BAB II
MEDAN LISTRIK STATIS 2.1
Hukum Eksperimental Coulomb
Coulomb (nama lengkapnya Kolonel Charles Coulomb) melakukan suatu rangkaian percobaan untuk menentukan secara ku antitatif gaya yang bekerja antara dua benda yang masing-masing bermuatan listrik statis, dari percobaan tersebut Coulomb menemukan bahwa gaya antara dua benda yang sangat kecil dalam ruang hampa yang terpisahkan pada jarak yang besar dibandingkan ukurannya, berbanding lurus dengan besar muatan masing-masing benda tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak. Atau :
F
k
Q 1Q
2
(2.1)
R 2
dengan : Q1 dan Q2 menyat menyatakan akan besar besar muatan muatan masing masing - masing masing benda benda (positif atau negatif), Jika Q1 dan Q2 mempunyai tanda yang sama (positif semua atau negative semua), maka gaya yang dirasakan akan tolakmenolak, sedangkan jika berlawanan tanda (satu muatan positif dan satu muatan negatif) akan terjadi gaya tarik-menarik.
R = jarak jarak antara antara kedua kedua benda benda ters tersebu ebut. t. K = konstanta konstanta yang tergantung tergantung dari medium medium tempat tempat muatan berada, berada, yang dirumuskan :
k
1 4π
1 4π
r
o
(2.2)
dengan :
= permitivitas medium = r o permitivitas relatif medium terhadap ruang hampa r = permitivitas permitivitas as ruang hampa hampa = 8,854 x 10 o = permitivit
–12
-1
Fm
1 3 6
x 1 0
9
Fm-1
maka dalam ruang hampa, konstanta k menjadi :
k
1 4 πo
9 . 10 9 Fm 1
sehingga sehingga persamaan persamaan (2.1) (2.1) menjadi menjadi : (di ruang ruang hampa atau medium udara)
F
Q 1Q 2 4 0 R
2
9 Q 1Q 2 9 . 10 2
R
Persamaan di atas selanjutnya disebut Hukum Coulomb.
Untuk Untuk medium medium lain lain : Besar Gaya Gaya :
F
Q 1Q 2 4
2 R 0 r
9 . 10
9 Q 1Q 2 r R 2
2.2 2.2 Gay Gaya Cou Coullomb omb
Keberadaan muatan listrik Q1 dan Q2 dinyatakan sebagai tempat kedudukan titik-titik dalam suatu ruang yang membentuk garis, sehingga keduanya
dijabarkan
dalam
koordinat
ruang
dan
jarak
yang
menghubungkan kedua muatan tersebut satu sama lain dinyatakan sebagai suatu vektor. Gaya Coulomb Coulomb yang terjadi pada muatan Q2 akibat muatan Q1 dinyatakan dalam koordinat kartesian diberikan pada gambar 2.1.
dengan :
= permitivitas medium = r o permitivitas relatif medium terhadap ruang hampa r = permitivitas permitivitas as ruang hampa hampa = 8,854 x 10 o = permitivit
–12
-1
Fm
1 3 6
x 1 0
9
Fm-1
maka dalam ruang hampa, konstanta k menjadi :
k
1 4 πo
9 . 10 9 Fm 1
sehingga sehingga persamaan persamaan (2.1) (2.1) menjadi menjadi : (di ruang ruang hampa atau medium udara)
F
Q 1Q 2 4 0 R
2
9 Q 1Q 2 9 . 10 2
R
Persamaan di atas selanjutnya disebut Hukum Coulomb.
Untuk Untuk medium medium lain lain : Besar Gaya Gaya :
F
Q 1Q 2 4
2 R 0 r
9 . 10
9 Q 1Q 2 r R 2
2.2 2.2 Gay Gaya Cou Coullomb omb
Keberadaan muatan listrik Q1 dan Q2 dinyatakan sebagai tempat kedudukan titik-titik dalam suatu ruang yang membentuk garis, sehingga keduanya
dijabarkan
dalam
koordinat
ruang
dan
jarak
yang
menghubungkan kedua muatan tersebut satu sama lain dinyatakan sebagai suatu vektor. Gaya Coulomb Coulomb yang terjadi pada muatan Q2 akibat muatan Q1 dinyatakan dalam koordinat kartesian diberikan pada gambar 2.1.
