GEOMETRIA INTENSIVO 2007
GEOMETRIA INTENSIVO 2007 07. Con respecto a la figura, halle EF, si AB = 6cm y AE = 3cm.
GEOMETRÍA 2007-I 01. Si a un ángulo se le resta su complemento, el resultado es la cuarta parte de su suplemento. Halle la medida de dicho ángulo. A) 30º B) 60º C) 75º D) 45º E) 80º 02. La suma de los complementos y suplementos de las medidas de dos ángulos es 230º. Si se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos es 15º, calcule el complemento de la medida del mayor ángulo. A) 85º B) 70º C) 62,5º D) 20º E) 5º
A
45º
08. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz
distancia de “P” a BC. A) 11 x − 2y
t t a // b .
3y
B) 10
C) 8
D) 12
DF = 6 y DG = 7. Calcule AC.
Halle el valor de x en función de:
θ 90º − 2θ 2θ 180º − 2θ 90º − θ
E) 9
09. En la figura, ABC es un triángulo equilátero. DF // AB, DE //AC, DG // BC; DE = 5,
B
a A) B) C) D) E)
F
interior del ángulo A, las cuales se intersecan en “P”. Si (AB − AH) = 10, calcule la
45º 50º 60º 59º 58º
04. En la figura,
G
E
03. En la figura se muestran dos ángulos suplementarios Halle el máximo valor entero de “y”. A) B) C) D) E)
B A) 14 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 8 cm E) 9 cm
A) 18 B) 15 C) 16 D) 22 E) 20
θ
θ
F
E
D
x b
A
C G
05. En un triángulo ABC, BP es bisectriz interior y BP=PC. Si m∠A= 75º, calcule m∠C. A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 50º
GEOMETRÍA 2007-I
GEOMETRÍA 2007-I
06. En la figura, AQ es bisectriz del ∠OAB y AOB ≅ BQA. Calcule el valor de x. Q A) 120º O B) 105º C) 150º D) 110º x E) 135º A
10. En un octógono regular ABCDEFGH se construyen exteriormente el triángulo equilátero ABM y el cuadrado BCPQ. Calcule la m∠BQM. A) 52,5º B) 52º C) 53,5º D) 50º E) 45º 11. En la figura, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule el valor de x. B A) 30º B) 45º C) 25º D) 20º 2x E) 40º
x C
B A
D
GEOMETRIA INTENSIVO 2007
GEOMETRIA INTENSIVO 2007
12. En la figura, O es centro de la semicircunferencia y M e I son puntos de tangencia. Halle la m∠MIL, si m∠ICL = 40º B
GEOMETRÍA 2007-I 16. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10m y la altura relativa a dicha
A) 130º B) 110º C) 100º D) 120º E) 150º
I
hipotenusa 4,8 m, calcule la suma de las longitudes de los catetos.
M
A) 10
A
2
B) 18m
C) 12m
D) 16m
E) 14m
C
O 13. Con relación a la figura, A, B y T son puntos de tangencia. Si m∠PBQ = 40º, halle la m∠ACB
L
17. En una circunferencia el radio mide 13. Calcule la flecha o sagita de una cuerda que mide 10.
P A A) 60º B) 40º C) 80º D) 30º E) 50º
B
A) 1,5
40º
B) 2,5
C) 1
D) 0,5
E) 2
Q 18. En un rectángulo ABCD se traza BF perpendicular a la diagonal AC. Calcule BF, si la
T
distancia de F a BC mide 4 y CD = 25. C
14. En la figura, el cuadrilátero está circunscrito. Halle el valor de x.
A) 9
B
A) 6 B) 7 C) 2,5 D) 3 E) 2
x−1
B) 10
C) 6
D) 12
E) 8
19. En un cuadrilátero ABCD las diagonales son perpendiculares, AB=3, BC=6 y AD=5.
C
Calcule CD. 2x
x+1
A
D x+5
A) 7
B) 8
C) 10
D) 2
5
E) 2
13
20. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4cm y 2cm; entonces, el área de toda la región triangular es:
15. En la figura, AB = BC y C es punto de tangencia.
B
A) 6
Si mBC = 146º, halle el valor de x. A) 36º B) 30º C) 45º D) 34º E) 38º
A
x
C
3 cm2
B) 8
2 cm2
2
C) 14 cm
D) 6
2 cm2
2
E) 16cm
GEOMETRIA INTENSIVO 2007 01.
