!G !~AiOEVWii\BSKil
i'FAKULTET
U
SARAJEVU
H. Hrelja
o.
2 lsai!ovic
HIBR8L8GIJA ZBIRKA RJESENIH ZADATAKA
S.O..RAJEVO
1984.
..
II
,
r_ "
c
!
J
III
Pored zadataka, na kraju zbirke su priloiene statisti~ke tabele koje se najcesce upotrebljavaju u praksi i koje su ujedno koristene pri izradi zadataka. Nadalje, dat je i popis osnovne literature koja moze biti od koristi ne samo za rjesavanje po-stavljenih problema, nego i lini.
za savladavanje hidrologije u cje-
Obzirom na nedostatak udzbenicke literature za predmet llidrolo-
SADRZAJ ZADATAK:
Str.
gija na Gradjevinskom fakultetu u Sarajevu, ova Zbirka rrredstavlja prvi korak u nastojanju da se ova materija ucini dostupnom studentirna. Svi nedostaci vezani za obim i
na~in
kao i greske idu na teret autora. Primjedbe i
prezent~cije
suqestije od
strane korisnika bice sa zahvalnoscu prihvaCene i ukomponovane u naredno izdanje Zbirke.
1. Obrada hidrometrijskog mjerenja proticaja rnetodom povrsina-brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. Odredjivanje proticaja metodorn obiljeiivaca ...
8
3. Konstrukcija linije proticaja i utvrdjivanje njenog analitickog oblika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Ekstrapolacija linije proticaja rnetodorn
Sarajevo, 1984. god.
Autori
6. Ekstrapolacija linije proticaja metodorn 7. Linija ucestalosti i
II IJi
I'
I
'
··.~
., 11'
1··. ~. ;;J
If~ I ll
l.J
hl ~I
{7/n
5. Ekstrapolacija linije proticaja rnetodorn F~
f Bhfr'
l3
21
26
29
linija trajanja vodostaja
i proticaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Racunanje stat.istickih parametara i
34
odredji-
vanje vjerovatnoca pojave za zadati uzorak proticaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4$
9. Prilagodjavanje funkcije norrnalne raspodjele osrno·trenom uzorku proticaja ••.........._...... . 10. Prilagodjavanje Log-normalne
53
(Galtonove) funk-
cije raspodjele osrnotrenom uzorku proticaja
60
11. Prilagodjavanje Pearson-III funkcije raspodjele osmotrenom uzorku proticaja . . . . . . . . . . . . .
65
12. Linearna regresija izmedju bruto padavina i neto padavina (oticanja)
69
13. Odredjivanje prosjecnih padavina na slivnoj povrsini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
14. Statisticka analiza kisa kratkog trajanja .....
82
15. Analiza hidrograma oticanja i odredjivanje jedinicnog hidrograrna od proste kise . . . . . . . . . .
88
TV
1
Str. 16. Odredjivanje jedinicnog hidrograrna od s1ozene
ZADATAK BROJ 1
ki§e i proracun transforrnacije hldrograrna oticanja kroz akurnu1aciju (metoda Kocerina)
102
17. Transforrnacija hidrograma oticanja kroz
skim kri1om, odrediti proticaj vode grafoana1itickorn rnetodom.
akumu1aciju (kvazistacionarna metooa)
ll5
18. Trans formacij a hidrograma oti.canj a kroz rjecno korito
""
••••••
0
Mjerenje je izvrseno 14.10.1977. godine, u periodu od 9° 0 -9 40 casova.U toku mjerenja vodostaj se nije rnjenjao i
(meto
LITERATURA ••••
Na osnovu datih podataka o izvrsenom mjerenju brzine toka vode Bije1e rijeke na vodomjernoj stanici Presjenica, hidrometrij-
••••••••••••••••••••••••••••••
l25
h = 87 em.
lJ-1
Jednacina hidrometrijskog kri1a:
PRILOG:
v = 0,3023 n + 0,008
1. ·ordinate f(z)
standardne norma1ne funkcije
E1ementi poprecnog profi1a:
raspodjele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.
lJS
Povr~ina ispod stnnrtar~ne normalne f~unkcijc raspodjele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3~ PovrSina ispod Gurnbel-nve Eunkcijc raspodje1e 4.
Vrijednosti prornjcnljive,
(Pearson
z,
spodjeJ.a po Poster-Ribkin-ti)
vatnocu,
ZQ
J:fT
Tabela 1 .1. 1 36
Redni broj
l.l7
ra-
zaciat\I v·jero-
i koeficijent asimetrije C
. 8
a)
Pozitivan koeficiient asimetrije,
b)
NegativAn Jcoeficijent asimetrije,
5. Vrijednosti promjen1jive, vatnocu F(:;{;>), G.
i
,
za
broj stepeni slobod",
7. Vrijednosti promjen.l.ji.ve,
zadatu vjerovatnoCu, F(t),
t, i
...... .
l38
139
zact~tu
Kolmogorov-Simirnov test saqlar;nosti
s1obode,
c s'
vjero-
v .. . . . .
D..........
(pn ,c)tudentu)
1411 1.41
V ••.••.••...........•.......•.•... , . .
0,00 0,50
3.
0 '5* 1, s·•
4.
2,5
0,82
5.
3, 5*
0,92
4,5
0,98
7.
5' 5*
0,94
8.
6,5
0,98
7, 5*
0,60
8,5
0,4.5
9, 5* 10,5
"
0,80
6.
11.
*
[m]
0,0
10. 142
Dub ina vode
2.
9.
za
hroj steoeni
Stacionaza odstojanje od 1ijeve obale [m]
l.
12.
~
[m;s]
0,40
o,oo
Vertika1e u kojirna su vr§ena mjerenja brzine.
iznosio je
II
rI I I I,'_' Il:j
ii ,,
~
I
2
Podaci o rnjerenju brzine Tabe1a 1 2 0
Postupak odredjivanja proticaja po ovoj metodi sastoji se iz Redni broj, stacionaZ.a, i dubina vade u vertika1i
.,,,
I
3
20
140
5
40
160
2
16
200
II
,,
I f I Il
Ill 3,50 m; 0,92 m
IV 5,50 m; 0,94 m
I_
l I
Jed i ni C. broj obrtaja
Brzina
s1ijedecih koraka:
u tack i v
1. Nacrtati poprecni profi1 vodotoka u pogodnoj razmjeri koja
n=i[o;;j
[m!s]
6
7
71
I, 972
0,604
75
2,133
0,652
61
3,278
0,999
u principu nije ista za duzine i visine (vidi s1iku 1.2) . Poprecni profi1 je opisan sa prve dvije vrste (odstojanje od 1ijeve oba1e i dubina u vertika1i)
za koje su podaci
preuzeti iz tahe1e 1.1. 2. Izracunati brzine u svim mjernim tackama na osnovu zadate
jednacine hidrometrijskog kri1a kojim je izvrseno mjerenje
3
32
220
57
3,859
1.174
5
64
220
56
3,928
1. 195
2
18
300
65
4,615
1. 403
3
36
320
65
4,923
1 ,496
gdje je
Postupak je proveden u ko1onarna 6 i
V = 0,3023 n + 0,008
n =
[m/s]
~ [o/s]. 7 tabe1e
1.2.
4
56
400
73
5,479
1 ,664
5
74
440
79
5,569
1. 691
6
87
l100
81
4,938
1 ,500
prosjecnu brzinu u svakoj vertika1i
2
18
4oo
84
4,762
1 ,447
Srednja brzina je definirana s1ijedecim izrazom:
3
36
440
81
5,1132
1 ,650
4
56
500
87
5,747
1. 745
5
74
500
84
5,952
I, 807
6
89
400
78
5.128
1. 558
3. Nacrta ti di j agrame br zina u mjerenim vertika1arna
V sr h
h I' V (x) dx,
=
i odrediti
(s1ika 1.1).
xt
l --
-----------+n<
odak1e s:ijedi da je h
h
J====:'--;"====!'7
Jv(x)dx
1
' '
*
Odstoj anj e Broobrtaja Vri jeme od dna hidr.kri 1a obrtanja hidrokri 1a N h t [s] [9brtajal [em] 4 5 3
2
1,50 m; 0,80 m
i
Red,bro tacke u vert ika1 i
1
0,50 m; 0,50 m
,,
I~
RJESENJE: 0
v 7,50 m; 0,60 m
2
12
2 00
55
3,636
1. 107
3
24
260
58
4,482
1 • 362
4
48
300
61
4,918
1 '494
3
16
12 0
70
1 '714
0. 526
5
32
140
71
I ,972
o,6o4
-·~~~---
VI 9,50 m; 0,40 m
v
sr
0
h
za prakticne potrebe Vsr se prib1izno procjeni taka da se povuce vertika1na 1inija koja daje F 1 ~ F 2 . 4. Nacrtati dijagram brzina u poprecnom profi1u na osnovu prosjecnih brzina u vertika1ama iz tacke
3., i unijeti vri-
*U nasoj hidrometrijskoj praksi uko1iko dubina u vertikali doz-
jednosti brzine u 3 vrstu ispod poprecnog profi1a. Za one
voljava,uobicajeno je da se mjerenje brzina u principu vrsi na
vertika1e u kojima nije vrseno mjerenje brzine, njena vri-
s1jedecim_ 'fnjernim tackama u vertika1i:
jednost se ocitava sa konstruisanog dijagrama (s1.1o2).
1. Mjerna tacka neposredno iznad dna 2.
(oko 5-10 em od dna)
na 0,2 hod dna
3.
na 0,4 h od dna
4.
na 0,6 h od dna
50
na 0,8 h od dna neposredno ispod povrsine
6
0
(oko 5-10 em ispcil povrsine)
~------~-
'---
~"-'_,.~,,..__........~""~·- s'w'-,.-,,,_~·-
___.__ ,._._
---~-·
--·&x
-, n
'""·Wi"''tY""t·-sesa
.~,
s·--v·-
±wt·.
-zrmrmwtwrtr·&t ·,··.· . ;·· ..-~
S/ilv::J U ODRE£JIVANJE SREDNJE BRZINE NA VERT/KALAMA VERT/KALA
Ef: 1
BR
I
VERTiKALA BR II
VERT/KALA BR III
5,-----~
~
c5
f'
a co a·
I
f'
.
J~_J
~m/s
"'"'.
-<:
c5 -<:
""" VERT/KALA BR IV
J
VERT/KALA BR. -
1.807
E
6
I , f-
.;.,,
V
VERT/KALA
~ ~
~T
c5
-<:
~
c5 1,650
VI
81
i5
.
7,?45
BR.
'I
~I
-r
I
2 1-1,447
m/s
jl
j
_j_
I
~I _______ J Vsr•
7.55 m;S
Vsr
[m/s] 2.00
1 em • 0.5
S/1ka 1.2. DIJAGRAA1 BRZINA U POPffECNOM PROF/LU
m/s
1.50 ~i
7,00
E:f
al
.
:Sf'
0.50 0,00 1lB 1·1.0 m
·!00
1
VI
IV
00 0.2 0,4
"' L.O.
0.6
DESNA OBALA
08 1h0
[m]
~POPRECNI
1
ODSTOJANJE 00 UJEVE OBALE [m)
I
8a·
I
OUBINA U VERTIKALI
8c5
a· a ln. a
[m]
SREDNJA BRZINA [m/s]
1)\
I
ill
""'
@ c5 <0
8. a
"'"'c5
a
ELENENTARNI PROTICAJ q [mY,)n] c;;
~ ci
~
§
I
I
PROFIL VODOTOKA I
&I N
a ~
"'"' "'"'-·
"'"'c5
c5
-+
~
ill ...:
~
cs
l:gg I
-4
lr)
&I
Sl
Sl K
&I
"' g}
?j, c5
"'a· 0)
§
"C5
~
"'..,-·
...:
~
"'~
lt)
.,., lt) ~
~
"'
~-
~
~
Sl
'11
Of
lt)
a
"c5
8c5
Sl c;;
§{
i
~
E
~~
7 6
se ovim postupkom prave aproksimacije Treba uociti da 5. Odredjivanje protoka vrsi se na neko1iko nacina ciji izbor zavisi od 1oka1nih us1ova
(sirina profi1a, raspored dubina
po profi1u, raspored brzina po profi1u i m ~B
5.1. Q =
I I I l l lI l l l '
m Z
~B
Z
q. = i=l ]_
s1.).
kala linearna b) Podrazumjeva se da.je teziste C\ijela razmatranog
hiVi =
i=l
dijagrama brzine i
sredini razmatrane lamele
+ 0,40x0,50) = 1,0(0,275+0,848+ ... +0,200)
nije
=
3
h
1
(u ovom primjeru m = 10).
> 0
taCno~
zano na slici
1.2.
Treba uociti da gornja metoda podrazumjeva: a)
~B
1 =
~B
2 = ... =
~B
10 =
toga u nek.im slucajevima
~B
=canst., te da se zbog
(kao u ovom primjeru)
zanemaruje dio protoka uz obale. U ovom primjeru zanemaren je protok koji se odv.ija kroz lamelu sirJ.ne 0,5 b)
m uz desnu oba1u.
Da se dubina .i brzina za svaku 1amelu uzima kao konstantna vrijednost izmjerena (a za brzine izmjerena odnosno oCitana sa clijagrama) na sredini razmatrane lamele. Na ovaj nac.in cine se greske cija vel.icina zavisi od promjen1jivosti poprecnog profila i dijagrama brzina u njemu.
( 5. 2.
m·rl
z
Q
·ill+l
Llbiqi =
i=l
z
Llb.
i=l
(
v.
l
l-. ~
+ v.
'-)
(
h.
]_-
l
~
+ h.
l)
l
(Q,0+0,55)+ 1 · (Q,50+0,80). (.0· 1 55+1,06)+ 0 , 5 (0,0+0,·5). 2 2 2 2 + ••• + 1 , 0 ( 0 , 4 0 ~0 , 0 0) • ( 0 , 50 ~0 1 0 0)
U ovom primjeru Ab
11
= 1,0 m.
~b
1
=
+ 0,302 + 0,050 = 9,139 m3/s
0,034 + 0,523 + =
bo1je rezultate, posebno kad su znacajnije izrazene promjene dubina i brzina u poprecnom profi1u.
Ovaj nacin proracuna izvod.i se na crtezu Jcako je poka-
:':I
II
sto u sustini
5.2. moze se konstatovati da nacin pod 5.2. daje nesto gdje je m broj vertika1a u kojima su izmjerene dubine
!
l
(na Llb 1 /2)
Uporedjujuci nacine proracuna objasnjenje pod 5.1. i
9,372 m /s
![
ii
lamele proticajnog presjeka u
1,0(0,50x0,55+0,80x1,06 + ... +
1,0x9,372
I
:Ji
u sljedecem: koje se sastoje a) Podrazumjeva se da je promjena brzina izmedju verti-
0,5 m, a Ab 2
db3 = ••.
1 r
8 9
ZADATAR BROJ
,'i
Proticaji glavnog vrela mogu se odrediti u otvorenom toku (na pro-
2
filu l) uobicajenim metodama terenske hidrometrije za otvorene tokove.
Izvoriste Studenac nalazi se na desnoj obali rijeke sacinjavaju ga dva znacajnija vrela: Glavno vrelo i
Neretve i
Ubacivanjem boje (obiljezivaca) u pijezometre i bunare u zaledju
Potopljeno vrelo. Pored ovih, postoji i nekoliko manjih vrela koja su po svojoj velicini beznacajna.
izvorista je pokazano da vrela imaju kontakt sa podzemnom karstnom akumulacijom cije se stanje maze pratiti preko nivoa vade na pijezometru Pl.
i;'
q,
Otvoreni tok glavnog vrela, zbog vrsnog rada uzvodnih hidroelek-
Skica 2.1.
trana na rijeci Neretvi ucestapo dolazi pod uspor, zbog cega je
P-~\\
'0~
} 1.:
-'0
\\
,~~------.--\\ -- ~' ,.\~\
il
./
Iii
!i
--------------
ovom dijelu taka. Medjutim, sam izlaz iz podzemlja, odnosno poce-
--
-0.,.><-
tak povrsinskog taka ne dolazi pod uspor radi cega je moguce pro-
\~_./ """<"~ -...........-~-GL~~
/\\ ·'...
/
I
tesko i nesvrsishodno definisati odnos proticaja i vodostaja u
-~
ticaje staviti u vezu sa nivoom vade u busotini Pl. Na bazi veceg
~
',
k'~--·-
..;;·';!;"""~-..
~-~.
··.h--.' ·',:~:111 .· .
.,,...]"',,.,~ '-. POTOPLJENO
'~)
I· I,
/f.
.
«
broja hidrometrijskih mjerenja uspostavljena je empirijska veza proticaja na profilu 1 (Glavno vrelo) i vodostaja na pijezo-
""'
metru Pl kao sto je pokazano na skici 2.3.
VRE!.O
Skica
l'l"re
HP-1
t;>/
{!nnm,] 73 72
-
I
I
Ski.c,"-1 2 ~ 2.
II • I//
71
70
69
-8'-
'I 'jl
ff!"'-
~
68
.~
).
1 .·
67 66
--~~~~--'-c~=/
2. 3.
,,o
l
~
I
_......~
7 -
A
I
1
~
I
Treba uociti da prikazana linija proticaja odrzava rezim tecenj< \·
pod pritiskom (isticanje iz podzemlja) pa zbog toga ima drugaci"
Prikazane moguCnost skice treba shvatiti kao najjednostavniiu
podzemne veze pijezometarske bui3otine i
vrcla
oblik od linija proticaja za otvorene tokove gdje je proticaj
I~~~ ll
' 10
Skica
2.4.
vezan za vodostaj u samom toku. Takodje se pretpostavlja da se tecenje odvija u hidraulickim uslovima prikazanim na skici
2.2.
Medjutim, na bazi lorna linije proticaja (kota ~ 70,3 m n.m. i Q = 3,4 m3 /s) maze se zakljuciti da do1azi do aktiviranja i novih podzemnih kanala ciji protok je obuhva6en u profilu 1. U pijezometar P-1 ubaceno
je trenutno 2 kg obiljezivaca (natrijum-
c [M/1]
I
10-7
fluoresceina) u momentu kada je vodostaj na pijezometru P-1 bio 66,54 m n.m. Na vrellma su uzimani uzorci vode i
ljezivaca kao u tabeli
['·]
ntvrdjene koncentracije obi-
2.1.
Na bazi prezentiranih podataka odrediti prib1iznu velicinu istica-
;::'
nja kroz potopljeno vrelo, imajuci u vidu da je nivo podzemne
t--~j
vode registrovan na P-1, bio konstantan kroz citavo vrijorne vrsenja mjerenja.
10-8
,Tabela
Vri jeme
!
t - - · - Koncent rae i ja obi 1 jeZ i vaC.a I
uzimanja uzorka [~ati] 1
. Potorl_~~~o vrelo 1
l:,
0 2,5·10-9
1155
2,5·10-8
1,'215
1,43·10-7
1240 ':
H 1',
1,
J
2,5·10-8
2,5·10-7
14oo
I ,67·1 o-7 1 ,t, 3 . 10 -7
1,25·1 0 -7
l,25·10-7
I ,67· I o-7
1530
1,25· 10-7
1,25·10-7
1730
10-7 8 5·10-
j
2,5·10-8
woo
,.
~ 20
0
,-e
I ,67·10-9
~ 12
I
I
11.
13
15
16
17
b 1 \
18
"'
?n
I
-
21 t l!asova]
5 ·I 0-K 5 • I 0-8
R.TESENJE: me-toUom obiljeZivaCa bazira se
Odredjivanje kolicine vode u toku obiljezivaca u busotinu jednaka da je rnasa upustenog obadva vrela (potopljenom i na Cinjenici istekne na rnasi obiljezivaca koji nepotopljenom), tj. Go = Gl + Gz
=2
10-7 10 1820
"
I I I I I
0
5 ·I 0-9
11340
18
;
1,67·10-7
0
''f:
.,_ 1 I
I II J0- 9 ~ 11
2,5·10-7
14 15°
'
f
Gla~Cr~ vrelo
,1310
3o
''i
f~/1]
0
1120 1130 1145
_vno vrelo '
I I I
2. 1.
1
1100
·,
I
\
I ,43·10-8
Go
I ,25·10-9
G
c
1
gdje je
kg rnasa obiljezivaca ubacena u busotinu, tj. podzernni tok obiljezivaca registrovana na nepotopljenorn dijelu
-
masa
vrela (Glavno vrelo) na potopljenorn dijelu vrela - rnasa obiljezivaca registrovana
2 Eventualni zaostaci obiljezivaca u podzernlju i pijezometarskoj
bu~otini su zanemareni.
:I ~I 1:
~
!~
I
-~-~---="'""'"'"""""'"'~'~~~
IUili* U£'M
LJJM
a
-
12 13
I~
gornje jedna6ine s1ijedi da je masa obi1jeiiva6a na potop1jenom dije1u vre1a: ZADATAI<
BROJ 3
G2 = Go - Gl
'i: 1::'
'i;l
" ·,
noj stanici Priboj, datih u tabe1i
ticaja za H = 66,54 m n.m.
l. Odrediti ana1iticki ob1ik krive proticaja koristeci s1ijedece
(!lto je potvrdjeno i direktnim mjere-
njem na profi1u l) koji je bio konstantan u toku uzimanja uzoraka
matematske modele
obi1jezivaca (Q 1 = 1000 1/s) odredi se masa istek1og obi1jezivaca:
a. y
ax 2
b. y
a(X-x )b, aico je x
G1
=.:::o 1
1 c1
.<~t
= o1
z 1c
1
"t = 1,23 kg
Iz poznatih koncentracija obi1jeziva6a na potop1jenom dije1u vrela (tabela 2.1. i skica 2.4) odredi se:
G2 = G0 -G 1 = 0 2 ·
~ z;= 1
2: 2 c
Napomena: Vrijednosti
0,00242 .::: Ci .
318 1/s
1
s1ijedeci nacin:
x 2 c 1 nt
odredjene su na
utvrdjenih koncentracija u
::::
10 em, a Y"'QiX~h
Fizicko znacenje velicine x 0 = h 0
,
je vodostaj pri kojem nema
tecenja, tj. Q = 0.
Tabe1a 3 .1.
Datum mjerenja
Vodostaj
[c;l
h
Proticaj Q [m 3;s]
14.8.1971.
18
0,020
28.6.1972.
20
0,080
8.9.1972.
38
0,620
9.9.1972.
45
1,430
16.9.1972.
54
1,860
8.10.1972.
67
4,230
55
2,080
uzorcima koji su uzimani u raz1icitim vremenskim
22.1.1974.
62
3,260
interva1ima nacrtani su dijagrami koncentracije
23.1.1974.
56
2,410
19.4.1974.
75
6,500
2) Sa dijagrama su ocitane ordinate na istim vremen-
20.4.1974.
61
3,060
skim razmacima, koje su sumirane i pomnozene sa .<~t = const, (skica 2.4).
18.5.1974.
70
5,000
obi1jezivaca u vremenu za oba razmatrana vre1a;
~,
0
sti proticaja.
.:i
1) Na bazi 1aboratorijski
i
0
1 .
~
"t
+ bX + c, ako je X 'h,Y~Qi
Potop1jenom vre1u
S1ijedi da je proticaj potop1jenog dije1a vre1a: Q2
3.1. potrebno je:
2. Izvrsiti ocjenu sag1asnosti izmjerenih i racunskih vrijedno-
"t = 0,00242 kgs/1
Posta je masa obi1jezivaca na
,f:
mjerenja proticaja rijeke Janje na vodomjer-
Na osnovu
z 2c 1
:;
izvr~enih
Iz poznatih koncentracija obi1jeziva6a (tabe1a 2.1. i skica 2.4.) na nepotop1jenan dije1u vrela (Glavno vre1o) i protoka odredjenog sa linije pro-
17.4.197].
11.6.1974.
76
6,430
18.6.1974.
143
31,500
20.6.1974 .
118
19,900
·'~1
ll
14
15 RJESENJE: Iz gornjeg sistema jednacina dobija se vrijednost parametra c:
l.a. Ocjena parametara a, b i
c za ovaj model vrsi se iz uslo-
ql P1 Pz
va da se minimizira suma kvadrata odstupanja izmjerenih q2 p2 p3
proticaja u odnosu na sracunatu krivu proticaja, tj. 11
j:
X
i~l
j
I i' .~:
I
as
i
I
-2
as
aa
-2
::>.:
x .
i~l
n X
i~.l
en + bp
1
l
2 [vi- (ax. +bx +c) .l 1
2 [
2 1
y.-(ax +bx.+c)
x1
+ ap
2
l
l
-~
~
]
~
0
(2 .b.)
~ 0 (2 .c.)
jednacin~,
gornji sistem se
q
1 cpl + bp2 + apJ ~ q2
( 3. a.) ( 3. b.)
cp2 + bp3 + ap4 ~ q3
( 3. c.)
gdje je: pl ~ X xi p2 ~ X p
3
~
P4 ~
"I
X x3 1 4 X xi
n
ql ~ I
yi
q2 ~ X xi Yi q
n
3
~
2
X xi yi
pl p2
p2 p3 p4 Vrijednosti nepoznatih parametara a i b se najjednostavnije odredjuju rjesavanjem sistema od dvije jednacine. Vrijednosti suma p -p i 1 4
q -q su proracunate u tabeli 3.2. 1 3 Tabela
i
x,
Y,
1
!8
0,020
xf 321f
3. 2.
x3
X;
If
)(y.
x1YI
5832
104976
0 '360
6,48
2
20
0' 080
400
8000
160000
1 '600
32,00
3
38
0,620
1444
511872
2085140
73' 560
895,28
4
115
1 ,1130
2025
91125
11100620
64,350
2895,75
5
511
1 ,860
2916
157464 '
850)060
100 ,1140
5423,76
6
67
4' 2 30
11489
300763
20151100
283' 1110
18988,47
7 8
55
2,080
3025
166375 i
62
3,260
38114
238328
9
56
2 ,If 10
3136
175616
9834490
134,960
7557.76
5625
421875
31640600
1187,500
36562,50
10
75
6,500
9150620
114 '400
6292,00
14776300
2·02,120
12531,44
II
6i
3 'l)60
3721
226981
1 3845800
i86,660
11 386 '26
12
70
5,000
4900
3113000
211010000
350,000
24500,00
13
76
6,430
5776
14
143
31 '500
20LIIf9
I
438916
n <622 on
488,680
37139,68
2~24210
418160000
115011,500
644143,50
15
118
19,900
13924
16430130
191870000
23118,200
277087,60
..-::.
958
88,3P
75998
71964;46
783764390
9290,74
10851142,48
p1
q1
p2
p1
r4 -·---
broj mjerenja
(4)
pl p2 p3
l
Uz odgovarajuce sredjivanje svodi na s.lijedece:
·'!
1
n
FtJ
I I
ln l l
(1)
1
tako da se parcija.lni jzvodi S po nenoznatim pararnetrima lzjednace sa nu.lom, dakle: as n . 2 . Fe -2 X [Y.-(ax +bx +c)j ~ 0 1 i~.l l 1 (2. a.)
':1
fi
i~l
c~
9
~ i~l }~
\!;.·
.l
n2
1 izmjerena vrijednost a vrijednost sracunata 1 po modelu, dakle Yi ~ ax 12 + bx + c, d o] c .]e e 2 ~ ( y -y~)2 1 1 1 1 U ovoj vrsti zadataka poznate su vrijednosti x i y , iz kojih 1 uslov da treba odrediti nepoznate parametre modela a, b 1 i c nz 2 suma kvadratn 5 e bude rninlmiziranil. Zadatak se rjesava
fr
I
i~l
2
2 2 qlp2p4+plp3q3+p2q2p3-q3p2-qlp3-q2plp4 3 2 2 np2p4+ 2 plp2p3-p2-np3-plp4
q3 p3 p4
~X [v 1 -(ax1 +bx1 +cJ] ~X e ~s 2
gdje je y
I J
11
(y 1 -v"1 2 J
q2
q3
---~~·~.:~-==-:z-"'!il@l1l!~w"
w~osrusMY""""w. "'2tb=~< w.."'~~~-~~-- - - - - - - - - - -
16
17 Kada se vrijednosti p. (j = 1,2,3,4) i J jedna~inu
3.2. unesu u
q~(k
(4) dobije se:
~=
~
1,2,3) iz tabe1e
Zamjenom vrijednosti
z,.
log
=
u
Y;
i t; = log (x,.-x 0
)
dobije se
J
1 X log (x,-x ) log y. - -X l log (x,-x ) -1 X log y.I TI IQ TI lOTI
1,054345771 b
Vrijednosti preostalih nepoznatih parametara a i b se odredjuju rjesavanjem sistema od dvije proizvoljno odabrane
l z-liog (x,-x )l 2 n ~ 1 o ~
jedna~ine:
en + bp 1 + ap = q 2 1 cpl + bp2 + ap3 = q2 i']•
I
J '.
q
l
l 1'
I i
I
n
,
2: log (x:-x r
2
)l
b·l .2:' log (x:-x n
)l
o~
o~
'
a = lOa(,
Ako se unesu odgovarajuce vrijednosti za pj' qk i c dobija se:
~,00216192 1 i
ol= [ l 2: log y -
ll Lil
G
Neophodan proracun proveden je u tabeli =
Tabe1a 2. 3.
Ana1iti~ki 2 y = ax
6=
ob1ik krive proticaja odredjene primjenom modela + bx + c glasi:
0,00216192 h
U gornjoj
jedna~ini
2
- 0,09575877 h + 1,05434577
h se uvrstava u em da se.dobije (l u m ;s. 3
metrima, tako da ovi. parametri budu ve6.t brojevi racunanje) .
(pogodniji za
1.b. Logaritamskom transformacijom jednacine (X-x
i
X.
'
Ukoliko se ne raspo1aie sa odgovaraju6om ra6unarskom tehnikom, prl odredjivanju parametara a, b i c moie se h uvrstavati u
Y = a
) b 0
(5)
dobija se oblik log Y = log a + b log (K-x
2. 3.
-o,ogs7ss7iJ
) 0
(5)
Jedna6ina (6) u pojednostavljenoj fermi ima oblik Z=oL+pt
(7)
Y;
log(x,-x
0
)
c
lo~
r
(x.-x ) '
0
log (x,.-x
log Y;
0
)
1oq Y;
1
18
0,020
0,903090
0,815572
-1,698970
-I ,534323
2
20
0,080
1,000000
I, 000000
-1,09691
-I ,096910
3
38
0,620
I ,1+47158
2,0942663
-0,20760
-0,30043
4
45
I , 4 30
I , 544068
2,384146
0,15533
0,23984
5 6
54
I , 860
I ,6431+527
2,7009368
0,26951
0,44292
67
4,230
1,7558745
3,0830953
0,62634
I , 09977 44
7 8
55 62
2.080
1,6532125
2,7331116
0,31806
0, 52582
3,260
I ,7160033
2. 94466 73
0,5132176
0. 8806831
9
56
2,410
I ,6627578
2,7647635
0,38201
0,63519
10
75 61
6. 500
1,8129134
3,286655
0,81291
I ,4737354
II
3,060
I, 7075702
2,9115796
0,48572
0,829401
12
70
5,000
I ,7781512
'" '-'
76
6, ·'130
J
14
ill}
31 • 500
15 ;::
118
19,900
3,1618217
0,69897
I , 242874 3
3, 31 07 1!
