hitam
orange
Marthen Kanginan
Buku Guru
MATEMATIKA untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam
2 i
hitam
orange
BUKU GURU Matematika untuk SMA/MA Kelas XI Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam
Penulis
: Marthen Kanginan
Copyright © 2014 pada PENERBIT YRAMA WIDYA Ilustrasi Cover Lay Out Cetakan I
: W. Abdul Aziz : Dinar dan Tito : Agustus 2014
Diterbitkan oleh : PENERBIT YRAMA WIDYA Jl. Permai 28 No. 100 Margahayu Permai, Bandung (40218) Telp. (022) 5403533 (Hunting), 5403518, 5426845 Fax. (022) 5403512 ANGGOTA IKAPI e–mail :
[email protected] (Redaksi)
[email protected] (Penjualan)
http://www.yrama–widya.co.id
Dilarang keras mengutip, menjiplak, memfotokopi sebagian atau seluruh isi buku ini serta memperjualbelikannya tanpa mendapat izin tertulis dari Penerbit Yrama Widya Hak Cipta Dilindungi oleh Undang-Undang
KATALOG DALAM TERBITAN PERPUSTAKAAN NASIONAL Kanginan, Marthen Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI / Marthen Kanginan. -- Cet.1. -- Bandung : Yrama Widya, 2014. Untuk SMA/MA Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam viii + 184 hlm. ; 17,6 × 25,0 cm. ISBN 978-602-277-468-6(no.jil lengkap) ISBN 978-602-277-469-3(jil.1) ISBN 978-602-277-470-9(jil.2) ISBN 978-602-277-471-6(jil.3) 1. Matematika -- Studi dan pengajaran I. Judul.
510 ii
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
ii
hitam
orange
Kata Pengantar Buku Guru Matematika Peminatan Kelas XI ini adalah buku baru yang ditulis berdasarkan kompetensi inti dan kompetensi dasar kurikulum terbaru. Dari segi pembelajaran, inti dari kurikulum terbaru adalah sedapat mungkin menghindari metode ekspositori (penjelasan) berupa beru pa penj penjelas elasan an kons konsep ep kemu kemudian dian dril drilll soa soal-so l-soal, al, yang sam sampai pai saa saatt ini masi masih h menj menjadi adi favorit para guru karena tidak terlalu banyak menyita waktu. Buku pelajaran matematika yang laris pun umumnya ditulis dengan metode ekspositori ini. Sebagai akibatnya hasil belajar bela jar pesert pe sertaa didik didi k tidak tida k berada bera da dalam dal am ingatan ing atan jangk j angkaa panjang. panj ang. Padah P adahal al banyak ban yak pengal pe ngalaman aman belajar bela jar mate matemati matika ka perl perlu u berad b eradaa di d i ingat i ngatan an jang jangka ka panj panjang ang kare karena na dibu dibutuhk tuhkan an dala dalam m bela b elajar jar siswa selanjutnya. Buku guru ini ditulis sebagai pendamping bagi guru untuk memenuhi harapan pembelajaran pembelajaran matematika saat ini, yaitu menghindari pembelajaran dengan metode ekspositori. Konsep pelajara pela jaran n dius diusahak ahakan an sel selalu alu diaw diawali ali dari mas masalah alah nyat nyataa dan diaj diajak ak terl terlibat ibat seca secara ra inte interakt raktif if dengan mengisi bagian yang diberi tanda titik tiga atau diminta menjawab pertanyaan yang diajukan sebelum sampai pada kesimpulan atau perumusan. Ini akan mendatangka mendatangkan n kesenangan bagi sis siswa wa dan d an konse k onsep p yang ya ng dipel d ipelaja ajari ri akan a kan tert tertanam anam dala dalam m ingata in gatan n jangka ja ngka panj panjang. ang. Buku guru ini memuat langkah-langkah pemecahan masalah pada buku siswa serta melatih keterampilan dalam menggunakan empat langkah pemecahan masalah George Polya yang banyak dicontohkan pada buku matematika wajib tulisan saya dan dilanjutkan dalam buku mate matemati matika ka pemin p eminatan atan ini. Lang Langkah kah utam utamaa pemeca pe mecahan han masa masalah lah adal adalah ah baga bagaiman imanaa cara c ara menerjemahkan kata-kata dalam soal ke model matematika. Buku ini mengajarkan langkah demi langkah pemodelan matematika tersebut hingga terbiasa dengan pemodelan matematika, suatu keterampilan yang kelak sangat menolong dalam menyelesaikan masalah yang timbul dalam pekerjaan dan kehidupan manusia. Masalah yang sukar dapat dijumpai pada soal tantangan yang diambil dari soal-soal UM perguruan tinggi di dalam dan di luar negeri serta soal-soal seleksi Olimpiade sains matematika. Untuk mampu menyelesaikan masalah soal tantangan ini harus mempunyai ide yang lebih kreatif dengan menghubung-hubungkan konsep yang telah dikuasai dan jika perlu menerapkan cara coba-coba berdasarkan informasi tersembunyi yang diberikan. Setelah pemodelan matematika dipahami, barulah siswa dapat menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep matematika. Pemaparan dalam buku ini selalu berusaha
memberikan berbagai cara dalam menyelesaikan model matematika, baik cara grak maupun cara aljabar. Tujuannya Tujuannya supaya siswa tidak berpikir bahwa cara penyelesaian hanya ada satu, tetapi ada berbagai cara alternatif. Siswa diminta memilih sendiri cara yang mereka senangi karena dianggap mudah atau cepat atau mungkin mereka menemukan cara mereka sendiri. Cara pembelajaran seperti ini mendorong siswa kreatif sehingga kelak mereka menjadi generasi pemecah masalah yang selalu mencari solusi terbaik bagi pekerjaan mereka dan bagi kema kemakmur kmuran an bangsa ba ngsa ini, dan buka bukan n generas gen erasii pembua pe mbuatt masal ma salah. ah.
Kata Pengantar
iii
iii
hitam
orange
Perlu diketahui bahwa berbagai hasil studi internasional seperti TIMMS yang mengukur pemahaman, representasi, dan penalaran, serta pemecahan masalah dalam bidang Matematika menempatkan Indonesia pada peringkat 34 dari 45 negara (2003) dan peringkat 36 dari 49 negara (2007). Tampak selama 4 tahun peringkat Negara kita bukannya meni ngkat tetapi malah melorot. Oleh karena itu, sudah saatnya kita meninggalkan cara pembelajaran ekspositori dan bekerja keras untuk mewujudkan pembelajaran siswa aktif dan pemecah masalah. Bagi guru yang menggunakan buku ini kembangkanlah sikap tidak pernah menyerah jika menghadapi kesulitan dalam menyelesaikan masalah atau soal-soal kepada siswa. Tanamkan dalam pikiran siswa bahwa “Saya pikir bisa saya pasti bisa”. Ingat orang dikagumi karena memiliki keberanian untuk mengerjakan hal-hal yang sulit, memiliki stamina untuk tetap berusaha ketika hambatan menghadang di depannya. Selamat membaca dan mempelajari alternatif langkah-langkah pemecahan masalah yang terdapat dalam Buku Guru Matematika Kelas XI peminatan ini.
Penulis
iv
hitam
orange
Daftar Isi
Kata Pengantar ................................................................................................................... iii Daftar Isi .............................................................................................................................. v Petunjuk Umum .................................................................................................................. 1 A. Pendahuluan ................................................................................................. 2 B. Cakupan dan Lingkup Mata Pelajaran Matematika ............................... 5 C. Tujuan Mata Pelajaran Matematika ......................................................... 5 D. Struktur Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Mata Pelajaran Matematika ....................................................................... 6 E. Strategi Pembelajaran Matematika ........................................................... 9 F.
Media Pembelajaran .................................................................................... 19
G. Proses Kegiatan dan Evaluasi Pembelajaran Matematika ...................... 19 H. Penilaian Pembelajaran Matematika ......................................................... 22 I.
Pembelajaran Remedial dan Pengayaan.................................................... 34
Petunjuk Khusus ................................................................................................................. 37 Bab I
Polinomial............................................................................................................. 39 A. Pengantar ..................................................................................................... 40 B. KI dan KD pada Materi Pokok Polinomial ............................................... 40 C. Alokasi Waktu .............................................................................................. 41 D. Materi ............................................................................................................ 41 E. Materi Pengayaan ........................................................................................ 58 F.
Remedial........................................................................................................ 59
G. Penilaian ........................................................................................................ 59 H. Penutup ......................................................................................................... 60 Bab II
Irisan Kerucut...................................................................................................... 61 A. Pengantar ..................................................................................................... 62 B. KI dan KD pada Materi Pokok Irisan Kerucut ........................................ 62 C. Alokasi Waktu .............................................................................................. 63 D. Materi ............................................................................................................ 63 E. Materi Pengayaan ........................................................................................ 82 F.
Remedial........................................................................................................ 83
G. Penilaian ........................................................................................................ 84 H. Penutup ......................................................................................................... 84
Daftar Isi
v
v
hitam
Bab III Irisan Dua Lingkaran.......................................................................................... 87 A. Pengantar ..................................................................................................... 88 B. KI dan KD pada Materi Pokok Irisan Dua Lingkaran ............................ 88 C. Alokasi Waktu .............................................................................................. 89 D. Materi ............................................................................................................ 89 E. Materi Pengayaan ........................................................................................ 102 F.
Remedial........................................................................................................ 103
G. Penilaian ........................................................................................................ 104 H. Penutup ......................................................................................................... 104 Bab IV Sampel dan Fungsi Distribusi Binomial ............................................................ 107 A. Pengantar ..................................................................................................... 108 B. KI dan KD pada Materi Pokok Sampel dan Fungsi Distribusi Binomial .......................................................................... 108 C. Alokasi Waktu .............................................................................................. 109 D. Materi ............................................................................................................ 109 E. Materi Pengayaan ........................................................................................ 125 F.
Remedial........................................................................................................ 125
G. Penilaian ........................................................................................................ 126 H. Penutup ......................................................................................................... 126 Bab V
Limit Fungsi ........................................................................................................ 129 A. Pengantar ..................................................................................................... 130 B. KI dan KD pada Materi Pokok Limit Fungsi............................................ 130 C. Alokasi Waktu .............................................................................................. 131 D. Materi ............................................................................................................ 131 E. Materi Pengayaan ........................................................................................ 144 F.
Remedial........................................................................................................ 145
G. Penilaian ........................................................................................................ 146 H. Penutup ......................................................................................................... 147 Bab VI Turunan Fungsi Trigonometri ........................................................................... 149 A. Pengantar ..................................................................................................... 150 B. KI dan KD pada Materi Pokok Turunan Fungsi Trigonometri .............. 150 C. Alokasi Waktu .............................................................................................. 151 D. Materi ............................................................................................................ 151 E. Materi Pengayaan ........................................................................................ 163 F.
Remedial........................................................................................................ 163
G. Penilaian ........................................................................................................ 164 H. Penutup ......................................................................................................... 164
vi
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
vi
orange
hitam
orange
Bab VII Aplikasi Turunan Fungsi .................................................................................... 167 A. Pengantar ..................................................................................................... 168 B. KI dan KD pada Materi Pokok Aplikasi Turunan Fungsi ....................... 168 C. Alokasi Waktu .............................................................................................. 169 D. Materi ............................................................................................................ 169 E. Materi Pengayaan ........................................................................................ 178 F.
Remedial........................................................................................................ 180
G. Penilaian ........................................................................................................ 181 H. Penutup ......................................................................................................... 181 Daftar Pustaka ................................................................................................................... 183
Daftar Isi
vii
vii
hitam
viii
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
viii
orange
orange
hitam
Bagian I Petunjuk Umum
Petunjuk Umum
1 1
1
orange
hitam
A
Pendahuluan
1. Gambaran Umum Buku guru matematika ini disusun sebagai pendamping buku peserta didik untuk memudahkan guru dalam proses pembelajaran. Buku ini terdiri atas dua bagian, yaitu bagian pertama menjelaskan tentang petunjuk umum, keterampilan proses, dan petunjuk penilaian proses pembelajaran, bagian kedua menjelaskan tentang uraian mengenai strategi dan alternatif pembelajaran matematika dalam setiap materi. Dari buku guru ini diharapkan guru mendapatkan kemudahan untuk memahami lebih dalam terhadap materi ajar, cara pembelajarannya, serta cara penilaiannya. Guru juga memperoleh gambaran mengenai rumusan indikator pencapaian kompetensi dasar (terutama untuk KD pada KI-3 dan KI-4). Sebagai muaranya, panduan pembelajaran Matematika ini diharapkan dapat membantu guru dalam memberikan kesempatan peserta didik untuk belajar secara optimal, sehingga peserta didik mampu mencapai Standar Kompetensi Lulusan (SKL) pada satuan pendidikan tertentu.
2. Penggunaan Buku Guru Dalam bagian ini diuraikan hal-hal penting yang perlu diikuti guru, saat guru menggunakan buku ini. Hal-hal esensial yang dijabarkan, antara lain: a. pentingnya guru memahami model pembelajaran berbasis konstruktivis dengan pendekatan scientic learning (mengamati, menanya, mengeksplorasi, mengasosiasi, mengomunikasikan) terkait sintaksis model pembelajaran yang diterapkan, sistem sosial, prinsip reaksi pengelolaan (perilaku guru mengajar di kelas), sistem pendukung pembelajaran yang harus dipersiapkan (berbagai fasilitas, misalnya buku peserta didik, lembar aktivitas peserta didik, media pembelajaran, instrumen penilaian, tugas-tugas yang akan diberikan), serta dampak intruksional dan dampak pengiring (sikap) yang harus dicapai melalui proses pembelajaran; b. mengorganisir peserta didik belajar (di dalam dan luar kelas) dalam memberi kesempatan mengamati data, informasi, dan masalah, kerja kelompok dalam memecahkan masalah, memberi bantuan jalan keluar bagi peserta didik; c. memilih model, strategi, dan metode pembelajaran untuk tujuan pembelajaran yang efektif; d. memilih sumber belajar yang melibatkan partisipasi aktif peserta didik dalam proses pembelajaran yang dipicu melalui pengajuan masalah, pemberian tugas produk, proyek; e. petunjuk penggunaan asesmen autentik untuk mengecek keberhasilan aspek sikap, pengetahuan dan keterampilan; f. petunjuk pelaksanaan remedial dan pemberian pengayaan. Isi buku guru ini, memuat petunjuk pembelajaran di setiap bab yang berdampingan dengan aktivitas yang ada di buku peserta didik. Pertanyaan-pertanyaan kritis dan latihan memiliki kunci jawaban dan arahan pembelajaran dari guru untuk pemecahannya. Di samping proses pembelajaran yang tertuang dalam penjelasan singkat model pembelajaran konstruktivis, tersedi petunjuk pelaksanaan pembelajaran remedial dan pengayaan serta pelaksanaan penilaian berbasis proses.
2
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
2
orange
hitam
3. Interaksi Guru dan Orangtua Interaksi antara guru dengan orangtua harus dilakukan secara berkala agar kedua belah pihak dapat mengetahui proses belajar yang terjadi di rumah dan di sekolah. Hal ini dapat dijadikan suatu dasar dalam mengetahui kesesuaian perkembangan peserta didik melalui apa yang dilakukan di rumah dengan di sekolah. Selain itu, interaksi ini dapat dijadikan sebagai sarana bekerja sama pihak orangtua dan sekolah untuk terus memantau dan mengarahkan peserta didik agar dapat belajar dengan baik serta memiliki budi pekerti yang sesuai dengan yang diharapkan oleh masyarakat dan negara. Pada praktiknya, interaksi guru dan orangtua bisa menggunakan berbagai metode. Misalnya adalah, melalui wawancara, lembar ceklis, atau melalui lembar laporan. Interaksi dapat dilakukan secara berkala, bisa setiap hari, seminggu sekali, satu bulan sekali, setiap tengah semester atau bisa juga dapat dilakukan setiap akhir semester. Akan tetapi, hal ini perlu dipertimbangkan dengan situasi dan kondisi juga. Berikut ini akan disajikan suatu contoh format laporan yang dilakukan secara berkala selama satu bulan sekali dan perkembangan yang dilihat adalah akumulasi tiap minggu. LAPORAN BULANAN PERKEMBANGAN PESERTA DIDIK Nama : Doni Kelas : XI-4 Mata Pelajaran : Matematika (Yunanto Adipramana, S.Pd.) Grafk perkembangan Indeks Prestasi tiap minggu 4
Grafk perkembangan sikap peserta didik tiap minggu
3.5 i 3 s a t s 2.5 e r P 2 s k 1.5 e d 1 n I
SB
p a B k i S C
Pengetahuan Keterampilan
Sikap K
0.5 0
0
0
1
2
3
4
1
5
2
3
4
5
Minggu ke-
Minggu ke-
Komentar Orangtua
Ranah
Guru
Telah dilakukan
Pengetahuan
Doni memiliki kemampuan yang baik dalam hal menerap kan suatu konsep akan tetapi kemampuan dalam meng analisis pada materi geometri masih kurang.
Keterampilan
Kemampuan Doni dalam mem buat grak, membuat hipotesis,
Akan dilakukan
Aktivitas peserta didik di rumah
dan mengolah data sudah baik akan tetapi dalam proses pengambilan data kemampuannya cukup. Sikap
Sikap Doni sejauh ini sudah cukup baik dalam proses belajar di dalam kelas. Akan tetapi dalam kegiatan prak tikum Doni belum mengikutinya dengan baik, khususnya dalam proses pengambilan data. Proses pengambilan data ini erat kaitannya dengan sikap suka kerja sama dan tanggung jawab.
Paraf Guru
Paraf Orangtua
(.........................)
(.........................)
Tanggal
Petunjuk Umum
3
3
orange
hitam
Catatan:
Diharapkan orangtua mengisi kolom yang telah disediakan. Format interaksi guru dan orangtua sebaiknya dibuat oleh sekolah agar setiap guru mata pelajaran tinggal mengisinya saja sehingga akan lebih meringankan beban guru. Selain itu, bisa juga dalam proses pembuatannya ada komunikasi antara guru bimbingan konseling dengan guru mata pelajaran.
4. SKL dan KI STANDAR KOMPETENSI LULUSAN Kualifkasi Kemampuan
Dimensi
Sikap
Memiliki perilaku yang mencerminkan sikap orang beriman, berakhlak mulia, berilmu, percaya diri, dan bertanggung jawab dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
Pengetahuan
Memiliki pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, dan budaya dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab serta dampak fenomena dan kejadian.
Keterampilan
Memiliki kemampuan pikir dan tindak yang efektif dan kreatif dalam ranah abstrak dan konkret sebagai pengembangan dari yang dipelajari di sekolah secara mandiri. KOMPETENSI INTI Kompetensi Inti
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan
prosedural pada bidang kajian yang spesik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
4
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
4
orange
hitam
B
Cakupan dan Lingkup Mata Pelajaran Matematika Cakupan mata pelajaran matematika kelas XI akan membahas materi berikut ini.
1.
Polinomial, membahas mengenai a. b. c. d.
2.
Konsep dan operasi aljabar pada polinomial Teorema sisa Teorema faktor Persamaan kubik
Irisan kerucut, membahas mengenai a. b. c.
3.
Parabola Elips Hiperbola
Irisan dua lingkaran, membahas mengenai a. b.
4.
Lingkaran Konsep dan pengertian irisan dua lingkaran
Sampel dan fungsi distribusi binomial, membahas mengenai a. b. c. d.
5.
Kombinasi Peluang Teknik penarikan sampel acak Fungsi distribusi binomial
Limit fungsi, membahas mengenai a. b.
6.
Limit fungsi trigonometri Limit mendekati tak hingga
Turunan fungsi trigonometri, membahas mengenai a. b.
7.
Konsep turunan pada fungsi trigonometri Titik-titik stasioner
Aplikasi turunan fungsi, membahas mengenai a. b.
C
Gradien dan persamaan garis singgung kurva Menaksir akar-akar persamaan aljabar
Tujuan Mata Pelajaran Matematika
Mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut. 1.
Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan
konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, esien dan tepat dalam pemecahan masalah. 2.
Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.
3.
Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh. Petunjuk Umum
5
5
orange
hitam
4.
Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah.
5.
Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.
D
Struktur Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Mata Pelajaran Matematika
Mata pelajaran Matematika kelas XI memiliki empat kompetensi inti dan 27 kompetensi dasar. Setiap kompetensi inti mempunyai kedudukan sebagai berikut. a.
Kompetensi Inti-1 (KI-1) untuk kompetensi inti sikap spiritual;
b.
Kompetensi Inti-2 (KI-2) untuk kompetensi inti sikap sosial;
c.
Kompetensi Inti-3 (KI-3) untuk kompetensi inti pengetahuan; dan
d.
Kompetensi Inti-4 (KI-4) untuk kompetensi inti keterampilan
KI-1, dan KI-2, harus dikembangkan dan ditumbuhkan melalui proses pembelajaran setiap materi pokok yang tercantum dalam KI-3 dan KI-4. Dapat dikatakan bahwa KI-1 dan KI-2 tidak diajarkan langsung (direct teaching ), tetapi indirect teaching pada setiap kegiatan pembelajaran. Berikut ini dipaparkan penyebaran kompetensi inti dan kompetensi dasar selengkapnya. (Permendikbud No. 81A Tahun 2013). Kompetensi Inti
Kompetensi Dasar
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
2.1 Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan. 2.2 Menunjukkan kemampuan berkolaborasi, percaya diri, tangguh, kemampuan bekerja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah..
3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, bu-daya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, ke bangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedu-
3.1 Mendeskripsikan konsep dan menganalisis sifat operasi aljabar pada polinomial dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah matematika. 3.2 Mendeskripsikan aturan perkalian dan pem bagian polinomial dan menerapkan teorema sisa dan pemfaktoran polinomial dalam menyelesaikan masalah matematika. 3.3 Menganalisis konsep sifat-sifat irisan keru-
6
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
6
orange
hitam
ral pada bidang ka jian yang spesik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
cut (parabola, hiperbola, dan elips) dan menerapkannya dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah matematika. 3.4 Mendeskripsikan hubungan garis direktis, titik fokus dan titik-titik pada kurva parabola, hiperbola, dan elips dan menerapkannya dalam pemecahan masalah. 3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur parabola, hiperbola, dan elips untuk
menggambar kurva dan mengidentikasi sifat-sifatnya. 3.6 Mendeskripsikan konsep lingkaran dan menganalisis sifat-sifat irisan dua lingkaran dan menerapkannya dalam memecahkan masalah. 3.7 Menganalisis penarikan sampel acak dari suatu populasi sekumpulan objek atau kejadian sehari-hari. 3.8 Mengevaluasi penarikan kesimpulan melalui uji hipotesis dengan kriteria tertentu. 3.9 Mendeskripsikan konsep variabel acak, dan menganalisis untuk merumuskan fungsi distribusi binomial melalui percobaan acak. 3.10 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep dan sifat-sifat limit fungsi trigonometri dan nilai limit fungsi aljabar menuju ketakhinggaan dan menggunakan dalam pemecahan berbagai masalah. 3.11 Mendeskripsikan konsep turunan fungsi trigonometri untuk menurunkan sifatsifatnya serta menggunakannya dalam memecahkan masalah. 3.12 Menganalisis konsep dan sifat turunan fungsi trigonometri dan menerapkannya untuk menentukan titik stasioner (titik maksimum, titik minimum, dan titik belok). 3.13 Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dan garis singgung kurva dalam menaksir nilai fungsi dan nilai akar-akar persamaan aljabar.
Petunjuk Umum
7
7
orange
hitam
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang di pelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mam pu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
4.1 Memecahkan masalah nyata menggunakan konsep teorema sisa dan faktorisasi dalam polinomial. 4.2 Memecahkan masalah nyata dengan model persamaan kubik dan menerapkan aturan dan sifat pada polinomial. 4.3 Mengolah data dan menganalisis model matematika dengan melakukan manipulasi aljabar berupa untuk menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan parabola, hiperbola, atau elips. 4.4 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gam baran model parabola, hiperbola, dan elips dan merancang masalah serta menyelesaikannya dengan menerapkan konsep dan sifat-sifat irisan kerucut yang telah di buktikan kebenarannya. 4.5 Merencanakan dan melaksanakan strategi yang efektif dalam memecahkan masalah nyata dengan model lingkaran yang saling beririsan, menginterpretasi masalah dalam gam bar dan menyelesaikannya. 4.6 Menyajikan dan menggunakan rumus fungsi distribusi binomial dalam menaksir suatu ke jadian yang akan muncul berkaitan dengan percobaan acak. 4.7 Menyajikan proses dan hasil penarikan kesim pulan dari uji hipotesis dengan argumentasi dan prosedur penarikan kesimpulan yang valid. 4.8 Menyajikan dan mengilustrasikan konsep limit dalam konteks nyata. 4.9 Merencanakan dan melaksanakan strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang fungsi trigonometri. 4.10 Menyajikan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri. 4.11 Menyajikan data dari situasi nyata, memilih variabel dan mengomunikasikannya dalam bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dan garis singgung kurva dalam menaksir nilai fungsi dan nilai akarakar persamaan aljabar.
8
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
8
orange
hitam
E
Strategi Pembelajaran Matematika
1. Strategi dan Pendekatan Pembelajaran Konsep dan strategi pembelajaran dalam Kurikulum 2013 dapat kita pelajari di dalam Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Nomor 81A Tahun 2013 tentang Implementasi Kurikulum. Melalui peraturan tersebut, kita dapat mempelajari konsep dan strategi pembelajaran sebagai implementasi Kurikulum 2013. Pada peraturan tersebut, dijelaskan bahwa kegiatan pembelajaran merupakan proses pendidikan yang memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk mengembangkan potensi mereka dalam sikap, pengetahuan, dan keterampilan yang diperlukan dirinya untuk hidup dan untuk bermasyarakat, berbangsa, serta berkontribusi pada kesejahteraan hidup umat manusia. Berdasarkan hal tersebut, jelaslah bahwa kegiatan pembelajaran harus mampu memberdayakan semua potensi peserta didik agar memiliki kompetensi yang diharapkan. Pencapaian tujuan tersebut, tentunya harus disertai oleh pemilihan strategi pembelajaran yang tepat. Strategi yang digunakan harus mampu memfasilitasi pencapaian kompetensi sesuai dokumen kurikulum dan mampu menjadi pembelajar mandiri sepanjang hayat. Mereka diharapkan menjadi bagian dalam mewujudkan masyarakat belajar. Untuk itu, proses pembelajaran harus mampu menciptakan kreativitas, kemandirian, kerja sama, solidaritas, kepemimpinan, empati, toleransi, dan kecakapan hidup peserta didik. Tujuannya adalah untuk meningkatkan peradaban dan martabat bangsa. Strategi pembelajaran yang kita gunakan atau kita kembangkan, juga harus memerhatikan prinsip-prinsip sebagai berikut. a. b. c. d. e.
Berpusat pada peserta didik. Mengembangkan kreativitas peserta didik. Menciptakan kondisi menyenangkan dan menantang. Bermuatan nilai, etika, estetika, logika, dan kinestetika. Menyediakan pengalaman belajar yang beragam melalui penerapan berbagai strategi dan
metode pembelajaran yang menyenangkan, kontekstual, efektif, esien, dan bermakna. Prinsip-prinsip pembelajaran tersebut, berusaha mendorong peserta didik untuk menemukan sendiri dan mentransformasikan informasi kompleks. Kita harus memahami bahwa pengetahuan tidak dapat dipindahkan begitu saja dari guru ke peserta didik. Mereka adalah subjek yang mampu untuk aktif mencari, mengolah, mengkonstruksi, dan menggunakan pengetahuan. Kita sebagai guru harus memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengkonstruksi pengetahuan dalam proses kognitifnya. Proses pembelajaran juga harus memberi kesempatan peserta didik untuk menemukan, menerapkan ide-ide mereka sendiri, menjadi sadar dan secara sadar menggunakan strategi mereka sendiri untuk belajar. Pembelajaran harus bergeser dari “diberi tahu” menjadi “aktif mencari tahu”. Pada dokumen Kurikulum 2013 dijelaskan ada dua proses pembelajaran yaitu proses pembelajaran langsung dan proses pembelajaran tidak langsung. Berikut ini adalah penjelasannya. a.
Proses pembelajaran langsung adalah proses pendidikan dimana peserta didik mengembangkan
Petunjuk Umum
9
9
orange
hitam
pengetahuan, kemampuan berpikir dan keterampilan psikomotorik melalui interaksi langsung dengan sumber belajar yang dirancang dalam silabus dan RPP berupa kegiatan-kegiatan pembelajaran. Dalam pembelajaran langsung tersebut peserta didik melakukan kegiatan belajar mengamati, menanya, mengumpulkan informasi, mengasosiasi atau menganalisis, dan mengomunikasikan apa yang sudah ditemukannya dalam kegiatan analisis. Proses pembelajaran langsung menghasilkan pengetahuan dan keterampilan langsung atau yang disebut dengan instructional effect . b.
Pembelajaran tidak langsung adalah proses pendidikan yang terjadi selama proses pembelajaran langsung tetapi tidak dirancang dalam kegiatan khusus. Pembelajaran tidak langsung berkenaan dengan pengembangan nilai dan sikap. Berbeda dengan pengetahuan tentang nilai dan sikap yang dilakukan dalam proses pembelajaran langsung oleh mata pelajaran tertentu, pengembangan sikap sebagai proses pengembangan moral dan perilaku dilakukan oleh seluruh mata pelajaran dan dalam setiap kegiatan yang terjadi di kelas, sekolah, dan masyarakat. Oleh karena itu, dalam proses pembelajaran Kurikulum 2013, semua kegiatan yang terjadi selama belajar di sekolah dan dalam kegiatan kokurikuler dan ekstrakurikuler terjadi proses pembelajaran untuk mengembangkan moral dan perilaku yang terkait dengan sikap.
Kedua proses pembelajaran di atas, terjadi secara terintegrasi dan tidak terpisah. Pembelajaran langsung berkenaan dengan pembelajaran yang menyangkut KD yang dikembangkan dari KI-3 dan KI-4. Keduanya (KI-3 dan KI-4) dikembangkan secara bersamaan dalam suatu proses pembelajaran dan menjadi wahana untuk mengembangkan KD pada KI-1 dan KI-2. Pembelajaran tidak langsung berkenaan dengan pembelajaran yang menyangkut KD yang dikembangkan dari KI-1 dan KI-2. Setelah membicarakan proses pembelajaran, sekarang kita bahas tentang pendekatan pembelajaran dalam Kurikulum 2013. Pendekatan yang digunakan adalah pendekatan ilmiah. Proses pembelajaran dengan pendekatan ilmiah terdiri atas lima pengalaman belajar pokok yaitu mengamati, menanya, mengumpulkan informasi, mengasosiasi, dan mengomunikasikan. Penjelasan kelima langkah pembelajaran scientic approach dapat Anda lihat dari tabel berikut. Langkah Pembelajaran
Kegiatan Belajar
Kompetensi yang Dikembangkan
Mengamati
Membaca, mendengar, menyimak, melihat (tanpa atau dengan alat).
Menanya
Mengajukan pertanyaan tentang Mengembangkan kreativitas, rainformasi yang tidak dipahami dari sa ingin tahu, kemampuan meruapa yang diamati atau pertanyaan muskan pertanyaan untuk memuntuk mendapatkan informasi bentuk pikiran kritis yang perlu tambahan tentang apa yang untuk hidup cerdas dan belajar sediamati (dimulai dari pertanyaan panjang hayat. faktual sampai ke pertanyaan yang bersifat hipotetik).
10
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
10
Melatih kesungguhan dan ketelitian, mencari informasi.
orange
hitam
Mengumpulkan Informasi (Mengeksplorasi)
• Melakukan eksperimen. • Membaca sumber lain selain • • •
Mengasosiasikan/ mengolah informasi
Mengembangkan sikap teliti, ju jur, sopan, menghargai pendapat buku teks pelajaran Matema- orang lain, kemampuan berkomutika Kelas XI. nikasi, menerapkan kemampuan meMengamati objek/kejadian. ngumpulkan informasi melalui ber bagai cara yang dipelajari, mengemAktivitas. Wawancara dengan narasum- bangkan kebiasaan belajar dan bela ber. jar sepanjang hayat.
• Mengolah informasi yang sudah dikumpulkan baik terbatas dari hasil kegiatan mengumpulkan/eksperimen maupun hasil dari kegiatan mengamati dan kegiatan mengumpulkan informasi.
Mengembangkan sikap jujur, teliti, disiplin, taat aturan, kerja keras, kemampuan menerapkan prosedur dan kemampuan berpikir induktif serta deduktif dalam menyimpulkan.
• Pengolahan informasi yang dikumpulkan dari yang bersifat menambah keluasan dan kedalaman sampai kepada pengolahan informasi yang bersifat mencari solusi dari berbagai sumber yang memiliki pendapat yang berbeda sampai kepada yang bertentangan. Mengomunikasikan
Menyampaikan hasil pengamatan, dan kesimpulan berdasarkan hasil analisis secara lisan, tertulis, atau media lainnya.
Mengembangkan sikap jujur, teliti, toleransi, kemampuan berpikir sistematis, mengungkapkan pendapat dengan singkat dan jelas, dan mengembangkan kemampuan ber bahasa yang baik dan benar.
Berikutnya adalah contoh aplikasi dari kelima kegiatan belajar ( learning event ) yang diuraikan dalam tabel di atas (Permendikbud Nomor 81A Tahun 2013).
a. Mengamati Dalam kegiatan mengamati, guru membuka secara luas dan bervariasi kesempatan peserta didik untuk melakukan pengamatan melalui kegiatan: melihat, menyimak, mendengar, dan membaca. Guru memfasilitasi peserta didik untuk melakukan pengamatan, melatih mereka untuk memerhatikan (melihat, membaca, mendengar) hal yang penting dari suatu benda atau objek.
b. Menanya Dalam kegiatan menanya, guru membuka kesempatan secara luas kepada peserta didik untuk bertanya mengenai apa yang sudah dilihat, disimak, dibaca atau dilihat. Guru perlu membimbing peserta didik untuk dapat mengajukan pertanyaan-pertanyaan
Petunjuk Umum
11
11
orange
hitam
tentang yang hasil pengamatan objek yang konkret sampai kepada yang abstrak berkenaan dengan fakta, konsep, prosedur, ataupun hal lain yang lebih abstrak. Pertanyaan yang bersifat faktual sampai kepada pertanyaan yang bersifat hipotetik. Dari situasi di mana peserta didik dilatih menggunakan pertanyaan dari guru, masih memerlukan bantuan guru untuk mengajukan pertanyaan sampai ke tingkat dimana peserta didik mampu mengajukan pertanyaan secara mandiri. Dari kegiatan kedua dihasilkan sejumlah pertanyaan. Melalui kegiatan bertanya dikembangkan rasa ingin tahu peserta didik. Semakin terlatih dalam bertanya, maka rasa ingin tahu semakin dapat dikembangkan. Pertanyaan tersebut menjadi dasar untuk mencari informasi yang lebih lanjut dan beragam dari sumber yang ditentukan guru sampai yang ditentukan peserta didik, dari sumber yang tunggal sampai sumber yang beragam.
c.
Mengumpulkan Informasi Tindak lanjut dari bertanya adalah menggali dan mengumpulkan informasi dari berbagai sumber melalui berbagai cara. Untuk itu peserta didik dapat membaca buku yang lebih banyak, memerhatikan fenomena atau objek yang lebih teliti, atau bahkan melakukan eksperimen.
d. Mengasosiasikan Informasi yang terkumpul menjadi dasar bagi kegiatan mengasosiasi. Kegiatan ini dilakukan untuk memproses informasi agar ditemukan keterkaitan sat u informasi dengan informasi lainnya, menemukan pola dari keterkaitan informasi dan bahkan mengambil berbagai kesimpulan dari pola yang ditemukan.
e.
Mengomunikasikan Hasil Kegiatan berikutnya adalah menuliskan atau menceritakan apa yang ditemukan dalam kegiatan mencari informasi, mengasosiasikan dan menemukan pola. Hasil tersebut disampaikan di kelas dan dinilai oleh guru sebagai hasil belajar peserta didik atau kelompok peserta didik tersebut.
2. Model Pembelajaran Matematika Model pembelajaran diperlukan sebagai prosedur dalam mengorganisasikan pengalaman belajar dan untuk mencapai tujuan belajar bagi para pengajar dalam merencanakan dan melaksanakan aktivitas pembelajaran. Menurut Syaiful Sagala (dalam Ujang Aris Ruba’i, 2013: 3-4) model pembelajaran adalah kerangka konseptual yang melukiskan prosedur yang sistematis dalam mengorganisasikan pengalaman belajar peserta didik untuk mencapai tujuan belajar tertentu, dan berfungsi sebagai pedoman bagi perancang pembelajaran dan guru dalam merencanakan dan melaksanakan aktivitas belajar mengajar.
Bruce dan Weil (dalam Ujang Aris Ruba’i, 2013: 8-9) mengidentikasi karakteristik model pembelajaran ke dalam aspek-aspek berikut.
12
a.
Sintaks. Suatu model pembelajaran memiliki sintaks atau urutan atau tahap-tahap kegiatan belajar yang diistilahkan dengan fase yang menggambarkan bagaimana model tersebut dalam praktiknya, misalnya bagaimana memulai pelajaran.
b.
Sistem sosial. Sistem ini menggambarkan bentuk kerja sama guru peserta didik dalam pembelajaran atau peran-peran guru dan peserta didik dan hubungannya
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
12
orange
hitam
satu sama lain dan jenis-jenis aturan yang harus diterapkan. Peran kepemimpinan guru bervariasi dalam satu model ke model pembelajaran lainnya. Dalam beberapa model pembelajaran, guru bertindak sebagai pusat kegiatan dan sumber belajar (hal ini berlaku pada model yang terstruktur tinggi), namun dalam model pembelajaran yang terstruktur sedang peran guru dan peserta didik seimbang. Setiap model memberikan peran yang berbeda pada guru dan peserta didik. c.
Prinsip reaksi. Prinsip ini menunjukkan kepada guru bagaimana cara menghargai atau menilai peserta didik dan bagaimana menanggapi apa yang dilakukan oleh peserta didik. Sebagai contoh, dalam suatu situasi belajar, guru memberi penghargaan atas kegiatan yang dilakukan peserta didik atau mengambil sikap netral.
d.
Sistem pendukung. Sistem ini menggambarkan kondisi-kondisi yang diperlukan untuk mendukung keterlaksanaan model pembelajaran, termasuk sarana dan prasarana, misalnya alat dan bahan, kesiapan guru, serta kesiapan peserta didik.
e.
Dampak pembelajaran langsung dan iringan. Dampak pembelajaran langsung merupakan hasil belajar yang dicapai dengan cara mengarahkan para peserta didik pada tujuan yang diharapkan sedangkan dampak iringan adalah hasi l belajar lainnya yang dihasilkan oleh suatu proses pembelajaran sebagai akibat terciptanya suasana belajar yang dialami langsung oleh peserta didik.
Setiap model pembelajaran harus kita sesuaikan dengan mata pelajaran atau materi pelajaran yang akan kita ajarkan. Pemilihan model juga harus mempertimbangkan tujuan pembelajaran, sifat materi pelajaran, ketersediaan fasilitas, kondisi peserta didik, alokasi waktu yang tersedia, serta kesesuaian dengan upaya menumbuhkembangkan kecerdasan emosional (linguistik, logika matematika, spasial, kinestetik, musikal, interpersonal, intrapersonal, dan natural). Ciri model pembelajaran yang baik adalah adanya keterlibatan intelektual– emosional peserta didik. Hal tersebut terlihat dari ada tidaknya kegiatan yang mengajak peserta didik untuk mengalami, menganalisis, berbuat, dan membentuk sikap secara aktif dan kreatif. Untuk mencapai hal tersebut, maka peranan guru dalam model pembelajaran adalah sebagai fasilitator, koordinator, mediator, dan motivator kegiatan belajar peserta didik. Tentunya hal tersebut, harus pula didukung oleh ketersediaan berbagai metode, alat, dan media pembelajaran. Guru sebaiknya melakukan pengembangan model pembelajaran dengan memerhatikan hal-hal sebagai berikut. a.
Menetapkan tujuan pembelajaran dengan jelas.
b.
Pembelajaran berfokus pada peserta didik.
c.
Menekankan pada penguasaan kompetensi.
d.
Menekankan pada pencapaian kinerja.
e.
Menggunakan strategi pembelajaran yang dapat mengakomodasi cara belajar yang bervariasi.
f.
Pembelajaran dilakukan secara individual dan dilakukan dengan menggunakan modul.
g.
Memerhatikan kebutuhan dan kecepatan belajar peserta didik secara individual.
Petunjuk Umum
13
13
orange
hitam
h.
Media dan materi belajar didesain untuk membantu pencapaian kompetensi.
i.
Kegiatan pembelajaran memerhatikan memudahkan dalam pengaturan program.
j.
Kegiatan pembelajaran diadministrasikan secara teratur.
k.
Memanfaatkan sumber daya internal dan eksternal sekolah.
l.
Pembelajaran dapat dilakukan di dalam dan di luar sekolah.
kemudahan
untuk
dimonitor
sehingga
m. Melakukan penilaian hasil belajar untuk mendapatkan umpan balik. n.
Penilaian dilakukan secara individual.
o.
Kemampuan peserta didik dalam menguasai kompetensi ditentukan dengan mem bandingkan standar yang berlaku.
Berdasarkan paparan tentang model pembelajaran yang disajikan di atas, penyusun menyajikan beberapa model pembelajaran yang dapat dipilih sesuai dengan kajian kurikulum.
a.
Model Pembelajaran Berbasis Masalah (PBM) Pembelajaran berbasis masalah adalah pendekatan pembelajaran yang menggunakan masalah autentik sebagai sumber belajar, sehingga peserta didik dilatih berpikir tingkat tinggi dan mengembangkan kepribadian lewat masalah dalam kehidupan sehari-hari. (Hamzah dan Nurdin Mohamad, 2013:112). Sebagai model pembelajaran, maka pembelajaran berdasarkan masalah memiliki ciri sebagai berikut. 1)
Mengorientasikan peserta didik pada masalah autentik.
2)
Berfokus pada keterkaitan antara disiplin lainnya.
3)
Penyelidikan autentik.
4)
Menghasilkan produk dan melakukannya.
Menurut Ibrahim (dalam Hamzah dan Nurdin Mohamad, 2013:112-113), fase-fase model pembelajaran ini adalah sebagai berikut. 1)
Perencanaan
2)
Penetapan tujuan
3)
Merancang situasi masalah
4)
Organisasi sumber daya dan rencana logistik
5)
Pelaksanaan
6)
Organisasi peserta didik pada masalah
7)
Mengorganisasikan peserta didik untuk belajar
8)
Membantu penyelidikan mandiri dan kelompok
9)
Mengembangkan hasil karya
10) Menganalisis dan mengevaluasi proses pemecahan masalah 11) Evaluasi
b. Model Pembelajaran Berbasis Proyek
Menurut Joel L. Klein et. al (dalam Theresia Widyantini, 2014: 3-4) menjelaskan bahwa pembelajaran berbasis proyek adalah strategi pembelajaran yang memberdayakan peserta didik untuk memperoleh pengetahuan dan pemahaman baru 14
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
14
orange
hitam
berdasar pengalamannya melalui berbagai presentasi. Adapun karakteristik pembelajaran berbasis proyek adalah peserta didik menyelidiki ide-ide penting dan bertanya, peserta didik menemukan pemahaman dalam proses menyelidiki, sesuai dengan kebutuhan dan minatnya, menghasilkan produk dan berpikir kreatif, kritis dan terampil menyelidiki, menyimpulkan materi, serta menghubungkan dengan masalah dunia nyata, autentik dan isu-isu. Model ini menuntut peserta didik melakukan eksplorasi, penilaian, interpretasi, sintesis, dan informasi untuk menghasilkan berbagai bentuk hasil belajar. Pembelajaran ini, juga memberikan kesempatan kepada guru untuk mengelola pembelajaran di kelas dengan melibatkan kerja proyek. Kerja proyek memuat tugas-tugas yang kompleks berdasarkan permasalahan ( problem) sebagai langkah awal dalam mengumpulkan dan mengintegrasikan pengetahuan baru berdasarkan pengalamannya dalam beraktivitas secara nyata dan menuntut peserta didik untuk melakukan kegiatan merancang, memecahkan masalah, membuat keputusan, melakukan kegiatan investigasi, serta memberikan kesempatan peserta didik untuk bekerja secara mandiri maupun kelompok. Hasil akhir dari kerja proyek tersebut adalah suatu produk yang antara lain berupa laporan tertulis atau lisan, presentasi atau rekomendasi.
Ciri-ciri pembelajaran berbasis proyek (Muliawati dalam Theresia Widyantini, 2014: 6-10) adalah sebagai berikut. 1)
Adanya permasalahan atau tantangan kompleks yang diajukan ke peserta didik.
2)
Peserta didik mendesain proses penyelesaian permasalahan atau tantangan yang diajukan dengan menggunakan penyelidikan.
3)
Peserta didik mempelajari dan menerapkan keterampilan serta pengetahuan yang dimilikinya dalam berbagai konteks ketika mengerjakan proyek.
4)
Peserta didik bekerja dalam tim kooperatif demikian juga pada saat mendiskusikannya dengan guru.
5)
Peserta didik mempraktikkan berbagai keterampilan yang dibutuhkan untuk kehidupan dewasa mereka dan karir (bagaimana mengalokasikan waktu, menjadi individu yang bertanggung jawab, keterampilan pribadi, belajar melalui pengalaman).
6) Peserta didik secara berkala melakukan reeksi atas aktivitas yang sudah di jalankan. 7)
Produk akhir peserta didik dalam mengerjakan proyek dievaluasi.
Ada pun langkah-langkah pelaksanaan pembelajaran berbasis proyek adalah sebagai berikut. 1)
Penentuan Pertanyaan Mendasar (Start With the Essential Question ). Pembelajaran dimulai dengan pertanyaan esensial yaitu pertanyaan yang dapat memberi penugasan kepada peserta didik dalam melakukan suatu aktivitas. Topik penugasan sesuai dengan dunia nyata yang relevan untuk peserta didik dan dimulai dengan sebuah investigasi mendalam.
2)
Mendesain Perencanaan Proyek ( Design a Plan for the Project ). Perencanaan dilakukan secara kolaboratif antara guru dan peserta didik. Dengan demikian peserta didik diharapkan akan merasa “memiliki” atas proyek tersebut. Perencanaan berisi tentang aturan main, pemilihan aktivitas yang dapat mendukung dalam menjawab pertanyaan esensial, dengan cara mengintegrasikan berbagai subjek yang mungkin, Petunjuk Umum
15
15
orange
hitam
serta mengetahui alat dan bahan yang dapat diakses untuk membantu penyelesaian proyek. 3)
Menyusun Jadwal (Create a Schedule). Guru dan peserta didik secara kolaboratif menyusun jadwal aktivitas dalam menyelesaikan proyek. Aktivitas pada tahap ini antara lain: a) membuat timeline (alokasi waktu) untuk menyelesaikan proyek, b) membuat deadline (batas waktu akhir) penyelesaian proyek, c) membawa peserta didik agar merencanakan cara yang baru, d) membimbing peserta didik ketika mereka membuat cara yang tidak berhubungan dengan proyek, dan e) meminta peserta didik untuk membuat penjelasan (alasan) tentang pemilihan suatu cara.
4)
Memonitor peserta didik dan kemajuan proyek ( Monitor the Students and the Progress of the Project ). Guru bertanggung jawab untuk melakukan monitor terhadap aktivitas peserta didik selama menyelesaikan proyek. Monitoring dilakukan dengan cara menfasilitasi peserta didik pada setiap proses. Dengan kata lain guru berperan menjadi mentor bagi aktivitas peserta didik. Agar mempermudah proses monitoring, dibuat sebuah rubrik yang dapat merekam keseluruhan aktivitas yang penting.
5)
Menguji Hasil ( Assess the Outcome). Penilaian dilakukan untuk membantu guru dalam mengukur ketercapaian standar, berperan dalam mengevaluasi kemajuan masing-masing peserta didik, memberi umpan balik tentang tingkat pemahaman yang sudah dicapai peserta didik, membantu guru dalam menyusun strategi pembelajaran berikutnya.
