“MATERI “MATERI BAB V MULTIPOLE LISTRIK”
DISUSUN OLEH : GIA.I.T.HENGKENG
(15 50 505 03 039)
DEWI SINTA UMACINA
(15 505 023)
FEITI INKA BUNGKITAN
(15 505 0)
UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN FISIKA 2017
KATA PENGANTAR
Pu! "#$ %&u'u '#! *#$#+'#$ ',-#"!#+ Tu-#$ #$/ M#-# E%# '#,$# ,'#+ !*#-#$ #-#+ "#$ K#u$!#4N&# %,-!$//# '#! "#*#+ ,$&,,%#!'#$ #'##- !$! ",$/#$ #!' "#$ +,*#+ #'+u. D## #'##- !$! %#&# ,#-#% ,$/,$#! MULTIPOLE &#$/ "!"##$&# +,'#$"u$/ ,'%*#$%! u+!*6, "#! *6+,$%!# %'## "#$ ,"#$ "!*6, !%+!'. K#! ,$&#"#! #-# #%!- #$&#' ','u#$/#$ &#$/ ,$"#%# *#"# #'##- !$!. O,- '#,$# !+u '#! ,!$+# *,#7# u$+u' ,,!'#$ %##$ %,+# '!+!' &#$/ "#*#+ ,#$/u$
K,6*6' '#!.
'!+!' "#! *,#7#
%#$/#+ '#! -##*'#$ u$+u'
*,$&,*u$##$ #'##- %,#$u+$&#. A'-! '#+# %,6/# #'##- !$! "#*#+ ,,!'#$ #$8##+ #/! '!+# %,u#.
T6$"#$6 M#,+ 201 P,$&u%u$
K,6*6'
DAFTAR ISI
K#+# *,$/#$+#................................................................................................................................. !! D#8+# !%!................................................................................................................................. !!! B# I P,$"#-uu#$ A. L#+# ,#'#$/................................................................................................................................. ! B. uu%#$ #%##-................................................................................................................... C. Tuu#$.................................................................................................................................... ! D. M#$8##+................................................................................................................................. !! B# II P,#-#%#$ A. E'*#$%! Mu+!*6, "#! P6+,$%!# S'##........................................................................... 143 B. M6$6*6,........................................................................................................................... .; C. D!*6,................................................................................................................................ ;45 D.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar B!a"a#$
S##- %#+u ,+6", '-u%u% "## *,$/-!+u$/#$ *6+,$%!# !%+!' !##- ,+6", ,'%*#$%! u+!*6, &#'$! %u#+u u#+#$ $6$4+!+!' *#"# ##' &#$/ %#$/#+ #u- %,-!$//#* !%# "!#$//#* +!+!'. P#"# %,##$ u#+#$ !+u +,"#*#+ '#!+#$4'#!+#$ 6$6*6, (+u$//#) "!*6, (/#$"#) >u#"u*6, ('u#+,+) 67+6*6, (6'+,+) "#$ %,+,u%$&# ?#"! %,,u ,#-#! u#+#$ %,##$ &#$/ u!+ (+,"!! "#! #$&#' u#+#$ +!+!') *,u "!*#-#! +,,!- "#-uu %!%+, "!*6, #+#u >u#"u*6,.
1.2 R%&%'a# Ma'a!a(
1. A*# !+u u+!*6, L!%+!' @ 2. B#/#!#$# *!$%!* ',# u+!*6, !%+!'@ 3. B#/#!#$# 7## ,$/-!+u$/ u+!*6, !%+!'@
1.) T%*%a# P#%!+'a#
1. P,#7# "#*#+ ,#-#! #*# !+u u+!*6, !%+!' 2. P,#7# "#*#+ ,#-#! *!$%!* ',# u+!*6, !%+!' 3. P,#7# "#*#+ ,#-#! 7## ,$/-!+u$/ u+!*6, !%+!'.
A. EKSPANSI MULTIPOLE DARI POTENSIAL SKALAR
M!%# %!%+, N u#+#$ >1 >2 >3........>!.......> N "!,+#''#$ "## %u#+u 6u, (/## 5.1). ,'+6 *6%!%! #%!$/4#%!$/ u#+#$ #"##- r 1 r 2 r 3 ..... r i ⃗
.....
rn
⃗
.
