SVEUČILIŠTE U ZAGREBU UNIVERSITY OF ZAGREB GEODETSKI FAKULTET FACULTY OF GEODESY Zavod za geomatiku Department of Geomatics Katedra za državnu izmjeru Chair of State Survey F r a A n d r i j e K a č i ć a M i o š i ć a 26, 10 000 Z a g r e b, H r v a t s k a , Tel.: +385 (1) 46 39 237
Prof. dr. sc. Tomislav Bašić
Marko Pavasović, dipl. ing.
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“ - Interni rukopis ‐
Ak. god. 2012./2013.
___________________________________________________________________________
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Sadržaj Redni broj zadatka 1
2
3 4 5 6 7 8
Ak. god. 2012./2013.
Tematika Računanje parametara nivo-elipsoida, ravninskih koordinata naslijeđene i službene kartografske projekcije Republike Hrvatske te njenih elemenata. Redukcija mjerenih veličina s fizičke površine Zemlje na plohu elipsoida uz primjenu Helmertove 7-parametarske 3D transformacije upotrebom složene (potpune) i jednostavne matrice rotacije. Izjednačenje nivelmanskog vlaka u sustavu geopotencijalnih kota i prelazak u dinamički sustav visina. Izjednačenje nivelmanskog vlaka u sustavu geopotencijalnih kota i prelazak u sustav normalnih visina. Izjednačenje nivelmanskog vlaka u sustavu geopotencijalnih kota i prelazak u ortometrijski sustav visina. Izjednačenje mikro triango-trilateracijske mreže po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata. Računanje azimuta projekcije geodetske linije u ravnini naslijeđene kartografske projekcije Republike Hrvatske. Primjena T7D službenog transformacijskog modela Republike Hrvatske.
Stranica 4
8
12 16 20 24 29 31
2
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Predgovor Poštovane kolegice i kolege studenti, U svrhu što boljeg razumijevanja i savladavanja sadržaja i problematike vježbi kolegija „Državna izmjera“ (VI semestar) Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike na Geodetskom fakultetu Sveučilišta u Zagrebu, kojeg pokriva Katedra za državnu izmjeru, za Vas smo pripremili primjere riješenih numeričkih zadataka. Numerički zadatci i njihova rješenja s popratnim pojašnjenjima pojedinih koraka rješavanja obuhvaćaju programe vježbi iz kolegija i prvenstveno su namijenjeni studentima kao pomoć prilikom pripreme za kolokvij i ispit. Ovaj (zasad) interni rukopis svojevrstan je nastavak na vježbe iz kolegija „Geodetski referentni okviri“ IV semestra. Podrazumijeva ali i ponavlja već usvojena znanja o konverziji i transformaciji geodetskih koordinata, upoznaje studenta s određivanjem parametara nivo-elipsoida, koordinatnim sustavima elipsoidne geodezije, značenjem i primjenom fizikalnih parametara pri redukciji mjerenih veličina s fizičke površine Zemlje na plohu elipsoida, posrednim izjednačenjem geodetskih mreža te sustavima visina, sukladno programu vježbi iz kolegija. Sva numerička rješenja izračunata su primjenom MS Excel 2013 programa kao dio MS Office 2013 Plus programskog paketa (uz korištenje Macro naredbi odnosno VBA - Visual Basic for Applications) iz razloga široke primjene navedenog programa među studentskom populacijom Geodetskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu. Zbog ograničenja Visual Basic alata čijoj porodici pripada i MS Excel u vidu broja signifikantnih znamenaka koje program uzima u obzir prilikom računanja, numerička rješenja mogu odstupati od onih izračunatih primjenom nekog od programskih jezika koji ne pripada navedenoj porodici. Nadamo se da će Vam pripremljeni materijali uvelike olakšati savladavanje gradiva kolegija, samim time i pomoći u studiranju i uvjerenju da rješavanje numeričkih zadataka u inženjerskim strukama ne predstavlja nikakav problem nego naprotiv, neizostavan dio struke i čestu potrebu u njenoj praksi. Zahvaljujemo se kolegi i demonstratoru, studentu Igoru Grgcu na konstruktivnim diskusijama i svekolikoj pomoći oko pripreme numeričkih rješenja zadataka. Autori U Zagrebu, 12.03.2013.
Ak. god. 2012./2013.
3
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
1) Na temelju zadanih veličina u tablici 1.1 i 1.2 potrebno je odrediti:
razliku radijusa određenog kao geometrijska sredina: radijusa elipsoida dobivenog na osnovu aritmetičke sredine, radijusa zakrivljenosti sfere iste površine kao elipsoid te radijusa sfere istog volumena kao elipsoid i Grunertovog radijusa zakrivljenosti točke T 1 na istom
razliku duljina luka meridijana od ekvatora točke T 1 na elipsoidu za „staru“ (naslijeđenu) i „novu“ (službenu) Gauss-Krügerovu/Transverse Mercatorovu projekciju RH
razliku početnih geodetskih širina točke T 1 u „staroj“ (naslijeđenoj) i „novoj“ (službenoj) Gauss-Krügerovoj/Transverse Mercatorovoj projekciji RH
normalnu vrijednost ubrzanja sile teže za točku T 1
Tablica 1.1: Parametri elipsoida 6378136.1234 m Velika poluos elipsoida (a): Geocentrična gravitacijska konstanta (GM): 3.986004418E+14 kgm3s-2
Kutna brzina rotacije ():
7.292115E-05
Dinamički faktor spljoštenosti (J2):
0.00108263
rads-1
Tablica 1.2: Koordinate točke T 1 ET1 =
640133.337
m
NT1 = 5041906.127 m hT1 =
143.495
m
Rješenje: 1. korak: Određivanje male poluosi b iterativnim postupkom. Iterativni postupak određivanja male poluosi b nivo-elipsoida primjenjuje se u slučaju nepoznavanja spljoštenosti elipsoida (f ili μ), odnosnom prilikom zadavanja dinamičkog faktora spljoštenosti (oblika) J2 primjenom izraza (2.3) (2.8) iz prvih auditornih vježbi kolegija: 1. iteracija
2. iteracija
3. iteracija
4. iteracija
5. iteracija
b0 m e'2
6000000.0000
6357528.2251
6356749.7136
6356751.4473
6356751.4434
0.003256177
0.003450207
0.003449784
0.003449785
0.003449785
0.130017234
0.006493498
0.006740044
0.006739495
0.006739496
2q0
0.011244478
0.000138764
0.000146710
0.000146692
0.000146692
e2
0.115057744
0.006451605
0.006694920
0.006694378
0.006694379
2
0.006451605
0.006694920
0.006694378
0.006694379
0.006694379
6357528.2251
6356749.7136
6356751.4473
6356751.4434
6356751.4434
e b
Ukoliko je razlika vrijednosti male poluosi b između n-te i n-1 iteracije zanemariva odnosno ako je jednaka nuli tada je iterativni postupak konvergirao i prihvaća se rješenje zadnje iteracije.
Ak. god. 2012./2013.
