BAB 1 Rangkuman Materi Eksponensial dan Logaritma.pdf

Eksponensial dan Logaritma

A. Eksponensial I.

Pengertian dan Sifat Eksponensial Eksponensial merupakan oparasi bilangan dalam bentuk pemangkatan yang dinyatakan dalam bentuk 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 … .× 𝑎. Eksponensial memilki sifat-sifat dalam pemangkatan, sifat-sifat tersebut adalah 1.

1 𝑎𝑛

= 𝑎−𝑛 ; 𝑎 ≠ 0

2. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 3. 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 ; 𝑎 ≠ 0 4. 𝑎0 = 1 ; 𝑎 ≠ 0 5. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 6. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏 𝑚

II. Penerapan Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial dapat diterapkan dalam kehiupan sehari-hari. Adapun contoh penerapannya sebgai berikut: Seorang peneliti ingin mengembangkan sebuah virus untuk membuat racun hama padi. Pada awal penelitiannya, peneliti tersebut mengambil 1 virus untuk dikembangkan. Setelah dilakukan penelitian dan pengembangan, virus tersebut mampu membelah diri menjadi 3 virus tiap satu jam. Berapakah jumlah virus setelah 3 jam, 4 jam dan 5 jam? Penyelesaian: Pembelahan virus tersebut dapat diilustrasikan seperti berikut, Jam(x) = 0  virus(y) =1

Jam(x) = 1  virus(y) =3

Ilustrasi di atas dapat pula disajikan dalam bentuk tabel pasangan jam(x) dan virus(y). Jam (x)

0

1

2

3

4

5

…

𝑥

Virus (y)

1

3

9

27

81

243

…

𝑦

Bentuk

30

31

32

33

34

35

…

3𝑥

Eksponensial & Logaritma

sandigalesh.blogspot.com | 1

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa banyak virus dapat dicari menggunakan sebuah fungsi 𝑦 = 3𝑥 . Fungsi 𝒚 = 𝟑𝒙 ini disebut dengan fungsi pemangkatan atau fungsi eksponensial.

III. Fungsi Eksponensial dan Grafiknya 1. Definisi Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial atau fungsi pemangkatan didefinisikan sebagai berikut, 𝒚 = 𝒂𝒙 ; 𝒂 > 𝟎 ; 𝒂 ≠ 𝟏 Contoh: a) 𝑦 = 3𝑥 → 𝑎 = 3 ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 → 𝒇𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊 𝒆𝒌𝒔𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒔𝒊𝒂𝒍 b) 𝑦 = −3𝑥 → 𝑎 = −3 ; 𝒂 < 𝟎 ; 𝑎 ≠ 1 → 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙 c) 𝑦 = 1𝑥 → 𝑎 = 1 ; 𝑎 > 0 ; 𝒂 = 𝟏 → 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑒𝑘𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙 1 𝑥

1

d) 𝑦 = (3) → 𝑎 = 3 ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 → 𝒇𝒖𝒏𝒈𝒔𝒊 𝒆𝒌𝒔𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒔𝒊𝒂𝒍 2. Melukis Grafik Fungsi Eksponensial Melukis grafik fungsi eksponensial dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa titik bantu. Titik bantu tersebut dapat diambil beberapa nilai 𝑥 dan kemudian dimasukkan dalam fungsi sehingga menghasilkan 𝑦. Maka diperoleh pasangan (𝑥, 𝑦). 1𝑥

Contoh: Lukislah grafik dari 𝑦 = 3𝑥 dan 𝑦 = 3

Solusi: Untuk pengerjaannya dapat diambil beberapa nilai 𝑥, misalnya 𝑥 diambil dari -2, -1, 0, 1, 2. Maka diperoleh pasangan titik sebagai berikut: 𝒙

-2

-1

0

1

2

𝒚 = 𝟑𝒙

0,111

0,333

1

3

9

𝟏𝒙 𝒚= 𝟑

9

3

1

0,333

0,111



Dari pasangan titik di atas dapat dibuat grafik fungsi eksponensial sebagai berikut,

𝒚=𝟑

𝒙

𝟏 𝒙 𝒚=( ) 𝟑

3. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Eksponensial Dari grafik yang telah dibuat, dapat diamati dan dianalisa sifat-sifat grafik fungsi eksponensial 𝑦 = 𝑎 𝑥 ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 adalah: a) Kontinu. b) Merupakan fungsi satu-satu. c) Domain: (−∞, ∞) atau 𝑥 ∈ 𝑅. d) Range: (0, ∞) atau 𝑦 > 0, 𝑦 ∈ 𝑅. e) 𝑦 = 𝑎 𝑥 ; 𝑎 > 1 maka grafiknya naik. f) 𝑦 = 𝑎 𝑥 ; 0 < 𝑎 < 1 maka grafiknya turun. g) Memotong sumbu 𝑦 di titik (0,1). h) Mempunyai asimtot datar sumbu 𝑥.



