BAB 4 METODE ANALISIS RANGKAIAN ARUS SEARAH (DC) TUJUAN: Setelah menyelesaikan bab ini, kita akan mampu untuk: Mengetahui metode konversi sumber tegangan ke sumber arus atau sebaliknya. Mengetahui metode rangkaian seri dan paralel untuk sumber tegangan. Mengetahui metode rangkaian seri dan paralel untuk sumber arus. Memahami dan mengaplikasikan meteode Branch dalam analisa rangkaian. Memahami dan mengaplikasikan meteode Mesh dalam analisa rangkaian. Memahami dan mengaplikasikan meteode Node dalam analisa rangkaian. 4.1.
Sumber Tegangan, Sumber Arus dan Konversi Ekuivalen Sumber
4.1.1. Ekuivalensi Sumber Arus dan Sumber Tegangan
Gambar 4.1 Ekuivalensi sumber arus dan tumber tegangan Konversi ekivalensi:
Gambar 4.2 Konversi polaritas
1
Konversi ekivalensi:
Konversi ekivalensi sumber: Sumber tegangan sumber arus: Sumber arus sumber tegangan:
RS = RS; IS = E/RS RS = RS; E = ISRS
Terminal kedua sumber di atas dianggap ekuivalen walaupun karakteristik internal dari masing-masing rangkaian tidak sama, sehingga kedua rangkaian akan memberikan nilai dan Contoh 4.1 : Buat ekivalensi sumber tegangan ke sumber arus serta hitunglah IL berikut.
Gambar 4.3 Rangkaian untuk contoh 4.1 Jawaban: Dari gambar kanan diperoleh:
Dari gambar kiri diperoleh:
2
4.1.2. Rangkaian Sumber disusun Seri dan Paralel 4.1.2.1. Sumber Tegangan disusun Seri
Gambar 4.4 Sumber tegangan dalam seri Persamaan pada rangkaian sumber tegangan seri:
Ket: untuk tegangan,
di (+) jika polaritas sama dan (-) jika polaritas berlawanan
dengan . 4.1.2.1. Sumber Tegangan disusun Paralel
Gambar 4.5 Sumber tegangan dalam paralel
Persamaan pada rangkaian sumber tegangan paralel:
Catatan: pada metode analisa ini, hanya sumber tegangan yang memiliki nilai dan polaritas yang sama dapat dihubungkan secara paralel. Jika sumber tegangan memiliki nilai dan polaritas berbeda maka solusinya akan diperoleh dengan teori Millman.
3
4.1.2.3. Sumber Arus disusun Paralel
Gambar 4.6 Sumber arus dalam paralel Persamaan pada sumber arus paralel:
Ket: untuk tegangan,
di (+) jika polaritas sama dan (-) jika polaritas
berlawanan dengan .
4.1.2.4. Sumber Arus disusun Seri Hanya sumber arus dengan polaritas dan jumlah arus yang sama yang dapat dianalisis. Sumber arus yang dihubungkan secara seri harus memenuhi hukum Kirchoff. Misalnya:
Gambar 4. 7 KCL dilanggar di titik A Rangkaian diatas tidak memenuhi hukum Kirchoff dan tidak dapat dianalisa.
4.2 Analisis arus cabang Metode yang digunakan jika suatu rangkaian listrik memiliki lebih dari 1 sumber listrik. Istilah-istilah dalam Branch Current Analysis Node (simpul) Branch (Cabang) Loop 4
Mesh Prosedur dalam menerapkan Branch Current Analysis pada suatu rangkaian listrik 1. Tanda-tanda pada rangkaian Beri label atau tanda Node Tentukan arah arus pada setiap cabang Tentukan arah loop untuk setiap Mesh ( searah jarum jam) 2. KCL dalam penentuan hukum kirchooff pada percabangan 3. KVL dalam penentuan persamaan tegangan setiap Mesh 4. Memecahkan persamaan simultan yang didapatkan dari langkah 2 dan 3 dengan menggunakan metode determinant 5. Menghitung atau menyelesaikan pertanyaan soal
Contoh 4.2 : Gunakan the branch current analysis method untuk menentukan masingmasing Arus (I1, I2 , I3), daya pada resistif R2 dan tegangan di resistor R1
Gambar 4. 8 Rangkaian dalam contoh 4.2 KCL : I1 + I2 = I3 KVL : Mesh 1 : I1R1 + I3R3 – E1= 0 Mesh 2 : -I2R2 – I3R3 + E2 = 0 Sehingga I1 + I2 - I3 = 0 I1R1 + 0 + I3R3 = E1 0 - I2R2 – I3R3 = - E2
substitusi nilai
I1 + I2 - I3 = 0
2I1 + 0 + 3I3 = 10 V 0 - 2I2 – 3I3 = - 5 V
Selesaikan dengan metode determinan
5
P2 = I2.R2.I2 = (-0,31)2 (2) = 0,19 W V1 = I1.R1 = (2,19)(2)= 4,38 V
4.3 Analisis arus Mesh (analisis arus jala) Analisis Arus Mesh adalah metode analisis rangkaian untuk memecahkan sistem persamaan KVL dimana diketahui adalah arus jala (arus yang beredar dalam Mesh). Hal ini dapat digunakan untuk rangkaian yang memiliki lebih dari satu sumber. Analisis saat Mesh berprinsip pada Kirchoff Voltage Law (KVL) yang berbunyi bahwa jumlah tegangan pada suatu lintasan tertutup sama dengan nol dan tidak perlu menggunakan Kirchoff Current Law (KCL). Arus merupakan parameter yang tidak diketahui.