4
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
2. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti na osnovu aritmetičke sredine primjenom izraza (2.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija: R1 = 6370999.9153 m 3. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti iste površine kao i elipsoid pomoću izraza (2.13) iz prvih auditornih vježbi kolegija: R2 = 6399398.9364 m 4. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti istog volumena kao elipsoid pomoću izraza (2.14) iz prvih auditornih vježbi kolegija: R3 = 6370999.9153 m 5. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti kao geometrijska sredina tri prethodno izračunata radijusa (R1, R2 i R3). Geometrijska sredina dviju varijabli jest drugi korijen iz njihovog umnoška pa analogno vrijedni i za određivanje geometrijske sredine triju varijabli. R1,2,3 = 6380452.2249 m 6. korak: Konverzija reduciranih HTRS96/TM koordinata točke T1 u nereducirane primjenom izraza (3.11) i (3.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija: E_T1 =
140147.3517
m
N_T1 = 5042410.3680 m 7. korak: Konverzija nereduciranih HRTS96/TM koordinata u elipsoidne: 7.1 korak: Računanje početne geodetske širine 0 za apscisnu os x primjenom izraza (3.8) i (3.9) iz prvih auditornih vježbi kolegija: n = 0.0016792202 (treća spljoštenost) _ = 6367448.2721 _ = 0.002518826 _ = 3.700948E-06 _ = 7.447767E-09 _ = 1.703598E-11 0 = 0.7944229194 rad 7.2 korak: Računanje pomoćnih veličina primjenom izraza (3.7) iz prvih auditornih vježbi kolegija: 0 = 16°30'00'' v0 = 1.0016530981 N0 = 6389031.0483 t0 = 1.0182143869 0 = 0.05752329
Ak. god. 2012./2013.
5
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
7.3 korak: Računanje elipsoidnih koordinata točke T1 primjenom izraza (3.13) iz prvih auditornih vježbi kolegija: = 0.794177221 rad = 0.319277051 rad = 45°30'10''.81054 = 18°17'35''.61902 8. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti meridijanske elipse M primjenom izraza (3.1) iz prvih auditornih vježbi kolegija: M = 6367944.1593 m 9. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti meridijanske elipse N primjenom izraza (3.2) iz prvih auditornih vježbi kolegija: N = 6389025.7769 m 10. korak: Računanje Grunertovog (srednjeg) radijusa zakrivljenosti RGR primjenom izraza (3.3) iz prvih auditornih vježbi kolegija: RGR = 6378476.2585 m 11. korak: Računanje razlike između radijusa dobivenog kao geometrijska sredina (5. korak) i Grunertovog radijusa (10. korak): R = 1975.9664 m 12. korak: Određivanje razlike duljine luka meridijana za točku T 1 u „staroj“ (naslijeđenoj) i „novoj“ (službenoj) Gauss-Krügerovoj/Transverse Mercatorovoj projekciji RH: G() = 0 m Razlika ne postoji jer duljina luka meridijana ne ovisi o svojstvima kartografske projekcije, već isključivo o parametrima elipsoida i geodetskoj širini! 13. korak: Konverzija elipsoidnih koordinata točke T1 u nereducirane ravninske koordinate u „staroj“ (naslijeđenoj) Gauss-Krügerovoj projekciji RH : 13.1 korak: Računanje duljine luka meridijana primjenom izraza (3.5) i (3.6) iz prvih auditornih vježbi kolegija: n = 0.0016792202 = 6367448.2721 = -0.002518828 = 2.64354E-06 = -3.45262E-09 = 4.89183E-12 G() = 5040845.7700 m
Ak. god. 2012./2013.
6
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
13.2 korak: Računanje pomoćnih veličina primjenom izraza (3.4) iz prvih auditornih vježbi kolegija: e' = 0.082094433 = 0.057537679 N = 6389025.7768 t= 1.017714082 0 = l=
18°00'00'' 0.005117785
13.3 korak: Računanje nereduciranih ravninskih koordinata primjenom izraza (3.10) iz prvih auditornih vježbi kolegija: x_ = 5040887.5987 m y_ = 22916.8709 m 14. korak: Računanje početne geodetske širine za točku T1 u „staroj“ (naslijeđenoj) Gauss-Krügerovoj projekciji RH: 0GK = 45°30'12''.16541 15. korak: Računanje početne geodetske širine za točku T1 u HRTS96/TM (izračunato u koraku 7.1): 0HTRS96/TM = 45°31'01''.48955 16. korak: Računanje razlike početnih geodetskih širina točke T1 u „staroj“ (naslijeđenoj) i „novoj“ (službenoj) Gauss-Krügerovoj/Transverse Mercatorovoj projekciji RH: 0)HTRS96/TMGK = 0°00'49''.32413 17. korak: Računanje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže za točku T1 primjenom izraza (2.16), (2.17), (2.18) i (2.19) iz prvih te izraza (5.1) iz drugih auditornih vježbi kolegija: q0' = 0.002688041 m' = 0.003449785 e = 9.780328041 ms-2 p = 9.832187627 ms-2 0 = 9.806655736 ms-2
Ak. god. 2012./2013.
7
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
2) Odredite duljinu geodetske linije između stajališne točke T 1 i vizurne točke T 2 na novom službenom matematičkom modelu za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj ako je zadano: Tablica 2.1: Koordinate točke T 1 y = 5599258.293 m x = 5069028.270 m HHVRS71 = 706.173 m NHRG2009 = 45.171 m Tablica 2.2: Transformacijski parametri za cijeli teritorij RH (izračunati s upotrebom nove plohe geoida) Tx = Ty = Tz = Rx = Ry = Rz = Dm =
546.60923 m 162.32734 m 469.48444 m -5.90493011
"
-2.07427449
"
11.50998645
"
-4.44106998
ppm
Tablica 2.3: Mjerene veličine na fizičkoj površini Zemlje Mjerena udaljenost između stajališne i vizurne točke: 25327.145 m Mjereni astronomski azimut: 45°45'45''.25 Zenitna udaljenost: 40°40'40''.88 Komponenta otklona vertikale stajališne točke u smjeru meridijanske elipse (HDKS): -9.94" Komponenta otklona vertikale stajališne točke u smjeru prvog vertikala (HDKS): 6.32" Elipsoidna visina vizurne točke: 1100.543 m Koeficijent refrakcije: 0.13 Tablica 2.4: Parametri GRS80 i Bessel1841 elipsoida Parametar a [m] b [m]
GRS80
Bessel1841
6378137.00000
6356752.31414
6377397.15500
6356078.96300
Rješenje: 1. korak: Konverzija ravninskih koordinata stajališne točke iz reduciranih u nereducirane primjenom izraza (3.11) i (3.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija: x_T1HDKS = 5069535.2235 m y_T1HDKS = 99268.2198 m 2. korak: Konverzija ravninskih koordinata stajališne točke iz nereduciranih ravninskih koordinata u elipsoidne koordinate primjenom izraza (3.13), (3.7), (3.8) i (3.9) iz prvih auditornih vježbi kolegija: T1HDKS = 45°45'31''.06070
Ak. god. 2012./2013.
