Vorlesung Baustatik 2 Teil 3 Ulrich Walder Institut für Bauinformatik Technische Universität Graz Lessingstrasse 25 I A-8010 Graz
Einleitung Matrizenrechnung Stabtragwerke Platten Eigenwerte
Baustatik 2 Teil 3
Einleitung
Seite 2
Inhaltsverzeichnis 1.
Einleitung.........................................................................................................................4 1.1. 1.2. 1.3.
2.
Themen, Ziele und Methodik der Vorlesung Computerstatik....................................5 Literaturverzeichnis ..................................................................................................6 Computerprogramme ...............................................................................................6
Matrizenstatik ..................................................................................................................7 2.1. Ablauf einer Berechnung nach der Finite Element Methode ....................................7 2.2. Matrixmethode..........................................................................................................8 2.3. Modellbildung ...........................................................................................................8 2.4. Lokale Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren..............................................9 2.4.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen ................................................................10 2.4.2 Innere virtuelle Arbeit..........................................................................................10 2.4.3 Äussere virtuelle Arbeit.......................................................................................11 2.5. Minimumprinzip der potentiellen Energie................................................................12 2.6. Globale Steifigkeitsmatrize und globaler Lastvektor...............................................13 2.7. Lösung des Gleichungssystems und Bestimmung der Verschiebungen................16
3.
Statikprogramme...........................................................................................................19 3.1. Grundlagen.............................................................................................................19 3.1.1 Entwicklung.........................................................................................................19 3.1.2 Grundsätzliche Arbeitsweise von Computerstatik-Programmen ........................20 3.2. Das Programm EasyStatics....................................................................................22 3.3. Das Computerprogramm FLASH (Finite Element Analysis of Shells) ....................23 3.3.1 Anwendungsbereich ...........................................................................................23 3.3.2 Berechnungsmethode und Modellbildung ..........................................................25 3.3.3 Problemvorbereitung für die numerische Dateneingabe ....................................26 3.3.4 Numerische Dateneingabe .................................................................................29 3.3.5 Interaktive Grafische Eingabe.............................................................................32 3.3.6 Theoretische Grundlagen von FLASH................................................................33
4.
Stabtragwerke ...............................................................................................................35 4.1. Fachwerkmodell .....................................................................................................35 4.2. Einfluss der Knotenbiegesteifigkeit (Rahmenmodell) .............................................35 4.3. Einfluss der Lagerungsbedingungen ......................................................................36 4.4. Einfluss initialer Dehnungen ...................................................................................37 4.5. Einfluss der Querkraftverformung bei Stabtragwerken...........................................38 4.6. Steifigkeitsmatrix und Lastvektor des Stabelementes mit Schubverformung .........41 4.7. Ausbildung von Gelenken.......................................................................................41 4.8. Exzentrizitäten ........................................................................................................44 4.9. Beziehungen zwischen Knotenfreiheitsgraden (Constraint - Bedingungen)...........46 4.9.1 Knotenbeziehungen mit Constraints...................................................................46 4.9.2 Gelenke mit Constraints .....................................................................................48 4.10. Auflager- und Randbedingungen............................................................................49 4.10.1 Feste Auflager ....................................................................................................51 4.10.2 Elastisch gelagerte Auflagerknoten ....................................................................52 4.10.3 Randbedingungen in vorgegebenen Richtungen ...............................................52 4.11. Spannungsberechnungen, Einflusslinien und Einflussfelder ..................................52 4.11.1 Spannungsberechnungen...................................................................................52 4.11.2 Einflusslinien und Einflussfelder .........................................................................53 4.12. Statisch bestimmte und unbestimmte Systeme......................................................54
5.
Platten ............................................................................................................................56 5.1.
Anwendungsbereich ...............................................................................................56
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Einleitung
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5.2. Modellbildung .........................................................................................................57 5.3. Berechnung nach der Methode der finiten Elemente .............................................59 5.4. Flachdecken ...........................................................................................................61 5.4.1 Grundsätzliches Verhalten von Finiten Plattenelementen ..................................61 5.4.2 Konzentrierte Krafteinleitungen in Platten ..........................................................64 5.4.3 Schiefwinklige Platten.........................................................................................67 5.5. Verstärkte Decken ..................................................................................................71 5.5.1 Pilzdecken ..........................................................................................................71 5.5.2 Rippenplatten......................................................................................................73 6.
Eigenwerte .....................................................................................................................77
7.
Verzeichnisse ................................................................................................................82 Abbildungsverzeichnis ..................................................................................................82 Beispielverzeichnis ........................................................................................................83
8.
Anhang...........................................................................................................................84 FLASH Eingabeschemas ...............................................................................................84
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Einleitung
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1. Einleitung Die Berechnung des statischen und dynamischen Verhaltens von Tragwerken ist durch die Erfindung des Computers und durch die Entwicklung effizienter numerischer Methoden in den letzten Jahrzehnten revolutioniert worden. Heute existiert kaum mehr ein Problem der Baustatik, welches nicht mindestens näherungsweise mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente, welche die traditionellen Handmethoden abgelöst hat, berechnet werden kann. In der Lehre der Baustatik an der Hochschule stellt sich das Problem, in kurzer Zeit die theoretischen Grundlagen der Kontinuumsmechanik, sowie das Handwerk der statischen Berechnungen mit Handmethoden und modernen Computerprogrammen zu erlernen. Gleichzeitig sollte ein - normalerweise nur durch jahrelange Erfahrung erwerbbares - Gefühl für das Modellieren statischer Systeme, sowie für die Verifikation der Resultate, vermittelt werden. Im dritten Teil der Vorlesung Baustatik 2 geht es darum, die elementaren Grundlagen der Computerstatik zu vermitteln und durch die Anwendung von didaktisch besonders geeigneten Programmen, das in der Theorie gelernte mit dem Computer an praktischen Beispielen selber anzuwenden und zu verifizieren. E. Anderheggen und P. Steffen [1] unterscheiden drei verschiedene Gruppen von Adressaten für den Baustatikunterricht: 1. Gruppe: Studierende im Grundstudium (Bachelorstudium) der Architektur und des Bauingenieurwesens sowie Architekten und Bauingenieure, die sich Fragen des konzeptionellen Entwurfs von Tragwerken widmen. Mittels numerischer Simulation am Computer kann das Tragverhalten eines projektierten Bauwerks in einem virtuellen Experiment leicht visualisiert werden. So werden massgebliche Einflüsse erkannt, was für den Tragwerksentwurf unabdingbar ist. 2. Gruppe: Bauingenieurstudenten höherer Semester (Masterstudium) und Fachleute, die sich mit der Bemessung von Tragwerkskomponenten befassen. Dafür werden kommerziell angebotene Computerprogramme eingesetzt, welche meistens gezielt für spezifische Tragwerkselemente wie Stützen oder Platten optimiert wurden und die einschlägigen Baunormen berücksichtigen. Bei komplexen Problemstellungen werden manchmal auch noch allgemein einsetzbare numerische Simulationsprogramme verwendet. Auf dieser Stufe wird ein vertieftes Verständnis des theoretischen Hintergrundes und der Funktionsweise der Programme verlangt. In den Masterstudien werden mehrere diesbezügliche Vorlesungen angeboten. 3. Gruppe: Spezialisten auf dem Gebiet der rechnergestützten Mechanik, die numerische Simulationsmethoden für spezielle Problemstellungen aus Forschung und Praxis entwickeln. Vertiefte Kenntnisse in Mechanik, Informatik und Mathematik sind dafür unerläss-
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Einleitung
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lich. Die (wenigen) Angehörigen dieser Gruppe sind meistens in spezialisierten Softwareunternehmen oder an Universitäten tätig. In der Regel befassen sie sich nicht mit praktischen Fragen des Tragwerksentwurfs.
1.1.
Themen, Ziele und Methodik der Vorlesung Computerstatik
Der Teil 3 der Vorlesung Baustatik 2 baut auf der Vorlesung Baustatik 1 und den Teilen 1 und 2 der Vorlesung Baustatik 2 auf, in welchen die theoretischen Grundlagen und die Kenntnisse zur manuellen Berechnung von Stabtragwerken vermittelt werden. Die Themen dieses Teils der Vorlesung gehen über die Stabtragwerke hinaus und behandeln auch Plattentragwerke. Dabei geht es vor allem darum, die statische Modellbildung zu schulen. Der Einstieg in die Methode der Finiten Elemente erfolgt durch das exemplarische Aufstellen eines Fachwerk-Berechnungsmodells mit Hilfe der Matrizenrechnung und dessen Verallgemeinerung auf beliebige Tragwerke. Die Anwendung auf räumliche Biegeträger und Flächenelemente erfolgt über die Anwendung entsprechender Programme, ohne die theoretischen Grundlagen in der Tiefe zu behandeln. Dies bleibt den entsprechenden Fachvorlesung „Methode der Finiten Elemente“ vorbehalten. Die angewandte Methodik besteht darin, an Beispielen aus der Praxis zuerst die Modellbildung zu diskutieren und anschliessend verschiedene Varianten am Rechner zu simulieren. Die erhaltenen Resultate werden in den Übungen mit einfachen Handmethoden verifiziert. Durch den Einsatz von EasyStatics und WIN-FLASH wird der Schritt von einem reinen Didaktik-Programm zu einem in der Praxis bewährten Computerprogramm gemacht. Die Bemessung von Tragwerken wird nur soweit behandelt, als dafür normenunabhängige Verfahren angewandt werden können. Als Vorbereitung auf die Anwendung „fertiger“ Programme, wird im Kapitel 2 an Hand einer einfachen Fachwerkbrücke der Rechengang in einem Finite Elementprogramm mittels der Matrizenstatik und einem Tabellenkalkulationsprogramm im Detail nachvollzogen. Dabei werden die theoretischen Grundlagen für jeden Schritt kurz zusammengefasst. Im Kapitel 3 werden der Aufbau und die Arbeitsweise von Finiten Elemente Programmen aufgezeigt und die beiden in den Übungen verwendeten Programme EasyStatics und FLASH näher vorgestellt. Die folgenden Kapitel widmen sich ausgewählten Problemen der Computerstatik, insbesondere der Modellbildung ganzer Tragwerke, aber auch von konstruktiven Details. Dabei sollen die Auswirkungen von Vereinfachungen und Voraussetzungen der Theorie, wie auch die Einflüsse der angewandten Methode der Finiten Elemente und der numerischen Lösungsverfahren diskutiert werden.
Baustatik 2 Teil 3
1.2. [1]
Einleitung
Seite 6
Literaturverzeichnis
E. Anderheggen, P. Steffen, EasyStatics – Ein Werkzeug für die Tragwerkslehre, Institut für Baustatik und Konstruktion der ETH Zürich, Publikation SP-013, März 2004
[2]
E. Anderheggen, C. Pedron, A. Volkwein, EasyStatics – Benutzeranleitung
[3]
U. Walder, FLASH-Benutzerhandbuch, Institut für Bauinformatik, TU Graz 2004
[4]
U. Walder, WIN-FLASH-Benutzerhandbuch, Institut für Bauinformatik, TU Graz, 2004
[5]
U. Walder, WIN-FLASH-Beispiele, Institut für Bauinformatik, TU Graz, 2004
[6]
U. Walder, Beitrag zur Berechnung von Flächentragwerkennach der Methode der Finiten Elemente, Bericht Nr. 77, Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich, 1977
[7]
U. Walder, Grundlagen der EDV I, Institut für Bauinformatik der TU Graz, 2004
[8]
Excel- Einführung, Institut für Bauinformatik der TU Graz, 2004
[9]
Excel- Weiterführung, Institut für Bauinformatik der TU Graz, 2004
[10] K.J. Bathe, E.L. Wilson, Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice Hall, Inc., 1976 [11] S. P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, 1959 [12] G. Beer, Baustatik I + II, Institut für Baustatik, TU Graz
1.3.
Computerprogramme
[1]
Microsoft Excel oder ein ähnliches Tabellenkalkulationsprogramm mit Matrixfunktionen
[2]
EasyStatics, Download: www.EasyStatics.ethz.ch
[3]
FLASH, Download: www.bauinformatik.tugraz.at (in den Übungen notwendig)
Baustatik 2 Teil 3
Matrizenstatik
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2. Matrizenstatik 2.1.
Ablauf einer Berechnung nach der Finite Element Methode
Die meisten heute verwendeten Computerprogramme zur Berechnung von baustatischen Problemen bauen auf der Methode der Finiten Elemente auf, so auch das in diesem Vorlesungsteil vorgestellten Programme EasyStatics und FLASH. Bei der Berechnung mit Finiten Elementen wird die zu berechnende Struktur bzw. das System in einzelne Elemente unterteilt. Bei Stabtragwerken werden Stäbe, bei Flächentragwerken meist drei- oder viereckige Elemente verwendet. Diese Elemente sind über Knoten (bei Stabelementen an den Enden, bei Flächenelementen mindestens in den Eckpunkten, oft auch an den Seitenmitten) miteinander verbunden, d.h. über diese Knoten wird definiert, dass aneinander anschließende Elemente die gleichen Verschiebungen haben müssen. Je feiner das Netz der Elemente ist, desto genauer ist das Endergebnis.
Abbildung 2.1 Dreiecks- und Viereckselement mit Knoten in den Ecken
Als nächstes wird – unter Berücksichtigung der Knoten - eine Funktion für die unbekannten Verschiebungen innerhalb des Elements angenommen. Der dritte Schritt besteht darin, die Elementsteifigkeitsmatrizen zu erstellen und aus diesen die globale Systemsteifigkeitsmatrix zu assemblieren. Das Gleichungssystem
(F ) = [K ]× (U ) mit F = globaler Lastvektor, K = Systemsteifigkeitsmatrix und
U = globaler Verschiebungsvektor kann anschließend gelöst und aus den Verschiebungen bzw. Dehnungen können die Spannungen berechnet werden. Bei so genannten hybriden Elementen, wie sie z.B. in FLASH verwendet werden, werden nicht nur für die Verformungen, sondern auch für die Spannungen Funktionen angenommen.
Baustatik 2 Teil 3
2.2.
Matrizenstatik
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Matrixmethode
Theorie siehe auch [1], Kapitel 3, Statik nach Theorie 1. Ordnung und Anhang B, Herleitung von Elementmatrizen nach der kinematischen Methode. Für die folgende Fachwerkbrücke sollen die Verschiebungen und Stabschnittkräfte nach der Theorie erster Ordnung berechnet werden. Beispiel 1a: Fachwerkträger
Abbildung 2.2 Fachwerkträger
Länge
: 4 * 4 m = 16 m
Höhe
: zu optimieren; erste Annahme 2.4 m
Modell
: Fachwerk ohne Knotenverdrehungen
Lagerung
: Beidseitig fest aufgelegt, Variante rechts horizontal verschieblich
Belastung
: Eigengewicht plus 100 kN vertikale Einzellasten in den Knoten 2 , 3 und 4
Konstruktion : gleiche Profilabmessungen für die Gurte und Streben Material
2.3.
: Stahl oder Holz; Erste Annahme: Stahlprofil IPE400 für Gurt und Streben.
Modellbildung
Das obige Tragwerk wird in einzelne Fachwerkstäbe zerlegt. Die Geometrie wird über die X-Z Koordinaten der Knoten in einem Kartesischen Koordinatensystem festgelegt. Die Lage des Ursprungs des Koordinatensystems ist dabei nicht von Bedeutung. Im Beispiel 1a wird er in den Knoten 1 gelegt.
Z, W
X, U
Abbildung 2.3 Knoten und Elementnummerierung
Die Knoten 1 und 9 sind als Auflager zu modellieren.
Baustatik 2 Teil 3
Matrizenstatik
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Als Unbekannte wird der globale Verschiebungsvektor {V(X,Z)} mit den Knotenverschiebungskomponenten {U1, W1}, {U2, W2} ....... {U9, W9} eingeführt. (Globale Parameter sind mit Grossbuchstaben, lokale mit Kleinbuchstaben bezeichnet). Diese werden auch als Freiheitsgrade bezeichnet.
2.4.
Lokale Elementsteifigkeitsmatrizen und Lastvektoren
Die Verschiebungsfunktionen (Shape Functions) Hu1...2 und Hw1...2 für die lokalen Verschiebungen {v(x,z)} und Dehnungen ε(x,z) innerhalb des Gelenkstabes werden definiert, wobei ε=∆v ist. z, w u1
ξ=x/L
u2
1
1
1
2 L
x, u
HU2 = ξ
HU1 = 1-ξ
Abbildung 2.4 Ansatzfunktionen für Stabverschiebungen des Fachwerkstabes
Die Ansatzfunktionen HW1,2 sind identisch HU1,2. Infolge der Gelenke wird bei einer virtuellen Verschiebung senkrecht zur Stabachse jedoch keine Arbeit geleistet. Die Verschiebungen innerhalb des Stabes sind dann wie folgt definiert:
u1 ⎫ ⎬ ⎩u2 ⎭
u1 ⎫ ⎬ ⎩u2 ⎭
{v( x)} = [HU 1, HU 2 ]⋅ ⎧⎨
{v( x)} = [1 − ξ , ξ ]⋅ ⎧⎨ u1 ⎫ ⎬ ⎩u2 ⎭
{ε ( x)} = ∆v = ⎧⎨ dv ⎫⎬ = [HU′ 1, HU′ 2 ]⋅ ⎧⎨ ⎩ dx ⎭
u1 ⎫ ⎬ ⎣ L L ⎦ ⎩u2 ⎭
{ε ( x)} = ⎡⎢− 1 , 1 ⎤⎥ ⋅ ⎧⎨
Liegt der Stab nicht in der globalen X-Richtung, müssen die lokalen Verschiebungen v(x,z) in Funktionen der globalen Verschiebungen ausgedrückt werden, bzw. die im lokalen Koordinatensystem definierten Stabverschiebungen müssen ins globale System gedreht werden. Diese Rotationsmatrix definiert sich wie folgt: Z
Rotationsmatrix R = Rotation lokal -> global z
Rotationsmatrix RT= Rotation global -> lokal x
α
X
RT =
cos α sin α -sinα cos α
x(X,Z) = X * cos α
+ Z * sin α
z(X,Z) = X * (-sin α)
+ Z * cos α
Abbildung 2.5 Einheitsvektoren der Rotationsmatrix
Baustatik 2 Teil 3
Matrizenstatik
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2.4.1 Prinzip der virtuellen Verschiebungen „Ein Spannungszustand σ(x,y,z) ist im Gleichgewicht mit den äusseren Kräften, wenn für beliebige, kinematisch zulässige Verschiebungszustände v(x,y,z) die innere virtuelle Arbeit Ai* und die äussere virtuelle Arbeit Ae* gleich sind.“
2.4.2 Innere virtuelle Arbeit Aie* =
∫ {σ }
T
{ }
⋅ ε * ⋅ dV =
Ve
* ∫ {ε } ⋅ [D]⋅ {ε }⋅ dV T
mit dem Hook’schen Gesetz σ = D * ε
Ve
D = Elastizitätsmatrix, d.h. beim Zug-Druckstab σx = E * εx ; E = Elastizitätsmodul Setzt man die Ansatzfunktionen für die Spannungen, bzw. Dehnungen ein so ergibt sich:
⎛ ⎞ T T Aie* = {v} ⋅ ⎜ ∫ {H ′} ⋅ [D ]⋅ {H ′}⋅ dV ⎟ ⋅ v* ⎜V ⎟ ⎝ e ⎠
{}
Der Klammerausdruck wird als lokale Steifigkeitsmatrix [k] bezeichnet. Die Koeffizienten werden wie folgt gerechnet: 2
E⋅A ⎛ 1⎞ = k22 ; k11 = ∫ ∫ ⎜ − ⎟ ⋅ E ⋅ dA ⋅ dL = L⎠ L 0 A⎝ L
k12 = k21 = - k11
A = Querschnittsfläche
Die Koeffizienten entsprechen den Auflagerkräften eines festeingespannten Stabes infolge einer Verschiebung des Lagers in der Stabachse u um den Betrag 1, bzw. stellen die Kraft dar, welche benötigt wird, um den Stab um 1 zu verschieben. Man sieht auch, dass infolge einer sogenannten Starrkörperverschiebung u1 = u2, keine Arbeit geleistet wird, d.h. keine Energie aufgenommen wird. Für die Beschreibung der Steifigkeitsverhältnisse des Stabes in allgemeiner Lage müssen die virtuellen Verschiebungen als Funktionen der globalen Verschiebungsparameter aufgebracht werden, auch wenn sie im Spezialfall des horizontalen Stabes keine Steifigkeiten senkrecht zur Stabachse ergeben. ⎡ EA ⎢ L ⎢ [K ] = [R]T ⋅ ⎢ 0EA ⎢− ⎢ L ⎣⎢ 0
wobei
EA L 0 EA L 0
0 − 0 0 0
⎡ cos α ⎢− sin α [R]T = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ 0⎥ 0⎥ ⋅ [R ] ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦⎥
und
sin α cos α 0
0 0 cos α
0
− sin α
⎧U 1 ⎫ ⎪W ⎪ {V } = ⎪⎨ 1 ⎪⎬ ⎪U 2 ⎪ ⎪⎩W2 ⎪⎭
0 ⎤ 0 ⎥⎥ sin α ⎥ ⎥ cos α ⎦
Beispiel 1a: Lokale und globale Steifigkeitsmatrize für Stabtypen 1 bis 3
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Matrizenstatik
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Typ 1 = horizontale Stäbe 1 bis 7; Typ 2 = Diagonalstäbe 8,10,12,14; Typ 3 = Diagonalstäbe 9,11,13,15
Globale Steifigkeitsmatrix Stabtyp 1
Abbildung 2.6 Bildung der lokalen Steifigkeitsmatrizen und Transformation ins globale System
2.4.3 Äussere virtuelle Arbeit z, w u1
u2
1
ξ=x/L 1
1
2 L HW1 = 1-ξ
x, u
HW2 = ξ
Gleichmässige Last pw ; als Eigengewicht (spezifisches Gewicht * Querschnittsfläche pro Längeneinheit) stets gegen die globale Z-Achse gerichtet, d.h. muss nicht in das globale System rotiert werden. pw1
* Aae =
pw2
∫ {p}
T
Ve
⎛ ⎞ T ⋅ v* ⋅ dV = ⎜ ∫ {p} ⋅ {H }⋅ dV ⎟ ⋅ v* ⎜V ⎟ ⎝ e ⎠
{}
{}
Der Klammerausdruck wird als lokaler Lastvektor [p] bezeichnet. Für die gleichmässige Volumenlast (Eigengewicht) ergibt sich folgendes: L
x⎞ x2 L ⎛ pW 1 = − ∫ ⎜1 − ⎟ ⋅ A ⋅ pW ⋅ dL = − x − ⋅ A ⋅ pW = − pW ⋅ A ⋅ L⎠ 2L 0 2 0⎝ L
und
p2 = p1
Baustatik 2 Teil 3
Matrizenstatik
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Handelt es sich bei den gleichmässigen Belastungen um lokale, zur lokalen Stabachse richtungsgebundene Lasten (z.B. ein senkrecht zum Stab gerichteter Winddruck oder eine parallel zum Stab verteilte Bremskraft), müssen die lokalen Lastanteile in den Knoten in die entsprechenden globalen Richtungen gedreht werden. Die Rotationsmatrix entspricht dabei derjenigen in Abbildung 2.5. Beispiel 1a: Globale Lastvektoren für den Lastfall Eigengewicht
Abbildung 2.7 Bildung der lokalen Lastvektoren für das Eigengewicht
In globaler Richtung für den Stabtyp 1:
2.5.