0,80821
!,"705736
2,1238516
4,5107456
I , 49831 06
3. 1821 894
2,0334238
4,1348124
1,2988531
2,6411188
41.841 131
4,863978
,8195'~39
24,60107
II , 732496
Jedna6ina (7) predstavlja klasicnu linearnu zavisnost izmedju zavisne promjenljive z i nezavisne promjen1jive t. Parametri modela (7) o(, i p odredjuju se oo principima model iz tacke l.a. odakle se dobije
P=
cz,t s2 t
ol= z
objasnjenim za
Kada se odgovaraju6e vrijednosti suma iz tabele
2.3. unesu u
izraze za odredjivanje parametara a i b dobije se:
Ib
=
2,5141821;
cG= -3,799173
a ~ lOa(,
J
a = 1,5879·10 4]
( 8)
Kona6no ana1iti6ki oblik krive proticaja orimjenom mode1a
-pt (9)
~ = a(X-x 0 )b glasi:
19
gl
18
i; [ Q~
1,5879•10-
4
(h-10)
3.4. proizilazi da se model Iz ana1ize provedene u tabe1i 2 6 ~ ah +bh+c bolje prilagodjava mjerenim vrijednostima nego
2 514182 • 1
' model Q
U gornjoj jednacini h se uvrstava u em da se dobije Q u m3 ;s.
'I .
!:
Na s1ici
~
I~II~
kod primjene matematskih mode1a za krivu proticaja postoji vi~e
natina. Jedan od
nai~e~6e
kori§tcnjh je izra611navanje
sume Jcvadrata raz1ike mjerenih i racnnskih vrijednosti (()-Q). U
tabeli
I'
iii': I,,
Tabela
l.4.
~-
h
1,:_,. I
[cr~]
t
'il
tii
f
Q
[m 3 /s]
M
-()_
~
ah
2 + bh + c
0
d
e
I
0~ (o-6)
[m3/s]
0
2
a (h-h ) b 0
i\ [m3/s]
I
(n-o) 2
18
0,020
0,031
0,0001
0,0)0
0,0001
20
0,080
0,004*
0,0058
0. 052
0,0008
]8
O,G20
0,517
0,0068
0,691
0,0050
45
I , 4 30
I , I 23
0,0942
I ,2I0
0,0483
54
I ,860
2, I 88
0, I 073
4,230
4,343
0,0129
2' 152 lr, I 75
0,0850
67
55
2,080
0,0612
? ,277
0,0~~7
0,0281
3 '2 75 2,40ii
()' 0 002
n, s791,
0, 0 I I 0
62
3,260
2' 327 3, lr28
;:>!!
56
2,410
2,472
0,0038
(:,
75
6,500
6,033
0,2179
6I
), 060
3,158
0,0390
5' 739 3, I I 9
70
5,000
4,945
0,0031
lr ,693
0,0944
76
6,430
6,264
5,963
0,2 I 77
143
3 I ,500
3 I , 570
0 '0276 0, OOilq
31r,720
10,3669
I I8
19,900
19,857
0,0018
70 '56 q
0, lrlrA3
~ !l
,,
I I.
L
z
I
0,6145
*Treba uoCiti da se sa poveCanjem vodostaja.
0,0000 0, OO]Ir
~~,8994_
'
I
'
I I
_!
(nri. niskom h) mo:':e
smanjiU proticaj, sto nroizi1azi iz ohlika unaPd.jed
:~adatoq
mode1a (kvadratna parabola). U nraksi ovu fizirku neloqifnost treba korigovatl .
'f\ 1\
'I
3,4, se daju rezu1tati ovoq prorarun<1 za nctprijed
primjenjene modele.
i
•
3.1 skupa sa izmjerenim ve1icinama nrikazane su linije
2. Za uporedbu sag1asnosti mjerenih i racunskih vrijednosti,
;
I
a(h-h 0 ) b
proticaja dobivene preko 2 razmatrana mode1a.
:!;
I
~
'1
21 20
'ZADATAK BROJ
4
Cl ~
Za vodomjernu stanicu Han Skela na rijeci Vrbas dati su elernen
~
"'"'
poprecnog profila
Q
Ill
Cl ct
(J
~
~ ~
"'
a*' "'e-S
~ Q.:
~
0
~
-,
"{
~
'(
Lt.!
Cl "' Cl
::::..
I
<
!.
~
Ii
~ ;()f.-
l..o,] l
~
Q ~
'i
!
""\
r-t
\2
Q
-·""
0
ct Q
:::;
II
~
--.J
"' 0
:r:
if<.li
""'Vi
0,4 0,8 I, 18 I, 55 I ,85
2, I 0 2,40
I I I I I I I I I I ~-LIt:
Cl
~
Cl
y
Cl
u
Cl
C'/
"'
,..._
0
a
[w"]
Cl OJ
'I
0
Cl
OJ
/,"-.,.
Cl <.a
Cl t.n
Cl
Cl
Cl
.....-r
0)
('\j
(tflSOOO/i
Cl
Cl
h
29.08.195209.05.1953. 21.05.1983. 17.09.1953. 07.07.1955. 30.10.1955. 13.n9 1q57. 09.05.1959. 04.12.1959. 08.12.1959· 09.12.1959. 08.04.1960. 04.06.1962. 26.07.1962. 02.10.1962 .
[m2]
200 250 300 350 400 450 500
58,0 68,5 80,0 92,0 104,0 116,5 128,5
[m] 2,75 3. I 0 3,35 3,70 4,20 4,70 5,20
()
II
6,8 40, I 31.2
J
II ,6 22, I
46,9 I 0, 3 18 '3 51 • 8 42 '3 87,4 2 50' 0 172,0 2 12 '0 104.0
I \
0,00037 0,00106 0,00098 o, oool;7 0,00087 0,00108 0,00062 0,00076 0 '00 11 7 0,00107 0,00127 0,08150 0, nO JI10 ll,OU156 n,00129
4.:
Koeficijent hrapavosti po t~an i ngu n
Pad vodnoo oqledala
Prpt'1caj
[~3 /s]
100 85 30 64 II 2 25 51 119 104 160 32 0 230 280 188
Srednja dub ina h sr
Tabela
[em]
u
~
(.)
;:::
.il,
Datum
4.1
F
[em]
izvr~ena mjerenja proticaja
m_jeren.i a
:X
::i
i
4,0 9,0 15 '5 22,0 29,5 38,0 48,0
h
[m]
Vodostaj
L!.J
i
-150 -100 - 50 0 50 100 150
r:2J
PovrSina popreCnog profi Ia
Vodos taj
PovrS ina Srednja popreC.noo dub ina h profi Ia sr
\em]
CJ
c:t
I'
h
r1
l
I
Vodos taj
~
If)
I
Tabela
I
0' 092 0,051 0,056 0,074 0,065 0,050 0,087 0,066 o,o46 0,050 0,038 0,030 0,032 0,036 0,032
22
Izvr~iti
ekstrapolaeiju linije protieaja do vodostaja h
koristeci metod ekstrapolacije zavisnosti J = f(h)
i
=
2]
500 em,
n = f(h). Proticaj za
RJESENJE:
h
=
320 em,
neki od vodostaja iznad maksimalno oojavljenog na primjer h = 450 em, dobije se na slijedeci
naCin:
1. Geometrijske karakteristike poprecnog profila.
za h = 450 em iz zavisnosti h = f(h) sr vrijednost h r 4,55 m i F 116 m2. 8
-
Na osnovu podataka iz tabele 4.1. naertane su zavisnosti h = f(F) i h = f(h r) - slika 4.1. 8
za h = 450 em iz zavisnosti J = f(h)
2. Postupak ekstrapo1aeije
Konstrui~u
raspolo~ivi
se zavisnosti J = f(h) i n = f(h) za niz mjerenih podataka - s1ika 4. 2. (punn 1ini je).
a)
b) Kako J
i n u domenu visokih vodostaja
h = 350 em), ostaju
pribli~no
zavisnosti J = f (h)
i
(iznad vrijednosti
konstantni,
n = f (h)
tn se
uo~ene
jednost n = 0,0295 i
J
(crtkane liniie).
c)
Trafeni proticaji za vodostaje iznad h kori§tenjem
jeclna~ine =
0
c -
~ezijev
c>P
ust~ljPno
za
fn.TE
=
350 em dobij11 so
i ravnomjerno
tP~onie:
li
'
Ako se Sezijev
koeftci_jc~nt
lu,
~to
l
i
(2)
dobije
octJ-~djivanja
proticaja
5/Jka
h
le
<.1.
[em] 500+-----ZAV/SNOST ZAVISNOST
300 ~------1----r---
c nzme po M0.ninou c ::-: - _,
1
1l
T?
1
/r
,
1
(srednja dubina vocle u proticujnom proCi-·
zadovoljava pri •uslovu h r/f1"-0,l),h, obzin>rn na
200-
5
karakter tecenja '' otvorcnim tokovirna arroksimativno uzme da je pad 1inije enerqije l>ri bl i zno je
n
n
(1)
f'
7oo+
Y1
rr•ni:e so n.lpi,at:i u Gbliku: 2j-:;
,J
1/2 ( 2)
0~ /
[l/; ::r- ~·
ocita se vri-
WO
o~ofila
R - hidrau1icki radijus nroticajnorr profiLa pad linije enerCJiie
R zamjeni sa h,c;,-
Za hilo ko_ji llruqi vodustaj nostunak potpuno isti.
{1)
JE-
l.;;.,,.,,
f(h)
ohta se
slika 4.3., gclje je prethodno konstruisana linija proticaja za raspolo~ivi niz podataka Q i h.
qdjc je
~renja
koeficijent
F - povr§ina proticajnoq
n
f(h)
Dobijena vrijednost proticaja nanese se na liniju proticaja
-
(ekstrapoliraju) do trazenog maksima1no'J vodostaja h = 500 4.2
i
= 0,00158.
F
Aka se ave o~itane vrijednosti uvrste u jednaCinu se protieaj Q = 428 m 3 /s.
-
za vise vodost,lje, produze
em, tako cla teze odredjenim konstantnim VLijeclnostimaslika
i
-100
/( /
40
60
~o
Kf
1~0
2
3
4
5
6
110 F 7
)t-t_ J I I I I
-~-~
[m2]
h 5 £m]
25 24 S/Jiw -".2.
Slika 4.3.
h
[em]
I I I
I
II I
s!,i
u
KRIVA PROTICA)A RIJEKE VRBAS U PROFILU HAN-SK£L4
I
II
-···-~-.1 I
I II
,.
t
I
,::~-- •-•~ -•~ ••~ ~·-
[c;n]\
300·'·--··
I
0
250
I I ··1
j·vr
·+ -·J:f(l· -~.
,Wl-1-+++1 ..
----1---1··--~-1
50+--··f..-.
o
I/ -~--Jt·-j' I l_;j~/1'I
_~ ~ ·
f·-.
+.
I
I
I I
o
I
··+·-+-/'t-J~--t
o.ooo5
I
I
II J-11 ~ I I I ~
0.10
?wow
'·,"
!I
:I
0. 5
lf
\ JDO
·- - ~ .~:A
O.f5
o
.. . .
.
··II
,1f.ll I
I
700+-·-+
·-··\ ·
II
~
I
TT/
II
JOOr··~---
I
i
I
II
-l /7-'\ >/~Y/~- j .-/-~1------· ----·-·t
·_- -r •--·
!
n
0.0075 J
I
__ .....,,..,
2Uu
o
TAC:KE DDBIVEN£ MJEf\'ENJ£i'vf
-tt
rAtKE DOBIVENE EKSTRAPDLACI.JOM
!
'J!.' .:!00
I
&00 .,,_...,__,
.L ~ r
~
';!l . -
r,, ii
I I
f
27
26
1\
ZADATAK BROJ 5
RJESENJE:
Za vodomjernu stanicu Han Ske1a na rijeci Vrbas izvrsena su
Procedura ekstrapo1acije vidljiva je iz
mjerenja proticaja (Tabe1a 5.1.) (Tabe1a 5.2., ko1one 1, 2 i 3).
ji se iz slijedecih koraka:
Tabela
i e1ementi poprecnog profi1a
h[cm]
Vodostaj h [cml
f---
ProsjeCna
dub ina
hsr [m]
PovrSina oonr.~resj.
F
[m ]
5.2.
512]
'
11
6,8
11
1, 50
I I
30 64
11 ,6
30
1'70
23,5 26,0
22.1
64
44' 1
85
1 '90 2,05
32. 0
31 ,2
35,0
50. 1
2' 15 2,25
II 0.
38,0 0
60,0
·!
"' li·:!:,,
t ,,I
r''•l
1:. P:!
I
85 100
40,1
100
112
46,9
112
•fh-V sr 1
moze se sracunati za bilo koji vodo-
staj). d) U kvaclrantu III konstruise se zavisnost F •fh -- = f (Q) za rasrusr polozivi niz podataka h i Q. U ovom primjeru zavisnost F~~ = f(Q) je pravac za proticaje iznad priblizno Q=l25 m3 /s.
87,4
160
2,55
50,0
104,0
79,8
Ova 1inearna zavisnost se produzi
188
230 280
230 280
57,0 64,0
93,7
172 '0 212,0
2' 70 3, I 0
maksima1nog vodostaj a h = 500 em, odnosno parametra F · •~"h~ 1 sr = 285.
3,40
320 11 0
75,0
250,0
320 110
3,70
47,8
2,25
85,0 1,o, o
126
62,4
126
2,36
43,0
75 145
31 ,5 76.0
75 145
2' 00 2,50
33,0 46,0
350' 0
385
4,10
100,0
385
i' '
I·
I
profila parametar F .
188
•,
j;,'
f "sr
c) U kvadrantu II konstruise se zavisnost F ''~ l sr = f(h) za vodostaje do h = 500 em (na osnovu poznatih elemenata poprecnog
33,9
54,4
5.2. kalona 4, sracunaju se vrijednosti parametra
160
ll!
~
28,8
za ra-
p.l~.
F fhs r [ 01
Q(h)
a sasto-
spolozivi niz podataka h i Q. b) U tabeli
Proti~aj
o[;;,3;s]
5.1.,
a) U kvadrantu I konstruise se linija proticaja Q
5.1. Tabela
Vodostaj
slike
112' 7 138,3
e)
(ekstrapolira) do trazenog
U kvadrantu IV povucen je pomocni pravac Q
Q.
16 3. 5 60. 0 66,0
f)
Proticaj za neki od vodostaja iznad maksima1no pojavljenog h
= 385 em, na primjer h
46.7
naCin:
72 '7 202,0
za h
t.no
11,2 0
104,0
;; I 3, 0
1150
1+'55
116.0
2117. 0
500
II, 90
128,0
283,0
=
450 em, dobije se na slijedeci
450 em iz zavisnosti F'rh-r sr nost Fjhsr = 247 za F(~~ = 247, iz zavisnosti Ffhsr jednost Q = 450 m3/s
f(h)
ocita se vrijed-
f(Q)
- vrijednost Q = 450 m3/s se pomocu odnosa Q
ocita se vri-
Q iz kvadranta
IV prenese u kvadrant I. Izvrsiti ekstrapo1aciju linije proticaja do vodostaja rr Q = f (F' '{h~~).
po metodi Stivensa
500 em,
Za bile koji drugi vodostaj postupak odredjivanja proticaja je potpuno isti.
I
~~
~
I)
I
I
'i
28
.29
EKSTRAPOLAC/JA LINIJE PROTICAJA RIJEKE VRBAS NA VS HAN- SKELA PO METOD/ STIVENSA
st,ka 5.1.
-t·---t 4----
ZADATAK
':1',
.
l
L
[
ob
.j '
-
JC()
~5':A"'
100 / /.
J I
. l-
"W
-
-
I
I
0
2 lj
I
6 8 I0
I
:no
I
I
.
2oo .
~·
Joo
~"··· ·.I·
I-
~~
~
a lmfs!
-
.f·
i
sao
.. --
---~--=t=- ~-==- = 1.0;
__ j____ J_____
I ·I ·
'I
!'
k I
--",
=-~-----l-...
~
I ~~--
~{J-t-s~~-~·- F ~._r~l ~ I) ~-·-t---------+--". i _j_ _____)______ J______ I
!
I
I
Q
(mJs)
m
20
351 , 2
353,5
22
351 >4
353,2
24
351 '2
352,9
26
351, I
352,5
28
351 , 3
352, I
30
351 '8 352,7
351 '8
111
351 '5
311
353,5
16
351 , 11
36
3511,7
18
351 , 1,
38
355' 'i
Kot.1 nule vodomjerne lctve lSl, 74 m n.m. su izvr§ena mjerenja proticaja
I
j__
Tabela
Y/(-
--
I I
[m n.m]
[m]
355,5
Na vodomjcrnoi !;tQniri
loll-~-~~~-~~v+ -~-----~- -----~~- _I_ Joo
tuCke na l i _jevo_j oba I i
32
12
-
,I
·/"_1,1--:'.
Kota dna
Odstojanje od stalnel
Kota dna
[m n.m]
[m]
"~'--r :
~ ~. --~-\ "w~ I ~L'
Odstojanje od stalnc taCke n<'l l i jevoj
--400
\J . '"
.I . .
/
I
i
I' '
Tabela
/
t- --- -
f - --
. .
ll~i
poprecnog profila
'·-·-500
ri\--- -I\
6
Za vodomjernu stanicu Merdani na rijeci La~vi dati su elementi
m)
-·
BROJ
~
[em]
Q
B
F
[m';;j
[m]
[m2J
21 '5
lh,)
5
50
3 5 '2
q
I 'P
26 . 0
3
I ,5
118
32,8
r,l;, n
14
2 3 '6
:?_L!,[l
311,6
P,l(, 5
31 's 35,q
L1fi.,0
725 zg
300 I I0 720
,;_L ' " so
170
320
I
I
r,
75
. 265
oq, r1
I I I I
d - ~r
LmJ
I 1r-* p I
0,70
I
2,5S
I I
I
I I
-.J
'--'
_, ·'
3/2 sr
Jl1, I 0 I 51 , 91
I, 12
1),43
1 'nr;
95,5h
n,on
22 '4h
: ' !~ n
I 3f), 36
I , '7
cr;,q2
7 J--7
I c,f. no
I~~ff! .f/',1
.. ,
lI 'ii.·
30
31
>i
I, I
l. Pokazati proceduru prora6una geometrijskih karakteristika poprecnog profila i parametra ~~B d 3 1 2 za vodostaj h = 376 em. 'J sr 2. Odrediti proticaj za vodostaje h
:1·1,
li
=
=
350 i h
376 em. Zadatak
RJESENJE
a)
b)
- Kota nivoa vade H
=
·!-:'
I ii
6 .1.)
=
(tabela
kao surna elementarnih pr)Vr~ina
:)!'i:
N=l9 d 1 _ 1 +d 1 F = ;z; LIB = 2 i=l
f rii·
d
sr
[->,.=
I,,,
I,
Tra~eni
=
f(h)
za
~.B d~~ 2 =
f(Q)
za
2
+
=
100 m3 /s. Ova
(ekstrapo1ira) do trazenog
flroticaj
za maksimalno pojavJ.jeni vodostaj
37o em dohije sR na slijedeci nacin:
za h = 376 em iz zavisnosti f(h) ~ B d]/ 2 239
ocita se vrijednost
sr
~ 3 1 2 = 23 9, za "' lw*A'tsr
' lZ
' . zav1snost~
f (0 )
~. . . l t OClta se vrl]ecnos_
0 = 355 m3/s
vrijednost Q = JSS m3 /s se pomo6u odnosJ n
0 iz kva-
riranta IV prenese u kvadrilnt I Grafi~ka
= 3,32 m.
1
~*
s.like
se odredi na slijede6i
~una
N=l9 d 3 / 2 + d 3 / 2 7
1-1
Bct3/2 i:l
l
LIB=
2
+
2 38·3,32 3 / 2
2 03/2 + 0 83/2 '""'
1
(
+
03/2 + 23/2 + 2 0 83/2 I
...,+
03/2
- Parametar
~.B r\;~ 2
=
1,04·38·3,32]/ 2
=
239,1
Procedura orlredjivanJ·a parametra f~·Bd 3 / 2 za vodostaj · sr = 350 em i bi1o koji drugi je potpuno ista.
procedura odredjivanja protoka vidi se iz 6 . 2.
Za vodustaj h
na~i.n
= 1,04.
h
I
119,6
~
sr ::;.3/2 + 2 33/2 + ~ • + ...
;:
:i
F B
- Vrijednost parametra
II'··
I
=
- Prosjecna dubina
~:
i~ i ' : :
2
B d]/ 2 sr
U kvadrantu IV povucen je pomocni oravac 0 = Q.
I''*
trapeznoq ohli_ka
2,0+0,R + 0 28+0)2 = 119,6 m2 + --2--
i/!-.. ;
id/•
proizvoljno odabranog
0,0+2,0 + 2+2,3 + 2,3+2,6 + ..•
(- 2
d)
h
6.1.), odredjena je povr§ina poprecnog profila
1;.
"
maksimalno pojavljenog vodostaja h = 376 em, odnosno 3/2 ~·B 0 r - 239,1. 5
e)
38 m
Iz poprecnog profila za h = 376 em i
p
je pravac za proticaje iznad prihlizno Q
355,50 m n.m.
za vodostaj h = 376 em
.-1','
~B-
za
376 em.
linearna zavisnost se produzi
( s1 ika 13 =
-
U kvadrantu II konstruise se odnos
=
Q = Q (h)
Q.
raspolozivi niz podataka h i Q. U ovom primjeru odnos f(Q)
6.]. nacrtan ie poprecni profil-
"0" + h = 351,74+3,76
- Iz popre6nog profila ~irina vodnog lica
\1•"
0. 2.
c) U kvadrantu III konstruise se odnos
Za vodostaj h = 376 em odredjene su s1ijedece vrijednosti:
:Iii
slik'-1
U kvadrantu I konstruise se linija proticaja
vodostaje do h
Na osnovu podataka iz tabele slika 6 .1.
vidi
raspolozivi niz podataka h i b)
,,
[,
a)
rijesiti ekstrapolujuci liniju protieaja po metodi Velikanova.
1. Geometrijske karakteristike poprecnog profila
I'
2. Postupak ekstrapolacije -
)
= J:JO em
je potpuno isti.
j_
Ullu k.(;_jl dr·LFJi, pc_,;;tupa.k prora·-
S!1ka 6.2.
lml~
'-'
Q "'
H
-·-
Q)
I
~-
0
"'
N
co 0-.J-
I'J
"''
c: .._,
;,;: ~
'1--
.,,_
" "' ~-~8
0
0
-----
"'
0 <>:'
~
~-
Q
8 -.,·
~
8
I
~--
R
I
~-
':)
~
~
;';'
aa
~'
-....::-·
s
~
~
1\_j
s:o
~
cc N
7?< M
o., C5
~
"~
0
b3_
m
8
c
7
.._,
ELEMENT/ POPRECNOG PFWFiLA VS MEFWANI NA R. LASV!
c5
~
R
~
'J
I
n
c/r·
II
I
~ Q fm}s)
coor------r----~------+------L
JOJ
I
+-------+-------~------~----~---400+-------+-------~-----4-------+
(em)
h
Q
lnil;s!
w
w
EKSTRAPOLACIJA L/NIJE PROTJCAJA RIJEKE LA5VE NA VS MERDANI PO METOD/ VELIK.4NOV/J.
DUB INA
Sitka 6.1
-,:;~
,.,__ , -·"--l
b
34
35
DNEVNE VRIJEDNOSTI VODOSTAJA
ZADATAK llROJ 1 Za rijeku Neretvu na vodomjernoj stanici iitomisli6i dat je tabelarni pregled dnevnih vodostaja za 1947. godinu i odgovarajuca kriva proticaja. Na osnovu zadatih podataka u tabeli 7 .l. potre-
VODOTOK NERETVA
bno je:
LIMNIGRAF BR.
P.S. 4180 km 2
l. Nacrtati nivogram. ~ 2. Sracunati prosjeone mjesecnc
i
prosjetnlt godi~nju vrijednost
vodostaja te odrediti minimalne i maksimalne vrijednosti za svaki mjesec i za citavu godinu.v' 3. Nacrtati liniju trajanja i urestalosti vodosta·ja.~ 4. Na osnovu konstruisane linije trajanjil i
nCestalosti,
analiticki odrediti pribli~nu vrijednost prosiecnog godi~njeg vodostaja, te modi medijanu. 5. Na osnovu dobijene linije trajanja vodostaja J. zadane lini:ie proticaja grafoanaLi ticki od redi. ti lin i ju tr
ticaja
Tabela 7. 1. STANICA BN1 2 VODOSTAJI-GODINA OBRADE 1947
ZAVOD ZA HIDROTEHNIKU- SARAJEVO GODINA POCETKA RADA 1909
i
medijane.
7. Na bazi datih vrijednosti dnevnih vodostaja
linije proticaja na slici proticaja i nacrtati
11
tubeli
7 .l.
7 .L odrediti dnevne vrijectnosti
hidrogr~rn.
8. Koristeci dnevne vrijednosti nroticaja provesti proceduru zadanu u tacki 2, 3 i 4.
i
VIII
IX
X
74 72 70 70 68 68 68 66
68 66 ' 64 62 60 58 58 56 54 52
34 32 :l2 32 32 30 30 30 30 30
30 28 30 114 40 36 34 32 30 28
20 20 18 18 18 18 18 18 18 16
XI go 1110 116 96 76 70 64 58 54 50
310 380 422 386 360 3 30 316 272 240 212
116 112 108 108 106 I 06 118 132 120 124
64 64 62 62 70 74 68 66 61; 62
50 50 t,8 48 1,6 116 114 44 42 42
30 38 311 32 30 30 28 28 28 26
26 26 26 26 21; 24 211 24 24
16 16 16 16 16 16 16 16 16 I4
50 118 46 116 44 411 42 I 00 82 74
198 186 176 164 158 150 146 140 136 I 32
II 0 100 100 98 I CO 96 94
62 60 60 124 100
40 110 40 40
R6
38 36 36 36 36 34
26 26 40 28 30 44 50 40 36 34 32
14 14 14 14 14 20 114 98 76 70 64
64 52 56 511 52 50 50 48 96 274
I 28 124 120 116 I! 2 I 08 I 32 144 146 132 194
20. 14 27 114
17. 42 72 274 30.
26. 108 204 4 78 3.
I
II
Ill
IV
\1
1
106 102 98 96 94 92 88 86 86 84
102 I 00 1DO 94 360 300 260 220 252 380
302 322 290 258 236 224 246 326 326 346
zoo
1116 I 112 140 I 36 I 34 136 I 30 126 124 120
II 12 I3 14 15 16 17 18 19 20
82 82 80 80 138 118 II 0 104 100
364 420 310 286
300 274 252 230 22 0 222 210 200 192 194
186 176
21
92 88 86 84
254 238 22 0 216 Z26 2211 220 224 210 198 2 00
168 162 162 I 60 15P. 156 I 52 I 52 150 150
90 86 84
19. 192 245 346 I 0.
17. 1118 177 234 6.
31 . 84 114 146 I.
3 4
5 6 7 8 9
I0
22
23 24 25 26 27 28 29 30 31
26l•
236 214 200 210 362
96
300 260 288 340 352 332 320 286
Bo
so
162 160 I 36 120 108
DAN NV
25.
II.
sv
100 162 27.
911 268 420 I 2.
vv
DAN
so
204 216 222 218 234 224 21 (, 200 200
170
160 152 150 148 160 158 166
1947
NV 14
DATUM 2 0. I 0.
NNV
14
20. 10.1947
16.25
VII
DAN 2
360 - L ITOM IS LI CI KOTA ,0, TOCKE
92
SNV 75
VI 82 78
38
78 70 66 66 22. 60 71 124
31 . 34 47 68 I.
zl,.
SV 115
21. 26 32 50
27. SV\1 216 \I\IV
22
22 22
22 22 22
n
20 20
zo zo
27. 20 26 44 4.
27.
vv 42 0 600
XII
DATUM 12.02. 18. 1 I . 1934
37
36 R1;~1
Neretva
Vod.st.:
otomlsiiCI
,,
S/1ka 7.1.
RJESENJE:
UNIJA PROTICAJA (vall za penod I. 1.1926.- 31.12. 1977. god!IH:)
1. Vrijednosti iz tabe1e
7.1. nanesene su kao ordinate na s1ici
7.2. gdje je na apscisi predstav1jeno vrijeme pojave vodostaja (1 dan= 0 1 5 mm). Spajanjem ovih vrijednosti formira se
1500
1000
nivogram. 2.a) Prosjecni mjesecni vodostaj za mjesec
1 1 2 1 ... 1 12 1 sra-
cunat je po obrascu n. l h. = J nj
:zJ
i=l
ru
h .. :t,J
(i
gdje je h . . vodostaj i-tog dana za mjesec
:LIJ
1121 .. lnj)
a nj je broj dana u posmatranom mjesecu j. b) Prosjecna godisnja vrijednost 1 h 1 moze se sracunati na dva naCina:
1 n.
- h = _L 12
- ----,----(==-
;/
-
//
-
h =
12
z
J j=l
12
1
:z
12
f----~-f-~---~~~ -+-~
i=l
(2)
h ..
:LJ
( 3)
h.
j=l
J
ProraCun po obrascu
1200/
nj
z
( 3)
podrazumjeva da svi mjeseci ima-
ju isti bra] dana (premda to nije tacna). Medjutiml za prakticne potrebe nvako sracunata srednja vrijednost je
:;o
dovoljno tacria.
T
r
Prosjecna godisnja vrijednost vodostaja (i1i proticaja) maze se takodje odrediti i na bazi ucesta1osti (tacka 3 i nosno tabe1a
7.2. i
7.4.) na s1ijedeci nacin:
N
I
-~L
:z
f, hi
2·412,5 + 3-387 5+ ... +42'·12.5_ 41437.5 365 2 + 3 + ... + 42
l=l
h = N----
:z
fl
N
:z
fl\11
L"" 1 -N-~-
:z
2 . 1 0'7 5 + 0 • 10 2 5 + . . . + 9 5 . 2 5
2 + 0 + ..• + 25
fi9975
3F:S
fi
l=l
gdje su h 400
500
600
114 em
l=l
Q =
300
81 od-
1
i ()l
srednje uri jednosU. lclase I.
3 192 m /s
I
~/
(f
/
~-
r-,~:1_-
----
39
38
- U~estalost odredjene klase za citavu godinu
c) Minimalna, odnosno maksimalna mjeseCna vrijednost vodosta-
f _ (l ~ l, ••. ,N) 1
ja minhj odnosno maxhj predstavljena je najmanjom odnosno
dobije se na slijedeci nacin:
najvecom velicinom hij u razmatranom mjesecu j . hmln J
max 11 j
12
min (h. , ) l,J i=l, ... ,nj
(4)
max (hi,j)
(5)
(9)
::E f j~l l ' j
fL
- Trajnost odredjene pojave i svih pojava vecih od nje, ('
--{\, \
T
1
dobije se na slijedeci nacin:
i=l,.4.,nj
1\
~
T
Vrijednosti T min (minhj) j~l, ... ,12
h
max (maxhj)
max
J~l,
[''
j\
\::.r' -----r.~
(h)
(10)
7.2) predstavljaju
7.2. Pri
tome vrijednosti f se nanose kao konstantne vrijednosti po
..• ,12
6itavoj ~irini klasc,
a vrijednosti T se nanose na donjoj
granici posn1atrane k]_ase.