8
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
T1HDKS = 16°16'33''.98730 HT1HVRS71 = 706.173 3. korak: Konverzija elipsoidnih koordinata stajališne točku u kartezijeve pravokutne 3D koordinate primjenom izraza iz drugih auditornih vježbi kolegija „Geodetski referentni okviri“ : XT1HDKS = 4278884.2073 m YT1HDKS = 1249296.6664 m ZT1HDKS = 4546617.1438 m 4. korak: Transformacija stajališne točke iz HDKS-a u HTRS96 (ETRS89): Transformacija pomoću složene matrice rotacije
Transformacija pomoću jednostavne matrice rotacije
XT1HTRS96 = 4279527.2426 m
XT1HTRS96 = 4279527.2494 m
YT1HTRS96 = 1249084.5139 m
YT1HTRS96 = 1249084.5151 m
ZT1HTRS96 = 4547059.1546 m
ZT1HTRS96 = 4547059.1711 m
U ovom koraku primijenjena je transformacija iz lokalnog u globalni geodetski datum upotrebom složene (potpune) i jednostavne matrice rotacije (u izrazu za Helmertovu 7parametarsku 3D transformaciju) s namjerom da se egzaktno vidi utjecaj odabrane matrice rotacije na vrijednost transformiranih koordinata. Izrazi za Helmertovu 7 -parametarsku 3D transformaciju i elemente složene i jednostavne matrice rotacije nalaze se u prvim, drugim i trećim auditornim vježbama iz kolegija „Geodetski referentni okviri“. U ovom slučaju transformacije, Eulerovi kutovi rotacije definirani su za rotaciju okvira/sustava u koji (engl. „to“ system/frame) želimo transformirati koordinatu u odnosu na okvir/sustav iz kojeg (engl. „from“ system/frame) želimo transformirati koordinatu što uzrokuje promjenu „izgleda“ jednostavne matrice rotacije u odnosu na ITRFyy transformaciju, odnosno matrica se transponira (kolokvijalno govoreći mijenjaju se predznaci svih elemenata rotacijske matrice). Obzirom da rješenje ovog zadatka ovisi o vrijednosti elipsoidnih koordinata stajališne točke T 1 u nastavku će biti prikazana rješenja za oba slučaja dobivanja koordinate toč ke T 1 u HTRS96 transformacijom upotrebom složene i jednostavne matrice rotacije. 5. korak: Konverzija HTRS96 kartezijevih pravokutnih 3D koordinata stajališne točke u elipsoidne iterativnim postupkom opisanim u prvim auditornim vježbama iz kolegija „Geodetski referentni okviri“: e = 0.081819191 1. iteracija
2. iteracija
3. iteracija
4. iteracija
= 45°45'30''.33537 45°45'30''.25831 45°45'30''.25857 45°45'30''.25857 N= 6389122.2961 6389122.2881 6389122.2881 6389122.2881 h= 708.6772 706.2339 706.2423 706.2423 T1HTRS96 = 45°45'30''.25857
T1HTRS96 =
45°45'30''.25878
T1HTRS96 = 16°16'16''.22654
T1HTRS96 =
16°16'16''.22650
HT1HVRS71 =
HT1HVRS71 =
706.2590 m
Ak. god. 2012./2013.
706.2423 m
9
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Prikazani iterativni postupak odnosi se na kartezijeve koordinate stajališne točke T 1 u HTRS96 dobivene transformacijom s upotrebom složene (potpune) matrice rotacije. Analogno tome vrijedi i za rješenje dobiveno upotrebom jednostavne matrice rotacije. 6. korak: Računanje astronomskih koordinata stajališne točke na temelju komponenti otklona vertikale i elipsoidnih koordinata iste u HDKS-u primjenom izraza (6.2) i (6.3) iz drugih auditornih vježbi kolegija: = 45°45'21''.12070 = 16°16'43''.04587 7. korak: Računanje komponenata otklona vertikale stajališne točke u HTRS96 također primjenom izraza (6.2) i (6.3) iz drugih auditornih vježbi kolegija: = -9.1379 " = 18.7115 "
= -9.1381 " = 18.7115 "
8. korak: Računanje elipsoidne visine stajališne točke u HTRS96 zbrajanjem ortometrijske visine točke u HVRS71 i odgovarajuće plohe geoida HRG2009 : hT1HTRS96 = 751.413 m
hT1HTRS96 = 751.430 m
9. korak: Računanje Laplaceove popravke primjenom izraza (6.1) iz drugih auditornih vježbi kolegija: VL = 19.21348" 1 = 45°45'26''.03652 2
VL = 19.21351" 12 = 45°45'26''.03649
10. korak: Računanje popravke za otklon vertikale primjenom izraza (6.4) iz drugih auditornih vježbi kolegija: VOV = 22.80626"
VOV = 22.80646"
12 = 45°45'48''.84278
12 = 45°45'48''.84295
11. korak: Računanje azimutalne redukcije primjenom izraza (6.6) iz drugih auditornih vježbi kolegija: T1T2 = 0.05816238134" 12 = 45°45'48''.90094
T1T2 =
0.05816238122"
12 = 45°45'48''.90111
12. korak: Računanje radijusa zakrivljenosti primjenom izraza (3.1) i (3.2) iz prvih, odnosno izraza (6.17) iz drugih auditornih vježbi kolegija: M = 6368230.98587 m N = 6389122.28815 m R= 6378937.92915 m
Ak. god. 2012./2013.
M = 6368230.98593 m N = 6389122.28817 m R= 6378937.92921 m
10
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Za duljine geodetskih linija d < 30 km redukciju azimuta zbog prijelaza s azimuta normalnog presjeka na azimut geodetske linije (VNP-GL) nije potrebno računati jer je nivo signifikantnosti navedene redukcije ispod točnosti računanja/određivanja azimuta! 13. korak: Redukcija zbog zakrivljenosti putanje signala primjenom izraza (6.14) iz drugih auditornih vježbi kolegija: S1 = -0.00376307883455 S1 = 25327.1412 m
m
S1 =
-0.00376307883448 m
S1 = 25327.1412 m
Zbog izrazito male razlike u vrijednostima Eulerovog radijusa zakrivljenosti za postupak računanja geodetske širine promatrane točke u kojem se koristila složena, odnosno jednostavna matrica rotacije (pri transformaciji koordinata točke iz HDKS-a u HTRS96), iznosi redukcija mjerene dužine s fizičke površine Zemlje na plohu elipsoida u oba slučaja su gotovo identične! 14. korak: Prijelaz s zakrivljene opažane prostorne duljine na tetivu između točki na fizičkoj površini Zemlje primjenom izraza (6.15) iz drugih auditornih vježbi kolegija: S2 = -0.0003 m S2 = 25327.1410 m
S2 = -0.0003 m S2 = 25327.1410 m
15. korak: Redukcija s tetive na fizičkoj površini Zemlje na tetivu na elipsoidu primjenom izraza (6.16) iz drugih auditornih vježbi kolegija: S3 = 25321.0589 m
S3 = 25321.0591 m
16. korak: Redukcija s tetive na elipsoidu na duljinu luka normalnog presjeka primjenom izraza (6.20) iz drugih auditornih vježbi kolegija: S4 = 25321.0755 m
S4 = 25321.0757 m
17. korak: Redukcija s duljine luka normalnog presjeka na duljinu geodetske linije primjenom izraza (6.22) iz drugih auditornih vježbi kolegija: S5 = 25321.0755 m
Ak. god. 2012./2013.
S5 = 25321.0757 m
11
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
3) Na temelju mjerenih i zadanih podataka nivelmanske figure (tablica 3.1) odredite visine čvornih repera u dinamičkom sustavu visina uzevši u obzir službeni model za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj. Tablica 3.1: Mjerenja u nivelmanskoj figuri Reper
ETRS89 [dms]
ETRS89 [dms]
u.s.t [mgal]
0.38
R1
45°06'37''
13°46'16''
980623.06
5.95963
0.84
R2
45°06'38''
13°45'49''
980623.34
R4
-23.50444
1.13
R3
45°06'25''
13°45'19''
980622.34
R5
-16.27527
0.99
R4
45°06'24''
13°44'28''
980627.28
R5
R6
7.35173
0.48
R5
45°06'27''
13°43'49''
980631.35
R6
R7
13.08708
0.60
R6
45°06'22''
13°43'26''
980629.74
R7
R8
-44.14067
0.76
R7
45°06'30''
13°43'02''
980627.27
R8
45°06'27''
13°42'37''
980636.70
Od
do
dh [m]
d [km]
R1
R2
-1.36540
R2
R3
R3 R4
HR1 = 172.02650 m HR8 = 113.13582 m
Rješenje: 1. korak: Računanje geopotencijalnih kota repera R 1 i R 8 prema izrazu (2.10) iz trećih auditornih vježbi kolegija: CR1= 168.69315 GPU CR8= 110.94514 GPU 2. korak: Računanje geopotencijalnih razlika na temelju mjerenih visinskih razlika: Od
do
C [GPU]
R1
R2
-1.33894
R2
R3
5.84415
R3
R4
-23.04904
R4
R5
-15.96001
R5
R6
7.20933
R6
R7
12.83356
R7
R8
-43.28575
3. korak: Izjednačenje nivelmanske figure u sustavu geopotencijalnih kota: Elementi jednadžbi popravaka A 1
l
e
Ae
s
167.35421
1
1
-166.35421
0
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
5.84415
1
0
-5.84415
0
-1
1
0
0
0
-23.04904
1
0
23.04904
0
0
-1
1
0
0
-15.96001
1
0
15.96001
0
0
0
-1
1
0
7.20933
1
0
-7.20933
0
0
0
0
-1
1
12.83356
1
0
-12.83356
0
0
0
0
0
-1
-154.23089
-1
153.23089
Ak. god. 2012./2013.
