Banco de preguntas de Geometría Trigonometria Examen de ingreso Facultad de Ciencias y Tecnología Universidad Mayor de San Simón vonmoscov.blogspot.com
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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA CURSO PREFACULTATIVO GESTIÓN II-2012 PRÁCTICA Nº 1 – GEOMETRÍA 1. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C; luego se toma el punto medio M de BC. Hallar AM si AB+AC=14 a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9 2. Sobre una recta s consideran los puntos consecutivos A B, C y D con la siguiente condición: AC.BD+BC.AD=0. Siendo M el punto medio de AB calcular el segmento AM si: MC.MD= 25. a) 5
b) 10
c)
5
d)
3
5
e) 5/2
3. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E con la siguiente condición: AB=DE y AD-CE=6. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de BD y CD. a) 6
b) 12
c)
6
d) 18
e) 3
4. Sobre una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Determinar el segmento BD si AE=3BD, AC+BD+CE=60. a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) Ning. 5. Sobre una línea se consideran los puntos consecutivos: A, B, C, D, E y F donde: AB
EF
3 BE y 5
2 AB . Hallar la longitud del segmento BE si AC+BD+CE+DF=30. 3
a) 10
b) 14
c) 20
d) 8
e) Ning.
6. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F con la siguiente
BE . 3 AC BD CE DF 24
condición:
a) 7
AB EF b) 8
Calcular
c) 9
la
longitud
d) 10
del
segmento
BE
si:
e) Ning.
7. Se tienen tres ángulos consecutivos AOB; BOC y COD . Calcular el suplemento del ángulo AOD sabiendo que los ángulos AOC y BOD son suplementarios y el BOC =35º a) 35° b) 110° c) 53° d) 111° e) Ning. 8. Se tienen los ángulos consecutivos y suplementarios: AOB BOC . Se trazan las bisectrices OX del ángulo BOC , OY del ángulo AOX siendo BOY 75º .Calcular el ángulo YOC . a) 95° b) 75° c) 65° d) 85° e) Ning. 9. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC , siendo BOC AOB 36º , OX la bisectriz del ángulo BOC , OY es la bisectriz del ángulo AOB y OZ la bisectriz del ángulo XOY . Hallar el ángulo BOZ a) 10° b) 8° c) 15° d) 9° e) Ning.
10. La tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo excede en 8 al complemento de la mitad de la medida de dicho ángulo. Calcular la medida de dicho ángulo. a) 160° b) 120° c) 156° d) 108° e) 100° 11. Un ángulo llano es dividido en cinco ángulos parciales en progresión aritmética. Calcular el ángulo menor sabiendo que el cuadrado de su medida es igual al ángulo mayor a) 10° b) 8° c) 5° d) 12° e) Ning.
12. El suplemento del complemento del triple de un ángulo es igual al complemento del ángulo disminuido en 20°. Calcular dicho ángulo. a) 10° b) 5° c) 15° d) 25° e) Ning.
L1
x
x
L1 48º
62º L2 130º
L2
Figura 1 (Prob. 13)
76°
44°
Figura 2 (Prob. 14)
13. En la figura 1 L1 // L2 Calcular el ángulo x a) 124° b) 36° c) 144°
d) 120°
e) Ning.
14. En la figura 2 L1 // L2. Determine el valor del ángulo “x”. a) 20° b) 15° c) 30° d) 35°
e) Ning.
15. Un ángulo duplicado es mayor a otro en 30 grados. Si los ángulos son conjugados internos comprendidos entre rectas paralelas. Determinar el suplemento del mayor ángulo. a) 120° b) 110° c) 60° d) 70° e) Ning. 16. En un triángulo ABC, BD es la bisectriz del ángulo exterior en B, cuya prolongación corta en E a la bisectriz del ángulo ACB . Hallar el ángulo CED , si A=72º y C=54º. a) 25° b) 32° c) 43° d) 36° e) Ning. C
D D
C
A
A
B
Figura 3 (Prob.17)
B
Figura 4 (Prob. 18)
17. En la figura 3 AD y BD son bisectrices interior y exterior respectivamente. Si el ángulo ADB 20 determine el valor del ángulo ACB .
a) 30°
b) 25°
c) 40°
d) 10°
e) Ning.
18. En la figura 4 CD y BD son bisectrices exteriores. Si el ángulo CAB 42 , determine cuanto vale el ángulo CDB a) 48° b) 55° c) 59° d) 69° e) Ning. 19. Se da un triángulo ABC donde AC=BC. En la prolongación de AB se ha tomado BD=BC y se ha trazado CD. Hallar el ángulo D si A 80 a) 40° b) 50° c) 30° d) 20° e) Ning. 20. Se tiene un triángulo ABC, por el vértice C se traza CH perpendicular a AB, también la bisectriz exterior del vértice C. Calcular el ángulo formado por la perpendicular trazada y a bisectriz si se sabe que: A B 28 a) 80° b) 65° c) 76° d) 48° e) Ning. 21. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la bisectriz interior BD. Hallar el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BAD y BDC . a) 24.5° b) 23.5° c) 22.5° d) 20.5° e) Ning. 22. En un triángulo ABC: AB=12, A 78 , C=39°. La mediatriz de BC corta a AC en el punto E. Hallar EC. a) 15 b) 12 c) 14 d) 16 e) Ning. 23. El ángulo mayor que forman las bisectrices adyacentes a la base de un triángulo isósceles mide cinco veces más que el tercer ángulo. Hallar su valor. a) 120° b) 130° c) 100° d) 105° e) Ning. 24. En un triángulo ABC, CD es la bisectriz del ángulo C, BD es la perpendicular a CD. Si ABC 40º y el ángulo exterior en A mide 130°, hallar el ángulo ABD . a) 5° b) 6° c) 7° d) 8° e) Ning. 25. Se da un triángulo ABC donde A 68 . Sobre el lado AB se ubica un punto D de tal modo que BD=DC y DA=AC. Hallar el ángulo BCA a) 84° b) 48° c) 65° d) 56° e) Ning. 26. El ángulo mayor formado por las bisectrices interiores de los ángulos B y C de un triángulo ABC es el doble del ángulo A. Hallar el mayor de los tres ángulos del triángulo si se sabe que B C 20º . a) 80° b) 70° c) 65° d) 75° e) Ning. 27. En un triángulo ABC acutángulo, las alturas BH y AQ se interceptan en el punto E. SI AE=BC, hallar la medida del ángulo BAC . a) 35° b) 45° c) 55° d) 25° e) Ning. 28. En el triángulo obtusángulo ABC, las mediatrices de AB y AC cortan a BC en P y M. Si el ángulo A es igual a 110º, hallar el ángulo PAM. a) 80° b) 70° c) 60° d) 40° e) Ning.
29. En el triángulo ABC se traza la altura AH de tal modo que BH=4 y HC=12. Hallar el lado AB si se cumple además que B 2C . (Sug. Trazar un punto D sobre BC tal que AD=AB). a) 6 b) 8 c) 5 d) 6 e) Ning. 30. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide 26°. Hallar el ángulo que forman la mediana y la altura trazadas desde la hipotenusa. a) 46° b) 27° c) 38° d) 54° e) Ning. 31. Si la medida de un ángulo interior y exterior de un polígono regular está en relación 7 a 2. Hallar el número de diagonales que tiene el polígono. a) 12 b) 15 c) 18 d) 27 e) Ning. 32. La diferencia entre el número de los lados de dos polígonos convexos regulares es 2 y los ángulos centrales difieren en 15°. Determine la suma de sus lados. a) 10 b) 14 c) 18 d) 22 e) Ning. 33. Calcular el número de lados del polígono regular cuyo lado mide 4 metros, si su número total de diagonales es cuatro veces el perímetro del polígono. a) 40 b) 25 c) 35 d) 20 e) Ning. 34. Si el número de lados de un polígono aumenta en tres, el número total de sus diagonales aumenta en 15. ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) Ning. 35. Si al reducir el número de lados de un polígono a la mitad, el número de diagonales se reduce a la séptima parte, ¿cuántos lados tendrá el polígono? a) 12 b) 8 c) 7 d) 10 e) Ning. 36. El numero de lados mas el número total de diagonales de un polígono es igual a 45. Determinar la suma de los ángulos interiores del polígono. a) 1200° b) 1310° d) 1440° d) 1080° e) Ning. 37. Si el número de lados de un polígono se duplica, entonces la suma de las medidas de sus ángulos interiores aumenta en 3060°. Determinar el número de vértices del polígono. a) 15 b) 17 c) 19 d) 14 e) Ning. 38. El ángulo interior de un polígono convexo regular es 5 veces su ángulo exterior. Determinar la suma de los ángulos interiores del polígono. a) 8 b) 12 c) 10 d) 14 e) Ning. 39. Se tiene un cuadrilátero donde los ángulos opuestos miden 70º y 140º respectivamente. Hallar el menor ángulo que forman las bisectrices de los otros ángulos opuestos. a) 25° b) 30° c) 35° d) 25° e) Ning. 40. En un trapecio la paralela media y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales difieren en 12 unidades. Sabiendo que la paralela media es el cuádruplo del segmento que une los puntos medios de las diagonales, hallar la longitud de la base mayor. a) 20 b) 30 c) 10 d) 40 e) Ning.