Dari gambar (2.1), didefinisikan :
R12
R12
R12
R 2 R1
x 2ax y 2a y z2az x1ax y1a y z1az
a12
x 2 x1 a x y 2 y1 a y z2 z1 az
R12
R12
R1 R2 R1 R2
x2 x1ax y2 y1ay z2 z1az 2 2 2 x2 x1 y2 y1 z2 z1
F2
z
Q1(x1, y1, z1)
R 1 2
Q2(x2, y2, z2)
R 2
R 1
x Gambar Gambar 2.1 Gaya Coulomb Coulomb yang terjadi terjadi pada muatan muatan Q2 akibat muatan Q1 dinyatakan dalam koordinat kartesian
Sehingga gaya coulomb pada Q2 dituliskan sebagai vektor :
F2
F2a12
kQ 1Q 2 a12 2 ε 0 r R12
Q1Q 2 9.10 a12 2 r R12 9
(2.3)
dengan : Q1 = besar muatan 1 (coulomb) Q2 = besar muatan 2 (coulomb) R12 = jarak antar muatan (m)
a 1 2 = vektor satuan dengan arah dari 1 ke 2 r = permitivitas relatif medium Contoh Soal : Dua buah muatan masing-masing Q 1 = 200 Q2 = 30
C berada di titik (1,0,3) dan
C berada di titik (0,2,1). Jika muatan tersebut berada dalam
medium udara, tentukan gaya yang dialami oleh muatan Q2 Jawab :
R1 2
R2
R1 = (0 a x + 2 a y + 1 a z ) – (1. a x + 0 a y + 3 a z )
= - a x + 2 ay - 2 az
R 2 R 1
R12 = R 1 2
a1 2 =
ax
2ay
( 1) 2
2az
F2
3
(2 )2 (2 )2
=3
9x10 9 x30x10 6 x200x10 6 1 x3
2
6N
a x 2 a y 2 a z 2 a x 4a y 4a z N F 2 F 2 a 1 2 6 3
Gaya yang dinyatakan dalam hukum Coulomb merupakan gaya timbal balik, karena masing-masing muatan mengalami gaya yang besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan, sehingga kita bisa menuliskan gaya yang terjadi pada muatan Q1 akibat muatan Q 2 adalah :
F1
-F 2
k Q 1Q 2 ε 0 r R 22 1
a 21
9.10 9
Q 1Q 2
r R 22 1
a 21
(2.4)
Hukum Coulomb merupakan hukum yang linier artinya jika kita kalikan Q1 dengan faktor n, maka gaya yang bekerja pada Q 1 juga besarnya akan dikalikan dengan faktor n demikian juga dengan gaya pada Q2 . Karena linier, maka jika ada beberapa muatan, gaya yang timbul adalah jumlah gaya yang disebabkan oleh masing-masing muatan tersebut.
2.3 Medan Listrik
Gambar 2.2 menunjukan interaksi dua buah muatan listrik yang saling berdekatan. Muatan Q adalah muatan yang diletakkan di tempat yang tetap, sedangkan muatan q berupa muatan yang dapat bergerak bebas di sekitar Q, dan berada dalam pengaruh medan listrik Q. Jika diasumsikan medan listrik di sekitar muatan Q serba sama (uniform), untuk jarak r yang sama maka muatan q akan mendapatkan besar gaya coulomb yang sama. Besar kecilnya gaya yang diterima q tergantung dari besar muatan Q, q, jarak r, serta jenis medium tempat muatan tersebut berada. Jika q adalah muatan uji sebesar
1 (satu)
coulomb, maka gaya yang dialami oleh q adalah
E q
+Q
r
Q = muatan sumber q = muatan uji r = jarak antara sumber dan muatan uji
a r = vektor satuan dalam arah radial
Gambar 2.2 Medan listrik yang terjadi pada suatu muatan.
gaya persatuan muatan. Selanjutnya gaya persatuan muatan uji disebut
sebagai medan listrik ( E ).
E
F q
Medan listrik
Q
4 r o r
2
a r
(2.5)
merupakan besaran vektor dan dapat dinyatakan dalam
sistem koordinat seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.3.
E
z q p
R 1p
Q 1 (x 1 , y1 , z1 )
P(x p, y p, z p)
R p x
R 1
x
Gambar 2.3 Penggambaran vektor medan listrik dalam koordinat kartesian
Dari gambar tersebut didefinisikan :
E
Rp R1
Q1
4 r ε 0 Rp R1
2
Rp R1
R p R1
Q1
E
4 0 ε r R R 3 p 1
R 1p
Q1
E
4 0 ε r R 1p
3
(2.6)
Contoh Soal : Tentukan medan listrik di titik (0,2,3) yang disebabkan oleh muatan Q= 10 nC yang berada di titik (1,0,1), jika muatan tersebut berada di medium udara. Jawab :
R p = 0 a x + 2 a y + 3 a z
+ 0 ay + 1 az
R 1 = 1 a x
R p - R 1 = -1 a x + 2 a y + 2 a z
R p
E
1 2
R 1
E a1 p
E
E
1 0x
( 1 a x
3,33a x
22
9x10 9 x10x10 9
3
2ay 3
6,67a y
22
( 1 a x
x
2
2az )
6,67a z Vm-1
3
2a y
2a z )
3
Catatan : Satuan medan listrik adalah Newton/Coulomb atau Volt/meter.
2.4 Medan Listrik n buah Muatan
Jika ada beberapa muatan pada suatu ruang, maka medan listrik yang disebabkan oleh beberapa buah muatan itu merupakan penjumlahan vektor dari medan listrik masing-masing muatan.
