Buku Ajar Statistika Industri(1)

KATA PENGANTAR Bismillaahirrohmaanirrohiim,

Assalaamu‟alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh Dengan ridlaNYA, Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan buku ajar mata kuliah Statistika Industri ini walaupun masih banyak kekurangan-kekurangannya kekurangan-k ekurangannya yang harus diperbaiki di masa yang akan datang. Edisi pertama dari buku ajar mata kuliah Statistika Industri ini diperuntukan digunakan di lingkungan Fakultas Rekayasa Industri Institut Teknologi Telkom di mana penyusun mengajar. Buku ajar Statistika Industri pegangan kuliah ini ditujukan agar mahasiswa lebih dapat berkonsentrasi terhadap apa yang disampaikan dosen di kelas sehingga mahasiswa diharapkan akan lebih maksimal dalam menerima ilmu yang disampaikan oleh dosen di kelas. Buku Ajar ini ditulis dan disusun berdasarkan sumber dari beberapa buku yang telah ada dan dari pengalaman penulis selama mengajar di beberapa perguruan tinggi. Penulis sangat berterima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dan memberi semangat untuk menulis buku ajar ini dan penulis berterima kasih kepada rekan-rekan sejawat yang telah membantu dalam penulisan buku ini. Akhirnya, sangat diharapkan adanya masukan dari rekan pembaca sekalian demi perbaikan Buku Ajar ini ke k e depannya.

Wassalaamu‟alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh. Bandung, Agustus 2011,

Penulis

(team dosen Statistika Industri ) Toshiba | RISET OPERASI II

I-2

SATUAN ACARA PENGAJARAN (SAP)

Mata Kuliah

: Statistika Industri (3 SKS)

Kode Mata Kuliah

: IE2333

Buku Acuan

:

1. Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”, Prentice Hall, 2007 2. Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, Pearson Education, 2006 3. Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and Physical Scientists”, Pearson Prentice Hall, 2010.

Toshiba | RISET OPERASI II

I-3

Minggu

Pokok Bahasan

Materi

ke (1)

1.

2.

3.

Tujuan Instruksional

Tujuan Instruksional Khusus (TIK)

Umum (TIU) (2)

Pendahulu an

Statistika Deskriptif

Distribusi sampling rataan dan proporsi

(3)

Teori Sampling

Ukuran pemusatan, keragaman dan letak

Distribusi sampling rataan dan proporsi dari satu populasi dan dua populasi ( Z dan t)

Kegiatan

(4)

(5)

(6)

Mahasiswa memahami tentang pengertian pengertian konsep dasar metoda sampling

Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian:

Tatap muka

1. sampling 2. populasi dan dan sample 3. statistik dan parameter parameter

Diskusi

Mahasiswa memahami tentang pengertian pengertian konsep dasar Statistika Deskriptif

Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian:

Tatap muka

Mahasiswa memahami distribusi sampling rataan dan proporsi dari dari satu populasi dan dan dua populasi

Mahasiswa mampu:


1. Ukuran pemusatan 2. Ukuran keragaman 3. Ukuran letak

1. menjelaskan teorema

“central limit” 2. menghitung nilai probabilitas probabilitas distribusi sampling rataan dan proporsi untuk untuk satu dan

I-4

Evalua si

Acuan

(7)

(8)

Tanya Jawab

[1, Bab 8)

Tanya Jawab

[1, Bab 8)

Tanya Jawab

[1, Bab 8]

Diskusi

Tatap muka Diskusi

dua populasi 4.

5.

Distribusi sampling variansi

Distribusi sampling variansi ( Chi Square dan F)

Mahasiswa memahami distribusi sampling Chi Square dan F

Estimasi dan uji hipotesa rataan untuk satu dan dua populasi

1. Pengertian dan sifat-sifat estimator 2. Estimasi rataan satu populasi 3. Estimasi rataan dua populasi 4. Pengertian uji hipotesa 5. Jenis kesalahan dalam uji hipotesis

Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan pengujian pengujian hipotesa khususnya selang rataan dan pengujiannya pengujiannya baik satu populasi maupun dua populasi


Mahasiswa mampu: 1. menghitung nilai probabilitas probabilitas distribusi sampling variansi dari satu populasi 2. menghitung nilai probabilitas probabilitas distribusi sampling variansi dari dua populasi Mahasiswa mampu : 1. menjelaskan pegertian dan sifat-sifat umum estimator 2. menjelaskan metoda untuk menentukan estimator rataan populasi 3. menghitung nilai estimasi selang rataan suatu populasi (satu dan dua populasi). 4. menjelaskan kesalahan dalam uji hipotesis 5. melakukan uji hipotesis

I-5

Tatap muka

Tanya Jawab

[1, Bab 8]

Tanya Jawab

[1, Bab 9, 18]

Diskusi

Tatap muka Diskusi

[2, Bab 6] [3, Bab 9]

6.

7.

8.

Estimasi dan pengujian pengujian hipotea proporsi populasi

1. Estimator proporsi 2. Pengujian dan Estimasi selang proporsi baik baik satu dan dua populasi

Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan Pengujian hipotesa khususnya proporsi baik satu populasi populasi maupun dua populasi

Estimasi dan uji hipotesa variansi

1. Estimator variansi 2. Estimasi selang variasi baik satu dan dua populasi 3. Pengujian hipotesa variansi satu dan dua populasi.

Mahasiswa memahami pengertian dan sifat-sifat umum estimator dan pengujian pengujian hipotesa khususnya untuk variansi baik satu populasi maupun maupun dua populasi

rataan (satu dan dua populasi). Mahasiswa mampu : 1. menjelaskan metoda untuk menentukan estimator proporsi populasi 2. menghitung nilai estimasi selang proporsi suatu populasi (satu dan dua populasi). 3. Menguji proporsi satu dan dua proporsi Mahasiswa mampu : 1. menjelaskan metoda untuk menentukan estimator variansi populasi 2. menghitung nilai estimasi selang variasni suatu populasi (satu dan dua populasi). 3. Menguji variansi untuk satu dan dua populasi

UTS


I-6

Tatap muka

Tanya Jawab

Diskusi

Tatap muka Diskusi

[1, Bab 9] [2, Bab 6]

Tanya Jawab

[1, Bab 9] [2, Bab 6]

9.

10.

11.

12.

Uji Hipotesis

1. Goodness of fit 2. Uji independesi

Mahasiswa memahami metoda uji goodness of fit dan uji independensi

Mahasiswa mampu : 1. melakukan uji goodness of fit 2. melakukan uji independesi Mahasiswa mampu :

Uji variansi satu arah

1. Metoda analisis varian 2. CRD (complety randomize design) 3. BRD(Bock Random design)

Mahasiswa memahami metoda uji variansi satu arah

Regresi sederhana

1. Regresi sederhana 2. Pengujian regresi

Mahasiswa memahami metoda regresi sederhana

Mahasiswa mampu :

Mahasiswa memahami konsep korelsi dan pengujiannya. pengujiannya.

Mahasiswa mampu :

Korelasi

1. Korelasi 2. Pengujian korelasi


1. Menjelaskan metoda uji variansi 2. melakukan uji variansi satu arah

1. melakukan perhitungan perhitungan regresi sederhana dan pengujiannya. pengujiannya.

1. Menghitung nilai korelasi dan pengujiannya. pengujiannya.

I-7

Tatap muka

Tanya Jawab

Diskusi

Tatap muka

[2, Bab 8] Tanya Jawab

Diskusi

Tatap muka

[1, Bab 10]

[1, Bab 13] [2, Bab 10]

Tanya Jawab

[1, Bab 11]

Tanya Jawab

[1, Bab 11]

Diskusi

Tatap muka Diskusi

[3, Bab 14, 15]

13.

14.

15.

16.

1. Uji tanda Uji 2. Run test Hipotesis non parametrik

Mahasiswa memahami metoda uji tanda dan run test

Mahasiswa mampu :

1. Uji Wilcoxon Uji 2. Uji Kruskal Hipotesis Wallis non parametrik

Mahasiswa memahami metoda uji Wilcoxon dan Uji Kruskal Wallis

Mahasiswa mampu :

Tugas besar

Persentasi tugas

Mahasiswa mampu mengaplikasikan statistika ke dunia nyata

3. melakukan uji tanda 4. melakukan run test

3. melakukan uji Wilcoxon 4. melakukan uji Kruskal Wallis

Mahasiswa mampu mengaplikasikan dan merepresantasikan materi

UAS


I-8

Tatap muka

Tanya Jawab

Diskusi

Tatap muka

[2, Bab 8]

Tanya Jawab

Diskusi

Tatap muka Diskusi

[1, Bab 16]

[1, Bab 16] [2, Bab 8]

Tanya Jawab

Penilaian

: UTS

: 30%

UAS

: 30%

QUIS

: 25%

TUGAS

: 15%


I-9

Buku Ajar Statistika Industri FRI

DAFTAR ISI

BAB I

TEORI SAMPLING ........................................... ................................................................. ............................................ .................................. ............ 1 I.1

PENGERTIAN DASAR ........................................... ................................................................. ......................................... ................... 3 I.1.1

Sampling ........................................... .................................................................. ............................................. .............................. ........ 3

I.1.2

Sample (n) : ........................................... ................................................................. ............................................ ........................... ..... 3

I.1.3

Elemen / unsur .......................................... ................................................................ ............................................ ........................ 4

I.1.4

Populasi (N) .......................................... ................................................................ ............................................ ........................... ..... 4

I.1.5

Kerangka sampel........................................... ................................................................. ......................................... ................... 5

I.2

SYARAT SAMPEL YANG BAIK ............................................ ................................................................... .......................5

I.3

UKURAN SAMPEL......................................... ............................................................... ............................................ ........................... ..... 7

I.4

TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL....................................... SAMPEL.............................................. ....... 9

I.5

I.4.1

Sampling dengan Pengembalian ............................................ .......................................................... .............. 10

I.4.2

Sampling tanpa Pengembalian : .......................................... ........................................................... ................. 10

I.4.3

Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya Pemilihannya ................................... ................................... 11

TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL ......................................... ....................................................... .............. 17 I.5.1

Penyajian Data .......................................... ................................................................ ........................................... .....................17

I.5.2

Tabel Distribusi frekuensi ........................................... .................................................................. ......................... .. 17

I.5.3

Distribusi Frekuensi Relatif : .......................................... ............................................................... .....................21

I.5.4

Penyajian dalam Bentuk Grafik .......................................... ........................................................... ................. 22

BAB II DISTRIBUSI SAMPLING ............................................ .................................................................. ........................................... .....................30 II.1 DISTRIBUSI SAMPLING SAMPLING RATAAN Z ........................................... ......................................................... .............. 31 II.2 DISTRIBUSI SAMPLING SAMPLING RATAAN T ........................................... ......................................................... .............. 41 II.3 DISTRIBUSI SAMPLING SAMPLING PROPORSI ............................................ .......................................................... .............. 44 II.4 DISTRIBUSI SAMPLING SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI ................................... ................................... 46 II.5 DISTRIBUSI SAMPLING SAMPLING VARIANSI ............................................ .......................................................... .............. 47 BAB III TEORI ESTIMASI ......................................... ............................................................... ............................................ .................................... .............. 54 III.1 ESTIMASI RATAAN ............................................................ .................................................................................. ......................... ... 58 III.1.1 Selang kepercayaan k epercayaan mean sampel sa mpel .......................................... ........................................................ .............. 58 III.1.2 Selang kepercayaan untuk µ;



diketahui .......................................... ............................................ ..59 59

III.1.3 Kesalahan estimasi ........................................... .................................................................. .................................... ............. 59 III.1.4 Sampel sedikit ........................................... ................................................................. ........................................... .....................61 III.1.5 Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui. .................................. ..................................62 62 x IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI III.2 ESTIMASI PROPORSI .................................... .......................................................... ............................................ ......................... ... 63 III.2.1 Estimasi Selisih Dua Proporsi Propors i............................................. .............................................................. ................. 70 III.3 ESTIMASI VARIANSI ........................................ .............................................................. ........................................... .....................75 III.3.1 Estimasi Nisbah Dua Variansi .................................... .......................................................... ......................... ... 77 BAB IV UJI HIPOTESIS .......................................... ................................................................. ............................................. ....................................... ................. 89 IV.1 HIPOTESIS STATISTIK ............................................................... ................................................................................ ................. 91 IV.2 ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS .............................. .................................................... .................................... .............. 93 IV.2.1 Uji Ekasisi .............................. ..................................................... ............................................. ....................................... ................. 94 IV.2.2 Uji Dwisisi ................................................ ...................................................................... ........................................... .....................96 IV.3 KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS ..................................... ..................................... 97 IV.4 LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS .......................... ............................................. ................... 100 IV.5 UJI MENYANGKUT RATAAN ........................................... .................................................................. .......................100 IV.6 UJI MENYANGKUT PROPORSI ......................................... ............................................................... ........................ 103 IV.7 UJI MENYANGKUT VARIANSI ......................................... ............................................................... ........................ 106 BAB V UJI CHI-SQUARE...................................... CHI-SQUARE............................................................ ............................................. ...................................... ............... 113 V.1 GOODNESS OF OF FIT TEST.......................... TEST................................................. .............................................. .......................... ... 115 V.2 INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN) KEBEBASAN) ............................................ ........................................................ ............ 121 BAB VI REGRESI DAN KORELASI ................................. ................................... .. Error! Bookmark not defined. VI.1 REGRESI ........................................... ......................................................... .............. Error! Bookmark not defined. VI.1.1 Regresi Linier Sederhana ..................... Error! Bookmark not defined. VI.1.2 Regresi Linier Berganda ........................................................ .................................................................... ............ 151 VI.2 KORELASI............................................ ...................................................... .......... Error! Bookmark not defined. VI.2.1 Definisi Korelasi .................................. .................................. Error! Bookmark not defined. VI.2.2 Koefisien Korelasi ............................ ............................... ... Error! Bookmark not defined. VI.2.3 Teknik Korelasi .................................... .................................... Error! Bookmark not defined. VI.2.4 Uji Hipotesis Korelasi .......................... .......................... Error! Bookmark not defined. BAB VII ANOVA ........................................... .................................................................. ............................................. ............................................ .......................... .... 153 VII.1 O NE WAY ANOVA ........................................... Error! Bookmark not defined. VII.2 TWO WAY ANOVA .......................................... Error! Bookmark not defined.

VII.2.1 Two Way Anova Anov a dengan n replikasi .......................................... .................................................. ........168 16 8

xi IT TELKOM


BAB I. TEORI SAMPLING

PENDAHULUAN

Teori sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitu: a) Pengertian dasar teori sampling b) Syarat sampel yang baik c) Ukuran sampel d) Teknik-teknik pengambilan sampel e) Teknik penyajian data sampel

1 IT TELKOM


TUJUAN INSTRUKSIONAL

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa mengetahui proses sampling dan dapat menggambarkan proses dan metode yang digunakan dalam pengumpulan data dan dapat menjelaskan proses dan metode yang digunakan dalam pengolahan data. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori sampling 2. Mahasiswa akan dapat memahami apa saja syarat sampel yang baik 3. Mahasiswa dapat memahami ukuran sample yang baik. 4. Mahasiswa diharapkan memahami teknik-teknik pengambilan sample 5. Mahasiswa dapat memahami teknik penyajian data sampel SKENARIO PEMBELAJARAN

1…………. 2…………. 3…………. 4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut: 1. Perkuliahan 2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK) 3. Tes pendahuluan 4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan tanya jawab 5. Tes akhir 6. Evaluasi pencapaian 7. Penutup

2 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI RINGKASAN MATERI

I.1 I.1.1

PENGERTIAN DASAR Sampling

Proses pengambilan atau memilih n buah elemen/objek/unsur dari populasi yang berukuran N. Misalnya Misaln ya memilih sebagian murid SD Negeri di Kota Bandung, dalam sebuah penelitian yang bertujuan untuk mengetahui mengetah ui proporsi propor si latar belakang tingkat tin gkat pendidikan pendidi kan orang tua dari seluruh murid SD Negeri di Kota Bandung. I.1.2

Sample (n) :

Merupakan bagian dari populasi. Elemen anggota sampel, merupakan anggota populasi dimana sampel diambil. Jika N banyaknya elemen populasi, dan n banyaknya elemen sampel, maka n < N. Artinya tidak akan ada sampel jika tidak ada populasi. Populasi adalah keseluruhan elemen atau unsur yang akan kita teliti. Penelitian yang dilakukan atas seluruh elemen dinamakan sensus. Idealnya, agar hasil penelitiannya lebih bisa dipercaya, seorang peneliti harus melakukan sensus. Namun karena sesuatu hal peneliti bisa tidak meneliti keseluruhan elemen tadi, maka yang bisa dilakukannya adalah meneliti sebagian dari keseluruhan elemen atau unsur tadi.

HUBUNGAN SAMPEL DAN POPULASI

Populasi

Sampel

Berbagai alasan yang masuk akal mengapa peneliti tidak melakukan sensus antara lain adalah,(a) populasi demikian banyaknya sehingga dalam prakteknya tidak mungkin seluruh elemen diteliti; (b) keterbatasan waktu penelitian, biaya, dan sumber daya manusia, 3 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI membuat peneliti harus telah puas jika meneliti sebagian dari elemen penelitian; (c) bahkan kadang, penelitian yang dilakukan terhadap sampel bisa lebih reliabel daripada terhadap populasi – misalnya, karena elemen sedemikian banyaknya maka akan memunculkan kelelahan fisik dan mental para pencacahnya sehingga banyak terjadi kekeliruan. (Uma Sekaran, 1992); (d) demikian pula jika elemen populasi homogen, penelitian terhadap seluruh elemen dalam populasi menjadi tidak masuk akal, misalnya untuk meneliti kualitas jeruk dari satu pohon jeruk Agar hasil penelitian yang dilakukan terhadap sampel masih tetap bisa dipercaya dalam artian masih bisa mewakili karakteristik populasi, maka cara penarikan sampelnya harus dilakukan secara seksama. Cara pemilihan sampel dikenal dengan nama teknik sampling atau teknik pengambilan sampel . I.1.3

Elemen / unsur

Elemen adalah setiap satuan populasi. Kalau dalam populasi terdapat 30 laporan keuangan, maka setiap laporan keuangan tersebut adalah unsur atau elemen penelitian. Artinya dalam populasi tersebut terdapat 30 elemen penelitian. Jika populasinya adalah pabrik sepatu, dan jumlah pabrik sepatu 500, maka dalam populasi tersebut terdapat 500 elemen penelitian. I.1.4

Populasi (N)

Kumpulan lengkap dari elemen-elemen yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan berdasarkan karekteristiknya. karekteristik nya. Misalnya Mahasiswa Indonesia dapat dibedakan berdasarkan variabel jenis kelamin dengan karakteristik laki-laki dan perempuan, atau variabel IPK dengan karektaristik indeks antara 0-4. Atau dapat diartikan sebagai sekelompok orang, kejadian, atau benda, yang dijadikan obyek penelitian. Jika yang ingin diteliti adalah sikap konsumen terhadap satu produk tertentu, maka populasinya adalah seluruh konsumen produk tersebut. Jika yang diteliti

adalah laporan keuangan perusahaan “X”, maka populasinya adalah keseluruhan laporan keuangan perusahaan “X” tersebut, Jika yang diteliti adalah motivasi pegawai di departemen

“A” maka populasinya adalah seluruh pegawai di departemen “A”.

4 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI I.1.5

Kerangka sampel

Kerangka sampel adalah daftar yang memuat seluruh elemen/anggota populasi, sebagai dasar untuk penarikan sampel random Sedangkan sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi. I.2

SYARAT SAMPEL YANG BAIK

Secara umum, sampel yang baik adalah yang dapat mewakili sebanyak mungkin karakteristik populasi. Dalam bahasa pengukuran, artinya sampel harus valid, yaitu bisa mengukur sesuatu yang seharusnya diukur. Kalau yang ingin diukur adalah masyarakat Sunda sedangkan yang dijadikan sampel adalah hanya orang Banten saja, maka sampel tersebut tidak valid, karena tidak mengukur sesuatu yang seharusnya diukur (orang Sunda). Sampel yang valid ditentukan oleh dua pertimbangan. Pertama : Akurasi atau ketepatan

, yaitu tingkat ketidakadaan “bias” (kekeliruan) dalam

sample. Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin akurat sampel tersebut. Tolok ukur adanya “bias” atau kekeliruan adalah populasi. Cooper dan Emory (1995) menyebutkan bahwa “there is no systemati ” ystematic c var varii ance yang maksudnya adalah tidak ada keragaman pengukuran yang disebabkan karena pengaruh yang diketahui atau tidak diketahui, yang menyebabkan skor cenderung mengarah pada satu titik tertentu. Sebagai contoh, jika ingin mengetahui rata-rata luas tanah suatu perumahan, lalu yang dijadikan sampel adalah rumah yang terletak di setiap sudut jalan, maka hasil atau skor yang diperoleh akan bias. Kekeliruan semacam ini bisa terjadi pada sampel yang diambil secara sistematis Contoh systematic variance yang banyak ditulis dalam buku-buku metode penelitian adalah jajak-pendapat (polling) yang dilakukan oleh Literary Digest (sebuah majalah yang terbit di Amerika tahun 1920-an) pada tahun 1936. (Copper & Emory, 1995, Nan lin, 1976). Mulai tahun 1920, 1924, 1928, dan tahun 1932 majalah ini berhasil memprediksi siapa yang akan jadi presiden dari calon-calon presiden yang ada. Sampel diambil berdasarkan petunjuk dalam buku telepon dan dari daftar pemilik mobil. Namun pada tahun 1936 prediksinya salah. Berdasarkan jajak pendapat, di antara dua calon presiden (Alfred M. Landon dan Franklin D. Roosevelt), yang akan menang adalah Landon, namun meleset karena ternyata Roosevelt yang terpilih menjadi presiden Amerika.

5 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Setelah diperiksa secara seksama, ternyata Literary Digest membuat kesalahan dalam menentukan sampel penelitiannya . Karena semua sampel yang diambil adalah mereka yang memiliki telepon dan mobil, akibatnya pemilih yang sebagian besar tidak memiliki telepon dan mobil (kelas rendah) tidak terwakili, padahal Rosevelt lebih banyak dipilih oleh masyarakat kelas rendah tersebut. Dari kejadian tersebut ada dua pelajaran yang diperoleh : (1), keakuratan prediktibilitas dari suatu sampel tidak selalu bisa dijamin dengan banyaknya jumlah sampel; (2) agar sampel dapat memprediksi dengan baik populasi, sampel harus mempunyai selengkap mungkin karakteristik populasi (Nan Lin, 1976). Kedua : Presisi. Kriteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi.

Presisi mengacu pada persoalan sedekat mana estimasi kita

dengan karakteristik

populasi. Contoh : Dari 300 pegawai produksi, diambil sampel 50 orang. Setelah diukur

ternyata rata-rata perhari, setiap orang menghasilkan 50 potong produk “X”. Namun berdasarkan laporan harian, pegawai bisa menghasilkan produk “X” per harinya rata -rata 58 unit. Artinya di antara laporan harian yang dihitung berdasarkan populasi dengan hasil penelitian yang dihasilkan dari sampel, terdapat perbedaan 8 unit. Makin kecil tingkat perbedaan di antara rata-rata populasi dengan rata-rata sampel, maka makin tinggi tingkat presisi sampel tersebut. Belum pernah ada sampel yang bisa mewakili karakteristik populasi sepenuhnya. Oleh karena itu dalam setiap penarikan sampel senantiasa melekat keasalahan-kesalahan, yang

dikenal dengan nama “ samplin g err ” Presisi diukur oleh simpangan baku ( standard error ). ). err or Makin kecil perbedaan di antara simpangan baku yang diperoleh dari sampel (S) dengan simpangan baku dari populasi (σ), makin tinggi pula tingkat presisinya. Walau tidak selamanya, tingkat presisi mungkin

bisa meningkat dengan cara menambahkan jumlah

sampel, karena kesalahan mungkin bisa berkurang kalau jumlah sampelnya ditambah ( Kerlinger, 1973 ). Dengan contoh di atas tadi, mungkin saja perbedaan rata-rata di antara populasi dengan sampel sampe l bisa lebih sedikit, sedik it, jika sampel yang ditariknya ditarikn ya ditambah. ditambah . Katakanlah dari 50 menjadi 75. Di bawah ini digambarkan hubungan antara jumlah sampel dengan tingkat kesalahan seperti yang diutarakan oleh Kerlinger

6 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI besar

kesalahan kecil kecil

I.3

Besarnya sampel

besar

UKURAN SAMPEL

Pertanyaan yang sering diajukan oleh peneliti ketika akan melakukan penelitian adalah

”berapa besar sampel yang harus diteliti dari sebuah populasi?”, agar hasil (berupa data perkiraan) penelitian dapat mewakili atau merepresentasikan populasi. Data perkiraan (statistik) disebut mewakili jika angkanya mendekati parameter. Jika parameter 100, 95 disebut lebih mewakili dibandingkan dengan 90. Ukuran sampel atau jumlah sampel yang diambil menjadi persoalan yang penting manakala jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian yang menggunakan analisis kuantitatif. Pada penelitian yang menggunakan analisis kualitatif, ukuran sampel bukan menjadi nomor satu, karena yang dipentingkan alah kekayaan informasi. Walau jumlahnya sedikit tetapi jika kaya akan informasi, maka sampelnya lebih bermanfaat. Dikaitkan dengan besarnya sampel, selain tingkat kesalahan, ada lagi beberapa faktor lain yang perlu memperoleh pertimbangan yaitu, (1) derajat keseragaman, (2) rencana analisis, (3) biaya, waktu, dan tenaga yang tersedia . (Singarimbun dan Effendy, 1989). Makin tidak seragam sifat atau karakter setiap elemen populasi, makin banyak sampel yang harus diambil. Jika rencana analisisnya mendetail atau rinci maka jumlah sampelnya pun harus banyak. Misalnya di samping ingin mengetahui sikap konsumen terhadap kebijakan perusahaan, peneliti juga bermaksud mengetahui hubungan antara sikap dengan tingkat pendidikan. Agar tujuan ini dapat tercapai maka sampelnya harus terdiri terdi ri atas berbagai jenjang jenj ang pendidikan SD, SLTP. SMU, dan seterusnya.. Makin sedikit waktu, biaya , dan tenaga yang dimiliki peneliti, makin sedikit pula sampel yang bisa diperoleh. Perlu dipahami bahwa apapun alasannya, penelitian haruslah dapat dikelola dengan baik (manageable). Misalnya,

jumlah

bank

yang

dijadikan

populasi

penelitian

ada

400

buah.

Pertanyaannya adalah, berapa bank yang harus diambil menjadi sampel agar hasilnya mewakili populasi?. 30?, 50? 100? 250?. Jawabnya tidak mudah. Ada yang mengatakan, jika 7 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI ukuran populasinya di atas 1000, sampel sekitar 10 % sudah cukup, tetapi jika ukuran populasinya sekitar 100, sampelnya paling sedikit 30%, dan kalau ukuran populasinya 30, maka sampelnya harus 100%. Ada pula yang menuliskan, untuk penelitian deskriptif, sampelnya 10% dari populasi, penelitian korelasional, korel asional, paling sedikit s edikit 30 elemen el emen populasi, penelitian pen elitian perbandingan perban dingan kausal, 30 30 elemen per kelompok, dan untuk penelitian eksperimen 15 elemen per kelompok (Gay dan Diehl, 1992). Roscoe (1975) dalam Uma Sekaran (1992) memberikan pedoman penentuan jumlah sampel sebagai berikut : 1. Sebaiknya ukuran sampel di antara 30 s/d 500 elemen 2. Jika sampel dipecah lagi ke dalam subsampel (laki/perempuan, SD/SLTP/SMU, dsb), jumlah minimum subsampel harus 30 30 3. Pada penelitian multivariate (termasuk analisis regresi multivariate) ukuran sampel harus beberapa kali lebih besar (10 kali) dari jumlah variable yang akan dianalisis. 4. Untuk penelitian eksperimen yang sederhana, dengan pengendalian yang ketat, ukuran sampel bisa antara 10 s/d 20 elemen. Krejcie dan Morgan (1970) dalam Uma Sekaran (1992) membuat daftar yang bisa dipakai untuk menentukan jumlah sampel sebagai berikut (Lihat Tabel)

Tabel 0.1 Tabel Penentuan Jumlah Sampel Populasi (N) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

Sampel (n) 10 14 19 24 28 32 36 40 44 48 52 56 59 63 66 70 73 76

8 IT TELKOM

Populasi (N) 220 230 240 250 260 270 280 290 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480

Sampel (n) 140 144 148 152 155 159 162 165 169 175 181 186 191 196 01 05 10 14

Populasi (N) 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3500 4000 4500 5000

Sampel (n) 291 297 302 306 310 313 317 320 322 327 331 335 338 341 346 351 354 357

Buku Ajar Statistika Industri FRI 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210

80 86 92 97 103 108 113 118 123 127 132 136

500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1100

17 26 34 42 48 54 60 65 69 74 78 85

6000 7000 8000 9000 10000 15000 20000 30000 40000 50000 75000 1000000

361 364 367 368 370 375 377 379 380 381 382 384

Sebagai informasi lainnya, Champion (1981) mengatakan bahwa sebagian besar uji statistik selalu menyertakan rekomendasi ukuran sampel. Dengan kata lain, uji-uji statistik yang ada akan sangat efektif jika diterapkan pada sampel yang jumlahnya 30 s/d 60 atau dari 120 s/d 250. Bahkan jika sampelnya di atas 500, tidak direkomendasikan untuk menerapkan uji statistik. (Penjelasan tentang ini dapat dibaca di Bab 7 dan 8 buku Basic Statistics for Social Research, Second Edition)

I.4

TEKNIK-TEKNIK PENGAMBILAN SAMPEL

Ada beberapa teknik pengambilan sampel yang sering digunakan dalam penelitian diantaranya adalah: Sampling non probabilitas dan sampling probabilitas.

DEFINISI 

Sampel proba probabilitas bilitas Merupak Merup akan an su suat atu u sa samp mpel el ya yang ng di dipi pili lih h se sede demik mikia ian n rup rupa a da dari ri po popu pula lasi si sehing se hingga ga mas masinging-masi masing ng ang anggot gota a po popul pulasi asi memi memiliki liki pro probab babili ilitas tas ata atau u peluang yang sama untuk dijadikan sampel.



Sampel nonprobabilitas Merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.

9 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Lebih detailnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini: TEKNIK SAMPLING

Menurut peluang pemilihannya

Menurut proses memilih

Sampling dengan pengembalian

haphazard

Probability sampling/ random sampling

Non probability sampling

Sampling tanpa pengembalian

quota

snowbal l

pur po posiv e

conv in inience

Simple random sampling

Stratified random sampling

Cluster sampling

Systematic sampling

Gambar 0.1 Tipe Sampling menurut Proses Memilih

I.4.1

Sampling dengan Pengembalian Pengembalian

Satuan sampling yang terpilih, “dikembalikan” lagi ke dalam populasi (sebelum dilakukan kembali proses pemilihan berikutnya). Sebuah satuan sampling bisa terpilih lebih dari satu kali. Untuk populasi berukuran N=4 dan sampel berukuran n=2, maka sampel yang mungkin terambil adalah Nn = 42 = 16 buah sampel. Teknik sampling seperti ini bisa dikatakan tidak pernah digunakan dalam suatu penelitian, hanya untuk keperluan teoritis yang berkatian dengan pengambilan pen gambilan sampel. I.4.2

Sampling tanpa Pengembalian :

Satuan sampling yang telah terpilih, “tidak dikembalikan” lagi ke dalam populasi. Tidak ada kemungkinan suatu satuan sampling terpilih lebih dari sekali. Untuk populasi berukuran N=4 (misalnya A, B, C, D) dan sampel berukuran n=3, maka sampel yang mungkin terambil ada 4 buah sampel yaitu ABC, ABD, ACD, dan BCD. Secara umum untuk menghitung banyaknya macam sampel yang mungkin jika pengambilan sampel tanpa pengembalian adalah: nCr n Cr = n!/(r!(n-r)!)

10 IT TELKOM

Area sampling

Buku Ajar Statistika Industri FRI I.4.3 I.4.3.1

Tipe Sampling menurut Peluang Pemilihannya Random sampli sampli ng

Random sampling adalah cara pengambilan sampel yang memberikan kesempatan yang sama untuk diambil kepada setiap elemen populasi. Artinya jika elemen populasinya ada 100 dan yang akan dijadikan sampel adalah 25, maka setiap elemen tersebut mempunyai kemungkinan 25/100 untuk bisa dipilih menjadi sampel. Syarat pertama yang harus dilakukan untuk mengambil sampel secara acak adalah memperoleh atau membuat kerangka sampel atau dikenal dengan nama “sampling frame” . Yang dimaksud dengan

kerangka sampling adalah daftar yang berisikan setiap elemen

populasi yang bisa diambil sebagai sampel. Elemen populasi bisa berupa data tentang orang/binatang, tentang kejadian, tentang tempat, atau juga tentang benda. Jika populasi

penelitian adalah mahasiswa perguruan per guruan tinggi “A”, maka peneliti p eneliti harus bisa memiliki daftar semua mahasiswa yang terdaftar di perguruan tinggi “A “ tersebut sel engkap mungkin. Nama, NRP, jenis kelamin, alamat, usia, us ia, dan informasi lain yang berguna bagi penelitiannya.. pen elitiannya.. Dari daftar ini, peneliti akan bisa secara pasti mengetahui jumlah populasinya (N). Jika populasinya adalah rumah tangga dalam sebuah kota, maka peneliti harus mempunyai daftar seluruh rumah tangga kota tersebut.

Jika populasinya adalah wilayah Jawa Barat, maka

penelti harus mepunyai peta wilayah Jawa Barat secara lengkap. Kabupaten, Kecamatan, Desa, Kampung. Lalu setiap tempat tersebut diberi kode (angka atau simbol) yang berbeda satu sama lainnya. Di samping sampling frame f rame, peneliti juga harus mempunyai alat yang bisa dijadikan penentu sampel. Dari sekian elemen populasi, elemen mana saja yang bisa dipilih menjadi sampel?. Alat yang umumnya digunakan adalah Tabel Angka Random, kalkulator, atau undian. Pemilihan sampel secara acak bisa dilakukan melalui sistem undian jika elemen populasinya tidak begitu banyak. Tetapi jika sudah ratusan, cara undian bisa mengganggu

konsep “acak” atau “random” itu sendiri. 1. Simple Random Sampling atau Sampel Acak Sederhana

Cara atau teknik ini dapat dilakukan jika analisis penelitiannya cenderung deskriptif dan bersifat umum. Perbedaan karakter yang mungkin ada pada setiap unsur atau elemen populasi tidak merupakan hal yang penting bagi rencana analisisnya. Misalnya, dalam populasi ada wanita dan pria, atau ada yang kaya dan yang miskin, ada manajer dan 11 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI bukan manajer, dan perbedaan-perbedaan perbedaan-perb edaan lainnya.

Selama perbedaan gender, status

kemakmuran, dan kedudukan dalam organisasi, serta perbedaan-perbedaan lain tersebut bukan merupakan sesuatu hal yang penting dan mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap hasil penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel secara acak sederhana. Dengan demikian setiap unsur populasi harus mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel. Prosedurnya : o

Susun “sampling frame”

o

Tetapkan jumlah sampel yang akan diambil

o

Tentukan alat pemilihan sampel

o

Pilih sampel sampai dengan jumlah terpenuhi

2. Stratified Random Sampling atau Sampel Acak Distratifikasikan Distratifikasikan

DEFINISI

Penarikan sampel acak terstruktur : Penarikan sampel acak terstruktur dilakukan dengan membagi anggota populasi dalam beberapa sub kelompok kelompok yang disebut strata, lalu suatu sampel dipilih dari masing-masing stratum.