41. Hallar la base menor de un trapecio sabiendo que la suma de los lados no paralelos es igual a 10cm; las bisectrices interiores de los ángulos adyacentes a la base menor se interceptan en un punto de la base mayor y la mediana es igual a 8cm. a) 5cm b) 6cm c) 8cm d) 10cm e) Ning. 42. En un trapecio la suma de los lados no paralelos es igual a 35 m; las bisectrices interiores de los ángulos adyacentes a la base menor se interceptan en un punto de la base mayor. Hallar la base 6 menor si la mediana del trapecio es igual a de la base menor. 5 a) 25m b) 30m c) 15m d) 20m e) Ning. 43. La base menor AB de un trapecio ABCD mide 6. Por A y B se trazan paralelas a los lados no paralelos. Hallar la base mayor sabiendo que dichas paralelas se cortan en un punto de la mediana del trapecio. a) 10 b) 15 c) 18 d) 12 e) Ning. 44. En un trapecio isósceles la altura mide 2m y el mayor ángulo interior mide 135º. Si la base menor mide 6m, ¿cuánto mide la paralela media?. a) 8m b) 9m c) 10m d) 11m e) Ning. PROPORCIONALIDAD SEMEJANZA 1. Tres rectas paralelas: L1, L2 y L3 determinan sobre una secante S1 dos segmentos cuyas longitudes son 8 y 12 respectivamente. Calcular el menor segmento de los segmentos determinados sobre una segunda secante S2, cuya longitud total es 25. a) 8 b) 10 c) 15 d) 20 e) Ning. 2. Las paralelas: L1 , L2 y L3 cortan a las secantes S1 y S2 determinando sobre cada una de ellas los segmentos parciales: AB y BC en S1, EF y FG en S2. Si AC=10, EG=15, AB+EF=20, hallar AB. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Ning. 3. Se da un triángulo ABC cuyo lado BC mide 6m y la altura AH=4m. Hallar el lado del cuadrado inscrito que tiene uno de sus lados en el lado BC del triángulo. a) 1.2m b) 1.4m c) 0.6m d) 1m e) Ning. 4. Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BC miden 8m y 6m respectivamente. Hallar el lado del rombo inscrito que descansa sobre los lados AB y BC del triángulo. a) 3/7 b) 24/7 c) 15/7 d) 10/7 e) Ning. 5. Se da un trapecio con bases 2m y 6m y con altura 4m. Hallar distancia del punto de intersección de los lados no paralelos a la base menor. a) 3m b) 4m c) 2m d) 6m e) Ning. 6. Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 6m y 16m. Si la distancia entre los lados mas cortos es de 8m, cuál es la distancia entre los otros dos lados? a) 3m b) 4m c) 1m d) 5m e) Ning. 7. Se da un triángulo ABC cuyos lados miden: AB=4m, BC=5m y AC=6m. Sobre AB y BC se toman los puntos P y Q respectivamente de modo que AP=CQ=1m. Se prolonga PQ hasta que corte a la prolongación de AC en R. Hallar CR. a) 12m b) 18m c) 15m d) 10m e) Ning.
8. Las bases de un trapecio miden 3m y 6m. Calcular la longitud de la paralela a dichas bases que pasa por el punto de corte de las diagonales. a) 2m b) 5m c) 8m d) 4m e) Ning. 9. Se da un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D. Las bases miden: AB=9m y DC=36m. Hallar su altura si las diagonales son perpendiculares. a) 12m b) 15m c) 18m d) 20m e) Ning. 10. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares entre si y tienen longitudes de 6m y 8m. Hallar la altura del trapecio. a) 4.8m b) 5.1m c) 7m d) 12m e) Ning. 11. Dado un rectángulo ABCD tal que AD=1/5CD, por B se traza BE perpendicular a AC de manera que E está en CD. Si ED=24m, hallar la medida de CE en metros. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)Ning. 12. Se da un rectángulo ABCD en el cual CD=2AD. Por B se traza BE perpendicular a AC, se prolonga BE hasta cortar el lado CD en M, si MD=6m. Hallar MC. a) 7 b) 2 c) 3 d) 5 e) Ning. 13. Los catetos de un triangulo rectángulo son 4 cm y 3 cm. El valor de la altura relativa a la hipotenusa en cm es: a) 14/5 b) 16/5 c) 10/5 d) 12/5 e) Ning. 14. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo son dos números enteros consecutivos y la altura relativa a la hipotenusa es a) 13 b) 15 c) 17 d) 16
72 . Calcular la hipotenusa. e) Ning.
15. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15cm y la altura respecto a ella mide 6cm. Hallar la longitud del cateto mayor. a) 3 5
b) 6 5
c) 2 5
d)
5
e) Ning.
16. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, los cuadrados de los catetos están en relación 9 a 4. La proyección de la mediana de la hipotenusa sobre ésta mide 10m. Calcular la hipotenusa. a) 25m b) 30m c) 42m d) 52m e) Ning. 17. En un trapecio, la base mayor AB mide 20m y la diagonal BD mide 14m. Hallar la segunda diagonal si las diagonales son perpendiculares y CAB 30º . a) 14 3m
b) 4 3m
c)
3m
d) 10 3m
e) Ning.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2012 PRACTICA DE GEOMETRIA TRIGONOMETRIA SEGUNDO PARCIAL CIRCUNFERENCIA 1. En una circunferencia de centro O, se traza el diámetro AB y se prolonga hasta el punto C a partir del cual se traza la tangente CT. Si ∠ACT = 28º , calcular el ángulo ∠ATC . a) 111° b) 130° c) 121° d) 115° e) Ning. 2. Si los radios de dos circunferencias tangentes exteriores miden 4m y 9m. Hallar la longitud de la tangente exterior común entre los puntos de tangencia de las dos circunferencias. a) 10m b) 15m c) 12m d) 20m e) ning. 3. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda CD de modo que CD // AB. Hallar el ángulo ∠ADC si ∠DAC = 46º . a) 22º b) 32° c) 15° d) 30° e) Ning. 4. Desde un punto A exterior a una circunferencia se trazan las secantes ABC y ADE. Si AB=BE y el arco CE =80º. Hallar el ángulo ∠BAE . a) 30° b) 15° c) 10° d) 20° e) Ning. 5. En un triángulo rectángulo, los catetos suman 31m. Si la mediana con respecto a la hipotenusa mide 12.5m hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) Ning. 6. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo si los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita miden 4m y 13m respectivamente. a) 20m b) 40m c) 60m d) 30m e) Ning. 7. El lado de un hexágono regular es de 12 3 cm. Determine el radio de la circunferencia inscrita. a) 18cm b) 15cm c) 10cm d) 14cm e) Ning. 8. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza la tangente PT y la secante PAB. Calcular el ángulo ∠ABT , si el ángulo ∠P = 30º y el arco AB=100º. a) 40° b) 50º c) 30° d) 70° e) Ning. 9. Dos cuerdas se cortan en una circunferencia, los segmentos de una de ellas miden 6m y 8m respectivamente. Hallar la longitud de la otra cuerda sabiendo que uno de sus segmentos es el triple del otro. a) 16m b) 10m c) 14m d) 11m e) Ning. 10. Los puntos consecutivos A, B y C se encuentran en una circunferencia. La tangente en el punto A y la cuerda CB prolongada, se cortan en el punto P. Si CB=5 y AP= 10 3 . Determine el segmento PB. a) 15 b) 10 c) 12 c) 20 e) Ning.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2012 11. Se da una circunferencia de centro O y de diámetro AB. Se traza la cuerda RS que corta en P. Hallar el radio de la circunferencia si AP=2m, PS=8m y RB=3AS. a) 10m b) 13m c) 12m d) 15m e) Ning. 12. Desde un punto A que dista 10m de una circunferencia de centro O, se traza la secante AC de 25m de longitud. Si un segmento externo mide 12m, hallar el radio de la circunferencia. a) 8m b) 7m c) 20m d) 10m e) Ning. 13. Un punto P dista 2 unidades del centro de una circunferencia de radio igual a 7. Hallar la longitud de una cuerda pasa por P sabiendo que uno de sus segmentos es cinco veces el otro. a) 25 b) 15 c) 54 d) 45 e) Ning. 14. Calcular el radio de una circunferencia inscrita en un rombo sabiendo que el lado del rombo mide 8m y uno de sus ángulos mide 60º. a) 3 3 m b) 3 m c) 2 3 m d) 4 3 m e) Ning. 15. Si los radios de dos circunferencias exteriores miden 21cm y 15cm, hallar la longitud en cm de la tangente interior común entre los puntos de tangencia de las circunferencias dadas si la distancia entre sus centros es de 39cm. a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) Ning. 16. Calcular el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de diámetro igual a 4cm. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) Ning. 17. Calcular el área en metros cuadrados de un círculo inscrito en un rombo sabiendo que el lado del rombo mide 8m y uno de sus ángulos mide 60º. a) 12π m 2 b) 10π m 2 c) 14π m 2 d) 20π m 2 e) Ning. 18. Calcular el área común entre dos circunferencias iguales y secantes, sabiendo que la distancia entre los puntos de intersección es igual a sus radios e igual a 2m. a)
4π 3
−2 3
b)
4π 3
− 3
c)
π 3
−2 3
d)
5π 3
−2 3
e) Ning.