IV. Persamaan Eksponensial Ilustrasi:

𝒚𝟐 = 𝟗

𝒚𝟏 = 𝟑𝒙

Dari grafik di atas terdapat dua fungsi yakni 𝑦1 = 3𝑥 dan 𝑦2 = 9. Terdapat titik potong dari grafik kedua fungsi tersebut di titik (2,9). Apakah ada titik potong lain dari kedua grafik tersebut?. Untuk menjawabnya dapat dilakukan langkah analisa sebagai berikut, 𝑦1 = 𝑦2 3𝑥 = 9 3𝑥 = 32 𝑥 = 2 → ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑡𝑖𝑡𝑘 𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔 (2,9) Dari ilustrasi di atas menunjukkan sebuah persamaan fungsi eksponensial. Persamaan fungsi eksponensial memiliki beberapa bentuk.



V. Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponensial Persamaan fungsi eksponensial memiliki beberapa bentuk, bentuk-bentuk tersebut adalah: 1. Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1, maka 𝑓(𝑥) = 𝑛. Contoh: a. 9𝑥−4 = 81 Solusi: 9𝑥−4 = 81 (32 )𝑥−4 = 34 32𝑥−8 = 34 2𝑥 − 8 = 4 2𝑥 = 12 𝑥=6 b. √78𝑥+2 = (73 )3 Solusi: 1

(78𝑥+2 )2 = 79 74𝑥+1 = 79 4𝑥 + 1 = 9 4𝑥 = 8 𝑥=2 2. Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1, maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Contoh: a) 252𝑥−1 − 5−𝑥+8 = 0 Solusi: (52 )2𝑥−1 = 5−𝑥+8 54𝑥−2 = 5−𝑥+8 4𝑥 − 2 = −𝑥 + 8 5𝑥 = 10 𝑥=2 Eksponensial & Logaritma


b)

1

3

= √493𝑥−6

49𝑥+3

Solusi: 1

3

(72 )𝑥+3 1

= √(72 )3𝑥−6 3

72𝑥+6

= √76𝑥−12 1

7−2𝑥−6 = (76𝑥−12 )3 7−2𝑥−6 = 72𝑥−4 −2𝑥 − 6 = 2𝑥 − 4 4𝑥 = −2 𝑥=−

1 2

3. Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥) ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 ; 𝑏 > 0 ; 𝑏 ≠ 1, maka 𝑓(𝑥) = 0. Contoh: a) 4𝑥−4 = 52𝑥−8 Solusi: (22 )𝑥−4 = 52𝑥−8 22𝑥−8 = 52𝑥−8 2𝑥 − 8 = 0 2𝑥 = 8 𝑥=4 b) 272−𝑥 − √212−6𝑥 = 0 Solusi: 272−𝑥 = √212−6𝑥 1

(33 )2−𝑥 = (212−6𝑥 )2 36−3𝑥 = 26−3𝑥 6 − 3𝑥 = 0 3𝑥 = 6 𝑥=2



4. Jika ℎ(𝑥) 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) 𝑔(𝑥) , maka kemungkinannya adalah: a) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) b) ℎ(𝑥) = 1 c) ℎ(𝑥) = 0 dengan syarat 𝑓(𝑥) > 0 dan 𝑔(𝑥) > 0 d) ℎ(𝑥) = −1 dengan syarat 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) sama-sama genap atau sama-sama ganjil. Contoh: a. (𝑥 + 2)𝑥+4 = (𝑥 + 2)2𝑥−1, untuk mencari 𝑥 yang memenuhi ada empat kemungkinan. Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4 ; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 ; ℎ(𝑥) = 𝑥 + 2 i.

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑥 + 4 = 2𝑥 − 1 𝑥 − 2𝑥 = −1 − 4 −𝑥 = −5 𝑥=5

ii.

ℎ(𝑥) = 1 𝑥+2=1 𝑥 =1−2 𝑥 = −1

iii.

ℎ(𝑥) = 0 syarat 𝑓(𝑥) > 0 ; 𝑔(𝑥) > 0 𝑥+2=0 𝑥 = −2  dimasukkan dalam 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥) 𝑓(−2) = −2 + 4 = 2  𝑓(𝑥) > 0 𝑔(−2) = 2(−2) − 1 = −4 − 1 = −5  𝑔(𝑥) < 0 Jadi 𝑥 = −2 tidak memenuhi.

iv.