E2
E p
R 1p
Q1
P
E1
R 2p
Q2
Gambar 2.4 Medan listrik dari 2 buah muatan. Gambar 2.4 menunjukan medan listrik yang diakibatkan oleh dua buah muatan. Dari gambar ini didefinisikan :
E1
adalah medan listrik di P yang disebabkan oleh Q1
E2
adalah medan listrik di P yang disebabkan oleh Q 2
Maka medan listrik yang diakibatkan oleh kedua muatan tersebut adalah:
E
E1
E2
4 r 0 R 1p
R p
R 1
4 r 0 R p
R 1
E
Q1
R 1 p
Q1
3
4 r 0 R 2p
R 2
4 r 0 R p
R 2
3
Q2
R 2 p
2
R p
Q
3
3
(2.7)
Medan listrik yang disebabkan oleh n buah muatan titik, dinyatakan sebagai berikut :
E
E1
E 2 E 3 E 4 ... E n
E
k n
Q
E k k 1
R k p
k
4 r 0 R kp
3
(2.8)
Contoh Soal : Hitung medan listrik di titik P(0,3,3) yang disebabkan oleh muatan Q 1= 5 nC yang berada di (3,0,3) dan Q 2= 8 nC yang berada di (3,3,0) jika muatan tersebut berada di udara. Jawab :
R 1 p
R p - R 1 = 0 a x + 3 a y + 3 a z - (3 a x + 0 a y + 3 a z )
= -3 a x + 3 a y + 0 a z
Rp R1 32 32 02 18
R1p
R 2 p
R p - R 2 = 0 a x + 3 a y + 3 a z - (3 a x + 3 a y + 0 a z )
= -3 a x
R 2 p
E
R p
E1
E
E (1,77a x
3 2
R 2
02
32
18
E2 3a y 0a z )
18
9x109 x 8 x1 09 ( 3a x x 18
0 a y 3a z )
18
1,77a y ) (2,83a x 2,83a z ) Vm-1
E 4,60ax 1,77ay
9x109 x 5 x1 09 ( 3a x x 18
+ 0 ay + 3 az
2,83az )
Vm-1
2.5 Latihan soal tentang Gaya Coulomb dan Medan Listrik :
1. Sebuah muatan positif sebesar 2 mC (milli Coulomb) terletak dalam ruang hampa pada titik P(3,-2,-4) dan sebuah muatan negatif sebesar
5μC (micro Coulomb) terletak pada titik R(1,-4,2).
Hitung : a. Gaya
vektor pada muatan negatif b. Besar gaya Coulomb pada muatan positif.
Jawab : a. 0,616 a x 0,616 a y 1,848 a Z N
b. 2,04 N
2. Hitung E pada M(3,-4,2) dalam ruang hampa yang disebabkan oleh : a. Muatan Q1 2C di P1 (0,0,0) b.
Muatan Q 2 3C di P1 ( 1,2,3) dan c.
Muatan Q1 2C di P1 (0,0,0) dan muatan Q 2 3C di P1 ( 1,2,3)
Jawab : a. 345 a x 460 a y 230 a Z V/m; b. 280 a x 419 a y 69 ,9 a Z V/m
c. 625 a x 880 a y 160,3 a Z V/m
2.6 Distribusi Muatan 2.6.1 Muatan Ruang
Jika dalam suatu ruang dengan volume tertentu terdistribusi banyak muatan listrik yang jaraknya sangat berdekatan, maka
setiap elemen
muatan listrik tersebut akan berkontribusi terhadap medan listrik di suatu titik di luar daerah tersebut, yang artinya medan listrik yang dirasakan, adalah medan listrik yang dihasilkan oleh muatan total pada volume tersebut. Dari sini kita akan mendefinisikan rapat muatan (density charge), yaitu besarnya muatan setiap satuan volume ruang ( C / m3 ) yang dirumuskan sebagai :
v
dQ dv
(2.9)
Medan listrik yang dibangkitkan oleh setiap muatan d iferensial dQ adalah :
dE
dQ 4 R
2
aR
(2.10)
Muatan total dalam volume tersebut diperoleh dengan mengintegrasikan rapat muatan untuk seluruh volume, yaitu :
dQ v dv
Q
vol
(2.11)
vol
Medan listrik yang dihasilkan adalah Medan listrik total yang dibangkitkan oleh seluruh muatan dalam volume tersebut, yaitu :
E
v a R 4 R 2 dv v
(2.12)
2.6.2 Muatan Permukaan
Muatan listrik juga dapat tersebar pada suatu permukaan atau lapisan tipis tertentu.
Setiap diferensial dQ di permukaan tersebut juga
akan menghasilkan diferensial medan listrik :
dE
dQ 4 R
2
aR
Jika rapat muatan permukaan kita simbolkan S ( C / m 2 ) dan jika tidak ada muatan-muatan lain di dalam daerah itu, maka medan listrik total yang dihasilkan adalah : aR E S dS 2 S 4 R
(2.13)
2.6.3 Muatan Garis
Jika muatan listrik tersebar sepanjang garis lurus, maka setiap muatan diferensial sepanjang garis itu menghasilkan diferensial medan listrik :
dE
dQ 4 R 2
aR
Jika rapat muatan garis kita simbolkan L ( C / m ) dan jika tidak ada muatan-muatan lain di dalam daerah itu, maka medan listrik total yang dihasilkan adalah : L a R E dl 2 4 R L
(2.14)
Contoh Soal : Tentukan muatan total dalam volume yang didefinisikan oleh 0 ≤ x ≤ 1m, 0 ≤ y ≤ 1m dan 0 ≤ z≤ 1m, jika rapat muatan dalam volume
30x 2y(C / m3 ) . Solusi : Q
111
v .dv = 30x 2 ydx dy dz =5 C v
000
2.7 Fluks Listrik dan Kerapatan Fluks
Fluks listrik ( electric fluks) atau perpindahan listrik yang disimbolkan
berawal dari muatan positif dan berakhir di muatan negatif. Jika tidak ada muatan negatif, maka fluks listrik berakhir di tak berhingga. Seperti pada diilustrasikan pada gambar 2.5.