19. Sea un triángulo rectángulo de catetos: a, b con a
(
b 2 a + b2 8a
)
b)
(
a 2 a + b2 4b
)
c)
(
a 2 a + b2 8b
)
d)
(
b 2 a + b2 4a
)
e) Ninguno
20. Se da un triangulo ABC cuyo lado BC =6 metros y la altura respecto al lado BC es igual a 18 metros. Determinar el lado menor del rectángulo inscrito al triangulo cuyo lado mayor es el triple del menor, sabiendo que el lado menor del rectángulo esta en el lado BC del triangulo. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Ninguno. 21. Calcular el área en centímetros cuadrados de un cuadrado inscrito en una circunferencia de diámetro igual a 10 centímetros. a) 72 b) 70 c) 52 d) 50 e) Ninguno.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2012 22. En una circunferencia una cuerda BC subtiende un arco de 130º (grados sexagesimales). Por los puntos B y C se trazan tangentes que se interceptan en el punto A (formándose el triangulo ABC). Calcular la medida del ángulo interno de A. a) 72 b) 70 c) 52 d) 50 e) Ninguno. 23. Se da un triangulo ABC cuyo lado BC =8 metros y la altura respecto al lado BC es igual a 24 metros. Determinar el lado menor del rectángulo inscrito al triangulo cuyo lado mayor es el triple del lado menor, sabiendo que el lado menor del rectángulo esta en el lado BC del triangulo. a) 12 b) 3 c) 4 d) 10 e) Ninguno. 24. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90º ). Se traza la altura relativa a la hipotenusa BH. El punto H divide a la hipotenusa en dos segmentos de 3 m y 27 m de longitud. Hallar BH. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) Ninguno. 25. En un triángulo ABC; A = 2 C; se traza la bisectriz interior AE (El punto”E” esta sobre el lado BC). Calcular AB, si BE = 4cm, EC = 5cm. a) 8 b) 9 c) 7 d) 6 e) Ninguno. 26. OA y OB son radios de una circunferencia de centro “O”. Sobre el menor arco AB se toma un punto F. El ángulo AFB mide 130º. Hallar la medida del ángulo ∠ AOB (en grados). a) 70 b) 80 c) 75 d) 100 e) Ninguno. 27. Se da un rectángulo ABCD en el cual CD = 2AD. Por B se traza BE perpendicular a AC, se prolonga BE hasta cortar el lado CD en M, si ED = 6 m. Hallar MC. a) 7 b) 2 c) 3 d) 5 e) Ninguno. 28. Desde un punto A se traza una tangente AB y una secante ADC a una circunferencia de centro O. Hallar DA sabiendo AB =14 y CD = 3DA. a) 7 b) 6 c) 4 d) 8 e) Ninguno. 29. Desde un punto A que dista 10 m de una circunferencia de centro O se traza la secante AC de 30 m. de longitud. Si su segmento exterior mide 12 m. Hallar el radio de la circunferencia. a) 13
b) 10
c) 12
d) 11
e) Ninguno.
TRIGONOMETRIA 1. Simplificar la expresión:
E= a) -1
sen(450° + x ) + cot (450° + x ) sen(270° − x ) − tan (− x )
b) 1
c) 2
d) -2
e) Ninguno
2. Simplificar y determinar el valor de la siguiente expresión:
E= a) –tan5
b) cotan5
sen ( −1085 ) tan(−2525) cos(−1805) tan ( −3245 ) c) tan5
d) –cotan5
3. Determinar el valor de la siguiente expresión trigonométrica:
e) Ninguno
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2012 sen(− x) tan(180 + x) cos x − + E= sen(180 + x) cot(90 − x) sen(90 + x) a) 1
b) -1
c) 3
d) -3
e) Ninguno
4. Simplifique y halle el valor de la expresión:
tan ( 90° + α ) sen ( −α ) cos α − + cot α sen ( 540° + α ) sen ( 450° + α )
E= a) 2
b) 4
c) 3
d) 1
e) Ninguno
5. Simplificar y determinar el valor de la siguiente expresión:
3π 2 tan (π + x ) cos − x sec ( 2π − x ) 2 E= 3π π cot + x sen ( 2π − x ) csc + x 2 2 a) -2
b) 3
6. Si tan x =
c) 4
d) 5
e) Ninguno
5 y x pertenece al tercer cuadrante, determine el valor de la expresión: 2
E= a) 1
sen(x − 3060º ) + 3 cos(3870º + x ) 2 sen(1080º −2 x )
b) 2/3
c) 3/4
d) 2
7. Hallar el valor de la expresión trigonométrica, sabiendo que
e) Ninguno
cos x = − 4 , donde “x” ángulo del 5
segundo cuadrante
3π cos 2 x + 2
cot(17π + x) Z= 15π − x tan 2 (3π + x) + sin( x − 2π ) csc 2 a) -64/175 8. Si
cos θ = −
a) 24/7 9. Si
c) -61/175
d) 61/175
e) Ninguno
4 donde θ pertenece al tercer cuadrante, determinar el valor de E = tan (2θ ) 5 b) 7
c) 7/24
d) 24
e) Ninguno
1 cos x = − ; x ∈[90º ,180º ] , determine el valor de: E = sen 2 2 x + cos 2 x 3
a) 31/81 10. Si
b) 64/175
b) -31/81
c) 40/17
d) -40/17
e) Ninguno
x 3 tan = hallar el valor de la expresión: E = senx + cos x 2 5
a) 10/17
b) 15/17
c) 23/17
d) 30/17
e) Ninguno
c) 4/25
d) 6/25
e) Ninguno
11. Si tanx=3. Hallar el valor de cos(4x). a) 2/25
b) 7/25
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2012 12. Sabiendo que “α” pertenece al segundo cuadrante y expresión:
E=
senα es: 1 + cos α
a) 7
b) 3
c) 5
13. Simplificar la siguiente expresión:
E=
3
a) 14.
tan α = −
b)
3 2
5 , el valor de la siguiente 12
d) 2
e) Ninguno
cos 50º + cos10º 6 cos 20º
c)
3 6
d) -
3 6
e) Ninguno
∠A; ∠B son ángulos complementarios, simplificar la siguiente expresión: sin ( A + 2 B ) tan (2 A + 3B ) Z= cos(2 A + B ) tan (4 A + 3B )
Si
a) 3
b)2
c) 1
d) -1
e) Ninguno
senx 1 + cos x se reduce a: + senx 1 + cos x b) 2 sec x c) 2 cos x d) 2 cos ecx
15. La expresión trigonométrica a) 2 senx 16. La expresión a)
senα
17. La expresión a)
senα
tan 2α se reduce a: 1 + sec 2α b) cos α c) tan α
e) Ninguno
sec α
e) Ninguno
α α tan + 2 sen 2 cot anα equivale a: 2 2 b) cos α c) tan α d) sec α
e) Ninguno
d)
cos x + sin x equivale a: cos x − senx b) tan 2 x c) sec 2 x + tan 2 x d) sec 2 x − tan 2 x
18. La expresión trigonométrica a) sec 2 x
E = sen(α + β )sen(α − β ) se reduce a: 2 2 2 2 a) sen α + sen β b) sen α − sen β c) sen α
e) Ninguno
19. La expresión: 2
d)
sen 2 β
e) Ninguno
20. Hallar todas las soluciones comprendidas entre [0º, 360º] de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
7 cos x b) cos x + 3senx = 3 2 c) 2 sen x + 3senx − 2 = 0 d) (senx − 1)(cos x − senx ) = 0 a)
e)
3 tan 2 x + 5 =
cos x + 3sen x + 2 3senx cos x = 1 2
2
R. 60º;300º R.- 30º, 90º R.- 30º, 150º R. 45°; 90°; 225°; R. 0º, 120º, 180º, 300º, 360º
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2012 f) (1 − tan x )(1 + sen 2 x ) = 1 + tan x
R. 0º; 135º; 180º; 315º, 360º
g) 2 3 cos x = senx h) cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 i) sen2 x + sen4 x = 2 sen3 x j) 1 + senx = cos x + tan x 2
21.
R. 60º, 120º; R. 45º, 120º, 135º, 225º, 240º, 315º; R. 0º, 60º, 120º,180º, 240º, 300º; 360º R. 0°; 45°; 225°, 360º
Hallar la suma de las soluciones entre a)
2π
b)
4π
c)
[0; 2π ]de la ecuación:
6π
d)
22. Determinar el número de soluciones de la ecuación: intervalo [0º, 360º]. a) 1 b) 2
c) 3
23. Una solución de la ecuación:
8π
tan x = tan (π2 − 2 x ) e) Ninguno
cos 2 x + sen 2 x = sen(π2 − x ) en el
d) 4
e) Ninguno
x cos x − cos = 0 es un ángulo notable en uno de los 2
cuadrantes. Encontrar dicha solución a) 120° b) 300° c) 240°
d) 60°
e) Ninguno
24. Determine cuantas soluciones tiene la ecuación en el intervalo [0°;360°]:
2 cos x = 3 tan x
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) Ninguno
25. Determine la suma de las soluciones de la ecuación comprendidas entre [0º, 180º]:
sen 4 x + cos 4 x = a) 90°
b) 120°
c) 180°
1 2 d) 220°
e) Ninguno
26. Determine la diferencia de soluciones de la ecuación comprendidas en el primer cuadrante
tan 2 x + cot anx = 8 cos 2 x a) 15°
b) 30°
c) 50°
d) 45°
e) Ninguno
27. Determinar en grados la menor solución en el intervalo [0°;360°] de la ecuación trigonométrica:
(2 cos x + 1)(cos x + 1) = 0
a) 60° b) 30° c) 150° d) 120° 28. Determine la suma de las soluciones del cuarto cuadrante de la ecuación:
e) Ninguno
4 sen 3 x + 2 sen 2 x − 2 senx − 1 = 0 a) 450° b) 530° c) 645° d) 360° e) Ninguno 29. Los ángulos de elevación de una estatua desde dos puntos A y B situados a su derecha, miden 30º y 60º respectivamente. Hallar la altura de la estatua si la suma de las distancias de los puntos A y B a la punta de la estatua es igual a 9 + 3 3 metros. a) 3.5m b) 2.5m c) 5.5m d) 4.5m e) Ninguno 30. Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 20 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol en metros. a)
(
5 3+ 3
)
b)
(
2 3+ 3
)
c)
(
10 3 + 3
)
d)
(
4 3+ 3
)
e) Ninguno
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2012 31. Desde un punto D un observador divisa una estatua con su pedestal de 5m y 4m respectivamente. El ángulo de elevación de la cabeza de la estatua es el doble de la parte superior del pedestal o pie de la estatua. Se pide calcular a qué distancia estaba el observador. a) 10m b) 12m c) 15m d) 8m e) Ninguno 32. Dos personas situadas en lados opuestos observan un pájaro. En cierto instante el pájaro se encuentra a 10 3 m del piso y la primera persona lo divisa con un ángulo de 60°. Si esta persona se encuentra a 35m de distancia de la segunda persona, determine la distancia a la que se encuentra el pájaro de la segunda persona. a)
5 17 m
b)
17 m
c)
5 37 m
d)
33. En el triángulo ABC los lados AC y BC miden 10m y ángulo ∠A vale 3/5, calcular el lado AB. a) 10 b) 15 c) 11 d) 12
