Bruno Villar - Matemática e Raciocínio Lógico Quantitativo - Ano 2010

Concursos PúbSicos

,

Bruno Viliar

MATEMÁTICA E R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O QUANTITATIVO Teoria e treinamento prático

e d ;ito ra

Gjupa

Editoról

MÉTODO

SAO PAULO

© ED ITO R A M É TO D O Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Rua Dona Brigida, 701, Vila Mariana - 04111-081 - São Paulo - SP Tel.: (11) 5CÍ80-0770 / (21) 3543-0770 - Fax: (11) 5080-0714 Visite nosso site: vwww.ediiorametodo.coin.br metodo@grupogen. com.br

Capa: Marcelo S. Brandão Foto de Capa: Rodolfo Clíx (íotosclixé terra.com.br)

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

Vi!lar, Bruno Matemática e raciocinio lógico quantitativo: teoria e treinamento prático / Bruno Villar. - Rio de Janeiro: Forense; São Paulo: M ÉTO D O , 2009. Bibliografia 1. Matemática - Problemas, questões, exercicios. 2. Lógica simbólica e matemática Problemas, questões, exercícios. 3. Serviço público - Brasi! - Concursos. II. Título, lil. Série. 09*5251.

CDD: 510 CDU: 51

ISBN 978-85-309-3053-0

A Editora Método se responsabiliza pelos vicias; do produto no que concerne à sua edição (impressão e apresentação a fim ide possibilitar ao consumidor bem manuseá-lo e lê-lo). Os vícios relacionados à atualização da obra, aos conceitos doutrinários, às concepções ideológicas e referências indevidas são de responsabilidade do autor e/ou atuaüzador. Todos os direitos reservados. Nos termos da Lei que resguarda os direitos autorais, é proibida a reprodução total ou parcial de qualquer forma ou por qualquer meio, eletrônico ou mecânico, inclusive através de processos xerográficos, fotocópia e gravação, sem permissão por escrito do autor e do editor.

Impresso no Brasil Prínted in Brazil 2010

Agradeço a Deus e aos mesfres pela iluminação m s momentos de escrita dessa humilde obrai Dedico à minha família e aos meus amigos: João Neto, Ranilson Menezes, Falcão e Juliana Pinho, por todo o apoio fornecido e as palavras de carinho. Agradeço também a Rafael Barreto, Pedro Barreto\ Cesar Tavolieri, Renato Saraiva, Isaías do Canno Filho e Vauledir Ribeiro Santos. Gostaria de dedicar esse frabalho especialmente aos meus queridos ahmos e à Editora Método^ por transformar esse projeto em realidade,

APRESENTAÇÃO

“Leva tempo para alguém ser bem-sucedido porque o êxito não é mais do que a recompensa natural pelo tempo gasto em fazer algo direito. ” - Joseph Ross

Esta obra íem como objetivo eliminar os medos e dificuldades em relação à matemática e ao raciocínio lógico quantitativo. O raciocínio lógico quantitativo é a matemática cobrada por situações problemas; a matemática, por sua vez, poderá ser vista, a partir da leitura desta obra, como uma matéria de aplicação de fórmulas. Tivemos a preocupação de apontar todas as dicas e truques usados e explicados em sala de aula, expondo as matérias de maneira clara e objetiva, trazendo as questões mais cobradas em concursos públicos, voltadas para o que pedem o CESGRANRIO, CESPE, FCC, NCE, ESAF, entre outros. Fique atento a essas dicas, pois elas têm a finalidade de ajudar a ganhar tempo na resolução das questões das provas e de entender como cada assunto é cobrado pelas bancas de concursos. Leia cada questão comentada com calma, questionando-se, e depois faça o treinamento do concursando. Se ;errar, relaxe a mente e tente de novo, pois “Matemática é uma questão de prática” (Bruno Villar). Para qualquer dúvida ou sugestão: [email protected]. Blog: www.brunovillar.blogspot.com

B runo V

il l a r

SUMÁRIC

-

-

in trod u ção ... ...................................................................... ........................

1

-

Representação de um conjunto........ j..............................................

1

-

Relação de pertinência ....................... i..............................................

2

-

Reíação de inclusão..............................;..............................................

2

-

Subconjunto ................................. ........................................................

3

Operações de c o n ju n to s ........................i...............................................

3

-

União .......................................................i..............................................

3

-

Jntersecção ............................................. í..............................................

4

-

Diferença ..... .......................................... 1..............................................

4

-

Reunião de elementos ...................... i .............................................. - Treinamento comentado................ ..................................................

5 5

-

Treinamento do concursando.......... i...............................................

9

-

Critérios de dtvisibiüdade...................... l...............................................

11

-

Números p rim o s ..................................... .................................................

14

-

Reconhecimento de número primo J.................................................

14

Conjuntos numéricos ............................ ............ ....................................

15

-

Conjunto dos números naturais (N) .L............................................ - Treinamento comentado.................. ;...............................................

15 15

-

18

~

Treinamento do concursando.......... i...............................................

~ Conjunto dos números inteiros (Z)

...............................................

22

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Villar

X

-

-

Conjunto

dos

números racionais( Q ) ................................

23

-

Conjunto

dos

números irracionais(l ou Q') ...................

25

-

Conjunto dos números reais (R)......................................... - Treinamenio finai do capítulo ..........................................................

25 26

Mínimo Múltiplo Comum {M.M.C) ......................................................

31

-

Cálculo do M.M.C. - Método simplificado ....................................

31

-

-

-

-

-

Problemas envolvendo o M.M.C. .............. ...... ................ ...............

33

-

Treinamento comentado................ ........................................

33

-

Treinamento do concursando ....... ........... .....................................

39

Máximo Divisor Comum (M .D .C ).........................................................

41

-

Cálculo do M.D.C....................................................................................

41

-

Problemas..............................................................................................

43

-

Treinamento comentado .................... ...................................

44

-

Treinamento do concursando.......................................... ..............

46

Fração ..........................................................................................................

48

-

Noção de fração ...................................................... ............................

48

-

Operações de frações......................................................................... Treinamento comentado .................................................. .

49 51

-

55 58

Treinamento do concursando........................................................ Treinamento final do capítulo .... ....................................................

Equação do 1

g r a u ......................... ................................. .....................

63

-

Cálculo de uma equação do 1.° grau .............................................

63

-

Problemas envolvendo equação do 1.° grau ................................ Treinamento comentado ........................................................

66

-

Treinamento do concursando.........................................................

77

Sistema de equações do 1 ,° g r a u ........................................................

80

- Cálculo de um sistema de equação com duas variáveis................ Treinamento comentado .........................................................

80 82

-


65

87

XI

SUMÁRIO

1 -

Equação do 2 ° g r a u .......................................

90

-

Resolução de uma equação do 2 ° grau ..

91

-

Equações incompletas................................

91

-

Equação completa ......................................

92

-

Treinamento comentado.......................... Treinamento do concursando ..................

99 103

-

Treinamento finai do capítulo .................

106

• Ir

| g B T i £ m f f M Í M N ^ E I R A - BÁSICA-';:;-.::

R azão .............................................. .............................................................. -

113

Razões especiais .................................................................................

113

-

114

Treinamento comentado..................................................................

-

Proporção..............................................................................................

114

-

Propriedade fundamental da proporção.......................................

115

-

Treinamento comentado ................................................................. Treinamento do concursando.........................................................

115 121

Números proporcionais..........................................................................

124

-

Números diretamente proporcionais..............................................

124

-

Números inversamente proporcionais ...........................................

124

-

Divisão em partes proporcionais.....................................................

124

-

Divisão em partes diretamente proporcionais .............................

124

-

125

-


Divisão em partes inversamente proporcionais............................

126

-

Treinamento comentado...... ......... .................................................

126

~

Treinamento do concursando..........................................................

128

Divisão composta ....................................................................................

131

-


131

-


133

Grandezas...................................................................................................

134

-

Grandezas diretamente proporcionais ............................................

134

-

Grandezas inversamente proporcionais..........................................

135

-

Regra de três sim ples.........................................................................

135

-

Passos utilizados na resolução de uma regra de três simples ....

136

-


136

-


139

xn

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

-

Regra de três co m p o sta.......................... ...............................................

141

-

Treinamento comentado.................................................................

142

-

Treinamento do concursando

............. :..r............................

145

P orcentagem ............................... .............. ...............................................

147

i -

-


-

Treinamento do concursando.......... ...............................................

154

-

Transformação de fração em porcentagem ...................................

157

Treinamento comentado................. i..............................................

158

-

Operações comerciais.........................................................................

159

-

Treinamento comentado.............. .................................................. .

160

-

Treinamento do concursando......... ,..............................................

162

Desafios de porcentagem................... i.............................................

163

-

~

Juros S im p les............................................ ...............................................

167

-

Noções iniciais (Nomenclatura atual) i....................... ......................

167

-

Capitalização Simples {juros simples) i.............................................

167

-

Treinamento básico comentado.....;......... .....................................

168

-

Treinamento comentado................. i.............................................

169

-

Treinamento do concursando..........i...................................... .......

174

Juros Compostos .................................. ;.............................................

176

-

Treinamento comentado................. ;....... ................... ..................

177

-

Exercício do concursando................ ...............................................

179

-

Treinamento finai do capítulo ......... ...............................................

181

Função polinomial do 1.° grau ................ ;...........................................

189

-

-

Definição ................................................... .... :.....................................

189

-

Treinamento comentado....... ...........................................................

189

Construção do Gráfico ......................................................................

191

-

Treinamento comentado ................... ...............................................

192

-


197

Função poiinomíaí do 2 ° grau ou quadrática .................................

198

-

Definição ............................................... ...............................................

198

-

Gráfico ................................................... ...............................................

198

-

Zero e Equação do 2 ° G ra u ............. ...............................................

199

-

Coordenadas do vértice da parábola .............................................

200

-

-

150

XIII

SUMÁRIO

-

Treinamento com entado...................;...................... ...................... Treinamento do concursando...........;............................................ Treinamento final do capítulo ..........i.............................................

201 204 205

Seqüências numéricas ........................„..á...............................................

211

-

Treinamento comentado ............... ..... .............................................

212

-

Treinamento do concursando....... .....i..,.,.........................................

215

Progressões A ritm éticas.............. ............i..............................................

216

-

Cálculo da razão .................................................................................

216

-

Fórmula do termo geral de uma P.A. i............................................. - Treinamento comentado............... ..................... ..............................

217 217

Soma dos "n" primeiros termos de uma P.A...................................

-

-

Treinamento comentado.......

219 219

-


222

Progressões G eom étricas................................ .......................................

224

Cálculo da constante da RG............. ....L...........................................

224

~ Fórmüia do termo geral ...................... ;............................................. - Treinamento comentado.............. ;.............................................

225 225

-

Soma dos "n" primeiros termos deuma RG.....................................

226

-

Soma idos infinitos termos de uma RG........................................

226

-

comentado.............. i..........................................

227

-

Treinamentodo concursando............ i..........................................

228

-

Treinamento final do capítulo ..... „ .J ..............................................

229

-

Treinamento

mm Princípio'Fundamentai de Contagem (PFC) ................................... -

Treinamento comentado ................... i..............................................

-

Treinamento do concursando..... .......................... ..........................

Fatorial ......................................... .....i.......................................... - Treinamento básico ........................ .....1............................................ -

Treinamento comentado.............. ............................ .......................

C om binação..........................................................................................

-

Treinamento comentado..............................................................

233 234 245 247 248 249 252 253

XIV

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar

-

Treinamento do concursando...........................................................

259

-

Permutação ............................................................................................

261

~

Permutação sem repetição de elem entos..................................... - Treinamento comentado..................................................................

261 262

Permutação com elementos repetidos..........................................

262

-

Treinamento comentado....... ...........................................................

263

Permutação circular.......................................... .................................

263

-

Treinamento comentado................................................................... Treinamento do concursando....... .............. .....................................

263 264

-

Probabilidade .......................................................................................

267

-

Conceitos iniciais ................................................................................

267

-

Probabilidade de ocorrer um evento P(A) ....................................

268

-

268

-

-

Treinamento comentado ..................................................................

Probabilidade da união de dois eventos: regra da adição ou regra do "ou".................................................................................................... - Treinamento comentado...........i.......................................................

269 270

-

A probabilidade de dois eventos P (A O B): regra da multipli cação ou regra do "e " .................................................... .....................

271

-

A probabilidade de dois eventos............... ....................................

271

-

Probabilidade condicional ................................................................. Treinamento comentado........................... ...................................... Treinamento do concursando.........................................................

275 27S 278

-

Distribuição binomial das probabilidades.....................................

279

-

Treinamento comentado.......................... .......................................

279

-

Treinamento do concursando ......................................................... Treinamento do concursando.........................................................

280 281

-

Sistema métrico

decimal ............................................................

287

-

M e t r o ....................................................................................................

287

-

Múltiplos e submúltiplos do m e t r o .......................................................

287

-

Medidas de te m p o ..................................................................................

288

-

289

-

Múltiplos e submúltiplosdosegundo................................................

Medidas de m assa.................................................. ............................ .

289

Quilograma .....................................................................................

289

-

SUMÁRIO

-

Múltiplos e submúltipios do g ra m a .................................................

290

Superfície e área .......................................................................................

290

Metro quadrado ................................................................... ................

290

Medidas de v o lu m e .................................................................................

290

-

Metro cúbico .........................................................................................

291

-

Múltiplos e submúitlplosdo metro cúbico .....................................

291

-

Treinamento comentado...................................................................

291

-


292

Figuras planas ............................. .............................................................

294

-

Triângulo ................................................................................................

294

-

Q uadrado...............................................................................................

295

-

Retângulo ..............................................................................................

295

-

Trapézio ..................................................................................................

296

-

Circunferência ....... ...............................................................................

296

-

Área do círculo .....................................................................................

297

Figuras espaciais ......................................................................................

297

~ Prisma ......... .................................................................... .......................

297

-

Áreas .......................................................................................................

297

-

Paralelepípedo ......................................................................................

298

-

Cubo .......................................................................................................

299

-

Cilindro...................................................................................................

299

-

C o n e ........................................................................................................

300

~ Pirâmides................................................................................................

302

-

-

-

-

-

XV

Esfera ......................................................................................................

303

-

Treinamento comentado ..................................................................

303

-

Treinamento finaldo capítulo ................ ..........................................

305

M a t r iz ........ ..................................................................................................

311

-

Introdução............................................................................................

311

-

Notação g e ra l.......................................................................................

312

-

Forma genérica de uma m atriz........................................................

313

-

Construção de uma matriz apartir de uma lei de form ação......

315

-

315

Treinamento Comentado

................................................................

XVI

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W/ar

Classificação das m a triz e s ........................ .............................................

316

-

Operações envolvendo matrizes.......... ;....................................'........

316

-

Igualdade de matrizes..................... ...................................................

319

Operações de m atrizes...........................................................................

319

r

Adição ............................ ........................ ..............................................

319

-

Multiplicação de um número real por uma m a triz .....................

320

Multiplicação ......................................... i..............................................

320

-

-

Treinamento comentado.................... i................. ...........................

322

-


326

D eterm inantes................................................... ........................................

328

-

Determinante de 1.3 o rd e m .................. .............................................

328

-

Determinante de 2.a o rd e m ................i.............................................

328

-

329

-

Treinamento comentado..................... ......................................... .

Determinante de matriz de 3.a ordem ...........................................

330

-

Treinamento comentado..................... ........................................... .

331

Propriedades dos d eterm in an tes........... .............................................

332

-

1. Matriz Transposta ...........................................................................

332

-

2. Fila Nula ............................................. ............................................

332

-

3. Multiplicação de uma fila poruma constante ..........................

332

-

4. Multiplicação de uma Matriz por umaconstante......................

333

-

5. Filas paralelas iguais ........................ .............................................

334

-

6 . Filas paralelas proporcionais .......... .......... ............ ......................

334

-

7. Troca de filas paralelas.. ............................. ..................................

334

-

8 . Produto de Matrizes.......................................................................

334

-

9. Matriz trian gu lar............................... ..............................................

335

-

Treinamento comentado.................... .............................................

335

-

Treinamentodo concursando ............................................................

342

Matriz inversa {A'1) ............................... ...... .............................................

344

Método do concursando..................... 4 ...........................................

344

-

Treinamento do concursando..............J............................................

345

Noções de geometria p la n a ......................:............................................

346

-

-

Ângulos....................... ...........................................................................

346

-

Triângulos ................... ..........................................................................

348

-

Semelhança de Triângulos .................................................................

349

-

Relações Métricas no Triângulo Retângulo ....................................

350

SUMÁRIO

XVII

-

Teorema de Pítágoras: a2= b2 + c2 ...................................................

350

-

Quadriláteros ............... ............................~.........................................

351

-

Paraieiogramo ......................................... ............................................

351

-

Paraieiogramos Notáveis............ ................ .....................................

351

-

Polígonos reguiares............................ .....1.........................................

352

-

Principais polígonos reguiares.........................................................

352

Treinamento comentado ..... ...................i..........................................

356

-

Estiío FCC - Raciocínio lógico q u a n tita tiv o ......................................

361

-

Estilo ESAE - Raciocínio quantitativo

373

-

C O N JU N T O S

INTRODUÇÃO Não existe uma definição de conjunto, pois se trata de um conceito primitivo. Mas podemos dizer que conjunto é uma reunião de elementos que possuem uma propriedade comum. Representação de um conjunto 1. Enumeração dos elementos Exemplo: A = (0, 1, 2, 3, 4} 2. Diagrama de Venn Exemplo:

3. Uso de uma propriedade Exemplo: o conjunto Á = (janeiro, junho, julho} pode ser represen tado da seguinte forma: A = (x/x é mês do ano cujo nome começa pela letra j }

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brnno Vtilar

Essa propriedade usada deve ser uma propriedade comum e que permita a outra pessoa descobrir os elementos. Conjunto vazioi é um conjunto que não possui elementos. E repre sentado por { } ou 0 . Cuidado: {0 } essa forma representa um conjunto unitário. Conjunto unitário: é um conjunto que ipossui apenas um elemento. Relação de pertinência Essa relação é utilizada para sabermos se um elemento pertence ou não a um conjunto qualquer. Símbolos: e pertence e não pertence. Esses símbolos só podem ser usados na relação de elementos. Exemplo: Dado o conjunto A = {.0, 1, 2, 3, 4,j 5}, temos as seguintes rela ções: 1 e Ae 7 í A A ordem é elemento - símbolo - conjunto (1 e A) Relação de inclusão Essa relação é usada para saber se um conjunto está contido no outro. Símbolos: cr está contido e
Dica: A "boca" é voitada para o conjunto maior.

Cap. 1 - CONJUNTOS

3

Essa relação é usada somente entre conjuntos, por isso: 1
OPERAÇÕES DE CONJUNTOS União Dados os conjuntos A e B, define-se como união deles o conjunto representado por A u B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B, ou seja: A u B = {x/x e A ou x e B}.

4

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

A U

8

Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e o conjunto B - {3, 4, 5}. Determine o conjunto A U B. Resposta: A U B — {I, 2, 3, 4, 5} Intersecção Dados os conjuntos A e B , define-se como intersecção deles o conjunto representado por A n B, formado por todos os elementos pertencentes a A e B , simultaneamente, ou seja: A n B = {x/x e A e x e B}.

a r\ B

Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e o conjunto B = {3, 4, 5}. Determine o conjunto A n B. Resposta: A n

B = {3}

Diferença Dados os conjuntos A e B , define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja, A - B = (x/x e A e x B}.

Cap. 1 - CONJUNTOS

5

A-B

Considere o conjunto A = (1, 2, 3} e o conjunto B - (3, 4, 5}. Determine o conjunto A - B . Resposta: A - B = {1,2} Reunião de elementos n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B) Esse tipo de questão pode ser respondido pelo diagrama lógico. Treinamento comentado 1. Uma empresa divide-se unicamente em dois departamentos A e B. Sabe-se que 19 funcionários trabalham em A, 13 funcionários trabalham em B e existem 4 funcionários que trabalham em ambos os departamentos. O total de funcionários dessa empresa é: (A) (B) (C) (D) (E)

24 28 30 34 38

RESOLUÇÃO: í.° degrau: resumo do enunciado. A = 19, B = 1 3 e A e B = 4 2 ° degrau: montagem do diagrama.

Dica: sempre começar pela intersecção.

6


A B

Conclusão: Somente A = 15

*

Somente B = 9 A e B ao mesmo tempo = 4 Total: 15 + 9 + 4 = 28. Resposta: ietra B.

2. (FCC) Uma pesquisa com os funcionários de uma empresa sobre a disponibilidade de horário para um dia de jornada extra (sábado e/ou domingo) é mostrada na tabela abaixo: Disponibilidade Apenas sábado No sábado No domingo

quantidade de funcionários 25 32 37

Dentre os funcionários pesquisados, o totaí dos que manifestaram jornada extra “apenas” no domingo é igual a: (A) 7 (B) (C) (D) (E)

14 27 30 37

RESOLUÇÃO: 1° degrau: resumo do enunciado.

Apenas no sábado 25, no sábado 32 e no domingo 37. Como no sábado são 32 e apenas no sábado 25, logo 7 trabalham sábado e do mingo. ■ ■D

Sendo assim, somente no domingo 30. Resposta: letra D.

C a p .1 -C O N J U N T O S

7

3. (CESPE) Considere que os livros L, IVl e N foram indicados como referência biblio gráfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso usando esses livros revelou que: 10 candidatos utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N; 90 utilizaram o livro L; 20 utilizaram os íivros L e M; 25 utilizaram os livros M e N ; 15 utilizaram os três iivros. Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes. 1) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 2) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. 3) Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros. 4) O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.

RESOLUÇÃO: J°degrau: resumo do enunciado.

10 candidatas utilizaram somente o livro L; 20 utilizaram somente o livro N; 90 utilizaram o livro L; 20 utilizaram os livros L e M; 25 utilizaram os livros M e N ;, 15 utilizaram os três livros. 2.° degrau: construção do diagrama.

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTiTATIVO - Bruno Villar

8

Vamos agora encontrar a intersecção dos conjuntos.

Podemos observar que o espaço L e N não foi fornecido, mas pode ser cal-

Falta encontrar o espaço somente M. Agora, iremos subtrair o total de elementos pelos elementos utilizados. 200 escolheram pelo menos um livro. M = 200 - 15 - 60 - 10 - 5 - 10 - 20 = 80 Conclusão: Somente L - 10. Somente M = 80. Somente N ■== 20. Somente L e M = 5. Somente L e N = 60. Somente M e N = 10. Os três livros = 15.

Cap. 1 - CONJUNTOS

9

1) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M.

Item errado, foram 5. 2) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros.

Nesse caso, devemos somar todos que usaram somente L ou somente M ou so mente N. Resultado: 10 + 80 + 20 =110, item certo.

3) Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros.

Nesse caso, pelo menos 2, podem ser 2 ou 3 livros. Resultado: 5 + 60 + 10 + 15 = 90. Item certo. 4) O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.

Nesse caso, todos que usaram o livro M. Se fosse somente M a resposta seria 80. Resultado: 8 0 + 5 + 10 + 15 = 110. Item errado.

Treinamento do concursando 1. (CESPE) Suponha que, dos usuários da Internet no Brasil, 10 milhões naveguem por meio do Internet Explorer, 8 milhões, por meio do IVJoziila e 3 milhões, por ambos, Mozilla e Internet Explorer. Nessa situação, o número de usuários que navegam pelo Internet Explorer ou pelo R/Jozilia é igual a 15 milhões. 2. Em uma cidade há apenas três jornais: X, Y e Z, Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de leitura da população da cidade revelou que: 150 leem o jornal X; 170 leem o jornal Y; 210 leem o jornal Z; 90 não leem jornal algum; 10 leem os três jornais; 40 leem os jornais X e Y; 30 leem os jornais X e Z; 50 leem os jornais Y e Z . O total de pessoas entrevistadas foi 510. y . 3. Considere que um conjunto de empregados de uma empresa tenha respondido integralmente ao teste apresentado e tenha sido verificado que 15 deles fizeram uso da opção “às vezes", 9 da opção “raramente” e 13 da opção “sempre”. Além disso, 4 desses empregados usaram as opções “às vezes" e "raramente”, 8 usaram as opções “às vezes” e "sempre”, 4 usaram as opções “raramente” e “sempre”, e 3 usaram “às vezes”, "sempre” e “raramente". Nessa situação, é correto afirmar que menos de 30 empregados dessa empresa responderam ao teste.

10


4. Denota-se respectivamente por A e B o conjunto de todos os atletas da delegação olímpica argentina e brasileira em Atenas, e por M o conjunto de todos os atletas que irão ganhar medalhas nessas Olimpíadas. O diagrama mais adequado para representar possibilidades de intersecção entre os três conjuntos é:

< 0 2 3

O

o > M

01 - c

02 - C

03 - C

0 -A 1 m

GABARITO

Cap. 1 - CONJUNTOS

11

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE É possíve! esíabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural qualquer é divisível por outro, Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando o algarismo da unidade for 0, 2, 4, 6 ou 8. Os números divisíveis por 2 são denominados números pares. Exemplo: 22, 1.540, 1.908.764... * Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6, que é divisível por 3. • Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois algarismos'da direita for divisível por 4 ou terminar em 00. Exemplo: 124 termina em 24, que é divisível por 4. * Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando o último algarismo da unidade for 0 ou 5. Exemplo: 15,.125, 1:050... • Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. Exemplo: 180 é divisível por 2 e por 3, logo também é divisível por 6.

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÚGICO QUANTITATIVO - Bruno Vrilar

12

8 Dívisibilidade por 7 Para descobrir se um número é divisível por 7, devemos realizar o seguinte processo: ( Retirar o algarismo da direita e subtrair o dobro do algarismo da direita pelo número restante; se o resultado obtido for divisível por 7, então o número é divisível por 7. Exemplo: 245 O último algarismo da direita é o cinco. 24 - 2.5 = 24 - 10 = 14, que é divisível por 7. Não esqueça: dobrar é multiplicar por 2. ° Dívisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 135 é divisível por 9, pois 1 + 3 + 5 = 9, que é divisível por 3. • Dívisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando o último algarismo da unidade for 0. Exemplo: 120, 1.450. Esses critérios servem de auxílio na parte de simplicação de fração. Simplificar é dividir os termos de uma fração por um mesmo nú mero. Exemplo:

8

= -y ‘

4

Somente é permitido simplificar em dupla, ou seja, dividir o número de cima e o de baixo por um mesmo número. Exemplo:

6

- l£ fl- = ^ 6 3

Cap. 1 - CONJUNTOS

13

Como escolhemos os números 14 e 6 para simplificar, o número 10 deve ser mantido, pois não há outro número para simplificar em dupla. * Divisibilidade por 11 Para descobrir se um número é divisível por 11, devemos realizar o seguinte processo: Retirar o algarismo da direita e subtraí-lo do número restante; se o resultado obtido for divisível por 11, então o número é divisível por 11. Exemplos: a) 121 12

—

1

=

11

b) 1331 133 — 1 = 132 Se, ainda assim, você não tiver certeza de que o número é divisível por 11, poderá repetir o processo com o resultado obtido: 132 13 - 2 = 11 ° Divisibilidade por 13 Um número é divisível por 13 quando o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar em um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for gran de, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, com a diferença de que, nesse caso, utilizamos a soma em vez da subtração. Exemplo: 117 11 + 4.7 = 11 + 28 - 39 39 é divisível por 13, logo 117 é divisível por 13.

14


° Divisibilidade por 15 Um número é divisível por 15 quando for divisível por 3 e 5 ao mesmo tempo. j Exemplo: 180 é divisível por 3 e por 5, logo também é por 15. NÚMEROS PRIMOS São números que possuem apenas dois divisores: o 1 e o próprio número. Exemplos de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37...

SE LIGUE! O número 2 é o único número primo par. O número 1 não é primo.

Reconhecimento de número primo Esse método garante se o número é primo ou não. Exemplo: O número 103 é primo? Vamos aprender o processo de reconhecer- se um número é primo. 1.° Passo: calcular a raiz quadrada do número. VÍÕ3 = 10 O número 103 não possui raiz quadrada exata, logo, passou pela primeira etapa. 2.° Passo: dividir o número 103 pelos números primos menores que 10 (resultado da raiz), os quais são: 2, 3, 5 e 7.

Cap. 1 - CONJUNTOS

15

103 : 2 = Não. O número 103 termina em 3, logo não é divisível por 2. 103 : 3 = Não. A soma dos algarismos de 103 é 1 + 0 + 3 = 4 e 4 não é divisível por 3. 103 : 5 = Não. O número 103 termina em 3, logo não e divisível por 5. 103 : 7 = Não. 10 - 2.3 1 0 - 6 = 4 ç 4 não é divisível por 7. Como o número 103 não é divisível por nenhum dos números, então podemos garantir que ele é um número primo. CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números naturais (N) Os números naturais são usados para quantificar e ordenar os elemen tos de uma coleção e também como código para identificar pessoas, bem como números de telefones, RG etc. O conjunto dos números naturais pode ser representado da seguinte maneira: N = (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}

SE LIGUE!

N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

|

O conjunto dos números naturais é cobrado em questões que envolvem contagem de números de páginas ou dias da semana. ;

Treinamento comentado 1. (CEF-2004) Um livro tem 300 páginas, numeradas de 1 a 300. A quantidade de vezes que o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro é: (A)160

16

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno W /ar

(B)154 (C)150 (D)142 {E)140

RESOLUÇÃO: De 1 a 99, o algarismo 2 aparece 20 vezes. Obs.: 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25/26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. Vamos dividir o intervalo de 1 a 300 em centenas. 1 a 99 = 20 100 a 199 = 20 200 3 299 = 100 + 20 = 120 Cuidado: no intervalo de 200 a 299, temos 100 números eo algarismo 2 vem sempre na primeira posição, por isso aparece 100 vezes. Não podemos esquecer de que o algarismo 2 também vai aparecer na segunda e terceira posições {200 a 299), logo mais 20 vezes. Resposta: 20 + 20 + 120 = 160.

2. (TRF/FCC) Um técnico, responsável pela montagem de um livro, observou que, na numeração de suas páginas, haviam sido usados 321 algarismos. O número de páginas desse livro era: (A) 137 (B)139 (C)141 (D)143 (E)146

RESOLUÇÃO: Números í a 9 (9 números de um algarismo) 10 a 99 {90 números de dois algarismos)

Quantidade de algarismos 1 .9 = 9 2 . 90 = 180

Podemos concluir que utilizamos 180 algarismos para escrever 99 números (1 a 99). Se escrevermos até o número. 99, então o próximo número será 100; passaremos, assim, a usar 3 algarismos em cada número.

17

Cap. 1 - CONJUNTOS

r

Tínhamos 321 e gastamos 189, logo: 321 - 189 = 132. Não

esqueça

de

que

(100,101,102 ...)

agora

,

iremos

escrever

números

de

3

algarismos

;

x é número de 3 algarismos. 3.x = 132 '

x= 132 = 4 4 ■ ■ ■■ ■■ 3 44 números de 3 algarismos. Resposta: 99 + 44 = 143.

SELiGUE! ■A fórmuia é: o número de algarismos do número vezes a quantidade de números, sendo o resultado o total de algarismos. Exemplo: De 10 a 99 temos 90 números de 2 algarismos cada. 2 . 90 = 180 (total de algarismos utilizados).

3. (FCC) Se o dia 08 de março de um certo ano foi uma terça-feira, então o dia 30 de juiho desse mesmo ano foi {A} (8) (C) (D) {£)

uma quarta-íeira. uma quinta-feira. uma sexta-feira. um sábado. um domingo.

RESOLUÇÃO: Terça

Quarta

Quinta

Sexta

1

; 2

3

4

Março: 24 (contando dia 8) Abrii: 30 Maio: 31 Junho: 30 Julho: 30 Total de dias = 145

Sábado j Domingo Segunda ■5. 1

6

7

18

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

Vamos dividir 145 por 7, pois a semana tem 7 dias. 145 1.7 05 20 5

•

v

! .

Nesse caso temos 20 semanas e 5 dias. O dia 5 representa o sábado pela tabela iniciai. Resposta: letra D.

Treinamento do concursando 1. (TRT 6.a região - 06) Se X é o menor número natural que tem cinco algarismos e Y é o maior número natural que tem quatro algarismos distintos, a diferença X - Y é um número: (A) (B) (C) (D) (E)

divisível por 4 múltiplo de 6 maior que 150 quadrado perfeito primo

2. (TRF) Um técnico, responsável pela montagem de um iivro, observou que, na numeração de suas páginas, haviam sido usados 225 algarismos. O número de páginas desse livro era: (A) (B) (C) (D) (E)

111 124 141 143 146

3. (TRF-1.3 REGIÃO-2006) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: C3, 6G, L10, ... (A) (B) (C) (D) (E)

C4 13M 91 15R 6Y

4. (CEF) No diagrama abaixo tem-se o algoritmo da adição de dois números naturais, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e W. 1 2 X 5Y + Z302 1 7 4 W 1

19

Cap. 1 - CONJUNTOS

I Determinando-se; esses algarismos para que a soma seja verdadeira. Verifica-se que (A) (B) (C) (D) (E)

X+Z = W Y- W= X X =2 Y= 8 Z =4

5. (INSS) Um motorista parou em um posto para abastecer seu caminhão com óleo diesel. Ele pagou com uma nota de R$ 100,00 e recebeu R$ 5,75 de troco. Se o litro do óleo diesel custava R$ 1,45, quantos litros ele comprou? (A) (B) (C) (D)

55 58 65 75

12 13 14 15

8. (TRT 4.a região - 06) No esquema seguinte têm-se indicadas as operações que devem ser sucessivamente efetuadas, a partir de um número X, a fim de obterse como resultado finai o número 12. subtrair 12

É verdade que o número X é: (A) primo.

multiplicar por 3

20

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W lar

(B) (C) (D) (E)

par. divisível por 3. múitiplo de 7. quadrado perfeito

9. (FCC) X9 e 9X representam números naturais de dois algarismos. Sabendo-se que X9+9X-10Q é o número natural de dois algarismos ZW, é correto dizer que Z - W é igual a (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1 10. (PM-2007) Uma lesma encontra-se no fundo de um poço de 15 metros de pro fundidade. Suponha que durante o dia ela suba exatamente 3 metros e à noite, quando está dormindo, ela escorrega exatamente 1 metro pela parede do poço* Nessas condições, quantos dias essa lesma levaria para ir do fundo ao topo desse poço? (A) (B) (C) (D)

10 9 6 7

E 8 6 5

Determinando-se corretamente o valor dessas letras, então, A + B - C + D - E é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

25 19 17 10 7

12. (PM-Maranhão-2006) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou o nú mero 525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6? (A) 93 (B) 92 (C) 88

Cap. 1 - CONJUNTOS

21

(D) 87 (E) 54 13. (TRT 4.a região - 06) Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é iguai a um número natural em que todos os afgarismos são iguais a 1. A soma dos algarismos de N é: (A) (B) (C) (D) (E)

27 29 33 37 45

14. (PM-20G7) Observe que na sucessão seguinte, os números foram colocados obedecendo a uma lei de formação:

4

8

S

X

7

14

11

4

12

10

y

28

84

82

Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a (A) 40 (B) 42 (C) 44 (O) 46 (E) 48 15. (TRT FCC 2006) Se um Hvro tem 400 páginas numeradas de 1 a 400, quantas vezes o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro? (A) (B) (C) (D) (E)

160 168 170 176 180

GABARITO 1- A

2- A

3- D

4- A

5- C

6- D

7- D

8- E

9- E

10 - C

11 - C

12 - C

13 - D

14 - A

15 - E

22

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

Conjunto dos números inteiros (Z) Os números inteiros - que podem ser: positivos ou negativos - são usados para reprejsentar ganhos ou perdas, para representar o oposto de um número ou o sentido contrário que se deve dar a uma dada trajetória. O conjunto dos números inteiros podei ser representado assim: Z = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, Subconjuntos de Z

Conjunto dos números inteiros não Z* = -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,

nulos ...}

Conjunto dos números inteiros não negativos Z = {0, 1, 2, 3, ...} Conjunto dos números inteiros positivos

Z \ = {1, 2, 3, ...} Conjunto dos números inteiros não positivos Z- — {—, -3, -2, -1, 0} Conjunto dos números inteiros negativos Z-* = -3, -2, -1} Operações com números inteiros

A) Adição de números inteiros. A .l) Números com sinais iguais. Nesse caso conserva-se o sinal e somàm-se os números. Exemplos: 5 + 3= 8 -4 - 3 = -7 -12 - 25 = -37

Cap. 1 - CONJUNTOS

23

Você deve se perguntar: menos com menos não é mais? Essa regra só é utilizada na multiplicação ou divisão de números inteiros. A.2) Números com sinais diferentes. Nesse caso conserva-se o sinal do número maior e efetua-se a sub tração dos números. Exemplos: 5-3=2 -4 + 2 - -2 | 12 - 35 = -23 B) Multiplicação ou divisão de números inteiros Nesse caso lisamos o quadro de sinais: ~ - =

-

+

=

+ -

Exemplos: 3.4 —'12 4. (-7) = -28 (-12).(-3) = 36 Resumo: com sinais iguais, o resultado é positivo e, com sinais diferentes, o resultado é negativo. Conjunto dos números racionais (Q) Os números racionais (Q) podem ser representados em forma fracio nária ou decimal, são usados em problemas que envolvem as partes de um todo, um quociente, a razão entre dois números inteiros etc. Chama-se de número racional todo número que pode ser colocado na forma de fração p/q, com p Ç Z, q £ Z*.

24


:|'Todo número inteiro é racional. Ex: -2, -5, 0, 1, 2. *Todo número- decimal exato é racional. Ex: 0,5 é racional, pois pode ser colocado na forma 5/10. *Todo número decimal periódico é racional. Ex: 0,444=4/9 0,5555=5/9 *

Dica: Transformar uma dízima periódica em fraçao.

A) Dízima periódica simples. Nesse caso, para cada algarismo do número que se repete embaixo colocamos um 9. a) 0,444... Nessa dízima, temos apenas um algarismo que se repete, o 4. 0 444 — ^ 9 U* 7

T T•• »

-----

b) 0,243243243243... Nessa dízima, temos três algarismos que se repetem. 0,243243243243... = M L 999 B) Dízima periódica composta. número —pnp

Nesse caso devemos usar a fórmula: — ^ ----- q PP

P”P

PNP: parte não periódica, ou seja, não se repete. PP: parte periódica, isto é, se repete.

Para cada algarismo que se repetir colocamos um 9 e para cada al garismo que não se repetir colocamos um 0. Exemplos: a) 0,45555...

C a p .1 -C O N J U N T O S

25

0 algarismo que se repete é o 5; parando no primeiro algarismo, temos o número 45 formado. 1 PP e 1 PNP 4 5 -4 ^ ü 90 90 b) 0,2434343... O número que se repete é o 43, logo o número formado é 243. 2 PP e 1 PNP 2 4 3 - 2 = 241 990 990 c) 0,21424242... O número que se repete é o 42, logo o número formado é 2142. 2 PP e 2 PNP 2 1 4 2 -2 1 = 2121 9900 9900 Conjunto dos números Irracionais (I ou Q’) Os gregos antigos reconheciam uma espécie de número que não é nem inteiro nem fracionário, posteriormente identificado como irra cional. Qual o resultado da operação 4 l + V 3= V5 Errado j l . S = 4 6 Certo Conjunto dos números reais (R) De forma mais abrangente a esse universo de conjuntos numéricos, temos o conjunto dos números reais. O conjunto dos números reais é formado pela união dos racionais com os irracionais. R = Q u Q \

26

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VMar

Treinamento final do capítulo 1. (CEF CESGRANRIO 2008) Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, quantas vezes o [algarismo 1 é escrito? (A) (B) (C) (D) (E)

481 448 420 300 289

2. (CEF FCC 2004) Uma pessoa, ao efetuar a multiplicação de 2 493 por um certo número inteiro, encontrou o produto 668 124. Só então notou que, ao copiar os números para efetuar a operação, ela trocou, por engano, o algarismo das dezenas do multiplicador, escrevendo 6 aoj invés de 3. Assim, o verdadeiro produto seria (A) (B) (C) (D) (E)

643 618 598 593 568

194 264 274 334 404

3. Considere um número N com exatamente dois algarismos diferentes de zero, e seja P o conjunto de todos os números distintos de dois aigarismos formados com os algarismos de N, incluindo o próprio N. A soma de todos os números do conjunto P, qualquer que seja N, é divisível por (A) 2 (B) 3 (C) 5 (0) 7

(E) 11 4. (FCC) Sendo x e y números naturais, o resultado da divisão de x por y, obtido com auxílio de uma calculadora, foi a dt2ima periódica 3,333„. Dividindo-se y por x nessa calculadora, o resultado obtido será igual a (A) (B) (C) (D) (E)

1,111... 0,9 0,333... 0,3 0,111...

5. (FCC TRF 2006) Ao dividir o número 762 pon um número inteiro de dois algaris mos, Natanael enganou-se e inverteu a ordem dos dois algarismos. Assim, como resultado, obteve o quociente 13 e o resto 21. Se não tivesse se enganado e efetuasse corretamente a divisão, o quociente e o resto que ele obteria seriam, respectivamente, iguais a (A) 1 e 12

Cap. 1 - CONJUNTOS

(B) (C) (D) (E)

27

8 e 11 10 e 12 11 e 15 12 e 11

6. (FCC) Observe a seqüência de contas:

1

2 + 3 .5 -1 = 1 6

2

2 - 4 . 5 - 2Í= -20

3

2 + 5 . 5 - 3 = 24

4

2 - 6 . 5 - 4Í—-32

5

2 + 7 . 5 - 5 = 32

Mantendo-se o padrao indicado, o resultado da conta correspondente à linha 437 será (A )

(B) (C) (D) (E)

1934 1782 1760 1750 2630

7. (FCC) O número i0,0202 pode ser lido como (A) (B) (C) (D) (E)

duzentos e dois milésimos. duzentos e dois décimos de milésimos.

duzentos e dois centésimos de milésimos. duzentos e dois centésimos. duzentos e dois décimos de centésimos.

8. (CESGRANRIO) Observando o calendário de um certo ano, Gabriel percebeu que havia dois mesès consecutivos que totalizavam 60 dias, Se esse ano começa em uma segunda-feira, então termina em uma i (A) (B) (C) (D) (E)

segunda-feira.:; terça-feira. quarta-feira. quinta-feira. sexta-feira.

9. (CESGRANRIO) Os anos bissextos têm, ao contrário dos outros anos, 366 dias. Esse dia a mais é colocado sempre no final do mês de fevereiro, que, nes ses casos, passa a terminar no dia 29. O primeiro dia de 2007 caiu em uma

/ i 28


segunda-feira. Sabendo que 2007 não é ano bissexto, mas 2008 será, em que dia da semana começará o ano de 2009? (A) Terça-feira. (B) Quarta-feira, (C) Quinta-feira. (D) Sexta-feira. (Ê) Sábado.

j

10. (FCC) A figura indica um quadrado de 3 linhas e 3 colunas contendo três sím bolos diferentes:

íinha

coiuna

Sabe-se que: - Cada símboio significa um número; - A soma

dos correspondentes números representadosna1.a

linha é

16;

- A soma - A soma

dos correspondentes números representadosna3.a

coluna

é18;

de todos os correspondentes números no quadrado

è 39;

Nas condições dadas, o valor numérico do símbolo © (A)
é:

8 6 5 3 2

11. (FCC) No caixa de uma lanchonete há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos, sendo 15 unidades de cada tipo. Usando essas moedas, de quantos modos distintos uma pessoa pode receber de troco a quantia de R$ 1,00? (A) 9 (B)8 (C) 7 (D) 6 (E) 5

Cap. 1 - CONJUNTOS

29

12. (FCC) Uma pessoa tem R$ 14,00 em sua carteira apenas em cédulas de 1, 2 e 5 reais, sendo menos uma de cada valor. Se X é o total de cédulas que ela possui, quantos são os possíveis valores de X? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E )8 13. (FCC PM iViARANHAO 2006) Um refeitório dispõe de 102 lugares, alguns em mesas de 2 lugares e outros em mesas de 4 lugares. Se o número de mesas de 2 lugares é um múltiplo de 7, então o número total de mesas pode ser múltiplo de (A) (B) (C) (D) (E)

17 15 14 10 8

14. (TRT FCC 2006) Uma pessoa dispõe apenas de moedas de 5 e 10 centavos, totalizando a quantia de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada tipo, o total de moedas que ela possui poderá ser no máximo igual a (A) (B) (C) (D) (E)

28 30 34 38 40

15. De quantos modos é possível formar um subconjunto, com exatamente 3 ele mentos, do conjunto {1,2,3,4,5,6} no qual NAO haja elementos consecutivos? (A) (B) (C) (D) (E)

4 6 8 18 20

16. (ESAF) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é (A) (B) (C) (D) (E)

exatamente 16. no mínimo 6. exatamente 10. no máximo 6. exatamente 6.

30

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W /ar

17. (ESAF) X e Y são dois conjuntos não vazios; O conjunto X possui 64 subcon juntos. O conjunto Y, por sua vez, possuí 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X H Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a: (A) (B) (C) (D)

4 6 8 vazio

(E) 1 18. (ESAF) Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no de inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

30 10 15 5 20

19. (ESAF) Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646... em representação de cimal? (A) (B) (C) (D) (E)

2.521 2.546 2.546 2.546 2.521

/ / / / /

990 999 990 900 999

GABARITO 1- B

2- D

3- E

4- D

5- C

6- C

7 -8

8- B

9 -C

10 - E

11 - D

12 - B

13 - D

14- C

1 6 -B

17 - B

19- A

;

15 - A 18 - A

MÚLIIPliOS E DIVISORES

M INIM O M ÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) O M.M.C. é o menor múltiplo comum de dois ou mais números naturais, diferentes de zero. Exemplo: Múltiplos de 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24...} Múltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24, 30...} |: O M.M.C. é 12 (menor múltiplo comum) Cálcuío do M.M.C. - Método simplificado Objetivo: procurar números comuns. L°) Calcule p M.M.C. dos números abaixo: A) 2 e 3 2,

3

1,

3

1,

1

Processo prático. Existe algum número que divide 2 e 3 ao mesmo tempo?

32

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÔG1CO QUANTITATIVO - Bruno Viiiar

Se a resposta for não, então o M.M.C. é o produto desses números. Logo, o M.M.C. de 2 e 3 é 6 (2.3 = 6). B) 5 e 8 í Existe algum número que divide 5 e 8 ao mesmo tempo? 'Não! Logo, o M.M.C é 5.8 = 40. C) 4 e 10 4,

10 2

2,

5

Existe algum número que divide 4 e 10 ao mesmo tempo? Sim! O número 2. Nesse caso, continuamos a divisão, pois temos um número comum. Existe algum número que divide 2 e 5 ao mesmo tempo? Não! Logo o M.M.C. é 2.2.5 = 20. Obs.: Como não há número comum para 2 e 5, e pelo outro número 2 ser comum, podemos dizer que o M.M.C. será o produto dos termos comuns com os termos que não são comuns. D) 100 e 120 Nesse caso, podemos cortar o número 0, pois ambos os números terminam em 0. Existe algum número que divide 10 e 12 ao mesmo tempo? Sim! O número 2. 10,

12

5,

6

Existe algum número que divide 5 e 6 ao mesmo tempo? Não! Não há número comum (não esqueça de que realizamos o processo até encontrar os números que não possuem número divisível comum).

Cap. 2 - MÚLTIPLOS E DIVISORES

33

M.M.C = 2.5.6 = 60, porém o M.M.C. é 600 (acrescentando no final o algarismo 0, que foi cortado inicialmente). E) 6, 8 e 10 No caso de termos três números, devemos procurar os números co muns em dupla. Existe algum número que divide 6 e 8 ao mesmo tempo? Sim! O número 2. 6,

8,

10

3, 4,

5

Existe algum número que divide 3 e 4 ao mesmo tempo? Não! Existe algum número que divide 3 e 5 ao mesmo tempo? Não! Existe algum número que divide 4 e 5 ao mesmo tempo? Não! Logo o M.M.C. é 3.4.5.2 = 120. Problemas envolvendo o M.M.C. Os problemas que envolvem o M.M.C. possuem as seguintes carac terísticas: - Situação repetitiva (cíclica), isto é, mantém o padrão. - Afirma um encontro e pergunta sobre o próximo encontro.

T reinam ento com entado 1. (TRT 24.a região - 03) Numa frota de veículos, certo tipo de manutenção é feita no veículo A a cada 3 dias, no veículo B a cada 4 dias e no veículo C a cada 6 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 2 de junho de 2003 foi feita a manutenção dos três veículos, a próxima vez que a manutenção dos três ocorreu no mesmo dia foi em: (A) 05/06/03 (B) 06/06/03
34


(D) 14/06/03 (E) 16/06/03

RESOLUÇÃO: Situação repetitiva: cada 3, cada 4 e cada 6 dias. 3, 4 e 6 Existe algum número que

divide 3 e

4 ao

Existe aígum número que

divide 4 e

6 aomesmo tempo? Sim! O número 2.

3, 4,

62

3, 2,

3

mesmo tempo? Não!

Não conta o número repetido, logo consideramos apenas 2 e 3. Existe algum número que

divide 2 e

3 ao

mesmo tempo? Não!

M.M.C = 2.2.3 = 12 dias. 02/06 + 12 dias = 14/06.

.

Resposta: letra D.

:

v

2. (FCC) Vivaldo costuma sair com duas garotas: uma a cada 6 dias e a outra a cada 9 dias. Quando as datas coincidem, ele adia os encontros com ambas para 6 e 9 dias depois, respectivamente. Se em 18/05/98 ele adiou os encontros com duas, em virtude da coincidência das datas, a próxima vez que eie teve de adiar os encontros foi em: (A) (B) (C) (D) (E)

15/06/98 12/06/98 10/06/98 06/06/98 05/06/98

RESOLUÇÃO: Situação repetitiva.

"

■

6, 9 Existe algum número que divide 6 e 9 ao mesmo tempo? Sim! O número 3. 6, 9 3 2, 3

:A . :

’

35


r

Existe algum número que divide 2 e 3 ao mesmo tempo? Não! M.M.C = 2.3.3 = 18 dias.

*

'

18/05 + 18 = 36/05, porém maio só tem 31 dias. Logo estamos em 05/06 (36-37 = 5) Cuidado: Devemos observar se o mês é de 30 ou 31 dias! Resposta: letra E.

3.

(FCC) Sistematicamente, Fábio e Cintia vão a um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos es tiveram em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse restaurante acorrerá em: (A) (B) (C) (D) (£)

9 de dezembro: de 2004 10 de dezembro de 2004 8 de janeiro de 2005 9 de janeiro de 2005 10 de janeiro de 2005

RESOLUÇÃO: Situação repetitiva, 15 e 18 Existe algum número que divide 15 e 18 ao mesmo tempo? Sim! O número 3.

15, I8|3 5

6

Existe algum número que divide 5 e 6 ao mesmo tempo? Não! M.M.C. = 3.5.6 = 90 dias. Fique esperto! 90 dias não significam 3 meses, pois temos 30 e 31 dias. Início: 10/10/2004! ’ + 3 (meses) 10/01/2005 Outubro 1 31 dias

Novembro

Dezembro

30 dias

31 dias

Janeiro /

36


1

Temos 2 meses de -31 dias, por isso devemos retirar dois dias, isto é, o excesso. 10/01/2005

y

-2 (dias) 08/01/2005 Resposta: letra C.

04. (PM-2006) A verificação do funcionamento de três sistemas de segurança é feita periodicamente: o do tipo A a cada 2 horas e meia, o do tipo B a cada 4 horas e o do tipo C a cada 6 horas, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se em 15/08/2001, às 10 horas, os três sistemas foram verificados, uma outra coincidência no horário de verificação dos três ocorreu em: (A) (8) (C) (D) (E)

22/08/2001 22/08/2001 20/08/2001 17/08/2001 15/08/2001

às 22 horas. às 10 horas. ás 12 horas. às 10 horas. às 22 horas e 30 minutos.

RESOLUÇÃO: Situação repetitiva. Nesse caso temos que transformar o tempo, pois não podemos calcular o M.M.G de 2h30 (duas horas e meia). A - 2h e 30 = 150 minutos B = 4h = 240 minutos C = 6h = 360 minutos 150,240,360 Temos todos os números terminando em 0, logo podemos calcular com 15, 24 e 36. 15, 24 e 36 Existe algum número que divide 15 e 24 ao mesmo tempo? Não! Existe aigum número que divide 15 e 36 ao mesmo tempo? Nâol Existe algum número que divide 24 e 36 ao mesmo tempo? Sim! O número 12.

15, 24 36Í12 5,

2,

3|

Csp. 2 - MÚLTIPLOS E DiVISORES

37

Existe algum número que divide 5 e 2 ao mesmo tempo? Não! Existe algum número que divide 5 e 3 ao mesmo tempo? Não! Existe algum número que divide 3 e 2 ao mesmo tempo? Não! M.M.C = 5.2.3.12 = 360 (não esqueça de colocar 0 no finai). Sendo assim, 3600. 3600 minutos = 60 horas = 2 dias e 12 horas. início: 15/08/2001, às 10 horas 15/08/2001

às

10 horas

±2__________ _±12 17/08/2001 às

22h

Não temos essa resposta, e agora? Tenha calma, pois a questão não pediu o próximo encontro, que seria essa resposta, e sim pediu outra coincidência. Por isso devemos jogar dois dias e 12 horas até encontrar uma alternativa. 17/08/2001 às

22h

+2__________+12 19/08/2001 lOh.

34h, o dia só tem 24 horas. Logo estamos em: 20/08/2001 às

Novamente não temos essa alternativa! 20/08/2001

às

10 h.

+2 _______________________ - 1-12

22/08/2001 às /

22h

Agora temos a resposta, letra A.

5. Um executivo querendo se organizar, precisa agrupar uma série de pastas que estão em seu poder. Percebe«se que se montar grupos de 3 pastas, fica 1 so brando, caso agrupe de 4 em 4 pastas, sobram 2. Montando grupo de 5 pastas, restam 3 e, caso agrupe de 6 em 6 pastas, restam 4. Quantas pastas tem o executivo, sabendo-se que são menos de 100? (A) 56 (B) (C) (D) (E)

57 58 59 60

38

MATEMÁTICA E RACIOClNiO LÓGICO QUANTJTATiVO - Bruno Villar

RESOLUÇÃO: 3 em 3 pastas sobra 1 4 em 4 pastas sobram 2 5 em 5 pastas sobram 3 6 em 6 pastas sobram 4 Podemos observar que para completar o grupo precisamos de 2 pastas. 3 -1 = 2 4-2

= 2

5-3 - 2 6-4 = 2 x + 2 é múltiplo de (3, 4, 5, 6) = 60. x + 2 = 60 x « 60 - 2 x = 58

6. Quantos múltiplos de 3 ou 7 temos de 1 a 1000?

RESOLUÇÃO: Devemos ter cuidado, pois precisamos calcular a quantidade de múltiplos de 3, 7 e 21 (M.M.C. de 3 e 7) n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A n

B)

Múltiplos de 3 1000 : 3 = 333 múltiplos de 3. Múltiplos de 7

.