12
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Matrica težina mjerenja P 2.632
0
0
0
0
0
0
0
1.190
0
0
0
0
0
0
0
0.885
0
0
0
0
0
0
0
1.010
0
0
0
0
0
0
0
2.083
0
0
0
0
0
0
0
1.667
0
0
0
0
0
0
0
1.316
Elementi normalnih jednadžbi N 3.82206
-1.19048
0
0
0
0
-1.19048
2.07543
0
-0.88496
-0.88496
0
0
0
1.89506
-1.01010
0
0
0
0
-1.01010
3.09343
-2.08333
0
0
0
0
-2.08333
3.75000
-1.66667
0
0
0
0
-1.66667
2.98246
n
Ne
AtPs
Ne-n
s_
433.448495
2.631579
-430.816916
-430.816916
-429.816916
27.354698
0.000000
-27.354698
-27.354698
-26.354698
-4.276159
0.000000
4.276159
4.276159
5.276159
-31.140659
0.000000
31.140659
31.140659
32.140659
-6.369833
0.000000
6.369833
6.369833
7.369833
224.324654
1.315789
-223.008865
-223.008865
-222.008865
Rješavanje normalnih jednadžbi Qxx
Qxxe
x
0.35212
0.29050
0.20761
0.13498
0.09977
0.05575
1.14073
167.35411
0.29050
0.93266
0.66653
0.43336
0.32031
0.17900
2.82236
173.19805
0.20761
0.66653
1.28388
0.83475
0.61699
0.34479
3.95454
150.14872
0.13498
0.43336
0.83475
1.18641
0.87691
0.49004
3.95645
134.18846
0.09977
0.32031
0.61699
0.87691
1.00293
0.56046
3.47737
141.39767
0.05575
0.17900
0.34479
0.49004
0.56046
0.64849
2.27853
154.23108
Kontrola matrice kofaktora nepoznanica (Ne)tQxxe = 6.000000 = u Računanje popravaka mjerenja Ax
l 167.35421
-0.000097
5.84394
5.84415
-0.000214
-23.04932 -15.96026
Ak. god. 2012./2013.
v [GPU]
167.35411
-23.04904
-
-15.96001
-0.000288
=
-0.000252
7.20921
7.20933
-0.000122
12.83341
12.83356
-0.000153
-154.23108
-154.23089
-0.000194
13
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Kontrola popravaka mjerenja i kontrola izjednačenja AtPv
vtPv = 0.0000003364
0.00000
-ltPv = 0.0000003364
0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
Kontrola izjednačenih mjerenja L
v
-1.33894
-0.00010
-1.33904
-1.33904
5.84415
-0.00021
5.84394
5.84394
-23.04904 -15.96001
L_
-0.00029
+
-0.00025
F_
-23.04932
=
-15.96026
-23.04932
,
-15.96026
7.20933
-0.00012
7.20921
7.20921
12.83356
-0.00015
12.83341
12.83341
-43.28575
-0.00019
-43.28595
-43.28595
Ocjena točnosti referentnog mjerenja s0 =
0.00058
GPU
Ocjena točnosti mjerenja i nepoznanica s1 = 0.00036 GPU
sR2 = 0.00034 GPU
s2 = 0.00053 GPU
sR3 = 0.00056 GPU
s3 = 0.00062 GPU
sR4 = 0.00066 GPU
s4 = 0.00058 GPU
sR5 = 0.00063 GPU
s5 = 0.00040 GPU
sR6 = 0.00058 GPU
s6 = 0.00045 GPU
sR7 = 0.00047 GPU
s7 = 0.00051 GPU Ocjena točnosti izjednačenih mjerenja Q_ 0.35212
-0.06162
-0.08290
-0.07263
-0.03521
-0.04402
-0.05575
-0.06162
0.70378
-0.18324
-0.16054
-0.07784
-0.09730
-0.12324
-0.08290
-0.18324
0.88349
-0.21597
-0.10471
-0.13089
-0.16579
-0.07263
-0.16054
-0.21597
0.80079
-0.09174
-0.11467
-0.14525
-0.03521
-0.07784
-0.10471
-0.09174
0.43552
-0.05560
-0.07042
-0.04402
-0.09730
-0.13089
-0.11467
-0.05560
0.53050
-0.08803
-0.05575
-0.12324
-0.16579
-0.14525
-0.07042
-0.08803
0.64849
s1_ = 0.00034 GPU s2_ = 0.00049 GPU s3_ = 0.00055 GPU s4_ = 0.00052 GPU
Ak. god. 2012./2013.
14
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
s5_ = 0.00038 GPU s6_ = 0.00042 GPU s7_ = 0.00047 GPU Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. 4. korak: Računanje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže na GRS80 nivo -elipsoidu za geodetsku širinu od 45° i definitivnih vrijednosti visina čvornih repera u dinamičkom sustavu visina primjenom izraza (5.1) iz drugih, odnosno izraza (2.11) iz trećih auditornih vježbi kolegija: a= GM = = J2 = b=
6378137.0000 3.986005E+14 7.292115E-05 0.00108263 6356752.3141
045 = 9.8061992 ms-2
Ak. god. 2012./2013.
m m3s-2 rads-1 m
Reper
Hdin [m]
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
172.02705 170.66155 176.62098 153.11613 136.84044 144.19213 157.27917 113.13776
15
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
4) Na temelju mjerenih i zadanih podataka nivelmanske figure (tablica 4.1) odredite visine čvornih repera u normalnom sustavu visina uzevši u obzir službeni model za Zemljino tijelo u Republici Hrvatskoj. Tablica 4.1: Mjerenja u nivelmanskoj figuri Reper
ETRS89 [dms]
ETRS89 [dms]
u.s.t [mgal]
0.38
R1
45°06'37''
13°46'16''
980623.06
5.95963
0.84
R2
45°06'38''
13°45'49''
980623.34
R4
-23.50444
1.13
R3
45°06'25''
13°45'19''
980622.34
R5
-16.27527
0.99
R4
45°06'24''
13°44'28''
980627.28
R5
R6
7.35173
0.48
R5
45°06'27''
13°43'49''
980631.35
R6
R7
13.08708
0.60
R6
45°06'22''
13°43'26''
980629.74
R7
R8
-44.14067
0.76
R7
45°06'30''
13°43'02''
980627.27
R8
45°06'27''
13°42'37''
980636.70
Od
do
dh [m]
d [km]
R1
R2
-1.36540
R2
R3
R3 R4
HR1 = 172.02650 m HR8 = 113.13582 m Rješenje: 1. korak: Računanje geopotencijalnih kota repera R 1 i R 8 primjenom izraza (2.10) iz trećih auditornih vježbi kolegija: CR1 = 168.69315 GPU CR8 = 110.94514 GPU 2. korak: Računanje geopotencijalnih razlika na temelju mjerenih visinskih razlika: Od
do
C [GPU]
R1
R2
-1.33894
R2
R3
5.84415
R3
R4
-23.04904
R4
R5
-15.96001
R5
R6
7.20933
R6
R7
12.83356
R7
R8
-43.28575
3. korak: Izjednačenje nivelmanske figure u sustavu geopotencijalnih kota: Elementi jednadžbi popravaka A
l
e
Ae
s
1
0
0
0
0
0
167.35421
1
1
-166.35421
-1
1
0
0
0
0
5.84415
1
0
-5.84415
0
-1
1
0
0
0
-23.04904
1
0
23.04904
0
0
-1
1
0
0
-15.96001
1
0
15.96001
0
0
0
-1
1
0
7.20933
1
0
-7.20933
0
0
0
0
-1
1
12.83356
1
0
-12.83356
0
0
0
0
0
-1
-154.23089
-1
153.23089
Ak. god. 2012./2013.