ℎ(𝑥) = −1 syarat 𝑓(𝑥) ; 𝑔(𝑥) sama-sama genap atau sama-sama ganjil. 𝑥 + 2 = −1 𝑥 = −1 − 2 𝑥 = −3  dimasukkan dalam 𝑓(𝑥); 𝑔(𝑥) 𝑓(−3) = −3 + 4 = 1  𝑓(𝑥) ganjil



𝑔(−3) = 2(−3) − 1 = −6 − 1 = −7  𝑔(𝑥) ganjil Jadi 𝑥 = −3 memenuhi Dari empat kemungkinan yang telah dianalisa diperoleh 𝐻𝑃 = {−3, −1, 5}. 5. Jika 𝑓(𝑥)ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) , maka kemungkinannya adalah: a) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) b) ℎ(𝑥) = 0 dengan syarat 𝑓(𝑥) ≠ 0 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0 Contoh: a. (4𝑥 + 4)𝑥+2 = (𝑥 − 2)𝑥+2 Untuk mencari 𝑥 yang memenuhi, ada dua kemungkinan. Diketahui: 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 4 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 ; ℎ(𝑥) = 𝑥 + 2 i.

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 4𝑥 + 4 = 𝑥 − 2 4𝑥 − 𝑥 = −2 − 4 3𝑥 = −6 𝑥 = −2

ii.

ℎ(𝑥) = 0 dengan syarat 𝑓(𝑥) ≠ 0 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝑥+2=0 𝑥 = −2  dimasukkan dalam 𝑓(𝑥) ; 𝑔(𝑥). 𝑓(−2) = 4(−2) + 4 = −8 + 4 = −4  𝑓(𝑥) ≠ 0 𝑔(−2) = −2 − 2 = −4  𝑔(𝑥) ≠ 0 Jadi 𝑥 = −2 memenuhi.

Dari dua kemungkinan yang dianalisa diperoleh 𝐻𝑃 = {−2} 6. Jika 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 1, maka kemungkinannya adalah: a) 𝑓(𝑥) = 1 b) 𝑔(𝑥) = 0 dengan syarat 𝑓(𝑥) ≠ 0 c) 𝑓(𝑥) = −1 dengan syarat 𝑔(𝑥) genap Contoh: a. (2𝑥 + 7)2𝑥+4 = 1



Untuk mencari 𝑥 yang memenuhi, ada dua kemungkinan. Diketahui: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 7 ; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4 𝑓(𝑥) = 1

i.

2𝑥 + 7 = 1 2𝑥 = −6 𝑥 = −3 𝑔(𝑥) = 0 dengan syarat 𝑓(𝑥) ≠ 0

ii.

2𝑥 + 4 = 0 2𝑥 = −4 𝑥 = −2  dimasukkan dalam 𝑓(𝑥) 𝑓(−2) = 2(−2) + 7 = −4 + 7 = 3  𝑓(𝑥) ≠ 0 Jadi 𝑥 = −2 memenuhi. 𝑓(𝑥) = −1 dengan syarat 𝑔(𝑥) genap

iii.

2𝑥 + 7 = −1 2𝑥 = −8 𝑥 = −4  dimasukkan dalam 𝑔(𝑥) 𝑔(−4) = 2(−4) + 4 = −8 − 4 = −12  𝑔(𝑥) genap Jadi 𝑥 = −4 memenuhi. Dari tiga kemungkinan yang telah dianalisa diperoleh 𝐻𝑃 = {−4, −3, −2}.

7. Jika persamaan eksponensial memiliki bentuk persamaan kuadrat seperti 2

𝐴(𝑎 𝑓(𝑥) ) + 𝐵(𝑎 𝑓(𝑥) ) + 𝐶 = 0, maka dapat diselesaikan dengan memisalkan 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑝, kemudian menyelesaikan persamaan kuadrat yang terbentuk untuk 𝑥. Contoh: a) 32𝑥+1 − 4 ∙ 3𝑥+1 + √81 = 0 Untuk mengerjakan persamaan di atas kita ubah ke bentuk 3𝑥 . 32𝑥+1 − 4 ∙ 3𝑥+1 + √81 = 0 32𝑥 ∙ 31 − 4 ∙ 3𝑥 ∙ 31 + 9 = 0 3 ∙ 32𝑥 − 12 ∙ 3𝑥 + 9 = 0 3 ∙ (3𝑥 )2 − 12 ∙ 3𝑥 + 9 = 0 Eksponensial & Logaritma


Kita misalkan 3𝑥 = 𝑝, maka persamaannya menjadi, 3 ∙ 𝑝2 − 12 ∙ 𝑝 + 9 = 0 (3 ∙ 𝑝2 − 12 ∙ 𝑝 + 9 = 0): 3 𝑝2 − 4 ∙ 𝑝 + 3 = 0 (𝑝 − 3)(𝑝 − 1) = 0 𝑝1 = 3 ; 𝑝2 = 1 Kita cari nilai 𝑥 yang memenuhi dari 3𝑥 = 𝑝. i.

