Fiber, Fisika FMI PA UN SRI SRI
MATRI MATRI KS I NTI BAHAS AHASA A MATLAB MATLAB
I. PENDAHULUAN §
Dalam bahasa MATLAB matriks diartikan sebagai array atau larik, yaitu sejumlah bilangan yang disusun dalam bentuk persegi. Demikian juga pengertian secara umum matriks adalah susunan bilangan sebagai berikut:
a11 a12 a a 21 22 A= M M am1 am2
L a1n
M amn
L a2n L
ukurannya ( m x n )
Secara singkat : A = (aij) ; 1 ≤ i ≤ m ; §
1≤j≤n
Bila banyaknya baris dan kolom sebuah matriks adalah sama, matriks tersebut disebut matriks bujur sangkar; misalnya berukuran n x n atau berorde n.
§
Matriks yang hanya terdiri dari satu baris, berukuran (1 x n) disebut matriks baris; sedangkan yang terdiri dari hanya satu kolom berukuran (n x 1) disebut matriks kolom.
§
Matriks bujur sangkar yang semua elemen tak diagonalnya nol, jadi a ij = 0 untuk
i
≠ j, disebut matriks diagonal. II. MENYUSUN MATRIKS
Dalam MATLAB matriks dapat digunakan dan dibuat dengan melalui empat cara berikut ini, yaitu: II.1 Membuat matriks langsung dari command command window window atau jendela interaktif
Tiga metode untuk membuat matriks berorde m x n melalui jendela interaktif MATLAB dapat ditunjukkan sebagai berikut: Metode 1:
>>A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] 1
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
Hasilnya:
A= 2
1
-1
1
-1
1
2
2
1
Metode 2:
>> A=[2 1 -1 1 -1 1 2 2 1]; Hasilnya:
A= 2
1
-1
1
-1
1
2
2
1
Metode 3:
>> A1=[2 1 -1]; >> A2=[1 -1 1]; >> A3=[2 2 1]; >>A=[A1;A2;A3] Hasilnya:
A= 2
1
-1
1
-1
1
2
2
1
II.2. Membuat/menyusun Matriks dengan File-M
Matriks disusun atau dibuat dengan script MATLAB. Berikut ini contoh script File-M untuk menyusun matriks berordo3x3. Contoh 2.2.1 %Program menyusun Matriks ordo 3x3 clear; clc;
2
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; %Akhir program
Program ini disimpan sebagai file-M, dengan nama(misal) Matrik1a. Kemudian pindah ke layar perintah MATLAB untuk memangil file Matrik1a, dilanjutkan dengan mengetikkan ’A’ untuk menampilkan matriks yang telah dibuat.
Contoh 2.2.2. %Program menyusun Matriks ordo 3x3 clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] %Akhir program
Simpanlah program ini dengan nama Matrik2a. Selanjutnya berpindah ke layar perintah Matlab, ketikkan matrik2a, maka hasilnya(matriks A) akan langsung terlihat di layar.
II.3. Membuat Matriks dengan fungsi bawaan MATLAB
MATLAB menyediakan beberapa fungsi bawaan yang dapat menghasilkan matriks, yaitu:
• zeros : semua elemen matriks bernilai nol • ones
: semua elemen matriks bernilai satu
• rand : matriks dengan elemen bilangan random berdistribusi uniform dari nol sampai dengan satau
• randn. : matriks dengan elemen bilangan random berdistribusi normal dengan rata-rata nol dan varian unit. Berikut ini disajikan contoh-contoh penggunaan fungsi di atas. Contoh 2.3.1.
>> Z=zeros(3,3) Z= 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
Contoh 2.3.2.
>> S=ones(3,3) S= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Contoh 2.3.3.
>> R=rand(3,3) R= 0.9649 0.9572 0.1576 0.4854 0.9706 0.8003
0.1419 0.4218 0.9157
Contoh 2.3.4.
>> N=randn(3,3) N= -0.4326 0.2877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273 II.4. Membuat/menyusun Matriks dari data eksternal
MATLAB dapat membuat atau meload data dari file eksternal. Data eksternal yang akan dibaca oleh MATLAB harus dalam bentuk numerik. Aturan penulisannya adalah: data tersebut harus disusun dalam bentuk persegi(bujur sangkar atau persegi panjang) antar elemen harus dipisahkan dengan spasi(kosong) dan jumlah elemen setiap barisnya harus sama. Fungsi MATLAB yang digunakan untuk meload data tersebut adalah ’load’ Berikut ini disajikan contoh data yang disusun dalam bentuk persegi yang jumlah barisnya empat dan kolomnya empat. 16.0 5.0 9.0 4.0
3.0 10.0 6.0 15.0
2.0 11.0 7.0 14.0
13.0 8.0 12.0 1.0
Simpan data ini dengan nama magik.dat Selanjutnya baca file ini dengan cara: >> load magik.dat
4
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
>> B=magik B= 16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
4
15
14
12 1
III. ALJABAR MATRIKS a. Kesamaan Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama jika dan hanya jika ukurannya sama dan elemen yang seletak bernilai sama. b. Penjumlahan dan pengurangan Matriks
Jika matriks A = (aij) dan matriks B = (bij), berukuran sama, maka: A ± B = C, dengan matriks C = (cij), dimana cij = aij ± bij Contoh 3.1
Misalkan matriks A = [2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] dan Matriks B = [2 -1 1;1 2 3;2 1 2]. Hitunglah matriks C yang merupakan penjumlahan matriks A dan matriks B. Solusi 1.