1000 : 7 = 142 múltiplos de 7. Múltiplos de 21 (o elemento comum) 1000:21 = 4 7 múltiplos de 21. Resposta: 333 + 142 - 47 = 428.

'

•


39

Treinamento do concursando 1. (TTN) Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá a volta completa na pista em 10 segundos; o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terão dado cada um, até o momento em que passarão juntos na linha de chegada? (A) (B) (C) (D) (E)

66, 62, 60, 60, 40,

60, 58, 55, 45, 36,

55 54 50 40 32

2. Numa pista circular três ciclistas saem juntos dé um mesmo ponto. O primeiro completa cada volta em: 1 min 30 segundos, o segundo em 1 min 40 segundos e o terceiro, em 1 min 50 segundos. O tempo gasto pelos três ciclistas para se encontrarem novamente é de (A) (B) (C) {D} (E)

2h 2h 2h 2h 2h

20min 25min 35min 40min 45min

3. (FCC) Uma determinada cidade realiza periodicamente duas festas: a festa da uva e a festa do tomate. A festa da uva acontece a cada 15 meses e a festa do tomate, a cada 18 meses. Se as duas aconteceram juntas em abril de 1998, então quando elas acontecerão novamente? (A) (B) (C) (D) (E)

10/1998 6/2005 8/2004 10/2005 10/2004

4. (PM-2001/ FCC) Três policiais trabalham no regime de plantão. José tira um plan tão de 6 em 6 dias, Flavío de 8 em 8 dias e Felipe de 10 em 10 dias, inclusive sábado, domingos e feriados. Se no dia 12/06/02 eles trabalharam juntos, a próxima coincidência de datas em seus plantões será, novamente, em: (A) (B) (C) (D) (E)

12/10/2002 10/10/2002 11/08/2002 12/08/2002 12/12/2002

5. Em uma caixa há um certo número de laranjas. Se contarmos as laranjas de 12 em 12, de 20 em 20, ou de 25 em 25, encontraremos sempre o mesmo número de laranjas. Qual a menor quantidade possível de laranjas que há na caixa? (A) 120

40

MATEMÁTICA E RACiOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil!ar

(B) (C) (D) (E)

220 300 420 600

6. (TRE) Um médico receitou dois remédios a um paciente: um para ser tomado -a cada 12 horas e outro a cada 15 horas. Se às 14 horas no dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os remédios, ele voltou a tomá-los juntos nova mente às: (A) 17h do dia 11/10/2000 (B) 14h do dia 12/10/2000 (C) 18h do dia 12/10/2000 (D) 2h do dia 13/10/2000 (E) 6h do dia 13/10/2000 7. (TJ) Dois vigilantes de um prédio público fazem ronda, um em cada bloco, res pectivamente em 10 e 12 minutos. Se ambos iniciaram a ronda às 18 horas, darão inicio à nova ronda, simultaneamente, às: (A) (B) (C) (D) (E)

19h e 30 19h 20h e 30 21h 21h e 30

8. Très funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi: (A) 18/11/02 (B) 17/09/02 (C) 18/08/02 (D) 17/07/02 (E) 18/06/02 9. Alberto foi ao médico e este lhe receitou quatro medicamentos, A, B C e D, que devem ser tomados da seguinte forma: O medicamento A deve ser tomádo de 3 em 3 horas, o medicamento B de 6 em 6 horas, o medicamento C de 5 em 5 horas, e o medicamento D de 4 em 4 horas. Se Alberto tomou todos os medicamentos juntos, às 10 horas da manhã de uma sexta-feira, quando estará ingerindo todos os medicamentos juntos novamente? (A) (B) (C) (D) (E)

às ás às às às

10 10 10 10 12

horas horas horas horas horas

da da da da da

manhã de domingo. noite de domingo. manhã de segunda-feira. noite de segunda-feira. manhã de terça-feira.

41


10. Numa pista circular de autorama, um carrinho vermelho dá uma volta a cada 72 segundos e um carrinho azul dá uma volta a cada 80 segundos. Se os dois carrinhos partiram juntos, quantas voltas terá dado o mais lento até o momento em que ambos voltarão a estar lado a lado no ponto de partida? (A) (B) (C) (D) (E)

6

7 8

9 10

GABARITO 01 - A

02 - E

03 - A

0 4 -8

05 - C

06 - E

0 7 -8

08 - E

09 - B

10 - D

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) Divisor de um número natural não nulo. E o número natural que o divide exatamente. Exemplo: 2 é divisor de 8 ou 8 é divisível por 2 . Todo número inteiro não nulo é divisível por 1 e ele mesmo, por isso todo número possui pelo menos dois divisores. Dois números naturais (diferentes de zero) sempre têm divisores co muns, sendo o M.D.C. o maior divisor comum entre eles. Exemplo: M.D.C. (6 , 12) = 6 . M.D.C. (4, 10) = 2. Cálculo do M.D.C. *

Dica: utilizar apenas número comum, Isto é, que divide todos os números ao mesmo tempo.

42


FIQUE LIGADO! No M.M.C buscamos um número que divida pelo menos a dupia, porém no M.D.C só pode ser utilizpdo um número qüe divida todos os números ao mesmo tempo.

1.°) Calcule o M.D.C. dos números abaixo. A) 36 e 90 Procurar um número que divida 36 e 90 ao mesmo tempo. Existe algum número que divide 36 e 90 ao mesmo tempo? Sim! O número 18. 36,

90 18

2,

5

Existe algum número que divide 2 e 5 ao mesmo tempo? Não! No M.D.C. só multiplicamos os termos comuns. Nesse caso o M.D.C. é 18. B) 72 e 120 Existe algum número que divide 72 e 120 ao mesmo tempo? Sim! O número 6 . Obs.: Vamos utilizar números comuns menores. Quanto maior for o número comum utilizado, menor será a conta. 72,

120

12, 20 Existe algum número que divide 12 e 20 ao mesmo tempo? Sim! O número 4. 12,

20

3,

5

Existe algum número que divide 3 e 5 ao mesmo tempo? Não! M.D.C. = 6.4 = 24. Obs.: 6 e 4 são números divisíveis comuns.


r

43

C) 121 e 143 Existe algum número que divide 121 e 143 ao mesmo tempo? Sim! O número 11 . Obs.: Se tiver dificuldade de encontrar o número, comece pelos números primos, usando os critérios de divisibilidade. 121,

143 11 I

11

13

Existe algum número que divide 11 e 13 ao mesmo tempo? Não! Nesse caso o M.D.C. é 11. D) 15, 20 e 45 Existe algum número que divide 15, 20 e 45 ao mesmo tempo? Sim! O número 5. 15,

20,

45

3,

4,

9

Existe algum número que divide 3, 4 e 9 ao mesmo tempo? Não! O M.D.C. é 5. E) 5 e 7 Existe algum número que divide 5 e 7 aó mesmo tempo? Não! O M.D.C. será 1 (pois todos os números são divisíveis por 1, então quando os números não possuírem o divisor comum, o M.D.C será 1). Problemas NOÇÃO:

.

'

Os problemas envolvendo M.D.C são sobre divisão de coisas ou objetos de tamanhos diferentes em partes iguais e no maior tamanho possível.

44

MATEMÃTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

FIQUE ESPERTO! Há questões que escrevem "menor quantidade" no lugar de "maior tamanho possí vel". Lembre-se: para que a quantidade seja a menor possível, o tamanho deve ser o maior possível] Nas questões de M.D.C. só temos duas perguntas sobre ò elemento (tamanho ou -quantidade) ou sobre arrumação (quantidade de iotes, caixas etc.).

Treinamento comentado 1. (Pró-técnico) Cortando-se dois fios de 345m e 330m em pedaços iguais e do maior tamanho possível, o número de pedaços obtidos é: (A) (B) (C) (D) (E)

15 22 35 38 45

RESOLUÇÃO: Divisão de coisas de tamanhos diferentes em partes iguais e no maior tamanho possível. 330 e 345 Existe algum número que divide 330 e 345 ao mesmo tempo? Sim! O número 5. :

330, 345 5 66,

69

Existe algum número que divide 66 e 69 ao mesmo tempo? Sim! O número 3.

66,

69 3 •

22,

23

\ ';

Existe algum número que divide 22 e 23 ao mesmo tempo? Nãol O M.D.C é 3.5 = 15. 15 é o tamanho de cadá pedaço. Porém, como a questão pediu a quantidade de pedaços, a resposta é 22 + 23 = 45.


r

45

SE LIGUE! Os números que não possuem divisor comum representam a quantidade de peda ços. Resposta: 45, pois a questão pediu o total de pedaços. Letra E.

2.

Duas tábuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento, sendo esse comprimento o maior possível. Se uma tábua tem 90 centímetros e a outra tem 126 centímetros, quai deve ser o comprimento de cada pedaço se toda a madeira deve ser aproveitada? (A) (B) (C) (D) (E)

36 cm 12 cm 18 cm 9 cm 90 cm

RESOLUÇÃO: 90 é 126 Existe algum número que divide 90 e 126 ao mesmo tempo? Sim) O número 6 .

90,

126

15, • 21 Existe aígum número que divide 15 e 21 ao mesmo tempo? Sim! O número 3.

15, 213 5, 7 •

Existe aígum numero que divide 5 e 7 ao mesmo tempo? Não! M.D.C = 6.3 = 18. . Quantidade de pedaços: 5 + 7 = 12. Resposta: 18 (tamanho de cada pedaço). Letra C.

3.

(T.R.E) Uma repartição pública recebeu 143 microcomputadores e 104 impressoras para distribuir a algumas de suas seções. Esses aparelhos serão divididos em lotes, todos com igual quantidade de aparelhos. Se cada lote deve ter um único tipo de aparelho, o menor número de lotes formados deverá ser: (A) 8

46

MATEMÁTICA E RAClOClNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Villar

(B) (C) (D) (E)

11 19 20 21

“RESOLUÇÃO: 104 e 143 Existe algum número que divide 104 e 143 ao mesmo tempo? Sim! O número 13.

104,

143

11,

8

13

O total de lotes é: 11 + 8 - 1 9 . Resposta: letra C.

Treinamento do concursando 1. (T.R.T) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibióticos. Deverá distribuí-ios em reci pientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o inúmero de recipientes necessários para essa distribuição é: (A) 24 (B) 16 (C) 12 (D) 8 (E)4 2. (TRE-BA) Todos os funcionários de um Tribunal devem assistir a uma palestra sobre “Qualidade de vida no trabalho", que será apresentadavárias vezes, cada vez para um grupo distinto. Um técnico foi incumbido de formarosgrupos, obedecendo aos seguintes critérios: - todos os grupos devem ter igual númerp de funcionários; - em cada grupo, as pessoas devem ser do mesmo sexo; ~ o total de grupos deve ser o menor possível. Se o total de funcionários é composto de 225: homens e 125 mulheres, o número de palestras que deve ser programado é (A) 10 (B) 12 (C) 14


47

(D) 18 (E) 25 3. (FCC) No almoxarifado de,certa empresa havia dois tipos de canetas esferográfi cas: 224 com tinta azu! e 160 com tinta vermelha, Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas do modo que cada pacote contenha apenas caneta com tinta de mesma cor. Se todos os pacòtes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é; (A) (B) (C) (D) (E)

8

10 12 14 16

4. (TRT-SP) Dispõe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336 unidades, e outrò, com 432 unidades. Um técnico judiciário foi incumbido de empacotar todos os boletins dos lotes, obedecendo as seguintes instruções: - Todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins; - Cada pacote deve ter um único tipo de boletim; Nessas condições, o menor número de pacotes que ele poderá obter é: (A) (B) (C) (D) (E)

12 16 18 24 32

5. (VUNESP) Em um colégio de São Paulo, há 120 alunos na 1.a série do Ensino Médio, 144, na 2:.a e 60, na 3.a. Na semana cultural, todos esses alunos serão organizados e m ;equipes com o mesmo número de elementos, sem que se misturem alunos de séries diferentes. O número máximo de alunos que pode haver em cada equipe é iguai a (A) (B) (C) (D) (E)

7. 10. 12. 28. 30.

6. (VUNESP 2009) Ém um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados (A) 5 grupos. (B) 8 grupos. (C) 10 grupos.

48

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(D) 12 grupos. (E) 13 grupos.

1 n

01 - A

02 - C

0

Ui

GABARITO

04 - B

05 - C

06 - A

FRAÇÃO É uma divisão de dois números inteiros a e b, com b ^ 0 . -7 - ou a : b b

Temos: a = numerador e b = denominador Noção de fração: í-;’. " ■'

''

SE LIGUE! O numerador representa a quantidade de partes utilizadas. Por isso o numerador nesse caso é 3, pois são 3 partes pintadas. O denominador representa o total de partes. Por isso o denominador é 4, pois o quadrado foi dividido em 4 quadrados iguais.

Cuidado: ^ = indeterminação.


r

49

Operações de frações Adição ou subtração Adição ou subtração de denominadores iguais. Processo: Conservar o denominador e somar ou subtrair os numeradores. Exemplos: 1 + 6 = 7 4 4 4 1 + 2 + 1

5

5

3 + 2 + 4 _ _3 5 5

5

Adição ou subtração de denominadores diferentes. Processo: 1.° Tirar o M.M.C. dos denominadores. 2 ° Colocar o resultado do M.M.C. no denominador da nova fração e dividir o denominador da nova fração pelo denominador de cada fração. Multiplicar, então, pelo numerador da respectiva fração.

1.° Tirar o M.M.C. dos denominadores. M.M.C. de 5 e 8 = 40 (não possui divisor comum, logo o produto deles é o M.M.C.). 2.° Colocar o resultado do M.M.C. no denominador da nova fração e dividir o denominador da nova fração pelo denominador de cada fração. Multiplicar, então, o resultado pelo numerador da respectiva fração. 8.2 + 5.3

16 + 15

31

40

40

40

50

MATEMÁTICA E RACiOCiNIO LÓGICO QÜANTITATIVO - Brvno W /ar

CUIDADO: Nesse caso não cortamos o denominador, só cortamos o denominador quando estamos calculando uma equação fracionária.

Multiplicação a.c b.d

b ' d Exemplos:

6_

2 _ 3.2 7 5.7

37

? ? 2.40 80 — de 40 = 4 . 40 = ------ = — =16. 5 5 5 5 SE LIGUEI As expressões do e de entre dois números representam o sinal de multiplicação. Simplificação: Processo de divisão de uma fração peío mesmo número, isto é, dividir o numerador e o denominador por um mesmo inúmero.

2 , „n 2.40 9 40 ’ - ---2.8 - —16 - 1 6 . 4 de 4 0 = ---- - rs 5

5

:5

1

i

Antes de multiplicar verifique se é possível simplificar, pois diminui o cálcuío.

Divisão a_.

c_

b' d

d_ __ a.d c b.c

Processo: conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. 1

= 217_

4

3 *4“

1.7 3.2

C a p .2 -M Ú L T IP L O S E DIVISORES

r

51

Treinamento comentado (TRT 6.3 região2006) Certo dia, do total de documentos entregues em diferentes setores de uma unidade
11/15 2/3 8/15 3/5 4/15

RESOLUÇÃO: Rogério: 2. 5

Josué: 1 3

%_ + 1 ~ 3.2+5.1 _ 6 + 5 _ 22 foi feito por Rogério e Anacleto juntos. 15 15 15 Logo Anacleto f e io restante ~L (15 -11 = 4). I. - . 15 ■, Resposta: letra E.

2. (Pítô-2001) Um soldado iniciou seu plantão quando eram decorridos 2/5 do dia e encerrou quando eram decorridos 7/9 do mesmo dia. Se nesse dia ele parou 1 hora e 50 minutos para almoçar, ele trabalhou, nesse dia, um período de: (A) (B) (C) (D) (E)

7h 7h 7h 7h 7h

e e e e

4 minutos 14 minutos 28 minutos 36 minutos

RESOLUÇÃO:

= f!h. Final:

1 do dia J l , 2 4 = lMl = 11 9

19

9

3

52

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viüar

Tempo gasto: final - início. 56 _

48 _ 5 .5 6 ,-3 ,4 8 ^2 8 0 - 1 4 4

T

5

15

_

15

136 15

J 36 [15

1

9 horas

'

í

Numerador da fração.

Tempo gasto: 9h e — h, ou seja, 9h e 4 minutos. ■15. ' : Obs.:

— .60 = ~ 15 15

4 minutos.Não esqueça: Ih = 60 minutos.

9h e 4 minutos - lh e 50 mim (almoço) ~ 7 h 'e i 4 minutos. Resposta: letra C.

3. Uma torneira enche um tanque em 3 horas e outra torneira enche o mesmo tanque em 2 horas. Se as duas forem abertas juntas, em quanto tempo esse tanque ficará completamente cheio? (A) (B) (C) (D) (E)

40 minutos 1 hora e 12 minutos 2 horas 2 horas e 15 minutos 3 horas

RESOLUÇÃO: 1.a opção:

Como as torneiras gastam tempos diferentes para encher o mesmo tanque, então, temos velocidades diferentes. Tendo como base 1 hora (a base será o numerador e o tempo total o denominador da fração). Torneira 1 :1 3 Torneira 2 : J_ 2


6 h = 1e I

5

53

h = 1 hora e 12 minutos

5

6

[ 5_

I

1

2.a opção:

Essa fórmula só pode ser utilizada para duas torneiras. Caso a questão envolva três torneiras, aplicamos a fórmula com duas e depois esse resultado com a torneira que sobrou. produto dos tempos soma dos tempos 2-3

=6

h = 1h e 12 minutos

Porém, se uma torneira estiver enchendo e a outra esvaziando: produto dos tempos diferença dos tempos

4. Uma torneira é capaz de encher um tanque por completo em 2 horas. A vál vula deste tanque é capaz de esvaziá-lo por completo em 5 horas. Estando 0 tanque vazio, ambas foram abertas simultaneamente. Depois de 3 horas de funcionamento a válvula entupia por completo. Após o entupimento, o tanque transbordará em: (A) (B) (C) (D) (E)

20 minutos 15 minutos 12 minutos 10 minutos 6 minutos

RESOLUÇÃO: Nesse caso as torneiras trabalham juntas por 3 horas. 1 . I = 5 .3 -2 .3 _ 1 5 -6 _ 9 2

5

10

10

10

54


Logo falta — para o tanque estar completo. Velocidade . tempo = tanque cheio Õbs.: ~ (o numerador é a base {uma hora) e o denominador é o tempo total da torneira que enche).

>

'

i,= ± 2

10

Fazendo uma proporção temos: lOt = 2 2 2"120 ' t = — h = — . 60 — ----- = 12 minutos. 10

10

—

10

Resposta: letra C.

5. Trabalhando sozinho, Carlos construiria um muro em 15 dias. Tendo trabalhado apenas 1 dia, Carlos foi substituido por Pedro; que trabalhou sozinho 6 dias. Finalmente Carlos juntou-se a Pedro e, em mais 2 dias de trabalho conjunto, terminaram o muro. Em quanto tempo Pedro construiria o muro trabalhando sozinho? (A) (B) (C) (D) (E)

8 dias

10 12 18 20

dias dias dias dias

RESOLUÇÃO: Carlos trabalhou um dia sozinho; Pedro trabalhou seis dias sozinho; Carlos e Pedro juntos mais 2 dois. Conclusão: Carlos trabalhou no total 3 dias e Pedro trabalhou 8 dias. 3 8 Carlos: — , Pedro: - , t representa o tempo sozinho. 15 /


55

3 8 — + - = i (muro completo)

15

/

3/ + 15.8 = 1.15/ 15/ 3t + 120 = 15t 3t - 15t = -120 - 12t = - l 20 (-l) 1 2 t= 120

Resposta: letra B.

Treinamento do concursando 1 . Uma torneira enche; um tanque em 9 horas e um ralo esvazia o tanque, completamente cheio, em 12 horas. Se a torneira e o rafo forem abertos juntos, em quanto tempo esse tanque ficará completamente cheio? (A) (B) (C) (D) (E)

12 24 30 36 56


2. Uma torneira enche um tanque em 2 horas, outra torneira enche, o mesmo tan que, em 3 horas e uma terceira torneira enche o mesmo tanque em 6 horas. Se as três torneiras forem abertas juntas em quanto tempo esse tanque ficará completamente chêio? (A) (B) (C) (D) (E)

30 minutos 1 hora 2 horas 2 horas e 10 minutos 3 horas

3. (TRT 22.a região — 04) Para encher um tanque com água dispões-se de duas torneiras ! e II. Considere que, abrindo*se apenas l, o tanque estaria cheio após 12 minutos, enquanto que il sozinha levaria 15 minutos para enchê-lo. Assim sendo, se i e li fossem abertas simultaneamente, o tanque estaria cheio em: (A) 6 minutos e 10 segundos (B) 6 minutos e 15 segundos

56


(C) 6 minutos e 25 segundos (D) 6 minutos e 30 segundos (E) 6 minutos e 40 segundos 4. (TRF-2007) Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processo em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa .em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-la sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de: (A) (B) (C) (D) (E)

6 horas 6 horas e 54 minutos 6 horas e 54 minutos 7 horas e 12 minutos 8 horas e meia

5. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente: (A) (B) (C) (D) (E)

1 2 2 2 2

hora e 40 minutos horas 2 minutos e 2 segundos horas e 20 minutos horas, 22 minutos e 30 segundos horas e 54 minutos

6. (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18 de um dia e retornou à sua casa decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um período de: (A) (B) (C) (D) (E)

14 horas e 10 minutos. 13 horas e 50 minutos. 13horas e 30 minutos. 13 horas e 10 minutos. 12 horas e 50 minutos

7. (FCC) Suponha que a jornada de trabalho de uma pessoa seja de 8 horas diárias. Certo dia, ela chegou ao trabalho quando eram decorridos 11/36 do dia, saiu para almoçar às 12 horas e 15 minutos e retornou ao trabalho às 13 horas. Se foi para casa quando eram decorridos 2/3 do mesmo dia, então sua jornada: (A) (B) (C) (D) (E)

foi integralmente cumprida foi excedida em 10 minutos foi excedida em 5 minutos deixou de ser cumprida, pois faltaram 10 minutos deixou de ser cumprida, pois faltaram 5minutos

8. (FCC-2Q01)Certo dia, Jairo comentou com seu colega Luiz: “Hoje eu trabalhei o equivalente a 4/9 do dia, enquanto você trabalhou apenas o equivalente a 7/20 do dia.”


57

Com base nessa informaçao, quanto tempo Jairo trabalhou a mais que Luiz? (A) (B) (C) (D) (E)

1 2 2 3 3

hora e 50 minutos. horas e 16 minutos. horas e 48 minutos. horas e 14 minutos. horas e 36 minutos.

9. (TRF) Operando ininterruptamente, umamáquina é capaz detirar X cópias de um texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas condições,outra copiadora executaria o mesmo serviço em 4 horas. Se essas duas máquinas operassem juntas, que fração das X cópias elas tirariam após 2 horas de funcionamento ininterrupto? (A) (B) (C) (D) (E)

5/12 1/2 7/12 2/3 5/6

10. (TRF-1.a Região) Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitação de um texto. Se ele conclui essa tarefa quando eram decorridos 11/16 do dia, então ele iniciou a digitação do texto às: (A) (B) (C) (D) (E)

13h 13h 13h 12h 12 h

e 40 min e 20 min e 20 min e 10 mín

11. Para encher um tanque com água dispões-se de duas torneiras I e N. Considere que, abrindo-se apenas l, o tanque estaria cheio após 12 minutos, enquanto que I! sozinha levaria 15 minutos para enchê-lo. Assim sendo, se I e li fossem aber tas simultaneamente por cinco minutos, em quanto tempo a torneira ! sozinha gastará para terminar de encher o tanque? (A) (B) (C) (D) (E)

1 2 2 3 4

minuto e 40 segundos minutos minutos e 20 segundos minutos minutos

12. (CESPE) Considere-se que, entre os condenados a penas alternativas em 2006, 1/4 está sendo punido por crimes contra a honra, 1/8 por furto e, 1/13 por uso de drogas. Nessa situação, menos da metade dos condenados a penas alternativas em 2006 praticaram outros crimes cuja punição é a pena alternativa. 13. Suponha que, em três meses, o porto de Aratu tenha exportado 1.200.000 tone ladas de produtos, do seguinte modo: desse totai 1/8 foi exportado no primeiro mês; no segundo mês, 1/3 a mais do que foi exportado no primeiro mês; e o

58 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VWar -------------;---------------------- ^ ------------ -

[

restante, no terceiro mês. Com base nessas informações, jufgue os itens que se seguem. (

)No terceiro mês, foram exportados mais que do total exportado nos 3 meses.

(

)No primeiroj mês, foram exportadas mais de 175.000 toneladas.

(

)No segundo mês, o total exportado foi inferior a 250.000 toneladas.

GABARITO 01 - E

02 - D

03 - B

04 - E

05 - E

06 - B

07 - E

08 - B

09 - A

10 - D

11 - B

12 - E

13 - E-E-C

Treinamento final do capítulo 1. (CEF CESGRANRIO 2008) Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000? (A) (B) (C) (D) (E)

90 142 220 229 232

2. (UNB) Um médico receitou ao paciente três medicamentos distintos, para serem tomados, cada um, em intervalos de 1h 20min, 1h 30mtn e 2h. Se à meia-noite ele tomou os três medicamentos, então ele voltará, novamente, a tomá-los ao mesmo tempo às: (A) 10 h 20 (B) 12 h 00 (C) 13 h 20 (D) 13 h 50 (E) 14 h 30

min min min min min

3. (VUNESP 2009) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um de terminado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada (A) 1 h 24 min.

C ap. 2 -M Ú L T IP L O S E DiVISORES

(B) (C) (D) (E)

1 1 1 1

h 18 min. h 12 min. h 06 min. h.

59

;

4. (VUNESP) Maria Eduarda e Heloísa desejam comprar èm sociedade uma lanchonete. Uma delas possuí a terça parte do valor pedido pelo estabelecimento, e a outra, a sexta parte. Somando-se as quantias que as duas possuem, ainda faltam R$ 27.600,00. Então, ppde-se afirmar que o valor total da lanchonete é de (A) (B) (C) (D) (E)

R$ RS RS R$ R$

50.800,00. 51.400,00. 52.600,00. 53.700,00. 55.200,00.

5. (MF 2009 ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se ape nas a primeira torneira for aberta, no máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, no máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? (A) (B) (C) (D) (E)

12 horas.

30 20 24 16

horas. horas. horas. horas.

6. (CESGRANRIO) Marcelo precisava realizar uma tarefa em 3 dias, trabalhando 6 horas pòr dia. Entretanto, no primeiro dia ele trabalhou 5/6 do tempo previsto e, no segundo dia; 11/12. Quantas horas a mais Marcelo terá que trabalhar no terceiro dia para que a tarefa seja concluída dentro do prazo? (A) (B) (C) (D) (E)

1 1 3 4 7

hora e 18 minutos. hora e 30 minutas, horas e 12 minutos. horas e 18 minutos. horas e 30 minutos.

7. (FCC) Um técnico judiciário deve cumprir uma jornada diária de 8 horas de tra balho. Certo dia, ele chegou ao trabalho quando eram decorridos 23/72 do dia, saiu às 11h38min para almoçar e retomou suas atividades às 12h50min. Se saiu do trabalho quando eram decorridos 2/3 desse mesmo dia, então, nesse dia, (A) (B) (C) (D) (E)

sua jornada foi cumprida. ele deixou de cumprir 38 minutos de sua jornada. ele deixou de cumprir 52 minutos de sua jornada. eie excedeu sua jornada em 18 minutos. eie excedeu sua jornada em 24 minutos.

60

MATEMÁTICA E RACiOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

8. (FCC) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quántas gavetas deverá usar? (A) ~(B) (C) (D) (E)

33 48 75 99 165

9. (FCC) Um funcionário demora 6 horas para fazer um certo serviço, enquanto outro leva 8 horas para fazê-lo. Que fração desse serviço os dois fariam juntos em 3 horas? (A) (B) (C) (D) (E)

1/14 1/7 2/3 3/4 7/8

10. (FCC) Simplificando-se a expressão 5 - 1/5 x 4 + 11/6 obtém-se um número (A) (B) (C) (D)

negalivo. compreendido entre 0 e 2. compreendido entre 2 e 4. compreendido entre 4 e 6 .

(E ) m aior do q u e 6.

(CESPE) Texto para as questões 11 e 12. Considere que foram gastos R$ 1.563,00 para abastecer com café e açúcar a copa de um escritório de advocacia. Sabendo-se que cada pacote de 500 g de café custou R$ 5,85 e que cada pa cote de 5 kg de açúcar custou R$ 4,25 e ainda que as quantidades de pacotes de açúcar e de pacotes de café estão, nessa ordem, na proporção 2/3, julgue os itens seguintes.

11 . O mínimo múltiplo comum entre os números que representam as quantidades de pacotes de café e de açúcar é inferior a 300, ( ) Certo

( ) Errado

12 . O máximo divisor comum

entre osnúmeros que representam as quantidades de pacotes de café e de açúcar ésuperior a 50.

( ) Certo

( ) Errada


í

:

61

'

13. (FCC) Em um determinado banco, o funcionário Antônio, trabalhando sozinho, realiza uma tarefa em 10 dias. Dando inicio ao trabalho e tendo trabalhado so zinho apenas 2 dias, no terceiro dia Antônio junta-se ao funcionário Bernardo e em 3 dias de trabalho concíuíram a tarefa. Supondo constante o desempenho desenvolvido por esses füncionários para realizarem seus trabalhos, tem-se que Bernardo, trabalhando sozinho, realizaria toda a tarefa em (A) (B) (C) (D) (E)

10 dias. 8 dias. 6 dias.

5 dias. 4 dias.

14. (FCC) Um número de 1 a 10 foi mostrado para três pessoas. Cada pessoa fez a seguinte afirmação sobre o número: Pessoa I: o número é divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Pessoa H: o número é impar. Pessoa fil: o número é múltiplo de 5. Considerando que apenas duas pessoas dizem a verdade, o total de números distintos que podem ter sido mostrados às três pessoas é: (A) 2 (B) 3 (C )4 (D) 5 (E) 6

GABARITO 1 - c

2 -8

3_c

4- E

5- E

6 - B

7- C

8 - A

9- E

tu l o

11 - E

12 - C

13 - C

14 - B

EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES

EQUAÇÃO DO 1 ° GRAU Equação é toda sentença aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo aqui, que em latim significa igual. Exemplos: 2 x - 8 —0

4x (x-9) = 22

Equação do L° grau é toda equação da forma ax + b = 0, com a *

0.

-

Cálculo de uma equação do 1.° grau 1.°) Resolva as equações abaixo: A) 2x - 4 = x-7 Resolução:

2x - 4 = x-7 2x - x = -7 + 4 x = -3

SE LIGUE! Quando mudamos o número ou expressão de um membro, trocamos a operação: soma peía subtração, subtração pela soma e multiplicação pela divisão.

64

MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Villar

B) 4 (x - 3) = 5x - 6 Resolução: 4 (x - 3) = 5x - 6 4x - 12 = 5x - 6 4x - 5x = - 6 + 12 -x = 6 (- 1) x=6 C) - + 2

3

obs.: 4 (x - 3) == 4.x - 4.3 = 4x - 12.

obs.: o coeficiente .t não pode ser negativo, por isso multiplicamos por -1 a expressão.

1 = 7

Resolução: Nesse caso, temos uma equação do 1.° grau fracionária. L° passo: Tirar o M.M.C. de todos os denominadores da equação, de forma que permaneça apenas um. Nesse caso aplicamos a regra de adição de fração com denominadores diferentes. M.M.C. de 2 e 3 = 6 3.* + 2(* + l) = 7.6 6 2 .° passo:

Cancelar o denominador. 3x + 2x + 2 = 42 \ " Não esqueça de que o denominador dever ser o mesmo para todos os numeradores da equação. 3.° passo: Resolver a equação que está no numerador. 3x + 2x + 2 = 42 5x = 42 - 2

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES

5x = 4 0

obs.: 5x é uma multiplicação (5.x), logo passamos o 5 para o outro membro dividindo.

40

x

65

T x = 8

D) £ . i ± i . L 3 5 15 O M.M.C. de 3,5 e 15 = 15. 5.x —3(jc + 3) = 7.1 15 5.x—3(x + 3) = 7.1 ------------------------- = dx - 3x ~ 9 = 7

H

2x = 7 + 9 2 x = 16 =

—

2 x = 8”

Problemas envolvendo equação do 1.° grau Uma dos maiores dificuldade do concursando é interpretar o problema e reconhecer o assunto. Toda questão que envolve uma equação informará uma quantidade desconhecida. Linguagem algébrica

Linguagem corrente

X

Número desconhecido

2x

O dobro de um número

3x

0 triplo de um número

4x

0 quádruplo de um número

X

2

A metade de um número

66


Linguagem algébrica

Linguagem corrente

JC

A terça parte de um número

l 3 x, x+ 1 , x+2...

Números consecutivos

2n

Número par

2 n+1

Número impar

2n+2, 2n+4, 2n+6...

Números pares consecutivos

2n+1, 2n+3, 2n+5...

Números ímpares consecutivos

1

0 inverso de um número

Treinamento comentado 1. A diferença entre o quádruplo de um número e a terça parte desse mesmo nú mero é 187. Esse número é: (A) (B) (C) (D) (E)

primo múltipla de 11 múltiplo de 3 divisível por 4 múltiplo de 5

RESOLUÇÃO: Quádruplo: 4x e terça parte = —. ■■■■■■"■v ' 4x - — = 187 ■■ : : 3.4.x —x —187.3

12x - x = 561 11x = 561 , ..

.

x = 561'; i x = 51

V

51 é múltiplo de 3, pois 51 é divisível por 3. Resposta: letra C.

67


|

:

-

2. (INSS) Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1.000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de (A) (B) (C) (D) (E)

2400,00 1800,00 2200,00 1100,00 2000,00

1

.a Opção de resolução:

1v 1/4 do valor do prêmio = — 4

1/3 do valor do prêmio = — 3

SE LIGUE! As expressões do e de em matemática têm a função de multiplicação. 1 lx Vaior do prêmio = x. Logo 1/4 do valor do prêmio = —jc = —

4

4

] £ '+ l £ + io o o = x4

' 3

3 jf + 4 x + 1 2 0 Q 0 = 12jc

X 7x - 12x = -12000 -5x —-120G0(-1} 5x = 12000

■

‘

x = 12000 = 2400 5 i

•

.V

Resposta: letra A.. 2.a Opção de resolução: Fração realizada pela pessoa

Valor

l.a pessoa: —

Não sabemos

4 r 2.a pessoa: j 3.a pessoa: não sabemos

Não sabemos

1000

68

MATEMÁTICA E RACíOCÍNÍO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

4

3

12

12

Podemos concluir que a primeira e a segunda pessoa receberam juntas isto é, ■■■■c ■ 19 7 partes de 12. Logo a terceira pessoa recebeu j L (12 - 7 - 5). ■12 A seguinte fração eqüivale ao que a terceira pessoa ganhou: que corresponde 12 a 1000. 2£ = 1000 {: 5, dividin 12 Obs.: os numeradores sempre devem possuir um divisor comum. — = 200. Logo: x = 12.200 = 2400. 12

3. (TRE) Um funcionário do TRE arquivou 2/5 das laudas de um processo pela manhã e pela tarde mais 3/8 e no outro dia as 36 laudas restantes. Quantas laudas tinha esse processo? (A) (B) (C) (D) (E)

160 220 180 240 200

1 .a opção de resolução:

5

8

M.M.C. de 5 e 8 = 40' 8 .2 a - + 5.3.V + 4 0 . 3 6 = 4 0 ' j c 40 8 . 2 jc + 5 .3 . x + 4 0 . 3 6 = 4 0

jc

16x + 15x + 1440 = 40x 31x - 40x = -1440 -9x = -1440(-1} < 9x = 1440

C ap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES

69

í

9 Resposta: letra A.

2 ,a opção de resolução: z. + £. = 5

_ 16+15 _

8

40

40

. Logo a terceira parte é: J L (40 - 31 = 9).

40

40

2 l ~ 36 {;9} 40 Jü_ = 4. Logo: x ~ 40.4 == Í60. 40 Fique esperto: a 2.s opção é muito mais simples e evita utilizar os números de valores aítos.

4. Numa corrida, 2/9 dos atletas que dela participaram desistem depois de darem a primeira volta na pista; na segunda volta desiste 1/7 do que restou e terminam a corrida 18 corredores. Quantos atletas deram a largada? (A) (B) (C) (D) (E)

36 54 27 42 45

1

.a opção de resolução:

-

Vamos observar essa questão com cuidado! Resumo do texto: 2/9 dos atietas que dela participaram, isto é, “£ desistiram depois da primeira volta. ; 9 1/7 do que restou ‘desistiu na segunda volta. Nesse caso não é l £ , pois a questão informou 1/7 do restante. 7 Obs.: Se na primeira volta n desistiram, logo restaram _ . 9' 9 .-.■■■ 1/7 do que restou = — . Z £ = l £ / 9 9

70

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno VtUar

— + — + 18 ~ x

9

9

2x + \x + l 8 . 9 ~ 9x ? - 3x + 162 = 9x

■

-;y:: v :-

! -^ '7 -í

3x - 9x = -162 -6x = -162 {-!)

• '

6x = 162 x = lÉ r - 2 7

6 Resposta: letra C.

2 .a opção de resolução: Quando a questão informar a fração do que restou ou fração restante, utilizaremos o método chamado de volta. Fração usada

Fração restante

.2 9

1

9 "

6

7 Não informado

Obs.: 18 é o valor restante.

Fórmula: o produto das frações restantes é igual ao número restante. Z ; £ = £ 9

7

9J

= 2 3

“£ = 18 (:2) 3 £ = 9. Logo: x = 9.3x = 27. 3 ' A partir de agora vamos utilizar apenas a segunda opção.

5. (TRF-2007) Certo dia, Veridiana saiu às compras com uma certa quantia em dinheiro e foi a apenas três lojas. Em cada ioja ela gastou a quarta parte da quantia que possuía na carteira e, em seguida, usou R$ 5,00 para pagar o es tacionamento onde deixou seu carro. Se após todas essas atividades ainda ihe


71

restaram R$ 49,00, a quantia que Veridiana tinha inicialmente na carteira estava compreendida entre: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS R$ R$ RS

20,00 e R$ 50,00. 50,00 e R$ 80,00. 80,00 e R$ 110,00. 110,00 e R$ 140,00. 140,00 e RS 170,00.

RESOLUÇÃO: 1

.a loja: J_ do totaf. 4 -

2.a loja: 1/4 do que possuía na carteira, iogo T/4 do resto. Fraçao usada

Fração restante 3

4 3 4

4.

I

-43'ir:;-

4

4

1 . 2 . 2 •= zL 4 '4 * 4 "6 4 TJx = 54 (:27) 64 jL

= 2. Logo: x = 64.2 = 128,

64 Resposta: letra D. Esse processo é simples e ajuda a ganhar muito tempo ha prova!

6. (CEF) Certo dia um correntista fez três depósitos de yaíores, A, B e C reais, num total de R$ 3660,00. Se de C subtraímos B, obtemos R$ 305,00 e B corresponde a 3/5 de A. O menor desses três depósitos foi de: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS RS RS

878,00 915,00 1021,35 1220,00 1326,35

72

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

RESOLUÇÃO: Nesse caso temos três equações. í A + B + C = 3660

■

C - B = 305 B =M 5 Agora fique esperto, sempre vai ter um termo que aparece nas três equações. De vemos conservar esse termo e colocar outros em função dele. A variável que aparece nas três equações é a letra B. Logo devemos colocar as va riáveis A e C em função de B. C r B > 305

v. .

C = 305 + B

.

■

;;Y .

b = 2A

5

’

Fazendo uma proporção temos: 5B = 3A a

=

.

>'

3 Agora temos as variáveis A e C em função de B. A + B + C = 3660 l ã. + B + 305 + B = 3660 3 UL + 2B = 3660 - 305 3 UL + 2B = 3355 3 5B-i-3.2B = 3.3355 X 5B + 6B = 10065 11B — 10065 B = 10065 = 915

/■/'.

;-:


S .* * . M U 3 3

.

3

73

_ 1!BS

C s= 305 + B C = 305 + 915 = 1220 Resposta: letra B.

7. (TRT-BA) Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8 anos? (A) (B) (C) (D) (E)

15 16 24 30 32

anos. anos. anos. anos. anos.

RESOLUÇÃO: Questão que envolve tempo: passado, presente e futuro. É importante fazer a tabela abaixo. Passado x-8 .

Presente

Futuro

X

X+8

FIQUE ESPERTO: A idade no passado é x-8. A idade no presente é x. A idade no futuro é x+8. A questão informa que a idade do futuro é o triplo da idade do passado. Futuro = 3 V Passado x + 8 = 3 (x-8) x + 8 = 3x - 24 x - 3x = -24 + 8

.

-2x = -16 (-1) 2x = 16 X = 1 1

= 8

Cuidado: a idade no passado é x-8, por isso ficou 3(x-8). Lembre-se de que é o triplo da idade no passado e por isso são obrigatórios os parênteses.

74

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Vi/lar

8. (TRT 2.a região/2004) Um certo número de processos foi entregue a 5 técnicos judiciários, dando*se a cada um a metade de quantidade recebida pelo anterior. Se o último técnico recebeu 18 processos, quanto recebeu o terceiro? (A) 64 (B) 72 (C) 78 ~ (D) 82 (E) 86

I

RESOLUÇÃO: A questão informa que é metade do anterior, lago temos uma progressão geomé trica.

1.° Fração

x 2

■ 2-° " :

X 4 .

3.°

5.°

4.° ■

X 8

:• x ■ 16

valor

'

x 32 ...... 18

— —->■ Observa que cada fração foi divida por 2. •o-----— Para voltar devemos multiplicar por dois {sentido contrário, operação in versa). ' • :• _r

1° Fração

valor

’

2.° :

4 .0

3.°

„

5.°

.X

.V

.v

X

X

2 ;■

4

8

16

32

72.2 = 144

36.2 = 72

18.2 = 36

18

144:2 = 288

O terceiro recebeu 72. Resposta: letra B.

9. (TRF-1.a região«20Ü6) Certo dia, um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento: ~ nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total e mais meia página; - nos 15 minutos seguintes, a melade do número de páginas restantes e mais meia página: - nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página.

75


Se, dessa forma, ele complementou a tarefa, o total de páginas do texto era um número, compreendido entre: (A) (B) (C) (D) (E)

5e 8 8 e 11 11 e 14 14 e 17 17 e 20

RESOLUÇÃO: Nos primeiras 15 minutos digitou a metade do total e mais meia página: ül + -L = ' 2 2 ■■■ 2

..■

.

. .

A segunda parte será: *.±_It pois é a metade do total mais meia página. Logo te4 ;:dvV:\v 7 y'.j remos uma progressão geométrica. Dica: a metade da segunda: JL . -Y-+1 = 2 2

4

A terceira parte será: * ± i , a metade da segunda. !■ 8 ■■

'

'

Dica: a metade da terceira: X . * + 1 = * + 1 2 4 , 8 A p y n r p s s ã n ç p r á : -Y -I-1

■ '

+

2

.T - H

4

4.

.t + 1 = y

8 /.

4(.r +1) -i- 2(.v +1) + l(.v +1} = S_y 8

4x + 4 -f- 2x + 2 + x + 1 = 8x 7x - 8x -7 -x = -7M ) x= 7 i i

SE LIGUE:

•

Como as partes são; sempre a metade do resto, temos uma progressão geométrica. A expressão inicial’ficou ÜLhi devido à soma da meia página. \ 2 10. (FCC/TRF 2.a região/2007) Pelo controle de entrada e saída de pessoas em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, verificou-se em certa semana que o número de visitantes na segunda-feira correspondeu a

do da terça-feira e

76

MATEMÁTICA E RACIOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

este correspondeu a | do da quarta-feira. Na quinta-feira e na sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um deies iguai ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda à sexta-feira, o total de visitantes foi 750, o número de vipitantes na (A) segunda-feira foi 120. (B) terça-feira foi 150. (C) quarta-feira foi igual ao da quinta-feira. (D) quinta-feira foi igual ao da terça-feira. (E) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira.

RESOLUÇÃO: Resumo da questão: Segunda = 3; de terça-feira. 4 Terca =

de quarta-feira. 3

Quinta = sexta = 2 . segunda. Vamos observar uma relação: t=

fazendo uma proporção temos: 2.q = 3.t. Logo: q = ÂL

Quinta = 2 . segunda e segunda é igual a

Logo temos: 4

Quinta = 2.M. = 4 4

— 3t_. Conclusão: quarta é igual a quinta. 2

Resposta: letra C. Vamos montar a equação: S + t + q + qui + sex = 750 5=3' 4

3 Quinta = sexta =? 2 * segunda.

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SiSTEMA DE EQUAÇÕES

r

77

Coiocando em função de t, temos as seguintes relações: S = 2L q = 3/_ qu| - sex =^2 . 3t_ = 3í

4

2

4

2

Substituindo na equação, temos: 3/ + t + 3/ + 3 /+ 3/ = 750

4

2

3 /+ 4 /

2

2 .....

+ 6t + 6t + 6/ -

3000

2 5 t= 3000 25

Segunda: 3, .120 = 90 Quarta = quinta = sexta: J..120 = 180

Treinamento do concursando 1. {TRE-BA} Certo dia, uma equipe de técnicos especializados em higiene dental trabalhou em um programa de orientação, aos funcionários do tribunal, sobre a prática da higiene bucaí. Sabe-se que 1/3 do totai de membros da equipe atuou no período das 8h às 10h e 2/5 do número restante, das iGh às 12 horas. Se no período da tarde a orientação foi dada pelos últimos 6 técnicos, o total da equipe era: (A) (B) (C) (D) (E)

12 15 18 21 24

2. (TRT 4.a região - 06) Um certo prêmio foi repartido entre 5 pessoas de modo que cada uma recebesse 1/3 da quantia recebida pela anterior. Se a terceira pessoa recebeu R$ 81,00, o total distribuído foi: (A) (B) (C) (D) (E)

RS 729,99 RS 882,00 RS 918,00 RS 1.089,00 RS 1.260,00

78


3. (CORREIOS) Subtraindo-se do quádruplo do inverso de um número oito unidades, obtém-se menos dez. O valor desse número é (A) (B) (C) (D) (E)

-6. -2. 1/4. 4. 1/2.

|

4. (PfVI-2006) Certo mês, todos os agentes de um presídio participaram de programas de atualização sobre segurança. Na primeira semana, o número de participantes correspondeu a % do total e na segunda, ai V* do número restante. Dos que sobraram 3/5 participaram do programa na terceira semana e os últimos 54, na quarta semana. O número de Agentes desse Ipresídio é (A) (B) (C) (D) (E)

200 240 280 300 320

5. (TRT 4.a região - 06) Um armário tem quatro prateleiras. Do total de processos que um auxiliar judiciário deveria arquivar nesse armário, sabe-se que 1/5 foi colocado na primeira prateleira, 1/6 na segunda, 3/8 na terceira e os 62 processos restantes na quarta. Assim sendo, o total de processos arquivados era: (A) (B) (C) (D) (E)

240 210 204 120 105

6. (TRT-BA) O primeiro andar de um prédio vai ser reformado e os funcionários que lá trabalham serão removidos. Se 1/3 do totaí dos funcionários deverão ir para o segundo andar, 2/5 do total para o terceiro andar e os 28 restantes para o quarto andar, o número de funcionários que serão removidos é: (A) (B) (C) (D) (E)

50 84 105 120 150

7. (FCC) O estádio de futebol de uma cidade, depois de passar por obras durante 2 anos, será reinaugurado com um grande jogo de início de campeonato regional, entre o time local e o time vencedor do campeonato anterior. Reformaram o campo, os vestiários, os banheiros e ampliaram a capacidade de receber tor cedores. Num jogo com lotação máxima, o estádio pode receber 5/6 do total de torcedores em arquibancadas, 1/10 em cadeiras estofadas, e os 1000 torcedores restantes em camarotes. A lotação máxima de torcedores desse estádio é de: (A) 20.000

C ap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEMA DE EQUAÇÕES

(B) (C) (D) (E)

79

30.000 7.500 10.000 15.000

8. Fernando e Orestes foram jogar vídeo game. Fernando: Quantas Fichas você com prou? Orestes: Comprei 3/5 do número de fichas que você comprou. Fernando: Então, se eu der a você 2 fichas, ficaremos com quantias iguais? Orestes: Isso mesmo. Quantas fichas cada um comprou? (A) (B) (C) (D)

4 e2 5e 3 6e 1 10 e 6

9. Em um jogo da Seleção Brasileira de Basquete, Hòrtência, Paula e Janete mar caram juntas 55 pontos. Paula marcou a metade dos pontos de Hòrtência e Hòrtência marcou ò triplo dos pontos de Janete. O total de pontos marcados por Hòrtência foi: (A) (B) (C) (D)

20 23 30 42

10. {PIVI-ES CESPE) Considere a seguinte situação hipotética. Os policiais de uma cidade devem cumprir mandados de prisão. Sabe-se que, se x mandados forem cumpridos:por dia, em 12 dias restarão ainda 26 mandados para serem cumpridos e,ise x + 5 mandados forem cumpridos por dia, em 10 dias restarão 22 para serem cumpridos. Nessa situação, a quantidade de mandados de prisão a serem cumpridos é superior a 300. 11. (PIWRB CESPE) Cònsidere-se que, em 2006, 2.700 veículos das marcas mencio nadas no texto tenham passado pelo processo de blindagem e que a quantidade de Vectras tenha sido metade da de Coroilas; a de Hiliux tenha sido metade da de Vectras, e a da marca Passat, metade da de Hiliux. Nessa situação, é correto afirmar que mais de 1.500 veícufos da marca Cqrofla passaram pelo processo de blindagem em 2006. 12. (PMRB CESPE) Paulo e José apostavam em um jogo de sinuca ao valor de R$ 5,00 a partida. No início do jogo, Paulo tinha R$ 230,00 e José, R$ 120,00. No final do jogo, Paulo e José ficaram com quantias iguais. Nessa situação, a diferença entre o número de partidas vencidas por José e o número de partidas vencidas por Paulo foi superior a 12. 13. (WIPE/AWI CESPE) Considere que, de uma gaveta de um arquivo, tenham sido 3 retirados, inicialmente, 35 requerimentos e, depois, mais — do que sobrou, fi-

80 MATEMÁTICA E RACiOClNtO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viitar --------------. ----------------------------------------------- j

cando, ainda, 76 requerimentos nessa gaveta. Nessa situação, é correto afirmar que nessa gaveta havia mais de 220 requerimentos. 14. (MPE/AM CESPE) Uma das atividades de agentes administrativos do MPE/AM é o arquivamento de documentos, e cada um desses agentes tem uma quantidade determinada de documentos para arquivar diariamente. Se x documentos são arquivados por um agente administrativo em uma hora de trabalho, então, ao finai de sua jornada, que é de 6 horas, ficarão 35 documentos sem arquivar, e se ele arquivar apenas x + 3 documentos em duas horas, então, ao final de sua jornada, restarão 62 documentos para serem arquivados. Nessa situação, a quantidade de documentos que devem ser arquivados diariamente por um agente administrativo é superior a 110. 15. (Cesgranrio) Um botijão de 13 kg de gás de cozinha (GLP) é vendido por RS 30,58. Esse preço é composto de três partes: distribuição e revenda, tributos e preço de custo. Se o valor de distribuição e revenda supera em R$ 1,77 o preço de custo, e o preço de custo supera em R$ 5,09 a parte correspondente aos tributos, qual é, em reais, o preço de custo de um botijão de 13 kg? (A) 13,07 (B) 12,49 (C) 12,36 (D) 11,54 (E) 11,30

GABARITO 1- B

2 -D

3- B

4- B

5- A

6 - C

7- E

8 - D

9 -C

10 - C

11 - E

12 - E

13 - C

14 - E

15 - E

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1.° GRAU O sistema de equação do I,° grau com duas variáveis possui a mesma solução para as duas equações. Cálculo de um sistema de equação com duas variáveis Os métodos são: adição, substituição e comparação. Você deve ser perguntar: qual o melhor método? Depende do formato da questão. Por hora vamos treinar o método da adição.

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEM A DE EQUAÇÕES

81

1.°) Resolva os sistemas abaixo: \ x + y = 12

| x —y = 4 O processo da adição somente pode ser utilizado quando somarmos as duas equações e uma variável desaparecer. Nesse caso é possível, pois y somado com -y é igual a zero. x + y = 12 X —y =

4

2 x = 16

x =

16 ?

8

Subsistindo o valor de x = 8 na primeira equação (podemos escolher a primeira ou a segunda equação) x + 8 + y = y =

y = 12 y = 12 12 - 8 4

Nesse caso não podemos somar as equações direto, pois nem x nem y irão desaparecer. Quando isso acontecer devemos realizar o seguinte processo: 1.° Passo: Escolher uma variável para ser anulada; nesse caso, escolheremos a variável x. 2.° Passo: Multiplicar as equações pelos coeficientes invertidos de x. Na primeira equação temos 2x, logo o coeficiente de x é 2. A segunda equação será multiplicada por 2 .

82

MATEMÁTICA E RACíOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Villar

Na segunda equação temos 3x, logo o coeficiente de x é 3. A primeira equação será multiplicada por 3. 3.° Passo: ■ _ Como os coeficientes são 2 e 3, na hora de multiplicar devemos es colher um dos números para ser negativo. Lembre-se: se os coeficientes tiverem sinais iguais, o produto deve conter; um número negativo e outro positivo; se os coeficientestiveremsinais diferentes, os números do pro duto devem ter sinais iguais. Não se esqueça deolhar o sinal! 2x + 3y = l 9(—3) 3x + 5y = 31(2) + - 6 x - 9y = -57 6 x + 1 0 y = 62 y = 5

Obs.: (10 - 9 = 1) Y = 5 (62 - 57)

Escolhendo a primeira equação temos: 2x 2x 2x 2x 2x

+ + + = =

3y ~ 19 3.5 = 19 15 - 19 19 - 15 4

Treinamento comentado 1. Em uma casa há gatos e pássaros em um total de 12 cabeças e 40 patas. De termine a quantidade de gatos dessa casa: (A) 5 (B) (C) (D)
6 7 a 9

Gap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEM A DE EQUAÇÕES

83

RESOLUÇÃO: x = pássaros e y = gatos «(

1: expressão x + y = 12 {total de cabeças) II: expressão 2x {pássaro tem duas patas) e 4y (gato tem 4 patas): 2x + 4y ~ 40 f .r+_v = 12

[2 x + 4 j' = 40 Escolhendo a variável y. v = 12(—4)

}

2.r + 4;> = 40(1) -4x - 4y = -48 2x + 4y = 40 -2x = -8(-2) 2x = 8 x = S_ = 4 9

2. Uma menina resolve fazer um teste de 48 questões. Cada questão acertada ela ganha R$ 5,00 e cáda questão errada ela perde R$ 2,00. Se ela ganhou R$ 86,00, determine a quantidade de questões acertadas pela menina. (A) 22 (8) 24 (C) 26 (D) 28 (E) 32

RESOLUÇÃO: X: acertos e y: erros x + y = 48 (total de questões é a soma dos acertos com os erros). 5x - 2y = 86 (5x é.o valor ganho e 2x é a quantia perdida). Montando o sistema, temos: .x+ _}' = 48 5x - 2y = 86

84

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

Anulando a letra y, temos: |

=

5

[ a—

48( 2) f

2v =

8 6 (l)

~ + 2 x + /2-/ - 9 6 5x - ^

= S6

7x —182

x = IS2 = 26 7 Resposta: letra C.