Minimumprinzip der potentiellen Energie
Πe = Ue + Ve = Minimum Ue ({v}) = =
Elastisches Potential =
1 T {v} ⋅ [k ] ⋅ {v} 2
Im Tragwerk gespeicherte elastische Formänderungsenergie als Funk-
tion von kinematisch zulässigen Verschiebungen (definiert nur bei elastischen Tragwerken, d.h. Arbeit die zur Verformung des Tragwerks geleistet werden muss und die wieder gewonnen werden kann unter der Voraussetzung dass keine Wärme erzeugt wird. Darum „potentiell“). Ve ({v}) = =
Potential der äusseren Lasten = {v} ⋅ {p} T
Negative Arbeit der äusseren Lasten für die Verschiebungen {v}; v ist
negativ, wenn Lasten und Verschiebungen die gleiche Richtung haben (Potentialverlust). „Von allen kinematisch zulässigen Verschiebungszuständen minimalisiert der wirkliche Zustand (d.h. der Zustand, bei dem äussere Lasten und innere Spannungen im Gleichgewicht sind) die gesamte potentielle Energie Π = U + V des Systems“ * Πe = Ue + Ve = Minimum (entspricht Aie* - Aae = 0).
Für den Fachwerkstab ergibt sich mit dem Hookschen Gestz die Normalkraft N = E*F*ε und der Dehnungs-Verschiebungsbeziehung ε = u’ :
Baustatik 2 Teil 3
Matrizenstatik ε
L
u'
L
Seite 13 L
1 Ue(u(x)) = ∫ dx ⋅ ∫ N ⋅ dε = ∫ dx ⋅ ∫ E ⋅ F ⋅ u '⋅du ' = ∫ E ⋅ F ⋅ u '2 dx 20 0 0 0 0 L
u
∫
L
∫
∫
Ve(u(x)) = − dx ⋅ p ⋅ du = − p ⋅ u ⋅dx 0
0
0
L
L
1 Πe(u(x)) = ∫ E ⋅ F ⋅ u '2 dx − ∫ p ⋅ u ⋅dx 20 0 Um die unbekannte Funktion f(u(x)) zu finden, welche die Bedingung L
∫ f (u ( x)) ⋅dx = Minimum erfüllt,
Πe =
0
führt man eine virtuelle „Variation“ u* ein (Variationsproblem). Die Variation u* (bzw. allgemeiner {v*}) ist beliebig; sie muss nur kinematisch zulässig sein. Πe(u(x)) ist minimal, wenn für beliebige u* (bzw. allgemeiner {v*}) folgendes gilt: δΠe = Πe(u+u*) - Πe(u) = 0
bzw.
*
δΠe = Πe({v}+{v }) - Πe({v}) = 0
[(
L
δΠe = L
=
]
l
L
l
1 ⋅ ∫ E ⋅ F ⋅ u * '2 ⋅dx + ∫ E ⋅ F ⋅ u ' ⋅ u * '⋅dx − ∫ u * ⋅ p ⋅ dx 2 0 0 0 δΠ2=0
2.6.
)
2 1 ⋅ ∫ E ⋅ F ⋅ u '+u * ' − u '2 ⋅ dx − ∫ u * ⋅ p ⋅ dx = 2 0 0
= Aie*
= -Aae*
Globale Steifigkeitsmatrize und globaler Lastvektor
Das Gesamtpotential setzt sich aus der Summe der Potentiale der einzelnen Elemente zusammen.
Π = ∑ Πe
1 T {V } ⋅ [K ] ⋅ {V } − {V }T ⋅ [P] 2
(Grossbuchstaben für Beziehung am globalen Tragwerk, d.h. K = globale Steifigkeitsmatrix, P globaler Lastvektor, V = gesuchte globale Knotenverschiebungen). Aus der Bedingung dass Π ein Minimum darstellt ergibt sich:
δΠ = 0 d.h. δ {v}
[K ] ⋅ {V } = {P} und daraus {V } = [K ]−1 ⋅ {P}
Die Inverse oder Kehrmatrix [K]-1 existiert nur, wenn die quadratische Matrix [K] regulär (nicht singulär) ist. Dies ist dann der Fall, wenn durch eine mindestens statisch bestimmte Lagerung des Tragwerks alle Starrkörperverschiebungen ausgeschlossen sind. Im Falle des Fachwerksbeispiels 1a muss dieses mindestens wie ein einfacher Balken gelagert werden,
Baustatik 2 Teil 3
Matrizenstatik
Seite 14
d.h. die Verschiebungen U1 und W1 im Knoten 1 und die vertikale Verschiebung W9 müssen gehalten werden. Dies geschieht entweder durch die Elimination der von einander abhängigen Gleichungen im globalen Gleichungssystem oder einfacher durch die Einführung einer sehr steifen Feder in Richtung der erwähnten Freiheitsgrade. Die globale Steifigkeitsmatrix [K] setzt sich aus den Anteilen der lokalen Matrizen zusammen, d.h. die lokalen Steifigkeitsanteile werden entsprechend der globalen Knotennummerierung an der Stelle des globalen Systems eingetragen, an welcher die Steifigkeit für alle anschliessenden Elemente aufaddiert werden. Das Gleiche gilt für den globalen Lastvektor. Knm = Σ kij
bei Un = ui und Um = uj
F n = Σ fi
bei Un = ui Un
Un
Um
Um
kii
kij
Kji
Kjj
Abbildung 2.8 Zusammensetzung des globalen Gleichungssystems
Für die fest gehaltenen Verschiebungsfreiheitsgrade (z.B. U1 = W1) wird eine grosse Zahl (1.E20) zum Diagonalterm K11 und K22 addiert. Nach der Invertierung der globalen Matrix stehen an dieser Stelle nach der Multiplikation mit dem globalen Lastvektor, die fiktiven Auflagerverschiebungen. Werden diese mit der grossen Zahl multipliziert erhält man die Auflagerkräfte (siehe Kapitel 4.12). Beispiel 1a: Assemblierung der globalen Steifigkeitsmatrix
Abbildung 2.9 Topologie (Zusammenhang zwischen Elementen und Knoten)
Baustatik 2 Teil 3
Matrizenstatik
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Lokale Matrizen: Typ 1
Typ 2
z.B. Stab 5 von Knoten 2 nach 4
Typ 3
z.B. Stab 8 von Knoten 1 nach 2
z.B. Stab 9
von Knoten 2 nach 3
Invertierte Matrix
Auflagerbedingungen Abbildung 2.10 Einfügen der globalen Elementmatrizen ins globale Gleichungssystem
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Matrizenstatik
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Beispiel 1a: Assemblierung des globalen Lastvektors Lastanteile der Stäbe 5, 8 und 9 für Knoten 2: Stab 5, Typ 1:
Stab 8, Typ 2:
Stab 9, Typ 3: Konzentrierte Knotenlasten:
Abbildung 2.11 Einfügen der globalen Elementlastanteile in den globalen Lastvektor
2.7.
Lösung des Gleichungssystems und Bestimmung der Verschie-
bungen Die Inversion der Matrix [K] erfolgt in Finite Elemente Programmen direkt oder iterativ. Da die Gleichungssysteme bei praktischen Anwendungen sehr gross werden, sind verschiedene Techniken entwickelt worden, um die übliche Gauss’sche Elimination zu beschleunigen. Dabei macht man sich die Tatsache nutzbar, dass das Gleichungssystem symmetrisch ist und die Matrix nur schwach besetzt ist, d.h. sehr viele Nullen aufweist. Um den Speicherplatz zu optimieren und um möglichst wenige Eliminationsschritte durchführen zu müssen, wird das Gleichungssystem, durch eine interne Umnummerierung der Knoten zuerst optimal konditioniert. Dabei geht es darum entweder ein möglichst schmales Band von Koeffizienten entlang der Diagonalen zu erhalten oder die Summe aller Nullkoeffizienten zu minimieren (optimale Bandweite oder optimale Umhüllende der echten Koeffizienten). Programmintern wird vom Gleichungssystem nur die Diagonale plus eine Dreiecksmatrix gespeichert. Da bei grossen Problemen der Hauptspeicher für eine Lösung „in-core“ üblicherweise nicht ausreicht, wird [K] in einzelne Blöcke unterteilt, die bei Bedarf in den Speicher geladen werden. Der Benutzer von FE-Programmen braucht sich heute keine Gedanken zur angewendeten Technik zu machen, da alle Programme heute die gleichen effizienten Algorithmen verwenden.
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Matrizenstatik
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symmetrisch
Abbildung 2.12 Optimierungsstrategien für die Konditionierung des globalen Gleichungssystems
Im gewählten Beispiel 1a der Fachwerkbrücke sind die Knoten bereits optimal nummeriert.
Die
Lösung
des
Gleichungssystems
in
Excel
erfolgt
mit
der
Funktion
=MINV(B92:S109)). Das Feld B92 enthält das erste Element der Ursprungsmatrix, S109 das letzte. (Wichtig: für die Matrixbefehle müssen in Excel bei der Eingabe die Tasten STRG, UMSCHALT und RETURN gleichzeitig gedrückt werden). Die Verschiebungen erhält man durch die Multiplikation der Lastvektoren mit der invertierten Matrix: {V } = [K ]
−1
{P}.
Beispiel 1a: Verschiebungen der Fachwerkbrücke =MMULT(B115:S132;B138:D155)
Abbildung 2.13 Resultatvektor der globalen Verschiebungen
Die Auflagerkräfte rechnen sich aus der Multiplikation der Verschiebungen in den gehaltenen Knoten mit der eingeführten Federsteifigkeit von 1.E20. Eine erste, einfache Verifikation der Resultate ergibt sich aus der Überprüfung der Symmetrie und der Vorzeichen. Addiert man die Verschiebungen zu den Knotenkoordinaten dazu erhält man die verformte Lage des Systems.
Baustatik 2 Teil 3
Matrizenstatik
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Die Normalkräfte erhält man durch die Bestimmung der relativen Knotenverschiebungen in der Stabachse und deren Multiplikation mit der Stabsteifigkeit. N = (δL / L)*E*A = ε*E*A
;
sigmax = N / A ;
Knicklast Pcr = Π2 * EIzz / L2
Die Stabkräfte für die Lastkombination Abbildung 2.14 Berechnung der Elementschnittkräfte (Normalkraft)
Baustatik 2 Teil 3
Statikprogramme
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3. Statikprogramme 3.1.
Grundlagen 3.1.1 Entwicklung
Die ersten allgemein anwendbaren Computerprogramme zur statischen Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente entstanden in den 1960er und 1970er Jahren. Einige wichtige Meilensteine:
Programm STRESS (eine Problem orientierte Computersprache für den Hochbau), Stabtragwerke, Massachusetts Institute of Technology, 1964.
Programm SAP (Structural Analysis Program), Flächentragwerke, University of California, Berkley, 1970.
Programm Solid-SAP, Volumenelemente, University of California, Berkley, 1971.
Programm SAP-IV (Structural Analysis Program), statische und dynamische Berechnungen linearer Systeme, University of California, Berkley, 1974.
Programm ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis), Lineare und nicht-lineare Berechnungen allgemeiner Tragwerke, University of California, Berkley, 1975.
Programm NASTRAN (NASA Structural Analysis Program); später von MacNealSchwendler Corporation als MSC-NASTRAN stetig weiterentwickeltes kommerzielles FE-Programm für alle Anwendungen im Ingenieurwesen (Statik, Dynamik, Hydraulik, Strömungslehre, Wärmeberechnungen, Maschinenbau, Luftfahrt, usw.), seit 1963.
ANSYS, CATIA und ABACUS sind mit NASTRAN vergleichbare, ein sehr weites Anwendungsgebiet abdeckende Programme.
Programm FLASH (Finite Element Analysis of Shells), Allgemeine Stab- und Flächentragwerke, hybride Finite Elemente, ETH Zürich 1976.
Programm STATIK, komfortables Stabstatikprogramm, ETH Zürich 1976.
Programm FLOWERS, lineare und nicht-lineare Berechnungen, offene Programmierung, nur für Forschungszwecke, ETH Zürich 1981.
CUBUS Programme, populäre Programme für Stab- und Plattentragwerke mit integrierter Bemessung, hervorgegangen aus Programmen der ETH Zürich, in PASCAL programmiert.
Programm BEFE (Boundary Elements Finite Elements), Randelemente, TU Graz, 1992.
Programm RuckZuck, Stabtragwerkeprogramm für den Einsatz in Praxis und Lehre, TU Graz, 1999.
EasyStatics, Ebene Stabtragwerke, reines Didaktikprogramm für den Statikunterricht, Browserbasiert in JAVA2 geschrieben, 2004.
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Die obige Aufzählung erhebt keinen Anspruch auf nur annähernde Vollständigkeit. In vielen anderen Ländern entstanden, meistens an Hochschulen, Programme, welche später auch in der Praxis Anwendung fanden. Trotz dem Aufkommen immer neuer und vor allem in der Ausgestaltung des Pre- und Postprocessings, immer komfortablerer Programme, haben sich einige Programme in der Praxis so etabliert, dass sie mittlerweile seit über 30 Jahren im Gebrauch stehen. Da der Programmieraufwand für die Erstellung von grösseren FE-Programmen im Bereich von Dutzenden von Mannjahren liegt, basieren neue Programme sehr oft auf einem älteren (meist in FORTRAN geschriebenen) Kern, um den herum in modernen Programmiersprachen erstellte Pre- und Postprozessoren die Modelleingabe und die Auswertung der Resultate übernehmen.
3.1.2 Grundsätzliche Arbeitsweise von Computerstatik-Programmen Praktisch alle in der Praxis eingesetzten Computerprogramme für die Tragwerksanalyse arbeiten nach der Methode der Finiten Elemente. Für die Lösung von Aufgaben in unendlich ausgedehnten Medien (z.B. Grundbau, Felsmechanik, Tunnelbau) kommt auch die Methode der Randelemente zur Anwendung. In dieser Vorlesung konzentriert sich die Anwendung von Programmen auf Probleme des Hoch- und Brückenbaus. Die Grundzüge der Methode der Finiten Elemente sind im Kapitel 2 dargestellt worden. Die Berechnung eines Tragwerks mit einem Statikprogramm läuft nach folgendem Schema ab:
Baustatik 2 Teil 3 Manuelle Eingabe :
Statikprogramme Grafisch interaktive Eingabe:
Seite 21 Programmtätigkeit:
Wahl des statischen Berechnungsmodells (Stabtragwerk, Platte, Scheibe, Schale, Kontinuum usw.)
Aufteilung des idealisierten Tragwerks in Elemente der Elementbibliothek
Grafische Eingabe der Tragwerksgeometrie oder Übernahme aus einem CAD-System
Eingabe der Koordinaten der Knotenpunkte und der Topologie (Element - Knoten - Beziehung)
Automatische oder benutzergeführte Elementierung, Optimierung der Elementmasche
Ablage aller Eingabedaten in internen Tabellen.
Definition der Elementeigenschaften (Materialwerte, Dicken, Exzentrizitäten, Gelenke, Massen, usw.)
Definition der Elementeigenschaften (Materialwerte, Dicken, Exzentrizitäten, Gelenke, Massen, usw.)
Plausibilitätsprüfungen.
Definition der Auflagerbedingungen und der Zwangsbedingungen zwischen Knotenfreiheitsgraden
Definition der Auflagerbedingungen und der Zwangsbedingungen zwischen Knotenfreiheitsgraden
Definition der Lastfälle und Belastungen (Einzellasten, Verteilte Lasten, Volumenlasten, Temperatur...)
Definition der Lastfälle und Belastungen (Einzellasten, Verteilte Lasten, Volumenlasten, Temperatur...)
Erzeugung von Zeichnungen der Elementmasche mit Elementeigenschaften und der Belastungen
Automatische Erzeugung eines statischen Berichts (Berechnungsannahmen, Geometrie, usw.)
Einlesen oder übernehmen der Benutzereingaben.
Berechnung der lokalen Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren. Optimierung des Gleichungssystems. Erstellen des statischen Berichts für die Annahmen der Berechnung
Aufstellen des globalen Gleichungssystems. Lösung des Gleichungssystems (Inversion der Steifigkeitsmatrix und Multiplikation mit den Lastvektoren -> Deformationen in den Knoten). Bei nicht-linearen Berechnungen: Kontrolle der Gleichgewichtsbedingungen und Iteration über die Materialeigenschaften. Lösung des Eigenwertproblems bei dynamischen und Stabilitätsberechnungen
Definition von Lastfallkombinationen und Grenzwerten, Spezifikation der numerischen und grafischen Ausgaben (Verformungen, Auflagerkräfte, Schnittkräfte, interne Spannungen, Eigenwerte, Bemessungen, Nachweise, usw.) für den statischen Bericht.