6)
Mengevaluasi Pengalaman ( Evaluate the Experience). Pada akhir pembelajaran, guru
dan peserta didik melakukan reeksi terhadap aktivitas dan hasil proyek yang sudah dijalankan. Proses reeksi dilakukan baik secara individu maupun kelompok. c.
Model Pembelajaran Penemuan ( Discovery Learning ) Dalam modul pelatihan implementasi kurikulum 2013 (2013:220), disebutkan bahwa metode Discovery Learning adalah teori belajar yang didenisikan sebagai proses pembelajaran yang terjadi bila pelajar tidak disajikan dengan pelajaran dalam bentuk
nalnya, tetapi diharapkan mengorganisasi sendiri. Sebagai strategi belajar, Discovery Learning mempunyai prinsip yang sama dengan inkuiri (inquiry) dan Problem Solving . Perbedaannya, pada Discovery Learning lebih menekankan pada ditemukannya konsep atau prinsip yang sebelumnya tidak diketahui. Hal yang juga berbeda adalah pada discovery, masalah yang diperhadapkan hasil rekayasa guru, sedangkan pada inkuiri masalahnya bukan hasil rekayasa. Penerapan model Discovery Learning diharapkan mampu meningkatkan kemampuan penemuan diri. Peserta didik juga diharapkan lebih aktif dan kreatif. Hal tersebut sesuai dengan pembelajaran yang teacher oriented ke student oriented . Mengubah modus Ekspositori dimana peserta didik hanya menerima informasi dari guru ke modus Discovery yang menuntut peserta didik menemukan informasi sendiri. Menurut Syah (dalam modul implementasi kurikulum 2013) dalam mengaplikasikan metode Discovery Learning di kelas, ada beberapa prosedur yang harus dilaksanakan dalam kegiatan belajar mengajar secara umum sebagai berikut. 16
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
16
orange
hitam
1)
Langkah Persiapan a) Menentukan tujuan pembelajaran.
b) Melakukan identikasi karakteristik peserta didik (kemampuan awal, minat, c) d) e) f) g) 2)
gaya belajar, dan sebagainya). Memilih materi pelajaran. Menentukan topik-topik yang harus dipelajari peserta didik secara induktif (dari contoh-contoh generalisasi). Mengembangkan bahan-bahan belajar yang berupa contoh-contoh, ilustrasi, tugas dan sebagainya untuk dipelajari peserta didik. Mengatur topik-topik pelajaran dari yang sederhana ke kompleks, dari yang konkret ke abstrak, atau dari tahap enaktif, ikonik sampai ke simbolik. Melakukan penilaian proses dan hasil belajar peserta didik.
Pelaksanaan a)
Stimulation (Stimulasi/Pemberian Rangsangan)
Pertama-tama pada tahap ini pelajar dihadapkan pada sesuatu yang menimbulkan kebingungannya, kemudian dilanjutkan untuk tidak memberi generalisasi, agar timbul keinginan untuk menyelidiki sendiri. Disamping itu guru dapat memulai kegiatan PBM dengan mengajukan pertanyaan, anjuran membaca buku, dan aktivitas belajar lainnya yang mengarah pada persiapan pemecahan masalah. Stimulasi pada tahap ini berfungsi untuk menyediakan kondisi interaksi belajar yang dapat mengembangkan dan membantu peserta didik dalam mengeksplorasi bahan. Dalam hal ini Bruner memberikan stimulation dengan menggunakan teknik bertanya yaitu dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang dapat menghadapkan peserta didik pada kondisi internal yang mendorong eksplorasi. Dengan demikian seorang Guru harus menguasai teknik-teknik dalam memberi stimulus kepada peserta didik agar tujuan mengaktifkan peserta didik untuk mengeksplorasi dapat tercapai. b)
Problem Statement (Pernyataan/ Identikasi Masalah)
Setelah dilakukan stimulasi langkah selanjutya adalah guru memberi
kesempatan kepada peserta didik untuk mengidentikasi sebanyak mungkin agenda-agenda masalah yang relevan dengan bahan pelajaran, kemudian salah satunya dipilih dan dirumuskan dalam bentuk hipotesis (jawaban sementara atas pertanyaan masalah), sedangkan menurut permasalahan yang dipilih itu selanjutnya harus dirumuskan dalam bentuk pertanyaan, atau hipotesis, yakni pernyataan ( statement ) sebagai jawaban sementara atas pertanyaan yang diajukan.
Memberikan kesempatan peserta didik untuk mengidentikasi dan menganalisis permasalahan yang mereka hadapi, merupakan teknik yang berguna dalam membangun peserta didik agar mereka terbiasa untuk menemukan suatu masalah.
Petunjuk Umum
17
17
orange
hitam
c)
Data Collection (Pengumpulan Data)
Ketika eksplorasi berlangsung guru juga memberi kesempatan kepada para peserta didik untuk mengumpulkan informasi sebanyak-banyaknya yang relevan untuk membuktikan benar atau tidaknya hipotesis. Pada tahap ini berfungsi untuk menjawab pertanyaan atau membuktikan benar tidaknya hipotesis. Dengan demikian peserta didik diberi kesempatan untuk mengumpulkan (collection) berbagai informasi yang relevan, membaca literatur, mengamati objek, wawancara dengan narasumber, melakukan uji coba sendiri dan sebagainya. Konsekuensi dari tahap ini adalah peserta didik belajar secara aktif untuk menemukan sesuatu yang berhubungan dengan permasalahan yang dihadapi, dengan demikian secara tidak disengaja peserta didik menghubungkan masalah dengan pengetahuan yang telah dimiliki. d)
Data Processing (Pengolahan Data)
Pengolahan data merupakan kegiatan mengolah data dan informasi yang telah diperoleh para peserta didik baik melalui wawancara, observasi, dan sebagainya, lalu ditafsirkan. Semua informasi hasil bacaan, wawancara,
observasi, dan sebagainya, semuanya diolah, diacak, diklasikasikan, ditabulasi, bahkan bila perlu dihitung dengan cara tertentu serta ditafsirkan pada tingkat kepercayaan tertentu. Data processing disebut juga dengan pengkodean coding /kategorisasi yang berfungsi sebagai pembentukan konsep dan generalisasi. Dari generalisasi tersebut peserta didik akan mendapatkan pengetahuan baru tentang alternatif jawaban/ penyelesaian yang perlu mendapat pembuktian secara logis. e)
Verication (Pembuktian)
Pada tahap ini peserta didik melakukan pemeriksaan secara cermat untuk membuktikan benar atau tidaknya hipotesis yang ditetapkan tadi dengan temuan alternatif, dihubungkan dengan hasil data processing. Verication menurut Bruner, bertujuan agar proses belajar akan berjalan dengan baik dan kreatif jika guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk menemukan suatu konsep, teori, aturan atau pemahaman melalui contoh-contoh yang ia jumpai dalam kehidupannya. Berdasarkan hasil pengolahan dan tafsiran, atau informasi yang ada, pernyataan atau hipotesis yang telah dirumuskan terdahulu itu kemudian dicek, apakah terjawab atau tidak, apakah terbukti atau tidak. f)
Generalization (Menarik Kesimpulan/Generalisasi)
Tahap generalisasi/menarik kesimpulan adalah proses menarik sebuah kesimpulan yang dapat dijadikan prinsip umum dan berlaku untuk semua
kejadian atau masalah yang sama, dengan memerhatikan hasil verikasi. Berdasarkan hasil verikasi, maka dirumuskan prinsip-prinsip yang mendasari generalisasi. Setelah menarik kesimpulan peserta didik harus memerhatikan proses generalisasi yang menekankan pentingnya penguasaan pelajaran atas makna dan kaidah atau prinsip-prinsip yang luas yang mendasari pengalaman seseorang, serta pentingnya proses pengaturan dan generalisasi dari pengalaman pengalaman itu. 18
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
18
orange
hitam
F
Media Pembelajaran
Media merupakan berbagai jenis komponen dalam lingkungan peserta didik yang dapat merangsang untuk belajar. Media pembelajaran merupakan segala s esuatu yang dapat menyalurkan pesan, dapat merangsang pikiran, perasaan, dan kemauan peserta didik sehingga dapat mendorong terciptanya proses belajar pada diri peserta didik. Awalnya, media pembelajaran hanya berfungsi sebagai alat bantu guru untuk mengajar, yang digunakan adalah alat bantu visual. Sekitar pertengahan abad ke-20, usaha pemanfaatan visual dilengkapi dengan digunakannya alat audio, sehingga lahirlah alat bantu audio-visual. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi (iptek), khususnya dalam bidang pendidikan, saat ini penggunaan alat bantu atau media pembelajaran menjadi semakin luas dan interaktif, seperti adanya komputer dan internet. Jenis media pembelajaran yang sering digunakan dalam kegiatan pembelajaran sangat banyak ragamnya. Dari yang paling sederhana dan murah hingga yang canggih dan mahal. Ada yang dapat dibuat oleh guru sendiri dan ada yang diproduksi oleh pabrik. Ada yang sudah tersedia di lingkungan untuk langsung dimanfaatkan, dan ada yang sengaja dirancang sesuai dengan kebutuhan kegiatan pembelajaran. Secara umum, jenis-jenis media pembelajaran yang sering digunakan oleh guru di sekolah, antara lain sebagai berikut. 1.
Audio : kaset audio, siaran radio, CD, telepon.
2. Cetak : buku peserta didik, modul, brosur, leaet, gambar. 3.
Audio-cetak : kaset audio yang dilengkapi bahan tertulis.
4. 5. 6. 7. 8.
Proyeksi visual diam : overhead transparansi (OHT), lm bingkai (slide). Proyeksi audio visual diam : lm bingkai (slide) bersuara. Visual gerak : lm bisu. Audio visual gerak : lm gerak bersuara, video/VCD, televisi. Objek sik : benda nyata, model, spesimen.
9.
Manusia dan lingkungan : guru, pustakawan, laboran.
10. Komputer Adapun secara khusus media pembelajaran yang dapat digunakan oleh guru dalam mata pelajaran matematika peminatan untuk SMA/MA, antara lain sebagai berikut. 1.
Cetak : buku pelajaran, buku tugas, gambar.
2. Objek sik : benda nyata, model, spesimen. 3.
Manusia dan lingkungan : guru.
4.
Komputer
G
Proses Kegiatan dan Evaluasi Pembelajaran Matematika
1. Proses Kegiatan Pembelajaran Proses kegiatan pembelajaran Matematika dapat dirumuskan pada rencana pembelajaran. Pedoman rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum 2013 dan sintaksis model Petunjuk Umum
19
19
orange
hitam
pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum Matematika, ditetapkan hal-hal berikut. a.
Kompetensi dasar dan kegiatan pembelajaran untuk setiap bahasan. Rumusan kompetensi dasar dan kegiatan pembelajaran harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip pembelajaran Matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar peserta didik, seperti menyelesaikan masalah autentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagai pengetahuan, saling membantu, berdiskusi dalam menyelesaikan masalah.
b.
Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik dan peta konsep.
c.
Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh peserta didik sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal peserta didik (pretes).
d.
Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru. Misalnya, rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku peserta didik, Lembar Kegiatan Peserta didik (LKS), dan kumpulan berbagai masalah-masalah.
e.
Alokasi waktu, yaitu banyaknya jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk setiap pokok bahasan. Penentuan ratarata banyak jam pelajaran untuk suatu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk semester tersebut.
f.
Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara lain: Produk Proses
Kognitif Psikomotor Afektif
: :
Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok. Apersepsi, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah, merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja, dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah. : Kemampuan Matematika, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, objektif, dan berpikir kreatif). : Keterampilan menyelesaikan masalah, keterampilan berkolaborasi, dan kemampuan berkomunikasi. : Menghargai pendapat orang lain, dapat menerima perbedaan setiap individu, bekerja sama, jujur mengungkapkan pendapat, senang belajar Matematika, dan tangguh menghadapi suatu permasalahan.
Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis konstruktivistik. Adapun rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks. Oleh karena itu, skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran disusun mengikuti setiap langkahlangkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model pembelajaran terdiri dari lima langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) menganalisis, dan (5) mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan pembelajaran dijabarkan sebagai berikut. 1)
20
Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain: a)
Menginformasikan kompetensi dasar dan tujuan pembelajaran.
b)
Menciptakan persepsi positif dalam diri peserta didik terhadap budayanya dan Matematika sebagai hasil konstruksi sosial.
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
20
orange
hitam
2)
3)
4)
c)
Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan peserta didik dalam menyelesaikan masalah.
d)
Memberikan motivasi belajar pada peserta didik melalui penanaman nilai-nilai positif dari pembelajaran Matematika, soft skill dan kebergunaan Matematika.
e)
Memberi kesempatan pada peserta didik menanyakan hal-hal yang sulit dimengerti pada materi sebelumnya.
Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif antara lain: a)
Membentuk kelompok.
b)
Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya peserta didik.
c)
Meminta peserta didik memahami masalah secara individual dan kelompok.
d)
Mendorong peserta didik bekerja sama menyelesaikan tugas-tugas.
e)
Membantu peserta didik merumuskan hipotesis (dugaan).
f)
Membimbing, mendorong/mengarahkan mengerjakan LKS.
g)
Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami kesulitan.
h)
Mengondisikan antarkelompok berdiskusi dan berdebat dengan pola kooperatif.
i)
Mendorong peserta didik mengekspresikan ide-ide secara terbuka.
j)
Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan peserta didik dalam menyelesaikan masalah dalam pemberian solusi.
peserta
didik
menyelesaikan
dan
Kegiatan guru pada tahap presentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain: a)
Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian masalah di depan kelas.
b)
Membimbing peserta didik menyajikan hasil kerja.
c)
Memberi kesempatan kelompok lain menanggapi hasil kerja kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran.
d)
Membantu peserta didik menemukan konsep berdasarkan masalah.
e)
Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif.
f)
Mendorong keterbukaan dan proses-proses demokrasi.
g)
Menguji pemahaman peserta didik.
Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah antara lain: a)
Membantu peserta didik mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah.
b)
Memotivasi peserta didik untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif.
c)
Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau peta materi.
2. Prinsip-prinsip Evaluasi Prinsip-prinsip evaluasi dalam mata pelajaran Matematika kelas XI, yaitu sebagai berikut. Petunjuk Umum
21
21
orange
hitam
a.
Menentukan aspek dari hasil belajar Matematika yang sudah dan belum dikuasai peserta didik setelah satu proses pembelajaran.
b.
Umpan balik bagi peserta didik untuk memperbaiki hasil belajar yang kurang atau belum dikuasai.
c.
Umpan balik bagi guru untuk memberikan bantuan bagi peserta didik yang mengalami masalah dalam penguasaan pengetahuan, kemampuan, nilai, dan sikap.
d.
Umpan balik bagi guru untuk memperbaiki perencanaan pembelajaran berikutnya.
e.
Aspek-aspek yang dievaluasi mencakup hal-hal berikut. 1)
Produk: Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok.
2)
Proses: Apersepsi, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah, merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja, dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah.
3)
Kognitif: Kemampuan Matematika, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, objektif, dan berpikir kreatif).
4)
Afektif: Keterampilan menyelesaikan masalah, keterampilan berkolaborasi, dan kemampuan berkomunikasi.
5)
Psikomotor: Menghargai pendapat orang lain, dapat menerima perbedaan setiap individu, bekerja sama, jujur mengungkapkan pendapat, senang belajar Matematika, dan tangguh menghadapi suatu permasalahan.
Pendidik melakukan penilaian terhadap peserta didik selama proses dan setelah pembelajaran berlangsung. Penilaian dapat berupa tes tertulis, lisan, uraian, produk, observasi, dan lain sebagainya. Apabila nilai peserta didik tidak memenuhi kompetensi yang diharapkan, Bapak/Ibu guru dapat melakukan remedial kepada peserta didik yang bersangkutan. Bentuk soal-soal remedial dapat disesuaikan dengan kebutuhan peserta didik.
H
Penilaian Pembelajaran Matematika
Untuk mempelajari tentang penilaian dalam kurikulum 2013, kita coba pelajari Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 81A Tahun 2013 Tentang Implementasi Kurikulum. Berikut ini adalah penjelasannya.
1. Konsep Penilaian Hasil Belajar a.
Defnisi Operasional
Penilaian didenisikan sebagai proses mengumpulkan informasi/bukti melalui pengukuran, menafsirkan, mendeskripsikan, dan menginterpretasi bukti-bukti hasil pengukuran. Cakupan penilaian dalam Kurikulum 2013 tertuang dalam kompetensi inti (KI) yang dirumuskan sebagai berikut. 1)
KI-1: kompetensi inti sikap spiritual.
2)
KI-2: kompetensi inti sikap sosial.
3)
KI-3: kompetensi inti pengetahuan.
4)
KI-4: kompetensi inti keterampilan. Penentuan setiap materi pokok terdapat dalam rumusan KD untuk setiap aspek KI.
22
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
22
orange
hitam
Jadi, untuk suatu materi pokok tertentu, muncul 4 KD sebagai berikut. 1)
KD pada KI-1: aspek sikap spiritual (untuk mata pelajaran tertentu bersifat generik, artinya berlaku untuk seluruh materi pokok)
2)
KD pada KI-2: aspek sikap sosial (untuk mata pelajaran tertentu bersifat relatif generik, namun beberapa materi pokok tertentu ada KD pada KI-3 yang berbeda dengan KD lain pada KI-2)
3)
KD pada KI-3: aspek pengetahuan
4)
KD pada KI-4: aspek keterampilan
b. Metode dan Instrumen Penilaian Berbagai metode dan instrumen baik formal maupun nonformal dapat digunakan dalam penilaian. Hal tersebut untuk mengumpulkan informasi yang menyangkut semua perubahan yang terjadi baik secara kualitatif maupun kuantitatif. Prosesnya dapat dilakukan selama pembelajaran berlangsung (penilaian proses) dan setelah pembelajaran usai dilaksanakan (penilaian hasil/produk). Proses penilaian informal bisa berupa komentar-komentar guru yang diberikan/ diucapkan selama proses pembelajaran. Saat seorang peserta didik menjawab pertanyaan guru, saat seorang peserta didik atau beberapa peserta didik mengajukan pertanyaan kepada guru atau temannya, atau saat seorang peserta didik memberikan komentar terhadap jawaban guru atau peserta didik lain, guru telah melakukan penilaian informal terhadap performansi peserta didik tersebut. Penilaian proses formal, sebaliknya, merupakan suatu teknik pengumpulan informasi
yang dirancang untuk mengidentikasi dan merekam pengetahuan dan keterampilan peserta didik. Berbeda dengan penilaian proses informal, penilaian proses formal merupakan kegiatan yang disusun dan dilakukan secara sistematis dengan tujuan untuk membuat suatu simpulan tentang kemajuan peserta didik.
2. Komponen Penilaian Hasil Belajar a.
Prinsip, Pendekatan, dan Karakteristik Penilaian 1)
Prinsip Penilaian
Penilaian hasil belajar peserta didik pada jenjang pendidikan dasar dan menengah didasarkan pada prinsip-prinsip sebagai berikut. a) Sahih, berarti penilaian didasarkan pada data yang mencerminkan kemampuan yang diukur. b) Objektif, berarti penilaian didasarkan pada prosedur dan kriteria yang jelas, tidak dipengaruhi subjektivitas penilai. c) Adil, berarti penilaian tidak menguntungkan atau merugikan peserta didik karena berkebutuhan khusus serta perbedaan latar belakang agama, suku, budaya, adat istiadat, status sosial ekonomi, dan gender. d) Terpadu, berarti penilaian oleh pendidik merupakan salah satu komponen yang tak terpisahkan dari kegiatan pembelajaran. e) Terbuka, berarti prosedur penilaian, kriteria penilaian, dan dasar pengambilan keputusan dapat diketahui oleh pihak yang berkepentingan. f) Menyeluruh dan berkesinambungan, berarti penilaian oleh pendidik mencakup semua Petunjuk Umum
23
23
orange
hitam
g) h) i) j) 2)
aspek kompetensi dengan menggunakan berbagai teknik penilaian yang sesuai, untuk memantau perkembangan kemampuan peserta didik. Sistematis, berarti penilaian dilakukan secara berencana dan bertahap dengan mengikuti langkah-langkah baku. Beracuan kriteria, berarti penilaian didasarkan pada ukuran pencapaian kompetensi yang ditetapkan. Akuntabel, berarti penilaian dapat dipertanggungjawabkan, baik dari segi teknik, prosedur, maupun hasilnya. Edukatif, berarti penilaian dilakukan untuk kepentingan dan kemajuan pendidikan peserta didik.
Pendekatan Penilaian
Penilaian menggunakan pendekatan sebagai berikut. a)
Acuan Patokan
Semua kompetensi perlu dinilai dengan menggunakan acuan patokan berdasarkan pada indikator hasil belajar. Sekolah menetapkan acuan patokan sesuai dengan kondisi dan kebutuhannya. b)
Ketuntasan Belajar
Ketuntasan belajar ditentukan sebagai berikut. Predikat
A A– B+ B B– C+ C C– D+ D
Nilai Kompetensi Pengetahuan
Keterampilan
4 3,66 3,33 3 2,66 2,33 2 1,66 1,33 1
4 3,66 3,33 3 2,66 2,33 2 1,66 1,33 1
Sikap
SB B
C K
(1) Untuk KD pada KI-3 dan KI-4, seorang peserta didik dinyatakan belum tuntas belajar untuk menguasai KD yang dipelajarinya apabila menunjukkan indikator nilai < 2,66 dari hasil tes formatif. (2) Untuk KD pada KI-3 dan KI-4, seorang peserta didik dinyatakan sudah tuntas belajar untuk menguasai KD yang dipelajarinya apabila menunjukkan
indikator nilai ≥ 2,66 dari hasil tes formatif. (3) Untuk KD pada KI-1 dan KI-2, ketuntasan seorang peserta didik dilakukan dengan memerhatikan aspek sikap pada KI-1 dan KI-2 untuk seluruh mata
pelajaran, yakni jika prol sikap peserta didik secara umum berada pada kategori baik (B) menurut standar yang ditetapkan satuan pendidikan yang bersangkutan.
24
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
24
orange
hitam
Implikasi dari ketuntasan belajar tersebut adalah sebagai berikut. (1) Untuk KD pada KI-3 dan KI-4: diberikan remedial individual sesuai dengan kebutuhan kepada peserta didik yang memperoleh nilai kurang dari 2,66; (2) Untuk KD pada KI-3 dan KI-4: diberikan kesempatan untuk melanjutkan pelajarannya ke KD berikutnya kepada peserta didik yang memperoleh nilai 2,66 atau lebih dari 2,66; dan (3) Untuk KD pada KI-3 dan KI-4: diadakan remedial klasikal sesuai dengan kebutuhan apabila lebih dari 75% peserta didik memperoleh nilai kurang dari 2,66. (4) Untuk KD pada KI-1 dan KI-2, pembinaan terhadap peserta didik yang
secara umum prol sikapnya belum berkategori baik dilakukan secara holistik (paling tidak oleh guru mata pelajaran, guru BK, dan orangtua).
b. Karakteristik Penilaian 1)
Belajar Tuntas
Untuk kompetensi pada kategori pengetahuan dan keterampilan (KI-3 dan KI-4), peserta didik tidak diperkenankan mengerjakan pekerjaan berikutnya, sebelum mampu menyelesaikan pekerjaan dengan prosedur yang benar dan hasil yang baik. Asumsi yang digunakan dalam belajar tuntas adalah peserta didik dapat belajar apa pun, hanya waktu yang dibutuhkan yang berbeda. Peserta didik yang belajar lambat perlu waktu lebih lama untuk materi yang sama, dibandingkan peserta didik pada umumnya. 2)
Autentik
Memandang penilaian dan pembelajaran secara terpadu. Penilaian autentik harus mencerminkan masalah dunia nyata, bukan dunia sekolah. Menggunakan
berbagai cara dan kriteria holistik (kompetensi utuh mereeksikan pengetahuan, keterampilan, dan sikap). Penilaian autentik tidak hanya mengukur apa yang diketahui oleh peserta didik, tetapi lebih menekankan mengukur apa yang dapat dilakukan oleh peserta didik. 3) Berkesinambungan
Tujuannya adalah untuk mendapatkan gambaran yang utuh mengenai perkembangan hasil belajar peserta didik, memantau proses, kemajuan, dan perbaikan hasil terus menerus dalam bentuk penilaian proses, dan berbagai jenis ulangan secara berkelanjutan (ulangan harian, ulangan tengah semester, ulangan akhir semester, atau ulangan kenaikan kelas). 4)
Berdasarkan Acuan Kriteria
Kemampuan peserta didik tidak dibandingkan terhadap kelompoknya, tetapi dibandingkan terhadap kriteria yang ditetapkan, misalnya ketuntasan minimal, yang ditetapkan oleh satuan pendidikan masing-masing. 5)
Menggunakan Teknik Penilaian yang Bervariasi
Teknik penilaian yang dipilih dapat berupa tertulis, lisan, produk, portofolio, unjuk kerja, proyek, pengamatan, dan penilaian diri.
Petunjuk Umum
25
25
orange
hitam
3. Strategi Penilaian Hasil Belajar Strategi penilaian hasil belajar dengan menggunakan metode dan teknik penilaian sebagai berikut.
a.
Metode Penilaian Penilaian dapat dilakukan melalui metode tes maupun nontes. Metode tes dipilih bila respons yang dikumpulkan dapat dikategorikan benar atau salah (KD-KD pada KI-3 dan KI-4). Bila respons yang dikumpulkan tidak dapat dikategorikan benar atau salah digunakan metode nontes (KD-KD pada KI-1 dan KI-2). Metode tes dapat berupa tes tulis atau tes kinerja. 1)
Tes tulis dapat dilakukan dengan cara memilih jawaban yang tersedia, misalnya soal bentuk pilihan ganda, benar-salah, dan menjodohkan; ada pula yang meminta peserta menuliskan sendiri responsnya, misalnya soal berbentuk esai, baik esai isian singkat maupun esai bebas.
2)
Tes kinerja juga dibedakan menjadi dua, yaitu perilaku terbatas, yang meminta pe-serta untuk menunjukkan kinerja dengan tugas-tugas tertentu yang terstruktur secara ketat, misalnya peserta diminta menulis paragraf dengan topik yang sudah ditentukan, atau mengoperasikan suatu alat tertentu; dan perilaku meluas, yang menghendaki peserta untuk menunjukkan kinerja lebih komprehensif dan tidak dibatasi, misalnya peserta diminta merumuskan suatu hipotesis, kemudian diminta membuat rancangan dan melaksanakan eksperimen untuk menguji hipotesis tersebut.
Metode nontes digunakan untuk menilai sikap, minat, atau motivasi. Metode nontes umumnya digunakan untuk mengukur ranah afektif (KD-KD pada KI-1 dan KI-2). Metode nontes lazimnya menggunakan instrumen angket, kuisioner, penilaian diri, penilaian rekan sejawat, dan lain-lain. Hasil penilaian ini tidak dapat diinterpretasi
ke dalam kategori benar atau salah, namun untuk mendapatkan deskripsi tentang prol sikap peserta didik.
b. Teknik dan Instrumen Penilaian Untuk mengumpulkan informasi tentang kemajuan peserta didik dapat dilakukan berbagai teknik, baik berhubungan dengan proses maupun hasil belajar. Teknik mengumpulkan informasi tersebut pada prinsipnya adalah cara penilaian kemajuan belajar peserta didik terhadap pencapaian kompetensi. Penilaian dilakukan berdasarkan indikatorindikator pencapaian hasil relajar, baik pada domain kognitif, afektif, maupun psikomotor. Ada tujuh teknik yang dapat digunakan, yaitu: 1)
Penilaian Unjuk Kerja
Penilaian unjuk kerja merupakan penilaian yang dilakukan dengan mengamati kegiatan peserta didik dalam melakukan sesuatu. Penilaian digunakan untuk menilai ketercapaian kompetensi yang menuntut peserta didik melakukan tugas tertentu seperti: praktik di laboratorium, praktik sholat, praktik olahraga, bermain peran, memainkan alat musik, bernyanyi, membaca puisi/deklamasi dll. Penilaian unjuk kerja perlu mempertimbangkan hal-hal berikut. a) Langkah-langkah kinerja yang diharapkan dilakukan peserta didik untuk menunjukkan kinerja dari suatu kompetensi. 26
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
26
orange
hitam
b) c) d)
Kelengkapan dan ketepatan aspek yang akan dinilai dalam kinerja tersebut. Kemampuan-kemampuan khusus yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas. Upayakan kemampuan yang akan dinilai tidak terlalu banyak, sehingga semua dapat diamati. Kemampuan yang akan dinilai diurutkan berdasarkan urutan pengamatan. Penilaian unjuk kerja dapat menggunakan daftar cek dan skala penilaian.
e) a)
Daftar Cek
Daftar cek dipilih jika unjuk kerja yang dinilai relatif sederhana, sehingga
kinerja peserta didik representatif untuk diklasikasikan menjadi dua kategorikan saja, ya atau tidak. b)
Skala Penilaian
Ada kalanya kinerja peserta didik cukup kompleks, sehingga sulit atau
merasa tidak adil kalau hanya diklasikasikan menjadi dua kategori, ya atau tidak, memenuhi atau tidak memenuhi. Oleh karena itu, dapat dipilih skala penilaian lebih dari dua kategori, misalnya 1, 2, dan 3. Namun setiap kategori harus dirumuskan deskriptornya sehingga penilai mengetahui kriteria secara akurat kapan mendapat skor 1, 2, atau 3. Daftar kategori beserta deskriptor kriterianya itu disebut rubrik. Di lapangan sering dirumuskan rubrik universal, misalnya 1 = kurang, 2 = cukup, 3 = baik. Deskriptor semacam ini belum akurat, karena kriteria kurang bagi seorang penilai belum tentu sama dengan penilai lain, karena itu deskriptor dalam rubrik harus jelas dan terukur. Berikut contoh penilaian unjuk kerja dengan skala penilaian beserta rubriknya. 2)
Penilaian Kinerja Melakukan Praktikum No.
Aspek yang Dinilai
1. 2. 3.
Pengamatan Data yang diperoleh Kesimpulan
1
Penilaian 2
3
Rubrik: Aspek yang Dinilai
Penilaian 1
2
3
Pengamatan
Pengamatan tidak cermat
Pengamatan cermat, tetapi mengandung interpretasi
Pengamatan cermat dan bebas interpretasi
Data yang diperoleh
Data tidak lengkap
Data lengkap, tetapi tidak terorganisir, atau ada yang salah tulis
Data lengkap, terorganisir, dan ditulis dengan benar
Petunjuk Umum
27
27
orange
hitam
Kesimpulan
Tidak benar atau tidak sesuai tujuan a)
Sebagian kesimpulan ada yang salah atau tidak sesuai tujuan
Semua kesimpulan benar atau sesuai tujuan
Penilaian Sikap
Sikap bermula dari perasaan (suka atau tidak suka) yang terkait dengan kecenderungan seseorang dalam merespons sesuatu/objek. Sikap juga sebagai ekspresi dari nilai-nilai atau pandangan hidup yang dimiliki oleh seseorang. Sikap terdiri dari tiga komponen, yakni: afektif, kognitif, dan konatif/perilaku. Komponen afektif adalah perasaan yang dimiliki oleh seseorang atau penilaiannya terhadap sesuatu objek. Komponen kognitif adalah kepercayaan atau keyakinan seseorang mengenai objek. Adapun komponen konatif adalah kecenderungan untuk berperilaku atau berbuat dengan cara-cara tertentu berkenaan dengan kehadiran objek sikap. Secara umum, objek sikap yang perlu dinilai dalam proses pembelajaran adalah sebagai berikut. (1) Sikap terhadap materi pelajaran. Peserta didik perlu memiliki sikap positif terhadap mata pelajaran. Dengan sikap positif dalam diri peserta didik akan tumbuh dan berkembang minat belajar, akan lebih mudah diberi motivasi, dan akan lebih mudah menyerap materi pelajaran yang diajarkan. (2) Sikap terhadap guru/pengajar. Peserta didik perlu memiliki sikap positif terhadap guru. Peserta didik yang tidak memiliki sikap positif terhadap guru akan cenderung mengabaikan hal-hal yang diajarkan. Dengan demikian, peserta didik yang memiliki sikap negatif terhadap guru/pengajar akan sukar menyerap materi pelajaran yang diajarkan oleh guru tersebut. (3) Sikap terhadap proses pembelajaran. Peserta didik juga perlu memiliki sikap positif terhadap proses pembelajaran yang berlangsung. Proses pembelajaran mencakup suasana pembelajaran, strategi, metodologi, dan teknik pembelajaran yang digunakan. Proses pembelajaran yang menarik, nyaman dan menyenangkan dapat menumbuhkan motivasi belajar peserta didik, sehingga dapat mencapai hasil belajar yang maksimal. (4) Sikap berkaitan dengan nilai atau norma yang berhubungan dengan suatu materi pelajaran. Penilaian sikap dapat dilakukan dengan beberapa cara atau teknik. Teknikteknik tersebut antara lain: observasi perilaku, pertanyaan langsung, dan laporan pribadi. Teknik-teknik tersebut secara ringkas dapat diuraikan sebagai berikut. (1) Observasi perilaku Perilaku seseorang pada umumnya menunjukkan kecenderungan seseorang dalam sesuatu hal. Guru dapat melakukan observasi terhadap peserta didiknya. Hasil observasi dapat dijadikan sebagai umpan balik dalam pembinaan. Observasi perilaku di sekolah dapat dilakukan dengan menggunakan buku catatan khusus tentang kejadian-kejadian berkaitan dengan peserta didik selama di sekolah. (2) Pertanyaan langsung
28
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
28
orange
hitam
Guru juga dapat menanyakan secara langsung tentang sikap peserta
didik berkaitan dengan sesuatu hal. Misalnya, bagaimana denisi mengenai elips dan hiperbola? Berdasarkan jawaban dan reaksi lain yang tampil dalam memberi jawaban dapat dipahami sikap peserta didik itu terhadap objek sikap. Dalam penilaian sikap peserta didik di sekolah, guru juga dapat menggunakan teknik ini dalam menilai sikap dan membina peserta didik. (3) Laporan pribadi Teknik ini meminta peserta didik membuat ulasan yang berisi pandangan atau tanggapannya tentang suatu masalah, keadaan, atau hal yang menjadi objek sikap. Misalnya, peserta didik diminta menulis kesimpulan mengenai konsep limit dan turunan. Dari ulasan yang dibuat peserta didik dapat dibaca dan dipahami kecenderungan sikap yang dimilikinya. Contoh format lembar pengamatan sikap peserta didik.
No.
Nama
n a a k u b r e t e K
r a j a l e b n a n u k e t e K
n a n i j a r e K
a s a r g n a g g n e T
n a n i l p i s i d e K
a m a s a j r e K
h a m a R
t a m r o H
1.
Keterangan: Skala penilaian sikap dibuat dengan rentang antara 1 s.d 5. 1 = sangat kurang; 2 = kurang konsisten; 3 = mulai konsisten; 4 = konsisten; dan 5 = selalu konsisten. b)
Tes Tertulis
(1) Pengertian Tes Tertulis merupakan tes dimana soal dan jawaban yang diberikan kepada peserta didik dalam bentuk tulisan. Dalam menjawab soal peserta didik tidak selalu merespons dalam bentuk menulis jawaban tetapi da pat juga dalam bentuk yang lain seperti memberi tanda, mewarnai, menggambar, dan lain sebagainya. (2) Teknik Tes Tertulis Ada dua bentuk soal tes tertulis, yaitu: (a) Soal dengan memilih jawaban ( selected response), mencakup: pilihan Petunjuk Umum
29
29
orange
hitam
ganda, benar-salah, dan menjodohkan. (b) Soal dengan mensuplai jawaban ( supply response), mencakup: isian atau melengkapi, uraian objektif, dan uraian non-objektif. Penyusunan instrumen penilaian tertulis perlu dipertimbangkan halhal berikut. (a) materi, misalnya kesesuaian soal dengan KD dan indikator pencapaian pada kurikulum tingkat satuan pendidikan. (b) konstruksi, misalnya rumusan soal atau pertanyaan harus jelas dan tegas. (c) bahasa, misalnya rumusan soal tidak menggunakan kata/kalimat yang menimbulkan penafsiran ganda. (d) kaidah penulisan, harus berpedoman pada kaidah penulisan soal yang baku dari berbagai bentuk soal penilaian. c)
Penilaian Proyek
(1) Pengertian Penilaian proyek merupakan kegiatan penilaian terhadap suatu tugas yang harus diselesaikan dalam periode/waktu tertentu. Tugas tersebut berupa suatu investigasi sejak dari perencanaan, pengumpulan data, pengorganisasian, pengolahan dan penyajian data. Penilaian proyek dapat digunakan untuk mengetahui pemahaman, kemampuan mengaplikasikan, kemampuan penyelidikan dan kemampuan menginformasikan peserta didik pada mata pelajaran tertentu secara jelas. Pada penilaian proyek setidaknya ada 3 (tiga) hal yang perlu dipertimbangkan yaitu: (a) Kemampuan pengelolaan Kemampuan peserta didik dalam memilih topik, mencari informasi dan mengelola waktu pengumpulan data serta penulisan laporan. (b) Relevansi Kesesuaian dengan mata pelajaran, dengan mempertimbangkan tahap pengetahuan, pemahaman dan keterampilan dalam pembelajaran. (c) Keaslian Proyek yang dilakukan peserta didik harus merupakan hasil karyanya, dengan mempertimbangkan kontribusi guru berupa petunjuk dan dukungan terhadap proyek peserta didik. (2) Teknik Penilaian Proyek Penilaian proyek dilakukan mulai dari perencanaan, proses pengerjaan, sampai hasil akhir proyek. Untuk itu, guru perlu menetapkan hal-hal atau tahapan yang perlu dinilai, seperti penyusunan disain, pengumpulan data, analisis data, dan menyiapkan laporan tertulis.
30
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
30
orange
hitam
Laporan tugas atau hasil penelitian juga dapat disajikan dalam bentuk poster. Pelaksanaan penilaian dapat menggunakan alat/instrumen penilaian berupa daftar cek ataupun skala penilaian. Contoh Teknik Penilaian Proyek
Mata Pelajaran
: _________________________________________
Nama Proyek
: _________________________________________
Alokasi Waktu
: _________________________________________
Guru Pembimbing
: _________________________________________
Nama
: _________________________________________
NIS
: _________________________________________
Kelas
: _________________________________________
No.
Aspek
1.
PERENCANAAN: a. Persiapan b. Rumusan Judul
2.
PELAKSANAAN: a. Sistematika Penulisan b. Keakuratan Sumber Data/Informasi c. Kuantitas Sumber Data d. Analisis Data e. Penarikan Kesimpulan
3.
LAPORAN PROYEK: a. Performans b. Presentasi/Penguasaan
Skor (1-5) 1
2
3
4
5
TOTAL SKOR
Penilaian proyek dilakukan mulai dari perencanaan, proses pengerjaan sampai dengan akhir proyek. d)
Penilaian Portofolio
Penilaian portofolio merupakan penilaian berkelanjutan yang didasarkan pada kumpulan informasi yang menunjukkan perkembangan kemampuan peserta didik dalam satu periode tertentu. Informasi tersebut dapat berupa karya peserta didik dari proses pembelajaran yang dianggap terbaik oleh peserta didik. Penilaian portofolio pada dasarnya menilai karya-karya peserta didik secara individu pada satu periode untuk suatu mata pelajaran. Akhir suatu periode hasil karya tersebut dikumpulkan dan dinilai oleh guru dan peserta didik. Berdasarkan informasi perkembangan tersebut, guru dan peserta didik sendiri dapat menilai perkembangan kemampuan peserta didik dan terus melakukan perbaikan. Dengan demikian, portofolio dapat memperlihatkan perkembangan kemajuan belajar peserta didik melalui karyanya, antara lain: karangan, puisi,
Petunjuk Umum
31
31
orange
hitam
surat, komposisi, musik. Hal-hal yang perlu diperhatikan dan dijadikan pedoman dalam penggunaan penilaian portofolio di sekolah, antara lain: (a) Karya peserta didik adalah benar-benar karya peserta didik itu sendiri. Guru melakukan penelitian atas hasil karya peserta didik yang dijadikan bahan penilaian portofolio agar karya tersebut merupakan hasil karya yang dibuat oleh peserta didik itu sendiri. (b) Saling percaya antara guru dan peserta didik. Dalam proses penilaian guru dan peserta didik harus memiliki rasa saling percaya, saling memerlukan dan saling membantu sehingga terjadi proses pendidikan berlangsung dengan baik. (c) Kerahasiaan bersama antara guru dan peserta didik. Kerahasiaan hasil pengumpulan informasi perkembangan peserta didik perlu dijaga dengan baik dan tidak disampaikan kepada pihak-pihak yang tidak berkepentingan sehingga memberi dampak negatif proses pendidikan. (d) Milik bersama antara peserta didik dan guru. Guru dan peserta didik perlu mempunyai rasa memiliki berkas portofolio sehingga peserta didik akan merasa memiliki karya yang dikumpulkan dan akhirnya akan berupaya terus meningkatkan kemampuannya. (e) Kepuasan. Hasil kerja portofolio sebaiknya berisi keterangan dan atau bukti yang memberikan dorongan peserta didik untuk lebih meningkatkan diri. (f) Kesesuaian. Hasil kerja yang dikumpulkan adalah hasil kerja yang sesuai dengan kompetensi yang tercantum dalam kurikulum. (g) Penilaian proses dan hasil. Penilaian portofolio menerapkan prinsip proses dan hasil. Proses belajar yang dinilai misalnya diperoleh dari catatan guru tentang kinerja dan karya peserta didik. (h) Penilaian dan pembelajaran. Penilaian portofolio merupakan hal yang tak terpisahkan dari proses pembelajaran. Manfaat utama penilaian ini sebagai diagnostik yang sangat berarti bagi guru untuk melihat kelebihan dan kekurangan peserta didik. Teknik penilaian portofolio di dalam kelas memerlukan langkah-langkah sebagai berikut. (a) Jelaskan kepada peserta didik bahwa penggunaan portofolio, tidak hanya merupakan kumpulan hasil kerja peserta didik yang digunakan guru untuk penilaian, tetapi digunakan juga oleh peserta didik sendiri. Dengan melihat portofolio peserta didik dapat mengetahui kemampuan, keterampilan, dan minatnya. (b) Tentukan bersama peserta didik sampel-sampel portofolio apa saja yang akan dibuat. Portofolio antara peserta didik yang satu dan yang lain bisa sama bisa berbeda. (c) Kumpulkan dan simpanlah karya-karya peserta didik dalam satu map atau folder di rumah masing-masing atau loker masing-masing di sekolah. (d) Berilah tanggal pembuatan pada setiap bahan informasi perkembangan
32
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
32
orange
hitam
(e) (f)
(g)
(h)
peserta didik sehingga dapat terlihat perbedaan kualitas dari waktu ke waktu. Tentukan kriteria penilaian sampel portofolio dan bobotnya dengan para peserta didik. Diskusikan cara penilaian kualitas karya para peserta didik. Minta peserta didik menilai karyanya secara berkesinambungan. Guru dapat membimbing peserta didik, bagaimana cara menilai dengan memberi keterangan tentang kelebihan dan kekurangan karya tersebut, serta bagaimana cara memperbaikinya. Hal ini dapat dilakukan pada saat membahas portofolio. Setelah suatu karya dinilai dan nilainya belum memuaskan, maka peserta didik diberi kesempatan untuk memperbaiki. Namun, antara peserta didik dan guru perlu dibuat “kontrak” atau perjanjian mengenai jangka waktu perbaikan, misalnya 2 minggu karya yang telah diperbaiki harus diserahkan kepada guru. Bila perlu, jadwalkan pertemuan untuk membahas portofolio. Jika perlu, undang orangtua peserta didik dan diberi penjelasan tentang maksud serta tujuan portofolio, sehingga orangtua dapat membantu dan memotivasi anaknya.
Contoh Penilaian Portofolio
Sekolah
: _______________________________________________
Mata Pelajaran
: _______________________________________________
Durasi Waktu
: _______________________________________________
Nama Peserta didik
: _______________________________________________
Kelas/SMT
: _______________________________________________ Hasil Penilaian
No.
Indikator
1 (kurang)
1.
Komponen makalah: judul, pendahuluan, isi, penutup, gambar, daftar tabel, dan daftar pustaka
2.
Penyajian data dan isi materi dalam makalah relevan
3.
Menyimpulkan dan memberi saran dari hasil diskusi
4.
Menyerahkan portofolio yang telah dibuat
2 (cukup)
3 (baik)
Rubrik penilaian: No.
Indikator
Rubrik
Petunjuk Umum
33
33
orange
hitam
1.
2.
3.
4.
I
Komponen makalah: judul, pendahuluan, isi, penutup, gambar, daftar tabel, dan daftar pustaka
Nilai 1 jika komponen makalah mengandung 1 komponen. Nilai 2 jika komponen makalah mengandung 4 komponen. Nilai 3 jika terdapat semua komponen.
Penyajian data dan isi materi dalam makalah relevan
Nilai 1 jika tidak memuat data dan isi materi yang relevan. Nilai 2 jika memuat salah satu dari data dan isi materi yang relevan. Nilai 3 jika memuat data dan isi materi yang relevan.
Menyimpulkan dan memberi saran dari hasil diskusi
Nilai 1 jika tidak mampu menyimpulkan dan memberi saran dari hasil diskusi dengan benar. Nilai 2 jika mampu menyimpulkan dan memberi saran sebagian dengan benar. Nilai 3 jika mampu menyimpulkan dan memberi saran dari hasil diskusi dengan benar.
Menyerahkan portofolio yang telah dibuat
Nilai 1 jika mampu menyerahkan makalah telat dua jam. Nilai 2 jika mampu menyerahkan makalah telat satu jam. Nilai 3 jika mampu menyerahkan makalah tepat waktu.
Pembelajaran Remedial dan Pengayaan
Salah satu alasan pengadaan program pembelajaran remedial adalah untuk membantu peserta didik yang tergolong pebelajar lambat, sedangkan untuk pengadaan program pembelajaran pengayaan untuk membantu peserta didik yang termasuk kategori pebelajar cepat.
1. Pembelajaran Remedial Seperti yang telah disebutkan sebelumnya bahwa pembelajaran remedial diselenggarakan jika ada peserta didik yang mengalami kesulitan belajar atau dengan kata lain dapat dikatakan lambat dalam belajar. Informasi mengenai kecepatan peserta didik dalam belajar didapat dari hasil evaluasi pembelajaran atau yang sering digunakan adalah istilah ulangan harian. Jika peserta didik memiliki nilai yang kurang dari kriteria ketuntasan minimal (KKM), maka akan mendapatkan pembelajaran remedial. Dalam pengadaannya, ada beberapa prinsip yang harus dipenuhi, dimana prinsip-prinsip ini harus sesuai dengan sifat dan karakteristik dari peserta didik. Prinsip tersebut yaitu a) adaptif, b)
interaktif, c) eksibilitas dalam metode pembelajaran dan penilaian, d) pemberian umpan balik 34
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
34
orange
hitam
sesegera mungkin, dan e) kesinambungan dan ketersediaan dalam pemberian pelayanan. Berdasarkan prinsip-prinsip di atas, maka bentuk kegiatan yang bisa dilaksana kan dalam pembelajaran remedial adalah a) memberikan tambahan penjelasan atau contoh, b) menggunakan strategi pembelajaran yang berbeda dengan sebelumnya, c) mengkaji ulang pembelajaran yang lalu, dan d) menggunakan berbagai jenis media. Bentuk-bentuk kegiatan remedial tersebut dapat diterjemahkan melalui gambaran pelaksanaan pembelajaran remedial secara nyata. Untuk pelaksanaan pem belajaran remedial dapat dilakukan dengan a) pemberian pembelajaran ulang dengan metode dan media yang berbeda, b) pemberian bimbingan secara khusus, c) pemberian tugas-tugas secara khusus, atau d) pemanfaatan tutor sebaya.