3. (CEF) Na saída do trabalho, um grupo de amigos foi a uma padaria e três deles se encarregaram de pagar as despesas. O primeiro pagou RS 3,30 por 3 cafés e 2 pães com manteiga. O segundo pagou RS 3,20 por 2 cafés e 3 pães com manteiga. O terceiro piagou, por 2 cafés e 1 pão com manteiga, a quantia de (A) (B) (C) (D) (E)

R$ RS RS R$ RS

1,80 1,90 2,00 2,10 2,20

RESOLUÇÃO: c: café e p: pão com manteiga O primeiro pagou RS 3,30 por 3 cafés e 2 pães com manteiga: 3 c + 2 p - 3,30 0 segundo pagou R5 3,20 por 2 cafés e 3 pães com manteiga: 2c + 3p = 3,20 Descobrindo o valor do pão e do café, descobrimos o valor que o terceiro pagou. Montando o sistema, temos:

3c+ 2p = 3,30

i:2c+ 3p = 3,20 Resolvendo o sistema, vamos anular a letra p. 3 c + 2 p = 3,30(3)

t2c + 3/7 = 3,20(-2)


r

85

9c + õp = 9,90 -4c+-6p = -6,40 5c = 3,“" c = M S = 0,70 5 Substituindo o valor de c na equaçao 3c + 2p = 3,30 3.0,70 + 2p = 3,30 2,10 + 2p = 3,30 2p = 3,30-2,10 2p = 1,20 2 O terceiro pagou, por 2 cafés e 1 pão com manteiga: 2.0,70 + 0,60 = 1,40 + 0,60

= 2,00 . Resposta: letra C.

4. (FCC-2001) Um grupo de policiais encontrava-se em uma saia para assistir a uma projeção sobre segurança nas escolas. No primeiro intervalo ninguém entrou, mas retiraram-se 12 homens e 5 mulheres, restando na sala um número de mu lheres igual ao dobro do de homens. No segundo intervalo, ninguém saiu, mas entraram 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao número de mulheres. Qual era o número de pessoas na sala no início da projeção? (A) (B) (C) (D) (E)

75 73 68 65 42

RESOLUÇÃO: Resumo da primeira relação: No primeiro intervalo ninguém entrou, mas retiraram-se 12 homens e 5 mulheres, restando na saia um número de mulheres igual ao dobro do de homens. h - 12: quantidade de homens que restaram e m - 5: quantidade de mulheres que restaram. O dobro do número de homens restantes é igual ao número de mulheres restantes. 2{h - 12} = m - 5 2h - 24 = m - 5


86

Resumo da segunda relação: No segundo intervalo, ninguém saiu, mas entraram 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao número de mulheres. h - 12 +18 = h + 6 {Não esqueça de que os 18 homens devem ser somados aos _homens restantes, logo h -12). m-5+2=m-3

...

.......V.

O número de homens igual ao número de mulheres h+ 6= m-3 Retirando as duas equações, temos: I: 2h - 24 = m - 5 e U: h + 6 = m - 3 l: 2h - m = 19 e h - m = -9

J 2/i-m = 19. \ h - m = —9(—I) +2h-.ní = 19 -h + jrrf —9 h - 28

' ' ‘i

II: h - m = -9 28 - m = -9 -m = -9 - 28 -m = -37Í-1)

: ’ ■. ■\ i' ' ;

m = 37 Total: 28 + 37 = 65. Resposta: letra D.

5. (FCC-2001) Um grupo de policiais em treinamento queria se sentar em ban cos espalhados no pátio de um quartei, mas toda vez que 3 sentavam-se em um banco, sobravam 20 policiais em pé e quando sentavam 5 policiais em um banco, sobravam 6 bancos vazios; A quantidade de policiais do grupo era: (A) 25 (B) 50 (C) 59 (D) 65 (E) 95


87

RESOLUÇÃO: Retirando a primeira relação: Toda vez que 3 sentavam-se em um banco, sobravam)20 policiais em pé. P = 3b + 20 Retirando a segundai relação: Quando sentavam 5 ;polrciais em um banco, sobravam 6 bancos vazios. Cuidado: a quantidade de bancos ocupada é b - 6 . Se ligue: 5 vezes a quantidade de bancos ocupados! P = 5(b - 6 ) Resolvendo o sistema usando o processo da comparação P= P 5{b - Ô) = 3b + 20 5b - 30 = 3b + 20 5b ~ 3b = 20 + 30 2b = 50 b = 52 = 25

2 Substituindo b = 25 na expressão P ~ 3b + 20 , temos: P = 3.25 + 20 = 75 + 20 = 95. Resposta: letra E.

Treinamento do concursando 1. (FCC) Em um treino; de basquete, um jogador ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3 pbntos por cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26 pontos. \Logo, o número de cestas qué eie acertou foi: (A) 3 (B) (C) (D) (E)

4 5 6 7

2. (TRF 2.a região/2007) De acordo com um relatório; estatístico de 2006, um setor de certa empresa expediu em agosto um total de 1 347 documentos. Se a soma dos documentos expedidos em setembro e outubro foi o triplo do de agosto e

1

88


o número dos expedidos em setembro ultrapassou o de outubro em 853 uni dades, a diferença entre a quantidade de documentos expedidos em setembro e a de agosto foi (A) 165 (B) 247 (C) 426 * (D) 427 (E) 1 100 Texto para as questões 3 e 4. {CODEBA CESPE) Considere que, em um porto, existam 2 grupos de guardas por tuários, A e B, e que cada guarda de um mesmo grupo trabalhe a mesma quantidade de horas por dia. Suponha que a soma de horas diárias trabalhadas por 3 guardas do grupo A com as horas diárias trabalhadas por 4 guardas do grupo B seja igual a 87 horas, e que a diferença entre as horas trabalhadas por 4 guardas do grupo B e as horas trabalhadas por 3 guardas do grupo A seja iguai a 33 horas. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 3 - A soma das horas diárias trabalhadas por um guarda do grupo A com as horas diárias trabalhadas por um guarda do grupo B é igual a 24 horas. 4 - Os guardas do grupo A trabalham mais de 10 horas por dia. 5. (MPE/AM CESPE) Considere a seguinte situação hipotética Considere que 740 espectadores tenham ocupado os camarotes e as cadeiras comuns do teatro para assistir a uma peça e que o preço de cada cadeira tenha sido de RS 170.00 e o de cada camarote, para duas pessoas; de R$ 520,00. Considere, ainda, que cada camarote vendido tenha sido de fato ocupado por duas pessoas e que a renda obtida com a venda dos ingressos tenha sido de R$ 133.900,00. Nesse caso, é correto afirmar que mais de 660 pessoas assistiram à peça sentada nas cadeiras comuns do teatro. 6. (MPE/AM CESPE) Julgue o item a seguir: a renda mensal do casai Márcio e Lúcia é igual a R$ 4.600,00. Se Márcio pagar o aluguel do apartamento onde moram, que é de R$ 600,00, e Lúcia, a prestação do carro da família, que é de R$ 420,00, restará a cada um deles a mesma quantia. Nessa situação, a renda de Márcio é inferior a R$ 2.400,00 e a de Lúcia é superior a R$ 2.200,00. 7. O composto de uma substância A e de uma substância B é vendido por R$ 26,00 por kg. A substância A é vendida por R$ 30,00 o kg e a substância B por R$ 20.00 o kg. O preço do composto é calculado em função das quantidades das substâncias e seus preços. Ás quantidades de A e de B no kg desse composto deverá ser, respectivamente (A) (B) (C) (D) (E)

2Q0g 500g 700g 600g 800g

e e e e e

800g 500g 300g 400g 200g


89

8. Um copo cheio de água pesa 425 gramas. Joga-se a metade da água fora e seu peso cai para 250 gramas. Diante desses dados, o peso do copo vazio, é: (A) (B) (C) (D) (E)

55g 60g 65g 70g 75g

Texto para as questões de 9 a 12. O casal Pedro e Marisa, juntamente com o filho Júnior, de 6 anos de idade, foi a um restaurante que serve comida a quilo. A balança do restaurante estava cori) defeito e só funcionava para pesos superiores a 700 g. Assim, depois de se servirem, eles pesaram os pratos dois a dois e os resuitados foram os seguintes: Pedro e Marisa = 1,50 kg; Pedro e Júnior = 1,20 kg; Marisa e Júnior = 0,90 kg. Nessa situação, considerando que o restaurante cobra R$ 16,90 por 1 kg de comida, é correto afirmar que: 09 - Pedro comeu tanto quanto Marisa e Júnior juntos. 10 - A despesa com a refeição dos três foi superior a R$ 30,00. 11 - Nenhum dos pratos pesou mais que 800 g. 12 - Dois dos pratos pesaram, cada um, mais que 850 g.

13. (FUNCAB 2009) Em uma sala existem rapazes e moças. O número de rapazes excede o número de moças em 10 unidades. Se saírem 10 moças da saia, permanecendo todos os rapazes, o número de rapazes passa a ser o dobro do número de moças. O número de pessoas existentes nessa sala é: A) B) C) D) E)

40 50 60 70 80

'

14. {CESPE/AUGE/MG-2G09) Em um concurso estadual, foram aprovados x can didatos, que serão distribuídos para trabalharem em y cidades do estado. Na hipótese de serem encaminhados 2 candidatos para cada cidade,sobrarão 70 candidatos para serem distribuídos. Entretanto, no caso de serem encaminhados 3 candidatos para cada cidade, será necessário convocar mais 40 candidatos classificados nesse concurso. Assinale a opção que apresenta corretamente o número y de cidades e o número x de candidatos, respectivamente. (A) (B) (C) (D) (E)

22 e 114 30 e 130 110 e 290 120 e 320 150 e 410


90

15. (VUNESP) João e Antonio têm R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00, respectivamente. Se, todos os meses, João guardar R$ 250,00 e Antonio guardar R$ 125,00, pode-se afirmar que ambos terão a mesma importância após (A) (B) (C) (D) (E)

36 30 24 18 16

meses, j meses. meses. meses. meses.

GABARITO 01 -

02 -

E

03 - C

04 - E

05 - E

06 - C

07 - D

08 - E

09 - C

10 - C

11 -

E

13 - D

E

14- C

12 -

E

15 - C

EQUAÇÃO DO 2.° GRAU Equação do 2.° grau é toda equação do tipo ax2 + bx + c = 0, com a ^ 0 , a, b, c e R. As equações do 2.° grau são classificadas em completas e incom pletas. Completas: São todas as equações do tipo: ax3 + bx + c = 0, com a, b, c ^ 0. Exemplos: x 2 - 5x + 6 = 0 3x2 - 4x - 7 = 0 Incompletas: São equações que possuem b - 0 e/ou c = 0. Exemplos: x2 - 4x = 0 (c = 0)


91

i : ; Resolução de uma equação do 2.° grau Equações incompletas A) ax 2 + bx = 0 Dica: x = 0 ou x = -

1) Resolva as equações abaixo: a) x2 - 4x = 0 Temos x3 e 4x, o termo comum entre eles é o x, por isso temos: x(x - 4) - 0 x = 0 ou x - 4 i= 0 x = 4 S = {0,4} %

Obs.: a.b = 0, logo temos a = 0 ou b = 0.

' ' Dica: x2 - 4x = 0 a = 1 e b - -4 x == 0 ou x =

a

-4 temos x = 0 o u x = ------= 4 . 1

b) 2 x2 - 8 x = 0 a = 2 e b = -8 x = 0 ou x = x = 0 ou x - 4 B) ax 2 - c = 0 x -

+

Dica: temos: duas raízes simétricas, porém a e c devem possuir sinais diferentes.

92

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Villar

Exemplo: a) x2 - 4 = 0 x2 = 4 I x = +V4 x = ± 2. Logo temos -2 e 2. b) x2 + 16 — 0 x2 = -16 x = + V -1 6

Cuidado: considerando 0 conjunto dos números reais, não temos raiz quadrada de número negativo. Nesse caso não temos raiz real. Equação completa Fórmula de Bhaskara —ò+ V Ã x = — =— 2a

A = b 2 - 4(a)(c). Á (lê-se delta, e esse símbolo é 0 discriminante da equação).

RELAÇÃO: À > 0: a equação possui duas raízes reais diferentes. À ~ 0: a equação possui duas raízes reais iguais. À < 0: a equação não possui raiz real.

Resolva as equações abaixo: a) x2 - 5x + 6 ~ 0 1.° passo: Encontrar os coeficientes, a = 1, b = -5 e c = 6 .


2° A A A A

passo: Calcular o discriminante. = b2 - 4(a)(c) = (-5)* - 4(1 )( 6 ) , ==25-24 = 1

3.° passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara. ~ ò+V _ _a

x

- ( —5 ) ± v r

X

2.1 5+1

x= T X,1 =

“

^2

|2 - 3

5^1

2

, 1 .. 2

2

As raízes são 2 e 3. b) x 2 - 4x - 572 = 0 1 .° passo: Encontrar os coeficientes. a - 1 , b = - 4 e c = -572.

2.° passo: Calcular o discriminante. A = b 2 - 4(a)(c) A - (-4)2 - 4(l)(-572) A = 16 + 2288 A = 2304 3.° passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara. X

-b W Ã 2a

93

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W /ar

94

—(-4 )± j2 3 0 4 X =

2.1

x = x

4+48 í 2 4 + 48 = 52 2 4_4B

x.

2 44 2

2

As raízes são -22 e 26. c) 2x2 + 3x - 54 = 0 1.° passo: Encontrar os coeficientes, a = 2, b = 3 e c = -54. 2 .° passo: Calcular o discrimmante.

A A A A

= = = =

b2 - 4(a)(c) (3 f - 4(2)(54) 9 + 432 441

3.° passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara. _

—ò + V Ã 2a

x

-(3)+V 441 2.2 3+21

x

4 3 + 21

24

4

4

x. As raízes são -4,5 e 6 .


d) x2 + lOx + 25 = O 1.° passo: Encontrar os coeficientes,

a = 1, b = -10 e c = 25. 2.° passo: Calcular o discriminante. A = b2 - 4(a)(c) A = (10 )2 - 4(1)(25) A = 100 -100 ! A = 0 Obs.: A = 0: temos duas raízes reais iguais 3.° passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara. —ò+ V Ã x

2a _

~ (io )± V o

2.1 ■

10+0

x, = x2 =

-1 0

= "5

e) x2 - 3x + 12 -

0

1.° passo: Encontrar os coeficientes. a = 1, b = -3 e c = 12 . 2.° passo: Calcular o discriminante. A = b2 - 4(a)(c) A = (-3)2 - 4(1)(12) A = 9 - 48 A - -39 Obs.: A < 0: não temos raiz real.

95

96

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitiar

Método do concursando! a) x2 - 5x + 6 = 0

í

1.° passo: Encontrar os coeficientes, a = 1, b = -5 e c = 6 . 2.° passo: Fatorar o produto, em números primos. Soma das raízes: -b = -(-5) = 5 Produto das raízes: c = 6 Devemos procurar dois números que satisfaçam essas duas condi ções. A fatoração do produto ajuda a encontrar esses dois números.

O resultado da fatoração foi 2 e 3. Temos: 2 + 3 = 5 e 2.3= 6 . Satisfaz as nossas condições. Logo 2 e 3 são as raízes da equação. b) x 2 + 7x + 12 = 0 Soma: ~b = (-7) - -1 Produto: c = 12 12

6 3 1

Nesse caso temos três números para combinar. 2 e 2.3 = 2 e 6 (2 + 6 ~ 8 , não correspondente, pois a soma tem que ser 7). 2.2 e 3 = 4 e 3 (4 + 3 = 7, correspondente, pois a soma é 7).


r

97

SE LIGUE! Escolhemos um número e multiplicamos os demais, em seguida escolhemos dois números e multiplicamos os*demais, e assim sucessivamente.

As raízes são -3 e -4, pois a soma tem que ser -7. *

................ ....................... Dica: Quando o valor de c for positivo, devemos procurar dois números cuja soma seja igual a -b. Nesse caso as raizes terão sinais iguais e o sinal da "soma{-b)’’determÍnará o sinal das raízes.

c) x2 - 20x + 36 = 0 Soma: -b = -(-20) - 20 Produto c = 36 36 2 1B 2

9 3 3 3 1

Vamos fazer a combinação*: 2 e 2.23.3 = 2 e 18 (a soma é 20) Logo, 2 e 18 são raízes. d) x2 - 3x - 180 = 0 Soma: -b —-(-3) = 3 Produto: c ~ -180 Nesse caso temos o c negativo, por isso uma raiz será positiva e a outra negativa. Lembre-se: para o produto ser negativo, os números devem ter sinais diferentes.

98

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno ViUar

Devemos procurar dois números cuja diferença seja = 3 (-b). 180 2 90 2 45 3 15 3 5 5 1

Combinações: 2 e 2.33.5 = 2 e 90 (90 - 2 = 8 8 , não correspondente, pois a dife rença deve ser 3).

2.2 e 3.35 = 4 e 45 (45 - 4 = 42, não correspondente, pois a dife rença deve ser 3). 2.23.3 rença é 3).

e 3.5 = 12 e 15(15 - 12 = 6 , correspondente, pois a dife

As raízes são 12 e 15, porém falta saber a raiz negativa. Sendo a soma 3, o sinal de menos deve ficar no número 12. Se ligue: 15 - 12 = 3 e 12 - 15 = -3. Agora temos as raízes -12 e 15. e) 2x2 + 3x - 54 = 0 Nesse caso, temos a ^ 1, porém o processo é o mesmo. Soma: ~b = -(3) = -3 Produto: c.a = -54.2 - -108 Obs.: sendo o produto negativo, deve-se procurar as raízes pela di ferença.

C ap . 3 - EQUAÇÕES E SISTEM A DE EQUAÇÕES

99

108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1

Combinações: 2 e 2.3.3.3 = 2 e 54 (não correspondente, pois a diferença deve ser 3). 2.2 e 3.3.3 = 4 e: 27 (não correspondente, pois a diferença deve ser 3). 2.2.3 e 3.3 = 12 e 9 (correspondente, pois a diferença é 3). Os valores são 12 e 9, como a soma é -3. Obs.: 12 - 9 = 3 e 9 - 12 = -3 As raízes são -12 e 9, porém falta o fechamento. Como multiplicamos o produto por 2 (o valor de a), devemos dividir as raízes por 2 . 12 — i

*= --6 9 e 2

=-~4,5

Agora sim temos as raízes da equação: -6 e 4,5. Esse método é fácil e de grande ajuda. É preciso apenas estudar, e para isso foram dispostas equações de treinamento no final do livro. Lembre-se: "Matemática é uma questão de prática” (Bruno Vi liar). Treinamento com entado 1. (TRT-2006) Dois técnicos judiciários receberam, cada um, uma mesma quantidade de processos para arquivar e, ao finai do trabalho, anotaram os respectivos tempos, em horas, que gastaram na execução da tarefa. Se a soma e o produto dos dois tempos anotados eram numericamente iguais a 15 e 54, então quantas horas um gastou a mais que o outro para arquivar o seu tota! de processos? (A) 3

100


(B) 4 (C) 5 (D) 6 (E )7

RESOLUÇÃO: A questão já informou a soma e o produto. Soma - 15 Produto = 54

54 27 9 3 I Combinação: 2

e 3.3.3 - 2 e 27 (não correspondente, pois a soma deve ser 15).

2.3 e 3.3 = 6 e 9 (correspondente, pois a soma é 15). A questão pediu a diferença dos tempos, logo 9 - 6 = 3. Resposta: letra A.

2. (FCC - CEF/2004) Em certo momento, o número de funcionários presentes em uma agência bancária era tal que, se ao seu quadrado somássemos o seu quá druplo, o resultado obtido seria 572. Se 10 deles saíssem da agência, o número de funcionários na agência passaria a ser (A) (B) (C) (D) (E)

12 13 14 15 16

RESOLUÇÃO: Resumo: o quadrado de um número = x2. O quádruplo = 4x.

:


101

5e ao quadrado somássemos o seu quádruplo, o resultado obtido seria 572. X3

+ 4x = 572

,

x3 + 4 x - 572 = 0 Soma: -b = -4 Produto: c = -572 572 2 286 2 143 13 11 11

] Como a diferença é 4, a diferença das raízes é pequena, logo é fácii a combinação. 2,11 e 2.13 = 22 e 26 22 - 26 = -4 e 26 - 22 = 4 As raízes são 22 e -26. Como não existe quantidade negativa de pessoas em uma agência, temos x = 22 . A questão informou que saíram 10 funcionários, logo 22 - 1 0 - 1 2 . Resposta: letra A.

3. (TRF) Uma pessoa sabe que, para o transporte de 720 caixas iguais, sua cami nhonete teria que fazer no mínimo X viagens, levando em cada uma o mesmo número de caixas. Entretanto, ela preferiu usar sua caminhonete 3 viagens a mais e, assim, a cada viagem ela transportou 12 caixas a menos. Nessas con dições o valor de X é: (A) 6 (B) (C) (D) (E)

9 10 12 15

RESOLUÇÃO: I . 3 opção x: número de viagens e y: número de caixas.

102


Resumo algébrico da questão I: x.y = 720

!

II: (x + 3).(y - 12) = 720

Isolando o y na I expressão temos: y = 720 ' ' • x Substituindo a expressão y =

229-

na ii expressão temos:

x (x + 3) (

220.

- 12}

=

720 7

jc

770 j j i_ ’ 720—12.x Colocando a expressão -iáH - 12 no mesmo denominador obtemos: ------------x

g

’

-v

(x -f 3) (Z-20~L2f ) « 720 Multiplicando os termos, temos: 720.x—12 r " + 2 1 6 0 —3 6.x

------------~ --------- :-------- = 720 X

■ ■7 --;

'

Fazendo uma proporção .temos:

-12X2 - 36x + 720x + 2160 = 720x -12X2 - 36 x + 2160 = 0 (: 12}

*

-x 2 - 3x + 180 = 0 (-1) x2 -f 3x - 180 = 0

'.

As raízes são -15 e 12. Como x não pode ser negativo, então x = 12. Resposta: letra D.

2.a opção: Saída pela resposta Informações:

"

•

y = 720 y - 1 2 = J 20,

-V

.V+ 3

;

:

Nesse caso iremos dividir 720 por x e depois por x + 3 se a diferença da resposta for 12 , então encontramos a alternativa correta.

103

C ap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEM A DE EQUAÇÕES

r A)

JC =

6

720 = 720 = x

120

6

.720 - 720 = 720 = 80 x+3 6+ 3 : 9

120 - 80 í* 12. Logo, não é a resposta correta. B) x = 9

720 = 720 = 80 x 9

720 = J 2 0 . = 720 = 6q

x+3

9 + 3 12

80 - 60 5* 12. Logo, nao é a resposta correta. C )x = 10

720 _ 720 = 72 10 x

720 10+3

720 x+3

720 13

72 - 40 s* 12. Logo, não é a resposta correta. D)

12

720 „ 720 x 12

60

720 x+3

720 12 + 3

720 = 48 15

60 - 48 = 12. Logo, a resposta correta é a letra D.

Treinamento do concursando 01. (BB-01 CESPE/2007} Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em de terminada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos elés. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam jus ao quinhão do prêmio, Com a retirada dos amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. 1 ~

Se

x

é

a ; quantidade

de

elementos

do

“grupo

de

amigos"

entao

2.800.000 , p o QQQ_ 2.800.000 A quantidade de eiementos do grupo de amigos que fizeram jus ao prêmio é superior a 11. Cada um dos eiementos do “grupo de amigos" que efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a RS 250.000,00.

104


2. (BB-03 CESPE/2007) Um grupo de amigos saiu para assistir a um Filme no cinema do bairro. Lá chegando, constataram que o preço das entradas para todos, refrigerantes e pipoca era de R$ 585,00. Esse valor deveria ser dividido inicialmente jentre todos do grupo, mas, por delicadeza, os integrantes do grupo que moravam nesse bairro revolveram dividir entre eles o valor correspondente ao que cabia aos 4 integrantes que não moravam no bairro, o que acrescentou à despesa de cada um dos primeiros a quantia de R$ 20,00.Com base nessa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. 1 - No grupo de amigos hqvia menos de 8 moradores do bairro onde fica o cinema e a cada um deles coube uma despesa superior a R$ 70,00. 2 - indicando por x a quantidade de pessoas do grupo de amigos e por y a quaniia que cada um deles deveria iniciatmenle desembolsar, é correto afirmar que x e y são tais que x x y = 585 e 20x - 4y = 80. 3. (TRF-2007) Em fevereiro de 2007, Cesário gastou R$ 54,00 na compra de alguns rolos de fita adesiva, todos de um mesmo tipo. No mês seguinte, o preço unitário desse rolo aumentou em R$ 1,50 e, então, dispondo daquela mesma quantia, ele pôde comprar três rolos a menos do que havia comprado no mês anterior. Nessas condições, em março de 2007, o preço unitário de tal tipo de rolo de fita adesiva era (A) (B) (C) (D) (E)

RS 4,00 RS 4,50 RS 5,00 R$ 5,50 RS 6,00

4. Alguns técnicos, designados para fazer a manutenção dos 48 microcomputadores de certa empresa, decidiram dividir igualmente entre si a quantidade de micros a serem vistoriados. Entretanto, no dia em que a tarefa seria realizada, 2 dos técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos presentes vistoriar 4 micros a mais que o previsto. Quantos técnicos executaram a tarefa? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
% 1 3/2 3

(E) -3 6. (CESPE PRF 2008) No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas muitas de trânsito recebidas, por ter cometido várias vezes um mesmo tipo de infração

Cap. 3 - EQUAÇÕES E SiSTEM A DE EQUAÇÕES

I

:

105

:

de trânsito, e o valor de cada uma dessas muitas Foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor da multa pela mesma infração sofreu úm reajuste de R$ 40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais queem 2006,pagando umtotal de R$ 6,720,00. Nessa situação, em 2006, o valor de cada muita era (A) (B) (C) (D) (E)

inferior a RS 750,00. superior R$ 750,00 e inferior a superior a RS 850,00 e inferior superior a RS 950,00 e inferior superior a RS 1.050,00.

RS 850,00. a RS 950,00. a RS 1.050,00.

7. (TFC) A importância de R$ 2.400,00 deve ser distribuída como prêmio a 20 jovens, entre moços e moças, da seguinte maneira: o total recebido pelos moços deve ser igual ao total recebido pelas moças e cada moço deve receber R$ 50,00 a mais que cada moça. Cada moço receberá, em reais, a importância de; (A) 60,00 (B) 80,00 (C) 100,00 (D) 120,00 (E) 150,00 8. (TRT-SF 2004) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: (A) 16 (B) 18 (C) 21 (D) 25 (E) 27 9. (PiVl-ES CESPE) Considere que as cadeias de um município mantenham 160 alber gados igualmente distribuídos em cada uma das celas e que, com a reforma de 20 dessas celas, para manter todos os albergados, tenha sido necessário redistri buir para cada uma das celas restantes 4 albergados. Nessa situação, é correto afirmar que a quantidade total de celas nas cadeias desse município é superior a 45 e que, em cada cela, inicialmente, havia menos de 3 albergados. 10. (TRT-AM) Um técnico administrativo foi incumbido de arquivar 120 processos em X caixas, nas quais todos os processos deveriam ser distribuídos em quantidades iguais. Entretanto, ao executar a tarefa, ele usou apenas X-3 caixas e, com isso, cada caixa ficou com 9 processos a mais que o previsto inicialmente. Nessas condições, o número de processos colocados em cada caixa foi (A) 24 (B) 22 (C) 21

MATEMÁTICA E RACiOCtNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Viilar

1 06

(D) 17 (E) 15

GABARITO :

03 - E.

01 - E-E-C

02 - E-C

04 - A

05 - D

06 - B

07 - C

08 - E

09 - E

10 ~ A

Treinam ento fin a l do ca p ítu lo

____________________________________

1. (CESGRANRIO) O Centro de Pesquisas da Retrofaras (Cenpes), que está sendo ampliado, passará a ter 23 prédios de laboratórios. Se a quantidade atuai de prédios de laboratórios do Cenpes supera em 5 unidades a quantidade de pré dios de laboratórios que ocuparão a parte nova, quantos prédios de laboratórios há atualmente? (A) (B) (C) (D) (E)

8 9 12 13 14

2. (FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si a tarefa de digitar as 245 páginas de um texto. Entretanto, no dia da divisão, o grupo foi acrescido de mais dois técnicos e, assim, coube a cada membro do novo grupo digitar 14 páginas a menos do que j inicialmente previsto. O número de técnicos que cumpriu a tarefa era (A) 7 (B) 6 (C) 5

(D) 4 (E) 3 3. (FCC) Pretende-se dividir a quantia de R$ 2 500,00 em duas partes tais que a soma da terça parte da primeira com o triplo da segunda seja igual a R$ 2 700,00. A diferença positiva entre os valores das duas partes é de (A) (8) (C) (D) (E)

R$ 700,00 RS 800,00 RS 900,00 RS 1 000,00 R$ 1 100,00

■

C ap. 3 - EQUAÇÕES E SISTEM A DE EQUAÇÕES

107

4. (FCC) Alguns processos a serem arquivados foram distribuídos a très técnicos judiciários, A, B e C, do seguinte modo: B recebeu o triplo de A e C recebeu a metade de B. Se a diferença entre a maior e a menor quantidade de processos distribuídos era de 48 unidades, o total de processos era (A) (B) (C) (D) (E)

132 148 156 168 176

|

:

5. (FCC) Alguns técnicos judiciários decidiram dividir igualmente entre si as 300 páginas de um texto a ser digitado. Entretanto, úm deles foi designado para outra atividade e, assim, coube a cada um dos outros digitar 15 páginas a mais que o combinado. Ò número de páginas que cada técnico digitou foi (A) (B) (C) (D) (E)

80 75 72 65 60

6. (FCC} Duas cestas idênticas, uma com íaranjas e outra com maçãs, são coloca das juntas em uma balança que acusa massa total igual a 32,5 kg. Juntando as laranjas e as maçãs em uma única cesta, a massa indicada na balança é igual a 31,5 kg. Nestas condições, a massa de duas cestas vazias, em kg, é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

0,5 1,0 1,5

.

2,0

2,5

7. (FCC) Um lote de processos deve ser dividido entre os funcionários de uma seção para serem arquivados. Se cada funcionário arquivar 16 processos, restarão 8 a serem arquivados. Entretanto, se cada um arquivar 14 processos, sobrarão 32. O número de processos do lote é (A) (B) (C) (D) (E)

186 190 192 194 200

8. (CESGRANIO) Duto que vira horta Na quinta-feira^ a Petrobras terá a primeira colheita de suas hortas fluminenses. O foco no cultivo de alimentos orgânicos está no projeto de agricultura familiar, iniciado pela estatal nas cidades de Duque de Caxias e Nova Iguaçu em dezembro de 2005. Jornal O Giobo. 15 maio 2007.

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

10 8

Ao todo, 85 famílias fazem parte desse projeto. Se o número de famílias de Duque de Caxias corresponde ao tripio do número de famílias de Nova Iguaçu, menos 3, quantas são as famílias de Duque de Caxias? (A) (B) (C) (D) (E)

22 42 58 63

f

66

9. (CESGRANRIO) Numa refinaria trabalham homens e mulheres divididos em dois turnos. No primeiro turno, 3/5 dos trabalhadores são homens. No segundo turno, os homens representam 7/11 dos trabalhadores, Sabe-se, também, que são ao todo 696 homens e que no segundo turno trabalham 200 pessoas a mais do que no primeiro. Quantas pessoas trabalham no primeiro turno dessa refinaria? (A) (B) (C) (D) (E)

415 460 567 615 660

10. (CESGRANRIO) Para comprar um sanduíche, um refresco e um sorvete, gastei R$ 9,00. Se eu comprasse um refresco, três sorvetes e um sanduíche, gastaria R$ 15,00. Com a quantia necessária para comprar um sanduíche e um refresco, quantos sorvetes posso comprar? (A) (B) (C) (D) (E)

2 3 4 5 6

11. (CESGRANRIO) Uma empresa aluga saveiros para grupos de turistas por um preço fixo. Se o preço do aluguel for dividido igualmente entre 25 pessoas, cada uma pagará x reais. Se a divisão for entre 20 pessoas, o preço por pessoa será igual a (x + 5) reais. Sendo assim, pode-se concluir que o aluguei desses saveiros custa, em reais: (A) (B) (C) (D) (E)

600,00 500,00 450,00 250,00 200,00

12. (CESGRANRIO) "A WIBR, em um ano de contrato com o Orla Rio, coletou 15.519 litros de óleo de cozinha nos 309 quiosques das praias cariocas. A matéria-prima deu origem a 3 toneladas de sabão pastoso.” Jornal O Globo, 22 jul. 2008.

C ap. 3 - EQUAÇÕ ES E SiSTEM A DE EQUAÇÕES

I

"

“

109 "

Considere que a quantidade de óleo coletada nos primeiros seis meses tenha corres pondido à metade da quantidade coletada nos últimos seis meses, mais 618 iitros. Quantos iitros de óleo foram coietados nos primeiros seis meses? (A) 4.967 (B) 5.585 (C) 6.687 (D) 8.334 (E) 9.934 13. (FCC) Do total de processos arquivados por um técnico judiciário, sabe-se que: 3/8 foram arquivados numa primeira etapa e 1/4 numa segunda. Se os 9 processos restantes foram arquivados numa terceira etapa, o totai de pro cessos era (A) (8 ) (C) (D) (E)

18 24 27 30 34

14. (FCC) O chefe de uma seção de certa empresa dispunha de 60 ingressos para um espetáculo, que pretendia dividir igualmente entre seus funcionários. Como no dia da distribuição dos ingressos faltaram 3 funcionários, coube a cada 'um dos outros receber 1 ingresso a mais do que o previsto. O número de ingressos entregues a cada funcionário presente foi (A) (B) (C) (D)

3 4 5 6

(E )7 15. (FCC) No almoxarifado de uma empresa há canetas e borrachas num total de 305 unidades. Se o número de canetas é igual ao triplo do número de borrachas diminuído de 35 unidades, o número de canetas é: (A) (B) (C) (D) (E)

160 190 200 220 250

16. (FCC) Dispõe-se de aigumas pastas para acondicionar um certo número de documentos de um iote. Sabe-se que se forem colocados 30 documentos em cada pasta, sobrarão 36 documentos do lote; entretanto, se cada pasta receber 35 documentos, restarão apenas 11. O total de documentos do lote é um número (A) primo.

110

M A TEM Á TIC A E RACIO CÍNIO LÓGiCO QUA NTITA TIVO -B ru n o VMar

(B) (C) (D) (E)

quadrado pérfeito. cubo perfeito. divisível por 5. múltiplo d^ 6 .

17. A soma das idades de Gabrieia e izabela é 63ianos. A divisão da idade de uma pela idade da outra é igual a 6. Se Gabrieia é mais velha que izabela, pode-se afirmar que sua idade é iguai a (A) (B) (C) (D) (E)

10 18 27 54 56

anos. anos. anos. anos. anos.

18. Um proprietário possui dois sítios vizinhos, com áreas diferentes, sendo que a área do sítio menor eqüivale a 3/4 da área do sítio maior. Ele pretende deixar um sitio para cada filho, e estipulou que o filho que ficar com o sítio maior deverá ceder 6 hectares (ha) para o irmão, e assim ambos ficarão com áreas iguais de terra. O sítio menor possui (A) (B) (C) (D) (E)

48 44 40 36 32

ha. ha. ha. ha. ha.

19. Na doceira, uma consumidora comprou uma dúzia de bombons e meia dúzia de trufas e pagou um total de R$ 42,00. Se ela tivesse comprado meia dúzia de bombons e uma dúzia de trufas, o valor pagó teria sido acrescido em R$ 6,00. Pode-se concluir, então, que o preço de umi bombom e de uma trufa, juntos, é iguai a (A) (B) (C) (D) (E)

RS 3,50. RS 4,00. RS 4,50. RS 5,00. R$ 6,00.

20. Bento e Caio tinham, juntos, R$ 96,00. Bento emprestou R$ 20,00 a Caio e restoulhe a metade da quantia com que Caio ficouL Originalmente, Bento tinha (A) (B) (C) (D) (E)

RS R$ RS RS RS

58,00 56,00 54,00 52,00 50,00

Cap. 3 - EQUAÇÕ ES E SISTEM A OE EQUAÇÕES

111

21. (VUNESP 2009) Um determinado presídio abriga um total de 376 detentos em 72 celas. Sabe-se que uma parte dessas celas abriga 4 detentos por cela, e que a outra parte abriga 6 detentos por cela. O número de celas com 4 detentos é igua! a (A) 46. (B) (C) (D) (E)

42. 30. 28. 24.

22. (VUNESP 2009) Uma nova penitenciária foi projetada para acomodar 400 deten tos em duas alas, sendo que a capacidade da alá maior corresponde a 5/3 da capacidade da aia menor. A ala maior foi projetada para acomodar (A) 150 detentos. (B) 180 detentos. (C) 240 detentos. (D) 250 detentos. (E) 280 detentos. 23. (VUNESP) Um motorista reservou uma determinada quantia em dinheiro para fazer uma pequena viagem. Gastou a metade da quantia total reservada para colocar combustível no carro, e 2/5 da quantia restante para pagar pedágios, ficando, ainda, com R$ 54,00. Para pagar os pedágios ele gastou um total de (A) R$ 24,00. (B) (C) (D) (E)

RS R$ R$ RS

36,00. 63,00. 72,00. 90,00.

24. (VUNESP 2009) Quatro agentes penitenciários fizeram um determinado número total de horas extras no último mês. Sabe-se que Luís fez 1/5 desse total, que Mário fez o triplo dê Luís, que João fez 1/3 do que Luís fez e que Otávio fez 5 horas extras. Pode-se concluir, então, que o número de horas extras que Mário fez nesse mês foi (A) (B) (C) (D)

2,5. 7,5. 15,5. 22,5.

(E) 37,5.

112

MATEMÁTICA E RACiO ClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

GABARITO 1- E

2- A

3- E

< i •ef

5- B

6- D

7- E

8- D

9- B

10 - A

11 - B

12 - B

13 - B

14 - C

15 - D

16 - E

17 - D

18 - D

19 - D

20 - D

21 - D

22 - D

23 - B

24 - D

MATEMATICA FINANCEIRA BASICA

RAZÃO E uma divisão ou quociente de dois números inteiros a e b com bÔ . q_

b a é chamado de antecedente e b é chamado de conseqüente. SE LIGUE! Quando a expressão

b

representar um razão deve ser pronunciada assim:

a está para b A razão de a/b •

A razão é uma comparação entre grandezas. Obs.: Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Razões especiais a) velocidade média y m = distância tempo

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

114

b) densidade de corpos d s= mossa vohar\e -

c) densidade demográfica _ população área d) escala Q—

comprimento do desenho ; comprimento real

Treinamento comentado_______ ___________________________________ 1. Em uma sala de aufa há 150 aiunos, sendo 60 moças. Calcule: a) A razão entre o número de moças e o total de alunos. Devemos seguir a ordem: m99as = total

150

~

150;

- -^-3 = ~

15

5

b) A razão entre o número de rapazes e o número de moças. Devemos seguir a ordem: r..?.P—ze.L - -^2.= total 150

150

= —

5

Proporção

É uma igualdade de razoes. Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do1 .° parao 2.° for igual à razão do 3.° para o 4.°. Assim: /J

y*V

“ — — ou a:b b d

—

c:d (lê-se “a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da proporção, a e d os extremos da proporção.

115

Cap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

Propriedade fundamental da proporção

b

~ temos a.d = b.c (o produto dos extremos a

é

igual ao produto

dos meios).

Treinamento comentado 1. (INSS) A razão entre (o número de homens e de mulheres, funcionários da firma W, é 2 , Sendo N o inúmero total de funcionários (o número de homens mais o 5 número de mulheres}, um possível valor para N é: (A) 46 (8) 49 (C) 50 (D) 54 (E) 56

RESOLUÇÃO: Nessas questões de razão temos proporção/com o objetivo de descobrir o total de elementos. Podemos usar a seguinte fórmula:

total

soma das

partes

As partes são 5 e 3.

x = jy _ 5+3

=' n_ 8.

Entre as alternativas, quaí número é divisível por 87 Resposta: letra E.

2. Um certo metal é obtido fundindo-se 15 partes de cobre com 6 partes de zinco. Para obter-se 136,5 Kg desse metal, são necessários: (A) 91,8 kg de cobre (B) (C) (D) (E}

41,5 kg de zinco ; 92 kg de cobre 45 kg de zinco 97,5 kg de cobre

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

116

RESOLUÇÃO: K é o coeficiente de proporcionalidade.' | K = ______ total _____ - 136,5 _ 136,5 _ ^ soma das partes 15 + 6 21 Zinco: K . parte de zinco ~ 6,5.6 ~ 39 kg. Cobre: K . parte de cobre = 15.6,5 ~ 97,5 kg. Resposta: letra E.

3. (ESAF) Num galinheiro existem galinhas e galos na razão de 17/3. Sabendo-se que o número de galinhas supera em 210 o número de galos, a quantidade de galos é: (A) (B) (C) (D) (E)

30 35 40 45 48

RESOLUÇÃO: Galinhas = 210 + gaios. Galinhas - galos = 210. Cuidado, pois o total é obtido pela diferença. Nesse caso temos:

________total ________ diferença K=

910

das

partes

710

_

1 7 -3

= 15

14

Galos: 3.15 = 45 Resposta: letra D.

4. (TRT/CG - 03) Uma empresa resolveu aumentar o seu quadro de funcionários. Numa 1." etapa contratou 20 mulheres, ficando o número de funcionários na razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa 2.° etapa foram contratados 10 homens, Ficando o número de funcionários na razão de 3 homens para cada 2 mulheres. Inicialmente, o total de funcionários dessa empresa era: (A) 90 (B) 120


117

(C) 150 (D) 180 (E) 200

RESOLUÇÃO: 1.a Relação: Numa l.a etapa contratou 20 mulheres, ficando o número de funcionários na razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Na primeira razão, colocamos as letras e suas variações, por exemplo, a quantidade de mulheres, que foi aumentada em 20, seguindo a ordem dos dados. Na segunda razão colocamos os números correspondentes à proporcionalidade. h _ 4 m + 20 3 2.a Relação: Numa 2.a etapa foram contratados 10 homens, ficando o número de funcionários na razão de 3 homens para cada 2 mulheres. Â quantidade de homens foi aumentada em 10 (h + 10) e as mulheres se mantiveram. Agora, na segunda razão tivemos uma mudança dos números proporcionais. /i + 10 _ 3

m + 20

'

2

Desenvolvendo a 1.a relação, temos: h .4 ■ ' 7/1+ 20 ■-■■■■■3. Aplicando a propriedade fundamental. 3h = 4{m + 20} 3h = 4m + 80 ; I: 3h - 4m = 80Desenvolvendo a 2.a relação, temos: /; + 10 _ 3 m + 20 “ 2 2(h + 10) = 3(m + 20) 2h + 20 = 3m + 60 2h - 3m = 60 - 20 II: 2h - 3m = 40

MATEMÁTICA E RAGlOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna W /ar

118

Montando o sistema com as duas equações temos: 3/j —4w = 80 i 2 h ~ 3m

= 40

Escolhendo a letra h para ser anulada, logo multiplicamos as equações pelos coefi cientes invertidos, Não se esqueça do jogo de sinais: se os coeficientes tiverem sinais iguais, um dos números deve'ser negativo na multiplicação; 3// — 4 r n

—

80(—2)

2/í - 3m = 40(3) + -6h + 8m .= -160 6H - 9m = 120 - m = -40 (-1)

Obs.: a variável não pode assumir valor negativo,

m = 40 Escolhendo uma equação. 3h - 4m = 80 3b - 4.40 = 80 3h - 160 = 80 3h = 80 + 160 3h » 240 h *= 240 - 80 • ;3 Assim, 80 + 40 = 120. Resposta: letra B. 2.a relação: Saída pela resposta! x: total (homens mais mulheres). Na I.3 relação o total foi aumentado em 20 pessoas e os números proporcionais são 4 e 3. 1.a relação:

.x + 20 4+3

Na 2,a relação foi aumentado em 10 pessoas, logo x + 20 + 10 = x + 30, e os números proporcionais são 3 e 2. 2.3 relação:

x+30 3+ 2


119

Agora, a partir das respostas, encontre uma alternativa que possua uma divisão exata nas duas relações. A) x = 90 90+20' 110 ., ,. ,■ ---------- --------- 1 TO nao e divisível por 7 (nao e uma divisão exata). 4+3 7 B) x = 120 1.a: 2.*:

120+20

140

4 +3

7

120+30 3+ 2

140 é divisível por 7, então vamos para a segunda relação.

150 = ------ 150 é divisível por 5, Logo a nossa resposta! ■ 5 ' ' '

5. (FCC) Há 8 anos a idade de “A" era o triplo da de “B" e daqui a 4 anos a idade de “B" será 5/9 da de “A”. Achar a razão entre as idades “A ” e “B”. (A) 1/2 (S) 2/1 (C) 3/2 (D) 2/3 {E> 3/1

RESOLUÇÃO: 1.a relação: Há 8 anos a idade e A era o triplo da de "B" As idades estão no passado, logo as idades são A - 8 e B - 8. Cuidado: A idadè de A no passado é igual ao triplo da idade de B no passado. A - 8 = 3(B - 8) A - 8 ~ 3B - 24 A = 38 -2 4 + 8

.. . . . .

A -3 B -1 6 2.a relação: daqui a 4 anos a idade de "B" será 5/9 da de "A". As idades estão no futuro, logos as idades são A + 4 e B + 4. Cuidado: A idade de B no futuro é igual a 5/9 da idade de A no futuro.

120

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGtCO QUANTITATIVO - Bruna Viilar

B + 4 = | ( A + 4) B+ 4 = 9 Aplicando a propriedade fundamentai da proporção, temos: 9(B + 4) = 5A + 20

Obs.: não esqueça que A = 3B - 16.

9B + 36 = 5(3B - 16) + 20 9B + 36 = 15B - 80 + 20 9B - 15B = -60 - 36 -6 B = -96 (- 1) 68 - 96 ,

'."96 ■ B = — = 16. ' ■6

■

•

;V

A = 3B - 16"' A = 3.16 -16

'

A = 48-16 A = 32 Resposta: — = — = 2/1 B 16 ;

\

B.

6. (FCC) Em uma etapa de certa viagem, um motorista percorreu 50 km. Na etapa seguinte, ele percorreu 300 km rodando a uma velocidade três vezes maior. Se ele gastou t horas para percorrer a primeira etapa, o número de horas que ele gastou para percorrer os 300 km da segunda etapa é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

1/3 t/2 t 21 3t

RESOLUÇÃO: Na primeira etapa a velocidade foi: V = distância — É2. V1 — . tempo

i

'


121

í Na segunda etapa a velocidade foi três vezes maior que Vr V = 3V1

*

■2

..

, 50

150

7

7-

Na segunda etapa a distância foi de 300 km. V = distância tempo 150 =300; -V í x 150x = 300t ; x = 300/ ■■■ 150 ■ x = 2t Resposta: ietra D.

Treinamento do concursando 1. (TRE-BA) Dos 16 veículos que se encontravam em uma oficina, sabe-se que o número X, dos que necessitavam ajustes mecânicos, correspondia a 5/3 do número Y, dos que necessitavam de substituição de componentes elétricos. Se nenhum desses veículos necessitava dos dois tipos de conserto, então X - Y é: (A) (B) (C) (D)

1 2 3 4

(E) 5 2. (TTN) Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Nessas condições a terceira vale: (A) (B) (C) (D) (E)

120 150 320 300 250

122

MATEMÁTICA £ RAClOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Villar

3. (Aux.Adm.-Nossa caixa) Pretendendo comprar determinado modelo de televisão, Pedro fez uma pesquisa e constatou que os preços das lojas A e B para esse produto estão na razão de 7 para 6.. Se a diferença entre os dois preços é de R$ 160,00, en^tão o preço menor é igual a: (A) (B)
R$ R$ R$ R$ RS

860,00 960,00 980,00 1.020,00 1.120,00

4. (TRT-BA) Os salários de dois funcionários A je B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6800,00, qual és a diferença positiva entre os salários dos dois? (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS R$ R$ RS

200,00 250,00 300,00 350,00 400,00

5. (UFBA) De uma caixa contendo bolas brancas e pretas retiram-se 15 bolas bran cas, ficando a relação de uma bola branca para duas bolas pretas. Em seguida, retiram-se 10 pretas, restando, na caixa, bolas na razão de 4 brancas para 3 pretas. Determine quantas bolas havia inicialmente na caixa. (A) (B) (C) (D) (E)

23 16 39 32 36

6. (TRF) Num dado momento, no aimoxarifado de certa empresa, havia dois tipos de impressos: A e B. Após a retirada de 80 unidades de A, observou-se que o número B estava para o de A na proporção de 9 para 5. Em seguida foram retiradas 100 unidades de B e a proporção passou a ser de 7 de B para cada de 5 de A. Inicialmente, o total de impressosf dos dois tipos era: (A) (B) (C) (D) (E)

780 800 840 860 920

7. A razão entre as idades de duas pessoas é atualmente, de 3/4. Há dez anos, essa razão era de 1/3. Pode-se afirmar que a diferença das idades é: (A) 1 ano (B) 3 anos

123


(C) 4 anos (D) 6 anos (E) 10 anos 8. (TRF-2007) Dos 343 funcionários de uma unidade | do tribunal regional federal, sabe-se que o número de homens está para o número de mulheres assim como 5 está para 2. Assim sendo, nessa Unidade, a diferença entre o número de homens e o de mulheres é: (A) 245 (B) 147 (C) 125 (E) 109 (E) 98 9. (TRF FCC 2006) Vaífredo fez uma viagem de automóvel, em que percorreu 380 km, sem ter feito qualquer parada. Sabe-se que em 3/5 do percurso o veículo rodou à velocidade ;média de 90 km/h e no restante do percurso, à velocidade média de 120 km/h Assim, se a viagem teve início quando eram decorridos 69/144 do dia, Valfrédo chegou ao seu destino às (A) 14h18min (B) 14h36min (C) 14h44min (D) 15h18min (E) 15h36min 10. (ESAF MPU 2004) Sé Y é diferente de zero, e se para X, em termos percentuais, é igual a

= 4, então a razão de 2X -Y

(A) 75%.

(B) 25%. (C) 57%. (D) 175%. (E) 200%.

GABARITO 1- D

2 -D

3- B

4- E|

5- C

õ- A

7- C [

8 - B

9- D

10 - D

124

MATEMÁTICA E R ACIOCÍNIO LÓ GICO QUANTITATIVO - Bruno W /a r

NÚMEROS PROPORCIONAIS Números diretamente proporcionais Os números racionais x, y e z são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem: x _ y a

b

z c

Exemplo: Verificar se os números 4, 10 e 30 são diretamente proporcionais aos números 8 , 2 0 e 60. Resolução: — = — = ^5. = 2, divisão constante. Logo os números 4 10 30 são diretamente proporcionais. Números inversamente proporcionais Os números racionais x, y e z são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando se tem: x.a ~ y.b = z.c Exemplo: Verificar se os números 2, 6 e 18 são inversamente proporcionais aos números 9, 3 e 1. Resolução: 2.9 = 6.3 = 18.1 “ 18, multiplicação constante. Logo os números são inversamente proporcionais. Divisão em partes proporcionais Divisão em partes diretamente proporcionais Nesse caso aplicamos a fórmula: ----------j -5------ — r soma cias partes

C ap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

r

125

Treinamento comentado 1. Divídlndo-se o vaior de R$ 9228,00 em partes diretamente proporcionais a 3, 4 e 5, o valor correspondente a 3 é, em Reais, (A) (B) (C) (D) (E)

3460,00. 3652,00. 3845,00. 3076,00. 2307,00.

RESOLUÇÃO: Totai: 9228 e as partes são 3,4 e 5. Aplicando a fórmula: 9228

_ 9228

3 + 4+5

soma

total , temos: das partes

76g

12

O valor correspondente ao número 3 é: 3.769 = 2307. Resposta: letra E.

2. Divida o número 700 em partes diretamente proporcionais aos números 2 e

RESOLUÇÃO: Nesse caso temos um número fracionário, por isso devemos colocar as partes no mesmo denominador. 2 e

= _ — __i . Nesse caso esquecemos o denominador e agora temos como r 2 ' ?2 ■ partes proporcionais os números 4 e 3.

Aplicando a fórmula:

. soma

70Q = 7QQ — io o 4 +3 7 1.a parte: 4.100 = 400. 2.a parte: 3.100 = 300.

total , temos: das partes

126

MATEMÁTICA E RACiO ClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

3. (BANERJ) Repartiu-se certa quantia entre Adriana, Fabiana e Marcelo em partes 3 4 3 proporcionais a e respectivamente, Adriana recebeu $ 8.000,00 menos do que Fabiaha. A quantia recebida por Marcelo corresponde a: -

(A) $ 72.000,00 (B) S 64.000,00 (C) $ 60.000,00 (D) $ 50.000,00 (E) $ 48.000,00

RESOLUÇÃO: Colocam-se as partes no mesmo denominador: 3., í e l = 30,32 e 4 5 8 40

15

Resumo: Adriana tem 30 partes; Fabiana tem 32 partes; Marcelo tem 15 partes. Adriana recebeu $ 8.000,00 menos do que Fabiana. A partir dessa informação podemos concluir que Adriana recebeu 8000 a menos do que Fabiana e Adriana tem 2 partes a menos do que Fabiana,' por isso temos a seguinte conclusão:

;

2 partes = 8000 1 parte = 4000 Marcelo tem 15 partes. Logo: 15.4000 = 60000.

Divisão era partes inversamente proporcionais Nesse caso, antes de aplicar a fórmula -------- devemos ’ r soma das partes mverter as partes. Treinamento comentado

________________ __

1. (TRT-BA) Três funcionários, A, B e C, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa


r

127

de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se A, B e C trabalham no Tribunal há 3, 5 e 6 anos, respectivamente, o número de formulários que B deverá conferir é: (A) (B) (C) (D) (E)

100 120 200 240 250

RESOLUÇÃO: Nesse caso devemos inverter as partes. A = i , B = i e C = i 3 5 6 Colocando os termos no mesmo denominador, temos: 10 6

5

30 A = 10, B = 6 e C = 5. Cuidado, pois a partir de agora esses números são as par tes. 420

420

10+ 6 + 5

21

=

20

B = 6.20 = 120. Resposta: letra B.

2. (TRF-2007) Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45 minutas e resolveram dividir esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se o primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em anos, é: (A) 30 (8) (C) (D) (E)

31 32 33 35

RESOLUÇÃO: Nesse caso não iremos usar a fórmula, pois não temos uma parte. Logo, iremos usar a relação de números inversamente proporcionais.

