Book Buku Guru Matematika Kelas XI Marten

hitam

•

orange

(3 x − 2)3

 3 x − 2  lim =  lim  3 x →∞ (3 − 4 x )  x→∞ 3 − 4 x 

3

3

1   3 x 2   −     3 x − 2 x x x =  lim ×  =  lim  1 4 x →∞ 3 − 4 x x →∞ 3 x     − x    x x 

3

3

2   3 −    3 − 0 3 x =  lim  =  x →∞ 3 0 − 4     −4  x  3

27  3  =  =− 64  −4  Guru memberikan pertanyaan kepada siswa, bagaimana jika x → ∞ disubstitusi langsung

pada

bentuk

–

∞

∞.

)

(

lim 2 x − 1 − 4 x 2 − 6 x − 5 ?

Siswa

akan

memperoleh

Guru menginformasikan bahwa untuk menyelesaikan bentuk

lim ( f ( x) − g ( x) ) = ∞ − ∞ , siswa diminta untuk mengamati terlebih dahulu

x →∞

mengenai Contoh Soal 5.7, kemudian setiap langkah dalam penyelesaian tersebut didiskusikan bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Berdasarkan Contoh Soal 5.7 guru menginformasikan bahwa prinsip utama

∞ agar limitnya dapat diselesaikan adalah ∞

mengubah bentuk ∞ – ∞ ke bentuk

dengan menggunakan bentuk sekawan, yang memanfaatkan perkalian istimewa yaitu (a + b)(a – b) = a2 – b2. Dengan menggunakan bentuk kawan tercapai dua tujuan sekaligus, yaitu meniadakan tanda akar kuadrat pada pembilang sehingga kita bisa menyederhanakan suku-suku sejenis pada pembilang dan sekaligus mengubah bentuk

∞ – ∞

menjadi bentuk

∞ yang dapat diselesaikan. ∞

Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai cara menyelesaikan limit fungsi yang berbentuk ∞ – ∞ yang belum mereka pahami dengan baik. Setelah siswa memahami cara menentukan nilai limit dengan menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan konsep tersebut, misalnya Hitunglah nilai limit berikut ini.

• •

lim

( x

lim

(

x →∞

x →∞

2

+x−x

x + 1 −

x

)

•

)

•

( x + x − x − x ) lim ( x ( x − 2) − x − 2 ) lim

2

2

x →∞

2

x →∞

Petunjuk Khusus

141

141

hitam

orange

Kunci jawaban:

•

lim

( x

lim

(

x →∞

• • •

x →∞

2

)

+x−x =

x + 1 −

1 2

)

x =0

( x + x − x − x ) = 1 lim ( x ( x − 2) − x − 2 ) = −1 lim

2

2

x →∞

2

x →∞

(3) Pertemuan ke-7 Guru mengajukan kembali pertanyaan menarik yang telah disampaikan pada pertemuan-pertemuan sebelumnya. Pertanyaan menantang:

Jumlah penduduk di sebuah kota kecil t tahun dari sekarang ditaksir dan dapat dinyatakan oleh fungsi berikut. N = 30.000 +

10.000 (t + 2) 2

Berapa perkiraan jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat lama di masa depan? Penyelesaian masalah tersebut seperti pada Contoh Soal 5.8 . Dalam jangka waktu yang sangat lama dari sekarang, bisa dianggap t ⟶ ∞. Dengan demikian jumlah penduduk dalam jangka waktu lama adalah



10.000 



(t + 2) 2 

N = lim 30.000 + t →∞

⇔

= 30.000 +

10.000

⇔

= 30.000 +

10.000



∞2 ∞

= 30.000

Jadi, jumlah penduduk kota dalam jangka waktu yang sangat lama adalah 30.000 jiwa. Berikanlah siswa waktu untuk memahami penyelesaian masalah tersebut. Kemudian guru meminta siswa untuk berdiskusi bersama teman sebangkunya untuk mengamati dan memahami Contoh Soal 5.8b. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang dilakukan siswa. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian Contoh Soal 5.8b di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang penjelasan yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Kemudian guru menginformasikan bahwa dalam konsep limit fungsi kita harus konsisten dalam menggunakan simbol-simbol limit yang berlaku, misalnya

notasi tak hingga (∞) dan notasi negatif tak hingga (–∞). Dalam penyelesaian limit fungsi ada berbagai cara yang digunakan, seperti menggunakan rumus 142

Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI

142

hitam

orange

limit fungsi trigonometri, substitusi langsung, atau cara singkat. Rasa ingin tahu dalam diri akan mendorong kita untuk mengerjakan soal menggunakan berbagai cara. Dengan kebiasaan mengerjakan soal dengan berbagai cara itu, kita akan mengetahui cara mudah atau cara tercepat untuk menyelesaikan soalsoal tersebut. b)

Penutup

Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 5 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 5.4 sampai dengan Latihan 5.8 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 2 pada buku siswa. 3)

Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -

4)

Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama

Widya halaman 210-223. b)

Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).

3. Materi ke-3: Ulangan Harian (2 JP) I.

1.

Pilihan Ganda

lim

x → 0

1 − cos x sin x

2

= ....

3.

A. 0 1 B. 4 C. 2.

D.

1

E.

2

Nilai dari

1 2 sin x 2 Nilai lim x →0 x tan x

4.

2

= ....

A. –2

D.

B. –1 1 C. – 2

E.

x →−2

sin 2 ( x + 2 )

A. –4 B. –3 C. 0

1 2

( x − 4 ) tan ( x + 2 ) lim

lim

x →0

A.

1 2

x tan 5 x

cos 2 x − cos 7 x 1 9

1 B. – 9

1

C.

D. E.

4 ∞

D.

2 – 9

E.

0

= ....

= ....

2 9 Petunjuk Khusus

143

143

hitam

5.

lim x →

π 4

 x − π  sin  3 x − 3 π   4   4     = .... 2 (1 − sin 2 x )

A. 0 B. – C. 6.

3

E.

2

8.

lim x →

π 2

2

1 − cos 2 x

 

x 2 cot  x −

π  3 

4 ( x − π ) cos 2 x

π ( π − 2 x ) tan  x − π   2 

A. –2 B. –1 C. 0

3 – 4 1

9.

4

lim

x → y

3

lim

x → 0

D.

orange

D. E. tan x − tan y

 x  1 − y  (1 + tan x tan y )  

A. –1 B. 1 C. 0

= ....

A. 1

D.

– 3

B. 0

E.

−

10. lim

3

C. – 2

( x + x − 2 ) sin ( x − 1)

1 + tan x tan y

x 4

A. 0

= ....

tan x − tan y

1 − cos 2 x − cos x sin 2 x

x →0

1 2

D. y E. – y

Rumus: tan ( x − y ) =

3

= ....

= ....

D.

1

E.

–1

2

7.

lim

x 2

x →1

− 2x + 1

= ....

A. 4

D.

B. 3

E.

B.

1 – 4 1 – 2

C.

1 4 1 2

C. 0

E

Materi Pengayaan

Siswa yang cepat dalam menguasai materi pembelajaran tentunya akan memiliki kelebihan waktu yang harus dimanfaatkan siswa. Jika kelebihan waktu tersebut tidak dimanfaatkan dengan kegiatan-kegiatan positif, maka dapat menimbulkan hal-hal negatif yang dapat mengganggu siswa lain yang sedang konsentrasi dan berpartisipasi dalam kegiatan pembelajaran. Sehingga guru dapat memberikan pengayaan yang berupa soal maupun materi. Contoh soal pengayaan:

1.

2.

144

Hitunglah lim

x →0

x(cos 2 6 x − 1)

sin 3 x ⋅ tan 2 2 x

Tentukanlah nilai lim t →2

.

(t 2 − 5t + 6)sin(t − 2) (t 2 − t − 2)2

.


144

hitam

3.

Tunjukkan apakah nilai dari lim x →1

Kunci jawaban:

1.

lim

x →0

x(cos 2 6 x − 1)

sin 3 x ⋅ tan 2 2 x

lim

3.

Nilai dari lim

(t 2 − t − 2) 2

t → 2

x →1

F

x − 1

ada? Jika ada, tentukan nilainya.

= −3

(t 2 − 5t + 6)sin(t − 2)

2.

x − 1

orange

x − 1 x − 1

=−

1 9

tidak ada.

Remedial

Jika dari hasil evaluasi masih terdapat siswa yang belum memenuhi standar minimal, maka guru melaksanakan kegiatan remedial. Kegiatan ini diawali dengan remedial teaching, yaitu guru memberi pengulangan untuk materi-materi yang kompetensinya belum tercapai. Setelah itu guru melaksanakan evaluasi kembali dengan memberikan sejumlah soal yang berkaitan dengan bahan ajar yang diremedi. Contoh soal remedial:

1. 2. 3.

Hitunglah nilai limit-limit berikut ini. 1 − sin x 1 + cos 2 x lim 4. lim x →0 1 + cos 2 x x →0 1 + 2 cos x lim

1 − cos x

x →0

lim

x →0

lim

5.

sin x

2 x 2 + 5 x − 3

x →∞

x 2 + 7 x + 6

mx

sin nx

Penyelesaian:

1.

