CERCHAS CERCHAS Definición La cercha es uno de los principales tipos de estructuras empleadas en ingeniería. Proporciona una solución práctica y económica a muchas situaciones de ingeniería, especialmente en el diseño de puentes y edificios. Una armadura consta de barras rectas unidas mediante juntas o nodos. Los elementos de una cercha se unen sólo en los extremos por medio de pasadores sin fricción para formar armazón rígida; por lo tanto ningún elemento continúa más allá de un nodo. Cada cercha se diseña para que soporte las cargas que actúan en su plano y, en consecuencia, pueden considerarse como una estructura bidimensional. Todas las cargas deben aplicarse en las uniones y no en los mismos elementos. Por ello cada cercha es un elemento sometido a fuerzas axiales directas (tracción o compresión).
Configuración Una armadura simple se obtiene de adicionar barras a la armadura básica triangular. Debe observarse que una armadura simple no está necesariamente formada por triángulos. En una armadura simple el número total de barras es b=2n-3, donde n en el número total de nodos. Cuando varias barras se unen entre sí por sus extremos para formar una configuración en tres dimensiones, la estructura obtenida se llama cercha espacial. Las condiciones de equilibrio para cada nodo se expresarán por las tres ecuaciones ΣFx=0; ΣFy=0 y ΣFz=0, para evitar la resolución de muchas ecuaciones simultáneas, los nodos deberán seleccionarse cuidadosamente para descartar aquellos que contengan más de tres fuerzas desconocidas. En un sistema estructural conformado por cerchas, se dispone de un sistema de arriostramiento lateral a fin de contrarrestar el desplazamiento longitudinal de la edificación debido a las fuerzas transversales. Una cercha esta formada por los siguientes elementos: 1.
Los miembros de arriba cordón superior.
2.
Los miembros de abajo cordón inferior.
3.
Diagonales.
4.
Verticales Montantes o pendolones dependiendo del tipo de esfuerzo.
Resolución de las cerchas Método de los nodos Como toda la cercha está en equilibrio, cada pasador debe estar en equilibrio. El hecho de que un pasador esté en equilibrio puede expresarse haciendo un diagrama de cuerpo libre y escribiendo dos ecuaciones de equilibrio. La distribución de nodos y barras en un armadura simple es tal que siempre es posible encontrar un nodo en que sólo haya dos fuerzas desconocidas. Estas fuerzas pueden calcularse siguiendo los métodos de equilibrio, y sus valores pueden trasladarse a los nodos adyacentes y tratarse como cantidades conocidas en dichos nodos. Este procedimiento puede repetirse hasta que se hallen todas las fuerzas desconocidas. El diagrama de Maxwell, facilita el análisis gráfico de problemas en armaduras.
Método de las secciones La porción de la armadura que se escoge se obtiene trazando una sección a través de tres barras de armadura, una de las cuales es la barra deseada; dicho en otra forma, trazando una línea que divida la armadura en dos partes completamente separadas pero que no intersecte más de tres barras (Beer y Johnston, 1977; Hsieh, 1982).
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Tipos de cercha De acuerdo con la forma de crear la configuración de una cercha, se clasifican en simples, compuestas y complejas.
Cercha simple: Una cercha rígida plana puede formarse simple partiendo de tres barras unidas por nodos en sus extremos formando una triángulo y luego extendiendo dos nuevas barras por cada nuevo nodo o unión.
Cercha compuesta: Si dos o más cerchas simples se unen para formar un cuerpo rígido, la cercha así formada se denomina cercha compuesta. Una cercha simple pude unirse rígidamente a otra en ciertos nodos por medio de tres vínculos no paralelos ni concurrentes o por medio de un tipo equivalente de unión.
Diseño de cerchas Una vez resuelta la cercha, se procede a obtener las dimensiones de los elementos, siguiendo un diseño de tracción y compresión para el material indicado
Diseño de cerchas de acero Diseño por Tracción Ciertos miembros de la cercha esta sometidos a fuerzas axiales de tracción (por lo general el cordón inferior) y la sección transversal puede tener varias formas, ya que para cualquier material, el único factor que determina la resistencia es el área transversal. El diseño por tracción es la manera más eficiente de usar el acero estructural mediante barras. El diseño consiste en seleccionar un elemento con área transversal suficiente para que la carga factorizada Pu no exceda la resistencia de diseño φ t F y Areq. En general el diseño es un procedimiento directo y las secciones formadas por perfiles o perfiles combinados y placas típicos se indican en la siguiente figura donde la más común es el ángulo doble (Galambos, Lin y Johnston, 1999; Segui, 2000).