V ( r )=
q1
∑ = 4πε i
1
⃗
⃗
r . P6+,$%!# "! +!+!' P #"##-
S,u#- +!+!' P ,#"# *#"# *6%!%!
n
⃗
⃗
… … … … ( 5 −1 ) 0
D!#$# !
|r −⃗r i| ⃗
G## 5.1 P6+,$%!# &#$/ "!%,#'#$ 6,- %!%+, u#+#$ +!+!'
⃗r i "#$
θi "#$ ",$/#$ ,$//u$#'#$ #+u#$
r #"##76%!$u% #'# "#! /## "!*,6,?!'# %u"u+ #$+##
⃗
2
! ( 2
r i 2 ! 76%
θi )12
(542)
S,-!$//# (541) ,$#"! 1 2
2
r + r i −2 rr i cos θi ¿ 2
¿
4π ε0
()
¿ (543)
qi
¿
N
¿ ∑ = i
1
M!%#'#$ +!+!* P 7u'u* #u- "! u# %,-!$//# ,+#'$&# %#$/#+ #u- "#! +!+!' #%# r i u$+u' %,u# !. #%+6 ⃗ ri/ r "!#$"!$/'#$ ",$/#$ ,+#' u#+#$ #"! r ⃗ ⃗
⃗
#"##- %,#u ,!- ',7! "#!*#"# %#+u %#+u#$ "#$ "#*#+ "!$&#+#'#$ ",$/#$ ,'%*#$%! ",,+ *#$#$/ "## *,#/!#$. ?!'# 8#'+6 2 "!',u#'#$ "#! #'# 'u#"#+ "## *,%###$ (542) #'# "#*#+ "!+u!%'#$ 1
1
1
R i
+t ¿ r¿
2
(54;)
1
¿ D!#$# + 42
() ri r
θi
76%
() ri r
2
(545)
%,'##$/ "!/u$#'#$ ",,+ *#$/'#+ −1
(1 ± t ¿
1
3
2
8
2
1 ∓ t + t ∓
2
5 16
3
t
.......
(54)
D,$/#$ +#$"# $,/#+!8 "!#+#% u$+u' ,'%*#$%! #'# 'u#"#+ "#! *,%###$ (54;). P,%###$ (545) "!#%u''#$ ', (54) "#$ ,$/##!'#$ %,uu- %u'u &#$/
()
,$/#$"u$/
()
3
ri r
4
ri r
"#$
"#$ %,+,u%$&# #'#$ "!*,6,-
1
1
+ t ¿ ¿ ¿
2
1
¿
()
¿ 1+
ri r
cos θi
+
1 2
( )¿ ri
2
θi − 1
(3
r
cos
2
¿¿
?!'# "!#/! ",$/#$ ,$uu+ (54;) "#$ %u+!+u%! -#%! ', (541) #'#$ "!*,6,- :
3 cos
2
q i r i (¿ θi−1 )+ . . 2
qi r i cos θ i+¿ V ( r )=
( 5− 7 )
1
N
1 3
∑¿
4 π ε 0 r i= 1
N
N
1
¿ ∑ q +4πε r ∑ =
4 π ε 0 r i=1
i
2
0
i
1
P,%###$ (54) #"##- ekspansi multipole dari potensial, #%!$/4#%!$/ %u'u "## *,$u#-#$ !+u "!%,u+ monopole, dipole dan quadrupole. U$+u' ,u"#-'#$ *,$u!%#$ *,%###$ (54) "#*#+ "!+u!% :
V ( r )=V M ( r )+ V D ( r ) + V Q ( r ) ......