1(
u;~~talosti
Linija trajanja
1
(zadnja kalona u tabeli
Vrijednosti f i T su grafi~ki prikazane na slici
(7)
A
svih velicina
vecih od nje. Iz ovoga proizilazi da je trajanje srnnarna vrijednost 11testalosti iznad razmatrane veli~ine.
Treba uo~iti da js trajanje odre-
djenog vodostaja jednako zbiru trajanja te pojave u toku cltave godine (na pr. trajanje vodostaja 175 em i vecih 67 + 14 + l ~ 82). iznosi T ~ ~1T + ,,T + <1T
(na pc. vodostaja ili proticaja) Jlredstavlja
broj pojava (trajanje) razmatrane velicine i
1
trajanje pojava vecih od donje granice klase l.
predstavlla broj pojava (na pr. vodostaja ili proticaja) u odredjenom klasnom intervalu.
3. -- Linija
.
--('<~' - r\ \
f
-\
slican nacin, tj. ' h mln
::E
k~l k
1.
d) Minimalna i maksimalna godisnja vrijednost se dobiju na
1
175
4. -
2
3
Pribti±na prosjetna sodi§nja vrijednost vodostaja, h, kako je ilustrovano u donjoj skici, dobije se iz uslova: 365
Postupak za odredjivanje linije ucestalosti i trajanja
j~
sastoji se u slijedecem: - Odredi se interval varijaeije: Iv ~ maxh - minh koji se podijeli na odredjeni broj klasa. U rje§avanju praktit-
h(d]t
~
h·
(11)
365
Ovaj postupak se u praksi provodi taka da se vJ-Si
F
n~
i
A ..
F
b
n ovnm pri_rnj eru
h
~
111
izjedna~e
r::m _
nih problema broj klasa rtjetko je veci od 30, a obitno je svaka klasa iste sirine. U razmatranoj sodin~ Tv = 420-14 = 406 em.
h
Za praktitne potrebe uzeta je gornja CJraniea najvise
klase 425 em a donja graniea najnize klase 0 em. Ovaj interval podijeljen je na N ~ 17 klasa od po 25 em. i··:
l
i·,
i
''
Za svaki mjesec odredjen je broj dana £ 1 ,j fiji vodostaji pripadaju odredjenoj klasi, i unesen na odgovarajuce
'}
mjesto u tabeli
ii[
=·l,2, ... ,N, a j=l,2, ... ,12). U cilju
(I
I
-.(.
kontrole rada mora biti zadovoljen slijedeci uslov
..l·j;-dl 0
N
2
l~l
I'
f
L 'j
nj
( 8)
50
t I %J
Idan;]
po-
40
CQ'
41
231~ ..........
>C:'
Tabe I a
1'
l
Ucestalost pojave po mjesecima fl. i [dan,;]
Vodostaj od-do [em] 1
j I
II I
I
!
I
2
3
4
5
6
j
7
81
9
I0
II
12
fl [dan,;)
danaj
1
401-425
1
I
2
2
376-400
1
2
3
5
3
351-375
4
4
326-350
2
301-325
4
276-300
7
251-275
3 4
1
5
10
3
1
6
16
2
2
8
24
2
@
~CJ
CJO 0~
-
5
29
I
I0
39
I
5
I
I
8
47
3~
4
I0
6
I
21
68
V)'t_]
-
5
5
4
jl,
82
II
151-175
2
..
14
2
18
100
12
126-150
2
-
4
I0
26
126
I3
I 01-1 25
8
3
I0
14
76-100
19
I
15
51-75
-
16
26-50
-
-
17
0-25
-
-
3I
28
.z
I
2 I,
24
10 21
31
30
3I
30
31
31
31
5
32
158
2
6
42
200
2
I0
46
246
11
77
323
1,2
365
14 16
26
30
31 ·-
I
30
j__3~
Q5
-..0) ,__-
ZZ6-250
I
~
'.)'
201-225
9 I2
0
::::..~
9 I0
175·200
T
~
":{~ ,__;;:;:
8
I
4
~---
5l
Lu-'{_J-.1
---~
0
"' f8
h
"'<,;:;:-: ~·-.
::;~
0
"'
~ ,__~
~l~
~l.l.J
-"::::..
-
::J ~· -lu
:t<: ~Lu ~"'-::
§2~ ~Q:
\2
~
c
c..':J
ln
0~0
..::: G rs
""" .§
Vi
-"'
(;;./
s;:':
I
~
"
q
::, '
~
~~
~ ......
365
~
[:: l ,
2
5 6
I
7 . 2. Trajanje T
Ukupna uCes t.
Mjesec
s
"
BROJ POJAVLJENIH VODOSTAJA PO KLASAMA I MJESECIMA
~
D lO
. "'"' oq
.c:t
g
0
q)
s
fCj1
i3 L20
43 (
42
- Mod,
M0 ,
'l
predstav1ja onu vrijednost vodostaja (sredine
k1ase) za koju je ucesta1ost, £ 1 , maksima1na, i u razmatranom primjeru M ~ 37 em. 0
'0'
§
nje, T, jednako 50%
(sto znaci da je 50% vodostaja vecih a
50% manjih od vrijednosti Me = 85 em.
I~
u.:~ . .'·
M ). 8
U
razmatranom primjeru je
{'
kazana je na s1iei
.,::;;::''!
Postupak odredjivanja tacaka za konstrukeiju 1inije trajanja protieaja sastoji se u s1ijedecem:
I.
~~:.! {i'
I,. ~.
rI
'ji·r 1:
I ;::
'<"{
7.3, U tu svrhu naertana je, pored ordi-
za odabrani vodostaj
(h = 150 em)
a..~ 0) :
lr ! 11','1
I
"-' ~
I ..,
I I
:""
'-'
i.) :J<'-q:
r
==><:
C::
0)~
<: ......
R
0~ ~ C',c
~
L.u
-.,.
:J< """'·
0
L.u
-"L
" l;.::..::: Lu tJ
"{
·~.t -C
a
~
~ l: t~
<:
~~~
""' 'U
~
§
:;
E L':'J QS
"t 8 ~ ~ 0
L...:J
I
5:;~ 8l-/'i 0 I
I
0
8
".._;
'0
S'
0
~
0t.o
I
~
I
'-'
0
I
II :8
,~l':l
I
I
I 10
7.1. Ove vrijednosti
0
'"1\
7.4., gdje je na abseisi
predstavljeno vrijeme pojave proticaja (1 dan"' 0,5 mm) . Spajanjem ovih vrijednosti dobijen je hidrogram.
\
~;'
,\
ij
~
()
V)
'i
i)
()
.....,, LA.J•:t
~!
II
QS
U]
-:: Q:: ~ t:) Q::
protieaja koje su prikazane u tabeli
\12
8;!
"'l:!U)
Vi
7.1) odredjene su dnevne vrijednosti
r1
8
"
;1;
-.Ji
koje, medjusobno spojene, predstavljaju liniju trajanja protieaja.
7.1. i
rl
@
~
Q.
;.::~ ---
Naprijed opisana proeedura se ponovi za odredjeni br6j tacaka
nanesene su kao ordinate na s1iei
"'
:-a
staja h = 150 em (vertika1a kroz T = 100 dana) dobije se tacka na liniji trajanja protieaia (Q = 225 m3 /s; T = 100 dana).
7. Na osnovu dnevnih vrijednosti vodostaja iz tabele
fl
8
~-.:-.J
zarotira na ordinatu Q. Pov1acenjem horizonta1e sa vrijednoscu Q = 225 m3 /s do vrijednosti trajanja vodo-
1inije protieaja (~1ika
I
li
II l
(1•l
[I
~
~'U
(apscisa)
Me~ 100 m3 /s
Cl
R 1-
Q::l--
100 dana ~ 27i).
Q~l90m 3 /s
~
()
-q::"-l -._
Sestarom se dobivena vrijednost proticaja sa pomoCne ose
6. Ponavljajuci proeeduru opisanu u tacki 4, uz zamjenu velicine h velicinom Q dobije se
r
~
:.:::~
"'{
!
~
O.t:>
odredi se ve1icina protieaja (Q ~ 225 m3 /s) , a sa 1inlje tra=
8
0
C::·
sa linije protieaja
janja vodostaja trajanje ovih ve1icina (T
r.t
h.
~-.,a
nate za h i osa za vrijednosti Q, kao i pomocna osa sa vrijednostima Q uz apseisu t.
-
3:':
~.Cl
1inije proticaja pri-
....
--+--+-1--
::;:J
5. Proeedura grafickog konstruisanja 1inije trajanja protieaja iz poznate 1inije trajanja vodostaja i
~
--t- t-r--r-
Medijana, Me, je ona vrijednost vodostaja za koju je traja-
II
~
r: 0
li QR "
c
I,
44
f
8. -
4S
. ~ . . . . p cedurtl l z tacke 2, tlz Uflc)trcbu tabele 7.3. dob.L]u se tra~ene vrijednost·1· pro t·l.C<:lJa, . .· . koje se mogu vidJet.L u tabeli 7.3. Ponavl jajuci
ro
.
DNEVNE VRLJEDNOS'I'I I'ROTICAJl\
Tabe1a -
Na bazi podataka iz tab 1 .. 7 · ·1 · • prate'"_ . e e proceduru opisanu u tilcln 3 (uz zilmjenu ve1icina h velir.L·nam Q) l f" . . -a ce 1n1sane su . 1 nacrtane Jinija ucestal · · . · os t l · l· 1·lnl.Ja trajanja prot.icaja k OJe su date na sl 7 ' 4' '
ZAVOD ZA HI DROTEHNIKU - SARA.JEVO GODINA POCETKA R/\DA 1909 1/0DOTOK NERETV/\
USVO]enN~22.
-
LIMNIGRAF BR. 360 - ZITOMISLICI KOTA ,0, TOCI
16.25
DAN
I
II
Ill
IV
V
VI
1111
\/Ill
IX
X
XI
XII
1
138 IJJ 125 122 119 116 109 106 1116 103
131 128 128 119 852 640 512 397 489 928
64; 7111 606 506 IJ43 408 l171 729 729 802
344 355 386 403 392 1137 408 386 3114 344
216 207 203 195 191 195 IR3 175 171 163
100 911,3 88.9 86.2 83.5 83.5 80.8 80.8 80.8 78.1
80.8 78,1 75.11 77..7 70.0 67.8 67.8 65.6 h).4 hl,2
43.2 41.6 41.6 1•1.6 111.6 110.0 110.0 110.0 I10,0 I10,0
40.0 }8.4 110.0 52.4 118.0 411.8 ll).l 11].6 40.0 38.11
32.0
613
31.3 31.3 31.3 31.3 31.3 31.3 )1.3 ]0.6
112 203 156 122 91.6 83.5 7'}.4 67.8 63,4 59.0
2 3 4
Karakteristicne pribliZne vdjeclnosti proticaja (O M odredjene su prema pr d . . ~ ·' o' Me) • . , · c · oce nrl 12 tacke 4 i n
5
6 7 8
}2.1J
928 1080 950 852 743 694 548 454 376
~ 192 mJ/s ~ c 3;~ 2 .:J m .,
9 10
o
Me
110 m3/s
II 12 13 11·1 15 16 17 18 19 20
100 867 100 1070 97.0 673 97.0 592 199 524 159 443 145 381 135 31111 128 370 ]22 860
640 554 489 1125 397 110) .370 )11l1 324 329
308 284 270 2117 229 275 221 2117 243 26J
15G 149 142 1112 138 1311 159 187 163 171
75.4 75.4 72.7 72.7 83.5 88.9 80.8 78.1 75.4 72.7
59.1l 59.0 56.8 56.8 54.6 511.6 52.4 5l.l1 50.2 50.2
I10.0 46.4 43.2 41,6 40.0 !10.0 38.4 38.11 38.4 }6.8
36.8 36.8 36.8 36.11 35.7 35.2 35.2 35.2 35.2 3}.6
}0,6 ]0.6 30.6 30.6 30.6 ]0,6 30.6 30.G 30.6 29.9
59.0 56.8 54.6 )4.6 52.4 52.4 50.2 128 100 88.9
339 308 284 256
21 22 73 74 25 26 27 28 29 30 31
116 109 106 103 97.0 97.0 252 247 195 163 142
1195
265 252 252 247 243 238 229 229 225 225
145 12R 128 125 128 122 119 116 112 JOG 103
72.7 70.0 70.0 171 12P lOA 9".3 R3.5 78. I 78.1
48.0 48.0 48.0
36.8 36.8 48.0 38.4
33.6 33.6 33.6 33.6 33.6 33.6 31.0 32.o 32.0 32.0
29.9 29.9 79.9 29.9 29.9 32.0 152 125 91.6 83.5 75.4
75.11 61.2 65.6 63.4 61.2 59.0 59.0 56.8 122 554
179 171 163 156 149 142 187 212 216 187 329
27. 32.0 37.1 52.4 4
20. 29,9 42.9 152 27.
17. 50.2 96.9 554 30.
26. 142 389 1295
Q
M
. II .·. '
STANICA BN12 PROTOKE -GODINA OBRADE 1947
P.S. 4180 km 2
'I'reba uociti da je bro" J ]· .... .• .· . J <.dsa proc:J.C,lJa za ovaj primjer iz prakt.Lcn.Lh razloga (zaJk ~· ' ·. "" ruz.LvanJe vehcine klase na so m3/s)
, ;
I
'
,.
6110 512 599 780 823 751 707 592
397 386 414 408 397
4oR 370 339 344
DAN 25. 4, NO 97.0 119 SQ 132 567 vn 252 1070 DAN 27. 12.
1947
~48
19. 324 475 8oz 10.
17. 221 291 437 6.
DATIIM
SNO
29.9
20, 10,
106
48.0 46.4
~0.0
4~.4
52.4 59.0 4R,o 44.8 43.2 1!],6
114.8 44.8 114.P. hh.8
43.2
31. 22. 103 70,0 154 R6.2 716 171 I. 211.
NO
31. 4}.7 56.6
Po.B I.
sr 117
71, )6.8 42.0 59.0 27. S\10
472
VO 1070
2~3
225 216. 203 195 J87
3,
OPTUM
12.02.
SREDNJE DEKADNE PROTOKE 118 128 148
L132
664 676
605 427 401
380 253 2111
190 155 121
7.3.
85.7 77.6 95.2
70.3 54.6 46.1
1!].0 40.3 114.5
42.7 35.7 '3.0
31.4 30.5 64.5 v
=
103 69.7 118
.620074+10
751 246 190
46
47
f(j1
u a ~
BROJ POJAVLJENIH PROTICAJA PO KLASNIA I MJESHIMA
1~8,
'-'"
I
Proticaj [m3/s]
·Ucestalost__E_ojave..E_o mJesecima ldana)
od-do 1
1
1051-1100
2
1001-1050
3 4 5
'l· ,.
'
'.~I'
,):f/·l, , l
1
·='1:1
~~;
l L l .~i
'I·
·-'
;
3
901-950
6
5
7
8
10
9
12
11
Ukupna uCest. fl
Trajanje Tl
[danil
_lja~
I
I
851-900
6
801-850 751-800
2
8
I
9
701-750 651-700
I
I0
601-650
2
3
3
12
501-550 451-500
3 1
3
401-1!50
I
8
3
15
351-400
1,
301-350
3 I
6
!6
5
t,
I
6
~01-250
1
I3
151-200
t,
20
I 01-150
21
51-IQO
19 6
i
4
I 3 12
I
1
16
2
I
2/
o-50
~u
II 3I
28
2
5
I
t,
2
9 II
2
13
5
18
I
I
251-300
19
0
31
30
31
30
3I
l/
I
291 29 31
30
_,__
~ :~
I
~'1"
u~
;.:::
O"'l
3
2I
2:~
26
;.:::-
o!:Q -.l .,,_
5
31
I
5
36
I
5 12
41
I
Ill
3
Jj
'\',.)
53
•
89
I
8
27
113 140
"'{1--
-I.I -- I_
-
~j-~'"(
---
1- ...
-------
f-
·~;<
i
;i~.w
~
i
I
-R
~ f2
I"' ,.
-----..
~I
lrx ~
~II'
a
~1[6
::-
g
-
--·----·- +
~
~ l'
1-
·~
-")~
Q:lu
'•8
188
1--.Q:
82
270
95
365
~<:
365
I
jl____
~ ~
+--+-
I
:::l
~
-~ ~·---t-----+-tt-H
_,c,
'(_J ~(J) ~
g
31
--~
1-'J:J'.,I
67 80
Sl
"
1-----
tl)::::::
21,
30
.. - I
1---+---!--
0
'-1: ..__'
2
2
--·--
ll) -.l
6
4
UH-
-C -1
---
-~
-,r...:
a ;2
~
trrrt--J~L~,
0
''*15 ._,_
__,~
><
··--·--·-
+---~
Ci
-----+..------+~ "'
4=[-=c~.
__
....-:(~
I
3 2 3' 26 31
+-
5
2
551-600
2
2
3
I
3 I
2 0
2 I
II
17 18
4
7.4.
951-1000
7
13 Iii
_l
I
3 I
22
l,
2
M" esec
"
Tabela
s
iK
Lu
'<
J
"a
-'<
Ci
----·---'-·-
:?: Lu
--
-.J
R
~ lu )
0.:
Cl~ 6 E
~
R ~
8 CQ
S ''
8lO
S ...,,
8......:}'
8 0')
8 1"'\.j
8 <--
°
a'a
··.··"'. hli
'"·r ! ,· ,
.,.
.-··;
49
Jf
48
RJESENJE:
ZADATAK BROJ
8
l. Osnovni statisticki parametri uzorka za negrupisane podatke
Prosjecni godi§nji proticaj r.Vrbas na proEilu vs Danja Luka za niz od 30 godina dati su u donjoj tabeli. '
Tabela
. I
I
n
Go~,"~
racunaju se po s1ijedecim obrascima: -
88
1960.
lOB
82
1961.
82
1947.
87
1962.
101
1948.
119 ~1
1963.
91
1964,
ll5
1950.
82
1965.
112
l9Sl.
100
l%1),
BS
1952.
100
1967.
fJ5
91
1968.
~')
19')3.
1954.
I
87
1969.
111
19 55.
127
1970.
129
1956.
lOS
1971.
86
l9.S7.
B4
1972.
%
]_ 9 5 fl.
~3
1973.
ll4
] r)
59.
~raCuna ti
stiC~k.t::
a) odrediU vjerovatno
sraOunati
q 3 tako
da
vjerovCl·tnot~u
~
ii
Q
Koristeci se zadatim uzorkom (Tabela br. 8.1)
za duzinu niza
N = 30 dobiju se slijedece sume N ;:;
I
Qi =
2964
Q~
298520
i=l N
I
z
=
~
i=l
Vrijednosti statistickih parametara su:
Q=~ 30
98,8
1
36(298520)-98,8
s
2. Normalna
r!(.J,;q
J= 3
P f0;.;. Lsn]=
d) Odrediti proticaj povratnoq perioda
podlije~e
13,76
2
~ 14 98,8 = 0 ,_
=
(Gausova) funkcija raspodje1e vjerovatnoce data je
izrazom
gdje sa
0,1
Q
.?
T
P[x..;,x]
~
=
~ 6
F (z) a)
p[n~7o] =1-r[n~70] 'l
7n
zl
2
dt.
e
?
'1
~'
J-f9r
= P [ Z .; z J =
p[70 .;() ~ uo]=
<1
!'!:-'
u~
t2 'L
r
~
(5
i S. Za standardiziranu promjen1jivu
z
I
J~
=
e ·-
iG zamjenjuju odgovarajucim procjenama iz uzorka
50 qodina.
sluc'ajno uromjen1jiva () r>od1ijeze Gumbe1o-· voj funkciji raspodje1e, odredlti vrijednosti zahtjevane pod 2.
?
l
~
F (x)
3. Uz pretpostavku da
_l(!J.'c)2
X
~?
r[7o,:;o.;1lO] je
Q~-
.i!
i=l
pa rame tre uzorka
2. Uz pretpostavku da slucajno rromjenljiva () norma-lnoj Eunkcij i raspo
b) sracunati
Oi
s
cv
- koeficijent varijacije
cv osnovne sta ti
VN
standardna devijacija
Potrebno je: l.
N
:£
N i=l
s ~ ,(~
1946.
1949,
·-
I -
1945.
1
= -
0
- srednja vrijednost
8.1.
l
s
-n
=1-F(c:)
(ql)
l
70-98,8
J:T;76-
·-2' 09
tr··
~,.· ~ '.
M
1,;1
so
.,
za z 1 = -2,09 iz tabe1e pri1og br. 2
•.I
= 0,0184
F(ql)
.1;
=> P(ql)
51
= 0,9816
P[Q .;130]= F(q )
Za
2 '
,,
g2 =
li
I... I I I I I I I l l l
lJo 22
=
F(q 2 )
!
'·!
g2-Q
q
130-98 8
=-s-=~
0,9883
2,27
5)
= 0,02, F(q ) = 0,98 =9 Iz tabele prilog br.2 z=2.06 5 = Q+zS = 98,8+2,06·13,76 = 127,1 m3/s
5
3. Gumbelova funkcija raspodjele vjerovatnoce data je izrazom: . -[t-8]
1J(q2)
= r[x,;,x] =J e -[~] e se ,u i oi =. 'll:/6 '{176 zamjenjuju ;J(
,, i
F(x)
;1:
1(,,
dv ·-
dt
8
=t'-
0,577d-
-00
','r
I
~(q
gdje
Qi
iz uzorka
q
Iz crteia pro1zi1azj
P[7o,
1 -F (ql) -p(q2)
Na drug.t nac.tn
0,9599
P!)o,.;; Q "'l3o]
P [Q ~c:r ]
3
q
= Q+
zs
= p -_ll 1·• ~· z
'Il =70
iz tabele prilog br.2
J z.
J -_
= 98,8-1,28·1~76 81,2
2
e -t-e
-t
cit
F (ql)
o,ooo28
==;, ~(q ) = 0,99972
1
m3;s
q2 = 130
F(q J 2 z
2
=
_1~
o,ooo1
Povratni period je dat izrazom
-
0,78·S(ql-Q+0,45S)
s-
4 J = 0,9999 =>
. (130-98,8+0,45·13,76) Za
z
F(q ) 2
2
= 3,48
slijedi
.(
1
so1
=
= 3,48
=
0,9699
iz tabele prilog br.3. ==l>
<(>(q ) 2
=
0,0301 Iz crteza proizilazi
f(q}
Za T 50 god.
l
0,78·13,76
3,7209
1 1 1 T=ifiXJ=~=~
=
-e-z
+ 0.45·13,76) = -2,10 2. 10 F(z) = e-e 1 = 0.00028
=
-2,10
P[o;c;uo)
4
~ qs! = T
e
l 1 1 =0,78·S(ql-Q+0, 4 S S) =-,;o-,~7"B'·~l"J"--,7"""6( 7 0- 9 B,S +
Za zl
P[Q ->'150] = 1-P[Q,;, lSo] = 1-F (q J = •ji fq J 4 4 g 4 = 150 m3 Is z = q4-Q = ~ 150-98,8
d)
(X- (1- +0 , 57 7 · 0 , 7 8 (') )
P[70<;;Q,;;l3o] =?
0,1
P[Q ?o1So] = ?
Ffq
~ 8 e;
P[Q;,70]= 1-P(Q;c;70]= 1-F(ql) = i]i(ql)
odak1e s1ijedi
c)
o" 0 ,
F(z) a)
z : : : -1,28
3
odgovarajucim procjenama
predstavlja Eu1er-ovu konstantu.
F ( '1.2 ) - F ( q l ) = 0 , q R 8 3 - 0 , 0 18 4 = 0 . 96 9 9
b) p [Q "'g 3] = 0 ' 1 za
Y= 0,577
a
Za standardizovanu promjenljivu 2
.;lJo]
Q
S,
p [700::Q,;,l30] = l-F (ql) -~ (q2) =
·~_¢1'!2)
Flq,! 0,0.2 7n
98.8
130
= l-0,00028-0,0301
q
=0,9696
11 ;.i i {!' ,, J
(
52
_;'
I ,4
b)
#
P[Q,q ) 3
·~
za
·:1
l
d
53
= O,l
= 0,1
P[Q.;q 3]
; ZADATAK BROJ
iz tabele pri1og br.3
z = -0,845 I
9
za srednje godisnje proticaje rijeke Mi1jacke na vodornjernoj stanici Sarajevo, za period od 1947-1976 godine, date u donjoj
odak1e s1ijedi
tabe1i, potrebno je: q 3 = 0, 78·z·S +Q- 0,45·S =- 9.07+98,8-6,19 c)
P [Q:,dSO]
83,54 rn3/s 1. Sra6unati osnovne statisti6ke pararnetre uzorka,
?
P [o ;;.1so]
2. Odrediti ernpirijsku funkciju distribucije proticaja,
1-P [Q.S 1501 = 1-.F (q4)
=
3. Ernpirijsku funkciju prilagoditi teortjskoj norrnalnoj
ijl(q4)
(Gausovoj) 3
q 4 = 150 rn /s
;
z
1
0,78·S
4
distribuciji vjerovatnoce,
4. Izvrsiti testiranje pri1agodjavanja teorijske distribucije
(q4-Q+0,45 S) =
1
0,18·1J,76(150-98,8+0,45·13,76)
vjerovatnoce empirijskoj funkciji, 95~ koriste6i pri tom x 2 -test,
za stepen obezbjedjenja
= 5,34 za
2
4
=
5,34
iz tabele pri1og br.3 ~~ ~(q
F(q 4 J = 0,9953 d)
4)
T
Za
=
1
TG
1
i'[x;, x]
1
T = 50 god. slijedi
·Ji(qsJ
=~=lo= o,o2
Za l(q 5 J =0,02 slijedi:
tj. F(q 5 ) = 0,9R iz tabe1e prilog br.J
i
-
i!n3!s]
3' 59 !1, 78
1957.
4 '92
196 7.
5,70
1958.
5. 71
1968.
6,96
19 119.
l,, 75
1959.
7 ,IJ8
1969.
6,96
1950.
3,98
1960.
4,48
1970.
7,90
1951.
lj.
42
1961.
3,q7
1971.
4,90
1952.
6. 17
1962.
6,26
1972.
3,64
1953.
3.99
196 3.
5 '81
1973.
1954.
5,311
1964.
6 ''•5
1974.
3,42 1 •' 95
1955.
8,68
1 .........
~ S"
z = 3,'89 odak1e slijedi
Godina
19118.
19'•7.
= 1-F (X)
f)
[m 3Is]
Godina
[m3/s]
= 0,0047
Povratni peri.od je dat izrazorn
0
n
Godina
I
5. 7 J
- _[
o,6K
I
6,1,1.~
I
·-
,-
g
lol/o.
1976.
I
4,u~
i
5.,211
I
--
RJESENJE: 3
q 5 =0,78·z·S+f")-IJ,45·S=41,75+98,8-6,19=134,36 rn /s
.1. Osnovni statisticki parametri uzorka racunaju .se prema obrascima za· negrupisane podatke:
l
N
6
=
- Standardna devijacija
s
=ri-; , N i=l
- Koeficijent varijacije
cv
- Srednja vrijednost
'N ::J:
0i
i=l
s 6
Q~ l
62
54
- Koeficijent asimetrije
55 'l'abela
M3
cs
Koriste6i se uzorkom zadatih srednjih godisnjih proticaja (1'abe1a broj de6e sume
9.1.)
z
za duiHnu niza N = 30 dobiju se s1ije-
30
Q. = 163,47 l
2 Qi
X
30
943,86
i=l
.x
l=l
Q3
5755,66
l
Vrijednosti potrebnih statisti6kih momenata u odnosu na ishodiste su: l
m1 = N
I.
I
_x
01 =
30
30
_x
J.=l
1=]
30 _x
Q1
N _:z.-
- ~ m3 - N
1
1 30 Q 1 ~ j(J _2. l=]
30
m2 =
I I I I I, I I I
30
l=l
1= 1
163,47 = '1.45 I
2
3 --
Red. br. l
30 i=l
1
30
30 _x 1=
943,R6 =• 31,46
,.
-
-·
r.
575=>,b6 - 191,8::>
I
Vrijednosti potrcbnih centra1nih momenata su: 2 2 M2 = m2 -m 1 = 31,46- 5,45 = 1,76
Proticaji po rastu6im vrijednost. Qi [m3 /s]
Q2 l
Q3
2
3
4
Empirijska vjerovatno6a Pe q]
to.,%]
1
5
l.
3,42
11,69
40,00
2,30
·-·
3,59
12,89
46,27
5,59
~
3.
3,64
13,25
48,23
8,88
4.
3,97
15,76
62,57
12,17
5.
3,98
15.84
63,04
15,46
6.
3. 99
15,92
6 3. ') 2
18,75
7.
4,09
16,73
68,42
22,03
8.
4' 42
19,53
86,35
25,33
9.
4. 48
20,07
89,91
28,62
10.
4,75
22,56
107,17
31,90
11.
4,78
22,85
109,21
35,19
12.
4,90
24,01
117,65
38,48
13.
4,92
24 '20
119,09
41,77
14.
4,95
24,50
121,28
45,06
15.
5,24
27,46
16.
~1,
l6
I
143,88
48,35
28. 7J
153,99
51,64 54,93
l7.
5,70
32,49
185,19
18.
5' 71
32., 60
186,17
Vrijednosti statisti~kih paramela~a:
lO,
5,79
33,52
194,10
61,51
Q=m 1 =5,45
20.
5,81
33,75
l% ,12
64,80
21.
6,17
]8,06
234,88
68.09
22.
6,26
39,18
245,31
71, JR
23.
6,44
41,47
267,08
74,67
77,96
3
M3 = m3 -3m 1 m2 +2m 1 = l91,8S-3-5,45·31,46+2·5,4S
s=(M;=1,l2 cv ~ = 1 • 32 = 0,242 Q 5,45
~.22_
C s
= MJ = = 0,552 s3 1,32 3
9 .l.
s3
]
1,27
I
I
58,22
6. 45
41,60
268,33
25.
6. 6 8
44,62
298,08
81,25
2 6.
6,96
48,44
337,15
84,54
27.
6 I 9G
48,44
337,15
87,82
2 8.
7. 48
55,95
418,51
91,12
20.
7,90
62,41
493,04
94,41
30.
8,68
75,34
653,97
97,69
163,47
943,86
5755,66
2 4.
I
I
30 2.-
i=l
I I 1
56
57
. 2. Vr j_jednosti empiri j ske funkcije distribuci je sracuna tee
u tabeli
9. l.
P
e
(kalona 5)
[Q~q]
=
su
prema obrascu Aleksejeva
~-100[%] N+D.4
= P
.4. U cilju proviere kvaliteta prilaqodjavanja teorijske funkcije raspodjele empirijskoj funkci.ji pomocu
(q) 0
Q < 4 m3 /s 2. Q od 4 do 5 m3 /s
l.
m - redni broj posmatranog proticaja q
3"
N - ukupan broj proticaja u uzorku
4.
Vrijednosti Fe(q) su prikazane graficki na slici u formi tacalca.
= P[X~x]
X
1
r Gif21r-
•
e
-
.
( t-fL)
2
/262 dt
Q od 5 do 6 m3js Q od 6 do 7 m3 /s
3 5. Q od 7 do 8 m /s 3 G. () ::.. 8 m /s
9 .l.
.3. Normalna Gausova funkcija raspodjele vjerovatnoce definisana je izrazom
ProraCuni vezuni za testiranje provedeni su u tabeli 9 . 3.