3𝑥 = 𝑝1

ii.

3𝑥 = 𝑝1

3𝑥 = 3

3𝑥 = 1

3𝑥 = 31

3𝑥 = 30

𝑥1 = 1

𝑥2 = 0

Jadi nilai 𝑥 yang memenuhi untuk persamaan 32𝑥+1 − 4 ∙ 3𝑥+1 + √81 = 0 adalah 𝑥 = {0, 1}.

VI. Pertidaksamaan Eksponensial Pada pembahasan sebelumnya telah dipelajari tentang grafik fungsi eksponensial. Dikatahui bahwa grafik fungsi dari 𝑦 = 𝑎 𝑥 naik jika nilai 𝑎 > 1, dan grafik fungsi 𝑦 = 𝑎 𝑥 turun jika 0 < 𝑎 < 1. Untuk lebih memahami pertidaksamaan eksponensial perhatikan ilustrasi berikut.

𝑓(𝑥1 )

𝒚 = 𝒂𝒙 𝒂>𝟏

𝒚 = 𝒂𝒙 𝟎<𝒂<𝟏

𝑓(𝑥2 )

𝑓(𝑥1 )

𝑓(𝑥2 )

𝑥1 Gambar 6.1


𝑥2

𝑥1

𝑥2 Gambar 6.2


Dari gambar 6.1 dapat disimpulkan bahwa 𝑥1 < 𝑥1 ↔ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ). Dengan memanfaatkan sifat kemonotonan fungsi eksponensial diperoleh, 𝒂𝒇(𝒙) > 𝒂𝒈(𝒙) ↔ 𝒇(𝒙) > 𝒈(𝒙) untuk 𝒂 > 𝟏 Sedangkan dari gambar 6.2 dapat disimpulkan bahwa 𝑥1 < 𝑥1 ↔ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ). Dengan memanfaatkan sifat kemonotonan fungsi eksponensial diperoleh, 𝒂𝒇(𝒙) > 𝒂𝒈(𝒙) ↔ 𝒇(𝒙) < 𝒈(𝒙) untuk 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 Contoh: a) √92𝑥−4 ≤ 27𝑥+1 Jawab: √92𝑥−4 ≤ 27𝑥+1 √34𝑥−8 ≤ 33𝑥+3 1

(34𝑥−8 )2 ≤ 33𝑥+3 32𝑥−4 ≤ 33𝑥+3 → (𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑎 = 3 ; 𝑎 > 1) 2𝑥 − 4 ≤ 3𝑥 + 3 2𝑥 − 3𝑥 ≤ 3 + 4 −𝑥 ≤ 7 𝑥 ≥ −7 1 4𝑥+8

b) (9)

3

> (81)

𝑥+2

Jawab: 1 4𝑥+8 3 𝑥+2 ( ) >( ) 9 81 1 2 (( ) ) 3

4𝑥+8

3 𝑥+2 > ( 4) 3

1 8𝑥+16 1 𝑥+2 ( ) > ( 3) 3 3 1 8𝑥+16 1 3 ( ) > (( ) ) 3 3

𝑥+2

1 8𝑥+16 1 3𝑥+6 ( ) >( ) 3 3 Eksponensial & Logaritma


8𝑥 + 16 < 3𝑥 + 6 → (𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑎 =

1 ; 0 < 𝑎 < 1) 3

8𝑥 − 3𝑥 > 6 − 16 5𝑥 > −10 𝑥>2 2 1 𝑥 +3

c) (2)

