Balance de momentum,calor y masa.pdf

Agosto-Diciembre 2016 

3a

3a

8a

1 v

n v = v 1 e 1 + v2 e 2  + v3 e 3 + · · · + vn   en n

v =

 i=1

e i

vi e i

v v1 v2 v3 vn u  = e 1 + e 2  + e 3 + · · · + e n |v| |v| |v| |v| |v| =

 

v1 2 + v2 2 + v3 2 + · · · + vn 2

a v

v

w   n

v · w   =

n

  vi e i ·

wj   ej

n

v · w   =

n



vi w j e i · e  j

i=1  j =1

e i · e  j = δ ij =⇒ Delta de Kronecker

n

v · w   =

n

n



vi w j δ ij =

i=1  j =1

  



vi w i

i=1

1

i = j

0

i =  j

δ ij =

n

v · w   =

vi wi = |v||w|cosθ

e 1 × e 2 = e 3 e 2 × e 3 = e 1 e 3 × e 1 = e 2

e 2 × e 1 = −e 3 e 3 × e 2 = −e 1 e 2 × e 1 = −e 2

n

e i × e  j =



ijk e k

k=1

e3

e2

ijk =⇒ simbolo de permutacin

ijk =

  

1

(ijk) es (123),   (231) o (312)

−1

(ijk) es (321),   (213) o (132)

0

i = j, i = k o j = k

 

e 1 e 2 e 3 v × w   = v1 v2 v3 w1 w2 w3

 

v × w   =

n

n





vi e i ×

i=1

n

v × w   =

w j e  j

 j =1

n



vi w j e i × e  j

i=1  j =1

n

v × w   =

n

n



ijk vi w j e k

v

w  

v w  

v = v 1 e 1  + v2 e 2 w   = w 1 e 1  + w2 e 2

v w   = τ  =

  v1 e 1 v2 e 2



w1 e 1 w2 e 2

τ 11 τ 12

 

 

=

v1 w1 e 1 e 1 v1 w2 e 1 e 2 v2 w1 e 2 e 1 v2 w2 e 2 e 2

v1 w1 v1 w2





v n

τ  = v w   =

n



n

vi w j e i e  j =

i=1  j =1

τ ij = τ ij τ ij = −τ ij

I  =

 

1 0 ··· 0 1

i=1  j =1

τ  τ  0 0 0

 

n



= δ ij

τ ij e i e  j

w  

n

n

τ  ± w =

n

 i=1  j =1

n

τ ij e i e  j ±

n

 i=1  j =1

wij e i e  j

τ 

v

n

τ  · v =

n

n

          τ ij e i e  j ·

i=1  j =1 n n n

=

vk e k

k =1

τ ij vk [  ei e  j · e k ]

i=1  j =1 k =1 n n n

=

  e  j · e k ] τ ij vk ei[

i=1  j =1 k =1 n n n

=

n

n

τ ij vk e i δ  jk =

i=1  j =1 k =1

i=1  j =1

τ ij v j e i

n

τ  · w =

n

n

τ ij e i e  j ·

i=1  j =1 n n n

=

n

           wkl e k e l

k =1 l=1

n

τ ij wkl [  ei e  j · e k e l ]

i=1  j =1 k =1 l=1 n n n n

=

τ ij wkl [e  j · e k ]  ei e l

i=1  j =1 k =1 l=1 n n n n

=

n

τ ij wkl δ  jk e i e l =

n

n

τ ij w jl e i e l

n

τ  : w =

n

n

τ ij ei e j :

i=1  j =1 n n n

=

n

           wkl ek el

k=1 l=1

n

τ ij wkl [  ei e  j : e k e l ]

i=1  j =1 k=1 l=1 n n n n

=

τ ij wkl [  ei · e l ][e  j · e k ]

i=1  j =1 k=1 l=1 n n n n

=

n

n

τ ij wkl [δ il ][δ  jk ] =

i=1  j =1 k=1 l=1

i=1  j =1

τ ij w ji

  ∇

  ∇

d dx

n

  = ∇

 i=1

  ∇

∂ 

e   +

∂  e i ∂xi   ∇

∂ 

e   +

∂ 

e 

f  f  = f (x1 , x2 , x3 )

  ∇

  ∇f  = =

x1 x2 f 

∂f  ∂f  ∂f  e 1  + e 2  + e 3 ∂x1 ∂x 2 ∂x3 n ∂f  e i ∂xi

 i=1

gradiente f 

  =   ∇f    f ∇

x3

divergencia n

  · v = ∇

i=1 n n

=

∂  e i · ∂ xi

i=1  j =1 n n

=

i=1  j =1 n

=

n

       i=1

v j e  j

 j =1

∂  v j e i · e  j ∂x i ∂  v j δ ij ∂x i

∂  vi ∂x i

v

e 1 e 2

e 3   divergencia   · v = ∇

∂v 1 ∂v 2 ∂v 3 e 1 · e 1 + e 2 · e 2  + e 3 · e 3 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂v ∂v ∂v

    divergencia ∇

laplaciano f  n

  · ∇f    ∇ =

i=1 n n

=

∂  e i · ∂x i

i=1  j =1 n 2

=

n

i=1

 j =1

∂  ∂f  δ ij ∂xi ∂x j

∂  f  ∂xi 2

= ∇2 f 

∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 + + ∇ = ∂ 2 ∂x 2 ∂x 2 2

∂f  e  j ∂x j

     

laplaciano

v n

  · ∇   v = ∇

∂  e i · ∂xi

i=1 n n

=

n

i=1  j =1 k=1 n n 2

=

n

n

       i=1 k =1

 j =1 k =1

∂  vk e  j   ek ∂x j

∂  ∂  vk [  ei · e  j ]e k ∂xi ∂x j

∂  v e  2 k k ∂xi



v

  ∇ Rotv

v n

  × v = ∇

i=1 n

=

∂  e i × ∂xi n

i=1  j =1 n n

=

n

   

v j e  j

 j =1

∂  v j e i × e  j ∂xi n

i=1  j =1 k=1

∂  ijk v j   ek ∂xi

v

f (x) (a, b)

[a, b] c ∈ (a, b) f (b) − f (a) f  (c) = b−a 

x0  + x1  + · · · + xn x= n

(f (x))

[a, b] n f (x) =

f (a) + f (x1 ) + · · · + f (b) n

f (x) ∆x

f (x) = = = =

∆x = 1 n

b−a n

n



f (xi )

i=0

∆x b−a 1 b−a 1 b−a

n

    i=0 n i=0 b a

f (xi ) 1 f (xi )∆x =   l´ım b − a n→∞ f (x)dx

n

 i=0

f (xi )∆x

f (x) ∆x

f (x) = = = =

∆x = 1 n

b−a n

n



f (xi )

i=0

∆x b−a 1 b−a 1 b−a

n

    i=0 n i=0 b a

f (xi ) 1 f (xi )∆x =   l´ım b − a n→∞ f (x)dx

n

 i=0

f (xi )∆x

f (x) ∆x

f (x) = = = =

∆x = 1 n

b−a n

n



f (xi )

i=0

∆x b−a 1 b−a 1 b−a

n

    i=0 n i=0 b a

f (xi ) 1 f (xi )∆x =   l´ım b − a n→∞ f (x)dx

n

 i=0

f (xi )∆x

f (x) ∆x

f (x) = = = =

∆x = 1 n

b−a n

n



f (xi )

i=0

∆x b−a 1 b−a 1 b−a

n

    i=0 n i=0 b a

f (xi ) 1 f (xi )∆x =   l´ım b − a n→∞ f (x)dx

n

 i=0

f (xi )∆x

f (x) = 4 − x2 f (x) = −x2 /2

[0, 3] [0, 3]

f (x) f (x) = x 2 + 2

f ( f (x) f  (x) =

df ( f (x) = 2x dx

df  f ((x) = 2x dx

f ( f (x) f  (x) =

df ( f (x) = 2x dx

df ( f (x) = 2x dx

df  f ((x) = 2x dx

df  f ((x) = 2xdx xdx =  =⇒ ⇒

 

df  f ((x) =

f ((x) = x2 + C  f 

 

2xdx

df (x) = 2x dx

df (x) = 2xdx =⇒

 

df (x) =

f (x) = x2 + C 

 

2xdx

df (x) = 2x dx

df (x) = 2xdx =⇒

 

df (x) =

f (x) = x2 + C 

 

2xdx

df (x) = 2x dx

df (x) = 2xdx =⇒

 

df (x) =

f (x) = x2 + C 

 

2xdx

dvx τ yx = −µ dy

y

t = t ∞

  F  τ yx

vx

dvx τ yx = −µ dy

y

t = t ∞

  F  τ yx

vx

τ yx µ

dvx dy

−

 F  A

τ 

τ ij =

 

τ xx τ yx τ zx

τ xy τ yy τ zy

τ xz τ yz τ zz

 

 F  A

τ 

τ ij =

 

τ xx τ yx τ zx

τ xy τ yy τ zy

τ xz τ yz τ zz

 

 F  A

τ 

τ ij =

 

τ xx τ yx τ zx

τ xy τ yy τ zy

τ xz τ yz τ zz

 

 F  A

τ 

τ ij =

 

τ xx τ yx τ zx

τ xy τ yy τ zy

τ xz τ yz τ zz

 