Tabela
o
I
z
z
=
zj
f
vk
11
2 e -t / 2 dt
-() '311
-"·'J8 - - - - -ro,>JR_ 0279 0 367
0 '112
-- ... ---
- 1 , og
4
--
P(z),
gdje je:
~
~
gdje su (L i G procjenjeni iz uzorka sa Q i S. Za normalnu raspoc1je1u poznato je da je za P(z ) = 0,1587 1 zl -1, odnosno F(z 2 ) = 0,50 z = 0 i za_F(z )= 0.841l 2 3 z3 l.
I, 17
I
11 ,P, N
f
5 ___1_1, 1_4 ___ 6,87
6
rt Lo , q[IP, lw" 0 " q2JI
z
ili aka se za prnra~un koristi standardna norn1alna ruspodjela. P(Z <;
for-
mirano je 6 klasnih intervala proticaja.
gdje je:
F(x)
.x 2 -testa,
I, 93
' 0,663
o~296--
.I
-----
0,878 0,215 . o. og5 0 '9 73 ~- ___ _:_ -0,027
I
2
(ft-~
e
6
7
-. 2· 8ft]~4___l __1__
- ~0~~ 11__1-~5 =-~_[ __3_
R
0,185
4-5
0,0116
6-7
1
0,253 0,0411
7_-:_8_1_5_ .-' 8 6
)0
2,297
8,88
6
6' 115
7
2' 85
2 -- - - - -
30
od-do
ft
----
0 '81
I , 000
Za broj stcpeni slobode
-··-
9. 3.
.
P[Q..;q] [ %]
z
,,
()-()
Q =
0.2.
zs +
raspodjele
g0je su: K
f
15,9
-1
4,13
50,0
0
S,4S
84,1
i)
(, '77
~
fi
broj klasnih intervala
2
broj parametara koji definisu funkciju raspodjele s1ucajne Dromjenljive () ~5~
i obezbjedjenje dobije se ro<';to je
~
Pril~qodjavanje
srednjih ju6im.
iz tabele
(nrilog broj
5
,qs = 7,81 "'-
(ft-fe)2 --~
2 2,2q7<:.Xo,gs
7. 21
normalne funkcije rasoodjele uzorku datih
godi~njii1
I I
J
v=K-p-1=6-2-1=3
TaLela
2
proticaja moie se
s~~trati
zadovoljava-
I I I I I
I
S8
60 Napomena Vrijednosti iz kolone 4 tabela datom obrascu za i Za
i
=
l
=
ova vrijednost se odrecii
[o " Za i.
I
I I I I,
I
'). J.
ZADATAK BRO,J 10
ra6una·jLl se prema
2, ... ,5.
q
6 lz ohrasca Pt.[[];.." ~fJ
I]
Za srednje godi~nje proticaje rijeke Mi1jacke na vodomjernoj iz obrusca
stanici Sarajevo, za period od 1947-1976. godine, date u zadatku broj
potrebno je:
9
1. Empir:ijsku funkciju distribucije pcuticaja
broj 2.
q
Izvr§ib.testiranje pri1agodjavanja teorijske distribucije vjerovatnode empirijskoj funkcijt za stepen obezbjedjenja 951 koristedi pri
tom
test.
R,JESEN,JF::
l. Osnovni statisti.?":ki parametri uzorka za ne'JTUpi~-;ane por1atke zr1rnjenu y = lo(j x)
1
y = -
- srednja vrijednost -
st~nrlarclna
N
2
N i=l
tlevijacija varj_jacij~
- koeficijent
s --
y. l
.N
{f
cv
y
.~
")
Yj -
t=l
s y
Koristedi se z~datlm uzorkom (1~bela br.l0.2. ) z~ du~inu niza N = 30 dobiju se s1ijede6e sume N
I i=l
y
2i=l
y
1
2 l
= 21,711423
= 16,03734
Vrijednnsti statjstiCkih narametara
I I I
(uz
rn.Cunajn se no sl i -jede('::irn obrascinta:
N
I~,
(odredjenu u zadatku
) prilaqoditi Ga1tonovoi distribuciji vjerovatnode.
y
s11:
21,70423 = 0,72347
30
s ={f~(i~.-~~73-~)~o.7;34 0,1056,9 0~
=0,141107
n,1osr,s
6L 5()
,-,
a
(3~~-
Cl
l'ti- I I I
11
-----r--,--,----~
I~
ln
§
13
r Q_ +-
.-
-·-- +--
--:--+--
_, ___-:_11_:-_L
(3-
~ i I,
I
- -1--- --1--
f---+--
:--- ~rl-~-
- - I --
-+-- -
!Jj
:;;:
l.J
~
-.l ~
l.t.J k1o ~~
()
Lw
--.
f----
)Q:: "<:( "<:!; () l/) "'
S2 ,_ a--a 0;:~-..J Q < () :'l:
ln
~!-.: -. ll)
()
~--.()
::t::::t
-... Q ~C) l-tj
t
CJ
C) 0)
~
-
-"~0
1---·-
0
I.
f---1--
~
V)
f---f-
-+--·-1-1---
---
V)
y=lnx.
__ ..._ ___ ___,_ - -
~
L
i
I
- ---
V)
\~ -
\
..
z CJdje su (H y i
f]lf-0
j
~
[ o/t"JJ
~
b rtt:J/lOCid
"'
"'
c"
2
~
Z]
Sy) •
0,50 z 2
=
0 i
za F(z 3 ) =0.8413
l.
~P jhyj
Z
c-.
l"' 1 1519
s
O,GJ779
0,7£347
"'
84,1
l
il
= z · S+y
-1 0
:; I"
y
Y.:X
:JO I 0
I I I I I I I I I I I I I ~
G y procjenjeni iz uzorka sa IOCfQ i s 1. og Q(y i
C)
. "
-
y-,uy Gy
1
()
\=2
-
=
= -l, odnosno F(z l
z
"
~--\m"' _, ~-1-l::.F J_ -
pri
Tabela 10 .1.
,1\, -- . ----~- - ~
--~--+-.
(iliy=log:x)
Za nornralnu raspodjelu poznato je cia je za F(z 1 l = 0,1587
Ot
I
dt '
0emu je standardizovana promjenljiva:
\Q
\
26 y
C.)
__
~ ~e
CJ
~-=~-l~ ~ ~~tli~ ~- ':I~
f----l--~-
1 I I ~
o
-
-··
1--+--~
f--+----
---
CTl
-~
+- -+--+--
~
l
djeli , koristt se standardna normalna raspodjela N(O,l)
) . L.=l--~ ~~~ -+--- "'
m1----t--:;; ,.,
I
-
-·--
-- +-
0
--fl_-••••
-
R?l---f----+---1--+-
CJ
,,
&;
+---
Ln
~!;
I
, __ _
?
Za prilaqodjctvanje empirijske di.stribucije Galtonovoj raspo-
(_jVl
-
If)<
ll)
____ ,____ _
Q:"'C(J)
Q
U)
--- IO
C)§;:
~
.
.---+- -+ - -~- -+- -+----1 ~ >"'
tn'~a-a
-"'t_ _.·-~r~t-~=~ .-.•. ~t~ l-=tt:~: + . +- -
~ ~
0 0;: (.') ~
"'{
lJ) ll)
-
~
-<( "'\ /;)
-.J
'-..l
y
P [Y..: Y]
I'(y)
gdjeje:
--1--t------131
-1---t--
<::"'"' l"-1
f\J
0}
funkcija raspodjele vjero(t-f ) -
8t
-
(Galtonova)
vatno6e definisana je izrazom:
-+--!~
:;;:
25
1.1) '-.]
lcl
·<
!:);:
1~
~ ~ i! ~0
---+-+-1---
+-----
--1--+--
,-~-"~ ~I ,,
[,uqaritamsko-normalna
o,R?.Yl~
(l
lOY 4,15 S,29 6,75
J. Vrijcunosti enrpirijske funkcije dlstribucije preuzete su iz zadatka broi g num
flCl
po~to
se radi
o tstom uzorku takodje poreda-
rastu(irn vrijednostima proticaja.
4. U cilju provjere kvaliteta prilagodjavanja teorijske funkcije rRspodjele enrplrijskoj funkciji ponro6u x2-testa fornrirano ;e ~
klasnih
inter,raJ_a promjenljive y.
l. 'j < o,ss 2. y od 0,55 3. y od O,SfJ 4. y od 0,65 5. '( O
do do do do
PrnrR0uni vezani za
Q,Gn 0,"5 0 '70 0,75
testir~nje
0 r p, G. y od 0,75 do 7. y od 0,80 do n,R
8. y od 0,85 do O,Q 9. y > 0,90
croveueni su u taheli
10.
...
~
I
-··.,.....!• ~
l\1ji
~~~~- i~i
63
1,!,'
62 Tabela 10.3.
-~~{\\~ Jilli
nlri!l
jl
Tabela
Redni broj
,:_-;
J
l. 2. 3. 4. 5. 0.
j
7.
l
8.
Ji
i I
t l., l --;
J
1 i
1 i
9. ] 0. ll. l'' 13. 14. 15. 16. 17. lll. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 30 2 i=l
~I
Proticaj.i. po
rastuCim vrijednostima Qi [m3 /s] 3,42 3 '5') 3,64 3,97 3,98 3,99 4,09 4' 42 4,48 4 '75 4,78 4,90 4,92 4,95 5,24 'i' 36 S,70 5' 7l r)
1
?
log Qi = y
(log Q i)- = y
79
5,81 6,17 6,26 6,44 6' 4 5 6,68 6,96 6 '96 7' 48 7,90 8,68 163,47
0,5~879
0,28517 O,:J08l2 0'] l 4 8 'J O,l5BS4
0,59988 O,fi0097 0,61.172
0' '3')') 85 0, lfi llG 0,37420
0,645"42 0, 65V7 0,67(,(,') 0,67942 O,li'lOL'l 0,6919(; 0,69460 0,7l'l3J IJ,729lii
0,416Sh 0,4241S 0' 4'i7')0 0,4Gl61 0,47616 0,47880 0,4824(,
0,7SSB7 ()' 7'i66J IJ,7fi261 0,7fi417 0,79028 0,79657 0,80888
il, 'i 7 L 33
0,53402 0,55509
O,SfillO
O,Sl74:1
2
{)
_)H16h
1
1
0, SBlq:)
21,70423
L6,0'J734
O,fl4260
f
t
~P
t
·N
["·" _c"·6"~ft:''' . 0,70
-0,22
0,75
0,25
0,-IIJ0,60
1
'·"" -·o:;;
1,70
0,88'•
0,90
I ,67
0,07
2,_1
0' 12
3,6
0, I 00
0' 17
5, I
0. 19
5,/
0, I 75
5 '2 5
0, I I 0
3' 3
0. 068
2, Oil
0 '0117
1,111
I , 00 o
111
2 slobode y~
7 0 'Tb7 I ,7119
0,953
Za broj stereni
ft
x
2
,5
l
____o. 05 -lw.05 -1,17 0,12
e
-6
--rj
11,60
(f t-f e)2
f
6
I
6
y
od-do
--g-
I 9
< 0,55\ I
~~{~~~~i~ ·~
.t.J,I59 \o,6.5.-0.70t4 ------- - - · -----
2,1101
0,70~0~7?, _5_
0,107
0,70-0,801 6
0,875
0,80-0,85
+-·_?~+--~~~-~ o.;-~·.~:n30
I
5,647
raspod_jele
K-p-1
9-2-1
o•
I)
0,'57:248
0' 87190 0,89762 O,'lJ851
0,82477 O,fl42GO
p
O,S5lb7
0' fi24'i•l 0,63452 O,fi'1428 0,6'i537 0,68024 ()' 70997 0,70987 0,76370 0 '80"•72 0,88080
()' il095')
IPt[yq]\ tkf Y
z
0,55
4
3
2
1
•1
10. 2.
qdje je: K
e
=
9 7 -
bro·j Jc1asni h int:ervala broj porarnetari1 lco'ii
i. obezl,jedjenje 'JS't, ,95
= J.2,f.O
'
. -.,- 2 J (~ /'-'
flo~;tu
-
i z
tabele
( f -f ) 2 t f_t_ e _ ____
(pri loq l•r.
s .. 6 J- 7
<
x20, 95
1 dobi je se
12, lin
Pri1agodjavanje Galtonove funkcije raspodjele uzorku datih sred-
njih
godi~njih
proticaja moie se smatrati zadovoljavaju6im.
"~1
Napomena
ir'l
1,1
Vt·ijcrlnosti. iz kolone 4 tabe1e
10.3. racunaju se nrerna datom
obrascu za i. :::: 2, ... ,8 Za
j
---1
t1Vi1
vri }e
Pt[y.,.yJ z,-1 i
i
:!.
CJ]J(()SCa
l' t
[Y;.. Ygl
iz obrasca
~
~
65
() 4 n,
o, li:ii ,,
G
CJ'
ZADATAF BROJ ll
godi~nje proticaje rijeke Mi1jacke na vodomjernoj
Za srednje Lu
stanici Sarajevo, za period od 1947-1976. godine, date u zadat-
~
ku broj
;s
:::!
:t
G.
~
-....-r
11)
"'6
0']
Lw
~
- 'o\
::::)
0::
~
;Cl
O..ct; "'J:
~V)
::::).__
·<. (_) "J)--
-- <':
!:.;
~---
\
-
~V)
::t-,
_,
CJ
+ lo.,
8~
-1-~c-
2. Izvr§iti testiranje pri1agodjavanja teorijske distribucije
95% koristeci pri tom test Kolmogorova.
- =·i i~
- +-- -
r<,JESENJE:
1. Pearson-III funkcija raspodjele vjerovatnode definisana je
0
izrazom
--· R
.
(:)
"'"
u ·---- CJ
Q)
-
~)
--
I
j-
!---
l-...J,_
0)
I
~
~- _ ,
f-
I
-
z
J l
r[_z..,;:]
20
o
\---+-Lt-
"'(
i:H-i-1---1--1-+-+-
§
8if----
a
~ ..._ -..1
'q ~
1------1---
~
f
8-i
--r-
S!
"
-'<:
~
"'
-
~"'--'="<'
1-- -1---
+---
Cl
8
Cl
0)
c5
Cl
-1-J :.t.
u
Cl'
I
rx)
. 1- F (x)
date su u tzv.
date vrijednosti prornjen1jive u tablicarna su u stvari x 11L-1 ~ ~ u funkciji koeficijenta asirnetrije c 5 i
c,
u U)
CJ
u
x- x 0
J"oster-Ribkinovirn tablicama.
z
::::
=
1 o(.-1 -t/[0 (3';ti'(cl) t e dt,
Za prakti~an prora~un, vrijednosti ¢(x)
1--~~ 1
dt
x,
,
8l a; ())
~**
-f--
~(])
---+-1
1--1
--+-~~-r-~•J==·!-~-
-f----"--
(O
LLL~;
----JI.n
II)
0::
0
dobija se
,~~.···•r,~=~-·:: I
LX ,;;iJ~
Ako u gornju jedna~inu uvederno prornjenljivu z
In
, __
p
l" (x)
lO
'
J
](
--·-~~
G~ 1-o
)
0..
f.,.-.
-
--j-
) pri1agoditi Pearson-III distribuciji vje-
vjerovatnode empirijskoj funkciji za stepen obezbjedjenja
rn
~es
Vla
1- "'
1---l-----l ~
1---
_,_ (J);,._,
lJ
"'
«:J:Cl -.~a Lu;::,.
(_j'
c~R·I ~'~.. ~r-
g ~------
ici 1-
Q::~
t-----1 5\
I u
9
rovatnoCe. -f----
-
f---~
"")a
<<
zadatku broj
D
(J "'(
0;...:
"'
c) c)
I~ V)~
I--
Q::"'J:
-
---I
~~ -~
"1:a
~~
1. Empirijsku funkciju distribucije proticaja (odredjenu u
8;
(0
~ -~-~~
tnf---
~;::,..
~
Cl
potrebno je:
9
G
cv
vjerovatnoce ¢(x) sa
It
Q
i
S.
1-F (x), qdje su (--' i
cJ procjenjeni iz uzorka
~ .
n
\/'j'
~
~~li. :~.'
1
li
E
~~
66
J
~;j
67
\.~1 :'i
.;. n
\'!
!j!
Koristeci se Foster-Ribkinovim tab1icama datim u pri1ogu br . _a _b 4 1 4 odrediti ce se proticaji odredjenih unaprijed odabranih vjero-
i-t'
vatnoca pojave, u broju, dovo1jnom za konstrukciju teorijske
1 !,)/;·~/{ I~
il
distribucije vjerovatnoce prikazane graficJci
F(q) =PfQ.;q]
[%
i
. ~~
-s
Q =
broj 1l.l.
II
~~(Q
-0,09
5' 33
7.
8.
-0,58
4' 68
5
-1,47
3,51
1
-1,92
2,91
1:
4.
I I
2. Proracun vezan za provjeru kva1iteta prilagodjavanja teorijske funkcije raspodje1e empirijskoj funkciji pomncu testa Ko1mogorova proveden je u tabe1i broj 11.1. Vrijednosti empirijske funkcije distribucije preuzete su iz zadatka broj 9 (koefictjent
9.
I 0.
1• ,90
13 ., 14. 15 ..
4,92 4,9S 5,24
16.
5,36 5,70 5,71
17. 18. 19.
Poito je DN = maxjP 8 -Pt ~ O,OB5
20. 2 I. 22.
0
0
~ 0,25, pri1agodjavanje
njih proticaja mole se smatrati zadovo1javajucim.
4,75 !1, 78
11. 12.
rizika 5%) iz tabele pri1og hr. 6 dohije se vrijednost 0 =0,25.
Pearson-III funkcije raspodje1e uzorku datih srednjth godi§-
li I
12' 17 !5,46 18,75
5. 6.
Za uzorak nd N = 30 proticaja t nbezbjedjenje 95%
[
3,97 3,98 3,99 4.09 !J ,112 L, ,48
3.
7,19
I~
I I
2,30 5,59 8,88
9,04
o·
erovajnt_:t]
Pe[o,...q
3,42
2,72
"'
l_m3 ;s]
Empi rijska vj
3,59 3,64
1,32 Ln
_Q
I.
90 U)
Proticaji
2.
10,58
30
I,,.
br.
3,89
50
I I
z =
Q-Q
Red.
99,9 99
·~
I
c - \.,\ s· . ··'o•
na s1ici
Tabela ll.l.
5,79 5. 81 6. 17 6,26 6. 44 6, 45
22 '03 25,33 78,62 31 ,90 35, I 9 38,48 111.77 45,06 48,35 51 ,64 54,93 58,22 61 ,52 64,30 68,09 7 I, 38
z =0-0 -· 5
Pt~O'q]
-I '53 -! '41
4
-I' 37 -I '12 -I , I I -I , I 0 -I , 03 -0,78 -0,73 -0,53 -0,51 -0,42 -0 '1,0
-0,38 -0, I6 -0,07 0, 19 0. 19 0,25
27. 28.
6,96 7,48
87,82 91,12
I, 14 I, 54
29. 30.
7,90 8,68
94,41 97,69
I, 85 2,44
0,93 I, 14
3,33 5,62 0,90 3. 19 2,48 5. 27 8,06
37 46
2,35 I ,64
50 60
5,07 2,28 0,48 I ,80
60,5 62
79 79 83 87,5 87,5
6,96
7,25 8,53
23 31 32 36 36,5
0,75 0,76
6,68
I, 70 0,09 2,38 I, I 7 4,46
13,5 22
63
25. 26.
[%]
5,5 6,5 II II I I, 5
0. 27 0, 51! 0,61
74. b 7 77,96 8 I, 25 81!, 51!
23. 24.
IPe-Ptl
%]
3,91 2,62
72 71!
93 96 98,6
I
4,33 I , 04 I , 75 2,96 0,32 I ,88 I, 59 0, 9 I
I
I
,-,
613
69
~I
Z/\DATAK BR. 12
1----+----l-- -
[ .•. [
. ---
I 1
lu
~
·;
~
E f"-1E
1---1-
lu
ll)
":;
li)"
..--." ' "' U
"\
~Q::
f--+--+····-+----f--.
'<:(
~ll)
-~----~_t~ -
ct~ Q~
1--f--+- -- . -
_
Ol;l
____ ,________ ,__
~d
1--+--f---
gn::
1----+- -+---1---
~
~0
3?8
1---f--1---1--- -1 - ---
~~
I
1 - - - + - - ,
"1:
I I
-
-
I i
I
I
_ __
j-
+---+-
-~--1-- --+~-~- -
1--~
-u
-j::;;
~~
----H~
j
+-
-·~: ·--~~
- ~I ~
-
~
u
~
C)
a
i
I
\J)
f _();: --
I
;:j
l
I
I
~-~~
"
~
Vi
[(,JESc:N,JE:
l. Prosjecni koeficijent oticanja,
t---t=
--~
2
.
wn 'l
Q)
('..
[s,tw] b
definisan je
I'P
w!J"
=
p
n
pp-
p
br
n
( l)
br
rr qornjem izrazu, neto nadavine, pn
(kalona ()), su odredjene
k<10
osr ·lG5·2'i·l600
· L
~
F
F
clilt6 u [ln 3 /s]
'Jc1'ie je
vo
I
-
,
F u
<1
·LO
-3
r
mrn -
J
(2)
lkm 2].
r ttJ 110/id
\I)
12.1. nanesene su
(nezavlsna promjenljiva X ordinata),
Y.
-t- -
(()
je da se u koordinatnow sistemu nanesu razmatrane vrijedno-
sti. Na slici
o~akle
l
ax.l
+ b.
ta~ke
anscisa)
se vidi. da je
Ovaj odnos se n1oie predstaviti
--~~---~--
-:-:-_L__j_ 0)
(kolona 8)
2. lJ cilju stic~nja uvida u oblik zavisnosti nn-Pbr' preporu~lji
--- . --I T ---- - _j
~-·---
'l,
izrazom
Y -
IJ
(neto padavina)
ukupnlh padavina,Pbr"
0
-1
1
Q
....;
i
n
ll)
~
2. Ustanoviti odnos izmedju prosjecnoq oticanja
j)
1~---1
Lj
1.
-~
lo
7.
Potrebnu ·j e:
---r---___1_____
~
-I
na sliva dati su u tabeli 12.1 - kolone 4, 5 i
--
-t'·.~ -~ I
---·--r- ·-
lJ..J
--
ca utvrdjene su prosjecne godisnje bruto padavine, Psr' u slivu koga kontro1isc stanica. Naprijed navedeni podaci, kao i povrsi-
~
1--+--+---+--- 1-- 1---- ·--
C)::::..
-r---+---J
--1--
;[;ll)
11
---r- ····-·
1---+---+--1- I - -1--- I -1- _ 1 _
~<
•
Qsr' na 30 vodomjernih stanica. Takodje, za svaku od ovih stani-
I
'--
1-
I
,g-,)
i----1--1----i--1--1
i't~
visegodisnjih nizova utvrdjeni su prosjecni godisnji proticaji,
---1------ --I
~
o· a· \I)
II
!Cl VJ
[5o -)::::..
-f~-
~ ~-
-J
Na teritoriji 1ii!illi Bill, na osnovu provedenih hi.dro1oskih obrada
__ I - ---
- -- --
1----1~-1--
~
-
i
~
tra~eni
_l__l__L '-1
-"---'--_~ , C')
odnos linearan.
jeana~inom
1,2,, .. ,r.
Kori:;teCi se raspoloJ.i·vim pocJacirr-ta Plo),e
jednac.ina:
sa koordinatama Pbr
i Pn (zavisna promjenljiva
( 3)
l0 ~.e
napi sati
sistem
71
70 u jednacinama l-30, vrijednosti x TABELA 12 .l
Red. br.
1
Vodotok
Profi 1
2
3 Zvorn i k
1
1.
Dri na
3. 4. 5.
" " " "
z.
6.
l ,r ;!
26.
TrebiSnj ica
27.
1(1
28. 29. 30.
: l. •'
;i
l l
" "
Spree a l
' l ' 'I
i·
Bosna
7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
"
Ukrina Vrbas
" " "
Una
" " " "
Lim PraC.a
"
Neretva
" "
Qsr [m 3/s]
Fs 1 iva 2 [km ]
T
17730 B. Basta 15190 13610 Visegrad 4290 Foca Bastasi 3310 Doboj 9620 7600 Usora 4150 Zenica i 120 Re 1jevo Derventa 1380 D.Selo 5090 B,Luka I 1,no Kozluk I 26 30 H.Skela 1350 B.Dubica 92'30 B,Kostnjnica 8880 E.Novi 8190 Bihac 3160 ]II I 0 M.Brod Prijeoolje 3030 580 Mes iCi 1960 S.Rijeka ZavidovfCf 1390 Vol ari 1150 I I 30 K1 j uc 1580 A.Most GranCarevo 1370 Jablanica 2930 I 31 0 Konjic 250 Ulog
p
neto
pbruto
[mm]
[mm]
5
b
383 357 339 190 159 152 127 71 26 I5 I 12
681 74 0 785 1397 1512
7 1240 1290 1350 1890 1980 1040 1070 1125 1250 900 1240 1;-60 I?20 I 120 !250 1275 I2B5 1460 I 5SO I 380 975 920 950 I 350 14 00 2390 2380 1800 I 860 1870
498
527 539 731 344 693 710 672
95 56
542 739 8zo
23
216 231 213
820 950 1068 832 435 386 1108 960 993 !865 1870 12111 1286 1261
95 48
30 ll
zt,
18 35 36 94 81 115 54 I0
-l
L l
ax
i y 1 predstavljaju osmotrene 1 + b je vrijednost zavisne siucajne
1 1 promjenljive procjenjena na osnovu poznate velicine nezavisne
Koef.
slucajno promjenljive x
oticanja
C· = y. -
'?
~
l
r--
y. =
za predpostavljeni odnos, dok je
1
greska modela u odnosu na osmotrenu vrijednost
l
(vidi donju skicu) . I
0. 55 0. 57 0.58 0. 74 ll. 76 0.48 0.49 0 .liB 0.58 0.38 0. 56 0.56 0.55 0,48 0.59 0.64 0. 61, 0.65 0.69 0.60
0.45 0. /12 0.43 0. 71 0. 71 0. 78 0.79 0. 69 0.69 0.67
y
Y;
yi
U
pt~ednjem
za i
X
x;
,f
ststemu jednaCina poznate su vrijednosti xi i
yi
= 1,2, ... ,30, dok su nepoznati parametri modela a i b.
se Uobicajeno jc da vrijednosti nepoznatih parametara odrede uz
}_D c 2l.
uslov da je suwa kvadratn greske ,
n
2 (yi i=1
n
o
(y.-ax.-b)L
)L= 2
i=l
l
1.
i= l
~ 2 2. £. l i= l
E
minimalna, tj.
min
( 5)
Vrijednost ZE 2 , bice minimalna ako su parcijalni izvodi po 1
Vri jednosti i z ko I on a 4 J 5 i 7 preuzete su iz knjiqe 11 D.Srebrenovifa. Problemi vel ikih voda 11 od
nepoznatima a 1 b jednaki nuli, tj.
aE aa =
'I
y =
(sracunate velicine) ,
yl
ax
+ b + t1
--
yl + El
y2 =
ax 2 + b + 152
=
y2
yi = ax.~ + b + f.l
=
1
+ £2
y n = ax n + b + f n
yi +
A
c.l
Yn + t:n
z
l=l
n aE ab = - 2 L.
2 (y.x.ax l - bx ) 1_ l ' i ( Y L - ax i - b)
·-
0
=
0
( 6)
( 7)
i=1
Iz A
n
2
jednai'ine (7)
s l i iedi:
( 4)
b
= y - ax
( 8)
72
73
n j!'
gdje su
y
X
i
yi
i=l
n
Kombiniranjem jednacina (6) n
!
a
=
i
r ~
.
.!:.11 Z
xi
c
a
(8) dobije se
.sy S = r xy
L X. y i - xy C XY i=l l = -y- - .Sx.Sy n 2 -2 Sx
n
n X X. l i=l
L
n:
X
x
- x
=
155172
_EL
1.015
~
.s~
b = y - ax = 877 - 1.015 x 1402 = -547
.s sX
Trazena zavisnost data je s1ijedecom jednacinorn
_y
(9)
Y = 1.015
(10)
547
X -
i=l
odnosno gdje su C
xy prvi rnjeSoviti centralnl momenat (kovarijansa), s x i Sy standardna devijacija promjen14Lvih X "i Y, a rxv koeficijent kore1acije izrnedju razmatranih promjen1'jivih X i Y. Ve1icina -1,.r
xy
.;;I
i nj en a apsolutna vri jednos t
Y (~to
I r xy I
indici ra
(ll)
[rn = 1.015 Pbr- 547]
gdje se vrijednosti Pn i Pbr uvrstavaju u mrn. Ova zavisnost je predstav1jena na s1ici
12.1.
je j rxyl bli~e jedinici veza izmedju X i Y je cvr~ca, a §to je b1i~a nu1i veza je slablja).
Na bazi naprijed provedenih proraCuna mogu se izvuCi slijedeCi
Iz datih podataka (tabe1a 12-l)
- Ako je oticanje Pn ~ 0, proizi1azi da je Pbr = 547/1.015 ~
Cvrstinu veze X i
=
42 070
..,.
=
63 582 200
2
..;;___X. l
:::y.J. = 2 :Ly l
su odgovarnjt16e sume:
= 538. Ovo ukazuje da se sa stanovi~ta ukupnog oticanja, na
Zx.
1
sra~unate
razrnatranim s1i
26 ]05
= 27
fl61
~ =
n
5
1
.!:. :£ xi = JO n i=l __
{]._-; fn
X
y .. n
-' V ]0
=
w·26305
=
U
= Y
{l
'J'Jl mm
J.)OL.,
x_n
2--= ·~2 Y
2.. n i=J
r
_Ef__
c s Xs y
x.y. 1.
1
XV
1'!5172 391·400
2
A·P
_
400
~-4154J5S0-1402·877 3 () . -
Q =
155 172
0.60 x 1400 = 840 mm
tada prosjecna godisnja zapremina oticanja iznosi
wn
877 nun
{fn·27 Bfil 713-877
n
c xy xy
=
n
ProsjeCno
n 1 =/i
0.60;
- Ako sa teritorije SR BiH u prosjeku otice 60% od ukupno pa1ih
P
l=l
s
1=
I
voda, tj.
-., { ·1- r or:-'1"'700-1402"'
1
yi
0.625
8- tabe1a 12.1, odak1e se dobije
1402 mrn
42070
=
i=l
zn
1~6; =
§to je prib1ilno jednako rezu1tatu koji se dobije iz ko1one
Na bazi ovih ve1icina sraCunnte su cdijedece vrijcclnosti: )(
1.015 -
713
2.'x 1 yi = 11 543 550
J:l.
orijentacioni zak1jucci:
n
= 51130·10 6 ·0.84 = 42.95·10
sekundno
42.95·10 6 31.5·10
9
9
rn3
oticanje iznosi
= 1363 m3/s
odnosno specificno oticanje je q
=
Q X =
2
27 1/s/km .
= 0.993 Gdje A = 51130 km 2 predstav1ja povrsinu teritorije SR BiH.
I I I I I I
[\,
I
74
~~
75
~~~
:;j ZADATAK
BROJ
1
13
Za godisnje swme padavina na kisomjernim stanicama u slivu rijeke Vrbas do vodomjerne stanice Han Ske1a za period od 1956. do 1970. godine date u tabe1i 13.1. odrediti prosjecne padavine na slivu: 1. Po metodi aritmetickih sredina 5/,ka 12. /.
Po metodi Thiessenovih po1igona
2.