≥ 42𝑥

Jawab: 1 𝑥 ( ) 2

2 +3

1 𝑥 ( ) 2

2 +3

1 2𝑥 ≥ ( −1 ) 4

1 𝑥 ( ) 2

2 +3

1 2𝑥 ≥ ( −2 ) 2

1 𝑥 ( ) 2

2 +3

1 −4𝑥 ≥( ) 2

≥ 42𝑥

𝑥 2 + 3 ≤ −4𝑥 → (𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑎 =

1 ; 0 < 𝑎 < 1) 2

𝑥 2 + 4𝑥 + 3 ≤ 0 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 0 → (𝑑𝑖𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑘𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎 "=") (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) = 0 𝑥1 = −1 ; 𝑥2 = −3 Kemudian diperiksa daerah sekitar 𝑥1 = −1 dan 𝑥2 = −3. a. Daerah 𝑥 < −3, diambil 𝑥 = −4 kemudian dimasukkan kedalam 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 𝑓(−4) = (−4)2 + 4(−4) + 3 = 16 − 16 + 3 = 3 > 0 (𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖) Jadi daerah 𝑥 < −4 tidak memenuhi 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 ≤ 0. b. Daerah −3 < 𝑥 < −1, diambil 𝑥 = −2 kemudian dimasukkan kedalam 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 Eksponensial & Logaritma


𝑓(−2) = (−2)2 + 4(−2) + 3 = 4 − 8 + 3 = −1 < 0 (𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖) Jadi daerah −3 < 𝑥 < −1 memenuhi 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 ≤ 0. c. Daerah 𝑥 > −1, diambil 𝑥 = 0 kemudian dimasukkan kedalam 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 𝑓(0) = 02 + 4(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 > 0 (𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖) Jadi daerah 𝑥 > −1 tidak memenuhi 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 ≤ 0. 2 1 𝑥 +3

Jadi 𝑥 yang memenuhi (2)

≥ 42𝑥 adalah 𝑯𝑷 = {𝒙│ − 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ −𝟏 , 𝒙 𝝐 𝑹}.

B. Logaritma I.

Pengertian Logaritma Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan (eksponensial). Pada eksponensial dinyatakan dalam bentuk 𝒂𝒏 = 𝒃. Maka bila dinyatakan dalam logaritma menjadi 𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝒃 = 𝒏.

Contoh: a) 24 = 16 →

2

log 16 = 4 5

b) 53 = 125 → 1 2

1

c) (3) = 9 →

log 125 = 3

1 3

1

log 9 = 2

II. Fungsi Logaritma dan Grafiknya Jika fungsi eksponensial dinyatakan dalam bentuk 𝑦 = 𝑎 𝑥 dengan 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1. Maka fungsi logaritma dinyatakan dengan bentuk 𝒚 = 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙 dengan 𝒂 > 𝟎 ; 𝒂 ≠ 𝟏 dan 𝒙 > 𝟎. Contoh: a) 𝑦 = 7log 𝑥 → 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑥 > 0 b) 𝑦 = 5log 𝑥 → 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑥 > 0 1 2

c) 𝑦 = log 𝑥 → 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝑥 > 0 Fungsi logaritma juga dapat dilukiskan grafiknya dalam bidang cartesius. Untuk melukisnya sama dengan melukis grafik fungsi eksponensial, yang membedakan



adalah pada pemilihan interval 𝑥. Untuk fungsi logaritma interval 𝑥 hanya boleh 𝑥 > 0. Sebagai contoh akan digambarkan grafik fungsi logaritma 𝑦 = 2log 𝑥 dan 𝑦 = 1 2

1 1 1

log 𝑥 , dengan interval 𝑥 yang diambil 𝑥 = {8 , 4 , 2 , 1, 2, 4, 8}. Untuk mengerjakan

kita buat tabel pasangan titik 𝑥 dan 𝑦 seperti berikut, 𝒙 𝒚 = 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒙

1 8 -3

1 4 -2

1 2 -1

1

2

4

8

0

1

2

3

𝟏

3 2 1 0 -1 -2 -3 𝒚 = 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒙 Dari tabel pasangan titik di atas dapat dibuat tabel sebagai berikut, 4

𝒚 = 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒙 3 2 1

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -2 𝟏

-3

𝒚 = 𝟐𝐥𝐨𝐠 𝒙

Dari grafik fungsi logaritma di atas, dapat kita simpulkan mengenai sifat grafik tersebut. Grafik fungsi logaritma mempunyai sifat: a. Kontinu b. Merupakan fungsi satu-satu. c. Domain: 𝑥 > 0 , 𝑥 ∈ 𝑅. d. Range: (−∞, ∞) atau 𝑦 ∈ 𝑅. e. Grafik 𝑦 = 𝑎log 𝑥 naik jika 𝑎 > 1. f. Grafik 𝑦 = 𝑎log 𝑥 turun jika 0 < 𝑎 < 1. g. Memotong sumbu (1,0). h. Mempunyai asimtot tegak sumbu 𝑦. Eksponensial & Logaritma


III. Persamaan Logaritma Fungsi logaritma juga memiliki beberapa bentuk persamaan, sama halnya dengan persamaan pada fungsi eksponensial. Sebelum mambahas tentang bentuk persamaan pada fungsi logaritma berikut adalah sifat-sifat dari logaritma: a.