6
Metode arus cabang adalah metode dasar untuk memahami metode analisis arus Mesh, analisis arus Mesh lebih praktis dan mudah digunakan. Menerapkan Kirchoff Voltage Law (KVL) untuk mendapatkan persamaan Mesh secara tidak langsung dapat mengurangi variable yang belum diketahui, lebih sedikit persamaan dan karena itu perhitungannya lebih sedikit dibandingkan dengan analisis arus cabang. Setelah menyelesaikan arus Mesh, arus cabang dari rangkaian akan mudah untuk ditentukan. Prosedur untuk menerapkan analisis arus Mesh 1. Identifikasi setiap Mesh, dan labeli semua simpul dan semua arah referensi untuk setiaparus Mesh(perjalanan arus dalam Mesh) 2. Terapkan hukum KirchoffII (KVL) di masing-masing Mesh, dan jumlah persamaan Kirchoff Voltage Law sama dengan jumlah Mesh. Jumlah persamaan = cabang - simpul Menetapkan tanda positif (+) untuk setiap tegangan self resistor, dan tanda negatif (-) untuk setiap tegangan mutual resistor pada persamaan Kirchoff Voltage Law.
Self resistor : resistor yang berada pada Mesh dimana hanya ada satu aliran Mesh.
Mutual resistor : resistor yang berada pada batas dua Mesh dan mempunyai dua aliran arus Mesh.
3. Memecahkan persamaan yang dihasilkan dari langkah 2 menggunakan metode determinan atau substitusi,dan tentukan setiap arus loopnya. 4. Hitung rangkaian lainnya yang belum diketahui seperti arus cabang dari arus loop jika diperlukan (memilih arah referensi arus cabang yang pertama). Catatan :
Convert sumber arus ke sumber tegangan di rangkaian jika ada.
Jika rangkaian punya sumber arus, sumber arus itu akan sama dengan arus loop, jadi jumlah persamaan KVL dapat dikurangi.
Contoh 4.3 : Gunakanan analisis arus Mesh untuk menentukan arus Mesh dan arus cabang IR1, IR2 dan IR3 pada rangkaian dibawah ini. Solusi: 1. Labeli semua arah referensi untuk setiap arus Mesh I1 dan I2
7
Gambar 4. 9 Rangkaian dalam contoh 4.3 2. Terapkan KVL disetiap Mesh, dan jumlah persamaan KVL adalah sama dengan jumlah Mesh (pada gambar ada dua Mesh ). Alternatifnya, gunakan jumlah KVL = cabang – (simpul – 1) = 3 – (2 – 1 ) = 2 Tandai tanda (+) untuk setiap tegangan pada self resistor, dan tanda (-) untuk setiap tegangan pada mutual resistor di persamaan KVL. Mesh 1 : ( R1 + R2 ) I1 - R2 I2 + E1 - E2 = 0 ( R1 + R2 ) I1 - R2 I2 = - E1 + E2 ( 10 + 10 ) I1 - 10 I2 = - 30 + 20 20 I1 – 10 I2 = - 10 Mesh 2 : R1 I1 + ( R2+R3 ) I2 + E2 + E3 = 0 R1 I1 + ( R2+R3 ) I2 = -E2 - E3 -10 I1 + ( 10 + 20 ) I2 = - 20 - 10 - 10 I1 + 30 I2 = - 30
8
Tabel 4.1 Tabel persamaan dalam rangkaian.