3. Po metodi izohijeta
~
< 1500
r_----rf~-rrr P,, r
1,0!5
~ 0,99] a
R,JF.SENJE 1. Prosjecne padavine po ovom metodu odredjuju se po slijedecern oCrascu
P.r- 5£7
N
.z sr
I
Pi sr 1000·1
I
I
I, I I I I I I
I
godi~nja
£lrosje0na -
jem godina)
500J
- na osnovu podataka iz tabelel3.1.
I
I
1 STAN!CA
+---,-j_ -- _)__,__.
0
suma padavina na posmatranoj stanici
- ukupan br~ ki§omjernih stanica
K!SDMJERNA
0
gdje je N
(zbir padavina za period od 1956-1970 podje1jen sa bro-
N
I~
pi sr
i=l
Psl.
500
1000
1500
200()
2500 BRUTO PADAV!NE
PROS_!~CNE GOD/ N.JE
fbr{irmJ
PAOAVINE
P;,[mm]
IJAJCE
1
957
SIPDVO
j-----973
'5ARIL~!
Vo·
VAKok KOMAR BUGClJN
r---1095
929
10S5
828
KALIN KUPRES aflfnVSK/);.VAKU PRCZOR FOJNIC;
91.8
1310
1198
1060
10W
1288 _j'
12
z psl sr
i=l 12
' pl
sr
12681
~-
1057 mm
2. Prvi korak kod ovnga metoda je odredjivanje Thiesenovih poligona, cime se svakoj kisomjernoj stanici odredjuje pripadna slivna povrsina (Thiessenov poligon).
7(-)
77
Procedura konstrukcije poligona vidljJva j0 so a osnova za konstrukciju su simetrale sjedne ki§omjerne stanice.
du~i
Slike 13.1. kojc spajaju su-
povr~ini
Prosjecne padavine odredjuju se po obrascu: N i
z
i::::l
Psl sr
p
.sr
l
N
z
N
z
1~1
f.
Fsl
£. _.l_
p
sl
= 1357
km 2 ukupna povr~ina sliva
E1ementarne povrsine i ukupna povrsina sliva odredjene su pi { sr
qdje je,
planimetrisanjem.
l
i=l Pi_ sr -
·f.
pi - srednja visina padavina koja odgovara toj elementarnoj sr
Detaljan proracun prosje6nih padavina po ovoj metodi prove-
prosjeCna oodi.Snja suma padavina no nosmatranoj kiSo·
mjernoj stanici
(zbir padavina za period od 1956-1970
den je
iznosi
tabc1i 13.3., a prosjecna vriiednost padavina
tl
P
sr
~
1039 mm
podje1jen sa brojem godina) , na osnovu podataka lz tabe1e 13.1. N
-
ukupan broj ki§omjernih stanica.
f..l povr§ina pripadaju6eg 1~iessenovog po11gona . f 1 /F 81 - teiina pojedine povr§ine koja pripada ki~omjernoj stanici u odnosu na ukupnu povr~ i.nu. 2 F51 :::: 1JS7 krn ukupna povr.Sina sliva..
Detaljan ororacun
prosje~nih
r,,
padavina po ovoj metodi prove-
pripadnju~e povr~ine
den je u tabeli 13.2., a
sliva i ukupna
s~ planlmctrisanj~m. Prosjc~nn
povr§ina sliva odredjene
sina padavina na sliv odrediena r)o ovoj rnetodi P sr = 1018 nun 3. Kod ovoqa mGtocla prvo je potrehno konstruicoati
vi-
iznosi
lzohi.jetp
(liniie koje povezuju sva mjesta istih visina nadnvina).
u~lo
Prilikom konstrukcije izohi.jct:a
,e sa Pt'E!dpostavkom
da je promjena vlsine padavina izmedju dvije stnnice 1inear-
poslu~ilo
na, §to je
zn
lznala~enje
taEaka sa odredjenom -
unaprijed usvojenom visinom padavina. Nacin konstrukcije izohijeta vidljiv je na slici 132. Odredjivanje prosje6nih pndavina za sliv vr~i se na osnovu karte izohijeta (Sli.ka 13.2), a oo obrascu: N
z psl sr
f.
i=l
l
sr
N
z
Zf. l
f1 -
pj
1.~1
f. l
F
sl
pripadaju6a elementarna izohijeta,
P
1
sr ,
povr~ina
gdje je
s1iva izmedju nojedinih
I
J
f
Donji Vakuf
9.
en
~
N
~
0
~
N
~
;:;
r
\..0
533
725
Bco
217
121"
~
~
~
o
~
w
N
~
o
o~--oo
a-.
~
i
N
..
..
..
WCO-V1 N-.....J J::-0
-
I
94 7
NOVJV10\..00N--'1...>.10'\.-.....J
"'
"I_, -·
~"'!-:-"
<
3
::J
ru
-·
3
'D
ru
"
"
c
(h
::J '-•
-·
IJ1(
D...
~
'"'
ro :o
en N
<
"' 0 -<'D -· ..., OJ
rD
a;
r;:
"""' rD
D...
< -· '-· r;: -· :::::l ,-,- '-· llJ
'--·
::::;a; -·-·D...<
-· o...u N '-· a; c D... 0
922
980
1098
890
986
1400
849
925
N
lJl l
u
1032
I 150
I2I I
1014
1055
3
Vl
767
Boo
722
790
967
700
956
I 0I I
65~
"vro
813
813
I I 73
958
300
87~
860
946
746
1246
783
756
I 12 5
I0I2
1057
N
0~
i 747
950
1042
Q"\
N
-
~
0
OVJ
0
Cl
\..!)
0'-
"
Cl
Cl ~
-
~
0
CO~COV.J
0
~
OJ
1...0
CO -
0
:J
0
•c:)
1034
__,
N
0
V1
N
i
i
1
_..
N
__,
00
.L:-
1466
'
91 0 /I I 78
I
1534
N
co
N
-...
c
< -,::-
:11
-·
-· ('h
., "
V>
8981I
I
.
N
0
v 0 <
"'
N
~
"
()
'-
~
Q:)
-
0
-,_ ~
0
__.
~
,_
0 ~
N--'\..so..JO"'-I..DCOVJUJCOI...D\...o..l~
~-~~~~~~0~~-
3
~
~
~
"'
"''
7'
f;
~-
"
:J
"'[_, lf'>-•
"""'
CO-•
"[-:-" ':
g_
VI -·"""'
<
{./') - · QJ
•
-
~
'D
' '
0
v
"'
'-·
<::J::J
:::l V llJ ill
7'
c(h -· :::l
"ro" cQ
:::J
0
1/1(
-·11.1.,
:J
sr
929
1055
973 957
"o-ro
-j
I 31 0
828
948
1198
1060
I 04 0
1288
p
1095
'D -u " 0 -D-<
()
" .," "
::.~.
"' 0
rt
I
-t'llD '--·
-· !'0
;;-..-
I 090
I I 60
1154
~
i
1350
I L165
960
1185
1397
1358
1153
2445
1200
~ (./) u_,
r=l
' 1026)1100
'
1025[ 1013/1390
I
1200[119411420
966
i
I
1
I Boo / 991
I
93011267
1328; 1126
I
1261 1211 11397
12s2l 1336
742/
!
i
I
i
875! 1060
1000
I
I 0681121 8
~~~~::s~~~~::_g
\..D
,
I
\.OCOO\.DOI...0\..0 ..t:- N •...n N \..0 -.....J \J1 :::OCOV1I..DV11..Ai'"-..!
~
-.....J
0
~
~
D
'"-...!
"'
"'0
c
3
1050 i
!COO
1222
902
I 376
1265
835
I 115
12!4
780
-;-coco..c-wVJcoo
N V1
~
0"\ 0
..r::0
OJ ·::0
0
\._.>.)
0
co
<
I 12 0
I 1186
I
I I I2
1970
Tabela 13. 1.
1080~1877
mnJ 1966 '19671 196811969
D::::<::XtDA I!> c D c
9~1
330
"'c"' "0 ""' <
<
reo
1179
117C
!240,]132
398
I
I 024
110711023
!
I
II
I
967 I
1203 1 1061
982
I 097
(7\
0
I
1057
1305
1412
1252
1965 I 242
a d a v l n a
N
Vl
VJ
"'
n
:J
~.
"
'1
98L
92C•
1085
H
I
~
1098
1007
963
1007
-j
I
I
""
803
990
I
I
c...J
3
!
934
1002
~
i
p
r 1961 1962 r 1963} 1964 I T 1100'9501200, 1120 1668
J
suma
1soo I 1190
1108
..c-lr-' ~COJ'.J:""I..AINO'V1V1'-.DN
-
Nv.;oQ"-.IJ1 J::-CC>\.11-.....J __.
::OOVlV1
I
1246 1 1092
1320
I 2091
6J.,z '
112
1007
676
I 020
'-> N 0'\ -.......! V1-COU) V1
~
j ,
I
7661I 716
Boo
857
862
s1,s
1050
799
833
I I 00
I 130
94 7
IOOOFo~
~ ~ N ~~~~~~~I§ ~
919
898
914
66 3
870
1274
656
782
1090
1001
910
766
G o diSnja 1957 11958 1959 1960
,..
w-·...:;,cooN'-.JN\..."J::OV1 Q"-.UJCO'-.JN'-.OI..AI:::ON
a; '"
~
~
~
Kama r
8.
~
f
7.
J aj ce
Bugojno
6.
~ipovo
Ka I in
5.
12.
G.Vukovsko
4.
Sari C i
GorGj i \/akuf
3.
11.
Prozor
2.
I 0.
Fojnica
stanica
1956
,.. t-
I< i 5omj e rna
r-
1.
Red br,
~,i!j;·rr
"'
-..J
I
-..J 00
•,c
SIPOVO
JEZERCo
9730
~"" "'"
964
961.
.e:::-:o-.·=:=.
'
._
/
"
',
kOHAR
/ : ; ; 1055
~'"'
~'---'-==--=---=----=-=---=-~
5
_-:-__·~~---·-:...:~~-·-:;-:-=-=------'--- ·-----'------·..c__,_
I
l
'. /
i
\
'i
I. I
;+-(
// /X \
GO.lj10-t'mn"\af
'· ' ·
/
""· -~/' I\
\.
A
948
\
·, . /
(
.\
'
\
.i.
/
I
I
\./I
.
'\
\
/1040
/
j
5432!0
'-{
;%
MA LJ
. , . _ _)
OPROZOR
101.0
.
PRIPADAJUCA POVRSINA SLIYA !7ME-DU !ZOHIJETA 1150-1200 mm
I~ / ' ::;:;;bj..,/'·,\1,.,--~~~.-..,.. . _ i ;,1198;'-t>
,///?/
<<:>·:;~
;o
\
/ f}
·-~------ ------~----------~--
-------~, PROZOR
''"
\
i
/J ) f.y-1
:f---- \
1/ ·-\-...../'""-. //i
·-·~-~/ '·-· ' ,....-· .....!\ ' ·y/ .\. j MAKL'::i.EN
,•
//
"·~.--~ ----~
' ' / ' 0>'5)(0
'I
\. - -. ".
f~--(_
;
1_/~
/
t·-·1
~.
'
//\\;(\
\
,,~
~!9 ·,,_ .,~·-....o '~-;;;.-<(
\<;\
(
·-..........::_--.. . h
""-
'!-')
I ~-
)I)
\..
/
/ \//-
'/
"'··
I" . K ..\ "'-~·, ( v // I,, \ '\--1··~-r
AKUF ooo / /
·_;..)
f\'ARTA IZOHIJETA SLIVNOG PODRUCJA RIJEKE VRBASA OD IZVORA DO VS HAl-J SKELA
13JO~·
'Yikuf'RE:s
·.:...v/,/
D
0
""
00
1288
0
FOJNICA
....
F~JNICA
P0771 THIESSENOV POLIGDN • POVRSINA kOJA PRIP.oDA ~ 1
;o
>;:?'?,N ~ "1~//·~.~
A/ \ ·x
i.... ....-,.<.,~·-~~
I
~
,/""'')
543210
.~/A./·~/"'\.~ . "·. . / . · -:\~ ,r / ~\.. .· •. ·. . '
"'\'1.
' .,
-,,
i
I
·~-~="'~-.=-:;
KARTA THIESSENOVIH POLIGOiVA SL/VNOG PODRUCJA RIJEKE VRBASA OD IZVORA DO VS HAN SKELA
Sitka 13.2.
,
'
I
' 'yt
Stika 13.1.
,._
,',Z_~,..>~----~·--··-·-~-·--- .~
0 J.IRJ
.,':;:;;~""'-••,l ...._>ok•,,_,-:•-:><"--'•:-
973
SIPO~>
JE:ZE:ROo
0 MRJ
----~--
~~~------....----. ..r--~..................r---~..----....----...r--~. .----~.--------~------------~----
l
I I I I I I I I I I l l I
·--=-:.:·::::-.-::--;-
82
83 ,;t ..
~~ ZADATAK BROJ
a.
Na osnovu analize ombrografskih traka za meteoro1osku stanicu
~
11ostar u periodu od 1958-1982 godine
(N
25 godina)
formirane
su serije maksima1nih bruto kisa, h,
trajanja, tk' 10, 20,
0
dobivene su vrijednosti osnovnih statistickih parametara pomenntih serija koji su.__dati u tabe1i 14.1.
~~~ .c•-
N N 0
.
1'--
cor
..or ..or
r---
...::t•-
0
"' "' t..n
~
C"'l
1"'\
f'l\
N
N
Lf\
....::r
ll'l
"'
en
0
v;
N!::
'-'
en
m
.-...
-er
""
..::t
~
..or
(Y\
a
Lt\
f"'l
N
N
~
-
0
0
0
t
~~----
14,31
20,~~---
--
-r
devi~aciJa s !J!m2j
4,, 89
..-.
----- - -
-~- --- -- ~_llg__ .
~0 L_6-0- -
Standardna
3,80
--------
25,01
I
v;
cs l,'57l
0,242
0,8611
7,36
I -·-·----;;-269___ 0,265
w
~~~ ~!
L.n ~
C
<1)
__j
~·
Potrebno je: 1. Pod pretpost..avkom da se uzorcima rnaksima1nih kisa da till trajanja pri1agodjava Pearson-III funkcija raspodjele, orlredit. i no.crtati
inten-
t:eo.rij --
"'c "'
u
"'
~}---t-~-
ske funkcije raspodje1e intenziteta kisa datj. h trajanja.
N
-
N
m
00
N
"'
-
-
N
~
0
"'
N
N
0
"'.
'-
0.
Q)
'-.0
~
w
0
0
~
1
N
'"
en
Q)
N
N
N
I
I
J
1'--
0>
lf'\
,..._ N
N
fV'I
cl
NFI
...::t"
"'
0>
0
"" 0
en""
"'
!"\
N
·- .......__.,__,.ot ·~I >B•~
rr,
Q)
c
m
\-HI
\1)
....._,
·>
.c
0\
N
U>
co
,-.-.
NC'JN I '
..0
0 l.f\
.,0
'-.1)
U\
M
c:>
CO
~
('{l
(¥)
!'<'~
N
N
,.._
M Lf'l
0 0
N
r--~
CO
LJ\
01
m
m
o
N
M
N
,..._
tk' i vjerovatnoce
co
w N
0
'"
c:J
'-0
'·0
00 U\
t.f\
0 N
N
~
Li"\
_::t
co
"'
...o
0
...s
,..,.,
...o
m
M
'-.()
m
r-..
l.f\ 0"1
,.-...
0
\,{)
("\
~
r
N
a-.
N-.:T
Mf'\[V\CQ
0
<"')
0
w
00
l..i)
'-.D
LJ\
Lr'l
r--._
M
fl)
>
~ c
- ---------
U"\
Q)
c
000 1
\J\N
-S
r--r---
'0.
"'
0\
r--CO tO 0
" "'=o
w
'""..or
-.::r
NUlU\01
N
-..{)
,.._"'
;::; N~
"'
'lJ
m
--
l
=o
1
I
m
m
~~
-o
""'. "'~::; ~ r~ ~ I 0
'
0\
0
I
e'
""
NCDL.f\'-.0-=t"Ul ...::t 0 1..(\ N Li\
N
r--
0
1,.,..,
~!
'"
.c
0-.DO>N...:l"CJ(Y', L.f> ...::t" -S CVl M N
.......
N
odredju-
"'
.D
..
--r
I N§ ~LL!
~
4 .--~_mM~....::r_o_co_l
~r-;;~-Nr--
·-
.. - -
oo~
(V\
je vrijednost standardizirane proin-
'" =o
'>.£)
"""
( 1)
.n w
CD <0
(¥1
U\~fVIr-
.
~
1---+---
z (P,C 5 )
0
..,.,_._
NC"l-
z (rfi 'c s J • s
I
=o
0 0-! ,..__ 0\ _::C'-1 cY\ I'lJ\ 00 lr\ C'-J....::t01-.DNN....ON-SOI
Rjesenje:
+
0"'1
"' LJ\
~
2.2. Visina kise- trajanje - povratni period javljanja (HTP)
~ rjl(~)
'"
------------- - - -
'D '0 altO
P [H.;;> h], odnosno povratnog perioda T (h) je se pomocu izraza
.=r 0
m
Lf'I.-Ol--. ....::r -=t ("\
N
·~(h) ~
0
0
....:r
trajanje - povratni period javljanja (ITP)
1. Visina kise, h, odredjenog trajanja,
' -"' ~
N
I
..
....:r
...
"' "'
~~ ~:;::! ~
2. Konstruisati s1ijedece zavisnosti:
U gornjem izrazu
~
l
'-£)
..c
--
N
m
2.1. Intenzitet kise -
r--
...
,_._ ,o
----..---
"'
;:I-t--
,_._
N
....., c
0,0975
f -- o~3540,260
-"' ;e;r~
~ -~ fB< ;=~---1 u
Q)
Ce
--
"'I'Q;~l
r:m',
0,292
- - ' - 1 " - - - ..- ... ..--1--
z.itet kiSe raznltl vjerovatnoCa javljanja,
--:1'
Q)
-t--
Koeficijent asirnetrije
0,265 0. 253
- 17 ~. 30,-61_____ 8, 25 1
h
0>
-o u
Koeficijent varijacije Cv
6,34
29,52
h(
N
N
"'
14.1.
Statisticki~arametar
30 -----------·------
~
I
u; "' "''N
Srednja vrijednost h fJ/rn2j
r·- _
""
m
<'1
10-~ - - - -
co
0
'J'abe1a
L __ _ _ _
o
N
1---J--
'"
l2.
tk [minutal
C"-4
0
1
!-
"' "'
OIOON....:rNNt'-...Or---l"'lrvt\.D-ZrO ~ C:0 ..;r 0 li< " : l..r\ 0 N \.D ~
;: 'I'rajanje kise
a:,
~---~~------·U:. o_ r-:. c;.
"'
30,
40, 50 1 60 minuta. Odgovarajucom statistickom analizom podataka
f
..,.en
~
"'
m N
m"'
r--.-
"\.{)
M
0\
-:7
('<')
w
r'<\
'-0
u.
-"'
N
'.0
0
0 1
en 0>
'.0 N
"'0 c
•
-o fl)
jenlj i ve za Pea.cson-IJI raspodj elu, ko ja zavisi ocl vjerovu tnoc'c', 1\-j-j
ilb CJ 1::::
L
o
o
o
o
o ~ m m m m m m m 01
/
i
I, 84
1~ '>1
\j
iltl
~'
l
koeficijenta asimetrije1
tabe1i, pri1og br. 4-a i
4-b.
Iz prora6unatih visina ki§a po obrascu (1) njihovi intenz.iteti i [11m 2 /satj dobiju se: 1 (
[mm/si1t}
i(~),
Sra6unate veli6ine lntenziteta kl§a, ki§e, tk' (iz kalona 4, 7, 10, lJ, 16 Slici 14.1.
IM
!~!
iz tabele 14.2,
k
--~'
i\~
. Ove vrijednosti se nalaze u
2.1. Zavisnost INTENZITET
j
za data trajanja
19) nacrt:ane su na
SUKA 14. 2.
ZAV!SNOSTI: INTEZITET }(ti'!£- TRAJANJE-POVRATNI PERIOD
KI~E-TRAJANJE-POVRATNI PERIOD, dobiju <~ (i)' "' ronst, odnosno
se kada se za unaprijed izabrano
l~'i
povratnt
period
T, nanesu vrijednosti intenziteta razma-
tranih trajanja kise, tk' i kroz njih provui:'te linija, (slika 14.2). Ove vrijednosti se, za prora6unate vjerovatno6e (proizvoljno odabrane), moqu pro<"itati
vjerovatno6e koje ne postoje u labe1i, vrijednostl mogu pribliino o<"itati sa sllke 14-l. 2.2. Postupak za konstruisanje zavisnosti VISTNA
i(~)
se
zavi.snosti
su prikazCJne u :.lici
til. l.
150
KI~~-TRAJANJE
-POVRATNI PERIOD je ldenti<"nn kao u ta<"ki 2.1., s l:im sto se, umjesto, i_ (
200
iz tabele 14.2. Za
r=
~
&100 ,_..,
}tx :;;:
90
00
to
l~
I--
;:;
60
Lu
h
~
50
40
]()
70
20 TRAJANJE
30 KI~E
tk
Gnmuta]
4())
50
60
I I I I I I I
I I
-----·-----------------~----- -~- --~----
Ck
09
------~----------~------
09
I I
L
I
I
-~ -----~--~- ..,.--~--~;:---.,.-;-~- --~-------~-~-~.,...·--·- ---·~-~--
__
a
a
'"' "
a
~
() s -"'
"',_§
Lu
;;:
>V)
:2
Lu
g:
a "( ""--, q
10'00
f1l
irk
>;
---;
f1l
~---;
---;
~
- - -
rosoo
01
oz Of 07 OS
09 Oi
oe 06
~
001 ro:-1 ~
Oti ~-~-+----+-~-~--~-~-+~----~-+-~~-~---~-~-~-~~-~~---~ozt~ a
~~---!
091
,, !" \ ! ·..· . ·. .·
89
38 Povrsina s1iva do vodomjerne stanice iznosi F 5 =50 l0fl2. Visine kisa u ko1oni
ZADATAK BRO,J 15
tabe1e 15.1. predstav1jaju ukupnu visinu kise
(3)
na slivu na kraju odgovarajuceg sata Kao posljedica kise koja je pa1a na sliv rijeke Bukovice ll.XI
palo 9,8 mm kise).
1979. godine, na vodomjernoj stanici Podgaj registrovan je sli-
Vrijednosti za proticaj vode u koloni (4) odnose se na kraj odgo-
jedeci hidrogram oticanja (tabela 15.1):
varajuceg sata. Na osnovu podataka osmatranja kisa i proticaja vode potrebno je:
Tabela 15.1. Vr i jeme pojave Datum
Sat
Bruto kisa
(I)
(2)
0
3,30 2
4,30 5 5,30 6
l
li
l
Bruto
po'ave
k i Sa
Datum
(4)
~
0,25
2,30
4
Q
Vri jeme
I, 52 1. J7
0,23
18
1 ,21
0 '2 3
18,30
1. 09
19
I ,00
I ,51
en
3,84
19,30
-
7,34
.-
X
I
20
4.
,68
17
I
Odrediti ordinate JO-minutnog
I
l
direktnog oticania od kise ovog trajanja povratnog perioda 100 qorlina.
Prethodnom analizom niza podataka 2-satnih padasu slijede6i. pararnetrt uzorka:
vina utvrdjeni
0' 91 0,82
Pbr = :J4 mm s = 10,6 mm
c
73
70,30
0,
21
0,65
pri
Pretpostaviti da koeficijent direktnog oticanja
21 '30
0. 56
8,59
22
0,50
m
8
7' ]ll
22,30
o, 1,7
"m
8,30
23
0 ' 1~5
Rjesenje:
9
7,00 6j8
23,30
0,43
l.
9,30
5,83
24
0,40
1-
hidrogramaw
kise pribliinog trajanja 2 sata, odrediti maksimalni proticaj
9,41
~
jedini~nog
S. l\ko je. poznato du maksimalne proticaje na slivu izazivaju
7 7,30
~
s
=
1.28
unalizi paduvina koristiti Pearson I I I funkciju raspodjele.
iznosi~=0.60.
Za odredjivanje hidrograma direktnog oticanja, prethodno je potrebnn izvrsiti razdvajanje baznog i dlrektnog oticanja. :!edna od metoda razdvajanja zasni va se na pretcpostavci da se
33
0,30
0.
1
0,36
recesioni dio krive bidrograma oticanja (kriva iscrp1jenja
4,1o4
1,30
0,34
4. 05
2
0. 32
sliva) moie aproksimirati funkcijom: -d (t-t 0 ) Q(t) = Q(t 0 ) e
10
5. 31
1D, 30
lj
11
11.30
,86
12
3,70
2. 30
0,30
12,30
3,37
3
0. 29
13
3, I 3
3,30
0,
4
0,26
O> ,... m
gdje su: Q(t
27
13.30 14
2,87 2.,62
X
N
'•. 30
0,25
11+. 30
2 ,IJO
5
0. 2 3
15
2, 2 I
5,30
0, 2 I
15.30 16
2,02
6
IJ,20
1 '83
~
I
) 0
Q ( t)
~
I
nati koeficijent direktnog oticanja. 3. Odrediti ordinate jeclnosatnoq jedinicnoq hidrograma.
9.'•4
-
i
I
17,30
r. en
I
I~)
(3)
0,24
X
l l
0 [m3/sl
16' 30
~
9,8
pb
[mm]
l. Odrediti i nacrtati hidrogram direktnog oticanja. 2. Odrediti ukupnu visinu i hijetogram efektivne kise, te sratu-
6,30
~
!
J2)
Proticaj
0,211
0,55 8,2
Sat
fm3;s]
(3)
2
3
Proticaj
pb [mm]
l l l
(od 3 do 6 sati ukupno je
~
I
-
proticaj vode u trenutku t 0 proticaj vode u trenutku t > t
-
koeficijent recesije
-
0
'ICI
91
'i
r
,..,
~0
~2
sc
1--4
1:! i\; 1:!6 ~
2
4
l
6 ~
Zatim je ta0ka.C spojena sa ta6kom B 1inearno (s1ika 15.1).
8 t~ot,]
Ordinate hidrograma direktnog oticanja, Qd'
(tabela 15.2 - kalona
5) se dobiju kao razlika: ·-
Q - Qb
Qd
J_
gdje je: 0
-
ukupni proticaj
( tabela 15.2, kalona 3)
Qb - bazno oticanje (tabela 15.2, kalona 4). dobijeno ocitanjem
10
ordinata sa slike 15.1. Hidrogram direktnog oticanja nacrtan je na slici 15.4,
,t'
8·
I~
~ ~
~
j
[n~~~ -I·--~-
7
6
-~ ~-::=+-~~c--
~
Q
-,
~~--~1-.
2,0 ,._
~5
7,0 j 0,8 +--~+,
4
1I ·Ij
:::3
'\
0,6
Cl
0::
0.4
ijt
()_ 2
-I
'
I i ~ :!
02
r'
=rt;j--t=-i
r ' p~-.t' T ' l ' Y. l18 20r 22 24 2 (, 6 4 8 10 12 14 16 c-~---~~~-11~979 --~ ..-~- ......~ ---r~:?-77 1979-J
Ot
2
Slika 15.1.
-
07
17
c
78
79
20 27 17.11. 7979
22
23
=r= 24
1
2 3 72 17 7979
[,
-
-:=!
Slika 15.2.
Pod ovom pretpostavkom recesiona kriva koja predstavlja bazno oticanje 6e na dijagramu log Q-t biti predstavljena pravcem (slika 15.2). Vrijeme prestanka direktnog oticanja (ta6ka B na slici 15.2) je ono vrijeme kada zavisnost log Q-t poprima oblik (tacka B). Hidrogram direktnog oticanja
je odredjen tako §to je recesiona kriva prije pocetka direktnog
cJdje je >vd zapremina direktno otek1e vode a F sl
oticanja (ta6ka A) produiena do ta0ke C, tj. do vremena koje
Zapremina direktnog oticanja:
odgovara pojavi maksimalnog proticaj~ na hidrogramu oticanja.
wd ~zad·"t ~ 110,58·1800 ~ 199044 m3 (gdje je ,Jt
L
odredjuje se kao ko1icnik:
wd Pe ~ Fs1.
krive linije. U ovom slucaju direktno oticanje je prestalo ll.XI 1979. u 22 sata
ki~e
2. Ukupna visina efektivne
=
0, 5 sati
=
1800 s).
povr~ina
sliva.
i ~~
n I' i','!
,,,,
;,1
93
92
Iz predniih vrijednosti proizilazi da je visina efektivne kise:
Tabe1a 15.2.
\ Ukupn i proticaj
Vri ieme poiave
Sat
Datum
Bazn i proticaj
Q
Di rek tn i proticaj
Qb
Ordinate jed.hidr. u(1,t)
Qd
rm3/sl
3 [m /s]
[m3/s]
[m3/s/mm
l
t-fJo:- :_flt=- ~ ~!:-~=J- -L _' • -- ----
~-=~ ~ ~ --=~ ~--_:_}-If=~
4,30
0,55
,__5_
---
0,22
1,51
~
=-
-
(-,, .
------~
l
I
l
;::
\ ,,
"j'
-
'I
jl
l
)'1.
l l;;-
l
_
11~30
.
13_
I
LL
X
3,_1_3 _-
J;UO_
:2_,8}_
_
-
r
Ll) ______ L.SJ_:_:
voljen uslov n
,.n
0~37
==
1 .s~-
. 1,65 -~O:_,j_i[-::_:-::-:=l,lji __(J_,j~_ - - 1,29
-
= 3, 3 mm
je broj blokova kiSe,
=
3,3 l/m
2
u ovom prinrjeru n
3, a
j
ej su
int£~nziteti.
0,50
proJ.zilQzi ~a
--a:~~==
______ o,41J-_:_ -· 0,39
__:_ur=
Q2 _ _
-1----~--.-.-.--0,47 --.------------. -1-----0,47 .
---·- E~=~ --~- ----~~r-~=---= 1 110,58
'•l
2]
mjer takav da ]{i§~ iz prvog sata ne uzrokuje direktno oticanje, 3,3 mm iz slike ls.J. daklc ib< f. Nadalje, obzirom da je P
~--
z
i i ej ilt = ~ j=l j=l
o;6z
0,69
!!~30 ~ --:~~ ~~.:~! ~=t:~~~-= ~-~tH -- -- -'----- --
~t~rr-=~f~~-
tj. j_b,;;,f, U tom slucaju visina
efektivne kise clobije se probanjem, pri cemu mora biU_ zado-
Treha t1o6itJ da je raspored padavina u vremenu, za dati pri-
o;Bs-
- ;i 30_1 _+~~- . _-%;'Po- __ o0Q7___ ___ . o0
1
od kapaci1ceta infilt.racije f,
D,7T
rb:o_:_- __ :Ji=-=-=tn - := ~~§~
2,30
menu, P'Jd uslovorn ria je intenzitet JJruto padavina, ib' ve6i
~:~~
=-~~ci~·
o~32.. . -:2,81 -_5,~3]'_---- 7,54-
------11---- ·--'-----
t=
\.....