𝒂

b.

𝒂

c.

𝒂

d.

𝒂

e.

𝒂

f.

𝒂

g.

𝐥𝐨𝐠 𝟏 = 𝟎 → 𝑎 > 0. 𝐥𝐨𝐠 𝒂 = 𝟏 → 𝑎 > 0 𝐥𝐨𝐠 𝒃 + 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒄 = 𝒂𝐥𝐨𝐠(𝒃 ∙ 𝒄) → 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 ; 𝑏 > 0 ; 𝑐 > 0 𝒃

𝐥𝐨𝐠 𝒃 − 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒄 = 𝒂𝐥𝐨𝐠 ( 𝒄 ) → 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 ; 𝑏 > 0 ; 𝑐 > 0 𝒎

𝐥𝐨𝐠 𝒃 =

𝐥𝐨𝐠 𝒃

𝒎𝐥𝐨𝐠 𝒂

→ 𝑎 > 0 ;𝑎 ≠ 1 ;𝑏 > 0 ;𝑚 > 0

𝐥𝐨𝐠 𝒃𝒎 = 𝒎 ∙ 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒃 → 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 ; 𝑏 > 0

𝒂𝒎

𝟏

𝐥𝐨𝐠 𝒃 = 𝒎 ∙ 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒃 → 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 ; 𝑏 > 0 ; 𝑚 ≠ 0

𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝒃

h. 𝒂 i.

𝒂

j.

𝒂

k.

𝒂

= 𝒃 → 𝑎 > 0 ;𝑎 ≠ 1 ;𝑏 > 0

𝐥𝐨𝐠 𝒃 ∙ 𝒃𝐥𝐨𝐠 𝒄 = 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒄 → 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 ; 𝑏 > 0 ; 𝑐 > 0 𝐥𝐨𝐠 𝒃 =

𝟏 𝒃𝐥𝐨𝐠 𝒂

𝒃

→ 𝑎 > 0 ;𝑎 ≠ 1 ;𝑏 > 0 𝒄

𝐥𝐨𝐠 (𝒄 ) = − 𝒂𝐥𝐨𝐠 (𝒃) → 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 ; 𝑏 > 0 ; 𝑐 > 0

IV. Bentuk-Bentuk Persamaan Logaritma a)

𝑎

log 𝑓(𝑥) = 𝑎log 𝑝 ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 ; 𝑓(𝑥) > 0 ; 𝑝 > 0 maka 𝑓(𝑥) = 𝑝.

Contoh: 1.

3

log(𝑥 + 2) = 3log 9

Jawab: a. Mencari daerah 𝑥 yang terdefinisi. 3

log(𝑥 + 2) maka 𝑥 + 2 > 0 𝒙 > −𝟐

Daerah 𝒙 -2

b. Mencari nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan. 3

log(𝑥 + 2) = 3log 9

𝑥 + 2 = 9 → 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 > 0 Eksponensial & Logaritma


𝑥+2=9 𝑥 =9−2 𝒙 = 𝟕 > −𝟐 Jadi 𝑥 yang terdefinisi dan memenuhi 3log(𝑥 + 2) = 3log 9 adalah 𝑥 = 7.

2.

5

log(5𝑥 + 25) = 3


log(5𝑥 + 25) maka 5𝑥 + 25 > 0 5𝑥 > −25 𝒙 > −𝟓

Daerah 𝒙 -5


log(5𝑥 + 25) = 3

5

log(5𝑥 + 25) = 3 ∙ 1

5

log(5𝑥 + 25) = 3 ∙ 5log 5

5

log(5𝑥 + 25) = 5log(53 )

5

log(5𝑥 + 25) = 5log 125 5𝑥 + 25 = 125 5𝑥 + 25 = 125 5𝑥 = 125 − 25 5𝑥 = 100 𝒙 = 𝟐𝟎 > −𝟓

Jadi 𝑥 yang terdefinisi dan memenuhi 5log(5𝑥 + 25) = 3 adalah 𝑥 = 20.

b)

𝑎

log 𝑓(𝑥) = 𝑎log 𝑔(𝑥) ; 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1; 𝑓(𝑥) > 0; 𝑔(𝑥) > 0 maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥).

Contoh: 1.