16
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Matrica težina mjerenja P 2.632
0
0
0
0
0
0
0
1.190
0
0
0
0
0
0
0
0.885
0
0
0
0
0
0
0
1.010
0
0
0
0
0
0
0
2.083
0
0
0
0
0
0
0
1.667
0
0
0
0
0
0
0
1.316
Elementi normalnih jednadžbi N 3.82206
-1.19048
0
0
0
0
-1.19048
2.07543
0
-0.88496
-0.88496
0
0
0
1.89506
-1.01010
0
0
0
0
-1.01010
3.09343
-2.08333
0
0
0
0
-2.08333
3.75000
-1.66667
0
0
0
0
-1.66667
2.98246
n
Ne
AtPs
Ne-n
s_
433.448495
2.631579
-430.816916
-430.816916
-429.816916
27.354698
0.000000
-27.354698
-27.354698
-26.354698
-4.276159
0.000000
4.276159
4.276159
5.276159
-31.140659
0.000000
31.140659
31.140659
32.140659
-6.369833
0.000000
6.369833
6.369833
7.369833
224.324654
1.315789
-223.008865
-223.008865
-222.008865
Rješavanje normalnih jednadžbi Qxx
Qxxe
x
0.35212
0.29050
0.20761
0.13498
0.09977
0.05575
1.14073
167.35411
0.29050
0.93266
0.66653
0.43336
0.32031
0.17900
2.82236
173.19805
0.20761
0.66653
1.28388
0.83475
0.61699
0.34479
3.95454
150.14872
0.13498
0.43336
0.83475
1.18641
0.87691
0.49004
3.95645
134.18846
0.09977
0.32031
0.61699
0.87691
1.00293
0.56046
3.47737
141.39767
0.05575
0.17900
0.34479
0.49004
0.56046
0.64849
2.27853
154.23108
Kontrola matrice kofaktora nepoznanica (Ne)tQxxe = 6.000000 = u Računanje popravaka mjerenja Ax
l
167.35411
167.35421
-0.000097
5.84394
5.84415
-0.000214
-23.04932
-23.04904
-0.000288
-15.96026 7.20921
Ak. god. 2012./2013.
v [GPU]
-
-15.96001
=
-0.000252
7.20933
-0.000122
12.83341
12.83356
-0.000153
-154.23108
-154.23089
-0.000194
17
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Kontrola popravaka mjerenja i kontrola izjednačenja AtPv
vtPv = 0.0000003364
0.00000
-ltPv = 0.0000003364
0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
Kontrola izjednačenih mjerenja L
v
-1.33894
-0.00010
5.84415
-0.00021
5.84394
5.84394
-23.04904
-0.00029
-23.04932
-23.04932
-15.96001
+
L_
-0.00025
F_
-1.33904
=
-15.96026 7.20921
-1.33904
,
-15.96026
7.20933
-0.00012
7.20921
12.83356
-0.00015
12.83341
12.83341
-43.28575
-0.00019
-43.28595
-43.28595
Ocjena točnosti referentnog mjerenja s0 =
0.00058
GPU
Ocjena točnosti mjerenja i nepoznanica s1 = 0.00036 GPU
sR2 = 0.00034 GPU
s2 = 0.00053 GPU
sR3 = 0.00056 GPU
s3 = 0.00062 GPU
sR4 = 0.00066 GPU
s4 = 0.00058 GPU
sR5 = 0.00063 GPU
s5 = 0.00040 GPU
sR6 = 0.00058 GPU
s6 = 0.00045 GPU
sR7 = 0.00047 GPU
s7 = 0.00051 GPU Ocjena točnosti izjednačenih mjerenja Q_ 0.35212
-0.06162
-0.08290
-0.07263
-0.03521
-0.04402
-0.05575
-0.06162
0.70378
-0.18324
-0.16054
-0.07784
-0.09730
-0.12324
-0.08290
-0.18324
0.88349
-0.21597
-0.10471
-0.13089
-0.16579
-0.07263
-0.16054
-0.21597
0.80079
-0.09174
-0.11467
-0.14525
-0.03521
-0.07784
-0.10471
-0.09174
0.43552
-0.05560
-0.07042
-0.04402
-0.09730
-0.13089
-0.11467
-0.05560
0.53050
-0.08803
-0.05575
-0.12324
-0.16579
-0.14525
-0.07042
-0.08803
0.64849
s1_ = 0.00034 GPU s2_ = 0.00049 GPU s3_ = 0.00055 GPU
Ak. god. 2012./2013.
18
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
s4_ = 0.00052 GPU s5_ = 0.00038 GPU s6_ = 0.00042 GPU s7_ = 0.00047 GPU Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. 4. korak: Računanje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže na GRS80 nivo-elipsoidu, srednje normalne vrijednosti ubrzanja sile teže te definitivnih visina u normalnom sustavu visina primjenom izraza (5.1) iz drugih, odnosno izraza (2.21) i (2.22) iz trećih auditornih vježbi kolegija: a= GM = = J2 = b=
6378137.0000 3.986005E+14 7.292115E-05 0.00108263 6356752.3141
m m3s-2 rads-1 m
f = 0.003352811 m = 0.003449786 1. iteracija
2. iteracija
3. iteracija
Reper
0 [ms ]
_ [ms ]
H [m]
_ [ms ]
H [m]
_ [ms-2]
HN [m]
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
9.8062990 9.8062993 9.8062960 9.8062957 9.8062965 9.8062952 9.8062973 9.8062965
9.8062725 9.8062729 9.8062688 9.8062721 9.8062754 9.8062730 9.8062730 9.8062790
172.02577 170.66026 176.61972 153.11499 136.83938 144.19104 157.27798 113.13683
9.8060336 9.8060360 9.8060235 9.8060595 9.8060854 9.8060728 9.8060546 9.8061220
172.02996 170.66439 176.62414 153.11831 136.84203 144.19399 157.28149 113.13865
9.8060336 9.8060360 9.8060235 9.8060595 9.8060854 9.8060728 9.8060546 9.8061220
172.02996 170.66439 176.62414 153.11831 136.84203 144.19399 157.28149 113.13865
-2
Ak. god. 2012./2013.
