHVDQGR HQ ODV DSOLFDFLRQHV GHO &iOFXOR D GLYHUVDV SUREOHPiWLFDV DEVWUDFWDV\GHODYLGDUHDO\DWLHQHVODLQWHUSUHWDFLyQGHXQOtPLWHGHFRQWLQXLGDGGH ODGHULYDGD\DKRUDHVWiVFRQVLGHUDQGRODJDPDGHDSOLFDFLRQHVWDQWRDODVJUiÀFDV GHIXQFLRQHVFRPRDVLWXDFLRQHVPiVFRPSOHMDVHQODVHVLyQVLJXLHQWH Vamos a iniciar esta sesión con la continuación del comportamiento creFLHQWH \ GHFUHFLHQWH GH ODV IXQFLRQHV HQ FLHUWRV LQWHUYDORV +HPRV LQGLFDGR FyPR REWHQHU ORV SXQWRV FUtWLFRV \ OR TXH FXPSOH OD GHULYDGD GH OD IXQFLyQ FXDQGR HV FUHFLHQWHRGHFUHFLHQWH(PSH]DUHPRVFRQXQDDFWLYLGDGUHODFLRQDGDDODYHORFLGDG de un cuerpo.
151
Cálculo Diferencial
PUREOHPDWL]DFLyQ 152
$FWLYLGDG (QWHUFLDVUHVSRQGDQGDQGRVLHPSUHDUJXPHQWRVDQDOtWLFRVRJUiÀFRVODVVLJXLHQWHV LQWHUURJDQWHVVXUJLGDVHQWRUQRDODVLWXDFLyQGHXQDSDUWtFXODTXHVHGHVSOD]DDOR largo de una recta horizontal de acuerdo a la relación donde t t 0 .
a) ¢&XiOHV VRQ ORV SXQWRV FUtWLFRV GH OD IXQFLyQ" 5HSUHVHQWD HVWRV SXQWRV HQ XQD JUiÀFD b) ¢4XpUHSUHVHQWDQUHVSHFWRDODSDUWtFXODHVWRVSXQWRVFUtWLFRV" c) 6LODYHORFLGDGGHHVWDSDUWtFXODHVSRVLWLYDHQWRQFHVVHHVWiPRYLHQGRDODGHUHFKD\VLVXYHORFLGDGHVQHJDWLYDVHHVWiPRYLHQGRDODL]TXLHUGD&RQHVWRGHWHUPLQHQORVLQWHUYDORVGHWLHPSRHQORVTXHODSDUWtFXODVHPXHYHDODGHUHFKDDOD L]TXLHUGD\FXDQGRFDPELHGHVHQWLGR d) ,QWHUSUHWDItVLFDPHQWHORVUHVXOWDGRVHQHOLQFLVRF5HSUHVHQWDJUiÀFDPHQWHHVWRV hechos. 6HJXUDPHQWHDOWUDWDUGHUHVROYHUODVLWXDFLyQGHOFXHUSRPyYLOGHODDFWLYLGDGDQWHULRUVHKDEUiQWRSDGRFRQFXHVWLRQHVGHFyPRVDEHUUHDOPHQWHORVLQWHUYDORVHQGRQGHXQDIXQFLyQHVFUHFLHQWHRGHFUHFLHQWH3DUDHVWHFDVRQRVYHPRVHQOD QHFHVLGDGGHDSOLFDUDOJXQDVQXHYDVWpFQLFDVDQDOtWLFDVSDUDORJUDUOR(VWRHVORTXH VHYHUiDFRQWLQXDFLyQ
FRUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\ desarrollo de las competencias
&ULWHULRGHODSULPHUDGHULYDGD &RQHOÀQGHLQYHVWLJDUD~QPiVHOFRPSRUWDPLHQWRGHODVIXQFLRQHVFUHFLHQWHV\ GHFUHFLHQWHVVHGDHOVLJXLHQWHWHRUHPDFRQRFLGRFRPRHOcriterio de la primera derivada. Teorema 4.4 Sea f continua en , GHPDQHUDTXH existe en , H[FHSWRSRVLEOHPHQWHHQcHQWRQFHV I. Si ! SDUDWRGRVORVYDORUHVGHxHQXQLQWHUYDORDELHUWRTXHFRQWHQJD a c como su extremo derecho y si SDUDWRGRVORVYDORUHVGHx en un LQWHUYDOR DELHUWR TXH FRQWHQJD D c FRPR VX H[WUHPR L]TXLHUGR HQWRQFHV f WLHQHXQPi[LPRUHODWLYRHQc. II. Si SDUDWRGRVORVYDORUHVGHxHQXQLQWHUYDORDELHUWRTXHFRQWHQJD a c como su extremo derecho y si ! SDUDWRGRVORVYDORUHVGHx en XQLQWHUYDORDELHUWRTXHFRQWHQJDDcFRPRVXH[WUHPRL]TXLHUGRHQWRQFHVf WLHQHXQPtQLPRUHODWLYRHQc.
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización (VWHWHRUHPDDÀUPDTXHVLf es continua en c y f’ FDPELDGHVLJQRSRVLWLYR DQHJDWLYRDOSDVDUSRUc cuando xFUHFHHQWRQFHVKD\XQYDORUPi[LPRHQcSRU HOFRQWUDULRVLf’FDPELDGHQHJDWLYRDSRVLWLYRHQWRQFHVKD\XQYDORUPtQLPRHQc. *UiÀFDPHQWHWHQGUHPRV
x1
153
y
A(x1,y1)
Máximo relativo f’+ ---› f’ -
x2
x5 x4
x
x3
f’(x)<0 f’(x)>0
f’(x1)=0 f’ (x2)=0 Mínimo relativo f’- ---› f’+
f’(x)<0
f’(x)>0
Mínimo relativo f’- ---› f’+
f’(x4)=0
FIGURA 4.9 Máximo en x y mínimos localizados en x y x de acuerdo al criterio de la primera GHULYDGD
6HREVHUYDHQHVWDJUiÀFDTXHODIXQFLyQHVFRQWLQXDHQORVSXQWRVx x y x. $GHPiVSDUDYDORUHVx menores a xODIXQFLyQHVGHFUHFLHQWHRVHD \SDUDYDORUHVHQHOLQWHUYDOR x x HVFUHFLHQWHRVHDDOOt ! SRUORWDQWR KD\XQPtQLPRUHODWLYRHQx(QHOLQWHUYDOR x x HVGHFUHFLHQWHSRUORTXHDOOt RVHDHQxKD\XQPi[LPRUHODWLYR)LQDOPHQWHSDUDYDORUHVPD\RUHVDx fHVFUHFLHQWHFRQORTXHDOVHU ! SDUDHVRVYDORUHVREVHUYDPRVTXHHQx exisWHXQPtQLPRUHODWLYR5HVXPLHQGRHVWRVKHFKRVHQXQDWDEODVHDSUHFLDORVLJXLHQWH x
f’(x)
Característica de f
x x2
-
Decreciente
x2
0
0tQLPRUHODWLYR
x x x
+
Creciente
x3
0
0i[LPRUHODWLYR
x x x
-
Decreciente
x4
0
0tQLPRUHODWLYR
x ! x4
+
Creciente
Cálculo Diferencial 'DGDVHVWDVSDXWDVSDUDGHWHUPLQDUORVYDORUHVH[WUHPRVGHXQDIXQFLyQVH puede resumir el proceso para hallarlos en una función f dada.
154
3DUDHQFRQWUDUORVYDORUHVPi[LPRRPtQLPRGHXQDIXQFLyQf(x TXH MXQWRFRQVXSULPHUDGHULYDGDHVFRQWLQXDVHSURFHGHFRQ 1. +DOODUORVSXQWRVFUtWLFRVHVGHFLUORVYDORUHVFTXH
.
2. 5HSUHVHQWDUORVLQWHUYDORVHQTXHHOHMH;VHGLYLGHSRUORVSXQWRVFUtWLFRV 3. 2EVHUYDUHOVLJQRGH HQFDGDXQRGHORVLQWHUYDORVJHQHUDGRV 4. Entonces para x crecientes: I. fWLHQHXQPi[LPRTXHYDOH si f’FDPELDGHD²DOUHGHGRUGHOSXQWR crítico c. II. f WLHQH XQ PtQLPR TXH YDOH si f’ FDPELD GH ² D DOUHGHGRU GHO SXQWR crítico c. /DPHMRUPDQHUDGHDSUHQGHUHVWHSURFHVRHVPHGLDQWHHMHPSORV\ODSUiFWLFDDVLGXD3RUHOORFRQVLGHUDHVWRVHMHPSORVGDGRVDFRQWLQXDFLyQ Ejemplo 3 8VDQGRHOFULWHULRGHODSULPHUDGHULYDGDSDUDODIXQFLyQ GHWHUPLna analíticamente lo siguiente: a) /RVYDORUHVFUtWLFRV b) /RVLQWHUYDORVGRQGHHVFUHFLHQWH\GHFUHFLHQWH c) /RVYDORUHVH[WUHPRV c) /DUHSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHHVWRVKHFKRV Solución &RQVLGHUDPRVHVWHSULPHUHMHPSORFRQVXPRGHWDOOH'HVGHHOLQLFLRQRWDPRVTXHOD IXQFLyQHVWiGHÀQLGDSDUDYDORUHVFRPSUHQGLGRVHQWUH>@ a) 'HULYDPRVODIXQFLyQSDUDLJXDODUODDFHUR\DVtKDOODUORVSXQWRVFUtWLFRV
'HDTXtGHVSHMDPRVx
x x
x
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización (VGHFLUGHODUDt]FXDGUDGDVHREWLHQHQGRVSXQWRVFUtWLFRVXQRSRVLWLYR \RWURQHJDWLYR c y c
b) 3DUDGHWHUPLQDUORVLQWHUYDORVGHFUHFLPLHQWR\GHFUHFLPLHQWRGHODIXQFLyQYDPRVDGLYLGLUHOHMH;HQWUHVUHJLRQHVRLQWHUYDORV(VWRHVFRQVLGHUDQGRVLHPSUH DORVSXQWRVFUtWLFRVFRPRORVSXQWRVGHGLYLVLyQGHPDQHUDTXHORVLQWHUYDORV resultantes son: Intervalos x
x x !
$KRUDWRPDUHPRVYDORUHVUHSUHVHQWDWLYRVHQFDGDXQRGHORVLQWHUYDORV\ calculamos el signo de fHQHVRVYDORUHV3DUDHOSULPHULQWHUYDORSRGHPRVWRPDU SDUDHOVHJXQGR\SDUDHOWHUFHUR'HPDQHUDTXHORVVLJQRVVHUiQ Intervalos
Valor
f´
x
-8
f
x
f
x !