+Q
-Q +Q
Gambar 2.5 Fluks Listrik
Jika di suatu tempat terdapat muatan listrik, maka di titik-titik di luar tempat tersebut akan dirasakan medan listrik yang merupakan gaya yang dihasilkan per satuan muatan. Di sekitar muatan tersebut akan muncul garis-garis medan listrik yang selanjutnya terjadi fluks listrik.
Semakin
besar muatan listriknya, semakin kuat medan listrik yang dihasilkan dan semakin rapat fluks listriknya. Arah fluks listrik sama dengan arah medan listriknya. Konsep ini berawal dari eksperimen Faraday pada tahun 1837, yang dilakukan pada dua bola konduktor dengan diameter berbeda. Kedua bola ditempatkan sepusat (konsentris) seperti pada gambar 2.6. Eksperimen yang dilakukan Faraday adalah sebagai berikut : 1. Dengan membuka bagian luar, bola bagian dalam diisi dengan muatan positif yang diketahui besarnya. 2. Kedua belahan bola digabungkan dengan erat setelah ruang diantara kedua bola diisi bahan dielektrik setebal kira-kira 2 cm. 3. Bola luar dihilangkan muatan listriknya dengan menghubungkannya ke tanah sebentar. 4. Bola luar tersebut dipisahkan kembali dengan hati-hati dengan menggunakan alat yang terbuat dari bahan isolator agar tidak mengganggu muatan induksinya. Faraday menemukan bahwa muatan total pada bola luar sama besarnya dengan muatan semula yang ditempatkan pada bola dalam dan hal ini selalu berlaku, tak bergantung pada bahan dielektrik yang terdapat
diantara kedua bola tersebut.
Ia menyimpulkan bahwa ada semacam
perpindahan dari bola dalam ke luar, yang selanjutnya dinamakan fluks listrik.
Dari eksperimen itu juga, Faraday menemukan bahwa ketika
muatan positif yang diberikan pada bola dalam ditambah, fluks listriknya juga semakin besar, sehingga ada perbandingan lurus antara fluks listrik dengan besar muatan listrik, atau dirumuskan :
Q (diukur dalam coulomb)
(2.15)
Satu Coulomb muatan listrik, menghasilkan satu coulomb fluks listrik (dari gambar 2.5, satu garis fluks listrik dihasilkan oleh satu coulomb muatan listrik). Untuk muatan yang sangat banyak, fluks listrik yang dihasilkan akan semakin banyak, sehingga didefinisikan kerapatan fluks listrik (D) yang diukur dalam coulomb per meter persegi atau kadang-kadang dinyatakan sebagai garis per meter persegi, karena tiap garis dihasilkan oleh muatan satu coulomb.
Isolator atau bahan dielektrik
r=a +Q
-Q
r=b
Bola logam konduktor
Gambar 2.6 Fluks listrik diantara kedua bola konsentris Dari gambar di atas, bola dalam mempunyai diameter a dan bola luar mempunyai diameter b, yang mempunyai muatan masing-masing sebesar Q dan –Q.
Lintasan fluks memancar dari bola dalam ke bola luar
dinyatakan dengan garis medan yang terbagi secara simetris dan dilukiskan menurut arah radial dari bola dalam ke bola luar. Pada permukaan bola dalam, coulomb fluks listrik ditimbulkan oleh muatan Q = Coulomb yang terbagi serbasama pada permukaan seluas 4 a 2m 2 . Q
4 a 2 4 b
2
Kerapatan fluks pada permukaan ini adalah
4 a 2
atau
C / m2 sedangkan kerapatan fluks pada bola luar adalah atau Q
4 b 2
.
Kerapatan fluks merupakan besaran vektor, yang arahnya radial ke luar permukaan, sehingga dirumuskan :
D
Q 4 R
2
aR
(2.16)
Jika dibandingkan dengan intensitas medan listrik di ruang hampa yang
memiliki persamaan : E
Q 4 0R 2
a R , maka hubungan antara kerapatan
fluks dengan intensitas medan listrik adalah :
D 0 E
(untuk ruang hampa)
(2.17)
Untuk distribusi muatan ruang yang umum dalam ruang hampa,
E
v a R
4
v
0R
2
dv
maka kerapatan fluks listrik yang dihasilkan :
D
v a R
v 4 R
2
dv
(2.18)
2.8 Hukum Gauss
Hukum Gauss merupakan pengembangan dari eksperimen Faraday yang menyatakan bahwa besarnya fluks listrik sama dengan banyaknya muatan Q. Bila dari lintasan-lintasan fluks tersebut dibayangkan ada suatu permukaan tertutup dengan luas ds dan fluks listrik menembus permukaan tersebut, maka fluks listrik yang menembus permukaan tertutup sama dengan muatan total yang dilingkupi oleh permukaan tersebut. hukum Gauss.
Itulah
Ds
P
Gambar 2.7 Kerapatan Fluks listrik D s di P yang disebabkan oleh Q
Kita tinjau suatu distribusi muatan yang digambarkan sebagai awan muatan titik (gambar 2.7) yang dilingkupi oleh permukaan tertutup yang bentuknya sebarang. Jika muatan totalnya Q, maka Q Coulomb fluks listrik akan menembus permukaan yang melingkupi awan muatan tersebut. Pada setiap titik pada permukaan tersebut, vektor kerapatan fluks listrik D akan berharga Ds , dengan subskrip s menunjukan bahwa D diambil dari permukaan itu dan D s umumnya akan berubah besar dan arahnya dari satu titik ke titik yang lain pada permukaan tersebut. Fluks total yang
menembus permukaan tertutup
didapat dengan
menjumlahkan setiap diferensial fluks yang menembus setiap bagian pada permukaan tersebut, atau dalam bentuk matematik :
d
Ds .dS permukaan tertutup
(2.19)
Dari persamaan (2.19), hukum Gauss dinyatakan dengan persamaan matematik sebagai berikut :
Ds .ds =muatan yang melingkupi = Q s
dengan catatan : muatan yang melingkupi bisa berupa muatan titik, muatan garis, muatan permukaan maupun muatan ruang.
