Simulasi Distribusi Medan Listrik Dan Potensial Listrik Pde Matlab

Lintang Kusumandaru 15 / 384945 / TK / 43607

SIMULASI DISTRIBUSI MEDAN LISTRIK DAN POTENSIAL LISTRIK DENGAN MENGGUNAKAN MATLAB PDE TOOLBOX A. Contoh Plat Tipis Pada Modul PDE Toolbox a. Source Code MATLAB function pdemodel [pde_fig,ax]=pdeinit; pdetool('appl_cb',5); set(ax,'DataAspectRatio',[1 1 1]); set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[710.40000000000009 432 432]); set(ax,'XLimMode','auto'); set(ax,'YLim',[-0.5 0.5]); set(ax,'XTickMode','auto'); set(ax,'YTickMode','auto'); % Geometry description: pderect([-0.10000000000000001 0.10000000000000001 0.10000000000000001 0.10000000000000001],'SQ1'); pderect([-0.25 0.25 -0.25 0.25],'SQ2'); set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','SQ2-SQ1') % Boundary conditions: pdetool('changemode',0) pdesetbd(8,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(7,... 'dir',... 1,... '1',... '1000') pdesetbd(6,... 'dir',... 1,... '1',... '1000') pdesetbd(5,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(4,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(3,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(2,... 'dir',... 1,... '1',... '1000') pdesetbd(1,... 'dir',... 1,... '1',... '1000')

Lintang Kusumandaru 15 / 384945 / TK / 43607 % Mesh generation: setappdata(pde_fig,'Hgrad',1.3); setappdata(pde_fig,'refinemethod','regular'); setappdata(pde_fig,'jiggle',char('on','mean','')); setappdata(pde_fig,'MesherVersion','preR2013a'); pdetool('initmesh') % PDE coefficients: pdeseteq(1,... '1.0',... '0.0',... '1.0',... '1.0',... '0:10',... '0.0',... '0.0',... '[0 100]') setappdata(pde_fig,'currparam',... ['1.0';... '1.0']) % Solve parameters: setappdata(pde_fig,'solveparam',... char('0','1000','10','pdeadworst',... '0.5','longest','0','1E-4','','fixed','Inf')) % Plotflags and user data strings: setappdata(pde_fig,'plotflags',[1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 11 1 1 0 1]); setappdata(pde_fig,'colstring',''); setappdata(pde_fig,'arrowstring',''); setappdata(pde_fig,'deformstring',''); setappdata(pde_fig,'heightstring',''); % Solve PDE: pdetool('solve')

. b. Simulasi 2-D


c. Simulasi 3-D

d. Analisis 1. Trend Garis – Garis Ekipotensial Bandingkan antara gambar 2-D dengan gambar 3-D di atas. Pada plat bermuatan di atas terdapat cicin - cincin atau garis yang memiliki kuat potensial listrik dari 0 hingga 1000 V pada plat bermuatan R1. Pada model 2D dilihat bahwa garis – garis ekipotensial tiap – tiap plat bermuatan ada lebih dari satu, dan semakin

jauh

dari

plat

bermuatan

semakin

pudar.

Artinya, semakin jauh dari plat bermuatan, potensial listrik pada titik – titik di garis ekipotensial yang jauh tersebut menjadi semakin lemah juga. Plot 3D di atas memodelkan integral dari cincin – cincin yang membentuk garis ekipotensial dan tegak lurus dengan medan listrik. Hal ini sejalan dengan teori elektrostatik dan potensio elektrik. Bisa dilihat juga pada model 3D bahwa pada plat bermuatan R1, garis ekivalen yang paling dekat dengan plat tersebut berwarna sangat ungu. Sedangkan tepat di tengah – tengah plat, gradasi warna berwarna putih yang artinya potensial listrik di dalam plat sendiri adalah 0. Karena, 𝑉 = 𝐸 ∙ 𝑟 padahal tepat pada badan plat bermuatan tersebut r = 0. Divergensi di dalam tubuh plat sendiri adalah 0.


2. Makna Gradasi Warna Di dalam gambar diinformasikan bahwa semakin biru suatu titik di dalam wilayah pengamatan, maka kerapatan medan listrik pada titik tersebut semakin besar.

Wilayah

biru

berada

di

antara

kedua

plat.