2.

lim

1 + cos 2 x

x →0 1

lim

x →0

+ 2 cos x

1 − cos x sin x

=

1 + cos 2(0) 1 + 2 cos(0)

= lim = lim

1+ 2

=

2 3

1 + cos x

1 − cos x 2

+ cos x)

sin 2 x

= lim

x →0 sin x (1

x →0 1

×

sin x

x →0 sin x (1

=

1+1

1 − cos x 1 + cos x

x →0

= lim

=

+ cos x)

sin x

+ cos x

sin 0 1 + cos 0

=0 Petunjuk Khusus

145

145

hitam

3.

lim

x →0

mx

sin nx

= lim

mx

= lim

mx

= lim

nx

x →0 sin nx

x →0 sin nx

x →0

= 1× lim

4.

1 − sin x

x →0 1

+ cos 2 x

sin nx m m n

=

=

× × ×

mn mn mn mn m n

n

1 − sin 0 1 + cos 2(0) 2 x 2

2 x + 5 x − 3 2

5.

lim

x →∞

x 2 + 7 x + 6

2

= lim x2 x →∞

x

x 2

=

+ +

1− 0 1+1 5 x 2

x 7 x

x 2

− +

=

1 2

3 x2 6 x2

5 3 − 2 x x = lim 7 6 x →∞ 1+ + 2 x x 2+0−0 = =2 1+ 0 + 0 2+

G

Penilaian

Untuk menguji pemahaman siswa atas konsep Bab V ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.

Suplemen uji mandiri, untuk melatih siswa mengerjakan soal secara mandiri. Terdiri atas soal-soal pilihan ganda dan soal-soal uraian.

2.

Kegiatan diskusi, bertujuan untuk memperoleh pemahaman yang lebih baik mengenai suatu masalah atau memecahkannya secara bersama-sama. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 27.

3.

Tugas proyek, untuk menilai keterampilan siswa dalam hal kemampuan merencanakan, merancang, dan menyelesaikan pemecahan masalah yang relevan dalam kehidupan seharihari secara berkelompok dan menerapkan hasil pembelajaran. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 31.

4.

Tugas portofolio, berupa tugas membuat rangkuman dari semua kegiatan yang telah dikerjakan dalam satu bab dan mencari literatur-literatur untuk mengetahui dan mengembangkan pengetahuan. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 33.

146


146

orange

hitam

H

orange

Penutup

Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan konsep limit fungsi, disajikan sebagai berikut. 1.

lim f ( x) = L artinya jika x mendekati a, tetapi tidak sama dengan a, maka nilai f ( x)

x → a

mendekati L 2.

Sifat-sifat limit a. b. c. d. e. f.

g. h. 3.

lim x n = a n

x →a

lim c ⋅ f ( x) = c ⋅ lim f ( x)

x →a

x→a

lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x)

x →a

x →a

x →a

lim [ f ( x) ⋅ g ( x) ] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x)

x →a

lim

x→a

f ( x)

x →a g ( x )

=

lim g ( x )

, dengan lim g ( x ) ≠ 0 x → a

x →a n

lim [ f ( x) ]

x →a

lim f ( x)

x →a

x →a

= lim f ( x)   x→a 

n

lim n f ( x) = n lim f ( x), dengan lim f ( x) > 0 dan n genap

x →a

x →a

x → a

Rumus dasar limit fungsi trigonometri a. b.

4.

lim c = c, dengan c adalah konstanta

x →a

lim

x →0

lim

x →0

sin x x x

sin x

=1

c.

=1

d.

lim

x →0

lim

x →0

tan x x x

tan x

=1 =1

Teorema limit lim

1

x →∞ x n

= 0 dan lim

x →−∞

1 xn

= 0, dengan n ∈ A

Petunjuk Khusus

147

147

hitam

148


148

orange

hitam

orange

Bab VI Turunan Fungsi Trigonometri

Sumber: http://img.directindustry.de/images_di/photo-g/induktoren-elektronik-58872-2827213.jpg

diunduh pada tanggal 19 Maret 2014 pukul 09:03 WIB.

Induktor adalah salah satu komponen elektronika dasar yang digunakan dalam rangkaian listrik dimana arus dan tegangannya berubah-ubah. Hal ini dikarenakan kemampuan induktor dalam memproses arus bolak-balik. Tegangan yang melalui induktor ( V L) tergantung pada laju  dI  perubahan arus listrik  . Persamaan arus ( I ) merupakan fungsi trigonometri.  dt  Dapatkah Anda menyebutkan fungsi lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi trigonometri? Agar Anda dapat mengetahui fungsi yang lainnya serta dapat menghubungkan dengan turunan fungsi trigonometri, mari pelajari bab ini dengan antusias dan menarik.

Petunjuk Khusus

149

149

hitam

A

orange

Pengantar

Secara esensial, pembelajaran pada topik ini mengenalkan siswa mengenai konsep turunan fungsi trigonometri, turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b, turunan fungsi parameter, turunan persamaan parameter, titik stasioner, nilai optimum A sin x + B cos x, dan aplikasi turunan fungsi trigonometri.

B

KI dan KD pada Materi Pokok Turunan Fungsi Trigonometri Kompetensi Inti

Kompetensi Dasar

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

2.1 Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan 2.2 Menunjukkan kemampuan berkolaborasi, percaya diri, tangguh, kemampuan bekerja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah.

3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural

3.11 Mendeskripsikan konsep turunan fungsi trigonometri untuk menurunkan sifat-sifatnya serta menggunakannya dalam memecahkan masalah. 3.12 Menganalisis konsep dan sifat turunan fungsi trigonometri dan menerapkannya untuk menentukan titik stasioner (titik maksimum, titik minimum, dan titik belok).

pada bidang kajian yang spesik sesuai denganbakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

150

4.9 Merencanakan dan melaksanakan strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang turunan fungsi trigonometri. 4.10 Menyajikan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri.

Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI

150

hitam

C

orange

Alokasi Waktu

Topik materi ke-

D

Materi

Alokasi waktu

1

Konsep turunan fungsi trigonometri

10 JP

2

Titik-titik stasioner

4 JP

3

Ulangan harian

2 JP

Materi

1. Materi ke-1: Konsep Turunan Fungsi Trigonometri (10 JP) a.

Indikator 1)

Mendeskripsikan konsep turunan pada fungsi trigonometri.

2)

Menggunakan konsep turunan fungsi trigonometri dalam memecahkan masalah matematika.

3)

Menentukan turunan dari fungsi implisit.

4)

Mendeskripsikan turunan pada persamaan parameter.

5)

Mengaplikasikan konsep turunan fungsi trigonometri dalam memecahkan masalah kehidupan nyata.

b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-1 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai turunan dari keenam fungsi dasar trigonometri, turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b, turunan fungsi implisit, turunan dari persamaan parameter, serta aplikasi turunan fungsi trigonometri.

c.

Tujuan Pembelajaran 1)

Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep turunan pada fungsi trigonometri. b) Siswa dapat menggunakan konsep turunan fungsi trigonometri dalam memecahkan masalah matematika. c) Siswa dapat menentukan turunan dari fungsi implisit. d) Siswa dapat mendeskripsikan turunan pada persamaan parameter. e) Siswa dapat mengaplikasikan konsep turunan fungsi trigonometri dalam memecahkan masalah kehidupan nyata.

2)

Kegiatan pembelajaran

a)

Konsep Turunan Fungsi Trigonometri

Materi pada subbab konsep turunan fungsi trigonometri dibagi menjadi 5 pertemuan, yaitu pertemuan ke-1 menjelaskan tentang turunan dari keenam fungsi dasar trigonometri; pertemuan ke-2 menjelaskan tentang turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b; pertemuan ke-3 menjelaskan tentang turunan

Petunjuk Khusus

151

151

hitam

orange

fungsi implisit; pertemuan ke-4 menjelaskan tentang turunan dari persamaan parameter; pertemuan ke-5 menjelaskan tentang aplikasi turunan fungsi trigonometri. (1) Pertemuan ke-1 Sebelum siswa memulai mempelajari bab ini, sebaiknya siswa mengerjakan terlebih dahulu uji kemampuan prasyarat bab VI pada buku latihannya. Jika siswa dapat mengerjakannya dengan baik dan tanpa kesulitan, maka akan memudahkan siswa untuk mempelajari dalam bab ini. Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat mendemonstrasikan langkah-langkah untuk menentukan turunan dari fungsi f ( x) = sin x. • Langkah 1: Menentukan f ( x + h) • Langkah 2: Menentukan selisih f ( x + h) – f ( x) f ( x + h) − f ( x)

•

Langkah 3: Menentukan

•

Langkah 4: Menyederhanakan f ( x

h

menyebabkan masalah limit

•

0 0

+ h) – f ( x) sehingga faktor h yang

bisa disederhanakan

Langkah 5: Mensubstitusi nilai h = 0 untuk memperoleh hasil akhir

Sehingga turunan dari f ( x) = sin x adalah f '( x) = cos x, dua notasi lainnya df d (sin x ) adalah: = cos x atau = cos x . Setelah memahami langkah-langkah dx dx menentukan turunan dari fungsi f ( x) = sin x, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 6.1 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang dilakukan oleh siswa. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah untuk menentukan turunan fungsi f ( x) = cos x di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Kesimpulan yang diharapkan dari Kegiatan 6.1 adalah sebagai berikut.