37
e) Ninguno
2 13m respectivamente. Si el seno del e) Ninguno
34. Determinar la base mayor de un trapecio rectangular de altura igual a 6cm, de perímetro igual a 38cm y cuyo coseno del ángulo agudo es 4/5. a) 7 b) 8 c) 15 d) 10 e) Ninguno 35. Un paralelogramo tiene 16 2 cm. de perímetro. El lado menor es los 3/5 del lado mayor y los ángulos agudos miden 45°. Calcular la altura en centímetros del paralelogramo. a) 15 b) 3 c) 6 d) 12 e) Ninguno 36. Los tres lados de un triángulo están expresados por tres números consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor. Hallar el perímetro. a) 10 b) 14 c) 15 d) 20 e) Ninguno 37. Hallar la altura en metros a la que se halla un satélite sobre la tierra, dicho satélite que puede abarcar una visión de una distancia sobre la superficie de la tierra de 500 millas náuticas. El radio de la tierra vale 6270 Km. a) 1000 b) 1400 c) 1500 d) 2000 e) Ninguno 38. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
a) 13.07
b) 14.07
c) 15.08
d) 20.05
e) Ninguno
DOCUMENTOS BASE PARA LAS MATERIAS GEOMETRIA – TRIGONOMETRIA DEL CURSO PREFACULTATIVO 1/2012
(1) En la materia de Geometría y Trigonometría, las pruebas se prepararán en base al libro de Aurelio Baldor: Geometría y Trigonometría; sin embargo, se recomienda (considerando el programa vigente) el empleo del texto de Geometría del Ing. Hernán Flores en especial para la ejercitación de problemas; y también el libro de Granville titulado “Trigonometría Plana y Esférica”. GEOMETRIA Se sugiere emplear como instrumentos de resolución aproximada la regla, compás y transportador. Se observará que las figuras trazadas con dichos instrumentos ayudan a una mejor comprensión de los teoremas, de los ejercicios y de los resultados o incógnitas buscadas. 1. NOCIONES PRELIMINARES, Cap. 0, 1 2. SEGMENTOS Y ANGULOS, Cap. 2 3. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO, Cap. 4 4. TRIÁNGULOS Y POLÍGONOS, Cap. 5, 6, 7 5. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA, Cap. 9, 10 6. RELACIONES METRICAS EN LOS TRIANGULOS, Cap. 11 7. CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO, Cap. 12, 13, 14 8. RELACIONES METRICAS Y SEMEJANZA EN POLIGONOS, Cap. 15,16 TRIGONOMETRIA 9. ANGULOS Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, Cap. 22 10. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE DIFERENTES ANGULOS, Cap. 23, 24 11. IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS, Cap. 25, 26, 27
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2011 PRACTICA DE GEOMETRIA TRIGONOMETRIA SEGUNDO PARCIAL CIRCUNFERENCIA 1. En una circunferencia de centro O, se traza el diámetro AB y se prolonga hasta el punto C a partir del cual se traza la tangente CT. Si ACT 28º , calcular el ángulo ATC . a) 111° b) 130° c) 121° d) 115° e) Ning. 2. Si los radios de dos circunferencias tangentes exteriores miden 4m y 9m. Hallar la longitud de la tangente exterior común entre los puntos de tangencia de las dos circunferencias. a) 10m b) 15m c) 12m d) 20m e) ning. 3. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda CD de modo que CD // AB. Hallar el ángulo ADC si DAC 46º . a) 22º b) 32° c) 15° d) 30° e) Ning. 4. Desde un punto A exterior a una circunferencia se trazan las secantes ABC y ADE. Si AB=BE y el arco CE =80º. Hallar el ángulo BAE . a) 30° b) 15° c) 10° d) 20° e) Ning. 5. En un triángulo rectángulo, los catetos suman 31m. Si la mediana con respecto a la hipotenusa mide 12.5m hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) Ning. 6. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo si los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita miden 4m y 13m respectivamente. a) 20m b) 40m c) 60m d) 30m e) Ning. 7. El lado de un hexágono regular es de 12 3 cm. Determine el radio de la circunferencia inscrita. a) 18cm b) 15cm c) 10cm d) 14cm e) Ning. 8. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza la tangente PT y la secante PAB. Calcular el ángulo ABT , si el ángulo P 30º y el arco AB=100º. a) 40° b) 50º c) 30° d) 70° e) Ning. 9. Dos cuerdas se cortan en una circunferencia, los segmentos de una de ellas miden 6m y 8m respectivamente. Hallar la longitud de la otra cuerda sabiendo que uno de sus segmentos es el triple del otro. a) 16m b) 10m c) 14m d) 11m e) Ning. 10. Los puntos consecutivos A, B y C se encuentran en una circunferencia. La tangente en el punto A y la cuerda CB prolongada, se cortan en el punto P. Si CB=5 y AP= 10 3 . Determine el segmento PB. a) 15 b) 10 c) 12 c) 20 e) Ning.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2011 11. Se da una circunferencia de centro O y de diámetro AB. Se traza la cuerda RS que corta en P. Hallar el radio de la circunferencia si AP=2m, PS=8m y RB=3AS. a) 10m b) 13m c) 12m d) 15m e) Ning. 12. Desde un punto A que dista 10m de una circunferencia de centro O, se traza la secante AC de 25m de longitud. Si un segmento externo mide 12m, hallar el radio de la circunferencia. a) 8m b) 7m c) 20m d) 10m e) Ning. 13. Un punto P dista 2 unidades del centro de una circunferencia de radio igual a 7. Hallar la longitud de una cuerda pasa por P sabiendo que uno de sus segmentos es cinco veces el otro. a) 25 b) 15 c) 54 d) 45 e) Ning. 14. Calcular el radio de una circunferencia inscrita en un rombo sabiendo que el lado del rombo mide 8m y uno de sus ángulos mide 60º. a) 3 3 m
b)
3m
c) 2 3 m
d) 4 3 m
e) Ning.
15. Si los radios de dos circunferencias exteriores miden 21cm y 15cm, hallar la longitud en cm de la tangente interior común entre los puntos de tangencia de las circunferencias dadas si la distancia entre sus centros es de 39cm. a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) Ning. 16. Calcular el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de diámetro igual a 4cm. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) Ning. 17. Calcular el área en metros cuadrados de un círculo inscrito en un rombo sabiendo que el lado del rombo mide 8m y uno de sus ángulos mide 60º. a) 12 m 2 b) 10 m 2 c) 14 m 2 d) 20 m 2 e) Ning. 18. Calcular el área común entre dos circunferencias iguales y secantes, sabiendo que la distancia entre los puntos de intersección es igual a sus radios e igual a 2m. a)
4 3
2 3
b)
4 3
3
c)
3
2 3
d)
5 3
2 3
e) Ning.
19. Sea un triángulo rectángulo de catetos: a, b con a
b 2 a b2 8a
b)
a 2 a b2 4b
c)
a 2 a b2 8b
d)
b 2 a b2 4a
e) Ninguno
20. Se da un triangulo ABC cuyo lado BC =6 metros y la altura respecto al lado BC es igual a 18 metros. Determinar el lado menor del rectángulo inscrito al triangulo cuyo lado mayor es el triple del menor, sabiendo que el lado menor del rectángulo esta en el lado BC del triangulo. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Ninguno. 21. Calcular el área en centímetros cuadrados de un cuadrado inscrito en una circunferencia de diámetro igual a 10 centímetros. a) 72 b) 70 c) 52 d) 50 e) Ninguno.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2011 22. En una circunferencia una cuerda BC subtiende un arco de 130º (grados sexagesimales). Por los puntos B y C se trazan tangentes que se interceptan en el punto A (formándose el triangulo ABC). Calcular la medida del ángulo interno de A. a) 72 b) 70 c) 52 d) 50 e) Ninguno. 23. Se da un triangulo ABC cuyo lado BC =8 metros y la altura respecto al lado BC es igual a 24 metros. Determinar el lado menor del rectángulo inscrito al triangulo cuyo lado mayor es el triple del lado menor, sabiendo que el lado menor del rectángulo esta en el lado BC del triangulo. a) 12 b) 3 c) 4 d) 10 e) Ninguno. 24. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90º ). Se traza la altura relativa a la hipotenusa BH. El punto H divide a la hipotenusa en dos segmentos de 3 m y 27 m de longitud. Hallar BH. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) Ninguno. 25. En un triángulo ABC; A = 2 C; se traza la bisectriz interior AE (El punto”E” esta sobre el lado BC). Calcular AB, si BE = 4cm, EC = 5cm. a) 8 b) 9 c) 7 d) 6 e) Ninguno. 26. OA y OB son radios de una circunferencia de centro “O”. Sobre el menor arco AB se toma un punto F. El ángulo AFB mide 130º. Hallar la medida del ángulo AOB (en grados). a) 70 b) 80 c) 75 d) 100 e) Ninguno. 27. Se da un rectángulo ABCD en el cual CD = 2AD. Por B se traza BE perpendicular a AC, se prolonga BE hasta cortar el lado CD en M, si ED = 6 m. Hallar MC. a) 7 b) 2 c) 3 d) 5 e) Ninguno. 28. Desde un punto A se traza una tangente AB y una secante ADC a una circunferencia de centro O. Hallar DA sabiendo AB =14 y CD = 3DA. a) 7 b) 6 c) 4 d) 8 e) Ninguno. 29. Desde un punto A que dista 10 m de una circunferencia de centro O se traza la secante AC de 30 m. de longitud. Si su segmento exterior mide 12 m. Hallar el radio de la circunferencia. a) 13
b) 10
c) 12
d) 11
e) Ninguno.