-2
N
-2
N
19
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
5) Na temelju mjerenih i zadanih podataka nivelmanske figure (tablica 5.1) odredite visine čvornih repera u ortometrijskom sustavu visina. Tablica 5.1: Mjerenja u nivelmanskoj figuri Od
do
R1
R2
R2 R3
dh [m]
d [km]
Reper
ETRS89 [dms]
ETRS89 [dms]
u.s.t [mgal]
-1.36540
0.38
R1
45°06'37''
13°46'16''
980623.06
R3
5.95963
0.84
R2
45°06'38''
13°45'49''
980623.34
R4
-23.50444
1.13
R3
45°06'25''
13°45'19''
980622.34
R4
R5
-16.27527
0.99
R4
45°06'24''
13°44'28''
980627.28
R5
R6
7.35173
0.48
R5
45°06'27''
13°43'49''
980631.35
R6
R7
13.08708
0.60
R6
45°06'22''
13°43'26''
980629.74
R7
R8
-44.14067
0.76
R7
45°06'30''
13°43'02''
980627.27
R8
45°06'27''
13°42'37''
980636.70
HR1 = 172.02650 m HR8 = 113.13582 m Rješenje: 1. korak: Računanje geopotencijalnih kota repera R 1 i R 8 primjenom izraza (2.10) iz trećih auditornih vježbi kolegija: CR1= 168.69315 GPU CR8= 110.94514 GPU 2. korak: Računanje geopotencijalnih razlika na temelju mjerenih visinskih razlika: Od
do
C [GPU]
R1
R2
-1.33894
R2
R3
5.84415
R3
R4
-23.04904
R4
R5
-15.96001
R5
R6
7.20933
R6
R7
12.83356
R7
R8
-43.28575
3. korak: Izjednačenje nivelmanske figure u sustavu geopotencijalnih kota (c) i približnih ortometrijskih visina (H): Elementi jednadžbi popravaka e
Ae
sC
sH
1
0
0
A 0
0
0
167.35421
lC
170.66110
1
1
-166.35421
-169.6611
-1
1
0
0
0
0
5.84415
5.95963
1
0
-5.84415
-5.95963
0
-1
1
0
0
0
-23.04904
-23.50444
1
0
23.04904
23.50444
0
0
-1
1
0
0
-15.96001
-16.27527
1
0
15.96001
16.27527
0
0
0
-1
1
0
7.20933
7.35173
1
0
-7.20933
-7.35173
0
0
0
0
-1
1
12.83356
13.08708
1
0
-12.83356
-13.08708
0
0
0
0
0
-1
-154.23089
-157.27649
-1
153.23089
156.27649
Ak. god. 2012./2013.
lH
20
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Matrica težina mjerenja P 2.632
0
0
0
0
0
0
0
1.190
0
0
0
0
0
0
0
0.885
0
0
0
0
0
0
0
1.010
0
0
0
0
0
0
0
2.083
0
0
0
0
0
0
0
1.667
0
0
0
0
0
0
0
1.316
Elementi normalnih jednadžbi N 3.82206
-1.19048
0
0
0
0
-1.19048
2.07543
-0.88496
0
0
0
0
-0.88496
1.89506
-1.01010
0
0
0
0
-1.01010
3.09343
-2.08333
0
0
0
0
-2.08333
3.75000
-1.66667
0
0
0
0
-1.66667
2.98246
nC
nH
Ne
433.448495
442.013360
2.631579
27.354698
27.895187
0.000000
-4.276159
-4.360723
0.000000
-31.140659
-31.755771
0.000000
-6.369833
-6.495696
0.000000
224.324654
228.754550
1.315789
AtPsC
sC_
-430.816916
-430.816916
-429.816916
-27.354698
-27.354698
-26.354698
4.276159
4.276159
5.276159
31.140659
31.140659
32.140659
6.369833
6.369833
7.369833
-223.008865
-223.008865
-222.008865
AtPsH
Ak. god. 2012./2013.
Ne-nC
Ne-nH
sH _
-439.381781
-439.381781
-438.381781
-27.895187
-27.895187
-26.895187
4.360723
4.360723
5.360723
31.755771
31.755771
32.755771
6.495696
6.495696
7.495696
-227.438761
-227.438761
-226.438761
21
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Rješavanje normalnih jednadžbi Qxx
Qxxe
xC
xH
0.35212
0.29050
0.20761
0.13498
0.09977
0.05575
1.14073
167.35411
170.66085
0.29050
0.93266
0.66653
0.43336
0.32031
0.17900
2.82236
173.19805
176.61994
0.20761
0.66653
1.28388
0.83475
0.61699
0.34479
3.95454
150.14872
153.11477
0.13498
0.43336
0.83475
1.18641
0.87691
0.49004
3.95645
134.18846
136.83887
0.09977
0.32031
0.61699
0.87691
1.00293
0.56046
3.47737
141.39767
144.19029
0.05575
0.17900
0.34479
0.49004
0.56046
0.64849
2.27853
154.23108
157.27698
Kontrola matrice kofaktora nepoznanica (Ne)tQxxe = 6.000000 = u Računanje popravaka mjerenja AxC
lC
vC [GPU]
167.35411
167.35421
-0.000097
5.84394
5.84415
-0.000214
-23.04932
-23.04904
-
-15.96026
-0.000288
=
-15.96001
-0.000252
7.20921
7.20933
-0.000122
12.83341
12.83356
-0.000153
-154.23108
-154.23089
-0.000194
AxH
lH
170.66085
vH [m]
170.66110
-0.00025
5.95909
5.95963
-0.00054
-23.50517
-23.50444
-0.00073
-
-16.27591
=
-16.27527
7.35142
-0.00064
7.35173
-0.00031
13.08669
13.08708
-0.00039
-157.27698
-157.27649
-0.00049
Kontrola popravaka mjerenja i kontrola izjednačenja AtPvC AtPvH 0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
vCtPvC = 0.0000003364 -lCtPvC = 0.0000003364 vHtPvH = 0.0000008511 -lHtPvH = 0.0000008511
Kontrola izjednačenih mjerenja LC
vC
-1.33894 5.84415 -23.04904 -15.96001
Ak. god. 2012./2013.
L_C
-0.00010
+
-0.00021 -0.00029 -0.00025
F_C
-1.33904
=
5.84394 -23.04932 -15.96026
-1.33904
,
5.84394 -23.04932 -15.96026
22
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
7.20933
-0.00012
7.20921
7.20921
12.83356
-0.00015
12.83341
12.83341
-43.28575
-0.00019
-43.28595
-43.28595
LH
vH
L_H
F_H
-1.36540
-0.00025
-1.36565
-1.36565
5.95963
-0.00054
5.95909
5.95909
-23.50444 -16.27527
-0.00073
+
-0.00064
-23.50517
=
-16.27591
-23.50517
,
-16.27591
7.35173
-0.00031
7.35142
7.35142
13.08708
-0.00039
13.08669
13.08669
-44.14067
-0.00049
-44.14116
-44.14116
Ocjena točnosti referentnog mjerenja sC0 = 0.00058 GPU
sH0 = 0.00092 m
Ocjena točnosti mjerenja sC1 = 0.00036 GPU sC2 = 0.00053 GPU
sH1 = 0.00057 m sH2 = 0.00085 m
sC3 = 0.00062 GPU sC4 = 0.00058 GPU
sH3 = 0.00098 m sH4 = 0.00092 m
sC5 = 0.00040 GPU sC6 = 0.00045 GPU
sH5 = 0.00064 m sH6 = 0.00071 m
sC7 = 0.00051 GPU
sH7 = 0.00080 m
Ocjena točnosti nepoznanica sCR2 = 0.00034 GPU sCR3 = 0.00056 GPU
sHR2 = 0.00055 m sHR3 = 0.00089 m
sCR4 = 0.00066 GPU sCR5 = 0.00063 GPU
sHR4 = 0.00105 m sHR5 = 0.00100 m
sCR6 = 0.00058 GPU sCR7 = 0.00047 GPU
sHR6 = 0.00092 m sHR7 = 0.00074 m
Ocjena točnosti izjednačenih mjerenja Q_ 0.35212
-0.06162
-0.08290
-0.07263
-0.03521
-0.04402
-0.05575
-0.06162
0.70378
-0.18324
-0.16054
-0.07784
-0.09730
-0.12324
-0.08290
-0.18324
0.88349
-0.21597
-0.10471
-0.13089
-0.16579
-0.07263
-0.16054
-0.21597
0.80079
-0.09174
-0.11467
-0.14525
-0.03521
-0.07784
-0.10471
-0.09174
0.43552
-0.05560
-0.07042
-0.04402
-0.09730
-0.13089
-0.11467
-0.05560
0.53050
-0.08803
-0.05575
-0.12324
-0.16579
-0.14525
-0.07042
-0.08803
0.64849
Ak. god. 2012./2013.