Karena unsur populasi berkarakteristik heterogen, dan heterogenitas tersebut mempunyai arti yang signifikan pada pencapaian tujuan penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel dengan cara ini. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui sikap manajer terhadap satu kebijakan perusahaan. Dia menduga bahwa manajer tingkat atas cenderung positif sikapnya terhadap kebijakan perusahaan tadi. Agar dapat menguji dugaannya tersebut maka sampelnya harus terdiri atas paling tidak para manajer tingkat atas, menengah, dan bawah. Dengan teknik pemilihan sampel secara random 12 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI distratifikasikan, maka dia akan memperoleh manajer di ketiga tingkatan tersebut, yaitu stratum manajer atas, manajer menengah dan manajer bawah. Dari setiap stratum tersebut dipilih sampel secara acak. Prosedurnya : o

Siapkan “sampling frame”

o

Bagi sampling frame tersebut berdasarkan strata yang dikehendaki

o

Tentukan jumlah sampel dalam setiap stratum

o

Pilih sampel dari setiap stratum secara acak.

Pada saat menentukan jumlah sampel dalam setiap stratum, peneliti dapat menentukan secara (a) proposional, (b) tidak proposional. Yang dimaksud dengan proposional adalah jumlah sampel dalam setiap stratum sebanding dengan jumlah unsur populasi dalam stratum tersebut. Misalnya, untuk stratum manajer tingkat atas (I) terdapat 15 manajer, tingkat menengah ada 45 manajer (II), dan manajer tingkat bawah (III) ada 100 manajer. Artinya jumlah seluruh manajer adalah 160. Kalau jumlah sampel yang akan diambil seluruhnya 100 manajer, maka untuk stratum I diambil (15:160)x100 (15:160)x1 00 = 9 manajer, stratum II = 28 manajer, dan stratum 3 = 63 manajer. Jumlah dalam setiap stratum tidak proposional. Hal ini terjadi jika jumlah unsur atau elemen di salah satu atau beberapa stratum sangat sedikit. Misalnya saja, kalau dalam stratum manajer kelas atas (I) hanya ada 4 manajer, maka peneliti bisa mengambil semua manajer dalam stratum tersebut , dan untuk manajer tingkat menengah (II) ditambah 5, sedangkan manajer tingat bawah (III), tetap 63 orang.

3. Cluster Sampling atau Sampel Gugus

Teknik ini biasa juga diterjemahkan dengan cara pengambilan sampel berdasarkan gugus. Berbeda dengan teknik pengambilan sampel acak yang distratifikasikan, di mana setiap unsur dalam satu stratum memiliki karakteristik yang homogen (stratum A : lakilaki semua, stratum B : perempuan semua), maka dalam sampel gugus, setiap gugus boleh mengandung unsur yang karakteristiknya karakteristikn ya berbeda-beda berbeda-bed a atau heterogen. Misalnya, dalam satu organisasi terdapat 100 departemen. Dalam setiap departemen terdapat banyak pegawai dengan karakteristik berbeda pula. Beda jenis je nis kelaminnya, beda tingkat pendidikannya, beda tingkat pendapatnya, beda tingat manajerialnnya, dan perbedaan perbedaan lainnya. lainn ya. Jika peneliti bermaksud mengetahui mengeta hui tingkat penerimaan pen erimaan para pegawai pe gawai terhadap suatu strategi yang segera diterapkan perusahaan, maka peneliti dapat 13 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI menggunakan cluster sampling untuk mencegah terpilihnya sampel hanya dari satu atau dua departemen saja. Prosedur : a.

Susun sampling frame berdasarkan gugus

b.

Tentukan berapa gugus yang akan diambil sebagai sampel

c.

Pilih gugus sebagai sampel dengan cara acak

d.

Teliti setiap pegawai yang ada dalam gugus sample

4. Systematic Sampling atau Sampel Sistematis

Jika peneliti dihadapkan pada ukuran populasi yang banyak dan tidak memiliki alat pengambil data secara random, cara pengambilan sampel sistematis dapat digunakan. Cara ini menuntut kepada peneliti untuk memilih unsur populasi secara sistematis, yaitu

unsur populasi populasi yang bisa bisa dijadikan sampel sampel adalah yang “keberapa”. Misalnya, setiap unsur populasi yang keenam, yang bisa dijadikan sampel. Soal “keberapa” -nya satu unsur populasi bisa dijadikan sampel tergantung pada

ukuran populasi dan ukuran

sampel. Misalnya, dalam satu populasi terdapat 5000 rumah. Sampel yang akan diambil adalah 250 rumah dengan demikian interval di antara sampel kesatu, kedua, dan seterusnya adalah 25. Prosedurnya : 

Susun sampling frame



Tetapkan jumlah sampel yang ingin diambil



Tentukan K (kelas interval)



Tentukan angka atau nomor awal di antara kelas interval tersebut secara acak atau random – biasanya melalui cara undian saja.



Mulailah mengambil sampel dimulai dari angka atau nomor awal yang terpilih.



Pilihlah sebagai sampel angka atau nomor interval berikutnya

5. Area Sampling atau Sampel Wilayah

Teknik ini dipakai ketika peneliti dihadapkan pada situasi bahwa populasi penelitiannya tersebar di berbagai wilayah. Misalnya, seorang marketing manajer sebuah stasiun TV ingin mengetahui tingkat penerimaan masyarakat Jawa Barat atas sebuah mata tayangan, teknik pengambilan sampel dengan area sampling sangat tepat. Prosedurnya : o

Susun sampling frame yang menggambarkan peta wilayah (Jawa Barat) – Kabupaten, Kotamadya, Kecamatan, Desa.

14 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI o

Tentukan wilayah yang akan dijadikan sampel (Kabupaten ?, Kotamadya?, Kecamatan?, Desa?)

o

Tentukan berapa wilayah yang akan dijadikan sampel penelitiannya.

o

Pilih beberapa wilayah untuk dijadikan sampel dengan cara acak atau random.

o

Kalau ternyata masih terlampau banyak responden yang harus diambil datanya, bagi lagi wilayah yang terpilih terpi lih ke dalam sub wilayah.

I.4.3.2

Non r andom samp sampli li ng atau nonprobabili ty samp sampli li ng

Seperti telah diuraikan sebelumnya, jenis sampel ini tidak dipilih secara acak. Tidak semua unsur atau elemen populasi mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel. Unsur populasi yang terpilih menjadi sampel bisa disebabkan karena kebetulan atau karena faktor lain yang sebelumnya sudah direncanakan oleh peneliti. 1. Convenience Sampling atau sampel yang dipilih dengan pertimbangan kemudahan kemudahan .

Dalam memilih sampel, peneliti tidak mempunyai pertimbangan lain kecuali berdasarkan kemudahan saja. Seseorang diambil sebagai sampel karena kebetulan orang tadi ada di situ atau kebetulan dia mengenal orang tersebut. Oleh karena itu ada beberapa penulis menggunakan istilah accidental accidental sampli sampli ng – – tidak disengaja – atau juga captive sample (man-on-the-street) Jenis sampel ini sangat baik jika dimanfaatkan untuk

penelitian penjajagan, yang kemudian diikuti oleh penelitian lanjutan yang sampelnya diambil secara acak (random). Beberapa kasus penelitian yang menggunakan jenis sampel ini, hasilnya ternyata kurang obyektif.

2. Purposive Sampling

Sesuai dengan namanya, sampel diambil dengan maksud atau tujuan tertentu. Seseorang atau sesuatu diambil sebagai sampel karena peneliti menganggap bahwa seseorang atau sesuatu tersebut memiliki informasi yang diperlukan bagi penelitiannya. Dua jenis sampel ini dikenal dengan nama j udgement udgement dan quota sampli sampli ng. 

Judgment Sampling

Sampel dipilih berdasarkan penilaian peneliti bahwa dia adalah pihak yang paling baik untuk dijadikan sampel penelitiannya.. penelitiann ya.. Misalnya untuk memperoleh data tentang bagaimana satu proses produksi direncanakan oleh suatu perusahaan, maka manajer produksi merupakan orang yang terbaik untuk bisa memberikan informasi.

15 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Jadi, judment sampling umumnya memilih sesuatu atau seseorang menjadi sampel karena mereka mempunyai “information rich”. Dalam program pengembangan produk (product development ), ), biasanya yang dijadikan sampel adalah karyawannya sendiri, dengan pertimbangan bahwa kalau karyawan sendiri tidak puas terhadap produk baru yang akan dipasarkan, maka jangan terlalu berharap pasar akan menerima produk itu dengan baik. (Cooper dan Emory, 1992). 

Quota Sampling

Teknik sampel ini adalah bentuk dari sampel distratifikasikan secara proposional, namun tidak dipilih secara acak melainkan secara kebetulan saja. Misalnya, di sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60% dan perempuan 40%. Jika seorang peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi maka dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja.

3. Snowball Sampling – Sampel Bola Salju

Cara ini banyak dipakai ketika peneliti tidak banyak tahu tentang populasi penelitiannya. Dia hanya tahu satu atau dua orang yang berdasarkan penilaiannya bisa dijadikan sampel. Karena peneliti menginginkan lebih banyak lagi, lalu dia minta kepada sampel pertama untuk menunjukan orang lain yang kira-kira bisa dijadikan sampel. Misalnya, seorang peneliti ingin mengetahui pandangan kaum lesbian terhadap lembaga perkawinan. Peneliti cukup mencari satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan wawancara. Setelah selesai, peneliti tadi minta kepada wanita lesbian tersebut untuk bisa mewawancarai teman lesbian lainnya. Setelah jumlah wanita lesbian yang berhasil diwawancarainya dirasa cukup, peneliti bisa mengentikan pencarian wanita lesbian lainnya. . Hal ini bisa juga dilakukan pada pencandu narkotik, para gay, atau kelompokkelompok sosial lain yang eksklusif (tertutup).

4. Haphazard Sampling

Satuan sampling dipilih sembarangan atau seadanya, tanpa perhitungan apapun tentang derajat kerepresentatipannya. Misalnya ketika kita akan melakukan penelitian mengenai kompetensi dosen di sebuah Universitas, pertanyaan dapat diajukan kepada 16 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI siapapun mahasiswa dari universitas tersebut (sebagai sampel) yang kebetulan datang pada saat kita berada di sana sa na untuk melakukan penelitian. pe nelitian.

I.5

TEKNIK PENYAJIAN DATA SAMPEL

I.5.1

Penyajian Data

Penyajian data dilakukan untuk mempermudah dalam pengambilan keputusan. Datadata yang kita ambil dari populasi atau biasa disebut sebagai data sampel, dapat diperoleh dengan berbagai cara, antara lain: 

Wawancara



Pengamatan



Surat menyurat



Kuisioner

Data mentah yang diperoleh dapat disajikan sebagai statistika tataan (pengurutan data) dalam bentuk tabel distribusi frekuensi,histogram, box plot, diagram dahan daun, dan lainlain.

I.5.2

Tabel Distribusi frekuensi

Tabel distribusi frekuensi adalah metode pengelompokan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukan banyaknya data dalam setiap kategori. Setiap data tidak dapat dimasukan ke dalam dua atau lebih kategori agar data menjadi informatif dan mudah dipahami. Data yang sudah dirangkum dalam distribusi frekuensi dinamakan data berkelompok. Tabel 0.2 Contoh tabel distribusi frekuensi Kelas interval 3 – 5 6 – 8 9 – 11 12 – 14 15 - 17



Frekuensi 2 5 7 1 1

Langkah-langkah distribusi frekuensi: 1. Mengurutkan data dari data terkecil hingga data terbesar atau sebaliknya. 2. Menentukan banyaknya kelas dengan menggunakan kaidah Sturges, yaitu

17 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI k = 1 + 3,3 log N

N : banyaknya pengamatan Banyaknya kelas sebaiknya antara 5 sampai dengan 15

3. Menentukan interval kelas (KI), dengan rumus :

        

KI sebaiknya kelipatan 5.

4. Melakukan penturusan atau tabulasi dengan memasukan nilai ke dalam interval kelas. 5. Untuk komposisi kelas,perhatikan bahwa kelas tidak tumpang tindih (lihat batas atas dan batas bawah tiap kelasnya kelas). 6. Bila tabel distribusi frekuensi akan digunakan untuk membuat histogram atau poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas, yaitu batas bawah dikurangi ( ½ x satuan pengukuran terkecil dari data) dan batas atas ditambah (½ x satuan pengukuran terkecil dari data). Batas kelas adalah nilai terendah dan tertinggi dalam satu kelas tabel distribusi frekuensi. Batas kelas dalam suatu interval kelas terdiri dari dua macam : 

Batas kelas bawah – lower class limit, yaitu nilai terendah dalam suatu interval kelas



Batas kelas atas – upper class limit, yaitu nilai tertinggi dalam suatu interval kelas

Contoh Batas Kelas :

Ke la s 1 2 3 4 5

Interval Juml a h Fre kue nsi (F) 215 2122 14 2123 4030 4 4031 5938 1 5939 7846 1 7847 9754 1

18 IT TELKOM


Nilai tengah adalah tanda atau perinci dari suatu interval kelas dan merupakan suatu angka yang dapat dianggap mewakili suatu interval kelas. Nilai tengah kelas berada di tengah-tengah pada setiap interval kelas.

Contoh nilai tengah:

Ke la s

Interval

1

215

2122

2

2123

4030

3

4031

5938

4

5939

7846

5

7847

9754

Nila i te nga h 1168.5 3076.5 4984.5 6892.5 8800.5

Nilai tepi kelas (Class Boundaries) adalah nilai batas antara kelas yang memisahkan nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya. Nilai tepi kelas ini dapat dihutung dengan penjumlahan nilai atas kelas ke las dengan nilai bawah kelas k elas diantaranya diantaran ya dan di bagi dua.

Contoh nilai tepi kelas :

Kelas Interval

Jumlah Frekuensi (F)

Nilai Kelas

1 215

2122

14

214.5

2 2123

4030

3

2122.5

3 4031

5938

1

4030.5

4 5939

7846

1

5938.5

19 IT TELKOM

Tepi

Buku Ajar Statistika Industri FRI 5 7847

9754

1

7846.5 9754.5

Contoh 1 :

1.

No

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Pe rusa ha a n Jababek a Indofarm a B udi A c id K im ia farm a S ent ul Cit y Tunas B aru proteinprim a t otal M andiri P anin Indofood B ak rie B erlian Niaga B um i res ourc es B NI E nergi mega B CA B uk it A s am Telk om

Ha rga sa ha m 215 290 310 365 530 580 650 750 840 1200 1280 1580 2050 2075 2175 3150 3600 5350 6600 9750

2. N = 20 k = 1 + 3,322 Log 20 k = 1 + 3,322 (1,301) k = 1 + 4,322 k = 5,322 3. Nilai tertinggi = 9750 Nilai terendah = 215 Interval kelas = [ 9750 – 215 ] / 5 = 1907 20 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Jadi interval kelas 1907 yaitu jarak nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas atau kategori

Kelas

Interval

1

215

2122 2122

2

2123

4030

3

42123 031

5938

4

5939

7846

5

7847

9754

4. Lakukan penturusan atau tabulasi data

Kelas

I.5.3

Interval

Frekuensi


1

215

2122

IIIII IIIII IIII

14

2

2123

4030

III

3

3

4031

5938

I

1

4

5939

7846

I

1

5

7847

9754

I

1

Distribusi Frekuensi Relatif :

Distribusi frekuensi relatif adalah frekuensi setiap kelas dibandingkan dengan frekuensi total. Tujuan pembuatan distribusi ini adalah untuk memudahkan membaca data secara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data.

21 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Contoh Distribusi Frekuensi Relatif : Jumlah (F)

Kelas Interval

I.5.4

Frekuensi

Frekuensi relatif (%)

1

215

2122

14

70

2

2123

4030

3

15

3

4031

5938

1

5

4

5939

7846

1

5

5

7847

9754

1

5

Penyajian dalam Bentuk Grafik

Manusia pada umunya tertarik dengan gambar dan sesuatu yang ditampilkan delam bentuk visual karena akan lebih mudah diingat dari pada dalam bentuk angka. Untuk itu grafik dapat digunakan sebagai laporan. Grafik juga dapat digunakan untuk menarik kesimpulan tanpa kehilangan makna yang sesungguhnya. 1. Grafik Histogram

Penyajian dalam bentuk histogram tidak lain merupakan pengembangan dari bentuk tabel frekuensi. Bentuk histogram memberikan gambaran frekuensi untuk setiap nilai atau selang nilai tertentu dari data. Gambaran ini akan lebih memudahkan pengguna dalam mengungkap informasi yang terkandung dalam data. Histogram merupakan diagram yang berbentuk balok. Histogram menghubungkan antara tepi kelas interval dengan pada sumbu horizontal (X) dan frekuensi setiap kelas pada sumbu vertikal (Y). Contoh Histogram: Kelas

Interval


1

215

2122

14

2

2123

4030

3

3

4031

5938

1

4

5939

7846

1

5

7847

9754

1

Gambar 0.2 Contoh Histogram

15IT TELKOM 22 10

Buku Ajar Statistika Industri FRI 2. Grafik Polygon

Grafik polygon menggunakan garis yang mengubungkan titik – titik titik yang merupakan koordinat antara nilai tengah kelas dengan jumlah frekuensi pada kelas tersebut. Contoh Grafik Polygon: Kelas

Nilai

Jumlah

Tengah

Frekuensi (F)

1

1168.5

14

2

3076.5

3

3

4984.5

1

4

6892.5

1

5

8800.5

1

Gambar 0.3 Contoh Grafik Polygon Jumlah

Frekuensi (F)

16 14 12 10 Jumlah Frekuensi (F)

8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

3. Kurva Ogif

Kurva ogif merupakan diagram garis yang menunjukan kombinasi antara interval kelas dengan frekuensi kumulatif. Contoh kurva ogif: nterval

Frekuensi kumulatif

Kelas

1

Nilai Tepi Kelas

Bawah

Atas

215

2122

23 IT TELKOM

214.5

Kurang dari

Lebih dari

0

20

Buku Ajar Statistika Industri FRI 2

2123

4030

2122.5

14

6

3

4031

5938

4030.5

17

3

4

5939

7846

5938.5

18

2

5

7847

9754

7846.5

19

1

9754.5

20

0

Gambar 0.4 Contoh kurva ogif f i t a 25 l u m20 u K15 i s 10 n a u 5 k e 0 r F

Kurang dari Lebih dari

1

2

3

4

5

6

Interval Interval kelas ke las

4. Box plot

Dalam membuat boxplot, pendekatan yang digunakan adalah dengan membagi kumpulan data yang telah diurutkan menjadi empat bagian sama banyak. Keempat bagian tersebut mempunyai lima pembatas, yaitu : data terkecil (Xmin), K1, K2 atau median, K3, dan data terbesar (Xmax) seperti terlihat di bawah ini :

25% Xmin

25% K1

25% K2

25% K3

Xmax

Pembatas-pembatas tersebut biasa juga disebut dengan Statistik Lima Serangkai. Kegunaan : Secara visual, boxplots dapat menggambarkan : 

Lokasi pemusatan, yang diwakili oleh nilai median



Rentangan penyebaran, diperlihatkan oleh panjangnya kotak yang merupakan jarak antara K1 dan K3

24 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 

Kemiringan pola sebaran data, ditunjukkan oleh letak median dalam kotak, letak median lebih dekat ke K1 mencirikan suatu sebaran dengan kemiringan positif (menjulur kekanan), dan kemiringan negatif terjadi bilaposisi median lebih dekat ke K3. Selain itu, dengan menggunakan boxplots kita dapat pula mendeteksi ada atau

tidaknya data pencilan (data ekstrim). Data pencilan dideteksi dengan menggunakan nilainilai Pagar Dalam (PD) dan Pagar Luar (PL). Nilai-nilai pagar tersebut dihitung menggunakan rumus :

∗

Nilai data yang terletak antara PD dan PL dikategorikan sebagai data pencilan dekat

( ), dan nilai data yang terletak di luar PL dikategorikan sebagai data pencilan jauh (ο). Gambar 0.5 contoh boxplot

5. Diagram dahan daun

Diagram dahan daun adalah suatu cara mencatat data secara tersusun. Diagram ini sangat berguna pada saat kita ingin menyajikan data dalam bentuk gambar tentang bentuk sebarannya tanpa kehilangan informasi nilai numerik dari data. Penggunaan diagram dahandaun memungkinkan kita untuk mengelompokkan data sekaligus memberi kita informasi visual; panjang tiap baris memperlihatkan frekuensi tiap baris. Terdapat kesamaan fungsi antara histogram dan diagram dahan-daun, yaitu mengelompokkan data, tetapi pada histogram, kita kehilangan informasi tentang nilai numerik dari data. Diagram dahan-daun sangat mudah dibuat. Angka-angka data kita bagi menjadi dua bagian, bagian pertama menjadi dahan, dan bagian ba gian kedua menjadi men jadi daun. Angka yang menjadi menj adi daun biasanya adalah satu atau dua angka terakhir. 25 IT TELKOM


Gambar 0.6 contoh diagram batang daun Stem-and-leaf Stem-and-leaf of C1 N = 30 Leaf Unit = 1.0 3 0 333 5 0 45 7 0 66 11 0 8899 (6) 1 000011 13 1 2223 9 1 55 7 1 6 6 1 88 4 2 01 2 2 2 2 44

26 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI SOAL – SOAL SAMPLING 1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan: a) Sampling seadanya b) Sampling purposif c) Sampling pertimbangan d) Sampling kuota e) Sampling nonpeluang f) Sampling peluang g) Sampling acak h) Sampling proporsional i) Sampling petala j) Sampling area k) Sampling sistematik l) Sampling ganda m) Sampling tunggal n) Sampling multiple o) Sampling sekuensial p) Sampling klaster

2. Apa yang dimaksud dengan kekeliruan sampling? Jelaskan pula apa yang dimaksud dengan kekeliruan nonsampling! 3. Sebuah populasi berukuran N. Diambil sampel berukuran n dengan cara: a) Pengembalian b) Tanpa pengembalian c) Ada berapa buah sampel yang mungkin? 4. Diberikan sebuah populasi dengan data: 23, 23, 21, 21, 22, 21, 20, 22, 23, 24 Diambil sampel berukuran dua. a) Ada berapa buah sampel semuanya? b) Berikan semua sampel yang mungkin! c) Tentukan rata-rata tiap sampel! d) Dari rata-rata yang didapat, hitunglah lagi rata-ratanya! e) Hitunglah rata-rata populasi! f) Bandingkan hasil poin d. dan poin e. Apa yang tampak? 5. PT Danun Jaya berlokasi di Jl. Solo Km 4 merupakan perusahaan batik sutera yang relatif besar. Pada tahun 2003 terdapat 120 desain produk yang dihasilkan. Apabila PT Danun Jaya ingin mengetahui keberhasilan dari setiap desain produk tersebut dengan mengambil 10 sampel. Dengan menggunakan tabel acak, cobalah cari nomor 27 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI berapa saja yang menjadi sampel PT Danun Jaya dengan titik awal adalah baris dan kolom ke-1.

6. PT Bawasda Bawasda Tunggal Perkasa (BTP) merupakan produsen sepatu. PT BTP BTP ingin mengetahui permasalahan produksi yang dialami oleh 60 perusahaan bimbingannya. Untuk keperluan tersebut dilakukan survei terhadap 30 perusahaan dengan menggunakan metode terstruktur porporsional. Berikut adalah jumlah perusahaan masing-masing strata, tentukan berapa jumlah sampel setiap stratanya.

Kelompok/Strata

Jumlah Perusahaan

Tenaga kerja 1-5

5

Tenaga kerja 6-10

15

Tenaga kerja 11-15

20

Tenaga kerja 16-20

5

Tenaga kerja 21-25

10

Tenaga kerja >25

5

7. Diketahui populasi yang terdiri dari 4, 3, 9, 7. Diambil sampel ukuran n=2. Jika diambil dengan pengembalian, Carilah: a) Rata2 dan simpangan baku populasi b) Rata2 dan simpangan baku distribusi sampelnya. c) Berapa prob. Rata2 sampel ukuran 2 akan akan mempunyai nilai minimal 6?

8. Diketahui data sbb: Umur: 29 33 Frek.: 1

37 13

38

39

40

42

43

45

47

50

59

4

2

3

2

2

3

1

1

1

Buatlah diagram kotak garisnya /box plot

28 IT TELKOM


29 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI BAB II

DISTRIBUSI SAMPLING

PENDAHULUAN

Distribusi

sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi

yaitu: a) Distribusi sampling rataan Z b) Distribusi sampling rataan T c) Distribusi sampling proporsi d) Distribusi sampling proporsi 2 populasi e) Distribusi sampling variansi TUJUAN INSTRUKSIONAL

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung berdasarkan macam-macam distribusi sampling. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar distribusi sampling 2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam distribusi sampling SKENARIO PEMBELAJARAN

1…………. 2…………. 3…………. 4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut: 1. Perkuliahan 2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK) 3. Tes pendahuluan 4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan tanya jawab 5. Tes akhir 30 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 6. Evaluasi pencapaian 7. Penutup RINGKASAN MATERI

Bidang statistika sering membahas mengenai generalisasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/ peramalan dari suatu kasus atau penelitian terhadap suatu populasi. Tetapi Generalisasi dan prediksi tersebut sangat jarang melibatkan populasi karena keterbatasan kemampuan penelitian dan begitu besarnya jumlah populasi, sehingga lebih sering menggunakan sampel dari populasi tersebut. Sebagai contoh, suatu mesin pelayanan minuman yang diatur rata-rata mengeluarkan 250 ml minuman per gelasnya. Kemudian seorang karyawan menghitung rataan 40 gelas minuman yang dikeluarkan dari mesin tadi dan memperoleh

̅

= 246 ml, dan berdasarkan

hasil ini diberikan kesimpulan bahwa mesin tadi masih mengeluarkan minuman dengan ratarata isi



= 250 ml. ke 40 gelas minuman tadi merupakan sampel dari populasi minuman yang

tak terhingga dari kemungkinan isi minuman yang akan dikeluarkan mesin tadi. Kesimpulan ini mungkin diambil karena karyawan tadi tahu dari teori sampling bahwa nilai sampel seperti itu kemungkinan munculnya besar. Tetapi apabila nilai

̅

yang didapat nantinya

berbeda jauh dari 250 ml maka petugas tadi akan mengambil tindakan memperbaiki mesin tersebut. Hal ini dikarenakan statistik merupakan peubah acak yang tergantung hanya pada sampel yang diamati, maka tentulah ada distribusi peluangnya. Distribusi peluang suatu statistik disebut dengan distribusi sampel. II.1 DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN Z

Misalkan sampel acak n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan

variansi σ2. Tiap pengamatan



i,

i



dan

= 1,2,…,n, dari sampel acak tersebut akan berdistribusi

normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya. Jadi, berdasarkan sifat merambat distribusi normal, dapat disimpulkan bahwa

      31 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Berdistribusi normal dengan rataan

     Dan variansi

          

CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET Bank

Retun On Asset %

Bank Bukopin

2

Bank BCA

4

Citi Bank

6

Bank Jabar

4

Bank Tugu

4

a. Nilai rata-rata populasi =

X/N = 2 + 4 + 6 + 4 + 4 = 20/5 = 4 5

b. Nilai rata-rata populasi dan sampel apabila diambil sampel 2 dari 5 bank 1) Kombinasi N C = N!/ N!/n! n! (N - n)! = 5!/2! 5!/2!(5 (5 - 2)! = 10 10 n

32 IT TELKOM


CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET 2) Perhitungan rata-rata dari setiap sampel Bank

Kombinasi Retun On Asset %

Bukopin-BCA Bukopin-Citibank Bukopin-Bank Jabar Bukopin-Bank Tugu BCA-Citibank BCA-Bank Jabar BCA-Bank Tugu Citi Bank-Bank Jabar Citi Bank-Bank Tugu Bank Jabar-Bank Tugu

Rata-rata Hitung x

2+4 2+6 2+4 2+ 4 4+6 4+4 4+4 6+4 6+4 4+4

3) Nilai rata-rata sampel X 

X 

33 IT TELKOM

1 N

C n

 X

1 3  4  3  3  5  4  4  5  5  4  40/10  4 10

(6/2)= 3 (8/2)= 4 (6/2)= 3 (6/2)= 3 (10/2)= 5 (8/2)= 4 (8/2)= 4 (10/2)= 5 (10/2)= 5 (8/2)= 4


CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET

c. Nilai rata-rata populasi Pop ulas i Samp e l Nila Nilaii X Frekuen Frekuensi si Probabil Probabilita itas s Nila Nilaii Freku Frekuensi ensi Probabilit Probabilitas as X

2 4 6 Jumlah

1 3 1 5

(1 /5)= 0,2 0 (3 /5)= 0,6 0 X (1 /5 )=0,2 0 1.0 0

3 4 5

3 4 3 10

(3 /10 )= 0 ,3 0 (4 /10 )= 0 ,4 0 (3 /10 )= 0 ,3 0 1 .0 0

Distribusi probabilitas dalam bentuk poligon 0,5

0,7 0,6

0,4

0,5 0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0

0 2

34 IT TELKOM

4

6

3

4

5


CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET d. Standar deviasi populasi

Standar deviasi populasi

X



2 4 6 4 4

2

N

-2 0 2 0 0

4 0 4 0 0 ( X - ) 2= 8.0

X = 20

35 IT TELKOM

(X  )

((XX-- ))22

(X - ) (X - )

= 20/5 = 4



=

( X - ) 2/N = 8/5 = 1,3


CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET

Standar deviasi sampel

1

s

2

N

Cn

 X  x

(X - X )

X

(X-

3

-1

1

4

0

0

3

-1

1

3

-1

1

5

1

1

4

0

0

4

0

0

5

1

1

5

1

1

( X -X ) 2= 6,0

X = 40 x = 40/10 = 4

x

=

1/CNn

( X - x) 2 = 6/10 = 0,77

HUBUNGAN STANDAR DEVIASI SAMPEL DAN POPULASI

Hubungan antara

x

dan

s

Hubungan antara

x

untuk populasi terbatas 



dan

s

n

Nn N 1

untuk populasi yang tidak terbatas

 

n

36 IT TELKOM

X ) 2

Buku Ajar Statistika Industri FRI Bila populasi yang diambil sampelnya dan tidak diketahui distirbusinya, berhingga atau tidak,

 

maka distribusi sampel

masih akan berdistribusi hampir normal dengan rataan



dan

variansi σ2/n, asalakan ukuran sampelnya besar (n > 30). Hal ini dikenal dengan Teorema Limit Pusat, yaitu bila rataan



dan variansi σ2 yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi

   √  

bila n

rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi dengan

, adalah distribusi normal baku n(z;0,1)



Hampiran normal untuk

umumnya cukup baik jika menggunakan sampel ukuran

besar (n > 30), terlepas dari bentuk populasi. Bila menggunakan sampel ukuran kecil (n < 30), hampirannya hanya akan baik bila populasinya tidak jauh berbeda dengan normal. Bila populasinya normal, maka distribusi sampel sampelnya tidak menjadi masalah.



akan tepat berdistribusi normal, dan ukuran

Contoh :

Suatu perusahaan memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluangnya bahwa suatu sampel acak dengan 16 bola lampu akan mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam.

37 IT TELKOM


Jawab :

Secara hampiran, distribusi sampel

√         

 ̅

akan normal dengan





= 800 dan

= 40 /

= 10. Peluang yang dicari diberikan oleh luas daerah yang dihitami pada Gambar

1.1. Nilai z yang berpadanan dengan

= 775 adalah

Sehingga

P( < 775) = P( < -2,5) = 0,0062

  

Sekarang misalkan ada dua populasi, yang pertama dengan rataan dan yang kedua dengan rataan



2

  1

dan variansi σ21,

dan variansi σ22. Misalkanlah statistik

1

menyatakan

   

rataan sampel acak ukuran n1 yang diambil dari populasi pertama, dan statistik

2

menyatakan rataan sampel acak ukuran n2 yang diambil dari populasi kedua, dan kedua sampel bebas satu sama lain. Maka distribusi sampel dari selisih rataan, berdistribusi hampir hampi r normal dengan rataan dan variansi v ariansi :

             

38 IT TELKOM

,


Sehingga

            Secara hampiran merupakan peubah normal baku. Jika (n1 dan n2 > 30), maka hampiran normal untuk distribusi

  

sangat baik tidak

tergantung dari bentuk kedua populasi. Tetapi, bila (n1 dan n2 < 30), maka hampiran normal lumayan baik kecuali bila kedua populasi agak jauh dari normal. Tentu saja bila kedua populasi normal, maka

  

berdistribusi normal terlepas dari ukuran n1 dan n2.

Contoh :

Suatu sampel berukuran

n1

   

normal dengan rataan acak kedua berukuran

2 1 = 50 dan variansi σ 1

n2

39 IT TELKOM

= 9, dan rataan sampel

1

dihitung. Sampel

= 4 diambil, bebas dari yang pertama, dari populasi lain yang juga

berdistribusi normal, dengan rataan dihitung. Cari nilai P(

̅

= 15 diambil secara acak dari populasi yang berdistribusi

< 8,2)!



2 2 = 40 dan variansi σ 1

= 4, dan rataan sampel

̅

2


SKEMA SELISIH POPULASI ATAU SAMPEL

Sampel 1 berukuran

Populasi 1 1, 1

X 1, Sx

1

Apakah X 1 , X 2

Sampel 2 berukuran

Populasi 2 2, 2

X 2 , Sx

2

OUTLINE

X x 1

x 2

X 1 X 1

1

2

Distribusi selisih rata-rata

P p1

p2

P p1 P p2 p1 p2

Distribusi selisih propors proporsii

40 IT TELKOM

 1 , 2


Jawab :

                     ̅  ̅   √        

Dari distribusi sampel

kita tahu bahwa distribusinya normal dengan :

Rataan :

Variansi :

Peluang yang dicari dinyatakan oleh luas daerah yang dihitami di Gambar 1.2. berpadanan dengan nilai

= 8,2, diperoleh

Sehingga P(

< 8,2) = P( <

)

= 0,1401

DISTRIBUSI SAMPLING RATAAN t Untuk ukuran sampel besar (n > 30), taksiran σ 2 yang baik dapat diperoleh dengan menghitung nilai S 2. Bila ukuran sampelnya kecil (n < 30), nilai S 2 akan berubah cukup besar

√ 

dari sampel ke sampel lainnya dan distribusi peubah acak (

) menyimpang cukup jauh

dari distribusi normal baku. Dalam hal ini kita menghadapi distribusi statistic yang dinamakan distribusi t, dengan

    √  41 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v. bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila

      Diberikan oleh

 ,√ - . .  /      







Ini dikenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v. Dalam menurunkan distribusi sampel T, akan kita misalkan bahwa sampel acaknya berasal dari populasi normal. Selanjutnya :

      √          Dengan

    √  Berdistribusi normal baku, dan

     Berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n – 1. Jika sampel berasal dari

 

populasi normal maka dapat dibuktikan d ibuktikan bahwa

bebas. Sekarang akan kita kit a turunkan distribusi T. 42 IT TELKOM

dan

bebas, oleh karena itu Z dan V juga

Buku Ajar Statistika Industri FRI Distribusi T mirip dengan distribusi Z, keduanya setangkup terhadap rataan nol. Keduanya berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbeda satu sama lain karena nilai T tergantung pada dua besaran yang berubah-ubah, perubahan



  dan

, sedangkan nilai Z hanya tergantung pada

dari sampel ke sampel lainnya. Distribusi T dan Z berbeda karena variansi T

bergantung pada ukuran u kuran sampel n dan variansi va riansi ini selalu lebih l ebih besar dari 1. Hanya Han ya bila ukuran



sampel, n

,

kedua distribusi menjadi sama. Gambar 1.3 di bawah memperlihatkan

hubungan antara distribusi normal baku (v = dan 5. V=



) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2



V=5 V=2

Gambar 1.3 Kurva distribusi t Distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka kanannya kanannya

 

, atau luas sebelah kirinya

   43 IT TELKOM

0



  

, yaitu nilai t yang luas sebelah

, sama dengan minus nilai t yang luas bagian



Buku Ajar Statistika Industri FRI Contoh :

Suatu pabrik bola lampu yakin bahwa bola lampunya akan tahan menyala rata-rata selama 500 jam. Untuk mempertahankan nilai tersebut, tiap bulan diuji 25 bola lampu. Bila nilai t yang dihitung

terletak antara

-t0,05 dan t0,05

maka

pengusaha

pabrik

tadi

akan mempertahankan keyakinannya. Kesimpulan apakah yang seharusnya dia ambil dari sampel dengan rataan



= 518 jam dan simpangan baku s = 40 jam ? Anggap bahwa distribusi

waktu menyala ,secara hampiran,normal.