2. Pembelajaran Pengayaan Seperti yang telah disebutkan di atas bahwa pembelajaran pengayaan diselenggarakan karena adanya peserta didik yang memiliki kemampuan belajar lebih cepat. Untuk mengetahui apakah peserta didik memiliki sifat pembelajar cepat atau tidak dapat digunakan tes. Tes yang dapat digunakan misalnya tes IQ, tes inventori, wawancara, pengamatan (observasi), dll. Selain tes-tes tersebut, cara mudah yang dapat digunakan adalah mengetahui nilai ulangan harian. Jika peserta didik memiliki nilai di atas KKM atau di atas rata-rata orang lain, maka peserta didik tersebut berhak mengikuti kegiatan pembelajaran pengayaan. Selain diketahui dari nilai, peserta didik yang berhak mendapatkan pembe lajaran pengayaan biasanya memiliki kemampuan belajar lebih cepat, memiliki kemampuan yang mudah untuk menyimpan informasi, memiliki rasa keingintahuan yang tinggi, dapat berpikir mandiri, superior dalam berpikir abstrak, dan memiliki minat yang banyak serta mudah untuk termotivasi dalam melakukan hal-hal yang baru. Ada tiga jenis kegiatan pengayaan yang dapat dilakukan, yaitu kegiatan eksploratori, pembelajaran mandiri dan kegiatan pemecahan masalah. Bentuk pelaksanaan pembelajaran pengayaan secara nyata dapat dilakukan dengan kegiatan berikut ini. a) Belajar Kelompok. Sekelompok peserta didik yang memiliki minat tertentu diberikan pembelajaran bersama pada jam-jam pelajaran sekolah biasa atau dapat dilakukan sambil menunggu peserta didik lain yang sedang melaksanakan pembelajaran remedial. b) Belajar mandiri. Secara mandiri peserta didik belajar mengenai sesuatu yang diminati. c) Pembelajaran berbasis tema. Memadukan kurikulum di bawah tema besar sehingga peserta didik dapat mempelajari hubungan antara berbagai disiplin ilmu. d) Pemadatan kurikulum. Pemberian materi yang belum diketahui peserta didik. Dengan demikian, tersedia waktu bagi peserta didik untuk mem peroleh materi baru, atau bekerja dalam proyek secara mandiri sesuai dengan kapasitas maupun kapabilitas masing-masing.
Petunjuk Umum
35
35
orange
hitam
36
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
36
orange
hitam
Bagian II Petunjuk Khusus
Petunjuk Khusus
37 37
37
orange
hitam
Daftar Simbol +
: jumlah, tambah, menambah, positif.
–
: kurang, negatif, mengurang
×
: kali, mengali, penyilangan
:
: bagi, membagi, rasio
( )
: kurung biasa
{ }
: kurung kurawal, menyatakan himpunan
[ ]
: kurung siku
││
: nilai mutlak
: irisan ∩ : gabungan ∪ a ⇔ b : a jika dan hanya jika b
>
: lebih dari
AB
: segmen garis AB
<
: kurang dari
AB
: sinar garis AB
AB ∠ ° ~ ≅ ⊥
: garis AB
≥
n
dengan
≠
: tidak sama dengan : akar pangkat dua
38
∉
: bukan anggota dari
ø, { }
: himpunan kosong
∆
: segitiga
±
: positif dan negatif
: kurang dari atau sama : sama dengan
: anggota dari, elemen dari
: lebih dari atau sama
=
∈
a ⇒ b : jika a, maka b
dengan
≤
: akar pangkat n
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
38
: sudut : derajat : sebangun : kongruen : tegak lurus
hitam
orange
Bab I Polinomial
Sumber: http://www.imgbase.info/images/safe-wallpapers/photography/nature/32031_nature_ice_formation.jpg
diunduh pada tanggal 12 Maret 2014 pukul 13:17 WIB.
Para ilmuwan mengebor ribuan kaki ke dalam lapisan es Greenland pada suatu penelitian yang disebut GIDP2. Inti sampel dari es dikeluarkan dan dianalisis. Sampel yang diambil dekat permukaan merupakan sampel yang baru terbentuk, sementara sampel dari lapisan yang paling dalam sudah terbentuk ribuan tahun yang lalu. Bentuk polinomial 2 9 3 f ( x ) = x − 7 x 2 + 33 x + 12 ) menunjukkan umur es f ( x) dalam tahun, dengan kedalaman ( 16 inti sampel x (dalam 1.000 kaki). Kristal es mengalami perubahan ukuran, bentuk, dan orientasi dengan bertambahnya kedalaman. Para peneliti menggunakan pola cahaya untuk mengukur perubahan yang terjadi dalam kristal es. Agar memahami konsep polinomial, pelajarilah bab ini.
Petunjuk Khusus
39
39
hitam
A
orange
Pengantar
Secara esensial, pembelajaran pada topik ini mengenalkan siswa mengenai konsep dan operasi aljabar pada polinomial, teorema sisa dan teorema faktor, serta persamaan kubik.
B
KI dan KD pada Materi Pokok Polinomial Kompetensi Inti
Kompetensi Dasar
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
2.1 Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan 2.2 Menunjukkan kemampuan berkolaborasi, percaya diri, tangguh, kemampuan bekerja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah.
3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural
3.1 Mendeskripsikan konsep dan menganalisis sifat operasi aljabar pada polinomial dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah matematika. 3.2 Mendeskripsikan aturan perkalian dan pem bagian polinomial dan menerapkan teorema sisa dan pemfaktoran polinomial dalam menyelesaikan masalah matematika.
pada bidang kajian yang spesik sesuai denganbakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
40
4.1 Memecahkan masalah nyata menggunakan konsep teorema sisa dan faktorisasi dalam polinomial. 4.2 Memecahkan masalah nyata dengan model persamaan kubik dengan menerapkan aturan dan sifat pada polinomial.
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
40
hitam
C
orange
Alokasi Waktu
Topik materi ke-
D
Materi
Alokasi waktu
1
Konsep dan operasi aljabar pada polinomial
8 JP
2
Teorema sisa dan teorema faktor
4 JP
3
Persamaan kubik
6 JP
4
Ulangan harian
2 JP
Materi
1. Materi ke-1: Konsep dan Operasi Aljabar pada Polinomial (8 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep operasi aljabar pada polinomial.
2)
Menganalisis sifat operasi aljabar pada polinomial.
3) Menerapkan konsep sifat operasi aljabar untuk menyelesaikan masalah matematika. 4)
Mengembangkan sikap konsisten dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial.
5)
Mengembangkan sikap rasa ingin tahu dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-1 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman
yang jelas mengenai polinomial, suku utama, derajat, dan koesien utama, menghitung nilai polinomial, penjumlahan dan pengurangan polinomial, mengalikan polinomial, kesamaan polinomial, serta pembagian polinomial.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep operasi aljabar pada polinomial. b) Siswa dapat menganalisis sifat operasi aljabar pada polinomial. c) Siswa dapat menerapkan konsep sifat operasi aljabar untuk menyelesaikan masalah matematika. d) Siswa dapat mengembangkan sikap konsisten dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial. e) Siswa dapat mengembangkan sikap rasa ingin tahu dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial.
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Konsep dan Operasi Aljabar pada Polinomial Petunjuk Khusus
41
41
hitam
Materi pada subbab konsep dan operasi aljabar pada polinomial dibagi menjadi 4 pertemuan, yaitu pertemuan ke-1 menjelaskan tentang apakah
polinomial itu, suku utama, derajat, dan koesien utama, menghitung nilai polinomial, serta penjumlahan dan pengurangan polinomial; pertemuan ke-2 menjelaskan tentang mengalikan polinomial dan kesamaan polinomial; pertemuan ke-3 menjelaskan tentang pembagian polinomial; pertemuan ke-4 menjelaskan tentang pembagian polinomial dengan faktor kuadrat. (1) Pertemuan ke-1 Sebelum siswa memulai mempelajari bab ini, sebaiknya siswa mengerjakan terlebih dahulu uji kemampuan prasyarat bab I pada buku latihannya. Jika siswa dapat mengerjakannya dengan baik dan tanpa kesulitan, maka akan memudahkan siswa untuk mempelajari dalam bab ini. Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memperlihatkan beberapa bentuk polinomial. Misalnya x + 5 = 9, x2 – 2 x – 3 = 0, atau x3 – 2 x2 + 4 x – 1 = 0. Apa yang dimaksud dengan polinomial? Agar siswa dapat membedakan mana yang termasuk polinomial dan bukan polinomial, perintahkan siswa untuk mengerjakan Kegiatan 1.1. Dari Kegiatan 1.1 guru menginformasikan bentuk umum fungsi polinomial satu variabel, adalah f ( x) = an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a2 x2 + a1 x + a0
dengan: n adalah eksponen dari x yang harus berupa bilangan bulat positif, an, an – 1, an – 2, ..., a2, a1, a0 adalah koesien-koesien yang berupa bilangan real yang tetap, dan x adalah variabel.
Polinomial tidak boleh mengandung variabel dengan eksponen negatif 1 1 –1 seperti x atau , eksponen pecahan seperti x atau x 2 , eksponen berupa x variabel seperti 2 x. Adapun masing-masing an xn, an – 1 xn – 1, ... disebut sebagai suku-suku polinomial. Bentuk standar suatu polinomial ditulis sebagai deretan suku-suku dengan eksponen yang makin mengecil dari kiri ke kanan. Misalnya 7 x – 2 x2 + x3 – 3, dalam bentuk standar ditulis x3 – 2 x2 + 7 x – 3. Kemudian guru dapat menjelaskan bahwa jika dalam bentuk umum fungsi polinomial satu variabel koesien an ≠ 0, maka suku an xn disebut suku utama (leading term), yaitu suku yang eksponen variabelnya paling tinggi. Koesien an pada suku utama disebut koesien utama ( leading coefcient ). Sedangkan eksponen tertinggi n menyatakan derajat dari polinomial. Adapun suku a0 yang tidak mengandung variabel x disebut sebagai konstanta. Ajaklah siswa untuk memerhatikan Tabel 1.2 mengenai derajat dari fungsi polinomial. Berdasarkan tabel tersebut ajukanlah beberapa pertanyaan, misalnya:
•
Apakah fungsi linear dan fungsi kuadrat merupakan polinomial? Jika ya, tentukan besar derajat fungsi linear dan fungsi kuadrat.
• • 42
Tentukan bentuk umum untuk fungsi polinomial berderajat 6. Berapakah derajat dari f ( x) = 0?
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
42
orange
hitam
orange
Agar siswa lebih jelas memahami mengenai penentuan derajat dan koesien utama polinomial, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 1.1. Siswa telah mengetahui bahwa jika suatu fungsi dinyatakan oleh f ( x), maka nilai f ( x) untuk x = k ditulis f (k ). Misalnya nilai f ( x) = 2 x3 – 3 x2 + 5 x + 1 untuk x = 2 ditulis f (2). Nilai f (2) diperoleh dengan mensubstitusi variabel x dalam f ( x) dengan 2. Dengan demikian, f (2) = 2(2)3 – 3(2)2 + 5(2) + 1 = 16 – 12 + 10 + 1 = 15
Agar siswa dapat memahami menghitung nilai polinomial, ajukanlah pertanyaan berikut ini agar dapat didiskusikan dengan teman sebangkunya. Berapakah nilai polinomial g ( x) = x6 – 5 x5 + 2 x3 + 3 x2 – 2 untuk x = –1? Berikutnya guru menginformasikan mengenai penjumlahan dan pengurangan polinomial, bahwa ketika menjumlahkan atau mengurangkan polinomial, yang harus siswa jumlah atau kurangkan adalah suku-suku yang sejenis. Untuk polinomial satu variabel, suku-suku sejenis adalah 1 suku-suku dengan eksponen variabelnya sama, misalnya 3 x dan 1 x, 2 3 x5 dan –4 x5. Agar siswa lebih memahami mengenai penjumlahan dan pengurangan polinomial, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 1.2 . Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan ke-1 dengan cara yang istimewa, guru dapat memberikan pertanyaan, kuis, atau teka-teki yang berkaitan dengan materi yang telah dibahas untuk dipikirkan oleh siswa saat istirahat, di perjalanan pulang ke rumah, dan tentunya ketika berada di rumah. Pertanyaan:
•
Ketika Anda menjumlahkan dua polinomial, bagaimanakah derajat polinomial hasil penjumlahannya? Jelaskan.
•
Pada pengurangan dua buah polinomial, mungkinkah derajat hasil polinomial yang diperoleh lebih kecil daripada derajat polinomial operasi pengurangan? Jelaskan.
(2) Pertemuan ke-2 Untuk memulai pembelajaran, guru dapat mengulas kembali materi pertemuan sebelumnya dengan memberikan soal, misalnya • • • •
Diketahui f ( x) = 5 x3 – 3 x2 + 16 x dan g ( x) = 3 x4 + 2 x2 – 4, tentukan: f (1) g (–2) f ( x) + g ( x) f ( x) – g ( x)
• • •
Jawaban yang harus dipahami guru adalah sebagai berikut. f (1) = 5(1)3 – 3(1)2 + 16(1) = 5 – 3 + 16 = 18 g (–2) = 3(–2) 4 + 2(–2) 2 – 4 = 48 + 8 – 4 = 52 f ( x) + g ( x) = (5 x3 – 3 x2 + 16 x) + (3 x4 + 2 x2 – 4) Petunjuk Khusus
43
43
hitam
•
= 5 x3 – 3 x2 + 16 x + 3 x4 + 2 x2 – 4 = 3 x4 + 5 x3 – x2 + 16 x – 4 f ( x) – g ( x) = (5 x3 – 3 x2 + 16 x) – (3 x4 + 2 x2 – 4) = 5 x3 – 3 x2 + 16 x – 3 x4 – 2 x2 + 4 = –3 x4 + 5 x3 – 5 x2 + 16 x + 4
Pada waktu SMP siswa telah mempelajari dan memahami cara mengalikan dua polinomial, guru dapat menjelaskan mengalikan dua bentuk polinomial yang terdapat pada Contoh Soal 1.3. Setelah siswa memahami konsep mengalikan polinomial, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan perkalian dua polinomial, misalnya Tentukan hasil kali dari dua polinomial berikut ini.
• • • •
1 x3 + 2 x 2 − 5 x + 1 × x 2 − 1 x + 6 2 4 (2 x2 – 3 x + 4) × ( x3 – 5 x2 + 10) (9 x + 2 x2 – 6) × ( x2 + 2 x + 1) (7 – 3 x – x3) × (2 x – 4 + 3 x2)
Kemudian guru menginformasikan perbedaan antara persamaan dan kesamaan. Ajukanlah beberapa pertanyaan mengenai hal tersebut kepada siswa. Misalnya,
• • • •
Tahukah Anda apa bedanya persamaan dan kesamaan? Apa bedanya pernyataan 2 x – 5 = 1 dan ( x + 3)( x – 3) = x2 – 9? Jawaban yang diharapkan diperoleh siswa adalah sebagai berikut. Untuk 2 x – 5 = 1, pernyataan akan bernilai benar hanya jika x kita ganti dengan 3 dan akan bernilai salah jika x kita ganti dengan nilai-nilai selain 3, misalnya x = 0, x = 1, atau yang lainnya. Untuk pernyataan ( x + 3)( x – 3) = x2 – 9, cobalah Anda mengganti variabel x dengan beberapa nilai seperti x = 0, x = 1, x = –2, x = 2, dan x = 3. Ternyata untuk setiap x ∈ R, pernyataan tersebut selalu benar.
Kesimpulan yang diharapkan siswa adalah pernyataan 2 x – 5 = 1 merupakan persamaan, sedangkan pernyataan ( x + 3)( x – 3) = x2 – 9 merupakan kesamaan. Kemudian guru menginformasikan bahwa kesamaan antara dua polinomial f ( x) dan g ( x) jika dan hanya jika setiap suku dengan eksponen sama memiliki koesien-koesien yang sama. Sebagai contoh, px2 + qx + r ≡ 3 x2 + 2 x – 5 jika dan hanya jika koesien-koesien p = 3, q = 2, dan r = –5. Agar siswa memahami kesamaan polinomial, guru dapat menjelaskan menentukan kesamaan dua polinomial yang terdapat pada Contoh Soal 1.4. Kemudian setelah siswa memahami menentukan kesamaan dua polinomial, guru dapat memberikan Kegiatan 1.2 dan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan kesamaan dua polinomial, 44
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
44
orange
hitam
orange
misalnya •
•
Tentukan nilai-nilai A, B, C , dan D jika berlaku kesamaan berikut ini. x3 – 2 x2 – x – 5 ≡ Ax3 + Bx2 + C ( x – x3) + D(1 + x – x2) + 1 3 x3 – 13 x2 + 8 x + 12 ≡ A + Bx + C ( x2 – 1) + D( x3 + x2 – x) – x3
(3) Pertemuan ke-3 Pada waktu SD dan SMP siswa telah mengetahui cara membagi suatu bilangan bulat menggunakan pembagian bersusun panjang. Berikan siswa contoh perhitungan pembagian bilangan menggunakan cara bersusun panjang. Misalkan 35 : 4. Kesimpulan yang akan diperoleh dari perhitungan pembagian bilangan menggunakan cara bersusun panjang adalah sebagai berikut. yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa Rumus tersebut adalah algoritma pembagian untuk bilangan bulat positif. Agar siswa memahami konsep pembagian polinomial, guru dapat menjelaskan pembagian bersusun panjang untuk polinomial yang terdapat pada Contoh Soal 1.5. Selanjutnya guru memberikan informasi bahwa secara umum algoritma pembagian polinomial f ( x) dengan pembagi bentuk linear ( x – k ) dinyatakan sebagai berikut. f ( x) = ( x – k )h( x) + s
Guru menginformasikan bahwa dalam pembagian polinomial terdapat tiga cara yaitu cara sintetik, cara sintetik dengan ( ax + b), dan cara faktor kuadrat. Pada pembagian polinomial dengan cara sintetik, guru dapat menjelaskan kembali Contoh Soal 1.5 yang diselesaikan menggunakan cara sintetik. Bagan pembagian sintetik yang terdapat pada buku pegangan siswa menyatakan bahwa sisa pembagian sama dengan 7. Variabel dengan eksponen tertinggi dari f ( x) = 4 x3 – 6 x2 + 4 x – 9 terdapat pada suku utama 4 x3, yaitu x3. Sesuai aturan bahwa derajat tertinggi hasil bagi h( x) selalu satu lebih kecil daripada derajat yang dibagi f ( x), maka hasil bagi adalah h( x) = 4 x2 + 2 x + 8. Setelah siswa mengetahui bagaimana pembagian polinomial menggunakan cara sintetik, guru dapat menjelaskan contoh pembagian sintetik polinomial dengan faktor linear ( x – k ) yang terdapat pada Contoh Soal 1.6. Pada pembagian polinomial dengan cara sintetik ( ax + b), guru dapat menjelaskan 4 x4 + 2 x3 – 6 x2 – 5 x + 1 yang dibagi oleh (2 x + 1) seperti yag terdapat pada buku pegangan siswa. Secara umum algoritma pembagian polinomial dengan faktor linear (ax + b) dinyatakan sebagai berikut. f ( x) = (ax + b)h( x) + s
Sebelum siswa mempelajari contoh soal tentang pembagian sintetik dengan faktor linear ( ax + b), ada baiknya jika guru menjelaskan terlebih dahulu langkah-langkah yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan pembagian sintetik yang terdapat pada buku pegangan siswa.
Petunjuk Khusus
45
45
hitam
Setelah siswa memahami konsep dan langkah-langkah dalam menyelesaikan pembagian sintetik dengan faktor linear (ax + b), guru dapat menjelaskan contoh pembagian sintetik dengan faktor linear (ax + b) yang terdapat pada Contoh Soal 1.7. (4) Pertemuan ke-4 Pada pembagian polinomial dengan faktor kuadrat, guru dapat menjelaskan contoh pembagian polinomial dengan faktor kuadrat yang terdapat pada Contoh Soal 1.8 kepada siswa. Dari contoh soal tersebut tariklah kesimpulan secara umum algoritma pembagian dengan faktor kuadrat yang berbentuk: f ( x) = (ax2 + bx + c)h( x) + ( px + q)
Kemudian berdasarkan Contoh Soal 1.7, ajukanlah pertanyaan kepada siswa, bagaimana hubungan derajat f ( x), hasil bagi h( x), dan sisa pembagian s( x)? Jawaban yang diharapkan adalah sebagai berikut. Derajat hasil bagi h( x) maksimum dua lebih kecil daripada derajat polinomial yang dibagi, f ( x). Sedangkan sisa pembagian h( x) maksimum berderajat satu. Selanjutnya siswa bersama teman sebangkunya diminta mempelajari kolom Pojok Olimpiade dan Soal Seleksi dan mengerjakan Kegiatan 1.3 dengan cara berdiskusi. Kemudian guru memberikan info mengenai tokoh matematika yang bernama Rene Descartes. Guru menjelaskan bahwa Rene Descartes adalah matematikawan yang sangat berpengaruh di dunia kematematikaan. Selama menggeluti ilmu matematika, ia tidak pernah menyerah dan terus berusaha untuk menemukan dan menciptakan sesuatu yang baru yang berkaitan dengan matematika. Karena kegigihannya ilmu matematika dapat berkembang hingga sejauh ini. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan ke-4 dengan cara yang istimewa, guru dapat memberikan pertanyaan, kuis, atau teka-teki yang berkaitan dengan materi yang telah dibahas untuk dipikirkan oleh siswa saat istirahat, di perjalanan pulang ke rumah, dan tentunya ketika berada di rumah. Pertanyaan:
•
Apakah derajat hasil bagi h( x) selalu satu lebih kecil daripada derajat fungsi yang dibagi, f ( x)? Jelaskan.
•
Bagaimanakah derajat sisa pembagian dibandingkan dengan derajat pembaginya?
• • b)
Apakah arti dari sisa pembagian s( x) = 0? Apakah derajat sisa pembagian selalu sama dengan satu? Jelaskan.
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 9 pada buku siswa. 46
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
46
orange
hitam
orange
(2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 1.1 sampai dengan Latihan 1.7 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 11 pada buku siswa. 3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 2-18. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
2. Materi ke-2: Teorema Sisa dan Teorema Faktor (4 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan teorema sisa.
2)
Menerapkan teorema sisa dalam penyelesaian masalah matematika.
3)
Mendeskripsikan pemfaktoran polinomial.
4)
Menerapkan pemfaktoran polinomial dalam penyelesaian masalah matematika.
5) Mengidentikasi masalah nyata yang berhubungan dengan konsep teorema sisa dan pemfaktoran polinomial. 6)
Memecahkan masalah nyata menggunakan konsep teorema sisa dan pemfaktoran polinomial.
7)
Mengembangkan sikap berpikir kritis dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial.
8)
Mengembangkan sikap jujur dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial.
9)
Mengembangkan sikap responsif dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-2 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai teorema sisa dengan pembagi faktor linear dan teorema faktor.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan teorema sisa. b) Siswa dapat menerapkan teorema sisa dalam penyelesaian masalah matematika. c) Siswa dapat mendeskripsikan pemfaktoran polinomial. d) Siswa dapat menerapkan pemfaktoran polinomial dalam penyelesaian masalah matematika.
e) Siswa dapat mengidentikasi masalah nyata yang berhubungan dengan konsep teorema sisa dan pemfaktoran polinomial. Petunjuk Khusus
47
47
hitam
f) g) h) i) 2)
orange
Siswa dapat memecahkan masalah nyata menggunakan konsep teorema sisa dan pemfaktoran polinomial. Siswa dapat mengembangkan sikap berpikir kritis dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial. Siswa dapat mengembangkan sikap jujur dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial. Siswa dapat mengembangkan sikap responsif dalam memecahkan masalah matematika yang berkaitan dengan konsep polinomial.
Kegiatan pembelajaran a) Teorema Sisa dan Teorema Faktor Materi pada subbab teorema sisa dan teorema faktor dibagi menjadi 2 pertemuan, yaitu pertemuan ke-5 menjelaskan tentang teorema sisa dengan pembagi faktor linear dan pertemuan ke-6 menjelaskan tentang teorema faktor.
(1) Pertemuan ke-5 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru bisa memberikan pertanyaan menantang yang berkaitan dengan teorema sisa yang akan dibahas. Pertanyaan menantang:
Misalkan Anda seorang akuntan yang bekerja di sebuah perusahaan radio. Fungsi permintaan radio berbentuk p = 40.000 – 4.000 x2 dimana x adalah banyaknya radio yang diproduksi dalam jutaan. Perusahaan menetapkan harga untuk sebuah radio adalah Rp174.000,00. Tulislah persamaan keuntungan sebagai fungsi dari banyaknya radio yang diproduksi. Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun mendebat berdebat untuk memperoleh jawabannya. Kemudian dengan dituntun oleh guru, metode yang tepat dibahas untuk menjawab pertanyaannya. Guru perlu memberikan sedikit arahan, misalnya harga sebuah radio adalah Rp174.000,00, sehingga harga x juta radio akan menjadi 174.000 x. Diskusi yang memanas di antara para siswa adalah cara yang terbaik untuk memotivasi mereka melakukan perhitungan dan menemukan jawabannya. Sesudah pengarahan ini mungkin akan ada siswa yang cerdas yang memberi jawaban yang benar, yaitu u( x) = 174.000 x – (40.000 – 4.000 x2). Berilah pujian untuk jawaban ini, dan biarkan siswa tersebut menjelaskan ke siswa lainnya bagaimana proses ia memperoleh jawaban tersebut. Untuk dipahami guru jawabannya kira-kira sebagai berikut. 1 radio = 174.000
⟹ x radio
= 174.000 x
Fungsi permintaan: p = 40.000 – 4.000 x2 Misalkan persamaan keuntungan dinotasikan sebagai u( x), maka Keuntungan = biaya penjualan – biaya produksi u( x) = 174.000 x – (40.000 – 4.000 x2)
Jadi, persamaan keuntungan sebagai fungsi dari banyaknya radio adalah 174.000 x – (40.000 – 4.000 x2).
48
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
48
hitam
orange
Setelah siswa termotivasi dengan pertanyaan menantang berikut pemecahannya secara bersama, maka pembelajaran berikutnya dapat berlangsung dengan menyenangkan. Pada pertemuan sebelumnya siswa telah mempelajari menentukan sisa pembagian polinomial dengan pembagian bersusun panjang atau menggunakan pembagian sintetik. Agar siswa dapat mengetahui cara lain menentukan sisa pembagian polinomial, perintahkan siswa untuk mengerjakan Kegiatan 1.4 yaitu menentukan teorema sisa dan diharapkan mampu menjawab pertanyaan yang terdapat pada buku siswa, yaitu: • Derajat dari s adalah 0. • Hasil perhitungan untuk sisa s persis sama dengan f (k ). • Ketika s sama dengan nol, artinya faktor linear ( x – k ) merupakan akar dari polinomial tersebut. Dari Kegiatan 1.4 guru menginformasikan bahwa sisa pembagian s oleh faktor linear x – k ternyata hasilnya persis sama dengan f (k ). Sehingga dapat disimpulkan sebagai Teorema Sisa, yang berbunyi: “Jika suatu polinomial f ( x) dibagi oleh faktor linear x – k , maka sisanya adalah s = f (k )”. Guru menginformasikan kembali mengenai Teorema Sisa yang menggunakan faktor linear ax + b sebagai pembaginya, yang berbunyi: “Ketika suatu polinomial f ( x) dibagi oleh faktor linear (ax + b) dengan a
≠
0, maka sisanya adalah
−b . Agar siswa dapat membuktikan teorema sisa dengan faktor linear a
s = f
(ax + b), perintahkan siswa untuk mengerjakan Kegiatan 1.5. Guru berkeliling mengamati yang dikerjakan oleh siswa. Agar siswa lebih memahami mengenai
penggunaan teorema sisa dengan pembagi faktor linear, menentukan koosien yang tak diketahui dengan teorema sisa, dan teorema sisa dengan pembagi ( x – a)( x – b), guru dapat menjelaskan yang terdapat Contoh Soal 1.9, 1.10, dan 1.11. Pada Contoh Soal 1.9 siswa dapat mengamati penggunaan teorema sisa baik dengan faktor linear ( x – k ) maupun faktor linear ( ax + b). Pada Contoh Soal 1.9 bagian c, siswa diperlihatkan penggunaan teorema sisa dalam bentuk ( x2 + a). Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 1.9. Pada Contoh Soal 1.10 siswa mengamati bagaimana caranya
menentukan koesien yang tidak diketahui dari suatu polinomial dengan menggunakan teorema sisa. Sedangkan pada Contoh Soal 1.11 siswa dapat mengeksplorasi bagaimana caranya menentukan sisa bagi jika suatu polinomial dibagi oleh ( x – a)( x – b). Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai teknik-
teknik menentukan hasil bagi dan koesien yang tidak diketahui menggunakan teorema sisa. Setelah siswa memahami cara penggunaan teorema sisa, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi teorema sisa, misalnya (a) Tentukan sisa pembagian jika 2 x2 + 7 x + 9 dibagi oleh x + 4.
Petunjuk Khusus
49
49
hitam
(b) Sisa pembagian x3 – 3 x2 – 2 x + a dibagi oleh x + 2 adalah dua kali sisa pembagian polino pol inomia miall ter terseb sebut ut jik jikaa dib dibagi agi ole oleh h x – 3. Tentukan nilai a. 2 (c) Jika polinomial x + bx + c dibagi oleh x – 2, maka sisanya adalah R. Jika polinomial tersebut dibagi x + 1, maka sisanya R juga. • Tentukan nilai b. • Jika polinomial tersebut dibagi oleh x – 4, maka sisanya adalah 2 R. Tentukan nilai c dan R. • Jika polinomial tersebut dibagi oleh x – t , maka sisanya adalah 5 R. Tentukan dua kemungkinan dari nilai t . (2) Pertemuan ke-6 Untuk memulai pembelajaran, guru dapat mengulas kembali materi pertemuan sebelumnya dengan memberikan soal, misalnya Tentukan sisa pembagian x3 + 5 x2 – 3 x – 16 jika dibagi oleh: • x + 2 • x – 2 Jawaban yang harus dipahami guru adalah sebagai berikut. x) = x3 + 5 x2 – 3 x – 16. Dibagi oleh x + 2 artinya • Misalkan f ( x x + 2 = 0 atau x = –2. Dengan menggunakan teorema sisa, maka: = f (–2) (–2) = (–2)3 + 5(–2)2 – 3(–2) – 16 s = (–8) + 20 + 6 – 16 = 2 x) = x3 + 5 x2 – 3 x – 16. Dibagi oleh x – 2 artinya • Misalkan f ( x x – 2 = 0 atau x = 2. Dengan menggunakan teorema sisa, maka: = f (2) (2) = (2)3 + 5(2)2 – 3(2) – 16 s = 8 + 20 – 6 – 16 = 6 Guru menginformasikan bahwa faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. Kemudian guru menjelaskan juga bahwa 1, 2, 3, dan 6 disebut faktor dari 6, karena 1, 2, 3, dan 6 tidak memberi sisa. Seperti halnya pada bilangan bulat, pada polinomial pun terdapat faktor yang yang tidak memberikan sisa. x – 1) merupakan Perintahkan siswa untuk mengidentikasi apakah ( x
faktor dari x2 + 4 x – 5? Setelah pertanyaan dilontarkan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Kemudian guru menuntun menggunakan metode yang tepat untuk menjawab pertanyaan tersebut. Diskusi yang memanas di antara para siswa adalah cara yang terbaik untuk memotivasi mereka melakukan eksplorasi untuk menentukan jawabannya. Setelah pengarahan ini mungkin akan ada siswa yang cerdas yang memberi jawaban yang benar, yaitu ( x x – 1) merupakan faktor dari x2 + 4 x – 5. Berikan pujian untuk jawaban tersebut dan biarkan siswa tersebut menjelaskan ke siswa lainnya bagaimana proses ia memperoleh jawaban tersebut.
50
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
50
orange
hitam
orange
Untuk dipahami guru jawabannya kira-kira sebagai berikut.
+ 4 x − 5 = ( x − 1)( x + 5) ⇔ x 2 + 4 x − 5 = ( x − 1)( x + 5) + 0 x 2 + 4 x − 5 ⇔ = ( x + 5) + 0 ← sisa ( x − 1) x 2
Setelah siswa termotivasi dengan pertanyaan berikut pemecahannya secara bersamaan, maka pembelajaran berikutnya dapat berlangsung dengan menyenangkan. Guru menginformasikan teorema faktor yang dinyatakan sebagai berikut x) memiliki faktor ( x – k ) jika dan hanya jika f (k ) = • Suatu polinomial f ( x 0
•
x) Suatu polinomial f ( x −b = 0 f a
memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya jika
Guru mendeskripsikan pembuktian dari teorema faktor “suatu polinomial f ( x x) memiliki faktor ( x – k ) jika dan hanya jika f (k ) = 0” yang terdapat pada buku siswa. Dengan alur yang sama, perintahkan siswa untuk membuktikan teorema faktor pada poin kedua. Untuk dipahami guru pembuktian teorema faktor pada poin kedua adalah sebagai berikut. Jika polinomial yang dibagi f ( x x), hasil bagi h( x x), serta sisa pembagian s, maka algoritma pembagian dengan faktor ( ax + b) bisa ditulis sebagai f ( x x) = (ax + b)h( x x) + s
Dari teorema sisa telah diketahui bahwa jika f ( x x) dibagi ( ax + b), maka
−b . Dengan demikian f ( x) = (ax + b)h( x) + f −b a a −b = 0 ? Dapat ditulis Bagaimana jika s = f ditulis menjadi menjadi a sisanya adalah s = f
f ( x x) = (ax + b)h( x x) + 0 ⟺ f ( x x) = (ax + b)h( x x)
Ini artinya (ax + b) adalah faktor dari f ( x x). (terbukti)
−b = 0 a
Kebalikannya, jika ( ax + b) adalah faktor dari f ( x x), maka s = f Ini bisa dilihat dengan mensubstitusi x = h( x x)
−b a
ke persamaan f ( x x) = (ax + b)
−b = (−b + b)h −b = 0 a a
f
Sering dikatakan bahwa (ax + b) adalah faktor dari f ( x x) jika f ( x x) habis dibagi oleh ( ax + b). (terbukti) Agar siswa lebih memahami mengenai penggunaan teorema faktor, Petunjuk Khusus
51
51
hitam
guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 1.12 dan 1.13. Pada
Contoh Soal 1.12 siswa dapat mengamati bagaimana cara mengidentikasi ( x x – k ) merupakan faktor dari f ( x x). Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 1.12. Pada Contoh Soal 1.13 siswa
dapat mengamati cara menentukan koesien polinomial dengan teorema faktor. Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 1.13. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai teknik-teknik menentukan akar-akar dari suatu polinomial dan menentukan
koesien yang tidak diketahui menggunakan teorema faktor. Pada pembahasannya siswa telah mempelajari dan memahami mengenai teorema sisa dan teorema faktor, serta telah mengetahui bagaimana cara menggunakannya dalam perhitungan aljabar. Perintahkanlah siswa untuk melakukan Kegiatan 1.6 mengenai pengaplikasian konsep teorema sisa dan teorema faktor dalam masalah nyata dengan berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling mengamati dan menilai yang dikerjakan oleh siswa. Selanjutnya siswa bersama teman sebangkunya diminta untuk mempelajari kolom Pojok Olimpiade dan Soal Seleksi dengan cara berdiskusi. Setelah siswa memahami cara penggunaan teorema faktor, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi teorema faktor, faktor, misalnya • Tentukan faktor-faktor dari polinomial 4 x3 – 13 x – 6, kemudian selesaikanlah persamaan berikut ini. 2 3 2 2 x − = 13 x 2 • Tentukan nilai p dan q dimana x – 2 x – 3 merupakan faktor dari 2 x3 + px2 – 12 x + q. • Misalkan 7 x – 5 dan x + 2 merupakan faktor-faktor dari 14 x3 + ax2 + bx + 10, tentukan nilai a dan b. • Tentukan faktor-faktor dari 2 x3 – 7 x2 – 7 x + 30 = 0. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan ke-6 dengan cara yang istimewa, guru menginformasikan bahwa ketika kita menyelesaikan
permasalahan polinomial dengan mengidentikasi akar-akar mana saja yang termasuk faktor dari suatu polinomial yang diketahui, kita dapat menilai seberapa kritisnya kita berpikir, baik dalam masalah matematika ataupun masalah di lingkungan sekitar kita. Serta pada saat ulangan adakalanya kita mendapat kesulitan dalam mengisi jawaban dari soal matematika. Kita tidak perlu mencontek kepada teman atau buku untuk menjawabnya. Saat itulah kita harus mengakui batas kemampuan kita, sehingga kita masih bisa meningkatkan kemampuan kita agar mampu menjawab soal tersebut di kemudian hari. Ketika guru menjelaskan dan mengajukan pertanyaan mengenai konsep polinomial, kita harus dapat menanggapi dan menjawab pertanyaan tersebut. b)
52
Penutup
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
52
orange
hitam
orange
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 4 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 1.8 sampai dengan Latihan 1.12 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 16 pada buku siswa. 3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 19-28. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
3. Materi ke-3: Persamaan Kubik (6 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep persamaan kubik.
2)
Mengaitkan persamaan kubik dengan aturan dan sifat polinomial.
3)
Memecahkan masalah nyata menggunakan konsep persamaan kubik.
4)
Mendeskripsikan konsep jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial.
5)
Menggunakan konsep jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial dalam masalah aljabar.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-3 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai persamaan kubik, cara menyelesaikannya, penerapan persamaan kubik, serta jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep persamaan kubik. b) Siswa dapat mengaitkan persamaan kubik dengan aturan dan sifat polinomial. c) Siswa dapat memecahkan masalah nyata menggunakan konsep persamaan kubik. d) Siswa dapat mendeskripsikan konsep jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial. e) Siswa dapat menggunakan konsep jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial dalam masalah aljabar.
2)
Kegiatan pembelajaran
Petunjuk Khusus
53
53
hitam
a)
Persamaan Kubik
Materi pada subbab persamaan kubik dibagi menjadi 3 pertemuan, yaitu pertemuan ke-7 menjelaskan tentang cara menyelesaikan persamaan kubik, pertemuan ke-8 menjelaskan tentang soal-soal aplikasi yang berhubungan dengan persamaan kubik, pertemuan ke-9 menjelaskan tentang jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial. (1) Pertemuan ke-7 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memberikan gambaran mengapa persamaan kubik diperlukan. Mengapa persamaan kubik diperlukan? Persamaan kubik adalah fungsi x yang ditentukan oleh polinomial berderajat tiga. Dengan menggunakan persamaan kubik dapat membantu untuk menentukan jumlah yang berbeda dalam kehidupan sehari-hari. Contoh penggunaan persamaan kubik adalah menentukan berapa banyak air yang terdapat di danau beserta ukurannya. Contoh kehidupan nyata lain dari fungsi kubik adalah menentukan berapa banyak resistensi dalam kabel listrik yang bergantung pada volume listrik melalui kabel tersebut. Dapatkah Anda menyebutkan contoh lain dari penggunaan persamaan kubik? Setelah gambaran ini dilontarkan, berikan kesempatan siswa untuk mencerna, merasakan, maupun berdiskusi apakah ada lagi contoh lain dari penggunaan persamaan kubik. Setelah siswa termotivasi dengan gambaran ini barulah guru menjelaskan tentang persamaan kubik. Guru memberi informasi bahwa persamaan kuadrat memiliki paling banyak dua akar rasional. Sedangkan persamaan kubik memiliki paling banyak tiga akar rasional. Agar siswa lebih memahami mengenai pemfaktoran persamaan kubik dengan pengelompokan, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 1.14. Pada Contoh Soal 1.14 siswa dapat mengamati langkah-langkah yang harus dilakukan untuk memfaktorkan persamaan kubik dengan cara mengelompokkan. Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 1.14. Selanjutnya guru menginformasikan bahwa tidak semua persamaan kubik dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan. Agar dapat menentukan akar dari suatu persamaan kubik dinyatakan oleh teorema akar rasional, yaitu “akar-akar rasional suatu persamaan kubik adalah ±d , dimana adalah konstanta dan faktor-faktor dari d a adalah koesien suku ±a utama”. Agar siswa lebih memahami mengenai penggunaan teorema akar rasional, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 1.15 . Pada Contoh Soal 1.15 siswa dapat mengamati dan mengeksplorasi langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menyelesaikan persamaan kubik berdasarkan faktor-faktor konstantanya. Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 1.15. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai menyelesaikan persamaan kubik.
54
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
54
orange
hitam
orange
Selanjutnya siswa dapat mengamati tips menentukan ketiga akar rasional bulat persamaan kubik. Agar dapat memahami penyelesaian akar-akar rasional bulat pada persamaan kubik, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 1.7 dan Kegiatan 1.8. Guru berkeliling mengamati yang dikerjakan siswa. Guru menjelaskan bahwa yang terdapat pada persamaan kubik bukan hanya akar rasional bulat, tetapi akar rasional tak bulat juga. Agar memahami menentukan akar rasional tak bulat pada persamaan kubik, siswa dapat mengamati Contoh Soal 1.16. (2) Pertemuan ke-8 Untuk memulai pembelajaran, guru dapat mengulas kembali materi pertemuan sebelumnya dengan memberikan soal, misalnya Tentukan akar-akar penyelesaian dari • 2 x3 + 3 x2 – 11 x – 6 = 0 • x3 – 7 x2 + 4 x + 12 = 0 Jawaban yang harus dipahami guru adalah sebagai berikut.
•
Karena konstanta dari persamaan adalah 6, sehingga faktor dari 6 adalah ±1, ±2, ±3, dan ±6. Dengan menggunakan teorema faktor diperoleh f (1) = 2 + 3 – 11 – 6
≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 – 6
≠ 0
f (2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0 Diperoleh bahwa 2 merupakan salah satu akarnya. Dengan menggunakan pembagian sintetik diperoleh bahwa
2 x3 + 3 x2 – 11 x – 6
= ( x – 2)(2 x2 + 7 x + 3) = ( x – 2)(2 x + 1)( x + 3)
Jadi, akar-akar dari persamaan 2 x3 + 3 x2 – 11 x – 6 = 0 adalah 2, –3.
•
−
1 2
, dan
Karena konstanta dari persamaan adalah 12, sehingga faktor dari 12 adalah ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, dan ±12. Dengan menggunakan teorema faktor diperoleh f (–1) = –1 – 7 – 4 + 12 = 0 Diperoleh bahwa –1 merupakan salah satu akarnya. Dengan menggunakan pembagian sintetik diperoleh bahwa x3 – 7 x2 + 4 x + 12 = ( x + 1)( x2 – 8 x + 12) = ( x + 1)( x – 2)( x – 6) Jadi, akar-akar dari persamaan x3 – 7 x2 + 4 x + 12 = 0 adalah –1, 2, dan 6.
Pada waktu kelas X siswa telah mampu menyelesaikan masalah kontekstual atau soal aplikasi yang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan kuadrat. Pada pertemuan kali ini siswa akan memodelkan masalah kontekstual yang berkaitan dengan persamaan kubik. Agar siswa memahami mengenai aplikasi dari persamaan kubik, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal Petunjuk Khusus
55
55
hitam
orange
1.17. Pada Contoh Soal 1.17 siswa mengamati soal aplikasi yang berkaitan dengan persamaan kubik. Guru dapat memberikan contoh soal lain yang bervariasi dari Contoh Soal 1.17. Setelah siswa memahami dan mengamati contoh soal, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai soal aplikasi yang berkaitan dengan persamaan kubik. Kemudian setelah mulai memahami konsep aplikasi persamaan kubik, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 1.9. Guru berkeliling mengamati dan menilai apa yang dikerjakan siswa.
Arahkan siswa untuk mengerjakan Kegiatan 1.10 agar siswa menemukan sendiri konsep dari pemfaktoran a3 + b3 dan a3 – b3. Berdasarkan hasil Kegiatan 1.10 siswa akan memperoleh dua pemfaktoran khusus yakni: • Jumlah kubik: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) • Selisih kubik: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Agar siswa memahami penerapan dari konsep pemfaktoran kubik, guru dapat menjelaskan Contoh Soal 1.18 . Pada Contoh Soal 1.18 siswa dapat memfaktorkan polinomial berderajat tiga menggunakan jumlah kubik dan selisih kubik. Setelah siswa memahami dan mengeksplorasi kegiatan serta mengamati contoh soal, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai pemfaktoran persamaan kubik menggunakan jumlah dan selisih kubik. (3) Pertemuan ke-9 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memberikan informasi mengenai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan polinomial berderajat dua. Diawali dengan menyatakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Jumlah akar-akar: x1 + x2
=
Hasil kali akar-akar: x1 ⋅ x2
−b =
a c a
Dengan menurunkan persamaan kubik ax3 + bx2 + cx + d = 0 diperoleh: Jumlah akar-akar: x1 + x2 Perkalian dua akar: x1 x2
+ x3 =
−b a
+ x1 x3 + x2 x3 =
Hasil kali akar-akar: x1 x2 x3 =
c a
− d
a Siswa diminta memahami penggunaan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kubik dalam Contoh Soal 1.19 . Setelah memahami dan mengamati, siswa diberi kesempatan untuk bertanya dan berdiskusi mengenai jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kubik. Selanjutnya siswa bersama teman sebangkunya diminta untuk mempelajari kolom Pojok Olimpiade dan Soal Seleksi dengan cara berdiskusi. Guru berkeliling mengamati dan menilai yang dikerjakan oleh siswa.
Guru menginformasikan bahwa sikap konsisten, rasa ingin tahu, kritis, jujur, serta responsif tidak akan terwujud jika kita tidak menghargai dan 56
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
56
hitam
orange
menghayati ajaran agama kita masing-masing. Setiap agama megajarkan kita untuk selalu jujur terhadap siapa pun, baik diri sendiri, keluarga, maupun masyarakat. Kita juga harus menghargai semua ilmu baik ilmu eksak ataupun ilmu sosial yang kita peroleh baik dari guru, orangtua, bahkan dari lingkungan sekitar kita secara tidak langsung. Apabila sikap-sikap tersebut sudah ada salam diri kita, maka sikap atau nilai yang tercermin tersebut akan menjadi karakter yang membudaya. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab C nomor 1 sampai dengan nomor 7 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 1.13 sampai dengan Latihan 1.8 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab C nomor 1 sampai dengan nomor 8 pada buku siswa. 3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 28-44 b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
4. Materi ke-5: Ulangan Harian (2 JP) I.
1.
Pilihan ganda
Pernyataan dengan .... A. B. C. D. E.
2 x3 4 x 2 3 x 10 x 3
sama 2.
91 2 x 2 10 x 27 x 3 23 2 x 2 8 x 29 x 3 91 2 x 2 10 x 27 x 3 32 2 x 2 10 x 27 x 3 32 2 x 2 10 x 27 x 3
Pernyataan
x 6 1 x 2 1
sama dengan ....
A. x4 – 1 B. ( x2 + x + 1)( x2 – x + 1) C. ( x2 + x + 1)( x2 – x – 1) D. ( x2 + x – 1)( x2 – x + 1) E. x4 + x2 + 1 3.
Jika f ( x) = ( x + 7) g ( x) + ( x + 2), maka kelipatan pertama dari ( x + 7) yang lebih besar daripada f ( x) adalah .... A. f ( x) + 1
D. 2 f ( x)
B. f ( x) + 2
E.
2 f ( x) + 1
C. f ( x) + 5 Petunjuk Khusus
57
57
hitam
4.
Suku banyak
orange
7.
x4 – ax3 – (a – b) x2 + (3a + b + 2) x – 3a – b
mempunyai sisa ( x – 3) jika dibagi ( x2 + x – 2). Nilai a dan b berturut-turut adalah .... A. 3 dan 4
D. 3 dan 5
B. 4 dan 3
E. 4 dan 4
8.
Diketahui salah satu faktor linear dari f ( x) = 2 x3 – 3 x2 + ( p – 15) x + 6 adalah (2 x – 1). Faktor linear lainnya dari suku banyak tersebut adalah .... A. x – 5
D. x + 2
B. x – 2
E. x + 3
9.
Diketahui suatu polinomial berderajat 3. Jika dibagi ( x2 + x – 2) bersisa (2 x – 1) dan jika dibagi ( x2 + x – 3) bersisa (3 x – 3). Polinomial tersebut adalah .... 3
2
3
2
B. –2
E.
6
Diketahui polinomial p( x) = x4 + 2 x3 – 9 x2 – 2 x + k habis dibagi ( x – 2). Jika p( x) dibagi ( x – 1), sisanya adalah .... A. 8
D. –1
B. 4
E.
