MAKALAH ALJABAR LINEAR BASIS DAN DIMENSI
Dosen Dosen Pembim Pembimbing bing : A. Zainul Zainul Ma’a Ma’arif rif,, M.Pd. M.Pd.
Nama Anggota Anggota : 1 Ika Novita Sari ! M. %aris S&afaat
1! "!! ##!$ 1! "!! ##'$
PROGAM STUDI PENDIDIKAN P ENDIDIKAN MATEMAT MATEMATIKA IKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS UNIVERSITAS MUHAMMADIYA MUHAMMADIYAH H GRESIK 2015
A. (asis )ntuk Sebua* +uang ektor
Definisi :
5ika adala* sembarang ruang vektor dan
S ={ v 1 , v 2 , … , v n }
adala* suatu
*im/unan vektor 2 vektor dalam , maka S disebut suatu basis untuk 4ika dua s&arat berikut ini di/enu*i : a. S bebas se3ara linear.
Suatu basis adala* generalisasi ruang vektor dari suatu sistem koordinat dalam ruang berdimensi ! dan ruang berdimensi -. eorema berikut ini akan membantu kita meli*at menga/a *al tersebut demikian. Te!e"# 5$%$1$ :
5ika
S ={ v 1 , v 2 , … , v n }
adala* suatu basis untuk suatu ruang vektor , maka setia/
vektor v dalam da/at din&atakan dalam bentuk
v ={c 1 v 1+ c 2 v 2+ … + c n v n }
(ukti : 0arena S merentangkan , maka dari definisi suatu *im/unan rentang kita da/atkan ba*a setia/ vektor dalam da/at din&atakan sebagai kombinasi linear dari vektor 2 vektor dalam S. untuk meli*at ba*a *an&a ada satu 3ara untuk men&atakan suatu vektor sebagai kombinasi lnear dari vektor 2 vektor dalam S, angga/ ba*a suatu vektor v da/at ditulis sebagai v ={c 1 v 1+ c 2 v 2+ … + c n v n }
dan 4uga sebagai v ={k 1 v 1 + k 2 v 2+ … + k n v n }
Dengan mengurangkan /ersamaan kedua dari /ersamaan 2 /ersamaan akan di da/atkan 0
=( c −k ) v + ( c −k ) v +… +( c n− k n ) v n 1
1
1
2
2
2
0arena ruas kanan dari /ersamaan ini adala* suatu kombinasi linear dan vektor 2 vektor dalam S, maka kebebasan linear dari S mengim/likasikan ba*a
1
c 1−k 1=0 , c 2−k 2= 0 , … , cn −k n= 0
&aitu, c 1=k 1 , c 2= k 2 , … , c n=k n
5adi, kedua eks/resi untuk v adala* sama. &n'( )
un4ukkan ba*a *im/unan matriks berikut : M =
{[
3
6
3
−6
] [− ,
0 1
] [−
−1 , 0
0 12
][
−8 , 1 −4 −1
0 2
]}
meru/akan
basis
bagi
matriks
berukuran !6! 7 Pen&elesaian : 5ika kita menuliskan kombinasi linear dari /ersamaan tersebut dengan lengka/ akan men4adi 3 6 k 1 + k 2 0 −1 +k 3 0 −8 + k 4 1 0 = a b 3 −6 −1 0 −12 −4 −1 2 c d
[
] [
] [
] [
atau
[
3 k 1 + 0 k 2 + 0 k 3+ k 4
6 k 1−1 k 2−8 k 3+ 0 k 4
3 k 1−k 2−12 k 3−k 4
−6 k 1 + 0 k 2−4 k 3 + 2 k 4
][ ]
][ ] =
a c
b d
Dengan men&amakan setia/ unsur /ada kedua ruas, di/erole* SP8 :
[
3 6 3
−6
0
0
1
][ ] [ ] k 1
−1 −8 0 k = −1 −12 −1 k −4 2 k 0 2 3 4
a b c d
Determinan matriks koefisienn&a M0$ 9 "' 0arena det M0$# ; SP8 memiliki solusi untuk setia/ a, b, 3, d M 2 x 2 5adi, M membangun
0etika a =0, b=0, c = 0, d =0 det M0$# ; SP8 *omogen /un&a solusi tunggal 5adi, M bebas linear 0arena M bebas linear dan membangun
M 2 x 2
maka M meru/akan basis bagi
M 2 x 2
(. Dimensi
Definisi 1)
Suatu ruang vektor tak nol disebut berdimensi terhingga 4ika berisi suatu { v 1 , v 2 , … , v n } &ang membentuk suatu basis. 5ika *im/unan vektor ter*ingga 2 tidak ada *im/unan &ang se/erti itu, maka disebut berdimensi tak hingga. Di
.