128

'

MATEMÁTICA E R ACIO CÍNIO LÓ GICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

Idade

Minutas

28

25

X

20(45 - 25 = 20)

O produto entre eies é constante. 20x = 28.25 20x = 700 700 x = ----- = 35 20

Treinamento do concursando 1. (TRT) As sucessões -2; x; y + 1 e z; 5; 8 são inversamente proporcionais é o fator de proporcionalidade entre elas é 120. Então, o valor de x + y - z é: (A) (B) (C) (D) (E)

-22 98 22 15 -15

2. (PETROBRAS) Dividindo-se $ 3.800,00 em partes inversamente proporcionais a 1,3 e 4, a menor parte corresponderá a: (A) (B) (C) (D) (E)

$ 475,00 $ 520,00 S 600,00 S 620,00 $ 650,00

3. (Banco do Brasil) 165 balas foram distribuídas entre 3 irmãos, cujas idades somadas totalizam 33 anos. Sabendo-se que a distribuição foi diretamente pro porcional à idade de cada um, que o mais moço recebeu 40 baias e do meio 50, calcular suas idades. (A) (B) (C) (D) (E)

6, 7, 3, 6, 8,

13 e 14 9 e 17 12 e 18 11 e 16 10 e 15

4. (PIVI-2001) Três policiais decidiram dividir um prêmio em partes inversamente proporcionais ao tempo de serviço dos três na corporação, todos diferentes e


129

I

que somados correspondem a 14 anos. O policial mais antigo com 8 anos de serviço recebeu R$200,00. Sabe-se que outro policia! possui o dobro do tempo do mais novo e a metade do mais antigo na corporação, qual foi o valor do prêmio em RÇ? (A) (B) (C) (D) (E)

1.800,00 1.600,00 2.000,00 2.400,00 1.400,00

5. (CEF/FCC 2004} Curiosamente, dois técnicos bancários observaram que, durante o expediente de certo dia os números de clientes que Haviam atendido eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi: (A) (B) (C) (D) (E)

20 18 16 14 12

6. (TRE-BA) Dois técnicos em eletricidade, Artur e Boni, trabalham em uma mes ma empresa: Boni hã 6 anos e Artur há mais tempo que Boni. Ambos foram incumbidos de instalar 16 aparelhos de áudio em alguns setores da empresa e dividiram a tarefa entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na mesma. Se Artur instalou 4 aparelhos, há quantos anos ele trabalha na empresa? (A ) 8

(B) (C) (D) (E)

' _

10 12 16 18

7. (FCC TRF 2008) Certa noite, dois técnicos em segurança vistoriaram as 130 salas do edifício de uma Unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes in versamente proporcionais às suas respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de salas vistoriadas pelo mais jovem foi (A) (B) (C) (D) (E)

68 66 64 62 60

8. (FCC) Na oficina de determinada empresa há um certo número de aparelhos elétricos a serem reparados. Incumbidos de realizar tal tarefa, dois técnicos dividiram o totai de aparelhos entre si, na razão inversa de seus respectivos

130

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vtllar

tempos de serviço na empresa: 8 anos e 12 anos. Assim, se a um deles coube 9 aparelhos, o total reparado foi

-

(A) (B) (C) (D) (E)

21 20 18 15 12

I

9. (BB FCC 2006) Três pessoas formaram, na data de hoje, uma sociedade com a soma dos capitais investidos iguai a RS 100 OOOjOO. Após um ano, o lucro auferido de R$ 7 500,00 é dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais iniciais investidos. Sabendo-se qúe o valor da parte do lucro que coube ao sócio que recebeu o menor valor é igual ao módulo da diferença entre os valores que receberam os outros dois, tem>se que o valor do capita! iniciai do sócio que entrou com maior valor é: (A) R$ 75 000,00 (B) (C) (D) (E)

R$ R$ R$ RS

60 50 40 37

000,00 000,00 000,00 500,00

10. (TRT-SP/2004) Três técnicos do TRT foram incumbidos de catalogar alguns documentos e dividiram entre si, na razão inversa de seus tempos de serviço público; 4 anos, 6 anos e 15 anos. Se àquele ique tem 6 anos de serviço coube catalogar 30 documentos, a diferença positivai entre os números de documentos catalogados pelos outros dois é: (A) 28 (B) 33
GABARITO 1- B

2 - C

3- E

4- E

5- E

6- E

7- A

8- D

9- C

10 - B .

131

Cap. 4 - MATEMÁTICA FSNANCESRA BÁSiCA

DIVISÃO COMPOSTA N esse caso a questão utiliza duas relações proporcionais e multi plicamos as relações; Treinamento comentado 1. (TRT 24.a região - 03) Caetano fundou uma empresa com um capital de R$ 300.000,00 e após 8 meses admitiu MHton como! Sócio, com R$ 120.000,00 de capital. Ao completar 1 ano de atividades da empresa, houve um lucro de R$ 170.000,00. Na divisão proporcional desse lucro, a parte que coube a Milton foi: (A) (B) (C) (D)

R$ 20.000,00 R$ 40.000,00 RS 50.000,00 R$ 60.000,00

(E) R$ 80.000,00

RESOLUÇÃO: DP - capital

DP-T tempo

Ç = 300 000 ' •

12

M = 120 000

4 Centrou após 8 rrleses, logo 4 meses)

;.

D P-capital.

DP - tempo

C = 300 000 : 1000 = 30 : 6 = 5. .

12:4 = 3

120 000 : 1000 = 12 : 6 - 2

4 :4 = 1 .

1.a parte: 5.3 = 15 2.a parte: 2.1 = 2 ■ : . ) 170000 170000 Aplicando a formula: —— :— = —— — = 10000 ; 15 + 2 17 M: 2.1000 = 20000 '

Resposta: letra A.

"

132

MATEMÁTICA E RACiOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Villar

2. (TRF) Dois funcionários de uma repartição pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas Idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é: .

(A) 48 (B) 50 (C) 52

(D) 54 (E) 56

RESOLUÇÃO: DP: diretamente proporcional

ÍP: inversamente proporcional

DP - idade

IP - tempo de serviço

42 Nesse caso invertemos os números inversos, tornando diretos.1: DP - idade 27

DP - tempo de serviço :

42

1/3 ' 1/9

1 77 l . a parte: 27. - = — = 9 3 3 2.a parte: 42.

9

_ 42 _ 42J _ 14 9 9J 3

Colocando as partes no mesmo denominador: _9 e

21

27

e

14

1.3 parte: 27 e 2.B parte: 21. Aplicando a fórmula:

162 27 + 14

162 41

A questão pediu a diferença das partes: 27 - 14 = 13 {diferença das partes). 13 . 4 = 52 Resposta: letra C.


133

Treinamento do concursando 1. (FCC) Certo mês, o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionários uma gratificação no valor de R$ 500,00. Essa quantia foi dividida entre eles, em partes que eram diretamente proporcionais aos respectivos números de horas de plantões que cumpriram no mês e, ao mesmo tempo, inversamente propor cionais às suas respectivas idades. Se um dos funcionários tinha 36 anos e cumpriu 24 horas de plantões e, o outro, de 45 anos, cumpriu 18 horas, coube ao mais jovem receber: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS R$ RS RS

302,50 310,00 312,50 325,00 342,50

2. (TRF) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos judiciários do Tribunai Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária.

Idade (em anos)

Tempo de Serviço (em anos)

João

36

8

Maria

30

12

Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o toíai de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunai. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era: (A) (B) (C) (D) (E)

39 40 41 42 44

3. (TRF 4.3 região - 2007) Um lote de 210 processos deve ser arquivado. Essa ta refa será dividida entre quatro técnicos judiciários de uma Secretaria da Justiça Federal, segundo o critério: Aluisio e Wilson deverão dividir entre si 2/5 do total de processos do lote na razão direta de suas respectivas idades: 24 e 32 anos; Rogério e Bruno deverão dividir os restantes entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na Secretaria: 20 e 15 anos. Se assim for feito, os técnicos que deverão arquivar a menor e a maior quantidade de processos são respectivamente, (A) (B) (C) (D) (E)

Aluisio e Bruno Aluisio e Rogério Wilson e Bruno Wilson e Rogério Rogério e Bruno

134


GABARITO u I

2- D

3- A

GRANDEZAS Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, contado. Alguns exemplos de grandeza: volume, massa, superfície, comprimen to, capacidade, velocidade, tempo, custo e produção. Grandezas diretamente proporcionais As grandezas diretamente proporcionais mantêm o mesmo padrão, isto é, se uma dobra a outra também, se uma reduz a terça parte a outra grandeza também reduz na mesma medida; e assim sucessivamente. Exemplo: Vamos analisar a relação entre tempo e distância. Tempo (h)

Distância {km)

2

120

3

180

4

240

5

300

Podemos observar que quando o tempo aumenta a distância também au menta, mas o que faz as grandezas serem diretamente proporcionais é que quan do uma dobra de valor a outra também dobra, mantém o mesmo padrão. Uma das maiores dúvidas dos alunos é saber quando as grandezas são diretamente ou inversamente. Uma. grande dica é o seguinte: não existe comparação sem ter um parâmetro, por isso antes de comparar procure estabelecer um parâmetro para depois iniciar a comparação. Exemplo: na relação entre tempo-distância o parâmetro é a velocidade. Principais grandezas diretamente proporcionais: Tempo - distância; Valor - quantidade;

Cap. 4 - MATEMÁTICA FiNANCEiRA BÁSiCA

135

Tempo - salário (valor por hora); Pessoas —produção; Tempo ~ produção.

*

Grandezas inversamente proporcionais O produto entre as grandezas inversamente proporcionais é igual, por isso, se uma grandeza dobrar, a outra se reduz à metade, no intuito de conservar o padrão. Podemos então concluir que se uma grandeza for multiplicada por um número a outra será dividida pelo mesmo número. Exemplo: Vamos analisar a relação entre tempo e velocidade Tempo (h)

Velocidade (Km/h)

2

no

3

80

4

60

5

48

Podemos observar que quando o tempo aum enta a velocidade diminui, pois o produto entre os números é constante: 2.120 = 3.80 = 4.60 = 5.48. Logo^ quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção; Principais grandezas inversamente proporcionais: Tempo - velocidade Tempo - pessoas Dia ~ hora Regra de três simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

136

MATEMÁTICA E R ACIOClNIO LÓ G IC O QUANTITATIVO - Bruno Villar

Passos utilizados na resolução de uma regra de três simples: 1.°) C onstruir um a tabela, agrupando as grandezas da m esm a espécie em colunas e m antendo na m esm a linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2.°) Identificar se as grandezas são diretam ente ou inversam ente propor cionais. 3.°) M ontar a proporção e resolver a equação.

Treinamento comentado

___________

1. (UEFS) Se um veículo percorre 250 km em 4 horas, com a mesma velocidade, em 10 horas, ele percorrerá: (A) (B) (C) (D) (E)

625 km 875 km 1000 km 1250 km 2500 km

RESOLUÇÃO: Distância (km)

Tempo (h)

250

■

'.'4

.'.'X Distância e tempo são grandezas diretamente proporcionais, pois aumentando o tempo, a distância, também aumenta. Nesse caso o parâmetro é a velocidade (constante).' Quando as grandezas forem diretamente proporcionais utilizaremos a reíação funda mentai da proporção, isto é, o produto dos meios é igual ao produto dos meios.

^ X

4x = 250.10 x = 2500 - 625 4 Resposta: íetra A.

4 10


I

:

137

:

2. Uma empresa tem 500 funcionários e distribui, no almoço, durante 30 dias, suco de frutas correspondente a uma unidade de polpa para cada.Considerando-se que a empresa tenha admitido mais 250 empregados, a quantidade de polpa já adquirida será suficiente para um número de dias igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

15 20 25 30 35

RESOLUÇÃO: Nesse caso a quantidade de polpa é a mesma, então não interferi na questão. Funcionários

Dias

500

30

750 Funcionários e dias são grandezas inversamente proporcionais, pais aumentando a quantidade de funcionários, a quantidade de dias de consumo da polpa diminui. Nesse caso o parâmetro é a quantidade de polpa. Dias

Funcionários 500 750 v .,

---------- ........... — _ -------------

30 X

Quando as grandezas forem inversamente proporcionais, o produto entre elas será constante. 750x = 500.30 750x = 15000 x = 15000 = 20 dias 750

■gy/

Resposta: letra B. ;

3. (TRT>6.a regiio-2006) Uma máquina gastou 27 minutos para tirar cópias das pági nas de um documento. Se o serviço tivesse sido executado por outra máquina, cuja capacidade operacional fosse iguai a 3/4 da capacidade da primeira, então teriam sido gastos. (A) 36 minutos (B) 30 minutos e 40 segundos (C) 30 minutos

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Vtllar

138

(D) 27 minutos e 30 segundos (E) 20 minutos e 15 segundos

resolução!

Capacidade

Tempo 27

1

'X

%

Se diminuir a capacidade, então o tempo deverá aumentar; por isso temos grandezas diretamente proporcionais. Tempo •27

Capacidade ---------- --------

1

3.x = 27.1 4 3x = 27. 4 3x = 108 x = 108 = 36 3 Resposta: letra A.

4. (ANA ESAF 2009) Alguns amigos apostam uma corrida num percurso em linha reta delimitado com 20 bandeirinhas igualmente espaçadas. A largada é na primeira bandeírinha e a chegada na última. O corredor que está na frente leva exatamente 13 segundos para passar pela 13.a bandeírinha. Se ele mantiver a mesma velocidade durante o restante do trajeto, o valor mais próximo do tempo em que ele correrá o percurso todo será de: (A) (B) (C) (D) (E)

17,54 segundos 19 segundos 20,58 segundos 20 segundos 21,67 segundos

RESOLUÇÃO: Nessa questão devemos ter cuidado! Pois em exatamente 13 segundos eie passa pela 13.° bandeira, porém não esqueça que eie largou da primeira bandeírinha. Conclusão: ele percorreu 12 bandeiras em 13 segundos.


r

139

Se eie saiu da primeira, iogp, para chegar à vigésima, ele percorre 19 bandeiras. Tempo

Bandeiras

13 x Se aumentarmos o tempo, então o percurso também aumentará, logo grandezas diretamente proporcionais. 1 Tempo

Bandeiras

13 :. X

12.:/.:'.'.. .-■VI.:.-,.

19

12x = 13.19 12x = 260 247 x = ----- = 20,58 segundos. 12 Resposta: letra C

Treinamento do concursando 1, Uma ponte é feita em 120 dias por 16 trabalhadores. Se o número de trabalha dores for elevado para 24, o número de dias necessários para construção da mesma ponte será: i (A) (8) (C) (D)

180 128 100 80

(E)6° 2. (CEF) Um técnico bancário foi incumbido de digitar as 48 páginas de um texto. Na tabela abaixo, têm-se os tempos que ele leva, em média, para digitar tais páginas. NÚMERO DE PÁGINAS

TEMPO (MINUTO)

1

12

2

24

3

36

4

48

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Villar

140

Nessas condições, mantida a regularidade mostrada na tabela, após 9 horas de digitação desse texto, o esperado é que: (A) Ainda devam ser digitadas 3 páginas. (B) Todas as páginas tenham sido digitadas. (C) Ainda devam ser digitadas 9 páginas, (D) Ainda devam ser digitadas 8 páginas. (E) Ainda devam ser digitadas 10 páginas. 3. (TRANSPETRO) Luiz vai de bicicleta de sua casa para escola e percorre 4 km em 20 minutos. Se, pedalando no mesmo ritmo, elo gasta de sua casa pra casa de sua avó 1h e 10 minutos, a distância, em quilômetros, entre as duas casas é de: (A) (B) (C) (D) (E)

14 16 18 20 22

4. Uma fábrica de TV produz diariamente 200 aparelhos. Foram admitidos mais 20 operários e a produção diária passou a ser de 240 aparelhos. O número de operários que trabalhavam na produção da empresa antes da ampliação era: (A) (B) (C) (D) (E)

80 100 120 140 180

5. (FCC) Um agente executou certa tarefa em 3 horas e 40 minutos de trabalho. Outro agente, cuja eficiência é de 80% da do primeiro, executaria a mesma tarefa se trabalhasse por um período de: (A) (B) (C) (D) (E)

2 3 4 4 4


e e e e e

16 55 20 35 45

minutos. minutos. minutos. minutos. minutos.

6. (TRF- 2007) Às 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque continha 9 050 litros de água. Entretanto, um furo em sua base fez com que a água escoasse em vazão constante e, então, às 18 horas do mesmo dia restavam apenas 8 850 litros de água em seu interior. Considerando que o furo não foi consertado e não foi colocada água dentro do tanque, ele ficou totalmente vazio às (A) 11 horas de 02/06/2007. (B) 12 horas de 02/06/2007.

141


I

:

'

(C) 12 horas de 03/06/2007. (D) 13 horas de 03/06/2007. (E) 13 horas de 04/06/2007. 7. (TRF) Uma turma de 12 operários deveria executar certa obra. Depois de 5 dias de trabalho, 2 operários adoeceram e abandonaram o serviço. Em quantos dias os operários restantes poderão concluir o trabalho, se, quando os 2 operários se retiram, a turma completa já havia feito metade da obra? (A) 5 (8 ) 6

(C) 7 (D) 8 (E) 9 8. (UFRB 2009) O gerente do SAC (serviço de atendimento ao consumidor) de uma empresa constatou que 30 atendentes são capazes de atender satisfatoriamente, em média, 108 clientes por hora. Quantos funcionários são necessários para que o SAC dessa empresa possa atender, em média, 144 clientes por hora, mantendo a mesma qualidade de atendimento? ÍA) 36. (B) 38. (C) 39. (D) 40. (E) 42.

GABARITO 1- D

2- A

3- A

■4 - B

5- D

6- B

7- B

8- D

REGRA DE TRÊS COMPOSTA A regra de três possui dois métodos de resolução: o método da comparação (usa as setas, comparando as grandezas) e o método causa e efeito (que não precisa comparar as grandezas). Vamos juntos aprender o método causa e efeito. Primeiro devemos saber quais grandezas representam a causa e quais representam o efeito.

142

MATEMÁTICA E RACIO CÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W lar

Efeito

Causa Tempo (diar hora)

Produção

Pessoas ôperários)

Área

Velocidade média

Grau de dificuldade (da área ou produção}

Produtividade

Consumo Distância

Treinamento comentado 1. Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6000 peças em 15 dias, trabalhando i4 horas por dia, é: (A) 2
8 3 16 4

RESOLUÇÃO: 1.°) Separar os quadros da causa de do efeito. Causa

Efeito ■ Produção-peça.

Funcionários (F) Horas (H) Dias (D)

EFEITO

CAUSA F

H

D

8

8

5-

X

4

15

Peças 2000

J

•

6000

2.°} Fazer o grande x, entre a causa e o efeito. . CAUSA F

H :V

Q

9 ■ /]

EFEITO Peças

D

JÕOÓ

‘

1s

/

> 00 Q


143

Se a linha que parte do quadro da causa estiver em cima, efa passa para a linha de baixo, e vice-versa, fazendo o grande x. Os elementos que estão na linha do x ficam embaixo da fração. r

8.8.5.6000 4.15.2000

1920000 12000

= 16

Veja que em nenhum momento comparamos as grandezas em diretas e inversas. Dica especial: usando a simplificação dos termos --.límí

S.8.5.6000 _ 88*-8 -8 -5 -5J6 '6 000 j)Q tf ^ _ 2.8.1.6 _ 8X 6 = 48 = x= ts&s 1.3.2 4.15.2000 4M 5j-2í )0CT Resposta: letra D.

2. (FCC) Uma empresai deseja iniciar a coleta seletiva de resíduos em todas as suas unidades e, para tanto, encomendou a uma gráfica a impressão de 140 000 folhetos explicativos. A metade desses folhetos foi impressa em 3 dias por duas máquinas de mesmo rendimento, funcionando 3 horas por dia. Devido à uma avaria em uma delas, a outra deve imprimir os folhetos que faltam em 2 dias. Para tanto, deve funcionar diariamente por um período de: (A) (B) (C) (D) (E)

9 9 8 8 7

horas e meia. horas. horas e meia. horas. horas e meia.

RESOLUÇÃO: 1.°} Separar os quadrois da causa e do efeito. Causa Máquinas (M) Horas (H) Dias (D) CAUSA

EFEITO

M

H

D l

Folhetos

2

3

3

70000 (metade dos foihetos)

1

X

2

70000 (restante dos folhetos)

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar

144

2.°) Fazer o grande x, entre a causa e o efeito.

EFEiTO

1 CAUSA D

H

F

Peças 7O0CÍ)

3---------- — -3—---------- “~ -3-— :— -1--------------- -X

X=

^

m

2-3-3.7-eflBfr = l.:!7 0 0 ( »

7Ü000

= 3 . 3 - 9 horas;

\2

Resposta: letra A.

3. Trabalhando 8 horas por dia, 3 jardineiros gastam 4 dias para podar um gramado de 800 m2. Em quanto tempo 2 jardineiros, trabalhando 6 horas por dia, podariam um gramado com 400 m3 e com o dobro de dificuldade anterior? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

RESOLUÇÃO: 1.°) Separar os quadros da causa e do efeito.

Efeito

Causa Jardineiro (J)

Produção-área

Horas’ (H)

Grau de dificuldade

Dias (D)

EFEiTO

CAUSA J

H

D

Área

Grau de dificuldade

3

8

4'

800

1 (não informou/ escolhemos o valor)

2

6

X

400

2 (o dobro do anterior)

C sp. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

í

145

:-------------------------------------------------------------------------------2.°) Fazer o grande x, entre a causa e o efeito. '*V..

CAUSA F

EFEiTO Peças

v

Grau de dificuldade

... \ /

x = 3.8.4.400.2 _ 3.8.4.8-OQ- _ 3.4.8 _ >2".S _ g 2.6.800.1

2.6.800-

2.6

y í

Resposta: letra E.

Treinamento do concursando 1. Na construção de uma obra 120 operários, trabalhando 8h/dia, levarão 100 dias para terminar o trabalho. Como se deseja terminar a obra em 60 dias de 10h/ dia, o número de operários, para realizar o mesmo serviço é: (A) (B) (C) (D) (E)

80 85 90 100 160

2. {IBGE) Em uma fábrica, quatro máquinas idênticas são capazes de produzir vinte peças em dez horas. Se apenas duas déssas máquinas forem utilizadas, dez peças serão produzidas na seguinte quantidade de horas: (A) 4

(B) 8 (C) 10

(D) 16 (E) 20 3. Urna fábrica de confecções, onde trabalhavam 64 costureiras com turno de 6h/ dia, produzia 240 blusas em 3 dias. Para reduzir os custos, foram dispensadas algumas costureiras, aumentando a carga horária de trabalho das restantes. Se a produção passou a ser de 100 biusas/dia, com a carga horária de cada costureira aumentada em 1/3, o número de trabalhadoras que foram dispensadas é: (A) 2 (B) 3

MATEMÁTICA E RACIO ClNíO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

146

(C) 4 (D) 5 (E) 6 4. Certa tarefa pode ser realizada por 16 digitadores em 20 dias trabalhando 6 horas diárias. Para executar metade desse trabaiho em 16 dias, 12 digitadores teriam ~ que trabalhar diariamente: (A) (B) (C) (D)

3 6 5 4

horas horas horas horas

(E) 7 horas 5. (FCC) Em uma gráfica, foram impressos 1 200 panfletos referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material ifoí impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir 5 000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas (A) (B) (C) (D) (E)

10 24 37 42 58

minutos minutos minutos minutos minutos

e e e e e

40 20 30 20 30

segundos segundos segundos segundos segundos

6. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? (A) (B) (C) (D) (E)

6 horas 8 horas

10 horas 12 horas 14 horas

7. (TRT) Uma equipe de 10 datilógrafos prepara 5.000 páginas datilografadas, em 20 dias de trabalho, trabalhando 4 horas por dia. A equipe recebeu a incumbência de datilografar 6.000 páginas em 15 dias, mas teve dois de seus datilógrafos afastados por motivo de saúde. Nessas condições, para poder atender ao pedido no prazo determinado, a jornada de trabalho deve ser prorrogada em: (A) (B) (C) (D) (E)

2h 2h e 30 min 3h 3h e 30 min 4h


147

8. (TTN) 24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que for mam dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia? (A) (B) (C) (D) (E)

8 11 12 21 18

9. (MF 2009) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma òbra ficaria pronta em 24 dias. !Com 40 trabalhadores, traba lhando 10 horas por dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias essa obra ficaria pronta? (A) (B) (C) (D) (E)

24 16 30 15 20

10. (VUNESP 2009) Na oficina de trabalhos manuais, uma equipe de detentos realizou 2/5 de um trabalho em 8 dias, trabalhando 6 horas por dia. Mantendo a mesma produtividade por hora e trabalhando 2 horas a mais por dia, essa mesma equipe terminará o projeto em mais (A) (B) (C) (D) (E)

8 dias. 9 dias. 10 dias. 11 dias. 12 dias.

GABARITO 1- E

2- C

3- C

4- C

5- C

6 -C

7 - E!

8- D

9- C

10 - B

PORCENTAGEM A porcentagem é muito utilizada no nosso cotidiano, porém muitas pessoas ainda têm dificuldades com porcentagem.

MATEMÁTICA E RACiOCiNIO LÓ GiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

148

A noção de porcentagem: a% =

,

100

ou 0 ,0 a

Exemplos: 5% _ 5 ou 0,05 (a vírgula corre duas casas para a esquerda) 100

32-1%- ü 120 % =

ou °’321 ou 1,2

Vamos aprender o cálculo da porcentagem Exemplos: a) quanto é 40% de 120? 1.a opcão: -^ — .1 2 0 = 4^ 1^ ° = 100 100

100

= 48

2 .a opção: utilizando o método da regra de três simples.

O número 120 é base, logo corresponde a 100 %. Valor

Percentual (%)

120

100

X

40

lOOx = 120.40 lOOx - 4800 x = 4 ^

10 0

= 48

b) quanto é 17,5% de 32? , , ~ 17,5 _ 17,5.32 560 , r 1. opçao: rrzh-.j2 - —7^ — = T7T7T = 5,6 100 100 100


r

2.a opção: utilizando o método da regra de três simples. O número 32 é base, logo corresponde a 100%. Valor

Percentual (%)

32

100

X

17,5

lOOx = 32.17,5 lOOx = 560 x = 560 = 5 6 100 ’

c) quanto é 25% de 75? 1.° opção: utilizando a regra de três. O número 75 é base, logo corresponde a 100%. Valor

Percentual (%)

75

100

25

X

75x = 25.100 75x = 25Q0 x = 1500 = 33 3 3 o/ 75 2.a opção: usando a fórmula mnne} ° ,100 base 25 1 0 0 = 2 |Ç 0 = 3 3 3 3 0 / 75 75 1) calcule: a) 15% de 30 b) 12% de 24 c) 120% de 45

149

MATEMÁTICA E RACIO CÍNíO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

150

d) 72% de 1420

e) 12% de 30 í) Que peijCentual 20 é de 80? g) Que percentual 120 é de 210? h) Que percentual 10,5 é de 30?

GABARITO a) 4,5

b) 2,88

c) 54

d) 1022,4

e) 3,6

f) 25%

g) 57,14%

h) 35%

Treinamento comentado 1. (UNEB) Uma pessoa contrata um advogado que consegue receber 85% do valor de uma questão avaliada em R$200 000,00 e cobra a título de honorários, 20% da quantia recebida. O valor recebido, em reais, por essa pessoa, já descontado os ônus advocatícios, foi: (A) (B) (C) (D) (E)

128 153 136 170 147

000 000 000 000 000

RESOLUÇÃO: 1.a parte: o advogado consegue receber 85% da causa de 200000. 85% de 200000 = -^5_.200000 = 170QP-Q0Q. = 170 000 (valor recebido da causa) 100

100

2.a parte: o advogado cobra 20% do valor recebido da causa. Percentual do advogado: 20%, e percentual do cliente: 80%. Como desejamos saber o valor que o cliente recebeu, vamos calcular 80% de 170000. 80 , i 7 onnn = 80,170000 = 13600000 _ -j 35000 100

100

‘

100

I


151

2. (CEF) Certo dia, do totai de pessoas atendidas no período da tarde em quatro caixas de um banco, sabe-se que o - caixa 1 atendeu a 30%, - caixa 2 não atendeu a 79% e - caixa 3 não atendeu a 75%. O número de pessoas atendidas peto caixa 4 corresponde a que porcentagem do total? (A) 21% (B) 22% (C) 23% (D) 24% (E) 25%

RESOLUÇÃO: Caíxa ,'1;

.

Atendeu

Não atendeu

30%

70% 79%

'■■■ 2 3\ .

25%

75%

A soma- atendida peíos 4 caixas deve ser igual a 100%. 30 + 21 + 25 + X - 100 X + 76 = 100 x - i o o -76 x « 24% Resposta: letra D'.

3. (UNEB) Em uma loja há a seguinte promoção “lieve 20 unidades e pague o preço de 17”. O desconto concedido por essa loja, sobre o preço de cada unidade é: (A) 10% (B) 17,5% (C) 15% (D) 20% (E) 17%

152

MATEMÁTICA E R ACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO —Bruna Vitiar

RESOLUÇÃO: Se pagar por 20 unidades, está pagando-por 100%, então vamos ver que percentual representa 17 peças. Peças

Percentual

20

100

17

X

20x = 17.100 20x = 1700

x = 1200 _ 85% 20 Se deveríamos pagar 100% e pagamos 85%, iogo 100 - 85 = 15% de desconto. Resposta: letra C.

4. (TRF-2006) Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguei de sua casa. A partir de setembro de 2006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em 35%. Nessas condições, para o reajuste, a porcentagem do salário que Josué deverá desem bolsar mensalmente é: (A) (B) (C) (D)

22,5% 25% 27,5 % 30%

(E) 32,5%

RESOLUÇÃO: A questão apenas informa o percentual, por isso vamos supor que o salário de Jo sué seja 100. Sempre que a questão informar o percentual e não informar o vaior, vamos utilizar o número base 100. Não esqueça que qualquer percentual de 100 é o próprio número. Exemplo: 15% de 100 = 15. Salário de Josué = 100. Logo o aluguel será: 20 {20% de 100 = 20%)

Cap. 4 - MATEMÁTICA FiNANCEIRA BÁSICA

153

Cálculo do novo salário: Salário de agosto = 100. Salário de setembro: 8% maior que o salário de agosto: 100 -f 8 (8% de 100) = 108. Cálculo do novo aluguel: Aluguel de agosto: 20. Aluguei de setembro: 35% maior que o aluguel de agosto: 20 + 7 {35% de 20) = 20 + 7 = 27 Obs.: 35% de 20 =

100

.20 =

=7

100

Percentual do novo aluguel em relação ao salário: Que percentual 27 é de 108?

XL .100 = I0S

ios

= 25%

Resposta: íetra 8.

5. {ANA ESAF 2009) Em um ponto de um canal, passam em média 25 barcos por hora quando está chovendo e 35 barcos por hora quando não está chovendo, exceto nos domingos, quando a frequência dos barcos cai em 20%. Qual o valor mais próximo do número médio de barcos que passaram por hora neste ponto, em um Fim de semana, se choveu durante 2/3 das horas do sábado e durante 1/3 das horas do domingo? (A) (B) (C) (D) (E)

24,33 26,8325,67 27,00 30,00

RESOLUÇÃO: Vamos calcular o total de barcos do dia de sábado, 25 barcos por hora quando está chovendo e 35 barcos quando não está chovendo. No dia de sábado 2/3 das horas choveram. •=-.24 (total de horas do dia) = 3

3

=— 3

=16

16 horas de chuva, logo 8 horas sem chover. Chovendo: 25.16 = 400. Não chovendo: 35.8 = 280.

154

MATEMÁTICA E RACtOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bmno Villar

Total de sábado: 400 + 280 = 680. Vamos calculai o total de barcos do dra de domingo. Agora, antes devemos observar que no dia de domingo ocorre uma redução de - '.20%. . Chovendo por hora: 25 “ 5 (20% de 25) = 20. Não chovendo por hora: 35 ~ 7 (20% de 35) = 28. No dia de domingo choveu durante 1/3 do dia. — 24 =

3

= 24

3

3

8

’

8 horas de chuva. Logo 16 horas sem chover. Chovendo: 20.8 = 160. Não chovendo: 16.28 — 448. Total do domingo: 160 + 448 = 608. Totaí do final de semana: 680 + 608 = 1288. Total de horas do final de semana: 48 (2 dias). Média por hora do final de semana: — — = 26,83.

48

Resposta: ietra B.

Treinamento do concursando 1. (TRT-BA FCC 2003) Pedi certa quantia emprestada a meu irmão. Já lhe devolvi R$ 254,40, que correspondem a 80% do valorj que ele me emprestou. Se não há pagamento de juros o valor total da divida: é: (A) (B) (C) (D) (E)

R$ R$ RS RS RS

63,00 203,50 318,00 2035,20 3180,00

2. (TRF-2007) Do total de processos que recebeu certo dia, sabe-se que um técnico judiciário arquivou 8% no período da manhã e 8% do número restante à tarde.

C ap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSiCA

155

Relativamente ao total de processos que recebeu, o número daqueles que dei xaram de ser arquivados corresponde a (A) (B) (C) (D) (E)

84,64% 85,68% 86,76% 87,98% 89,84%

3. (TRT BAHIA FCC 2003} Dos 120 funcionários convidados para assistir a uma palestra sobre doenças sexualmente transmissíveis; somente 72 compareceram. Em relação ao total de funcionários convidados, esse número representa: (A) (B) (C) (D) (E)

45% 50% 55% 60% 65%

4. (TRT SP FCC 2004) Do total de documentos de um lote, sabe-se que 5% devem ser encaminhados ao setor de recursos humanos; 35% ao setor de recursos financeiros e os 168 restantes ao setor de materiais. O total de documentos desse lote é: (A) (B) (C) (D) (E)

240 250 280 320 350

5. (TRT 2.a região 2007 FCC) Sobre os 55 técnicos e auxiliares judiciários que tra balham em uma Unidade do Tribunai Regional Federal, é verdade que: I. 60% dos técnicos são casados; II. 40% dos auxiliares| não são casados; III. o número de técnicos não casados é 12. Nessas condições, o total de (A) (8) (C) (D) (E)

auxiliares casados é 10. pessoas não casadas é 30. técnicos é 35. técnicos casados é 20. auxiliares é 25.

6. (VUNESP2009) Um eletricista usou 60% de um rolo de fio de cobre para fazer uma determinada ligação. Em seguida, usou 25% da quantidade de fio que restou no rolo para fazer 10 ligações iguais, utilizando 80 cm de fio em cada uma. Esse rolo tinha, inicialmente, uma quantidade de fio igual a (A) 94 m. (B) 80 m.


156

(C) 66 m. (D) 40 m. (E) 32 m. í 7. (UFPR 2009) Segundo dados do IBGE, no ano de 2000, a população de São José do Pinhais era de 204.316 habitantes. Estima-se que no ano de 2009 essa popula ção supere a marca de 280.000 habitantes, o que representa um crescimento: (A) inferior a 28%. (B) entre 28% e 30%. (C) entre 30% e 33%. (D) entre 33% e 36%. (E) superior a 36%. 8. (ANA ESAF 2009) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d’água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre sí nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após se encontrarem, (A) (B) (C) (D) (E)

41% 35% 45% 49% 55%

(CESPE) Fazendo o seu balanço anual de despesas, uma famHía de classe média verificou que os gastos com moradia foram o dobro dos gastos com educação; os gastos com alimentação foram 50% superiores aos gastos com educação; e, finalmente, os gastos com alimentação e educação, juntos, re presentaram o triplo dos gastos com saúde. Julgue em certo (C) ou errado (E) os itens abaixo. Com base na situação hipotética acima, juigue os itens que se seguem. 09. Os dados apresentados permitem concluir que os gastos com saúde foram superiores a R$ 15.000,00. 10. É possível que essa família tenha gasto um total de R$ 36.000,00 com o item moradia e um total de R$ 28.000,00 com o item alimentação. 11. Os gastos com alimentação foram 80% superiores aos gastos com saúde. 12. Se os gastos com saúde foram superiores a R$ 10.000,00, é correto afirmar que os gastos com educação foram superiores a R$ 12.000,00. 13. Admitindo-se que a família não contraiu dívidas durante o ano em que foi efe tuado o balanço, é correto concluir que sua renda anual foi superior a 6 vezes os seus gastos com saúde.


157

14. (FCC) Certo dia, devido a fortes chuvas, 40% do total de funcionários de certo setor de uma Unidade do Tribunal Regional Federal faltaram ao serviço. No dia seguinte, devido a uma greve dos ônibus, compareceram ao trabalho apenas 30% do total de funcionários desse setor. Se no segundo desses dias faltaram ao serviço 21 pessoas, o número de funcionários que compareceram ao serviço no dia da chuva foi: (A) (B) (C) (D) (£)

18 17 15 13 12

15. Uma certa quantidade de dados cadastrais está armazenada em dois disque tes e em discos compactos (CDs). A razão entre o número de disquetes e de discos compactos, nessa ordem, é 3/2. Em relação ao total desses objetos, a porcentagem de (A) (B) (C) (D) (E)

disquetes é 30%. discos compactos é 25%. disquetes é 60%. discos compactos é 30%. disquetes é 75%.

GABARITO 1- c

2- A

3- D

4- C

5- E

6- B

7- E

8- A

9- E

10 - E

11 - C

12 - C

13 - C

14 - A

15 - C

Transformação de fração em porcentagem Para transformar fracão em porcentagem é necessário multiplicá-la por 1 0 0 . Exemplo: 1/5 corresponde a que percentual? 1 .1 0 0 =

5

^

5

= 20%

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna Vfflar

158

2/3 corresponde a que percentual? 1 3

.1 0 0 = ^ =

l3

6 6 ,6 6 %

T reinam ento c o m en ta d o 1. (TRE-PJ) Em uma seção do tribunal havia certo número de processos a serem arquivados. O número de processos arquivados por um funcionário correspon deu a 1/4 do totai e dos arquivados por outro correspondeu a 2/5 do número restantes. Em relação ao número inicial, a porcentagem de processos que dei xaram de ser arquivados foi: (A) (B) (C) (D) (E)

35% 42% 45% 50% 52%

RESOLUÇÃO: 1.a etapa: 1/4 do totai. 1/10 0

'

= 25%

Logo, na primeira etapa foram feitos 25% do totai. 2.a etapa: 2/5 do número restante. Se na primeira já foram feitos 259b do total, logo resta 100- 25 = 75%. 1 7 5 -2 .7 5 5 5

150 = 30

Total parcial: 25 + 30 = 55%. Restante: 100 - 55 =45% . Resposta: letra C.

2. (MF 2009 ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos partici pantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participante com três ou mais graduações. Assim, qual o número mais próximo do percentual de participantes com duas graduações? (A) 40%


(B) (C) (D) (E)

159

33% 57% 50% 25%

RESOLUÇÃO: Matemática: 1/4 = 259b Geoiogía: 2/5 = 40% ' Economia: 1/3 = 33,3% Biologia: 1/4 = 2590 Química: 1/3 —33,3% Totai de percentual: 25 + 40 + 33,3 + 25 + 33r3 = 156,66%. A questão informa que ninguém faz 3 cursas ou mais. Logo 156,66 - 100 - 56,66% é o excesso. Assim, a porcentagem mais próxima é 57%. Resposta: letra C.

Operações comerciais Para dar inicio aos estudos sobre lucro ou prejuízo, deve-se observar que o preço inicial sempre corresponde a 100 % (ou preço base). Primeiro vamos estudar o lucro ou ágio. Essas palavras representam o aumento do percentual. Exemplos: 10 % de lucro = 1 0 0 + 10 = 110 %

15% de lucro = 100 + 1 5 =115% Agora, vamos estudar o desconto ou prejuízo. 10% de desconto = 100 - 10 = 90% 25% de prejuízo = 100 - 25 = 75%

160

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓ GICO QUANTITATIVO - Bruno V7//ar

T reinam ento co m en ta d o 1. Um televisor foi comprado numa liquidaçao por R$ 570,00, já deduzidos os 5% de abatimentp. Qual o vaíor do televisor antes do abatimento? (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS RS R$

600,00 650,00 570,00 700,00 620,00

RESOLUÇÃO: O preço inicial será x e corresponde a 100%. O televisor foi vendido com 5% de desconto, por isso corresponde a 95% do preço inicial. Lembre-se: 5% de desconto = 95% (100 - 5%). Preço

Percentual

570 X

.100

95x = 570 100 95x = 57000 X = 57000 = goo 95 Resposta: letra A.

2. Em dezembro de 2006, um comerciante aumentou em 40% o preço de venda de um microcomputador. No mês seguinte, o novo preço foi diminuído em 40% e, então, o micro passou a ser vendido por R$ 1 411,20. Assim, antes do aumento de dezembro, tal micro era vendido por (A) (B) (C) (D) (E)

R$ RS RS RS RS

1411,20 1 590,00 1 680,00 1 694,40 1 721,10

RESOLUÇÃO. Cuidado não é porque o aumento e o desconto foram o mesmo que o preço se mantém. O aumento foi sòbre 100% e o desconto sobre o aumento.

Cap. 4 ~ MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

r

161

1.3 etapa: aumento de 40%. Preço inicial: 100% 40% de aumento = 100 + 40 = 140%. 2.a etapa: redução de 40%. Cuidado, pois a redução é sobre os 140%. 40% de 140 = f o o ’140 =

= 56

140 - 56 = 84 % (valor restante, em reiação ao total). 84% de x correspondem a R$ 1411,20. Preço

Percentual

1411,20

84

x

100

84x = 1411,20.100 84x = 141120 X =

I f U m = 1680 84

Resposta: íetra C.

3. (TRF FCC) Uma pessoa comprou um microcomputador de valor X reais, pagando por ele 85% do seu valor. Tempos depois, vendeu-o com lucro de 20% sobre o preço pago e nas seguintes condições: 40% do total como entrada e o restante em 4 parcelas iguais de R$ 306,00 cada. O número X é igual a (A) 2 (B) 2 (C) 2 (D) 2 (E )2

200 150 100 050 000

RESOLUÇÃO: 1.a etapa: O computador foi comprado por 85% de x. A venda foi com 20% sobre o preço de compra. Percentual de venda: 85 + 17 (20% de 85) = 102% de x.

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÕGICO QUANTITATIVO - Bmno Vitlar

162

2.° etapa: descobrir o preço de venda. 40% do total .como entrada e d restante em 4 parcelas iguais de R$ 306,GO cada. Conclusão: 60<& do preço de venda é igual a 1224 (4.306 = 1224). A variável y é preço de venda.

Preço

Percentual

1224

60

y :

100

60y = 1224.100 60y = 122400

y - 122400 - 2040 60 Conciusão: 2040 é o preço de venda e corresponde a 102% de x.

Preço

Percentual

.2040

102

X

100

102x = 2040.100 102x = 204000 x = I p lQOO _ 2Q00

Resposta: letra E.

Treinamento do concursando 1. (IBGE 2009) Certa loja ofereceu, de 1 a 10 de fevereiro, 20% de desconto em todas as mercadorias, em relação ao preço cobrado em janeiro. Pensando em vender mais, o dono da loja resolveu aumentar o desconto e, de 11 a 20 de fevereiro, este passou a ser de 30% em relação ao preço de janeiro. Uma pessoa pagou no dia 9 de fevereiro, R$ 72,00 por certa mercadoria. Quanto ela pagaria, em reais, pela mesma mercadoria se a compra fosse feita em 12 de fevereiro? (A) 27,00 (B) 56,00 (C) 61,20


163

(D) 63,00 (E) 64,80 2. (UFRB) Após um aumento1'de 5,5%, o aluguel de Cristiano passou a custar R$ 348,15. Qual era o valor do aluguel de Cristiano antes desse aumento? (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS RS RS

325,00. 330,00. 336,00. 340,00. 328,00

3. (FCC) Um comerciante comprou 150 caixas de papelão a R$ 1,00 cada uma. Vendeu 1/3 do total a R$ 1,50 cada e as restantes a R$ 1,80 cada. A sua porcentagem de lucro nessa transação foi de: (A) (B) (C) (D) (E)

62% 62,5% 65% 65,5% 70%

4. Duas lojas têm o mesmo preço de tabela para um mesmo artigo e ambas ofere cem dois descontos; sucessivos ao comprador: uma, de 20% e 20%; e a outra, de 30% e 10%. Na escolha da melhor opção, um comprador obterá, sobre o preço de tabela, um ganho de (A) 34% 36% 37% 39% 40%

(B) (C) (D) (E)

GABARITO 1- D

2- B

3- E

4- G

Desafios de porcentagem 1. (MPU 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Conta tados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia neces-

164


sária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser iguai a (A) (B) (C) (D) (E)

R$ 25,00. R$ 30,00.| RS 40,00. R$ 50,00. RS 60,00.

RESOLUÇÃO: 1.a Etapa: Construir a primeira relação. Resumo: Contatados 60% dos associados, contribuíram com R$ 60,00 e verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura. x - total de associados e y = fundo destinado à nova pintura I: 60% de x.60 = 75% de y. Obs.: 60% - 0,6 e 75% « 0,75 I: 0,6x.60 = 0,75y I: 36x =* 0,75y 2.° Etapa: construir a segunda relação. Resumo: o restante dos associados contribuiu com uma quantia z. Se na primeira etapa 60% dos associados contribuíram, então faltam 40%. Se na primeira etapa foram arrecadados 75% do tota), então faltam 25% de y. II: 40% de x.z - 25% de y II: 0,4.xz '=' 0,25y

'

Comparando as duas relações: I: 36x = 0,75y e II: 0,4.xz = 0,25y Se dividirmos a primeira relação por 3, o segundo termo de ambas as expressões será igual. I: 36x = 0,75y (:3) I: 12x = 0,25 y II: 0,4.xz = 0,25y 0,25y = 0,25y 0,4xz = 12x 0,4.v

4X

Resposta: letra B.

,

^

C ap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEiRA BÁSICA

r

165

2. (TRT) Em uma papelaria, o preço de certo tipo de caneta é o triplo do preço de certo tipo de lapiseira. Uma pessoa comprou 6 dessas canetas e algumas dessas lapiseiras e, ao receber a conta para pagar, verificou que os núme ros de canetas e lapiseiras pedidos haviam sido trocados, acarretando com isso um aumento de 50°/o sobre o vaior a ser pago. O número de lapiseiras compradas era (A) 6 (B) 8

(C) 10 (D) 12 (E) 14

RESOLUÇÃO: C = caneta e L = lapiseira. C.^

,V:''

1.° relação: uma pessoa comprou 6 dessas canetas e algumas dessas lapiseiras e, ao receber a conta para pagar. x = quantidade desconhecida e y = valor pago. I: 6C + xL = y 2.a relação: verificou que os números de canetas e lapiseiras pedidos haviam sido trocados, acarretando com isso um aumento de 50% sobre o valor a ser pago. Não esqueça: 50% de aumento - 100 + 50 - 150% = 1,5. A quantidade de elementos foi trocada, por isso temos: ll: xC + ÕL = 1,5y Podemos fazer uma suposição de que a lapiseira custa R$ 1,00. C =3L . T ' C = 3.1 = 3. Vamòs substituir esses valores nas expressões. l:6C + xL = y

tl: xC + 6L = 1,5y

i: 6.3 + x.1 = y

II: 3x + 6.1 = 1,5y

1: 18 + x = y

II: 3x + 6 = 1,5y

Agora temos um sistema de equações. .f — 18 3 x —\,5y = —6

166


Resolvendo o sistema:

J.r—j ' “ —18(.—1,5) [ 3 x - } , 5 y =1-6(1) + -l,5x + 1,5y = 27 3x +-1,5y.= -6 1,5x = 21 x= l i 1,5 Resposta: letra E.

3. (TRT 2.3 região - 04) Do total de técnicos judiciários que executam certa tarefa, sabe-se que 1/5 são do sexo feminino e 10% ido número de homens trabalham no setor de R.H. (recursos humanos). Se 54 desses técnicos são do sexo masculino e não trabaiham no setor de R.H., quantas mulheres executaram tal tarefa? (A) (B) (C) (D) (E)

15 18 20 25 27

RESOLUÇÃO: Devemos nessa questão ter um pouco de atenção. Sexo feminino = 1/5 do total = 20% do total. Sexo masculino = 4/5 do total —80% do total. Relação dos homens: Se 10% do número de homens trabalham no setor de R.H. (recursos humanos), então 90% não trabalham nesse setor. 90% dos homens correspondem a 54.

Homens 5 4 v;; V;Vi;'-; :x

.

Percentual 90 100


r

167

90x = 54.100 90x = 5400

• ; '' x = M 9 0 _ qo homens. 90 O número de homens corresponde a 80% do total. Total

Percentual

60 X

80 /

/.20'

80x = 60.20 80x ss 1200 x = 1^00 = -|5 mulheres. 80 Resposta: íetra A.

JUROS SÍMFLES Noções iniciais (Nomenclatura atual) Juros (J): é a im portância que se recebe ou se paga, com o com pensação, quando se em presta ou se tom a em prestada certa quantia por certo tempo. Capital (C): é a quantia que se em presta, tam bém cham ada de prin cipal. M ontante (M ): é a som a do capital em pregado com o juro obtido, M = C + J Taxa (i): é a taxa percentual referente a um intervalo de tem po, em que os juros são calcu lados. Tem po (t): é o período durante o qual o capital fica aplicado. O tem po pode ser dado em dias, m eses ou anos.

Capitalização Simples (juros simples) Quando os ju ros, nos vários períodos, são calculados sobre o valor do capital inicial, d izem o s que a capitalização é feita no regim e de juros sim ples.


168

.

.

_

!

/**! » >

T em os então que: J =

J = juros

C ~ capital

i = taxa

t = tempo

O bservações: 1) A taxa e o tempo devem estar no mesmo período de referência. 2) Usando a fórmula: J = -yjj— não é preciso transform ar o percentual. 3) Os juros são diretam ente proporcionais ao capital aplicado(c), à taxa de m ercado (i) e ao tempo da operação. 4) Podem -se usar taxas proporcionais em juros simples.

Cálculo do montante: M = C + J ou M = C(l+in) Treinamento básico comentado 1. Calcule os juros de R$ 6000,00 aplicados durante 10 meses, à taxa de 2% ao mês, a juros simples.

RESOLUÇÃO: Deve-se primeiro retirar os dados. C — 6000 i

- 2%

t = 10 , C J± ■íoo ... ■

_

6000 .2.10 100

■:

120000 100

2. Calcule os juros simples do capital de R$ 4000,00, empregados à taxa de 6,5 % a.a., em 8 meses.

RESOLUÇÃO: Deve-se primeiro retirar os dados. C ss 4000


169

i = 6,5% a.a. t = 8 meses Nesse caso, temos taxa e tempo com períodos diferentes. Ano

Meses 12

8

\

X

12x = 8.1 12 C.iJ

j£_ - 2 ano. 12

100

4000.6,5.2 100.3

52000 300

166,66

3. Calcular o montante do capitai de R$ 1800,00 colocado a juros simples, à taxa de 5% a.a*, durante 720 dias.

RESOLUÇÃO: Deve-se primeiro retirar os dados. C = 1800. i= 5% a.a. t = 720 dias = 2 anos. i „

100 , _ 1800.5.2 _ 18000

1

íõõ

' “iôT 18n

Cuidado: a questão pediu o montante! M= C+ J M = 1800 + 180 —-1980

Treinamento comentado 1. (TCE-Pi) Durante o mês de abril, um capital de R$ 20000,00, foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, tendo produzido

_______________ MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO -

um montante de R$ 24800,00. A ta x a a m ,a i esteve aplicado foi:

Bruno Villar

;

juros simples a que esse capitai

(A) 30% (8) 80% (C) 120% (D) 360% {£} 720%

RESOLUÇÃO: C = 20000 M = 24800 J= M - C J = 24800 - 20000 « 4800 í= ? t - 24 dias j -

4800

cjj 100 200-00-.Í.24

1-0024.200i = 4800

■

"

•

48001 = 4800 ‘ = 4800 “ 1% {taxa ao dia- P °is o tempo utilizado está em dia) 1% ao dia = 360% ao ano.

'

Resposta: íetra D.

2- (CONTADOR-RECÍFE) Um capita! é aplicado a íjuros simpfes a uma taxa ri* w

: í S ’“aoto,em po—

(A) 3 meses e meio (B) 4 meses (O) 4 meses e 10 dias (D) 4 meses e meio (E) 4 meses e 20 dias

RESOLUÇÃO: O juro total é de 14% e,o juro mensa! é de 3%. Taxa . tempo = taxa total

-»üs LTeUi%d0% 3/:


171

3.t — 14 14 t - - j - = 4,66666... = 4 meses e 20 dias. Obs.: 0,6666... 20 dias

3. Uma loja de eletrodomésticos vende uma teíevísãò por RS 1500,00 à vista. A prazo, a loja vende por R$ 1800,00, sendo R$ 300,00 de entrada e o restante após 1 ano. Sabendo-se que a loja opera com juros simples, a taxa de juros cobrada, ao ano, é de: (A) (B) (C) (D)

10,00% 16,66% 20,00% 25,00%

(E) 40,00%

RESOLUÇÃO; Devemos ficar atentos nessa questão! C = 1500 - 300 = 1200 M = 1800 - 300 = 1500 Cuidado: a dívida de hoje é R$ 1500,00, mas como foi feito um pagamento de R$ 300,00, então a quantia financiada é R$ 1200,00. J = 1500 - 1200 = 300 , = au _

100 300 = 1200Í.1 100 12i = 300 300 = 25% a.a.

12 Resposta: Íetra D.

4. Uma loja vende seus produtos com pagamentos em duas prestações men sais iguais, sem juros. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto, um desconto de 10% é concedido se

172


o cliente pagar à vista. Na realidade essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de: (A) (B) (C) (D) (E)

10% 20% 11,11% 25% 15%

RESOLUÇÃO: Nesse caso, podemos atribuir um valor base para o produto, que será R$ 100,00. Sè o pagamento for realizado à vísta, serão pagos R$ 90,00 (10% de desconto). Podemos concluir que a dívida reaf de hoje é R$ 90,00 e não R$ 100,00. Pagamento parcelado: R$ 50,00 (hoje) + R$ 50,00 (em 30 dias). Capital: 90 - 50 = 40. 0 valor de hoje é 90, porém há um pagamento de,50, logo o vaior devido é 40. Esse valor de 40 que não foi pago irá gerar um pagamento de 50 daqui a 30 dias, já que no pagamento parcelado não há'desconto. M = 50 J = 50 -4 0 = 10. t = 1 mês. j „ C.i.t

100 10 = .40.*. 1 100

40i = 10.100 1-

40

_ 25 % ao mês.

5. (FCC) Um capital com juros correspondentes a 5 meses, eleva-se a R$ 74.825,00. O mesmo capital, com juros correspondentes a 8 meses, eleva-se a R$ 75.920,00. Qual foi a taxa anual de juros empregada? (A) 4% (B) 5% (C) 6% (D) 7% (E) 8%

Cap. 4 ~ MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

r

173

RESOLUÇÃO: C + 5J = 74825 C + 8J ~ 75920 Podemos observar que a diferença entre as equações é: 3J = 1095 j = i ^ p - = 365 C + 5J = 74825 C + 5.365 = 74825 C + 1825 = 74825 C = 74825 - 1825

:

C = 73000 C = 73000 t = 1 mês J = 365: i

- ?

j _ C .i.t

100 o5c = 73000./. 1

.100 730i = 365 i

= U I = 0,5% a.m ;

0,5% . 12 = 6% ao ano Resposta: íetra C.