3

log(2𝑥 + 6) = 3log(2 − 𝑥)

Jawab:



a. Menentukan daerah 𝑥 yang terdefinisi. 3

log(2𝑥 + 6) maka 2𝑥 + 6 > 0 2𝑥 > −6 𝒙 > −𝟑

3

log(2 − 𝑥) maka 2 − 𝑥 > 0

Daerah 𝒙

𝒙<𝟐

-3

2

Jadi daerah 𝑥 yang terdefinisi adalah −𝟑 < 𝒙 < 𝟐 (diantara −3 dan −2) b. Mencari nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan. 3

log(2𝑥 + 6) = 3log(2 − 𝑥) 2𝑥 + 6 = 2 − 𝑥 2𝑥 + 𝑥 = 2 − 6 3𝑥 = −4 𝒙=−

𝟒 𝟏 = −𝟏 → −𝟑 < 𝒙 < 𝟐 𝟑 𝟑 1

Jadi 𝑥 yang terdefinisi dan memenuhi adalah 𝑥 = −1 3.

c)

𝑎

log 𝑓(𝑥) = 𝑏log 𝑓(𝑥) ; 𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1; 𝑓(𝑥) > 0; 𝑔(𝑥) > 0 maka 𝑓(𝑥) = 1.

Contoh: 1.

5

log(3𝑥 − 9) = 2log(3𝑥 − 9)

Jawab: a. Menentukan daerah 𝑥 yang tedefinisi. 5

log(3𝑥 − 9) ;

2

log(3𝑥 − 9)

Maka 3𝑥 − 9 > 0 3𝑥 > 9 Daerah 𝒙

𝒙>𝟑 3


log(3𝑥 − 9) = 2log(3𝑥 − 9) 3𝑥 − 9 = 1 3𝑥 = 10



𝒙=

𝟏𝟎 𝟏 =𝟑 >𝟑 𝟑 𝟑

Jadi 𝑥 yang terdefinisi dan memenuhi

5

log(3𝑥 − 9) = 2log(3𝑥 − 9)

𝟏

adalah 𝒙 = 𝟑 𝟑.

d)

ℎ(𝑥)

log 𝑓(𝑥) =

ℎ(𝑥)

log 𝑔(𝑥) ; ℎ(𝑥) > 0 ; ℎ(𝑥) ≠ 1 ; 𝑓(𝑥) > 0 ; 𝑔(𝑥) > 0

maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Contoh: 1.

𝑥−2

log(4𝑥 − 8) =

𝑥−2

log(2𝑥 + 6)

Jawab: a. Menentukan daerah 𝑥 yang terdefinisi. ℎ(𝑥) = 𝑥 − 2 ; 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 8 ; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 6 ℎ(𝑥) > 0

ℎ(𝑥) ≠ 1

𝑓(𝑥) > 0

𝑔(𝑥) > 0

𝑥−2>0

𝑥−2≠1

4𝑥 − 8 > 0

2𝑥 + 6 > 0

𝒙>𝟐

𝒙≠𝟑

𝒙>𝟐

𝒙 > −𝟑

Daerah 𝒙 -3

2

3

Jadi daerah 𝑥 yang terdefinisi adalah 𝒙 > 𝟐 ; 𝒙 ≠ 𝟑. b. Mencari nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan. 𝑥−2

log(4𝑥 − 8) =

𝑥−2

log(2𝑥 + 6)

4𝑥 − 8 = 2𝑥 + 6 4𝑥 − 2𝑥 = 6 + 8 2𝑥 = 14 𝒙 = 𝟕 > 𝟐 ;𝒙 = 𝟕 ≠ 𝟑 Jadi 𝑥 yang terdefinisi dan memenuhi adalah 𝒙 = 𝟕. e) 𝐴 ∙ ( 𝑎log 2 𝑓(𝑥)) + 𝐵 ∙ ( 𝑎log 𝑓(𝑥)) + 𝐶 = 0 ; 𝑎 > 0 ; 𝑎 ≠ 1 ; 𝑓(𝑥) > 0 ;

dan

𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑅 maka untuk mencari nilai 𝑥 yang memenuhi adalah dengan Eksponensial & Logaritma


𝑎

memisalkan

log 𝑓(𝑥) = 𝑝. Sehingga persamaan di atas menjadi persamaan

kuadrat, 𝐴 ∙ 𝑝2 + 𝐵. 𝑝 + 𝐶 = 0 kemudian dicari akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut. Contoh: 1.

2

log 2𝑥 − 6 ∙ 2log 𝑥 + 5 = 0


log 𝑥 → 𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑓(𝑥) > 0 → 𝒙 > 𝟎

Daerah 𝒙 0

b. Mencari nilai 𝑥 yang memenuhi. 2

log 2𝑥 − 6 ∙ 2log 𝑥 + 5 = 0 2

( 2log 𝑥) − 6 ∙ ( 2log 𝑥) + 5 = 0 Dimisalkan 2log 𝑥 = 𝑝, maka persamaan di atas menjadi: 𝑝2 − 6𝑝 + 5 = 0 (𝑝 − 1)(𝑝 − 5) = 0 𝒑𝟏 = 𝟏 ; 𝒑𝟐 = 𝟓 Dicari nilai 𝑥 melalui persamaan 2log 𝑥 = 𝑝: a.