Te!e"# 5$%$2$ :
{ v , v , … , v n } adala*
5ika adala* suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan
1
2
sembarang basis, maka : a$ Setia/ *im/unan dengan lebi* dari n vektor adala* tak bebas se3ara linear.
(ukti a$ : Angga/ dimana
S ' ={ w1 , w2 , … , wm }
adala* sembarang *im/unan m vektor dalam .
m > n . 0ita ingin menun4ukkan ba*a
S ={ v 1 , v 2 , … , v n }
S '
adala* suatu basis, maka setia/
tak bebas se3ara linear. 0arena wi
da/at din&atakan sebagai
kombinasi linear dari vektor 2 vektor dalam S, misalkan w 1={a 11 v 1+ a21 v 2+ … + a n1 v n } w 2={a 12 v 1 + a 22 v 2 + … + an 2 v n } …
…
…
…
w m={ a1 m v 1+ a2 m v 2 + … + anm v n }
<$
)ntuk menun4ukkan ba*a S’ tak bebas se3ara linear, kita *arus men3ari skalar k 1 , k 2 , … , k m
&ang tidak semuan&a nol sedemikian se*ingga k 1 w1 + k 2 w2 + … + k m wm =0
=$
Dengan menggunakan /ersamaan dalam <$, kita da/at menulis ulang =$ sebagai
3
( k 1 a11+ k 2 a12+ … + k m a 1m ) v 1 +( k a + k a + … + k m a m ) v 1
21
2
22
2
2
+ ( k an + k a n + …+ k m anm ) v n=0 1
1
2
2
5adi, dari kebebasan linear S, masala* membuktikan ba*a S’ adala* suatu *im/unan &ang tak bebas se3ara linear beruba* men4adi menun4ukkan ba*a ada skalar
k 1 , k 2 , … , k m
&ang tidak semuan&a nol, &ang memenu*i a11 k 1+ a12 k 2+ … + a1 m k m =0 a21 k 1 + a22 k 2 + … + a 2 m k m=0 …
…
…
…
an 1 k 1 + an 2 k 2 + … + anm k m= 0
'$
Akan teta/i, '$ mem/un&ai /euba* &ang lebi* ban&ak dari /ersamann&a, se*ingga bukti ini men4adi lengka/ karena eorema 1.!.1 men4amin adan&a /en&elesaian &ang tak trivial. Sekedar mengingat Te!e"# 1$2$1
Sebua* SP8 *omogen dengan 4umla* /euba* &ang lebi* ban&ak dari/ada 4umla* /ersamaan mem/un&ai tak *ingga ban&akn&a /en&elesaian. (ukti b$ : Angga/ m
S ' ={ w1 , w2 , … , wm }
ole* sembarang *im/unan m vektor dalam . dimana
. 0ita ingin menun4ukkan ba*a
S '
tidak merentang . Pembuktian akan
dilakukan dengan kontradiksi : 0ita akan menun4ukkan ba*a mengasumsikan ba*a S’
4
merentang akan membaa kita /ada suatu kontradiksi kebebasan linear dari
{ v1 , v2 , … , vn }
.