6. (CEF) Um capital foi aplicado a juro simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 4 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de 3 (A) 2% (8 ) 2,2% (C) 2,5% (D) 2,6% (E) 2,8%

174

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W /ar

: RESOLUÇÃO: 1 -ss 1,4 — 140% 5 C = 100% e J - 40% T = 1 ano e 4 meses ~ 16 meses. Taxa . tempo = taxa total (juros totais) 16i = 40 i = — = 2,5% ao mês 16 Resposta: letra C.

Treinamento do concursando 1. (FCC) Um capital acrescido dos seus juros, durante 24 meses, perfaz um totaí equivalente a seus 4- A taxa de juros (anual) a que foi empregada é de: (A) (B) (C) (D) (E)

2

24% 26% 28% 30% 32%

ge pessoa desej a obter um rendimento de R$ 27000,00, dispondo de R$ 90000,00 de capital, que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5 meses? (A) (B) (C) (D) (E)

10% 3% 5% 8% 5,5%

3. (TFC-ESAF) Um capital é aplicado a juros simples à taxa de 4% ao mês por quarenta e cinco dias. Calcule os juros como porcentagem do capital aplicado. (A) (B) (C) (D) (E)

4% 4,5% 6% 5% 6,12%

I

Gap. 4 - MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

175

4. {TRT 2.3 região - 04) Uma pessoa tem R$ 20.000,00 para apücar a juros simples. Se aplica R$ 5.000,00 à taxa mensal de 2,5% e R$ 7.000,00 à taxa mensal de 1,8%, então, para obter um juro anua! de R$ 4.932,00, deve aplicar o restante à taxa mensal de: (A) (B) (C) (D) (E)

2% 2,1% 2,4% 2,5% 2,8%

5. (CEF) Um capital de R$ 15 000,00 foi aplicado a juro simples à taxa bimestral de 3%, Para que seja obtido um montante de R$ 19 050,00, o prazo dessa aplicação deverá ser de: (A) (B) (C) (D) (E)

1 1 1 1 1

ano ano ano ano ano

e e e e e

10 meses. 9 meses. 8 meses. 6 meses. 4 meses.

6. (CEF) Numa aplicação a juro simples um capital produz em 2 meses o montante de R$ 5 460,00. Se aplicado à mesma taxa mensal, o mesmo capital produziria, ao final de 5 meses, o montante de R$ 5 850,00. O valor desse capital é (A) (B) (C) (D) (E)

R$ R$ R$ R$ R$

5 5 5 5 5

280,00 200,00 180,00 100,00 008,00

7. (TRT 4.3 região - 06) Uma pessoa tem R$ 2.000,00 para investir. Se aplicar % dessa quantia a juros simples, ã taxa mensal de 5%, então, para obter um rendimento mensal de R$ 90,00, deverá investir o restante à taxa mensal de: (A) (B) (C) (D) (E)

1% 2% 3% 4% 5%

8. (BESC) Um artigo é vendido, à vista, por R$ 150,00 jou em dois pagamentos de R$ 80,00 cada um: o primeiro no ato da compra, è o segundo, um mês após a compra. Os que optam peio pagamento parcelado pagam juros mensais de taxa aproximadamente igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

14,29%; 13,33%; 9,86%; 7,14%; 6,67%.

'*

176


í 9. (Banco do Brasil) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples uti lizada?

-

(A) (B) (C) (D) (E)

6%;

'

5%; 4%; 3%; 2%,

10. Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7200.00. Sabe-se que, o dobro deste capitai fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de RS 40000.00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS R$ R$ R$

24000,00; 20800,00; 15200,00; 12500,00; 10400,00.

11. (TRF 2006/ESAF) Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias. (A) (B) (C) (D) (E)

RS 2.000,00 RS 2.100,00 R$ 2.120,00 RS 2.400,00 RS 2.420,00

1- D

2~ B

3- C

4- A

5- D

6~ B

0 1 i m n

00 1 1 > >

GABARITO

9- B

Juros Compostos Em juros compostos, diferentemente do que ocorre com juros simples, os juros a partir do segundo período são calculados sobre o montante do período anterior, daí a conhecida frase “juros sobre juros” . Temos gora que:


r

177

M = C (1 + i)‘ Observações: 1) Os juros são capitalizados exponencialm ente (progressão geométrica). 2) A expressão capitalização está diretam ente ligada a juros compostos (a não ser que no problem a fale em capitalização simples). 3) A taxa e o tempo, obrigatoriam ente, obedecem ao período da capitali zação. Caso não seja dado, adotarem os o período da taxa. 4) A fórm ula de juros com postos pouco utilizada: J = C [(1+ i)1 - 1].

Treinamento comentado

____

___

1. (UFiWG) A quantia de R$ 15000,00 é emprestada a uma taxa de juros de 20% ao mês. Aplicando-se juros compostos, o valor que deverá ser pago para quitação da dívida, três meses depois, é: (A) R$ 24 000,00 R$ 25 920,00 (C) R$ 40 920,00 (D) R$ 42 000,00 (E) R$ 48 000,00

RESOLUÇÃO: C =15000 í = 20% = 0,2 t= 3 M = C (1+ i)1 M = 15000 (1 + 0,2)3 M = 15000 (1,2)3 \ :

M = 1500.1,728 • M = 25920 obs: 1,23 = (1,2}( 1,2)( 1,2) = 1,728 Resposta: letra B.

V

178

MATEMÁTICA E RACiO ClNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

2. (CEF) Num regime de capitalização composta, o montante Wl, resultante da apli cação de um capitai C à taxa porcentual i, por n períodos, é dado pela lei M = C.(1+i). Assim, dados M, C e n, a taxa i pode ser calculada pela expressão: (A) (B) (C) ~ (D) (E)

i= i= i= ii=

(M!CYnt ( (M-C)/C)™ (M1BI - Cm)ICím (MM- CN)/C" ((M+C)/C)"

RESOLUÇÃO: Toda vez que a questão solicitar a taxa, em juros compostos, iremos "sair" por essa fórmula:

Nesse caso devemos desenvolver a fórmula. ÍK = M i

&

C"

Resumindo temos: i

Ml ô

- 1 = (M'/N - C,/N)/C,/N

'

Reposta: letra D.

3. {CESPE/UNB) Determinada quantia é investidaj à taxa de juros compostos de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada deve-se esperar:

log5 logl,05

(A) ---------- trimestres

Iog2

(B) ---------- trimestres logl,05 (C)

trimestres logl,2

loc2 (D) — - — trimestres

Iogl,2 (E)

trimestres logI,2


r

179

RESOLUÇÃO: Quando a questão solicitar o tempo, utilizaremos a seguinte fórmula: t =

lo g C lo g W

Cuidado: a questão envolve taxa nominal. Quando o período da taxa não coincide com o período da capitalização, a taxa é dita nominaL Ex.: 120% a.ar com capitalização mensal. 24% a.b, com capitalização mensal. Em Taxa Nominal devem-se usar taxas proporcionais. Exemplo: 120% a.a. com capitalização mensal. Na verdade a taxa real é de 10%. Agora que sabemos o que é taxa nominal, vamos responder a questão. í = 20% ao ano, capitalizados trimestralmente = 5% ao trimestre i = 0,05 M = 2C (o montante é o dobro do capital)

c

=

c

r_ 1 -

log

IW

_

-

l° o ~ i+0.05

log

Iog'' log

Exercício do concun. ando 1. (CEF) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à tax a de 3% a.m. por 60 dias, e o de R$ 1.200,00, à taxa de 2% a.m. por 30 dias . Se a aplicação foi a juros compostos: (A) O montantetotal recebido foi de RS 3.308,48 (8 ) O montantetotal recebido foi de RS 3.361,92 (C) O montantetotal recebido foi de R$ 4.135,64 (D A diferença positiva entre os montantes recebidos foi de R$ 897,80 (E) A diferença positiva entre os montantes recebidos foi de R$ 935,86 2. (Banco do Brasil) Se aplicarmos R$ 25 000,00 a juros compostos, rendendo a 7% a cada bimestrej Quanto teremos após 3 anos? (A) 25 000 (1,70)° (B) 25 000 (1,70)’°

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATiVO - Bruno Viltar

1 80

(C) 25 000 (0.70)3 (D) 25 000 (1,07),B (E) 25 000 (0,70)'° I 3. (BACEN) Um capitai de R$ 4.000,00, aplicado a 2% ao mês, durante três meses, na capitalização composta, gera um montante de: (A) (B) (C) (D) (E)

RS 6.000,00 RS 4.240,00 RS 5.500,00 RS 4.244,83 RS 6.240,00

4. (BC) Um capital de R$ 1000,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 30% ao mês. O montante, após 2 meses, era: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS RS R$

1600,00 1630,00 1670,00 1690,00 1720,00

5. (BC) Um capital de R$ 8000,00 foi aplicado a juros compostos durante 2 meses, obtendo-se no final do prazo um montante de R$ 12.500,00. A taxa mensa! de juros desse investimento está compreendida entre: (A) (B) (C) (D) (E)

1% e 10% 10% e 20% 20% e 30% 30% e 40% 40% e 50%

6. (BC) Apliquei a metade de um capital “C” a juros compostos, à taxa de 40% ao bimestre durante 4 meses e a outra metade a juros simples, durante o mesmo prazo. Para que os montantes dos investimentos sejam iguais, a taxa mensal do segundo investimento deverá ser: (A) (B) (C) (D) (E)

24% 23,5% 23% 22,5% 22%

7. (CEF) Um capital de R$ 2 500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serio (A) RS 98,00 (B) R$ 101,00


181

(C) RS 110,00 (D) RS 114,00 (E) RS 121,00 8. (CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim de ano, uma pessoa depositou R$ 2 000,00 em 05/06/97 e R$ 3 000,00 em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de (A) (B) (C) (D) (E)

RS 5 RS 5 RS 5 RS 5 R$ 5

320,00 480,00 620,00 680,00 720,00

GABARITO 1- D

2 -D

3- D

4- D

5- C

6- A

7- B

8- E

Treinamento final do capítulo______________________________________ 1, (ICIVIS-SP-) Um capita! de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3% ao mês, durante três meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo a capitalização simples e composta, respectivamente, valem: (A) (B) (C) (D) (E)

R$ R$ RS RS RS

2.180,00e 2.180,00e 2.185,45e 2.785,45e 6.180,00e

R$ 2.185,45 R$ 2.480,00 RS 2.480,00 R$ 2.480,00 R$ 4.394,00

2. (VUNESP) Trezentos detentos foram transferidos de um presídio superlotado e distribuídos em -outras duas penitenciárias, em quantidades diretamente pro porcionais ao número de vagas disponíveis em cada uma. Se a penitenciária A tinha 420 vagas disponíveis e se a penitenciária B recebeu 100 detentos, então o número de vagas disponíveis na penitenciária B era (A) (B) (C) (D) (E)

230. 210. 200. 180. 170.

"*1^

1 8 2 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

3. Numa viagem de navio, só existem passageiros de cinco nacionalidades: brasi leira, argentina, canadense, portuguesa e francesa, e não existem pessoas com dupla nacionalidade. Sabe-se que: j 30% dos passageiros são argentinos; _

95% dos passageiros não são canadenses; 65% dos passageiros não são franceses; O percentual de passageiros brasileiros é iguai ao percentual de passageiros portu gueses desse navio. Com base em todas as informações dadas, podemos garantir que o percentual de passageiros desse navio que são brasileiros é: (A) (B) (C) (D) (E)

10% 15% 20% 25% 30%

4. (BNB/2003) Uma loja oferece uma motocicleta por R$ 4.000,00 à vista ou por 50% deste valor à vista como entrada e mais um pagamento de R$ 2.200,00 após 4 meses. Qual é a taxa de juros simples mensal! cobrada? (A) 0,025% ao mês (B) 0,150% ao mês (C) 1,500% ao mês (D) 2,500% ao mês (E) 5,000% ao mês 5. (ÂFRE-CE/2006) Qual o capitai que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias? (A) (B) (C) (D) (E)

R$ 20.000,00. R$ 20.100,00. R$ 20.420,00. RS 22.000,00. R$ 21.400,00.

6. Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabe-se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS R$ R$ RS

24.000.00; 20.800,00; 15.200.00; 12.500,00; 10.400.00.


I

~

183

~

7. (TRF-ESAF/ 2006) Um Indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje. Considerando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos. (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS RS RS

1.380,00 1.371,00 1.360,00 1.349,00 1.344,00

8. (FCC) O preço de um aparelho eletrodoméstico é P reais. Como eu só possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$154,00 para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo é (A) (B) (C) (D) (E)

RS 254,00 RS 242,00 RS 237,00 RS 220,00 RS 210,00

9. (FCC) O preço para a execução de um trabalho de prótese dentária é o resultado da adição do custo do material com o valor da mão-de-obra. Em certo trabalho no qual o valor da mão-de-obra foi orçado em 80% do custo do material, o protético fez um desconto de 5% ao cliente, que pagou R$ 513,00. O preço estipulado pela mãò-de-obra desse trabalho foi de (A) (B) (C) (D) (E)

R$ 389,00 RS 300,00 R$ 285,00 RS 270,00 RS 240,00

10. (FCC) Se a razão entre dois números é 4/5 e sua soma é igual a 27, o menor deles é (A) (B) (C) (D) (E)

primo. divisível por 5. múltiplo de 7. divisível por 6. múltiplo de 9.

11. (FCC) Dois sócios constituíram uma empresa com! capitais iguais, sendo que o primeiro fundou a empresa e o segundo foi admitido 4 meses depois. No fim de um ano de atividades, a empresa apresentou um lucro de R$ 20 000,00. Eles receberam, respectivamente, (A) RS 10.500,00 e R$ 9.500,00 (B) RS 12.000,00 e RS 8.000,00 (C) R$ 13.800,00 e RS 6.200,00

184


(D) RS 15.000,00 e RS 5.000,00 (E) RS 16.000,00 e RS 4.000,00 12. (TRE FCC 2(^04) Um totai de 141 documentos devem ser catalogados por três técnicos judiciários. Para cumprir a tarefa, dividiram os documentos entre si, em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 24, 36 e 42 anos. . Nessas condições, o número de documentos que coube ao mais jovem foi (A) (B) (C) (D) (E)

78 63 57 42 36

13. (TRE FCC 2004) Certo dia, um técnico judiciário constatou que, de cada 8 pes soas que atendera, 5 eram do sexo feminino. Se, nesse dia, ele atendeu a 96 pessoas, quantas eram do sexo masculino? (A) (B) (C) (D) (E)

30 32 34 36 38

14. Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, o técnico de 30 anos recebeu (A) (B) (C) (D) (E)

2 4 4 6 9

micros a mais do que o de 24 anos. micros a menos do que o de 36 anos. micros a menos do que o de 24 anos. micros a menos do que o de 36 anos. micros a menos do que o de 24 anos.

15. (FCC 2008) Em uma partida entre Flamengo e Corinthians, o número de tor cedores do Flamengo está para o número de torcedores do Corinthians assim como 3 está para 4. Sabendo-se que, no jogo, a soma de torcedores dos dois times é igual a 25235, o número de torcedores do Corinthians presente no estádio é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

14580 14560 14520 14480 14420

16. (FCC 2008) Três pessoas organizaram um negócio entrando com capitais 5x _ — e — (jc é natural positivo e os valores estao em reais). Ao finai do primeiro


f

185

'

mês de negócio, o sócio que recebeu a menor parcela do lucro total ganhou R$ 1600,00. Sabendo que os três sócios repartem o lucro proporcionalmente ao capital que cada um investiu no negócio, o lucro total do negócio ao final do primeiro mês, em reai£, foi de (A) (B) (C) (D) {£)

7.100,00 7.000,00 6.900,00 6.800,00 6.700,00

17. (IRB ESAF/2004) Um capital é aplicado com capitalização dos juros durante três períodos a uma taxa de juros de 10% ao período. Calcule os juros devidos como porcentagem do capital aplicado. (A) (B) (C) (D) (E)

30% 31,3% 32,2% 33,1% 34%

18. (FCC 2008} Após um aumento de 15% no preço da gasolina, um posto passou a vender o litro do combustível por R$ 2,599. O preço do litro de gasolina antes do aumento, em reais, era igual a (A) (B)
2,31 2,26 2,23 2,21 2,18 -

19. (FCC) A cada dia o trânsito de São Paulo mata em média 4,3 pessoas („.). São 2 pedestres, 1,3 motociclistas, 0,8 condutor/passageiro, e 0,2 ciclistas mortos por dia. (Adaptado do O Estado de São Paulo, 8/09/08) De acordo com os dados, dentre as pessoas mortas diariamente com o trânsito de São Paulo, a porcentagem de motociclistas é de, aproximadamente, (A) (B) (C) (D) (E)

34% 32% 30% 28% 26%

20. Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um livro de 400 páginas em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim sendo, outra má quina, com 50% da capacidade operacional da primeira, montaria um livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um período de (A) 2 minutos e 30 segundos.


186

.

(B) (C) (D) (E)

5 6 7 7

:

;

|

minutos. minutos e 15 segundos. minutos. minutos| e 30 segundos.

21. (IRB-2006/ESAF) Um capital de 1000 unidades monetárias foi aplicado durante um mês a 3% ao mês, tendo o montante ao fim do mês sido reapiicado no se gundo mês a 4% ao mês e o montante ao fim do segundo mês sido reapiicado no terceiro mês a 5% ao mês. Indique o montante ao fim do terceiro mês. (A) (B) (C) (D) (E)

1.170 1.124,76 1.120 1.116,65 1.110

22. (AFRE-CE/2006) Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias? (A) (B) (C) (D) (E)

RS R$ RS RS R$

20.000,00. 20.100,00. 20.420,00. 22.000,00. 21.400,00.

23. (FCC) Certo dia, dois técnicos judiciários do Tribunal Regional do Trabalho efe tuaram a manutenção de X microcomputadores. Para a realização dessa tarefa, eles dividiram os X micros entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos no serviço público: 8 e 12 anos. Se o técnico com maior número de anos de serviço fez a manutenção de 16 micros, então X é um número (A) (B) (C) (D) (E)

ímpar. menor do que 10. divisível por 6. maior do que 30. quadrado perfeito.

24. Uma loja vende um aparelho de televisão por R$ 500,00 à vista ou então a prazo, com 20 % de entrada mais uma parcela de R$ 440,00 dois meses após a compra. A taxa mensal de juros compostos do financiamento, na forma decimal, é dada por: (A) (1 ,0 8 )*-1 ; (B) (1 ,1 0 )’ -1; (C) (1 ,1 2 5 )*-1 ; (D) (1 ,2 5 )*-1 ; (E) (1 ,1 2 )*-1 .

187


25. (CESGRANRIO) Qual é o investimento necessário, em reais, para gerar um mon tante de R$ 18.634,00, após 3 anos, a uma taxa composta de 10% a.a.? (A) (B) (C) (D) (E)

14.325,00 14.000,00 13.425,00 12.000,00 10.000,00

GABARIT O 2- B

4- D ;

5- B

6- E

7- A |

8 - E

9- E

10 - D

11 - B

12 - B

13 - D

14-E

15 - E

CÚ i

1- a :

16 - E!

17 - D

18 - B

19 - C

20 - B

21 - B

22 ~ B

23 - C

24 - B

25 - B

!

\

FUNÇÕES

FUNÇÃO PO LIN O M IA L DO 1.° GRAU Definição Chama-se função polinomial do 1.” grau, ou função afim, qualquer função / de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ^ 0 . Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente an gular de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1.° grau: f(x) = 5x - 3 , onde a = 5 e b = -3 f(x) = ~2x ~ 7, onde a = -2 e b = -7 f(x) = 1 Ijc, onde a ™ 11 e b = 0 Treinamento comentado 1. (Unisínos-RS) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função f{x) = — — , em que x é o número de residências e f(x) é o í 00 + 2.t número de carteiros. Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, o número de residências desse bairro, que as receberam é: (A) 300

190


(B) (C) (D) (E)

340 400 420 500

RESOLUÇÃO: Resumo: x é o número de residências e f(x) é o número de carteiros, x = ? e f(x) = 6 fíx) 6=

22x 500 + 2 * 22.v 500+2.V

22x = 6(500 + 2x) 22x = 3000 + 12x 22x - 12x = 3000 lOx = 3000 x = ^222 = 300 10 Resposta: letra A.

2. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de RS 8,00 mais custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida Sendo x o número de unidades produzidas: a) escreva a lei da função que fornece o custo j total de peças;

RESOLUÇÃO: «O valor de a é 0,50, pois é o fator de aumento por unidade e b = 8, pois b representa o Valor fixo ou custo fixo. F(x) = 0,50x + 8

•

b) calcule o custo de 100 unidades;

RESOLUÇÃO: F(x) = 0,50x + 8 F(100) = 0,50.100 + 8 F(100) = 50 + 8 = 58

Cap. 5 -F U N Ç Õ E S

191

Construção do Gráfico O gráfico de uma função poiinomial do l.° grau, y — ax -f b, com a ± 0 , é uma reta. Se a > 0 a função é chamada de crescente, e se a < 0 í função é decrescente. Exemplos: a > 0

a < 0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.

192

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil/ar .

!

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox. O termo òonstante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y — a . 0 + b ^ b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do -ponto em que a reta corta o eixo Oy. Treinamento comentado 1. Encontre a lei da função dos gráficos abaixo:

RESOLUÇÃO: O gráfico nos apresenta as seguintes conclusões: Na função polinomial do 1.° grau temos os pontos (2,5) e (0,3) e b = 3 {ponto onde a reta toca o eixo Oy). O coeficiente angular pode ser encontrado pela fórmula: a = — —— X i — Xl

C ap. 5 - FUNÇÕES

r 5 -3

3

2-0

_2

193

_.

2

A função polinomial do 1.a grau tem a forma f(x) — ax + b. Logo a função do gráfico é: f(x) = x + 3.

RESOLUÇÃO:

■ :

O gráfico nos apresenta as seguintes condusões: Na função polinomial do a reta toca o eixo Oy),

grau temos os pontos (3,7) e (0,1) e b = 1 (ponto onde

O coeficiente angular pode ser encontrado pela fórmula: a = -*'2 ^’1 ;

■

■; X i — X i

A função polinomial do 1.a grau tem a forma f(x) == ax + b. Logo a função do gráfico é: f(x) = 2x + 1.

194


2. A depreciação de um equipamento industriai ocorre segundo uma função do 1.° grau. O equipamento vaie hoje R$ 8.000,00 e daqui a 6 anos, R$ 5.000,00. Coloque (C) para afirmação correta e (E) para afirmação errada. ( ) o gráfico abaixo representa a depreciação do equipamento.

nnnru’

O

->

6

x

( ) a função que representa a depreciação do equipamento é y = -50Gx + 8.000. ( ) a função que representa a depreciação do equipamento é crescente. ( ) daqui a 5 anos o valor do equipamento será ide R$ 5.000,00. ( ) daqui a 2 anos o valor do equipamento seráíde R$ 7.000,00. ( ) daqui a 15 anos o equipamento não terá valor.

RESOLUÇÃO: Resumo do texto: O equipamento vale hoje R$ 8.000,00 e daqui a 6 anos, R$ 5.000,00. Conclusão: b = 8000 (valor de hoje, logo x = 0} e temos os pontos (0, 8000) e (6, 5000) (C) o gráfico abaixo representa a depreciação do equipamento. 8.000=*^ 5.000

0

6

x

O gráfico está correto, pois a reta é decrescente, toca o eixo Oy no ponto 8000 e possui o ponto 6,5000. (C) a função que representa a depreciação do equipamento é y = -500x + 8.000. A função tem a forma f(x) = ax + b ou y = ax + b. Pontos: (0, 8000) e (6, 5000)


r a=

195

5 0 0 0 -8 0 0 0 3000 =-500 6 - 0 .. = - —

b = 8000. (E) a função que representa a depreciação do equipamento é crescente. A função é decrescente, pois o vaior de o é negativo. (E) daqui a 5 anos o valor do equipamento será de R$ 5.000,00. f(x) = -SOOx + 8.000 f(5) « -500.5 + 8000 f(5) = -2500 + 8000 f(5) = 5500 (C) daqui a 2 anos o valor do equipamento será de R$ 7.000,00. f(x) = -SOOx + 8.000 f(2) = -500.2 + 8000

'

f{2) ás -1000 + 8000 f(2) = 7000 (E) daqui a 15 anos o equipamento não terá valor. f(x) = -500x + 8.000 f(15) = -500.15 + 8000 f(15) = -7500 + 8000 f(15) « 500

;

No Brasil, a estabilidade econômica e a competição: globat mudaram a pauta das negociações entre patrões e empregados. Bom para todo mundo. Nos últimos anos, o número de greves no país caiu bem abaixo dos picos alcançados nas décadas anteriores e ficou maior a taxa de participação do setor público no total de paralisa ções. Esses números estão representados nas tabelas abaixo.

í / V ; .

. riúmét o de paraü jaçõesV-/:':..;-

1989

1990

1995

1996

2004

2005

2006

2.193

1.952

1.056

1.258

302

299

300

196

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VMar

1

■ localização dás greves

1996

em empresas privadas

69%

.

45%

em estatais e no governo

31%

55%

2ÕÒ5

Acerca das informações do texto acima, julgue o item que se segue. 3. Em um sistema de coordenadas cartesíanas xOy, em que, no eixo Ox, represen tam-se os anos e, no eixo Oy, os números de paralisações ocorridas em cada ano, o gráfico resultante corresponde a uma. função polinomial no intervalo 1989 < X < 2006.

RESOLUÇÃO: Função polinomial do 1.° grau possui uma relação linear, ou seja, a diferença dos valores de y é constante. Exemplo:

X

4 11

Podemos observar na relação acima què sempre que x aumenta;uma unidade o valor de y aumenta duas unidades, logo possui uma relação linear (crescimento ou decrescimento constante). Quanto aos dados fornecidos pela questão,'deve-se ter cuidado, pois os valores de x (tempo) aumentam de forma desproporcional. = 2193 - 1952 = 241 1258 -1056 = 202 Entre 1898 e 1990 o aumento foi de 241 e entre 1995 e 1996 foi de 202, veja que o x aumentou uma unidade e o y não manteve o padrão. Podemos concluir que a tabela abaixo não representa uma função polinomial do 1 ° grau.

número de paralisações

.

1989

1990

1995

1996

2004

2005

2006

2.193

1.952

1.056

1.258

302

299

300

Item errado.

C ap. 5 —FUN ÇÕ ES

197

Treinamento do concursando 1. (VUNESP) Por uma mensagem dos Estados Unidos para o Brasil, via fax, a Em presa de Correios e Telégrafos (ECT) cobra R$ 1,37 peia primeira página e R$ 0,67 por página que segue, completa ou não. O número mínimo de mensagens para que o preço ultrapasse o valor de R$ 10,00 é de: (A) (B) (C) (D) (E)

8 10 12 14 16

2. (Cesgranrio) O gráfico abaixo apresenta o preço de custo de determinado tipo de bis coito produzido por uma pequena fábrica, em função da quantidade produzida.

Se o preço final de cada pacote eqüivale a 8/5 do preço de custo, um pacote de Q,5kg é vendido, em reais, por: (A) 0,90 (B) 1,20 (C) 1,24 ’ (D) 1,36

(E) 1,44 3. O gráfico abaixo relaciona a quantidade, em quilogramas, de gás carbônico lançado no ar por um caminhão a diesei, em função da distância percorrida, em quilômetros.

Para transportar melões de Mossoró, no Rio Grande do Norte, até a capital paulista, um caminhão percorre aproximadamente 2.780 km. Quai é, em kg, a quantidade aproximada de CQ2 emitida pelo caminhão durante essa viagem? (A) 784


198

; (B) (C) (D) (E)

i

868 959 1.246 1.568

GABARITO ■1 - D

2- E

3~E

FUNÇÃO POLINOMXAL DO 2 .° GRAU OU QUADRÁTICA Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2.° grau, qual quer função / de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ^ 0 . Vejamos alguns exemplos de função quadrática: f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde

a = 3, b = - 4 e c = 1

f(x) = x 2 - 1, onde a = 1 ,

b = 0 e c = -1

f(x) = 2x 2 + 3x + 5, onde

a = 2 , b = 3 e c =5

f(x) = -x2 + 8x, onde a =

-l,b = 8 e c = 0

f(x) = -4x2, onde a = -4, b = 0 e c - 0 Gráfico O gráfico de uma ftmção polinomial do 2 .° grau, y = ax2 + bx + c, com a ^ 0 , é uma curva chamada de parábola. Obs.: ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada p ara cima;

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2 .° grau ax 2 + bx + c - 0 , as quais são dadas pela chamada formula de Bhaskara:

200


f (x) = 0 => ax2 + bx + c ~ 0=$ x =

■ b± sb2 —4 .a.c 2 .a

Temos: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática dependedo valor obtido para o radicando A = b2 —4 .a.c, chamado discriminante, a saber: «.quando A é positivo, há duas raízes reais e distintas; ° quando A é zero, há só uma raiz real; » quando A é negativo, não há raiz real. Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas gráficos: Ay

4a

V

201

Cap. 5 - FUNÇÕES

r A

V

a<0j

4a •> x

Dica: Ponto do vértice (Xv, Yv). Xv é o valor de x do vértice e Yv o valor de y do vártice, Se a > 0, então Xv representa o ponto de mínimo e Yv o valor mínimo. Se a < 0, então Xv representa o ponto de máximo e Yv o vaior máximo. Sempre que a questão pedir o vaior máximo ou mínimo, então calcularemos o Yv.

NÃO ESQUEÇA: À = b2 - 4 ac

Treinamento comentado 1. (CEF) Uma certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria, em reais, é calculada pela expressão R(x) = 80,00Dx - 8.000x2, então, para que

202


seja gerada uma receita mensal de R$ 200.000,00, cada unidade do produto fabricado deve ser vendida por: (A) (B) (C) (D) (E)

R$ RS R$ R$ RS

6,00 5,50 5,00 4,50 4,00

. |

RESOLUÇÃO: A questão quer saber qual deve ser o Valor de x para que seja gerada uma receita de 200 .000 ,00 .

80.000X - 8.000X2 = 200.000 Podemos dividir todos os termos da equação por 1,000, pois ambos os termos sãò divisíveis por 1.000 . '

80.000X - 8.000x2 = 200.000 (: 1.000) 80x - 8X2 = 200 -8x2 + 80x - 200 = 0 (. -1) 8X2 - 80x + 200 = 0 Podemos dividir todos os termos da equação por 8, pois ambos os termos são divisíveis por 8 . 8x2 - 80x + 200 = 0 {: 8) 'X2 -

lOx + 25 = 0

x, = x 2 = 5 Resposta: letra C.

2. (PUC-MG) O valor máximo da função f{x) = -Xa (A) (B) (C) (D)

2x + 2 é:

2 3 4 5

(É) 6

RESOLUÇÃO: A questão pediu o vaior máximo, logo devemos calcular o Yv. f{x) = -x2 + 2x + 2


r

203

A = b2 - 4ac A = (2)2 - 4.(-1).2 A=4+8 A =12 4 £7

4 .( - l) - 4

3. Um jogador de futebol chuta uma bola que descreve uma trajetória de acordo com a função y = -2xz + 16x, onde y é a altura, em metros, e x é a distância horizontal percorrida pela bola, também em metros. Qual a altura máxima atin gida pela bola e a distância horizontal do ponto de partida até o ponto onde a bola toca o chão pela primeira vez? (A) 32m e 4m (B) 32m e 8m (C> 256m e 4m (D) 8m e 2m (E) 256m e 2m

RESOLUÇÃO: A questão fez dois pedidos: o vaíor máxímo (Yv) e o ponto onde a bola toca no

204

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil/ar

Vamos calcular a altura máxima. y = -2x2 + :16>j. a = -2, b = 16 e c = 0 A = b2 - 4ac A = (16)2 - 4.(-2}.0 A = 256 + 0 A = 256 Yv - - A . = - 2 5 6 = ^ 2 5 6 = 32 m 4a 4( —2) -8 Agora, vamos encontrar as raízes da função, ou seja, o ponto onde a bola toca o chão. -2x2 + lõx = 0

Resposta: letra B.

Treinamento do concursando 1. (CEFET-PR) O maior valor que y pode assumir na expressão y = -x2 + 2x é: (A) (B) (C) (D)

1 2 3 4

(E) 5 2. Uma bola é lançada de uma certa altura h, expressa em metros, com a trajetória na forma h = -St1 + 18t + 21, sendo o tempo t expresso em segundos. Qual a altura máxima atingida peia bola? (A) 16m (8) 32m (C) 48m (D) 64m (E) 80m

205

Cap. 5 - FUNÇÕES

I

1

3. (FGV-SP) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C = 2xz - 100x + 5000. O valor do custo mínimo é: (A) (B) (C) (D) (E)

3250 3750 4000 4500 4950

4. (TRE) O cientista Galileu GalHei (1564-1642) estudou a trajetória de corpos lan çados do chão sob certo ângulo, e percebeu que eram parabólicas. Acausa disso, como sabemos, é a atração gravitaciona! da terra agindo epuxando de volta o corpo para o chão. Em um lançamento desse tipo, a altura y atingida pelo corpo em relação ao chão variou em função da distância horizontal x ao ponto de lançamento de acordo com a seguinte equação:

5.v

y = ___ —

5x-

(x e y em metros)

A altura máxima em relação ao chão atingida pelo corpo foi: (A J ^ m < B )fm (C) ~m 4 (D) 2,0 m (E) 1,0 n f

GABARITO < I

2- C

3- B

U I ■sf

Treinamento final do capítulo 1. (FCC) Durante um treinamento da guarda municipal, uma bola foi lançada ver ticalmente para cima a partir do solo. A relação entre a altura h da bola em relação ao solo (em metros) e o tempo t (em segundos) respeita a equação h(t) = -5t3 + lQt. Depois de quantos segundos, contados a partir do lançamento, a bola retorna ao solo? (A) 3,5 (B) 3,0

206


(C) 2,5 (D) 2,0 (E) 1.5 2. (FCC) Para ajudar a proteger o centro ecológico municipal, foram coletados dados e construído o gráfico de uma função de segundo grau que relaciona o numero de visitantes (n) ao desgaste do solo, por área (A), do parque.

O domínio da função é de zero a 100 pessoas, e o vértice da parábola que repre senta a função, tem abscissa 100 . Qual das equações abaixo representa a função?; (A) A{n) (B) A{n) (C) A{n) (D) A{n) (E) A(n)

= "0,002n2 + 0,4n = 0,002n! - 0,4n - -0,02n2 + 0,4n = 0,02n2 - 0,4n = -0,2n 2 + 4n

3. (FCC) Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a função que melhor descreve a produção (y) de um bem é suma função do segundo grau y = ax2 + bx + c, em que x corresponde à quantidade de adubo utilizada. O gráfico correspondente é dado pela figura abaixo.

0

10

C ap. 5 - FUNÇÕES

207

Tem-se, entao, que: ; (A) (B) (C) (D) (E)

a a a a a

= = = = =

-3, -3, -4, -4, -6,

b= bb* b= b=

60 e c;= 375 75 e cj = 300 90 e c = 24b 105 e c = 180 120 e c = 150

4. (CESGRANRIO) O Programa de Fazendas Marinhas da Ilha Grande oferece treina-

üm fazendeiro investiu U$ 50.000,00 na montagem de uma fazenda marinha, mais U$ 9,000,00 em sementes de vieira. Se todas as vieiras cultivadas forem vendidas, todos os custos serão cobertos e o fazendeiro lucrará, em dólares, (A) 137.500,00 (B) 128.500,00 (C) 97.500,00 (D) 82.250,00 (E) 40.250,00 5. (CESGRANRIO) O Gráfico I apresenta a variação na cotação do barril tipo leve americano, durante cinco dias do mês de julho.

208

MATEMÁTICA E R AC iO CÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno W far

Gráfico I - PETRÓLEO (barril tipo leve americano)

Observe, agora, o Gráfico il, no quai a variação na cotação do barril tipo teve america no, no mesmo periodo, é considerada linear, constituindo uma função de 1.° grau. Gráfico II - PETRÓLEO (barril tipo leve americano)

Se a variação na cotação do barril tipo leve americano tivesse ocorrido como apre sentado no Gráfico H, o preço do barri! no dia 16/7 seria x dólares mais alto. Pode-se concluir que x é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

1,98 2,08 2,28 2,48 2,68

Cap. 5 - FUNÇÕ ES

r ~

209

:

-------------- '—

6. (CESPE) Em Economia, a demanda por x unidades de um produto ao preço unitário de p unidades monetárias (u.m,) é dada por uma equação envolvendo essas variáveis, chamada equação de demanda. Também a oferta de x unidades de um produto ao preço unitário de p u.m. é dada por uma equação, chamada equação de oferta. Considerando que as equações de oferta e de demanda de um certo produto são dadas por p - 2x ~ 1 e 2p + x = 12, respectivamente, julgue os itens subsequentes. 01. A quantidade demandada deverá ser menor que 12 unidades, se o preço unitário for maior ou iguai a 1 u.m. 02. Se nenhuma quantidade do produto for oferecida, então o preço por unidade deverá ser maior que 2 u.m. 03. O preço do produto tende a subir, se a demanda aumentar de 6 para 10 uni dades. 04. O preço de equilíbrio, isto é, quando a oferta e a demanda coincidem, ocorre quando apenas duas unidades são disponíveis. 05. O gráfico abaixo pode representar corretamente as equações de oferta e demanda consideradas.

GABARITO 1- D

2- A

3- A

4 -8

5- D

6 - C-E-E-C-C

SEQUENCIAS NUMÉRICAS

SEQÜÊNCIAS NUM ÉRICAS A seqüência numérica pode ser representada de três formas: 1.a) Por formulai de recorrência São dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (aj) e a outra para calcular cada termo a partir do antecedente (an ]). Exemplo: Determine o quarto termo da seqüência que obedece à seguinte fór mula de recorrência: a.1 = 4 e an = an - 1. + 3 RESOLUÇÃO: a ,- 4 a2 = a, + 3 = 4 +' 3 = 7 a3 = a, + 3 = 7 + '3 = 10 a = a, + 3 = 10 + 3 = 13

2.a) Expressando cada termo em função de uma posição Exemplo: Escreva os três primeiros termos da seqüência que obedecem à lei a = 2 n.

212

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

RESOLUÇÃO:

a. = 23 = 8

3.a) Expressando a séquência a partir de uma íei de formação Exemplo: Escreva a seqüência dos números primos em ordem crescente. S = {2, 3, 5, 7, 11...} Treinamento com entado 1. (FCC) Considere que a sucessão de figuras abaixo obedece a uma lei de for mação.

O número de circunferências que compõem a 100.° figura dessa sucessão é (A) (B) (C) (D) (E)

5 151 5 050 4 950 3 725 100

RESOLUÇÃO: Essa seqüência de circunferência é chamada de números triangulares.

Na questão queremos o 100.° número da figura,

t ioo = ioo(ioo+t) - ^Qtí.ioi _ 2 Resposta: letra B.

;

Í

;

50.101 =

5050

C ap . 6 - SEQ Ü ÊN CIAS NUMÉRICAS

213

2. (FCC) Considere que os termos da sucessão (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...) obedecem a uma lei de formação. Somando o oitavo e o décimo termos dessa sucessão, obtém-se um número compreendido entre (A) (B) (C) (D) (E)

150 e 170 130 e 150 110 e 130 90 e 110 70 e 90

■ RESOLUÇÃO: 1.° 0

. 2.° 0 + 1 “ 1 " : 3." 1.3 = 3 : 4.° 3 + 1 — 4 5 “ 4.3 = 12 6 .° 12 + 1= 13 I P 13.3 = 39 8 .° 39 + 1 = 40

9.° 40.3 = 120 ■

10. ° 120

- \-

1

=

121

Assim, 4 0 + 121 — 161. Resposta: letra À.

3. (FCC) Em relação à disposição numérica seguinte, assinale a alternativa que preenche a vaga assinalada pela interrogação: 2

8

(A) 1 (B) (C) (D) (E)

4 3 29 42

5

6

8

?

11

MATEMÁTICA E RACIOClNÍO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno VMar

214

1 RESOLUÇÃO: Temos duas seqüências: 2-5-8-11. Essa Seqüência aumenta de três em três. 8-6-? Essa seqüência diminui de dois em dois. ~ Considerando a segunda seqüência dessa forma, o número que preenche é o 4. Resposta: letra B.

4. (CEF CESGRANRIO) ",

2

;

■a2 = 3 Gn = Qn-\ ~~ ün-2

,

Qual é o 70.° termo da seqüência de números (an) definida acima? (A) 2 (B) 1 (C) -1 (D )-2 (E) -3

RESOLUÇÃO: a« = 2 a2 = 3

'

V;'R:./ ...

a3 = a2 - a, =

3-2= 1

■a4 = a3 - a, ~

1 - 3 - -2

as = at - a3 =

-2 - 1 ~ -3

:: \

■- ’■!■ .:

a6 - a5 - a., = -3 - (-2) = -3 + 2 =

-1. ' . ^ j ..

a7 = ae - a5 = -1 - (-3) ~ -1 + 3 =

2

2, 3, 1, -2, -3, -1, 2, 3, 1 ... Podemos observar que a seqüência mantém o padrão a cada 6 termos.

70 [6 10 11 4

-

;

O 4.° termo da seqüência é -2. Resposta: letra D.

215

Cap. 6 -S E Q Ü Ê N C IA S N UM ÉRICAS

j

:

:

T rein a m en to do co n c u rsa n d o (NCE) Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série è: (A) (B) (C) (D) (E)

2 3 4 5 6

2. (FCC) Considere a seqüência: (16, 18, 9, 12, 4, 8, 2, X) Se os termos dessa seqüência obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual a (A) 12

(B) 10 (C) 9 (D) 7 (E )5 3. (FCC) Abaixo apresentam-se as três primeiras linhas de uma tabela composta por mais de 20 linhas. O padrão de organização observado mantém-se para a tabela toda.

1j

2

4

8

16

1

3

9

27

81

1i

4

16

64

256

Nessa tabela, o número localizado na 7.° linha e 3,a coluna

é

(A) 64 (B) 49 (C) 36 (D) 8

(E) 7 4. (FCC) Assinale a alternativa que completa a série seguinte: 9, 16, 25, 36, (A) 45 (B) 49 (C) 61

216

MATEMÁTICA ê RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

(D) 63 (E) 72 5. (FCC) Assinald a alternativa que substitui a letra x.

(A) (B) (C) (D) (E)

29 7 6 5 3

2 -D

3- A

;

! O

GABARITO

4- B

5 ~.C

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Progressão aritm ética é toda seq ü ên cia em que cada term o, a partir do segundo, é igual ao antecedente som ad o de um a constante razão. E xem plos: a) (3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) razão = 2 b) (8 , 4 , 0, -4 , -8 , -1 2 , ...) razão = - 4

Cálculo da razão A razão é a diferença d e um term o da P.A. p elo term o anterior.

Cap. 6 - SEQ Ü ÊNCIAS NUMÉRICAS

Exem plo: 1. Q uanto vale a razão de cada P.A.? a) (5 , 8 , 11, 14, ...)

,

b) (7 , 4 , 1, -2 , ...)

RESOLUÇÃO: a) (5r 8r 17, 14, ...) r = 8 - 5 = 3 ou r = 11 - 8 = 3 ou r = 14 - 11 = 3 b) (7, 4, 1,-2, ...) r = 4 - 7 = -3

Fórmula do termo geral de uma P.A. an = a l + ( n -

l).r ou a n = a 1 + (k - l).r

SE LIGUE! a, é o primeiro termo n é o número de termos r é a razão

■

ané o enésímo termo

Treinam ento co m en ta d o 1. Dada a P.A. (-8, -5, -2, 1,

RESOLUÇÃO: r = -5 - {-8} = -5 + 8 = 3 a, = '8

determine o vigésimo termo.

217

218

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO ~ Bruno W /a r

an = a 1 + (n > 1).‘r aJ0 = a, + (20 -|1).r a20= -8 + (20 - 1)3 -

a,0= -8 + 19.3

a,0 = 4 9

2. (Cesgranrio) "O consumo de eletricidade para a produção de alumínio é altamente intensivo, porém vem decrescendo sistematicamente. Enquanto que, em 1950, a indústria consumia 24.000kwh/t, as modernas fundições de hoje consomem 13.000kwh/t” Balanço mineral brasileiro - 2001, dísponível em http://www.dnpm.gov.br (adaptado) Considere que o consumo de eletricidade para a produção de alumínio tenha decrescido em progressão aritmética, década após década, chegando a 13.0Q0kwh/í em 2000. Desse modo, o consumo de eletricidade para a produção de alumínio na década de 80, em kwh/t, era: (A) (B) (C) (D) (E)

22.000 19.400 18.600 17.400 15.600

RESOLUÇÃO: 1950: a, = 24000 1960: 1970: a3 1980: a4 1990: a5 2000: a6,= 13000 Vamos primeiro encontrar a razão: a6 = a, + (6 - 1).r 13000 = 24000 + 5r -5r = 24000 - 13000 -5r = 11000 (-1)

5r = -11000

Cap. 6 -S E Q U Ê N C iA S NUMÉRICAS

219

r ~ -11000 —-2200 5

Agora, vamos encontrar o a,: a. = a, + (4 - 1).(-2200) a. ~ 24000 + 3.{-2200) a , « 24000 - 6600 a, = 19400 Resposta: letra B.

Soma dos “n” primeiros termos de uma P.À (a , + a j . n

Treinamento comentado 1. (Uneb) Um pai fez depósitos mensais na caderneta de poupança de seu filho. No primeiro mês o depósito foi de R$ 10,00, no segundo mês foi de R$ 15,00, no terceiro mês foi! de RS 20,00 e assim por diante, depositando R$ 5,00 a mais do que havia depositado no mês anterior. Feito o 24.° depósito, o total depositado por ele era: (A) (B) (C) (D) (E)

R$ R$ R$ R$ R$

1630,00 1620,00 1615,00 1610,00 1600,00

RESOLUÇÃO:

>

A questão pediu o montante depositado após o 24° depósito, logo a soma dos 24 primeiros termos da P.A. c

_ 24

(a i + «24).24

9

220


Temos o valor de aJ( mas precisamos calcular o termo aK. a, = 10 (1.° depósito) r = 5 (aumento do depósito) aJ4

~ a, + (24 - 1).5 = 10'+' 23.5

374 = 10 + 115 a,4 - 125 r b2-;

(a,

íi2.,).24“

2:= (10 + 125).12

5^2-1= 135.12 s i 1620

Resposta: letra B.

2. (FCC) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de R$ 1200,00 e vai devolvê-fa com juros que totalizam R$ 750,00. O pagamento será feito em 10 prestações, sendo cada uma delas maior que a anterior em RS 10,00. O valor da primeira prestação deverá ser: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS RS RS

130,00 140,00 150,00 160,00 170,00

RESOLUÇÃO: S)0 = 1200

750 = 1950

r = 10 (aumento na prestação) _ (a, + a ,o).10 10 ^ Nesse caso devemos oíhar com cuidado, pois não temos o valor de a, nem de aí0. A solução é colocar aID em função de at. aio = a, + oo - D-r a)O= a , + 9.10 a)0 = a, + 90

;

: :

V

Cap. 6 - SEQ Ü ÊN CIAS NUMÉRICAS

221

r

10

( a ,+ a lo). 10~ yj.

S)0= (a, + a, + 90).5 1950 = (2a, + 90) .5 1950 = 10a, + 450 -10a, = 4 5 0 - 1950 -10a, = -1500 (-1) 10a, -1 5 0 0 1

10

3. (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética. Em uma penitenciária que albergava 1.000 detentos, foi traçado um plano de fuga. Para que os fugitivos não fossem pegos pelos policiais que faziam a ronda do lado de fora, as fugas aconteceram em intervalos de 15 minutos, da seguinte forma: à 0 hora de domingo, 1 detento fugiu; 15 minutos depois, 3 detentos fugiram, à 0 hora e 30 minutos, outros 5 detentos fugiram, e assim sucessivamente. Quando restavam 424 detentos ainda dentro da penitenciária se preparando para a fuga, o plano foi descoberto e nenhum destes conseguiu se evadir. Nessa situação, o último conjunto de detentos que conseguiu se evadir era formado por mais de 50 elementos.

RESOLUÇÃO: .

a, = 1 '■

1 a3 = 3 r~ 3- í = 2 an = a, + (n-1).r an = 1 + (n - 1}.2 Sn = 1000 - 424 = 576

■ s =

+

5?6 ... [! + ! + (« -1 )2 ].» 2 = (2 + 2 /7 -2 )» 1

'■

■

222

MATEMÁTICA E R AC IO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

576 = n2 n2 = 576

: ■? ■ ■'

n = ^576 n = 24 Agora vamos descobrir quantas pessoas tinha o grupo aJ4. a„ = a, + (n - 1).r a,4 ~ 1 + (24 - 1).2 a2.5 = 1 + 23.2 a24 = 1 -f- 46

Item errado.

Treinamento do concursando 1. Em um restaurante, os preços de três pratos estão em progressão aritmética de razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo prato custam juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro custam juntos: (A) (B) (C) (D) (E)

RS RS RS R$ RS

54,00 60,00 66.00 68,00 70,00

2. (FCC) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bola de gude; então pegou sua cole ção de bolas de gude e formou uma seqüência de “T" (a iniciai de seu nome), conforme a figura:

ooo o o

ooooo o o o o

ooooooo D

o o o o o

C ap. 6 - SEQ Ü ÊN CIAS N UM ÉRICAS

:

1

j

:

223

H

Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T" completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: (A) (B) (C) (D) (E)

exatamente 41 boias de gude. menos de 220 bolas de gude. pelo menos 230 bolas de gude. mais de 300 bolas de gude. exatamente 300 bolas de gude.

3. (CEF) Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um depósito inicial de R$ 120,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta em cada mês depositando R$ 12,00 a mais do que no mês anterior. Ao efetuar o 19;° depósito, o total depositado era de (A) (B) (C) (D) (E)

RS 3.946,00 RS 4.059,00 R$ 4.118,00 RS 4.277,00 RS 4.332,00

4. (Vunesp) Um estacionamento cobra R$ 4,00 pela 1.a hora. A partir da 2.3, cujo valor é de R$ 3,00, até a 12.a hora, cujo valor é de R$ 0,80, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado cinco horas nesse local, quanto gastará seu proprietário? (A) (B) (C) (D) (E)

RS 14,68 RS 10,98 RS 13,36 RS 9,36 n.d.a

;

5. (CESGRANRIO) O gráfico abaixo mostra as variações do “risco-Brasil” nos dias 9, 10 e 11 de janeiro. A EVOLUÇÃO DO RISCO-BRASIL (em pontos centesimais)

284 282 277 9/01

10/01

11/01

Segundo reportagem ipublicada no Jornal O Globo de 12 de janeiro de 2006, a con fiança dos investidores estrangeiros no país vem aumentando e, em conseqüência, reduziu-se gradativamente o chamado “risco-Brasil". ; Se a variação linear observada de 10/01 para 11/01 se repetisse nos dias subsequentes, em que dia de janeiro o “risco-Brasil" atingiria um valor inferior a 200 pontos centesimais? (A) 21

224

MATEMÁTiCA E RACIO CÍNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(B) (C) (D) (E)

|

22 23 24 25

6. (CESGRANRIO) “Modelo de Gestão do abastecimento está preparado para a expansão da Petrobras (...) A carga a ser processada nas refinarias da Petrobras no Brasil e no exterior deverá passar dos atuais 2 milhões de barris por dia para 2,5 miihões em 2012 (...)." Noticia publicada em 07 maio 2008. Disponívei em: http://www.agenciapetrobrasdenoticias.com.br/ Se, de 2008 a 2012, a carga processada diariamente pelas refinarias da Petrobras aumentar, anualmente, em progressão aritmética, quantos milhões de barris diários serão produzidos em 2011 ? (A) (B) (C) (D) (E)

2,375 2,250 2,200 2,125 2,100

1- c

2- C

3- E

•ti I >

GABARITO

5 -8

6_A

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Progressão geométrica é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante, chamada razão (q). Exemplos: (2, 4, 8 , 16, ...) q = 2 (1, 1/2, 1/4, 1/8) q - 1/2 Cálculo da constante da P.G. Cln q

=

Cln - 1

C ap. 6 - SEQ ÜÊNCIAS NUMÉRICAS

225

Fórmula do termo geral an = a.1 . q* n ' 1

ou

an = a.k . q* n ‘ k

Treinamento comentado 1. Qual é o primeiro termo de uma P.G. de razão 2, sabendo-se que o sétimo termo é 64?

RESOLUÇÃO: a, « 7 r= 2 . a7 = 64 an = 3 .-qn

a7 = a1.q7* 1 64 = ar 2ú 64 = 64a, a, - 1

2. Numa P.G. de seis termos, o primeiro termo é 2 e o último 486, calcular a razão dessa P.G.

RESOLUÇÃO:

a, = 2 a, = 486

q=? ac = 486 = 2.qs 2q5 = 486 q= = 486

2 q5 = 243

V ■ ■

Dica: 243 - 35 q5= 35 q = 3

226

MATEMÁTICA E RACIOClNJO LÓ G IC O QUANTíTATiVO -------------------------------------------------------- ;

Bruno Villar

]

3. (CESPE) Em algumas experiências com animais, é importante que as idades deies sejam conhecidas tão exatamente quanto possívef. Além disso, tanto quanto for possível, essas experiências devem ser feitas com animais de diferentes idades. A partir dessas informações, considere que, em determinada experiência, diversos animais tenham sido escolhidos de modo que as suas idades formassem uma progres. são geométrica. Sabendo-se que o animal mais jovem escolhido para a experiência tinha 2 semanas de vida e o quinto animal mais jovem tinha 162 semanas de vida, é correto concluir que a razão da progressão geométrica formada pelas idades dos animais escolhidos para a experiência é igual a (A) 32 (B) 17 (C) 3

(D) 2

RESOLUÇÃO: a,

= 2

a5 = 162 a5 = a,.q5" 162 = 2.q4 2q’ = 1 6 2 q«= 162

2

q4 = 81

q ’ = 34

•

q= 3 Resposta: letra C.

Soma dos V s

=

primeiros termos de uma P.G.

M g " -1 )

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

Cap. 6 - SEQ U êN C IA S N UM ÉRICAS

227

Treinamento comentado 1. Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (3, 6, 12, ...}

RESOLUÇÃO: a' = ! 2 q= 3 =2 a ,(q " -l)

s =

q-1

3 ( í210- 1 ) .

!0

2-1

S50= 3.(1024 - 1) 5«j” 3*1023 Sl0 = 3069

2. (TRT/SC - 05) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira isemana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o nú mero tota! de árvores dessa plantação é: (A) (B) (C) (D) (E)

menor que 824 igual a 1024 íguaf a 1030 igual á 1320 maior que 1502

RESOLUÇÃO: a, = i

;

;

\=2 _ 2 H

1

s = aifo” - 1) • n ! q -l

■ :

q « 1(2I0-1)

,0

.