Interaktive Auswertung von Lastfallkombinationen und Grenzwerten der Verformungen, Auflagerkräfte, Schnittkräfte, internen Spannungen, Eigenwerte, Bemessungen, Nachweise, usw. automatische Erzeugung des statischen Berichts.
Berechnung aller Schnittkräfte und deren Überlagerung. Bemessungen.
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3.2.
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Das Programm EasyStatics
Das Computerprogramm EasyStatics wurde an der ETH Zürich für den Einsatz im Baustatikunterricht geschrieben. Es ist nicht für den Einsatz in der Praxis ausgelegt, sondern erlaubt die Real-Time Simulation von ebenen Stabtragwerken für einzelne Lastfälle, allenfalls überlagert mit dem Eigengewicht. Weitere Eigenschaften:
Berechnung nach Theorie 2. Ordnung
Stabilität
Eigenwertberechnung
Plastizität
Einflusslinien
Spannungsberechnungen
Fachwerkanalogie.
Die Materialeigenschaften, Auflagerbedingungen und Lasten sind frei wählbar.
Die Bedienung des Programms erfolgt intuitiv über eine grafische Benutzeroberfläche. Die Berechnung erfolgt automatisch und so schnell, dass die Auswirkungen von Veränderungen am Tragwerk, sowohl für die Verformungen, wie für die Schnittkräfte real-time verfolgt werden können.
Menüleiste Zustandsnavigation
Berechnungsart
Ausgabeoptionen
Schaltflächen Zur Modellbildung
Koordinatensystem Koordinaten
Statuszeile
Abbildung 3.1 Berechnung der Elementschnittkräfte (Normalkraft)
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Abbildung 3.2 Die Schaltflächen von EasyStatics
Eine detaillierte Beschreibung ist in [2] enthalten und kann über die Homepage des Instituts für Bauinformatik ( www.bauinformatik.tugraz.at ) mit dem Programm vom Server der ETH Zürich herunter geladen werden. Die Theoretischen Grundlagen, welche über die im Kapitel 2 hergeleiteten hinausgehen finden sich in [1].
Das Computerprogramm FLASH (Finite Element Analysis of
3.3.
Shells) 3.3.1 Anwendungsbereich Die Anwendung des Flächen- und Stabtragwerkprogrammes FLASH (Finite ELement Analysis of SHells) erfordert keine Vorkenntnisse in der Computeranwendung, setzt jedoch ein fundiertes Wissen über das Tragverhalten von elastischen Tragwerken voraus. FLASH berechnet nach der Methode der finiten Elemente homogene, linear-elastische
Schalen
Rotationssymmetrische dünne und dicke Schalen
Faltwerke
Platten (nach der Theorie von Kirchhoff oder Reissner)
Scheiben (ebener Spannungs- oder Verzerrungszustand)
Räumliche Stabtragwerke
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Ebene Stabtragwerke sowie Trägerroste (inkl. Fliessgelenktheorie) unter allgemeinen Beanspruchungen nach Theorie 1. und 2. Ordnung.
Form, Lagerung und Belastung des Tragwerks dürfen bei einer Berechnung mit FLASH, wie üblich bei Finite Element Programmen, beliebig sein. Verschiedene Möglichkeiten erweitern den Anwendungsbereich von FLASH gegenüber herkömmlichen Programmen:
Die mögliche Berücksichtigung des Querkrafteinflusses auf die Verformungen von Platten und Schalen erlaubt die Berechnung "dicker" Flächentragwerke (inkl. Sandwichstrukturen).
Flächenlagerungen (Fundamentplatten, elastisch gebettete Schalen, elastisch senkbare und unsenkbare Stützenköpfe etc.) können wirklichkeitsnah erfasst werden (auch ohne Zugkräfte).
Aussteifungen können durch die Einführung von geraden, zentrisch oder exzentrisch angeschlossenen Stabelementen berücksichtigt werden. Rippenplatten lassen sich auch bei exzentrisch angeschlossenen Stäben als ebenes Problem behandeln.
Elementweise konstante linear-elastische isotrope oder orthotrope Materialeigenschaften können berücksichtigt werden.
Die Einführung von linearen Bindungsgleichungen (Abhängigkeiten zwischen den Knotenfreiheitsgraden) erlaubt die wirklichkeitsgetreue Modellierung von Fugen, Exzentrizitäten, sehr steifen Tragwerksteilen etc., sowie die Erfassung einer schiefsymmetrischen Hälfte.
Neben Einzellasten, Volumenlasten und allgemeinen Linien- und Flächenlasten in allen Richtungen sind vorgeschriebene Auflagerverschiebungen und initiale Dehnungen (infolge Temperaturänderung, Schwinden usw.) als Lastfälle erfassbar. Als weitere Lastarten können Vorspannung, Fliehkräfte und Einflussfelder behandelt werden.
Die Resultatausgabe ist ganz auf eine bemessungsfreundliche Weiterverwendung der Daten ausgerichtet. Je nach Verwendungszweck können die Resultate ausgedruckt und/oder gezeichnet werden. Für einzelne Lastfälle und Kombinationen von Lastfällen sowie für Belastungen für Grenzwerte, welche aus der ungünstigsten Superposition verschiedener Belastungsgruppen resultieren, erhält man:
Verschiebungen und Auflagerreaktionen in den Knoten
Auflagerreaktionen elastisch gestützter Elemente
Momente aus Plattenwirkung
Spannungen aus Scheiben- bzw. Membranwirkung
Hauptspannungen und Hauptmomente
Armierungsmomente für die Dimensionierung der Armierung
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Armierungsgehalte von Stahlbetonflächentragwerken
Stabschnittkräfte
Rand- und Vergleichsspannungen
Detaillierte Spannungsberechnungen von Stahlbauprofilen (Walzprofilen)
Formänderungs- und Verzerrungsenergien
Einflussflächen und Einflusslinien
Eigenwerte und Eigenvektoren der Schwingungs- und Stabilitätsberechnungen
Integrale Beanspruchungen in verschiedenen Tragwerksschnitten für einzelne Lastfälle oder Lastkombinationen.
Mit dem auf einer linearisierten Plastizitätstheorie basierenden Ersatzscheibenverfahren kann die Armierung für Stahlbetonscheiben, -platten und -schalen, für beliebige nicht orthogonale Bewehrungsrichtungen automatisch bestimmt und gezeichnet werden. Die Eigenwertberechnungen der Dynamik und Stabilität können sowohl am belasteten (nach Theorie 2. Ordnung) als auch am unbelasteten System erfolgen. Die verwendeten Elementmodelle erlauben auch extreme Seitenverhältnisse (1:5 und mehr), ohne dass sich ein wesentlicher Genauigkeitsverlust ergibt.
3.3.2 Berechnungsmethode und Modellbildung FLASH arbeitet mit dreieckigen und viereckigen ebenen Flächenelementen sowie mit prismatischen Stabelementen. Vier verschiedene Tragwerkstypen sind möglich. Diese unterscheiden sich durch ihre Tragwirkung bzw. durch die Art der verwendeten Elemente und durch die in den Knoten als Unbekannte eingeführten Verschiebungsparameter (siehe auch Abbildungen 3.3 - 3.5). SCHEIBEN Scheiben sind definiert als in ihrer Ebene belastete ebene "dünne" Flächentragwerke (ebener Spannungszustand) oder unendlich "dicke" dreidimensionale Kontinua, bei denen aus Symmetriegründen nur eine Scheibe einheitlicher Dicke betrachtet werden kann (ebener Verzerrungszustand). Als Knotenverschiebungsparameter werden zwei Verschiebungen, u und v in Scheibenebene, sowie eine um die Z-Achse drehende Rotation Rz eingeführt. PLATTEN Platten sind definiert als senkrecht zu ihrer Ebene belastete ebene Flächentragwerke, mit den Verschiebungsfreiheitsgraden w (Plattendurchbiegung), sowie den Rotationen Rx und Ry. SCHALEN Schalen sind definiert als beliebig geformte räumliche Flächentragwerke, wobei die Scheiben- und Plattenwirkung in jedem Element kombiniert auftreten. Als Knotenverschie-
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bungsparameter werden die drei Verschiebungen u, v, w und die drei Rotationen Rx, Ry, Rz eingeführt. ROTATIONSSYMMETRISCHE SCHALEN Rotationssymmetrische dünne Schalen werden wie die allgemeinen Schalenprobleme behandelt (6 Freiheitsgrade pro Knoten). Die Bedingung für die Rotationssymmetrie wird über die Randbedingungen in den Knoten eingeführt. Falls beispielsweise Z die Rotationsachse der Schale ist und X in radialer Richtung liegt, lauten die Randbedingungen v = Rx = Rz = 0. Rotationssymmetrische dicke Schalen weisen die gleichen Freiheitsgrade wie die Scheibenelemente auf. Die globale Y-Achse stellt die Rotationsachse dar. Ein Element hat man sich als Torus vorzustellen. Die Dateneingabe ist im wesentlichen gleich wie für die Scheibenprobleme, lediglich die Lasten und Reaktionskräfte sind etwas anders definiert. Man beachte, dass kein Knoten auf der Rotationsachse (x = 0.) liegen darf. Für derartige Punkte gibt man einen kleinen Wert für die x-Koordinate an und führt die Symmetriebedingung (u = 0) ein. In Kombination mit den Flächenelementen können für alle Tragwerkstypen prismatische Stabelemente verwendet werden. Treten nur solche auf, können als "Scheibe", "Platte" bzw. "Schale" auch ebene Stabtragwerke, Trägerroste bzw. räumliche Stabtragwerke berechnet werden. Die Bestimmung der Verformungseigenschaften der Flächenelemente, d.h. die numerische Berechnung der Elementkoeffizienten, aus denen dann die globalen Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden, geschieht in FLASH nach dem so genannten "hybriden" Verfahren. Die Eigenwertprobleme werden mit "Subspace"-Iteration gelöst. Die Bedeutung der gefundenen Eigenwerte und Eigenvektoren, ebenso wie die Behandlung von Problemen nach Theorie 2. Ordnung wird im Abschnitt über Belastungen etc. erläutert.
3.3.3 Problemvorbereitung für die numerische Dateneingabe Zur Beschreibung des in finite Elemente unterteilten Tragwerks sind bei FLASH zwei Nummerierungssysteme einzuführen: - Knotennummern
( 1...k...nkn )
- Elementnummern
( 1...e...nel )
Fakultativ können zusätzlich die Elemente mit einer Typnummer beschrieben werden, wobei Elemente gleicher Dicke, Form, Lage im Raum, Materialeigenschaften, Exzentrizitäten, Gelenken und im Falle von Berechnungen nach Theorie 2. Ordnung, gleicher Normalkräfte, dieselbe Typnummer zugeordnet erhalten. Die Verwendung möglichst wenig verschiedener Typen reduziert den Rechenaufwand und Speicherbedarf unter Umständen sehr wesentlich. - Typnummern
( 1...t...net )
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Die Geometrie des Tragwerks wird im Normalfall durch die Angabe der Koordinaten aller Knotenpunkte in einem beliebigen rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem, dem so genannten globalen System, festgelegt (siehe z.B. Bilder 3.3 – 3.5). Bei Scheiben und Platten beziehen sich alle Ein- und Ausgabedaten auf dieses globale Koordinatensystem. Bei beliebig im Raum liegenden Schalenelementen wird zusätzlich ein elementeigenes lokales Koordinatensystem definiert. In besonderen Fällen ist es sinnvoll, die Geometrie des Tragwerks oder von Teilen des Tragwerks in neuen Koordinatensystemen zu formulieren. FLASH unterstützt u.a. für diesen Zweck die Verwendung von zusätzlichen rechtwinklig-kartesischen, zylindrischen und sphärischen Koordinatensystemen. Scheibentragwerke und rotationssymmetrische dicke Schalen
Y
Rz Y
v
Z
u
X
Z X
Freiheitsgrade : Verschiebungen
u, v
Rotation
Rz
Abbildung 3.3 Globales Koordinatensystem und Freiheitsgrade für Scheiben
Plattentragwerke w Y
Ry
Z
Rx
X
Freiheitsgrade : Verschiebung w Rotationen
Rx, Ry
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Abbildung 3.4 Globales Koordinatensystem und Freiheitsgrade für Platten
Schalentragwerke
Z w
Y Rz Z
v Y
Ry Rx
X
u
X
Freiheitsgrade : Verschiebungen Rotationen
u, v, w
Rx, Ry, Rz
Abbildung 3.5 Globales Koordinatensystem und Freiheitsgrade für Schalen und Faltwerke
Die für das Lösen des Gleichungssystems wichtige Knotennummerierung kann durch das Programm optimiert werden. Dies erlaubt dem Benützer, eine für Ein- und Ausgabe praktische Knotennummerierung zu wählen, ohne auf eine minimale Nummerndifferenz Rücksicht nehmen zu müssen. Zusammenfassend ist bei einer Berechnung mit dem Programm FLASH folgendes zu spezifizieren:
Tragwerkstyp (Scheibe, Platte, Schale oder Rotationssymmetrisch) sowie die Anzahl der Knoten, Elemente und eventuell Elementtypen
Knotenkoordinaten
Material- und sonstige Eigenschaften aller Elemente oder Elementtypen
Knotennummernzuordnung für alle Elemente (Topologie)
Typenzuordnung für alle Elemente, falls Typen spezifiziert
Inaktive Elemente
Auflagerbedingungen
Lasten
Gewünschte Resultate
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3.3.4 Numerische Dateneingabe Die numerische Dateneingabe ist in einem so genannten Syntaxdiagramm beschrieben. Dies erlaubt eine elegante nicht-formatgebundene Problembeschreibung und enthält eine Vielzahl von Generierungsmöglichkeiten für die Geometrie, Topologie und die Lasten. Syntaxdiagramme werden in der Informatik oft eingesetzt, um Konventionen festzulegen. Der Vorteil einer numerischen Eingabe bei FE-Programmen liegt darin, dass nach einer einmal erfolgten grafischen Modellierung oft nur noch einzelne Parameter verändert werden müssen und damit viel Zeit eingespart werden kann. Im Statikunterricht liegt der Vorteil in einer leicht lesbaren Eingabebeschreibung der Übungsbeispiele. Folgende Konventionen gelten (siehe auch [3]): Beim Zusammenstellen der Eingabe ist strikte der vertikalen Linie (bzw. deren Abzweigungen) in Pfeilrichtung zu folgen. Jeder Querbalken auf dieser Linie entspricht einer Eingabeanweisung. Eine solche entspricht einer Eingabezeile (max. 130 Zeichen). Eingabeanweisungen setzen sich aus Wörtern (die in den Eingabeschemas gross geschrieben sind), aus Zahlenwerten (deren Symbole klein geschrieben sind) und aus Spezialzeichen zusammen. Wörter, Zahlen und Spezialzeichen sind durch wenigstens eine Leerstelle voneinander zu trennen. Bei den Wörtern ist nur der erste Buchstabe relevant. Zahlenwerte sind entweder im Integer-Format (ohne Dezimalpunkt) oder im Real-Format (immer mit Dezimalpunkt, ev. im FORTRAN E-Format) einzugeben, je nachdem ob der einzugebende Zahlenwert nur ganzzahlig sein kann oder nicht. Dabei ist Vorsicht geboten, da das Zahlenformat (mit oder ohne Dezimalpunkt) eine zur Interpretation der Eingabeanweisung oft notwendige Information darstellt.
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Abbildung 3.6 Syntaxdiagramm der Knotenkoordinaten-Eingabe
Weiter gelten folgende Regeln : *
Ein Stern in der ersten Kolonne einer Anweisung trennt die verschiedenen Befehlsgruppen.
,
Ein Komma bedeutet, dass die Eingabeanweisung zu Ende ist. Was auf der gleichen Zeile noch folgt, wird nicht interpretiert. Bemerkungen können damit hinzugefügt werden. Mit einem Komma können analog ganze Kommentarzeilen bzw. Leerzeilen eingefügt werden.
/
Ein Schrägstrich bedeutet, dass die gleiche Anweisung auf der nächsten Karte bzw. Zeile noch fortgesetzt wird. Damit sind beliebig lange Eingabeanweisungen möglich.
$
Ein Dollarzeichen bedeutet, dass die Anweisung zu Ende ist und dass auf der gleichen Karte bzw. Zeile eine neue Anweisung folgt.
()
Die in den Eingabeschemas angegebenen Ausdrücke entsprechen nicht obligatorischen Eingabedaten. Klammern dürfen in Eingabeanweisungen nicht vorkommen.
{i}
Eine Integer-Grösse zwischen geschweiften Klammern stellt die Abkürzung einer Integer-Liste dar (z.B. eine Liste von Knotennummern k oder von Elementnummern e). Die syntaktische Struktur von Integer-Listen ist aus folgendem Schema ersichtlich:
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Abbildung 3.7 Syntaxdiagramm für das Generieren von Listen
nr
[]
=
Nummer (Knoten-, Element- oder Typnummer) m
=
Anzahl Schritte in m-Richtung (m > 1)
n
=
Anzahl Schritte in n-Richtung (n > 1)
d
=
Nummerndifferenz (falls weggelassen d=1)
dm
=
Nummerndifferenz in m-Richtung
dn
=
Nummerndifferenz in n-Richtung
In eckigen Klammern stehende Ausdrücke brauchen nur einmal eingegeben zu werden und gelten darauf bis zu einer eventuellen Neudefinition. Gebrochene runde Klammern schliessen Ausdrücke ein, die je nach Tragwerkstyp (Scheiben, Platten, Schalen) nicht eingegeben werden dürfen. Das Programm rechnet, ohne auf physikalische Dimensionen Rücksicht zu nehmen.
Die Längen- und Kraftdimensionen müssen demzufolge für die gesamte Eingabe einheitlich gewählt werden. Alle Winkel verstehen sich in Altgrad (90-Grad Teilung). In einer sehr ausführlichen Schreibweise sieht die numerische Eingabe für das Fachwerkbeispiel 1a wie folgt aus: BEGINN FACHWERKBRUECKE EBENES STABTRAGWERK 9 15 KNOTEN 1 0. 0. PLUS 4. KNOTEN 3 BIS 9 SCHRITT 2 KNOTEN 2 2. 2.4 PLUS 4. KNOTEN 4 BIS 8 SCHRITT 2 * QUERSCHNITTSBERECHNUNGEN * MATERIALEIGENSCHAFTEN STAB 2.1E8 .8E8 0.008068 1.E20 0.0002188 ELEMENTE 1 BIS 15 STAB ANFANG GELENK ROTATION Z ENDE GELENK ROTATION Z ELEMENTE 1 BIS 15 * TOPOLOGIE STAB 1 KNOTEN 1 3 0. PLUS 2 2 ELEMENTE 2 BIS 4 STAB 5 KNOTEN 2 4 0. PLUS 2 2 ELEMENTE 6 7 STAB 8 KNOTEN 1 2 0. PLUS 1 1 ELEMENTE 9 BIS 15 * TYPZUWEISUNG * AUFLAGERBEDINGUNGEN NICHT-FREI NICHT-FREI NICHT-FREI KNOTEN 1 FREI NICHT-FREI NICHT-FREI KNOTEN 9 FREI FREI NICHT-FREI KNOTEN 2 BIS 8 * MASCHENZEICHNUNG ZEICHNUNG MIT KNOTENNUMMERN MIT ELEMENTNUMMERN SCHRIFT 0.4 MASSSTAB 50. * KNOTENNUMMERN OPTIMIEREN OPTIMIERE * VORSPANNUMG * BELASTUNGEN
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LASTFALL 1 EIGENGEWICHT VOLUMENLAST 0. -78. LASTFALL 2 KNOTENLASTEN KNOTENLAST 0. -100. KNOTEN 3 5 7 * ZEICHNUNG DER BELASTUNGEN BELASTUNG ZEICHNEN LASTFALL 1 BELASTUNG ZEICHNEN LASTFALL 2 * NUMERISCHE RESULTATE LASTFALL 1 DEFORMATIONEN $ REAKTIONEN $ MIT STABKRAEFTEN LASTFALL 2 $ KOMBINATION 1 1. 2 1. * ZEICHNUNG DER VERFORMUNGEN UND SCHNITTKRAFTUEBERLAGERUNGEN KOMBINATION 1001 DEFORMATION MASCHE MASSSTAB 50. AUSLENKUNG 50. KOMBINATION 1001 $ GRENZWERT STAB NORMALKRAFT ZEICHNE MASSSTAB 50. * ENDE Abbildung 3.8 Eingabebefehle für das Beispiel 1a
3.3.5 Interaktive Grafische Eingabe Der Pre- und Postprocessor WIN-FLASH ermöglicht die interaktiv-grafische Ein- und Ausgabe. Die Maschengenerierung kann vom Benutzer gesteuert werden, verläuft aber weitgehend automatisch. Die detaillierte Beschreibung findet sich im Benutzerhandbuch [4] und in der Beispielsammlung [5].