Dengan cara substitusi persamaan yang diperoleh dari masing-masing loop 20 I1 – 10 I2 = - 10
x1
- 10 I1 + 30 I2 = - 30
x2
20 I1 – 10 I2 = - 10 - 20 I1 + 60 I2 = - 60 50 I2 = - 70 I2 = -70/50 I2 = -1,4 A 3. Anggap arah referensi dari cabang arus yang tidak diketahui adalah IR2 dari arus Mesh dengan menerapkan KCL pada simpul a IR1
IR3 IR2
I 0 I R1 I r 2 I R 3 0 I 1 I R1 I 2 I R3 I1 I R 2 I 2 0 I R 2 I 1 I 2 0,2 (1,4) 1,2 A I 1 I R1 0,2 A I 2 I R 3 1,4 A
9
Contoh 4.4 :
Tulislah persamaan menggunakan metode analisis arus Mesh untuk
rangkaian dibawah ini :
Gambar 4. 10 Rangkaian dalam contoh 4.4
E s I s R1 Mesh 1 :
( R1 R2 R3 ) I1 R3 I 2 R2 I 3 Es E
Mesh 2 : R3 I1 ( R 3 R4 R5 ) I 2 R4 I 3 E Mesh 3 : R2 I1 R4 I 2 ( R2 R4 R6 ) I 3 0
4.4 Analisis Tegangan Nodal atau Simpul Analisis tegangan Node atau simpul adalah metode lain dari analisis rangkaian listrik dengan dua atau lebih sumber. Analisis tegangan simpul merupakan metode yang menuliskan dan menyelesaikan persamaan KCL (Kirchoff Current Law) yang mana variabelnya adalah tegangan simpul. Mengingat bahwa simpul adalah titik dimana dua atau lebih cabang bergabung. Tegangan simpul adalah tegangan antara sebuah simpul dan simpul acuan.
Analisis Tegangan Simpul Metode analisis rangkaian yang menuliskan dan menyelesaikan persamaan KCL yaitu variabelnya adalah tegangan simpul (bisa digunakan untuk rangkaian yang mempunyai lebih dari 1 sumber)
10
4.4.1 Langkah-langkah untuk menerapkan analisis tegangan simpul 1. Memberi label rangkaian
Beri label semua simpul dan pilih salah satu menjadi simpul referensi/acuan. Biasanya ground atau simpul dengan koneksi cabang terbanyak yang dipilih sebagai simpul referensi (tegangannya dianggap 0).
Tentukan arah referensi setiap cabang (Langkah ini dapat dilewati jika menggunakan metode inspeksi).
2. Terapkan KCL ke semua simpul n-1 kecuali untuk simpul referensi (n adalah nomor simpul)
Metode 1: Tuliskan persamaan KCL dan terapkan hukum Ohm ke persamaan, baik resistansi atau konduktansi dapat digunakan. Menetapkan tanda positif (+) untuk tegangan self-resistor atau self-konduktansi, tanda negatif (-) untuk tegangan resistor bersama atau tegangan konduktor bersama.
Metode 2: Ubah sumber tegangan ke sumber arus dan tuliskan persamaan KCL menggunakan metode inspeksi
3. Selesaikan persamaan simultan atau bersama dan tentukan masing-masing tegangan simpul 4. Hitung variabel rangkaian lain seperti arus cabang dari tegangan nodal dalam masalah ini, jika perlu. 5. Prosedur untuk menerapkan metode analisis tegangan simpul ditunjukkan dalam contohberikut. Contoh 4.5 : Tuliskan persamaan tegangan simpul untuk rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar 4.11 (a) dengan menggunakan metode analisis tegangan simpul. Solusi: a. Labeli simpul a, b dan c, dan pilih ground c menjadi simpul acuan; menetapkan arah arus acuan untuk setiap cabang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.11 (a). b. Terapkan KCL ke n – 1 = 3 – 1 = 2 simpul (simpul a and b).
11
Gambar 4. 11 (a) Rangkaian untuk contoh 4.5. (b) Rangkaian untuk metode 2
Metode 1: Tulis persamaan KCL dan terapkan hukum Ohm ke persamaan Node a: Node b: Atau gunakan konduktansi (G=1/R)
(
)
(
)
(
)
(
)
Metode 2: ubah dua sumber tegangan ke sumber arus dari gambar 4.11 (a) menjadi gambar 4.11 (b), dan tulis persamaan KCL dengan inspeksi: -
Menggunakan konduktansi: Sumber Node a:(
)
-
Node b: -
-
=
+(
)
=
Menggunakan resistansi: (
) 12
( Catatan:
Metode
inspeksi
mirip
) dengan
analisis
arus
Mesh.
Perbedaannya adalah bahwa analisis arus Mesh menggunakan arus Mesh setiap kolom, dan analisis tegangan simpul menggunakan tegangan simpul pada setiap kolom. (Tetapkan tanda positif (+) untuk tegangan self-resisttansi atau konduktansi dan masukkan arus simpul, dan tanda negatif (-) untuk tegangan konduktor bersama atau teganagn resistor bersama dan keluarkan arus simpul) Dua persamaan dapat menyelesaikan dua variabel yang tidak diketahui, yaitu tegangan simpul
dan
Contoh 4.6 : Gunakan analisis tegangan simpul untuk menghitung resistensi R1 dan R2, dan arus I1 dan I2 untuk rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar 4.12 (a).