•

Turunan dari f ( x) = cos x adalah f '( x) = –sin x, dua notasi lainnya adalah: df dx

= − sin x atau

d (cos x ) dx

= − sin x

Kemudian guru mendemonstrasikan langkah-langkah menentukan turunan dari fungsi f ( x) = tan x. Sehingga diperoleh turunan dari f ( x) = tan x adalah f '( x) df d (tan x) = sec2 x, dua notasi lainnya adalah: = sec2 x atau = sec2 x . Siswa dx dx diminta untuk mengerjakan Kegiatan 6.2 secara mandiri. Pada Kegiatan 6.2 siswa diharapkan mampu menentukan turunan dari f ( x) = cot x, f ( x) = sec x, dan

152


152

hitam

orange

f ( x) = cosec x. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang dilakukan oleh siswa.

Kesimpulan yang diharapkan dari Kegiatan 6.2 adalah sebagai berikut.

•

Turunan dari f ( x) = cot x adalah f '( x) = –cosec2 x, dua notasi lainnya adalah: df dx

= − cosec x atau

d (cot x)

= − cosec x dx dari f ( x) = sec x adalah f '( x) = sec x tan x, dua notasi lainnya

•

Turunan

•

adalah: df = sec x tan x atau d (sec x ) = sec x tan x dx dx Turunan dari f ( x) = cosec x adalah f '( x) = –cosec x cot x, dua notasi lainnya df d (cosec x) adalah: = − cosec x cot x atau = −cosec x cot x dx dx

Agar siswa lebih jelas memahami mengenai turunan fungsi dasar trigonometri, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.1 dan 6.2. Pada Contoh Soal 6.1 siswa dapat memahami mengenai turunan operasi aljabar fungsi trigonometri. Sedangkan Contoh Soal 6.2 siswa dapat memahami turunan dari operasi fungsi trigonometri untuk sudut tertentu. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran kali ini, guru menginformasikan bahwa apabila terdapat contoh atau rumus pada turunan fungsi trigonometri yang tidak dimengerti, kita dapat meminta bantuan teman untuk membantu memahami penjelasan tersebut. Sama halnya ketika ada teman yang meminta bantuan, sebaiknya kita membantu untuk memahamkannya. Oleh karena itu, akan terjalin suatu kerja sama dalam segala hal, baik dalam mempelajari matematika maupun dalam mengerjakan tugas kelompok. (2) Pertemuan ke-2

Guru mengingatkan kembali mengenai denisi aturan rantai yang telah dipelajari siswa dalam matematika wajib. • Jika y bisa dinyatakan dalam u dan u bisa dinyatakan dalam x, maka turunan y terhadap x, bisa dinyatakan dengan aturan rantai: dy dx

=

dy du

⋅

du dx

Guru mendemonstrasikan terlebih dahulu mengenai cara menurunkan y = sin (ax + b), dengan a dan b adalah konstanta. Sehingga diperoleh turunan dari y = sin (ax + b) adalah y' = a cos (ax + b). Agar mampu menggunakan aturan rantai untuk turunan fungsi trigonometri dengan sudut ax + b, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 6.3 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang dilakukan oleh siswa. Berdasarkan Kegiatan 6.3 diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Petunjuk Khusus

153

153

hitam

• • • • • •

orange

Jika a dan b adalah konstanta, maka: y = sin (ax + b) ⟹ y' = a cos (ax + b) y = cos (ax + b) ⟹ y' = – a sin (ax + b) y = tan (ax + b) ⟹ y' = a sec2 (ax + b) y = cot (ax + b) ⟹ y' = – a cosec2 (ax + b) y = sec (ax + b) ⟹ y' = a sec (ax + b) tan (ax + b) y = cosec (ax + b) ⟹ y' = – a cosec (ax + b) cot (ax + b)

Agar siswa lebih jelas memahami mengenai cara menentukan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.3a, b , dan c, sedangkan untuk Contoh Soal 6.3 d, e, dan f didiskusikan oleh siswa bersama teman sebangkunya. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian soal d, e, dan f di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b, misalnya Tentukanlah turunan dari fungsi berikut ini. • y

 π  = sin  − 5 x   2 

• y

= − cos ( 7 x + π )

• y

 π  = tan  − 10 x   6 

 π x  −   3 5   3 x π  • y = sec  +   2 6   π x  • y = cosec  +   6 11  •

y = cot 

Kunci jawaban:

 π   π  = sin  − 5 x  ⇒ y ' = −5 cos  − 5 x   2   2  • y = − cos ( 7 x + π ) ⇒ y ' = 7 sin ( 7 x + π ) • y

 π   π  = tan  − 10 x  ⇒ y ' = −10 sec2  − 10 x   6   6  1  π x  2  π x  • y = cot  −  ⇒ y ' = cosec  −  5  3 5   3 5  3  3 x π   3 x π   3x π  • y = sec  +  ⇒ y ' = sec  +  tan  +  2  2 6   2 6   2 6  1  π x   π x   π x  • y = cosec  + ⇒ y ' = − cossec  +  cot  +   11  6 11   6 11   6 11  • y

154


154

hitam

orange

(3) Pertemuan ke-3 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memperlihatkan beberapa bentuk fungsi eksplisit, misalnya y = 2 x2 + 3 x – 5 dan y = 3 sin 2 x, dan bentuk fungsi implisit, misalnya x2 + y2 = 4 dan 9 x2 + 4 y2 + 54 x – 8 y + 49 = 0. Untuk menurunkan dari suatu bentuk implisit yang diberikan, dapat dy menggunakan aturan rantai. Teknik untuk memperoleh dari bentuk implisit dx disebut turunan fungsi implisit. Agar siswa lebih jelas memahami mengenai turunan fungsi implisit, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.4a dan b. Pada Contoh Soal 6.1a dan b siswa dapat memahami langkah-langkah untuk menurunkan fungsi implisit. Siswa diminta untuk mendiskusikan Contoh Soal 6.4c dan d bersama teman sebangkunya. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah menentukan turunan implisit pada Contoh Soal 6.4c dan d di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi implisit, misalnya dy Tentukan dx dalam x dan y untuk setiap fungsi implisit berikut ini. • y – 4 x + 2 xy = 5 • y – 4 x + 2 xy2 = –3 • y – 4 x + 2 x2 y2 = –3 Kunci jawaban:

•

y  4 x + 2 xy = 5 ⇒

dy dx

=

−6 (1 + 2 x) 2 2

•

y  4 x  2 xy 2 3 ⇒

dy

•

y − 4 x + 2 x 2 y 2 = −3 ⇒

dy

dx

dx



=

4  2 y 2 

2 y 2  2 y  4 4 − 4 xy 2 1 + 4 x 2 y

(4) Pertemuan ke-4 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat menginformasikan bahwa pada bab II siswa telah mempelajari persamaan parabola y2 = 4 px dapat dipenuhi oleh persamaan x = pt 2 dan y = 2 pt , dengan t merupakan parameternya. Oleh karena itu, persamaan x = pt 2 dan y = 2 pt disebut persamaan parameter dari y2 = 4 px. Jika diminta

Petunjuk Khusus

155

155

hitam

menentukan

orange

dy

dari persamaan parameter x = x(t ) dan y = y(t ), maka dengan dx menggunakan aturan rantai diperoleh dy dx

dy dt

=

⋅

dt dx

atau

dy dx

dy

=

dt dx

dt

Agar siswa lebih jelas memahami mengenai turunan fungsi parameter, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.4a . Pada Contoh Soal 6.4a siswa dapat memahami langkah-langkah untuk menurunkan fungsi parameter. Siswa diminta untuk mendiskusikan Contoh Soal 6.4b bersama teman sebangkunya. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah menentukan turunan parameter pada Contoh Soal 6.4b di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi parameter, misalnya Tentukan

dy

yang dinyatakan dalam t untuk fungsi-fungsi pada persamaan dx parameter berikut ini. • x = t 3 – t , y = 4 – t 2 • x = t 3, y = t 2 – t • x = 4t 2 – 4t , y = 1 – 4 t 2 Kunci jawaban:

dy

•

x  t 3  t , y  4  t 2 ⇒

•

x = t 3 , y = t 2 − t ⇒

•

x = 4t 2 − 4t , y = 1 − 4t 2 ⇒



2t

dx 3t 2 1 dy 2t − 1 dx

=

3t 2 dy dx

=

−2t 2t − 1

(5) Pertemuan ke-5 Guru menginformasikan bahwa turunan fungsi trigonometri banyak diterapkan dalam pemecahan masalah baik dalam masalah matematika atau masalah kehidupan nyata, seperti laju perubahan, kecepatan, percepatan, hingga gerak harmonik.