–2
Diketahui p( x) = ax5 + bx – 1, dengan a dan b konstan. Jika p( x) dibagi dengan ( x – 2.006) bersisa 3, maka jika p( x) dibagi dengan ( x + 2.006) akan bersisa .... A. –1
D. –4
B. –2
E.
–5
C. –3
A. x – x – 2 x – 3
10. Jika x51 + 51 dibagi x + 1, maka sisanya adalah ....
B. x – x – 2 x + 3 C. x3 – x2 + 2 x + 3
A. 0
D. 50
3
2
B. 1
E.
3
2
C. 49
D. x – 2 x – x + 2 E. x – 2 x + x – 2
E
D. 3
C. 0
C. x + 1 6.
A. –3 C. 2
C. 5 dan 3 5.
Jika polinomial 5 x3 + 21 x2 + 9 x – 2 dibagi (5 x + 1), maka sisanya adalah ....
51
Materi Pengayaan
Siswa yang cepat dalam menguasai materi pembelajaran tentunya akan memiliki kelebihan waktu yang harus dimanfaatkan siswa. Jika kelebihan waktu tersebut tidak dimanfaatkan dengan kegiatan-kegiatan positif, maka dapat menimbulkan hal-hal negatif yang dapat mengganggu siswa lain yang sedang berpartisipasi dalam kegiatan pembelajaran. Sehingga guru dapat memberikan pengayaan yang berupa soal maupun materi. Contoh soal pengayaan:
Faktorkanlah pernyaatan berikut ini.
58
a.
x4 + x2 – 2
b.
x5 – x
c.
x9 + x4 – x – 1
d.
x12 – x4 – x3 + 1
e.
x10 + x5 – 2
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
58
hitam
orange
Penyelesaian:
a.
x4 + x2 – 2 = ( x – 1)( x + 1)( x2 + 2)
b.
x5 – x = x( x – 1)( x + 1)( x2 + 1)
c.
x9 + x4 – x – 1 = ( x – 1)( x + 1)( x7 + x5 + x3 + x2 + x + 1)
d.
x12 – x4 – x3 + 1 = ( x – 1)( x11 + x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 – x2 – x – 1)
e.
x10 + x5 – 2 = ( x – 1)( x4 + x3 + x2 + x + 1)( x5 + 2)
F
Remedial
Jika dari hasil evaluasi masih terdapat siswa yang belum memenuhi standar minimal, maka guru melaksanakan kegiatan remedial. Kegiatan ini diawali dengan remedial teaching, yaitu guru memberi pengulangan untuk materi-materi yang kompetensinya belum tercapai. Setelah itu guru melaksanakan evaluasi kembali dengan memberikan sejumlah soal yang berkaitan dengan bahan ajar yang diremedi. Contoh soal remedial:
Faktorkanlah bentuk polinomial berikut ini. 1.
x3 + 3 x2 + 5 x + 15
2.
x3 – 6 + 2 x – 3 x2
Penyelesaian:
1.
x3 + 3 x2 + 5 x + 15 = ( x3 + 3 x2) + (5 x + 15)
= x2( x + 3) + 5( x + 3) = ( x2 + 5)( x + 3) 2.
x3 – 6 + 2 x – 3 x2 = x3 – 3 x2 + 2 x – 6
= ( x3 – 3 x2) + (2 x – 6) = x2( x – 3) + 2( x – 3) = ( x2 + 2)( x – 3)
G
Penilaian
Untuk menguji pemahaman siswa atas konsep Bab I ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.
Suplemen uji mandiri, untuk melatih siswa mengerjakan soal secara mandiri. Terdiri atas soal-soal pilihan ganda dan soal-soal uraian.
2.
Kegiatan diskusi, bertujuan untuk memperoleh pemahaman yang lebih baik mengenai suatu masalah atau memecahkannya secara bersama-sama. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 27.
3.
Tugas proyek, untuk menilai keterampilan siswa dalam hal kemampuan merencanakan, merancang, dan menyelesaikan pemecahan masalah yang relevan dalam kehidupan seharihari secara berkelompok dan menerapkan hasil pembelajaran. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 31.
Petunjuk Khusus
59
59
hitam
4.
orange
Tugas portofolio, berupa tugas membuat rangkuman dari semua kegiatan yang telah dikerjakan dalam satu bab dan mencari literatur-literatur untuk mengetahui dan mengembangkan pengetahuan. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 33.
H
Penutup
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan aplikasi turunan fungsi, disajikan sebagai berikut. 1.
Bentuk umum fungsi polinomial satu variabel adalah sebagai berikut. f ( x) = an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a2 x2 + a1 x + a0
dengan: n adalah eksponen dari x yang berupa bilangan bulat positif, an , an – 1, an – 2, …, a2, a1, a0 adalah koesien-koesien yang berupa bilangan real yang tetap, dan x adalah variabel.
2.
Bentuk umum algoritma pembagian polinomial f ( x) dengan pembagi bentuk linear ( x – k ) dinyatakan oleh f ( x) = ( x – k )h( x) + s
3.
Bentuk umum algoritma pembagian polinomial dengan faktor linear ( ax + b) dinyatakan oleh f ( x) = (ax + b)h( x) + s
4.
Bentuk umum algoritma pembagian dengan faktor kuadrat dinyatakan oleh f ( x) = (ax2 + bx + c)h( x) + px + q
5.
Derajat hasil bagi h( x) maksimum dua lebih kecil daripada derajat polinomial yang dibagi, f ( x). Sedangkan sisa pembagian s( x) maksimum berderajat satu.
6.
Jika suatu polinomial f ( x) dibagi oleh faktor linear ( x – k ), maka sisanya adalah s = f (k ).
7.
Polinomial f ( x) dibagi oleh faktor linear ( ax + b) dengan a ≠ 0, maka sisanya adalah
−b a
s = f
8.
Teorema faktor secara umum dinyatakan sebagai berikut. a.
Suatu polinomial f ( x) memiliki faktor ( x – k ) jika dan hanya jika f (k ) = 0.
b.
Suatu polinomial f ( x) memiliki faktor ( ax + b) jika dan hanya jika f
−b = 0 . a
9.
± d , Teorema akar rasional: Akar-akar suatu persamaan kubik adalah faktor-faktor dari ± a dimana d adalah konstanta dan a adalah koesien suku utama.
60
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
60
hitam
orange
Bab II Irisan Kerucut
Sumber: http://www.acgcapital.com/images/lithotripsy-equipment.jpg
diunduh pada tanggal 14 April 2014 pukul 14:11 WIB.
Irisan kerucut memiliki 4 macam bentuk, yaitu lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Bentuk-bentuk geometri ini banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, fokus dari hiperbola diterapkan dalam sistem navigasi radio jarak jauh ( long distance radio navigation system) untuk menentukan letak dari suatu kapal laut dan pesawat terbang. Contoh lainnya, sifat-sifat elips diaplikasikan pada suatu alat medis yang disebut lithotripter . Alat ini digunakan untuk menghancurkan batu ginjal. Untuk memahami dan akhirnya menguasai konsep irisan kerucut, ayo pelajari bab berikut ini dengan antusias dan gembira.
Petunjuk Khusus
61
61
hitam
A
orange
Pengantar
Secara esensial, pembelajaran pada topik ini mengenalkan sis wa mengenai konsep dan unsurunsur dari parabola, elips, dan hiperbola, serta penerapan konsep irisan kerucut (parabola, elips, dan hiperbola) dalam memecahkan masalah nyata.
B
KI dan KD pada Materi Pokok Irisan Kerucut Kompetensi Inti
Kompetensi Dasar
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
2.1 Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan. 2.2 Menunjukkan kemampuan berkolaborasi, percaya diri, tangguh, kemampuan bekerja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah.
3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian
3.3 Menganalisis konsep sifat-sifat irisan kerucut (parabola, hiperbola, dan elips) dan menerapkannya dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah matematika. 3.4 Mendeskripsikan hubungan garis direktris, titik fokus, dan titik-titik pada kurva parabola, hiperbola, dan elips, dan menerapkannya dalam pemecahan masalah. 3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur parabola, hiperbola, dan elips untuk menggambar kurva
yang spesik sesuai dengan bakat dan
dan mengidentikasi sifat-sifatnya.
minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
62
4.3 Mengolah data dan menganalisis model matematika dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan parabola atau hiperbola atau elips. 4.4 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gam baran model parabola, hiperbola, dan elips dan merancang masalah serta menyelesaikannya dengan menerapkan konsep dan sifatsifat irisan kerucut yang telah dibuktikan kebenarannya.
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
62
hitam
C
orange
Alokasi Waktu
Topik materi ke-
D
Materi
Alokasi waktu
1
Parabola
6 JP
2
Elips
8 JP
3
Hiperbola
8 JP
4
Ulangan harian
2 JP
Materi
1. Materi ke-1: Parabola (6 JP) a.
Indikator 1)
Mendeksripisikan konsep parabola.
2)
Menjelaskan unsur-unsur pada kurva parabola.
3) Mengidentikasi kurva parabola. 4)
Menggambar kurva parabola.
5)
Menerapkan konsep parabola dalam memecahkan masalah matematika.
6)
Menerapkan konsep parabola dalam memecahkan masalah nyata.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-1 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai denisi parabola, persamaan parabola dengan puncak di titik asal O(0, 0), translasi irisan kerucut, persamaan parabola dengan puncak V (a, b), aplikasi parabola, persamaan parameter, dan persamaan garis singgung.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep parabola. b) Siswa dapat menjelaskan unsur-unsur pada kurva parabola.
c) Siswa dapat mengidentikasi kurva parabola. d) e) f) 2)
Siswa dapat menggambar kurva parabola. Siswa dapat menerapkan konsep parabola dalam memecahkan masalah matematika. Siswa dapat menerapkan konsep parabola dalam memecahkan masalah nyata.
Kegiatan pembelajaran
a)
Parabola
Materi pada subbab parabola dibagi menjadi 3 pertemuan, yaitu
pertemuan ke-1 menjelaskan tentang denisi parabola dan persamaan parabola dengan puncak di titik asal O(0, 0); pertemuan ke-2 menjelaskan tentang translasi irisan kerucut, persamaan parabola dengan puncak Petunjuk Khusus
63
63
hitam
orange
V (a, b), dan aplikasi parabola; pertemuan ke-3 menjelaskan tentang persamaan parameter dan persamaan garis singgung.
(1) Pertemuan ke-1 Sebelum siswa membelajari bab ini, sebaiknya siswa memahami terlebih dahulu mengenai irisan kerucut. Guru menginformasikan bahwa irisan kerucut (conic section) merupakan suatu kurva yang diperoleh dengan mengiris sebuah kerucut tegak dengan sebuah bidang datar. Guru memberikan waktu kepada
siswa untuk bertanya mengenai denisi irisan kerucut. Guru menginformasikan bahwa parabola diperoleh dari mengiris kerucut tegak secara miring sejajar garis pelukis kerucut sampai memotong alas kerucut. Guru menanyakan pengertian sederhana dari parabola kepada siswa. Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Diskusi yang memanas di antara siswa adalah cara yang terbaik untuk memotivasi mereka melakukan kesimpulan. Untuk dipahami guru jawabannya adalah sebagai berikut, parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang memiliki jarak sama terhadap sebuah titik dan garis tertentu. Guru menginformasikan
denisi parabola beserta unsur-unsur yang terdapat pada parabola, seperti titik fokus, direktris, puncak, dan latus rektum. Guru memberikan waktu kepada
siswa untuk bertanya mengenai denisi parabola beserta unsur-unsurnya. Agar dapat memahami mengenai cara membentuk persamaan umum parabola, siswa mengerjakan Kegiatan 2.2 mengenai langkah-langkah membentuk persamaan umum parabola secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan. Pada Kegiatan 2.2 siswa dapat mengetahui perbedaan antara grak y2 = 4 x dengan x2 = 4 y, yaitu: Grafk y2 = 4 x Parabola terbuka ke kanan Fokus berada pada sumbu X Persamaan direktris sejajar dengan sumbu Y
Grafk x 2 = 4 y Parabola terbuka ke atas Fokus berada pada sumbu Y Persamaan direktris sejajar dengan sumbu X
Guru menginformasikan bahwa parabola yang terbuka ke atas dengan melakukan penurunan dari jarak titik P ( x, y) dengan F (0, p) adalah sama dengan jarak titik P ( x, y) dengan D( x, – p) memiliki persamaan y yang dinyatakan dalam 2 x, yaitu x = 4 py. Agar dapat memahami cara menemukan rumus parabola yang terbuka ke kanan, siswa diminta mengerjakan Kegiatan 2.3 secara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan. Pada Kegiatan 2.3 siswa dapat menemukan rumus parabola yang terbuka ke kanan, yaitu y2 = 4 px. Guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 2. 1a untuk menentukan unsur-unsur parabola yang persamaannya diketahui dan meminta siswa untuk mengerjakan sendiri Contoh Soal 2.1b untuk dibahas bersama-sama. Guru mengamati dan menilai aktivitas siswa.
64
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
64
hitam
orange
Untuk memperkuat pemahaman siswa mengenai parabola, guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 2.2a untuk menentukan persamaan parabola yang unsur-unsur parabola tersebut diketahui secara interaktif dan meminta siswa untuk mengerjakan sendiri Contoh Soal 2.2b untuk dibahas bersama-sama. Guru mengamati dan menilai aktivitas siswa. (2) Pertemuan ke-2 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memberikan informasi mengenai bagaimana mentranslasi irisan kerucut untuk menentukan persamaan irisan kerucut yang pusatnya tidak terletak pada titik asal (0, 0), misalnya titik ( x, y). Titik ( x, y) akan ditranslasi sejauh a satuan ke kanan dan b satuan ke atas sehingga menjadi titik ( x', y'), maka ( x + a, y + b) = ( x', y'). Titik ( x', y') inilah yang akan menjadi titik puncak baru bagi persamaan irisan kerucut tersebut. Setelah siswa termotivasi dengan informasi yang menarik, maka pembelajaran berikutnya bisa berlangsung dengan menyenangkan. Guru kemudian meminta siswa menggambar suatu parabola terbuka ke kanan dengan titik puncak asal (0, 0). Dengan menerapkan konsep translasi, guru meminta siswa untuk memindahkan parabola tersebut sejauh a satuan ke kanan dan b satuan ke atas. Guru menanyakan kepada siswa, “jika persamaan parabola dengan titik puncak asal (0, 0), akan berada dimanakah titik puncak setelah parabola ditranslasi?”. Dengan cara translasi, jawaban yang diharapkan adalah titik puncak setelah parabola ditranslasi adalah ( a, b). Kemudian guru menjelaskan dan menginformasikan persamaan parabola bentuk baku (baik terbuka ke atas maupun terbuka ke bawah) beserta unsur-unsurnya. Guru memberikan waktu kepada siswa untuk bertanya mengenai bentuk persamaan parabola dengan puncak (a, b). Agar dapat memahami cara menurunkan persamaan parabola yang terbuka ke kanan dengan puncak ( a, b), siswa diminta mengerjakan Kegiatan 2.4 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Pada Kegiatan 2.4 siswa dapat menurunkan persamaan parabola yang terbuka ke kanan dengan puncak ( a, b), yaitu ( y – b)2 = 4 p( x – a). Guru menilai kesimpulan yang telah dikemukakan siswa. Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 2.3 dan 2.4. Pada Contoh Soal 2.3 siswa dapat mengamati dan memahami cara menentukan unsur-unsur suatu parabola jika persamaan parabola tersebut diketahui. Umumnya unsur-unsur yang ditanyakan adalah puncak, sumbu simetri, fokus, persamaan direktris, serta gambar parabola tersebut. Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 2.3. Guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 2.4a untuk menentukan persamaan parabola jika beberapa unsur-unsurnya diketahui dan meminta siswa mengerjakan sendiri Contoh Soal 2.4b untuk dibahas bersama. Guru menginformasikan beberapa aplikasi dari persamaan parabola, misalnya lintasan bola sepak yang melambung, lampu sorot mobil, senter, piringan satelit televisi (antena parabola). Selanjutnya guru dapat menjelaskan Petunjuk Khusus
65
65
hitam
yang terdapat pada Contoh Soal 2.5. Pada Contoh Soal 2.5 siswa dapat mengamati dan memahami bagaimana menerapkan konsep persamaan parabola dalam memecahkan masalah nyata, khususnya aplikasi parabola pada pemantul parabolik. Agar dapat memahami bagaimana menyajikan objek nyata dengan menerapkan konsep dan sifat dari parabola, siswa diminta mengerjakan Kegiatan 2.5 secara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Setelah siswa memahami cara menentukan persamaan parabola, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan parabola, misalnya (a) Tentukan puncak, sumbu simetri, fokus, persamaan direktris, dan gambar
sketsa grak dari parabola berikut. x2 + 6 x + 3 y + 12 = 0 1 • y + 1 = − ( x − 3) 2 4 (b) Tentukan persamaan parabola jika diketahui: •
•
Titik puncak (0, 0) dan fokus pada (0, 4)
•
F (–3, 0) dan direktris pada x = 3
(3) Pertemuan ke-3 Pada awal pembelajaran guru menjelaskan mengenai persamaan parameter melalui grak yang terdapat pada Gambar 2.22 pada buku siswa. Pada parabola y2 = 4 px dipenuhi oleh persamaan x = pt 2 dan y = 2 pt dimana t merupakan parameter. Sehingga setiap titik pada kurva y2 = 4 px dapat ditampilkan dalam bentuk ( pt 2, 2 pt ) yang biasa dikenal sebagai koordinat parametrik. Selanjutnya guru menjelaskan Contoh Soal 2.6a untuk menentukan persamaan parabola jika persamaan parameternya diberikan dan meminta siswa mendiskusikan Contoh Soal 2.6b bersama teman sebangkunya untuk dibahas bersama-sama. Guru mengajukan pertanyaan, bagaimanakah cara menentukan persamaan garis singgung suatu parabola jika persamaannya diketahui? Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan siswa untuk menduga mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Terdapat dua kasus yang akan dibahas dalam menentukan persamaan garis singgung, yaitu jika titik singgung ( x1, y1) yang terletak pada parabola diketahui dan jika gradien (m) garis singgung diketahui. Kemudian guru menginformasikan dengan menurunkan persamaan garis singgung parabola sehingga diperoleh bahwa: • Persamaan garis singgung pada persamaan parabola y2 = 4 px dengan titik singgung ( x1, y1) adalah y1 ∙ y = 2 px + 2 px1 • Persamaan garis singgung pada persamaan parabola x2 = 4 py dengan titik singgung ( x1, y1) adalah x1 ∙ x = 2 py + 2 py1 Agar dapat memahami cara menentukan persamaan garis singgung pada persamaan parabola yang titik puncak bukan di titik asal, siswa diminta mengerjakan Kegiatan 2.6 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya.
66
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
66
orange
hitam
orange
Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Kesimpulan yang diharapkan pada Kegiatan 2.6 adalah sebagai berikut. • Persamaan garis singgung pada persamaan parabola ( y – b)2 = 4 p( x – a) dengan titik singgung ( x1, y1) adalah ( y1 – b)( y – b) = 2 px + 2 px1 – 4ap • Persamaan garis singgung pada persamaan parabola ( x – a)2 = 4 p( y – b) dengan titik singgung ( x1, y1) adalah ( x1 – a)( x – a) = 2 py + 2 py1 – 4bp Guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 2.7a dan 2.7b untuk menerapkan rumus persamaan garis singgung pada persamaan parabola y2 = 4 px dan ( y – b)2 = 4 p( x – a) dan meminta siswa mendiskusikan Contoh Soal 2.7c bersama teman sebangkunya. Guru menginformasikan cara menentukan persamaan garis singgung pada persamaan parabola dengan gradien m diketahui. Guru menjelaskan langkahlangkah menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan metode kedua. Persamaan garis singgung pada persamaan parabola y2 = 4 px dengan p gradien m adalah y = mx + . m Agar dapat memahami cara menentukan persamaan garis singgung pada persamaan parabola dengan gradien m diketahui, siswa diminta mengerjakan Kegiatan 2.6 dengan cara berdiskusi bersama teman sekelompoknya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Kesimpulan yang diharapkan pada Kegiatan 2.6 adalah sebagai berikut. • Persamaan garis singgung pada persamaan parabola x2 = 4 py dengan gradien m adalah y = mx – m2 p
•
Persamaan garis singgung pada persamaan parabola ( y – b)2 = 4 p( x – a) dengan gradien m adalah ( y − b) = m( x − a) +
•
p m
Persamaan garis singgung pada persamaan parabola ( x – a)2 = 4 p( y – b) dengan gradien m adalah ( y – b) = m( x – a) – m2 p
Guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 2.8a sebagai penerapan persamaan garis singgung pada parabola dengan gradien m diketahui dan meminta siswa mendiskusikan Contoh Soal 2.8b bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Guru memberikan waktu kepada siswa untuk bertanya mengenai konsep persamaan garis singgung yang belum mereka pahami dengan baik. Setelah siswa memahami cara menentukan persamaan garis singgung pada persamaan parabola, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan garis singgung pada persamaan parabola, misalnya (a) Tentukan persamaan garis singgung melalui: • Titik (–2, 1) pada parabola x = –2 y2 • Titik (2, –7) pada parabola 8 x = y2 + 6 y + 9 (b) Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 – 4 x – 2 y = 3 yang:
Petunjuk Khusus
67
67
hitam
• • b)
Sejajar dengan garis 6 y – 12 x = –72 Tegak lurus dengan garis 2 y + x – 12 = 0
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 5. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 2.1 sampai dengan Latihan 2.8 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 15 pada buku siswa. 3)
4)
Alat, bahan, dan media
a)
Alat dan bahan: kertas, alat tulis
b)
Media: -
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 51-78b). a)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
2. Materi ke-2: Elips (8 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep elips.
2)
Menjelaskan unsur-unsur pada kurva elips.
3) Mengidentikasi kurva elips. 4)
Menggambar kurva elips.
5)
Menerapkan konsep elips dalam memecahkan masalah matematika.
6)
Menerapkan konsep elips dalam memecahkan masalah nyata.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-2 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai denisi elips, unsur-unsur elips, persamaan elips dengan pusat P (0, 0), sifat elips, persamaan elips dengan pusat ( p, q), aplikasi elips, dan persamaan garis singgung.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep elips. b) Siswa dapat menjelaskan unsur-unsur pada kurva elips.
c) Siswa dapat mengidentikasi kurva elips. d)
68
Siswa dapat menggambar kurva elips.
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
68
orange
hitam
orange
e) Siswa dapat menerapkan konsep elips dalam memecahkan masalah matematika. f) Siswa dapat menerapkan konsep elips dalam memecahkan masalah nyata 2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Elips
Materi pada subbab elips dibagi menjadi 4 pertemuan, yaitu pertemuan
ke-4 menjelaskan tentang denisi elips dan unsur-unsur elips; pertemuan ke-5 menjelaskan tentang persamaan elips dengan pusat P (0, 0) dan sifat dari elips; pertemuan ke-6 menjelaskan tentang persamaan elips dengan pusat ( p, q) dan aplikasi elips; pertemuan ke-7 menjelaskan tentang persamaan garis singgung. (1) Pertemuan ke-4 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru bisa memberikan pertanyaan menantang berkaitan materi yang akan dibahas. Pertanyaan menantang:
Jembatan-jembatan tertentu memiliki pintu air yang berbentuk setengah elips, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.
8 meter
60 meter
Dapatkah Anda membuat persamaan elips dari masing-masing pintu air tersebut jika lebar dan ketinggian pintu air tersebut berturut-turut adalah 30 meter dan 8 meter. Berapakah ketinggian titik pada busur elips tersebut yang terletak 9 meter di kanan masing-masing titik pusat pintu air tersebut? Setelah pertanyaan menantang diberikan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Kemudian guru menyatakan bahwa masalah tersebut dapat dijawab siswa setelah memahami konsep elips sepenuhnya. Setelah siswa termotivasi dengan pertanyaan menantang, maka pembelajaran berikutnya dapat berlangsung dengan menyenangkan. Guru menggambarkan kerucut tegak yang sedang diiris dengan sudut antara 0 ° dan 45° kemudian menginformasikan bahwa elips diperoleh dari mengiris kerucut tegak dengan sudut kemiringan antara 0° dan 45° terhadap sumbu simetri kerucut. Guru menanyakan pengertian sederhana dari elips kepada siswa. Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Diskusi yang memanas di antara siswa adalah cara yang terbaik untuk memotivasi mereka membuat kesimpulan. Untuk dipahami guru jawabannya adalah sebagai Petunjuk Khusus
69
69
hitam
orange
berikut, elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarak dari dua titik tetap adalah konstan. Agar dapat memahami bagaimana cara menggambar elips, siswa mengerjakan Kegiatan 2.7 mengenai langkah-langkah menggambar elips secara sederhana secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan. Guru memberikan kesempatan siswa untuk bertanya mengenai menggambar elips secara sederhana. Selanjutnya guru menggambar elips di papan tulis sesuai dengan Gambar 2.28 yang terdapat pada buku siswa halaman 80. Guru menjelaskan unsur-unsur elips yang ada di papan tulis, yaitu pusat, fokus, puncak, sumbu mayor (sumbu panjang), dan sumbu minor (sumbu pendek). Terdapat dua jenis elips berdasarkan sumbu panjangnya. Jika sumbu panjang elips berada pada sumbu X , maka disebut elips horizontal, sedangkan jika sumbu panjang elips berada pada sumbu Y , maka disebut elips vertikal. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri persamaan elips dengan pusat P (0, 0) dan sifat elips. (2) Pertemuan ke-5 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai persamaan elips dengan pusat P (0, 0). Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan siswa di depan kelas. Selanjutnya guru menginformasikan cara menentukan persamaan elips serta unsur-unsurnya seperti yang telah tertera pada buku siswa. Sehingga diperoleh bahwa,
•
Elips horizontal (elips yang sumbu panjangnya adalah sumbu X ) x 2 a2
•
+
y 2 b2
=1
Elips vertikal (elips yang sumbu panjangnya adalah sumbu x 2 b2
+
y 2 a2
Y )
=1
Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 2.9 dan 2.10. Pada Contoh Soal 2.9 siswa dapat mengamati dan memahami langkahlangkah untuk menentukan unsur-unsur elips jika persamaannya diketahui. Umumnya unsur-unsur yang ditanyakan adalah titik pusat, puncak, fokus, serta keeksentrikan dari elips. Pada Contoh Soal 2.10 siswa dapat menentukan persamaan elips jika unsur-unsurnya diketahui. Guru menginformasikan bahwa keeksentrikan elips adalah e =
c
. Guru
a mengajukan pertanyaan, bagaimanakah cara mendapatkan keeksentrikan elips 70
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
70
hitam
x 2
dari persamaan elips
+
orange
y 2
a 2 b2 pada buku siswa halaman 85.
= 1 ? Pembuktian keeksentrikan elips terdapat
Unsur lain yang terdapat pada elips adalah latus rektum. Latus rektum merupakan segmen garis yang ujung-ujungnya terletak pada elips, melalui fokus F dan tegak lurus terhadap sumbu mayor. Agar dapat memahami bagaimana cara membuktikan panjang latus rektum, guru meminta siswa mengerjakan Kegiatan 2.8 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. 2b 2 Berikut pembuktian panjang latus rektum dari persamaan elips . a x 2
y 2
+ = 1 merupakan persamaan elips dimana a > b (jika a = b, maka a 2 b2 elips akan menjadi lingkaran) Fokus dari elips tersebut adalah (±c, 0) dimana c2 = a2 – b2 Jika x = c, maka (a 2 − b2 ) a2
⇔ ⇔ ⇔
+
y 2 b2 y 2 b2 y 2 b2
=1 =1− =
y =
⇔
2
y =
a2 − b2 a2
b2 a2 b4 a2 b2 a
Karena panjang latus rektum adalah 2 y, maka diperoleh
2b 2
. (terbukti) a Setelah siswa memahami persamaan direktris, eksentrisitas, dan panjang latus rektum, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 2.10. Pada Contoh Soal 2.10 siswa dapat memahami penerapan persamaan direktris, eksentrisitas, dan panjang latus rektum dalam masalah matematika. (3) Pertemuan ke-6 Guru meminta siswa menggambar suatu elips horizontal dengan titik pusat (0, 0). Dengan menerapkan konsep translasi, guru meminta siswa untuk memindahkan elips tersebut sejauh p satuan ke kanan dan q satuan ke atas. Guru menanyakan kepada siswa, “jika persamaan elips dengan titik pusat (0, 0), akan berada dimanakah titik pusat setelah elips ditranslasi?”. Dengan cara translasi, jawaban yang diharapkan adalah titik pusat setelah elips ditranslasi adalah ( p, q). Kemudian guru menjelaskan dan menginformasikan persamaan elips bentuk baku (baik horizontal maupun vertikal) beserta unsur-unsurnya. Guru memberikan
Petunjuk Khusus
71
71
hitam
kesempatan kepada siswa untuk bertanya mengenai bentuk persamaan elips dengan pusat ( p, q). Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 2.12, 2.13, dan 2.14. Pada Contoh Soal 2.12, 2.13, dan 2.14 siswa dapat mengamati dan memahami cara menentukan unsur-unsur suatu elips jika persamaannya diketahui. Umumnya unsur-unsur yang ditanyakan adalah koordinat pusat, puncak, dan fokus. Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 2.12 dan 2.13. Pada Contoh S oal 2.14 siswa dapat mengamati dan memahami cara menentukan persamaan elips jika beberapa unsur-unsurnya diketahui. Guru menginformasikan beberapa aplikasi dari persamaan elips, misalnya orbit planet, atau orbit komet. Eksentrisitas komet bisa menunjukkan energi total sebuah komet, artinya makin cepat komet tersebut bergerak, makin besar pula eksentrisitasnya. Berikut beberapa orbit komet yang dipengaruhi oleh nilai eksentrisitasnya. • Jika nilai eksentrisitas komet berada di antara nol dan satu (0 < e < 1), maka orbit komet akan berbentuk elips. • Jika nilai eksentrisitas komet sama dengan satu (e = 1), maka orbit komet akan berbentuk parabola. • Jika nilai eksentrisitas komet lebih besar dari satu (e > 1), maka orbit komet akan berbentuk hiperbola. Selanjutnya guru meminta siswa untuk memahami dan mempelajari Contoh Soal 2.15 yang merupakan penerapan konsep persamaan elips dalam kehidupan nyata. Agar lebih memahami bagaimana cara menyajikan objek nyata dengan menerapkan konsep dan sifat dari elips, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 2.10 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan. Jawaban yang diharapkan pada Kegiatan 2.10 adalah sebagai berikut. Dari soal diperoleh sumbu semi mayor adalah q = 160 cm, sehingga q = 1602 = 25.600 dan panjang sumbu semi minor adalah p = 80 cm, sehingga p2 = 802 = 6.400. Dengan menggunakan persamaan fokus, diperoleh 2
f 2 = p 2 − q 2
= 6.400 − 25.600 = 19.200 f = 19.200 ≈ 138, 56
Sehingga, jarak titik puncak dengan titik fokus dimana batu ginjal diposisikan dapat ditentukan sebagai berikut. d = q + f = 160 + 138,56 = 298,56
Jadi, agar diperoleh hasil yang maksimal, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada jarak 298,56 dari titik puncak lithotripter.
72
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
72
orange
hitam
orange
(4) Pertemuan ke-7 Guru mengajukan pertanyaan, bagaimanakah cara menentukan persamaan garis singgung suatu elips jika persamaannya diketahui? Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Terdapat dua kasus yang dibahas dalam menentukan persamaan garis singgung, yaitu jika titik singgung ( x1, y1) yang terletak pada elips diketahui dan jika gradien (m) garis singgung diketahui. Kemudian guru menginformasikan dengan menurunkan persamaan garis singgung elips sehingga bahwa:
•
Persamaan garis singgung pada persamaan elips x1 x
a2
+
y 2 b2
= 1 dengan titik
y1 y
=1 a2 b2 Agar dapat memahami cara menentukan persamaan garis singgung, dengan cara yang sama dalam menentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik pusat asal, siswa diminta menentukan persamaan garis singgung pada elips dengan titik pusat berada di titik ( p, q) dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Kesimpulan yang diharapkan dalam diskusi tersebut adalah sebagai berikut. singgung ( x1, y1) adalah
•
+
x 2
Persamaan garis singgung pada persamaan elips dengan titik singgung ( x1, y1) adalah
( x − p ) 2 a2
( x1 − p )( x − p ) a2
+
+
( y − q ) 2 b2
( y1 − q)( y − q) b2
=1 =1
Guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 2.16a untuk menerapkan x 2
+
y 2
= 1 dan meminta a 2 b2 siswa untuk mendiskusikan Contoh Soal 2.16b bersama teman sebangkunya. Guru menginformasikan cara menentukan persamaan garis singgung pada persamaan elips dengan gradien m diketahui. Guru meminta siswa untuk mengamati langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung persamaan garis singgung pada persamaan elips
dengan gradien m diketahui. Persamaan garis singgung pada persamaan elips x 2 2
+
y 2 2
= 1 dengan gradien m adalah y = mx ± a 2 m 2 + b 2 . Guru memberikan
a b kesempatan kepada siswa untuk bertanya mengenai persamaan garis singgung pada persamaan elips horizontal pusat (0, 0).
Agar dapat memahami cara menentukan persamaan garis singgung, dengan cara yang sama dalam menentukan persamaan garis singgung pada persamaan elips horizontal pusat (0, 0), siswa diminta menentukan persamaan garis singgung pada elips vertikal pusat (0, 0), elips horizontal pusat ( p, q), dan
Petunjuk Khusus
73
73
hitam
orange
elips vertikal pusat ( p, q) dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Kesimpulan yang diharapkan dalam diskusi tersebut adalah sebagai berikut.
•
Persamaan garis singgung pada persamaan elips vertikal pusat (0, 0) dengan gradien m adalah y = mx ± b2 m 2 + a 2
•
Persamaan garis singgung pada persamaan elips horizontal pusat ( p, q) dengan gradien m adalah y − q = m( x − p ) ± a 2 m 2 + b 2
•
Persamaan garis singgung pada persamaan elips vertikal pusat ( p,
q)
dengan gradien m adalah y − q = m( x − p) ± b 2 m 2 + a 2 Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 2.17 dan 2.18. Pada Contoh Soal 2.17 siswa dapat mengamati dan memahami penerapan rumus persamaan garis singgung pada elips dengan gradien m diketahui dalam masalah matematika. Pada Contoh Soal 2.18 siswa dapat mengamati dan memahami langkah-langkah dalam menentukan persamaan garis singgung yang ditarik dari titik di luar elips. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai penerapan rumus persamaan garis singgung dalam masalah matematika. Setelah siswa memahami cara menentukan persamaan garis singgung pada persamaan elips, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan garis singgung pada persamaan elips, misalnya
(a) Tentukan persamaan garis singgung melalui titik −1,
2
12 11
pada elips
5
2
16 x + 25 y = 1.600. (b) Tentukan persamaan garis singgung pada elips: • 4 x2 + 9 y2 = 36 yang memiliki gradien –1
•
( x − 1)2 36
+
( y + 2) 2 81
= 1 yang sejajar dengan garis 3 x – 6 y – 11 = 0
(c) Tentukan persamaan garis singgung yang ditarik dari titik (1, 2) di luar elips b)
Penutup
x 2
3
+ y 2 = 1 .
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 7. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 2.9 sampai dengan Latihan 2.16 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 12 pada buku siswa.
74
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
74
hitam
orange
3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 79-101. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
3. Materi ke-3: Hiperbola (8 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep hiperbola.
2)
Menjelaskan unsur-unsur pada kurva hiperbola.
3) Mengidentikasi kurva hiperbola. 4)
Menggambar kurva hiperbola.
5)
Menerapkan konsep hiperbola dalam memecahkan masalah matematika.
6)
Menerapkan konsep hiperbola dalam memecahkan masalah nyata.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-3 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang
jelas mengenai denisi hiperbola, unsur-unsur hiperbola, persamaan hiperbola dengan pusat P (0, 0), persamaan hiperbola dengan pusat ( p, q), aplikasi hiperbola, dan persamaan garis singgung.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep hiperbola. b) Siswa dapat menjelaskan unsur-unsur pada kurva hiperbola.
c) Siswa dapat mengidentikasi kurva hiperbola. d) e) f) 2)
Siswa dapat menggambar kurva hiperbola. Siswa dapat menerapkan konsep hiperbola dalam memecahkan masalah matematika. Siswa dapat menerapkan konsep hiperbola dalam memecahkan msalah nyata.
Kegiatan pembelajaran
a)
Hiperbola
Materi pada subbab hiperbola dibagi menjadi 4 pertemuan, yaitu
pertemuan ke-8 menjelaskan tentang denisi hiperbola, unsur-unsur hiperbola, dan persamaan hiperbola dengan pusat P (0, 0); pertemuan ke-9 menjelaskan tentang persamaan hiperbola dengan pusat ( p, q); pertemuan ke-10 menjelaskan tentang aplikasi hiperbola; pertemuan ke-11 menjelaskan tentang persamaan garis singgung. (1) Pertemuan ke-8 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru bisa memberikan pertanyaan menantang berkaitan materi yang akan dibahas.
Petunjuk Khusus
75
75
hitam
Pertanyaan menantang:
Untuk menguji kemampuannya sebagai pilot, semua anggota dari klub penerbangan diminta untuk menjatuhkan karung pasir pada suatu target di lahan yang terbuka, dengan menerbangkan pesawat yang lintasannya berbentuk hiperbola dengan fokusnya berada tepat di atas target. Jika lintasan yang digunakan oleh ketua klub untuk menerbangkan pesawatnya dapat dimodelkan oleh persamaan 9 y2 – 16 x2 = 14.400 (meter), tentukan ketinggian minimum dari pesawat tersebut ketika lewat di atas target. Setelah pertanyaan menantang diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Kemudian guru menyatakan bahwa masalah tersebut dapat dijawab siswa setelah memahami konsep hiperbola sepenuhnya. Setelah siswa termotivasi dengan pertanyaan menantang, maka pembelajaran berikutnya dapat berlangsung dengan menyenangkan. Guru menggambarkan kerucut tegak yang sedang diiris mulai dari alas kerucut atas ke alas kerucut bawah dengan bidang datar yang melalui pusat kerucut ganda. Guru menanyakan pengertian sederhana dari hiperbola kepada siswa. Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Diskusi yang memanas di antara siswa adalah cara yang terbaik untuk memotivasi mereka membuat kesimpulan. Untuk dipahami guru jawabannya adalah sebagai berikut, hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak terhadap dua titik tertentu nilainya tetap. Selanjutnya guru menggambarkan hiperbola di papan tulis sesuai dengan Gambar 2.42 yang terdapat pada buku siswa halaman 103. Guru menjelaskan unsur-unsur hiperbola yang ada di papan tulis, yaitu pusat, puncak, fokus, sumbu mayor (sumbu melintang), dan sumbu minor (sumbu kawan). Terdapat dua jenis hiperbola berdasarkan sumbu mayornya. Jika sumbu mayor hiperbola berada pada sumbu X , maka disebut hiperbola horizontal, sedangkan jika sumbu mayor hiperbola berada pada sumbu Y , maka disebut hiperbola vertikal. Selanjutnya guru menginformasikan cara menentukan persamaan hiperbola serta unsur-unsurnya seperti yang telah tertera pada buku siswa. Sehingga diperoleh bahwa,
•
Hiperbola horizontal (hiperbola yang sumbu melintangnya adalah sumbu X ) :
•
x 2 a2
−
y 2 b2
=1
Hiperbola vertikal (hiperbola yang sumbu melintangnya adalah sumbu Y ) :
y 2 a2
−
x 2 b2
=1
Kemudian guru menjelaskan bahwa salah satu unsur yang penting dalam menggambar elips adalah asimtot. Asimtot adalah suatu garis lurus yang tidak pernah dipotong oleh hiperbola, melainkan hanya didekati ketika x terus
76
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
76
orange
hitam
orange
membesar untuk hiperbola horizontal atau y terus membesar untuk hiperbola b −b vertikal. Asimtot hiperbola horizontal adalah y = x dan y = x . Guru a a mengajukan pertanyaan, bagaimanakah cara mendapatkan persamaan asimtot x 2
y 2
− = 1 ? Pembuktian persamaan hiperbola horizontal a 2 b2 terdapat pada buku siswa halaman 105-106. dari hiperbola
Agar dapat memahami bagaimana cara membuktikan asimtot hiperbola vertikal, guru meminta siswa mengerjakan Kegiatan 2.9 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Berikut pembuktian asimtot hiperbola vertikal. y 2 a2
−
x 2
=1⇔
b2
⇔ y = 2
a2 x2
⇔ y = ±
b
y 2
=
b2
+1
+ a2
2
a2 x2 b
a2
x 2
2
+ a2
...(*)
Perhatikan (*), jika x sangat besar mendekati
∞,
maka
besar daripada a2, sehingga a2 dapat diabaikan terhadap Dengan demikian, a2 x2 b
2
+a ≈ 2
a2 x2 b
2
dan (*) menjadi y = ±
a2 x2 b
2
a 2 x2 b2
a2 x2 b2
jauh lebih
.
a
⇔ y = ± x b
a − a Jadi, persamaan asimtot adalah y = x dan y = x. (terbukti) b b Unsur lain yang terdapat pada elips adalah eksentrisitas dan latus rektum. 2b 2 Sama halnya dengan elips, rumus latus rektum hiperbola adalah . Setelah a siswa memahami persamaan asimtot, eksentrisitas, dan panjang latus rektum
hiperbola, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 2.19. Pada Contoh Soal 2.19 siswa dapat memahami penerapan persamaan asimtot, eksentrisitas, dan panjang latus rektum dalam masalah matematika. (2) Pertemuan ke-9 Guru meminta siswa menggambar suatu horizontal dengan titik pusat (0, 0). Dengan menerapkan konsep translasi, guru meminta siswa untuk memindahkan hiperbola tersebut sejauh p satuan ke kanan dan q satuan ke atas. Guru menanyakan kepada siswa, “jika persamaan hiperbola dengan titik pusat (0, 0), akan berada dimanakah titik pusat setelah hiperbola ditranslasi?”. Petunjuk Khusus
77
77
hitam
orange
Dengan cara translasi, jawaban yang diharapkan adalah titik pusat setelah hiperbola ditranslasi adalah ( p, q). Persamaan hiperbola dengan pusat ( p, q) dapat dinyatakan sebagai berikut.
•
Hiperbola horizontal:
•
Hiperbola vertikal:
( x − p) 2 a2
( y − q) 2 a2
−
−
( y − q) 2 b2
( x − p) 2 b2
=1
=1
Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 2.20 dan 2.21. Pada Contoh Soal 2.20 siswa dapat mengamati dan memahami langkahlangkah menentukan unsur-unsur hiperbola dengan pusat ( p, q) tanpa menggunakan rumus. Umumnya unsur-unsur yang ditanyakan adalah pusat, puncak, fokus, dan asimtot hiperbola. Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 2.20. Sedangkan pada Contoh Soal 2.21 siswa dapat mengamati dan memahami langkah-langkah menentukan persamaan hiperbola jika unsurunsurnya diketahui. Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 2.21. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai menentukan persamaan hiperbola. Setelah siswa memahami cara menentukan persamaan hiperbola, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan hiperbola, misalnya (a) Tentukan pusat, puncak, fokus, asimtot, eksentrisitas, dan latus rektum dari hiperbola 25 x2 – 9 y2 + 100 x – 54 y – 206 = 0. Kemudian gambarkan sketsa hiperbola tersebut. (b) Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat (1, 3), puncak (2, 3), dan salah satu asimtotnya adalah 25 – 10 x – 5 y = 0. Kemudian gambarkan sketsa hiperbola tersebut. Guru berkeliling untuk menilai dan mengamati siswa yang sedang mengerjakan soal latihan. (3) Pertemuan ke-10 Guru menginformasikan beberapa aplikasi dari persamaan hiperbola, misalnya orbit komet yang memiliki nilai eksentrisitas lebih dari satu. Peristiwa sama terjadi pada pesawat antariksa sehingga kadang-kadang pesawat bisa menempuh orbit hiperbola. Di sini pesawat antariksa menggunakan gravitasi planet untuk mengubah lintasannya dan mendorong pesawat pada kelajuan tinggi menjauh dari planet dan membantunya menuju ke ruang angkasa (antariksa) dengan menggunakan teknik yang disebut “ gravitational slingshot ”. Jika hal ini terjadi, maka lintasan pesawat antariksa adalah hiperbola.
Aplikasi hiperbola juga banyak menggunakan denisi tempat kedudukan, yaitu selisih jarak antara titik sembarang ke kedua titik fokus merupakan 78
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
78
hitam
orange
bilangan konstan, yaitu 2a (2a = panjang sumbu mayor atau jarak antara kedua puncak hiperbola). Denisi ini misalnya digunakan pada teknik trilateration, yaitu masalah menentukan posisi berdasarkan perbedaan waktu tiba dari sinyalsinyal sinkronisasi seperti pada GPS (Global Positioning Systems). (4) Pertemuan ke-11 Guru mengajukan pertanyaan, bagaimanakah cara menentukan persamaan garis singgung suatu hiperbola jika persamaannya diketahui? Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Agar dapat memahami cara menentukan persamaan garis singgung pada x 2
y 2
− = 1 dengan titik singgung ( x1, y1), siswa diminta mengerjakan a 2 b2 Kegiatan 2.10 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Kesimpulan yang diharapkan dalam Kegiatan 2.10 adalah sebagai berikut. elips
•
Persamaan garis singgung pada persamaan hiperbola titik singgung ( x1, y1) adalah
x1 x
a Dengan cara yang sama dalam menentukan persamaan garis singgung hiperbola dengan titik singgung ( x1, y1), guru menginformasikan persamaan garis singgung hiperbola dengan pusat ( p, q).
Persamaan garis pada persamaan ( x − p) 2 a2
−
( y − q ) 2 b2
2
−
y1 y b2
titik singgung ( x1, y1) adalah
−
a2
y 2
= 1 dengan
b2
=1 Y dalam ribuan S
2 1
M 2
M 1
–4 –3 –2 –1
1
2
3
4
X
–1 –2
singgung hiperbola
=1
x 2
dengan ( x1 − p)( x − p ) a2
−
( y1 − q )( y − q) b2
=1
Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 2.23. Pada Contoh Soal 2.23 siswa dapat mengamati dan memahami penerapan rumus persamaan garis singgung pada hiperbola dengan titik singgung ( x1, y1) diketahui dalam masalah matematika. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai penerapan rumus persamaan garis singgung dalam masalah matematika. Guru menginformasikan rumus persamaan garis singgung pada persamaan hiperbola dengan gradien m diketahui.
•
Persamaan garis singgung pada persamaan hiperbola horizontal pusat (0, Petunjuk Khusus
79
79
hitam
• • •
orange
0) dengan gradien m adalah y = mx ± a 2 m 2 − b 2 .
Persamaan garis singgung pada persamaan hiperbola vertikal pusat (0, 0) dengan gradien m adalah y = mx ± b2 m 2 − a 2 .
Persamaan garis singgung pada persamaan hiperbola horizontal pusat ( p, q) dengan gradien m adalah y − q = m( x − p ) ± a 2 m 2 − b 2 .
Persamaan garis singgung pada persamaan hiperbola vertikal pusat ( p, q) dengan gradien m adalah y − q = m( x − p) ± b 2 m 2 − a 2 .
Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 2.24 dan Contoh Soal 2.25 . Pada Contoh Soal 2.24 siswa dapat mengamati dan memahami penerapan rumus persamaan garis singgung pada hiperbola dengan gradien m diketahui dalam masalah matematika. Pada Contoh Soal 2.25 siswa dapat mengamati dan memahami langkah-langkah dalam menentukan persamaan garis singgung yang ditarik dari titik di luar hiperbola. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai penerapan rumus persamaan garis singgung dalam masalah matematika. Setelah siswa memahami cara menentukan persamaan garis singgung pada persamaan hiperbola, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan garis singgung pada persamaan hiperbola, misalnya (a) Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola:
• •
4 x2 – 16 y2 = 64 di titik ( y − 1) 2 4
−
( x − 2) 2 9
( 2, 4 2 )
= 1 di titik (2, 3)
(b) Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 121 y2 – 4 x2 = 121 yang tegak lurus terhadap garis x – 3 y – 1 = 0. (c) Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 100( x – 1)2 – 4( y – 2)2 = 100 di titik (3, 7). b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab C nomor 1 sampai dengan nomor 4 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 2.19 sampai dengan Latihan 2.23 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab C nomor 1 sampai dengan nomor 7 pada buku siswa.