8
f
0HGLDQWHHVWDWDEODREVHUYDPRVTXHHQHOSULPHULQWHUYDORf’HVQHJDWLYD (alrededor del punto crítico HQHOVHJXQGRLQWHUYDORf’HVSRVLWLYD\HQHOWHUFHU LQWHUYDORf’HVQHJDWLYDDOUHGHGRUGHOSXQWRFUtWLFR &RQHVWRVHFRQFOX\HTXH en el punto crítico hay un mínimo y en el punto KD\XQYDORUPi[LPR c) &DOFXODPRVHOYDORUGHOPtQLPRDOVXVWLWXLUHQf el punto crítico donde está localizado éste. O sea:
f
De forma similar para el máximo:
f
155
Cálculo Diferencial 5HVXPLPRVORREWHQLGRHQHVWDWDEODVLJXLHQWH
156
x
f´(x)
Característica de f
x
-
Decreciente
0
0tQLPRUHODWLYR
x
+
Creciente
0
0i[LPRUHODWLYR
x
-
Decreciente
d) /DUHSUHVHQWDFLyQJUiÀFDGHWRGRHVWRVHGDHQODVLJXLHQWHÀJXUD
60
40
-18
-16
-14
-12
-10 -8
-6
20
x
-4
-2
2
8
10
12
14
16
18
20
-60
FIGURA 4.10 Representación de la función
6
-20 -40
4
\VXVYDORUHVPi[LPR\PtQLPR
7DPELpQHQHVWHFDVRVHUHSUHVHQWDHOWUD]RGHODGHULYDGDGH SXHVWR TXHPiVDGHODQWHQRVVHUYLUiGHSDXWD +HPRVGHDQDOL]DUXQRVHMHPSORVPiVSDUDDÀDQ]DUHOSURFHVRUHTXHULGR FRQHVWHPpWRGRGHODSULPHUDGHULYDGD Ejemplo 4 &DOFXODORVPi[LPRV\PtQLPRVTXHGLVSRQHODIXQFLyQ . Solución $YDQ]DUHPRVHQHVWHHMHPSORGHPDQHUDGLUHFWDHQDOJXQRVSDVRVGHPDQHUDTXH VLVHWHSUHVHQWDGXGDUHDOt]DORVDGHWDOOH 'HULYDPRV\REWHQHPRVORVSXQWRVFUtWLFRV
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización /RVYDORUHVFUtWLFRVVRQHQWRQFHV c c
y c
/DWDEODVLJXLHQWHGDUiODSDXWDVREUHHOSURFHVRTXHVHUHDOL]DHVWRWRPDQGRHQFXHQWDTXHVHIRUPDQUHJLRQHVRLQWHUYDORVHQHOHMH; Intervalos
Valor
f´
x 1
f
0
x
½
x !1
x
f
f f
2EWHQHPRVDKRUDHOYDORUGHO~QLFRPi[LPRHQ\HO~QLFRPtQLPRHQ eVWRVVRQ f f y
3RUORWDQWRUHVXPLPRVHVWRVGDWRVHQODWDEODVLJXLHQWH\GDPRVHOWUD]R GHODJUiÀFDFRQHVWRVGHWDOOHVLQFOX\HQGRODJUiÀFDGHODGHULYDGDf’ para referencia futura. x
f´(x)
Característica de f
x 1
+
Creciente
1
0
Tangente horizontal
+
Creciente
x
3456
0
x
-
Decreciente
1
0
0tQLPRUHODWLYR
x !1
+
Creciente
0i[LPRUHODWLYR 3125
157
Cálculo Diferencial
2
158
1.5
1
0.5
x
! -4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1 -0.5 -0.5 !
0.5 !
1 1.5 !
2
3
2.5
3.5
4
4.5
-1
-1.5 -2 -2.5
Figura 4.11 Representación de la función f(x x² (x \VXVYDORUHVPi[LPR\PtQLPR
Ejemplo 5 6ROXFLRQDUPHGLDQWHHOFULWHULRGHODSULPHUDGHULYDGDODDFWLYLGDGGDGDDOLQLFLRGH HVWDVHVLyQUHVSHFWLYDDODYHORFLGDGGHXQREMHWR Solución 'HWHUPLQDPRVORVYDORUHVFUtWLFRV y t
t
(OHMHSVHGLYLGHHQWRQFHVHQUHJLRQHVRLQWHUYDORVHQORVFXDOHVHOFRPSRUWDPLHQWRGHODYHORFLGDGHVHOVLJXLHQWH Intervalos
Valor
v=s´
t2
0
v
t
v
t!6
v
5
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización 'HHVWDWDEODSRGHPRVUHVXPLUTXH t
v(t)=s’(t)
Característica de s. Del móvil
t<2
+
Creciente. A la derecha
0
0i[LPR&DPELRGHGLUHFFLyQ
2
-
'HFUHFLHQWH$ODL]TXLHUGD
6
0
Mínimo &DPELRGHGLUHFFLyQ
t>6
+
Creciente. A la derecha
Presento ahora el trazo de t DVtFRPRGH
159
:
t 15
Máximo s’-(t)=3tx²-24t+36
10
Punto crítico
5
-1.5
-1
-0.5
1 -5
x
t2
t2 -2
2
Punto crítico
3
4
5
6
7
9
10
11
12
13
14
15
s’-(t)<0 s’-(t)>0
-10 -15
8
s’(t)>0
-20 -25
s(t)=t³-12t²+36-24 Mínimo
-30
FIGURA 4.12 7UD]RGHOPRYLPLHQWRGHOFXHUSRGDGRSRU t .
&RQWLQXDUHPRVFRQODVDSOLFDFLRQHVGHODGHULYDGDHQVLWXDFLRQHVUHDOHVHQ la última sesión. ULYDGD
(QODVWUHVÀJXUDVDQWHULRUHVQRWDPRVODUHODFLyQHQWUHODIXQFLyQ\VXGH6HREVHUYDTXH
/DVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMHKRUL]RQWDOGHf’ son los puntos críticos de f. (QGRQGHSRVLEOHPHQWHH[LVWHQYDORUHVH[WUHPRVGHf. (OLQWHUYDORHQGRQGHf’HVQHJDWLYDHTXLYDOHQWHPHQWHHVWiSRUGHEDMR GHOHMHKRUL]RQWDO FRLQFLGHHQGRQGHf es decreciente. (OLQWHUYDORGRQGHf’HVSRVLWLYDHTXLYDOHQWHPHQWHHVWiHQFLPDGHOHMH KRUL]RQWDO FRLQFLGHGRQGHf es creciente.
Cálculo Diferencial
$FWLYLGDG 160
'LVFXWDQFRQWRGRHOJUXSRVREUHHVWRVKHFKRVGHPDQHUDTXHSXHGDQVDFDUFRQFOXVLRQHVVREUHHOFRPSRUWDPLHQWRGHODVIXQFLRQHV\VXVGHULYDGDVGDGDVHQODV ÀJXUDVDQWHULRUHV Respondan: YDGD" ginal?
¢(VSRVLEOHGHWHUPLQDUODIXQFLyQRULJLQDOHQEDVHDODJUiÀFDGHVXGHUL(QFDVRDÀUPDWLYR¢FyPRVHUiHO´PpWRGRµSDUDGHWHUPLQDUODIXQFLyQRUL(QFDVRQHJDWLYR¢TXpVHUHTXLHUHVDEHUGHPiV" (VFULEDQVXVFRQFOXVLRQHVJHQHUDOHV
&RQWLQXHPRVFRQXQ~OWLPRHMHPSORGHOFRQFHSWRGHODSULPHUDGHULYDGD \VXVHOHPHQWRVJUiÀFRV Ejemplo 6 /DVLJXLHQWHÀJXUDUHSUHVHQWDODGHULYDGDf’ de f, esta última tiene dominio en todos los reales. Con esto determina: a) Los puntos críticos de f. b) /RVLQWHUYDORVGHf en donde es creciente o decreciente. c) (QTXpSXQWRFUtWLFRWLHQHPi[LPRRPtQLPR y Raices de f: -3.05, -1.65, 1.65 y 3.05
Solución a) 6H REVHUYD TXH f´ WLHQH SXQWRV GH FRQWDFWRFRQHOHMH;GHPDQHUDTXH UHSUHVHQWDQORVSXQWRVFUtWLFRVGHf HVGHFLUpVWRVVHUiQ
f´(x)
x
c c c c
b) 6HWLHQHQLQWHUYDORVf´ >0 para el inWHUYDOR GH x 2 SRU OR TXH f GHEH VHU FUHFLHQWH HQ HVH LQWHUYDOR f HQ HO LQWHUYDOR SRU OR TXH f será decreciente allí. f ! en GHGRQGHVHQRWDTXHHQHVHLQWHUYDOR f es creciente. f en HQWRQces fHVGHFUHFLHQWH\ÀQDOPHQWHf es creciente en x ! 2 \DTXH f ! allí.
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-30
FIGURA 4.13 Trazo de la función y su SULPHUD\VHJXQGDGHULYDGD
4.5
5
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización c) +D\XQPi[LPRHQ\DTXHf’SDVDGHD² d) +D\XQPtQLPRHQSXHVf’SDVDGH²D e) 6HWLHQHXQPi[LPRHQ\DTXHf’SDVDGHD²
161
f) 6HWLHQHXQPtQLPRHQSXHVf’SDVDGH²D g) (QUHVXPLGDVFXHQWDVf cumple lo siguiente: x
f´(x)
Característica de f
x 2
+
Creciente
2
0
0tQLPRUHODWLYR
x
-
Decreciente
1
0
0i[LPRUHODWLYR
1 x 1
+
Creciente
1
0
0tQLPRUHODWLYR
x
-
Decreciente
2
0
0i[LPRUHODWLYR
x!2
+
Creciente
(QWRQFHVH[LVWHQYDULDVSRVLELOLGDGHVSDUD DTXtWHSUHVHQWRGRVGH y Max f’(x)
Min Max -4.5
-4
-3.5
-3 f1(x)
-2.5
-2
-1.5
Min -1 -0.5
Max
0.5
Max 1
1.5
x 2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Min
f2(x)
Min FIGURA 4.14 %RVTXHMRGHf’\GRVSRVLELOLGDGHVGHf (f1 y f
(VWHHVXQPpWRGRSDUDGLVFXWLUHOFRPSRUWDPLHQWRGHXQDIXQFLyQHQEDVH DVXSULPHUDGHULYDGD(OQRPEUHGHPpWRGRGHODSULPHUDGHULYDGDLQGLFDLQVWLQWLYDPHQWHTXHSXGLHUDH[LVWLUPiVGHXQPpWRGRHQHVWHFDVRXVDQGRQRODSULPHUD GHULYDGDGHODIXQFLyQVLQRODVLJXLHQWHRVHDODVHJXQGDGHULYDGD(VWRHVORTXH analizarás en esta última sección de esta sesión.
Cálculo Diferencial
&ULWHULRGHODVHJXQGDGHULYDGD 162
5HTXHULPRVD~QDOJXQRVHOHPHQWRVPiVSDUDXWLOL]DUHOFULWHULRGHODVHJXQGDGHULYDGD'R\ODVGHÀQLFLRQHVUHVSHFWLYDV\ORVWHRUHPDVDXWLOL]DU 'HÀQLFLRQHV 8QD IXQFLyQ f HV FyQFDYD KDFLD DUULED HQ HO SXQWR c si existe f’(c \XQLQWHUYDORDELHUWRTXHFRQWLHQHDcGHPDQHUDTXHWRGRVORVYDlores xGHHVHLQWHUYDORGLIHUHQWHVGHcHOSXQWRxf(c HVWiDUULEDGHODUHFWD tangente en (cf(c Similarmente fHVFyQFDYDKDFLDDEDMRHQHOSXQWRc si existe f’(c \XQ LQWHUYDORDELHUWRTXHFRQWLHQHDcGHPDQHUDTXHWRGRVORVYDORUHVx de ese inWHUYDORGLIHUHQWHVGHcHOSXQWRxf(c HVWiDEDMRGHODUHFWDWDQJHQWHHQcf(c (O SXQWR GRQGH OD JUiÀFD FDPELD GH FyQFDYD KDFLD DEDMR D FyQFDYD KDFLDDUULEDRYLFHYHUVDVHOODPDSXQWRGHLQÁH[LyQ /DVLJXLHQWHÀJXUDUHSUHVHQWDHVWDVGHÀQLFLRQHV y f’(x)
Max f’’(x3)<0
f’>0 f’’(c1)<0
f’>0
Max f’’(x1)<0 x1
f’>0
f’’(x4)>0
f’’(c2)=0 c1
x2
Min
f’’(c1)=0
C2
X3
C3
X4
f’>0 f’’(x2)>0
Min
FIGURA 4.15 &RQFDYLGDGHV\SXQWRVGHLQÁH[LyQGHODIXQFLyQf.
1RWDTXHHQORVSXQWRVx1xx y x se hallan los puntos críticos. Además SRUODGHÀQLFLyQDQWHULRUHQORVLQWHUYDORVDELHUWRVa,c1 FRQ 1 y (cc , f es cónFDYDKDFLDDEDMRSXHVORVSXQWRVGHf HQHVRVLQWHUYDORVVRQPHQRUHVDVXVUHFWDV WDQJHQWHVUHVSHFWLYDV(QORVLQWHUYDORVc1,c \c,b FRQ ! 4 fHVFyQFDYDKDFLD DUULEDSXHVORVSXQWRVGHfHQHVRVLQWHUYDORVVRQPD\RUHVDODVUHFWDVWDQJHQWHV UHVSHFWLYDV El recíproco de este teorema 4.5 no es válido. Da un contraejemplo de ello.