sC1_ = 0.00034 GPU
sH1_ = 0.00055 m
sC2_ = 0.00049 GPU
sH2_ = 0.00077 m
23
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
sC3_ = 0.00055 GPU sC4_ = 0.00052 GPU
sH3_ = 0.00087 m sH4_ = 0.00083 m
sC5_ = 0.00038 GPU sC6_ = 0.00042 GPU
sH5_ = 0.00061 m sH6_ = 0.00067 m
sC7_ = 0.00047 GPU
sH7_ = 0.00074 m
Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike. 4. korak: Računanje srednje integralne vrijednosti ubrzanja sile teže duž realne težišnice prema Helmertu i definitivnih vrijednosti ortometrijskih visina čvornih repera primjenom izraza (2.15) i (2.17) iz trećih auditornih vježbi kolegija: Reper
C [GPU]
u.s.t [mgal]
u.s.t [ms-2]
H~ [m]
g_ [ms-2]
Hort [m]
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
168.69315 167.35411 173.19805 150.14872 134.18846 141.39767 154.23108 110.94514
980623.06 980623.34 980622.34 980627.28 980631.35 980629.74 980627.27 980636.70
9.8062306 9.8062334 9.8062234 9.8062728 9.8063135 9.8062974 9.8062727 9.8063670
172.02650 170.66085 176.61994 153.11477 136.83887 144.19029 157.27698 113.13582
9.8063035 9.8063058 9.8062983 9.8063377 9.8063715 9.8063585 9.8063394 9.8064150
172.02522 170.65969 176.61919 153.11396 136.83804 144.18978 157.27692 113.13527
Ak. god. 2012./2013.
24
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
6) Za potrebe praćenja pomaka na klizištu uspostavljena je mikro tri angotrilateracijska mreža (slika 6.1). Koordinate točke TM005 (tablica 6.1) određene su relativnim statičkim pozicioniranjem te potom transformirane u novu službeni položajni datum Republike Hrvatske pomoću službenih EUREF transformacijskih parametara. Na temelju zadanih veličina i mjerenih veličina u mikro triangotrilateracijskoj mreži odredite koordinate nepoznatih točaka. Točnost mjerenja kutova je 5", a točnost mjerenja duljina je 2 mm.
Slika 6.1: Mikro triango-trilateracijska mreža
Tablica 6.1: Zadane i mjerene veličine u mikro triango-trilateracijskoj mreži Točka
y [m]
x [m]
Kut
[° ' '']
Dužina
[m]
TM007
5399021.8743
4994974.4331
36 28513
a
322.887
TM0110 5398631.2900 4995292.5400
75.27454
d
503.729
68.03223
Koordinate točke TM005 = 45°05'31''.2861 = 13°42'20''.6408 H = 159.154 m NHRG2000 = 43.980 m NHRG2009 = 43.760 m NHR1901 = 5.126 m
Lokalni transformacijski parametri za smjer ETRS89 -> HDKS (izračunati s upotrebom stare plohe geoida Tx = -546.6158 m Ty = -162.3755 m Tz = -469.4824 m Rx = 5.904977 " Ry = 2.073969 " Rz = -11.509939 " DM = 4.438848 ppm
Rješenje: 1. korak: Računanje ortometrijske visine točke TM005 u AVD1875: HMP005AVD1875 = 115.174 m 2. korak: Računanje kartezijevih pravokutnih 3D koordinata u HTRS96 (ETRS89): XMP005HTRS96 = 4382002.1366 m
Ak. god. 2012./2013.
25
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
YMP005HTRS96 = 1068681.5492 m ZMP005HTRS96 = 4494655.6543 m 3. korak: Transformacija koordinata točke TM005 u HDKS primjenom složene matrice rotacije: XMP005HDKS = 4381370.1372 m YMP005HDKS = 1068897.1136 m ZMP005HDKS = 4494219.5728 m 4. korak: Konverzija HDKS kartezijevih pravokutnih 3D koordinata u elipsoidne: TM005HDKS = 45°05'32''.07414 TM005HDKS = 13°42'37''.06787 HMP005AVD1875 = 115.468 m 5. korak: Konverzija HDKS elipsoidnih koordinata točke TM005 u ravninske nereducirane Gauss-Krügerove koordinate: x_TM005HDKS = 4995498.5657 m y_TM005HDKS = -101513.4310 m 6. korak: Računanje reduciranih ravninskih Gauss-Krügerovih koordinata točke TM005: xTM005HDKS = 4994999.0159 m yTM005HDKS = 5398496.7203 m 7. korak: Izjednačenje mikro triango-trilateracijske mreže: Elementi jednadžbi popravaka A 0.9090 0.6315 0.0739 0.0882 -0.1621
0.4168 -0.7754 -0.1613 0.0718 0.0895
l
e
Ae
-0.014530 -0.005151 0.005759 0.000314 -0.006350
1 1
1.325772 -0.143880 -0.087348 0.160021 -0.072673
s 1.340302 -0.138729 -0.093107 0.159707 -0.066322
Matrica težina mjerenja P 250000 0 0 0 0
Ak. god. 2012./2013.
0 250000 0 0 0
0 0 518400 0 0
0 0 0 518400 0
0 0 0 0 518400
26
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Elementi normalnih jednadžbi N 326772.4946 -38123.0589
-38123.0589 214034.3971
Ne
AtPs
Ne-n
s_
288649.4358 175911.3382
291995.7542 177190.9789
291995.7542 177190.9789
291996.7542 177191.9789
n
-3346.3185 -1279.6407
Rješavanje normalnih jednadžbi Qxx 0.0000031252 0.0000005566
0.0000005566 0.0000047713
Qxxe
x [m]
0.0000036818 0.0000053279
-0.0112 -0.0080
Kontrola matrice kofaktora nepoznanica (Ne)tQxxe = 2.0000000 = u Izjednačene vrijednosti nepoznanica xTM011 = 4995292.5288 m yTM011 = 5398631.2820 m Računanje popravaka mjerenja: Ax
l
-0.013475 -0.000876 0.000459 -0.001557 0.001098
-0.014530 -0.005151 0.005759 0.000314 -0.006350
-
Kontrola popravaka mjerenja i kontrola izjednačenja AtPv 0.00000000 0.00000000
Kontrola izjednačenih mjerenja L 322.887000 503.729000 68.056194 36.480917 75.462611
+
v
=
0.001055 0.004276 -0.005300 -0.001871 0.007449
vtPv = 49.98645131 -ltPv = 49.98645131
v
L_
F_
0.001055 0.004276 -0.005300 -0.001871 0.007449
322.888055 503.733276 68.050895 36.479045 75.470060
322.888055 503.733276 68.050895 36.479045 75.470060
=
,
Ocjena točnosti referentnog mjerenja s0 = 4.082 Ocjena točnosti mjerenja sa = 0.0082 sd = 0.0082 s= 20.41 s= 20.41 s= 20.41
Ak. god. 2012./2013.
m m " " "
27
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
Ocjena točnosti nepoznanica sx = 0.0072 m sy = 0.0089 m Ocjena točnosti izjednačenih mjerenja Q_ 3.8328E-06 6.3472E-09 -1.7512E-07 4.5017E-07 -2.7506E-07
6.3472E-09 3.5697E-06 6.5405E-07 -1.0449E-07 -5.4956E-07
-1.7512E-07 6.5405E-07 1.2794E-07 -3.9859E-08 -8.8086E-08
4.5017E-07 -1.0449E-07 -3.9859E-08 5.5976E-08 -1.6118E-08
-2.7506E-07 -5.4956E-07 -8.8086E-08 -1.6118E-08 1.0420E-07
s_a = 0.0080 m s_d = 0.0077 m s_= 5.26 " s_= 3.48 " s_= 4.74 " Postupak izjednačenja po posrednim mjerenjima metodom najmanjih kvadrata primijenjenim u ovom zadatku detaljno prati, odnosno koincidira se postupkom opisanim u Sveučilišnom udžbeniku Rožić, N. (2007): Računska obrada geodetskih mjerenja, koji pokriva tematiku kolegija „Analiza i obrada geodetskih mjerenja“ u III semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike.