80
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
80
hitam
orange
3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 103-124. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet)
4. Materi ke-4: Ulangan Harian (2 JP) I.
Pilihan Ganda
1.
Persamaan parabola dengan fokus (2, 0) dan direktris x + 3 = 0 adalah .... A. y2 – 10 x + 5 = 0 B. x2 – 10 y + 5 = 0 C. y2 + 10 x + 5 = 0 D. y2 – 10 x – 5 = 0 E. x2 – 10 y – 5 = 0
2.
Sebuah garis g dibuat menyinggung kurva y = 2 px2 pada titik (a, b ). Persamaan garis yang melalui (c, d ) dan tegak lurus garis g adalah .... A. 4 pa( y – d ) + ( x – c) = 0 B. 2 pa( y – d ) + ( x – c) = 0 C. ( y – d ) + 4 pa( x – d ) = 0 D. ( y – d ) – 4 pa( x – c) = 0 E. ( y – d ) – 2 pa( x – c) = 0
3.
4.
1 æ -3ö÷ y = x 2 . Absis (koordinat x) Melalui titik çç1, dibuat dua garis singgung pada parabola ÷ çè 4 ÷ø 4 kedua titik singgungnya adalah .... A. –3 dan 1 B. –3 dan –1 C. –1 dan 1 D. –1 dan 3 E. 1 dan 3 Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Garis normal parabola y2 = 8 x pada titik (2, 4) akan memotong parabola lagi di titik .... A. B. C. D. E.
5.
(–18, –12) (–18, 12) (18, 12) (18, –12) (18, –18)
Jika P adalah sebuah titik pada elips maka F 1 P + F 2 P adalah ....
9 x2 + 36 y2 = 324 yang fokusnya adalah F 1 dan F 2,
Petunjuk Khusus
81
81
hitam
A. B. C. D. E. 6.
7.
3 6 9 12 18
A. B. C. D. E.
Jika dua fokus sebuah elips adalah (–2, 0) 2 dan (2, 0) dan eksentrisitasnya adalah , 3 maka elips memiliki persamaan .... A. D. B. E. C.
9.
5 x2 + 9 y2 = 45 9 x2 + 5 y2 = 90 9 x2 + 5 y2 = 45 3 x2 + 5 y2 = 54 5 x2 + 9 y2 = 90
Koordinat titik persamaan
pusat
elips
4 6 8 12 16
Salah satu persamaan garis singgung pada elips 162 + 9 y2 + 64 x – 54 y + 1 = 0 yang sejajar garis x – y + 4 = 0 adalah .... A. y = x + 10 B. y = – x – 2 C. y = – x D. y = x – 2 E. y = x – 10
10. Fokus dari ....
dengan
A.
16 x2 + 9 y2 – 96 x + 36 y + 36 = 0 adalah .... A. (3, –2) B. (3, 2) C. (2, –3) D. (2, 3) E. (–2, 3) 8.
orange
B. C. D. E.
Titik A dan B terletak pada elips
( x + 3) 2 9
-
( y + 3) 2 4
= 1 adalah
(-3 ± 7 , 2) (-3 ± 13, 2) (2 ± 7 , -3) (-3, 2 ± 13 ) (-3, 2 ± 7 )
16 x2 + 9 y2 + 64 x – 72 y + 64 = 0. Jarak terbesar yang mungkin dari A ke B adalah ....
E
Materi Pengayaan
Siswa yang cepat dalam menguasai materi pembelajaran tentunya akan memiliki kelebihan waktu yang harus dimanfaatkan siswa. Jika kelebihan waktu tersebut tidak dimanfaatkan dengan kegiatan-kegiatan positif, maka dapat menimbulkan hal-hal negatif yang dapat mengganggu siswa lain yang sedang konsentrasi dan berpartisipasi dalam kegiatan pembelajaran. Sehingga guru dapat memberikan pengayaan yang berupa soal maupun materi. Contoh materi pengayaan:
Lingkaran dan elips merupakan keluarga kurva yang pertama kali dipelajari oleh
matematikawan sekaligus sikawan asal Prancis yaitu Gabriel Lame (1795–1870). Persamaan umum untuk keluarga kurva tersebut adalah x a
82
n
+
y b
n
= 1, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan n > 0 …(*)
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
82
hitam
orange
Jika n merupakan bilangan genap yang lebih besar dari 2, maka persamaan (*) merupakan persamaan elips super. 1.
Berikut ini diketahui nilai dari a, b, dan n yang digunakan dalam persamaan umum (*).
Tuliskan bentuk persamaannya, kemudian gambarkan graknya. a.
a = 2, b = 3, n = 4
b.
a = 2, b = 3, n = 6
c.
a = 2, b = 3, n = 8
2. Berbentuk apakah grak dari
x
n
4
+
y
5
n
= 1 jika nilai n terus membesar?
Penyelesaian:
Y
a = 2, b = 3, n = 4 →
1.
a = 2, b = 3, n = 6 →
a = 2, b = 3, n = 8 →
x
n
y
x
4
+
2 x
6
+
2 x
2
8
+
y
4
=1
3 y
1
6
3 y
3
O
=1
1
X
8
=1
n
+ = 1 jika nilai n terus membesar akan berbentuk persegipanjang dengan 4 5 panjang 10 satuan dan lebar 8 satuan.
2. Grak
F
Remedial
Jika dari hasil evaluasi masih terdapat siswa yang belum memenuhi standar minimal, maka guru melaksanakan kegiatan remedial. Kegiatan ini diawali dengan remedial teaching, yaitu guru memberi pengulangan untuk materi-materi yang kompetensinya belum tercapai. Setelah itu guru melaksanakan evaluasi kembali dengan memberikan sejumlah soal yang berkaitan dengan bahan ajar yang diremedi. Contoh soal remedial:
1. 2. 3. 4.
1 Tentukan persamaan parabola yang melalui titik 0 , − , memiliki sumbu vertikal, dan 2 memiliki maksimum pada (–2, 1). Tentukan persamaan elips yang memiliki sumbu mayor pada sumbu Y dan pusat di (4, –3) dan melalui titik (1, –3) dan (4, 2). 9 Tentukan persamaan hiperbola yang memiliki nilai eksentrisitas dan titik fokus pada (4, 6) 5 dan (4, –12). Tentukan persamaan garis singgung parabola ( x + 1)2 = –3( y – 2) pada titik (2, –1).
Petunjuk Khusus
83
83
hitam
5.
Tentukan persamaan garis singgung elips
orange
( x − 2) 2 20
+
( y + 3) 2 5
= 1 di titik yang ordinatnya
–2. 6.
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola
x 2
64
−
y2
36
= 1 yang sejajar garis x + y + 1 = 0.
Kunci Jawaban:
8 ( x + 2) 2 = − ( y − 1) 3
1.
( x − 4) 2
2.
9 ( y + 3) 2
3.
+ −
( y + 3) 2 25 ( x − 4) 2
=1
4.
25 y = –2 x + 1
5.
x + y = 4 dan x + y = 0
6.
y + x − 28 = 0 dan y + x + 28 = 0
G
56
=1
Penilaian
Untuk menguji pemahaman siswa atas konsep dalam Bab II ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.
Suplemen uji mandiri, untuk melatih siswa mengerjakan soal secara mandiri. Terdiri atas soal-soal pilihan ganda dan soal-soal uraian.
2.
Kegiatan diskusi, bertujuan untuk memperoleh pemahaman yang lebih baik mengenai suatu masalah atau memecahkannya secara bersama-sama. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 27.
3.
Tugas proyek, untuk menilai keterampilan siswa dalam hal kemampuan merencanakan, merancang, dan menyelesaikan pemecahan masalah yang relevan dalam kehidupan seharihari secara berkelompok dan menerapkan hasil pembelajaran. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 31.
4.
Tugas portofolio, berupa tugas membuat rangkuman dari semua kegiatan yang telah dikerjakan dalam satu bab dan mencari literatur-literatur untuk mengetahui dan mengembangkan pengetahuan. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 33.
H
Penutup
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan konsep irisan kerucut, disajikan sebagai berikut. 1. 84
Konsep irisan kerucut dibagi menjadi tiga, yaitu parabola, elips, dan hiperbola. Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
84
hitam
orange
2.
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang memiliki jarak yang sama terhadap sebuah titik dan garis tertentu. Elips merupakan tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu nilainya tetap. Sedangkan hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak terhadap dua titik tertentu nilainya tetap.
3.
Persamaan parabola adalah sebagai berikut.
4.
a.
Parabola pusat (0, 0) adalah y2 = 4 px atau x2 = 4 py
b.
Parabola pusat (a, b) adalah ( y – b)2 = 4 p( x – a) atau ( x – a)2 = 4 p( y – b)
Persamaan elips adalah sebagai berikut. a.
b. 5.
Elips pusat (0, 0) adalah
Elips pusat ( p, q) adalah
x 2 a2
+
y 2
= 1 atau
b2
( x − p ) 2 a2
+
y 2 a2
( y − q) 2 b2
+
x 2 b2
=1
= 1 atau
( y − q ) 2 a2
+
( x − p ) 2 b2
=1
Persamaan hiperbola adalah sebagai berikut. a.
b.
Hiperbola pusat (0, 0) adalah
Hiperbola pusat ( p, q) adalah
x 2 a2
−
y 2
= 1 atau
b2
( x − p ) 2 a2
−
y 2 a2
( y − q) 2 b2
−
x 2 b2
=1
= 1 atau
( y − q ) 2 a2
−
( x − p) 2 b2
=1
Petunjuk Khusus
85
85
hitam
86
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
86
orange
hitam
orange
Bab III Irisan Dua Lingkaran
Sumber: http://www.solarracing.org/wp-content/uploads/2013/10/gps-satellite-tracking-system.jpg
diunduh pada tanggal 23 April 2014 pukul 12:30 WIB.
GPS adalah teknologi navigasi yang memanfaatkan satelit. GPS dapat memberikan informasi posisi dan waktu dengan ketelitian sangat tinggi. Tahukah Anda jika pengukuran posisi GPS didasarkan pada sistem pengukuran matematika? GPS menggunakan rumus trilaterasi yang melibatkan irisan tiga buah lingkaran dengan radius yang berbeda. Titik lokasi hasil irisan tiga buah lingkaran tersebut menunjukkan posisi di mana seseorang atau sesuatu benda itu berada. Untuk memahami dan akhirnya menguasai konsep irisan dua lingkaran, ayo pelajari bab berikut ini dengan cermat dan senang.
Petunjuk Khusus
87
87
hitam
A
orange
Pengantar
Secara esensial, pembelajaran pada topik ini mengenalkan siswa mengenai konsep persamaan lingkaran, konsep dan pengertian irisan dua lingkaran, berkas lingkaran, aplikasi irisan dua lingkaran, serta penerapan konsep irisan dua lingkaran dalam memecahkan masalah nyata.
B
KI dan KD pada Materi Pokok Irisan Dua Lingkaran Kompetensi Inti
Kompetensi Dasar
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
2.1 Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan 2.2 Menunjukkan kemampuan berkolaborasi, percaya diri, tangguh, kemampuan bekerja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah.
3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural
3.6 Mendeskripsikan konsep lingkaran dan menganalisis sifat-sifat irisan dua lingkaran dan menerapkannya dalam memecahkan masalah.
pada bidang kajian yang spesik sesuai denganbakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
88
4.5 Merencanakan dan melaksanakan strategi yang efektif dalam memecahkan masalah nyata dengan modal lingkaran yang saling beririsan, menginterpretasi masalah dalam gambar dan menyelesaikannya.
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
88
hitam
C
orange
Alokasi Waktu
Topik materi ke-
D
Materi
Alokasi waktu
1
Review konsep persamaan lingkaran
4 JP
2
Konsep dan pengertian irisan dua lingkaran
10 JP
3
Ulangan harian
2 JP
Materi
1. Materi ke-1: Review Konsep Persamaan Lingkaran (4 jp) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep lingkaran.
2)
Menjelaskan unsur-unsur lingkaran.
3)
Menentukan persamaan baku lingkaran.
4)
Mendeskripsikan persamaan garis singgung lingkaran.
5)
Menentukan persamaan garis singgung lingkaran.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-1 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman
yang jelas mengenai denisi lingkaran, persamaan baku lingkaran, dan persamaan garis singgung pada lingkaran.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep lingkaran. b) Siswa dapat menjelaskan unsur-unsur lingkaran. c) Siswa dapat menentukan persamaan baku lingkaran. d) Siswa dapat mendeskripsikan persamaan garis singgung lingkaran. e) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran.
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Review Konsep Persamaan Lingkaran
Materi pada subbab review konsep persamaan lingkaran dibagi menjadi 2
pertemuan, yaitu pertemuan ke-1 menjelaskan tentang denisi lingkaran dan persamaan lingkaran; pertemuan ke-2 menjelaskan tentang persamaan garis singgung. (1) Pertemuan ke-1 Sebelum siswa memulai mempelajari bab ini, sebaiknya siswa mengerjakan terlebih dahulu uji kemampuan prasyarat bab III pada buku latihannya. Jika siswa dapat mengerjakannya dengan baik dan tanpa kesulitan, maka akan memudahkan siswa untuk mempelajari materi dalam bab ini.
Petunjuk Khusus
89
89
hitam
Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memberikan gambaran mengenai kegunaan dari persamaan lingkaran.
Gunung Kelud di Jawa Timur kembali meletus sekitar pukul 22.50 WIB hari Kamis tanggal 13 Februari 2014. Material yang dikeluarkan lebih banyak dibanding letusan pada tahun 1990. Akibat letusan ini banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun memberikan peringatan agar masyarakat yang berada pada radius 10 km dari puncak gunung Kelud harus segera mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan dikosongkan untuk sementara waktu. Jika puncak gunung Kelud dianggap sebagai pusat suatu lingkaran dan radius sebagai jari-jarinya, maka diperoleh suatu lingkaran yang memiliki jari jari sejauh 10 km. Dapatkah Anda menyebutkan contoh lain dari pengaplikasian konsep lingkaran. Setelah gambaran ini dilontarkan, berikan kesempatan siswa untuk mencerna, merasakan, maupun berdiskusi apakah ada lagi contoh lain dari penggunaan persamaan lingkaran. Setelah siswa termotivasi dengan gambaran ini barulah guru menjelaskan tentang persamaan lingkaran. Siswa diminta untuk mengamati Gambar 3.2 dan 3.3. Guru menginformasikan pengertian lingkaran melalui Gambar 3.2 pada buku siswa halaman 132. Sebuah lingkaran didenisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Titik tetap ini disebut sebagai pusat lingkaran. Misalnya titik Q, S , dan T pada Gambar 3.2 tersebut terletak pada kurva lingkaran yang pusatnya di titik P . Jarak ketiga titik tersebut terhadap titik P adalah sama. Jarak yang sama ini disebut jari-jari dan diberi simbol r (radius). Guru menjelaskan pada Gambar 3.3 tampak bahwa jari-jari r merupakan jarak antara Q( x, y) dan titik pusat P (0, 0). Sehingga diperoleh persamaan baku lingkaran dengan pusat P (0, 0) dan memiliki jari-jari r adalah x2 + y2 = r 2. Guru meminta siswa menggambar suatu lingkaran dengan titik pusat (0, 0). Dengan menerapkan konsep translasi yang telah diaplikasikan dalam konsep irisan kerucut, guru meminta siswa untuk memindahkan lingkaran tersebut sejauh a satuan ke kanan dan b satuan ke atas. Guru menanyakan kepada siswa, “jika persamaan lingkaran dengan titik pusat (0, 0), akan berada dimanakah titik pusat setelah lingkaran ditranslasi?”. Dengan cara translasi, jawaban yang diharapkan adalah titik pusat setelah lingkaran ditranslasi adalah ( a, b). Kemudian guru menjelaskan dan menginformasikan persamaan baku lingkaran dengan pusat (a, b).
•
Persamaan sebuah lingkaran dengan pusat ( a, b) dan jari-jari r adalah ( x – a)2 + ( y – b)2 = r 2
Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya mengenai bentuk persamaan lingkaran dengan pusat ( a, b). Selanjutnya guru meminta siswa untuk mengamati dan memahami langkah-langkah menentukan pusat dan jari-jari lingkaran jika persamaan umum lingkaran diketahui. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
90
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
90
orange
hitam
orange
Agar siswa lebih memahami mengenai persamaan baku lingkaran, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 3.1. Pada Contoh Soal 3.1 siswa dapat mengamati dan memahami bagaimana cara menentukan persamaan baku lingkaran jika pusat dan jari-jarinya sudah diketahui. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai langkah-langkah menentukan persamaan baku lingkaran. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan ke-1 dengan cara yang istimewa, guru dapat memberikan pertanyaan, kuis, atau teka-teki yang berkaitan dengan materi yang telah dibahas untuk dipikirkan oleh siswa saat istirahat, di perjalanan pulang ke rumah, dan tentunya ketika berada di rumah. Pertanyaan: • Apakah bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0 selalu menyatakan kurva lingkaran? Analisislah jari-jarinya.
(2) Pertemuan ke-2 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memberikan pertanyaan menantang yang berkaitan dengan persamaan garis singgung yang akan dibahas. Pertanyaan menantang:
Sebuah ban mobil yang digelindingkan di jalanan yang lurus. Terlihat jelas bahwa ban tersebut selalu menyinggung jalan secara tegak lurus, misalkan menyinggung di suatu titik A( x1, y1). Jika jari-jari ban yang melalui titik A( x1, y1) tegak lurus dengan jalan dan misalkan P merupakan titik pusat ban di (0, 0), tentukan persamaan garis g (jalan) tersebut. Untuk dipahami guru jawabannya adalah sebagai berikut. Misalkan ban memiliki jari-jari r , sehingga persamaannya akan berbentuk y x2 + y2 = r 2. PA akan membentuk garis yang memiliki gradien m PA = 1 . Garis x1 m g = − PA dan garis g akan saling tegak lurus, sehingga m g =
⇒
−
x1 y1
=
( y − y1 )
1 m PA
=−
x 1 =− 1 y1 y1 x1
( x − x1 ) ( y − y1 ) ( x − x1 )
⇔ (− x1 )( x − x1 ) = y1 ( y − y1 ) ⇔
− x1 x + x12 = y1 y − y12
⇔
x1 x + y1 y = x12 + y12
⇔
x1 x + y1 y = r 2
karena x12 + y12 = r 2
Jadi, persamaan garis g adalah x1 x + y1 y = r 2, yang selanjutnya persamaan garis g disebut sebagai persamaan garis singgung lingkaran. Berikanlah Petunjuk Khusus
91
91
hitam
kesempatan siswa untuk bertanya mengenai persamaan garis singgung lingkaran tersebut. Selanjutnya guru menginformasikan persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik ( a, b). • Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat ( a, b) dan titik singgung ( x1, y1) adalah ( x1 – a)( x – a) + ( y1 – b)( y – b) = r 2 • Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dan titik singgung ( x1, y1) adalah 1 1 x1 x + y1 y + A( x + x1 ) + B ( y + y1 ) + C = 0 2 2
•
Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r 2 dengan gradien m adalah y = mx ± r m2 + 1
•
Persamaan garis singgung pada lingkaran ( x – a)2 + ( y – b)2 = r 2 dengan gradien m adalah y − b = m( x − a ) ± r m 2 + 1
Agar siswa lebih memahami mengenai persamaan garis singgung lingkaran, guru dapat menjelaskan Contoh Soal 3.2 dan 3.3. Guru menjelaskan Contoh Soal 3.2a dan meminta siswa mendiskusikan Contoh Soal 3.2b bersama teman sebangkunya untuk dibahas bersama-sama. Pada Contoh Soal 3.2 siswa dapat mengamati dan memahami penerapan rumus persamaan garis singgung pada lingkaran dengan titik singgung yang diketahui dalam masalah matematika. Pada Contoh Soal 3.3 siswa dapat mengamati dan memahami langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung dari titik di luar lingkaran. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai penerapan rumus persamaan garis singgung lingkaran dalam masalah matematika. Setelah siswa memahami cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan persamaan garis singgung lingkaran, misalnya (a) Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (–1, 1) pada lingkaran x2 + y2 + 2 x = 0. (b) Tentukan persamaan garis singgung yang ditarik dari titik (1, 1) pada lingkaran x2 + y2 + 16 y – 15 = 0. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 3.1 sampai dengan Latihan 3.3 pada buku siswa. (2) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 6 pada buku siswa.
92
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
92
orange
hitam
orange
3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 132-138. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
2. Materi ke-2: Konsep dan Pengertian Irisan Dua Lingkaran (10 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep kuasa lingkaran.
2)
Menerapkan konsep kuasa lingkaran dalam pemecahan masalah matematika.
3)
Mendeskripsikan konsep garis kuasa terhadap dua lingkaran.
4)
Merumuskan persamaan garis kuasa.
5)
Membuktikan teorema garis kuasa.
6)
Menjelaskan konsep titik kuasa terhadap dua lingkaran.
7)
Menerapkan konsep garis kuasa dalam pemecahan masalah matematika.
8)
Menerapkan konsep titik kuasa dalam pemecahan masalah matematika.
9)
Mendeskripsikan konsep berkas lingkaran.
10) Merumuskan persamaan berkas lingkaran. 11) Menerapkan konsep berkas lingkaran dalam pemecahan masalah matematika. 12) Mendeskripsikan jenis-jenis irisan dua lingkaran. 13) Mendeskripsikan dua lingkaran orthogonal. 14) Menerapkan konsep irisan dua lingkaran dalam pemecahan masalah kehidupan sehari-hari.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-2 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai kuasa lingkaran, garis kuasa, titik kuasa, berkas lingkaran, jenis-jenis irisan dua lingkaran, dan aplikasi irisan dua lingkaran.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep kuasa lingkaran. b) Siswa dapat menerapkan konsep kuasa lingkaran dalam pemecahan masalah matematika. c) Siswa dapat mendeskripsikan konsep garis kuasa terhadap dua lingkaran. d) Siswa dapat merumuskan persamaan garis kuasa. e) Siswa dapat membuktikan teorema garis kuasa. f) Siswa dapat menjelaskan konsep titik kuasa terhadap dua lingkaran. g) Siswa dapat menerapkan konsep garis kuasa dalam pemecahan masalah matematika. Petunjuk Khusus
93
93
hitam
orange
h)
Siswa dapat menerapkan konsep titik kuasa kuasa dalam pemecahan masalah matematika. i) Siswa dapat mendeskripsikan konsep berkas lingkaran. j) Siswa dapat merumuskan persamaan berkas lingkaran. k) Siswa dapat menerapkan konsep berkas lingkaran dalam pemecahan pemecahan masalah matematika. l) Siswa dapat mendeskripsikan jenis-jenis irisan dua lingkaran. m) Siswa dapat mendeskripsikan dua lingkaran orthogonal. n) Siswa dapat dapat menerapkan menerapkan konsep irisan dua lingkaran dalam pemecahan masalah kehidupan sehari-hari. 2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Konsep dan Pengertian Irisan Dua Lingkaran
Materi pada subbab konsep dan pengertian irisan dua lingkaran dibagi menjadi 5 pertemuan, yaitu pertemuan ke-3 menjelaskan tentang kuasa lingkaran; pertemuan ke-4 menjelaskan tentang garis kuasa dan titik kuasa; pertemuan ke-5 menjelaskan tentang berkas lingkaran; pertemuan ke-6 menjelaskan tentang jenis-jenis irisan dua lingkaran; pertemuan ke-7 menjelaskan tentang aplikasi irisan dua lingkaran. (1) Pertemuan ke-3 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memberikan pertanyaan menantang yang berkaitan dengan materi yang akan dibahas. Pertanyaan menantang: menantang:
Sebuah anting-anting sebagai aksesoris untuk dipakai seorang wanita dibuat dari kawat perak dan didesain dalam bentuk dua lingkaran yang saling bersinggungan dalam, dengan dua garis singgung pada lingkaran luar. Gambar menunjukkan anting-anting dengan sumbu simetrisnya adalah sumbu Y . Persamaan lingkaran dalam adalah x2 + y2 + 3 y = 0 sedangkan garis singgung memotong sumbu Y di di (0, –6). Jika diinginkan jarak antara puncak terbawah kedua lingkaran adalah 1 satuan (perhatikan gambar disamping), tentukan panjang total kawat perak yang diperlukan untuk membuat anting-anting tersebut. Setelah pertanyaan menantang diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Kemudian guru menyatakan bahwa masalah tersebut dapat dijawab siswa setelah memahami konsep irisan dua lingkaran sepenuhnya.
Y
1
–6
Setelah siswa termotivasi dengan pertanyaan menantang, maka pem belajaran berikutnya dapat berlangsung dengan menyenangkan. Guru Gu ru menggambarkan lingkaran dengan persamaan bentuk baku
94
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
94
hitam
orange
( x x – a)2 + ( y y – b)2 = r 2 atau bentuk umum x2 + y2 + Ax + By + C = 0. Kemudian guru menginformasikan bahwa kuasa sebuah titik, misalkan ( x x1, y1), pada sebuah lingkaran didenisikan sebagai pernyataan di ruas kiri persamaan lingkaran, dengan mengganti variabel x dengan absis x1 dan variabel y dengan ordinat y1. Guru mengajukan pertanyaan kepada siswa, “Misalkan untuk persamaan lingkaran dengan bentuk umum = 0, maka bentuk kuasa lingkarannya adalah ….” Dengan x2 + y2 + Ax + By + C = cara mensubstitusi x1 dan y1 ke dalam bentuk umum lingkaran, jawaban yang diharapkan adalah x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = = K . Nilai kuasa K inilah inilah yang akan menentukan posisi titik ( x1, y1) pada sebuah lingkaran, apakah terletak di dalam lingkaran, pada lingkaran, atau di luar lingkaran. Guru menginformasikan posisi titik terhadap suatu lingkaran. Untuk lingkaran lingkaran yang dinyatakan oleh persamaan x2 + y2 + Ax + By + = 0, maka titik D( x dan C = x1, y1) memiliki kuasa K = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C dan berlaku: < 0, maka titik D( x x1, y1) terletak di dalam lingkaran • Jika K < = 0, maka titik D( x x1, y1) terletak pada lingkaran • Jika K = > 0, maka titik D( x x1, y1) terletak di luar lingkaran • Jika K > Agar siswa lebih memahami mengenai kuasa lingkaran, guru dapat menjelaskan Contoh Soal 3.4. Guru menjelaskan Contoh Soal 3.4a dan 3.4b dan meminta siswa mendiskusikan Contoh Soal 3.4c bersama teman sebangkunya untuk dibahas bersama-sama. Pada Contoh Soal 3.4 siswa dapat mengamati dan memahami penerapan rumus kuasa lingkaran dalam menentukan posisi titik terhadap suatu lingkaran. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai kuasa lingkaran. Setelah siswa memahami mengenai konsep kuasa lingkaran, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan kuasa lingkaran, misalnya
• • • •
y – 3)2 = 9. Tentukan kuasa dari titik: Diberikan lingkaran ( x + 4)2 + ( y D(0, 0) (–1, 3) E (–1, (–2, 1) F (–2, G(2, 4)
(2) Pertemuan ke-4 Guru mengajukan pertanyaan, apakah dua lingkaran dapat memiliki kuasa yang sama besarnya satu sama lain? Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Jawaban yang diharapkan adalah dua lingkaran dapat memiliki kuasa yang sama besar satu sama lainnya. Dari hal tersebut akan terbentuklah garis kuasa.
Garis kuasa didenisikan sebagai suatu garis lurus yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua lingkaran.
Petunjuk Khusus
95
95
hitam
orange
Selanjutnya guru menginformasikan cara menentukan persamaan garis kuasa. • Persamaan garis kuasa Untuk L1 ≡ x2 + y2 + A1 x + B1 y + C 1 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + A2 x + B2 y + C 2 = 0, maka persamaan garis kuasa adalah L1( x x, y) – L2( x x, y) = 0 atau ( A1 – A2) x x + ( B B1 – B2) y y + C 1 – C 2 = 0
Guru menginformasikan juga mengenai teorema garis kuasa. Teorema garis kuasa menyatakan bahwa garis kuasa dua lingkaran adalah tegak l urus terhadap garis yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. Agar dapat membuktikan teorema garis kuasa, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 3.1 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai yang sedang dikerjakan siswa. Guru memberikan waktu kepada siswa untuk bertanya mengenai konsep persamaan garis kuasa dan teorema garis kuasa. Agar lebih memahami mengenai garis kuasa dua lingkaran, siswa diminta mengerjakan Kegiatan 3.2 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Pada Kegiatan 3.2 siswa menganalisis tempat kedudukan garis kuasa dua buah lingkaran, jika kedua lingkaran tersebut berpotongan atau bersinggungan. Agar siswa lebih memahami mengenai garis kuasa pada dua buah lingkaran, guru dapat menjelaskan Contoh Soal 3.5 . Guru menjelaskan Contoh Soal 3.5a dan meminta siswa mendiskusikan Contoh Soal 3.5b bersama teman sebangkunya untuk dibahas bersama-sama. Pada Contoh Soal 3.5 siswa dapat mengamati dan memahami langkah-langkah menentukan garis kuasa dua lingkaran. Selanjutnya guru menggambarkan Gambar 3.6 yang terdapat pada buku siswa. Berdasarkan Gambar 3.6 yang telah diamati oleh siswa, guru menjelaskan titik D inilah yang merupakan satu-satunya titik yang akan memiliki kuasa sama terhadap ketiga lingkaran L1, L2, dan L3. Titik D disebut titik kuasa.
L1
P 1
g ≡ L1 – L2 = 0
L2 D
h ≡ L1 – L 3 = 0
P 3
Agar siswa lebih memahami mengenai titik kuasa terhadap j ≡ L – L = 0 P tiga buah lingkaran, guru dapat L menjelaskan Contoh Soal 3.6 . Pada Contoh Soal 3.6 siswa dapat mengamati dan memahami langkahlangkah menentukan titik kuasa terhadap tiga buah lingkaran dalam masalah matematika. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan kesempatan siswa untuk bertanya bertanya mengenai titik kuasa terhadap tiga buah lingkaran dalam masalah matematika. 2
3
2
3
Setelah siswa memahami mengenai garis kuasa dan titik kuasa, guru 96
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
96
hitam
orange
dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan garis kuasa dan titik kuasa, misalnya (a) Tentukan persamaan garis kuasa dari lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 3 x – 2 y + 4 = 0 dan L2 ≡ 3 x2 + 3 y2 + 2 x + y = 0. (b) Tentukan persamaan titik kuasa dari lingkaran L1 ≡ x2 + y2 + x + y – 14 = 0, L2 ≡ x2 + y2 = 13, dan L3 ≡ x2 + y2 + 3 x – 2 y – 26 = 0. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri mengenai berkas lingkaran. (3) Pertemuan ke-5 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai berkas lingkaran. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat mengenai materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan siswa di depan kelas. Selanjutnya guru menjelaskan Gambar 3.7 pada buku siswa mengenai persamaan berkas lingkaran L1 + λ L2 = 0 melalui tali busur sekutu DE dan salah satu berkas lingkaran ditunjukkan oleh lingkaran putus-putus. Salah satu berkas lingkaran L1 + λ L2 = 0
D
L1 = 0
L2 = 0
E
garis kuasa L1 – L2= 0
Selanjutnya guru menginformasikan bahwa berkas lingkaran yang memenuhi suatu persamaan umum tertentu, dengan parameternya saja yang
berbeda. Misalkan parameter ini diberi simbol λ, maka persamaan berkas lingkaran mirip persamaan garis kuasa L1 – L2 = 0 dengan menyisipkan parameter λ pada L2, sehingga persamaan berkas lingkaran untuk kedua lingkaran L1 dan L2 adalah L1 + λ L2 = 0. Setelah siswa dan guru mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai berkas lingkaran. Guru mengajukan pertanyaan kepada beberapa siswa, “apa yang terjadi
jika nilai parameter λ kita ubah nilainya?”. Jawaban yang diharapkan adalah sebagai berikut.
• • •
Jika λ = 0, maka L1 + λ L2 = 0 akan menjadi L1 = 0. Jika λ → ∞, maka L1 + λ L2 = 0 akan menjadi L2 = 0. Jika λ = –1, maka L1 + λ L2 = 0 akan menjadi L1 – L2 = 0.
Kemudian guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 3.7. Pada Contoh Soal 3.7 siswa dapat mengamati dan memahami langkah-langkah menentukan persamaan berkas lingkaran. Guru juga dapat memberikan contoh Petunjuk Khusus
97
97
hitam
orange
soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 3.7. Setelah siswa dan guru mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai cara menentukan berkas lingkaran. Setelah siswa memahami mengenai berkas lingkaran dan persamaannya, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan berkas lingkaran dan persamaannya, misalnya • Tentukan persamaan lingkaran yang melalui A(1, –1) dan melalui titik-titik potong lingkaran-lingkaran L1 ≡ x2 + y2 + 2 x – 2 y – 23 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 – 6 x + 12 y – 35 = 0. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menginformasikan mengenai salah satu aplikasi berkas lingkaran yaitu lingkaran-lingkaran Apollo. Perhatikan gambar berikut ini. Setiap lingkaran hitam memotong setiap lingkaran oranye secara tegak lurus (orthogonal). Setiap lingkaran oranye melalui dua titik, yaitu C di sebelah kiri dan D di sebelah kanan, dan setiap lingkaran hitam memisahkan kedua titik tersebut ( C dan D). Lingkaran-lingkaran Apollo adalah dua berkas lingkaran sedemikian sehingga setiap lingkaran dalam berkas pertama memotong setiap lingkaran dalam berkas kedua, dan sebaliknya. Lingkaran-lingkaran ini membentuk dasar/basis untuk koordinatkoordinat bipolar. (4) Pertemuan ke-6 C
D
Guru menginformasikan bahwa irisan dua lingkaran memiliki jenis-jenisnya, yaitu ber potongan, bersinggungan luar, bersinggungan dalam, dan tidak berpotongan. Menurut teorema, dua buah ling karan saling bersinggungan paling banyak hanya bisa berpotongan di dua titik yang berbeda. Apa saja syarat dua lingkaran berpotongan di dua titik, satu titik, atau bahkan sama sekali tidak berpotongan? Bagaimana cara menentukan koordinat titik potongnya? Agar dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 3.3 mengenai penyelidikan syarat banyaknya titik potong antara dua lingkaran secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan. Pada Kegiatan 3.3 siswa dapat memperoleh kesimpulan sebagai berikut. • Dua lingkaran dikatakan berpotongan jika jarak kedua pusat lingkaran lebih kecil daripada jumlah kedua jari-jarinya. • Dua lingkaran dikatakan bersinggungan luar jika jarak kedua pusat lingkaran sama dengan jumlah kedua jari-jarinya. • Dua lingkaran dikatakan bersinggungan dalam jika jarak kedua pusat
98
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
98
hitam
•
orange
lingkaran sama dengan nilai mutlak dari selisih kedua jari-jarinya. Dua lingkaran dikatakan sama sekali tidak berpotongan jika jarak kedua pusat lingkaran lebih besar daripada jumlah kedua jari-jarinya. Guru menjelaskan kesimpulan dari Kegiatan 3.3 dalam kotak berikut ini. Jenis-jenis irisan dua lingkaran dan syaratnya Berpotongan di dua titik luar Bersinggungan dalam
P 1 P 2 < r 1+ r 2 P 1 P 2 = r 1+ r 2 P 1 P 2 = |r 1 – r 2|
Tidak berpotongan/bersinggungan P 1 P 2 > r 1+ r 2
Selanjutnya guru menginformasikan bagaimana cara menentukan koordinat titik potong dari dua buah lingkaran dengan menjelaskan yang terdapat pada buku siswa halaman 149-151. Kemudian guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 3.8. Pada Contoh Soal 3.8 siswa dapat mengamati dan memahami langkah-langkah untuk menunjukkan dua buah lingkaran saling bersinggungan. Untuk memperoleh titik singgung, dapat dilakukan dengan dua metode. Metode pertama menggunakan cara eliminasi dan substitusi, sedangkan metode kedua akan menggunakan rasio penggal garis. Misalkan segmen garis AB dengan koordinat-koordinat A( x A, y A) dan B( x B , y B) diberikan, dibagi menjadi dua segmen garis oleh titik P ( x P , y P ) dengan rasio m : n.
A ( x A , y A)
rasio
n
m P ( x p , y p)
B ( x B ,y B)
A P : B P = m : n dalam luar
Sehingga koordinat titik P bisa dihitung dengan rumus
Agar dapat memahami mengenai penggunaan metode rasio penggal garis, siswa diminta mengerjakan Kegiatan 3.4 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Selanjutnya guru mengajukan pertanyaan, apa yang dimaksud dengan dua lingkaran orthogonal? Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Jawaban yang diharapkan adalah dua lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus (90°). Syarat dua lingkaran orthogonal adalah kuadrat jarak antara pusat kedua lingkaran sama dengan jumlah kuadrat jari-jarinya atau P 1 P 22 = r 12 + r 22 .
Petunjuk Khusus
99
99
hitam
orange
Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai jenis-jenis irisan dua lingkaran dan dua lingkaran orthogonal. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan ke-6 dengan cara yang istimewa, guru dapat memberikan pertanyaan, kuis, atau teka-teki yang berkaitan dengan materi yang telah dibahas untuk dipikirkan oleh siswa saat istirahat, di perjalanan pulang ke rumah, dan tentunya ketika berada di rumah. Pertanyaan: • Tunjukkan bahwa lingkaran x2 + y2 + 4 x – 6 y = 0 dan lingkaran x2 + y2 + 6 x + 4 y = 0 saling orthogonal.
(5) Pertemuan ke-7 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memberikan informasi mengenai aplikasi irisan dua lingkaran, seperti lingkaranlingkaran Apollo dan vesica piscis. Vesica piscis merupakan bentuk irisan dari dua lingkaran dengan jari-jari sama, sehingga pusat dari setiap lingkaran terletak pada keliling lingkaran lainnya. Nama Vesica piscis memiliki arti yaitu “pisau seekor ikan” dalam bahasa Latin. Rasio tinggi dari vesica piscis (jarak kedua titik potong lingkaran) terhadap lebarnya (jarak pusat ke pusat lingkaran) adalah 3 atau 1,7320508…. Dua segitiga samasisi diperoleh dengan menghubungkan setiap sudut. Rasio 265 : 153 = 1,7320261… dan 1.351 : 780 = 1,7320513… adalah dua deret pendekatan terhadap nilai rasio ini, masing-masing dengan sifat bahwa tidak ada pendekatan yang bisa diperoleh dengan bilangan-bilangan bulat yang lebih kecil. Archimedes dari Syrawse menggunakan rasio-rasio ini sebagai batas atas dan batas bawah dari
3. 265 153
< 3<
1.351 780
Setelah siswa termotivasi dengan informasi yang menarik mengenai irisan dua lingkaran, maka pembelajaran berikutnya bisa berlangsung dengan menyenangkan. Guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 3.9. Pada Contoh Soal 3.9 siswa dapat mengamati dan memahami cara menggunakan konsep irisan dua lingkaran dalam memecahkan masalah kehidupan nyata. Setelah siswa dan guru mengamati dan mengeksplorasi mengenai aplikasi irisan dua lingkaran, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai penerapan konsep irisan dua lingkaran dalam kehidupan sehari-hari. Agar dapat memahami mengenai penerapan konsep aplikasi irisan dua lingkaran, siswa diminta untuk mengerjakan Latihan 3.9 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang dikerjakan siswa. Jawaban yang diharapkan pada Latihan 3.9 adalah sebagai berikut • Pusat lingkaran “badan” adalah (5, 6) • Persamaan lingkaran “kepala” adalah x2 + y2 – 24 x – 12 y + 176 = 0 dengan pusat (12, 6) dan jari-jari 2
100
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
100
hitam
orange
Kemudian guru memberikan info mengenai tokoh matematika yang bernama Apollonius dari Perga. Guru menjelaskan bahwa Apollonius dari Perga adalah matematikawan dahulu kala yang memiliki pengaruh terhadap ilmu kematematikaan. Selama menggeluti ilmu matematika, ia tidak pernah menyerah dan terus berusaha untuk menemukan dan mengembangkan sesuatu yang baru yang berkaitan dengan matematika. Karena kegigihan dan kontribusinya, ilmu matematika dapat berkembang hingga saat ini. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 10 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 3.4 sampai dengan Latihan 3.9 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 17 pada buku siswa. 3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis
b) Media: grak 4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 138-160. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet)
3. Materi ke-3: Ulangan Harian (2 JP) I.
Pilihan Ganda
1.
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, –3) dan berdiameter 4 17 adalah .... A. x2 + y2 – 8 x + 6 y – 57 = 0 B. x2 + y2 – 8 x + 6 y – 43 = 0 C. x2 + y2 – 8 x – 6 y – 43 = 0 D. x2 + y2 + 8 x – 6 y – 15 = 0 E. x2 + y2 + 8 x – 6 y – 11 = 0
3.
Lingkaran x2 + y2 + 2 x – 6 y + 9 = 0 dan x2 + y2 + 8 x – 6 y + 9 = 0 adalah saling .... A. berpotongan B. bersinggungan dalam C. bersinggungan luar D. tidak berpotongan E. satu pusat
2.
Persamaan lingkaran dengan pusat (4, –3) dan melalui titik (2, 1) adalah ....
4.
Titik-titik potong lingkaran x2 + ( y – 2)2 = 10 dan ( x – 2)2 + y2 = 10 adalah .... A. (3, 3) dan (1, 1) B. (3, 3) dan (–1, –1) C. (3, –3) dan (1, 1) D. (–3, 3) dan (1, 1) E. (–3, –3) dan (–1, –1)
A. ( x + 4)2 + ( y – 3)2 = 2 10 B ( x + 4)2 + ( y – 3)2 = 40 C. ( x – 4)2 + ( y + 3)2 = 2 5 D. ( x – 4)2 + ( y + 3)2 = 20 E. ( x – 4)2 + ( y – 3)2 = 4 10
Petunjuk Khusus
101
101
hitam
5.
Persamaan tali busur persekutuan lingkaran-lingkaran ( x – 3) 2 + y2 = 16 dan x2 + ( y – 3)2 = 16 adalah .... A. y = –2 x D. y = 2 x 1 B. y = – E. y = x x 2 C. y = x
6.
orange
maka ujung lainnya adalah .... A. (2, 3) D. (4, 2) B. (2, –1) E. (–1, 2) C. (3, –2) 9.
Titik kuasa lingkaran-lingkaran: L1 ≡ x2 + y2 + x + y – 14 = 0, L2 ≡ x2 + y2 = 13, dan L3 ≡ x2 + y2 + 3 x – 2 y – 26 = 0 adalah .... A. (3, –2) D. (–2, 3) B. (2, –3) E. (3, 2) C. (–3, 2)
7.
Agar lingkaran-lingkaran x2 + y2 – 2 x + 3 y + k = 0 dan x2 + y2 + 8 x – 6 y – 7 = 0 saling berpotongan orthogonal, nilai k harus .... A. –10 D. 5 B. –3 E. 8 C. 1
8.
Jika salah satu ujung diameter lingkaran 2 x2 + 2 y2 – 4 x – 8 y + 2 = 0 adalah (3, 2),
E
Persamaan lingkaran yang jari-jarinya 5 dan menyinggung lingkaran x2 + y2 – 2 x – 4 y – 20 = 0 pada titik (5, 5) adalah .... A. x2 + y2 + 18 x + 16 y + 120 = 0 B. x2 + y2 – 18 x + 16 y + 120 = 0 C. x2 + y2 + 18 x – 16 y + 120 = 0 D. x2 + y2 – 18 x – 16 y + 120 = 0 E. x2 + y2 + 18 x – 16 y – 120 = 0
10. Persamaan lingkaran yang memiliki pusat pada garis x + 2 y – 3 = 0 dan melalui titiktitik potong lingkaran-lingkaran x2 + y2 – 2 x – 4 y + 1 = 0 dan x2 + y2 – 4 x – 2 y – 4 = 0 adalah .... A. x2 + y2 – 6 x + 7 = 0 B. x2 + y2 – 3 y + 4 = 0 C. x2 + y2 – 2 x – 2 y + 1 = 0 D. x2 + y2 – 2 x – 4 y + 4 = 0 E. x2 + y2 – 3 x – 2 y + 7 = 0
Materi Pengayaan
Siswa yang cepat dalam menguasai materi pembelajaran tentunya akan memiliki kelebihan waktu yang harus dimanfaatkan siswa. Jika kelebihan waktu tersebut tidak dimanfaatkan dengan kegiatan-kegiatan positif, maka dapat menimbulkan hal-hal negatif yang dapat mengganggu siswa lain yang sedang konsentrasi dan berpartisipasi dalam kegiatan pembelajaran. Sehingga guru dapat memberikan pengayaan yang berupa soal maupun materi. Contoh materi pengayaan:
Himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yang memiliki jarak tetap r ( radius atau jari-jari) dari titik tetap C (center atau pusat) disebut bola. Persamaan berikut ini adalah persamaan dalam bentuk aljabar untuk suatu bola seperti gambar di samping.
Z
r C (h, k , l )
( x – h)2 + ( y – k )2 + ( z – l )2 = r 2 Suatu segmen garis yang memuat pusat bola dan memiliki titik ujungnya pada bola disebut diameter bola. Titik-titik ujung diameter disebut kutub bola. Lingkaran besar bola adalah perpotongan bola dan bidang yang memuat pusat dari bola. 102
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
102
O Y
X
hitam
orange
1.
Jika x2 + y2 – 4 y + z 2 + 2 z – – 4 = 0 adalah persamaan bola dan (1, 4, –3) adalah salah satu koordinat kutub bola, tentukan lawan dari koordinat kutub bola tersebut.
2.
Jawablah pertanyaan berikut. a.
Gambarkan bola dengan persamaan x2 + y2 + z 2 = 9.
b.
Apakah P (2, (2, –2, –2) terletak di dalam, di luar, atau pada bola?
c.
Tentukan syarat titik P (a, b, c) terletak di dalam, di luar, dan pada bola yang memiliki Tentukan persamaan x2 + y2 + z 2 = r 2.
Persamaan x2 + y2 = 4 menyatakan himpunan titik dalam ruang tiga dimensi. Akan berbentuk apakah himpunan-himpunan titik tersebut? Gambarkan persamaan tersebut ke dalam koordinat Kartesius.
3.
Kunci jawaban:
1.
(–1, 0, 1)
3.
2. a. Grak x2 + y2 + z 2 = 9
Persamaan x2 + y2 = 4 akan berbentuk silinder. Z
Z
O Y
O Y
X
b.
Di luar
c.
a2 + b2 + c2 < r 2 (terletak di dalam bola)
X
a2 + b2 + c2 = r 2 (terletak pada bola) a2 + b2 + c2 > r 2 (terletak di luar bola)
F
Remedial
Jika dari hasil evaluasi masih terdapat siswa yang belum memenuhi standar minimal, maka guru melaksanakan kegiatan remedial. Kegiatan ini diawali dengan remedial teaching, yaitu guru memberi pengulangan untuk materi-materi yang kompetensinya belum tercapai. Setelah itu guru melaksanakan evaluasi kembali dengan memberikan sejumlah soal yang berkaitan dengan bahan ajar yang diremedi. Contoh soal remedial:
1.
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan x2 + y2 + 4 x – 6 y – 12 = 0.
2.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4 x + 6 y – 12 = 0 yang melalui titik (5, 1).
Petunjuk Khusus
103
103
hitam
3.
Tentukan persamaan garis garis kuasa dari lingkaran lingkaran L1 2 2 L2 ≡ x + ( y y – 3) = 16.
orange
x ≡ ( x
– 3)2 + y2 = 16 dan
Kunci jawaban:
1.
(–2, 3) dan r = = 5 P (–2,
2.
3 x + 4 y – 19 = 0
3.
–6 x + 6 y = 0 atau y = x
G
Penilaian
Untuk menguji pemaham siswa atas konsep dalam Bab III ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.
Suplemen uji mandiri, untuk melatih siswa mengerjakan mengerjakan soal secara mandiri. Terdiri atas soal-soal pilihan ganda dan soal-soal uraian.
2.
Kegiatan diskusi, bertujuan untuk untuk memperoleh memperoleh pemahaman yang lebih baik mengenai mengenai suatu masalah atau memecahkannya secara bersama-sama. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 27.
