Buku Ajar Statistika Industri (1)

Tahun Pembuatan : 2011 201 1

Dibuat oleh team dosen Statistika Industri: Ir. Wiyono MT Judi Alhilman Alhilman Drs. MSI Ir. !ermita dyah MT.

"A#$%TAS &#A'ASA I(D$ST&I I(STIT$T T#()%)*I T%#)M

#AT #A TA P P(* (*A( A(T TA&

Bismillaahirrohmaanirrohiim, Assalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh Dengan Dengan ridlaNYA ridlaNYA, Alhamduli Alhamdulillah llah penulis penulis dapat menyelesaik menyelesaikan an buku ajar mata kuliah Statistika Industri Industri ini walaupun masih banyak banyak kekurangankekurangannya kekurangankekurangannya yang harus diperbaiki di masa yang akan datang! "disi "disi pertama pertama dari dari buku buku ajar mata mata kuliah kuliah Statis Statistika tika Indust Industri ri ini diperu diperuntu ntukan kan digunakan di lingkungan #akultas $ekayasa Industri Institut %eknologi %elkom di mana penyusun mengajar! Buku ajar Statistika Industri pegangan kuliah ini ditujukan agar mahasiswa lebih dapat berkonsentrasi terhadap apa yang disampaikan dosen di kelas sehingga maha mahasi sisw swaa diha dihara rapk pkan an akan akan lebih lebih maks maksim imal al dalam dalam mener menerim imaa ilmu ilmu yang yang disampaikan oleh dosen di kelas! Buku Ajar ini ditulis dan disusun berdasarkan sumber dari beberapa buku yang telah ada dan dari pengalaman penulis selama mengajar di beberapa perguruan tinggi! &enulis &enulis sangat berterima berterima kasih kepada kepada semua pihak pihak yang telah membantu membantu dan memberi semangat untuk menulis buku ajar ini dan penulis berterima kasih kepada rekanrekan sejawat yang telah membantu dalam penulisan buku ini! Akhirnya, sangat diharapkan adanya masukan masukan dari rekan pemba'a sekalian demi perbaikan Buku Ajar Ajar ini ke depannya! Wassalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh! Bandung, Agustus ()**, &enulis

+team dosen Statistika Industri 

Toshiba Toshiba | RISET OPERASI OPERASI II

I-2

Bismillaahirrohmaanirrohiim, Assalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh Dengan Dengan ridlaNYA ridlaNYA, Alhamduli Alhamdulillah llah penulis penulis dapat menyelesaik menyelesaikan an buku ajar mata kuliah Statistika Industri Industri ini walaupun masih banyak banyak kekurangankekurangannya kekurangankekurangannya yang harus diperbaiki di masa yang akan datang! "disi "disi pertama pertama dari dari buku buku ajar mata mata kuliah kuliah Statis Statistika tika Indust Industri ri ini diperu diperuntu ntukan kan digunakan di lingkungan #akultas $ekayasa Industri Institut %eknologi %elkom di mana penyusun mengajar! Buku ajar Statistika Industri pegangan kuliah ini ditujukan agar mahasiswa lebih dapat berkonsentrasi terhadap apa yang disampaikan dosen di kelas sehingga maha mahasi sisw swaa diha dihara rapk pkan an akan akan lebih lebih maks maksim imal al dalam dalam mener menerim imaa ilmu ilmu yang yang disampaikan oleh dosen di kelas! Buku Ajar ini ditulis dan disusun berdasarkan sumber dari beberapa buku yang telah ada dan dari pengalaman penulis selama mengajar di beberapa perguruan tinggi! &enulis &enulis sangat berterima berterima kasih kepada kepada semua pihak pihak yang telah membantu membantu dan memberi semangat untuk menulis buku ajar ini dan penulis berterima kasih kepada rekanrekan sejawat yang telah membantu dalam penulisan buku ini! Akhirnya, sangat diharapkan adanya masukan masukan dari rekan pemba'a sekalian demi perbaikan Buku Ajar Ajar ini ke depannya! Wassalaamu’alaikum Warohmatulloohi Wabarokaatuh! Bandung, Agustus ()**, &enulis

+team dosen Statistika Industri 

Toshiba Toshiba | RISET OPERASI OPERASI II

I-2

SATUAN ACARA PENGAJARAN (SAP)

Mata Kuliah

: St Statistika Industri (3 (3 SKS)

Kod Mata Kuliah

: IE IE!333

"uku A#uan

-

$% &al'ol Ronald E% t all: Pro*a*ilit+ , Statisti#s -or En.inrs , S#intists/ S#intists/ Prnti# Prnti# 0all !112 !% 0o.. Ro*rt % % and Elliot A% Tanis: Tanis: Pro*a*ilit+ Pro*a*ilit+ and Statisti#al In-rn#/ In-rn#/ Parson Edu#ation Edu#ation !114 3% 5doltr% J 0o.. Ro*rt % % :  A''lid A''lid Statisti#s -ot En.inrs En.inrs and Ph+si#al S#intists/ S#intists/ Parson Prnti# Prnti# 0all !1$1%

Min..u

Pokok "ahasan

Matri

k ($)

*!

(!

/!

(!)

&endahulu an

Statistika Deskripti3

Distribusi sampling rataan dan proporsi

(3)

%eori Sampling

Tu6uan In Instruksional

Tu6uan Tu6uan Instruksional

U7u7 (TIU)

Khusus (TIK)

(9)

()

.ahasiswa memahami tentang pengertian konsep dasar metoda sampling

4kuran pemusatan, .ahasiswa keragaman dan letak memahami tentang pengertian konsep dasar Statistika Deskripti3 Distribusi sampling .ahasiswa rataan dan proporsi memahami distribusi dari satu populasi sampling rataan dan dan dua populasi + 5 proporsi dari satu dan t populasi dan dua populasi

K.iatan

(4)

.ahasiswa mampu menjelaskan pengertian-

%atap muka

*! sam samplin plingg (! popu popula lasi si dan dan sample sample /! statis statistik tik dan parame parameter ter .ahasiswa mampu menjelaskan pengertian-

Diskusi

*! 4kur 4kuran an pemu pemusa sata tann (! 4kur 4kuran an kera keraga gama mann /! 4kur 4kuran an let letak ak .ahasiswa mampu*! menje menjelas laskan kan teorem teoremaa 6'entral limit7 (! meng menghit hitung ung nil nilai ai probabilitas distribusi sampling rataan dan proporsi untuk satu dan dua populasi

%atap muka

E8alua si

A#uan

(2)

(;)

%anya 0awab

1*, Bab 2

%anya 0awab

1*, Bab 2

%anya 0awab

1*, Bab 28

Diskusi

%atap muka Diskusi

Min..u

Pokok "ahasan

Matri

k ($)

*!

(!

/!

9!

=!

(!)

&endahulu an

Statistika Deskripti3

(3)

%eori Sampling

Tu6uan In Instruksional

Tu6uan Tu6uan Instruksional

U7u7 (TIU)

Khusus (TIK)

(9)

()

.ahasiswa memahami tentang pengertian konsep dasar metoda sampling

4kuran pemusatan, .ahasiswa keragaman dan letak memahami tentang pengertian konsep dasar Statistika Deskripti3

(4)

.ahasiswa mampu menjelaskan pengertian-

%atap muka

*! sam samplin plingg (! popu popula lasi si dan dan sample sample /! statis statistik tik dan parame parameter ter .ahasiswa mampu menjelaskan pengertian-

Diskusi

*! 4kur 4kuran an pemu pemusa sata tann (! 4kur 4kuran an kera keraga gama mann /! 4kur 4kuran an let letak ak

Distribusi sampling rataan dan proporsi

Distribusi sampling .ahasiswa rataan dan proporsi memahami distribusi dari satu populasi sampling rataan dan dan dua populasi + 5 proporsi dari satu dan t populasi dan dua populasi

.ahasiswa mampu-

Distribusi sampling :ariansi

Distribusi sampling .ahasiswa :ariansi + ;hi S
.ahasiswa mampu-

"stimasi dan uji hipotesa rataan untuk satu dan dua populasi

*! &enge &engert rtia iann dan dan si3atsi3at estimator (! "sti "stima masi si rata rataan an satu populasi /! "sti "stima masi si rata rataan an dua populasi 9! &enge &engert rtia iann uji uji hipotesa =! 0eni 0eniss kesa kesala laha hann dalam uji hipotesis

.ahasiswa memahami pengertian dan si3atsi3at umum estimator dan pengujian hipotesa khususnya selang rataan dan pengujiannya baik satu populasi maupun dua populasi

K.iatan

*! menje menjelas laskan kan teorem teoremaa 6'entral limit7 (! meng menghit hitung ung nil nilai ai probabilitas distribusi sampling rataan dan proporsi untuk satu dan dua populasi

*! meng menghit hitung ung nil nilai ai probabilitas distribusi sampling :ariansi dari satu populasi (! meng menghit hitung ung nil nilai ai probabilitas distribusi sampling :ariansi dari dua populasi .ahasiswa mampu *! menje menjelas laskan kan pegert pegertian ian dan si3atsi3at umum estimator (! menje menjelas laskan kan metod metodaa untuk menentukan estimator rataan populasi /! meng menghit hitung ung nil nilai ai estimasi selang rataan suatu populasi +satu dan dua populasi! 9! menje menjelas laskan kan kesala kesalahan han dalam uji hipotesis =! melak melakuka ukann uji hipote hipotesis sis rataan +satu dan dua

%atap muka

E8alua si

A#uan

(2)

(;)

%anya 0awab

1*, Bab 2

%anya 0awab

1*, Bab 2

%anya 0awab

1*, Bab 28

%anya 0awab

1*, Bab 28

%anya 0awab

1*, Bab >, *28

Diskusi

%atap muka Diskusi

%atap muka Diskusi

%atap muka Diskusi

1(, Bab ?8 1/, Bab >8

9!

=!

?!

@!

Distribusi sampling :ariansi

Distribusi sampling .ahasiswa :ariansi + ;hi S
"stimasi dan uji hipotesa rataan untuk satu dan dua populasi

*! &enge &engert rtia iann dan dan si3atsi3at estimator (! "sti "stima masi si rata rataan an satu populasi /! "sti "stima masi si rata rataan an dua populasi 9! &enge &engert rtia iann uji uji hipotesa =! 0eni 0eniss kesa kesala laha hann dalam uji hipotesis

.ahasiswa memahami pengertian dan si3atsi3at umum estimator dan pengujian hipotesa khususnya selang rataan dan pengujiannya baik satu populasi maupun dua populasi

"stimasi dan pengujian hipotea proporsi populasi

*! "stimator proporsi (! &engujian dan "stimasi selang proporsi baik satu dan dua populasi

.ahasiswa memahami pengertian dan si3atsi3at umum estimator dan &engujian hipotesa khususnya proporsi baik satu populasi maupun dua populasi

"stimasi dan uji hipotesa :ariansi

*! "stimator :ariansi (! "stimasi selang :ariasi baik satu dan dua populasi /! &engujian hipotesa :ariansi satu dan dua populasi!

.ahasiswa memahami pengertian dan si3atsi3at umum estimator dan pengujian hipotesa khususnya untuk :ariansi baik satu populasi maupun dua populasi

*! oodness o3 3it (! 4ji independesi

.ahasiswa .ahasiswa mampu memahami metoda uji

2!

4%S

>!

4ji ipotesis

.ahasiswa mampu*! meng menghit hitung ung nil nilai ai probabilitas distribusi sampling :ariansi dari satu populasi (! meng menghit hitung ung nil nilai ai probabilitas distribusi sampling :ariansi dari dua populasi .ahasiswa mampu *! menje menjelas laskan kan pegert pegertian ian dan si3atsi3at umum estimator (! menje menjelas laskan kan metod metodaa untuk menentukan estimator rataan populasi /! meng menghit hitung ung nil nilai ai estimasi selang rataan suatu populasi +satu dan dua populasi! 9! menje menjelas laskan kan kesala kesalahan han dalam uji hipotesis =! melak melakuka ukann uji hipote hipotesis sis rataan +satu dan dua

populasi! .ahasiswa mampu *! menjelaskan metoda untuk menentukan estimator proporsi populasi (! menghitung nilai estimasi selang proporsi suatu populasi +satu dan dua populasi! /! .enguji proporsi satu dan dua proporsi .ahasiswa mampu *! menjelaskan metoda untuk menentukan estimator :ariansi populasi (! menghitung nilai estimasi selang :ariasni suatu populasi +satu dan dua populasi! /! .enguji :ariansi untuk satu dan dua populasi

%atap muka

%anya 0awab

1*, Bab 28

%anya 0awab

1*, Bab >, *28

Diskusi

%atap muka Diskusi

1(, Bab ?8 1/, Bab >8

%atap muka

%anya 0awab

Diskusi

%atap muka

1(, Bab ?8

%anya 0awab

Diskusi

%atap

1*, Bab >8

1*, Bab >8 1(, Bab ?8

%anya

1*, Bab

?!

@!

*! "stimator proporsi (! &engujian dan "stimasi selang proporsi baik satu dan dua populasi

.ahasiswa memahami pengertian dan si3atsi3at umum estimator dan &engujian hipotesa khususnya proporsi baik satu populasi maupun dua populasi

"stimasi dan uji hipotesa :ariansi

*! "stimator :ariansi (! "stimasi selang :ariasi baik satu dan dua populasi /! &engujian hipotesa :ariansi satu dan dua populasi!

.ahasiswa memahami pengertian dan si3atsi3at umum estimator dan pengujian hipotesa khususnya untuk :ariansi baik satu populasi maupun dua populasi

*! oodness o3 3it (! 4ji independesi

.ahasiswa .ahasiswa mampu memahami metoda uji

2!

4%S

>!

4ji ipotesis

*)!

**!

*(!

*/!

populasi! .ahasiswa mampu -

"stimasi dan pengujian hipotea proporsi populasi

*! menjelaskan metoda untuk menentukan estimator proporsi populasi (! menghitung nilai estimasi selang proporsi suatu populasi +satu dan dua populasi! /! .enguji proporsi satu dan dua proporsi .ahasiswa mampu *! menjelaskan metoda untuk menentukan estimator :ariansi populasi (! menghitung nilai estimasi selang :ariasni suatu populasi +satu dan dua populasi! /! .enguji :ariansi untuk satu dan dua populasi

%atap muka

1(, Bab ?8

%anya 0awab

Diskusi

1(, Bab ?8

0awab

*)8

.ahasiswa .ahasiswa mampu memahami metoda uji *! .enjelaskan metoda uji :ariansi satu arah :ariansi (! melakukan uji :ariansi satu arah

%anya 0awab

*! $egresi .ahasiswa sederhana memahami metoda (! &engujian regresi regresi sederhana

.ahasiswa mampu -

*! orelasi (! &engujian korelasi

.ahasiswa memahami konsep korelsi dan pengujiannya!

.ahasiswa mampu -

.ahasiswa

.ahasiswa mampu -

*! melakukan perhitungan regresi sederhana dan pengujiannya!

*! .enghitung nilai korelasi dan pengujiannya!

%atap

1*, Bab >8

goodness o3 3it dan uji *! melakukan uji goodness muka o3 3it independensi Diskusi (! melakukan uji independesi

$egresi sederhana

*! 4ji tanda

Diskusi

1*, Bab >8

1*, Bab

*! .etoda analisis :arian (! ;$D +'omplety randomiCe design /! B$D+Bo'k $andom design

4ji

%anya 0awab

%anya

4ji :ariansi satu arah

orelasi

%atap muka

%atap muka

1(, Bab 28

Diskusi

%atap muka

1*, Bab */8 1(, Bab *)8

%anya 0awab

1*, Bab **8

%anya 0awab

1*, Bab **8

Diskusi

%atap muka Diskusi

%atap

1/, Bab *9, *=8

%anya

1*, Bab

*)!

**!

*(!

*/!

*9!

*=!

*?!

&enilaian

goodness o3 3it dan uji *! melakukan uji goodness muka o3 3it independensi Diskusi (! melakukan uji independesi

0awab

.ahasiswa .ahasiswa mampu memahami metoda uji *! .enjelaskan metoda uji :ariansi satu arah :ariansi (! melakukan uji :ariansi satu arah

%anya 0awab

4ji :ariansi satu arah

*! .etoda analisis :arian (! ;$D +'omplety randomiCe design /! B$D+Bo'k $andom design

$egresi sederhana

*! $egresi .ahasiswa sederhana memahami metoda (! &engujian regresi regresi sederhana

.ahasiswa mampu -

*! orelasi (! &engujian korelasi

.ahasiswa memahami konsep korelsi dan pengujiannya!

.ahasiswa mampu -

.ahasiswa

.ahasiswa mampu -

orelasi

4ji

*! 4ji tanda

*! melakukan perhitungan regresi sederhana dan pengujiannya!

*! .enghitung nilai korelasi dan pengujiannya!

%atap muka

1(, Bab 28

Diskusi

%atap muka

%anya 0awab

1*, Bab **8

%anya 0awab

1*, Bab **8

Diskusi

%atap muka Diskusi

1/, Bab *9, *=8

%atap

%anya

1*, Bab

muka

0awab

*?8

memahami metoda uji /! melakukan uji tanda 9! melakukan run test tanda dan run test

4ji *! 4ji Wil'oEon (! 4ji ruskal ipotesis Wallis non parametrik

.ahasiswa .ahasiswa mampu %atap memahami metoda uji muka /! melakukan uji Wil'oEon Wil'oEon dan 4ji 9! melakukan uji ruskal Diskusi ruskal Wallis Wallis

%anya 0awab

%ugas besar

.ahasiswa mampu mengaplikasikan statistika ke dunia nyata

%anya 0awab

4AS

4%S

- /)F

.ahasiswa mampu mengaplikasikan dan merepresantasikan materi

1*, Bab */8 1(, Bab *)8

ipotesis (! $un test non parametrik

&ersentasi tugas

*)8

Diskusi

%atap muka Diskusi

1(, Bab 28 1*, Bab *?8 1(, Bab 28

*9!

*=!

*?!

&enilaian

ipotesis (! $un test non parametrik

memahami metoda uji /! melakukan uji tanda 9! melakukan run test tanda dan run test

4ji *! 4ji Wil'oEon (! 4ji ruskal ipotesis Wallis non parametrik

.ahasiswa .ahasiswa mampu %atap memahami metoda uji muka /! melakukan uji Wil'oEon Wil'oEon dan 4ji 9! melakukan uji ruskal Diskusi ruskal Wallis Wallis

%anya 0awab

%ugas besar

.ahasiswa mampu mengaplikasikan statistika ke dunia nyata

%anya 0awab

&ersentasi tugas

4AS

4%S

- /)F

4AS

- /)F

G4IS

- (=F

%4AS

- *=F

.ahasiswa mampu mengaplikasikan dan merepresantasikan materi

muka

0awab

Diskusi

%atap muka Diskusi

*?8 1(, Bab 28 1*, Bab *?8 1(, Bab 28

4AS

- /)F

G4IS

- (=F

%4AS

- *=F

Buku Ajar Statistika Industri

BAB I %"H$I SA.&IN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!* I!*

&"N"$%IAN DASA$!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!* I!*!*

Sampling!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*

I!*!(

Sample +n -!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*

I!*!/

"lemen J unsur!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(

I!*!9

&opulasi +N!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(

I!*!=

erangka sampel!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(

I!(

SYA$A% SA.&" YAN BAI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(

I!/

44$AN SA.&"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=

I!9

%"NI%"NI &"NA.BIAN SA.&"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!@ I!9!*

Sampling dengan &engembalian!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!@

I!9!(

Sampling tanpa &engembalian -!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2

I!9!/

%ipe Sampling menurut &eluang &emilihannya!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2


BAB I %"H$I SA.&IN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!* I!*

&"N"$%IAN DASA$!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!* I!*!*

Sampling!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*

I!*!(

Sample +n -!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*

I!*!/

"lemen J unsur!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(

I!*!9

&opulasi +N!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(

I!*!=

erangka sampel!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(

I!(

SYA$A% SA.&" YAN BAI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(

I!/

44$AN SA.&"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=

I!9

%"NI%"NI &"NA.BIAN SA.&"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!@

I!=

I!9!*

Sampling dengan &engembalian!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!@

I!9!(

Sampling tanpa &engembalian -!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2

I!9!/

%ipe Sampling menurut &eluang &emilihannya!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2

%"NI &"NYA0IAN DA%A SA.&"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*9 I!=!*

&enyajian Data!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*9

I!=!(

%abel Distribusi 3rekuensi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*9

I!=!/

Distribusi #rekuensi $elati3 -!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*2

I!=!9

&enyajian dalam Bentuk ra3ik!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*>

BAB II DIS%$IB4SI SA.&IN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(9 II!* DIS%$IB4SI SA.&IN $A%AAN 5!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(9 II!( DIS%$IB4SI SA.&IN $A%AAN %!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(2 II!/ DIS%$IB4SI SA.&IN &$H&H$SI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/* II!9 DIS%$IB4SI SA.&IN &$H&H$SI ( &H&4ASI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/( II!= DIS%$IB4SI SA.&IN KA$IANSI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/9 BAB III %"H$I "S%I.ASI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/? III!* "S%I.ASI $A%AAN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/? III!*!* Selang keper'ayaan mean sampel!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/? III!*!( Selang keper'ayaan untuk LM σ diketahui!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/? III!*!/ esalahan estimasi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/@ III!*!9 Sampel sedikit!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/2 10 IT TELKOM

Buku Ajar Statistika Industri III!*!= Selang keper'ayaan untuk LM  tidak diketahui!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!/> III!( "S%I.ASI &$H&H$SI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!9) III!(!* "stimasi Selisih Dua &roporsi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!9= III!/ "S%I.ASI KA$IANSI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!92 III!/!* "stimasi Nisbah Dua Kariansi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=) BAB IK 40I I&H%"SIS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=9 IK!* I&H%"SIS S%A%IS%I!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=9 IK!( A$A &"N40IAN I&H%"SIS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!== IK!(!* 4ji "kasisi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!== IK!(!( 4ji Dwisisi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=@ IK!/ "SAAAN DAA. &"N40IAN I&H%"SIS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!=@ IK!9 ANA &"N"$0AAN 40I I&H%"SIS!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!?) IK!= 40I ."NYAN4% $A%AAN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!?) IK!? 40I ."NYAN4% &$H&H$SI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!?/ IK!@ 40I ."NYAN4% KA$IANSI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!?? BAB K 40I ;ISG4A$"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!@( K!* HHDN"SS H# #I% %"S%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!@( K!( IND"&"ND"NSI +40I "B"BASAN!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!@? BAB KI $"$"SI DAN H$"ASI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2* KI!* $"$"SI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2* KI!*!* $egresi inier Sederhana!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2* KI!*!( $egresi inier Berganda!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2@ KI!( H$"ASI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2> KI!(!* De3inisi orelasi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2> KI!(!( oe3isien orelasi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2> KI!(!/ %eknik orelasi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!>) KI!(!9 4ji ipotesis orelasi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!>= BAB KIIANHKA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!>> KII!*H NE WAY ANOVA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!>> VII.2 TWO WAY ANOVA!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*)(

KII!(!*%wo Way Ano:a dengan n replikasi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!*)/

11 IT TELKOM


12 IT TELKOM

"A" I% TE>RI SAMP5ING

P(DA!$%$A(

%eori sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitua &engertian dasar teori sampling

b Syarat sampel yang baik ' 4kuran sampel d %eknikteknik pengambilan sampel e %eknik penyajian data sampel

T$J$A( I(ST&$#SI)(A% $M$M

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa mengetahui proses sampling dan dapat menggambarkan proses dan metode yang digunakan dalam pengumpulan data dan dapat menjelaskan proses dan metode yang digunakan dalam pengolahan data! T$J$A( I(ST&$#SI)(A% #!$S$S

*! .ahasiswa dapat memahami konsep dasar teori sampling (! .ahasiswa akan dapat memahami apa saja syarat sampel yang baik

/! .ahasiswa dapat memahami ukuran sample yang baik! 9! .ahasiswa diharapkan memahami teknikteknik pengambilan sample =! .ahasiswa dapat memahami teknik penyajian data sampel 1,,,,. 2,,,,. -,,,,. ,,,,.

S#(A&I) PM+%AJA&A(

egiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut*! &erkuliahan (! &enjelasan tentang 'on'ept map +tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas, pokok bahasan, dan kompetensi yang akan di'apai +%I4 dan %I /! %es pendahuluan 9! $ingkasan materi disampaikan dengan metode 'eramah, critical incident , diskusi dan tanya jawab =! %es akhir ?! ":aluasi pen'apaian @! &enutup

&I(*#ASA( MAT&I

I%$ I%$%$

PENGERTIAN
&roses pengambilan atau memilih n buah elemenJobjekJunsur dari populasi yang berukuran N! .isalnya memilih s*a.ian murid SD Negeri di ota Bandung, dalam sebuah penelitian yang bertujuan untuk mengetahui proporsi latar belakang tingkat pendidikan orang tua dari sluruh murid SD Negeri di ota Bandung! I%$%!

Sa7'l (n) :

.erupakan bagian dari populasi! "lemen anggota sampel, merupakan anggota populasi dimana sampel diambil! 0ika N banyaknya elemen populasi, dan n banyaknya elemen sampel, maka n O N! Artinya tidak akan ada sampel jika tidak ada populasi! &opulasi adalah keseluruhan elemen atau unsur yang akan kita teliti! &enelitian yang dilakukan atas seluruh elemen dinamakan sensus! Idealnya, agar hasil penelitiannya lebih bisa diper'aya, seorang peneliti harus melakukan sensus! Namun karena sesuatu hal peneliti bisa tidak meneliti keseluruhan elemen tadi, maka yang bisa dilakukannya adalah meneliti sebagian dari keseluruhan elemen atau unsur tadi!

Berbagai alasan yang masuk akal mengapa peneliti tidak melakukan sensus antara lain adalah,+a populasi demikian banyaknya sehingga dalam prakteknya tidak mungkin seluruh elemen ditelitiM +b keterbatasan waktu penelitian, biaya, dan sumber daya manusia, membuat peneliti harus telah puas jika meneliti sebagian dari elemen penelitianM +' bahkan kadang, penelitian yang dilakukan terhadap sampel bisa lebih reliabel daripada terhadap populasi P misalnya, karena elemen sedemikian banyaknya maka akan memun'ulkan kelelahan 3isik dan mental para pen'a'ahnya sehingga banyak terjadi kekeliruan! +4ma Sekaran, *>>(M +d demikian pula jika elemen populasi homogen, penelitian terhadap seluruh elemen dalam populasi menjadi tidak masuk akal, misalnya untuk meneliti kualitas jeruk dari satu pohon jeruk Agar hasil penelitian yang dilakukan terhadap sampel masih tetap bisa diper'aya dalam artian masih bisa mewakili karakteristik populasi, maka 'ara penarikan sampelnya harus dilakukan se'ara seksama! ;ara pemilihan sampel dikenal dengan nama tknik sa7'lin. atau tknik 'n.a7*ilan sa7'l % I%$%3

El7n ? unsur

"lemen adalah setiap satuan populasi! alau dalam populasi terdapat /) laporan keuangan, maka setiap laporan keuangan tersebut adalah unsur atau elemen penelitian! Artinya dalam populasi tersebut terdapat /) elemen penelitian! 0ika populasinya adalah pabrik sepatu, dan jumlah pabrik sepatu =)), maka dalam populasi tersebut terdapat =)) elemen penelitian! I%$%9

Po'ulasi (N)

umpulan lengkap dari elemenelemen yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan berdasarkan karekteristiknya! .isalnya .ahasiswa Indonesia dapat dibedakan berdasarkan :ariabel jenis kelamin dengan karakteristik lakilaki dan perempuan, atau :ariabel IPK dengan karektaristik indeks antara )9! Atau dapat diartikan sebagai sekelompok orang, kejadian, atau benda, yang dijadikan obyek penelitian! 0ika yang ingin diteliti adalah sikap konsumen terhadap satu produk tertentu, maka populasinya adalah seluruh konsumen produk tersebut! 0ika yang diteliti adalah laporan keuangan perusahaan 6Q7, maka populasinya adalah keseluruhan laporan keuangan perusahaan 6Q7 tersebut, 0ika yang diteliti adalah moti:asi pegawai di departemen 6A7 maka populasinya adalah seluruh pegawai di departemen 6A7!

I%$%

Kran.ka sa7'l

erangka sampel adalah da3tar yang memuat seluruh elemenJanggota populasi, sebagai dasar untuk penarikan sampel random Sedangkan sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi! I%!

S@ARAT SAMPE5 @ANG "AIK

Se'ara umum, sampel yang baik adalah yang dapat mewakili sebanyak mungkin karakteristik populasi! Dalam bahasa pengukuran, artinya sampel harus :alid, yaitu bisa mengukur sesuatu yang seharusnya diukur! alau yang ingin diukur adalah masyarakat Sunda sedangkan yang dijadikan sampel adalah hanya orang Banten saja, maka sampel tersebut tidak :alid, karena tidak mengukur sesuatu yang seharusnya diukur +orang Sunda! Sampel yang :alid ditentukan oleh dua pertimbangan! Prta7a : Akurasi atau kt'atan

, yaitu tingkat ketidakadaan 6bias7 +kekeliruan dalam

sample! Dengan kata lain makin sedikit tingkat kekeliruan yang ada dalam sampel, makin akurat sampel tersebut! %olok ukur adanya 6bias7 atau kekeliruan adalah populasi! ;ooper dan "mory +*>>= menyebutkan bahwa “there is no systematic variance” yang maksudnya adalah tidak ada keragaman pengukuran yang disebabkan karena pengaruh yang diketahui atau tidak diketahui, yang menyebabkan skor 'enderung mengarah pada satu titik tertentu! Sebagai 'ontoh, jika ingin mengetahui ratarata luas tanah suatu perumahan, lalu yang dijadikan sampel adalah rumah yang terletak di setiap sudut jalan, maka hasil atau skor yang diperoleh akan bias! ekeliruan sema'am ini bisa terjadi pada sampel yang diambil se'ara sistematis

;ontoh sstematic !ariance yang banyak ditulis dalam bukubuku metode penelitian

adalah jajakpendapat +polling yang dilakukan oleh "iterar #i$est +sebuah majalah yang terbit di Amerika tahun *>()an pada tahun *>/?! +;opper R "mory, *>>=, Nan lin, *>@?! .ulai tahun *>(), *>(9, *>(2, dan tahun *>/( majalah ini berhasil memprediksi siapa yang akan jadi presiden dari 'alon'alon presiden yang ada! Sampel diambil berdasarkan petunjuk dalam buku telepon dan dari da3tar pemilik mobil! Namun pada tahun *>/? prediksinya salah! Berdasarkan jajak pendapat, di antara dua 'alon presiden +Al3red .! andon dan #ranklin D! $oose:elt, yang akan menang adalah andon, namun meleset karena ternyata $oose:elt yang terpilih menjadi presiden Amerika! Setelah diperiksa se'ara seksama, ternyata "iterar #i$est membuat kesalahan dalam menentukan sampel penelitiannya ! arena semua sampel yang diambil adalah mereka yang

memiliki telepon dan mobil, akibatnya pemilih yang sebagian besar tidak memiliki telepon dan mobil +kelas rendah tidak terwakili, padahal $ose:elt lebih banyak dipilih oleh masyarakat kelas rendah tersebut! Dari kejadian tersebut ada dua pelajaran yang diperoleh +*, keakuratan prediktibilitas dari suatu sampel tidak selalu bisa dijamin dengan banyaknya jumlah sampelM +( agar sampel dapat memprediksi dengan baik populasi, sampel harus mempunyai selengkap mungkin karakteristik populasi +Nan in, *>@?! riteria kedua sampel yang baik adalah memiliki tingkat presisi estimasi!

Kdua : Prsisi%

&resisi menga'u pada persoalan sdkat 7ana sti7asi kita 'o'ulasi% ;ontoh

dn.an karaktristik

- Dari /)) pegawai produksi, diambil sampel =) orang! Setelah diukur

ternyata ratarata perhari, setiap orang menghasilkan =) potong produk 6Q7! Namun berdasarkan laporan harian, pegawai bisa menghasilkan produk 6Q7 per harinya ratarata =2 unit! Artinya di antara laporan harian yang dihitung berdasarkan populasi dengan hasil penelitian yang dihasilkan dari sampel, terdapat perbedaan 2 unit! .akin ke'il tingkat perbedaan di antara ratarata populasi dengan ratarata sampel, maka makin tinggi tingkat presisi sampel tersebut! Belum pernah ada sampel yang bisa mewakili karakteristik populasi sepenuhnya! Hleh karena itu dalam setiap penarikan sampel senantiasa melekat keasalahankesalahan, yang dikenal dengan nama 6 sampling error 7 &resisi diukur oleh simpangan baku + standard error ! .akin ke'il perbedaan di antara simpangan baku yang diperoleh dari sampel +S dengan simpangan baku dari populasi +, makin tinggi pula tingkat presisinya! Walau tidak selamanya, tingkat presisi mungkin bisa meningkat dengan 'ara menambahkan jumlah sampel, karena kesalahan mungkin bisa berkurang kalau jumlah sampelnya ditambah + erlinger, *>@/ ! Dengan 'ontoh di atas tadi, mungkin saja perbedaan ratarata di antara populasi dengan sampel bisa lebih sedikit, jika sampel yang ditariknya ditambah! atakanlah dari =) menjadi @=! Di bawah ini digambarkan hubungan antara jumlah sampel dengan tingkat kesalahan seperti yang diutarakan oleh erlinger

besa

kesalaha ke/il ke/il

I%3

+esarnya

besa

UKURAN SAMPE5

&ertanyaan yang sering diajukan oleh peneliti ketika akan melakukan penelitian adalah 7berapa besar sampel yang harus diteliti dari sebuah populasi7, agar hasil +berupa data perkiraan penelitian dapat mewakili atau merepresentasikan populasi! Data perkiraan +statistik disebut mewakili jika angkanya mendekati parameter! 0ika parameter *)), >= disebut lebih mewakili dibandingkan dengan >)! 4kuran sampel atau jumlah sampel yang diambil menjadi persoalan yang penting manakala jenis penelitian yang akan dilakukan adalah penelitian yang menggunakan analisis kuantitati3! &ada penelitian yang menggunakan analisis kualitati3, ukuran sampel bukan menjadi nomor satu, karena yang dipentingkan alah kekayaan in3ormasi! Walau jumlahnya sedikit tetapi jika kaya akan in3ormasi, maka sampelnya lebih berman3aat! Dikaitkan dengan besarnya sampel, selain tingkat kesalahan, ada lagi beberapa 3aktor lain yang perlu memperoleh pertimbangan yaitu, +* derajat keseragaman, +( ren'ana analisis, +/ biaya, waktu, dan tenaga yang tersedia ! +Singarimbun dan "33endy, *>2>! .akin tidak seragam si3at atau karakter setiap elemen populasi, makin banyak sampel yang harus diambil! 0ika ren'ana analisisnya mendetail atau rin'i maka jumlah sampelnya pun harus banyak! .isalnya di samping ingin mengetahui sikap konsumen terhadap kebijakan perusahaan, peneliti juga bermaksud mengetahui hubungan antara sikap dengan tingkat pendidikan! Agar tujuan ini dapat ter'apai maka sampelnya harus terdiri atas berbagai jenjang pendidikan SD, S%&! S.4, dan seterusnya!! .akin sedikit waktu, biaya , dan tenaga yang dimiliki peneliti, makin sedikit pula sampel yang bisa diperoleh! &erlu dipahami bahwa apapun alasannya, penelitian haruslah dapat dikelola dengan baik +manageable! .isalnya, jumlah bank yang dijadikan populasi penelitian ada 9)) buah! &ertanyaannya adalah, berapa bank yang harus diambil menjadi sampel agar hasilnya mewakili populasi! /), =) *)) (=)! 0awabnya tidak mudah! Ada yang mengatakan, jika ukuran populasinya di atas *))), sampel sekitar *) F sudah 'ukup, tetapi jika ukuran

populasinya sekitar *)), sampelnya paling sedikit /)F, dan kalau ukuran populasinya /), maka sampelnya harus *))F! Ada pula yang menuliskan, untuk penelitian deskripti3, sampelnya *)F dari populasi, penelitian korelasional, paling sedikit /) elemen populasi, penelitian perbandingan kausal, /) elemen per kelompok, dan untuk penelitian eksperimen *= elemen per kelompok +ay dan Diehl, *>>(! $os'oe +*>@= dalam 4ma Sekaran +*>>( memberikan pedoman penentuan jumlah sampel sebagai berikut *! Sebaiknya ukuran sampel di antara /) sJd =)) elemen (! 0ika sampel dipe'ah lagi ke dalam subsampel +lakiJperempuan, SDJS%&JS.4, dsb, jumlah minimum subsampel harus /) /! &ada penelitian multi:ariate +termasuk analisis regresi multi:ariate ukuran sampel harus beberapa kali lebih besar +*) kali dari jumlah :ariable yang akan dianalisis! 9! 4ntuk penelitian eksperimen yang sederhana, dengan pengendalian yang ketat, ukuran sampel bisa antara *) sJd () elemen! rej'ie dan .organ +*>@) dalam 4ma Sekaran +*>>( membuat da3tar yang bisa dipakai untuk menentukan jumlah sampel sebagai berikut +ihat %abel %abel I!* %abel &enentuan 0umlah Sampel Po'ulasi (N)

Sa7'l (n)

Po'ulasi (N) Sa7'l (n)

Po'ulasi (N)

Sa7'l (n)

*) *= () (= /) /= 9) 9= =) == ?) ?= @) @= 2) 2= >) >= *)) **)

*) *9 *> (9 (2 /( /? 9) 99 92 =( =? => ?/ ?? @) @/ @? 2) 2?

(() (/) (9) (=) (?) (@) (2) (>) /)) /() /9) /?) /2) 9)) 9() 99) 9?) 92) =)) ==)

*()) */)) *9)) *=)) *?)) *@)) *2)) *>)) ())) (()) (9)) (?)) (2)) /))) /=)) 9))) 9=)) =))) ?))) @)))

(>* (>@ /)( /)? /*) /*/ /*@ /() /(( /(@ //* //= //2 /9* /9? /=* /=9 /=@ /?* /?9

*9) *99 *92 *=( *== *=> *?( *?= *?> *@= *2* *2? *>* *>? ()* ()= (*) (*9 (*@ ((?

*() */) *9) *=) *?) *@) *2) *>) ()) (*)

>( >@ *)/ *)2 **/ **2 *(/ *(@ */( */?

?)) ?=) @)) @=) 2)) 2=) >)) >=) *))) **))

(/9 (9( (92 (=9 (?) (?= (?> (@9 (@2 (2=

2))) >))) *)))) *=))) ()))) /)))) 9)))) =)))) @=))) *))))))

/?@ /?2 /@) /@= /@@ /@> /2) /2* /2( /29

Sebagai in3ormasi lainnya, ;hampion +*>2* mengatakan bahwa sebagian besar uji statistik selalu menyertakan rekomendasi ukuran sampel! Dengan kata lain, ujiuji statistik yang ada akan sangat e3ekti3 jika diterapkan pada sampel yang jumlahnya /) sJd ?) atau dari *() sJd (=)! Bahkan jika sampelnya di atas =)), tidak direkomendasikan untuk menerapkan uji statistik! +&enjelasan tentang ini dapat diba'a di Bab @ dan 2 buku Basi' Statisti's 3or So'ial $esear'h, Se'ond "dition

I%9

TEKNIKTEKNIK PENGAM"I5AN SAMPE5

Ada beberapa teknik pengambilan sampel yang sering digunakan dalam penelitian diantaranya adalah- Sampling non probabilitas dan sampling probabilitas!

ebih detailnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini-

ambar I!* %ipe Sampling menurut &roses .emilih

I%9%$

Sa7'lin. dn.an Pn.7*alian

Satuan sampling yang terpilih, 6dikembalikan7 lagi ke dalam populasi +sebelum dilakukan kembali proses pemilihan berikutnya! Sebuah satuan sampling bisa terpilih lebih dari satu kali! 4ntuk populasi berukuran NT9 dan sampel berukuran nT(, maka sampel yang mungkin terambil adalah N n T 9( T *? buah sampel! %eknik sampling seperti ini bisa dikatakan tidak pernah digunakan dalam suatu penelitian, hanya untuk keperluan teoritis yang berkatian dengan pengambilan sampel! I%9%!