2.9
Divergensi
Ada dua karakteristik yang mengungkapkan bagaimana medan elektromagnetik berubah dari suatu titik ke titik lain dalam ruang, yaitu divergensi dan curl. Divergensi menunjukan bagaimana perubahan medan listrik dari suatu titik ke titik lain dalam ruang dan curl menunjukan bagaimana perubahan medan magnet dari suatu titik ke titik lain dalam ruang. Pada bagian ini akan dibahas tentang divergensi.
Divergensi kerapatan fluks A adalah banyaknya aliran fluks yang keluar dari sebuah permukaan tertutup per satuan volume yang menuju ke nol, atau dituliskan secara matematis adalah :
A d S
Divergensi A = div A = lim v 0 s
v
(2.20)
Divergensi berkaitan erat dengan suatu aliran fluks, yang artinya penerapan divergensi adalah pada suatu aliran fluks,
misalnya pada
kecepatan aliran fluks air dari lubang kuras bak mandi yang dibuka . Aliran
neto air yang melalui setiap permukaan tertutup yang seluruhnya ada dalam air harus sama dengan nol, karena air merupakan zat yang tak mungkin dimampatkan, sehingga air yang masuk dan yang meninggalkan sebuah
permukaan
kecepatannya nol.
tertutup
harus
sama,
ini
berarti
divergensi
Jika kita tinjau kecepatan udara dalam sebuah ban
yang baru dilubangi dengan paku, kita tahu bahwa udaranya mengembang serta tekanannya turun, akibatnya ada aliran neto udara keluar dari setiap permukaan tertutup yang terdapat dalam ban tersebut, aliran masuk udara ketika ban dipompa lebih cepat dari pada aliran udara keluar pada lubang akibat paku, ini berarti divergensi kecepatannya lebih besar dari nol. Divergensi positif untuk setiap kuantitas menunjukan adanya sumber kuantitas tersebut pada titik yang kita tinjau. Dengan cara yang serupa, kita dapatkan bahwa divergensi menunjukan adanya lubang.
Karena
divergensi kecepatan air yang tersebut di atas adalah nol, ini berarti tidak ada sumber.
Sebaliknya udara yang mengembang menghasilkan
divergensi positif dari kecepatan, sehingga setiap titik dalam ban tersebut dapat dipandang sebagai sumber. 2.10 Energi Listrik
Pada bagian terdahulu sudah didefinisikan bahwa intensitas medan listrik merupakan gaya yang bertumpu pada muatan uji satuan pada titik yang ingin kita tinjau medan vektornya. Jika kita coba gerakkan muatan uji tersebut melawan medan listrik, kita harus mengerjakan gaya yang sama
besar tetapi arahnya berlawanan dengan gaya yang dikerjakan oleh medan, ini berarti kita memerlukan energi atau harus melakukan kerja. Jika kita ingin memindahkan muatan tersebut dalam arah medan, maka energi yang diperlukan menjadi negatif, kita tidak melakukan kerja, medanlah yang melakukan kerja. Gaya pada muatan Q yang ditimbulkan oleh medan listrik adalah
FE Q E .
Gaya ini merupakan besaran vektor dalam arah d L , atau
dituliskan : F EL
FE a L , sehingga besarnya gaya pada muatan Q yang
ditimbulkan oleh medan listrik adalah : FE Q E a L . Usaha atau energi
yang dibutuhkan untuk menggerakan muatan ∆Q sejauh d L sama dengan perkalian gaya dengan jaraknya.
Karena perpindahan muatan itu dari
satu titik ke titik lain, berarti ada kedudukan awal dan kedudukan akhirnya, maka usaha yang dibutuhkan seluruhnya adalah : akhir
W
Q
E d L
(2.21)
awal
dengan : d L d x a x dy a y dz a z
(kartesian)
d L d a d a dz a z
(tabung)
d L dr a r rd a r sin d a (bola)
Tanda negatif menunjukkan usaha tersebut dalam arah melawan arah medan listriknya. Jika kedudukan awal muatan Q pada titik B dan berakhir di titik A, dimana dari B sampai A merupakan suatu garis yang terdiri dari 6 segmen garis, yaitu L1, L 2 ……. L 6 , (gambar 2.8) maka usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan Q dari B ke A adalah :
W
Q(E1 L 1 E 2 L 2 ....... E 6 L 6 )
(2.22)
Jika medan listrik sepanjang garis itu serbasama (besar dan arah sama) ,
yaitu E1 E 2 ........ E 6 maka persamaan (2.22) menjadi :
W
Q E ( L 1 L 2 ....... L 6 )
(2.23)
Hasil dari persamaan (2.23) merupakan suatu vektor yang mempunyai
arah dari titik awal B ke titik akhir A, yaitu L BA , sehingga persamaan (2.23) menjadi :
W Q E L BA
(2.24)
∆L6 Kedudukan akhir
∆L5
∆L2 E
L1 EL1
L
E
∆L3
E
∆L4
E
E
B
Gambar 2.8 Gambaran grafis integral garis medan serbasama Contoh soal : Sebuah medan listrik tak serbasama, memiliki persamaan sebagai ber ikut :
E y a x x a y 3 a z Volt/meter. Hitung usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan 5 C dari B (0,2,1,0,2) ke A(0,8 , 1, 1) sepanjang busur lingkaran yang pendek dari suatu lingkaran dengan persamaan :
x 2 z2 1 Solusi :
, y = 1.