6HGLVWLQJXHQWDPELpQORVSXQWRVGHLQÁH[LyQ(c1, f(c1))(c, f(c)) y (c, f(c)). LRV VLJXLHQWHV WHRUHPDV UHVSHFWLYRV D OD VHJXQGD GHULYDGD VH UHODFLRQDQ con los conceptos citados. Teorema 4.5 Si fHVGLIHUHQFLDEOHHQXQLQWHUYDORDELHUWRGHc. Entonces: I. fHVFyQFDYDKDFLDDUULEDHQcf(c VLf’’(c ! II. fHVFyQFDYDKDFLDDEDMRHQcf(c VLf’’(c
x
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización Teorema 4.6 Si fHVGLIHUHQFLDEOHHQXQLQWHUYDORDELHUWRTXHFRQWHQga a cVLHQGRcf(c XQSXQWRGHLQÁH[LyQHQWRQFHVVLf’(c H[LVWHVHWLHQHTXH .
(VWRVHUHÁHMDHQODÀJXUDGRQGH
,
y
.
8QHMHPSORGHTXHHOUHFtSURFRGHHVWHWHRUHPDQRHVYiOLGRVHQRWDFRQ la función \DTXHFODUDPHQWH f 3HURSDUDYDORUHV x 0 VHWLHQHTXH HVGHFLUHVFyQFDYDKDFLDDEDMRSDUDYDORUHV x 0 HVGHFLUHVFyQFDYDKDFLDDEDMRSRUORWDQWRHOSXQWR f no es un punto de LQÁH[LyQ &RQVLGHUHPRVXQHMHPSORFRQFUHWRGHOXVRGHHVWHWHRUHPD Ejemplo 7 ,GHQWLÀFDU ORV SXQWRV GH LQÁH[LyQ \ GH ORV LQWHUYDORV GH FRQFDYLGDG SDUD OD FXUYD FRQHOXVRGHODVHJXQGDGHULYDGD5HDOL]DHOWUD]RGHORVUHVXO-
tados.
Solución 2EWHQGUHPRVSULPHURORVSXQWRVGHLQÁH[LyQSRVLEOHV5HDOL]DPRVODVGRVGHULYDGDV
Igualando a cero s’’SDUDREWHQHUORV
'HGRQGHHO~QLFRSXQWRGHLQÁH[LyQVHUiXELFDGRHQ t
1
$KRUDUHYLVHPRVHOFRPSRUWDPLHQWRGHs’’SDUDYDORUHVDQWHULRUHV\SRVWHULRUHVGHORVGRVLQWHUYDORVFRQIRUPDGRVSRUHOSXQWRGHLQÁH[LyQ Intervalo
valor
s’’(t)
Característica de s
t 1
0
s
&yQFDYDKDFLDDEDMR
t
1
1
V··
3XQWRGHLQÁH[LyQ
t !1
s
&yQFDYDKDFLDDUULED
(OYDORUGHOSXQWRGHLQÁH[LyQHQODJUiÀFDHVWDUiXELFDGRHQ s HV decir . /DÀJXUDVLJXLHQWHPXHVWUDHOWUD]RGHODIXQFLyQs(t DVtFRPRGHVXVLQWHUYDORVGHFRQFDYLGDG\SXQWRGHLQÁH[LyQ
163
Cálculo Diferencial
y
10
x
164
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1 -10
2
3
(1,-21)
-40
6
7
8
9
10
11
s’’(x)>0
-20 -30
5
s’’(1)<0
s’’(x)<0
4
-50 -60 -70
FIGURA 4.16 Trazo de .
(QODVHFFLyQDQWHULRUVHYLVXDOL]yHOXVRGHOFULWHULRGHODSULPHUDGHULYDGD VLQHPEDUJRVHUHFDOFyTXHSRVLEOHPHQWHH[LVWDRWURPpWRGRSDUDKDOODUH[WUHPRV UHODWLYRVFRQHOXVRGHXQDGHULYDGDVXSHULRU(VDTXtGRQGHHQWUDQXHVWURVLJXLHQWH teorema conocido como el criterio de la segunda derivada. Se te presenta a conWLQXDFLyQ\GHVSXpVVHGDXQDJXtDGHFyPRXWLOL]DUORDORFXDOVHGDUiQHMHPSORV Teorema 4.7 Sea c es un punto crítico y f··H[LVWHSDUDXQLQWHUYDORDELHUto conteniendo a cSRUORWDQWRVL I.
! HQWRQFHVfWLHQHXQPtQLPRUHODWLYRHQc.
II. HQWRQFHVfWLHQHXQPi[LPRUHODWLYRHQc. Este criterio no se aplica si f’’(c RLQÀQLWR
(VWHKHFKRVHPXHVWUDHQODÀJXUDHQGRQGHVHWLHQHTXHORVSXQWRV críticos son x1, x, x y xSRUORTXHVHWLHQHQORVPtQLPRVUHODWLYRVHQx, f(x \x4, f(x4 SXHVf’’(x2 >0 y f’’(x2 >0ORVPi[LPRVUHODWLYRVHVWiQHQx1, f(x1 \x3, f(x3 SXHV f’’(x1 <0 y f’’(x3 <0. SHREVHUYDTXHHQHOFULWHULRGHODVHJXQGDGHULYDGDVHXVDQORVSXQWRV FUtWLFRV\ODVHJXQGDGHULYDGDSDUDGHWHUPLQDUORVYDORUHVH[WUHPRVGHXQDIXQFLyQ (VSRVLEOHXVDUHVWHFULWHULRFRQODVVLJXLHQWHVSDXWDV 3DUD HQFRQWUDU ORV YDORUHV Pi[LPR R PtQLPR GH XQD IXQFLyQ f(x TXH MXQWRFRQODVHJXQGDGHULYDGDHVFRQWLQ~DVHSURFHGHFRQ 1. +DOODUORVSXQWRVFUtWLFRVHVGHFLUORVYDORUHVcTXHf’(c 2. Entonces para cada punto crítico c: I. fWLHQHXQPi[LPRTXHYDOHf(c VLf‘’ (c II. fWLHQHXQPtQLPRTXHYDOHf(c VLf’’(c ! $OLJXDOTXHHQHOFDVRGHOFULWHULRGHODSULPHUDGHULYDGDFRQVLGHUHPRV XQDVHULHGHHMHPSORVGHDSOLFDFLyQGHHVWHFULWHULR Ejemplo 8 8VDQGRHOFULWHULRGHODVHJXQGDGHULYDGDSDUDODIXQFLyQ
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización LQYHVWLJDU a) Los puntos críticos. b) /RVSXQWRVGHLQÁH[LyQ
165
c) /RVLQWHUYDORVGHFRQFDYLGDG d) /RVH[WUHPRVUHODWLYRV e) El trazo de estos elementos. Solución (VWDUHPRVWUDEDMDQGRFRQHOPpWRGRGHODVHJXQGDGHULYDGDDSOLFDQGRODVSDXWDV anteriores. a) 'HGRQGHVHREWLHQHQORVSXQWRVFUtWLFRV
b) 3DUDORVSXQWRVGHLQÁH[LyQUHTXHULPRVGHODVHJXQGDGHULYDGDLJXDODGDDFHUR SDUDGHVSHMDUORV
2EWHQLHQGRORV~QLFRVGRVSXQWRVGHLQÁH[LyQ c
c
c) &RQORVSXQWRVGHLQÁH[LyQGLYLGLPRVHOHMH;HQLQWHUYDORVGHORVFXDOHVWRPDPRV YDORUHV UHSUHVHQWDWLYRV \ ORV VXVWLWXLPRV HQ OD VHJXQGD GHULYDGD SDUD GHWHUPLQDUHOVLJQR\DVtODFRQFDYLGDGHQHVHLQWHUYDOR5HVXPRHVHSURFHVRHQ ODVLJXLHQWHWDEOD Intervalo
x
x
Valor
y’’(t)
Característica de y
2
y
&yQFDYDKDFLDDUULED
y
3XQWRGHLQÁH[LyQ
y
&yQFDYDKDFLDDEDMR
y
3XQWRGHLQÁH[LyQ
y
&yQFDYDKDFLDDUULED
x x
x
0
1
Cálculo Diferencial d) 6XVWLWXLPRVORVSXQWRVGHLQÁH[LyQHQODVHJXQGDGHULYDGDSDUDGHWHUPLQDUVLVH WUDWDGHXQPi[LPRRPtQLPRUHODWLYR f KD\XQPtQLPRUHODWLYR
166
f KD\XQPi[LPRUHODWLYR f KD\XQPtQLPRUHODWLYR
/DVRUGHQDGDVGHORVSXQWRVGRQGHHVWiQORVPtQLPRV\Pi[LPRVHREWLHnen al sustituir los puntos críticos en fGHPDQHUDTXHpVWRVVHUiQ f SXQWRPtQLPRUHODWLYR
f SXQWRPi[LPRUHODWLYR f 1 1 SXQWRPtQLPRUHODWLYR
e) (OWUD]RGHHVWDIXQFLyQVHGDHQODVLJXLHQWHÀJXUD y
f’’(x) f’(x)
f’(x)=x+(4/3)x-4x
Max. f’’(x)<0
Pto. inflex. Min. f’’(x)>0
x
Min. f’’(x)>0
Punto inflex
FIGURA 4.17 Trazo de GHf’ y f’’.
/DÀJXUDUHSUHVHQWDWDQWRODSULPHUDFRPRODVHJXQGDGHULYDGDSXHVWRTXH YHUHPRVODUHODFLyQHQWUHVXVJUiÀFDVXQSRFRPiVDGHODQWH &RQVLGHUHPRVXQ~OWLPRHMHPSORGHHVWHFULWHULR
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización Ejemplo 9 2EWpQORVH[WUHPRVUHODWLYRVGH JXQGDGHULYDGD5HSUHVpQWDORHQXQWUD]R
al aplicar el criterio de la se
Solución Los puntos críticos son: x x x
/RVSXQWRVGHLQÁH[LyQHVWiQHQDXQTXHQRORVSLGHQORVGHWHUPLQDUHPRV SRUSUiFWLFD
c
c
/DVFRQFDYLGDGHVVHDSUHFLDQHQODVLJXLHQWHWDEOD Intervalo x
valor
y’’(t)
Característica de y
y
&yQFDYDKDFLDDUULED
y
3XQWRGHLQÁH[LyQ
x
0
y
&yQFDYDKDFLDDEDMR
y
3XQWRGHLQÁH[LyQ
1
y
&yQFDYDKDFLDDUULED
x
/RVH[WUHPRVUHODWLYRVVRQ f KD\XQPtQLPRUHODWLYRHQ
f KD\XQPi[LPRUHODWLYRHQ f KD\XQPtQLPRUHODWLYRHQ
167
Cálculo Diferencial (OWUD]RGHHVWDIXQFLyQVHGDHQODVLJXLHQWHÀJXUD y
168
f’’(x) f’(x)
f’(x)=x+(4/3)x-4x
Max. f’’(x)<0
Pto. inflex. Min. f’’(x)>0
Punto inflex
x
Min. f’’(x)>0
FIGURA 4.18. Trazo de la función
\VXSULPHUD\VHJXQGDGHULYDGD
2EVHUYDORVGHWDOOHVTXHUHODFLRQDQODVJUiÀFDVGHODVIXQFLRQHVff’ y f’’. De PDQHUDTXHWUDWDGHVDFDUWXVFRQFOXVLRQHV 8QD D\XGD TXH WH SXHGR SURSRUFLRQDU HV OD VLJXLHQWH EDViQGRWH HQ ODV JUiÀFDVGHODVÀJXUDV\ 6HREVHUYDTXH /DVLQWHUVHFFLRQHVFRQHOHMHKRUL]RQWDOGHf’’ son los puntos críticos de f’ HQGRQGHSRVLEOHPHQWHH[LVWHQYDORUHVH[WUHPRVGHf’. /DVDEVFLVDVGHORVSXQWRVPi[LPRVPtQLPRVGHODJUiÀFDGHf’ coinciden FRQODVDEVFLVDVGHORVSXQWRVGHLQÁH[LyQGHf. (OLQWHUYDORHQGRQGHf··HVQHJDWLYDHTXLYDOHQWHPHQWHHVWiSRUGHEDMR GHOHMHKRUL]RQWDO FRLQFLGHHQGRQGHf’ es decreciente. (OLQWHUYDORGRQGHf··HVSRVLWLYDHTXLYDOHQWHPHQWHHVWiHQFLPDGHOHMH KRUL]RQWDO FRLQFLGHGRQGHf’ es creciente.
$FWLYLGDG (QSDUHMDVUHDOLFHQXQGHEDWHVREUHODVUHODFLRQHVJUiÀFDVGHff’ y f··GHPDQHUDTXH puedan sacar conclusiones.