156


156

hitam

orange

Misalnya pada permasalahan laju perubahan y = f ( x) terhadap x adalah

dy

dx yang dinyatakan dalam x. Agar siswa lebih memahami mengenai penerapan

turunan fungsi trigonometri dalam laju perubahan, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.6. Guru memberikan siswa waktu untuk bertanya mengenai laju perubahan yang belum siswa pahami dengan baik. Guru menjelaskan bahwa masalah kedua adalah menentukan kecepatan dan percepatan gerak partikel jika fungsi perpindahannya x = x(t ) diketahui. Dalam pelajaran sika siswa telah mengenal bahwa jika fungsi perpindahan suatu partikel x = x(t ) diketahui, maka kecepatan v = v(t ) dan percepatan a = a(t ) dapat ditentukan dengan menggunakan turunan.

•

Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi perpindahan. Untuk perpindahan x = x(t ), maka Kecepatan: v =

•

dx dt

Percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan atau turunan kedua dari fungsi perpindahan. dv

d 2x

atau a = 2 dt dt Agar siswa lebih memahami mengenai penerapan turunan fungsi trigonometri dalam kecepatan dan percepatan, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.7. Guru memberikan siswa waktu untuk bertanya mengenai kecepatan atau percepatan yang belum siswa pahami dengan baik. Percepatan: a =

Agar dapat mengaplikasikan konsep turunan fungsi trigonometri tersebut, siswa diminta untuk mengerjakan Latihan 6.7 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang dikerjakan siswa. Untuk mengakhiri pembelajaran kali ini, guru dapat memberikan info

mengenai tokoh matematika yang bernama Gottfried Wilhelm Leibniz. Guru menjelaskan bahwa Leibniz adalah matematikawan yang sangat berpengaruh di dunia kematematikaan. Selama menggeluti ilmu matematika, ia tidak pernah menyerah dan terus berusaha untuk menemukan dan menciptakan sesuatu yang baru yang berkaitan dengan matematika. Karena kegigihannya ilmu matematika dapat berkembang hingga sejauh ini. b)

Penutup

Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 6 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 6.1 sampai dengan Latihan 6.7 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 20 pada buku siswa. Petunjuk Khusus

157

157

hitam

3)

Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -

4)




2. Materi ke-2: Titik-Titik Stasioner (4 JP) a.

Indikator 1) 2) 3) 4) 5)

Mendeskripsikan konsep titik stasioner. Menentukan jenis titik stasioner. Menentukan titik optimum. Mendeskripsikan konsep nilai ekstrim. Menerapkan konsep titik stasioner.

b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-2 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai konsep titik stasioner, menentukan titik stasioner dan jenisnya, nilai maksimum dan minimum f ( x) = A sin x + B cos x, serta aplikasi titik stasioner.

c.


Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep titik stasioner b) Siswa dapat menentukan jenis titik stasioner c) Siswa dapat menentukan titik optimum d) Siswa dapat mendeskripsikan konsep nilai ekstrim e) Siswa dapat menerapkan konsep titik stasioner

2)


a)

Titik-titik Stasioner

Materi pada subbab titik-titik stasioner dibagi menjadi 2 pertemuan, yaitu pertemuan ke-6 menjelaskan tentang menentukan titik stasioner dan jenisnya serta nilai maksimum dan minimum A sin x + B cos x; pertemuan ke-7 menjelaskan tentang aplikasi titik stasioner. (1) Pertemuan ke-6 Guru menginformasikan Gambar 6.2 pada buku siswa mengenai cara menentukan titik stasioner dengan metode uji turunan pertama. Titik stasioner terjadi jika dipenuhi f '( x) = 0, yaitu titik dimana gradien kurva sama dengan nol. Metode 1: Uji turunan pertama pada kedua sisi di sebelah titik stasioner.

•

Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya terjadi perubahan tanda gradien:

158


158

orange

hitam

orange

− dari f '( x) > 0 menjadi f '( x) < 0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik maksimum − dari f '( x) < 0 menjadi f '( x) > 0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik minimum

•

Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya tidak terjadi perubahan tanda gradien: − keduanya f '( x) > 0 atau keduanya f '( x) < 0, maka jenis titik stasioner adalah titik belok.

Guru memberikan waktu kepada siswa untuk memahami mengenai titik stasioner. Selanjutnya guru menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.8. Pada Contoh Soal 6.8 siswa dapat memahami mengaplikasikan metode 1 untuk menentukan jenis titik stasioner. Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya mengenai materi yang belum dipahami oleh siswa. Agar siswa lebih memahami mengenai pengaplikasian metode 1 dalam memecahkan masalah matematika, guru meminta siswa untuk mengerjakan Kegiatan 6.5 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Selanjutnya guru menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.9. Pada Contoh Soal 6.9 siswa dapat mengamati dan memahami cara menentukan jenis titik stasioner dengan menggunakan metode 2. Kemudian pada saat penjelasan mengenai cara menentukan jenis titik stasioner menggunakan metode 2, guru menginformasikan mengenai teorema nilai balik. Teorema nilai balik

Misalkan y = f ( x) terdenisi pada selang a < x < b yang memuat c, f '( x) dan f ''( x) ada untuk setiap titik pada selang a < x < b. Misalkan juga f '(c) = 0, yang berarti x = c adalah absis titik stasioner. • Jika f ''(c) < 0 atau negatif, maka f (c) adalah nilai balik maksimum. • Jika f ''(c) > 0 atau positif, maka f (c) adalah nilai balik minimum. Guru meminta siswa bersama teman sebangkunya untuk mendiskusikan mengenai nilai maksimum dan minimum A sin x + B cos x. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang dilakukan oleh siswa. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan minimum di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Guru menyimpulkan nilai ekstrim untuk y = A sin x + B cos x adalah:

• •

Nilai minimum: ymin = − Nilai maksimum: ymaks =

A2 + B 2

A2 + B 2 Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru dapat menjelaskan mengenai kolom Ayo Kerjakan Soal Seleksi. Pada kolom ini siswa diharapkan mampu memahami soal-soal yang tidak rutin yang merupakan soal untuk masuk ke universitas. Petunjuk Khusus

159

159

hitam

orange

(2) Pertemuan ke-7 Guru menginformasikan bahwa aplikasi titik stasioner yang paling sering muncul tentulah untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum dari suatu besaran yang bisa dimodelkan dengan fungsi trigonometri. Nilai yang dimaksimumkan atau diminimumkan bisa besaran panjang, besaran luas, atau besaran lainnya. Guru menjelaskan menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.10 dan 6.11. Pada Contoh Soal 6.10 siswa dapat mengamati dan memahami salah satu contoh aplikasi titik stasioner pada masalah minimum dalam kehidupan seharihari. Sedangkan pada Contoh Soal 6.11 siswa dapat mengamati dan memahami salah satu contoh aplikasi titik stasioner pada masalah maksimum. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi masalah mengenai aplikasi titik stasioner, siswa diberikan waktu untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Agar siswa lebih paham akan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi titik stasioner, siswa mengerjakan Latihan 6.11 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa kerjakan. Guru kembali menginformasikan bahwa kita semua sudah mengetahui bahwa matematika lebih mudah dipahami ketika ada penerapan dalam kehidupan nyatanya. Sehingga secara tidak langsung matematika mengajarkan kita untuk bersikap realistis baik dalam menghitung konsep matematika ataupun dalam kehidupan sehari-hari. Setelah siswa memahami cara memecahkan masalah menggunakan konsep aplikasi titik stasioner, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi titik stasioner, misalnya Biaya proyek sebuah perusahaan per harinya dinyatakan oleh fungsi 1.200 − 60 (dalam juta rupiah). Tentukan total biaya produksi f ( x ) = 3 x + x selama x hari agar diperoleh biaya minimum? Penyelesaian:

Biaya Proyek per hari

= 3 x +

1.200

 

Biaya Proyek per x hari =  3 x +

= 3+

− 60

x 1.200 x

1.200 2

−

 1 − 60  ×  x 60

x x = 3 x ² − 60 x + 1.200

Agar biaya minimum, maka nilai stationer = 0 atau f '( x) = 0. f '( x) = 0

6 x – 60 = 0 6 x = 60 x = 10 hari 160


160

hitam

orange

Biaya minimum per hari

= 3 x +

1.200

− 60 x 1.200

= 3(10) +

10 = 30 + 120 − 60

− 60

= 90 Sehingga total biaya minimum proyek selama 10 hari adalah = 90 juta rupiah × 10 hari = 900 juta rupiah b)

Penutup

Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 4 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 6.8 sampai dengan Latihan 6.11 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 12 pada buku siswa. 3)

4)

Alat, bahan, dan media

a)

Alat dan bahan: kertas, alat tulis

b)

Media: -





Pilihan Ganda

1.

Turunan pertama dari f ( x) = sin2 (2 x – 3) adalah .... A. 2 cos (4 x – 6) B. 2 sin (4 x – 6) C. –2 cos (4 x – 6) D. –2 sin (4 x – 6) E. 4 sin (2 x – 3)

2.