Dengan memakai koordinat kartesian , maka d L d x a x d y a y dz a z dan integralnya menjadi : A
W
Q E d L B A
2 ( y a x x a y 2 a z ) (d x a x dy a y dz a z ) B 0,8
0,6
1
1
0
1
2 ydx 2 xdy 4 dz dari persamaan lingkaran diperoleh : y
1 x 2 dan x
1 y 2 dan
z=1, sehingga : 0,8
W
0,6
2 1 x dx 2 1 y 2 dy 0 1
2
0
[ x 1 x 2 sin 1 x ]10,8 [ y 1 y 2 sin 1 y]00,6 = -(0,48 + 0,927 – 0 - 1,571) - (0,48 + 0,644 – 0 - 0) =-0,96 J
2.11 Potensial dan Beda Potensial
Potensial didefinisikan sebagai kerja/usaha yang dilakukan untuk memindahkan satu satuan muatan positif dari suatu titik ke titik lain dalam medan listrik.
Beda potensial antara 2 titik didefinisikan sebagai usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan sebesar +∆Q per satuan muatan dari suatu titik (tempat) ke titik (tempat lain) dalam medan listrik. Jika lintasan perpindahan itu berupa lintasan garis (dL) maka secara matematis dituliskan : W Beda Potensial = V = Q
akhir
E d L
(2.25)
awal
Kalau perpindahan muatan itu terjadi dari titik B ke titik A maka V AB merupakan beda (selisih) potensial antara titik A dan titik B, yang merupakan usaha yang dibutuhkan untuk memindahkan muatan satuan dari B (disebut dibelakang) ke A (disebut lebih dahulu). Jadi pada simbol V AB , B merupakan titik awal dan A merupakan titik akhir.
Jadi beda
potensial antara titik A dan B dituliskan : A
V AB
E d L
(2.26)
Bl
satuannya dalam volt atau joule per coulomb. Jika potensial di titik A adalah V A dan di B adalah VB , maka beda potensial antara titik A dan titik B adalah : V AB V A VB
(2.27)
Jika V AB positif, usaha harus dilakukan untuk membawa muatan satuan positif dari B ke A, maka A disebut berada pada potensial yang lebih tinggi dari B.
Contoh soal : Hitunglah usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan +2C dari titik B (2,0,0) m ke titik A (0,2,0) m melalui lintasan garis lurus penghubung kedua titik itu di dalam medan listrik :
E
2x a x 4 y a y
(V/m)
Hitung juga beda potensial antara titik A dan B. Solusi : Usaha diferensial pada soal di atas adalah :
dW Q(E d L ) 2(2x a x 4 y a y ) dx a x dy a y dz a z
4 xdx 8 ydy
y A
(0,2,0) Path 1 Path 2
B
x 0
(2,0,0)
Persamaan bagi lintasan di atas adalah : x + y =2, dimana dy = -dx sepanjang lintasan itu. Maka : dW
4 xdx 8(2 x )( dx ) ( 4 x 16)dx
0
dan
W
( 4 x 16)dx 24J 2
Jika titik B adalah (2,0, 0) m dan titik A pada (0,2,0) m, maka : V AB
24J 2C
12V
Dengan demikian titik A berada pada potensial yang lebih tinggi dari B, yaitu 12V lebih tinggi. Dari sini juga kita mendapatkan informasi bahwa VBA = -12V.
2.11.1 Potensial Listrik Muatan Titik
Medan listrik yang terjadi pada suatu muatan titik Q memiliki arah
dalam arah radial atau dituliskan : E
Er a r
Q 2
4 0r
a r . Beda potensial
antara titik A dan titik B akibat muatan titik Q pada titik asal (pusat koordinat) dinyatakan sebagai berikut : A
V AB
r A
E d L Er dr B
r B
Q 4 0
r A
dr
r 2
r B
1 1 4 0 r r B A Q
dengan : r A = jarak dari titik pusat ke titik A rB = jarak dari titik pusat ke titik B dr = bagian unsur diferensial panjang dalam arah radial
(2.28)
Untuk muatan titik Q yang positif, titik A berada pada potensial yang lebih tinggi dari titik B jika r A lebih kecil daripada r B . Jika titik B berada pada tak berhingga, maka potensial pada titik B menjadi nol dan potensial pada titik A dinamakan absolute potensial yang besarnya :
V A
1
Q (Volt) 4 0 r A
(2.29)
Absolute potensial merupakan potensial pada suatu titik yang
diakibatkan oleh muatan listrik Q atau kerja yang dilakukan per coulomb muatan untuk membawa satu muatan positif dari titik tak berhingga ke suatu titik.