Sa7'lin. tan'a Pn.7*alian :

Satuan sampling yang telah terpilih, 6tidak dikembalikan7 lagi ke dalam populasi! %idak ada kemungkinan suatu satuan sampling terpilih lebih dari sekali! 4ntuk populasi berukuran NT9 +misalnya A, B, ;, D dan sampel berukuran nT/, maka sampel yang mungkin terambil ada 9 buah sampel yaitu AB;, ABD, A;D, dan B;D! Se'ara umum untuk menghitung banyaknya ma'am sampel yang mungkin jika pengambilan sampel tanpa pengembalian adalah- n;r T nUJ+rU+nrU

I%9%3

Ti' Sa7'lin. 7nurut Pluan. P7ilihann+a

I%9%3%$ Random sampling

$andom sampling adalah 'ara pengambilan sampel yang memberikan kesempatan yang sama untuk diambil kepada setiap elemen populasi! Artinya jika elemen populasinya ada *)) dan yang akan dijadikan sampel adalah (=, maka setiap elemen tersebut mempunyai kemungkinan (=J*)) untuk bisa dipilih menjadi sampel! Syarat pertama yang harus dilakukan untuk mengambil sampel se'ara a'ak adalah memperoleh atau membuat kerangka sampel atau dikenal dengan nama “sampling frame” ! Yang dimaksud dengan kerangka sampling adalah da3tar yang berisikan setiap elemen populasi yang bisa diambil sebagai sampel! "lemen populasi bisa berupa data tentang orangJbinatang, tentang kejadian, tentang tempat, atau juga tentang benda! 0ika populasi penelitian adalah mahasiswa perguruan tinggi 6A7, maka peneliti harus bisa memiliki da3tar semua mahasiswa yang terda3tar di perguruan tinggi 6A 6 tersebut selengkap mungkin! Nama, N$&, jenis kelamin, alamat, usia, dan in3ormasi lain yang berguna bagi penelitiannya!! Dari da3tar ini, peneliti akan bisa se'ara pasti mengetahui jumlah populasinya +N! 0ika populasinya adalah rumah tangga dalam sebuah kota, maka peneliti harus mempunyai da3tar seluruh rumah tangga kota tersebut! 0ika populasinya adalah wilayah 0awa Barat, maka penelti harus mepunyai peta wilayah 0awa Barat se'ara lengkap! abupaten, e'amatan, Desa, ampung! alu setiap tempat tersebut diberi kode +angka atau simbol yang berbeda satu sama lainnya! Di samping sam%lin$ &rame, peneliti juga harus mempunyai alat yang bisa dijadikan penentu sampel! Dari sekian elemen populasi, elemen mana saja yang bisa dipilih menjadi sampel! Alat yang umumnya digunakan adalah %abel Angka $andom, kalkulator, atau undian! &emilihan sampel se'ara a'ak bisa dilakukan melalui sistem undian jika elemen populasinya tidak begitu banyak! %etapi jika sudah ratusan, 'ara undian bisa mengganggu konsep 6a'ak7 atau 6random7 itu sendiri!

$% Si7'l Rando7 Sa7'lin. atau Sa7'l A#ak Sdrhana

;ara atau teknik ini dapat dilakukan jika analisis penelitiannya 'enderung deskripti3 dan bersi3at umum! &erbedaan karakter yang mungkin ada pada setiap unsur atau elemen populasi tidak merupakan hal yang penting bagi ren'ana analisisnya! .isalnya, dalam

populasi ada wanita dan pria, atau ada yang kaya dan yang miskin, ada manajer dan bukan manajer, dan perbedaanperbedaan lainnya! Selama perbedaan gender, status kemakmuran, dan kedudukan dalam organisasi, serta perbedaanperbedaan lain tersebut bukan merupakan sesuatu hal yang penting dan mempunyai pengaruh yang signi3ikan terhadap hasil penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel se'ara a'ak sederhana! Dengan demikian setiap unsur populasi harus mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel! &rosedurnya -

o

Susun 6sampling 3rame7

o

%etapkan jumlah sampel yang akan diambil

o

%entukan alat pemilihan sampel

o

&ilih sampel sampai dengan jumlah terpenuhi

!% Strati-id Rando7 Sa7'lin. atau Sa7'l A#ak
arena unsur populasi berkarakteristik heterogen, dan heterogenitas tersebut mempunyai arti yang signi3ikan pada pen'apaian tujuan penelitian, maka peneliti dapat mengambil sampel dengan 'ara ini! .isalnya, seorang peneliti ingin mengetahui sikap manajer terhadap satu kebijakan perusahaan! Dia menduga bahwa manajer tingkat atas 'enderung positi3 sikapnya terhadap kebijakan perusahaan tadi! Agar dapat menguji dugaannya tersebut maka sampelnya harus terdiri atas paling tidak para manajer tingkat atas, menengah, dan bawah! Dengan teknik pemilihan sampel se'ara random distrati3ikasikan, maka dia akan memperoleh manajer di ketiga tingkatan tersebut, yaitu stratum manajer atas, manajer menengah dan manajer bawah! Dari setiap stratum tersebut dipilih sampel se'ara a'ak! &rosedurnya -

o

Siapkan 6sampling 3rame7

o

Bagi sampling 3rame tersebut berdasarkan strata yang dikehendaki

o

%entukan jumlah sampel dalam setiap stratum

o

&ilih sampel dari setiap stratum se'ara a'ak!

&ada saat menentukan jumlah sampel dalam setiap stratum, peneliti dapat menentukan se'ara +a proposional, +b tidak proposional! Yang dimaksud dengan proposional adalah jumlah sampel dalam setiap stratum sebanding dengan jumlah unsur populasi dalam stratum tersebut! .isalnya, untuk stratum manajer tingkat atas +I terdapat *= manajer, tingkat menengah ada 9= manajer +II, dan manajer tingkat bawah +III ada *)) manajer! Artinya jumlah seluruh manajer adalah *?)! alau jumlah sampel yang akan diambil seluruhnya *)) manajer, maka untuk stratum I diambil +*=-*?)E*)) T > manajer, stratum II T (2 manajer, dan stratum / T ?/ manajer! 0umlah dalam setiap stratum tidak proposional! al ini terjadi jika jumlah unsur atau elemen di salah satu atau beberapa stratum sangat sedikit! .isalnya saja, kalau dalam stratum manajer kelas atas +I hanya ada 9 manajer, maka peneliti bisa mengambil semua manajer dalam stratum tersebut , dan untuk manajer tingkat menengah +II ditambah =, sedangkan manajer tingat bawah +III, tetap ?/ orang!

3% Clustr Sa7'lin. atau Sa7'l Gu.us

%eknik ini biasa juga diterjemahkan dengan 'ara pengambilan sampel berdasarkan gugus! Berbeda dengan teknik pengambilan sampel a'ak yang distrati3ikasikan, di mana setiap unsur dalam satu stratum memiliki karakteristik yang homogen +stratum A - laki laki semua, stratum B - perempuan semua, maka dalam sampel gugus, setiap gugus boleh mengandung unsur yang karakteristiknya berbedabeda atau heterogen! .isalnya, dalam satu organisasi terdapat *)) departemen! Dalam setiap departemen terdapat banyak pegawai dengan karakteristik berbeda pula! Beda jenis kelaminnya, beda tingkat pendidikannya, beda tingkat pendapatnya, beda tingat manajerialnnya, dan perbedaan perbedaan lainnya! 0ika peneliti bermaksud mengetahui tingkat penerimaan para pegawai terhadap suatu strategi yang segera diterapkan perusahaan, maka peneliti dapat menggunakan 'luster sampling untuk men'egah terpilihnya sampel hanya dari satu atau dua departemen saja! &rosedur a! Susun sampling 3rame berdasarkan gugus b! %entukan berapa gugus yang akan diambil sebagai sampel '! &ilih gugus sebagai sampel dengan 'ara a'ak d! %eliti setiap pegawai yang ada dalam gugus sample 9% S+st7ati# Sa7'lin. atau Sa7'l Sist7atis

0ika peneliti dihadapkan pada ukuran populasi yang banyak dan tidak memiliki alat pengambil data se'ara random, 'ara pengambilan sampel sistematis dapat digunakan! ;ara ini menuntut kepada peneliti untuk memilih unsur populasi se'ara sistematis, yaitu unsur populasi yang bisa dijadikan sampel adalah yang 6keberapa7! .isalnya, setiap unsur populasi yang keenam, yang bisa dijadikan sampel! Soal 6keberapa7nya satu unsur populasi bisa dijadikan sampel tergantung pada ukuran populasi dan ukuran sampel! .isalnya, dalam satu populasi terdapat =))) rumah! Sampel yang akan diambil adalah (=) rumah dengan demikian inter:al di antara sampel kesatu, kedua, dan seterusnya adalah (=! &rosedurnya •

Susun sampling 3rame

•

%etapkan jumlah sampel yang ingin diambil

•

%entukan  +kelas inter:al

•

%entukan angka atau nomor awal di antara kelas inter:al tersebut se'ara a'ak atau random P biasanya melalui 'ara undian saja!

•

.ulailah mengambil sampel dimulai dari angka atau nomor awal yang terpilih!

•

&ilihlah sebagai sampel angka atau nomor inter:al berikutnya

% Ara Sa7'lin. atau Sa7'l &ila+ah

%eknik ini dipakai ketika peneliti dihadapkan pada situasi bahwa populasi penelitiannya tersebar di berbagai wilayah! .isalnya, seorang marketing manajer sebuah stasiun %K ingin mengetahui tingkat penerimaan masyarakat 0awa Barat atas sebuah mata tayangan, teknik pengambilan sampel dengan area sampling sangat tepat! &rosedurnya o

Susun sam%lin$ &rame yang menggambarkan peta wilayah +0awa Barat P abupaten, otamadya, e'amatan, Desa!

o

%entukan wilayah yang akan dijadikan sampel +abupaten , otamadya, e'amatan, Desa

o

%entukan berapa wilayah yang akan dijadikan sampel penelitiannya!

o

&ilih beberapa wilayah untuk dijadikan sampel dengan 'ara a'ak atau random!

o

alau ternyata masih terlampau banyak responden yang harus diambil datanya, bagi lagi wilayah yang terpilih ke dalam sub wilayah!

I%9%3%! Non random sampling atau nonprobability sampling

Seperti telah diuraikan sebelumnya, jenis sampel ini tidak dipilih se'ara a'ak! %idak semua unsur atau elemen populasi mempunyai kesempatan sama untuk bisa dipilih menjadi sampel! 4nsur populasi yang terpilih menjadi sampel bisa disebabkan karena kebetulan atau karena 3aktor lain yang sebelumnya sudah diren'anakan oleh peneliti! $% Con8nin# Sa7'lin. atau sa7'l +an. di'ilih dn.an 'rti7*an.an k7udahan !

Dalam memilih sampel, peneliti tidak mempunyai pertimbangan lain ke'uali berdasarkan kemudahan saja! Seseorang diambil sebagai sampel karena kebetulan orang tadi ada di situ atau kebetulan dia mengenal orang tersebut! Hleh karena itu ada beberapa penulis menggunakan istilah accidental sampling P tidak disengaja P atau juga captive sample

+manonthestreet 0enis sampel ini sangat baik jika diman3aatkan untuk

penelitian penjajagan, yang kemudian diikuti oleh penelitian lanjutan yang sampelnya diambil se'ara a'ak +random! Beberapa kasus penelitian yang menggunakan jenis sampel ini, hasilnya ternyata kurang obyekti3!

!% Pur'osi8 Sa7'lin.

Sesuai dengan namanya, sampel diambil dengan maksud atau tujuan tertentu! Seseorang atau sesuatu diambil sebagai sampel karena peneliti menganggap bahwa seseorang atau sesuatu tersebut memiliki in3ormasi yang diperlukan bagi penelitiannya! Dua jenis sampel ini dikenal dengan nama judgement dan quota sampling. Jud.7nt Sa7'lin.

Sampel dipilih berdasarkan penilaian peneliti bahwa dia adalah pihak yang paling baik untuk dijadikan sampel penelitiannya!! .isalnya untuk memperoleh data tentang bagaimana satu proses produksi diren'anakan oleh suatu perusahaan, maka manajer produksi merupakan orang yang terbaik untuk bisa memberikan in3ormasi! 0adi, j'dment sam%lin$ umumnya memilih sesuatu atau seseorang menjadi sampel karena mereka mempunyai in-or7ation ri#h/% Dalam program pengembangan produk (%rod'ct de!elo%ment , biasanya yang dijadikan sampel adalah karyawannya sendiri, dengan pertimbangan bahwa kalau karyawan sendiri tidak puas terhadap produk baru yang akan dipasarkan, maka jangan terlalu berharap pasar akan menerima produk itu dengan baik! +;ooper dan "mory, *>>(! Buota Sa7'lin.

%eknik sampel ini adalah bentuk dari sampel distrati3ikasikan se'ara proposional, namun tidak dipilih se'ara a'ak melainkan se'ara kebetulan saja! .isalnya, di sebuah kantor terdapat pegawai lakilaki ?)F dan perempuan 9)F! 0ika seorang peneliti ingin mewawan'ari /) orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi maka dia harus mengambil sampel pegawai lakilaki sebanyak *2 orang sedangkan pegawai perempuan *( orang! Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel tadi tidak dilakukan se'ara a'ak, melainkan se'ara kebetulan saja! 3% Sno*all Sa7'lin. D Sa7'l "ola Sal6u

;ara ini banyak dipakai ketika peneliti tidak banyak tahu tentang populasi penelitiannya! Dia hanya tahu satu atau dua orang yang berdasarkan penilaiannya bisa dijadikan sampel! arena peneliti menginginkan lebih banyak lagi, lalu dia minta kepada sampel pertama untuk menunjukan orang lain yang kirakira bisa dijadikan sampel! .isalnya, seorang peneliti ingin mengetahui pandangan kaum lesbian terhadap lembaga

perkawinan! &eneliti 'ukup men'ari satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan wawan'ara! Setelah selesai, peneliti tadi minta kepada wanita lesbian tersebut untuk bisa mewawan'arai teman lesbian lainnya! Setelah jumlah wanita lesbian yang berhasil diwawan'arainya dirasa 'ukup, peneliti bisa mengentikan pen'arian wanita lesbian lainnya! ! al ini bisa juga dilakukan pada pen'andu narkotik, para gay, atau kelompok kelompok sosial lain yang eksklusi3 +tertutup! 9% 0a'haard Sa7'lin.

Satuan sampling dipilih sembarangan atau seadanya, tanpa perhitungan apapun tentang derajat kerepresentatipannya! .isalnya ketika kita akan melakukan penelitian mengenai kompetensi dosen di sebuah 4ni:ersitas, pertanyaan dapat diajukan kepada siapapun mahasiswa dari uni:ersitas tersebut +sebagai sampel yang kebetulan datang pada saat kita berada di sana untuk melakukan penelitian!

I% I%%$

TEKNIK PEN@AJIAN
&enyajian data dilakukan untuk mempermudah dalam pengambilan keputusan! Data data yang kita ambil dari populasi atau biasa disebut sebagai data sampel, dapat diperoleh dengan berbagai 'ara, antara lain Wawan'ara  &engamatan  Surat menyurat  uisioner

Data mentah yang diperoleh dapat disajikan sebagai statistika tataan +pengurutan data dalam bentuk tabel distribusi 3rekuensi,histogram, boE plot, diagram dahan daun, dan lain lain!

I%%!

Ta*l
%abel distribusi 3rekuensi adalah metode pengelompokan data ke dalam beberapa kategori yang menunjukan banyaknya data dalam setiap kategori! Setiap data tidak dapat dimasukan ke dalam dua atau lebih kategori agar data menjadi in3ormati3 dan mudah dipahami! Data yang sudah dirangkum dalam distribusi 3rekuensi dinamakan data berkelompok! %abel I!( ;ontoh tabel distribusi 3rekuensi

•

Klas intr8al

=rkuns i

/P= ?P2 > P ** *( P *9 *=  *@

( = @ * *

angkahlangkah distribusi 3rekuensi*! .engurutkan data dari data terke'il hingga data terbesar atau sebaliknya! (! .enentukan banyaknya kelas dengan menggunakan kaidah Sturges, yaitu k = 1 + 3,3 log N

N - banyaknya pengamatan Banyaknya kelas sebaiknya antara = sampai dengan *= /! .enentukan inter:al kelas +I, dengan rumus X maks − X min jangkauan = KI = k

k

I sebaiknya kelipatan =! 9! .elakukan penturusan atau tabulasi dengan memasukan nilai ke dalam inter:al kelas!

=! 4ntuk komposisi kelas,perhatikan bahwa kelas tidak tumpang tindih +lihat batas atas dan batas bawah tiap kelasnya kelas! ?! Bila tabel distribusi 3rekuensi akan digunakan untuk membuat histogram atau poligon, maka komposisinya diubah ke bentuk batas kelas, yaitu batas bawah dikurangi + V E satuan pengukuran terke'il dari data dan batas atas ditambah +V E satuan pengukuran terke'il dari data! Batas kelas adalah nilai terendah dan tertinggi dalam satu kelas tabel distribusi 3rekuensi! Batas kelas dalam suatu inter:al kelas terdiri dari dua ma'am  Batas kelas bawah P lower 'lass limit, yaitu nilai terendah dalam suatu inter:al

kelas  Batas kelas atas P upper 'lass limit, yaitu nilai tertinggi dalam suatu inter:al

kelas

;ontoh Batas elas -

Kelas

Interval

Jumlah Frekuensi (F)

1

215

2122

14

2

2123

4030

4

3

4031

5938

1

4

5939

7846

1

5

7847

9754

1

Batas k!as ba"ah Batas k!as atas

Nilai tengah adalah tanda atau perin'i dari suatu inter:al kelas dan merupakan suatu angka yang dapat dianggap mewakili suatu inter:al kelas! Nilai tengah kelas berada di tengahtengah pada setiap inter:al kelas!

;ontoh nilai tengah-

Kelas

Interval

1

215

2122

2

2123

4030

3

4031

5938

4

5939

7846

5

7847

9754

Nilai tengah 1168.5 3076.5 484.5 68!.5 #i!ai 8800.5

tn$ah K!as k 1 % & 21' ( 2122) * 2 % 11+,'

Nilai tepi kelas +)lass *o'ndaries adalah nilai batas antara kelas yang memisahkan nilai antara kelas satu dengan kelas lainnya! Nilai tepi kelas ini dapat dihutung dengan penjumlahan nilai atas kelas dengan nilai bawah kelas diantaranya dan di bagi dua!

;ontoh nilai tepi kelas Klas Intr8al

Ju7lah =rkunsi (=)

Nilai Klas

* (*=

(*((

*9

(*9!=

( (*(/

9)/)

/

(*((!=

/ 9)/*

=>/2

*

9)/)!=

9 =>/>

@29?

*

=>/2!=

= @29@

>@=9

*

@29?!=

T'i

#i!ai t.i k!as k 2 % & 2122 (212/ ) * 2 >@=9!= % 2122'

Contoh $ :

*!

(! N T ()

k T *  /,/(( og () k T *  /,/(( +*,/)* k T *  9,/(( k T =,/(( /! Nilai tertinggi T >@=) Nilai terendah T (*= Inter:al kelas T 1 >@=) P (*= 8 J = T *>)@ 0adi inter:al kelas *>)@ yaitu jarak nilai terendah dan nilai tertinggi dalam suatu kelas atau kategori

Kelas

Interval

1

215

2122

2

2123

4030

3

4031

5938

4

5939

7846

5

7847

9754

#i!ai trndah K!as k 2 % 2122 ( 1 % 212/

#i!ai trtin$$i  % 21' ( 103 % 2122 9! akukan penturusan atau tabulasi data Klas

Intr8al

=rkunsi


*

(*=

(*((

IIIII IIIII IIII

*9

(

(*(/

9)/)

III

/

/

9)/*

=>/2

I

*

9

=>/>

@29?

I

*

=

@29@

>@=9

I

*

I%%3

Distribusi 3rekuensi relati3 adalah 3rekuensi setiap kelas dibandingkan dengan 3rekuensi total! %ujuan pembuatan distribusi ini adalah untuk memudahkan memba'a data se'ara tepat dan tidak kehilangan makna dari kandungan data!

;ontoh Distribusi #rekuensi $elati3 Ju7lah =rkunsi =rkunsi rlati- (F) (=)

Klas Intr8al

* (*=

(*((

*9

@)

( (*(/

9)/)

/

*=

/ 9)/*

=>/2

*

=

9 =>/>

@29?

*

=

= @29@

>@=9

*

=

4rkunsi r!ati5 678 % & 19 * 20 ) : 100 7 % 30 7

I%%9

Pn+a6ian dala7 "ntuk Gra-ik

.anusia pada umunya tertarik dengan gambar dan sesuatu yang ditampilkan delam bentuk :isual karena akan lebih mudah diingat dari pada dalam bentuk angka! 4ntuk itu gra3ik dapat digunakan sebagai laporan! ra3ik juga dapat digunakan untuk menarik kesimpulan tanpa kehilangan makna yang sesungguhnya!

$% Gra-ik 0isto.ra7

&enyajian dalam bentuk histogram tidak lain merupakan pengembangan dari bentuk tabel 3rekuensi! Bentuk histogram memberikan gambaran 3rekuensi untuk setiap nilai atau selang nilai tertentu dari data! ambaran ini akan lebih memudahkan pengguna dalam mengungkap in3ormasi yang terkandung dalam data! istogram merupakan diagram yang berbentuk balok! istogram menghubungkan antara tepi kelas inter:al dengan pada sumbu horiContal +Q dan 3rekuensi setiap kelas pada sumbu :ertikal +Y! ;ontoh istogramKlas

Intr8al


*

(*=

(*((

*9

(

(*(/

9)/)

/

/

9)/*

=>/2

*

9

=>/>

@29?

*

=

@29@

>@=9

*

1 10  0

Tei #elas

ambar I!(

;ontoh

istogram

!% Gra-ik Pol+.on

ra3ik polygon menggunakan garis yang mengubungkan titikPtitik yang merupakan koordinat antara nilai tengah kelas dengan jumlah 3rekuensi pada kelas tersebut! ;ontoh ra3ik &olygonKlas

Nilai

Ju7lah

Tn.ah

=rkunsi (=)

*

$$4;%

*9

(

3124%

/

/

9;9%

*

9

4;!%

*

=

;;11%

*

ambar I!/ ;ontoh ra3ik &olygon

3% Kur8a >.i-

ur:a ogi3 merupakan diagram garis yang menunjukan kombinasi antara inter:al kelas dengan 3rekuensi kumulati3! ;ontoh kur:a ogi3Intr8al Klas

=rkunsi ku7ulati-

Bawah

Atas

*

(*=

(*((

(

(*(/

/

9)/*

Nilai T'i Klas Kuran. dari

5*ih dari

(*9!=

)

()

9)/)

(*((!=

*9

?

=>/2

9)/)!=

*@

/

9

=>/>

@29?

=>/2!=

*2

(

=

@29@

>@=9

@29?!=

*>

*

>@=9!=

()

)

ambar I!9 ;ontoh kur:a ogi3

9% "oH 'lot

Dalam membuat boEplot, pendekatan yang digunakan adalah dengan membagi kumpulan data yang telah diurutkan menjadi empat bagian sama banyak! eempat bagian tersebut mempunyai lima pembatas, yaitu - data terke'il +Qmin, *, ( atau median, /, dan data terbesar +QmaE seperti terlihat di bawah ini -

(=F Qmin

(=F *

(=F (

(=F /

QmaE

&embataspembatas tersebut biasa juga disebut dengan Statistik ima Serangkai! egunaan - Se'ara :isual, boEplots dapat menggambarkan -

•

okasi pemusatan, yang diwakili oleh nilai median

•

$entangan penyebaran, diperlihatkan oleh panjangnya kotak yang merupakan jarak antara * dan /

•

emiringan pola sebaran data, ditunjukkan oleh letak median dalam kotak, letak median lebih dekat ke * men'irikan suatu sebaran dengan kemiringan positi3 +menjulur kekanan, dan kemiringan negati3 terjadi bilaposisi median lebih dekat ke /! Selain itu, dengan menggunakan boEplots kita dapat pula mendeteksi ada atau

tidaknya data pen'ilan +data ekstrim! Data pen'ilan dideteksi dengan menggunakan nilai nilai &agar Dalam +&D dan &agar uar +&! Nilainilai pagar tersebut dihitung menggunakan rumus -

Nilai data yang terletak antara &D dan & dikategorikan sebagai data pen'ilan dekat +∗, dan nilai data yang terletak di luar & dikategorikan sebagai data pen'ilan jauh +X! ambar I!= 'ontoh boEplot

%
Diagram dahan daun adalah suatu 'ara men'atat data se'ara tersusun! Diagram ini sangat berguna pada saat kita ingin menyajikan data dalam bentuk gambar tentang bentuk sebarannya tanpa kehilangan in3ormasi nilai numerik dari data! &enggunaan diagram dahan daun memungkinkan kita untuk mengelompokkan data sekaligus memberi kita in3ormasi :isualM panjang tiap baris memperlihatkan 3rekuensi tiap baris! %erdapat kesamaan 3ungsi antara histogram dan diagram dahandaun, yaitu mengelompokkan data, tetapi pada histogram, kita kehilangan in3ormasi tentang nilai numerik dari data! Diagram dahandaun sangat mudah dibuat! Angkaangka data kita bagi menjadi dua bagian, bagian pertama menjadi dahan, dan bagian kedua menjadi daun! Angka yang menjadi daun biasanya adalah satu atau dua angka terakhir!

ambar I!? 'ontoh diagram batang daun Stem-and-leaf of C1 N = 30

La5 ;nit % 10 / 0 /// ' 0 9' 3 0 ++ 11 0 ,, 6+8 1 000011 1/ 1 222/  1 '' 3 1 + + 1 ,, 9 2 01 2 2 2 2 99

SHA P SHA SAMP5ING

*! 0elaskan apa yang dimaksud dengana Sampling seadanya b Sampling purposi3 ' Sampling pertimbangan d Sampling kuota e Sampling nonpeluang 3 Sampling peluang g Sampling a'ak h Sampling proporsional i Sampling petala j Sampling area k Sampling sistematik l Sampling ganda m Sampling tunggal n Sampling multiple

o Sampling sekuensial p Sampling klaster

(! Apa yang dimaksud dengan kekeliruan sampling 0elaskan pula apa yang dimaksud dengan kekeliruan nonsamplingU

/! Sebuah populasi berukuran N! Diambil sampel berukuran n dengan 'araa &engembalian b %anpa pengembalian ' Ada berapa buah sampel yang mungkin

9! Diberikan sebuah populasi dengan data(/, (/, (*, (*, ((, (*, (), ((, (/, (9 Diambil sampel berukuran dua! a Ada berapa buah sampel semuanya b Berikan semua sampel yang mungkinU ' %entukan ratarata tiap sampelU

d Dari ratarata yang didapat, hitunglah lagi rataratanyaU e itunglah ratarata populasiU 3

Bandingkan hasil poin d! dan poin e! Apa yang tampak

=! &% Danun 0aya berlokasi di 0l! Solo m 9 merupakan perusahaan batik sutera yang relati3 besar! &ada tahun ())/ terdapat *() desain produk yang dihasilkan! Apabila &% Danun 0aya ingin mengetahui keberhasilan dari setiap desain produk tersebut dengan mengambil *) sampel! Dengan menggunakan tabel a'ak, 'obalah 'ari nomor berapa saja yang menjadi sampel &% Danun 0aya dengan titik awal adalah baris dan kolom ke*!

?! &% Bawasda %unggal &erkasa +B%& merupakan produsen sepatu! &% B%& ingin mengetahui permasalahan produksi yang dialami oleh ?) perusahaan bimbingannya! 4ntuk keperluan tersebut dilakukan sur:ei terhadap /) perusahaan dengan menggunakan metode terstruktur porporsional! Berikut adalah jumlah perusahaan masingmasing strata, tentukan berapa jumlah sampel setiap stratanya!

elompokJStrata

0umlah &erusahaan

%enaga kerja *=

=

%enaga kerja ?*)

*=

%enaga kerja ***=

()

%enaga kerja *?()

=

%enaga kerja (*(=

*)

%enaga kerja (=

=

@! Diketahui populasi yang terdiri dari 9, /, >, @! Diambil sampel ukuran nT(! 0ika diambil dengan pengembalian,

;arilaha $ata( dan simpangan baku populasi b $ata( dan simpangan baku distribusi sampelnya! ' Berapa prob! $ata( sampel ukuran ( akan akan mempunyai nilai minimal ?

2! Diketahui data sbb4mur- (> // #rek!- *

/@ */

/2

/>

9)

9(

9/

9=

9@

=)

=>

9

(

/

(

(

/

*

*

*

Buatlah diagram kotak garisnya JboE plot

"A" II

P(DA!$%$A(

Distribusi sampling didasarkan pada lima kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapi yaitua Distribusi sampling rataan 5 b Distribusi sampling rataan % ' Distribusi sampling proporsi d Distribusi sampling proporsi ( populasi e Distribusi sampling :ariansi T$J$A( I(ST&$#SI)(A% $M$M

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menggunakan dan menghitung berdasarkan ma'amma'am distribusi sampling!

T$J$A( I(ST&$#SI)(A% #!$S$S

*! .ahasiswa dapat memahami konsep dasar distribusi sampling (! .ahasiswa akan dapat mengetahui berbagai ma'am distribusi sampling


1,,,,. 2,,,,. -,,,,. ,,,,.

egiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut*! &erkuliahan (! &enjelasan tentang 'on'ept map +tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas, pokok bahasan, dan kompetensi yang akan di'apai +%I4 dan %I /! %es pendahuluan 9! $ingkasan materi disampaikan dengan metode 'eramah, critical incident , diskusi dan tanya jawab =! %es akhir ?! ":aluasi pen'apaian @! &enutup &I(*#ASA( MAT&I

Bidang statistika sering membahas mengenai generalisasiJpenarikan kesimpulan dan prediksiJ peramalan dari suatu kasus atau penelitian terhadap suatu populasi! %etapi eneralisasi dan prediksi tersebut sangat jarang melibatkan populasi karena keterbatasan

kemampuan penelitian dan begitu besarnya jumlah populasi, sehingga lebih sering menggunakan sampel dari populasi tersebut! Sebagai 'ontoh, suatu mesin pelayanan minuman yang diatur ratarata mengeluarkan (=) ml minuman per gelasnya! emudian seorang karyawan menghitung rataan 9) gelas minuman yang dikeluarkan dari mesin tadi dan memperoleh x´ T (9? ml, dan berdasarkan hasil ini diberikan kesimpulan bahwa mesin tadi masih mengeluarkan minuman dengan rata rata isi μ T (=) ml! ke 9) gelas minuman tadi merupakan sampel dari populasi minuman yang tak terhingga dari kemungkinan isi minuman yang akan dikeluarkan mesin tadi! esimpulan ini mungkin diambil karena karyawan tadi tahu dari teori sampling bahwa nilai sampel seperti itu kemungkinan mun'ulnya besar! %etapi apabila nilai x´ yang didapat nantinya berbeda jauh dari (=) ml maka petugas tadi akan mengambil tindakan memperbaiki mesin tersebut! al ini dikarenakan statistik merupakan peubah a'ak yang tergantung hanya pada sampel yang diamati, maka tentulah ada distribusi peluangnya! Distribusi peluang suatu statistik disebut dengan distribusi sampel! II%$
.isalkan sampel a'ak n pengamatan diambil dari populasi normal dengan rataan μ dan :ariansi  (! %iap pengamatan

´ X i, i T *,(,Z,n, dari sampel a'ak tersebut akan

berdistribusi normal yang sama dengan populasi yang diambil sampelnya! 0adi, berdasarkan si3at merambat distribusi normal, dapat disimpulkan bahwa ´= X

X 1+ X 2+ … + X 3 n

Berdistribusi normal dengan rataan

μ + μ + … + μ = μ μ X ´ = n

Dan :ariansi

2

2

σ X ´ =

2

2

σ + σ + … + σ 2

n

2

σ = n

Bila populasi yang diambil sampelnya dan tidak diketahui distirbusinya, berhingga atau tidak, maka distribusi sampel

´ X masih akan berdistribusi hampir normal dengan rataan μ

dan :ariansi  (Jn, asalakan ukuran sampelnya besar +n  /)! al ini dikenal dengan %eorema ´ imit &usat, yaitu bila X rataan sampel a'ak ukuran n yang diambil dari populasi dengan

rataan μ dan :ariansi ( yang berhingga, maka bentuk limit dari distribusi Z =

´ − μ X σ / √ n

bila n ∞ , adalah distribusi normal baku n+CM),* ´ ampiran normal untuk X umumnya 'ukup baik jika menggunakan sampel ukuran

besar +n  /), terlepas dari bentuk populasi! Bila menggunakan sampel ukuran ke'il +n O /), hampirannya hanya akan baik bila populasinya tidak jauh berbeda dengan normal! Bila populasinya normal, maka distribusi sampel

´ X

akan tepat berdistribusi normal, dan

ukuran sampelnya tidak menjadi masalah!

ontoh :

Suatu .rusahaan <<.roduksi bo!a !a<.u =an$ uitun$!ah .!uan$n=a bah"a suatu sa<.! a?ak dn$an 1+ bo!a !a<.u akan <<.un=ai u
Ja3ab :

´ μ X ´ S?ara ha<.iran distribusi sa<.! X akan nor
dan

√ 16 % 10 P!uan$ =an$ di?ari dibrikan o!h !uas

% 90 *

darah =an$ dihita
775− 800 10

=−2,5

Shin$$a

´ P6 X  33'8 % P6 Z  -2'8 % 000+2

σ X ´ = 10

Sekarang misalkan ada dua populasi, yang pertama dengan rataan μ * dan :ariansi (*, dan yang kedua dengan rataan μ ( dan :ariansi  ((! .isalkanlah statistik

´ X

*

menyatakan rataan sampel a'ak ukuran n+ yang diambil dari populasi pertama, dan statistik ´ X

(

menyatakan rataan sampel a'ak ukuran n2 yang diambil dari populasi kedua, dan

´ ´ kedua sampel bebas satu sama lain! .aka distribusi sampel dari selisih rataan, X 1− X 2 ,

berdistribusi hampir normal dengan rataan dan :ariansi μ X ´ − X ´ = μ1− μ2 1

2

2

2

σ X ´ − X ´ = 1

2

2

σ 1 σ 2

+

Sehingga

´ − X ´ ) −( μ μ − μ ) ( X Z = √ ( σ / n )+ ( σ / n ) 1

2

1

1

2

2

1

2

2

2

Se'ara hampiran merupakan peubah normal baku! 0ika +n+ dan n2  /), maka hampiran normal untuk distribusi

´ 1− X ´2 X sangat baik tidak

tergantung dari bentuk kedua populasi! %etapi, bila + n+ dan n2 O /), maka hampiran hampiran normal lumayan baik ke'uali bila kedua populasi agak jauh dari normal! %entu saja bila kedua

ontoh :

Suatu sa<.! brukuran

n1 %

1' dia
brdistribusi nor
x´

1

% '0 dan Cariansi D 21 %  dan

1

dihitu dihitun$ n$ Sa<.! Sa<.! a?ak a?ak k kdua dua brukura brukuran n

n2

% 9

dia< dia
%

2

%

´ ´ populasi normal, maka X 1− X 2 berdistribusi normal terlepas dari ukuran n+ dan n2!

Ja3ab :

´ 1− X ´2 X

ari ari distr distrib ibusi usi sa<.! sa<.!

kita kita tahu tahu bah"a bah"a distri distribus busin= in=a a

nor
μ X ´ − X ´ = μ1− μ2 =50− 40=10 1

2

2

2

Fariansi 

σ X ´ − X ´ = 1

2

2

σ 1 σ 2 n1

+

n2

9 5

4 4

= + =2,8

P!uan$ =an$ di?ari din=atakan o!h !uas darah =an$ dihita
8,2−10 2,8 √ 2,8

x´ 1− x´ 2

% ,2 di.ro!h

=−1,08

Shin$$a

DIS%$IB4SI SA.&IN $A%AAN t 4ntuk ukuran sampel besar +n  /), taksiran  ( yang baik dapat diperoleh dengan menghitung nilai , (! Bila ukuran sampelnya ke'il +n O /), nilai , ( akan berubah 'ukup besar ´ − μ X dari sampel ke sampel lainnya dan distribusi peubah a'ak + σ / √ n  menyimpang 'ukup

jauh dari distribusi normal baku! Dalam hal ini kita menghadapi distribusi statisti' yang dinamakan distribusi t, dengan

t =

´ − μ X S / √ n

.isalkan 5 peubah a'ak normal baku dan K peubah a'ak khikuadrat dengan derajat kebebasan :! bila 5 dan K bebas, maka distribusi peubah a'ak %, bila bila σ X ´ − X ´ =1,673 1

2

T =

Z V / v √ V

Diberikan oleh

(

2 Г [ ( v + 1 ) / 2 ] t 1+ h ( t )= v Г v + 2 √ π v

−(v + 1)/ 2

,

−∞< t < ∞

Ini dikenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan :! Dalam menurunkan distribusi sampel %, akan kita misalkan bahwa sampel a'aknya berasal dari populasi normal! Selanjutnya ´ − μ) /( σ / √ n ) ( X Z = T = , 2 2 V / ( n−1 ) √ V √ S / σ

Dengan

Z =

´ − μ X σ / √ n

Berdistribusi normal baku, dan

V =

( n− 1 ) S 2 2

σ

Berdistribusi 'hikuadrat dengan derajat kebebasan : T n P *! 0ika sampel berasal dari 2 ´ populasi normal maka dapat dibuktikan bahwa X dan S bebas, oleh karena itu 5 dan

K juga bebas! Sekarang akan kita turunkan distribusi %! %! Distribusi % mirip dengan distribusi 5, keduanya setangkup terhadap rataan nol! eduanya berbentuk lon'eng, tapi distribusi t lebih berbeda satu sama lain karena nilai % tergantung

2 ´ pada dua besaran yang berubahubah, X dan S , sedangkan nilai 5 hanya tergantung

´ pada perubahan X dari sampel ke sampel lainnya! Distribusi % dan 5 berbeda karena

:ariansi % bergantung pada ukuran sampel n dan :ariansi ini selalu lebih besar dari *! anya bila ukuran sampel, n ∞ ,

kedu keduaa dist distri ribu busi si men menjad jadii sama sama!! amb ambar ar *!/ *!/ di di bawa bawahh

memperlihatkan hubungan antara distribusi normal baku +: T ∞  dan distribusi t untuk derajat kebebasan ( dan =! F%

∞

F%' F%2

ambar *!/ ur:a distribusi t Distribusi t setangkup terhadap rataan nol, maka t 1− =−t , yaitu nilai t yang luas sebelah ∝

kananny kanannyaa

1−∝

bagian kanannya

t 1−

∝

∝

, atau luas sebelah sebelah kiriny kirinyaa ∝

=−t

∝

0

t

∝

∝

, sama dengan minus nilai t yang luas

ontoh : Suatu .abrik bo!a !a<.u =akin bah"a bo!a !a<.un=a akan tahan <n=a!a rata-rata s!a
.n$usaha

.abrik

tadi

akan <<.rtahankan k=akinann=a

Ksi<.u!an a.akah =an$ sharusn=a dia a
´ X % '1, ja< dan si<.an$an baku s % 90 ja< G An$$a. bah"a distribusi Ha"ab  ari tab! t di.ro!h t 00' % 1311 untuk drajat kbbasan C % 2'  1 % 29 Hadi .n$usaha tadi akan II%!

.uas dn$an k=akinann=a bi!a sa<.! 2' bo!a !a<.u

<
RI"U

<
SI

t =

518 −500 40 / √ 25

=2,25

Suatu ni!ai =an$ ?uku. jauh di atas 1311 P!uan$ <nda.at ni!ai t dn$an drajat kbbasan C % 29 sa
μ J '00 ni!ai t hasi! .rhitun$an

dari sa<.! tadi akan trasa !bih "ajar Hadi .n$usaha tadi k
!bih

baik dari.ada =an$ diduda$an=a

s
SAMP5ING PR>P>RSI

Bila populasi berukuran N mengandung jenis p sebanyak Q, maka proporsi p adalah QJN! 0ika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran n yang juga mengandung proporsi EJn dan sampel diambil berulang maka distribusi sampel proporsinya mempunyai -

*! $atarata X μ p= μ p =

N

^

(! Simpangan baku jika populasi terbatas atau sampling tanpa pengembalian atau nJN =F σ p = ^

√

√

p ( 1− p ) N − n . n N − 1

/! Simpangan baku jika populasi tidak terbatas, atau sampling dengan pengembalian atau nJN O =F p ( 1− p ) σ p = . ^

√

n

9! Kariabel random p − p Z = ^

σ p ^

;ontoh Diketahui sebanyak *)F dari ibuibu rumah tangga di Bandung memakai detergen A untuk men'u'i pakaiannya! 0ika dari populasi tersebut diambil sampel berukuran *)) a! %entukan ratarata dan simpangan baku sampel dari populasi ibuibu rumah tangga yang memakai detergen AU b! Bila dari sampel tersebut ternyata terdapat paling sedikit *= ibu rumah tangga yang memakai detergen A, tentuka probabilitasnyaU 0awaba! $atarata T ),* p ( 1− p ) = σ p = ^

√

n

√

0,1.0,9 100

=0,03

b! &roporsi yang memakai detergen A adalah *=J*)) T ),*= p − p 0,15 −0,1 = =1,67 Z = ^

σ p

0,03

^

&+5*,?@ T ),=),9=(= T ),)9@= II%3 P>RSI ! P>PU5ASI

%erdiri dari ( populasi!