5ika S’ merentang , maka setia/ vektor dalam adala* suatu kombinasi linear dari vektor 2 vektor dalam S’. Se3ara k*usus, setia/ vektor basis
vi
adala* uatu kombinasi
linear dari vektor 2 vektor dalam S’, misalkan v 1= a11 w1 + a21 w 2+ … + a m1 w m v 2= a12 w1+ a22 w2 + … + am 2 wm …
…
…
…
v n =a1 n w1 + a2 n w 2+ … + amn w m }
>$
)ntuk mem/erole* kontradiksi, kita akan menun4ukkan ba*a ada skalar
k 1 , k 2 , … , k m
&ang tidak semuan&a nol sedemikian se*ingga k 1 v 1 + k 2 v 2 + … + k n v n= 0
1#$
Akan teta/i, amati ba*a >$ dan 1#$ mem/un&ai bentuk &ang sama dengan <$ dan =$, ke3uali ba*a m dan n di/ertukarkan, serta dan v di/ertukarkan. 5adi, /er*itungan &ang membaa /ada '$ sekarang meng*asilkan a11 k 1+ a12 k 2+ … + a1 n k n= 0 a21 k 1 + a22 k 2 + … + a 2 n k n=0 …
…
…
…
am 1 k 1 + a m 2 k 2+ … + amn k n =0
Sistem linear ini mem/un&ai /euba* &ang lebi* ban&ak dari/ada /ersamaan, dan dengan demikian mem/un&ai /en&elesaian tak trivial berdasarkan eorema 1.!.1.
5
Dari teorema sebelumn&a kita keta*ui ba*a 4ika
S ={ v 1 , v 2 , … , v n }
adala*
sembarang basis untuk suatu ruang vektor , maka semua *im/unan dalam &ang se3ara simultan merentang dan meru/akan *im/unan &ang bebas se3ara linear /asti mem/un&ai te/at n vektor. 5adi, semua basis untuk *arus mem/un&ai 4umla* vektor &ang sama sebagaimana sebarang basis S. %al ini membaa /ada *asil berikut ini, &ang meru/akan sala* satu teorema &ang /aling /enting dalam al4abar linear. Te!e"# 5$%$*$ : Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi ter*ingga mem/un&ai 4umla* vektor &ang sama.
)ntuk meli*at bagaimana teorema ini berkaitan dengan konse/ ?dimensi@, ingatla* ba*a
basis
standar
untuk
R
n
mem/un&ai
mengim/likasikan ba*a semua basis untuk setia/ basis untuk R
3
n
ve3tor. 5adi, eorema
R
1
(¿ R )
.".-.
mem/un&ai n vektor. Se3ara k*usus,
mem/un&ai tiga vektor, setia/ basis untuk R
vektor, dan setia/ basis untuk berdimensi tiga, R
R
n
2
mem/un&ai dua
mem/un&ai satu vektor. Se3ara intuitif,
R
3
2
suatu bidang$ berdimensi dua, dan + suatu garis$ berdimensi satu.
5adi, untuk ruang 2 ruang vektor &ang kita kenal, 4umla* vektor dalam suatu basis sama dengan dimensin&a. %al ini men&atakan definisi berikut ini. Definisi 2 :
Dimensi suatu ruang vektor berdimensi ter*ingga , &ang din&atakan dengan dim$, di definisikan sebagai 4umla* vektor dalam suatu basis untuk . Disam/ing itu, kita mendefinisikan ruang vektor nol mem/un&ai dimensi nol.