(54=)
W##u*u$ "## *,!7###$ %,#$u+$&# "## # !$! +!"#' "!*,u'#$ +,+#*! *,u "!*,-#+!'#$ #-# 8u$/%! %u"u+ "## *,%###$ (54) #"##,u*#'#$ Polynominal Legendre. ?!'# 8u$/%! *6&$6!$# L,/,$", "!$&#+#'#$ ",$/#$ P () #'# "!",8,$!%!'#$ #-# 1
1
2
−2 xy + y ¿ ¿ ¿
2
1
¿ S,-!$//# 8u$/%! +,%,u+ #"##- '6,8!%!,$ "#! & 1 "## *,$u#-#$ +,%,u+. C6$+6 ,,#*# 8u$/%! P6&$6!$# L,/,$", : P0 () 1 P 1 () P 2 () J (3 2 1 P3 () J (53 3).............. (5410) U$+u' P0 () %u"#- "!',+#-u! %,"#$/'#$ u$+u' 8u$/%! &#$/ #!$ "#*#+ "!7#! ",$/#$ ,#$8##+'#$ -uu$/#$ ,u#$/ (,7u%!6 ,#+!6$) &#$/ "!+u$u'#$ %,#/#! ,!'u+ :
( l+ 1 ) Pl + ( x ) ( 2 l + 1 ) x Pi ( x )−l Pi− ( x ) 1
1
(5411)
P,u "!*,-#+!'#$ #-# Pi ( 1 ) =1 ?!'# "!'6*##%!'#$ (549) ",$/#$ (54;) "#$ (545) "#*#+ "!',+#-u! #-#
ri y = dan x =cos θi ',"u#$&# ,,$u-! '6$"!%! +#$"# 'uu$/ "## *,%###$ r (549). U$+u' !+u "#*#+ "!+u!%'#$ : θi ri l ¿ r
¿ ¿ ¿ cos ¿ ¿ Pl ¿ ¿
1
=
1
∞
∑¿
R i r l=0 S,-!$//# *,%###$ (541) %,7## uu "!$&#+#'#$ %,#/#! :
cos θi N
q r P ¿ … … … … … . ( 5− 13) ∑ = 1
i
i
i
l
1
1
l +1 V ( r )=
¿
1
∞
∑¿
4 π ε 0 l =0
M,%'!*u$ *,%###$ (5413) ,u*#'#$ *,$&#+##$ &#$/ ,$/'#* +,+#*! &#$/ #'#$ "!/u$#'#$ u$+u' %,#$u+$&# #"##- *,%###$ (54). B,"#%#'#$ /## (5.1) "!',+#-u! #-# : cos θ1
=
r .⃗ ri ⃗
rr i
=r^ .
() ri ⃗
ri
l x x i + l y y i + l z z i ri
(541;)
l x ,l y , l z #"##- ##- 76%!$u% "#$ *6%!%! r^ +,-#"#* P "#$ x i , y i , z i #"##- '66"!$#+ +,/#' "#! ,+#' u#+#$ > !. U$+u' !+u *,%###$ (54=) #'#$ "!#-#% %#+u *, %#+u (*, %u'u). D!#$#
B. MONOPOLE
P,$u#-#$ "## %u'u *,+## "#! *,%###$ (54) #"##- u"#"!",8!$!%!'#$ &#!+u : N
q =Q ∑ = i
i
total
=Q … … … … … (5−15 )
1
D!#$# < #"##- *6# u#+#$. S,#$u+$&# 6$6*6, ,*u$&#! ,$+u' :
V M ( r ) =
Q ..........................(541) 4 π εO r
D## '6$+,'% !$! *6# u#+#$ < "!%,u+ Momen monopole "#! "!%+!u%! u#+#$. D,$/#$ '#+# #!$ Momen monopole #"##- #/!#$ *,$+!$/ "#! ,'%*#$%! "#$ #/!#$ "6!$#$ u$+u' *6# u#+#$. ?!'# u#+#$ +,"!%+!u%! '6$+!$u #'# *,$u#-#$ "#*#+ "!/#$+! ",$/#$ !$+,/# %,-!$//# 6,$ 6$6*6, "#*#+ "!$&#+#'#$ "## ,$+u' : <
∫ ρ ( r ) dV ' '
(541)
v'
D!#$# !$+,/# ,!*u+! 6u, "#! %u, u#+#$ +,"!%+!u%!.