3.
Tugas proyek, untuk untuk menilai keterampilan siswa dalam hal kemampuan merencanakan, merancang, dan menyelesaikan pemecahan masalah yang relevan dalam kehidupan seharihari secara berkelompok dan menerapkan hasil pembelajaran. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 31.
4.
Tugas portofolio, berupa tugas tugas membuat rangkuman dari semua kegiatan yang telah dikerjakan dalam satu bab dan mencari literatur-literatur untuk mengetahui dan mengembangkan pengetahuan. Contoh format penilaian dapat dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 33.
H
Penutup
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan konsep irisan dua lingkaran, disajikan sebagai berikut. 1.
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap pada suatu bidang datar. datar.
2.
Bentuk persamaan lingkaran a.
Persamaan lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari r adalah adalah x2 + y2 = r 2.
b.
Persamaa Pers amaan n lingk lingkara aran n denga dengan n pusat pusat (a, b) dan jari-jari r adalah adalah ( x x – a)2 + ( y y – b)2 = r 2.
c.
3.
1 1 Bentuk umum persamaan lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = = 0 dengan pusat − A, − B 2 2 1 2 1 2 dan jari-jari A + B − C 4 4
Kuasa lingkaran adalah gambaran posisi sebuah titik ( x1, y1) terhadap lingkaran = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C K = a.
104
Jika K < < 0, maka titik ( x1, y1) terletak di dalam lingkaran
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
104
hitam
b.
Jika K = = 0, maka titik ( x1, y1) terletak pada lingkaran
c.
Jika K > > 0, maka titik ( x1, y1) terletak di luar lingkaran
orange
4.
Garis kuasa adalah suatu garis lurus yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua lingkaran. Untuk lingkaran L1 ≡ x2 + y2 + A1 x + B1 y + C 1 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + A2 x + B2 y + C 2 = 0, persamaan garis kuasa adalah L1( x x, y) – L2( x x, y) = 0 atau ( A1 – A2) x x + ( B B1 – B2) y y + C 1 – C 2 = 0.
5.
Berkas lingkaran adalah sejumlah lingkaran lingkaran yang bisa bisa dibuat dari tali busur sekutu (garis yang dibuat oleh dua titik potong lingkaran). Persamaan berkas lingkaran: L1 + λ L2 = 0
a. Jika λ = 0, maka L1 = 0 b. Jika λ → ∞, maka L2 = 0 c. Jika λ = –1, maka L1 – L2 = 0 6.
Jenis-jenis irisan dua lingkaran a.
Berpotongan di dua titik
⇒
P 1 P 2 < r 1 + r 2
b.
Bersinggungan luar
⇒
c.
Bersinggungan dalam
⇒
d.
Tidak berpotongan/bersinggungan
⇒
P 1 P 2 = r 1 + r 2 P1P2 = r1 − r 2
P 1 P 2 > r 1 + r 2
Dengan P 1 P 2 = jarak kedua pusat lingkaran, r 1 = jari-jari L1, dan r 2 = jari-jari L2 7.
Dua lingkaran orthogonal adalah dua lingkaran yang saling berpotongan berpotongan tegak lurus. 2 2 2 Syaratnya ⇒ P 1 P 2 = r 1 + r 2
Petunjuk Khusus
105
105
hitam
106
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
106
orange
hitam
orange
Bab IV Sampel dan Fungsi Distribusi Binomial
Sumber: http://www.v3wall.com/wallpaper/medium/0912/medium_20091218092623198548.jpg
diunduh pada tanggal 9 Maret 2014 pukul 08:31 WIB.
Dalam ilmu statistika dipelajari mengenai sampel dan fungsi distribusi binomial yang banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya teori genetika dalam ilmu biologi. Menurut teori genetika, suatu jenis kelinci tertentu akan menghasilkan anak kelinci berbulu cokelat, hitam, dan putih dengan rasio 2 : 1 : 1. Jika dari sekumpulan anak kelinci dipilih 8 anak kelinci secara acak, berapa peluang paling sedikit 6 anak kelinci tidak akan berbulu hitam? Bagaimana cara menghitung peluang ini? Ingin tahu caranya, ayo pelajari materi dalam bab ini dengan antusias dan gembira.
Petunjuk Khusus
107
107
hitam
A
orange
Pengantar
Secara esensial, pembelajaran pada topik ini mengenalkan siswa mengenai konsep peluang dan kombinasi, teknik penarikan sampel acak, fungsi distribusi binomial, serta penerapan konsep sampel dan fungsi distribusi binomial dalam memecahkan masalah nyata.
B
KI dan KD pada Materi Pokok Sampel dan Fungsi Distribusi Binomial Kompetensi Inti
Kompetensi Dasar
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
2.1 Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan. 2.2 Menunjukkan kemampuan berkolaborasi, percaya diri, tangguh, kemampuan bekerja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah.
3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
3.7 Menganalisis penarikan sampel acak dari suatu populasi sekumpulan objek atau kejadian sehari-hari. 3.8 Mengevaluasi penarikan kesimpulan melalui uji hipotesis dengan kriteria tertentu. 3.9 Mendeskripsikan konsep variabel acak dan menganalisis untuk merumuskan fungsi distribusi binomial melalui percobaan acak.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
4.6 Menyajikan dan menggunakan rumus fungsi distribusi binomial dalam menaksir suatu ke jadian yang akan muncul berkaitan dengan percobaan acak. 4.7 Menyajikan proses dan hasil penarikan kesimpulan dari uji hipotesis dengan argumentasi dan prosedur penarikan kesimpulan yang valid.
108
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
108
hitam
C
orange
Alokasi Waktu
Topik materi ke-
D
Materi
Alokasi waktu
1
Review konsep materi peluang dan kombinasi
6 JP
2
Teknik penarikan sampel acak
12 JP
3
Fungsi distribusi binomial
12 JP
4
Ulangan harian
2 JP
Materi
1. Materi ke-1: Review Konsep Materi Peluang dan Kombinasi (6 JP) a.
Indikator 1)
Menjelaskan percobaan acak.
2)
Mendeskripsikan konsep peluang.
3)
Menerapkan konsep peluang dalam pemecahan masalah matematika.
4)
Mendeskripsikan konsep kombinasi.
5)
Menerapkan konsep kombinasi dalam pemecahan masalah matematika.
b. Materi untuk Guru Pertemuan pada materi ke-1 ini dimaksudkan untuk mereview kembali pemahaman secara jelas mengenai konsep peluang dan kombinasi.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat menjelaskan percobaan acak. b) Siswa dapat mendeskripsikan konsep peluang. c) Siswa dapat menerapkan konsep peluang dalam pemecahan masalah matematika. d) Siswa dapat mendeskripsikan konsep kombinasi. e) Siswa dapat menerapkan konsep kombinasi dalam pemecahan masalah matematika.
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Review Materi Konsep Peluang dan Kombinasi
(1) Pertemuan ke-1 Sebelum siswa memulai mempelajari bab ini, sebaiknya siswa mengerjakan terlebih dahulu uji kemampuan prasyarat bab IV pada buku latihannya. Jika siswa dapat mengerjakannya dengan baik dan tanpa kesulitan, maka akan memudahkan siswa untuk mempelajari materi dalam bab ini.
Petunjuk Khusus
109
109
hitam
orange
Guru mengajukan pertanyaan kepada siswa, masih ingatkah kalian apa yang dimaksud dengan percobaan, percobaan acak, hasil, ruang sampel, dan kejadian? Setelah pernyataan menantang diajukan, berikan kesempatan siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Untuk dipahami guru jawabannya adalah sebagai berikut. • Percobaan adalah suatu proses dengan hasil dari suatu kejadian yang bergantung pada kesepakatan. • Percobaan acak adalah proses dengan hasil-hasil yang diperoleh tidak selalu sama walaupun dengan kondisi yang tepat sama. • Hasil adalah sesuatu yang diamati pada suatu percobaan. • Ruang sampel adalah kumpulan dari semua hasil yang mungkin dari s uatu percobaan. • Kejadian adalah sebuah hasil atau sekelompok hasil. Agar siswa kembali memahami mengenai konsep peluang, guru menjelaskan bahwa dalam melakukan percobaan, misalnya melempar undi sebuah uang logam, maka hasil yang kita amati ada dua kemungkinan, yaitu sisi angka atau sisi gambar menghadap ke atas. Sisi angka biasanya diwakili dengan huruf A dan sisi gambar diwakili dengan huruf G. Kumpulan dari semua hasil
yang mungkin pada suatu percobaan didenisikan sebagai ruang sampel, yang diberi lambang S . Sedangkan setiap hasil yang mungkin disebut sebagai titik sampel. Jelas bahwa titik sampel adalah anggota dari ruang sampel. Banyak titik sampel dalam ruang sampel dinotasikan dengan n(S ). Jika kita hanya tertarik pada hasil-hasil (titik-titik sampel) tertentu dari ruang sampel, maka ini disebut kejadian atau peristiwa (event), dinotasikan dengan E . Banyak titik sampel dalam kejadian dilambangkan dengan n( E ). Jelas bahwa kejadian ( E ) adalah himpunan bagian dari ruang sampel S . Guru menjelaskan contoh mengenai percobaan, ruang sampel, titik sampel, dan kejadian. Misalnya percobaan melempar uang logam 1 kali diperoleh: • Ruang sampel S = {A, G}, sehingga n(S ) = 2 • Titik-titik sampel adalah A dan G • Misalnya kejadian muncul sisi angka, E = {A}, sehingga n( E ) = 1, atau kejadian muncul sisi gambar, E = {G}, sehingga n( E ) = 1 Setelah siswa dan guru mengeksplorasi, siswa diberikan kesempatan untuk bertanya mengenai konsep percobaan, ruang sampel, titik sampel, dan kejadian. (2) Pertemuan ke-2 Selanjutnya guru menginformasikan mengenai konsep peluang suatu kejadian. Misalkan suatu percobaan memiliki ruang sampel yang berhingga banyaknya dan setiap titik sampel memiliki kesempatan yang sama untuk muncul, maka peluang kejadian A, diberi lambang P ( A), dirumuskan sebagai berikut. P( A) =
110
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
110
n( A) n( S )
hitam
orange
Untuk memudahkan siswa dalam menyelesaikan masalah peluang suatu kejadian, guru memberikan informasi mengenai langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah peluang. • Langkah pertama, daftarlah semua titik sampel yang mungkin, tulislah ruang sampel S , kemudian tentukan banyaknya anggota ruang sampel, n(S ). • Langkah kedua, daftarkan anggota-anggota yang berkaitan dengan kejadian E , tulislah himpunan E , kemudian tentukan banyaknya anggota E , yaitu n( E ). • Langkah ketiga, hitunglah peluang kejadian E dengan persamaan n( E ) P( E ) = n( S ) . Setelah siswa memahami mengenai konsep peluang, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan konsep peluang, misalnya Sebuah uang logam dilempar undi sebanyak tiga kali. Berapa peluang kejadian: • B yaitu dua atau lebih sisi angka muncul? • C yaitu paling sedikit satu sisi gambar muncul? Penyelesaian:
Untuk mendaftar semua titik sampel dari ruang sampel pada percobaan melempar uang logam tiga kali, digunakan bantuan diagram pohon.
A → AAA A
A → GAA A
G → AAG
A
G → GAG
G
A → AGA G
A → GGA G
G → AGG
G → GGG
Berdasarkan diagram pohon tersebut, diperoleh ruang sampel S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}, sehingga n(S ) = 8 • Kejadian B = dua atau lebih sisi angka muncul, sehingga B = {AAA, AAG, AGA, GAA}, n( B) = 4 Peluang kejadian B adalah P ( B ) =
n( B ) n( S )
=
4 8
=
1 2
Jadi, peluang dua atau lebih sisi angka muncul adalah
•
1
. 2 Kejadian C = paling sedikit satu sisi gambar muncul, sehingga C = {AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}, n(C ) = 7
Petunjuk Khusus
111
111
hitam
orange
Peluang kejadian C adalah P(C ) =
n(C ) n( S )
=
7 8
Jadi, peluang paling sedikit satu sisi gambar muncul adalah
7
. 8 Setelah guru membahas contoh soal mengenai konsep peluang, siswa diberikan kesempatan untuk bertanya mengenai konsep peluang yang telah dipelajari. (3) Pertemuan ke-3 Selanjutnya guru menginformasikan mengenai konsep kombinasi. Kombinasi adalah susunan dari semua atau sebagian unsur dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan unsur (urutan AB = urutan BA). Kombinasi dari n unsur berbeda diambil r unsur, diberi notasi C (n, r ) dengan r ≤ n, dirumuskan oleh C ( n, r ) =
n! r ! ( n − r )!
Setelah siswa memahami mengenai konsep kombinasi, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan konsep kombinasi, misalnya Organisasi OSIS memiliki anggota inti sebanyak 10 orang dengan 4 orang di antaranya perempuan. Suatu kepanitiaan akan dibentuk dengan memilih 4 orang dari kesepuluh anggota OSIS tersebut, dan paling tidak ada satu dari panitia itu adalah seorang perempuan. Berapa banyak komposisi panitia yang dapat dibentuk? Penyelesaian:
Panitia dipilih 4 orang dari 10 anggota OSIS, sehingga banyak komposisi seluruh panitia tanpa ada batasan adalah C (10, 4), dengan C (10, 4) =
10! 4! (10 − 4)!
=
10! 4! 6!
=
10 × 9 × 8 × 7 × 6 ! (4 × 3 × 2 ×1)6!
= 10 × 3 × 7 = 210
Dari 10 orang terdapat 4 perempuan, berarti ada (10 – 4) = 6 anggota yang bukan perempuan. Dengan demikian banyak komposisi panitia tanpa ada perempuan adalah C (6, 4), dengan C (6, 4) =
6! 4! (6 − 4)!
=
6! 4! 2 !
=
6 × 5 × 4! 4! (2 × 1)
= 3 × 5 = 15
Jadi, banyak komposisi panitia seluruhnya dan paling tidak ada satu dari panitia itu adalah seorang perempuan = C (10, 4) – C (6, 4) = 210 – 15 = 195. Setelah siswa dan guru mengeksplorasi, siswa diberikan kesempatan untuk bertanya mengenai konsep kombinasi dalam memecahkan masalah matematika.
112
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
112
hitam
orange
Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 4.1 dan 4.2. Pada Contoh Soal 4.1 siswa dapat mengamati dan memahami penerapan konsep kombinasi dalam memecahkan masalah matematika. Sedangkan pada Contoh Soal 4.2 siswa dapat mengamati dan memahami penerapan konsep peluang dalam memecahkan masalah matematika. Tampak pada Contoh Soal 4.2 bahwa peluang kelereng merah terambil pada pengambilan pertama maupun kedua tidak dipengaruhi oleh peluang kelereng kuning maupun peluang kelereng biru. Tiga kejadian terambil kelereng merah ( M ), terambil kelereng kuning ( K ), dan terambil kelereng biru ( B) adalah contoh kejadian yang saling bebas. Untuk mengakhiri pembelajaran pada materi ke-1 ini dengan cara yang istimewa, guru dapat memberikan pertanyaan, kuis, atau teka-teki yang berkaitan dengan materi yang telah dibahas untuk dipikirkan oleh siswa saat istirahat, di perjalanan pulang ke rumah, dan tentunya ketika berada di rumah. Pertanyaan: • Berdasarkan Contoh Soal 4.2 jika pada pengambilan kedua, kelereng yang terambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan, apakah kejadian terambilnya kelereng merah, terambilnya kelereng kuning, dan terambilnya kelereng biru, termasuk kejadian saling bebas? Jelaskan komentar Anda.
b)
Penutup
Lakukan reeksi dan penugasan kelompok yang berupa
mengerjakan Latihan Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 6 pada buku siswa. 3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 166-168. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
2. Materi ke-2: Teknik Penarikan Sampel Acak (12 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep sampel acak sederhana.
2)
Mengaplikasikan konsep sampel acak sederhana dalam pemecahan masalah matematika.
3)
Menjelaskan konsep pengujian hipotesis uji dua pihak.
4)
Mengevaluasi penarikan kesimpulan melalui uji hipotesis.
5)
Mengaplikasikan konsep pengujian hipotesis uji dua pihak dalam pemecahan masalah kehidupan nyata.
6)
Menyajikan hasil penarikan kesimpulan dari uji hipotesis.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-2 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai sampel acak sederhana, cara-cara penarikan sampel acak, dan pengujian hipotesis uji dua pihak. Petunjuk Khusus
113
113
hitam
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep sampel acak sederhana. b) Siswa dapat mengaplikasikan konsep sampel acak sederhana dalam pemecahan masalah matematika. c) Siswa dapat menjelaskan konsep pengujian hipotesis uji dua pihak. d) Siswa dapat mengevaluasi penarikan kesimpulan melalui uji hipotesis. e) Siswa dapat mengaplikasikan konsep pengujian hipotesis uji dua pihak dalam pemecahan masalah kehidupan nyata. f) Siswa dapat menyajikan hasil penarikan kesimpulan dari uji hipotesis.
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Teknik Penarikan Sampel Acak
Materi pada subbab teknik penarikan sampel acak dibagi menjadi 2 pertemuan, yaitu pertemuan ke-4 menjelaskan tentang sampel acak sederhana; pertemuan ke-5 pengujian hipotesis uji dua pihak. (1) Pertemuan ke-4 Guru memberikan pernyataan kepada siswa. Misalnya Anda ingin mengetahui pendapat para siswa di sekolah ini yang jumlah siswanya lebih kurang 1.200 orang, tentang pelajaran matematika, apakah merupakan pelajaran yang sulit, sedang-sedang saja, atau sama sekali tidak sulit. Untuk itu Anda memerlukan jejak pendapat dari para siswa di sekolah ini. Seluruh siswa di sekolah ini disebut sebagai objek penelitian atau populasi. Dalam pelaksanaannya sulit dilakukan analisis pendapat bagi seluruh siswa di sekolah ini, karena terdapat banyak kendala, antara lain waktu yang cukup lama dan jumlah siswa yang terlalu besar. Oleh karena itu, jejak pendapat hanya dilakukan terhadap sejumlah siswa yang dianggap dapat mewakili penelitian yang disebut sebagai sampel. Untuk memperoleh sampel tersebut haruslah dilakukan penarikan sampel dari suatu populasi. Guru memberikan pertanyaan kepada siswa, “apakah yang dimaksud dengan penarikan sampel acak sederhana?”. Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Jawaban yang diharapkan adalah sebagai berikut. • Penarikan sampel acak adalah penarikan suatu sampel dengan n elemen yang dipilih dari suatu populasi N anggota sedemikian rupa sehingga setiap anggota dari C ( N , n) sampel berbeda mempunyai kesempatan yang sama 1 untuk terpilih, yaitu . C ( N , n) Setelah siswa mengerti dan memahami mengenai pengertian dari 1 penarikan sampel acak, selanjutnya guru membuktikan . Berikut ( , ) C N n adalah pembuktiannya.
114
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
114
orange
hitam
orange
Misalkan satu sampel berbeda, yaitu himpunan yang mengandung n unit tertentu. Pada penarikan pertama, probabilitas bahwa 1 dari n unit akan dipilih adalah
n N
. Pada penarikan kedua, probabilitas bahwa 1 dari ( n – 1) unit tersisa (n − 1)
akan dipilih adalah
( N − 1)
. Pada penarikan ketiga, probabilitas bahwa 1 dari ( n − 2)
(n – 2) unit tersisa akan dipilih adalah
. Demikian seterusnya, sehingga ( N − 2) probabilitas seluruh n unit tersebut yang dipilih dalam n kali penarikan sampel tanpa pengembalian adalah: n
⋅
(n − 1)
⋅
(n − 2)
N ( N − 2) ( N − 2)
⋅ ... ⋅
1 ( N − n + 1)
= =
=
n! ( N − n)! N !
1 N ! n! ( N − n)! 1 C ( N , n)
(terbukti)
Guru meminta siswa untuk mendiskusikan metode penarikan sampel acak sederhana pada masalah memilih 25 siswa dari 1.200 siswa sekolah ini pada buku siswa halaman 169 bersama teman sebangkunya. Beberapa perwakilan siswa menjelaskan langkah-langkah melakukan undian menggunakan kalimat sendiri. Guru menilai dan mengamati siswa melakukan presentasi. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri mengenai pengujian hipotesis uji dua pihak. (2) Pertemuan ke-5 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai konsep pengujian hipotesis uji dua pihak. Siswa yang lainnya memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan siswa di depan kelas. Selanjutnya guru menginformasikan bahwa untuk menguji suatu hipotesis akan digunakan uji-T satu sampel dengan rumus sebagai berikut. t =
dengan:
x − µ s
⋅ n
x = nilai rata-rata sampel, s = simpangan baku sampel, μ = nilai yang dihipotesiskan, n = jumlah sampel
Kemudian guru memberikan beberapa contoh hipotesis yang akan diuji kebenarannya. Misalnya • Daya tahan produk A adalah 2 tahun
Petunjuk Khusus
115
115
hitam
• •
Pemakaian listrik rata-rata setiap kepala keluarga adalah 100 kWh Banyaknya barang cacat produk X setiap hari adalah 20 buah
Sebelum menguji hipotesis yang akan dibuat, terlebih dahulu susun hipotesis nol (H 0) dan hipotesis alternatif (H 1). • Untuk kasus daya tahan produk A Hipotesis nol: daya tahan produk A = 2 tahun ⇒ H0 : μ = 2 tahun Hipotesis alternatif: daya tahan produk A ≠ 2 tahun ⇒ H1 : μ ≠ 2 tahun Guru menugaskan siswa untuk menyusun hipotesis nol dan hipotesis alternatif untuk dua contoh berikutnya. Guru berkeliling untuk menilai dan mengamati tugas yang dikerjakan siswa.
•
•
Jawaban yang harus guru pahami adalah sebagai berikut. Untuk kasus pemakaian listrik Hipotesis nol: pemakaian listrik rata-rata = 100 kWh ⇒ H0 : μ = 100 kWh Hipotesis alternatif: pemakaian listrik rata-rata ≠ 100 kWh ⇒ H1 : μ ≠ 100 kWh Untuk kasus banyaknya barang cacat produk X Hipotesis nol: banyak barang cacat produk X = 20 buah ⇒ H0 : μ = 20 buah Hipotesis alternatif : banyak barang cacat produk X ≠ 20 buah ⇒ H1 : μ ≠ 20 buah
Selanjutnya guru menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 4.3. Pada Contoh Soal 4.3 siswa dapat mengamati dan memahami bagaimana cara pengujian hipotesis uji dua pihak dalam memecahkan masalah kehidupan nyata. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai cara pengujian hipotesis uji dua pihak dalam memecahkan masalah kehidupan nyata. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri mengenai konsep variabel acak pada subbab fungsi distribusi binomial. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 4. (2) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 3 pada buku siswa. 3)
116
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
116
orange
hitam
4)
orange
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 168-172 b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet) internet)
3. Materi ke-3: ke-3: Fungsi Distribusi Binomial (12 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep variabel acak.
2)
Menerapkan konsep variabel acak dalam pemecahan masalah matematika.
3)
Menjelaskan konsep distribusi.
4)
Mendeskripsikan konsep fungsi probabilitas.
5)
Menentukan fungsi probabilitas dalam pemecahan masalah matematika.
6)
Mendeskripsikan konsep fungsi distribusi.
7)
Menentukan fungsi distribusi dalam pemecahan masalah matematika.
8)
Menjelaskan konsep distribusi binomial.
9)
Menerapkan konsep distribusi binomial dalam pemecahan masalah nyata.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-3 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai konsep variabel acak, distribusi dan fungsi probabilitas, fungsi fungsi distribusi, dan distribusi binomial.
c.
Tujuan pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep variabel acak. b) Siswa dapat menerapkan konsep variabel acak dalam pemecahan masalah matematika. c) Siswa dapat menjelaskan konsep distribusi. d) Siswa dapat mendeskripsikan konsep fungsi probabilitas. e) Siswa dapat menentukan menentukan fungsi probabilitas dalam pemecahan masalah matematika. f) Siswa dapat mendeskripsikan konsep fungsi distribusi. g) Siswa dapat menentukan fungsi distribusi dalam pemecahan masalah matematika. h) Siswa dapat menjelaskan konsep distribusi binomial. i) Siswa dapat menerapkan konsep distribusi binomial dalam pemecahan masalah nyata.
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Fungsi Distribusi Binomial
Materi pada subbab fungsi distribusi binomial dibagi menjadi 5 pertemuan, yaitu pertemuan ke-6 menjelaskan tentang konsep variabel acak; pertemuan ke-7 menjelaskan tentang distribusi dan fungsi probabilitas; pertemuan ke-8
Petunjuk Khusus
117
117
hitam
orange
menjelaskan tentang fungsi distribusi; pertemuan ke-9 menjelaskan tentang distribusi binomial; pertemuan ke-10 menjelaskan tentang fungsi distribusi binomial kumulatif. (1) Pertemuan ke-6 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai konsep variabel acak. Siswa yang lainnya memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan siswa di depan kelas. Selanjutnya guru menginformasikan kepada siswa mengenai konsep variabel acak. Ruang sampel dari pelemparan uang logam sebanyak tiga kali adalah, S = = {(G, G, G), (G, G, A), (G, A, G), (G, A, A), (A, G, G), (A, G, A), (A, A, G), (A, A, A)}. Dalam pemetaan S → pada Gambar 4.4 buku siswa, S → X pada adalah daerah asal (domain) dan X adalah adalah daerah hasil (range). Jika kita anggap sebagai banyak kejadian munculnya sisi A dari eksperimen acak pelemparan X sebagai uang logam, maka kita memiliki: akan dianggap bernilai 0 jika kejadian (G, G, G) terjadi. • X akan • X akan dianggap bernilai 1 jika kejadian (G, G, A), (G, A, G), (A, G, G) terjadi. • X akan akan dianggap bernilai 2 jika kejadian (G, A, A), (A, G, A), (A, A, G) terjadi. • X akan akan dianggap bernilai 3 jika kejadian (A, A, A) terjadi. Kejadian ( X = 0) adalah ekuivalen dengan kejadian {(G, G, G)} dengan n = 1, n( X = 0) 1 sehingga berlaku P( X = 0) = = . 8 n( S ) Dengan cara yang sama akan diperoleh:
• • •
n( X = 1)
P ( X = 1) = P {(G, G, A), ( G, A, G), ( A, G, G)} =
n( S )
P ( X = 2) = P {(G, A, A), ( A, A, G), ( A, G, A)} = P ( X = 3) = P {( A, A, A)} =
n( X = 3) n( S )
=
=
n( X = 2) n( S )
3 8
=
3 8
1 8
Berdasarkan keempat peluang tersebut, diperoleh bahwa semua kejadian saling lepas sehingga berlaku P( X = 0 ∪ X = 1 ∪ X = 2 ∪ X = 3) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P( X = 2) + P ( X = 3) 1
3
3
1
8
8
8
8
= + + +
=1
Setelah siswa dan guru mengamati dan mengeksplorasi mengenai konsep variabel acak, siswa dapat mengamati Contoh Soal 4.4 mengenai langkahlangkah menunjukkan variabel acak diskrit. Setelah memahami Contoh Soal 4.4, siswa diminta mengerjakan Latihan 4.1 mengenai penerapan langkah-langkah
118
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
118
hitam
orange
berdasarkan yang terdapa berdasarkan terdapatt pada pada Contoh Contoh Soal Soal 4.4. 4.4. Guru berkel berkeliling iling untuk menila menilaii dan mengamati kegiatan yang dikerjakan siswa. Guru memberikan waktu kepada siswa untuk bertanya mengenai konsep variabel acak yang belum mereka pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri mengenai distribusi dan fungsi probabilitas yang akan dibahas pada pertemuan berikutnya. (2) Pertemuan ke-7 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai konsep distribusi dan fungsi probabilitas. Siswa yang lainnya memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan siswa di depan kelas. Guru menginformasikan bahwa jika kita ambil X sebagai variabel acak diskrit yang menampilkan banyak kejadian munculnya sisi A (angka) dalam eksperimen acak ini, maka X bisa bisa diberi nilai-nilai 0, 1, 2, dan 3. Probabilitas probabilitasnya telah dihitung sebelumnya, yaitu 1 • P( X = 1) = P {(G, G, G)} = 8 3 • P( X = 1) = P {(G, G, A), ( G, A, G), ( A, G, G)} = 8
• •
P( X = 2) = P {(G , A, A)(A , A, G)( A, G, A)} = P( X = 3) = P {( A, A, A)} =
3 8
1
8 Nilai-nilai x, X , dan probabilitasnya bisa diberikan pada tabel berikut. X = x = x
= x) P ( X =
0
1
2
3
1
3
3
1
8
8
8
8
Total
1
Tabel di atas dikenal sebagai distribusi probabilitas untuk variabel acak diskrit X . Distribusi probabilitas pada tabel tersebut dapat ditampilkan dalam bentuk fungsi sebagai berikut.
1 8 , jika x = 0, 3 f ( x) = 3 8 , jika x = 1, 2 0, jika x lainnya Fungsi f inilah yang disebut sebagai fungsi kepadatan probabilitas atau x) terhadap x dibuat graknya, maka diperoleh fungsi probabilitas. Jika fungsi f ( x
Petunjuk Khusus
119
119
hitam
orange
grak probabilitas yang berbentuk f ( x) 4 8 3 8 2 8 1 8
0
1
2
3
x
Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 4.5. Pada Contoh Soal 4.5 siswa dapat mengamati dan memahami langkah-langkah menentukan
distribusi, grak, dan fungsi probabilitas. Setelah siswa selesai mengamati, guru meminta siswa untuk mengerjakan Latihan 4.2 secara mandiri. Pada Latihan 4.2 siswa diharapkan telah memahami cara membuat distribusi probabilitas dan menentukan fungsi probabilitasnya. Guru berkeliling untuk menilai dan mengamati kegiatan yang sedang siswa lakukan. Guru memberikan waktu kepada siswa untuk bertanya mengenai konsep distribusi dan fungsi probabilitas yang belum mereka pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri mengenai fungsi distribusi yang akan dibahas pada pertemuan berikutnya. (3) Pertemuan ke-8 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai konsep fungsi distribusi. Siswa yang lainnya memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan siswa di depan kelas. Selanjutnya guru menginformasikan bahwa anggota-anggota ruang sampel S yang memuat dalam kejadian X ≤ x berubah jika nilai x berbeda beda. Akibatnya probabilitas P ( X ≤ x) adalah bilangan yang bergantung pada x. Bilangan ini dinyatakan oleh F ( x) dan disebut fungsi distribusi (kumulatif) variabel acak X . Fungsi distribusi untuk variabel acak X didenisikan sebagai F ( x) = P ( X ≤ x), dimana x adalah bilangan real (–∞ < x < ∞). Fungsi distribusi bisa diperoleh dari fungsi probabilitas, yaitu: F ( x) = P( X ≤ x) =
∑ f ( x)
X ≤ x
Jika X diambil hanya pada suatu bilangan tertentu dari nilai-nilai x1, x2, ..., xn, maka fungsi distribusi diberikan oleh
120
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
120
hitam
0, f ( x1 ), F ( x) = f ( x1 ) + f ( x1 ) +
orange
− < x < x1 f ( x2 ),
x1
≤ x < x2
x2
≤ x < x2
f ( x2 ) + ... + f ( xn ),
xn
≤ x <
Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 4.6. Pada Contoh Soal 4.6 siswa dapat mengamati dan memahami langkah-langkah
untuk menentukan fungsi distribusi dan graknya. Agar dapat memahami lebih jauh mengenai fungsi distribusi, siswa diminta mengerjakan Kegiatan 4.1 secara berkelompok. Dari Kegiatan 4.1 diharapkan siswa dapat menentukan langkah-langkah untuk memperoleh fungsi probabilitas f ( x) jika fungsi distribusi F ( x) diketahui. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan diskusi kelompok yang sedang dan telah si swa lakukan. Guru memberikan waktu kepada siswa untuk mengajukan pertanyaan mengenai
konsep fungsi distribusi dan cara membuat grak dari fungsi distribusi. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri mengenai distribusi binomial yang akan dibahas pada pertemuan berikutnya. (4) Pertemuan ke-9 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai konsep distribusi binomial. Siswa yang lainnya memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan siswa di depan kelas. Guru menjelaskan bahwa suatu eksperimen yang terdiri dari percobaan Bernoulli yang diulang n kali dengan pengembalian disebut eksperimen binomial. Variabel acak X yang menampilkan banyak sukses dalam n percobaan bebas disebut variabel acak binomial dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi binomial. Perhatikan X suatu variabel acak diskrit yang bisa diberi nilai-nilai 0, 1, 2, ..., n. Kemudian guru mengajukan pertanyaan kepada siswa mengenai bagaimana ciri-ciri dari suatu eksperimen binomial? Setelah pertanyaan diajukan, berikan kesempatan siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya.
•
•
Ciri-ciri suatu eksperimen binomial adalah sebagai berikut. Binomial, suku kata bi berarti dua sedangkan nomial dapat diartikan sebagai kondisi, artinya menggambarkan sebuah kejadian dengan dua kondisi. Kondisi pertama dianggap sukses sedang kondisi kedua dianggap gagal. Probabilitas sukses p adalah sama untuk setiap percobaan. Artinya peluang Petunjuk Khusus
121
121
hitam
• •
munculnya mata dadu 5 (lempar dadu) sama pada percobaan pertama, kedua, ketiga, dan seterusnya, yaitu 16. Jumlah atau banyaknya percobaan yang merupakan komponen percobaan binomial harus tertentu. Variabel acak X adalah jumlah total sukses dalam n percobaan.
Guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 4.7 untuk menerapkan konsep distribusi binomial dalam pemecahan masalah dadu yang digelindingkan. Selanjutnya siswa diminta mengamati dan memahami cara menentukan rumus perhitungan distribusi (probabilitas) binomial. Dari perhitungan distribusi (probabilitas) binomial diperoleh bahwa • Untuk eksperimen binomial dimana probabilitas sukses = p dan probabilitas gagal q = 1 – p untuk setiap percobaan, maka probabilitas x sukses dari n percobaan ulang dirumuskan oleh P ( x, n) = C (n, x) · p x · qn – x Agar dapat memahami mengenai rumus perhitungan (probabilitas) binomial, siswa diminta mengerjakan Kegiatan 4.2 mengenai cara menurunkan rumus distribusi binomial dari masalah umum secara berkelompok. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan dan diskusi yang sedang siswa lakukan. Selanjutnya guru menginformasikan mengenai lima hal yang harus diperhatikan sebelum menggunakan rumus distribusi binomial untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan eksperimen binomial adalah sebagai berikut. • Untuk setiap percobaan Bernoulli yang diberikan kita harus menentukan apa yang dianggap sebagai “sukses”. “Sukses” ini biasanya berkaitan dengan hal yang ditanyakan pada soal. • Menentukan peluang sukses dari tiap percobaan Bernoulli. • Menentukan peluang gagal dari p + q = 1 atau q = 1 – p. • Menentukan banyaknya percobaan ulang pada eksperimen binomial. • Menentukan banyaknya sukses ( x) dari n kali percobaan. Setelah siswa dan guru selesai mengeksplorasi, berikanlah kesempatan siswa untuk bertanya mengenai penerapan rumus distribusi binomial dalam memecahkan masalah nyata. Selanjutnya guru menjelaskan penerapan rumus distribusi binomial dalam masalah nyata yang terdapat pada Contoh Soal 4.8. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri mengenai fungsi distribusi binomial kumulatif. (5) Pertemuan ke-10 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai konsep fungsi distribusi. Siswa yang lainnya memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan siswa di depan kelas.
122
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
122
orange
hitam
orange
Guru memberikan informasi bahwa ciri-ciri masalah yang harus menggunakan fungsi distribusi binomial kumulatif adalah yang mengandung kata kunci “paling banyak”, misalnya probabilitas muncul mata dadu 6 paling banyak 3 kali pada eksperimen menggelindingkan dadu 5 kali atau probabilitas paling banyak 3 jaminan toko yang diperluas terjual. Agar dapat memahami mengenai masalah distribusi binomial kumulatif yang mengandung kata kunci “paling banyak”, siswa diminta untuk mengamati dan memahami Contoh Soal 4.9. Guru juga dapat memberikan contoh soal lainnya yang bervariasi dari Contoh Soal 4.9. Selanjutnya guru memberikan pertanyaan kepada siswa, bagaimana cara menentukan fungsi distribusi kumulatif untuk kata kunci “paling sedikit”? Agar dapat memahami bagaimana cara menyelesaikannya, siswa diminta untuk mengamati dan memahami Contoh Soal 4.10, dan selanjutnya didiskusikan bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling mengamati dan menilai diskusi yang dilakukan siswa. Selanjutnya siswa bersama teman sebangkunya diminta untuk mempelajari kolom Pojok Olimpiade dan Soal Seleksi yang berhubungan dengan konsep probabilitas. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab C nomor 1 sampai dengan nomor 5. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 4.1 sampai dengan Latihan 4.7 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab C nomor 1 sampai dengan nomor 15 pada buku siswa. 3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 172-193. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
4. Materi ke-4: Ulangan Harian (2 JP) I.
Pilihan Ganda
1.
Pernyataan yang bukan syarat dari suatu distribusi binominal adalah .... A. probabilitas sukses adalah tetap B. hanya dua hasil yang mungkin C. banyak percobaan adalah tertentu D. hasil-hasilnya mungkin sama E. variabel acak x menyatakan jumlah total sukses
2.
Pada suatu distribusi binomial .... A. n harus dianggap bilangan bulat antara 1 dan 20 atau 25 B. p haruslah kelipatan dari 0,10 C. harus ada sedikitnya 3 kemungkinan hasil D. termasuk distribusi kontinu E. tidak satu pun di atas jawaban yang benar Petunjuk Khusus
123
123
hitam
3.
Suatu variabel acak x memiliki distribusi proba bilitas seperti pada tabel berikut: X = x
0
1
2
3
P ( X = x )
k
k 2
k 2 + k
3k 2 + k
dengan k adalah suatu konstanta. Nilai k adalah .... 1 3 A. D. 3 16 4 1 B. E. 25 4 C.
4.
5.
6.
124
8.
5
Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi polio adalah 0,2. Pada suatu hari di Puskesmas Setia ada 4 orang bayi. Peluang dari bayi tersebut 3 orang belum diimunisasi polio adalah .... A. 0,0128 D. 0,1240 B. 0,0256 E. 0,2480 C. 0,0512 Sebuah koin dilempar 5 kali. Probabilitas mendapatkan sisi gambar tepat 3 kali adalah .... 5 6 A. D. 18 54
C.
maka probabilitas jarum menunjuk ke daerah berangka 1 adalah .... A. 0,035 B. 0,047 1 4 C. 0,059 D. 0,068 2 3 E. 0,084
1
Sebuah kantong berisi 2 kelereng merah, 3 kelereng biru, dan 5 kelereng kuning. Tiga kelereng diambil satu per satu dengan pengembalian dan sebelum dikembalikan hasilnya dicatat. Peluang ketiga kelereng berpeluang berwarna sama adalah .... A. 0,12 D. 0,24 B. 0,16 E. 0,32 C. 0,20
B.
7.
orange
10 36
E.
3
Suatu koin dilemparkan 6 kali. Probabilitas paling sedikit empat kali muncul sisi angka adalah .... 11 4 A. D. 32 32 B. C.
9.
7 32 8
E.
15 32
32
Sebuah koin seimbang dilempar undi 8 kali. Probabilitas bahwa lebih banyak sisi gam bar yang muncul daripada sisi angkanya adalah .... 1 23 A. D. 4 64 1 93 B. E. 3 256 87 C. 256
10. Sebuah dadu dilempar sebanyak 6 kali. Peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan 5 dalam minimal 5 kali pelemparan adalah .... 3 A. 13 D. 729 729 12 2 B. E. 729 729 C. 87 256
18
8
36 Sebuah papan berputar dibagi atas 4 daerah yang ukurannya sama, ditandai dengan 1, 2, 3, 4 jika papan dirotasi (diputar) 4 kali,
E
Materi Pengayaan
Siswa yang cepat dalam menguasai materi pembelajaran tentunya akan memiliki kelebihan
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
124
hitam
orange
waktu yang harus dimanfaatkan siswa. Jika kelebihan waktu tersebut tidak dimanfaatkan dengan kegiatan-kegiatan positif, maka dapat menimbulkan hal-hal negatif yang dapat mengganggu siswa lain yang sedang konsentrasi dan berpartisipasi dalam kegiatan pembelajaran. Sehingga guru dapat memberikan pengayaan yang berupa soal maupun materi. Contoh soal pengayaan:
1.
2.
Sebuah kotak memuat 5 kelereng hijau, 4 kelereng biru, dan 6 kelereng merah. Sebuah kelereng diambil secara acak. Tanpa pengembalian, sebuah kelereng lain diambil dari kotak. Hitunglah probabilitas bahwa: a.
Kelereng yang pertama berwarna hijau dan kelereng kedua berwarna merah.
b.
Kedua kelereng memiliki warna yang sama.
Dalam sebuah kontes kuis, terdapat tiga kategori pernyataan yang terdiri dari 5 pertanyaan tentang Kimia, 3 pertanyaan tentang Biologi, dan 7 pertanyaan tentang Fisika. Setiap pertanyaan ditempatkan dalam amplop. Semua amplop berbentuk sama dan dimasukkan ke dalam kotak. Semua peserta kuis diminta untuk memilih secara acak dua amplop dari kotak. Tentukan probabilitas bahwa peserta pertama memilih: a.
Amplop pertama dengan pertanyaan Kimia dan amplop kedua pertanyaan Biologi.
b.
Kedua amplop memiliki pertanyaan dengan kategori yang sama.
Kunci jawaban:
1.
a. b.
2.
a.
b.
F
1 3 31 105 1 14 34 105
Remedial
Jika dari hasil evaluasi masih terdapat siswa yang belum memenuhi standar minimal, maka guru melaksanakan kegiatan remedial. Kegiatan ini diawali dengan remedial teaching, yaitu guru memberi pengulangan untuk materi-materi yang kompetensinya belum tercapai. Setelah itu guru melaksanakan evaluasi kembali dengan memberikan sejumlah soal yang berkaitan dengan bahan ajar yang diremedi. Contoh soal remedial:
1.
2.
Sebuah dadu dilempar undi sebanyak 3 kali. Tentukan probabilitas dari yang muncul: a.
Bukan angka lima yang muncul.
b.
Satu kali angka lima.
c.
Tiga kali angka lima.
Catatan rumah sakit menunjukkan bahwa 75% pasien yang menderita penyakit X meninggal.
Petunjuk Khusus
125
125
hitam
Tentukan probabilitas bahwa 6 pasien yang dipilih secara acak, 4 di antaranya akan pulih. 3.
Sebuah pabrik piston logam menemukan bahwa rata-rata 12% dari pistonnya ditolak karena ukurannya kebesaran atau kekecilan. Tentukan probabilitas bahwa dari 10 piston akan memuat a.
Tidak lebih dari 2 ditolak.
b.
Setidaknya 2 ditolak.
Kunci jawaban:
1.
a. b. c.
125 216 75 216 1
2.
216 C (6, 4 ) ⋅ (0, 25) 4 ⋅ (0, 75) 2 = 0, 03296
3.
a.
0,89131
b.
0,34173
G
Penilaian
Untuk menguji pemahaman siswa atas konsep dalam Bab IV ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.
Suplemen uji mandiri, untuk melatih siswa mengerjakan soal secara mandiri. Terdiri atas soal-soal pilihan ganda dan soal-soal uraian.
2.
Kegiatan diskusi, bertujuan untuk memperoleh pemahaman yang lebih baik mengenai suatu masalah atau memecahkannya secara bersama-sama. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 27.
3.
Tugas proyek, untuk menilai keterampilan siswa dalam hal kemampuan merencanakan, merancang, dan menyelesaikan pemecahan masalah yang relevan dalam kehidupan seharihari secara berkelompok dan menerapkan hasil pembelajaran. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 31.
4.
Tugas portofolio, berupa tugas membuat rangkuman dari semua kegiatan yang telah dikerjakan dalam satu bab dan mencari literatur-literatur untuk mengetahui dan mengembangkan pengetahuan. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 33.
H
Penutup
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan konsep sampel dan fungsi distribusi binomial, disajikan sebagai berikut. 1.
Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti, sedangkan sampel adalah sebagian populasi yang benar-benar diamati.
2.
Penarikan sampel acak adalah penarikan suatu sampel dengan n elemen yang dipilih dari
126
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
126
orange
hitam
orange
suatu populasi N anggota sedemikian rupa sehingga setiap anggota dari C ( N , n) sampel 1 berbeda mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih, yaitu . C ( N , n) 3.
Probabilitas dari suatu eksperimen E dirumuskan dengan P ( E ) =
4.
Fungsi probabilitas harus memenuhi dua syarat, yaitu:
n( E )
, dimana n( E ) dan n( S ) n(S ) menyatakan banyak eksperimen E yang terjadi dan jumlah seluruh kemungkinan hasil di S . a.
f ( x) ≥ 0, untuk setiap nilai x
b.
∑ f ( x) = 1 x
5.
Jika X diambil hanya pada suatu bilangan tertentu dari nilai x1, x2, …, xn, maka fungsi distribusi diberikan oleh
0, f ( x ), 1 F ( x) = f ( x1 ) + f ( x2 ), f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ),
−∞ < x < x1 x1 ≤ x < x2 x2 ≤ x < x3
xn ≤ x < ∞
6.
Distribusi binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan jika suatu proses dan cara pengambilan sampel dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli.
7.
Perhitungan distribusi (probabilitas) binomial: Untuk eksperimen binomial dimana probabilitas sukses = p dan probabilitas gagal q = 1 – p untuk setiap percobaan, maka probabilitas x sukses dari n percobaan ulang dirumuskan oleh P ( x, n) = C (n, x) · p x · qn – x
Petunjuk Khusus
127
127
hitam
128
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
128
orange
hitam
orange
Bab V Limit Fungsi
Sumber: http://i.imgur.com/sNclN02.jpg
diunduh pada tanggal 24 Maret 2014 pukul 13:36 WIB.
Pernahkah Anda memerhatikan speedometer kendaraan bermotor, baik sepeda motor mau pun mobil? Misalnya speedometer mobil terdapat angka 0 hingga 320. Apakah artinya? Itu artinya mobil tersebut memiliki kecepatan minimum 0 km/jam dan kecepatan maksimum 320 km/jam. Coba Anda bayangkan apakah mobil tersebut pernah mencapai kecepatan maksimum? Ternyata mobil tersebut tidak pernah mencapai kecepatan maksimum, hanya mendekati nilai maksimum tersebut, atau dalam bahasa matematika limit menuju nilai maksimum. Masih ingatkah Anda dengan konsep limit? Bagaimana penerapan konsep limit dalam kehidupan sehari-hari? Agar Anda dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut dan menguasai konsep limit fungsi, marilah pelajari bab berikut ini dengan antusias dan gembira.
Petunjuk Khusus
129
129
hitam
A
orange
Pengantar
Secara esensial, pembelajaran pada topik ini mengenalkan siswa mengenai konsep limit fungsi trigonometri, cara menentukan limit fungsi trigonometri, dan menyelesaikan konsep limit mendekati ketakhinggaan.
B
KI dan KD pada Materi Pokok Limit Fungsi Kompetensi Inti
Kompetensi Dasar
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
1.1
Menghayati dan mengamalkan agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
2.1
Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan. Menunjukkan kemampuan berkola borasi, percaya diri, tangguh, kemampuan bekerja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah.
3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural
3.10 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep dan sifat-sifat limit fungsi trigonometri dan nilai limit fungsi aljabar menuju ketakhinggaan dan menggunakan dalam pemecahan berbagai masalah.
2.2
ajaran
pada bidang kajian yang spesik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
130
4.8
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
130
Menyajikan dan mengilustrasikan konsep limit dalam konteks nyata.
hitam
C
orange
Alokasi Waktu
Topik materi ke-
D
Materi
Alokasi waktu
1
Limit fungsi trigonometri
8 JP
2
Limit mendekati tak hingga
6 JP
3
Ulangan harian
2 JP
Materi
1. Materi ke-1: Limit Fungsi Trigonometri (8 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep limit fungsi trigonometri.
2)
Menjelaskan sifat-sifat limit fungsi trigonometri.