D. –6 sin2 (5 – 4 x) sin (10 – 8 x) E. 6 cos2 (5 – 4 x) sin (10 – 8 x) 3.

Turunan pertama fungsi f ( x) = cos 3 (5 – 4 x) adalah = .... A. –12 cos2 (5 – 4 x) sin (5 – 4 x) B. 12 cos2 (5 – 4 x) sin (5 – 4 x) C. 12 sin2 (5 – 4 x) sin (5 – 4 x)

æ 3ö dy Jika y = cos çç ÷÷÷ , maka = .... çè x ø dx 3 3 3 sin A. -3 sin D. 2 x x x 3

3

x

x

B.

-

C.

- sin

sin 2

3

3

x

x

E.

3 x

sin

Petunjuk Khusus

161

3 x

161

hitam

4.

5.

Turunan dari tan (cos x) terhadap x adalah .... A. –sec2 (cos x) sin x B. sec2 (cos x) sin x C. sec2 (sin x) cos x D. sin x E. –sin x Jika y = cos x , maka A. –|sin x|

dy dx

orange

2

æ x ö÷ D. çç çè sin x ÷÷ø E.

8.

sin 2 x 2 | cos x | sin 2 x

D. -

9.

2 | cos x |

7.

Jika f ( x) = f '( x) g '( x)

D. E.

sin x x

dan f '( x) adalah

1 1 Jika f ( x) = sin 2 x + x dan g ( x) = x f '( x), 4 2

æ πö 2 C. sin x + 2 sin ççç x - ÷÷÷ sin x è 2ø

2 sin x –2 cos x

dan g ( x) =

πö

B. sin2 x – x sin 2

x

sin x

D. sin2 x + x sin 2 x

æ πö E. sin 2 x + çç x - ÷÷÷ sin 2 x çè 2ø , maka

10. Jika

f ( x)

=

a

tan

x

+

bx,

π π f 'çç ÷÷ = 3, dan f 'çç ÷÷ = 9, maka a + b = çè 4 ÷ø çè 3 ÷ø .... A. 0 D. 2 B. 1 E. π æ ö

= .... 2

æ sin x ö÷ A. -ççç ÷ è x ÷ø

2

æ x ö÷ B. -ççç ÷ è sin x ÷ø

C.

æ sin x ö÷2 C. çç çè x ÷÷ø

162

sin x

æ

ü æ 1ö ï 'çç x + ÷÷÷ - f '( x)ï ý = .... çè ï hø ï þ

A. sin 2 x B. –cos 2 x C. 2 cos 2 x

sin x + cos x

2 A. sin x - ççç x - ÷÷÷ sin 2 x è 2ø

Diberikan f ( x) = sin2 x. Jika f'( x) menyatakan turunan pertama dari f ( x), maka

ìï lim h ï íf x ®∞ ï ïî

Jika f ( x) =

æ πö maka g '( x) = çç x - ÷÷÷ = .... çè 2ø

E. |sin x| 6.

x3

æ πö turunan f ( x), maka f 'çç ÷÷ = .... çè 2 ÷ø A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0

= ....

B. –sin x C.

x sin 2 x - 2 sin 2 x


162

π 2

æ ö

hitam

E

orange

Materi Pengayaan


1.

Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan melipat lebarnya atas menjadi 3 bagian yang sama, seperti terlihat pada gambar. Jika θ menyatakan besar sudut dinding talang dengan bidang alasnya, maka tentukan nilai θ agar volume air yang tertampung maksimum. 1

dy Diketahui turunan ln x adalah x . Nyatakan dalam bentuk dx untuk turunan pertama dari fungsi implisit

2.

10 cm

10 cm

θ

θ 10 cm

x3 + 5 ln xy – 3 xy – 1 = –4

Tentukan titik-titik kritis pada fungsi implisit y2 – 2 x2 y + 4 x3 + 20 x2.

3.

Kunci jawaban:

1.

Sudut θ = 60°

2.

dy

3.

( x, y) = (0, 0), (–2, 4), dan (5, 25)

F

− (3 x 2 + 5 x −1 − 3 y −1 ) = dx (5 y −1 + 3 xy −2 )

Remedial


Tentukan turunan dari: 1.

f ( x) = sin x + 2 cos x

2.

f ( x) = x sin x

3.

f ( x ) = sin x

3.

f '( x ) =

Kunci jawaban:

1.

f '( x) = cos x – 2 sin x

2.

f '( x) = sin x + x cos x

cos x 2 sin x

Petunjuk Khusus

163

163

hitam

G

orange

Penilaian

Untuk menguji pemahaman siswa atas konsep Bab VI ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.


2.


3.


4.


H

Penutup

Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan turunan fungsi trigonometri, disajikan sebagai berikut. 1.

Turunan fungsi dasar trigonometri a. b. c.

d (sin x ) dx d (cos x ) dx d (tan x) dx

= cos x

d.

= − sin x

e.

= sec2 x

f.

d (sec x )

dx d (cot x)

2.

Turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b.

Jika a dan b adalah konstanta, maka:

3.

= sec x tan x

dx d (cosec x)

dx

= −cosec x cot x

= −cosec2 x

a.

y = sin (ax + b) ⟹ y' = a cos (ax + b)

b.

y = cos (ax + b) ⟹ y' = – a sin (ax + b)

c.

y = tan (ax + b) ⟹ y' = a sec2 (ax + b)

d.

y = cot (ax + b) ⟹ y' = – a cosec2 (ax + b)

e.

y = sec (ax + b) ⟹ y' = a sec (ax + b) tan (ax + b)

f.

y = cosec (ax + b) ⟹ y' = – a cosec (ax + b) cot (ax + b)

Titik stasioner terjadi jika dipenuhi f ’( x) = 0, yaitu titik dimana gradien kurva sama dengan nol. Metode 1: Uji turunan pertama pada kedua sisi di sebelah titik stasioner. a.

164

Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya terjadi perubahan tanda gradien:


164

hitam

b.

orange

1)

dari f '( x) > 0 menjadi f '( x) < 0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik maksimum

2)

dari f '( x) < 0 menjadi f '( x) > 0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik minimum

Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya tidak terjadi perubahan tanda gradien: 1)

keduanya f '( x) > 0 atau keduanya f '( x) < 0, maka jenis titik stasioner adalah titik belok.

4.

Teorema nilai balik

Misalkan y = f ( x) terdenisi pada selang a < x < b yang memuat c, f '( x) dan f ''( x) ada untuk setiap titik pada selang a < x < b. Misalkan juga f '(c) = 0, yang berarti x = c adalah absis titik stasioner.

5.

a.

Jika f ''(c) < 0 atau negatif, maka f (c) adalah nilai balik maksimum.

b.

Jika f ''(c) > 0 atau positif, maka f (c) adalah nilai balik minimum.

Nilai ekstrim y = A sin x + B cos x. Untuk kurva y = A sin x + B cos x, dengan A dan B adalah konstanta, maka berlaku: Nilai minimum: ymin = − A2 + B 2 Nilai maksimum: ymaks =

A2 + B 2

Petunjuk Khusus

165

165

hitam

166


166

orange

hitam

orange

Bab VII Aplikasi Turunan Fungsi

Sumber: http://video.mit.edu/assets/img/channels/header/20120126204550.jpg

diunduh pada tanggal 18 Mei 2014 pukul 11:31 WIB.

Biaya produksi suatu jenis zat kimia, C ( g ), untuk memproduksi g gram zat kimia tersebut per 2 3

C ( g ) dalam dolar. Perusahaan hari dinyatakan oleh fungsi C ( g ) = 1.000 + 2 g + 3 g dengan bisa menjual zat kimia tersebut seharga $4 per gram. Berapa gramkah zat kimia tersebut seharga harus diproduksi per hari agar perusahaan bisa mencapai titik pulang-pokok ( break event point )? Dapatkah Anda menghitung berat zat kimia tersebut? Ingin tahu cara menghitungnya, ayo pelajarilah materi aplikasi turunan fungsi ini dengan gembira dan antusias.

Petunjuk Khusus

167

167

hitam

A

orange

Pengantar

Secara esensial, pembelajaran pada topik ini mengenalkan siswa mengenai konsep gradien dan persamaan garis singgung kurva, menaksir akar-akar persamaan aljabar dengan menggunakan rumus Newton-Raphson dan dengan menentukan nilai taksiran awal.

B

KI dan KD pada Materi Pokok Aplikasi Turunan Fungsi Kompetensi Inti

Kompetensi Dasar

1.

Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

1.1

Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

2.

Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

2.1

3.

Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural

3.13 Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dan garis singgung kurva dalam menaksir nilai fungsi dan nilai akar-akar persamaan aljabar.

Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan. 2.2 Menunjukkan kemampuan berkolaborasi, percaya diri, tangguh, kemampuan beker ja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah.

pada bidang kajian yang spesik sesuai denganbakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4.

168

4.11 Menyajikan data dari situasi nyata, memilih variabel, dan mengomunikasikannya dalam bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dan garis singgung kurva dalam menaksir nilai fungsi dan nilai akar-akar persamaan aljabar.

Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.