,. DIPOLE
?!'# *,%###$ (541;) "! %!%!*'#$ ',"## *,$u#-#$ ',"u# *#"# *,%###$ (54) #'# "!*,6,l x xi + l y y i+ l z i
¿
q1¿ N
θi =
¿ ∑ = i
1
qi r i cos ¿ N
¿ ∑ = i
1
(∑ ) ( ∑ ) (∑ ) (∑ ) N
¿ l x
N
i =1
qi x i + l y
i =1
N
q i y i + l z
i =1
qi zi
N
¿ r^ .
i= 1
q i r i … … … … … … … … .. ( 5−18 ) ⃗
P,$u#-#$ "## +#$"# 'uu$/ *#"# ,$+u' +,#'-! +,$&#+# ,!*u+! '-u%u% "#! "!%+!u%! u#+#$ "#$ +!"#' ,!*u+! +,*#+ "#! ,"#$ +!+!' &#!+u u$+u' !$"!!"u "#$ -#$&# "!%+!u%! u#+#$. H# !$! "!",8!$!%!'#$ %,#/#! momen dipole ⃗! "#! "!%+!u%! u#+#$. M#'# N
⃗!
q⃗ r … … … … … … … . ( 5− 19 ) ∑ = i
i
i
1
S,-!$//# "#*#+ "!+u!%'#$
N
⃗ =l ! + l ! + l ! q r cos θ = r^ . ! ∑ = i
i
i
i
x
x
y
y
z
z … … …… …… … ……
( 5− 20)
1
?!'# *,%###$ (5420) "! %!%!*'#$ ', *,%###$ (54) #'# "!*6, "#*#+ "!$&#+#'#$ "## 6,$ "!*6, %,#/#! ,!'u+ :
V D ( r ) =
⃗ . r^ ! 4 π ε0 r
2
=
⃗.r ! ⃗
4 π ε0 r
3
..........................(5421)
P,u "!*,-#+!'#$ #-# *,%###$ (5421) ,u*#'#$ %'## *6"u7' "#! ,%##$ &#$/ %#+u +,/#$+u$/ *#"# 6'#%! "#! ,"#$ +!+!' "#$ &#$/ #!$ -#$&# +,/#$+u$/ *#"# "!%+!u%! u#+#$. ?!'# +!+!' P #"##- %#$/#+ #u- "#$ !'# 6,$ 6$6*6, < "!##!'#$ #'#
*,%###$ (5421) #'#$ ,$#"! %u'u +,*,$+!$/ "## ,'%*#$%! "#$ 6,$ "!*6, #'#$ ,$#"! "6!$#$u+## "#! "!%+!u%! u#+#$.
⃗!
?!'# u#+#$ ,!!'! "!%+!u%! u#+#$ '6$+!$u #'# *,$u#-#$ "## (5419) "#*#+ "!/#$+! ",$/#$ !$+,/# &#$/ ,!*u+! 6u, %,-!$//# ⃗! "#*#+ "!+,$+u'#$ ",$/#$
∫
⃗!= ρ ( r ) r dV ……………………. ( 5 −22) 1
1
v
A$#6/! ",$/#$ *,$&#+##$ "! #+#% #'# "#*#+ "!+u!%'#$ 6,$ "!*6, u$+u' "!%+!u%! u#%#$ "#$ "!%+!u%! /#!%. D. -UADRUPOLE <u#"u*6, ,u*#'#$ *,#-#%#$ &#$/ '6*,'% +,+#*! "#*#+ "!+u!%'#$ "## ',#"##$ &#$/ u"#- u$+u' "!*#-#!. ?!'# "!/u$#'#$ *,%###$ (541;) "#*#+ "!7#! #-# :
r^ . r⃗i ¿ − r i 2
2
r i ( 3 cos θi−1 ) = 3 ¿ 2
2
l x xi + l y y i+ l z z i ¿ −r i ( l x + l y + l z ) 2
2
2
2
2
¿3¿
.................(5423)
(l +l
D## #$/'#- +,#'-! 2 "!'#!'#$
(l +l 2
2
x
y
2
2
x
y
+ l z ) 2
+!"#' ,$/u#- $!#! %,#
+l z ) =1 . P,%###$ (5423) "#*#+ "!%,,%#!'#$ 2
r i ( 3 cos θi−1 ) = l x ( 3 x i −r i ) + l y ( 3 y i − r i ) + l z ( 3 z i − r i ) + 6 l x l y l z x i y i 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6 l z l z z i y i