0 '3 36
satni
1;;>6__ _::--
_ _JL_ -~- _ J.2L _ ___ v._.~t:z_ _ ___ ()_,TL__ _ 0,14 _ _ _1_8J:JO ___ _J_,_Q':J __ _ o_,_11.3__ _ ____Q_,_6_L ____ __()_,_20_ _ __ __J_'l_ ______ j,OQ __ _Q_,_l;lj_ _Q_,_26______ Q_,j_Z_____ __ 1~_,J_Q_ ___ _D_,91_ __0,45 . OL1!6__ 0,14 -
I
9,8
cJdje
u1_: ___ o,J6
_J.§,3_0_ _ _ _!_,§_ll___
3., 3
e
pb
1,14
2,05
_
1~Sb -1,69--
4,16
0,35
2,0_;>
p
3,76
___ 11j,JQ__
__ _
p ·p e sl pb.psl
0,29
2,28
~I!)_.]O
direktnog oticanja je:
F~r
0,)11_
L-_15_
2
--t~f
_]lj_ ______£,§'2_
__ 2,_,1,Q._
\'lb
3,3 l/m
-~:1;= 0,28
4_,411 11,05
2,28 _2, 05
____ "'S;sll-
---J1_3o_:_~~_:_-B7=-.-J:~~~
Ji
~,-
0,24
o~2s
_JE2~~=-]Jf-
:I
l
1,22 _ _6, 7J _ 6,1 I .
5,83
wd f}d =
3,3 mm
se pretpostavi da su guhici na in£iltraciju konstantn~ u vre-
2_._0_ _
§:~~ _ ___ ~:~-~---
_ll~22 _
6,38
9;3r
Koeficijen~
0,0033 m
Jedan od nnfinil da se odredi hijetogram efektivne ki§e je da
___Q.,2]_
___ fL_ _
f------B,lD_
199044 60·10 6 -
Fsl
1)
---"----
1,29
-tH--
\c/d
'j\
-I
qdje je Wb zapreminu ukupno pale kiSe.
;~-x;= ~==r1 F- ~=ftr~ ---~Jt-~ t;;;l
-
0,33
1),22
t~bo-_:_-
---
:1
33,50
2
stl
samo padavine iz 1lrt1g~g sat~_ u~estvovale u
formiranju cJirektnog nticanja. Pod usvojenim pretpostavkama, padavinc iz tre6eq
~ata
direktnog oticanja
(ib~
nlsn nCest_vovale
t!
forrnira.nju
f).
Vrijednosti efektivnih padavina po pojedinim satima date su u tabcli 15.3, odakle sc vidi da je trajanje efektivne kise iznosilo l sat.
rl 94
95 Tabela 15.3.
Vrijeme pojave Datum
Sat
I
(1) (h
"'m
.-j
<2)
3
I
Bruto kisa _ZPb
ib
[rnm]
mm/sat]
( 3)
)~
r_
[mm/sat]
( 4)
r--~=+-{-f 6
e
( 5)
o,o f-------
H
.-j .-j
_j_
___'l_,B_
e
W0
=zu(l,t) x 1800
F l.xlmm 8
[mm]
33,50 x 1800
~ 60 x 10 3 m3 /mrn
(6)
0,0
2, o 6' 2
10 !-----+---+----!
_D_.__ll__ 3' 3
L 1,6
zl
Zt>
Za kcntrolu ordinata jedinicnog hidrograma mora biti zadovoljena relacija:
:
9
--~-------,
9,8
3,3
3,3 8 +---+-----i
6 Q
~ c.§s
l
c -, ;j
~
l.tJ
'1fl
4
;:::: 3
:0::
,____
4
0
0::
3
Q_
1!1
1---.
~
2
1---.
~
01 2
5
6
ll. I
4
I
8
6
I
12
I
74
16
,1 -~
78
20
22
t
~
J
sal1
SUka 15.4.
sot,
Slika 15.J.
J. U tacki 2 dobiveno je da je trajanje efektivne
I
10
ki~e
l
sat.
4. Ordinate jedinicnog hidrograma za kisu trajanja T < T 1 (T 1 = 0,5 6asova, T = 1 cas) odredjuju se pomocu S-krive.
Ordinate jedno6asovnog jedini6nog hidrograma, dakle u(1,t),
S-kriva je hidrogram direktnog oticanja od ravnomjerne kise
od izo1ovane efektivne kise takodje trajanja 1 sat, izra6una-
beskonacnog trajanja ciji je efektivni intenzitet i
vaju se tako ~to se ordinate hidrograma direktnog oticanja podje1e sa Pe Qd (t)
u(l,t) = - P - -
= 1/T e (dakle isti intenzitet koji se odnosi na prethodno odredjeni
jedinicni hidrograrn i
koji je iznosio l mm/6as). Ordinate
S-krive odrede se uzastopnim sabiranjem ordinata jedini6nog hiclrograma, tj.
e
Prora6un ordinata jedno6asovnog jedini6nog hiclrograrna dat je u tabeli 15.2. ko1ona
t
S(T,t) = S(T,t-T)
(6), koji je nacrtan na s1ici 15.5.
+ u(T,t) =
Z u(T,~) 7:=0
Za razrnatrani primjer ordinate S(T,t) su sracunate u tabeli 15.4. kalona 4 i
nacrtane na slici 15.5.
96
·'. ft. r!
-·~
'',
97
Napomena: U praksi se ponekad,ukoliko je •.r ¥ l, s (T,t) svodi na vremensku bazu T = l. Ovo se cini na slijedeci nacin
I
~
r r r
I
f f f I
r
1.28
i uz upotrebu Pearson-III raspodje1e dvosatne padavine vjeroOrdinate T 1 casovnog jedinicnog hidrograma se dobiju tako da se od ordinata S(t) oduzmu S(t-T ) uz odgovarajucu korekciju 1
Iii.
l~
=
S(t) = S(1,t) ='r·S(T,t)
·',
· '.~ ·_
34 mm 10.6 mm
cs
'
r~~ . . ·
Pbr
s
intenzi teta padavina. Nairne, razlika S ( t) - S (t-T ) predstav·· 1
vatnoce iji(P) = P[max Pbr;;. P]= 0,01 = 1% (povratni period 100 god.). P
1ja ordinate hidrograrna direktnog oticanja od kise koja je traja1a·T 1 a ima1a je intenzitet 1. Da bi ovaj hidrogram predstavljao T 1 -casovni jedinicni hidrogram, tj. bio hidrogram direktnog oticanja od kise trajanja T i intenziteta 1/T , to 1 1 ovu raz1iku treba podijeliti sa T pa je konacno 1 u(T 1 ,t) = Tl [S(t)-S(t-•.r 1 l .
il = TTl
[S(T,t)-S(T,t-T
Jl 1
100
= Pbr + z(,C
5
)
·S = 34 + 3.20·10.6
z(0.01, 1.28) = 3.2 (vidi tabe1u p
e
~·Pbr =
<;
68 mm
0.60·68 ~ 41 mm
Ordinate hidrograma direktnog oticarija od dvocasovne kise sracunaju se prema obrascu Qd(t) = u(2,t) ·P 8
nalazi se skupa sa u(l,t) na
(za poznati jedinicni hidrogram), uobicajena je pretpostavka da protok irna isti povratni period kao i padavine. Ordinate dvocasovnog jedinicnog hidrograrna, pored odredjivanja pomoCu S-krive, rnogu se, u ovorn primjeru, odrediti i
metodorn
superpozicije. Ova metoda se sastoji u ~abiranju n·T ordinata T casovnog jedinicnog hidrograma, od kojih je svaki hidrogram pomjeren za T-casova udesno, uz odgovarajucu korekciju intRnziteta padavina. Dakle n l R:l "" u l1',t- (K-lJT], u(nT,t) = n
sto za razmatrani primjer daje u(2,t) =
~
[u(-i,t) + u(J,t-l)u -7"
Proracun u(2,t)
Ove vrijednosti su sracunate u tabe1i 15.6- kalona 6. Maksimalna vrijednost se javlja u 7.30 casova (odnosno 3.5 sati 3 nakon pocetka padavina) i iznosi maxQ ~ 109 rn /s.
5. Kod odredjivanja maksirnalnih proticaja od kise datog trajanja
je proveden u tabeli 15.6, odakle se vidi da su
ordinate iste kao i u proracunu preko S-krive (Tab.l5.5.-kol.7) Za zadane pararnetre uzorka padavina:
~
H tj
pri1og4-a).
Ove ordinate su sracunate u tabeli 15.5, a prikaz jedinicnih hidrograma u(0,5,t) i u(2,t) slici 15.5.
,.1.
i;
f~ l
!!
~
98
,, j
99
j
:j
Tabela
-~
15.4. Tabela 15.5.
ProraCun S-krive na osnovu poznatog jedinii'nog hidrograma u(T,t) = u(1,t)
l
Proracun 30cmin i 2-sai:nog jed]nii'nog hidrograma na osnovu S-krive S(1,t)
S(1,t)=S(1 ,t-T)+ +u( 1, t) [m3/s/mm]
I
If
4
0
0
--
-;:,
0
~~~jF( 11!_~ ~f1i ___L]O__ _ _7__ .. ___ 2,54_ _8___ f-- __8_______ z,z§ ~--~·30 9 2,05
_,_E\.L5.i__ __
__ z.Qz_
12
1 53
12,30
!-~)
17- - -... 18
--.·-
0 93 0 85
-
13,74 14,15
--
·-·-·
-
I
_J.L_~-= _..l.L_ _
---=n..i;"4_:_--_ =~-TI::Ql_
-T7-- -- ·--zr,-
-
16,30
25
0.1.50
15,63
39 a0 :31J
-/---f6;TE - - - -
___
16,02
jf-;~ -~- JL _ ~ ~-::-tit-~~=~]~~=--~
lj'
19
30
0,17
16,59
F-~~J()~ _::-3f~~=~J~TF-~===r:t1F- ~-=-
• 20 30 33 t--2]-'-"----'311 ___ -
j
.,
~1 ~.1
'1
1 j
j j
·<
0 08 16,73 -o'os---fb~ - - 213rl-- -35___ - --o~o;;-- ---16.75 ____ 22 36 - - - -- _o ______Tb,?5---,
U 10.5 .t)5(7.1-0.5} lr/1.1)-S/11-
U 12. I) •
S/1.1-2)
/1.t!-S/11-2)
0.5
3
4
__o___ ------
_
4,30
I
2
5
6
o
"
0,05 5 0 19 _ _?_.)_()_ 3 0. 60 __ 6 ____ _____ 1, _ 0_ 1 27 ~_5 - _____ 4_,_1JQ__ /----.1.,_22_ 2 •90 __(),_1_0_ _·_J ~7 6 5,34 4,00 2,68 0,39 2,47 ---,, 30-- -7 - -- T;-54-- -5;31+- c----z:zlo'-----r~20 2. 6
10,30
...
I
-=-? __
f---_ll___
0,10. 0 0,20 0,3'2_ ____ _1J,IQ_ __ _Q_,'j_ll_ - 1__.1_1]_ 1----_D_,]_~_L__!_,B_____ 2_,~/----··'-··?_1]_ 2,70
·s- -~z~~z==6.sL!.::. ---2
----~-
6~.]_~---
2.;>_ ______0_,5_6____ _l;>J~o 23
2
9 .
~ft~:----= tr--- --1~If~~~~;tt~=---~= .J.L_ _ __ 15,30
"
/1, I}
[mfs/m~
[sal!]
_ _§,)0
11 01
t~:tt\tlr~lH! ..............
~------·----
1}1
S
_=-JJ=::-:::--
8,59
~3~-~ ~-=H~~=-= ::--=J:lt_ =~~r~:~E 10
Vn;eme I
--=---L2?-~--..lill
16
__ 13_,29 _ __?_,(>]__1_,94 9,48
8,59
I 78
5 34
4 00
2 29 2 07
ll 67
ll,OI
I 32
/----8 59
I 54
ir- _ -151-~;HF==Eft~~ · ;·~r----:~ 10
13
..'L
= =-.:_!4_
§
___ zo__
-~11:Zz_:_p· JJ_,'6]__ -.:::t::lQ:= :=.~'::!F ::-=:::r::J.e
,=j~~~- ~~-~t~nn =~:Jt~--iftt.::.~~=ti= -~;~- ttl T35-
-_4_~~ 4,30
-s-30
-i9 --14;51--- -T4~i521 22
~.::-JIJFi----:
-lf;?z-- -Tz-,81 --o;~
--n;::s l--.:::-o~-=:-;::J:L.1Q_ ____:[, n
15,13
14,84
0,58
13,74
--~5-;r.o------rs~--o.s-q-
0,69
o,&2
-14,15
--~F -~ ===;t.= ---H~{l--=-:r~~ ~ ·~~ - _ 1---:r:~~ ~·~~ --16~30- -- 25- .. 16,oz - ---J-5. sc -- a'3 r:.- -+-w.Ti- ------o-:-44 f-j-y---- -- -26- - 16-Ts - 16 02 ----o)z-- -,silo- -- o39 -T7;3o____27-- -1(31--+
~L=.::..-:-_=l!l= =:-·r~::;:_I,L-=:
I~Til-1-----((26 ___
1f._63_ -o:-3-4~ IL.TI--
J'b.:;JJ-=:~.o 22 :_ -15..Jl:5:::~
1 ~~.J_l-i.~ =~i~ =jf ;~ - 1t~=~~~-;r~l---11rl wtJo o o 18 30
29
!6 51
16
0 18
112
---i9-- -30 -16'5§-- -~6'51 o 16 l--19,3o-- --- 3!. - ~65-I---T6":5'lc--o: 12 -zo-
-- "
- -" '"
35
16,75
'>:55 16,75
ru-- '"'"
-~;~0- -----w--==-r~:;r-i----iH~-c__
23-
-3s----lb,75--
16,02 16 18
---l6,31
16,65
0,24
-02---o--o, 17
c - "C1'. 05
:~:;~
~:~i
16,75
o
lb;--rsc------r-rt>-;75--o-
J--23,36 _____ 39--Ib~?S--n;~Ts
I '
r
~-~
100
Tabela
15.6.
Prora~un 2-satnog jeJin-llnog h_idrograma na osnovu poznatog u(l ,t), metodom
ad II J-
u
u 17,1)
VnJI2mQ
12. t)-
u 11.1-1 J lUI!. I J + U(l
I
[sat]
Ul2.1) P,
1-1)
161:
Z A D A T A K
Na sliv rijeke Ricine, koji do VS Tribistovo zahvata povrsinu od F = 21 krn 2 , pa1a je dana 28.09.1981. godine jaka kisa ciji su intenziteti dati u donjoj tabeli.
2
[m%/cni)
-- 1
r:j
102
Tabe1a 16.1.
2
0
~ ~~~-=~-~~-=-
30
;f
3
~
4
z~n,-- -__::r~i-~_T
5
2.~o
j .·J
7
8,30
9
2,05
Il I J
Il I
I I II I
6
!J
9 Q
1o
2 28
2
-1--:-B'b
-
------'·.
--
1 t 39 =-----~~26
I .. I 1z,3o 0
79
0
--2~54~z-28
,--4z-----n~ -- -~~~r=~---
on '
'
__ _.__,_"
7,30
..
(
Vrijerne
1,10 2,79 --~~b-- I L,'
!J
IO·.'·.t· ·.
0 I0
6,30 7
f
I I0
10
t -_o,:n_ _
17'
0
- !,14 I ,03
0 '85 0 '77
_____ l -
------
CO
__._:
Dan ' •u~ 1 lo9i7 o nn
I
0
1981.
------
---_;_~-Jo
___ ---13o--
1,53
10 2
[1;m 2 /h]
--+---
12
:
c! ;
51
______ -
39
- -- - -
__
,, -
-------
24
I ___
-
102
----
-
2s
--·· ---
0
----- ----~--1
---------
----
78
-
- -
_ _ _56 _____ _
130
1,39
1,26 --~. JL,
Ibr
l.
-+l_o___
00
16
1, 69
r--
--;;J-30 - - -0- 15 -12 ---Jo-- -15 63
f-----60___
28.09.
br [1/m2]
[1/m 2]
Sat 1400
nn
p
EPbr
Ove padavine su izazvale vodni val ~ije su ordinate datR u tabeli
br. 16 .2. a koji je graficki prikazan u dija
0
casova.
Razdvajanje baznog i. direktnog oticanja je izvr§eno pod pretpo3 stavkom da se ono linearno povecava od 0,90 m /s do 3,10 m3/s, ko1iko iznose proticaji u 15° 0 casova (28.09.)
0
i u 02°
casova
(29. 09.) . Neposredno uzvodno od profi1a vodomjerne stanice Tribistovo predvi.djena je izgradnja jedne male akumu1acije, cije bitnc karakteristike su s1ijedece: - Kota krune pre1iva
H
0
= 912,00 m n.m., kojoj odgovara zapre-
mina akumulacionog prostora v 0 Kota , maksimalnog nivoa vode
=
Hmax zapremina-vode u akumulaciji Vrnax
12,3·10
6
m3
915 m n.m., pri cemu je 6 3 15,0·10 m
- Promjena zapremine izmedju H0 i Hmax moze se smatrati da je linearna
::::::..
1-~it~
-,·~
"'"""""'"""'
.
:.II
l!Jl
103
']'''d ;~.~j
i
J: j'
q II
Sirina pre1iva
.,.;
_,. __ ~1-':1
Potrebno je:
:? tJ
..__________..~~~
~
Vi
ili.~~~
II
bp
- Koeficijent pre1ivanja
15 m
m = 0,45
1. Na bazi zadatog hidrograma oticanja i osta1ih us1ova odrediti 30 minutni
= u(O,S,
(po1ucasovni)
jedinicni hidrogram u(T,t) =
t)
2. Odrediti priblizne vrijednosti maksima1nog pre1ivanja iz akumu1acije kao i maksima1ni nivo koji bi se pojavio
u njoj
pri nai1asku registrovanog vodnog va1a. Nivo vode u akumu1aciji na pocetku vodnog va1a bio je na koti Up
=
H
0
=
912,00
m n.rn. Proracun provesti pod pretpostavkorn da se u1azni i
iz-
1azni hidrogrami mogu aproksirnirati troug1om. \:::: "-~,-L~~~
~~~
Tabe1a 16.2. Vri ··erne
Dan
Sat
j
1
2
3
~~-~
28.09. 1981.
:::;
I
lrJ ~-
.::::,
(()
[Ww!s,fw] n ;;;. [ww/s.tw] S
1
~
C\j
~
C\j
"'"'' aC\j
a "'.
~ ~
~ ~
a
~·
~
-
~ ~
o-
~
a
~·
a·
~
~
~
o
a
29.09. 1981.
13,30 14 14,30 15 15,30 16 16,30 17 17,30 18 18,30 19 19,30 20 20,30 21 21, 30 22 22,30 23 23,30 24 0,30 1 1,30 2 2', 30
J
Gm3'dd/s J
[ m(/b 3 /s
4
5
6
0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 1,00 1,10 1,20 1, 30 1,40 1,50 1,60 1,70 1, 80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70
0 0 0 0 0
18
0,90 0,90 0,90 0,90 0,90 5,68 18,1 47,1 66,7 72,2 62,5 50,7 40,8 33.2 27,5 22,9 19,3 16,2 13,5 11,22 9,18 7,36 5,82
19 20 21 22 23
4,58 3,46 3,20 3,10 3,05
2,80 2,90 3,00 3,10 3,05
13
;:::H;q
·-··--
Q.
[m3 /sJ
1 2
3 4
5 6 7 8 9
10 ll
12 l3 14 15 16 l7
z
.. 4 ~ 68 -·-17,0 45,9 65,4 70,8
1JT;o49,1 39,1 31,4 25,6 20,9 17,2 14,0 11,2 8,82 6,68 4,76 3,12
I
1,78 0,56 0,20 0 0
I
499,20
J·, I
I
I
r. 'l
'
'
f '
'
lim,
!I
104
105
RJ'E: SJlliJ-E-:
~
~-
1. Zapremina onog dijela vodnog vala koji predstav1ja rtirektno oticanje iznosi I
wo
E
j=1
Qd. dt = 499,20 x 1800 J
898.560 m3
I --1-
t- -! -- 1-
+-
I - 1--
-1~~~+-
I
-
!:~
-+-
....;
Prosje6ni s1oj efektivne ki§e koji je sa sliva otekao u fermi direktnog oticanja je
"'
-~ l -
---j
i ..
~
!--
t"
0
IP
r t r ;j.·:
:t'i
.
I
r r r r r
r r
- Wo
e-p
-'<
..:::
898.560 21.000.000
0,0428 m=42,8 mm-43 mm = 43 l/m 2
Imajuci u vidu rasporecl paclavi.na
+----+---t
V)
-·· --+--
vrij
l
oticanja, moie se zakljuciti cla parlavine iz prvog polucasovnog 30 0 interva1a (14 -15° casova) nisu proizvele nikakvo direktno
(P 2 -C)
+
+ (39-c)
p
g
+
(P -C) 3
~
3
~-3J
Efektivne padavine, po razmatxan im
2 25 1/m /JO min.
po1u~asovn im
1-·
•n~•
Vri ·eme
Pbr
[l/m2]
1430_1500 28.09.
15oo_l530
1981.
1530_1600 l6oo_1630 2
p
br
1---:~- :---~---~~--]!-H~ /\C5a 1<:<
f.-
+--
-1
p
·~•
lo.J.
[1/m 2]
p
e
[1/m 2] 0
Sl
25
26
39
25
14
28
25
3
130
87
43
Q~
~
~
~
•...~~~Q~, ·~~
I/
_JtJL
t'? ---tt~
--+ --++~
~
Q"'
~
Q""-
+---~-+-+--
l_L--+----+-
\::'
I
CJ
o~
'
a--.1-
0)
0
-
:;!
;
t~ ~
r-H-L
'
f;:;
J
·rr-r
> 0
ci
12
=_i_;l130- 0,33
~11/P
lol ~
•-
g
+--
in terva 1 ima
12
Koeficijent direktnog oticanja iznosi
'I d =
i-.,
taheli
Tabela
Sat
1--,H.-
---1--
+--·--
4 3 l/m 2
P 8 = Pbr- Pg, date su u donioj
Dan
--l---J-+ "' "'
4
+ (2il-C)
= (' = (51+39+28) '/=
-+ .
~
0> 0
2.'
·-C)
(P
1----
00
"'
+-
-1--+--1-··-
oticanje. Uz pretpostavku rla su gubici u naredna tri poluc~ 0 30 sovna intervala (15° -16 casova) hili knnst
(51-C)
1-
---+- ++"'
- l---1- .. t
n
\'r ·~ aI
i5
....._ ~
-......._ll1
0 ,. . . . . . _
Q)
I
a~
i
a<..0
!
o
I.[")
!
-i-+--t~
I I I
a--}
a('")
a~
o~
~ ~L
a
c.::.iL.SJ
j
.._,
.
106 107 Teorija jedini~nog bidrograma bazirana je na pretpostavci da se rijecni s1iv pona§a kao 1inearni sistem. Takav sistem se, po teoriji 1inearnih sistema, maze predstaviti s1ijedecom jedna~inom:
p
Ql
P 1 u1
Q2
P1 u2 + P2 ul
0 3 = Pl u3 + P2 u2 + P3 ul
u
Q
( l)
Q4
Pl u4 + P2 u3 + P3 u2
tj. u razvijenom ob1iku k
i
1
2
3
4
m-3
m-2
m-1
m
PI
0
0
0
0
0
0
()
ul
Ql
p2
pl
0
0
0
0
0
0
u2
Q2
p3
p2
pl
0
0
0
0
0
UJ
QJ
0
p3
p2
pl
0
0
0
0
u4
Q4
1 2 3 4
Q/-3
Pl um-1 + P2 um-2 + P3 um-3
Q/.-2
Pl urn + P2 um-1 + P3 um-2
Ql-1
P 2 urn + P 3 um-1 = P3 urn
Q I
Zadatkom je zahtjevano da se odrede ordinate po1ucasovnog (T jedini~nog
0,5 cas)
hidrograma, uk = u('r,t). Ovaj zadatak se
maze rijesiti na neko1iko nacina. 1-3
l-2 I -1
0
0 0 0
gdje je
0 0 0 0
0 0
0 0
0
0
a) Prib1izni
PJ
p
2
pl
0
um-1
Ql-3
0
p3
P2
rl
um-2
Ql-2
P2
um-l
Ql-]
0
0
0
PJ
0
0
0
0
PJ
u
m
na~in
Iz prethodnog sistema
jedna~ina
s1ijedi
Q
u1
_QI
u2
_!_ = 4. 6 8 = 1 80 p1
2. 6
'
1
(Q2-P2u1) "p1
(17-1,4·1,80) 1
u3 = (Q3-P2u2-P3u1) I'
I = m~n-l
1
~
= 5,57
(45,9-1,4·5,57-0,3·1,8)
1
~
14,45
L
I - broj ordinata direktnog oticanja vecih orl nu1e
Genera1no uzevsi mcze se napisati
(Q > 0)
n
m - broj ordinata jedinicnog hidrograma vecih od nule (u;.. 0)
uk =
•
P
I
(Qk
j=2
1
\ uk-j+1' p1 . k
(3)
l, 2, ... ,rn
n - broj b1okova kise Proracun ordinata jedinicnog hidrograma po ovom postupku Za razmatrani primjer 1=21, m=19, a n=J.
prikazan je u tabe1i 16.4. kalona 5, a graficka predstava
Iz prednjeg sistema jedna~ina proizi1azi da se vrijednost proticaja Qk moze odrediti kao suma Qk =
n _2
]=1
P. uk-"+ 1 , J J
k
1, 2,
~
..
I
I
je data na s1ici 16.3. Za kontro1u ordinata jedinicnog hidrograma potrebno je da bude zadovo1jen us1ov da je zapremina va1a
( 2)
odak1e se za neko1iko karakteristicnih vremenskih trenutaka dobije:
ni~nom
izazvanog jedi-
kisom (povrsina ispod jedinicnog hidrograma)
jednaka
zapremini s1oja efektivne kise visine 1 em na povrsini s1iva I
i·
F, tj. m 2
k=1
u
k
• Llt = F • l
1o9 108 5/IKO 16. 2.
Sto u razmatranoro prirnjeru iznosi
2 6 116,06·1800 = 21·10 ·1·10208.908 m3 /cm
Q
[m¥~
~ 210.000 m3 /cm
80
Tabe1a 16.4
)1 ,P2·uk-1
P3·uk-2
[m3;J
[m3!s]
[m3/s]
2
3
Qd
1
r I l I I I II II
I
I I
uk = u(0,5; t) [m3/s/cm]
5
6
-
-
0
0,00
-
-
1
4,68
-
-
I , 80
I, 80
2
17,00
2,52
-
5,57
5,57
3
45,90
7,80
0,54
JL,, 4S
14,115
4
65,40
20,23
I ,67
16 '73
16 '73
5
70,80
23,42
i1, 34
16,55
16,55
6
61 '00
2 3' 18
5,02
12,62
12,62
I 0,18
I 0, 18
8, I 0
8, I 0
7
49, I 0
17,66
11,97
8
39, I 0
14,25
3,79
9
31 '40
II , 34
3,05
6,54
6,511
I0
25,60
9' 16
2,43
5,39
5,39
50 f
- 1
w JO 20-
iO
I/ I J L \ l 2zI I fj JC2 : ~ I E--b-~_ i__L-%eo9\9~~()__'___k___i"--'---i6__J 29 ~9 r::;'j
0 \
tt.
II
20,90
7,55
I, 96
i1, )8
i1, 38
17,20
6' ll
I ,!i2
3. 6)
3,63
' 13
14,00
5,09
I , 31
7,92
2,92
[rnY'*m (J
]II
II , 2 0
4,09
I, 09
2 '31
2,31
15
8,82
3,24
0,88
I ,81
I, 81
16
6,68
2,53
0,70
I , 33
I , 33
17
4,76
I ,86
0' 511
0 '91
0 '91
18
3' 12
I ,27
0,40
0,56
0,56
19
I, 78
0,78
0,27
0,28
0,28
20
0,56
0,39
0' 17
0,00
0, fRO
21
0,20
0,00
0,08
-
-
22
0,00
78
·\
I Iii ,IJ6
7678
,
I 1 I
:
23
3
I
4
I
I
\ I 1 I
I
116' 06
----
2
I
'
+--+
K" I '\
I
16
Q
2
u
---
i
1'7
\
-
'
18
-
!itl~va] .
--1---i,
I
~
!
-
~
!i 19
t
<
\i
---t-----+!
0 14 -+---- 15
l
l
rvul0.5;t)
+t-r tJ .
\
.
l Cl\
I
100
~--
I
21
fN1 \
I
-
-
II
20
19
:rl-r-=T 6
X
J
15
Sl1ka 16. 3.
12
I
l--
f---
60
[m3 /s/cm]
-~
_L----·----~-- --
+- - -
70
k
+---r--
~'0
A _f 10 · ZB ()9 198 I
--
\ I
---i-
"""- 1----
~~
c'l
22
23
-
f--.n- 1 :_of,
2
3
ts_'zo __ zz 21 f l;! (]9/981---:J
------
t [cosovu] k
._..
111
110 b) Prethodno opisani nacin predstav1ja rjesenje
I= rn+n-1 jedna-
cina sa m nepoznatih. Sa matematskog stanovista, proceaura koja s1ijedi je ispravnija i ona se sastoji u tome da se sistem reducira na m jednacina s2 ~ nepoznatih, pri cemu se dobije rjesenje koje zadovo1java us1ov I
:f:
k=l gdje je,
~
(Qk -Qk)
2
min
= V(912)
vo
v max
V(915) = 15,0·10
V(H)
V
12,3 +
( 4)
12,3 +
!:_T
~ 9_ =
u =
(!?_'!' ~) -l ~T
( 6)
)
0 max (H-H ) -· H o max o
;;~ (H-912) (H-912)
16.5.
slijedi iz jednacine preliva
=pQi(U)
( 5)
.Q
3
'Ib
Funkcija r1
!.?_T _9
rn
zavisnost V(H) koju predstavlja gornji izraz prikazana je na Sl.
~Q=g
H
6
- v
12,3 + 0,9
=
ak - proticaj sracunat pr~ko jedinicnog hidrograma (1) moze se napisati na s1ijedeci nacin:
+ K· (H-H 0
0
v
Qk - registrovani proticaj
Sistem jednacina
6 rn 3
12,3·10
=
mb {2g
p0.]_
~:3 p
= 0,45·15·4,43·113/2 p
29,90 113/2 Sistem jednacina
po m nepoznatih. Rjesenje ovog sistema je dato jednacinom (6).
ju m
=
Obzirom da je m r<'1ativn·o veliki broj
(u nasem s1uca-·
19) to je njegovo rjesavanje klasicnirn postupko~ veoma
dugotrajno (prakticno je nemoguce) . Rjesenje se obicno dobije kompjuterskim proracunj_ma C:ij i rezul ta ti su dati u tab eli 16.4.
p
(5) sadrii m jednacina koje treba rijesiti
- kalona 6. Treba uoci ti da su rezul tati dobij__eni po
gdje je hp = H :-:avi1>nost pQi (H)
912. takodje je prikazana na dijagramu (Sl.l6. 5.) •
Zahtjevana metoda proracuna transformacije zasniva se na slijedecem: Q
au
_j)j_g_znl h!drogram
ovorn postupku identicni sa rezultatima iz prethodno provedenog pribliznog prora6una, sto ni~ uobicajeno.