Abbildung 3.9 Grafische Eingabe mit WIN-FLASH
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Abbildung 3.10 Grafische Ausgabe mit WIN-FLASH
3.3.6 Theoretische Grundlagen von FLASH Die Scheiben-, Platten- und Schalenelemente verwenden so genannte hybride finite Elementansätze. Die Besonderheit besteht darin, dass nicht nur für die unbekannten Verschiebungen entlang der Elementränder Ansatzfunktionen gewählt werden, sondern gleichzeitig auch für die Schnittgrössen im Inneren der Elemente. Der Benutzer kann den Grad der Ansatzfunktionen selbst festlegen oder aber die Default-Annahmen übernehmen. Die Herleitung der lokalen Elementmatrizen erfolgt nach dem Prinzip der komplementären Energie. Der Vorteil in der direkten Annahme der Schnittkräfte im Inneren der Elemente besteht darin, dass diese nicht aus den Verschiebungen abgeleitet werden müssen und deshalb in vielen Fällen rascher zur richtigen Lösung konvergieren. Bei Platten kann z.B. auch die Querkraft direkt über die Ansatzfunktionen bestimmt werden. Im weiteren ist es einfacher, Verschiebungsfunktionen zu formulieren, welche nur für die Elementränder gelten. Der Nachteil liegt darin, dass die Schnittkräfte entlang der Elementränder Sprünge aufweisen. Für Stabtragwerke werden die Elementmatrizen direkt bestimmt, wobei der Einfluss der Schubverformung bei Stäben mitberücksichtigt werden kann. Die Ableitung der Theorie der hybriden finiten Elemente ist nicht Ziel dieser Vorlesung. Einige der Besonderheiten werden an Hand der folgenden Beispiele erläutert. Ansonsten wird auf das Theoriehandbuch [6] verwiesen. Stab- und Flächenelemente können gemischt verwendet werden, da die gleichen Ansatzfunktionen verwendet werden.
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Abbildung 3.11 Struktur mit Stab- und Flächenelementen
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Stabtragwerke
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4. Stabtragwerke Im Folgenden werden einige Annahmen der Stabstatik anhand von Beispielen untersucht. Die meisten gewählten Beispiele sind ebene Tragwerke, da die Übersichtlichkeit dabei grösser ist. Die Aussagen gelten aber auch für räumliche Stabtragwerke.
4.1.
Fachwerkmodell
Die Modellierung eines Tragwerks als Fachwerk stellt für die Handrechnung eine bedeutsame Vereinfachung dar. Da in der praktischen Ausführung die Knoten eines Tragwerkes nur in Ausnahmefällen (Gelenke, Auflager) wirklich ohne Rotationssteifigkeit ausgebildet werden können, stellt sich die Frage nach dem Einfluss dieser Vereinfachung auf das Verformungsverhalten und die Schnittkräfte. Beispiel 1b: Fachwerkbrücke mit Trägerhöhe von 2.0 m
Abbildung 4.1 Verformungen des Fachwerks mit Gelenken für Lastkombination Eigengewicht + Einzellasten
4.2.
Einfluss der Knotenbiegesteifigkeit (Rahmenmodell)
Der Vergleich mit einer Rahmenberechnung des Beispiels 1b zeigt, dass die Vereinfachung keinen wesentlichen Einfluss auf die Resultate hat: Beispiel 1c: Fachwerkbrücke mit Trägerhöhe von 2.0 m biegesteif gerechnet
Abbildung 4.2 Verformungen des Fachwerks ohne Gelenke als Rahmen nach Theorie erster Ordnung gerechnet
Erwartungsgemäss wird die Verformung durch die zusätzliche Steifigkeit des Tragwerks etwas kleiner. Die Normalkräfte reduzieren sich im Obergurt, da ein Teil der Last nun auch über die Biegung und Querkräfte abgetragen wird.
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Stabtragwerke
Schnittkraft
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Fachwerkmodell
Rahmenmodell
N max Obergurt
-433.1
- 415.5
N max Untergurt
381
366.4
M max Obergurt
1.25 (aus Eigengewicht)
12.8
M max Untergurt
1.25
13.6
Abbildung 4.3 Schnittkraftvergleich zwischen Fachwerk- und Rahmenmodell
Wie mit EasyStatics leicht gezeigt werden kann, bringt eine Berechnung nach Theorie 2. Ordnung beim Beispiel 1 nichts. Die initialen Normalkräfte sind zu klein und die Ablenkkräfte infolge der kleinen Verschiebungen vernachlässigbar (siehe [1], Kapitel 5.2). 100 Kn 100 Kn
2m 150 Kn 150 Kn
Abbildung 4.4 Einfache Handkontrolle (ohne Eigengewicht), Momentengleichgewicht in Mitte des Untergurtes
4.3.
Einfluss der Lagerungsbedingungen
Während die Einflüsse der internen Zwängungen infolge steifer Knotenausbildungen, sowie der Einfluss der Theorie 2. Ordnung gering ausfallen, kommt der Ausbildung der Lagerungsbedingungen grosse Bedeutung zu. Wird beim Fachwerkbeispiel 1 auch das rechte Lager in horizontaler Richtung gehalten, so verändert sich das Tragverhalten grundsätzlich. Beispiel 1d: Fachwerkbrücke mit beidseitig horizontaler fester Lagerung
Abbildung 4.5: Beidseitig horizontal gelagerte Fachwerkbrücke
Die maximale Durchbiegung verringert sich 32% und die Zugkräfte im Untergurt reduzieren sich von maximal 381 kN auf 108.6 kN, d.h. um über 70%. Die Aussage ist trivial, aber viele Bauschäden entstehen durch eine falsche Einschätzung der Lagerungsbedingungen. Würde im obigen Beispiel der Untergurt auf die ausgewiesenen Normalkräfte dimensioniert, so wäre ein Versagen, bei einer Auflagerverschiebung wahrscheinlich.
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Stabtragwerke
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Beispiel 1e: Fachwerkbrücke mit Auflagerverschiebung von 2 mm
Abbildung 4.6 Horizontale Auflagerverschiebung von 2 mm am rechten Auflager.
Eine Verschiebung von 2 mm in horizontaler Richtung lässt die Normalkraft im Untergurt bereits fast um den Faktor 3 anwachsen!
4.4.
Einfluss initialer Dehnungen
Die Zwängungen aus der statisch unbestimmten Lagerung wirken sich erst recht bei initialen Dehnungen stark auf die Schnittkräfte aus. Erwärmt man die obige Struktur um 30 Grad Celsius, so erhöhen sich die Normalkräfte um ein Mehrfaches: Temperaturausdehnungskoeffizient von Stahl α = 12 * 10-6 -> εo = 360 * 10-6 Beispiel 1f: Fachwerkbrücke unter Temperaturbelastung LASTFALL TEMPERATUR T 360.E-6 E 1 BIS 15 * ZEICHNUNG DER BELASTUNGEN . BELASTUNG ZEICHNEN LASTFALL 3 * NUMERISCHE RESULTATE . LASTFALL 2 $ LASTFALL 3 $ KOMBINATION 1 1. 2 1. 3 1.
Abbildung 4.7 Initiale Dehnung (zusätzliche FLASH-Eingabe und Resultate)
Initiale Dehnungen treten nicht nur aus externen Einflüssen (Temperatur, Schwinden, usw.) auf, sondern werden oftmals in statischen Berechnungen zur Modellierung von Vorspannkräften oder bei Überhöhungsberechnungen eingeführt. Das nachfolgende Beispiel aus der Praxis zeigt die – falsche - Modellierung eines Fussgängersteges als räumliches Stabtragwerk.
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Stabtragwerke
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Einfluss der Querkraftverformung bei Stabtragwerken
4.5.
Die lokalen Verschiebungsgrößen des Biegestabes sind in Abbildung 4.8 dargestellt. z, w w1
Ry2
Ry1
w2
u1
u2
1
2 L
x, u
Abbildung 4.8 Lokale Verschiebungsgrößen des Biegestabes (Vorzeichen Konvention)
Die Verschiebungsfunktionen 3. Grades für die Stabverformung infolge der Einheitsverschiebungen w1 und w2, sowie der Einheitsverdrehungen Ry1 und Ry2 finden sich in [1], Seite 86. Die vollständige lokale Steifigkeitsmatrix des ebenen Biegestabes sieht ohne Schubverformung wie folgt aus:
⎡ E⋅A ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢− E ⋅ A ⎢ L ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢
0 12 ⋅ E ⋅ I yy −
−
L3 6 ⋅ E ⋅ I yy
−
0 −
6 ⋅ E ⋅ I yy
0
L2 4 ⋅ E ⋅ I yy
L2
L
0
0
12 ⋅ E ⋅ I yy
6 ⋅ E ⋅ I yy
L3 6 ⋅ E ⋅ I yy
L2 2 ⋅ E ⋅ I yy
L2
L
E⋅A L
0 E⋅A L 0 0
0 −
12 ⋅ E ⋅ I yy L3 6 ⋅ E ⋅ I yy L2 0
12 ⋅ E ⋅ I yy −
L3 6 ⋅ E ⋅ I yy L2
⎤ ⎥ 6 ⋅ E ⋅ I yy ⎥ ⎥ ⎥ L2 2 ⋅ E ⋅ I yy ⎥ ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ 6 ⋅ E ⋅ I yy ⎥ − ⎥ L2 ⎥ 4 ⋅ E ⋅ I yy ⎥ L ⎦⎥ 0
⎧ u1 ⎫ ⎪ w1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ Ry1 ⎪⎪ ⎨ ⎬ ⎪ u2 ⎪ ⎪ w2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩Ry 2 ⎪⎭
Abbildung 4.9 Lokale Steifigkeitsmatrix des ebenen Biegestabes
Die kinematischen Annahmen der Stabstatik für die reine Biegung, dass die Querschnittsform erhalten bleibt, der Querschnitt eben und senkrecht zur Stabachse bleiben, verletzen jedoch das Gleichgewicht, da damit keine Schubverformung möglich ist (γ = 0.) Damit wäre auch τ = G ⋅ γ = 0 somit auch
V = ∫∫τ ⋅ dA = 0 F
mit G =
E 2 ⋅ (1 + υ )
( G = Schubmodul ) und
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Seite 39
V
γ
Abbildung 4.10 Reine Schubverformung infolge einer Querkraft V
Die reine Schubsteifigkeit für eine Einheitsverschiebung senkrecht zur Stabachse beträgt:
k wV =
G ⋅α ⋅ A wobei L
α = Faktor für die reduzierte Schubfläche
beim Rechteckquerschnitt α =
5 6
bei T- und Doppel-T-Profilen α = ~ ASteg / ATotal Im Allgemeinen ist der Schubanteil sehr klein. Bei der Durchbiegung des einfachen Trägers unter gleichmässig verteilter Belastung macht der Einfluss weniger als 2% aus. Im Stahlbau, insbesondere bei I-Profilen mit dünnen Stegen, kann der Einfluss jedoch beträchtlich sein. Der Einfluss der Schubverformung kann in der Stabstatik nicht direkt in der Steifigkeitsmatrix berücksichtigt werden. Er muss über die lokale Flexibilitätsmatrix berechnet werden, d.h. man erteilt einem fiktiven passend gewählten Gleichgewichtszustand eine virtuelle Verschiebung, die identisch ist mit der wirklichen Verformung des Systems. Die Arbeitsgleichung Ai – Aa = 0 liefert direkt die entsprechenden Verschiebungen des Systems. Durch eine Gauss’sche Elimination der Flexibilitätsmatrix erhält man dann wieder die lokale Steifigkeitsmatrix. Diese wird, wie in Kapitel 2.4 gezeigt, im globalen System eingesetzt, das darauf invertiert werden kann, um die globalen Verschiebungen zu erhalten. Das Vorgehen entspricht exakt demjenigen bei so genannten hybriden Finiten Elementen, die z.B. in FLASH für die Modellierung von Scheiben, Platten und Schalen verwendet werden.
Baustatik 2 Teil 3
⎡δ11 δ12 ⎢δ ⎢ 21 δ 22 ⎢ : : ⎢ ⎢ δ i1 δ i 2 ⎢ : : ⎢ ⎢⎣δ n1 δ n 2
Stabtragwerke
⋅ ⋅ ⋅ δ1 j
Seite 40
⋅ ⋅ ⋅ δ1n ⎤ ⎧ F1 ⎫ ⎧ v1 ⎫ ⋅ ⋅ ⋅ δ 2 n ⎥⎥ ⎪ F2 ⎪ ⎪ v2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ : ⎥ ⎪⎪ : ⎪⎪ ⎪⎪ : ⎪⎪ ⎥*⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ ⋅ ⋅ ⋅ δ in ⎥ ⎪ F j1 ⎪ ⎪vi1 ⎪ : ⎥ ⎪ : ⎪ ⎪:⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⋅ ⋅ ⋅ δ nn ⎥⎦ ⎪⎩ Fn ⎪⎭ ⎪⎩ vn ⎪⎭
⋅ ⋅ ⋅ δ2 j : ⋅ ⋅ ⋅ δ ij : ⋅ ⋅ ⋅ δ nj
Die Flexibilitätskoeffizienten werden mit dem Kraftgrössenverfahren am Kragarm bestimmt:
δ ij = ∫ L
Ni ⋅ N j E⋅A
⋅ dx + ∫
Mi ⋅ M j E ⋅ Iy
L
⋅ dx + ∫ L
Qi ⋅ Q j G ⋅α ⋅ A
⋅ dx + ∫ L
Ti ⋅ T j G ⋅ IT
⋅ dx
Ni = 1 ist die fiktive Normalkraft am Ort und in Richtung der gesuchten Verschiebung dxi Mi = 1 ist das fiktive Moment am Ort und in Richtung des gesuchten Drehwinkels φi Qi = 1 ist die fiktive Querkraft am Ort und in Richtung der gesuchten Schiebung γi Bei räumlichen Stabtragwerken kommt die Torsion, bzw. Verdrehung des Stabes dazu: Ti = 1 ist die fiktive Torsionskraft am Ort und in Richtung der gesuchten Verdrehung δi Der Koeffizient δv1= δ22 wird zum Beispiel wie folgt bestimmt:
w2
δ v1 = ?
Ry2
u2
1 L
2
x
Abbildung 4.11 Bestimmung der Flexibilitätsmatrix am Kragarm
δ 22 = ∫ L
Mi ⋅ M j E ⋅ Iy
⋅ dx + ∫ L
Qi ⋅ Q j G ⋅α ⋅ A
1
⋅ dx
x*1
x2 1 ⋅ dx + ∫ ⋅ dx E ⋅ Iy G ⋅α ⋅ A L L
x
δ 22 = ∫ δ 22 =
L3 L + 3 ⋅ E ⋅ I y G ⋅α ⋅ A
M
1
1 x
Abbildung 4.12 Bestimmung der Verschiebung w1
Q
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Steifigkeitsmatrix Schubverformung 4.6.
und
Seite 41
Lastvektor
des
Stabelementes
mit
Das untenstehende Tableau zeigt die Ausgangsmatrix zur Berechnung der lokalen Steifigkeitsmatrix und der lokalen Lastvektoren für die beiden gleichmässig verteilten Belastungen px und pz, sowie das gleichmässig verteilte Moment my am ebenen Stabelement. ⎧ ⎪ u1 ⎪ ⎪w ⎪ 1 ⎪ ⎪ Ry1 ⎪ ⎨ ⎪ NR2 ⎪ ⎪ ⎪ QR2 ⎪ ⎪ ⎪M R2 ⎩
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
⎡ L ⎢E ⋅ A ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0
0
0
L3 L + 3 ⋅ E ⋅ I y G ⋅α ⋅ A − L2 2 ⋅ E ⋅ Iy
− L2 2 ⋅ E ⋅ Iy L E ⋅ Iy
0
−
L2 2⋅E ⋅A
1
0
0
0
0
1
L
0
0
0
1
0
0
0
0
0
L
0
−1
0
0
0
0
0
L
−L
−1
0
0
0
0
L2 2
L4 8⋅ E ⋅ Iy L3 6 ⋅ E ⋅ Iy
⎤ 0 ⎥ ⎥ L2 ⎥ − 2 ⎥ ⎥ −L⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
⎧ N1 ⎫ ⎪Q ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪M 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ *⎨ 0 ⎬ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ px ⎪ ⎪p ⎪ ⎪ z⎪ ⎪⎩ m y ⎪⎭
Die Flexibilitätskoeffizenten δ11bis δ33 stellen die Verschiebungen (u1; w1), bzw. Verdrehungen (Ry1) am freien Stabende, infolge der entsprechenden Einheitskräfte (N1=1; Q1=1; M1=1) dar. Die Flexibilitätskoeffizenten δ41bis δ63 stellen die Reaktionskräfte (NR2; QR2), bzw. – momente (MR2) am eingespannten Stabende, infolge der entsprechenden Einheitskräfte (N1=1; Q1=1; M1=1) dar. Die Koeffizienten δ71bis δ93 stellen die Verschiebungen, bzw. Verdrehungen am freien Stabende, infolge der entsprechenden gleichmässig verteilten Belastungen (px; pz; my) dar; darunter findet man die Einspannkräfte. Durch eine Gauss’sche Elimination bis zum Diagonalelement δ33 , wobei die Austauschschritte an den Zeilen und Spalten von 1-6, bzw. 1-9 durchgeführt werden, erhält man die lokale Steifigkeitsmatrix und die drei lokalen Lastvektoren.
4.7.
Ausbildung von Gelenken
EasyStatics erlaubt die Unterscheidung von Fachwerkmodellen in denen der Knotenrotationsfreiheitsgrad Ry von vornherein ausgeschaltet ist und von Rahmenberechnungen mit dem vollständigen Satz von Knotenfreiheitsgraden u , w und Ry in der Ebene. Um auch bei starren Knotenverbindungen einzelne Freiheitsgrade zu lösen oder um innerhalb von Stäben Gelenke einzuführen, steht für Biegegelenke eine entsprechende Funktion zur Verfügung (siehe Abbildung 4.13). Beispiel 2a: Hallenrahmen
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Seite 42
Abbildung 4.13 Einführung von Biegegelenken
Die Konstruktion von Gelenken dient meist dazu, den Biegemomentenverlauf zu beeinflussen und Spannungskonzentrationen zu vermeiden. Im oben gezeigten Beispiel 2a einer Stahlhalle kann die Dachkonstruktion bei Einführung eines Gelenkes am Giebel leichter gebaut werden, was wiederum zu einem geringeren Eigengewicht und damit einem günstigeren Kraftverlauf führt. Wie man aus der Abbildung unten links erkennt, genügt dazu die Einführung eines Gelenkes. Es gehört zu den häufigsten Eingabefehlern in Statikprogrammen Knoten mit lauter Gelenken auszustatten. Dies führt im Gleichungssystem zu einem Pivot-Element mit dem Wert Null. Es wäre programmtechnisch zwar ein Leichtes die entsprechende Gleichung zu eliminieren, doch ginge damit eine wichtige Kontrolle über die Gesamtstabilität des Tragwerks verloren. Bei Programmen, welche keinen Tragwerkstyp Fachwerk kennen (z.B. FLASH), kann es bei vielen Stäben und Knoten mühsam sein, die Gelenke so an den Stabenden anzuordnen, dass immer ein Stab ohne Gelenk anschliesst. In diesem Fall ordnet man allen Stäben Anfangs- und Endgelenke zu und verhindert die Instabilität des Gleichungssystems durch die Anbringung fester Rotationslager in den entsprechenden Knoten (in Abbildung 4.13 rechts unten mit einem „Rotationsauflager“ im Scheitel gezeigt). Verallgemeinert ausgedrückt geht es bei Gelenken darum, einzelne Elementfreiheitsgrade zu eliminieren, bzw. die Übergangsbedingungen zwischen zwei an einem Knoten anstossenden Elementen zu formulieren. Demzufolge kann man auch Schub- und Normalkraftgelenke ausbilden.