Jawab : Dari tabel t, diperoleh t 0,05 = 1,711 untuk derajat kebebasan v = 25 – 1 = 24. Jadi pengusaha tadi akan puas dengan keyakinannya bila sampel 25 bola lampu memberikan nilai t antara -1,711

    √ √    dan 1,711. Bila memang

= 500, maka :

Suatu nilai yang cukup jauh di atas 1,711. Peluang mendapat nilai t, dengan derajat kebebasan v = 24, sama atau lebih besar dari 2,25, secara hampiran adalah 0,02. Bila



> 500, nilai t hasil perhitungan dari sampel tadi akan terasa lebih wajar. Jadi pengusaha tadi kemungkinan besar akan menyimpulkan bahwa produksinya lebih baik daripada yang didudaganya semula.

II.2 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI

Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak X, maka proporsi p adalah X/N. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga mengandung proporsi x/n dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai : 1. Rata-rata 44 IT TELKOM


    

2. Simpangan baku jika populasi terbatas atau sampling tanpa pengembalian atau n/N >5% :

         

3. Simpangan baku jika populasi tidak terbatas, atau sampling dengan pengembalian atau n/N < 5%

      4. Variabel random

  ̂ 

Contoh :

Diketahui sebanyak 10% dari ibu-ibu rumah tangga di Bandung memakai detergen A untuk mencuci pakaiannya. Jika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran 100 : a. Tentukan rata-rata dan simpangan baku sampel dari populasi ibu-ibu rumah tangga yang memakai detergen A! b. Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit 15 ibu rumah tangga yang memakai detergen A, tentuka probabilitasnya! Jawab: a. Rata-rata = 0,1

          b. Proporsi yang memakai detergen A adalah 15/100 = 0,15

   ̂     

45 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI P(Z>1,67) = 0,5-0,4525 = 0,0475

II.3 DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI 2 POPULASI

Terdiri dari 2 populasi.

    

Populasi 1 berukuran

terdapat jenis

Populasi 2 berukuran

terdapat jenis

 

dengan proporsi dengan proporsi

Bila populasi 1 diambil sampel acak berukuran

jenis



dengan proposi

berukuran





   

maka sampel ini akan mengandung

. Demikian juga dengan populasi 2 diambil sampel acak

maka sampel ini juga akan mengandung jenis



dengan proporsi

 

Smapel 1 dan 2 dapat membentuk sampel acak baru yaitu sampel beda dua proporsi. Distribusinya mempunyai : a) Rata-rata

                         ̂  ̂   

b) Simpangan baku

c) Variabe random

 

Contoh : 5% barang di gudang timur cacat, sedangkan barang yang cacat di gudang barat sebanyak 10%. Bila diambil sampel acak sebanyak 200 barang dari gudang timur dan 300 barang dari gudang barat, tentukan probabilitas persentase barang yang cacat dalam gudang barat 2% lebih banyak disbanding gudang timur! Jawab : Gudang barat : Gudang timur:

̂  ̂

     

= proporsi barang yang cacat di gudang barat dalam sampel = proporsi barang yang cacat di gudang timur dalam sampel 46 IT TELKOM


                  ̂  ̂        ̂  ̂   =

Karena barang cacat di gudang barat 2% lebih banyak daripada di gudang timur maka > 0,02 sehingga diperoleh :

Jadi probabilitasnya adalah P

= P (Z > -1,3) = 0,5 + 0,4032 = 0,9032 =

90,32 %

II.4 DISTRIBUSI SAMPLING VARIANSI

Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi sampel

 

dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic







, dan variansi

. Variansi sampel hasil

perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran taksir an titik untuk unt uk . Karena itu statistic penaksir

.



Taksiran selang untuk



disebut

dapat diturunkan dengan menggunakan statistic.

     

Contoh Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterai akan tahan rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 1 tahun. Bila lima baterainya tahan 1,9,2,4,3,0,3,5,dan 4,2 tahun, apakah pembuatnya masih yakin bahwa simpangan baku baterai bate rai tersebut 1 tahun? Jawab Mula-mula dihitung variansi sampel :

    Kemudian

47 IT TELKOM

= 0,815


    Merupakan suatu nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 4. Karena 95% nilai



dengan derajat kebebasan 4 terletak antara 0,484 dan 11.143, nilai perhitungan dengan

menggunakan



= 1 masih wajar,sehingga tidak ada alasan bagi pembuatnya untuk

mencurigai bahwa simpangan baku baterainya bukan 1 tahun

48 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI SOAL – SOAL

1. Sebuah populasi berukuran 80 mempunyai rata-rata 69,7 dan varians 3,50. Dengan sampling pengembalian diambil 1000 buah sampel acak yang masing-masing berukuran 5. Untuk tiap sampel dihitung rata-rata dan variansnya. Berapa nilai yang kita harapkan untuk : a) rata-rata ke 1000 rata-rata? b) varians ke 1000 rata-rata? c) rata-rata ke 1000 varians? 2. Misalkan bahwa tinggi rata-rata mahasiswa Indonesia 162 cm dengan simpangan baku 6,5 cm. Sebuah sampel acak akan diambil dengan syarat bahwa galat baku rata-rata maksimum 0,5 cm. a) Berapa paling sedikit mahasiswa perlu diambil sebagai sampel? Dengan ukuran sampel yang terkecil, tentukan peluang rata-rata tinggi mahasiswa : a) Paling sedikit 155 cm b) Paling besar 175 cm c) Antara 158 cm dan 172 cm d) Kurang dari 160 cm 3. Lihat soal nomer 2 diatas. Misalkan populasinya berdistribusi normal. Ada berapa buah sampel diharapkan akan mempunyai rata-rata : a) antara 62 dan 72 b) paling sedikit 72,5 c) kurang dari 67 5. Diberikan dua buah populasi dengan: data populasi I: 3,2,3,5,4,8. data populasi II: 10,12,15,10. a) Dari populasi I diambil semua sampel acak berukuran 3 dan dari populasi II semua yang berukuran 2. Tulislah semua sampelnya lalu : b) Hitung rata-rata kedua populasi. c) Hitung rata-rata distribusi sampling rata-rata dari kedua populasi itu. Sebut ini µx dan µy. d) Hitung µx - µy dan bandingkan dengan selisih rata-rata populasi I dan populasi II. Apa yang nampak? e) Bagaimana untuk µx + µy ? 6. Macam lampu A rata-rata menyala 1.400 jam dan macam lampu B menyala 1.300 jam. simpangan bakunya masing-masing 160 jam dan 125 jam. dari tiap populasi diambil sebuah sampel acak yang berukuran 85 dari sampel lampu A dan 100 dari sampel lampu B. Tentukan peluang rata-rata menyala lampu dalam sampel dari A paling sedikit akan 50 jam lebihnya dari rata-rata menyala lampu dalam sampel dari B. 49 IT TELKOM


7. Besi baja yang diproduksi perush A mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4500 lbs dan variansi sebesar 40000 lbs. Sedangkan yang diproduksi perush. B mempunyai rata-rata daya regang sebesar 4000 lbs dan variansi 90000 lbs. Misalkan sampel random sebanyak n1= 50 diambil dari perush. B . Berapakah probabilitas rata-rata daya regang beda dua rata-rata dari dua sampel itu yang lebih besar dari 600 lbs? 8. Berikut adalah harga saham dari 5 perusahaan dalam Industri Industri pertanian di BEJ 12 Januari 2004.

Perusahaan

Harga persaham

PT Rajawali

275

PT Bukaka Plantindo

280

PT London

500

PT Inti Boga

350

PT Surya Nusantara

Pangan

575

Apabila diambil sampel berukuran 2 untuk mengetahui kinerjanya, hitunglah rata-rata hitung dan standar deviasi sampel serta populasi, dan berapa probabilitas perusahaan dengan harga diatas 400 terpilih sebagai sampel?

8. Berikut adalah hasil investasi pada 5 perusahaan reksadana untuk tahun 2003

Perusahaan

Hasil Investasi (%/tahun)

Nikko

17

Investa

15

GTF Tunai

10

Dana Investa

11

Phinis Dana Kas

14

50 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Seorang investor ingin menanamkan modal di reksadana dengan mencoba survei pada 3 perusahaan reksadana. Hitunglah berapa nilai rata-rata dan standar deviasi dari distribusi sampel rata-rata. Berapa peluang terpilihnya perusahaan untuk disurvey dengan harapan perusahaan tersebut mempunyai memp unyai hasil investasi di d i atas 13%.

9. PT Caraka Bumi merencanakan akan memergerkan dua perusahaan yaitu PT Indah Karya dan PT Dharma Raya. PT Caraka Bumi juga merencanakan PHK dalam rangka efisiensi yaitu pada PT Indah Karya sekitar 10% dan PT. Dharma Raya 15% dari total karyawan yang ada. Untuk keperluan tersebut, dipanggil 100 karyawan dari PT Indah Karya dan 200 dari PT Dharma Raya untuk wawancara. Berapa probabilitas beda persentase tentang PHK di PT Indah Karya 5% akan lebih kecil dari PT Dharma Raya?

10. PT PSK Jaya mempunyai dua anak perusahaan yaitu PT AYU yang bergerak dalam konveksi dan PT NANI ABADI yang bergerak dalam realestate. Kedua diharapkan mempunyai kinerja yang yang sama baiknya. Pengamatan selama 30 bulan PT AYU. menunjukan keuntungan rata-rata 500 juta dengan standar deviasi 75 juta. Sedangkan pengamatan terhadap PT NANI ABADI selama 50 bulan menunjukkan keuntungan rata-rata 300 juta dengan standar deviasi 52 juta. Apabila PT PSK menginginkan selisih dari kedua perusahaan kurang dari 150 juta, berapa peluang keinginan tersebut tercapai?

11. Hitunglah peluang bahwa suatu sampel acak ukuran 25 pengamatan, diambil dari populasi normal dengan variansi = 6, akan mempunyai variansi a) Lebih besar dari 9,1; b) Antara 3,462 dan 10,745 c) Misalkan bahwa variansi sampel merupakan pengukuran yang kontinu.





12. Ada anggapan bahwa peluang usaha di Jawa untuk relatif berhasil lebih besar dibandingkan dengan di luar Jawa. Sebuah survey menunjukkan bahwa 200 UKM di Jawa, 45%-nya berhasil dan 100 UKM di luar Jawa, 30%-nya berhasil. Apabila pemerintah menginginkan perbedaan di Jawa dan Luar Jawa hanya 5%, berapa peluang keinginan tersebut ters ebut tercapai. 13. Suatu perusahaan menyatakan bahwa baterai yang dipakai dalam mainan elektroniknya akan tahan rata-rata 30 jam. Untuk mempertahankan nilai ini, 16

–

 

baterai diuji setipa bulan. Bila diperoleh nilai berada antara dan maka perusahaan puas dengan pernyataannya. Kesimpulan apa yang seharusnya diambil perusahaan dari sampel acak yang mempunyai = 27,5 jam dengan simpangan baku = 5 jam? Anggap baterai berdistribusi hampiran normal.



51 IT TELKOM

̅

Buku Ajar Statistika Industri FRI 14. Suatu perusahaan rokok mengatakan bahwa rata-rata kadar nikotin rokoknya 1,83 mg. Apakah anda setuju dengan pendapat pengusaha rokok tersebut bila suatu sampel ukuran 8 rokok dari perusahaan tersebut mengandung kadar nikotin 2.0, 1.7, 2.1, 1.9, 2.2, 2.1, 2.0, dan 1.6 mg? 15. Dari sekelompok pegawai yang terdiri atas 40.000 orang telah diambil sekelompok kecil sebanyak 100 orang . Yang menjadi perhatian disini ialah penghasilan pegawai tiap bulan. Apabila ditaksir bahwa keseluruhan pegawai pukul rata mempunyai pendapatan Rp. 27500 dengan den gan simpangan baku Rp. 1000 100 0 maka: a) Untuk kelompok kecil tadi , berapa rata-rata upahnya akan antara Rp.25000 dan Rp.30.000? b) Seperti di a tapi paling rendah Rp. 20.000? c) Apabila dikehendaki perbedaan rata-rata upah untuk tiap kelompok paling besar Rp. 500, maka setiap kelompok itu paling sedikit harus terdiri atas berapa orang pegawai yang yan g perlu diambil secara acak? 16. Dalam setiap pengiriman gelas minum , biasanya 95% diterima dalam keadaan baik. Pada suatu waktu telah dikirimkan 100.000. buah gelas. Berapa peluangnya untuk pemeriksaan yang terdiri terdi ri dari d ari 60 buah gelas dari da ri pengiriman pengiri man itu, itu , akan berisikan gelas yang baik: a) Antara 90% dan 98%? b) Paling sedikit 97,5%? 17. A dan B menghasilkan dua macam kabel, yang daya tahannya masing-masing pukul rata 4000 dan 4500 kg dengan simpangan baku berturut-turut 300 dan 200 kg. Jika dari kabel yang dihasilkan oleh A diuji 100 potong sedangkan dari yang dihasilkan B diuji 50 potong, maka tentukanlah peluangnya pukul rata daya tahan kabel B akan: a) Paling sedikit 600 kg lebih daripada daya tahan kabel A? b) Paling banyak 450 kg lebih daripada daya tahan kabel A? 18. Pengalaman memperlihatkan bahwa dikota A sekitar 65% dari para ibu ternyata lebih menyenangi sabun mandi XYZ bila dibandingkan dengan sabun-sabun mandi merk lain. Tentukanlah berapa peluangnya bahwa dua buah sampel acak yang terdiri atas para ibu dikota itu, tiap sampel terdiri atas 200 ibu, akan memperlihatkan perbedaan lebih dari 10% yang menyenangi sabun mandi XYZ. 19. Misalkan X peubah acak binomial dengan distribusi peluang : 3 f ( x)  ( )(2 / 5) x (3 / 5) 3 x x

x=0,1,2,3 = 0 untuk lainnya

Carilah distribusi peluang peubah acak Y = X 52 IT TELKOM

2


̅

̅

20. Misalkan adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 12 dari distribusi uniform dengan interval (0,1) . Hitunglah P(1/2 ≤ ≤ 2/3)

21. Diketahui Y = x1 + x2 +....+x15 +....+x15 adalah jumlah dari sampel acak dengan ukuran 15 dari distribusi yang pdf nya f(x) =3/2 x2; -1< x < 1. Hitunglah P(-0,3≤Y



̅

̅

22. Diketahui adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 36 dari distribusi exponensial dengan rata-rata 3. Hitunglah P(2,5 ≤ ≤ 4)

 ̅  

̅

23. Hitunglah P(39,75 ) dimana adalah rata-rata dari sampel acak ukuran 32 dari distribusi dengan rata-rata µ = 40 dan var. =8



24. Sample acak ukurann n = 18 diambil dari distribusi dengan pdf f(x) = {1-x/2 ; 0≤ x≤2 ; 0 untuk yang lainnya a) Hitung µ dan b) Hitung P(2/3

53 IT TELKOM

̅  

)

Buku Ajar Statistika Industri FRI BAB III

TEORI ESTIMASI

PENDAHULUAN

Teori estimasi adalah suatu ilmu yang menghususkan bagaimana caranya memperkirakan besaran-besaran populasi pop ulasi yang tidak diketahui dik etahui yang dihitung berdasarkan suatu sample. s ample. Dalam bab ini akan dibahas tiga kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi: a) Teori estimasi berdasarkan rataan b) Teori estimasi berdasarkan proporsi c) Terori estimasi berdasarkan variansi

Pokok bahasan pada materi “teori estimasi” d ititik beratkan bedasarkan interval estimasi baik untuk satu populasi ataupun dua populasi. TUJUAN INSTRUKSIONAL

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat mengestimasi parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan statistik sampel.

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori estimasi baik estimasi rataan, proporsi dan variansi untuk satu dan dua populasi. pop ulasi. 2. Mahasiswa diharapkan dapat menggunakan teori estimasi pada dunia nyata.

54 IT TELKOM


SKENARIO PEMBELAJARAN

1…………. 2…………. 3…………. 4………….


55 IT TELKOM


SIFAT-SIFAT PENDUGA 

Penduga Tidak Bias Penduga titi titik k dikatakan tidak tidak bias ( unbiased estimator ) jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, populasi, rata rata-rata -rata atau nilai nil ai harapan ( expexted value , X ) dari statisti statistik k sampel sama dengan parameterr populasi (  ) atau dapat dil paramete dilambangkan ambangkan dengan E( X ) =  .

E(

X

)=

E(

Gamb ar A Pend u ga Bersifat Ti Tidak Bi Bias

X

)

Gamb ar B Pe Pend uga Bersifat Bi Bias

SIF SI FAT-SI -SIF FAT PENDU PENDUGA GA 

Penduga Efisien Penduga yang yang efisien ( efficient estimator ) adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians varians terkecil (s x2) dari penduga-penduga lainnya. lainnya.

sx12 sx12 < sx22 sx22

56 IT TELKOM


DEFINISI  Penduga Konsisten Penduga yang konsisten (consistent estimator ) adalah nilai dugaan ( X ) yang semakin mendekati nilai yang sebenarnya  dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n).

n tak terhingga n sangat besar

n besar n kecil

57 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI III.1 ESTIMASI RATAAN III.1.1 Selang kepercayaan mean sampel

DEFINISI Pendugaan interval :

Pendugaan interval adalah menyatakan jarak di dalam mana suatu parameter populasi populasi mung mungkin kin berada.



Estimator titik dari mean populasi µ adalah statistik . Sebaran statistik ini berpusat pada µ dan variansinya variansin ya lebih kecil daripada estimator est imator lain.

  

, sehingga semakin besar ukuran sampelnya akan menghasilkan variansi yang

semakin kecil. Selang kepercayaan dari populasi yang terdistribusi normal atau jika ukuran sampelnya cukup besar, dapat diturunkan sbb :

Dari gambar di atas

( ⁄   ⁄ )   √ √   ⁄  ⁄√   ⁄    ⁄ √      ⁄ √  = 1 - α, dimana

Jadi

atau

58 IT TELKOM




Sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi σ 2 yang diketahui dan mean yang dihitung akan menghasilkan selang kepercayaan sebesar (1-α)100%.

̅

   √       √  

̅

III.1.2 Selang kepercayaan untuk µ; diketahui Bila rataan sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan variansi

diketahui maka selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ ialah



2

yang

̅    √     ̅    √ 

zα/2 adalah nilai sebaran normal yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kanannya. Contoh : mean dan simpangan baku dari IPK sebanyak 36 orang mahasiswa adalah 2.6 dan

0.3. tentukan selang kepercayaan 95% dan 99% untuk nilai mean-nya. Jawab : titik estimasi adalah

̅

= 2.6. karena sampel beukuran besar, simpangan baku σ dapat

didekati dengan s = 0.3. nilai z yang memberikan luas daerah dibawah kurva sebesar 0.025 di sebelah kanan, atau 0.975 di sebelah kiri, adalah z0.025 = 1.96 (dari tabel). Oleh karena itu selang kepercayaan 95% adalah

√ 

2.6 – (1.96) (0.3)/

) < µ < 2.6 + (1.96) (0.3/

√ 

) atau

2.50 < µ < 2.70 Dengan cara yang sama, selang kepercayaan 99% memerlukan z0.005 = 2.575 dan selang kepercayaan ini adalah :

√ 

2.6 – (2.575) (0.3/ 2.47 < µ < 2.73

Terlihat selang ini lebih lebar dari sebelumnya. III.1.3 Kesalahan estimasi

59 IT TELKOM

√ 

) < µ < 2.6 + (2.575) (0.3/

) atau


DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI TIDAK TI DAK DIKETAHUI DIKETAHUI

Standar error untuk populasi tidak terbatas S

S 

x

n

Standar Standa r error untuk populasi yang terbatas dan n/N > 0,05: S  x

S

N  n N  1

n

Distribusi normal standar Distribusi t dengan n=25 Distribusi t dengan n=15 Distribusi t dengan n=5

Selang kepercayaan (1-α)100% memberikan ketelitian estimasi titik. Jika µ adalah titik pusat selang,

̅

mengestimasi µ tanpa kesalahan.

Pada umumnya akan ada kesalahan yang besarnya berbeda antara

√ 

percaya (1-α)100% bahwa perbedaan ini kurang dari z α/2(σ/

Teorema : jika

̅

).

̅

dengan µ, dan kita

digunakan sebagai estimasi dari µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa

√ 

nilai kesalahannya akan kurang dari zα/2(σ/

).

Pada contoh soal sebelumnya, kita percaya 95% bahwa mean sampel

̅

= 2.6 berbeda sebesar

0.1 dari nilai sebenarnya dan percaya 99% bahwa nilainya berbeda sebesar 0.13. Seringkali kita ingin tahu seberapa besar sampel yang kita inginkan untuk memastikan bahwa kesalahan estimasi dari µ kurang dari nilai tertentu e. Jadi kita harus memilih n sedemikian

√ 

hingga zα/2(σ/

) = e.

Teorema : jika

̅

digunakan untuk mengestimasi µ, kita dapat percaya (1-α)100% bahwa

kesalahannya akan kurang dari nilai e tertentu jika jumlah sampelnya adalah

⁄ ⁄ 

2

60 IT TELKOM


Teorema di atas dapat diterapkan jika variansi populasi diketahui, atau tersedia n ≥ 30 untuk melakukan estimasi variansi tersebut.

FAKTOR UKURAN SAMPEL

Faktor yang mempengaruhi jumlah sampel 1. Tingkat keyakinan yang dipilih. 2. Kesalahan maksimum yang diperbolehkan . 3. Variasi dari populasi.

Contoh : seberapa banyak jumlah sampel yang diperlukan pada contoh sebelumnya jika kita

ingin percaya 95% bahwa estimasi µ kita kurang dari 0.05? Jawab : simpangan baku sampel s = 0.3 diperoleh dari sampel asal 36 akan dipakai untuk

menentukan σ. Sebelumnya juga telah diperoleh z α/2 = 1.96,maka berdasarkan teorema di atas n=

⁄ ⁄  ̅

2

= [(1.96)(0.3)/0.05]2 = 138.3

dengan demikian, kita dapat percaya 95% bahwa sampel acak sebesar 139 akan memberikan hasil estimasi

yang berbeda di bawah 0.05 dari µ.

III.1.4 Sampel sedikit

Bagaimana jika syarat n ≥ 30 untuk menghitung variansi populasi tidak dapat dipenuhi? Gunakan distribusi T sebagai ganti distribusi Gauss. Disini T=

 ⁄̅ √ 

Prosedur lain sama dengan yang sebelumnya.

61 IT TELKOM


Mengacu pada gambar di atas, nilai peluang pada daerah diarsir P(-tα/2
⁄√ 

)< tα/2) = 1 – α – α

Maka diperoleh P(

  ⁄ √    ⁄ √  ̅    ⁄ √    ⁄ √ 

) = 1 – α – α

Dengan demikian, untuk n sampel, mean

dan simpangan baku s, interval kepercayaan (1 –

α)100% diberikan oleh

III.1.5 Selang kepercayaan untuk µ; σ tidak diketahui. Suatu selang kepercayaan (1 – α)100% – α)100% untuk µ adalah :

Dimana

̅

̅   ⁄ √  ̅  ⁄ √  ⁄

dan s adalah mean dan simpangan baku sampel berukuran n < 30 dari suatu

populasi yang terdistribusi terdis tribusi mendekati normal, no rmal, dan

adalah nilai distribusi-t dengan derajat

bebas sebesar v=n-1 yang menghasilkan luas α/2 di sebelah kananny a. Contoh : ada 7 kontainer serupa yang berisi asam sulfat dengan volume : 9.8, 10.2, 10.4, 9.8,

10.0, 10.2, dan 9.6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk mean dari kontainerkontainer tersebut juka distribusinya mendekati normal.

62 IT TELKOM


̅

=10.0 dan simpangan baku sampel Jawab : dari data yang diberikan,diketahui mean sampel =10.0 s=0.283. berdasarkan tabel T, kita dapatkan t0.025 = 2.447 untuk derajat bebas v=6. Karena itu,

 √  

selang kepercayaan 95% dari 10.0 – (2.447) (0.283 /

)<

adalah

< 10.0 + (2.447) (0.283 / 9.74<



√ 

), atau

<10.26

Tambahan soal latihan estimasi rataan 1. Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkannya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0,15 desiliter. Hitunglah selang kepercayaan untuk rataan semua minuman yang dikeluarkan mesin tersebut bila: a) sampel acak 36 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter. b) sampel acak 9 cangkir minuman berisi rata-rata 2,25 desiliter.

2. Seorang ahli dalam efisiensi ingin menentukan rata-rata waktu yan diperlukan untuk membor tiga lubang pada sejenis kepitan logam. Berapa besar sampelkah yang dia perlukan agar yakin 95% bahwa rataan sampelnya paling jauh 15 detik dari rataan sesungguhnya? Misalkan dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa σ=40 detik.

III.2 ESTIMASI PROPORSI

Penaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistic

  ̂    ⁄

dengan X menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha. Jadi, proporsi

sampel

akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p.

Bila proporsi p yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan nol atau



1, maka selang kepercayaan untuk p p dapat dicari dengan menggunakan distribusi sampel . Dengan menyatakan suatu kegagalan dalam tiap usaha binomial dengan nilai 0 dan keberhasilan dengan nilai 1 maka banyaknya yang berhasil , x, dapat ditafsirkan sebagai jumlah dari n nilai ni lai yang terdiri atas ata s hanya nol dan d an satu, maka

̂

hanyalah rataan sampel dari n

nilai ini. Karena itu, menurut Teorema Limit Pusat, untuk n cukup besar,distribusi normal dengan rataan

63 IT TELKOM



hampir


 ()   ./     Dan variansi

  ⁄       Dengan demikian dapat dituliskan

⁄   ⁄  Dengan

     ⁄ ⁄ dan

menyatakan nilai kurva normal baku yang di sebelah kanannya terdapat daerah

  ⁄  ⁄ ⁄  

seluas . Gantikan Z dalam ketidaksamaan

Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan dengan -1, diperoleh

 ⁄

, kemudian kurangi dengan



dan kalikan

   ⁄    ⁄  Ketidaksamaan ini sulit untuk disederhanakan untuk mendapat selang acak yang kedua ujungnya tidak mengandung p, paremeter yang tidak diketahui. Tapi bila n besar, galatnya kecil sekali bila p di bawah tanda akar diganti taksiran titik demukian, maka dapat ditulis

̂ ⁄

   ⁄    ⁄  Untuk suatu sampel acak ukuran n, hitunglah proporsi sampel hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk p p dapat diperoleh.

. Dalam hal

̂   ⁄

, maka

Bila n kecil dan proporsi p yang tidak diketahui diyakini dekat ke 0 atau ke 1 maka cara mencari selang kepercayaan ini tidak dapat diandalkan dan, karena itu, sebaiknya tidak 64 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI digunakan. Untuk menjamin hasil yang baik sebaiknyalah usahakan agar selalu

̂  dan

lebih besar atau sama dengan 5. Cara penghitungan selang kepercayaan untuk parameter binomial p juga dapat dipakai d ipakai bila bil a distribusi distrib usi normal nor mal digunakan utnuk menghampiri me nghampiri distribusi dis tribusi hipergeometrik, yaitu, bila n kecil dibandingkan dengan N seperti pada contoh 1 Selang kepercayaan sampel-besar untuk p

 ̂        

Bila

menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel berukuran acak ukuran n, dan



, maka hampiran selang kepercayaan (1- ) 100% untuk parameter binomial p

adalah

dengan



menyatakan nilai z sehingga luas di sebelah kanannya α/2.

Contoh 1

Pada suatu sampel acak n = 500 keluarga yang memiliki pesawat televise di kota Hamilton, Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki tv berwarna. Carilah selang kepercayaan 95% untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki tv berwarna di kota tersebut. Jawab Taksiran titik untuk p ialah

̂   

. Dari table diperoleh

kepercayaan 95% untuk p p adalah

        Yang, bila disederhanakan akan menjadi 0,64 < p < 0,72

65 IT TELKOM

 

. Jadi, selang




Bila p berada tepat di tengah selang kepercayaan (1- ) 100% maka tanpa galat. Tapi, biasanya,

̂

̂

menaksir p

tidak akan tepat sama dengan p dan taksiran titik meleset

̂ ⁄    ⁄

(mempunyai galat). Besarnya galat akan smaa dengan selisih positif antara



dengan selang kepercayaan (1- ) 100% selisih ini akan lebih kecil dari

dan p, dan .

Teorema 1 Bila



dipakai sebagai taksiran p , galatnya akan lebih kecil daripada

⁄ ⁄

dengan kepercayaan (1- α) 100%.

Pada contoh 1 diatas, proporsi sampel

̂ 

berbeda dengan proporsi p yang

sesungguhnya tidak lebih dari 0,04 dengan kepercayaan 95%. Sekarang ingin ditentukan berapa besarkah sampel yang diperlukan agar terjamin bahwa galat dalam menaksir p p tidak melebihi suatu besaran g . Menurut teorema 1, ini berarti n harus dipilih agar

⁄ ̂  ⁄   Teorema 2 Bila



dipakai sebagai taksiran p, maka dengan kepercayaan kepercayaan (1- α) 100% galat

akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel sebesar

    ⁄

Teorema 2 agak membingungkan karena untuk menentukan ukuran sampel n digunakan

̂

, padahal

̂

dihitung dari sampel. Bila p dapat ditaksir secara kasar tanpa

mengambil sampel maka taksiran ini dapat dipakai untuk menentukan n. Bila ini tidak tersedia, ambil sampel pendahuluan berukuran n ≥ 30 untuk menaksir p. Kemudian, dengan menggunakan teorema 2, dapat ditentukan perkiraan besarnya sampel yang diperlukan agar 66 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI derajat ketepatan yang diinginkan tercapai. Sekali lagi, semua nilai pecahan n agar dibulatkan ke bilangan bulat yang lebih besar terdekat.

Contoh 2

Berapa besarkah diperlukan sampel pada contoh 1 agar taksiran p meleset kurang dari 0,02 dengan kepercayaan 95%? Jawab : Pandanglah ke-500 keluarga sebagai sampel pendahuluan yang memberikan taksiran

̂           

. Maka menurut teorema 3

Jadi, bila taksiran p didasarkan atas sampel acak ukuran 2090 maka proporsi sampel tidak akan berbeda lebih dari 0,02 dengan proporsi sesungguhnya, dengan kepercayaan 95%. Terkadang tidak praktis mencari taksiran p untuk digunakan dalam menentukan ukuran sampel n untuk suatu taraf kepercayaan tertentu. Bila ini terjadi, batas atas untuk n

̂ ̂ ̂   ⁄ ̂̂   ̂   ̂    .̂  ̂  /    .̂   / ⁄ ⁄     ̂   ⁄ ⁄ dapat diperoleh dengan menyadari bahwa

, karena

dan 1. Ini dapat dibuktikan dengan melengkapi kuadrat. Jadi

̂

terletak antara 0

,

yang selalu lebih kecil dari bila dimasukkan berbeda dengan

kecuali bila p =

yang mengakibatkan

̂    ⁄

. Jadi,

pada rumus n di teorema 3, padahal, sesungguhnya, p cukup

, maka tentunya n akan melebihi dari yang diperlukan untuk taraf

kepercayaan yang ditetapkan dan sebagai akibatnya taraf kepercayaan yang diperoleh akan meningkat. Teorema 3 Bila



dipakai sebagai taksiran p , maka dengan kepercayaan paling sedikit (1- α) 100%

galat akan lebih kecil dari besaran tertentu g bila ukuran sampel

67 IT TELKOM

    ⁄


Contoh 3

Berapa besarkah sampel yang diperlukan pada contoh 1 agar kita yakin paling sedikit dengan kepercayaan 95% bahwa taksiran p melesat kurang dari 0,02? Jawab Berbeda dengan contoh2, disini kita anggap tidak ada sampel pendahuluan diambil untuk menaksir p. Karena itu, dengan kepercayaan paling sedikit 95% proporsi sampel yang kita peroleh tidak akan berbeda dari proporsi sesungguhnya melebihi 0,02 bila kita memilih

   

ukuran sampe l

Dengan membandingkan contoh 2 dan contoh 3, terlihat bahwa keterangan (taksiran) mengenai p, yang diperoleh dari sampel pendahuluan atau pun mungkin dari pengalaman masa silam, dapat dipakai untuk menarik sampel yang lebih kecil dengan tetap mempertahankan taraf ketelitian semula.

MENAKSIR SELISIH RATA-RATA.

Dalam hal ini kita berhubungan dengan dua buah populasi yang selisih rata-ratanya ( μ1 – μ2 ) akan kita taksir.

a. Interval taksiran untuk selisih rata-rata rata-rata jika σ1 dan σ2 diketahui:

68 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Bila x1 dan x2 masing-masing adalah rata-rata sampel acak berukuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi dengan simpangan baku σ1 dan σ2 diketahui.:  1

( x1  x2 )  Z  / 2

2

 2



n1

2

n2



 1

 1

  2  ( x1  x2 )  Z  / 2

2

n1

 2



2

n2

b. Interval taksiran untuk selisih rata-rata jika simpangan baku σ1 dan σ2 tidak diketahui tetapi σ1 = σ2 : ( x1



1

x2 )  t  / 2 Sp

n1

1





n2

 1



 2



( x1



1

x2 )  t  / 2 Sp

n1

1



n2

dimana Sp= dugaan simpangan baku populasi 2

Sp  2

(n1  1) S 1  (n2  1) S 2

2

n1  n2  2

dengan dk = ν = n1 + n2 -2

c. jika simpangan baku σ baku σ 1 dan σ dan σ 2 tidak diketahui dan σ1 ≠ σ 2 : ( x1



x2 )



t  / 2

S 1

2

n1



S 2

2

n2 2

dengan dk =  



 1



 2



( x1



x2 )



t  / 2

S 1

2

n1



S 2

2

n2

2

(S 1 / n1  S 2 / n2 ) 2 2

2

2

2

[(S 1 / n1 ) /(n1  1)]  [(S 2 / n2 ) /(n2  1)]

Contoh: Masa pakai barang A yang dihasilkan oleh dua pengusaha akan diteliti. Dari barang yang dihasilkan oleh pengusaha 1 diteliti 150 buah dan dicatat masa pakainya. Rata-ratanya 1400 jam dean simpangan baku 80 jam.Barang yang dihasilkan pengusaha II diteliti sebanyak 100 buah. Ternyata rata-ratanya = 1300 1300 jam dan S = 70 jam. Carilah interval taksiran selisih rata-ratanya. dengan kepercayaan 95%.

69 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Jawab: = σ 2 2 Asumsi σ 1 = σ

(150  1)6400  (100  1)4900

Sp 2 

150  100  2

 5542

sehingga sp= 74,5 dari daftar t dengan kepercayaan 95% dan V= 248 didapat t0,05(248)= 1,96

(1400



84 ,2 

1300 )  1,96 (74 ,5)

 1

1 150 150



1 100 100



 1   2 

(1400



1 150 150

1300 )  1,96 ( 74 ,5)

  2  115 ,8

Ditaksir bahwa selisih rata-rata masa pakai barang A yang dihasilkan oleh kedua pengusaha terletak antara 84,2 s/d 115,8 jam dgan keyakinan 95%.

III.2.1 Estimasi Selisih Dua Proporsi Pandang persoalan menafsir selisih dua parameter binomial p1 dan p2 . Sebagai

contoh, misalkan p1 proporsi yang merokok dan terkena kanker paru-paru dan p2 proporsi yang tidak merokok dan terkena kanker paru-paru. Persoalannya ialah menaksir selisih kedua proporsi itu. Pertama-tama, pilihlah sampel acak bebas masing-masing berukuran n1 dan n2 dari dua populasi binomial dengan rataan n1 p1 dan n2 p2 serta variansi n1 p1q1 dan n2 p2q2, kemudian tentukan jumlah x1 dan x2 dari orang yang terkena kanker paru-paru pada tiap sampel, dan tentukanlah proporsi

̂  ⁄ ̂   ⁄   

dua proporsi p1- p2 adalah statistik

dan

. Penaksir titik untuk selisih

. Jadi, selisih kedua proporsi sampel,

akan digunakan sebagai taksiran titik untuk p1- p2 .