&opulasi * berukuran N 1 terdapat jenis X 1 dengan proporsi

X 1 / N 1

&opulasi ( berukuran N 2 terdapat jenis X 2 dengan proporsi

X 2 / N 2

Bila populasi * diambil sampel a'ak berukuran mengandung jenis x 1 dengan proposi x 1 /¿

n1

n1

maka sampel ini akan

! Demikian juga dengan populasi (

diambil sampel a'ak berukuran n2 maka sampel ini juga akan mengandung jenis x 2 dengan proporsi x 2 /n 2 Smapel * dan ( dapat membentuk sampel a'ak baru yaitu sampel beda dua proporsi! Distribusinya mempunyai a $atarata μ p − p = p1− p2 ^

1

^

2

b Simpangan baku p 1 ( 1 − p 1 ) p 2 ( 1− p2 ) ( N 1 + N 2 ) −( n1 + n2 ) + σ p − p = . n1 n2 ( N 1− N 2 ) −1 ^

1

^

2

√

√

' Kariabe random p ^

(¿ ¿ 1− p2 )−( p 1− p2) ^

σ p − p ^

1

^

2

Z =¿

;ontoh =F barang di gudang timur 'a'at, sedangkan barang yang 'a'at di gudang barat sebanyak *)F! Bila diambil sampel a'ak sebanyak ()) barang dari gudang timur dan /)) barang dari gudang barat, tentukan probabilitas persentase barang yang 'a'at dalam gudang barat (F lebih banyak disbanding gudang timurU 0awab udang barat - n1=300, p 1=0,1 udang timur- n2=200, p2=0,05 p1 ^

T proporsi barang yang 'a'at di gudang barat dalam sampel

p2

T proporsi barang yang 'a'at di gudang timur dalam sampel

^

σ p − p = ^

1

^

2

√

p 1 ( 1 − p 1 ) p 2 ( 1− p2 )

+

n1

n2

=

√

0,1 ( 0,9 ) 300

+

p

^

1

^

= 0,023

^

^

σ p − p

200

p

^

(¿ ¿ 1− p2 )−( p 1− p2)

0,05 ( 0,95 )

T

(¿ ¿ 1− p2 )−(0,1−0,05 ) ^

0,023

2

¿

Z =¿

arena barang 'a'at di gudang barat (F lebih banyak daripada di gudang timur maka p ^

(¿ ¿ 1− p2 )  ),)( sehingga diperoleh ¿ ^

z =

0,02−0,05 0,023

=−1,3

p (¿ ¿ 1− p2 > 0,02 ) T & +5  *,/ T ),=  ),9)/( T ),>)/( T ^

0adi probabilitasnya adalah &

^

¿

>),/( F II%9
sampel

s

2

dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statisti'

perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk

S

2

! Kariansi sampel hasil

2

σ ! arena itu statisti'

2 disebut penaksir σ !

2 %aksiran selang untuk σ dapat diturunkan dengan menggunakan statisti'!

S

2

2

X =

( n− 1 ) S 2 2

σ

;ontoh Suatu pabrik baterai mobil menjamin bahwa baterai akan tahan ratarata / tahun dengan simpangan baku * tahun! Bila lima baterainya tahan *,>,(,9,/,),/,=,dan 9,( tahun, apakah pembuatnya masih yakin bahwa simpangan baku baterai tersebut * tahun 0awab .ulamula dihitung :ariansi sampel -

( 5 ) ( 48,26 )−( 15 )2 s= T ),2*= ( 5) (4 ) 2

emudian 2

X =

( 4 ) ( 0,815 ) 1

=3,26

.erupakan suatu nilai distribusi khikuadrat dengan derajat kebebasan 9! arena >=F nilai 2

X dengan derajat kebebasan 9 terletak antara ),929 dan **!*9/, nilai perhitungan dengan

menggunakan

2

σ T * masih wajar,sehingga tidak ada alasan bagi pembuatnya untuk

men'urigai bahwa simpangan baku baterainya bukan * tahun

S>A5 D S>A5

*! Sebuah populasi berukuran 2) mempunyai ratarata ?>,@ dan :arians /,=)! Dengan sampling pengembalian diambil *))) buah sampel a'ak yang masingmasing berukuran =! 4ntuk tiap sampel dihitung ratarata dan :ariansnya! Berapa nilai yang kita harapkan untuk a ratarata ke *))) ratarata b :arians ke *))) ratarata ' ratarata ke *))) :arians

(! .isalkan bahwa tinggi ratarata mahasiswa Indonesia *?( 'm dengan simpangan baku ?,= 'm! Sebuah sampel a'ak akan diambil dengan syarat bahwa galat baku ratarata maksimum ),= 'm! a Berapa paling sedikit mahasiswa perlu diambil sebagai sampel Dengan ukuran sampel yang terke'il, tentukan peluang ratarata tinggi mahasiswa a &aling sedikit *== 'm b &aling besar *@= 'm ' Antara *=2 'm dan *@( 'm d urang dari *?) 'm

/! ihat soal nomer ( diatas! .isalkan populasinya berdistribusi normal! Ada berapa buah sampel diharapkan akan mempunyai ratarata -

a antara ?( dan @( b paling sedikit @(,= ' kurang dari ?@

=! Diberikan dua buah populasi dengan data populasi I- /,(,/,=,9,2! data populasi II- *),*(,*=,*)! a Dari populasi I diambil semua sampel a'ak berukuran / dan dari populasi II semua yang berukuran (! %ulislah semua sampelnya lalu b itung ratarata kedua populasi! ' itung ratarata distribusi sampling ratarata dari kedua populasi itu! Sebut ini LE dan Ly! d itung L E  Ly dan bandingkan dengan selisih ratarata populasi I dan populasi II! Apa yang nampak e Bagaimana untuk LE  Ly 

?! .a'am lampu A ratarata menyala *!9)) jam dan ma'am lampu B menyala *!/)) jam! simpangan bakunya masingmasing *?) jam dan *(= jam! dari tiap populasi diambil sebuah sampel a'ak yang berukuran 2= dari sampel lampu A dan *)) dari sampel lampu B! %entukan peluang ratarata menyala lampu dalam sampel dari A paling sedikit akan =) jam lebihnya dari ratarata menyala lampu dalam sampel dari B!

@! Besi baja yang diproduksi perush A mempunyai ratarata daya regang sebesar 9=)) lbs dan :ariansi sebesar 9)))) lbs! Sedangkan yang diproduksi perush! B mempunyai ratarata daya regang sebesar 9))) lbs dan :ariansi >)))) lbs! .isalkan sampel random sebanyak n*T =) diambil dari perush! B ! Berapakah probabilitas ratarata daya regang beda dua ratarata dari dua sampel itu yang lebih besar dari ?)) lbs

2! Berikut adalah harga saham dari = perusahaan dalam Industri pertanian di B"0 *( 0anuari ())9! &erusahaan

arga persaham

&% $ajawali

(@=

&% Bukaka &lantindo

(2)

&% ondon

=))

&% Inti Boga

/=)

&% Surya Nusantara

&angan

=@=

Apabila diambil sampel berukuran ( untuk mengetahui kinerjanya, hitunglah ratarata hitung dan standar de:iasi sampel serta populasi, dan berapa probabilitas perusahaan dengan harga diatas 9)) terpilih sebagai sampel

2! Berikut adalah hasil in:estasi pada = perusahaan reksadana untuk tahun ())/ &erusahaan

asil In:estasi +FJtahun

Nikko

*@

In:esta

*=

%# %unai

*)

Dana In:esta

**

&hinis Dana as

*9

Seorang in:estor ingin menanamkan modal di reksadana dengan men'oba sur:ei pada / perusahaan reksadana! itunglah berapa nilai ratarata dan standar de:iasi dari distribusi sampel ratarata! Berapa peluang terpilihnya perusahaan untuk disur:ey dengan harapan perusahaan tersebut mempunyai hasil in:estasi di atas */F!

>! &% ;araka Bumi meren'anakan akan memergerkan dua perusahaan yaitu &% Indah arya dan &% Dharma $aya! &% ;araka Bumi juga meren'anakan & dalam rangka e3isiensi yaitu pada &% Indah arya sekitar *)F dan &%! Dharma $aya *=F dari total karyawan yang ada! 4ntuk keperluan tersebut, dipanggil *)) karyawan dari &% Indah arya dan ()) dari &% Dharma $aya untuk wawan'ara! Berapa probabilitas beda persentase tentang & di &% Indah arya =F akan lebih ke'il dari &% Dharma $aya

*)! &% &S 0aya mempunyai dua anak perusahaan yaitu &% AY4 yang bergerak dalam kon:eksi dan &% NANI ABADI yang bergerak dalam realestate! edua diharapkan mempunyai kinerja yang sama baiknya! &engamatan selama /) bulan &% AY4! menunjukan keuntungan ratarata =)) juta dengan standar de:iasi @= juta! Sedangkan pengamatan terhadap &% NANI ABADI selama =) bulan menunjukkan keuntungan ratarata /)) juta dengan standar de:iasi =( juta! Apabila &% &S menginginkan selisih dari kedua perusahaan kurang dari *=) juta, berapa peluang keinginan tersebut ter'apai

**! itunglah peluang bahwa suatu sampel a'ak ukuran (= pengamatan, diambil dari 2

2

populasi normal dengan :ariansi σ T ?, akan mempunyai :ariansi s a ebih besar dari >,*M b Antara /,9?( dan *),@9= ' .isalkan bahwa :ariansi sampel merupakan pengukuran yang kontinu!

*(! Ada anggapan bahwa peluang usaha di 0awa untuk relati3 berhasil lebih besar dibandingkan dengan di luar 0awa! Sebuah sur:ey menunjukkan bahwa ()) 4. di 0awa, 9=Fnya berhasil dan *)) 4. di luar 0awa, /)Fnya berhasil! Apabila pemerintah menginginkan perbedaan di 0awa dan uar 0awa hanya =F, berapa peluang keinginan tersebut ter'apai!

*/! Suatu perusahaan menyatakan bahwa baterai yang dipakai dalam mainan elektroniknya akan tahan ratarata /) jam! 4ntuk mempertahankan nilai ini, *? baterai diuji setipa bulan! Bila diperoleh nilai  t berada antara −t 0,025 dan t 0,025

maka perusahaan puas dengan pernyataannya! esimpulan apa yang

seharusnya diambil perusahaan dari sampel a'ak yang mempunyai x´ T (@,= jam dengan simpangan baku s T = jam Anggap baterai berdistribusi hampiran normal!

*9! Suatu perusahaan rokok mengatakan bahwa ratarata kadar nikotin rokoknya *,2/ mg! Apakah anda setuju dengan pendapat pengusaha rokok tersebut bila suatu sampel ukuran 2 rokok dari perusahaan tersebut mengandung kadar nikotin (!), *!@, (!*, *!>, (!(, (!*, (!), dan *!? mg *=! Dari sekelompok pegawai yang terdiri atas 9)!))) orang telah diambil sekelompok ke'il sebanyak *)) orang ! Yang menjadi perhatian disini ialah penghasilan pegawai tiap bulan! Apabila ditaksir bahwa keseluruhan pegawai pukul rata mempunyai pendapatan $p! (@=)) dengan simpangan baku $p! *))) makaa 4ntuk kelompok ke'il tadi , berapa ratarata upahnya akan antara $p!(=))) dan $p!/)!))) b Seperti di a tapi paling rendah $p! ()!))) ' Apabila dikehendaki perbedaan ratarata upah untuk tiap kelompok paling besar $p! =)), maka setiap kelompok itu paling sedikit harus terdiri atas berapa orang pegawai yang perlu diambil se'ara a'ak *?! Dalam setiap pengiriman gelas minum , biasanya >=F diterima dalam keadaan baik! &ada suatu waktu telah dikirimkan *))!)))! buah gelas! Berapa peluangnya untuk pemeriksaan yang terdiri dari ?) buah gelas dari pengiriman itu, akan berisikan gelas yang baika Antara >)F dan >2F b &aling sedikit >@,=F *@! A dan B menghasilkan dua ma'am kabel, yang daya tahannya masingmasing pukul rata 9))) dan 9=)) kg dengan simpangan baku berturutturut /)) dan ()) kg! 0ika dari kabel yang dihasilkan oleh A diuji *)) potong sedangkan dari yang dihasilkan B diuji =) potong, maka tentukanlah peluangnya pukul rata daya tahan kabel B akana &aling sedikit ?)) kg lebih daripada daya tahan kabel A b &aling banyak 9=) kg lebih daripada daya tahan kabel A *2! &engalaman memperlihatkan bahwa dikota A sekitar ?=F dari para ibu ternyata lebih menyenangi sabun mandi QY5 bila dibandingkan dengan sabunsabun mandi merk lain! %entukanlah berapa peluangnya bahwa dua buah sampel a'ak yang terdiri atas

para ibu dikota itu, tiap sampel terdiri atas ()) ibu, akan memperlihatkan perbedaan lebih dari *)F yang menyenangi sabun mandi QY5! *>! .isalkan Q peubah a'ak binomial dengan distribusi peluang -

ET),*,(,/ T ) untuk lainnya

;arilah distribusi peluang peubah a'ak Y T Q ()! .isalkan

x´

adalah ratarata dari sampel a'ak ukuran *( dari distribusi uni3orm

dengan inter:al +),* ! itunglah &+*J( [ x´ [ (J/

(*! Diketahui Y T E*  E( !!!!E*= adalah jumlah dari sampel a'ak dengan ukuran *= dari distribusi yang pd3 nya 3+E T/J( E(M *O E O *! itunglah &+),/[Y ! 1,5 ¿

((! Diketahui

x´

adalah ratarata dari sampel a'ak ukuran /? dari distribusi

eEponensial dengan ratarata /! itunglah &+(,= [ x´ [ 9

! x´ ! 41,25

(/! itunglah &+/>,@=

 dimana

x´

adalah ratarata dari sampel a'ak

2 ukuran /( dari distribusi dengan ratarata L T 9) dan :ar! σ T2

(9! Sample a'ak ukurann n T *2 diambil dari distribusi dengan pd3 3+E T \*EJ( M )[ E[( M ) untuk yang lainnya a itung L dan

2

σ

b itung &+(J/ ! x´ ! 5 / 6 

>!

"A" III

TE>RI ESTIMASI

P(DA!$%$A(

%eori estimasi adalah suatu ilmu yang menghususkan bagaimana 'aranya memperkirakan besaranbesaran populasi yang tidak diketahui yang dihitung berdasarkan suatu sample! Dalam bab ini akan dibahas tiga kategori sesuai dengan kondisi yang dihadapia %eori estimasi berdasarkan rataan b %eori estimasi berdasarkan proporsi ' %erori estimasi berdasarkan :ariansi &okok bahasan pada materi 6teori estimasi7 dititik beratkan bedasarkan inter:al estimasi baik untuk satu populasi ataupun dua populasi! T$J$A( I(ST&$#SI)(A% $M$M

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat mengestimasi parameter populasi yang tidak diketahui berdasarkan statistik sampel!

T$J$A( I(ST&$#SI)(A% #!$S$S

*! .ahasiswa dapat memahami konsep dasar teori estimasi baik estimasi rataan, proporsi dan :ariansi untuk satu dan dua populasi! (! .ahasiswa diharapkan dapat menggunakan teori estimasi pada dunia nyata!

1,,,,. 2,,,,. -,,,,. ,,,,.



&I(*#ASA( MAT&I

III%$ ESTIMASI RATAAN III%$%$ Slan. k'r#a+aan 7an sa7'l

´ "stimator titik dari mean populasi L adalah statistik X ! Sebaran statistik ini

berpusat pada L dan :ariansinya lebih ke'il daripada estimator lain! 2

σ σ x´ = n 2

, sehingga semakin besar ukuran sampelnya akan menghasilkan :ariansi yang

semakin ke'il! Selang keper'ayaan dari populasi yang terdistribusi normal atau jika ukuran sampelnya 'ukup besar, dapat diturunkan sbb -

Dari gambar di atas

" ( − z # /2 < Z < z # /2 )

0adi

" (− z # /2 <

T *  ], dimana

X − μ < z # /2 ) atau σ / √ n

Z =

´ x −$ σ / √ n

´ − z # /2 " ( X

σ ´ + z # /2 σ ) < μ < X √ n √ n

Sampel a'ak berukuran n dari suatu populasi dengan :ariansi  ( yang diketahui dan mean x´

yang dihitung akan menghasilkan selang keper'ayaan sebesar +*]*))F! σ ´ + z # /2 σ < μ < X √ n √ n

´ − z # /2 X

III%$%! Slan. k'r#a+aan untuk 

σ diktahui

Bila x´ rataan sampel a'ak berukuran n dari suatu populasi dengan :ariansi σ

(

yang diketahui maka selang keper'ayaan +*]*))F untuk L ialah x´ − z # / 2

σ σ < μ < x´ + z # /2 √ n √ n

C]J( adalah nilai sebaran normal yang menghasilkan luas ]J( di sebelah kanannya! Contoh :

mean dan simpangan baku dari I& sebanyak /? orang mahasiswa adalah (!? dan

)!/! tentukan selang keper'ayaan >=F dan >>F untuk nilai meannya! -aa/ 0 titik

estimasi adalah x´ T (!?! karena sampel beukuran besar, simpangan baku 

dapat didekati dengan s T )!/! nilai C yang memberikan luas daerah dibawah kur:a sebesar )!)(= di sebelah kanan, atau )!>@= di sebelah kiri, adalah C )!)(= T *!>? +dari tabel! Hleh karena itu selang keper'ayaan >=F adalah (!? P +*!>? +)!/J √ 36  O L O (!?  +*!>? +)!/J √ 36  atau (!=) O L O (!@) Dengan 'ara yang sama, selang keper'ayaan >>F memerlukan C )!))= T (!=@= dan selang keper'ayaan ini adalah -

(!? P +(!=@= +)!/J √ 36  O L O (!?  +(!=@= +)!/J √ 36  atau (!9@ O L O (!@/ %erlihat selang ini lebih lebar dari sebelumnya! III%$%3 Ksalahan sti7asi

Selang keper'ayaan +*]*))F memberikan ketelitian estimasi titik! 0ika L adalah titik pusat selang, x´ mengestimasi L tanpa kesalahan! &ada umumnya akan ada kesalahan yang besarnya berbeda antara x´ dengan L, dan kita per'aya +*]*))F bahwa perbedaan ini kurang dari C]J(+J √ n !

Tor7a : jika x´

digunakan sebagai estimasi dari L, kita dapat per'aya +*]*))F bahwa

nilai kesalahannya akan kurang dari C ]J(+J √ n !

&ada 'ontoh soal sebelumnya, kita per'aya >=F bahwa mean sampel x´ T (!? berbeda sebesar )!* dari nilai sebenarnya dan per'aya >>F bahwa nilainya berbeda sebesar )!*/! Seringkali kita ingin tahu seberapa besar sampel yang kita inginkan untuk memastikan bahwa kesalahan estimasi dari L kurang dari nilai tertentu e! 0adi kita harus memilih n sedemikian hingga C]J(+J √ n  T e! Tor7a -

jika x´ digunakan untuk mengestimasi L, kita dapat per'aya +*]*))F bahwa

kesalahannya akan kurang dari nilai e tertentu jika jumlah sampelnya adalah n =( z

∝

/ 2 σ

/ %)

(

%eorema di atas dapat diterapkan jika :ariansi populasi diketahui, atau tersedia n ^ /) untuk melakukan estimasi :ariansi tersebut!

Contoh

- seberapa banyak jumlah sampel yang diperlukan pada 'ontoh sebelumnya jika kita

ingin per'aya >=F bahwa estimasi L kita kurang dari )!)=

-aa/ 0 simpangan

baku sampel s T )!/ diperoleh dari sampel asal /? akan dipakai untuk

menentukan ! Sebelumnya juga telah diperoleh C ]J( T *!>?,maka berdasarkan teorema di atas n T ( z

∝

/%)

/ 2 σ

(

T 1+*!>?+)!/J)!)=8( T */2!/

dengan demikian, kita dapat per'aya >=F bahwa sampel a'ak sebesar */> akan memberikan hasil estimasi x´ yang berbeda di bawah )!)= dari L! III%$%9 Sa7'l sdikit

Bagaimana jika syarat n ^ /) untuk menghitung :ariansi populasi tidak dapat dipenuhi unakan distribusi % sebagai ganti distribusi auss! Disini %T

x´ − μ S / √ n

&rosedur lain sama dengan yang sebelumnya!

.enga'u pada gambar di atas, nilai peluang pada daerah diarsir &+t]J(O%O t]J( T * P ] Di mana t]J( adalah nilai t untuk derajat bebas n*! uas sebelah kanan nilai ini adalah ]J(, dan berdasarkan simetri, luas sebelah kiri dari t ]J( juga ]J(! Substitusi untuk % menghasilkan &+t]J(O+

´ − μ X S / √ n

O t]J( T * P ]

.aka diperoleh &+

´ −t X

∝

S /2

√ n

´ + t < μ < X

∝

S

/2

√ n  T * P ]

Dengan demikian, untuk n sampel, mean x´ dan simpangan baku s, inter:al keper'ayaan +*

P ]*))F diberikan oleh

´ −t / 2 X ∝

S ´ + t < μ < X √ n

∝

/2

S √ n

III%$% Slan. k'r#a+aan untuk  L tidak diktahui%

Suatu selang keper'ayaan +* P ]*))F untuk L adalah-

x´ −t

∝

S /2

√ n

< μ < x´ + t

∝

S /2

√ n

Dimana x´ dan s adalah mean dan simpangan baku sampel berukuran n O /) dari suatu populasi yang terdistribusi mendekati normal, dan

t

∝

/2

adalah nilai distribusit dengan

derajat bebas sebesar :Tn* yang menghasilkan luas ]J( di sebelah kanannya! Contoh :

ada @ kontainer serupa yang berisi asam sul3at dengan :olume - >!2, *)!(, *)!9, >!2,

*)!), *)!(, dan >!? liter! %entukan selang keper'ayaan >=F untuk mean dari kontainer kontainer tersebut juka distribusinya mendekati normal! -aa/ 0

dari data yang diberikan,diketahui mean sampel x´ T*)!) dan simpangan baku

sampel sT)!(2/! berdasarkan tabel %, kita dapatkan t )!)(= T (!99@ untuk derajat bebas :T?! arena itu, selang keper'ayaan >=F dari μ adalah *)!) P +(!99@ +)!(2/ J √ 7 O μ O *)!)  +(!99@ +)!(2/ J √ 7 , atau >!@9O μ O*)!(? %ambahan soal latihan estimasi rataan * Suatu mesin minuman diatur sedemikian rupa sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkannya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku ),*= desiliter!

itunglah selang keper'ayaan untuk rataan semua minuman yang dikeluarkan mesin tersebut bilaa sampel a'ak /? 'angkir minuman berisi ratarata (,(= desiliter! b sampel a'ak > 'angkir minuman berisi ratarata (,(= desiliter! ( Seorang ahli dalam e3isiensi ingin menentukan ratarata waktu yan diperlukan untuk membor tiga lubang pada sejenis kepitan logam! Berapa besar sampelkah yang dia perlukan agar yakin >=F bahwa rataan sampelnya paling jauh *= detik dari rataan sesungguhnya .isalkan dari penelitian sebelumnya diketahui bahwa T9) detik!

III%! ESTIMASI PR>P>RSI

&enaksir titik untuk proporsi % dalam suatu per'obaan binomial diberikan oleh statisti' "= ^

X n dengan Q menyatakan banyaknya yang berhasil dalam n usaha! 0adi, proporsi

p=

sampel

^

x n akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter %!

Bila proporsi % yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan nol atau *, maka selang keper'ayaan untuk % dapat di'ari dengan menggunakan distribusi sampel " ^

! Dengan menyatakan suatu kegagalan dalam tiap usaha binomial dengan nilai ) dan

keberhasilan dengan nilai * maka banyaknya yang berhasil , E, dapat dita3sirkan sebagai jumlah dari n nilai yang terdiri atas hanya nol dan satu, maka

p hanyalah rataan sampel ^

dari n nilai ini! arena itu, menurut %eorema imit &usat, untuk n 'ukup besar,distribusi " ^

hampir normal dengan rataan

μ p= & ( " ) = & ^

^

( )= X n

np = p n

Dan :ariansi 2

2

σ p =σ x / n = ^

σ x n

np' p' = = 2 2 n

n

Dengan demikian dapat dituliskan " (− z # / 2 < Z < z # / 2 )=1− #

Dengan Z =

" − p √ p' / n ^

dan z # / 2 menyatakan nilai kur:a normal baku yang di sebelah kanannya terdapat daerah

seluas

"

# 2

(

− z # /2 <

! antikan 5 dalam ketidaksamaan " − p < z # /2 √ p' / n ^

)= − 1

#

alikan tiap suku dalam ketidaksamaan

√ p' / n , kemudian kurangi dengan

" ^

dan

kalikan dengan *, diperoleh

(

" "− z # /2 ^

√

√ )

p' < p < " + z # /2 p' =1− # n n ^

etidaksamaan ini sulit untuk disederhanakan untuk mendapat selang a'ak yang kedua ujungnya tidak mengandung %, paremeter yang tidak diketahui! %api bila n besar, galatnya ke'il sekali bila % di bawah tanda akar diganti taksiran titik p= x / n ! Dalam hal ^

demukian, maka dapat ditulis

(

" "− z # /2 ^

√

√ )

^ p '^ < p < " + z # / 2 p ' =1 −# n n ^

^

^

4ntuk suatu sampel a'ak ukuran n, hitunglah proporsi sampel hampiran selang keper'ayaan +*] *))F untuk % dapat diperoleh!

p= x / n , maka ^

Bila n ke'il dan proporsi % yang tidak diketahui diyakini dekat ke ) atau ke * maka 'ara men'ari selang keper'ayaan ini tidak dapat diandalkan dan, karena itu, sebaiknya tidak digunakan! 4ntuk menjamin hasil yang baik sebaiknyalah usahakan agar selalu n '^

n p ^

dan

lebih besar atau sama dengan =! ;ara penghitungan selang keper'ayaan untuk

parameter binomial p juga dapat dipakai bila distribusi normal digunakan utnuk menghampiri distribusi hipergeometrik, yaitu, bila n ke'il dibandingkan dengan N seperti pada 'ontoh * Slan. k'r#a+aan sa7'l*sar untuk '

Bila " menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel berukuran a'ak ukuran n, dan ^

'^ =1− p , maka hampiran selang keper'ayaan +* #  *))F untuk parameter binomial p ^

adalah "− z # ^

2

dengan

√

p ^' n ^

z # 2

O p O

" + z # ^

2

√

p '^ n ^

menyatakan nilai C sehingga luas di sebelah kanannya ]J(!

Contoh $

&ada suatu sampel a'ak n T =)) keluarga yang memiliki pesawat tele:ise di kota amilton, anada, ditemukan bahwa E T /9) memiliki t: berwarna! ;arilah selang keper'ayaan >=F untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki t: berwarna di kota tersebut! 0awab %aksiran titik untuk p ialah

p= ^

340 500

selang keper'ayaan >=F untuk % adalah

=0,68 ! Dari table diperoleh z 0,025 =1,96 ! 0adi,

0,68− 1,96

√

( 0,68 ) ( 0,32 ) 500

< p < 0,68 + 1,96

√

( 0,68 ) ( 0,32 ) 500

Yang, bila disederhanakan akan menjadi ),?9 O p O ),@( Bila p berada tepat di tengah selang keper'ayaan +* #  *))F maka p menaksir ^

p tanpa galat! %api, biasanya, p tidak akan tepat sama dengan p dan taksiran titik meleset ^

+mempunyai galat! Besarnya galat akan smaa dengan selisih positi3 antara p dan %1 dan ^

dengan selang keper'ayaan +* #  *))F selisih ini akan lebih ke'il dari z # / 2 √ p ^' / n ! ^

Tor7a $ "ila

p di'akai s*a.ai taksiran p .alatn+a akan l*ih k#il dari'ada z # / 2 √ p '^ / n ^

^

dn.an k'r#a+aan ($) $11F%

&ada 'ontoh * diatas, proporsi sampel p=0,68 berbeda dengan proporsi p yang ^

sesungguhnya tidak lebih dari ),)9 dengan keper'ayaan >=F! Sekarang ingin ditentukan berapa besarkah sampel yang diperlukan agar terjamin bahwa galat dalam menaksir % tidak melebihi suatu besaran $ ! .enurut teorema *, ini berarti n harus dipilih agar z # / 2 √ p '^ / n =g ^

Tor7a !

"ila p di'akai s*a.ai taksiran ' 7aka dn.an k'r#a+aan ($) $11F .alat ^

z

akan l*ih k#il dari *saran trtntu g *ila ukuran sa7'l s*sar

n=

2

# / 2

p '^ ^

2

g

%eorema ( agak membingungkan karena untuk menentukan ukuran sampel n digunakan p , padahal p dihitung dari sampel! Bila p dapat ditaksir se'ara kasar tanpa ^

^

mengambil sampel maka taksiran ini dapat dipakai untuk menentukan n! Bila ini tidak tersedia, ambil sampel pendahuluan berukuran n ^ /) untuk menaksir %! emudian, dengan menggunakan teorema (, dapat ditentukan perkiraan besarnya sampel yang diperlukan agar derajat ketepatan yang diinginkan ter'apai! Sekali lagi, semua nilai pe'ahan n agar dibulatkan ke bilangan bulat yang lebih besar terdekat!

Contoh !

Berapa besarkah diperlukan sampel pada 'ontoh * agar taksiran p meleset kurang dari ),)( dengan keper'ayaan >=F 0awab &andanglah ke=)) keluarga sebagai sampel pendahuluan yang memberikan taksiran p=0,68 ^

! .aka menurut teorema /

( 1,96 )2 ( 0,68 ) ( 0,32 ) =2090 n= ( 0,02)2 0adi, bila taksiran p didasarkan atas sampel a'ak ukuran ()>) maka proporsi sampel tidak akan berbeda lebih dari ),)( dengan proporsi sesungguhnya, dengan keper'ayaan >=F! %erkadang tidak praktis men'ari taksiran % untuk digunakan dalam menentukan ukuran sampel n untuk suatu tara3 keper'ayaan tertentu! Bila ini terjadi, batas atas untuk n

dapat diperoleh dengan menyadari bahwa p '^ = p ( 1− p ) ! 1 / 4 , karena p terletak antara ^

^

^

^

) dan *! Ini dapat dibuktikan dengan melengkapi kuadrat! 0adi

(

1

p ( 1 − p )=−( p − p ) = − p − p + 2

^

^

^

^

4

yang selalu lebih ke'il dari 0adi, bila dimasukkan 'ukup berbeda dengan

2

^

^

1/ 4

p=1 / 2 ^

1/ 2

1 4

) = −( − ) 1 4

2

p ^

1 2

ke'uali bila % T

2

, 1/ 2

yang mengakibatkan p '^ =1 / 4 ! ^

pada rumus n di teorema /, padahal, sesungguhnya, %

, maka tentunya n akan melebihi dari yang diperlukan untuk

tara3 keper'ayaan yang ditetapkan dan sebagai akibatnya tara3 keper'ayaan yang diperoleh akan meningkat! Tor7a 3 "ila

p di'akai s*a.ai taksiran p 7aka dn.an k'r#a+aan 'alin. sdikit ($) ^

z

$11F .alat akan l*ih k#il dari *saran trtntu g *ila ukuran sa7'l

n=

2

# / 2

4g

2

Contoh 3

Berapa besarkah sampel yang diperlukan pada 'ontoh * agar kita yakin paling sedikit dengan keper'ayaan >=F bahwa taksiran % melesat kurang dari ),)( 0awab Berbeda dengan 'ontoh(, disini kita anggap tidak ada sampel pendahuluan diambil untuk menaksir %! arena itu, dengan keper'ayaan paling sedikit >=F proporsi sampel yang kita

peroleh tidak akan berbeda dari proporsi sesungguhnya melebihi ),)( bila kita memilih ( 1,96 )2 ukuran sampe l n = 4 ( 0,02 )2 =2401

Dengan membandingkan 'ontoh ( dan 'ontoh /, terlihat bahwa keterangan +taksiran mengenai %, yang diperoleh dari sampel pendahuluan atau pun mungkin dari pengalaman masa silam, dapat dipakai untuk menarik sampel yang lebih ke'il dengan tetap mempertahankan tara3 ketelitian semula!

MENAKSIR SELISIH RATA-RATA.

Dalam hal ini kita berhubungan dengan dua buah populasi yang selisih rata-ratanya ( μ1 – μ2 ) akan kita taksir.

a. Interval taksiran untuk selisih rata-rata jika σ1 dan σ2 diketahui

Bila x1 dan x2 masing-masing adalah rata-rata sampel acak berukuran n1 dan n2 yang diambil

dari

populasi

dengan

simpangan

baku

1

dan

2

diketahui.!

!. Interval taksiran untuk selisih rata-rata jika si"#an$an !aku σ1 dan σ2 tidak diketahui teta#i σ1 % σ2 

dimana "p# dugaan simpangan baku populasi

dengan dk # $ # n1 % n2 -2

&. jika si"#an$an !aku σ1 dan σ2 tidak diketahui dan σ1 ' σ2 

dengan dk #

&ontoh! 'asa pakai barang  yang dihasilkan oleh dua pengusaha akan diteliti. Dari barang yang dihasilkan oleh pengusaha 1 diteliti 1* buah dan dicatat masa pakainya. +ata-ratanya 1,** am dean simpangan baku * am.Barang yang dihasilkan pengusaha // diteliti sebanyak 1** buah. 0ernyata rata-ratanya # 1** am dan " # * am. &arilah inter3al taksiran selisih rata-ratanya. dengan kepercayaan 45.

6a7ab! sumsi σ1 % σ2

sehingga sp# ,8 dari da9tar t dengan kepercayaan 45 dan :# 2, didapat t*8*(2,)# 184;

Ditaksir bah7a selisih rata-rata masa pakai barang  yang dihasilkan oleh kedua pengusaha terletak antara ,82 s
III%!%$ Esti7asi Slisih
&andang persoalan mena3sir selisih dua parameter binomial p * dan p( ! Sebagai 'ontoh, misalkan p * proporsi yang merokok dan terkena kanker paruparu dan p ( proporsi yang tidak merokok dan terkena kanker paruparu! &ersoalannya ialah menaksir selisih kedua proporsi itu! &ertamatama, pilihlah sampel a'ak bebas masingmasing berukuran n * dan n( dari dua populasi binomial dengan rataan n * p* dan n( p( serta :ariansi n* p*<* dan n( p(<(, kemudian tentukan jumlah E * dan E( dari orang yang terkena kanker paruparu pada tiap sampel, dan tentukanlah proporsi p1= x 1 / n1 dan p2= x 2 / n2 ! &enaksir titik untuk selisih ^

^

dua proporsi p * p( adalah statistik "1− "2 ! 0adi, selisih kedua proporsi sampel, p1− p2 , ^

^

^

^

akan digunakan sebagai taksiran titik untuk p * p( ! Selang keper'ayaan untuk p * p( dapat ditetapkan dengan menggunakan distribusi sampel " 1− "2 ^

! Dari materi menaksir proporsi diketahui

^

"1 ^

dan

"2 ^

masingmasing

berdistribusi hampir normal, dengan rataan p* dan p( , dan :ariansi p *<* J n* dan p(<( J n( ! Dengan mengambil kedua sampel se'ara bebas dari kedua populasi maka peubah "1 (an "2 ^

^

akan bebas satu sama lain, dank arena distribusi normal bersi3at merambat,

maka dapat disimpulkan bahwa "1− "2 berdistribusi hampir normal dengan rataan ^

^

μ p − p ^

1

^

2

T p* P p(

dan :ariansi

2

σ p − p = ^

1

^

p 1 '1 p 2 '2

+

n1

2

n2

Dengan demikian dapat ditulis " ( − z # /2 < Z < z # /2 )=1 −#

Dengan

( " − " ) −( p − p ) ^

z =

1

√(

^

2

p1 ' 1 n1

1

2

) ( ) +

p 2 ' 2 n2

Dan z # / 2 nilai kur:a normal baku sehingga luas di sebelah kanannya # /2 ! anti 5 pada rumus di atas, maka dapat ditulis

[

" − z # /2 <

( " − " )−( p − p ) ^

1

√(

^

2

1

2

) ( )

p 1 '1 p ' + 2 2 n1 n2

]

< z # /2 =1−#

Setelah melakukan perhitungan seperti biasa,ganti p * , p( , <* dan <( yang berada di bawah tanda akar dengan taksirannya p1= x 1 / n1 , p2= x 2 / n2 , '^ 1 =1− p1 dan '^ 2=1− p2 , ^

asal saja n1 p 1 , n1 '^ 1 , n2 p2 dan ^

^

^

n2 '^ 2

p1− p2

^

semuanya lebih besar atau sama dengan =, maka

diperoleh hampiran selang keper'ayaan +*] *))F untuk

Slan. k'r#a+aan untuk

^

p1− p2

!

Bila

p1 (an p2

menyatakan proporsi yang berhasil dalam sampel a'ak masingmasing

^

ukuran n1 (ann2 , '^ 1=1− p 1 (an '^ 2=1− p2 , maka hampiran selang keper'ayaan +*] *))F ^

^

untuk selisih kedua parameter binomial, p1− p2 , adalah

( p1− p2 )− z # / 2 ^

^

√

p1 '^ 1 p 2 '^ 2 ^

n1

+

^

n2

< p1− p2 <( p 1− p2)+ z # /2 ^

^

√

p1 '^ 1 p2 '^ 2 ^

+

n1

^

n2

Bila z # / 2 nilai kur:a normal sehingga luas di sebelah kanannya # / 2 Contoh 9

Suatu perusahaan dalam 'ara pembuatan suku 'adang sedang diren'anakan! Sampel diambil dari 'ara lama maupun yang baru untuk melihat apakah 'ara baru tersebut memberikan perbaikan! Bila @= dari *=)) suku 'adang yang berasal dari 'ara lama ternyata 'a'at dan 2) dari ())) yang berasal dari 'ara baru ternyata 'a'at, 'arilah selang keper'ayaan >)F untuk selisih sesungguhnya proporsi yang 'a'at dalam kedua 'ara! 0awab .isalkan p* dan p( masingmasing menyatakan proporsi yang sesungguhnya yang 'a'at p1=75 / 1500 =0,05

dalam 'ara lama dan baru! 0adi

^

dan

p2=80 / 200 = 0,04 ^

, dan

taksiran titik untuk p1− p2 ialah p1− p2=0,05 −0,04 =0,01 ^

^

Dari table diperoleh z 0,05=1,645 ! 0adi bila dimasukkan nilai ini ke dalam rumus di atas, maka diperoleh keper'ayaan >)F, 0,01− 1,645

√

√

( 0,05 ) ( 0,95 ) ( 0,04 ) ( 0,96 ) ( 0,05 ) ( 0,95 ) ( 0,04 ) ( 0,96 ) + < p1− p2 < 0,01 + 1,645 + 1500

, Yang disederhanakan, menjadi ),))*@ O p * P p( O ),)(*@

2000

1500

2000

arena selang ini mengandung nilai ), tak ada alasan memper'ayai bahwa 'ara baru tersebut memberikan penurunan yang berarti dalam proporsi suku 'adang yang 'a'at disbanding dengan 'ara lama!

5atihan soal

*! Dari suatu sampel a'ak *))) rumah di suatu kota ternyata ((2 menggunakan gas "lpiji! ;ari selang keper'ayaan >>F untuk proporsi rumah di kota tadi yang menggunakan gas "lpiji!

(! Suatu sistem pelun'ur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai melun'urkan sejumlah roket jarak pendek! Sistem yang sekarang mempunyai peluang berhasil melun'urkan sebuah roket p T),2! Sampel 9) pelun'uran per'obaan dengan sistem yang baru menunjukkan /9 yang berhasil! a Buatlah selang keper'ayaan >=F untuk p b Apakah kenyataannya 'ukup besar untuk mendukung

/! Berapakah sampel yang diperlukan di soal * bila diinginkan yakin >>F bahwa proporsi sampel paling banyak berjarak ),)= dari proporsi sesungguhnya dari rumah di kota tersebut yang menggunakan gas "lpiji!

9! Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir berapa persen penduduk suatu kota yang memilih arinya diberi 3lour! Berapa besarkah sampel yang diperlukan bila seseorang berharap yakin paling sedikit >=F taksirannya paling banyak sejauh *F dari presentasi sesungguhnya

=! Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 2F lebih banyak dari rokoknya merek B! Bila dari ()) perokok ada 9( yang lebih menyukai merk A dan *2 dari *=) perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang keper'ayaan >9F untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan apakah perbedaan 2F tersebut suatu pernyataan yang kena!

?! Dalam pengukuran waktu reaksi seseorang terhadap sema'am stimulus, seorang ahli psikologi memperkirakan bahwa simpangan bakunya ),)2 detik! 4ntuk menentukan berapa orang yang perlu diukur agar didapat hasil ratarata waktu reaksi dengan keper'ayaan >=F, dan kekeliruan penaksiran tidak melebihi ),)*= detik, asumsi apakah yang harus diambil mengenai distribusi waktu reaksi %entukan berapa orang yang perlu diukurU Bagaimana jika dikehendaki keper'ayaan >>F Apa yang tampak

@! %elah ditimbang *) buah tomat dengan hasil +dalam gram- *9(, *=@, */2, *@=, *=(, *9>, *92, ()), *2(, *?9! 0ika berat tomat berdistribusi normal, tentukan inter:al keper'ayaan, >=F untuk rata rata berat tomat!

2! Sampel a'ak yang terdiri atas 9)) petani, ternyata ?=F tidak memiliki tanah sendiri! %entukan inter:al keper'ayaan >=F persentase sebenarnya untuk para petani yang memiliki tanah sendiri! Bagaimana jika koe3isien keper'ayaannya diambil ),>> 0elaskan apa yang tampak

>! Diberikan dua buah sampel dengan dataSampel I

- /2, 9(, =*, 9@, /2, ?), =@, =2, /(, 9=

Sampel II

- 99, 9>, =/, 9?, 9*, 9@, /9, ?), =>, ?/

yang diambil dari dua buah populasi! 4ntuk menentukan batasbatas inter:al keper'ayaan selisih ratarata sebenarnya antara kedua populasi, asumsi apa yang diambil %entukan inter:al keper'ayaan >=F untuk selisih tersebut jika-

a Simpangan baku kedua populasi diketahui sama besar, yaitu >,=! b Simpangan baku kedua populasi sama besar tetapi tidak diketahui nilainya! ' Simpangan baku kedua populasi tidak sama besar!

*)! asil dua jenis sema'am tanaman tiap satuan luas tertentu, dalam satuan berat, adalah sebagai berikut0enis I - />,/ P 9=,= P 9*,( P =/ P 99,( P 9(,= P ?/,> 0enis II- =*,= P />,9 P 9*,( P =?,@ P /=,@ %entukan jenis mana yang akan dipilih untuk ditaman selanjutnyaU

**! .etode latihan pertama telah digunakan terhadap (=) orang dan *?) dinyatakan berhasil! .etode latihan kedua dilakukan terhadap /)) orang dan ((= berhasil! %entukan inter:al keper'ayaan ),>= untuk selisih persentase sebenarnya bagi yang berhasil, juga untuk inter:al keper'ayaan ),>>U Apa yang tampak

III%3 ESTIMASI ARIANSI

Bila sampel berukuran n diambil dari populasi normal dengan :ariansi

2

σ

dan

:ariansi sampel S( dihitung maka kita peroleh suatu nilai dari statisti' S (! Kariansi sampel 2 hasil perhitungan ini akan digunakan sebagai taksiran titik untuk σ ! arena itu statistik S(

2 disebut penaksir σ !

2 %aksiran selang untuk σ dapat diturunkan dengan menggunakan statisti'

2

) =

( n −1 ) S2 2

σ

2 Statistik ) berdistribusi khikuadrat dengan derajat kebebasan n P * bila sampel berasal

dari populasi normal! Jadi da'at ditulis

" ( ) 1−# / 2< ) < ) # / 2) =1− # 2

2

2

2

2

Bila ) 1−# / 2 dan

) # / 2

masing masing menyatakan nilai distribusi khikuadrat dengan

derajat kebebasan n * , sehingga luas di sebelah kanannya *

# / 2 dan

# / 2 ! anti

2

) dalam rumus di atas, peroleh

[

2

" ) 1−# / 2<

( n −1 ) S2 2

σ

]

< ) 2# / 2 =1 −#

Bagilah tiap suku dalam ketidaksamaan dengan +n* S ( , dan kemudian balikkan tiap suku +jadi ubah arah ketidaksamaan, maka diperoleh "

[

( n −1 ) S 2 2

) # /2

2

< σ <

( n − 1 ) S2 2

) 1− # /2

]

=1 −#

4ntuk ukuran sampel n, hitunglah :ariansi sampel S ( , maka diperoleh selang keper'ayaan +* 2 ] *))F untuk σ !

Selang keper'ayaan +*]*))F untuk

σ diperoleh dengan menarik akar setiap ujung

2 selang untuk σ !

2


σ

Bila S( :ariansi sampel a'ak ukuran n dari populasi normal maka selang keper'ayaan +*] 2 *))F untuk :ariansi σ diberikan oleh

( n− 1 ) S 2 ) 2# /2

Bila

2

< σ <

) # / 2

kebebasan

2

( n −1 ) S 2 ) 21−# /2

dan * =n − 1

2

) 1−# / 2

menyatakan nilai distribusi khikuadrat dengan derajat

sehingga luas di sebelah kanannya, masingmasing sebesar

# / 2

dan *  # / 2 !

Contoh 

Data berikut menyatakan berat, dalam gram, *) bungkus bibit sejenis tanaman yang dipasarkan oleh suatu perusahaan - 9?,9, 9?,* , 9=,2 , 9@,) , 9?,* , 9=,> , 9=,2 , 9?,> , 9=,( dan 9?, ) ! ;arilah selang keper'ayaan >= F untuk :ariansi semua bungkusan bibit yang dipasarkan perusahaan tersebut, anggap populasinya normal! 0awab .ulamula hitunglah

n

n 2

s=

( ) n

) − ∑ ) ∑ = = 2

i

2

i

i 1

( 10 ) ( 21273,12 )−( 461,2 )2 = =0,286 ( 10 ) ( 9 )

i 1

n ( n −1 )

4ntuk memperoleh selang keper'ayaan >=F, ambil ] T ),)=! Dari table 'hikuadrat untuk + =9 diperoleh ) 20,025=19,023 dan ) 20,975=2,700

derajat kebebasan

2 0adi, selang keper'ayaan >=F untuk σ

( 9 ) (0,286 ) 19,023

< σ 2 <

( 9 ) ( 0,286 ) 2,700

atau 2 ),*/= O σ O ),>=/

III%3%$ Esti7asi Nis*ah
%aksiran titik untuk nisbah dua :ariansi populasi :ariansi sampel

2

2

s1 / s2

! arena itu statistik

2

2

S1 / S2

2

σ 1 / σ 2

2

diberikan oleh nisbah

disebut penaksir

2

σ 1 / σ 2

2

!

2 2 2 2 Bila σ 1 dan σ 2 :ariansi dua populasi normal, maka taksiran selang untuk σ 1 / σ 2

dapat diperoleh dengan memakai statisti'  =

σ 2 S1

2

2

2

2

σ 1 S2

.enurut teorema ?!(), peubah a'ak # mempunyai distribusi# dengan derajat kekebasan + 1= n 1−1

dan + 2= n2−1 ! 0adi, dapat ditulis +lihat gambar @!2

[

]

" - 1− # /2 ( + 1 , + 2 ) <  < - # /2 ( + 1 , + 2 ) =1 − #

,

bila

- 1−# /2 ( + 1 , + 2 )

dan

- # / 2 ( +1 , + 2 )

menyatakan nilai distribusi # dengan derajat kebebasan + 1 dan + 2 sehingga di sebelah # / 2

kanannya, masingmasing, luasnya *

dan # / 2 ! anti # dalam rumus di atas,

diperoleh

[

" - 1−# /2 ( + 1 , + 2 ) <

σ 2 S1

2

2

2

2

σ 1 S2

]

< - # /2 ( + 1 , + 2 ) =1−#

ambar @!2 2 2 alikan tiap suku dalam ketidaksamaan dengan S 2 / S 1 dan balikkan tiap suku +ubah arah

ketidaksamaan diperoleh "

[

σ 2

2

S2 - # / 2 ( + 1 , + 2 ) σ 1

2

S1

2

1

2

<

<

S1

2

1

S 2 - 1−# / 2 ( + 1 , + 2) 2

]

=1−#

asil teorema ?!*> memungkinkan kita mengganti - 1−# /2 ( + 1 , + 2 ) dengan *J - # /2 ( + 2 , + 1 ) ! 0adi "

[

S1

2

1

2 S2 - # / 2 ( + 1 , + 2 )

<

σ 2

2

σ 1

2

<

S1

2

S2

2

]

- # /2 ( + 2 , + 1 ) = 1−#

4ntuk dua sampel a'ak bebas ukuran n * dan n(, yang diambil dari dua populasi normal, 2 2 hitunglah nisbah :ariansi sampel s 1 / s 2 , maka diperoleh selang keper'ayaan +*] *))F

2 2 untuk σ 1 / σ 2 !

Seperti pada pasal @!*), selang keper'ayaan +* ] *))F untuk 2 2 dengan mengambil akar setiap ujung selang untuk σ 1 / σ 2 !

σ 1 / σ 2

, dapat diperoleh

2


s1

Bila

2

dan

s2

2

σ 1 / σ 2

2

:ariansi dari sampel bebas masingmasing ukuran n * dan n( dari

populasi normal maka selang keper'ayaan +*] *))F untuk nisbah 2

s1

2

s2

1

- # / 2 ( + 1 , + 2 )

<

σ 1

2

σ 2

2

<

s1

2

s2

2

2

σ 1 / σ 2

2

adalah

- # / 2 ( + 2 , + 1 )

Bila - # /2 ( + 2 , + 1 ) menyatakan 3 * dengan derajat kebebasan + 1= n1−1 dan + 2= n2−1 , sehingga luas di sebelah kanannya # / 2 , dan - # /2 ( + 2 , + 1 ) menyatakan nilai 3 yang sama dengan derajat kebebasan + 2= n2−1 dan + 1= n1−1

Contoh :

Suatu selang keper'ayaan untuk perbedaan rataan kadar orto3os3or, diukur dalam mg per liter, pada dua stasion di sungai 0ames telah dihitung di 'ontoh @!2 dengan menganggap kedua :ariansi populasi normal tidak sama! Beri dukungan atas anggapan ini dengan membuat selang keper'ayaan >2F untuk

2

2

σ 1 / σ 2 dan untuk

σ 1 / σ 2

, bila

2

σ 1 dan

2

σ 2 :ariansi

populasi kadar orto3os3or masingmasing di stasion * dan (! 0awab Dari 'ontoh @!2 diperoleh n * T *=, n ( T *(, s * T /,)@ dan s ( T ),2) ! 4ntuk selang keper'ayaan >2F,

]

T

),)(!

Dengan menggunakan interpolasi

- 0,01 ( 14,11)  4,3 (an - 0,01 ( 11,14 )  3,87

2 2 0adi, selang keper'ayaan >2 F untuk σ 1 / σ 2 adalah

dari

tabel,

kita

peroleh

3,07

2

0,80

2

( )

2

σ 1 3,072 < 2< ( 3,87 ) 2 4,30 σ 2 0,80 1

Yang, bila disederhanakan, menjadi 2

3,425 <

σ 1 2

σ 2

<56,991

Ambil akar batas keper'ayaan selang ini maka diperoleh selang keper'ayaan >2F untuk 2

2

σ 1 / σ 2 adalah ❑

1,851 <

σ 1

❑

σ 2

< 7,549

arena selang ini tidak men'akup kemungkinan σ 1 / σ 2 sama dengan *, maka anggapan 2 2 bahwa σ 1 / σ 2 atau σ 1 / σ 2 di 'ontoh @!2 mendapat dukungan dari data

Sampai tahap ini semua selang keper'ayaan yang disajikan berbentuk taksiran titik 0  g!b +taksiran titik,  disini suatu tetapan +ataukah r ataupun titik perseratus normal! al ini benar bila parameternya suatu rataan, selisih dua rataan, proporsi, atau selisih dua proporsi! Akan tetapi, hal ini tidak berlaku untuk :ariansi dan nisbah dua :ariansi!

5atihan soal

*! Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan baterainya tahan, pada rataratanya, / tahun dengan :ariansi * tahun! Bila = dari baterai ini tahan selama *,> , (,9 , /,) , /,= dan 9,( tahun, buatlah selang keper'ayaan >=F untuk

2

σ dan jelaskan apakah

2 pernyataan perusahaan tadi bahwa σ T * dapat dibenarkan! Anggap umur populasi

baterai berdistribusi hampiran normal!

(! Sarapan teratur sereal yang diberi pemanis sebelumnya menyebabkan kerusakan gigi, sakit jantung, dan penyakit lainnya menurut penelitian yang dilakukan oleh Dr!W!! Bowen dari Institut esehatan Nasional dab Dr! 0! Yudhen, &ro3esor Nutrisi dan Diet di 4ni:ersitas ondon! Dalam suatu sampel a'ak () porsi yang sama AlphaBits +sejenis sereal ratarata kadar gulanya **,/ gr dengan simpangan baku (,9= gr! Bila dimisalkan bahwa kadar gula berdistribusi normal, buatlah selang keper'ayaan >=F untuk σ U

/! Suatu per'obaan yang dipopulerkan di &opular S'ien'e, tahun *>2*, membandingkan pemakaian bahan bakar dua jenis trukmini diesel dengan perlengkapan yang sama! .isalkan *( truk KW dan *) truk %oyota digunakan dalam uji 'oba pada ke'epatan tetap >) km per jam! Bila ke *( truk KW ratarata menempuh *? km per liter dengan simpangan baku *,) liter per km dan *) truk %oyota ratarata ** km per liter dengan simpangan baku ),2 km per liter, buatlah selang keper'ayaan >2F untuk

σ 1 / σ 2

,

bila σ 1 dan σ 2 masingmasing simpangan baku dari jarak yang ditempuh per liter bahan bakar oleh truk KW dan %oyota!

9! Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B untuk armada taksinya! 4ntuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu

per'obaan menggunakan *( ban dari tiap merek! Ban dipakai sampai aus! asil merek A - x´ 1=36.300 km , s* T =))) km M merek B - x´ 2=38.100 km , s( T ?*)) km! itunglah selang keper'ayaan >)F untuk

2

σ 1 / σ 2

2

! Apakah anggapan bahwa

2 2 σ 1= σ 2 mendapat dukungan dalam membuat selang keper'ayaan untuk μ1− μ2 

=! Dari suatu sampel a'ak *))) rumah di suatu kota ternyata ((2 menggunakan gas "lpiji! a ;ari selang keper'ayaan >>F bila taksiran proporsi rumah di kota tadi yang menggunakan gas "lpiji! b Berapakah besar sampel yang diperlukan, jika diinginkan yakin >>F bahwa proporsi sampel paling banyak berjarak )!)= dari proporsi sesungguhnya dari rumah di kota tersebut yang menggunakan gas "lpiji

?! Suatu sistem pelun'ur roket tertentu sedang dipertimbangkan untuk dipakai melun'urkan sejumlah roket jarak pendek! Sistem yang sekarang mempunya peluang berhasil melun'urka sebuah roket %T)!2! Sampel 9) pelun'uran per'obaan dengan sistem yang baru menunjukkan /9 yang berhasil! a Buatlah selang keper'ayaan >=F untuk % b Apakah kenyataannya 'ukup besar mendukung bahwa sistem yang baru ini lebih baik 0elaskan!

@! A! .enurut suatu laporan di koran $oanoke times R world news, () agustus *>2*, sekitar (J/ dari *?)) orang dewasa yang disigi lewat tilpon mengatakan bahwa program pesawat ulang alik merupakan in:estasi yang baik bagi negara +AS! ;ari selang keper'ayaan >=F untuk proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pesawat ulang alik merupakan in:estasi yang baik bagi negara! B! Apa yang dapat dikatakan mengenai kemungkina besarnay galat denga keper'ayaan>=F bila taksiran proporsi orang AS dewasa yang berpendapat bahwa program pesawat ulang alik in:esatasi yang baik sebesar (J/

2! Washington 4ni:ersity s'hool o3 Dental .edi'ine di St! ouis, dua 'angkir teh hijau atau teh hitam ;ina tiap hari sudah akan 'ukup memberi 3luor untuk menjaga gigi anda dari kerusakan! .ereka yang tidak suka teh dan tinggal di daerah yang airnya tidak diberi 3luor seharusnya meminta pemerintah daerahnya memberi 3luor pada airnya! Berapa besarkah sampel yang diperlukan untuk menaksir persentasi penduduk di suatu kota tertentu yang memilih airnya diberi 3luor bila diinginkan paling sedikit >>F yakin bahwa taksirannya paling banyak sejauh *F dari presentasi sesungguhnya!

>! Suatu penelitian ingin dilakukan untuk menaksir proporsi penduduk di suatu kota dan pinggirannya yang mendukung pendirian &%N! Berapakah sampel yang diperlukan agar yakin paling sedikit >=F bahwa taksirannya paling banyak

berjarak )!)9 dari proporsi sesungguhnya dari penduduk di kota tersebut dan pinggirannya uang mendukung pendirian &%N

*)! Seorang pimpinan perusahaan ingin mengetahui perbedaan ratarata gaji bulanan karyawan diperusahan A dan perusahan B! 4ntuk itu diambil sampel a'ak masung masing > orang karyawan dari dua perusahaan tersebut dan kemudian mereka diwawan'ara satu persatu! asil wawan'ara menunjukan bahwa gaji perbulan +dalam dolar karyawan di dua perusahaan tersebut adalah sbb!-

ywn aji perusahaan A aji perusahaan B

* 9)

( 9?

/)

/ =)

(9

9 /?

*?

= /2

(=

? /9

/=

9)

@

2

>

9(

99

/)

9?

/2

/9

Simpangan baku populasi kedua perusahaan tidak diketahui dan diasumsikan sama! Buatlah inter:al taksiran untuk menduga berapa sesungguhnya perbedaan ratarata gaji karyawanperbulan didua perusahaan tersebut! **! Suatu perusahaan rokok menyatakan bahwa rokoknya merek A terjual 2F lebih banyak dari rokoknya merek B! Bila dari ()) perokok ada 9( yang lebih menyukai merek A dan *2 dari *=) perokok lebih menyukai merek B, hitunglah selang keper'ayaan >9F untuk selisih antara proporsi penjualan kedua merek dan tentukan apakah perbedaan 2F tersebut suatu pernyataan yang kena!

*(! Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa baterainya tahan, pada rata ratanya, / tahun dengan :ariansi * tahun! Bila = dari baterai ini tahan selama *,>, (,9, /,), /,=, dan 9,( tahun, buatlah selang keper'ayaan >=F untuk  ( dan jelaskan apakah pernyataan perusahaan tadi bahwa ( T * dapat dibenarkan! Anggap umur populasi baterai berdistribusi hampiran normal! */! Suatu penelitian bertujuan menentukan apakah 'airan A mempunyai pengaruh terhadap banyaknyalogam yang tersingkirkan jika logam itu direndam dalam 'airan

tersebut! Suatu sampel a'ak *)) potong logam direndam selama (9 jam dalam 'airan lain dan menghasilkan ratarata *(,( mm logam yang tersingkir dengan simpangan baku *,* mm! sampel kedua dengan ()) potong logam yang sma direndam selama (9 jam dalam 'airan A menyingkirkan ratarata >,* mm logam dengan simpangan baku ),> mm! hitunglah selang keper'ayaan >2 F untuk selisih kedua rataan populasi! Apakah 'airan A menurunkan banyaknya logam yang tersingkir *9! Dalam suatu penelitian yang dilakukan di Kirginia &olyte'hni' Institute and State 4ni:ersity pada *>2/ mengenai perkembangan e'tomy'orrhiCal, hubungan simbiosis antara akar pohon dan 'endawan yang memindahkan mineral dari 'endawan ke pohon dan gula dari pohon ke 'endawan! 4ntuk itu () bibit oak merah dengan 'endawan Pisolith's tinctor's ditanam dalam rumah ka'a! Semua bibit ditanam dalam sejenis tanah yang sama dan mendapat jumlah sinar matahari dan air yang sama! Setengahnya sama sekali tidak mendapat nitrogen waktu penanaman yang bertindak sebagai 'ontrol dan setengah lainnya mendapat /?2 ppm nitrogen dalam bentuk NaNH /! Berat batang, dalam gr, pada hari ke *9) ter'atat sbb%anpa Nitrogen

Nitrogen

),/(

),(?

),=/

),9/

),(2

),9@

),/@

),9>

),9@

),=(

),9/

),@=

),/?

),@>

),9(

),2?

),/2

),?(

),9/

),9?

Buatlah selang keper'ayaan >=F untuk selisih rataan berat batang antara bibit yang tidak mendapat nitrogen dan yang mendapat /?2 ppm nitrogen! Anggap populasinya berdistribusi normal dengan :ariansi yang sama! *=! Data berikut, dalam hari menyatakan waktu yang diperlukan penderita sampai sembuh, penderita dipilih se'ara a'ak untuk mendapat salah satu dari dua obat yang dapat menyembuhkan in3eksi berat pada saluran ken'ingM

Hbat *

Hbat (

N*T *9

N(T **?

ẋ *T*@

ẋ (T *>

s*(T*,=

s((T *,2

Buat selang keper'ayaan >>F untuk selisih rataan waktu sembuh untuk kedua obat L* L(, anggap populasinya berdistribusi normal dengan :ariansi yang sama! *?! Suatu per'obaan yang dilaporkan di &opular S'ien'e, tahun *>2*, membandingkan pemakaian bahan bakar dua jenis trukmini diesel dengan perlengkapan yang sama! .isalkan *( truk KW dan *) truk %oyota digunakan dalm uji 'oba pada ke'epatan >) kmJjam! Bila ke *( truk KW ratarata menempukh *? km per liter dengan simpangan baku *,) km per liter dan *) truk %oyota ratarata ** km dengan simpangan baku ),2 per liter! Buat lah selang keper'ayaan >)F untuk selisih antara rataan km per liter kedua jenis truk mini! Anggap bahwa jarak perliter untuk setiap model truk berdistribusi normal dengan :ariansi yang sama!

*@! Suatu perusahaan taksi ingin menentukan apakah membeli ban merek A atau merek B untuk armada taksinya! 4ntuk menaksir perbedaan kedua merek, dilakukan suatu per'obaan menggunakan *( ban dari tiap merek! Ban dipakai sampai aus! asil merek A- E*T /?!/)) km, s *T =))) kmM merek B E (T /2!*)) km, s (T?*)) km! hitunglah selang keper'ayaan >=F untuk L * L(, anggap kedua populasi berdistribusi hamper normal!

*2! Data berikut menyatakan waktu putar 3ilm yang diproduksi dua perusahaan 3ilm gambar hidup!

perusaha an

A

B

Waktu +menit

*)/

> 9

**)

2 @

>2

>@

2 (

*(/

> (

*@=

2 2

**2

itunglah selang keper'ayaan >)F untuk selisih kedua rataan waktu putar 3ilm yang diproduksi kedua perusahaan! Anggap bahwa perbedaan waktu putar berdistribusi normal! *>! itunglah selang keper'ayaan >>F untuk L * L( bila suatu ban dari tiap merek dipasang se'ara a'ak di roda belakang delapan taksi dan jarak yang di tempuh, dalam km, adalah M

()! % a k s i

(*! . e r e k A

((! . e r e k B

(/! *

(9! / / , 9 ) )

(=! / ? , @ ) )

(@! 9 = , = ) )

(2! 9 ? , 2 ) )

/)! / ? , @ ) )

/*! / @ , @ ) )

/(! 9

//! / ( , ) ) )

/9! / * , * ) )

/=! =

/?! 9

/@! 9

(?! (

(>! /

/2! ?

9*! @

99! 2

2 , 9 ) )

@ , 2 ) )

/>! / ( , 2 ) )

9)! / ? , 9 ) )

9(! / 2 , * ) )

9/! / 2 , > ) )

9=! / ) , * ) )

9?! / * , = ) )

Anggap selisih jarak berdistribusi hampir normal!

()! &emerintah memberikan dana ke jurusan pertanian Sembilan uni:ersitas untuk menguji kemampuan menghasilkan dua :arietas gandum yang baru! %iap :arietas di tanam di petak sawah yang sama luasnya di tiap uni:ersitas dan hasilnya, dalam kilogram per petak, adalah sebagai berikutM

Uni8rsitas 8aritas

* Karietas A

/2

( (/

/ /=

9 9*

= 99

? (>

@ /@

2 /*

> /2

Karietas B

9=

(=

/*

/2

=)

//

/?

9)

9/

Itunglah selang keper'ayaan >=F untuk rataan selisih hasil kedua jenis , anggap bahwa distribusi hasil hampir normal, jelaskan mengapa kedua :arietas perlu dibuat berpasangan dalam soal ini!

(*! Departemen &erindustrian dan &erdagangan ingin mengetahui pendapatan ratarata dari usaha 4. di 0awa Barat tahun ())/! Dari total ??) 4. di bawah bimbingan Departemen, diambil sampel *() 4. yang terdapat di Bogor, ;irebon, %asikmalaya dan ;ianjur! $atarata pendapatan perbulannya ternyata meningkat menjadi (,* juta dengan standar de:iasi populasinya ),2 juta! Dengan tingkat keyakinan >=F, buatlah inter:al ratarata kenaikan pendapatan 4. di 0awa BaratU ((! &emerintah DI 0akarta mengadakan program peningkatan usaha ke'il dan menengah dalam rangka peningkatan pendapatan golongan ekonomi lemah! 4ntuk mengetahui apakah proyek ini berhasil atau tidak, maka akan dibedakan antara orang yang mengikuti proyek dan tidak! &endapatan */ orang dari ?@ peserta yang ikut proyek sebesar *,( juta perbulan dengan standar de:iasi sebesar ),( juta! Sedang pendapatan = orang dari /9 orang nonpeserta ratarata sebesar ),2 juta dengan standar de:iasi ),9! Dengan menggunakan tingkat keyakinan >>F, buatlah inter:al keyakinan tentang selisih dari kedua kelompok tersebut!

(/! &% ipo arawa'i yang merupakan perusahaan perumahan di Indonesia akan membangun perumahan di Sentul, Bogor! 4ntuk keperluan tersebut diadakan sur:ey tentang daya beli masyarakat! Berdasarkan data di e'amatan diketahui standar de:iasi pendapatan masyarakat sebesar ),2 juta! Apabila diasumsikan bahwa kesalahan penarikan sampel sebesar ),* juta, dengan tingkat keper'ayaan >>F, berapa sampel yang harus diambil oleh &% ipo arawa'i (9! &%! Islamic Net ingin mengetahui jumlah ratarata nilai penjualan per hari dari tenaga pemasaran sebagai dasar dari penentuan prestasinya! asil sementara menunjukkan ratarata perjalanan *=) ribu dengan standar de:iasi *9 ribu! Berapa sampel pramuniaga yang harus diambil, apabila diinginkan kesalahan yang ditoliler adalah ( ribu dan tingkat keyakinan >>F

(=! Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk silinder!Sampel beberapa potongan diukur, dan ternyata diameternya *!)*,)!>@,*!)/,*!)9,)!>> ,

)!>2,)!>>,*!)*, dan *!)/!itunglah selang keper'ayaan )!>>F untuk rataan potongan diameter yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hamper normal! (?! &engukuran berikut memberikan waktu mengering, dalam jam, sejenis 'at lateks merek tertentu! / ,9

(,=

9,2

(,>

/,?

(,2

/,/

=,?

/,@

(,2

9,9

9,)

=,(

/,)

9,2

Bila dimisalkan pengukuran menyatakan sampel a'ak yang diambil dari populasi normal, hitunglah batas toleransi >>F yang akan mengandung >=F waktu mengering!

(@! Sebuah mesin menghasilkan potongan logam yang berbentuk selinder! Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya *,)*

),>@

*,)/

*,)9

),>>

),>2

),>>

*,)*

dan *,)/ 'm!

itunglah selang keper'ayaan >> F untuk rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan distribusinya hampir normal!

(2! Diketahui E*  E( !!!!!! E@, diambil ample a'ak dari populasi yang mempunyai ratarata _ dan :ariansi

2

σ ! &erhatikan estimator L sbagai berikut-

´1 1

T +E*E(!!!!E@J@

´2 1

T +(E* P E?  E9J(

Apakah kedua estimator unbiased Yang mana estimator terbaik

(>! .isalkan kita mempunyai sampel a'ak dengann ukuran n dari populasi yang 2 dinotasikan sebagaii E, dan "+E T _ dan :ar E T σ !

Diketahui x´ * T

1 2n

2n

xi ∑ = i 1

1

dan x´ ( T n

n

xi ∑ = i 1

Adalah dua estimator _ ! Yang mana estimator _ yang lebih baik 0elaskan pilihan anda!

/)! .isalkan

2´1 , 2´2∧2´3

´ adalah estimator estimator ` ! ita tahu bahwa "+ 2 1 ¿

´ ´ ´ ´ ´ T "+ 2 2 ¿ dan T `, "+ 2 3 ¿ `, :ar 2 1 T*(, :ar 2 2 T*) and "1 2 3 P `8 ❑2 T?! Bandingkan ke tiga estimator! Yang mana yang lebih baik enapa

/*! In a binomial eEperiment eEa'tly E su''esses are obser:ed in n independent trials! %he 3ollowing two statisti's are proposed as estimators o3 the proportion parameter p- %* T EJn and %( T +E*J+n( Determine and 'ompare the .S" 3or %* and %(!

/(! Q*, Q(, Q/ and Q9 adalah sample random dengan ukuran nT 9 dari suatu populasi yang berdistribusi eEponensial dengan parameter ` yang tidak diketahui! Diantara%*T *J?+E*E(  +*J/+E/E9 %(T+E*(E(/E/9E9J= %/T+E*E(E/E9J9 %entukan Statistik mana yang unbiased estimator dari ` Diantara estimator ` yang unbiased , tentukan estimator yang terbaik

//! Diketahui populasi * dengan ratarata T 2) dan simpangan bakuT=, dan populasi ( dengan ratarata T @= dan simpangan baku T /, diambil sampel masingmasing n*T (= dan n(T/?! Ditanya- berapa probabilitas +/,9[ x´ * x´ ([=,>

"A" I

UJI 0IP>TESIS

P(DA!$%$A(

Dalam bab ini akan dibahas bagaimana 'ara menguji suatu statemen dimana statemen tersebut belum tentu kebenarannya! 4ji hipotesis yang akan dibahas antara lain a 4ji menyangkut rataan b 4ji menyangkut proporsi ' 4ji menyangkut :ariansi Baik untuk satu ataupun dua populasi! T$J$A( I(ST&$#SI)(A% $M$M

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menguji berbagai pernyataan dan diharapkan dapat digunakan dalam situasi nyata! T$J$A( I(ST&$#SI)(A% #!$S$S

*! .ahasiswa dapat memahami konsep dasar uji hipotesis (! .ahasiswa akan dapat mengetahui berbagai ma'am ilustrasi dalam penyelesaian masalah menggunakan uji hipotesis /! .ahasiswa diharapakan dapat mengidenti3ikasi terhadap masalah yang dihadapi perusahaan

1,,,,. 2,,,,. -,,,,. ,,,,.



&I(*#ASA( MAT&I

I%$ 0IP>TESIS STATISTIK

&engujian hipotesis statistik merupakan suatu bidang besar in3erensi statistik! ipotesis statistik adalah suatu anggapan, pernyataan atau dugaan, yang mungkin benar atau tidak, mengenai satu atau lebih populasi! &engujian hipotesis berhubungan dengan penerimaan atau penolakan suatu hipotesis! ebenaran suatu hipotesis tidak akan pernah diketahui dengan pasti, ke'uali kita memeriksa seluruh populasi! Namun, karena tidak memungkinkan memeriksa seluruh populasi, maka kita dapat mengambil sampel a'ak dan menggunakan in3ormasi atau bukti dari sampel tersebut untuk menerima atau menolak suatu hipotesis! &enerimaan suatu hipotesis terjadi karena %IDA ;44& B4%I untuk ."NHA hipotesis tersebut dan B4AN karena I&H%"SIS I%4 B"NA$ dan penolakan suatu hipotesis terjadi karena %IDA ;44& B4%I untuk ."N"$I.A hipotesis tersebut dan B4AN karena I&H%"SIS I%4 SAA!

&rosedur pengujian hipotesis diawali dengan perumusan ipotesis Awal yang diharap akan ditolak dan biasanya disebut dengan ipotesis Nol + )! ipotesis Nol ini juga sering menyatakan kondisi yang menjadi dasar pembandingan dan harus menyatakan dengan pasti nilai parameter! &enolakan ) membawa kita pada penerimaan ipotesis Alternati3 +*! • )  ditulis dalam bentuk persamaan +T • *  ditulis dalam bentuk pertidaksamaan +O M  M  Contoh $

Sebelum tahun *>>/, penda3taran mahasiswa 4ni:erstas D dilakukan dengan pengisian 3ormulir se'ara manual! &ada tahun *>>/, &SA 4ni:ersitas D memperkenalkan sistem penda3taran cHNIN"c! Seorang Sta3 &SA ingin membuktikan pendapatnya 6bahwa ratarata waktu penda3taran dengan sistem HNIN" akan lebih 'epat dibanding dengan sistem yang lama7! &ada sistem lama, ratarata waktu penda3taran adalah =) menit! &erumusan hipotesisnya adalah sebagai berikut• •

) - L T =) menit +sistem baru dan sistem lama tidak berbeda * - L O =) menit +sistem baru lebih 'epat dibanding sistem lama

I%! ARA0 PENGUJIAN 0IP>TESIS

&engujian ipotesis dapat dilakukan se'ara -

*! 4ji Satu Arah +uji ekasisi (! 4ji Dua Arah +uji dwisisi ipotesis nol +), akan selalu dinyatakan dengan menggunakan tanda kesamaan yang berarti menyatakan suatu nilai yang tunggal! 4ntuk penggunaan uji ekasisi dan uji dwisisi tergantung pada kesimpulan yang akan diambil jika  ) ditolak! etak daerah kritis +daerah penolakan ) baru dapat ditentukan hanya setelah  * ditentukan!

I%!%$ U6i Ekasisi

4ji ekasisi ini digunakan apabila peneliti memiliki in3ormasi mengenai arah ke'enderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati! &engajuan  ) dan  * dalam uji satu arah adalah sebagai berikut•

) - ditulis dalam bentuk persamaan +menggunakan tanda T

•

* - ditulis dalam bentuk lebih besar + atau lebih ke'il +O

&ada uji ini nilai ] +tara3 keberartian atau ukuran daerah kritis tidak dibagi dua, karena seluruh ] diletakkan hanya di salah satu sisi selang! .isalkan )

- L T L)

*

- L O L)

Wilayah kritis

- C O C]

+L) adalah suatu ratarata yang diajukan dalam  )

atau

t O t+dbM]

+pengunaan C atau t tergantung

pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan CM sampel ke'il menggunakan t

ambar IK!@ Wilayah ritis untuk 4ji "kasisi iri

Daerah yang terarsir - daerah penolakan hipotesis +daerah kritis Daerah yang tidak terarsir - daerah penerimaan hipotesis

.isalkan )

- L T L)


*

- L O L)

Wilayah kritis

- C O C] atau t O t+dbM]

+pengunaan C atau t tergantung pada

ukuran sampel, sampel besar menggunakan CM sampel ke'il menggunakan t

ambar IK!2 Wilayah ritis untuk 4ji "kasisi anan

Daerah yang terarsir - daerah penolakan hipotesis +daerah kritis Daerah yang tidak terarsir - daerah penerimaan hipotesis

I%!%! U6i <isisi

4ji dwisisi digunakan apabila peneliti tidak memiliki in3ormasi mengenai arah ke'enderungan dari karakteristik populasi yang sedang diamati! &engajuan  ) dan  * dalam uji satu arah adalah sebagai berikut-

•

) - ditulis dalam bentuk persamaan +menggunakan tanda T

•

* - ditulis dalam bentuk lebih besar + atau lebih ke'il +O &ada uji ini nilai ] +tara3 keberartian atau ukuran daerah kritis dibagi dua, karena ] diletakkan di kedua sisi selang! .isalkan )

- L T L)

*

- L O L)

Wilayah kritis - C O C


# 2

atau

t O t+dbM

# 2



+pengunaan C atau t tergantung

pada ukuran sampel, sampel besar menggunakan CM sampel ke'il menggunakan t

ambar IK!> Wilayah ritis untuk 4ji Dwisisi

I%3 KESA5A0AN TESIS

Dalam mengambil kesimpulan untuk suatu uji hipotesis kita mungkin akan melakukan kesalahan +kesalahan T error T galat, yaitu• alat jenis * +] - menolak  ) padahal ) benar

•

alat jenis ( + - menerima ) padahal ) salah

%abel IK!/ emungkinan esalahan dalam &engujian ipotesis Statistik Ksi7'ulan

Kadaan S*narn+a 01 *nar

01 salah

Tri7a 01 Tolah 01

eputusan benar alat jenis *

alat jenis ( eputusan benar

&rinsip pengujian hipotesis yang baik adalah meminimalkan nilai ] dan ! Dalam perhitungan, nilai ] dapat dihitung sedangkan nilai  hanya bisa dihitung jika nilai hipotesis alternati3 sangat spesi3ik!

Contoh !

Sejenis :aksin 3lu diketahui hanya e3ekti3 (=F setelah jangka waktu ( tahun! 4ntuk menentukan apakah :aksin baru leih unggul daripada :aksin lama, dipilih *)) orang se'ara a'ak dan diberi suntikan :aksin baru tersebut! Bila dalam waktu lebih dari ( tahun, /? orang atau lebih tidak terserang :irus, maka :aksin baru dianggap lebih unggul daripada :aksin 1

lama! itung galat jenis I +] dan galat jenis II + dengan p T

2

U

-aa/ 0

) - p T

1 4

* - p 

1 4

Daerah kritis - E  /?

daerah penerimaan - E [ /?

+gunakan pendekatan distribusi normal baku

a! L T n ! p T *) *)) !

1 4

T (=

σ T

√ n . p . ' T

√

5T (,??

 2 /+

ambar IK!*) IK!*) &eluang Suatu alat 0enis I 2

]

T & +galat jenis I T & +) tolak ) benar T & +E  /? p T

1 4



1 3 100 . . 4 4

x − $

❑

T 9,//

T

36,5 −25 4,33

T

T & +5  (,?? T *  & +5 O (,?? T * P ),>>?* T ),))/> b! L T n ! p T *)) !

1 2

σ T √ n . p . ' T

T =)

ambar IK! &eluang Suatu alat 0enis II

'! 5 T

2

]

x − $

❑

T

36,5 −50

T (,@

5

T & +galat jenis II T & +) terima ) salah 1

T & +E [ /? /? p T

T & +5 O  (,@ T ),))/=

2



√

100 .

1 1

.

2 2

T =

Si3atsi3at galat -

•

alat jenis I dan galat jenis II berkaitan! .emperke'il peluang yang satu dapat biasanya memperbesar peluang yang lainnya! lainnya!

•

4kur 4kuran an daer daerah ah krit kritis is,, jadi jadi juga juga pelu peluan angg melak melakuk ukan an galat galat jeni jeniss I, selal selaluu dapa dapatt diperke'il dengan menyesuaikan nilai kritis!

• •

.enaikkan ukuran sampel nakan memperke'il ] dan  se'ara serentak! Bila ) salah, salah,  akan men'apai maksimum maksimum bila nilai parameter parameter sesunggu sesungguhnya hnya dekat dengan dengan nilai nilai yang yang dihipo dihipotesi tesiska skan! n! .akin .akin besar besar jarak jarak antara antara nilai nilai sesung sesungguh guhny nyaa dengan nilai yang dihipotesiskan, maka makin ke'il pula ! Suatu pengertian pengertian yang amat penting penting yang berkaitan berkaitan dengan dengan kedua peluang galat ialah

perngertian kuasa uji! uasa suatu uji adalah peluang menolak  ) bila suatu tandingan tertentu benar! benar! uasa suatu suatu uji dapat dinotasikan dinotasikan dengan dengan Ɣ dan dapat dihitung dengan * P !

