CALCULO DIFERENCIAL
Introducción al cálculo diferencial
Introducción Definición de derivada Interpretación geométrica Diferenciaildad ! continuidad "ropiedade# de la derivación de funcione# Derivada de una función compue#ta ! Regla de la cadena Diferenciación impl$cita Rapidece# de variación relacionada# Derivada# #uce#iva# La derivada como inten#idad de variación relativa %á&imo# ! m$nimo# Aplicacione# Aplicac ione# de má&imo# de de m$nimo# 'eorema de Rolle ! 'eorema 'eorema del valor medio medi o "ruea de la primera derivada Concavidad ! punto# de infle&ión "ruea de la #egunda derivada 'ra(o de la gráfica de una función %étodo de Ne)ton "rolema# de aplicación de cálculo diferencial %i#celánea# de e*ercicio# cálculo diferencial
Introducción Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla de una part!cula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de "sta, etc. Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice #ue $a tenido un incremento. incremento. %ara calcular este incremento basta con $allar la diferencia entre el valor final y el inicial. %ara denotar esta diferencia se utiliza el s!mbolo ∆ x, x, #ue se leee &delta x &delta x&. &. 'l incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro. %or ejemplo, si el valor inicial de una variable x variable x,, x, es igual a ), y el valor final x final x* es igual a +, el incremento ∆ x x x x* - x + - ) - la variable se $a incrementado positivamente en - unidades. 'n cambio, si el valor inicial es + y el valor final ), ∆ x x x x* - x ) - + -- la variable $a tenido un incremento negativo (decremento (decremento de - unidades. Derivada de una función: Sea f una una función definida en todo n/mero de alg/n intervalo I intervalo I , la derivada de f de f es es a#uella función, denotada por f por f 0, 0, tal #ue su valor en cual#uier n/mero x n/mero x de de I I , está dado por
Se dice #ue una función es diferenciable o derivable cuando es posible $allar su derivada.
Ejercicios resueltos En los ejercicios a * * $alle $alle la derivada de la función dada aplicando la definición de derivada
Soluciones
Interpretación geom"trica Geom"tricamente la derivada de una función f en un punto determinado se interpreta como el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en dic$o punto. Ejercicios resueltos En los ejercicios a ), encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto (x1 , y1. 'labore una tabla de valores de x, y, m en el intervalo 1a, b2, e incluya en ella todos los puntos donde la gráfica tiene una pendiente $orizontal. 3race la gráfica y muestre un segmento de la tangente en cada uno de los puntos localizados. 'n los ejercicios - a 4, determine la pendiente de la tangente a la gráfica de la función f en el punto ( x1 , f(x1 ). 'labore una tabla de valores de x, f(x) y m en diversos puntos de la gráfica e incluya en dic$a tabla todos los puntos donde la gráfica tiene un tangente $orizontal. 3race la gráfica de la función. 'n los ejercicios + a , obtenga las ecuaciones de las rectas tangente y normal de la curva en el punto indicado. 3race una gráfica de la curva junto con la tangente y la normal.
Soluciones
x
y
m
5)
6
4
5*
7
-
5
8
*
6
9
6
8
5*
*
7
5-
)
6
54
x
y
m
-
5-
*
5*
)
6
6
-
*
7
-
-
x
y
m
5*
5+
*
5
6
)
6
6
*
)
*
9
*
x
y
m
6 * ) -
8 5 55 9
5* 54 6 4 *
x
y
m
57 6 ) -
) * 6
56.4+ 56.*7 56.7 :o e;iste
x
y
m
6 * ) -
5* * 6 5* *
9 6 5) 6 9
Solución
Diferenciabilidad y continuidad
As! como e;isten l!mites unilaterales tambi"n podemos $ablar de derivadas unilaterales. < continuación se dan las definiciones de derivadas por la derec$a y por la iz#uierda de una función en un punto determinado.