2.11.2 Potensial Listrik Distribusi Muatan
Apabila muatan tersebar dalam volume yang terbatas dengan kerapatan muatan (C/m 3 ), maka pada titik di luar volume tersebut misalnya pada titik P (gambar 2.9) potensial listrik yang terjadi adalah : V
dv 4 R 0 vol
dengan : dQ = ρ dV
(2.29)
P
dV
dQ
Gambar 2.9 Potensial listrik distribusi muatan pada titik P.
2.12 Gradien Hubungan antara intensitas medan listrik dengan potensial listrik dinyatakan oleh suatu operasi yang disebut gradien, yang dituliskan sebagai berikut :
E
V
dengan:
ax ay az x y z
(2.30) (kartesian)
(2.30a)
1 a a az z
1 1 a a a r r r sin r
V V V sehingga : E ax ay a z y z x
(untuk kartesian)
(2.30b)
Persamaan (2.30) disebut juga persamaan gradien potensial, yang memiliki pengertian fisik sebagai laju perubahan potensial maksimum terhadap ruang dan arah dimana potensial maksimum tersebut terjadi. Gradien nol menunjukan bahwa disetiap titik di daerah tersebut
potensialnya sama (konstan). Tanda negatif muncul karena medan listrik berarah dari potensial tinggi ke rendah. Contoh soal : Diketahui potensial listrik dengan persamaan : V
2x 2 y 5 z .
a. Hitung potensial di titik P(-4,3,6) b. Hitung medan Listrik di titik P(-4,3,6) Solusi : a. Potensial di titik P, Vp 2( 4)2 (3) 5(6) 66 Volt b. Medan Listrik kita dapatkan dari persamaan (2.30) : E
2
V 4 xy a x 2x a y 5 a z (Volt/meter)
2
Ep 4( 4)(3) a x 2( 4) a y 5 a z 48 a x 32 a y 5 a z (V/m)
2.13 Dipole Kombinasi dari dua buah muatan titik Q yang berlawanan tanda terpisahkan jarak L dikenal dengan sebutan dipole (dwikutub). Berikut ini merupakan gambar geometrik dari dipole.
r 1 +Q
P r
L
r 2
-Q Gambar 2.10. Geometri dari dipole yang terpisahkan jarak yang sangat dekat yaitu L
Gambar di atas memperlihatkan geometri dipole dengan dua muatan Q yang berlawanan tanda yang terpisahkan jarak dekat yaitu L. Titik P (titik observator) berada pada tempat jauh yang dinyatakan dengan koordinat bola r, θ dan Φ=90°.
Muatan +Q dan –Q masing-masing terletak pada
koordinat (0,0,1/2L) dan (0,0,-1/2L). Yang perlu dihitung di titik observator adalah intensitas medan listrik total yang dihasilkan oleh muatan +Q dan – Q. Medan listrik total yang dihasilkan di titik P merupakan penjumlahan medan listrik masing-masing muatan. Karena titik P sangat jauh dan jauh lebih besar dari panjang L, maka seolah-olah garis-garis radial r , r 1 dan r 2 menjadi parallel (sejajar), seperti gambar berikut :
z R1 θ +Q
Ke titik Jauh P
r
L
R2 y
-Q R 2 R1 L cos
x
Gambar 2.11 Untuk titik jauh P, ketiga garis radial dianggap sejajar. Untuk mencari intensitas medan listrik total di titik P, yang paling mudah dicari terlebih dahulu adalah potensial listrik di titik P karena potensial listrik merupakan bilangan skalar. Selanjutnya dengan operasi gradien kita bisa tahu intensitas medan listriknya. Dari gambar 2.11 diketahui : R1
L 2
r cos dan
R2
L 2
r cos
dengan : r = jarak dari titik tengah dipole ke titik P θ = sudut antara sumbu dipole dengan r
Potensial listrik di titik P akibat +Q :
V
Q 4 0R1
Potensial listrik di titik P akibat -Q :
Sehingga potensial total : V
V
Q 4 0R 2
1 1 Q R 2 R1 4 0 R1 R 2 4 0 R1R 2 Q
Perhatikan pada gambar 2.11, bidang z = 0 yang berada di tengah kedua muatan titik Q merupakan tempat kedudukan titik dengan R1 R 2 , sehingga bidang tersebut merupakan bidang potensial nol. Untuk titik yang jauh, R1 R 2 dan perkalian R1R 2 dalam penyebut dapat digantikan dengan r 2 . Jika R1 , R 2 dan r dianggap sejajar, maka R 2 R1 L cos , sehingga potensial listrik di titik P menjadi : V
QL cos 2
4 0r
(2.31)
Dengan memakai gradient pada koordinat bola, maka intensitas medan listrik pada titik P :
V 1 V 1 V E V a r a a r r sin r kita dapatkan :
QL cos QL cos E 2 r 3 a r 4 r 3 a 0 0
2 cos a r sin a atau : E 3 4 0r
Q
(2.32)
2.14 Kapasitor dan Kapasitansi
Setiap dua konduktor yang terpisahkan oleh ruang bebas atau oleh bahan dielektrik mempunyai nilai kapasitansi diantara kedua konduktor tersebut. Pemberian beda tegangan antara keduanya akan menghasilkan +Q pada satu konduktor dan –Q pada konduktor yang lain.
Sebagai
contoh kapasitor, kapasitor merupakan perangkat yang dapat menyimpan muatan listrik atau energi listrik.