..................................(542;) P,%###$ (542;) "!%!%!*'#$ ', *,%###$ *,$u#-#$ %u'u ',+!/# "## (54) %,+,#- 8#'+6 J "!',u#'#$ u/# ,#/! %u'u ',+!/# +,#'-! "#! (542;) ,*,-#+!'#$ #-# 6 l x l y x i y i =3 l x l y xi y i + 2 l y l x y i x i . ?!'# "!%,,%#!'#$ "#*#+ "!7#! #-# *,$u#-#$ "!+u!% "## ,$+u' %!,+!% %,#/#! ,!'u+ :
∑ q r (3 cos θ −1 )=l ∑ q (3 x −r )+l l ∑ q 3 x y +l l ∑ q 3 x z 2
i
2
i
2
i
x
i
i
2
2
i
i
x y
i
+ l y l x ∑ q i 3 y i xi + l y ∑ q i ( 3 y i −r i ) + l y l z ∑ q i 3 y i z i 2
i
2
i
i
i
2
i
i
i
x z
i
i
i
i
+ l x l z ∑ q i 3 z i x i + l x l y ∑ q i 3 z i y i + l x ∑ q i ( 3 z i −r i ) …… … .. ( 5 −25 ) 2
i
i
2
2
i
P,u "!*,-#+!'#$ #-# #%!$/4#%!$/ %u'u "## *,$&#+##$ "!#+#% #"##- -#%! '#! "#! %,%u#+u &#$/ -#$&# ,/#$+u$/ *#"# +!+!' ,"#$ ##- "#$ ,%#$&# -#$&# +,/#$+u$/ *#"# "!%+!u%! u#+#$. S,%u#! ",$/#$ -# +,%,u+ "! #+#% #'# "#*#+ "!+,$+u'#$ %u#+u ,%##$ < ' &#$/ "!%,u+ '6*6$,$ "#! +,$%6 6,$+ >u#"u*6, %,#/#! ,!'u+ :
N
Q "# =
q ( 3 " # −r ∑ = i
i
i
i
2
i
$ "# ) … … … … … .. ( 5− 26 )
1
(' &) D## *,$&#+##$ "!#+#% "#$ ' "#*#+ ,#% !%# & #+#u %,"#$/'#$ %!6
$ "#
#"##- %!6 ",+# K6$,7', &#$/ "!",8!$!%!'#$ %,#/#! ,!'u+ :
¿
1
"# = 0
"i#a " = # "i#a " % # $ ¿
(542)
S,#$u+$&# #"# %,!#$
Q "# "!",8!$!%!'#$ ",$/#$ *,%###$ (542) %,#/#! 76$+6-
∑ q (3 x −r ) ,Q =∑ q 3 x y … … … … … … (5−28 )
Q xx =
i
2
2
i
i
xy
i
i
i
i
i
B,"#%#'#$ (542)(542=)(5425) "#*#+ "!!$/'#% *,$u!%#$$&# %,#/#! ,!'u+ :
∑ q r (3 cos θ −1 )=l Q 2
i
2
i
2
i
x
xx
+ l x l y Q xy + l x l z Q xz
i
2
+ l y l x Q yx + l y Q yy + l y l z Q yz 2
+ l z l x Q zx + l z l y Q zy + l z Q zz ¿
∑ =∑ =
l " l x Q "# … … … .. ( 5−29 )
" x, y , z # x, y , z
A'-!$&# !# (5429) "!%!%!*'#$ ',"## (542) #'# "#*#+ "!+,$+u'#$ #-# >u#"u*6, "#*#+ "!+u!%'#$ "## ,$+u' momen quadrupole %,#/#! ,!'u+ :
V Q ( r ) =
1
1
∑ ∑
4 π ε 0 2 " = y , x , z # = x, y , z
l " l # Q "# … … … .. ( 5 −30 )
?!'# +!+!* P %#$/#+ #u- "#$ !'# 6,$ 6$6*6, < "#$ 6,$ 6$6*6, ⃗! #"##- $6 #'# (5430) ,u*#'#$ %u'u +,*,$+!$/ "## ,'%*#$%! "#! "#$ +,$%6 6,$ >u#"u*6, Q "# #'#$ "!*,$/#u-! 6,- "!%+!u%! u#+#$. ?!'# "!%+!u%! u#+#$ '6$+!$u #'# *,$u#-#$ "## (542) "#*#+ "!/#$+! ",$/#$ !$+,/# %,-!$//# u$+u' "!%+!u%! 6u, #'#$ "!*,6,-
∫
Q "# = ρ ( r
'
) (3 "' # ' −r'
2
$ "# ) d V … … … … ( 5 −31) '
1
V
S,#/#! 76$+6-
∫
Q xx = ρ ( r
'
)( 3 x ' −r ' ) dV 2
2
'
Q xy = ρ ( r
V
'
) 3 x ' y ' d V ' … … … … (5 −32 )
A$#6/ ",$/#$ *,$&#+##$ "!#+#% #'# u$+u' "!%+!u%! u#+#$ /#!% "#$ *,u'##$ "#*#+ "!+uu$'#$ *u#.
