Cálculo de coordenadas de un polígono con azimut y distancias y su compensación.
Una poligonal, sea abierta o cerrada, es una sucesión de distancias y direcciones (rumbo o azimut) formadas por la unión de los puntos en los que se armó el instrumento que se usó para medirlas (puntos de estación). Cuando se ubica el instrumento en una estación se puede medir directamente el azimut de la siguiente línea a levantar (si se conoce la dirección del N o si se “sostiene” el contra-azimut de la línea anterior), sin embargo, en ocasiones se mide el ángulo correspondiente entre las dos líneas que se intersectan en el punto de estación (marcando “ceros” en el ángulo horizontal del instrumento cuando se mira al punto anterior), a este último ángulo se le va a llamar “ángulo observado”.
Si el ángulo observado se mide hacia la derecha dere cha (en el sentido de las manecillas del reloj, r eloj, que es el mismo en el que se miden los azimutes) se puede calcular el azimut de la siguiente línea con la siguiente expresión: Azimut línea siguiente = Contra-azimut de la línea anterior + Ángulo observado Se debe aclarar que si el resultado es mayor a 360° simplemente se le resta este valor. En la figura se observa que si el azimut az imut conocido corresponde al de la línea AB (ángulo NAB en rojo), por lo tanto el contra-azimut es el ángulo NBA (también en rojo). El ángulo observado, medido en el sentido de las manecillas del reloj con el instrumento estacionado en el punto B es el ángulo ABC (en verde). El azimut que se desea conocer es el de la línea BC (ángulo NBC en azul). Por lo tanto se tiene la siguiente expresión: Azimut BC = Contra-Azimut AB + Ángulo observado en B Azimut BC =
Azimut BC = (
Estos se ingresan bajo la zona amarilla, aquí se ingresan las estaciones, distancias y rumbo tal como el ejemplo. 2. La coordenada inicial Esto es en el encabezado de la zona en verde, presumiendo que conocemos la coordenada de el primer punto. En caso de no tenerlo, colocar un valor cualquiera, de preferencia alto para que no salgan coordenadas negativas, como por ejemplo 5,000 (cinco mil) 3. Los datos de salida Esto es la zona marcada en naranja, donde lo que tiene es las coordenadas xy concatenadas con una coma de separación.
Calculo del área de un polígono por medio de coordenadas.
Un polígono se define como una figura geométrica plana que está delimitada por tres o más rectas y tiene tres o más ángulos y vértices. Si se trazara un polígono, se puede calcular su área, conociendo las coordenadas de sus puntos, en el plano. Para esto, haremos uso de la sig. fórmula. A= 1/2 | x(0) , y(0)| |
.
|
|
.
|
|
.
|
|x(n-1), y (n-1)| | x(0) , y(0) | Esta fórmula implica el dominio de determinantes. Y para escribir la determinante, se escoge un punto del polígono, y se recorren, en sentido anti-horario, todos los puntos que conformen al polígono, hasta volver a anotar las coordenadas del punto que escogimos. Dentro de la determinante, las coordenadas de este punto, se repetirán dos veces. Como un breve recordatorio, las multiplicaciones que se realicen "hacia arriba", serán las que CAMBIARÁN SU SIGNO, mientras que los productos de las multiplicaciones "hacia abajo", PERMANECERÁN IGUAL. Ej.: Dadas las coordenadas, las ponemos en la fórmula, empezaremos con las coordenadas del punto C. A= 1/2 | 9, 4 | | 3, 4 | | 2, 1 | | 8, 1 | | 9, 4 | Resolvemos la determinante: 3x4=12, pero como es una multiplicación hacia arriba, cambia signo= -12. 2x4= -8