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Seite 43
Abbildung 4.14 Schub-, Normalkraft- und Biegegelenke
Programmtechnisch gibt es verschiedene Möglichkeiten Gelenke zu behandeln: Elimination des Freiheitsgrades innerhalb des Elementes durch die Wahl entsprechender Ansatzfunktionen Formulierung von Beziehungen zwischen Knotenfreiheitsgraden (Constraints). In diesem Fall erhalten die zusammenstossenden Elemente eigene Knoten, für die dann eine Gleichung zwischen den zu verbindenden Freiheitsgraden formuliert wird (siehe Kapitel 4.9) Die erste Möglichkeit wird praktisch nur auf Stabtragwerke angewendet, da die Verwendung spezifischer „Gelenkelemente“ bei Flächentragwerken zu einem unverhältnismässigen Eingabeaufwand führt, insbesondere, wenn die Lage der Elemente im Raum beliebig ist. Berechnet man die Stabsteifigkeitsmatrix aus der Flexibilitätsmatrix, können die Gelenke in der Gauss’schen Elimination elegant berücksichtigt werden, indem im Eliminationsprozess die Eliminationsschritte am freien Kragarm für ein Gelenk übersprungen und am eingespannten Ende ausgeführt werden.
Baustatik 2 Teil 3
4.8.
Stabtragwerke
Seite 44
Exzentrizitäten
Exzentrizitäten treten bei Stabtragwerken immer dann auf, wenn die Systemlinie, bzw. die neutrale Achse Sprünge aufweist oder wenn Stäbe als exzentrische Aussteifungen an Flächentragwerken angeschlossen werden.
Brücke Seitenansicht Fahrbahnplatte Exzentrische Stütze
ez
Bodenplatte Querschnitt offen
ex
Querschnitt geschlossener Kasten
Platte
ez Unterzug
Abbildung 4.15 Exzentrizitäten bei einer Stütze (links), einer Brückenquerschnittsänderung und einer Rippenplatte
Zur Modellierung stehen die folgenden Verfahren zur Verfügung: Verbindung der beiden Stabenden mit einem zusätzlichen starren Stab, Direkte Formulierung der Elementsteifigkeitsmatrix mit Exzentrizität, Verbindung der Knoten mit Constraint-Bedingungen (siehe Kapitel 4.9). Die erste Methode muss z.B. in EasyStatics angewendet werden, ist jedoch bei grösseren Tragwerken mit vielen Exzentrizitäten nicht zu empfehlen. Sehr steife Elemente führen zu einem schlecht konditionierten Gleichungssystem, d.h. zu sehr grossen Unterschieden der Koeffizienten auf der Hauptdiagonalen des Gleichungssystems. Dies wiederum führt zu fortschreitenden Rundungsdifferenzen und damit ungenauen Resultaten. Beispiel 2b: Hallenrahmen mit Stützenversatz
Abbildung 4.16 Exzentrizitäten mit steifen Stäben
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Stabtragwerke
Seite 45
In FLASH werden die Exzentrizitäten direkt bei der Berechnung der lokalen Steifigkeitsmatrix berücksichtigt. Die Eingabe der Exzentrizitäten erfolgt im globalen Koordinatensystem vom Knoten zur Stabachse. Die Ausgabe der Schnittkräfte erfolgt bezüglich der Stabachse. Das nachfolgende Eingabebeispiel für FLASH modelliert einen Hallenrahmen wie im Abbildung 4.15 dargestellt, wo das Stützenprofil auf der Höhe der Kranbahn von einem HEB600 in ein HEB300 übergeht. BEGINN Rahmen mit Exzentrizitäten EBENER SPANNUNGSZUSTAND 7 6 1 2.0 2.0 PLUS 14. KNOTEN 7 2 2.0 8.0 PLUS 14. KNOTEN 6 3 1.85 10.5 PLUS 14.3 KNOTEN 5 4 9.0 13.0 * * STAB 2.1000E+007 8.0000E+006 'HEB600' ELEMENTE 1 6 STAB 2.1000E+007 8.0000E+006 'HEB300' ELEMENTE 2 BIS 5 STAB ANFANG EXZENTRIZITAET -.15 0. ELEMENT 2 STAB ENDE EXZENTRIZITAET .15 0. ELEMENT 5 * STAB 1 1 2 0. PLUS 1 1 ELEMENT 2 B 6 * * N N N KNOTEN 1 7 * * OPTIMIERUNG * * LASTFALL GLEICHMäSSIGE GLOBALE LAST GLEICHMAESSIG GLOBAL 0. -1. ELEMENTE 3 4 * * LASTFALL 1 $ DEFORMATIONEN $ REAKTIONEN $ MIT STAEBEN * * Abbildung 4.17 Eingabe des Hallenrahmens mit exzentrischen Stäben in FLASH
Programmtechnisch werden die Exzentrizitäten durch eine Transformation der entsprechenden Freiheitsgrade in der lokalen Steifigkeitsmatrix berücksichtigt. Dazu müssen die globalen Exzentrizitäten mittels der Rotationsmatrix zuerst ins lokale Stabsystem umgerechnet werden. Das gleiche hat nach der Berechnung mit den globalen Verschiebungen zu geschehen, welche für die Berechnung der Stabschnittkräfte wieder ins lokale System zurück transformiert werden müssen. Bei der Berechnung von Plattenbalken kann im Prinzip analog vorgegangen werden. Voraussetzung ist, dass die exzentrischen Elemente zwischen allen Knoten der Elementmasche der Platte entlang des Unterzuges eingesetzt werden und dass die Ansatzfunktionen für die Flächenelemente entlang der Kontaktlinie denjenigen der Platte entsprechen.
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Seite 46
Beziehungen zwischen Knotenfreiheitsgraden (Constraint - Bedingungen) 4.9.
Constraint- oder Zwangsbedingungen dienen dazu, Beziehungen zwischen Freiheitsgraden in den Knoten zu formulieren. Sie erlauben bei der Berechnung eines Tragwerks die Modellierung einer ganzen Reihe von speziellen Bedingungen, wie: Gelenke, Starre Verbindungen von Knoten zueinander, z.B. für starke Aussteifungen, Exzentrizitäten, Lastabtragungen von entfernten Knoten auf einen Tragwerksteil, ohne die Verbindung modellieren zu müssen, Kinematische Beziehungen von Knoten zueinander. Die Zwangsbedingungen werden als Gleichungen formuliert. Dabei spricht man auch von einer Master-Slave Beziehung:
δ s = f1 ⋅ δ m1 + f 2 ⋅ δ m 2 + .......
mit f i … Faktoren
Der Freiheitsgrad δs am Slaveknoten ist abhängig von den Verschiebungen und Verdrehungen des Masterknotens m. Im Gleichungssystem werden dabei die entsprechenden Kolonnen und Zeilen der Masterknotenfreiheitsgrade mit den Faktoren multipliziert und in den Kolonnen und Zeilen des Slave-Freiheitsgrades eingesetzt. In FLASH gelten dabei folgende Einschränkungen: Ein Auflagerparameter kann nicht Slave-Parameter sein, Ein Knotenfreiheitsgrad kann als Slave-Parameter nur einmal auftreten, Ein Slave-Parameter kann nicht gleichzeitig Masterparameter sein.
4.9.1 Knotenbeziehungen mit Constraints Das folgende Beispiel 4 zeigt die Verwendung von Master-Slave-Beziehungen beim korrekten Übergang von einem als Stab gerechneten Durchlaufträger mit Kopfplatte, in ein mit Scheibenelementen modelliertes Auflager.
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Seite 47
Beispiel 3: Modellierung einer Kopfplatte mit Constraintbedingungen
Abbildung 4.18 Modellierung eines Kopfplattenanschlusses (Stab -> Scheibe)
Knoten 69, 70, 81, 92, 103 und 114 haben als Slaveknoten eine starre Verbindung zu Masterknoten 157.
* AUFLAGERBEDINGUNGEN ; MASSENMATRIX ; BINDUNGEN ...... STARRE BINDUNG: STARRE VERBINDUNG ZU KNOTEN 157 ALLE-PARAMETER KNOTEN 69 70 81 92 103 114 ...... Abbildung 4.19 Eingabe der Übergangsbedingung mit FLASH
STARRE BINDUNGEN ZWISCHEN KNOTENFREIHEITSGRADEN *********************************************** KNOTEN PARAMETER 69
VX
69 69 70
VY RZ VX
70 70 81
VY RZ VX
81 81 92
VY RZ VX
92 92 103
VY RZ VX
103 103
VY RZ
= + = = = + = = = + = = = + = = = + = =
FAKTOR
PARAMETER KNOTEN
1.000 2.100 1.000 1.000 1.000 1.260 1.000 1.000 1.000 0.420 1.000 1.000 1.000 -0.420 1.000 1.000 1.000 -1.260 1.000 1.000
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
VX RZ VY RZ VX RZ VY RZ VX RZ VY RZ VX RZ VY RZ VX RZ VY RZ
157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157 157
Baustatik 2 Teil 3 114
VX
114 114
VY RZ
Stabtragwerke = + = =
1.000 -2.100 1.000 1.000
* * * *
VX RZ VY RZ
Seite 48
157 157 157 157
Abbildung 4.20 Echoprint der Constraintbedingungen aus FLASH
4.9.2 Gelenke mit Constraints Die untenstehende Abbildung zeigt für den mit EasyStatics gerechneten Rahmen des Beispiels 2a die äquivalenten Eingabeanweisungen für das Programm FLASH, wobei das Gelenk im Scheitel mit einer Constraintbedingung formuliert wurde. Die beiden Verschiebungsparameter u und w (in der Eingabe mit 1 und 2 bezeichnet, entsprechend ihrer Reihenfolge im Vektor der Freiheitsgrade) der Knoten 3 und 4 werden einander gleichgesetzt. Beispiel 2c: Hallenrahmen mit Constraint-Bedingung für ein Gelenk
BEGINN RAHMEN MIT CONSTRAINTBEDINGUNGEN EBENER SPANNUNGSZUSTAND 6 4 1 2.0 2.0 PLUS 14. KNOTEN 6 2 2.0 10.5 PLUS 14. KNOTEN 5 3 9.0 13.0 PLUS 0. KNOTEN 4 * * STAB 2.1000E+007 8.0000E+006 'HEB300' ELEMENTE 1 BIS 4 * STAB 1 1 2 0. PLUS 1 1 ELEMENT 2 STAB 3 4 5 0. PLUS 1 1 ELEMENT 4 * * N N N KNOTEN 1 6 STARRE BINDUNG GLEICHE PARAMETER 1 2 FUER KNOTEN 3 UND 4 * * OPTIMIERUNG * * LASTFALL GLEICHMäSSIGE GLOBALE LAST GLEICHMAESSIG GLOBAL 0. -1. ELEMENTE 2 3 * * LASTFALL 1 $ DEFORMATIONEN $ REAKTIONEN $ MIT STAEBEN * * Abbildung 4.21 Modellierung eines Gelenks mit Constraint-Bedingungen
Die Modellierung von Gelenken mit Constraints ist bei Stabtragwerken eher unüblich, stellt aber die eleganteste Methode dar, wenn es Gelenklinien und Fugen bei Flächentragwerken zu definieren gilt. Das Einführen von Constraintbedingungen erfordert grosse Sorgfalt. Die folgende Bedingung wird z.B. von FLASH ohne weiteres akzeptiert, führt jedoch zu einer Gleichgewichtsverletzung, da das Erfüllen der Bedingung, dass die senkrechte Verschiebung des
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Seite 49
Knoten 4 zehn Mal grösser als diejenige des Knotens 3 sein muss, nur dann erfüllt werden kann, wenn eine externe Kraft angreifen würde.
* N N N KNOTEN 1 6 STARRE BINDUNG GLEICHE PARAMETER 1 FUER KNOTEN 3 UND 4 STARRE BINDUNG ALLGEMEIN 2 VON KNOTEN 4 GLEICH 10. MAL 2 VON KNOTEN 3 * Abbildung 4.22 Falsche Formulierung von Constraint-Bedingungen
4.10. Auflager- und Randbedingungen Für ein nicht gelagertes Tragwerk gilt folgende Beziehung U =
{ } ⋅ [K ]⋅ {V } = 0
1 SK V 2
T
SK
{ }
und [K ] ⋅ V SK = 0
{ }
dabei ist V SK der Vektor der Starrkörperverschiebungen. Die globale Steifigkeitsmatrix [K] ist demnach eine singuläre, positiv semidefinite symmetrische Matrix vom Rang [K]NxN. N ist die Zahl der Starrkörperverschiebungen. Diese müssen für den Erhalt einer eindeutigen Lösung des Gleichungssystems ausgeschaltet werden. Dies geschieht durch die Definition von kinematischen Randbedingungen (nur diese treten als Unbekannte auf). Ihre Erfüllung ist grundsätzlich nicht schwierig, da sie allein Funktion von Randverschiebungsparametern sind. Es genügt deshalb, den Wert der Randverschiebungsparameter, die als Unbekannte bei der Lösung des globalen Gleichungssystems auftreten, vorzuschreiben. Mit:
⎧VF ⎫ ⎬ ⎩VVA ⎭
{V} = ⎨
{V}
Vektor der gesamten Verschiebungen
{VF}
Vektor der freien Verschiebungen VF
{VVA}
Vektor der vorgeschriebenen Auflagerverschiebungen VA
Das System der verallgemeinerten Gleichgewichtsgleichungen (ohne initiale Kräfte) schreibt sich dann wie folgt:
[K ]⋅ {V } − {P} = ⎡⎢
K FF
⎣ K AF
d.h.
K FA ⎤ ⎧VF ⎫ ⎧ PF ⎫ ⎧ 0 ⎫ ⋅⎨ ⎬− ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ K AA ⎥⎦ ⎩VVA ⎭ ⎩ PA ⎭ ⎩ A⎭
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
[K FF ]⋅ {VF } + [K FA ]⋅ {VVA } − {PF } = 0
Seite 50
zu lösen für {VF }
und
[K AF ]⋅ {VF } + [K AA ]⋅ {VVA } − {PA } = {A}
Bestimmungsgleichung für die unbekannten
Auflagerkräfte {A}
{VF } = [K FF ]−1 ⋅ ({PF } − [K FA ]⋅ {VVA })
wobei
− [K FA ]⋅ {VVA } = Lastvektor infolge vorgeschriebener Auflagerverschiebungen. Die vorgeschriebenen Auflagerverschiebungen {VVA } (bzw. die entsprechenden Spalten und Zeilen in der Matrix [K]) können einfach weggelassen werden. Dadurch wird das Gleichungssystem kleiner. Bei stabil gelagerten Tragwerken ist der [KFF]-Teil der Steifigkeitsmatrix [K] symmetrisch, nicht-singulär und positiv definit.
Baustatik 2 Teil 3
4.10.1
Stabtragwerke
Seite 51
Feste Auflager
Wie bereits im Beispiel 1a gezeigt empfiehlt sich in der Praxis folgendes Vorgehen: Einführung von unendlich steifen Federn (z.B. Federkonstante 1.E100) in den fest gelagerten Randknotenparametern.
Vi = 0
Vi c = 1.E100 Ai = c * 1.E100
Abbildung 4.23 Behandlung fester Auflager
Zum Diagonalkoeffizient Kii von [K] wird eine sehr grosse Federsteifigkeit c (Kraft pro Einheitsverschiebung) addiert: Kii := Kii + c mit
c = 1.E100 (durch die Gleitkommaarithmetik leidet die Genauigkeit
beim Lösen des Gleichungssystems nicht) Die Auflagerkraft rechnet sich dann aus den bekannten sehr kleinen Auflagerverschiebungen: Ai =
c * Vi
= 1.E100 * Vi
Im Fall einer vorgeschriebenen Auflagerverschiebung ersetzt man den entsprechenden Lastkoeffizienten Pi durch den Wert: Pi =
c * VVi
Aus der Lösung des Gleichungssystems ergibt sich dann: Vi =
Pi / Kii = VVi
Das skizzierte Vorgehen weist einige Vorteile auf: Die Struktur des Gleichungssystems bleibt erhalten Keine numerischen Schwierigkeiten Die Auflagerkräfte {A} können als konzentrierte Knotenkräfte einfach bestimmt werden. Der Nachteil liegt darin, dass man bei vorgeschriebenen Auflagerverschiebungen die zugehörigen Auflagerkräfte nicht berechnen kann. Verschiebt man pro Verschiebungsrichtung jeweils nur ein Auflager, kann die zugehörige Kraft jedoch aus den Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtsystem gerechnet werden.
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
4.10.2
Seite 52
Elastisch gelagerte Auflagerknoten
Das Vorgehen ist identisch mit demjenigen bei festen Auflagern: Kii := Kii + c mit
4.10.3
c = > 0 (Kraft pro Einheitsverformung).
Randbedingungen in vorgegebenen Richtungen Wi W’i
Ui
α
{Vi } = [R]⋅ {Vi ' }
U’i
⎧U i ⎫ ⎡cos α ⎨ ⎬=⎢ ⎩Wi ⎭ ⎣ sin α
− sin α ⎤ ⎧U 'i ⎫ ⋅⎨ ⎬ cos α ⎥⎦ ⎩W 'i ⎭
Abbildung 4.24 Gedrehtes Auflagerkoordinatensystem
Gedrehte Randbedingungen werden gleich behandelt wie die Rotation der Knotenfreiheitsgrade vom globalen in das lokale Koordinatensystem. Die entsprechenden Zeilen und Spalten der Matrix [K] werden mit der Rotationsmatrix vor und nachmultipliziert; Ebenso werden die Lastkoeffizienten {P} in die entsprechende Richtung gedreht. Diese kongruenten Transformationen werden am besten gleich beim Zusammensetzen des globalen Gleichungssytems durchgeführt.
4.11. Spannungsberechnungen, Einflusslinien und Einflussfelder
4.11.1
Spannungsberechnungen
Aus dem Lösungsvektor {V} erhält man die lokalen Verschiebungsparameter (da im allgemeinen mehrere Lastfälle gleichzeitig gelöst werden, -> mehrere Verschiebungsvektoren): Rotationsmatrix RT= Rotation global -> lokal RT =
cos α sin α -sinα cos α
{v} = RT ⋅ {V }
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Seite 53
Die Berechnung der Spannungen {σ(x,y,z)}, bzw. der Schnittkräfte für alle unabhängigen Lastfälle erfolgt für Stabtragwerke und allgemeine Finite Elemente mit kinematischen Ansatzfunktionen über die Dehnungen:
{σ (x, y, z )} = [D]⋅ ({ε } − {ε 0 }) = [D]⋅ [H ' (x, y, z )]⋅ {v} − [D]⋅ {ε 0 } _
Bestimmte Spannungskomponenten σ i in ausgewählten Elementpunkten (Resultatpunkten) erhält man aus: _
σ i = ∑ sij ⋅ v j + si0
bzw.
j
[s]
{ }
⎧_⎫ 0 ⎨σ ⎬ = [s ]⋅ {v} + s ⎩ ⎭
wobei
= lokale Spannungsmatrix
{s0} = lokaler Spannungsvektor infolge {ε0} Legt man bei Stabtragwerken die ausgewählten Spannungspunkte in die Knoten, entspricht die Spannungsmatrix der lokalen Elementsteifigkeitsmatrix. Weiters gilt: Am voll eingespannten Element -> {v} = 0 können die Spannungen infolge Elementlasten nicht bestimmt werden (ausser beim Stabelement und bei hybriden Finiten Elementen). Im allgemeinen verlaufen die Spannungen zwischen den Elementen diskontinuierlich. Ausser bei Stabelementen bildet man für die Spannungen in den Knoten von Flächen- und Volumenelementen oftmals einen Mittelwert oder rechnet nur mit den inneren Spannungen. Die Mittelwertbildung darf nur dort vorgenommen werden, wo ein kontinuierlicher Verlauf zu erwarten ist und die Spannungskomponenten in die gleiche Richtung weisen.
