BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Persamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan tanda “sama dengan (=). Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya atau kalimat yang masih memuat variabel. Persa maan linear adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi satu. Bentuk umum persamaan linear dua variable adalah ax adalah ax + by = c, c, dengan a
≠ 0, b ≠ 0, a dan b
adalah koefisien dan c adalah konstanta. Contoh : 2x + 3y = 12. Persamaan Diophantine pertama sekali ditulis oleh Diophantus (250 M) di dalam bukunya Arithmetica, dan buku ini dikenal sebagai buku aljabar yang pertama. Persoalan persamaan Diophantine linier ini berkaitan dengan mencari penyelesaian bulat dari persamaan-persamaan linier dengan dua atau lebih variable. Sebagai contoh: Della akan membeli sejumlah jeruk dan sejumlah mangga dengan uang yang dimiliki senilai Rp 65.000. Jika harga sebuah jeruk Rp 1.250 dan harga sebuah mangga Rp 1.700, maka berapa kemungkinan banyak jeruk dan mangga yang dapat dibeli Della? Salah satu cara untuk menjawab pertanyaan di atas, terlebih dahulu kita merubah bentuk tersebut ke bentuk persamaan linier, dengan memisalkan x sebagai banyak jeruk dan y sebagai banyak mangga, sehingga: 1.250 x + 1.700 y = 65.000. Selanjutnya, dengan teknik mencoba-coba kita bisa saja mendapatkan hasil yang kita inginkan, tetapi proses yang dilalui cukup panjang dan menyita waktu.
Misalkan : x
Y
0
38,23
1
37,5
2
37,76
14
27,94
15
27,20
29
16,91
30
16,17
43
6,61
44
5,88
52
0
Dengan cara mencoba-coba kita butuh proses yang lebih lama. Oleh karena itu, kita memerlukan adanya cara tertentu yang sistematis dan sederhana untuk meyelesaikan persamaan diatas. Pesamaan Diophantine linier ini memberi solusi untuk mencari penyelesaian bulat dari persamaan-persamaan linier dengan dua variable atau lebih.
B.
Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud metode faktorisasi? 2. 3. Apa yang dimaksud persamaan Diophantine linear? 4. Bagaimana cara mencari solusi persamaan Diophantine linier? 5. Bagaimana
contoh
soal
persamaan
Diophantine
linear
sera
pembahasannya?
C.
Tujuan dan Manfaat 1. Untuk mengetahui pengertian dari metode faktorisasi. 2. 3. Untuk mengetahui pengertian dari persamaan Diophantine linear. 4. Untuk mengetahui beberapa metode dalam mencari solusi persamaan Diophantine linear. 5. Untuk mengetahui contoh soal mengenai persamaan Diophantine linear beserta pembahasannya.
BAB II PEMBAHASAN
A. Metode Faktorisasi Faktorisasi fermat
Ditemukan oleh Pierre de Fermat , dikenal sebagai Faktorisasi Fermat , dan didasarkan pada lemma berikut. Lemma 3.9.
Jika n adalah bilangan bulat positif ganjil, maka ada korespondensi satu-ke-satu antara faktorisasi dari n menjadi dua bilangan bulat positif dan perbedaan dua kuadrat yang sama dengan n. Bukti. Misalkan n adalah bilangan bulat positif ganjil dan misalkan n = ab menjadi faktorisasi dari n menjadi dua bilangan bulat positif. Maka n bisa ditulis sebagai selisih dua kuadrat, karena n = ab = s 2 - t 2 ,
dimana s = (a + b) / 2 dan t = (a - b) / 2 keduanya bilangan bulat karena a dan b keduanya ganjil. Sebaliknya, Jika n adalah selisih dua kuadrat, Misal n = s2 - t 2 Memfaktorkan n dengan menotasikan bahwa n = (s - t) (s + t) .
Untuk melakukan metode faktorisasi Fermat, Solusi dari persamaan n = x 2 - y 2 yaitu mencari kuadrat sempurna x 2 - n. Untuk menemukan faktorisasi n, kita mencari kuadrat di antara urutan bilangan bulat t 2 - n, (t + 1) 2 - n, (t + 2) 2 - n, ...
dimana t adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari
√ .