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización Respondan: ¢(VSRVLEOHGHWHUPLQDUODIXQFLyQRULJLQDOHQEDVHDODJUiÀFDGHODVHJXQGDGHULYDGD" (QFDVRDÀUPDWLYR¢FyPRVHUiHO´PpWRGRµSDUDGHWHUPLQDUODIXQFLyQRUL-
ginal?
(QFDVRQHJDWLYR¢TXpVHUHTXLHUHVDEHUGHPiV" (VFULEDQVXVFRQFOXVLRQHVJHQHUDOHV
Síntesis $KRUDHVQHFHVDULRTXHUHDOLFHVORVVLJXLHQWHVHMHUFLFLRVUHODFLRQDGRVDHVWDVHVLyQ FX\RFRQWHQLGRJHQHUDOVRQORVFULWHULRVGHODSULPHUD\VHJXQGDGHULYDGDSDUDKDOODU Pi[LPR\PtQLPRVGHIXQFLRQHV7UD]DODVJUiÀFDVGHODVIXQFLRQHV\RVXVGHULYDGDV FXDQGRVHDRSRUWXQRUHDOL]DUORPHGLDQWHXQJUDÀFDGRU 1. 0HGLDQWH OD DSOLFDFLyQ DQDOtWLFD GH OD SULPHUD GHULYDGD KDOOD ORV LQWHUYDORV HQ GRQGHODIXQFLyQHVFUHFLHQWH\GHFUHFLHQWHDVtFRPRORVYDORUHVPi[LPRV\PtQLPRVGHFDGDXQDGHODVIXQFLRQHVGHOHMHUFLFLRGHODVtQWHVLVGHODVHVLyQDQWHULRU 2. +DOODORVLQWHUYDORVGHFRQFDYLGDG\ORVSXQWRVGHLQÁH[LyQPHGLDQWHHOFULWHULR GHODVHJXQGDGHULYDGDGHODVIXQFLRQHV a) b) c)
d)
e)
3. +DOODORVYDORUHVH[WUHPRVFRQHOFULWHULRGHODVHJXQGDGHULYDGDGHODIXQFLyQ 2 2 . 4. Determina los máximos y mínimos mediante el uso del criterio de la segundad GHULYDGDGHFDGDXQDGHODVIXQFLRQHVGHOHMHUFLFLRGHODVtQWHVLVGHODVHVLyQ anterior. 5. 'HWHUPLQD ORV YDORUHV GH c y k SDUD TXH OD IXQFLyQ 3 tenga un H[WUHPRUHODWLYRHQHOSXQWRFRQFRRUGHQDGDV 6. 'HWHUPLQDORVYDORUHVGHc y kSDUDTXHODIXQFLyQ tenga un punto GHLQÁH[LyQHQHOSXQWRFRQFRRUGHQDGDV 7. (QFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVÀJXUDV VHUHSUHVHQWDODGHULYDGDf’ de f, esta última tiene dominio en todos los reales. Con esto determina:
169
Cálculo Diferencial I. Los puntos críticos de f. II. /RVLQWHUYDORVGHf en donde es creciente o decreciente. III. (QTXpSXQWRFUtWLFRWLHQHPi[LPRRPtQLPR
170
IV. 8QERVTXHMRGHFyPRVHUtDODJUiÀFDGHf. y
a)
Raices de f: -3.05, -1.65, 1.65 y 3.05
f´(x)
x -4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
FIGURA 4.19
-30
b) y
Raices de f’: -1.9, 0.75 y 2.2
f’(x) x -4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
5
-0.5
0.5
1
-30
c) FIGURA 4.20.
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización y
Raíces de f’:
f’’(x)
171 x
d) FIGURA 4.21.
y
Raíces de f’: -3 y -1
f’(x)
x -18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
e)
FIGURA 4.22.
6HVLyQ$SOLFDFLRQHVGHPi[LPRV y mínimos Criterios: ,GHQWLÀFRODVYDULDEOHVTXHLQWHUDFW~DQHQODVLWXDFLyQDRSWLPL]DU Distingo el resultado de la optimización de la situación en términos reales. Planteo correctamente los modelos matemáticos generados a partir de las situaciones a optimizar. 2EWHQJRORVYDORUHVPi[LPRVRPtQLPRVUHTXHULGRVHQEDVHDODVLWXDFLyQ a optimizar.
Cálculo Diferencial $SOLFRODVKHUUDPLHQWDV\PpWRGRVSDUDFRQVWUXLUODJUiÀFDGHXQDIXQFLyQ FRQEDVHHQODRSWLPL]DFLyQGHIXQFLRQHV
172
Represento los elementos de optimización de funciones mediante el uso de un softwareJUDÀFDGRU 3URPXHYR \ SURSRQJR VLWXDFLRQHV TXH KDJDQ HO XVR GH ORV PpWRGRV GH optimización de funciones.
Contextualización (Q OD VHVLyQ GHO EORTXH VH DQDOL]DURQ ORV PRGHODMHV PDWHPiWLFRV ~WLOHV SDUD SRGHU UHSUHVHQWDU ORV FRPSRUWDPLHQWRV GH ODV YDULDEOHV TXH HQWUDQ HQ MXHJR HQ XQDGHWHUPLQDGDVLWXDFLyQFRQHOÀQGHREWHQHUODVROXFLyQDGHWHUPLQDGDVLQWHUURJDQWHV UHVSHFWR D ODV YDULDEOHV TXH FRQIRUPDQ HO PRGHOR GH OD VLWXDFLyQ UHDO &RQVLGHUR~WLO\QHFHVDULRTXHUHDOLFHVXQUHSDVRGHOPpWRGR\HMHPSORVSURSXHVWRV SDUDIRUPXODUHVWHWLSRGHPRGHODMH$TXtHVWiODWDEODTXHUHVXPHHVWHPpWRGRGH SODQWHDPLHQWRYLVWRHQHOEORTXH &RPSUHQGHROHHELHQODVLWXDFLyQSUHVHQWDGD(V~WLOUHSUHVHQWDUODVLWXDFLyQHQXQGLDJUDPD5HFRQRFHTXpHVORTXHVHGHVHDVDEHU ,GHQWLÀFDORVGDWRVFRQRFLGRV\ORVTXHKDVGHREWHQHUHVWRVUHSUHVHQWDUiQODVYDULDEOHVTXHHQWUDUiQHQMXHJRHQHOPRGHOR(VLPSRUWDQWtVLPR TXH FRPSUHQGDV FXiO HV OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH \ FXiO VHUi OD GHSHQGLHQWHDGHPiVGHTXHVHSDVFyPRVHUHODFLRQDQHVWDVYDULDEOHV 3XHGHVXVDUODVOLWHUDOHVTXHGHVHHVSDUDUHSUHVHQWDUODVHQHOGLDJUDPD de la pauta anterior. &RQORVGDWRVUHFDEDGRV\ODVUHODFLRQHVHQWUHODVYDULDEOHVIRUPXODODV H[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVTXHVHDQSRVLEOHVGHPDQHUDTXHODYDULDEOHGHSHQGLHQWHTXHGHHQWpUPLQRVGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH(VWDUHODFLyQ será el modelo matemático de la situación. 'HWHUPLQDORVYDORUHVTXHVDWLVIDFHQODVLWXDFLyQSODQWHDGD\HVFULEHWX UHVSXHVWDHQWpUPLQRVGHODSUREOHPiWLFDRULJLQDO 8QDYH]TXHWHQJDVGHQXHYRODVHVWUDWHJLDVHQPHQWHSDUDGHWHUPLQDUODV YDULDEOHVGHOSUREOHPDREWpQODVHFXDFLRQHVSHUWLQHQWHV\OOHJDDOSODQWHDPLHQWRGH ODVLWXDFLyQ/RTXHVLJXHHVHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOHQDFFLyQHVGHFLUXWLOL]DUiVODV KHUUDPLHQWDV\SURFHVRVUHFDEDGRVDORODUJRGHORVEORTXHV0iVHVSHFtÀFDPHQWH XWLOL]DUiVHOFULWHULRGHODSULPHUDRVHJXQGDGHULYDGDFRQHOÀQGHREWHQHUODRSWLPL]DFLyQQHFHVDULD5HFXHUGDTXHHQHOEORTXHWXYLVWHXQOHYHDFHUFDPLHQWRFRQ Pi[LPRV\PtQLPRVGHPDQHUDDUELWUDULD\UHFXUULPRVDORVJUDÀFDGRUHVGHIXQFLRQHVSDUDGHWHUPLQDUORVYDORUHVPi[LPRVRPtQLPRVFRUUHVSRQGLHQWHVHQFDGDXQR de los modelos generados. La situación ahora es usar los criterios de máximos y míQLPRVGHIRUPDSXUDPHQWHDQDOtWLFDFRQODVIXQFLRQHVGHOPRGHORSDUDFRPSUREDU ODVDVHYHUDFLRQHVSRGHPRVXVDUODJUDÀFDGRUD
PUREOHPDWL]DFLyQ A modo de repaso de la construcción de un modelo matemático respecto a una siWXDFLyQUHDOWHSURSRQJRUHDOL]DUHQSDUHMDVODVLJXLHQWHDFWLYLGDG
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
$FWLYLGDG 3ODQWHD VLJXLHQGR ORV SXQWRV DQWHULRUHV HO PRGHOR PDWHPiWLFR GH OD VLWXDFLyQ MXQWRFRQODSRVLEOHVROXFLyQ\UHSUHVHQWDFLyQJUiÀFD'LYLGLUHOQ~PHURHQGRV SDUWHVGHPDQHUDTXHHOSURGXFWRGHOFXDGUDGRGHXQDGHODVSDUWHVFRQODRWUDVHD máximo. $TXtSXHGHVFRORFDUWXVSURFHGLPLHQWRV 1.
2.
3.
4.
$OUHDOL]DUHVWDDFWLYLGDGHVWDPRVUHODFLRQDQGRGHDOJXQDPDQHUDWRGROR TXHKHPRVHVWDGRWUDEDMDQGRGHVGHHOEORTXHKDVWDDKRUD<HVWHHVSUHFLVDPHQWH HOSRGHUTXHHO&iOFXOR'LIHUHQFLDOSRVHH\TXHJUDFLDVDORVWUDEDMRV\GHVFXEULPLHQWRVGHORVSHUVRQDMHVFLWDGRVDOLQLFLRGHHVWDREUDVHKDFRQVROLGDGRVXXWLOL]DFLyQ HQODVROXFLyQGHSUREOHPDVGHRSWLPL]DFLyQDXQTXHQRVRODPHQWHODDSOLFDFLyQGHO FiOFXORVHUHÀHUHDODGHWHUPLQDFLyQGHWDQJHQWHV\QRUPDOHVJUiÀFDVPi[LPRV\ PtQLPRVLQWHUSUHWDFLyQGHODYHORFLGDGHWFpWHUDVLQRTXHSRVHHXQJUDQDEDQLFR GHXWLOLGDGHV
173
Cálculo Diferencial 9DPRVDHPSH]DUFRQODSDUWHÀQDOGHHVWDREUDTXHFRPSUHQGHORTXH ya has aprendido.