Ak. god. 2012./2013.
28
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
7) Izračunajte azimut projekcije geodetske linije sa stajališne točke T 1 na vizurnu točku T 2 u ravnini naslijeđene kartografske projekcije Republike Hrvatske. T1 y = 5548152.352 m x = 5072167.876 m
T2 y = 5557768.135 m x = 5076681.318 m
Rješenje: 1. korak: Računanje smjernog kuta u ravnini projekcije prema izrazima iz vježbi kolegija „Izmjera zemljišta u II semestru Preddiplomskog studija geodezije i geoinformatike: T1T2 = 64°51'20''.33257 2. korak: Računanje nereduciranih ravninskih koordinata stajalište i vizurne točke prema izrazima (311) i (3.12) iz prvih auditornih vježbi kolegija: xT1 = 5072675.1435 m yT1= 48157.1677 m xT2 = 5077189.0369 m yT2 = 57773.9124 m 3. korak: Konverzija ravninskih nereduciranih koordinata stajališne točke u elipsoidne prema izrazima (3.7), (3.8), (3.9) i (3.13) iz prvih auditornih vježbi kolegija: T1 = 45°47'32''.38418 T1 = 15°37'09''.98233 4. korak: Računanje srednjeg (Grunertovog) radijusa zakrivljenosti prema izrazu (3.2), odnosno izrazima za M (3.1) i N (3.2) iz prvih auditornih vježbi kolegija: MT1 = 6367559.991 m NT1 = 6388360.917 m RT1 = 6377951.974 m 5. korak: Računanje kutne nesuglasice između projekcije geodetske linije i tetive između stajališne i vizurne točke u ravnini kartografske projekcije primjenom izraza (5.28) odnosno (5.29) iz petog predavanja kolegija: T1T2 =
-0.51443
"
6. korak: Računanje konvergencije meridijana za stajališnu točku primjenom izraza (5.21) iz petog predavanja kolegija: 0 = e' = = t=
Ak. god. 2012./2013.
15° 0.081970841 0.057155077 1.028047142
29
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
l = 0.010811259 T1 = 0°26'38''.52040 7. korak: računanje azimuta projekcije geodetske linije primjenom izraza (5.30) iz petog predavanja kolegija: T1T2 = 65°17'59''.36741
Ak. god. 2012./2013.
30
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
8) Točka TM004 sastavni je dio temeljne mreže grada Zagreba uspostavljene za potrebe godišnjeg periodičkog praćenja geotektonske aktivnosti. Koordinate točke TM004 određene su relativnim statičkim pozicioniranjem i naknadnom obradom baznih linija i vektora te izjednačenjem u aktualnom datumu preciznih efemerida GNSS satelita i epohi opažanja, a zatim transformirane u novi datum Republike Hrvatske pomoću službenih EUREF transformacijskih parametara. Odredite ravninske koordinate točke TM004 u HDKS-u i ortometrijsku visinu u naslijeđenom visinskom datumu RH primjenom novog službenog transformacijskog modela Republike Hrvatske T7D ako je zadano: TM004 E = 482199.686 m N= 5068751.187 m H = 751.174 m NHRG2009 = 45.171 m Visinska nesuglasica datuma (Trst 1875 - HVRS71) = 25.70 cm
Tablica 8.1: Jedinstveni transformacijski parametri za cijeli teritorij RH (izračunati s upotrebom plohe geoida HRG2009) Tx = -546.61584 m Ty = -162.37548 m Tz = -469.48238 m Rx = 5.90497746 " Ry = 2.07396936 " Rz = -11.50993888 " DM = 4.43884789 ppm Tablica 8.2: Distorzijske komponente točke TM004 u HDKS-u dx [cm] HDKS HDKS
dy [cm]
45°45'30''
16°16'30''
-18.35
10.18
45°45'30''
16°17'15''
-15.84
15.24
45°46'00''
16°17'15''
-22.67
22.17
45°46'00''
16°16'30''
-26.38
18.13
dHTM004 =
-9.97
cm
Rješenje: 1. korak: Računanje nereduciranih ravninskih koordinata točke TM004: E_HTRS96 = N_
HTRS96
Ak. god. 2012./2013.
-17802.0942
m
= 5069258.1128 m
31
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
2. korak: Računanje elipsoidnih koordinata točke TM004 u HTRS96: HTRS96 = 45°45'30''.24998 HTRS96 = 16°16'16''.25001 3. korak: Računanje ortometrijske visine u HVRS71: HHVRS71= 706.003 m 4. korak: Konverzija elipsoidnih koordinata točke TM004 u kartezijeve pravokutne 3D koordinate: XHTRS96= 4279527.1224 m YHTRS96= 1249085.0074 m ZHTRS96= 4547058.7982 m 5. korak: Transformacija kartezijevih pravokutnih 3D koordinata iz HTRS96 u HDKS primjenom složene i jednostavne matrice rotacije: X'HDKS = 4278884.0746 m
X'HDKS = 4278884.0815 m
Y'HDKS = 1249297.1542 m
Y'HDKS = 1249297.1554 m
Z'HDKS = 4546616.7542 m
Z'HDKS = 4546616.7707 m
6. korak: Konverzija HDKS kartezijevih pravokutnih 3D koordinata u elipsoidne: 'HDKS =
45°45'31''.05168
'HDKS =
45°45'31''.05189
'HDKS =
16°16'34''.01069
'HDKS =
16°16'34''.01066
HVRS71
H'
HVRS71
= 705.9004 m
H'
= 705.9170 m
7. korak: Računanje komponenata položajne distorzije u točci TM004 primjenom izraza za bilinearnu interpolaciju iz desetog predavanja kolegija u poglavlju „GRID transformacija“ : a0 = -18.35 cm
b0 = 10.18 cm
a1 = 2.51 cm
b1 = 5.06 cm
a2 = -8.03 cm
b2 = 7.95 cm
a3 = 1.20 cm X = 0.089126525
b3 = -1.02 cm Y = 0.035055921
dxTM004 = dy
TM004
=
-18.40
cm
10.91
cm
8. korak: Konverzija HDKS elipsoidnih koordinata u nereducirane ravninske koordinate: x'_HDKS = 5069534.9532
m
x'_HDKS = 5069534.9597 m
y'_HDKS =
m
y'_HDKS =
Ak. god. 2012./2013.
99268.7297
99268.7288
m
32
Primjeri riješenih numeričkih zadataka iz kolegija „Državna izmjera“
9. korak: Računanje HDKS reduciranih ravninskih koordinata točke TM004: x'HDKS = 5069027.9997
m
x'HDKS = 5069028.0062 m
y'HDKS = 5599258.8028
m
y'HDKS = 5599258.8019 m
10. korak: Računanje ortometrijske visine točke TM004 u AVD1875: H'AVD1875=
706.1574
m
H'AVD1875= 706.1740 m
11. korak: Dodavanje distorzijske komponente na ravninske koordinate i ortometrijsku visinu: xHDKS = 5069027.8157 m
xHDKS = 5069027.8222 m
yHDKS = 5599258.9119 m
yHDKS = 5599258.9110 m
HAVD1875 = 706.0577 m
Ak. god. 2012./2013.
HAVD1875 = 706.0743 m
33