Figura 1. Secciones típicas de cerchas Areq
≥
Pu
φ t F y
(1)
Donde φ t =0,90; Pu≡ Carga axial de tracción.
r min Comprobación no obligatoria
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≥
L 300 ; las barras y cables no están incluidas
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Diseño por Compresión Si la carga axial P es aplicada lentamente, el miembro se acorta o se comprime en la dirección de la carga y al alcanzar un valor dado cesa la deformación por acortamiento, ocurre entonces una deformación lateral y el miembro se vuelve inestable limitando así la capacidad por carga axial y toma la forma indicada por la línea punteada de la figura (a). Esta condición indica que el miembro se ha pandeado y la carga correspondiente a esta situación se llama carga crítica de pandeo. Si el miembro es robusto, como se muestra en la figura (b), se requerirá una carga mayor para que el miembro se vuelva inestable.
Figura 2. Efectos de la esbeltez Para miembros sumamente robustos, la falla puede ocurrir por cedencia compresiva en vez de por pandeo. La carga bajo la cual ocurre el pandeo es una función de la esbeltez y para miembros muy esbeltos, esta carga puede ser muy pequeña. Por ello, la resistencia al pandeo de una columna disminuye con una longitud creciente. Si el miembro es muy esbelto el miembro es aún elástico justo antes del pandeo. La carga crítica de 2
pandeo está dada por Pcr = π AE ( L r ) ; donde E es el módulo de elasticidad del material, A es el área de 2
la sección transversal, r es el radio de giro con respecto al eje de pandeo y L es la longitud del miembro entre puntos de soporte. L/r se denomina coeficiente de esbeltez y usada como un parámetro para determinar la resistencia de la columna. El pandeo del elemento de compresión es según la relación de esbeltez más grande, de los dos ejes de la sección L/r x y L/r y (Galambos, Lin, y Johnston, 1999; Segui, 2000)
Parámetro de esbeltez
λ c
=
F y
L
L
;
r π E
r min
≤
200
(2)
2
λ c ≤ 1,5 ⇒ F cr = 0,658λ F y c
λ c
> 1,5 ⇒
F cr =
0,877
λ c
2
F y
Pu Fórmula de Interacción
(3a)
φ c Pn
(3b)
≤1 (4)
Donde Pu≡ Carga axial de compresión,
φ c=0,85 y Pn = F cr A
(5)
Para perfiles que no se encuentren en las tablas de cargas para columnas debe usarse un procedimiento de tanteos. El procedimiento general es suponer un perfil y luego calcular su resistencia de diseño. Si la
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resistencia es muy pequeña (insegura) o demasiado grande (antieconómica), deberá hacerse otro tanteo. Un enfoque sistemático para hacer la selección de tanteo es como sigue 1.
Seleccione un perfil de tanteo.
2.
Calcule F cr y øcPn para el perfil de tanteo.
3.
Revíselo con la formula de interacción, si la resistencia de diseño es muy cercana al valor requerido puede ensayarse el siguiente tamaño tabulado. De otra manera, repita todo el procedimiento. (Segui, 2000)
Ejemplo Predimensionar la cercha de la figura, donde todas las cargas están mayoradas
H=3,6 m
4 paneles de 4,5 m = L=18 m Esquema de la Cercha. Dicho método comienza con la definición de las reacciones, haciéndose sumatoria de momentos en el rodillo y luego una sumatoria de fuerzas verticales.