̂   ̂ 

,

Selang kepercayaan untuk p1- p2 dapat ditetapkan dengan menggunakan distribusi sampel

  

. Dari materi menaksir proporsi diketahui

  dan

masing-masing berdistribusi

hampir normal, dengan rataan p1 dan p2 , dan variansi p1q1 / n1 dan p2q2 / n2 . Dengan mengambil kedua sampel secara bebas dari kedua populasi maka peubah

  

akan

bebas satu sama lain, dank arena distribusi normal bersifat merambat, maka dapat disimpulkan bahwa

  

berdistribusi berdistribusi hampir normal n ormal dengan rataan

70 IT TELKOM



1 100 100




= p1 – p2

dan variansi

     Dengan demikian dapat ditulis

(⁄   ⁄)   Dengan

  (       .)/ ./   ⁄ Dan

nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya

rumus di atas, maka dapat ditulis

⁄

. Ganti Z pada

 ⁄  ( .)/ ./  ⁄    ] [ ̂   ⁄ ̂   ⁄  ̂   ̂   ̂  ̂     

Setelah melakukan perhitungan seperti biasa,ganti p1 , p2 , q1 dan q2 yang berada di bawah tanda akar dengan taksirannya

saja

dan

,

,

dan

, asal

semuanya lebih besar atau sama dengan 5, maka diperoleh

hampiran selang kepercayaan (1-α) 100% untuk

.

   ̂    ̂        ̂     ̂  ̂   ⁄ ̂   ̂     ̂  ̂  ⁄ ̂  ̂ ⁄ ⁄ Selang kepercayaan untuk

Bila

menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel acak masing-masing ukuran , maka hampiran selang kepercayaan (1-α) 100%

untuk selisih kedua parameter binomial,

Bila

, adalah

nilai kurva normal sehingga luas di sebelah kanannya

71 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Contoh 4

Suatu perusahaan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tersebut memberikan perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal b erasal dari cara lama ternyata cacat dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara. Jawab : Misalkan p1 dan p2 masing-masing menyatakan proporsi yang sesungguhnya yang cacat

̂   ⁄ ⁄ ̂ ̂               ̂   

dalam cara lama dan baru. Jadi taksiran titik untuk

dan

, dan

ialah

Dari table diperoleh

. Jadi bila dimasukkan nilai ini ke dalam rumus di atas,

maka diperoleh kepercayaan 90%,

           

,

Yang disederhanakan, menjadi -0,0017 < p1 – p2 < 0,0217 Karena selang ini mengandung nilai 0, tak ada alasan mempercayai bahwa cara baru tersebut memberikan penurunan yang berarti dalam proporsi suku cadang yang cacat disbanding dengan cara lama.

72 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Latihan soal

1. Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas Elpiji. Cari selang kepercayaan 99% untuk proporsi rumah di kota tadi yang menggunakan gas Elpiji.

2. Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunyai peluang berhasil meluncurkan sebuah roket p =0,8. Sampel 40 peluncuran percobaan dengan sistem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil. a) Buatlah selang kepercayaan 95% untuk p b) Apakah kenyataannya cukup besar untuk mendukung

3. Berapakah sampel yang diperlukan di soal 1 bila diinginkan yakin 99% bahwa proporsi sampel paling banyak berjarak 0,05 dari proporsi sesungguhnya dari rumah di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji.

4. Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir berapa persen penduduk suatu kota yang memilih arinya diberi flour. Berapa besarkah sampel yang diperlukan bila seseorang berharap yakin paling sedikit 95% taksirannya paling banyak sejauh 1% dari presentasi sesungguhnya?

5. Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih menyukai merk A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.

73 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 6. Dalam pengukuran waktu reaksi seseorang terhadap semacam stimulus, seorang ahli psikologi memperkirakan bahwa simpangan bakunya 0,08 detik. Untuk menentukan berapa orang yang perlu diukur agar didapat hasil rata-rata waktu reaksi dengan kepercayaan 95%, dan kekeliruan penaksiran tidak melebihi 0,015 detik, asumsi apakah yang harus diambil mengenai distribusi waktu reaksi? Tentukan berapa orang yang perlu diukur! Bagaimana jika dikehendaki kepercayaan 99%? Apa yang tampak?

7. Telah ditimbang 10 buah tomat dengan hasil (dalam gram): 142, 157, 138, 175, 152, 149, 148, 200, 182, 164. Jika berat tomat berdistribusi normal, tentukan interval kepercayaan, 95% untuk ratarata berat tomat. 8. Sampel acak yang terdiri atas 400 petani, ternyata 65% tidak memiliki tanah sendiri. Tentukan interval kepercayaan 95% persentase sebenarnya untuk para petani yang memiliki tanah sendiri. Bagaimana jika koefisien kepercayaannya diambil 0,99? Jelaskan apa yang tampak? 9. Diberikan dua buah sampel dengan data: Sampel I : 38, 42, 51, 47, 38, 60, 57, 58, 32, 45 Sampel II : 44, 49, 53, 46, 41, 47, 34, 60, 59, 63 yang diambil dari dua buah populasi. Untuk menentukan batas-batas interval kepercayaan selisih rata-rata sebenarnya antara kedua populasi, asumsi apa yang diambil? Tentukan interval kepercayaan 95% untuk selisih tersebut jika: a) Simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar, yaitu 9,5. b) Simpangan baku kedua populasi sama besar tetapi tidak diketahui nilainya. c) Simpangan baku kedua populasi tidak sama besar. 10. Hasil dua jenis semacam tanaman tiap satuan luas tertentu, dalam satuan berat, adalah sebagai berikut: Jenis I : 39,3 – 45,5 – 41,2 – 53 – 44,2 – 42,5 – 63,9 Jenis II : 51,5 – 39,4 – 41,2 – 56,7 – 35,7 Tentukan jenis mana yang akan dipilih untuk ditaman selanjutnya! 11. Metode latihan pertama telah digunakan terhadap 250 orang dan 160 dinyatakan berhasil. Metode latihan kedua dilakukan terhadap 300 orang dan 225 berhasil. Tentukan interval kepercayaan 0,95 untuk selisih persentase sebenarnya bagi yang berhasil, juga untuk interval int erval kepercayaan 0,99! Apa Ap a yang tampak?

74 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI III.3 ESTIMASI VARIANSI

Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi



dan variansi

sampel S2 dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statistic S2. Variansi sampel hasil



perhitungan ini akan digunakan sebagai seb agai taksiran titik untuk . Karena itu statistik S2 disebut penaksir



.



Taksiran selang untuk

           

dapat diturunkan dengan menggunakan statistic

berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n – 1 bila sampel berasal dari

Statistik

populasi normal. Jadi, dapat ditulis

 .⁄    ⁄/  ⁄ ⁄

Bila

dan

masing- masing menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan

derajat kebebasan n -1 , sehingga luas di sebelah kanannya 1-

rumus di atas, peroleh

⁄ ⁄  dan

. Ganti

dalam

          ⁄    ⁄  Bagilah tiap suku dalam ketidaksamaan dengan (n-1) S2 , dan kemudian balikkan tiap suku (jadi ubah arah ketidaksamaan), maka diperoleh

            ⁄ ⁄ Untuk ukuran sampel n, hitunglah variansi sampel S2 , maka diperoleh selang kepercayaan (1-

α) 100% untuk



.

Selang kepercayaan (1-α)100% untuk



untuk

.

75 IT TELKOM



diperoleh dengan menarik akar setiap ujung selang

Buku Ajar Statistika Industri FRI Selang kepercayaan untuk



Bila S2 variansi sampel acak ukuran n dari populasi normal maka selang kepercayaan (1-α)

          ⁄ ⁄ ⁄ ⁄  100% untuk variansi

Bila

dan

diberikan oleh

menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan

⁄ ⁄

sehingga luas di sebelah kanannya, masing-masing sebesar

dan 1 -

.

Contoh 5

Data berikut menyatakan berat, dalam gram, 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4, 46,1 , 45,8 , 47,0 , 46,1 , 45,9 , 45,8 , 46,9 , 45,2 dan 46, 0 . Carilah selang kepercayaan 95 % untuk variansi semua bungkusan bibit yang dipasarkan perusahaan tersebut, anggap populasinya normal. Jawab Mula-mula hitunglah

  ∑        ∑       Untuk memperoleh selang kepercayaan 95%, ambil α = 0,05. Dari table chi -kuadrat untuk derajat kebebasan



diperoleh

     

Jadi, selang kepercayaan 95% untuk

     atau 0,135 <



< 0,953

76 IT TELKOM

dan

Buku Ajar Statistika Industri FRI III.3.1 Estimasi Nisbah Dua Variansi Taksiran titik untuk nisbah dua variansi populasi

variansi sampel

⁄

            

Bila

dan

⁄

. Karena itu statistik

⁄

diberikan oleh nisbah

⁄

disebut penaksir

variansi dua populasi normal, maka taksiran selang untuk

diperoleh dengan memakai statistic

.

⁄

dapat

 

Menurut teorema 6.20, peubah acak F mempunyai distribusi-F dengan derajat kekebasan

          dan

. Jadi, dapat ditulis (lihat gambar 7.8)

⁄    ⁄  ⁄   ⁄    ⁄ ⁄        ⁄      ⁄  ,

bila

dan

menyatakan nilai distribusi F dengan derajat kebebasan kanannya, masing-masing, luasnya 1-

dan

dan

sehingga di sebelah

. Ganti F dalam rumus di atas, diperoleh

Gambar 7.8 Kalikan tiap suku dalam ketidaksamaan dengan ketidaksamaan) diperoleh

⁄

dan balikkan tiap suku (ubah arah

         ⁄      ⁄   ⁄             ⁄      ⁄     ⁄ ⁄ Hasil teorema 6.19 memungkinkan kita mengganti

⁄ 

dengan 1/

. Jadi

Untuk dua sampel acak bebas ukuran n1 dan n2, yang diambil dari dua populasi normal, hitunglah nisbah variansi sampel

untuk

.

77 IT TELKOM

, maka diperoleh selang kepercayaan (1-α) 100%

Buku Ajar Statistika Industri FRI Seperti pada pasal 7.10, selang kepercayaan (1- α) 100% untuk

⁄

dengan mengambil akar setiap ujung selang untuk Selang kepercayaan untuk

⁄

.

⁄

, dapat diperoleh

  ⁄  ⁄      ⁄  ⁄            ⁄ ⁄           

Bila

dan

variansi dari sampel bebas masing-masing ukuran n1 dan n2 dari populasi

normal maka selang kepercayaan (1-α) 100% untuk nisbah

Bila

adalah

menyatakan f 1 dengan derajat kebebasan

sehingga luas di sebelah kanannya dengan derajat kebebasan

, dan

dan

,

menyatakan nilai f yang sama

dan

Contoh :

Suatu selang kepercayaan untuk perbedaan rataan kadar ortofosfor, diukur dalam mg per liter, pada dua stasion di sungai James telah dihitung di contoh 7.8 dengan menganggap kedua variansi populasi normal tidak sama. Beri dukungan atas anggapan ini dengan membuat selang kepercayaan 98% untuk

⁄

dan untuk

kadar ortofosfor masing-masing di stasion 1 dan 2.

⁄   , bila

dan

variansi populasi

Jawab Dari contoh 7.8 diperoleh n1 = 15, n2 = 12, s1 = 3,07 dan s2 = 0,80 . Untuk selang kepercayaan 98%, α = 0,02. Dengan menggunakan interpolasi dari tabel, kita peroleh

         ⁄         Jadi, selang kepercayaan 98 % untuk

Yang, bila disederhanakan, menjadi

78 IT TELKOM

adalah


      ⁄         

Ambil akar batas kepercayaan selang ini maka diperoleh selang kepercayaan 98% untuk adalah

Karena selang ini tidak mencakup kemungkinan

bahwa

atau

⁄

sama dengan 1, maka anggapan

di contoh 7.8 mendapat dukungan dari data



Sampai tahap ini semua selang kepercayaan yang disajikan berbentuk taksiran titik

K g.b

(taksiran titik), K disini suatu tetapan (ataukah r ataupun titik perseratus normal). Hal ini benar bila parameternya suatu rataan, selisih dua rataan, proporsi, atau selisih dua proporsi. Akan tetapi, hal ini tidak berlaku untuk variansi dan nisbah dua variansi.

79 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Latihan soal

1. Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan baterainya tahan, pada rata-ratanya, 3 tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9 , 2,4 , 3,0 , 3,5 dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk pernyataan perusahaan tadi bahwa





dan jelaskan apakah

= 1 dapat dibenarkan. Anggap umur populasi

baterai berdistribusi berdistribus i hampiran normal.

2. Sarapan teratur sereal yang diberi pemanis sebelumnya menyebabkan kerusakan gigi, sakit jantung, dan penyakit lainnya menurut penelitian yang dilakukan oleh Dr.W.H. Bowen dari Institut Kesehatan Nasional dab Dr. J. Yudhen, Profesor Nutrisi dan Diet di Universitas London. Dalam suatu sampel acak 20 porsi yang sama Alpha-Bits (sejenis sereal) rata-rata kadar gulanya 11,3 gr dengan simpangan baku 2,45 gr. Bila dimisalkan bahwa kadar gula berdistribusi normal, buatlah selang kepercayaan 95%



untuk !

3. Suatu percobaan yang dipopulerkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama. Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalam uji coba pada kecepatan tetap 90 km per jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempuh 16 km per liter dengan simpangan baku 1,0 liter per km dan 10 truk Toyota rata-rata 11 km per liter dengan simpangan baku 0,8 km per liter, buatlah selang kepercayaan 98% untuk

  dan

⁄

, bila

masing-masing simpangan baku dari jarak yang ditempuh per liter bahan

bakar oleh truk VW dan Toyota.

4. Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu percobaan menggunakan menggunak an 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai sa mpai aus. Hasil merek A:

̅  

̅        ⁄      

, s1 = 5000 km ; merek B :

Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk

. Apakah anggapan bahwa

mendapat dukungan dalam membuat selang kepercayaan untuk 80 IT TELKOM

, s2 = 6100 km.

?

Buku Ajar Statistika Industri FRI 5. Dari suatu sampel acak 1000 rumah di suatu kota ternyata 228 menggunakan gas Elpiji. a) Cari selang kepercayaan 99% bila taksiran proporsi rumah di kota tadi yang menggunakan gas Elpiji. b) Berapakah besar sampel yang diperlukan, jika diinginkan yakin 99% bahwa proporsi sampel paling banyak berjarak 0.05 dari proporsi sesungguhnya sesungguhn ya dari d ari rumah di kota tersebut yang menggunakan gas Elpiji

6. Suatu sistem peluncur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai meluncurkan sejumlah roket jarak pendek. Sistem yang sekarang mempunya peluang berhasil meluncurka sebuah roket p=0.8. Sampel 40 peluncuran percobaan dengan sistem sis tem yang baru menunjukkan 34 yang berhasil. a) Buatlah selang kepercayaan 95% untuk p p b) Apakah kenyataannya cukup besar mendukung bahwa sistem yang baru ini lebih baik? Jelaskan.

7. A. Menurut suatu laporan di koran Roanoke times & world news, 20 agustus 1981, sekitar 2/3 dari 1600 orang dewasa yang disigi lewat tilpon tilp on mengatakan bahwa program pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik bagi negara (AS). Cari selang kepercayaan 95% untuk proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pro gram pesawat ulang alik merupakan investasi yang baik bagi negara. B. Apa yang dapat dikatakan mengenai kemungkina besarnay galat denga kepercayaan95% bila taksiran proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pesawat ulang ulan g alik invesatasi yang baik sebesar 2/3

8.

Washington University school of Dental Medicine di St. Louis, dua cangkir teh hijau atau teh hitam Cina tiap hari sudah akan cukup memberi fluor untuk menjaga gigi anda dari kerusakan. Mereka yang tidak suka teh dan tinggal di daerah yang airnya tidak diberi fluor seharusnya meminta pemerintah daerahnya memberi fluor pada airnya. Berapa besarkah sampel yang diperlukan untuk menaksir persentasi penduduk di suatu kota tertentu yang memilih airnya diberi fluor bila diinginkan paling sedikit 99% yakin bahwa taksirannya paling banyak sejauh 1% dari presentasi sesungguhnya. sesungguhnya .

9. Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir proporsi penduduk di suatu kota dan pinggirannya yang mendukung pendirian PLTN. Berapakah sampel yang diperlukan agar yakin paling sedikit 95% bahwa taksirannya taksirann ya paling banyak 81 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI berjarak 0.04 dari proporsi propo rsi sesungguhnya dari penduduk di kota tersebut dan pinggirannya uang mendukung mend ukung pendirian PLTN?

10. Seorang pimpinan perusahaan ingin mengetahui perbedaan rata-rata gaji bulanan karyawan diperusahan A dan perusahan B. Untuk itu diambil sampel acak masungmasing 9 orang karyawan dari dua perusahaan tersebut dan kemudian mereka diwawancara satu persatu. Hasil wawancara menunjukan bahwa gaji perbulan (dalam dolar) karyawan di dua perusahaan tersebut adalah sbb.:

Kywn

1

Gaji 40 perusahaan A Gaji perusahaan B

2 46

30

3 50

24

4 36

16

5 38

25

6 34

35

40

7

8

9

42

44

30

46

38

34

Simpangan baku populasi kedua perusahaan tidak diketahui dan diasumsikan sama. Buatlah interval taksiran untuk menduga berapa sesungguhnya perbedaan rata-rata gaji karyawanperbulan didua perusahaan tersebut.

11. Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 8% lebih banyak dari rokoknya merek B. Bila dari 200 perokok ada 42 yang lebih menyukai merek A dan 18 dari 150 perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang kepercayaan 94% untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan apakah perbedaan 8% tersebut suatu pernyataan yang kena.

12. Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa baterainya tahan, pada rataratanya, 3 tahun dengan variansi 1 tahun. Bila 5 dari baterai ini tahan selama 1,9, 2,4, 3,0, 3,5, dan 4,2 tahun, buatlah selang kepercayaan 95% untuk σ2 dan jelaskan apakah pernyataan perusahaan tadi bahwa σ 2 = 1 dapat dibenarkan. Anggap umur populasi baterai berdistribusi berd istribusi hampiran normal.

82 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 13. Suatu penelitian bertujuan menentukan apakah cairan A mempunyai pengaruh terhadap banyaknyalogam yang tersingkirkan jika logam itu direndam dalam cairan tersebut. Suatu sampel acak 100 potong logam direndam selama 24 jam dalam cairan lain dan menghasilkan rata-rata 12,2 mm logam yang tersingkir dengan simpangan baku 1,1 mm. sampel kedua ked ua dengan 200 potong poton g logam yang sma direndam dir endam selama 24 jam dalam cairan A menyingkirkan rata-rata 9,1 mm logam dengan simpangan baku 0,9 mm. hitunglah selang kepercayaan 98 % untuk selisih kedua rataan populasi. Apakah cairan A menurunkan banyaknya logam yang tersingkir?

14. Dalam suatu penelitian yang dilakukan di Virginia Polytechnic Institute and State University pada 1983 mengenai perkembangan ectomycorrhizal, hubungan simbiosis antara akar pohon dan cendawan yang memindahkan mineral dari cendawan ke pohon dan gula dari pohon ke cendawan. Untuk itu 20 bibit oak merah dengan cendawan Pisolithus tinctorus ditanam dalam rumah kaca. Semua bibit ditanam dalam sejenis tanah yang sama dan mendapat jumlah sinar matahari dan air yang sama. Setengahnya sama sekali tidak mendapat nitrogen waktu penanaman yang bertindak sebagai control dan setengah lainnya mendapat 368 ppm nitrogen dalam bentuk NaNO3. Berat batang, dalam gr, pada hari ke 140 tercatat sbb:

Tanpa Nitrogen

Nitrogen

0,32

0,26

0,53

0,43

0,28

0,47

0,37

0,49

0,47

0,52

0,43

0,75

0,36

0,79

0,42

0,86

0,38

0,62

0,43

0,46

Buatlah selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat batang antara bibit yang tidak mendapat nitrogen dan yang mendapat 368 ppm nitrogen. Anggap populasinya berdistribusi normal dengan den gan variansi yang sama. 83 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 15. Data berikut, dalam hari menyatakan waktu yang diperlukan penderita sampai sembuh, penderita dipilih secara acak untuk mendapat salah satu dari dua obat yang dapat menyembuhkan infeksi berat pada saluran kencing; Obat 1

Obat 2

N1= 14

N2= 116

ẋ1=17

ẋ2= 19

s12=1,5

s22= 1,8

Buat selang kepercayaan 99% untuk selisih rataan waktu sembuh untuk kedua obat µ1- µ2, anggap populasinya berdistribusi normal dengan variansi yang sama.

16. Suatu percobaan yang dilaporkan di Popular Science, tahun 1981, membandingkan pemakaian bahan bakar dua jenis truk-mini diesel dengan perlengkapan yang sama. Misalkan 12 truk VW dan 10 truk Toyota digunakan dalm uji coba pada kecepatan 90 km/jam. Bila ke 12 truk VW rata-rata menempukh 16 km per liter dengan simpangan baku 1,0 km per liter dan da n 10 truk Toyota To yota rata-rata rata- rata 11 km dengan simpangan baku 0,8 0 ,8 per liter. Buat lah selang kepercayaan 90% untuk selisih antara rataan km per liter kedua jenis truk mini. Anggap bahwa jarak perliter untuk setiap model truk berdistribusi normal dengan de ngan variansi yang sama. sama .

17. Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B untuk armada taksinya. Untuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu percobaan menggunakan menggunak an 12 ban dari tiap merek. Ban dipakai sampai sa mpai aus. Hasil merek A: x1= 36.300 km, s1= 5000 km; merek B x2= 38.100 km, s2=6100 km. hitunglah selang kepercayaan 95% untuk µ1- µ2, anggap kedua populasi berdistribusi hamper normal.

18. Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua perusahaan film gambar hidup. perusahaan A B

84 IT TELKOM

Waktu (menit) 103 97

94 82

110 123

87 92

98 175

88

118

Buku Ajar Statistika Industri FRI Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa perbedaan waktu putar berdistribusi normal. 19. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk µ1- µ2 bila suatu ban dari tiap merek dipasang secara acak di roda belakang delapan taksi dan jarak yang di tempuh, dalam km, adalah ; 20. Taksi 23. 1 26. 2 29. 3 32. 4 35. 5 38. 6 41. 7 44. 8

21. Merek A 24. 33,400 27. 45,500 30. 36,700 33. 32,000 36. 48,400 39. 32,800 42. 38,100 45. 30,100

22. Merek B 25. 36,700 28. 46,800 31. 37,700 34. 31,100 37. 47,800 40. 36,400 43. 38,900 46. 31,500

Anggap selisih jarak berdistribusi hampir normal.

20. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian Sembilan universitas untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas gandum yang baru. Tiap varietas di tanam di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dalam kilogram per petak, adalah sebagai berikut; varietas

Varietas A Varietas B

Universitas 1 2 3 38 23 35 45 25 31

4 41 38

5 44 50

6 29 33

7 37 36

8 31 40

9 38 43

HItunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis , anggap bahwa distribusi hasil hampir normal, jelaskan mengapa kedua varietas perlu dibuat berpasangan dalam soal ini. i ni.

21. Departemen Perindustrian dan Perdagangan ingin mengetahui pendapatan rata-rata dari usaha UKM di Jawa Barat tahun 2003. Dari total 660 UKM di bawah bimbingan Departemen, diambil sampel 120 UKM yang terdapat di Bogor, Cirebon, Tasikmalaya dan Cianjur. Rata-rata pendapatan perbulannya ternyata meningkat menjadi 2,1 juta dengan standar deviasi populasinya 0,8 juta. Dengan tingkat keyakinan 95%, buatlah interval rata-rata kenaikan pendapatan UKM di Jawa Barat!

85 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 22. Pemerintah DKI Jakarta mengadakan program peningkatan usaha kecil dan menengah dalam rangka peningkatan pendapatan golongan ekonomi lemah. Untuk mengetahui apakah proyek ini berhasil atau tidak, maka akan dibedakan antara orang yang mengikuti proyek dan tidak. Pendapatan 13 orang dari 67 peserta yang ikut proyek sebesar 1,2 juta perbulan dengan standar deviasi sebesar 0,2 juta. Sedang pendapatan 5 orang dari 34 orang nonpeserta rata-rata sebesar 0,8 juta dengan standar deviasi 0,4. Dengan menggunakan tingkat keyakinan 99%, buatlah interval keyakinan tentang selisih dari kedua kelompok tersebut.

23. PT Lipo Karawaci yang merupakan perusahaan perumahan di Indonesia akan membangun perumahan di Sentul, Bogor. Untuk keperluan tersebut diadakan survey tentang daya beli masyarakat. Berdasarkan data di Kecamatan diketahui standar deviasi pendapatan masyarakat sebesar 0,8 juta. Apabila diasumsikan bahwa kesalahan penarikan sampel sebesar 0,1 juta, dengan tingkat kepercayaan 99%, berapa sampel yang harus diambil oleh PT Lipo Karawaci?

24. PT. Islamic Net ingin mengetahui jumlah rata-rata nilai penjualan per hari dari tenaga pemasaran sebagai dasar dari penentuan prestasinya. Hasil sementara menunjukkan rata-rata perjalanan 150 ribu dengan standar deviasi 14 ribu. Berapa sampel pramuniaga yang harus diambil, apabila diinginkan kesalahan yang ditoliler adalah 2 ribu dan tingkat keyakinan 99%?

25. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk silinder.Sampel beberapa potongan diukur, dan ternyata diameternya 1.01,0.97,1.03,1.04,0.99 , 0.98,0.99,1.01, dan 1.03.Hitunglah selang kepercayaan 0.99% untuk rataan potongan diameter yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hamper normal. 26. Pengukuran berikut memberikan waktu mengering, dalam jam, sejenis cat lateks merek tertentu. 3 ,4

2,5

4,8

2,9

3,6

2,8

3,3

5,6

3,7

2,8

4,4

4,0

5,2

3,0

4,8

Bila dimisalkan pengukuran menyatakan sampel acak yang diambil dari populasi normal, hitunglah batas toleransi 99% yang akan mengandung 95% waktu mengering.

27. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk selinder. Sampel beberapa potongan diukur diu kur dan ternyata diameternya diamete rnya : 86 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 1,01

0,97

1,03

1,04

0,99

0,98

0,99

1,01

dan 1,03 cm.

Hitunglah selang kepercayaan 99 % untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal.

28. Diketahui Diketahui x1 + x2 +......+ +......+ x7, diambil ample acak dari populasi yang mempunyai rata-rata μ dan variansi . Perhatikan estimator µ sbagai berikut:

 



= (x1+x2+....+x7)/7 = (2x1 – x6 + x4)/2

Apakah kedua estimator unbiased? Yang mana estimator terbaik?

29. Misalkan kita mempunyai sampel acak dengann ukuran n dari populasi yang dinotasikan sebagaii x, dan E(x) = μ dan var x = . Diketahui

̅  ∑  ̅  ∑  1=



dan 2 =

Adalah dua estimator μ . Yang mana estimator μ yang lebih baik? Jelaskan pilihan anda.

    



30. Misalkan adalah estimator estimator θ . Kita tahu bahwa E( = E( dan = θ, E( ≠θ, var =12, var =10 and E[ – θ] – θ] =6. Bandingkan ke tiga estimator. Yang mana yang lebih baik? Kenapa?









31. In a binomial experiment exactly x successes are observed in n independent trials. The following two statistics are proposed as estimators of the proportion parameter p: T1 = x/n and T2 = (x+1)/(n+2) Determine and compare the MSE for T1 and T2.

32. X1, X2, X3 and X4 adalah sample random dengan ukuran n= 4 dari suatu populasi yang berdistribusi exponensial dengan parameter θ yang tidak dike tahui. Diantara: T1= 1/6(x1+x2) + (1/3(x3+x4)

87 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI T2=(x1+2x2+3x3+4x4)/5 T3=(x1+x2+x3+x4)/4

Tentukan Statistik mana yang unbiased estimator dari θ? Diantara estimator θ yang unbiased , tentukan estimator yang terbaik

33. Diketahui populasi 1 dengan rata-rata = 80 dan simpangan baku=5, dan populasi 2 dengan rata-rata = 75 dan simpangan baku = 3, diambil sampel masing-masing n1= 25 dan n2=36.

̅ ̅

Ditanya: berapa probabilitas (3,4≤ 11- 2≤5,9) 2≤5,9)

88 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI BAB IV

UJI HIPOTESIS

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas bagaimana cara menguji suatu statemen dimana statemen tersebut belum tentu kebenarannya. Uji hipotesis yang akan dibahas antara lain : a) Uji menyangkut rataan b) Uji menyangkut proporsi c) Uji menyangkut variansi Baik untuk satu ataupun dua populasi. TUJUAN INSTRUKSIONAL

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menguji berbagai pernyataan dan diharapkan dapat digunakan dalam situasi nyata. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji hipotesis 2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian masalah menggunakan uji hipotesis 3. Mahasiswa diharapakan dapat mengidentifikasi terhadap masalah yang dihadapi perusahaan

89 IT TELKOM


SKENARIO PEMBELAJARAN

1…………. 2…………. 3…………. 4………….


90 IT TELKOM


IV.1 HIPOTESIS STATISTIK

DEFINISI

Pengujian hipotesa Pengujian hipotesa adalah prosedur yang didasarkan pada bukti sampel yang dipakai dipakai untuk menentukan menentukan apakah hipotesa merupakan suatu pernyataan yang wajar dan oleh karenanya tidak ditolak, atau hipotesa tersebut tidak wajar dan oleh karena itu harus ditolak.

Pengujian hipotesis statistik merupakan suatu bidang besar inferensi statistik. Hipotesis statistik adalah suatu anggapan, pernyataan atau dugaan, yang mungkin benar atau tidak, mengenai satu atau lebih populasi. Pengujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis. Kebenaran suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti, kecuali kita memeriksa seluruh populasi. Namun, karena tidak memungkinkan memeriksa seluruh populasi, maka kita dapat mengambil sampel acak dan menggunakan informasi atau bukti dari sampel tersebut untuk menerima atau menolak suatu hipotesis. Penerimaan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENOLAK hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU BENAR dan penolakan suatu hipotesis terjadi karena TIDAK CUKUP BUKTI untuk MENERIMA hipotesis tersebut dan BUKAN karena HIPOTESIS ITU SALAH.

91 IT TELKOM


PENGERTIAN KESALA KESALAHAN HAN JENIS I DAN II

Si tu asi Kepu tu san

H0 Ben ar

Ter erima ima H 0 Tolak H 0

Keputusan tepat (1 – Kesalahan Jenis I ( a)

H0 Sal ah

)

a

Ke s a laha n J enis I Ke putus a n te pa t (

PENGERTIAN KESALAHAN JENIS I DAN II

Kesalahan Jenis I Adalah apabila keputusan menolak H0, pada hal seharusnya H0 benar"

Kesalahan Jenis II Adalah apabila keputusan menerima H0, padahal seharusnya H0 salah"

92 IT TELKOM


MERUMUSKAN HIPOTESA

Hipotesa nol Satu pernyataan mengenai nilai parameter populasi

Hipotesa alternatif Suatu pernyataan yang diterima diterima jika data sampel memberikan cukup bukti bahwa hipotesa nol adalah salah

Prosedur pengujian hipotesis diawali dengan perumusan Hipotesis Awal yang diharap akan ditolak dan biasanya disebut dengan Hipotesis Nol (H0). Hipotesis Nol ini juga sering menyatakan kondisi yang menjadi dasar pembandingan dan harus menyatakan dengan pasti nilai parameter. Penolakan H0 membawa kita pada penerimaan Hipotesis Alternatif (H1). 

H0 → ditulis dalam bentuk persamaan (=)



H1 → ditulis dalam bentuk pertidaksamaan (< ; > ; ≠)

Contoh 1

Sebelum tahun 1993, pendaftaran mahasiswa Universtas GD dilakukan dengan pengisian formulir secara manual. Pada tahun 1993, PSA Universitas GD memperkenalkan sistem

pendaftaran "ONLINE". Seorang Staf PSA ingin membuktikan pendapatnya “bahwa rata -rata waktu pendaftaran dengan sistem ONLINE akan lebih cepat dibanding dengan sistem yang lama”. Pada sistem lama, rata-rata waktu pendaftaran adalah 50 menit. Perumusan hipotesisnya adalah sebagai berikut: 

H0 : µ = 50 menit (sistem baru dan sistem lama tidak berbeda)



H1 : µ < 50 menit (sistem baru lebih cepat dibanding sistem lama)

IV.2 ARAH PENGUJIAN HIPOTESIS

Pengujian Hipotesis dapat dilakukan secara : 1. Uji Satu Arah (uji ekasisi) 93 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 2. Uji Dua Arah (uji dwisisi) Hipotesis nol (H0), akan selalu dinyatakan dengan menggunakan tanda kesamaan yang berarti menyatakan suatu nilai yang tunggal. Untuk penggunaan uji ekasisi dan uji dwisisi tergantung pada kesimpulan yang akan diambil jika H0 ditolak. Letak daerah kritis (daerah penolakan H0) baru dapat ditentukan hanya setelah H1 ditentukan.

MENENTUKAN DAERAH KEPUTUSAN Daerah Keputusan Uji Sa tu Arah

Daerah penolakan Ho Daerah tidak menolak Ho Skala z 1,65 Probabilitas 0,95 Probabilitas 0,5

Daerah Keputusan Uji Dua Arah

Daerah penolakan Ho

Daerah penolakan Ho Daerah tidak menolak Ho 0,025 -1,95

0,95

0,025

0

1,95

IV.2.1 Uji Ekasisi

Uji ekasisi ini digunakan apabila peneliti memiliki informasi mengenai arah kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam uji satu arah adalah sebagai berikut: 

H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)



H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)

Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) tidak dibagi dua, karena seluruh α diletakkan hanya di salah satu sisi selang. Misalkan : H0

: µ = µ0

H1

: µ < µ0

Wilayah kritis

: z < -zα

(µ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0)

atau

t < -t(db;α)

(pengunaan z atau t tergantung

pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil menggunakan t) 94 IT TELKOM


Gambar IV.1 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kiri

OUTLINE

Daerah penolakan H0

Daerah penolakan H0

Tidak menolak H0

Tidak menolak H0

1,65

1,65

Gambar A H0 : mx £ 13,17 H1 : mx > 13,17

Gambar B H0 : mpa – mpl ³ 0 H1 : mpa – mpl < 0

Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis) Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis

Misalkan : H0

: µ = µ0

H1

: µ < µ0

Wilayah kritis

: z < -zα atau t < -t(db;α) ukuran


sampel,

menggunakan t)

95 IT TELKOM

sampel

(pengunaan z atau t tergantung pada besar

menggunakan

z;

sampel

kecil


Gambar IV.2 Wilayah Kritis untuk Uji Ekasisi Kanan

Daerah yang terarsir : daerah penolakan hipotesis (daerah kritis) Daerah yang tidak terarsir : daerah penerimaan hipotesis

PROSEDUR PENGUJIAN HIPOTESA Langkah 1. Merumuskan Hipotesa (Hipotesa nol (H0) dan Hipotesa Alternatif (H1))

Langkah 2. Menentukan Taraf Nyata (Probabilitas menolak hipotesa)

Langkah Lang kah 3. Menentukan Uji statisti k (Alat uji statistik, uji Z, t, F, X2 dan lain-lain)

Langkah 4. Menentukan Daerah Keputusan (Daerah di mana hipotesa nol diterima atau ditolak))

Langkah 5. Mengambil Keputusan

Menolak H0

Menolak H0 Mener Menerima ima H1

IV.2.2 Uji Dwisisi

Uji dwisisi digunakan apabila peneliti tidak memiliki informasi mengenai arah kecenderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati. Pengajuan H0 dan H1 dalam uji satu arah adalah sebagai berikut: 

H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda =)



H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar (>) atau lebih kecil (<)

Pada uji ini nilai α (taraf keberartian atau ukuran daerah kritis) dibagi dua, karena α diletakkan di kedua sisi selang. 96 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Misalkan : H0

: µ = µ0

H1

: µ < µ0




Wilayah kritis : z < -z

atau



t < -t(db;

)

(pengunaan z atau t tergantung

pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan z; sampel kecil menggunakan t)

Gambar IV.3 Wilayah Kritis untuk Uji Dwisisi

IV.3 KESALAHAN DALAM PENGUJIAN HIPOTESIS

Dalam mengambil kesimpulan untuk suatu uji hipotesis kita mungkin akan melakukan kesalahan (kesalahan = error = galat), yaitu: 

Galat jenis 1 (α) : menolak H 0 padahal H0 benar



Galat jenis 2 (β) : menerima H0 padahal H0 salah

Tabel IV.1 Kemungkinan Kesalahan dalam Pengujian Hipotesis Statistik Kesimpulan Terima H0 Tolah H0

Keadaan Sebenarnya H0 benar Keputusan benar Galat jenis 1

H0 salah Galat jenis 2 Keputusan benar

Prinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai α dan β. Dalam perhitungan, nilai α dapat dihitung sedangkan nilai β hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis alternatif sangat spesifik.