I% I%9 5ANGKA0 5ANGKA0 PENGER PENGERJAAN JAAN UJI 0IP>T 0IP>TESIS ESIS

4ntuk melakukan suatu uji hipotesis, langkahlangkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut *! %entuk entukan an hipote hipotesis sis nol +) dan hipotesis tandingan + *! (! /! 9! =! ?! @!

&ili &ilihh tara tara33 keb kebera erarti rtian an ] %entuka %entukann arah arah penguji pengujian an +ekasisi +ekasisi atau dwisisi dwisisi %entuk entukan an daerah daerah kritis kritisnya nya &ilih &ilih uji statis statistik tik yang yang sesu sesuai ai itung itunglah lah nilai nilai uji uji statist statistik ik dari dari data data sampel sampel %entuk ntukan an kesim kesimpu pulan lan +tol +tolak ak  ) bila uji statistik mempunyai nilai di dalam daerah kritis dan terima ) bila uji statistilk mempunyai nilai di luar daerah kritis

Beberapa nilai 5 yang sering digunakan-

C=F T C)!)= T* T*!?9=

C(!=F T C)!)(= T*!>?

C*F T C)!)* T (!//

C)!=F T C)!))= T (!=@=

I% I% UJI MEN@A MEN@ANGKUT RAT RATA AAN

&eng &enguj ujian ian hipo hipotes tesis is yang yang meny menyan angk gkut ut rataa rataann terdi terdiri ri dari dari berb berbag agai ai ma'am ma'am 'ara 'ara,, diantaranya adalah uji menyangkut satu rataan dengan :ariansi diketahui, uji menangkut satu rataan dengan :ariansi tidak diketahui, uji menyangkut dua rataan dengan :ariansi diketahui, uji menyangkut dua rataan dengan :ariansi tidak diketahui tapi

σ*Tσ(

atau σ* 

σ(,

dan uji

menyangkut rataan dengan pengamatan berpasangan!

%abel IK!9 4ji .enyangkut $ataan N >

01

*! µ T µ 

Statistik z =

0$

´ x − μ σ / √ n

M σ diketahui

µ O µ 

3 45 3 α

µ  µ 

3 6 3 α

µ ≠ µ ≠ µ 

3 45 3 α 72 8 3 6 3 α 72

(! µ T µ 

x´ − μ 0 t = S / √ n σ tidak

M

diketahui

µ O µ 

t 45 t α α

µ  µ 

t 6 t α

µ ≠ µ ≠ µ 

t 45 t α 72 8 t6t

:T n* /!

( x´ − x´ ) −( 1

µ + µ 29d 

CT

2

0

√ ( σ / n )+ ( σ / n ) 2 1

2 2

1

2

M

µ + µ 24d 

3 45 3 α

µ + µ 26d 

3 6 3 α

µ + µ 2 ≠ d d 

3 45 3 α 72 8

σ* dan σ( diketahui

9! µ + µ 29d 

t =

3 6 3 α 72

( x´ − x´ ) −( S p √ ( 1 / n ) + ( 1 / n ) 1

2

1

72 α

0

1

M : T n* n( ( σ*Tσ( tetapi tidak diketahui

µ + µ 24d 

t 45 t α α

µ + µ 26d 

t 6 t α

µ + µ 2 ≠ d d 

t 45 t α 72 8 t6t

72 α

2

S p

=! µ + µ 29d 

t =

( n −1 ) s +( n −1 ) s 2 1

1

T

2 2

2

n1+ n2−2

( x´ − x´ ) −( 1

√ ( s

2 1

2

0

/ n1 ) + ( s 22 /n 2)

µ + µ 24d 

t 45 t α α

µ + µ 26d 

t 6 t α

d  µ + µ 2 ≠ d

t 45 t α 72 8

σ*  σ( dan tidak diketahui

( s / n +s / n ) *= (s /n ) + (s /n ) 2

2

1

2 1

1

2

1

n1 − 1

?!

µ #9d 

t =

t6t

72 α

2

2

2

2 2

2

2

n2−1

(´ − ( 0

µ #4d 

t 45 t α α

s ( / √ n

µ #6d 

t 6 t α

µ +# d  +# ≠ d

t 45 t α 72 8

: T n* pengamatan berpasangan

t6t

72 α

Contoh 3% U6i 7n+an.kut satu rataan dn.an 8ariansi diktahui

Sampel a'ak 'atatan *)) kematian di AS selama tahun lalu menunjukan ratarata usia mereka @*,2 tahun! Andaikan simpangan bakunya 2,> tahun, apakah ini menunjukan bahwa ratarata usia dewasa ini lebih dari @) tahun unakan tara3 keberartian +] ),)=!

-aa/ 0

*! ) - L T @) tahun (! * - L  @) tahun /! ] T ),)= daerah kritis :  *,?9=

ambar IK! IK!** Daerah ritis 'ontoh /!

9! perh erhitu itungan ngan - x´ T @*,2 tahun M σ T 2,> tahun

x − $

5 T

¿ √ n T

71,8 −70 8,9 / √ 100

T (,)(

=! eputusan - %olak ) ?! esimpulan - ratarata usia dewasa ini lebih dari @) tahun!

Contoh 9% U6i 7n+an.kut dua rataan dn.an 8ariansi tidak diktahui

Suatu per'obaan dilakukan untuk membandingkan keausan, karena gosokan dua bahan yang dilapisi! Dua belas potong bahan diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus! Sepuluh potong bahan ( diuji dengan 'ara yang sama! Sampel bahan * memberikan ratarata keausan sebanyak 2= satuan dengan simpangan baku 9 sedangkan sampel bahan ( memberikan ratarata keausan sebanyak 2* dengan simpangan baku sampel =! Dapatkah disimpulkan bahwa pada tara3 keper'ayaan ),)= keausan bahan * melampaui keausan bahan ( sebanyak lebih dari ( satuan Anggaplah populasi hampir normal dengan :ariansi yang sama!

-aa/ 0

.isalkan L* dan L( masingmasing menyatakan rataan populasi keausan bahan * dan bahan (! *! (! /! 9! =!

) - L*  L( T ( * - L*  L(  ( ] T ),)= daerah kritis t  *,@(= perhitungan - x´ * T 2= M s* T 9 M n * T *( M x´ s p T

√

( 1 2−1 ) 16 +(10 −1 ) 25 T 9,9@2 12 + 10− 2 (85 −81 )−2

t T

4,478 /

√

1 +1 12 10

?! eputusan - %erima )

T *,)9

(

T 2* M s( T = M n ( T *)

@! esimpulan - tidak dapat disimpulkan bahwa keausan bahan * melampaui bahan ( lebih dari ( satuan!

Contoh % U6i 7n+an.kut rataan dn.an 'n.a7atan *r'asan.an

Dalam makalah  In&l'ence o& Phsical ;estraint and ;estraint51

Kirginia &olythe'hni'

Institue and State 4ni:ersity +*>@?, 0!A! Wesson memeriksa pengaruh obat s'ccinlcholine terhadap kadar peredaran androgen dalam darah! Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera serelah disuntikan s'ccinlcholine pada otot menggunakan panah dan senapan penangkap! $isa kemudian diambil lagi darahnya kirakira /) menit setelah suntikan dan kemudian dilepaskan! adar androgen pada waktu ditangkap dan /) menit kemudian diukur dalam nanogram per ml +ngJml untuk *= rusa adalah sebagai berikut- +anggap populasi androgen berdistribusi normal

Rusa

* ( / 9 = ? @ 2 > *) ** *( */ *9 *=

Andro.n (n.?7l) &aktu 31 7nit suntikan suntikan

(,@? =,*2 (,?2 /,)= 9,*) @,)= ?,?) 9,@> @,/> @,/) **,@2 /,>) (?,)) ?@,92 *@,)9

@,)( /,*) =,99 /,>> =,(* *),(? */,>* *2,=/ @,>* 9,2= **,*) /,@9 >9,)/ >9,)/ 9*,@)

di stlah

9,(? (,)2 (,@? ),>9 *,** /,(* @,/* */,@9 ),=( (,9= ),?2 ),*? ?2,)/ (?,== (9,??

Dengan menggunakan tara3 keberartian ),)=, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu /) menit -aa/ -

.isalkan L* dan L( masingmasing menyatakan rataan konsentrasi androgen pada waktu suntikan dan /) menit setelah suntikan! *! (! /! 9! =!

) - L* T L( atau D - L*  L( T ) * - L* / L( atau D - L*  L(  ) ] T ),)= daerah kritis t O (,*9= dan t  (,*9= : T *9 ´ perhitungan - rataan sampel dan simpangan baku untuk nilai d i adalah ( T >,292 dan sd T *2,9@9 9,848 −0 t T 18,474 / √ 15 T (,)?

?! eputusan - %erima ) @! esimpulan - ada kenyataan tentang adanya perbedaan dalam rataan kadar peredaran androgen!

I%4 UJI MEN@ANGKUT PR>P>RSI

4ji hipotesis yang manyangkut proporsi banyak dipakai dalam berbagai bidang! Sebagai 'ontoh, politisi tentunya tertarik untuk mengetahui berapa bagian dari pemilih yang akan mendukungnya dalam pemilihan! 4ji hipotesis ini terdiri dari uji menyangkut proporsi dan uji menyangkut selisih proporsi!

%abel IK!= 4ji .enyangkut &roporsi o %9%

Statistik

*

Daerah ritis

%4% %6%

3 45 3 α 3 6 3 α

z =

%+9%2

z =

p− p 0

% ≠ %

√ p0 ' 0 / n

3 45 3 α 72 8 3 6 3 α 72

p1− p2

√ p' /( 1 / n + 1 / n ) 1

2

%+4%2 %+6%2

3 45 3 α

%+ ≠ %2

3 45 3 α 72 8

3 6 3 α 3 6 3 α 72

%+9%29.....9%k

2

2

) =

∑

( 3 i −% i ) %i

Contoh 4% Mn.u6i 'ro'orsi dn.an sa7'l k#il

%idak semuanya sama

χ( χα (

Suatu perusahaan t: menyatakan bahwa @)F t: di kota B berasal dari perusahaan tersebut! Apakah anda setuju dengan pernyataan itu bila suatu sampel a'ak di kota B menunjukan bahwa 2 dari *= t: berasal dari perusahaan tadi unakan tara3 keberartian ),)*!

-aa/ 0

*! ) - p T ),@ (! * - p  ),@ /! ] T ),*) 9! uji statistik- peubah binomial Q dengan p T ),@ dan n T *= =! perhitungan - E T 2 dan np o T +*=+)!@ T *),= & T (&+Q [ 2 bila p T ),@ 8

T(

∑ 4( x 5 15 5 0,7 )

x = 10

T ),(?((  ),*) ?! eputusan - %erima ) @! esimpulan - tidak 'ukup alasan meragukan pernyataan perusahaan tersebut!

Contoh 2% Mn.u6i 'ro'orsi

Suatu obat yang biasa dijual untuk mengurangi ketegangan syara3 diyakini manjur hanya ?)F! asil per'obaan dengan obat baru yang di'obakan pada sampel a'ak *)) orang dewasa yang menderita ketegangan syara3 menunjukan bahwa @) merasa tertolong! Apakah kenyataan ini 'ukup untuk menyimpulkan bahwa obat baru tadi lebih unggul dari yang biasaJ gunakan tara3 keberertian ),)=!

-aa/ 0

*! ) - p T ),? (! * - p  ),? /! ] T ),)= 9! daerah kritis :  *,?9= =! perhitungan - E T @) M n T *)) M npo T +*))+),? T ?) 70 −60 5 T √ 100.0,6 .0,4 T (,)9 ?! eputusan - %olak )

2%

esimpulan - obat baru lebih unggul!

Contoh ;% Mn.u6i slisih dua 'ro'orsi

&emungutan suara diambil dari suatu kotamadya dan kabupaten di sekitarnya untuk menentukan apakah suatu ren'ana pembangunan pabrik kimia boleh diteruskan! Daerah industri tersebut masih berada dalam batas kota dan karena itu banyak penduduk kabupaten merasa bahwa ren'ana itu akan disetujui karena proporsi terbesar penduduk kota menyetujui pembangunan pabrik tersebut! 4ntuk menentukan apakah ada perbedaan yang berarti antara proporsi penduduk kota dan kabupaten yang mengTdukung ren'ana tersebut, suatu pol diadakan! Bila *() dari ()) penduduk kota yang setuju dan bila (9) dari =)) penduduk

kabupaten yang menyetujuinya, apakah anda sependapat bahwa proporsi penduduk kota yang setuju lebih besar dari proporsi penduduk kabupaten yang setuju unakan tara3 keberartian ),)(=!

-aa/ 0

.isalkan p* dan p( menyatakan proporsi sesungguhnya penduduk kota dan kabupaten yang menyetujui ren'ana tersebut! *! (! /! 9! =!

) - p* T p( * - p*  p( ] T ),)(= daerah kritis :  *,>? perhitungan p

x 1 * T n 1 T

120

p

x 2 n2

240

^

^

p ^

T

(

T

T ),?

200

T ),92

500

x 1+ x 2 T n 1+ n 2 T

120 + 240 200 + 500

T ),=*

0,6 −0,48

5

T

√

( )

0,51.0,49 {

1

200

+(

1 500

) T (,>

?! eputusan - %olak ) @! esimpulan - penduduk kota yang menyetujui ren'ana tersebut lebih besar dari proporsi penduduk kabupaten yang tidak menyetujui!

I%2 UJI MEN@ANGKUT ARIANSI

&engujian hipotesis mengenai :ariansi populasi atau simpangan baku berarti kita ingin menguji hipotesis mengenai keseragaman suatu populasi ataupun barangkali membandingkan keseragaman suatu populasi dengan populasi lainnya! Statistik yang 'o'ok sebagai dasar keputusan adalah statistik 'his
%abel IK!? 4ji .enyangkut Kariansi o

Statistik

σ 9σ 

2

) =

( n −1 ) s2 2

σ 0

*

Daerah ritis

σ 4σ 

χ 2 4 χ α 2

σ 6σ 

χ 2 6 χ α 2

σ ≠ σ 

χ 24 χ 2α 72

υ 9 n5+ σ +9σ 2

- =

χ 26 χ 2α 72

s1

2

σ +4σ 2

& 4 & +5α +υ +1υ 2

2

σ +4σ 2

& 6 & α +υ +1υ 2

σ + ≠ σ 2

& 4 & +5α 72+υ +1υ 2

s2

υ + 9 n+5+

& 6 & α 72 +υ +1υ 2

υ + 9 n+5+

Contoh % Mn.u6i 8ariansi

Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku ),> tahunJ Bila sampel a'ak *) beterai tersebut menghasilkan simpangan baku *,( tahun, apakah anda setuju bahwa

 ),> tahun unakan tara3

keberartian ),)=!

-aa/ 0

2 *! ? ) - ❑

T

),2*!

2 (! ? * - ❑  ),2*!

/! ] T ),)=! 9! Daerah kritis χ 2  *?,>*> dengan derajat kebebasan ! T > 2 =! &erhitungan s T *,99, n T *)

χ T

( 9 ) (1,44 )

2

0,81

T *?,)

?! eputusan - Statistik x kenyataan bahwa

(

tidaklah berarti pada tara3 ),)=! Akan tetapi, ada sedikit

 ),>!

Contoh $1% Mn.u6i slisih dua 8ariansi

Dalam menguji selisih keausan kedua bahan di 'ontoh K!(, dianggap bahwa kedua :ariansi populasi yang tidak diketahui sama besarnya! Apakah anggapan seperti ini beralasan 

-aa/ 0

*! ? ) -

2

σ 1

2 (! ? * - σ 1

2

T

σ 2

2



σ 2

/! ] T ),*) 9! Daerah kritis & ),)= +**,> T /,** 1

& ),>= +**,> T

- 0,05 ( 11,9 ) T ),/9

2 2 0adi, hipotesis nol ditolak bila & O ),9/ atau &  /,**, untuk & T s 1 / s 2 dengan derajat

kebebasan !* T > dan !( T > 2 2 =! &erhitungan s 1 T *?, s 1 T (=, jadi

16

& T

25

T ),?9

?! eputusan - terima )! @! esimpulan - tidak 'ukup kenyataan untuk menyatakan bahwa :ariansinya berbeda!

5atihan Soal

*! &roporsi keluarga yang membeli susu dari perusahaan A di suatu kota ditaksir sebesar % T ),?! Bila sampel a'ak *) keluarga menunjukan bahwa hanya / atau kurang yang membeli susu dari perusahaan A maka hipotesis bahwa % T ),? akan ditolak dan tandingan % O ),? didukung! a! ;arilah peluang melakukan galat jenis I bila proporsi sesungguhnya % T ),?! b! ;arilah peluang melakukan galat jenis II untuk tandingan % T ),/, % T ),9, dan % T ),=! (! &roporsi orang dewasa yang tamat perguruan tinggi yang tinggal di suatu kota ditaksir sebanyak % T ),/! 4ntuk menguji hipotesis ini sampel a'ak ()) orang dewasa dipilih! Bila banyaknya yang tamat perguruan tinggi dalam sampel tadi antara 92 dan @(, maka hipotesis nol bahwa % T ),/ diterima! 0ika tidak, maka disimpulkan bahwa %  ),/! a! ;arilah ] kalau % T ),/! b! ;arilah  untuk tandingan % T),( dan % T ),9! /! Suatu perusahaan alat listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi hampir normal dengan rataan 2)) jam dan simpangan baku 9) jam! 4jilah hipotesis bahwa L T 2)) jam lawan tandingan L  2)) jam bila sampel a'ak /) bola lampu mempunyai rata rata umur @22 jam! unakan tara3 keberartian ),)9! 9! Suatu pernyataan menyatakan bahwa ratarata sebuah mobil dikendarai sejauh ()!))) km setahun di suatu daerah! 4ntuk menguji pernyataan ini sampel a'ak sebanyak *)) pengemudi mobil diminta men'atat jumlah kilometer yang mereka tempuh! Apakah anda

setuju dengan pernyataan di atas bila sampel tadi menunjukan ratarata (/!=)) km dan simpangan baku />)) km unakan tara3 keberartian ),)=! =! Suatu pabrik menyatakan bahwa daya rentang ratarata benang A melebihi daya rentang ratarata benang B paling sedikit *( kg! 4ntuk menguji pernyataan ini, =) potong benang dari tiap jenis diuji dalam keadaan yang sama! Benang jenis A mempunyai ratarata daya rentang 2?,@ dengan simpangan baku ?,(2 kg, sedangkan benang jenis B mempunyai rata rata daya rentang @@,2 dengan simpanagn baku =,?* kg! 4jilah pernyataan pengusaha tadi dengan menggunakan tara3 keberartian ),)=!

?! 4ntuk menentukan apakah suatu serum baru akan memperlambat leukemia, > tikus dipilih yang semuanya telah kena penyakit tersebut pada tahap yang lanjut! ima tikus mendapat serum tadi dan empat lainnya tidak! 4mur, dalam tahun, sejak permulaan per'obaan sebagai berikut perlakuan %anpa perlakuan

(,* =,/ *,9 9,? ),> *,> ),= (,2 /,*

&ada tara3 keberartian ),)= dapatkah disimpulkan bahwa serum tadi menolong Anggap kedua populasi berdistribusi normal dengan :ariansi yang sama!

@! Data berikut memberikan waktu putar 3ilm yang dihasilkan oleh dua perusahaan 3ilm gambar hidupPrusahaan A "

&aktu (7nit)

*)( 2*

2? *?=

>2 >@

*)> */9

>( >(

2@

**9

4jilah hipotesis bahwa ratarata waktu putar 3ilm hasil perusahaan B lebih *) menit dari ratarata waktu putar 3ilm hasil perusahaan A lawan tandingan ekapihak bahwa selisihnya melebihi *) menit! unakan tara3 keberartian ),* dan anggaplah kedua distribusi tersebut hampir normal dengan :ariansi tidak sama!

2! Dari penelitian )om%arison o& ,or/ic Acid in )o'ntri ?am *e&ore and A&ter ,tora$e> yang dilakukan di Kirginia &olythe'ni' Institute and State 4ni:ersity pada tahun *>2/, diperoleh data berikut yang menyangkut perbandingan sisa asam sorbat dinyatakan dalam bagian per sajuta, dalam daging ham segera setelah di'elupkan dalam larutan sorbat dan setelah disimpan ?) hari di'atatPoton.an

Sisa asa7 sor*at dala7 ha7 S*lu7 disi7'an Stlah disi7'an

* ( / 9 = ? @ 2

((9 (@) 9)) 999 =>) ??) *9)) ?2)

**? >? (/> /(> 9/@ =>@ ?2> =@?

Bila dianggap kedua populasinya berdistribusi normal, apakah terdapat kenyataan yang 'ukup, pada tara3 keberartian ),)=, untuk menyatakan bahwa lamanya penyimpanan mempengaruhi konsentrasi sisa asam sorbat

>! .isalkan bahwa dulu 9)F dari semua orang dewasa menyetujui hukuman mati! Apakah 'ukup ada kenyataan untuk mendukung bahwa proporsi orang dewasa sekarang yang menyetujui hukuman mati lebih banyak bila dalam suatu sampel a'ak *= orang dewasa, 2 yang menyetujui hukuman mati unakan tara3 keberartian ),)=!

*)! Diduga paling sedikit ?)F rumah tangga di suatu daerah memiliki pesawat tele:isi! esimpulan apakah yang akan anda ambil bila hanya **) dalam sampel ()) keluarga yang memiliki tele:isi unakan tara3 keberartian ),)9! **! Suatu perusahaan rokok memasarkan dua merek rokok! Bila diketahui bahwa =? dari ()) perokok lebih menyenangi merek A dan *> dari *=) perokok lebih menyenangi merek B, dapatkah disimpulkan pada tara3 keberartian ),)? bahwa merek A lebih laris daripada B *(! &engalaman menunjukan bahwa waktu yang diperlukan murid kelas / S.A untuk menyelesaikan suatu ujian baku merupakan suatu peubah a'ak normal dengan simpangan

baku ? menit! 4jilah hipotesis bahwa σ T ? lawan tandingan bahwa σ O ? bila sampel a'ak () murid S.A kelas / mempunyai simpangan baku s T 9,=*! unakan tara3 keberartian ),)=! */! Data masa lalu menunjukan bahwa uang yang disumbangkan oleh karyawan di suatu kota pada &.I berdistribusi normal dengan simpangan baku *,9) ribu rupiah! Ada dugaan bahwa sumbangan dari para pedagang pada &.I mempunyai simpangan baku *,@= ribu rupiah! Dapatkan disimpulkan, pada tara3 keberartian ),)*, bahwa simpangan baku sumbangan dari para pedagang lebih besar daripada para karyawan di kota tersebut *9! Suatu mesin minuman dikatakan diluar kendali bila :ariansi isi minuman yang dikeluarkannya melebihi *,*= desiliter! Bila sampel a'ak (= 'angkir minuman dari mesin ini mempunyai :ariansi (,)/ desiliter, apakah ini menunjukan, pada tara3 keberartian ),)=, bahwa mesin diluar kendali Anggap bahwa isi 'angkir berdistribusi hampir normal!

*=! Seorang ahli mengemukakan kepada manajer bahwa dengan mengadakan perubahan perubahan tertentu dalam proses produksi akan meningkatkan e3isiensi, karena rata rata persentase kerusakan produksi tiap mesin akan berkurang! &erubahanperubahan akan memerlukan biaya sehingga per'obaan perlu diadakan terlebih dahulu sebelum dilakukan se'ara menyeluruh dalam proses produksi! &er'obaan terhadap ? unit proses produksi +dalam persen, sebagai berikut2,( P @,> P 2 P 2,9 P 2,/ P @,2 .anajer hanya akan melakukan perubahanperubahan apabila dalam proses baru terjadi ratarata kerusakan paling banyak 2F! Atas dasar hasil di atas, tentukanlah keputusan apa yang dapat diambil oleh manajer disertai besar resiko yang diperkirakanU

*?! Dari pengalaman masa lampau ternyata sekitar 9)F mahasiswa tingkat pertama lulus mata kuliah A! jika tahun ini 9>? dari *!)@2 lulus mata kuliah A, dapatkah kita menyimpulkan bahwa pola masa lampau masih berlaku Ambil %ara3 nyata ),)= dan ),)* lalu bandingkanU

*@! Suhu udara di kota B selama ?) bulan terakhir men'apai simpangan baku ),2f ;elsius! &engamatan pada tiap tengah bulan selama satu tahun men'apai ratarata suhu +dalam f ;elsius- (2,9 P /),@ P /),( P (>,9 P (>,> P /*,( P (@,> P (>,2 P /),> P (>,( P (2 P /),(! %entukanlah apakah :ariabilitas suhu udara berubah atau tidak jika dibandingkan dengan selama ?) bulan terakhir tersebut! Ambil tara3 nyata ),)=!

*2! Sepuluh orang pasien melakukan diet! Berat badan sebelum diet dan sesudahnya ditimbang untuk mengetahui apakah diet itu berhasil atau tidak! asilnya +dalam kg sebagai berikut-

&asien

Berat Sebelum Diet

Berat Sesudah Diet

*

@2,/

@@,9

(

29,@

2/,(

/

@@,9

@=,@

9

>=,?

>(,9

=

2(,)

2),(

?

?>,9

?2,*

@

@>,@

@?,>

2

2=,?

2/,>

>

>(,2

>),9

*)

>>,(

>=,(

Asumsi apa yang harus diambil mengenai distribusi berat badan 4jilah terlebih dahulu apakah simpangan baku berat badan sebelum dan sesudah diet sama besarU Dapatkah disimpulkan bahwa diet yang telah dilakukan itu berhasil

*>! Sampelsampel a'ak yang masingmasing berukuran *)) mengenai pendapatan bulanan pegawai +dalam ribuan rupiah dan disimbolkan dengan Yij, telah diambil dari tiga kota! asilnya sebagai berikut-

ota

4kuran Sampel

 j Yij

 j Yij(

I

*))

9@=,)

=!))*,(=

II

*))

=(?,=

=!>92,=)

III

*))

=)@,=

=!?@2,(=

.isalkan bahwa pendapatan bulanan itu berdistribusi normal! Dengan tara3 nyata ),)= ujilah apakah :arians pendapatan pegawai itu sama besar ataukah tidakU

"A" 

UJI C0ISBUARE

P(DA!$%$A(

Yang akan dibaha sdalam bab ini antara lain pengujiana@ oodest o& &it test b Inde%edent +uji kebebasan

T$J$A( I(ST&$#SI)(A% $M$M

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menganalisis dan menguji baik ke'o'okan ataupun kebebasan dengan menggunakan uji ;hi S
*! .ahasiswa dapat memahami konsep dasar uji 'his

egiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut*! &erkuliahan (! &enjelasan tentang 'on'ept map +tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas, pokok bahasan, dan kompetensi yang akan di'apai +%I4 dan %I /! %es pendahuluan

9! $ingkasan materi disampaikan dengan metode 'eramah, critical incident , diskusi dan tanya jawab =! %es akhir ?! ":aluasi pen'apaian @! &enutup

&I(*#ASA( MAT&I

4ji ;hi S
X oleh karena itu nilainya selalu positi3!

%$

G>>= =IT TEST

oodness o3 3it test atau uji kebaikan suai merupakan pengujian terhadap ke'o'okan atau baiknya kesesuaian antara 3rekuensi terjadinya pengamatan pada sampel teramati dengan 3rekuensi harapan yang diperoleh dari distribusi yang dihipotesiskan! 4ji goodness o3 3it antara 3rekuensi pengamatan dan 3rekuensi harapan didasarkan pada besarani −¿ %i 3¿

¿ ¿2 ¿ ¿ ¿

2

X =

k

¿ ∑ = i 1

2

X

- nilai peubah a'ak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi ChiKuadrat dengan derajat kebebasan 8k$

k

- jumlah sel atau kelas

oi

- 3rekuensi amatan

ei

- 3rekuensi harapan

2 Bila 3rekuensi amatan dekat dengan 3rekuensi harapan, maka nilai X akan ke'il!

al ini menunjukkan adanya kesesuaian yang baik antara 3rekuensi amatan dengan 3rekuensi harapan! %etapi jika 3rekuensi amatan 'ukup berbeda dengan 3rekuensi harapan maka nilai 2

X akan besar dan hal ini menunjukkan kesesuaiannya jelek! esesuaian yang baik akan

mendukung penerimaan terhadap ), sedangkan keseuaian yang jelek akan mendukung penolakan terhadap )! Daerah kritis berada pada ujung kanan distribusi ;hiuadrat! 4ntuk tara3 keberartian ], ditemukan nilai kritis

2

X #

2

2 dari tabel, maka daerah kritisnya adalah X  X # ! 4ji

goodness o3 3it sebaiknya digunakan jika setiap 3rekuensi harapan paling sedikit =! 0ika kurang dari =, maka dilakukan penggabungan sel yang berdampingan, yang berakibat pada pengurangan besarnya derajat kebebasan!

Contoh $

&ada per'obaan pelemparan dadu sebanyak *() kali, dihipotesiskan bahwa dadu tersebut setangkup! Ini berarti sama saja menguji hipotesis bahwa distribusi hasil pelemparan dadu tersebut adalah distribusi seragam +uni3orm diskret! .aka -

) T asil pelemparan dadu setangkup * T asil pelemparan dadu tidak setangkup

3+E T

1 6

E T *,(,Z,?

Se'ara teoritis apabila dadu tersebut seimbang maka diharapkan bahwa kemun'ulan setiap muka sebanyak () kali! asilnya diberikan pada tabel berikut -

%abel K!@ #rekuensi Amatan dan arapan dari antunan Dadu *() ali

Amatan arapan

.4A * () ()

( (( ()

/ *@ ()

9 *2 ()

= *> ()

? (9 ()

2 Dari tabel tersebut diperoleh nilai X adalah-

(20− 20)2 (22−20 )2 ( 17−20 )2 ( 18−20 )2 (19 −20 )2 (24 −20 )2 + + + + + X T T *,@ 20 20 20 20 20 20 2

Apabila ditetapkan tara3 keberartian, ] T =F maka dari tabel distribusi ;hiuadrat diperoleh 2

X # =11.070 dengan derajat kebebasan : T =

2 ambar K!*( Daerah ritis Distribusi ;hiS
arena nilai

2

2

X < X #

, maka ) diterima!

0adi dapat disimpulkan hasil pelemparan dadu tersebut setangkup!

Contoh !

Akan diuji hipotesis bahwa distribusi 3rekuensi umur baterai dapat dihampiri dengan distribusi normal dengan rataan L T /,= dan simpangan baku σ T ),@! Distribusi 3rekuensi umur baterai disajikan dalam tabel berikut -

%abel K!2 #rekuensi 4mur Baterai Slan. Klas

Titik Tn.ah Klas

=rkunsi

*,= P *,> (,) P (,9 (,= P (,> / P /,9 /,= P /,> 9,) P 9,9 9,= P 9,>

*,@ (,( (,@ /,( /,@ 9,( 9,@

( * 9 *= *) = /

#rekuensi harapan untuk @ kelas +sel diperoleh dengan menghitung luas di bawah kur:a normal yang dihipotesiskan yang berada antara berbagai batas kelas! Sebagai 'ontoh, nilai C pada kedua batas kelas keempat adalah

5* T

x 1− μ 2.95−3,5 = σ 0,7

x 2− μ 3.45−3,5 = 5( T T ),)@ 0,7 σ

T ),@>

Dari tabel distribusi normal maka dapat diperoleh luas antara C * T ),@> dengan C( T ),)@! uas T &+),@> O 5 O ),)@ T &+5O),)@ P &+5O),@> T ),9@(* P ),(*92 T ),(=@/ #rekuensi harapan untuk kelas keempat adalah e9 T luas E total 3rekuensi T ),(=@/ E 9) T *),/ #rekuensi biasanya dibulatkan ke persepuluhan! #rekuensi harapan untuk selang pertama diperoleh dengan menghitung luas di bawah kur:a normal di sebelah kiri batas *,>=! Sedangkan untuk kelas terakhir, hitung luas di bawah kur:a normal di sebelah kanan batas 9,9=! Semua 3rekuensi harapan kelas lainnya dapat dihitung dengan 'ara yang sama pada kelas keempat!

%abel K!> #rekuensi Amatan dan arapan 4mur Baterai Bila Distribusinya Normal "atas Klas

oi

*,9= P *,>= *,>= P (,9= (,9= P (,>=

( * 9

i

),= 3 (,* =,>

,

(,>= P /,9= /,9= P /,>= /,>= P 9,9= 9,9= P 9,>=

*= * = /

,

*),/ *),@ @,) /,=

10

&ada kelas pertama, 3rekuensi harapan yang diperoleh kurang dari =, maka dilakukan penggabungan dengan kelas yang berdekatan yaitu kelas kedua dan ketiga! Begitu juga dengan kelas keenam dan ketujuh! arena penggabungan tersebut, jumlah kelas +sel berkurang dari @ kelas menjadi 9 kelas! ( 7 −8,5 )2 (15 −10,3)2 ( 1−10,7 )2 ( 8−10,5 )2 + + + X T T /,)= 8,5 10,3 10,7 10,5 2

Dengan tara3 keberartian, ] T =F maka dari tabel distribusi ;hiuadrat diperoleh 2

X # =7,815 dengan derajat kebebasan : T /! Artinya tidak ada alas an untuk menolak

hipotesis nol, dan dapat disimpulkan bahwa distribusi normal dengan L T /,= dan simpangan baku σ T ),@ mempunyai kesesuaian yang baik untuk distribusi umur baterai!

5ATI0AN S>A5

*! Suatu mesin seharusnya men'ampur ka'ang tanah, kemiri, mete, dan kenari dalam perbandingan = - ( - ( - *! Suatu kaleng yang berisi =)) keempat jenis ka'ang ini ditemukan mengandung (?> ka'ang tanah, **( kemiri, @9 mete, dan 9= kenari! &ada tara3 keberartian ),)=, uji hipotesis bahwa mesin tersebut men'ampur ka'ang dalam perbandingan = - ( - ( - *!

,

(! %iga kartu diambil dari sekotak kartu bridge, dengan pengembalian! Y adalah banyaknya kartu spade yang terambil! Setelah per'obaan sebanyak ?9 kali diperoleh hasilnya sebagai berikut Y #

) (*

* /*

( *(

/ )

4jilah hipotesis pada tara3 keberartian ),)* bahwa data yang diperoleh sesuai dengan distribusi binomial b+yM /, , y T ), *, (, /

/! %iga kelereng diambil dari sebuah botol yang berisi = kelereng merah dan / kelereng hijau! Q adalah banyaknya kelereng merah yang terambil, kelereng kemudian dikembalikan lagi dan per'obaan diulangi sebanyak **( kali! asil yang diperoleh adalah sebagai berikut Q #

) *

* /*

( ==

/ (=

4jilah hipotesis pada tara3 keberartian =F bahwa data di atas sesuai dengan distribusi hipergeometrik h+E,N,n,kdimana N T 2, n T /, k T =! 9! Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata kuliah statistika! (/ 2) =( 9* ?) /9

?) @@ *) @* @2 ?@

@> 2* ?9 2/ 2> *@

/( >= @= =9 @? 2(

=@ 9* @2 ?9 29 ?>

@9 ?= (= @( 92 @9

=( >( 2) 22 29 ?/

@) 2= >2 ?( >) 2)

2( == 2* @9 *= 2=

/? @? @? 9/ @> ?*

a! Berdasarkan data tersebut buatlah tabel distribusi 3rekuensi data berkelompok 4jilah kebaikan suai kelompok amatan dengan 3rekuensi harapan padanannya dari distribusi normal dengan L T ?= dan σ T (* dengan menggunakan tara3 keberartian ),)=!

=! Barang rusak setiap hari yang dihasilkan oleh tiga buah mesin ternyata berdistribusi &oisson! &engamatan telah dilakukan selama enam hari dan terdapatnya barang rusak setiap hari dalam ketiga mesin itu dapat dilihat di bawah ini!

.esin

Banyak barang rusak tiap hari

*

9, /, 9, ?, /, =

(

/, (, /, ?, =, (

/

=, =, /, 9, 9, ?

Dapatkah disimpulkan bahwa ratarata dihasilkannya barang rusak setiap hari oleh ketiga mesin itu sama besar

?! asil kuisioner terhadap dua kelompok pegawai +lakilaki dan perempuan mengenai pendapat tentang peraturan baru adalah sebagai berikut!

&egawai aki aki

&erempuan

*)(

22

&endapat Setuju

%ak Setuju

@2

*/?

%ak &eduli

()

@?

Apakah jenis kelamin menentukan pendapat tentang peraturan baru tersebut

@! Dikatakan bahwa obat A dapat menyembuhkan pilek dalam tempo lima hari! &er'obaan terhadap *=2 orang yang pilek telah dilakukan! Setengahnya diberi obat A dan sisanya diberi obat gula! &ada akhir hari kelima sejak pengobatan dimulai, hasilnya di'atat dan diberikan dalam da3tar berikut!

Sembuh

Bertambah

%idak

payah

berubah

Hbat A

=9

*)

*=

Hbat gula

92

*(

*>

4jilah hipotesis bahwa obat A dan obat gula menghasilkan reaksi yang sama!

%!

IN
4ji kebebasan ini digunakan untuk memeriksa kebebasan atau independensi dari dua :ariabel +3rekuensi obser:asi dan 3rekuensi harapan sehingga kita dapat menyimpulkan apakah kedua peubah tersebut saling bebas +tidak berpengaruh ataukah keduanya saling bertalian +berpengaruh! Data untuk menguji kebebasan dua :ariabel tersebut disajikan dalam bentuk %abel ontingensi atau %abel Berkemungkinan yang umumnya berukuran r baris E k kolom! Sebelum melakukan pengujian, terlebih dahulu kita harus mende3inisikan ipotesis Awal +) dan ipotesis Alternati3 +*, yaitu• •

) *

- :ariabel:ariabel saling bebas - :ariabel:ariabel tidak saling bebas

Biasanya %abel ontingensi berisikan data berupa 3rekuensi obser:asi yang diperoleh dari suatu pengujian! 4ntuk itu, kita perlu men'ari 3rekuensi ekspektasi terlebih dahulu sebelum melakukan pengujian!

( t3ta6 k363m) x ( t3ta64a7is )
t3ta6 34s%7vasi

4ji kebebasan dirumuskan dalamij −¿ % ij 3¿

¿ ¿2 ¿ ¿ ¿

7 , k

2

X =

∑= ¿

i, j 1

2

X

- nilai peubah a'ak yang distribusi sampelnya didekati oleh distribusi ChiKuadrat dengan derajat kebebasan 8(r$)(k$)

k

- jumlah kolom

r

- jumlah baris

oij

- 3rekuensi obser:asi baris kei, kolom kej

eij

- 3rekuensi ekspektasi baris kei, kolom kej

Contoh $

ita akan menguji kebebasan antara 3aktor gender +jenis kelamin dengan jam kerja di suatu pabrik! Data yang diperoleh disajikan dalam tabel berikut-

O ! 6a7?7in..u !1 6a7?7in..u  1 6a7?7in..u Total Kolo7

Pria

&anita

Total "aris

( @ = *9

/ ? @ *?

= */ *( %otal Hbser:asiT/)

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja unakan tara3 uji ),)=!

-aa/ 0

*! ) - gender dan jam kerja saling bebas (! * - gender dan jam kerja tidak saling bebas

/! ] T ),)= 9! Daerah kritis χ 2  =,>>*9@ dengan derajat kebebasan ! T+/*+(*T (

=! &erhitungan χ 2 #rekuensi harapan untuk-

-

-

&ria, O (= jam T

&ria, (==) jam T 16 x 13 30

-

14 x 5 30

T (,//

14 x 13 30

 Wanita, O (= jam T

T ?,)@



16 x 5 30

T (,?@

Wanita, (==) jam T

T ?,>/

&ria,  =) jam T

14 x 12 30

T =,?)

 Wanita, =) jam T

16 x 12

T ?,9)

( 3 ij −% ij )2

( 3 ij −% ij )2 ? i6

kat.ori

oi6

i6

(oi6  i6)

P O !

(

(,//

),//

),*)2>

),)9?@

P !1

@

?,)@

),>/

),2?9>

),*9(=

P  1

=

=,?)

),?)

),/?

),)?9/

& O !

/

(,?@

),//

),*)2>

),)9)2

& !1

?

?,>/

),>/

),2?9>

),*(9>

30

&  1

@

?,9)

),?)

),/?

),)=?/ χ 2 hit'n$ 9

Q

),9@==

?! eputusan - χ 2 hit'n$ 4 χ 2 ta/el1 ) diterima @! esimpulan - gender dan jam kerja saling bebas

Contoh !