Mulai sekarang dan selan4utn&a kita akan mengikuti kese/akatan umum &ang mengangga/ *im/unan kosong sebagai suatu basis untuk ruang vektor nol. %al ini konsisten dengan definisi di atas karena *im/unan kosong tidak mem/un&ai vektor dan ruang vektor nol mem/un&ai dimensi nol. Bonto* dim ( R
n
) =n
C0arena memiliki basis &ang terdiri dari n vektor
6
dim
( Pn )= n + 1
C0arena memiliki basis &ang terdiri dari n E 1 vektor
dim
( M mn )=mn
C0arena memiliki basis &ang terdiri dari mn vektor. 5ika M! ruang
vektor &ang terdiri dari matriks !6! dengan kom/onen real maka dimensi M !$ 9 ", sebab M! mem/un&ai basis &ang terdiri dari " unsur Sifat : 5ika ruang vektor berdimensi n, maka : 1. Setia/ *im/unan m vektor di dengan m F n, senantiasa bergantung linier !. Setia/ *im/unan n vektor di &ang bebas linier, membentuk basis untuk -. Setia/ *im/unan n vektor di &ang membangun , membentuk basis untuk ". Setia/ *im/unan k vektor &ang bebas linier di , dengan k G n da/at di/erluas men4adi suatu basis untuk &n'( s#+ )
entukan basis dan dimensi ruang solusi dari SP8 *omogen x + y + z + w= 0
− x + 2 y − w=0 Pen&elesaian : 0ita da/at men&atakan sistem ini dalam bentuk /erkalian matriks sebagai
[
1
1
−1 −1
1
1
2
0
[] w x y z
] [] =
0 0
Matriks &ang di/erluas untuk sistem ini adala*
[
1
1
−1 −1
1
1
0
2
0
0
]
Hang da/at direduksi men4adi eselon baris tereduksi sebagai berikut
[
1
1
−1 −1
1
1
0
2
0
0
] [ b1 + b 2
]
1
1
1
1
0 1
0
0
3
1
0 3
¿ − b2 + b 1 ¿
[
1
1
0
0
0
1
2 3 1 3
0 0
] 7
b2
[
1
1
1
0
0
1
1 1 3
0 0
]
2
Dari matriks &ang terak*ir kita memiliki
w =− x − z
dan
3
y =
−1 3
z
. 0arena nilai 6
da/at diteta/kan dengan sembarang nilai s dan nilai da/at diteta/kan dengan sembarang nilai t, maka terda/at tak ter*ingga ban&akn&a /eme3a*an &ang membentuk ruang solusi SP8 &aitu
{[ ] [ ] [ ] [ ] } −2
2
w x y z
−s − t
−1
3
=
s
−1 3
=
t
1 0
3
s+
0
0
−1
t
3
t
1
[] −1
&ang menun4ukkan ba*a vektor
tersebut. 0arena
v 1 danv 2
saling bebas linear. 5adi
v 1=
1
0 0
[] −2
dan v 2=
3 0
−1
merentang ruang solusi
3 1
tidak saling berkeli/atan satu sama lain maka kedua vektor ini
{ v 1 , v 2 } adala* basis bagi ruang solusi SP8 &ang dimaksud &ang
berdimensi !. B. Bonto* Soal dan Pemba*asan 1. entukan basis dan dimensi subruang
{( )| }
a W = b a −2 c =0 c
Pen&elesaian : a −2 c =0 0ondisi
menun4ukkan ba*a b meru/akan variabel bebas, misalkan
b = s . 0arena tersisa sebua* /ersamaan dan dua bilangan &ang belum diketa*ui
( a , c ) , maka kita memiliki sebua* variabel bebas lagi, misalkan di/erole*
a =2 t . Dengan demikian kita da/at menulis J sebagai
8
c =t se*ingga
W =
{( ) ( ) ( ) ( ) } a b c
2 t
0
= s =
1
t
0
2
s+
0
t
1
u=
Hang menun4ukkan ba*a vektor 2 vektor
() () 0 2 1 danv = 0 0 1
merentang J. 0arena
udanv tidak saling berkeli/atan satu sama lain, maka kedua vektor ini saling bebas
{u , v } adala* basis bagi J &ang berdimensi
linear. Ak*irn&a kita sim/ulkan ba*a !.