TRIGONOMETRIA 1. Simplificar la expresión:
E a) -1
sen450 x cot 450 x sen270 x tan x
b) 1
c) 2
d) -2
e) Ninguno
2. Simplificar y determinar el valor de la siguiente expresión:
E a) –tan5
b) cotan5
sen 1085 tan(2525) cos(1805) tan 3245 c) tan5
d) –cotan5
3. Determinar el valor de la siguiente expresión trigonométrica:
e) Ninguno
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2011 sen( x) tan(180 x) cos x E sen(180 x) cot(90 x) sen(90 x) a) 1
b) -1
c) 3
d) -3
e) Ninguno
4. Simplifique y halle el valor de la expresión:
E a) 2
sen
sen 540
b) 4
tan 90 cot
cos sen 450
c) 3
d) 1
e) Ninguno
5. Simplificar y determinar el valor de la siguiente expresión:
3 x sec 2 x 2 tan x cos 2 E 3 x sen 2 x csc x cot 2 2 a) -2
b) 3
6. Si tan x
c) 4
d) 5
e) Ninguno
5 y x pertenece al tercer cuadrante, determine el valor de la expresión: 2
E a) 1
senx 3060º 3 cos3870º x 2sen1080º 2 x
b) 2/3
c) 3/4
d) 2
e) Ninguno
7. Hallar el valor de la expresión trigonométrica, sabiendo que cos x 4 , donde “x” ángulo del
5
segundo cuadrante
3 cos 2 x 2
cot(17 x) Z 15 x tan 2 (3 x) sin( x 2 ) csc 2 a) -64/175 8. Si cos a) 24/7
b) 64/175
c) -61/175
d) 61/175
e) Ninguno
4 donde pertenece al tercer cuadrante, determinar el valor de E tan 2 5 b) 7
c) 7/24
d) 24
e) Ninguno
1 2 9. Si cos x ; x 90º ,180º , determine el valor de: E sen 2 x cos 2 x 3 a) 31/81
b) -31/81
c) 40/17
d) -40/17
e) Ninguno
x 3 hallar el valor de la expresión: E senx cos x 2 5
10. Si tan a) 10/17
b) 15/17
c) 23/17
d) 30/17
e) Ninguno
c) 4/25
d) 6/25
e) Ninguno
11. Si tanx=3. Hallar el valor de cos(4x). a) 2/25
b) 7/25
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2011 12. Sabiendo que “α” pertenece al segundo cuadrante y tan expresión:
E
sen es: 1 cos
a) 7
b) 3
c) 5
13. Simplificar la siguiente expresión:
E a) 14.
3
b)
3 2
5 , el valor de la siguiente 12
d) 2
e) Ninguno
cos 50º cos10º 6 cos 20º
c)
3 6
d) -
3 6
e) Ninguno
Si A; B son ángulos complementarios, simplificar la siguiente expresión:
Z a) 3
b)2
sin A 2 B tan 2 A 3B cos2 A B tan 4 A 3B c) 1
d) -1
e) Ninguno
1 cos x senx se reduce a: 1 cos x senx b) 2 sec x c) 2 cos x d) 2 cos ecx
15. La expresión trigonométrica a) 2 senx 16. La expresión a) sen 17. La expresión a) sen
tan 2 se reduce a: 1 sec 2 b) cos c) tan
e) Ninguno
d) sec
e) Ninguno
tan 2 sen 2 cot an equivale a: 2 2 b) cos c) tan d) sec
e) Ninguno
cos x sin x equivale a: cos x senx b) tan 2 x c) sec 2 x tan 2 x d) sec 2 x tan 2 x
18. La expresión trigonométrica a) sec 2 x
19. La expresión: E sen a) sen
2
sen 2
sen se reduce a: 2 2 2 b) sen sen c) sen
e) Ninguno
d) sen
2
e) Ninguno
20. Hallar todas las soluciones comprendidas entre [0º, 360º] de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
7 cos x b) cos x 3senx 3 2 c) 2 sen x 3senx 2 0 d) senx 1cos x senx 0
a)
e)
3 tan 2 x 5
cos x 3sen x 2 3senx cos x 1 2
2
R. 60º;300º R.- 30º, 90º R.- 30º, 150º R. 45°; 90°; 225°; R. 0º, 120º, 180º, 300º, 360º
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2011 f) 1 tan x 1 sen2 x 1 tan x
R. 0º; 135º; 180º; 315º, 360º
g) 2 3 cos x senx h) cos x cos 2 x cos 3 x 0 i) sen 2 x sen 4 x 2 sen 3 x j) 1 senx cos x tan x 2
R. 60º, 120º; R. 45º, 120º, 135º, 225º, 240º, 315º; R. 0º, 60º, 120º,180º, 240º, 300º; 360º R. 0°; 45°; 225°, 360º
Hallar la suma de las soluciones entre 0; 2 de la ecuación: tan x tan
21.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
22. Determinar el número de soluciones de la ecuación: intervalo [0º, 360º]. a) 1 b) 2
c) 3
2 2 x
e) Ninguno
cos 2 x sen 2 x sen2 x en el
d) 4
e) Ninguno
x 0 es un ángulo notable en uno de los 2
23. Una solución de la ecuación: cos x cos cuadrantes. Encontrar dicha solución a) 120° b) 300° c) 240°
d) 60°
e) Ninguno
24. Determine cuantas soluciones tiene la ecuación en el intervalo [0°;360°]:
2 cos x 3 tan x
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) Ninguno
25. Determine la suma de las soluciones de la ecuación comprendidas entre [0º, 180º]:
sen 4 x cos a) 90°
b) 120°
4
x
c) 180°
1 2 d) 220°
e) Ninguno
26. Determine la diferencia de soluciones de la ecuación comprendidas en el primer cuadrante
tan 2 x cot anx 8 cos 2 x a) 15°
b) 30°
c) 50°
d) 45°
e) Ninguno
27. Determinar en grados la menor solución en el intervalo [0°;360°] de la ecuación trigonométrica:
(2 cos x 1)(cos x 1) 0
a) 60° b) 30° c) 150° d) 120° 28. Determine la suma de las soluciones del cuarto cuadrante de la ecuación:
e) Ninguno
4 sen 3 x 2sen 2 x 2senx 1 0 a) 450° b) 530° c) 645° d) 360° e) Ninguno 29. Los ángulos de elevación de una estatua desde dos puntos A y B situados a su derecha, miden 30º y 60º respectivamente. Hallar la altura de la estatua si la suma de las distancias de los puntos A y B a la punta de la estatua es igual a 9 3 3 metros. a) 3.5m b) 2.5m c) 5.5m d) 4.5m e) Ninguno 30. Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 20 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol en metros.
a) 5 3
3
b) 2 3
3
c) 10 3
3
d) 4 3
3
e) Ninguno
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO II-2011 31. Desde un punto D un observador divisa una estatua con su pedestal de 5m y 4m respectivamente. El ángulo de elevación de la cabeza de la estatua es el doble de la parte superior del pedestal o pie de la estatua. Se pide calcular a qué distancia estaba el observador. a) 10m b) 12m c) 15m d) 8m e) Ninguno 32. Dos personas situadas en lados opuestos observan un pájaro. En cierto instante el pájaro se encuentra a 10 3 m del piso y la primera persona lo divisa con un ángulo de 60°. Si esta persona se encuentra a 35m de distancia de la segunda persona, determine la distancia a la que se encuentra el pájaro de la segunda persona. a) 5 17 m
b)
17 m
c) 5 37 m
d)
37
e) Ninguno
33. En el triángulo ABC los lados AC y BC miden 10m y 2 13m respectivamente. Si el seno del ángulo A vale 3/5, calcular el lado AB. a) 10 b) 15 c) 11 d) 12 e) Ninguno 34. Determinar la base mayor de un trapecio rectangular de altura igual a 6cm, de perímetro igual a 38cm y cuyo coseno del ángulo agudo es 4/5. a) 7 b) 8 c) 15 d) 10 e) Ninguno 35. Un paralelogramo tiene 16 2 cm. de perímetro. El lado menor es los 3/5 del lado mayor y los ángulos agudos miden 45°. Calcular la altura en centímetros del paralelogramo. a) 15 b) 3 c) 6 d) 12 e) Ninguno 36. Los tres lados de un triángulo están expresados por tres números consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor. Hallar el perímetro. a) 10 b) 14 c) 15 d) 20 e) Ninguno 37. Hallar la altura en metros a la que se halla un satélite sobre la tierra, dicho satélite que puede abarcar una visión de una distancia sobre la superficie de la tierra de 500 millas náuticas. El radio de la tierra vale 6270 Km. a) 1000 b) 1400 c) 1500 d) 2000 e) Ninguno 38. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
a) 13.07
b) 14.07
c) 15.08
d) 20.05
e) Ninguno
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO 1-2011 PRACTICA DE GEOMETRIA TRIGONOMETRIA SEGUNDO PARCIAL CIRCUNFERENCIA 1. En una circunferencia de centro O, se traza el diámetro AB y se prolonga hasta el punto C a partir del cual se traza la tangente CT. Si ACT 28º , calcular el ángulo ATC . a) 111° b) 130° c) 121° d) 115° e) Ning. 2. Si los radios de dos circunferencias tangentes exteriores miden 4m y 9m. Hallar la longitud de la tangente exterior común entre los puntos de tangencia de las dos circunferencias. a) 10m b) 15m c) 12m d) 20m e) ning. 3. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda CD de modo que CD // AB. Hallar el ángulo ADC si DAC 46º . a) 22º b) 32° c) 15° d) 30° e) Ning. 4. Desde un punto A exterior a una circunferencia se trazan las secantes ABC y ADE. Si AB=BE y el arco CE =80º. Hallar el ángulo BAE . a) 30° b) 15° c) 10° d) 20° e) Ning. 5. En un triángulo rectángulo, los catetos suman 31m. Si la mediana con respecto a la hipotenusa mide 12.5m hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo. a) 2m b) 3m c) 4m d) 5m e) Ning. 6. Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo si los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita miden 4m y 13m respectivamente. a) 20m b) 40m c) 60m d) 30m e) Ning. 7. El lado de un hexágono regular es de 12 3 cm. Determine el radio de la circunferencia inscrita. a) 18cm b) 15cm c) 10cm d) 14cm e) Ning. 8. Desde un punto P exterior a una circunferencia se traza la tangente PT y la secante PAB. Calcular el ángulo ABT , si el ángulo P 30º y el arco AB=100º. a) 40° b) 50º c) 30° d) 70° e) Ning. 9. Dos cuerdas se cortan en una circunferencia, los segmentos de una de ellas miden 6m y 8m respectivamente. Hallar la longitud de la otra cuerda sabiendo que uno de sus segmentos es el triple del otro. a) 16m b) 10m c) 14m d) 11m e) Ning. 10. Los puntos consecutivos A, B y C se encuentran en una circunferencia. La tangente en el punto A y la cuerda CB prolongada, se cortan en el punto P. Si CB=5 y AP= 10 3 . Determine el segmento PB. a) 15 b) 10 c) 12 c) 20 e) Ning.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO 1-2011 11. Se da una circunferencia de centro O y de diámetro AB. Se traza la cuerda RS que corta en P. Hallar el radio de la circunferencia si AP=2m, PS=8m y RB=3AS. a) 10m b) 13m c) 12m d) 15m e) Ning. 12. Desde un punto A que dista 10m de una circunferencia de centro O, se traza la secante AC de 25m de longitud. Si un segmento externo mide 12m, hallar el radio de la circunferencia. a) 8m b) 7m c) 20m d) 10m e) Ning. 13. Un punto P dista 2 unidades del centro de una circunferencia de radio igual a 7. Hallar la longitud de una cuerda pasa por P sabiendo que uno de sus segmentos es cinco veces el otro. a) 25 b) 15 c) 54 d) 45 e) Ning. 14. Calcular el radio de una circunferencia inscrita en un rombo sabiendo que el lado del rombo mide 8m y uno de sus ángulos mide 60º. a) 3 3 m
b)
3m
c) 2 3 m
d) 4 3 m
e) Ning.