168

hitam

C

orange

Alokasi Waktu

Topik materi ke1 2 3

D

Materi Gradien dan persamaan garis singgung kurva Menaksir akar-akar persamaan aljabar Ulangan harian

Alokasi waktu 8 JP 6 JP 2 JP

Materi

1. Materi ke-1: Gradien dan Persamaan Garis Singgung Kurva (8 JP) a.

Indikator 1)

Mendeskripsikan konsep gradien dari suatu kurva.

2)

Menentukan persamaan garis singgung kurva.

3)

Menentukan persamaan garis normal.

4)

Menghitung sudut antara garis singgung kurva dengan sumbu simetri.

5)

Menentukan garis singgung fungsi trigonometri.

b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-1 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai gradien dan persamaan garis singgung kurva.

c.


Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep gradien dari suatu kurva. b) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung kurva. c) Siswa dapat menentukan persamaan garis normal. d) Siswa dapat menghitung sudut antara garis singgung kurva dengan sumbu simetri. e) Siswa dapat menentukan garis singgung fungsi trigonometri.

2)


a)

Gradien dan Persamaan Garis Singgung Kurva

Materi pada subbab konsep turunan fungsi trigonometri dibagi menjadi 2 pertemuan, yaitu pertemuan ke-1 menjelaskan tentang gradien suatu kurva; pertemuan ke-2 menjelaskan tentang persamaan garis singgung kurva. (1) Pertemuan ke-1 Sebelum siswa memulai mempelajari bab ini, sebaiknya siswa mengerjakan terlebih dahulu uji kemampuan prasyarat bab VII pada buku latihannya. Jika siswa dapat mengerjakannya dengan baik dan tanpa kesulitan, maka akan memudahkan siswa untuk mempelajari dalam bab ini.

∆ y Guru menginformasikan bahwa gradien suatu kurva adalah m = atau ∆ x ∆ y . Agar memahami mengenai gradien dari suatu kurva yang diperoleh m= ∆ x Petunjuk Khusus

169

169

hitam

dengan menurunkan persamaan, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 7.1 secara mandiri. uru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang dilakukan oleh siswa. • Gradien garis singgung kurva y = f ( x) di titik ( x1, f ( x1)) adalah m = f '( x1) Guru memberikan contoh soal mengenai cara menentukan gradien garis singgung dari suatu kurva, misalnya • Tentukan gradien garis singgung dari kurva y = x2 + x – 5 di titik (2, 1)

Penyelesaian:

y = x2 + x – 5 ⟹

dy dx

= 2 x + 1

 dy   = 2 x1 + 1 = 2(2) + 1 = 5 dx   x = 2

Gradien m = 

•

Tentukan gradien garis singgung dari kurva y = x3 + 2 di titik yang berordinat 3.

Penyelesaian: y = x3 + 2, y1 = 3, maka 3 = x13 + 2 ⟺ x13 = 1 ⟺ x1 = 1 dy y = x3 + 2 ⟹ = 3 x 2 dx  dy  Gradien m =   = 3 x12 = 3(1)2 = 3  dx  x =1

•

Tentukan gradien garis singgung dari kurva y = x2 – x – 2 yang memotong sumbu X positif di titik P .

Penyelesaian:

y = x2 – x – 2

Titik potong dengan sumbu X ( y = 0) x2 – x – 2 = 0

( x + 1)( x – 2) = 0 x1 = –1 atau x2 = 2

Dipilih x > 0, sehingga diperoleh P (2, 0)

y = x2 – x – 2 ⟹

dy dx

= 2 x − 1

 dy   = 2 x1 − 1 = 2(2) − 1 = 3 dx   x = 2

Gradien m = 

Setelah contoh soal disampaikan, berikan waktu kepada siswa untuk bertanya mengenai cara menentukan gradien garis singgung dari suatu kurva. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan gradien garis singgung dari suatu kurva, misalnya

170


170

orange

hitam

• • • •

orange

Tentukan gradien garis singgung dari: Kurva y = x2 + 3 x + 1 di titik (1, 5) Kurva y = x2 – 3 x + 2 di titik yang berabsis 2 Kurva y = x3 di titik yang berordinat 8 Kurva y = x2 – 2 x – 3 yang memotong sumbu X positif di titik Q

Kunci jawaban: • Gradien garis singgung kurva y = x2 + 3 x + 1 di titik (1, 5) adalah m = 5 • Gradien garis singgung kurva y = x2 – 3 x + 2 di titik yang berabsis 2 adalah m = 1 • Gradien garis singgung kurva y = x3 di titik yang berordinat 8 adalah m = 12 • Gradien garis singgung kurva y = x2 – 2 x – 3 yang memotong sumbu X positif di titik Q adalah m = 4

(2) Pertemuan ke-2 Pada awal pembelajaran guru menggambarkan Gambar 7.2 di buku siswa pada papan tulis. Y

g

y = f ( x) y1

O

A( x1, y1)

X

x1

Kemudian guru menginformasikan bahwa jika persamaan kurva y = f ( x) diberikan, maka gradien garis singgung g di titik singgung kurva A( x1, y1) bisa ditentukan dengan menggunakan persamaan m = f '( x1). Dengan diberikannya gradien m dari garis singgung g , yang melalui titik A( x1, y1), maka persamaan garis singgung g dapat ditentukan dengan persamaan: y – y1 = m( x – x1)

Berikan waktu kepada siswa untuk memahami bentuk persamaan garis singgung serta bertanya mengenai konsep persamaan garis singgung. Selanjutnya siswa diminta untuk mengamati dan memahami yang terdapat pada Contoh Soal 7.1 dan 7.2 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Pada Contoh Soal 7.1 siswa dapat menyimpulkan langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal. Pada Contoh Soal 7.2 siswa dapat menyimpulkan cara menentukan sudut antara garis singgung kurva dengan sumbu X positif. Petunjuk Khusus

171

171

hitam

Kemudian guru meminta siswa untuk menerapkan hasil pengamatan dari Contoh Soal 7.1 dan 7.2 pada Kegiatan 7.2 secara mandiri. Guru berkeliling untuk menilai dan mengamati kegiatan yang sedang dilakukan oleh siswa. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian yang terdapat pada Kegiatan 7.2 di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 7.3 nomor 1 mengenai cara menentukan garis singgung fungsi trigonometri dan meminta siswa untuk mengerjakan sendiri Contoh Soal 7.3 nomor 2 untuk dibahas bersama-sama. Guru mengamati dan menilai aktivitas siswa. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru dapat menjelaskan kolom Ayo Kerjakan Soal Seleksi mengenai menentukan luas segitiga dengan menerapkan konsep persamaan garis singgung fungsi trigonometri. b)

Penutup

Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 4. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 7.1 sampai dengan Latihan 7.3 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 10 pada buku siswa. 3)

Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis

b) Media: grak 4)


Widya halaman 272-279 b)

Sumber lain yang relevan (buku teks, internet)

2. Materi ke-2: Menaksir Akar-akar Persamaan Aljabar (6 JP) a.

Indikator 1) 2) 3)

Mendeksripsikan konsep menaksir akar-akar persamaan aljabar menggunakan rumus Newton-Raphson Menjelaskan konsep nilai taksiran awal Menentukan nilai taksiran awal

4) Menentukan letak akar-akar dengan metode grak 5) 6)

172

Menentukan letak akar-akar dengan metode analitik Mengaplikasikan rumus Newton-Raphson untuk memecahkan masalah kehidupan nyata


172

orange

hitam

orange

b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-2 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai langkah-langkah untuk menaksir akar-akar suatu persamaan aljabar, nilai taksiran awal, mengetahui letak akar-akar persamaan aljabar, serta rumus Newton Raphson.

c.


Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeksripsikan konsep menaksir akar-akar persamaan aljabar menggunakan rumus Newton-Raphson. b) Siswa dapat menjelaskan konsep nilai taksiran awal. c) Siswa dapat menentukan nilai taksiran awal.

d) Siswa dapat menentukan letak akar-akar dengan metode grak. e) f) 2)

Siswa dapat menentukan letak akar-akar dengan metode analitik. Siswa dapat mengaplikasikan rumus Newton-Raphson untuk memecahkan masalah kehidupan nyata.


a)

Menaksir Akar-akar Persamaan Aljabar

Materi pada subbab menaksir akar-akar persamaan aljabar dibagi menjadi 2 pertemuan, yaitu pertemuan ke-3 menjelaskan tentang rumus Newton-Raphson; pertemuan ke-4 menjelaskan tentang menentukan nilai taksiran awal. (1) Pertemuan ke-3 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat mengajukan pertanyaan menantang yang berkaitan dengan konsep menaksir dan menghitung akar-akar persamaan aljabar yang akan dibahas. Pertanyaan menantang:

Biaya produksi suatu jenis zat kimia, C ( g ), untuk memproduksi g gram zat 2

kimia tersebut per hari yang dinyatakan oleh fungsi C ( g ) = 1.000 + 2 g + 3 g 3 dengan C ( g ) dalam dolar. Perusahaan dapat menjual zat kimia tersebut seharga $4 per gram. Berapa gramkah zat kimia tersebut seharga harus diproduksi per hari agar perusahaan bisa mencapai titik pulang-pokok (break event point )? Setelah pertanyaan menantang diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Kemudian guru menyatakan bahwa masalah tersebut dapat dijawab oleh siswa setelah memahami konsep menaksir akar-akar dari persamaan aljabar. Setelah siswa termotivasi dengan pertanyaan menantang, maka pembelajaran selanjutnya dapat berlangsung dengan menyenangkan. Guru menggambarkan Gambar 7.3 di buku siswa pada papan tulis.