~
2. Da bi se odredi.lo rnaksima1no prelivanje preko brane
lzlozm h1drogrom Oi
""-~ . --..___
(maksimal-
......_
ni ·proticaj na izlazu, maxQi), i maksimalni nivo u akumulaciji
......_
-----
pri nailasku vodnog va1a, potrebno je prvo utvrditi karakteristike akumulacije:
......_
-----
--..___
---... --..___
--..___
......_
V = V(H)
Qi = Qi(H) Iz prednje skice rnoze se pokazati da je
Funkcija V = V(H) se odredi na bazi podataka i pretpostavki datih u postavci zadatka, tj.
o. rnax - l
Q
max u
(l -
Proracun po ovoj jednacini
~f-'li"'
v· .2) Vv
pozna~~~e
kao metoda Ko6erina.
ljl_
t~
[I rJ
112 S/1ka
f.,~] I 80
il,,
113 16. 4.
Zapremina hidrograma aproksimiranog trouglom (Sl.l6.4) iznosi 0
1---+--.
vv
--l__r
max-u
·T
D
72,2·7 4·3600 ~ 962.00Q m3 .
~
2
Rjesenje postavljenog problema se dobije postepenim priblizavanjem kako je pokazano u nastavku.
---.
I
iteracija: pretpostavka hp = 0,50 m. Iz dijagrama 16.5. Vr = 12,75-12,30
40 r-·--+-·--+--I
3 10,57 m /s
max 0 i
30-t---+---10,57
i 72,2 (l -
0 45
~)
0,45 hm
3
I.,'\-,'
/-.:::_
~
,~ • 1,
3
38,4 m /s
=
20 +--f---L.!.
J]
I 0 -t----- ~---+~1
a,r
17
v
[~F,i,s
t------.
18
---r
19
20
21
22
23 S/1ka
2
J
II
iteracija: pretpostavka hp Iz dijagrama
13,20-12,30
vr
0,9 hm3
maxQi = 29,9 m3/s
t k~-;;;vca
16. 5.
29,9
1
1,0 m
I1l .iteracija:
i 72,2 (l - ~.~~ 2 )=
pretpostavka hp = 0,70 m vr = 12,93-12,30 = 0,63 h.rn3
Tz Cli-jagrama
I
max
17,5 i IV iteracija:
3 4,65 m /s
72,2(1 -
pretpostavka
0.
·l
= 17 ' 5 m3 ;s
= 24,92 m3 /s ~~~~2) ,
hp = 0,77 m
Ie::: Uljas-JLaJua
vr
12,
99·~·12,
JO
O,G9 hm3
maxQi = 20,0 m3/s 20,0?; 72,2 (1-
~;~~ 2 )
?; 20,41 m3/s
Rjesenje dobiveno IV .iteracijom zadovo1java prakticne potrebe i
usvaja se max
Q. l
= 20,0
3 m /s
maxhp = 0,77 m maxH = 912,77 m n.m. Rezultati iterativni.h prorafuna grafi~ki su prikazani na
s1ici 16.6.
j
·......_-:--
ll4
115
: ZADATAK BROJ 17
Sl1ka 16. 6.
Na jednom vodotoku izgradjena je brana koja formira akumulaciju
m-/s ~"-60
~50 .Q"-
E t.o
sa karakter.istikama akumulacionog bazena dat.Um na slici 17.1. -~- ~
1-
-~
.. ·+
--+-
Iz akumulacije se uzima konstantna kolicina vode, koja se nakon kori§tenja (bez promjene kvaliteta)
maxai. 20 m~ maxhp
;¥
maxH
~
u odnosu na kapacitet evakuacionih organa (temeljni ispusti i preliv).
c;.· 30
Brana ima dva temeljna ispusta 20
po~tavljena
na koti 54 m n.m.
precnika D = 2,7 m, cija propusna moe, QT' se
10
0 f'----+---1---+ 0 10 20
upu§ta u vodotok neposredno
nizvodno od brane. Kolicina zahva6ene vode je zanemarljivo mala
0.77 rn 912.77 mnm
QT = CT· w. V2ghT 1-0
50 VQj
60
70
[))~
mo~e
izraziti kao:
gdje je:
CT = 0,8- koe[icijent protoka
v,
2
=0, {I-ll;)
UJ =
-D -9l -
4
hT
-
~· ~ · k a teme 1 Jnog · · t a povrsJ.na poprecnog pres]c 1spus dubina vade u odnosu na osovinu ulaza u temelj-
ni ispust Paced temeljnog ispusta, stoji i
preliv bez ustave ~ija
h6 m n.rn.
(m)
za evakuaciju velikih voda na brani po-
np = Cp·B·{2qhp
0,48
D
= 75 m
hp Zatvara~i
B = 75 m sa kotom krune preliva
~lrine
propusna mo6, QP, se 3
mo~e
izraziti kao:
gdje je:
- koeficijent nreliv8rja -
~irin~
preliva
nivo vode iznad krune preliva (m) t~meljnih
ispusta se po pravilu otvaraju pri koti nivoa
vode u akumulaciji 63,5 nt n.m.
Slika 17.1.
II
rI I I
I Ji:
~
I I II I' I II I I I
-._...,,,
.
I
116 117
!···l
Ako se kao posljedica jake kise na ulazu u akumulaciju oformi Dakle:
poplavni talas, za koji su vrijednosti protoka date u koloni 3 tabele 17.2, odrediti:
Qj + Qj-l
Qj
1. Ordinate poplavnog talasa na izlazu (vrijednosti izlaznih proticaja) iz akumulacije
2
qj
2. Maksimalnu kotu nivoa vode u akumulaciji pri nailasku vala Prednji racun provesti pod pretpostavkom da je kota nivoa vode u akumulaciji u vremenu t = 0, 63,5 m n.m.
.<~Vt
vj - vj_ 1 t.-(t. - .
At
J
vj - vj_ 1 .
J
Proracun transformacije ulaznog hidrograma u akumulaciji, odnosno
RJESENJE:
odredjivanje izlaznog hidrograma vrsi se na bazi je.dnacine (2) koja, ako se izvrsi zamjen.a za Q.,
1. Aknmulacioni bazen je jedan sistem, koji se moze predstaviti blok dijagramom lcao na donjoj
sJci~ci,
gdje je Q (t)
proticaj
J
Stanje sistema, odnosno zapremi na vode u akumuLJci j i menu t oznacena je sa V(t).
u vre-
at
1'/,\.
2
vj + gj
na ulazu u alcnmulaciju a q(t) proticaj na izlazu iz nje.
-------------
i
aV. __l at
+ (Qj+Qj-ll
dobija oblik:
Lit
(3)
2
Kod ovih proracuna, prethodno se moraju pefinirati zavisnosti ' I-1 (q) = V '
_cJ__~---'1...
.<~t
= vj-l- gj-l 2
q..J
F2(q) =V-q
.'lt.
2'
~) ~V+g
·----~---~-~--------~----
-
Lit
2
--~---....._...,.___
Pri j e i zna 1 azenj a napri ie\i ..naJ.teffe!'l
. . .___
---.-.·w-----~-~~-"""'--'
~-~·-• ---~--~--~--w·•--~·~·V~
.. r;;:_~~Q:r__!__&__:~unk~~--r:!-_:::.~~<:.:::_::_~~ um_':.~~.2J iL.J;~QY_~;_v;: i-
Obzirom da kolicina vode koja udje u akumulaciju mora ili da izadje ili da se privremeno zadrzi n akurnulaciji, ovdje se moze primjeniti jednacina kontinuiteta: Q (t)
-
Jl..ko se proticaji na ulazu i
'1 (t)
·--;rr-
(1)
izlazu iz akumulacije posmatraju u
~t,
qornia diferen-
cija1na jednacina se moze predstaviti u diferentnoj formi -
gj
__
o, s · 2 ' ~
ocr
=
2·
QP
0 '
0,4B·75
2
9T· (2c)(H-s4)
clV(t)
sukcesivnim vremenskim interva1ima velicine
Qj
jednosti povezati sa. velicinom zapremine akumulirane vode za _____,_ ~----~-----------------~~--· -----------------~---·u,;J,.!;i_nUz:o..__ _ _
f2g(ll-66)J =
=
40, ss ((i,-=--54)
l59,46·~6r:J~l
Cclje je H kotn ni.voa vode u akumulaciji u m n.rn. ProraCuni ovih zavisnosti
izvr~eni
su u tabeli 17.1., a graficki
prikaz dat je na slici 173.
~vi
dt
Proracun transforrnacije ulaznog hidrograrna izvrSen je u tabeli ( 2)
gdje su Q. i g. prosjecni oroticaji vode u interva1u ,;t = t -t J J J Ja ~vj promjena zapremine akumulacije u istom interva1u. 1
br. 17.2, na bazi jednacine (3) F
2
( CJ)
=
V- q
Lit~
2
.
1.
F
3
(q)
=
i zavisnosti
F
1
(q)
v,
V+q d t, sa slike 17.3. 2
Vrijednosti u pojedinirn kolonarna tabele 17.2. su dobijene na slijede6i nafin i
sl1jede6im
redoslije~om:
Kalona
());
Zadane ordinate ulazno(J hidrograma u akumulaci ju
Ko lonu
( 4)
Pros j eC na za premina dotoka vode u akurnulaciju kroz
period vremena dt
VTijednost q u koloni
(7)
za t = 0, dobije se na slijede6i nacin:
j
llB :,,1
119
~
. . J ~~_Lf:l Zapre-
--~-
m1na
h
Kota
n1voa
vade u akumulac.
vade u akumulac.
L I
Ukupn i
n
,
r
I
3_/
,,
~QT+OP
proticaj q.J
-~------..,.__t·~·--, •... V.-q. T V.+~.-o; I"
.2_
5
loo 3!;/
/, "~
7
J d"
J
_
I'"'/,]
[o.J
2
1zlazn1
·p
n,o
V
H
J; o.oo] lool/
..
--~-
0
T
'l'abela 17.1.
ss
21,18
4,o
81,15
81,15
20,9o
26,07
5,0
90,73
90,73
25,09
60
30,41
6,0
99,39
99,39
29,34
61
34,8o
7,o
107,36
107,36
33,64
62 63
39,23 43,72
8,o 9,0
114,77 121,73
114,77 171.73
37,99
64
48,27
10,0
128,32
128,32
112,41
52,87
II ,0
1]4,58
134,58
46,88
66
57,56
12,0
140,56
1/10,56
51.42
Kalona
141,15
0, I
S,ot,
11,6,19
56' 04
59,08
141.73
0,2
14,26
155,99
56,46
59,62 60, I 9 60,81
66,3
58,99
12,3
142,31
0,3
26,21
168,52
66,4
59,46
12,4
142,89
o,4
'JO,J5
JR3,211
57, I 7
66,6
60,42
12,6
J/14,0/J
0,6
74,13
218,16
57,48
61.
66,8
61,37
12,8
i/15,17
0,8
IJIJ,I]
259,30
58,06
62,78
62,32
1],0
1116,30
1,0
159,50
305,80
58,57
61,' 17
67,2
63,29
13,2
147,43
I ,2
209,67
357,09
59,02
65,62
67,4
64,25
13,1
148,54
1,1;
264,21
/112,75
59, 113
66,6
65,22113,6
1119,6/1
1,6
322,80
472,115
59,79
67,8
66,18
13,8
1so,74
1,8
385,18
535,gz
60, I 2
68,0
67,15
14,0
151,83
2,0
451,13
602,96
gra~a
6 sat i
= 2J6oo sec.;fz
Jate na vremenskom razmaku 6 sati.
=
3
123 m /s.
(8):
= 123 m3 /s sa zavisnosti lj(q)=V, 2 ocita se vrijednost v = 44,5 hm 3
Kalona
(9):
Za vrijednost
Za vrijednost q
H
v2
max
Graficki ~rikaz ulaznag i
71,97
17.4.
73,66
= 44,5 hm 3 sa zavisnosti kate nivoa
(H) l aktivne zapremine
(V), ocita
slika 17.2.
67,60 m n.rn. izlaznag hidragrama dat je na slici
Kaa sto se vidi zahvaljujuci retenzionirn osabinama aku-
rnulacije, maksimalni proticaj uLJznGr:J hidrograrna (Qmax = 520 m3/s)
je redukovan na rnaksirnalni proticaj izlaznog hidrograma 3 (q max = 466 m /s). Jasno da zaprernine ulaznog i izlaznog hi-
ulaznoq hidro-
u akumulaciji
(H) i
dGbije se vrijednost
3 -
2
ku vodnog vala,
Za zadanu kotu nivoa vade u akumulaciji H = 63,5 rn n.m. u tre-
(Slika 17.2.)
3
2. Vrljednost maksimalne kote nivoa vade u akumulaciji pri nailas-
,, 'I
nutku t = 0 (u trenutku kada se otvare zatvara6i temeljnaq ispusta), sa zavisnosti kate nivaa vode aktivne zapremine (VJ, V = 46 hm3.
= 1,35+44,50 = 45,85 hm
Procedura za ra~unanje qj u narednim vremenima, tj. koracima, se u potpunosti ponavlja.
70,32
r~zf·oga ~to--su
:2
se vrijednost U = 63,20 m n.m. -
67, 15
60,39
2
(5), tj.
Kalona
68' 71
60,64
2
(6) = kalona (4) + kalona (5) Lit
vade u akumulaciii
~4 1
67,0
(4) i
2
54~32
12, I
dt
q
45v03
sa zavisnosti
(7): Za izracunatu vrijednost v +q ~t = 45,85 hm 3 sa 2 2 zavisnosti F 3 (q) = V+q ~t ocita se vrijednost
49,66
12,2
1
..:j:
sabiranjem velicina iz kalona
V 2 +q 2
58,04
56,83
= V-q
kalona
58,51
(q =125 m3js)
Kalona
3
66, I
poznato.
ocita se vrijednost v -q Ll t=44,SO hm3 2 2 2 (6): Na osnovu jednacine (3) vrijednost V +q ~ dobije se
.
66,2
1
(5): Za q 1 u trenutku t=O
<10, !17
65
= 0, q
Kalona
F 2 (q)
b•o i
---'!...
59
je, dakle, u trenutku t
'-''"
J
Za V = 46 hrn sa zavisnosti F 1 (q) = v, (S1ika 17.1.) dobije se 3 Vrijednast Q' = 125 m ;s, koliko istice iz akwnulacije kroz terneljne ispuste prije nailaska poplavnog talasa. U prvam koraku
drograma moraju biti iste. Takodje trebrt uociti da se maksimalni izlazni ~roticaj poiavio 12 sati nakon pojave maksimalne ordinaL:e ulaznur" hidr0n:ama.
..
~\
I ,~
~
'
'1,'•
.~,:.·.·,-;
,·'
121
I•'
,'j.·i.',·••
• ·:
120
'
:.·,,:··:·
•
I ·,, , '
{':
..,
f(-<
j
Vrijeme t
c
'''\-_.,._,
--·
Tab
\j
Ordinate ulaz -o/ 0i·'I'' LI ~ -'lj ~I nog hidrogr.
I
'vj•q/}
qj
I
Q
J
(s~tU [m3;J 2
l 2
3 4
5 6 7 8 9 10 11 12
I3 14 15
(
I I I I I
16
17 18 19
,zo j2 I
122
0 .6
12 18 24 30 36 42
48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 I I4 120 126
3 50
I
I ,3'5 2,75
350 450 520 505 445 360 290 250 210
s. 72
85 65 55 50 45 40 38
Kota
[hm3]
5
&
-~--
-
' 49' 12 ': 55, oh . 62.98 69,22 70, I6
432,0 466,0
68. Jq
"14,0 346,0 294,0
..
115 ;·85
II}, 30
'·· 116.05
1
52,50
I I, 07 10,26
58' 15 59.90 60,0S 59,80 59,40
8,69 7,02 5,83 4,97 4, I6 3,qO
58,95 58,50 58,00 57,50 56,80 56,00 55,00 53,80 57' 30 50,60
I
48,80
'
[m 3/s] 7 12?,0 rj 12},0 ; I 23,3 ,! 27,5 '/I -,I 35,7 224,0
4~.50
4 3 .40 46,40
6,64 10,48
2,70 2, I I I ,62 I, 30 I , I3 I ,03 0,92 0,84
[hm3]
66,82 65,23 63,92 62,66 6 I ,40 60,2 0 58,91 57,62 56,30 54,93 53,33 5 I, 52 49,64
252 '0 215,0 I 83,0 156,0 140,5
H;
lm
n.m.]
ll
116,0 44 •.s 44,6
48,0
64,5
I
66,60
63, I 62, I 61 ,2
67, I 5 66,95 66,75 66,55 66,110
1 39 ,o -- 56 ,lt
68,20 66,00 65,80 G5,50 65,20
137,5 135,5
55,2
13~.5
52,0
130,7 I28,0
50' 2
6'1 '85 611,45
,2
64,00
53,8
LIB
L
68
66.-'·- -
67,50 67,60
----67,110
59,5 58,5 57,5
- - __ ,_ .----·----+-----~-1-~~___L
H
f,nn IT~
65,25
65, I 6q,2
60,3
S/1ka 17. 2.
OONOS KOTE NIVOA VODE U AKUMULACIJI {H) I POVRSINE VODNOG UCA (F) I OONOS KOTE NIVOA VOD£ I AKTfVNE ZAPRE/111NE VODE (V)
akumu J ac.
[hm3]
53,8 60,6
nivo~
vode u
vi
[hm~
75 180
I 75 140 I I0
Zapremina vode u akumulac.
-60
62'·
\
60
58
------~
\
.L--
I
-----,-~-i 56
s,J / \ / \ 0
!0
20
;,!)
;,'.J
4>
.,--I30
4.3
~~ 50
60
70
, V lflm J
4,4
4,6
4.7
F
4,5
1
n
3
[krrl]
j
I
•
118
,
'
11
122
1 1,·.
\
1: 1',
DIJAGRAM ZAVISNOSTJ
Si,ka 17.3_
F;fq}x: V, F;fq}a V- q
7f,
/}{q),..Vf q
1}
(0/0 ZAVISNOST/ DO qj •160 m%J
\li
"
['"*
160 t----------J___
.)_._____ +-----~------
750f-
-
-.
=--=-=-J·=~4d_~~Rf~~=-=--==-/-=--==.c.cc-_=i
-----+
0
I
- _______ _j_
_______ j
+ ___
t-
~--
--+~--!----+--
T --
--· OOf
--t-----0
ao420
'
I
J
/
25
30
35
I
~0
I 45
1 50
I I_ 55
v -q )1-
[hm3]
V
[hm 3]
V
+
q
4j
"' -
1
[hrr?]
b'()
·7 'L/ D>fl/5
I
1oo5 [o/rw]
!7G1
~~
125
1'0
w
8
8
LJ {:""
l]l
Z A D !'> T A K
())
'J
8
8
~~
~ ._,
----::--t . -~
Q ~
'i,~+ \ I
G)
::a h
$.:
i;!
\
8ll
"\-
L
-~r~r:=-
i/i
-.,::
lii_Q <: .__
~~
0
(I)
ll
J ~\ I
0)
Go
--;
\-_-
\ ----+- --'\
(.f) -;
)>
'~~
-Q
'--,
-(1_
~'i
(ulaz - Q)
('J
Potrebno j llidruqrama
'~
il
metod om Muskingwna odredi ti ordinate transformisanog
regiS troviln sam a ulazn.i. vaL Zadalak ri j es i ti pod pretpostavkom odredjeni na bazi podJtaka iz perioda A, rnjeroda su davni za bilo koji ulazni val.
R:mi;t:NdE:
mct:odc ''\uGkinqwnil, mensJ,om tJcnut-.ku,
I,
prctpostC>vka
<::>
II
Q,
:L
""
=
K [xot + 11-x)qt]
rlje~noq
F -
taka
L knja se odrerljuje probanjem;
nccpoznata konc;tanta Loja nrECdstuvljet vrijeme putovanja talasa riu~ ra~n10tra11e dioni.ce.
izqle(~d
w't'-j II
Graficka ilustraci]a prednje
':l +-------------+-
.
"-1!2:.
~c~kici.
~ '11-
~
0
~----------------------
~--,
-8:.
. ...:
~ "'C
],
"<: I
-'>
..()
~
"'I~
5151~
3
3
3
~~~
fi:T
tj.
qcl_je "'" x - l'e?.dimeenzionetlna J,nnstantet koja l'nral,terise dionicu
~ "~~
.Q i-
L Lzlaznoc; proticujn, '1•
( l)
vt
I ~...Q
""""'
"" .
je cla stanje sistema u vre-
(Zi'IPI'ell\ina vodce u koritu rlLonice vodot.oka,
V)JCI'unkri..-Jd ulc1znoq proticajn,
,_;ll
'-
Cl +-------+-
na nizvodnoj sta-
(na i zlazu iz posrnatrane dionice) u periodu B kada je
-Q
\
i
(izlaz - q) . Veli6ine ordinata hidrograrna date su u tabeli Iz slike je o6i18.1. i grafi6ki predstavljene na slici 18.1 gledno da se na razmatranoj dionici vodni val transformi§e.
nici
:;::
v 45' '--
c;;
__
velikih voda na uzvodnoj stanici
;::; 0<:
"" .:""]---
"-1":.
R;
-;:
0
-0
18
Na dionici vodotoka, bez pritoka, u periodu A registrovan je val
IJ)
w
g)
' / p-..?Ci
~
I __
~
,<) { ;
kao na. donjoj
-126 127
Tabela 18.1.
. .,._.
Posta se u proracunu ne upotreb1javaju kontinua1ni hidrograroi Q(t)
i q(t), nego njihove vrijednosti u odredjeniro vreroenskim
trenucima Qt i qt (u vremenskom intervalu Llt) , prirast zapremine maze se definisati na slijedecH nacin:
(2) ilV = vt-vt-1 = rz[x(Qt-<)t-ll+(l-xl (qt-qt-l)) Sa druge strane,
52 52 82
3 4
36 48
240
5 6
6o
500
72
910
7
84
1330
8
96 108 I20
1530
9. I 0. II.
52
52
ljena jednacina kontinuiteta: ( 3)
52
65
120
56
I20 3130 625 980
362
639
1345
949
30 I 606
i1i u. difer:entnom ob1iku .N = vt-vt-1 =
)')')(l
Izjeclnacavanjem jednacina
I229 l J'~s
1651
ydje su parametri sistema
168
I 5.
180
980 86o
~1
192
740
1
p2
204
65o
18.
216
885
19.
228
550 1180
240
775 680 .
I!
25.
l0
1998
6oo
252
330
264
515
250
276
425
I 80 I l10
288
300 312
(2)
i
110
215
70 60
165
50
125 IOO
(.l3
768 66g
582 501 112 I
I
I
Jll6[) 1300
II 41J IIJOO 870 7110 620 520 I5
1,
I
~
(4) dobije se:
dati s1ijedecim izrazima:
=
rzx - 0,5 ,;t K-Kx + 0,5 ,;t
=
KX + 0,5 llt K-Kx + 0,5 llt
=
K-IZx - 0,5 6t K-Kx + 0,5 ,;t
( 6)
(7)
1809 1645
(4)
(5)
II I 0
23. 24.
~t 1 ~t '2 -(qt+qt-1 ·2
qt = [;\lQt + hQt-l + (;\3qt-l
156
20.
(Qt+Qt-ll
1206
I 3. 14.
2I
Q(t) - q(tl
922 I I 31
!32 144
I2.
=
139
920 I 330 I l160
dV(tl. dt
102
3 70
85 180
230
za posmatranu rijecnu dionicu mora biti zadovo-
suma parametara
1-\
+
~~ 2
(8)
+ f;\ 3 = l
1483
za simuliranje ponasanja sistema pomocu jednacine (5) potrebno
1324
je prethodno odrediti parametre K i x. Ovi parametri se odredjuju
I I 74
probanjem
1033 897
770
na osnovu osmotrenih hidrograma Ot i qt (identifika-
cija sistema). Iz jednacina (2)
654
IZ
5411
i (4) slijedi 0 • 5 llt [(Qt +<)t-l)- (qt +qt-1 i] 1 x(Qt- 0 t-1J+(l-xl (qt-qt-1
( 9)
4115 Vrijednost
parametra IZ se proracunava taka sto se za nekoliko
razlicitih (pretpostavljenih) vrijednosti x sracunaju uzastopne
128 129 sumarne vrijednosti brojnika (povecanje zapremine) i
istovremene
uzastopne sumarne Vrijednosti nazivnika (ponderisano povecanje
P
slike se vidi da se maksimalni proticaj zbog traJ!sformacije umanju3 je sa oko 2560 m /s na oko 2300 m3js.
POndaciannja
za ulaz Q je x a za izlaz g je (1-x).
Tabela 18.2.
Ea nvakn ocacpocavljann VCijndnoac x nraO"""'" ncanaoooa nomacoa vrijednosti brojnika i 5 i
7, te 5 i
nazivnika (Tabela 18.2 - kolone 5 i
6,
8) nanose se u koordinatnom sistemu sa abscisom
j
koja P
[sa
natom koja predstavlja brojnik (povecanje zapremine)., sto je uci-
1
njano na al. lE.l. na ova nllka na vidi da aan)nnoac bcojnika i
0
nazivnika nije jednoznacna i da je predstav1jena petljom.
Oca najednnaoaCnoa; ja oeanlfa; noocaCno
'''"'l~afavljooa VOliCina najvi~e pribli~e
za parametar x. Usvaja se ona vrijednost x koja daje Prib1iino
iad~ dcnnoj.
jednoznacan odnos, tj. kada se qrane petlje
~
u •••maaca,mm '''mla•• najolo 0"1ljo •a
'"''i• ••
I I
18000 ~
01
f)
I I
I I I
~
K ~ ~ = 25,5 casova Za usvojene vrijednostj K )"1),5 c~~,l~·~OVCl, X srac~nati su paramotrt sistuma:
Co •·
ljoOnooCimo
~
=
Lit
12 casova,
0,11917
(;)2
0,29534
03
0,58549
cr
j
t.~beli
l8.l.
i
52
52 0
0
0
0
0
0
0
3 4
36
82
65
102
16
16
48
2110
120
924
86
92
15 80
219 1t08
232
205
434
381 644
\
50 0 '
230
3264
72 84
910
380
8064
1330
625
154711
96
1530
980
2 30011
679 1011
1038
983
108
1560
1200
284611
1202
1220
1184
120
1490
1330
31584
1302
1310
1294
132 144
1350 1240
137 0
321t24
1314
1316
1360
31584
1315 1290
1284
1296
13 14
156
1110
1300 1200
29724 27264
1220
1210
1229
1115
1104
1126
15 16
180
1090
211564
1004
992
1015
740
970
21 804
884
872
650
885
19014
798
786
895 810
11 12
17 18
60
168 192 201t 216
-~-- ..
980 860
16254
689
678
598
588
701 608
600
520
51 0
529
515
9114
435
426
445
425
6954
338 260
356
41 0
252
330
22
264
250
12.1.
su u ewe
Tz
714
13704 1 i364
240
c
8
7
0
21
izvr~eni
x=O, 10
52
20
""'·•••bo
x=0,20
52
(Tabela 18.1- kalona 5). Iz slike
iz perioda A mjerodavnt, (kolona 7) i nredstavljeni na s1ici
15
6
52
775 680
co ''"M•vh Oa ""
x~o,
52
550 lt80
koo[of•••
brojnik ( iedn. 9) 5
?onder i sana poveCanj e protoka (iednacina 9) nazivnik
12
228
••••••n• '''""'"'""''i• ''••••o '''''''""" '' '"''"'• '· I;)
0
19
e
18.1. je ocigledno da se proraCunate vrijednosti izlaznog hidrograma q dobra slazu sa njegovim osmotrentm vrijednostima g.
na osnov1~ jeOooc;"''
I
rm3;,J 4
C
; '""'"" j
hidrograma iz per]ocla A,
0,10 i
q
rmLJ 3
2
zapremine-
24
9 10
··r
izlaz
1
7 8
petlje (crtkana linija na slici l8.2.c) i u razmatranom Primjeru je odredjeno:
til
Osmot ren i PoveCanje
2
5 6
x 0,10. Iz jednacine (9) s1ijedi da osrednjenu vri]cdnost parZtmetra K predstavlja nagib linije koja se povuce kroz sredinu
Osmot ren i u1az
t
23
276
180
345
4914
347 268
24
288
140
280
3084
207
200
25
300
110
21 5
1614
14 7
142
26
312
165
4 Jli
27
324
70 60
125
- Slt6
94 60
28
)36
50
100
-12 36
99 63 111
38
I
I I
I
277 214 153 104 67 4}
1
I
25000
@
. ,;
15000
+---'
a·
L()
I
--
!
,'
'
l,
'
'
I
IG
11------+-
I
_
I
I
__.__._ _ ,
-~I ,
l
5000
10000
;,
I
X=
I
'J,'
I
J
"
~;;l I
If
0,20
~~~
L_
15oooj
25COJ
30000~
-~.-+-~~-4~-+-r~c-4-.-+-r-~o·~v~-~~200 400 600 BOO 1000 1200 1400 [m~] C X (Q I - Q 1-) + {J -X) ( q I - q, ·I)
I I --r-----T
-1
--- _]_ __. )_
'
f
~
"1
,~
lg
_:_i-1--t
i-
,
1
I
A
/
"
"
I
~
-~o !
·---'
, ~
I a·
.G I,1-::::1 c5
-::
0
'<
I
<0
"I
I
i
'll
I
400
6CD
iiiJ
L___ l
--I
r ·,
800 1000 12CO x)fq,-q,_ 1)
xra, -a,_,J,. (/-
2CC
L+-,
!
+----e-,---,··-i-----+-Jl-1---
1ooon I
~ 15ooc
.
~~ -~
.I
25000
30
K
"
~~
I --
. I"'~
;
1-1---!--
'"
~=il
w. 2 .. OOREDiVANJE PARA METRA
'"
.,,
5/Jka
'
%
'"
.. osmotrem u/az Q
'
'-
1
_J_ 11 " ~~
1
'
'~,
1000
'
f-1/DROGR.A.lv!/ IZ VREMENSKOG PER!ODA
~~-~~--~ I ·
-t-~---+io~
vw
""'ULU
-J-__J ____ fl
';; 10000LC------l-/L
g
•
G-
f
q
Q
0::
Cl
h
'-'
'(
'
0
-+------+ x=D.15
~ 20000+-----r--~
"' ~
j
r-;,;1
30000
~
l..~
1500
5tJka 18. 1.
,_. W ,_.
~~
w 0
""':"""!!
~
132 133
L I T E R A T U R A '(j1
lj"
I
~
~I
Q:)
TI
"'{
8-...
'
---r----,--r-·
1'-----+--,b-
I
-IJ];~f;
~
Q..
I'
t-----
(.!)
0
~
I
+----
~
lu ~ lu
~
2
e +--r--r--:7~-~
f
~ ~
I~~~
.......
--j---.>;;;t-----.,..
~
!i
(.!)
0
-
.•.·-
3. Jovanovic: Parametarska hidrologija, Jugosl.dru~tvo za
4. Jovanovic, Radic:
lj··---~~~~ -lr -~- ;~~::,: I
5. Vranic:
---J..----i----..1.~ I :'?
-. - t-1--fNIR . -l
..;
+ilit"'
1-J:.·:
~
I -r-----,----; -
-
Vjerojatnost i
statistika, Tehnicka knjiga,
Zagreb, 1971. 6. Ivanovic:
Teorija verovatnoce, Naucna knjiga, Beograd, 1977.
7. Tvkovic:
~1atema tiCk a sta tistika,
NauCna knj iqa
1
Beoqrad,
1980.
