Beispiel 3 Ersatzstabverfahren 01

Beispiel: Ersatzstabverfahren

Blatt: Seite 1 von 9

Ansprechpartner: Gregor Turkalj und Axel Mühlhausen

Bearbeitet am: 07.04.15

Beispiel 3: Ersatzstabverfahren

  

Bestimmung der maßgeblichen Knickfigur und zugehörigen Knicklänge in der Ebene. Nachweis gegen Biegeknicken nach dem Ersatzstabverfahren nach DIN EN 1993-1-1 in der Ebene. Alle Stäbe S355

Nur für Lehrzwecke: keine Gewähr Gewähr für die Richtigkeit aller Einzelheiten Einzelheiten







mögliche Knickfigur in der Ebene



Bestimmung der Ersatzstabfedern Kw: Federsteifigkeit Dehnfeder [N/m] Cϕ: Federsteifigkeit Drehfeder [Nm/rad]

Ersatzstab:

Hinweis: Die Längsverformungen der Stäbe werden vernachlässigt, da sie sehr klein gegenüber den Biegeverformungen sind. (bei Tragwerken auf Biegung übliche Annahme) Nur für Lehrzwecke: keine Gewähr Gewähr für die Richtigkeit aller Einzelheiten Einzelheiten







Bestimmung Federsteifigkeit der Dehnfeder mit „1“-Kraft

System:

Verformung (aus Schneider Bautabellen, 16. Auflage):

∙∙

� ∙

P l³ 1 kN (600 cm)³ w = = kN 48 EI 48 21.000 10.140 cm cm

M

z

∙

2∙

M

w = 0,0211 cm Federsteifigkeit der Dehnfeder:

1 1 kN K = = = 47,32 w 0,0211 cm cm

w M


4







Bestimmung Federsteifigkeit der Drehfeder mit „1“-Moment

System:

Bestimmung des Drehwinkels - Überlagerung (aus Schneider Bautabellen, 16. Auflage):

φM   φM ∙ −7 1 = EI

∙

∙�

500 cm 1 kNcm 1 kNcm MM dx = kN 21.000 10.140 cm 3 cm

2∙

4∙

= 7,827 10 rad

Federsteifigkeit der Drehfeder:

kNcm 6 C = = 1,278 ∙ 10 rad φ 1

Wichtig: Federn müssen entkoppelt sein, d.h. keine „Kreuzüberlagerung“ der Momentenflächen bei der Federberechnung.








Bestimmung der Knicklänge

Für die Bestimmung der Knicklänge kommt ein Diagramm (siehe Anlage) aus „Petersen: Knicklängen biegesteifer Stabtragwerke“ S. 387 ff zur Anwendung. Parameter Diagramm:

δ

∙ 2∙

w∙ z

kN (300 cm)³ 47,32 K l³ cm = = = 6,0 kN EI 21.000 10.140 cm cm

∙

∙  γ z

6

4

∙

kNcm 1,278 10 300 cm C l rad = = = 1,8 kN EI 21.000 10.140 cm cm

β

2∙

4

≈

2,0

≅ 1,25

cr = β ∙ l = 1,25 ∙ 300 cm = 375 cm

Knicklänge: L

Ideale Verzweigungslast:

 π kN π Ncr = EI ∙ L = 21.000 cm ∙ 10.140 cm4 ∙ 375 = 14.945 kN  ²

²


(

)²







Biegeknicken nach DIN EN 1993-1-1, Abschnitt 6.3.1.1

Vorbedingungen:    

HEB 360 entspricht Querschnittsklasse 1 (Verfahren siehe Beispiel 1) weitere Querschnittsangaben für HEB 360 im Anhang γM1 = 1,0 nach 6.1 (1) Knicklänge Lcr = 375 cm

Nachweis:

Ed ≤ 1,0 b Rd

N N , N

(6.46)

b Rd = χ ∙ A ∙ f y⁄γM1

(6.47)

,

Bestimmung des Abminderungsfaktors χ für die maßgebende Biegeknickrichtung nach 6.3.1.2:

1. Möglichkeit (rechnerische Lösung)

χ

=

1 aber χ ≤ 1,0 +  −� ²

(6.49)

²

mit:

ϕ  αλ �   λ   ϕ ∗  = 0,5 1 +

0,2 + ²

= 0,5[1 + 0,34 0,34 (0,314

0,2) + 0,314²] = 0,569


(6.50)





�λ  ∙cry cry ∙ λ 1 =

A f L = N i

1

=

∙

375 cm 1 = 0,318 15,5 cm 76,059

mit: Lcr = 375 cm iy = 15,5 cm

λ 1 ∙ ε = 93,9

∙

= 93,9 0,81 = 76,059

ε = 0,81 für S 355

Bestimmung der Knicklinie Tabelle 6.2:



h

≤



f f

360 = = 22,5 300 = 1,2 1,2 ; t = b

 Knicklinie

≤

100

b

Der Imperfektionsbeiwert α wird nach Tab. 6.1 für die Knicklinie b mit 0,34 ermittelt Abminderungsfaktor χ:

χ

=

1

 

0,569 + 0,569² 0,569²

0,318²


≤

= 0,96 1,0

2.





Möglichkeit (graphisch) Aus Bild 6.4 – Knicklinien lässt sich mit den zuvor berechneten Werten des Schlankheitsgrads λ = 0,318 und der Knicklinie b der Abminderungsfaktor auslesen.

Bild 6.4 – Knicklinien aus DIN EN 1993-1-1

Der Abminderungsfaktor wird mit χ = 0,96 ermittelt. Nachweis:

N

b Rd ,

∙

∙

0,96 181 cm² 35,5 kN/cm² = = 6.168,48 kN 1,0

Ed ≤ 5.000 kN = 0,81 b Rd 6.169 kN

N N ,

Nachweis erbracht! Nur für Lehrzwecke: keine Gewähr Gewähr für die Richtigkeit aller Einzelheiten Einzelheiten





Anlage


Beispiel 3 Ersatzstabverfahren 01

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