174
FRUPDFLyQDGTXLVLFLyQFRQVWUXFFLyQ\ desarrollo de las competencias En ciertas situaciones sencillas es poco necesario el uso de procedimientos matePiWLFRVSDUDGHPRVWUDUVXYHUDFLGDGSHURSDUDMXVWLÀFDUODHOHFFLyQGHORVYDORUHV TXHVHFRQVLGHUDQORVDSURSLDGRVySWLPRV HVPiVIiFLOVLVHXWLOL]DDOJ~QFULWHULRGH máximo y mínimo. 3DUDDSOLFDUORVFULWHULRVGHPi[LPRV\PtQLPRVODIXQFLyQKDGHVHUFRQWLQXDHQXQLQWHUYDORFHUUDGR3HURHOVLJXLHQWHWHRUHPDQRVJDUDQWL]DUiODREWHQFLyQ GHXQH[WUHPRUHODWLYR Teorema 4.8 Si la función fHVFRQWLQXDHQXQLQWHUYDORTXHFRQWLHQH ~QLFRYDORUc donde f(c HVXQH[WUHPRUHODWLYRGHHQHVHLQWHUYDORHQWRQFHVf(c HVXQH[WUHPRUHODWLYRDEVROXWRGHfHQHOLQWHUYDORGHVFULWR (QUHVXPHQSDUDUHVROYHUXQSUREOHPDGHRSWLPL]DFLyQKDGHVHJXLUVHOD guía general dada a continuación. *XtD SDUD UHVROYHU SUREOHPDV GH RSWLPL]DFLyQ DSOLFDFLyQ GH Pi[LPRV \ PtQLPRV 1. &RPSUHQGHELHQODVLWXDFLyQSUHVHQWDGD(V~WLOUHSUHVHQWDUODVLWXDFLyQHQXQ GLDJUDPD5HFRQRFHTXpHVORTXHVHGHVHDREWHQHU 2. ,GHQWLÀFDORVGDWRVFRQRFLGRV\ORVTXHKDVGHREWHQHUpVWRVUHSUHVHQWDUiQ ODVYDULDEOHVTXHHQWUDUiQHQMXHJRHQHOPRGHOR,GHQWLÀFDUODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH\ODGHSHQGLHQWHDGHPiVGHUHODFLRQDUODV3XHGHVXVDUODVOLWHUDOHV TXHGHVHHVSDUDUHSUHVHQWDUODVHQHOGLDJUDPDGHODSDXWDDQWHULRU 3. &RQORVGDWRVUHFDEDGRV\ODVUHODFLRQHVHQWUHODVYDULDEOHVIRUPXODODVH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVTXHVHDQSRVLEOHVGHPDQHUDTXHODYDULDEOHGHSHQGLHQWH TXHGHHQWpUPLQRVGHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHpVWDGDUiHOPRGHORPDWHmático de la situación. 4. $SOLFDHOFULWHULRGHRSWLPL]DFLyQQHFHVDULRRUHTXHULGRFULWHULRGHODSULPHUD RVHJXQGDGHULYDGD FRQHOÀQGHKDOODUORVYDORUHVTXHVDWLVIDFHQODVLWXDFLyQ SODQWHDGD\HVFULEHWXUHVSXHVWDHQWpUPLQRVGHODSUREOHPiWLFDRULJLQDO 5. Realiza un trazo del modelo y su solución si es necesario. &RQODSUHPLVDGHTXH\DKDVDQDOL]DGR\UHSDVDGRODFRQVWUXFFLyQPRGHORVPDWHPiWLFRVGDUpVyORHQHOSULPHUHMHPSORXQDVLWXDFLyQTXHVHUHVROYHUiSDVR DSDVRDFRQÀQHVGLGiFWLFRVVLJXLHQGRORVSXQWRVDQWHULRUHV/RVFXDWURHMHPSORV TXHOHVLJXHQVHUiQGHFLHUWRPRGRGLUHFWR1RGXGHVHQSHGLUD\XGDDWXGRFHQWH RFRPSDxHURVHQFXDOTXLHUPRPHQWR Ejemplo 10 'LYLGLUHQGRVSDUWHVHOQ~PHURGHPDQHUDTXHHOSURGXFWRGHHVWDVSDUWHVVHD máximo.
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización Solución Vamos paso a paso: 1. 5HTXHULPRVKDOODGRVQ~PHURVFX\DVXPDVHD\DGHPiVHOSURGXFWRXQR SRURWURVHDXQDFDQWLGDGPi[LPDHVGHFLUODVPiVJUDQGHSRVLEOH 2. $TXtSRGHPRVXVDUODVYDULDEOHV xUHSUHVHQWDUiXQRGHORVQ~PHURVDEXVFDU 150-xVHUiHOVHJXQGRQ~PHUR\DTXHDPERVGHEHQVXPDU PHOSURGXFWRDPERVQ~PHURVDGHWHUPLQDUDPD[LPL]DU /DYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHVHUix y la dependiente será P 3. /DUHODFLyQHQWUHHVWDVYDULDEOHVVHUi
(VWH\DHVGHSRUVtXQPRGHORFRQXQDVRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHUD]yQ SRUODTXHQRUHTXHULUHPRVUHDOL]DUOHQDGDPiV 4. $SOLFDUHPRVHOFULWHULRGHODSULPHUDGHULYDGD
El punto crítico del modelo será: c
1RWHPRVTXHODIXQFLyQ3x HVWiGHÀQLGDSDUDYDORUHVxHQHOLQWHUYDORFHUUDGR>@\DTXHQRSRGHPRVUHDOL]DUODGLYLVLyQGHOQ~PHURIXHUDGHHVWRV YDORUHVFRPSUHQGLGRVHQHOLQWHUYDORVHxDODGR2EVHUYDUHPRVDKRUDHOFRPSRUWDmiento de S’(x HQORVGRVLQWHUYDORVJHQHUDGRV Intervalo
valor
P´(x)
x
50
100
x
x
&RQHVWRQRWDPRVTXH3FDPELDGHD²HQHOSXQWR x FRQORFXDO LQGLFDTXHKD\XQPi[LPRUHODWLYRDOOt$VtFDOFXODPRVHOYDORUGHOPi[LPR
(QWRQFHVORVQ~PHURVEXVFDGRVVRQ\² ORVFXDOHVHIHFWLYDPHQWHVXPDQ\VXSURGXFWRHV(VWHHVHOPD\RUSRVLEOHTXHFXPSODOD FRQGLFLyQ&XDOTXLHURWURSDUTXHVXPHGLIHUHQWHVDHVWRVWHQGUiQXQSURGXFWR PHQRUD
175
Cálculo Diferencial 5. 5HDOL]DPRVHOWUD]RGHOPRGHORFRQVXLQWHUSUHWDFLyQGHOPi[LPRDEVROXWR y
176
Máximo (75, 5625)
5000
s(x)=x(150-x)
4000
3000
2000
1000
x 20
40
60
80
100
120
140
160
180
FIGURA 4.23. 7UD]RGHOPRGHOR\VXPi[LPRGHODVLWXDFLyQGHOHMHPSOR
$XQTXHODIXQFLyQHVWiGHÀQLGDHQODUHDOLGDGHQHOLQWHUYDOR>@DTXt se representa en los reales. Ejemplo 11 $ODVSPODHPEDUFDFLyQ%VHHQFXHQWUDD NPDO2HVWHGHODHPEDUFDFLyQ$/DHPEDUFDFLyQ %QDYHJDKDFLDHVWHDXQDYHORFLGDGGHNPK\ $KDFLDHO1RUWHDXQDYHORFLGDGGHNPK6LVH PDQWLHQHQHVRVUXPERV\YHORFLGDGHV¢FXiQGRVH HQFRQWUDUiQORPiVFHUFDQRSRVLEOHXQRGHORWUR" Solución /RTXHGHVHDPRVKDOODUHVODKRUDGHOGtDHQTXH ODGLVWDQFLDHQWUHDPEDVHPEDUFDFLRQHVHVPtQLPD FIGURA 4.24 'RVHPEDUFDFLRQHVDODGLVWDQFLD GLVWDQFLD PiV FRUWD 8Q GLDJUDPD GH HVWD VLWXDción se presenta a continuación
A: D 9t
B
6t
B:
40-6t
A
40
FIGURA 4.25 Diagrama de la situación de las HPEDUFDFLRQHV
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización /DVYDULDEOHVVHUiQ tWLHPSRHQKRUDVWUDQVFXUULGRGHVGHODVSP DODGLVWDQFLDHQWUHODVHPEDUFDFLRQHVWUDVWUDQVFXUULUt horas. &ODUDPHQWHODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHVD y la independiente t. El modelo surge como sigue: 'HODIyUPXODGHYHORFLGDGXQLIRUPHVHWLHQHTXHd=vtSRUORTXHVLWUDQVcurren tKRUDVHQWRQFHVODGLVWDQFLDTXHWUDQVLWDODHPEDUFDFLyQAVHUit km llegando al punto AtSRUVXSDUWHB transita 6t km llegando al punto Bt. Con estos datos \HOGLDJUDPDGHODÀJXUDVHQRWDSRUHOWHRUHPDGH3LWiJRUDVTXHODGLVWDQFLD entre los puntos At y Bt es:
(VWHPRGHORGHODGLVWDQFLDDPLQLPL]DUHV\DXQDIXQFLyQGHXQDVRODYDULDEOH&DOFXOHPRVDKRUDHOPtQLPRFRQHOFULWHULRGHODSULPHUDGHULYDGD El único punto crítico será:
t t
Veamos si se trata de un mínimo: Intervalo
valor
D’(x)
t
0
D
t
D
t!
D
&ODUDPHQWHQRWDPRVTXHH[LVWHXQYDORUPtQLPRHQ x y cuya ordenada es D
(V GHFLU FXDQGR KDQ WUDQVFXUULGR R KUV HV GHFLU D ODV KUVODVHPEDUFDFLRQHVVHHQFRQWUDUiQHQVXSXQWRPiVFHUFDQR (VWDGLVWDQFLDPtQLPDHVGHNP
177
Cálculo Diferencial El trazo es el siguiente: D
178
60
D(t)= 1600-480t+117t2 40
Raíces de f’: 20
t -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-20
FIGURA 4.26 Trazo de una función y su mínimo.
Ejemplo 12 /DUHVLVWHQFLDGHXQDYLJDUHFWDQJXODUHVGLUHFWDPHQte proporcional a la anchura y al cuadrado de la proIXQGLGDG¢&XiOHVVHUiQODVGLPHQVLRQHVGHODYLJDGH PD\RUUHVLVWHQFLDTXHVHSXHGHDVHUUDUGHXQWURQFR de 15 cm de radio? FIGURA 4.27
Solución
6HGHVHDREWHQHUHOODUJR\DQFKRGHOFRUWHWUDQVYHUVDOGHOWURQFRSDUDJHQHUDUXQD YLJDGHPi[LPDUHVLVWHQFLD/DÀJXUDQRVGDODLGHDGHODYLVWDWUDQVYHUVDOGHO WURQFR\GHOSRVLEOHFRUWHGHODYLJD
y
x FIGURA 4.28 Representación de la situaFLyQGHOHMHPSOR
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización /DVYDULDEOHVVHUiQxODDQFKXUDyODSURIXQGLGDG\RODUHVLVWHQFLDGHOD YLJD(VWDVVHUHODFLRQDQGHPDQHUDTXHODUHVLVWHQFLDHVGLUHFWDPHQWHSURSRUFLRQDO a la anchura x y al cuadrado de la profundidad y. Es decir:
2
179
3HURFRPRWHQHPRVGRVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVHQWRQFHVUHFXUULPRVD sustituir y2GHODUHODFLyQSLWDJyULFDPRVWUDGDHQODÀJXUDGRQGHHOGLiPHWURHV GHFP
De donde:
Esta es el modelo de la resistencia a maximizar. 8VHPRVDTXtHOFULWHULRGHODVHJXQGDGHULYDGD c
(VWHHVHO~QLFRSXQWRFUtWLFR¢SRUTXpQRVHFRQVLGHUDHOQHJDWLYR"
Sustituyendo el punto crítico c el signo resultante.
HQODVHJXQGDGHULYDGDREVHUYDPRV
R
&RQORFXDOVHDÀUPDTXHVHWUDWDGHXQPtQLPRDEVROXWR$VtTXHHOFRUWH de anchura de profundidad será: y
La resistencia máxima es de
R
Cálculo Diferencial *UiÀFDPHQWHHOPRGHORHV
180
Máximo (17.32, 10392.3) 10000
8000
R(t) = 900x-x3
6000
4000
2000
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
FIGURA 4.29 5HSUHVHQWDFLyQGHODVLWXDFLyQGHOHMHPSOR
Ejemplo 13 8QD FRPSDxtD GH MXJXHWHV SODQHD XQ QXHYR SUR\HFWR 6H WUDWD GH XQ VRPEUHUR GH PDJR GHQWURGHXQDHVIHUDDOTXHVHOHSXHGHQKDFHU SUHJXQWDV (O VRPEUHUR GHO PDJR GHEH WRFDU ORVERUGHVGHODHVIHUDFRPRVHREVHUYDHQOD ÀJXUD 3DUD SUHVHQWDUOR D ORV HMHFXWLYRV ORV FUHDWLYRVHQFDUJDGRVGHVHDQFUHDUXQPRGHOR $\~GDORVGHPDQHUDTXHGHWHUPLQDODDOWXUDGH XQFRQRGHYROXPHQPi[LPRTXHHVWiLQVFULWR en una esfera cuyo radio es de 1m. FIGURA 4.30 (MHPSORUHDOGHODVLWXDFLyQ Solución +HPRVGHREWHQHUODDOWXUDGHXQFRQRLQVFULWRHQXQDHVIHUDGHUDGLRGHPDQHUD TXHHOYROXPHQGHGLFKRFRQRVHDHOPiVJUDQGHSRVLEOH/DVYDULDEOHVVHUiQr para HOUDGLRGHOFRQRh para su altura y VSDUDHOYROXPHQGHOFRQR(VWDVVHUHODFLRQDQ GHPDQHUDTXHSDUDHOFRQR
S
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización (VWDUHODFLyQWLHQHGRVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVUD]yQSRUODTXHEDViQGRQRVHQODVLJXLHQWHÀJXUDREWHQGUHPRVRWUDUHODFLyQHQWUHODVYDULDEOHVr y h.
r
181
h
(2 - h)
FIGURA 4.31 Representación de la situación del cono inscrito en una esfera de radio 1.