15. Si los radios de dos circunferencias exteriores miden 21cm y 15cm, hallar la longitud en cm de la tangente interior común entre los puntos de tangencia de las circunferencias dadas si la distancia entre sus centros es de 39cm. a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) Ning. 16. Calcular el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de diámetro igual a 4cm. a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) Ning. 17. Calcular el área en metros cuadrados de un círculo inscrito en un rombo sabiendo que el lado del rombo mide 8m y uno de sus ángulos mide 60º. a) 12 m 2 b) 10 m 2 c) 14 m 2 d) 20 m 2 e) Ning. 18. Calcular el área común entre dos circunferencias iguales y secantes, sabiendo que la distancia entre los puntos de intersección es igual a sus radios e igual a 2m. a)
4 3
2 3
b)
4 3
3
c)
3
2 3
d)
5 3
2 3
e) Ning.
19. Sea un triángulo rectángulo de catetos: a, b con a
b 2 a b2 8a
b)
a 2 a b2 4b
c)
a 2 a b2 8b
d)
b 2 a b2 4a
e) Ninguno
20. Se da un triangulo ABC cuyo lado BC =6 metros y la altura respecto al lado BC es igual a 18 metros. Determinar el lado menor del rectángulo inscrito al triangulo cuyo lado mayor es el triple del menor, sabiendo que el lado menor del rectángulo esta en el lado BC del triangulo. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Ninguno. 21. Calcular el área en centímetros cuadrados de un cuadrado inscrito en una circunferencia de diámetro igual a 10 centímetros. a) 72 b) 70 c) 52 d) 50 e) Ninguno.
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO 1-2011 22. En una circunferencia una cuerda BC subtiende un arco de 130º (grados sexagesimales). Por los puntos B y C se trazan tangentes que se interceptan en el punto A (formándose el triangulo ABC). Calcular la medida del ángulo interno de A. a) 72 b) 70 c) 52 d) 50 e) Ninguno. 23. Se da un triangulo ABC cuyo lado BC =8 metros y la altura respecto al lado BC es igual a 24 metros. Determinar el lado menor del rectángulo inscrito al triangulo cuyo lado mayor es el triple del lado menor, sabiendo que el lado menor del rectángulo esta en el lado BC del triangulo. a) 12 b) 3 c) 4 d) 10 e) Ninguno. 24. En un triángulo rectángulo ABC ( B = 90º ). Se traza la altura relativa a la hipotenusa BH. El punto H divide a la hipotenusa en dos segmentos de 3 m y 27 m de longitud. Hallar BH. a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) Ninguno. 25. En un triángulo ABC; A = 2 C; se traza la bisectriz interior AE (El punto”E” esta sobre el lado BC). Calcular AB, si BE = 4cm, EC = 5cm. a) 8 b) 9 c) 7 d) 6 e) Ninguno. 26. OA y OB son radios de una circunferencia de centro “O”. Sobre el menor arco AB se toma un punto F. El ángulo AFB mide 130º. Hallar la medida del ángulo AOB (en grados). a) 70 b) 80 c) 75 d) 100 e) Ninguno. 27. Se da un rectángulo ABCD en el cual CD = 2AD. Por B se traza BE perpendicular a AC, se prolonga BE hasta cortar el lado CD en M, si ED = 6 m. Hallar MC. a) 7 b) 2 c) 3 d) 5 e) Ninguno. 28. Desde un punto A se traza una tangente AB y una secante ADC a una circunferencia de centro O. Hallar DA sabiendo AB =14 y CD = 3DA. a) 7 b) 6 c) 4 d) 8 e) Ninguno. 29. Desde un punto A que dista 10 m de una circunferencia de centro O se traza la secante AC de 30 m. de longitud. Si su segmento exterior mide 12 m. Hallar el radio de la circunferencia. a) 13
b) 10
c) 12
d) 11
e) Ninguno.
TRIGONOMETRIA 1. Simplificar la expresión:
E a) -1
sen450 x cot 450 x sen270 x tan x
b) 1
c) 2
d) -2
e) Ninguno
2. Simplificar y determinar el valor de la siguiente expresión:
E a) –tan5
b) cotan5
sen 1085 tan(2525) cos(1805) tan 3245 c) tan5
d) –cotan5
3. Determinar el valor de la siguiente expresión trigonométrica:
e) Ninguno
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO 1-2011 sen( x) tan(180 x) cos x E sen(180 x) cot(90 x) sen(90 x) a) 1
b) -1
c) 3
d) -3
e) Ninguno
4. Simplifique y halle el valor de la expresión:
E a) 2
sen
sen 540
b) 4
tan 90 cot
cos sen 450
c) 3
d) 1
e) Ninguno
5. Simplificar y determinar el valor de la siguiente expresión:
3 x sec 2 x 2 tan x cos 2 E 3 x sen 2 x csc x cot 2 2 a) -2
b) 3
6. Si tan x
c) 4
d) 5
e) Ninguno
5 y x pertenece al tercer cuadrante, determine el valor de la expresión: 2
E a) 1
senx 3060º 3 cos3870º x 2sen1080º 2 x
b) 2/3
c) 3/4
d) 2
e) Ninguno
7. Hallar el valor de la expresión trigonométrica, sabiendo que cos x 4 , donde “x” ángulo del
5
segundo cuadrante
3 cos 2 x 2
cot(17 x) Z 15 x tan 2 (3 x) sin( x 2 ) csc 2 a) -64/175 8. Si cos a) 24/7
b) 64/175
c) -61/175
d) 61/175
e) Ninguno
4 donde pertenece al tercer cuadrante, determinar el valor de E tan 2 5 b) 7
c) 7/24
d) 24
e) Ninguno
1 2 9. Si cos x ; x 90º ,180º , determine el valor de: E sen 2 x cos 2 x 3 a) 31/81
b) -31/81
c) 40/17
d) -40/17
e) Ninguno
x 3 hallar el valor de la expresión: E senx cos x 2 5
10. Si tan a) 10/17
b) 15/17
c) 23/17
d) 30/17
e) Ninguno
c) 4/25
d) 6/25
e) Ninguno
11. Si tanx=3. Hallar el valor de cos(4x). a) 2/25
b) 7/25
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO 1-2011 12. Sabiendo que “α” pertenece al segundo cuadrante y tan expresión:
E
sen es: 1 cos
a) 7
b) 3
c) 5
13. Simplificar la siguiente expresión:
E a) 14.