;

■

;

2-1

S,0= 1.(1024 - 1) S,0= 1.1023 = 1023 1023 (doentes) + 7 (não adoeceram) = 1030 Resposta: letra C.

228


1

Treinamento do concursando_____________________ _____ 1. Em um determinado jogo, o prêmio pago ao acertador é 10 vezes o valor da aposta. José resolve, então, jogar e apostar R$ 2,00 na 1.° vez, e nas rodadas seguintes aposta sempre o dobro da aposta anterior. José acerta somente na 8.a vez e não joga mais. Considerando-se o montante que José investiu até a 8.a jogada e o que ganhou, o seu lucro, em reais, foi de: (A) (B) (C) (D) (E)

256 510 1350 2050 2560

2. No dia 1.° de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 1.° enviou-a para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também a enviou para outras duas novas pes soas. E assim sucessivamente. Se, do dia 1.° até o final do dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é: (A) (B) (C) (D) (E)

12 24 52 63 126

3. (CESGRANRiO) Mauro fez quatro depósitos mensais em sua caderneta de poupança, sempre dobrando o valor em relação ao mês anterior. Se, ao todo, Mauro depositou R$ 300,00, o valor, em reais, depositado no último mês foi (A) (B) (C) (D) (E)

80,00 120,00 140,00 160,00 200,00

GABARITO D l 3- D

2- A

229

C ap. 6 - SEQ ÜÊNCIAS NUMÉRICAS

j

:

=

-

Treinamento final do capítulo________________ 1. (CESGRANRIO CEF 2008) Torneira

1>a

L-^nn

3 IQm

.

l,5m

2."

3.a

4.a

50.a

q

3

s

u

,

l,5m

. 1,5m

51.3 s

l,5m

Em um caminho retilineo há um canteiro formado por 51 roseiras, todas enfileiradas ao iongo do caminho, como ilustrado. A distância entre quaisquer duas roseiras consecu tivas é 1,5 m. Nesse caminho, há ainda uma torneira a 10,0 m da primeira roseira. Gabriel decide molhar todas as roseiras desse caminho. Para isso, utiliza um regador que, quando cheio, tem capacidade para molhar 3 roseiras. Dessa forma, Gabriel enche o regador na torneira, encaminha-se para a 1.a roseira, molha-a, caminha até a 2.a roseira, molha-a e, a seguir, caminha até a 3,a roseira, molhando-a também, esvaziando o regador. Cada vez que o regador fica vazio, Ga briel voita è torneira, enche o regador e repete a rotina anterior para as três roseiras seguintes. No momento em que acabar de regar a ultima das roseiras, quantos metros Gabriel terá percorrido ao todo desde que encheu o regador pela primeira vez? (A) (B) (C) (D) (E)

1666,0 1581,0 1496,0 833,0 748,0

2, (CESGRANRIO) Nos últimos seis anos, o brasileiro vem trocando o cheque pelo “dinheiro de plástico” e, cada vez mais, efetua pagamentos utilizando cartões de crédito e de débito. O gráfico abaixo apresenta o número de transações efetuadas com cartões no Brasil, de 2000 a 2006.

Fonte: Federação Brasileira de Bancos / Associação Brasileira de Empresas de Cartões de Crédito.

Os dados acima mostram um aumento linear no número de transações, de 2000 a 2003. Se esse ritmo tivesse sido mantido nos anos seguintes, o número de transa-

MATEM ATI CA E RACIOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

230

ções com cartões teria sido, em 2006, x bífhões menor do que realmente foi. Pode-se concluir que x é igual a:

(A) 1,2 (B) 1,6 (C) 2,2 .

l

(D) 2,7 (E) 3,1

3. (CESGRANRIO) Em 15 partidas que certo time de futebol disputou em um campeonato, houve x empates, y derrotas e z vitórias. Se x, y e z formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2, quantos jogos esse time venceu? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 4. (CESGRANRIO) A reciclagem de pneus vem aumentando no Brasil. Segundo dados da Associação Nacional das Empresas de Reciclagem de Pneus e Artefa tos de Borracha, publicados na Revista Veja de 21 de janeiro deste ano, foram recicladas, no Brasil, 241 mil toneladas de pneus em 2006 e serão recicladas 280 mil toneladas em 2008. Se o aumento linear observado de 2006 para 2008 se mantiver nos próximos anos, quantos milhares de toneladas de pneus serão reciclados em 2014? (A) 375 (B) 397 (C) 403 (D) 514 (E) 526 5. (CESGRANRIO) Uma seqüência de números (at, a^ a3,~.) é tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão Si, = 3n2 + n. O valor do 51.° termo é (A) 300 (B) 301 (C) 302 (D) 303 (E) 304 6, (FCC) Considere que a seguinte seqüência de figuras foi construída segundo um certo critério.

C ap. 6 - SEQ Ü ÊN CIAS NUMÉRICAS

figura 1

figura 2

figura 3

o o ©

2 31

figura 4 © o © 0

©

©©©

080000

©

0

©

0 O

Se tal critério for mantido para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser (A) (B) (C) (D) (E)

69 67 65 63 61

7. (FCC) Observe a seguinte seqüência de figuras formadas por “triângulos”:

A A A A A figura 1

A A A A A A A A figura 2

IA A A A A A A A A A A A A figura 3

Continuando a seqüência de maneira a manter o mesmo padrão, é correto concluir que o número de utriângulosn da figura 100 é (A) (B) (C) (D) (E)

403 401 397 395 391

8. (FCC) A sucessão dos números naturais pares é escrita sem que os algarismos sejam separados, ou seja, da seguinte forma: 024681

0 1 2 1 4 1 61 8 2 0 2 2 2 4 2 6 2 8

Nessa sucessão, o algarismo que deve ocupar a 127 (A) 0

(B) 2

posição é o

232

' MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

1 (C) 4 (D) 6 (E) 8 ! 9. (CESGRANRIO) “HBio” é um processo de produção de diesel, a partir de óleos vegetais, utilizado pela Petrobras. No final de 2007, a produção de diesel por esse processo era de 270 mif m3/ano. A expectativa é de que, em 2012, esta produção chegue a 1,05 milhão m3/ano. Supondo-se que tal expectativa se cumpra e que o aumento anual na produção “HBio” de diesel se dê linearmente, formando uma progressão aritmética, quantos milhões de m3 serão produzidos em 2009? (A) (B) (C) (D) (E)

0,560 0,574 0,582 0,660 0,674

10. (CESGRANRIO) Leia o texto abaixo para responder á questão 10. “A expectativa de vida do brasileiro aumentou (...), seguindo uma tendência mundial. (...) Para os brasileiros nascidos em 2004, a expectativa de vida é de 71,7 anos. (...) O aumento reflete melhorias nos serviços de saúde pública e de saneamento (.„). Em 1980, a expectativa de vida no Brasil era de 62,6 anos. (...) Os dados regionais mais uma vez, confirmam as desigualdades entre as unidades da federação. Enquanto no primeiro colocado, o Distrito Federal, um bebê nascido em 2004 terá esperança de viver 74,6 anos, um bebê nascido em Alagoas, no mesmo ano, terá uma esperança bem abaixo da média nacional: 65,5 anos." Se, de 1980 a 2004, a expectativa de vida dos brasileiros tivesse aumentado linearmente, um brasileiro nascido em 1990 teria uma expectativa de vida, em anos, de, aproximadamente: (A) 65,9 (B) 66,4 (C) 67,1 (D) 67,3 (E) 68,1

G A B A R IT O

1- B

2- D

3- C

4- B

5- E

6- D

7- B

8- B

9- C

10 - B

ANALISE COMBINAT0RIA E PROBABILIDADE

Esse tópico sempre deixa as pessoas com medo, pois muitas acham difícil* Para ser sincero, não é possível ensinar Análise Combinatória, mas sim mostrar os casos mais cobrados. Mas como assim, não tem como aprendermos? Acontece que, nesse assunto, quando se muda uma palavra, muda-se a questão. Nas minhas aulas, as perguntas são as seguintes: como vou saber quando é arranjo, combinação, princípio fundamental de contagem ou permutação? Nisso poderei ajudar com algumas dicas e macetes de in terpretação. Tenho certeza de que, depois desse capítulo, vocês irão desmistificar muitas coisas sobre Análise Combinatória, como, por exemplo: não é necessário estudar arranjo, porque todas as questões sobre esse assunto podem ser respondidas pelo princípio fundamental de contagem, que será nossa base. Princípio F undam ental de Contagem (PFC) É o total de possibilidades de o evento ocorrer. Princípio multiplicativo: P,.P 2.P3........Pn. (regra do **e”) Princípio aditivo: Pt + P2 + P3 + ... + Pn. (regra do “ou”) Como saber que a questão pode ser resolvida pelo PFC? E sim ples! Toda escolha sucessiva é calculada pelo PFC.

234

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÕGiCO QUANTITATIVO - Bruno W lar

Treinamento comentado 1.

Apesar de todos os caminhos levarem a Roma,: eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ír da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, quaf a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B? (A) (B) (C) (D) (E)

Oito Dez Quinze Dezesseis Vinte

RESOLUÇÃO: Observa-se que temos uma sucessão de escolhas: Primeiro de A para B e depois de B para Roma. Primeira possibilidade: 3 (A para B). Segunda possibilidade: 5 (B para Roma). Perceba que as possibilidades estão ligadas pelo conectivo "e" logo um princípio multiplicativo. . Assim, 35 = 15 possibilidades. Resposta: letra C.

2. Uma fábrica produz três modelos de carros. Para cada modelo, o cliente deve escolher entre sete cores diferentes, cinco tipos deestofamento e vidros brancos ou verdes. Além disso, o cliente ipodeadquirir,opcionalmente, o limpador do vidro traseiro. A quantidade de maneiras distintas em que esta fábrica pode montar carros para atender a todas as possíveis escolhas de seus clientes é: (A) (B) (C) (D) (E)

60 70 140 210 420

RESOLUÇÃO: Temos uma sucessão de escolhas, logo RFC. Sempre que ficar subtendida a expressão "e depois" é multiplicação.

235

Cap. 1 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

r

Primeira possibilidade: Modelo = 3. Segunda possibilidade: Cor = 7. Terceira possibilidade: Estofámento = 5. Quarta possibilidade: Vidros = 2. Quinta possibilidade: Limpador de vidro = 2 (com ou sem limpador). Assim, 3.7.5.2.2 - 420 possibilidades. Resposta: letra E.

3,

(UNEB) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automático, mas se esqueceu da senha. Lembrava que não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que cinco e o quarto e último era ímpar. Qual o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a senha? (A) (B) (C) (D) (E)

13 60 75 78 80

RESOLUÇÃO: Primeira possÍbÍlidade:!8. Apenas um número Segunda possibilidade: Par (2, 4, 6, 8) = 4. Terceira possibilidade: Menor que cinco (1, 2, 3, 4) ~ 4. Quarta possibilidade: ímpar (1, 3, 5, 7, 9) ~ 5. Resumo:

. 1

: \

1.a possibilidade:

\;A /4 | - ' j r . - .: 2.a possibilidade

3.° possibilidade

5 4.a possibilidade

Sendo assim, 1.4.4.5 = 80 possibilidades. Resposta: letra E. \

FIQUE ESPERTO! Você deve ter se perguntado: por que na primeira possibilidade o número é 1 e não 8? Não esqueça de que as possibilidades representam a quantidade de elementos. Desta forma, como só temos um elemento, temos apenas uma possi bilidade.

236

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGíCO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

.

!

4. (INSS) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma seqüência de 5 símbolos distintos, formada por duas ietras e três algaris mos. Ele se lembra dos símbolos, mas não lembrava da ordem da seqüência em que eles aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer p(ara acessar o arquivo é: (A) (B) (C) (D) (E)

115 120 150 200 249

RESOLUÇÃO: Temos que ter cuidado, pois ele sabe os elementos da seqüência, mas não sabe a ordem. Não se esqueça: distintos = sem repetição. 5

Possibilidade

1

4

:

2.3 '

Possibilidade

3-‘1 Possibilidade

•••••• 4.a

■

Possibilidade

5.° Possibilidade

Na primeira possibilidade, temos 5 escolhas, e como os termos ^são distintos, cada casa diminui uma possibilidade. Logo: 5.4.3.2.1 = 120 Resposta: letra B.

6. (CESPE TRT-DF - 2005) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem. 0 1 - 0 número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior

a 650.000. 0 2 - 0 número de processos que podem ser codificados por esse sistema utiíizando-

se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000. 0 3 - 0 número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000.

RESOLUÇÃO: O nosso protocolo é formado por duas ietras e três algarismos ( L ^ A ^ A ^ . Algarismos = 10 (0, 1, 2 /3 ,4 , 5,6, 7, 8, 9). Letras = 26 (fornecida pela questão).

C ap. 7 - ANÀLiSE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

237

í Vamos resolver o item 01 . O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000. Nessa questão não há restrição. 26 ■j*

26

10 /u -.'

2a

3.* ■■

Possibilidade

Possibilidade

Possibilidade

'■: 0

10

5.a Possibilidade

Possibilidade

Resultado: 26.26.10.10.10 = 676.000 possibilidades. Item certo. Vamos resoiver o item 02. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28.000. Nesse item temos a restrição de letras iguais nas duas primeiras posições, ou seja, a segunda letra é igual à primeira. Por isso não podemos escolher a segunda letra. 26 I a Possibilidade

'

1

......... 2 .**; Possibilidade :

■■■■. 10 3.a Possibilidade

;

-..10 ':.'.'

10

Possibilidade

Possibilidade

Resultado: 26.1.10.10.10 = 26.000 possibilidades. Item errado. Vamos resoiver o item 03. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000. Nesse item a restrição é hão repetir elementos (letras e algarismos). 26

25

10

1.a

' 2-a Possibilidade

3.3

4a

5.a

Possibilidade

Possibilidade

Possibilidade

Possibilidade

9 ...

8

Resultado: 26.25.10.9.8 = 468.000 possibilidades. Item errado.

7. (UEFS) Para garantir a segurança de seus moradores, a administração de um condomínio pensou em contratar vigilantes para ocuparem as cinco guaritas construídas na sua área. Devido aos altos custos, só foi possível contratar quatro vigilantes, sendo que um deles deve ficar na guarita próxima à entrada do condomínio e que, nos demais postos, deve ficar, no máximo, um vigilante.

238

'MATEMÁTICA E R AC IO CÍNIO LÓ GICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

I Nessas condições, o número máximo de maneiras distintas para distribuir esses vigilantes é: (A) 24 (B) 58

,

(C) 72 (D) 96 (E) 120

RESOLUÇÃO: Temos 4 vigilantes e 5 guaritas, sendo que na guarita da entrada é obrigatório ter um vigilante. Fique atento, cada vez que escolho um vigilanteidiminui uma possibilidade. Vamos escolher a guarita D para ficar vazia. 1,3 possibilidade: Entrada = 4 (vigilantes) 2.a possibilidade: Guarita

À= 3

3.a possibilidade: Guarita

B~ 2

4.a possibilidade: Guarita

C= 1

■

4 Entrada

-

Guarita A

Guarita B

Guarita C

Resultado: 4.3.2.1 = 24 possibilidades, porém esse resultado é a quantidade de possibilidades de ficar vazia a guarita D, mas a questão deixou livre a guarita que vai ficar vazia. 5.a possibilidade: Guarita vazia (pode ser A ou B ou C ou D) = 4 Resultado final: 43.2.1.4 = 96 possibilidades. Resposta: letra D.

8. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais e)es podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a: (A) 2 (B) 4 (C) 24 (D) 48 (E) 120

239

C ap. 7 - ANÁLISE COMBIN ATÓRIA E PROBABILIDADE

r RESOLUÇÃO: Nesse caso a nossa restrição é ficarem duas muiheres juntas. Sem restrição a resposta será 5.4.3.2.1 = 120 possibilidades.

M,

i

M,

P,

R, p2

Vamos observar que uma posição (Pl) será ocupada petas duas muiheres, pois elas devem permanecer juntas. 1.a possibilidade: Moça 1 = 2 2.° possibilidade: Moça 2 = 1 3.a possibilidade: Rapaz 1 = 3 4.a possibilidade: Rapaz 2 = 2 5.a possibilidade: Rapaz 3 = 1 Resultado: 2.1.3.2.1 = 1 2 possibilidades, porém nessa ordem. Temos 4 posições para permutar (trocar) entre si. 6.*1 possibilidade: Posição = 4 Resultado finai: 12.4 = 48 possibilidades. Resposta: letra D.

9.

(MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é iguaf a: (A) 6 (8 ) 12 (C) 24 (D) 36 (E) 48

RESOLUÇÃO: Você deve ter se perguntado:; não é a mesma questão? Não! O enunciado é o mesmo, porém a pergunta é diferente. Nossa restrição é: somente as moças fiquem todas juntas, nesse caso os rapazes não podem ficar todos juntos. Por isso teremos duas situações.

240

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vitlar

l.a Situação:

V, p,

P;

p4

1.n possibilidade: Moça 1 = 2 2 .a possibilidade: Moça 2 = 1

3.n possibilidade: Rapaz 1 = 3 4 .3 possibilidade: Rapaz 2 = 2 5.a possibilidade: Rapaz 3 = 1 Resultado!: 2.1.3.2.1 = 12 possibilidades. 2.a Situação:

K,

r3

P,

P3

IVl,

*3 P3

P,

1.3 possibilidade: Moça 1 = 2 2 .* possibilidade: Moça 2 = 1

3.-1 possibilidade: Rapaz 1 = 3 4.° possibilidade: Rapaz 2 = 2 5.-’ possibilidade: Rapaz 3 = 1 Resultado 2: 2.1.3.2.1 = 12 possibilidades. Temos 1.a situação ou 2.° situação. Regra do “ou" (soma). Resultado final: 12 + 12 = 24 possibilidades. Resposta: letra C.

10. (AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

420 480 360 240 60

241

Cap. 7 -A N Á L IS E COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

r RESOLUÇÃO: Nessa questão temos duas restrições: a última posição deve ser ocupada por Ana ou Beatriz ou Carla ou Denise,-. e Denise não pode ocupar a primeira posição. 1.a Situação: Ana sendo a última. 5

5

4

Posição 1

Posição 2

Posição 3

Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada nem por Ana e nem por Denise (restrição da questão), logo 5 possibilidades. A posição 2 não pode ser ocupada por Ana e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição; porém pode ser ocupada por Denise, por isso 5 possibilidades. A posição 3 não pode ser ocupada por Ana, nem pela pessoa da posição V e a da posição 2, logo 4 possibilidades. A posição 4 pode ser ocupada por Ana (nossa suposição), logo apenas uma possi bilidade. Resultado 1 = 5.5.4.1 = 100 possibilidades. 2.a Situação: Beatriz sendo a última. 5 Posição 1

■ 5' Posição 2

4

1

Posição 3

Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada nem por Beatriz e nem por Denise (restrição da questão), logo 5 possibilidades. A posição 2 não pode ser ocupada por Beatriz e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição; porém pode ser ocupada por Denise, por isso 5 possibilidades. A posição 3 não pode ser ocupada por Beatriz, nem pela pessoa da posição 1 e a da posição 2, lògo 4 possibilidades. A posição 4 pode ser ocupada por Beatriz (nossa suposição), logo apenas uma possibilidade. Resultado 2 - 5.5.4.1 = 100 possibilidades. 3.a Situação: Carla sendo a última. 5

5

4

|

1

Posição 1

Posição 2

Posição 3

j

Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada nem por Carla e nem por Denise (restrição da questão), logo 5 possibilidades.

242


A posição 2 não pode ser ocupada por Caria e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição; porém pode ser ocupada por Denise, por isso 5 possibili dades. A posição 3 nãb pode ser ocupada por Carla, nem pela pessoa da posição 1 e a da posição 2, fogo 4 possibilidades. A posição 4 pode ser ocupada por Caria (nossa suposição), logo apenas uma pos sibilidade. Resultado 3 = 5.5.4.1 = 100 possibilidades. 4.a Situação: Denise sendo a última. 6

5

4

1

Posição 1

Posição 2

Posiçãí 3

Posição 4

A posição 1 não pode ser ocupada por Denise (restrição da questão) e como éía já está na última posição, logo 6 possibilidades. A posição 2 não pode ser ocupada por Denise e nem pela pessoa que ocupou a primeira posição, logo 5 possibilidades. A posição 3 não pode ser ocupada por Denise, nem pela pessoa da posição 1 e a da posição 2, logo 4 possibilidades. A posição 4 pode ser ocupada por Denise (nossa! suposição), logo apenas uma possibilidade. Resultado 4 = 6.5.4.1 = 120 possibilidades. Temos: a 1.a situação ou a 2 * situação ou a 3.a situação ou a 4.a situação. Resultado final: 100 + 100 + 100 + 120 = 420 possibilidades. Resposta: letra A.

11. (CEFET-BA) Segundo o texto, a travessia internacional mais alta do está a 4370 metros de altitude. Considerando! os algarismos 0, 3, 4 colorarmos em ordem crescente todos os algarismos, não nulos, de mos distintos, formados por esses algarismos, então a posição do 4370 é: (A) 30. (B) 36. (C) 40. (D) 41. (E) 42.

mundo e 7, se algaris número

Cap. 7 - ANÁLISE COMBINATÒRIA E PROBABILIDADE

í RESOLUÇÃO: Temos que contar as possibilidades. I.3 situação: um número de um algarismo. Possibilidade: 3, 4, 7 = 3. Obs.: o zero não contaj pois o número 07 é um número de um algarismo. 2.° situação: um número de dois algarismos. V 3 ■■

I .. 3 ; 2.° algarismo

1 ° algarismo

O zero não pode ser usado como primeiro algarismo, por isso só temos as seguintes possibilidades: 3, 4, 7. No segundo algarismo pode-se usar o zero e devemos excluir o algarismo que es colhemos para a primeira posição, logo 3 possibilidadesl Resultado 2: 3.3 = 9 possibilidades. 3.a situação: um número de três algarismos. 3

3

1.° aigarismo

2 ° algarismo

i; 2 3.° algarismo ;

O 1.° algarismo não pode ser o zero, logo 3 possibilidades. O 2.° algarismo pode ser o zero, porém não podemos contar o algarismo da posição 1. O 3.° algarismo não pode ser nem o primeiro aigarismo e nem o segundo algarismo, logo 2 algarismos. Resultado 3: 3.3.2 - 18 possibilidades. 4'.a situação: um número de quatro algarismos, menor que 4370. Vamos começar com o numero 3 na primeira posição, pois o número 3074 é menor que 4370, 1

3

1.° algarismo

2.° algarismo

2 i. 3.° algarismo

4.° algarismo

A primeira posição só pode ser ocupada pelo algarismo 3, logo apenas uma pos sibilidade.' A segunda posição não pode ser ocupada pelo algarismo da primeira posição, logo 3 possibilidades.

243

244

MATEMÁTICA E RACiOClNlO LÓGICO QUANT1TATÍVO - Bruno Villar

Na terceira posição devemos excluir os dois algarismos anteriores, logo 2 possibi lidades. Na quarta posição devemos excluir os três algarismos anteriores, logo 1 possibili dade. Resultado 4: 1.3.2.1 = õ possibilidades. Até agora temos 3 4* 9 + 18 + 6 = 36 possibilidades. Começando com o algarismo 4, temos: 4037, 4073, 4307. Logo temos mais três posições. Temos 39 possibilidades de números menores que 4370, logo ele estará na 40.a posição. Resposta: letra C.

12. (MPU 2004 ESAF) Paulo possui, três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a Jado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qual quer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

20. 30. 24. 120. 360.

RESOLUÇÃO: Essa questão é para fechar com chave de ouro os casos de princípio fundamental de contagem. Temos 6 ' quadros, porém os quadros de Gotuzo devem estar em ordem cronológica e podem estar juntos ou não. Total de possibilidades: 6.5.43,2.1 = 720 possibilidades. No caso da inversão da seqüência dos quadros de Gotuzo temos. 3 l.a pOSÍÇãO;

2: 2.a posição

1 3.a posição

Temos 6 possibilidades de troca da seqüência dos quadros de Gotuzo.


r

245

100 = Como queremos apenas uma seqüência, G1-G2-G3, teremos 120 6 possibilidades. Logo:

Resposta: 120, pois cada seqüência dos quadros de Gotuzo aparece 120 vezes. Resposta: letra D.

Treinamento do concursando 1. (CESGRANRIO) Ao se inscrever em determinado concurso, cada candidato recebia um número de inscrição composto de 6 dígitos numéricos. O primeiro dígito identificava a cidade onde era feita a inscrição e os demais correspondiam ao número de identificação do candidato. Por exemplo, na cidade identificada pelo dígito “2", o primeiro inscrito receberia o número de inscrição “2.00001”, o do segundo seria "2.00002” e assim sucessivamente, até o número “2.99999". Seguindo esse critério, qual o número máximo de candidatos que poderiam se inscrever numa mesma cidade? (A) (B) (C) (D) (E)

9.999 59.049 99.999 531.441 999.999

2. (CESGRANRIO) Em certa universidade, o número de matricula dos estudantes é formado por 7 dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um padrão: o primeiro dígito não pode ser zero, o antepenúltimo indica em que semestre (primeiro ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos, o ano da matrícula. Por exemplo, “4234.207” é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu curso no segundo semestre de 2007. Se dois estudantes ma triculados num mesmo ano devem ter, obrigatoriamente, números de matrícula diferentes, qual é o número máximo de estudantes que podem ser matriculados em 2008? (A) (B) (C) (D) (E)

6.046 9.000 10.080 18.000 20.000

3. (CESPE) Uma concessionária oferece aos clientes as seguintes opções para a aquisição de um veículo: 4 cores externas, 4 cores internas, 4 ou 5 marchas, com ou sem ar condicionado, com ou sem direção hidráulica, com ou sem vi dros e travas elétricas. Desse modo, são, no máximo, 128 as opções distintas para a escolha de um veículo.

246


1 4. (CESGRANRIO) Em uma fábrica de bijuterias são produzidos coiares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura.

As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem iser de cores diferentes? (A) (B) (C) (D) (E)

612 556 448 392 336

5. (ENEM CESGRANRIO) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se. o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas;para a paisagem é (A) (B) (C) (D) (E)

6 7 8 9 10

6.

(CESPE) Considere que as senhas dos clientes de um banco têm 8 dígitos, sem repetições, formadas pelos algarismos de 0 a 9. Nessa situação, o número máximo de senhas que podem ser cadastradas nesse banco é inferior a 2 * 106.

7.

(CESPE) Considere que o BB oferece cartões de crédito Visa e MasterCard, sendo oferecidas 5 modalidades diferentes de cartão de cada uma dessas empresas. Desse modo, se um cidadão desejar adquirir um cartão Visa e um MasterCard, ele terá menos de 20 possíveis escolhas distintas.


247

8. (Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco/lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti ficjuem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

16 24 32 46 48

9. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentemse em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, (A) (B) (C) (D) (E)

1112 e 1152. 1152 e 1100. 1152 e 1152. 384 e 1112. 112 e 384.

10. (Anal. Orçamento MÀRE 99 ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma em presa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições^ o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é 518 400 1 440 ^ 720 120 (E) 54 (A) (B) (C) (D)

GABARITO 01 - C

02 - D

03 - E

04 - D

05 - B

06 - C

07 -E

08 - E

09 -C

10 - A

Fatorial O fatorial será muito utilizado nas questões de permutação e aná lise combinatória.

248

MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

Sendo n ura número natural, chama-se de ní (Lê-se: n fatoriai) a expressão: n! = n (n |- 1) (n - 2) (n - 3 ) ........ 2.1, com n > 2 Exemplos: 5! - 5.43.2.1 = 120 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

CUIDADO: 0) = 1 1! = 1

*

rv Dicas: 01. Tenha cuidado: 2! = 2, pois 2.1 - 2. Agora 3! não é igual a 3, pois 3.2.1 = 6. 02. Você não precisa desenvolver o número até 1. Exemplo: 51 = 5.4.3!. Nesse caso, se parar antes de um/você deve colocar o fatoriai.

Treinamento básico 1. Simplifique as expressões abaixo: a) 1! = 2 £ * 3! b) 121 = 7! P!

= 7.6 » 42 = -10.9.8 * 720

12.11.10.9.8.7.6.^

c) — = ---------- e---------- 1 = 12.11.10.9.8.7.6 = 39.991.680 5! ^ 10! 6L4!

10.9.8.7.^' ^'.43.2.1

10.9.8.7 - 4.3.2.1

5040 24

d) ------ - -r---------- i = ---------- = ------ = 210

No caso da letra d, no denominador deve se conservar os termos menor e maior.

Cap. 7 —ANÁLISE COMBiNATÓRiA E PROBABILIDADE

249

Também pode ser usado o seguinte processo: 10-9.8.7 = K r W - 7 4 . 3 . 2.1

■

= 5.3.4.7 2 . 1.1

420 ?)n 2

Esse processo é o método da simplificação. Para simplificar, devemos dividir os termos por um mesmo número. 12! 0.) -------

I2.ll.Ye» „ 1 2.11

132

= ---------- - = ------ = ---- = 66

101.2í

Y»t2.l

2

2

Treinamento comentado 1. (CESPE) Considere que, para ter acesso à sua conta corrente via Internet, um correntista do BB deve cadastrar uma senha de 8 dígitos, que devem ser es colhidos entre os algarismos de 0 a 9. Se o correntista decidir que todos os algarismos de sua senha serio diferentes, então o número de escolhas distintas que ele terá para essa senha é igual a 81.

RESOLUÇÃO: O correntista possui uma senha de 8 dígitos distintos. ■ '.';S. .' V

10 1.»

posição

y] :v3XK.v

‘ posição

posição

posição

5 . » ■ .v;;.V;:6 .a posição posição

3 7*

8 .a

posição

posição

1.° posição: 10 possibilidades (0 a 9 algarismos), e como a questão menciona que devem ser elementos distintos, retira-se um elemento de cada posição posterior. Resultado: 10.9.8.7.6.5.4.3. Agora vamos comparar o resultado obtido como o resultado do enunciado. 10.9.8.7.6.5.4.3 = 8 ! 10.9.0:7t6.5.4t5 = 8^6^h43.2,1. Cortando os termos iguais, obtemos o seguinte re sultado: 10.9 = 2 .1. Questão errada.

2. (CESPE PF 2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Nemeia, capturar a corça de Cerineía e capturar o javali de Erimanto.

250

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Vtilar

Considere que a Hércuies seja dada a escolha! de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados,: e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que isomente um trabaiho seja executado de cada vez-, Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia pre parar, julgue Í3S itens subseqüentes. 0 1 - 0 número máximo de possíveis listas que Hércuies poderia preparar é superior a 12.10!.

0 2 - 0 número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Nemeia" na primeira posição é inferior a 240.990.56.30. 0 3 - 0 número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia” na primeira posição e "capturar o javali de Erimanto" na terceira posição é inferior a 72.42.20.6. 0 4 - 0 número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerineia" e "capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em quaiquer ordem, é inferior a 61.8!.

RESOLUÇÃO: 0 1 - 0 número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12.10!. Como não temos restrição, a escolha é livre. Não esqueça: não há repetição de tarefa, por isso cada posição diminui uma escolha.

12

11

P,

10

9

8

7

6

5

4

/;3 .■;

2

1

P3

P<

PS

P6

> 7

; Pa

P9

P,o

P„

P.*

Resultado: 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 12! Comparação: 12! é maior que 12.10!? +2 . 11 . 101 > +2. WJ. Cortando os termos comuns, temos: 11 > 1 . item correto. 0 2 - 0 número máximo de possíveis Üstas contendo o trabalho "matar o leão de Nemeia" na primeira posição é inferior a 240.990.56.30. , Para a primeira posição só há uma possibilidade, pois tem que ser a de "matar o ieão de Nemeia", íogo sobram apenas 11 posições. 1

11

10

9

Pi

P2

p3

^ P,

Resultado: 11!

8

7

6

5

4

3

2

1

P5

p«

p7

PB

P9

P,o

Pn

P,i


2 51

Comparando: 11! é inferior a 240.990.56.30 11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 < 240.990.5630 9903660.24 < 240.9903630 24 < 240, Item correto. 0 3 - 0 número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos "capturar a corça de Cerineia" na primeira posição e "capturar o javáíí de Erimanto" na terceira posição é inferior a 72.42.20.6. Temos duas posições definidas nessa ordem: P,: "capturar a corça de Cerineia'' P : "capturar o javali de Erimanto"

1

10

1

p,

P;

p3

i

9

8.

7

6

5

p,

Ps

P6

P7

PB

!' 4 P9

3

2

1

P«

Pu

P«

Resultado; 10i 10! < 72.42,20.6 10.9,8.7.6.5.43.2.1 < 72.42.20.6 10.7-2:42.20,6 < -72:42.20^ 10 < 6. Item errado. 0 4 - 0 número máximo de possíveís üstas contendo os trabalhos "capturar a corça de Cerineia” e "capturar o javali de Erimanto" nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6!.8!. Nesse caso a restrição são os trabalhos "capturar a corça de Cerineia" e "capturar o javali de Erimanto" sem ordem. Por isso temos que ter cuidado, pois pode ser CE ou EC.

10

9

8

P,

P2

p3

7 ■ P,

6

5

4

3 |

2

1

2

1

P5

Pfi

P7

p8

P.

P,o

Pn

P,2

;

Resultado: 10L2! O 10! é devido à restrição de duas posições e o 2! é porque os dois últimos trabalhos não possuem ordem, por isso 2 possibilidades. 10L2! < 6I.81. Item correto.

252

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VMar

Combinação Dados n elementos distintos, chama-se de combinação simples desses n elementos, (tomados p a p, a qualquer agrupamento de p elementos distintos, escolhidos entre os n elementos dados e que diferem entre si -pela natureza de seus elementos. Fórmula: n\ Cn>P = ~T/-------Ti p \ ( n - p ) \ com n - P Exemplos: , , „ 5! 5! (a) C. — ------------ = -----5’2 2 1 (5 -2 )! 21.31

5.4.M 20 = -----r—- = — = 1 0 2 .1 .^ 2

MÉTODO DO CONCURSANDO! C .

V 2!

= ■■■2.1 ■ 2

■i AÍ - . - . V

Esse método ajuda muito. Vamos ã dica: n = 5 (base) e p - 2 (quantidade de casas que vamos andar). Podemos resumir assim:

P cosas .

7 .\.5 (b) C7’3

7 3!5

(C) c„, = !2>5

12. 11. 10. 9.8 5!

7‘5 - 35

..

12. 11. 10. 9.8 5.43.2.1

12" 11 10" 9“ 8 ' 5 4 -3 -2 ■ 5

6 . 11 .2 .3.2 ------------- = 6.11.23.2 - 792

1.1. 1.1

^

^3i,29

Nesse caso vamos simplificar o número, pois a conta será grande se andarmos 29 casas.


253

C 31,29 — C 3!,2

Para simplificar é só fazer n - p: 31 - 29 = 2. O resultado será o p da segunda combinação. " C31. - 31-3Q _ 3 1 -3(T _ 3 L 1 5 = 31.15 = 465 2.1 *

~

2”

1

Dica: Crui = 1

Cn,I, = n

Cn,0„ « 1

Treinamento comentado *

Dica: ;As questões que envolvem combinação pedem escolha de grupos ou comissões. A combinação é uma escolha de grupos de pessoas, coisas, objetos ou pontos. Logo é uma escolha de um subgrupo a partir de um grupo fornecido. v/'.'' ■■'v ■'

Caso 01 1. (ANA) O número de dupias que podem ser formadas a partir de 6 jogadores de tênis é: (A) (8) (C) (D) (E)

12 15 27 30 36

RESOLUÇÃO: Temos 6 pessoas e queremos escolher uma dupla. Logo, essa questão é resolvida por combinação. n = 6 (total de pessoas) e p = 2 (nossa escolha). Cfi 2 = Resposta: letra B.

= 3.5 = 15 possibilidades.

254

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno W lar

2. (CESPE BB 2007} Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade totaí de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada in serção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70,

RESOLUÇÃO: Temos 12 pessoas e queremos escolher uma düpla. Logo, essa questão é resolvida por combinação. n - 12 (total de pessoas) e p = 2 (nossa escolha). = 66 possibilidades. Item correto.

3. Quantos triângulos podem ser formados a partir de 8 pontos distintos coplanares?

RESOLUÇÃO: Pontos coplanares: são pontos no mesmo plano. n = 8 e p - 3 ( o triângulo é formado por 3 pontos). C

= 3

3!

= 8.7.6 = 3 3 6 - 56 possibilidades! 3.2.1 6

Resposta: 56.

Caso 02 1. (Técnico de controle interno Piaut 2002 ESAR) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem très meninos e duas meninas é dado por: (A) (B) (C) (D) (E)

5.400 6.200 6.800 7.200 7.800

Cap. 7 -A N Á L IS E COMBiNATÓRIA E PROBABILIDADE

255

RESOLUÇÃO: São duas escolhas de grupos: meninos e meninas {regra do "e" ~ multiplicação). Na escolha do grupo dos méninos temos: n = 1 0 (totai) e p = 3 (escolha). C. « -

10.9.8

10.9.8

720

3.!

3.2.1

6

120

Na escolha do grupo de meninas temos: n - 1 0 e p = 2. 109 _ 90 = 90 = 4 5 2! 2.1 2

C m

Resultado total: 120.45 = 5400. Resposta: ietra A.

2. Doze professores, sendo 4 de Matemática, 4 de Geografia e 4 de Inglês, parti ciparam de uma reunião com o objetivo de formar um comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa comissão é: (A) (B) (C) (D) (E)

12 36 48 64 108

RESOLUÇÃO: Temos que ter cuidado, pois temos a impressão de que devem ser escolhidas 9 pessoas de 12, porém não. é dessa forma. A comissão deve ter 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. Por isso devemos calcular separado! Matemática n —4 e p - 3 C„ * 4 , 1 = 4

J

Obs.: 4 - 3 - 1 . Utilizando 0 processo de redução. Geografia, n= 4 ep= 3 = 4/1 ~ 4 Obs.: 4 - 3 = 1. Utilizando o processo de redução.

256

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Víllar

Inglês. n= 4ep= B

.

■é« = 4 , i ' = 4 | Obs.: 4 3 = 1. Utilizando o processo de redução. Temos um grupo de matemática "e" geografia "e" inglês (regra do "e"). Resultado final: 4.4.4 = 64 possibilidades. Resposta: letra D.

Caso 03 1. (TRT/SC - 05) Em um edifício residencial, os moradores foram convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. A escolha deverá ser feita entre dez moradores. De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas? (A) 64 (B) 126 (C) 252 (D) 640

(E) 1260

RESOLUÇÃO: Resumo do enunciado: Dentre 10 pessoas uma será o síndico e 4 serão do conselho fiscal, hão podendo ocorrer acumulação de cargos. Temos duas situações. l.n Situação: primeiro escolhendo o síndico e depois o conselho. Síndico: n = 10 e p = 1. Cio, i ” 10 Conselho: n = 9 e p = 4. Pois a pessoa que foi escolhida não pode concorrer ao cargo do conselho fiscal. 9.S.7.6 9.8.7.6 3024 ^ ■ . r . = ■----------= — —;— = --------- = 1 2 6 9/> 4! 4.3.2.1 24 A nossa escolha é um síndico e 4 conselheiros (regra do "e"). Resultado: 10.126 =-1260 possibilidades. Resposta: letra E. Para o seu treinamento, a 2.n situação seria primeiro escolher o conselho e depois o síndico.

257

C ap. 7 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

2.

(CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.

RESOLUÇÃO: Temos três escoihas: O funcionário mais novo recebe 3 tarefas e o restante 2 tarefas. I .3 escoiha: n = 7 e p = 3 i

C., = 7.6.5 — 7.6.5 = 2J_0 = 35 possibilidades, 7'3 3! 3.2.1 ; 6 2.n escoiha: n = 4 e p = 2 O n ficou igual a 4, pois três tarefas foram escolhidas na primeira possibilidade. 4.3 43 12 ■ C., = — = ---- = — ~ 6 possibilidades. •u 2! 2.1 2 3 .8 escoiha: n = 2 e p = 2

. .

C22 = 1 possibilidade. Temos a 1 .° escolha, depois a 2? e depois a 3.a (regra "e"). Resultado final: 35.6.1 = 2 1 0 possibilidades. Item errado.

Caso 04 1. Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada. Se cada salada é com posta de cínco frutas diferentes, então o número de saladas diferentes que se pode preparar escolhendo pelo menos 5 frutas diferentes é: (A) (B) (C) (D) (E)

8 56 93 120 6720

RESOLUÇÃO: A expressão pelo menos tem o mesmo significado de mínimo. Por isso, quando di zemos peio menos 5, queremos dizer que há no mínimo 5 escoihas, logo podemos escolher 5 ou 6 ou 7 ou 8 (total).

258

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vtfar

1 Escolhendo 5 frutas: C = C = 8.7.6 8.7.6 = 336 = 55 ' “ 03 |3! 3.2.1 6 Escolhendo 6 frutas: 3.7 8.7 56 C_ = — = — = 28 8.6 = C„,= B,2 ~ 2!

2.1

2

Escolhendo 7 frutas:

C,7 =

Cej = 8

Escolhendo 8 frutas: C„„ = 1 Resultado: 56 + 28 + 8 + 1 = 9 3 possibilidades. !f Resposta: letra C.

2. (AFC 2005 ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças. Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo menos duas meninas; o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas è igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

286 756 468 371 752

RESOLUÇÃO: No grupo deve ter pelo menos duas meninas, logo no mínimo duas meninas. O total de escolha é 6 crianças, porém devemosi ter pelo menos duas meninas. 1.a possibilidade: 2 meninas e 4 meninos. 2.a possibilidade: 3 meninas e 3 meninos. 3.a possibilidade: 4 meninas e 2 meninos. 1.° possibilidade: 2 meninas e 4 meninos. Meninas: n = 4 e p = 2.,;

C ap. 7 - ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

259

Meninos: n = 7 e p = 4. c

= r 1A

= :J

3!

3.2.1

- ü £ = 35 ■: 6

Resultado da l.a possibilidade: 6.35 = 210. 2.a possibilidade: 3 meninas e 3 meninos. Meninas: n = 4 e p = 3. C„ = C4J= 4 Meninos: n = 7 e p = B. C V“ 7.3 = 3 5 Resultado da 2.a possibilidade: 4.35 ~ 140. 3.a possibilidade: 4 meninas e 2 meninos. Meninas: n = 4 e p = 4. C,4 = 1 Meninos: n = 7 e p = 2. q ,. « = « . « = 21 . 2! 2.1 2 Resultado da 3.a possibilidade: 1.21 = 2 1 . Resultado final: 210 + 140 + 21 =371. Resposta: letra D<

Treinamento do concursando 1. (ESAF) Uma empresa possui vinte funcionários, dos quais dez sao homens e dez são mulheres. Desse modo, o número de comissoes de cinco pessoas que se podem formar com três homens e duas muiheres é: (A) (B) (C) (D) (E)

1650 165 5830 5400 5600

260

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar .

.

!

2. Dispõe-se de oito tipos de frutas para fazer uma salada. Se cada salada é com posta de cinco frutas diferentes, então o número de saladas diferentes que se pode preparar é:

'

(A) (B) (C) (D) (E)

8 10 56 120 6720

'

3. (CESPE) Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessa si tuação, a quantidade de comissões que é possível formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 3 diretores, é superior a 105. 4. (CESPE) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 fun cionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários. 5. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor? (A) (B) (C) (D) (E)

25 35 45 55 65

6. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os matemáticos participem da comissão? (A ) C zo.io

C1S,o (C) CJ01S

(D ) C 15,

(E) C2B, a 7. (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética. Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol, uma empresa contratou 4 professores americanos e 3 espanhóis. Nessa situação, sabendo que cada funcionário fará exatamente um curso de cada língua estrangeira, um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas distintas de professores para escolher aqueles com os quais fará os seus cursos. 8. (CESPE) Uma empresa está oferecendo 2 vagas para emprego, sendo uma para pessoas do sexo feminino e a outra para pessoas do sexo masculino. Considerando-se que se candidataram às vagas 9 homens e 7 mulheres, então o número de opções distintas para a ocupação dessas vagas é igual a (A) 126


261

r (B) 63 (C) 32 (D) 16 9. (CESPE) O Banco do Brasil S.A. (BB) patrocina as equipes masculina e feminina de vôlei de quadra e de praia. Segundo o portal www.bb.com.br, em 2007, o voleibol brasileiro mostrou mais uma vez a sua hegemonia no cenário interna cional com a conquista de 56 medalhas em 51 competições, tanto na quadra quanto na praia. Nesse ano, o Brasil subiu ao lugar mais aito do pódio por 31 vezes e conquistou, ainda, 13 medalhas de prata e 12 de bronze. Com base nessas informações, julgue os itens subseqüentes. 01 - Considerando que o treinador de um time de vôlei disponha de 12 jogadores, dos quais apenas 2 sejam ievantadores e os demais estejam suficientemente bem trei nados para jogar em qualquer outra posição, nesse caso, para formar seu time de 6 atletas com apenas um ou sem nenhum levantador, o treinador poderá fazê-lo de 714 maneiras diferentes. 02 - Caso se deseje selecionar 5 medalhas, entre as conquistadas pelo voleibol bra sileiro em 2007, de modo que 2 sejam de ouro, 2 de prata e 1 de bronze, a quantidade de possibilidades diferentes de se formar esses conjuntos será superior a 450 mil. 03 - Considerando-se que o treinador de um time de vôlei tenha à sua disposição 12 jogadores e que eies estejam suficientemente treinados para jogar em qualquer po sição, nesse caso, a quantidade de possibilidades que o treinador terá para formar seu Ume de 6 aíletas será inferior a 103.

GABARITO 01 - D

02 - C

1

03 - C

04 - E

05 - D

1

06 - D

07— E

08-8

|

09 - C-E-C

Permutação E a troca de posição de elementos de uma seqüência. Permutação sem repetição de elementos P n = n! *

Dica: todas as questões de permutação simples podem ser resol vidas pelo princípio fundamental de contagem (PFC).

262

MATEMÁTICA E RACIOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar .

.

!

Treinamento comentado________________ 1. Quantos anagramas tem a palavra rato? I

.......

,

j ................

RESOLUÇÃO: ■ 1.a opção: Anagrama é a troca das letras de uma palavra. A palavra rato não possui letras comuns, logo 4 elementos distintos. P4 = 4! = 4.3.2.1 - 24 possibilidades. ■:■Resposta: 24. ■ .. 2.° opção:

4

3

1,° possibilidade

2 .a possibilidade

1

3.a possibilidade

4.a possibilidade

Resultado: 4.3.2.1 = 24

2. Quantos anagramas tem a palavra vida, começando por vogal?

RESOLUÇÃO: Restrição: começar por vogai. 2

.3...

l.a possibilidade

2.a possibilidade

'■i 2 '■ .■ 3.a possibilidade

4 a possibilidade

A 1.° possibilidade é igual a 2, pois temos duasj vogais. Sobram 3 possibilidades, logo temos:

2-P3

■ .

■ [

Resultado: 2.3.2.1 = 12 possibilidades.

Permutação com elementos repetidos

a lp ! % L . n: total de elementos.

■ ■ ■

Cap. 7 -A N Â U S E COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

263

a , p , x . . . = repetição de cada elemento.

Treinamento comentado 1. Quantos anagramas tem a palavra concurso?

RESOLUÇÃO: A palavra concurso tem 8 elementos, mas a letra O e C -aparecem duas vezes. f

n 2-2 —

8?

L0g0'jP. -2!2!

10080.

2. (CESPE) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diver sas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.

RESOLUÇÃO: Totai de 7 faixas, sendó 3 verdes e 3 amarelas.

'3'3 = _ZL = 140

Pi

3! 3!

ítem certo.

Perm utação circular P = — ou (n-1)! Essa fórmula é utilizada para pessoas agrupadas em um formato circular, n = total de pessoas Treinamento comentado 1. (CESPE) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas di ferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102.

MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno V?//ar

264

1 RESOLUÇÃO: É um caso ciássico de permutação circular. !

.

(6 - 1)! = 5! = 5.43.2.1 = 120 possibilidades.

Item certo.

Treinamento do concursando 1.

(CESPE) Um trabalhador dispõe de 3 linhas de ônibus parair de sua casa até o terminal deônibus no centro da cidade e, a partir dai, ele dispõe de 5 linhas de ônibus para chegar ao seu iocal de trabalho. Nessa situação, considerando-se que o trabalhador possua as mesmas opções para fazer o percurso de retorno do trabalho para casa e entendendo-se um trajeto de ida e volla ao trabalho desse trabalhador como uma escolha de quatro linhas de ônibus - de sua casa ao centro, do centro ao trabalho, do trabalho ao centro e do centro de volta para casa então o trabalhador dispõe de, no máximo, 30 escolhas distinlas para o seu trajeto de ida e volta ao trabalho.

2.

(CESPE) Um juiz deve sortear 5 homens e 6 mulheres para formar o corpo de jurados no tribunal do júri, entre 10 homens e 13 mulheres convocados. Nessa situação, o número de possibilidades diferentes de se formar o corpo de jurados é inferior a 1.970.

3. Dois casais devem posar, em fila, para uma fotografia. De quantos modos podem fazê-lo, se cada casal deve permanecer junto? (A) (B) (C) (D) (E)

1 2 4 6 8

4. (CGU ESAF 2006) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões? (A) (B) (C) (D) (E)

2800 2980 3006 3003 3005

Cap. 7 - ANÁLISE C0MB1NATÓRIA E PROBABILIDADE

265

5. (CGU ESAF 2006} Ágata é decoradora e precisa atender ao pedido de um ex cêntrico cliente, Ele - o cliente - exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então ó número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a: (A) (B) (C) (D) (E) 6.

6720 5760 4320 3600 56

(Transpetro CESGRANRIO 2006) Em um posto de observação foi montado um sinaleiro de formato pentagonal e em cada um de seus vértices foram colocadas duas lâmpadas de cores distintas, escolhidas entre 5 vermelhas e 5 verdes. Convenciona-se que, para a transmissão de uma mensagem, não pode ser ace sa mais do que uma lâmpada por vértice, e que o número mínimo de vértices iluminados deve ser três. Se, cada vez que um conjunto de lâmpadas é aceso, transmite-se uma mensagem, o total de mensagens que podem ser transmitidas por esse sinaleiro é (A) (B) (C) (D) (E)

7.

192 128 64 32 16

(CESGRANRiO) Um restaurante oferece cinco ingredientes para que o cliente escolha no mínimo 2 e no máximo 4 para serem acrescentados à salada verde. Seguindo esse critério, de quantos modos um cliente pode escolher os ingre dientes que serão acrescentados em sua salada? (A) (B) (C) (D) (E)

25 30 36 42 50

8. (FUNRIO) O número de anagramas da palavra CHUMBO que começam pela letra C é (A) (B) (C) (D) (E)

120 140 160 180 200

9. (FUNRIO) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Arthur e Felipe, que,

266

MATEMÁTICA E RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno VtUar

sabe-se, não se relacionam um com o outroj Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? . (A) (B) - (C) (D) (E)

70 35 55 45 40

!

10. (FUNRIO) Num avião, uma fila tem sete poltronas dispostas como na figura abaixo: corredor

|

|J

jj

"|

corredor

Os modos de Pedro e Ana ocuparem duas poltronas dessa fila, de modo que nao haja um corredor entre eles, são em número de (A) 10 (B) 8 (C) 6 (D) 9 (E) 7 11. (CESPE) De acordo com informações apresentadas no endereço eletrônico www. trtrio.gov.br/Administrativo, em fevereiro de 2008, havia 16 empresas contratadas para atender à demanda de diversos serviços; do TRT/1.3 Região, e a quantidade de empregados terceirizados era igual a 681. Com base nos dados do texto, a quantidade de maneiras distintas para se formar uma comissão de representantes dos empregados terceirizados, composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário,; de modo que nenhum deles possa acumular cargos, é (A) (B) (C) (D) (E)

inferior a 682. superior a 682 e inferior a 104. superior a 104 e inferior a 681*103. superior a 681*103 e inferior a 341*106. superior a 341*106.

12. (ESAF MTE) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos, e que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a: (A) 120 (B) 1220 (C) 870

Cap. 7 - ANÁLISE COMBINATÔRIA E PROBABILIDADE

267

(D) 760 (E) 1120 13. (VUNESP) Uma criança dispõe de 10 lápis de cores diferentes e, para pintar um desenho, precisa utilizar pelo menos 4 cores diferentes. No entanto, a professora lançou um desafio para ver quem consegue pintar, da melhor maneira possível esse desenho, usando no máximo 7 cores diferentes. Nessas condições, o nú mero de maneiras distintas de pintor esse desenho é (A) (B) (C) (D) (£)

210. 420. 548. 664. 792.

14. (CESPE) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distri buídas senhas secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio. As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igua! a (A) 26a x 10 x 9 x 8. (B) 263 x 1G3. (C) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8. (D) 26 x 25 x 24 * 10".

GABARITO 01 - E

02 - E

03 - E

04 - D

05 - A

06 - A

07 - A

08 - A

09 - C

10 - A

11 - E

12 - E

13 - E

14 - D

Probabilidade A probabilidade tem como finalidade 0 esiudo da possibilidade ou chance de acontecer um determinado evento. Conceitos iniciais Experimento Aleatório: é aquele experimento que, quando repetido em iguais condições, pode fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados

268

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTiTATiVO - Bruno W /ar

.

:

[

explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. Espaço amostrai (E): é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experiróento aleatório. Exemplo: Espaço amostrai da moeda: {cara, coroa} Espaço amostrai do baralho {52 cartas} Evento: é o resultado desejado. Probabilidade de ocorrer um evento P(A) P(A) = -------- SSílto------espaço amostrai 0 < P(A) <1 P(A) = 0 (evento impossível) P(A) = 1 (evento certo) P ( /í) = 1 -P(A) P (/I) é a probabilidade de não ocorrer o evento A. Treinamento comentado 1. (CEF) A tabela abaixo apresenta dados parciais sobre a folha de pagamento de um Banco

Faixa salarial, em reais

Número de empregados

300 - 500

52

500 - 700

30

700 - 900

25

900 - 1100

20

1100 - 1300

16

1300 - 1500

13

Total

156


269

Um desses empregados foi sorteado para receber um prêmio. A probabilidade de esse empregado ter seu satário na faixa de R$ 300,00 a R$ 500,00 é (A) (B) (C) (D) (E)

1/3 2/5 1/2 3/5 7/10

RESOLUÇÃO: Descobrir o espaço amostrai e o evento. Espaço amostrai: 156 (total de funcionários). Evento: 52 (pessoas na faixa de 300 a 500). 52 52* _ 1 ~ 156 "" 156^ ” 3 Resposta: letra A.

2. Uma uma contém 50 bolinhas, numeradas de 1 a 50. Retirando-se uma bolinha ao acaso, determine a probabilidade de retirar uma bola contendo um múltiplo de 15.