$TXtVHWLHQHODVHPHMDQ]DGHWULiQJXORVUHFWiQJXORVGHGRQGHVHREWLHQHTXH 2
&RQORTXH 2 2 2 2
6XVWLWX\HQGRHVWHYDORUHQODHFXDFLyQGHOYROXPHQVHOOHJDDOPRGHORGH esta situación.
S
S
(VWHPRGHORHVHOTXHGHVDUUROODUHPRVFRQHOFULWHULRGHODVHJXQGDGHULYDGDFRQHOÀQGHKDOODUVXYDORUPi[LPR
S
/RVYDORUHVFUtWLFRVVHUiQ\ SHURVÐORVHXWLOL]DUi¢SRUTXp" c
$VtTXHGHULYHPRVRWUDYH]
S
Cálculo Diferencial Notemos el signo de V’’ con el punto crítico:
182
S S V
$OVHUQHJDWLYRHVWRFRQÀUPDODSUHVHQFLDGHXQPi[LPRHQh (VWH máximo es: S S V
Finalizo con el trazo de V y su máximo. V 20
20
20
20
20
h -1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.5
-1
-1.5
-2
FIGURA 4.32 Trazo de
S y su máximo.
A FRQWLQXDFLyQFRQFOXLPRVFRQHVWDVHULHGHHMHPSORVGHDSOLFDFLyQGHORV FULWHULRVGHODSULPHUD\VHJXQGDGHULYDGD(VWH~OWLPRHMHPSORHVDSOLFDEOHDOD)tVLca. Ejemplo 14 8QSUR\HFWLOVHODQ]DDXQDYHORFLGDGLQLFLDOV0 y un ángulo de inclinación Lj. De maQHUDTXHODWUD\HFWRULDGHOPLVLOTXHGDGHWHUPLQDGDSRUHOVLVWHPD Y (x) =
−9.8 x2 + x tan 2V02 cos2
y la representación GHHVWRVHKDOODHQODÀJXUD En donde
FIGURA 4.33.
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización Y V0
183
0
A
X
FIGURA 4.34 (VTXHPDGHOSUR\HFWLO
a) Si V0\LjHVWiQÀMDVHQXQEODQFRKDOODODDOWXUDPi[LPDTXHDOFDQ]DHOPLVLO b) Determina el alcance horizontal AGHOSUR\HFWLOVXSRQLHQGRTXHV0 es constante Solución D 3DUD HVWH LQFLVR VH FRQVLGHUD V0 y Lj FRQVWDQWHV SRU OR TXH GHULYDQGRVHUiUHVSHFWRDx: Y (x) =
−9.8 x2 + x tan 2V02 cos2
(OYDORUFUtWLFRVHUi T T
T T
T T T
T T
'HPRVWUHPRVDKRUDTXHHIHFWLYDPHQWHVHWUDWDGHXQYDORUPi[LPRFRQHO FULWHULRGHODVHJXQGDGHULYDGD
T
(VWDIXQFLyQHVQHJDWLYD\DTXHDOVHU V y SRVLWLYDV\GLIHUHQWHVGH V T HVWR FRQÀUPD OD SUHVHQFLD GH XQ Pi[LPR HQ HO SXQWR cero entonces crítico
V T T (VWHYDORUPi[LPRWLHQHRUGHQDGD
T T T T T T T T T T
$FWLYLGDG 5HVXHOYHGHIRUPDDQDOtWLFDFRQHOFULWHULRGHODSULPHUDRVHJXQGDGHULYDGD FDGD XQDGHODVVLWXDFLRQHVGHRSWLPL]DFLyQUHDOL]DGDVGHIRUPDJUiÀFDPHQWHHQHOEORTXHHMHPSORVDGHODVHVLyQ
Cálculo Diferencial
184
([LVWHQD~QPiVDSOLFDFLRQHVGHO&iOFXORDODYLGDFRWLGLDQD\HQODVFLHQFLDVSHURHQYLVWDGHODSUHPXUDGHOWLHPSRQRQRVVHUiSRVLEOHDEDUFDUPiVGHOR TXHVHTXLVLHUD(VLPSRUWDQWHTXHGHGLTXHVXQSRFRWLHPSRDODLQYHVWLJDFLyQGH ODVDSOLFDFLRQHVGHRSWLPL]DFLyQ\DVHDHQOLEURVUHYLVWDVGHGLYXOJDFLyQFLHQWtÀFDR en páginas de internet. /DRSWLPL]DFLyQGHIXQFLRQHVTXHSURYLHQHQGHVLWXDFLRQHVRSUREOHPDV VRQGHPXFKDXWLOLGDGHQODVHPSUHVDVSXHVpVWDVHQPRGRJHQHUDOGHVHDQFRQVXPLU HO PtQLPR PDWHULDO R HO PHQRU FRVWR PiV DXQ GHVHDQ REWHQHU ODV PHMRUHV JDQDQFLDVSRUODVYHQWDVGHVXVSURGXFWRVDSUHFLRVySWLPRV(VWDQWDODQHFHVLGDG GHODRSWLPL]DFLyQHQODVLQGXVWULDVTXHH[LVWHQSURJUDPDVLQIRUPiWLFRVGHRSWLPL]DFLyQGHPDWHULDOHVFRVWRVGHSURGXFFLyQHWFpWHUD8QHMHPSORGHHVWRVHKDOODHQ ODSiJLQDGHLQWHUQHWKWWSZZZFRUWHRSWLPRFRPHQGRQGHVHRIUHFHHOSURJUDPD GHFRUWHGHSODQFKDVUHFWDQJXODUHV\EDUUDVORQJLWXGLQDOHVFRQHOÀQGHDKRUUDUPDWHULDO\GLVPLQXLUORVFRVWRV(VWRVHOOHYDDFDERFRQODYHUVLyQCorte5. Este software VHXVDHQSDtVHVLQFOX\HQGR0p[LFR\VHDGTXLHUHFRQGtDVGHSUXHEDDQWHV GHFRPSUDUOR&RQVXOWDODSiJLQDFLWDGD\HFKDXQYLVWD]RGHXQDGHODVDSOLFDFLRQHV reales del Cálculo. (QHVWHEORTXHKHPRVUHVFDWDGRWRGRORTXHSUHYLDPHQWHDQDOL]DPRVDOR ODUJRGHORVEORTXHVDQWHULRUHVUD]yQSRUODTXHSXHGRDÀUPDUWHTXH ´(O&iOFXORQRWLHQHOtPLWHVSDUDVXDSOLFDFLyQ\DTXHGHIRUPDFRQWLQXD SRGHPRVDSOLFDUVXKHUUDPLHQWDEiVLFDTXHHVODGHULYDFLyQSDUDRSWLPL]DUVLWXDFLRQHVUHDOHVµ
Síntesis 5HVXHOYHFDGDXQDGHODVVLWXDFLRQHVVLJXLHQWHVGHPDQHUDTXHLGHQWLÀTXHVORVSDVRV SDUDREWHQHUHOYDORUySWLPRUHTXHULGR$SOLFDHOFULWHULRGHODSULPHUDRVHJXQGDGHULYDGDVHJ~QFRQVLGHUHWXGRFHQWH3XHGHVDSR\DUWHHQXQJUDÀFDGRUGHIXQFLRQHV sólo para demostrar tus resultados analíticos. 1. (OiUHDWRWDOGHXQDFDMLWDGHEDVHFXDGUDGDGHEHVHUGHFP¢4XpGLPHQVLRQHV KDGHWHQHUODFDMLWDSDUDREWHQHUXQYROXPHQPi[LPR" 2. +DOODODVGLPHQVLRQHVGHODVVLJXLHQWHVÀJXUDVLQVFULWDVSDUDTXHWHQJDQXQiUHD máxima: a) 8QUHFWiQJXORHQXQWULiQJXORGHEDVHFP\DOWXUDFP b) 8QWULiQJXORLVyVFHOHVHQXQDFLUFXQIHUHQFLDGHUDGLRFP c) 8QUHFWiQJXORHQXQDHOLSVHGHVHPLHMHVa y b. 3. +DOODODVGLPHQVLRQHVGHODVVLJXLHQWHVÀJXUDVLQVFULWDVSDUDTXHWHQJDQXQYRlumen máximo: a) 8QFRQRHQXQDHVIHUDGHUDGLR. b) 8QFLOLQGURHQXQDHVIHUDGHUDGLR c) 8QFLOLQGURHQXQFRQRGHUDGLRr y altura h. 6HGHVHDFRQVWUXLUXQWDQTXHFRQWDSDHQIRUPDFLOtQGULFDFLUFXODUGHPDQHUDTXHHOFRVWRGHOiUHDODWHUDOHVGHGHORTXHFXHVWDODEDVH\WDSD¢&XiOHV VRQODVPHGLGDVySWLPDVGHOFLOLQGURSDUDTXHVHWHQJDXQFRVWRPHQRU" 4. 'HWHUPLQDHOSXQWRFRRUGHQDGRGHODFXUYDxy = 1, GHPDQHUDTXHVXGLVWDQFLDDO origen sea la menor.
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización 5. Halla las dimensiones de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud FRQVWDQWHGHPDQHUDTXHFRQWHQJDXQiUHDPD\RU 6. 6LGLVSRQHVGHXQKLORGHPGHODUJR\KDVGHFRUWDUORHQGRVSDUWHVGHIRUPD TXHFRQXQDGHODVSDUWHVIRUPHVXQWULiQJXORHTXLOiWHUR\FRQODRWUDXQFtUFXOR FRQiUHDVPi[LPDV¢GHTXpORQJLWXGGHEHQVHUODVGRVSDUWHV" 7. ¢&XiOHVHOWHUUHQRUHFWDQJXODUGHPD\RUiUHDTXHVHSXHGHIRUPDUFRQPGH DODPEUDGR" 8. +DOODUGRVQ~PHURVSRVLWLYRVGHIRUPDTXHODVXPDGHOGREOHGHXQRGHHOORV FRQHORWURVHDPtQLPDWRPDQGRHQFXHQWDTXHHOSURGXFWRGHGLFKRVQ~PHURV HVLJXDOD 9. +DOODUGRVQ~PHURVVLVXGLIHUHQFLDHVGH\VXSURGXFWRGHXQYDORUPtQLPR 10. 6HTXLHUHFRORFDUXQDYDOODDOUHGHGRUGHXQWHUUHQRUHFWDQJXODUGHiUHD mGHPDQHUDTXHVHDGLYLGLGDHQGRVSDUWHVSRUXQDYDOODSDUDOHODDXQRGHORV ODGRVGHOWHUUHQR2EWpQODVGLPHQVLRQHVGHOWHUUHQRSDUDTXHODORQJLWXGWRWDOGH ODYDOODXWLOL]DGDVHDODPtQLPD 11. 6H WLHQH XQ UHFWiQJXOR HQ HO SODQR FDUWHVLDQR GH PDQHUD TXH GRV GH VXV YpUWLFHVHVWiQVREUHODVUHFWDV y UHVSHFWLYDPHQWHORVRWURV GRVYpUWLFHVVHHQFXHQWUDQVREUHHOHMH;+DOODUHOYDORUGHODRUGHQDGDySDUDTXH se tenga el rectángulo con mayor área. SDUDREWHQHUXQ 12. 2EWpQHOYDORUGHp, constante en la relación YDORUGHT máximo.