Contoh 2

Sejenis vaksin flu diketahui hanya efektif 25% setelah jangka waktu 2 tahun. Untuk menentukan apakah vaksin baru leih unggul daripada vaksin lama, dipilih 100 orang secara acak dan diberi suntikan vaksin baru tersebut. Bila dalam waktu lebih dari 2 tahun, 36 orang 97 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI atau lebih tidak terserang virus, maka vaksin baru dianggap lebih unggul daripada vaksin



lama. Hitung galat jenis I (α) dan galat jenis II (β) dengan p = !

Jawab :

H0 : p = H1 : p >

 

daerah penerimaan : x ≤ 36

Daerah kritis : x > 36

(gunakan pendekatan distribusi normal baku)



a. µ = n . p = 100 . = 25



=

            =

Z=

= 4,33

   

=

= 2,66

α

25

36,5

Gambar IV.4 Peluang Suatu Galat Jenis I

α

= P (galat jenis I) = P (H0 tolak H0 benar)



= P (x > 36 p = ) = P (Z > 2,66)

= 1 - P (Z < 2,66) = 1 – 0,9961 = 0,0039



b. µ = n . p = 100 . = 50

98 IT TELKOM



=

            =

=5

Buku Ajar Statistika Industri FRI Gambar IV. Peluang Suatu Galat Jenis II

c. Z

α

=

   

=

= -2,7

= P (galat jenis II) = P (H0 terima H0 salah)



= P (x ≤ 36 p = ) = P (Z < - 2,7) = 0,0035

Sifat-sifat galat : 

Galat jenis I dan galat jenis II berkaitan. Memperkecil peluang yang satu dapat biasanya memperbesar peluang pel uang yang lainnya.



Ukuran daerah kritis, jadi juga peluang melakukan galat jenis I, selalu dapat diperkecil dengan menyesuaikan nilai kritis.



Menaikkan ukuran sampel nakan memperkecil α dan β secara serentak.



Bila H0 salah, β akan mencapai maksimum bila nilai parameter sesungguhnya dekat dengan nilai yang dihipotesiskan. Makin besar jarak antara nilai sesungguhnya

dengan nilai yang dihipotesiskan, maka makin kecil pula β. Suatu pengertian yang amat penting yang berkaitan dengan kedua peluang galat ialah perngertian kuasa uji. Kuasa suatu uji adalah peluang menolak H0 bila suatu tandingan tertentu benar. Kuasa suatu uji dapat dinotasikan dengan Ɣ dan dapat dihitung dengan 1 – β. – β.

99 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI IV.4 LANGKAH PENGERJAAN UJI HIPOTESIS

Untuk melakukan suatu uji hipotesis, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut : 1. Tentukan hipotesis nol (H0) dan hipotesis tandingan (H1). 2. Pilih taraf keberartian α 3. Tentukan arah pengujian (ekasisi atau dwisisi) 4. Tentukan daerah kritisnya 5. Pilih uji statistik yang sesuai 6. Hitunglah nilai uji statistik dari data sampel 7. Tentukan kesimpulan (tolak H0 bila uji statistik mempunyai nilai di dalam daerah kritis dan terima H0 bila uji statistilk mempunyai nilai di luar daerah kritis) Beberapa nilai Z yang sering digunakan: z5% = z0.05 =1.645

z2.5% = z0.025 =1.96

z1% = z0.01 = 2.33

z0.5% = z0.005 = 2.575

IV.5 UJI MENYANGKUT RATAAN

Pengujian hipotesis yang menyangkut rataan terdiri dari berbagai macam cara, diantaranya adalah uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui, uji menangkut satu rataan dengan variansi tidak diketahui, uji menyangkut dua rataan dengan variansi diketahui, uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui tapi 1=2 atau

1

≠ 2, dan uji

menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan.

Tabel IV.2 Uji Menyangkut Rataan N O 1.

H0



= 0

2.  = 0

3.  1- 2=d 0

100 IT TELKOM

Statistik

   ̅√     ̅⁄√ 

H1  < 0  > 0

;  diketahui

   0  < 0

;

 > 0

tidak diketahui v= n-1 

z=

 ̅ ̅   (⁄)(⁄)

   0

;

 1- 2d 0

Daerah Kritis

Z <- Z  Z > Z  Z <- Z  /2 ; Z > Z  /2 t <- t   t > t  t <- t  /2 ; t > t  /2 Z <- Z  Z > Z 

Buku Ajar Statistika Industri FRI 1

dan 2 diketahui

    ̅⁄ ̅⁄   ̅ ̅     (⁄)(⁄)    ⁄ (  )           ()()   ⁄√ 

4.  1- 2=d 0

; v = n1+ n2 -2 1=2 tetapi tidak diketahui

 1- 2  d 0  1- 2d 0  1- 2  d 0

Z <- Z  /2 ; Z > Z  /2 t <- t   t > t  t <- t  /2 ; t > t  /2

=

5.  1- 2=d 0

1

6.

 D=d 0

≠ 2 dan tidak diketahui

v = n-1 pengamatan berpasangan berpasan gan

 1- 2d 0  1- 2  d 0

 Dd 0  1D 1D  d 0

t <- t   t > t  t <- t  /2 ; t > t  /2

t <- t   t > t  t <- t  /2 ; t > t  /2

Contoh 3. Uji menyangkut satu rataan dengan variansi diketahui

Sampel acak catatan 100 kematian di AS selama tahun lalu menunjukan rata-rata usia mereka 71,8 tahun. Andaikan simpangan bakunya 8,9 tahun, apakah ini menunjukan bahwa rata-rata

usia dewasa ini lebih dari 70 tahun? Gunakan taraf keberartian (α) 0,05. Jawab :

1. H0 : µ = 70 tahun 2. H1 : µ > 70 tahun 3. α = 0,05 daerah kritis z > 1,645 Gambar IV.5 Daerah Kritis contoh 3. 4. perhitungan : Z

=

 ̅  

= 71,8 tahun ;  = 8,9 tahun

√  √   

=

= 2,02

5. Keputusan : Tolak H0 6. Kesimpulan : rata-rata usia dewasa ini lebih dari 70 tahun.

Contoh 4. Uji menyangkut dua rataan dengan variansi tidak diketahui

Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan, karena gosokan dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku 4 sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 101 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 5. Dapatkah disimpulkan bahwa pada taraf kepercayaan 0,05 keausan bahan 1 melampaui keausan bahan 2 sebanyak lebih dari 2 satuan? Anggaplah populasi hampir normal dengan variansi yang sama. Jawab :

Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan populasi keausan bahan 1 dan bahan 2. 1. H0 : µ1 - µ2 = 2 2. H1 : µ1 - µ2 > 2 3. α = 0,05 4. daerah kritis t > 1,725 5. perhitungan : s p = t

̅

1

= 85 ; s1 = 4 ; n 1 = 12 ;

  

=

      

̅

2=

81 ; s2 = 5 ; n2 = 10

= 4,478

= 1,04

6. Keputusan : Terima H0 7. Kesimpulan : tidak dapat disimpulkan bahwa keausan bahan 1 melampaui bahan 2 lebih dari 2 satuan.

Contoh 5. Uji menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan berpasangan

Dalam makalah „ Influence Influence of Physical Restraint and Restraint-Facilitating Drugs on Blood Measuraments of White-Tailed White-Tailed Deer and Other Selected Mammals‟, Virginia Polythechnic

Institue and State University (1976), J.A. Wesson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera serelah disuntikan succinylcholine pada otot menggunakan panah dan senapan penangkap. Risa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa adalah sebagai berikut: (anggap populasi popu lasi androgen berdistribusi berd istribusi normal)

Rusa

1 2

Androgen (ng/ml) Waktu 30 menit suntikan suntikan 2,76 7,02 5,18 3,10

102 IT TELKOM

di setelah

4,26 -2,08

Buku Ajar Statistika Industri FRI 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2,68 3,05 4,10 7,05 6,60 4,79 7,39 7,30 11,78 3,90 26,00 67,48 17,04

5,44 3,99 5,21 10,26 13,91 18,53 7,91 4,85 11,10 3,74 94,03 94,03 41,70

2,76 0,94 1,11 3,21 7,31 13,74 0,52 -2,45 -0,68 -0,16 68,03 26,55 24,66

Dengan menggunakan taraf keberartian 0,05, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit? Jawab :

Misalkan µ1 dan µ2 masing-masing menyatakan rataan konsentrasi androgen pada waktu suntikan dan 30 menit setelah suntikan. 1. H0 : µ1 = µ2 atau HD : µ1 - µ2 = 0 2. H1 : µ1 3. α = 0,05



µ2 atau HD : µ1 - µ2 ≠ 0

4. daerah kritis t < -2,145 dan t > 2,145

v = 14

5. perhitungan : rataan sampel dan simpangan baku untuk nilai di adalah sd = 18,474 t

=

 √ 

 ̅

= 9,848 dan

= 2,06

6. Keputusan : Terima H0 7. Kesimpulan : ada kenyataan tentang adanya perbedaan dalam rataan kadar peredaran androgen.

IV.6 UJI MENYANGKUT PROPORSI

Uji hipotesis yang manyangkut proporsi banyak dipakai dalam berbagai bidang. Sebagai contoh, politisi tentunya tertarik untuk mengetahui berapa bagian dari pemilih yang akan mendukungnya dalam pemilihan. Uji hipotesis ini terdiri dari uji menyangkut proporsi dan uji menyangkut selisih proporsi.

Tabel IV.3 Uji Menyangkut Proporsi 103 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Ho

Statistik

p=p0

p1=p2

p1=p2=.....=p k

H1 pp0 p  p0

Daerah Kritis Z <- Z  Z > Z  Z <- Z  /2 ; Z > Z  /2 p1p2 Z > Z  p1  p2 Z <- Z  /2 ; Z > Z  /2 Tidak semuanya 2 > 2 sama

   ⁄   ⁄⁄ ⁄           ∑   

SEMAKIN BANYAK SAMPEL MENDEKATI NORMAL

Distribusi Z Distribusi t, v= n - 1= 25

Distribusi t, v= n- 1= 15

Distribusi t, v= n - 1= 2

0

Contoh 6. Menguji proporsi dengan sampel kecil

Suatu perusahaan tv menyatakan bahwa 70% tv di kota B berasal dari perusahaan tersebut. Apakah anda setuju dengan pernyataan itu bila suatu sampel acak di kota B menunjukan bahwa 8 dari 15 tv berasal dari da ri perusahaan tadi? Gunakan Gun akan taraf keberartian 0,01. Jawab :

1. H0 : p = 0,7 2. H1 : p ≠ 0,7 3. α = 0,10 4. uji statistik: peubah binomial X dengan p = 0,7 dan n = 15 104 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 5. perhitungan : x = 8 dan npo = (15)(0.7) = 10,5 P = 2P(X ≤ 8 bila p = 0,7)

  ∑

=2

= 0,2622 > 0,10

6. Keputusan : Terima H0 7. Kesimpulan : tidak cukup alasan meragukan pernyataan perusahaan tersebut.

Contoh 7. Menguji proporsi

Suatu obat yang biasa dijual untuk mengurangi ketegangan syaraf diyakini manjur hanya 60%. Hasil percobaan dengan obat baru yang dicobakan pada sampel acak 100 orang dewasa yang menderita ketegangan syaraf menunjukan bahwa 70 merasa tertolong. Apakah kenyataan ini cukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru tadi lebih unggul dari yang biasa/ gunakan taraf keberertian 0,05. Jawab :

1. H0 : p = 0,6 2. H1 : p > 0,6 3. α = 0,05 4. daerah kritis z > 1,645 5. perhitungan : x = 70 ; n = 100 10 0 ; npo = (100)(0,6) = 60 Z

=

  √ 

= 2,04

6. Keputusan : Tolak H0 7. Kesimpulan : obat baru lebih unggul.

Contoh 8. Menguji selisih dua proporsi

Pemungutan suara diambil dari suatu kotamadya dan kabupaten di sekitarnya untuk menentukan apakah suatu rencana pembangunan pabrik kimia boleh diteruskan. Daerah industri tersebut masih berada dalam batas kota dan karena itu banyak penduduk kabupaten merasa bahwa rencana itu akan disetujui karena proporsi terbesar penduduk kota menyetujui pembangunan pabrik tersebut. Untuk menentukan apakah ada perbedaan yang berarti antara proporsi penduduk kota dan kabupaten yang meng=dukung rencana tersebut, suatu pol diadakan. Bila 120 dari 200 penduduk kota yang setuju dan bila 240 dari 500 penduduk kabupaten yang menyetujuinya, apakah anda sependapat bahwa proporsi penduduk kota yang

105 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI setuju lebih besar dari proporsi penduduk kabupaten yang setuju? Gunakan taraf keberartian keberar tian 0,025. Jawab :

Misalkan p1 dan p2 menyatakan proporsi sesungguhnya penduduk kota dan kabupaten yang menyetujui rencana tersebut. 1. H0 : p1 = p2 2. H1 : p1 > p2 3. α = 0,025 4. daerah kritis z > 1,96 5. perhitungan :

̂ ̂ ̂

             *./

1

=

=

= 0,6

2

=

=

= 0,48

=

Z

=

= 0,51

=

= 2,9

6. Keputusan : Tolak H0 7. Kesimpulan : penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut lebih besar dari proporsi penduduk kabupaten yang tidak menyetujui.

IV.7 UJI MENYANGKUT VARIANSI

Pengujian hipotesis mengenai variansi populasi atau simpangan baku berarti kita ingin menguji hipotesis mengenai keseragaman suatu populasi ataupun barangkali membandingkan keseragaman suatu populasi dengan populasi lainnya. Statistik yang cocok sebagai dasar keputusan adalah statistik chi-square dan statistik F.

Tabel IV.4 Uji Menyangkut Variansi Ho  = 0

Statistik

       = n-1

 1= 2

 1 = n1-1

106 IT TELKOM

H1  < 0  > 0    0  1< 2  1< 2  1   2

Daerah Kritis 2

2 <    2 2  >    2 2  <   /2 2 2  >   /2 f < f 11- ( 1, 1, 2) f > f   ( 1, 1, 2) f < f 11- /2( 1, 1, 2)



Buku Ajar Statistika Industri FRI f > f   /2 ( 1, 1, 2)

 1 = n1-1

Contoh 9. Menguji variansi

Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0,9 tahun/ Bila sampel acak 10 beterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1,2 tahun, apakah anda setuju bahwa



> 0,9 tahun? Gunakan taraf

keberartian 0,05. Jawab :

 

1. H 0 : 

=

0,81.

2. H 1 :  > 0,81. 3. α = 0,05. 4. Daerah kritis

  

5. Perhitungan 2



=



2



> 16,919 dengan derajat kebebasan v = 9

 

= 1,44,

= 16,0

6. Keputusan : Statistik

2

= 10

tidaklah berarti pada taraf 0,05. Akan tetapi, ada sedikit

kenyataan bahwa  > 0,9.

Contoh 10. Menguji selisih dua variansi

Dalam menguji selisih keausan kedua bahan di contoh V.2, dianggap bahwa kedua variansi populasi yang tidak diketahui dik etahui sama besarnya. besarn ya. Apakah anggapan seperti sepe rti ini beralasan ?

Jawab :

1. H 0 : 2. H 1 :

    =

≠

3. α = 0,10

4. Daerah kritis : f 0,05 0,05 (11,9) = 3,11 f 0,95 0,95 (11,9) =

  

= 0,34

Jadi, hipotesis nol ditolak bila f < 0,43 atau f > 3,11, untuk f f = kebebasan v1 = 9 dan v2 = 9 5. Perhitungan 107 IT TELKOM

  = 16,

= 25, jadi



dengan derajat

Buku Ajar Statistika Industri FRI f =



= 0,64

6. Keputusan : terima H0. 7. Kesimpulan : tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.

Latihan Soal

1. Proporsi keluarga yang membeli susu dari perusahaan A di suatu kota ditaksir sebesar p p = 0,6. Bila sampel acak 10 keluarga menunjukan bahwa hanya 3 atau kurang yang membeli susu dari perusahaan A maka hipotesis bahwa p = 0,6 akan ditolak dan tandingan p < 0,6 didukung. a. Carilah peluang melakukan galat jenis I bila proporsi sesungguhnya p = 0,6. b. Carilah peluang melakukan galat jenis II untuk tandingan p = 0,3, p = 0,4, dan p = 0,5.

2. Proporsi orang dewasa yang tamat perguruan tinggi yang tinggal di suatu kota ditaksir sebanyak p p = 0,3. Untuk menguji hipotesis ini sampel acak 200 orang dewasa dipilih. Bila banyaknya yang tamat perguruan tinggi dalam sampel tadi antara 48 dan 72, maka hipotesis nol bahwa p = 0,3 diterima. Jika tidak, maka disimpulkan bahwa p ≠ 0,3. a.

Carilah α kalau p = 0,3.

b. Carilah β untuk tandingan p =0,2 dan p = 0,4.

3. Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Ujilah hipotesis bahwa µ = 800 jam lawan tandingan µ ≠ 800 jam bila sampel acak 30 bola lampu mempunyai rata rata umur 788 jam. Gunakan taraf keberartian 0,04.

4. Suatu pernyataan menyatakan bahwa rata-rata sebuah mobil dikendarai sejauh 20.000 km setahun di suatu daerah. Untuk menguji pernyataan ini sampel acak sebanyak 100 pengemudi mobil diminta mencatat jumlah kilometer yang mereka tempuh. Apakah anda setuju dengan pernyataan di atas bila sampel tadi menunjukan rata-rata 23.500 km dan simpangan baku 3900 km? Gunakan taraf keberartian 0,05.

5. Suatu pabrik menyatakan bahwa daya rentang rata-rata benang A melebihi daya rentang rata-rata benang B paling sedikit 12 kg. Untuk menguji pernyataan ini, 50 potong benang 108 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI dari tiap jenis diuji dalam keadaan yang sama. Benang jenis A mempunyai rata-rata daya rentang 86,7 dengan simpangan baku 6,28 kg, sedangkan benang jenis B mempunyai ratarata daya rentang 77,8 dengan simpanagn baku 5,61 kg. Ujilah pernyataan pengusaha tadi dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.

6. Untuk menentukan apakah suatu serum baru akan memperlambat leukemia, 9 tikus dipilih yang semuanya telah kena penyakit tersebut pada tahap yang lanjut. Lima tikus mendapat serum tadi dan empat lainnya tidak. Umur, dalam tahun, sejak permulaan percobaan sebagai berikut: perlakuan Tanpa perlakuan

2,1 1,9

5,3 0,5

1,4 2,8

4,6 3,1

0,9

Pada taraf keberartian 0,05 dapatkah disimpulkan bahwa serum tadi menolong? Anggap kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi yang sama.

7. Data berikut memberikan waktu putar film yang dihasilkan oleh dua perusahaan film gambar hidup: Perusahaan A B

Waktu (menit) 102 86 98 81 165 97

109 134

92 92

87

114

Ujilah hipotesis bahwa rata-rata waktu putar film hasil perusahaan B lebih 10 menit dari rata-rata waktu putar film hasil perusahaan A lawan tandingan ekapihak bahwa selisihnya melebihi 10 menit. Gunakan taraf keberartian 0,1 dan anggaplah kedua distribusi tersebut hampir normal dengan variansi tidak sama. 8. Dari penelitian „Comparison of Sorbic Acid in Countri Ham Before and After Storage‟ yang dilakukan di Virginia Polythecnic Institute and State University pada tahun 1983, diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam bagian per sajuta, dalam daging ham segera setelah dicelupkan dalam larutan sorbat dan setelah disimpan 60 hari dicatat: Potongan

1 2 3 109 IT TELKOM

Sisa asam sorbat dalam ham Sebelum disimpan Setelah disimpan 224 116 270 96 400 239

Buku Ajar Statistika Industri FRI 4 5 6 7 8

444 590 660 1400 680

329 437 597 689 576

Bila dianggap kedua populasinya berdistribusi normal, apakah terdapat kenyataan yang cukup, pada taraf keberartian 0,05, untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan mempengaruhi konsentrasi sisa asam sorbat?

9. Misalkan bahwa dulu 40% dari semua orang dewasa menyetujui hukuman mati. Apakah cukup ada kenyataan untuk mendukung bahwa proporsi orang dewasa sekarang yang menyetujui hukuman mati lebih banyak bila dalam suatu sampel acak 15 orang dewasa, 8 yang menyetujui hukuman mati? Gunakan taraf keberartian 0,05.

10. Diduga paling sedikit 60% rumah tangga di suatu daerah memiliki pesawat televisi. Kesimpulan apakah yang akan anda ambil bila hanya 110 dalam sampel 200 keluarga yang memiliki televisi? Gunakan taraf keberartian 0,04.

11. Suatu perusahaan rokok memasarkan dua merek rokok. Bila diketahui bahwa 56 dari 200 perokok lebih menyenangi men yenangi merek A dan 19 1 9 dari 150 perokok per okok lebih menyenangi men yenangi merek B, dapatkah disimpulkan pada taraf keberartian 0,06 bahwa merek A lebih laris daripada B?

12. Pengalaman menunjukan bahwa waktu yang diperlukan murid kelas 3 SMA untuk menyelesaikan suatu ujian baku merupakan suatu peubah acak normal dengan simpangan baku 6 menit. Ujilah hipotesis bahwa



= 6 lawan tandingan bahwa



< 6 bila sampel

acak 20 murid SMA kelas 3 mempunyai simpangan baku s = 4,51. Gunakan taraf keberartian 0,05.

13. Data masa lalu menunjukan bahwa uang yang disumbangkan oleh karyawan di suatu kota pada PMI berdistribusi normal dengan simpangan baku 1,40 ribu rupiah. Ada dugaan bahwa sumbangan dari para pedagang pada PMI mempunyai simpangan baku 1,75 ribu rupiah. Dapatkan disimpulkan, pada taraf keberartian 0,01, bahwa simpangan baku sumbangan dari para pedagang lebih besar daripada para karyawan di kota tersebut? 110 IT TELKOM


14. Suatu mesin minuman dikatakan diluar kendali bila variansi isi minuman yang dikeluarkannya melebihi 1,15 desiliter. Bila sampel acak 25 cangkir minuman dari mesin ini mempunyai variansi 2,03 desiliter, apakah ini menunjukan, pada taraf keberartian 0,05, bahwa mesin diluar kendali? Anggap bahwa isi cangkir berdistribusi hampir normal.

15. Seorang ahli mengemukakan kepada manajer bahwa dengan mengadakan perubahan perubahan tertentu dalam proses produksi akan meningkatkan efisiensi, karena ratarata persentase kerusakan produksi tiap mesin akan berkurang. Perubahan-perubahan akan memerlukan biaya sehingga percobaan perlu diadakan terlebih dahulu sebelum dilakukan secara menyeluruh dalam proses produksi. Percobaan terhadap 6 unit proses produksi (dalam persen), sebagai berikut: 8,2 – 7,9 – 8 – 8,4 – 8,3 – 7,8 Manajer hanya akan melakukan perubahan-perubahan apabila dalam proses baru terjadi rata-rata kerusakan paling banyak 8%. Atas dasar hasil di atas, tentukanlah keputusan apa yang dapat diambil oleh manajer disertai besar resiko yang diperkirakan! 16. Dari pengalaman masa lampau ternyata sekitar 40% mahasiswa tingkat pertama lulus mata kuliah A. jika tahun ini 496 dari 1.078 lulus mata kuliah A, dapatkah kita menyimpulkan bahwa pola masa lampau masih berlaku? Ambil Taraf nyata 0,05 dan 0,01 lalu bandingkan! 17. Suhu udara di kota B selama 60 bulan terakhir mencapai simpangan baku 0,8° Celsius. Pengamatan pada tiap tengah bulan selama satu tahun mencapai rata-rata suhu (dalam ° Celsius): 28,4 – 30,7 – 30,2 – 29,4 – 29,9 – 31,2 – 27,9 – 29,8 – 30,9 – 29,2 – 28 – 30,2. Tentukanlah apakah variabilitas suhu udara berubah atau tidak jika dibandingkan dengan selama 60 bulan terakhir tersebut. Ambil taraf nyata 0,05. 18. Sepuluh orang pasien melakukan diet. Berat badan sebelum diet dan sesudahnya ditimbang untuk mengetahui apakah diet itu berhasil atau tidak. Hasilnya (dalam kg) sebagai berikut: Pasien

Berat Sebelum Diet

Berat Sesudah Diet

1 2 3 4 5

78,3 84,7 77,4 95,6 82,0

77,4 83,2 75,7 92,4 80,2

111 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 6 7 8 9 10

69,4 79,7 85,6 92,8 99,2

68,1 76,9 83,9 90,4 95,2

Asumsi apa yang harus diambil mengenai distribusi berat badan? Ujilah terlebih dahulu apakah simpangan baku berat badan sebelum dan sesudah diet sama besar! Dapatkah disimpulkan bahwa diet yang telah dilakukan itu berhasil? 19. Sampel-sampel acak yang masing-masing berukuran 100 mengenai pendapatan bulanan pegawai (dalam ribuan rupiah dan disimbolkan dengan Yij), telah diambil dari tiga kota. Hasilnya sebagai berikut: Kota

Ukuran Sampel

Σ j Yij

Σ j Yij

I II III

100 100 100

475,0 526,5 507,5

5.001,25 5.948,50 5.678,25

Misalkan bahwa pendapatan bulanan itu berdistribusi normal. Dengan taraf nyata 0,05 ujilah apakah varians pendapatan pegawai itu sama besar ataukah tidak!

112 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI BAB V

UJI CHI-SQUARE

PENDAHULUAN

Yang akan dibaha sdalam bab ini antara lain pengujian: a) Goodest of fit test

b) Indepedent (uji kebebasan)


Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menganalisis dan menguji baik kecocokan ataupun kebebasan dengan menggunakan uji Chi- Square.

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

1. Mahasiswa dapat memahami konsep dasar uji chi-square 2. Mahasiswa akan dapat mengetahui berbagai macam ilustrasi dalam penyelesaian masalah 3. Mahasiswa diharapkan dapat mengimplementasikan terhadap masalah yang dihadapi perusahaan SKENARIO PEMBELAJARAN

1…………. 2…………. 3…………. 4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut: 1. Perkuliahan 2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK) 3. Tes pendahuluan

113 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan tanya jawab 5. Tes akhir 6. Evaluasi pencapaian 7. Penutup

114 IT TELKOM


RINGKASAN MATERI

Uji Chi Square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi atau frekuensi aktual dengan frekuensi harapan atau frekuensi ekspektasi. Frekuensi obserfasi diperoleh dari nilai pada hasil percobaan, sedangkan frekuensi harapan diperoleh dari perhitungan secara teoritis. Bentuk distribusi Chi Square dinotasikan dengan



V.1

oleh karena itu nilainya selalu positif. GOODNESS OF FIT TEST

Goodness of fit test atau uji kebaikan suai merupakan pengujian terhadap kecocokan atau baiknya kesesuaian antara frekuensi terjadinya pengamatan pada sampel teramati dengan frekuensi harapan yang diperoleh dari distribusi yang yang dihipotesiskan. Uji goodness goodness of fit antara frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan didasarkan pada besaran:

            



: nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat

k

: jumlah sel atau kelas

oi

: frekuensi amatan

ei

: frekuensi harapan

dengan derajat kebebasan v=k-1

Bila frekuensi amatan dekat dengan frekuensi harapan, maka nilai



akan kecil. Hal

ini menunjukkan adanya kesesuaian yang baik antara frekuensi amatan dengan frekuensi harapan. Tetapi jika frekuensi amatan cukup berbeda dengan frekuensi harapan maka nilai



akan besar dan hal ini menunjukkan kesesuaiannya jelek. Kesesuaian yang baik akan

mendukung penerimaan terhadap H0, sedangkan keseuaian yang jelek akan mendukung

penolakan terhadap H0. Daerah kritis berada pada ujung kanan distribusi Chi-Kuadrat. Untuk taraf keberartian

α, ditemukan nilai kri tis



dari tabel, maka daerah kritisnya adalah

  >

. Uji goodness

of fit sebaiknya digunakan jika setiap frekuensi harapan paling sedikit 5. Jika kurang dari 5, maka dilakukan penggabungan sel yang berdampingan, yang berakibat pada pengurangan besarnya derajat kebebasan. kebeb asan. 115 IT TELKOM


Pada percobaan pelemparan dadu sebanyak 120 kali, dihipotesiskan bahwa dadu tersebut setangkup. Ini berarti sama saja menguji hipotesis bahwa distribusi hasil pelemparan dadu tersebut adalah distribusi seragam (uniform) diskret. Maka : H0 = Hasil pelemparan dadu setangkup H1 = Hasil pelemparan dadu tidak setangkup f(x) =



x = 1,2,…,6

Secara teoritis apabila dadu tersebut seimbang maka diharapkan bahwa kemunculan setiap muka sebanyak 20 kali. Hasilnya diberikan pada tabel berikut :

Tabel V.1 Frekuensi Amatan dan Harapan dari Lantunan Dadu 120 Kali MUKA 1 20 20

Amatan Harapan

2 22 20

3 17 20

4 18 20

5 19 20

                            Dari tabel tersebut diperoleh nilai

6 24 20

adalah:

=

= 1,7

Apabila ditetapkan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi -Kuadrat diperoleh

:

 

dengan derajat kebebasan v = 5

Daerah Penolakan H0



Gambar V.1 Daerah Kritis Distribusi Chi-Square

Karena nilai

  



, maka H0 diterima.

Jadi dapat disimpulkan hasil pelemparan dadu tersebut setangkup.

116 IT TELKOM


Akan diuji hipotesis bahwa distribusi frekuensi umur baterai dapat dihampiri dengan distribusi normal dengan rataan µ = 3,5 dan simpangan baku umur baterai disajikan dalam tabel berikut :



= 0,7. Distribusi frekuensi

Tabel V.2 Frekuensi Umur Baterai Selang Kelas Titik Tengah Kelas Frekuensi

1,5 – 1,9 2,0 – 2,4 2,5 – 2,9 3 – 3,4 3,5 – 3,9 4,0 – 4,4 4,5 – 4,9

1,7 2,2 2,7 3,2 3,7 4,2 4,7

2 1 4 15 10 5 3

Frekuensi harapan untuk 7 kelas (sel) diperoleh dengan menghitung luas di bawah kurva normal yang dihipotesiskan yang berada antara berbagai batas kelas. Sebagai contoh, nilai z pada kedua batas kelas keempat adalah Z1 =

    

= -0,79

Z2 =

    

= -0,07

Dari tabel distribusi normal maka dapat diperoleh luas antara z1 = -0,79 dengan z2 = -0,07. Luas = P(-0,79 < Z < -0,07) = P(Z<-0,07) – P(Z<-0,79) = 0,4721 – 0,2148 = 0,2573 Frekuensi harapan untuk kelas keempat adalah e4 = luas x total frekuensi = 0,2573 x 40 = 10,3 Frekuensi biasanya dibulatkan ke persepuluhan. Frekuensi harapan untuk selang pertama diperoleh dengan menghitung luas di bawah kurva normal di sebelah kiri batas 1,95. Sedangkan untuk kelas terakhir, hitung luas di bawah kurva normal di sebelah kanan batas 4,45. Semua frekuensi harapan kelas lainnya dapat dihitung dengan cara yang sama pada kelas keempat. 117 IT TELKOM


Tabel V.3 Frekuensi Amatan dan Harapan Umur Baterai Bila Distribusinya Normal Batas Kelas

oi

ei

1,45 – 1,95 1,95 – 2,45 2,45 – 2,95 2,95 – 3,45 3,45 – 3,95 3,95 – 4,45 4,45 – 4,95

2 1 4 15 1 5 3

0,5 2,1 5,9 10,3 10,7 7,0 3,5

7

8

8,5

10,5

Pada kelas pertama, frekuensi harapan yang diperoleh kurang dari 5, maka dilakukan penggabungan dengan kelas yang berdekatan yaitu kelas kedua dan ketiga. Begitu juga dengan kelas keenam dan ketujuh. Karena penggabungan tersebut, jumlah kelas (sel) berkurang dari 7 kelas menjadi m enjadi 4 kelas.

             =

= 3,05

Dengan taraf keberartian, α = 5% maka dari tabel distribusi Chi-Kuadrat diperoleh : dengan derajat kebebasan v = 3. Artinya tidak ada alas an untuk menolak

hipotesis nol, dan dapat disimpulkan bahwa distribusi normal dengan µ = 3,5 dan simpangan

baku

= 0,7 mempunyai kesesuaian yang baik untuk distribusi umur baterai.

LATIHAN SOAL

1. Suatu mesin seharusnya mencampur kacang tanah, kemiri, mete, dan kenari dalam perbandingan 5 : 2 : 2 : 1. Suatu kaleng yang berisi 500 keempat jenis kacang ini ditemukan mengandung 269 kacang tanah, 112 kemiri, 74 mete, dan 45 kenari. Pada taraf keberartian 0,05, uji hipotesis bahwa mesin tersebut mencampur kacang dalam perbandingan 5 : 2 : 2 : 1.

2. Tiga kartu diambil dari sekotak kartu bridge, dengan pengembalian. Y adalah banyaknya kartu spade yang terambil. Setelah percobaan sebanyak 64 kali diperoleh hasilnya sebagai berikut : Y 0 1 2 3 F 21 31 12 0 Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,01 bahwa data yang diperoleh sesuai dengan distribusi binomial b(y; 3, ¼), y = 0, 1, 2, 3

118 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 3. Tiga kelereng diambil dari sebuah botol yang berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng hijau. X adalah banyaknya kelereng merah yang terambil, kelereng kemudian dikembalikan lagi dan percobaan diulangi sebanyak 112 kali. Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut : X 0 1 2 3 F 1 31 55 25 Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 5% bahwa data di atas sesuai dengan distribusi hipergeometrik h(x,N,n,k)dimana N = 8, n = 3, k = 5.

4. Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata kuliah statistika. 23 80 52 41 60 34

60 77 10 71 78 67

79 81 64 83 89 17

32 95 75 54 76 82

57 41 78 64 84 69

74 65 25 72 48 74

52 92 80 88 84 63

70 85 98 62 90 80

82 55 81 74 15 85

36 76 76 43 79 61

a. Berdasarkan data tersebut buatlah tabel distribusi frekuensi data berkelompok Ujilah kebaikan suai kelompok amatan dengan frekuensi harapan padanannya dari distribusi normal dengan µ = 65 dan = 21 dengan menggunakan taraf keberartian 0,05.