La continuidad de una función en un n/mero no implica #ue la función sea derivable en dic$o n/mero= por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 6 pero no es diferenciable en cero. >eamos
En uno de los ejercicios (el n/mero 4 resueltos #ue van a continuación se mostrará otro tipo de funciones #ue son continuas en alg/n n/mero pero #ue no son diferenciables en el punto. ?o particular de dic$as funciones es #ue tienen una recta vertical en dic$o punto.
R esumidamente, podemos decir #ue una función no es diferenciable en un punto determinado por alguna de las tres razones siguientes 1. ?a función es discontinua en el punto 2. ?a función es continua en el punto, pero por la gráfica de f no se puede trazar una recta tangente #ue pase por el punto (como en la gráfica de la función valor absoluto en 6 . ?a función es continua en el punto, y la gráfica tiene una recta tangente vertical #ue pasa por el punto.
Ejercicios resueltos En los ejeercicios a +, $aga lo siguiente (a trace la gráfica de la función= ( b determine si f es continua en el punto dado= (c calcule las derivadas por la derec$a y por la iz#uierda, si e;isten= (d determine si f es diferenciable en el punto dado
Soluciones
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
%ropiedades de la diferenciación de funciones !allar la derivada de una función aplicando la definición de derivada es un proceso largo y la mayor de las veces bastante tedioso.
"eorema D1:
'n palabras &la derivada de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función&. "eorema D2:
'n palabras &la derivada de la suma de un número finito, n, de funciones (términos), positivas o negativas, es igual a la suma de las derivadas de cada función y con su respectivo signo&. "eorema D:
'n palabras &la derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera&. "eorema D#:
'n palabras &la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción cuyo denominador es el cuadrado de la función del dividendo y cuyo numerador es la diferencia entre la función del dividendo por la derivada de la función del divisor y la función del divisor por la derivda de la función del dividendo&. "eorema D$:
'n palabras & para hallar la derivada de la función potencia se multiplica la función por un coeficiente igual al exponente y el exponente se disminuye en la unidad &.
"eorema D%:
'n palabras &la derivada de la función constante es cero &. "eorema D&:
'n palabras &la derivada de la función identidad es uno &. Derivadas de las funciones tri'onom(tricas "eorema D):
"eorema D*:
"eorema D1+:
"eorema D11:
"eorema D12:
"eorema D1:
"eorema D1#:
Ejercicios resueltos En los ejercicios a * $alle la derivada de la función dada aplicando los teoremas "D1 a "D1#
Soluciones
Derivada de una función compuesta y regla de la cadena
La gran mayor!a de las funciones #ue se estudian en cálculo están construidas por una composición de funciones, de a#u! la importancia de conocer un m"todo sencillo para diferenciar dic$as funciones= el m"todo utilizado para $allar la derivada de una función compuesta se conoce como & egla de la cadena&. Re'la de la cadena:
'jemplo ilustrativo
@uc$as veces sucede #ue $ay #ue aplicar la regla de la cadena más de una vez para derivar una función compuesta dada. 'jemplo ilustartivo*
Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios obtenga la derivada de la función #ue se indica aplicando la regla de la cadena
•
Soluciones
Derivación impl!cita
Se dice #ue una función está definida e;pl!citamente cuando se da de la forma y ! f (x)= esto es cuando se da y despejada en t"rminos de x. 'n cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, * yx cos) y, e;iste una función tal #ue y f ( x, se dice #ue y es una función #ue está definida impl!citamente por la ecuación. Ana ecuación en x e y puede definir a más de una función impl!cita. En muc$as ocasiones no se puede resolver e;pl!citamente una función dada en forma impl!cita. Es posible $allar la derivada de una función e;presada impl!citamente, sin necesidad de transformarla en su e#uivalente e;pl!cita.
Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, $alle dyBdx por medio del proceso de diferenciación impl!cita
Soluciones
apideces de variación relacionadas
Enunciados En los ejercicios a -, x e y son funciones de una tercera variable t .
•
Soluciones
%ara calcular la distancia $orizontal, x, de la cometa, respecto al nio, cuando la longitud de la cuerda es de 76 pies, vamos a utilizar el rec!proco del 3eorema de %itágoras
De acuerdo con el 3eorema de %itágoras, se tiene
Derivadas de orden superior Sea f una función diferenciable, entonces se dice #ue f 0 es la primera derivada de f = puede suceder #ue esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda
derivada de la función primitiva f" Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y as! sucesivamente $asta la enésima derivada.