Prosedur ini berhenti, karena faktorisasi n = n. 1 mengarah ke persamaan
= 2 1 − −2 1 Contoh 3.23.
Ketika 77 <
Kita memfaktorkan 6077 menggunakan metode faktorisasi Fermat.
√ 6077 < 78 , kita mencari sebuah kuadrat yang sempurna dalam urutannya 782 – 6077 = 7 792 – 6077 = 164 802 – 6077 = 323 812 – 6077 = 484 = 22 2
Ketika 6077 = 81 2 – 222, kita lihat bahwa 6077 = (81 – 22)(81 + 22) = 59 . 103. Untuk memfaktorkan n menggunakan teknik ini, mungkin perlu untuk memeriksa
+ − [√ ]sebagai bilangan bulat. B. Bilangan Fermat Bilangan bulat
= 2 1 disebut bilangan fermat. Fermat mengira-ngira
bahwa bilangan bulat ini semuanya bilangan prima. Bahkan, beberapa di awal
= 3, = 5, = 17, = 257, dan = 65,537. Sayangnya, = 2 1 adalah komposit, seperti yang akan kita tunjukkan adalah prima, yaitu
sekarang.
= 2 1
Contoh 3.24 bilangan fermat habis dibagi 641. Kita dapat menunjukkan bahwa tanpa benar-benar melakukan pembagian, menggunakan beberapa pengamatan yang tidak terlalu jelas. Perhatikan bahwa
641 |
641 = 5.2 1 = 2 5 Karenanya,
2 1 = 2 1 = 2.28 1 = 641 −528 1 = 641.28 − 5.2 1 = 641.28 − 641 − 1 1
= 641. 28 − 641 4.641 − 6.641 4. Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa 641 | Hasil berikut adalah bantuan yang berharga dalam faktorisasi bilangan fermat. Teorema 3.20. Setiap pembagi prima dari bilangan fermat
= 2 1 berbentuk 2+ 1.
Contoh 3.25. berdasarkan teorema 3.20, kita tahu bahwa setiap pembagi prima dari pasti berbentuk Karena tidak ada prima dari bentuk ini yang kurang dari atau sama dengan kita dapat menyimpulkan bahwa adalah prima.
= 2 √ 257,
1 = 257
2 1 = 32. 1. = 257 Contoh 3.26. ketika memfaktorkan = 2 1, kita menggunakan teorema 3.20 untuk melihat bahwa semua factor primanya berbentuk 28 1 = 256. 1. Karenanya, kita hanya perlu melakukan percobaan pembagian oleh bilangan prima dengan bentuk 256. 1 bahwa tidak melewati . Setelah perhitungan yang cukup besar, kita menemukan bahwa suatu pembagi prima diperoleh dengan = 1071, yaitu 274,177 = (256.1071 + 1) | . Faktorisasi dari bilangan fermat Hingga kini, tidak ada bilangan fermat prima baru yang ditemukan. Banyak ahli matematika meyakini bahwa tidak ada bilangan fermat prima tambahan.
Gunakan bilangan fermat untuk membuktikan ketidakterbatasan bilangan prima. ini mungkin untuk membuktikan bahwa ada banyak ketidakterbatasan bilangan prima yang menggunakan bilangan fermat. Kita mulai dengan menunjukkan bahwa ada dua bilangan Fermat relatif prima yang berbeda. Lemma 3.10 misal (let) Fk = 2K2 + 1 dinotasikan k bilangan fermat, dimana k bukan bilangan bulat negatif . Maka untuk semua bilangan bulat positif, kita memiliki
F0F1F2....Fn-1 = Fn – 2 Bukti. Kita akan membuktikan Lemma menggunakan induksi matematika. Untuk n = 1 identitas tersebut berbunyi F0 = F1 – 2 ini sudah jelas benar, karena F0 = 3 dan F1 = 5. Mari kita asumsikan bahwa identitas tersebut berlaku untuk bilangan bulat positif n , maka F0F1F2....Fn-1 = Fn – 2
dengan asumsi tersebut, kita bisa mudah menunjukkan bahwa identitas tersebut berlaku bilangan bulat n + 1 , karena F0F1F2....Fn-1Fn = (F0F1F2....Fn-1) Fn = (Fn – 2) Fn n
n+1
= (22 - 1) (22 + 1) = (22 )2 – 1 = 22
-1
= Fn+1 – 2 ini mengarah pada teorema berikut. Teorema 3.21
Misalkan m dan n sebagai bilangan bulat negatif berbeda. Maka bilangan Fermat Fm dan Fn adalah relatif prima.