5. Barang rusak setiap hari yang dihasilkan oleh tiga buah mesin ternyata berdistribusi Poisson. Pengamatan telah dilakukan selama enam hari dan terdapatnya barang rusak setiap hari dalam ketiga mesin itu dapat dilihat di bawah ini. Mesin

Banyak barang rusak tiap hari

1 2 3

4, 3, 4, 6, 3, 5 3, 2, 3, 6, 5, 2 5, 5, 3, 4, 4, 6

Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata dihasilkannya barang rusak setiap hari oleh ketiga mesin itu sama besar? 6. Hasil kuisioner terhadap dua kelompok pegawai (laki-laki dan perempuan) mengenai pendapat tentang peraturan perat uran baru adalah sebagai seb agai berikut. Pegawai Laki- Laki Pendapat 119 IT TELKOM

Perempuan

Buku Ajar Statistika Industri FRI Setuju

102

88

Tak Setuju

78

136

Tak Peduli

20

76

Apakah jenis kelamin menentukan pendapat tentang peraturan baru tersebut? 7. Dikatakan bahwa obat A dapat menyembuhkan pilek dalam tempo lima hari. Percobaan terhadap 158 orang yang pilek telah dilakukan. Setengahnya diberi obat A dan sisanya diberi obat gula. Pada akhir hari kelima sejak pengobatan dimulai, hasilnya dicatat dan diberikan dalam daftar berikut.

Sembuh Obat A Obat gula

54 48

Bertambah payah 10 12

Tidak berubah 15 19

Ujilah hipotesis bahwa obat A dan obat gula menghasilkan reaksi yang sama.

120 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI V.2

INDEPENDENSI (UJI KEBEBASAN)

Uji kebebasan ini digunakan untuk memeriksa kebebasan atau independensi dari dua variabel (frekuensi observasi dan frekuensi harapan) sehingga kita dapat menyimpulkan apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh) ataukah keduanya saling bertalian (berpengaruh). (berpeng aruh). Data untuk menguji kebebasan dua variabel tersebut disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi atau Tabel Berkemungkinan yang umumnya berukuran r baris x k kolom. Sebelum melakukan pengujian, terlebih dahulu kita harus mendefinisikan Hipotesis Awal (H0) dan Hipotesis Alternatif (H1), yaitu: 

H0

: variabel-variabel saling bebas



H1

: variabel-variabel tidak saling bebas

Biasanya Tabel Kontingensi berisikan data berupa frekuensi observasi yang diperoleh dari suatu pengujian. Untuk itu, kita perlu mencari frekuensi ekspektasi terlebih dahulu sebelum melakukan pengujian. Frekuensi ekspektasi =

      

Uji kebebasan dirumuskan dalam:

   (  )      



: nilai peubah acak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi Chi-Kuadrat

k

: jumlah kolom

r

: jumlah baris

oij

: frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j

eij

: frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

dengan derajat kebebasan v=(r-1)(k-1)

121 IT TELKOM


Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik. Data yang diperoleh diperol eh disajikan dalam tabel berikut: b erikut:

Pria 2 7 5 14

< 25 jam/minggu 25-50 jam/minggu > 50 jam/minggu Total Kolom

Wanita 3 6 7 16

Total Baris 5 13 12 Total Observasi=30

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? Gunakan taraf uji 0,05. Jawab :

1. H0 : gender dan jam kerja saling bebas 2. H1 : gender dan jam kerja tidak saling bebas 3. α = 0,05 4. Daerah kritis

2



> 5,99147 dengan derajat kebebasan v =(3-1)(2-1)= 2

5. Perhitungan  2 Frekuensi harapan untuk:

     

-

Pria, < 25 jam =

-

Pria, 25-50 jam =

-

Pria, > 50 jam =

= 2,33 = 6,07

= 5,60

            - Wanita, < 25 jam =

- Wanita, 25-50 jam = - Wanita, >50 jam =

kategori

oij

eij

(oij - eij)

P, < 25

2

2,33

-0,33

0,1089

0,0467

P, 25-50

7

6,07

0,93

0,8649

0,1425

P, > 50

5

5,60

-0,60

0,36

0,0643

W, < 25

3

2,67

0,33

0,1089

0,0408

W, 25-50

6

6,93

-0,93

0,8649

0,1249

W, > 50

7

6,40

0,60

0,36

0,0563

= 6,93

= 6,40

/ eij

∑

6. Keputusan :  2 hitung <  2 tabel, H0 diterima 7. Kesimpulan : gender dan jam kerja saling bebas

122 IT TELKOM

= 2,67

2



hitung = 0,4755


Suatu percobaan dilakukan untuk mengetahui apakah pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru tidak ada hubungannya dengan tingkat penghasilannya. penghasilann ya. Suatu sampel acak 1000 pemilih yang tercatat di Illinois dikelompokan menurut apakah penghasilan mereka rendah, sedang, atau tinggi, dan apakah mereka setuju atau tidak terhadap perubahan pajak baru dalam tabel kontingensi berikut: (gunakan taraf uji 0,05)

Perubahan Pajak Setuju Tidak Setuju Total

Tingkat Pendapatan Pendapatan R (Rendah) M (Menengah) 182 213 154 138 336 351

Total B (Berada) 203 110 313

598 402 1000

Jawab :

1.

H0 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya pengh asilannya saling bebas beb as

2.

H1 : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya pengh asilannya tidak saling s aling bebas

3.

α = 0,05

4.

Daerah kritis

5.

Perhitungan  2

2



> 5,991 dengan derajat kebebasan v =(2-1)(3-1)= 2

Frekuensi harapan untuk: - Setuju, R = - Setuju, M = - Setuju, B =

     

     

= 200,9

- Tidak Setuju, R =

= 209,9

- Tidak Setuju, M =

= 141,1

= 187,2

- Tidak Setuju, B =

= 125,8

     

kategori

oij

eij

(oij - eij)

Setuju, R

182

200,9

-18,9

357,21

1,78

Setuju, M

213

209,9

3,1

9,61

0,05

Setuju, B

203

187,2

15,8

249,64

1,33

Tidak Setuju, R

154

135,1

18,9

357,21

2,64

Tidak Setuju, M

138

141,1

-3,1

9,61

0,07

Tidak Setuju, B

110

125,8

-15,8

249,64

1,98

123 IT TELKOM

= 135,1

/ eij


∑



hitung = 7,85

6. Keputusan :  2 hitung >  2 tabel, H0 ditolak 7. Kesimpulan : pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru bar u dan tingkat penghasilannya penghasi lannya tidak saling bebas. beb as.

Latihan Soal

1.

Dalam percobaan untuk meneliti kaitan hipertensi dengan kebiasaan merokok, diperoleh data berikut yang menyangkut 180 orang: Bukan Perokok 21 48

Hipertensi Tidak hipertensi

Perokok Sedang 36 26

Perokok Berat 30 19

Ujilah hipotesis bahwa ada tidaknya hipertensi tidak tergantung pada kebiasaan merokok. Gunakan taraf keberartian 0,05.

2.

Suatu sampel acak 200 pria yang telah berkeluarga, semuanya sudah pensiun, dibagi menurut pendidikan dan jumlah anak: Pendidikan Ayah Sekolah Dasar Sekolah Menengah Perguruan Tinggi

Jumlah Anak 0-1 14 19 12

2-3 37 42 17

Lebih dari 3 32 17 10

Ujilah hipotesis, pada taraf keberartian 0,05, bahwa banyaknya anak tidak tergantung pada tinggi pendidikan pendidi kan yang dicapai oleh ayah. a yah.

3.

Seorang kriminolog melakukan sigi untuk menentukan apakah terjadinya berbagai kejahatan tertentu berbeda dari satu bagian ke bagian lain suatu kota besar. Kejahatan yang ingin diselidiki ialah penodongan, pembongkaran, pencurian, dan pembunuhan. Tabel berikut menunjukan banyaknya kejahatan yang terjadi di 4 bagian kota tahun lalu. Daerah 1 2 3 4 124 IT TELKOM

Jenis Kejahatan Penodongan 162 310 258 280

Pembongkaran 118 196 193 175

Pencurian 451 996 458 390

Pembunuhan 18 25 10 19

Buku Ajar Statistika Industri FRI Dapatkah disimpulkan dari data ini pada taraf keberartian 0,01 bahwa terjadinya kejahatan tersebut bergantung pada daerah di kota itu?

125 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI BAB VI ANALISIS KORELASI DAN REGRESI LINIER SEDERHANA

6.0. Tujuan Pembelajaran: Pembelajaran: Mahasiswa Mampu:

1. Menghitung dan menginterpretasikan korelasi sederhana antara dua variabel 2. Mengetahui hubungan dua variabel yang tidak linier 3. Menentukan korelasi dan mengujinya 4. Menghitung dan menginterpretasikan menginterpretasi kan persamaan regresi linier sederhana 5. Mengetahui asumsi yang digunakan dalam analisa regresi 6. Menentukan Model Regresi yang Layak 7. Menghitung dan Menginterpretasikan Interval Keyakinan untuk Koefisien Regresi 8. Mengetahui bahwa analisis regresi dapat digunakan sebagai alat prediksi 9. Mengetahui bagaimana menerapkan kasus nyata yang berhubungan dengan analisis regresi secara benar

6.1. Scatter Plot

126 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Sebelum menentukan bentuk hubungan dengan analisis regreis linier atau sebelum mengukur keeratan hubungan antara dua variabel, harus dilihat apakah variabel-variabel tersebut mempunyai hubungan linier atau tidak dengan menggunakan scatter plot seperti yang dibawah ini:

Grafik 1.Scatter Plot (Diagram Pencar)

Scatter Plot

Hubungan Linier Positif

Tidak Ada Hub.linier

Tidak ada Hubungan

Hubungan Linier Negatif

© 2010 Hermita Dyah Puspita

BAB 11-

Dalam scatter plot diatas ada empat kriteria,yaitu: Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan positif, maka kedua variabel varia bel dinyatakan memiliki hubungan h ubungan linier positif Bila titik-titik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan negatif, maka kedua variabel dinyatakan memiliki hubungan linier negatif Bila titik-titik menggerombol tidak mengikuti garis lurus, maka kedua variabel dinyatakan tidak memiliki hubungan yang linier Bila titik-titik memencar atau membentuk membentuk suatu garis lurus mengikuti sebuah pola yang acak atau tidak tid ak ada pola, maka kedua variabel din yatakan tidak memilki hubungan. 6.2. Analisis Korelasi

127 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Analisis korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier antara dua variabel. Koefisien korelasi populasi ρ

(rho) adalah ukuran kekuatan

hubungan linier antara dua variabel dalam populasi sedangkan koefisien korelasi sampel r adalah estimasi dari ρ dan digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier dalam sampel observasi. Untuk selanjutnya r disebut Koefisien Korelasi Pearson Product Momernt.

6.2.1. Korelasi Pearson (Product Moment)

Korelasi pearson sering juga disebut sebagai korelasi produk-momen atau korelasi saja. Korelasi pearson termasuk ke dalam statistika parametrik. Besarnya koefisien menggambarkan seberapa erat hubungan linear antara dua variabel, bukan hubungan sebab akibat. Variabel yang terlibat dua-duanya bertipe numerik (interval atau rasio), dan menyebar normal jika ingin pengujian terhadapnya terhadapn ya sah. Berikut ini pedoman menentukan kuat tidaknya korelasi antara dua variabel menurut Walpole :

Tabel 1. Interval Koefisien

Tingkat Hubungan

0.00 – 0.199

Sangat rendah

0.20 – 0.399

Rendah

0.40 – 0.599

Cukup

0.60 – 0.799

Kuat

0.80 – 1.000

Sangat Kuat

Menurut Sarwono (2006) Batas-batas nilai koefisien korelasi diinterpretasikan sebagai berikut:

128 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Tabel 2.

Interval Hubungan

Tingkat Hubungan

0

Tidak

ada

korelasi

antara

dua

variabel >0 – 0,25

Korelasi sangat lemah

>0,25 – 0,5

Korelasi cukup

>0,5 – 0,75

Korelasi kuat

>0,75 – 0,99

Korelasi sangat kuat

1

Korelasi sempurna

Hasil dari analisis korelasi menunjukkan kekuatan atau kelemahan dari suatu hubungan.Nilai koefisien korelasi ini akan berada pada kisaran -1 sampai dengan +1.

Koefisien

korelasi

minu s minus

menunjukkan

hubungan hubun gan

yang

terbalik, dimana pengaruh yang terjadi adalah pengaruh negatif. Dalam pengaruh yang negatif ini kenaikan suatu variabel akan menyebabkan penurunan suatu variabel yang lain, lain , sedangkan sedan gkan penurunan p enurunan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan variabel yang lain. Koefisien korelasi positif menunjukkan hubungan yang searah dari dua variabel, dimana kenaikan suatu variabel akan menyebabkan kenaikan variabel

yang

lain

dan

sebaliknya

penurunan

suatu

variabel

akan

menyebabkan penurunan variabel yang lain. Koefisien korelasi sebesar nol menunjukkan tidak adanya hubungan antara dua variabel, dengan kata lain kenaikan atau penurunan suatu variabel tidak mempengaruhi variabel yang lain, jadi berapapun perubahan harga pada suatu variabel tidak akan mempengaruhi variabel yang lain karena nilainya yang tetap. Terdapat bermacam-macam analisis korelasi yang dapat digunakan untuk mengukur hubungan asosiatif dari suatu variabel. Korelasi yang akan digunakan tergantung pada jenis data yang akan dianalisis. Korelasi berdasarkan tingkatan data d ata dapat dilihat pada pad a tabel berikut ini: i ni:

129 IT TELKOM


Tabel.3 Korelasi Berdasarkan Tingkatan Data Teknik

Tipe / Tingkat Data

Korelasi

yang

Digunakan

Nominal

Koefisien Kontingensi Spearman Rank

Ordinal

Kendal Tau Pearson / Produk Momen

Interval dan rasio

Korelasi Ganda Korelasi Parsial.

Koefisien korelasi pearson diformulasikan sebagai berikut: r 

Atau:

 ( x  x )( y  y) [ ( x  x ) ][ ( y  y ) 2

]

n xy   x y

r  [n (

Atau:

2

 x

2

 x)

)(

2

 y

][n(

2

 y)

)(

2

]

      

dimana: r = Koefisien Korelasi Sampel n = Ukuran Sampel x = Nilai dari Variabel Independen y = Nilai Variabel dependen

Dari persaamaan korelasi yang terakhir tersebut dapat dilihat adanya hubungan antara b dan r. r digunakan untuk mengukur hubungan linier antara x dan y, sedangkan b mengukur perubahan dalam y akibat perubahan setiap unit x. Dalam kasus dimanai r 1 = 0,3 dan r 2 = 0,6 hanya berarti bahwa terdapat korelasi positif dimana r 2 lebih kuat daripada r 1. Adalah salah jika 130 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI menyimpulkan bahwa r 2 mengindikasikan hubungan linier dua kali lebih baik dibandingkan dengan r 1.

6.2.2.Koefisien 6.2.2.Koefisien Determinansi

Koefisien determinansi adalah salah satu alat analisis yang dapat digunakan untuk mengetahui lebih jauh hubungan antar variabel. Koefisien determinansi disimbolkan dalam R 2 yang menyatakan proporsi variansi keseluruhan dalam nilai variabel dependen yang dapat diterangkan oleh hubungan linier dengan variabel independen atau menunjukkan proporsi total variasi dalam nilai variabel dependen yang dapat dijelaskan oleh hubungan linier dengan nilai variabel independen. Nilai koefisien determinansi ini berkisar :

 

    

juga dapat digunakan untuk mempertimbangkan sebuah model regresi. Jika suatu model besar belum tentu model tersebut adalah model yang baik,

tetapi jika MSE model kecil maka model teresbut adalah model regresi yang

terbaik. Koefisien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen. Sedangkan penafsirannya jika 0.994 sehingga R 2 = 0.989 atau 98.9% adalah pengaruh variabel bebas terhadap perubahan variabel terikat adalah 98,9%, sedangkan sisanya sebesar 1,1% dipengaruhi oleh variabel lain selain variabel bebas X. Koefisien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk hasil perhitungan koefisien regresi.

6.2.3. Korelasi Ganda

Korelasi ganda adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan antara dua atau lebih variabel terikat secara bersama-sama dengan variabel yang lain (variabel bebas). Contohnya:

hubungan antara kesejahteraan

pegawai, hubungan dengan pemimpin, dan pengawasan dengan efektivitas kerja. Korelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa variabel bebas secara serentak

dengan

X 1 , X 2 , . . . , X k

variabel

terikat.

Misalkan

k

variabel

bebas,

dan satu variabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear

maka besarnya korelasi bergandanya adalah :

131 IT TELKOM

ada


∑        ∑    ∑∑  dengan

   ∑  ∑     ∑  ∑   ∑ ∑         

6.2.4. Korelasi Parsial

Korelasi parsial adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan atau pengaruh antara dua variabel atau lebih (variabel bebas dan terikat) setelah satu variabel yang diduga dapat mempengaruhi hubungan variabel tersebut dikendalikan untuk dibuat tetap keberadaannya. Persamaan korelasi antara x1 dengan y, bila variabel x1 dikendalikan atau korelasi antara x1 dengan y bila x2 tetap yaitu :

         ( (   )  



Dimana :

   

= korelasi antara x1 dengan x2 secara bersama-sama dengan variabel y = korelasi product moment antara x1 dengan y

= korelasi product moment antara x2 dengan y = korelasi product moment antara x1 dengan x2

6.3. Uji Hipotesis Korelasi

Pengujian hipotesis korelasi bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat hubungan antara dua variabel tertentu. 

Perumusan hipotesis untuk korelasi adalah sebagai berikut:

132 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI H0: Tidak ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel H1: Ada hubungan linier yang signifikan antara dua variabel Atau

:ρ=0

H0

:ρ≠0

H1 

Statistik uji: Statistik uji menggunakan uji-T, yakni dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

  √           

atau



t

 hitung

b S



S

SSR S

xx xx

Kriteria uji Tolak H0 jika thitung > ttabel atau thitung < -ttabel



Kesimpulan

Sementara untuk menguji hipotesis koefisien korelasi dengan menggunakan

   

koefisien korelasi taksiran ( 



, dapat digunakan hipotesis sebagai berikut:

    √                dimana

Statistik uji:

(uji satu sisi) atau



Kriteria uji:

Tolak H0 jika zhitung > ztabel atau zhitung < -ztabel 

Kesimpulan

133 IT TELKOM

(uji dua sisi)


6.4.Analisis Regresi

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai kasus yang berhubungan dengan dua variabel atau lebih. Hubungan tersebut dapat berupa hubungan kausal atau hubungan fungsional. Hubungan kausal misalnya : hubungan antara panas dengan tingkat muai panjang, sedangkan hubungan fungsional contohnya: hubungan antara kepemimpinan dengan tingkat kepuasan kerja pegawai. Secara umum terdapat dua macam hubungan antara dua variabel atau lebih, yaitu : Keeratan hubungan dapat diketahui dengan analisis korelasi (bukan hubungan sebab-akibat) Bentuk hubungan dapat diketahui dengan analisis regresi

6.4.1. Sejarah Regresi

Sejarah

Regresi

dimulai

ketika

Sir

Francis

Galton

(1822-1911)

yang

membandingkan tinggi badan anak laki-laki dengan tinggi badan ayahnya. Galton menunjukkan bahwa tinggi anak laki-laki dari ayah yang tinggi setelah beberapa generasi cenderung mundur (regressed) mendekati nilai populasi. Dengan kata lain, anak laki- laki dari ayah yang badannya sangat tinggi, cenderung lebih pendek dari ayahnya. Sedangkan anak laki-laki dari ayah yang badannya sangat pendek cenderung lebih tinggi dari ayahnya. Sekarang istilah regresi diterapkan pada semua peramalan.

6.4.2. Definisi Regresi

Regresi merupakan salah satu metoda dalam analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis dan memodelkan secara matematis hubungan diantara dua variabel atau lebih. Pada analisis regresi ini dikenal adanya variabel dependen (variabel tak bebas/variabel tergantung/Unknown tergantung/Unkno wn Variable/Response Variable) dan variabel independen (variabel bebas/ Explanatory Variable/Regressor Variable/Predictor Variabls/).

Regresi dipakai untuk mengukur besarnya pengaruh perubahan pada

variabel dependen yang diakibatkan perubahan pada variabel independen. Menurut Gujarati (2006) analisis regresi merupakan suatu kajian terhadap hubungan satu variabel yang disebut sebagai variabel yang diterangkan (the explained variabel ) dengan satu atau dua variabel yang menerangkan (the explanatory).

134 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Variabel pertama disebut juga sebagai variabel tergantung dan variabel kedua disebut juga sebagai variabel bebas. Jika variabel bebas lebih dari satu, maka analisis regresi disebut regresi linear berganda. Disebut berganda karena pengaruh beberapa variabel bebas akan dikenakan kepada variabel tergantung. Saat ini, analisis regresi banyak digunakan untuk menelaah hubungan dua variabel atau lebih dan menentukan pola hubungan yang modelnya belum diketahui, sehingga regresi secara aplikatif lebih bersifat eksploratif.

6.4.3. Asumsi

Penggunaan regresi linear sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sbb: 

Error (ε) independen secara statistik



Distribusi probabilitas dari Error berdistribusi Normal



Distribusi probabilitas dari Error(*) mempunyai variansi yang konstan



Ada hubungan linier antara kedua variabel

Catatan (*): 

Residual adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan sebenarnya sebenarn ya apabila data yang digunakan digun akan adalah data sampel.



Error adalah selisih antara nilai duga (predicted value) dengan nilai pengamatan yang sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data populasi.



Persamaan keduanya : merupakan selisih antara nilai duga (predicted value) dengan pengamatan sebenarnya.



Perbedaan keduanya: residual dari data sampel, error dari data populasi.

6.4.5. Analisis Regresi Linier Sederhana

Regresi linier sederhana ini bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua variabel

yaitu

satu

variabel

bebas/variabel

independen

(X)

dan

variabel

terikat/variabel dependen (Y). Bentuk umum dari pesamaan regresi linier sederhana dari populasi adalah:

y    βx  ε

Persamaan garis regresi sampel memberikan estimasi garis regresi populasi sebagai berikut:

yi  a  bx ˆ

135 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Keterangan :



= nilai estimasi dari variabel bebas. Ŷ juga merupakan variabel terikat ( dependen

variable)

a = konstanta yang merupan nilai estimasi



jika nilai x=0 (intercept )

b = koefisien regresi/gradient regresi/ gradient garis regresi ( slope slope) x = variabel bebas (independent variable)

6.4.5.1.

ast-Squar es M eth od Metode Kuadarat Terkecil ( L east-Squar )

Metode untuk menaksir α dan β sehingga jumlah kuadrat dari deviasi simpangan antara observassi-observasin dan garis regresi menjadi minimum:

                

Dimana ε adalah nilai sisaan/galat/error yang merupakan penyimpangan model regresi dari nilai yang sebenaranya.

Gambar 0.2 Grafik Regresi Linier dengan Nilai ε

Dengan cara mendeferensialkan persamaan di atas terhadap α dan kemudian terhadap β, kemudian menyamakan hasil pendeferensilan itu dengan nol, maka:

   ̅       

136 IT TELKOM


 = 2 ∑ (    (  ̅ ))(  ̅ ) = 0      =1

Penyederhanaan dua persamaan tersebut di atas menghasilkan persamaan normal kuadrat terkecil sebagai berikut:





=1

 =1

 +  ∑  = ∑  dan







∑   =  ∑  +  ∑   =1

 =1

2

 =1

Dari persamaan di atas, maka diperoleh persamaan:

  

 x )( y  y )  ( xatau b  ( x  x ) 2

b

 xy   x

2

 x  y



n ( x ) 2

atau

atau

b

n xy   x y

 

n x 2   x

2

n

Dari persamaan di atas disubstitusi, maka diperoleh persamaan untuk menentukan nilai a: a =

atau:

∑    ∑ 

 ̅

a = – b Dimana:

̅ 

137 IT TELKOM

= rata – rata yi = rata – rata xi

Buku Ajar Statistika Industri FRI 6.4.5.2.

Partisi dari Varians Total

Estimasi parameter



menghasilkan variansi yang disebabkan karena kesalahan

model dan variansi yang disebabkan karena kesalahan eksperimen. Dekomposisi varians dapat dijabarkan sebagai berikut: SST = SSR + SSE Keterangan:

    

SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total =

SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat Regresi = b SSE = Sum of Square Eror / Jumlah Kuadrat Eror =

Dimana :

  ∑   ̅    ∑     ∑  ̅ 

b

6.4.5.3. Estimasi dari

Sum

of

Square

Error

(SSE)

merupakan

variansi

yang

menggambarkan

penyimpangan dari nilai – nilai observasi di sekitar garis regresi sampel. Nilai SSE – nilai



( ) atau yang biasa disebut MSE (Mean Squared Error) adalah estimasi dari diestimasi dengan persamaan berikut:

   ∑            =S=

138 IT TELKOM

=

=



dan


Standar Error Koefisien Regresi Jika diambil sampel x dan y dari populasi, maka masing – masing masing sampel tersebut memiliki gradien/ slope slope (b) sendiri. Gradien sampel tersebut akan bervariasi disekitar nilai koefisien regresi tersebut. Maka perlu diketahui variasi koefisien regresi tersebut dengan persamaan berikut:

s b 

6.4.5.3.

s S xx



sε

 (x  x)

2

sε

 2

x 

( x)

2

n



Standar Error untuk bila nilai x diketahui

Jika nilai x dimasukkan berulang dimasukkan berulang – ulang ulang pada persamaan regresi, maka nilai rata – rata rata yang diperoleh tidak akan sama, yang artinya nilai

   .   ̅ / 



bervariasi. Sehingga nilai

standar error dapat ditentukan dengan persamaan berikut (bila x diketahui):

=

6.4.6.Uji Parsial Parameter Regresi

Digunakan untuk menguji apakah parameter β berarti pada model secara parsial . Tahapan uji yang dilakukan: 

Hipotesis: H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0



Statistik Uji:



Pengambilan Keputusan:

  ⁄    

Tolak H0 jika thitung > t a/2(df= n-2) pada selang kepercayaan α 

Kesimpulan

139 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 6.4.7. Uji Intersep Model Regresi

Tahapan uji yang dilakukan: 

Hipotesis: H0 : α = 0 H1 : α ≠ 0



Statistik Uji:



Pengambilan Keputusan

   ∑

Tolak H0 jika thitung > t a/2(db= n-2) pada selang kepercayaan α 

Kesimpulan

6.4.8. Selang Kepercayaan Kepercayaan

Selang Kepercayaan untuk α:

a  t  /2

S

 x i

2

nS xx

Selang Kepercayaan untuk β:

b  t  /2s b 6.4.9.Prediksi

Estimasi selang keyakinan untuk Rata-rata y, diberikan pada saat x p

y  t  /2sε

1

ˆ

n



(x p  x)

2

 (x  x)

2

Estimasi selang keyakinan untuk Nilai individual y diberikan pada saat x p

y  t  /2sε 1 

1

ˆ

140 IT TELKOM

n



(x p  x)

2

 (x  x)

2

Buku Ajar Statistika Industri FRI 6.5. Pemilihan Model Regresi

Penentuan model regresi linier sederhana ditekankan pada konsep linieritasnya dengan asumsi awal bahwa hubungan tersebut linier diparamater regresinya. Pemilihan variabel independen yang kurang tepat dapat menimbulkan bias dalam estimasinya. Tahapan uji yang dilakukan: 

Hipotesis

H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0 

Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan adalah 0,01 atau 0,05

Tabel 0.1 Analysis of Variance Sumber Variansi

SS

df

MS

Regresi

SSR

1

Error

SSE

n – S = SSE SSE/n /n-2 -2

MSR = SSR/1

Fhitung MSR/s

2 Total

SST

n – 1




Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(1

, n-2)

pada selang kepercayaan (level of

significance) α 

Kesimpulan

6.5.1 Pendekatan Analisis Varians (Anova)

Untuk menguji kelayakan dari suatu model regresi digunakan pendekatan analisis varians.Analisis varians adaah suatu prosedur membagi variansi total variabel dependen menjadi dua komponen, yaitu: variansi model sistematik dan variansi error. 141 IT TELKOM


6.6.

Analisis Residual

Analisis residual dapat dilakukan dengan: a. Pengujian Unequal variances: Varians pada setiap nilai x harus identik, yaitudengan melakukan plot



dengan



, apabila terdapat pola-pola tertentu

berarti varians tidak identik id entik sehingga perlu perl u distabilkan dengan transformasi. tran sformasi.

b. Pengujian Non normal error,yaitu dengan: 

Stem and leaf



Histogram



Dot diagram



Plot normal (Normal Probability Plot)

c. Jika terdapat extreme skewness (kemiringan yang ekstrim) pada data, maka tidak berdistribusi normal. d. Pengujian Correlated Error (independent), yaitu dengan melihat plot



dengan

time order (i). Jika ada pola tertentu, maka terjadilah dependent residual dimana penyebabnya dapat karena kesalahan eksperimen atau kesalahan dalam pembentukan model atau karena k arena variabel predikto r yang diabaikan. e. Pengecekan Ouliers residual yaitu dengan cara plot residual dalam batas

pengujian ±3σ (

 



dengan ).Apabila residual terletak di luar batas 3σ atau

nilainya lebih besar dari 3σ, maka ada indikasi outlier.

142 IT TELKOM


6.7.

Pengujian Linieritas Regresi:untuk data dengan observasi berulang

Pada beberapa percobaan untuk mendapatkan hasil yang akurat seringkali dilakukan pengulangan observasi untuk setiap nilai x, sehingga perlu dilakukan pengujian apakah model yang dihasilkan sudah memenuhi atau tidak. Untuk menggambarkan kondisi tersebut diatas dilakukan pengujian kecocokan model dengan pendekatan Lack Of Fit.

ack Of Fit 6.7.1. Pengujian L ack

Sum of squared error terdiri atas dua komponen, yaitu variasi random yang

muncul antar nilai y untuk setiap nilai x ( pure pure experimental error) dan komponen yang dikenal dengan istilah Lack Of Fit (LoF), untuk mengukur ketepatan model. Prosedur Pengujian: 

Hipotesis H0 : Tidak ada LoF H1 : Ada LoF Model Linier tidak sesuai






   ∑ ∑   

Hitung Pure Error sum of square (

) dengan df = n – k

Tabel 0.2 Analysis of Variance Sumber Variansi

SS

df

MS

Fhitung

Regresi

SSR

1

MSR = SSR/1

MSR/s

Error:

SSE

n –

S = SSE SSE(/ (/n-2 n-2))

Lof Pure error Total 143 IT TELKOM

 

SSE -

SST

2 k-2

n - k S2= n

    

(SSE –

/(n-k)





Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel(k-2 , n-k) pada selang kepercayaan keperca yaan (level of significance) α Kesimpulan



Contoh 1 nilai 9 mahasiswa dari suatu kelas pada ujian tengah semester (x) dan pada ujian akhir semester (y) sebagai berikut : n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

xi

77

50

71

72

81

94

96

99

67

yi

82

66

78

34

47

85

99

99

68

a. Tentukan persamaan garis regresi linear. b. Tentukan nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 85 pada ujian tengah semester. Jawab : persamaan regresi linear n xi yi xiyi xi

1 77 82 6314 5929

Sehingga b =

2 50 66 3300 2500

3 71 78 5538 5041

4 72 34 2448 5184

      

5 81 47 3807 6561

6 94 85 7990 8836

= 0,777142

dan a=

        

= 12,06232

jadi, persamaan regresi linear lin ear adalah



= 12,06232 + 0,777142x

x = 85



= 12,06232 + (0,777142)(85) = 78,11936

144 IT TELKOM

7 96 99 9504 9216

8 99 99 9801 9801

9 67 68 4556 4489

Σ 707 658 53258 57557

Buku Ajar Statistika Industri FRI Contoh 2 Lakukan uji regresi dengan pendekatan ANOVA pada : x 3,4 y 25

2,8 20

2,5 18

3,7 25

3,2 21

3,1 22

2,9 30

3 22

2,2 10

2,4

2,7 20

Jawab :

Σx = 31,9

Σy = 230

Σ xi2 = 94,49

̅

Σ yi2 = 4866



= 2,9

b = 0,777142 a = 12,06232

Σ xiyi = 675,5 = 20,9091

̅ ̅  

Sxx = Σ xi2 – n( )2 = 1,98 Sxy = Σ xiyi – n(

)= 8,4997

Syy = Σ yi2 – n( )2 = 56,9049 SSR = b 2 Sxx = 36,4894 SSE = Syy – SSR = 20,4155 

Hipotesis

H0 : β = 0 H1 : β ≠ 0

α = 0.05 



Tabel Anaysis of Variance KomponenRegresi

SS

df

MS

Fhitung

Regresi

36,49

1

36,49

16,08276

Error

20,42

9

2,27

Total

56,9049

10


F tabel = F(0.05;1,9) = 5,12 Karena Fhitung > Ftabel maka Ho ditolak 

Kesimpulan:Model Regresi linier sesuai

145 IT TELKOM

17

Buku Ajar Statistika Industri FRI Contoh 3 Berikut adalah data jumlah biaya promosi (x) dan jumlah penjualan (y) pada perusahaan ABC. Tahun

Jumlah Biaya Promosi x)

Jumlah Penjualan (y)

2005

22

30

2006

36

38

2007

31

35

2008

32

37

2009

31

34

2010

32

38

Tentukanlah apakah terdapat hubungan antara biaya promosi dengan penjualan menggunakan uji korelasi Spearman Rank dan tingkat kesalahan 1%! Jawab: Jumlah Tahun

Biaya Promos i (x)

Jumlah Penjuala n (y)

Range

Range

x

y

    

2005

22

30

1

1

0

0

2006

36

38

6

5.5

0.5

0.25

2007

31

35

2.5

3

-0.5

0.25

2008

32

37

4.5

4

0.5

0.25

2009

31

34

2.5

2

0.5

0.25

2010

32

38

4.5

-1

1

5.5

∑

2

Uji Hipotesis:

                

H0 : Tidak ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel penjualan

146 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI H1 : Ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel penjualan.

Statistika uji:

    √   √       ./ 

Kriteria uji: Karena thitung > ttabel maka tolak H0

Kesimpulan: Karena tolak H0 maka terima H1 yakni ada hubungan yang signifikan antara variabel biaya promosi dengan variabel penjualan

LATIHAN SOAL:

1. Data berikut menyatakan IQ=X untuk kelompok anak berumur tertentu dan hasil ujian prestasi pengetahuan umum (Y). Xi

Yi

Xi

Yi

Yi

Yi

114

29

130

71

96

45

110

41

142

68

89

32

113

48

137

69

105

50

137

73

140

66

125

57

116

55

125

39

107

59

132

80

134

78

97

48

90

40

106

49

134

55

121

75

121

59

106

45

107

43

111

66

99

47

120

64

126

67

98

59

125

53

95

46

117

47

92

31

105

47

100

49

a.

Gambar diagram pencarnya.

b.

Tentukn regresi linear Y atas X lalu gambarkan.

147 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI c.

Jelaskan arti koefisien arah yang didapat.

d.

Berapa rata-rata prestasi anak dapat diharapkan jika IQ nya 120?

e.

Tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata prestasi anak dengan IQ=120. Jelaskan artinya!

f.

Tentukan interval kepercayaan 95% untuk seorang anak dengan IQ=120. Jelaskan artinya!

g.

Tentukan interval kepercayaan 95% untuk perubahan rata-rata prestasi jika IQ berubah dengan satu unit. un it.

h.

Perlukah diambil model berbentuk lain?

i.

Asumsi apakah yang harus diambil untuk menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan pertanyaan -pertanyaan diatas?

2. Dari tabel berikut ini: X (oC)

Y (gram)

0

8

6

8

15

12

10

14

30

25

21

24

45

31

33

28

60

44

39

42

75

48

51

44

Carilah persamaan garis regresi Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.

3. Lakukan uji model regresi pada soal no.1. dengan pendekatan anava anava

4.

Berikut adalah data banyaknya modal (dalam juta rupiah) dan keuntungan yang yang diperoleh (dalam juta rupiah) yang dihasilkan dalam waktu 10 bulan.

148 IT TELKOM


Modal (x)

189

204

192

214

218

178

189

167

180

194

Keuntungan

10

15

13

17

19

14

13

11

13

15

(y)

a. Hitunglah koefisien korelasi Pearson dan determinasi berdasarkan data di atas dan ujiah! b. Tentukan apakah pernyataan bahwa koefisien korelasi antara jumlah karyawan dan keuntungan tidak lebih dari 0,7 adalah benar! Gunakan tingkat kesalahan 5%!