Suatu per'obaan dilakukan untuk mengetahui apakah pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru tidak ada hubungannya dengan tingkat penghasilannya! Suatu sampel a'ak *))) pemilih yang ter'atat di Illinois dikelompokan menurut apakah penghasilan mereka rendah, sedang, atau tinggi, dan apakah mereka setuju atau tidak terhadap perubahan pajak baru dalam tabel kontingensi berikut- +gunakan tara3 uji ),)=

Pru*ahan Pa6ak Stu6u Tidak Stu6u Total

-aa/ 0

Tin.kat Pnda'atan R (Rndah) M (Mnn.ah)

" ("rada)

*2( *=9 //?

()/ **) /*/

(*/ */2 /=*

Total

=>2 9)( *)))

*! ) - pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya saling bebas (! * - pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas /! ] T ),)= 9! Daerah kritis χ 2  =,>>* dengan derajat kebebasan ! T+(*+/*T (

=! &erhitungan χ 2 #rekuensi harapan untuk-

-

Setuju, $ T

336 x 598 1000

T ()),>



%idak Setuju, $ T

336 x 402 1000

T

*/=,*

-

Setuju, . T

351 x 598 1000

T ()>,>



%idak Setuju, . T

351 x 402 1000

T

*9*,*

-

Setuju, B T

313 x 598 1000

T *2@,(



%idak Setuju, B T

313 x 402 1000

*(=,2 (oi6  i6) kat.ori

Setuju, $ Setuju, .

oi6

( 3 ij −% ij )2

( 3 ij −% ij )2 ? i6

i6

*2( ()),> (*/ ()>,>

*2,>

/=@,(*

*,@2

/,*

>,?*

),)=

T

Setuju, " %idak Setuju, $

()/ *2@,( *=9 */=,*

%idak Setuju, . */2 *9*,* %idak Setuju, B

**) *(=,2

*=,2

(9>,?9

*,//

*2,>

/=@,(*

(,?9

/,*

>,?*

),)@

*=,2

(9>,?9

*,>2 χ 2 hit'n$ 9

Q

@,2=

?! eputusan - χ 2 hit'n$ 6 χ 2 ta/el1 ) ditolak @! esimpulan - pendapat penduduk pemilih di negara bagian Illinois mengenai perubahan pajak baru dan tingkat penghasilannya tidak saling bebas!

5atihan Soal

*! Dalam per'obaan untuk meneliti kaitan hipertensi dengan kebiasaan merokok, diperoleh data berikut yang menyangkut *2) orangipertensi %idak hipertensi

Bukan &erokok (* 92

&erokok Sedang /? (?

&erokok Berat /) *>

4jilah hipotesis bahwa ada tidaknya hipertensi tidak tergantung pada kebiasaan merokok! unakan tara3 keberartian ),)=!

(! Suatu sampel a'ak ()) pria yang telah berkeluarga, semuanya sudah pensiun, dibagi menurut pendidikan dan jumlah anak&endidikan Ayah Sekolah Dasar Sekolah .enengah &erguruan %inggi

0umlah Anak )* *9 *> *(

(/ /@ 9( *@

ebih dari / /( *@ *)

4jilah hipotesis, pada tara3 keberartian ),)=, bahwa banyaknya anak tidak tergantung pada tinggi pendidikan yang di'apai oleh ayah!

/! Seorang kriminolog melakukan sigi untuk menentukan apakah terjadinya berbagai kejahatan tertentu berbeda dari satu bagian ke bagian lain suatu kota besar! ejahatan yang ingin diselidiki ialah penodongan, pembongkaran, pen'urian, dan pembunuhan! %abel berikut menunjukan banyaknya kejahatan yang terjadi di 9 bagian kota tahun lalu! Daerah * ( / 9

0enis ejahatan &enodongan *?( /*) (=2 (2)

&embongkaran **2 *>? *>/ *@=

&en'urian 9=* >>? 9=2 />)

&embunuhan *2 (= *) *>

Dapatkah disimpulkan dari data ini pada tara3 keberartian ),)* bahwa terjadinya kejahatan tersebut bergantung pada daerah di kota itu

"A" I ANA5ISIS K>RE5ASI
4%1% Tu6uan P7*la6aran: Mahasisa Ma7'u:

*! .enghitung dan menginterpretasikan korelasi sederhana antara dua :ariabel (! .engetahui hubungan dua :ariabel yang tidak linier /! 9! =! ?!

.enentukan korelasi dan mengujinya .enghitung dan menginterpretasikan persamaan regresi linier sederhana .engetahui asumsi yang digunakan dalam analisa regresi .enentukan .odel $egresi yang ayak

@! .enghitung dan .enginterpretasikan Inter:al eyakinan untuk oe3isien $egresi 2! .engetahui bahwa analisis regresi dapat digunakan sebagai alat prediksi >! .engetahui bagaimana menerapkan kasus nyata yang berhubungan dengan analisis regresi se'ara benar

4%$% S#attr Plot

Sebelum menentukan bentuk hubungan dengan analisis regreis linier atau sebelum mengukur keeratan hubungan antara dua :ariabel, harus dilihat apakah :ariabel:ariabel tersebut mempunyai hubungan linier atau tidak dengan menggunakan s'atter plot seperti yang dibawah inira3ik *!S'atter &lot +Diagram &en'ar

Dalam s'atter plot diatas ada empat kriteria,yaituBila titiktitik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan positi3, maka kedua :ariabel dinyatakan memiliki hubungan linier positi3 Bila titiktitik menggerombol mengikuti sebuah garis lurus dengan kemiringan negati3, maka kedua :ariabel dinyatakan memiliki hubungan linier negati3 Bila titiktitik menggerombol tidak mengikuti garis lurus, maka kedua :ariabel dinyatakan tidak memiliki hubungan yang linier Bila titiktitik memen'ar atau membentuk suatu garis lurus mengikuti sebuah pola yang a'ak atau tidak ada pola, maka kedua :ariabel dinyatakan tidak memilki hubungan!

4%!% Analisis Korlasi

Analisis korelasi digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier antara dua :ariabel! oe3isien korelasi populasi  +rho adalah ukuran kekuatan hubungan linier antara dua :ariabel dalam populasi sedangkan koe3isien

korelasi sampel r adalah estimasi dari  dan digunakan untuk mengukur kekuatan hubungan linier dalam sampel obser:asi! 4ntuk selanjutnya r disebut oe3isien orelasi &earson &rodu't .omernt! 4%!%$% Korlasi Parson (Produ#t Mo7nt)

orelasi pearson sering juga disebut sebagai korelasi produkmomen atau korelasi saja! orelasi pearson termasuk ke dalam statistika parametrik! Besarnya koe3isien menggambarkan seberapa erat hubungan linear antara dua :ariabel, bukan hubungan sebab akibat! Kariabel yang terlibat duaduanya bertipe numerik +inter:al atau rasio, dan menyebar normal jika ingin pengujian terhadapnya sah! Berikut ini pedoman menentukan kuat tidaknya korelasi antara dua :ariabel menurut Walpole %abel *!

Inter:al oe3isien

%ingkat ubungan

)!)) P )!*>> )!() P )!/>> )!9) P )!=>> )!?) P )!@>> )!2) P *!)))

Sangat rendah $endah ;ukup uat Sangat uat

.enurut Sarwono +())? Batasbatas nilai koe3isien korelasi diinterpretasikan sebagai berikut-

%abel (! Inter:al ubungan

%ingkat ubungan

)

%idak ada korelasi antara dua

) P ),(=

:ariabel orelasi sangat lemah

),(= P ),= ),= P ),@= ),@= P ),>> *

orelasi 'ukup orelasi kuat orelasi sangat kuat orelasi sempurna

asil dari analisis korelasi menunjukkan kekuatan atau kelemahan dari suatu hubungan!Nilai koe3isien korelasi ini akan berada pada kisaran * sampai dengan *!

oe3isien korelasi minus menunjukkan hubungan yang

terbalik, dimana pengaruh yang terjadi adalah pengaruh negati3! Dalam pengaruh yang negati3 ini kenaikan suatu :ariabel akan menyebabkan penurunan suatu :ariabel yang lain, sedangkan penurunan suatu :ariabel akan menyebabkan kenaikan :ariabel yang lain! oe3isien korelasi positi3 menunjukkan hubungan yang searah dari dua :ariabel, dimana kenaikan suatu :ariabel akan menyebabkan kenaikan :ariabel yang lain dan sebaliknya penurunan suatu :ariabel akan menyebabkan penurunan :ariabel yang lain! oe3isien korelasi sebesar nol menunjukkan tidak adanya hubungan antara dua :ariabel, dengan kata lain kenaikan atau penurunan suatu :ariabel tidak mempengaruhi :ariabel yang lain, jadi berapapun perubahan harga pada suatu :ariabel tidak akan mempengaruhi :ariabel yang lain karena nilainya yang tetap! %erdapat berma'amma'am analisis korelasi yang dapat digunakan untuk mengukur hubungan asosiati3 dari suatu :ariabel! orelasi yang akan digunakan tergantung pada jenis data yang akan dianalisis! orelasi berdasarkan tingkatan data dapat dilihat pada tabel berikut ini-

%abel!/ orelasi Berdasarkan %ingkatan Data

%ipe J %ingkat Data

Nominal

%eknik

orelasi

Digunakan oe3isien ontingensi

yang

Hrdinal

Spearman $ank endal %au

Inter:al dan rasio

&earson J &roduk .omen orelasi anda orelasi &arsial!

oe3isien korelasi pearson di3ormulasikan sebagai berikut-

Atau-

7= 4

√

S xx

=

S x8

Atau-

dimanar T oe3isien orelasi Sampel n T 4kuran Sampel E T Nilai dari Kariabel Independen y T Nilai Kariabel dependen

S 88

√ S xx S 88

Dari persaamaan korelasi yang terakhir tersebut dapat dilihat adanya hubungan antara b dan r! r digunakan untuk mengukur hubungan linier antara E dan y, sedangkan b mengukur perubahan dalam y akibat perubahan setiap unit E! Dalam kasus dimanai r * T ),/ dan r ( T ),? hanya berarti bahwa terdapat korelasi positi3 dimana r ( lebih kuat daripada r *! Adalah salah jika menyimpulkan bahwa r ( mengindikasikan hubungan linier dua kali lebih baik dibandingkan dengan r *! 4%!%!%Ko-isin <tr7inansi

oe3isien determinansi adalah salah satu alat analisis yang dapat digunakan untuk mengetahui lebih jauh hubungan antar :ariabel! oe3isien determinansi

disimbolkan dalam $ ( yang menyatakan proporsi :ariansi keseluruhan dalam nilai :ariabel dependen yang dapat diterangkan oleh hubungan linier dengan :ariabel independen atau menunjukkan proporsi total :ariasi dalam nilai :ariabel dependen yang dapat dijelaskan oleh hubungan linier dengan nilai :ariabel independen! Nilai koe3isien determinansi ini berkisar 9

2

2

0!9 !1

juga dapat digunakan untuk mempertimbangkan sebuah model regresi!

0ika 9

2

suatu model besar belum tentu model tersebut adalah model yang

baik, tetapi jika .S" model ke'il maka model teresbut adalah model regresi yang terbaik! oe3isien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen! Sedangkan pena3sirannya jika )!>>9 sehingga $ ( T )!>2> atau >2!>F adalah pengaruh :ariabel bebas terhadap perubahan :ariabel terikat adalah >2,>F, sedangkan sisanya sebesar *,*F dipengaruhi oleh :ariabel lain selain :ariabel bebas Q! oe3isien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk hasil perhitungan koe3isien regresi! 4%!%3% Korlasi Ganda

orelasi ganda adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan antara dua atau lebih :ariabel terikat se'ara bersamasama dengan :ariabel yang lain +:ariabel bebas! ;ontohnya-

hubungan antara kesejahteraan

pegawai, hubungan dengan pemimpin, dan pengawasan dengan e3ekti:itas kerja! orelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa :ariabel bebas se'ara serentak dengan :ariabel terikat! .isalkan ada k :ariabel bebas,

dan satu :ariabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear maka besarnya korelasi bergandanya adalah 7 8 , x

1 , … , xn

=

a1

∑ x 8 + a ∑ x 8 + …+a ∑ x 8 ∑ 8 1

2

2

k

2

dengan

X : ∑ x 8 =∑ X : − ∑ n∑ 1

1

1

k

∑

x k 8 =

∑

X k : −

∑ X ∑ : k

n

( ∑ : ) : −

2

∑ 8 =∑ 2

2

n

4%!%9% Korlasi Parsial

orelasi parsial adalah korelasi yang menunjukkan arah dan kuatnya hubungan atau pengaruh antara dua :ariabel atau lebih +:ariabel bebas dan terikat setelah satu :ariabel yang diduga dapat mempengaruhi hubungan :ariabel tersebut dikendalikan untuk dibuat tetap keberadaannya! &ersamaan korelasi antara E* dengan y, bila :ariabel E * dikendalikan atau korelasi antara E* dengan y bila E ( tetap yaitu 7 8 x − 1

7 (¿ ¿ 8 x 2 ;7 x x ) 1

2

√ (1 −7 ) (1−7 7 8, x

1

2

2

x 1 x 2

8 x 2

, x2

)

=¿

Dimana 7 8 , x

1

, x2

T korelasi antara E* dengan E ( se'ara bersamasama dengan :ariabel

y 7 8 x

7 8 x

1

T korelasi produ't moment antara E ( dengan y

2

7 x x 1

T korelasi produ't moment antara E * dengan y

2

T korelasi produ't moment antara E * dengan E(

4%3% U6i 0i'otsis Korlasi

&engujian hipotesis korelasi bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat hubungan antara dua :ariabel tertentu! •

&erumusan hipotesis untuk korelasi adalah sebagai berikut)- %idak ada hubungan linier yang signi3ikan antara dua :ariabel *- Ada hubungan linier yang signi3ikan antara dua :ariabel Atau )

-T)

•

* -) Statistik uji-

Statistik uji menggunakan uji%, yakni dengan menggunakan rumus sebagai

t hitung =

7 √ n− 2

√ 1−7 2

berikut-

atau

t ta4%6 = t #

( 5(- )

(imana (- =n −2

2

• •

riteria uji %olak ) jika thitung  ttabel atau thitung O ttabel esimpulan

Sementara untuk menguji hipotesis koe3isien korelasi dengan menggunakan koe3isien korelasi taksiran + <0 ¿ , dapat digunakan hipotesis sebagai berikut= 0 : < = <0 dimana <0 / 0 •

= 1 : < / < 0

Statistik uji√ n −3 ( 1 + 7 ) ( 1− <0 ) z hitung = ln 2 ( 1− 7 ) ( 1 + <0 ) •

[

z ta4%6= z # • •

]

+uji satu sisi atau

z ta4%6= z # 2

riteria uji%olak ) jika Chitung  Ctabel atau Chitung O Ctabel esimpulan

+uji dua sisi

4%9%Analisis R.rsi

Dalam kehidupan kehidupan seharihari, seharihari, seringkali dijumpai kasus yang berhubungan berhubungan dengan dua :ariab :ariabel el atau atau lebih! lebih! ubun ubungan gan terseb tersebut ut dapat dapat berupa berupa hubung hubungan an kausal kausal atau hubungan 3ungsional! ubungan kausal misalnya - hubungan antara panas dengan tingkat muai panjang, sedangkan hubungan 3ungsional 'ontohnya- hubungan antara kepemimpinan dengan tingkat kepuasan kerja pegawai! Se'ara umum terdapat dua ma'am hubungan antara dua :ariabel atau lebih, yaitu eerata eeratann hubung hubungan an dapat dapat diketah diketahui ui dengan dengan analisi analisiss korelas korelasii +bukan +bukan hubung hubungan an sebabakibat Bentuk hubungan dapat diketahui dengan analisis regresi 4%9%$% S6arah R.rsi

Seja Sejara rahh $egre egresi si dimu imulai lai keti ketikka Sir Sir #ran #ran'i 'iss alto altonn +*2( +*2(( (**>** >** yang ang membandingkan tinggi badan anak lakilaki dengan tinggi badan ayahnya! alton menunjukkan bahwa tinggi anak lakilaki dari ayah yang tinggi setelah beberapa generasi 'enderung mundur +regressed mendekati nilai populasi! Dengan kata lain, anak laki laki dari ayah yang badannya sangat tinggi, 'enderung lebih pendek dari ayah ayahny nya! a! Seda Sedang ngka kann anak anak laki lakila laki ki dari dari ayah ayah yang yang bada badann nnya ya sang sangat at pend pendek ek 'enderung lebih tinggi dari ayahnya! Sekarang istilah regresi diterapkan pada semua peramalan! 4%9%!% <-inisi R.rsi

$egresi merupakan salah satu metoda dalam analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis dan memodelkan se'ara matematis hubungan diantara dua :ariabel atau lebih! &ada analisis analisis regresi ini dikenal adanya :ariabel dependen +:ariabel tak bebasJ:ariabel tergantungJ4nknown KariableJ$esponse Kariable dan :ariabel independen independen +:ariabel +:ariabel bebasJ bebasJ "Eplanatory "Eplanatory KariableJ$egress riableJ$egressor or KariableJ&redi't riableJ&redi'tor or KariablsJ! riablsJ!

$egresi $egresi dipakai dipakai untuk menguk mengukur ur besarnya besarnya pengaruh pengaruh perubah perubahan an pada

:ariabel dependen yang diakibatkan perubahan pada :ariabel independen! .enurut ujarati +())? analisis regresi merupakan suatu kajian terhadap hubungan satu satu :aria :ariabe bell yang yang dise disebu butt seba sebaga gaii :aria :ariabe bell yang yang dite diteran rangk gkan an + the eB%lain eB%lained ed !aria/el 

deng dengan an satu satu atau atau dua dua :ari :ariab abel el yang yang mene meneran rangk gkan an + the eB%lanator eB%lanator!

Kariabel riabel pertam pertamaa disebu disebutt juga juga sebaga sebagaii :ariab :ariabel el tergan tergantun tungg dan :ariab :ariabel el kedua kedua disebut juga sebagai :ariabel bebas! 0ika :ariabel bebas lebih dari satu, maka analisis regresi disebut regresi linear berganda! Disebut berganda karena pengaruh beberapa :ariabel bebas akan dikenakan kepada :ariabel tergantung! Saat ini, analisis regresi banyak digunakan untuk menelaah hubungan dua :ariabel atau lebih dan

menentukan pola hubungan yang modelnya belum diketahui, sehingga regresi se'ara aplikati3 lebih bersi3at eksplorati3! 4%9%3% Asu7si

&enggunaan regresi linear sederhana didasarkan pada asumsi diantaranya sbb• • • •

"rror + independen se'ara statistik Distribusi probabilitas dari "rror berdistribusi Normal Distribusi probabilitas dari "rror+ mempunyai :ariansi yang konstan Ada hubungan linier antara kedua :ariabel

;atatan + $esi $esidu dual al adala adalahh seli selisi sihh anta antara ra nilai nilai duga duga +pre +predi di'te 'tedd :alu :alue e deng dengan an nilai nilai

pengamatan sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data sampel!  "rror adalah selisih antara nilai duga +predi'ted :alue dengan nilai pengamatan pengamatan yang sebenarnya apabila data yang digunakan adalah data populasi!  &ersamaan keduanya - merupakan selisih antara nilai duga +predi'ted :alue dengan pengamatan sebenarnya!  &erbedaan keduanya- residual dari data sampel, error dari data populasi! 4%9%% Analisis R.rsi 5inir Sdrhana

$egresi linier sederhana ini bertujuan untuk mempelajari hubungan antara dua :ariabel yaitu satu :ariabel bebasJ:ariabel independen +Q dan :ariabel terikatJ:ariabel dependen +Y! Bentuk umum dari pesamaan regresi linier sederhana dari populasi adalah-

&ersam &ersamaan aan garis garis regres regresii sampel sampel memberi memberikan kan estima estimasi si garis garis regres regresii populasi sebagai berikuteterangan 8 i T nilai estimasi dari :ariabel bebas!  juga merupakan :ariabel terikat ^

+de%enden !aria/le  a T konstanta yang merupan nilai estimasi 8 jika nilai ET) + interce%t  b T koe3isien regresiJgradient garis regresi + slo%e slo%e ^

E T :ariabel bebas + inde%endent !aria/le  4%9% 4%9%% %$%

%$Mto M tod d Kuad Kuadar arat at Trk# rk#il il ( Least-Squares Least-Squares Metod )

.etode untuk menaksir ] dan  sehingga jumlah kuadrat dari de:iasi simpangan antara obser:assiobser:asin dan garis regresi menjadi minimumi− ¿ 8 ^

8 ¿

¿ ¿ ¿ ❑ 2 %i =∑ ¿ i =1

n

SS& = >=

¿ ∑ = i 1

Dim Dimana ana C adalah nilai sisaanJgalatJerro errorr yang merupakan penyimpangan model regresi dari nilai yang sebenaranya!

ambar KI!( ra3ik $egresi inier dengan Nilai C Deng Dengan an 'ara 'ara mend mende3e e3ere rens nsial ialka kann pers persam amaan aan di atas atas terha terhada dapp ] dan dan kemu kemudi dian an terhadap , kemudian menyamakan hasil pende3erensilan itu dengan nol, maka x i− x´ ( : i− a−4 ( ¿ ))= 0 n

?> =−2 ¿ ?a i= 1

∑

Dari persamaan di atas, maka diperoleh persamaan4=

atau

atau

S x8 S xx

atau

Dari persamaan di atas disubstitusi, disubstitusi, maka diperoleh persamaan untuk untuk menentukan n

8 ∑ =

nilai a- a T

i 1

n

atauDimana-

n

i

−4

x ∑ =

i

i 1

n

a T 8´ P b x´ 8´

T rata P rata i

x´ T rata P rata E i 4%9% 4%9%% %!% !%

Part Partis isii dari dari a arian rianss To Total tal

2 "stimasi "stimasi parameter parameter σ menghasilkan :ariansi yang disebabkan karena kesalahan

model dan :ariansi yang disebabkan karena kesalahan eksperimen! Dekomposisi :arians dapat dijabarkan sebagai berikutSS% T SS$  SS" eteranganSS% T Sum o3 S
SS" T Sum o3 S
Dimana -

∑ x −n x´ =∑ 8 −n ´ 8 S =∑ x 8 − n x´ ´ 8 2

S xx = S 88

2

i

2

2

i

x8

i

i

2

4%9%%3% Esti7asi dari

σ

Sum o3 S
 atau yang biasa disebut .S" +.ean S
2

σ dan diestimasi dengan persamaan berikutS%

T S T

√

∑ ( 8 − 8 ) ^

n −2

2

T

√

SS& n −2

T

√

S 88−4 S x8 n −2

Standar "rror oe3isien $egresi 0ika diambil sampel B dan  dari populasi, maka masingPmasing sampel tersebut memiliki gradienJ slo%e +/ sendiri! radien sampel tersebut akan ber:ariasi disekitar nilai koe3isien regresi tersebut! .aka perlu diketahui :ariasi koe3isien regresi tersebut dengan persamaan berikut-

4%9%%3%

Standar Error untuk 8´ *ila nilai ! diktahui

0ika nilai B dimasukkan berulangPulang pada persamaan regresi, maka nilai rataPrata yang diperoleh tidak akan sama, yang artinya nilai 8´ ber:ariasi! Sehingga nilai standar error 8´ dapat ditentukan dengan persamaan berikut +bila B diketahui-

S 8´

T S %

( √(

1

n

+

( x −´ x ) 0

S xx

2

))

4%9%4%U6i Parsial Para7tr R.rsi

Digunakan untuk menguji apakah parameter  berarti pada model se'ara parsial! %ahapan uji yang dilakukan ipotesis) -  T ) * -   )  Statistik 4ji 4 − @ 0 4− @ 0 = t = S4 s / √ S xx  &engambilan eputusan-

%olak ) jika thitun.  t a?!(d- n!) pada selang keper'ayaan ]  esimpulan

4%9%2% U6i Intrs' Modl R.rsi

%ahapan uji yang dilakukan ipotesis) - ] T ) * - ]  )  Statistik 4ji-

a −#

t = s

√

∑ x

i

n S xx

 &engambilan eputusan %olak ) jika thitun.  t a?!(d* n!) pada selang keper'ayaan ]  esimpulan 4%9%;% Slan. K'r#a+aan

Selang eper'ayaan untuk ]-

Selang eper'ayaan untuk -

4%9%%Prdiksi

"stimasi selang keyakinan untuk Ratarata +, diberikan pada saat E p

"stimasi selang keyakinan untuk Nilai indi8idual + diberikan pada saat E p

4%% P7ilihan Modl R.rsi

&enentuan model regresi linier sederhana ditekankan pada konsep linieritasnya dengan asumsi awal bahwa hubungan tersebut linier diparamater regresinya! &emilihan :ariabel independen yang kurang tepat dapat menimbulkan bias dalam estimasinya! %ahapan uji yang dilakukan ipotesis ) -  T ) * -   )  %entukan daerah kritis dengan "e!el o& ,i$ni&icance (D@ yang biasa

digunakan adalah ),)* atau ),)= %abel KI!*) Analsis o& Variance Sumber Kariansi $egresi "rror %otal

SS

d3

SS$ SS" SS%

* nP( nP*

.S .S$ T SS$J* S( T SS"Jn(

#hitung .S$Js(

 &engambilan eputusan %olak ) jika =hitun.  = ta*l($  n!) pada selang keper'ayaan + le!el o& si$ni&icance D

 esimpulan

4%%$ Pndkatan Analisis arians (Ano8a)

4ntuk menguji kelayakan dari suatu model regresi digunakan pendekatan analisis :arians!Analisis :arians adaah suatu prosedur membagi :ariansi total :ariabel dependen menjadi dua komponen, yaitu- :ariansi model sistematik dan :ariansi error!

4%4%

Analisis Rsidual

Analisis residual dapat dilakukan dengan-

a! &engujian 4ne
%i ^

dengan

8 , apabila terdapat polapola ^

tertentu berarti :arians tidak identik sehingga perlu distabilkan dengan trans3ormasi!

b! &engujian Non normal error,yaitu dengan• Stem and lea3 • istogram • Dot diagram • &lot normal +Normal &robability &lot '! 0ika terdapat eBtreme skeness +kemiringan yang ekstrim pada data, maka tidak berdistribusi normal! d! &engujian ;orrelated "rror +independent, yaitu dengan melihat plot

%i ^

dengan time order +i! 0ika ada pola tertentu, maka terjadilah dependent residual dimana penyebabnya dapat karena kesalahan eksperimen atau kesalahan dalam pembentukan model atau karena :ariabel prediktor yang diabaikan! e! &enge'ekan Huliers residual yaitu dengan 'ara plot residual dalam batas pengujian / + p63t % i dengan 8 !Apabila residual terletak di luar batas ^

^

/ atau nilainya lebih besar dari /, maka ada indikasi outlier! 4%2%

Pn.u6ian 5iniritas R.rsi:untuk data dn.an o*sr8asi *rulan.

&ada beberapa per'obaan untuk mendapatkan hasil yang akurat seringkali dilakukan pengulangan obser:asi untuk setiap nilai E, sehingga perlu dilakukan pengujian apakah model yang dihasilkan sudah memenuhi atau tidak! 4ntuk menggambarkan

kondisi tersebut diatas dilakukan pengujian ke'o'okan model dengan pendekatan "ack O&
4%2%$% Pn.u6ian Lac" #f $it ,'m o& s'ared error terdiri

atas dua komponen, yaitu :ariasi random yang

mun'ul antar nilai y untuk setiap nilai E + %'re eB%erimental error@ dan komponen yang dikenal dengan istilah "ack O&
•

ipotesis ) - %idak ada o# * - Ada o# .odel inier tidak sesuai %entukan daerah kritis dengan "e!el o& ,i$ni&icance (D@ yang biasa digunakan

•

adalah ),)* atau ),)= itung &ure "rror sum o3 s
•



8 i .

8 ij −¿´

¿ ¿2 ¿ ¿

dengan d3 T n P k

n

¿ ∑ = i 1

k

¿ ∑ =

SS p% =

i 1

%abel KI!( Analsis o& Variance Sumber SS

Kariansi $egres i "rroro3 &ure error

.S

#hitung

SS$

d3 *

.S$ T SS$J*

.S$Js(

SS"

n P

S( T SS"+Jn(

SS" SSp%

(  k  ( +SS" SSp% ¿/( k −2 )

P SS& −SSp% 2 S ( k −2 )

SSp%

%otal

•

SS%

n  k S(T SSp% J+nk n

&engambilan eputusan

%olak ) jika =hitun.  =ta*l(k!  nk) pada selang keper'ayaan +le!el o& si$ni&icance D •

esimpulan

;ontoh * nilai > mahasiswa dari suatu kelas pada ujian tengah semester +E dan pada ujian akhir semester +y sebagai berikut n

*

(

/

9

=

?

@

2

>

Ei

@@

=)

@*

@(

2*

>9

>?

>>

?@

yi

2(

??

@2

/9

9@

2=

>>

>>

?2

a! %entukan persamaan garis regresi linear! b! %entukan nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 2= pada ujian tengah semester! 0awab persamaan regresi linear n Ei yi Eiyi E i(

* @@ 2( ?/* 9 =>( >

( =) ?? //) ) (=) )

/ @* @2 ==/2

9 @( /9 (992

= 2* 9@ /2)@

? >9 2= @>>)

@ >? >> >=)9

2 >> >> >2)*

> ?@ ?2 9==?

 @)@ ?=2 =/(=2

=)9*

=*29

?=?*

22/?

>(*?

>2)*

992>

=@==@

( 9 ) ( 53.258 ) −( 707 ) ( 658 ) Sehingga b T T ),@@@*9( ( 9 ) ( 57.557 )−( 707 )2 dan

aT

658 − ( 0,777142 ) ( 707 ) 9

T *(,)?(/(

jadi, persamaan regresi linear adalah 8 T *(,)?(/(  ),@@@*9(E ^

E T 2= 8 ^

T *(,)?(/(  +),@@@*9(+2= T @2,**>/?

;ontoh ( akukan uji regresi dengan pendekatan ANHKA pada E /,9

(,2

(,=

/,@

/,(

/,*

(,>

/

(,(

(,9

(,@

y (=

()

$;

(=

(*

((

/)

((

*)

()

*@

0awab E T /*,> y T (/)  E iyi T ?@=,= (T (  Ei >9,9>  yi T 92?? x´ T (,> 8´ T (),>)>* b T ),@@@*9( a T *(,)?(/( SEE T  E i( P n+ x´ ( T *,>2 SEy T  E iyi P n+ x´ ´ 8 T 2,9>>@ Syy T  y i( P n+ 8´ ( T =?,>)9> SS$ T b( SEE T /?,92>9 SS" T Syy P SS$ T (),9*== ipotesis ) -  T ) * -   ) ] T )!)= • %abel Anaysis o3 Karian'e •

omponen$e

SS

d3

.S

gresi $egresi

/?,9

*

/?,9>

>

#hitung

*?,)2 (

@ ? "rror

(),9

> (

%otal

=?,>

(,(@ *)

) 9 > &engambilan eputusan # tabel T #+)!)=M*,> T =,*( arena #hitung  #tabel maka o ditolak • esimpulan-.odel $egresi linier sesuai •

;ontoh / Berikut adalah data jumlah biaya promosi +E dan jumlah penjualan +y pada perusahaan AB;!

%ahun

0umlah Biaya &romosi E 0umlah &enjualan +y

())=

((

/)

())?

/?

/2

())@

/*

/=

())2

/(

/@

())>

/*

/9

()*)

/(

/2

%entukanlah apakah terdapat hubungan antara biaya promosi dengan penjualan menggunakan uji korelasi Spearman $ank dan tingkat kesalahan *FU 0awab-

0umlah %ahun

Biaya &romos i +E

0umlah &enjuala n +y

$ange

$ange

E

y

( i= 9 ( x )− 9 ( 8 )

(i

2

())=

((

/)

*

*

)

)

())?

/?

/2

?

=!=

)!=

)!(=

())@

/*

/=

(!=

/

)!=

)!(=

())2

/(

/@

9!=

9

)!=

)!(=

())>

/*

/9

(!=

(

)!=

)!(=

()*)

/(

/2

9!=

=!=

*

*



(

7 s = 1−

6 (2 ) 6 (6

2

− 1)

=1 −

12 210

=1 −0 , 057= 0 , 943

4ji ipotesis) - %idak ada hubungan yang signi3ikan antara :ariabel biaya promosi dengan :ariabel penjualan * - Ada hubungan yang signi3ikan antara :ariabel biaya promosi dengan :ariabel penjualan! Statistika uji1 , 886 7 √ n− 2 ( 0 , 943 ) √ 6− 2 = = =17 , 03 t hitung = 2 2 0 , 11075 1− 7 1−( 0 , 943 )

t ta4%6 =t 0 , 01 = 4 , 604

(

2

54

)

riteria uji- arena thitun.  tta*l maka tolak ) esimpulan- arena tolak ) maka terima * yakni ada hubungan yang signi3ikan antara :ariabel biaya promosi dengan :ariabel penjualan

A%IAN SHA-

*! Data berikut menyatakan IGTQ untuk kelompok anak berumur tertentu dan hasil ujian prestasi pengetahuan umum +Y! Qi

Yi

Qi

Yi

Yi

Yi

**9 **) **/ */@ **? */( >) *(* *)@ *() *(= >(

(> 9* 92 @/ == 2) 9) @= 9/ ?9 =/ /*

*/) *9( */@ *9) *(= */9 *)? *(* *** *(? >= *)=

@* ?2 ?> ?? /> @2 9> => ?? ?@ 9? 9@

>? 2> *)= *(= *)@ >@ */9 *)? >> >2 **@ *))

9= /( =) =@ => 92 == 9= 9@ => 9@ 9>

a! b! '! d! e!

ambar diagram pen'arnya! %entukn regresi linear Y atas Q lalu gambarkan! 0elaskan arti koe3isien arah yang didapat! Berapa ratarata prestasi anak dapat diharapkan jika IG nya *() %entukan inter:al keper'ayaan >=F untuk ratarata prestasi anak dengan IGT*()!

3!

0elaskan artinyaU %entukan inter:al keper'ayaan >=F untuk seorang anak dengan IGT*()! 0elaskan

artinyaU g! %entukan inter:al keper'ayaan >=F untuk perubahan ratarata prestasi jika IG berubah dengan satu unit! h! &erlukah diambil model berbentuk lain

i!

Asumsi apakah yang harus diambil untuk menyelesaikan pertanyaanpertanyaan diatas

(! Dari tabel berikut iniQ +o;

Y +gram

)

2

?

2

*=

*(

*)

*9

/)

(=

(*

(9

9=

/*

//

(2

?)

99

/>

9(

@= 92 =* 99 ;arilah persamaan garis regresi ambarkan garis tersebut pada diagram pen'ar %aksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam *)) g air pada =) o;!

/! akukan uji model regresi pada soal no!*! dengan pendekatan ana:a 9! Berikut adalah data banyaknya modal +dalam juta rupiah dan keuntungan yang diperoleh +dalam juta rupiah yang dihasilkan dalam waktu *) bulan!

.odal +E euntungan

*2> *)

()9 *=

*>( */

(*9 *@

(*2 *>

*@2 *9

*2> */

*?@ **

*2) */

*>9 *=

+y a! itunglah koe3isien korelasi &earson dan determinasi berdasarkan data di atas dan ujiahU

b! %entukan apakah pernyataan bahwa koe3isien korelasi antara jumlah karyawan dan keuntungan tidak lebih dari ),@ adalah benarU unakan tingkat kesalahan =FU

=! itunglah koe3isien korelasi kondisi temperatur +E dan kepuasan pekerja +y serta apakah ada hubungan yang signi3ikan antara keduanya dengan menggunakan teknik korelasi pearsonU

n

ondisi

temperatur

epuasanerja

+E

+y

*

2

()

(

*(

()

/

*)

*@

9

@

*2

=

2

*>

?

@

()

@

*(

*2

2

*)

*>

>

*(

*?

*)

>

*@

**

*)

*?

*(

*(

*@

*/

*(

*2

*9

*(

*(

*=

*(

*@

?! Dibawah ini diberikan data yang se'ara a'ak diambil dari populasi normal ber:ariabel dua +Q dan Y!

Q

Y

Q

Y

Q

Y

*= */ *) ** *? *( > *( 9 2

*)2 *)? >> **) */= >@ @9 >2 ()! ?>

2 ** *@ () *( *2 *? */ *2 **

=? @= */@ *?/ 29 *9> *9) */@ *@) *)>

*@ ? 2 = / ? *9 = *= *?

*=/ @/ >= (? (9 =) >? /= */( *9*

%!%$ R.rsi 5inir "r.anda

Analisis regresi linier berganda digunakan untuk menganalisis hubungan antara :ariabel bebas +E dan :ariabel terikat +y! Namun pada regresi linier berganda ini, :ariabel bebas +E yang digunakan lebih dari dari satu! Bentuk persamaan umum untuk model regresi linier bergandaT a  41 x1 +4 2 x 2 + … … + 4 n x n eterangan 8 T nilai dari :ariabel terikat 8 ^

^

a T konstata nilai estimasi 8 jika nilai ET) +interce%t  ^

4i

x n

T koe3isien regresi gradient garis regresi + slo%e

T :ariabel bebas

%!%$%$ Mtod Kuadarat Trk#il ( Least-Squares Metod )

4ntuk setiap pengamatan

8 ^

( x i , x i 5 8 i ) 5i =1,2, … , n 1

2

{¿ }

akan memenuhi persamaan-

T a  41 x1 + 4 2 x 2 + … … + 4 n x n + % i

Dengan menggunakan metode kuadrat terke'il, maka diperoleh persamaan%i

T 8  a  41 x1 −42 x2− … …− 4n x n ^

Dengan syarat meminimasikan nilai a,

41

, dan

42

penurunannya, maka diperoleh

persamaan-

∑ 8

n

x i 1  41 ∑ x i 2 T an  41 ∑ i= 1 i=1

i

n

n

x ∑ =

1i

8 i

i 1

T a

n

x ∑ = i 1

n

x ∑ =

n

x i1  42 ∑ x i 1 x i2  41 ∑ i =1 i=1

1i

i 1 n

2i

8 i

T a

x ∑ =

n

2

n

n

x i2  41 ∑ x i 1 x 2i  42 ∑ i= 1 i=1 2

2i

i 1

Asumsi yang digunakan dalam analisis regresi linier berganda antara laina! Setiap nilai error berdistribusi normal dengan rataPrata ) dan dan :arians ( b! Bersi3at homoskedastisitas '! o:arian error T ), tidak terjadi autokorelasi d! %idak terdapat multikolinieritas, artinya tidak terdapat hubungan linier yang sempurna diantara :ariabelP:ariabel bebas!

5atihan soal

%$Dari tabel berikut iniQ +o;

Y +gram

) 2 ? *= *( *) /) (= (* 9= /* // ?) 99 /> @= 92 =* a! ;arilah persamaan garis regresi b! ambarkan garis tersebut pada diagram pen'ar

2 *9 (9 (2 9( 99

'! %aksirlah banyaknya senyawa yang larut dalam *)) g air pada =)o;!

!%

akukan uji model regresi pada soal no!*!

"A" I

AN>A (ANA5ISA ARIANS)

P(DA!$%$A(

Dalam bab ini akan dibahas mengenai ran'angan per'obaan baik satu 3a'tor + one way ANHKA dan dua 3a'tor +two way ANHKA! T$J$A( I(ST&$#SI)(A% $M$M

Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat membuat ran'angan per'obaan dan menyelesaikannya baik satu 3a'tor ataupun dua 3aktor! T$J$A( I(ST&$#SI)(A% #!$S$S

.ahasiswa mampu*! .engetahui konsep desain eksperimen (! .engetahui asumsi yang harus dipenuhi dalam analisa :arians +Ano:a /! .engetahui penggunaan Hne Way Ano:a untuk menguji perbedaan ratarata dari beberapa populasi 9! .engetahui penggunaan $andom Blo'k DesignJ%wo Way Ano:a =! .ahasiswa diharapkan dapat mengiplementasikan terhadap masalah yang dihadapi didunia nyata! ?! 1,,,,. 2,,,,. -,,,,. ,,,,.