Petunjuk Khusus

173

173

hitam

orange

y = f ( x)

Y

( x1, f ( x1)) A

f ( x1)

( x2, f ( x2)) B α O

θ x3

X

x2

x

1

x3 – x2 x1 – x2

Kemudian guru menginformasikan untuk menentukan akar-akar persamaan aljabar, ditampilkan persamaan y = 0 atau f ( x) = 0. Perhatikan bahwa α adalah solusi dari persamaan f ( x) = 0. Untuk menentukan nilai akar-akar persamaan f ( x) = 0 yang mendekati α dapat dimulai dengan memberi nilai awal taksiran, sebut saja x1. Garis singgung melalui ( x1, f ( x1)) memotong sumbu X pada titik dimana x = x2. Pada gambar tampak bahwa nilai pendekatan x = x2 lebih baik daripada x = x1. Gradien garis singgung pada [ x1, f ( x1)] diberikan oleh m = f '( x1 ) = x1 − x2 =

f ( x1 ) x1 − x2

f ( x1 ) f '( x1 )

, f '( x) ≠ 0

⇔ x2 = x1 −

f ( x1 ) f '( x1 )

Jika prosedur tersebut diulangi, tarik garis singgung melalui titik ( x2, f ( x2)), maka tampak pada gambar diperoleh nilai pendekatan x3, yang juga lebih baik daripada x2, yaitu x3 = x2 −

f ( x2 ) f '( x2 )

, dengan f '( x2 ) ≠ 0

Sehingga dapat disimpulkan bahwa: xn +1 = xn −

f ( xn ) f '( xn )

, dengan f '( xn ) ≠ 0

Rumus tersebut dikenal sebagai rumus Newton-Raphson. Kemudian guru menginformasikan bahwa untuk menggunakan rumus Newton-Raphson diperlukan nilai taksiran awal x0. Dalam persamaan tersebut, xn adalah nilai x yang telah diketahui, f ( xn) menampilkan nilai fungsi pada xn, dan f '( xn) adalah turunan (gradien) pada xn, dan xn + 1 adalah nilai x berikutnya yang akan coba kita dapatkan. Perhatikan bahwa rumus Newton-Raphson merupakan proses iterasi (perhitungan berulang). Proses iterasi berhenti dan kita memperoleh nilai pendekatan akar-akar jika nilai pendekatan itu telah memenuhi kriteria yang ditetapkan, misalnya tepat sampai dua tempat desimal. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi mengenai rumus Newton-Raphson, siswa dapat mengajukan pertanyaan yang berhubungan dengan rumus Newton-Raphson yang belum siswa pahami dengan baik. 174


174

hitam

orange

Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri mengenai menentukan nilai taksiran awal. (2) Pertemuan ke-4 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai cara-cara yang digunakan untuk menentukan nilai taksiran awal. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan serta diskusi siswa di depan kelas. Selanjutnya guru menginformasikan cara menentukan nilai taksiran awal. Seperti telah dinyatakan pada pertemuan sebelumnya bahwa langkah awal menggunakan rumus Newton-Raphson adalah menentukan nilai taksiran awal.

Ada dua metode, yaitu metode grak dan metode analitik. Metode I: Metode grak Lukis kurva y = f ( x) pada sehelai kertas grak. Kemudian dari grak yang Anda peroleh, beri taksiran awal, misalnya x = x1. Metode II: Metode analitik Jika fungsi f ( x) berubah tanda di antara x = a dan x = b, maka kurva y = f ( x) pastilah memotong sumbu X pada titik dimana x = α sehingga f (α) = 0, dengan a < α < b. Sehingga, • jika f (a) > 0 dan f (b) < 0, maka persamaan f ( x) = 0 memiliki akar α dimana a < α < b (a, f (a)) α

X

(b, f (b))

• jika f (a) < 0 dan f (b) > 0, maka persamaan f ( x) = 0 memiliki akar α dimana a < α < b (b, f (b))

X

α

(a, f (a)) Jadi, untuk taksiran awal, kita harus memilih x = x1 yang berada di antara a dan b. Selanjutnya dengan rumus Newton-Raphson, diperoleh sederetan nilai yang memenuhi kriteria yang diminta dalam soal. Petunjuk Khusus

175

175

hitam

Agar siswa lebih jelas mengenai langkah-langkah menentukan nilai taksiran awal menggunakan metode analitik, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 7.4. Kemudian berikanlah siswa waktu untuk bertanya jika mendapat kesulitan dalam memahami Contoh Soal 7.4 tersebut. Setelah memahami langkah-langkah dalam menentukan nilai taksiran awal menggunakan metode analitik, siswa diminta mengerjakan Latihan 7.4 secara mandiri untuk mengetahui apakah akar-akar dari suatu persamaan selalu berada pada interval yang ditanyakan. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan.

• •

Kesimpulan yang diharapkan adalah sebagai berikut. Akar-akar suatu persamaan tidak selalu berada pada interval yang ditanyakan pada soal. Banyak akar dari suatu persamaan memengaruhi letak akar-akar persamaan tersebut. Misalnya pada persamaan kuadrat, maksimal banyak akarnya adalah dua dan intervalnya pun maksimal dua.

Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 7.5 dan 7.6. Pada Contoh Soal 7.5 siswa dapat mengamati dan memahami cara menentukan nilai akar yang berada pada suatu interval dengan mengaplikasikan rumus Newton-Raphson yang telah siswa pelajari dalam pertemuan sebelumnya. Pada Contoh Soal 7.6 siswa dapat mengamati dan memahami cara menentukan nilai akar melalui penentuan nilai taksiran awal menggunakan

metode grak kemudian mengaplikasikan rumus Newton-Raphson. Setelah memahami beberapa contoh mengenai cara menentukan nilai

taksiran awal menggunakan metode analitik dan grak, siswa diminta mengerjakan Latihan 7.6 secara mandiri agar lebih memahami mengenai pengaplikasian rumus Newton-Raphson dalam memecahkan masalah kehidupan nyata. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan. Kemudian guru memberikan info mengenai tokoh matematika yang bernama Sir Isaac Newton. Guru menjelaskan bahwa Newton adalah matematikawan

sekaligus sikawan yang sangat berpengaruh di dunia kematematikaan. Selama menggeluti ilmu matematika, ia tidak pernah menyerah dan terus berusaha untuk menemukan dan menciptakan sesuatu yang baru yang berkaitan dengan matematika. Karena kegigihannya ilmu matematika dapat berkembang hingga sejauh ini. b)

Penutup

Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 4. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 7.4 sampai dengan Latihan 7.6 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 10 pada buku siswa. 176


176

orange

hitam

3)

orange

Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis

b) Media: grak 4)


Widya halaman 280-288 b)



Pilihan Ganda

1.

Garis singgung pada kurva y = di titik dengan absis

π

2 sumbu Y pada ordinat .... A. 2

2.

B.

π

C.

π – 2

2

D.

B. C.

π 4

π

π

2+

4.

2

3

π 4

2π 3

π sin x 2 + cos x

Garis singgung grak di titik x =

.

π 2

akan

6.

memotong sumbu Y di titik (0, b), dengan b adalah ....

A.

1 2

B.

2

+

1 2

E.

1 2

+

π 8

π 8

Nilai k agar garis x + y = k merupakan garis singgung pada kurva y = 8 – 5 x + 6 x2 – 3 x3 adalah .... 3 2 A. 5 D. 8 9 9

C. 7

5.

2 Diketahui fungsi f ( x) =

1

B. 6

adalah ....

D. 0 E.

8

−

2

2 Persamaan sebuah kurva diberikan oleh x = et sin t dan y = et cos t . Jika turunan dari f (t ) = et adalah f '(t ) = et , maka gradien garis

A.

π

π

singgung kurva pada titik t =

3.

C.

sin x akan memotong

D. 2 – E.

2 + cos x

π 8

4 9

E. 9

1

9 Garis singgung pada kurva 2 x2 – xy + 3 y2 = 18 pada titik (3, 1) adalah .... A. 3 y + 11 x = 36 B. 3 y + 13 x = 27 C. 3 y – 12 x = 13 D. 2 x + 9 y = 21 E. 2 x – 11 y = 18 Garis singgung pada kurva dengan persamaan parameter x = t 2 – 2 dan y = t 3 – 3 pada titik dimana t = 2 adalah .... A. 3 x – y – 1 = 0 B. 3 x – y + 1 = 0 C. x – y + 1 = 0

Petunjuk Khusus

177

177

hitam

D. x – 3 y + 1 = 0 E. x + 3 y – 1 = 0 7.

orange

9.