5. Hitunglah koefisien korelasi kondisi temperatur (x) dan kepuasan pekerja (y) serta apakah ada hubungan yang signifikan antara keduanya dengan menggunakan teknik korelasi pearson!

n

149 IT TELKOM

Kondisi

temperatur

KepuasanKerja

(x)

(y)

1

8

20

2

12

20

3

10

17

4

7

18

5

8

19

6

7

20

7

12

18

8

10

19

9

12

16

10

9

17

11

10

16

12

12

17

13

12

18

14

12

12

15

12

17


6. Dibawah ini diberikan data yang secara acak diambil dari populasi normal bervariabel dua (X dan Y).

150 IT TELKOM

X

Y

X

Y

X

Y

15

108

8

56

17

153

13

106

11

75

6

73

10

99

17

137

8

95

11

110

20

163

5

26

16

135

12

84

3

24

12

97

18

149

6

50

9

74

16

140

14

96

12

98

13

137

5

35

4

20.

18

170

15

132

8

69

11

109

16

141


V.2.1 Regresi Linier Berganda Analisis regresi linier berganda digunakan untuk menganalisis hubungan antara

variabel bebas (x) dan variabel terikat (y). Namun pada regresi linier berganda ini, variabel bebas (x) yang digunakan digun akan lebih dari dari satu. Bentuk Bent uk persamaan per samaan umum untuk model regresi regres i linier berganda:

          *   +                      ∑   ∑   ∑  ∑   ∑   ∑   ∑   ∑   ∑   ∑   ∑   =a+

Keterangan:

= nilai dari variabel terikat

a

= konstata nilai estimasi

jika nilai x=0 (intercept )

= koefisien regresi gradient garis regresi ( slope slope)

= variabel bebas

ast-Squar es M eth od V.2.1.1 Metode Kuadarat Terkecil ( L east-Squar ) Untuk setiap pengamatan akan memenuhi persamaan:

=a+

Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, maka diperoleh persamaan: =

-a-

Dengan syarat meminimasikan nilai a, = an +

, dan

penurunannya, maka diperoleh persamaan:

+

=a

+

+

=a

+

+

Asumsi yang digunakan dalam analisis regresi linier berganda antara lain: a. Setiap nilai error berdistribusi normal dengan rata –rata 0 dan dan varians σ2 b. Bersifat homoskedastisitas c. Kovarian error = 0, tidak terjadi autokorelasi d. Tidak terdapat multikolinieritas, artinya tidak terdapat hubungan linier yang sempurna diantara variabel – – variabel variabel bebas.

Latihan soal

151 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 1. Dari tabel berikut ini: X (oC)

Y (gram)

0 8 15 12 30 25 45 31 60 44 75 48 a. Carilah persamaan garis regresi

6 10 21 33 39 51

8 14 24 28 42 44

b. Gambarkan garis tersebut pada diagram pencar c. Taksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam 100 g air pada 50oC.

2. Lakukan uji model regresi pada soal no.1.

152 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI BAB VI

ANOVA (ANALISA VARIANS) PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai rancangan percobaan baik satu factor ( one way ANOVA) dan dua factor (two way ANOVA).


Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat membuat rancangan percobaan dan menyelesaikannya baik satu factor ataupun dua faktor. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Mahasiswa mampu: 1. Mengetahui konsep desain eksperimen 2. Mengetahui asumsi yang harus dipenuhi dalam analisa varians (Anova) 3. Mengetahui penggunaan One Way Anova untuk menguji perbedaan rata-rata dari beberapa populasi 4. Mengetahui penggunaan Random Block Design/Two Way Anova 5. Mahasiswa diharapkan dapat mengiplementasikan terhadap masalah yang dihadapi didunia nyata. 6. SKENARIO PEMBELAJARAN

1…………. 2…………. 3…………. 4………….

Kegiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut: 1. Perkuliahan 2. Penjelasan tentang concept map (tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas), pokok bahasan, dan kompetensi yang akan dicapai (TIU dan TIK) 3. Tes pendahuluan 4. Ringkasan materi disampaikan dengan metode ceramah, critical incident , diskusi dan tanya jawab 5. Tes akhir 6. Evaluasi pencapaian 153 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 7. Penutup

RINGKASAN MATERI

Anova ( Analysis Analysis of Variance) merupakan salah satu Uji Hipotesis pada Statistika Parametrik, untuk melakukan pengujian terhadap interaksi antara dua faktor dalam suatu percobaan dengan membandingkan memb andingkan rata-rata rata-rat a dari lebih dua sampel. Dalam banyak kasus penelitian seringkali ditemukan jumlah variabel yang diuji lebih dari dua atau cukup besar, penggunaan uji t dan uji z tidak akan efektif karena memakan waktu cukup lama dalam perhitungan dimana perhitungan dilakukan secara berpasangan untuk masing-masing variabel.Andaikan saja akan dilakukan pengujian terhadap lima variabel, maka harus dilakukan pengujian dengan uji t sebanyak sepuluh kali pasangan variabel.Selain banyak menghabiskan waktu untuk pengerjaannya, maka kemungkinan terjadi kesalahan baik itu kesalahan dalam perhitungan, pembandingan pembandin gan ataupun pengulangan pengul angan menjadi semakin besar. bes ar. Anova ( Analysis Analysis of Variance) merupakan salah satu metode dalam statistika parametrik.. `Tujuan dari analisis varians adalah untuk dapat menemukan variabel independen dalam penelitian dan mengetahui bagaimana interaksi antar variabel dan bagaimana pengaruhnya pengaruhn ya terhadap suatu perlakuan. pe rlakuan. Keunggulan dari analisis varians selain mampu melakukan perbandingan untuk banyak variabel juga antar replikasi (pengulangan) observasi serta dapat mengurangi sejumlah kesalahan yang mungkin terjadi dalam perhitungan. Sebagai dasar dalam pengambilan keputusan dari analisis varians digunakan distribusi F. Distribusi F ini diturunkan oleh R. A. Fisher dan George W. Snedecor (tahun 1950), oleh karena itu dinamakan distribusi F (Fisher-Snedecor Distribution).

7.1.2. Asumsi

Penggunaan analisis Anova didasarkan pada asumsi diantaranya sbb: 1. Data berdistribusi normal 2. Skala pengukuran minimal interval 3. Varians homogen 154 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 4. Pengambilan sampel secara acak dan masing-masing sampel independen

Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data setiap kelompok. Asumsi adanya homogenitas varians menjelaskan bahwa variansi dalam

masing-masing

kelompok

dianggap

sama.

Sedangkan

asumsi

bebas (independen) (indep enden) menjelaskan menj elaskan bahwa variansi masing-masing terhadap rata-ratanya pada setiap kelompok bersifat ber sifat saling bebas.

7.1.3. One Way ANOVA (Complete Random Design/CRD)

Analisis variansi satu arah atau yang sering disebut sebagai rancangan acak lengkap

adalah suatu prosedur untuk menguji perbedaan rata-rata/ pengaruh

perlakuan dari beberapa populasi (lebih dari dua) dari suatu percobaan yang menggunakan satu faktor,dimana satu faktor tersebut memiliki 2 atau lebih level. Disebut juga Desain Seimbang jika seluruh level faktor mempunyai ukuran sampel yang sama. Dalam analisis variansi satu arah ini sampel acak yang berukuran n diambil masing-masing dari k populasi. Ke k populasi yang berbeda ini diklasifikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda. Model perbandingan k teratment (perlakuan):

   Dimana: µ = Mean

 

= efek perlakuan ke-j

  IIDN(0,σ)

Prosedur pengujian dalam analisis varians ini adalah: 

Pengujian hipotesis:

     :

=

=…= ,

: paling sedikit dua diantara rataan tersebut tidak sama.

155 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 




Hitung dengan menggunakan tabel Anova



Pengambilan Keputusan: Tolak H0 jika Fhitung > Ftabel((k-1)

, k(n-1)) pada

selang kepercayaan (level of

significance) α 

Kesimpulan

Ada dua cara dalam melakukan perhtiungan untuk mendapatkan tabel Anova, yaitu: 1. Dengan cara Matriks 2. Dengan Cara rumus

Tabel VII.1 k sampel acak Perlakuan 1

    

…

Jumlah Rataan Keterangan:

   

2

   

… … …

…

… … …

j

    

… … …

K

     …

… … …

: menyatakan pengamatan ke i dalam perlakuan ke j. : menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i. : menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke j.

T.. : jumlah semua nk pengamatan. .. : rataan semua nk pengamatan

Dengan cara matriks:

Observasi = Grand Mean 156 IT TELKOM

+ Deviasi Treatment

+ Deviasi Residual

T..



..


                                                =

(

-

=

(

-

=

+

+(

+(

-

-

+(

-

+

(

-

=0

   ∑       ∑ ∑       ∑ ∑   +

SST

SSA

SSE Keterangan: SST = Sum Square Total SSA = Sum Square of Treatment SSE = Sum Square of Error Atau dengan cara rumus perhitungan jumlah kuadrat dengan ukuran sampel sama adalah: SST =

SSA =

∑ ∑    ∑    –

SSE = SST

SSA

Tabel VI.2 Analisis Variansi untuk Klasifikasi satu arah Sumber variansi

SS

Df

Perlakuan

SSA

k-1

Error

SSE

k(n-1)

Total

SST

nk-1

Contoh 1:

157 IT TELKOM

MS

F hitung

       

Buku Ajar Statistika Industri FRI Berikut adalah data kecepatan merakit produk (dlm menit) yang dihasilkan oleh 4 macam operator: Mesin 1

2

3

4

Total

12

22

19

11

10

13

14

13

14

16

20

16

13

15

19

12

11

14

18

18

Total

60

80

90

70

300

Rataan

12

16

18

14

15

Ujilah dengan taraf keberartian 0,05 apakah rata-rata kecepatan merakit produk yang dihasilkan beberapa mesin tersebut berbeda! Jawab:

     :

=

=…=

,

: paling sedikit dua rataan tersebut tidak sama.

Daerah kritis: f hitung > f tabel= 3,24 dengan derajat kebebasan

      dan

Dengan cara matriks: Observasi = Grand Mean

+ Deviasi Treatment +

Residual

                                                               [ [ ][ ] [   ]     ] =

+

(dikuadratkan)=100

SSA

SST = SSA +SSE = 216

158 IT TELKOM

+

(

-

(dikuadratkan)=116

SSE

Buku Ajar Statistika Industri FRI Dengan cara rumus: SST= SSA=

                  100

SSE= 216-100=116

Tabel Anova Sumber variansi

SS

df

Perlakuan

100

3

Error

116

16

Total

216

19

MS

Fhitung

33,3333

4,5977

7,25

Dari perhitungan dengan cara matrik dan cara rumus untuk tabel Anova didapatkan hasil yang sama, sehingga untuk melakukan perhitungan boleh dilakukan dengan salah satu cara tersebut. Karena f hitung=4,5977 > f tabel= 3,24 Keputusan: tolak



dan disimpulkan bahwa keempat mesin tidak mempunyai rataan

yang sama (Mesin memang berpengaruh)

Latihan soal:

1. Uji hipotetis pada taraf 0,01 bahwa rata-rata aktivitas khusus sama saja untuk keempat konsentrasi. Konsentrasi NaCl A

B

C

D

11,01

11,38

11,02

6,04

12,09

10,67

10,67

8,65

10,55

12,33

11,50

7,76

11,26

10,08

10,31

10,13

2. Enam mesin sedang dipertimbangkan untuk dipakai dalam pembuatan karet penutup. Mesin tersebut dibandingkan berdasarka daya rentang barang 159 IT TELKOM

yang dihasilkan.

Buku Ajar Statistika Industri FRI Sampel acak empat karet penutup dari tiap mesin dipakai untuk menentukan apakah rataan daya rentang tiap mesin berbeda. Berikut ini ialah pengukuran daya rentang

 

dalam kg per Mesin

x

.

1

2

3

4

5

6

17,5

16,4

20,3

14,6

17,5

18,3

16,9

19,2

15,7

16,7

19,2

16,2

15,8

17,7

17,8

20,8

16,5

17,5

18,6

15,4

18,9

18,9

205

20,1

Kerjakan analisi variansi pada taraf keberartian 0,05 dan tentukanlah apakah rataan daya rentang ke 6 mesin berbeda secara berarti. ANALISIS VARIANS!

3. Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas V, satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran dengan cara tersebut diberikan dalam daftar berikut. Cara I

Cara II

Cara III

89

67

64

93

90

69

75

79

78

69

75

92

83

86

81

99

94

70

Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar masing-masing. Ujilah dengan ANOVA apakah ada perbedaan efek dari ketiga cara mengajar? Gunakan alpha 0.05.

4. Tiga cara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas V, satu cara hanya diberikan pada satu kelompok.Hasil ujian pada akhir pengajaran dengan cara tersebut diberikan dalam daftar berikut. 160 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Cara I

Cara II

Cara III

89

67

64

93

90

69

75

79

78

69

75

92

83

86

81

99

94

70

69

84

57 85

Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan cara mengajar masing-masing.Sebutkan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar percobaan ini sah untuk dibandingkan hasilnya. Berikan analisis lengkap mengenai hasil belajar matematika menggunakan ketiga cara tersebut. Ujilah persyaratan yang perlu menggunakan data yang diberikan.

7.1.4

TWO WAY ANOVA

Two Way Anova dikenal juga dengan factorial design atau Randomized Block Design. Sama dengan One Way Anova dasar perhitungan yang digunakan adalah

Distribusi F. Pada Two way Anova pengujian dilakukan dengan tidak hanya melihat satu faktor atau perlakuan saja, tetapi juga dengan mempertimbangkan faktor blok. Uji blok dilakukan untuk mengetahui pengaruh blok terhadap perbedaan rata-rata. Uji blok ini akan mengurangi kombinasi kesalahan. Model random Block experiment untuk perbandingan k tratment (perlakuan):

     Dimana: µ = Mean = efek perlakuan ke-i = efek blok ke-j

 

  IIDN(0,σ)

161 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Prosedur pengujian dalam analisis varians dua arah ini adalah: 

Pengujian hipotesis untuk treatment: 

      :

: Ada pengaruh treatment









Pengambilan Keputusan: Tolak H0 jika Fhitung =

 

> Ftabel (k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level

of significance) α 



Kesimpulan

Pengujian hipotesis untuk blok: 

      :

: Ada pengaruh blok



Tentukan daerah kritis dengan Level of Significance (α) yang biasa digunakan

adalah 0,01 atau 0,05 







Tolak H0 jika Fhitung = of significance) α



 

> F tabel(k-1 ,(b-1)(k-1)) pada selang kepercayaan (level

Kesimpulan

Proses perhitungan Two Way Anova hampir sama dengan One Way Anova dimana ada dua cara dalam perhtiungan tabel Anova, yaitu: 1. Dengan cara Matriks 162 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 2. Dengan Cara rumus

Tabel VI.3 Tabel Random Block Design( Two Way ANOVA) Treatment (A)

Block

Jml

1

2

…

a

1

y11

y12

…

y1a

T1.

2

y21

y22

…

Y2a

T2.

:

:

(B)

: b Jml

Y b1

Y b2

…

y ba

T b..

T.1

T.2

…

T.a

T..

 

Mean



Mean

:

   

Dengan cara matriks: Observasi = Mean

+ Deviasi Treatment

+ Deviasi Devia si Block

+ Residual

                                    ∑ ∑      ∑      ∑ ∑       ∑          ∑ ∑     ∑      ∑      ∑ ∑         =

(

-

=

+

+

)+

+(

-

+

SSA = SSB = SSE =

Dengan cara rumus:

                  ∑                ∑   

   163 IT TELKOM

+(

-

Buku Ajar Statistika Industri FRI Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut : Tabel VII.4 Two Way Anova

SS

df

SSA

a-1

B (Block)

SSB

b-1

Error

SSE

(a-1) (b-1)

Total

SST

(ab-1)

Sumber Variasi A (Treatment)

MS

f hitung

                   

Contoh 2: Suatu percobaan dilakukan untuk menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 penembakan statis.Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba.Berikut adalah datanya :

Sistem Rudal

Jenis bahan bakar 1

2

4

13

11

1

12

2

2

14

7

5

3

8

17

13

10

4

1

12

8

3

164 IT TELKOM

20

3


7

17

14

6

Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut : a. Apakah ada pengaruh jenis bahan bakar? b. Apakah ada pengaruh faktor Sistem Rudal? Jawab : Jenis bahan bakar

Sistem Rudal

1

1

2

12

20

Jml

Mean

11

56

14

28

7

48

12

24

6

44

11

3

4

13

2

2

14

7

5

3

8

17

13

10

4

1

12

8

3

5

7

17

14

6

Jumlah

30

80

55

35

Mean

6

16

11

7

200 10

Hipotesis a. H0 = α1 = α1 = α3 = 0 (Tidak ada pengaruh jenis bahan bakar) H1 = Paling sedikit salah satu αi tidak sama dengan nol(Ada pengaruh) b. H0 = β1 = β1 = β3 = 0 (Tidak ada pengaruh sistem rudal) H1 = Paling sedikit salah satu β j tidak sama dengan nol(Ada pengaruh)

Dengan cara matriks: Observasi = Grand Mean



165 IT TELKOM

=



+ Deviasi Treatment + Deviasi Block + +

  

+

   

(

-

Residual


                                   [    ] [     ] [   ] [    ] (dikuadratkan)=310

+

(dikuadratkan)=184

SSA

        [     ]

SSB

(dikuadratkan)= SSE= 24

SST = SSA +SSB+SSE = 518

Dengan cara rumus:

       ∑ ∑          ∑    0       1           ∑      0          1  = 2518 -

= 518

=

=



= 2310 – 2000 = 310

-

-

=2184 – 2000 = 184

= 518 – 310 -184 = 24

Tabel analisis variansi Sumber Variasi Jenis

bahan

bakar Sistem rudal Error Jumlah



SS

df

MS

310

3

103,3

184

4

46

24

12

2

518

19

Keputusan-1: Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;4;12)

166 IT TELKOM

F Hitung

51,7 23

Buku Ajar Statistika Industri FRI 51,1 > 3,49  Tolak H0 

Kesimpulan-1: Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis bahan bakar



Keputusan-2: Tolak H0 jika f hitung > f tabel(0,05;3;12) 23 > 3,26  Tolak H0



Kesimpulan-2: Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang berbeda

Latihan soal

1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu dipakai dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada tiap kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut : Suhu (0C) 500

Tungku T1 227

T2 214

T3

T4

223

240

550

187

181

232

246

600

202

194

213

219

Gunakan taraf keberartian 0,05, ujilah apakah : a. Ada pengaruh suhu? b. Ada pengaruh tungku?

2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian „An Electromoygraphic-Cinematrographic Analysis An alysis of the Tennis Serve” telah dilakukan

oleh Jurusan Kesehatan di Virginia Polytechnic Institute and State University di 167 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI tahun 1978. Lima otot yang berbeda tersebut adalah : Anterior deltoid,Pectorial mayor,Posterior deltoid,Deltoid tengah,Trisep. Data elektromyograf, tercatat waktu servis, adalah sebagai berikut : Otot

Orang 1 2 3

1 59

2 1.5

3 61

4 10

60

9

78

61

47

42

23

55

5 20 61 95

Dengan α= 0,01 ujilah apakah: a. Ada pengaruh orang (Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang sama)? b. Ada pengaruh otot (Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygraf)? elektrom ygraf)?

VI.1.1 Two Way Anova dengan n replikasi

Tabel VI.5 Two Way Anova dengan n replikasi Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat

Derajat Kebebasan

Pengaruh Utama A

JKA

a-1

B

JKB

b-1

AB

JK(AB)

(a-1) (b-1)

Galat

JKG

ab(n-1)

JKT

abn-1

Interaksi dwifaktor

168 IT TELKOM

Rataan Kuadrat

         

f hitungan

                         


Jumlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut :

Tabel VI.6 Tabel Penjumlahan Two Way ANOVA B A 1 2 … 1 T11. T12. … 2

T21.

T22.

…

:

Jumlah

b T1b.

T1 …

T2b.

T2 …

:

A

Ta1.

Ta2.

…

Tab.

Ta…

Jumlah

T.1.

T.2.

…

T. b.

T…

Keterangan:

                 ∑               ∑         ∑   ∑  ∑    ∑       

                

Contoh 2:

Dalam suatu percobaan yang dilakukan dalam menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari 24 peembakan statis. Empat Jenis bahan bakar yang berlainan dicoba. Percobaan menghasilkan replikasi pengamatan laju pembakaran pembak aran pada tiap kombinasi perlakuan. Berikut adalah adala h datanya : Sistem Rudal a1 a2 a3

169 IT TELKOM

Jenis Bahan Bakar b1 34,0

b2 30,1

b3 29,8

b4 29,0

32,7 32,0

32,8 30,2

26,7 28,7

28,9 27,6

33,2 28,4

29,8 27,3

28,1 29,7

27,8 28,8

29,3

28,9

27,3

29,1

Buku Ajar Statistika Industri FRI Gunakan taraf keberartian 5% untuk menguji hipotesis berikut : a. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran bahan bakar bila digunakan sistem rudal yang berlainan. b. H0 = Tidak ada beda antara rataan laju pembakaran keempat jenis bahan bakar c. H0 = Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang berlainan. Jawab :

1. Hipotesis a. H0

= α1 = α1 = α3 = 0

H1 = Paling sedikit salah satu α i tidak sama dengan nol b. H0

= β1 = β1 = β3 = 0

H1 = Paling sedikit salah satu β j tidak sama dengan nol c. H0

= (αβ)11 = (αβ)12 = … = (αβ)34 = 0

H1 = Paling sedikit salah satu (αβ) ij tidak sama dengan nol 2. Taraf keberartian = 5% 3. Daerah kritis (penentuan f tabel) a. f 1 = f 9.05 9.05 (a-1,ab(n-1)) = f 9.05 9.05 (2,12) = 3,89 b. f 2 = f 9.05 9.05 (b-1,ab(n-1)) = f 9.05 9.05 (3,12) = 3,49 c. f 3 = f 9.05 9.05 ((a-1)(b-1),ab(n-1)) = f 9.05 9.05 (6,12) = 3,00 4. Tabel jumlah b1

b2

b3

b4

Jumlah

a1

66,7

62,9

56,5

57,9

244,0

a2

65,2

60,0

56,8

55,4

237,4

a3

57,7

56,2

57,0

57,9

228,8

Jumlah

189,6

179,1

170,3

171,2

710,2

5. Tabel analisis variansi Sumber Variasi

Jumlah Kuadrat 14,52

Sistem rudal Jenis bahan 40,08 bakar Interaksi 22,17

Derajat Kebebasan 2

Rataan Kuadrat 7,26

3

13,36

10,77

6

3,70

2,98

1,24

Galat

14,91

12

Jumlah

91,68

23

170 IT TELKOM

f Hitungan

5,85


6. Statistik Uji Tolak H0 jika f hitung > f tabel 7. Kesimpulan a. 5,85 > 3,89  Tolak H0 Kesimpulan : Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang berbeda. b. 10,77 > 3,49  Tolak H0 Kesimpulan : Rataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis bahan bakar. c. 2,98 < 3,00  Terima H0 Kesimpulan : Tidak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang berlainan. berlainan .

Latihan soal

1. Suatu percobaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur sejenis suku cadang tertentu yang diuji. Empat jenis tungku dan tiga taraf suhu dipakai dalam percobaan tersebut. 24 buah suku cadang dibagi secara acak, dua pada tiap kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut : Suhu (0C) 500 550 600

Tungku T1

T2

T3

T4

227

214

225

260

221

159

236

229

187

181

232

246

208

179

198

273

174

198

178

206

202

194

213

219

Gunakan taraf keberartian 0,05, uji hipotesi bahwa : a. Suhu yang berbeda tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut b. Tungku yang berlainan tidak berpengaruh pada umur suku cadang tersebut c. Jenis tungku dan suhu tidak berinteraksi

2. Untuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan kemampuan melakukan servis datar dalam tenis, penelitian „An ElectromoygraphicElectromoygraphic171 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Cinematrographic Analysis of the Tennis Serve” telah dilakukan oleh Jurusan Kesehatan

di Virginia Polytechnic Institute and State University di tahun 1978. Lima otot yang berbeda tersebut adalah adala h : a. Anterior deltoid, b. Pectorial mayor, c. Posterior deltoid, d. Deltoid tengah, e. Trisep Diuji pada masing-masing tiga orang, dan percobaan dilakukan tiga kali untuk tiap kombinasi perlakuan. Data elektromyograf, tercatat waktu servis, adalah sebagai berikut : Orang 1

2

3

Otot 1 32 59 38 63 60 50 43 54 47

2 5 1.5 2 10 9 7 41 43 42

3 58 61 66 64 78 78 26 29 23

4 10 10 14 45 61 71 63 46 55

5 19 20 23 43 61 42 61 85 95

Gunakan taraf keberartian 0,01 untuk menguji hipotesis bahwa: a. Ketiga orang mempunyai pengukuran elektromygraf yang sama b. Otot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygraf c. Orang dan jenis otot tidak berinteraksi

172 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI BAB VIII STATISTIKA NON-PARAMETRIK NON-PARAMETRIK

8.0 Tujuan Pembelajaran Pembelajaran

Mahasiswa mampu : 1. Membedakan prosedur uji parametrik dan nonparametrik 2. Menjelaskan macam-macam uji nonparametrik 3. Menjelaskan asumsi-asumsi yang harus dipenuhi dalam beberapa uji nonparametrik 4. Menyelesaikan problem yang menggunakan uji nonparametrik 5. Menghitung korelasi peringkat/rank Spearman

8.1 Statistika Nonparametrik Nonparametrik

Salah satu karakteristik prosedur-prosedur dalam metode statistika adalah kelayakan penggunaannya untuk tujuan inferensia (penyimpulan) selalu bergantung pada asumsi-asumsi tertentu yang kaku. Prosedur dalam analisa varians, misalnya : mengasumsikan bahwa sampel harus diambil dari populasi-populasi yang berdistribusi normal dan da n mempunyai varians yang sama. Jika populasi yang dikaji tidak dapat memenuhi asumsi-asumsi yang mendasari ujiuji parametrik,maka statistika nonparametrik dapat memenuhi kebutuhan tersebut dan tetap sah meski hanya berlandaskan pada asumsi-asumsi yang sangat umum. Ringkasnya, bila uji parametriknya dan nonparametrik dapat digunakan untuk data

yang sama, kita seharusnya menghindari uji nonparametrik yang “cepat dan mudah” ini dan mengerjakannya dengan teknik parametrik yamg lebih efisien. Akan tetapi, karena asumsi kenormalan seringkali tidak dapat dijamin berlakunya, dan juga karena kita tidak selalu mempunyai hasil pengukuran yang kuantitatif sifatnya, maka beruntunglah telah disediakan di sediakan sejumlah prosedur pros edur nonparametrik yang bermanfaat.

Kelebihan prosedur nonparametrik: nonparametrik:

1.

Prosedur nonparametrik memerlukan asumsi dalam jumlah yang minimum, sehingga kemungkinan untuk digunakan secara salah pun relatif kecil (Uji-ujinya disertai

173 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI dengan asumsi-asumsi yang jauh tidak mengikat dibandingkan dengan uji parametrik padanannya) padanann ya) 2.

Perhitungan-perhitungannya dapat dilakukan secara cepat dan mudah

3.

Konsep-konsep dan metode-metode prosedur nonparamterik mudah dipahami bagi peneliti yang dasar matematika mate matika dan statistikanya statistikan ya kurang

4.

Dapat diterapkan pada data dengan skala pengukuran yang lemah (Datanya tidak harus merupakan pengukuran kuantitatif tetapi dapat berupa respon yang kualitatif)

Kelemahan prosedur nonparamtrik: nonparamtrik:

1.

Tidak menggunakan semua informasi dari sampel (kurang efisien)

2.

Tidak seteliti pengu jian parametrik, sehingga untuk mencapai β (peluang terjadinya kesalahan type kedua) yang sama diperlukan sampel yang besar

8.2. Uji Tanda (Sampel Tunggal)

Uji tanda merupakan prosedur nonparametrik yang paling sederhana untuk diterapkan, pada sembarang data yang bersifat dikotomi yaitu data yang tidak dapat dicatat pada skala numerik tetapi yang hanya dapat dinyatakan melalui respons positif dan negatif. Misalnya : percobaan yang responsnya bersifat kualintatif seperti “cacat” atau

“tidakt”, atau dalam percobaan yang berhubungan dengan indera perasa yang responsnya berupa tanda plus bila penyicip rasanya dapat mengidentifikasi bumbu yang digunakan, atau minus bila tidak berhasil mengidentifikasi bumbu tersebut. Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah: 1. Sampel yang diukur adalah sampel acak dari suatu populasi dengan median yang belum diketahui 2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal 3. Varianel yang diukur adalah variabel kontinyu

Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah: 


 ̃̃ ̃̃      :

:



Tentukan Level of Significance (α)

174 IT TELKOM


Tentukan daerah kritis:

 ⃓      ⃓    

1. Satu arah : P(X

2. Dua arah : 2 P(X

Dimana x : banyaknya tanda plus 

Perhitungan Statistik Uji: 3. Hitung semua selisih dari pengurangan masing-masing nilai sampel dengan median hipotesis 4. Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0 5. Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi 6. Hitung

 ⃓

P(X

dengan

distribusi

binomial

dan

bandingkan dengan dengan α untuk n ≤ 10 7. Jika n >10 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu: . 

  √  

Pengambilan Keputusan: Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis



Kesimpulan: Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.

175 IT TELKOM


Contoh-1

Berikut ini adalah data lama waktu (dalam jam,)sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali: 1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2, dan 1.7. Gunakan uji tanda untuk menguji hipotesis pada taraf nyata 0.05 bahwa alat pencukur ini secara rata-rata dapat bekerja 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali. Jawab: 


 ̃̃     :

:



Dengan Level of Significance (α)=0,05 Dimana x : banyaknya tanda plus



Perhitungan Statistik Uji:

Data

1.5

Tanda -

2.2

0.9

1.3

2.0

1.6

1.8

1.5

2.0

1.2

1.7

+

-

-

+

-

0

-

+

-

-

*Median = 1,8 X=3; n= 10; p=0,5 

P=2P(X <=3 , p=0,5)



P=2 ∑b(x;10;0,5) = 2(0,1719)= 0,3438 > 0,05



Keputusan: Terima H0



Kesimpulan: Median waktu operasi berbeda dari 1,8 jam adalah tidak signifikan.

176 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Uji tanda juga bisa digunakan untuk menguji hipotesis nol (median 1 – median 2 = do) untuk observasi berpasangan. Dimana di= selisih mediannya.

Contoh:

Sebuah perusahaan taksi hendak menetukan apakah akan menggunakan ban radial atau ban biasa untuk meningkatkan penghematan bahan bakar. Duabelas mobil dipasang dengan ban radial dan kemudian dicoba pada sebuah lintasan tertentu. Tanpa mengganti supirnya, mobil-mobil yang sama kemudian dipasang dengan ban biasa dan dicoba sekali lagi pada lintasan yang sama. Konsumsi bahan bakar, dalam kilometer per liter, tercatat sebagai berikut: Mobil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ban radial 4.2 4.7 4.6 7.0 6.7 4.5 5.7 6.0 7.4 4.9 6.1 5.2

Ban biasa 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8 4.4 5.7 5.8 6.9 4.9 6.0 4.9

Dapatkah kita menyimpulkan pada taraf nyata 0.05 bahwa mobil yang dilengkapi dengan ban radial lebih hemat h emat bahan bakar dari da ri pada mobil dengan deng an ban biasa? Gunakan hampiran hampir an normal terhadap sebaran binom. Jawab: 


   ̃̃        :

=0

:

Ban

Radial

4.2 4.7 6.6 7.0 6.7 4.5 5.7 6.0 7.4 4.9 6.1 5.2

Ban Biasa Tanda

4.1 4.9 6.2 6.9 6.8 4.4 5.7 5.8 6.9 4.9 6.0 4.9 +

-

177 IT TELKOM

+

+

-

+

0

+

+

0

+

+


Perhitungan: Didapat jumlah = 8 tanda plus, 2 tanda minus dan 2 tanda nol. Setelah tanda nol dibuang, n = 10 dan x = 8. Karena n > 10 dan p = 0,5 maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu:

  √  



   ∗

= 1,581

Maka: P=P(X>=11)=P(Z<1,581)  Daerah Kritis: z > 1.645  

Keputusan: Karena

  

, maka terima Ho

Kesimpulan :Rata-rata ban radial tidak meningkatkan penghematan bahan bakar.

8.3. Uji wilcoxon bagi pengamatan Berpasangan (uji peringkat bertanda wilcoxon)

Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah: 1. Sampel yang diukur adalah sampel acak yang terdiri dari n pasangan hasil pengukuran dimana masing-masing pasangan pengukurannya pengukurann ya dilakukan terhadap subyek yang sama 2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal 3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu 4. Ke-n pasangan hasil pengukuran independen

Prosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah: 


   ̃̃        :

:

=0

0







 ⃓     ⃓   

a. Satu arah : P(X

b. Dua arah : 2 P(X 178 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Dimana x : banyaknya tanda plus/minus manapun yang lebih kecil 

Perhitungan Statistik Uji: 

Untuk masing-masing pengamatan, hitung selisih dari masing-masing nilai dari dua sampel berpasangan.



Beri tanda (+) jika selisih > 0 dan beri tanda (-) jika selisih < 0



Jika ada selisih = 0, buang dan ukuran sampel harus dikurangi



Untuk n ≤ 20 dan pengujian dilakukan dengan dua arah hitung 2 P(X



⃓ ∗

dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan α



Jika n >20 dan p = 0,5 atau jika np = nq > 5, maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan faktor koreksi kontinuitas yaitu:

. 

  √  

Pengambilan Keputusan: Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika diluar daerah kritis



Kesimpulan: Menerima Ho menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak Ho menunjukkan adanya perbedaan antara subyek.

Contoh-3

Seorang peneliti mempelajari efek kebersamaan terhadap denyut jantung tikus. Denyut jantung 10 tikus dicatat, baik ketika masing-masing tikus sedang sendiri maupun ketika sedang bersama-sama. Hasil studi tersebut dicatat seperti data dibawah ini (dalam menit): Tikus 1 2 3 X 463 462 462 Y 523 494 461 *X=Ketika tikus sendiri

4 456 535

5 450 476

6 426 454

7 418 448

8 415 408

9 409 470

10 402 437

Y= Ketika tikus berkumpul Ujilah dengan level significance 5% apakah kebersamaan meningkatkan denyut jantung tikus-tikus? 179 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Jawab: 


   ̃      ̃  :

0

:

Tikus X Y

1 463 523 -60 -



Tanda



0

2 462 494 -32 -

3 462 461 +1 +

5 450 476 -26 -

6 426 454 -28 -

7 418 448 -30 -

8 415 408 +7 +

9 409 470 -61 -

10 402 437 -35 -

 ⃓   ⃓  ∗     

Dua arah : 2 P(X P(X



4 456 535 -79 -

=0,05

Keputusan: Tolak H0



Kesimpulan: Kebersamaan tidak meningkatkan denyut jantung tikus-tikus tsb.

8.5. Uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan

Uji tanda hanya menunjukkan tanda-tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pengamatan dan median dalam kasus satu-sampel, atau tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pasangan pengamatan dalam kasus sampel berpasangan, tetapi tidak memperhitungkan besarnya selisih-selisih selisih-seli sih tersebut. Sebuah uji yang memanfaatkan baik arah maupun besar arah itu ditemukan pada tahun 1945 oleh Frank Wilcoxon, dan sekarang uji ini dikenal sebagai uji peringkat-bertanda peringkat-bertanda wilcoxon, atau dalam kasus pengamatan berpasangan disebut juga uji Wilcoxon bagi pengamatan pengamatan berpasangan. Asumsi yang digunakan dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan adalah: 1. Data terdiri atas n buah selisih di = Yi - Xi setiap pengukuran (Xi,Yi) diperoleh dari pengamatan terhadap subyek yang sama/terhadap subyek yang telah dipasangkan dalam sampel ini diperoleh dengaan cara acak 180 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 2. 3. 4. 5.