RESOLUÇÃO: Espaço amostrai: 50. Evento: 3 (múltiplos de 15: 15, 30 ou 45). P(A) = — 50 V

■

■

Probabilidade da união de dois eventos: regra da adição ou regra do “ou” No caso de um sorteio e duas chances você ganha com uma possi bilidade ou com a outra. Por isso regra do “ou”. Dados os eventos A e B, a probabilidade de que ocorram A ou B é igual a: a) se os eventos forem não mutuamente exclusivos (A ^ B possuem elementos comuns) P(A U B ) = P(A) + P(B) - P(A B)

MÁTEMÂTiCA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viitar

270

b) se os eventos forem mutuamente exclusivos (disjuntos) P (A U B ) = 'P (A ) + P (B ) I

Treinam ento co m en ta d o 1. Em uma urna há 12 bolas verdes, 18 bolas amarelas, 20 bolas brancas e 15 bolas pretas. Retirando»se uma bola ao acaso, determine a probabilidade de retirar uma bola branca ou preta.

..RESOLUÇÃO:' Espaço amostrai: 12 + 18 + 20 + 15 = 65 bolas (total de bolas). Evento: 20 + 15 = 35 (branca ou preta). P(A VJ B) = P(A) + P(B). Não temos elementos comuns. P(A O B) = — =

65

65

= —

13

2. (CESPE) Em um concurso público, régistrou*se a inscrição de 1Q0 candidatos. Sabe-se que 30 desses candidatos inscreveram-se para o cargo de escriturário, 20, para o cargo de auxiliar administrativo, e apenas 10 candidatos se inscreveram para os dois cargos. Os demais candidatos jinscreveram-se em outros cargos. Julgue os itens a seguir, considerando que um candidato seja escolhido aleatoriamente nesse conjunto de 100 pessoas. 01 - A probabilidade de que o indivíduo escoihido seja candidato ao cargo de auxiliar administrativo é superior a 1/4. 02 - A probabilidade de que o indivíduo escolhido iseija candidato ao cargo de escriturário ou ao cargo de auxiliar administrativo é iguai a 1/2.

RESOLUÇÃO: Espaço amostrai: 100.

;

'

Evento auxiliar: 20 . Evento escriturário: 30.

’

■

Evento auxiliar e escriturário: 10 (elementos comuns). 01 - A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de auxiliar administrativo é superior a 1/4. P(A) =

= -20— — ~ I t e m errado.

100

100

5 '

C a p .7 -A N Á L IS E COM B IN ATÓR IA E PROBABILIDADE

271

02 - A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de escriturário ou ao cargo de auxiliar administrativo é igual a 1/ 2 . P(A U

8) = P(A) + PCB) - P(A n

B)

P( A U B ) = ü100 + -100^ - 100 ü = i100 “

100

3. Quando Ligia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível do qleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é de 0,11 e a probabilidade de ela pedir ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

0,25 0,35 0,45 0,15 0,65

f

RESOLUÇÃO: Vamos utilizar a probabilidade complementar, na qual ela poderá pedir uma coisa ou outra. P(A n

B) = 0,28 + 0,11 - 0,04 = 0,35

A chance.de acontecer pelo menos um pedido é 0,35. A probabilidade de não acontecer nenhum desses pedidos é 1 - 0,35 = 0,65. Resposta: letra E.

A probabilidade dé dois eventos P (A n B): regra da multiplicação ou regra do “e” P(A n B) = P(A).P(B) Dica: É a probabilidade de 2 sorteios!

T reinam ento co m en ta d o 1. Se uma moeda nao viciada é lançada duas vezes; qual a probabilidade de que ambos os resultados sejam cara?


272

RESOLUÇÃO: 1.° sorteio:

Espaço amostrál: 2 (cara ou coroa) Evento: 1 (cara) ' P(A) = i 2

■

2.° sorteio:

Espaço amostrai: 2 (cara ou coroa) Evento:1 (cara) P{B) = i 2 p(A n

■■:••••••

B) = 1 . 1 - 1 2 2 4

Resposta: 1

’

'

:

4 2. Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bo las, 1 de cada vez, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

RESOLUÇÃO: Nesse caso temos sorteios sucessivos, e como a; questão não mencionou, serão considerados sem reposição de bolas. / 1.° sorteio: uma bola vermelha.

Espaço amostrai: 30 (total de bolas). Evento: 10 (vermelhas). P(A) = — = i ü l = —

30

30

3

2.° sorteio: uma bola azul.

Espaço amostrai: 29 (como é sem reposição, há redução de 30 para 29). Evento: 20 (azuis).

C ap. 7 —ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

3.

273

(BNB) Um globo contém 9 bolas numeradas com algarismos distintos de 1 a 9. Sorteiam-se, ao acaso, com reposição, três bolas do globo. Qual a probabilidade de que o resultado do sorteio seja a seqüência 3,3,3? (A) (B) (C) (D) (E)

3 1/27 1/729 3/103 0,009

RESOLUÇÃO: São três sorteios e tanto o evento como o espaço amostrai são iguais. 1 sorteio. Espaço amostrai = 9. Evento ~ 1 {bola 3).

Cómo 1.° sorteio = 2.° sorteia = 3.° sorteio.

Resposta: letra C.

4. {ESAF WIRE 2002) Em um grupo de cinco crianças, duas delas não podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes crianças (uma caixa para cada). A probabilidade de que as duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é: (A) (B) (C) (D) (E)

0,10 0,20 0,25 0,30 0,60

RESOLUÇÃO: Vão acontecer dois sorteios e como é as caixas são pára crianças distintas/ logo ocorrerá uma redução do espaço amostrai. 1.° sorteio: uma criança que come doce. Espaço amostrai: 5 (totaí de crianças). Evento: 3 (crianças que comem doce). P(A) = 3 5

274


2.° sorteio: uma criança que come doce. Espaço amostrai: 4 (pois uma criança foi sorteada). Evento: 2 (poij suposição, uma criança que come doce foi sorteada). P(B) = ! - I 4 2 P(A n

B) = 3 . 1 = _3_ ou 0,3

5 2

10

Resposta: letra D.

5.

(MPOG ESAF 2002) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

1/6 1/3 2/3 4/5 5/6

RESOLUÇÃO: Evento: o juiz ver a face vermelha e a outra, mostrada ao jogador, ser amarela. Temos três cartões, logo: Primeiro evento: P(A) Espaço amostrai: 3 (todos os cartões) Evento: 1 (cartão vermelho-amarelo) P(A)

3

Segundo evento: P(B) Espaço amostrai: 2 (vermelho-amareio ou-amarelo ou vermelho) Evento: 1

PÍB) = 1 p(a n

B ) = i | = | :

Resposta: letra A.

Cap. 7 - A N Á U SE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE

275

Probabilidade condicional Antes da realização de um experimento, é necessário que já se tenha alguma informação sobre, o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostrai se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. P(A/B) =

P{AÇ]B) P(B)

Dica: Probabilidade condicional -P(A/B)- será a probabilidade de ocorrência de um evento "A", sabendo que já ocorreu o evento "B'r. .

Treinamento comentado (MPU/2004) Carlos Isabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa, Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em i Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que à probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

1/7 5/7 1/3 4/7 2/3

RESOLUÇÃO:

Aqui temos um caso de probabilidade condicionai, pois queremos a probabilidade de Beatriz estar era Paris, sabendo que Ana já se encontra lá. P(B)(evento já ocorrido): Ana estar hoje em Paris é 3/7. P(B): evento já ocorrido. Ana e Beatriz estarem hoje em Paris é 1/7. P(A O B) PfA/B) — ( }

0 B) P (B )

Resposta: letra C.

1/7 3/7

X 3

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓ GICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

276

2. (SERPRO ESAF 2001) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésío ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de( 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é: (A) (B) (C) (D) (E)

5% 8% 10% 15% 18%

RESOLUÇÃO:

Como queremos saber a probabilidade de ele ter ido de avião, sabendo que eie chegou atrasado, íogo temos uma probabilidade condicional. P (A /B )= M M -P(fi)

P(B): chegar atrasado.

■

P(A fY B): ir de avião e chegar atrasado. Descobrindo P(B). -r 8,5% chegar atrasado. Navio yS 40%

^

91,5% não chegar atrasado. '

<

1% chegar atrasado.

J ■

; ■

V--À

99% não chegar atrasado.

Conclusões:

.

Navio e atrasado: 40%.8,5% = 0,34. Navio e não chegar atrasado: 40%.91,5% = 0,366. Avião e atrasado: 60%.1% = 0,06. Avião e não chegar atrasado = 60%.99% = 0,594. P(B) - 0,34 + 0,06 = 0,40 (chegar atrasado pode ser de avião ou navio). P(A P> B) = 0,06 (ir de avião e chegar atrasado). P(A/B) = P (B ) Resposta: letra C.

= M É = o,15 ou 15% 0,40


277

3. (SERPRO 2001 ESAF) O gerente de marketing de uma fábrica de software planeja colocar no mercado um novo programa de análise de dados. Historicamente, 40% dos programas novos lançados pela fábrica são bem sucedidos. Antes do lançamento no mercado a fábrica tem por norma reaiizar uma pesquisa de mer cado que resulta num reíatório com uma conclusão favorável ou desfavorável ao novo produto. No passado, 80% dos programas bem sucedidos receberam relatórios favoráveis e 30% dos programas mal sucedidos também receberam relatórios favoráveis. O novo programa de análise de dados que a ftrma pretende lançar no mercado recebeu relatório favorável. Assinale a opção que corresponde à probabilidade de que seja bem sucedido. (A) 32% (B) 64%

(C) 80% (D) 12% (E) 24%

RESOLUÇÃO:

Resumo do enunciado: 80% favoráveis. Bem sucedidos 40%

20% não favoráveis. 30% favoráveis

Mal sucedidos 60%'

70% não favoráveis.

Conclusão, total; Bem sucedidos é favoráveis: 40%.80% = 0,32. Bem sucedidos é não favoráveis: 4090.20% = 0,08. Mal sucedidos e favoráveis: 60%.30% = 0,18. Mal sucedidos e não favoráveis: 60%.70% = 0,42. Total de favoráveis: 0,32 + 0,18 = 0,50 (P(B)) Bem sucedido e favóráv

P {B ) Resposta: letra B,

0,50

.

278


Treinamento do concursando 1. (Analista MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante, (A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Rflaria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia quaiquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a? (A) 0,15 (B) 0,25 (C) 0,30 (D) 0,20 (E) 0,40 2.

(AFC-STN-2000 ESAF) Uma companhia preocupada com sua produtividade cos tuma oferecer cursos de treinamento a seus operários, A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o curso de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produ ção. Por outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que efe não cumpra sua quota de produção é (A) 11,70% (B) 27,40% (C) 35% (D) 83% (E) 85%

3.

(AFC-SFC 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de 60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de 17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é: (A) 10% (B) 30% (C) 40% (D) 70% (E) 82,5%


r 4.

279

(SERPRO 96) Uma clínica especializada trata apenas de três tipos de doentes: dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que têm cálculo renal e dos hiper tensos. Temos que 50% dos pacientes que procuram a clinica são cardíacos, 40% são portadores de cálculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacos são curados em 80% das vezes, os problemas de cálculo renal em 90% das vezes e os hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curado da clínica. Qual 43.1% 42,1% 45,1% 44,1% (E) 46,1% (A) (B) (C) (D)

GABARITO 01 - E

02 - B

03 - B

04 - B

Distribuição binomial das probabilidades É o cálculo da probabilidade de uma série de um mesmo evento, que possui uma relação de sucesso e fracasso. Aqui, a quantidade de acontecimentos desejados é inferior ao totai de lançamentos ou sorteios. Exemplos: 1.° Lança-se 7 moedas. Determine a probabilidade de sair 4 caras. Nesse caso temos 7 sorteios, porém queremos 4 caras. Logo queremos o seguinte resultado: 4 caras (sucesso) e 3 coroas (fracasso). Fórmula: P(de “s ” eventos sucesso) = [CM] x [P (■?)"] x [P(F)f] Cns: combinação de n tomada a p. S: sucesso F: fracasso. Treinamento comentado 1. Uma moeda honesta será lançada sete vezes. Qual a probabilidade de se verificar exatamente cinco vezes o resultado cara?

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno ViHar

280

RESOLUÇÃO: n = 7 resultados. 5 = 5 (sucessds). F= 2 (fracassos). Probabilidade do sucesso: Probabilidade do fracasso: —•

21

P(5 caras) = 2)

U ;

32 4

= 0,1640 ou 16,40%,

128

Treinamento do concursando 1. (ESAF) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer de terminada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exatamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? (A) 0,98% (B) 1% (C) 2,94% (D) 1,30% (E) 3,96% 2. (ESAF 2009) Ao se jogar um dado honesto três vezes, quai o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez? (A) 35% (B) 17% (C) 7% (D) 42% (E) 58%

G A B A R IT O

01 - c

02 - A


j

281

:

Treinamento do concursando 1.

(PETROBRAS) Segundo Mma reportagem publicada na Revista Veja de 11 de janeiro de 2006, um instituto internacional especializado no estudo do stress ouviu 1.200 brasileiros para saber se há relação entre cansaço e uso freqüente de equipamentos eletrônicos. O quadro abaixo apresenta os percentuais de respostas "SIM” e "NAO", referentes a algumas das perguntas feitas aos en trevistados. Quando o uso de eletrônicos é reduzido você...

Pergunta

Pergunta

SIM

NÃO

[

fica menos tenso?

68 %

32%

(I

fica menos ansioso?

38%

62%

ilt

tem menos insônia?

22 %

78%

IV

apresenta meihoria na concentração?

18%

82%

Considere que todos os entrevistados que responderam “SIM" à pergunta ÍV tenham respondido US!M" também à pergunta l!l. Sorteando-se ao acaso um dos entrevistados, a probabilidade de que a pessoa sorteada tenha respondido “SIM" à pergunta Iti e “NÃO” à pergunta IV será de: (A) 1/25 (B) 4/25 (C) 3/10

(D) 1/5 (E) 3/5 2.

(Anal. Orçamento WÍARE 99 ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não vi ciadas. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas? (A) 25% (B) 37,5% (C) 42% (D) 44,5% (E) 50%

3.

(TFC 1995) Um casal pretende ter quatro Filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas é: (A) 3/8 (B) 1/2 (C) 6/8 (D) 8/6 (E) 8/3

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno W lar

282

4. (TRT-SC) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: (A) (B) (C) “(D) (E) 5.

1/15 1/5 1/3 7/15 8/15

Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. A probabilidade condi cional de que tenha ocorrido pelo menos uma face 6, dado que a soma obtida foi 9, é: (A) (B) (C) (D) (E)

7.

i

Um número é escolhido ao acaso dentre os números 1, 2, 3, ..., 300. A proba bilidade de que o número escolhido seja divisível por 3 ou por 5 é: (A) (B) (C) (D) (E)

6.

3% 5% 17% 20% 25%

1/9 1/6 11/36 1/3 1/2

(CESPE) Em uma loteria, com sorteios duas vezes por semana, são pagos mi lhões de reais para quem acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para concorrer, basta marcar entre seis e quinze!números dos sessenta existentes no volante e pagar o vaior correspondente ao tipo da aposta, de acordo com a tabela abaixo. Para o sorteio de cada um dos seis números, são utilizados dois globos, um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro, ao algarismo das unidades. No globo das dezenas, são sorteadas bolas numeradas de zero a cinco e, no das unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos, considera-se, para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o sorteio de cada número, as bolas sorteadas retomam aos seus respectivos globos.

quantidade de números escolhidos no volante

tipo da aposta

6

A6

1,00

7

A7

7,00

8

A8

28,00

9

A9

84,00

valor (em R$)

283


quantidade de números escolhidos no volante

tipo da aposta

valor (em R$)

10

A10

210,00

11

Al 1

462,00

12

A12

924,00

13

A13

1.719,00

14

A14

3.003,00

15

A15

5.005,00

Internet; . Acesso em jul72003 (com adaptações)

Acerca do texto acima e das informaçoes nele contidas; julgue os itens subseqüentes, 1 - Para efeito de prémiação, os números passiveis de serem sorteados são lados os inteiros positivos compreendidos no intervalo {1 , 60). 2 - Para o primeiro número que è sorteado, a probabilidade de que o seu algarismo das

dezenas seja igual! a 3 é igua! à probabilidade de que o seu algarismo das unidades seja igual a 5. 3 - Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja o 58 é superior a 0,02. 8. Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sortea das para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é: (A )

(B) (C) (D) (E) 9.

0,10 0,12 0,15 0,20 0,24

(CESPE) Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 01 - A probabilidade;de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005. 02 - As chances de ;que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de pro fessor é superior a 80%. 0 3 - 0 número de possíveis grupos contendo 1 processo de professor, 1 de bancário e 1 de médico é inferior a 55.

10. Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo é 0,40; a probabilidade de ele encontrar Fernando é igual ai 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, é igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando é igual a: (A) 0,40

MATEMÁTICA 5 284 ---------------------

(B) (C) (D) (E)

0,45 0,50 0,04 0,95

RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Vtllar

.

[

j

11. Pedro está jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a - probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois dados? (A) (B) (C) (D) (E)

7/36 5/18 5/9 1/4 1/9

12. Um grupo de pessoas, das quais 60% eram do sexo masculino, participou de um estudo sobre alimentação. O estudo constatou, dentre outras coisas, que 40% dos homens e 20% das mulheres consumiam regularmente carnes com excesso de gordura. Uma pessoa que participou do estudo será escolhida ao acaso. A probabilidade de que esta pessoa não consuma carnes com excesso de gordura é de (A) (B) (C) (D) (E)

30% 32% 48% 68% 70%

13. (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003. estado em que ocorreu o acidente

total de vítimas fatais .V-iv'.: ;v:v; êxo masculino

sexo feminino

Maranhão

225 ;

Paraíba

153

42

Paraná

532

142

Santa Catarina

188

42

81

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os cilados acima. 01 - A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2.

Cap. 7 - ANÁLISE COMBiNATÓRiA E PROBABILIDADE

285

02 - A chance de que esse relatório corresponda a uma vitima do sexo feminino é superior a 23%. 03 - Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo mascuiino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná e superior a 0,5. 04 - Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão è superior a 0,27. 05 - A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vitima do sexo fe minino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. 14. (AFTN 98 ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é: (A) (B) (C) (D)

(0,1)7 (0,9)3 (0,1 ^ (0,9)7 120 (0,1)7 (0,9)3 120 (0,1) (0,9)7 (E) 120 (0,1)7 (0,9)

15. (IVÍPU 2004.2 ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três deías de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras ~ e apenas essas —em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

1/3 1/5 9/20 4/5 3/5

16. (ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: (A) (B) (C) (D) (E)

50 10 20 40 70

286


GABARITO 01 - A

02- B

03 - A

Ú4 - B

05 - D

06 - E

07 - C-C-E

08-D

09 - C-C-E

10 - B

11 - B

12- D

13 - C-E-E-C-E

14 - C

15 - A

16 - E

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvi mento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza. Foi assim que* em 1791, época da Revolução Francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Sürgia o sistema métrico decimal. METRO A palavra metro vem do grego metron e significa “o que mede”. Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milio nésima parte da distância do Polo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotadojoficialmente em 1928. MÚLTIPLOS E SUBMULTIPLOS DO METRO Além da unidade fundamentai de comprimento - o metro - existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTiTATiVO - Bruno Villar

288

U n id a d e F u n d a m e n ta l,

M ú ltip lo s quilôm etro

hectõm etro

km

hpn

I.OOOm

lOOm

decãm etro

S u b m ú ltip lo s

m etro

decím etro

centím etro

m

dm

cm

mm

0,1 m

0.01 m

0,001 m

cm

mm

dam ; lO m

m ilím etro

------------- > Cada casa multiplica por 10. <í------------- Cada casa ,divide por 10.

Exemplo: Transforme 1,5 hm em cm. km

hm

dam

m

dm

De hm para cm temos 4 casas. — -------1,5.10000 = 15000 cm. Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto que os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos: mícron (fi) = 1 0 - 6 mangstrõn (À) = 10 - 10 m. Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano): Ano-luz = 9,5.10i2 km. O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistema métrico decimal. São utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo: Pé

=

30,48 cm

Polegada

=

2,54 cm

Jarda

=

91,44 cm

Milha terrestre

=

1.609 m

Milha marítima

*

1.852 m

MEDIDAS DE TEM PO Segundo: o Sol tbi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar. As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Cap. 8 - SISTEM A M ÉTRICO DECIMAL

I

289

:

Múltiplos e submúltiplos do segundo Quadro de unidades i M

B

I t

m

minutos

hora

rn m

m

m

m

dia

min

d

60 s

60 min = 3.600 s

24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo: décimo de segundo centésimo de segundo milésimo de segundo

CUIDADO: nunca escreva 2,40h como forma de representar 2h40min, pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Observe:

40 2,40h = 2h'+ ——h - 2 h e 24 minutos : .■ '

4^1

—

'

= !ff

6)3 “ minutos = 24 minutos

MEDIDAS DE MASSA Quilograma A unidade fundamental de massa chama-se quilograma. O quilograma (kg) e a massa de 1dma de água destilada à temperatura de 4°C.

Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, uti lizamos na prática o grama como unidade principal de massa.

290

MÀTEMATfCA E RACÍOClNJO LÓGíCO QUANTITATIVO - Bruno W /ar

Múltiplos e snbmúJíipJos do grama Unidade • principal

Múltiplos -■■■ r -

-

/Sübmúítlplos V..

.

quilogram a

hectogram a

decagram a

gram a

decigram a

centigram a

m iligram a

kg

hg

dag

9

dg

cg

mg

1.000g

lOOg

10g

ig

0. 19

0,01 g

0,001 g

|

Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos: 1 dag = 10 g 1 g = 10 dg Cada casa multiplica por 10Í — Cada casa divide por 10. SUPERFÍCIE e a r e a Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro quadrado A unidade fundamental da superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado. U n id a d e

M ú ltip lo s

S u b m ú ltíp lo s

F u n d a m e n ta i

quilôm etro

hectõm etro

decâm etro

m etro

decím etro

centím etro

m ilím etro

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

quadrado

km*

hm 1

dam 1

m3

dm 2

cm 2

mm!

1.OOO.OOOm3

lO.OOOm1

lOOm1

1m 3

0,01 m 3

0,0001 m 3

0,000001 m 3

----------- >- Cada casa multiplica por 100. ----------- Cada casa divide por 100. MEDIDAS DE VOLUME Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais me

Cap. 8 - SISTEM A MÉTRiCO DECIMAL

2 91

didas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. Metro cúbico A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico V U nidade fu n d a m e n ta l.

IVtultiplos. quilômetro cúbico k m3 1,000.000.000m3

decâmetro cúbico

hectõmetro cúbico hm J j

.

1.000.000m 3

metro cúbico

dam 3

m1

l.OOOm3

1m3

■decímetro cúbico : dm 3 0,001 m J

Subm últiplos centímetro cúbico

milímetro cúbico

cm3

mm1

0,000001 m 3

0,000000001 m3

lem 3 = 1 ml ldm 3 — 1 litro Treinamento comentado 1. (INSS) Um terreno de1 km2 será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2, será de: (A) (B) (C) (D) (E)

1.000 2.000 20.000 100.000 200.000

RESOLUÇÃO: . km2;

hm2.: '

dam2

- — ——— í »- Cada casa muitiplica por 100. De km2 pára m2 temos 3 casas. 1.1000000 = 1 000 000 m2 1000000 : 5 = 200000 m2

' dm2

cm2

mm2


292

1 2. (TRT 4.3 região - 06) Sabe-se que enchendo 72 garrafas, cada uma com capacidade de 0,80 L, é possíve! engarrafar todo o líquido de um reservatório. Se o volume de cada garrafa fosse 900 cm1, o número de garrafas utilizadas seria: (A) (B) (C) ~ (D) (E)

640 90 86 64 48

RESOLUÇÃO: 0,8 I = 800 ml 900 cm3 = 900 ml 72.800 = 57600 (quantidade total de mi) x = 57600 ~ 64 900

Treinamento do concursando 1. (TRE 2002 PI) O volume de uma caixa d’água é de 2,760m \ Se a água nela contida está ocupando os 3/5 de sua capacidade, quantos decaiitros de água devem ser colocados nessa caixa para enchê-la completamente? (A) (B) (C) (D) (E)

331,2 184 165,6 110,4 55,2

2. (FCC) Numa casa de material para construção há 80 caixas de azulejos, com 50 unidades em cada caixa. Se cada azulejo ocupa uma área de 500 cm2, quantos metros quadrados há nas 80 caixas? (A) (B) (C) (D) (E)

100 150 120 160 200

mz m2 m2 m2 m2

3. (FCC) Uma transfusão de sangue é programada para que o paciente receba 25 gotas de sangue por minuto, Se a transfusão se estendeu por 2 horas e 12 minutos, e cada gota injeta 0,1 ml de sangue, quantos ml de sangue o paciente recebeu? (A) 330

293

Cap. 0 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

(B) (C) (D) (E)

530 880 1900 3300

4. (INFRAERO) A dose diária recomendada de um remédio líquido é de 40 gotas. Uma gota desse medicamento pesa 5x10*2 gramas. Então, num frasco contendo 80 gramas desse remédio, temos medicamento suficiente para um tratamento de no máximo: (A) 40 (B) 30 (C) 20 (D) 15 (E) 10

dias dias dias dias dias

5. Um quinta! pode ser ladrilhado com 200 ladrilhos de 250 cm2 de área, cada um. Quantas lajotas de 400 cm2, cada uma, são necessárias para recobrir o mesmo quintal? (A) 135 (B) 125 (C) 120 (D) 112 (E) 100

6. Pedro possui um terreno de 800 m2 e quer construir nele um canteiro que ocupe 20% da metade da área do terreno. Para isso contratou um jardineiro que cobrou R$ 25,00 por m2 de canteiro construído. Quanto Pedro gastará, em reais? (A) 2
400,00 300,00 250,00 120,00 000,00

GABARITO 1- D

2- E

3- A

< 1

5- B

6- E


294

FIGURAS PLANAS Triângulo

DiCA: No triângulo retângulo temos a seguinte relação.

A = a metade do produto dos catetos. A = i L

No triângulo equilátero (todos os lados iguais) A _ N 3 /V 3

(altura do triângulo equilátero)

295

Cap. 8 - SISTEMA M ÉTR IC O DECIMAL

Q uadrado É uma figura que possui 4 lados iguais e lados opostos parale los.

L

L

L

L L = lado A - L2 Perímetro = 4 L ;

Retângulo É uma-figura que possui 4 lados e os lados opostos são iguais.

A = a.b Perímetro = 2a


296

Trapézio É uma figura que possui 4 lados e um par de lados opostos para lelos (bases db trapézio). base menor altura

base maior

A =

(b + B).h

Circunferência É um conjunto de pontos equidistantes a um ponto central, chamado de centro da circunferência.

D - diâmetro r = raio C — comprimento da circunferência 7i = 3,14159... Relação: D = 2r C = 2r.it

Cap. 8 - SISTEM A M ÉTRICO DECIMAL

I

297

7

Área do círculo

A -

v2 . k

FIGURAS ESPACIAIS Prism a

Obs.: as faces de um prisma regular são retângulos congruentes. Áreas Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face (AF): área de um dos paralelogramos que constituem as faces; b) área lateral (AL): som a das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos: a) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases; b) área total (AT): som a da área lateral com a área das bases.

298

MATEMÁTICA E RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar .

;

;

1

AT = AL + 2AB

A área da base depende da figura que forma a base dó prisma. Exemplo: Prisma de base quadrangular. AB = L2 .

.

' . . . . .

O quadrado possui 4 lados, por isso teremos 4 retângulos. AL = 4.L.h (altura do prisma)

Paralelepípedo Paralelepípedo retângido Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Área lateral: Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

AL = ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc = AL = 2(ac + bc) Área total: AT = 2(ab + ac + bc)

Cap. 8 - SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

299

Volume: a.b.c Obs.: c " h (altura do paralelepípedo) Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: V = abc

Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a = b c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadradas.

Área lateral: AL = 4a 2 Área total: 6 a2 Volume: V = a.a;

Cilindro


300

1 Areas Num cilindro, consideramos as seguintes áreas: a) área lateral (AL): podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

—

^

r .....^

t h 1

-

(3 f

h

■2 71 r-

->1

i

O Assim, a área lateral do cilindro reto, cuja altura é /z, e cujos raios dos círculos das bases são r, é um retângulo de dimensões: Al = 2.7c .r.h b) área da base (AB): área do círculo de raio r: Ab — 7i.r 2 c) área total (AT): soma da área lateral com as áreas das bases AT = AI + 2AB = 2.71 .r.h + 27C.r2 = 2.7C .r (h + r) Cone Cone circular Dado um círculo C, contido num plano a, e um ponto V (vértice) fora de a, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos VP, P e C .

Cone reto Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado

Cap. 8 ~ SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

301

pela rotação completa de um triângulo retângulo em tomo de um de seus catetos. A

De acordo com a figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a se guinte relação: g2 = h 2 + R~ Áreas Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento / = 2 % R:

Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área lateral (AL): área do setor circular gl

g.2xR

Az = xRg

b) área da base (AB): área do circulo do raio R A g —tuR

c) área total (A^): soma da área lateral com a área da base A t = A l + A b = tu Rg + tu R 2

Volume: VCone __

1

.r2, 7t .h

Ar = x R {g + R)


302

Pirâmides Dados um polígono convexo R, contido em um plano a, e um ponto V (vértice) forá de a, chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos VP, PeC. v

Classificação

tetraedro

Areas Numa pirâmide temos as seguintes áreas: a) área lateral (AL): reunião das áreas das faces laterais b) área da base (A^): área do polígono convexo (base da pirâmide) c) área totai (Aj.): união da área lateral com a área da base A r =

A

l

+

A

b

Cap. 8 -S IS T E M A M É T R IC O DECIMAL

303

Volume O

princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equi

valentes possuem volumes "iguais: ab — área da base h = altura

.ab.h

Esfera A esfera pode ser definida como “um solidogeométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro”; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma;

Fórmulas: Área total: 4n rVolume: Treinamento comentado 1. (CESGRANRIO) Em um terreno de 800 m2 será consthJÍda uma casa que ocupará uma área retangular de 25 m de comprimento por 15 m de largura. A área livre do terreno, em m2, será de (A) 575 (B) 525 (C) 475 (D) 425 (E) 375

MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO ~ Bruno Vsllar

30 4

1 RESOLUÇÃO: Área da casa - 25.15 = 375 m2 Área livre = 800 [- 375 = 425 m 2 Resposta: letra D.

2. (CESGRANRIO)

Uma bola de borracha perfeitamente esférica tem 2,6 cm de raio, A altura mínima h, em cm, de uma embalagem cilíndrica na qual é possível acomodar 3 bolas, como mostra a figura acima, é de: (A) (B) (C) (D) (E)

7,8 9,8 12,6 14,6 15,6

RESOLUÇÃO: A altura de cada bola é o dobro do ralo. Altura da bola: 2.2,6 = 5,2. A altura do cilindro é 3.altura da bola. Altura do cilindro = 35,2 = 15,6.

3. (CESGRANRIO) Uma seringa de forma cilíndrica tem 8 cm de comprimento e 1,6 cm de diâmetro. A quantidade, em mililitros, de remédio líquido que essa seringa contém quando cheia até 50% de sua capacidade é, aproximadamente, de: (A) 2
4 8 12 16

Cap. 8 - SISTEM A M ÉTRiCO DECIMAL

305

RESOLUÇÃO: D = 2r R = 0,8 cm h = 8 cm V = % .i^.h V = 3,14.(0,8)2.8 V = 16,07 O volume é a metade da capacidade totai: 8,035 - 8 Resposta: letra C.

Treinamento final do capitulo 1. (CESPE) Considere uma saia na forma de um paraleiepípedo retângulo, com altura iguai 3 m e julgue os itens que se seguem. 01 - Se as medidas dos lados do retângulo da base são 3 m e 5 m, então o volume da sala é superior a 44 m3. 02 - Se as medidas dos lados do retângulo da base são 4 m e 5 m, então a área total do paraleiepípedo é inferior a 93 m2. 03 — Se as medidas dos lados do retângulo da base são 6 m e 8 m, então a medida da diagonal desse retângulo é inferior a 9 m. 04 - Supondo que o perímetro do retângulo da base seja igual a 26 m e que as medidas dos lados desse retângulo sejam números inteiros, então a área máxima possível para o retângulo da base é superior a 41 m2. 05 - Se as medidas dos lados do retângulo da base são 3 m e 4 m, então a medida da diagonal do paraleiepípedo é inferior a 6 m. 2. (CESGRANRIO) Um terreno retangular de 1.000 m2 é tal que seu comprimento mede 15 m a mais do que sua largura. O perímetro desse terreno, em metros, é (A) (B) (C) (D) (E)

40 65 130 220 400

3. (CESGRANRIO) Um aquário de forma cúbica estava parcialmente cheio de água quando uma pedra de 750 cm3 de volume foi colocada em seu interior. Assim, o nível da água subiu 0,3 cm. Qual é, em cm, a medida da aresta desse aquá rio? (A) 30 (B) 40

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO ~ Bruno VMar 306 ---------------------. ---------------------------------- .

!

(C) 50 (D) 60 (E) 70 í 4. (CESGRANRIO) Se um terreno retangular tem? 51 m2 de área e 6m de largura, _ então seu perímetro, em metros, é: (A) (B) (C) (D) (E)

30,5 29,5 29 28,5 28,0

5. (CESGRANRIO) Um reservatório de forma cúbica de 4m de aresta está cheio de água até % de sua capacidade. Quantos metros cúbicos de água há nesse reservatório? (A) (B) (C) (D) (E)

12 24 32 40 48

6. (CESGRANRIO) Um livro de 350 páginas tem 2cqi de espessura. Dentre os valores abaixo, o que representa com mais precisão a espessura aproximada de cada página, em milímetros, é: (A) (B) (C) (D) (E)

0,046 0,057 0,066 0,070 0,082

7. (CESGRANRIO) Vinte caixas iguais, em forma de paralelepípedo, estão empilha das, como mostra a figura.

307

Cap. 8 - SISTEM A MÉTRICO DECIMAL

Se a piiha de caixas tem 50 cm de altura, 60 cm de comprimento e 40 cm de largura, quais sao, em cm, as dimensões de cada caixa? (A) 4, 5 e 6 (B) 5, 10 e 20 (C) 5, 20 e 30 (D) 6, 6 e 10 (E) 10, 20 e 30

8. (FCC) Numa região ná área rural foram delimitados cinco terrenos retangulares, todos com a mesma largura de 200 m. Os comprimentos dos terrenos são dire tamente proporcionais a 5, 6; 7, 8 e 9, respectivamente e a soma das medidas dos dois menores comprimentos é de 2 200 m. Representação de um terreno qualquer

largura

200 m

comprimento

Qual é, em km, a soma das medidas de todos os lados dos cinco terrenos? (A) 16 (B) 15 (C) 14 (O) 9
9. (VUNESP) Uma parede que tem 7,2 m2 de área foi revestida com azulejos qua drados, medindo cada um 40 cm de lado. O número mínimo desses azulejos para revestir toda a parede é igual a (A) 20. (B) 30. (C) 45. (D) 60. (E) 90.

308

MATEMÁTICA E RACiOCÍNlO LÓGiCO QUANTITATIVO - Bruno Vtllar

‘

'

~l

10. (VUNESP) As medidas internas da carroceria de certo caminhão são de 1 me tro de altura, 6 metros de comprimento e 3 metros de largura. Esse caminhão transportará tijolos cujas medidas são mostradas na figura. |

TJJOLO 10 20 cm

cm

10 cm

Adote: 1 m3 = 1 000 000 cm3 Capacidade = Produto das medidas do paralelepípedo O número total de tijolos que esse caminhão suporta carregar é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

9 9 9 9 9

000. 100. 200. 300. 400.

11. (CESGRANRIO)

i— 15 cm— | 15 cm | ____________________________________________________

A A figura acima representa a planta de uma escada de cinco degraus, constru ída na portaria de um prédio. A distância, em metros, entre os pontos A e B , marcados na figura, é: (A) (B) (C) (D) (E)

0,75 1,44 1,69 1,80 1,95

12. (CESGRANRIO) Um reservatório de água em forma de paralelepípedo tem 2,5 m de profundidade, 3,0 m de largura e 7,2 m de comprimento. Para aumentar em 10,8 m3 a capacidade desse reservatório, mantendo-se inalterados seu comprimento e sua largura, será necessário aumentar a profundidade, em metros, em (A) 0,5 (B) 0,9 (C) 1,2

(D) 2.4 (E) 3,0

Cap. 8 - SISTEM A MÉTRICO DECIMAL

309

r GABARITO 1 - C-E-C-E-E

2 - C

3- C

4- C

5- E

õ- B

7 - E

8 - A

9- C

10 - A

11 - E

12 - A

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

M ATRIZ Introdução Um exemplo de matriz é o boletim. Exemplo: 1,3 UNIDADE

2.a UNIDADE

3.a UNIDADE

PORTUGUÊS!

7

4

8

MATEMÁTICA

; 4

5 :

3

HiSTÓRIA

6

õ

5

GEOGRAFIA i

4

7

9

Podemos observar que as linhas representam as matérias e as colunas representam a unidade. Qual a nota de português na 3.a unidade? UNIDADE

2.a UNIDADE

3.a UNIDADE 8 3

PORTUGUÊS:

7

4

MATEMÁTICA

4

5

HISTÓRIA

6

6

5

4

7

9

GEOGRAFIA ;


31 2

.

!

Nesse caso, queremos o elemento da primeira linha (português) e terceira coluna (3.a unidade). Resposta: 8 . Transformando o boletim em uma matriz, temos: ,7 4

8"

6

5 J) 6 5

,4

7 9,

4

As linhas são contadas de cima para baixo e as colunas da esquerda para direita. 2*

3*

'7

4

8'

i."

4

5 3

2.®

6

6

5

3 .“

A

7

9,

4 .’

í.1

V

C olunas

Linhas

Notação geral Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus ele mentos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

=

a n

a i2

a i3

a 2!

^22

a 23

a 31

a 32

a 33

a mí

a m2

a m3

*

a !a a 2n ■

*

a 3n

a mn

.

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

313

Exemplo: é uma 3 x 3

2 '

A = 0

8

2

-7

Dica: A n r x n {lê-se:m por n) é a ordem da matriz, ou seja, a quantidade de linhas e colunas que a matriz possui. Aij é representação da posição do elemento da matriz. Nesse caso, T representa a linha e "j" representa a coluna. Exemplo: na matriz A, temos: Ó elemento a2] = O e a33 = -7

Forma genérica de uma matriz Exemplos: a) construa a forma genérica da matriz A 3 Clu

an

A = áz\

Ü22

a->t

an

Vamos aprender a construção: Primeiro devemos observar a quantidade de linhas e depois a quan tidade de colunas. A matriz A3x, possui três linhas e duas colunas. Vamos agora construir a primeira linha! SE LIGUE! Temos duas colunas, logo devemos andar duas casas da esquerda para direita (--------►).. A quantidade de casas que vamos andar da esquerda para direita depende da quantidade de colunas.

314

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATiVO - Bruno Villar

Na primeira iinha temos: [Clu

üu] I

Não esqueça de que na primeira linha começamos pelo a n (elemento da_l.a linha e l.a coluna). Na segunda linha temos: 1.a linha

Clu

£7j2

íh,

CI22 2 .a linha

Não esqueça de que na segunda linha começamos pelo a21 (elemento da 2 .° Iinha e I.a coluna) Na terceira linha temos: Clu

Ü12

Ü21

Clzi

&31

Ch2

Não esqueça de que na terceira linha começamos pelo a3} (elemento da 3.a linha e 1.° coluna). b) construa a forma genérica da matriz À4x3: Nesse caso, temos 4 linhas e 3 colunas.: SE LIGUE! " Temos 3 colunas, nesse caso devemos andar três casas da esquerda para direita.

Vamos juntos iniciar a construção! 1.a linha:

[<2 u Cln

2 .a linha:

[#21 Ü 22

CI2 3 ]

3.a linha:

[Ou

# 33]

4.a linha:

[&*1 CI*j

Cln]

Cap. 9 - RAClOClNiO LÓGICO QUANTITATIVO

I

.. :.

Matriz A 4x3 ,, =

(Xw

Ct\2

Cli 3

Clix

Cll2

& 23

Ch\

Q yl

Chi

ÜAl

a ai

Cl43_

Construção de uma matriz a partir de uma lei de formação Treinamento Comentado

RESOLUÇÃO 1.° passo: construir a matriz genérica. A matriz A possuí 2 linhas e 2 colunas. au A ==

cia

ÍIjí - Qzi

2? passo: aplicar a lei de formação.

ar

i +i

an ~ 1 + 1 a)2~ 1 + 2 a2i = 2 + 1 = 3 a22 = 2 + 2 = 4 3.° passo: substituir òs elementos pelos números obtidos/

A= 2 3 3 4 [9

Resposta: A = ~

'X

^

315

MATEMÁTICA E RACiOClNlO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vil/ar

316

2. Construa a matriz B3x2 com by = 2i —j

RESOLUÇÃO:

j

1.° passo: construir a matriz genérica, A matriz A possui 3 linhas e 2 colunas. Clu

ãl2

£721

Ol2

t f 31

Ch2

2.° passo: aplicar a lei de formação.

b„ = 2 . 1 - 1 = 2 - 1 = 1 bw = 2 . 1 - 2 = 2 - 2 = 0 b,, = 2 . 2 - l = 4 - 1 = 3 b,2 = 2 .

2 - 2= 4 - 2

b3! = 2 .

3 - 2= 4

b., = 2 . 3 - 3 = 6 - 3 = 3 3.° passo: substituir os elementos pelos números obtidos.

1 A=

3 4

0 2

3

CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES Operações envolvendo m atrizes M atriz linha: E toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A — [4 7 -3], do tipo 1 x 3 . M atriz coluna: E toda matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo, A = H \ do tipo 2 x 1

C ap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

317

M atriz quadrada: Matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz B = 1 0 é do tipo 2 x 2 , isto é, quadrada 4 9 de ordem 2 . SE LIGUE! A diagonal principal é formada peios efementos a..* sendo i - j, e na diagonal se cundária temos I j = n + 1. ^ Exemplo:

diagona! principal t = j diagonal secundária i + j - n + 1

Observe a matriz a seguir:

A, = ordem da matriz diagonal principal diagona! secundária

an = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1 a3! = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + l ( 3 + 1 = 3

+ 1 ).

M atriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos. É representada por 0 m x n. Exemplo: 0 ,- =

0

0

0

0

0

0


318

Matriz identidade: Matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, sendo que os demais são nulos. É representada por I , sendo n á ordem da matriz. Por exemplo: w }

’

b)I,

0

0 1

1

0

o \ 0

0

0

o \

Matriz transposta: Matriz A 1 obtida a partir da matriz A, trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Se A =

2

3

0

-1

-2

1

2

-í

, então A1 = 3

_2

0

1

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A‘ é do tipo n x m. Note que a l.a linha de A corresponde à l.a coluna de A 1 e que a 2.a linha de A corresponde à 2.a linha. Matriz simétrica: Matriz quadrada de ordem n, de forma que A - A*. Por exemplo:


319

Condições para matriz ser simétrica: 1) Ser uma matriz quadrada; 2) A l .a linha é igual à l .a coluna, a 2.a linha é igual à 2.a coluna e assim sucessivamente.;,. Exemplo: a l2 = a2J M atriz oposta: A matriz -A é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo:

A

-A =

-2

3

3

0

2

-3

-3

0

Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição forem iguais: Se A =

2

0

-l

b

, B =

2

c

-1

3

e A = B , então c = 0 e b = 3

OPERAÇÕES DE M ATRIZES Adição A soma de matrizes só pode ser realizada entre matrizes de mesma ordem, ou seja, com o mesmo número de linhas e de colunas. Nesse caso, a soma será feita com a soma dos elementos correspon dentes.


320

1

Exemplos: 4 2 -1 + 0 7 0 3 1

2 3 0

1+ 2

4 + (-l) 0+0 7+ 2

3 3' 0 9 0+1 _ 5 4 1 -1 + 2 1 0 1

3+ 1 1 _„ 2+3 0 + 1 l + (-l) 1 -1 2

0

3

1 -1

1

SE LIGUE! A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Multiplicação de um número real por uma matriz Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b,, = xaj,.

SE LIGUE!

■ '

•.

Nesse caso, multiplicamos por os elementos da matriz peio número real. B= x . A x = número real

•

Observe o seguinte exemplo: 2

7

-1

0

3.2

3.7

6

21

3.(-I) 3.0

-3

0

Multiplicação O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos. A condição de multiplicação de matrizes é que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz.

Cap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

321

A matriz produto terá o número de linhas de A(m) e o número de colunas de B(n): Se

e B2*5-

Se Aj x l e Se

então não existe o produto

e B2 x.= matriz A =

1

2

e B =

3 4

como se obtém cada C..: Sj

-1

4

3 para entender 2

SE LÍGUEÍ A=

1 2 3 4

e B~

A

3

4 2

:Na primeira matriz dividimos os elementos em linhas e a segunda matriz em co lunas. Depois, multiplicamos os elementos correspondentes, conforme desenho abaixo.

l.a linha e l.a coluna

A=

pr 3

11

2|

3

* 4 )4

l.(-l) + 2.4

2

l.a linha e 2.a coluna c„

A

11 2| -1 3

4

3

l.( - l) + 2.4 I1.3 + 2.2I

4 .2

2 .a linha e 1 " coluna

A=

-1

3

l.(-l) + 2.4

13 4( 4

2

3.(-l) + 4.4

1

2

1.3+ 2 .2

322


2 .a linha e 2 .a coluna 1

3

l.(-l) + 2.4

2

3 .(-l) + 4.4 13.3 + 4.2

2 -1

A —

13 4|

A.B =

4

7

7

13

17

13 + 2.2

Observe que:

A.B

1-1 3| 1

2

(-1). 1+ 3.3

(-1 ).2 + 3.4]

|4

4

4.1 + 2.3

14.2 + 2.4

2| 3

8

10

10

16

Portanto, A.B s* B . A , ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa. Treinamento comentado 1. (CESGRANRIO) Uma rede distribuidora é composta de 4 lojas instaladas numa mesma cidade. Na matriz M4i7 abaixo, cada elemento representa a quantidade de latas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no dia j da semana, de 12 a 18 de março. Assim, por exemplo, o elemento mn corresponde às vendas da loja 1 no dia 14 (terceiro dia da semana) e o e elemento m4?, às vendas da loja 4 no dia 18 (sétimo dia da semana).

75

83

79

91

: 84

79

113

128

114

123

109

114

123

142

103

98

121

111

119

112

136

169

168

154

148

162

171

189

De acordo com as informações acima, qual a quantidade (otal de íatas de lubrificante que esta rede distribuidora vendeu no dia 15/03? (A) (B) (C) (D) (E)

459 463 477 479 485


323

RESOLUÇÃO: Nessa questão é cobrada a posição do elemento (a„) Resumo: eiemento m|f representa a quantidade de iatas de certo tipo de lubrificante vendida na loja i no dia j da semana de 12 a 18 de março. O dia 15 será representado pela 4.a coluna, e as linhas representam as lojas. Agora, é sò somar os elementos da quarta coluna.

75

83

79

91

84

79

113

12S 114

123

109

! 14 123

142

103

98

! 21

111

í 19

112

136

169

168

154 148

162

171

189

Resposta: 91 + 109 +111 + 148 = 459. Letra A.

2. (AFC-SFC/2001) A matriz S = s^, de terceira ordem; é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a,^ e B = (bt}). Sabendo-se que a(] j- P + j 2 e que bfJ = 2ljt então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a: (A) (B) CO) (D) (E)

12 14 16 24 32

RESOLUÇÃO:

Devemos apenas aplicar a lei de formação. a;j = i \ + f e b.j■:= 2lj “*13 “

^13 +

^ 1 3 e ^ 31 ~~ ^ 3 5

A,, = (1)2 + (3)2 : A3] = (3)2 + (I)2

^31

Ai3 = 1 + 9

Ai3 = 10

A31 = 9 + 1

A3, = 10

813 = 2 x 1 x 3 = 6 .

s

831 = 2 x 3 x 1 - 6 Com isso, chegaremos a: **i3 S 31 =

^ i3 + A 31

+

S13. - 1 0 + 6 B 3i

S 3t

=

S!3 + S31 = 16 + 16 = 32 Resposta: Letra E.

1 0

+

6


324

1 SE LIGUE! Esse tipo de questão geralmente pede a soma dos elementos, produto ou a razão (divisão dos números).

3. (Técnico MPU Admínistrativa/2004-ESAF) Sejam as matrizes

r~ *1 4 5 A = 2 6 e B = [ 11 32 43 4_ 3 3 e seja xy o elemento genérico de uma matriz X tal que X = (A.B)S isto é, a ma triz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B . Assim, a razão entre xJt e x,2 é igual a (A) 2 (B) 1/2 (C) 3 (D) 1/3 (E) 1

RESOLUÇÃO: Vamos encontrar a matriz X.

fl

4l

i

6

3 3 Vamos encontrar a 1.3 linha.

*12 X = [ 1.1 + 4.1 X= [ 1+ 4 X=

[ 5

*n ■ 1.4 + 4.3

1.3 +-4.2 3+ 8

4 + 12

11

21] •

1 |3 I 4 | 5 12 3 4

2

0

3 *71

X = [ 2.1 + 6.1 X= [ 8

5 + 16]

16

Vamos encontrar a 2.3 linha. 1 ■

*>•« 15 + 4.4]

*22

18

* 2-1

*23

2.3 + 6.2

2.4 + 6.3 >

26

2. 5 + 6.4] ; '

34]

Cap. 9 - RACIOCiNÍO LÓGICO QUANTITATIVO

Vamos encontrar a 3a linha.

1 4 2 6 3 3

1|3 4| 5 12 3 4

X 3!

X 32

X = [ 3.1 + 3.1 X= [

X 33

3.3 + 3.2

3.4 + 3.3

15

21

6

X 3-t

3. 5 + 3.4]

5 11 16 21' 5 18 26 34 6 15 21 27

(A.B)' =

5 8 6 11 18 15 16 26 21 21 34 27

Agora, encontraremos os elementos Xj, e xI2. '5 11 X= _16_ 2\

8 18

6 Í5

26 21 34 27

16 *5 11 X= 16 21 X

JL 6 18 15 26 21 34 27

=8

16 A razao é a divisão dos números: — = 2. 8 Resposta: Letra A.

27]

325

326

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar .


___

.

[

______________ _____ _

1, O gerente de um depósito de bebidas decidiu montar matrizes com dados sobre as vendas de latas de refrigerantes e de cervejas; Em cada elemento m,, / indica a semana (1 ,2 , 3 ou 4} em que foram efetuadas as vendas e j, o tipo dfe bebida (1 para refrigerante e 2 para cerveja), A matriz abaixo apresenta dados sobre as vendas do mês de março. 560

810

715

915

615

760

540

800

Em abril, foram vendidas 350 latas de cerveja a mais e 220 latas de refrigerante a menos que em março. Sabe-se, também, que as vendas de refrigerantes fo ram menores nas três primeiras semanas do mês, quando comparadas ao mês anterior, e que, na 3.a semana, foram vendidas mais de 800 latas de cerveja. Dentre as opções abaixo, a única que pode representar a matriz referente às vendas do mês de abril é

a)

d)

780

635

560

915 b)

500

870

725

1000

900

735

515

980

640

800

480

775

495

880

570

810

620

1040

715

915

515

950

615

1110

580

765

750

800

e)

460 c)

890

530

940

610

1040

600

765

2, (Técnico MPU Administrativa/2004-ESAF) A matriz S - sy, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A - (aSJ) e B = (bI}). Sabendo-se que (a^) = i2 + jz e que b^ = i*, então a razão entre os elementos s^ e s1z determinante da matriz S é igual a (A) 1 (B) 3 (C) 4

(D) 2

(E) 6 3. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz (W pode ser representado por m^, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = x^, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aJ e B = (b(J). Sabendo-se que ai; = P e que b(J = (i - j)2, então o produto dos elementos x31 e x„ é igual a: (A) 16

Cap. 9 - RACiOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO

(B) (C) (D) (E)

327

18 26 65 169

4. Genericamente, qualquer elemento de uma matriz IVJ pode ser representado por m,j, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s,., de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a^) e B Sabendo-se que (afj) = i* + j 3 e què {bi}) = (I + j}2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é igual a: (A) (B) (C) (D)

1/5 2/5 3/5 4/5

(E) 1

5. {Técnico IWPU Adminlstrativa/2004-ESAF) A matriz S = s , de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (afJ).e 8 = (b^). Sabendo-se que (afi) = i* + j* e que bSJ == i!, então a razão entre os elementos s, e s., determinante da matriz S é igual! a (A) (B) (C) (D) (E)

1 3 4 2 6

6. (ESAF/AFTN/1998) Sejam as matrizes ~1

A

-°

0* K

, B =

' 3/ 5

-7/8'

4 /7

2 5 /4_

,

c

=

*0 3 /7

! 0 |—29/4

e seja X a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y, se a matriz Y é dada por Y - {AB) + C, então o valor de X é: (A) -7/8 (B) 4/7 (C) 0 (D) 1 (E )2 7. (TFC/1997) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2 x 3), (3 x 4) e (4 x 2), então a expressão [A . (B . C)]? tem ordem igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

2 x2 3 x3 4 x4 6 x6 12 x 12

328

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Brvno Villar “ 1

GABARITO 1- A

2 -D

3- D

4- E

5- D

6- C

7- A

DETERMINANTES Toda matriz quadrada está associada a um número real, ao qual damos o nome de determinante. Determinante de 1." ordem Dada uma matriz quadrada de l.a ordem M = [a ], o seu determinante é o número real an: det M = [an] = a,( Exemplos: A —[ 4 ] det A = 4 B = [ -7 ] det B = -7 SE LIGUE! O determinante da matriz de ordem 1 é o próprio elemento.

Determinante de 2.a ordem No caso da matriz quadrada de 2 .a ordem, temos que o determinante será: Det = diagonal principal (DP) - diagonal secundária (DS)


Treinamento comentado 1. Calcule o determinante das seguintes matrizes:

A)

1

3

4

7

RESOLUÇÃO:

B)

12

5

21

7

RESOLUÇÃO: 105 2

JT

84 Det A - 84 - 105 = -21

C)

'3

0

31

9

RESOLUÇÃO: 0

M ■A

27

Det A = 27 - 0 = 27

329

MATEMÁTICA E RACiOCÍNiO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna W íar

330

Determinante de matriz de 3.a ordem O cálculo do determinante de 3.a. ordem pode ser feito por meio de um dispositivo pijático, denominado R egra d e Sarnts. Acompanhe como aplicamos essa regra para:

D =

a n

a i2

a i3

a 21

a 22

a 23

a 31

a 32

a 33

1.° passo: repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

D =

a il

a i2

a i3

a íl

a !2

a 2l

a 22

a 23

a 2l

a 22

a 31

a 32

a 33. a 31

a 32

2.° passo: calculamos a diagonal principal e as diagonais paralelas.

Obs.: Os números que estão no traço devem ser multiplicados. Depois devemos somar os resultados obtidos e obter a diagonal principal resultante. 3.° passo: encontramos a soma do produto dos elementos da dia g o n a l secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Obs.: Os números que estão no traço devem ser multiplicados.