13. 8QSHVFDGRUVHHQFXHQWUDHQHOPDUHQXQSXQWRPTXHHVWiDNPDOQRUWH del punto A de la playa. Este pescador desea llegar al punto BTXHHVWiDNPDO oeste del punto AVREUHODRULOODGHODSOD\D(OSHVFDGRUGHVHDGHVHPEDUFDUHQ un punto C de la playa entre A y BSDUDFRUUHUVREUHHVWDKDVWDOOHJDUDB. Si éste QDYHJDDNPK\FRUUHDNPK¢DTXpGLVWDQFLDC medida desde AGHEH GHVHPEDUFDUSDUDOOHJDUFRUULHQGRDBHQHOPHQRUWLHPSRSRVLEOH" 14.
(QFXHQWUD ODV GLPHQVLRQHV GHO UHFWiQJXOR GH iUHD Pi[LPD TXH SXHGH VHU interceptada por la recta
LQVFULWRHQODSRUFLyQGHODSDUiEROD
.
15. 8QDHPSUHVDVDEHTXHORVFRVWRVGHSURGXFFLyQGHVXVDUWtFXORVHV está dado por:
donde x UHSUHVHQWDOD FDQWLGDGGHDUWtFXORV YHQGLGRV HQPLOHV 2EWpQ OD cantidad de artículos para tener un costo mínimo. 16. 8QDODWDFLOtQGULFDWHQGUiXQDEDVHSODQD\XQDWDSDHQIRUPDGHVHPLHVIHUD GHPDQHUDTXHFRQWHQJDXQYROXPHQGHFP¢&XiOHVVHUiQODVGLPHQVLRQHV GHpVWDSDUDWHQHUXQDFDQWLGDGPtQLPDGHPDWHULDOTXHODFRQIRUPD"
185
Cálculo Diferencial
0LSUR\HFWRGHOEORTXH 186
$ÀQGHUHWRPDUWRGRORYLVWRHQHVWH\ORVDQWHULRUHVEORTXHVVHWHGDHOSUR\HFWRGH HVWHEORTXHHOFXDOUHVXPHJUDQSDUWHGHORDQDOL]DGRHQHVWDREUD Proyecto:
$SOLFDFLyQGHORVFULWHULRVGHODSULPHUD\VHJXQGDGHULYDGD
Problema:
0RGHODUODVLWXDFLyQ\UHVROYHUODFRQORVPpWRGRVGHPi[Lmos o mínimos
Duración
8QDVHPDQD
Puntuación
Competencias
15 puntos $UJXPHQWDODVROXFLyQREWHQLGDGHXQSUREOHPDFRQPpWRGRVQXPpULFRVJUiÀFRVDQDOtWLFRVYDULDFLRQDOHVPHGLDQWHHO OHQJXDMHYHUEDOPDWHPiWLFR\HOXVRGHODVWHFQRORJtDVGHOD información y la comunicación. 8WLOL]DODVWHFQRORJtDVGHODLQIRUPDFLyQ\FRPXQLFDFLyQSDUD procesar e interpretar información. $TXtPDQHMDUiVHOPRGHORUHDOL]DGRHQHOSUR\HFWRGHOEORTXH6HWUDWDEDGHPRGHODUHOSUREOHPDGHXQPDJRTXH SUHWHQGtDFXEULUXQFLOLQGURFLUFXODUUHFWRFRQXQDVPHGLGDV HVSHFtÀFDV Puedes retomar este modelo dando los pasos necesarios SDUDREWHQHUOR/DFXHVWLyQFRQVLVWHDKRUDHQGHWHUPLQDUORV YDORUHVGHOUDGLR\DOWXUDSDUDTXHVHWHQJDHOFRQRGHPD\RU YROXPHQSHURSRUORVPpWRGRVGH /DSULPHUDGHULYDGD /DVHJXQGDGHULYDGD
Actividades
$GHPiVGHTXHREWHQJDVORVLQWHUYDORVHQGRQGHODIXQFLyQ del modelo es: Creciente. Decreciente. 6XVSXQWRVGHLQÁH[LyQ Has de representar todos estos hechos y elementos de maQHUDHVFULWD\JUiÀFDPHGLDQWHHOsoftwareFRQYHQLGRHQORV EORTXHVDQWHULRUHVFRQHOÀQSRGHUSUHVHQWDUWXVUHVXOWDGRV HQGLDSRVLWLYDVRDOJ~QRWURPHGLRLQIRUPiWLFRYLVXDO 6LWXGRFHQWHORFRQVLGHUDQHFHVDULRWHDJUXSDUiHQHOPLVPR HTXLSRGHOSUR\HFWRGHOSULPHUEORTXH
Recursos
/LEURGHWH[WR3&softwareLQIRUPiWLFRGHJUDÀFDFLyQKRMDV HQEODQFRLPSUHVRUDOLEURVGHFRQVXOWDHQODELEOLRWHFD
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
Normas
6HSUHVHQWDUiHQODIHFKDLQGLFDGDSRUWXGRFHQWHeOGHWHUPLQDUiODVFXHVWLRQHVQRSUHYLVWDVVHJ~QVXEXHQMXLFLR 7RGRVHQHOHTXLSRSDUWLFLSDUiQ\SUHVHQWDUiQHOSUR\HFWRGHO PRGRTXHVXGRFHQWHVHxDOH
Realimentación 7UDEDMDHQSDUHMDVSDUDUHVROYHUHVWRVHMHUFLFLRVGHFRPSLODFLyQGHODVVHVLRQHVYLVWDV VLWXGRFHQWHORFRQVLGHUDQHFHVDULR8WLOL]DXQsoftware si lo precisas.
no posee ni máximos ni míI. 3UXHEDDQDOtWLFDPHQWHTXHODIXQFLyQ nimos. tiene un mínimo II. 'HPXHVWUDTXHODIXQFLyQ UHODWLYRc cuando .
III. 0XHVWUDTXHODIXQFLyQSROLQRPLDOGHJUDGR FRQ a z 0 SXHGHWHQHURYDORUHVFUtWLFRV$GHPiV¢FXiQWRVYDORUHVH[WUHPRVSXHGH poseer?
IV. 3UXHEDDQDOtWLFDPHQWHTXHORVSXQWRVGHLQÁH[LyQGHODFXUYD 2 se 2 encuentran en una misma recta. V. 'HWHUPLQDORVYDORUHVGHb, c, d y kSDUDTXHODIXQFLyQ WHQJDXQH[WUHPRUHODWLYRHQORVSXQWRVFRQFRRUGHQDGDV \ VI. 'LYLGLUDOQ~PHURaHQGRVSDUWHVGHPDQHUDTXHHOSURGXFWRGHHVWDVSDUWHVVHD máximo. VII.
/D YHORFLGDG GHO DLUH TXH SDVD D WUDYpV GH OD WUiTXHD KXPDQD GH UDGLR a
está dada por GRQGHkHVXQYDORUFRQVWDQWHTXHGHSHQGHGHOD SHUVRQD\GHRWURVIDFWRUHV¢4XpUDGLRPD[LPL]DODYHORFLGDGGHODLUHTXHSDVD SRUODWUiTXHD" VIII. 8QWUDSHFLRLVyVFHOHVHVWiLQVFULWRHQXQDFLUFXQIHUHQFLDGHUDGLRrGHPDQHUDTXHXQDGHODVEDVHVGHOWUDSHFLRHVHOGLiPHWURGHODFLUFXQIHUHQFLD'HWHUPLQD ODORQJLWXGGHODRWUDEDVHGHIRUPDWDOTXHUHVXOWHXQWUDSHFLRGHiUHDPi[LPD IX. 8QDSLVFLQDWHQGUiIRUPDGHXQUHFWiQJXORFRQXQWULiQJXORUHFWiQJXORLVyVFHOHV en uno de sus lados. Si el perímetro total de esta piscina mixta es de a metros. 'HPXHVWUDTXHODPD\RUFDQWLGDGGHDJXDTXHSXHGHFRQWHQHUVHUiVyORFXDQGR la longitud de los lados del rectángulo es igual a la longitud de los catetos del triángulo. X. Halla el punto de la recta más cercano al origen. XI. La intensidad de iluminación EHQOX]TXHSURGXFHXQIRFRHQFXDOTXLHUSXQWRHV directamente proporcional a la intensidad IGHOIRFRHQFDQGHODVHLQYHUVDPHQWH proporcional al cuadrado de la distancia dDOIRFRGDGDHQPHWURV'HPDQHUDTXH matemáticamente se tiene:
187
Cálculo Diferencial
E=
188
KI d2
Si dos focos se encuentran a una distancia a y tienen intensidades I1 e I2 KDOODHOSXQWRGHOVHJPHQWRTXHORVXQHGRQGHODLOXPLQDFLyQVHDPHQRUVXSRQLHQGRTXHODLOXPLQDFLyQHQFXDOTXLHUSXQWRHVODVXPDGHODVLOXPLQDFLRQHVGHFDGD XQRGHORVIRFRV XII. 8QJHQHUDGRUGHIXHU]DHOHFWURPRWUL]\UHVLVWHQFLDLQWHUQDr se conecta a una resistencia RGHIRUPDTXHVHUHODFLRQDQSRUODIyUPXODGHSRWHQFLDGLVLSDGD PHVGHFLU
H 2
2
'RQGH ODV UHVLVWHQFLDV HVWiQ HQ RKP \ OD SRWHQFLD HQ YROWLRV &RQ HVWR GHWHUPLQDHOYDORUGHODUHVLVWHQFLDR en función de rSDUDTXHODSRWHQFLDVHDPD\RU
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
(YDOXDFLyQGHODFRPSHWHQFLD (VLPSRUWDQWHTXHREVHUYHVFRQGHWHQLPLHQWRSRUFDGDHTXLSRODVSDXWDVGDGDVHQ ODU~EULFDGHOSUR\HFWR Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Conocimientos
Nivel de logro o desempeño 5 Estratégico
4 Autónomo
Reconozco en todo tiempo las YDULDEOHV TXHHQWUDQ HQMXHJRHQ la situación del proyecto.
Reconozco la mayor parte del tiempo las YDULDEOHV TXHHQWUDQ HQMXHJRHQ la situación del proyecto.
Distingo todos los elementos relacionados a máximos y mínimos. así como de los criterios de la primera y segunda GHULYDGD ,GHQWLÀFR la solución REWHQLGD en términos de la SUREOHPitica inicial dándole un VLJQLÀFDGR
Distingo la mayoría de los elementos relacionados a máximos y PtQLPRV así como de los criterios de la primera y segunda GHULYDGD ,GHQWLÀFR la solución REWHQLGD en términos de la SUREOHPitica inicial dándole un VLJQLÀFDGR
3 Básico
2 Inicial
1 Pre-formal
Reconozco sólo en pocas ocasiones las YDULDEOHV TXHHQWUDQ HQMXHJRHQ la situación del proyecto.
Reconozco difícilmente una de las YDULDEOHV TXHHQWUDQ HQMXHJRHQ la situación del proyecto.
Reconozco difícilmente XQDYDULDEOH TXHHQWUDQ HQMXHJRHQ la situación del proyecto.
Distingo algunos de los elementos relacionados a máximos y mínimos. así como de los criterios de la primera y segunda GHULYDGD ,GHQWLÀFR la solución REWHQLGD en términos de la proEOHPiWLFD inicial.
Distingo algunos de los elementos relacionados a máximos y mínimos. así como de los criterios de la primera y segunda GHULYDGD No idenWLÀFROD solución REWHQLGD en términos de la proEOHPiWLFD inicial.
No distingo los VXÀFLHQWHV elementos relacionados a máximos y PtQLPRVDVt como de los criterios de la primera y segunda GHULYDGD No idenWLÀFROD solución REWHQLGDHQ términos de la proEOHPiWLFD inicial.
189
Cálculo Diferencial
5HVXHOYR correctamente el modelo aplicando los criterios de máximos y mínimos HVWDEOHFLGRVGHPDQHUDTXH REWHQJR todos sus elementos UHODWLYRV al criterio utilizado.
190
Habilidades
Represento con un software el modelo REWHQLGR dándole WRTXHVGLVWLQWLYRV
5HVXHOYR el modelo aplicando los criterios de máximos y mínimos HVWDEOHFLGRVGHPDQHUDTXH REWHQJR todos sus elementos UHODWLYRV al criterio utilizado. Represento con un software el modelo REWHQLGR Determino la solución DOSUREOHPD de acuerdo a los datos.
Determino la solución DOSUREOHPD No presende acuerdo to acorde a los datos. a lo conYHQLGRPLV Presento acorde a lo resultados del proyecFRQYHQLGR to. mis resultados del proyecto.