Warna ungu dan biru menandakan polaritas wilayah tersebut. Semakin ungu suatu wilayah, maka polaritas positif di wilayah tersebut semakin kuat. Berikut adalah simulasi dengan menyertakan plot warna :

Daerah di pojok – pojok wilayah pengamatan berwarna cyan yang artinya tidak memiliki polaritas medan listrik positif yang kuat adalah karena kuat potensial listrik diwilayah tersebut sudah melemah, sebagaimana terlihat dalam simulasi 3D. Potensial listrik yang menghasilkan ekipotensial menguat pada wilayah 0 wilayah tepat di sekitaran plat bermuatan.


3. Hubungan pasti antara garis – garis ekipotensial dengan garis medan listrik adalah bahwa keduanya akan tegak lurus. Terlihat pada gambar simulasi 2D di atas. Potensial listrik menjulan ke atas plat bermuatan, sedangkan garis – garis medan listrik keluar dari plat bermuatan membentuk sudut 0o. Kejadian yang demikian sama dengan sebuah muatan titik yang bidang ekipotensialnya terbentuk menyerupai sphere ( bola ). Garis – garis medan listrik akan tegak lurus dengan bidang ekipotensial muatan titik tersebut. Penjelasan lebih lengkap akan ada pada analisis percobaan 2. 4. Analisis Perhitungan Untuk menghitung sebaran medan listrik dan potensial elektrik plat bermuatan di percobaan 1 ini harus dilakukan dengan menggunakan Laplace’s Equation yang akan dibahas pada analisis perhitungan percoban 2.

B. Percobaan 2 : Distribusi Medan Listrik dan Potensial Listrik Dua Plat Tipis Bermuatan a. Source Code MATLAB function pdemodel [pde_fig,ax]=pdeinit; pdetool('appl_cb',5); set(ax,'DataAspectRatio',[1 1 1]); set(ax,'PlotBoxAspectRatio',[641.06666666666683 432 617.14285714285734]); set(ax,'XLimMode','auto'); set(ax,'YLim',[-0.69999999999999996 0.69999999999999996]); set(ax,'XTickMode','auto'); set(ax,'YTickMode','auto'); % Geometry description: pderect([-0.5 0.5 -0.5 0.5],'SQ1'); pderect([-0.29999999999999999 0.29999999999999999 0.10000000000000001 0.20000000000000001],'R1'); pderect([-0.29999999999999999 0.29999999999999999 -0.10000000000000001 0.20000000000000001],'R2'); set(findobj(get(pde_fig,'Children'),'Tag','PDEEval'),'String','SQ1-R1-R2') % Boundary conditions: pdetool('changemode',0) pdesetbd(12,... 'dir',... 1,... '1',... '1000') pdesetbd(11,... 'dir',... 1,... '1',... '-1000') pdesetbd(10,...

Lintang Kusumandaru 15 / 384945 / TK / 43607 'dir',... 1,... '1',... '-1000') pdesetbd(9,... 'dir',... 1,... '1',... '1000') pdesetbd(8,... 'dir',... 1,... '1',... '-1000') pdesetbd(7,... 'dir',... 1,... '1',... '1000') pdesetbd(6,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(5,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(4,... 'dir',... 1,... '1',... '-1000') pdesetbd(3,... 'dir',... 1,... '1',... '1000') pdesetbd(2,... 'dir',... 1,... '1',... '0') pdesetbd(1,... 'dir',... 1,... '1',... '0') % Mesh generation: setappdata(pde_fig,'Hgrad',1.3); setappdata(pde_fig,'refinemethod','regular'); setappdata(pde_fig,'jiggle',char('on','mean','')); setappdata(pde_fig,'MesherVersion','preR2013a'); pdetool('initmesh') pdetool('refine') % PDE coefficients: pdeseteq(1,... '1.0',... '0.0',... '1.0',... '1.0',... '0:10',... '0.0',... '0.0',... '[0 100]')

Lintang Kusumandaru 15 / 384945 / TK / 43607 setappdata(pde_fig,'currparam',... ['1.0';... '1.0']) % Solve parameters: setappdata(pde_fig,'solveparam',... char('1','4758','10','pdeadworst',... '0.5','longest','0','1e-4','','fixed','inf')) % Plotflags and user data strings: setappdata(pde_fig,'plotflags',[1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1]); setappdata(pde_fig,'colstring',''); setappdata(pde_fig,'arrowstring',''); setappdata(pde_fig,'deformstring',''); setappdata(pde_fig,'heightstring',''); % Solve PDE: pdetool('solve')