H. Krive protoka, Jugoslovensko dru§tvo za hidro1ogiju, Seminar o obradi hidro1o~kih podataka, Izola 1975. 9. Jevdjcvic: Uidro1ogija I
dio, Institut "Jaroslav Eerni",
Beograd, 1956.
C)
-'<
Zadaci iz hidro1ogije, Gradjevinski faku1-
tet Beograd, 1981.
--~~~
~
V)
1980.
logiji, Gradjevinski fakultet Beograd, 1977.
Q:
tJ
Beograd~
2. Jovanovic: Primjena metoda matematicke statistike u hidro-
~I~~
t--+--+- +~I~
.+
+----
fakultet
-~~~
hidrologiju, 1975.
~
G+: "'
1. Jovanovic, Bonacci, Andjelic: Hidrometrija, Gradjevinski
--
\-tr;;l"<
10. Srebrenovic: Problemi velikih voda, Tehnicka knj i.ga, 7.a~rceb
11. Chow:
.19 70.
Handbook of Anplied Hydrology, Me Graw-Hill,l964.
12. Linsley, Kohler, Paulhus: Hydrology for Engineers, McGraw-Hill, 1975. 13. Jevdjevic: Vjerovatnoca i
statistika u hidrologiji, Poslov-
na zajednica za izucavanje krsa, Sarajevo, 1977. 0
g
8 K;
2g
8
p
[~"1
E)
nou Oiid
c:s
()
-134
135 Pnlog br. 1.
ORDINATE f(z) STANDARDNE NORMALNE FUNKC/JE RASPODJEL£ 1
1z2
f (z) = '{2Yf e-"L
• -co
l(z} • f (-z)
0
~--------
PRILOZI
----·--·
:
0
l
2
3
4
5
6
7
8
9
0·0 0·1 . 0·2 0·3 04
0·3989 0·3970 0·3910 0·3814 0·3683
0 3989 0· 3965 0·3902 0·3802 0·3668
() 391!9 0·3961 0·3894 0·3790 0·3653
0·3988 0·3956 0 3885 0·3778 0·3637
0·3986 0·3951 0·3876 0·3765 0·3621
0 3984 0·3945 0·3867 0· 3752 {)-3605
() 3982 0· 3939 0·3857 0·3739 0·3589
0·3980 0·3932 0·3847 0·3725 0·3572
0· 3977 0·3925 0·3836 0·3712 0·3555
0-3973 0·3918 0·3825 0·3697 0·3538
0·5 0·6 0·7 0·8 0·9
0·3521 0·3]]2 0·3123 0·2897 0·2661
0·350.1 0·3312 0·3101 0·2874 0·2637
0·341!5 0·3292 0 3079 0·2850 0·2613
0·3467 0 3271 0·3056 0·2827 0·2589
0·3448 0·3251 0·3034 0·2803 0 2565
0·3429 0 3230 0·3011 0·2780 0·2541
0·3410 0·3209 0·2989 0·2756 0·2516
0·3391 0·3187 0·2966 0·2732 0·2492
0·)]72 0·3166 0·2943 0·2709 0·2468
0·3352 0·3144 0·2920 0·2685 0·2444
1·0 l·l
0·2420 0·2179 0 1942 0·1714 0·1497
0·2396 0·2155 0·1919 0·1691 0·1476
0·2371 0·2131 0·1895 0·\669 0·1456
0·2J47 0·2107 0·1872 0 1647 0·1435
0·2323 0·2083
0·1415
0·2299 0·2059 0·1826 0·1604 0·1394
0·2275 0·2036 0·1804 0 1582 0·1374
0·2251 0·2012 0·1781 0·1561 0·1354
0·2217 0·1989 0·1758 0·1539 0·1334
0·2203 0·1965 0:1736 0·1518 0·1315
15 16 17 1·8 l·tJ
0·1295 0 1109 0·0940 0·0790 0·0656
0·1276 0·1092 0·0925 0 0175 0·0644
0·1257 0·1074 0·0909 0·0761 0·0632
0·1238 0·1057 0·0893 0·0748 0·0620
0·1219 0 1040 0·0878 0·0734 0·0608
0·1200 0·1023 0·0863 0·0721 0·0596
0·1182 0·1006 0·0848 0·0707 0·0584
0·1163 0·0989 0·0833 0·0694 0·0573
0·1145 0·0973 0·0818 0·0681 0·0562
0·1127 0·0957 0·0804 0·0669 0·0551
2·0 2 I 2·2
IHJ540 0·0440 0 0355 00283 0·0224
0·0529 0043 I 0·0347 0·0277 0·0219
0·0519 0·0422 0 0339 0·0270 0·0213
o:o508 00413 00332 0·0264 0·0208
0·0498 0·0404 0 0325 0·02.58 0·0203
0·0488 0·0396 0·0317 0·0252 0·0198
0·0478 0·0387 0·0310 0·0246 00194
0·0468 0·0379 0·0303 0·0241 0·0189
0·0459 0·0371 0·0291 0·0235 0·0184
0·0449 0·0363 0·0290 0·0229 0·0180
0·0175 0·0136 0 0104 00079 0·0060
0 0171 0·01]2 00101 0 01)77 0·0058
0·0167 0·0129 0·0099 0 0075 0·0056
0·0163 0·0126 0 0096 0·0073 00055
0·0158 0·0122 0·0093 0·0071 0·005)
00154 0·0119 0·0091 0·0069 00051
0·0151 0·0116 0·0088 0·0067 0·0050
0·0147 0·01ll 0·0086 0·0065 0·0048
0·0143 0·0110 0·0084 0·0063 O·(){J47
0·0139
0·0044 0·0033 0·0024 0 0017 0 0012
00043
O·
0·(){J40 0·0030 00022 0·0016 0·0011
00039 0·0029 0·0021 0 0015 0·0011
0·0038 0·0028 0·0020 0·0015 0·0010
0·(){ll7 0·0027 0·0020 0·0014 0·0010
0·(){)]6 0·0026 0·0019 0·0014 0·0010
0·0035 0·0025 0·0018 O·OOll 0·0009
00034 0·0025 0·0018 0 0013 0·0009
00009 00006 0·0004 ll·OOOJ 0·0002
O·OOOK 0·0006 0 0004 00003 0·0002
0·0008 00006 00004 0·0003 0 0002
0(J008 0·0005 0·0004 0·0003 0·0002
0·0005 0·0004 0·0003 0·0002
0·0007 00005 00004 0·0002 0·0002
0·0007 0·0005 0·0003 0·0002 0·0002
0·QO{l7 0·0005 0·0003 0·0002 0·0002
0·0007 0·0005 0·0003 0·0002 0·0001
O·ll006 0·0004 0·0003 0·0002 0·0001
1·2
I3 14
2·J 2·4
2·5 26 27 2-R 2·9 J
u
Jl )·2 }J
H 3·5 36 3-7 38 )·9
...
---
z
z
0·0032 0·0023 0·0017 0·0012
0·0022
0·1849 0·1626
o6~o8
0·0107 00081 0·0061 0 0046
!
~
136
137
Prt!og br. 3.
Pn!og br. 2.
POVR~INA !SPOD STANDARDNE NOF?/vfALNE FUNKC/JE RASPOD.JELE
POVRSINA !SPOD GUMBEL F(z}r
z
P [-oo..;;b;z] •
F(z)-
r r f
r f
r r r
r r
X
[-ro.;Z.,;z]- F(z}
F(z)
z
F(z)
z
F(z)
-3,90 -3,80 -3.70 -3,60 -3 ,so -3,40 -3,30 -3,20 -3' 10 -3,00 -2,90 -2,80 -2,7D -2,60 -2,50 -2,40 -2,30 -2,20 -2, I 0 -2,00 -I '90 -1 , so -I. 70 -I ,60 -I '50 -I '40 -I '3 0 -I' 20 -I , I 0 -I , DO -0,95 -0,90 -0,85
0,0000 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0003 0,0005 0,0007 0,0010 0,0013 0,0019 0,0026 O,D035 0, 001>7 0,0062 0,0082 0, 0 I 07 0,0139 0,0179 0,0228 0,0287 0,0359 0,0446 0,0548 0,0668 0,0808 0,0968 0. 1151 0, I 357 0, I 587 0, I 71 I 0' 1841 0' 1977
-0,80 -0,75 -0,70 -0,65 -0,60 -0,55 -0,50 -0, 115 -0,40 -0,35 -0,30 -D,25 -0,20 -0. 15 -0, I 0 -O,DS 0,00 0,05 0, I 0 0,15
0,2119 0,2266 0,2420 0,2578 0 '2 71>2 0,2912 0,3085 0' 326lf 0,3446 0,3632 0,3821
0,85 0,90 0,95 I, 00 I, I 0 1 '2 0
0. 802 3 0,8159 0,828')
0,25 0. 30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
6 (X-(1-x•0,456.J f(t}
z
(] '2 0
I
078 •
-oo
P
I
; z-
1-Hz) •Jt(t)dt
f (t}
r
-z
-ove FUNKCIJE RASPOD.JELE
0, L,O I 3
0 ,lf207 0. ljlf Qlf 0,4602 0, IJ80 I 0,5000 0,5199 0,5398 0,5596 0,5793 0 '598 7 D,61 79 0,6368 0 '6551+ 0' 6 736 0,6915 0,7088 0' 7258 0, 71122 0,7580 0. 7734 0,7881
I, 30 I ,40 I , 50 I ,60 I, 70
1 'so I , 90 2,DO 2' 10 2,20
2,30 2,40 2,50 2,60 2' 70 2,80 2,90 3,00 3, I 0 3 '2 0 3 '3 0 3 • I,D 3,50 3,60 3,70 3,80 3,90
O,SLJI)
o,R6h3 0 ,881>9 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9552 0,9641 0,9713 0 '9772 0,9821 0,9861 0,9993 0,9918 0,9938 0,9~53
0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0 '9999. 0,9999 I , 0000
z
F (z)
z
2,0 I ,9
0.00067 0.00133 0.00251 0.00443 0.00742 0. 01183 0.01805 0.02644 0. 03737 0.05109 0.06780 0.08759 0. 11043 0.13620 0.16465 o. 19548 0.22833 0. 26279 0.29843 0.33483 0.37157 0.40828 0.44461 0.48026 0,51498 0.54855 0.58081 0. 61 163 0,64092 0.66864 0.69475 0,71925 0.74216 D. 76352 0,78337 0.80179 0.81882
1. 7 I ,8 1 ,9 2 '0 2, I 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
I ,8 I, 7 I ,6 I, 5
1 ,4 1 '3 1 ,2 1,1 1 ,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0. 1 0,0 0, I 0,2 0,3 0,4 D,5 0,6 0,7 0,8 0,9 I, 0 I, I
1 ,2 I ,3 I ,4 1 ,5 I ,6
I I
3, I
3,2 3. 3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 I,' 0 4. I 4,2 4 3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8
4,9 5,0 5, I 5,2 5,3
F(z)
0.83454 0.84903 0.86236 0.87459 0.88582 0.89610 0.90550 0.91409 0.92194 0.92910 0.93562 0.94157 0.94698 0.95190 0.95637 0.96044 0.96414 0.967/Jg 0.97054 Ci.97331 0.97582 0,97809 0.98011\ 0.98203 0.98372 0.98526 0.98665 0.98792 0.98906 0.99010 0.99103 0.99188 0.99265 0.99335 0.99398 0.99455 0.99507
F (z)
z
0.99554 0.99596 0,99634 0.99669 0.99701 0.99729 0.99755 0. 99778 0.99799 0.99818 0.99836 0.99851 0.99865 0,99878 0.99890 0.99900 0.99910 0.99918 0.99926 0.99933 0.99939 0.99945 0.99950 0.99955 0.99959 0.99963 0.99970 0. 99973 0.99975 0.99975 0.99978 0.99980 0.99982 0.99984 0.99985 0.99986 0.99988
5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,1, 6.5 6,6 6,7 6,8 6,9 7,0 7.1 7,2 7' 3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8,0 8' 1 8,2 8,3
8,4 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 9,0 .
-
-·-
5
10
I 30
I
l 1.0
e r o v a
I
t
5o
n o
"I
c 1
<2 ( z) / [%]
I ',7o1\ so I 9o z6 -=-o:sz· ::o,s4 -1.28
6o
a ;c.
\'1 .'9~.rl
. :ceo
1
97
t•Z
I (~s)
,
1
3,09 2,81 2,54 2,27 2,02 1, 79 1, 58 1, 39 1, 24 1,11 0,999
-0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 -1,2 -1.4 -1 ,6 -1 ,8 -2,0
0, 1
0,995
1.10
1 ,22
1 ,35
1 ,50
1, 66
1 '84
2,02
2,20
2,39
2,58
0,5
0,99
1 '09
1 ,20
1, 32
1. 45
1, 59
1 '74
1 ,88
2,03
2 '33 2,18
1
0,95
1 ,02
1 '17 1 , 10
1 ,24
1 '32
1 '38
1 '45
1 '52
1. 58
1 ,64
5
I
v
j
0,90
Q,94
0,99
1 '04
1 '08
1. 13
1 '17
1 ,20
1. 23
1 ,26
f:zz
0,78
0,80
0. 81
0,83
0,84
,0. 85
0,85
Q,85
0,85
0,85
0,64
0,64
0,64
0,64
0,63
0,62
0,60
0,59
0,57
0,55
0. 52
-0.25
- · - --
0. 31
0,28
0,25
0,23
0' 19
0,08
0,05
+0 '02
-0,02
-o,os
-0,09
- 0, 12
n, 13 0. 16
-0. 16
-0' 19
-0,22
0, 1 0
0,07
0,03
0, 00
erovatnoCa 20 60 30 50
(3 r!w;
-0,20
-0,24
-0,28
-0. 31
-0,35
-0.38
-0. 41
-0,44
so
-0,61
-0,64
-0,68
-0,71
-0,73
-0,76
-0,78
-0,80
-0,82
-0,83
-0,84
tD( z)
-0,47
-0,50
-0 '52
70
IJ(z)=f-F(z)•~Jwt"-·tet/ildt
1,28 0,84
10
99,9
~
90
-1 , 30
-1 • 32
-1 , 33
-1,34
-1 '34
-1 '34
-1 '34
- 1 '33
-I' 32
-1 • 30
-1 ,28
[%] 95
-2,0
-1.98
-1 ,96
-1 ,92
-1,91
-1 '88
-1 '84
- 1, 80
- 1 • 75
- 1 '70
-1 ,64
.fit)
99
-3,60
- 3' 50
-3,39
-3,27
-3. 15
-3. 02
-2,89
-2,75
-2 '61
-2,47
-2,33
99,5
-4,30
- 4, 15
-3,99
-3,83
-3,66
-3 '49
-3. 31
--3, 13
-2,95
-2,78
-2,58
00
w
>-'
?niog br. 4-b.
o,s4 o,52 o,z5l o,oo -o 1--1 64 -1,88 -2,33 -3,o9 0,84 0,51 '( 0,24 i-0,02 -0:27 -0,53 -0,85 -1,271-1,61 -1,84 -2,25 -2,95 0,82 0,48 o,~o -0,05 -0,30 -0,56 -0,85 -1,24 -1,55 _~L,i'5- .:::1,_~0 -2,67 0,81 1 o;46 ,- o,181-o,osl -o,n-q~o;58 -o-:s' -1.22 -1:49_ -1,66 -1,96' 7z,4o 0,79 .· 0,43 [ O,lj -0,12.! -0,36 -o,6o _cQ_,_M_ -1,18 ·j:::.L.§L, -1,57 -1,BJ cz,14 0,77 0,40 i-U,11 -0,15 -0,38 --;-blj-0,85 -1,15 -1,35 -1,47 -1,661-1,90 0,76 0,38\ o,o9l-o,16 -0,39 -0,62 ·-0,85 -1,131-1,32 -1,42 -1,59 -1,79 0,73 0,35 1 o,o5l-o,19 -o,42 -0,63j-o,84 -1,08 -1,24 -1,33 -1,45 -1,58 0,71 0,31 0,02 -0~22 -0,44 -0,64 -0,83 -1,04 -1 '17 ,-1,231-1,32 -1,39 o,62 :o.28 -o,o2 -o;zs -o,46 -o,64 1-o,s1 -0,99 -1,101-1,14 -1,2o -1,24 0,64 0,211 -0,05 -0,28 -0,48 -0,64 ·-0,80 -0,94 -1,02 -1,06 -1,09 -1,11 0,61 0,20 -0,08 -0,31 -0,49 -0,64 -0.78 -0,90 -0,95 1-0,97 I-D,99 -1 ,DO 0,57 0,16 -0,11 -0,33 -0,49 -0,64 -0,75 -0,842 -0,882 -0,8951 -0,90 -0,909 o,52 0,12 -0,14 -0,35 -o,5o -o,6z -o,72 -0,792 -0,82o!-o.8z7j -0,83 -o,833 0,48 0,085 -0,17 i -0,37 -0,50 -0,61 ,-0,70 -0,746 -0,763'1-0,766l-0,77 -0,769 0,44 0,057 -0,21:-0,30 -0,50 -0,60 -0,67 -0,703 -0,711 -0,713 -0,70 -0,7111 0,39 0,027 -0,23 -0,40 ., -0,50 -0,59 I -0,64 -0,661 -0,665 -0,6671 -0,66 -0,667 0,35 0,006 -0,41 1 -0,57 -0,61 -0,622 -0,625\-0,625 1 -0,625 o,31 o,o36 -o,4i 1 ~o.55 -0,58 -0,587 -o,588 -o,s88 -0,588 1 0,28 0,072' -0,42 i -0,54 -0,55 -0,555 -0,5661-0,556 -0,556 0,211 0,095 '-0,421 -0,51 -0,52 -0,526 -0,5261-0,526 -0,526 0,21 0,12 ! -0,41 -0,49 -0,50 -0,500 -0,500 -0,500 -0,500 o,1'l 0,13 i -0,41 -0,47 -0,475 -0,476 -0,476I-o,476 -0,476 0,15 0,15 I -0,40 -0,450 -0,455 -0,455 -0,455\-0,455 -0,455 o, 13~' o, 17 -o,4o -0,432 -o 435[-o ,435 -0,435' -o.435 1 -0,435 0,10 -0,19 I -0,39 I -0,415 -0,417 -0,417 -0,417 -0,417 -0,417 o,of; -0.20 i -0,380\ -0,399 -o,4ool-o.4oo -o,4oo 1 -o,4onj -o,4oo
20
V j
f •Z
-4,91
-5,64
-5,37
-5,09
-1 ,81
-4,53
-4,24
-3,96
-3, 55
-3,38
-3.09
99,9
VRIJEONOST/ PROMJENLJIVE. z. (PEARSON III RASPOOJELA -PO FOSTER-RIBKIN-u) ZA ZAOATU VJEROVATNOCU, !P(z). I NEGAT/VAN KOEFICIJENT AS!IvfETRIJE Cs
1
3.72: 3,09 2,33 1,64 1 ,28 3,94 3,16 2,40 1,67 1 ,29 4,38 3,52 2,54 L,-72 1, 31 4,83 3,8J- z-;-08 1,7''{ 1, 32 ,_!;,JO" 2,82 __ \_,Bzf I, 33 5,73 4;38--z-;-
o, 01 I o. 1
-0,0
cs
0,90 1,00 1,20 1,1\Q 1,60 1,80 2,00 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0
Pnlog br. 4·-a.
VRJJEONOSTI PROMJENL)I\IE. z. (PEARSON IIl RASPOOJELA - PO FOSTER-RIBKIN-u) ZA ZADATU VJEROVATNOCU, tp (z). I POZIT/VAN KOEF!CIJENT AS!METR/JE Cs f(t) ~(z)./-F{z)·~ J"'to~--r e 11~dt (o r loLJ
O,,ZJl---h~8
0,00 0,10 0,30 0,50
C'
~ --·--•n'--•-.~-
>-' w \D
·,~=
.11!1
I
1
v
1
11: if:.:, '
r
;r) ·j
,,'~) /,'' <·t
~:~~ii;<:
l
i;:
'i}
i·:jl ~'.
1.
140
.141 Pnlog br. 5. Pnlog br.
·.:'.;·,.
6
2
,·:::,:;>i'
VRIJEDNOST! PROMJENLJIVE, X , ZA ZADATU VJEROVATNOCU, 2 F{X ), I BROJ STEPENI SLOBODE.
v
Ji;}' ),
KOLMOGOROV -SM/RNOV TEST SA GLASNOST/
rX:,FJ
1),1!•
\:1~·
Kntu::nQ vnjednosll D,·iFf u funkciJI v121it:1n12 uzorka N
f(t)
.!A
CJjenfa nZika
FfX;) = P[x;,.,_
1
kol2fi-
oL.
;;:;2] P{maxllixl-lr(xJI.<>oo}=
'
· •· .·.·· 1.
du
f(DJ
'
. ·. '.: J il\
v
~-9!15
:d.oo
~-m
I 2 J 4
H8 10·6 IH 14·9
6·63 9·21 11·3
IB
5·02 7·38 9·35 11·1
5 6 7 8 9
16·7 18·5 20·3 22·0 23·6
15·1 16·8 18·5 20·1 21·7
12·8 14·4 16·0 17·5 19·0
23·2 24·7 26·2
14
25·2 26·8 28·3 29·8 Jl 3
15 16 17 18 1 19
32·8 JO 15·7 372 18·6
I :~ 12 13
120
xr.;,
~-9G
;d.1!J
2·71 4·61 6·25 7·78
1·32 2·77 4·11
ll·l 12·6 14·1 15·5 16·9
9·24 10·6 12·0 13·4 14·7
6·63 7·84 9·04 10·2 11-4
29·1
20·5 21·9 23·3 24·7 26·1
18·3 19·7 21·0 22-4 23·7
16·0 17·3 18·5 19·8 21·1
30·6 32·0 33-4 34·8 36·2
27·5 28·8 30·2 31·5 32-9
25·0 26·3 27·6
22·3
2n
H4 5·99 7-81 9-49
·~8·9
30·1
23-5 24·8 26·0 27·2
5-39
~-JO 0·455 I 39 2·37, ]·36 4·35
tiB
x.;.Jo
rl-IW
xi.ot
:d.oos
0·0158 0·211 0·584 1·06
0·0039 0·.103 0·352 0'711
0·0010 (}0506 0·216 (}484
0·0001 0·0201 0·115 0·297
0·0000 0·0100 0·072 0·207
2-67
1·15 1·6-4 2·17 2·73 3·33
(}831 1·24 1-69 1·18 2·70
0·554 0·872 1·24 1·65 2·09
0·412 0·676 (}989 1·34 1·73
3·94 4·57 5·23
3·25 3·82
2·16 2·60 3·07 3·57 4·07
5·35
3-43
6·35 7·34 8·34
05
I-61 2·20 2·83
5·07 5·90
4·17
12·5 13·7 14·8 16·0 17·1
9·34 10·3 11·3 12·3 13 3
6·74 7·58 8·44 9·30 10·2
18·2 19-4 20·5 21·6
14·3 15 3 16·3 17-3 18·3
II 0 11·9 128 13·7 14·6
21·7
:X}.o,
0·102 0·575 I 21 1·92
3-49
4-87
5·58 6·30 7·04 7·79 8·55 9·31 10·1 10·9 11·7
5-89
5·01
2·56 3·05 3·57 4·11
6·57
5·63
4·66
J.26 7·96 8·67 9·39 10·1
4·<10
6·26 6·91 7·56 8·23 8·91
5·23 5·81 6·41 7·01 7·63
23 24
34·2 35·5 36 8 38·1 39-4
31·4 32·7 33-9 35·2 36·4
28-4 29·6 30·8 32-0 33·2
23·8 24·9 26·0 27·1 28·2
19·3 20·3 21·3 22·3 23·3
15·5 16·3 17·2 18·1 19·0
12-4 13·2 14·0 14·8 15·7
10·9 11·6 12·3 13·1 13-8
9·59 10·3 11·0 11-7 12-4
8·26 8·90 9·54 10·2 10·9
25 26 27 28 29
46·9 48·3 49·6 510 52·3
44·3 45·6 47·0 48·3 49·6
40·6 41·9 43-2 445 45 7
37·7 38·9 40·1 41·3 42·6
34-4 35·6 36·7 37·9 39 I
29·3 304 31·5
19·9 20·8 21·7 227 23·6
16·5
33·7
24-l 25·3 26·1 27 3 28 J
18·1 18·9 19 8
14·6 15-4 16·2 16·9 17·7
13·1 13·8 14·6 15·3 16·0
11·5 12·2 12·9 13·6 14-3
10·5 11·2 11·8 12·5 IJI
JO 40 50
53·7 66·8 79·5
47·0 59·3
40·3 51 8 63.'!
92·0
83·3
43-8 55·8 67·5 79·1
74-4
34·8 45·6 56 3 67·0
29·3 39·3 49·3 59·3
24·5 33·7 42·9 52·3
20·6 29·1 37·7 46·5
18·5 26·5 14.8 43·2
16·8
w
50·9 63·7 76·2 88·4
15·0 22·2 29·7 37·5
IJ.S 20 7 28·0 35·5
95 0 106 6 1181 !29 6
9()'5 101 9 113 I 124 3
85·5 96·6 107 6 118 5
77-6 88 I 986 109 I
69·3 79·3 89·3 99·)
61·7 71·1 80·6 90·1
55·3 64·1 733 82·4
51 7 60·4 69 I 77·9
45·4 53·5 61·8 70·1
41·1
70 104·2 80 116·3 911 128·3 IIHJ !4(}~
100·4 1123 1241 135 8
71-4
32·6
24·4
32-4 40·5 48·8 57 2 65·6 74·2
7-41 8·03
8-64 9·26 9·89
51·2
59·2 67·1
0
Koefici_jent rizika,
Vel iCina
ct..,
[%]
uz~ r ka ~-~--,--2-,l-_5-----r~-l-0--,1--l-5-..,.~--20-.,----3-0-ij
6·84
37·6 38·9 40·3 41·6 43-0
In
I
4·60 5·14 5·70 6·26
40·0 41-4 42·8 44-2 45·6
21
22
o,
I I I
l,,
-~~
.~ -~
j
cl
l.\
5
I o. n
0,68
0,61
0,55
0. 51
0,48
I0
0. 51
0 ,1>8
0,43
0,39
0,36
0. Jl[
0,31
15
0,42
o.• 39
0.
35
0,32
0,29
0,28
0,25
20
0,36
o;34
0,30
0,2 7
0,25
0 ,21+
a,22
25
0;32.
0,30
0,27
0,24
0,23
0 '2 0
0.19
0,44
30
0,30
0,28
0,25
0,22
0. 21
0, I g
0. 18
35 40
0. 27
0,26
o,n
0 '21
0' 19
0' 18
0,17
0,26
0 '21+
0. 21
0, I q
0, I 8
0, I 7
0. 16
45
0,24
0,20
0,
I.~
n. 17
0. 16
0. 15
so
0. 14
0. 2 3
0. 2 3
0,21
o.Ll9
n, 17
0. 16
0, I 5
60
0 '21
0,20
0, I 7
0' 16
0. 15
0, ]II
0.13
70
0' 19
n, 18
0' 16
0, I 5
0. 14
0, I 3
0' 12
80
0, I R
0' 17
0, I 5
0' ]I+
0, I,
0. 12
~,II
90
0, I 7
0, 16
0' 14
0. 11
0. 12
0, I I
0, I 0
100
0' 16
0,15
0,13
0, I 2
0, II
0,10
0,09
'-~~'
----
142 Pn/og M 7.
VRI.JEDNOST/ PRO/v!JENLJIVE, t, (PO STUDENTU) ZA ZADATU VJEROVATNOCU, F(t ), I BROJ STEP EN/ SLOBODE, JY ( fV.F)
f(x)
X·f~.F
X
--------~----------
{
2 02 I-94 I 90 I ·86 1·83
148 1·44 1·42 1-40 1·38
0·920 0·906 0-896 0-889 0-883
0·727 0-718 0 71 I 0·706 0·703
0-559 0-553 0·549 0·546 0-543
0·267 0·265 0·263 0 262 0 26I
0·1 32 0·13 I 0-130 0·130 0 I29
1·81 I-80 I 711 177 1·76
1·17 1·)6 I .15 I-34
0·879 0-876 0·87.1 0 870 () 868
0-700 0-697 0·695 0·694 0·692
0·542 0-540 0·539 0·538 0·537
0·260
I 16
2·62
22] 2·20 2·18 2·16 2·14
0·260 0 259 0 259 0·258
() 129 I) 129 0- I28 0·128 0 128
2-I~
1·75 1·75 1·74 1-73 1·73
0 691
2·12 2·11 2·10 2·09
1·34 1-33 I·JJ 1·33
0·866 0-865
0·536
0·258
0·690
0· 128
0·862 0 86I
0·689 0·688 0·688
0·535 0-534 0·534 0 53)
0-258
2·88 2 86
2·60 2·58 2·57 2·55 2·54
0 257 0·257 0·257
0·128 0·127 0-127
2·84 2 83 2-82 2-8I 2·80
2 53 2 52 2-51 2-50 2·49
2·09 2·08 2·07 2·07 2 06
1·72 I-72 1-72 1·71 171
1·32 1·32 1·32 1.·32 f-32
0-860 0·859 0·&58 0·858 0·857
ll·li87 0·686 0-686 0·865 0·685
0·533 0 532 0-532 0-532 0-531
0-257 0-257 0-256 0-256 0·256
0-127 0-127 0-127 0-127 0·127
2·79 2·78 277 2-76 2·76
2·48 2·48 2-47 2-47 2-46
2·06 2-06 2·05 2·05 2·04
1·71 1·71 1·70 1-70 1-70
1·.~3
0·856 0·856 0·855 •0·855 '.0-854
0-6841
0-531 0-53I 0-531 0·530 0-530
0·256
(}256
0·127 0-127 '0·127 0-127 0·127
2·75 2 70 2 66 2·62 2·58
2-46
2·04
2-42 2·39 2·36 2·33
2-02 2-00 1·98 1·96
1·70 1·68 1·67 1·66 1·645
0·530 0·529 0-527 0-526 0·524
0-2$6 0·255 0-254 0·254 0-253
0·127 O·I26 0-126 0-121; 0·126
1o•;n
I 2
6.1-66 9-92
J 1·82 6-96 4 54 3·75
12-71 4 30 3 18 2 78
6·.11 1-92
J OK
2·_15
1·64
2·13
~-36
2·.'17 245 2·36 2·31 2-26
5 84 4·60
6 7 8
40) .171 3 so J _16
y
]2.5
15 _16 II 18 19 20 21 22 2J
'
0·158 0·142 0 137 0· I34
ro\lo
J
[J
30 40 60 120
I 53
0·325 0 289 0·277 0·271
/091S
Ill I!
29
I q ~~
0·727 0 617 0-584 0·569
/1).\)9
4
12 11
25 26 27 28
I,, ~il
1·000 0-816 0·765 0-74 I
'u.\!9S
I'
24
'·l ,,
1·\76 t·Dol 0 978 0·94I
'
1·!7
J II 3·06 3 01 2·98 2·95 2-92
HO
]· I4 )-()()
2·90 2·82 ~ 76 2·72
2·68
2·65
1n11o
l,l'<
- !------------------------l·R9
1·34
,..,w, 1-J~
i>H
hl!, 1'-~·l'
)IJ@
liJG [·IQ~
1!·2~
0-863
0·854 0·851 0-848 0-845 0·842
81584 011)84 0·68! 0-683 0-683 0·1181 0-679
0·617 0-674
0-2~6
02!6 0-2 6
0-128
!
,·!