3)
Menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara substitusi.
4)
Menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara penyederhanaan.
5)
Mendeskripsikan rumus limit fungsi trigonometri.
6)
Menentukan nilai limit dengan mengaplikasikan rumus limit fungsi trigonometri.
7)
Menerapkan konsep limit fungsi trigonometri dalam pemecahan masalah matematika.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-1 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai limit fungsi trigonometri, menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara substitusi, penyederhanaan, dan rumus limit fungsi trigonometri.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep limit fungsi trigonometri. b) Siswa dapat menjelaskan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. c) Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara substitusi. d) Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara penyederhanaan. e) Siswa dapat mendeskripsikan rumus limit fungsi trigonometri. f) Siswa dapat menentukan nilai limit dengan mengaplikasikan rumus limit fungsi trigonometri. g) Siswa dapat menerapkan konsep limit fungsi trigonometri dalam pemecahan masalah matematika.
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Limit Fungsi Trigonometri
Materi pada subbab limit fungsi trigonometri dibagi menjadi 4 pertemuan, Petunjuk Khusus
131
131
hitam
orange
yaitu pertemuan ke-1 menjelaskan tentang konsep limit fungsi trigonometri dan sifat-sifatnya; pertemuan ke-2 menjelaskan tentang menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara substitusi; pertemuan ke-3 menjelaskan tentang menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara penyederhanaan; pertemuan ke-4 menjelaskan tentang menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan menggunakan rumus limit fungsi trigonometri. (1) Pertemuan ke-1 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memperlihatkan beberapa bentuk limit fungsi. Misalnya lim( 2 x − 4) , lim( x + 3x − 4) , dan lim 2
x → 2
2 x + 2
. Guru mengajukan pertanyaan kepada siswa x + 1 mengenai pengertian dari limit fungsi. Limit suatu fungsi aljabar didensikan sebagai berikut. x → 2
•
x →4
lim f ( x) = L artinya jika x mendekati a, tetapi tidak sama dengan a, maka
x →a
nilai f ( x) mendekati L Guru kembali menginformasikan siswa bahwa suatu fungsi f ( x) memiliki limit untuk x mendekati a (ditulis x ⟶ a). Jika nilai f ( x) untuk mendekati a dari kiri ( x < a mendekat ke x = a) dan nilai f ( x) untuk x mendekati a dari kanan ( x > a mendekat ke x = a) mendekati nilai yang sama, misalnya L, maka berlaku lim f ( x) = lim+ f ( x) = lim f ( x) = L
x →a −
x →a
x →a
Guru meminta siswa untuk mengamati Tabel 5.1 pada buku siswa halaman 198. Berdasarkan Tabel 5.1 tersebut dapat diperoleh bahwa lim x = lim+ x = lim x = 2
x →2−
x →2
x →2
Agar siswa dapat mengingat kembali konsep limit fungsi, guru dapat memberikan soal latihan kepada siswa, misalnya Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut. Apakah nilai limitnya
terdenisi? • • • •
lim(3 x − 5)
x →2
lim( x 2 + 5 x − 6)
x →1
lim
x →3
2 x + 2 x − 1
x 2 − 9 lim x →3 x − 3
Jawaban yang harus dipahami guru adalah sebagai berikut. • lim(3 x − 5) = 3(2) − 5 = 6 − 5 = 1 x →2
•
132
lim( x 2 + 5 x − 6) = (1)2 + 5(1) − 6 = 1 + 5 − 6 = 0
x →1
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
132
hitam
• •
lim
x →3
2 x + 2 x − 1
=
2(3) + 2 (3) − 1
=
orange
6+2 3 −1
=
8 2
=4
x 2 − 9 (3) 2 − 9 9 − 9 0 lim = = = x →3 x − 3 (3) − 3 3 − 3 0
Guru dapat menginformasikan bahwa, tiga soal pertama bisa menentukan limit fungsi f ( x) dengan cara substitusi langsung, karena nilai limit tersebut
sudah terdenisi. Untuk soal terakhir nilai limit fungsi tidak bisa diperoleh 0 dengan substitusi langsung, karena diperoleh hasil dengan bentuk . Bentuk 0 0 merupakan bentuk tak tentu, sehingga untuk menentukan nilai limitnya 0 harus menggunakan langkah tertentu. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberikan kesempatan untuk mengajukan pertanyaan mengenai konsep limit dan menentukan nilai limit fungsi yang belum mereka pahami dengan baik. Kemudian guru menjelaskan sifat-sifat limit yang berlaku yang terdapat pada buku siswa, yaitu: • lim c = c, dengan c adalah konstanta x →a
• • • • • • •
lim x n = a n
x →a
lim c ⋅ f ( x) = c ⋅ lim f ( x)
x →a
x→a
lim [ f ( x ) ± g ( x ) ] = lim f ( x ) ± lim g ( x )
x →a
x →a
x →a
lim [ f ( x) ⋅ g ( x) ] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x)
x →a
lim
x→a
f ( x)
x →a g ( x )
lim f ( x)
= x →a
lim g ( x )
x →a
, dengan lim g ( x ) ≠ 0 x → a
x →a
lim [ f ( x )] = lim f ( x ) x→a x →a n
n
lim n f ( x) = n lim f ( x), dengan lim f ( x) > 0 dan n genap
x →a
x →a
x → a
Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan ke-1 ini guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan limit fungsi, misalnya
• •
Tentukanlah nilai limit fungsi berikut ini. 3 x + 20 x − 2 lim lim 2 • x →0 − x + 1 x →−5 x − 4 x − 5 lim
x →2
3 x − 6 5 x + 4
Kunci jawaban: x − 2 = −2 • lim x →0 − x + 1
•
•
lim
x →3
lim
2 x 2 − 21 x + 1 − 1
x →−5 x
3 x + 20 2
− 4x − 5
=
1 8 Petunjuk Khusus
133
133
hitam
•
lim
x →2
3 x − 6 5 x + 4
=0
orange
•
lim
x →3
2 x 2 − 21 x + 1 − 1
= −3
(2) Pertemuan ke-2 Guru menginformasikan mengenai beberapa bentuk limit fungsi 1 + sin 2 x trigonometri. Misalnya limcos 2 x , lim(sin x − cos x) , atau lim . x →0 x →π x →0 1 + 2 cos x Seperti dalam limit fungsi aljabar dengan x ⟶ a, penyelesaian dapat dilakukan dengan substitusi. Dalam limit fungsi trigonometri pun penyelesaian dapat dilakukan dengan substitusi nilai sudut x yang diketahui pada soal. Agar siswa dapat memahami mengenai cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara substitusi, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 5.1. Setelah siswa memahami konsep cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan nilai limit fungsi trigonometri, misalnya Dengan berdiskusi bersama teman sebangku, tentukanlah nilai dari limit fungsi berikut ini.
• • •
lim
x →0
cos x sin x − 3
lim+ cot x
x →0
lim (1 + cot x) x →
π
•
lim x →
•
π 3
lim x →
π 6
lim
•
x →
4
π 4
sin 4 x sin 2 x sin 2 2 x cos 2 x 4 − 4 cos 2 x sin 2 x
Setelah siswa mengerjakan semua soal yang diberikan, guru meminta beberapa siswa untuk mengerjakan soal-soal tersebut di depan kelas, kemudian menjelaskan kepada teman sekelasnya. Guru mengamati dan menilai pekerjaan siswa.
•
Jawaban harus dipahami guru adalah sebagai berikut. sin 4 x cos x 1 lim = −1 lim =− • π x →0 sin x − 3 3 x → sin 2 x 3
• •
lim+ cot x = +∞
•
x →0
x →
lim (1 + cot x) = 2 x →
lim
•
π
6
lim x →
4
π
π 4
sin 2 2 x cos 2 x
=
3 2
4 − 4 cos 2 x sin 2 x
=2
Setelah siswa dan guru mengamati dan mengeksplorasi konsep mengenai cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan substitusi, siswa diberikan kesempatan bertanya mengenai materi yang belum mereka pahami dengan baik.
134
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
134
hitam
orange
(3) Pertemuan ke-3 Guru menginformasikan mengenai beberapa bentuk limit fungsi trigonometri 0 yang jika nilai x disubstitusikan akan diperoleh bentuk tak tentu . Misalnya 0 lim x →
π 4
tan x − 1 cos x − sin x cos x 2
atau lim x →−
π 2
cos x sin 2 x
. Ketika bentuk tak tentu
0 0
muncul
setelah mensubstitusi langsung pada soal limit fungsi trigonometri, maka agar bisa menyelesaikannya adalah dengan menggunakan teknik penyederhanaan. Cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan cara penyederhanaan. • Langkah pertama, menentukan faktor paling sederhana yang menyebabkan pembilang maupun penyebut bernilai 0. • Langkah kedua, memfaktorkan pembilang maupun penyebut agar mengandung faktor yang sama. • Langkah ketiga, menyederhanakan faktor nol yang terdapat pada pembilang maupun penyebut. • Langkah keempat, mensubstitusi nilai x = a yang diberikan kepada fungsi trigonometri yang tersisa. Agar siswa dapat mengaplikasikan keempat langkah penyelesaian tersebut, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 5.1 secara mandiri. Guru berkeliling mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan. Selanjutnya guru menginformasikan mengenai rumus penjumlahan atau selisih sinus dan kosinus serta rumus sudut ganda yang akan dipelajari dalam Matematika Peminatan kelas XII, sebagai berikut Rumus penjumlahan atau selisih sinus dan kosinus
• • • • • •
A + B A − B cos 2 2 A + B A − B sin A − sin B = 2 cos sin 2 2 A + B A − B cos A + cos B = 2 cos cos 2 2 A + B A − B cos A − cos B = −2 sin sin 2 2 sin A + sin B = 2 sin
Rumus sudut ganda sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2 α – sin2 α = (cos α + sin α )(cos α – sin α ) = 1 – 2 sin2 α = 2 cos 2 α – 1
Agar siswa lebih memahami mengenai cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri dengan penyederhanaan, guru dapat menjelaskan Contoh Soal 5.2. Guru juga dapat memberikan contoh soal yang serupa dengan Contoh Petunjuk Khusus
135
135
hitam
orange
Soal 5.2 yang lebih bervariasi. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberikan kesempatan untuk bertanya mengenai materi yang belum dipahami dengan baik. Setelah siswa memahami cara menentukan nilai limit fungsi trigonometri, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan menentukan nilai limit fungsi trigonometri, misalnya
• •
Selesaikan limit-limit berikut dengan cara menyederhanakan. 1 − cos 2 x 1 − sin 2 x lim • lim x →0 1 − cos 4 x x →0 cos 2 2 x lim x →
π 4
1 − 2 sin 2 x cos x − sin x
(4) Pertemuan ke-4 Guru menginformasikan mengenai beberapa bentuk limit fungsi trigonometri. Misalnya lim
sin 2 x
1 − cos 4 x
. Siswa diminta untuk x 2 sin 2 x 0 mengerjakan soal tersebut apakah berbentuk atau tidak. lim akan x →0 sin x 0 0 berbentuk , namun akan merasa kesulitan jika menyelesaikan menggunakan 0 x →0
sin x
atau lim
x →0
teknik penyederhanaan. Sehingga untuk menyelesaikannya dapat dilakukan dengan menggunakan teknik penyederhanaan digabung dengan rumus dasar limit trigonometri. Selanjutnya guru menunjukkan rumus dasar limit fungsi trigonometri sebagai berikut sin x tan x • lim =1 • lim =1 x →0 x x →0 x
•
lim
x →0
x
sin x
=1
•
lim
x →0
x
tan x
=1
Kemudian guru meminta siswa berdiskusi bersama teman sebangkunya sin x untuk mengamati dan memahami mengenai pembuktian rumus lim =1 x →0 x x tan x x = 1 serta rumus lim dan lim = 1 dan lim =1. x →0 sin x x →0 x x →0 tan x Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah pembuktian rumus dasar limit fungsi trigonometri di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Agar siswa lebih memahami mengenai cara menentukan nilai limit dengan menggunakan rumus limit fungsi trigonometri, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 5.3. Selanjutnya siswa bersama teman sebangkunya diminta untuk mempelajari kolom Ayo Kerjakan Soal Seleksi dengan cara 136
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
136
hitam
orange
berdiskusi. Berikanlah siswa kesempatan untuk bertanya mengenai konsep yang belum mereka pahami dengan benar. Setelah siswa memahami cara menentukan nilai limit dengan menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan konsep tersebut, misalnya Selesaikan limit-limit berikut.
• •
lim
x →0
lim
1 − cos 6 x
•
x 2
cos 4 x − cos 2 x
•
x 2
x →0
lim
sin ( x 2 − 4) x − 2
x → 2
lim
x →1
tan (1 − x) x3 − 1
Kunci jawaban:
• •
lim
x →0
lim
1 − cos 6 x x 2
= 18
cos 4 x − cos 2 x
x →0
x
2
• = −6
•
lim
sin ( x 2 − 4) x − 2
x → 2
lim
x →1
tan (1 − x) x − 1 3
=4
=−
1 3
Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini dengan cara yang istimewa, guru menginformasikan bahwa ketika menyelesaikan permasalahan
limit fungsi dengan mengidentikasi apakah limit fungsi tersebut dapat diselesaikan dengan cara substitusi langsung, atau harus disederhanakan terlebih dahulu, kita dapat menilai seberapa kritisnya kita berpikir, baik masalah matematika maupun masalah di lingkungan sekitar kita. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 8. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 5.1 sampai dengan Latihan 5.3 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 6 pada buku siswa. 3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis
b) Media: grak 4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 198-210. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
Petunjuk Khusus
137
137
hitam
orange
2. Materi ke-2: Limit Mendekati Tak Hingga (6 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep limit fungsi menuju ketakhinggaan.
2)
Menentukan nilai limit fungsi aljabar menuju ketakhinggaan.
3)
Menerapkan konsep limit fungsi menuju ketakhinggaan dalam memecahkan masalah matematika.
4)
Menerapkan konsep limit fungsi menuju ketakhinggaan dalam memecahkan masalah kehidupan nyata.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-2 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman
∞
yang jelas mengenai limit fungsi menuju ketakhinggaan, menyelesaikan bentuk , ∞ menyelesaikan bentuk ∞ – ∞, dan aplikasi limit fungsi aljabar di x ⟶ ∞.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep limit fungsi menuju ketakhinggaan. b) Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi aljabar menuju ketakhinggaan. c) Siswa dapat menerapkan konsep limit fungsi menuju ketakhinggaan dalam memecahkan masalah matematika. d) Siswa dapat menerapkan konsep limit fungsi menuju ketakhinggaan dalam memecahkan masalah kehidupan nyata.
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Limit Mendekati Tak Hingga
Materi pada subbab limit mendekati tak hingga dibagi menjadi 3 pertemuan, yaitu pertemuan ke-5 menjelaskan tentang cara menyelesaikan bentuk
∞ , pertemuan ke-6 menjelaskan tentang cara menyelesaikan bentuk ∞ – ∞, ∞ pertemuan ke-7 menjelaskan tentang aplikasi limit fungsi aljabar di x → ∞. (1) Pertemuan ke-5 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat mengajukan pertanyaan menarik yang berkaitan dengan materi yang akan dibahas. Pertanyaan menantang:
Jumlah penduduk di sebuah kota kecil t tahun dari sekarang ditaksir dan dapat dinyatakan oleh fungsi berikut. N = 30.000 +
10.000 (t + 2) 2
Berapa perkiraan jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat lama di masa depan? 138
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
138
hitam
orange
Setelah pertanyaan menarik diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Kemudian guru menyatakan bahwa masalah tersebut dapat dijawab siswa setelah memahami konsep limit mendekati ketakhinggaan sepenuhnya. Setelah siswa termotivasi dengan pertanyaan menarik, maka pembelajaran berikutnya dapat berlangsung dengan menyenangkan. Guru menginformasikan bahwa:
•
Jika fungsi f ( x) mendekati L1 ketika x mendekati positif tak hingga, maka dapat ditulis lim f ( x) = L1 x →∞
•
Jika fungsi f ( x) mendekati L2 ketika x mendekati negatif tak hingga, maka dapat ditulis lim f ( x) = L2 x →−∞
Agar dapat memahami bagaimana nilai limit fungsi aljabar untuk x ⟶ ∞, siswa diminta mengerjakan Kegiatan 5.2 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan. Pada Kegiatan 5.2 jawaban yang diharapkan adalah sebagai berikut • Untuk x yang semakin besar nilai f ( x) akan semaki mendekati nol. 1 • Berdasarkan data pada Tabel 5.2 diperoleh bahwa lim = 0 . x →∞ x 2 a a • lim = 0, lim = 0, dan lim 2 = 0 x →∞ x x →∞ x x →∞ x Guru menginformasikan bahwa dari Kegiatan 5.2 diperoleh teorema berikut. 1 1 lim n = 0 dan lim n = 0, dengan n ∈ A x →∞ x x →−∞ x Untuk memperkuat pemahaman siswa mengenai penyelesaian limit fungsi berbentuk
∞ , guru dapat menjelaskan Contoh Soal 5.4. Pada Contoh Soal ∞
5.4 guru dapat memberikan informasi penting bagi siswa bahwa strategi untuk menyelesaikan kasus
∞ adalah dengan mengalikan pembilang maupun ∞
1 penyebutnya dengan eksponen yang sama, m dengan xm adalah eksponen dari x suku tertinggi penyebut. Dengan melihat hasil-hasil pada Contoh Soal 5.4, siswa diminta menemukan cara singkat untuk dapat mengerjakan limit fungsi polinomial berbentuk lim
f ( x )
x →∞ g ( x )
atau lim
f ( x)
x →−∞ g ( x )
dengan melakukan Kegiatan 5.3 dengan
cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan.
Petunjuk Khusus
139
139
hitam
orange
Dari Kegiatan 5.3 siswa memperoleh langkah-langkah penyelesaian kasus
∞ dengan cara singkat, yaitu sebagai berikut. ∞ • • •
Langkah 1: Sederhanakan fungsi dalam limit. Cukup dengan menulis suku tertinggi pembilang dan penyebutnya saja. Langkah 2: Sederhanakan eksponen x pada pembilang dan penyebut. Langkah 3: Hitung nilai limit dengan menggunakan teorema, yaitu 1 1 lim n = 0 atau lim n = 0 . x →∞ x x →−∞ x Untuk memperkuat pemahaman siswa mengenai cara menentukan nilai
limit fungsi yang berbentuk
∞ , guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 5.5 ∞
dan Contoh Soal 5.6. Pada Contoh Soal 5.5 dan Contoh Soal 5.6 siswa dapat menerapkan langkah-langkah penyelesaian kasus
∞ dengan cara singkat. ∞
(2) Pertemuan ke-6 Untuk memulai pembelajaran, guru dapat mengulas kembali materi pada pertemuan sebelumnya dengan memberikan soal, misalnya Tentukanlah nilai dari limit-limit berikut.
• •
•
•
lim
x →−∞
lim
x →−∞
4 x + 3
•
5 − 2 x 4 x − x3
(3 − 4 x)3
2 x3 + x 2 + 5
Jawaban yang harus dipahami guru adalah sebagai berikut. 1 4 x 3 + 4 x + 3 4 x + 3 x x x lim = lim × = lim x →−∞ 5 − 2 x x →−∞ 5 − 2 x 1 x →∞ 5 2 x − x x x 3 4+ x = 4 + 0 = −2 = lim x →∞ 5 −2 0−2 x 1 4 x x3 − 3 3 3 4 x − x3 4 x − x 3 x x x lim = lim 3 × = lim 3 2 x →−∞ 2 x 3 + x 2 + 5 x →−∞ 2 x + x 2 + 5 x →∞ 2 x 1 5 x + 3+ 3 3 3 x x x x 4 x 2 1
= lim
x →∞
140
lim
x →∞
(3 x − 2)3
2+
x
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
140
−1 +
5 x
3
=
0 −1 2+0+0
=−
1 2
hitam
•
orange
(3 x − 2)3
3 x − 2 lim = lim 3 x →∞ (3 − 4 x ) x→∞ 3 − 4 x
3
3
1 3 x 2 − 3 x − 2 x x x = lim × = lim 1 4 x →∞ 3 − 4 x x →∞ 3 x − x x x
3
3
2 3 − 3 − 0 3 x = lim = x →∞ 3 0 − 4 −4 x 3
27 3 = =− 64 −4 Guru memberikan pertanyaan kepada siswa, bagaimana jika x → ∞ disubstitusi langsung
pada
bentuk
–
∞
∞.
)
(
lim 2 x − 1 − 4 x 2 − 6 x − 5 ?
Siswa
akan
memperoleh
Guru menginformasikan bahwa untuk menyelesaikan bentuk
lim ( f ( x) − g ( x) ) = ∞ − ∞ , siswa diminta untuk mengamati terlebih dahulu
x →∞
mengenai Contoh Soal 5.7, kemudian setiap langkah dalam penyelesaian tersebut didiskusikan bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Berdasarkan Contoh Soal 5.7 guru menginformasikan bahwa prinsip utama
∞ agar limitnya dapat diselesaikan adalah ∞
mengubah bentuk ∞ – ∞ ke bentuk
dengan menggunakan bentuk sekawan, yang memanfaatkan perkalian istimewa yaitu (a + b)(a – b) = a2 – b2. Dengan menggunakan bentuk kawan tercapai dua tujuan sekaligus, yaitu meniadakan tanda akar kuadrat pada pembilang sehingga kita bisa menyederhanakan suku-suku sejenis pada pembilang dan sekaligus mengubah bentuk
∞ – ∞
menjadi bentuk
∞ yang dapat diselesaikan. ∞
Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai cara menyelesaikan limit fungsi yang berbentuk ∞ – ∞ yang belum mereka pahami dengan baik. Setelah siswa memahami cara menentukan nilai limit dengan menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan konsep tersebut, misalnya Hitunglah nilai limit berikut ini.
• •
lim
( x
lim
(
x →∞
x →∞
2
+x−x
x + 1 −
x
)
•
)
•
( x + x − x − x ) lim ( x ( x − 2) − x − 2 ) lim
2
2
x →∞
2
x →∞
Petunjuk Khusus
141
141
hitam
orange
Kunci jawaban:
•
lim
( x
lim
(
x →∞
• • •
x →∞
2
)
+x−x =
x + 1 −
1 2
)
x =0
( x + x − x − x ) = 1 lim ( x ( x − 2) − x − 2 ) = −1 lim
2
2
x →∞
2
x →∞
(3) Pertemuan ke-7 Guru mengajukan kembali pertanyaan menarik yang telah disampaikan pada pertemuan-pertemuan sebelumnya. Pertanyaan menantang:
Jumlah penduduk di sebuah kota kecil t tahun dari sekarang ditaksir dan dapat dinyatakan oleh fungsi berikut. N = 30.000 +
10.000 (t + 2) 2
Berapa perkiraan jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat lama di masa depan? Penyelesaian masalah tersebut seperti pada Contoh Soal 5.8 . Dalam jangka waktu yang sangat lama dari sekarang, bisa dianggap t ⟶ ∞. Dengan demikian jumlah penduduk dalam jangka waktu lama adalah
10.000
(t + 2) 2
N = lim 30.000 + t →∞
⇔
= 30.000 +
10.000
⇔
= 30.000 +
10.000
∞2 ∞
= 30.000
Jadi, jumlah penduduk kota dalam jangka waktu yang sangat lama adalah 30.000 jiwa. Berikanlah siswa waktu untuk memahami penyelesaian masalah tersebut. Kemudian guru meminta siswa untuk berdiskusi bersama teman sebangkunya untuk mengamati dan memahami Contoh Soal 5.8b. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang dilakukan siswa. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian Contoh Soal 5.8b di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang penjelasan yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Kemudian guru menginformasikan bahwa dalam konsep limit fungsi kita harus konsisten dalam menggunakan simbol-simbol limit yang berlaku, misalnya
notasi tak hingga (∞) dan notasi negatif tak hingga (–∞). Dalam penyelesaian limit fungsi ada berbagai cara yang digunakan, seperti menggunakan rumus 142
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
142
hitam
orange
limit fungsi trigonometri, substitusi langsung, atau cara singkat. Rasa ingin tahu dalam diri akan mendorong kita untuk mengerjakan soal menggunakan berbagai cara. Dengan kebiasaan mengerjakan soal dengan berbagai cara itu, kita akan mengetahui cara mudah atau cara tercepat untuk menyelesaikan soalsoal tersebut. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 5 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 5.4 sampai dengan Latihan 5.8 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 2 pada buku siswa. 3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 210-223. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
3. Materi ke-3: Ulangan Harian (2 JP) I.
1.
Pilihan Ganda
lim
x → 0
1 − cos x sin x
2
= ....
3.
A. 0 1 B. 4 C. 2.
D.
1
E.
2
Nilai dari
1 2 sin x 2 Nilai lim x →0 x tan x
4.
2
= ....
A. –2
D.
B. –1 1 C. – 2
E.
x →−2
sin 2 ( x + 2 )
A. –4 B. –3 C. 0
1 2
( x − 4 ) tan ( x + 2 ) lim
lim
x →0
A.
1 2
x tan 5 x
cos 2 x − cos 7 x 1 9
1 B. – 9
1
C.
D. E.
4 ∞
D.
2 – 9
E.
0
= ....
= ....
2 9 Petunjuk Khusus
143
143
hitam
5.
lim x →
π 4
x − π sin 3 x − 3 π 4 4 = .... 2 (1 − sin 2 x )
A. 0 B. – C. 6.
3
E.
2
8.
lim x →
π 2
2
1 − cos 2 x
x 2 cot x −
π 3
4 ( x − π ) cos 2 x
π ( π − 2 x ) tan x − π 2
A. –2 B. –1 C. 0
3 – 4 1
9.
4
lim
x → y
3
lim
x → 0
D.
orange
D. E. tan x − tan y
x 1 − y (1 + tan x tan y )
A. –1 B. 1 C. 0
= ....
A. 1
D.
– 3
B. 0
E.
−
10. lim
3
C. – 2
( x + x − 2 ) sin ( x − 1)
1 + tan x tan y
x 4
A. 0
= ....
tan x − tan y
1 − cos 2 x − cos x sin 2 x
x →0
1 2
D. y E. – y
Rumus: tan ( x − y ) =
3
= ....
= ....
D.
1
E.
–1
2
7.
lim
x 2
x →1
− 2x + 1
= ....
A. 4
D.
B. 3
E.
B.
1 – 4 1 – 2
C.
1 4 1 2
C. 0
E
Materi Pengayaan
Siswa yang cepat dalam menguasai materi pembelajaran tentunya akan memiliki kelebihan waktu yang harus dimanfaatkan siswa. Jika kelebihan waktu tersebut tidak dimanfaatkan dengan kegiatan-kegiatan positif, maka dapat menimbulkan hal-hal negatif yang dapat mengganggu siswa lain yang sedang konsentrasi dan berpartisipasi dalam kegiatan pembelajaran. Sehingga guru dapat memberikan pengayaan yang berupa soal maupun materi. Contoh soal pengayaan:
1.
2.
144
Hitunglah lim
x →0
x(cos 2 6 x − 1)
sin 3 x ⋅ tan 2 2 x
Tentukanlah nilai lim t →2
.
(t 2 − 5t + 6)sin(t − 2) (t 2 − t − 2)2
.
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
144
hitam
3.
Tunjukkan apakah nilai dari lim x →1
Kunci jawaban:
1.
lim
x →0
x(cos 2 6 x − 1)
sin 3 x ⋅ tan 2 2 x
lim
3.
Nilai dari lim
(t 2 − t − 2) 2
t → 2
x →1
F
x − 1
ada? Jika ada, tentukan nilainya.
= −3
(t 2 − 5t + 6)sin(t − 2)
2.
x − 1
orange
x − 1 x − 1
=−
1 9
tidak ada.
Remedial
Jika dari hasil evaluasi masih terdapat siswa yang belum memenuhi standar minimal, maka guru melaksanakan kegiatan remedial. Kegiatan ini diawali dengan remedial teaching, yaitu guru memberi pengulangan untuk materi-materi yang kompetensinya belum tercapai. Setelah itu guru melaksanakan evaluasi kembali dengan memberikan sejumlah soal yang berkaitan dengan bahan ajar yang diremedi. Contoh soal remedial:
1. 2. 3.
Hitunglah nilai limit-limit berikut ini. 1 − sin x 1 + cos 2 x lim 4. lim x →0 1 + cos 2 x x →0 1 + 2 cos x lim
1 − cos x
x →0
lim
x →0
lim
5.
sin x
2 x 2 + 5 x − 3
x →∞
x 2 + 7 x + 6
mx
sin nx
Penyelesaian:
1.
2.
lim
1 + cos 2 x
x →0 1
lim
x →0
+ 2 cos x
1 − cos x sin x
=
1 + cos 2(0) 1 + 2 cos(0)
= lim = lim
1+ 2
=
2 3
1 + cos x
1 − cos x 2
+ cos x)
sin 2 x
= lim
x →0 sin x (1
x →0 1
×
sin x
x →0 sin x (1
=
1+1
1 − cos x 1 + cos x
x →0
= lim
=
+ cos x)
sin x
+ cos x
sin 0 1 + cos 0
=0 Petunjuk Khusus
145
145
hitam
3.
lim
x →0
mx
sin nx
= lim
mx
= lim
mx
= lim
nx
x →0 sin nx
x →0 sin nx
x →0
= 1× lim
4.
1 − sin x
x →0 1
+ cos 2 x
sin nx m m n
=
=
× × ×
mn mn mn mn m n
n
1 − sin 0 1 + cos 2(0) 2 x 2
2 x + 5 x − 3 2
5.
lim
x →∞
x 2 + 7 x + 6
2
= lim x2 x →∞
x
x 2
=
+ +
1− 0 1+1 5 x 2
x 7 x
x 2
− +
=
1 2
3 x2 6 x2
5 3 − 2 x x = lim 7 6 x →∞ 1+ + 2 x x 2+0−0 = =2 1+ 0 + 0 2+
G
Penilaian
Untuk menguji pemahaman siswa atas konsep Bab V ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.
Suplemen uji mandiri, untuk melatih siswa mengerjakan soal secara mandiri. Terdiri atas soal-soal pilihan ganda dan soal-soal uraian.
2.
Kegiatan diskusi, bertujuan untuk memperoleh pemahaman yang lebih baik mengenai suatu masalah atau memecahkannya secara bersama-sama. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 27.
3.
Tugas proyek, untuk menilai keterampilan siswa dalam hal kemampuan merencanakan, merancang, dan menyelesaikan pemecahan masalah yang relevan dalam kehidupan seharihari secara berkelompok dan menerapkan hasil pembelajaran. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 31.
4.
Tugas portofolio, berupa tugas membuat rangkuman dari semua kegiatan yang telah dikerjakan dalam satu bab dan mencari literatur-literatur untuk mengetahui dan mengembangkan pengetahuan. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 33.
146
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
146
orange
hitam
H
orange
Penutup
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan konsep limit fungsi, disajikan sebagai berikut. 1.
lim f ( x) = L artinya jika x mendekati a, tetapi tidak sama dengan a, maka nilai f ( x)
x → a
mendekati L 2.
Sifat-sifat limit a. b. c. d. e. f.
g. h. 3.
lim x n = a n
x →a
lim c ⋅ f ( x) = c ⋅ lim f ( x)
x →a
x→a
lim [ f ( x) ± g ( x) ] = lim f ( x) ± lim g ( x)
x →a
x →a
x →a
lim [ f ( x) ⋅ g ( x) ] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x)
x →a
lim
x→a
f ( x)
x →a g ( x )
=
lim g ( x )
, dengan lim g ( x ) ≠ 0 x → a
x →a n
lim [ f ( x) ]
x →a
lim f ( x)
x →a
x →a
= lim f ( x) x→a
n
lim n f ( x) = n lim f ( x), dengan lim f ( x) > 0 dan n genap
x →a
x →a
x → a
Rumus dasar limit fungsi trigonometri a. b.
4.
lim c = c, dengan c adalah konstanta
x →a
lim
x →0
lim
x →0
sin x x x
sin x
=1
c.
=1
d.
lim
x →0
lim
x →0
tan x x x
tan x
=1 =1
Teorema limit lim
1
x →∞ x n
= 0 dan lim
x →−∞
1 xn
= 0, dengan n ∈ A
Petunjuk Khusus
147
147
hitam
148
Buku Guru Matematika un tuk SMA/MA Kelas XI
148
orange
hitam
orange
Bab VI Turunan Fungsi Trigonometri
Sumber: http://img.directindustry.de/images_di/photo-g/induktoren-elektronik-58872-2827213.jpg
diunduh pada tanggal 19 Maret 2014 pukul 09:03 WIB.
Induktor adalah salah satu komponen elektronika dasar yang digunakan dalam rangkaian listrik dimana arus dan tegangannya berubah-ubah. Hal ini dikarenakan kemampuan induktor dalam memproses arus bolak-balik. Tegangan yang melalui induktor ( V L) tergantung pada laju dI perubahan arus listrik . Persamaan arus ( I ) merupakan fungsi trigonometri. dt Dapatkah Anda menyebutkan fungsi lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi trigonometri? Agar Anda dapat mengetahui fungsi yang lainnya serta dapat menghubungkan dengan turunan fungsi trigonometri, mari pelajari bab ini dengan antusias dan menarik.
Petunjuk Khusus
149
149
hitam
A
orange
Pengantar
Secara esensial, pembelajaran pada topik ini mengenalkan siswa mengenai konsep turunan fungsi trigonometri, turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b, turunan fungsi parameter, turunan persamaan parameter, titik stasioner, nilai optimum A sin x + B cos x, dan aplikasi turunan fungsi trigonometri.
B
KI dan KD pada Materi Pokok Turunan Fungsi Trigonometri Kompetensi Inti
Kompetensi Dasar
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
2.1 Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan 2.2 Menunjukkan kemampuan berkolaborasi, percaya diri, tangguh, kemampuan bekerja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah.
3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural
3.11 Mendeskripsikan konsep turunan fungsi trigonometri untuk menurunkan sifat-sifatnya serta menggunakannya dalam memecahkan masalah. 3.12 Menganalisis konsep dan sifat turunan fungsi trigonometri dan menerapkannya untuk menentukan titik stasioner (titik maksimum, titik minimum, dan titik belok).
pada bidang kajian yang spesik sesuai denganbakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
150
4.9 Merencanakan dan melaksanakan strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang turunan fungsi trigonometri. 4.10 Menyajikan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri.
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
150
hitam
C
orange
Alokasi Waktu
Topik materi ke-
D
Materi
Alokasi waktu
1
Konsep turunan fungsi trigonometri
10 JP
2
Titik-titik stasioner
4 JP
3
Ulangan harian
2 JP
Materi
1. Materi ke-1: Konsep Turunan Fungsi Trigonometri (10 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep turunan pada fungsi trigonometri.
2)
Menggunakan konsep turunan fungsi trigonometri dalam memecahkan masalah matematika.
3)
Menentukan turunan dari fungsi implisit.
4)
Mendeskripsikan turunan pada persamaan parameter.
5)
Mengaplikasikan konsep turunan fungsi trigonometri dalam memecahkan masalah kehidupan nyata.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-1 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai turunan dari keenam fungsi dasar trigonometri, turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b, turunan fungsi implisit, turunan dari persamaan parameter, serta aplikasi turunan fungsi trigonometri.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep turunan pada fungsi trigonometri. b) Siswa dapat menggunakan konsep turunan fungsi trigonometri dalam memecahkan masalah matematika. c) Siswa dapat menentukan turunan dari fungsi implisit. d) Siswa dapat mendeskripsikan turunan pada persamaan parameter. e) Siswa dapat mengaplikasikan konsep turunan fungsi trigonometri dalam memecahkan masalah kehidupan nyata.
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Konsep Turunan Fungsi Trigonometri
Materi pada subbab konsep turunan fungsi trigonometri dibagi menjadi 5 pertemuan, yaitu pertemuan ke-1 menjelaskan tentang turunan dari keenam fungsi dasar trigonometri; pertemuan ke-2 menjelaskan tentang turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b; pertemuan ke-3 menjelaskan tentang turunan
Petunjuk Khusus
151
151
hitam
orange
fungsi implisit; pertemuan ke-4 menjelaskan tentang turunan dari persamaan parameter; pertemuan ke-5 menjelaskan tentang aplikasi turunan fungsi trigonometri. (1) Pertemuan ke-1 Sebelum siswa memulai mempelajari bab ini, sebaiknya siswa mengerjakan terlebih dahulu uji kemampuan prasyarat bab VI pada buku latihannya. Jika siswa dapat mengerjakannya dengan baik dan tanpa kesulitan, maka akan memudahkan siswa untuk mempelajari dalam bab ini. Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat mendemonstrasikan langkah-langkah untuk menentukan turunan dari fungsi f ( x) = sin x. • Langkah 1: Menentukan f ( x + h) • Langkah 2: Menentukan selisih f ( x + h) – f ( x) f ( x + h) − f ( x)
•
Langkah 3: Menentukan
•
Langkah 4: Menyederhanakan f ( x
h
menyebabkan masalah limit
•
0 0
+ h) – f ( x) sehingga faktor h yang
bisa disederhanakan
Langkah 5: Mensubstitusi nilai h = 0 untuk memperoleh hasil akhir
Sehingga turunan dari f ( x) = sin x adalah f '( x) = cos x, dua notasi lainnya df d (sin x ) adalah: = cos x atau = cos x . Setelah memahami langkah-langkah dx dx menentukan turunan dari fungsi f ( x) = sin x, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 6.1 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang dilakukan oleh siswa. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah untuk menentukan turunan fungsi f ( x) = cos x di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Kesimpulan yang diharapkan dari Kegiatan 6.1 adalah sebagai berikut.
•
Turunan dari f ( x) = cos x adalah f '( x) = –sin x, dua notasi lainnya adalah: df dx
= − sin x atau
d (cos x ) dx
= − sin x
Kemudian guru mendemonstrasikan langkah-langkah menentukan turunan dari fungsi f ( x) = tan x. Sehingga diperoleh turunan dari f ( x) = tan x adalah f '( x) df d (tan x) = sec2 x, dua notasi lainnya adalah: = sec2 x atau = sec2 x . Siswa dx dx diminta untuk mengerjakan Kegiatan 6.2 secara mandiri. Pada Kegiatan 6.2 siswa diharapkan mampu menentukan turunan dari f ( x) = cot x, f ( x) = sec x, dan
152
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
152
hitam
orange
f ( x) = cosec x. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang dilakukan oleh siswa.
Kesimpulan yang diharapkan dari Kegiatan 6.2 adalah sebagai berikut.
•
Turunan dari f ( x) = cot x adalah f '( x) = –cosec2 x, dua notasi lainnya adalah: df dx
= − cosec x atau
d (cot x)
= − cosec x dx dari f ( x) = sec x adalah f '( x) = sec x tan x, dua notasi lainnya
•
Turunan
•
adalah: df = sec x tan x atau d (sec x ) = sec x tan x dx dx Turunan dari f ( x) = cosec x adalah f '( x) = –cosec x cot x, dua notasi lainnya df d (cosec x) adalah: = − cosec x cot x atau = −cosec x cot x dx dx
Agar siswa lebih jelas memahami mengenai turunan fungsi dasar trigonometri, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.1 dan 6.2. Pada Contoh Soal 6.1 siswa dapat memahami mengenai turunan operasi aljabar fungsi trigonometri. Sedangkan Contoh Soal 6.2 siswa dapat memahami turunan dari operasi fungsi trigonometri untuk sudut tertentu. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran kali ini, guru menginformasikan bahwa apabila terdapat contoh atau rumus pada turunan fungsi trigonometri yang tidak dimengerti, kita dapat meminta bantuan teman untuk membantu memahami penjelasan tersebut. Sama halnya ketika ada teman yang meminta bantuan, sebaiknya kita membantu untuk memahamkannya. Oleh karena itu, akan terjalin suatu kerja sama dalam segala hal, baik dalam mempelajari matematika maupun dalam mengerjakan tugas kelompok. (2) Pertemuan ke-2
Guru mengingatkan kembali mengenai denisi aturan rantai yang telah dipelajari siswa dalam matematika wajib. • Jika y bisa dinyatakan dalam u dan u bisa dinyatakan dalam x, maka turunan y terhadap x, bisa dinyatakan dengan aturan rantai: dy dx
=
dy du
⋅
du dx
Guru mendemonstrasikan terlebih dahulu mengenai cara menurunkan y = sin (ax + b), dengan a dan b adalah konstanta. Sehingga diperoleh turunan dari y = sin (ax + b) adalah y' = a cos (ax + b). Agar mampu menggunakan aturan rantai untuk turunan fungsi trigonometri dengan sudut ax + b, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 6.3 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang dilakukan oleh siswa. Berdasarkan Kegiatan 6.3 diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Petunjuk Khusus
153
153
hitam
• • • • • •
orange
Jika a dan b adalah konstanta, maka: y = sin (ax + b) ⟹ y' = a cos (ax + b) y = cos (ax + b) ⟹ y' = – a sin (ax + b) y = tan (ax + b) ⟹ y' = a sec2 (ax + b) y = cot (ax + b) ⟹ y' = – a cosec2 (ax + b) y = sec (ax + b) ⟹ y' = a sec (ax + b) tan (ax + b) y = cosec (ax + b) ⟹ y' = – a cosec (ax + b) cot (ax + b)
Agar siswa lebih jelas memahami mengenai cara menentukan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.3a, b , dan c, sedangkan untuk Contoh Soal 6.3 d, e, dan f didiskusikan oleh siswa bersama teman sebangkunya. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian soal d, e, dan f di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b, misalnya Tentukanlah turunan dari fungsi berikut ini. • y
π = sin − 5 x 2
• y
= − cos ( 7 x + π )
• y
π = tan − 10 x 6
π x − 3 5 3 x π • y = sec + 2 6 π x • y = cosec + 6 11 •
y = cot
Kunci jawaban:
π π = sin − 5 x ⇒ y ' = −5 cos − 5 x 2 2 • y = − cos ( 7 x + π ) ⇒ y ' = 7 sin ( 7 x + π ) • y
π π = tan − 10 x ⇒ y ' = −10 sec2 − 10 x 6 6 1 π x 2 π x • y = cot − ⇒ y ' = cosec − 5 3 5 3 5 3 3 x π 3 x π 3x π • y = sec + ⇒ y ' = sec + tan + 2 2 6 2 6 2 6 1 π x π x π x • y = cosec + ⇒ y ' = − cossec + cot + 11 6 11 6 11 6 11 • y
154
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
154
hitam
orange
(3) Pertemuan ke-3 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat memperlihatkan beberapa bentuk fungsi eksplisit, misalnya y = 2 x2 + 3 x – 5 dan y = 3 sin 2 x, dan bentuk fungsi implisit, misalnya x2 + y2 = 4 dan 9 x2 + 4 y2 + 54 x – 8 y + 49 = 0. Untuk menurunkan dari suatu bentuk implisit yang diberikan, dapat dy menggunakan aturan rantai. Teknik untuk memperoleh dari bentuk implisit dx disebut turunan fungsi implisit. Agar siswa lebih jelas memahami mengenai turunan fungsi implisit, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.4a dan b. Pada Contoh Soal 6.1a dan b siswa dapat memahami langkah-langkah untuk menurunkan fungsi implisit. Siswa diminta untuk mendiskusikan Contoh Soal 6.4c dan d bersama teman sebangkunya. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah menentukan turunan implisit pada Contoh Soal 6.4c dan d di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi implisit, misalnya dy Tentukan dx dalam x dan y untuk setiap fungsi implisit berikut ini. • y – 4 x + 2 xy = 5 • y – 4 x + 2 xy2 = –3 • y – 4 x + 2 x2 y2 = –3 Kunci jawaban:
•
y 4 x + 2 xy = 5 ⇒
dy dx
=
−6 (1 + 2 x) 2 2
•
y 4 x 2 xy 2 3 ⇒
dy
•
y − 4 x + 2 x 2 y 2 = −3 ⇒
dy
dx
dx
=
4 2 y 2
2 y 2 2 y 4 4 − 4 xy 2 1 + 4 x 2 y
(4) Pertemuan ke-4 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat menginformasikan bahwa pada bab II siswa telah mempelajari persamaan parabola y2 = 4 px dapat dipenuhi oleh persamaan x = pt 2 dan y = 2 pt , dengan t merupakan parameternya. Oleh karena itu, persamaan x = pt 2 dan y = 2 pt disebut persamaan parameter dari y2 = 4 px. Jika diminta
Petunjuk Khusus
155
155
hitam
menentukan
orange
dy
dari persamaan parameter x = x(t ) dan y = y(t ), maka dengan dx menggunakan aturan rantai diperoleh dy dx
dy dt
=
⋅
dt dx
atau
dy dx
dy
=
dt dx
dt
Agar siswa lebih jelas memahami mengenai turunan fungsi parameter, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.4a . Pada Contoh Soal 6.4a siswa dapat memahami langkah-langkah untuk menurunkan fungsi parameter. Siswa diminta untuk mendiskusikan Contoh Soal 6.4b bersama teman sebangkunya. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah menentukan turunan parameter pada Contoh Soal 6.4b di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi, siswa diberi kesempatan untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan turunan fungsi parameter, misalnya Tentukan
dy
yang dinyatakan dalam t untuk fungsi-fungsi pada persamaan dx parameter berikut ini. • x = t 3 – t , y = 4 – t 2 • x = t 3, y = t 2 – t • x = 4t 2 – 4t , y = 1 – 4 t 2 Kunci jawaban:
dy
•
x t 3 t , y 4 t 2 ⇒
•
x = t 3 , y = t 2 − t ⇒
•
x = 4t 2 − 4t , y = 1 − 4t 2 ⇒
2t
dx 3t 2 1 dy 2t − 1 dx
=
3t 2 dy dx
=
−2t 2t − 1
(5) Pertemuan ke-5 Guru menginformasikan bahwa turunan fungsi trigonometri banyak diterapkan dalam pemecahan masalah baik dalam masalah matematika atau masalah kehidupan nyata, seperti laju perubahan, kecepatan, percepatan, hingga gerak harmonik.
156
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
156
hitam
orange
Misalnya pada permasalahan laju perubahan y = f ( x) terhadap x adalah
dy
dx yang dinyatakan dalam x. Agar siswa lebih memahami mengenai penerapan
turunan fungsi trigonometri dalam laju perubahan, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.6. Guru memberikan siswa waktu untuk bertanya mengenai laju perubahan yang belum siswa pahami dengan baik. Guru menjelaskan bahwa masalah kedua adalah menentukan kecepatan dan percepatan gerak partikel jika fungsi perpindahannya x = x(t ) diketahui. Dalam pelajaran sika siswa telah mengenal bahwa jika fungsi perpindahan suatu partikel x = x(t ) diketahui, maka kecepatan v = v(t ) dan percepatan a = a(t ) dapat ditentukan dengan menggunakan turunan.
•
Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi perpindahan. Untuk perpindahan x = x(t ), maka Kecepatan: v =
•
dx dt
Percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan atau turunan kedua dari fungsi perpindahan. dv
d 2x
atau a = 2 dt dt Agar siswa lebih memahami mengenai penerapan turunan fungsi trigonometri dalam kecepatan dan percepatan, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.7. Guru memberikan siswa waktu untuk bertanya mengenai kecepatan atau percepatan yang belum siswa pahami dengan baik. Percepatan: a =
Agar dapat mengaplikasikan konsep turunan fungsi trigonometri tersebut, siswa diminta untuk mengerjakan Latihan 6.7 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang dikerjakan siswa. Untuk mengakhiri pembelajaran kali ini, guru dapat memberikan info
mengenai tokoh matematika yang bernama Gottfried Wilhelm Leibniz. Guru menjelaskan bahwa Leibniz adalah matematikawan yang sangat berpengaruh di dunia kematematikaan. Selama menggeluti ilmu matematika, ia tidak pernah menyerah dan terus berusaha untuk menemukan dan menciptakan sesuatu yang baru yang berkaitan dengan matematika. Karena kegigihannya ilmu matematika dapat berkembang hingga sejauh ini. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 6 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 6.1 sampai dengan Latihan 6.7 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 20 pada buku siswa. Petunjuk Khusus
157
157
hitam
3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis b) Media: -
4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 230-247. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
2. Materi ke-2: Titik-Titik Stasioner (4 JP) a.
Indikator 1) 2) 3) 4) 5)
Mendeskripsikan konsep titik stasioner. Menentukan jenis titik stasioner. Menentukan titik optimum. Mendeskripsikan konsep nilai ekstrim. Menerapkan konsep titik stasioner.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-2 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai konsep titik stasioner, menentukan titik stasioner dan jenisnya, nilai maksimum dan minimum f ( x) = A sin x + B cos x, serta aplikasi titik stasioner.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep titik stasioner b) Siswa dapat menentukan jenis titik stasioner c) Siswa dapat menentukan titik optimum d) Siswa dapat mendeskripsikan konsep nilai ekstrim e) Siswa dapat menerapkan konsep titik stasioner
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Titik-titik Stasioner
Materi pada subbab titik-titik stasioner dibagi menjadi 2 pertemuan, yaitu pertemuan ke-6 menjelaskan tentang menentukan titik stasioner dan jenisnya serta nilai maksimum dan minimum A sin x + B cos x; pertemuan ke-7 menjelaskan tentang aplikasi titik stasioner. (1) Pertemuan ke-6 Guru menginformasikan Gambar 6.2 pada buku siswa mengenai cara menentukan titik stasioner dengan metode uji turunan pertama. Titik stasioner terjadi jika dipenuhi f '( x) = 0, yaitu titik dimana gradien kurva sama dengan nol. Metode 1: Uji turunan pertama pada kedua sisi di sebelah titik stasioner.