b. Simulasi 2-D

c. Simulasi 3-D


d. Analisis 1. Trend Garis – Garis Ekipotensial Bandingkan antara gambar 2-D dengan gambar 3-D di atas. Pada tiap – tiap plat bermuatan, ada sebuah cicin atau garis yang memiliki kuat potensial listrik mencapai 1000 V pada plat bermuatan R1 dan -1000 V pada plat bermuatan R2. Pada model 2D dilihat bahwa garis – garis ekipotensial tiap – tiap plat bermuatan ada lebih dari satu, dan semakin jauh dari plat bermuatan semakin pudar. Artinya, semakin jauh dari plat bermuatan, potensial listrik pada titik – titik di garis ekipotensial yang jauh tersebut menjadi semakin lemah juga. Plot 3D di atas memodelkan integral dari cincin – cincin yang membentuk garis ekipotensial dan tegak lurus dengan medan listrik. Hal ini sejalan dengan teori elektrostatik dan potensio elektrik. Bisa dilihat juga pada model 3D bahwa pada plat bermuatan R1, garis ekivalen yang paling dekat dengan plat tersebut berwarna sangat ungu dan pada plat R2, garis ekivalen yang paling dekat dengan plat R2 akan berwarna cyan. Sedangkan tepat di tengah – tengah plat, gradasi warna berwarna putih yang artinya potensial listrik di dalam plat sendiri adalah 0. Karena, 𝑉 = 𝐸 ∙ 𝑟 padahal tepat pada badan plat bermuatan tersebut r = 0.

2. Makna Gradasi Warna


Di dalam gambar diinformasikan bahwa semakin biru suatu titik di dalam wilayah pengamatan, maka kerapatan medan listrik pada titik tersebut semakin besar. Wilayah biru berada di antara kedua plat. Warna ungu dan biru menandakan polaritas wilayah tersebut. Semakin ungu suatu wilayah, maka polaritas positif di wilayah tersebut semakin kuat. Begitu pula bila semakin mendekati warna cyan, maka artinya semakin kuat polaritas negatifnya. Berikut adalah simulasi dengan menyertakan plot warna : Semakin suatu titik atau region mendekati kuat positif, maka akan semakin ungu warnanya. Semakin mendekati kuat negatif, maka semakin cyan warnanya.

Ada suatu wilayah diantara kedua plat dimana pada wilayah tersebut kuat medan listriknya sangat tinggi, dan digambarkan dengan warna biru tua.


Garis – garis medan listrik bergerak dari plat bermuatan R1 ke plat bermuatan R2. Pada wilayah tersebut, kerapatan medan listrik sangat tinggi karena adanya source dan sink dengan jarak yang sangat dekat, sedangkan keduanya memiliki potensial yang sangat tinggi, yaitu 1000 V dan -1000 V. Karenanya, apabila ada suatu partikel bergerak dari plat R1 ke R2, maka beda potensial yang dimiliki partikel tersebut adalah 2000 V. 3. Hubungan Antara Garis Ekipotensial dengan Garis Medan Listrik Garis – garis ekipotensial pada gambar hasil simulasi di atas digambarkan sebagai garis – garis lengkung yang mengitari sekitar plat bermuatan. Garis – garis medan listrik digambarkan sebagai anak panah yang bergerak menuju plat bermuatan R2. Di antara kedua plat terdapat wilayah dimana garis – garis ekipotensial dari kedua plat bermuatan akan bertemu dan saling bertabrakan ( namun tidak saling memotong ). Pada wilayah tersebut, kerapatan garis – garis medan magnet sangat tinggi karena pada wilayah tersebut jarak antara kedua plat bermuatan tersebut paling dekat. Dalam hasil simulasi matlab, wilayah tersebut dimodelkan berwarna biru tua untuk menggambarkan kuat dan kerapatan medan magnet terbesar dalam wilayah pengamatan. Hubungan pasti antara garis – garis ekipotensial dengan garis medan listrik adalah bahwa keduanya akan tegak lurus. Bagaimana bisa ? Sebagai contoh, misalkan ada sebuah muatan bola seperti gambar di bawah :