4.11.2
Einflusslinien und Einflussfelder _
Der Einflussvektor {Ei} für eine vorgegebene Spannungskomponente σ i ist wie folgt definiert: _
σ i = {Ei }⋅ {P} _
σ i = ∑ sij ⋅ v j =< s (i ) > ⋅{v} =< s (i ) > ⋅[ae ]⋅ {V } = {Si }T ⋅ {V } j
wobei :
< s (i ) > = i-te Zeile der Spannungsmatrix [s ]
[ae ]
= topologische Zuordnungsmatrix (siehe Abbildung 2.8)
{Si }T ≡< s (i ) > ⋅[ae ]
entspricht < s (i ) > ist aber global nummeriert.
Aus {V } = [K ] ⋅ {P} folgt: −1
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Seite 54
_
σ i = {Si }T ⋅ {V } = {Si }T ⋅ [K ]−1 ⋅ {P} = {Ei }T ⋅ {P}
{Ei } = [K ]−1 ⋅ {Si } _
Der Einflussvektor für σ i wird durch die Lösung des globalen Gleichungssystems für einen Lastfall bestimmt, bei dem die Koeffizienten der i-ten Zeile der Spannungsmatrix [s] die rechte Seite des Gleichungssystems bilden. Der Lösungsvektor {Ei} gibt einen Verschie_
bungszustand an, der dem Einflussfeld für σ i entspricht.
4.12. Statisch bestimmte und unbestimmte Systeme Die für die Berechnung von Hand essentielle Unterscheidung von statisch bestimmten und unbestimmten Tragwerken hat in der Computerstatik bezüglich des Berechnungsverfahrens keine Bedeutung. In beiden Fällen erfolgt die Berechnung nach der gleichen Methode. Für das grundsätzliche Verständnis des Tragverhaltens eines Systems ist die Unterscheidung jedoch nach wie vor wesentlich. An einem statisch bestimmten System lassen sich die Schnittkräfte allein aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmen, d.h. es treten keine inneren Zwängungen auf. Steifigkeitsunterschiede innerhalb des Tragwerks wirken sich nur auf die Verschiebungen, nicht jedoch auf den Schnittkraftverlauf aus. Das folgende Beispiel verdeutlicht dies.
Baustatik 2 Teil 3
Stabtragwerke
Seite 55
Beispiel 4: Rahmen mit unterschiedlichen Stützenquerschnitten
Abbildung 4.25 Hallenrahmen mit unterschiedlichen Stützensteifigkeiten
Die beiden Rahmen auf der linken Seite sind durch die beiden Gelenke im Riegel für diesen symmetrischen Lastfall statisch bestimmt (Einzellast von 100 kN in der Mitte). Die Schnittkräfte oben und unten sind gleich, obwohl der untere Rahmen links eine steifere Stütze aufweist (Stahlprofil HEB1000 an Stelle von IPE80 für die rechte Stütze). Die beiden Rahmen auf der rechten Seite, ohne Gelenke im Riegel bilden ein dreifach statisch unbestimmtes System. In der oberen Abbildung sind die beiden Stützen gleich und bekommen auch die gleiche Normalkraft von je 50 kN. Im unteren System rechts sind die Steifigkeitsverhältnisse der Stützen gleich wie unten links. Durch die Einspannung des Riegels in den Stützen verschiebt sich die Normalkraft in die stärkere Stütze. Der Anteil, welcher „angezogen“ wird hängt dabei auch von der Biegesteifigkeit des Riegels ab; je weicher dieser ist, desto geringer die Differenz in den Stützen.
Baustatik 2 Teil 3
Platten
Seite 56
5. Platten 5.1.
Anwendungsbereich
Als Platten bezeichnet man in der Statik ebene Flächentragwerke, welche senkrecht zu ihrer Mittelebene belastet werden. Die theoretischen Grundlagen zur Berechnungen von Platten basieren entweder auf dem Modell von Kirchhoff, bei dem in der verformten Lage die Querschnittsebene senkrecht zur Mittelebene bleibt (analog der Stabtheorie für die Biegung ohne Schubverformung) oder derjenigen von Reissner bei der auch die Schubverformung mitberücksichtigt wird. In beiden Fällen wird die Verformung senkrecht zur Platte vernachlässigt. Die statische Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente erfolgt üblicherweise nach der Kirchhoff’schen Theorie, da insbesondere in der Baupraxis, die Dicke von Platten gegenüber der Spannweit klein ist. Bei sogenannten „dicken“ Platten, bei denen die Ausdehnung senkrecht zur Plattenebene vergleichbar mit der Spannweite ist, kommt die Reissner’sche Theorie zur Anwendung. Da im allgemeinen auch die Verformungen gegenüber den Abmessungen klein sind, erfolgen die Berechnungen nach der Theorie erster Ordnung.
Die häufigsten Anwendungen von Plattenberechnungen sind:
Hochbaudecken,
Flachdächer,
Brückenfahrbahnen,
Fundamentplatten.
Spezielle Methoden der Plattenberechnung erlauben auch die Berechnung von verstärkten Platten (z.B. Rippen- und Kassettendecken).
Abbildung 5.1 Vorgespannte Hochbaudecke
Baustatik 2 Teil 3
Platten
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Abbildung 5.2 Beispiele von Rippendecken
Modellbildung
5.2.
Die Berechnung von Platten erfolgt nach der Methode der Finiten Elemente durch die Modellierung des Tragwerks mit einer endlichen Zahl von dreieckigen oder viereckigen Elementen. Diese weisen je nach Grad der Ansatzfunktionen analog den Scheiben für die Beschreibung des Verschiebungsfeldes im Inneren und entlang der Ränder eine unterschiedliche Anzahl von Elementknoten auf (Knoteneckpunkte und Knoten auf den Rändern). Als unbekannte Knotenverschiebungsparameter werden üblicherweise die Verschiebung w und die zwei Rotationen Rx und Ry in den Knotenpunkten eingeführt. w3 w, z
Ry3 v, y
w4 Rx3
u, x
w2 Ry2 w1
w1
Ry1
Ry4
w2
Rx4
Ry1 Rx2
w3
Rx1
Rx1
Ry2
Ry3 Rx3
Rx2
Abbildung 5.3 Verschiebungsfreiheitsgrade der FLASH Plattenelemente
Als Belastungen können konzentrierte oder verteilte Belastungen senkrecht zur Plattenebene oder aber initiale Krümmungen auftreten.
Baustatik 2 Teil 3
Platten
Seite 58
Abbildung 5.4 Verformungsannahmen bei dünnen Platten
Die grundlegenden Beziehungen der Elastizitätstheorie für dünne Platten lauten:
{v} = {w( x, y)}
⎧ ε x ( x, y ) ⎫ ⎧ u x ⎫ ⎧ − z ⋅ wxx ⎫ {ε } = ⎪⎨ ε y ( x, y ) ⎪⎬ = ⎪⎨ v y ⎪⎬ = ⎪⎨ − z ⋅ wyy ⎪⎬ ⎪γ ( x, y )⎪ ⎪u + v ⎪ ⎪− 2 ⋅ z ⋅ w ⎪ xy ⎭ x⎭ ⎭ ⎩ y ⎩ xy ⎩
;
{σ } = [D]⋅ ({ε } − {ε o })
Mit dem Hook’schen Gesetz
für isotropes Material folgen dar-
aus die Spannungen (ε0=0):
⎡ E ⎢1 − v 2 ⎢ [D] = ⎢ υ ⋅ E2 ⎢1 − v ⎢ 0 ⎢⎣
υ⋅E 1− v E 1 − v2 0 2
⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ G⎥ ⎥⎦
E = Schubmodul, 2 ⋅ (1 + v)
= Elastizitätsmatrix und G =
ν < 0.5 (kompressibel) … Querdehnzahl ⎫ ⎧ E⋅z ⎫ ⎧ 12 ⋅ z − ⋅ (wxx + ν ⋅ wyy )⎪ ⎪ 3 ⋅ mx ⎪ 2 ⎪ 1 −ν d ⎧σ x ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ 12 ⋅ z ⎪ ⎪ ⎪⎪ E ⋅ z {σ } = ⎨σ y ⎬ = ⎨− ⋅ (wyy + ν ⋅ wxx )⎬ = ⎨ 3 ⋅ m y ⎬ 2 ⎪ ⎪ ⎪ d ⎪τ ⎪ ⎪ 1 − ν − G ⋅ z ⋅ 2 ⋅ wxy ⎩ xy ⎭ ⎪ ⎪ ⎪12 ⋅ z ⋅ mxy ⎪ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ d 3
σ z = τ xz = τ yz = 0
In der Plattentheorie üblicher ist die Darstellung der Beziehungen zwischen den Momenten (verallgemeinerten Spannungen) mx, my, mxy und den Krümmungen (verallgemeinerte Dehnungen) χx, χy, χxy . Die Biegemomente pro Einheitsbreite werden aus dem Integral der Spannungen mal Hebelarm über die Höhe gebildet: d
mx ≡
2
∫ z ⋅ σ x ⋅ dz
−d
2
d
my ≡
2
∫ z ⋅ σ y ⋅ dz
−d
d
mxy ≡
2
2
∫ z ⋅τ
−d
xy
⋅ dz
2
⎧ mx ⎫ {σ } = ⎪⎨ my ⎪⎬ = verallgemeinerter Spannungsvektor ⎪m ⎪ ⎩ xy ⎭ Die verallgemeinerten Dehnungen entsprechen der zweiten Ableitung der Verschiebungen in der entsprechenden Richtung:
χ x ≡ − wxx
χ y ≡ − wyy
χ xy ≡ − wxy
Baustatik 2 Teil 3
Platten
Seite 59
⎧ χx ⎫ {ε } = ⎪⎨ χ y ⎪⎬ = verallgemeinerter Dehnungsvektor ⎪χ ⎪ ⎩ xy ⎭ Die innere Arbeit für ein Plattenstück der Fläche A kann dann wie folgt berechnet werden:
Ai = ∫∫ {σ } ⋅ {ε }⋅ dA = ∫∫ (mx ⋅ χ x + my ⋅ χ y + mxy ⋅ χ xy )⋅ dA T
A
A
Die äussere Arbeit für eine gleichmässige Last auf einer Fläche A bestimmt sich wie folgt:
Aa = ∫∫ w ⋅ p ⋅ dA A
5.3.
Berechnung nach der Methode der finiten Elemente
Bei der Berechnung vom Platten nach der kinematischen Methode der Finiten Elemente geht es nun darum, die unbekannten lokalen Verschiebungen w(x,y) im Elementinneren in Funktionen ausgewählter Verschiebungsparameter so zu wählen, dass am zusammengesetzten System die kinematischen Randbedingungen entlang der Ränder exakt erfüllt sind.
{w( x, y)} = [ϕe ( x, y)]⋅ {we } Als
innerhalb des Elementes e.
Verschiebungsparameter
werden
Elementrandverschiebungen
und
-
verdrehungen in bestimmten Knotenpunkten gewählt. Die Verschiebungskontinuität in diesen externen Knotenpunkten ist damit, wie bei den Scheiben, erfüllt. Für φ werden ebenfalls meist Polynome als Ansatzfunktionen gewählt. Die Ansätze für die verallgemeinerten Dehnungen werden aus den Ansätzen für die Verschiebungen abgeleitet. Im Programm FLASH werden für die Plattenelemente wie für die Scheiben hybride Elemente verwendet. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass durch die Formulierung von Ansatzfunktionen für die verallgemeinerten Spannungen im Inneren und die Verschiebungen am Rand eine sehr rasche Konvergenz und ein sehr gutes Verhalten im Bereich von Singularitäten (Spannungsspitzen) erreicht wird. Für die Ansatzfunktionen für die Momente (verallgemeinerten Spannungen) im Inneren werden quadratische Polynome verwendet. Als Besonderheit können bei hybriden Elemente auch direkt (lineare) Ansatzfunktionen für die Querkräfte eingeführt werden, was zu besseren Resultaten führt, als wenn diese aus den Momenten abgeleitet werden müssen. Standardmässig werden die Randverschiebungen infolge der Knotenverschiebungen und –verdrehungen senkrecht zum Rand mit Funktionen dritten Grades für die Verschie-
Baustatik 2 Teil 3
Platten
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bung, bzw. zweiten Grades für die Verdrehung, beschrieben. Die Verdrehung parallel zum Rand wird linear angesetzt. Dies erlaubt die Erfüllung der kinematischen Randbedingungen für die Kirchhoff'sche Plattentheorie.
Abbildung 5.5 Kubische Randverschiebungen für die FLASH Plattenelemente nach Kirchhoff’scher Plattentheorie
Für dicke Platten oder Sandwichplatten aus mehreren Lagen mit hohem Schubanteil ist es möglich, auch die Reissner’sche Plattentheorie anzuwenden. Die Randverschiebungen werden dazu linear gewählt, was zu einer wesentlich langsameren Konvergenz für die Verschiebungen und Momente führt.
Abbildung 5.6 Lineare Randverschiebungen für die FLASH Plattenelemente nach Reissner’scher Plattentheorie
Ausführlichere theoretische Herleitungen und Ausführungen finden sich in [6]. In dieser Vorlesung sind die Hintergründe der computerstatischen Berechnung nur soweit dargelegt, als dass damit die aus einer Berechnung erhaltenen Resultate richtig interpretiert werden können.
Baustatik 2 Teil 3
5.4.
Platten
Seite 61
Flachdecken 5.4.1 Grundsätzliches Verhalten von Finiten Plattenelementen
Das Verhalten der FLASH-Plattenelemente zeigt sich am folgenden Beispiel, für welches eine analytische Lösung vorliegt. Beispiel 5: Rechteckplatte
Symmetrieachsen
wmax Mmax
Vmax
Belastung:
verteilte Last q
Dicke: Seitenlänge: Querdehnung:
t a
υ = .3
Steifigkeitskoeffizient:
D=
E ⋅ t3 12 ⋅ (1 + υ 2 )
a/2
Abbildung 5.7 Rechteckplatte unter einer gleichmässigen Belastung
Analytische Lösung:
wmax = α ⋅
q ⋅ a4 ⋅10− 5 α = 406.2 D
M max = β ⋅ q ⋅ a 2 ⋅ 10 −4 β = 479
Vmax = γ ⋅ q ⋅ a ⋅ 10 −3
γ = 338
Eine Berechnung ohne Querkraftverformung mit FLASH Standardelementen ergibt folgende Resoltate: Maschenteilung für Viertelplatte
wmax
Mmax
Vmax
analytisch
406.2
479
338
1x1
390.6
491
250
2x2
405.2
483
283
4x4
406.2
479
308
8x8
406.2
479
322
16 x 16
406.2
479
330
32 x 32
406.2
479
334
Abbildung 5.8 Konvergenzverhalten der FLASH Plattenelemente
Baustatik 2 Teil 3
Platten
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Die Resultate zeigen, dass insbesondere für die Verschiebungen und Momente eine rasche Konvergenz besteht. Daraus lässt sich die Regel ableiten, dass bei der Berechnung von Flachdecken eine Maschenteilung von 8 x 8 Elementen pro Feld genügt. Die Berechnung der Platte erfolgte unter Ausnützung der Symmetriebedingungen. Symmetriebedingungen lassen sich über die Auflagerbedingungen spezifizieren. Die Verdrehungen werden entlang der Symmetrieachsen in den entsprechenden Richtungen zu Null gesetzt (NICHT-FREI). Das folgende Eingabefile in ausführlicher Schreibweise zeigt dies für die Teilung von 4 x 4 Elementen für die Viertelplatte.
BEGINN QUADRATPLATTE - KONVERGENZTEST TEILUNG 4 X 4 ELEMENTE PLATTE 25 16 MATRIX 5 5 KNOTEN 1 1 5 KOORDINATEN 0. PLUS 0. 1.25 UND 1.25 * * ISOTROP 4044.44 .3 .3 ELEMENIE 1 B 16 * MATRIX 4 4 ELEMENT 1 KNOTEN 6 7 2 1 * * NICHT-FREI NICHT-FREI NICHT-FREI 1 NICHT-FREI NICHT-FREI FREI 2 BIS 5 NICHT-FREI FREI NICHT-FREI 6 BIS 21 SCHRITT 5 FREI NICHT-FREI FREI 10 BIS 20 SCHRITT 5 FREI FREI NICHT-FREI 22 BIS 24 FREI NICHT-FREI NICHT-FREI 25 * * OPTIMIERUNG 2 * * LASTFALL 1 GLEICHMÄSSIG -100. * * LASTFALL 1 $ DEFORMATIONEN $ REAKTIONEN $ MOMENTE KNOTENWEISE * LASTFALL 1 $ GRENZWERT AUFLAGERKRÄFTE ZEICHNEN MASSTAB 50. * Abbildung 5.9 Quadratplatte 4 x 4 Elemente mit Symmetriebedingungen
Manchmal ist es, insbesondere bei schiefen Rändern, recht mühsam die kinematischen Randbedingungen für die Verdrehungen sauber zu formulieren. Dazu müssen die globalen Randkoordinaten jeweils in die Richtung der Auflagerlinien gedreht werden. Eine Vereinfachung in dem Sinne, dass man die Verdrehungen bei einfachen Linienlagern generell frei lässt, ist jedoch zulässig, wie der Vergleich der Resultate für die 4 x 4 Platte zeigt.
Baustatik 2 Teil 3
Platten
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Maschenteilung für Viertelplatte
wmax
Mmax
Vmax
analytisch
406.2
479
338
4 x 4 mit Einspannung senkrecht zur Auflagerlinie
406.2
479
308
4 x 4 ohne Einspannung senkrecht zur Auflagerlinie
406.2
480
296
Abbildung 5.10 Resultate mit vereinfachten Lagerungsbedingungen
Von grösserer Bedeutung ist die Berücksichtigung der richtigen Auflagerbedingungen für die vertikalen Kräfte.
Abbildung 5.11 Resultatausgabe der Auflagerkräfte
Sehr schön ist in Abbildung 7.9 die negative Auflagerkraft in der Plattenecke zu sehen, d.h. diese würde bei einer frei aufliegenden Platte abheben. Die Ausschaltung von Zuglagern, wenn diese unzulässig sind, kann entweder manuell erfolgen, indem man die Auflagerbedingungen so lange variiert bis keine Zugkräfte mehr auftreten oder aber vom Programm iterativ ermittelt werden. Das erstere kann mühsam sein, da sich durch die fortwährenden Kräfteumlagerungen bei der Entfernung von Lagerungen, neue Zugbeanspruchungen ergeben können oder vormals unter Zug stehende Lager plötzlich wieder gehalten werden müssten. Eine saubere Lösung ist nur durch eine nicht-lineare Berechnung möglich. FLASH bietet ein einfaches Verfahren, das der Handmethode entspricht, aber die Iterationen für einen einzelnen Lastfall oder eine Kombination automatisch durchführt. Abbildung 5.12 zeigt die beiden Iterationsschritte bis zur stabilen neuen Lage ohne Zugbeanspruchungen in den Lagern.
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Platten
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Abbildung 5.12 Iteratives Entfernen von Auflagern unter Zug in FLASH
Die Umlagerung der Kräfte führt erwartungsgemäss zu einer grösseren Durchbiegung in der Mitte und einer Vergrösserung der maximalen Schnittkräfte M und V.