Data minimal mempunyai skala pengukuran interval Variabel selisih yang diukur adalah variabel acak kontinyu Selisih-selisih tsb independen Distribusi selisih populasi tsb setangkup/simetrik

Prosedur pengujian dalam uji Wilcoxon untuk Pengamatan Berpasangan ini adalah: 


   ̃̃         :

:






Tentukan daerah kritis: a. Semua nilai W yang memenuhi dan ujinya satu arah

 ⃓      ⃓    

P(W

b. Semua nilai W yang memenuhi 2 P(W dan ujinya dua arah

, jika n < 5

, jika n < 5

c. Semua nilai W ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel a.16 (buku Walpole),

jika 5 ≤ n ≤ 30 


Hitung selisih dari setiap pasangan hasil pengukuran dan perhatikan tandanya : di = Yi - Xi



Singkirkan semua selisih yang besarnya nol, meskipun ukuran sampel n akan berkurang



Berilah ranking/peringkat pada ke-n selisih d1-d0 tanpa memperhatikan tandanya



Hitung jumlah peringkat yang bertanda positif (w+) dan jumlah peringkat yang bertanda negatip (w-), kemudian ambil nilai w yang terkecil



Bandingkan w terkecil dengan tabel 17 (buku Walpole)



Jika n > 15, distribusi W dapat didekati dengan distribusi Normal dengan:

  

dan

Dan Statitik Ujinya adalah: 181 IT TELKOM

   


     

Pengambilan Keputusan: Tolak H0 jika masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika sebaliknya



Kesimpulan:

Contoh-5

Sekelompok peneliti mengkaji perubahan-perubahan hemodinamik pada pasien-pasien dengan pulmonary thromboembolism yang akut. Berikut ini adalah data yang memperlihatkan tekanan arteri paru-paru rata-rata yang telah diobservasi oleh peneliti peneliti tsb sebelum dan setelah s etelah terapi urokinase

Pasien 0 Jam (X) 24 Jam (Y)

Tekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg) 1 2 3 4 5 6 7 8 33 17 30 25 36 25 31 20 21 17 22 13 33 20 19 13

9 18 9

Ingin diketahui apakah data ini menyediakan cukup bukti untuk menunjukkan bahw terapi

urikinase menurunkan tekanan arteri paru, gunakan α = 5 % Jawab:

   ̃        ̃     : :

Terapi 0 Jam (X) 24 Jam (Y) = – Peringkat/ranking

  

Tekanan arteri paru-paru rata-rata (dlm milimeter Hg) Pasien 1 2 3 4 5 6 7 8 33 17 30 25 36 25 31 20 21 17 22 13 33 20 19 13 -12 0 -8 -12 -3 -5 -12 -7 7 4 7 1 2 7 3

9 18 9 -9 5

buang 

Keputusan: Dengan n =8 memperlihatkan bahwa peluang untuk mendapatkan w+ = 0 dan W tabel (daerah kritis) ≤ 6 , sehingga tolak H 0

182 IT TELKOM


Kesimpulan: Terapi urokinase benar-benar menurunkan tekanan arteri paru-paru

Test 8.4. Uji Jumlah Peringkat-Bertanda Peringkat-Bertanda Wilcoxon ( Wi lcoxon Ran k Sum Test )

Uji Peringkat-Bertanda Wilcoxon adalah metode nonparametrik yang sangat sederhana yang ditemukan oleh Frank Wilcoxon pada tahun 1945 untuk membandingkan nilai tengah dua populasi bukan normal yang kontinu. Jadi singkatnya uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai beda lokasi median. Asumsi yang digunakan dalam uji Wi l coxon Rank Sum Test Test adalah: 1. Data merupakan sampel acak hasil pengamatan X1,X2,..., Xn dari populasi satu dan sampel acak hasil pengamatan lain Y1,Y2,...,Yn 2. Variabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal 3. Variabel yang diukur adalah variabel kontinyu 4. Kedua sampel independen

Prosedur pengujian dalam uji Wi lcoxon Rank Sum T est ini adalah: 


   ̃̃     :

:







 ⃓      ⃓    

a. Semua nilai U yang memenuhi P(U ujinya satu arah

b. Semua nilai U yang memenuhi 2 P(U dan ujinya dua arah

, jika n2 ≤ 8 dan , jika n2 ≤ 8

c. Semua nilai U ≤ Nilai kritis yang sesuai dalam tabel 1 7 (buku Walpole),

jika 9 ≤ n2 ≤ 20




183 IT TELKOM

Tentukan n1 (ukuran sampel yang lebih kecil) dan n2

Buku Ajar Statistika Industri FRI 

Urutkan semua n1 + n2 pengamatan dengan urutan dari kecil ke besar dan beri ranking 1,2,3 ...n1+n2 pada tiap pengamatan dan jika terdapat pengamatan yang besarnya besarn ya sama, maka pengamatan pen gamatan tsb diganti dengan den gan rata-rata ranking



Hitung W1= Jumlah ranking pada n1 W2= Jumlah ranking pada n2

           U 1 = W1 U 2 = W2 

 

Dan jika n >20 distribusi sampel U1 dan U2 dapat didekati dengan distribusi normal dengan:

. 

  

  

dan

Pengambilan Keputusan: Tolak H0 jika U masuk dalam daerah kritis, dan terima H0 jika U diluar daerah kritis



Kesimpulan:

Contoh-4

Berikut ini adalah data kekuatan dua jenis lempeng baja : Lempeng Baja-X Lempeng Baja-Y

75 52

46 41

57 43

43 47

58 32

32 49

61 52

56 44

34 57

65 60

Ujilah dengan level signivicance 5% apakah kedua lempeng tsb mempunyai kekuatan yang berbeda? Jawab:

   ̃    ̃ :

:

184 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Lempeng Baja-X Ranking Lempeng Baja-Y Ranking

75 20 52 11,5

46 8 41 4

57 14,5 43 5,5

43 5,5 47 9

58 16 32 1,5

32 1,5 49 10

61 18 52 11,5

56 13 44 7

34 3 57 14,5

65 19 60 17

W1 = 1,5+3+5,5+8+13+14,5+16+18+19+20=118,5

  

      –     –   

– W1 =

U 1 = W1 U2 = W 2 -



 

= 118,5 = 91,5

Keputusan: U2 < U1  Ambil U= 36,5 dimana U tabel = 23 Karena U hitung > U tabel  terima H0



Kesimpulan: Tidak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain kekuatan lempeng baja X = kekuatan lempeng baja Y

8.7. Uji Kruskal-Wallis

Uji Kruskal-Walls merupakan generalisasi uji dua sampel Wilcoxon untuk k > 2 sampel. Diperkenalkan pada tahun 1952 oleh W. H Kruskal dan W. A. Wallis, Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol (H0) bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang identik. Uji nonparametrik ini merupakan alternatif bagi uji F untuk pengujian kesamaan beberapa nilai tengah dalam analisis variansi jila ingin menghindar dari asumsi bahwa sampel diambil dari populasi normal. Asumsi yang harus dipenuhi dalam uji Kruskal Wallis adalah: 1. 2. 3. 4.

Data untuk analisis terdiri dari k sampel acak yang berukuran n1,n2,n3...,nk Pengamatan-pengamatan bebas baik di dalam maupun diantara sampel-sampel Variabel yang diukur kontinyu Skala pengukuran minimal ordinal

185 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 5. Populasi-populasi Populasi-populas i identik kecuali dalam hal lokasi yang berbeda untuk sekurangkurangnya satu populasi

Struktur data dalam uji Kruskal Wallis: Sampel 1

2

      …

…

…

…

…

…

…

…

k

   …

…

…

Prosedur untuk memperoleh Statistik Uji: 1. Gabungkan semua sampel n = n1 + n2 + n3+... + nk 2. Urutkan dari kecil ke besar dan beri peringkat, jika terdapat pengamatan yang sama ambil rata-rata rank/peringkatnya 3. Jumlah peringkat/rank semua pengamatan ni dan nyatakan dengan R i 4. Hitung :

            

5. Jika H jatuh dalam daerah kritis  H > sebaliknya terima H0

dengan v=k-1 tolak H0, dan jika

Contoh- 8

Dalam percobaan untuk menetukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya. Datanya, setelah dikodekan, diberikan dalam Tabel 13.3. Gunakan uji Kruskal-Wallis dan taraf nyata α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut.

186 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Tabel 13.3 Laju Pembakaran Bahan Bakar Sistem Peluru Kendali 1 2 24.0 23.2 16.7 19.8 22.8 18.1 19.8 17.6 18.9 20.2 17.8

3 18.4 19.1 17.3 17.3 19.7 18.9 18.8 19.3

Jawab H0: Ketiga populasi identik (mempunyai median yang sama) H1: Ketiga populasi tidak memiliki median yang sama Perhitungan: dalam tabel 13.4 kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masing-masing sistem.

Tabel 13.Peringkat Bagi Data Laju Pembakaran bahan bakar Sistem Peluru kendali 1

2

3

19 1 17 14.5 9.5

18 14.5 6 4 16 5

17 11 2.5 2.5 13 9.5 8 12

R 1 = 61.0 R 2 = 63.5

R 3 = 65.5 Sekarang, dengan mensubtitusikan n1 = 5, n2 = 6, n3 = 8, r 1 = 63.0, r 2 = 63.5, dan r 3 = 65.6, maka kita memperoleh nilai statistik uji H yaitu :

             187 IT TELKOM


                   H = 1.6586

Keputusan: karena H tidak jatuh dalam wilayah kritisnya, yaitu H > 5.991, berarti tidak cukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem peluru kendali itu., dengan kata lain terima H0. Jadi ketiga sistem peluru kendali mempunyai mempun yai median yang sama.

8.6. Uji Runtun Sampel Tunggal ( One Sample Run Test ) Test

Uji runtun adalah uji yang didasarkan atas urutan pengambilan sampel pengamatan. Uji ini berguna untuk menguji bahwa pengamatan memang diambil secara acak. Tidak peduli apakah pengamatan tsb kuantitatif atau kualitatif, uji runtun membagi data menjadi dua kelompok yang saling eksklusif, seperti: laki-laki atau perempuan, cacat atau tidak cacat, gambar atau angka, diatas atau dibawah median dan lain sebagainya. Dengan demikian, barisan hasil percobaaanya hanya terdiri atas dua lambang. Jadi andaikan bahwa n adalah ukuran sampel total, maka n1 adalah banyaknya lambang yang lebih sedikit, dan n2 adalah banyaknya lambang yang lebih banyak, maka ukuran sampel total n = n1 + n2. Prosedur pengujian dalam uji Runtun ini adalah: 


 

: Sampel berasal dari proses acak : Sampel tidak berasal dari proses acak







      ⃓    

a. Semua nilai V yang memenuhi P(V 10 dan ujinya satu arah

b. Semua nilai V yang memenuhi 2 P(V dan n2 ≤ 10 dan ujinya dua arah 


Hitung runtun dari barisan sampel

188 IT TELKOM

, jika n1 dan n2 ≤

, jika jika n1

Buku Ajar Statistika Industri FRI 

Lihat tabel 19 (buku Walpole) dengan n1 dan n2 serta α sesuai dengan kasus



Jika n1 dan n2 > 10, distribusi V dapat didekati dengan distribusi Normal dengan:

 01 Dan Statitik Ujinya adalah:




        dan

Jika P (Z ) < α maka tolak H 0, dan terima H0 jika sebaliknya 

Kesimpulan

Sebagai ilustrasi, misalkan dari 12 orang yang telah disurvey dan ditanyai pendapatnya terhadap suatu produk tertentu, dan seandainya dari 12 orang tsb ternyata berjenis kelamin yang sama, hal tersebut pastilah jelas sangat kecil kemungkinannya dihasilkan dari suatu proses pengambilan yang acak dan sangat diragukan kevalidannya. Di bawah ini adalah urutan barisan dari kedua belas orang tsb yang diwawancarai, jenis kelamin laki-laki dilambangkan dengan huruf L dan perempuan dengan lambang huruf P, L L P P P L L P P L L L Barisan di atas terdiri dari sampel n = 12, dengan 5 runtun, dimana runtun yang pertama berupa dua L , yang kedua tiga P, yang ketiga k etiga dua L dan demikian seterusnya. seterusn ya. Uji runtun untuk memeriksa keacakan didasarkan pada peubah acak V , yaitu banyaknya runtun total dalam hasil percobaan atau sampel. Dalam buku Walpole tabel A.19,menyediakan nilai-nilai P(V ≤ v* bila h 0 benar) diberikan untuk v* = 2, 3, ...., 20 runtun, dan nilai-nilai n1 dan n2 yang lebih kecil atau sama dengan 10. Nilai kritis di salah satu ujung sebaran V dapat diperoleh dari tabel tsb. Dalam ilustrasi diatas, didapatkan lima P dan tujuh L. Dengan demikian, dengan n1 = 5 dan n2 = 7, dari Tabel A.19 (buku Walpole)didapatkan bahwa:

P(V ≤ 5 bila h 0 benar) = 0.197 untuk pengujian satu arah dan untuk pengujian dua arah 2 P(V ≤ 5 bila h 0 benar) = 2( 0.197) = 0.394 0.394 > α Dengan α = 0.05 tidak cukup alasan untuk menolak hipotesis bahwa sampel berasal dari proses acak (terima H0)

189 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Uji runtun juga dapat digunakan untuk memeriksa sifat keacakan suatu barisan hasil pengamatan atau percobaan menurut waktu, yang disebabkan oleh kecenderungan atau periodisitas. Dengan menggantikan setiap pengamatan sesuai dengan urutan terjadinya dengan tanda plus bila terletak diatas median dan tanda minus bila dibawah median, dan membuang semua pengamatan yang persis sama dengan median, maka kita mendapatkan suatu barisan tanda-tanda plus dan minus yang dapat diuji sifat keacakannya seperti diilustrasikan dalam contoh berikut.

Contoh-6

Sebuah mesin diatur sehingga secara otomatis mengeluarkan minyak pengencer cat ke dalam sebuah kaleng. Dapatkah kita mengatakan bahwa banyaknya pengencer yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak bila isi 15 kaleng berikut, berturutturut, adalah 3.6, 3.9, 4.1, 3.6, 3.8, 3.7, 3.4, 4.0, 3.8, 4.1, 3.9, 4.0, 3.8, 4.2, dan 4.1 liter? Gunakan taraf nyata 0.1. Jawab.: H0: Data diambil secara acak dari sebuah populasi H1: Data tidak diambil secara acak Langkah untuk mendapatkan statistik uji : 1. Tulis data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnya/urutan terjadinya 2. Tentukan besarnya median sampel 3. Data yang harganya lebih besar dari median diberi tanda positif dan jika sebaliknya beri tanda negatif 4. Tentukan n1 (misal yang bertanda positif) dan n2 yang bertanda negatif 5. Hitung banyaknya runtun (V) 6. Cari P(V ≤ α bila H 0 benar) dengan melihat tabel 7. Jika P(V ≤ α bila H 0 benar) ≤ α Tolak H0 untuk uji satu arah dan untuk uji dua arah Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H0 benar) ≤ α Perhitungan untuk contoh-7 tersebut diperoleh median = 3.9. kemudian dengan mengganti setiap pengamatan dengan tanda “ -“ bila lebih kecil dari 3.9, dan membuang pengamatan yang sama dengan 3.9, maka diperoleh barisan : + - - - - + + + + - + + dimana didapatkan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6.

190 IT TELKOM


Keputusan: P(V ≤ α bila H 0 benar) =0.296 > α  Terima H0 (lihat Tabel A.19 buku Wallpole dengan n1 = 6, n2 = 7, dan v = 6) Kesimpulan: Karena v = 6 jatuh dalam wilayah penerimaan, maka terima hipotesis bahwa isi kaleng itu memang bervariasi b ervariasi secara acak. Uji runtun, meskipun kuasa ujinya lebih rendah, dapat juga digunakan sebagai pilihan lain bagi uji jumlah peringkat Wilcoxon untuk menguji bahwa dua sampel acak berasal dari dua populasi yang sama sehingga mempunyai nilai tengah yang sama. Bila populasinya setangkup, penolakan pendapat bahwa sebenarnya sama setara dengan penerimaan hipotesis akternatif bahwa kedua nilai tengah tidak sama. Untuk melakukan uji ini,berikut adalah langkah-langkah pengujiannya: 

Tentukan hipotesis : H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak



Langkah : 1. Gabungkan kedua sampel menjadi sampel berukuran n1 + n2 2. Tulis ke (n1+n2) buah data dari sampel gabungan menurut urutan nilainya 3. Nyatakan data dari sampel ke-1 k e-1 dengan A dan data dari sampel sampe l ke-2 dengan B 4. Hitung banyaknya runtun (v) 5. Cari P(V ≤ α bila H 0 benar) dengan melihat tabel 6. Daerah kritis (Daerah penolakan):  Tolak H0 jika P(V ≤ α bila H 0 benar) ≤ α untuk uji satu arah 

Tolak H0 jika 2 P(V ≤ α bila H 0 benar) ≤ α untuk uji dua arah

Jika n1 dan n2 > 10 dapat didekati dengan distribusi normal dengan :

  01  

       

dan

Contoh-7

Data berikut memperlihatkan penyimpangan-penyimpangan temperatur dari suhu normal, yang setiap hari dicatat di daerah Bandung dan daerah Jakarta selama bulan April 2010: Hari Bandung Penyimpangan Tanda Hari 191 IT TELKOM

1 7 + 1

2 6 + 2

3 5 + 3

4 -2 4

5 -1 5

6 3 + 6

7 2 + 7

8 -6 8

9 -5 9

10 8 + 10

11 -4 11

Buku Ajar Statistika Industri FRI Jakarta

Penyimpangan 5 Tanda +

8 +

-3 -

-7 -

-9 -

8 +

-1 -

-2 -

-3 -

2 +

3 +

Jawab: H0: Kedua sampel berasal dari populasi yang diambil secara acak H1: Kedua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil secara acak n1= 11 n2=11 karena n1 dan n2 > 10, sehingga dapat didekati dengan distribusi normal, dengan:

1     0             = 12

=

= 5.238 



=2.2887

= -0.4369 ≈ -0.44

P(Z< -0.44) = 0.33 > α  Terima H0 Kesimpulan: Kedua sampel memang berasal dari populasi yang diambil secara acak

8.8 Koefisien Korelasi Peringkat/ Rank Spearman

Ada kalanya ingin diketahui korelasi antara dua variabel tidak berdasarkan pada pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui, dik etahui, tetapi tet api menggunakan urutan-urutan nilai tertentu atau biasa disebut Rank. Teknik korelasi ini digunakan untuk variabel dengan data bertipe ordinal dan tidak berdistribusi normal, dimana korelasi spearman rank ini masuk dalam statistika nonparametrik. Selain itu dengan menggunakan teknik ini tidak lagi harus diasumsikan bahwa hubungan yang mendasari variabel yang satu dengan variabel yang lain harus linier. Koefisien korelasi Sperman rank (r s) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

  ∑                        

Dengan:

192 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Dalam prakteknya, rumus diatas tetap digunakan meskipun terdapat nilai-nilai yang sama diantara pengamatan-pengamatan x atau y. Untuk pengamatan-pengamatan demikian ini peringkatnya diberikan seperti dalam uji peringkat bertanda Wilcoxon, yaitu dengan merata-ratakan peringkat yang diberikan seandainya ada pengamatan yang sama. Nilai r s biasanya dekat dengan nilai r yang diperoleh berdasarkan pengukuran numerik dan ditafsirkan secara sama pula. Nilai r s dapat terjadi dari – 1 sampai +1. Nilai +1 atau -1 menunjukkan adanya hubungan yang sempurna antara X dan Y, tanda plus dapat diartikan bahwa pemberian peringkat itu sejalan, sedangkan tanda minus berarti bahwa pemberian peringkat itu bertolak belakang. Bila r s dekat dengan nol, dapat disimpulkan bahwa kedua peubah tidak tid ak berkorelasi. Ada beberapa keuntungan penggunaan r s dibandingkan dengan penggunaan r. Sebagai contoh, tidak lagi harus mengasumsikan bahwa hubungan yang mendasari antara X dan Y harus linear. Ini berarti bila datanya menunjukkan adanya hubungan yang kurvilinear, maka korelasi peringkat cenderung lebih dapat dipercaya daripada korelasi biasa. Keuntungan kedua adalah tidak perlu mengasumsikan bahwa sebaran bagi X dan Y adalah normal. Untuk melakukan uji nyata bagi koefisien korelasi peringkat, harus diketahui sebaran bagi nilai-nilai r s dibawah asumsi X dan Y bebas. Nilai kritis untuk α = 0.05, 0.025, 0.01, dan 0.005 telah dihitung dan diberikan dalam Tabel A.22. Tabel ini dibuat menyerupai tabel nilai kritis bagi sebaran t, kecuali bahwa kolom paling kiri berisi banyaknya pasangan pengamatan dan bukan derajat bebas. Karena sebaran nilai-nilai r s setangkup terhadap r s = 0, maka nilai r s yang memberikan luas daerah sebesar α disebelah kanannya. Bila hipotesis alternatifnya dua-arah, daerah kritis sebesar α dibagi dua sama besar di kedua ekor sebarannya. Bila hipotesis alternatifnya negatif, maka daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kiri sebaran, dan bila hipotesis alternatifnya positif, daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kanan sebarannya.

Contoh 9

Hitunglah koefisien korelasi antara hasil produksi departemen A dengan departemen B menggunakan teknik korelasi Spearman Rank!

193 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI Sample Ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Hasil Produksi (ton) Departemen A (x) Departemen B (y) 141.8 89.7 140.2 74.4 131.8 83.5 132.5 77.8 135.7 85.8 141.2 86.5 143.2 89.4 140.2 89.3 140.8 88 131.7 82.2 130.8 84.6 135.6 84.4 143.6 86.3 133.2 85.9

Jawab: Sampel ke1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

X

Y

141.8 140.2 131.8 132.5 135.7 141.2 143.2 140.2 140.8 131.7 130.8 135.6 143.6 133.2

89.7 74.4 83.5 77.8 85.8 86.5 89.4 89.3 88 82.2 84.6 84.4 86.3 85.9

∑ 194 IT TELKOM

Rank (x) 12 8.5 3 4 7 11 13 8.5 10 2 1 6 14 5

Rank (y) 14 1 4 2 7 10 13 12 11 3 6 5 9 8

    

-2 7.5 -1 2 0 1 0 -3.5 -1 -1 -5 1 5 -3

4 56.25 1 4 0 1 0 12.25 1 1 25 1 25 9 140.5


                  Yang menunjukkan adanya korelasi positif yang tinggi antara hasil produksi dari departemen A dan hasil produksi dari departemen B.

SOAL-SOAL LATIHAN

1.

Dari 12 kali berobat ke dokter, seorang pasien harus menunggu 17, 32, 25, 15, 28, 25, 20, 12, 35, 20, 26, dan 24 menit diruang tunggu. Gunakan uji tanda dengan α = 0.05 untuk menguji pernyataan dokter itu bahwa secara rata-rata pasiennya tidak menunggu lebih dari 20 menit sebelum dipanggil ke ruang periksa.

2.

Data berikut menyatakan lama latihan terbang, dalam jam, yang dijalani 18 calon pilot dari seorang instruktur sebelum penerbangan solo mereka yang pertama: 9, 12, 13, 12,

10, 11, 18, 16, 13, 14, 11, 15, 12, 9, 13, 14, 11, dan 14. Gunakan uji tanda dengan α =0.02 untuk menguji pernyataan instruktur tersebut bahwa secara rata-rata calon pilot bimbingannya berhasil terbang t erbang solo setelah 12 jam j am latihan terbang.

195 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 3.

Seorang petrugas memeriksa 15 botol selai cap tertentu untuk menetukan persentase bahan campurannya. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut: 2.4, 2.3, 1.7, 1.7, 2.3, 1.2, 1.1, 3.6, 3.1, 1.0, 4.2, 1.6, 2.5, 2.4, dan 2.3. dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran seb aran binom, bi nom, lakukan lak ukan uji uj i tanda tan da pada taraf nyata n yata 0.01 untuk menguji hipotesis h ipotesis nol bahwa presentase bahan b ahan campurannya campurann ya adalah 2.5% lawan alternatifnya bahwa b ahwa presentase prese ntase bahan campuran rata-rata rata-r ata bukan 2.5%.

4.

Sebuah

perusahaan

elektronik

internasional

sedang

mempertimbangkan

untuk

memberikan perjalan memberikan liburean berikutnya biayanya bagi para staf eksekutifsenior dan keluarganya. Untuk menentukan preferensi antara seminggu di Hawaii atau seminggu di Spanyol, suatu contoh acak 18 staf eksekutif ditanyai pilihannya. Dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom, lakukan uji tanda taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis nol bahwa kedua lokasi itu sama- sama disukai lawan alternatifnya bahwa preferensinya mereka berbeda, bila ternyata 4 diantara 18 yang ditanyai lebih menyukai Spanyol.

5.

Seorang pengusaha cat mengeluh bahwa lamanya mengering cat akrilik produksinya telah berkurang karena adanya sesuatu bahan kimia yang baru. Untuk menguji pendapat ini, 12 papan kayu dicat, separuh cat lama dan separuh lagi dengan cat baru. Lamanya mengering, dalam jam, tercatat sebagai berikut:

Papan

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 196 IT TELKOM

Lamanya (jam) Cat baru 6.4 5.8 7.4 5.5 6.3 7.8 8.6 8.2 7.0 4.9 5.9 6.5

mengering Cat lama 6.6 5.8 7.8 5.7 6.0 8.4 8.8 8.4 7.3 5.8 5.8 6.5

Buku Ajar Statistika Industri FRI Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa bahan kimia baru itu tidak lebih dari yang lama dalam menguramgi lamanya laman ya mengering cat jenis ini. 6.

Suatu program diet baru dikatakan dapat mengurangi bobot seseorang secara rata-rata 4.5 kilogram dalam waktu 2 minggu. Bobot 10 wanita yang mengikuti program diet ini dicatat sebelum dan sesudah periode 2 minggu, berikut adalah datanya : Wanita Bobot sebelum 1 58.5 2 60.3 3 61.7 4 69.0 5 64.0 6 62.6 7 56.7 8 63.6 9 68.2 10 59.2

Bobot sesudah 60.0 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.5 60.2 62.3 58.7

Gunakan uji tanda pada taraf nyata 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa diit itu dapat mengurangi bobot badan seseorang sebanyak 4.5 kilogram, lawan alternatifnya bahwa pengurangan bobot itu i tu kurang dari 4,5 kilogram. kilo gram.

7.

Dua jenis alat untuk mengukur kadar sulfur monoksida di udara hendak dibandingkan. Berikut ini diberikan hasil pencatatan oleh kedua alat tersebut selama periode 2 minggu:

Hari 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 197 IT TELKOM

Sulfur monoksida Alat A Alat B 26.46 25.41 17.46 22.53 16.32 16.32 20.19 27.48 19.84 24.97 20.65 21.77 28.21 28.17 33.94 32.02 29.32 28.96 19.85 20.45

Buku Ajar Statistika Industri FRI 11 12 13 14

28.35 22.78 21.64 18.93

23.67 18.96 19.88 23.44

Dengan menggunakan hampiran normal, kerjakan uji tanda untuk menentukan apakah kedua alat itu memberikan hasil yang berbeda. Gunakan taraf nyata 0.01.

8. Analisislah data pada soal 1 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon

9. Analisislah data pada soal 2 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon. 10. Bobot badan, dalam kilogram, sepuluh orang sebelum dan sesudah berhenti merokok tercatat sebagai berikut: BB sebelum BB setelah

58 60

60 55

62 58

69 65

70 69

64 64

76 70

72 67

66 61

75 70

Gunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon untuk menguji hipotesis, pada taraf nyata 0.05, bahwa berhenti merokok tidak dapat berpengaruh pada bobot badan seseorang, lawan alternatifnya bahwa bobot badan seseorang akan bertambah bila ia berhenti merokok.

11. Analisislah data pada soal 5 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.

12. Kerjakan kembali pada soal 6 dengan menggunakan uji peringkat-bertanda Wilcoxon.

13. Dari sebuah kelas matematika yang terdiri atas 12 siswa dengan kemampuan yang hampir sama, 5 orang diambil secara acak dan diberi pelajaran tambahan oleh guru. Hasil ujian akhir mereka adalah sebagai berikut : Nilai Dengan pelajaran tambahan Tanpa pelajaran tambahan

198 IT TELKOM

87 75

69 88

78 64

91 82

80 93

85 79

78 67


Gunakan uji jumlah peringkat Wilcoxon dengan α = 0.05 untuk menetukan apakah pelajaran tambahan mempengaruhi mempen garuhi nilai. 14. Data berikut menyatakan berapa lama, dalam jam, 3 jenis kalkulator ilmiah dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :

Kalkulator A 4.9 6.1 4.3 4.6 5.3

B 5.5 5.4 6.2 5.8 5.5 5.2 4.8

C 6.4 6.8 5.6 6.5 6.3 6.6

Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.01, untuk menguji hipotesis bahwa lamanya ketiga kalkulator itu dapat digunakan sebelum harus diisi listrik kembali adalah sama.

15. Empat rokok cap A, B, C, dan D hendak dibandingkan kadar tarnya. Data berikut menunjukkan berapa miligram tar itu ditemukan dalam 16 batang rokok yang dicoba: Cap A

Cap B

Cap C

Cap D

14 10 11 13

16 18 14 15

16 15 14 12

17 20 19 21

Gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menguji apakah ada beda nilaitengah kadar tar yang nyata antar 4 rokok tersebut. 16. Dalam soal 4 halaman 395-6, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah sebaran nilai yang diberikan oleh ketiga dosen itu berbeda nyata. 17. Dalam latihan 7 halaman 396-7, gunakan uji Kruskal-Wallis, pada taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah analisis kimia yang dilakukan oleh keempat labolatorium itu secara rata-rata memberikan hasil yang sama. 18. Suatu contoh acak 15 orang dewasa disuatu kota kecil diambil untuk menduga proporsi mereka yang mendukung calon walikota yang baru. Selain itu dinyatakan 199 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI pula apakah ia sarjana atau bukan. Dengan melambangkan Y bila responden itu sarjana dan T bila bukan sarjan, diperoleh barisan seperti berikut ini : TTTTYYTYYTYTTTT Gunakan uji runtunan pada taraf nyata 0.1 untuk menetukan apakah barisan itu menunjang pendapat bahwa contohnya bersifat acak atau tidak. 19. Suatu proses pelapisan-perak digunakan untuk melapisi nampan atau baki. Bila prosesnya terkendali dengan baik, tebal lapisan peraknya bervariasi secara acak mengikuti sebaran normal dengan nilaitengah 0.02 milimiter dan simpangan baku 0.005 milimiter. Misalkan bahwa dari 12 baki yang diperiksa berikutnya tebal lapisan peraknya adalah: adal ah: 0.019, 0.021, 0.020, 0.019, 0.020, 0.018, 0.023, 0.021, 0.024, 0.022, 0.023, 0.022. gunakan uji runtunan untuk menetukan apakah fluktuasi ketebalan itu

masih bersifat acak. Gunakan α = 0.05 20. Gunakan uji runtun pada soal 3 pada halaman 445. 21. Dalam suatu proses produksi, diadakan pemeriksaan secara berkala untuk mengetahui cacat tidaknya barang yang dihasilkan. Berikut ini adalah barisan barang yang cacat C, dan yang yidak cacat T yang dihasilkan oleh proses tersebut: CCTTTCTTCCTTTT TCCCTTCTTTTCTC Dengan menggunakan hampiran berdasarkan contoh berukuran besar, lakukan uji runtunan dengan taraf nyata 0.05, untuk menetukan apakah barang yang cacat terjdi secara acak atai tidak 22. Bila data dalam Latihan 6 pada halaman 65 dicatat dari kiri ke kanan sesuai dengan

urutan asalnya, gunakan uji runtun dengan α = 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa data itu merupakan suatu barisan yang acak.

23. Data berikut adalah nilai kalkulus pada ujian tengah semester dan ujian akhir bagi 10 mahasiswa : Mahasiswa

UTS

UAS

L.S.A W.P.B R.W.K J.R.L J.K.L D.L.P B.L.P D.W.M M.N.M

84 98 91 72 86 93 80 0 92

73 63 87 66 78 78 91 0 88

200 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI R.H.S

87

77

a. Hitunglah koefisiensi korelasi peringkatnya b. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan

alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. Gunakan α = 0.025. 24. Untuk bobot badan dan ukuran dada bayi dalam saol 6 pada halaman 378 a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya b. Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0.025 bahwa koefisien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol. 25. Hitunglah koefisien korelasi peringkat bagi curah hujan harian dan banyaknya debu yang terbawa dalam Latihan 8 pada halaman 346. Suatu lembaga konsumen memeriksa sembilan oven-gelombang-mikro untuk menentukan kualitasnya. Hasil peringkat berikut harga ecerannya tercantum dibawah ini: Pabrik

Peringkat Harga (dlm $)

A B C D E F G H I

6 9 2 8 5 1 7 4 3

480 395 575 550 510 545 400 465 420

Apakah ada hubungan yang nyata antara kualitas dan harga oven-gelombang-mikro? 26. Dua juri dalam suatu pawai memberi peringkat pada 8 mobil berhias sebagai berikut:

Juri A Juri B

1 5 7

Mobil Berhias 2 3 4 5 6 8 4 3 6 2 5 4 2 8 1

7 7 6

8 1 3

a. Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya. b. Ujilah hipotesis bahwa koefisien korelasi peringkat populasinya sama dengan nol lawan hipotesis alternatifnya bahwa koefisien itu lebih besar dari nol.

Gunakan α = 0.05 c. Ujilah hipotesis bahwa X dan Y bebas lawan aktewrnatifnya bahwa kedua peubah itu tidak bebas, bila dari suatu contoh n = 50 pasangan pengamatan diperoleh rs = -0.29. gunakan α = 0.05. 201 IT TELKOM


27. Dua macam makanan A dan B diberikan kepada ayam secara terpisah untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti mengenai pertambahan berat daging ayam yang dikarenakan kedua macam makanan makan an itu ataukah at aukah tidak. Pertambahan berat badan ayam (dalam ons)pada akhir percobaan adalah sebagai berikut : Makanan A

3,1

3,0

3,3

2,9

2,6

3,0

3,6

2,7

3,8

4,0

3,4

Makanan B

2,7

2,9

3,4

3,2

3,3

2,9

3,0

3,0

3,6

3,7

3,5

Selidikilah hal tersebut dengan menggunakan uji tanda. 28. Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak. Dalam bentuk peringkat, hasilnya hasiln ya diberikan dibawah ini. Suami 5

8

10

6

9

3

4

7

2

1

Istri

5

10

1

7

4

6

9

2

3

8

Apakah nampak sifat “independen” penilaian yang dilakukan oleh suami istri? 29. Diberikan data berikut : A

1,32

1,28

1,22

1,23

1,16

1,31

1,06

1,23

B

0,99

1,08

0,98

0,96

0,97

0,98

0,89

1,01

Berikanlah analisisnya dengan menggunakn uji median. 30. Sederetan tanaman telah diperiksa yang menghasilkan urutan : 26, 35, 27, 29, 30, 19, 32, 43, 18, 26, 27, 25, 35, 40,26, 25, 22, 20, 17, berasal dari sebuah populasi dengan median sama dengan 23?

REFERENSI

1. Box,G.E.P , Hunter,Willam, Hunter, J.Stuart : “Statistics For Experimenters”, John Wiley & Sons.1978 2. Draper, N.R : “ Applied Regression Analysis (Second Edition), John Wiley & sons, 1981 202 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri FRI 3. Daniel, Wayne.W : “ Applied Nonparametric Statistics, Houghton Mifflin Company, 1978 4. Hogg, Robert V., and Elliot A. Tanis: “Probability and Statistical Inference”, Pearson Education, 2006 5. Ledolter. J, Hogg, Robert V. : “ Applied Statistics fot Engineers and Physical

Scientists”, Pearson Prentice Hall, 2010. 6. Walpole, Ronald E., et all: “Probability & Statistics for Engineers & Scientists”, Prentice Hall, 2007 7. Spiegel, Murray R.: “Seri Buku Schaum: Teori dan Soal -Soal Statistika”, Erlangga (Terjemahan), 1988

203 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri(1)

Recommend Documents