Berdasarkan teori integral Cauchy-Riemann, integral sebuah fungsi garis adalah jumlah dari luas fragmen – fragmen persegi panjang yang datar dengan jumlah mendekati tak hingga. Hal yang serupa berlaku pada kulit bola yang


menjadi bidang ekipotensial yang menyelubungi muatan garis tersebut. Kulit bola terdiri atas fragmen – fragmen persegi dengan jumlah mendekati tak hingga. Garis – garis medan listrik yang keluar dari inti muatan pun tak hingga dan mengisi volum bola, dan dapat diasumsikan sama dengan banyaknya dengan fragmen – fragmen kulit bola. Karenanya, setiap fragmen kulit bola yang dilalui oleh garis – garis ekipotensial maka keduanya membentuk sudut 90°. Pada percobaan ini pun, medan ekipotensial juga terbentuk ke segala sisi. Hanya saja, karena objek yang bermuatan berbentuk plat tipis dengan asumsi ketebalan mendekati nol, maka garis – garis ekipotensial di sisi – sisi plat diabaikan. Besarnya potensial listrik suatu objek bermuatan juga mempengaruhi seberapa jauhkah garis atau bidang ekipotensial objek bermuatan tersebut. Karena itu, pada hasil simulasi di atas bidang ekipotensial maksimal hanya sampai pada 1000 V dan – 1000 V. 4. Sampel Perhitungan Manual Untuk melakukan analisis distribusi medan listrik dan potensial elektrik pada suatu objek dapat dilakukan dengan menggunakan persamaan laplace ( Laplace’s Equation ). Dalam analisis ini, plot yang dibutuhkan hanyalah plot 2D saja.


Asumsikan bahwa batang R1 dan R2 keduanya memiliki lebar 0.6 m terhadap sumbu X dan tinggi 0.1 m terhadap sumbu Y, akan tetapi memiliki panjang tak hingga terhadap sumbu Z.

((

(V

0, a )

R1

(V=0

((

((

((

=0 ∇^2 V = 0

0, 0 )

(V

((

∇^2 V = 0

b, a)

(V

((

0, 0 )

=0

b, 0 )

=0

R2

(V=0

((

(V

((

0, a )

b, a)

=0

b, 0 )

Kedua plat bermuatan di atas memiliki besar potensial elektrik yang sama, namun dengan polaritas yang berbeda. Polaritas tersebut dapat diasumsikan dengan terbaliknya arah arus kedua plat tersebut. Akan tetapi, pembahasan pada perhitungan ini hanya akan mencangkup konteks potensial elektrik saja. Potensial pada sisi – sisi kedua buah plat tersebut adalah nol. Potensial hanya muncul pada jarak r dari plat bermuatan. Karena potensial dari sisi – sisi plat tersebut nol, maka divergen E dari kedua plat tersebut juga nol ( E = -∇V, ∇E = -∇2V = 0 ). Untuk menyelesaikan persamaan di atas, maka digunakan metode pemisahan variabel ( Separation of Variable ). Potensial listrik V merupakan fungsi xy sehingga V=V(x,y). Fungsi V(x,y) dapat dipisah menjadi : V(x,y) = F(x)G(y) Sedangkan keadaan kedua plat di atas adalah : 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 ∇ 𝑉= + + 𝜕𝑋 𝜕𝑌 𝜕𝑍 2


Karena kedua plat tak hingga terhadap sumbu Z, maka ∇2 𝑉 =

𝜕2 𝑉 𝜕𝑍

= 0 sehingga :

𝜕 2𝑉 𝜕 2𝑉 + 𝜕𝑋 𝜕𝑌

Dan karenanya : 𝑉𝑥𝑥 +𝑉𝑦𝑦 = 0 𝐹"(x)+G(y) +F(x)+G"(𝑦) = 0 𝐹"(x)+G(y) = -𝐹(x)-G"(y) = k k=

𝐹"(𝑥) 𝐺"(𝑦) = − 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑦)

Sehingga didapatkan pula dua persamaan kondisi dari konstanta k di atas : F”(x) - kF(x) = 0 G”(y) + kG(y) = 0 Kedua persamaan di atas sangat terkait dengan keadaan yang ada pada gambar, yaitu bahwa v(x,0) = v(0,y)=v(a,y)=v(x,b)=0 sehingga G(0) =G(a)= 0 dan F(0) = 0. Dengan k ( konstanta pemisahan variabel) ini dapat diselesaikan keadaan di atas. Konstanta k ini dapat berada dalam 3 keadaan, yaitu k>0, k=0, dan k<0. Pada konteks ini digunakan k<0. Dengan mengasumsikan bahwa k = β2, maka :

𝛽 b = nπ untuk n=1,2,3,4,5…. Sehingga 𝛽=nπ/b Kemudian, ODE dapat diselesaikan dengan menyelesaikan F(x) dan G(y) secara terpisah :

F(x) = Ccos(βx) + Dsin(βx) Dengan

keadaan

awal

bahwa

V(0,y)=F(0)=Ccos(β∙0)=C=0

dan

V(b,y)=F(b)=Dsin(βb), sedangkan 𝛽 b = nπ, maka kemudian dapat dilakukan substitusibahwa F(b) = Dsin(nπx/b). Selanjutnya, karena F(0)=C=0, maka Ccos(βx) pun menjadi 0.