•
Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya terjadi perubahan tanda gradien:
158
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
158
orange
hitam
orange
− dari f '( x) > 0 menjadi f '( x) < 0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik maksimum − dari f '( x) < 0 menjadi f '( x) > 0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik minimum
•
Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya tidak terjadi perubahan tanda gradien: − keduanya f '( x) > 0 atau keduanya f '( x) < 0, maka jenis titik stasioner adalah titik belok.
Guru memberikan waktu kepada siswa untuk memahami mengenai titik stasioner. Selanjutnya guru menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.8. Pada Contoh Soal 6.8 siswa dapat memahami mengaplikasikan metode 1 untuk menentukan jenis titik stasioner. Guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya mengenai materi yang belum dipahami oleh siswa. Agar siswa lebih memahami mengenai pengaplikasian metode 1 dalam memecahkan masalah matematika, guru meminta siswa untuk mengerjakan Kegiatan 6.5 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang siswa lakukan. Selanjutnya guru menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.9. Pada Contoh Soal 6.9 siswa dapat mengamati dan memahami cara menentukan jenis titik stasioner dengan menggunakan metode 2. Kemudian pada saat penjelasan mengenai cara menentukan jenis titik stasioner menggunakan metode 2, guru menginformasikan mengenai teorema nilai balik. Teorema nilai balik
Misalkan y = f ( x) terdenisi pada selang a < x < b yang memuat c, f '( x) dan f ''( x) ada untuk setiap titik pada selang a < x < b. Misalkan juga f '(c) = 0, yang berarti x = c adalah absis titik stasioner. • Jika f ''(c) < 0 atau negatif, maka f (c) adalah nilai balik maksimum. • Jika f ''(c) > 0 atau positif, maka f (c) adalah nilai balik minimum. Guru meminta siswa bersama teman sebangkunya untuk mendiskusikan mengenai nilai maksimum dan minimum A sin x + B cos x. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai diskusi yang sedang dilakukan oleh siswa. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah menentukan nilai maksimum dan minimum di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Guru menyimpulkan nilai ekstrim untuk y = A sin x + B cos x adalah:
• •
Nilai minimum: ymin = − Nilai maksimum: ymaks =
A2 + B 2
A2 + B 2 Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru dapat menjelaskan mengenai kolom Ayo Kerjakan Soal Seleksi. Pada kolom ini siswa diharapkan mampu memahami soal-soal yang tidak rutin yang merupakan soal untuk masuk ke universitas. Petunjuk Khusus
159
159
hitam
orange
(2) Pertemuan ke-7 Guru menginformasikan bahwa aplikasi titik stasioner yang paling sering muncul tentulah untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum dari suatu besaran yang bisa dimodelkan dengan fungsi trigonometri. Nilai yang dimaksimumkan atau diminimumkan bisa besaran panjang, besaran luas, atau besaran lainnya. Guru menjelaskan menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 6.10 dan 6.11. Pada Contoh Soal 6.10 siswa dapat mengamati dan memahami salah satu contoh aplikasi titik stasioner pada masalah minimum dalam kehidupan seharihari. Sedangkan pada Contoh Soal 6.11 siswa dapat mengamati dan memahami salah satu contoh aplikasi titik stasioner pada masalah maksimum. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi masalah mengenai aplikasi titik stasioner, siswa diberikan waktu untuk bertanya mengenai materi yang belum siswa pahami dengan baik. Agar siswa lebih paham akan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi titik stasioner, siswa mengerjakan Latihan 6.11 secara mandiri. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa kerjakan. Guru kembali menginformasikan bahwa kita semua sudah mengetahui bahwa matematika lebih mudah dipahami ketika ada penerapan dalam kehidupan nyatanya. Sehingga secara tidak langsung matematika mengajarkan kita untuk bersikap realistis baik dalam menghitung konsep matematika ataupun dalam kehidupan sehari-hari. Setelah siswa memahami cara memecahkan masalah menggunakan konsep aplikasi titik stasioner, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan aplikasi titik stasioner, misalnya Biaya proyek sebuah perusahaan per harinya dinyatakan oleh fungsi 1.200 − 60 (dalam juta rupiah). Tentukan total biaya produksi f ( x ) = 3 x + x selama x hari agar diperoleh biaya minimum? Penyelesaian:
Biaya Proyek per hari
= 3 x +
1.200
Biaya Proyek per x hari = 3 x +
= 3+
− 60
x 1.200 x
1.200 2
−
1 − 60 × x 60
x x = 3 x ² − 60 x + 1.200
Agar biaya minimum, maka nilai stationer = 0 atau f '( x) = 0. f '( x) = 0
6 x – 60 = 0 6 x = 60 x = 10 hari 160
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
160
hitam
orange
Biaya minimum per hari
= 3 x +
1.200
− 60 x 1.200
= 3(10) +
10 = 30 + 120 − 60
− 60
= 90 Sehingga total biaya minimum proyek selama 10 hari adalah = 90 juta rupiah × 10 hari = 900 juta rupiah b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 4 pada buku siswa. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 6.8 sampai dengan Latihan 6.11 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 12 pada buku siswa. 3)
4)
Alat, bahan, dan media
a)
Alat dan bahan: kertas, alat tulis
b)
Media: -
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 249-269. b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
3. Materi ke-3: Ulangan Harian (2 JP) I.
Pilihan Ganda
1.
Turunan pertama dari f ( x) = sin2 (2 x – 3) adalah .... A. 2 cos (4 x – 6) B. 2 sin (4 x – 6) C. –2 cos (4 x – 6) D. –2 sin (4 x – 6) E. 4 sin (2 x – 3)
2.
D. –6 sin2 (5 – 4 x) sin (10 – 8 x) E. 6 cos2 (5 – 4 x) sin (10 – 8 x) 3.
Turunan pertama fungsi f ( x) = cos 3 (5 – 4 x) adalah = .... A. –12 cos2 (5 – 4 x) sin (5 – 4 x) B. 12 cos2 (5 – 4 x) sin (5 – 4 x) C. 12 sin2 (5 – 4 x) sin (5 – 4 x)
æ 3ö dy Jika y = cos çç ÷÷÷ , maka = .... çè x ø dx 3 3 3 sin A. -3 sin D. 2 x x x 3
3
x
x
B.
-
C.
- sin
sin 2
3
3
x
x
E.
3 x
sin
Petunjuk Khusus
161
3 x
161
hitam
4.
5.
Turunan dari tan (cos x) terhadap x adalah .... A. –sec2 (cos x) sin x B. sec2 (cos x) sin x C. sec2 (sin x) cos x D. sin x E. –sin x Jika y = cos x , maka A. –|sin x|
dy dx
orange
2
æ x ö÷ D. çç çè sin x ÷÷ø E.
8.
sin 2 x 2 | cos x | sin 2 x
D. -
9.
2 | cos x |
7.
Jika f ( x) = f '( x) g '( x)
D. E.
sin x x
dan f '( x) adalah
1 1 Jika f ( x) = sin 2 x + x dan g ( x) = x f '( x), 4 2
æ πö 2 C. sin x + 2 sin ççç x - ÷÷÷ sin x è 2ø
2 sin x –2 cos x
dan g ( x) =
πö
B. sin2 x – x sin 2
x
sin x
D. sin2 x + x sin 2 x
æ πö E. sin 2 x + çç x - ÷÷÷ sin 2 x çè 2ø , maka
10. Jika
f ( x)
=
a
tan
x
+
bx,
π π f 'çç ÷÷ = 3, dan f 'çç ÷÷ = 9, maka a + b = çè 4 ÷ø çè 3 ÷ø .... A. 0 D. 2 B. 1 E. π æ ö
= .... 2
æ sin x ö÷ A. -ççç ÷ è x ÷ø
2
æ x ö÷ B. -ççç ÷ è sin x ÷ø
C.
æ sin x ö÷2 C. çç çè x ÷÷ø
162
sin x
æ
ü æ 1ö ï 'çç x + ÷÷÷ - f '( x)ï ý = .... çè ï hø ï þ
A. sin 2 x B. –cos 2 x C. 2 cos 2 x
sin x + cos x
2 A. sin x - ççç x - ÷÷÷ sin 2 x è 2ø
Diberikan f ( x) = sin2 x. Jika f'( x) menyatakan turunan pertama dari f ( x), maka
ìï lim h ï íf x ®∞ ï ïî
Jika f ( x) =
æ πö maka g '( x) = çç x - ÷÷÷ = .... çè 2ø
E. |sin x| 6.
x3
æ πö turunan f ( x), maka f 'çç ÷÷ = .... çè 2 ÷ø A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0
= ....
B. –sin x C.
x sin 2 x - 2 sin 2 x
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
162
π 2
æ ö
hitam
E
orange
Materi Pengayaan
Siswa yang cepat dalam menguasai materi pembelajaran tentunya akan memiliki kelebihan waktu yang harus dimanfaatkan siswa. Jika kelebihan waktu tersebut tidak dimanfaatkan dengan kegiatan-kegiatan positif, maka dapat menimbulkan hal-hal negatif yang dapat mengganggu siswa lain yang sedang konsentrasi dan berpartisipasi dalam kegiatan pembelajaran. Sehingga guru dapat memberikan pengayaan yang berupa soal maupun materi. Contoh soal pengayaan:
1.
Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm dengan melipat lebarnya atas menjadi 3 bagian yang sama, seperti terlihat pada gambar. Jika θ menyatakan besar sudut dinding talang dengan bidang alasnya, maka tentukan nilai θ agar volume air yang tertampung maksimum. 1
dy Diketahui turunan ln x adalah x . Nyatakan dalam bentuk dx untuk turunan pertama dari fungsi implisit
2.
10 cm
10 cm
θ
θ 10 cm
x3 + 5 ln xy – 3 xy – 1 = –4
Tentukan titik-titik kritis pada fungsi implisit y2 – 2 x2 y + 4 x3 + 20 x2.
3.
Kunci jawaban:
1.
Sudut θ = 60°
2.
dy
3.
( x, y) = (0, 0), (–2, 4), dan (5, 25)
F
− (3 x 2 + 5 x −1 − 3 y −1 ) = dx (5 y −1 + 3 xy −2 )
Remedial
Jika dari hasil evaluasi masih terdapat siswa yang belum memenuhi standar minimal, maka guru melaksanakan kegiatan remedial. Kegiatan ini diawali dengan remedial teaching, yaitu guru memberi pengulangan untuk materi-materi yang kompetensinya belum tercapai. Setelah itu guru melaksanakan evaluasi kembali dengan memberikan sejumlah soal yang berkaitan dengan bahan ajar yang diremedi. Contoh soal remedial:
Tentukan turunan dari: 1.
f ( x) = sin x + 2 cos x
2.
f ( x) = x sin x
3.
f ( x ) = sin x
3.
f '( x ) =
Kunci jawaban:
1.
f '( x) = cos x – 2 sin x
2.
f '( x) = sin x + x cos x
cos x 2 sin x
Petunjuk Khusus
163
163
hitam
G
orange
Penilaian
Untuk menguji pemahaman siswa atas konsep Bab VI ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.
Suplemen uji mandiri, untuk melatih siswa mengerjakan soal secara mandiri. Terdiri atas soal-soal pilihan ganda dan soal-soal uraian.
2.
Kegiatan diskusi, bertujuan untuk memperoleh pemahaman yang lebih baik mengenai suatu masalah atau memecahkannya secara bersama-sama. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 27.
3.
Tugas proyek, untuk menilai keterampilan siswa dalam hal kemampuan merencanakan, merancang, dan menyelesaikan pemecahan masalah yang relevan dalam kehidupan seharihari secara berkelompok dan menerapkan hasil pembelajaran. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 31.
4.
Tugas portofolio, berupa tugas membuat rangkuman dari semua kegiatan yang telah dikerjakan dalam satu bab dan mencari literatur-literatur untuk mengetahui dan mengembangkan pengetahuan. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 33.
H
Penutup
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan turunan fungsi trigonometri, disajikan sebagai berikut. 1.
Turunan fungsi dasar trigonometri a. b. c.
d (sin x ) dx d (cos x ) dx d (tan x) dx
= cos x
d.
= − sin x
e.
= sec2 x
f.
d (sec x )
dx d (cot x)
2.
Turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b.
Jika a dan b adalah konstanta, maka:
3.
= sec x tan x
dx d (cosec x)
dx
= −cosec x cot x
= −cosec2 x
a.
y = sin (ax + b) ⟹ y' = a cos (ax + b)
b.
y = cos (ax + b) ⟹ y' = – a sin (ax + b)
c.
y = tan (ax + b) ⟹ y' = a sec2 (ax + b)
d.
y = cot (ax + b) ⟹ y' = – a cosec2 (ax + b)
e.
y = sec (ax + b) ⟹ y' = a sec (ax + b) tan (ax + b)
f.
y = cosec (ax + b) ⟹ y' = – a cosec (ax + b) cot (ax + b)
Titik stasioner terjadi jika dipenuhi f ’( x) = 0, yaitu titik dimana gradien kurva sama dengan nol. Metode 1: Uji turunan pertama pada kedua sisi di sebelah titik stasioner. a.
164
Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya terjadi perubahan tanda gradien:
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
164
hitam
b.
orange
1)
dari f '( x) > 0 menjadi f '( x) < 0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik maksimum
2)
dari f '( x) < 0 menjadi f '( x) > 0, maka jenis titik stasioner adalah titik balik minimum
Jika dari sisi sebelah kiri titik stasioner menuju ke sisi sebelah kanannya tidak terjadi perubahan tanda gradien: 1)
keduanya f '( x) > 0 atau keduanya f '( x) < 0, maka jenis titik stasioner adalah titik belok.
4.
Teorema nilai balik
Misalkan y = f ( x) terdenisi pada selang a < x < b yang memuat c, f '( x) dan f ''( x) ada untuk setiap titik pada selang a < x < b. Misalkan juga f '(c) = 0, yang berarti x = c adalah absis titik stasioner.
5.
a.
Jika f ''(c) < 0 atau negatif, maka f (c) adalah nilai balik maksimum.
b.
Jika f ''(c) > 0 atau positif, maka f (c) adalah nilai balik minimum.
Nilai ekstrim y = A sin x + B cos x. Untuk kurva y = A sin x + B cos x, dengan A dan B adalah konstanta, maka berlaku: Nilai minimum: ymin = − A2 + B 2 Nilai maksimum: ymaks =
A2 + B 2
Petunjuk Khusus
165
165
hitam
166
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
166
orange
hitam
orange
Bab VII Aplikasi Turunan Fungsi
Sumber: http://video.mit.edu/assets/img/channels/header/20120126204550.jpg
diunduh pada tanggal 18 Mei 2014 pukul 11:31 WIB.
Biaya produksi suatu jenis zat kimia, C ( g ), untuk memproduksi g gram zat kimia tersebut per 2 3
C ( g ) dalam dolar. Perusahaan hari dinyatakan oleh fungsi C ( g ) = 1.000 + 2 g + 3 g dengan bisa menjual zat kimia tersebut seharga $4 per gram. Berapa gramkah zat kimia tersebut seharga harus diproduksi per hari agar perusahaan bisa mencapai titik pulang-pokok ( break event point )? Dapatkah Anda menghitung berat zat kimia tersebut? Ingin tahu cara menghitungnya, ayo pelajarilah materi aplikasi turunan fungsi ini dengan gembira dan antusias.
Petunjuk Khusus
167
167
hitam
A
orange
Pengantar
Secara esensial, pembelajaran pada topik ini mengenalkan siswa mengenai konsep gradien dan persamaan garis singgung kurva, menaksir akar-akar persamaan aljabar dengan menggunakan rumus Newton-Raphson dan dengan menentukan nilai taksiran awal.
B
KI dan KD pada Materi Pokok Aplikasi Turunan Fungsi Kompetensi Inti
Kompetensi Dasar
1.
Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
1.1
Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2.
Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
2.1
3.
Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural
3.13 Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dan garis singgung kurva dalam menaksir nilai fungsi dan nilai akar-akar persamaan aljabar.
Melatih diri bersikap konsisten, rasa ingin tahu, bersifat kritis, jujur serta responsif dalam memecahkan masalah matematika, bidang ilmu lain, dan masalah nyata kehidupan. 2.2 Menunjukkan kemampuan berkolaborasi, percaya diri, tangguh, kemampuan beker ja sama dan bersikap realistis serta proaktif dalam memecahkan dan menafsirkan penyelesaian masalah.
pada bidang kajian yang spesik sesuai denganbakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4.
168
4.11 Menyajikan data dari situasi nyata, memilih variabel, dan mengomunikasikannya dalam bentuk model matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dan garis singgung kurva dalam menaksir nilai fungsi dan nilai akar-akar persamaan aljabar.
Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
168
hitam
C
orange
Alokasi Waktu
Topik materi ke1 2 3
D
Materi Gradien dan persamaan garis singgung kurva Menaksir akar-akar persamaan aljabar Ulangan harian
Alokasi waktu 8 JP 6 JP 2 JP
Materi
1. Materi ke-1: Gradien dan Persamaan Garis Singgung Kurva (8 JP) a.
Indikator 1)
Mendeskripsikan konsep gradien dari suatu kurva.
2)
Menentukan persamaan garis singgung kurva.
3)
Menentukan persamaan garis normal.
4)
Menghitung sudut antara garis singgung kurva dengan sumbu simetri.
5)
Menentukan garis singgung fungsi trigonometri.
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-1 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai gradien dan persamaan garis singgung kurva.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeskripsikan konsep gradien dari suatu kurva. b) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung kurva. c) Siswa dapat menentukan persamaan garis normal. d) Siswa dapat menghitung sudut antara garis singgung kurva dengan sumbu simetri. e) Siswa dapat menentukan garis singgung fungsi trigonometri.
2)
Kegiatan pembelajaran
a)
Gradien dan Persamaan Garis Singgung Kurva
Materi pada subbab konsep turunan fungsi trigonometri dibagi menjadi 2 pertemuan, yaitu pertemuan ke-1 menjelaskan tentang gradien suatu kurva; pertemuan ke-2 menjelaskan tentang persamaan garis singgung kurva. (1) Pertemuan ke-1 Sebelum siswa memulai mempelajari bab ini, sebaiknya siswa mengerjakan terlebih dahulu uji kemampuan prasyarat bab VII pada buku latihannya. Jika siswa dapat mengerjakannya dengan baik dan tanpa kesulitan, maka akan memudahkan siswa untuk mempelajari dalam bab ini.
∆ y Guru menginformasikan bahwa gradien suatu kurva adalah m = atau ∆ x ∆ y . Agar memahami mengenai gradien dari suatu kurva yang diperoleh m= ∆ x Petunjuk Khusus
169
169
hitam
dengan menurunkan persamaan, siswa diminta untuk mengerjakan Kegiatan 7.1 secara mandiri. uru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang dilakukan oleh siswa. • Gradien garis singgung kurva y = f ( x) di titik ( x1, f ( x1)) adalah m = f '( x1) Guru memberikan contoh soal mengenai cara menentukan gradien garis singgung dari suatu kurva, misalnya • Tentukan gradien garis singgung dari kurva y = x2 + x – 5 di titik (2, 1)
Penyelesaian:
y = x2 + x – 5 ⟹
dy dx
= 2 x + 1
dy = 2 x1 + 1 = 2(2) + 1 = 5 dx x = 2
Gradien m =
•
Tentukan gradien garis singgung dari kurva y = x3 + 2 di titik yang berordinat 3.
Penyelesaian: y = x3 + 2, y1 = 3, maka 3 = x13 + 2 ⟺ x13 = 1 ⟺ x1 = 1 dy y = x3 + 2 ⟹ = 3 x 2 dx dy Gradien m = = 3 x12 = 3(1)2 = 3 dx x =1
•
Tentukan gradien garis singgung dari kurva y = x2 – x – 2 yang memotong sumbu X positif di titik P .
Penyelesaian:
y = x2 – x – 2
Titik potong dengan sumbu X ( y = 0) x2 – x – 2 = 0
( x + 1)( x – 2) = 0 x1 = –1 atau x2 = 2
Dipilih x > 0, sehingga diperoleh P (2, 0)
y = x2 – x – 2 ⟹
dy dx
= 2 x − 1
dy = 2 x1 − 1 = 2(2) − 1 = 3 dx x = 2
Gradien m =
Setelah contoh soal disampaikan, berikan waktu kepada siswa untuk bertanya mengenai cara menentukan gradien garis singgung dari suatu kurva. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru dapat memberikan soal latihan agar siswa terbiasa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan gradien garis singgung dari suatu kurva, misalnya
170
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
170
orange
hitam
• • • •
orange
Tentukan gradien garis singgung dari: Kurva y = x2 + 3 x + 1 di titik (1, 5) Kurva y = x2 – 3 x + 2 di titik yang berabsis 2 Kurva y = x3 di titik yang berordinat 8 Kurva y = x2 – 2 x – 3 yang memotong sumbu X positif di titik Q
Kunci jawaban: • Gradien garis singgung kurva y = x2 + 3 x + 1 di titik (1, 5) adalah m = 5 • Gradien garis singgung kurva y = x2 – 3 x + 2 di titik yang berabsis 2 adalah m = 1 • Gradien garis singgung kurva y = x3 di titik yang berordinat 8 adalah m = 12 • Gradien garis singgung kurva y = x2 – 2 x – 3 yang memotong sumbu X positif di titik Q adalah m = 4
(2) Pertemuan ke-2 Pada awal pembelajaran guru menggambarkan Gambar 7.2 di buku siswa pada papan tulis. Y
g
y = f ( x) y1
O
A( x1, y1)
X
x1
Kemudian guru menginformasikan bahwa jika persamaan kurva y = f ( x) diberikan, maka gradien garis singgung g di titik singgung kurva A( x1, y1) bisa ditentukan dengan menggunakan persamaan m = f '( x1). Dengan diberikannya gradien m dari garis singgung g , yang melalui titik A( x1, y1), maka persamaan garis singgung g dapat ditentukan dengan persamaan: y – y1 = m( x – x1)
Berikan waktu kepada siswa untuk memahami bentuk persamaan garis singgung serta bertanya mengenai konsep persamaan garis singgung. Selanjutnya siswa diminta untuk mengamati dan memahami yang terdapat pada Contoh Soal 7.1 dan 7.2 dengan cara berdiskusi bersama teman sebangkunya. Pada Contoh Soal 7.1 siswa dapat menyimpulkan langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal. Pada Contoh Soal 7.2 siswa dapat menyimpulkan cara menentukan sudut antara garis singgung kurva dengan sumbu X positif. Petunjuk Khusus
171
171
hitam
Kemudian guru meminta siswa untuk menerapkan hasil pengamatan dari Contoh Soal 7.1 dan 7.2 pada Kegiatan 7.2 secara mandiri. Guru berkeliling untuk menilai dan mengamati kegiatan yang sedang dilakukan oleh siswa. Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menjelaskan langkah-langkah penyelesaian yang terdapat pada Kegiatan 7.2 di depan kelas. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang langkah-langkah yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai tanya jawab siswa. Guru kemudian menjelaskan Contoh Soal 7.3 nomor 1 mengenai cara menentukan garis singgung fungsi trigonometri dan meminta siswa untuk mengerjakan sendiri Contoh Soal 7.3 nomor 2 untuk dibahas bersama-sama. Guru mengamati dan menilai aktivitas siswa. Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru dapat menjelaskan kolom Ayo Kerjakan Soal Seleksi mengenai menentukan luas segitiga dengan menerapkan konsep persamaan garis singgung fungsi trigonometri. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 4. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 7.1 sampai dengan Latihan 7.3 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab A nomor 1 sampai dengan nomor 10 pada buku siswa. 3)
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis
b) Media: grak 4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 272-279 b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet)
2. Materi ke-2: Menaksir Akar-akar Persamaan Aljabar (6 JP) a.
Indikator 1) 2) 3)
Mendeksripsikan konsep menaksir akar-akar persamaan aljabar menggunakan rumus Newton-Raphson Menjelaskan konsep nilai taksiran awal Menentukan nilai taksiran awal
4) Menentukan letak akar-akar dengan metode grak 5) 6)
172
Menentukan letak akar-akar dengan metode analitik Mengaplikasikan rumus Newton-Raphson untuk memecahkan masalah kehidupan nyata
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
172
orange
hitam
orange
b. Materi untuk Guru Pertemuan untuk materi ke-2 ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman yang jelas mengenai langkah-langkah untuk menaksir akar-akar suatu persamaan aljabar, nilai taksiran awal, mengetahui letak akar-akar persamaan aljabar, serta rumus Newton Raphson.
c.
Tujuan Pembelajaran 1)
Tujuan esensial a) Siswa dapat mendeksripsikan konsep menaksir akar-akar persamaan aljabar menggunakan rumus Newton-Raphson. b) Siswa dapat menjelaskan konsep nilai taksiran awal. c) Siswa dapat menentukan nilai taksiran awal.
d) Siswa dapat menentukan letak akar-akar dengan metode grak. e) f) 2)
Siswa dapat menentukan letak akar-akar dengan metode analitik. Siswa dapat mengaplikasikan rumus Newton-Raphson untuk memecahkan masalah kehidupan nyata.
Kegiatan pembelajaran
a)
Menaksir Akar-akar Persamaan Aljabar
Materi pada subbab menaksir akar-akar persamaan aljabar dibagi menjadi 2 pertemuan, yaitu pertemuan ke-3 menjelaskan tentang rumus Newton-Raphson; pertemuan ke-4 menjelaskan tentang menentukan nilai taksiran awal. (1) Pertemuan ke-3 Untuk memulai pembelajaran dengan cara yang menarik, guru dapat mengajukan pertanyaan menantang yang berkaitan dengan konsep menaksir dan menghitung akar-akar persamaan aljabar yang akan dibahas. Pertanyaan menantang:
Biaya produksi suatu jenis zat kimia, C ( g ), untuk memproduksi g gram zat 2
kimia tersebut per hari yang dinyatakan oleh fungsi C ( g ) = 1.000 + 2 g + 3 g 3 dengan C ( g ) dalam dolar. Perusahaan dapat menjual zat kimia tersebut seharga $4 per gram. Berapa gramkah zat kimia tersebut seharga harus diproduksi per hari agar perusahaan bisa mencapai titik pulang-pokok (break event point )? Setelah pertanyaan menantang diajukan, berikan kesempatan para siswa untuk menduga, mendiskusikan, maupun berdebat untuk memperoleh jawabannya. Kemudian guru menyatakan bahwa masalah tersebut dapat dijawab oleh siswa setelah memahami konsep menaksir akar-akar dari persamaan aljabar. Setelah siswa termotivasi dengan pertanyaan menantang, maka pembelajaran selanjutnya dapat berlangsung dengan menyenangkan. Guru menggambarkan Gambar 7.3 di buku siswa pada papan tulis.
Petunjuk Khusus
173
173
hitam
orange
y = f ( x)
Y
( x1, f ( x1)) A
f ( x1)
( x2, f ( x2)) B α O
θ x3
X
x2
x
1
x3 – x2 x1 – x2
Kemudian guru menginformasikan untuk menentukan akar-akar persamaan aljabar, ditampilkan persamaan y = 0 atau f ( x) = 0. Perhatikan bahwa α adalah solusi dari persamaan f ( x) = 0. Untuk menentukan nilai akar-akar persamaan f ( x) = 0 yang mendekati α dapat dimulai dengan memberi nilai awal taksiran, sebut saja x1. Garis singgung melalui ( x1, f ( x1)) memotong sumbu X pada titik dimana x = x2. Pada gambar tampak bahwa nilai pendekatan x = x2 lebih baik daripada x = x1. Gradien garis singgung pada [ x1, f ( x1)] diberikan oleh m = f '( x1 ) = x1 − x2 =
f ( x1 ) x1 − x2
f ( x1 ) f '( x1 )
, f '( x) ≠ 0
⇔ x2 = x1 −
f ( x1 ) f '( x1 )
Jika prosedur tersebut diulangi, tarik garis singgung melalui titik ( x2, f ( x2)), maka tampak pada gambar diperoleh nilai pendekatan x3, yang juga lebih baik daripada x2, yaitu x3 = x2 −
f ( x2 ) f '( x2 )
, dengan f '( x2 ) ≠ 0
Sehingga dapat disimpulkan bahwa: xn +1 = xn −
f ( xn ) f '( xn )
, dengan f '( xn ) ≠ 0
Rumus tersebut dikenal sebagai rumus Newton-Raphson. Kemudian guru menginformasikan bahwa untuk menggunakan rumus Newton-Raphson diperlukan nilai taksiran awal x0. Dalam persamaan tersebut, xn adalah nilai x yang telah diketahui, f ( xn) menampilkan nilai fungsi pada xn, dan f '( xn) adalah turunan (gradien) pada xn, dan xn + 1 adalah nilai x berikutnya yang akan coba kita dapatkan. Perhatikan bahwa rumus Newton-Raphson merupakan proses iterasi (perhitungan berulang). Proses iterasi berhenti dan kita memperoleh nilai pendekatan akar-akar jika nilai pendekatan itu telah memenuhi kriteria yang ditetapkan, misalnya tepat sampai dua tempat desimal. Setelah siswa dan guru selesai mengamati dan mengeksplorasi mengenai rumus Newton-Raphson, siswa dapat mengajukan pertanyaan yang berhubungan dengan rumus Newton-Raphson yang belum siswa pahami dengan baik. 174
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
174
hitam
orange
Untuk mengakhiri pembelajaran pada pertemuan kali ini, guru menugaskan siswa untuk membaca submateri mengenai menentukan nilai taksiran awal. (2) Pertemuan ke-4 Guru menunjuk beberapa orang siswa untuk menceritakan di depan kelas tentang apa yang telah dibacanya di rumah mengenai cara-cara yang digunakan untuk menentukan nilai taksiran awal. Siswa yang lain memberikan komentar atau pendapat tentang materi yang telah dipaparkan oleh temannya. Guru mengamati dan menilai penampilan serta diskusi siswa di depan kelas. Selanjutnya guru menginformasikan cara menentukan nilai taksiran awal. Seperti telah dinyatakan pada pertemuan sebelumnya bahwa langkah awal menggunakan rumus Newton-Raphson adalah menentukan nilai taksiran awal.
Ada dua metode, yaitu metode grak dan metode analitik. Metode I: Metode grak Lukis kurva y = f ( x) pada sehelai kertas grak. Kemudian dari grak yang Anda peroleh, beri taksiran awal, misalnya x = x1. Metode II: Metode analitik Jika fungsi f ( x) berubah tanda di antara x = a dan x = b, maka kurva y = f ( x) pastilah memotong sumbu X pada titik dimana x = α sehingga f (α) = 0, dengan a < α < b. Sehingga, • jika f (a) > 0 dan f (b) < 0, maka persamaan f ( x) = 0 memiliki akar α dimana a < α < b (a, f (a)) α
X
(b, f (b))
• jika f (a) < 0 dan f (b) > 0, maka persamaan f ( x) = 0 memiliki akar α dimana a < α < b (b, f (b))
X
α
(a, f (a)) Jadi, untuk taksiran awal, kita harus memilih x = x1 yang berada di antara a dan b. Selanjutnya dengan rumus Newton-Raphson, diperoleh sederetan nilai yang memenuhi kriteria yang diminta dalam soal. Petunjuk Khusus
175
175
hitam
Agar siswa lebih jelas mengenai langkah-langkah menentukan nilai taksiran awal menggunakan metode analitik, guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 7.4. Kemudian berikanlah siswa waktu untuk bertanya jika mendapat kesulitan dalam memahami Contoh Soal 7.4 tersebut. Setelah memahami langkah-langkah dalam menentukan nilai taksiran awal menggunakan metode analitik, siswa diminta mengerjakan Latihan 7.4 secara mandiri untuk mengetahui apakah akar-akar dari suatu persamaan selalu berada pada interval yang ditanyakan. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan.
• •
Kesimpulan yang diharapkan adalah sebagai berikut. Akar-akar suatu persamaan tidak selalu berada pada interval yang ditanyakan pada soal. Banyak akar dari suatu persamaan memengaruhi letak akar-akar persamaan tersebut. Misalnya pada persamaan kuadrat, maksimal banyak akarnya adalah dua dan intervalnya pun maksimal dua.
Selanjutnya guru dapat menjelaskan yang terdapat pada Contoh Soal 7.5 dan 7.6. Pada Contoh Soal 7.5 siswa dapat mengamati dan memahami cara menentukan nilai akar yang berada pada suatu interval dengan mengaplikasikan rumus Newton-Raphson yang telah siswa pelajari dalam pertemuan sebelumnya. Pada Contoh Soal 7.6 siswa dapat mengamati dan memahami cara menentukan nilai akar melalui penentuan nilai taksiran awal menggunakan
metode grak kemudian mengaplikasikan rumus Newton-Raphson. Setelah memahami beberapa contoh mengenai cara menentukan nilai
taksiran awal menggunakan metode analitik dan grak, siswa diminta mengerjakan Latihan 7.6 secara mandiri agar lebih memahami mengenai pengaplikasian rumus Newton-Raphson dalam memecahkan masalah kehidupan nyata. Guru berkeliling untuk mengamati dan menilai kegiatan yang sedang siswa lakukan. Kemudian guru memberikan info mengenai tokoh matematika yang bernama Sir Isaac Newton. Guru menjelaskan bahwa Newton adalah matematikawan
sekaligus sikawan yang sangat berpengaruh di dunia kematematikaan. Selama menggeluti ilmu matematika, ia tidak pernah menyerah dan terus berusaha untuk menemukan dan menciptakan sesuatu yang baru yang berkaitan dengan matematika. Karena kegigihannya ilmu matematika dapat berkembang hingga sejauh ini. b)
Penutup
Lakukan reeksi, penugasan review, penugasan mandiri, dan penugasan kelompok. (1) Penugasan review berupa mengerjakan Review Konsep Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 4. (2) Penugasan mandiri berupa mengerjakan Latihan 7.4 sampai dengan Latihan 7.6 pada buku siswa. (3) Penugasan kelompok berupa mengerjakan Latihan Subbab B nomor 1 sampai dengan nomor 10 pada buku siswa. 176
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
176
orange
hitam
3)
orange
Alat, bahan, dan media a) Alat dan bahan: kertas, alat tulis
b) Media: grak 4)
Sumber belajar a) Buku Matematika Kelas XI Peminatan karya Marthen Kanginan terbitan Yrama
Widya halaman 280-288 b)
Sumber lain yang relevan (buku teks, internet).
3. Materi ke-3: Ulangan Harian (2 JP) I.
Pilihan Ganda
1.
Garis singgung pada kurva y = di titik dengan absis
π
2 sumbu Y pada ordinat .... A. 2
2.
B.
π
C.
π – 2
2
D.
B. C.
π 4
π
π
2+
4.
2
3
π 4
2π 3
π sin x 2 + cos x
Garis singgung grak di titik x =
.
π 2
akan
6.
memotong sumbu Y di titik (0, b), dengan b adalah ....
A.
1 2
B.
2
+
1 2
E.
1 2
+
π 8
π 8
Nilai k agar garis x + y = k merupakan garis singgung pada kurva y = 8 – 5 x + 6 x2 – 3 x3 adalah .... 3 2 A. 5 D. 8 9 9
C. 7
5.
2 Diketahui fungsi f ( x) =
1
B. 6
adalah ....
D. 0 E.
8
−
2
2 Persamaan sebuah kurva diberikan oleh x = et sin t dan y = et cos t . Jika turunan dari f (t ) = et adalah f '(t ) = et , maka gradien garis
A.
π
π
singgung kurva pada titik t =
3.
C.
sin x akan memotong
D. 2 – E.
2 + cos x
π 8
4 9
E. 9
1
9 Garis singgung pada kurva 2 x2 – xy + 3 y2 = 18 pada titik (3, 1) adalah .... A. 3 y + 11 x = 36 B. 3 y + 13 x = 27 C. 3 y – 12 x = 13 D. 2 x + 9 y = 21 E. 2 x – 11 y = 18 Garis singgung pada kurva dengan persamaan parameter x = t 2 – 2 dan y = t 3 – 3 pada titik dimana t = 2 adalah .... A. 3 x – y – 1 = 0 B. 3 x – y + 1 = 0 C. x – y + 1 = 0
Petunjuk Khusus
177
177
hitam
D. x – 3 y + 1 = 0 E. x + 3 y – 1 = 0 7.
orange
9.
Rumus Newton-Raphson untuk menentukan akar kuadrat dari suatu bilangan real R dari persamaan x2 – R = 0 adalah .... A.
x +1 n
Akar dari x2 = 2,5 diperoleh dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Nilai-nilai iterasi secara berurutan dari akar tersebut diberikan dalam tabel di bawah ini.
R = 2x − x 2 R 1 = 3x − x 2 1
Nomor Iterasi
Nilai Akar
0
2,0000
1
1,6667
2
1,5900
3
1,5874
4
1,5874
n
n
B.
x +1 n
n
n
C.
8.
1
xn +1 = xn + 2 xn
D. xn +1 =
xn
E. xn +1 =
3 xn
R
Nomor iterasi pertama yang akan dipercaya paling tepat untuk dua angka penting adalah .... A. 0 D. 3 B. 1 E. 4 C. 2
2 2
Nilai terasi berikutnya dari akar-akar x2 – 9 = 0 dengan menggunakan metode Newton-Raphson jika taksiran awal 4 adalah .... A. 3,000 B. 3,125 C. 3,267 D. 3,333 E. 3,450
10. Untuk menentukan akar real dari persamaan x3 + 3 x2 – 1 = 0 kita gunakan metode Newton Raphson. Jika taksiran awal kita adalah x0 = 1, maka nilai iterasi kedua, x2 adalah .... 1 45 A. D. 2 81 B. C.
E
2 3
E.
79 144
16 27
Materi Pengayaan
Siswa yang cepat dalam menguasai materi pembelajaran tentunya akan memiliki kelebihan waktu yang harus dimanfaatkan siswa. Jika kelebihan waktu tersebut tidak dimanfaatkan dengan kegiatan-kegiatan positif, maka dapat menimbulkan hal-hal negatif yang dapat mengganggu siswa lain yang sedang konsentrasi dan berpartisipasi dalam kegiatan pembelajaran. Sehingga guru dapat memberikan pengayaan yang berupa soal maupun materi. Contoh soal pengayaan:
1.
Tentukan nilai dari 5 70 dengan menggunakan metode Newton-Raphson jika diketahui nilai awal x = 3 dan ketelitian hingga 3 desimal.
2.
Tentukan salah satu akar dari persamaan f ( x) = x2 – 4 x – 5.
178
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
178
hitam
orange
Penyelesaian:
1.
5
Bentuk
70 dapat diubah dalam bentuk pangkat, misalnya
x = 5 70 x5 = 70
Sehingga, y = x5 – 70 atau f ( x) = x5 – 70 Persamaan : f ( x) = x5 – 70 Turunan fungsi : f '( x) = 5 x4 Diketahui nilai awal x0 = 3 Hitung nilai f ( x) dan f '( x): f ( x0) = f (3) = (3)5 – 70 = 173 f '( x0) = f '(3) = 5(3)4 = 405
Hitung x1 dengan rumus:
f ( x0 ) f '(x0 )
x1 = x0 −
Maka didapat:
173 = 2, 573 405
x1 = 3 −
Begitu seterusnya untuk menghitung x2, x3, …. Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-4 Iterasi
x n
f ( x )
f '( x )
0 1 2 3 4 5
3 2,573 2,378 2,34 2,339 2,339
173 42,7362 6,00724 0,18693 0,0002 2,3E-10
405 219,0891 159,8284 149,9599 149,6406 149,6403
Karena nilai x4 dan x5 telah konstan ( x4 = x5 = 2,339) sehingga ditemukan salah satu akarnya adalah 2,339. 2.
Persamaan: f ( x) = x2 – 4 x – 5 Turunan fungsi: f '( x) = 2 x – 4 Diketahui nilai awal x0 = 0,002 Hitung nilai f ( x) dan f ’( x): f ( x0) = f (0,002) = (0,002) 2 – 4(0,002) – 5 = –5,007996 f '( x) = f '(0,002) = 2(0,002) – 4 = –3,996
≈ –5
≈ –4
Hitung x1 dengan rumus:
Petunjuk Khusus
179
179
hitam
f ( x0 ) f '(x0 )
x1 = x0 −
Maka didapat:
−5 = −1, 25 −4
x1 = 0, 002 −
Begitu seterusnya untuk menghitung x2, x3, … Untuk mencari galat relatif xk = ( Er x ) =
xr +1 − xr xr +1
Didapat: ( Er x ) =
x1 − x0
( Er x ) =
x1
−1, 25 − 0 −1.25
( Er x ) = 1 Iterasi berhenti pada langkah ke-4, karena ( Er x ) < 0, 002 Dengan salah satu akarnya adalah –1.
F
Iterasi
x n
f ( x )
f '( x )
Er x
0 1 2 3 4
–2 –1,125 –1,0025 –1 –1
7 0,76563 0,01501 6,2E-06 1,1E-12
–8 –6,25 –6,005 –6 –6
0,778 0,122 0,002 1E-06
Remedial
Jika dari hasil evaluasi masih terdapat siswa yang belum memenuhi standar minimal, maka guru melaksanakan kegiatan remedial. Kegiatan ini diawali dengan remedial teaching, yaitu guru memberi pengulangan untuk materi-materi yang kompetensinya belum tercapai. Setelah itu guru melaksanakan evaluasi kembali dengan memberikan sejumlah soal yang berkaitan dengan bahan ajar yang diremedi. Contoh soal remedial:
1.
Tentukan gradien garis singgung kurva y = x3 + x + 5 yang melalui titik (0, 5).
2.
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal terhadap kurva y = x2 + 4 x + 3 di titik (–1, 0)
3.
Tentukan nilai iterasi kedua metode Newton-Raphson dari persamaan x2 – 8 dengan nilai awal 3 dan ketelitian hingga 3 desimal.
180
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
180
orange
hitam
orange
Kunci jawaban:
1.
m = 1
2.
Persamaan garis singgung : y = 2 x + 1 Persamaan garis normal : y =
3.
− x − 1
x2 = 2,838
G
2
Penilaian
Untuk menguji pemahaman siswa atas konsep Bab VII ini, terdapat beberapa bentuk evaluasi, yaitu sebagai berikut. 1.
Suplemen uji mandiri, untuk melatih siswa mengerjakan soal secara mandiri. Terdiri atas soal-soal pilihan ganda dan soal-soal uraian.
2.
Kegiatan diskusi, bertujuan untuk memperoleh pemahaman yang lebih baik mengenai suatu masalah atau memecahkannya secara bersama-sama. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 27.
3.
Tugas proyek, untuk menilai keterampilan siswa dalam hal kemampuan merencanakan, merancang, dan menyelesaikan pemecahan masalah yang relevan dalam kehidupan seharihari secara berkelompok dan menerapkan hasil pembelajaran. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 31.
4.
Tugas portofolio, berupa tugas membuat rangkuman dari semua kegiatan yang telah dikerjakan dalam satu bab dan mencari literatur-literatur untuk mengetahui dan mengembangkan pengetahuan. Contoh format penilaian dapat dilihat pada petunjuk umum halaman 33.
H
Penutup
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan aplikasi turunan fungsi, disajikan sebagai berikut. 1.
Gradien dari kurva y = f ( x) di titik ( x1, y1) dapat dinyatakan dengan m=
df ( x) dx
( x = x1 ) =
dy dx
( x = x1 ) atau m = f '( x)
2.
Persamaan garis singgung yang melalui titik ( x1, y1) dengan gradien m adalah ( y – y1) = m( x – x1).
3.
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung, dengan memiliki gradien normal mnormal
=
−1 mgaris singgung
sehingga persamaan garis normal yang melalui titik ( x1, y1) adalah ( y – y1) = mnormal( x – x1)
Petunjuk Khusus
181
181
hitam
4.
orange
Rumus Newton-Raphson xn +1
= xn −
f ( xn ) f '( xn )
, dengan f '( xn ) ≠ 0
Rumus Newton-Raphson merupakan proses iterasi (perhitungan berulang). Proses iterasi berhenti dan memperoleh pendekatan akar-akar jika nilai pendekatan telah memenuhi kriteria yang ditetapkan. 5.
Menentukan nilai taksiran awal
Metode I: Metode Grak Lukis kurva y = f ( x) pada sehelai kertas grak. Kemudian dari grak yang Anda peroleh, berilah taksiran awal, misalnya x = x1. Metode II: Metode Analitik Jika fungsi f ( x) berubah tanda di antara x = a dan x = b, maka kurva y = f ( x) pastilah memotong sumbu X pada titik dimana x = α sehingga f (α) = 0, dengan a < α < b . Sehingga,
•
Jika f (a) > 0 dan f (b) < 0, maka persamaan f ( x) = 0 memiliki akar α dimana a < α < b (a, f (a)) α
X
(b, f (b)) •
Jika f (a) < 0 dan f (b) > 0, maka persamaan f ( x) = 0 memiliki akar α dimana a < α < b
(b, f (b))
α
X
(a, f (a))
182
Buku Guru Matematika untuk SMA/MA Kelas XI
182
hitam
orange
Daftar Pustaka
Additional Mathematics G.C.E. O-level June/November 1974 – 1995 ,
Dyna Publisher Pte
Ltd, Singapore, 1997. Bond Thomas and Hughes Chris, Mathematics A-Level Challenging drill questions, Themis Publishing, Singapore, 2012. Cheng Chung Yu, Additional Mathematics [Geometry and Trigonometri] First Edition, Singapore Asian Publications (S) Pte Ltd, Singapore, 2010. D.S. Prakash, Polytechnic Mathamatics, S. Chand & Company Ltd, New Delhi,2005. Hamzah dan Mohamad Nurdin. 2013. Belajar dengan Pendekatan PAILKEM . Jakarta: Bumi Aksara. Heinemann Higher Mathematics, Heinemann Educational Publishers, London, 1998. J. Douglas Faires, Langkah Pertama Menuju Olimpiade Matematika Menggunakan Kompetisi Matematika Amerika, Penerbit Pakar Raya, Bandung, 2007.
Jenny Watson et all, Maths Quest for Victoria CSF Level 5 and 6, John Wiley & Sons Australia, Ltd, Sidney and Melbourne. Kanginan Marthen dan Yuza, Matematika Wajib untuk Kelas X, Bandung, 2013.
Penerbit Yrama Widya,
Khoo Ee Sin, Q & A STPM Mathematics T Paper 2 First Published , Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd., Malaysia, 2004. Matematika Ala Jepang Level Pra 2 dan Level 2, Suken Indonesia, Tangerang, 2001.
Peterson C. John, Technical Mathematics 2nd Edition , Delmar Publishers Inc., Albany, 1997. Randall I. Charles et all, Prentice Hall Mathematics Course 2, Pearson Prentice Hall,New Jersey, 2004. Rich Barnett, Schaum’S Outline of Theory and Problems of Geometri Third Edition , The McGraw-Hll Companies, Inc., New York, 2000. Schmidt Philip, 2500 solved Problems in College Algebra and Trigonometry , McGrawHill, Inc, New York, 1991. Daftar Pustaka
183
183