>> A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; >> B=[2 -1 1;1 2 3;2 1 2]; >> C=A+B C= 4
0
0
2
1
4
4
3
3
Solusi 2. Penyelesaian menggunakan file-M: %Program penjumlahan 2 buah matriks berordo sama clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; B=[2 -1 1;1 2 3;2 1 2];
5
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
C=A+B; %menampilkan matriks A, B, dan C A B C %Akhir program
c. Perkalian Matriks
Jika matriks A = (aij) berukuran (m x n), dan matriks B = (b ij) berukuran
(n x
k), maka: A B = C. Dengan matriks C = (c ij) berukuran (m x k), dimana cij =
n
∑a
b . Syarat yang harus dipenuhi: jumlah kolom pada matriks A harus
ik kj
k =1
sama dengan jumlah baris pada matriks B. Contoh 3.2:
Tentukanlah matriks C yang merupakan perkalian matriks A dan matriks
B, dan matriks D yang merupakan perkalian matriks B dan matriks A. Apakah matriks C sama dengan matriks D ?
Solusi 1: >> C=A*B C= 3
-1
3
3
-2
0
8
3
10
>> D=B*A D= 5
5
-2
10
5
4
9
5
1
Solusi 2: Penyelesaian menggunakan file-M: %Program peerkalian 2 buah matriks clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; B=[2 -1 1;1 2 3;2 1 2]; %proses perkalian matriks C=A*B;
6
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
D=B*A; %menampilkan matriks A, B, C dan D A B C D %Akhir program
Catatan:
Pada MATLAB perkalian matriks dengan pola elemen ke elemen juga dapat dilakukan dengan notasi yang sedikit berbeda yaitu: ” .* ” Hitunglah perkalian elemen ke elemen matriks A dan B pada contoh 3.1. >> E=A.*B E= 4
-1
-1
1
-2
3
4
2
2
d. Transpos Matriks
Jika matriks A = (aij) berukuran (m x n), maka transpos dari matriks A yaitu A
T
= (a ji) berukuran (n x m). Untuk mentrasposkan matrik A(yang telah didefinisikan di atas), lakukan langkah berikut: >> F=A' F= 2 1 1 -1 -1 1
2 2 1
e. Trace (Spur) Matriks
Jika matriks A = (aij) berukuran (n x n), maka Trace dari matriks A: Tr A =
n
∑a
ii
i =1
7
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
Pada MATLAB: >> trace(A) ans = 2
f. DETERMINAN
Untuk setiap matriks bujur sangkar A berukuran (n x n) atau dikatakan berorde n, terdapat sebuah bilangan det (A) atau det (a ij) yang disebut determinan A. Contoh 3.f.1: Hitung determinan matriks A berikut:
2 1 − 1 A = 1 −1 1 2 2 1
Solusi 1: dikerjakan langsung pada command windows >> A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] A= 2 1 -1 1 -1 1 2 2 1 >> det(A) ans = -9
Solusi 2: Diselesaikan dengan membuat script pada file-M. %Program menghitung determinat matriks clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; %pernyataan determinan B = det(A); %menampilkan matriks A, dan determinannya A %matriks A B %determinan dari matriks A %Akhir progran
8
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
Keluaran program: A= 2
1
-1
1
-1
1
2
2
1
B= -9 Latihan f.1: Hitunglah determinan dari matriks berikut ini. Petunjuk (a)kerjakan langsung pada jendela perintah (b) buat script pada file-M.
1 0 A= 4 1
2
0
3
1
2 1
0 3 3 4 2 2
g. MATRIKS INVERS
Jika matriks A = (aij) berukuran (n x n), maka invers dari matriks A -1
( dituliskan A ) secara formal dirumuskan sebagai berikut: A -1 =
adjoint (A) det (A)
dimana
kof (a11 ) kof (a12 ) M M adjoint (A) = M M kof (a m1 ) kof (a m 2 )
L
kof (a1n )
T
= kof (A)T M kof (a mn ) M
L
-1
Sifat berikut haruslah dipenuhi oleh A , yaitu: -1
-1
AA = A A = I -1
dengan I adalah matriks identitas. Hal khusus berikut juga haruslah dipenuhi oleh A , yaitu: 1. Jika matriks A orthogonal, maka: -1
T
A =A
9
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
2. Jika matriks A uniter, maka: -1
+
A =A
Dalam MATLAB®7, matriks invers dari matriks A diperoleh dengan menggunakan perintah inv(A). Contoh g.1: Hitunglah matriks invers dari:
2 1 − 1 A = 1 −1 1 2 2 1 Solusi 1: >> A A= 2
1
-1
1
-1
1
2
2
1
>> B=inv(A) B= 0.3333
0.3333
0
-0.1111 -0.4444
0.3333
-0.4444
0.3333
0.2222
Solusi 2: %Program mencari invers matriks clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; %menghitung invers matriks A B = inv(A); %menampilkan matriks A, dan invers dari A, yaitu matriks B A B %Akhir program
10
Fiber, Fisika FMI PA UN SRI
Keluaran program: A= 2
1
-1
1
-1
1
2
2
1
B= 0.3333
0.3333
0
-0.1111 -0.4444
0.3333
-0.4444
0.3333
0.2222
11