Kareanya, fungsi F akan menjadi deret n : 𝑛𝜋

𝐹𝑛 (𝑥) = 𝐷𝑛 𝑠𝑖𝑛( 𝑏 𝑥). Fungsi F(x) telah terselesaikan, akan tetapi untuk mendapatkan V(x,y) fungsi G(y) juga harus diselesaikan dengan cara yang sama. 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑦) + ℎ1 sinh( 𝑦) 𝑏 𝑏

𝐺(𝑦) = ℎ0 cosh ( Dan karena G(0) = 0 = h0, maka :

𝐺𝑛 (𝑦) = ℎ𝑛 𝑠𝑖𝑛ℎ(

𝑛𝜋 𝑦) 𝑏

Sehingga, dengan 𝐽𝑛 = 𝐷𝑛 ∙ ℎ𝑛 maka : ∞

𝑉(𝑥, 𝑦) =

∑

𝐽𝑛 sin(

𝑛=1,2,3…

𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥) sinh( 𝑦) 𝑏 𝑏

Terakhir, akan dicari integral dan jumlah darii V(x,y) untuk boundary V(x,a) = V0, sehingga : ∞

𝑉0 =

∑ 𝑛=1,2,3…

𝐽𝑛 sin(

𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑥) sinh( 𝑎) 𝑏 𝑏

Dengan mengintegralkan potensial listrik pada plat bermuatan sepanjang sumbu X dengan panjang b ( panjang plat ), maka selanjutnya : ∞

𝑏

𝑏 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 ∫ 𝑉0 sin ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∑ 𝐽𝑛 sinh ( 𝑎) ∫ sin ( 𝑥) sin ( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏 0 0 𝑛=1

Dengan ketentuan : 0, 𝜋 ∫ sin(𝑚𝑥) sin(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = { , 0 2 𝑏

𝑚≠𝑛 𝑚=𝑛

Sehingga didapat : 𝑏

𝑏 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑛𝜋 ∫ 𝑉0 sin ( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐽𝑛 sinh ( 𝑎) ∫ sin2 ( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑏 𝑏 0 0


Dengan fungsi 𝐽𝑛 menjadi penentu ganjil dari fungsi V(x,y) : 4𝑉0 , 𝐽𝑛 = {𝑛𝜋 sinh (𝑛𝜋 𝑎) 𝑏 0,

𝑛 = 1,3,5,7. . 𝑛 = 2,4,6,8. .

Kemudian didapatkanlah fungsi V(x,y) lengkap sebgai berikut : 4𝑉0 𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝜋

𝑛𝜋 𝑛𝜋 sin ( 𝑥) sinh ( 𝑦) 𝑏 𝑏 ∑ 𝑛𝜋 𝑛 sinh ( 𝑎) 𝑛=1,3,5,7.. 𝑏 ∞

1. Untuk Plat Bermuatan R1 ( V0 = 1000, a=0.1, b=0.6 ) 4000 𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝜋

𝑛𝜋 𝑛𝜋 sin (0.6 𝑥) sinh (0.6 𝑦) ∑ 𝑛𝜋 𝑛 sinh ( 6 ) 𝑛=1,3,5,7.. ∞

2. Untuk Plat Bermuatan R2 ( V0 = -1000, a=0.1, b=0.6 ) 4000 𝑉(𝑥, 𝑦) = − 𝜋

𝑛𝜋 𝑛𝜋 sin (0.6 𝑥) sinh (0.6 𝑦) ∑ 𝑛𝜋 𝑛 sinh ( 6 ) 𝑛=1,3,5,7.. ∞

3. Untuk Plat Bermuatan pada Percobaan 1 ( V0=1000 V, a = b = 0.5 )

4000 𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝜋

∞

∑ 𝑛=1,3,5,7..

sin(2𝑛𝜋𝑥) sinh(2𝑛𝜋𝑦) 𝑛 sinh(𝑛𝜋)

Simulasi Distribusi Medan Listrik Dan Potensial Listrik Pde Matlab

Recommend Documents