Bukti. Asumsikan bahwa m < n . Dengan Lemma 3.10 kita tahu bahwa F0F1F2...Fm...Fn-1 = Fn – 2 Asumsikan bahwa d pembagi umum untuk Fm dan Fn . Maka Teorema 1.8 memberitahu kita bahwa d │( Fn - F0F1F2...Fm...Fn-1 ) = 2 Karenanya baik d = 1 dan d = 2. Bagaimanapun saat Fm dan Fn ganjil, d tidak bisa 2. Konsekuensinya , d = 1 dan (Fm ,Fn) = 1. Menggunakan bilangan Fermat, kita memberi bukti lain bahwa ada banyak ketidakterbatasan bilangan prima. Pertama, Kita melihat dengan Lemma 3.1 pada bagian 3.1 , Setiap bilangan Fermat Fn memiliki pembagi bilangan prima pn . Karena (Fm ,Fn) = 1 , Kita tahu bahwa pm ≠ pn kapanpun m ≠ n . Karenanya, kita bisa menyimpulkan bahwa ada banyak ketidakterbatasan bilangan prima.
Bilangan Prima F ermat dan Geometri . Bilangan Prima fermat penting pada geometri. Pembuktiannya mengikuti teorema terkenal dari Gauss mungkin bisa ditemukan di [Or88]. Teorema 3.2 Sebuah poligon beraturan dengan n sisi bisa dikontruksikan menggunakan peraturan dan pedoman jika dan hanya jika n adalah hasil kali dari 2 bukan negatif dan bilangan bukan negatif dari bilangan fermat prima yang berbeda.
C. Pengertian Persamaan Diophantine Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linier, bisa saja kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat. Bentuk paling sederhananya diberikan oleh :
ax + by = c… (1) dimana a, b dan c koefisien dan konstanta bulat yang diberikan. Penyelesaian persamaan Diophantine (1) adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini. Jika d adalah FPB dari a dan b, maka agar persamaan (1) mempunyai solusi maka d harus dapat membagi c (berdasarkan algoritma euclid tentang FPB). https://dhanymatika.wordpress.com/2013/03/16/persamaandiophantine-dan-diophantus/ Persamaan diophantine adalah salah satu persamaan yang menarik di dalam matematika, himpunan penyelesaian dari persamaan ini haruslah bilangan bulat
jadi
tidak
penyelesaian.
semua
persamaan
diophantine
mempunyai
himpunan
http://istanamatematika.com/pengertian-persamaan-diophantine-
teori-bilangan/ Catat bahwa pasangan dari bilangan bulat (x,y) adalah solusi dari persamaan Diophantine ax + by = c jika dan hanya jika (x,y) merupakan titik kisi yang terletak pada garis ax + by = c, yang telah diilustrasikan pada gambar 3.2 untuk persamaan linear Diophantine 2x + 3y = 5.
Gambar 3.2 Solusi dari 2x+3y=5 pada bilangan bulat x dan y berkorespondensi dengan titik kisi pada garis 2x+3y=5. Orang pertama yang mendeskribsikan solusi umum dari persamaan inear Diophantine adalah matematikawan india yang bernama Brahmagupta, yang mencantumkannya kedalam sebuah buku karyanya pada abad ke-7. Kita sekarang mengembangkan teori ini untuk menyelesaikan beberapa persamaan. Teorema dibawah ini memberitahu kita kapan persamaan memiliki solusi, dan apa saja solusinya.
Teorema 3.23.