3 31

Depois de obter a diagonal secundária e suas paralelas, devemos somar os resultados obtidos e obter a diagonal secundária resultante. Det A “ diagonal principal resultante - diagonal secundária resul tante

Treinamento comentado 1. Calcule o determinante das seguintes matrizes: 1 4

A)

5

2

1 3

9

8

5

RESOLUÇÃO: A matriz é de 3,a ordem, logo devemos aplicar a Regra de Sarrus.

1.° passo: calcular a diagonal principal. Ll

Soma da diagonal principal ~ 5 + 40 + 84 = 129

2:° passo: calculara diagonal secundária. 45 24 '40

5oma da diagonal secundária: 45 + 24 + 40 = 109

Det: 129 - 109 = 20


332

P R O P R IE D A D E S

D O S

D E T E R M IN A N T E S

Esse tópico é muito cobrado pelas bancas de concursos, fique atento! f

1. M atriz Transposta Se M é uma matriz quadrada de ordem n e M l é sua transposta, então: det(Ml) = det(M).

SE LIGUE! Se uma questão pedir o determinante da transposta, o cálculo do determinante pode ser realizado sem encontrar a transposta.

2. Fila Nula Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então: det(M) “ 0 1 4 0' 4 -7 0 5 8 0 Observe que os elementos da terceira coluna são nulos, logo det A = 0 3. Multiplicação de uma fila por uma constante Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M. det (k vezes uma fila de M) = k.det(M)

SE LIGUE! Se o determinante da matriz A for igual a 3, então, se multiplicarmos uma fila por 4, o determinante da matriz A passa a ser: 3 . 4 — 12. Cada vez que multiplicarmos uma fila por um número k/o determinante será k vezes o determinante da matriz A.

C ap. 9 - R ACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

333

4. Multiplicação de uma Matriz por uma constante Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova matriz será o produto de kn pelo determinante de IvL det (k.M) = kn det(M) Nesse caso, devemos observar a ordem da matriz e o valor da cons tante (k). Exemplo: (SERPRO/1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possuí determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a: (A) 5 (B) 10

(C) 20 (D) 40 (E) 80

RESOLUÇÃO: A matriz A é de ordem 3, logo n = 3 Queremos a matriz 2A, logo K = 2

SE LIGUE! K é o número antes da letra da matriz. Como assim? Exemplo: 4B, K = 4 '

. ;';V

3 A, K = 3

i

Det KA = Kn . detA

K r

Det 2A = 23 . 5 = 2 . 2 . 2 . 5 = 40


334

5. Filas paralelas iguais Se uma matriz M de ordem n > 2 -tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente iguais, então: det(M) = 0 1 5 1 5

A

Podemos observar que a primeira e a segunda linhas são iguais, logo o detA = 0.

6. Filas paralelas proporcionais Se uma matriz M de ordem n > 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos respectivamente proporcionais, então: det(M) = 0

7. Troca de filas paralelas Seja A uma matriz de ordem n > 2, se trocarmos de posição duas filas paralelas, obteremos uma nova matriz B, j tal que: det(A) = -det(B)

8. Produto de Matrizes Seja A e B matrizes quadradas de ordem n, então; det(A . B) = det(A) . det(B) Se A e B são matrizes quadradas, podemos calcular o determinante de cada uma e depois realizar o produto dos determinantes obtidos. A

=

5 e _° 2

3 5

1

Det A -

1 5 0 2

2

—

2

—

1

0=2

3 5 Det B = 2 = 3 - .1 0 = -7 1 Det (A . B) = 2 . -7 = -14

335

Cap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO

9. Matriz triangular O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principai. ’1

2

1'

A = R ) \4 5 ÍO 0 ^ 8 Matriz triangular é uma matriz que possui os iiúmeros abaixo ou cima da diagonal principal iguais a zero. Det A = 1 . 4 . 81= 32

T r e in a m e n to c o m e n ta d o

2 1. (Técnico IV1PU/2GÜ4} O determinante da matriz X= inteiros positivos tais que a > 1 e b > 1, é: (A) (B) (C) (D) (E)

0

2 —a

b a

0

0

5

0

0

0

0 —a , onde a e b são b

6

-60a 0 60a 20ba2 • a(b - 60)*

RESOLUÇÃO:

X=

2

2

0

—a 0

b a 5

—a b

0

0

0

6

0

0

Nésse caso, a matriz X é uma matriz triangular. Não esqueça! O determinante da matriz triangular é igual ao produto dos eiementos da diagonal principal. Det X = 2 . -a . 5 . 6 = -60a Resposta: Letra A.

336

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viílar

2. (MPOG cando ordem matriz

2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém tro linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua transposta é igual a:

(A) -2 (B) -1/2 (C)'4 (D) 8 (E) 10

RESOLUÇÃO: O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz. Det A = 2 n = 2 (ordem da matriz) det K A = Kn . det A Det 2A = 22 . 2 = 4 . 2 = 8 Resposta: Letra D.

3. (AFC/STN 2005-ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respec tivamente, à terceira, à segunda e à primeira coluna da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: (A) -x-6 (B) -xB (C) x3 (D) -1 (E) 1

RESOLUÇÃO; Resumo: A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz 8 são iguais, respecti vamente, à terceira, à segunda e à primeira coluna da matriz A. Conclusão: A primeira coluna da matriz B = terceira coluna da matriz A. Se trocarmos a posição da primeira e da terceira colunas de B, então a matriz B será igual à matriz A.

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO

337

Nesse caso, a propriedade cobrada é a troca de posições de filas paralelas. Det A = x3 Det B = -x3 (troca a posição da fila, então troca o sinal. Não esqueça de que, quando trocamos a posição das colunas da matriz B, as matrizes A e B se tornaram iguais). Det (A . B) = x5 . -x3 = -x6 Resposta: Letra B.

5. (Téc. MPU Controle lnterno/2004-ESAF) Considere as matrizes X = Y= o

"a

2

3t

2

b

6

5

3 c

1 2

5

2

3

4 3

7

6

onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então,

determinante do produto das matrizes X e Y é igual a: (A )0 (B) a + b (C) a (D) a + c (E) a + b + c

RESOLUÇÃO: Det (X . Y) = det X . det Y :1.° passo: calcular o determinante da matriz X.

MATEMÁTICA E R ACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Vítlar

338

SE LIGUE! A matriz X possui a primeira e a segúnda iinha proporcionais. 1 2 2 4

6

3'

■5.-3

7^

'? {1, 2, 3) é proporcionai (2,4, 6), pois a divisão entre eles é constante: y

4

f*

= 2,

0 determinante de Matriz que possui filas paraieias proporcionais é nulo.

a 5 1 a b C 6. (BNB/2002-FCC) Dadas as matrizes A » 5 3 2 e B = b 3 2 de determinantes 2 4 6 Lc 2 3. “a", "b’ e “c”, temos

(A) (B) (C) (D) (E)

det(A) det(B) det(A) del(A) del{A)

= = = = *

det(B) 2.det(A) 2.det(B) -2.det(B) - de{(B)

RESOLUÇÃO: Nesse caso, temos que observar com cuidado! Agora, como visualizar a propriedade? A=

a

b

c

5

3 4

2

2

6

a e B-

b

c

5 3 2

1 2 3

Observe que: 1.a linha de A = l.a coluna de B 2.a linha de A = 2 a coluna de B,

3.a linha de A = ao dobro da 3.a coluna de B Conclusão: a linha de um é a coluna do outro, assim como uma fila é o dobro da outra. ■■■■ Vamos calcular a matriz transposta de B: B=

a b

c

5 3 2

1 2 3

a b c 5 3 2 1 2 3

C ap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGICO Q U A N T IW IV O

339

Agora, vamos comparar a matriz A com a Matriz B':

A=

0 b

c

5

2 6

2

3 4

r0

B* =

b

G

5: 3

2

2

3

Conclusão: a 3.a iinha de A é igual ao dobro da terceira linha de BV Se a terceira linha de B' for multiplicada por 2, então as matrizes serão iguais. Se uma fila for multiplicada por k, o determinante será K.det da matriz. Det(A) = 2.det(B) Resposta: Letra C.

07. {TFC/CGU-ESAF/2008) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por z^, onde “i” representa a linha e “j ” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz A “ (a;i), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X = (x(J) e Y = (ytI). Sabendo-se que (xy) = iin e que y!} = (i - j)a, então a potência dada por e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a: (A) V2 e 2 (B) 2 e 0 (C)

e 1

(D) ~ V 2

e 0

(E) 4 Í e 0

RESOLUÇÃO:

;

1.° passo: vamos calcular os elementos au e a)2.

(x()) = i x „ = 2m -

ytj = (i-j}2 y2, = (2 - 2)2 = o2 = o a = V2 + 0 = V2


340

a i2

^12

^12

y ^ o -j)*

y „ = ( i - 2)2 = (-1 )2 =

1

al2 = 1 + 1 = 2 (a32)a'2 = (V2 )2 = 2 Nesse caso, já descobrimos a resposta, pois só uma aiternativa possui o 21 Resposta: Letra B.

08. {APO-MP-ESAF/2G05) O menor complementar de um elemento genérico de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coiuna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y - y„, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = {al}) e B ~ (b,j). Sabendo-se que (a^J - {i + j)2 e que bf] = i3, então o menor complementar do elemento V23 é igual a: (A) (B) (C) (D)
0 -8 -80 8 80

RESOLUÇÃO: Menor complementar, processo: 1.° passo: retirada da linha e da coluna a que pertencem o elemento. 2° passo: calcular o determinante dos elementos que sobraram. Vamos agora encontrar a matriz Y. Matriz Y = matriz A + matriz B Construção da matriz A: C I\2

£7i3

A = Clv

Cln

üi

Ck1

Cln

a 33

C li}

C ap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO

Aplicando a iei de formação: (a,.) - (i + j ) 2 a,, — (1 + 1 }2= 22 = 4 aJ2 =

(1 + 2)2= 32 = 9

aI3 =

(1+ 3)2 =

42 =16

a2! = (2+ 1}2 -

32 =9

-

a; j = (2 + 2)2 = 42 = 16 a23 =

{2 + 3}2= 52 = 25

a35 =

(3 + 1}2= 42 = 16

a3, =

(3+ 2}3 = 52 = 25

a„ =

(3+ 3}2 = õ2 = 36

A=

4

9

16'

9

16

25

16

25

36

Construção da

s =

matriz B:

bu

biz

bn

b-.i

bu

bi

b r.

bi

bv

Aplicando a leí de formação: b.} = P b11 = I12 = 11 b„ = 11 = i b „= i2= i b,, = 2! = 4 bJ; = 2! = 4 ba = 2! = 4 b3, = 3= = 9 b3J = 3J = 9 b„ = 3! = 9 1 B=

1 1

4

4 4

9

9 9

3 41

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Villar

342

1 X= A+ B

4 x = '

9

9 16 16 25

16' i '1 : 1 ;;i‘ 4 4 4 25

13

10 ■17" 20 29

9 9 9

25

34

36

45^

Agora, vamos calcular o menor complementar y23: Menor complementar y,3 significa dizer que devemos retirar a 2.a iinha e a 3.3 coluna da matriz X. 5 ' 10 25

34

= 170 ~ 250 = -80

Resposta: Letra C.

SE LIGUE! Poderíamos simplificar o cálculo da seguinte forma: Ou

Ú\2

«2!---- Qt Cln

Ün

Calculando apenas os elementos que sobraram!

Treinamentodo concursando

01. (SERPRO/1996) As matrizes: X «

*l

2

3'

2

4

6 ,Y

5

3

7

h

2

6

_5 3

15

apresentam, respectivamente, determinantes iguais a: (A) (B) (C) (D) (E)

0, 0 e 0 1, 1 e 1 0, 1 e 1 2, 3 e 4 -1, -1 e -1

3'

2 5

eZ =

' 1

2

3'

2

5

J0

25

6 30

343


02. (AFC-STN/2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a (A) 1/3 (B) (C) (D) (E)

%

3 9 27 81 2:

03. (ESAF-ANA/2009) O determinante da matriz B = (A) (B) (C) (D)
I

0

a

b

c

4+a

2+ b

c

2bc + c - a 2b - c a+ b+ c ■ 6 + a + b+ c 0

04. (MPOG ESAF/2008) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: (A) 10*

(B) 10s (C) 10ÍD

(D) 10® (E) 10a 05. (EFAZ-APOFP/SP ESAF/2009) O determinante de uma matriz 3 por 3 é igual a x. Se multiplicarmos os três elementos da 1.a tinha por 2 e os três elementos da 2? coluna por -1, o determinante será: (A) -X2

(B) (C) (D) (E)

-2x 4x2 x3 '2x-

06. (MF ESAF/2009) Sèja uma matriz quadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os ele mentos da segunda linha por 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por -3, o determinante da matriz fica: (A) (B) (C) (D) (E)

multiplicado multiplicado multiplicado multiplicado multiplicado

por -1 ; por -16/81 por 2/3 por 16/81 por -2/3


344

,

j

07. (Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B, sendo que B = 21/4A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2 1/z, então o determinante da matriz B é igual a: (A) T n (B) 2 '12 (C) 2 (D) 1 (E) 2-,M

I

GABARITO 1- A

2 - E

3- E

4- D

5- C

6 - E

7- D

MATRIZ INVERSA (A 1) Condições para uma matriz admitir inversa: 1) ser quadrada; 2) seu determinante deve ser diferente de zero. Dica: A . A'' ~ I Det A . det A'1= 1

O produto de uma matriz pela sua inversa resulta em uma matriz identidade.

Na matriz identidade, os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e o restante dos elementos é igual a zero.

SE LIGUE! Det A . det A-' = 1

Método do concursando Esse método serve exclusivamente para uma matriz de ordem 2.

345

C ap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

1) Determine a matriz inversa da matriz A =

2 4 1 3

RESOLUÇÃO: 1.° passo: calcular o determinante da matriz A.

Det A =

2 4 =6-4=2 1 3

2.° passo: calcular a matriz adjunta de A { A }.

h a

d

-b

—c

a

A matriz adjunta é obtida pélá troca da posição dos elementos da diagonal principal e pela troca do sinal dos elementos da diagonal secundária. 3 -1

A =

-4 2

3.° passo: aplicar a fórmula: A'1 = — , Matriz adjunta ( A ) , : ■ d e t/i ■■■■:

:

1 > '3 -4' 2' - r ;2 _

i-4 i - 1 K

“ 4" ‘ 3 f 3/2 2 2 " [-1 /2 1 2 , 2 ;; 2 .

-2' l

Treinamento do concursando 2 4 l l e B a soma dos 3 l 1 2 elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a:

1. (AFC/97) Considerando-se as matrizes A

(A) (B) (C) (D) (Ê)

-10 -2 1 2 10

346

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓ GiC O QUANTITATIVO - Bruno Villar

02. (Oficial de Chancelaria/2002) Dada a matriz

r %1 nH e

sabendo que o determinante

de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual a: (A) -1 (B) 0 (C) 1/2 (D)-1 (E) 2

GABARITO 1- B

2 - A:

NOÇÕES DE GEOM ETRIA PLANA Ângulos Definição Angulo é o nome da região formada por duas semirretas de mesma origem.

AÔB ou ângulo a Ângulo agudo E aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto (90°).

Cap. 9 - RACIO CÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO

347

Ângulo obtuso É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso. -<

Ângulos complementares: â + ê = 90° O complemento de um ângulo â é: 90 - â Ângulos suplementares: â + ê — 180° O suplemento de um ângulo â: é 180° -â Ângulos opostos; pelo vértice

- a e y são opostos pelo vértice. - 0 e P são opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes. Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, deter minam oito ângulos, assim denominados:

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bmna Villar

348

t

Ângulos correspondentes são congruentes, ou seja, iguais. Conclusão: a = a, b = p, c = y, d = 0 Ângulos opostos pelos vértices são congruentes, ou seja, iguais. Conclusão: a = c, b — d, a = y, p = 0 Ângulos alternos são congruentes, oü seja, iguais. Alternos internos: c = a, d = p Alternos externos: a » y, b = 0 Ângulos colaterais Ângulos colaterais internos: c +p= 180°, d + a = 180° Ângulos colaterais externos: a +0 = 180°, b + y = 180° Triângulos Classificação em relação aos lados a) Equilátero: tem os três lados iguais e os três ângulos iguais (60°).

349

Cap. 9 - RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATiVO

r SE LIGUE! Os ângulos internos são iguais a 60° A aitura é igual:

’ 4

b) Isósceles: tem dois lados iguais e dois ângulos iguais.

SE LIGUE! No triângulo isósceles os ângulos internos da base são iguais.

c) Escaleno: os três lados são diferentes e também os três ângulos.

Semelhança de Triângulos Dois triângulos ABC e A’ B ’ C’ são dito semelhantes, se: 1) os ângulos correspondentes forem congruentes (A = A’, B = B ’ e C = C5) 2 ) os lados correspondentes forem proporcionais

''a

b

c'

ka'

b'

c\


350

Os triângulos semelhantes têm proporcionais os lados, a altura e a área.

SE LIGUE!

!

A área deles está na razão de k2, sendo k a constante de proporcionalidade.

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa à hipotenusa m e n: projeções dos catetos sobre a hipotenusa Relações métricas 1) bc = a.h 2 ) c2 = a.m

3) b2 = a.n 4) h2 = m.n Teorema de Pitágoras: a2 — b2 + c2 Tabela trigonométrica X

sen x

COS X

tg X

0°

0

1

0 :

30°

1 2

£ 2

A 3 ;

Cap. 9 ~ RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

X

45°

O 0

60°

sen x

2

COS X

£

351

tg x ;

i

1

V3

|

"

í

2 1

A 2

2

1

0

Quadriláteros O quadrilátero é o polígono de quatro lados.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360°. Paralelogramo É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Os ângulos opostos são congruentes. Paralelogramos Notáveis Retângulo: é o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de medida igual a 90°.

352

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viüar

Losango: é o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.

As diagonais são perpendiculares entre si, ou seja. formam 90°. Quadrado: é o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos iguais entre si.

Trapézio: é o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si. D

C

Polígonos regulares São polígonos convexos que possuem lados iguais e ângulos internos iguais e ângulos externos iguais. Principais polígonos regulares: - Triângulo equilátero - Quadrado


- Pentágono (5 triângulos equíláteros) - Hexágono (6 triângulos equíláteros) Fórm ulas: Número de diagonais:

^

Soma dos ângulos internos: (n - 2). 180° Soma dos ângulos externos: 360° Triângulo É uma figura de 3 lados.

base

x

altura

Dica: No triângulo retângulo temos a seguinte relação.

No triângulo equilátero (todos os lados iguais)

a

-M

4

h = tlL

(altura do triângulo equilátero)

353

354

MATEMÁTICA E RACIOClNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bmna Villar

Quadrado É uma figura que possuí 4 lados iguais e os lados opostos são pa ralelos. I L

L

L

L

L = lado A = L2 Perímetro = 4L Retângulo É uma figura que possui 4 lados e os lados opostos são iguais.

a

A = a.b Perímetro = 2a + 2b Trapézio É um figura que possui 4 lados e um par de lados opostos paralelos (bases do trapézio). base menor

altura

base maior


355

_ (b + B )h

Circunferência E um conjunto de pontos é equidistantes a um ponto central, o qual é chamado de centro da circunferência.

D = diâmetro r = raio C = comprimento da circunferência íc = 3,14159... r Relação: D = 2r C = 2r. n Área do Círculo

A = r2 . k

MATEMÁTICA E RACiOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

356

Treinamento comentado 1. (AFTN 1998/ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a hi potenusa um ângulo de 45°. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a soma das medidas aos catetos é igual a: (A) 8 cm2 (B) 16 cm (C) 4 cm (D) 16 cm1 (E) 8 cm

RESOLUÇÃO: Nesse caso, temos um triàngulo-retãngulo-isósceles.

A medida do ângulo b é 45° e do ângulo c é 90° (ângulo reto), logo o ângulo a mede 45°. Conclusão: o triângulo que possui dois ângulos iguais é isósceies, logo:■ b e c são iguais. ! f =s b.c = 8.2 B.C = 16 Como b = c, temos: b.b = 16 b2 = 16 b = VTó b= 4 Conclusão: c = 4

;

Resposta: 4 + 4 = 8 cm. Letra E.


357

2. (Analista de Recursos Financeiros SERPRO 2001 ESAF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m, A área do segundo triângulo será igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

6 m2 12 m2 24 m2 48 m2 60 m3

RESOLUÇÃO: T1 tem medidas: 6,8 e 10, logo o perímetro é 6 + 8 + 10 > 24 O perímetro de T2 é 12. '

' A razão sera: .

71 24 —- = — = 2 T2 12

TI = 2 . T2

Conclusão: as medidas de T2 serão a metade de T1. As medidas dè T2 = 3, 4, 5.

SE LIGUE! - 3, 4 e 5 são as medidas do triângulo retângulo clássico. - 3 e 4 são os ca tetos e 5 é a hipotenusa. - A área do triângulo retângulo é o produto dos catetos.

3. (AFC 2005 ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede V2cm e um outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a (A) 3-” 3 (B) 2~v2 (C) 1 (D) 2V2 (E) 3^

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruna W /ar

358

RESOLUÇÃO: Temos que ângulo formado entre dois lados é 45°. Vamos aplicar a fórmlila da área em função dos lados e ângulo formado entre eles.

2

2

2

1

4. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual a 45°, segue-se que: (A) (B) (C) (D) (E)

Y = -2X Y= X Y = (3,/2)/2X Y = 2X Y = 31,ZX

RESOLUÇÃO:

A+X

Os catetos são A + X e A + Y , é a tangente é a divisão entre os catetos. tg,f go __ cateto oposto cateto adjacente

_ A +X A+Y

Cap. 9 - R ACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO

359

Tg 45° = 1 A+ X A+Y A+ X= A+ Y Conclusão: x = y Resposta: Letra B,

5. (ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T1 e T2, é igual a 8. Sabese que a área do triângulo T1 é igual a 128m:í Assim, a área do triângulo T2 é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

4 m2 16 m3 32 ms 64 m3 2 m2

RESOLUÇÃO: A razão entre eles é 8 A razão da área é k2

QUESTÕES FINAIS

ESTILO FCC - RA CIOCÍN IO LÓ G ICO QUANTITATIVO 1. Uma aranha demorou 20 dias para cobrir com sua teia a superfície total de uma janela. Ao acompanhar o seu trabalho, curiosamente, observou-se que a área da região coberta peta teia duplicava a cada dia. Se desde o inicio ela tivesse contado com a ajuda de outra aranha de mesma capacidade operacional, então, nas mesmas condições, quantos dias seriam necessários para que, juntas, as duas revestissem toda a superfície de tal janela? (A) 10 (B) 12

-

(C) 15 (D) 18 (E) 19 2. Indagado sobre a quantidade de projetos desenvolvidos nos últimos 10 anos em sua área de trabalho, um Analista Legislativo que era aficionado em matemática respondeu o seguinte: "O total de projetos é igual ao número que, no críptograma matemático abaixo, corresponde à palavra ESSO”. (S O )3 = E S S O

Considerando que, nesse criptograma, íeíras distintas equívaiem a algarismos distintos escolhidos de 1 a 9, então, ao decifrar corretamente esse enigma, conclui-se que a quantidade de projetos à qual ele se refere é um número (A) menor que 5.000. (B) compreendido entre 5.000 e 6.000. (C) compreendido entre 6.000 e 7.000. (D) compreendido entre 7.000 e 8.000. (E) maior que 8.000.

362

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGiCO QUANTITATIVO - Brvno Vitlar

3. Em um jantar em homenagem a um político se reúnem 16 pessoas, incluindo o homenageado. Todas essas pessoas são deputados ou senadores, cada qual Filiado ao partido X ou ao partido Y. Com relação a esses comensais, sabe-se que: f - há mais membros do partido X que do Y; - o número de deputados filiados ao partido Y é maior que o número de deputados filiados ao partido X; - dos filiados ao partido X, o número de senadores èl menor que o número de de putados; - apenas um dos membros do partido Y é senador. Nessas condições, é correto afirmar que, nesse jantar,: o total de (A) (B) (C) (D) (E)

deputados senadores deputados senadores deputados

é 11. é 6. filiados ao partido X é 4. filiados ao partido X é 6. filiados ao partido Y é 5.

4. Segundo dados de uma pesquisa, em 2006 cinco deputados - cujasfetras iniciais dos nomes eram A, B, C, D e E - encaminharam ã Mesa daCâmara 9, 12, 14, 15 e 18 projetos, não respectivamente. Constam também nessa pesquisa as seguintes informações: - tais deputados tinham 28, 36, 42, 45 e 56 anos de idade e eram filiados ao PT, PSDB, PFL, PSOL e PTB, não necessariamente nesta ordem; - o deputado mais idoso era filiado ao PSDB; - o deputado mais jovem era filiado ao PSOL e a letra inicial B;

do seu nome não é

- o deputado filiado ao PT tinha 42 anos e a letra inicial do seu nome não é D e nem C; - tanto o deputado cujo nome começa por E, que apresentou 18 projetos, como o deputado cujo nome começa por C, que apresentou 15 projetos, nãoeram filiados ao PSDB e nem ao PFL; - o deputado cujo nome começa por D apresentou 12 projetos: dois a menos que o filiado ao PTB, cuja letra iniciai do nome não é B; ; - o deputado cuja letra inicial do nome é A não era filiado ao PSDB; - o deputado que tinha 36 anos não foi aquele que apresentou 14 projetos; - o deputado cuja letra inicial do nome é D não tinha 56 anos. Com base nas afirmações dadas, é correto afirmar que o deputado filiado ao (A) (B) (C) (D) (E)

PTB tinha 36 anos. PSDB apresentou 12 projetos. PSOL tem por inicial de seu nome a letra C. PFL tinha 45 anos. PT apresentou 15 projetos.

Cap. 10 - QUESTÕES FINAiS

363

(FCC) Considere que, em um determinado instante, P passageiros aguardavam seu voo em uma sala de embarque de certo aeroporto. Na primeira chamada, embarcaram os idosos, que correspondiam à metade de P; na segunda, em barcaram as mulheres não idosas, cuja quantidade correspondia à metade do número de passageiros que haviam ficado na sala; na terceira, embarcaram alguns homens, em quantidade igual à metade do número de passageiros que ainda restavam na sala. Se, logo após as três chamadas, chegaram à sala mais 24 passageiros e, nesse momento, o total de passageiros na sala passou a ser a metade de P, então na (A) primeira chamada i embarcaram 34 passageiras. (B) primeira chamada i embarcaram 36 passageiros. (C) segunda chamada embarcaram 16 passageiros. (D) segunda chamada embarcaram 18 passageiros. (E) lerceira chamada embarcaram 12 passageiros. 6. (FCC) O esquema abaixo representa a multiplicação de um número natural F por 8, resultando em um número G.

OOIO x 8

08020 Os círcuios são algarismos, que satisfazem às seguintes condições: - são distintos entre si; - são diferentes de zero; - o algarismo das centenas de F é maior que o algarismo das centenas de G. Determinando corretamente esses cinco algarismos, verifica-se que o algarismo (A) dos milhares de F é 3. (8 ) das centenas de F é 3. (C) das unidades de F é 8 . (D) das centenas de G é 5. (E) das unidades de G é 6 .

7. Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram três dias antes do dia depois do dia de antes de amanhã. Hoje é terça-feira. Ém que dia Regina e Roberto voltaram? (A) (B) (C) (D) (E)

Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Sábado Domingo


364

8. (FCC) Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, são capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, ser funcionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é •

(A) 100 (B) 200 (C) 400 (D) 600 (E) 800

9. (FCC) Três analistas judiciários - Aurélio, Benício e Custódio - foram incumbi dos de implantar um sistema informatizado de processamento de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas. Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1 hora e 30 minutos para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para implantá-lo? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 10. Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mesmo tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses micros ele recebeu o que havia pagado pelos 94 que havia comprado, e cada um dos 14 micros restantes foi vendido pelo mesmo preço de venda de cada um dos outros 80. Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcentagem de lucro do comerciante nessa transação foi de (A) 17,5% (B) 18,25% (C) 20% (D) 21,5% (E) 22% 11. A tabela abaixo permite exprimir os valores de certas grandezas em relação a um valor determinado da mesma grandeza tomado como referência. Os múlti plos e submúltiplos decimais das unidades derivadas das unidades do Sistema Internacional de Unidades (SI) podem ser obtidos direta ou indiretamente dos valores apresentados e têm seus nomes formados pelo emprego dos prefixos indicados.

Cap. 10 - QUESTÕES FINAIS

365

(Fonte: Quadro G eral de unidades de M edida, 2 .a ed. IN M E T R O . Brasília, 2 0 0 0 )

NOME

r.

s Im b o l o

FATOR PELO QUAL A UNIDADE É MULTIPLICADA

tera

T

giga

G

IO” = 1 000 000 000

mega

M

10s = 1 000 000

10,3 = 1 000 000 000 000

quilo

k

10J = 1 000

hecto

h

101 = 100

deca

da

10 =. 10

deci

d

10 1 = 0,1

cerni

c

103 = 0,01

mili

m

10J = 0,001

micro

P

10* = 0,000 001

nano

n

10 9 = 0,000 000 001

pico

P

10'" = 0,000 000 000 001

Assim, por exemplo, se a unidade de referência fosse a grama (g), teríamos 35 mg = 35.10'3g = 0,035 g. Considerando o byte (b) como unidade de referência, a expressão (0,005 Gb) x (0, i 2 ^b) g equivalente a 0,25 Mb (A) (B) (C) (D) (E)

12.

2,4 \ib 2,4 cb 0,24 mb 0,24 nb 0,024 _dab

Cinco amigos — Américo, Basilio, Carlito, Dante e Eliseu - cotizaram-se para comprar um presente de casamento, contribuindo com R$ 50,00, R$ 60,00, R$ 80,00, R$ 100,00 e R$ 150,00, não necessariamente na ordem dada de seus nomes. Sabe-se que: - Suas profissões são analista judiciário, professor, advogado, dentista e médico; suas idades são 25, 28, 30, 32 e 33 anos, não respectivamente; - O analista judiciário. Que não è Basilio, tem 30 anos e contribuiu com RS 50,00; - O advogado contribuiu com menos de R$ 150,00; - Dante, que não tem 30 anos, contribuiu com R$ 60,00; ~ Aquele que tem 32 anos não é advogado e nem dentista; - Eliseu tem 33 anos, é médico e contribuiu com mais de R$ 60,00; - Américo é dentista e contribuiu com R$ 80,00; - Aquele que tem 25 anos não é professor e nem advogado; - Nem Basilio e nem Carlito têm 32 anos.

366


Com base nessas informações, é correto afirmar que: (A) Américo tem 28 anos •(B) Basilio contribuiu com R$ 150,00 (C) Cariilo é analista judiciário (D) Dante tem 25 anos (E) Eliseu contribuiu com R$100,00 13. Assinale a alternativa correspondente ao número de cinco dígitos no qual o quinto dígito é a metade do quarto e um quarto do terceiro dígito. O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segundo dígito é três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que o {quinto. (A) (B)
17942 25742 65384 86421 97463

14. Juntam-se 64 cubos de madeira idênticos, de aresta icm , formando um cubo maior, de aresta 4cm. Em seguida, cada das seis faces do cubo maior é pinta da. Após a secagem da tinta, separam-se novamente os 64 cubos menores e n deles são escolhidos, de maneira aleatória. O menor valor de n para que se possa afirmar com certeza que pelo menos um dos cubos sorteados não teve nenhuma de suas faces pintadas é: (A) (B) (C) (D)

57 56 49 48

30 25 20 15 10

e e e e e

35 30 25 20 15

16. Uma pessoa dispõe apenas de moedas de 5 e 10 centavos, totalizando a quantia de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada tipo, o total de moedas que ela possui poderá ser n o máximo igual a (A) (B) (C) (D) (E)

28 30 34 38 40

Cap. 1 0 -Q U E S T Õ E S FINAIS

367

17. Um feirante comprou maçãs de dois fornecedores: um deles as vendeu na base de 5 maçãs por R$ 2,00 e o outro na base de 4 por R$ 3,00. Se ele comprou a mesma quantidade de maçãs de cada um desses fornecedores, então, para não ter lucro e nem prejuízo, pode revender todas as maçãs que comprou na base de (A) (B) (C) (D) (E)

18 20 32 36 40

unidades unidades unidades unidades unidades

por por por por por

R$ 25,00. R$ 23,00. RS 24,00. R$ 25,00. R$ 23,00.

18. Certo dia, Zeus e Fnda foram incumbidos de arquivar alguns processos e, para tal, resolveram dividir o total entre si na razão inversa de suas respectivas ida des: 24 e 32 anos. Se Zeus gastou 2 horas para cumprir totalmente a sua parte na tarefa, então, considerando que Frida foi 25% mais eficiente do que ele no cumprimento da sua, o tempo que ela levou para arquivar todos os processos que lhe couberam foi (A) (8 ) (C) {D) (E)

15 minutos. 1 horae 12 1 horae 36 1 horae 45 2 horas e 8

minutos. minutos. minutos. minutos.

19. Considere a seguinte seqüência de cálculos: 11a = 121

111* = 12.321 I 1112 = 1.234.321 I I 111z « 123.454.321

A soma dos algarismos do número que se obtém calculando 111 111 111z é

(A) (B) (C) (D) (E)

um quadrado perfeito. maior que 100. menor que 70. divisível por 5. um número primo.;

20. Um criptograma aritmético é um esquema operatório codificado, em que cada letra corresponde a um único algarismo do sistema decimal de numeração. Considere que o segredo de um cofre é um número formado pelas letras que compõem a palavra MOON, que pode ser obtido decodificando-se o seguinte criptograma: (IN)2 = MOON

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓ GICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

368

Sabendo que tal segredo é um número maior que 5.000, então a soma M + O + O + N é igual a (A) 16 (B) 19 (C) 25 (D) 28 (E) -31

1

21. Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se que: 2/5 deveriam ser analisados e 4/7 referiam-se ao atendimento ao público interno. Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre (A) (B) (C) (D) (E)

10 e 50 60 e 100 110 e 160 150 e 170 180 e 220

22. No arquivo morto de um setor de uma Repartição Pública há algumas prateleiras vazias, onde deverão ser acomodados todos os processos de um lote. Sabe-se que, se forem colocados 8 processos por prateleira, sobrarão apenas 9 proces sos, que serão acomodados na única prateleira restante. Entretanto, se forem colocados 13 processos por prateleira, uma das duas prateleiras restantes ficará vazia e a outra acomodará apenas 2 processos. Nessas condições, é correto afirmar que o total de processos do lote é um número (A) (B) (C) (D) (E)

par divisível por 5 múltiplo de 3 quadrado perfeito primo

23. Certo dia, Matilda e Neto, funcionários de um setor do Tribunal Regional do Trabalho, receberam, cada um, um lote de documentos para análise e emissão de pareceres. Sabe-se que: - os dois lotes tinham iguais quantidades de documentos; - Matilda gastou 2 horas e 15 minutos para examinar todos os documentos de seu lote; - nesse dia, na execução de suas respectivas tarefas, a capacidade operacional de Neto foi 80% da de Matilda.

Com base nessas informações e considerando que ambos iniciaram suas respectivas tarefas quando eram decorridos 31/72 do dia e que trabalharam ininterruptamente até concluí-las, então Neto completou a análise e a emissão de pareceres dos do cumentos do seu lote às (A) 12 horas, 20 minutos e 15 segundos

Cap. 10 -Q U E S T Õ E S FINAIS

(B) (C) (D) (E)

12 13 13 13

horas, horas, horas, horas,

369

48 minutos e 30 segundos 8 minutos e 45 segundos 18 minutos e 30 segundos 40 minutos e 15 segundos

24. Suponha que, no instante em que a água de um bebedouro ocupava os 5/8 de sua capacidade, uma mesma garrafa foi usada sucessivamente para retirar toda a água do seu interior. Considerando que tal garrafa eqüivale a 3/4 de litro e foram necessárias 45 retiradas de garrafas totalmente cheias d’água até que o bebedouro ficasse completamente vazio, a capacidade do bebedouro, em metros cúbicos, era (A) (B) (C) (D) (E)

0,054 0,06 0,54 0,6 5,4

25. Um comerciante comprou certo artigo com um desconto de 20% sobre o preço de tabela. Em sua loja, ele fixou um preço para tal artigo, de modo a poder vendê-lo dando aos clientes um desconto de 25% e a obter um lucro de 40% sobre o preço fixado. Nessas condições, sabendo que pela compra de uma unidade desse artigo um cliente terá que desembolsar R$ 42,00, o seu preço de tabela é (A) (B) (C) (D) (E)

R$ R$ R$ RS R$

20,00 24,50 30,00 32,50 35^00

26. Ao concorrer à licitação na modalidade Pregão, é contratada a empresa que oferecer o menor preço pelos seus serviços. Sabe-se que, das empresas ca dastradas para concorrer ã licitação em tal modalidade, para a contratação de empresa especializada para fornecimento de doses de vacina contra a gripe, apenas três {X, Y e Z) foram julgadas habilitadas a participar da fase de lances. Encerrado o Pregão, com relação aos três últimos lances feitos para o valor da dose da vacina, observou-se que: - valor do lance de X excedia o de Y em R$ 1,46; - a razão entre o valor do lance de Y e o valor do de Z era, nesta ordem, igual a 4/5; - os valores dos lances de X e Z totalizavam R$ 24,50. Considerando que a Pregoeira encaminhou ao licitante que apresentou o lance mais vantajoso uma contraproposta de preço no valor de RS 9,50, então a diferença entre o valor do lance e o da contraposta é de (A) RS 0,98 (B) RS 0,94

370

MATEMÁTICA E RACIOCÍNSO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Villar

(C) R$ 0,82 (D) RS 0,74 - (E) RS 0,72 27. Um funcionário de uma empresa foi incumbido de tirar uma única cópia de cada uma das 50 páginas de um texto. Ele cumpriu essa tarefa em duas etapas: primeiramente, usou uma impressora para tirar 151 cópias e depois, para tirar as cópias restantes, usou outra impressora cuja capacidade operacional era 40% maior que a da primeira. Se a primeira impressora gastou t minutos para tirar as 15 cópias, o tempo total gasto pelas duas impressoras para tirar as 50 cópias é equivalente a (A) (B) (C) (D) (E)

2t 5U3 81/3 101/3 8t

28. Certo dia, Aíéa e Aimar, funcionários de uma unidade do TRT, receberam 50 petições e 20 processos para analisar e, para tal, dividiram entre si todos esses documentos: as petições, em quantidades diretamente proporcionais às suas respectivas idades, e os processos, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se Aléa tem 24 anos de idade e trabalha há 4 anos no Tribunal, enquanto que Aimar tem 36 anos de idade e lá trabaiha há 12 anos, é correto afirmar que (A) Aléa deve analisar 5 documentos a mais do que Aimar. (B) Aléa e Aimar devem analisar a mesma quantidade dei documentos. (C) Aimar deve analisar 20 petições e 5 processos. (D) Aléa deve analisar 10 petições e 20 processos. (E) Aimar deve analisar 30 petições e 15 processos. 29. Certo dia, Eurídice falou a Josué: - Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, sua idade se escreve ao contrário da minha e, além disso, a diferença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de serviço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos. Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice tem menos de 70 anos e é mais velha do que Josué, então, com certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número (A) (B) (C) (D) (E)

maior que 100. quadrado perfeito. múltiplo de 11. divisível por 9. menor que 100.

30. Um Técnico Judiciário recebeu dois lotes de documentos para arquivar: um, contendo 221 propostas de licitações e outro, contendo 136 processos. Para executar tal tarefa, recebeu as seguintes instruções:

Cap. 10 - Q UESTÕ ES FiNAIS

3 71

- todas as propostas de licitações deverão ser colocadas em pastas amarelas e todos os processos em pastas verdes; - todas as pastas deverão conter o mesmo número de documentos; - deve ser usada a menor Quantidade possível de pastas. Se ele seguir todas as instruções que recebeu, então; (A) (B) (C) (D) (E)

usará 17 pastas amarelas para guardar todas as propostas de licitações. usará 13 pastas verdes para guardar todos os processos. o número de pastas amarelas que usar excederá o de verdes em 6 unidades. cada uma das pasias ficara com 8 documentos. serão necessárias 21 pastas para acomodar todos os documentos dos dois lotes.

31. Um funcionário de uma unidade do TRT recebeu a incumbência de tirar algumas cópias de certo comunicado. Sabe-se que ele iniciou a execução dessa tarefa em uma segunda-feira, na qual tirou parte das cópias requisitadas, e que a cada dia subsequente tirou 3/2 da quantidade tirada no dia anterior. Se ele concluiu o serviço na sexta-feira dessa mesma semana e na quarta-feira ele tirou 72 cópias, o total de cópias que ihe foram solicitadas era (A) (B) (C) (D) (E)

484 422 392 384 322

32* Certo dia, no início do expediente de uma unidade do TRT, foram formadas duas filas diante de um balcão, onde dois Técnicos Judiciários - Casimiro e Domitila - prestariam atendimento ao público externo. Para que, naquele momento, as duas filas ficassem com o mesmo número de pessoas, foram adotados os seguintes procedimentos: primeiramente, da fila de Casimiro para a de Domitila, foram deslocadas tantas pessoas quantas Havia na fila de Domitila; em seguida, da fila -de Domitila para a de Casimiro^ foram deslocadas tantas pessoas quanto a quantidade das que haviam restado na fífa de Casimiro. Se, após esses dois j procedimentos, ambas as filas ficaram com 16 pessoas, então, inicialmente, o número de pessoas na fila de (A) (B) (C) (D) (E)

Casimiro era 18. ; Domitila era 14. Casimiro era 20. Domitila era 15. Casimiro era 24.

33. Um Técnico Judiciário iniciou a digitação de um texto quando eram decorri dos 4/9 de certo dia e terminou essa tarefa quando eram decorridos 61/96 do mesmo dia. Se ao longo desse intervalo de tempo ele interrompeu seu trabalho

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viilar

372

apenas por 55 minutos, quando, então, foi almoçar, o tempo que ele gastou na digitação de tal texto foi de (A) (B) (C) (D) (E)

2 2 3 3 3


e 30 e 45 e 20 e 40 e 45

minutos. mirptos. minutos. minutos. minutos.

34. Uma pesquisa revelou que, nos anos de 2006, 2007 e 2008, os totais de proces sos que deram entrada em uma Unidade do TRT aumentaram, respectivamente, 10%, 5% e 10%, cada qual em relação ao ano anterior. Isso eqüivale a dizer que, nessa Unidade, o aumento cumulativo das quantidades de processos nos três anos foi de (A) (B) (C) (D) (E)

25% 25,25% 26,15% 26,45% 27,05%

35. Num dado momento, observou-se que o volume de água no interior da caixa d’água de um edifício ocupava 1/3 de sua capacidade e que, se lã fossem co locados mais 0,24m3 de água, o volume de água na caixa passaria a ocupar os 2/5 de sua capacidade. Considerando que não foi colocada água no interior da caixa, então, no momento da observação, o número de litros de água que seriam necessários para enchê-la era (A) (B) (C) (D) (E)

1.800 2.400 2.500 3.200 3.600

36. Três Técnicos Judiciários - Alberico, Benivaldo e Corifeu - devem arquivar 340 processos e, para executar esta tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe se que: - Aiberico tem 36 anos; - Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem, em 12 anos; - caberá a Corifeu arquivar 90 processos. Nessas condições, é correto afirmar que (A) (B) (C) (D) (E)

as idades dos três somam 105 anos. Benivaldo deverá arquivar 110 processos. Corifeu tem 28 anos. Alberico deverá arquivar 120 processos. Benivaldo tem 35 anos.

Cap. 10 - Q UESTÕ ES FINAIS

373

GABARITO 1- E

2-

4- C

5- C

6-

7- E

8-

9- C

B

E

3- A A

10- A

11 - A

12 - C

13 - D

14 - A

15 - D

16 - C

17 - E

18 - B

19 - A

20 - A

21 - D

22 - E

23 - C

24 - A

25-8

26 - D

27 - C

28- B

29 - A

30 - D

31 - E

32 - A

33 - B

34 - D

35 - C

36 - B

ESTILO ESAF - RA CIOCÍNIO QUANTITATIVO 1. (ANA-ESAF/2009) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto, desemboca um afluente, que tem um volume d'água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas cla ras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após se encontrarem. {A} 41%
11,53% 4,24% 4,50% 5,15% 3,96%

3. (ANA-ESAF/2009) Na população brasileira verificou-se que a probabilidade de ocorrer determinada variação genética é de 1%. Ao se examinar ao acaso três

MATEMÀ+ICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO - Bruno Viliar

374

pessoas desta população, qual o valor mais próximo da probabilidade de exa tamente uma pessoa examinada possuir esta variação genética? (A) 0,98% (B) 1% (C) 2,94% (D) 1,30% (E)~3,96% Sf

',

Dica: questão de probabilidade binomial (relação de sucesso e fracasso).

4. (STN ESAF/2008) Dois eventos A e B somente se: (A) (B) (C) (D) (E)

a a a a a

são ditos jeventos independentes se e

probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for Tiula. ocorrência de B aiterar a probabilidade de ocorrência de A. ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.

5. (STN-ESAF/2008) Ana possuí em seu closet 90 pares de sapatos, todos devida mente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Anaretira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Anapode realizar de modo que a terceira caixa retirada sejà a de número 20 é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

681.384 382.426 43.262 7.488 2.120

6. (STN-ESAF/2008) Marco estuda em uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

0 10/19 19/50 10/50 19/31

375

Cap. 10 - Q U ESTÕ ES FINAIS

7. (MPOG-ESAF/2008) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada, quando todas as luzes de seu apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes, a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saía com sua namorada vestiftdo meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter á certeza de obter um par de mesma cor é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

30 40 246 124 5

8. (MPOG-ESAF/2008) ÍBeatriz aposentou-se e resolveu participar de um curso de artesanato. Em sua primeira aula, ela precisou construir uma caixa retangular aberta na parte dé cima. Para tanto, Beatriz colou duas peças retangulares de papelão, medindo 200cm2 cada uma, duas peças retangulares, também de papelão, medindo 3GGcm2 cada uma e uma outra peça retangular de papelão medindo 600cm2. Assim, o volume da caixa, em litros, é igual a: (A) (B) (C) (D)
48 6 36 24 12

9. (MPOG ESAF/2GG8) Uma urna contém 5 bolas pretas, 3 brancas e 2 vermelhas. Retirando-se, aleatoriamente, três bolas sem reposição, a probabilidade de se obter todas da mesma cor é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

1/10 ‘ 8/5 11/120 11/720 41/360

10. (WlPU-ESAF/2004) Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, - 20 alunos praticam vôlei e basquete; - 60

alunos praticam futebole 65 praticam basquete;

- 21

alunos não praticam nem

futeboi nem

vôlei;

- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só võíei. - 17

alunos praticam futeboie vôlei;

- 45

aiunos praticam futebole basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é iguaí a (A) 93

376

MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO —Bruno Villar

(B) 99 (C) 103 (D) 110 (E) 114

J

11. (ESAF) Uma loja de doces trabalha apenas com dois tipos de balas, a saber: balas de chocolate e balas de café. Cada bala de chocolate custa R$ 0,50 e cada bala de café custa R$ 0,20. Sabe*se que um quilograma (kg) de balas de chocolate eqüivale, em reais, a dois quilogramas de balas de café. Sabe-se, também, que uma bala de café pesa 8 gramas. Assim, o peso, em gramas, de uma bala de chocolate é igual a (A) 5 (B) 8 (C) 15 (D) 6 (E) 10 12. (ESAF) Quatro carros de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto, não ne cessariamente nessa ordem, formam uma fila. O carro que está imediatamente antes do carro azul é menos veloz do que o que está imediatamente depois do carro azul. O carro verde é o menos veloz de todos e está depois do carro azul. O carro amarelo está depois do carro preto. As cores do primeiro e do segundo carro da fila, são, respectivamente, (A) amarelo e verde. (B) prelo e azul. (C) azul e verde. (D) verde e prelo. (E) preto e amarelo. 13. (ESAF) Sete meninos, Armando, Bernardo, Cláudio, Délcio, Eduardo, Fábio e Gelson, estudam no mesmo colégio e na mesma turma de aula. A direção da escola acredita que, se esses meninos forem distribuídos em duas diferentes turmas de aula, haverá um aumento em suas respectivas notas. A direção pro põe, então, a formação de duas diferentes turmas: a turma T1 com 4 alunos e a turma T2 com 3 alunos. Dada as características dos alunos, na formação das novas turmas, Bernardo e Délcio devem estar na mesma turma. Armando não pode estar na mesma turma nem com Bernardo, nem com Cláudio. Sabe-se que, na formação das turmas, Armando e Fábio foram colocados na turma T1. Então, necessariamente, na turma T2, foram colocados os seguintes alunos: (A) Cláudio, Délcio e Gelson (B) Bernardo, Cláudio e Geison (C) Cláudio, Délcio e Eduardo (D) Bernardo, Cláudio e Délcio (E) Bernardo, Cláudio e Eduardo

Cap. 10 - QU ESTÕ ES FiNAIS

377

14. (ESAF) Em uma cidade, ãs 15 horas, a sombra de um poste de 10 melros de altura mede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 25 metros. Por interpolação e extrapolação iineares, calcuie quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, às 15h30min do mesmo dia. (A) 20m (B) 35m (C) 65m (D) 50m (E) 45m Sf

Dica: regra de três simples!

15. (ESAF) Considere que numa cidade 40% da população adulta é fumante, 40% dos adultos fumantes são mulheres e 60% dos adultos não fumantes são mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser uma mulher? (A) 52% (B) 48% (C) 50% (D) 44% (E) 56% 16. (ESAF) Considerando os dados da questão anterior, qual a porcentagem das mulheres adultas que são fumantes? (A) 7/13 (B) 40% (C) 4/13 (D) 60% (E) 9/13 17. (ESAF) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos: (A) nenhum dos 3 valerá nada. (B) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta. (C) apenas a bicicleta valerá algo. (D) a bicicleta valerá mais que o carro. (E) a bicicleta valerá mais que a moto.


378

18. (ESAF/2009) A e 8 são os lados de um retângulo í. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20%, obtém-se o retângulo li. Se, ao invés disso, aumentar-se o iado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retângulo III. Pode-se afirmar qu£: (A) os três retângulos têm a mesma área. (B).o retângulo III tem a maior área. (C) o retângulo II tem a maior área. (D) o retângulo I tem a maior área. (E) os retângulos II e III têm uma área igual, maior que a do retângulo I. 19. (ESAF) Num acampamento escolar com crianças que supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida suficiente para exatamen te 60 dias. Passados 20 dias, chegaram inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 10 dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do início do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia acabado, quantas eram elas? (A) (B) (C) (D) (E)

20 60 30 120 10

20. (ESAF) Marcelo Augusto tem cinco filhos: Primus, Secundus, Tertius, Quartus e Quintus. Ele sorteará, entre seus cinco filhos, três entradas para a peça Júlio César, de Shakespeare. A probabilidade de quei Primus e Secundus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que Tertius e Quintus, ambos, estejam entre os sorteados, ou que sejam sorteados Secundus, Tertius e Quartus, é igual a (A) (B) (C) (D) (E)

0,500 0,375 0,700 0,072 1,000

21. (ESAF) Ana e Júlía, ambas filhas de Márcia, fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais a números primos. Segue-se que a idade de Ana — a filha de olhos azuis —, em número de anos completados, é igua! (A) (B) (C) (D) (E)

à idade de Júlia mais 7 anos. ao triplo da idade de Júlia. à idade de Júlia mais 5 anos. ao dobro da idade de Júlia. ã idade de Júlia mais 11 anos.

Cap. 10 - QU ESTÕ ES FINAIS

379

22. (ESAF) A receita bruta total de uma empresa é diretamente proporcionai ao quadrado da terça parte das quantidades vendidas. Sabe-se que quando são vendidas 6 unidades, a receita total bruta é iguai a 40. Assim, quando se vender 3 unidades, a receita bruta será iguai a: (A) (B) (C) (D)

10 20 30 40

'•

(E) 50 23. (ESAF) De dez contas de um arquivo, quatro cbntêm erro de apropriação, Se um auditor seleciona, aleatoriamente e sem reposição, duas contas entre as cinco, a probabilidade de que apenas uma das contas selecionadas contenha erro de apropriação é igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

10% 20% 30% 40% 60%

'

24. (ESAF) A soma dos três primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 30, e o seu produto igual a 360. O produto entre o primeiro e o terceiro termo desta mesma progressão é igual a: (A) 18 (B) 20 (C) 26 (D) 36 (E) 40

'

25. (ESAF) Ana precisa chegar ao aeroporto para buscar uma amiga. Ela pode escolher dois trajetos, A ou B. Devido ao intenso tráfego, se Ana escolher o trajeto A, existe Uma probabilidade de 0,4 de ela se atrasar. Se Ana escolher o trajeto B, essa probabilidade passa para 0,30. As probabilidades de Ana escolher os trajetos A ou B são, respectivamente, 0,6 e 0,4. Sabendo-se que Ana não se atrasou, então a probabilidade de ela ter escolhido o trajeto B é igual a: (A) (8) (C) (D) (E)

6/25 6/13 7/13 7/25 7/16

26. Um grupo de amigos formado por três meninos (entre eles Caio e Beto) e seis meninas (entre elas Ana e Beatriz), compra ingressos para nove lugares locali zados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo ; pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque,


380

querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: (A) 1.920 (B) 1.152 (C) 960 (D)'540 (E) 860

|

27. Ana foi visitar Bia, que mora a uma distância de 150km de sua casa. Ana per correu esta distância em seu automóvel, com uma determinada velocidade média, gastando x horas para chegar à casa de Bia. Ana teria percorrido os mesmos 150km em duas horas a menos, se a velocidade média de seu automóvel fosse aumentada em 20km/h (quilômetros por hora). Com estas informações, pode-se concluir que Ana percorreu os 150km a uma velocidade média, em quilômetros por hora, igual a: (A) (B) (C) (D) (E)

25 30 40 35 50

28. Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é iguai a: (A) (B) (C) (D) (E)

24.360 25.240 24.460 4.060 4.650

29. Em uma prova de natação, um dos participantes desiste de competir ao com pletar apenas 1/5 do percurso total da prova. Mo entanto, se tivesse percorrido mais 300 metros, teria percorrido 4/5 do percurso total da prova. Com essas informações, o percurso total da prova, em quilômetros, era igual a: (A) (B) (C) (D)

0,75 0,25 0,15 0,5

(E) 1 30. Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Depois, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também o acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é azul, a probabilidade de que a primeira bola extraída seja também azul é: (A) 1/3

381

Cap. 10 - QUESTÕES FINAIS

(B) (C) (D) (E)

2/9 1/9 2/10 3/10

GABARITO 1- A

2- E

3- C

4- D

5- A

6 - B

7- E

8- B

9- C

10-8

11 - E

12 - B

13 - D

14 - E

15 - A

16 - C

17 - E

18 - D

19- A

20 —C

21 - D

22 - A

23 - E

24 - D

25 - E

26 - A

27 - B

28 - A

29 - D

30 - C

Bruno Villar - Matemática e Raciocínio Lógico Quantitativo - Ano 2010

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