S#(A&I) PM+%AJA&A( egiatan perkuliahan dilaksanakan dengan skenario sebagai berikut-

*! &erkuliahan

(! &enjelasan tentang 'on'ept map +tunjukan di peta konsep dimana posisi materi yang akan dibahas, pokok bahasan, dan kompetensi yang akan di'apai +%I4 dan %I /! %es pendahuluan 9! $ingkasan materi disampaikan dengan metode 'eramah, critical incident , diskusi dan tanya jawab =! %es akhir ?! ":aluasi pen'apaian @! &enutup

&I(*#ASA( MAT&I

Ano:a + Analsis o& Variance merupakan salah satu 4ji ipotesis pada Statistika &arametrik, untuk melakukan pengujian terhadap interaksi antara dua 3aktor dalam suatu per'obaan dengan membandingkan ratarata dari lebih dua sampel! Dalam banyak kasus penelitian seringkali ditemukan jumlah :ariabel yang diuji lebih dari dua atau 'ukup besar, penggunaan uji t dan uji C tidak akan e3ekti3 karena memakan waktu 'ukup lama dalam perhitungan dimana perhitungan dilakukan se'ara berpasangan untuk masingmasing :ariabel!Andaikan saja akan dilakukan pengujian terhadap lima :ariabel, maka harus dilakukan pengujian dengan uji t sebanyak sepuluh kali pasangan :ariabel!Selain banyak menghabiskan waktu untuk pengerjaannya, maka kemungkinan terjadi kesalahan baik itu kesalahan dalam perhitungan, pembandingan ataupun pengulangan menjadi semakin besar! Ano:a + Analsis o& Variance merupakan salah satu metode dalam statistika parametrik!! %ujuan dari analisis :arians adalah untuk dapat menemukan :ariabel independen dalam penelitian dan mengetahui bagaimana interaksi antar :ariabel dan bagaimana pengaruhnya terhadap suatu perlakuan! eunggulan dari analisis :arians selain mampu melakukan perbandingan untuk banyak :ariabel juga antar replikasi +pengulangan obser:asi serta dapat mengurangi sejumlah kesalahan yang mungkin terjadi dalam perhitungan! Sebagai dasar dalam pengambilan keputusan dari analisis :arians digunakan

distribusi #! Distribusi # ini diturunkan oleh $! A! #isher dan eorge W! Snede'or +tahun *>=), oleh karena itu dinamakan distribusi # +#isherSnede'or Distribution!

2%$%!% Asu7si

&enggunaan analisis Ano:a didasarkan pada asumsi diantaranya sbb*! Data berdistribusi normal (! Skala pengukuran minimal inter:al /! Karians homogen 9! &engambilan sampel se'ara a'ak dan masingmasing sampel independen

Asumsi kenormalan distribusi memberi penjelasan terhadap karakteristik data setiap kelompok! Asumsi adanya homogenitas :arians menjelaskan bahwa :ariansi dalam

masingmasing

kelompok

dianggap

sama!

Sedangkan

asumsi

bebas +independen menjelaskan bahwa :ariansi masingmasing terhadap rataratanya pada setiap kelompok bersi3at saling bebas! 2%$%3% >n &a+ AN>A (Co7'lt Rando7 <si.n?CR<)

Analisis :ariansi satu arah atau yang sering disebut sebagai ran'angan a'ak lengkap

adalah suatu prosedur untuk menguji perbedaan ratarataJ pengaruh

perlakuan dari beberapa populasi +lebih dari dua dari suatu per'obaan yang menggunakan satu 3aktor,dimana satu 3aktor tersebut memiliki ( atau lebih le:el! Disebut juga #esain ,eim/an$ jika seluruh le:el 3aktor mempunyai ukuran sampel yang sama! Dalam analisis :ariansi satu arah ini sampel a'ak yang berukuran n diambil masingmasing dari k populasi! e k populasi yang berbeda ini diklasi3ikasikan menurut perlakuan atau grup yang berbeda!

.odel perbandingan k teratment +perlakuan 8 ij = μ + ∝ j + % ij

DimanaL T .ean ∝

j

% ij

T e3ek perlakuan kej ͠

IIDN+),

&rosedur pengujian dalam analisis :arians ini adalah &engujian hipotesis = 0

- $ 1 T $ 2 TZT $ k ,

= 1

- paling sedikit dua diantara rataan tersebut tidak sama!  %entukan daerah kritis dengan "e!el o& ,i$ni&icance (D@ yang biasa digunakan adalah ),)* atau ),)=  itung dengan menggunakan tabel Ano:a  &engambilan eputusan%olak ) jika =hitun.  =ta*l((k$)

 k(n$))

pada selang keper'ayaan +le!el o&

si$ni&icance D

 esimpulan

Ada dua 'ara dalam melakukan perhtiungan untuk mendapatkan tabel Ano:a, yaitu*! Dengan 'ara .atriks (! Dengan ;ara rumus

%abel KIII!** k sampel a'ak

&erlakuan (

*

8 11

8 12

Z Z

8 21

8 22

Z

Z

0 8 1 j

Z Z

 8 1 k

8 2 j

Z

8 2 k

Z

8 n 1

0umlah

T .1

$ataan

8´ .1

Z

8n2

8´ .2

Z

8 nj

Z

8 nk

Z

T . j

Z

T . k

Z

8´ . j

Z

8´ .k

%!! 8´ !!

eterangan 8 ij

- menyatakan pengamatan ke i dalam perlakuan ke j!

T . j

- menyatakan jumlah semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke i!

8´ . j

- menyatakan rataan semua pengamatan dalam sampel dari perlakuan ke j!

%!! - jumlah semua nk pengamatan! 8´ !! - rataan semua nk pengamatan

Dengan 'ara matriksHbser:asi T rand .ean  De:iasi %reatment  De:iasi $esidual 8 ij T 8´..  ( 8´. j− 8´.. )  + 8 ij  8´. j ¿ +

8 ij



8´.. ¿

+ 8 ij  8´.. ¿ ²

T

8´. j− 8´..

¿

T

 + 8 ij  8´. j ¿

( 8´. j− 8´ .. ) ²

 + 8 ij  8´. j ¿ ²

8´. j ¿

T)



2 ( 8´. j − 8´.. )

+ 8 ij 

8 .. 8 ij− ´¿

¿ ¿ 2=¿ ¿ n

¿ ∑ =

k



n

( 8 − 8´. ) ² ∑ ∑ = = ij

j

j 1 i 1

i 1 k

¿ ∑ = j 1

SS%

SSA

SS" eteranganSS% T Sum S
2

T .. 8 ij −¿ nk j= 1

∑ SS% T

2

k

¿ ∑ = i 1

k

SSA T

T ∑ =

.j

i 1

n

2 2

.. − T nk

SS" T SS%  SSA

%abel KII!*( Analisis Kariansi untuk lasi3ikasi satu arah Sumber :ariansi

SS

D3

.S

# hitung

&erlakua

SSA

k*

SS"

k+n

ASB =

SSB k − 1

AS& =

SS& k ( n −1)

n "rror

* %otal

ASB AS&

 nk*

SS%

;ontoh *Berikut adalah data ke'epatan merakit produk +dlm menit yang dihasilkan oleh 9 ma'am operator.esin *

(

/

9

%otal

*(

((

*>

**

*)

*/

*9

*/

*9

*?

()

*?

*/

*=

*>

*(

**

*9

*2

*2

%otal

?)

2)

>)

@)

/))

$ataan

*(

*?

*2

*9

*=

4jilah dengan tara3 keberartian ),)= apakah ratarata ke'epatan merakit produk yang dihasilkan beberapa mesin tersebut berbedaU 0awab = 0 - $ 1 T $ 2 TZT $ 4 , = 1

- paling sedikit dua rataan tersebut tidak sama!

Daerah kritis- & hit'n$  & ta/el9 /,(9 dengan derajat kebebasan v 1=3 dan v 2=16

Dengan 'ara matriksHbser:asi T rand .ean 8 ij 8´ .. T

 De:iasi %reatment   ( 8´. j− 8´ )

$esidual  + 8 ij 

8´. j ¿

¿ ¿

15151515 15151515 15151515 + 15151515 15151515

¿

[ ][

0 6 1 −3 −3 1 3−1 −3 1 3−1 −2 −3 −4 −1 −3 1 3−1 + 2 0 2 2 −3 1 3−1 1 −1 1 − 2 −3 1 3−1 −1 −2 0 4

]

12221911 10131413 14162016 =¿ 13151912 11141818

¿

¿ +dikuadratkanT*))

+dikuadratkanT**?

SSA

SS"

SS% T SSA SS" T (*? Dengan 'ara rumus2

SS%T SSAT

2

12

60

2

2

+ 22 + … +18 −

2

+ 802+ 802 + 702 5

300 20

−

=216

300 20

2

=¿ *))

SS"T (*?*))T**?

%abel Ano:a Sumber :ariansi &erlakuan

SS

d3

*))

/

.S

#hitung

//,////

9,=>@@

"rror

**?

*?

%otal

(*?

*>

@,(=

Dari perhitungan dengan 'ara matrik dan 'ara rumus untuk tabel Ano:a didapatkan hasil yang sama, sehingga untuk melakukan perhitungan boleh dilakukan dengan salah satu 'ara tersebut! arena & hit'n$9F1GH  & ta/el9 /,(9 eputusan- tolak = 0 dan disimpulkan bahwa keempat mesin tidak mempunyai rataan yang sama +.esin memang berpengaruh

5atihan soal:

*! 4ji hipotetis pada tara3 ),)* bahwa ratarata akti:itas khusus sama saja untuk keempat konsentrasi! onsentrasi Na;l A B **,) **,/2

; **,)(

D ?,)9

*),?@

*),?@

2,?=

*(,//

**,=)

@,@?

*),)2

*),/*

*),*/

* *(,) > *),= = **,( ? (! "nam mesin sedang dipertimbangkan untuk dipakai dalam pembuatan karet penutup! .esin tersebut dibandingkan berdasarka daya rentang barang yang dihasilkan! Sampel a'ak empat karet penutup dari tiap mesin dipakai untuk menentukan apakah rataan daya rentang tiap mesin berbeda! Berikut ini ialah pengukuran daya rentang dalam kg per .esin * *@,= *?,> *=,2

Cm

2

E

( *?,9 *>,( *@,@

−1

10

!

/ (),/ *=,@ *@,2

9 *9,? *?,@ (),2

= *@,= *>,( *?,=

? *2,/ *?,( *@,=

*2,?

*=,9

*2,>

*2,>

()=

(),*

erjakan analisi :ariansi pada tara3 keberartian ),)= dan tentukanlah apakah rataan daya rentang ke ? mesin berbeda se'ara berarti! ANA5ISIS ARIANS /! %iga 'ara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas K, satu 'ara hanya diberikan pada satu kelompok!asil ujian pada akhir pengajaran dengan 'ara tersebut diberikan dalam da3tar berikut!

;ara I

;ara II

;ara III

2>

?@

?9

>/

>)

?>

@=

@>

@2

?>

@=

>(

2/

2?

2*

>>

>9

@)

Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan 'ara mengajar masingmasing! 4jilah dengan ANHKA apakah ada perbedaan e3ek dari ketiga 'ara mengajar unakan alpha )!)=!

9! %iga 'ara mengajar matematika telah diberikan kepada tiga kelompok anak SD kelas K, satu 'ara hanya diberikan pada satu kelompok!asil ujian pada akhir pengajaran dengan 'ara tersebut diberikan dalam da3tar berikut!

;ara I

;ara II

;ara III

2>

?@

?9

>/

>)

?>

@=

@>

@2

?>

@=

>(

2/

2?

2*

>>

>9

@)

?>

29

=@ 2=

Anggap hasil ini sebagai sampel hasil belajar matematika dengan 'ara mengajar masingmasing!Sebutkan syaratsyarat yang harus dipenuhi agar per'obaan ini sah untuk dibandingkan hasilnya! Berikan analisis lengkap mengenai hasil belajar matematika menggunakan ketiga 'ara tersebut! 4jilah persyaratan yang perlu menggunakan data yang diberikan!

2%$%9

T&> &A@ AN>A

To Wa Ano!a #esi$n!

dikenal juga dengan 3a'torial design atau ;andomi:ed *lock

Sama dengan Hne Way Ano:a dasar perhitungan yang digunakan adalah

Distribusi #! &ada %wo way Ano:a pengujian dilakukan dengan tidak hanya melihat satu 3aktor atau perlakuan saja, tetapi juga dengan mempertimbangkan 3aktor blok! 4ji blok dilakukan untuk mengetahui pengaruh blok terhadap perbedaan ratarata! 4ji blok ini akan mengurangi kombinasi kesalahan! .odel random Blo'k eEperiment untuk perbandingan k tratment +perlakuan 8 ij = μ + ∝i + @ j+ % ij

DimanaL T .ean ∝

i

@ j

% ij

T e3ek perlakuan kei

T e3ek blok kej

͠

IIDN+),

&rosedur pengujian dalam analisis :arians dua arah ini adalah &engujian hipotesis untuk treatment= 0 - Ti(ak a(a p%nga7uht7%atm%nt / p%76akuan  = 1

- Ada pengaruh treatment  %entukan daerah kritis dengan "e!el o& ,i$ni&icance (D@ yang biasa digunakan adalah ),)* atau ),)=  itung dengan menggunakan tabel Ano:a  &engambilan eputusan-

%olak ) jika =hitun. 

ASB AS&  =ta*l (k$ (*$)(k$)) pada selang keper'ayaan

+le!el o& si$ni&icance D

 esimpulan

 &engujian hipotesis untuk blok= 0  - Ti(ak a(a p%nga7uh463k = 1

- Ada pengaruh blok  %entukan daerah kritis dengan "e!el o& ,i$ni&icance (D@ yang biasa digunakan adalah ),)* atau ),)=  itung dengan menggunakan tabel Ano:a  &engambilan eputusan %olak ) jika =hitun. 

ASD AS&  =ta*l(k$

(*$)(k$))

pada selang keper'ayaan

+le!el o& si$ni&icance D  esimpulan

&roses perhitungan %wo Way Ano:a hampir sama dengan Hne Way Ano:a dimana ada dua 'ara dalam perhtiungan tabel Ano:a, yaitu*! Dengan 'ara .atriks (! Dengan ;ara rumus

%abel KII!*/ %abel $andom Blo'k Design+ %wo Way ANHKA %reatment +A

Blo'k +B

0ml

.ean

*

(

Z

a

*

y**

y*(

Z

y*a

%*!

8´ 1.

(

y(*

y((

Z

Y(a

%(!

8´ 2.

-

-

B

0ml

Y b*

Y b(

Z

y ba

% b!!

%!*

%!(

Z

%!a

%!!

8´ .1

.ean

8´ .2

8´ .a

8´ 4 .

8´ ..

Dengan 'ara matriksHbser:asi T .ean  De:iasi %reatment  De:iasi Blo'k  $esidual 8 ij T 8´..  ( 8´. j− 8´.. )  ( 8í .− 8´.. ) 8 ij

+

8 ij



 8´. j ¿ 8´.. ¿

T

8´ . j − 8´..

¿

  ( 8í .− 8´.. )  + 8 ij − 8í .  8´ . j + 8´.. ¿

8´ .. 8 ij−¿

¿ ¿ 2=¿ ¿ 4

¿ ∑ = j 1 a

¿ ∑ = i 1

4

a

4

( 8´ . j − 8´.. ) ² + ∑ ∑ ( 8 ij ± 8´ i . + 8´ . j + 8´ ..) ²  a ∑ j =1 i = 1 j= 1

+

8´ .. 8 ij −¿

¿ ¿2 ¿ 4

¿ ∑ = j 1

a

SST =

¿ ∑ = i 1

a

4

,,A 9

( 8´ − 8´..) ² ∑ = i.

i 1 4

a

,,* 9

( 8´ ∑ =

.j

− 8´.. ) ²

j 1

a

4

∑ ∑ ( 8 ± 8´ = =

,,E 9

ij

i.

+ 8´ . j + 8´ ..) ²

i 1 j 1

Dengan 'ara rumusa

SST =

2

4

T .. 8 ij a4 j=1

∑ ∑ = i 1

2

a

T ∑ =

2

i ..

SSB =

i 1

4

−T .. a4

2

4

T ∑ =

2

.j

SSD =

j 1

a

T .. − a4

2

SS& = SST −SSB − SSD

0umlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut %abel KIII!*9 %wo Way Ano:a

Sumber Kariasi A +%reatment B +Blo'k

SS SSA SSB

d3 a* b*

.S

&

hitung

ASB =

SSB a− 1

- B =

ASD =

SSD 4 −1

- D=

ASB AS&

ASD AS&

"rror

SS"

+a* +b*

%otal

SS%

+ab*

AS& =

SS& ( a−1 ) ( 4− 1 )

;ontoh (Suatu per'obaan dilakukan untuk menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari (9 penembakan statis!"mpat 0enis bahan bakar yang berlainan di'oba!Berikut adalah datanya Sistem $udal

*

0enis bahan bakar * ( *( ()

/ */

9 **

(

(

*9

@

=

/

2

*@

*/

*)

9

*

*(

2

/

=

@

*@

*9

?

unakan tara3 keberartian =F untuk menguji hipotesis berikut a! Apakah ada pengaruh jenis bahan bakar b! Apakah ada pengaruh 3aktor Sistem $udal 0awab 0enis bahan bakar

Sistem $udal * (

(

* *(

( ()

/ *9

0ml

.ean

9 */

**

=?

*9

@

=

(2

@

92

*(

/

(9

?

*9

?

99

**

2)

==

/=

*?

**

@

/

2

*@

*/

*)

9

*

*(

2

=

@

*@

0umlah

/)

.ean

?

()) *)

ipotesis a! ) T ]* T ]* T ]/ T ) +%idak ada pengaruh jenis bahan bakar * T &aling sedikit salah satu ] i tidak sama dengan nol+Ada pengaruh b! ) T * T * T / T ) +%idak ada pengaruh sistem rudal * T &aling sedikit salah satu  j tidak sama dengan nol+Ada pengaruh Dengan 'ara matriksHbser:asi T rand .ean 8 ij T

 De:iasi %reatment  De:iasi Blo'k  8´ ..  ( 8´. j− 8´ ) 

$esidual + 8 ij 

8´. j ¿

¿ ¿ 10101010 − 4 6 1− 3 10101010 − 4 6 1− 3 10101010 + −4 6 1−3 +¿ 10101010 − 4 6 1− 3 10101010 − 4 6 1− 3 ¿

[ ] [ ]

12201311 21475 8171310 =¿ 11283 717146

¿

4444 −3−3 −3 −3 2222 −4 −4 −4 − 4 1111

¿

+dikuadratkanT/*) SSA

+dikuadratkanT*29 SSB

[



1− 3 −4 −1 22 1− 2 −1 −2 0 4

0 −2 2 1

6 −3 0 −1

]

+dikuadratkanT SS"T (9

SS% T SSA SSBSS" T =*2 Dengan 'ara rumusa

SST =

2

4

T .. 8 ij a4 j=1

∑ ∑ = i 1

2

a

T ∑ =

2

i ..

SSB =

i 1

4

− T

..

2

T

a4

T (=*2 

[

2

.j

SSD =

j 1

a

−

T .. a4

2

2

30

4

T ∑ =

200

T

5

+

[

80

+

2

56 4

T =*2

20

2

5

2

+

55

2

5

28 4

+

2

]

35 5

2

2

+

48 4

+

200



24 4

2

T (/*) P ())) T /*)

20

2

+

]

44 4

2



200 20

2

T(*29 P ())) T

*29 SS& = SST −SSB − SSD T =*2 P /*) *29 T (9 %abel analisis :ariansi Sumber Kariasi 0enis bahan bakar Sistem rudal "rror 0umlah

SS

d3

.S

< itung

/*)

/

*)/,/

=*,@

*29 (9 =*2

9 *( *>

9? (

(/

 eputusan*%olak ) jika & hitung  & tabel+),)=M9M*( =*,*  /,9> %olak )  esimpulan*$ataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat jenis bahan bakar  eputusan(

%olak ) jika & hitung  & tabel+),)=M/M*( (/  /,(?

%olak )



 esimpulan(-

Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran yang berbeda

5atihan soal

*! Suatu per'obaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur sejenis suku 'adang tertentu yang diuji! "mpat jenis tungku dan tiga tara3 suhu dipakai dalam per'obaan tersebut! (9 buah suku 'adang dibagi se'ara a'ak, dua pada tiap kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut Suhu +);

%ungku %* %( ((@ (*9

%/ ((/

%9 (9)

==)

*2@

*2*

(/(

(9?

?))

()(

*>9

(*/

(*>

=))

unakan tara3 keberartian ),)=, ujilah apakah a! Ada pengaruh suhu b! Ada pengaruh tungku

(! 4ntuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan kemampuan melakukan ser:is datar dalam tenis, penelitian JAn Electromo$ra%hic5)inematro$ra%hic Analsis o& the Tennis ,er!e” telah

dilakukan

oleh 0urusan esehatan di Kirginia &olyte'hni' Institute and State 4ni:ersity di tahun *>@2! ima otot yang berbeda tersebut adalah - Anterior deltoid,&e'torial mayor,&osterior deltoid,Deltoid tengah,%risep! Data elektromyogra3, ter'atat waktu ser:is, adalah sebagai berikut Hrang *

* =>

Htot ( *!=

/ ?*

9 *)

= ()

( /

?)

>

@2

?*

9@

9(

(/

==

?* >=

Dengan ]T ),)* ujilah apakaha! Ada pengaruh orang +etiga orang mempunyai pengukuran elektromygra3 yang sama b! Ada pengaruh otot +Htot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygra3

I%$%$ To &a+ Ano8a dn.an n r'likasi

%abel KII!*= %wo Way Ano:a dengan n replikasi Sumber Kariasi

0umlah uadrat

Derajat ebebasan

$ataan uadrat

& hitungan

&engaruh 4tama a*

EKB S 1= a −1

b*

EKD S 2= 4 −1

+a* +b*

EK ( BD ) S 3= ( a −1 ) ( 4 − 1 )

2

A

0A

2

B

0B

2

- 1 =

S1 2

S

2

- 2=

S2 2

S

Interaksi dwi3aktor AB

0+AB

2

2

alat

0

ab+n*

0%

abn*

S =

EKF a4 ( n −1 )

0umlah kuadrat diperoleh dengan membentuk tabel jumlah berikut -

2

- 3 =

S3 S

2

%abel KII!*? %abel &enjumlahan %wo Way ANHKA B A * ( Z * %**! %*(! Z ( %(*! %((! Z A %a*! %a(! Z 0umlah %!*! %!(! Z eterangan4

n

2

T 8 ijk −¿ a4n j= 1 k = 1

∑∑

2

a

EKT =

¿ ∑ = i 1

a

T ∑ =

2

i ..

2

T. − EKB = 4n a4n i 1

4

T ∑ =

2

j .

2

−T. EKD = an a4n j 1

a

EK ( BD )=

4

a

4

T ∑ ∑ T ∑ ∑= T = = = i 1 j 1

n

2

2

ij

i ..

−

i 1

4n

2

−

an

EKF= EKT −EKB − EKD−EK ( BD )

Contoh !:

2

.j.

j 1

+

T … a4n

0umlah b %*b! %(b! %ab! %! b!

%*Z %(Z %aZ %Z

Dalam suatu per'obaan yang dilakukan dalam menentukan yang mana yang lebih baik dari tiga sistem rudal yang berlainan, diukur laju pembakaran bahan bakar dari (9 peembakan statis! "mpat 0enis bahan bakar yang berlainan di'oba! &er'obaan menghasilkan replikasi pengamatan laju pembakaran pada tiap kombinasi perlakuan! Berikut adalah datanya Sistem $udal a* a( a/

0enis Bahan Bakar b* b( /9,) /),*

b/ (>,2

b9 (>,)

/(,@ /(,) //,( (2,9

/(,2 /),( (>,2 (@,/

(?,@ (2,@ (2,* (>,@

(2,> (@,? (@,2 (2,2

(>,/

(2,>

(@,/

(>,*

unakan tara3 keberartian =F untuk menguji hipotesis berikut a! ) T %idak ada beda antara rataan laju pembakaran bahan bakar bila digunakan sistem rudal yang berlainan! b! ) T %idak ada beda antara rataan laju pembakaran keempat jenis bahan bakar '! ) T %idak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang berlainan!

-aa/ 0

*! ipotesis a! ) T ]* T ]* T ]/ T ) * T &aling sedikit salah satu ] i tidak sama dengan nol b! ) T * T * T / T ) * T &aling sedikit salah satu  j tidak sama dengan nol '! ) T +]** T +]*( T Z T +]/9 T ) * T &aling sedikit salah satu +] ij tidak sama dengan nol (! %ara3 keberartian T =F /! Daerah kritis +penentuan 3 tabel

a! & + 9 & H.G +a*,ab+n* T & H.G +(,*( 9 /,2> b! & 2 9 & H.G +b*,ab+n* T & H.G +/,*( T /,9> '! &  9 & H.G ++a*+b*,ab+n* T & H.G +?,*( T /,)) 9! %abel jumlah

a* a( a/ 0umlah

b* ??,@ ?=,( =@,@ *2>,?

b( ?(,> ?),) =?,( *@>,*

b/ =?,= =?,2 =@,) *@),/

b9 =@,> ==,9 =@,> *@*,(

0umlah (99,) (/@,9 ((2,2 @*),(

=! %abel analisis :ariansi 0umlah uadrat *9,=(

Derajat ebebasan (

$ataan uadrat @,(?

9),)2

/

*/,/?

*),@@

((,*@ *9,>* >*,?2

? *( (/

/,@) *,(9

(,>2

Sumber Kariasi Sistem rudal 0enis bahan bakar Interaksi alat 0umlah

& itungan

=,2=

?! Statistik 4ji %olak ) jika & hitung  & tabel @! esimpulan a! =,2=  /,2> %olak ) esimpulan - Sistem rudal yang berlainan menghasilkan rataan laju pembakaran 

yang berbeda! b! *),@@  /,9> %olak ) esimpulan - $ataan laju pembakaran bahan bakar tidak sama untuk keempat 

jenis bahan bakar! '! (,>2 O /,)) %erima ) 

esimpulan - %idak ada interaksi sistem rudal yang berlainan dengan jenis bahan bakar yang berlainan!

5atihan soal

*! Suatu per'obaan diadakan untuk meneliti pengaruh suhu dan jenis tungku terhadap umur sejenis suku 'adang tertentu yang diuji! "mpat jenis tungku dan tiga tara3 suhu dipakai dalam per'obaan tersebut! (9 buah suku 'adang dibagi se'ara a'ak, dua pada tiap kombinasi perlakuan, dan hasilnya diterakan berikut Suhu +); =)) ==) ?))

%ungku %* ((@ ((* *2@ ()2 *@9 ()(

%( (*9 *=> *2* *@> *>2 *>9

%/ ((= (/? (/( *>2 *@2 (*/

%9 (?) ((> (9? (@/ ()? (*>

unakan tara3 keberartian ),)=, uji hipotesi bahwa a! Suhu yang berbeda tidak berpengaruh pada umur suku 'adang tersebut b! %ungku yang berlainan tidak berpengaruh pada umur suku 'adang tersebut '! 0enis tungku dan suhu tidak berinteraksi

(! 4ntuk menetukan otot mana yang perlu mendapat program latihan untuk meningkatkan kemampuan melakukan ser:is datar dalam tenis, penelitian JAn Electromo$ra%hic5 )inematro$ra%hic Analsis o& the Tennis ,er!e” telah dilakukan oleh 0urusan esehatan

di Kirginia &olyte'hni' Institute and State 4ni:ersity di tahun *>@2! ima otot yang berbeda tersebut adalah a! Anterior deltoid, b! &e'torial mayor, '! &osterior deltoid, d! Deltoid tengah, e! %risep Diuji pada masingmasing tiga orang, dan per'obaan dilakukan tiga kali untuk tiap kombinasi perlakuan! Data elektromyogra3, ter'atat waktu ser:is, adalah sebagai berikut Hrang *

Htot * /( =>

( = *!=

/ =2 ?*

9 *) *)

= *> ()

( /

/2 ?/ ?) =) 9/ =9 9@

( *) > @ 9* 9/ 9(

?? ?9 @2 @2 (? (> (/

*9 9= ?* @* ?/ 9? ==

(/ 9/ ?* 9( ?* 2= >=

unakan tara3 keberartian ),)* untuk menguji hipotesis bahwaa! etiga orang mempunyai pengukuran elektromygra3 yang sama b! Htot yang berbeda tidak mempunyai pengaruh pada pengukuran elektromygra3 '! Hrang dan jenis otot tidak berinteraksi

"A" III STATISTIKA N>NPARAMETRIK

;%1 Tu6uan P7*la6aran

.ahasiswa mampu *! .embedakan prosedur uji parametrik dan nonparametrik (! .enjelaskan ma'amma'am uji nonparametrik /! .enjelaskan asumsiasumsi yang harus dipenuhi dalam beberapa uji nonparametrik 9! .enyelesaikan problem yang menggunakan uji nonparametrik =! .enghitung korelasi peringkatJrank Spearman

;%$ Statistika Non'ara7trik

Salah satu karakteristik prosedurprosedur dalam metode statistika adalah kelayakan penggunaannya untuk tujuan in3erensia +penyimpulan selalu bergantung pada asumsiasumsi tertentu yang kaku! &rosedur dalam analisa :arians, misalnya mengasumsikan bahwa sampel harus diambil dari populasipopulasi yang berdistribusi normal dan mempunyai :arians yang sama! 0ika populasi yang dikaji tidak dapat memenuhi asumsiasumsi yang mendasari uji uji parametrik,maka statistika nonparametrik dapat memenuhi kebutuhan tersebut dan tetap sah meski hanya berlandaskan pada asumsiasumsi yang sangat umum! $ingkasnya, bila uji parametriknya dan nonparametrik dapat digunakan untuk data yang sama, kita seharusnya menghindari uji nonparametrik yang 6'epat dan mudah7 ini dan mengerjakannya dengan teknik parametrik yamg lebih e3isien! Akan tetapi, karena asumsi kenormalan seringkali tidak dapat dijamin berlakunya, dan juga karena kita tidak selalu mempunyai hasil pengukuran yang kuantitati3 si3atnya, maka beruntunglah telah disediakan sejumlah prosedur nonparametrik yang berman3aat!

Kl*ihan 'rosdur non'ara7trik:

*! &rosedur nonparametrik memerlukan asumsi dalam jumlah yang minimum, sehingga kemungkinan untuk digunakan se'ara salah pun relati3 ke'il +4jiujinya disertai dengan asumsiasumsi yang jauh tidak mengikat dibandingkan dengan uji parametrik padanannya (! &erhitunganperhitungannya dapat dilakukan se'ara 'epat dan mudah /! onsepkonsep dan metodemetode prosedur nonparamterik mudah dipahami bagi peneliti yang dasar matematika dan statistikanya kurang 9! Dapat diterapkan pada data dengan skala pengukuran yang lemah +Datanya tidak harus merupakan pengukuran kuantitati3 tetapi dapat berupa respon yang kualitati3

Kl7ahan 'rosdur non'ara7trik:

*! %idak menggunakan semua in3ormasi dari sampel +kurang e3isien (! %idak seteliti pengujian parametrik, sehingga untuk men'apai  +peluang terjadinya kesalahan type kedua yang sama diperlukan sampel yang besar

;%!% U6i Tanda (Sa7'l Tun..al)

4ji tanda merupakan prosedur nonparametrik yang paling sederhana untuk diterapkan, pada sembarang data yang bersi3at dikotomi yaitu data yang tidak dapat di'atat pada skala numerik tetapi yang hanya dapat dinyatakan melalui respons positi3 dan negati3! .isalnya - per'obaan yang responsnya bersi3at kualintati3 seperti 6'a'at7 atau 6tidakt7, atau dalam per'obaan yang berhubungan dengan indera perasa yang responsnya berupa tanda plus bila penyi'ip rasanya dapat mengidenti3ikasi bumbu yang digunakan, atau minus bila tidak berhasil mengidenti3ikasi bumbu tersebut! Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah*! Sampel yang diukur adalah sampel a'ak dari suatu populasi dengan median yang belum diketahui (! Kariabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal /! Karianel yang diukur adalah :ariabel kontinyu

&rosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah &engujian hipotesis~ ~ = 0 - μ = μ 0 = 1

~ ~ - μ / μ 0

 %entukan "e!el o& ,i$ni&icance (D@  %entukan daerah kritis*! Satu arah - &+Q ! x´ = 0 4%na7 ¿ ! #

(! Dua arah - ( &+Q ! x´ = 0 4%na7 ¿ ! # Dimana E - banyaknya tanda plus  &erhitungan Statistik 4ji/! itung semua selisih dari pengurangan masingmasing nilai sampel

dengan median hipotesis 9! Beri tanda + jika selisih  ) dan beri tanda + jika selisih O ) =! 0ika ada selisih T ), buang dan ukuran sampel harus dikurangi ?! itung &+Q ! x´ n 5 0,5 ¿ dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan ] untuk n [ *) @! 0ika n *) dan p T ),= atau jika np T n<  =, maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan 3aktor koreksi kontinuitas yaitu%

Z =

( x 0 0,5 )−0,5 n 0,5 √ n

 &engambilan eputusan-

%olak ) jika masuk dalam daerah kritis, dan terima ) jika diluar daerah kritis  esimpulan-

.enerima o menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak o menunjukkan adanya perbedaan antara subyek!

Contoh$

Berikut ini adalah data lama waktu +dalam jam,sebuah alat listrik pen'ukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali *!=, (!(, )!>, *!/, (!), *!?, *!2, *!=, (!), *!(, dan *!@! unakan uji tanda untuk menguji hipotesis pada tara3 nyata )!)= bahwa alat pen'ukur ini se'ara ratarata dapat bekerja *!2 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali! 0awab &engujian hipotesis~ = 0 - μ =1,8 = 1

~

- μ / 1,8  Dengan "e!el o& ,i$ni&icance (D@T),)= Dimana E - banyaknya tanda plus  &erhitungan Statistik 4ji-

Data *!= (!( )!> *!/ (!) *!? *!2 %anda       ) .edian T *,2 QT/M nT *)M pT),=  &T(&+Q OT/ , pT),=  &T( b+EM*)M),= T (+),*@*>T ),/9/2  ),)=  eputusan-

*!= 

(!) 

*!( 

*!@ 

%erima )  esimpulan-

.edian waktu operasi berbeda dari *,2 jam adalah tidak signi3ikan!

U6i tanda 6u.a *isa di.unakan untuk 7n.u6i hi'otsis nol (7dian $ D 7dian !  do) untuk o*sr8asi *r'asan.an%
Contoh:

Sebuah perusahaan taksi hendak menetukan apakah akan menggunakan ban radial atau ban biasa untuk meningkatkan penghematan bahan bakar! Duabelas mobil dipasang dengan ban radial dan kemudian di'oba pada sebuah lintasan tertentu! %anpa mengganti supirnya, mobilmobil yang sama kemudian dipasang dengan ban biasa dan di'oba sekali lagi pada lintasan yang sama! onsumsi bahan bakar, dalam kilometer per liter, ter'atat sebagai berikut.obil * ( / 9 = ? @ 2 > *) ** *(

Ban radial 9!( 9!@ 9!? @!) ?!@ 9!= =!@ ?!) @!9 9!> ?!* =!(

Ban biasa 9!* 9!> ?!( ?!> ?!2 9!9 =!@ =!2 ?!> 9!> ?!) 9!>

Dapatkah kita menyimpulkan pada tara3 nyata )!)= bahwa mobil yang dilengkapi dengan ban radial lebih hemat bahan bakar dari pada mobil dengan ban biasa unakan hampiran normal terhadap sebaran binom! 0awab &engujian hipotesis~ ~ = 0 - μ 9− μ D T ) = 1

~ ~ - μ 9− μ D < 0

p%7hitungan :

Ban 9! (

9! @

?! ?

@! )

?! @ 9! =

9! * %anda 

9! > 

?! ( 

?! > 

?! 2 

$adia l Ban Biasa

9! 9 

=! @

?! )

@! 9

9! >

?! *

=! (

=! @ )

=! 2 

?! > 

9! > )

?! ) 

9! > 

&erhitungan- Didapat jumlah T 2 tanda plus, ( tanda minus dan ( tanda nol! Setelah tanda nol dibuang, n T *) dan E T 2! arena n  *) dan p T ),= maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan 3aktor koreksi kontinuitas yaituZ =

( x 0 0,5 )−0,5 n 0,5 √ n



Z =itung=

( 8−0,5 )−0,5∗10 T *,=2* 0,5 √ ( 10 )

.aka- &T&+QT**T&+5O*,=2*  Daerah ritis- C  *!?9=  eputusan- arena Z =itung< Z Ta4%6 , maka terima o  esimpulan -$atarata ban radial tidak meningkatkan penghematan bahan bakar!

;%3% U6i il#oHon *a.i 'n.a7 atan "r'asan.an (u6i 'rin.kat *rtanda  il#oHon)

Asumsi yang digunakan dalam uji tanda adalah*! Sampel yang diukur adalah sampel a'ak yang terdiri dari n pasangan hasil pengukuran dimana masingmasing pasangan pengukurannya dilakukan terhadap subyek yang sama (! Kariabel yang diukur minimal mempunyai skala pengukuan ordinal /! Kariabel yang diukur adalah :ariabel kontinyu 9! en pasangan hasil pengukuran independen

&rosedur pengujian dalam uji tanda ini adalah &engujian hipotesis~ − μ ~ =( = 0 μ 1 2 i T ) ~ ~ = 1 - μ1− μ 2 / )  %entukan "e!el o& ,i$ni&icance (D@  %entukan daerah kritisa! Satu arah - &+Q ! x´ = 0 4%na7 ¿ ! #

b! Dua arah - ( &+Q ! x´ = 0 4%na7 ¿ ! #

Dimana E - banyaknya tanda plusJminus manapun yang lebih ke'il  &erhitungan Statistik 4ji 4ntuk masingmasing pengamatan, hitung selisih dari masingmasing

nilai dari dua sampel berpasangan!  Beri tanda + jika selisih  ) dan beri tanda + jika selisih O )  0ika ada selisih T ), buang dan ukuran sampel harus dikurangi  4ntuk n [ () dan pengujian dilakukan dengan dua arah hitung (&+Q ! x´ n∗0,5 ¿

dengan distribusi binomial dan bandingkan dengan ]  0ika n () dan p T ),= atau jika np T n<  =, maka dapat didekati dengan distribusi normal dengan memberikan 3aktor koreksi kontinuitas yaitu%

Z =

( x 0 0,5 )−0,5 n 0,5 √ n


%olak ) jika masuk dalam daerah kritis, dan terima ) jika diluar daerah kritis  esimpulan-

.enerima o menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan, sedang menolak o menunjukkan adanya perbedaan antara subyek!

Contoh3

Seorang peneliti mempelajari e3ek kebersamaan terhadap denyut jantung tikus! Denyut jantung *) tikus di'atat, baik ketika masingmasing tikus sedang sendiri maupun ketika sedang bersamasama! asil studi tersebut di'atat seperti data dibawah ini +dalam menit%ikus * ( / Q 9?/ 9?( 9?( Y =(/ 9>9 9?* QTetika tikus sendiri

9 9=? =/=

= 9=) 9@?

? 9(? 9=9

@ 9*2 992

2 9*= 9)2

> 9)> 9@)

*) 9)( 9/@

YT etika tikus berkumpul 4jilah dengan le:el signi3i'an'e =F apakah kebersamaan meningkatkan denyut jantung tikustikus 0awab-

 &engujian hipotesis~ ~ = 0 - μ 8 − μ x= 0 ) ~ − μ ~ >¿ = 1 μ 8 x )

%ikus Q Y (i

* 9?/ =(/ ?)

%anda 

( 9?( 9>9  /(

/ 9?( 9?* *

9 9=? =/=  @>

= 9=) 9@? (?

? 9(? 9=9  (2

@ 9*2 992  /)

2 9*= 9)2 @

> 9)> 9@)  ?*

*) 9)( 9/@ /=



















´  Dua arah - ( &+Q ! 2 10 5 0,5 ¿= 0,0547 ´ &+Q ! 2 10∗0,5 ¿= 0,02735 ! # T),)=  eputusan-

%olak )  esimpulan-

ebersamaan tidak meningkatkan denyut jantung tikustikus tsb!

;%% U6i &il#oHon untuk Pn.a7atan "r'asan.an

4ji tanda hanya menunjukkan tandatanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pengamatan dan median dalam kasus satusampel, atau tanda plus dan minus yang diperoleh dari selisih antara pasangan pengamatan dalam kasus sampel berpasangan, tetapi tidak memperhitungkan besarnya selisihselisih tersebut! Sebuah uji yang meman3aatkan baik arah maupun besar arah itu ditemukan pada tahun *>9= oleh #rank Wil'oEon, dan sekarang uji ini dikenal sebagai u6i 'rin.kat*rtanda il#oHon atau dalam kasus pengamatan berpasangan disebut juga uji &il#oHon *a.i 'n.a7atan *r'asan.an%

Asumsi yang digunakan dalam uji Wil'oEon untuk &engamatan Berpasangan adalah*! Data Data terd terdiri iri ata atass n buah buah seli selisi sihh di T Yi  Qi setiap pengukuran +Q i,Yi diperoleh dari pengamatan terhadap subyek yang samaJterhadap subyek yang telah dipasangkan dalam sampel ini diperoleh dengaan 'ara a'ak

(! /! 9! =!