2

log 𝑥 = 𝑝1

2

log 𝑥 = 1

2

log 𝑥 = 2log 2 𝒙𝟏 = 𝟐 > 𝟎 → 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖.

b.

2

log 𝑥 = 𝑝2

2

log 𝑥 = 5

2

log 𝑥 = 5 ∙ 2log 2

2

log 𝑥 = 2log 25

2

log 𝑥 = 2log 32 𝒙𝟐 = 𝟑𝟐 > 𝟎 → 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖.

Jadi 𝑥 yang memenuhi adalah 𝑥 = {2, 32}.



V. Pertidaksamaan Logaritma Sama halnya denga fungsi eksponensial, pada logaritma juga dibahas masalah pertidaksamaan. Dengan ilustrasi yang sama pada pertidaksamaan eksponensial diperoleh bentuk pertidaksamaan fungsi logaritma sebagai berikut: A. Untuk 𝒂 > 𝟏 𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙) > 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒈(𝒙) , 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒇(𝒙) > 𝒈(𝒙) > 𝟎

𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙) < 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒈(𝒙) , 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝟎 < 𝒇(𝒙) < 𝒈(𝒙)

B. Untuk 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙) > 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒈(𝒙) , 𝒎𝒂𝒌𝒂𝟎 < 𝒇(𝒙) < 𝒈(𝒙)

𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝒇(𝒙) < 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒈(𝒙) , 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒇(𝒙) > 𝒈(𝒙) > 𝟎

Contoh: 1. Tentukan 𝑥 yang memenuhi untuk 2log(𝑥 − 1) < 2 ! Jawab: a. Menentukan daerah 𝑥 yang terdefinisi. Dari pertidaksamaan di atas diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 Syarat 𝑓(𝑥) > 0 → 𝑥 − 1 > 0 Daerah 𝒙

𝒙>𝟏 Jadi daerah 𝑥 yang terdefinisi adalah 𝑥 > 1.

1

b. Mencari nilai 𝑥 yang memenuhi. 2

log(𝑥 − 1) < 2

2

log(𝑥 − 1) < 2 ∙ 2log 2

2

Daerah 𝒙

2

log(𝑥 − 1) < log(22 )

5

2

log(𝑥 − 1) < 2log 4 𝑥 − 1 < 4,

 Tanda tetap karena 𝑎 = 2 ; 𝑎 > 1

𝑥 < 4+1 𝒙<𝟓 Jadi 𝑥 yang terdefinisi dan memenuhi 2

log(𝑥 − 1) < 2 adalah 𝟏 < 𝒙 < 𝟓.


Daerah 𝒙 1

5


1

2. Tentukan 𝑥 yang memenuhi untuk 2log(2𝑥 − 8) ≤ 2 ! Jawab: a. Menentukan daerah 𝑥 yang terdefinisi. Dari pertidaksamaan di atas diketahui 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 8 Syarat 𝑓(𝑥) > 0 → 2𝑥 − 8 > 0 2𝑥 > 8

Daerah 𝒙

𝑥>4

4

Jadi daerah 𝑥 yang terdefinisi adalah 𝑥 > 4. b. Mencari nilai 𝑥 yang memenuhi. 1 2

log(2𝑥 − 8) ≤ 2

1 2

1 2

1 log(2𝑥 − 8) < 2 ∙ log ( ) 2 1 2 log(2𝑥 − 8) < log ( ) 2

1 2

1 2

1 2

1 1 log(2𝑥 − 8) < 2log ( ) 4 1 1 2𝑥 − 8 > ,  Tanda berubah karena 𝑎 = ; 0 < 𝑎 < 1 4 2 1 2𝑥 < + 8 4 1 32 2𝑥 < + 4 4 Daerah 𝒙 33 2𝑥 < 4 33 𝑥< 8

4

1 8

1

𝑥 < 48 Jadi 𝑥 1 2

yang terdefini dan memenuhi 𝟏

log(2𝑥 − 8) ≤ 2 adalah 𝟒 < 𝒙 < 𝟒 𝟖.


Daerah 𝒙 1 8 Gambar daerah penyelesaian 4

4




BAB 1 Rangkuman Materi Eksponensial dan Logaritma.pdf

Recommend Documents