5HVXHOYR el modelo aplicando los criterios de máximos y de mínimos HVWDEOHFLGRVGHPDQHUDTXH REWHQJR parte de sus elementos UHODWLYRV al criterio utilizado. No represento con un software el modelo REWHQLGR dándole WRTXHVGLVWLQWLYRV Determino sólo con ayuda la solución al SUREOHPD de acuerdo a los datos. No presento acorde a lo conYHQLGRPLV resultados del proyecto.
5HVXHOYR con dirección QHFHVDULD el modelo aplicando los criterios de máximos y mínimos HVWDEOHFLGRVGH manera TXHSDUWH de sus elementos UHODWLYRV al criterio utilizado. No represento con un software el modelo REWHQLGR Determino la solución DOSUREOHPD de acuerdo a los datos. No presento acorde a lo conYHQLGRPLV resultados del proyecto.
5HVXHOYR parte del modelo aplicando los criterios de máximos y mínimos HVWDEOHFLGRVGH PDQHUDTXH REWHQJR parte de sus elementos UHODWLYRV al criterio utilizado. No represento con un software el modelo REWHQLGR dándole WRTXHVGLVWLQWLYRV No determino la solución al SUREOHPD No presento acorde a ORFRQYHQLdo mis resultados del proyecto.
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización Mantengo continuamente una actitud SRVLWLYD ante el reto planteado.
Actitudes
3URPXHYR HOWUDEDMR FRODERUDWLYRHQHO proyecto dando respeto a los demás en todo tiempo. 7UDEDMR continuamente aportando puntos de YLVWDLPportantes.
Puntaje
15
Mantengo continuamente una actitud SRVLWLYD ante el reto planteado. No proPXHYRHO WUDEDMRFRODERUDWLYR en el proyecto pero mantengo respeto a los demás en todo tiempo. 7UDEDMR continuamente pero no aporto puntos de YLVWDLPportantes. 12
Mantengo una actitud neutral ante el reto planteado. No proPXHYRHO WUDEDMRFRODERUDWLYR en el proyecto pero respeto la mayoría del tiempo a los demás. 7UDEDMR continuamente pero no aporto puntos de YLVWDLPportantes.
9
Mantengo continuamente una actitud neutral ante el reto planteado.
Mantengo continuamente una actitud QHJDWLYD ante el reto planteado.
No proPXHYRHO WUDEDMRFRODERUDWLYR en el proyecto pero respeto ocasionalmente a los demás.
No proPXHYRHO WUDEDMR FRODERUDWLYRHQHO proyecto pero respeto ocasionalmente a los demás.
7UDEDMR parcialmente pero no aporto puntos de YLVWD
7UDEDMR ocasionalmente pero no aporto puntos de YLVWD
6
3
191
Cálculo Diferencial
5~EULFDGHOEORTXH 192
$OLJXDOTXHHQORVEORTXHVDQWHULRUHVWHSURSRUFLRQRODU~EULFDGHOSUHVHQWHFRQHO ÀQGHTXHGHVDUUROOHVORVFRQRFLPLHQWRVKDELOLGDGHV\DFWLWXGHVQHFHVDULRVUHVSHFWR a las competencias. Rúbrica para la evaluación del bloque Producto, logro o desempeño
Conocimientos
Nivel de logro o desempeño 5 Estratégico
4 Autónomo
'HVFULERJUiÀFD y analíticamenWHHOLQWHUYDOR donde una función es creFLHQWHGHFUHFLHQWHDVtFRPR ORVYDORUHVGH máximos y mínimos.
'HVFULERJUiÀFD y analíticamenWHHOLQWHUYDOR donde una función es creFLHQWHGHFUHFLHQWHDVtFRPR ORVYDORUHVGH máximos y mínimos.
Enuncio los YDORUHVHQ GRQGHODJUiÀFD de una función posee puntos FUtWLFRVSXQWRV GHLQÁH[LyQ\ FRQFDYLGDG\ otras características analíticas.
Enuncio los YDORUHVHQ GRQGHODJUiÀFD de una función posee puntos FUtWLFRVSXQWRV GHLQÁH[LyQ\ FRQFDYLGDG
Explico todas las relaciones existentes entre estos conceptos al realizar una representación JUiÀFDGHXQD función. ,GHQWLÀFRWRGDV ODVYDULDEOHV TXHLQWHUDFW~DQ en la situación a optimizar.
Explico la mayoría de las relaciones existentes entre estos conceptos al realizar una representación JUiÀFDGHXQD función. ,GHQWLÀFROD mayoría de las YDULDEOHVTXH interactúan en la situación a optimizar.
3 Básico 'HVFULERJUiÀFD o analíticamente HOLQWHUYDORGRQde una función HVFUHFLHQWH GHFUHFLHQWHDVt FRPRORVYDORUHV de máximos y mínimos. Con ayuda enuncio los YDORUHVHQ GRQGHODJUiÀFD de una función posee puntos FUtWLFRVSXQWRV GHLQÁH[LyQ\ FRQFDYLGDG Explico algunas de las relaciones existentes entre estos conceptos al realizar una representación JUiÀFDGHXQD función. ,GHQWLÀFR algunas de las YDULDEOHVTXH interactúan en la situación a optimizar.
2 Inicial Con ayuda VLJQLÀFDWLYD GHVFULERJUiÀFD o analíticamenWHHOLQWHUYDOR donde una función es creFLHQWHGHFUHFLHQWHDVtFRPR ORVYDORUHVGH máximos y mínimos. (QXQFLRHOYDlor en donde la JUiÀFDGHXQD función posee un punto crítiFRRXQSXQWR GHLQÁH[LyQ RFRQFDYLGDG Explico una de las relaciones existentes entre estos conceptos al realizar una representación JUiÀFDGHXQD función. ,GHQWLÀFRVyOR una de las YDULDEOHVTXH interactúan en la situación a optimizar.
1 Pre-formal Con ayuda GHVFULERJUiÀFD o analíticamenWHHOLQWHUYDOR donde una función es crecienWHGHFUHFLHQWH o solamente ORVYDORUHVGH los máximos y mínimos presentes. No enuncio ORVYDORUHVHQ GRQGHODJUiÀFD de una función posee puntos FUtWLFRVSXQWRV GHLQÁH[LyQ\ FRQFDYLGDG No explico ninguna de las relaciones existentes entre estos conceptos al realizar una representación JUiÀFDGHXQD función. 1RLGHQWLÀFR ninguna delas YDULDEOHVTXH interactúan en la situación a optimizar.
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización Determino todos los interYDORVHQGRQGH una función es creciente o decreciente así FRPRODREWHQFLyQJUiÀFDGH un máximo o PtQLPRUHODWLYR Empleo correctamente los criterios de la primera y seJXQGDGHULYDGD para representar los máximos o mínimos GHIXQFLRQHV FRQFDYLGDG y puntos de LQÁH[LyQ
Habilidades
Planteo correctamente los modelos matemáticos generados a partir de las situaciones a optimizar y REWHQJRORV YDORUHVPi[Lmos o mínimos UHTXHULGRVHQ EDVHDODVLWXDción. Aplico las herramientas y métodos para construir la gráÀFDGHXQDIXQFLyQFRQEDVHD la optimización de funciones. Represento todos los elementos de optimización de funciones mediante el uso de un software JUDÀFDGRU
Determino la mayoría de ORVLQWHUYDlos en donde una función es creciente o decreciente así FRPRODREWHQFLyQJUiÀFDGH un máximo o PtQLPRUHODWLYR Empleo los criterios de la primera y seJXQGDGHULYDGD para representar los máximos o mínimos GHIXQFLRQHV FRQFDYLGDG y puntos de LQÁH[LyQ Planteo los modelos matemáticos generados a partir de las situaciones a optimizar y REWHQJRORV YDORUHVPi[Lmos o mínimos UHTXHULGRVHQ EDVHDODVLWXDción. Aplico las herramientas y métodos para construir la gráÀFDGHXQDIXQFLyQFRQEDVHD la optimización de funciones. Represento la mayoría de los elementos de optimización de funciones mediante el uso de un software JUDÀFDGRU
Determino algunos de los LQWHUYDORVHQ donde una función es creciente o decreciente así FRPRODREWHQFLyQJUiÀFDGH un máximo o PtQLPRUHODWLYR Empleo los criterios de la primera o seJXQGDGHULYDGD para representar los máximos o mínimos de funFLRQHVFRQFDYLdad y puntos de LQÁH[LyQ Planteo los modelos matemáticos generados a partir de las situaciones a RSWLPL]DU\REWHQJRORVYDORUHV máximos o míniPRVUHTXHULGRV HQEDVHDOD situación. Aplico las herramientas y métodos para construir la JUiÀFDGHXQD función. Represento algunos de los elementos de optimización de funciones mediante el uso de un software JUDÀFDGRU
Determino algunos de ORVLQWHUYDlos en donde una función es creciente o decreciente así FRPRODREWHQFLyQJUiÀFDGH un máximo o PtQLPRUHODWLYR Empleo los criterios de la primera o seJXQGDGHULYDGD para representar los máximos o mínimos GHIXQFLRQHV FRQFDYLGDG y puntos de LQÁH[LyQ Planteo los modelos matemáticos generados a partir de las situaciones a optimizar pero QRREWHQJRORV YDORUHVPi[Lmos o mínimos UHTXHULGRVHQ EDVHDODVLWXDción. Aplico las herramientas y métodos para construir la JUiÀFDGHXQD función. No represento los elementos de optimización de funciones mediante el uso de un software JUDÀFDGRU
Determino un VRORLQWHUYDlo en donde una función es creciente o decreciente así FRPRODREWHQFLyQJUiÀFDGH un máximo o PtQLPRUHODWLYR Empleo solo uno de los criterios para representar los máximos o mínimos GHIXQFLRQHV FRQFDYLGDG y puntos de LQÁH[LyQ No planteo correctamente los modelos matemáticos generados a partir de las situaciones a optimizar ni REWHQJRORV YDORUHVPi[Lmos o mínimos UHTXHULGRVHQ EDVHDODVLWXDción. No aplico las herramientas y métodos para construir la gráÀFDGHXQDIXQFLyQFRQEDVHD la optimización de funciones. No represento los elementos de optimización de funciones mediante el uso de un software JUDÀFDGRU
193
Cálculo Diferencial
Valoro siempre el uso de las representaciones JUiÀFDVSDUD determinar los YDORUHVPi[Lmos y mínimos de funciones.
194
Actitudes
Mantengo siempre frente al grupo una actitud perseYHUDQWHDQWHOD resolución de situaciones de optimización. 3URPXHYR y propongo VLWXDFLRQHVTXH hagan el uso de los métodos de optimización de funciones.
Puntaje
15
Valoro constantemente el uso de las representaciones JUiÀFDVSDUD determinar los YDORUHVPi[Lmos y mínimos de funciones. Mantengo constantemente frente al grupo una actitud perVHYHUDQWHDQWH la resolución de situaciones de optimización. 3URPXHYR VLWXDFLRQHVTXH hagan el uso de los métodos de optimización de funciones. 12
Valoro en ocasiones el uso de las representaFLRQHVJUiÀFDV para determinar ORVYDORUHVPi[Lmos y mínimos de funciones.
Valoro en ocasiones el uso de las representaciones JUiÀFDVSDUD determinar los YDORUHVPi[Lmos y mínimos de funciones.
0DQWHQJRHQ RFDVLRQHVIUHQWH al grupo una actitud perseYHUDQWHDQWHOD resolución de situaciones de optimización.
0DQWHQJR HQRFDVLRQHV frente al grupo una actitud perVHYHUDQWHDQWH la resolución de situaciones de optimización.
3URPXHYR VLWXDFLRQHVTXH hagan el uso de los métodos de optimización de funciones.
1RSURPXHYR ni propongo VLWXDFLRQHVTXH hagan el uso de los métodos de optimización de funciones.
9
6
1RYDORURHO uso de las representaciones JUiÀFDVSDUD determinar los YDORUHVPi[Lmos y mínimos de funciones. No mantengo frente al grupo una actitud perVHYHUDQWHDQWH la resolución de situaciones de optimización. 1RSURPXHYR ni propongo VLWXDFLRQHVTXH hagan el uso de los métodos de optimización de funciones. 3
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
NOTAS 195
Cálculo Diferencial
NOTAS 196
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
NOTAS 197
Cálculo Diferencial
NOTAS 198
Bloque IV: Calculas e interpretas máximos y mínimos aplicados a problemas de optimización
NOTAS 199
Cálculo Diferencial
NOTAS 200