Misalkan a dan b bilangan bulat dengan d = (a,b). Persamaan ax + by = c tidak mempunyai solusi jika d ł c. Jika d | c , maka ada banyak solusi. Maka, jika x = x0, y = y0
adalah penyelesaian dari persamaan, maka semua solusi dinyatakan dengan
= , = − Dimana n adalah bilangan bulat. Bukti. Anggap bahwa x dan y
adalah bilangan bulat dengan ax + by = c. maka karena d|a dan d|b, dengan teorema 1.9 (jika a, b, m, dan n adalah bilngan bulat, dan jika c|a dan c|b maka c|(ma+nb)) , d|c. Oleh karena itu jika d ł c, tidak ada solusi dari persamaan tersebut. Sekarang anggap bahwa d|c. dengan teorema 3.8, terdapat s dan t dengan d = as + bt. Sejak d|c, terdapat bilangan bulat e dengan de=c. kalikan kedua sisi dengan e, maka kita dapatkan c = de = (as + bt) e = a (se) + b (te). Karenanya, satu solusi dari suatu persamaan dinyatakan dengan x = x0 dan y = y0, dimana x0 = se dan y0 = te.
Untuk menunjukkan bahwa ada banyak solusi tak terbatas, dengan
= −
= ,
, dimana n adalah bilangan bulat. Kita pertama-tama akan menunjukkan bahwa pasangan (x,y), dengan
= , = −
dimana n bilangan bulat, adalah solusi, kemudian kita akan menunjukkan bahwa setiap solusi memiliki bentuk ini. Kita melihat bahwa pasangan ini (x,y) adalah solusi, karena
= () − = = Kita sekarang menunjukkan bahwa setiap penyelesaian dari persamaan ax + by = c harus dalam bentuk yang terdeskripsi di dalam teorema. Misalkan x dan y adalah bilangan bulat dengan ax + by = c . Karena ax 0 + by 0 = c
Dengan pengurangan kita menemukan bahwa (ax + by) – ( ax 0 + by 0 ) = 0
Yang menyiratkan bahwa a( x - x0 ) + b ( y - y0) = 0 karenanya a(x-x 0 ) = b(y 0 -y).
Bagi kedua sisi pada persamaan terakhir ini dengan d , kita lihat bahwa (a/d)(x-x 0 ) = (b/d) (y 0-y).
Dengan teorema 3.6 (misal a dan b adalah bilangan bulat dengan (a,b)=d. maka (a/d,b/d)=1) , kita tahu bahwa ( a/d, b/d) = 1. Menggunakan lemma 3.4 (jika a, b, dan c adalah bilangan bulat positif sehingga (a,b)=1 dan a|bc, maka a|c), itu mengikuti bahwa ( a/d) | (y 0-y). Meskipun , ada bilangan bulat n dengan (a/d)n = y0 – y ; ini berarti bahwa y = y0- (a/d) n. Sekarang, letakkan nilai y ini ke dalam persamaan a( x - x 0 ) = b ( y - y0), kita menemukan bahwa a( x - x0 ) = b ( a/d)n, yang mana menyiratkan bahwa x = x0 + b/d)n. Contoh berikut mengilustrasikan penggunaan teorema 3.23.
Contoh 3.27.
Dengan teorema 3.23, tidak ada penyelesaian dari persamaan diophantine 15x + 6y = 7, karena (15, 6) = 3 tetapi 3 ł 7.
Contoh 3.28
Dengan teorema 3.23, terdapat tak hingga banyaknya solusi dari persamaan diophantine 21x + 14y = 70, karena (21, 14) = 7 dan 7 | 70. Untuk menemukan solusinya, gunakan metode algoritma euclid. 1 . 21 + (-1) . 14 = 7, sehingga 10 . 21 + (-10) . 14 = 70. Meskipun, x0 = 10, y0 = -10 adalah solusi partikular. Semua solusi diyatakan oleh x = 10 +2n, y = -10 – 3n, dimana n dalah bilangan bulat. Sekarang kita akan menggunakan teorema 3.23 untuk menyelesaikan 2 soal yang didiskripsikan pada permulaan bagian. Contoh 3.29
Berdasarkan permasalahan untuk membetuk 83 sen di postage hanya menggunakan perangko 6 dan 15 sent. Jika x menotasikan jumlah perangko 6 sen dan y menotasikan jumlah dari perangko 15 sent, kita punya 6x + 15 y = 83. Ketika (6, 15) = 3 tidak dapat dibagi 83, dengan teorema 3.23 kita tahu bahwa disana tidak ada solusi. Sehingga tidak ada kombinasi dari perangko 6 dan 15 sent memberikan postage yang benar. Contoh 3.30.