8x1= -8 9x1= -9 Las multiplicaciones hacia abajo, permanecen iguales: 8x4= 32 2x1= 2 3x1= 3 9x4= 36 Hacemos, la suma, (correspondiente al método de determinantes): -12-8-8-9+32+2+3+36=36 A= 1/2 | 36 | Y la mitad de 36 = 18 A= 18 u². EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICA DEL CÁLCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO, EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES. a) A(-2, -4), B(3, -2), C(5, -1), D(1, 6) y E(-3, 4). b) A(-2, -4), B(6, -2), C(7, 4), D(-8, 2) Trazar los polígonos, para tener un referencia visual. SOLUCIÓN: a) Escogemos un vértice del polígono, y lo recorremos en sentido anti-horario, de nuevo, para hacer una referencia gráfica, está el plano:
Tomaremos como vértice de partida, el punto A Entonces la fórmula quedaría: A= 1/2 | xA, yA| | xB, yB| | xC, yC| | xD, yD| | xE, yE| Se vuelve a repetir las coordenadas del vértice de origen | xA, yA| Sustituyendo valores: A= 1/2 | -2, -4| | 3, -2| | 5, -1 | | 1, 6 | | -3, 4 | | -2, -4| Resolvemos la determinante, los productos de las multiplicaciones "hacia arriba" cambia de signo, entonces: 3 x -4= -12= 12 5 x -2= -10 = 10 1 x -1= -1 = 1 -3 x 6= -18 = 18 -2 x 4= -8 = 8 "Hacia abajo" los productos mantienen sus signos: -3 x -4= 12 1 x 4= 4 5 x 6= 30 3 x -1= -3 -2 x -2= 4
Y resolvemos, las sumas y restas correspondientes: A= 1/2 |12+12+1+18+8+12+4+30-3+4=98| A= 1/2 |98| RESPUESTA DEL INCISO a A=49 u²
SOLUCIÓN b) Trazaremos la figura para darnos una referencia gráfica: Imagen El punto D, será el vértice de partida en este ejemplo: A= |-8,2| |-2,-4| |6,-2| |7, 4| Se repiten las coordenadas del vértice de origen. |-8,2| Resolvemos A= |-8,2| |-2,-4| |6,-2| |7, 4| |-8,2| -2 x 2= -4 = 4 6 x -4= -24= 24 7 x -2= -14= 14
-8 x 4= -32= 32 -8 x -4= 32 -2 x -2= 4 6 x 4= 24 7 x 2= 14 Resolvemos las sumas y restas correspondientes: A= 1/2 |4+24+14+32+32+4+24+14=144| A= 1/2 |144| Calculo de radiaciones para obtener el polígono real de una medida
Consiste en estacionar un goniómetro en un punto O central a los A1, A2, .... de los que se quieren determinar y después orientar el instrumento para que la lectura acimutal 0º corresponda a la visual dirigida al punto situado mas a la derecha , en nuestro caso A1. A continuación determinamos los ángulos horizontales (acimutales) que forman con A1 los radios OA2, OA3... y sus longitudes con lo cual quedaran definidos los puntos por coordenadas polares. Las longitudes o distancias se miden generalmente mediante el sistema utilizado en la actividad anterior. Su mayor ventaja es la rapidez pero está limitado a distancias pequeñas. Para ilustrar el procedimiento te presentamos la siguiente escena en la cual actuando sobre el botón ETAPAS podrás observar el procedimiento. Etapa 0 : Situamos el goniómetro en el punto que adoptamos como centro de la radiación. Etapa 1 : Elegimos los puntos , en este caso 6 , A1..A6 que deseamos representar . Etapa 2 : Orientamos el goniómetro con respecto A1 y dirigimos visuales a cada punto A1..A6 Etapa 3 : Obtenemos los ángulos que forman cada visual respecto OA1 y las distancias.
Dividir un polígono en dos partes iguales a partir de un vértice, con un lindero recto.
Esta técnica se utiliza para dividir polígonos, conservando la misma dirección entre sus linderos. Se utiliza principalmente en lotificaciones, donde los terrenos tienen un mayor valor económico por su forma, ya que quedan más ordenados y con un mejor aprovechamiento del espacio.