Aceleración instant,nea:
Ejercicios resueltos En los ejercicios a 7, obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.
Soluciones
Intensidad de variación relativa
Ejercicios resueltos En los ejercicios a ), una part!cula se desplaza a lo largo de una recta $orizontal de acuerdo con la ecuación indicada donde s cent!metros representa la distancia de la part!cula desde un punto E a los t segundos. Determine la velocidad instantánea v(t cmBs a los t segundos= y luego calculev(t para el valor particular de t indicado. En los ejercicios - y 7, una part!cula se desplaza a lo largo de una recta $orizontal de acuerdo con la ecuación indicada, donde s cent!metros es la distancia dirigida de la part!cula desde un punto E a los t segundos. 'l sentido positivo es a la derec$a. Determine los intervalos de tiempo cuando la part!cula se desplaza a la derec$a y cuando lo $ace a la iz#uierda. 3ambi"n determine cuándo la part!cula cambia de sentido. @uestre el comportamiento de la part!cula con una figura.
Soluciones
t
s
v
57
5
)4
5-
*-
7
5)
)
6
5*
*4
59
5
7
5*
6
-
59
5
6
*
4
7
)
)
)4
t
s
v
59
56.
56.669
5)
56.+
6
5
56.
6.68
6
6
6.
6.
6.68
)
6.+
6
9
6.
56.669
%. Solución
@á;imos y m!nimos
El $ec$o de #ue la interpretación geom"trica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado es muy /til para el trazado de las gráficas de funciones. %or ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable independiente la tangente #ue pasa por dic$o punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al eje x. 3ambi"n, se pueden establecer los intervalos en los #ue la gráfica está sobre o debajo de la tangente... -alor m,imo relativo:
'n la figura de la derec$a (fig. se puede observar un ejemplo de una función #ue tiene un valor má;imo relativo en c. Dic$o valor es d y ocurre en c. #l valor máximo relativo de f en (a,b) es d .
(fig. -alor m/nimo relativo:
'n la figura de la derec$a (fig.* se puede observar un ejemplo de una función #ue tiene un valor m!nimo relativo en c. Dic$o valor es d y ocurre en c. #l valor m$nimo relativo de f en (a,b) es d .
(fig.* Si una función tiene un valor má;imo relativo o un valor m!nimo relativo en c, se dice entonces #ue la función tiene un etremo relativo en c.
'l teorema anterior establece #ue la recta tangente a la gráfica de la f en el punto en donde ocurre un e;tremo relativo es paralela al eje x.
Si f es diferenciable, los /nicos posibles valores de x para los cuales f tiene un e;tremo relativo son a#uellos en los #ue f 0 ( x 6. :o obstante, ocurre con muc$as funciones #ue a pesar de #ue f 0 ( x 6, no $ay un e;tremo relativo all!. 'n la fig.) se puede apreciar un ejemplo de esta situación. 3ambi"n puede suceder #ue alguna función f tenga un e;tremo relativo en un n/mero dado y sinembargo no ser diferenciable en dic$o n/mero. ?a fig.- ilustra este $ec$o. %or /ltimo, para ciertas funciones f (c e;iste y f 0(c no e;iste y sinembargo no $ay un e;tremo relativo en c. 'n la fig.7 se muestra la gráfica de una función donde ocurre esta situación. Conclusión: si una función f está definida en un n/mero c, una condición necesaria para #ue f tenga un e;tremo relativo en c es #ue f 0( x 6 o f 0(c no e;ista= pero esta condición no es suficiente.
(fig.)
(fig.-
(fig.7
(fig.4 'n la fig.4 se muestra la gráfica de una función en donde el valor m!nimo absoluto ocurre en a, el valor má;imo absoluto ocurre en b. 'n e la función tiene un valor má;imo relativo, y en d un valor m!nimo relativo. Cuando una función tiene un valor má;imo o un valor m!nimo absoluto en un intervalo, se dice #ue la función tiene un e;tremo absoluto en el intervalo.