A Area = A

F 

y x

F  τ yx = A

A Area = A

F 

y x

F  τ yx = A

A Area = A

F 

y x

F  τ yx = A

A Area = A

F 

y x

F  τ yx = A

xy t=0

y x

vx

y

t = t∞

y

  F  τ yx

vx

x τ yx

x y

t = t∞

y

  F  τ yx

vx

x τ yx

x y

τ ij τ  i  j

z τ zx

  F 

 x F 

x

τ xx x

τ yx

y

z τ zx

  F 

 x F 

x

τ xx x

τ yx

y

z τ zx

  F 

 x F 

x

τ xx x

τ yx

y

z τ zx

  F 

 x F 

x

τ xx x

τ yx

y

z τ zy

  F 

 y F  τ yy

y τ xy x

y

z τ zy

  F 

 y F  τ yy

y τ xy x

y

z τ zy

  F 

 y F  τ yy

y τ xy x

y

z τ zy

  F 

 y F  τ yy

y τ xy x

y

z τ zz F   z   F 

τ yz

z τ xz x

y

z τ zz F   z   F 

τ yz

z τ xz x

y

z τ zz F   z   F 

τ yz

z τ xz x

y

z τ zz F   z   F 

τ yz

z τ xz x

y

y vx x

E  − S  + P  − C  = A

ML t

mv ML t2

m v t

2B





P 0 − P L  + ρg  +  ρgL L τ xz x xz = L

2. E 2

2

2. E 2

2. E 2



τ xz ∆y∆z −τ xz ∆y∆z

τ xz



x

∆x

τ xz l´ım

∆x→0





∆x∆y∆z



− τ xz

x

+



x+∆x

∆x

z

z

ρvz2

P  − P  x+∆x



 

z +∆z

∆z



− ρvz2

∆x → 0 ∆y → 0





z +∆z

z +∆z

z

+

∆z

∆z →0

z

z +∆z

∆z

z

+ ρg = 0

∆z → 0 ρvz2

P  − P  + l´ım



+ρvz2 ∆y∆z −ρvz2 ∆y∆z

+P ∆x∆y −P ∆x∆y

x+∆x

− τ xz

x

 

+ l´ım

∆z →0



− ρvz2 z

∆z



z +∆z

+ρg = 0



+ρ∆x∆y∆ z +∆z

2. E 2



τ xz ∆y∆z −τ xz ∆y∆z

τ xz



x

∆x

τ xz l´ım

∆x→0





∆x∆y∆z



− τ xz

x

+



x+∆x

∆x

z

z

ρvz2

P  − P  x+∆x



 

z +∆z

∆z



− ρvz2

∆x → 0 ∆y → 0





z +∆z

z +∆z

z

+

∆z

∆z →0

z

z +∆z

∆z

z

+ ρg = 0

∆z → 0 ρvz2

P  − P  + l´ım



+ρvz2 ∆y∆z −ρvz2 ∆y∆z

+P ∆x∆y −P ∆x∆y

x+∆x

− τ xz

x

 

+ l´ım

∆z →0



− ρvz2 z

∆z



z +∆z

+ρg = 0



+ρ∆x∆y∆ z +∆z

2. E 2



τ xz ∆y∆z −τ xz ∆y∆z

τ xz



x

∆x

τ xz l´ım

∆x→0





∆x∆y∆z



− τ xz

x

+



x+∆x

∆x

z

z

ρvz2

P  − P  x+∆x



 

z +∆z

∆z



− ρvz2

∆x → 0 ∆y → 0





z +∆z

z +∆z

z

+

∆z

∆z →0

z

z +∆z

∆z

z

+ ρg = 0

∆z → 0 ρvz2

P  − P  + l´ım



+ρvz2 ∆y∆z −ρvz2 ∆y∆z

+P ∆x∆y −P ∆x∆y

x+∆x

− τ xz

x

 

+ l´ım

∆z →0



− ρvz2 z

∆z



z +∆z

+ρg = 0



+ρ∆x∆y∆ z +∆z

2. E 2



τ xz ∆y∆z −τ xz ∆y∆z

τ xz



x

∆x

τ xz l´ım

∆x→0





∆x∆y∆z



− τ xz

x

+



x+∆x

∆x

z

z

ρvz2

P  − P  x+∆x



 

z +∆z

∆z



− ρvz2

∆x → 0 ∆y → 0





z +∆z

z +∆z

z

+

∆z

∆z →0

z

z +∆z

∆z

z

+ ρg = 0

∆z → 0 ρvz2

P  − P  + l´ım



+ρvz2 ∆y∆z −ρvz2 ∆y∆z

+P ∆x∆y −P ∆x∆y

x+∆x

− τ xz

x

 

+ l´ım

∆z →0



− ρvz2 z

∆z



z +∆z

+ρg = 0



+ρ∆x∆y∆ z +∆z

2. E 2 dτ xz P 0 − P L = + ρg dx L

P 0 − P L  + ρgL τ xz = x + C 1 L





C 1

τ xz = 0 @ x = 0

C 1 = 0 P 

P 

 ρgL

2. E 2

τ xz = −µ

dvz dx

τ xz dvz P 0 − P L  + ρgL −µ = x dx L





vz P 0 − P L  + ρgL x2 vz = + C 2 −µL 2



C 2



2. E 2 P 0 − P L + ρgL B 2 C 2 = µL 2





C 2

P 0 − P L + ρgL x2 2 vz = B 1− 2 2µL B



 

x=0

vz,max  =



P 0 − P L + ρgL B2 2µL



w

< vz >=

B

    0

vz dxdy B B

−



2. E 2

w

< vz >=

B

     0

B

−

P 0 − P L  + ρgL x2 2 B 1 − 2 dxdy 2µL B w

< vz >=

B

   

P 0 −P L +ρgL 2µL



dxdy

B

0



 

−

  2

B x−

x3 3B 2

2BW 



B

2 P 0 − P L + ρgL < vz >= B2 3 2µL







2

B

−

W