E. Ma# D+/! !+'tr+" Du# u#+#$ &#$/ %## ,%# ,##$#$ +#$"# ,#"# *#"# ##' # %#+u %## #!$ %,*,+! "!+u$u'#$ 6,- /## 5.2
M6,$ "!*6, !%+!'$&# ,$uu+ *,%###$ (5.29) #"##-
n
⃗!=
∑q r i
⃗
i
i
¿ qi r i− q r , q =q =q ¿ q( r r ) −1 ^ 1 a i^ −( a i) ⃗
⃗
2
⃗
2
1
2
1⃗ 2
2
2
¿ q¿ ⃗!=qa i^
(5433)
?#"! ##- ⃗! %,##- ",$/#$ ##- %uu *6%!+!8. P6+,$%!# D!*6, L!%+!' "! +!+!' P ,$uu+ *,%###$ (5421) #"##⃗ & r^ = ! cos θ ! V D = (543;) 2 2 4 π ε0 r 4 π ε0 r P#"# *,#-#%#$ B# I +,#- "!,#%'#$ #-#
=− ∇ V
(5435)
B!# (543;) "!%u+!+u%!'#$ ', (5435) #'# "!*,6,- :
=− ∇ ⃗
(
! cos θ 4 π ε 0r
2
)
(543)
P,$&,,%#!#$ "#! *,%###$ (543) #"##- :
[ (
=− ⃗
¿ ¿
( (r
)
! cos θ 1 ( r^ + 2 r (θ 4 π ε0 r
2 !)o*θ 4 π ε0 r 1 4 π ε0
^r + 3
! sin θ 4 π ε0 r
2 !)o*θ
r
3
r^ +
3
(
! cos θ 2 4 π ε0r
)]
θ^ ! sin θ
1 4 π ε0
r
3
θ^ … … … … (5− 37 )
P,%###$ (543) #"##- ,"#$ "!*6, !%+!' "! +!+!' P &#$/ ,##' "#! +!+!' #%# "#$ ,,$+u' %u"u+ θ ",$/#$ ⃗! . D,$/#$ ",!'!#$ "#*#+ "!$&#+#'#$ #-# "! +!+!' P ,!!'! '6*6$,$ %,#/#! ,!'u+ :
θ
( ) ! 4 π ε0
( ) ! 4 π ε0
2 )o*θ
r
3
2 )o*θ
θ^
r
3
r^
(543=)
(5439)
?!'# θ 0 ,#+! +!+!' P ,#"# *#"# %uu #'# "#! *,%###$ (543=) "#$ (54 39) "!*,6,- :
( )
2 ! ^r 4 π ε0 r3
θ 0
(54;0) (54;1)
H# !$! ,#+! #-# ,"#$ "!*6, !%+!' -#$&# #"# *#"# ##- %,## &#$/ "## '#%u% !$! %,*#$#$/ %uu . S,"#$/'#$ !'#
θ=
π 2
,#+! +!+!' P ,#"# "! %uu
#'# :
0
θ
(54;2)
(
! 4 π ε0 r
3
)^
θ
(54;3)
H# !$! ,#+! #-# ,"#$ "!*6, !%+!' -#$&# #"# *#"# ##- /#!% %!$//u$/ %##. G#!% ,"#$ !%+!' "#$ ,>u!*6+,$%!# "#! "!*6, !%+!' "#*#+ "!/##'#$ %,#/#! ,!'u+ :
: ,>u!*6+,$%!# ......................... : /#!% ,"#$
CONTOH SOAL :
DAFTA PUSTAKA htps://paradoks77.blogspo.co.id/2011/04/poensial-dan-medan-elekrosak-pada.hml