Rumus Newton-Raphson untuk menentukan akar kuadrat dari suatu bilangan real R dari persamaan x2 – R = 0 adalah .... A.

x +1 n

Akar dari x2 = 2,5 diperoleh dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Nilai-nilai iterasi secara berurutan dari akar tersebut diberikan dalam tabel di bawah ini.

 R  =  2x −  x  2 R  1 =  3x −  x  2 1

Nomor Iterasi

Nilai Akar

0

2,0000

1

1,6667

2

1,5900

3

1,5874

4

1,5874

n

n

B.

x +1 n

n

n

C.

8.

1

 xn +1 =  xn +  2 xn 

D. xn +1 =

xn

E. xn +1 =

3 xn

R

Nomor iterasi pertama yang akan dipercaya paling tepat untuk dua angka penting adalah .... A. 0 D. 3 B. 1 E. 4 C. 2

2 2

Nilai terasi berikutnya dari akar-akar x2 – 9 = 0 dengan menggunakan metode Newton-Raphson jika taksiran awal 4 adalah .... A. 3,000 B. 3,125 C. 3,267 D. 3,333 E. 3,450

10. Untuk menentukan akar real dari persamaan x3 + 3 x2 – 1 = 0 kita gunakan metode Newton Raphson. Jika taksiran awal kita adalah x0 = 1, maka nilai iterasi kedua, x2 adalah .... 1 45 A. D. 2 81 B. C.

E

2 3

E.

79 144

16 27

Materi Pengayaan


1.

Tentukan nilai dari 5 70 dengan menggunakan metode Newton-Raphson jika diketahui nilai awal x = 3 dan ketelitian hingga 3 desimal.

2.

Tentukan salah satu akar dari persamaan f ( x) = x2 – 4 x – 5.

178


178

hitam

orange

Penyelesaian:

1.

5

Bentuk

70 dapat diubah dalam bentuk pangkat, misalnya

x = 5 70 x5 = 70

Sehingga, y = x5 – 70 atau f ( x) = x5 – 70 Persamaan : f ( x) = x5 – 70 Turunan fungsi : f '( x) = 5 x4 Diketahui nilai awal x0 = 3 Hitung nilai f ( x) dan f '( x): f ( x0) = f (3) = (3)5 – 70 = 173 f '( x0) = f '(3) = 5(3)4 = 405

Hitung x1 dengan rumus:

 f ( x0 )    f '(x0 ) 

x1 = x0 − 

Maka didapat:

 173   = 2, 573 405  

x1 = 3 − 

Begitu seterusnya untuk menghitung x2, x3, …. Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-4 Iterasi

x n

f ( x )

f '( x )

0 1 2 3 4 5

3 2,573 2,378 2,34 2,339 2,339

173 42,7362 6,00724 0,18693 0,0002 2,3E-10

405 219,0891 159,8284 149,9599 149,6406 149,6403

Karena nilai x4 dan x5 telah konstan ( x4 = x5 = 2,339) sehingga ditemukan salah satu akarnya adalah 2,339. 2.

Persamaan: f ( x) = x2 – 4 x – 5 Turunan fungsi: f '( x) = 2 x – 4 Diketahui nilai awal x0 = 0,002 Hitung nilai f ( x) dan f ’( x): f ( x0) = f (0,002) = (0,002) 2 – 4(0,002) – 5 = –5,007996 f '( x) = f '(0,002) = 2(0,002) – 4 = –3,996

≈ –5

≈ –4

Hitung x1 dengan rumus:

Petunjuk Khusus

179

179

hitam

 f ( x0 )    f '(x0 ) 

x1 = x0 − 

Maka didapat:

 −5   = −1, 25  −4 

x1 = 0, 002 − 

Begitu seterusnya untuk menghitung x2, x3, … Untuk mencari galat relatif xk = ( Er x ) =

xr +1 − xr xr +1

Didapat: ( Er x ) =

x1 − x0

( Er x ) =

x1

−1, 25 − 0 −1.25

( Er x ) = 1 Iterasi berhenti pada langkah ke-4, karena ( Er x ) < 0, 002 Dengan salah satu akarnya adalah –1.

F

Iterasi

x n

f ( x )

f '( x )

Er x

0 1 2 3 4

–2 –1,125 –1,0025 –1 –1

7 0,76563 0,01501 6,2E-06 1,1E-12

–8 –6,25 –6,005 –6 –6

0,778 0,122 0,002 1E-06

Remedial


1.

Tentukan gradien garis singgung kurva y = x3 + x + 5 yang melalui titik (0, 5).

2.

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal terhadap kurva y = x2 + 4 x + 3 di titik (–1, 0)

3.

Tentukan nilai iterasi kedua metode Newton-Raphson dari persamaan x2 – 8 dengan nilai awal 3 dan ketelitian hingga 3 desimal.

180


180

orange

hitam

orange

Kunci jawaban:

1.

m = 1

2.

Persamaan garis singgung : y = 2 x + 1 Persamaan garis normal : y =

3.

− x − 1

x2 = 2,838

G

2

Penilaian

Untuk menguji pemahaman siswa atas konsep Bab VII ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.


2.


3.


4.


H

Penutup

Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan aplikasi turunan fungsi, disajikan sebagai berikut. 1.

Gradien dari kurva y = f ( x) di titik ( x1, y1) dapat dinyatakan dengan m=

df ( x) dx

( x = x1 ) =

dy dx

( x = x1 ) atau m = f '( x)

2.

Persamaan garis singgung yang melalui titik ( x1, y1) dengan gradien m adalah ( y – y1) = m( x – x1).

3.

Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung, dengan memiliki gradien normal mnormal

=

−1 mgaris singgung

sehingga persamaan garis normal yang melalui titik ( x1, y1) adalah ( y – y1) = mnormal( x – x1)

Petunjuk Khusus

181

181

hitam

4.

orange

Rumus Newton-Raphson xn +1

= xn −

f ( xn ) f '( xn )

, dengan f '( xn ) ≠ 0

Rumus Newton-Raphson merupakan proses iterasi (perhitungan berulang). Proses iterasi berhenti dan memperoleh pendekatan akar-akar jika nilai pendekatan telah memenuhi kriteria yang ditetapkan. 5.

Menentukan nilai taksiran awal

Metode I: Metode Grak Lukis kurva y = f ( x) pada sehelai kertas grak. Kemudian dari grak yang Anda peroleh, berilah taksiran awal, misalnya x = x1. Metode II: Metode Analitik Jika fungsi f ( x) berubah tanda di antara x = a dan x = b, maka kurva y = f ( x) pastilah memotong sumbu X pada titik dimana x = α sehingga f (α) = 0, dengan a < α < b . Sehingga,

•

Jika f (a) > 0 dan f (b) < 0, maka persamaan f ( x) = 0 memiliki akar α dimana a < α < b (a, f (a)) α

X

(b, f (b)) •

Jika f (a) < 0 dan f (b) > 0, maka persamaan f ( x) = 0 memiliki akar α dimana a < α < b

(b, f (b))

α

X

(a, f (a))

182


182

hitam

orange

Daftar Pustaka

Additional Mathematics G.C.E. O-level June/November 1974 – 1995 ,

Dyna Publisher Pte

Ltd, Singapore, 1997. Bond Thomas and Hughes Chris, Mathematics A-Level Challenging drill questions, Themis Publishing, Singapore, 2012. Cheng Chung Yu, Additional Mathematics [Geometry and Trigonometri] First Edition, Singapore Asian Publications (S) Pte Ltd, Singapore, 2010. D.S. Prakash, Polytechnic Mathamatics, S. Chand & Company Ltd, New Delhi,2005. Hamzah dan Mohamad Nurdin. 2013. Belajar dengan Pendekatan PAILKEM . Jakarta: Bumi Aksara. Heinemann Higher Mathematics, Heinemann Educational Publishers, London, 1998. J. Douglas Faires, Langkah Pertama Menuju Olimpiade Matematika Menggunakan Kompetisi Matematika Amerika, Penerbit Pakar Raya, Bandung, 2007.

Jenny Watson et all, Maths Quest for Victoria CSF Level 5 and 6, John Wiley & Sons Australia, Ltd, Sidney and Melbourne. Kanginan Marthen dan Yuza, Matematika Wajib untuk Kelas X, Bandung, 2013.

Penerbit Yrama Widya,

Khoo Ee Sin, Q & A STPM Mathematics T Paper 2 First Published , Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd., Malaysia, 2004. Matematika Ala Jepang Level Pra 2 dan Level 2, Suken Indonesia, Tangerang, 2001.

Peterson C. John, Technical Mathematics 2nd Edition , Delmar Publishers Inc., Albany, 1997. Randall I. Charles et all, Prentice Hall Mathematics Course 2, Pearson Prentice Hall,New Jersey, 2004. Rich Barnett, Schaum’S Outline of Theory and Problems of Geometri Third Edition , The McGraw-Hll Companies, Inc., New York, 2000. Schmidt Philip, 2500 solved Problems in College Algebra and Trigonometry , McGrawHill, Inc, New York, 1991. Daftar Pustaka

183

183

Book Buku Guru Matematika Kelas XI Marten

Recommend Documents