Ana función dada puede tener o no tener un e;tremo absoluto en un intervalo. 'n la (fig.+ se puede observar #ue la función tiene un valor má;imo absoluto en c (tambi"n es un valor má;imo relativo, pero no tiene un valor m!nimo absoluto.
(fig.+
0rocedimiento ara determinar los etremos asolutos de una función en el intervalo cerrado 3a4 b5 1. Se obtienen los n/meros cr!ticos de la función en (a, b, y se calculan los valores correspondientes de f para dic$os n/meros. 2. Se $allan f (a y f (b . 'l mayor de los valores encontrados en los pasos y * es el valor má;imo absoluto, y el menor es el valor m!nimo absoluto.
Ejercicios resueltos En los ejercicios a ), obtenga los n/meros cr!ticos de la función dada. 'n los ejercicios - a 6 $alle los e;tremos absolutos de la función en el intervalo #ue se da, y calcule los valores de f ( x en los cuales ocurren los e;tremos absolutos. 3race la gráfica de la función en el intervalo.
Soluciones
fig.
3eorema de olle y 3eorema del >alor medio
"eorema de Rolle: Si f es una función en la #ue se cumple (i f es continua en el intervalo cerrado 1a, b2 (ii f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b (iii f (a 6 y f (b 6 'ntonces, e;iste un n/mero c #ue pertenece a (a, b tal #ue f 0(c 6 El 3eorema de olle se atribuye al matemático franc"s @ic$el olle (47*5+9.
'n la figura de la derec$a se ilustra la interpretación geom"trica del 3eorema de olle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones #ue re#uiere el 3eorema f es continua en 1a, b2 e integrable en (a, b, y f (a f (b 6. 3ambi"n se puede observar el punto (cuya abscisa es c donde la recta tangente a la gráfica de f es paralela al eje x, es decir donde se cumple #ue f 0(c 6.
'l 3eorema de olle es susceptible de una modificación en su enunciado #ue no altera para nada la conclusión del mismo. 'sta se refiere al punto (iii f (a f (b basta con #ue el valor de la función sea el mismo para x a y x b y no necesariamente sean iguales a cero. 'n la figura de la iz#uierda se ilustra este $ec$o.
"eorema del -alor medio: Si f es una función en la #ue se cumple #ue (i f es continua en el intervalo cerrado 1a, b2 (ii f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b 'ntonces, e;iste un n/mero c #ue pertenece a (a, b tal #ue
< la iz#uierda se observa una ilustración de la interpretación geom"trica del 3eorema del >alor medio. 'l teorema afirma #ue si la función es continua en 1a,b2 y diferenciable en (a,b, e;iste un punto cen la curva, entre < y F, donde la recta tangente es paralela a la recta #ue pasa por < y F. 'sto es,
Ejercicios resueltos En los ejercicios a ), verifi#ue #ue las condiciones (i, (ii y (iii de la $ipótesis del 3eorema de olle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. ?uego $alle un valor adecuado para c #ue satisfaga la conclusión del teorema de olle. En los ejercicios - a 9, compruebe #ue la $ipótesis del 3eorema del >alor medio se cumple para la función dada en el intervalo indicado. ?uego $alle un valor adecuado para c #ue cumpla la conclusión del 3eorema del valor medio. En los ejercicios 6 a *, (a trace la gráfica de la función dada en el intervalo indicado= (b compruebe las tres condiciones de la $ipótesis del teo rema de olle y determine cuáles se cumplen y cuáles, de $aberlas, no se cumplen= (c si las tres condiciones se cumplen, determine un punto por el cual pase una recta tangente $orizantal. En los ejercicios ) y -, calcule un valor de c #ue satisfaga la conclusión del teorema del valor medio, trace la gráfica de la función y la recta #ue pasa por los puntos (a, f (a y (b, f (b.