∑ M rodillo = 0 ∑ F y = 0
18
− 1163 R * 18 −
2327 * 13,5 − 7566 * 9 = 0 ⇒
6691,25 − 1163 − 227 − 7566 +
R = 0⇒
=
6691 R , 25
kg
R = 4364, 75 kg
Posteriormente, se realiza una sumatoria de fuerzas en los eje x e y en cada nodo de la cercha. Dado que por equilibrio esta sumatoria es igual a cero, ello ayuda a conocer las fuerzas en las barras desconocidas (incógnitas). Resalta que la dirección que lleva una fuerza es la misma dirección de la barra, por consiguiente, se conoce la relación que existe entre las componentes de la fuerza en el eje x o y. En relación al criterio para realizar la secuencia de cálculos de los nodos esta dependerá del que tenga menor cantidad de barras desconocidas. Siguiendo dicha premisa se realizó la secuencia, tal como se muestra a continuación:
Nodo 1 Se comenzó por el nodo 1 porque estaba sometido al menor número de fuerzas desconocidas, es decir sólo dos fuerzas que correspondían a las fuerzas en la barra 1-6 y la barra 1-2:
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∑ F y = 0 6691,25 − 1163 − F y F x F y
=
1
=
0 ⇒ Fy
⇒ F x =
0,8
F y
0,80
= 5528,28 kg
⇒ F x = 6910,31kg
∑ F x = 0 F12
−
6910,31 = 0 ⇒ F12
=
6910,31kg
Nodo 2 Se continuó con el nodo 2, ya que se conocía del nodo anterior la fuerza en la barra 1-2, por lo que quedaba en este nodo solo dos fuerzas desconocidas (barra 2-6, barra 2-3):
∑ F y = 0
F26
−
2327 = 0 ⇒ F26
=
2327kg
∑ F x = 0 F23
−
6910,31 = 0 ⇒ F23
=
6910,31kg
Nodo 6 Similar al nodo anterior, se conocían las fuerzas en las barras 2-6 y 1-6, por tanto se apreciaron dos barras desconocidas:
∑ F y = 0 5528,25 − 2327 + F y F x F y
=
1
=0
⇒ F x =
0,8
⇒ Fy = −3201,25 kg
F y
0,80
⇒ F x = −4001,56kg
∑ F x = 0 −
F67
+
6910,31 + 4001,56 = 0 ⇒ F67
= 10911, 88kg
Nodo 7 Dado que se calculó la fuerza en la barra 6-7, el nodo 7 quedó con dos barras incógnitas:
∑ F x = 0 10911,88 − F78
=
∑ F y = 0
0 ⇒ F78 F 37
=
= 10911, 88kg
0
Nodo 3 En el nodo 3 actuaban cinco barras, de las que se conocían la fuerza en tres, entonces se determinó la fuerza en las dos restantes:
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∑ F y = 0 3201,25 − 7566 + F y F x F y
=
1 0,8
=0
⇒ F x =
⇒ Fy = 4364,75 kg
F y
0,80
⇒ F x = 5455,93kg
∑ F x = 0 , − 6910,31 + 545593 , = 0 ⇒ F34 = 545593 , kg F34 − 400156 Nodo 4 Al haberse calculado lo anteriores nodos, se observó que tanto el nodo 4 como el nodo 8 tenían dos barras incógnitas, entonces se escogió el nodo 4 en vista de que las barras incógnitas en este nodo no estaban inclinadas, lo cual facilitaba el cálculo:
∑ F x = 0 F45
−
5455,93 = 0 ⇒ F45
∑ F y = 0
F 48
=
=
5455,93kg
0
Nodo 5 El nodo 5 así como el nodo 8 tenían una barra desconocida. Era indiferente escoger cualquiera de los dos nodos, pero se realizó el nodo 5 por tener menos barras que incidieran en el mismo:
∑ F y = 0 F x F y
=
1 0,8
∑ F x = 0
4364,75 − F y ⇒ F x =
F y
0,80
=
0 ⇒ F y
=
4364,75
⇒ F x = 5455,93kg
5455,93 − 5455,931 = 0 ⇒ 0
=
0
Comprobación Nodo 8 Después de realizarse el cálculo en el nodo 5, se conocían todas las fuerzas en las barras. Por consiguiente restaba, para comprobar los cálculos realizados, aplicar las ecuaciones de equilibrio en el eje x e y con lo que se constataría que su suma fuese igual a cero (nodo en equilibrio) lo que efectivamente se logró:
∑ F y = 0
4364,75 − 4364,75 = 0 ⇒ 0 = 0
∑ F x = 0 10911,88 − 5455,93 * 2 = 0 ⇒ 0 = 0
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