Berdasarkan masalah dari pembelian $510 dari cek perjalanan , hanya menggunakan $20 dan $50 cek. Berapa banyak masing-masing tipe cek yang dapat digunakan ? Misalkan x adalah jumlah $20 cek dan misalkan y adalah jumlah $50 cek. Kita punya persamaan 20x + 50y = 510. Catat bahwa Faktor persekutuan terbesar dari 20 dan 50 ,adalah (20,50) = 10. Karena 10 | 510 , maka ada solusi tah hingga dari persamaan diophantine linier ini. Menggunakan algoritma euclid, kita menemukan bahwa 20 (-2) + 50 = 10. Kalikan kedua sisi dengan 51, kita memperoleh 20 (-102) + 50 (51) = 510.
Sehingga, solusi partikular dinyatakan dengan x0 = - 102 dan y0 = 51-2n. Teorema 3.23 memberi tahu kita bahwa semua solusi integral adalah dari bentuk x = -102 + 5 n dan y = 51 -2n. Karena kita ingin x dan y menjadi nonnegatif, kita harus punya -102+5n 0 dan 51 – 2n 0 ; oleh karena itu, n 20 2/5 dan n 25 1/2 . Karena n adalah bilangan bulat, itu berarti bahwa n = 21, 22, 23, 24, atau 25. Sehingga, kita punya 5 solusi berikut : (x, y) = (3, 9) , (8, 7), (13, 5), (18, 3), dan (23, 1). Jadi teller dapat memberikan pelanggan 3 cek $20 dan 9 cek $50, 8 cek $20 dan 7 cek $20 dan 1 cek $50. Kita dapat memperluas teorema 3.23 agar mencangkup persamaan diophantine linier dengan lebih dari 2 variabel seperti demonstasi teorema berikut.
Teorema 3.24. jika a1,
a2, ........, an adalah bilangan positif taknol, maka persamaan
ax1+ax2+.......+axn = c mempunyai solusi jika dan hanya jika d = (a1, a2,.........,an) membagi c. Lebih lanjut, ketika ada solusi, disana ada tak hingga banyaknya solusi. Bukti. Jika ada bilangan buat x1,x2,…,xn sehingga a1x1+a2x2+....+ anxn =c, kemudian
karena d membagi ai untuk i=1, 2,…, n, dengan teorema 1.9, d juga membagi c. Sehingga, jika d ł c tidak ada solusi dari persamaan tersebut.
Kita akan menggunakan i nduksi matematika untuk membuktikan bahwa ada tak hingga banyaknya solusi ketika d | c. Catat bahwa dengan teorema 3.23 ini adalah benar ketika n = 2. Sekarang, anggap bahwa ada tak hingga banyaknya solusi untuk semua persamaan pada n variabel yang memenuhi hipotesis. Dengan teorema 3.9 himpunan dari kombinasi linier anxn + an+1xn+1 sama seperti himpunan perkalian dari (an, an+1) . Sehingga untuk setiap bilangan bulat y mempunyai tak hingga banyaknya solusi dari persamaan diophantine linier anxn + an+1xn+1 = (an, an+1) y . Dengan diikuti bahwa persamaan pada n + 1 variabel dapat direduksi ke persamaan diophantine linier dalam n variabel a1x1+a2x2+....+an-1xn-1+(an, an+1)y=c
Catat bahwa c dapat dibagi dengan(a 1, a2, ...., an-1, (an, an+1) karena, dengan lemma 3.2, FPB ini sama dengan (a 1, a2, ...., an, an+1). Dengan hipotesis induksi, persamaan ini memiliki tak hingga banyaknya solusi bilangan bulat, seperti persamaan diophantine linier dalam n variabel dimana FPB dari koefisien membagi konstanta c. Itu berarti ada tak hingga banyaknya solusi dari persamaan asli. Metode untuk menyelesaikan persamaan diophantine linear dalam lebih dari 2 variabel dapat ditemukan menggunakan reduksi dalam bukti teorema 3.24. Kita tinggalkan aplikasi dari teorema 3.24 untuk latihan.
D.