Terdiri dari dua konduktor yang
dipisahkan medium atau bahan dielektrik. Kapasitansi didefinisikan sebagai perbandingan antara besar muatan pada satu konduktor dengan perbedaan potensial antara kedua konduktor, atau dituliskan : C
Q V
(2.33)
dengan : C = kapasitansi (dalam Farad, F) Q = muatan (dalam Coulomb, C) V = perbedaan potensial (dalam volt, V) Kapasitansi
bergantung
pada
muatan
dan
tegangan,
dengan
bertambahnya tegangan yang digunakan (perbedaan potensial semakin tinggi), maka muatan yang tersimpan akan bertambah, akan tetapi perbandingan muatan terhadap tegangan akan tetap (konstan). Contoh sederhana dari kapasitor ditunjukkan pada gambar 2.12.
Disini
diasumsikan medium antara dua pelat konduktor adalah udara.
Total
muatan dari satu pelat yang luasnya A adalah :
Q s A .
(2.34)
Setiap titik pada permukaan pelat konduktor memiliki potensial sama, sehingga medan listrik antara dua pelat tersebut uniform. Potensial antara pelat dapat dicari dengan menggunakan persamaan :
V
Ed
(dalam volt)
(2.35)
Magnitude kerapatan fluks listrik D antara pelat sama dengan rapat muatan s dan sama dengan medan listrik dikalikan permitivitas bahan :
D
0
s 0 E
d
+ + -
(2.36)
s s
+
E
+
V
D -
-
(a) Area A
d
(b) Gambar 2.12 penampang dari kapasitor dua konduktor paralel.
Dari persamaan (2.34) ,(2.35) dan (2.36) diperoleh nilai kapasitansi dari dua pelat konduktor dengan luas masing-masing A yang terpisahkan jarak d adalah : C
Q V
s A E.d
0EA Ed
0 A
(Farad, F)
d
(2.36)
dengan : 0 = permitivitas medium (udara) = 8,854 pF/m A = Luas area pelat konduktor ( m 2 ) D = jarak antar pelat (m)
2.14.1 Kapasitor dengan dielektrik
Jika diantara pelat konduktor terdapat bahan dielektrik lain selain udara dengan permitivitas bahan dielektrik tersebut relative terhadap udara adalah r , maka besar kapasitansi antara pelat konduktor tersebut menjadi : C
Q V
s A E.d
EA Ed
0 r A d
8,854 r A (pF) d
(2.37)
dengan : r = permitivitas relatif bahan dielektrik terhadap udara (ruang hampa)
2.14.2 Kapasitor dengan dua bahan dielektrik
Perhatikan gambar 2.13 yang merupakan dua pelat konduktor dengan luas masing-masing A, diantaranya diisikan 2 jenis bahan dielektrik yang berbeda dengan tebal dan permitivitas masing-masing
d1, d2 , 1, 2 . Jika diantara dua konduktor terdapat dua dielektrik dengan
permukaan batasnya sejajar dengan D dan E .
Kapasitansi total antara
kedua pelat adalah hubungan seri antara dua kapasitansi masing-masing dielektrik, yaitu : C
Q V
Q V1 V2
1 d1 d 2 1S 2S
1 1 1 C1 C2
(2.38)
Pelat konduktor 1, luas A
1 2
d1
d
d2
Pelat konduktor 2, luas A Gambar 2.13 Dua pelat konduktor dengan 2 bahan dielektrik yang sejajar bidang konduktor. Jika bidang batas dielektrik diletakkan tegak lurus terhadap kedua keeping konduktor dan luas daerah dielektrik masing-masing adalah A1 dan A 2 (gambar 2.14), kapasitansi total antara kedua keeping konduktor tersebut merupakan hubungan seri antara dua kapasitansi dielektrik, yaitu :
A 2 A 2 C 1 1 d
C1 C2
(2.39)
A1 d
r 1
A 2
r 2
Gambar 2.14 Dua pelat konduktor dengan 2 bahan dielektrik yang tegak lurus bidang konduktor.
Contoh soal : 1. Hitung kapasitansi suatu kapasitor pelat paralel yang berisi dua bahan dielektrik dengan r 1 1,5 dan r 2 3,5 dan masing-masing mengisi separoh volumenya.
Bidang batas dielektrik tegak lurus pelat
konduktor. Luas pelat adalah 2 m2 dan jarak antar pelat adalah 1mm. Solusi : Karena bidang batas kedua dielektrik tegak lurus bidang konduktor, maka kapasitansi total yang dirasakan diantara pelat konduktor adalah hubungan paralel antara dua kapasitansi dari dua jenis bahan dielektrik , yaitu :
A A C C1 C 2 0 r 1 1 0 r 2 2 0 r 1 A1 r 2 A 2 d d d 8,854.10 12 = (1,5.1 3,5.1) 44,3nF 3 10
2.
Hitung beda potensial pada masing-masing dielektrik dari kapasitor di gambar
2.15
kalau
tegangan
yang
diberikan
3mm 1m2
1mm
0 r 5 Solusi :
.5.1 C1 0 50000 3 10 C
C1C2 C1 C2
0 1000 0 3 3.10 3
Q .d s1.d1 A 1 E 1 .d1 0 r 1 0r 1 0 r 1 2,77.10 9 .200 3 .10 1 12,5 Volt 12 8,854.10 .5 D1 .d1
V1
C2
50000 1000 0 3 312,50 2,77nF
V1
;
CV .d 1 A 0 r 1
200
V.