•
Soluciones
(a
(a
%rueba de la primera derivada
6unciones crecientes 7 decrecientes
. 8na función #ue siempre es creciente o decreciente en un intervalo, se dice #ue esmonótona en ese intervalo.
'n la figura de la iz#uierda se esboza la interpretación geom"trica del teorema &%rueba de la primera derivada&. 'n la parte iz#uierda de la figura se tiene un valor má;imo relativo en c, y se observa #ue f 0( xG6 para x%c (en alg/n intervalo#ue tiene a c como su e;tremo derec$o y f 0( xH6 para x&c (en alg/n intervalo #ue tiene a c como su e;tremo iz#uierdo= en la parte derec$a se tiene un valor m!nimo relativo en c, y se observa #ue f 0( xH6 para x%c (en alg/n intervalo #ue tiene a c como su e;tremo derec$o y f 0( xG6 para x&c (en alg/n intervalo #ue tiene a ccomo su e;tremo iz#uierdo 0rocedimient o %ara determinar los valores e;tremos relativos de una función se procede de la siguiente manera 1. Se $alla la derivada de la función f 0( x 2. Se $allan los s cr!ticos de la función, esto es los valores de x para los cuales f 0( x 6 o para los cuales f 0 no e;iste. . Se aplica el criterio de la primera derivada
Ejercicios resueltos En los ejercicios a -, proceda a lo siguiente (a obtenga los e;tremos relativos de f aplicando la prueba de la primera derivada= (b determine los valores x en los #ue ocurren e;tremos relativos= (c determine los intervalos en los #ue f es creciente= (d determine los intervalos en los cuales f es decreciente= (e trace la gráfica correspondiente.
Soluciones
x
f 9 x
f ;9 x
Conclusión
f decrece
x
f 9 x
6
f tiene un m!nimo relativo
J
f crece
f ;9 x
Conclusión
J
f crece
6
f tiene un má;imo relativo f decrece
6
f tiene un m!nimo relativo
J
f crece
3abla de valores
x
f 9 x
x
y
5
5
5B)
7B*+
6
6
5
*
*
f ;9 x
Conclusión
J
f crece f decrece
-
6
f tiene un má;imo relativo
6
f tiene un m!nimo relativo
3abla 3a bla de valores x
54
5*.7
5.7
6
*
4
7
*
9
5+
5
6
6 .7
f 9 9 x
:o e;iste
f ;9 ;9 x
Conclusión
J
f crece
:o e;iste f decrece 6
f tiene un m!nimo relativo
J
f crece
f 9 9 x
6
6
f ;9 ;9 x
Conclusión
J
f crece
6
:o $ay un e;tremo relativo
J
f crece
6
f tiene un má;imo relativo
−
f decrece
6
f tiene un m!nimo relativo
J
f crece
Concavidad y puntos de infle;ión
(fig.
(fig.*
(f ig.)
Los posibles puntos de infle;ión se identifican despejando a x de la ecuación #ue resulta una vez se $a igualado la segunda derivada de la función a cero= o para los valores de x para los cuales la segunda derivada no e;iste. Ejercicios resueltos En los ejercicios a +, $alle los puntos de infle;ión de la gráfica de la función #ue se indica, si los $ay. Determine dónde la gráfica es cóncava $acia arriba y dónde lo es $acia abajo. 3race la gráfica y muestre un segmento de cada tangente de infle;ión.
Soluciones
'n la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos x
f 9 x
6
f ;9 x
9
f ;;9 x)
Conclusión
−
la gráfica de f es cóncava $acia abajo
6
f tiene un punto de infle;ión
J
la gráfica de f es cóncava $acia arriba
fig.*
x
f 9 x
6
5*74
f ;9 x
6
5*8
f ;;9 x)
Conclusión
+
la gráfica de f es cóncava $acia arriba
6
f tiene un punto de infle;ión
−
la gráfica de f es cóncava $acia abajo
0
f tiene un punto de infle;ión
+
la gráfica de f es cóncava $acia arriba
'n la tabla #ue sigue se resumen los resultados obtenidos x
f 9 x
6
f ;9 x
no e;iste
f ;;9 x)
Conclusión
+
la gráfica de f es cóncava $acia arriba
no e;iste
f tiene un punto de infle;ión
−
la gráfica de f es cóncava $acia abajo
Prueba de la segunda derivada
Con la prueba de la segunda derivada se establece otro criterio (ya se estableció uno con la prueba de la primera derivada) para determinar los extremos relativos de una función en un número. A diferencia de la prueba de la primera derivada en la que se investigaba el signo de f ' a la izquierda y a la dereca de un posible extremo relativo! en la prueba de la segunda derivada solo se involucra al " cr#tico.