!. entukan basis dan dimensi ruang solusi ruang null$ dari SP8 *omogen berikut 3 x1 + x 2 + x3 + x 4 =0 5 x1
− x + x − x =0 2
3
4
x 1− x 2− x 4= 0 Pen&elesaian : Menentukan basis dan dimensi ruang solusi ruang null$ dari SP8 *omogen
[
3
1
5
−1 −1
1
1 1 0
1
−1 −1
][ ] [ ] x1 x2 x3
0
=
x 4
0 0
Matriks &ang di/erluas untuk sistem tersebut adala*
[
3
1
5
−1 −1
1
1 1 0
1
−1 −1
0 0 0
]
&ang da/at direduksi men4adi bentuk eselon baris teredusi sebagai berikut b3 + b1 −b 3 + b 2
¿
¿ b 1 ↔ b3
[
3
1
5
−1 −1
1
1 1 0
1
−1 −1
0 0 0
][ ¿
4
0
1
0
0
4
0
1
0
0
1
−1
0
−1
9
0
]
1 4
¿
[
1
−1
1
0
4
0
b2 0 1 4 1
−1
0
0
0
0
0
]
¿ ¿ b1 + b 2
− b1 + b 2 −4 b 2+ b3
[
1
−1
0
1
0
0
0 1 4 0
−1
0
1
0
0
0
][ ¿
¿
1
0
0
1
0
0
1 4 1 4 0
0
0
1
0
0
0
]
1
1
4
4
x 1+ x 3=0 dan x 2 + x3 + x 4 =0
Dari matriks ini kita memiliki
sebagai variabel bebas.Misalkan
x 3=sdanx 4=t
maka
x 1=
dengan
−1 4
x 3 dan x 4
sdan x 2=
−1 4
s −t
Denga demikian ruang /en&elesaian SP8 *omogen di atas adala* sebagai berikut
{[ ] [ ] [ ] [ ] } x 1 x 2 x 3
t
1 1
0 −1
t − s = t + s −4 t − 4 0 0 1 s
=
x 4
&ang menun4ukkan ba*a vektor 2 vektor u dan v tidak saling berkeli/atan
merentang ruang /en&elesaian SP8 tersebut. 0arena
⃗
⃗
satu sama lain, maka kedua vektor ini saling bebas linear. Ak*irn&a kita sim/ulkan ba*a
{u , v } adala* basis ruang solusi SP8 di atas. ⃗
-. Diketa*ui
⃗
W =
{[ ] [ 2 −1
1 0 , 0 −1
][
2 1 , 4 −1
][
1 1 , 1 −1
2 3
]}
. Periksa a/aka* J meru/akan
basis bagi ruang ve3tor matriks !6! 7 Pen&elesaian : Memeriksa a/aka*
{ [
W = w1=
M 2 x 2
2 −1
] [
1 0 , w2= 0 −1
] [
2 1 , w 3= 4 −1
.
10
] [
1 1 , w4 = 1 −1
2 3
]}
meru/akan basis bagi
M 2 x 2
)ntuk mengeta*ui a/aka* J meru/akan suatu basis bagi M 2 x 2
di/erli*atkan a/aka* J membangun
, maka *arus
dan a/aka* setia/ anggota dari J saling
bebas linear satu sama lain. M 2 x 2
)ntuk meli*at a/aka* J membangun
A =
matriks
[ ] a c
b d
M 2 x 2
/ada
, *arus kita /eriksa a/aka* sembarang
da/at din&atakan sebagai kombinasi linear
A = k 1 w1 + k 2 w 2+ k 3 w3 + k 4 w4 5ika kita tuliskan /ersamaan tersebut dengan lengka/ akan men4adi a b =k 1 2 1 + k 2 0 2 + k 3 1 1 + k 4 1 2 −1 0 −1 4 −1 1 −1 3 c d
[ ] [
] [
] [
] [
]
Dengan men&eder*anakan ruas kanan kemudian membandingkan tia/ 2 tia/ entri /ada kedua ruas akan di/erole*
( [
2 k 1+ 0 k 2 + k 3 + k 4= a
k 1 + 2 k 2 + k 3+ 2 k 4= b
−k 1 −k 2− k 3−k 4= c 0 k 1 + 4 k 2 + k 3+ 3 k 4 =d