Data minimal minimal mempuny mempunyai ai skala skala pengukura pengukurann inter:al inter:al Kariabel selisih selisih yang diukur diukur adalah adalah :ariabel :ariabel a'ak a'ak kontinyu kontinyu Selisi Selisihs hselis elisih ih tsb indepe independe ndenn Distribusi Distribusi selisih selisih populasi populasi tsb setangkup setangkupJsimet Jsimetrik rik

&rosedur pengujian dalam uji Wil'oEon Wil'oEon untuk &engamatan &engamatan Berpasangan ini adalah &engujian hipotesis~ ~ = 0 - μ1− μ 2=( 0 ~

~

(0 - μ1− μ 2 /  %entukan "e!el o& ,i$ni&icance (D@  %entukan %entukan daerah kritis-

= 1

a! Semu Semuaa nilai nilai W yang yang meme memenu nuhi hi &+W &+W ! G ´ = 0 4%na7 ¿ < # , jika n O = dan ujinya satu arah b! Semua nilai W yang memenuhi ( &+W ! G ´ = 0 4%na7 ¿ < # , jika n O = dan ujinya dua arah '! Semua nilai nilai W [ Nilai kritis kritis yang yang sesuai sesuai dalam tabel a!*? +buku +buku Walp Walpole, ole, jika = [ n [ /)  &erhitungan Statistik 4ji itung itung selisi selisihh dari dari setiap setiap pasang pasangan an hasil hasil penguk pengukura urann dan perhati perhatikan kan tandanya - di T Yi  Qi  Singkirkan semua selisih yang besarnya nol, meskipun ukuran sampel n akan berkurang  Berilah rankingJperingkat pada ken selisih d *d) tanpa memperhatikan tandanya  itung jumlah peringkat yang bertanda positi3 +w dan jumlah peringkat yang bertanda negatip +w, kemudian ambil nilai w yang terke'il  Bandingkan w terke'il dengan tabel *@ +buku Walpole Walpole  0ika n  *=, distribusi W dapat didekati dengan distribusi Normal dengan μG=

n ( n + 1) 4

Dan Statitik 4jinya adalah-

dan

2

σ G =

n ( n +1 ) ( 2 n + 1 ) 24

Z =

( G− μ G ) σ G


%olak ) jika masuk dalam daerah kritis, dan terima ) jika sebaliknya  esimpulan-

Contoh

Sekelom Sekelompok pok penelit penelitii mengka mengkaji ji peruba perubahan hanpe perub rubahan ahan hemodi hemodinam namik ik pada pada pasien pasienpas pasien ien dengan %'lmonar throm/oem/olism throm/oem/olism yang akut! Berikut ini adalah data yang memperlihatkan tekanan arteri paruparu ratarata yang telah diobser:asi oleh penelitipeneliti tsb sebelum dan setelah terapi 'rokinase &asien ) 0am +Q (9 0am +Y

%ekanan arteri paruparu ratarata +dlm milimeter g * ( / 9 = ? @ 2 // *@ /) (= /? (= /* () (* *@ (( */ // () *> */

> *2 >

Ingin diketahui apakah data ini menyediakan 'ukup bukti untuk menunjukkan bahw terapi urikinase menurunkan tekanan arteri paru, gunakan ] T = F 0awab~ ~ - μ 8i − μ xi=( i H 0 ~ ~ = 1 ( i <0 - μ 8i − μ xi /

= 0

%erapi ) 0am +Q (9 0am +Y (i : i T

%ekanan arteri paruparu ratarata +dlm milimeter g &asien * ( / 9 = ? @ 2 // *@ /) (= /? (= /* () (* *@ (( */ // () *> */ 2 *( / = *( @ P *( )

> *2 > >

X i

&eringkatJranking

@

9 buang

@

*

(

@

/

=

 eputusan-

Dengan n T2 memperlihatkan bahwa peluang untuk mendapatkan w  T ) dan W tabel +daerah kritis [ ? , sehingga tolak  )  esimpulan-

%erapi %erapi urokinase benarbenar menurunkan tekanan arteri paruparu

;%9% U6i Ju7lah Prin.kat"rtanda Pr in.kat"rtanda &il#oHon (%ilco!on Ran" Sum &est )

4ji &eringkatBe &eringkatBertand rtandaa Wil'oEon Wil'oEon adalah metode metode nonparametrik nonparametrik yang sangat sederhana yang ditemukan oleh #rank Wil'oEon pada tahun *>9= untuk membandingkan nilai tengah dua populasi bukan normal yang kontinu! 0adi singkatnya uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai beda lokasi median! Asumsi yang digunakan dalam uji %ilco!on Ran" Sum &est adalah adalah*! Data Data merup merupak akan an sampe sampell a'ak a'ak hasil hasil penga pengama mata tann Q*,Q(,!!!, Qn dari populasi satu dan sampel a'ak hasil pengamatan lain Y*,Y(,!!!,Yn (! Kariabel yang yang diukur diukur minimal minimal mempunyai mempunyai skala skala pengukuan pengukuan ordinal ordinal /! Kariabel yang diukur diukur adalah adalah :ariabel :ariabel kontinyu kontinyu 9! edu eduaa sam sampe pell inde indepen pende denn

&rosedur pengujian dalam uji %ilco!on Ran" Sum &est ini adalah &engujian hipotesis~ ~ = 0 - μ1= μ 2 = 1

~

~

- μ1 / μ2  %entukan "e!el o& ,i$ni&icance (D@  %entukan %entukan daerah kritisa! Semu Semuaa nila nilaii 4 yang yang meme memenu nuhi hi &+4 &+4 ! u ´ = 0 4%na7 ¿ < # , jika n( [ 2 dan ujinya satu arah b! Semua nilai 4 yang memenuhi ( &+4 ! u ´ = 0 4%na7 ¿ < # , jika n( [ 2 dan ujinya dua arah '! Semua Semua nilai nilai 4 [ Nilai kritis kritis yang yang sesuai sesuai dalam dalam tabel tabel *@ * @ +buku +buku Wal Walpol pole, e, jika > [ n( [ ()

 &erhitungan Statistik 4ji %entukan n* +ukuran sampel yang lebih ke'il dan n (  4rutkan semua n*  n( pengamatan dengan urutan dari ke'il ke besar

dan beri ranking *,(,/ !!!n *n( pada tiap pengamatan dan jika terdapat pengamatan yang besarnya sama, sa ma, maka pengamatan tsb diganti dengan ratarata ranking  itung W*T 0umlah ranking pada n * W(T 0umlah ranking pada n ( I 1 + I 2=

( n + n ) (n +n +1 ) 1

2

1

2

2

4* T W* 

4( T W( 

n1 ( n1 + 1) 2

n2 ( n2 + 1 ) 2

 Dan jika n () distribusi sampel 4 * dan 4( dapat didekati dengan

distribusi normal dengan%

μJ 1 1=

n1 n2 2

dan

2

σ J 1 1 =

n1 n2 ( n1 + n2 + 1 ) 12


%olak ) jika 4 masuk dalam daerah kritis, dan terima ) jika 4 diluar daerah kritis  esimpulan-

Contoh9

Berikut ini adalah data kekuatan dua jenis lempeng baja empeng BajaQ empeng BajaY

@= =(

9? 9*

=@ 9/

9/ 9@

=2 /(

/( 9>

?* =(

=? 99

/9 =@

?= ?)

4jilah dengan le:el signi:i'an'e =F apakah kedua lempeng tsb mempunyai kekuatan yang berbeda 0awab-

= 0

~ ~ - μ x= μ 8

= 1

~ ~ - μ x / μ 8

empeng BajaQ $anking empeng BajaY $anking

@= () =( **,=

9? 2 9* 9

=@ *9,= 9/ =,=

9/ =,= 9@ >

=2 *? /( *,=

/( *,= 9> *)

?* *2 =( **,=

=? */ 99 @

/9 / =@ *9,=

?= *> ?) *@

W* T *,=/=,=2*/*9,=*?*2*>()T**2,=

I 2=

( n +n ) (n +n +1 ) 1

4* T W* 

4( T W( 

2

1

2

2

n1 ( n1 + 1) 2

n2 ( n2 + 1 ) 2

P W* T

T **2,= P

T >*,= P

( 20 ) ( 21) 2

( 10 ) ( 11) 2

( 10 ) ( 11) 2

−118,5 =91,5

= 63,5

=36,5

 eputusan-

4( O 4*

Ambil 4T /?,= dimana 4 tabel T (/



arena 4 hitung  4 tabel

terima )



 esimpulan-

%idak terdapat perbedaan kekuatan antara kedua baja tsb atau dengan kata lain kekuatan lempeng baja Q T kekuatan lempeng baja Y

;%2% U6i Kruskal&allis

4ji ruskalWalls merupakan generalisasi uji dua sampel Wil'oEon untuk k  ( sampel! Diperkenalkan pada tahun *>=( oleh W!  ruskal dan W! A! Wallis, 4ji ini digunakan untuk menguji hipotesis nol +) bahwa k sampel bebas berasal dari populasi yang identik! 4ji nonparametrik ini merupakan alternati3 bagi uji # untuk pengujian kesamaan beberapa nilai tengah dalam analisis :ariansi jila ingin menghindar dari asumsi bahwa sampel diambil dari populasi normal! Asumsi yang harus dipenuhi dalam uji ruskal Wallis adalah*! (! /! 9! =!

Data untuk analisis terdiri dari k sampel a'ak yang berukuran n*,n(,n/!!!,nk &engamatanpengamatan bebas baik di dalam maupun diantara sampelsampel Kariabel yang diukur kontinyu Skala pengukuran minimal ordinal &opulasipopulasi identik ke'uali dalam hal lokasi yang berbeda untuk sekurang kurangnya satu populasi

Struktur data dalam uji ruskal WallisSampel *

( 8 11

8 12

Z Z

8 21

8 22

Z

Z

Z Z

k 8 1 k

Z

8 2 k

Z

8 n 1

Z Z

8n2

Z

8 nk

&rosedur untuk memperoleh Statistik 4ji*! abungkan semua sampel n T n*  n(  n/!!!  nk (! 4rutkan dari ke'il ke besar dan beri peringkat, jika terdapat pengamatan yang sama ambil ratarata rankJperingkatnya /! 0umlah peringkatJrank semua pengamatan ni dan nyatakan dengan $ i 9! itung = =

12

k

∑

9i

2

n ( n + 1) i =1 ni

−3 ( n + 1)

=! 0ika  jatuh dalam daerah kritis sebaliknya terima )

2   ) # dengan :Tk* tolak  ), dan jika



Contoh ;

Dalam per'obaan untuk menetukan sistem peluru kendali mana yang lebih baik, dilakukan pengukuran pada laju pembakaran bahan bakarnya! Datanya, setelah dikodekan, diberikan dalam %abel */!/! unakan uji ruskalWallis dan tara3 nyata ] T )!)= untuk menguji hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem tersebut!

%abel */!/ aju &embakaran Bahan Bakar Sistem &eluru endali * ( (9!) (/!( *?!@ *>!2 ((!2 *2!* *>!2 *@!? *2!> ()!( *@!2

/ *2!9 *>!* *@!/ *@!/ *>!@ *2!> *2!2 *H!/

0awab )- etiga populasi identik +mempunyai median yang sama *- etiga populasi tidak memiliki median yang sama &erhitungan- dalam tabel */!9 kita ubah pengamatan itu menjadi peringkat dan kemudian menjumlahkan semua peringkat untuk masingmasing sistem!

%abel */!&eringkat Bagi Data aju &embakaran bahan bakar

Sistem &eluru kendali *

(

/

*> * *@ *9!= >!=

*2 *9!= ? 9 *? =

*@ ** (!= (!= */ >!= 2 *(

$ * T ?*!) $ ( T ?/!=

$ / T ?=!= Sekarang, dengan mensubtitusikan n * T =, n( T ?, n/ T 2, r * T ?/!), r ( T ?/!=, dan r / T ?=!?, maka kita memperoleh nilai statistik uji  yaitu k

2

9i −3 ( n + 1) = = n ( n + 1) i =1 ni 12

∑

= =

12 19 ( 19 + 1 )

[

61 5

2

+

63.5 6

2

+

65.5 8

2

]

−3 ( 19 + 1)

? 9 +.LGML

eputusan- karena  tidak jatuh dalam wilayah kritisnya, yaitu   =!>>*, berarti tidak 'ukup bukti untuk menolak hipotesis bahwa laju pembakaran bahan bakar sama untuk ketiga sistem peluru kendali itu!, dengan kata lain terima  )! 0adi ketiga sistem peluru kendali mempunyai median yang sama!

;%4% U6i Runtun Sa7'l Tun..al ( #ne Sample Run &est )

4ji runtun adalah uji yang didasarkan atas urutan pengambilan sampel pengamatan! 4ji ini berguna untuk menguji bahwa pengamatan memang diambil se'ara a'ak! %idak peduli apakah pengamatan tsb kuantitati3 atau kualitati3, uji runtun membagi data menjadi dua kelompok yang saling eksklusi3, seperti- lakilaki atau perempuan, 'a'at atau tidak 'a'at, gambar atau angka, diatas atau dibawah median dan lain sebagainya! Dengan demikian, barisan hasil per'obaaanya hanya terdiri atas dua lambang! 0adi andaikan bahwa n adalah ukuran sampel total, maka n * adalah banyaknya lambang yang lebih sedikit, dan n ( adalah banyaknya lambang yang lebih banyak, maka ukuran sampel total n T n*  n(! &rosedur pengujian dalam uji $untun ini adalah &engujian hipotesis = 0

- Sampel berasal dari proses a'ak

= 1

Sampel tidak berasal dari proses a'ak  %entukan "e!el o& ,i$ni&icance (D@  %entukan daerah kritisa!Semua nilai K yang memenuhi &+K ! v = 0 4%na7 ¿< # , jika n* dan n( [ *) dan ujinya satu arah b! Semua nilai K yang memenuhi ( &+K ! v ´ = 0 4%na7 ¿< # , jika jika n* dan n( [ *) dan ujinya dua arah  &erhitungan Statistik 4ji itung runtun dari barisan sampel  ihat tabel *> +buku Walpole dengan n * dan n ( serta ] sesuai dengan kasus  0ika n* dan n(  *), distribusi K dapat didekati dengan distribusi Normal dengann1 + n2

μv =1 +

[ ] 2 n1 n2

n 1+ n2

Dan Statitik 4jinya adalah-

Z =

( V − μv ) σ v

¿ ¿ ¿

dan 2

σ v =

2 n1 n2 ( 2 n1 n2−n1− n2)

¿


0ika & +5  O ] maka tolak  ), dan terima ) jika sebaliknya  esimpulan

Sebagai ilustrasi, misalkan dari *( orang yang telah disur:ey dan ditanyai pendapatnya terhadap suatu produk tertentu, dan seandainya dari *( orang tsb ternyata berjenis kelamin yang sama, hal tersebut pastilah jelas sangat ke'il kemungkinannya dihasilkan dari suatu proses pengambilan yang a'ak dan sangat diragukan ke:alidannya! Di bawah ini adalah urutan barisan dari kedua belas orang tsb yang diwawan'arai, jenis kelamin lakilaki dilambangkan dengan huru3  dan perempuan dengan lambang huru3 &,   & & &  & &   Barisan di atas terdiri dari sampel n T *(, dengan = runtun, dimana runtun yang pertama berupa dua  , yang kedua tiga &, yang ketiga dua  dan demikian seterusnya! 4ji runtun untuk memeriksa kea'akan didasarkan pada peubah a'ak K , yaitu banyaknya runtun total dalam hasil per'obaan atau sampel! Dalam buku Walpole tabel A!*>,menyediakan nilainilai &+K [ : bila h) benar diberikan untuk : T (, /, !!!!, () runtun, dan nilainilai n* dan n( yang lebih ke'il atau sama dengan *)! Nilai kritis di salah satu ujung sebaran K dapat diperoleh dari tabel tsb! Dalam ilustrasi diatas, didapatkan lima & dan tujuh ! Dengan demikian, dengan n * T = dan n( T @, dari %abel A!*> +buku Walpoledidapatkan bahwa&+K [ = bila h) benar T )!*>@ untuk pengujian satu arah dan untuk pengujian dua arah ( &+K [ = bila h ) benar T (+ )!*>@ T )!/>9  ] Dengan ] T )!)= tidak 'ukup alasan untuk menolak hipotesis bahwa sampel berasal dari proses a'ak +terima ) 4ji runtun juga dapat digunakan untuk memeriksa si3at kea'akan suatu barisan hasil pengamatan atau per'obaan menurut waktu, yang disebabkan oleh ke'enderungan atau periodisitas! Dengan menggantikan setiap pengamatan sesuai dengan urutan terjadinya dengan tanda plus bila terletak diatas median dan tanda minus bila dibawah median, dan membuang semua pengamatan yang persis sama dengan median, maka kita mendapatkan suatu barisan tandatanda plus dan minus yang dapat diuji si3at kea'akannya seperti diilustrasikan dalam 'ontoh berikut!

Contoh4

Sebuah mesin diatur sehingga se'ara otomatis mengeluarkan minyak pengen'er 'at ke dalam sebuah kaleng! Dapatkah kita mengatakan bahwa banyaknya pengen'er yang

dikeluarkan oleh mesin ini ber:ariasi se'ara a'ak bila isi *= kaleng berikut, berturut turut, adalah /!?, /!>, 9!*, /!?, /!2, /!@, /!9, 9!), /!2, 9!*, /!>, 9!), /!2, 9!(, dan 9!* liter unakan tara3 nyata )!*! 0awab!)- Data diambil se'ara a'ak dari sebuah populasi *- Data tidak diambil se'ara a'ak angkah untuk mendapatkan statistik uji *! %ulis data hasil pengamatan dalam sampel menurut urutan didapatnyaJurutan terjadinya (! %entukan besarnya median sampel /! Data yang harganya lebih besar dari median diberi tanda positi3 dan jika sebaliknya beri tanda negati3 9! %entukan n* +misal yang bertanda positi3 dan n ( yang bertanda negati3 =! itung banyaknya runtun +K ?! ;ari &+K [ ] bila ) benar dengan melihat tabel @! 0ika &+K [ ] bila  ) benar [ ] %olak ) untuk uji satu arah dan untuk uji dua arah %olak ) jika ( &+K [ ] bila ) benar [ ] 

&erhitungan untuk 'ontoh@ tersebut diperoleh median T /!>! kemudian dengan mengganti setiap pengamatan dengan tanda 66 bila lebih ke'il dari /!>, dan membuang pengamatan yang sama dengan /!>, maka diperoleh barisan            dimana didapatkan n* T ?, n( T @, dan : T ?! eputusan- &+K [ ] bila  ) benar T)!(>?  ] Wallpole dengan n* T ?, n( T @, dan : T ?

%erima ) +lihat %abel A!*> buku



esimpulan- arena : T ? jatuh dalam wilayah penerimaan, maka terima hipotesis bahwa isi kaleng itu memang ber:ariasi se'ara a'ak! 4ji runtun, meskipun kuasa ujinya lebih rendah, dapat juga digunakan sebagai pilihan lain bagi uji jumlah peringkat Wil'oEon untuk menguji bahwa dua sampel a'ak berasal dari dua populasi yang sama sehingga mempunyai nilai tengah yang sama! Bila populasinya setangkup, penolakan pendapat bahwa sebenarnya sama setara dengan penerimaan hipotesis akternati3 bahwa kedua nilai tengah tidak sama! 4ntuk melakukan uji ini,berikut adalah langkahlangkah pengujiannya %entukan hipotesis -

)- edua sampel berasal dari populasi yang diambil se'ara a'ak *- edua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil se'ara a'ak

*! (! /! 9! =! ?!  

 angkah abungkan kedua sampel menjadi sampel berukuran n*  n( %ulis ke +n*n( buah data dari sampel gabungan menurut urutan nilainya Nyatakan data dari sampel ke* dengan A dan data dari sampel ke( dengan B itung banyaknya runtun +: ;ari &+K [ ] bila ) benar dengan melihat tabel Daerah kritis +Daerah penolakan%olak ) jika &+K [ ] bila  ) benar [ ] untuk uji satu arah %olak ) jika ( &+K [ ] bila  ) benar [ ] untuk uji dua arah

0ika n* dan n(  *) dapat didekati dengan distribusi normal dengan -

[ ]

μV =

Z =

2 n1 n2

2

+1 n1 + n2

σ V =

dan

2 n1 n2 ( 2 n1 n2−n1 − n2 ) 2

( n + n ) ( n + n −1 ) 1

2

1

2

( V − μV ) σ V Contoh2

Data berikut memperlihatkan penyimpanganpenyimpangan temperatur dari suhu normal, yang setiap hari di'atat di daerah Bandung dan daerah 0akarta selama bulan April ()*)Bandun g 0akarta

ari &enyimpanga n %anda ari &enyimpanga n %anda

* @

( ?

/ =

9 (

= *

? /

@ (

2 ?

> =

*) 2

** 9

 * =

 ( 2

 / /

 9 @

 = >

 ? 2

 @ *

 2 (

 > /

 *) (

 ** /























0awab)- edua sampel berasal dari populasi yang diambil se'ara a'ak *- edua sampel tidak berasal dari populasi yang diambil se'ara a'ak n*T ** n(T** karena n* dan n(  *), sehingga dapat didekati dengan distribusi normal, dengan-

[

μV =

2 ( 11) ( 11) 11+ 11

]

+ 1 T *(

2

σ V =

Z =

2 ( 11) ( 11)( 2 ( 11)( 11)−11− 11)

( 11+11 )2 ( 11 + 11−1 )

( V − μV ) σ V

T

( 11−12) 2,2887

&+5O )!99 T )!//  ]

T =!(/2



σ V

T(!(22@

T )!9/?>  )!99

%erima )



esimpulan- edua sampel memang berasal dari populasi yang diambil se'ara a'ak

;%; Ko-isin Korlasi Prin.kat? Rank S'ar7an

Ada kalanya ingin diketahui korelasi antara dua :ariabel tidak berdasarkan pada pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui, tetapi menggunakan urutanurutan nilai tertentu atau biasa disebut $ank! %eknik korelasi ini digunakan untuk :ariabel dengan data bertipe ordinal dan tidak berdistribusi normal, dimana korelasi spearman rank ini masuk dalam statistika nonparametrik! Selain itu dengan menggunakan teknik ini tidak lagi harus diasumsikan bahwa hubungan yang mendasari :ariabel yang satu dengan :ariabel yang lain harus linier!

oe3isien korelasi Sperman rank +r s dapat dihitung dengan menggunakan rumus -

( n

(¿¿ i ) ∑ =

2

6

i 1

2

n ( n −1 ) 7 s=1−¿

Dengan( i=(ispa7itas / s%6isih tiap pasang7ank

n =4an8akn8a pasangan (ata

Dalam prakteknya, rumus diatas tetap digunakan meskipun terdapat nilainilai yang sama diantara pengamatanpengamatan E atau y! 4ntuk pengamatanpengamatan demikian ini peringkatnya diberikan seperti dalam uji peringkat bertanda Wil'oEon, yaitu dengan merataratakan peringkat yang diberikan seandainya ada pengamatan yang sama! Nilai r s biasanya dekat dengan nilai r yang diperoleh berdasarkan pengukuran numerik dan dita3sirkan se'ara sama pula! Nilai r s dapat terjadi dari P * sampai *! Nilai * atau * menunjukkan adanya hubungan yang sempurna antara Q dan Y, tanda plus dapat diartikan bahwa pemberian peringkat itu sejalan, sedangkan tanda minus berarti bahwa pemberian peringkat itu bertolak belakang! Bila r s dekat dengan nol, dapat disimpulkan bahwa kedua peubah tidak berkorelasi! Ada beberapa keuntungan penggunaan r s dibandingkan dengan penggunaan r! Sebagai 'ontoh, tidak lagi harus mengasumsikan bahwa hubungan yang mendasari antara Q dan Y harus linear! Ini berarti bila datanya menunjukkan adanya hubungan yang kur:ilinear, maka korelasi peringkat 'enderung lebih dapat diper'aya daripada korelasi biasa! euntungan kedua adalah tidak perlu mengasumsikan bahwa sebaran bagi Q dan Y adalah normal! 4ntuk melakukan uji nyata bagi koe3isien korelasi peringkat, harus diketahui sebaran bagi nilainilai r s dibawah asumsi Q dan Y bebas! Nilai kritis untuk ] T )!)=, )!)(=, )!)*, dan )!))= telah dihitung dan diberikan dalam %abel A!((! %abel ini dibuat menyerupai tabel nilai kritis bagi sebaran t, ke'uali bahwa kolom paling kiri berisi banyaknya pasangan pengamatan dan bukan derajat bebas! arena sebaran nilainilai r s setangkup terhadap r s T ), maka nilai r s yang memberikan luas daerah sebesar ] disebelah kanannya! Bila hipotesis alternati3nya duaarah, daerah kritis sebesar ] dibagi dua sama besar di kedua ekor sebarannya! Bila hipotesis alternati3nya negati3, maka daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kiri sebaran, dan bila hipotesis alternati3nya positi3, daerah kritisnya jatuh seluruhnya di ekor kanan sebarannya!

Contoh 

itunglah koe3isien korelasi antara hasil produksi departemen A dengan departemen B menggunakan teknik korelasi Spearman $ankU

0asil Produksi (ton) Sa7'l K <'art7n A (H)

<'art7n " (+)

*

*9*!2

2>!@

(

*9)!(

@9!9

/

*/*!2

2/!=

9

*/(!=

@@!2

=

*/=!@

2=!2

?

*9*!(

2?!=

@

*9/!(

2>!9

2

*9)!(

2>!/

>

*9)!2

*)

*/*!@

2(!(

**

*/)!2

29!?

*(

*/=!?

29!9

22

*/

*9/!?

2?!/

*9

*//!(

2=!>

0awab-

Rank (+)

2



*

*9*!2 2>!@ *(

*9

(

9

(

*9)!( @9!9 2!=

*

@!=

=?!(=

/

*/*!2 2/!= /

9

*

*

9

*/(!= @@!2 9

(

(

9

=

*/=!@ 2=!2 @

@

)

)

@

Rank (H)

( i = 9 ( x )− 9 ( 8 )

Sa7'l k

(i

?

*9*!( 2?!= **

*)

*

*

@

*9/!( 2>!9 */

*/

)

)

2

*9)!( 2>!/ 2!=

*(

/!=

*(!(=

>

*9)!2 22

**

*

*

*)

*/*!@ 2(!( (

/

*

*

**

*/)!2 29!? *

?

=

(=

*(

*/=!? 29!9 ?

=

*

*

*/

*9/!? 2?!/ *9

>

=

(=

*9

*//!( 2=!> =

2

/

>

*)



*9)!= 7 s = 1−

6 ( 140,5 ) 14 ( 14

2

−1 )

= 1−

700 2730

=1−0,256 =0,744

Yang menunjukkan adanya korelasi positi3 yang tinggi antara hasil produksi dari departemen A dan hasil produksi dari departemen B!

S>A5S>A5 5ATI0AN

*! Dari *( kali berobat ke dokter, seorang pasien harus menunggu *@, /(, (=, *=, (2, (=, (), *(, /=, (), (?, dan (9 menit diruang tunggu! unakan uji tanda dengan ] T )!)= untuk menguji pernyataan dokter itu bahwa se'ara ratarata pasiennya tidak menunggu lebih dari () menit sebelum dipanggil ke ruang periksa!

(! Data berikut menyatakan lama latihan terbang, dalam jam, yang dijalani *2 'alon pilot dari seorang instruktur sebelum penerbangan solo mereka yang pertama- >, *(, */, *(, *), **, *2, *?, */, *9, **, *=, *(, >, */, *9, **, dan *9! unakan uji tanda dengan ] T)!)( untuk menguji pernyataan instruktur tersebut bahwa se'ara ratarata 'alon pilot bimbingannya berhasil terbang solo setelah *( jam latihan terbang!

/! Seorang petrugas memeriksa *= botol selai 'ap tertentu untuk menetukan persentase bahan 'ampurannya! Data yang diperoleh adalah sebagai berikut- (!9, (!/, *!@, *!@, (!/, *!(, *!*, /!?, /!*, *!), 9!(, *!?, (!=, (!9, dan (!/! dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom, lakukan uji tanda pada tara3 nyata )!)* untuk menguji hipotesis nol bahwa presentase bahan 'ampurannya adalah (!=F lawan alternati3nya bahwa presentase bahan 'ampuran ratarata bukan (!=F!

9! Sebuah perusahaan elektronik internasional sedang mempertimbangkan untuk memberikan perjalan memberikan liburean berikutnya biayanya bagi para sta3 eksekuti3senior dan keluarganya! 4ntuk menentukan pre3erensi antara seminggu di awaii atau seminggu di Spanyol, suatu 'ontoh a'ak *2 sta3 eksekuti3 ditanyai pilihannya! Dengan menggunakan hampiran normal bagi sebaran binom, lakukan uji tanda tara3 nyata )!)= untuk menguji hipotesis nol bahwa kedua lokasi itu sama sama disukai lawan alternati3nya bahwa pre3erensinya mereka berbeda, bila ternyata 9 diantara *2 yang ditanyai lebih menyukai Spanyol!

=! Seorang pengusaha 'at mengeluh bahwa lamanya mengering 'at akrilik produksinya telah berkurang karena adanya sesuatu bahan kimia yang baru! 4ntuk menguji pendapat ini, *( papan kayu di'at, separuh 'at lama dan separuh lagi dengan 'at baru! amanya mengering, dalam jam, ter'atat sebagai berikut-

&apan * ( / 9 = ? @ 2 > *) ** *(

amanya mengering +jam ;at baru ?!9 =!2 @!9 =!= ?!/ @!2 2!? 2!( @!) 9!> =!> ?!=

;at lama ?!? =!2 @!2 =!@ ?!) 2!9 2!2 2!9 @!/ =!2 =!2 ?!=

unakan uji tanda pada tara3 nyata )!)= untuk menguji hipotesis bahwa bahan kimia baru itu tidak lebih dari yang lama dalam menguramgi lamanya mengering 'at jenis ini!

?! Suatu program diet baru dikatakan dapat mengurangi bobot seseorang se'ara ratarata 9!= kilogram dalam waktu ( minggu! Bobot *) wanita yang mengikuti program diet ini di'atat sebelum dan sesudah periode ( minggu, berikut adalah datanya Wanita Bobot sebelum * =2!= ( ?)!/ / ?*!@ 9 ?>!) = ?9!) ? ?(!? @ =?!@ 2 ?/!? > ?2!( *) =>!(

Bobot sesudah ?)!) =9!> =2!* ?(!* =2!= =>!> =9!= ?)!( ?(!/ =2!@

unakan uji tanda pada tara3 nyata )!)= untuk menguji hipotesis bahwa diit itu dapat mengurangi bobot badan seseorang sebanyak 9!= kilogram, lawan alternati3nya bahwa pengurangan bobot itu kurang dari 9,= kilogram!

@! Dua jenis alat untuk mengukur kadar sul3ur monoksida di udara hendak dibandingkan! Berikut ini diberikan hasil pen'atatan oleh kedua alat tersebut selama periode ( minggu-

ari

Sul3ur monoksida Alat A Alat B

* ( / 9 = ? @ 2 > *) ** *( */ *9

(?!9? *@!9? *?!/( ()!*> *>!29 ()!?= (2!(* //!>9 (>!/( *>!2= (2!/= ((!@2 (*!?9 *2!>/

(=!9* ((!=/ *?!/( (@!92 (9!>@ (*!@@ (2!*@ /(!)( (2!>? ()!9= (/!?@ *2!>? *>!22 (/!99

Dengan menggunakan hampiran normal, kerjakan uji tanda untuk menentukan apakah kedua alat itu memberikan hasil yang berbeda! unakan tara3 nyata )!)*!

2! Analisislah data pada soal * dengan menggunakan uji peringkatbertanda Wil'oEon

>! Analisislah data pada soal ( dengan menggunakan uji peringkatbertanda Wil'oEon!

*)! Bobot badan, dalam kilogram, sepuluh orang sebelum dan sesudah berhenti merokok ter'atat sebagai berikutBB sebelum BB setelah

=2 ?)

?) ==

?( =2

?> ?=

@) ?>

?9 ?9

@? @)

@( ?@

?? ?*

@= @)

unakan uji peringkatbertanda Wil'oEon untuk menguji hipotesis, pada tara3 nyata )!)=, bahwa berhenti merokok tidak dapat berpengaruh pada bobot badan seseorang, lawan alternati3nya bahwa bobot badan seseorang akan bertambah bila ia berhenti merokok!

**! Analisislah data pada soal = dengan menggunakan uji peringkatbertanda Wil'oEon!

*(! erjakan kembali pada soal ? dengan menggunakan uji peringkatbertanda Wil'oEon! */! Dari sebuah kelas matematika yang terdiri atas *( siswa dengan kemampuan yang hampir sama, = orang diambil se'ara a'ak dan diberi pelajaran tambahan oleh guru! asil ujian akhir mereka adalah sebagai berikut Nilai Dengan pelajaran tambahan

2@ @=

?> 22

@2 ?9

>* 2(

2) >/

2= @>

@2 ?@

%anpa pelajaran tambahan unakan uji jumlah peringkat Wil'oEon dengan ] T )!)= untuk menetukan apakah pelajaran tambahan mempengaruhi nilai! *9! Data berikut menyatakan berapa lama, dalam jam, / jenis kalkulator ilmiah dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali -

alkulator A 9! > ?! * 9! / 9! ? =! /

B =! = =! 9 ?! ( =! 2 =! = =! ( 9! 2

; ?! 9 ?! 2 =! ? ?! = ?! / ?! ?

unakan uji ruskalWallis, pada tara3 nyata )!)*, untuk menguji hipotesis bahwa lamanya ketiga kalkulator itu dapat digunakan sebelum harus diisi listrik kembali adalah sama! *=! "mpat rokok 'ap A, B, ;, dan D hendak dibandingkan kadar tarnya! Data berikut menunjukkan berapa miligram tar itu ditemukan dalam *? batang rokok yang di'oba;ap A

;ap B

;ap ;

;ap D

*9 *? *? *@ *) *2 *= () ** *9 *9 *> */ *= *( (* unakan uji ruskalWallis, pada tara3 nyata )!)=, untuk menguji apakah ada beda nilaitengah kadar tar yang nyata antar 9 rokok tersebut! *?! Dalam soal 9 halaman />=?, gunakan uji ruskalWallis, pada tara3 nyata )!)=, untuk menetukan apakah sebaran nilai yang diberikan oleh ketiga dosen itu berbeda nyata! *@! Dalam latihan @ halaman />?@, gunakan uji ruskalWallis, pada tara3 nyata )!)=, untuk menetukan apakah analisis kimia yang dilakukan oleh keempat labolatorium itu se'ara ratarata memberikan hasil yang sama! *2! Suatu 'ontoh a'ak *= orang dewasa disuatu kota ke'il diambil untuk menduga proporsi mereka yang mendukung 'alon walikota yang baru! Selain itu dinyatakan pula apakah ia sarjana atau bukan! Dengan melambangkan Y bila responden itu sarjana dan % bila bukan sarjan, diperoleh barisan seperti berikut ini %%%%YY%YY%Y%%%% unakan uji runtunan pada tara3 nyata )!* untuk menetukan apakah barisan itu menunjang pendapat bahwa 'ontohnya bersi3at a'ak atau tidak! *>! Suatu proses pelapisanperak digunakan untuk melapisi nampan atau baki! Bila prosesnya terkendali dengan baik, tebal lapisan peraknya ber:ariasi se'ara a'ak mengikuti sebaran normal dengan nilaitengah )!)( milimiter dan simpangan baku )!))= milimiter! .isalkan bahwa dari *( baki yang diperiksa berikutnya tebal lapisan peraknya adalah- )!)*>, )!)(*, )!)(), )!)*>, )!)(), )!)*2, )!)(/, )!)(*, )!)(9, )!)((, )!)(/, )!)((! gunakan uji runtunan untuk menetukan apakah 3luktuasi ketebalan itu masih bersi3at a'ak! unakan ] T )!)= ()! unakan uji runtun pada soal / pada halaman 99=! (*! Dalam suatu proses produksi, diadakan pemeriksaan se'ara berkala untuk mengetahui 'a'at tidaknya barang yang dihasilkan! Berikut ini adalah barisan barang yang 'a'at ;, dan yang yidak 'a'at % yang dihasilkan oleh proses tersebut;;%%%;%%;;%%%%

%;;;%%;%%%%;%; Dengan menggunakan hampiran berdasarkan 'ontoh berukuran besar, lakukan uji runtunan dengan tara3 nyata )!)=, untuk menetukan apakah barang yang 'a'at terjdi se'ara a'ak atai tidak ((! Bila data dalam atihan ? pada halaman ?= di'atat dari kiri ke kanan sesuai dengan urutan asalnya, gunakan uji runtun dengan ] T )!)= untuk menguji hipotesis bahwa data itu merupakan suatu barisan yang a'ak!

(/! Data berikut adalah nilai kalkulus pada ujian tengah semester dan ujian akhir bagi *) mahasiswa .ahasiswa

4%S

4AS

!S!A W!&!B $!W! 0!$! 0!! D!!& B!!& D!W!. .!N!. $!!S

29 >2 >* @( 2? >/ 2) ) >( 2@

@/ ?/ 2@ ?? @2 @2 >* ) 22 @@

a! itunglah koe3isiensi korelasi peringkatnya b! 4jilah hipotesis bahwa koe3isien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan alternati3nya bahwa koe3isien itu lebih besar dari nol! unakan ] T )!)(=! (9! 4ntuk bobot badan dan ukuran dada bayi dalam saol ? pada halaman /@2 a! itunglah koe3isien korelasi peringkatnya b! 4jilah hipotesis pada tara3 nyata )!)(= bahwa koe3isien korelasi peringkatnya sama dengan nol lawan alternati3nya bahwa koe3isien itu lebih besar dari nol! (=! itunglah koe3isien korelasi peringkat bagi 'urah hujan harian dan banyaknya debu yang terbawa dalam atihan 2 pada halaman /9?! Suatu lembaga konsumen memeriksa sembilan o:engelombangmikro untuk menentukan kualitasnya! asil peringkat berikut harga e'erannya ter'antum dibawah ini&abrik A B ; D

&eringka t ? > ( 2

arga +dlm q 92) />= =@= ==)

" #   I

= * @ 9 /

=*) =9= 9)) 9?= 9()

Apakah ada hubungan yang nyata antara kualitas dan harga o:engelombangmikro (?! Dua juri dalam suatu pawai memberi peringkat pada 2 mobil berhias sebagai berikut-

* = @

0uri A 0uri B

.obil Berhias ( / 9 = ? 2 9 / ? ( = 9 ( 2 *

@ @ ?

2 * /

a! itunglah koe3isien korelasi peringkatnya! b! 4jilah hipotesis bahwa koe3isien korelasi peringkat populasinya sama dengan nol lawan hipotesis alternati3nya bahwa koe3isien itu lebih besar dari nol! unakan ] T )!)= '! 4jilah hipotesis bahwa Q dan Y bebas lawan aktewrnati3nya bahwa kedua peubah itu tidak bebas, bila dari suatu 'ontoh n T =) pasangan pengamatan diperoleh rs T )!(>! gunakan ] T )!)=! (@! Dua ma'am makanan A dan B diberikan kepada ayam se'ara terpisah untuk jangka waktu tertentu! Ingin diketahui apakah ada perbedaan yang berarti mengenai pertambahan berat daging ayam yang dikarenakan kedua ma'am makanan itu ataukah tidak! &ertambahan berat badan ayam +dalam onspada akhir per'obaan adalah sebagai berikut .akanan A /,*

/,)

/,/

(,>

(,?

/,)

/,?

(,@

/,2

9,)

/,9

.akanan B (,@

(,>

/,9

/,(

/,/

(,>

/,)

/,)

/,?

/,@

/,=

Selidikilah hal tersebut dengan menggunakan uji tanda! (2! Sepuluh pasang suami istri telah menilai perlombaan memasak! Dalam bentuk peringkat, hasilnya diberikan dibawah ini! Suam i

=

2

*)

?

>

/

9

@

(

*

Istri

2

=

*)

*

@

9

?

>

(

/

Apakah nampak si3at 6independen7 penilaian yang dilakukan oleh suami istri

Buku Ajar Statistika Industri (1)

Recommend Documents