Maschenteilung für Viertelplatte
wmax
Mmax
Vmax
4 x 4 mit Lagerung unter Zug
406.2
479
308
4 x 4 ohne Lagerung unter Zug
440.5
512
309
Abbildung 5.13 Kräfteumlagerung beim Ausschalten von Auflagern unter Zug
BEGINN QUADRATPLATTE - KONVERGENZTEST TEILUNG 4 X 4 ELEMENTE OHNE ZUGAUFLAGER PLATTE 25 16 KEIN_ZUG -1 , Initialisierung mit -1 MATRIX 5 5 KNOTEN 1 1 5 KOORDINATEN 0. PLUS 0. 1.25 UND 1.25 * * ISOTROP 4044.44 .3 .3 ELEMENIE 1 B 16 * MATRIX 4 4 ELEMENT 1 KNOTEN 6 7 2 1 * * 1.E20 0. 0. 1 BIS 5 6 BIS 21 SCHRITT 5 , steife Feder anstelle des festen Auflagers FREI NICHT-FREI FREI 10 BIS 20 SCHRITT 5 , Verdrehungen nicht gehalten FREI FREI NICHT-FREI 22 BIS 24 FREI NICHT-FREI NICHT-FREI 25 * . . Abbildung 5.14 Ausschnitt der Eingabeanweisungen für die Berechnung ohne Zuglagerung
5.4.2 Konzentrierte Krafteinleitungen in Platten Wie man aus den Gleichungen für die Spannungen, bzw. verallgemeinerten Spannungen einer Platte ersehen kann, ergeben sich durch:
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Platten
E ⋅ t3 mx = − ⋅ (w, xx +ν ⋅ w, yy ) 12 ⋅ 1 −ν 2
(
)
;
Seite 65
usw.
an Orten wo z.B. die Krümmungen wxx oder wyy einen unendlich grossen Wert annehmen, auch unendlich grosse Momente. Unendlich grosse Krümmungen, bzw. Diskontinuitäten in der Krümmung treten z.B. unter Einzellasten, bei Punktstützungen oder in den Ecken schiefwinkliger Platten auf. Bei der analytischen Berechnung stört diese Tatsache nicht. Bei der Berechnung einer Platte mit finiten Elementen, welche immer eine Näherungslösung ist, möchte man jedoch wissen, wie sich die Resultate in der Umgebung einer Singularität verhalten. Je stärker eine Singularität in einer FE-Berechnung angezeigt wird, desto besser sind die verwendeten Elemente. Aus der Sicht der Praxis stören auf der anderen Seite unendlich grosse Werte bei der Bemessung, insbesondere wenn diese (z.B. in einem CAD System) automatisch erfolgt. Der Effekt ist umso unerwünschter, als Stützen und Einzellasten nie in einem Punkt, sondern stets auf eine Teilfläche der Platte wirken. In der praktischen Anwendung von FE-Programmen kann man Singularitäten vermeiden, wenn man Lasten nicht als Knotenlasten, sondern gleichmässig auf die Elemente aufbringt und wenn man für Stützenköpfe und Wände elastisch gebettete Elemente verwendet. Im Falle der schiefwinkligen Platten lassen sich die Singularitäten der Momente im stumpfen Eck nicht vermeiden. Gute FE-Elemente werden diese Singularitäten mit richtigem Vorzeichen im Eckknoten durch hohe Momente anzeigen und gleichzeitig aber in unmittelbarer Umgebung (z.B. in den Elementschwerpunkten der Nachbarelemente „vernünftige“ Werte) liefern. Das folgende Beispiel zeigt den Unterschied zwischen der konzentrierten Knotenlagerung und derjenigen mit elastisch gebetteten Elementen.
Baustatik 2 Teil 3
Platten
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Beispiel 6: Unendlich ausgedehnte Flachdecke mit Stützenraster
Symmetrieachsen u B
C
a Elementmasche
Belastung:
verteilte Last q
Dicke: Seitenlänge: Stützenbreite: Querdehnung:
t a u
υ = .2
Ohne Schubverformung gerechnet
A
Analytische Lösung in [12] a
Abbildung 5.15 Unendlich ausgedehnte Flachdecke
Die Elementteilung wurde für verschiedene Verhältnisse von u : a (0.1 und 0.4) immer gleich gewählt: eine Elementreihe für den Stützstreifen und drei Elemente für das halbe Feld.
MA = β*q*a2
MB
MxC
MyC
Analytisch
-.196
.0329
-.0182
.0508
Elastisch gebettet
-.195
.0330
-.0162
.0522
Punktgestützt
-.348
.0332
-.0162
.0528
Analytisch
-.0678
.0289
-.0158
.0415
Elastisch gebettet
-.0693
.0291
-.0181
.0420
Punktgestützt
-.223
.0335
-.0216
.0520
u:a
.10
.40
Abbildung 5.16 Maximale Momente der punktgestützten Flachdecke mit verschiedenen Lagerungen
Insbesondere bei grösseren Auflageflächen sind die Resultate bei einer Punktlagerung sehr ungenau. Der Unterschied zeigt sich in der grafischen Darstellung der Stützenmomente (Abbildung 5.16 links) und Deformationen (Abbildung 5.16 rechts) für das Verhältnis von u : a = .4 besonders deutlich.
Baustatik 2 Teil 3
Platten
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Elastische Bettung
Punktlagerung
Abbildung 5.17 Vergleich der Punktstützung mit der elastischen Bettung
5.4.3 Schiefwinklige Platten In Platten treten Singularitäten in den Momenten, wie erwähnt, überall dort auf, wo die Krümmungen unendlich gross sind. Dies trifft nicht nur bei Punktlagerungen und unter Einzellasten zu, sondern auch bei einspringenden Ecken und in der stumpfen Ecke schiefwinkliger Platte, wo beide Hauptmomente unendliche Werte annehmen. Die Diskussion um solche Probleme der Elastizitätstheorie sind aus der Sicht der praktischen Bauausführung nicht von überragender Bedeutung, da sich solche Spannungsspitzen stets durch eine plastische Umlagerung der Kräfte abbauen. Gleichwohl sollte sich der Anwender von FE-Programmen in der Praxis, wo heute zum überwiegenden Teil elastisch gerechnet wird, der Tatsache bewusst sein, dass die angewandten Berechnungsmethoden nur Näherungslösungen sind und die Resultate einer Berechnung, trotz komfortabelster Eingabemöglichkeiten, stark von der Modellbildung abhängen. Insbesondere im Hochbau hat der Gestaltungswille der Architekten heute klar die Oberhand gegenüber den rationalen Argumenten des Statikers. Nach dem Motto „Everything goes“, wird insbesondere einer natürlichen Führung der Kräfte aus der Konstruktion in die Fundamente nur noch wenig Beachtung geschenkt. Der komfortable Umgang mit FE-Programmen über grafische Benutzeroberflächen, welche teilweise nicht einmal mehr eine Elementmasche zeigen, trägt weiter dazu bei, dass die Interpretation von Resultaten immer schwieriger wird, bzw. immer mehr überhaupt entfällt. Das nachfolgende Beispiel, auch als „enfant terrible“ der Plattentheorie bezeichnet, soll die Wichtigkeit einer überlegten Modellierung nochmals zeigen, treten seine theoretischen Knackpunkte doch fast in jeder alltäglichen Plattenstatik auf.
Baustatik 2 Teil 3
Platten
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Beispiel 7: Schiefwinklige Platte
A
B
B m1
m2 C
Belastung:
verteilte Last q
Dicke: Seitenlänge: Spitzer Winkel
t a 30 Grad
Querdehnung:
υ = .3
Steifigkeitskoeffizient:
D=
E ⋅ t3 12 ⋅ (1 + υ 2 )
Masche mit Randparallelen Viereckelementen oder Dreiecken (Unterteilung der Vierecke über die kurze Diagonale).
Abbildung 5.18 Schiefe Platte unter 30 Grad
Die Lagerungsbedingungen im Punkt A wurden wie folgt variiert: Typ A: Alle vier Ecken eingespannt Typ B: Drehung des Koordinatensystems im stumpfen Eck um 15 Grad; Rotation um B – B frei Typ C: Elastisch gebettete Randelemente Typ D: Elastisch gebettete Randelemente ohne Zuglager
Lagerung
Masche 4 x 4 Elemente
Masche 16 x 16 Elemente
Lagerung Typ A
Lagerung Typ A
Lagerung Typ B
Lagerung Typ B
Typ C
Typ D
Elementteilung Viereck Dreieck Viereck Dreieck Viereck Dreieck Viereck Dreieck Viereck Viereck Analytische Lösung wCmax = .408 * (10-3 * q*a4/D)
.227
.226
.449
.437
.332
.329
.416
.412
.402
.437
m1C
= 1.08 * (10-2 * q*a2)
0.09
0.20
1.37
1.33
0.81
0.79
1.14
1.10
1.08
1.22
m2C
= 1.91 * (10-2 * q*a2)
1.01
1.13
2.22
2.09
1.69
1.67
1.93
1.92
1.90
1.98
m1A
=Æ+ unendlich
-0.64
-0.66
0.98
1.12
-1.31
-2.10
.432
2.28
0.31
0.66
m2A
=Æunendlich
-2.84
-2.77
-
-
-6.92
-8.78
-
-
-2.96
0.02
Abbildung 5.19 Maximale Durchbiegung und Momente für verschiedene Lagerungen und Elementmaschen
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Trotz des ungünstigen Seitenverhältnisses von ca 1:10 liefert die Lagerung mit elastisch gebetteten Elementen sehr gute Resultate für das Problem der schiefen Platte. Wie man aus Abbildung 5.18 sieht, liefern für spezielle Problemstellungen auch Dreieckelemente hervorragende Resultate.
Abbildung 5.20 Masche mit elastisch gebetteten Randelementen
Abbildung 5.21 Momentenverlauf vom der Plattenmitte zum Stumpfen Eck für die Hauptspannung m2
Abbildung 5.22 Hauptspannung m2 für das eingespannte Lager (oben) und das drehbare stumpfe Eck (unten)
Baustatik 2 Teil 3
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Seite 70
Das Beispiel der schiefen Platte zeigt exemplarisch, dass Resultate aus einer FEBerechnung stets zu überprüfen sind. Da in den seltensten Fällen eine analytische Lösung für praktische Probleme vorliegt und auch Handrechnungen bei komplexen Problemen kaum bessere Erkenntnisse liefern, empfiehlt sich folgendes Vorgehen: Erste Berechnung mit relativ grober Maschenteilung durchführen.
Dabei eine sorgfältige Modellierung mit möglichst realitätsnahen Materialeigenschaften, Randbedingungen und Laststellungen vornehmen.
Überprüfen der Resultate auf Plausibilität (Gleichgewicht, Verformungen, approximative Schnittkräfte, Symmetrien, Vorzeichen, usw.).
Bei Unsicherheit über die Qualität der Ergebnisse die Schlüsselparameter (z.B. Lagerungsbedingungen frei oder eingespannt) nach der MaximumMinimum Methode verändern.
Falls notwendig die Masche verfeinern und Punkt 3 und 4 wiederholen.
Die untenstehende Abbildung zeigt eine Berechnung der schiefen Platte mit elastischen Randelementen unter Ausschluss von Lagern mit Zug. Unter Berücksichtigung der stets stattfindenden Plastifizierung in singulären Punkten, der geringen Ausdehnung der negativen Einspannungen im stumpfen Eck und der sowieso notwendigen konstruktiven Bewehrung zur Verteilung der Risse in einer Stahlbetonplatte stellt dies eine mögliche Berechnung dar. Die Zunahme der Feldmomente ist gering.
Abbildung 5.23 Momente m2 und m1 für die schiefe Platte mit elastischer Bettung ohne Zug
Baustatik 2 Teil 3
5.5.
Platten
Seite 71
Verstärkte Decken 5.5.1 Pilzdecken
Zur Verhinderung des Durchstanzens der Stützen oder zur Aufnahme der negativen Stützenmomente müssen Stahlbetondecken im Stützenbereich oftmals verstärkt werden. Dies kann durch unterschiedliche konstruktive Massnahmen geschehen: Ausbildung des Stützenkopfes als Stahlkonstruktion, Verstärkung der Decke im Stützenbereich, Vorspannung. Die Verstärkung der Platte im Stützenbereich ist überall dort, wo keine Höhenbeschränkung dies verhindert, die übliche Bauweise. Elementteilung AMittelebene
Elastisch gebettetes Element LStütze
AStütze Federsteifigkeit =
LS ⋅ AM ES ⋅ AS
S … Stütze, M … Mittelebene
Abbildung 5.24 Stützenkopf mit Pilz: Wirklichkeit und statisches Modell
Der Effekt des Sprungs der Mittelebene hat bei Stützenköpfen nur einen geringen Einfluss auf die Berechnungsresultate. Eine wirklichkeitsgetreuere Modellierung müsste mit Schalenelementen und entsprechenden Exzentrizitäten beim Übergang von verschiedenen Plattendicken erfolgen. Interessant ist der Einfluss der elastischen Bettung auf die Herabminderung des Stützenmomentes. Beispiel 7a: Verstärkter Zweifeldträger Abminderung der Momentenspitze MS über der Mittelstütze:
MS = MS −
RS ⋅ bm 8
bm= Breite der Kraftausbreitung in der Mittelebene RS= Reaktionskraft in Feldmitte
Baustatik 2 Teil 3
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Zweifeldträger:
Seite 72
Spannweite 7.0 m, Breite 1.0 m, Dicke 0.25 m, Verstärkung über Stütze 3.2m; Dicke 0.40 m Stützenbreite 0.40 m; Last p=5 kN/lfm, MS=-42.8 kNm, RS=47.2 kN
M S = 42.8 – (47.2 * 0.8) / 8 = 38.1 kNlfm Abbildung 5.25 Zweifeldträger über der Mittelstütze verstärkt
Vergleicht man die Berechnung mit EasyStatics mit einer FLASH Berechnung, welche den Träger mit einer einzigen Reihe von Plattenelementen modelliert, so sieht man, dass die Momentenabminderung mit der Finiten Element Berechnung sehr gut übereinstimmt. Beispiel 7b: Plattenstreifen mit elastischer Bettung
Element 9
Abbildung 5.26 Plattenstreifen mit elastischer Bettung als Stützenkopf
Baustatik 2 Teil 3
Platten
Seite 73
5.5.2 Rippenplatten Als Rippenplatten bezeichnet man Platten, welche mit Unterzügen verstärkt sind. Je nach Anzahl und Ausbildung der Rippen verändert sich die Tragwirkung und muss ein unterschiedliches FE-Modell gewählt werden. Folgende Konstruktionen treten am häufigsten auf: Zweiseitig gelagerte, in einer Richtung verstärkte Platten A A-A
A
Abbildung 5.27 Rippen in einer Richtung
Mehrseitig gelagerte Platte auf Stützstreifen A A-A
A
Abbildung 5.28 Rippen in den Stützstreifen
Platte mit Rippen in mehreren Richtungen, Kassettendecken
A-A
A
A
Abbildung 5.29 Rippen in zwei Richtungen
Baustatik 2 Teil 3
Platten
Seite 74
Für die Modellierung der Unterzüge bieten sich mehrere Lösungen an (Abbildung 5.30):
Unterzug mit dicken Plattenelementen,
Unterzug mit Stabelementen in der Plattenebene,
Unterzug mit exzentrischen Stäben,
Unterzug und Platte als Flächentragwerk räumlich rechnen.
a)
b)
c)
d)
Abbildung 5.30 Verschiedene FE-Modelle für Unterzüge
Die verschiedenen Modelle unterscheiden sich in der Tragwirkung erheblich: a) Das Modell kann als ebenes Problem behandelt werden. Die neutrale Achse bleibt in der Mittelebene der Platte. Die Breite oder die Dicke des Unterzugselementes müssen so gewählt werden, dass die Biegesteifigkeit des Unterzuges die echte Steifigkeit des Plattenbalkens repräsentiert. Ohne Erhöhung der Steifigkeit sind die Verschiebungen zu gross und der Unterzug „zieht“ zu wenig Momente an. Wie a). Anstelle des „dicken“ Plattenelementes wird ein Stabelement mit der notwendigen Biegesteifigkeit, bzw. einem fiktiven Trägheitsmoment in der Plattenebene eingeführt. Die Resultate sind im allgemeinen besser als bei einer Platte mit grossen Dickensprüngen, aber erfordern mehr Aufwand bei der Auswertung und Bemessung. Wie b). Das Stabelement wird jedoch exzentrisch an die Platte angeschlossen. Da die Platte keine in der Ebene liegenden Freiheitsgrade aufweist entspricht dies einer unendlich mitwirkenden Breite der Platte, d.h. die neutrale Achse bleibt in der Plattenmittelebene. Die Fläche (und damit die Zugsteifigkeit) des Stabes geht über die Berechnung der Gesamtsteifigkeit des Stabquerschnittes in die Berechnung ein. Die Verformungen werden, infolge des Fehlens der horizontalen Freiheitsgrade zu klein ausfallen. Im FLASH Programm wird dies dadurch gemildert, als dass der Anschluss des Stabes nur in den Knoten erfolgt und die
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Platten
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horizontale Schubverbindung zwischen Stab und Platte gelöst ist. Das Modell wird dadurch weicher und liefert gute Resultate. Das folgende Beispiel zeigt die Resultate der Berechnung eines eingespannten Plattenbalkens mit den unterschiedlichen Modellen aus Abbildung 5.30. Beispiel 8: Eingespannter Plattenbalken als Platte gerechnet
Spannweite L = 19.2 m 2
E = 30000. kN/m 2 G = 12000. kN/m Pz = 200. kN 2 pz = 8.48 kN/m’ = 5.3 kN/m E
Für die Vergleichsrechnung des Gesamtquerschnitts mit der Balkenstatik wurde die Schubverformung mitberücksichtigt (α = .55). Die Schubverformung der Platte wird vernachlässigt, damit die Verformungsansätze für die Biegung und Verschiebungen in Platte und Stab kongruent sind.
M
Die Schalenberechnung wurde mit vier Elementen über die Steghöhe durchgeführt.
Abbildung 5.31 Beispiel für die Vergleichsrechnung zwischen Stabstatik, Plattenbalken und Schalenberechnung
Abbildung 5.32 Elementmasche für die Platte (Elemente 11 bis 34) mit exzentrischen Stäben (1 bis 6)
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Platten
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Balkentheorie mit Schubverfor- Exzentrischer Stab an Schalenberechnung Platte (Modell c1) mung
Lastfall
Verteilte Last pz wM =
p z ⋅ L4 p z ⋅ L2 = 1.319 + 384 ⋅ E ⋅ J y 8 ⋅ G ⋅ α ⋅ Ax
0.951
1.265
wM =
Pz ⋅ L3 Pz ⋅ L = 3.240 + 192 ⋅ E ⋅ J y 4 ⋅ G ⋅ α ⋅ Ax
2.338
3.112
Einzellast Pz
Randspannung (Soll)
Verteilte Last pz
Einzellast Pz
ME =
pz ⋅ L = 260.51 12
ME =
2
Pz ⋅ L = 480 8
252.16 + 1.6 * 4.15 = 258.8
σoben = 1098 kN/m2 (1243)
Stab- + Plattenmomente
σunten = 2035 kN/m2 (2746)
470.65 + 1.6 * 5.78 = 479.9
σoben = 2035 kN/m2 (2290) σunten = 4048 kN/m2 (4750)
Abbildung 5.33 Resultate der verschiedenen Plattenbalkenmodelle
Abbildung 5.34 Masche für die Schalenberechnung des Plattenbalkens
Wie man in Abbildung 5.32 sieht, liefert die aufwendigere Schalenberechnung, ausser für die Verformung, schlechtere Resultate als die Platte mit exzentrischem Stab. Die zu kleinen Verformungen erklären sich durch die fehlenden Freiheitsgrade in der Ebene. Da die Auswertung der Resultate für eine Schalenberechnung zudem unvergleichlich aufwendiger ist (die Spannungen und Momente müssen über den Querschnitt aufintegriert werden), empfiehlt es sich, Unterzüge stets mit exzentrischen Stäben zu modellieren. Im Kapitel 8 (Flächentragwerke) wird zudem gezeigt, dass bei einer Berechnung mit allen Knotenfreiheitsgraden auch die Verformungen bei der Modellierung von Rippen mit exzentrischen Stäben sehr genau berechnet werden.