Gambar 4. 12 Rangkaian untuk contoh 4.6 Solusi:
Labeli simpul a dan b, dan pilih b menjadi simpul acuan, dan tetapkan arah arus acuan untuk masing-masing cabang seperti ditunjukkan pada gambar 4.12 (b)
Terapkan KCL ke n-1=2-1=1 simpul (simpul a):
13
o Gunakan metode 1: Tulis persamaan KCL dan terapkan hukum Ohm ke persamaan:
o Atau gunakan konduktansi: (
)
Selesaikan persamaan di atas dan tentukan tegangan simpul
( ( (
*(
) )
(
)
*(
)
) )
:
+ (
)+
Hitung arus cabang dari tegangan simpul: (
)
o Gunakan metode 2: Ubah sumber tegangan ke sumber arus dari rangkaian pada gambar 4.16(a) menjadi rangkaian pada gambar 4.12 (c): 12//24 = Tulis persamaan KCL ke simpul menggunakan metode inspeksi: = (
)(
)
(5A+2A) (8 Ohm) = 56 V
( sama seperti pada metode 1) Contoh 4.7 : Tuliskan persamaan tegangan simpul dengan menggunakan resistansi dan konduktansi dalam rangkaian seperti pada gambar 4.13 menggunakan metode inspeksi
14
Gambar 4. 13 Rangkaian untuk contoh 4.7 Solusi: 1. Labeli semua simpul a,b,c, dan d (n=4) pada rangkaian seperti ditunjukkan gambar 4.13, dan pilih d menjadi simpul acuan. (langkah untuk menetapkan masing-masing arus cabang dengan arah acuan bisa dihilangkan karena yang digunakan adalah metode inspeksi) 2. Tulis persamaan KCL menjadi n-1=4-1=3 simpul menggunakan metode inspeksi a. Menggunakan resistansi: Node a:( Node b:
) (
) (
Node c:
)
b. Menggunakan Koduktansi: Node a: (
)
Node b:
(
) (
Node c:
)
3. Tiga persamaan di atas bisa menyelesaikan tiga variabel yang tidak diketahui (tegangan simpul
)
4.5 Analisis arus Mesh vs tegangan simpul Memilih diantara analisis arus Mesh atau anlisis tegangan Node biasanya berdasarkan pada bentuk dasar dari struktur rangkaian
15
Analisis tegangan simpul lebih baik dipakai untuk menyelesaiakan permasalahan pada rangkaian paralel, dengan variable sumber arus diketahui, sedikit simpul, dan lebih banyak cabang.
Analisis arus Mesh lebih mudah di gunakan untuk menyelesaiakan permasalahan pada rangkaian yang lebih sedikit Mesh, lebih banyak simpul, dengan variable sumber tegangan diketahui dan mensyaratkan menyelesaiakan arus cabang rangkaian.
KESIMPULAN Konversi sumber dalam seri dan paralel a. Sumber tegangan sumber arus
:
b. Sumber arus sumber tegangan
:
c. Sumber tegangan dalam seri
:
Tanda positif (+) untuk polaritas yang sama dengan E atau Vs. Tanda negatif (-) untuk sebaliknya. d. Sumber tegangan dalam paralel
:
Hanya sumber tegangan yang memiliki nilai dan polaritas sama yang dapat dirangkai paralel. e. Hanya sumber arus yang memiliki nilai dan polaritas sama yang dapat dirangkai seri. Branch current analysis Metode untuk menganalisa rangkaian dengan menggunakan prinsip KCL dan KVL. Mesh current analysis Metode untuk menganalisa rangkaian dengan menggunakan prinsip KVL untuk mengetahui arus mesh yang tidak diketahui. Nodal voltage analysis Metode untuk menganalisa rangkaian dengan menggunakan prinsip KCL untuk mengetahui tegangan node yang tidak diketahui.
16
Tes formatif. Berupa kuis . Kuis berupa pertanyaan pendek tentang bahan kuliah, digunakan untuk melihat apakah mahasiswa sudah membaca bahan ajar. Contoh kuis adalah sebagai berikut : 1. Cari Vx dengan menggunakan teorema Node.
2. Cari Vo dengan menggunakan teorema Node.
3. Cari Vo menggunakan teorema Mesh.
4. Cari Vo menggunakan teorema Mesh.
17
5. Cari Io dalam rangkaian berikut
Petunjuk penilaian. Nilai kuis ditentukan dengan skor berdasarkan jawaban yang benar. Tindak lanjut. Bagian-bagian yang kurang dipahami akan dibahas lebih lanjut, baik dengan cara ceramah maupun dengan diskusi.
18