3
b)
3 2
5 , el valor de la siguiente 12
d) 2
e) Ninguno
cos 50º cos10º 6 cos 20º
c)
3 6
d) -
3 6
e) Ninguno
Si A; B son ángulos complementarios, simplificar la siguiente expresión:
Z a) 3
b)2
sin A 2 B tan 2 A 3B cos2 A B tan 4 A 3B c) 1
d) -1
e) Ninguno
1 cos x senx se reduce a: 1 cos x senx b) 2 sec x c) 2 cos x d) 2 cos ecx
15. La expresión trigonométrica a) 2 senx 16. La expresión a) sen 17. La expresión a) sen
tan 2 se reduce a: 1 sec 2 b) cos c) tan
e) Ninguno
d) sec
e) Ninguno
tan 2 sen 2 cot an equivale a: 2 2 b) cos c) tan d) sec
e) Ninguno
cos x sin x equivale a: cos x senx b) tan 2 x c) sec 2 x tan 2 x d) sec 2 x tan 2 x
18. La expresión trigonométrica a) sec 2 x
19. La expresión: E sen a) sen
2
sen 2
sen se reduce a: 2 2 2 b) sen sen c) sen
e) Ninguno
d) sen
2
e) Ninguno
20. Hallar todas las soluciones comprendidas entre [0º, 360º] de las siguientes ecuaciones trigonométricas:
7 cos x b) cos x 3senx 3 2 c) 2 sen x 3senx 2 0 d) senx 1cos x senx 0
a)
e)
3 tan 2 x 5
cos x 3sen x 2 3senx cos x 1 2
2
R. 60º;300º R.- 30º, 90º R.- 30º, 150º R. 45°; 90°; 225°; R. 0º, 120º, 180º, 300º, 360º
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO 1-2011 f) 1 tan x 1 sen2 x 1 tan x
R. 0º; 135º; 180º; 315º, 360º
g) 2 3 cos x senx h) cos x cos 2 x cos 3 x 0 i) sen 2 x sen 4 x 2 sen 3 x j) 1 senx cos x tan x 2
R. 60º, 120º; R. 45º, 120º, 135º, 225º, 240º, 315º; R. 0º, 60º, 120º,180º, 240º, 300º; 360º R. 0°; 45°; 225°, 360º
Hallar la suma de las soluciones entre 0; 2 de la ecuación: tan x tan
21.
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
22. Determinar el número de soluciones de la ecuación: intervalo [0º, 360º]. a) 1 b) 2
c) 3
2 2 x
e) Ninguno
cos 2 x sen 2 x sen2 x en el
d) 4
e) Ninguno
x 0 es un ángulo notable en uno de los 2
23. Una solución de la ecuación: cos x cos cuadrantes. Encontrar dicha solución a) 120° b) 300° c) 240°
d) 60°
e) Ninguno
24. Determine cuantas soluciones tiene la ecuación en el intervalo [0°;360°]:
2 cos x 3 tan x
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) Ninguno
25. Determine la suma de las soluciones de la ecuación comprendidas entre [0º, 180º]:
sen 4 x cos a) 90°
b) 120°
4
x
c) 180°
1 2 d) 220°
e) Ninguno
26. Determine la diferencia de soluciones de la ecuación comprendidas en el primer cuadrante
tan 2 x cot anx 8 cos 2 x a) 15°
b) 30°
c) 50°
d) 45°
e) Ninguno
27. Determinar en grados la menor solución en el intervalo [0°;360°] de la ecuación trigonométrica:
(2 cos x 1)(cos x 1) 0
a) 60° b) 30° c) 150° d) 120° 28. Determine la suma de las soluciones del cuarto cuadrante de la ecuación:
e) Ninguno
4 sen 3 x 2sen 2 x 2senx 1 0 a) 450° b) 530° c) 645° d) 360° e) Ninguno 29. Los ángulos de elevación de una estatua desde dos puntos A y B situados a su derecha, miden 30º y 60º respectivamente. Hallar la altura de la estatua si la suma de las distancias de los puntos A y B a la punta de la estatua es igual a 9 3 3 metros. a) 3.5m b) 2.5m c) 5.5m d) 4.5m e) Ninguno 30. Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 20 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol en metros.
a) 5 3
3
b) 2 3
3
c) 10 3
3
d) 4 3
3
e) Ninguno
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PRE FACULTATIVO 1-2011 31. Desde un punto D un observador divisa una estatua con su pedestal de 5m y 4m respectivamente. El ángulo de elevación de la cabeza de la estatua es el doble de la parte superior del pedestal o pie de la estatua. Se pide calcular a qué distancia estaba el observador. a) 10m b) 12m c) 15m d) 8m e) Ninguno 32. Dos personas situadas en lados opuestos observan un pájaro. En cierto instante el pájaro se encuentra a 10 3 m del piso y la primera persona lo divisa con un ángulo de 60°. Si esta persona se encuentra a 35m de distancia de la segunda persona, determine la distancia a la que se encuentra el pájaro de la segunda persona. a) 5 17 m
b)
17 m
c) 5 37 m
d)
37
e) Ninguno
33. En el triángulo ABC los lados AC y BC miden 10m y 2 13m respectivamente. Si el seno del ángulo A vale 3/5, calcular el lado AB. a) 10 b) 15 c) 11 d) 12 e) Ninguno 34. Determinar la base mayor de un trapecio rectangular de altura igual a 6cm, de perímetro igual a 38cm y cuyo coseno del ángulo agudo es 4/5. a) 7 b) 8 c) 15 d) 10 e) Ninguno 35. Un paralelogramo tiene 16 2 cm. de perímetro. El lado menor es los 3/5 del lado mayor y los ángulos agudos miden 45°. Calcular la altura en centímetros del paralelogramo. a) 15 b) 3 c) 6 d) 12 e) Ninguno 36. Los tres lados de un triángulo están expresados por tres números consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor. Hallar el perímetro. a) 10 b) 14 c) 15 d) 20 e) Ninguno 37. Hallar la altura en metros a la que se halla un satélite sobre la tierra, dicho satélite que puede abarcar una visión de una distancia sobre la superficie de la tierra de 500 millas náuticas. El radio de la tierra vale 6270 Km. a) 1000 b) 1400 c) 1500 d) 2000 e) Ninguno 38. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
a) 13.07
b) 14.07
c) 15.08
d) 20.05
e) Ninguno
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CURSO PREFACULTATIVO GESTIÓN I-2011 PRACTICA Nº 1 – GEOMETRIA 1. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B y C; luego se toma el punto medio M de BC. Hallar AM si AB+AC=14 a) 3 b) 4 c) 5 d) 7 e) 9 2. Sobre una recta s consideran los puntos consecutivos A B, C y D con la siguiente condición: AC.BD+BC.AD=0. Siendo M el punto medio de AB calcular el segmento AM si: MC.MD= 25. a) 5
b) 10
c)
5
d)
3
5
e) 5/2
3. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D y E con la siguiente condición: AB=DE y AD-CE=6. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de BD y CD. a) 6
b) 12
c)
6
d) 18
e) 3
4. Sobre una línea recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Determinar el segmento BD si AE=3BD, AC+BD+CE=60. a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) Ning. 5. Sobre una línea se consideran los puntos consecutivos: A, B, C, D, E y F donde: AB
EF
3 BE y 5
2 AB . Hallar la longitud del segmento BE si AC+BD+CE+DF=30. 3
a) 10
b) 14
c) 20
d) 8
e) Ning.
6. Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D, E y F con la siguiente
BE . 3 AC BD CE DF 24
condición:
a) 7
AB EF b) 8
Calcular
c) 9
la
longitud
d) 10
del
segmento
BE
si:
e) Ning.
7. Se tienen tres ángulos consecutivos AOB; BOC y COD . Calcular el suplemento del ángulo AOD sabiendo que los ángulos AOC y BOD son suplementarios y el BOC =35º a) 35° b) 110° c) 53° d) 111° e) Ning. 8. Se tienen los ángulos consecutivos y suplementarios: AOB BOC . Se trazan las bisectrices OX del ángulo BOC , OY del ángulo AOX siendo BOY 75º .Calcular el ángulo YOC . a) 95° b) 75° c) 65° d) 85° e) Ning. 9. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC , siendo BOC AOB 36º , OX la bisectriz del ángulo BOC , OY es la bisectriz del ángulo AOB y OZ la bisectriz del ángulo XOY . Hallar el ángulo BOZ a) 10° b) 8° c) 15° d) 9° e) Ning.
10. La tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo excede en 8 al complemento de la mitad de la medida de dicho ángulo. Calcular la medida de dicho ángulo. a) 160° b) 120° c) 156° d) 108° e) 100° 11. Un ángulo llano es dividido en cinco ángulos parciales en progresión aritmética. Calcular el ángulo menor sabiendo que el cuadrado de su medida es igual al ángulo mayor a) 10° b) 8° c) 5° d) 12° e) Ning.
12. El suplemento del complemento del triple de un ángulo es igual al complemento del ángulo disminuido en 20°. Calcular dicho ángulo. a) 10° b) 5° c) 15° d) 25° e) Ning.
L1
x
x
L1 48º
62º L2 130º
L2
Figura 1 (Prob. 13)
76°
44°
Figura 2 (Prob. 14)
13. En la figura 1 L1 // L2 Calcular el ángulo x a) 124° b) 36° c) 144°
d) 120°
e) Ning.
14. En la figura 2 L1 // L2. Determine el valor del ángulo “x”. a) 20° b) 15° c) 30° d) 35°
e) Ning.
15. Un ángulo duplicado es mayor a otro en 30 grados. Si los ángulos son conjugados internos comprendidos entre rectas paralelas. Determinar el suplemento del mayor ángulo. a) 120° b) 110° c) 60° d) 70° e) Ning. 16. En un triángulo ABC, BD es la bisectriz del ángulo exterior en B, cuya prolongación corta en E a la bisectriz del ángulo ACB . Hallar el ángulo CED , si A=72º y C=54º. a) 25° b) 32° c) 43° d) 36° e) Ning. C
D D
C
A
A
B
Figura 3 (Prob.17)
B
Figura 4 (Prob. 18)
17. En la figura 3 AD y BD son bisectrices interior y exterior respectivamente. Si el ángulo ADB 20 determine el valor del ángulo ACB .
a) 30°
b) 25°
c) 40°
d) 10°
e) Ning.