Ejercicios resueltos En los e$ercicios % a & obtenga los extremos relativos de la función que se indica usando el criterio de la segunda derivada. 'mplee la segunda derivada para determinar cualesquiera puntos de inexión de la gr*ca de la función y determine dónde la gr*ca es cóncava acia arriba y dónde lo es acia aba$o. +race la gr*ca correspondiente.
Soluciones
,amos a aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar si en estos "s cr#ticos f tiene un mximo o un m#nimo relativo
,amos a aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar si en estos "s cr#ticos f tiene un mximo o un m#nimo relativo
3razo de la gráfica de una función
S o lu c io n e s
esumimos las conclusiones de los datos obtenidos en la siguiente tabla x
f 9 x
7
−)
f ;9 x
f ;;9 x
J
−
f crece. ?a gráfica es cóncava $acia abajo
6
−
f tiene un má;imo relativo. ?a gráfica es cóncava $acia abajo
−
f decrece. ?a gráfica es cóncava $acia abajo
−4
6
f decrece. ?a gráfica tiene un punto de infle;ión
−
J
f decrece. ?a gráfica es cóncava $acia arriba
0
J
f tiene un valor m!nimo relativo. ?a gráfica es cóncava $acia arriba
J
J
f crece. ?a gráfica es cóncava $acia arriba
Conclusión
@"todo de :eKton
El m"todo num"rico de :eKton es una aplicación del cálculo diferencial #ue se utiliza para $allar los ceros de una función derivable de en"simo grado con la precisión deseada. ?os procedimientos para $allar las ra!ces o ceros de funciones lineales o cuadráticas a partir de los coeficientes de la ecuación son sencillos y e;actos. e?ton:
0rocedimient o
Ejercicios resueltos En los ejercicios y *, utilice el m"todo de :eKton para calcular la ra!z real de la ecuación #ue se indica (con cuatro cifras decimales. 'n los ejercicios ) y -, use el m"todo de :eKton para determinar, redondeando a mil"simos, el valor apro;imado de la ra!z #ue se indica. 'n los ejercicios7 y 4, determine el valor del radical #ue se da con cinco cifras decimales. 'n el ejercicio +, utilice el m"todo de :eKton para calcular, con cuatro cifras decimales, la coordenada x del punto de intersección en el primer cuadrante de las gráficas de las dos ecuaciones.
S o lu c i on e s
Solución Como se puede observar en la gráfica, la ra!z positiva menor está entre 6 y .
Solución Como se puede observar en la gráfica, la ra!z negativa está entre 5* y 5
Solución Debemos $allar la ra!z positiva se encuentra entre y *.
Solución Debemos $allar la ra!z positiva se encuentra entre y *.
'n la fig. se observan las gráficas de las dos funciones asi como la coordenada de la abscisa de su punto de intersección en el primer cuadrante. %ara $allar la abscisa del punto de intersección basta con igualar las funciones, asi x cos x, entonces cos x 5 x 6 ?a fig.* muestra la gráfica de y cos x 5 x >amos a utilizar el m"todo de :eKton para $allar, con una apro;imación de - cifras decimales, el cero de la función (fig.
(fig.*
E n u n c i a d o s
Soluciones
E n u n c i a d o s
Soluciones
iscelnea %
Enunciados
/os enunciados de los e$ercicios & a 0 fueron facilitados por Aldo 1il desde 1il desde Perú
Soluciones
2olución
@iscelánea *
E n u n c i a d o s
Soluciones