GEOMETRIA
01. Sea “α” la mencionado
medida
del
ángulo
α − (90 − α) = 180 − α 4
GEOMETRIA INTENSIVO 2007 04. Del grafico tenemos: A B θ 2θ θ
también debe ser uno de los ángulos
m C
n
x
Del primer dato: 90−α+90−θ + 180− α + 180 − θ = 230 α + θ = 155º……………..(1)
t
t
Como a // b x = 2θ (alternos internos)………(C)
x
Del gráfico se observa un par lineal:
→ x + y = 180º………….(1)
ABC: 75 + 3x = 180 x = 35º …………………….(B)
Q O
a+10
Sumando (1) y (2) x + 3y < 180 + x → y < 60 El máximo valor entero de “y” es 59º → y = 59º……………………..(D)
A
α α 0
agudos del ∆ AQB, entonces “α”
x
Q
N
C
75º 60º B 135º
A
Teoría: m∠ ABC = 135º
P H
M
C
x
α
Dato: ∆AOB ≅ ∆AQB Observar que “α” es uno de los ángulos
Q
M
x T
T x
R
B
06. Del gráfico tenemos:
α α
10. Dibujamos una parte:
ENG (ALA)
08. Tenemos el gráfico:
→ x − 2y > 0 → x > 2y → 2y < x ………………(2)
x = 5 + 6 + 7 = 18…………..(A)
GNF: (45; 45) → NF = 3 Luego: EF = 6 + 3 = 9………(E)
GEOMETRÍA
Cada uno de estos ángulos es mayor que “0º”
C
PBC: Isósceles
→ x − 2y + 3y = 180º
* ∆ MFC: Equilátero → GC = 6
F
→ GN = 3
x P
N 3
6
BAE ≅ A
45º
E 3
75º
* AEDM: Paralelogramo → AM = 5
3 α
x
C 6
* ∆ MDG: Equilátero
80−α
A
60º
G 7 x
E 6
60º
M 5
80−α
D
60º
A
α
05. Tenemos el gráfico: B
03.
3y
5
7 60º 7
B
Se observa: m 1/2 m∠ABC = 2θ (Prop. del serrucho)
De (1) y (2): α = 85º Piden: Cα = 90 − α = 5º………..(E)
x − 2y
E
60º
Del segundo dato: α + θ = 15º……………….(2)
6
07. Tenemos el gráfico:
b
mencionados.
60º F
* ∆ AOB: 3α = 90 α = 30 * ∆ AOT: x = 90 + α x = 90 + 30 = 120º……(A)
θ
02. Sean α y θ las medidas de los ángulos
B
→ m∠ ABO = α
θ
4(2α − 90) = 180 − α → α = 60º ………………………..(B)
09. Del gráfico tenemos:
agudos del ∆ AOB
a
360 = 135 + 60º + 90+ m ∠ MBQ → m∠ MBQ = 75
* ∆PBN: Isósceles: → PT = QN = X
∆ MBO : Isósceles
Teorema Bisectriz * NB = NM, AB = AM → a + 10 = a + x → x = 10……..(B)
x = 52,5º…………………..(A)
GEOMETRIA INTENSIVO 2007
GEOMETRIA INTENSIVO 2007
GEOMETRÍA 11.
13.
B
P A
B
40º
50º 40º 2x
x
x C
C7 A
R
GEOMETRÍA 16. Tenemos el gráfico:
D Unir “A” con “T” m∠ATB = 90 (prop.) En la circunferencia menor Como m∠ATC = 90 → AC es diámetro → m∠CAB = 90º (prop.) CTA. x = 50º………………….(E)
Para la circunferencia mayor m AB = 4x → m ∠R = 180 − 4x (prop). Para la circunferencia menor m CD=2x→ m ∠CRD=180 − 2x (prop). Se observa: m ∠R + m∠ CRD = 180º Reemplazando: 180 − 4x + 180 − 2x = 180º 180 = 6x → x = 30º………………(A) 12.
T
14. x−1
B
C
B 2x
M
Como “C” es punto de tangencia. → m∠BCT = 73º (∠semi inscrito) m∠A = 73º (∠ inscrito) ∆ ABC: Isósceles Del gráfico: x + 73º + 73º = 180º x = 34…………………………..(D)
x
x+1
A
D x+5 Como el cuadrilátero ABCD es circunscrito, se puede aplicar el teorema de PITOT: 2x + x + 1 = x − 1 + x + 5 3x + 1 = 2x + 4 x = 3…………………..……………(D)
50º 40º A N O L C Del gráfico: m ∠ A + mMN = 90º (prop). 50º → m MN = 40º → m ∠ MIN = 20º m ∠ NIL = 90 (prop.) Luego: x = 20º + 90 → x = 110º….(B)
a
b
18. A
25
N 4 x 4 F
D
25
C
Trazar FN ⊥ AB → NB = FH = 4 AFB : Teorema del Cateto x2 = (4)(25) → x = 10……….(B)
3 10 *ab = (10)(4,8) (propiedad) → ab = 48 → 2ab = 96 a2 + b2 = 102 (Pitágoras) Sumando las últimas ecuaciones (a + b)2 = 196 → a + b = 14……..(E) 17. Tenemos el gráfico: N x 5 5
H
19. Tenemos el gráfico B
4,8
A
B
B
6
A
C 5
x
D Propiedad: x2 + 32 = 52 + 62 → x = 2 13 ……………….(E) 20. Del gráfico tenemos:
12 13
h
13 O
15.
B 2
4
146 T
73º
73º A
73º
x
C
* Trazar ON ⊥ AB * ∆ ABO: Isósceles * ONB: Pitagórico → NO = 12 Del gráfico: 12 + x = 13 x = 1………………………….(C)
* h2 = (2)(4) (Propiedad)
2
→h=2
(
(6) 2 2 AV =
2
)=6
2 ……..(D)