18. En la figura 4 CD y BD son bisectrices exteriores. Si el ángulo CAB 42 , determine cuanto vale el ángulo CDB a) 48° b) 55° c) 59° d) 69° e) Ning. 19. Se da un triángulo ABC donde AC=BC. En la prolongación de AB se ha tomado BD=BC y se ha trazado CD. Hallar el ángulo D si A 80 a) 40° b) 50° c) 30° d) 20° e) Ning. 20. Se tiene un triángulo ABC, por el vértice C se traza CH perpendicular a AB, también la bisectriz exterior del vértice C. Calcular el ángulo formado por la perpendicular trazada y a bisectriz si se sabe que: A B 28 a) 80° b) 65° c) 76° d) 48° e) Ning. 21. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la bisectriz interior BD. Hallar el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos BAD y BDC . a) 24.5° b) 23.5° c) 22.5° d) 20.5° e) Ning. 22. En un triángulo ABC: AB=12, A 78 , C=39°. La mediatriz de BC corta a AC en el punto E. Hallar EC. a) 15 b) 12 c) 14 d) 16 e) Ning. 23. El ángulo mayor que forman las bisectrices adyacentes a la base de un triángulo isósceles mide cinco veces más que el tercer ángulo. Hallar su valor. a) 120° b) 130° c) 100° d) 105° e) Ning. 24. En un triángulo ABC, CD es la bisectriz del ángulo C, BD es la perpendicular a CD. Si ABC 40º y el ángulo exterior en A mide 130°, hallar el ángulo ABD . a) 5° b) 6° c) 7° d) 8° e) Ning. 25. Se da un triángulo ABC donde A 68 . Sobre el lado AB se ubica un punto D de tal modo que BD=DC y DA=AC. Hallar el ángulo BCA a) 84° b) 48° c) 65° d) 56° e) Ning. 26. El ángulo mayor formado por las bisectrices interiores de los ángulos B y C de un triángulo ABC es el doble del ángulo A. Hallar el mayor de los tres ángulos del triángulo si se sabe que B C 20º . a) 80° b) 70° c) 65° d) 75° e) Ning. 27. En un triángulo ABC acutángulo, las alturas BH y AQ se interceptan en el punto E. SI AE=BC, hallar la medida del ángulo BAC . a) 35° b) 45° c) 55° d) 25° e) Ning. 28. En el triángulo obtusángulo ABC, las mediatrices de AB y AC cortan a BC en P y M. Si el ángulo A es igual a 110º, hallar el ángulo PAM. a) 80° b) 70° c) 60° d) 40° e) Ning.
29. En el triángulo ABC se traza la altura AH de tal modo que BH=4 y HC=12. Hallar el lado AB si se cumple además que B 2C . (Sug. Trazar un punto D sobre BC tal que AD=AB). a) 6 b) 8 c) 5 d) 6 e) Ning. 30. En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide 26°. Hallar el ángulo que forman la mediana y la altura trazadas desde la hipotenusa. a) 46° b) 27° c) 38° d) 54° e) Ning. 31. Si la medida de un ángulo interior y exterior de un polígono regular está en relación 7 a 2. Hallar el número de diagonales que tiene el polígono. a) 12 b) 15 c) 18 d) 27 e) Ning. 32. La diferencia entre el número de los lados de dos polígonos convexos regulares es 2 y los ángulos centrales difieren en 15°. Determine la suma de sus lados. a) 10 b) 14 c) 18 d) 22 e) Ning. 33. Calcular el número de lados del polígono regular cuyo lado mide 4 metros, si su número total de diagonales es cuatro veces el perímetro del polígono. a) 40 b) 25 c) 35 d) 20 e) Ning. 34. Si el número de lados de un polígono aumenta en tres, el número total de sus diagonales aumenta en 15. ¿Cuántos lados tiene el polígono? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) Ning. 35. Si al reducir el número de lados de un polígono a la mitad, el número de diagonales se reduce a la séptima parte, ¿cuántos lados tendrá el polígono? a) 12 b) 8 c) 7 d) 10 e) Ning. 36. El numero de lados mas el número total de diagonales de un polígono es igual a 45. Determinar la suma de los ángulos interiores del polígono. a) 1200° b) 1310° d) 1440° d) 1080° e) Ning. 37. Si el número de lados de un polígono se duplica, entonces la suma de las medidas de sus ángulos interiores aumenta en 3060°. Determinar el número de vértices del polígono. a) 15 b) 17 c) 19 d) 14 e) Ning. 38. El ángulo interior de un polígono convexo regular es 5 veces su ángulo exterior. Determinar la suma de los ángulos interiores del polígono. a) 8 b) 12 c) 10 d) 14 e) Ning. 39. Se tiene un cuadrilátero donde los ángulos opuestos miden 70º y 140º respectivamente. Hallar el menor ángulo que forman las bisectrices de los otros ángulos opuestos. a) 25° b) 30° c) 35° d) 25° e) Ning. 40. En un trapecio la paralela media y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales difieren en 12 unidades. Sabiendo que la paralela media es el cuádruplo del segmento que une los puntos medios de las diagonales, hallar la longitud de la base mayor. a) 20 b) 30 c) 10 d) 40 e) Ning.
41. Hallar la base menor de un trapecio sabiendo que la suma de los lados no paralelos es igual a 10cm; las bisectrices interiores de los ángulos adyacentes a la base menor se interceptan en un punto de la base mayor y la mediana es igual a 8cm. a) 5cm b) 6cm c) 8cm d) 10cm e) Ning. 42. En un trapecio la suma de los lados no paralelos es igual a 35 m; las bisectrices interiores de los ángulos adyacentes a la base menor se interceptan en un punto de la base mayor. Hallar la base 6 menor si la mediana del trapecio es igual a de la base menor. 5 a) 25m b) 30m c) 15m d) 20m e) Ning. 43. La base menor AB de un trapecio ABCD mide 6. Por A y B se trazan paralelas a los lados no paralelos. Hallar la base mayor sabiendo que dichas paralelas se cortan en un punto de la mediana del trapecio. a) 10 b) 15 c) 18 d) 12 e) Ning. 44. En un trapecio isósceles la altura mide 2m y el mayor ángulo interior mide 135º. Si la base menor mide 6m, ¿cuánto mide la paralela media?. a) 8m b) 9m c) 10m d) 11m e) Ning.
PROPORCIONALIDAD SEMEJANZA 1. Tres rectas paralelas: L1, L2 y L3 determinan sobre una secante S1 dos segmentos cuyas longitudes son 8 y 12 respectivamente. Calcular el menor segmento de los segmentos determinados sobre una segunda secante S2, cuya longitud total es 25. a) 8 b) 10 c) 15 d) 20 e) Ning. 2. Las paralelas: L1 , L2 y L3 cortan a las secantes S1 y S2 determinando sobre cada una de ellas los segmentos parciales: AB y BC en S1, EF y FG en S2. Si AC=10, EG=15, AB+EF=20, hallar AB. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Ning. 3. Se da un triángulo ABC cuyo lado BC mide 6m y la altura AH=4m. Hallar el lado del cuadrado inscrito que tiene uno de sus lados en el lado BC del triángulo. a) 1.2m b) 1.4m c) 0.6m d) 1m e) Ning. 4. Se da un triángulo ABC cuyos lados AB y BC miden 8m y 6m respectivamente. Hallar el lado del rombo inscrito que descansa sobre los lados AB y BC del triángulo. a) 3/7 b) 24/7 c) 15/7 d) 10/7 e) Ning. 5. Se da un trapecio con bases 2m y 6m y con altura 4m. Hallar distancia del punto de intersección de los lados no paralelos a la base menor. a) 3m b) 4m c) 2m d) 6m e) Ning. 6. Dos lados consecutivos de un paralelogramo miden 6m y 16m. Si la distancia entre los lados mas cortos es de 8m, cuál es la distancia entre los otros dos lados? a) 3m b) 4m c) 1m d) 5m e) Ning. 7. Se da un triángulo ABC cuyos lados miden: AB=4m, BC=5m y AC=6m. Sobre AB y BC se toman los puntos P y Q respectivamente de modo que AP=CQ=1m. Se prolonga PQ hasta que corte a la prolongación de AC en R. Hallar CR.
a) 12m
b) 18m
c) 15m
d) 10m
e) Ning.
8. Las bases de un trapecio miden 3m y 6m. Calcular la longitud de la paralela a dichas bases que pasa por el punto de corte de las diagonales. a) 2m b) 5m c) 8m d) 4m e) Ning. 9. Se da un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y D. Las bases miden: AB=9m y DC=36m. Hallar su altura si las diagonales son perpendiculares. a) 12m b) 15m c) 18m d) 20m e) Ning. 10. Las diagonales de un trapecio son perpendiculares entre si y tienen longitudes de 6m y 8m. Hallar la altura del trapecio. a) 4.8m b) 5.1m c) 7m d) 12m e) Ning. 11. Dado un rectángulo ABCD tal que AD=1/5CD, por B se traza BE perpendicular a AC de manera que E está en CD. Si ED=24m, hallar la medida de CE en metros. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)Ning.
12. Se da un rectángulo ABCD en el cual CD=2AD. Por B se traza BE perpendicular a AC, se prolonga BE hasta cortar el lado CD en M, si MD=6m. Hallar MC. a) 7 b) 2 c) 3 d) 5 e) Ning. 13. Los catetos de un triangulo rectángulo son 4 cm y 3 cm. El valor de la altura relativa a la hipotenusa en cm es: a) 14/5 b) 16/5 c) 10/5 d) 12/5 e) Ning. 14. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo son dos números enteros consecutivos y la altura relativa a la hipotenusa es a) 13 b) 15 c) 17 d) 16
72 . Calcular la hipotenusa. e) Ning.
15. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15cm y la altura respecto a ella mide 6cm. Hallar la longitud del cateto mayor. a) 3 5
b) 6 5
c) 2 5
d)
5
e) Ning.
16. En un triángulo rectángulo ABC, recto en A, los cuadrados de los catetos están en relación 9 a 4. La proyección de la mediana de la hipotenusa sobre ésta mide 10m. Calcular la hipotenusa. a) 25m b) 30m c) 42m d) 52m e) Ning. 17. En un trapecio, la base mayor AB mide 20m y la diagonal BD mide 14m. Hallar la segunda diagonal si las diagonales son perpendiculares y CAB 30º . a) 14 3m
b) 4 3m
c)
3m
d) 10 3m
e) Ning.