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Eigenwerte
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6. Eigenwerte In der Baustatik führen zwei Problemstellungen zur Lösung von Eigenwertproblemen:
Stabilitätsberechnungen (Knicken, Beulen)
Schwingungsberechnungen
Eigenwertprobleme sind aber auch z.B. bei Strömungsproblemen oder Wärmeflussberechnungen zu lösen. Eine der wichtigsten Problemstellungen, welche zur Lösung einer Eigenwertaufgabe führt, ist die Berechnung der Eigenschwingungen von Tragwerken. Die Theoretischen Grundlagen zur Tragwerksdynamik sind in [1], Kapitel 5 kurz zusammengestellt.
([ A] + {λ }⋅ [B ]) ⋅ [E ] = 0
allgemeine Darstellung des Eigenwertproblems
{λ} = Eigenwerte λ1......λn
[E ] = Eigenvektoren. Bei der Lösung des Stabilitätsproblems entspricht der erste Eigenvektor der Knickfigur. In der Dynamik repräsentieren die Eigenvektoren die Eigenschwingungen. Beim
Stabilitätsproblem,
[A] = [K ] + [KGG ] ,
wie
auch
in
der
Tragwerksdynamik
entspricht
d.h. der Steifigkeitsmatrix [K ] , allenfalls erweitert um die geometrische
Steifigkeitsmatrix der dauernd wirkenden Grundbelastung [K GG ] .
[B ] = [KG ] d.h. geometrische Steifigkeitsmatrix bei Stabilitätsproblemen. [B ] = [M ] d.h. Massenmatrix für Probleme der Dynamik. Für die Lösung der Eigenwertaufgabe wurden verschiedene Algorithmen entwickelt. Die bekanntesten sind das Teilraumverfahren („subspace iteration“), welches auch in FLASH verwendet wird, oder das Lanczos-Verfahren. Beide lösen die Aufgabe iterativ, ausgehend von einer Anzahl Startvektoren, welche aus ausgewählten Einheitsverschiebungen gebildet werden. Die Genauigkeit der erhaltenen Lösungen hängt von der Anzahl der Freiheitsgrade und vom Einhalten der Gleichgewichtsbedingungen ab. Die Anzahl der Eigenwerte entspricht der Anzahl der voneinander unabhängigen Gleichungen des globalen Gleichungssystems, d.h. der Anzahl Freiheitsgrade abzüglich der Starrkörperverschiebungen. Für den einfachen Fall der Knicklast einer unten eingespannten und oben seitlich gehaltenen Stütze erhält man einen um rund 25% falschen Wert, wenn man die Stütze mit nur einem Element approximiert (das gleiche gilt auch für die Berechnung der dynamischen Ei-
Baustatik 2 Teil 3
Eigenwerte
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genwerte). Die Konvergenz ist jedoch sehr schnell, wie man durch das Einfügen weiterer Knoten einfach feststellen kann (Berechnung mit EasyStatics, Abbildung 6.1). Der Aufwand zur Berechnung der Eigenwerte ist rund 10 mal höher, als zur Lösung des linearen Gleichungssystems. Eine Reduktion des Aufwandes kann bei Tragwerken mit einer sehr grossen Anzahl von Freiheitsgraden dadurch erreicht werden, dass die Massen in den Knoten konzentriert werden. Die Massenmatrix wird dadurch zur Diagonalmatrix. Die Abbildung 6.2 zeigt dass kein Unterschied in den Resultaten zwischen verteilten und konzentrierten Massen feststellbar ist. Die für die Berechnung der Eigenschwingungen eines am Ende frei schwingenden Stabes mit unterschiedlichen Elementunterteilungen. Die Berechnung erfolgte mit dem FLASH Programm, welches die Wahl der Massenverteilung erlaubt. Die Eingabevorschriften für die folgenden Beispiele finden sich in den entsprechenden Handbüchern [2] und [3]. Mit beiden Programmen können die dynamischen Eigenwerte auch am belasteten System nach Theorie 2. Ordnung bestimmt werden. Beispiel 9: Eigenschwingungen einer Stahlstütze
Stahlstütze E-Modul 2.1E8 Profil HEA300
Abbildung 6.1 Einfluss der Knotenzahl auf die Konvergenz des ersten Eigenwerts
Baustatik 2 Teil 3
Eigenwerte
Frequenz
Nr 1
Anz. Stäbe
verteilt
konz.
Nr 2
1
0,9283
0,9283
2
0,9243
5
0,9239
Seite 79 Nr 3
verteilt
konz.
0.9243
5,8356
5,8356
0,9239
5,7895
5,7895
Nr 4
verteilt
konz.
verteilt
konz.
16,2460
16,2460
32,0501
32,0501
Abbildung 6.2 Identische Eigenwerte für die Berechnung mit konsistenten und konzentrierten Massen
Die Einsparung an Rechenzeit zeigt sich am folgendem Beispiel der Berechnung der ersten 10 Eigenwerte für den Drehkranz eines Schiffskrans mit 15882 Freiheitsgraden, bzw. Gleichungen. Angegeben sind die Zeiten in Sekunden für das Zusammensetzen des globalen Gleichungssystems, die Lösung des Gleichungssystems und die Bestimmung der Eigenwerte. Beispiel 10: Dynamische Berechnung eines Krandrehkranzes Berechnung mit konzentrierten Massen :
785 sec
Berechnung mit verteilten Massen : 1189 sec. Der Unterschied in den berechneten Eigenfrequenzen ist < 0.5%.
Abbildung 6.3 Elementmasche und 7. Eigenschwingung des Krandrehkranzes
Die nachfolgenden Eingabeanweisungen zeigen die notwendigen Eingaben für die Berechnung der dynamischen Eigenwerte, sowie der Stabilität nach Theorie erster und zweiter Ordnung für das Beispiel 20. Es wirkt eine ständige Auflast von 100 kN; das Eigengewicht wird vernachlässigt.
BEGINN BEISPIEL EIGENFREQUENZEN 2 STAEBE MASSE VERTEILT EBENES STABTRAGWERK 6 5 EIGENWERT DYNAMISCH 4 EIGENWERT STABILITAET 1 KNOTEN 1 0. PLUS 0. 4. KNOTEN 2 BIS 6 * * STAB 2.1E8 .8E8 'HEA300' ELEMENT 1 BIS 5 MASSE 7.814 ELEMENT 1 BIS 5
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Eigenwerte
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* STAB 1 KNOTEN 1 2 0. PLUS 1 1 ELEMENT 2 BIS 5 * * N N N KNOTEN 1 * * OPTIMIERE * * LASTFALL KONZENTRIERTE LAST KNOTENLAST 0. -100. KNOTEN 6 DYNAMISCHE EIGENWERTE 4 * * LASTFALL 1 DEFORMATIONEN $ REAKTIONEN $ MIT STAEBEN LASTFALL 1 STABILITAET EIGENWERT 1 LASTFALL 1 THEORIE ZWEITE ORDNUNG LASTFALL 1 DYNAMIK EIGENWERTE 4 * * Abbildung 12.3: Eingabeanweisungen für die dynamische Eigenwertberechnung des Beispiels 20
FREIE SCHWINGUNGEN ****************** DYNAMISCHE EIGENWERTE ********************* NR. KREISFREQUENZ**2 1 2 3 4
33.698 1323.252 10419.615 40552.629
LASTFALL 1 ************
KREISFREQUENZ 5.805007 36.376534 102.076517 201.376834
FREQUENZ 0.923895 5.789505 16.245982 32.050118
PERIODE 1.08237354 0.17272634 0.06155368 0.03120113
LASTFALL KONZENTRIERTE LAST
EIGENWERTE DER STABILITAETSBERECHNUNG ************************************* 1 2.36540 BERECHNUNG NACH THEORIE 2. ORDNUNG ********************************** DYNAMISCHE EIGENWERTE ********************* NR. KREISFREQUENZ**2 1 2 3 4
20.089 1230.879 10199.203 40142.719
KREISFREQUENZ 4.482060 35.083879 100.991102 200.356481
FREQUENZ 0.713342 5.583773 16.073233 31.887723
PERIODE 1.40185224 0.17909039 0.06221524 0.03136003
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Eigenwerte
Abbildung 12.4: Resultate der dynamischen Eigenwertberechnung des Beispiels 20
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Baustatik 2 Teil 3
Verzeichnisse
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7. Verzeichnisse Abbildungsverzeichnis Abbildung 2.1 Dreiecks- und Viereckselement mit Knoten in den Ecken ................................................................ 7 Abbildung 2.2 Fachwerkträger................................................................................................................................. 8 Abbildung 2.3 Knoten und Elementnummerierung .................................................................................................. 8 Abbildung 2.4 Ansatzfunktionen für Stabverschiebungen des Fachwerkstabes...................................................... 9 Abbildung 2.5 Einheitsvektoren der Rotationsmatrix ............................................................................................... 9 Abbildung 2.6 Bildung der lokalen Steifigkeitsmatrizen und Transformation ins globale System .......................... 11 Abbildung 2.7 Bildung der lokalen Lastvektoren für das Eigengewicht.................................................................. 12 Abbildung 2.8 Zusammensetzung des globalen Gleichungssystems .................................................................... 14 Abbildung 2.9 Topologie (Zusammenhang zwischen Elementen und Knoten)...................................................... 14 Abbildung 2.10 Einfügen der globalen Elementmatrizen ins globale Gleichungssystem....................................... 15 Abbildung 2.11 Einfügen der globalen Elementlastanteile in den globalen Lastvektor .......................................... 16 Abbildung 2.12 Optimierungsstrategien für die Konditionierung des globalen Gleichungssystems....................... 17 Abbildung 2.13 Resultatvektor der globalen Verschiebungen ............................................................................... 17 Abbildung 2.14 Berechnung der Elementschnittkräfte (Normalkraft) ..................................................................... 18 Abbildung 3.1 Berechnung der Elementschnittkräfte (Normalkraft) ....................................................................... 22 Abbildung 3.2 Die Schaltflächen von EasyStatics ................................................................................................. 23 Abbildung 3.3 Globales Koordinatensystem und Freiheitsgrade für Scheiben ...................................................... 27 Abbildung 3.4 Globales Koordinatensystem und Freiheitsgrade für Platten.......................................................... 28 Abbildung 3.5 Globales Koordinatensystem und Freiheitsgrade für Schalen und Faltwerke................................. 28 Abbildung 3.6 Syntaxdiagramm der Knotenkoordinaten-Eingabe ......................................................................... 30 Abbildung 3.7 Syntaxdiagramm für das Generieren von Listen............................................................................. 31 Abbildung 3.8 Eingabebefehle für das Beispiel 1a ................................................................................................ 32 Abbildung 3.9 Grafische Eingabe mit WIN-FLASH................................................................................................ 32 Abbildung 3.10 Grafische Ausgabe mit WIN-FLASH............................................................................................. 33 Abbildung 3.11 Struktur mit Stab- und Flächenelementen .................................................................................... 34 Abbildung 4.1 Verformungen des Fachwerks mit Gelenken für Lastkombination Eigengewicht + Einzellasten .... 35 Abbildung 4.2 Verformungen des Fachwerks ohne Gelenke als Rahmen nach Theorie erster Ordnung gerechnet ..................................................................................................................................................................... 35 Abbildung 4.3 Schnittkraftvergleich zwischen Fachwerk- und Rahmenmodell ...................................................... 36 Abbildung 4.4 Einfache Handkontrolle (ohne Eigengewicht), Momentengleichgewicht in Mitte des Untergurtes .. 36 Abbildung 4.5: Beidseitig horizontal gelagerte Fachwerkbrücke............................................................................ 36 Abbildung 4.6 Horizontale Auflagerverschiebung von 2 mm am rechten Auflager. ............................................... 37 Abbildung 4.7 Initiale Dehnung (zusätzliche FLASH-Eingabe und Resultate) ....................................................... 37 Abbildung 4.8 Lokale Verschiebungsgrößen des Biegestabes (Vorzeichen Konvention)...................................... 38 Abbildung 4.9 Lokale Steifigkeitsmatrix des ebenen Biegestabes......................................................................... 38 Abbildung 4.10 Reine Schubverformung infolge einer Querkraft V ....................................................................... 39 Abbildung 4.11 Bestimmung der Flexibilitätsmatrix am Kragarm........................................................................... 40 Abbildung 4.12 Bestimmung der Verschiebung w1 ............................................................................................... 40 Abbildung 4.13 Einführung von Biegegelenken ..................................................................................................... 42 Abbildung 4.14 Schub-, Normalkraft- und Biegegelenke ....................................................................................... 43 Abbildung 4.15 Exzentrizitäten bei einer Stütze (links), einer Brückenquerschnittsänderung und einer Rippenplatte ..................................................................................................................................................................... 44 Abbildung 4.16 Exzentrizitäten mit steifen Stäben................................................................................................. 44 Abbildung 4.17 Eingabe des Hallenrahmens mit exzentrischen Stäben in FLASH ............................................... 45 Abbildung 4.18 Modellierung eines Kopfplattenanschlusses (Stab -> Scheibe) .................................................... 47 Abbildung 4.19 Eingabe der Übergangsbedingung mit FLASH ............................................................................. 47 Abbildung 4.20 Echoprint der Constraintbedingungen aus FLASH ....................................................................... 48 Abbildung 4.21 Modellierung eines Gelenks mit Constraint-Bedingungen ............................................................ 48 Abbildung 4.22 Falsche Formulierung von Constraint-Bedingungen..................................................................... 49 Abbildung 4.23 Behandlung fester Auflager .......................................................................................................... 51 Abbildung 4.24 Gedrehtes Auflagerkoordinatensystem......................................................................................... 52 Abbildung 4.25 Hallenrahmen mit unterschiedlichen Stützensteifigkeiten............................................................. 55 Abbildung 5.1 Vorgespannte Hochbaudecke ........................................................................................................ 56 Abbildung 5.2 Beispiele von Rippendecken .......................................................................................................... 57 Abbildung 5.3 Verschiebungsfreiheitsgrade der FLASH Plattenelemente............................................................. 57 Abbildung 5.4 Verformungsannahmen bei dünnen Platten ................................................................................... 58 Abbildung 5.5 Kubische Randverschiebungen für die FLASH Plattenelemente nach Kirchhoff’scher Plattentheorie ..................................................................................................................................................................... 60 Abbildung 5.6 Lineare Randverschiebungen für die FLASH Plattenelemente nach Reissner’scher Plattentheorie ..................................................................................................................................................................... 60 Abbildung 5.7 Rechteckplatte unter einer gleichmässigen Belastung ................................................................... 61 Abbildung 5.8 Konvergenzverhalten der FLASH Plattenelemente ........................................................................ 61 Abbildung 5.9 Quadratplatte 4 x 4 Elemente mit Symmetriebedingungen............................................................. 62 Abbildung 5.10 Resultate mit vereinfachten Lagerungsbedingungen.................................................................... 63
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Abbildung 5.11 Resultatausgabe der Auflagerkräfte ............................................................................................. 63 Abbildung 5.12 Iteratives Entfernen von Auflagern unter Zug in FLASH ............................................................... 64 Abbildung 5.13 Kräfteumlagerung beim Ausschalten von Auflagern unter Zug..................................................... 64 Abbildung 5.14 Ausschnitt der Eingabeanweisungen für die Berechnung ohne Zuglagerung............................... 64 Abbildung 5.15 Unendlich ausgedehnte Flachdecke............................................................................................. 66 Abbildung 5.16 Maximale Momente der punktgestützten Flachdecke mit verschiedenen Lagerungen................. 66 Abbildung 5.17 Vergleich der Punktstützung mit der elastischen Bettung............................................................. 67 Abbildung 5.18 Schiefe Platte unter 30 Grad ........................................................................................................ 68 Abbildung 5.19 Maximale Durchbiegung und Momente für verschiedene Lagerungen und Elementmaschen ..... 68 Abbildung 5.20 Masche mit elastisch gebetteten Randelementen ........................................................................ 69 Abbildung 5.21 Momentenverlauf vom der Plattenmitte zum Stumpfen Eck für die Hauptspannung m2 .............. 69 Abbildung 5.22 Hauptspannung m2 für das eingespannte Lager (oben) und das drehbare stumpfe Eck (unten). 69 Abbildung 5.23 Momente m2 und m1 für die schiefe Platte mit elastischer Bettung ohne Zug ............................. 70 Abbildung 5.24 Stützenkopf mit Pilz: Wirklichkeit und statisches Modell............................................................... 71 Abbildung 5.25 Zweifeldträger über der Mittelstütze verstärkt ............................................................................... 72 Abbildung 5.26 Plattenstreifen mit elastischer Bettung als Stützenkopf ................................................................ 72 Abbildung 5.27 Rippen in einer Richtung .............................................................................................................. 73 Abbildung 5.28 Rippen in den Stützstreifen........................................................................................................... 73 Abbildung 5.29 Rippen in zwei Richtungen ........................................................................................................... 73 Abbildung 5.30 Verschiedene FE-Modelle für Unterzüge...................................................................................... 74 Abbildung 5.31 Beispiel für die Vergleichsrechnung zwischen Stabstatik, Plattenbalken und Schalenberechnung ..................................................................................................................................................................... 75 Abbildung 5.32 Elementmasche für die Platte (Elemente 11 bis 34) mit exzentrischen Stäben (1 bis 6) .............. 75 Abbildung 5.33 Resultate der verschiedenen Plattenbalkenmodelle ..................................................................... 76 Abbildung 5.34 Masche für die Schalenberechnung des Plattenbalkens .............................................................. 76 Abbildung 6.1 Einfluss der Knotenzahl auf die Konvergenz des ersten Eigenwerts .............................................. 78 Abbildung 6.2 Identische Eigenwerte für die Berechnung mit konsistenten und konzentrierten Massen .............. 79 Abbildung 6.3 Elementmasche und 7. Eigenschwingung des Krandrehkranzes ................................................... 79
Beispielverzeichnis Beispiel 1a: Fachwerkträger .................................................................................................................................... 8 Beispiel 1b: Fachwerkbrücke mit Trägerhöhe von 2.0 m....................................................................................... 35 Beispiel 1c: Fachwerkbrücke mit Trägerhöhe von 2.0 m biegesteif gerechnet ...................................................... 35 Beispiel 1d: Fachwerkbrücke mit beidseitig horizontaler fester Lagerung ............................................................. 36 Beispiel 1e: Fachwerkbrücke mit Auflagerverschiebung von 2 mm....................................................................... 37 Beispiel 1f: Fachwerkbrücke unter Temperaturbelastung...................................................................................... 37 Beispiel 2a: Hallenrahmen..................................................................................................................................... 41 Beispiel 2b: Hallenrahmen mit Stützenversatz ...................................................................................................... 44 Beispiel 3: Modellierung einer Kopfplatte mit Constraintbedingungen................................................................... 47 Beispiel 2c: Hallenrahmen mit Constraint-Bedingung für ein Gelenk .................................................................... 48 Beispiel 4: Rahmen mit unterschiedlichen Stützenquerschnitten .......................................................................... 55 Beispiel 5: Rechteckplatte ..................................................................................................................................... 61 Beispiel 6: Unendlich ausgedehnte Flachdecke mit Stützenraster ........................................................................ 66 Beispiel 7: Schiefwinklige Platte ............................................................................................................................ 68 Beispiel 7a: Verstärkter Zweifeldträger.................................................................................................................. 71 Beispiel 7b: Plattenstreifen mit elastischer Bettung ............................................................................................... 72 Beispiel 8: Eingespannter Plattenbalken als Platte gerechnet............................................................................... 75 Beispiel 9: Eigenschwingungen einer Stahlstütze ................................................................................................. 78 Beispiel 10: Dynamische Berechnung eines Krandrehkranzes ............................................................................. 79
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Anhang
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8. Anhang FLASH Eingabeschemas
Die folgenden Schemas stammen aus [3] und dienen dem Verständnis für die in der Vorlesung gezeigten Beispiele.
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