)[ ] ⇒
2
0
1
1
1
2
1
2
k 2
−1 −1 −1 −1 0
4
1
3
][ ] [ ] k 1 k 3
=
k 4
a b
c d
Matriks &ang di/erluas untuk sistem tersebut adala* 2
0
1
1
a
1
2
1
2
b
−1 −1 −1 −1 c 0
4
1
d
3
&ang da/at direduksi sebagai berikut
[
2
0
1
1
a
1
2
1
2
b
−1 −1 −1 −1 c 0
¿ ¿ b3 + b 4
4
[
1
d
3
] [
1
b3 + b1 0 b3 + b2
¿
¿ −1
0
0
a +c
1
0
1
b +c
−1 − 1 − 1 −1 c 0
4
1
d
3
] [
¿ 1
b3 + b 1 0
¿
−1
0
0
a+ c
1
0
1
b +c
−2 −1 −1 a + 2 c
0 0
4
1
¿
1
−1
0
0
1
0
0 0
a +c 1 b+ c 0
−2 −1 −1 2
0
2
] [ ¿
1
−1
0
0
0
1
0
1
a+ c b+ c
a + 2 c − 2 b 2 + b4 0 − 2 − 1 − 1 a +2 c a +2 c +d a −2 b + d 0 0 0 0
11
3
]
d
]
Per*atikan ba*a agar sistem ini memiliki /en&elesaian, maka *arusla* berlaku a − 2 b + d =0
a ≠ 2 b −d
baris terak*ir$. 5ika
maka sistem ini tidak memiliki
/en&elesaian &ang berarti ada matriks A anggota dari
M 2 x 2
&ang tidak da/at
din&atakan sebagai kombinasi linear
A = k 1 w1 + k 2 w 2+ k 3 w3 + k 4 w4
dari J. Dengan
M 2 x 2
se*ingga J bukan basis bagi
M 2 x 2
demikian J tidak membangun
". entukan basis dan dimensi serta solusi dari SP8 *omogen berikut ini : x 1+ 2 x 2+ 2 x 3− x 4 + 3 x 5= 0 x 1+ 2 x 2+ 3 x 3 + x 4 + x 5=0 3 x1
+ 6 x +8 x + x + 5 x = 0 2
3
4
5
Pen&elesaian : %arus di3ari solusi SP8 dengan menggunakan eliminasi KaussL5ordan
[
2
−1
1
2
3
0
1
2
3
1
1
0
3
6
8
1
5
0
][ ⇒
1
2
0
−5
0
0
1
2
0
0
0
7
0
−2
0
0
0
0
]
x 3+ 2 x 4 −2 x 5= 0 → x 3=−2 x 4 + 2 x 5 x 1+ 2 x 2−5 x 4 + 7 x 5=0 → x 1=−2 x2 + 5 x 4 −7 x 5
Solusin&a :
[] [ ] [ ] [ ] x1 x 2 x3
= x
2
−2
5
−7
1
0
0
0
+ x −2 + x 4
5
2
x 4
0
1
0
x5
0
0
1
Maka &ang men4adi basisn&a adala* :
[ ][ ] [ ] −2
5
−7
1
0
0
0
,
−2 ,dan
2
0
1
0
0
0
1
Sedangkan dimensin&a adala* - karena basisn&a ada -$
12
.
Bonto* : Diketa*ui
u= (−1,3,2 ) dan a= (1,1, −1 )
5aab : S&arat basis : i$ (ebas se3ara linear ulis
k 1 u + k 2 a =0 ⃗
⃗
atau
[ ][ ] [ ] −1
1
3 2
1 −1
Dengan (O da/at di/erole* :
[
. A/aka* meru/akan basis di + !
⃗
⃗
−1
1
0
3
1
0
2
−1
0
0
k 1 =0 k 2 0
¿
R1 + R3 1
] [ ][ ] [ ] −1 x R 1 3 R 1+ R 2 2 R 1+ R3
1
−1
0
4
0
0
1
0
0
4
¿
R 2
1
0
0
1
0
0
0
1
0 R3 − R 2 0
1
0
0
1
0
0
0
0
Dengan demikian di/erole* solusi tunggal &aitu : k 1= 0 dank 2= 0 Ini berarti ii$
⃗
⃗
Membangun Arin&a 4ika semua vektor bisa membentuk kombinasi linear ektor nol meru/akan kombinasi linear dari vektor a/a/un ∴
B=
u dan a saling bebas linear
5adi i$ dan ii$ ter/enu*i, maka
u dan a basis di + !. ⃗
[ ] 0 0
0 0
13
⃗
